UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS GUÍA PROBLEMAS RESUELTOS: VARIABLES ALEATORIAS Y MODELOS PROF: PAOLA BARILE M.
1.
Los datos del censo a menudo se usan para obtener distribuciones de probabilidad de algunas variables aleatorias. Los datos del censo, de familias con un ingreso combinado de $500.000 o más, en una ciudad en particular, muestran que de 1000 familias encuestadas, 200 no tienen hijos, 300 tienen un hijo, 400 tienen dos hijos y 100 tienen 3 hijos. Con base a esta información: 1.1 Elabore la distribución de probabilidad para X, que representa el número de hijos por familia en este grupo de ingreso. 1.2 Estime el número esperado de hijos por familia SOLUCIÓN: Sea X: Número de hijos por familia P(X = 0) = 200 / 1000 = 0,2 P(X = 1) = 300 / 1000 = 0,3 P(X = 2) = 400 / 1000 = 0,4 P(X = 3) = 100 / 1000 = 0,1 1.1.
x P(x)
0 0.2 1.2
2.
E(X) =
1 0.3
2 0.4
3 0.1
∑ x ⋅ p( x ) = 0⋅ 0,2 + 1 ⋅ 0,3 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,1 = 1,4 hijos
El tiempo requerido por los estudiantes para terminar un examen de una hora es una v. a. con f. d. p. dada por:
cy 2 + y si 0 < y < 1 f ( y ) = 0 t .o .c . 2.1 2.2
Determine el valor de c. Dado que un estudiante necesita al menos 15 minutos para presentar el examen, encuentre la probabilidad de que necesite al menos 30 minutos para terminarlo. Calcule el tiempo esperado y la desviación estándar del tiempo que demora un estudiante en terminar el examen.
2.3
SOLUCIÓN: 2.1
∫ ∫ (cy
2.2
2
+ y )dy = 1 ⇒
cy 3
3
+
y 22
1 0
P(X > 0,5 / X ≥ 0 ,25 ) =
3 y 2 = 1 ⇒ + = 1 ⇒ c = ⇒ f ( x ) = + y 3 2 2 2 c
1
P ( X > 0 ,5 ) P ( X ≥ 0 ,25 )
3
=
0 ,8125 0 ,9609
= 0 ,8455
si 0 < y < 1
2.3
1 3 2 E(Y) = ∫ y ⋅ ∫0 2 y + y dy = 0,70833 [horas] = 42,5’
E ( Y 2 ) =
3 y 2 ⋅ y 2 + y dy 0 2 1
∫ ∫
V(Y) = E(Y2) – [E(Y)]2 = 0,55 – 0,708332 = 0,04826 [horas]2 σ (x)
3.
= 0,2197 [horas] = 13,18’.
El número de meses requeridos para construir un edificio, es una variable aleatoria con función de cuantía:
X P(x)
10 0.2 3.1 3.2
11 0.3
12 0.3
13 0.1
14 0.1
Determine el número esperado de meses, para construir el edificio. Calcule el % de variabilidad del número de meses requeridos para construir el edificio.
SOLUCIÓN: 3.1 E(X) = x⋅ p(x) = 10 ⋅ 0,2 + 11⋅ 0,3 + 12 ⋅ 0,3 + 13 ⋅ 0,1 + 14 ⋅ 0,1 = 11,60 3.2
% de variabilidad ⇒ C.V.(X) C .V .( X )=
σ σ x =
σ σ x E ( X )
σ σ x 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ]
2
E(X2) = ∑ x 2 ⋅ p( x ) = 136,0 σ2 = 136 – (11,6)2 = 1,44 σ = 1,2 C.V.(X) = 1,2 / 11,6 = 0,103 Por lo tanto el porcentaje de variabilidad es 10,3%. 4.
Una estación de servicio recibe bencina semanalmente. Las estadísticas anteriores sugieren que la distribución de probabilidad de las ventas semanales X (en miles de litros) se aproxima mucho a un triángulo isósceles cuya base se extiende de 1000 a 3000 litros como lo indica la figura.
1 4.1 4.2 4.3
2
3
Definir la función de probabilidad de las ventas semanales. Calcular la probabilidad que el consumo de combustibles esté entre 1700 y 2800 litros. ¿Cuál debe ser la capacidad mínima de almacenamiento de bencina que debe tener la estación a fin de que la probabilidad de que se agote el combustible sea de 0,08?
SOLUCIÓN: 4.1
P(1 , 0 ) m=
1− 0 2−1
P(2,1) =
1 1
y–0=m(x–1)
=1
y =x–1 P(2 , 1 ) m=
1− 0 2−3
P(3,0) =
1
−1
y–1=m(x–2)
=1
y – 1 = - 1 (x – 2 )
y=-x+2+1 y=-x+3
x − 1 1 ≤ x ≤ 2 f ( x ) = 3 − x 2 ≤ x ≤ 3 0 o .c . 2 ,0
∫∫
4.2
P ( 1,700 < X < 2,800) =
4.3
P( X ≥ k ) = 0,08 ⇒ P ( X < k ) = 0,92
1 ,7
( x − 1 )dx +
2 ,8
∫ ∫
2 ,0
( 3 − x )dx = 0 ,255 + 0 ,48 = 0 ,735
2
∫ ∫ ( x − 1 )dx = 0 ,5 1
k
∫ ∫ 2
2
( 3 − x )dx = 0 ,42
⇒
k 2
+ 3 k − 4 = 0 ,42 ⇒
k = 3 ,4 ∨ k = 2 ,6
Como el recorrido de X está entre 1 y 3 la solución es k = 2,6.
5.
Un exportador de fruta tiene que pasar una cláusula de control de calidad internacional que es: el peso de las cajas tienen que encontrarse entre 8,5 y 9,7 Kgs. A través de la experiencia se encontró que el peso tiene una distribución dada por: 2 x − k 9 si x > 0 f ( x ) = ⋅ x ⋅ e 81 e .o .c . 0
5.1 5.2 5.3
Se extrae aleatoriamente una caja del embarque, ¿Cuál es la probabilidad que ésta apruebe el control de calidad? Se define un beneficio cero, si no se aprueba el control y un beneficio de 50 millones de pesos si es aprobado. ¿Cuál es el beneficio esperado? ¿Cuál es la probabilidad que el peso sea mayor que 9,1 Kg. dado que la caja pasa el control de calidad?
SOLUCIÓN: 5.1
Control Calidad = [8,5 – 9,7] +∞
∫ ∫
−∞
∞
⇒ ∫ ∫0
f ( x ) = 1
k 81 k 81 9 ,7
∫ ∫
8 ,5
5.2
2 81
⋅ x ⋅ e
( )
− x 9
k 81 ∞
⋅ x ⋅ e
∫ ∫ x ⋅ e
( )
− x 9
( )
− x 9
0
2
dx = 1
2
dx = 1
⋅ 40 ,5 = 1 ⇒ k = 2
2
dx = 0 ,0969
0 si x < 8,5 ∨ x > 9,7 Beneficio = 50 si 8,5 < x < 9,7
E(B) = Σ x ⋅ p(x) E(B) = 0 ⋅ P (X< 8,5 ∪ X > 9,7) + 50 ⋅ P (8,5 < X < 9,7) E(B) = 50 ⋅ 0,0969 = 4,845 ∴ Beneficio esperado 4,845 millones de pesos. 5.3
X > 9 ,1 P
= P(X > 9,1 ∩ 8,5 < X < 9,7) 8 ,5 < X < 9 ,7 P(8,5 < X < 9,7) 9 ,7
=
P ( 9 ,1 < X < 9 ,7 ) P ( 8 ,5 < X < 9 ,7 )
∫ ∫ =
9 ,1
f ( x )dx
0 ,0969
=
0 ,047 0 ,0969
= 0 ,485
6.
El retraso o adelanto (en minutos) de un vuelo de Mendoza a Santiago, es una v. a. cuya función de densidad de probabilidad está dada por:
1 (36 − x 2 ) para − 6 < x < 7 f ( x ) = 288 0 e .o .c . donde los valores negativos de x son indicativos de que el vuelo llega adelantado y los valores positivos de x señalan que el vuelo llega atrasado. Un vuelo se considera aceptable si su tiempo de llegada pertenece al intervalo: [ E ( x ) − 3 ,3472 , E ( x ) + 3 ,3472 ] En la empresa aérea se observa una sucesión de vuelos y los clasifican en aceptable y no aceptable. ¿Cuál es la probabilidad que se requiera no más de 5 observaciones para obtener el tercer vuelo aceptable? SOLUCIÓN: E(X) = ∫ x f(x) dx =
7
∫ ∫
− 6
1
x ⋅
288
⋅ (36 − x 2 )dx
= - 0,147
Por lo tanto, son aceptables [E(x) − 3,3472; E(x) + 3,3472] = [− 0,147− 3,3472; − 0,147+ 3,3472] = [-3,494; 3,200] 3 ,2
P(aceptar) =
∫ ∫
− 3 ,494
1 288
⋅ (36 − x 2 )dx = 0,749
Sea Y: Nº de observaciones para obtener el tercer vuelo aceptable Y ∼ Pascal (r, p) con r = 3 y p = P(aceptar) = 0,749 Y ∼ P(3; 0,749) P( Y ≤ 5 ) = P ( Y = 3 ) + P ( Y = 4) + P ( Y = 5) = 0,8954 Nota: también se puede resolver por Binomial. 7.
Sea X el número de barcos que llegan cada día a cierto puerto. Se sabe que X tiene una distribución Poisson de parámetro λ=2. Las actuales instalaciones portuarias pueden despachar tres barcos por día. Si más de 3 barcos llegan en un día, los que están en exceso deben enviarse a otro puerto. 7.1 En un día determinado, ¿Cuál es la probabilidad de tener que mandar barcos a otro puerto? 7.2 En cuánto debe aumentarse las instalaciones actuales para permitir la atención de todos los barcos aproximadamente el 95% de los días? SOLUCIÓN: X: Nº de barcos que llegan por día. X ∼ P ( λ = 2) 7.1 P (X > 3) = 1 – P ( X ≤ 3) = 1 – [ P (X = 3) + P (X = 2) + P ( X = 1 ) + P(X =0) P ( X = x ) =
e
− λ λ
λ λ x
x !
P ( X > 3 ) = 0,180 + 0,271 + 0,271 + 0,135 = 0,143
7.2
8.
Sea k el número de instalaciones necesarias para atender todos los barcos. P (X ≤ k) = 0,95, como X ∼ P( λ = 2) y P ( X ≤ 3 ) = 1 – 0,143 = 0,857 y P( X = 4) = 0,09 ⇒ P (X ≤ 4) = 0,947 P( X = 5) = 0,036 ⇒ P (X ≤ 5) = 0,983 Por tanto, las instalaciones deben aumentarse en 2 unidades.
El tiempo de vida útil de cierto equipo musical se distribuye normalmente con media 22 meses. Según se ha observado el 95% de la producción tiene una vida útil inferior a 35 meses. 8.1 Si un distribuidor minorista vende cada equipo musical en $32.000 y lo adquiere en $24.000 con una póliza de garantía de 18 meses, período en que por fallas puede ser devuelto al fabricante y se le regresa el dinero al cliente. Calcule la utilidad esperada por equipo. 8.2 En una semana se vendieron 10 equipos, calcule la probabilidad que a lo más 4 hagan efectiva la póliza de garantía.
SOLUCIÓN: X: tiempo de vida útil de un equipo musical. µ µ = 22 ; σ σ = ? ) X ∼ N ( µ Para calcular σ: P ( X < 35 ) = 0,95 35 − 22 2
P(Z<
σ 22 ; σ 2
) = 0,95 de tabla 35 − 22 = 1,64 ⇒ σ = 7,93 σ
Por lo tanto, X ∼ N ( µ = = ( 7 , 93 ) ) $ 8000 si x > 18 8.1 U = $ 0 si x ≤ 18 E(U) = $8000⋅ P( X > 18 ) + $0⋅ P (X ≤ 18 ) 2
P(X> 8) =1– P (X ≤ 18) = 1– P Z ≤
18 - 22 7,93
= 1–P (Z≤ -0,504)=1– 0,309 =0,6915
E(U) = $5.532 8.2
9.
Sea Y: Nº de equipos que hacen efectiva la póliza de garantía. Y ∼ B ( n; p) n = 10 ; p = P ( X ≤ 18) = 0,309 Y ∼ B ( 10; 0,309) P ( Y ≤ 4) = P ( Y = 4) + P ( Y = 3) + P ( Y = 2) + P ( Y = 1) + P ( Y = 0) n P ( Y = y ) = ⋅ p y ⋅ (1 − p )n − y y P ( Y ≤ 4) = 0,208 + 0,266 + 0,223 + 0,111 + 0,025 = 0,833
Se envía un técnico para hacer la instalación de un sistema de comunicación especializado a una ciudad, sólo cuando se han recibido tres o más pedidos. Suponga que los pedidos tienen una distribución Poisson, con media de 0.25 pedidos por semana para una ciudad con una población de 100.000 mil habitantes; suponga que se hacen pedidos de una ciudad que tiene 800.000 mil habitantes. 9.1 ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico sea solicitado cuando ha transcurrido una semana?. 9.2 Si una persona es la primera en hacer un pedido en esta ciudad, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de dos semanas desde que solicitó el servicio para que la
compañía envíe el técnico?. SOLUCIÓN: Sea X: N° de pedidos por semana por 100.000 habitantes X ∼ P ( 0,25) Y : N° de pedidos por semana por 800.000 habitantes Y ∼ P ( 8 ⋅ 0,25 = 2 ) 9.1 P ( Y ≥ 3) = 1 – P ( Y < 3 ) = 1 – P ( Y ≤ 2) = 1 – 0,676 = 0,324. 9.2 Sea Z : N° de pedidos por 2 semanas por 800.000 habitantes Z ∼ P ( 2 ⋅ 2) = P ( Z ≤ 1 ) = 0,091 10.
El tiempo promedio que requiere un bote para navegar al destino A es 65 minutos, con desviación estándar de 8 minutos y el tiempo promedio que requiere para navegar al destino B es 85 minutos con desviación estándar de 9 minutos. Asumiendo distribuciones normales: 10.1 ¿Qué proporción del tiempo el recorrido al destino A será mayor que el tiempo promedio del recorrido al destino B?. 10.2 La agencia encargada de la supervisión de los viajes del bote, ha planificado un tiempo máximo de duración del viaje para el destino A de 60 minutos. Si se analizan 5 viajes, ¿Cual es la probabilidad de que al menos en tres de ellos se cumpla con lo planificado?. SOLUCIÓN: Sean A: { Tiempo para manejar al destino A}; B : { Tiempo para manejar al destino B} A ∼ N ( 65; 82 ) B ∼ N ( 85; 92 ) 10.1 P ( A > 85 ) = 1 – P ( A < 85 ) = 1 – P ( Z <
85 − 65 8
) = 1 – P ( Z < 2 ,5 )
= 1 – 0,99461 = 0,00539 = 0,54% 10.2 Sea
11.
X: N° de viajes que cumplen con lo planificado X ∼ B (5; P (A≤ 60)) 60 − 65 P ( A ≤ 60 ) = P ( Z ≤ ) = P ( Z ≤ - 0,63) = 0,264 8 ∴ X ∼ B (5; 0,264) P ( X ≥ 3) = 1 – P ( X ≤ 2 ) = 1 – {P (X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 )} = 1 – { 0,216 + 0,387 + 0,2779} = 0,1191.
El número de fallas de una máquina sigue una distribución de Poisson, y se sabe que hay una probabilidad de 0,01831 de no tener fallas en el mes (30 días). 11.1 Si en un mes se tiene por lo menos dos fallas, ¿cuál es la probabilidad que se tengan a lo más 4 fallas? 11.2 La empresa tiene 5 máquinas idénticas, ¿cuál es la probabilidad que menos de dos máquinas tengan a lo más una falla por semana? SOLUCIÓN: X: N° de fallas de una máquina en 30 días. X∼P(λ) P (X = 0 ) = 0,01831
− λ
p ( x ) =
e − λ ⋅ λ λ
x
x ! e − λ λ ⋅ λ λ 0
P( X = 0 ) =
0!
= e − λ λ = 0 ,01831 /
-
λ = ln 0,01831 λ = - ln 0,01831 λ=4
ln
⇒
X∼P(4)
11.1 P ( X ≤ 4 ∩ X ≥ 2 ) P X ≤ 4 = X ≥ 2 1 − P ( X = 0 ) − P ( X = 1 )
(
)
=
P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) 1 − P ( X = 0 ) − P ( X = 1 )
= 0 ,59
11.2
Sea Y: N° máq. Que tengan a lo más una falla por semana. Y ∼ B ( n = 5; p= P ( X ≤ 1)) X : N° de fallas de una máquina en 7 días. X ∼ P ( 4 ⋅ 7 / 30 = 0,93) P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1) =
e −0 ,93 ⋅ 0 ,93 0 0!
+
e −0 ,93 ⋅ 0 ,93 1 1!
= 0,76 Y ∼ B ( n = 5; 0,76) P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1) 5 5 P ( Y < 2 ) = 0 ,76 0 ⋅ ( 1 − 0 ,76 )5 + 0 ,76 1 ⋅ ( 1 − 0 ,76 )4 = 0 ,013 0 1 12.
Se sabe que los discos producidos en una empresa salen defectuosos con probabilidad, independiente unos de otros, de 0,01. La compañía vende los discos en cajas de 10 y garantiza el reembolso del dinero si más de 1 de 10 discos sale defectuoso. 12.1 ¿Cuál es la proporción de cajas que se devuelven? 12.2 Si alguien compra tres cajas, ¿Cuál es la probabilidad de que devuelva exactamente una de ellas? SOLUCIÓN: 12.1 Sea X: Número de discos defectuosos en una caja, entonces suponiendo que los clientes siempre aprovechan la garantía, X∼ B (10; 0,01). Sea A = { La caja de discos es devuelta} P(A) = P( X > 1) = 1 – P ( X ≤ 1) = 1 – P ( X= 0 ) – P ( X = 1) 10 10 0 10 1 9 = 1 − ⋅ (0 ,01) ⋅ (0 ,99 ) − ⋅ (0 ,01) ⋅ (0 ,99 ) = 0 ,0042662 0 1 A la larga el 0,43% de las cajas de discos serán devueltas.
12.2
13.
Sea Y: Cantidad de cajas que la persona devuelve entre tres. Y ∼ B ( 3; 0,0043) 3 P(Y = 1) = ⋅ (0 ,0043 )1 ⋅ (0 ,9957 ) 2 = 0 ,01279 1
La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara particular es de 10%. Supóngase que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula. Encuéntrese la probabilidad de que en las 18 muestras siguientes, al menos cuatro muestras contengan la molécula rara. SOLUCIÓN: X: Nº de muestras de aire que contienen la molécula rara en las 18 muestras siguientes analizadas. p = 0,1; n = 18; q = 0,9 18 ⋅ (0 ,1 ) x ⋅ (0 ,9 )18 − x ∑ x = 4 x 18
P ( X ≥ 4 ) =
o bien, P(X ≥ 4) = 1 – P(X < 4) =
3
1−
18
∑ x ⋅ (0 ,1 )
x
18 − x
⋅ (0 ,9 )
x = 0
P(X ≥ 4) = 1- [0,15+0,3+0,284+0,168] = 0,098 14.
La contaminación es un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas contaminantes que aparecen en un disco óptico tiene una distribución Poisson, y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del medio de almacenamiento es 0,1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados. Encuéntrese la probabilidad de encontrar 12 partículas en el área del disco.
SOLUCIÓN: X: Nº de partículas contaminantes que aparecen en un lente óptico. λ = E(X) = 100 ⋅ 0,1 = 10 partículas. −10
P ( X = 12 ) =
15.
e−
⋅ 10 12
12!
= 0 ,095
Sea la variable aleatoria continua X el diámetro de un agujero taladrado en una placa de metal. El diámetro requerido es 12,5 mm., pero muchas perturbaciones aleatorias en el proceso dan como resultado diámetros más grandes. La recopilación de datos indica que la distribución de X puede modelarse con la función de densidad de probabilidad: f ( x ) = 20 e
−20( x − 12 5 )
, x ≥ 12 ,5
Si se desechan las piezas que tienen un diámetro mayor que 12,60 mm. 15.1 ¿Qué proporción de piezas se espera desechar? 15.2 ¿Cuál es el valor esperado de los diámetros? 15.3 ¿Cuál es la variabilidad de los diámetros?
SOLUCIÓN: ∞
∫ ∫ 20 ⋅ e
15.1
P ( X > 12 ,60 ) =
15.2
E ( X ) =
15.3
V(X) = E(X2) – [E(X)]2 =
∞
− 20 ( x − 12 ,5 )
12 ,6
∫ ∫ x ⋅20e
− 20 ( x − 12 ,5 )
12 ,5
dx = − e −
20 ( x − 12 ,5 ) ∞ 12 ,6
= 0 ,135
dx = 12 ,55
∞
∫ ∫ x 12 ,5
2
⋅20 e − 20 ( x − 12 ,5 ) dx − ( 12 ,55 ) 2
= 157,505-157,5025 V(X) = 0,025 NOTA: Este problema se puede resolver fácilmente identificando el modelo, que es exponencial con parámetro 20 para la variable X – 12,5.
