Fotometría La llamada ecuación de fotometría, que permite calcular la intensidad de una fuente desconocida a partir de una fuente patrón, utilizando el fotómetro, es la siguiente: Ecuación de la fotometría
Espectro continuo de luz visible La luz visible está constituida por radiación electromagnéticas cuyas longitudes de onda van de unos 350 (violeta) a unos 750 (rojo) nanómetros, o de manera equivalente, con frecuencias 14 que van de alrededor de 3,84 x 10 Hz (rojo) hasta 7,69 x 14 10 Hz (violeta).
Curva de sensibilidad El ojo humano tiene sensibilidad diferenciada para las diferentes longitudes de onda o frecuencias de la luz visible. Por ejemplo, una lámpara verde-amarilla de cierta potencia se verá más brillante que una azul de la misma potencia. La imagen muestra la distribución en forma de campana que indica la respuesta del ojo a distintas longitudes de onda.
Rendimiento luminoso o eficiencia luminosa No toda la energía eléctrica consumida por una lámpara (bombilla, fluorescente, etc.) se transformaba en luz visible. Parte se pierde por calor, parte en forma de radiación no visible (infrarrojo o ultravioleta), etc.
Para hacernos una idea de la porción de energía útil definimos el rendimiento luminoso como el cociente entre el flujo luminoso producido y la potencia eléctrica consumida, que viene con las características de las lámparas (25 W, 60 W...). Mientras mayor sea mejor será la lámpara y menos gastará. La unidad es el lumen por watt (lm/W). Rendimiento
Símbolo:
luminoso
Unidad :
lm/W
EJERCICIOS RESUELTOS 1.- La sombra formada en una pantalla de 4 metros de distancia de una fuente puntual de luz es de 60 cm de altura. ¿Cuál es la altura del objeto situado a 1 m de la fuente y 3 m de la sombra? SOLUCIÓN
De la relación de Triángulos semejantes:
60 cm 100 cm
h
h 400 cm
(400 cm)(60 cm) 100 cm
h
60 cm
;
3m
1m
h = 2.40 m
2.- Una lámpara está cubierta con una caja, y se corta en el cuadro una rendija estrecha 20-mm de longitud de modo que la luz brilla a través. Un objeto de 30 mm de altura bloquea la luz de la rendija a una distancia de 500 mm. Calcular la longitud de la sombra y penumbra formada sobre una pantalla situada 1,50 m de la rendija. SOLUCIÓN
De la relación de Triángulos semejantes: ( Similares):
a 20 mm
500 a 30 mm
;
a 1000 mm 500 mm
1500 mm
a 30 mm
20 mm b
u 1500 a
b 20
500 b 30
20 a
;
u
p
c
u 1500 1000
; b 200 mm; Now,
20 1000
p 1500 b
; u = 50 mm
20 b
, de donde
p = 130 mm
3.- Calcule cuál es el rango de frecuencias para la luz visible, asumiendo que el Rango de oscila entre 700 nm a 400 nm. SOLUCIÓN
La velocidad de la luz es la misma independientemente de que parte del espectro electromagnético se trate, por tanto, utilizando la expresión c = f para cada extremo del espectro visible se obtiene, con c = 3 x 10
f1
c 1
3 x 108 m/s -9
700 x 10 m
8
m/s:
14
4.29 x 10 Hz; f 2
c 2
14
Rango de frecuencias : 4.29 x 10
3 x 108m/s -9
400 x 10 m
7.50
x 1014 Hz
Hz. a 7.50 x 1014 Hz.
4.- La frecuencia de la luz amarillo-verde es 5,41 x
1014 Hz. Expresar la longitud
de onda de esta luz en nanómetros y en angstroms. SOLUCIÓN
Conocida la velocidad de la luz y utilizando la expresión c = f ,
c f
3 x 108m/s 5.41 x 1014 Hz
=
=
;
555 nm
555 x 10-9 m x (1 x 1010 A/m); =
5550 Å
0.080 sr está subtendido desde el centro de una esfera de 9.00 cm de diámetro por el área A sobre la esfera. ¿Cuál es el área? 5.- Un ángulo sólido de
SOLUCIÓN
Conocida la expresión:
Se despeja y sustituye:
A = R 2 = (0.08 sr) (0.09 m)2; A = 6.48 x 10-4 m2
6.- Una hoja de metal de 8½ x 11
cm está iluminada por una fuente de luz
localizada a 1.30 m directamente arriba de ella. ¿Cuál es el flujo luminoso que cae sobre el metal si la fuente tiene una intensidad de 200 cd? ¿Cuál es el flujo luminoso total emitido por la fuente de luz?
SOLUCIÓN
Calculamos el área:
A = 9.35 x 10-3 m2
A = (0.085 m) (0.11 m);
Con el área A y la distancia a la fuente R, se calcula el ángulo sólido:
A R
2
9.35 x 103m 2 (1.3 m)
2
5.53
1.3 m
x 10-3sr
Con el área A y la distancia a la fuente R, se calcula el ángulo sólido:
F = I = (200 cd)(5.53 x 10-3 sr);
F = 1.11 lm
Para calcular el flujo total, tomamos el ángulo sólido para toda la esfera ( = 4)
Flujo Total = 4 I = 4 (200 cd);
Flujo Total = 2510 lm
7.- Una fuente puntual de luz se coloca en el centro de una esfera 70 mm de diámetro. Un agujero está cortado en la superficie de la esfera, permitiendo que el flujo pase a través de un ángulo sólido de 0,12 sr . ¿Cuál es el diámetro de la abertura? SOLUCIÓN
La distancia de la fuente a la superficie será:
R = D/2 = 35 mm Aplicando directamente la fórmula calculamos el área sobre la superficie:
A = R 2 = (0.12 sr) (35 mm)2; A = 147 mm2 Utilizando la fórmula del área de un círculo, se despeja y calcula el diámetro del orificio:
A
D
4
2
;
D
4A
4(147 mm 2 )
D = 13.7 mm
;
8.- Una fuente de luz estándar de 30 cd, se compara con una lámpara de intensidad desconocida utilizando un fotómetro de mancha de grasa ( grease-spot photometer , como se muestra en la figura ). Las dos fuentes de luz se colocan 1 m, y la mancha de grasa se mueve hacia la luz estándar. Cuando la mancha de grasa es de 25 cm de la fuente de luz estándar, la iluminación es igual en ambos lados. Calcular la intensidad de la fuente desconocida? [ La iluminación E es la misma para cada uno] SOLUCIÓN
Si la iluminación es la misma, la relación siguiente será constante:
I x r x2
Is rs2
;
I x
I s r x2 r s2
I x
30 cd
(30 cd)(75 cm) 2
;
(25 cm) 2
75 cm
25 cm I x = 270 cd
9.- La iluminación de una superficie dada es de 80 lx cuando se encuentra a 3 m de distancia de una fuente de luz. ¿A qué distancia será la iluminación igual a 20 lx? [Recordar que l a intensidad I = ER 2 es constante] SOLUCIÓN
Si la intensidad es la misma, la relación siguiente será constante: 2 1 1
E R
2 2
E2 R ;
R2
E1R12 E 2
(80 lx)(3 m) 2 (20 lx)
;
R 2 = 600 m 10.- Una luz suspendida a 9 m sobre una calle provee una iluminación de 35 lux en un punto directamente debajo de ella. Determine la intensidad luminosa de la luz. SOLUCIÓN
Como nos dan la iluminación y la distancia, se resuelve sustituyendo directamente:
E
I R
2
; I
ER 2
(36
I = 2920 cd
lx)(9 m)2 ;
11.- Una fuente de luz monocromática verde-amarilla (555 nm) ilumina una 2 superficie de 0,6 m , a una distancia de 1,0 m. ¿Cuál es el ángulo subtendido a la fuente? ¿Cuál es la intensidad luminosa de la fuente? SOLUCIÓN
Haciendo la conversión de unidades de potencia, despejando y sustituyendo:
F = (680 lm/W) (60 W) = 40,800 lm;
A R 2
0.6 m2 (1 m) 2
=
0.600 sr
Ahora se puede calcular directamente la intensidad luminosa:
I
F
(40,800 lm) 0.60 sr
I = 68,000 cd
;
12.- ¿A qué distancia de una pared proveerá la misma iluminación una lámpara de 35 cd que otra de 80 cd localizada a 4 m frente a la pared? [E1 = E2] SOLUCIÓN
Considerando la constancia en la iluminación, despejando y sustituyendo:
I1 r12
I2 r22
;
r 2
I 2r 12 I 1
(35 cd)(4 m) 2 80 cd
;
r 2 = 2.65 m
13.- ¿Cuánto debería ser bajada una pequeña lámpara para doblar la iluminación sobre un objeto ubicado 80 cm justo debajo de ella? [E1 = E2] SOLUCIÓN
Considerando la constancia en la iluminación, despejando y sustituyendo: Dado que:
E 2 = 2E 1 y E 1 R12 = E 2 R22 entonces:
E 1 R12 = (2E 1 ) R22
Despejando:
R2
R12 2
(80 cm) 2 2
; R2 = 56.6 cm;
La lámpara se debe bajar la siguiente distancia:
y = 80 cm
–
56.6 cm = 23.4 cm
14.- Calcule la iluminación de una superficie dada colocada a 140 cm de una fuente de luz de 74 cd, si la normal a la superficie hace un ángulo de 38º con el flujo luminoso. SOLUCIÓN
Aplicando directamente la ecuación y considerando el ángulo formado entre la perpendicular a la superficie y el flujo:
I cos
E
R 2
(74 cd)(cos 380 ) (1.40 m) 2
;
E = 29.8 lx 15.- Una mesa circular está situado a 4 m por debajo y 3 metros a la izquierda de una lámpara que emite 1.800 lm. ¿Qué iluminación se proporciona en la superficie de la mesa? ¿Cuál es el área de la superficie de la mesa si 3 lm de flujo caen en su superficie? SOLUCIÓN
El ángulo formado entre la perpendicular a la superficie y el flujo, se calcula a través de la siguiente relación trigonométrica:
3m
tan
4m
= 36.90
= 4, es:
El flujo emitido es para un ángulo sólido
F = 4 I
De donde podemos calcular la intensidad luminosa, la iluminación y finalmente el área:
I
F 4
E
1800 lm
I cos R 2
4
;
I 143 lm/sr
(143 lm/sr)cos36.90 (5 m) 2
E = 4.58 lx;
A
F E
= 0.655 m2
;
15.- Una lámpara incandescente cuyo consumo eléctrico son 100 W, emite un flujo luminoso de 1380 lm. a. Determina su rendimiento luminoso. b. Suponiendo que la luz emitida es de = 555 nm. Determina la eficiencia luminosa de esta lámpara. (Porcentaje de la potencia nominal eléctrica que se transforma en potencia fotométrica) SOLUCIÓN
a. Aplicando directamente la ecuación de rendimiento luminoso para los valores dados.
b. Si la luz emitida es verde-amarilla, de longitud de onda
=
555 nm, tendremos la
potencia fotométrica máxima (de acuerdo a la curva de sensibilidad fotópica), luego no habría que hacer ningún ajuste al flujo luminoso. Se puede deducir la eficiencia luminosa a partir de la definición del lumen: El lumen es el flujo luminoso de la radiación monocromática que se caracteriza por una frecuencia de valor 540 x 10
12
Hz y por un flujo de energía radiante de 1/683 W. Es decir, un watio de energía radiante de longitud de onda de 555 nm en el aire equivale a 683 lm aproximadamente. Luego, la potencia radiante equivalente será:
La potencia consumida por el foco es: P c = 100 W Luego la eficiencia luminosa de la lámpara, expresada como el porcentaje de la potencia nominal eléctrica que se transforma en potencia fotométrica, es
16.- La iluminación de una fuente isotrópica es E A en un punto A sobre una mesa de 30 cm directamente debajo de la fuente. ¿A qué distancia horizontal de A sobre la superficie de la mesa la iluminación se reducirá a la mitad? SOLUCIÓN
E A
I 2 A
R
;
EB
I cos
RB2
;
2EB ;
EA
IA
I B
R B I 2 A
R
2I cos 2 B
R
R 2A
;
R
2 B
1
2cos
;
but
RA
R A
cos
30 cm
RB
x Entonces:
(cos )2
1 2 cos
;
tan
(cos )3
x 30 cm
1 2
cos 3 0.5
;
0.794;
x (30 cm) tan 37.50;
;
and
= 37.5
0
x = 23.0 cm
17.- La iluminación de una superficie 3,40 m directamente debajo de una fuente de luz es de 20 lux. Encuentra la intensidad de la fuente de luz, ¿A qué distancia por debajo de la fuente de luz de la iluminación se duplicará? ¿Ell flujo luminoso también se duplicó en ese lugar? SOLUCIÓN 2
I = ER2 = (20 lx) (3.40 m) ; I = 231 cd R2
E 2 = 2E 1 y
R2
E 1 R12
R12 2
=
E 2 R22
= (2E 1 ) R2
(3.40 m) 2 2
2
;
R2 = 2.40 m F
=0
R1
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una fuente puntual de luz se coloca a 15 cm de un montante de una regla de 6
cm. Calcular la longitud de la sombra formada por la regla en una pared colocada a 40 cm de la regla. 2. ¿Hasta qué punto debe una placa de 80 mm de diámetro se coloca delante de una fuente puntual de luz si es para formar una sombra de 400 mm de diámetro a una distancia de
2 m de la fuente de luz? 3. Una fuente de la luz 40 mm de diámetro brilla a través de un orificio en la tapa de fondo de una caja de cartón colocada a 2 m de la fuente. ¿Cuál es el diámetro de la imagen formada en la parte inferior de la caja si la altura de la caja es de 60 mm? 4. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz cuya energía es 7 x 10-19 J? ¿Cuál es su frecuencia? 5. ¿Cuál es el ángulo sólido subtendido desde el centro de una esfera de 3,20 m de 2
diámetro sobre un área de 0,5 m en su superficie? 6. Una fuente
monocromática de
40W de luz amarillo-verde (555 nm) ilumina una
2
superficie 0,5-m a una distancia de 1,0 m. ¿Cuál es la intensidad luminosa de la fuente y cuantos lúmenes caen sobre la superficie? 7. Una lámpara ubicada a 2 m de una pequeña superficie produce una iluminación de 100 lx sobre la superficie. ¿Cuál es la intensidad de la fuente?
8. ¿Cuál es la iluminación producida por una fuente de 200 cd sobre una pequeña superficie ubicada a 4.0 m de distancia? 9. La superficie de una mesa de 1 m de ancho y 2 m de largo se encuentra colocada a 4,0
m de una lámpara. Si el flujo total en esta superficie es de 40 lm, ¿cuál es la iluminación E de la superficie? 10. ¿Cuál debe ser la ubicación de la lámpara en el problema anterior con el fin de producir el doble de la iluminación? (Nota: Iluminación E varía inversamente con el cuadrado de la distancia: E1R 1
2
= E2R 22).
11. ¿Dónde debería colocarse la mancha de grasa del espectrómetro del problema resuelto 9, para que la iluminación (E) de la fuente de luz desconocida sea exactamente el doble de la iluminación de la fuente estándar? (use como guía el siguientes esquema)
1m 30 cd x
270 cd 1 m x –
12. Se utiliza una fuente de luz puntual de intensidad luminosa 100 cd para iluminar una pequeña placa situada a 1 m de distancia. Si la iluminación sobre la placa es de 50 lux deduce si la iluminación es frontal o bien la placa se encuentra inclinada un ángulo con respecto a la dirección de emisión de la fuente.
13. Dos lámparas pequeñas (suponer fuentes puntuales de luz) de 5 cd están situadas en el techo de un aula de 2,7 m de altura. Las lámparas distan 3m entre sí. Una mesa de estudio, está situada en una posición equidistante de ambas lámparas. El tablero de la mesa está a 70
cm. del suelo. a) Realiza un esquema del problema dibujando todos los elementos y sus distancias relativas. b) Calcular la iluminación sobre el centro del tablero de la mesa. 14. ¿Qué ángulo entre el flujo y una línea trazada normal a una superficie, hará que la iluminación de la superficie quede reducida a la mitad cuando la distancia a la superficie no ha cambiado? 15. Se ilumina un papel difusor con una luz monocromática de iluminar el mismo papel con una luz de
= 555 nm. Si se quiere
= 760 nm. ¿Cuántas veces se deberá aumentar el
flujo luminoso de la fuente emisora para producir una sensación visual de la misma intensidad? 16. Una bombilla cuyo consumo eléctrico son 100 W presenta un rendimiento de 10 lm/W. Determina: a. El flujo luminoso emitido por dicha bombilla. b. La intensidad de la bombilla (considerada puntual). c. El flujo luminoso que incide en el ojo de 2 mm de pupila cuando el observador está situado a 1 m de la bombilla y mira directamente a ésta. 17. Una luz de 300 cd se suspende 5 m por encima del borde izquierdo de una tabla. Encontrar la iluminación de un pequeño trozo de papel situado a una distancia horizontal de
2,5 m del borde de la mesa. 18. Una superficie está iluminada por una fuente luminosa puntual de 80 cd de intensidad constante en todas direcciones situada a 2 m de altura. Calcular la iluminación para los siguientes valores del ángulo θ: 0, 30º, 45º, 60º, 75º y 80º.
