Universidad Centroamericana José Simeón Cañas Departamento de Matemática Tercera Guía Matemática IV Ing. Daniel Sosa Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones homogéneas de orden superior y método de los coeficientes indeterminados 1) Determine las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas. a. x 2 y C R/y-2x=K b.
xy C
R/x 2 y 2 K
c.
y Ce2 x
R/y 2 x K
R/y Kx d. x 2 y C 2) Mezcla de substancias. a. Suponga que una solución salina con 0.3kg de sal por litro se introduce en un 2
2
2
tanque que contenía originalmente 400 litros de agua y 2kg de sal. Si la solución entra a razón de 10litros/minuto, la mezcla se mantiene uniforme revolviéndola constantemente, y sale del tanque con la misma razón de entrada. Determine los kg de sal que estarán en el tanque después de 10 min. R/281kg. b. Un tanque de 120 galones contiene inicialmente 90 lb de sal disueltas en 90 galones de agua. La salmuera, que contiene 2 lb/gal de sal, fluye hacia adentro del tanque a una razón de 4 gal/min, y la mezcla homogénea fluye hacia afuera del tanque a una razón de 3gal/min. ¿Cuánta sal contiene el tanque cuando está completamente lleno? R/202.03 lb. c. Una solución de ácido nítrico entra a una razón constante de 6 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 200 litros de una solución de ácido nítrico al 0.5% (volumen/volumen). La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del mismo a una razón de 8 litros/minuto. Si la solución que entra al tanque tiene ácido al 20% ¿Cuándo llegará el porcentaje de ácido en el tanque a 10%? R/19.96 min. d. Considere la cascada de los dos tanques mostrados en la figura, siendo los volúmenes de cada tanque V1 100 gal y V2 200 gal respectivamente. Aunado a ello, cada tanque contiene inicialmente 50 lb de sal. Las tres tasas de flujo indicadas en la figura son de 5gal/min, siendo de agua pura para el flujo de entrada en el
tanque 1. Sea x t , y t las cantidades de sal en el tanque 1 y en el tanque 2
respectivamente demuestre que:
dy 5 x 5 y , además determine la cantidad dt 100 200
máxima de sal que puede haber en el segundo tanque. R/56.25lb.
3) Ley de Torricelli. a. A un tanque en forma de cilindro vertical de radio 3 pies, que inicialmente contiene agua a una profundidad de 9 pies, se le quita el tapón inferior en el tiempo t=0. Si el agujero del fondo es un círculo con radio de 1pulgada. ¿Cuánto tiempo tomara para que toda el agua salga del tanque? R/972 seg. b. En el tiempo t=0 se retira un tapón del fondo (en el vértice) de un tanque cónico de 16 pies de altura, lleno de agua. Después de 1 hora el agua del tanque tiene una altura de 9 pies ¿Cuándo quedara vacío? R/1.31horas c. Un tanque semiesférico tiene un radio superior de 4 pies y en el tiempo t=0 está lleno de agua. Se le abre un orificio circular con diámetro de una pulgada en el fondo del tanque. ¿Cuánto tiempo tomará a toda el agua salir del tanque? R/2150 segundos. 4) Circuitos Eléctricos RL y RC. a. Si el circuito de la figura ha pasado mucho tiempo anterior en esa posición y el interruptor se abre en t=0 encuentre el voltaje en el capacitor en función del tiempo para t>0. R/ v t 8e
2t
V.
b. Un circuito RL con una resistencia de 1ohmio y un inductor de 0.001 H es
controlado por un voltaje E t sen 100t voltios. Si la corriente inicial en el inductor es nula, determinar el voltaje en el inductor cuando t=0.01 segundos. R/0.51 Volts.
c. El interruptor del circuito de la figura ha estado cerrado mucho tiempo. En t=0 el interruptor se abre. Calcular la corriente del inductor en función del tiempo. R/ i(t ) 6e
4t
A.
d. El interruptor de la figura ha estado mucho tiempo en la posición A. En t=0, se mueve a B. Determine el voltaje en t=1. R/20.9 Volts.
5) Mecánica de newton a. Un objeto de masa 3 kg se libera desde el reposo a 500 metros sobre el piso y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante, con g=9.81 m/s y que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto con constante de proporcionalidad b=3Ns/m. Determine el momento en que el objeto golpeara el suelo. R/51.97 segundos. b. Una paracaidista cuya masa es de 75 kg se arroja desde un helicóptero que vuela a 4000 m sobre el suelo y cae hacia la tierra bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza gravitacional es constante. Suponga además que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad de la paracaidista, con la constante de proporcionalidad b=15N-s/m al caer libremente, y es de b=105Ns/m cuando abre el paracaídas. Si el paracaídas no se abre hasta que pasa 1 minuto después de dejar el helicóptero, ¿Después de cuantos segundos tocara el suelo? R/241.49 segundos. c. “Velocidad de Escape”. De acuerdo con la ley de gravitación de newton, la fuerza de atracción entre dos objetos varía
de manera inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia entre ellos. Es decir Fg GM1M 2 / r donde r es la 2
distancia que existe entre ellos (de centro a centro), Fg es la fuerza de atracción y
G es la constante de proporcionalidad. Considere un proyectil de masa constante m lanzado en forma vertical desde la tierra (ver la figura). Sea t el tiempo y v la velocidad del proyectil: i.
Demuestre que el movimiento del proyectil bajo la fuerza gravitacional de la
dv R2 tierra, queda descrito mediante la ecuación: g 2 , donde r es la dt r distancia entre el proyectil y el centro de la tierra, R es el radio de la tierra, M es la masa de la tierra y g GM / R 2 .
dv R2 g 2 dr r
ii.
Use el hecho de que dr / dt v para obtener: v
iii.
Si el proyectil sale de la superficie de la tierra con velocidad demuestre que:
v2 iv.
2 gR 2 v0 2 gR r
Use el resultado anterior para demostrar que la velocidad del proyectil sigue siendo positiva si y sólo si v0 2 2 gR 0 . Al resolver la desigualdad, la cantidad
2gR es lo que se conoce como velocidad de escape. Si
g 9.81m / s
2
y R 6370km para la tierra. ¿Cuál es la velocidad de
escape mínima que debe tener un cohete para lograr escapar al campo gravitacional terrestre. R/11.18km/seg.
6) Aplicaciones varias. a. Considera una
población
P t
que
satisface
la
Ecuación
Logística
dP / dt aP bP2 , donde B aP es la tasa de tiempo a la cual ocurren los
nacimientos, y D bP 2 es la tasa de muertes. Si la población inicial es P 0 P0 y se registran tanto B0 nacimientos como D0 muertes por mes en el tiempo t=0, demuestre que la población limite es M B0 P0 / D0 . b. Suponga una población de conejos que satisface la ecuación logística del problema anterior. Si la población inicial de conejos es de 120 y hay 8nacimientos y 6 muertes
por mes que ocurren en t=0 ¿Cuántos meses le tomara a P t alcanzar el 95%de la población limite M.
c. La vida media del cobalto radiactivo es de 5.27 años. Suponga que un accidente nuclear ha dejado en cierta región un nivel de radiación de cobalto 100 veces por encima del nivel aceptable para ser habitada por seres humanos, ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que sea habitable nuevamente? R/35.01 años d. Cuando se disuelve azúcar en agua, la cantidad A que permanece sin disolverse después de t minutos satisface la ecuación diferencial dA / dt kA . Si 25% del azúcar se disuelve después de 1 minuto, ¿Cuánto tiempo toma para que la mitad de la azúcar se disuelva? R/2.41min. e. Se distribuye un rumor adentro de una población de 100,000 personas. En una semana 10,000 personas conocen sobre este rumor. Considere que la tasa a la cual se incrementa el número de individuos que se han enterado de este rumor es directamente proporcional al número de quienes aun no se enteran. ¿Cuánto tiempo pasara hasta que la mitad de la población se entere del rumor. R/46.05 dias. f.
En la figura suponga que el eje “y” y la línea vertical punteada x=1representan las dos orillas de un rio que tiene una milla de ancho. El rio fluye hacia arriba con dirección hacia las y positivas con una velocidad vr mi/h constante. Un nadador entra a la corriente en el punto (1,0) y navega buscando la otra orilla en una dirección y velocidad relativa al rio dada por vs mi/h constante. El nadador trata de alcanzar la otra orilla exactamente en el punto (0,0) por lo que nada de manera tal que su vector de velocidad siempre apunta hacia esa dirección. Ayúdese de la figura para demostrar que la ecuación diferencial de la curva que sigue el nadador está dada por:
k vr / vs .
dy vs y vr x 2 y 2 , resuelva esta ecuación diferencial haciendo que dx vs x
g. Suponga que cuando la curva plana C mostrada en la figura gira en torno al eje x genera una superficie de revolución con la propiedad de que todos los rayos luminosos L paralelos al eje x que golpean la superficie se reflejan en un solo punto “O” en el origen. Use el hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión para determinar una ecuación diferencial que describa la forma de la curva.
La observación de la figura nos muestra que podemos escribir 2 , utilice este hecho y la identidad trigonométrica de la tangente de la suma de ángulos para deducir la ecuación, resuelva la ecuación diferencial. R/Parábola y 2 C 2 2Cx .
Ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes 7) Resuelva las siguientes ecuaciones homogéneas: a. y '' 4 y 0 R/y=C1e2 x C2e2 x
2x 2x x x R/y=C1 cos C4 sen C2 sen C3 cos 2 2 3 3
b.
6 y 11y '' 4 y 0
c.
y '' 6 y ' 9 y 0
d.
2 y 3 3 y '' 2 y ' 0; y 0 1, y ' 0 1, y '' 0 3
e.
y '' 6 y ' 13 y 0
4
R/y=C1e3 x C2 xe3 x 7 e2 x R/y=- + 4e x /2 2 2
R/y=e3 x C1 cos 2 x C2 sen 2 x
f.
y 6 y 47 y ''130 y 338 y 0 R/y=e2 x C1 cos 3x C2 sen 3x e x C3 cos 5x C4 sen 5x
g.
y 3 y 4 y 4 y ' 4 y 0 R/y=C1e x e x C2 C3 x cos x e x C4 C5 x sen x
h.
24 9 5 x e 5 xe5 x 5 5 6 5 4 3 2 x x y 5 y 5 y 13 y 34 y '' 28 y ' 8 y 0 R/y=C1e C2e C3 xe x C4 x2e x C5e2 x C6 xe2 x
i.
4
5
3
4
3
y 10 y '' 25 y ' 0; y 0 3, y ' 0 4, y '' 0 5 3
R/y=
8) Obtenga la solución particular de las siguientes ecuaciones no homogéneas utilizando el método de los coeficientes indeterminados (Sugerencia obtenga primero la solución complementaria para verificar que no existe duplicidad entre la misma y la parte no homogénea). a.
y''+16y=e3 x
R/y p
e3 x 25
1 cos 3x 5sen 3x 39 1 c. y '' y ' y sen2 x R/y p 13 3cos 2 x 2sen 2 x 26 1 d. y''+9y=2cos 3x 3sen 3x R/y p 2 xsen 3x 3x cos 3x 6 1 e. y '' 9 y 2 x 2e3 x 5 R/y p 45 e3 x 6 xe3 x 9 x 2e3 x 81 1 f. y '' y sen x x cos x R/y p x 2 sen x x cos x 4 1 3 g. y 4 y ' 3x 1 R/y p 3x 2 2 x 8 1 4 h. y 5 y '' 4 y e x xe2 x R/y p 24 xe x 19 xe2 x 6 x 2e2 x 144 1 5 3 i. y 2 y 2 y '' 3x 2 1 R/ 10 x 2 4 x3 x 4 8 b.
y '' y ' 6 y 2sen 3x
R/y p
Tabla de guía para la selección adecuada de la solución particular
