Matemática
Tema: 6
TRABAJOS ACADÉMICOS RELACIONES BINARIAS Y RELACIONES REL ACIONES DE VARIABLE REAL
Una Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo con junto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos.
Entender los conceptos de Relación y de Función es de suma importancia en Matemática. Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”. Por ejemplos: En una tienda co-
mercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio; en la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la la guía le corresponde un número. número. En muchas situaciones situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede depender del valor de una o más cantidades; la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores. Con frecuencia tales relaciones pueden representarse mediante funciones. En este tema estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en conjuntos es la teoría de relaciones relaciones binarias. Para poder introducir el concepto de relación binaria necesitamos precisar lo que significa un par ordenado de objetos y definir el producto cartesiano de dos conjuntos. 1
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1.1. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Sean los conjuntos A = {Miguel, Fernando, María} y R = {Administración, Ing. industrial, Psicología}; y la regla de correspondencia: “……...es estudiante de la carrera profesional……..”; establecer mediante pares ordenados y un esque ma los conjun-
tos mencionados. Mediante pares ordenados: R = {(Miguel, Administración), (Fernando, Ing. industrial), (María, Psicología)} Esquema: A
R
Miguel
.
.
.
Fernando .
Administración
.
María
Ing. industrial .
1.2.
FUNDAMENTOS TEORICOS:
1.3.
CONJUNTOS Y PRODUCTO DE CONJUNTOS
Psicología
1.3.1. CONJUNTOS: Un conjunto es una colección de objetos, y está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no a él. Usualmente, los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, etc. Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto. Usualmente se representan con una letra minúscula: a, b, etc. Para indicar que un elemento x pertenece a un c onjunto A, escribimos x Є A (se lee “x pertenece a A” o bien “x es un elemento de A” ). La negación de x Є A se escribe x
A (y se lee “x no pertenece a A”).
Dos conjuntos especiales son:
El conjunto universal, que representaremos con la letra U, es el con junto de todas las cosas sobre las que estemos tratando.
El conjunto vacío, que se denota , es el conjunto que no tiene elementos. 2
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1.3.2. PRODUCTO DE CONJUNTOS: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, el producto de A por B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b), es decir: A B ( x, y) / x A y B
Propiedades
A B B A, si A B A A A B A B
Sabemos que un conjunto está determinado por sus elementos; esto es, {x; y} = {y; x} y que el orden en el cual los elementos aparecen no hace diferencia. En ocasiones, deseamos distinguir cuando los mismos elementos están puestos en orden diferente. Para hacer esto introducimos el concepto de p ar ordenado. Es posible realizar lo anterior en términos de conjuntos, sin embargo esta definición no es muy útil, de manera que consideraremos un par ordenado como un término indefinido. La notación será estándar: (x; y) donde X es el primer elemento y Y es el segundo elemento. 1.4.
PAR ORDENADO: En matemática la relación entre dos elementos de un solo conjunto o de dos con juntos diferentes, es muy importante, del cual se deducen los conceptos de: relaciones, funciones y operaciones binarias. Dado dos conjuntos A y B, definimos el PAR ORDENADO DE COMPONENTES x y y , al conjunto
( x, y) x, x, y/ x A
y B
Donde X : se llama la primera componente y Y la segunda componente. Ejemplo: Si se cumple que (3x – 5; 2y + 1) = (7 – x; 19 – y), determina el valor de la expresión E = x 2 + x.y + y2. SOLUCIÓN: Para que se cumpla la igualdad de pares ordenados las componentes correspondientes deben ser iguales.
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Igualando las primeras componentes: 3x – 5 = 7 – x ------> 3x + x = 7 + 5 4x = 12 ---> x = 3 Igualando las segundas componentes: 2 y + 1 = 19 – y ----> 2y + y = 19 – 1 3y = 18 ---> y = 6 Reemplazando: E = x 2 + x.y + y2 E = 32 + 3(6) + 62 E = 9 + 18 + 36 1.5.
E = 63
PRODUCTO CARTESIANO. Si A
RyB
R entonces A x B toma el nombre de PRODUCTO CARTESIANO
de A por B. Por lo tanto A B ( x, y) / x A y B
El plano cartesiano a) RxR=R2 = {(x, y)/ x Є R
y Є R} es el PLANO CARTESIANO en el que X : Es el eje de la abscisa Y : Es el eje de las ordenadas Los ejes X e Y se interceptan perpendicularmente en (0,0) que
Y
( x, y) (0,0)
b) RxRxR=R2= {(x, y, z)/ X є R
X
es el origen de coordenadas
y z Є R } es el ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
C) RxRxR……x R=Rn= {(x1, x2, x3,…, xn)/ X є R} es el espacio tridimensional. Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 2, 3} y B= {4, 5, 6} se tiene: A x B= {(1, 4) ;(1, 5) ;(1, 6) ;(2, 4) ;(2, 5) ;(2, 6) ;(3, 4) ;(3, 5) ;(3, 6)} El producto cartesiano A x B no es igual al producto cartesiano B x A (no es conmutativo) Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal. 4
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Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama de árbol tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los del conjunto B.
1.5.1. Propiedades del Producto Cartesiano
El producto cartesiano no es conmutativo: A x B ≠ B x A
Para dos conjuntos finitos, el número de elementos de su producto carte-
siano es igual al producto de los números de elementos de cada conjunto. n(A x B) = n(A) x n(B) En el ejemplo, se tiene n(A) = 3 y n(B) = 2 n(A x B) = 3 x 2 = 6
El producto cartesiano de un conjunto con el conjunto vacío es el conjunto
vacío: A x = x A =
El producto cartesiano es distributivo respecto a la intersección, unión y di-
ferencia: A x (B C) = (A x B)
(A
x C)
A x (B C) = (A x B)
(A
x C)
A x (B – C) = (A x B) – (A x C)
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1.6.
RELACIÓN BINARIA Dados dos conjuntos A y B, se denomina relación binaria de A en B, o entre lo elementos del conjunto A y B, a cualquier subconjunto de su producto cartesiano A x B. R: A
B
R
AxB
R = {(a, b) A x B/ p(x, y)} Toda relación binaria consta de un conjunto de partida (A), de un conjunto de llegada (B) y de algún tipo de enunciado que es cumplido por los pares que forman la relación, es decir, es verdadero para los pares de la relación y falso para los p ares que no forman parte de la relación. Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {x N/ 0 < x2 < 25} y B = {x N/ 4 < 2x – 4 < 14}. Determina: El producto cartesiano A x B R1 = {(x, y) A x B/ x + y < 8} R2 = {(x, y) A x B/ y – x = 4} SOLUCIÓN: A = {x N/ 0 < x2 < 25} A = {1, 2, 3, 4} B = {x N/ 4 < 2x – 4 < 14} B = {5, 6, 7, 8} A x B = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8),} R1 = {(x, y) A x B/ x + y < 8} R1 = {(1, 5), (1, 6), (2, 5)} A x B R2 = {(x, y) A x B/ y – x = 4} R2 = {(1, 5), (2, 6), (3, 7), (8, 4)} A x B 1.6.1. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN Sea R una relación de A en B; es decir, RC AXB. Se llama DOMINIO DE UNA RELACIÓN R al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R. Y se llama RANGO DE LA RELACION R al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de R. Dom (R) = {x/ (x, y) Є R}
A
Ran (R) = {y/ (x, y) Є R} B
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En toda relación, el dominio es un subconjunto del conjunto de partida y el rango es un subconjunto del conjunto de llegada: Ejemplo: Sea R= {(1, 1), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 3)}, entonces: Dom (R) = {1, 2, 3, 4,5} Ran (R) = {1, 2,3} Ejemplo: Dados los conjuntos: A= {1, 2, 3} y B= {2, 4, 6}, se definen las relaciones R1= {x/ (x, y) Є AxB/ x + y = 7}, R2= {x/ (x, y) Є A xB/ y = 6}, Hallar la suma S de todos los elementos de Dom (R 1-R2) U Ran (R1-R2) SOLUCION: R1= {(1, 6), (3, 4), (5, 2)}, R2 = {(1, 6), (3, 6), (5, 6)}, R 1-R2= {(3, 4), (5, 2)}, Dom (R1-R2) = {3, 5}, Ran (R1-R2) = {2, 4}. Luego: S= 3+5+2+4=14 1.6.2. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS Las propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son: Reflexiva, Simétrica, Antisimétrica, Transitiva RESUMEN:
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1.7.
RELACIÓN INVERSA Se llama relación inversa a la relación que resulta de cambiar el orden de los con juntos A x B por B x A La relación inversa la designaremos por R -1 Ejemplo: Sea R la relación definida por: G = {(a, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 5)} La relación inversa G -1 será: G-1= {(1, a), (2, a), (3, b), (5, c)}
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Carreño J. CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES BINARIAS, Departamento de Matemática Aplicada Escuela Universitaria de Informática Universidad Politécnica de Madrid Recuperado de es.scribd.com/doc/79917095/Relaciones-Binarias www.eui.upm.es/~jjcc/.../material/Imprimir_Tema_I_ALG_MD.pdf Colegio Nacional de Matemáticas (CONAMAT) (2008). Matemáticas Simplificadas. Primera edición. Pearson Prentice Hall – México Espinoza R. (2006) Matemática Básica I. Editorial J.J. Perú.
Figueroa, R. (2005). Matemática Básica1. (Sétima edición). Lima: editorial América. Leithold Louis. (1989). Matemáticas Previas al Cálculo. Primera edición. Harla. México. Venero, B. A. (1995). Matemática Básica. Capitulo 10 (pp. 288-297). Perú: Lima. Ediciones Gemar.
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