Par ordenado: Llamaremos par ordenado a un ente matemático que consiste de un par de de elementos que están están ordenados. ordenados.
a es la primera componente y b es la segunda componente . Observación:
,
,
( a , b ) = ( c, d ) ⇒ a = c ∧ b = d
Par ordenado: Llamaremos par ordenado a un ente matemático que consiste de un par de de elementos que están están ordenados. ordenados.
a es la primera componente y b es la segunda componente . Observación:
,
,
( a , b ) = ( c, d ) ⇒ a = c ∧ b = d
Producto Cartesiano Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío.
×
B = {( a, b) / a ∈ A
∧
b∈ B
Ejemplos: Sean A ={1,2,3} y B={3,4}, hallar a) A×B b) B×A c) A×A
Solución
A × B = {(1, 3) , (1, 4 ) , ( 2, 3) , ( 2, 4 ) , ( 3, 3) , ( 3, 4)
Propiedades 1. En general A×B ≠ B×A. 2.
× ( B ∪ C) = (
A× B ) ∪ ( A × C )
× ( B ∩ C) = (
A× B ) ∩ ( A × C )
3. Si
⊂
B y D ⊂ E ⇒ A× D ⊂ B × E ⊂
4.
Nota:
×( B−
Si
×
× A ⊂
B ⊂ B× B A× B
C ) = ( A× B) − ( A× C) =
ℝ entonces
n A n = A× A × ... ×A= ℝ = ℝ × × ... × ℝ ℝ n veces
n veces
R es una relación(binaria) de A en B ⇔
R ⊂ A× B;
A ≠ φ , B ≠ φ
Dados los conjuntos:
A= { x∈ ℕ / . x2 − 4 = 0
B= { x∈ ℝ / .
Hallar todas las relaciones de A en B
x− 4 = 3
Solución:
Para A:
x2 − 4 = 0 ⇔ x= 2 ∨ x= −2
x ∈ ℕ ⇒ pero A ={ Para B :
}
− x 4 = 3⇔{ − x4=3 ∨ ⇔
x = 7 ∨ x = 1
como x ∈ ℝ ⇒ B = {1,7}
Luego A × B = {( 2,1) , ( 2,7 )
2 − x 4 = −3
Ahora como la relación R es un subconjunto cualquiera de A×B, tendremos que todas las relaciones R de A en B son:
R1
=
{( 2,1)
R2
=
{( 2,7 )}
R3
=
{( 2,1) , ( 2,7 )}
R4 = φ
Observaciones: 1. A×B tiene
2
# ( A× B )
elementos.
2. Si un elemento (x,y) pertenece a una relación R, entonces lo simbolizaremos
( x, y) ∈ R
⇔
xR y ⇔ y = R ( x)
3. Si el conjunto de partida A fuese igual al conjunto de llegada B, entonces decimos que R es una relación de A en A o simplemente R es una relación en A.
Dominio y Rango de una Relación Dominio de R: Llamaremos dominio de una relación R al conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados de R.
Dom ( R ) = { x /
( x, y) ∈ R}
ango e : Llamaremos rango de una relación R al conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados de R.
Rang ( R ) = { y /
( x, y) ∈ R
Relación inversa Toda relación R de A en B tiene una relación inversa (recíproca) de B a A, que se define por −1
=
{( b, a ) / ( a, b ) ∈ R} −1
Es decir, la relación inversa consta de los pares ordenados que al ser invertidos, es decir, permutados, pertenecen a R.
Ejemplo:
Sean A={1,2,3} y B= {a, b} entonces
=
{(1, a ) , (1, b ) , (3, a )
La relación inversa es
R−1
=
{( a,1) , ( b,1) , ( a,3)}
Propiedades Dadas las relaciones
1).
(
1∪
R2 )
2).
(
1∩
R2 )
3).
( R1 − R2 )
−1
−1
−1
1
y
=
R1−1 ∪ R2−1
=
R1−1 ∩ R2−1
=
R1−1 − R2−1
2
de A en B, decimos que:
Relación reflexiva Sea R una relación binaria R en A, (A ≠ ∅).
Definición: Diremos que R es reflexiva si ∀a∈A, a R a ⇔ (a,a)∈R
Ejemplo: 1) En
ℕ
la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y”
es reflexiva ya que ∀x∈
ℕ,
x R x
porque x divide a x.
2) En ℕ la relación R definida por: “a R b
⇔
a es el doble de b”.
no es reflexiva ya que (1, 1) ∉R puesto que 1 no es el doble de 1
Relación reflexiva
Representación Cartesiana
Si la relación R es reflexiva entonces la diagonal pertenece a la relación.
A
A Representación Sagital:
A
Si la relación R es reflexiva entonces todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle).
Relación simétrica Definición: Diremos que R es simétrica si ∀ a, b ∈A: a R b
⇒
b R a
Ejemplo: 1) En
la relación R definida por: “a R b
es simétrica ya que si a R b
2) En
ℕ
⇔
a – b es múltiplo de 2”.
⇒
hay p∈ ℤ tal que a – b = 2p
⇒
b – a = 2(-p) con -p ∈
ℤ
⇒
b R a
la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y”
no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ∉R.
relación simétrica
Representación Cartesiana Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la diagonal prncpa.
A
A
Representación Sagital:
A
Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una flecha la tiene en las dos direcciones
Relación anti simétrica Definición: Diremos que R es antisimétrica si ∀ a, b ∈A: [a R b ∧ b R a] ⇒ a = b Otra manera de expresarlo: Si a≠b ⇒ [ (a,b) ∉ R ∨ (b,a) ∉ R ]
Ejemplo: 1) En
ℕ
la relación R definida por: “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétrica
Ya que si a R b y b R a entonces existen n, m ∈ b = an y a = bm. Combinándolas, n=m=1
⇒
ℕ
a = bm = (a.n).m
tales que: ⇒
n.m = 1
⇒
a = b.
2) En ℤ la relación R definida por: “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. no es antisimétrica ya que 2R 4 y 4R 2, pero 2≠4
Relación antisimétrica
Representación Cartesiana
A Si la relación R es antisimétrica pueden existir pares por encima o por debajo de la diagonal pero ningún par tiene reflejo respecto a la diagonal pr nc pa excep o a agona m sma.
Representación Sagital:
A
La relación R es antisimétrica si para cada par de elementos distintos relacionados la flecha está solo en un sentido
Relación Tansitiva Definición: Diremos que R es transitiva si ∀ a, b, c ∈A: [a R b ∧ b R c] ⇒ a R c
Ejemplo: “
”
es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ∈ ℕ tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ∈ ℕ ⇒
b R c.
2) En
ℕ
la relación R definida por: “a R b
⇔
a es el doble de b”.
no es transitiva ya que (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)∉ R
Relación Transitiva
Representación Sagital: La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino.
A
Cuadro Resumen
Completa la siguiente tabla: Propiedad R
Se satisface sii
Reflexiva
∀a∈A a R a
Simétrica
∀ a, b ∈A:
a R b ⇒ b R a Antisimétrica
∀ a, b ∈A:
[a R b ∧ b R a] ⇒ a = b Transitiva
∀ a, b, c ∈A:
[a R b ∧ b R c] ⇒ a R c
No se satisface sii
Cuadro Resumen
Verifique: Propiedad R Reflexiva
m tr ca
Antisimétrica
Transitiva
Se satisface sii
No se satisface sii
∀a∈A a R a
∃ a∈A (a,a)∉R
∀ a, b ∈A:
∃ a, b ∈A:
a R b ⇒ b R a
(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∉ R
∀ a, b ∈A:
∃ a, b ∈A:
[a R b ∧ b R a] ⇒ a = b
(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ∧ a ≠ b
∀ a, b, c ∈A:
∃ a, b, c ∈A:
[a R b ∧ b R c] ⇒ a R c
(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ∧ (a, c) ∉ R
Ejercicios
Ejercicio 1: Sea A = {1, 2, 3, 4}. i) Represente gráficamente las relaciones (b) y (d) en forma cartesiana y sagital. e erm ne as prop e a es que sa s acen as s gu en es re ac ones en verifíquelas (demuéstrelas) a)
R = { (1,1) , (2,2) , (3,3)}.
b) c) d) e)
R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4) , (1,2) , (1,4) , (2,1), (3,2) , (4,3) }. R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4)}. R = { (1,1) , (2,2) , (3,3), (1,2), (3,2) , (2,3) }. R = { (1,1) , (1,2) , (1,4) , (2,3), (4,3) }.
y
Ejercicios
Ejercicio 2: Sea A = {1, 2, 3, 4}. Construya tres relaciones binarias en A con las siguientes propiedades: i) Reflexiva, simétrica y no transitiva e ex va, no s m r ca y rans va iii) No reflexiva, simétrica y transitiva
Ejercicios
Ejercicio 3: Sea A = {1, 2, 3, 4}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:
(a) 1 3
2
4
(b)
A
1 3
2
A
4
a) Exprese las relaciones anteriores por extensión b) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y pruébelas!
Ejercicios
Ejercicio 4: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Considere las siguientes relaciones binarias en A:
(c)
(d)
2
1
5
1
2
A
A
3 4
3
5 4
i) Determine las propiedades que satisfacen las relaciones en A anteriores y pruébelas!
Ejercicios
Ejercicio 5: Definimos en ℜ, el conjunto de los números reales, la relación R :
x R y
⇔
x – y ∈ Ζ Ζ
Determina las propiedades que cumple R y demuestra, usando la e n c n, que e ec vamen e as ver ca
Tipos de relaciones
Relación de equivalencia Diremos que una relación binaria sobre A, es una relación de equivalencia si satisface las tres propiedades:
R es reflexiva
R es simétrica
R es transitiva
Ejemplos: 1)
En Z la relación R definida por: a R b
2)
Dado un conjunto D⊆ U , la relación: A R B
⇔
⇔
a – b es múltiplo de 3.
A ∩ D = B ∩D
Demuestra que estas son relaciones de equivalencia
Tipos de relaciones Sea
R ⊂
2
Relación de orden R es una relación de orden en A, si y sólo si
R es reflexiva
a ∈ A ⇒ ( a , a ) ∈ R
R es antisimétrica
{( a, b ) ∈ R
R es transitiva
∧
,
( b, a ) ∈ R} ⇒ a = b ,
,
Relación de orden parcial Sea R una relación de orden en A
R es de orden parcial si y sólo si (existen pares de elementos incomparables)
∃a , ∃ b / ( a , b ) ∉ R ∧ ( b , a ) ∉ R
Relación de orden total Sea R una relación de orden en A
R es de orden total si
a ≠ b ⇒ {( a , b ) ∈ R ∨
( b, a ) ∈ R}
Ejemplo: En
ℕ
definimos la relación de divisor, es decir
n a
⇔ ∃k ∈ ℕ /
a = nk
Esta relación es de orden y parcial . En efecto: i) Reflexiva: n s m r ca:
a ∈ ℕ : a = a.1 ⇒ a a
ean a
∧
a
⇒ ∃n k1 y k2 ∈ ℕ / b = ak1
∧
a = bk2
⇒ ab = ( ak1 ) . ( bk2 ) ⇒ 1 = k1k2 ⇒ k1 = 1 = k2 luego a = b
iii) Transitiva: Sean
{a b
∧
b c
⇒ {b = ak1
∧
c = bk 2 , k1 , k 2 ∈ ℕ}
entonces b.c = ak1.bk2 ⇒ c = a ( k1.k2 )
⇒ c = ak k = k1.k 2 ∈ ℕ
⇒a c También es una relación de orden parcial, pues
∃
2 y ∃ 3:
