I PRÁCTICA DIRIGIDA DE ESTADISTICA ESTADISTICA Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD
1. Clasificar los siguientes datos si son cualitativos, cuantitativos, continuos, discretos, nominales u Ordinales: a) El tiempo que demora la atención a contribuyentes por la SUNAT.
(Cuantitativo Continuo)
b) porcentaje de alumnos aprobados en un examen.
(Cuantitativo Continuo)
c) El orden de llegada a clase.
(Cualitativo Ordinal)
d) El número de libros defectuosos en biblioteca.
(Cuantitativo Discreto)
e) Cantidad de litros de una solución.
(Cuantitativo Continuo)
f) Número de declaraciones juradas presentadas a la SUNAT.
(Cuantitativo Discreto)
g) Peso o estatura de un estudiante.
(Cuantitativo Continuo)
h) Temperatura ambiental promedio.
(Cuantitativo Continuo)
i) El orden de mérito de ingreso a la Universidad.
(Cuantitativo Ordinal)
j) El sexo de un estudiante.
(Cuantitativo Nominal)
k) El estado civil de una persona.
(Cuantitativo Nominal)
2. El número de alumnos ingresantes a la Escuela de Ciencias Contables y Financieras de la FACEM período de 2000 a 2008 fueron 98; 84; 96; 77; 90; 110; 90; 96, 100 Representar los datos mediante el gráfico más adecuado e intérprete los resultados.
Fig. 1 INGRESANTES A LA ESCUELA DE ESCF DE LA FACEM 117
107 D A D I T N A C
97
87
77 0
2
4
6 AÑOS
8
10
INTERPRETACION: Con el grafico notamos que en el año que tuvo mayor número de ingresantes la escuela de ESCF fue en el año 2006 la menor cantidad de ingresantes fue en 2004. 3. Dado el siguiente conjunto de puntuaciones de (notas) 3.2; 4.5; 2.6; 3.0; 4.4; 3.4; 2.7; 4.8; 3.0; 3.1; 3.0; 3.4, 5.2, 4.5; 2.5; 2.4; 2.5; 3.0; 2.3; 3.8 en un sistema de 0 a 5. a) Calcular la mediana, moda, median aritmética o promedio, media geométrica y media armónica. Interprete sus resultados.
Ordenar: 2.3; 2.4; 2.5; 2.5; 2.6; 2.7; 3.0; 3.0; 3.0; 3.0; 3.1; 3.2; 3.4; 3.4; 3.8; 4.4; 4.5; 4.5; 4.8; 5.2 Mediana:
2 2 2 2) ( 2 20 202 (202 ) 2 2 10) (11) (10) 2 3.03.1 2 3.05 Es la medida más indicada cuando le diferencia de los datos no son mucha. Aparte el 50% tienen menores notas a 3.05 y 50% tiene notas mayores que 3.05. Moda:
3.0 Es el dato que mas se repite Media Aritmética:
= ⋯…
67.203 3.37 Media Geométrica:
̅ ∗ ∗ ….. ̅ √2.3 ∗ 2.4 ∗ 2.5 ∗ ….∗5 ….∗ 5.2 ̅ 3.27 Media Armónica:
∑ 1 = 20 ( 1 1 ⋯…. 1 2.3 2.4 5.2) 3.18 b) De las medidas estadísticas calculadas en a) indicar cuál es más representativa y por qué? En mi opinión creo que la medida más adecuada y representativa seria la Mediana ya que la distancia de los datos no es muy lejanas así que esa medida sería una buena opción.
4. Los siguientes datos representan el número de alumnos matriculados en una Universidad: ciclo I 350 H , 150 M ; II 140 H,250 M ; III 180 H,120 M; IV 80 H,40 M V 180 H, 120 M. Representar los datos mediante el gráfico más adecuado e interpretar.
Fig. 2 ALUMNOS MATRICULADOS EN UNA UNIVERSIDAD
600
M
H
500 400 D A D I T300 N A C
200 100 0 1
2
3
4
5
CICLOS
INTERPRETACION: A través del grafico podemos ver en el primer ciclo hubo mayor cantidad de mujeres matriculadas. Mientras que en el segundo ciclo hubo mayor cantidad de hombres matriculados. Pero en el cuarto ciclo hubo pocas mujeres al igual que poco hombres matriculados. 5. Las notas de los estudiantes estudiantes del IV ciclo de Turismo están divididas en 3: El grupo A de de 10 alumnos obtuvo un promedio de 15, grupo B 20 alumnos obtuvo un promedio de 12 y el grupo C de 5 alumnos obtuvo un promedio promedio de 10. Hallar la nota promedio del IV ciclo. ALUMNOS
PROMEDIO
∗
Grupo A
10
15
150
Grupo B
20
12
240
Grupo C
5
10
TOTAL
35
GRUPOS
k
xi p i w
i 1 k
p i i 1
50 440
43540 12.57 6. El grupo A comprende 20 puntuaciones, y la media y la varianza son respectivamente 14.5 14.5 y 13. El grupo B comprende 20 puntuaciones y la media y varianza son respectivamente 12 y9: a) Qué grupo tiene mejor rendimiento y por qué? Coeficiencia de Variación: GRUPO A
̅ 100 3.14.651 100 24.895% 123 100 25%
GRUPO B
El grupo A tiene mayor rendimiento ya que su media aritmética es superior a la del grupo B. b) Calcule la media global. Media Global:
∗ ̅ =
20 ∗ 14.5 20 ∗ 12 20 40 13.25 7. Hallar la desviación media, varianza, desviación media y coeficiente de variación de los datos del prob.3
Ordenar: 2.3; 2.4; 2.5; 2.5; 2.6; 2.7; 3.0; 3.0; 3.0; 3.0; 3.1; 3.2; 3.4; 3.4; 3.8; 4.4; 4.5; 4.5; 4.8; 5.2
Desviación media:
| − | =
Varianza:
14.2018 0.709 ( − ̅ ) −1 −1 = (2.4 − 3.37) ⋯… ( ) 2.3−3.37) 2.3−3.37 3 7 ) ⋯… ( 5 . 2 − 3 . 3 7 ) 20−1 14. 194860 0.762 ̅ 100 3.0.3875 100 25.22%
Coeficiencia de Variación:
8. Formular un problema de su carrera profesional para aplicar el gráfico de Pareto. PROBLEMA.- Analizar los factores importante para mejorar la competitividad minera.
FACTORES
PORCENTAJE
Conflictos Sociales
30
Infraestructura
20
Personal Calificado
20
Presencia del Estado
15
Régimen Tributario
10
Otros
5
Fuente: ANTAMINA
Fig. 3 FACTORES PARA MEJORAR LA COMPETITIVIDAD MINERA 95.00
100
100.00
85.00 80 E J A T N E C R O P
70.00
60
50.00
40
30.00
20
0 Conflictos Sociales
Infraestructura
Persona Calificado Calificado
Regimen Tributario
Presencia del Estado
Otros
INTERPRETACION: Gracias al grafico notamos que los factores más influyentes son los Conflictos Sociales, el Personal Calificado como la Infraestructura. Ya que esos factores son importantes tenemos que enfocarnos para solucionarlos y mejorar la competitividad minera. 9. En un grupo de 100 estudiantes, cuya estatura media es 60.96 pulg. Se divide en dos grupos uno con una estatura media de 63.4 pulgadas. Y el otro con una de 57.3 pulgadas ¿Cuántos estudiantes hay en cada grupo? n=100
̅ 60.96
x1=63.4 pulgadas x2=57.3 pulgadas n1=? n2=? n1+n2=100
10100 − ̅ )(63.4) (57.3) 60.96 (100−)(63. 100 6096 6096 6340− 6340 − (63. (63.4) 4) (57. (57.3) 3) 244 6.1 40 60
INTERPRETACION: Se dividen en dos grupos, en el primero hay 60 estudiantes cuya estatura media es 60.96 pulg. Y el otro son 40 estudiantes cuya estatura media es 57.3 pulg.
10. En una fábrica de 3 secciones se sabe que en la sección A, con 120 trabajadores, la asistencia media anual es de 140 días; en la sección B, que tiene 80 operarios la asistencia media anual es de 116 días. Si la asistencia media en la fábrica es de 126 días al año; determinar cuántos trabajadores hay en la sec. C cuya media es de 118 días al año.
SECCIONES
A
B
C
FABRICA
EMPLEADOS
120
80
X
(120+80+X)
ASISTENCIA
140
116
118
126
INTERPRETACION:
20(140) 140) 80( 80(116) 116) (118) 126 120( (12080) 126∗( 126∗ (200) 200) 168 1680000 9280 9280 118 118 2520 252000 126 126 2608 260800 116 116 8 880 110
En la sección C se encuentra 110 trabajadores cuya media es de 118 días al año 11. Calcular el precio precio promedio ponderado y graficar los
artículos según el precio,
interpretar dicho gráfico, según los siguientes datos sabiendo que en promedio una familia de 5 miembros consumen lo siguiente:
Cantidad
Precio por Kilo
Artículos
Arroz
2.0 Kg.
2.80
5.60
Papa
5.0 kg.
1.20
6.00
Fideos
2.5 Kg.
2.50
6.25
Carne
3.0 Kg.
9.00
27.00
Pescado
2.0 Kg.
8.50
17.00
Otros
4.0 Kg.
2.80
11.20
TOTAL
18.50 Kg.
∗
73.05
Media Ponderada: k
xi p i w
i 1 k
p i i 1
05 73. 18.50 3.95 Fig. 4 PRECIO PROMEDIO 10 PRECIO POR KILO 8
O I C E R P
6
4
2
0 Arroz
Papa
Fideos
Carne
Pescado
Otros
INTERPRETACION: Según el grafico, podemos notar que de los productos que mayormente consume una familia de 5 miembros, la carne y el pescado son los productos que tienen mayor precio de lo cual se recomiendo que no se compre a mayor cantidad ya que su precio es muy elevado. 12. A continuación se muestra una tabla de datos con defectos de una pieza fabricada donde se le han colocado a cada uno de ellos los pesos o ponderaciones. Muchas veces dichas ponderaciones son valores en moneda nacional de lo que significa ese defecto.
Tipo de defecto
Número de defectos
Costo S/.
Burbuja
20
150
Fractura
10
300
Mancha
6
50
Rajadura
4
250
Rayado
42
250
Tensión
104
40
Otros
14
60
Total
200
Realizar dos gráficos de Pareto, uno donde intervengan los costos unitarios y otro sin costos. SIN COSTOS:
Fig.5 TIPOS DE DEFECTOS 95.00
200
100.00
98.00
90.00
s
83.00 160
e
120
c
ot ef D
73.00
52.00
e d or
80
e m ú N
40
0
Tension
Burbuja Rayado
Fractura Otros
Rajadura Mancha
INTERPRETACION: Con el grafico notamos que el efecto que tiene más número de defectos es la Tensión ya que supera el 50% de lo cual se debería enfocar más en ese defectos y lograr solucionarlo. CON COSTOS UNITARIOS:
FIG 5.1 TIPOS DE DEFECTOS Y SUS PONDERACIONES (X 1000) 24 90.61 20
98.68
100.00
77.46 64.30
16 S O T S O C
95.00
46.05
12 8 4 0
Rayado
Fractura Tension
Rajadura Burbuja
Mancha Otros
INTERPRETACION: Podemos ver que el tipo de defecto que tiene mayor costo en su reparación es el Rayado ya que tiene un elevado costo y lo más recomendable seria que tratemos de que causar tanto ese defecto para así no gastar mucho. 13. Un inversor en bolsa ha comprado acciones de una misma empresa en cinco ocasiones los precios respectivos por acción han sido: 2048, 2304, 1920, 2560, 3072 ptas. Calcular el precio medio de las acciones. a) Las 5 veces adquirió igual No. de acciones b) En toda la compra empleo igual cantidad C de dinero.
1° Ocasión
2048
2° Ocasión
2304
3° Ocacion
1920
4°Ocasión
2560
5° Ocasión
3072
Media o Promedio
2380
Fuente: Propia Varia N° de acciones. 14. El porcentaje de deserción deserción en un colegio secundario de la ciudad de Ilo en el periodo periodo de 1980 a 1984 fueron fueron 9%; 14%; 16%; 17%; 20% .- representar los datos mediante el gráfico más adecuado e intérprete los resultados.
Fig. 6 PORCENTAJE DE DESERCION EN UN COLEGIO 60 PORCENTAJE 50
E J A T N E C R O P
40 30 20 10 0 1980
1981
1982 AÑOS
1983
1984
INTERPRETACION: Con ayuda del grafico podemos notar y encontrar cuando tuve mayor porcentaje de deserción y cuando tuvo menor porcentaje. El mayor fue en el año 1980 y el menor fue en el año 1981. 15. Los siguientes datos son las puntuaciones de la prueba de inteligencia Stanford - Binet aplicada a 49 alumnos adultos: 141
104
124
92
105 129
101 107
130
148
112
120
92
98
89
132
118
98 101
108 109 102
102
116 113
87
115 132
106 123
91 124
104
96 111 146
95
127
123
100
133
110
1 01
129
121 107
103 133 138
a) Calcular las medidas de centralización Ordenar: 87 89 91 92 92 95 96 98 98 100 101 101 101 102 102 103 104 104 105 106 107 107 108 109 110 111 112 11 2 113 115 116 1 16 118 120 121 123 123 124 124 127 129 129 130 132 132 133 133 138 141 146 148 Mediana:
49 (+ ) (+ )
((25) 25) 110 Promedio:
= ⋯…
649527 133.20
Media Geometría:
̅ ∗ ∗ ….. ̅ √ 87∗89∗…..∗148 8 7∗89∗…..∗148 ̅ 112.13 Media Armónica:
∑ 1 = 49 ( 1 1 ⋯. 1 87 89 148) 0.4930 164.66 Moda:
101 b) Clasificar los estudiantes en 3 categorías, usando la desviación estándar y el promedio. GRUPO A: Desviación Estándar: 6.88758 Por debajo del Promedio GRUPO B: Desviación Estándar: 1.52753 Dentro del Promedio GRUPO C: Desviación Estándar: 8.48838 Sobre el Promedio
16. Los datos que se dan a continuación corresponden a las edades (en años) años) de personas fallecidas en la región sur del Perú durante el año 2005. 73 85 77 62 74 79 80
77
90 68 85 71 78 63 60 70
55 85 90 86 65 64 72
80
62 68 65 69 78 72 78 74
Ordenar: 55 60 62 62 63 64 65 65 68 68 69 70 71 72 72 73 74 74 77 77 78 78 78 79 80 80 85 85 85 86 90 90 a) Determine si las edades siguen una distribución normal Media:
232355 73.59 Mediana:
2( 2 2 2) 2 16) (17) (16) 2 73 − 74 73 2 73.5 Moda:
ℎ No siguen una distribución normal ya que la mediana, media y la moda no son iguales.
b) Calcule la desviación típica o estándar de las edades Varianza:
( − ̅ ) −1 = − 1 Desviación Estándar:
9.0442 c) Halle el coeficiente de variación e intérprete su resultado.
̅ 100 9.73.0442 59 .100 12.29% d) Calcule el coeficiente de asimetría y curtosis, dar sus conclusiones. Asimetría:
( − ̅ ) ∑ = ⋯… (55−73. 5 9) ⋯… ( 9 0 − 7 3 . 5 9 ) 32∗(9.0442)
0.0137 Curtosis:
̅ ∑ ( − ) ∝ ∗∗ ∝ 2.0979 17. Calcular la media y varianza de las siguientes calificaciones: 13, 12, 15, 15, 16, 10 Media Aritmética o Promedio:
= ⋯… Varianza:
81 6 13.5 ( − ̅ ) −1 = −1
25.5 5 5.1 a) Añadir, restar, multiplicar y dividir por una constante, digamos 2, en cada calificación y volver a calcular ¿cuál es el efecto producido sobre la media? Sumar 2: 12, 14, 17, 17, 18 Promedio= 15.5
Varianza=5.1
Restar 2: 8, 10, 11, 13, 13, 14 Promedio=11.5
Varianza=5.1
Multiplicar 2: 20, 24, 26, 30, 30, 32 Promedio=27
Varianza=20.4
Dividir 2: 5, 6, 6.5, 7.5, 7.5, 8 Promedio=6.7
Varianza=1.28
INTERPRETACION: Notamos que al sumar y al restar la varianza se mantiene constante pero la medio si varia, si se suma crece, si se resta disminuye, si se multiplica crece elevadamente y si se divide disminuye elevadamente. 18. La temperatura de una ciudad en grados Farenghein Farenghein (F), fueron las siguientes: 51, 60, 58, 62, 57, 49, 52, 62, 61, 63, determine la media y desviación media en grados centígrados C sabiendo que C = 5(F – 32)/9. Calcule el decil 5, percentil 50. Ordenar y Convertir a grados centígrados C: 9.4°C ,10.6°C ,11.1°C ,13.9°C ,14.4°C ,15.6°C ,16.1°C ,16.7°C ,17.2°C ,17.8°C Media Aritmética o Promedio:
Desviación Media:
DECIL 5:
= ⋯…
⋯… 17.8 9.4 10.6 10 ⋯… 14.28° | − | = 21.1082 2.182 10 → 10 5→
PERCENTIL 50:
5 14.4° = () 100 50(10) 100 5 14.4°
19. Una muestra de 70 datos datos originales da una una media de de 120 y una desviación típica de 6, otra muestra de 30 datos originales da una media de 125 y una desviación típica de 5. Se reúnen las dos muestras formando formando una sola muestra de 100 datos. datos. ¿Cómo podrá calcularse el coeficiente de variación de esta muestra de 100 datos?
GRUPOS
A
70
120
6
B
30
125
5
TOTAL
100
Media Global:
GRUPOS
.
A
70
120
8400
B
30
125
3750
TOTAL
100
12150
xg ∑ nni. x xg 12150 100 xg 121.5 Varianza Global:
GRUPOS
.
A
70
6
120
8400
B
30
5
125
3750
TOTAL
100
12150
x) ∑ ni. x ∑ n . (σ i i V(x)g n − n 3614400) 30(2515625) − (121,5) V(x)g 70(0(3614400) 100 V(x)g 37.95 V(x)g σ σ 6,16 σ̅ 100 CV 6,121,165 .100 5.06
Coeficiente de Variación:
20. Los salarios de una empresa son, en en promedio, S/500 con posterioridad, se incorporan incorporan a la empresa un grupo de obreros igual al 25% de los que estaban anteriormente. El nuevo grupo ingresa a la empresa con un salario medio igual al 60% de los antiguos. Dos meses más tarde, la empresa concede un aumento de salarios de S/ 30. Datos: Salario Promedio de n obreros:
=s/500
Salario Promedio n'=0.25n obreros incorporados
̅ 0.60 300
a). El promedio de salario del total de obreros.
500) 0.25(300) 460 ̅ ′ ̅ (500) 0. 0.25 25 30 30 → 30 460 460 30 490 490 b). Si el aumento hubiera sido del 20% de los salarios. ¿Cuál habría sido la media de los salarios así ajustados?
0.20 1.2̅ , 1.2(460) 460) 552 Hubiera sido S/ 552 la media de los salarios
21. Hallar el cuartil 3, percentil percentil 50, decir 2 de los datos del problema 2 77 84 90 90 96 96 98 100 110 Cuartil 3:
()4 3(9)4 6.75 7 98 Percentil 50:
100() 0(9) 5100 4.5 5 96 22. Halla la simetría y simetría estandarizada estandarizada del problema, 16 interpretar sus resultados.
23. Hallar la curtosis y la curtosis estandarizada del problema 17, interpretar interpretar sus resultados. 10, 12, 13, 15, 15, 16 Promedio:13.5 Desviación Estandar:
Curtosis:
Varianza:5.1
√5.1 2.2583 ̅ ∑ ) ( − ∝ ∗∗
⋯ . (16 − 13.5) ( ) 10−13.5) 10−13.5 ∝ 6∗(2.2583) 375 ∝ 204. 156.055 ∝ 1.31
