Educación Básica
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Autoría guía de doc docenc encia ia
El libro Ingenio Matemático de Octavo grado, Guía de docenc docencia ia para la Educación Básica ha sido elaborado según el plan de la Empresa Edit orial y bajo b ajo su responsa responsabili bilidad dad por las siguientes personas del Departamento de Investigación Educativa de EDITORIAL VOLUNTAD S. A.
José Alberto Gordillo Ardila Licenciado en Ciencias de la educación especialista en matemáticas Especialización en Educación Educación mat emát ica
Autoría soluc olucionario ionario Carolina Rodríguez Solano Licenciada en matemáticas
Autoría Pruebas Saber Flor Patricia Pedraza Daza Psicóloga Especialis pecialistt a en Edu cación M atem át ica con énfasis en Básica Secundaria
ISBN Volumen 958-02-2393-9 ISBN IS BN Col Col ecc ecció ió n 958-02-2347-5
Coordinac oordinación ión de equidad de género y adecuación a la diversidad cultural
© EDITOR EDITORIAL IAL VOLUNTAD VOLUNTAD S. S. A. 2006 Derechos reservados. reservados. Es Es propi edad de l a Empresa Editorial. Esta publicación no puede ser reproducida en todo ni en parte, ni archivada archivada o trasmiti trasmiti da por ni ngún medio electr elec tr ónico, mecánico, mecánico, de g rabac rabación ión , de fo to copi a, de microfi lmación o en otra fo rma, sin sin perm is iso o previo d e la Empresa Editorial. Depósit Depós it o legal
Isabel Hernández Ayala
Coordinación de revisión pedagógica Mauricio Villegas Rodríguez
Diagramación Daniel Pirabán Rincón
Coordinación de diagramación
Primera edición, 2006
Rolando Rodríguez González
EDITORIAL VOLUNTAD S. A. Carrera 7a. No. 24-89 Piso 24 Teléfono 2410444 - Fax 2410439 Bogotá, D. C. - Colombia.
Diseño de carátula Gonzalo Gonza lo Oc Ochoa hoa Martínez M artínez
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Mauricio Villegas Rodríguez
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Gerenc Ger encia ia editorial
Impreso en Colo mbia. Impreso Printed in Colombia.
Carlos William Gómez Rosero
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Estimado docente ás que un libro de matemáticas para seguir el plan de estudio de un nivel determinado en la enseñanza de esta área, Ingenio matemático es un programa integral para el aprendizaje de las matemáticas que consta de una guía docente, un manual dirigido al estudiante que incluye además de la explicación de cada uno de los conceptos y procesos, las actividades de razonamiento y los ejercicios necesarios para ofrecer la ejercitación ejercitación suficiente, una cartilla con talleres para superar las principales principales dificultades que se han detectado en la realización de las pruebas saber, realizadas a lo largo de los últimos años.
M
nivel internacional se han realizada para estudiantes de más de cincuenta países. Estas pruebas, además de mostrar un currículo internacional le permitirá al docente comparar el rendimiento de sus estudiantes en cada uno de los tópicos de las matemáticas con los estudiantes que cursan el mismo año en los diferentes países.
En esta guía se presentan diferentes aspectos para enriquecer y hacer más clara la labor docente; ofrecemos una semblanza desde el punto de vista cognitivo, del desarrollo físico, emocional y afectivo tiene del niño o niña, que por lo general, se encuentra en la edad para cada uno de los cursos. Junto a esta semblanza, se analizan algunos de los elementos que sobre dificultades de aprendizaje en matemáticas se presenta en cada uno de los niveles.
En los últimos diez años se ha estado evaluando en Colombia los estudiantes en matemáticas, lectura, ciencias y sociales. Sobre estas evaluaciones se ha ido produciendo una buena cantidad de investigaciones sobre las principales problemáticas que tienen los estudiantes en el aprendizaje de cada una de las áreas. En matemática presentamos presen tamos las principales problemáproblemáticas en el aprendizaje de esta área e incorporamos a nivel de sugerencia las estrategias que se pueden seguir para superarlas.
En cada uno de los cursos encontrará el planeador para el trabajo de aula en el cual se presentan los estándares, desempeños, algunas sugerencias para la docencia, actividades complementarias y los criterios que se deben tener en cuanto para realizar la evaluación de las competencias. En los cursos tercero, quinto séptimo y noveno de esta guía encontrará las pruebas saber con algunos de sus análisis análisis más importantes important es sobre sus resultados. re sultados. En los cursos cuarto, y octavo se presentan las pruebas que a
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Contenido PLANEADOR ...................................................................................5 ¿Qué es la actividad matemática?.............................................................................17 matemática? .............................................................................17 Didáctitica Didác ca de las l as matemáti matemáti ca cass de octavo grado grado........................................................... 18 El álgebra álgebra.. Un nuev nuevo o lenguaje lenguaje.. .................................................................................. 18 Productos notables y f ac actori toriza zación. ción. ................................................................. ........................................................................... .......... 21 Didáctitica Didác ca de la geom geometría. etría........................................................... ......................................................................................... ............................... 21 Dificultades y problemas en el aprendizaje de las matemáticas. ...............................22 Las mejores prácticas para enseñar matemáticas. .....................................................24 Factores que int ervienen en el proces proceso o de res r esolución olución de problema problemass matemáticos matemáticos.......................................................... ....................................................................................... ............................... 29
PRUEBATIMSSDE1 E1999. ...........................................................................................34 Ampliación en la red..................................................................................................47 red..................................................................................................47 Solucionario.......................................................... .............................................................................................................. ..................................................... 50
DELASP SPRUEBASS SSABERALAULA........................................................................68 Problematica. Tratamiento de la fracción en su interpretación como razón. ..............70 Problemática. El lenguaje algebraico. algebraico. ........................................................................ 72 Problemática. La noción de función. Interpretación y análisis de f unc unciones iones reales. reales. ......................................................... ................................................................................................... .......................................... 73 Problemática. Conceptualización y aplicación en contexto de distancia, área superficial superficial y volumen.......................................................... ........................................................................................ ............................... 74 Problemática. (isometrías del plano) con diferentes formas geométricas. .................76 Problemática. Análi Análissis del con conce cepto pto de probabilidad. probabili dad................................................. 78
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PLANEADOR
Unidad uno
Pensamiento numérico y sistemas de numéricos Estándares 1. Utilizar núm eros reales en sus diferentes representaciones en diversos contextos. 2. Simplificar cálculos usando relaciones inversas entre operaciones. 3. Utilizar la notación científica para represen tar cantidades y me didas. 4. Iden tificar la potenciación y la radicación para represen tar situaciones matem áticas y no matemáticas.
Contenido s . o r s e e l m a ú n o n i s c o a L r o i c a r r i . s s o e r l e a m n ú n s o L s o r . e s e m l ú a n e s r o L
Competencias matemáticas Desempeños matemáticos Reconocer que la razón entre dos Expresar la razón entre dos longitulongitudes produce una especie de des como un número racional. números llamados los números racionales. Reconocer que existen razones entre longitudes que son inconmensurables y producen los números irracionales. Comprender que un número irracional sólo se puede escribir en forma decimal de manera aproximada.
Enriquecimiento y superación Antes de iniciar el proceso de enseñanza se debe disponer de una lista con las dificultades más frecuentes de los estudiantes.
Encontrar expresiones irracionales en forma decimal de magnitudes inconmensurables. Encontrar un método para expresar raíces cuadradas en forma decimal.
Buscar en la prensa diaria y en los diferentes ámbitos escolares y extraescolares aplicaciones al concepto estudiado. Mantener la motivación de los estudiantes previendo las posibles dificultades que sobre este tema se presentan. Comprender que los números reales Determinar los subconjuntos de los Buscar formas más variadas de represe obtienen al realizar la unión entre números reales. sentar el mismo concepto para lograr los números racionales y los irracioun aprendizaje más eficaz. nales.
- s o . a l i c n s e n e l e t n a o ó e r P i c
Comprender el concepto de potencia Aplicar las propiedades de la poten- Iniciar los procesos de abstracción en y utilizar la definición para deducir las ciación para simplificar expresiones álgebra a partir de las propiedades propiedades de la potenciación. matemáticas. de la potenciación en los números reales.
. n a ó c i fi c í a t t n o e N i c
Expresar números “grandes” y “pe- Realizar operaciones con números Mostrar ejemplos prácticos que dequeños” en notación científica. escritos en notación científica. terminen la utilidad.
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Unidad dos
Pensamiento espacial y sistemas geométricos Geometría y métrica Estándares 1. Hacer conjeturas y verificar propiedades de congruencias y sem ejanza entre fi guras bidimen sionales y en tre objetos tridimensionales en la solución de problemas.
3. Aplicar y justificar criterios de congruen cia y sem ejan za entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.
2. Reconocer y contrastar propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos. Pitágoras y Thales.
4. Usar representaciones geométricas para resolver y formular problem as en la matemática y en otras disciplinas.
Contenido e l d e n n . ó i e o c s n a a a r l l s u p a r g T fi e l d e . n n e o ó i s n a c a l a p t r u o g R fi
e l d e . n n e o ó i s n x a l a e r fl u p e g R fi . s o d i l ó s s o L . e r y e t t n s n e l a a s e c l o l a e u r s g a a n p n Á u
Competencias Desempeños matemáticas matemáticos Trasladar figuras geométri- Encontrar la imagen de una cas cuando se encuentra figura geométrica cuando ligadas a un plano de coor- se aplica una traslación. denadas cartesianas.
Enriquecimiento y superación La geometría de las trans- Realizar una exposición con formaciones permite com- los trabajos realizados por prender el carácter dinámi- los estudiantes. co de la geometría.
Rotar figuras geométricas cuando se encuentran ligadas a un plano de coordenadas cartesianas.
Encontrar la imagen de una figura geométrica ligada a un plano de coordenadas cartesianas cuando se aplica una rotación.
Continuar con el proceso de la geometría de las transformaciones permite comprender el carácter dinámico de la geometría.
Reflejar figuras geométricas cuando se encuentran ligadas a un plano de coordenadas cartesianas.
Encontrar la imagen de una figura geométrica ligada a un plano de coordenadas cartesianas cuando se aplica una reflexión.
Continuar con el proce- Observar la reflexión de so de la geometría de las figuras geométricas colocatransformaciones permite da ante un espejo plano. comprender el carácter dinámico de la geometría.
Actividad docente
Verificar que los ángulos y la relación de proporcionalidad no se alteran al rotar una figura.
Reconocer los poliedros Construir sólidos a partir Mirar diferentes clases de Utilizar el plegado y el encomo una clase especial del desarrollo en el plano. sólidos y buscar cómo sería samblaje para construir de sólidos con caras forsu desarrollo en el plano. sólidos. madas por polígonos. Reconocer la clase de ángulos que se presenten cuando, entre dos paralelas, se traza una secante.
Hallar la medida de todos los ángulos que se forman al contar dos paralelas por una secante.
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Iniciar el proceso de pensamiento deductivo dando como válido el valor de uno de los ángulos y buscando el valor de los otros ángulos.
Buscar, en el entorno, la clase de ángulos estudiados y verificar que sí se cumple la relación de congruencia.
. a i c n e u r g n o C
. y s o s o r m e a r t g á l o i l r e d l a a u r C a p
. e i c fi r e p u s a n u e d a e r Á
s e l a h T e d a m e r o e T
s a r o g á t i P e d a m e r o e T
Comprender que, para que dos ángulos sean congruentes, no es necesario verificar la igualdad de sus seis elementos.
Los estudiantes deben llegar a concluir que no es necesario conocer los seis valores porque el triángulo queda completamente determinado conociendo tres de ellos. Dibujar paralelogramos cuan- Permitir que los estudiando se conocen los valores tes realicen los procesos mínimos que se requieren de de demostración sin aprensus elementos. der de memoria lo realizado por el docente.
Construir en cartulina triángulos cuando se formulan tres de los seis elementos.
Reconstruir las fórmulas para calcular el área de paralelogramos y cuadriláteros. Reconstruir las fórmulas para calcular el área de triángulos.
Aplicar la fórmula del área de paralelogramos y cuadriláteros en la solución de problemas. Encontrar el área de un triángulo cuando se dan las condiciones mínimas para su cálculo.
Elaborar un mapa conceptual que relacione y jerarquice los conceptos que se van a estudiar ayuda a comprender y a detectar dificultades de aprendizaje. Utilizar diferentes métodos para deducir la fórmula del área del triángulo.
Un estudiante indica a otro estudiante los pasos que debe seguir para resolver un ejercicio. Formular los ejercicios a manera de competición de tal forma que quien resuelva el ejercicio primero y correctamente, en voz alta, enuncie la forma como lo realizó.
Comprender el teorema de Tales y aplicarlo en la determinación de segmentos proporcionales. Comprender que, al trazar paralelas que corten a una secante y determinen en ella segmentos proporcionales, también se determinan en otro segmento.
Dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos aplicando el teorema de Tales. Dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos.
Analizar situaciones extremas de aplicación del teorema de Tales cuando las magnitudes son inconmensurables.
Buscar aplicaciones del teorema de Tales en el dibujo técnico y en el arte.
Reconocer el teorema de Pitágoras como una propiedad de todos los triángulos rectángulos.
Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar uno de los lados desconocidos de un triángulo rectángulo.
Reconocer las propiedades que cumplen los paralelogramos para determinar la medida de los ángulos y los lados.
Utilizar los criterios de congruencia de triángulos para construir triángulos congruentes.
En grupo, construir paralelogramos dando las condiciones mínimas. Luego, comparar en el grupo los paralelogramos construidos.
Busque en la realidad aplicaciones de estos teoreEl proceso de demostración mas. Considere aparatos permite mejorar el pensa- tecnológicos. miento deductivo en los estudiantes.
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La demostración del teore- Hacer lista de números pima de Pitágoras se puede tagóricos. realizar desde múltiples perspectivas. Es importante usar procedimientos algebraicos y geométricos.
Unidad tres
Sistemas variacionales y pensamiento algebraico Estándares 1. Identificar relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.
6. Analizar los procesos infin itos que subyacen en las notaciones decimales.
2. Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.
7. Interpretar los diferentes significados de la pendiente en situaciones de variación.
3. Usar procesos induct ivos y lenguaje algebraico para verificar conjeturas.
8. Interpretar la relación entre el parámetro de funciones con la familia de funciones que genera.
4. Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.
9. Analizar, en represen taciones gráficas cartesianas, los comportamientos de cambio de funciones polinómicas, racionales y exponenciales.
5. Identificar diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
Contenido o . s s u e l l a a r n e t ó i i l c s a o i c l i n e I d
Competencias Desempeños matemáticas matemáticos Comprender que las ma- Expresar y traducir enuntemáticas ofrecen un len- ciados dados en forma verguaje para interpretar las bal al lenguaje simbólico. relaciones cuantitativas.
Actividad docente La utilización de las letras en matemáticas tiene su antecedente en las fórmulas geométricas para cálculo de áreas y volúmenes.
Enriquecimiento y superación Jugar a traducir del lenguaje común al lenguaje algebraico adivinanzas de números.
. a a n c u i e a r d b o e c l g i r a é n m i u ó n s r e o r p l a x V e
Reconocer que el valor de una expresión con literales varía según se asignen valores a cada letra.
Determinar el valor numérico de una expresión con literales cuando se asigna cierto valor a cada literal.
Buscar problemas aritméticos pero formulados con expresiones algebraicas para que el estudiante realice la transferencia del tipo de simbolización aritmética a la simbolización algebraica.
Realizar tantos ejercicios como se requiera. Combinar con los aprendizajes previos de propiedades de la potenciación y propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.
- . x s e a c s i a a l r e b d e g n l ó i a c s a e c n o fi i i s s a e r l C p
Comprender cuándo una expresión matemática es un monomio y cuándo es un polinomio.
Identificar, en un término, el coeficiente, la parte literal el grado de cada variable y el grado.
Una de las principales dificultades para la comprensión del álgebra se presenta cuando se requiere traducir del lenguaje vernáculo al algebraico.
Realizar actividades de dictado de enunciados matemáticos y su correspondiente simbolización.
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Reconocer cuándo dos tér- Reducir, en una expresión Las dificultades que se preminos en una expresión al- algebraica, los términos sentan en la supresión de gebraica son semejantes. semejantes. paréntesis especialmente cuando están precedidos por signo negativo son muy recurrentes en los estudiantes, por lo tanto, se requiere prestar la mayor atención posible.
Actividades de buscar el error ayudan a comprender mejor los algoritmos algebraicos.
Comprender el algoritmo que se sigue para sumar expresiones algebraicas, especialmente polinomios. Comprender el algoritmo que se sigue para restar polinomios a partir del concepto de sustracción como adición del opuesto aditivo.
Buscar problemas aritméticos pero formulados con expresiones algebraicas para que el estudiante realice la transferencia del tipo de simbolización aritmética a la simbolización algebraica.
Realizar tantos ejercicios como se requiera. Combinar con los aprendizajes previos de supresión de paréntesis. Realizar tantos ejercicios como se requiera. Combinar con los aprendizajes previos de supresión de paréntesis.
i . a r n b ó e i g c a l a i c s n e e n t o o i s p a e r l p e x d e s e e d d a n d ó e i i c p a o c r i l P p . i t s l u a c M
Comprender el algoritmo Hallar el producto de dos Buscar problemas aritméque se sigue para multiplicar monomios. ticos pero formulados con un monomio por un binomio expresiones algebraicas a partir de las propiedades para que el estudiante de la potenciación y de la realice la transferencia del propiedad distributiva de la tipo de simbolización aritmultiplicación respecto de mética a la simbolización la adición. algebraica. Tener presentes las propiedades de la Comprender el algoritmo potenciación. que se sigue para multiplicar dos monomios a partir de las propiedades de la potenciación.
Realizar tantos ejercicios como se requiera. Combinar con los aprendizajes previos de propiedades de la potenciación.
- . o o i m n m u o n i e l d o n p ó n i c u a r c o i l p o p i i t l m u o M n
Comprender el algoritmo que se sigue para multiplicar dos monomios a partir de las propiedades de la potenciación.
Realizar tantos ejercicios como se requiera. Combinar con los aprendizajes previos de propiedades de la potenciación.
y s e r . n a s o c a i fi c c i l i a r p a r e m p i b o s e g l s l a a a l n s e ó e d i c n o s a i e c s d i e a l r p d p a x e i u e p s o r P . a r b e g l á l e n e s a v i t i d a s e n o i c a u t i S
Hallar la suma de dos o más polinomios. Hallar la diferencia de dos o polinomios.
Hallar el producto de dos monomios. Hallar el producto de un monomio por un polinomio.
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Buscar problemas aritméticos pero formulados con expresiones algebraicas para que el estudiante realice la transferencia del tipo de simbolización aritmética a la simbolización algebraica. Tener presente las propiedades de la potenciación.
. n s ó o i i c a m c o i n l i p l i t o l p u e d M
s e n o i . s s e r a p i c x a e r e b d e g n l ó i a s i v i D
. a c i t é t n i s n ó i s i v i D a l . a n ó n i ó i c a c i z c r u o d t c o r a t f n I r o t c . a n f o ú i m m o o c n i B
n u e . o d i o m d o a r n d i a b u C
Construir un algoritmo para Hallar el producto de dos Solicitar que, utilizando multiplicar dos polinomios. polinomios. diferente orden en los polinomios, se logre el mismo resultado. Aplicar siempre que sea necesario, la propiedad distributiva.
Formular ejercicios para ser resueltos en grupo. De esta forma los estudiantes hacen concientes los posibles errores que se pueden presentar.
Construir un algoritmo que permite dividir dos monomios a partir de las propiedades de la potenciación. Comprender el proceso que se sigue para dividir dos polinomios a partir del conocimiento de la propiedad distributiva.
Por parejas, mientras un estudiante resuelve un ejercicio, el otro anota la forma como el estudiante encara la solución. Luego se relata lo observado. Un estudiante indica a otro estudiante los pasos que debe seguir para resolver un ejercicio.
Aplicar el algoritmo para dividir dos monomios y calcular los cocientes. Dividir dos polinomios.
Antes de iniciar el proceso de enseñanza, se debe disponer de una lista con las dificultades más frecuentes de los estudiantes. Mostrar que un algoritmo resulta de un proceso de generalización de ciertos pasos que aplican propiedades ya conocidas.
Reconocer cuándo es po- Hallar el cociente aplican- Utilizando la división sintéti- Trabajando en voz alta y sible realizar una división do el algoritmo de una divi- ca, encontrar los factores de con un estudiante después sintética. sión sintética. una expresión algebraica. de otro, realizar operaciones en grupo.
Comprender el significado Factorizar un polinomio El proceso de factorización de la operación de factori- que tiene un término como implica un buen desarrollo zación. factor común. del pensamiento reversible. Es importante mantener el control sobre este proceso con ejemplos concretos.
Analizar en grupo si el resultado de factorizar un polinomio que tiene un término común es único.
Comprender el proceso para factorizar un polinomio que tiene un binomio como factor común.
Reconocer los términos semejantes en un polinomio y buscar formas de asociarlos como binomios.
Observar las posibles dificultades que se puede presentar en la solución de los ejercicios.
Formular ejercicios para resolver en grupo. De esta forma los estudiantes pueden observar diferentes estrategias para resolver los ejercicios.
Reconocer que el cuadrado de un binomio es un trinomio llamado cuadrado perfecto.
Hallar el cuadrado de un bi- El reconocimiento de la “fornomio a partir de multiplicar mula” para hallar el cuadrael binomio por sí mismo. do de un binomio se logra luego de generalizar el resultado de muchos ejercicios.
Por parejas, mientras un estudiante resuelve un ejercicio, el otro anota la forma como el estudiante encara la solución. Luego se relata lo observado.
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Comprender el proceso Reconocer los términos en Observar las posibles dipara factorizar trinomios un trinomio cuadrado per- ficultades que se pueden cuadrados perfectos. fecto y factotizarlo. presentar en la solución de los ejercicios.
Formular ejercicios para ser resueltos en grupo. De esta forma los estudiantes pueden observar diferentes estrategias para resolver los ejercicios.
Descubrir la regla que permite calcular el producto de la suma por la diferencia de un binomio a partir de la definición de potenciación y del cuadrado de un binomio.
Antes de iniciar el proceso de enseñanza, se debe disponer de una lista con las dificultades más frecuentes presentes en los estudiantes.
Formular ejercicios para resolver en grupo. De esta forma los estudiantes pueden observar diferentes estrategias para resolverlos.
Comprender el proceso Aplicar la regla para facto- Buscar, en la prensa diaria para factorizar diferencia rizar la diferencia de cua- y en los diferentes ámbitos de cuadrados perfectos. drados perfectos. escolares y extraescolares, aplicaciones al concepto estudiado.
Un estudiante indica a otro estudiante los pasos que debe seguir para resolver un ejercicio.
n . l s e a o n e u d i t g e e i d u o n o t q i c s m u o r d i é m t o r o n P i n u b
Descubrir la regla que permite calcular el producto de dos binomios que tienen un término común.
Permitir que los estudiantes consulten la información y la presenten al grupo en forma organizada.
Trabajando en grupo, los estudiantes se formulan ejercicios con grado de dificultad intermedio
. e a c d l + n e x ó i d b c s + a i o 2 z i r m x a o t o n m c i a r r o F t f
Comprender el proceso Aplicar la regla para facto- Observar las posibles difipara factorizar trinomio de rizar trinomio de la forma cultades que se puede prela forma x2+ bx + c. x2+ bx + c. sentar en la solución de los ejercicios.
Recordar las propiedades de la potenciación, especialmente el cociente de potencias de igual base.
. e a c d l + n e x ó i d b c s + a i o z 2 x i r m a o t o n a c i r m a t r F o f
Comprender el proceso Aplicar la regla para facto- Observar las posibles dipara factorizar trinomio de rizar trinomio de la forma ficultades que se pueden la forma ax2+ bx + c. ax2+ bx + c. presentar en la solución de los ejercicios.
Recordar las propiedades de la potenciación, especialmente el cociente de potencias de igual base.
s o e d d a r . n d s ó i a o c u t a c c e z s f i r o r e o t i p c m a o n F i r t s o i m o s n o i b d a e g d j u o t n c o u c d o r P - . n s o e r t c e e f i f d r e a p l e s o d d n a r ó i d c a a u z c i r e o t d c a a i F c
Aplicar la regla para calcular el producto de la suma por la diferencia de un binomio.
Aplicar la regla para calcular el producto de dos binomios que tienen un término común.
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o i m o n i b n u e d o b u C n u e o d i s m a o i n c i n b e t o P
s . s e t e n l b e i a c t o o C n
e d n . s ó a i o d c n a a a n t l e n p e l d r s e o e n o r e c p e e R s d . e n o s o i n a n c a l i a a p l e l s r E e t r a c . n ó i c n u f e d n ó i c o N
y . a a c s i t r n e é v n d i i n n ó ó i i c c n n u u f F
Descubrir la regla que permite calcular el cubo de un binomio a partir de la definición de potenciación y del cuadrado de un binomio.
Calcular el cubo de un binomio utilizando la regla algebraica o efectuando el producto iterativo.
Mantener la motivación de los estudiantes previendo las posibles dificultades que sobre este tema se presentan
Organizar los estudiantes en dos grupos para que alternativamente se formulen ejercicios y lleven cuenta de los principales errores presentes.
Encontrar patrones en el Aplicar la regla en el cál- Buscar formas de reprecálculo de las potencias de culo de las potencias de un sentar el mismo concepto un binomio. binomio. para lograr un aprendizaje más eficaz.
Dada una respuesta, formular un ejercicio cuya solución conduzca a dicha respuesta.
Reconocer patrones en las divisiones de cierta clase de expresiones algebraicas y generalizar una regla.
Aplicar las reglas de los cocientes notables en la ejecución de ciertas divisiones.
Permitir que los estudiantes consulten la información y la presente al grupo en forma organizada.
Intercambiar los ejercicios resueltos por un estudiante para que su compañero lo corrija.
Comprender los elementos de un plano cartesiano y ubicar los puntos cuando se dan las coordenadas.
Dibujar figuras geométricas o lugares geométricos en un plano de coordenadas cartesianas.
El inicio de la teoría de funciones parte de conceptos intuitivos que poco a poco se pueden ir formalizando.
Jugar a la batalla naval o realizar otra actividad lúdica que permita encontrar objetos siguiendo trayectorias en el plano cartesiano.
Comprender el concepto de Representar funciones en el función y reconocer cuándo plano cartesiano y concluir una relación es una función. sobre las características de una representación para que sea de una función.
Inicialmente se deben re- Utilizar el concepto de funpresentar en plano funcio- ción en actividades extranes sin preocuparnos de la matemáticas. formalización simbólica.
Identificar la función idén- Representar en el plano la El proceso de reversibilidad tica y la función inversa. función idéntica y la fun- ya está completamente deción inversa. sarrollado en los estudiantes de este nivel.
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Realizar actividades de relaciones inversas para mejorar los procesos de reversibilidad.
. a b + l e x d m n = ó i y c a n u m F r o f . y d a d d a l a d l u a i g u s g I e d
. l a e n i l n ó i c n u F
s . o s l o n r e e t s n e e n s o o i r c e a m u ú c E n e l b a . i r a r a t v o a e n d u s e o n d i n m ó r i é c t u t n i t e s u S . n s o e c l s a e n l o a i e c n a i l r s s t e e n n e o i i c c a fi u e c o E c
Analizar en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones de gráfica lineal.
Realizar la representación gráfica de una ecuación de la forma y = mx + b y determinar su pendiente y punto de intersección.
Utilizar ejemplos concretos Relacionar gráfica y función de situaciones físicas y co- con actividades de juego. merciales que tengan que ver con ecuaciones de la forma y = mx +b.
Reconocer que una inecua- Representar en el plano Realizar correspondencias Relacionar las representación divide al plano carte- igualdades, desigualdades, entre la representación de ciones gráficas de regiones siano en dos semiplanos. ecuaciones e inecuaciones. una región y la desigualdad. con las ecuaciones de la forma y = mx +b.
Reconocer cuando una fun- Elaborar la representación Traducir de la ecuación a Verificar qe no siempre que ción satisface los criterios gráfica de funciones lineales. ejemplos concretos y de la ecuación es una recta de linealidad. éstos, a las ecuaciones. se obtiene una ecuación lineal.
Reconocer las ecuaciones Resolver las ecuaciones lineales con una incógnita. lineales con una incógnita aplicando las propiedades de las operaciones y de la igualdad.
El proceso de transposición de términos no es una regla sino un proceso de generalización al cual debe llegar cada estudiante.
Dada una respuesta, formular un ejercicio cuya solución conduzca a dicha respuesta.
Aplicar las propiedades de las operaciones y de la igualdad para despejar una variable en función de otra.
Despejar, en una expre- Evaluar fórmulas dados los sión algebraica una de las valores de las variables. variables o literales que intervienen.
Reconocer e interpretar relaciones proporcionales, lineales y no lineales (incluidos gráficos móviles y funciones sencillas).
Reconocer cuándo una ecuación es de primer grado y sus coeficientes son números racionales y describir la forma de encontrar su solución.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita cuando los coeficientes son números racionales.
Evaluar expresiones para determinados valores numéricos de la(s) variable(s).
Dada una función en una representación, generar una representación diferente aunque equivalente. Emplear fórmulas para responder a preguntas sobre situaciones dadas.
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n o . c s o s d e a l a p e u n r i l g s a e s n o n o i i c m a r u é c t E
Resolver ecuaciones de primer grado cuando la expresión algebraica tiene paréntesis.
Suprimir los paréntesis de una ecuación para resolverla.
Escribir ecuaciones o desigualdades lineales, o ecuaciones simultáneas que modelen situaciones dadas.
Simplificar o comparar expresiones algebraicas para determinar la equivalencia.
. e a s e s l r a e i u c e n q u i l s d s e e n r e n o i e n o c d i a e c u u a u c E p c e
Reconocer la clase de ecuaciones que se pueden convertir en ecuaciones de primer grado.
Realizar las transformaciones necesarias para convertir una ecuación en una ecuación lineal.
Reconocer representaciones equivalentes de funciones como pares ordenados, tablas, gráficos, palabras o ecuaciones.
Resolver problemas mediante ecuaciones o fórmulas.
Reconocer cuando una situación matemática conduce a un problema cuya solución se obtiene a partir de una ecuación de primer grado.
Plantear y resolver problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Buscar problemas aritméticos pero formulados con expresiones algebraicas para que el estudiante realice la transferencia del tipo de simbolización aritmética a la simbolización algebraica.
Inventar problemas que respondan a una ecuación de primer grado un una incógnita. Dado un gráfico de una función, identificar atributos tales como intercepciones de ejes o intervalos en los que la función aumenta, disminuye o permanece constante.
n . s ó i e c l a a c e i n l i p l a s e e d n o s i a c m a e u c l b e o r e P d
Unidad cuatro
Pensamiento aleatorio y sistemas de datos Estándares 1. Reconocer que diferentes maneras de presentar la información pueden dar origen a diferentes representaciones.
6. Resolver y formular problemas seleccionando información relevante en conjunto de datos provenientes de fuentes diversas como prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).
2. Inte rpretar analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).
7.
3. Interpretar conceptos de media, moda y mediana.
Reconocer tenden cias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.
4. Seleccionar y usar algunos métodos estadísticos adecuados según el tipo de información.
8. Calcular probabilidad de eventos simples usando m étodos diversos listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo)
5. Comparar resultados experimentales con probabilidad matem ática esperada.
9. Usar conceptos básicos de probabilidad ( espacio muestal, evento, independencia).
14
Contenido s . e t r o a t p n u e j d n o o c t n n u u j e n d o C
. a i r o t a n i b m o C
. s e n o i c a t u m r e P
o t n e m i r e p i . x l e l l u e o y n r s e e B d e a d d i l i b a b o r P
. a c i t s í d a t s E
Competencias Desempeños matemáticas matemáticos Reconocer que el conjunto Dado un conjunto encontrar de partes de un conjunto el conjunto de partes. tiene por elementos los subconjuntos del conjunto dado.
Enriquecimiento y superación Iniciar la exploración del Determinar las aplicaciopensamiento combinatorio nes que tiene el conjunto teniendo presente los posi- de partes de un conjunto. bles errores que se puedan presentar. Actividad docente
Encontrar las combinacio- Encontrar el cardinal de una El desarrollo del pensanes que se obtiene de un combinación cuando no inte- miento combinatorio forma conjunto dado. resa el orden. parte del pensamiento hipotético deductivo ya que consiste en la práctica en realizar operaciones sobre operaciones.
Utilizar el conjunto de subconjuntos de un conjunto para hallar las combinaciones de un conjunto dado.
Encontrar las permutacio- Reconocer eventos no ex- Diferenciar las permutacio- Utilizar el conjunto de subnes que se obtiene de un cluyentes y eventos mutua- nes de las combinaciones conjuntos de un conjunto conjunto dado. mente excluyentes. según el orden que se re- para hallar las permutacioquiera. nes de un conjunto dado.
Calcular probabilidad de eventos simples usando métodos diversos listados, diagramas de árbol, técnicas de conteo. Usar conceptos básicos de probabilidad como espacio muestral, evento, independencia.
Aplicar las propiedades de la probabilidad para encontrar las características de la probabilidad de un evento.
Analizar información sumi- Calcular la frecuencia de nistrada en tabla o en cual- un dato que se obtiene a quiera otra forma y obtener partir de una información. la frecuencia de un dato.
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Utilizar datos de experimentos para estimar las probabilidades de resultados favorables.
Utilizar juegos de azar y material concreto como cartas de la baraja, dados, perinola y fichas para realizar experiencias y encontrar probabilidades de eventos.
La estadística es actual- Utilizar la prensa e informamente la rama de las mate- ción sobre encuestas para máticas más utilizada en la mejorar la comprensión. vida cotidiana. Buscar en la prensa diaria sus múltiples aplicaciones.
a i c n e d . n l e t a r e t d n s e a c d i d e M . a c i t s í d a t s e a l e d o s u b a l E
Comprender la función que Calcular la moda, mediana cumplen las medidas de y media de un conjunto de tendencia central y utilizar- datos. las adecuadamente según los criterios de la información suministrada.
Es importante que el estudiante pueda decidir qué medida de tendencia central suministra verdadera información sobre un conjunto de datos.
Determinar bajo qué circunstancia se deben utilizar datos estadísticos y se pueden obtener inferencias.
La utilización indiscrimina- Elaborar una galería de abda de a estadística puede surdos estadísticos. conducir a errores si no se tienen en cuenta sus limitaciones.
Determinar las limitantes en la información suministradas por las medidas de tendencia central.
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Presentar información que conduce al absurdo cuando la medida de tendencia central no es la adecuada.
¿Qué es la actividad matemática? Miguel de Guzmán
La enseñanza de las matemáticas La antigua definición de la matemática como ciencia del número y de la extensión, no es incompatible en absoluto con la aquí propuesta, sino que corresponde a un estadio de la matemática en que el enfrentamiento con la realidad se había plasmado en dos aspectos fundamentales, la complejidad proveniente de la multiplicidad (lo que da origen al número, a la aritmética) y la complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometría, estudio de la extensión). Más adelante el mismo espíritu matemático se habría de enfrentar con:
La filosofia prevalente sobre lo que la actividad matemática representa tiene un fuerte influjo, más efectivo a veces de lo que aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la enseñanza matemática. La reforma hacia la «matemática moderna» tuvo lugar en pleno auge de la corriente formalista (Bourbaki) en matemáticas. No es aventurado pensar a priori en una relación causa-efecto y, de hecho, alguna de las personas especialmente influyentes en el movimiento didáctico, como Dieudonné, fueron importantes miembros del grupo Bourbaki. En los últimos quince años, especialmente a partir de la publicación de la tesis doctoral de I. Lakatos (1976), Proofs and refutations, se han producido cambios bastante profundos en el campo de las ideas acerca de lo que verdaderamente es el quehacer matemático. La actividad científica en general es una exploración de ciertas estructuras de la realidad, entendida ésta en sentido amplio, como realidad física o ment al. La actividad matemática se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares de tratamiento, que incluyen:
a)
una simbolización adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja;
b)
una manipulación racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se adhieren a las convenciones iniciales de partida;
c)
un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada.
•
la complejidad del símbolo (álgebra);
•
la complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo);
•
la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad, estadística);
•
complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática)...
La filosofía de la matemática actual ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre los problemas de fundamentación de la matemática, especialmente tras los resultados de Gödel a comienzos de los años 30, para enfocar su atención en el carácter cuasiempírico de la actividad matemática (I. Lakatos), así como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersión de la matemática en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder), considerando la matemática como un subsistema cultural con características en gran parte comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de los matemáticos sobre su propio quehacer vienen provocando, de forma más o menos consciente, fluctuaciones importantes en las consideraciones sobre lo que la enseñanza matemática debe ser. 17
Didáctica de las matemáticas de octavo grado La educación matemática es el sistema de conocimientos, instituciones, planes de formación y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La didáctica de la matemática es la disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educación matemática y propone actuaciones fundadas para su transformación.
3.
¿Qué conocimientos matemáticos son necesarios, posibles y pertinentes para aprender durante el octavo grado?
5.
1.
2.
4.
6.
¿Cómo posibilitar la construcción de estos conocimientos en el aula?
¿Qué conocimientos y qué nivel de desarrollo tienen los estudiantes y qué características particularizan su aprendizaje? ¿Cómo es el entorno de los estudiantes y los maestros y qué condiciones, posibilidades y necesidades, de conocimiento actual y futuro, plantea ese entorno a los estudiantes y al maestro que orienta el aprendizaje? ¿Cómo se desarrollan y cómo se orientan los procesos de aprendizaje en el aula? ¿Qué formación y qué conocimientos didácticos matemáticos mínimos requiere quien orienta procesos de construcción de conocimientos en el aula?
El álgebra. Un nuevo lenguaje Basado en el documen to del MEN Aportes de la prueba Saber al trabajo en el aula Evaluar para transformar
Al iniciar el octavo grado nuestros alumnos ya se han iniciado en el uso de las letras para generalizar situaciones. Las letras pueden representar medidas de longitud, en las fórmulas para el cálculo de volúmenes, áreas y perímetros de figuras geométricas. El lenguaje algebraico tiene semántica y sintaxis; inicialmente el significado está referido a las regularidades de figuras y patrones, y también de situaciones próximas a la experiencia diaria. Las letras, en este contexto, representan números o clase de números que un alumno pueda interpretar.
representa el producto de ‘a por b’ y 10a + b puede corresponder a un número de dos cifras en el que a es la cifra de las decenas y b la de las unidades.
En cuanto a la sintaxis, existen diferencias con la aritmética porque los estudiantes tienden a generalizar sus coincidencias. La sintaxis de la operatoria aritmética no siempre coincide con la del álgebra. Por ejemplo, un alumno de primer año tiene claro que 37 es un número de dos cifras en el cual 3 es la cifra de las decena y 7 la de las unidades; ab en álgebra
La interpretación de la expresión ‘sea a un número’ suele ser reducida por muchos alumnos y alumnas a asumir a como un número entero positivo y - a como un entero negativo. Para corregir y ampliar esa interpretación, será necesario proponer variados ejemplos para llegar a generalizaciones que incorporen positivos y negativos y también fracciones y decimales.
En relación con la adición o sustracción, también se suponen analogías que llevan a errores de sintaxis; en la adición aritmética, el resultado es un número; el resultado de una adición algebraica puede incluir signos + ó signos –; muchos alumnos se confunden y buscan maneras de expresar resultados de la formas 5a + b en un monomio como 5ab.
18
Uno de los propósitos fundamentales de las matemáticas de octavo grado se refiere a la búsqueda de regularidades en fenómenos del mundo natural y social y a su representación mediante modelos matemáticos. Sin embargo, las dificultades en la resolución de problemas que exigen comprender la variación y la función, observadas en estudiantes que finalizan la educación básica, permiten cuestionar la eficiencia de la organización curricular actual del álgebra en relación con el mencionado propósito. En este sentido, algunas propuestas curriculares ya han modificado contenidos y estrategias metodológicas para posibilitar el avance del estudiante en el conocimiento del álgebra desde el inicio de su formación, sin restringir su estudio a los grados octavo y noveno.
Complemento de las tareas de creación de patrones por parte de los niños y las niñas serían las actividades tendientes a colocar o dibujar algunas piezas más en cada patrón, así como a descubrir el patrón y expresarlo con palabras. Es probable que las primeras relaciones establecidas por los niños sean de orden cualitativo y con alguna ambigüedad en ellas, y aunque éste es un hecho normal en el inicio del reconocimiento de patrones, sí es necesario que, ante las ambigüedades, el docente formule preguntas para que los niños, por una parte, reconozcan las interpretaciones distintas a las cuales podrían conducir ciertas palabras, y por otra, encuentren expresiones que describan en forma más precisa los elementos y sus relaciones.
En grados posteriores se podría considerar patrones en secuencias más amplias y el énfasis se trasladaría, por ejemplo, a la construcción de tablas de datos, a la representación de los valores de las tablas en gráficas cartesianas y, posteriormente, a la conversión desde tales representaciones al lenguaje algebraico. Es conveniente que el docente tenga en cuenta que, si bien es necesario que los estudiantes al organizar los datos en una tabla acudan a la recurrencia para obtener cada renglón a partir del anterior, es necesario también superar la recurrencia por estrategias más potentes de generalización si se requiere encontrar reglas que describan apropiadamente la variación para cualquier valor arbitrario.
En algunos estudios se muestra que, a pesar de la escasa variación que el currículo de álgebra escolar ha presentado en los últimos cien años, las investigaciones sobre su aprendizaje sugieren que, si se pretende que los estudiantes alcancen comprensión de la estructura del álgebra, serían necesarios tiempos más prolongados de trabajo sobre procesos de generalización, operaciones y transformaciones sobre la igualdad conservando sus propiedades como relación de equivalencia, justificación de simplificaciones en cálculos numéricos a partir de las propiedades de las operaciones, resolución de problemas que contengan sólo datos literales, generación de programas de computador para la realización de cálculos –por ejemplo, con Excel- y análisis de los diversos tipos de variación en contextos significativos para los estudiantes.
Con el avance en el conocimiento de los sistemas numéricos y la resolución de problemas aritméticos, se tiene la posibilidad de abordar trabajos que articulan aritmética y álgebra, como los relativos a la descripción de procedimientos para resolver familias de problemas y a la generalización de propiedades de las operaciones. Cuando los estudiantes han encontrado una estrategia que les permite resolver un problema particular, pueden ser orientados por el profesor a describir el procedimiento sin hacer referencia a los resultados específicos de las operaciones. En forma similar, es posible hacer discusiones acerca de la equivalencia entre expresiones numéricas con operaciones indicadas, sin necesidad de efectuar cálculos sino aplicando propiedades de las operaciones.
En propuestas como los Lineamientos Curriculares del MEN o los Estándares Curriculares del NCTM en cuanto al pensamiento variacional se recomienda que desde los primeros grados de básica primaria los niños exploren patrones, a partir del diseño de trabajos artísticos que contengan ciertas secuencias (trenes o serpientes con materiales didácticos como los bloques lógicos, que respeten una regla de formación, o dibu jos y frisos donde haya regularidad en el número de elementos o en las figuras trazadas), o también reconociendo la regularidad presente en diferentes arreglos como cintas decorativas, tapetes o textiles. 19
Otra temática que es necesario considerar en el trabajo algebraico escolar tiene que ver con las diferentes interpretaciones de las letras. Inicialmente los estudiantes realizarían actividades en las cuales la interpretación requerida corresponde a los primeros niveles en que se evalúan las letras, continuando con actividades en los que las letras puedan ser vistas como objetos e incógnitas, y avanzado a problemas donde las letras deban ser interpretadas como números generalizados o como variables.
el docente puede ayudarles a encontrar la inconsistencia si les pide verificarla para algún valor que ella no satisfaga; de este modo, los estudiantes se acercan a esta interpretación de las letras al comprender que la relación es válida sólo si se cumple para cualquier valor escogido arbitrariamente. Diferentes situaciones en contextos numéricos, geométricos y de medida, en las cuales se enfatiza en la determinación de la forma como los cambios, en un conjunto de valores, son determinados por los cambios en otro, podrían favorecer la interpretación de las letras como variables; por ejemplo ante un problema como: Todos los rectángulos de un conjunto tienen 1 cm2 de área, encontrar la forma como se relacionan sus dimensiones. Los estudiantes que han alcanzado esta interpretación observan que si uno de los lados del rectángulo mide a cms, entonces el otro lado mide 1/ a cms.
Para evaluar las letras, es posible hacer cálculos reemplazando en una fórmula conocida el valor de la letra por los números que se requiera, teniendo en cuenta que los contextos deben ser significativos para los estudiantes. Por ejemplo, hallar el valor de la cuota mensual para pagar un artículo en cierto número de meses, o calcular el valor que se obtiene en una moneda extranjera al cambiar cierta cantidad de dinero en pesos. Para interpretar las letras como incógnitas es pertinente simbolizar las acciones realizadas en juegos como la ficha tapada, en el que se privilegia el tanteo y la comprobación del valor “adivinado” reemplazándolo en la ecuación. La ejecución y simbolización de otros juegos como los de descubrir una cantidad desconocida en balanzas en equilibrio, al quitar o agregar simultáneamente paquetes iguales a los dos platillos de la balanza, permite ubicar el énfasis en la aplicación de una misma transformación sobre los dos miembros de la ecuación hasta encontrar el valor de la incógnita.
Conseguir que los estudiantes construyan las relaciones que les permitan asociar de manera fluida a enunciados literales, las tablas, las gráficas cartesianas y las expresiones algebraicas correspondientes, y en general, partiendo de alguna de las mencionadas representaciones puedan realizar conversiones hacia las restantes, demanda de un trabajo de aula en el cual sean considerados, por una parte, problemas relativos a distintos tipos de funciones (constante, lineal, exponencial, logarítmica, etc.) y por otra parte, problemas en los cuales se analice la forma como las modificaciones sobre los valores que intervienen en la expresión algebraica, por ejemplo, generan cambios en su respectiva gráfica cartesiana.
La interpretación de las letras como números generalizados se requiere, por ejemplo, al buscar una regularidad respecto a propiedades geométricas (como la determinación del número de diagonales de un polígono convexo o de la medida de los ángulos internos de los polígonos regulares, a partir de su número de lados), o cuando se trata de hallar una expresión para el término enésimo en una sucesión, (como en los problemas de encontrar el número de cerillas). Cuando los estudiantes aún no interpretan las letras como números generalizados, proponen una relación que es válida sólo para uno o algunos casos, entonces
En gran medida las sugerencias aquí planteadas se refieren a ubicar distintos aspectos del trabajo en aritmética que permitan establecer conexiones con la iniciación del álgebra. Pero la comprensión de la estructura del álgebra por parte de los estudiantes requiere, no sólo que puedan llegar al álgebra a partir de la generalización de las propiedades de los números y las operaciones aritméticas, sino también que usen sus conocimientos en álgebra para explicar la aritmética, que partiendo de las propiedades de las expresiones algebraicas, lleguen a justificar propiedades y relaciones aritméticas. 20
Productos notables y factorización Nuestras alumnas y alumnos ya han aprendido sobre las expresiones algebraicas, su poder de generalización, su diversidad de significados en contextos de aritmética, de geometría y de lo cotidiano y, también, algunos aspectos referidos a la convención de escritura. La factorización y los productos notables son de gran tradición en nuestras aulas de clase; quienes han cursado la enseñanza media tienen el recuerdo del cálculo de los productos notables. Aquí se propone la enseñanza de este mismo tema considerando como conocimientos previos la operatoria aritmética y el cálculo de áreas de rectángulos. En esta perspectiva se hace hincapié en el carácter generalizador aportado por el álgebra. Es necesario, sobre todo para facilitar los aprendizajes posteriores, que nuestros estudiantes tengan un dominio sobre la operatoria algebraica; que reconozcan los productos notables y sus factorizaciones, que la aritmética y la geometría le den significado a estos procedimientos: que éstos no se transformen en meros artilugios sino que los estudiantes puedan utilizarlos para la resolución de problemas, para la demostración de propiedades, para pensar.
Didáctica de la geometría Congruencia de figuras planas Generalmente, el aprendizaje de la geometría se valora como iniciación al pensamiento formal; a este argumento es necesario agregar que también es importante como una fuente de intuiciones; permite aproximaciones a través de pruebas no formales, no axiomatizadas, como dibujos y plegados de papel.
Construir un triángulo u otra figura geométrica, a partir de sus elementos primarios, discernir sobre cuáles son necesarios y suficientes para determinar un solo tipo de triángulo, son reflexiones importantes para que los criterios de congruencia tengan sentido. Los criterios de congruencia de triángulos, los ejes y centros de simetría de las figuras pasan a ser instrumentos que facilitan el análisis de figuras geométricas; su utilización permite visualizar regularidades y analizar bajo qué condiciones se da tal o cual regularidad.
Esta última perspectiva es la que interesa explotar en este programa; que los estudiantes puedan argumentar y fundamentar sus conclusiones en hechos y/ o cadenas de afirmaciones coherentes.
¿Qué se debe evaluar en estadística?
Las demostraciones no formales no deberían ser consideradas como errores o deficiencias, sino como una etapa inicial de un proceso hacia las demostraciones más formales.
En este campo, los contextos y las situaciones reales son ricas fuentes de exploración, pues en ellos los estudiantes pueden generar datos nuevos e investigar un campo amplio de hipótesis o conjeturas, incluso dentro de la misma institución, manejar datos de los compañeros de clase de educación física: longitud de saltos, tiempo empleado en recorrer una determinada distancia; o llevar registros de los precios de algunos artículos de la canasta familiar vendidos en expendios
La congruencia de triángulos es un tema con h istoria en nuestra Educación Media; en este programa, la congruencia de triángulos se relaciona especialmente con dos temas: las transformaciones isométricas y la construcción de triángulos. 21
del barrio, durante un período de tiempo determinado, para estudiar su variación. Estudiar la naturaleza de la relación entre pares de variables tales como: peso y estatura de los alumnos, su edad y ritmo cardíaco, su temperatura; registrar información, construir tablas de doble entrada y estudiar el comportamiento de las variables. Trabajar con informes de tipo estadístico (científicos, económicos, sociales, políticos, deportivos) que aparecen en los medios de comunicación, como motivo de discusión en la clase, interpretar la información que presentan y motivar inferencias a partir de ellos.
•
Interpretar conjuntos de datos (p.e., sacar conclusiones, hacer predicciones y estimar valores entre puntos de datos dados y más allá de los mismos).
•
Evaluar interpretaciones de datos con respecto a la corrección y la compleción de la interpretación.
•
Usar e interpretar conjuntos de datos para responder a preguntas.
Juzgar la probabilidad de un suceso como cierta, más probable, igualmente probable, menos probable o imposible.
Hacer corresponder un conjunto de datos, o una representación de datos, con características apropiadas de situaciones o contextos (p. e., ventas mensuales de un producto en un año).
Dificultades y problemas en el aprendizaje de las matemáticas
Organizar un conjunto de datos por una o más características mediante un gráfico de correspondencias o tabla.
Una de las ramas de investigación en educación matemática es sobre las dificultades de aprendizaje de los estudiantes. Los conceptos tradicionales de discalculia y dificultades específicas de aprendizaje están siendo cuestionados desde el punto de vista de las teorías cognitivas del aprendizaje. Generalmente, la definición se realiza en términos negativos: presentan “dificultades de aprendizaje” aquellos alumnos que, a pesar de mostrar una inteligencia normal, y no tener problemas emocionales graves ni deficiencias sensoriales, tienen un rendimiento escolar pobre, definido operacionalmente por bajas puntuaciones en pruebas de rendimiento.
Reconocer y describir posibles fuentes de error en la recopilación y organización de datos (p.e., sesgo, agrupamiento inapropiado). Seleccionar el método de recopilación de datos más apropiado (p.e., sondeo, experimento, cuestionario) para responder a una pregunta dada y justificar la elección). Leer datos de gráficos, tablas, pictogramas, gráficos de barras, gráficos de sectores y gráficos de líneas.
Comparar y hacer corresponder diferentes representaciones de los mismos datos.
Las pruebas internacionales han aportado gran cantidad de datos sobre dificultades en el aprendizaje de las matemáticas (DAM). Las investigaciones sobre los niños y las niñas con dificultades mayores en el aprendizaje de las matemáticas que no hayan alcanzado un éxito claro en el intento de atribuir esas dificultades a un trastorno neurológico han permitido establecer descriptivamente ciertos subgrupos diferentes a los que pueden pertenecer estos niños.
Comparar características de conjuntos de datos, empleando la media, la mediana, el rango y la forma de la distribución (en términos generales).
Las investigaciones posteriores, sobre todo desde la perspectiva cognitiva, han perfilado ciertas diferencias cognitivas, que han recibido recientemente una rigurosa confirmación experimental en un estudio so-
Representar datos mediante gráficos, tablas, pictogramas, gráficos de barras, gráficos de sectores y gráficos de líneas.
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bre las competencias de memoria de los niños con dificultades de aprendizaje de las matemáticas (DAM). La perspectiva cognitiva se desarrolla a través del conocimiento de los procesos mentales que se emplean para efectuar una operación o algoritmo o las estructuras intelectuales que debe poseer el alumno para realizarlo. Este conocimiento nos permite comprender mejor las fallas y errores al realizar la operación o el algoritmo. El enfoque cognitivo no etiqueta al estudiante, sino que estudia la estrategia seguida, los procesos mentales que realiza y los errores que comete. No dice lo que el niño es o sufre sino que trata de comprender y explicar lo que hace: los procesos y estrategias que emplea cuando asimila conceptos matemáticos, efectúa operaciones de cálculo, resuelve problemas algebraicos, etc. El enfoque cognitivo es neutral con relación a la etiología o causa última de las DAM. Ayuda a precisar la naturaleza fina de las funciones mentales que no van bien en los sujetos con estas dificultades, favoreciendo así la búsqueda de las causas, pero no las establece por sí mismo.
3.
Asegurar la asimilación de lo viejo antes de pasar a lo nuevo, y adiestrar específicamente la generalización de los procedimientos y contenidos.
4.
Asegurar el dominio y enriquecimiento de los códigos de representación de los procedimientos y contenidos.
5.
Asegurar que la traducción entre el lenguaje verbal y los códigos matemáticos puede realizarse con soltura, para lo que hay que ejercitarlo.
6.
Servirse de la atención exploratoria del sujeto como recurso educativo y asegurar su atención selectiva sólo en períodos en que ésta puede ser mantenida.
7.
Enseñar paso a paso, a planear el uso y selección de los recursos cognitivos.
8.
Asegurar que el niño pueda recordar los aspectos relevantes de una tarea o problema y procurar comprobar que no se exige más de lo que permite la competencia lógica del alumno.
9.
Enseñar, paso a paso, las estrategias y algoritmos específicos que exigen las tareas.
1 0.
Procurar las tareas de orientación adecuada, procedimientos de análisis profundo y ocasiones frecuentes de aprendizaje incidental.
1 1.
Valorar y motivar a los estudiantes que aparentemente no están interesados o no son competentes.
El enfoque cognitivo requiere un análisis minucioso y paso a paso de los procesos que se ponen en juego para resolver tareas matemáticas. Para tratar estas dificultades, el docente debería tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1.
Vincular, en lo posible, los contenidos ma temáticos a propósitos e intenciones humanas y situaciones significativas.
2.
Tratar de contextualizar los esquemas ma temáticos, subiendo los peldaños de la escala de abstracción al ritmo exigido por el alumno. 23
Las mejores prácticas para enseñar matemáticas Basado en los estándares 2000 de N CTM
Las que siguen son características importantes e interrelacionadas de las mejores prácticas para enseñar matemáticas incluidas en los reportes de la NCTM. Al final, presentamos un cuadro con sugerencias de lo que se debe aumentar y lo que se debe disminuir en la enseñanza en el aula de clase.
cómputo, y a pedirles que memoricen mecánicamente. En cambio, realizan actividades que promueven la participación activa de sus estudiantes en aplicar matemáticas en situaciones reales. Esos maestros regularmente utilizan la manipulación de materiales concretos para construir comprensión. Hacen a los estudiantes preguntas que promuevan la exploración, la discusión, el cuestionamiento y las explicaciones. Los niños aprenden, además, los mejores métodos para determinar cuándo y cómo utilizar una gama amplia de técnicas computacionales tales como aritmética mental, estimaciones y calculadoras, o procedimientos con lápiz y papel.
El objetivo al enseñar matemáticas es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática. Los estudiantes deben desarrollar la comprensión de los conceptos y procedimientos matemáticos. Deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas hacen sentido y que son útiles para ellos. Maestros y estudiantes deben reconocer que la habilidad matemática es parte normal de la habilidad mental de todas las personas, no solamente de unos pocos dotados.
Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien u n todo integrado. Matemáticas es la ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. Los estudiantes necesitan ver las conexiones entre conceptos y aplicaciones de principios generales en varias áreas. A medida que relacionan ideas matemáticas con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, se van dando cuenta de que esas ideas son útiles y poderosas. El conocimiento matemático de los estudiantes aumenta a medida que entienden que varias representaciones (ej: física, verbal, numérica, pictórica y gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cada una y entender cómo están conectadas.
Enseñar capacidad matemática requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación. Se debe alentar a los estudiantes a formular y resolver problemas relacionados con su entorno para que puedan ver estructuras matemáticas en cada aspecto de sus vidas. Experiencias y materiales concretos ofrecen las bases para entender conceptos y construir significados. Los estudiantes deben tratar de crear su propia forma de interpretar una idea, relacionarla con su propia experiencia de vida, ver cómo encaja con lo que ellos ya saben y qué piensan de otras ideas relacionadas.
La solución de problemas es el n úcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de la capacidad matemática. Ampliamente definida, la solución de problemas es parte integral de toda actividad matemática. En lugar de considerarse cómo un tópico separado, la solución de problemas debería ser un proceso que permea el currículo y proporciona contextos en los que se aprenden conceptos y habilidades. La solución de problemas requiere que los estudiantes investiguen
Qué t an bien lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas es mucho más importante que el nú mero de h abilidades que puedan adquirir. Los maestros que ayudan a los niños a desarrollar su capacidad matemática dedican menos tiempo a hablar sobre matemáticas, a asignarles trabajos de práctica de 24
preguntas, tareas y situaciones que tanto ellos como el docente podrían sugerir. Los estudiantes generan y aplican estrategias para trabajarlos y resolverlos.
entre varias ideas y sus representaciones, es tarea muy importante del maestro; cómo también lo es, promover en los estudiantes de manera creciente, la abstracción y la generalización, mediante la reflexión y la experimentación, en lugar de ser él el único que explique y que exponga. Parte vital de hacer matemáticas conlleva, que los estudiantes discutan, hagan conjeturas, saquen conclusiones, defiendan sus ideas y escriban sus conceptualizaciones, todo lo anterior, con retroalimentación del maestro.
Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje para comunicar ideas matemáticas. Discutir, escribir, leer y escuchar ideas matemáticas profundiza el entendimiento en esta área. Los estudiantes aprenden a comunicarse de diferentes maneras relacionando activamente materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas; reflexionando sobre ellas y clarificando su propio pensamiento; estableciendo relaciones entre el lenguaje cotidiano con ideas y símbolos matemáticos; y discutiendo ideas matemáticas con sus compañeros. Uno de los mayores cambios en la enseñanza matemática se ha dado ayudando a los estudiantes a traba jar en grupos pequeños en proyectos de recolección de datos, construcción de gráficas y cuadros con sus hallazgos y resolución de problemas. Dar a los estudiantes oportunidades para realizar trabajo reflexivo y colaborativo con otros, constituye parte crítica de la enseñanza de matemáticas. Las ideas matemáticas las construyen las personas; los estudiantes necesitan experimentar la interacción social y la construcción de representaciones matemáticas que t engan significado, con sus compañeros y sus profesores. En un enfoque democrático, el profesor no es el único que conoce y transmite conocimiento, ni debe ser el que siempre tiene “la respuesta”. Los estudiantes deben tomar la iniciativa en el planteamiento de preguntas e investigaciones que les interesen y llevar a cabo investigaciones en forma conjunta con el maestro.
Los conceptos de números, operaciones, y cálculos deben ser definidos, concebidos, y aplicados, ampliamente. Los problemas del mundo real requieren una diversidad de herramientas para poder mane jar la información cuantitativa. Los estudiantes deben tener una buena cantidad de experiencias para poder desarrollar un sentido intuitivo de números y operaciones; una forma de “sentir” lo que está ocurriendo en las distintas situaciones en las que se podrían utilizar varias operaciones. Para dar un ejemplo de lo anterior, dos concepciones diferentes de la resta están involucradas si se pregunta (1) Si tengo tres canicas y entrego dos, ¿cuántas conservo? Versus (2) Si tengo tres canicas y otra persona tiene siete, ¿cuántas canicas de más tiene la otra persona? El maestro no debe eludir la diferencia entre las dos situaciones, invocando simplemente el procedimiento de la resta, con el fin de encontrar la “respuesta correcta”.
Los conceptos de geometría y medición se aprenden mejor mediante experiencias que involucren la experimentación y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos. Cuando los estudiantes construyen su propio conocimiento de geometría y medición, están mejor capacitados para usar su comprensión inicial en ambientes del mundo real. Desarrollan su sentido espacial en dos o tres dimensiones por medio de exploración con objetos reales. Los conceptos de medición se entienden mejor con experiencias verdaderas realizando mediciones y estimación de medidas. Lo que es más importante es que esas experiencias son especialmente valiosas para construir sentido numérico y operativo.
Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas. El estudiante debe entender que las matemáticas hacen sentido, que no son simplemente un conjunto de reglas y procedimientos que se deben memorizar. Por ese motivo necesitan experiencias en las que puedan explicar, justificar y refinar su propio pensamiento, no limitarse a repetir lo que dice un libro de texto. Necesitan plantear y justificar sus propias conjeturas aplicando varios procesos de razonamiento y extrayendo conclusiones lógicas. Ayudar a que los estudiantes se muevan por etapas 25
La comprensión de estadísticas, datos, azar y probabilidad se deriva de aplicaciones del mundo real. La necesidad de tomar decisiones con base en información numérica permea la sociedad y motiva trabajar con datos reales. La probabilidad se desprende de la consideración realista de riesgo, azar e incertidumbre. Los estudiantes pueden desarrollar competencia matemática por medio de la formulación de problemas y soluciones que involucren decisiones basadas en recolección de datos, organización, representación (gráficas, tablas) y análisis.
Uno de los mayores propósitos de la evaluación es ayudar a los maestros a entender mejor qué saben los estudiant es y a t omar decisiones significativas sobre actividades de enseñanza y aprendizaje. Debe usarse una diversidad de métodos de evaluación para valorar a los estudiantes individualmente, incluyendo pruebas escritas, orales y demostraciones, las cuáles deben todas concordar con el currículo. Todos los aspectos del conocimiento matemático y sus relaciones deben ser valorados y utilizados para ayudar al profesor a planear actividades de enseñanza y aprendizaje. Las pruebas estandarizadas cumplen una mejor función en la evaluación de programas que en la evaluación de estudiantes individuales.
Aumente • Uso de materiales manipulables.
Disminuya Prácticas de enseñanza • Práctica mecánica.
• Trabajo de grupo cooperativo.
• Memorización mecánica de reglas y fórmulas.
• Discusiones sobre matemáticas.
• Respuestas únicas y métodos únicos para encontrar respuestas.
• Cuestionar y realizar conjeturas. • Justificación del pensamiento.
• Uso de hojas de ejercicios rutinarios. Prácticas escritas repetitivas.
• Escribir acerca de las matemáticas.
• Práctica de la escritura repetitiva
• Solución de problemas como enfoque de enseñanza.
• Enseñar diciendo.
• Integración de contenidos
• Enseñar a calcular fuera de contexto.
• Uso de calculadoras y computadores.
• Enfatizar la memorización
• Ser un facilitador del aprendizaje.
• Examinar únicamente para las calificaciones.
• Evaluar el aprendizaje como parte integral de la enseñanza.
• Ser el dispensador del conocimiento. Matemáticas como solución de problemas • Planteamiento verbal de problemas con variedad de es- • Uso de palabras claves para determinar las operaciones a tructuras y de formas de solución. utilizar. • Problemas y aplicaciones de la vida diaria.
• Práctica rutinaria, problemas de un solo paso o nivel.
• Estrategias de solución de problemas.
• Práctica de problemas categorizados por tipos.
• Problemas abiertos y proyectos de solución de problemas ampliados. • Investigación y formulación de preguntas provenientes de problemas o situaciones problemáticas.
26
• Discusiones matemáticas
Matemáticas como Comunicación • Llenar los espacios de hojas de trabajo.
• Lecturas sobre matemáticas.
• Responder preguntas que solo necesitan como respuesta si o no.
• Escritura sobre matemáticas. • Responder preguntas que requieren únicamente respuestas numéricas. • Escuchar la exposición de ideas matemáticas. Matemáticas como Razonamiento • Deducir conclusiones lógicas. • Confiar en la autoridad (maestro, hoja de respuestas). • Justificar respuestas y procesos de solución • Razonar inductiva y deductivamente.
Conexiones Matemáticas • Conectar las matemáticas a otras materias y al mundo • Aprender tópicos aislados· Desarrollar habilidades fuera real. de contexto. • Conectar tópicos dentro del mismo campo matemático • Aplicar las matemáticas.
Números/Operaciones/Cálculos • Desarrollar sentido numérico y de operaciones • Uso temprano de notaciones simbólicas. • Entender el significado de conceptos claves como posición numérica, fracciones, decimales, razones, proporciones y porcentajes.
• Cálculos complejos y tediosos con lápiz y pape. • Memorización de reglas y procedimientos sin entenderlos.
• Varias estrategias para estimar. • Pensar estrategias para hechos básicos. • Uso de calculadoras para operaciones de cálculo complejas. Geometría / Mediciones • Desarrollo de sentido espacial. • Memorizar hechos y relaciones • Mediciones reales y los conceptos relacionados con unidades de medida.
• Memorizar equivalencias entre unidades de medida. • Memorizar fórmulas geométricas.
• Uso de geometría en solución de problemas. Estadísticas / Probabilidad • Recolección y organización de datos. • Memorizar fórmulas. • Usar métodos estadísticos para describir, analizar, evaluar y tomar decisiones.
27
Patrones / Funciones / Álgebra • Reconocimiento y descripción de patrones • Manipulación de símbolos • Identificación y uso de relaciones funcionales.
• Memorización de procedimientos y ejercicios repetitivos.
• Desarrollo y utilización de tablas, gráficas y reglas. para describir situaciones • Utilización de variables para expresar relaciones. • • •
•
Evaluación La evaluación/valoración como parte integral de la ense- • Evaluar o valorar, contando simplemente las respuestas ñanza. correctas de pruebas o exámenes realizados con el único propósito de otorgar calificaciones. Enfocarse en una amplia gama de tareas matemáticas y optar por una visión integral de las matemáticas. • Enfocarse en un amplio número de habilidades específicas y aisladas. Desarrollar situaciones de problemas que para su solución requieran la aplicación de un número de ideas matemáti- • Hacer uso de ejercicios o planteamientos de problemas que cas. requieran para su solución solamente de una o dos habilidades. Hacer uso de técnicas múltiples de evaluación que incluyan pruebas escritas, orales y demostraciones. • Utilizar únicamente exámenes o pruebas escritas.
28
Factores que intervienen en el proceso de resolución de problemas matemáticos Hasta el momento, sin embargo, no hay ningún marco explicativo completo sobre cómo se interrelacionan los variados aspectos del pensamiento matemático. En este contexto, parece haber un acuerdo general sobre la importancia de estos cinco aspectos (Schoenfeld, 19 92):
a.
se enfrentan a la situación de resolución de problemas. Es importante señalar que en estos contextos, el conocimiento de base puede contener información incorrecta. Las personas arrastran sus concepciones previas o sus limitaciones conceptuales a la resolución de problemas y esas son las herramientas con las que cuentan.
El conocimiento de base
b.
Las estrategias de resolución de problemas
c.
Los aspectos metacognitivos
Los aspectos del conocimiento relevantes para el rendimiento en resolución de problemas incluyen: el conocimiento intuitivo e informal sobre el dominio del problema, los hechos, las definiciones y los procedimientos algorítmicos, los procedimientos rutinarios, las competencias relevantes y el conocimiento acerca de las reglas del lenguaje en ese dominio (Schoenfeld, 1985).
d. Los aspectos afectivos y el sistema de creencias e. La comunidad de práctica
En suma, los hallazgos en la investigación señalan la importancia y la influencia del conocimiento de base (también llamado “recursos”) en resolución de problemas matemáticos. Estos esquemas de conocimiento son el vocabulario y las bases para el rendimiento en situaciones rutinarias y no rutinarias de resolución.
a. El conocimiento de base (los recursos matemáticos) Para entender el comportamiento individual de un sujeto puesto ante una situación matemática (ya sea de interpret ación o de resolución de problemas), se necesita saber cuáles son las herramientas matemáticas que tiene a su disposición: ¿qué información relevante para la situación matemática o problema tiene a mano?, ¿cómo accede a esa información y cómo la utiliza?
b. Las estrategias de resolución de problemas (heurísticas) Las discusiones sobre las estrategias (o heurísticas) de resolución de problemas en matemática, comienzan con Polya, quien plantea cuatro etapas en la resolución de problemas matemáticos:
En el análisis del rendimiento en situaciones de resolución de problemas, los aspectos centrales para investigar generalmente se relacionan con lo que el individuo sabe y cómo usa ese conocimiento, cuáles son las opciones que tiene a su disposición y por qué utiliza o descarta algunas de ellas. Desde el punto de vista del observador, entonces, el aspecto principal es tratar de delinear el conocimiento de base de los sujetos que
Primero: Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?, ¿cuáles son las condiciones?, ¿es posible satisfacerlas?, ¿son suficientes para determinar la incógnita, o no lo son? ¿son irrelevantes, o contradictorias?, etc. 29
Los aspectos metacognitivos se relacionan, en suma, con la manera como se seleccionan y despliegan los recursos matemáticos y las heurísticas de que se dispone.
Segundo: Diseñar un plan: ¿se conoce un problema relacionado?, ¿se puede replantear el problema?, ¿se puede convertir en un problema más simple?, ¿se pueden introducir elementos auxiliares?, etc.
Tercero: Ponerlo en práctica: aplicar el plan, controlar cada paso, comprobar que son correctos, probar que son correctos, etc.
d. Los sistemas de creencias Las creencias, concebidas como la concepción individual y los sentimientos que modelan las formas en que el individuo conceptualiza y actúa en relación con la matemática, comenzaron a ocupar el centro de la escena en la investigación en educación matemática, a partir de la última década. Sobre esta cuestión, Lampert (1992) señala:
Cuarto: Examinar la solución: ¿se puede chequear el resultado?, ¿el argumento?, ¿podría haberse resuelto de otra manera?, ¿se pueden usar el resultado o el método para otros problemas?, etc.
Sin embargo, mientras su nombre es frecuentemente invocado, sus ideas son habitualmente trivializadas. Poco de lo que se hace en el nombre de Polya, conserva el espíritu de sus ideas.
“ Comúnmente, la matemática es asociada con la certeza; saber matemática y ser capaz de obtener la respuesta correcta rápidamente van juntas. Estos presupuestos culturales, son modelados por la experiencia escolar, en la cual hacer matemática significa seguir las reglas propuestas por el docente; saber matemática significa recordar y aplicar la regla correcta cuando el docente hace una pregunta o propone una tarea; y la “verdad” matemática es determinada cuando la respuesta es ratificada por el docente. Las creencias sobre cómo hacer matemática y sobre lo que significa saber matemática en la escuela son adquiridas a través de años de mirar, escuchar y practicar.”
El status científico de las estrategias heurísticas discutidas por Polya en su libro, ha sido problemático, a pesar de que la evidencia parece haberse vuelto a su favor en las pasadas décadas (Schoenfeld, 1992).
c. Los aspectos metacognitivos Las creencias pueden ser consideradas la zona oscura o de transición entre los aspectos cognitivos y afectivos. Thompson (1992) reseñó los estudios que documentan cómo los docentes difieren ampliamente en sus creencias sobre la naturaleza y el sentido de la matemática, así como en su visión sobre cuáles son los objetivos más importantes de los programas escolares de matemática, el rol de los docentes y los estudiantes en las clases de matemática, los materiales de aprendizaje más apropiados, los procedimientos de evaluación, etc. Estas investigaciones también han mostrado que existen relaciones entre las creencias y concepciones de los docentes de matemática, por una parte, y sus visiones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática y su propia práctica docente, por otra.
En el curso de una actividad intelectual, como por ejemplo, la resolución de problemas, en algún momento se hace un análisis de la marcha del proceso. Monitorear y controlar el progreso de estas actividades intelectuales son, desde el punto de vista de la psicología cognitiva, los componentes de la metacognición. Hallazgos de investigación en educación matemática señalan que el desarrollo de la autorregulación en temas complejos es difícil y frecuentemente implica modificaciones de conducta (desaprender conductas inapropiadas de control aprendidas antes). Estos cambios pueden ser realizados pero requieren largos períodos de tiempo. 30
Thompson encontró grandes diferencias en la visión de docentes sobre la naturaleza y el significado de la matemática, que van desde considerarla como un cuerpo estático y unificado de conocimientos absolutos e infalibles, hasta considerarla como un campo de la creación y la invención humana en continua expansión.
Esta perspectiva cultural es relativamente nueva en la literatura relacionada con la educación matemática. La idea principal es que la comunidad a la que uno pertenece modela el desarrollo del punto de vista de sus miembros. Es decir, el aprendizaje es culturalmente modelado y definido: las personas desarrollan su comprensión sobre cualquier actividad a partir de su participación en lo que se ha dado en llamar la “comunidad de práctica”, dent ro de la cual esa actividad es realizada. Las lecciones que los alumnos aprenden acerca de la matemática en el aula son principalmente culturales y se extienden más allá del espectro de los conceptos y procedimientos matemáticos que se enseñan: lo que se piensa que la matemática es determinará los entornos matemáticos que se crearán y aun la clase de comprensión matemática que se desarrollará.
Una de las principales diferencias encontradas por Thompson se relaciona con el rol de la resolución de problemas en la enseñanza de la matemática. Por otra parte, también observó discrepancias entre las creencias que profesan los docentes y la práctica de la enseñanza que realizan, lo que evidencia que las creencias de los docentes no se relacionan de una manera simple y directa con su comportamiento.
Se observa actualmente una tendencia a realizar investigaciones en educación matemática más centradas en entornos de aprendizaje naturales. Estas líneas de investigación son mucho más amplias en cuanto a orientación y alcance, abarcando las tradiciones etnográfica, etnometodológica y la psicología cultural. Está empezando a surgir una teoría de las situaciones cognitivas que adopta la naturaleza distribuida de la cognición como punto de partida. En estas teorías, se considera que la cognición se comparte con otros individuos así como con otras herramientas y artefactos: el pensamiento está situado en un contexto particular de intenciones, compañeros y herramientas.
En suma, concientes o no, las creencias modelan el comportamiento matemático. Las creencias son abstraídas de las experiencias personales y de la cultura a la que uno pertenece. Esto conduce a la consideración de la comunidad de práctica de la matemática, como el último, pero no por eso el menos importante, de los aspectos a considerar.
e. La comunidad de práctica Un gran cuerpo de literatura emergente en los últimos años, considera al aprendizaje matemático como una actividad inherentemente social (tanto como cognitiva), y como una actividad esencialmente constructiva, en lugar de receptiva.
Algunos aspectos de la cognición distribuida socialmente son, potencialmente, de gran relevancia para la instrucción y la enseñanza. Uno de ellos es el concepto de aprendizaje interactivo como una interiorización de procesos que inicialmente han sido practicados en interacción con otros.
Hacia mediados de los 80, se produce una extensión de la noción de constructivismo desde la esfera puramente cognitiva, donde fue hecha la mayor parte de la investigación, hacia la esfera social. Muchas líneas de investigación cognitiva se orientan entonces hacia la hipótesis de que desarrollamos hábitos y habilidades de interpretación y construcción de significados, a través de un proceso más concebido como de socialización que como de instrucción.
Esto sugiere que una parte crucial del trabajo del educador consiste en diseñar cuidadosamente interacciones que favorezcan la interiorización de estrategias determinadas, formas de razonamiento y posturas conceptuales. 31
El co-constructivismo caracteriza el desarrollo como una construcción conjunta de la persona, orientada por los “otros sociales”, en un entorno estructurado. Ello comporta una nueva unidad de análisis en psicología y educación: la persona que construye significados actuando en un entorno estructurado e interactuando con otras personas de forma intencional.
Schoenfeld (1992) opina que “(...) la clave de esta cuestión está en el estudio de la inculturación que se produce al entrar a la comunidad matemática. Si se quiere comprender cómo se desarrolla la perspectiva matemática, se debe encarar la investigación en términos de las comunidades matemáticas en las cuales los estudiantes y los docentes conviven, y en las prácticas que se realizan en esas comunidades. El rol de la interacción con los otros será central en la comprensión del aprendizaje.”
¿Cómo tiene lugar tal construcción? Los dos modelos más conocidos en la interpretación de las relaciones entre lo social, lo cultural y lo personal son: el modelo de los encuentros esporádicos entre individuo y sociedad y el de interacción, que implica una negociación de significados compartidos en el contexto de actividades socioculturales. Sin embargo, un tercer modelo es posible: el de las prácticas sociales y culturales “situadas”, que tiene referencias sociológicas, antropológicas, lingüísticas e históricas (Goffman, Bourdieu, Lave, y Chartier en tre otros).
Es necesaria también una nueva aproximación a los factores afectivos, que considere a los alumnos como individuos con un sistema de creencias o visión del mundo particular. Comprender esa visión del mundo en toda su complejidad es una tarea difícil; las reacciones afectivas hacia la matemática ocurren dentro de una estructura relacionada con cómo se concibe al mundo en general.
Es necesario conectarse entonces con las diferencias individuales y culturales en sus respuestas hacia la matemática.
Este tercer modelo considera al aprendizaje como emergente de la participación en dichas prácticas e incorpora a la vez al individuo y a sus condiciones ob jetivas. El énfasis en las prácticas va acompañado de un énfasis en el aspecto activo de la aprehensión del mundo: los objetos de conocimiento son construidos y no pasivamente registrados, así como los objetos culturales no se adquieren por su mera contemplación. Desde este tercer modelo, el de las prácticas situadas, es posible una integración de lo cultural, lo social y lo individual.
Aunque las relaciones funcionales y su utilización para la modelización y la resolución de problemas son de capital interés, también es importante evaluar hasta qué punto se han aprendido los conocimientos y las destrezas que las apoyan. El dominio de contenido de álgebra incluye patrones y relaciones entre cantidades, con la utilización de símbolos algebraicos para representar situaciones matemáticas, así como la adquisición de fluidez en la producción de expresiones equivalentes y en la resolución de ecuaciones lineales.
En síntesis, se puede afirmar que cada uno de los aspectos analizados hasta aquí que intervienen en la resolución de problemas, es en sí mismo coherente y dentro de ellos la investigación ha producido interesantes ideas sobre los mecanismos principales. Pero todavía se comprende poco acerca de las interacciones entre estos aspectos y menos acerca de cómo confluyen todos en dar a un individuo su particular sentido de la actividad matemática, su “punto de vista matemático”.
Dado que el álgebra generalmente no se imparte en la escuela primaria, este dominio de contenido se identificará como Patrones, ecuaciones y relaciones en cuarto curso. En cambio, en octavo la categoría de “álgebra” reflejará la comprensión de todas las áreas temáticas siguientes. 32
Las principales áreas temáticas en el álgebra son:
• Patrones • Expresiones algebraicas • Ecuaciones y fórmulas • Relaciones
A los estudiantes se les pedirá que reconozcan y extiendan patrones y relaciones. También se les pedirá que reconozcan y utilicen símbolos para representar situaciones en términos algebraicos. En cuarto curso, se incluye la comprensión de patrones, ecuaciones simples y la idea de funciones aplicadas a pares de números. Los conceptos algebraicos están más formalizados en octavo; en este curso los estudiantes deben centrarse en comprender las relaciones lineales y el concepto de variable. Se espera de los estudiantes de este nivel que utilicen y simplifiquen fórmulas algebraicas, resuelvan ecuaciones y desigualdades lineales y pares de ecuaciones simultáneas con dos variables, así como utilizar un cierto rango de funciones lineales y no lineales. Deben saber resolver situaciones del mundo real mediante el uso de modelos algebraicos y explicar relaciones con conceptos algebraicos.
33
Prueba TIMSS de 1999
Cuadro de evaluación Preguntas de medición Pregunta
Nivel de competencia
Respuesta correcta
Porcentaje internacional de respuestas correctas
1
Conocimiento
D
60
2
Conocimiento
D
49
3
Conocimiento
C
81
4
Uso de procedimientos complejos
C
41
5
Investigación y resolución de problemas
Rubrica
43
6
Investigación y resolución de problemas
D
22
7
Investigación y resolución de problemas
D
67
8
Investigación y resolución de problemas
B
42
Preguntas de geometría Pregunta
Nivel de competencia
Respuesta correcta
Porcentaje internacional de respuestas correctas
9
Conocimiento
C
62
10
Conocimiento
E
54
11
Uso de rutina de procedimientos
D
58
12
Uso de rutina de procedimientos
A
42
13
Uso de rutina de procedimientos
B
37
14
Uso de procedimientos complejos
C
59
15
Uso de procedimientos complejos
C
46
16
Investigación y resolución de problemas
C
62
17
Investigación y resolución de problemas
A
40
34
Preguntas de probabilidad Pregunta
Nivel de competencia
Respuesta correcta
Porcentaje internacional de respuestas correctas
18
Conocimiento
C
57
19
Uso de procedimientos complejos
D
60
20
Uso de procedimientos complejos
C
64
21
Uso de procedimientos complejos
Rúbrica
69
22
Uso de procedimientos complejos
C
58
23
Uso de procedimientos complejos
A
79
24
Uso de procedimientos complejos
B
54
25
Investigación y resolución de problemas
C
62
26
Investigación y resolución de problemas
C
48
27
Razonamiento y comunicación
Rúbrica
24
Preguntas de Álgebra Pregunta
Nivel de competencia
Respuesta correcta
Porcentaje internacional de respuestas correctas
28
Conocimiento
A
65
29
Conocimiento
A
50
30
Conocimiento
D
49
31
Conocimiento
B
72
32
Conocimiento
D
71
33
Conocimiento
B
57
34
Conocimiento
D
37
35
Conocimiento
A
47
36
Uso de procedimientos de rutina
C
69
37
Uso de procedimientos de rutina
A
65
38
Uso de procedimientos de rutina
E
33
35
39
Uso de procedimientos de rutina
Rúbrica
44
40
Uso de procedimientos de rutina
Rúbrica
53
41
Investigación y resolución de problemas
A
47
42
Investigación y resolución de problemas
C
53
43
Investigación y resolución de problemas
Rúbrica
33
44
Investigación y resolución de problemas
Rúbrica
65
45
Investigación y resolución de problemas
Rúbrica
54
46
Razonamiento y comunicación
Rúbrica
30
47
Razonamiento y comunicación
E
45
Preguntas sobre medición 1.
¿Cuál ángulo de la figura tiene una medida más cercana a 45°?
a.
p
b.
q
c.
r
d.
s
2.
Usando una regla en centímetros como ésta, tú puedes medir con precisión al. a.
milímetro más cercano.
c.
Centímetro más cercano.
b.
Medio milímetro más cercano.
d.
Medio centímetro más cercano.
36
3.
4.
¿Qué unidad sería mejor para medir el peso (masa) de un huevo? a.
Centímetros.
c.
Gramos.
b.
Milímetros.
d.
Kilogramos.
Si se estira la cuerda del diagrama, ¿cuál de estas opciones es la más cercana a su longitud?
a.
5.
5 cm
b.
6 cm
c.
7 cm
d.
La figura muestra un rectángulo gris en el interior de un paralelogramo.¿Cuánto mide el rectángulo gris?
Respuesta: 6. En el rectángulo el largo es el doble del ancho. ¿Cuál es la razón entre el ancho del rectángulo y su perímetro? a.
1 2
b.1/3 c. ¼ d. 1/6 37
8 cm.
7.
Cuatro niños midieron el largo de sus pasos. La tabla muestra sus mediciones. Nombre
Largo de los pasos 80 cm 65 cm 75 cm 60 cm
Paula María Elena Susana
8.
¿Quién tendría que dar más pasos para caminar de un extremo a otro de un pasillo? a.
Paula
b.
María
c.
Elena
d.
Susana
Un jardín rectangular contiguo a un edificio tiene una vereda alrededor de los otros tres lados, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la vereda? a. 144 m2 b.
64 m2
c. 44 m2 d.
16 m2
Prueba de Geometría 9.
Dos de los siguientes triángulos son semejantes. Selecciona la pareja de triángulos semejantes: III IV
I II
38
a.
I y II
b.
I y III
c.
I y IV
d. e. 11 .
1 0.
II y IV III y IV
De las siguientes alternativas, ¿cuál no es verdadera para todos los rectángulos? a.
Los lados opuestos son paralelos.
b.
Los lados opuestos son iguales.
c.
Todos los ángulos son ángulos rectos.
d.
Las diagonales son iguales.
e.
Las diagonales son perpendiculares.
¿Cuál punto del gráfico podría tener coordenadas (7, 16)? a.
y
El punto P 20
b.
El punto Q 15
c.
El punto R
d.
El punto S
R
P
Q
10 5 0
12 .
S
5
10
15
20
x
El punto P que no se muestra en la recta numérica está a 5 unidades del punto N y a 2 unidades del punto M. ¿Dónde está ubicado el punto p? 0
2
3
O
L
M 6
13 .
a.
Entre O y L
c.
Entre M y N
b.
Entre L y M
d.
A la derecha de N
N
La figura representa dos triángulos semejantes. Los triángulos no están dibujados a escala. En el triángulo ABC, ¿cuál es la longitud del lado BC? A
D 500
a. 3,5 cm
d.
b. 4,5 cm
e. 8 cm
c. 5 cm
5,5 cm
500
6 c m
2 0 c m
400
B
C
400
E 39
15,3cm
F
14 .
¿Cuál de los cubos podía formarse doblando la figura.
A
15 .
B
C
¿Cuántos triángulos rectángulos grises, como el que se muestra, se necesitan para cubrir exactamente la superficie del rectángulo? a.
cuatro
b.
seis
c.
ocho
d.
diez
m c 4 m c 2
3cm
6cm m
16 .
La línea m es una línea de simetría para la figura ABCDE. ¿La media del ángulo BCD es: a. 30° b.
A
E
1300
B
D
1100
50°
c. 60° d.
70° 300
e. 110° C
40
17 .
a.
60°
b.
70°
c.
130°
d.
140°
e. 19 .
Probabilidad
En un cuadrilátero dos ángulos tienen una medida de 115° cada uno. Si la medida de un tercer ángulo es 70°, ¿cuál es la medida del ángulo restante?
1 8.
Si se lanza una moneda normal, la probabilidad de que caiga cara es
1 2
. En cuatro
lanzamientos sucesivos, una moneda cae cara cada vez. ¿Qué es probable que pase cuando se lanza la moneda por quinta vez? a.
Es más probable que caiga cara.
b.
Es más probable que caiga sello.
c.
Es igualmente probable que caiga cara o sello.
d.
Se necesita más información para responder la pregunta.
Ninguna de las anteriores.
De acuerdo con la información del gráfico, ¿en qué período de los meses aumenta más la venta de abrigos? a. b.
Diciembre – enero Mayo – junio
c.
Junio – julio
d.
Octubre - noviembre
Este gráfico muestra la cantidad de trajes y abrigos vendidos cada mes.
VENTAS MENSUALES DE TRAJES Y ABRIGOS
500
Abrigos Trajes
450 s 400 e m a 350 d a c a 300 d i d n e 250 v d a d i t 200 n a C
150 100 50 0 Ene
2 0.
El gráfico muestra el tiempo que demoran los alumnos en trasladarse de la casa al colegio. ¿Cuántos alumnos demoran más de 10 minutos? a.
2
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
Sep
8 7 s o n m u l a e d d a d i t n a
6 5
b.
5
c.
7
d.
8
e.
15
4
C
3 2 1 0-5
41
6-10 11-15 Tiempo (en minutos)
16-20
Oct
Nov
Dic
21 .
La tabla muestra el número de casas en dos calles de un pueblo, la calle Mirador y la calle Rosas. Calle
Calle Mirador
Número de casas
Mirador
30
Rosas
21
22 .
El pictograma de abajo representa el número de casas por calle.
Calle Rosas
¿Cuántas casas representa una Respuesta:
?
El gráfico de abajo muestra la humedad que se registró en una habitación en una mañana. En la mañana indicada en el gráfico, ¿cuántas veces la humedad fue exac tamente 20% entre las 6 A:M y las 12 del mediodía? a.
Humedad en la habitación
1
50
b.
2
c.
3
d.
d a d e m u h e d e j a t n e c r o P
4
40 30 20 10
6
23 .
7
9 8 10 11 Tiempo (A.M.) en horas
12 Mediodía
Esta tabla muestra la temperatura a distintas horas en cuatro días.
Temperatura 6 A.M
9 A.M
Mediodía
3 P.M
6 P.M
Lunes
15°
17°
24°
21°
16°
Martes
20°
16°
15°
10°
9°
Miércoles
8°
14°
16°
19°
15°
Jueves
8°
11°
19°
26°
20°
42
40
°
35
°
30
°
25
°
20
°
15
°
0
°
5
¿Qué día y a qué hora la temperatura fue igual a la que se muestra en el termómetro? a.
Lunes, a mediodía
b.
Martes, 6 A.M.
c.
Miércoles 3 P.M.
d.
Jueves 3P.M.
°
Termómetro 24 .
El gráfico muestra el tiempo que demora un péndulo en balancearse hacia atrás y hacia delante 20 veces, para diferen tes longitudes de la cuerda.
Balanceo del péndulo 40
30 ) s o d n u g e s ( o p m e i T
20
10
0
10
La longitud de la cuerda es de 90 cm. ¿Alrededor de cuánto tiempo le tomará al péndulo balancearse hacia delante y hacia atrás 20 veces. a. b.
35 segundos 38 segundos
c. d.
20 2 5.
42 segundos
30 40 50 60 70 80 Longitud de cuerda (centímetros)
b. c. 43
100
De un lote de 3000 ampolletas, 100 fueron seleccionadas al azar y probadas. Si 5 de las ampolle tas de la muestra estaban quemadas, ¿aproximadamente cuántas ampolletas quemadas se espera encontrar en el lote completo? a.
45 segundos
90
15 60 150
300 e. 600 d.
26 .
2 10
Álgebra
Las once fichas que se muestran en el dibujo de abajo fueron puestas en una bolsa y mezcladas.
3 11
5 12
6 14
2 8.
8 18
20
Ana saca una ficha de la bolsa sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad que Ana saque una ficha con un número que sea un múltiplo de 3? 27 .
2 9.
Juan planea suscribirse a 24 números de una revista. Él lee los siguientes anuncios de dos revistas. CEDS son las unidades monetarias en el país de Juan.
3 0.
n es un número. Si n se multiplica por 7 y después se le suma 6, el resultado es 41. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes representa esta relación? a.
7n + 6 = 41
c.
7n
b.
7n – 6 = 41
d.
7(n + 6) = 41
×
6 = 41
El costo C de imprimir boletas para una rifa consiste en un precio fijo de $100 y un recargo de $6 por cada boleta impresa.¿Cuál de estas ecuaciones puede ser usada para determinar el costo de imprimir n boletas? a.
C = (100 + 6n) pesos
b.
C = (106 + n) pesos
c.
C = (6 + 100n) pesos
d.
C = (106n) pesos
e.
C = (600n) pesos
La tabla muestra la relación entre x y y:
X
2
3
4
5
Y
7
10
13
16
¿Cuál de estas ecuaciones expresa la relación?
¿Cuál revista es más barata por los 24 números?, ¿cuánto más barata es? Desarrolla tu respuesta 44
1
a.
y=x+5
c.
y=
b.
y=x–5
d.
y = 3x + 1
3
(x - 1)
31 .
32 .
x representa el número de revistas que Luisa lee cada semana. ¿Cuál de las alternativas representa el número total de revistas que Luisa lee en 6 semanas? a.
6+x
c.
x+6
b.
6×x
d.
(x + x)
b.
34 .
35 .
n 3
n+3
c.
×
6
3n n3
Para todo número k: k + k + k + k + k, se puede escribir como: a.
k+5
c.
k5
b.
5k
d.
5(k + 1)
¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera si a, b y c son números reales diferentes? a.
a–b=b–a
d.
ab=ba
b.
a(b – c) = b(c – a)
e.
a b – c = ac – b
c.
b–c=c–b
3 8.
Si k representa un número negativo, ¿cuál de estos es un número positivo? a.
b.
k2 k3
c.
d.
b.
13
c.
28
d. 364
3 7.
d.
Si la razón entre 7 y 13 es igual a la razón entre x y 52, ¿cuál es el valor de x? a. 7
¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a n × n × n para todos los valores de n? a.
33 .
3 6.
2k k 2 45
La tabla representa la relación entre x e y. ¿Qué número falta en la tabla? X
2
3
Y
5
7
4
7 15
a.
9
d.
12
b.
10
e.
13
c.
11
La tabla muestra algunos valores de x e y donde x es proporcional a y. ¿Cuáles son los valores de P y Q? X
4
8
Q
Y
9
P
45
a.
P = 40 y Q = 13
d.
P = 40 y Q = 18
b.
P = 18 y Q = 17
e.
P = 18 y Q = 20
c.
P = 20 y Q = 18
39 .
Encuentra el valor de x si 12x – 10 = 6x + 32.
42 .
Respuesta: 40 .
Si x = 3, ¿cuál es el valor de
5x + 3 4x − 3
Respuesta: 41 .
Si 4 veces un número es 48, ¿cuánto es de ese número? a.
4
b.
8
c.
12
d.
16
En una secuencia de partidas y detenciones, un ascensor viaja desde el primer piso al quinto piso y luego al segundo. Desde ahí el ascensor viaja al cuarto piso y luego al tercer piso. Si los pisos están separados por 3 m, ¿qué distancia habrá recorrido el ascensor? a.
18 m
b.
27 m
c.
30 m
d.
45 m
1 3
43 .
Un club tiene 86 miembros y hay 14 niñas más que niños.¿Cuántos niños y cuántas niñas son miembros del club?
Desarrolla tu respuesta: 44 .
Las figuras muestran cuatro figuras formadas por círculos.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Completa la tabla que aparece a continuación. Primero anota cuántos círculos forman la figura 4. Luego determina la cantidad de círculos que se necesitan para la quinta figura si se extiende la secuencia de figuras. Figura
1
2
3
Cantidad de círculos
1
3
6
46
4
5
45 .
Las figuras muestran cuatro conjuntos formados por círculos. La secuencia de figuras se extiende hasta la séptima figura. ¿Cuántos círculos se necesitan en la figura séptima?
Figura 1
Respuesta 4 7. La tabla muestra una relación entre x ye y. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones podría representar la misma relación? x
1
2
3
4
Y
1
4
7
10
Figura 2
a.
y = 2x + 2
e.
y = 3x – 2
b.
y = 2x – 1
d.
y = 3x + 1
c.
y = 3x + 2
Ampliación en la red Figura 3
Figura 4
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/sitios/1610/ propertyvalue-21118.html
Respuesta 46 .
Las figuras muestran cuatro conjuntos formados por círculos.
Figura 1
Figura 3
Grado 8-9 http://ciberconta.unizar.es/LECCION/probabil/INICIO. HTML Introducción a la probabilidad. Contiene la definición de probabilidad e incluye información sobre los sucesos aleatorios, las propiedades de la probabilidad, la probabilidad condicionada, la independencia de sucesos, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes. Además, contiene experimentos y ejercicios para reforzar los conceptos aprendidos. http://www.pntic.mec.es/Descartes/3_eso/Fracciones_ decimales_porcentajes.htm Fracciones, decimales y porcentajes. Página interactiva en la que se desarrollan los conceptos de fracción, decimal y porcentaje. http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto.htm Números decimales.Página que contiene información y ejemplos sobre decimales periódicos, semiperiódicos y fracciones. http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/potencias.htm Potencias Página que contiene información sobre las potencias y sus propiedades.
Figura 2
Figura 4
La figura 50 en la secuencia tiene 1275 círculos. Determina la cantidad de círculos que tiene la figura 51 de la secuencia. Sin dibujar la figura 51, explica o muestra cómo llegaste a tu respuesta.
47
http://www.edulat.com/3eraetapa/matematicas/2 ano/4. htm Potenciación y división de enteros. Página que contiene información sobre las potencias y sus propiedades. http://el-profesor.8m.com/numeros_decimales.htm Números decimales periódicos. Página que contiene información sobre números decimales periódicos y fracciones ordinarias. http://salonhogar.com/matemat/geometria/def_contenido.html Términos de geometría. Página que contiene una serie de términos y definiciones geométricas, tales como: triángulo agudo, ángulo adyacente, ángulos alternos externos, ángulos alternos internos, altitud del prisma, altitud del triángulo, ángulo, bisectriz del ángulo y ángulo de rotación, entre muchos otros. http://www.arrakis.es/~mcj/circulo.htm Historias sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Página que contiene información sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo. http://lectura.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/curso1/htmlb/sec_53.html El volumen del cono y del cilindro. Página que muestra como calcular el volumen de cuerpos geométricos conocidos (cono y cilindro). http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/ Historias de Matemáticas. Presenta la evolución de la matemática a través de algunos de sus personajes. http://icarito.tercera.cl/icarito/1999/icaro/755/index.html Obteniendo y comunicando información. Página que incluye información sobre las medidas de tendencia central y su presentación. http://www.ctv.es/USERS/vaello/manual/c-potencies.htm Calculaweb. Página que contiene una calculadora científica, útil para trabajar con todo tipo de potencias. http://www.edulat.com/3eraetapa/matematicas/2 ano/15.htm Aplicar rotación a figuras planas. Página que incluye un breve resumen sobre la aplicación de la rotación a figuras planas. http://www.edulat.com/3eraetapa/matematicas/2 ano/14.htm Aplicar traslación a figuras planas. Página que incluye un breve resumen sobre la aplicación de la traslación a figuras planas.
http://escuela.med.puc.cl/paginas/Postgrado/DiplomaAdminis/Estadistica.pdf Tutorial básico de estadística. Página que contiene un tutorial básico sobre estadística y sus aplicaciones en formato pdf. http://adigital.pntic.mec.es/~aramo Aplicaciones didácticas. Proporciona actividades didácticas para distintas áreas del aprendizaje. Contiene letras de canciones populares, adivinanzas y poemas, además de ejercicios de comprensión lectora, de gramática y latín. Explica la construcción de circuitos eléctricos exponiendo ejercicios prácticos e imágenes. Proporciona artículos de actualidad sobre la educación y el desarrollo de los niños. Expone valores humanos y cristianos acompañados de ejemplos. Ofrece enlaces relacionados. http://www.geocities.com/chilemat/software.htm Software. Contiene una serie de links donde es posible encontrar softwares de matemáticas para todos los niveles de educación básica como de educación media. Se incluyen desde la adición y la sustracción (NB1 ), hasta el álgebra y las funciones (NM4). http://www.salonhogar.com/matemat/menu.htm Matemáticas. Presenta distintos tipos de ejercicios tanto de enseñanza básica cómo media, bajo la modalidad de pregunta y respuesta. Representa una herramienta muy útil para trabajar en la sala de computación con la ayuda de una guía escrita. Además, contiene ejercicios para calculadoras y biografías de algunos matemáticos.
Cursos http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/calculo.html Cálculo infinitesimal. en brasileño (o portugués) http://www.mat.uned.es/pfp.html El ordenador en el aula de matemáticasuna sinopsis del curso con el mismo nombre de la UNED http://www.shu.edu/~wachsmut/reals/index.html Interactive Real Analysis Curso interactivo análisis en variable real, con pruebas de teoremas ejercicios, etc. http://forum.swarthmore.edu/~steve/steve/mathlessons. desc.html Lecciones de Matemáticas del Forum de Matemáticas de Swathmore. Muy amplio. (comentado) http://www.eng.uml.edu/Dept/Chemical/onlinec/white/ math/overview/outl539/outl539.htm Mathematical methods for engineers 48
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000927/ index.html Matemáticas III: cálculo en varias variables
http://www.dcs.warwick.ac.uk/dcs/bshm/resources.html Resources http://hub.terc.edu/terc/teech/directory/bykey/gender. html Teacher Enhancement projects, by keyword: ge... http://www.unipissing.ca/topology/ Topology Atlas Un centro para la distribución electrónica de información relacionada con la Topología o un intento de crear una “villa global” en Topología. Contiene cursos de Topología evidentemente.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000953/ index.html Matemáticas IV: ecuaciones diferenciales ordinarias http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2010620/ index.html Probabilidad http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001018/ index.html Teoría de la computación http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000945/ index.html Teoría de la medida http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001005/ index.html Topología general http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000944/ index.html Topología básica http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001006/ index.html Variable compleja
Matemáticas http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001024/ index.html Álgebra conmutativa http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/ index.html Álgebra lineal http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001012/ index.html Análisis http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2003762/ index.html Análisis funcional http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/ index.html Cálculo avanzado http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001025/ index.html Ecuaciones diferenciales ordinarias http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001007/ index.html Estructuras algebraicas http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000903/ index.html Programación y métodos numéricos http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001285/ index.html Matemáticas I: preliminares y cálculo diferencial http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000916/ index.html Matemáticas II: cálculo integral y geometría vectorial
Estadística http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2000352/ index Diseño experimental http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001091/ index.html Estadística básica http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/ index.html Probabilidad y estadística http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2007315/ index Métodos de regresión 49
SOLUCIONARIO
Tema 2
Unidad 1
Tema 1 1. 2.
7.
Racionales. No siempre la razón entre el lado y la diagonal de un cuadrado lo demuestran. x = 2 .
0,16
3.
Porque tienen un ángulo común (90°) y dos lados congruentes.
4.
Sí.
6.
4,33 cm = h
b. 0,26
e. –0,34
7.
12 + 12 = 2 = 1414 , ... El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
11 .
a. –0,028
f. –0,375
b. 4,8
g. –0,28
c. –0,03125
h. 0,625
d. 0,144
i. –0,018
15 .
b. –
1 103 25 – 103
>– <
58 58 d. – >– 45 54 39 42 < e. 76 76 11 .
f.
54 8
<
54 7
g. 0,0078 < 0, 0079
1 i. 3 10
22 .
Sí.
23 .
Sí.
24 .
a.
>
1 104
f. –
273 5 000
b.
2 309 100
g. –
196 250
c.
22 613 250
1 852 h. – 25
d.
31 5 000
i. –
13 105
26 .
d. 8
28 .
1 1 000 17 459 e. 60
258 11
f.
5 377 9 900
c.
17 687 9 900
g.
2 961743 333 000
483 h. 1100
e. 4
4.
e. f.
23 6 ( –1) × 5 3 26 × ( –2 )
37 5 2 ×5 g. 36 53 h. 4 3 53 i. 4 7 3 × ( –1) j.
80 9
a
150 13
c. 14
200 15
k.
d. 2π r ≅ 94, 24 dm a. 6,84 cm
≅ r
13,68 cm ≅ d
b. 4,77 cm
≅ r
9,55 cm ≅ d
c. 2,86 dm
≅ r
5,73 dm ≅ d
d. 7,48 mm
≅ r
14,96 mm ≅ d
50
1
× b × ( – b ) 3 × ( – a )2
6
7
1
3
6
3
x x y xz
F F V F
f. F g. F i. F
5.
a. b. c. d.
1
2
6.
a. 6 3
g. 5 3
a. 2π r ≅ 100, 53 cm
c. 2π r ≅ 106, 8 dm
× 32
9
b. 2π r ≅ 157, 07 cm
29 .
a. 26 1 b. 6 2 1 c. 26 × 3 4 d. 211
352 = 1 225 1 225 ÷ 5 = 245 35 ÷ 5 = 7
b. 12
V F F F V
Tema 4
36 = 62 36 ÷ 2 = 18 6÷2=3
a. 8
c. F d. V
≅ 8, 66 2 × 3 ≅ 12, 24 2 ≅ 11, 31 3 ≅ 13, 85 3 × 5 ≅ 15, 49
c. 8
= 9 801 9 801 ÷ 3 = 3 267 99 ÷ 3 = 33
c.
f. 89 89,101 90
f. g. h. i. j.
b. 5
b. 992
j. –
b.
2 214 d. 9
a. 5 3
h =
h. –9 001 > –9 002
2 250
1 10 000 67 a. 990
21 .
800 h ≅ 28, 284 cm No. Sí.
18 .
20 .
a.
e. 12 .
5.
17 –4 4
1000 32
e. 31
V F F V V
a. b. c. d. e.
75 = apotema
d. –5 –
a. 9 9,987 10 9 5 b. 4 2 890 39 c. 38 23 a. F b. F
4.
1414 , cm = C A = C B
16 .
, h. 1285714
5 8 >– 71 73
1 104 28 c. – 103
351 = C B
14 .
0, 2475
a. –
x =
Área = 30 75
e. 0,83 f.
10 .
3.
d. 3,489
e. 0,34 9.
2.
2.
a. 0,5
c. 0,008 8.
Tema 3
1
b. 76 3
1
h. 30 4 4
2
i. 7 3
c. 3 4 1
1
d. 8 4
j. 9 5 1
1
e. 15 3
k. 257
3
8
f. 5 7
l. 5 5
C = 24, 5 cm
Unidad Dos c.
Tema 2 13 .
14 .
15 .
16 .
Sí, la propiedad clausurativa en la composición de rotaciones lo demuestra, “siempre es posible remplazar la composición de dos rotaciones por una única rotación”. Para regresar la figura a la posición inicial es necesario aplicar la rotación inversa a la aplicada anteriormente. 0 unidades y el ángulo de rotación debe ser múltiplo de 360°. La rotación final no se altera, la propiedad asociativa de la composición de rotaciones lo demuestra. “El resultado de la composición de más de dos rotaciones es independiente de la composición de rotaciones que se aplique primero”.
5. 12. 14. 15.
17.
= 67,5° B = 112, 5° A
217,5 km 2156 , m = x x = 4 cm BC = 4 BA = 6 a. x = 9 b. x = 10
L
a.
6.
a. El prisma está limitado por dos bases que
2.
=5 d. x = 20 c. x
9.
10.
3.
a.
b
× 2
a
e. L2
a. (n – 1)
g. n – 3
b. (n + 1)
h.
c. 3n
i. n 2 – 2
a.
x
+
j.
2
l. n – 3
e. x 2
y
+
y 2
c.
xy
g.
( x – y )
Tener la misma longitud. Tener la misma abertura. Tener la misma longitud de lado. Tener el mismo radio. a. Para que los triángulos sean congruentes, sus lados también lo deben ser. b. No, pues el criterio de congruencia en el que intervienen 2 ángulos y un lado, establece que estos dos (los ángulos) deben ser adyacentes al lado mencionado.
d.
x
h. x 3 – y 3
DE
225 km 125 km
y
2x – 3y x = y + 5 y = x – 12 x + y = 24 x – y = 6 y – x = –6
=
y
b. B = 10, 5 cm
9 5
2.
× 10 × a
e. 3
d. 107 e. a 3
b. 2 y significa 2 veces y.
13.
a. u 5
e. n 7
b. m 7 c. x 3 d. a 6
f. 58 g. a 3 x 2 h. m 3n 3
+ 25
a. –5 b. 4 c. 3
d. –20 e. 3 f. –53 52
+ 4b c. 7a + 7x F. V. V. F.
d. 10u
+ 6v e. 6z + 7m e. f. g. h.
V. V. V. F.
1.
a. 3 b. 2 c. 3
2.
a. b. c. d. e. f.
3.
6xy Monomio. 2x + 3y No es monomio. a. 0 . b. Grado x = 2 . Grado y = 1 . Grado monomio = 3. c. Grado x = 1. Grado y = 1 . Grado monomio = 2. d. Grado x = 3 . Grado y = 6 . Grado monomio = 9.
3
4.
Tema 2 =
d. 7
a. b. c. d.
n 3
Tema 6
g. x 2
46
Tema 3
2 ( x + y )
a. b. c. d. e. f.
c.
12.
3n 2
f.
6.
f. s = 2
b. 3a
f. n + 18 5.
21 4
11.
d. 4L
b. x – y
=
32
e. s =
4u significa 4 veces u. d. 3m significa 3 veces m. e. a + b significa a junto a b.
x
3 d. n 5 e. n – 2
a. Cuando la suma de los ángulos es 180°.
AB
a.
×5 ×3
= 11
c.
c. 2 π r
Tema 8 3.
b. 6
d. x
c. 76
b. 3L
b. Cuando dos rectas se cortan entre sí, los
14 .
8.
c. 8
+ ( x – 1) d. 2x + 2 y e. x + ( x + 1) + ( x + 2)
Tema 5
a. b. c. d.
a. b.
= Área rombo
2
c.
10 .
–1 25
7.
2
1.
b. k + 1
6.
= 135
c. W = 30
Tema 1
a. 5.
ángulos que comparten el mismo vértice y sus lados son semirrectas opuestas. Sí, pues la abertura de los ángulos sólo depende de las rectas que se cortan.
b. T
Unidad Tres
5.
4.
a. M = 51
b. 54
Tema 4 son polígonos y la pirámide está limitada por una sola base. b. Las caras laterales del prisma son rectángulos o paralelogramos y de la pirámide son triángulos. d. Semejanza: El cono y la pirámide poseen una sola base. Diferencias: La base del cono es un círculo círculo y de la pirámide cualquier otro polígono. La pirámide posee caras laterales, el cono no.
6.
Sí. Sí. Sí. Sí. Sí. No.
d. 2 e. 2 f. 2 g. h. i. j. k.
Sí. Sí. Sí. No. Sí.
e. Grado x = 1 .
d. mn
Grado y = 4 . Grado monomio = 5. f. Grado x = 4 .
3.
Grado y = 1 . Grado monomio = 5. Grado y = 2 Grado monomio = 2. Grado y = 3 . Grado monomio = 11.
j.
4.
Grado x = 1 . Grado y = 4 .
5.
i.
7.
d.
l. r
e.
e. 6x
m. 4x 3
f.
10a g. –14b
n. 7a
g.
h. a 2
p. 6a
8.
c. (2)
o. 0
h. i. j.
2
–23a b – 19ab
l.
+ a 2 + 20b 2 e. 21ax + 3ay + 1 f. –13, 96a + 5b – 0, 9
n.
e. 18a – 9b f. 13e
6.
3
+ 14y
+ 4f
2
2.
7.
3a
i. a – 5 b
1 2
j.
d. 3x – 3y
k. 0
–2x + 5y
l.
f. 9
m.
0 –2x 3 + x 2 − x
n.
x3
– 3x
c. d.
x – 2 y
8.
–2a 3 + a 2 9.
+ 64x + 8
+ 28mn 2 + 9a + 8a 3 – 16
10.
–2a – 11b b. 13x – 4y
a.
11.
2 ( 2a ) 6 26
f. –8x 2 y 7
–5c 3n 2
a.
g. 9m 2 n h. –6ax 2 y
–64a 2 b
e. 72y 9
+67xy
h.
3
i. 137tv
3
2
a.
–38x – 34x – 17x + 24
b.
20u 3 + 2u 2 – 4u + 3
f. –28x 4
2
+ 27x – 15x + 17 n
3
53
+
15m
4
3
+
30m – 4 3
2
+ 37a – 23a – 22 a – 16 1 6 38a – 48 e. –54a 3 – 96 + 38
–5c 2 d + 5cd – 8cd 2 +
f. –30m 2 n
–17x 2 y 2
d. 2a
8
+ 7xy 2 – 23y 3
c. 74m 7 – 17m 6 – 5m 3 – 37m 2
4x – 4
+
v 2 – w2
y 3 – 4 xy – y 3
b. –24a 2 b 3
d. 40a b
+ 11x
9a
2
e. –7x 2 y 7
2
4x + 13y
+
11x
–2x 2
a.
c.
2
–2a b + 4ab
g. 6a
+
+ f. 4a + g. 2u +
b. –2x 3 y
2
2
+
b. –25x 3 – 7 x 2 y
a.
x
3
h. y – x 169 2x 2 + 13x – 40 13 2 3 –21a + a + 2a + 28 35 9 2 a b – ab2 – 23 20 2 14x 3 + 4 x 4 + x 2 + 6 x – 3 3 14x 4 + 20x 3 – 27x 2 + 14x – 1 2
d. –12a 2 b 4
f.
y2
+ 2 y
c. 25m 2 n
3
16v 16
e. 2a
c.
b. 13x 2
3
4x
b. 25a 2 b – 15ab 2
e. h. m 3 i. x
a. b.
d. 0 g. ab
4
c. 2x
h. 0
c. 2y
a.
+
d. xy
+ ab
+
a.
–3 x
b. y 2
3a – 3a
a. 6x 2
+ 16tx + 28t 2 – 79x 2 8x + 12xy 5b 2 + a 7x + 7xy – 6y 3x 2 + 3y 4 + 9 + 4x 3 4m – 4m 3n 2 + 11n 2 – 5 6x + 7x 2 y 40x 2 y 2 – 11xy + 16x – 16 16y 3 –13x + 2x + 138 29x 2 + 63x – 39 10m 2 n + 8mn2 + 16m2 r
–0,9a – 0,5b – 1, 3c m. – a – 2b + 2c
2
a. a 2
+ m 3 + n3
w v 2 – 4w 3 k. –5w 2v – 5wv
2
Tema 5
d. 3u – 6v
Tema 4 b. x c. y
c.
+ 2 y b. 5ab + 15bc
c.
d. (1)
3x
–8a b
a. 5x
c.
a.
b.
2
k. uv
d. –13a 2
Grado y = 6 . Grado polinomio = 7.
a.
j.
g.
e. Grado x = 3 .
2.
3.
32xy
–28a d. –a
e.
Grado b = 5 . Grado polinomio = 7.
2
i.
b. 20y
b.
c. Grado a = 3 .
3x – 6y b. 6a + b c. 11m – 10n
– x
i.
Grado y = 7 . Grado polinomio = 10.
a.
a.
h. –5x – 6xy
b. Grado x = 5 .
7.
l. a 2
2
a. Grado x = 3 .
b. (2)
v
g. 27x – x – 10x
Grado x = 1 . Grado y = 1 . Grado monomio = 2.
a. (1)
f.
2
Grado y = 4 . Grado polinomio = 5.
6.
k. b
d. 11ab
Grado x = 1 . Grado y = 5 . Grado y = 12 . Grado monomio = 24.
5.
xy
c.
k. Grado x = 12 .
l.
e.
f.
h. Grado x = 8 .
h. 19m 2 n – 14mn 2 3
c.
g. Grado x = 0
i.
j. v
2
+
3
26x y
+
2
2
9x y – 16xy
g. 6x 2 – 17xy n
– 20mn
2
h. 3a 2
+ ab a b + 4b 2 – 5a3
3
+
4
16y
i.
–14x 2 y + 34x – 2y + 9 y 3
j.
4m 3 + 4n 2 m2 + 11n – 15
k. 16x 2 y l. 12 .
+ 2xy – 5x + 2y
b. 3a 5
4
32a – 70a
+ +
4
16a – 38a
5
3
3
4
c. –38a – 17a – 2a d. 15a 5 – 15a 4 19a
5
+
2
+
67a – 47a
+
29a – 26a
+
2
2a
3
2
+
3
+
13a
+
4. 102
+
69
77a – 89 89
+
7a – 51 5 1
f. 0 13 .
a.
–3a 2 b + ab 2 + 2b3
b. –8x 3 c.
5.
–7x 2
14 .
i. j. 6.
( –1)
3
2
6
11
×a ×a =a × m 4 = m 6 × n10 = n 15
2
n5
(a
12.
+
b)
2
×
(a
3
12
+
b)
(a
=
+
b)
a. 10
+ a = a + a. = 4a2 x 2 .
10 .
= 54 – 2 = 52 = 25 25
32 × 122
g. 23 a 3 b 6
d. 63 a 3
j. 2n a 2n
e. 23 a 3 b 3
k. –3x a x
a 6 b 3
i. 53 a3 b3 c 3
l.
12 –34 a 8 b 12
7
i.
13.
5n 6m 2 3x 4 y 3 g. – 4z
4
a. a 7
g. 47 8
( –2) 7 c. ( –10) d. a –5 e. a n + 1 f. 51
f.
5
–
b.
6
5m
3 × 1011
234 5 9 1 k. – 2 l. 336 j.
e. 2b
8
1 6 3 250
h. 20
4
n
a. 108
15.
a.
–64 × –54
h. x 5 i. j. k. l.
u 16 x m+n x 5
106 10 g. 25 m 5 n 10 h. 36 g 12 h 1 8
g. 45
× ( –2)6 c. 35 × m 20
( –2) 7 c. ( –10)
h. x 3
d. 67 a 14
j. 2m a n × m
i. m 5
e.
4a 6 b 2
k. –3x a 2 x
d. a 5
j.
f.
a 8 b 4
l. 36 a12 b 18
e. a n + 1 ’
k. 3x 4
a.
f. 2
2
6
g. 6
d. 812 a 3 m 3
x y
36
b. 52
3
4z 5
b.
e. V.
= 4 = 64
h. 32 x 4 y 6
f.
b. 54 a 7 x 4
d. –
d. V.
×2
× ( –2)3 c. 32 × a 4
e.
14
c. 81a 4 b 2
c. a
6
3
4 ( –10) = 10 000 c. 320 d. 72
a. 74 a 8 b 4
7
( –1) = ( –1) .
4
b.
2
9.
a.
f.
a. No es correcta.
b.
×
21
( 5a 2 b ) = 25a 4 b2
8.
7 × ( 5 + 4) = 7 × 5 + 7 × 4 35 + 28 3 4 7 63 a. F. (2 × 2 ) = 2 . b. V.
2
14
d. Sí es correcta.
2× =1 Conmutativa: 3 × 7 = 7 × 3 = 21 Distributiva respecto a la adición:
g. F. ( 2ax )
8
3
7.
3
b. 5 3
(mn 2 ) = m 3n 6
1 2
2
11.
4 ( 3 × 4) = 34 × 44 c. Sí es correcta.
2 × 2–1 = 1
3
54 52
(ab ) = a 3 b 3 b. Sí es correcta.
2 × (5 × 4) = ( 2 × 5) × 4 2 × 20 = 10 × 4 40 = 40 Neutro multiplicativo: 2 × 1= 2 ó 1× 2 = 2 Inverso multiplicativo:
3
Cociente de potencias de igual base:
3
Clausurativa: 2×3=6 2, 3, 6 ∈ R Asociativa:
c. F. ( –1)
3
36
h. m
e. 5a 2 – 2a + 60
f. F. a
i. 3,10998 4 j. 15 7 k. 16 l. –336
g. a
3b + 2 c. z + 5 y + 9 d. 2a – 1
2.
c. –20
2
(4 ) = 4
( –1) f. a 2 × a6 = a 8
b.
1.
h. –42
e.
2
Potencia de una potencia:
b. 80
a.
3
( 2 × 4) =
c. a
a. n
Tema 6
la multiplicación:
g. 6
d.
+ 21m 2 n + 29mn 2 – 30n3
3 (a – b ) 5 h. (2a + 1)
15
d. 3x 2 e. 48m 3
Distributiva de la potenciación respecto a
a. 144
b. 5
+ 36x 2 + 20x – 68 68 + 14x + 8
e. a 5 g.
d. 36 1 e. 6 f. 0,012
2
2
45
c. x 5 d. x 3
72a – 69a – 30a – 13 1 3
+
15a
3
a.
b. 53
52a 4 b 3 – 145a4 – 3ab6 + 4
a. 23a 5
e.
3.
1
5
x a + b
l. 10
4
Producto de potencias de igual base:
23 × 25 = 23 + 5 = 28 54
16.
i. 52 a2 b2 c 2
a. 6mn 2
g. –40x 9 y 7
b. –8x 3 y 8
h.
1 053 053m
i.
–324a 3 bc
c.
–a 4 b 5
d. –24a 4 b 8
6
n 3
j. a n + 1n m +1
17 .
e.
–15a 3b 2 c
k. 990a 6 b 9
f.
24a 2 m 4 n
l.
k. –25w 8v – 10w 7v 2 – 35w 6 v 3 – 45w 5 v 4
–180s 7 n 3
a. 6a 2
k. –6a 3 b
b. 15a 3 b 2 c
l.
–70x 5 y 6
m.
14x 7
c.
–192a 3bc 9 10
l. 5.
d. 2m n
n. 20m n
3 4 3 a b 8
2
3
o. –72x y
144m
5
n2
– 192m
4
n3
1 5 x y 3 3
g. 8am 4 n
q. –121m 3n 6
g. 3x 3
h. a n + 1b 2
r.
27x 3 y
9 4 8 x y 20
s.
30a
j.
–21m 5 n 6
t.
5 3 7 a b 4
5+n
b 3
+
n
a. a – ab 4
l.
3
b. m – m c. –21a
2
f.
3
n. –4a b
3
9ab
4
2
h.
6a b – 54a b
i.
−9a
j.
–6a b
5
2
b
5
4
3
r.
3
3
10a b
k. x n + 1 – x n a. –2a
4
2
3
–6a
2
b
b. –2m c.
–16 x
4
y
+
24 x
d.
–15a
4
b
+
6a
e.
–14 x
y
+
18 x
a. 12a b
+ 20a
3
3
y 2 – 36 x 2 y 3
b2
5
+
y
+
c. –21a 7 b
2
b3
12a 16 x
4
3 2
3
d. 42x y – 28x y
−
g. 16a 3 b 4 – 18a4 b 3
2
3
s.
+
24m
6
1.
4
4
+ 130a4 b – 13a3 b
4
y3 − +
+
1 008 x 7
115a b 6
943m n
2
2
+ +
5
y 4 – 672 x 3 y 3 6
320a b 5
782m n
3
4
+ +
+ 5
360 x 4
e. 60a 2 – 22ab
g. 10a 3
4
4
y – 84xy
j.
63x + 12xy – 3y
2
x – 5x – 4
+ 14x 2 y + 2xy 2 l. 20x 3 – 13x 2 y + 2xy 2 m. 243x 4 y + 81x 2 y 4 – 9x 2 y – 3y 4
32 2
m 3n 5 +
3 2
2.
Área = = x 2 – 2x
3.
a. 14a 2 – 11ab b. 64x 2 – y 2
m 2n 6
55
+ 2b 2
y 5 – 168x 2 y 8 4
3
2
k. 20x 3
+ 10ab4
5
5
+
3
6
60a b 2
6
368m n – 1 472m n – 161m n
+ 16a2 – 80a – 128 h. 12x 4 – 8x 2 – 18x 2 + 12 i. 48x 2 y 3 + 48x 2 y – 75xy 2 – 75x
n 4 – 15m 4n 4 –
2
+ 2 b2
2
415a b – 480a a b
+ 15 = 27 b. 2a + ab c. m 3 + m 2
f.
5
9 ab 7
a. 12
2 3
18m
+
d. –77x 4 – 63x
+ 32a5 b2 + 22a3 b4
+
aby 2
Tema 8
+ 21abc3
n2
+
3 3 a b – a2 b 2
2
32 y
3ab
1 272 x
u. 368m 7n
+ 24a7 b2 – 54a6 b3 + 60a5 b4 – 66a4 b5 – 6a 3 b 6 n
+ 4a2 b 3 + 2a3 b4 –
–748a 8 b 2 + 1 166a7 b3 – 902a3 b5
t. –255a 8 b
+ 16x 2 y 2 – 24x2 y + 36xy 2 – 4xy3 7
1 5 a b 2
+ 1 863x 2 y – 405xy p. 216a 4 b – 300a 3 b 2 + 396a2 b3 + 12ab4 q. –273a 3 bc + 441ab 3 c + 945abc3 r. 17a 3 b 4 + 272a4 b 3 – 442a5 b2 + 714a3 b4
+ 45x 3 y 3
+ 42x
f. 21a 3 bc – 21ab 3 c
i. –60a 8 b
j.
y – 32 x 3 y
2
+ 160axx 4 b 2
o. 1 647x 4 y – 1 134x 3 y
+
e. –10a 4 b – 30a 3 b 2 – 30a2 b3
–108m
2
+ 12a6 b – a5 b + 11a4 b – a3 b
4
h. 4x 3 y
40m 2 n 3 – 20mn5 – 25m 3 n3 – 2mn2
n. 26a 7 b – 130a6 b – 65a5 b
b – 28a b
b. –90x 5 y – 36x 2 y 5
j.
+
+ 4a x – 8a x + 14ax n + 10m 2 n 3
4
2
2ab
2
3 2
6
x y
4a b
+
6
– 240mn
m. –858x 6 y – 462x 2 y 5 – 231x 3 y 3
s. S n + 1 – S n 3 t. 2x 2 z – xz 2 2 u. 6a 3b – 16a 2b 2
5
9a b
+
+
2
n 5
2
o. 54vw 2 – 36v 2w 2 2 1 t – t p. 9 12 q. 18x 4 – 36x 5
6x 3 – 3x 2 +
y –
3
m. 6a b – 16a b
+ 18x
g. –9a 3 b
i.
k. 12abx 3
3
+ 7a
d. –6x 3
2x
4
2
+ 6x 2 y – 15xy 3
h. –30ax 3 y – 40ax 4 b – 70ax 2 y 3 – 30a2 x2 b
l.
2
– 96m
2 3
18x 3 y + 9x 2 y 2 – 12ax 2 y
i.
n4
+ 25a 3 b6 + 75a6 b3 + 30a7 b5 – 5a2 b3
f.
–8xy
3
1 3 3 x y 3
+
p. –6a b
3 2
– 264m
+ 10m 2 b. 4xnm 3 + 4xn 2 + 4mx 3 n + 8xn d. 20a 4 b 3
Tema 7
3.
+
3m n + 7m n
f.
2.
n
e.
e.
1.
6
a. 5mn 2
c.
2 3
–240m
+ 40w4 v 5 – 30w 2v 6
c. 10a 2
+ 6a – 108
d. x 4 – 1 e. 6x 2 y 3 f. g. h. 4.
a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
+ 6x 2 y – 27xy 2 – 27x x 2 – 21x + 54 20x 3 – 14x 2 y + 2xy 2 20x 3 – 13x 2 y + 2xy 2 ( 3a + b ) ( 3a + b ) (2a – b)( 2a – b) ⎛ 1 x – 3y ⎞ ⎛ 1 x – 3 y ⎞ ⎜⎝ 5 ⎟ ⎟ ⎠ ⎜⎝ 5 ⎠ ( x + 3y ) ( x + 3y ) (5a – 2b )( 5a – 2b ) (5a + 2b ) ( 5a + 2b ) (a + b ) ( a + b ) ( a + b ) (a – b )( a – b)( a – b) ⎛ x – 1 ⎞ ⎛ x – 1 ⎞ ⎜⎝ 6 ⎟ ⎠ ⎜⎝ 6 ⎟ ⎠ 2 – 3 2 – 3 x x ( )( )
10.
d. f. g.
7a
9
–7a
−
11
+
4
8
3 2
4a
i.
a – 4a b
j.
m7
l.
8m
3
n
7m
86a
+
8
4
b
b
3
+
+
7
6
+ 3a
n
+
42a
3
2
28a
9
2
b
o. p. q.
Tema 9 1.
b
21m
4
n2
3
3
n2
+
3
f. 8
b. 8
g. 4
c. 5
h. –5
d. –8
i. –6
e. –8
j. –20
p.
⎛ 1 m 2n – mn2 ⎞ ⎛ 1 m 2n – mn2 ⎞ ⎜⎝ 4 ⎟ ⎟ ⎠ ⎜⎝ 4 ⎠
+ 4m 4 n – 4m 3 n2 – m2 n3 – 6mn4 – 5n5
9
8
7
7a – 56a + 86 a – 199a
6
5
4
5
2
+ 108a – 47a – 93a + 199a + 40a + 32
+ 42u 4 – 60u 3 – 20u2 + 96u – 10 c. n
b.
m
+ n
5
6
+
+
108a
16a
4
2
6
5
4
5
– 47a 2
4
– 93a
4
3
3
7
21a
+
2
4
35m
4
n3
+
35m
3
4
b – 12a b
5
6
3
n4
+
21m
2
194a
+
b – 34a b – 12a b
+ 2a x – 13a x + 9a + – ab3 + 3a2 b2 – 3ab4 + b4
5
+
4
+ 7
4a
+
2
+
2
b
35a
+ 5
40a 2ab
+ 2
6
32 30ab
+
2
5
– 6b
9
3
b – 20a b – 7a b
3
8
+
4b
11
6
x
n n 5
+
7mn
6
+
n7
2m
3
n2
3
+
4m
2
n3
+
2
n 4 – 24m m 3 n 3 – 6mn 4
20m
+
5n
5
2
+ 78x – 80 10a 9 – 16a 8 + 6a7 + 11a6 – 223a5 + 532a4 – 751a 3 + 652a2 – 82a + 35 4u 5 + 24u 4 + 39u 3 + 58u 2 – 16u + 1 –28a 5 – 14a 4 b + 42a2 b2 + 4a2 b + 2ab2 – 6b2 + 16a 4 b 2 – 12a3 b 3 – 34a2 b4 + 30ab5 –2a11 + 6 a8 b 3 + 10a9 b2 – 30a6 b5 + 18a4 b7 – 54a 4 b 7 – 14a5 b6 + 42a2 b9 – 16a3 b8 + 48b11
2.
a. –7
4
b – 16a b
m. 15x – 4x – 8x – 63x n.
⎛ 2x + 1 ⎞ ⎛ 2x + 1 ⎞ ⎜⎝ ⎟ ⎜ ⎟ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
+ 5x 3 y 2 – 29x 2 y 3 + 41xy 4 – 18y 5
16m
5
2 3
– 199a
4
2
x4y +
o.
1 ⎞ ⎠ 3 ⎟
n – 4m n – m n – 6mn – 5n
14a
3
+
⎛ 2 x – 4⎞ ⎛ 2 x – 4⎞ ⎜⎝ 5 ⎟ ⎟ ⎠ ⎜⎝ 5 ⎠
+ 99x 3 – 105x 2 + 118x – 144 3 2 2 3 + 28x y – 28x y + 20xy 4 – 7y5
h. 2x a – 7a x – 4a x
k. 6x 5
n.
a. 2n
9.
2
+
⎛ 4x 2 – 1 ⎞ ⎛ 4x 2 – ⎜⎝ ⎠ ⎜⎝ 3 ⎟
c. 18u 5
5
4
m.
b.
– 56a
–28a
( x 2 y – 3xy 2 )( x 2 y – 3xy 2 )
a. 2m 5
8.
+ 4m 5
l.
= 108x 4 – 45x 2 + 36x 2 y – 15y
b. 4x 5 – 17x 4 y c. 2m
⎛ 1 x 2 – 2y ⎞ ⎛ 1 x 2 – 2 y ⎞ ⎜⎝ 7 ⎟ ⎟ ⎠ ⎜⎝ 7 ⎠
Área = (9x 2 + 3y )(12x 2 – 5)
7.
a. 20x 5 – 73x 4 5
k.
a.
1 42
b. 65
=
1 16
1
e.
( –1)
=
3
–1
3.
1
f.
( –2)
c. 25
g.
1 58
d. 86
h.
( –3)
56
3
3
a. 8xy 2
e. –6u 2v 2
b. 8x 6 y 5 c. – 2
f. –8mw 3 20 g. – 3 2
m n 9 3
d. –3u v 4.
m w
h. –7m 4 n 4
a. 8x + 5 b. 4a 4 – 3a3
+ 6a2 + 2a
4 a – 6m 3
c.
d. –4x 4 y 2 – 4x 2 y 4
16 e. – a 3 b 4 5
+ 15a 4 b3 – 7a5 b2
–9v 3 – 2v 2 – 3v + 4
f.
3
g. –6w
+ 6w – 12w + 12 + 8n 2
e.
–7a 5 – 4a 3 + 6a
f.
x – x – 3x – 7 x – 9 x +
6
+ 5m 5 – 9m 4 + 3m 3 – 12m2 – 7m + 2
6
5
4
3
2
3
x +
3
2
3
i.
–7m + 6m n + 5mn – 9 n
j.
–17x 5 – 4x 4 + 3x 3 –
+ 4x 2 – 5x – 8 3x + 6
m –
7
p. –2
5mn
+
– 10n
+ 8 x 6 z 5
2
4
+ 6m – 9m
21x 2 11x – –9 11 7
q.
4x 2 b. –3x 4
d. No es factor.
b. No es factor.
e. Sí es factor. c. Sí. d. Sí.
d. x 3
57 2
7.
+ 5 . Residuo: –1.
x 2 – 3x + 5
c.
3
+
x2
+
x – 2 . Residuo: 3.
2
e.
x –x
f.
x2
+ x – 1 + x + 1 . Residuo: 2.
a.
x3
+ 1÷
con residuo 2.
x – 1 = x2
+
x
+ 1
b. No todos los binomios, sólo los de la forma ( x – b ) . c. No siempre. 3
2
2
a. 0
1.
– x + 8x + 9 . Residuo: –9x .
con residuo –27 y 27 es múltiplo de 3.
Tema 10
3
b. 6x 3
a. Sí es factor.
6a – 19 a + 3a – 27 ÷ a – 3 = 6a – a
c. 2x 3
a.
f. 258
b. x 3
94 2 671 7 411 . x + x – ñ. 6x – 7 49 343 106 830 Residuo: . 343 39 3 x q. –4a 3 + 2a 2 x – 6ax 2 – 7 204 4 Residuo: x . 7 2 r. 5a + 8a – 11
c. 33
a. 2x – 6x + 8
3
+ 6ab 2 + 8b 3
19 – 2x 2 z 6
o.
m n
e. 1
2
6.
n. 6a 2 – 9a +
7
b. –4
b. No.
3a 8 – 6a 4 b 4 – 4b4 3
d. 2 739
0
a. No.
5.
20 3
l.
2
=
c. Sí es factor.
2
m. –5m – 2n . Residuo: 36mn 2 .
2
a. 1 – 3 + 2
+ 9ab2 – 6b3
–7x 2 b 5 + 8b 7 + 6x 7 b4
24
3.
4.
9
k.
3
6a 2 – a . Residuo: –27.
152
l.
16
2.
+ 4m 2 – 2m + 5
k. 9x 3
5 4
16
–20a – b + a 2 b 2
n. –10a 2 b
6.
4m
j.
m.
5.
d.
h. a 3 – 5a 2 b
–7x 6 – 4x 3 y 3 + 6y 6
i.
–3a 4 + 5a 3 – 2a + 10
g. m 3
2
h. –6m 2
c.
d. Verdadero.
c. 1
b. 18
+ 9x 2 y – 6xy 2 + 7y 3
Evaluación por competencias 1.
a. m 2
+ n 2
(m + n )
c.
(m – n ) + 3
b. n
2
G . y
=7 G . P = 16 c. G . x = 9 G . y = 7 G . P = 11 11
×n ×n=n
c. a 7
4.
b.
d. S 8 e. w
5.
f. a 4
(q × p )
h. m 3 n 3
4
2
a.
3
2
+ 9ab + 8a –
7.
3
+
9u
2
+
9 7
c. 3x + 7 d. 2x + 3 8.
4
a. m 4 – m 3 b.
17 8
+
a. 4y
+ 21m 8 n 2
+ 96m5 n3 – 210m4 n4 + 360m3 nn 5 + 15m 2 n 6 + 5m7 n3 – 17m6 n4 – 3m5 n5 + 16m 2n 6
b. 3a 2 – 7a
30n 2 – 12mn – 12m – 8
b. –24 xw – 8xwu c.
b. 32m 9 n
+ 7a2 b2 – 3a + 4b + 3
–3x – 11x + 21x – 1 + 5 y – 6 y + 9 y
c. 2b 2
3
g.
a. 15ab 2
a. 159m 7 n – 75 m 6 n 2
=8 G . P = 20 e. G . a = 3 G . b = 5 G . P = 7 f. G . a = 2 G . b = 2 G . P = 4
b. G . x = 9
⎛ m ⎞ (m × n ) + ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ 4 6 a. m × n
6.
G . y
G . P = 5
(m × n ) – 5
2
d. G . x = 12
G . n = 4
e. 2.
a. G . m = 3
2
b.
d.
3.
2
34u – 5
45b 2 – 19ab – 24a – 12 57
+ m 2 – m + 1 .
a + a + a + a + a + a + a + 1. 7
6
5
4
3
2
Residuo: –2. Residuo: 2.
Tema 11 1.
108 = 2 2 × 33
2.
120 × 2 30 × 8
e. ax ( x 2 – a 2 )
6x 2 ( x 3 – a2 x 2 + 5x – 1) g. 9a 2 b ( 7a 2 – 4ab + 3b2 ) f.
h. 3x 2 y ( 4xy i.
3.
24 × 3 × 5 = 240
j.
4.
5ab × a 2 b 4
k.
5.
a. 24
i. j.
= 23 × 3 45 = 32 × 5 65 = 5 × 13 56 = 23 × 7 86 = 2 × 43 120 = 23 × 3 × 5 236 = 22 × 59 64 = 26 81 = 34 130 = 2 × 5 × 13
a. b. c. d. e. f. g. h. i.
50 2 10 1 5 9 4 8 4
b. c. d. e. f. g. h.
6.
7.
l. 12.
c. d. e.
4
3
3
2
2
3
2
+
2
+
2
+
= 2xy ( x + 4) A = 10y 2 ( x + 3) A = 3a 2 (a 3 + 3a2 b + b)
1.
a. b.
2.
a. b. d.
f. 12m 2 n 2
3x 2 y 2 d. 2abc
g. 6xy 2 z
c.
(6a 2 b + 10c ) (b – 1)
d.
( 7a – 3b ) (m + n ) ( 8x + 3y ) (u + 2v ) (a + b – c ) ( x + 1) (11 – x + y )( a – 2) ( 2b + 1) (a 2 + 2a + 1)
b. 20x 7 y 3
e. 5a 2 b
c. 13a 2 bc
f. 3x 2 y
f. g. h.
3
c. 7ab c d. 12xy
5.
a. b. c.
b. 2ab ( 3a 2 – b 2 )
d.
c. 7x ( x – 1)
e.
d. 4x
2
(5x – 3) 3
f.
( 4x – 7) ( 2y + 3) ( 7 + 2m ) (m 2 – 2n ) ( 9m + 6)( 2n – 1) ( 4x + 2 y ) ( x – y 2 ) ( 4a – 7) ( 5b + 9) (2a 2 – 3) (b + 1) 58
4a 2 + 28a + 49
+ 4xy + 4 y 2 c. 9 + 54a + 81a 2 d. x 4 + 2x 2 + 1 3.
a.
4a 2 + 4a + 1
b. 4a 2
i.
+ 28a + 49 x + 4xy + 4 y 2 9 + 54a + 81a 2 x 4 + 2x 2 y + y 2 x 2 + 4xy 2 + 4 y 4 a 4 + 2a 2 b2 + b4 m 4 + 4m 2 n 2 + 4n 4 9a 2 + 42ab + 49b 2
j.
9b 2 + 4b +
d. e.
h.
2
x 4y 2
4 9
+ 2x 3 y 3 + x 2 y 4 l. 9a 4 + 42a 2 b 2 + 49b 4 m. 144a 2 b 2 + 24abc + c 2 k.
2 1 a + 5 25 1 o. 4a 2 + 2a + 4
a.
e.
d. 2ab
2
a.
b. x 2
c. ( y 2 + 5 y ) (a – 2 ) d. ( 3a – 2) (a 2 + 1) ( y + 2)( y – 1) (a – 3 b ) ( x + 2 y ) ( 3 + 5a )( 7 – b ) (a – 3) ( 2b + 1)
b. x 2 y
3x (ax + by )
2.
g.
( 2x + y ) ( x + 3) b. (5x 2 – 3y ) (a – 2)
4.
+9 + 28x + 49 – 30x + 25 – 4x + 1
d. 4x 2
c.
e. 5u 2v
x 2 – 6x
c. 9x 2
3. 3 y 17.
a. 14x 3 y 3
a.
a.
b. 4x 2
Tema 12
23m, 23m 4 .
b. m n
1.
f.
f.
2 2
3
( x 3 + y ) (ax 3 + 5 y 2 ) ( x 3 + y ) ( x + 5 y 2 )
Tema 13
( 4ab + 3) Primer lado (2ab 3 ) Segundo lado
c.
a. 11a b
f.
2
4abc, 3ab 3 c, 6abc, 2ab4 c .
2
2
( 2 + b ) (a2 + a + 1) b. (ax + ay )( a – 1) – a2 + a c. ( 2 + 5a ) ( x + y – z ) d. (a 2 + b 2 – c 2 ) ( x – y ) a.
e.
A
1. 4 y 5.
e.
3a 2 bc
3
2
+
•
16.
a. 2mn, 4mn, 2mn .
a.
+
2. 40 y 4.
2
c.
11 .
3
14.
15.
–2xy , –1xy . d. –11ab, 1ab .
10 .
(2x 4x y – 3xy y ) 2 x y ( 3x 2 + 2 x + 1) 2abc (a 2 – b 2 + 2c2 ) 5uv (u 2 – 7uv + 3v 2 ) 6mn 2 ( 4mn – 2m 2 + 5n 3 ) x 7 ( 3x 3 + 2x 2 – 5x – 1) 11x 2 ( x 4 + 5x 2 – 2) 5x y ( 4 x y 7x 2 y – 6 xy ) 4 xy ( 9x – 2 x y 6 xy – y ) 7xy
b. No es posible factorizarlo.
•
j. 12 k. 6 l. 13 m. 6 n. 16 o. 5 p. 41 q. 8 r. 4
+ 5x 2 – 7y 2 )
13.
•
c.
9.
a. b.
b. –13gh, –2g 3 h5 .
8.
6.
n. a 2
+
2
4.
( 5 + 4) ≠ 52 + 4 2 81 ≠ 41
5.
a.
49a 2 + 28ab + 4b 2
b. 25a 2 c. a 2 x 2 d.
4 2 a 25
e.
x4
h.
16m
+ 20a 2 b + 4a2 b2 + 2a2 xy + a2 y 2 +
4 a + 1 5
+ 4x 3 y + 4x 2 y 2 f. 100a 4 + 20a 2 b 2 + b 4 g. 64a 2 b 2 + 16ab 2 + b 2 4
n
2
+
16m
3
n
3
+
4m
2
n
4
i.
16u 2v 2 + 8u 2v 3 + u2 v 4
j.
4 4 x 25
k. a 2 l.
a2
+ +
8 2 2 x y 5 4 4 a + 3 9 2 1 a + 3 9
+
+ 4y 4
9.
1 + a + 4a 2 16 1 6 2 3 3 x + x y + y6 n. 9 3 o. 9b 2 + 66ab + 121a2
b.
(a + 2b ) = a 2 + 4ab + 4b 2
c.
(m
d.
( 4 – 3s ) = 16 – 24s + 9s 2
2
+
5n
)
2
m2
=
+ 2abc2 de +
1.
c2 d2 e2
2.
2
a.
( x + a )
b.
( x + 2y )
2
2
b. a 2 c. a
4
i.
m 4 – 4m 2 n 2
4
+ a2 25 + 4n 4
3.
+
b. 4a 2 x 2 – 12axby c.
+
k. u 6 n 2 – 9 x 2
c. u 4 – k 2
l.
– ( x 2 – 16)
d. k 4 – n 2
m.
x 6 – y 6
e. a 2 – 1
n.
( 4a 2 – 1) (9x y – 4)
g. a
q. 30uv
h. a
r. 2s
i.
4.
s. 36a 2
j.
4a 2
( x + a )
b.
( x + 2y )
2
d.
2 ( x + 7y )
e.
( 4 – 3a )
f.
4.
y4
x 20 – 2 x 10 y 10
+
f.
1 2 4 2 m – m n 9 3
+ 4m 2 n2
y 20 5.
⎛ a – 2 ⎞ ⎜⎝ 3 ⎟ ⎠
( 5a – 3b )
2
h.
( 6 – 5x )
a.
(2mn + n 2 )
⎛ a – 3 ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟ ⎠ 2 l. (ax – by )
b.
( 3ax + x 2 )
c.
(5a – b )
a.
( 5u + 3v )
(8 – a )
2
2 ( x – 2 a )
o. (11 – x )
5.
2
2
1.
a. b. c.
3.
a.
a.
(m + 8 y ) – 4v 4
b.
d.
( 3t 2 y + m 3n ) – 4 2 (m 2 + 2k 2 ) – k 2 2 (k 2 + 1) – 64y 2
e.
(a + 3at ) – x 2
f.
2 ( 3t 2 y + 45d ) – 1
2
( 2x + 5)
2
2
2
2
i.
(2b + 5ab ) – 9
j.
(5t + 13) – 64y 2
k.
(m 3n + 7mn ) – 9t 2
l.
– ( 4 + 2u ) – x 2
2
2
2
o.
2 ( 3t 2 + ty ) – 4
p.
( 3t – 5z ) – 4y 2
q.
(ab + 5d ) – 4c 2
r.
(a + c ) – b 2
2
2
n
n 2
n
2
(2x + 8b ) – 1 b. ( 4k + 1) – y 4 a.
2
( 3a + 3x ) – c 2 2
2
e.
– ( 2g + c ) – 25a 2
f.
– ( –by – c ) – a 2 x 2
e.
( 2a – 7 y )
2
2
2
d. – ( 3y – z ) – 4h 2
( 7a – 2b )
2
2
2
2
c. (16a
+
12b )
2
(a 2 – 9a 2 x 2 ) ( 4a 2 – 9) ( 36 – 64y 2 ) u 2 – 9 y 2
59
g. – ( 4r 2 – b ) – x 2 y 2 2
i.
( x 2 + c 2 ) – n 4 2 – (2x 5 – y 2 ) – a 2
j.
2 ( 3xy + y ) – 1
d. (t 2 – 9 x 2 )
k.
(a 3 + x 3 ) – a 2 p 2 c 2
l.
– ( 2u – 3x ) – u 4
f.
( 4 – x 2 ) (25x – 576)
j.
( 36 – 64 y )
o.
2
e.
2
2.
2.
4a 2 – 9
2
d.
Tema 15
h. x 2 –
i.
c. 2
(1 – 4) r. a 2n – b 2n
m. t 6 – y 6
k.
2
2
q.
2
j.
4
h. a 2 – 9a 2 x 2
(u + 3v ) – 4v 2 h. a 2 – 9a 2 t 2
(10 – 5x )
n.
o.
p. 9x 2 – 4 y 2
g.
i.
m.
2 (a + 3x )
b.
2 1 x + 3 9 1 2 2 4 x – x + i. 4 7 49 1 2 20 a – ab + 100b 2 j. 9 3 1 2 2 a x – 8abxy + 64b2 y 2 k. 4 1 l. 36a 2 – 6ab + b 2 4
2
g.
+ 9b2 y 2
+ 9b2
2
a.
9x 4 y 2 – 1
g. u 2 – 4v 4
c.
p. 4a
2
b2 y 2
e.
g. 36a 2 – 36ab
2
2
49a 2 – 28ab + 4b 2
d. x 4 – 2x 2 y 2
( 4x + y )
2
c. No es trinomio.
21 49 2 m j. 9n – nm + 2 16 4 4 k. m 4 – m 2 + 3 9 a. a 2 x 2 – 2axby
d.
b
f. 9
2
8.
( 3 + b )
n. 6a 3 1 o. 2
2
1 d. 9a 2 – 2ab + b2 9 1 e. x 4 – x 2 y 2 + y 4 4 1 2 b f. 4a 2 – ab + 16 4 2 g. 25a – 20a b + 4b2
2
c.
m. a 2 c 2
4b
e. 6a
2
28 ab 5
b. a 2 – 4
l. a
2
d. 5a
+y – 4ab + 4b 2 – 2a 2 x 2 + x 4
h. 49b 2 –
2
2
x – 2 xy
2
25n
k. 24ab
a. a
c.
2 (a – b ) = a2 – 2ab + b2
a.
+
2
b. 6 y
( –a + b ) = –a 2 + 2ab – b2 7.
10mn
4.
4 4 q. x + x + 5 25 4 2 4 1 x + x + r. 9 9 9
2
+
Tema 14
2
6.
2 ( 2a + 1) = 4a 2 + 4a + 1
f.
m.
p. a 2 b 2 c 2
a.
h.
2
2
2 (2xn + b ) – 25k 2 n. 36t 2 – 4
m.
2
(kx – az 2 ) – a2 y 2
p. q. r.
2
d.
(b 2 + 21) – 9x 2 2 ( z 2 – 2u ) – 81 2 (s 2 – 3u ) – 225k 2
( 6a + 5b ) ( 8 a + b ) f. (1 – x – y ) (1 + x + y ) g. ( 6 – 2x + y ) ( 6 + 2x – y ) h. ( 7x – a + 2b ) ( 7 x + a – 2b ) i. (b 2 )(2a 2 – b 2 ) j. ( 2y )( 2x ) e.
2
s
( 3x + 3y ) – 1
t.
(x 2
2
+ n 2 ) – 4x 2 n2
Tema 16 1.
a.
x 2 – 4
4
e. 9x 4 y 2 –
1 f. 4m – 4
2
a.
(12m n – 13x ) (12m n 2
2
2
+
13 x
e.
)
f.
(16bx – 3) (16bx + 3) c. (15x 2 – 1) (15x 2 + 1) d. (17a – 11) (17a + 11) b.
e. f. 4.
g.
(a10 – 1) (a 10 + 1)
h.
(16bx – 4) (16bx + 4)
i.
(3ab –
c. d. e.
j. k. l. m. n. ñ. o. p. q. r. s. t. 5.
1.
(7a 2 – 11) ( 7a 2 + 11) (18 – x 3 ) (18 + x 3 )
f.
b.
a. b. c.
1 361y
2
)( 3ab
+
–
2
+
2
2
⎛ 1 x – 5 y ⎞ ⎛ 1 x + 5 y ⎞ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ 2 ⎠ 6 ⎟ 6 ⎟ 5 – 17 5 + 17 a y a y ( )( ) (6a 2 b 4 + 7x 2 b )( 6a2 b4 – 7x2 b) (6ab 3 – 5a4 b2 ) ( 6ab3 + 5a4 b2 ) (a 3 – b ) ( a 3 + b ) ( 3ab – a4 y 3 ) ( 3ab + a4 y 3 ) (23a – 18b ) ( 23a + 18b ) ⎛ 11x – 8 ⎞ ⎛ 11x + 8 ⎞ ⎜⎝ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 1 – 9 1 + 9 x) ( x ) ( (12x – 6) (12x + 6) ( x 5 – x 6 ) ( x 5 + x 6 ) (1 – x 5 ) (1 + x 5 )
( ( x – 1) – y ) ( ( x – 1) + y ) ( ( x + y ) – 3) ( ( x + y ) + 3) ( (a – b ) – x ) ( ( a – b ) + x )
f.
a
2
+ 10a + 24
a.
x2
+ 2x – 3 – 11x + 24
2
+ 12a + 4a 2
q. 9 r.
y 4 – 3y 2 – 88
Tema 18
2
2.
a.
x2
(a 2 + 10a + 24)
i.
x2
j.
x2
k.
x 2 – 2 x – 120
l.
x
2
+ +
+ 2x – 3 – 11x + 24 – 5a − 14
+
3.
+
a.
h. Coeficiente x: 5. Término independiente: 6.
Coeficiente x: 7. Término independiente: 0. j. Coeficiente x:-5. Término independiente: 50. i.
+ 71x – 720 + 4x
y
+ 4y
4.
2
b. 25 – 4x 2 c. d. e. f. g.
x2
+ 2x + 1 2 x + 4 xy + 4 y 2 x 2 + 2 x – 63 x 2 – 6 x + 9 42 + 4x + 4 60
Coeficiente x: 18. Término independiente: 80.
g. Coeficiente x: 14. Término independiente: 36.
ab – 2ab – 48 x
a. Coeficiente x: 8. Término independiente: 15.
f.
p. u 4 – 12u 2 – 45
2
( x + 11)( x – 5) ( x – 8 )( x – 10)
e. Coeficiente x: 6. Término independiente: –55.
o. x 4 – 5x 2 – 6
4
( x – 5)( x – 3) b. ( x – 5 ) ( x + 2) c. ( x + 15) ( x + 2) d. No es factorizable. a.
d. Coeficiente x: 9. Término independiente: –10.
1 8
n. y 2 – 16 y – 192
r.
9x 2 + 21x + 12
c. Coeficiente x: 17. Término independiente: 30.
m. x 2 – 3x – 180
q. x 2
f.
b. Coeficiente x: 3. Término independiente: –10.
x – 30
3 x 4
4x 2 + 24x + 35
f.
x – 156
2
e.
e.
c. a 2 – 5a – 14 h.
)
p. x – 6x – 27
d. a 2 – 36
+ ( –3 + a ) x – 3a + 11y + 30
2
2
b. a 2 – 36 x2
+ 4a 2
+ a 2 ) – 1
c. a 2
b. x
3.
x2
a. a 2 – 5a – 14
e. u 2 – 6u – 216
)
l.
b. x
d. y 2
1 361y
x2
Tema 17
c.
2.
k.
4
2
2
x4
(
( x – 2a – 3b ) ( x – 2a + 3b ) (uv – 3 – u v ) ( uv – 3 u v ) 2
j.
o. – ( –a
2
1.
(21 – 6) ( 21x + 6) (7axb 2 – 5) ( 7axb2 + 5) (5 – 9a ) ( 5 + 9a ) (a 3 y – m 3n ) (a 3 y + m3 n ) ⎛ 1 a 3b – 7⎞ ⎛ 1 a 3 b + 7⎞ ⎜⎝ 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎜⎝ 2 ⎠ 2 2 (20ab – 25x ) ( 20ab + 25x )
a.
(2 y
x2
n. 36 – 24a
( x + a – b) ( x + a + b ) 2
i.
+ 4x – 96 – 4ux + 4u 2 – 6x 2 y + 9 y 2 + 19x + 84 + 6x – 27
m. x 2 – 36
(a + b )) (2y + (a + b )) c. ( 6a – x – 1) ( 6a + x + 1) d. ( 9 – 5x ) ( 7 + 5x )
4 9
2
a. b.
2
c. m – n 2.
6.
d. a 2 – 4
b. a 4 – b 2
h. x 2
( (2a – b ) – 6b ) ( ( 2a – b) + 6b )
5.
a. 11 y 1.
f. 7 y –2.
b. –10 y 3.
g. –4 y –5.
c. 22 y –2.
h. 12 y –11.
d. –6 y 5.
i. 26 y –14.
e. 5 y –2.
j. 15 y 9.
= 6. = –4 . c. x = 8 , y = –2 . d. x = –1 , y = –11 . e. x = 7 , y = 8 . a.
x = 1 , y
b. x = –7 , y
= –2 . g. x = –18 , y = –1 . h. x = 10 , y = –3 . i. x = 30 , y = 1 . j. x = 5 , y = –3 . k. x = 4 , y = 1 . l. x = 8 , y = –3 . f.
6.
7.
x = –9 , y
( x + 5)( x – 3) b. ( x + 6) ( x + 4) c. ( x + 7) ( x + 2) d. ( x + 9 ) ( x + 6 ) e. ( x + 3)( x – 2) f. No es factorizable. g. ( x + 9)( x – 1) h. (a + 5 )( a – 3) i. (a + 7 )( a – 2) j. ( x – 15)( x – 3)
Tema 19 1.
(b + 5)( b – 3)
2.
(u – 1) (u + 7)
3.
b. c. d. e. f. g. h. i. j. k.
( x + 6)( x – 5) x = –6 ó x = 5 ( x – 18) ( x + 3) x = 18 ó x = –3 ( x – 3)( x – 2) x = 3 ó x = 2 ( x – 4 ) ( x + 3) x = 4 ó x = –3 ( x – 7)( x – 2) x = 7 ó x = 2 No es factorizable. ( x – 11) ( x + 2) x = 11 ó x = –2 ( x + 8) ( x + 3) x = –8 ó x = –3 ( x + 7) ( x + 1) x = –7 ó x = –1 ( x + 4) ( x + 6) x = –4 ó x = –6 ( x + 11) ( x + 10) x = –11 ó x = –10 2
=0 ( x – 10) ( x + 9) x = 10 ó x = –9 m. ( x – 6 )( x – 5) x = 6 ó x = 5 n. ( x – 7 )( x – 3) x = 7 ó x = 3 o. ( x – 10)( x – 4) x = 10 ó x = 4 l.
x – x – 90
a. b. c.
a.
a.
g.
d. 4.
a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r.
5.
h.
( x + 6)( x – 5) No es factorizable. ( x – 3)( x – 2) ( x + 7) ( x + 2) (2x + 3) ( x + 1) ( x + 7) ( 2x + 3) ( x + 3) ( 2x + 1) ( x + 5) ( 3x + 2) (2x + 7)( x – 1) ( x + 3) ( 3x + 2) ( 3x + 2) ( 2x + 1) ( x – 1) ( 4x + 3) ( x – 2)( 5x – 1) ( x + 2)( 3x – 1) ( x + 2)( 7x – 1) ( x – 3) ( 3x + 1) (2x + 1)( 3x – 1) (2x + 5) ( 4x + 1) ( x + 3)( 4x – 2) (2x + 3)( 5x – 4) ( x – 1) ( 6x + 5) ( x + 4)( 8x – 1)
f. a.
( x – 3) ( 2x + 1)
b. c. d. e.
6.
x
(2x – 3) ( 4x + 1) ( x + 6) ( 2x + 7) ( x + 5)( 2x – 7) (2x + 7)( 5x – 3) ( x + 8)( 3x – 7) ( x – 1) ( 5x + 2)
a.
x = 3 ó x = –
b.
c.
3 2
2 ó x 3
=
( x + 6) ( 3x + 7) x = –6 ó x = – 2
( 3x + 6) x = –2 f. ( x – 5) ( 3x + 9) x = 5 ó x = –3 e.
61
=7 ó
=–
x
=
7 5
1 2
7 ó x = 1 3
=7 ó
=–
x
=
1 2
2 1 ó x = – 3 2
=–
3 1 ó x = 4 2
( 3x – 8) ( 2x + 3) x
=
8 3 ó x = – 3 2
( x – 1)( 6x – 6) x = 1 q. ( 4x + 9)( 5x – 2) p.
x
r.
=–
( 2x – 1) ( 8x + 3) x
=
Tema 20 2. 6.
9 2 ó x = 4 5
1 3 ó x = – 2 8
a3
+ 3a2 b + 3ab2 + b3 a. x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8 y 3 b. 27x 3 + 54x 2 y + 36xy 2 + 8y 3 c. 343 + 147w + 21w 2 + w 3 3 2 a 2
+
e. 8x 3 – 12x 2
1 5
1 3
( 4x + 3)( 2x – 1) x
o.
x =
( 3x – 2) ( 2x + 1) x
n.
=1ó
1 3
( x – 7) ( 4x + 2) x
m.
x = –
( 3x – 7)( 2x – 2) x
l.
= –8 ó
( x – 7) ( 2x + 1) x
k.
1 2
( x – 1)( 6x – 2) x
j.
=
x
( x + 8) ( 6x + 2) x
i.
=4 ó
d. a 3 –
( 3x + 2)( 5x – 1) x = –
d.
1 2
( x + 4)( 4x – 6) x = –4 ó x =
( x – 4)( 2x – 1)
3 1 a – 4 8
+ 6x – 1 f. 8x + 12x a + 6ax 3 + a3 x 3 g. 125a 3 + 225a2 b + 135ab2 + 27b3 h. u 3 – 3u 2v 2 + 3uv 4 – v 6 3
3
3 2 x 2
3 1 x + 4 8
i.
x3
j.
64x 6 + 48x 4 – 12x 2 + 1
+
k. 8a 3
+
+ 12a 2 + 6a + 1 L. 125 – 225k + 135k 2 – 27k 3 n. 216x 6 + 324x 4 + 162x 2 + 27
Tema 21 4
1.
a
2.
a5
4.
a. a 4
q.
3
2 2
3
4
+ 4a b + 6a b + 4ab + b + 5a 4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + + 4a 3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
r.
b5
6
( x – 1) = x 6 – 6x 5 + 15x 4 – 20x 3 + 15x 2 – 6x + 1
s.
b. 5.
a. 6 ! = 720 b. 7 ! = 5 040 c. 8 ! = 40 320 e.
6.
c.
d.
10 !
=
3 628 800
a. 56
e. 35
b. 15
f. 252
c. 10
g. 84
d. 6
h. 792
7.
c. 28
× 56 × 70 × 56 × 28 × 8 d. 36 × 84 × 126 × 126 × 84 × 36
8.
a
e.
b. 6
f.
(x
+
2)
g.
(x
–
y)
x6
= 5
+
12x
5
x 5 – x 4y
=
60x
+
4
10 x
+
+ 3
160x
3
+
240x
y 2 – 10 x 2 y 3
2
+
+
192x + 64
5 xy
4
– y 5
h.
c.
i.
4
(a + 3) = a 4 + 12a3 + 54a2 + 108a + 81
d.
i. g. h. j.
2
( 3x + 6) = 9x 2 + 36x + 36
Tema 22 1.
e.
+ y x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 x + 2 a 4 + a3 b + a2 b2 + ab3 + a + 2b
f.
x5 – x4y
a. b.
k.
c.
l.
(a – 2b )
m.
(x
+
y)
5
5
=
=
a5
x5
– 10a +
4
5x 4 y
b
+
+
40a
3
b2
10x 3 y 2
+
– 80a
2
b 3 +
10x 2y 3
+
4
d.
5
80ab – 32b
5x yy 4
+
y 5
n.
2.
+
x 3y 2 – x 2 y 3
b4
+
xy 4 – y 5
a. El número de términos del cociente es igual al exponente del dividendo. b. El máximo grado del cociente es uno menos que el del dividendo y a
medida que los términos pasan este exponente aumenta en un literal y disminuye en otro. c. Todos positivos. d. Los términos en que b posee exponente par son positivos y los términos en que posee exponente impar son negativos.
ñ.
o. ( x
x
6
+
1)
=
x6
+
6x
5
+
15 x
4
+
20 x
3
+ 15
x2
a 2 – ab
6x + 1
+
+
b 2
No existe residuo diferente de cero. e. Sí existe residuo diferente a cero y los términos del cociente son positivos cuando el primer término es par y negativos cuando es impar.
p.
62
3.
Grado dividendo: 2. Número términos cociente: 2.
– b 5 a – b Grado dividendo: 5. Número términos cociente: 5.
Grado cociente: 1. Primer término cociente: x . Último término cociente: y .
Grado cociente: 4. Primer término cociente: a 4 . Último término cociente: b 4 .
2
x
a.
2
– y
x – y
x
b.
4
4
– y
x – y
3
3
x
c.
– y
f.
2
7
– y 7
4.
x
+
6
– y
x
+
+ 7ak + 49k 2 c. a 2 – 7ak + 49k 2 d. 125 + 50h + 20h 2 + 8h 3 e. f.
=
x6 – x5y
+
x 4 y 2 – x3 y3
+
a.
x4
b.
x2 y2
+
x + x y + x y
7
2
3
5
c.
x5
+ +
x3y2
+ +
x2 y3
9
d. x 6 e. x 8 f.
x3
x3 y 8
+ + +
x4y x5y
x7y
+
+
x2y
6
+
x 2 y 4 – xy 5
+
y 6
4
3
x4 y2 +
xy 2
x3 y3
x 5y 3
+
+
xy 4
+ +
+
x2 y4
6
2
7
8
x 4y 4
+
x 3y 5
xy 5 +
+
x 2 y 6
y6 +
xy 7
+
y 8
y 3
+ v ) + 6w d. 10 – (f + g ) e. 8 + 9a 2 f. 9a 6 – 3a 3 × b 3 + b6 a. 9a 2 – 3a × 2b + 4 b2 b. a 4 – a 3 b + a2 b2 – ab3 + b4 c. w 6 – w 5v + w 4v 2 – w 3v 3 + w2 v 4 – wv 5 + v 6 c. (u
No, en esta se obtiene un residuo de 2n 6 .
11 .
a.
j.
a2
+ b2 – 7ak + 49k 2
a6
+
n –1 0
+
x
n –2
y
x
n –3
y2
+
...
+
n
y – 1
+
x n – 3y 2 – ... – y n – 1
a5
+
a4
+
a3
+
a2
a 1 + 1
3.
a. 35.
c. 11, si es la
4.
a. 5.
c. 2.
b. 29. única respuesta.
5.
• La suma de 2 con cierto número es 38. ¿Cuál es el número? • La diferencia de 36 con cierto número es 1. ¿Cuál es el número? • ¿Cuál es el número que sumado a 35 da 43?
6.
b
7.
a. c. d. e. f.
> a x = 17 w = 147 m = 8 t = –344 –566 = a – 176 = k
16 .
62. 35. 37. 42. 114. 1 361. 4,5. 56.
17 .
a.
8. 9. 10 . 11 .
b. n par. x n –1y 0 – x n – 2 y
+
ab
d. V.
15 .
+
+
b. V.
b.
a. n: impar y par. y
a2
c. F.
12 .
x
i.
a. V.
13 . 15 .
g 2 + 1
d. 40.
+ 2w + w 2 h. m 6 + 3m 5 + 9m 4 + 27m 3 + 81m2 + 243m + 729 a. m 5 – m 4 n + m 3 n 2 – m 2 n3 + mn4 – n5
10 .
–
b. 36.
b. 9m 3 – 10n 4
8.
g4
+
c. 25.
g. 4 7.
g6
b. 21. 9
y5
+
–
a. 17.
2. 5
g8
Tema 23
y4
4
+
k.
+ x y + x y + x y + x y + x y + xy + y
x 6y 2
+
xy 3
g10
1 1 x – 4 8
h.
1.
+
+
−
+
y
l.
y
1 2 x 2
x3 –
g. g 12
6
Residuo: –2y 7 . 5.
a. b. a 2
Grado dividendo: 6. Número términos cociente: 6. Grado cociente: 5. Primer término cociente: x 5 . Último término cociente: y 5 .
Grado dividendo: 2. Número términos cociente: 2. Grado cociente: 1. Primer término cociente: x . Último término cociente: 2. x
16 .
2
x
2
x –
c. n impar.
5
– 22 b 2 a – 2b Grado dividendo: 2. Número términos cociente: 2. Grado cociente: 1. Primer término cociente: a. Último término cociente: 2b . a
e.
Grado dividendo: 4. Número términos cociente: 4. Grado cociente: 3. Primer término cociente: x . Último término cociente: y . 2
a
d.
x =
36 5
b. x = 4
63
g. –239 h. 236
= f
= v
i. u = 288 j. r = 102 k. 86
= b
l. 240 = K.
g. x = 11 h.
x =
17 39
c.
x = –18
l.
x = –5
18 7
j.
x = 12
d. x = –
18 .
x = 5
k. x =
f.
x = 8
i.
a.
x = 390
g. x = 2 268
b. x = –672
h. u = 4
c. x =
i. m = –5
–24 000
d. –1 425
19 .
x
j. e =
x = –1962
k. –12 = y
f.
x =
l. r
–14 100
a. –17
= –2
c. –56
1 3
a
6.
a. m
b
4.
5.
b
a
–
b a
–
=
.
1.
b c a
d
–
b
2.
=
d
3.
f
+ =
c d e f
c
– –
d c
=
e f
–
c d c
.
d
4.
8.
4 3 1 d. 8
9.
e. z =
a.
d. e. a. b. c.
7 4
x –
x = –
d. x = e.
x =
1 7
=
5.
13 18 7 – 40 1 12 14 25
=–
f. u = f. n =
6.
d. –5
–6x – 31 b. 13x + 38
c. 2x 2
a.
a.
=–
i. m =
x =
a.
x = –55
1
36 47
–
a.
x = –8
x = –
e. 15
5 9
5 2
2
1.
x
28 27 104 25 31 – 7
c. d.
+
1 3 2
f. x = g. x = h. x =
=
i.
x =
x
1 7
1 x
+
1 3
+
1 5 1
−
=
= –2x
15 = x 2 6 x + 2 = 7 x – 3
f. 2.
=
1 5 x x 2 1 1 1 – = – 5 3 x x 1 3×5 = 15 x 1 2 =– x 15
e. 15 x = –
33 4 13 – 6 43 2
Tema 27
g. x = h. x =
x =
–
a. 7 ( x
1 20
2 5
e. x = –
d. x = 1
6
64
d. x =
d. x =
a.
b.
30: lengua. 24: ciencias sociales. 30: ciencias naturales.
e. x =
13 12 11 – 27
x
x = –14
f. x = –
i.
=
x – 1
e. x = –7
c.
c.
49
68 385 46 – 9
d. x =
53 40
c.
a.
2
2 9 11 5 33 – 8
c.
+
d. –24x – 8
x = –
b. x =
g. n = 2 h. y
c. –2x + 14
b. x = –1
b.
c.
11 .
a
d. y
b.
10 .
49 45 91 w = 45 29 m = – 20 6 q = – 7 9 b = – 2 63 t = 28 35 v = 8 9 x = – 7 43 x = 22 6 x = 5
–3x + 8
b. 6x – 9
b. x =
b
a. m = –
c. c.
ax
a.
b. x =
d
e c ⎞ × = ⎛ × ⎜⎝ f – d ⎟ ⎠ a b ⎛ e c ⎞ b x = ⎜ – ⎟ ⎝ f d ⎠ a
suelo y el izquierdo se eleva más. b. Se mantiene el equilibrio. c. Se mantiene el equilibrio. d. Se mantiene el equilibrio. e. En el platillo en que se triplica la masa hay más peso, por lo tanto tiende más al suelo, el otro platillo sube más (la masa mayor es 9 veces la menor). f. Se mantiene el equilibrio. a. Mantiene la igualdad. b. Mantiene la igualdad. c. Mantiene la igualdad. d. Mantiene la igualdad. e. Mantiene la igualdad. f. Mantiene la igualdad. a
a
d b c e
+
b
19 + 4t 8 8x – 19 4
= b
Tema 26
d
Multiplicamos a ambos miembros de la igualdad por el inverso multiplicativo del factor que acompaña a la incógnita.
a. El platillo derecho se acerca más al
x
=
Se resta a ambos miembros
= t + 3 b. x = z + 16 z = x – 16 c. t = δ + 20 δ = t – 20
b. 9. 3.
ax
7.
b ax
a. 36.
b c
x =
Tema 25 1.
a
x +
ax
t =
b
Total libros = 42 + 84 = 126 c
Se resta a ambos lados
d. 58
d. x =
a
x +
6.
Tema 24 d. Sí.
× a = b × a = ba
x
Sí.
1.
2 del total de libros. 3 2 84 = (Total de libros) 3 1 = 42 libros de matemáticas 3
Simplificamos.
10 3
e.
b. 20 .
=
x
219 – 32 43 – 12
e.
x =
Multiplicamos por a a ambos lados de la igualdad.
+ 2) = 6 ( x – 3)
b. 6x – 18
3 13
15 11 59 – 9 1 – 17 108 107
c.
–18 – 14
x = 33, 6°
2.
d. x = –32 a.
3.
x = –
A
5 3
d. e. a.
4.
b. c.
29 24 37 w = – 2 6 a = – 5 105 q = 43 55 h = 2 y
=
x
3.
13 g. x = – 9 3 h. g = 2 5 i. h = – 4
b. m = 17 c.
3 5
f.
=–
4.
6.
7.
f. 27
= m
8.
119 = a 33 56 = x h. – 15 g.
–55 = a
12 = u 5 31 = w e. 10 d. –
i. –
–
j.
8 285 191
500 93
=
k 10 .
= s 11 .
a.
1.
x =
b. x =
c. x = 50
= 24
C = 16 13 .
x = 41
14 .
32, 34, 36.
15 .
18 .
70 = B 85 = A 30 = B 45 = A x = 90 B = 14, 5 m A = 24, 5 m
19 .
A
20 .
6, 7, 8.
16 . 17 .
= 35 B = 20 A = 30 B = 20 A
22 .
23 .
A
=2 A = 2B B = 12 A = 24
= 24
24 .
Evaluación por competencias 1.
a.
3m 2 n ( 5m 3 + 2m 2 – 6m + 7)
b. 3a b ( 5 a – 4a b 2
3
a.
4.
a. 12 – 6x
ab – 6b )
b.
+ 9x 2
49 2 y 16 9 9 2 y c. 9x 2 – xy + 2 16 a. No es trinomio cuadrado perfecto. b. 4x 2 – 7xy
6.
+
c. m 4 – 8m 3
+
2
b.
(a 2 b 2 – x 2 y 2 )
a.
x = 6 ó x = 1 .
a. 8x 6 – 12x 4 y 2
9.
x6
a. a12
+
a10
b. a 8
+
a4 b6
+
a8
+
a6
+
b12
+
a4
c. w 4v 2 – w 2v + 1
+ 6x 2 y 4 – y 6
12 .
b. x 6 – 3x 4 c.
+ 24m 2 – 32m + 16
d.
b. x = 4 ó x = 3 . 7.
a.
2
(a + by ) ( ax + b ) b. ( x 2 – 1) ( y 2 + 1)
3.
5.
2
8.
+ 3x 2 – 1 v – 6x 5 y + 12x 4 y 2 – 8x 3 y 3
65
a. Sí. b. Sí.
B = 18
4 = y 28 = x En la actualidad el hombre tiene 36 años y el hijo tiene 12 años. y = 305 x = 337 B = 75 A = 105 Elefante = 45, 625 kg Cebra = 9,125 Conejo = 0, 25
21 .
B
25 2 10 3
A
B = 20
Primera persona de 10 años: $ 70 000. Segunda persona de 8 años: $ 56 000. Tercera persona de 12 años: $ 84 000.
9.
Tema 28
12 .
= 100, 8 B = 45,6 A = 180 – B 80 = B 100 = A B = 2A C = 3B A = 4 444, 4 A = 31 250 B = 18 750
c. Sí. d. No.
+
a2 + 1
b. 3
Unidad 4
Tema 1 1.
a. 7.
2.
2.
6 maneras diferentes
3.
10 partidos
5.
{1, 2, 3} es igual a la combinación {3, 2, 1} y da lo mismo escoger {1, 2} que {2, 1} .
6.
El conjunto {1, 2, 3} es el único subconjunto de 3 elementos del conjunto A.
d. 15.
b. 13.
3.
a. El cardinal de A es 5. b. El cardinal de C es 1.
3.
A = {Número de patas
a.
de un caballo}
B = {Número de dedos de las
b.
extremidades superiores del ser humano}
4.
7.
Una combinación de 2 elementos.
8.
{ } C = {{A . A } , {A . A } ,{A , A } , {A . A } , { A . A },{A , A }
= {{0 }, {1} , {0, 1} , { }} Elementos cardinales de P ⎡⎣F ⎤⎦ = 4
P ⎡⎣F ⎤⎦
b. El cardinal de P ⎡⎣F ⎤⎦ = 4 a. P [T ] = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},
N =
Si el cardinal del conjunto de partes es igual a 2n , donde n es el cardinal del conjunto, por esta razón sí depende. a. El cardinal de P es 2. El cardinal de P ⎡⎣F ⎤⎦ = 4 b. El cardinal de P es 3. El cardinal de P ⎡⎣T ⎤⎦ es 8. c. El cardinal de P es 5. El cardinal de P ⎡⎣P ⎤⎦ es 32. d. El cardinal de P es 4. El cardinal de P ⎡⎣ A ⎤⎦ es 16. Cardinal de P ⎡⎣F ⎤⎦ = 22. Cardinal de P ⎡⎣T ⎤⎦ = 23 .
9.
10 .
f. 6
, A4
2
, A3
4
6.
El espacio muestral es (6). La probabilidad de sacar número par es 1 2 .
De 10 formas diferentes. 9.
5 frutas.
2
c. La probabilidad de tener un número primo es: = 5 . 12
Tema 3 1. 2.
10 .
a. 2 11 .
120 formas. 20 triplas ordenadas. Cuando se pide la combinación acertada. 6 modelos diferentes. 120 modelos de banderas. 27 720 a. 720 b. 322, 333, 000, 313, etc., en los que se repita una cifra. c. 280 números. 120
12.
Tema 4
8 1.
Número de opciones para que ocurra un suceso. 66
d. La probabilidad de tener el mismo puntaje en ambos lados es: = 1 . 6
Espacio muestral = 10. 3 . 10
a. Una ficha roja = b. Una ficha azul
=
c. Una ficha negra
1 . 5
=
1 . 2
d. Una ficha verde = 0. 13. 14.
1. Probabilidad de sacar una ficha con un número impar =
16.
c. 1
a. La probabilidad de tener nueve puntos es: = 1 . 9
462 maneras de seleccionar la comisión.
8.
Tema 2
14 .
7.
c. 256
}, , A }}
120 planchas diferentes.
6.
e. 1 024
2 2
} { } ,{ A
, A3 , A1 . A3 , A4
13 .
d. 134 217 728
a. 3
2
Sí. P ( A) =
45 opciones para elegir.
b. 16
1.
1
Frecuencia de A Número de experimentoss
5.
12 .
5.
b. 4
4.
par es: = 1 .
3.
d. 32
4
Es más probable que aparezca al menos un sello en las 2 monedas. Sí hay relación, ya que la probabilidad de un evento P es el cociente entre la frecuencia ideal del evento y el número de repeticiones del experimento.
28 maneras diferentes.
c. 1 024
a. 3
2
11 .
2
12 .
4
4
3-6, 4-5, 5-4, 6-3 (4). b. La probabilidad de tener un número
a. 8
N = {–1, 0, 1}
1
3 . 4 2 Probabilidad de B es . 4
Probabilidad de A es
10 tipos diferentes de ensalada se pondrán a la venta.
10 .
11 .
•
Resulta lo mismo elegir.
9.
n
3
3
{{A . A 1
Cardinal de P ⎡⎣B ⎤⎦ = 25 . Cardinal de P ⎡⎣ A ⎤⎦ = 24 .
13 .
3
{A , A
d. 8
8.
1
Hay una mínima probabilidad de que Juan gane la carrera. ¡Hay una gran probabilidad de que triunfemos hoy! El espacio muestral es: CS, SC, CC, SS (4). A: El evento de tener al menos un sello es: CS, SC, SS (3). B: El evento de tener resultados diferentes es: CS, SC (2). •
El conjunto C es un subconjunto de P ⎡⎣ A ⎤⎦. No existe una combinación de A con más de 4 elementos. Sí existe una combinación de A con 4 elementos.
c. 3
7.
2
2 2
{2,3},{1,2,3},{ } }
6.
A = A1 . A 2 , A3 , A4 1
a. El cardinal de F es 2. 5.
2.
8 . 15
3 . 14 2 . b. Probabilidad de sacar la letra l = 14 a. Probabilidad de sacar la letra i =
c. Probabilidad de sacar la letra u =
1 14
27.
d. Probabilidad de sacar la letra s = 0. 17 .
18 . 19 . 20 .
2 5 2 B = 5 1 C = 5 5 a. 8 A
=
28. 29.
b.
23 .
25 .
3 8
Sucesos excluyentes. a.
b.
=
a.
=
b.
=
5 17 8 b. 17 9 c. 17
2. 3.
4.
c. 1
a. 0
5.
1 5 8 10
Sí, pueden haber datos con la misma frecuencia. No siempre, todo depende de la cantidad de datos (familias) que haya, si son impares se puede, de lo contrario no. a. No. c. No. b. No. a. Es más peligroso viajar por carretera a
gunda calidad:
Frecuencia
1,53 1,63 1,59 1,64 1,80
1 8 1 1 1
c. Media = 2,4.
e. No siempre, muy bien dicen las estadísticas que
15 . 30
Dato
con 2,4 hijos. Mediana = 2. Hay 9 familias con el número de hijos de la mediana y de la moda.
proceso de natalidad del ser humano.
•
1 1 1 2 1 5 1
b. Media = 2,4. No puede haber f amilia
d. Las cigüeñas no intervienen por completo en el
35
1,69 1,72 1,67 1,60 1,56 1,45 1,52
mos saber la cantidad de estudiantes del curso.
estos efectos se manifiestan en otros órganos del cuerpo, tales como el cerebro.
mera calidad: . 50 Probabilidad de coger papa de se-
Frecuencia
a. El promedio, pues para él necesita-
6.
c. El exceso de alcohol es perjudicial para la salud, pero
50 cargas de papa. 15 de segunda calidad. Probabilidad de coger papa de pri-
Dato
c. Moda = 1,63
una conclusión de tal magnitud, si presentara este tipo de efectos, su consumo sería detenido inmediatamente.
3 8
a.
26 .
=
b. Por esta simple coincidencia no se puede hacer
c. 0 d.
b. P (B )
1 2 1 2
muchos kilómetros de nuestra ciudad, debido a la circulación de carros la velocidad aumenta y el control del conductor hacia el vehículo disminuye.
1 4 1 4 1 4
=
Tema 6
2 c. 6
1 1 b. 6 22 .
=
a. P ( A )
Mediana = 2. Moda = 2.
“casi todos”, hay muchos matemáticos admirables que no son hijos mayores. a. 1,59 m
Promedio = 5 647,05 Mediana = 4 500 Moda = 4 500
7.
Estatura promedio b. 1,63 m = Mediana
Evaluación por competencias 1.
2.
c. 1
{1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 2, 5} {2, 3, 4} {2, 4, 5} {2, 3, 5} {4, 5, 3} {1, 3, 4} {1, 3, 5} {1, 4, 5} b. {1} , {2} , {3} , {4} , {5} c. P ⎡⎣ A ⎤⎦ = 25 elementos = 32 elementos B = {a, b, c, d } a.
= {∅} P ⎡⎣ A ⎤⎦ = ∅
d. A 4. 5.
P
48 tipos de almuerzos.
12 × 11 × 10 3×2×1
= 220 formas diferentes.
6.
5 040
7.
120
9.
La probabilidad de obtener un 7 es de: = obtener un 7 es de
P ⎡⎣B ⎤⎦
3.
4
= 2 = 16 elementos.
a. 8.
b. Y
a.
11 .
Promedio = 1 233. Mediana = 2 000.
= {u, v }
P ⎡⎣Y ⎤⎦
= {{u }, {v }, {uv } , { }} 67
3 5
10 .
5 6 c.
1 5
1 y la improbabilidad de 6
b.
Moda = 1 500 y 2 000.
1 5
De las pruebas Saber al aula Una Estrategia para el mejoramiento cualitativo de la educación
68
Diagnóstico Las seis problemáticas que se esbozan a continuación, constituyen puntos nodales que se han evidenciado no solamente desde la perspectiva de evaluaciones nacionales o incluso internacionales, sino desde el punto de vista de la reflexión pedagógica que se desarrolla en nuestro entorno. Es importante mencionar que estas problemáticas recogen algunas de estas evidencias y que no pretenden constituirse o ser el reemplazo de las acciones pedagógicas en el proceso de formación. Más bien llaman la atención sobre algunas evidencias y consecuentemente algunas estrategias, entre otras, que enfatizarían el desarrollo de procesos y actividades relacionadas con ellos. No obsta mencionar que desde esta perspectiva se sugiere una reflexión en torno a qué es lo que se está privilegiando en el aula y si esto permite desarrollar un trabajo verdaderamente comprensivo de las matemáticas escolares, así como discutir acerca del tipo de preguntas y problemas que se proponen, ya que los resultados obtenidos muestran que la mayoría de los estudiantes en la educación básica, pueden abordar problemas en donde se requiere la realización de traducciones directas, y poner en correspondencia la información con la pregunta y no con los contextos de las que ellas se derivan. Por ello, se ve como importante que se estimule el uso de estrategias que permitan dar solución a problemas planteados en distintos contextos, usar un lenguaje matemático cada vez más formal, involucrando problemas de tipo no rutinario y no directo para su resolución. Desde el enfoque de evaluación externa, se han considerado diferentes tipos de problemas caracterizados fundamentalmente por las relaciones que implica su resolución y la sintaxis en la que se encuentra inmerso. Igualmente, se han resaltado aspectos que tienen que ver con la comprensión y uso de conceptos y procedimientos matemáticos en diferentes contextos.
•
Comprensión del tratamiento de la fracción en su interpretación como razón.
•
Uso de lenguaje algebraico, la representación con letras y su significado, teniendo en cuenta que esta es la base del álgebra podemos asumir que es una problemática importante por superar para llegar a la comprensión de la variable.
•
La noción de función y la Interpretación y análisis de funciones reales (polinómicas, racionales).
•
Conceptualización y aplicación en contexto de distancia, área superficial y volumen.
•
Reconocimiento e identificación de propiedades y relaciones en el manejo de transformaciones y movimientos (isometrías del plano) con diferentes formas geométricas.
•
Análisis del concepto de probabilidad.
Lo anterior apunta a una elaboración de los aspectos transversales que se definen desde los estándares básicos de calidad como aquellos procesos que deben estar presentes en la actividad matemática escolar, y que en correspondencia directa con los énfasis de cada pensamiento (aleatorio, variacional, métrico, espacial, numérico), promuevan una visión estructuradora y totalizadora de las matemáticas. Especialmente, se pretende hacer énfasis en estrategias que marquen construcción de significado desde el reconocimiento que se hace de los conceptos y procesos que están asociados a determinadas problemáticas.
Se proponen a continuación diferentes problemáticas que en su análisis pueden aportar al mejoramiento de los procesos educativos que se desarrollan en las aulas 69
Problemática
Se presenta dificultad para la comprensión del tratamiento de la fracción en su interpretación como razón.
Descripción de la problemática
La presencia de la fracción en su interpretación como razón puede evidenciarse en diversos contextos: relación entre los componentes de mezclas (en recetas de cocina, de líquidos, etc.); dibujos, planos y demás representaciones en donde es usada la escala y/ o el zoom; relaciones de cantidad entre un conjunto y otro (ej. la relación entre los habitantes del barrio y la ciudad es 1: 100); comparaciones de velocidad entre cuerpos, etc. En general bajo la interpretación de la fracción como razón, se concibe la relación con junto a conjunto (todo – todo) y las relaciones entre partes del (de los) conjunto (s) (parte – parte).
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
El trabajo de la fracción como razón toma gran importancia al servir como marco adecuado para el tratamiento de diversos tópicos abordados en la escuela, ejemplos de ellos son la proporcionalidad, que se da al trabajar con la igualdad de razones (equivalencia) entre fracciones; la probabilidad, cuando se establece comparación todo – todo entre conjuntos; porcenta jes, al entenderlos como resultado del establecimiento de relaciones entre conjuntos. A continuación se presenta un ejemplo en cada uno: Prop orcion alid ad .
En concordancia con lo enunciado anteriormente, desde las preguntas planteadas en la prueba SABER de matemáticas, se ha hecho uso de diversos contextos en los que se ha involucrado diferentes interpretaciones de la fracción, los hallazgos que al respecto fueron consignados en Evaluar para mejorar. A propósito de los exámenes de estado y otras evaluaciones (MEN, 2002) anuncian que los estudiantes muestran dificultades en relación con los requerimientos conceptuales de los problemas si: •
las situaciones exigen analizar la fracción en sus distintas interpretaciones y representaciones.
•
las situaciones exigen razonamiento proporcional, relacionado con los decimales y el porcentaje.
•
la relación entre porcentajes es planteada a través de fracciones
Es posible establecer equiva-
lencia entre fracciones: 1 • 47 x 2 4 47 x 8 12 47 x 6 Que corresponde a un caso de equivalencia en donde las fracciones actúan como operadores
( ) ( ) ( )
Que corresponde a un caso en el que un mismo operador actúa sobre una cantidad: La razón entre el resultado y la cantidad inicial es la misma en los casos en los que se usa el mismo operador. 2 25 x 3 2 68 x 3 2 73 x 3
( ) ( ) ( )
El trabajo con probabilidades en las que es necesario identificar los casos posibles y los casos favorables es un ejemplo en el que la fracción es usada para presentar una comparación todo – todo. Prob abilid ad .
Hallazgos que se encuentran íntimamente ligados con la interpretación de la fracción como razón y que pueden considerarse como evidencia que justifica su tratamiento puntual. 70
El trabajo sobre porcentajes trae consigo el aspecto de operador, en este sentido se entiende que cuando queremos obtener por ejemplo el 80% de cierta cantidad debemos multiplicar por 80/ 100 ó de otra manera, debemos tomar la cantidad dada y dividirla en cien partes iguales, luego de lo cual debemos tomar 80. Porcen taje s.
Estrategias
•
Uso de contextos en los que se propicie la vinculación de la fracción como razón y situaciones de proporcionalidad, de probabilidades y de porcentajes. En este conjunto de actividades se considera fundamental el uso de diversos tipos de representación: diagramas, tablas, dibujos, etc.
•
Uso de contextos en los que se propicie la modelación de situaciones a partir de las diversas interpretaciones de la fracción. Igualmente, se considera fundamental el uso de diversos tipos de representación: diagramas, tablas, dibujos, etc.
•
Posibilidad de tratar situaciones problema considerando aspectos relacionados con orden y relaciones de equivalencia.
•
Vinculación de contextos continuos y discretos en las tareas propuestas.
•
Uso de dibujos y gráficos hechos a escala e identificación de características que permanecen y que varían.
•
Trabajo en situaciones que permitan la manipulación de objetos: por ejemplo la realización de una receta de cocina, un experimento de laboratorio, etc.
•
Aludir frecuentemente a la utilidad de los resultados obtenidos y a la pertinencia de los procedimientos desarrollados para encontrar dichos resultados.
•
Uso del periódico, revistas, noticieros, etc. en los que se haga uso de la fracción con el fin de interpretar la conveniencia de la forma como se da la información y la credibilidad de la misma.
•
Importancia del tratamiento de la fracción dentro de relaciones de equivalencia y trabajo entorno a su interpretación como operadores.
Es conveniente tener presente que los siguientes aspectos son considerados fundamentales para el desarrollo de la secuencia de actividades: •
•
•
Una secuencia pertinente de actividades en las que se traten las diversas interpretaciones de la fracción, permite consolidar un camino para la construcción del universo numérico de los números racionales. El proceso de aprendizaje de la fracción es largo y complejo, lo cual implica de parte del docente una adecuada preparación al respecto (tanto desde el conocimiento del concepto como de las formas como se aprende y como se enseña). El aprendizaje de un concepto matemático no está desligado del aprendizaje de otros es decir, el trabajar un concepto particular lleva como trasfondo la construcción de estructuras conceptuales.
•
El uso de diversas formas de representación es fundamental en la construcción del conocimiento matemático.
•
La construcción del conocimiento matemático debe considerarse desde la concepción de la matemática como constructo social y por tanto su conocimiento debe ser útil.
Como estrategias puntuales para este grupo de grados y entorno a la problemática expuesta se considera:
•
Tratamiento particular de la fracción como razón en donde se haga uso de ella como un índice comparativo entre dos cantidades de una magnitud. 71
Problemática
Los estudiantes que inician el estudio del álgebra tienden a tener dificultades con el lenguaje algebraico, la representación con letras y su significado, teniendo en cuenta que esta es la base del álgebra podemos asumir que es una problemática importante por superar para llegar a la comprensión de la variable. Descripción de la problemática
El pensamiento variacional por tener su énfasis en los conceptos de variación y cambio, debe intentar por medio de diversos procesos como la generalización y el reconocimiento de reglas de diferenciación entre magnitudes desarrollarlos. En los grados 8º y 9º se inicia al estudiante en el reconocimiento, identificación y más allá en la interpretación del sistema algebraico y el inicio del análisis de las funciones que para comenzar su concepto a través de las ecuaciones y sus representaciones, proceso facilitado por medio de la lectura de las representaciones verbal, gráfica y algebraica. Desde la anterior perspectiva para contribuir a la enseñanza y aprendizaje de los conceptos articuladores del pensamiento variacional, se definen los siguientes aspectos que pretenden caracterizar las problemáticas o dificultades detectadas desde la evaluación censal y que a través del ciclo escolar se han vuelto repetitivas: conocimiento (procedimentales y conceptual) y situaciones problema.
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Ecuaciones planteamiento y resolución de ecuaciones lineales en el contexto de los números racionales.
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Expresión grafica (plano cartesiano en los reales), tabular y estadística de relaciones proporcionales y datos.
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Reconocimiento de propiedades, elementos, áreas, perímetros y volúmenes de figuras básicas.
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Series, identificación de patrones y regularidades, generalizaciones expresadas desde los números naturales (predicción del termino enésimo (“n”) Estrategias
El significado de la letra es uno de los primeros problemas a los que se enfrenta el estudiante en el primer año del álgebra 8º, estos problemas suelen ser de dos tipos: herencia de los errores ya estructurados desde los preconceptos de los sistemas numéricos y la dificultad de aceptar que el valor de una letra varia sin que esta cambie literalmente. Desde estos dos aspectos se realiza las siguientes sugerencias para contribuir al proceso del desarrollo de pensamiento variacional y sistemas algebraicos.
Conceptos que intervienen y procesos involucrados •
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La estructura sistémica del álgebra se deriva de la estructura sistémica de los conjuntos numéricos, esto implica que los principales preconceptos se encuentran en la comprensión mínima del sistema de números reales, sus elementos, sus propiedades, relaciones y operaciones.
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En particular las operaciones contrarias (adiciónsustracción, multiplicación división, potenciación – Logaritmación – radicación)) y sus propiedades (asociativa, conmutativa, distributiva, elemento neutro, inversos y opuestos) 72
Teniendo e cuenta lo anterior podemos inicialmente realizar una conducta de entrada que nos permita identificar estas situaciones en los estudiantes, esta conducta debe darse desde conceptos numéricos y geométricos, tal vez con series de figuras geométricas donde se deba escribir el siguiente termino y el enésimo. Luego se deberá aclarar las dudas, antes de iniciar el trabajo con álgebra.
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En el proceso de significar la letra se tiene que para que el estudiante no se niegue a creer que esta representa un numero, o que no existe (2 + 3k = 5) o que es un objeto más ( 3c + 4b = 7ab ) se debe trabajar el lenguaje algebraico con detalle y en contextos o situaciones problema que expresen realmente el sentido de la letra como una magnitud desconocida y que es necesario encontrarla de una manera certera sin tantear o adivinar.
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Un ejemplo puede ser iniciar el trabajo en el álgebra con una situación donde la letra se necesite como el elemento que va ayudar a encontrar la respuesta, no iniciar con la frase “el álgebra es lo mismo que hemos visto pero con letras” , esto no parecería justificar el estudio del álgebra.
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La notación o el escoger un nombre para lo que se esta buscando no necesariamente debe tener relación con la inicial de objeto, por ejemplo: la edad de Andrés es el doble de la de Juan ( A = 2J), puede existir una confusión entre que A sea la edad de Andrés y A el mismo Andrés. Para esto se debe pedir al estudiante aclarar lo que para el significa la A y todas las variables que emplee.
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La falta de precisión en la escritura de expresiones algebraicas ocasiona problemas en la resolución de ecuaciones, por ejemplo: El triple del sueldo con el descuento de 50 000 pesos: 3 x – 50 000 y 3 (x – 50 000) no es la misma expresión al resolver ellos tendrán problemas lo cual debe tenerse en cuenta sobretodo al hacer la traducción de los enunciados haciendo la comparación; no es lo mismo el triple del sueldo menos 50 000 pesos que El triple del sueldo con el descuento de 50 000 pesos.
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Las estrategias de solución de los preconceptos se heredan para la solución de los mismos si un estudiante solucionaba las ecuaciones lineales por tanteo, seguramente repetirá lo mismo pero se encontrara con la dificultad de la densidad de los reales o racionales en algunos casos. Para evitar esto se sugiere verificar los preconceptos y la maduración del estudiante frente a este.
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El estudiante suele iniciar una resolución sin entender el enunciado, por pensar que se debe llegar a una respuesta con los elementos numéricos y ya, pero recomendar de forma reiterativa la lectura y correcta traducción lleva al estudiante a fijarse más en el sentido que en el algoritmo.
Problemática
En los estudiantes de grado 8º especialmente, se presentan dificultades con la noción de función y, más allá, con la Interpretación y análisis de funciones reales (polinómicas, racionales). Conceptos que intervienen y procesos involucrados
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Identificación y reconocimiento de variables dependientes e independientes en el contexto de los números reales.
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Traducción y solución de ecuaciones lineales en el sistema de los números reales.
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Sistema de números reales (operaciones, ubicación, orden, densidad Propiedades (no-conmutatividad en la división, distributiva) 73
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Representaciones de la función en lenguajes diferentes ( simbólico, lenguaje común, grafico, tabular).
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Reconocimiento y uso de la medida (sistema internacional de medidas) frente a sus conversiones y significado (capacidad, longitud, peso).
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Sucesiones y su generalización, sucesiones que involucran más de un patrón o donde su patrón de crecimiento es más rápido.
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La función como una relación condicionada (reconocimiento de dominios, recorrido, intervalos, continuidad y dirección )
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Representación y manejo algorítmico de expresiones algebraicas (racionales).
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Las situaciones que se propongan deben ser pensadas desde la dependencia de las variables y la situación debe referir el movimiento, este tipo de situaciones no son ajenas a nuestro mundo, por ejemplo: las tarifas de los parqueaderos, las ganancias de la venta de boletería en un concierto, los índices de inflación mes a mes, el aumento de intereses en una cuenta de ahorros, las ganancias de la venta de un producto.
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La identificación de la dependencia debe ser natural, por ejemplo: en la situación del parqueo de la cantidad de tiempo que se quede un carro depende el dinero que se debe pagar por el parqueo, o en la situación de la boletería para el concierto, de la cantidad de boletas vendidas dependerá la ganancia del concierto.
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Como el trabajo de traducción y resolución de ecuaciones se realizo en el pasado puede contribuir al planteamiento de la relación funcional como función en el lenguaje formal o simbólico de la matemática, es en este momento donde la orientación del docente es necesaria para evitar confusiones.
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Dado que el procedimiento es inductivo; de las parejas (x, y) expuestas en las tablas tendrán que ser generalizadas y relacionadas por la función, que al ser graficada se convertirá en una proyección para analizar, dicho análisis no solo será desde lo geométrico, también desde que significa en la situación misma, por ejemplo: que significa una recta paralela al eje x en la situación de parqueo, que este sea el tiempo que sea que se quede el carro siempre cobrara la misma cantidad estipulada.
Estrategias
En grado 8º normalmente inicia el trabajo con la función desde la traducción y solución de ecuaciones lineales relacionadas como y = mx + b. Lo importante es que se identifique las variables y se inicie la explicación de la relación de dependencia o relación funcional, que en un futuro (próximos años) se generalizará como el concepto de función. Así, la labor en este grado no es llegar al concepto de función es dar una idea nocional de lo que significa la relación funcional entre variables y sus representaciones. La estrategia que se describe a continuación intenta resaltar algunos aspectos del proceso de enseñanza y dar algunas ideas de cómo trabajarlos en el aula. Ésta estrategia siempre es de carácter deductivo en general (en algunas subfases puede ser inductivo), llegando a poner en juego la habilidad de abstracción y deducción de los estudiantes. •
Es importante iniciar con una conducta de entrada que le permita observar si los preconceptos pueden ser utilizados para el desarrollo de las clases o si es necesario un refuerzo en los mismos. (reconocimiento de las propiedades de los números reales)
Problemática
Una de las problemáticas más relevantes en este nivel es la conceptualización y aplicación en contexto de distancia, área superficial y volumen.
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Descripción de la problemática
Es muy común hoy en día encontrar estudiantes que creen que los conceptos de distancia, volumen y área superficial se sintetizan en el uso y memorización de formulas, dejando de lado el significado de área, volumen y distancia. Esto se refleja en la limitación y poca significación al manejo de formulas para el área de una superficie, volumen de conos, prismas, pirámides y esferas así como el concepto de distancia dentro de un sistema referencial como lo es el plano cartesiano. Además se presenta mayor dificultad al establecer la relación y aplicación de las formulas de áreas de superficies, volúmenes de esferas, prismas, pirámides, conos y cilindros en situaciones problémicas, así como el proceso de medir longitudes en un sistema coordenado. A pesar del estudio básico de medición de magnitudes realizado por los estudiantes de estos niveles, las dificultades persisten debido al manejo sin conexión en lo referente a medición de áreas de figuras planas y medición de áreas superficiales de sólidos así como el uso de las unidades de medida, es decir se percibe las partes y no el todo ya que al establecer relaciones de equivalencia y realizar transformaciones se tiene una percepción difusa.
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La conservación de la magnitud a pesar de las transformaciones que se realicen al resolver situaciones problema.
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El concepto de plano cartesiano, sus elementos y el uso del teorema de Pitágoras para determinar longitudes dentro de este sistema coordenado.
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El manejo geométrico de los sólidos y poliedros.
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Manejo y usos de operaciones y relaciones en números enteros y racionales.
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La deducción y uso de expresiones matemáticas que permiten encontrar fácilmente el volumen y el área de superficie de un cono, prisma y pirámide de acuerdo a lo planteado en los estándares curriculares.
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El desarrollo del proceso de conservación tal como lo plantea los lineamientos del MEN.
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La apreciación del rango de las magnitudes y la selección de unidades, tal como lo plantean los lineamientos curriculares del MEN.
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La medición de distancias de forma algebraica en un sistema coordenado.
Conceptos que intervienen y procesos involucrados •
La construcción y comprensión de los conceptos de cada magnitud como lo son: Longitud, Área, Perímetro, Volumen.
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Conceptos geométricos de semejanza y proporcionalidad.
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La apreciación del rango de las magnitudes y la selección de unidades, tal como lo plantean los lineamientos curriculares.
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El proceso de comparación puede verse reflejado al establecer relaciones entre área de figuras geométricas y área de caras de sólidos geométricos.
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La comprensión y uso en contexto de las diferentes unidades métricas como lo son: Unidades de longitud, unidades de superficie, unidades de volumen.
Estrategias
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En estos niveles es necesario continuar trabajando sobre las problemáticas fundamentales o base como lo son la comprensión de magnitud, la diferencia la unidad y el patrón de medición, los conceptos de área, perímetro y volumen de figuras geométricas y sólidos geométricos.
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A partir de talleres o guías experimentales trabajar la construcción y desarrollo de los sólidos geométricos (plantillas), estableciendo relaciones entre área de figuras planas y área de caras de sólidos.
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Plantear actividades tendientes a desarrollo de áreas y perímetros de figuras compuestas y sólidos para los cuales sea necesario realizar transformaciones o descomposiciones.
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Retomar, a partir de situaciones problema, el manejo del teorema de Pitágoras.
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Conceptualizar plano cartesiano, coordenadas y distancia entre puntos del plano coordenado.
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Plantear situaciones en el contexto matemático (geométrico) que permitan deducir y usar expresiones matemáticas para calcular el área superficial de sólidos geométricos.
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Plantear situaciones en el contexto matemático (geométrico) que permitan deducir y usar expresiones matemáticas para calcular el volumen de prismas, conos y pirámides.
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Plantear diversas situaciones problema en variados contextos cuya estructura propicie la comprensión de magnitudes (Longitud, superficie, volumen…).
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Emplear recursos de uso cotidiano como lo son los empaques (Cajas) de algunos productos para determinar la cantidad de material empleado, el volumen que ocupa etc.
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Plantear ejercicios tendientes a desarrollo de áreas y perímetros de figuras compuestas y sólidos.
Problemática
Se encuentra dificultad cuando los estudiantes se enfrentan a situaciones que les exigen reconocer e identificar propiedades y relaciones en el manejo de transformaciones y movimientos (isometrías del plano) con diferentes formas geométricas.
Descripción de la problemática
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
Desde los lineamientos curriculares y estándares se propende por una geometría activa, en la que por supuesto las isometrías del plano juegan un papel esencial para ampliar y estructurar el pensamiento espacial. No ha sido usual en el trabajo geométrico en la escuela que se aborde la geometría activa en toda su dimensión, en particular cuando se trata de enfatizar por ejemplo las “simetrías activas” (Vasco, 1994) o las transformaciones que requiere para su comprensión.
Dado que se pretenden desde los lineamientos y estándares retornar a una geometría que le signifique al estudiante un acercamiento a su realidad desde la modelación que puede proponer con el conocimiento de objetos, propiedades, relaciones y transformaciones posibles. Para el caso de las transformaciones y movimientos en el plano, se considera fundamental la reflexión sobre operaciones básicas como Traslaciones, Simetrías, Giros, en las cuales permanecen invariantes algunos elementos de las figuras que se estén trabajando en el plano, tales como las medidas de sus longitudes, ángulos y superficies. Es importante reconocer cuáles son las invariantes que permiten determinar una traslación, una simetría o un giro.
Si bien es cierto que la mayoría de estos conceptos se vienen trabajando de manera nocional e intuitiva desde grados en primaria, es necesario que se incorpore al razonamiento elementos y relaciones cada vez más formales para una mejor comprensión y significado de ellos.
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En las traslaciones hay una noción central en el desplazamiento y la posición relativa de las figuras.
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No obsta mencionar que para un trabajo en este campo, es necesario reconocer que están involucrados conceptos, procesos y operaciones de otros campos de las matemáticas, como el uso de operaciones en números enteros, uso de vectores gráficamente y en coordenadas.
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Para el trabajo con los giros, también se acude a las operaciones con números enteros, la noción de circunferencia, ángulos y grados, lugar geométrico de los centros.
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En las simetrías, es importante reconocer que hay unos elementos nocionales que se vienen trabajando desde la primaria, enfocando posiblemente el trabajo con relaciones de paralelismo y perpendicularidad, y enfatizando en que una simetría puede resultar de una composición de giros o traslaciones.
ción relativa de las figuras. Es importante reconocer que aún en este nivel la visualización se constituye en un proceso fundamental para la construcción de pensamiento espacial.
Estrategias
Para abordar estos elementos en estos grados, se sugiere partir de nociones y casos concretos en los que tengan lugar estos movimientos, identificar qué tipo de movimiento se realiza para luego pasar a usar los conceptos formales en explicaciones de ellos. En este caso, la dirección, sentido y orientación son nociones requeridas. Se espera que en este nivel haya cierto grado de generalización sobre las transformaciones realizadas, reconociendo invariantes y estableciendo relaciones entre unas y otras. Es necesario proponer al estudiante actividades desde lo intuitivo y aproximándose a una conceptualización más formal. No sobra mencionar que los procesos fundamentales de visualización, razonamiento y representación siguen jugando un papel esencial en la comprensión y construcción de pensamiento espacial, por lo tanto se requiere que estos procesos sean visibles en todas las actividades que se propongan en estos grados.
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Identificar diversas formas de desplazamiento que lleven a una traslación. Es evidente que para que tenga lugar una traslación es necesario que el desplazamiento cumpla ciertas condiciones. Por lo tanto, aquí se estaría haciendo énfasis en los procesos de razonamiento, reconociendo condiciones de necesidad y suficiencia. Para que sea una traslación, es necesario y suficiente que el desplazamiento sea….
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Es fundamental que para la compresión de las isometrías se reconozcan las aspectos matemáticos que están presentes en las traslaciones, así como las formas notacionales más usuales o convencionales, dado que en estos grados ya se hace énfasis en elementos más formales de las matemáticas.
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Es importante reconocer que en estas transformaciones juega un papel esencial el manejo de operaciones de suma y resta con los enteros, además que puede ser un escenario en los que se ponga en uso el entero negativo, dado que no se encuentran muchas situaciones no aritméticas en las que se use con sentido.
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Es necesario efectuar estos movimientos con diferentes figuras para una mejor comprensión del concepto,
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Es interesante que las traslaciones que se realicen puedan ser expresadas como movimientos con orientación, sentido, módulo e involucrar situaciones en las que se parta de un movimiento para caracterizar la traslación o viceversa.
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Se pretende que haya actividades en las que se realicen composiciones de más de dos traslaciones y se identifiquen los movimientos asociados a ella, además de enfatizar en las maneras usuales de representarlos.
En relación con las traslaciones:
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En relación con los giros:
Diseñar actividades en las cuales la componente de visualización se haga presente, enfatizando la posi-
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Las primeras actividades parten de identificar visualmente las características de los giros, aquí el
desplazamiento tiene lugar bajo ciertas condiciones que no son las mismas de las traslaciones. •
La asociación de giro de figuras o formas frente a giros con segmentos y las medidas que estarían involucradas (amplitud angular).
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Es importante reconocer que la precisión a través de uso de herramientas se convierte en una estrategia que permite la interacción de diversos componentes de la actividad matemática.
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Describir y hacer predicciones sobre las figuras “resultantes” cuando se realizan giros de diversa magnitud, o cuando algunos de ellos se convierten en giros equivalentes.
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La comprensión de los giros como movimiento del plano involucra un fuerte componente de cálculo, capacidad deductiva y el establecimiento de relaciones entre varias propiedades de los objetos involucrados, por lo tanto es necesario que el estudiante aborde situaciones que le permitan la exploración, la estimación, la aproximación y la precisión en la medición que se utilice.
Las actividades que se programen deben acudir al reconocimiento de invariantes entre las figuras simétricas en relación con el tamaño, rotación de la figura, equidistancia al eje, cambio de semiplano.
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Igualmente, es necesario enfatizar en que los estudiantes expresen mediante razonamientos o encadenamientos de las propiedades de la simetría, cuando un par de figuras son simétricas, o no están dispuestas en el plano para ser simétricas. Resaltar por ejemplo cambios de tamaño o forma, diferentes distancias al eje de simetría o posiciones relativas en el mismo semiplano.
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Es conveniente que las actividades que involucren simetrías se realicen sobre objetos diversos (segmentos, objetos, figuras) ya que cada uno de ellos configura elementos fundamentales para establecer esta relación, en tanto acuden a varios de ellos para explicarla.
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La modelación que se haga de los objetos geométricos debe enmarcarse en situaciones que permitan el tratamiento de cuerpos en reposo y en movimiento, privilegiando la manipulación para efectuar desplazamientos, giros y reproduciendo estos esquemas mentales sobre propiedades geométricas más formales o sobre sus transformaciones.
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Es necesario inducir actividades que orienten el trabajo con las simetrías de manera intuitiva, utilizando diversas situaciones de la vida cotidiana, aproximándose a una idea de simetría. En etapas posteriores esta operación se irá consolidando a partir de los invariantes que se reconocen en el ejercicio de establecer simetrías de una manera más formal.
Es conveniente que se trabajen actividades en las que se involucren tanto giros como traslaciones en las transformaciones realizadas. En relación con simetrías:
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Dado que las simetrías tienen un trabajo intuitivo desde la primaria, se propone enfatizar en estos grados desde el reconocimiento de la existencia de un eje de simetría hasta la identificación de las relaciones entre las figuras simétricas a partir del eje de simetría.
Problemática
Teniendo en cuenta las evaluaciones realizadas y analizadas para estos grados, los estudiantes presentan dificultades en el análisis del concepto de probabilidad.
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Descripción de la problemática
En el segundo ciclo de la básica secundaria se inicia el desarrollo del pensamiento aleatorio de una forma menos intuitiva prácticamente se trata de reconocer en este ciclo hasta donde se puede generar y generalizar ideas basadas en los contextos de la realidad y sus primeros análisis e interpretaciones de casos de probabilidad. Iniciar en el reconocimiento de posibilidades que llevan a la probabilidad misma como parte del reconocimiento de los espacios muestrales y los casos posibles y favorables cuando se especifica las posibilidades de que un hecho ocurra. Para sugerir la estrategia se tuvieron en cuenta los conceptos y procedimientos que la problemáticas necesita. Este pensamiento y en especial el concepto de probabilidad, aporta a cada una de las áreas el poder de la interpretación, proyección y análisis contextual, además este pensamiento no debería vérsele desligado de los otros pensamientos y sistemas.
ocurra un evento, la certeza de que ocurra o no, lo posible e imposible.
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Lectura y análisis de textos cortos o situaciones que generen una problemática sobre la posibilidad o probabilidad de que un hecho ocurra en temas económicos, poblacionales, industriales, científicos ...
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El desarrollo del concepto (significado) de fracción vista como parte de un todo, como razón y como relación proporcional al identificar variables y / o magnitudes.
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Desarrollo del concepto de un número racional, su representación decimal y el caso del porcentaje.
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Relaciones entre conjuntos, diferenciación y caracterización de los elementos de una situación como parte de un conjunto caracterizados por la realización de un evento y por la probabilidad de que un hecho ocurra.
Desarrollo del razonamiento combinatorio y sus posibilidades de representación e interpretación (grafos, simbólica, común y diagramas de árbol)
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Diferenciación del azar y probabilidad desde la interpretaciones contextuales Estrategias
Para el desarrollo del razonamiento probabilístico es fundamental tener claridad de las variables que intervienen para que se de la probabilidad y se deben definir los contextos de suceden los eventos. Para llegar a esta interpretación se deben diferenciar todos los eventos posibles o el mapa muestral y todos los eventos favorables que se eligen desde los eventos posibles. Todo razonamiento tiene unas etapas que se describen a continuación con el fin de tenerlas en cuenta en el momento en el que se inicie la enseñanza formal del concepto de probabilidad, además estas irán acompañadas de sugerencias didácticas que buscan ejemplificar las etapas y proponer actividades o experiencia que motiven el desarrollo en el estudiante de cada etapa:
Conceptos que intervienen y procesos involucrados
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Identificación y reconocimiento: en esta etapa debe generarse la inquietud y la justificación sobre la existencia del concepto de probabilidad con el fin de que el estudiante lo signifique en su mundo y desde allí pueda recordarlo y referenciarlo cuando lo necesite, estas referencias son las características que identifican un evento probabilístico. Para esta etapa se sugiere:
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Elegir una situación o hecho repetitivo que en el contexto del colegio o la familia pueda caracterizar algún momento especial. Por ejemplo el rector llega normalmente todos los días a las 8:00 a.m. a abrir la oficina, la enfermería no funciona en el colegio después de las cinco, los estudiantes que viven más al sur se van en la ruta 5,... etc.
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Distinguir en las situaciones los hechos más probables de cada situación y los hechos menos pro-
