IES Vega de Toranzo Hoja de repaso de sucesiones.
Curso 3º ESO
1. Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones: 2 a.1) an = 2n – 1 b = 2, b2 = 3 a.2) 1 bn = bn − 2 + bn −1 2. Halla el término general de las siguientes sucesiones: a) 1, 4, 9, 16, ... b) 3, 6, 9, 12, ... c) 2, 5, 10, 17, ... d) 2, 4, 6, 8, ...
Solución: ( an ) = 1, 7, 17, 31, 49,...
(bn ) = 2,
3, 5, 8, 13,...
Solución: 2 an=n bn=3n 2 cn=n +1 dn=2n
3. ¿Cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones? ¿Aritmética o geométrica? Halla su diferencia o su razón. a) (an) = −3, 2, 7, 12, ........ d) (dn) = 11, 4, −3, −10, ......... b) (bn) = 8, 16, 32, 64, ...... e) (en) = 1, −2, 4, −8, 16, ........ c) (cn) = 2, 6, 12, 20, 30, ...... f) (fn) = 3, 3, 3, 3, 3, ............. Resolución: (an) es una progresión aritmética de diferencia: d = 2−(−3) = 5; d = 7−2 = 5 → d=5 16 32 (bn) es una progresión geométrica de razón: r = = 2 ;r = = 2 → r =2 8 16 (cn) no es progresión (dn) es una progresión aritmética de diferencia: d = 4 − 11 = −7; d = −3 −4 = −7 → d = −7 −2 4 = −2 ; r = = −2 → r = −2 (en) es una progresión geométrica de razón: r = 1 −2 (fn) es una progresión constante 4. Halla el término general de la progresión aritmética: 6, 4, 2, 0, …. Resolución: (an) es una progresión aritmética de diferencia: d = 4− 6 = −2; d = 2 −4 = −2 → d = −2 an = a1 + (n −1).d → an = 6 + (n −1).( −2) = 6 −2n +2 → an = 8 −2n 5. Halla la diferencia y el término general de la progresión aritmética: 25, 20, 15, 10, ... Resolución: (an) es una progresión aritmética de diferencia: d = 20− 25 = −5; d = 15 − 20 = −5 → d = −5 an = a1 + (n −1).d → an = 25 + (n −1).( −5) = 25 − 5n + 5 → an = 30 − 5n 6. Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y el quinto 17. Resolución: aq − ap 17 − 8 9 d= = = =3 q−p 5−2 3 7. Halla la suma de los 12 primeros términos de la sucesión: 8,
15 ,7,... 2
Resolución:
15 15 − 16 1 −8 = =− 2 2 2 15 14 − 15 1 d=7− = =− 2 2 2 1 1 16 − 11 5 a12 = a1 + (12 − 1) ⋅ − = 8 + 11⋅ − = = 2 2 2 2
(an) es una progresión aritmética de diferencia: d =
a1 + an a + a12 ⋅n S12 = 1 ⋅ 12 2 2 5 8+ 2 ⋅ 12 = 8 + 2,5 ⋅ 12 = 10,5 ⋅ 12 = 63 = 2 2 2
Sn =
S12
8. Halla la suma de los 23 primeros términos de la progresión aritmética: 6,
19 20 , ,... 3 3
Resolución:
an = 6 + ( n − 1) ⋅
an = a1 + (n −1)·d
S23
a + a23 = 1 ⋅ 23 = 2
1 18 + n − 1 n + 17 23 + 17 40 = → an = → a23 = = 3 3 3 3 3
40 3 ⋅ 23 = 58 ⋅ 23 = 1334 → S = 667 23 2 6 6 3
6+
9. Calcula los ángulos de un cuadrilátero que están en progresión aritmética de diferencia 20. Resolución: d = 20 Datos n = 4 S4 = 360º an = a1 + (n −1)·d a4= a1 +(4 −1)·20 = a1 + 60 a1 + a4 a + a1 + 60 360 ⋅ 2 S4 = ⋅4 → 360 = 1 ⋅4 → = 2a1 + 60 → 2a1 + 60 = 180 → 2a1 = 120→ 2 2 4 a3 = 100º → a4 = 120º a2 = 60º+20º = 80º→
a1 = 60º
10. ¿Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética: 7, 10, 13, ..., para obtener como resultado 282? Resolución: a + an 7 + 3n + 4 an = a1 + ( n − 1) ⋅ d → an = 7 + ( n − 1) ⋅ 3 → an = 3n + 4 Sn = 1 ⋅ n → 282 = ⋅ n → 564 = ( 3n + 11) ⋅ n 2 2
3n2 + 11n − 564 = 0 → n =
−b ± b2 − 4ac −11 ± 121 + 6768 −11 ± 83 = = → n = 12 2a 6 6
11. Halla el término general de la progresión geométrica: a) 5, 10, 20, 40, ... b) 5, 1, 1/5, ... c) 4, 2, 1, ... Resolución: 10 20 a) r = r=2 =2 r= =2 5 10 1 1 1 r = 0,2 b) r = = 0,2 r = : 1 = = 0,2 5 5 5 2 1 c) r = = 0,5 r = = 0,5 r = 0,5 4 2 12. Halla el primer término y la razón de una progresión geométrica, sabiendo que el segundo término vale 9 y el quinto 243. Resolución: aq a a 243 3 9 r = q −p = 5−2 5 = 3 = 27 r=3 a2 = a1 ·r a1 = 2 = a1 = 3 ap a2 9 r 3 13. De una progresión geométrica se sabe que el segundo término vale 6 y el tercero vale 2. Se pide: a) ¿Cuál es la razón de la progresión? b) ¿Cuál es el primer término? c) ¿Cuál será el quinto término? Resolución: a a a 2 1 1 a) r = 3 = → r = b) r = 2 → a1 = 2 → a1 = 6 : → a1 = 18 a2 6 3 a1 r 3
1 c) an = a1 ⋅ r n −1 → a5 = 18 ⋅ 3
5 −1
= 18 ⋅
1 18 2 = → a5 = 81 81 9
