Universidad de El Salvador Facultad Multidisciplinaria de Occidente Departamento de Matemática Estadística II – C.C.E.E. Guía Nº1
1. Encuentre el área bajo la curva normal que estáentre los siguientes pares de valores z : a. z = 0 a z = 1.30 b. z = 0 a z = 1.28 c. z = 0 a z = –3.20 d. z = 0 a z = –1.98 2. Encuentre el área bajo la curva normal estándar: a. a la derecha de z = 2.03, P (z >2.03).
b.a la izquierda de z = 1.73, P (z <1.73).
c. entre –1.39 y la media, P (–1.39
d. a la izquierda de z = –1.53, P (z <–1.53).
e. entre z =–1.83 y z = 1.23, P (–1.83
z
=
–2.46 y
z
=
1.46,
P (–2.46
1.46).
<
g. entre z = 0.75 y z = 2.25,
h. entre z = –2.75 y z = –1.28,
i. a la derecha de z = 0.00
j. a la derecha de z = 1.05
k. a la derecha de z = –2.3 3. Encuentre la probabilidad de que un valor valor de datos tomado al azar de una población normalmente distribuida tenga un valor estándar que corresponda a lo siguiente. a. Menor de 3.00
b. Mayor de –1.55
c. Menor de –0.75
d. Menor de 1.25
e. Mayor de –1.25 4. Encuentre las siguientes probabilidades: a. P (0.00 (0.00 0.13) d. P (z <1.48) e. P (–2.05
6. Encuentre el valor de z para la distribución normal estándar que se muestra en cada uno de los gráficos siguientes.
7. Encuentre el valor de z que se muestra en cada uno de los gráficos siguientes.
8. Encuentre el valor de z que se muestra en cada uno de los gráficos siguientes.
9. Encuentre el valor de z estándar que corresponda a lo siguiente: a. Ochenta por ciento de la distribución está debajo de este valor (a la izquierda). b. El área a la derecha de este valor es 0.15. 10. Encuentre los dos valores de z que correspondan a lo siguiente: a. El 90% central de una distribución normal está limitado por ellos. b. El 98% central de una distribución normal está limitado por ellos. c. El 50% central de una distribución normal está limitado por ellos. d. El 75% central de una distribución normal está limitado por ellos. 11. a. Encuentre el valor de z para el 80avo percentil de la distribución normal estándar. b. Encuentre el valor dez para el 33avo percentil de la distribución normal estándar. 12. Suponiendo una distribución normal, ¿cuál es el valor z asociado con lo siguiente: a. Primer cuartil b. Segundo cuartil c. Tercer cuartil 13. Dado que x es una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de 60 y una desviación estándar de 10, encuentre las siguientes probabilidades: a. P ( x >60)
b. P (60 < x <72)
c. P (57 < x <83)
d. P (65 < x <82) e. P (38 < x <78) f. P ( x <38) 14. Dado que x es una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de 28 y una desviación estándar de 7, encuentre las siguientes probabilidades: a. P ( x >28) b. P (28 < x <38) c. P (24 < x <40) d. P (30 < x <45) e. P (19 < x <35) f. P ( x <48) 15. Una distribución normal tiene una media de 50 y una desviación estándar de 4. Determine la probabilidad por debajo del cual se presentará 95% de las observaciones. 16. Una distribución normal tiene una media de 80 y una desviación estándar de 14. Determine la probabilidad por encima del cual se presentará 80% de las observaciones.
17. Según los resultados de un examen en 2016, encontraron que los estudiantes tenían una calificación media de lectura de 21.3, con una desviación estándar de 6.0. Suponiendo que las calificaciones están normalmente distribuidas: a. Encuentre la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga una calificación de lectura menor a 20. b. Encuentre la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga una calificación entre 18 y 24. c. ¿Cuál debe ser la nota mínima para aceptar al 40% de los estudiantes? 18. La máquina embotelladora está ajustada para llenar botellas de cuarto de galón, con una media de 32.0 onzas de refresco y una varianza de 0.003. Periódicamente, se comprueba una botella y se toma nota de la cantidad de refresco. a. Suponiendo que la cantidad de llenado está normalmente distribuida, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente botella verificada al azar contenga más de 32.02 onzas? b. Digamos que usted compra 100 botellas de cuarto de galón de esta bebida para una fiesta. ¿Cuántas botellas esperaría hallar que contengan más de 32.02 onzas de bebida? 19. Por lo general, y en forma aproximada, los promedios finales están normalmente distribuidos con una media de 72 y una desviación estándar de 12.5. Su profesora dice que el 8% más alto de la clase recibirá una A; el siguiente 20% una B, el siguiente 42% una C, el siguiente 18% una D y el 12% final una F. a. ¿Qué promedio debe usted rebasar para obtener una A? b. ¿Qué promedio debe usted rebasar para recibir una calificación mejor a una C? c. ¿Qué promedio debe usted obtener para pasar el curso? (Necesitará una D o mejor.) 20. Se utiliza un radar para medir la velocidad de automóviles en una autopista durante el tránsito en horas de mayor movimiento. Las velocidades de automóviles individuales están normalmente distribuidas con una media de 62 millas por hora (mph). a. Encuentre la desviación estándar para todas las velocidades, si 3.5% de los automóviles corren a más de 72 mph. b. ¿Cuál es encuentre el porcentaje de estos autos que correna menos de 55 mph. 21. Los pesos de sandías maduras producidas en una granja están normalmente distribuidos con una desviación estándar de 2.8 libras. Encuentre el peso medio de las sandías maduras si sólo 4% pesan menos de 15 libras. 22. Una máquina llena recipientes con un peso medio de 15.0 onzas por recipiente. Si no más de 4% de los recipientes deben pesar menos de 14.8 onzas, ¿a qué debe ser igual la desviación estándar de los pesos? (Suponga normalidad.) 23. Se sabe que los tiempos “en espera”, para quien hace llamadas a una empresa local de televisión por cable, están normalmente distribuidos con una desviación estándar de 1.3 minutos. Encuentre el tiempo promedio “en espera” de quien llama, si la compañía afirma que no más de 11% de quienes llaman esperan más de 6 minutos. 24. Los datos son los pesos netos (en gramos) para una muestra de 30 bolsas de cierto producto. El peso neto anunciado es 47.9 gramos por bolsa.
Se exige que (casi) toda bolsa contenga el peso anunciado; de otro modo, las violaciones (menos de 47.9 gramos por bolsa) causarán multas por mandato. (Suponga normalidad.) a. ¿Qué porcentaje de las bolsas de la muestra están en violación? b. Si el peso de todas las bolsas llenas tienen un peso medio de 47.9 gramos, ¿qué porcentaje de las bolsas estará en violación? c. Con una desviación estándar de 1.5 gramos, ¿qué valor medio dejaría 5% de los pesos debajo de 47.9 gramos?
d. Con una desviación estándar de 1.0 gramos, ¿qué valor medio dejaría 5% de los pesos debajo de 47.9 gramos? e. Con una desviación estándar de 1.5 gramos, ¿qué valor medio dejaría 1% de los pesos debajo de 47.9 gramos? f. ¿Por qué es importante para empresa mantener bajo el porcentaje de violaciones? g. Es importante para la empresa mantener el estándar de desviación tan pequeño como sea posible de modo que, a su vez, la media pueda ser tan pequeña como sea posible para mantener el peso neto. Explique la relación entre la desviación estándar y la media. Explique por qué esto es importante para empresa. 25. Un estudio reciente con respecto a salarios por hora de integrantes de equipos de mantenimiento de las aerolíneas más importantes demostró que el salario medio por hora era de $20.50, con una desviación estándar de $3.50. Suponga que la distribución de los salarios por hora es una distribución de probabilidad normal. Si elige un integrante de un equipo al azar, ¿cuál es la probabilidadde que gane: a) entre $20.50 y $24.00 la hora? b) más de $24.00 la hora? c) menos de $19.00 la hora? 26. La media de una distribución de probabilidad normal es de 400 libras. La desviación estándar es de 10 libras. a) ¿Cuál es el área entre la media y 395 libras? b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un valor al azar y descubrir que es menor que 395 libras? 27. El reembolso medio de impuestos en 2007 fue de $2708. Suponga que la desviación estándar es de $650 y que las sumas devueltas tienen una distribución normal. a) ¿Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $3 000? b) ¿Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $3 000 e inferiores a $3 500? c) ¿Qué porcentajes de reembolsos son superiores a $2 500 e inferiores a $3 500? 28. El número de espectadores de cierto programa televisivo tiene una media de 29 millones, con una desviación estándar de 5 millones. Asuma que esta distribución sigue una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que el programa de la próxima semana: a) tenga entre 30 y 34 millones de espectadores? b) tenga cuando menos 23 millones de espectadores? c) sobrepase los 40 millones de espectadores? 29. Se encuentra que la distribución del tiempo que los radioescuchas sintonizan cierta estación tiene una distribución normal. La media de la distribución es de 15.0 minutos, y la desviación estándar, de 3.5. ¿Cuál es la probabilidad de que un radioescucha sintonice la estación: a) más de 20 minutos? b) 20 minutos o menos? c) entre 10 y 12 minutos? 30. Suponga que el costo medio por hora de operación de un avión comercial se rige por una distribución normal, con una media de $2100 y una desviación estándar de $250. ¿Cuál es el costo de operación más bajo de 3% de los aviones? 31. La Prueba de Aptitudes Escolares es quizás la prueba más amplia y la que más se utiliza para la admisión en las universidades de cierto país. Las puntuaciones se basan en una distribución normal, con una media de 1500 y una desviación estándar de 300. Una Universidad desearía ofrecer una beca honorífica a aquellos estudiantes que obtengan puntuaciones que los coloquen en el 10% más alto. ¿Cuál es la puntuación mínima que se requiere para obtener la beca? 32. El fabricante de una impresora láser informa que la cantidad media de páginas que imprime un cartucho antes de que deba ser reemplazado es de 12200. La distribución de páginas impresas por cartucho se aproxima a la distribución de probabilidad normal, y la desviación estándar es de 820 páginas. El fabricante desea proporcionar lineamientos a los posibles clientes sobre el tiempo que deben esperar que les dure un cartucho. ¿Cuántas páginas debe indicar el fabricante por cartucho si desea tener 99% de certeza en todo momento? 33. Una empresa se especializa en declaraciones del impuesto sobre la renta de clientes profesionales, como médicos, dentistas, contadores y abogados. Una auditoría reciente de las declaraciónes que elaboraba la empresa, indicó que 7% de las declaraciones que había
elaborado durante el año pasado contenía errores. Si esta tasa de error continúa este año y se elaboran 80 declaraciones, ¿cuál es la probabilidad de que cometa errores en: a) más de seis declaraciones? b) por lo menos seis declaraciones? c) seis declaraciones exactamente? 34. Se anuncia que se puede instalar un silenciador nuevo en 30 minutos o menos. No obstante, hace poco el departamento de estándares laborales realizó un estudio y descubrió que 20% de los silenciadores no se instalaba en 30 minutos o menos. Se instalaron 50 silenciadores el mes pasado. Si el informe de la empresa es correcto: a) ¿Cuántas instalaciones se esperaría que tardaran más de 30 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocho o menos instalaciones tarden más de 30 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 de las 50 instalaciones tarden más de 30 minutos? 35. El objetivo de los aeropuertos de cierto país que tienen vuelos internacionales consiste en autorizar estos vuelos en un lapso de 45 minutos. Es decir, 95% de los vuelos se autoriza en un periodo de 45 minutos, y la autorización del 5% restante tarda más. Suponga, asimismo, que la distribución es aproximadamente normal. a) Si la desviación estándar del tiempo que se requiere para autorizar un vuelo internacional es de 5 minutos, ¿cuál es el tiempo medio para autorizar un vuelo? b) Suponga que la desviación estándar es de 10 minutos, no los 5 del inciso a). ¿Cuál es la nueva media? 36. Los fondos que despacha un cajero automático localizado en un centro comercial, tienen una distribución de probabilidad normal con una media de $4200 al día y una desviación estándar de $720 al día. La máquina se encuentra programadapara notificar al banco más próximo si la cantidad que despacha el cajero es muy baja (menor que$2 500) o muy alta (más de $6 000). a) ¿Qué porcentaje de días se notificará al banco si la cantidad despachada es muy baja? b) ¿Qué porcentaje de días se notificará al banco si la cantidad despachada es muy alta? c) ¿Qué porcentaje de días no se notificará al banco la cantidad despachada? 37. Los pesos del jamón enlatado por una empresa tienen una distribución normal, con una media de 9.20 libras y una desviación estándar de 0.25 libras. En la etiqueta aparece un peso de 9.00 libras. a) ¿Qué proporción de latas pesa menos de la cantidad que señala la etiqueta? b) El propietario, considera dos propuestas para reducir la proporción de latas debajo del peso de etiqueta. Puede incrementar el peso medio a 9.25 y dejar igual la desviación estándar, o puede dejar el peso medio en 9.20 y reducir la desviación estándar de 0.25 a 0.15 libras. ¿Qué cambio le recomienda? 38. La mayoría de las rentas de automóviles por cuatro años abarcan hasta 60000 millas. Si el arrendador rebasa esa cantidad, se aplica una sanción de 20 centavos la milla de renta. Suponga que la distribución de millas recorridas en rentas por cuatro años tiene una distribución normal. La media es de 52000 millas, y la desviación estándar, de 5000 millas. a) ¿Qué porcentaje de rentas generará una sanción como consecuencia del exceso en millas? b) Si la compañía automotriz quisiera modificar los términos de arrendamiento de manera que 25 rentas rebasaran el límite de millas, ¿en qué punto debe establecerse el nuevo límite superior? c) Por definición, un automóvil de bajo millaje es uno con 4 años de uso y que ha recorrido menosde 45000 millas. ¿Qué porcentaje de automóviles devueltos se considera de bajo millaje? 39. Las ventas anuales de novelas románticas tienen una distribución normal. Ahora bien, no se conocela media ni la desviación estándar. Cuarenta por ciento del tiempo, las ventas son superiores a 470000, y 10%, superiores a 500000. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar?
40. Una compañía de alquiler de automóviles ha observado que la probabilidad de que un automóvil necesite una reparación en un mes cualquiera dado es 0,2. La compañía tiene 900 automóviles. a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 200 automóviles necesiten una reparación en un mes determinado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 175 automóviles necesiten una reparación en un mes determinado? 41. Se sabe que el 10 por ciento de todos los artículos que salen de un determinado proceso de producción tiene un defecto. Se eligen aleatoriamente 400 artículos de un elevado volumen de producción de un día. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de los artículos seleccionados tenga un defecto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de los artículos seleccionados tenga un defecto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 34 y 48 de los artículos seleccionados tenga un defecto? d) Sin realizar los cálculos, indique cuál de los siguientes intervalos de artículos defectuosos tiene la probabilidad más alta: 38-39, 40-41, 42-43, 44-45, 46-47. 42. Se encuesta a una muestra de 100 obreros de una gran empresa para saber qué piensan de un nuevo plan de trabajo propuesto. Si el 60 por ciento de todos los obreros de esta empresa es partidario de este nuevo plan, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 50 de los miembros de la muestra sea partidario del plan? 43. Un hospital observa que el 25 por ciento de sus facturas tienen al menos 1 mes de retraso. Se toma una muestra aleatoria de 450 facturas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 100 facturas de la muestra tenga al menos 1 mes de retraso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de facturas de la muestra que tienen al menos 1 mes de retraso esté entre 120 y 150 (inclusive)? 44. La duración de una marca de neumáticos puede representarse por medio de una distribución normal que tiene una media de 35.000 km y una desviación típica de 4.000 km. Se toma una muestra de 100 neumáticos. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 25 tengan una duración de más de 38.000 km? 45. Los sacos de un producto químico de una empresa tienen un peso de impurezas que puede representarse por medio de una distribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una desviación típica de 2,8 gramos. Se toma una muestra aleatoria de 400 de estos sacos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 100 contengan menos de 10 gramos de impurezas?
