Guia de Trabajo MATRICES Para Matematica Aplicada

+

PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA ALUMNO : _________________________________________ APRENDIZAJES ESPERADOS : Los alumnos :

•

Reconocen la utilidad de las diferentes clases de números para ordenar, expresar códigos, aproximar y estimar medidas.

•

Incorporan al lenguaje habitual la expresión con distintas clases de números para comunicar los hechos de forma más completa y precisa.

•

Entienden el concepto de matriz como una ordenación de números, su uso y sus caractersticas.

•

!peran la adición y multiplicación con las matrices, sus caractersticas y propiedades.

•

Establecen relación entre las matrices y los números reales mediante la ponderación.

•

"efinen determinante y expresan sus propiedades.

•

Resuel#en sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de $ramer.

ACTIVIDADES SUGERIDAS: • Realizan una in#estigación sobre las di#ersas clases de números de acuerdo a las necesidades presentadas. • Resuel#en ejercicios para determinar la necesidad de crear nue#os números. • %nalizan las operatorias con matrices y aplican en las diferentes definiciones axiomáticas de adición y multiplicación de ellas. • $onocimiento y aplicación de las diferentes formas de resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado. • &enacidad en la bús'ueda de soluciones a los problemas con diferentes tipos de números. • $onfianza en encontrar procedimientos y estrategias para resol#er y solucionar problemas.

•

(undamentos de )atemática )oderna $olección *chaum

+

0

PLAN DE TRABAJO

o 'ue #oy a hacer NOCIONES :

Inicio

&-rmi no

%prendido

Indicaciones

"efinición de matriz Igualdad de matrices. "efinición de matriz traspuesta. %dición de matrices. ropiedades de la adición de matrices. ropiedades de la adición de matrices. )atriz nula y opuesta de una matriz onderación de una matriz por un real )ultiplicación de matrices. ropiedades de la multiplicación de matrices )atriz unidad e in#ersa de una matriz "i#isión de matrices (unción determinante )atriz de los cofactores. Regla de $ramer %l t-rmino de esta unidad, tú / +. Entender Entender la utilizació utilización n de diferente diferentess formas formas de expre expresar sar números números.. 0. Recono Reconoce cerás rás una matriz, matriz, su su orden orden y su uso 1. !perará !peraráss la adici adición ón y la multipli multiplicac cación ión de de matrice matricess 2. Reconoc Reconocerás erás el el determinante determinante de una matriz matriz y lo usarás para para resol#er resol#er sistemas sistemas de dos y tres incógnitas

M A T R I C E S.

un ordenamiento rectangular rectangular de elementos elementos de un cuerpo cuerpo 3 4 para nuestro caso 3 CONCEPTO CONCE PTO GENERAL GENE RAL : Es un 5 IR 6 , es decir , en la forma /

% 5

a++ a  0+  ⋅  ⋅   ai+   ⋅  ⋅  an+

a+0

a+1

a00

a01

⋅ ⋅

⋅ ⋅

ai 0

ai 1

⋅ ⋅

⋅ ⋅

an 0

an 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a+ j a0 j

⋅ ⋅ aij

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅

anj

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a+m 

a0 m 

 ⋅  ⋅  aim   ⋅  ⋅   ⋅ anm  nxm

∀ aij ∈ I3 , ∀ i , ∀ j , i 5 +,0,1,...,n 7

j 5 +,0,1,....,m. $ada 8 aij 8 recibe el nombre nombre de componente componente de una matriz.

0

1

$ada lnea horizontal de os subndices indican la componentes es una fila, cada posición de cada componente, lnea #ertical es una columna. el primero 8n9 a la fila a 'ue pertenece y el segundo 8m9 a la columna.

a matrz

Ejemlo :

%5

2 1 − 2  ; − < =  = +0 − ?

:na matriz de 8n9 filas y 8m9 columnas la llamaremos matriz de orden 8n por m 8 y su notación es 8 nxm 9.

+;



>

tiene

1 filas y 2 columnas,

; 

es decir es de orden 1 x 2 . %'u , podemos identificar algunos elementos /

a+1 5 @2 ,

a10 5 @< , etc.

*i una matriz tiene el m!smo n"me#o $e %!las &ue $e 'olumnas se dice 'ue es una ma(#!) 'ua$#a$a de orden según el número de filas y columnas 'ue tenga.

IGUALDAD DE MATRICES .

"os matrices pertenecientes a IA nxm 4 del mismo orden 6 son iguales si tienen los mismos elementos en las mismas posiciones , es decir /

a c 

b

x =   d   z

y 

⇔

 w

a 5x

b5 y

c5 z

d 5B

Eje#'!'!os : En'uen(#a el *alo# $e las *a#!a+les en 'a$a 'aso.

1.

 u z + 1 

− u =  x  u y

2z − 1 z

2.

 

x + 2  −2 

 3 = b − 5 − 2 3

c − 2

− 6 

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ :

*ea

%5

 a++ a  0+

a+0 

a00  %& 5

columnas, es decir a /

Ejemlo:

"ado

%5

se llama matriz traspuesta a la 'ue se obtiene intercambiando las filas por las

 a++ a  +0

a0+ 



a00 

 1 −+ ;  +0 +; − C  

entonces

 1  % 5  − +  ; &

  +;  − C +0

Eje#'!'!os:

1

2

Encuentra la matriz transpuesta de /

3.

3 4 -5 A = 1 4 -3    5 0 12 

6 7   4. B = 0 - 4  5 1 D!R% "E D%$ER E &%ER F 1

ADICION DE MATRICES .

"adas las matrices %H G5$ En

Ejemlo :

%H G 5

 a++ a  0+

%, G , $

⇔

∈ I3 nxm , entonces / ∀ aij ∈ % , ∀ bij ∈ G

cij 5 a ij H bij ,

I3 0x0

a+0 

a00 

H

 b++ b  0+

b+0 

b00 

5

 a++ + b++ a + b  0+ 0+

+ b+0  a00 + b00  a+0

PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES.

"adas las matrices

%, G , $ y ;

∈ I3 nxm , entonces /

,- COMPOSICION INTERNA / - ASOCIATIVA : /- CONMUTATIVA :

% H G ∈ I3 nxm % H 4G H $6 5 4% H G6 H $ %H G5 GH%

0- ELEMENTO NEUTRO ADITIVO /

∀ % ∈ I3 nxm , ∃  ; ∈ I3 nxm / % H ; 5 % 5 ; H % 2

=

1- ELEMENTO INVERSO / ∀ % ∈ I3 nxm , ∃  4@%6 ∈ I3 nxm /

% H 4 @ %6 5 ; 5 4@%6 H %

E J E R C I C I O S. Da$a la ma(#!) :

A2

1. 1a+0 H =a 10 @ a 11 5

>.

− = +; 1     < − 2 − 0  +; = ;  

en'uen(#a :

34. @0a0+ H Ca ++ H
5. =a10 H 1a 1+ 5

En un reuni#ersitario hay = clases 7 en la primera hay 1; chicas y = chicos 7 en la 0J , 0= chicas y +0 chicos 7 en la 1J , 0; chicas y 0; chicos 7 en la 2J , +1 chicas y 0= chicos 7 y , en la =J , +? chicas y ++ chicos . Daz una matriz en la 'ue pongas un + si el número de chicas excede al de chicos 7 un ; si es al re#-s 7 y un 0 si son iguales. %s te podrás hacer una idea de la proporción de chicos y chicas estudiando en ese reuni#ersitario.

De(e#m!na las ma(#!'es

8. aij 5 ; , si

i5j

a !j

I6 /70 4 (ales &ue :

,9. aij 5 + , si

iKj

,,. aij 5 @+ ,

si i L j

Real!)a las s!u!en(es a$!'!ones :

,.

1y + =   0 x C z − + − = + 0w  

H

 =@ x 0 z + 1 

y − C

 
@

 = x @ 0 2 y + +   z + +0 − =w + > 5  

En'uen(#a el *alo# $e las *a#!a+les :

,/.

0 + x 1  = − 0 x y   =  1w − 2 +  − > − + =  w − +     

;

=z 

Resuel*e las e'ua'!ones ma(#!'!ales :

,0. x H

 0 − = C − + = − 1 +0  1 ;     

,1.

 +0 ;  − 0,= 1,C  X + = − C − ?  2,= − =,>    

PONDERACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR :

*ea

p ∈ I3 ,

aij ∈ I3 nxm , entonces

p ⋅ aij 5 bij

,

∀ aij ∈ % , ∀ bij ∈ G

Ejemlo :

a++ a+0  p ⋅   a0+ a00 

 p ⋅ a =  ++  p ⋅ a0+

p ⋅ a+0 

p ⋅ a00 

=

C

=⋅

Ejemlo :

C − 1 1; − += 0 +;  = +; =;     

PROPIEDADES DE LA PONDERACION.

+6

p⋅4% H G6 5 p ⋅% H p⋅G

06

4p H '6⋅% 5 p⋅% H '⋅ %

16

4p⋅'6⋅% 5 p⋅4'⋅%6

26

+ ⋅%5 %

,

p , ' ∈ I3 ,

% ∈ I3 nxm

+ 5 neutro multiplicati#o en I3.

EJERCICI OS

1 − + 

Da$as las ma(#!'es : A 2 ,3. 0⋅4% H G6 5

0

 = 4B 2   ; − 2

,5. 1⋅% H 0⋅G 5

1

? 

4 'al'ula en 'a$a 'aso :

,;.

40⋅% @ G6& 5

De(e#m!na el *alo# $e las *a#!a+les 4 en las e7#es!ones :

− 2 ;   =  0 − +

x⋅ 

,8.

− 0 w 

y

z  

D!R% "E D%$ER E &%ER F 2

MULTIPLICACION DE MATRICES .

a multiplicación de matrices en I3 0x0 , tales como las matrices

A =

 a++ a  0+

% ⋅ G 5

a+0 



a00 

a++ a  0+

,

G 5

a+0 

b++ ⋅ a00  b0+

 b++  b  0+

b+0 

b00 

se define as /

a++ ⋅ b++ + a+0 ⋅ b0+ = a ⋅ b + a ⋅ b b00   0+ ++ 00 0+ b+0 

a++ ⋅ b+0 + a+0 ⋅ b00 

a0+ ⋅ b+0 + a00 ⋅ b00 

Ejemlo :

1 − 2 0 0 ;  ⋅ +   

1 ⋅ 0 + −2 ⋅ + =   C  0 ⋅ 0 + ;⋅+ =

1 ⋅ = + −2 ⋅ C

0 − ? =    0 ⋅ = + ;⋅ C  2 +; 

C

<

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION .

+. P#o!e$a$ Gene#al / a multiplicación entre matrices sólo existe entre a'uellas matrices cuadradas del mismo orden y entre a'uellas 'ue tienen el número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segunda matriz, es decir, una matriz perteneciente a I3 nxm se puede multiplicar sólo con una matriz perteneciente IA mxp , resultando una matriz de orden nxp .

0. a multiplicación de matrices es una ley de composición interna para a'uellas matrices 'ue cumplen la propiedad general.

1. a multiplicación de matrices es asociati#a. 2. En IA nxn existe la matriz identidad I /

∀ % ∈ I3 nxn , ∃  I ∈ IA nxn / %⋅I 5 % 5 I ⋅% =. a multiplicación de matrices en IA nxn es distributi#a sobre la adición / %⋅4G H $6 5 %⋅G H %⋅$ EJERCICIOS . En I6 7 $e(e#m!na el elemen(o !$en(!$a$ :

− 1

Da$as las ma(#!'es :

A2 



0  4 B 2   − + ; 0

2

=

0 − 1 −+

 4 C 2 = + 

2 ; 

!- $e(e#m!na : 9. %⋅ G 5

. 4% H G6⋅$ 5

,. %0 5

/. %⋅$ H G⋅$ 5


0.

 1 − +  x   + 0 +  ⋅  y = ?      

LA
"ada la matriz

% 5

$e( A 2 A 2

a c 

b

d  

a

b

c

d

, se define el determinante de % , como sigue /

2 a $ = + '

Ejemlo : 2

−1

−0

=

5 2 ⋅= @ 416 ⋅4@06 5 0; @ C 5 +2

<

>

En el caso de las matrices de orden 1 /

det % 5 % 5

a

%5

a  d  g

b

c

e

f 

h

i

 

a

b

c

d

e

f d

e 5 a⋅e⋅i H b ⋅f ⋅g H c⋅d⋅h @ c ⋅e⋅g @ a ⋅f ⋅h @ b ⋅d⋅i

g

h

i

h

4@6 4@6 4@6

g

b

4H6 4H6 4H6

Ejemlo : C + 1

−2 −0

0

+

1

;

C

5

+

− −

1

2

0

C

@2

0

;

+

@0

1

1

+

+

5 C⋅4@06⋅1 H 4@26⋅;⋅1 H 0 ⋅+⋅+ @ 0 ⋅4@06⋅1 @ C ⋅;⋅+ @ 4@26⋅+⋅1

5 @1C H ; H 0 H +0 @ ; H +0 5 +; EJERCICIOS .

Da$as las ma(#!'es A 2

= 1   0 =  2 @0 1 @+  − + ;  + 1       4 B 2

4 C 2

>alla# :

0=.

%

5

3.

G

0?. Dallar el determinante de /A 2

5

0<.

% H $

5

; .

0G

5

 a @0b 1a @=b  

>

?

A A 1;.

Dallar el #alor de A para 'ue /

2 0A

"ada la matriz A 2

/,

0  2  1

+ = <

5; @+ 

 0 C 

demostrar 'ue $e( A 2 ,

D!R% "E D%$ER E &%ER F =

INVERSA DE UNA MATRIZ

S!

A2

a c 

b

d  

!bser#ar 'ue si

?

$e( A

≠9

A=, 2

 d − b ⋅ a  a ⋅ d − b ⋅ c − c +

, no existe %@+ .

det % 5 ;

Ejemlo :

*i

%@+ 5

%5

 1 − 0 + − + ,  

entonces

− + ⋅ 1 ⋅ 4−+6 − 4−0 6 ⋅ + − + +

+ − + = ⋅  1 − + − +

0

− + = 4−+6 ⋅   1 − +

0

+ − 0 =    1 + − 1

0

EJERCICIOS . >alla# la !n*e#sa $e 'a$a ma(#!) 4 s! @s(a es no = s!nula# :

/.

+ 1  0 +   

//.

 + 0 @+ 1    ?

+;

MATRIZ DE LOS CO
*ea % 5

M )1+ 5

0  0  1

1 @+ ;

  ; @0  2

)++ 5

 @+ ;   ; @0   

)0+ 5

1 2  ; @0   

 2 -1 3 0  

El signo de la menor estará dado por la expresión 4 @+6 i H j . &ambi-n podremos calcular el determinante de una matriz de 1 x 1 según el m-todo de las menores /

%

5

0

1

2

0

@+

;

1

; @0

5

@+ ; 0 ; 0 @+ 0 @1 H2 ; @0 1 @0 1 ; +;

++

EJERCICIOS .

12. "adas la matrices A 2

 = @0  C 0   + ; @1 @+      4 B2

determina /

a6 %@+, si existe.

b)

G@+ , si existe.

c)

%@+ N G 5

d)

det % H det G 5

En'uen(#a la !n*e#sa $e 'a$a ma(#!) 4 s! e7!s(e :

1=. % 5

+ 1 0 +  

/3. G 5

 + 0 @+ 1   

Se"n el m@(o$o $e las meno#es 'al'ula:

1 = 0 /5.

< ? 1 1 ; @0

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES . REGLA DE CRAMER : *e pueden usar determinantes para resol#er sistemas de ecuaciones con 0 , 1 ó más incógnitas, como sigue / +.

Pa#a s!s(emas $e la %o#ma :

a+x H b+y 5 c+ a0x H b0y 5 c0 ++

+0

se tiene 'ue /

∆ 5

a+

b+

a0

b0

,

∆x 5

c+

b+

c0

b0

entonces el #alor de las incógnitas se encuentra como /

∆y 5

,

x

=

∆x ∆

a+

c+

a0

c0

,

y5

∆y ∆

+0

+1

a +x H b+y H c+z 5 d + a 0x H b0y H c0z 5 d 0 a 1x H b1y H c1z 5 d 1

Pa#a s!s(emas $e la %o#ma :

0.

se tiene 'ue /

∆=

a+

b+

c+

a0

b0

c0

a1

b1

c1

,

∆x =

d+

b+

c+

d0

b0

c0 ,

d1

b1

c1

∆y =

a+

d+

c+

a0

d0

c0

a1

d1

c1

,

∆z =

a+

b+

d +

a0

b0

d 0

a1

b1

d 1

%s , el #alor de las incógnitas se encuentra mediante /

x =

∆x ∆

,

y 5

∆y ∆

,

z 5

∆z ∆

E J E R C I C I O S. Resuel*e los s!s(emas usan$o el m@(o$o $e C#ame# : /;.

Cx H >y 5 + 1x H
/8.

2x @ 1y 5 + =x @ 2y 5 @+

09.

xHy5> 0x @ y 5 2

D!R% "E D%$ER E &%ER F C

NOMBRE

+. El consumo, en Ailógramos de pan, carne y mante'uilla de una familia durante los últimos cuatro aOos, se puede disponer as % $%RE )%&EP:I% +??C 21; +=< > +??< 1?; +C0 C +??> 2+; +C? +; +??? 1C; +>; ?

a caja de números

 430   390  410   360

157 162 169 180

  6   10   9  8

es una ma(#!).

*us elementos aparecen dispuestos en filas 4lneas horizontales6 y columnas 4lneas #erticales6. Esta matriz tiene 2 filas y 1 columnas, lo 'ue se resume diciendo 'ue es una matriz de 2x1.

0. En las siguientes matrices, colocarás el orden a 'ue pertenecen 1 − 5 8 24 17 filas QQ columnas QQQQ orden QQQQQQ

(

)

+1

+2

 0     − 1  2   

3 − 1  0 7   1 3 1.

filas QQ

   2   6 

columnas QQQQ orden QQQQQQ

4 1

filas QQ

columnas QQQQ orden QQQQQQ

$onsuelo contabiliza las horas semanales 'ue dedica a 8clases 8 7 8 estudio y lectura 8 7 8 tele#isión 8 y 8 salidas, amigos, excursiones9 da a da de la semana del modo 'ue se indica en la tabla

unes )artes )i-rcoles Tue#es Siernes *ábado domingo

clases C = > C = + ;

estudio 0 1 + + 2 0 0

&S + 0 ; 0 ; 1 2

%migos 0 + 0 + 2 C C

Realiza tres preguntas 'ue se podran contestar con sólo mirar la tabla.

Da$a la ma(#!) :

0. 1a+0 H =a 10 @ a 11 5

A2

− = +; 1     < − 2 − 0  +; = ;  

14. @0a0+ H Ca ++ H
en'uen(#a :

3. =a10 H 1a 1+ 5

5. En una tienda se #enden cajas de leche de +, 0, 1, 2 y = Ailos. El precio de cada una de ellas es de U +.C;; , U 1.1;; , U =.;;; , U C.>;; y U ?.;;; , respecti#amente. !rdena estos datos en una matriz. ;. as existencias de = artculos %+ , %0 , %1 , %2 , %= , en una cadena de tres almacenes G+ , G0 , G1 , G2 , G= , #ienen indicados por la siguiente tabla 4 en miles de unidades6 /

a6 V Pu- almac-n dispone de un mayor stocA de artculos %1 W

b6 V % 'u- t-rmino corresponde este dato W V $uál es su #alor W

c6 V Pu- representa el elemento a10 W

G+ G0 G1

%+ 1 1 <

%0 2 0 2

%1 + = 1

%2 1 1 0

%= 2 0 1

V M el a01 W

+2

+=

IGUALDAD DE MATRICES . En'uen(#a el *alo# $e las *a#!a+les en 'a$a 'aso.

9.

++.

13.

 x 3   5 3 − 1 2y  = − 1 8    



10.

+0.

a 2 1 1 b c  0 3 2 = 0 3 2    

 aHb b   < @ 0  =  b @ c 2  = 2   

2 0  7 2 0 a + b  3    b-a 0  = 3 − 3 0    0 − 1 1 b + c  0 1

14.

x + y − 3 6 − 3   4 =  0  4 x − y  

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ :

Encuentra la matriz transpuesta de /

+=

+C

15.

  25 4 -5    A = 1 4 1 -3   3  2   0 -2  5 

16.

6 7 −1  B= 1  - 2 -4   2 

TALLER N O 3. NOMBRE

INVERSA DE UNA MATRIZ

>alla# la !n*e#sa $e 'a$a ma(#!) 4 s! @s(a es no = s!nula# :

,.

+ 0 0 2  

.

 1 @+  2 0  

+C

+<

1.

$5

+ 1  1  2

@1 

 2  1 = 

0. " 5

1 1  @ 0

0 0 =

 1 

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES . Resuel*e los s!s(emas usan$o el m@(o$o $e C#ame# :

=

;.

++.

0x H 1y 5 1 2x @ =y 5 +;

@ax H y 5 ab ax H 0y 5 =ab

0x H 1y 5 01 x H y H z 5 +; 0y H 1z 5 >

3.

1x H 0y 5 ; @0x H 1y 5 ;

8. x H y H z 5 C 0x @ y H z 5 1 1x H 0y @ =z 5 @>

+. x @ 0y 5 z yH z 5x x@ z5y

5.

,9.

,/.

1x H 0y 5 2 =x @ 1y 5 0

0x @ 0y H z 5 @+ x @ 2y H z 5 @1 2x H Cy @ z 5 <

0x H 1y 5 = x H y H z 5 +; 0y H 1z 5 >

S!n 'al'ula# 4 !n$!'a 'ules $e los s!u!en(es $e(e#m!nan(es son nulos :

+ 0 1 ,0.

1 + 0 = = =

@+ 0 @+

1 < @0 ,1.

> @+1 +? 1 < @0

,3.

1 @2

1

+; +0 +;

En'uen(#a en 'a$a 'aso el *alo# $e la *a#!a+le :

+<

+>

0

; 5;

,5

,;.

; x@+

x

+

+ t t

@+ 5 ;

,8.

xHC

= @1 1 A 5 0 A @+ 2 0

+ 0 2 5;

9.

+ 1 ?

0

TALLER N O 1. MULTIPLICACION DE MATRICES . En I6 7 $e(e#m!na el elemen(o !$en(!$a$ :

Da$as las ma(#!'es : A 2

− 1 0   2 − + 4  

0

B 2 

;

=

0 − 1 −+

 4 C 2 = + 

2 ; 

S! %7- 2 7   /7  I 4 7- 2 7  /I 4 I 2 !$en(!$a$ 4 en'uen(#a : ,-. f4%6 5

- f4G6 H g4%6 5

/- f4%6 ⋅ g4G6 5

Com#ue+a s! : 0. %⋅ G 5 G⋅ %

1. 4 % H G60 5 %0 H 0 ⋅%⋅G H G0

3. 4% H G6⋅4% @ G6 5 %0 @ G0

<. %1 H G1 5 4% H G6⋅ 4%0 @ %⋅G H G06


+>

+?

;.

 1 − +  x   + 0 +  ⋅  y = ?      

8.

 1 +  0 − 1  x  + +  ⋅  y = >  0      = 

 ? >   x   = +0 − + ⋅  y  = 1      

,9.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ .

Da$as las ma(#!'es A 2

>alla# : ,,. G 0

5

= 1   0 =  2 @0 1 @+  − + ;  + 1       4 B 2

,. % @ $

5 ,/.

+=. Dallar el determinante de /

B2

4 C 2

@ %

a − b b 

5

,0.

%

⋅

G

5

  a Hb a

+C. $alcular los siguientes determinantes /

a)

2

@=

C

;

0

@+

@+

=

;

@C b6

=

@0

; @+

1

0 @1

+

c6

;

2

+

2

;

@+

+

@2

;

+?

0;

TALLER N O 0. ADICION DE MATRICES .

%5

Da$as las ma(#!'es

 1 − 2 − + C  ,  

En'uen(#a : ,. % H G 5

. % H 4 G @ $ 6 5

0. % @ 4 G H $ 6 5

1. % @ $& 5

%& H G&

5. V *on iguales

;.

1 x 0 + =x − >x 0 − Cx  =x + 2  1 x − 0  x 0 + +; = − 0x 0

− 0 C   1 − 0  

, $5

 = − 1 < − =  

/. 4G H $6& 5 3. G& @ %& 5

4% H G6& W

y

+ < x  x+>  =x 0 + C 

=x

G5

0

H

 @ 1 x H x0   C x + +0  − x 0 − >

C x + 0 x

0

x−1 +; + 1x 0

  1x − ?  = 1x 0 − <

Cx − x

0


8.

,9.

 x + y  y + z    

w x

w + +

 y − x −   0 z  

x − w

0y

−C

− x  − 0  + − w   w

 C − 2 =  − + z    

y 

; =   z  ;

;



;

Resuel*e las e'ua'!ones ma(#!'!ales :

,,. x @

 1  1 −  2

  −< 0 =    ; ;,0   +

2 = C

,.

 <

+ 0  1 −  0

 = =  − X =  0    1,= ;,=   0



;,>

  = C

PONDERACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR :


,/. 0⋅% H 1⋅G @ 2⋅$5

,3. *i

f4x6 5 1x

1 − + 

0 ; 

4

,0. =⋅4% H G6& 5

,

encuentra

B2

 = − 2  ,1.

1

? 

0 1

4 'al'ula en 'a$a 'aso :

⋅ 4 A − 0 ⋅ B 6 =

f4%6 H f40G6 5

De(e#m!na el *alo# $e las *a#!a+les4 en las e7#es!ones:

0;

0+

,5.

− x B⋅  − >

=

 + =   y 1 


1

z  

− + ; 

,;.

0 =

 − 1 1

4B 2

2 − 0 +   1 ; − 2  

− 1 x⋅  w

 x 0  =  z   y + 1

x



4C2 

;

− +

0

2

;

=

  w + 0 y



Resuel*e las e'ua'!ones : ,8. 1X 5 % H G

9. 0X H G 5 $

,. 1% H X 5 0G @ $

/. =4X @ $6 5

0 1

A

.

+ 0

A − X

=B

0. =40% @ 1X 6 5 G @ $

0+

00

Nom+#e : (E$D% /

:&!* /

!&% /

"adas las siguientes matrices /

+ ; >  <@2 ;@?+; 1@0   % 5   G 5   $ 5   " 5 @ = < @ 0  1 @+ @0 = < 1 @2 ? @0 + ; "etermina +. 0. 1. 2. =.

/ 4% H $ 6 & 5 $NG5 "0 5 $@+ 5 C

− A

5 *i f4x6 5 x Y1x H 0I (4 $ 6 5 0

C.

+.

Encuentra la matriz % para 'ue se #erifi'ue la siguiente igualdad /

00

01

1% @ =

.

 = @+  1 2 5  ? 2 += @<   

"ada una matriz %, Vexiste una matriz G , tal 'ue el producto %NG, o bien GN% , sea una matriz de

una sola fila W oner un ejemplo con % 5

/.

x

 @+ ?   @+   @1

  @+  @0   >

; 0 + ; <

+ @+ 5 ;

xHC

0

01

02

0.

= @1 1 A 5 0 A @+ 2 Resuel#e los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la regla de $ramer / ,9.

1x @ y 5 ++ x H 2y 5 >

,,.

0x @ =y 5 0 0y @ >z 5 @2

02

Guia de Trabajo MATRICES Para Matematica Aplicada

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