INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A. ACADEMIA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL FUNCIONES VECTORIALES DE UN ESCALAR (1) Determine las ecuaciones paramétricas paramétricas de la recta tangente tangente a la curva dada en el valor indicado. 1 1 r (t ) [t , t 3 , t 3 ] ; t=2 2 3 4t r (t ) 3ti tj k ; t=2 2 1 t
r (t ) 3 cos(t )i 3 cos(t ) j 2tk tk ; t=
4
(2) Encuentre la velocidad, rapidez, aceleración, aceleración tangencial y aceleración normal de de una partícula con función de posición dada en el tiempo indicado.
r(t ) (25e 2t )i (10t 16t 2 ) j; r(t ) t 2i 2tj ln(t )k ;
t=e
t=0
2
2 r(t ) (t 3 )i (2t ) j ( t t )k ; t=4 2
(3) Calcule el valor de la longitud longitud de arco de la curva en el intervalo intervalo o entre los puntos puntos indicados
r(t ) (e co c os t )i (e sent ) j; t
r (t )
1 3
1t 4
t
t 3i
1 3
(t 2 4)
3
2
j
2 3
3 t 5
t 3k ;
r(t ) 4ti 3t( sent ) j 3t (c ( cos t )k ; 2 r (t ) 3ti 3t j
2 3
0 t 1
3
t k;
r(t ) (2 6 )ti 2t 2 j 6t 3k ; r (t ) cos ti sen tj; 3
3
r (t ) t 2i 2tj ln(t )k ;
P1(0, 0, 0); P2 (12.5664, 0, 9.4248)
6
3 t 6
t
2 3
2 P1(1 (1, 2, 0); P2 (e , 2e,1)
(4) Encuentre la curvatura del radio radio vector en el punto punto indicado. (5) r (t ) (e cos t )i (e sent ) j e k ; t
t
r(t ) ti 4t
3
2
j t 2k ;
r(t ) ti t 2 j t 3;
t
P (1, 0, 0, )
P (1, 4, 1, 1, ) P(2, 4, 8)
(6) Determine la función que representa la función posición posición de acuerdo a las ecuaciones y condiciones iniciales dadas en cada ejercicio. 1 2 r '( t ) t i j; r (3) 2i 5 j t 2
r '(t ) ( sen 2t )i (2 cos 2 t ) j;
r ( ) 0
r '(t ) 6 cos(2t )i sec2 (t ) j
r "(t ) e 3 i tj sen(t )k ; t
8
k;
r ( ) 3i j 2k 4
r '(0) 4i 2 j 4k ; r(0) 4 j 2k
1
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A. ACADEMIA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (CAMPOS ESCALARES) (1) Determine el dominio de las funciones indicadas. a) f ( x, y )
xy x y 2
b) f ( x, y ) ( x c) f ( x, y ) x
2
2
2
36 y 2 ) 2
y2 4 y
(2) Calcule las primeras derivadas parciales de la función indicada a) z
x 2 xy 2 4 y 5
b) f ( x, y c) z
4 x 2 3 y 1
cos2 (5x ) sen2 (5 y)
d) f ( x, y ) e
3 2
x y 4 x
e) f ( x, y ) xe f)
f ( x, y )
2
x3 y
3 x y
x 2 y
(3) Determine el gradiente de la función dada 2 3 2 4 a) f ( x, y ) x x y y b) f ( x, y )
x3 y y 4
c) f ( x, y, z ) x y sen( z ) 2
2
d) f ( x, y, z ) ln( x
2
2
y2 z2 )
(4) La temperatura T en ºC, en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está dado por y 2 4 x 2
la ecuación T ( x, y, z ) x y z 4xz e . Calcule en el punto (1, 2, 3) a) La dirección, así como la razón del cambio máximo de temperatura. 3
2
b) La razón de cambio de la temperatura temperatura en la dirección a 2i j 2k indicando si aumenta, disminuye o es invariante. (5) El campo magnético B (webers), en el punto (x, y, z) dentro de un recipiente, medido en centímetros, está 2 y dado por la ecuación B( x, y, z ) xe x cos( xy ) sen( yz ) . Calcule en el punto (2, 0, --3) a) La dirección, así como la razón del cambio máximo. b) La razón de cambio del campo en la dirección a i 2 j 2k . (6) La distribución de iluminación L en luxes, en el punto (x, y, z) dentro de una habitación medida medida en metros, está dado por la ecuación L( x , y, z )
1 2
4
z e y
2
4 x 2
,2, 1) . . Calcule en el punto (1,2,
a) La dirección del cambio cambio máximo máximo de la iluminación. iluminación. b) La razón del cambio cambio máximo de la iluminación. c) La razón de cambio de la iluminación en la dirección b 2i 3 j 6k .
2
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A. ACADEMIA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL (7) Considere la función f ( x, y ) 3x y 4 y xy Determine en el punto P(1, 2) a) La dirección, así como la r azón de cambio de la máxima derivada direccional 3
2
b) La derivada direccional sobre el vector a 4i 3 j (8) Obtenga las ecuaciones para el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado a) F ( x, y, z ) xy z
x 2 y yz 2 xz 3 ; M(3,2,1) 2 b) F ( x, y, z ) xy 2 yz xz +10 ; M(-5,5,1) x c) F ( x, y, z ) 2e cos y z ; M(0, 3 ,1) 2
3
(9) Determine las coordenadas de los puntos máximos, mínimos y silla, si existen, de la función
f ( x, y ) 48xy 32 x 3 24 y 2
f ( x, y ) 4xy 2 x 4 y 2 2
f ( x, y ) x 3 3xy y 3
f ( x, y ) 4 x 2 2 y 2 2 xy 10 y 2x
f ( x, y ) xy 2 6x 2 3 y 2 4
f ( x, y ) y 3 4 y 2 2 xy x 2
f ( x, y ) xy
2
x
4
y
f ( x, y ) 72 x 3 70 y 3 68xy 66 y
8
z z , u t 2 2 3 3 a) z x cos(4 y ); x u t ; y u t ; cuando u 1, t 2
(10)
Utilizando la regla de la cadena determine las derivadas parciales
t t x e2 ; y e 2 ; cuando t 0
b) z
x2 y 2 ;
c) z
x ln( x 2 y);
d) z
ln( x y ) ; x u t , y 2 ut ; cuando u 2, t 1 . 2
x u ( sent sent ); y u 2 cos t ; cuando u 2, t
3
2
(11) La altura de un cono circular recto crece a razón de 40 cm/min, el radio disminuye a razón de 15 cm/min. cm/min. Calcule la razón de cambio del volumen en el instante que la altura es de 2000 cm y el radio de 600 cm. (12) La longitud del cateto A un triángulo triángulo rectángulo crece a razón de 3 cm/min., la del cateto B decrece a razón de 2 cm /min. Calcule la razón de cambio del ángulo agudo opuesto a B en el instante que A = 100 cm y B = 120 cm (13) En un tanque elástico elástico en forma de cilindro circular recto entra agua a razón de 2 m3/min . El tanque se se expande pero conservando su forma, su radio crece a razón de 0.005 m/min. ¿Con qué rapidez sube el agua cuando el radio tiene 1.5 metros y el volumen del agua dentro del tanque es de 40m3? (14) Sea el ángulo entre los lados iguales de un triángulo isósceles y sea “x” la lon gitud de estos lados. Si x se incrementa a razón de ½ metro por hora y se incrementa a razón de radianes por hora, hallar hallar la tasa de cambio del área cuando x=6 y
4
(15) Los dos radios de un tronco de cono circular recto se incrementan a razón de 4 centímetros por minuto y la altura decrece a razón de 2 centímetros por minuto. Hallar a qué velocidad cambian el volumen y el área superficial cuando los radios son de 35 y 50 centímetros, respectivamente y la altura es de 30 centímetros
3
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A. ACADEMIA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES (1) Evalúe las siguientes integrales iteradas a. b. c.
x
2
x
1
8 x 10 y 2dxdy 2 y
2
2
2 y 2
0
2 x y dxdy
x
2
cos x sen( y )dxdy 0
d.
2
3
1 cos( )
3cos
0
rdrd
(2) Evalúe la integral
x
2
y 2 dA sobre la región encerrada por las curvas x y 0 , x
y localizada
R
en el primer cuadrante (3) Evalúe la integral
(cos(2 x y )dA sobre la región encerrada por las curvas R
y x; (4) Evalúe
x 3 y 0;
R
(5) Evalúe
y
1 2 2 ( )dA sobre la región en plano XY: y x , y 4 x x x
2 ye
x
dA sobre la región en el plano XY: x y 2 , y 2 , x 9
R
(6) Evaluar
f ( x, y)dA sobre la región de la figura R
xydA
4 3 y dA
R
y sen( x )
R
y cos( x)
y x 2 y 0 2
3 y 6 y x 0 2
3
25 x y 50 2
xsen( y)dA R
ydA
R
2
y x
4
y
2x
y
x
2
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESIME ZACATENCO I. E., I. C. A., I.S.A. ACADEMIA ACADEMIA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS GUIA E.T.S. DE CÁLCULO VECTORIAL (7) Cambiar el orden de integración y evauar la integral integral a) b)
3
9
0
y
1
1
0
y
x2
4 ye dxdy
c)
sen( x2 )dxdy
d)
2
2
0
2
x
e
2
4
0
y 2
y2
dydx
x (senx)dxdy
(8) Determine el volumen volumen del sólido limitado por las gráficas de las funciones indicadas a) 2 x y z 6, x 0, y 0, z 0 , primer octante
y 2 4, x 2 y 2 z 4 , primer octante 2 2 2 c) z 4 y , x y 2 x, z 0
b) x
2
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4
2
2
2 1
3
x
1
xy
1
c)
1
0
(24 xy )dzdydx dzdydx
2
y 2
2
0
( x y z )dxdydz dxdydz
y
0
x cos( )dzdxdy y
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.
y 2 4 , bajo la esfera x 2 y 2 z 2 16 , sobre el plano z 1 2 2 2 2 (2) Paraboloide z x y , cilindro x y 25 , planos z 0; z 36 (1) Interior al cilindro x
2
a) Interior al cilindro b) Exterior al cilindro (3) El cono horizontal x (4)
El cono
z
z 2 y 2 , el paraboloide x 6 y 2 z 2
x 2 y 2 12
y el paraboloide
2 2 z 8 x y
, en el PRIMER OCTANTE
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS Determinar el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones que se indican. (1) Cono z
x 2 y 2 ; esfera x 2 y 2 z 2 9
(2) Esfera x
2
y 2 z 2 4 ¸ planos verticales y
(3) Bajo el plano z
3
x ; y 3x
3 , exterior al cono z x 2 y 2 , interior al cono z 3x2 3 y 2 ,
(4) Dentro de la esfera x (5) Determinar
1
2
y 2 z 2 1, fuera del doble cono z 2 x2 y 2
e dv donde D es el sólido en el primer octante bajo la superficie z x z
2
y 2 , interior al
D
cilindro x
2
y 2 9 , sobre el plano XY
6
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x cos t y sent sent
C
ydx xdy zxdz donde C es la curva dada por las ecuaciones
z t ;
2) Evalúe la integral de línea
x t ;
y t 3;
0 t
(6 x 2 y )dx 4 xydy xydy donde C es la curva dada por l as ecuaciones 2
C
0 t 1
3) Evalúe la integral de línea
xydx 3xdy ydz donde xydx C
r (t ) cos(t )i se s en(t ) j 2tk ;
4) Evalúe
C
2
0 t
C es
la curva dada por
2
F d r donde
t t F ( x, y ) y 3i x 2 yj ¸ r(t ) e 2 i e j ;
0 t ln(2)
TEOREMA DE GREEN 1) Por medio medio del Teorema de Green evalúa la la integral integral de línea cerrada
xy dx 3cos ydy donde 2
C
por las gráficas y x , 2
C es
la frontera en el primer cuadrante encerrada
y x3
2) Por medio medio del Teorema de Green evalúe la integral de línea línea cerrada
( xy 2 x cos y)dx ( x seny)dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada 2
C
2
por las gráficas: y x , y x 2
3
3) Por medio medio del Teorema de Green evalúe la la integral integral de línea cerrada
( y 3x y )dx ( xy x )dy donde C es la frontera en el primer cuadrante encerrada 2
C
2
3
por las gráficas y x , y 2 x 2
4) Por medio medio del Teorema de Green evalúe la la integral integral de línea cerrada
( xy xy )dx 2
C
1 3
y 3dy
donde C es la frontera encerrada por la gráficas x y , x 1 y , y 0 2
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