Guia II Periodo

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”

ÁLGEBRA b) IDENTIDADES DE LEGENDRE:

También:

III. POLINOMIOS(continuación) 1.

1.1. a)

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES Binomio al Cuadrado (a ± b) = a ± 2ab+b 2

2

(a+b+c) 3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) - 2(a3+b3+c3)+ 6abc

g)

Producto de Binomios Término Común

con

7.

8.

(Identidad de Stevin)

Calcula : a2 + b2 :

PROBLEMAS RESUELTOS

Corolario : "Identidades de Legendre"

b)

-

2

(a+b)(a-b) = a -b

c)

2

2

3

3

3

Suma y Diferencia de Cubos

2

3

2

x + 10x + 25

(a-b)(a +ab+b ) = a -b

3

Trinomio al Cubo

+ 4a

(a

-

(a +1)2 – (a -1)2 : .....................................

Solución : k = 121 + 22y + y2

PROBLEMAS PROPUESTOS

Solución : x2 – 72 =

x2 – 49

4( (2x + 5) (2x – 5)

I.

Resuelve los productos notables :

5) (x + 8) (x+10) =

(a+b+c) 3 = a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(c+a)+3c2(a+b)

Solución :

+6abc

x2 + (8+10) x + (8) (10) = x2 + 18x + 80

: ..................................

10.

(a + 1) (a – 1)

a -1 : ..................................

11.

(m – 4)(m + 4)

2 : .................................. m -16

12.

(2x + 3) (2x – 3)

: .................………...... 2

13.

(3x – 5)(3x + 5)

: .............……….......

2

2

9x -25

2

a +14a + 49

1.

(a + 7)2

2.

m +10m+25 (m + 5)2 : ...........................................

: ............................................ 2

2

3

2

x +15x +75x+125

14.

(x + 5)3

: .......................………..….......

15.

(x – 3)3

x -9x +27x-27 : ..............................................

16.

(y – 2)3

3 2 : .............................................. y -6y +12y-8

17.

(m + 2)3 : .............................................. 3 2

3

2

m +6m +12m +8

d) BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN

a) BINOMIO AL CUADRADO:

3.

(2x+2)

4.

(m -9)2

: ........................................... 2

5.

(x - 6)2

: ...........................................

2 : ........................................... 4x +8x+4

2

18.

x +11x+30 (x + 6)(x+5) : ............................................

19.

2 (x-3)(x+7) : ............................................... x +4x-21

20.

(m + 5)(m-8) : ........................................... 2

21.

(x + 2)(x + 5) : …………………………….

m -3m-40 2

x +7x+10

22.

(a – 2)(a - 4) : ………………………………

m -18m+ 81 2

25

4x -9

siguientes

Solución : (2x)2 – 52 = 4x2 – 25

(y + 6) (y – 6)

d) BINOMIO AL CUBO:

k = (-11)2 + 2(-11)(-y) + (y)2

3) (x+7) (x-7)

y -36

9.

2

Solución :

x2 – 2(x) (3) + 32 = x2 – 6x + 9

(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3

f)

17 = a2 + b2

2) (x – 3)2

3 (a-b)3 = a3-3a2b + 3ab2 - b3 = a -b3-3ab(a-b)

2

2

x + 2( x )( 5 ) + 5 =

(a+b) = a +3a b+3ab +b = a +b + 3ab(a+b)

e)

25 – 8 = a2 + b2

8) k = (-11 – y)

2

Binomio al Cubo 3

2

5 = a + b + 2(4)

Resuelve utilizando productos notables :

Solución :

2

Trinomio al Cuadrado

3

2

1) (x + 5)2

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

d)

2

2

Diferencia de Cuadrados

5)2

+

2

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a+b) - (a-b) = 4ab

(a

c) DIFERENCIA DE CUADRADOS:

Solución :

2

Nota: (a-b) 2 = (b-a) 2

2

-4)2

5)2 : ......................................

x2 + 6x – 27

(x+a)(x+b)(x+c)= x + (a+b+c)x +(ab+bc+ca)x + abc

(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

2(x +16) + (x

4)2

+

: ....................................... 2(a2+25)

x2+ (-3+9) x + (-3)(9)

un

(x

7) Si a + b = 5 ; ab = 4 (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab 3

2

6.

Solución :

(a+b+c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a+b+c) (ab+bc + ca) - 3abc

PRODUCTOS NOTABLES

2

6) (x – 3) (x + 9) =

(a + b + c) 3 = a3+b3+c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

x - 12x+36

1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007

2

a - 6a + 8

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 10) (x

–

3)

(x

+

4)

a) 5 d) 0

= 6)

II. Desarrolla los siguientes Productos Notables : 1) (

2)

7

-2)

7

(

3 +2)

3 ( 10 + 7 )( 10 − 7 )

=

=

II. Subraya la alternativa correcta : 1)

a) 5 d) –20

49x – 4 3) (7x+2)(7x-2)

=

2)

-4

4)

Si : a + b = 5

1) c

2) a

3) c

4) b

5) d

6) a

a) 21

7) e

8) c

9) c

10)a

11)d

b) 12 e) -12

c) -17

a) 3 2 e) 56

Calcula la diferencia entre :

y=2 + 8x + 16

1)2

+

=

a) –1 d) –6

b) 2 e) -7

3)

3)2 x2 + 12x + 35

-

8) (4m

x2 + 6) x 2- 12

+

9) (x

+

5

)

(x

+

7)

a) –14 d) –20

c) 16

b) 6X e) N.A.

c) a8

d) a4

e) -1

2.1.

DEFINICIÓN :

Es la operación en la cual dadas dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor, consiste en obtener otras dos llamadas cociente y resto, cumpliéndose la siguiente relación.

b) –16 e) -22

R = 0 → D. Exacta

c) –18 D = qd + R

R ≠ 0 → D. Inexacta Reduce :

D = Dividendo d = Divisor q = Cociente R = Residuo o resto

3

a) –4 d) –1

c) 2X

=

b) –3 e) 0

c) –2 2.2.

11) 5)

b) a

DIVISIÓN DE POLINOMIOS :

(x + 3)2 - (x + 2)2 + (x + 4)2 - (x + 5)2 3

(x + 1) + (x – 1) – 2x a) 5 d) 4X

3

(x + 1)(x + 2) - (x + 3)2 + (x - 3)2 - (x - 4)(x - 5)

Efectúa : 3

d) 4

Efectúa :

10)

=

c) 52

Halla el equivalente de :

9)

b) 10 e) 24

4)

2

c) -5

Efectúa :

a) 8 d) 20

=

b) 2

A = (a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1)+1

(t + 2)(t2 - 2t + 4) - (t - 2) (t2 + 2 t + 4)

16m2 + 48m + 36 7) (2y

17

2.

a) 1

=

4y2 – 12y + 9 6) (2x3

b)

Halla el valor de : P = x2 + y2

2 ( 3 +1)( 3 −1) +3( 2 +1)( 2 −1) y 8)

3 4x6 + 4x +1 4)2

+

CLAVES DE RESPUESTAS

ab = 2 Calcula : a2 + b2

3 ( 3 +1)( 3 −1) +2( 2 +1)( 2 −1) 5) (y

ÁLGEBRA

c) 1

c) 5 17 d) 17 e) 25 3( ( 3 − 2 )( 3 + 2 ) + 5( 6 + 2 )( 2 − 6 ) 7) Sabiendo que : x + y = 8; xy = 4

2

( 5 −3)(3 + 5 )

Simplifica :

b) 3 e) -1

Efectúa :

Efectúa :

1) El grado del dividendo debe ser mayor o igual que el grado del divisor.

2

(5x + 4)(4x + 5) – 20 (x + 1) a) –3x b) –x c) 0 d) x

(2x-1)(2x+1)(4x2+1)(16x4+1)+1-256 x 8

26

PROPIEDADES DEL GRADO :

e) 3x

°[ D ] ≥ °[ d ]

1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 2) El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.



Método de Horner.



Método de Ruffini.

b) MÉTODO DE PAOLO RUFFINI: Se utiliza cuando el divisor es de primer grado.

a) MÉTODO DE WILLIAM G. HORNER :

Pasos a seguir :

°[ q ] = °[ D ] - °[ d ] 3) El grado del residuo varía desde cero (0) hasta un grado menos que el grado del divisor. ° [ R ]Mínimo = 0 ° [ R ]Máximo = °[ d ] - 1

2.3.

CASOS :

a) MONOMIO ENTRE MONOMIO :

12 x 6 y 4

= 4x4y

3x 2 y 3

b) POLINOMIO ENTRE MONOMIO :

Pasos a seguir : 1° Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado.

1° Los coeficientes del dividendo deben estar ordenados decrecientemente, completos con respecto a una variable. 2° El valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.

2° Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable, completo o completado, con signo contrario, salvo el primero.

3° Los coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por 2 y colocado en la siguiente columna.

3° Coeficiente del cociente que se obtiene de dividir la suma de los elementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes del divisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma horizontal.

4° Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna. ESQUEMA GENERAL :

4° Coeficiente del residuo que se obtiene de sumar las columnas finales una vez obtenidos todos los coeficientes del cociente.

1

2

3

2

2x y 4 3

2 6

= 4x y – 8x y + 6xy

16z15

2.4.

MÉTODOS :

 Método Normal (clásico). 

2).- Efectúa :

(5

OBSERVACIÓN: Si el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, el cociente obtenido se deberá dividir entre este valor.

3

c) POLINOMIO ENTRE POLINOMIO : *CRITERIO FUNDAMENTAL.Los polinomios dividendo y divisor deben estar completos y ordenados descendentemente respecto a la primera variable.

Método de Coeficientes separados.

2

Se utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero al divisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea reemplazada en el dividendo.

4

LÍNEA DIVISORA

OBSERVACIÓN : La línea divisora se colocará separando tantos términos de la parte final del dividendo como grado del divisor.

OBSERVACIÓN: Después de realizar el reemplazo, debe comprobarse que el grado del polinomio

27

) (

2 x 18 ÷ − 2 x 10

)

Solución :

5 2 x18 − 2 x

10

=

− 5x 8

3).- (5 27 x 9 y 8 ) ÷15 3 x 4 y 7

3.1. TEOREMA DEL RESTO: 3

1).- Divide: 256y9z15 ÷ 16y9

4

1

2

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución: 256 ÷ 16 y9 -9z15

ESQUEMA GENERAL :

8 x 6 y 5 −16 x 4 y 8 +12 x 3 y 5

ÁLGEBRA obtenido sea menor que el grado del divisor.

Solución:

5 27 x 9 y 8 15 3 x 4 y 7

15 3 15 3

=

5 .3 3 15 3

x 5y = x 5 y

1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007

x 5y

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 4).- Divide: (5x7 – 10x3 + 15x2) ÷ (-5x2)

Q (x) = 4x2 + 6x + 4 R(x) = 10x + 3

7).- Efectúa la siguiente división : -

Solución:

5x 7 − 5x 2

6

−10 x 3

−

+

− 5x 2

15 x 2

•

−5x 2

•

-x5 + 2x – 3

• •

5).- Divide:

•

27a 7 b10 +36a 28 b15 −63a10 b11 3

9a b

4

•

Solución:

27a 7 b10 3

9a b

4

+

36a 28 b15 3

9a b

4

−

63a10 b11 3

9a b

3a4b6 + 4a25b11 – 7a7b7

4

• • •

− 3x + 1 + 2x

4

3

•

La suma de los coeficientes de R(x) es: 2 1

10 + 3 = 13

2

8 x + 0 x − 6 x + 4x + 7

Método Coeficientes Separados:

Método Normal : 8x4 + 0x3 - 6x2 + 4x + 7 2x2 – 3x + 1 4x2 + 6x + 4

12x3 - 10x2 + 4x

Q(x)

-12x3 + 18x2 - 6x 8x2 - 2x + 7 -8x2 + 12x - 4 10x + 3 R(x) Observaciones :

-1

-

2

1

−7 3

14 3 5 3

−7 3

8

0

-6

4

-8

12 -4

7

2 4

6

1 4

R(x) =

12 -10 4

5 2 x 3

+

7 3

-

cociente es: 2 + 1 + -1 + −

8).- Efectúa : (8x4 - 6x2 + 4x + 7) ÷ (-3x + 1 + 2x2) Solución : (8x4 – 0x3 – 6x2 + 4x + 7) ÷ (2x2 – 3x + 1) 2 3 -1

-8 12 -4 3

Q(y) = 4x2 + 6x + 4 R(x) = 10x + 3

14 19 x + 3 3

-

-

El término cúbico del cociente

-

El término cuadrático del cociente es : x2 El término lineal del cociente es : -x

-

es : 2x3

28

0 12

6

-6 -4 18 4

4

7

-6 12

-4

10

3

Q(x) = 4x2 + 6x + 4 R(x) = 10x + 3

-

OBSERVACIONES :

-

8

4

-

8 -2 7

7 1 = − 3 3

De forma similar se obtiene para el residuo.

-

-12 18 -6

10

-

Completa : Q(x) = 2x3 + x2 – x -

-3

-

7 3 14 3

19 3

2x 2 − 3 x + 1

-8x4 + 12x3 - 4x2

−1 −7

-1 4 + 6 + 4 = 14

Solución : Ordenamos y completamos :

2

6 x + x − 2 x + 3x − x + 4

8x 4 − 6 x 2 + 4 x + 7 2

3

El término cuadrático del 3x 3 − x 2 + 2 x + 1 cociente es : 4x2 El término lineal del cocientes es : 6x Solución : El término independiente del cociente es: 4 Ordenamos y completamos : El término lineal de R(x) es : 10x 6 x 6 + x 5 − 0 x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − x + 4 El término independiente 3x 3 − x 2 + 2 x + 1 de R(x) es : 3 El coeficiente del término 3 6 1 0 -2 3 -1 4 cuadrático de Q(x) es : 4 El coeficiente del término 2 1 -4 -2 lineal de Q(x) es : 6 3 El coeficiente del término 1 lineal de R(x) es: 10 -2 -2 -1 − 3 La suma de los coeficientes de Q(x) es :

6).- Divide:

5

ÁLGEBRA El término independiente del cociente es:-7/3 El coeficiente del término cúbico del cociente es : 2 El coeficiente del término cuadrático del cociente es : 1 El coeficiente del término lineal del cociente es : -1 La suma de los coeficientes del

-

El término cuadrático del cociente es : 4x2 El término lineal del cociente es : 6x El término independiente del cociente es: 4 El termino lineal del residuo es : 10x El termino independiente del residuo es : 3 Coeficiente del término cuadrático del cociente es : 4 Coeficiente del término lineal del cociente es : 6 Coeficiente del término lineal del residuo es:10

1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” La suma de los coeficientes del cociente es: 4 + 6 + 4 = 14 Solución : La suma de los coeficientes del Por Horner: residuo es: 10 + 3 = 13 4 4 13 -5 –5 -6 9).- Divide:

ÁLGEBRA

-

4

3

5

28 –6 –10

2 x + 5x − 2 x + 4 x + 8 Solución : 2

2

-1 2

2x + x − 2

5

-2

-1

2 -2

1

2

1

4

8

-2 6

2

3

25

12

Q(x) = X + 2X – 1 R(X) = 9X + 6 10).- Calcula el resto en:

( x + 3) 7 + ( x 2 − x − 7 )8 − x − 2 x +2 Solución :

–18

-2

-6

Reemplazamos : (x + 3)7 + (x2 – x - 7)8 – x - 2 (-2+3)7 + [(-2)2 – (-2) – 7]8 – (-2)-2 17 + (-1)8 + 2 – 2

3

6

5

2

4

2

18) (6x - 4x + 6 - x - 2x - 7x ) ÷ (2 + x - 3x ) Q(x)=-x2-2x-3 R(x) = -14x2+12 ........................................................................ 4

5

3

8z3 3) (40z ) ÷ (5z ) =....................................... -5x6y5 4) (15x7y8) ÷ (-3xy3) =.................................. 3mn9 5) (24m10n20) ÷ (-8m9n11) =........................... 6a7b4c 6) (-42a8b5c7) ÷ (-7abc6) =........................... -24x12y20 7) (-144x25y32z) ÷ (6x13y12z) =.......................

7

4 x +5 x +6

b) –1 e) 4

2

2 x 12 + x 8 + x 7 + 3 x 5 − x − 1 x +1

a) 1+11x

b) 4x-1

d) 10x-2

e) 1-11x

c) 1-10x

a) 5

b) -1

c) x+2

5

4

3

2

x +5 x +10 x +10 x +5 x +1 3

2

x +3 x +3 x +1

x −1

2

2

b) x +2x+1

2

d) x2-2x-1

a) x -x-1 c) x +1

e) x2+2x-1

a) 2

b) 5

c) 12

3).- Divide : 5

4

6

2 x + x + 3 x +3 + 2 x x 3 +1− x

Indica el cociente: a) x3-3x-1 2

b) 3x2+4x-1 2

c) 3x +2x +4x-1d) 3x +2x-1

15) (3x + 6 - 3x3 + 6x5) ÷ (x + 1) Q(x)=6x4-6x3+3x2-3x+6 ........................................................................

e) x3+2x+1

29

e) x – 3

4 x15 + x12 + x10 + 2 x 7 − x 3 − x − 1

Indica el cociente:

3

d) x+1

7).- Calcula el resto en:

2).- Divide :

14) (14x4y4z4 - 56x6y6z6 - 78x8y8z8)÷(-2x2y2z2) -7x2y2z2+28x4y4z4+39x6y6z6 ........................................................................

c) 10

6).- Calcula el resto en:

x +2 x +1

11) (-100a + 80a ) ÷ (5a ) -20a5+16a2 ........................................................................

13) (16a7b5c8 + 18a6b10c9 - 14a9b12) ÷ (-2a4b5) -8a3c8-9a2b5c9+7a5b7 ........................................................................

5 x 4 +16 x 3 −8 x + 2 x +3

2

5

11).- Al efectuar :

4 x +13 x +28 x +25 x +12

3

c) -8

5).- Indica el resto en :

x + 4 x +6 x −7 x +2

10) (-18x8 + 21x7 - 9x5) ÷ (-3x2) 6x6-7x5+3x3 ........................................................................

12) (20x40y80z100-60x70y30+16x15y18)÷(-4x10y18) -5x30y62z100+15x60y12-4x5 ........................................................................

2

4

b) –16 e) 4

a) –2 d) 1

1).- Halla el residuo en:

7

10

a) 14 d) 6

2

II. Resuelve :

I. Efectúa : (1 Pt. c/u)

Rpta : 2

Indica su residuo:

2

19) (25x +7-12x-20x +6x -13x ) ÷ (1+3x -x) Q(x)=2x3-6x2-7x+8 R(x) = 3x-1 ........................................................................

2/7x y z 8) (1/7x8y8z8) ÷ (1/2x2y3z4) =........................ 3m2y3 9) (48m9y7) ÷ (16m7y4) =.............................

x+2=0 x = -2

2

4

2

6 5 4

3

17) (x6 + 1 + 3x8 - 5x2) ÷ (x2 + 2) 6

∴ Residuo = -2x - 6

10

3

4 x −2 x +12 x +2

2

Q(x)=3x -5x +10x -2x-25 R(x) = 4x+50 ........................................................................

–12 -15

-8x3 1) (-16x4) ÷ (2x) =........................................ 2y9 2) (-8y10) ÷ (-4y) =........................................

2

4

3

PROBLEMAS PROPUESTOS

4 1 9

-1

4

Q(x)=3x +6x +14x +25x +50x+100 R(x) = 205 ........................................................................

2

2

4).- Indica el residuo:

16) (5 + 2x4 + 3x6 - 3x3) ÷ (x - 2)

1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007

d) 6

e) 23

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”

ÁLGEBRA (3t - c) (3t - c)

b) Aspa doble especial : Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

PROBLEMAS RESUELTOS CLAVES DE RESPUESTAS :

6).- Factoriza: 8t + t2 + 15

1).- Factoriza: x5 + 3x4 + 3x3 + x2

I. 1) –8x3 2) 2y9

3) 8z

4) –5x6y5

5) 3mn9

7) -24x12y20

8) 2/7x6y5z4

9) 3m2y3

3

6) 6a7b4c

10) 6x6-7x5+3x3 5

11) -20a +16a

2. MÉTODOS :

14) -7x2y2z2+28x4y4z4+39x6y6z6 4

3

2

15) Q(x) = 6x -6x +3x -3x+6 5

4

3

2

16) Q(x) = 3x +6x +14x +25x +50x+100 R(x)= 205 R(x) = 4x+50 18) Q(x) = -x2-2x-3 3

(t+5) (t+3)

19) Q(x) = 2x -6x -7x+8 R(x) = 3x-1 3) c 6) b

7).- Factoriza : 4x5y + 10x4y – x3y3 + x3y2 + 6x3y Solución : Factor común :

b(a + 1)(a - 1)

x3y(4x2 + 10x – y2 + y + 6) 3).- Factoriza: 7ay2-5bx3+7by2-5ax3

aspa doble

Solución: 7ay2 + 7by2 - 5bx3 - 5ax3

a) Trinomio cuadrado perfecto : R(x) = -14x2+12

2

2) b 5) d

x2(x + 1)3

2.1 Factor común y/o agrupación de términos. 2.2 Factorización por identidades.

17) Q(x) = 3x6-5x4+10x2-2x-25

t2 + 8t + 15 t 5 t 3

2).- Factoriza: a2b - b Solución: b(a2 - 1)

x + 1  factor lineal x2 + 1  factor cuadrático

13) -8a3c8-9a2b5c9+7a5b7

Solución: Aspa simple:

Solución: x2(x3 + 3x2 + 3x + 1)

1. FACTOR PRIMO : Es aquel factor no constante que tiene como único divisor a otra expresión idéntica a ella. Ejemplos :

2

12) -5x30y62z100+15x60y12-4x5

II. 1) a 4) b 7) b

IV. FACTORIZACIÓN.

(3t - c)2

7y2(a + b) - 5x3(b + a)

A2 ± 2AB + B2 = (A ± B)2

x3y(2x + y + 2) (2x – y + 3) 8).- Factoriza :

(a + b)(7y2 - 5x3) b) Diferencia de cuadrados : A2 – B2=(A + B) (A - B)

4).- Factoriza: 9 - 4a2b4c6 Solución: Diferencia de cuadrados:

c) Suma o diferencia de cubos : A ± B =(A ± B)(A + AB + B ) 3

3

2

2.3 Método del aspa simple : Ax2m + Bxmyn + Cy2n

2

(3 + 2ab2c3)(3 - 2ab2c3) 5).- Factoriza: 9t2 + c2 - 6tc Solución: 9t2 - 6tc + c2 3t –c 3t –c

a) Aspa doble : Ax2+Bxy+Cy2 + Dx + Ey + F

x6 – y6 Solución : • Diferencia de cuadrados : (x3 + y3) (x3- y3) •

Por identidades : (x+y) (x2 – xy + y2) (x-y) (x2 + xy + y2) (x+y) (x-y) (x2 – xy + y2) (x2 + xy + y2)

9).- Resuelve: x2 +12x +36 = ( x + 6 )( x + 6) = ( x + 6 )2

Luego:

30

1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 7) 10.- Factoriza 2

5a4b4 + 25a8b3

- 30a9b4

16)

= .......................

1

ÁLGEBRA

x2

–

= ..................................................

2X – XY – 3X – 3Y +7Y – 2 8)

Solución:

(x

–

(x-y)(a+b) y) a + (x-y)

b

17)

= ..................................

= ................................................

(c-9)(c+3) c2 – 6c

27)

2X

- 3Y

X

Y

(a+2b)(x +y ) (a + 2b) x4 + (2b +a) y3

9)

2X2 – XY – 3Y2– 3X +7Y – 2

3

18)

= ........................

1

25x2 (5x-3y)(5x+3y) –

19)

(b+c)

(x-1)(x+3) 2x – 3

20)

I. Factoriza : (2 Pts. c/u)

x(a-b) ax –

bx

=

my m(y-z) –

mz

=

2 x a x (a+b) + 2

2

xb

a3k

a2(ak-y)

(2a

29) 25

(2x+5)(7x-3) 14x2 + 29x – 15 = ……………………….

x2y

22)

a 2y

–

y(x -z)

-zy

2 22 +n )(a+b) bm2 + bn2 +(mam + an2 =

2

2

2

2 )(x x2m2 + x2t2 (m + y+t m2 ++yy )t

x2(x-6) –

5

5a b (b+5a -6a b)

2

12x

+

36

2 2 (2x-1) 4x –

4x

+

1

28a

+

4

3 (8m64m +3)62 + +

9

= ........................ (x-y)(a+b-c) ax – ay – cx + cy + bx – by

15)

POR ASPA SIMPLE :

= …………….

2 (7a-2) 49a2 –

= ......................................

(x+8)(x+1) x2 + 9x

+

8 48m3

34)

= ...........................................

= .................................. DIFERENCIA DE CUADRADOS :

4

25

=...........................................

2 2 2

24)

……………………..

+

= ....................................

…………………. 14)

10x

=.........................................

(a+b-c+10)(a+b-c-10) (a+b-c)2 – 100

23)

2

=............................

(1+xyzw)(1-xyzw) 1 – (xyzw)2 31)

3 3 3 2ab – 2ab(1-2b 4ab4 – -3a 6a4bb4 ) =

3

x2(x+5) +

30)

33)

2

4

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO :

= .........................................

= ……………. 13)

(3+2ab2c3)(3-2ab2c3) 9 – 4a2b4c6

32)

= ................................................ 6)

(2a-1+5)(2a-1-5) 1)2 –

= .........................................

(x+y)(a+b-c) ax + bx – cx + ay + by – cy

12)

= .............................................. 5)

21)

………………………

= .............................…………… 4)

2 2m n + (n+1)(2m 2m2 + +1) n+1 = 2

11)

………………………………… 3)

=

……………………………….

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS:

………………………………….. 2)

n2

= ......................................

FACTOR COMÚN : 1)

2 (m-1)(m-1+n)(m-1-n) –

x2

+

= ..........................................

(x+y+z+a)(a5-b-c) ..................................................................

PROBLEMAS PROPUESTOS:

27

= ...........................................

(x+y+z+w) a5 – (x+y+z+w)

10)

–

= ..........................................

9y2 28)

-2

10x

y2

Ordenamos: 4

–

= .......................................

(4-y)(4+y) –

16

(x-7)(x-3) 21 + x2

26)

2

25)

(m-6)(m-2) 2 m – 8m

+

12

= .......................................

(1+x)( 1-x)

31

1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007

(2x3-3y2)2

35)

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 4x6 + 9y4 – 12x3y2

30) (x+5)2

31) (x-6)2

32) (2x-1)2

= .............................

3

33) (7a-2)2 2

34) (8m +3) 36)

144

ÁLGEBRA

35) (2x3-3y2)2

36) (12-a12)2

12 2 + (12-a a24 –) 24a12

= ..................................

CLAVES DE RESPUESTAS 1) x(a-b)

2) m(y-z)

2

3) x (a+b)

4) a2(ak-y)

5) y(x2-z)

6) 2ab(1-2b3-3a3b3)

7) 5a4b3(b+5a4-6a5b) 4

8) (x-y)(a+b)

9) (a+2b)(x +y )

10)(x+y+z+a)(a5-b-c)

11) (n+1)(2m2+1)

12) (x+y)(a+b-c)

2

3

2

13) (m +n )(a+b)

14) (m2+t2)(x2+y2)

15) (x-y)(a+b-c)

16) (1+x)( 1-x)

17) (4-y)(4+y)

18) (5x-3y)(5x+3y)

19) (m-1+n)(m-1-n 2 3

20) (2a-1+5)(2a-1-5) 2 3

21) (3+2ab c )(3-2ab c ) 22) (1+xyzw)(1-xyzw) 23) (a+b-c+10)(a+b-c-10) 24) (x+8)(x+1)

25) (m-6)(m-2)

26) (x-7)(x-3)

27) (c-9)(c+3)

28) (x-1)(x+3)

29) (2x+5)(7x-3)

32

1º SECUNDARIA – II PERIODO - 2007