UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI “ Fed eder eric ico o II ”
Scuola Politecnica e delle Scienze di Base
Esercit Esercitazioni azioni di Metodi Matema Matematici tici per l’Ingegneria ’Ingegneria Luigi Greco
Anno Accademico 2016-2017
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E APPLICAZIONI “ R. Cacci Cacciop oppo poli li ” PIAZZALE TECCHIO - 80125 NAPOLI
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica ticaIndice e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato CaII” pitoAnno lo I. Accademico Numeri com2016-2017 plessi 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico CapitoDipartimento lo II. Fuento nziondii oMatema lomorfe tica e Appli 4 Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Capitolo III. Polinomi e funzioni razionali 8 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e 9 Applicazioni “Renato Capitolo IV.Accademico -Trasform azione Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle CapitoDipartimento lo V. Inento tegradi li cMatema on i residtica ui e Appli 12 Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Capitcazioni olo VniI. “Rena Trasfto orm azioioppoli” ne di L”apScuol lace a Pol 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli Cacc Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base1Universit` Univer sit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato CaPolitecnica pitolo VII. eSdelle erie eScienze Trasfordi maBase zioneUniversit` di Fouriear degli Studi di Napoli “Federico 17II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica CapitoDipartim lo VIII. ento SvolgdiimMatema enti Num eri com plesscazioni i 20 Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni. “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol Politecni ca e delle Scienze di Base2Universit` Univer sit`a deg degli li Stu Studi di Capitcazioni olo IX Svolgto imCacc enti F unzion”i O lomoarfPol e itecnica 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato CaPolitecnica pitolo X. Sevdelle olgimScienze enti Poldi inoBase mi e Universit` funzioni raazdegli ionaliStudi di Napoli “Federico30II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Capitolo Capitolo Svo lgimenti ti -Tr“Federico asformazioII” ne Anno Accademico 2016-2017 Luigi 31 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a XI. degli Svolgimen Studi di Napoli di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Capitolo XII. Svolgimenti Integrali con i residui 42 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola a adegli CaPolitecnica pitolo XIII. e delle SvolgScienze imenti TdiraBase sformUniversit` azione di L placeStudi di Napoli “Federico62II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers aX degli Napoli 2016-2017 Luigi Capitoit` lo IV. Studi Svolgim lgdi ime enti Ser“Federico ie e TrasfoII” rmaAnno zion ione dAccademico i Fourier ier 81 Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 1 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Z
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO Iitecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Numeri complessi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 j −301 , (7di 125 1) Politecnica Calc Calcol olar are: e:ejdelle , jScienze + j + j)(5 )(5 Universit` 2 j), j ), (2 + j +a j) )3 , Studi. di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Base degli 7“Renato + 3 j 3 j to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2) Rappresen Rappr esentare tare geometr geo icamente nte e porre forma formaAccademico trigonometr trigonometrica ica i seguenti seguenti nu- Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi dimetricame Napoli “Federico II”inAnno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di meri meri com comple plessi: ssi: 2, 3, j , 4 j, j , 1 + j , 2 + j 12, 6 j 2, 1/2 j/2. j/ 2. di Napoli “Federico II”Determinare Anno Accademico 2016-2017 LuigidiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato l’argomento principale ciascuno di essi. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3) Calcol Cal colare are leento radic radici qua drate te tica di e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento dii quadra Matematica Matema Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento a) cazioni 2 + j + j 2ioppoli” 3 j ” Scuol citecnica ) 1+ d) di 3Base 5 j Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to b) Caccioppoli Cacc Scuola a Pol Politecni ca4 je delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e)Politecnica 5 + j f) 2 di Base 5 j Universit`g) π Studi j di Napoli h)“Federico 1 5 j II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Scienze a degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 5di Napoli 4 3 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 4) Calc Calcol olar are: e: j, j , 1, 1 j, j , 1 j, j , 3 + 6 j 6 j.. di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 5)II”Prov Pro vareAccademico che che le le radi radici ci n n-sime -sime di z di zLuigi sonoGreco coniugate a quelle di z di Napoli “Federico Anno 2016-2017 Dipartimento di. Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scienze Base Universit` a degli “Federico 6) Politecnica Verifica erificare re eche, chdelle e, per m Rdi fissato, l’equazione Im zStudi = m di ReNapoli z rappresenta unaII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle retta retta non verticale verticale per l’origine. l’origine. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 7) Scrivere Scriv ere l’equazio l’equazione della retta retta” per due due punti punitecnica ti complessi comp z 1 eScienze z 2 distinti. di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to ne Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni ca lessi z e delle di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 8) Determinar Determinaree e rappresenta rappresentare re sul piano gli insiemi insiemi di numeri numeri complessi complessi verifiverifiCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico canti ciascuna delleMatematica seguentitica relazioni: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento a) cazioni z + 3ni>“Rena z + 2to j b) jz + jz + 3 < z + 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato c) z 2 = z¯2 d) 6zz 19 z + 15 > 15 > 0 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e) Re(z 2 ) > 0 f ) arg(2z + 1) ]0, ]0, π/4[ π/ 4[ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di g) arg(¯ arg(¯ z + j + j) ) ]π/2 π/ 2,Caccioppoli π[ ioppoli” di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 9) Dimost Dim ostrar rareeento il teore tedi orema ma di Carn Ctica arnot: ot: dette dettecazioni a, bnie c“Rena le lunghezze dei lati di un Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica Matema e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle triangolo α l’ampiezza opposto lato di lunghezza a, risulta Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli eStudi di Napolidell’angolo “Federico II” AnnoalAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 azioni 2 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic “Renat o Cac Caccio cioppol ppoli” i” π/2 Scuola Scu Polite Po litecni ca e adel delle le Sci Scienz e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii alicazi = boni + c“Re 2nato bc cos α. (Per α (Per α = = π/ 2 ilola teorema sicnica riduce quello di enze Pitagora.) Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 2 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
−
−
−
−
−
√ √ − √ −
− √ − − − − √ √ √ − − √ − − √
−
− − − −
∈
|
| |
− |
|
| | − ||
|
∈
∈
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle NUMERI CO MPAnno LESSI Accademico 2016-2017 Luigi3 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di NapoliI.“Federico II” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di del parallelogramma 10)II”Dimostrare Dimos la seguen seguente te identit`a Luigi (interpretare geometricadi Napoli “Federico Annotrare Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato mente): ze,delle w Scienze C, risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 zMatematica + w + w 2 +tica z e wAppli = 2( z 2ni + “Rena w 2 ) . to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato C 11) 11) Sia Sia z = x + x + j jyy , con x = 0 e y = 0. Mostrare Mostrare che una determinazion determinazionee ϑ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delledi z di Base Universit` a degli dell’argomento diScienze z pu`o essere ottenuta come segueStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e xAppli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle arccos , Anno se y se y > 0; Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x2 + y 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ϑ = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x arccos πa,degli se y se y < 0;di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi 2 + y 2 x 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle oppure Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico y II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento arcsin ” Scuol , itecnica se x seca x e>delle 0; Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 + y 2 x di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ϑ = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y arcsintica e Appli +cazioni π , nise x se“Rena x < 0. 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 + y 2 x Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 12) Cosa c’`e di sbagliato? di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 =Scienze 1 = di(Base 1)2 Universit` = 1 a1degli = j Studi j = j = di 1 .Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 13) Siano Sia noniw0“Rena , . . . , wto n”-sime (n (an Pol > itecnica 1) di ca z e delle 0Scienze . Mostra Mosdi trare re che, che, C 1 le radici n−Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol Politecni Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di m m m m , w , . . . , w sono radici n -sime di z . Mostra Mos trare re inoltre inol tre che ch e esse Z di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1 0 n2016-2017 sono a duee adelle due Scienze distintedi seBase e soloUniversit` se n e ma sono loro. “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica degliprimi Studitra di Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di a Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 14) Discutere Discut ere laento validit validit` `Matema delle uguaglianze uguaglianz e cazioni Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n n n m a ioppoli” b = ”a Scuol b , a Pol a =camen delle a . Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to nCacc Caccioppoli Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
∀
∈
|
| | − |
∈
√
|| | |
−
−
√ − √ −
·
−
∈ \{ }
∀ ∈
√ · √ √ ·
√
√
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO II di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Funzioni olomorfe 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 15) Calcolare Calcolare le espression espressionii Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica tica Applicazio Appli ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle a) coDipartimento s j b) esin j in j cazioni c) ioppoli” Log( Log( 1)Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca e delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di d) Lo Log( g( ni1 + j + j)) to Cacc e”) Scuol log(eaxpPol (z )itecnica ) f ) Logdi (exBase p(z ))Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 16) Osserva Osser vare re che Lodi g zMatema non `e continua nei punti del semiasse negativo.Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento entoLog Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to reale Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 17) Mostrare Most rare che cStudi he expdiz ,Napoli cos z , sin z sono funzioni hermitiane. di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 18) Mostrare Mostrare che che tutte e sole le determinazion determinazionii di log(zw log( zw)) si ottengono sommando di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato una determinazione di log z e una di log w. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `nianche 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento Matematica Applicazio Appli “Renato “Rena to che Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle 19) Mostra Mos trare re che logdiz¯ Matema = log z , tica z eC 0cazioni . E vero Log ¯z = Log z , Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z C 0 ? di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 20) Risolvere Risolvere in in C le equazioni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z z a) eDipartim = j b) eApplicazio = cazioni e|z | ni “Rena c) sin z = j = j 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento d) cos cos z = 5 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 21)Politecnica Scrivere ineforma algebrica numero complesso exp(π exp( π + 15 jNapoli ). Indicare moduloII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola delle Scienze diilBase Universit` a degli Studi di j). “Federico argomento principale. Rappresentare sul piano complesso. 2016-2017 20162017 Luigi Grecoe Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 22) Descriver Descr iveree l’immagine l’immagine mediante mediante la funzione funzione esponenziale esponenziale della retta di equadi Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di zione Im z = m = m Re z , con m con m R fissato. (Cfr. esercizio I.6.) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 23)Politecnica Dove Dove `e l’errore: l’err ore: Scienze per ogni z cos cos z Studi + j sin j sindiz Napoli e quindi quindi ejz =II” Anno Accademico C, ejz =a degli Caccioppoli” Scuola e delle di Base Universit` “Federico 2 di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle cos2 z + sin z = 1? Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 24) Per Pe r quali qua li z z Cto , cos z eioppoli” sin z sono simultaneamente reali? di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 25)II”Calcolare Calco lare Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sin z 3 + 5 cos cos z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle lim tica 8 e3 Appli 2 z →0 z z Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Renat nato o di Caccio Cac cioppol ppoli” i” di Scuola Scu ola Polite litecni ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii usando gli“Re sviluppi Mac Laurin sin z ePo cos z .cnica Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 4 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
−
∀ ∈ \ { }
∀ ∈ \ { } | |
∈
∈
| |
∈
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I I. “Federico FUNZIONI O LOM ORFEAccademico 2016-2017 Luigi5 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 26)II”Scrivere Scriv ereAccademico gli sviluppi sviluppi di Taylor aylor delle seguenti segue nti Dipartimento funzioni funzioni nei punti pun indicati, specidi Napoli “Federico Anno 2016-2017 Luigi Greco ditiMatematica e Applicazioni “Renato ficando la eregione in cui questi sussistono: Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1it` + z +a zdegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 z Scienze Scien ze di Base Universit` Univers Luigi Greco Dipartimento a) ; z0 = 0 b) sin z ; z0 = π c) e ; z0 = 1 1 z di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato d) z ez ; z0 =e delle 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 27) Scrivere Scrivere gli sviluppi sviluppi di Laurent Laurent delle seguenti seguenti funzioni nei punti indicati, indicati, spedi Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di cificando la regione di convergenza: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 exp(z exp( z2) 1 a) ; z = 0 , z = 1 b ) ; cazioni z0 =ni0 “Rena c) to 2Cacc ; z0Scuola = 0 Politecnica 0 0 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco 1Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli “Renato Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle z z z 3 z + 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 28) Studiare Studiare gli zeri e le singolarit singolarit``a isolate delle seguenti funzioni (anche eventualdi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato mente nel punto ): Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle sin z z sin z e2jz 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento a) it`a degli Studi di Napoli b) c) 2016-2017 1 cos cosazPol 2 z 2 +di π zBase π 2Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni z“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” 1Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi e Applicazioni “Renato cos πAccademico z cos π zGreco 1 Dipartimento di Matematica z d)Politecnica e) f) Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 z 2 + z 6 z 2 7 z + 6 ejπz 2 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 29) Calcolare Calco lare“Rena i residui residu delleioppoli” seguenti seguenti funzioni funzio nei punti punt di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to iCacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a ni Politecni Pol itecnica cai indicati: e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 Caccioppoli” Scuola a)Politecnica ; z0 = 0e,delle z1 =Scienze di Base b) Universit` ; z0 = 0a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco zDipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica ze Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 z2 + 1 π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni ; “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca ; ezdelle Universit`a deg degli li Stu Studi di c) cazioni z0 = j = jto Cacc d)” Scuol , z1 = 1di, zBase 0 = Scienze 2 = 2Universit` 2 +1 (z 2 Greco 3z + 2)Dipartimento cos z 2di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” zAnno Accademico 2016-2017 Luigi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 ez 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e) Dipartimento ; z = j f) ; z = 0 “Rena 0 0 2 + 1)2 ( z z sin z Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di z ni “Rena e 1 “Renato 1 ca e delle Scienze di Base Universit` 2 di Napoli “Federicog)II” Anno Accademico 2016-2017 ; z0 = 0 h) Luigi z (z Greco 1)sin Dipartimento ; z0 = 1 di Matematica e Applicazioni “Renato z 2 sin z e delle Scienze di Base Universit`a zdegli1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ n Scienze Scien ze di Base Universit` Univers Studi diolomorfa Napoli “Federico II” Anno Accademico 30) 30) Sia Siit` aa f degli una funzione una in una corona circolare di centro 0 2016-2017 e sia −∞Luigi cn z Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Univer sit`a deg degli li Stu Studi di la sua serie di Laurent nella corona. Mostrare che, se f ` f `e una funzione funzion e dispari disparUniversit` i di Napoli “Federico II”(cAnno Dipartimento diriMatematica io`e f ( f (Accademico z ) = f ( f (z ),2016-2017 z ), risulta c risultaLuigi cn =Greco 0 per n per n pari, pari, e se f se f ` `e pari pa (f ( f ( z ) = f ( f (ez ),Applicazioni “Renato ∞ +di n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico z ), risulta c risulta c n = 0 per n per n dispari. Pi` u in generale, se n=−∞ cn (z (z z0 ) `e loII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ sviluppo svilup po diStudi Laurent di f di f in in “Federico una coronaII” circolare di centro z 0 e2016-2017 (z (z + Greco Dipartimento n=−∞ dn Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di Napoli Anno Accademico Luigi n zlicazi `eoni lo sviluppo corona simmetrica rispetto all’origine, centro , e Uni 0 )azioni di Mat Matema ematic tica a e App Applic “Renat “Re nato onella Caccio Cac cioppol ppoli” i” Scuola Scu ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le di Scienz Sci enze e di z0Bas Base Unive versi rsit` t`a de degl glii n n+1 no II” dn = cn ( co1)2016-2 se f f 017 `e pari paLuigi ri,, e dGreco ( 1) timento setof f `di e disp diMatema spari ari;; tica e Appli N risulta n = cnDipar Studi di Napoli “Federic “Federico Anno Accademico Accademi 2016-2017 Dipartimen Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 6 I I.“Federico FUNZIONI O LOM ORFEAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli II” Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di particolare, se z02016-2017 sono singolarit` isolate iso late, , `e R[ R [ z0 ] = diRMatematica [z0 ] se f ` f `e pari paeri,Applicazioni , di Napoli “Federico II”inAnno Accademico LuigiaGreco Dipartimento “Renato R[ z0 ] = R[ R [z0 ] se f seScienze f ` `e disp di spar i. Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle diari. Base 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di olomorfa Matematica Matema tica e aperto Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 31) 31) Sia SiDipartimento a f una f una funzione in un Ω simmetrico rispetto all’asse reale, Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento in modo che valga l’implicazione z Ω z¯ Ω. Ω. Supponi Supponiamo amo che che f sia di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di hermitiana, hermiti ana, cio`e risulti f (¯ f (¯ z ) = f ( f (z ), z Ω. Supponiamo Supponiamo inoltre inoltre che, fissati di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z0 C e re edelle ρ numeri reali tali che 0 r < ρ, Ω contenga le corone circolari Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dalle r tica < z e Appli z0 < cazioni ρ e rni<“Rena z zto ρ. Mostra Mos trare re Scuola che che i Politecnica 0 < 2016-2017 20162017 Luigi Grecodescritte Dipartim Dipartimento entolimitazioni di Matema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle coefficienti dello sviluppo Laurent diII” f nella f nella corona sono coniugati ai Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napolidi“Federico Annoprima Accademico 2016-2017 Luigi corrispondenti coefficienti dello” sviluppo di itecnica Laurent f nella f nella seconda di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni ca di e delle Scienze di corona. Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di partic particola olare, re, (se si2016-2017 pu` o scegliere = 0) risulta R[z0 ] =di R [z0 ]. Nel Nel cas caso o di Napoli “Federico II”In Anno Accademico Luigir Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Ω = C, mostrare altres`ı di che f ` f `eUniversit` hermitiana hermitiana se e Studi solo se assum e “Federico valori realiII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base a degli di assume Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Grecosull’asse Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle reale. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 32) 32) Sia Siaa f f degli olomorfa in una corona circolare di centro 0 (eventualmente un cerchio, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di o un intorno di ), verificante di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base (1) f ( f ( e n j z ) Universit` = f ( f (z ) , a degli z , Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a n degliNStudi di Napoli “Federico II” gAnno Accademico dove n dove ` e fissato. fis sato. Mostrare che esiste esi ste olomorfa tale che 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di n f ( f (z ) =Luigi g( g (z )Greco , z. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico particolare, = 2, la tica (1) significa che ni f f `e“Rena pari; par i; to la Cacc tesi tes i `eioppoli” che essa ess aScuola `e in Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi GrecoInDipartimento Dipartim entosedinMatema Matematica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle 2 realt` a funzione di z di z . (Cfr. Ex. 30.) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Pol itecnica Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di 33) 33) Sia Si a f olomorf f olomorfa a to in Cacc un aperto Ω.” Scuol Mostrare Mostraare che g(zca ) =e f ( f delle (z ) `eScienze olomorfadiinBase Ω∗ = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z : z Ω . (Sugge (Suggerim rimen ento: to: scriv scrivere ere f f in forma forma alg algebr ebrica ica e verifi verificar caree le Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico condizioni di Cauchy-Riemann.) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z 1 “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli 34) Mostrare Mostrare che che Log = Log(1 1/z) /z ) in z > 1 `e olomorfa e vale il il zioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di seguente sviluppo di Laurent intorno all’ : di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Studi di1 Napoli “Federico II” Anno Accademico z 1Scienze di Base Universit` 1 a degli 1 Logento di =Matema Log(1tica1/z) /z )Appli = cazioni + ni + +to Cacc + ioppoli” . 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica e Applicazio “Renato “Rena Scuola Politecnica Politecnica e delle n z z 2z n zCaccioppoli” Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di jt 35) Considerand Consid erando o la funzione f ( t ) = e , t [0, [0 , 2 π ], osservare che per le funzioni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato comple com plesse sseenon il teorem teodi rema a diUniversit` Rolle Rolle (o aLag Lagran range) ge).. Mostra Mos trare re la seguen seguente teII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica dellevale Scienze Base degli Studi di Napoli “Federico se f seento f ` `e di continua conti nua in tica [a, b]ee derivabile nei punti interni, risulta 2016-2017 20162017 Luigi Grecoversione: Dipartim Dipartimento Matematica Matema Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento f ( f ioppoli” (b) f ” (a)Scuol (ba Pol a)itecnica sup f di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni ca .e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (a,b) a,b) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 36) Considerand Consid erando o ladi funzione f (tica t) =e ejt , t cazioni [0, [0 , 2ni π ], “Rena osservare che per le funzioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento Matematica Matema Applicazio Appli “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2π Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento complesse non vale il teorema della media integrale; risulta 0 f ( f (t) dt = 0 e di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” f Scuola Scu ola Po Polite litecni cnica ca e alla delle del lemedia Scienz Sci enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii quindi non“Re esiste alcun punto in cui f cui assume assume valore uguale integrale. Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
∓
−
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−
∈ ⇒ ∈ ∀ ∈ ≤ | − | | − |
∈
∞
∀
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∀
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I I. “Federico FUNZIONI O LOM ORFEAccademico 2016-2017 Luigi7 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 37) 37II” ) Sia SiAnno a u una u una funzione reale di classe C classeLuigi C inGreco un aperto di R . Mostrare l’equivalenza di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleuScienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico armonica f = ux ju y olomorfa. 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to = Caccioppoli Cacc ” yScuol Scuola Politecni Pol itecnica ca e delleinScienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di 38) Siano Sia no ζ ζ = ξ + jη + jη f ( f (zioppoli” ) = f ( f (x, ) unaa funzione olomorfa un aperto Ω di C 2 di Napoli “Federico II”e Anno 2016-2017 Luigi Greco e Applicazioni “Renato u = u = u u(Accademico (ξ, η) = u( u (ζ ) una funzione di classe C classe C Dipartimento in un aperto di cheMatematica contiene f (Ω). f (Ω). Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli composta Studi di Napoli Mostrare la seguente uguaglianza per la funzione v (x, y“Federico ) = v (z ) =II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Grecou(Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle f ( f (z )): 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ∆v (z ) = ∆u(f ( f (z )) f (z ) . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di In particolare, v particolare, v `e armonica a rmonica se tale risulta risul ta u u.. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin πz Caccioppoli” Scuola Universit`a degli Studi di Napoli 39)Politecnica Mostra Mostrare re eche chdelle e la Scienze funzio funzione nedif ( f Base (z ) = ha nei punti 0, 1 “Federico singolarit`aII” Anno Accademico z (1 cazioni z 2 ) ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle eliminabili. elimin abili. Calcolare Calcol are la derivata deriv ata del prolungamen prolun gamento to in tali punti. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 40) Due primitive primit ive di stessa funzione funzi one inaun aperto connesso differ iscono una di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato touna Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Pol itecnica ca e delledifferiscono Scienze di per Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”costante. Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` degli Studi “Federico II” Anno Accademico 41) 41) Sia Sia f olomorfa f olomorfa intorno a z a zdi0 Base escluso z 0 .aMostrare che R chedi RNapoli C, escluso z f [z0 ] = 0. Inoltre, 2016-2017 20162017 Luigi Grecomostrare Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle che f che f ` `e dotata di primitiva pri mitiva nell’intorno nell ’intorno bucato b ucato se e solo se R se Rf [z0 ]Scuola = 0. Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Calcolare di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di sin z z di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco R 0 , 2016-20172 Luigi , R 0 ,Dipartimento .di Matematica e Applicazioni “Renato (1 di cosBase (1 Studi cos z )2di Napoli “Federico II” Anno Accademico z ) Universit`a degli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO III di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Polinomi e funzioni razionali 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 42) Decomporre Decomporre in fratti fratti semplici le seguenti seguenti funzioni funzioni razionali: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle x2 + 1ento di Matema x cazioni xioppoli” 1 a) b) c) Scienze Scien ze di Base Universit` Universxit` II”2)(x Anno Accademico x2016-2017 (xa degli 1)(x 1)(xStudi 2) di Napoli “Federico (x + 1)(x 1)(x + 2)( x + 3) (x2 + 1) Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Accademico 2016-2017 Luigi 1 1 d)Politecnica e)di Base f) Caccioppoli” Scuola e delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 3 4 1 + x + x t + t 2 1 + x + x 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 Studi di Napoli “Federico 1 II” Anno Accademico 2016-2017 1 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli g) h) i) 2 2 2 3 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Universit`a deg degli li Stu Studi di (x 1)(x 1)(x + 1) (x + 1) (x 1) p ( p + p + 1)( p 1)( pBase 2)Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico j) k) (ω = 0) 2 2 2 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco sDipartimento Dipartim Matematica tica Applicazio Appli ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (s + 1) ento di Matema s (s e+ ω ) cazioni Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niporre “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca enti delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 43) Decomporre Decom mediante median te la formula formula di Hermite Hermi te le seguenti segue funzioni funzio ni razionali: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x3 1 a) b)Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco (1 Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio cazioni ni “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 2 2 + x + x ) (x + 1)(x 1)(x + 4)2 to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol Politecni itecnica ca edidelle Scienze di eBase Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di 44) 44) Sia Si a Qni (z )“Rena = a0 to + aCacc z + +” a N z N aunPol polinomio grado positivo siano 1 z + di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z1 , . . . , zN gli zeri (non necessariamente a due a due distinti). Mostrare che Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico aN −1 a0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimzento Matematica Matema Applicazio ni “Renato toN Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle zN = tica e ,Appli zcazioni zN “Rena = ( 1) . ioppoli” Scuola Politecnica 1 + di + 1 a a N N Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento In particolare, la somma delle ”radici N -sime N (N (N ca > 1) di un Scienze assegnato di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a -sime Politecni Pol itecnica e delle di numero Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”comples Anno Accademico comp lesso so `e nulla. null a. 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 8 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO CAPIT OLO IV di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico -Trasformazione -Trasformazione 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 45)Politecnica Calcolare Calcolare eladelle delleUniversit` seguenti espressioni: u -trasformata Caccioppoli” Scuola Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 n + 3n 3 n Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a) it`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (n + ni 2)! “Rena di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 46)Politecnica -antitrasformare -antitrasformare le seguenti espressioni: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers(it` z a degli 1)2 (zStudi + 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento a) cazioni b) R)Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze(α, di β Base Universit`a deg degli li Stu Studi di z3 8 (z + α + α))2 + β 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di1Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 c) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni d) “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z 2 + z + z + 1 (z 2 + z + z + 1) 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z “Rena z +Scienze 1 f) di Napoli “Federicoe)II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (z 2 + z + z + 1) 2 (z 2 + z + z + 1) 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli” Politecnica e delle z 2 ento di Matema z 2 Cacc 1 ioppoli” Scuola Politecnica g) it` h) Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 2 2 2 ( z 2 z + 2) ( z 2 z + 2) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2di Matematica e Applicazioni “Renato z (z 1) 2z + z Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit`a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico i)Politecnica j) Studi 2 2 2 z + 2z 2z +ento 4) di Matema (z to 1)(z 1)( z 2 ioppoli” + 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco (Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di k) cazioni 3 + 1 z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle 47) Usando Usa ndo la ento -trasformazione, -trasformazione, risolvere i seguenti problemi a valori iniziali per Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli ricorrenti: Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento equazioni di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico y (n + 2) + y + y((n + 2016-2017 1) + y + y((n) =Luigi 3cos Greco n Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato a)Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola y (0) = 2 , y (1) = 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico nII” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 2 y ( n + 2) + 3y 3 y ( n + 1) 2 y ( n ) = 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii b) licazi 1 , y(1) =0 Studi di Napoli “Federic “Federico oy (0) II” =Anno Accademi Accademico co 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 9 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Z
Z
Z
−
∈ ∈
−
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−
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 10 IV“Federico . Z -TRASFORMAZIONE -TRASFORMAZIONE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di π ca e delle Scienze di Base Universit` n−1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato y (n + 2) 2y (n +2016-2017 1) + 4y 4y(n)Luigi = 2 Greco cos Dipartimento n c) 3 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli y (0) = 0 , y(1) = 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π n+1 y ( n + 2) 6 y ( n + 1) + 18y 18 y ( n ) = 3 2 sin n di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e4delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di d) cazioni di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y (0)Accademico = 1 , y(1) = 2016-2017 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle y (n + 2)entoy (di n +Matema 1) + y + y((n ) = e( Appli 1)n acazioni (n) ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento a(n) periodica di p. 3, 3, e) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena Caccioppoli Cacc Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di a(0) = 1, 1, to a(1) = 0, 0ioppoli” , a(2) ”= Scuol 1 a Pol di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y (0) = y = y(1) (1) = 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e πAppli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −n tica 4 y ( n + 2) y ( n ) = 2 cos n + sin n Scienze Scien ze di Base Universit` Univers f ) it`a degli Studi di Napoli “Federico 2 II” Anno 2 Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y (0) 0 , yto (1)Cacc = 1/ 1/ioppoli” 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni = “Renato “Rena Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base y (n + 2) + 4 yScienze (n) = 2ndisin n Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico g) Dipartimento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e2 Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle y (0) = y = y(1) (1) = 0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a π Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di y (n + 2) y (n + 2016-2017 1) + y + y((n) =Luigi cos Greco n di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato h) 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y (0) = y = y(1) (1) = 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 ( + 2) + y + ( + 1) + y + ( ) = cos y n y( n y( n n π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di i) cazioni 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y (0) = y = y(1) (1) = 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 y (n + 2) + 7 y (n + 1) + 3 y (n) = a( a (n) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento a(n) periodica di p. 3, 3, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di j) cazioni a(0) = 1, 1, a(1) = 2, 2, a(2) = 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y (0) = y =e y(1) (1) =Scienze 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle y ( n + 2) + 2 y ( n + 1) + 4 y ( n ) = a( a ( n ) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento a(n“Rena ) periodica diioppoli” p. 3, 3, ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di k) a (0) = 1, 1 , a (1) = 2, 2 , a (2) = 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y (0) =e0delle , y(1) = 3 di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n + 2) + y + y((n = a((n) “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` ay (degli Studi di) = a Napoli di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli Cacc Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di a(n“Rena ) valeto 2 per n per n ioppoli” pari ” Scuol l) di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e Accademico 1 per n per n dispari Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y (0) = y = y(1) (1) = 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ricavare Ricav are formula la trasform trasformata di una successione risolvendo di Mat Matema ematic tica a e 48) Applic App licazi azioni oni la“Re “Renat nato o per Caccio Cac cioppol ppoli” i” ata Scuola Scu ola Polite Po litecni cnica ca e periodica, delle del le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii (formalmente) ricorrente y( y (nLuigi + k + k)) Greco y (n) = 0, dove k dove k ` e ildiperio peMatema riodo. do. tica e Appli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno l’equazione Accademico Accademico 2016-2017 2016-2 017 Dipartimen Dipar timento to Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
√
− −
−
− −
−
−
−
√
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle IV.“Federico RMAAnno ZIONEAccademico 2016-2017 Luigi 11 Greco Dipartimento Z -TRASFOII” Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z 1 di Napoli “Federico Anno Accademico Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato 49)II”Mostrare Most rare che che [1/n [1/n 2016-2017 u(n 1)] =Luigi Log = Log(1 di 1/z), /zMatematica ), con dominio z a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` z > 1. 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 50) Risolvere Risolv ere Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli y(n + ”2)Scuol = y = y((n 1)itecnica + y + y((n ) e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a + Politecni Pol ca Universit`a deg degli li Stu Studi di y(0) = 0Luigi , y (1)Greco = 1 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base a degli La soluzione y soluzione y((n)Scienze `e la successione success ioneUniversit` di Fibonac Fi bonacci. ci. Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco`Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 51) E noto che Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z ” Scuol z di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di [u(nCacc )] =ioppoli” , Scuola [au(Pol nitecnica 1)]ca = e delle .Scienze di Base Universit` z 1 Luigi Greco Dipartimento z 1 di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Possiamo ededurre sommando [1] = 0? Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base[1] Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 ioppoli” k 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 52) Posto Posto f ( f (z ) = u [a(n)], mostrare che, per k ni N“Rena , risulta u [f (z )] = b(n), Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento con di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a ` Politecni Pol itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di a(n/k) n/k”) ,Scuol se n se n e divisi div isibil bile e per k, k , Scienze di Base Universit` b ( n ) = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0, altrimenti. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 53) Mostrare Most rare che, che , se a se a( ( n ) ` e period p eriodica ica di perio p eriodo do k k b ( n ) ` e period p eriodica ica di periodo peri odo N e b( Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento hcazioni a (“Rena n) + b + b( (n)Cacc e a( a (ioppoli” n) b(n”) sono periodiche di periodo h. N, a( di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Renato to Caccioppoli Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica caperiodo k e delle kh Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
||
−
Z
−
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Z
Z − −
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∈
∈
·
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO V di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico i residui 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Integrali Matematica Matema tica e con Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 54) Usando Usando i teoremi teoremi dei residui, calcolare calcolare gli integrali: integrali: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2zento + 1 di Matema ecazioni a) dz b) dz c) tg z dz Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` Luigi Greco Dipartimento z di Napoli “Federico z Anno 2)2 Accademico|z|2016-2017 |za−1degli |=2 z2Studi |z−2|=1 z (II” =3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi z exp(z exp(Greco z ) 1Dipartimento di Matematica z sin z e Applicazioni “Renato d)Politecnica e delle dz dz f) dz II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Scienzee)di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico z z3 1 cos z |z|=1 1 cos |z|=1e Appli |z|=10ioppoli” 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2π 2π R Scuola R (cos 55) Per Pe r gli int egrali ali tipo (sin (sin xa) dx eitecnica x) dx, dxScienze , con R di funzione di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni integr “Renato “Rena todel Caccioppoli Cacc ioppoli” Politecni Pol e delle Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 0 ” Scuol 0 ca(cos R in fratti pu`o convenire decomporre frat ti semplic semplici. i. diAd esempio esempio,, se i di Napoli “Federico II”razionale, Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base degli Studi di Napoli “Federico poli wk die R (w)Scienze sono tutti realiUniversit` semplici ea in valore assoluto maggiori di 1,II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Grecomostrare Dipartim Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle laento formula 2π Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di sgn wk (sin x) dx = dx” =Scuol 2πa Pol Ritecnica [wk ] ca e2 delle, Scienze di Base Universit` R (sin di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di wk 1 di Matematica e Applicazioni “Renato 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento k Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico i residui essendo relativi adi R . Valutare 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2π tica e Appli dx Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento . 2 12sin x 35sin x + 25 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 56)Politecnica Calcolare Calcolare mediante median te la teoria teori dei residui resid ui i seguenti segue nti integrali int egrali (speci ficando o il tipoII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Scienze diaBase Universit` a degli Studi di(specificand Napoli “Federico convergenza): 2016-2017 20162017 Luigi GrecodiDipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ +∞ sinto x Cacc π xScienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca esin2 delle Universit`a deg degli li Stu Studi di a) dx b) dx 2 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento 3 π x + 2 2016-2017 π −∞ xAccademico −∞ 2 x + xdi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2“Rena “Renato to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle sin x +di cosMatema x dxCacc c) dx d) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli Luigi Greco Dipartimento 2+ (4x + π + π)) (xdi π 2 ) “Federico II” Anno0 Accademico (5 + 4 cos x2016-2017 )2 −∞ ni(4x di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ 2 di Napoli “Federico II” Anno x + cos x x + cosdix Matematica e Applicazioni “Renato e)Politecnica4e delledx f )a degli Studi di 4Napoli dx “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Scienze di Base Universit` x + 4 1 + x + x −∞ 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ 2 +∞ 2 x + cos π x 2 x x sin πx di Mat Matema ematic tica a e App Applic azioni oni “Re “Renat nato odx Caccio Cac cioppol ppoli” i” Scu Scuola olah)Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii g) licazi dx x4 1Accademico 16 16x x4 timento 1 to di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipartimen Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni −∞ Dipar 0 o II” Anno “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 12 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle V. IN“Federico TEGRALI CO N IAnno RESIDAccademico UI 13 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ +∞ − iπx 1 + e sin x di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato i) dx j) v .p. dx Caccioppoli” Scuola Politecnica “Federico II” Anno Accademico x4 Scienze di Base Universit`a degli Studi +Napoli x3 −∞ 1 e delle −∞ 1di+ x 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ +∞ x sin π2 x2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli x sinStudi π x di Napoli “Federico II” Anno Accademico k) cazioni dxCaccioppoli l)itecnica dx 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 to Cacc x3 1Scienze di Base Universit` −∞ nix“Rena −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Studi 1 ecos x Scienze di Base Universit`a degli cos πdixNapoli “Federico II” Anno Accademico m) Dipartimento dx n) dx ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena Caccioppoli” Politecnica e delle x4 + x2 8 x3to Cacc 1 −∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno−∞ Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3to Cacc ∞ eeixdelle +∞ni “Rena +ca sin x 3 sin2x sin2di x Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoo)II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento dx = dx = π p) dx 4 di Base Universit`a degli 1 + x +di x x2Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ −∞ Studi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π +∞ 2 1 + sin x cos x sin x + x + x sin x Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento q) dx r) dx cos2 to x Cacc x4 +Scienze x2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni1 + “Renato “Rena Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −∞ 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ 2π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Studi di +Napoli sin x Scienze di Base Universit`a degli 4sin2 x e2ix “Federico II” Anno Accademico s) dx t) dx 2 Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato tocos Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle x (1 + x + x2 )di 2+ x ioppoli” Scuola Politecnica 0 0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ∞ e delle Scienze π ni “Rena +ca di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di sin2x sin2 x to Cacc cos π x di Base Universit` u) dx v) dx di Napoli “Federico II” Anno 2Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica (2x + 5) 5) (x2 + 2x 2x + 2) e Applicazioni “Renato e2ix −∞ (2x 0 sin x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento diπ x Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni +“Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ∞ 1to+Cacc +∞ cos cos πx Scienze Scien ze di Base Universit` Univers II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento w) it`a degli Studi 2di2 Napoli “Federico dx x) dx 2 (x2 + 1) ( x + 3) 3 ) ( x + 6 x + 10) ( x 1) −∞ −∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ +∞ 1 + sinScienze πx cosNapoli x Caccioppoli” Scuola di Base Universit` a degli Studi di “Federico II” Anno Accademico y)Politecnica e delle dx z) dx 3)2 di (x2Matema + 1) tica e Appli x4 to6 Cacc x2 + ioppoli” 25 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio cazioni ni−∞ “Renato “Rena Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −∞ (2 x ento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ 2π costo x Cacc x + cos x di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca sin e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di a ) dx b1 ) dx 4 2 2 di Napoli “Federico 1II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (5 4sin x) −∞ x 16 x + 100 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∞ to Cacc 2π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni +“Rena “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 + cos x di Matema sin π ioppoli” x c ) dx d ) dx 1 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Accademico x (x4 102016-2017 x2 + 169) Luigi Greco Dipartimento 1 + 3sin2 xdi Napoli “Federico II” Anno−∞ 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ∞ + π di Napoli “Federico II” Anno Accademico dx 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sin πx di Matematica e Applicazioni “Renato e1Politecnica ) f 1a) degli Studi Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` di dx Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 ento cos x)di(5 Matema 4 cos xtica ) e Appli x3 + 8 Caccioppoli” 0 (5 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio cazioni ni−∞ “Renato “Rena to Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` 2aπ degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1“Renato + sin xto Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di g1 ) dx 2x 4 + 21 cos di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 57) Mostrare Mostrare che che F F ((w) = e−(x+w) dx ` dx `e costa cos tante nte.. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −∞ di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO CAPIT OLO VI di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Laplace 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento DipartimentoTrasformazione di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola 58)Politecnica Calcolare Calcolare e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Luigi Greco Dipartimento e−πs di Napoli “Federico II” Anno Accademico−12016-2017 e−π (s−3) −1 ni “Rena L a) L b) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di u u (s 3)2 + 4 (s 3)2 + 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s −1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle c) L u 2 2 2 + 16) ( s + 4) ( s Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 59)Politecnica Usando Usando laetrasforma trasf zionedidiBase Laplace, risolve risolvere i seguenti segue ntidiproblemi proble mi“Federico di Cauchy CauchyII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola delleormazione Scienze Universit` a re degli Studi Napoli in [0, [0 , + [: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y ni 2“Rena y + 2toy = et ioppoli” sin t ” Scuol y Scienze 6 y +di 13 Base y = 4Universit` e3 t u(tsit`a5)deg di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli Cacc Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Univer degli li Stu Studi di a) cazioni b) y (0) Accademico = y = y (0) = 1 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y (0) = 1 , y (0) = e5 Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 7t 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di yMatema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato toy Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politec Politecnica nica e delle y 10 ento y + 21 = e7 t tica e3 t e Appli 14 y + 65 yScuola = 16 t e c) d) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` ay (0) degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = 0 , y (0) = 4 y (0) = 1 , y (0) = 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y 2 y + y + y = = 2(sin t + t + t cos cos t) e)Politecnica e delle Caccioppoli” Scuola di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y (0) = y = y (0) =Scienze 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli 5Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 7 “Federico π II” Anno Accademico t y ni “Rena y + 2Cacc y = ioppoli” u t” Scuol asin2 titecnica y Scienze + 2 y +di 5 yBase = e−Universit` sin2 tsit`a deg di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli Scuola Politecni Pol ca e delle Univer degli li Stu Studi di 3 f) g) 3 3 y (0) = 1 , y (0) = 1 di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y (0)Accademico = 5 , y (0) =2016-2017 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politec t/2 tica e Appli t/2 nica e delle 4 y 4 y + 5 y = 4 et/2 sin t 4 y + 12 y + 13 y = 4 e−3 t/2 cos t h) it`a degli Studi i) Scienze Scien ze di Base Universit` Univers di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y (0) = 1 , y (0) = 1/ 1/2 y (0) = 1 , y (0) = 1/2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimentodi Matematica e Applicazioni −5 t cos7 t “Renato y 6 yedelle + 25 Scienze y = e3 t di cos4 t Universit`a degli Studi di y Napoli + 10 y“Federico + 74 y = eII” Caccioppoli” Scuola Politecnica Base Anno Accademico j) k) (0) = 6 (0) = 4 y (0) = 2 , y y (0) = 2 , y 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco 6 y + 5 y = et u(t 1) Dipartimento 2t y y y 2 y = 18 e cos3 t di Mat Matema ematic tica a e App Applic azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii l) licazi m) (0) y (0) = y = yto 1 1 , yAccademico (0) = 2 co 2016-2 Studi di Napoli “Federic “Federico oy (0) II” =Anno Accademi 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento di=Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 14 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
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∞ − −
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√ √
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle VI. TRA“Federico SFORMAZIOII” NE Anno DI LAPAccademico LACE 15 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di +“Renato +to2 yCacc 6 y + 34 y = eUniver 3t 2 y 5 y = t = t u ( t 2) y sin5 t di Napoli “Federicon)II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato o) y (0) = e1delle , y (0) = 2 di Base Universit`a degli Studi di y (0) = y = y (0) =1 Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2y 20 y + 51 y = 2 e5 t sin 4 y 32 y + 73 y = 4 e4 t sin t p) cazioni di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica caq)e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli Studi di 2 li Stu 2 y (0)Accademico = 1 , y (0) =2016-2017 4 y (0) = 1 , y (0) =e5Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica2e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politec nica 3 e delle +ioppoli” t/2 5 y 10 y + 9 y = 8 et sin t 16 y2016-2017 16 y Luigi 5 y = t = tGreco e −t/2 cos t Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dipartimento r) s) 5 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni = y “Renato “Rena Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di=Base Universit`a deg degli li Stu Studi di y (0) = y = y (0) 1 Universit` y (0) = y (0)to= Cacc 1 ioppoli” di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 24Scienze 5t Caccioppoli” Scuola Politecnica Universit` a degli Studi di “Federico y 10eydelle y = 98 di t eBase cos7 t y Napoli 3 y + 2 y = 10 II” e2 t Anno cos3 t Accademico t) u) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politec Politecnica nica e delle y (0) = 1 , y (0) = 2 y (0) = 2 , y (0) = 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica ca e delleScienze Base Universit` Univer sit`a deg degli li Stu Studi di +“Rena t/2 ” Scuol +di t 4 yni 8 y to5 yCacc = 25 et/2 cos4 t a Pol y + 4 y 4 y = 27 t e di Napoli “Federicov)II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato w) 3 y (0) = 1 ,“Federico y (0) = 2II” Anno Accademico y (0) = e1delle , y (0) = Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle + 2 ydi Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a II” Anno Accademico y degli + 3 yStudi =Napoli 4 t u(t “Federico 1) y 2016-2017 6 y + 45 yLuigi = e3 tGreco sin6 t Dipartimento u( u (t π ) x) cazioni y)e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca Univer sit` a deg degli li Stu Studi di y (0) = 1 , y (0) = 1 y (0) = 1 , y (0) = 9 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 8 ye delle 4 t di Base Universit` y + 25 y = e sin3 t u t 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z) Dipartimento 3 cazioni = 1Studi , y (0) 7 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` ay (0) degli di = Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π 4t − 2t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y 8 y + 52 y = e sin6 t u t y + 4 y + 53 y = e sin7 t u( u (t π ) a1Politecnica ) b1 ) di Napoli “Federico 2 Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi II” Anno Accademico y (0) = 1 , y (0) = 5 y (0) = 1ento , y (0) 10 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di = Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento + 21diyNapoli 2016-2017 + 6 y =Luigi 3t 2t y 10 y = e cos4 t y 5 y e cos5 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica cad1e) delle Scienze di Base Universit` Univertsit`a deg degli li Stu Studi di c1 ) cazioni y (0)Accademico = 2 , y (0) =2016-2017 10 y (0) = 2 , y (0) = e5 Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 10 y + 25 y = e5 t sin6 t y 14 ento y + 49 = e7 t sin3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim di yMatema Matematica ticat e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato toy Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e1 ) Dipartimento f ) 1 y (0) = 1 , y (0) = 2 y (0) = 1 , y (0) = 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 5 t di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 12 y Accademico 35 y + 252016-2017 y = e 3 (12cos5 t + sin sinDipartimento 5 t) Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico g1Politecnica ) 15 y (0) = 3ento , y (0) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di = Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di t a Pol titecnica 3 “Rena + t ” Scuol 2 6 y 17 y 12 y = e 3cos + sin di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi 2 Greco2Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato h ) Caccioppoli” Scuola 1Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4 (0) = y (0) = 1 , y 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 16 VI. TRA“Federico SFORMAZIOII” NE Anno DI LAPAccademico LACE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π a Pol 3t di Napoli “Federico II” Anno Matematica y Accademico 5 y + 6 y = 2016-2017 e sin t u tLuigi Greco Dipartimento y di + y + y = = t t sin t e Applicazioni “Renato i ) j1 ) 4 Caccioppoli” Scuola1Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y (0) = y = y (0) =0 y (0) = y = y (0) = 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t t 4 t 3 12ni y “Rena 31 yto +Cacc 20 y = e ” 2cos sinitecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol a +Pol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ) Anno Accademico 2016-2017 Luigi6Greco 6Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicok1II” 5 y (0) =e1delle , y (0) = Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli5 “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t 1 t t ta deg 3 6 y 19 y + 15 y = e cos + sin 18 ydi + Base di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Univer sit` degli li Stu Studi di 9 yScienze 10 y =Universit` 9 et cos 3 2 3 l ) m ) 3 1 di Napoli “Federico1II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 y (0) = 1 , y (0) = 4/ 4/3 y (0) =e1delle , y (0) = Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a di eNapoli Greco y +2016-2017 2 y = u = u((t Luigi π ) sin2 t Dipartimento y degli 2 yStudi + y + y = = u(t) “Federico u(t 1) II” Anno Accademico n1 ) cazioni o1e) delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca Univer sit`a deg degli li Stu Studi di y (0) = y = y (0) = 1 y (0) = 1 , y (0) = 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base “Federico II” Anno Accademico π Universit`a degli Studi di Napoli y 3 yento + 2 ydi =Matema 10 u t tica ecos t cazioni 2 Cacc 2 y + y + y = = t 1) y ioppoli” t ( et +Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica Applicazio Appli ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Scuola Politec nica e delle p1 ) q ) 2 1 y (0) = 1 , y (0) = 1/ 1 / 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` ay (0) degli = y = yStudi (0) =di1Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato y + y +Accademico y = = 1 y di +Matematica 8 y = 1 r ) s1 ) di Napoli “Federico (0) =Accademico Caccioppoli” Scuola1Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi y (0) = y = y (0) = y = y (0) = 0 y (0) = 1 , y (0) = 2II” , yAnno 4 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a di Napoli “Federico II” Anno Accademico y degli + 25Studi y = t = t sin5t sin5 t y 2016-2017 y = et Luigi Greco Dipartimento t1 ) cazioni di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni = “Renato “Rena Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica cau1e) delle Scienze di= y Univer degli li Stu Studi di y (0) 1 , yto (0)Cacc = ioppoli” 5 y (0) = y = y (0) =Base y (0)Universit` = 1 sit`a deg di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica y 6 yedelle + 9 yScienze = cos cos 3tdi Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico v ) 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle y (0) = 1 , y (0) = 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO CAPITO LO VII di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Serie Trasformazione Fourier 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di eMatema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni nidi “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 60) Calcolare Calcolare 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a sin degli Greco Dipartimento cosLuigi πt Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 2t a) F b) F di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Univer Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di t2 1 t2 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 61) Calcolare Calco lare la trasforma trasf ormata ta di F ourier ourie r del prolungame prolu ngamento nto periodico (o della reScienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento plica periodica), periodo di ciascuna delle Scienze seguentidifunzioni di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to con Caccioppoli Cacc ioppoli” ”specificato, Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (disegnare il diagramma del prolungamento periodico); per ciascuna di esse, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato scrivere serie esponenziale serie Universit` trigonometrica Fourier. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dieBase a deglidiStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle xit` = uStudi (t) udi (t Napoli π) sin t x0 (Accademico t) = u(t) u2016-2017 (t π ) sinLuigi t 0 (at)degli Scienze Scien ze di Base Universit` Univers “Federico II” Anno Greco Dipartimento a) b) periodo 2 π periodo π periodo π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + π/ + π/2) 2) u(tdi Base sin t = u(tdi ) Napoli + π) ) sin t II” Anno Accademico x0 (t) = ue(tdelle π/2) π/2) Universit` x0 (t) Studi u(t + π Caccioppoli” Scuola Scienze “Federico c)Politecnica d)a degli periodo π ento di Matema periodo 2 πto Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Grecoperiodo π Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 , Scienze per t per t di ( 1Base , 0); Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di x0 (t) = u t + π/ + π/22 u t π/2 π/ 2 cos t x(t) = t di Napoli “Federicoe)II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato f) Dipartimento e , per t per t (0 , 1). 1) . periodo 2 π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico periodo 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli tStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 , per 1 < t < 0; t2 + 3 t , per 3 < t < 0; di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x ( t ) = x ( t ) = π 2 g) h) cos t , per 0 < t < 1. 1 . 3 t 3 t , per 0 < t < 1. 1 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 periodo 2 e delle Scienze di Base Universit`a degli periodo 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Studi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 t 2 t2016-2017 , per 1 < t
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 18 II. Napoli SERIE E“Federico TRASFORMII” AZIO NE DIAccademico FOURIER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiVdi Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π π di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato 1, t 2016-2017 < cosdi t , Matematica t < 2di Base Universit`a degli 2 x ( t ) = x ( t ) = π π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π m) n) sin t , < t < π t , < t < π 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di 2Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 periodo 2 πStudi di Napoli “Federico II” Anno periodo 2π Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (t) = 2Accademico t t, 1 t < 3 Luigi Greco Dipartimento x(t) = t2 1 di , Matematica 2 < t < 2 < 2e Applicazioni “Renato di Napoli “Federicoo)II”xAnno 2016-2017 p) periodo 4 e delle Scienze di Base Universit`a degli periodo 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Studi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π 2 cos tdi Napoli , π < t < t , 0 < t < 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli1 Studi “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 2 x ( t ) = x ( t ) = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni ca e delle di 2Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di q) cazioni r)itecnica 2 t Scienze , 1 < t < 1 , π2 ioppoli” < t < 32” πScuol di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato periodo 2 π periodo 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t + 1 , 1 < t < 0 < 0 t Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento x(tAccademico ) = (1 t) ( e2016-2017 1) , 0 < t < 1 s) x(t) = t) t to, 0Cacc < t < 1 < 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Univer Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di periodo 1 periodo 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t ento di , 0 < t < 1 tica e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Matema Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle cos t , π < t < 0 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` degli1Studi ,di Napoli Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (ta) = x(tAccademico )= 1 < t < 2 “Federico II” v) 2 t , 0 < t < π u) xcazioni 1 π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 Universit` 3 t , 2 < t < 3 periodo π periodo π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato periodo 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t , 0 < t < 1 < 1Luigi Greco Dipartimento t2Studi , 0
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle II. Napoli SERIE E“Federico TRASFORMII” AZIO NE DIAccademico FOURIER 19 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiVdi Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 2 2 x ( t ) = t t , t ( 1 , 1) x( x ( t ) = ( π t )cos t , t ( π, π ) di Napoli “Federicog1II” ) Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco h1 )Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato periodo 2 e delle Scienze di Base Universit`a degli periodo 2π 2π di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Studi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π t 2 2016-2017 π Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico , t < , 2 4 π xcazioni (t) =ni(sgn t)sin t , t ioppoli” ( π, π x(t)ca = e delle di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ” )Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di π di 2Base Universit` i1 ) j1 ) cos t di Matematica , < t < πe Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”periodo Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2π 2π 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi periodo 2π 2π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a deglicos3 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t , < t < 0, 0 , t 2 ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica di(t Base Universit`a deg degli li Stu Studi di x0 (tca ) =e edelle sin tScienze [u [ u(t) u π )]Universit` (t) =ni “Rena xcazioni π ” Scuol ) x( l1 ) Dipartimento cos t , 0 < t< di Napoli “Federicok1II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato periodo π periodo π 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico periodo π periodo π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a deglit2Studi II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t di Napoli , 0 < “Federico t < 1, 1 , x( x (t)ca = te (1 + cos t) , t di( Base π, π ) Universit` x ( t ) = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 m1 ) n1itecnica ) 3 t t 2 , 1 < t < 2 periodo 2π 2 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato periodo 2 e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 62) Calcolare Calco lare [sin t sin3t sin3 t ]. F Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO VIII di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Svolgimenti complessi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Numeri e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato opposte. Chiaramen Chiaramente te 2 + j = 5. Se Ex. 3a Le due radici quadrate sono opposte. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli ϑ = arg( 2 + j + j)) `e una determinazione dell’argomento, dell’ argomento, abbiamo cos ϑ“Federico = 2/ 5,II” Anno Accademico 4 ϑ ϑ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle sin ϑ = 1/ 5 e 2 + j + j = = 5 cos 2 + j sin j sin 2 . Dobbiamo Dobbiamo quindi calcolare calcolare Scuola cos ϑ2 Politecnica √ √ Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi 1−2/ 5 1+2/ 1+2/ 5 ϑ ϑ e sin ϑ . Le formule form ule di bisezione bisezio ne danno cos = e sin = . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Univer Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 2 2 2 di Napoli “Federico II”valori AnnodiAccademico Luigi Greco Dai cos ϑ e sin ϑ2016-2017 vediamo che esiste una Dipartimento determinazionedi ϑMatematica tale che π che π//2e
e 0.Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento ento di2 Matema Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 34a Pol 3 itecnica 34 + 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 Caccioppoli 5 j = j = + j ca e delle Scienze . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scrivendo z = x + j + jy y in forma algebrica, l’equazione diventa y = mx e la Ex. 6 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento conclus conc lusion ione e `e“Rena ovvia ov via..to Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”8a Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Poich´ Poich ´e il modulo2016-2017 `e non-negativo, elevando al quadratodi(eMatematica lasciando inalEx. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico terato il verso della disuguaglianza) otteniamo una relazione equivalente. equivalente. Rappre-II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc Scuola Politecnica e delle sentando z = x + iy + iy in forma algebrica, tale relazione si scrive ( xioppoli” (x + 3)2 + y > Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2a degli Studi (x + 2)it` + (y 1)2 , ovvero x ovvero x + y“Federico > 2. Geometricamente, l’insieme delle soluzioni di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di `e il semipiano semipiano superiore dei due in cui il piano `e diviso dalla retta retta di equazione equazione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x + y + y = = 2. Il risultato si ottiene ottiene facilmente facilmente con un ragionament ragionamentoo di natura inteCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ramente ramente geometrica, geometrica, ricordando ricordando che il modulo ha significato significato di distanza. distanza. In effetti, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z + 3 rappresenta la distanza di z dal punto 3, mentre z + 2 i `e la distanz dis tanzaa Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento punto 2 + i +“Re i;; il inato l luogo deicioppol punti equidistanti dai due `e l’asse del segmento di Mat Matema ematic tica a e dal Applic App licazi azioni oni “Renat o Cac Caccio ppoli” i” Scuola Scu ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e diche Base Bas e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii li haerico per p er estremi, ovvero , la perpendicolare perpendi colare a taleGreco segmento segmen to nel punto punto to medio. `e tica e Appli Studi di Napoli “Federic “Fed o II” Annoovvero, Accademi Accademico co 2016-2 2016-2017 017 Luigi Dipartimen Dipar timento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 20 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−√ √ −
±√
| √ √ −
| −
±
±
−
−
√ √ − √ √ ±
− −
− −
−
√ √ − √ √ ± − −
−
|
|
−
−
|
−|
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I I. SVOL“Federico GIMENTI NU MEAnno RI COM PLESSI 21 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diVINapoli II” Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di chiaro che il Accademico semipiano dei2016-2017 due in cuiLuigi il piano `e diviso dall’asse, contenente contenen te 2 +ei `Applicazioni e di Napoli “Federico II” Anno Greco Dipartimento di Matematica “Renato formato dai punti perScienze i quali la distanza da questo `e minore distanza da 3,II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi della di Napoli “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento entol’insieme di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle dunque costituisce delletica soluzioni. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli − “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento + di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −3 tica e Appli Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x + y = −2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato Rappresentando z = x + x + iy iy in forma algebrica, troviamo Re z 2 = x 2 ye 2Applicazioni , Ex. 8e Rappresentando z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico quindi Re z 2 > 0 equivale a x > y . Alternativamente, Alternativamente, osserviamo osserviamo innanzitutto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle c h e ` e z = 0. Inoltre, se ϑ se ϑ ` ` e una determinazione determin azione dell’argomento dell’ argomento di z di z, , 2 ϑ ` e argo ar gome mento nto Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di z 2 cazioni e la ni condizione z 2 ioppoli” > 0 equivale aa Pol π/2 π/itecnica 2 < 2ca ϑ e delle 2kπ
−
−
| | | |
−
−
−
∈
=
=
−
− ∈ − − |
−| −
−
−
− ∈
−
−
−
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 22 I I. SVOL“Federico GIMENTI NU MEAnno RI COM PLESSI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diVINapoli II” Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di n m n m j 2kπ ` n E chiaro che w che w = z (w )Luigi = zGreco . Posto, come al solito, w solito, w k = w 0 e e Applicazioni , Ex. di Napoli “Federico II”13 Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica “Renato k =Politecnica 0, . . . , n 1, le potenze di di due radici distinteacoincidono solo se esistono h esistono h e eII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Scienze Base Universit` degli Studisedie Napoli “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica ticache n e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle k verificanti 0 ento k
−
≤
⇒ ≤ −
−
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO CAPIT OLO IX di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Svolgimenti Olomorfe 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica ticaFunzioni e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”15c Anno Accademico Luigi1)Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Log( 1) = log ∗ 2016-2017 1 + j Arg( j Arg( = 0 + π +Dipartimento π j = π j . Ex. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + j)) = log ∗ 2 + 43 πUniversit` j. Ex. 15d Log( 1 + j 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle log(exp(z log(exp( z )) = z + 2kπj 2 kπj : k . Z Ex. 15e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z Cacc z z| di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” uazion Scuola Scuol ae Pol Politecni dio Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di Poi Po i“Rena ch´ ch´e eto = eRe , l’equaz l’eq ione divien divitecnica ienee ca eReez delle = e|Scienze ; essend essendo questi questi Ex. 20b ni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato esponenziali nel campo reale, l’uguaglianza equivale all’uguaglianza tra gli esponenti Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Re z = z , cio`e z `e reale non negativo. 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica Ex. 20c Ricordando la definizione di sin z , riscriviamo l’equazione ejz e−jz = 2, Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ovvero ovvero moltiplicando moltipl icando ejz , e2jz”+Scuol 2 ez a Pol 1 =itecnica 0, che ee un’equazione di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to per Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Politecni ca ` delle Scienzedi di secondo Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di jz grado in w = e . Le soluzio solu zioni ni sono w = 1 2. In corrispondenz corris pondenza a di queste, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato troviamo z = e j log( jdelle log( Scienze 1 2), le due famiglie soluzioni Caccioppoli” Scuola Politecnica di quindi Base Universit` a deglidi Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z = j log ( 2 + 1) + j + j((π + 2kπ 2 kπ)) = π + π + 2kπ 2 kπ j log j log∗ ( 2 + 1) , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi∗ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z = kπ j log jto log 2 1) ;” Scuol k a ZPol . itecnica ∗ ( ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2“Rena “Renato Caccioppoli Cacc Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato descrivere l’immagine di x a degli w = exp(x exp( x + j + jmx mx). ). ConCon-II” Anno Accademico R Ex. 22 Dobbiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica Applicazio Appli “Renato “Rena to i Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle sideriamo prima il caso m = 0.tica Usando Usaendo le cazioni coordina coordni inate te polari polar ρ, ϑioppoli” , nel piano w , Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento l’immagine si rappresenta mediante l’equazione ρ = ρ = exp(ϑ/m exp(ϑ/m), ), ϑ ϑ R, quindi qui ndi `e una di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di spirale logaritmica. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z w di w =Base e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Im z = m Re z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Studi di Napoli “Federico Per m Per m = = 0,eabbiamo l’immagine l’immagi ne di x diUniversit` x R awdegli = exp(x exp( x), che `e il i l semiasse semiass e reale r ealeII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle positivo. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z Lo scopo sco po ` e rappresentare rap presentare e come somma di una serie di potenze in z 1; Ex. 26c di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii z −1 ricordando ricorerico dando sviluppo svilupAccademico po di MaccoLaurin dell’esponenz dell’es ponenziale, iale, scriviamo scriviam o ez to = di e eMatema = tica e Appli Studi di Napoli “Federic “Fed o II”lo Anno Accademi 2016-2017 2016-2 017 Luigi Greco Dipartimen Dipar timento Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 23 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− −
| − √ |
| |
{
−
∈ }
||
− −
−
− ∓ √ √ √
−
− √ − ∓
−
∈
−
−
√
∈ →
∈
∈ →
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 24 . SVOLG“Federico IMENTI FUN ZIOAnno NI OLO MORFE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diIXNapoli II” Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ∞ n e II” (z 1)Accademico /n!. /n!. Ovviam Ovviamen ente te lo sviluppo svilu si pu` o scrivere direttamente, direttame nte, poich´ e di Napoli “Federico 2016-2017 Luigippo Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 Anno n z [DPolitecnica e ]z=1 = e.e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento Matematica tica e Appli Applicazio ni a“Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Lo sviluppo svilup podisi Matema ottiene direttament direttam ente. e.cazioni D’altra D’altr parte, parte,topossiamo possiam o anche anche usare Ex. 26d Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento l’Ex. 26c nel modo seguente di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ∞ (zGreco ∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato nDipartimento n 1) (z 1) z z ez =e delle ez + (z (Scienze z 1) edi = e Universit`a degli + (z (z Studi 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Base ncazioni ! nioppoli” ! n =0Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica n e=0 Applicazio Appli ni “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ∞ ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 1 = e 1 + + Luigi Greco (z Dipartimento 1)n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato n! (n 1)! n=1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di ∞ Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n + 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico = e 1+ (z 1)n II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di n ! n=1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 27c Per la ento funzione 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli g“Federico (z ) = 2 II” Anno , Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z a 3Pol z +itecnica 2 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Luigi circolari Greco Dipartimento di 0: Matematica e Applicazioni “Renato olomorfa in Accademico 1, 2 , ci2016-2017 sono tre corone di centro z 0 = C Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle A = z ento : z di < 1Matema , B =ticaz e: Appli 1 < zcazioni < 2ni , “Rena C = =toz Cacc : zioppoli” > 2 . Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niC “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento B di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a1 degli2Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Essendo z Essendo z 2ni “Rena 3 z + 2to=Cacc (z (z ioppoli” 1) (z ”2)Scuol e a Pol di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Universit` 1a degli Studi 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base di Napoli “Federico II” Anno Accademico g (z ) = 2 = , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z tica 3 ze +Appli 2 1cazioni z ni “Rena 2 z to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sviluppi si ottengono da della funzione f ( f le(z )Sci =enze 1/(1 di Mat Matema ematic tica a e gli Applic App licazi azioni oni “Renat “Re nato o facilmente Caccio Cac cioppol ppoli” i” quelli Scuola Scu olanoti Polite Po litecni cnica ca e del delle Scienz e di z ), Base Bas e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii ottenut otteerico nutioi mediante media nte laAccademico serie gemetrica. gemetric a. In effetti, effett i, ilGreco primo Dipar addendo `e to esattamen esatt te tica e Appli Studi di Napoli “Federic “Fed II” Anno Accademi co 2016-2 2016-2017 017 Luigi Dipartimen timento di amente Matematica Matema Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
−
−
−
−
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−
−
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle . SVOLG“Federico IMENTI FUN ZIOAnno NI OLOAccademico MORFE 25 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diIXNapoli II” 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di f ( f (II” z ), mentre per il secondo abbiamoLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ +∞cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 tica zen Appli z n ni “Rena = , per z < 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 n=0 2n n=0 2n+1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1ni “Rena 1 to1 Cacc = = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 z 2 1 z/2 z/ 2 −Universit` −1 Studi 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli 1 zn z n di Napoli “Federico II” Anno Accademico = , per zioppoli” > 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 n=−∞ 2n 2n+1 n=−∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 n 1 z , per z < 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2n+1 “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n=0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1 +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base z n Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n z , per 1 < 1 < z ni < 2“Rena g ( z ) = n+1 e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 n=−∞ n=0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − − 1 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 12016-2017nLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 Base z = 1 z ndi, Napoli per z > 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico n +1 n +1 2 2 n=−∞ n=−∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di GliAccademico zeri del numeratore sonoLuigi sono z z = 0, di ordine 2, e z = z = k di π con k Z 0e Applicazioni , Ex. di Napoli “Federico II”28b Anno 2016-2017 Greco Dipartimento Matematica “Renato sempli sem plici. ci. Gli ezeri delScienze denomina denomdi inator toree Universit` sono sono z =a 2degli k π , Studi doppi. doppi.di Napoli Perta Pertant nto o z = 0 `eII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Base “Federico singolarit` a eliminabile, f (0) f (0)tica = 2,e iAppli punticazioni z =ni(2“Rena k + 1) sonoioppoli” zeri semplici, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di con Matematica Matema Applicazio “Renato toπ Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle mentre i punti z punti = 2 kdiπ Napoli con k =“Federico 0 sono poli Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli z Studi II”semplici. Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` degli li Stu Studi di Numeratore e denominatore sono funzioni intere (non identicamente nulle),Universit`a deg Ex. 28f Numeratore di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 quindi le singolarit`a del rapporto rapp orto sonoUniversit` tra gli zeria del denominatore. Poich´ Poich ´e e iπz II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli Studi di Napoli “Federico 1 = 0 equivale aento z 2 =di2k 2 kMatema , con k con k tica 0 e inipunti deltotipo 2ki e ki e Scuola 2k , Politecnica Z, troviamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartima z Dipartimento Matematica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle con . Il punto punt o 0 ` e zero zer o di ordine 2 del denomin deno minato atore re e zero zer o sempli sem plice ce del N k Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento numeratore, polo di ordine 1” del rapporto. Gli ca altri sono zeridisemplici di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni quindi “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica e punti delle Scienze Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di del denominatore e non annullano il numeratore, quindi sono anch’essi poli di ordine di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1. Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 2 tica e Appli funzione f ( ( z ) = z ( z 1)sin ha in z in z = 1 una singolarit` a essenziale, Ex. 29h La funzione f 0 − z 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 poich´ chcazioni ´e taleni`e z“Rena Inoltre z Inoltre” z 0Scuol ` e l’uni l’ unica ca sing sitecnica ingola olarit` rit`ea al finito. Una possibilit` a 0 per sin di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni ca delle Scienze di Base Universit` Univer sit`a deg degli li Stu Studi di z −1 . ioppoli” per calcolare il residuo ` e quella di scrivere lo sviluppo di Laurent, essendo R [1] = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato c−1Politecnica [1]. Ricordando loScienze sviluppodidi MacUniversit` Laurin del seno,Studi abbiamo subito“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Base a degli di Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ II” Anno Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n 1 ( 1) − 2n ( z 1)sin = ( z 1) . di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii z 2016-2017 1 n=0 (2n (2n + 1)! Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
− −
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− − − −
| |
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∈ −{ }
∓√
∈
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−
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− √ ∓
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 26 . SVOLG“Federico IMENTI FUN ZIOAnno NI OLO MORFE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diIXNapoli II” Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 2 Poich´ PoiII” ch´eAnno inol in oltre tre z = [( [ (z 2016-2017 1)+1] = (z (Luigi z 1)Greco + 2(z 2(zDipartimento 1) + 1, mo moltiplic ltiplicando ando abbiamo abbiamo di Napoli “Federico Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ +∞ n n ( 1) ( 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Scuola Politecnica Politecnica e delle +2 2n+1 f ( f (z ) = (z tica 1)−e2nAppli +cazioni 2 ni “Rena (z Caccioppoli” 1)−ioppoli” Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi(2n din + Napoli “Federico II” Anno(2n Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (2 1)! (2 n + 1)! n=0 n=0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ ( 1)n − 2n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + (z 1) . (2n (2n +Studi 1)! di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli n=0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Ciascuno degli Studi sviluppi a secondo membroII” converge z C 1 2016-2017 ; `e chiaro Luigi che il Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli di Napoli “Federico Anno Accademico primocazioni e il ni terzo nontocontribuiscono residuo, pitecnica oich´ e ca contengono solo potenze conUniversit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato “Rena Caccioppoli Cacc ioppoli” ”alScuol Scuola a Pol Politecni e delle Scienze di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di − 1 esponente Pertanto,2016-2017 considerando il termine in ( z 1) neldisecondo sviluppo di Napoli “Federico II” Annopari. Accademico Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato (che si ottiene eper n = n = 1), concludiamo R concludiamo R[1] [1] = a 1degli /3. Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` Un’alt ra possibilit` possibil it` a Matema per il calcolo calco residuo resid uo `eniquella ditoosserva osser vare re che RScuola [1] + Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi GrecoUn’altra Dipartim Dipartimento ento di Matematica ticaloe del Applicazio Appli cazioni “Renato “Rena Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle R[ ] it` =a0degli per ilStudi teorema dei residui, quindiII” R[1] R [1] = R [ ]. Per calcolare R calcolare R[[ Luigi ] non Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 possiamo procedere direttamente mediante i lPol lemma V.1.3 delle Scienze Lezioni, di poich´ e Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola ail Politecni itecnica ca e delle Base Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco 1Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di(zBase lim f ( f ) = Universit` lim lim z 2 1az−degli = Studi . di Napoli “Federico II” Anno Accademico z →∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica ze→∞ Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z −1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che la funzione intera di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni invece “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 2Luigi2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 g (z ) = z = z (z 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ha evidentemente residuo nullo“Federico all’ . Pertan Per tanto, to, R[Accademico ; f ] f ] = R[ 2016-2017 ; f g ]. Poich´ Poi ch´e Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli II” Anno Luigi inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi1Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 z (z 1) 1 lim [f ( f (z ) g (ze)]delle = lim liScienze m z 2 (z di Base 1) sin = lim = Caccioppoli” Scuola Politecnica Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 3 z →∞ z →∞ z 1 z 1 6 z→∞ (z 1) 6II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 Pol R[ ; Accademico f ] f ] = R[ R[ ; f 2016-2017 g ] = lim limLuigi z f ( f (zDipartimento ) + g + g((z ) di Napoli “Federico II” Anno Greco di Matematica e Applicazioni “Renato z →∞ 6 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 1 1 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim= ento Matematica Applicazio Appli cazioni nisin“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle limdiz Matema + z + ztica (z e 1) z →∞ 6 z 1 z 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 z 2”(zScuol 1) a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Politecni itecnica ca ze delle di2 Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = lim z + = lim z 2Scienze (z 1) 3 2 →∞ →∞ z z 6 6(z 6( z 1) 6(z 6( z 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e ritroviamo il risultato precedente. 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Z Ex. 30 Supponiamo per esempio f f funzione dispari e n pari pa ri. . In base bas e alla Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento definizione, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni nirisulta “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 f ( f (z ) Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco c = Universit` dz , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dinBase 2π i Γ z n+1a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle essendoaΓdegli una circonferenza di centro 0 contenuta (internamente) nella corona cirScienze Scien ze di Base Universit` Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento colar e, percorsa percor in nato verso veroso Cac antiorari antiorario. o. i”Calcoliamo Calcol iamoPo l’integrale l’integ rale rappresenrappresen - e Uni di Mat Matema ematic tica a e colare, Applic App licazi azioni onisa“Re “Renat Caccio cioppol ppoli” Scuola Scu ola Polite litecni cnica ca usando e del delle le due Scienz Sci enze e di Bas Base Unive versi rsit` t`a de degl glii it tazioni tazio ni oparametric paramet riche heAccademico di Γ. Poniamo Pon inizialmen inizial mente teGreco z (t) =Dipar ρ e timento , contot di [0, [0 , 2π], tica e Appli Studi di Napoli “Federic “Fed erico II” Anno Accademi co iamo 2016-2017 2016-2 017 Luigi Dipartimen Matematica Matema Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− −
−
−
− −
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−
∀ ∈ \ { } −
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∞
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− ∞
∞
∞
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∞
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∞ − − − −
− ∞
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− − − − − − − − − −
− −
−
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∈
∈
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle . SVOLG“Federico IMENTI FUN ZIOAnno NI OLOAccademico MORFE 27 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diIXNapoli II” 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di essendo ρ ilAccademico raggio raggio di Γ. 2016-2017 Notiam Notiamoo che ch e il verso vers o di percorren percorrenza za indotto indot to su Γ dalla dalela di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato rappresentazione rapprese ntazione `e quello quel lo antiorario, a ntiorario, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base quindi Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica2πe Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1“Federico f ( f (ρII” e i tAnno ) it Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di cNapoli Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ρ i e dt . n = i t )n+1 2 π i ( ρ e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ”0 Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato it Usiamo ora invec i nvece e la rappresentazione rappresentazion z (t) = ρa edegli , con t conStudi t [0, [0di , 2Napoli π]; anche in questoII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Basee z( Universit` “Federico caso il verso di percorrenza indotto su Γ ` e quello antiorario. Usando la simmetria si mmetria 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle di f di f ed edit`aosservando che nNapoli + 1 `e dispari, dispari , troviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers degli Studi di n + “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca2πe delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2π to Cacc it 1Accademico f ( f ( ρ2016-2017 e i t ) 1 f (ρ edi )Matematica i t Greco Dipartimento it di Napoli “Federico II”cnAnno Luigi e Applicazioni “Renato = ( ρ i e ) dt = dt = ρ i e dt . 2π i e0delle ( Scienze ρ e i t )n+1 π i 0Studi (ρ edii tNapoli )n+1 “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit`a2degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Confrontando con l’espressione trovata precedentemente, vediamo che cn = cn , Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento cio`e c n = 0, come volevamo. di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Alternativamente, possiamo ragionare come segue. Ovviamente di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze + di∞Base Universit` a∞ degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimentof ( di Matematica Matema tica e Applicazio Appli ni( “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle f ( z ) = cn ( z ) = 1)n cnto z nCacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno n=−∞ n=−∞ Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ n n e quindi, se f ` f ` e disp di spari ari, , f ( z ) = ( 1) c z . Ricordando Ricor dando l’unicit` l’u nicit` a dello di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato n n=−∞Greco Dipartimento Z pari. sviluppo di Laurent, nuovamente c n =a degli cn per n per n di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delletroviamo Scienze di Base Universit` Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi GrecoSia Dipartim Dipartimento Matematica tica ediAppli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle r < z ento z 0 di
−
−
−
−
∈
−
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−
| − | | | |− − | − ∈
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−
−
∈
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 28 . SVOLG“Federico IMENTI FUN ZIOAnno NI OLO MORFE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diIXNapoli II” Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di `e hermitiana, osserviamo2016-2017 che, essendo funzione intera, f f risulta somma del suo di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sviluppo svilup po di MacMac-Lauri Laurin, n, che ha coefficienti coefficie nti reali:a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞Matema n “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a deglif ( Studi di Napoli f (z ) = an z , z C ; dove a n R , n N0 . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato ton=0 Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato La conclusione conclus ione `e immediata immediat a Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ +∞ +∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e n Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n f (¯ f (¯ z ) = a ¯ z = a ¯ z = an z nAccademico = f ( f (z ) , z 2016-2017 C. n n Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento =0 itecnica n n=0” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to=0Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a nPol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Usando l’Ex. 33, possiamo mostrareLuigi che una funzione intera f ` f di `e Matematica hermitiana hermitia na see Applicazioni e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento “Renato solo se `e reale sull’asse reale. di Infatti Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle h(z ) = f ( f (z ) f ( f (z ) , z C, Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento `e intera intera e ni nulla null a sull’asse sull’as se reale, reale , quindi perailPol principio princi piocadie identit` iden tit` a `e identic ide nticamente di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica delle Scienze di amente Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato nulla nulII” la,, Anno cio` ci o`e f ( (z ) = f ( f Accademico f (z ), 2016-2017 z C. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base II” Anno Accademico f (w) = Universit` Log(1 wa)degli `e olomorf oloStudi morfaa di per peNapoli r w < “Federico 1 e Ex. 34 Basta osservare che f ( 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ 1 II” AnnonAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico f (w) = = w ca . e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 wa Pol =0 n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Suggerimento: scritta f ( f (x, y) = ξ (x, y) + jη j η (x, y) in forma algebrica, la Ex. Ex. 38 Suggerimento: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle funzion funz ionee comp c ompost ostaa `e v (x, y) = u( u (ξ (x, y), η(x, y)); calcolare ∆v ∆v = v xx + v + vyy usando Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento la regola diniderivazione delleioppoli” funzioni composte, ricordando che ξ e η verificano le di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di relazioni di Cauchy-Riemann e sono Luigi funzioni armoniche. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sono singolarit` a eliminabili elimin abili perch´ e ciascuno ciascun d i Napoli essi `e zero semplice sempli ceII” Anno Accademico Ex. 39 I tre punti Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studio di “Federico per il Dipartimento numerato numeratore re e ildidenominato denom inatore. re. eIndichiamo Indic hiamo ancora ancor a conto f f Cacc il prolungamento e Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento Matematica Matema tica Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento calcoliamo f calcoliamo f (1). Evidentemente Evidentemente f f (1) = limz→1 f (z ), ma il calcolo diretto risulta `“Rena di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niE “Renato Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica cache e delle Scienze Baseun Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di laborioso. anche anchetochiar chCacc iaroo ioppoli” che, che, se” gScuol `e una funzione differisce da di f f per di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato infinitesimo di ordine maggiore di 1 per z 1, gli sviluppi di Taylor intorno a Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi Napoli 1 di f e g possono differire per i termini di grado 2 in poi, di quindi nel“Federico calcolo f II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle 3Cacc pu` o essere sostituita con g . Ricordando Ricordando che che w sin w = O(w ) per w 0 eScuola che Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sin πz = πz =asin π (1 z), possiamo sostituire f sostituire f con di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π (1 z ) π π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato g (z ) = = = . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzezdi a )degliz Studi (1Base z 2 )Universit` z (1 + z + z) + z + z 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento punto di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Il calcolo `e a questo immediato i mmediato Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 +Politecni 2z 2 z itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc Scuola ca e 3delle Universit`a deg degli li Stu Studi di f (1) = g =ioppoli” g (1) =” Scuol π a Pol = π . Scienze di Base Universit` 2 )2 ( z + z + z 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z =1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli Essendo f Essendo f pari pari e quindi f dispari, risulta f risulta f ( 1) = f (1) = 3π/ 3π/4. 4. In “Federico 0 il calcoloII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle `e immediato: immediat o: essendo f Matematica dispari,tica risulta f risulta f (0)cazioni = 0. ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = g . Scelto z Siano f Siano f e g olomorfe nell’aperto nell’apert o Ω connesso, conne sso, con f = g Scelto z Ω, la Ex. 40 0 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii funzione h funzione = f = f g Accademico [f ( f (z0 ) co g (z02016-2 )] ha in z in z 0 Luigi uno zero di ordine infinito. Studi di Napoli “Federic “Fed erico o hII” Anno Accademi 2016-2017 017 Greco Dipartimen Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
∀ ∈
∈
∀ ∈
−
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∀ ∈
−
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−
−
| |
→
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−
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− − −
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−
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle . SVOLG“Federico IMENTI FUN ZIOAnno NI OLOAccademico MORFE 29 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diIXNapoli II” 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Poi Po ich´ ch ´e f `e evidentemente evidentemen te dotata di primitive, il i l suo integrale esteso eadApplicazioni “Renato Ex. di Napoli “Federico II”41 Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica una qualsiasi curva `e nullo, quindi l’annullarsi R f [zdi0 ]Napoli segue subito dallaII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellechiusa Scienze di Base Universit` a deglidi Studi “Federico `Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di E Matematica Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle definizione di residuo. chiaro tica che ile ragionamento precedente mostra che,Scuola se f Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento `e dotata di primitive, ha residuo nullo. Mostriamo ora il viceversa, supponendo f di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ninullo R “Renato “Rena Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di con residuo nullo R to f [z0 ] = 0. Dunque, nello sviluppo di Laurent manca il termine di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato in 1/(z z0 ): Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f ( f (z )tica = e Appli cn (z (zcazioni z0ni )n .“Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n =−1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ogni cazioni termine in questa serieioppoli” `e dotato di primitiva nell’intorno e, di potendosi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e dellebucato Scienze Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di la II” serie integrare termine2016-2017 a termine, Luigi questoGreco vale anche per f . f . di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico Anno Accademico Dipartimento Riguardo aie delle residui, in entrambi casi 0 `e polo p olo di ordine edNapoli il calcolo diretto `eII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Basei Universit` a degli Studi3 di “Federico laborioso. labo rioso. Per quanto qua ntodiprecede, pre cede, iltica primo residuo `e nullo, null poich´ lCacc a funzione fu nzione `e dotata dot ata Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento Matematica Matema e Appli Applicazio cazioni ni o, “Renato “Rena toe la Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle di primitiva intorno 0:Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studiadi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di sin z” Scuol d Pol 1 ca e delle Scienze di Base Universit` = . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (1 cos z )2 d z cos z 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 Il secondo residuo si riconduce facilmente al primo. Inve ro, poich´ e sinioppoli” z (z zScuola /6) Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niInvero, “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle `e infinitesima 0 di ordine 5, la“Federico differenzaII” traAnno le dueAccademico funzioni 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degliinStudi di Napoli 3 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di sin z z z /6 , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (1 cos z )2 (1 cos z )2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ha in 0Dipartimento una singolarit` a eliminabile, esse hanno lo stesso residuo. Ne segue 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matematica Matema ticaquindi e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z z /6 R 0 , = R 0 , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 (1 cos”z )Scuol (1 ca cosezdelle )2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e quest’ultimo e delle relativo ad undipolo quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e` Scienze Basesemplice, Universit` a degliinfine Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 3 Appli 2 Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Matema tica e Applicazio cazioni ni “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle 1 4 2 Scuola Politecnica z z /6 zto Rit`a0 degli , = lim z = lim = = . Scienze Scien ze di Base Universit` Univers Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z →0 (1 (1 cos z )2 cos z )2 6 z →0 1 cos z 6 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO X di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Svolgimenti Polinomi ecazioni funzioni razionali 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”42j Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato Il problem pro blemaa `e che2016-2017 j sono j sono poli doppi. Possiamo ottenere di la Matematica decomposizione Ex. 2 2 Caccioppoli” Scuola Scienze come di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico in Politecnica numeratore segue 1 = 1 + s +a sdegli sStudi R scrivendoeildelle 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 1 + s + s2 s2 1 s Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = “Federico = 2 + 1)2 2 + 1) 2 + 1)2 s (sto s (s2”+Scuol 1)2 a Pol s (sitecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Politecni ca e(sdelle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e ripetendo ripeten do poi l’osserv l’osse rvazion azione e per il primo addendo nell’ultimo nell’ult imo membro. membro . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Alternativamente, Alternativaemente, scriviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1tica e Appli 1 ni “Rena = s Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2“Federico II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 s (s + 1)2 s2 (Anno s2 + 1)Accademico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 2 Posto t Posto t = s = s , l’ultimo l’ultim o fattore fatt ore diviene che si decompone facilmente: 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t (t+1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 R[0] R[ R [ 1] c −2 [ 1] 1 1 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = + tica e+ Appli =ni “Rena 2 2 t (t +Studi 1) di Napoli t t“Federico + 1 (t + t + 1 (t2016-2017 + 1)2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli II”1)Annot Accademico Luigi Greco Dipartimento Tornando alla“Rena variabile s variabile s abbiamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 12016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 Dipartimento 1 = s Caccioppoli” Scuola Politecnica e delles Scienze 2 (s2 + 1)2di BasesUniversit` s2 + 1a degli (s2 Studi + 1)2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 42k Analogo all’Ex. 42j; Invece di ripeterne i calcoli, ci riduciamo ad esso: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = 5 2 2 )2 2 s (s2 +di ωBase ω s Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` asdegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ω cazioni ω ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 30 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
∓
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO CAPIT OLO XI di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Svolgimenti -Trasformazione -Trasformazione 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”45a Anno Accademico Osserviamo che 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. Caccioppoli” Scuola di II” Anno Accademico n2Politecnica + 3n 3n n2 e+delle 3n 3n +Scienze 2 2 Base Universit` (n + 1) 1) (na +degli 2) Studi2 di Napoli 1 “Federico 2 = = ioppoli” Scuola . Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica=e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle (n + 2)! (n + 2)! (n + 2)! (n + 2)! (n + 2)! n! (n + 2)! Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto, in base alla di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to definizione, Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 +∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3delle 1 n2 +e3n n 1/z di Base Universit` /z Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze a degli II” Anno Accademico = e 2 = e1/z Studi 2z 2 di e1Napoli 1 “Federico 1/z u (n + 2)! + 2)! 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica ticaz ne (n Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n=0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = Cacc e1/z (1 2z 2”) Scuol + 2z 2 z 2a+Pol 2z 2z itecnica . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 . Osserviamo Calcoliamo la che cazioni risulta Ex. 46a u 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Napoli “Federico 3 2 II” Anno Accademico 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (z 1) (z + 1) z z z + 1 z + z 9 = = 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di z 3 Cacc 8 ioppoli” z 3 a 8Pol z 3 8Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi 1 1 a degli 5z + 16 di Napoli “Federico II” Anno Accademico =tica 1 +e Appli . ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni2 “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle 4 z 2 z + 2z 2z +to 4 Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1(1) = δ −1 1 = −1 1 z = δ , Scienze = 2 n−1 u(n 1) , u di Base Universit` u Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle az degli z 2 z 2Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi “Federico II” 16/ 16 /5 di Napoli z + 1 + 11/ 11Anno /5 Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 niz + −1 1 z” z + = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di u u 2 + 2z 2 + 2z z 2 z + 4 z z 2 z + 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 11 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle Politecnica = 2n−1 tica cos(n cos(n 1) πcazioni + ni “Rena sin(n sin(n to 1) π ioppoli” u(n 1)Scuola . 3 3 5 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di In definitiva di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 (z + Scienze 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 (z 1)e delle u 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z ento 8 di Matema Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 5 2 11 2 n−1 1 = δ + + 2 cos(n cos( n 1) π sin(n sin( n 1) π u ( n 1) . di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 4 4 3 3 4 3 Dipartimen Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 31 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Z
−
Z
−
−
−
−
− −
−
Z
−
− − −
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Z
−
−
−
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− √
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− −
Z − Z − Z − √
Z
Z
−
−
−
−
−
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 32 I. SVOLG“Federico IMENTI Z -TRASFORMAZIONE -TRASFORMAZIONE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diXNapoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ` Presentiamo ora un approccio diverso. E facile ricondursi alla formula per la uedi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato successioni periodiche: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni9 “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 2 z z z 2di Napoli “Federico 3 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli(zStudi II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1) (z + 1) z z z + 1 1 8 = = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola Politecni itecnica caz 3e delle di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z 3to Cacc 8 ioppoli” z 3 a8 Pol 8 Scienze 8 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base di Napoli “Federico II” Anno Accademico 9 zUniversit` 1 za degli 1 Studi z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 8 2 2 2 4 2 . 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli=“Federico zII”3 Anno Accademico 8 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ricordando la formula di riscalamento, vediamo in questo modo che l’antitrasforCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico mata mat a cercat cer cataa `e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e 9Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 1cazioni 1ni “Rena n δ + + 2 , , , . . . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 8 8 2 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di dove l’espressione in parentesi graffe indica la successione periodica di periodo 3 i di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cuiPolitecnica primi tre termini quelli specificati. Caccioppoli” Scuola e delle sono Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Confrontare l’Ex. 46b; Ex. 46c 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento dicon Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2“Federico II” Z Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 z sin 3 π 1 2 1 2 2 u di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni=“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di u(n Scienze 1) sin(n sin(ndi Base 1) π .Universit` 2 2 2 z + z + z + 1 z 3 z 2 z cos π + π + 1 3 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 3 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ` possibile anche scrivere E 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica1 e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z 1ni “Rena = Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z 2 + z + z + 1 z3 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ed usare laniformula perCaccioppoli la trasformata dellea successioni periodiche. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. 46g Risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica Applicazio ni 1“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z 2 ento di Matema z 2 2z + 2 +e2z 2 zAppli 2 cazioni 2zioppoli” 2 = =Anno + 2 2016-20172 Luigi Greco Dipartimento 2 2 2 2 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers(it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Accademico z 2z + 2) (z 2z + 2) z 2z + 2 (z 2z + 2) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 d 1 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = Scienze di Base Universit` 2 2 z 2z + 2 dz z 2azdegli + 2 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Poich´ Poi ch´e inol in oltre tre Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z π −1 n/2 n/2 = 2 sin n , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di u ioppoli” z 2 2z + 2 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato usando usando successiv successivamen amente te la formula formula della traslazion traslazionee e la formula formula fondamen fondamentale, tale, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico abbiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 1 z π Scienze Scien ze di Base Universit` Univers−it` II” Anno Accademico 1 a degli Studi di Napoli 1)/ 1)/2 = u−1 “Federico = 2 (n− u(n 1)2016-2017 sin(n sin(n 1)Luigi Greco Dipartimento u 2 “Rena di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di zni 2z + 2to Cacc z z”2 Scuol 2z +a 2Pol 4 Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 d a degli 1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica −1 d e delle1Scienze=di Base −1 Universit` z u u 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e zAppli Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle dz zento 2di z +Matema 2 dzcazioni z ni2z“Rena + 2 to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π Sci di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Polite litecni cnica ca e del delle le Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 2) /2 Po = (n 1) 2(n−2)/ u(n 2) sin(n sin(n 2) . Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 4 to di Matema “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Z
−
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle SVOLGIMENTI RAS FORMAccademico AZIONE 33 Greco Dipartimento Z -TII” Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diXI. Napoli “Federico Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Osservando che di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π π π π π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` II” Anno Accademico 1/2 2 sin(n sin(n 1) = sindi sin(n sin(nStudi 2) di=Napoli cos n“Federico n Basecos n , a degli , 4tica e Appli 4 cazioni 4 Cacc 4 Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di4 Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento possiamo scrivere in definitiva di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to2 Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z π −1Accademico (n− 1)/ 1)/2 Greco Dipartimento di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato = 2 u ( n 1) sin(n sin( n 1) u 2 2zScienze + 2) 2 di Base Universit`a degli Studi di 4 Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica(ez delle π (n−2)/ 2)/2 + e(n (nAppli 1) 2cazioni (n 2) sin( n ioppoli” 2) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio ni u “Renato “Rena to sin(n Caccioppoli” Cacc Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 π π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2)/2 = 2 (n−2)/ u(n 2) sin n 2cos n . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e4delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di 4 di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. 46h Una volta Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellescritto Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica Applicazio cazioni “Renato tod Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z 1 z e 1Appli 1 ni “Rena 1 = (z ( z + 1) = (z ( z + 1) 2 Anno Scienze Scien ze di Base Universit` Univers Studi di Napoli “Federico II” 2 a degli 2 (zit` 2z + 2) 2 Accademico dz (2016-2017 z 1)2 + 1 Luigi Greco Dipartimento (z 1)2 + 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 d 1 d 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico =Scienze z di Base Universit` , 2 dz tica (z e 1)Appli + 1cazioni dzni (z“Rena 1)2to+ Cacc 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di2 Matema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` asono degli Studi dia Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento i calcoli analoghi quelli dell’esercizio 46g. di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di ca Hermite Ex. 46i Osserviamo che, usando anche la formula di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z (z 1) e delle Scienze z (z +di 1)Base Universit` 2z a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica = 2 2 2 2 2 (z Dipartimento + 2z 2z + 4)ento di (z Matema + 2z 2z + 4) + 2z 2cazioni z + 4)ni2 “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica tica e(zAppli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z d ioppoli” 1” Scuol 1ca e delle d Scienze z +di1 Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a zPol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di = + 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi 2 2016-2017 dz z + 2z 2z + 4 Greco 3 (zDipartimento + 1) + 3 dzdi (Matematica z + 1) 2 + 3 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z/3 z/ 3 tica z ed Appli 2cazioni z + 5ni “Rena = di . 2 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z + 2z 2z + 4 6 dz z + 2z 2z + 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Inoltre di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 z Universit` 3/2 2 2“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnicaze delle= Scienze di Base a degli di nNapoli = Studi u 2 sin n π 2 2 2 z + 2z 2zento + 4 di Matema 2tica2(e 1Appli /2) z + 2 ni “Rena 3 3 z 3 to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Annodella Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto, usando la formula fondamentale e quella traslazione di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z ( z 1) 2 2 2 2 − 1 n n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Matematica e Applicazioni “Renato = Luigi 2Greco sin nDipartimento π + n + n 2 disin n π u z 2 + 2z 2Scienze z + 4) 2di Base3Universit` 3 3 3 3di Napoli3“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e(delle a degli Studi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 5 2 2 − n 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Luigi Greco Dipartimento n u(Anno n 1)Accademico 2 sin(n sin(n 2016-2017 1) π . 6 3 a Pol 3 di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il prodotto a denominatore, Ex. 46j Effettuando Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2tica z +e z Appli 2z 2ni + z“Rena = Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (z 2 1)(z 1)(z 2 + 1) z4 1 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii e basta la trasformata una successione periodica. Studi di Napoli “Federic “Fed erico oricordare II” Anno Accademicodi2016-2 Accademico 2016-2017 017 Luigi Greco Dipartimen Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 34 I. SVOLG“Federico IMENTI Z -TRASFORMAZIONE -TRASFORMAZIONE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diXNapoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Decomponiamo in fratti semplici: Ex. di Napoli “Federico II”46k Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 1 1 1 Universit`1a degli Studi 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico + cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di = Matematica Matema tica e Appli Applicazio ni + “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z3 + 1 3 z/z 0 1 z/z 1 1 z/z 2 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +2kπ 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio nij π“Rena “Renato to =Cacc Caccioppoli Scuola a Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 dove z dove zcazioni , k 0, 1,ioppoli” 2, sono” leScuol 1. Pol Pertanto k = e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 di Base Universit` 1 n 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle−Scienze di.Napoli “Federico II” Anno Accademico = (z ( z0 + z1na+degli z2n ) uStudi (n 1) u 3 z + 1 tica e3 Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento A scopo illustrativo, proponiamo altre soluzioni per l’inversione della trasfordi Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di matacazioni unilatera. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A) Essendo Essendo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 ento 1 diζ Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = = [( [( 1)n−1 u(n 1)](ζ 1)](ζ ) = 0, 1, 1, 1, 1, . . . , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ζ + + 1 Studi ζ ζ di + + Napoli 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ponendo ζ ponendo ζ = z 3 , abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n/3 n/3−1Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 Scienze ( di 1)Base u(n/3 n/3 1) , per n per n divisibile per 3 −1 ento = 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle u 3 z +1 0, altrimenti Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , . . . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica (cfr. Ex 52.) e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi GrecoB)Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Essendo Essendoento di Matema Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 1 1 ζ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a=Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = 3 3 z +2016-2017 1 ( z )Luigi1 Grecoζ Dipartimento ζ 3 1 ζ =−z di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base diormata Napoli “Federico ricordando ricor dando le formule form uleScienze di riscalamen riscaldi amento, to,Universit` traslazione traslazionaedegli e perStudi la trasformat trasf a unilatera unilat era diII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle una successione periodica, troviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 −1 ni “Rena n di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli Scuola Scuol Politecni can+1 e delle Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di = Cacc ( 1)ioppoli” a(n ” 1) u(na Pol 1) itecnica = ( 1) a(n Scienze 1) u(n di1)Base , u 3 +1 di Napoli “Federico II” Anno zAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli di a(1) Napoli dove a dove a((n) `e la succession suc cessione e periodic peri odica a di Universit` perio p eriodo do 3 tale tal e che a cheStudi a(0) (0) = a = (1) = 0“Federico e a e a(2) (2) = 1.II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi GrecoAlternativamente, Dipartimento di possiamo Dipartimento Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle scrivere Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 1 to Cacc 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni−1“Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di − 1 z ” Scuol = =a b( b (Pol n) itecnica u(n) cab(en delle 3) uScienze (n 3) ,di Base Universit` u u 3 6 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z + 1 2016-2017 z Luigi 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico essendo b(n) la successione periodica di periodo 6 con b(3) = 1 e b(0) = b(1) = 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle b (2) = b = b(4) (4) = b = b(5) (5) = 0. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per confrontare i risultati notiamo che (cfr.Scienze Ex 13), di essendo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato tocon Caccioppoli Cacc ioppoli” ”precedenti, Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e ndelle Base 3Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di n n numero primo, se n se n non ` e divisibile per 3 le potenze z potenze z , z e z sono a due a due 0 1 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato distinte e quindi hanno somma Se n ` Se n e divisibi di visibile le per pStudi er 3, 3 , di risulta ri sulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di nulla. Base Universit` a degli Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 ,cazioni n/3 n/3nidispari n n “Federico n Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di zNapoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento + z + z = 0 1 2 3 , n/3 n/ 3 pari di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
Z
− √ − −
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle SVOLGIMENTI RAS FORMAccademico AZIONE 35 Greco Dipartimento Z -TII” Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diXI. Napoli “Federico Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di La Accademico -trasfor mata del primo membro dell ’equazione one `e di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. di Napoli “Federico II”47a Anno 2016-2017 Luigi Grecodell’equazi Dipartimento u -trasformata Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (z 2 + z + z + 1) Y 2z 2 + 3z 3 z 2z . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per trasformare il secondo membro, osserviamo che cos nπ/2 nπ/2 vale 1 per n per n pari e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 0 per n percazioni n dispari, quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4 nπ/2 nπ/ 2 = z 2 /a(degli z 2 1) . u cos Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Pertanto Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2z 2 z 3 z2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Y =to 2Cacc + ” Scuol 2 z +2016-2017 z + z + 1 (zLuigi 1)Greco (z 2 + z + zDipartimento + 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2z 1tica e 3Appli /2 cazioni 1/2ni “Rena 2z + 1Caccioppoli” 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica “Renato to Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = z + Applicazio + 2 2 z + z + z + 1 z + 1 z 1 z + z + z + 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 z/2 z/ 2 z/2 z/ 2 2 z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = + + 1 di 1 Universit` z Base z 2 + z + z + 1a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle zScienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e antitrasformando Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 3“Federico 1II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 4 2π n y (n)ioppoli” = ( ”1)Scuol + a +Pol sinca n e .delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 3 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Trasformando ambo i membri dell’equazione, abbiamo Ex. 47b 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi2di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2z (Y 1) + 3z 3z (Y 1) 2Y = z/ z / 2(z 2(z 2) , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ovvero, “mettendo da parte” un fattore z e decomponendo in fratti semplici Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze2 di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2z + 3z 3tica z e Appli 1 cazioni z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Y = +Applicazio (2Napoli z 1)(z 1)(“Federico z + 2) 2 II” (2z (2zAnno 1)(z 1)(zAccademico + 2)(z 2)(z 2) 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di(2z di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 22 9 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = z + + . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli 15(2z 15(2diz Base 1) Universit` 40(z 40(z + 2) 24(z 24(Studi z 2)di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Concludiamo antitrasformando Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 11 to 2z Cacc 9 z ” Scuol 1 a Pol z itecnica 11 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca e delle 9Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di y (n) = u−1 + + = 2 −n + ( 2)n + 2 n . di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica 15 2z 1 2016-2017 40 z + 2 Luigi 24 Greco 15 40 24 e Applicazioni “Renato z 2 Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Politecnica e delle e Y Caccioppoli” (z 2 ioppoli” 2z + 4)Scuola z . Politecnica Ex. 47c La trasformata del primo membro dell’equazione ` Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per trasformare il secondo membro, usiamo la formula di riscalamento: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π 1 π 1 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n−1 n cos n (z ) = (z ) = z/2 z/ 2 . u 2 u 2 cos n u cos n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 3 Scienze di2 Base Universit` “Federico II” Anno Accademico 3 a degli2Studi di Napoli 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Ricordando cheento di Matema Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento zi” Scu cos ola π/3 π/3 Po /2le Sci di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o πCac Caccio Scuola Polite litecni cnica caz e 1del delle enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = cioppol z ppoli” = z , Scienz u cos n 3 z 2 2016-2 2(cos π/3) π/3) z + 1Grecoz 2Dipar z + 1 to di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi co 2016-2017 017 Luigi Dipartimen timento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Z
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Z − −
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 36 I. SVOLG“Federico IMENTI Z -TRASFORMAZIONE -TRASFORMAZIONE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diXNapoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di possiamo completare la trasformazione: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzendi Universit` π z a zdegli1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1Base 2 cos n = . u 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e3 Appli Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2cazioni z 2 ni2z“Rena + 4 to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ricaviamo dunque di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z Luigi zGreco zDipartimento 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato Y = 2 + . z di Base 2z + Universit` 4 2 (z 2 a degli 2z +Studi 4) 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e antitrasformare. Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Per completare la risoluzione, bisogna Il primo termine a secondo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento membro `e semplice semplic e da trattare: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z 1 z/2 z/ 2 1 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1 = u−1 = 2n sin n . u 2 a degli Studi Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base2Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico ze2 delle 2z + 4 3 3 z/2 z/ 2 z/2 z/ 2 + 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Per il secondo termine, usiamo la formula fondamentale e la formula della traslaScienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento zione:cazioni di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z z 1 1 d 1 di Napoli “Federico II” Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1Anno Accademico 2016-2017 −Luigi 1 = z u u Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica di4 Base Studi 2 (z 2 e delle 2z + Scienze 4) 2 dz za2 degli 2z + 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napolin“Federico Accademico 2016-2017 Luigi z n n− π Greco Dipartimento −1 1 II” Anno 1 = =e delle2Scienze sin(n sin(ndi Base 1) Universit` u Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola a Politecni Pol itecnica ca degli li Stu Studi di 2 4 z z 2z + 4 3 Universit`a deg 4 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (dove abbiamo trascurato u(n 1), poich´ po ich´e n u(n 1) = n u(n) = n, per n 0). Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica Applicazio Appli ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2n tica e π ncazioni π to Cacc y (n ) = “Federico sin n +II” Anno sin(n sin(n Accademico 1) . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 a Pol 8 itecnica 3 3 ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. 47d Poniamo come al solito Y = [y(n)]. La trasformata trasformata del primo membro membro Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle2Scienze di Base2 Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dell’e del l’equaz quazion ionee `e Y (z 6z + 18) 18) z + 6z . La trasformata del secondo membro si 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle calcola calcola come segue; per la formula formula di riscalamen riscalamento, to, abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π ” Scuol π n+1 n di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niu “Rena “Renato Caccioppoli Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 2 to Cacc sin ioppoli” n (zScuola ) = 3a Pol 2 itecnica 3ca2 e delle sin nScienze (z )di Base Universit` u 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di4Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π to Cacc z ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e = Applicazio Appli ni “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle 3 2cazioni u sin n 4 3 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni nicom’` “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ed essendo, e noto, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π Luigi Greco 1 z n Base(zUniversit` )= ,di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi u sin di 4 2cazioni z 2 ni “Rena 2z + 1 to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle troviamo infine Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento zitecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π 9 2z n+1 3 2 di Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (2)II” Anno Accademico 3 2 sin n = 3 Greco = 2 . u 4 Universit` z 6 z + 18 z 2 za + Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 18 3 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Dunquea degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` z 6i” Scu 9 litecni 2 zcnica di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o= Caccio Cac ppoli” Scuola ola Po Polite ca .e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Y z cioppol + 2 z 2co 2016-2 6z + 18017 (Luigi z 2 6Greco z + 18)Dipar Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Z
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≥
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle SVOLGIMENTI RAS FORMAccademico AZIONE 37 Greco Dipartimento Z -TII” Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diXI. Napoli “Federico Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Dobbiamo antitrasformare. Per ilLuigi primo termine, abbiamo di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Annoora Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z Matematica 6 z to2 Cacc n cazioni −1 ento −1 niz “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim tica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z 2 di Matema = e3 Appli 2 2 z di6Napoli z + 18 “Federico II” Anno Accademico z 2z + 12016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z 1/ 2 1/ 2 n −1 (3) = Universit` 3 2 z 2Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli 2z/ 2 z +ioppoli” 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni z“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π π Scienze di Base Universit` n di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di = 3 2 a Pol cos n casin n . 4 4 di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola e delleilScienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico PerPolitecnica antitrasformare secondoditermine, usiamo la formula di Hermite: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 1 1 1 d z 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Accademico 2016-2017 Luigi = di Napoli “Federico = II” Anno + . Greco Dipartimento 2 + 9 ”2 Scuol (z 2cazioni 6zni +“Rena 18)2 to (Cacc 18a Pol z 2 itecnica 6z + dz Scienze z 2 6z + z 3) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca18e delle di18 Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ricordando (2), troviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema tica e Appli Applicazio ni n“Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z 1cazioni πto Cacc −1Matematica = 3 2 sin n , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z 2 “Federico 6z + 18 II”3 Anno Accademico 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di mentre usando la formula fondamentale, la formula della traslazione e ricordando di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (3)Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle d z 3 z 3 −a1 degli −II” 1 Anno Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = z Studi n dz z 2to 6Cacc z + ioppoli” 18 z 2itecnica 6zca + 18 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 −1 zStudizdi Napoli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` II” Anno Accademico = n u(n 1)a degli (“Federico n 1) z 2 to6zCacc + 18ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π n−1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di =” Scuol n u(na Pol 1)itecnica 3 2ca e delle cos(n cos(nScienze 1) di Base Universit` 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` n−a1 degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 2 cazioni π π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena Caccioppoli” Politecnica e delle = n cos“Renato n +tosinCacc n ioppoli” Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”2 Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 4 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di In definitiva, troviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π π Universit` π π π Accademico n n+1 n−1 “Federico Caccioppoli” Scuolay(Politecnica dinBase a sin degli n) = 3 2e delle cosScienze n sin + 3 2 n Studi 9n di3 Napoli 2 cos n +II” sin Anno n 4 e Appli 4 4 4 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di 4Matema Matematica tica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politec Politecnica nica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 ” Scuol πPolitecni 3 π n di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli Universit`a deg degli li Stu Studi di = ni 3 “Rena 2 3 Cacc 2 1ioppoli” n Scuola sin na Pol + itecnica 1 ca endelle cos Scienze n . di Base Universit` 4 4 2 Luigi Greco Dipartimento 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di nell’equazione, Matematica Matema tica e abbiamo Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Trasformando Ex. 47e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 3 ( z ) ( z ) z z 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato Caccio cioppol Scuola ola Po Polite litecni ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Y o(zCac z +ppoli” 1) =i” Scu =cnica 3 (017z )Luigi 1 Greco z3 + 1 timento Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 Dipartimen Dipar to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Z
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√ Z −√ √ − − √ Z − √ √ − √ − √ − − − − − √ Z − −
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−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 38 I. SVOLG“Federico IMENTI Z -TRASFORMAZIONE -TRASFORMAZIONE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diXNapoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z ento 1 z 2z tica 1 1e Appli z d ni “Rena 1 to Cacc 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Y = zDipartim = Matematica = cazioni + . Politecnica e delle 2 2 2 2 2 2 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a Studi II”2 Anno Greco Dipartimento (zdegliz + 1) di Napoli 2 (z “Federico z + 1) dz zAccademico z + 1 (2016-2017 z z + 1)Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Inoltre, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 ento di Matema 1 tica e Appli 2 cazioni d Cacc z ioppoli” 1/2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio ni1 “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = = + 2 2 2 2 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (z z + 1) 3 z z + 1 dz z z + 1 z 1/2 + 3/ 3/4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z d z + 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema tica1 e Appli Applicazio ni “Renato “Rena to Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Y =Matematica + cazioni . Caccioppoli” 2 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 z“Federico z + 1 II”dAnno z z Accademico z + 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di A questo punto possiamo antitrasformare: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z di Matema 2 z sin π/3 π/ 3 cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio ni 2 “Renato “Rena to Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = = sin Cacc nπ/3 nπ/3ioppoli” , 2 2 z Studi z + 1di Napoli 2z cos π/3 π/II” 3 +Anno 1 3 z “Federico 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z + 1 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico=2016-2017sin Luigi Matematica e Applicazioni “Renato nπ/3 nπ/ 3Greco + u + u((nDipartimento 1) sin(n sin(n 1)π/ 1)diπ/3 3 z +Scienze 1 Caccioppoli” Scuola Politecnicaz 2e delle 3di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ed infine, ricordando fondamentale (per nAccademico 0) Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi la di formula Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno yAccademico (n) = (n 1) sin nπ/3 nπ/3 + n + n u(n 1) sin(n sin(n 1)π/ 1)π/33 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 Scienze 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di = (n 1) sin nπ/3 nπ/3 + n + n sin( sin(n n 1)π/ 1)π/33 . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 Cacc 3 ioppoli” di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Trasformando Trasformando i membri ricavando Y “Rena = [yto (n)], otteniamo Ex. 47f 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di ambo Matematica Matema tica e eAppli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 z“Renato 2 z + 1” Scuol 2 z ca e delle Scienze 1 di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni Caccioppoli ioppoli” Scuola a=Pol Politecni itecnica degli li Stu Studi di Y = ni2 “Rena + 2toz Cacc + 2 z . Universit`a deg 2 2 2 2 4 z 1 (4 z + 1)(4 z 1) 4 z 1 (4 z + 1)(2 z 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico D’altra parte ento di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 zto Cacc 1ioppoli” z a Pol z ca e delle 2−n Scienze ( 2)−ndi Base Universit` −1 “Rena − 1 ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di = = . 2 4z 1 2016-2017 2 zLuigi 1/2Greco z +Dipartimento 1/ 1 /2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico di2 Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico InoltreDipartimento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 2 2 4 z + 1 + 1 4 z 1 2 z + 1 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol i” Scu Scuola ola Po Polite litecni ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = ppoli” = cnica 2 + 1) (4 zAnno 1)Accademico (2 z 1) co(42016-2 z 2 + 1)(2 1) Greco 2 z Dipar 1 timento 4 z 2 +to 1 di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Accademi 2016-2017 017 zLuigi Dipartimen Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
−
−
− − −
−
− −
−
−
√
−
√ Z
√
−
−
√ Z
−
−
−
≥
−
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√
−
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Z
−
Z
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−
Z
−
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− −
−
−−
− −
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle SVOLGIMENTI RAS FORMAccademico AZIONE 39 Greco Dipartimento Z -TII” Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diXI. Napoli “Federico Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 1 1 −1 a degli z Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico − 1 2 z = 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (4 z + 1)(2 z 1) 2 z ni1/“Rena 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e 2delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 −1 (2 z ) 2z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + 2 a degli (2 zStudi )2 + 1 di Napoli (2 z )2 +“Federico 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica n π n π −1 Anno 1 = 2 −nII” 2−n− cos +2016-2017 sin . Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto la soluzione soluzio ne ` e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n π a degli n πStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 2 di Caccioppoli” Scuola Politecnica y (n)e=delle 2−nScienze ( Base 1)n Universit` cos sin , n N0 . 2 cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni 2“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle F acciamo qualche ulteriore osserv osservazione. azione. Notiamo innanzitutto che, posto x ( n ) = Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Z0 , abbiamo 2n y(ncazioni ), nni “Rena 4 y (n +”2) 2)Scuol 2n =a x( xPol (n + 2) ecaquindi, i dueUniversit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica e dellemoltiplicando Scienze di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di n di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento membri dell’equazione per2016-2017 2 , il problema di valori iniziali per y( ydi (n)Matematica si trasformaeinApplicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` naπdegli Studi n π di Napoli “Federico II” Anno Accademico x(n + 1)ticax(en)Appli = coscazioni + sin 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 ni “Rena 2 to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli x0 = 0 ,“Federico x1 = 1 II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di che `e analogo, analogo, ma leggermen leggermente te pi`u sempli semplice. ce. Trasfor rasforma mando ndo ambo i mem membri bri e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ricavando X ricavando X = [x(n)], otteniamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 z + z ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento diz Matema Matematica tica ze +Appli Applicazio cazioni ni z “Renato “Rena to2 Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle X = + z + z = + . 2 2 2 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studiz 2di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 (z + 1) 1) (z 1) z 1 z 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Il primo termine nell’ultimo membro `e la trasformata della successione di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 , 1Universit` , 0 , 1 , . .a. degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di mentre Matematica Matema e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle periodica di perio do 2, il tica secondo termine `eni la “Rena trasformata della successione Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 0”, Scuol 0 , 1 ,a 1Pol , . .itecnica . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato periodica di periodo 4; pertanto Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x(n)tica = e0 ,Appli 1 , 1cazioni , 2 , .ni . . “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento con periodo 4 ed infine di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ”−nScuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di y ( n ) = 2 0 , 1 , 1 , 2 , . . . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Trasformando ambo i membri dell’equazione, troviamo Ex. 47k Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 + 2ca 4 z Scienze di Base Universit` zitecnica z2 + 2 ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato toY Cacc Caccioppoli ” Scuola Scuol a Politecni Pol e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di (z + 2 z + 4) 3 z = 3 z 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e−1Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Z 3z z “Federico 2 n Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Y = 2 + 3 2 sin n π + 0, 0, 1, 0, 0, 1, . . . . z + 2 z + 4 z 1 3 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Z
−
−
− Z
Z
−
−−
−
−
∀ ∈
∀ ∈
−
Z
−
−
{
}
{
}
{
−
−
−
}
{
√
−
√
−−−−−−→
}
−
{
}
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 40 I. SVOLG“Federico IMENTI Z -TRASFORMAZIONE -TRASFORMAZIONE Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diXNapoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Notiamo che a(2016-2017 n) `e la successione succe ssione periodica di periodo 2 con a0 = 2e Applicazioni e Ex. di Napoli “Federico II”47l Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica “Renato a1 = 1. Dunque, trasformando membri nell’equazione, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diambo Base iUniversit` a degli Studi ditroviamo Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e2 Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2z + z 2z + 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degliY Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = u [y(n)] = 2 = z 2 2 + 1) 2 + 1) ( z 1) ( z ( z 1) ( z di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 3 1 1 2za +degli 1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle = z Scienze di +Base Universit` 2 z + 1 tica 4 z e 1Appli 2 cazioni z +ni 1 “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di4 Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi antitrasformando di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di n 3 + ( 1)Luigi π Dipartimento 1 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco di Matematica e Applicazioni “Renato y (n) = cos n a deglisin n .di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 4 2 2 Studi 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle A scopo illustrativo, risolviamo il problema in altro modo. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per l’equazione particolare in esame, `e possibile paossibile scindere il problema del secondo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ordine in due del primo. Osserviamo che scrivendo l’equazione ricorrente per indice di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato pari n pari n = = 2k , ricordando la definizione di a((n) troviamo y di a troviamo (2k k +2)+ y(2k (2k )“Federico = a(2 a (2k k ) =II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli y(2 Studi di Napoli 2, quindi la successione ponendo ponendo w w((k )cazioni = y(2 y (2k k to , risolve il problema N0 Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di definita Matematica Matema tica e Appli Applicazio nik ), “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle del primo ordine Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol Politecni Pol Universit`a deg degli li Stu Studi di w (k” + 1) + w +a w( (k)itecnica = 2 ca e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato w0 = y =Luigi y0 = Greco 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Posto Dipartim dunque W dunque W = [wMatematica (k )], abbiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento ento di Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2z 1 1 W = = z di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z 2 ”1 Scuol z Politecni 1itecnica z + 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze Universit`a degli Studil’equazione di Napoli “Federico e infine y infine y(2 (2k k) =e w( w (k ) = 1 ( di 1)kBase . Analogamente, scrivendo per l’indiceII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim di Matema Matematica tica e yAppli Applicazio “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dispari n dispariDipartimento n = = 2k +ento 1 troviamo troviam o y(2 y (2k k +3)+ (2k (2k +cazioni 1) = ni 1 e “Rena quindi quindito la Cacc successione succeioppoli” ssione definita defin ita Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ponendo v ponendo v (k ) = y(2 y (2k k + 1), k N0 , risolve il problema di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di v (k + 1) + v +Greco v((k ) =Dipartimento 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato v (0) = y = y(1) (1) = 0a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Chia Ch iaram ramente ente ` e v ( k ) = w( w ( k ) / 2 e pertanto Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni itecnica cadieperiodo delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di y (n) = 0 , 0ioppoli” , 2 , 1 ”, .Scuol . . a Pol periodica 4. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` anche E facile scrivere la soluzione usando la convoluzione Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 − 1 y(n) “Federico = u a(n ). Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z 2a+Pol 1 itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Essendo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1Scienze = , 0Appli , 1 , cazioni 0 , ni 1 , “Rena 0 , 1 , to . . . Cacc , ioppoli” Scuola Politecnica u 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di zMatema Matematica tica0 e Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle 2 +1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento dopo i primi due successione si ripete con periodo calcolando pro-Bas di Mat Matema ematic tica a e dove Applic App licazi azioni oni “Renat “Re nato o0 la Caccio Cac cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e 4,del delle le Sci Scienz enze eil di Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii dotto dio convoluzione troviamo y1 = 0, che sonoDipar le condizioni e tica e Appli 0 = 0,017 Studi di Napoli “Federic “Fed erico II” Anno Accademico Accademi co y2016-2 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen timento to iniziali, di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
Z
−
−
− −
−
−
−
∀ ∈
Z
−
− −
−− ∀ ∈
{
Z
}
Z
∗
{
−
}
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle SVOLGIMENTI RAS FORMAccademico AZIONE 41 Greco Dipartimento Z -TII” Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diXI. Napoli “Federico Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di successivamente di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico y2 = 0 a2 + 0 a1 +di 1 aBase , 0 = 2Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di 0Matema Matematica Applicazio Appli ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle y3 =ento 0 a3 + a2 + 1 atica = 1 ,cazioni 1 + 0ea0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y4 = 0 a4 + 0 a3 + 1 a2 + 0 a1 + ( 1) a0 = 2 2 = 0 , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niy “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 = 0 , di Base Universit` 5 = 0 a5 + 0 a4 + 1 a3 + 0 a2 + ( 1) a1 + 0 a0 = 1 di Napoli “Federico II” Anno .Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato .............. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di y((Matema Matematica tica e di Applicazio Appli cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle La successione y successione n) `e perio p eriodica dica perio p eriodo do k kni “Rena risulta y((ioppoli” n + k) = y( y (n), Politecnica N, se risulta y Ex. 48 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento N0 . Di qui, l’equaz ovvero y (n + k + k)) y (n) = 0, n l’equazion ionee ricorr ricorren ente te del testo. testo. di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ricordiamo Ricordi amo che una successione success ione perio p eriodica dica `e u -trasformabile per z > 1, in quanto di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ha immag immagine ine finita ed `e dunque dunque limitata. limitata. Trasforman rasformando do nell’equazi nell’equazione, one, per la Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico formula della traslazione abbiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − k k k 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a zdegliu [Studi Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y(n)] di Napoli y0 z + y“Federico + II” + y( y (k Accademico 1)z 1)z )] = 0 , 1z u [ y (n di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di da cui ricaviamo subito di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato k−1 z k + y + a degli + y( y (Studi k 1)z 1)di z Napoli “Federico II” Anno Accademico 1z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diy0Base Universit` [ y ( n )] = . u k z cazioni 1 ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico Equivalentemente, possiamo osservare che II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni y “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di y (k 1) 1 y0 +Accademico + + 2016-2017 = Luigi y (n ) u(nDipartimento ) u(k + k + k)) di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Greco z z k−1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = y(n) ucazioni (n) ni “Rena y (n + k + k) ) u(kioppoli” + k + k)) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = 1 1/z k y(n) u(n) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e quindi immediatamente la formula. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− −
−
Z
···
||
Z
···
−
··· −
Z
−
−
∈
∀ ∈
−
−
− Z −
Z − − Z Z − Z
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO CAPITO LO XII di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Svolgimenti Integrali con i residui 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”54a Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento dii Matematica e Applicazioni “Renato L’integrando `e funzione funzi one razionale razLuigi ionale,Greco , olomorfa olo morfa in i n C esclusi punti 0 e 1, che Ex. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studidi dicentro Napoli sono poli semplici. Entramb Entr ambii di i punti pun ti sono interni al cerchio centr o 1 “Federico e raggio 2,II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle la cui frontiera `e il cammino di integrazione; per il teorema dei residui, l’integrale Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento vale dunque 2 πStudi i R[0]di+ R +Napoli R[1] [1] . Inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 z + 1 2 z + 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R[0] = = 1, R[1] = =3. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z 1 zdi z =0 z =1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Alternativamente, Alternativ amente, ricordando che la somma dei residui ` e nulla, troviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca 1e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2z 2 z + R [0] + R + R[1] [1] = R [ ] = lim li m z = 2 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z →∞ z 2 z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico In definitiva, l’integrale vale 4 π itica . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento L’integ rando `e olomorfo in C 0 , 2 ; in base alla definizione di residuo, Ex. 54b L’integrando di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di l’integrale vale 2 π ito R[2]. [2] . Per Pe r il calcol cal colo o del residuo, residu o,ca osserv osseerviam iamoo che che 2 `e un polo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato doppio, quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio niz “Rena “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ez cazioni z 1 to Cacc eioppoli” 2 R [2] = lim D ( z 2) = e = . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z →2 z (z 2)2 z 2 z =2 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi In definitiva, definitiva, il valore dell’integrale `e e π i/2. i/2. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Troviamo subito che, in base al teorema dei residui, il valore dell’integrale Ex. 54f Troviamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle `e 2 π i R[2 π] + R + R[[ 2 π] . Inoltre Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di zioppoli” sin z ” Scuol (z ca 2 π)e2 delle sin(z sin( z 2 π)di Base Universit` R [2 π ] = lim li m ( z 2 π ) = 2 π lim = 4 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z →2 π 2π 1 1 cos z cos(z cos(z 2π ) z 2 π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica e tanto Applicazio Appli cazioni ni le “Renato “Rena to .Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle e analogamente R[ di 2 π]Matema = 4 πtica . Pertan Per to l’integra l’in tegrale `e nullo. nullo Tale risultato se- Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi II” di Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento gue immediatam imme diatament ente, e,diinNapoli quanto quanto“Federico il camm cammino ino integrazio inteAccademico grazione ne `e simmetrico simme trico rispetdi Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di to all’ori all’origin ginee e quindi quindi i residu residuii si presen presentan tanoo a coppie coppie di numer numerii opposti opposti (cfr. di Napoli “Federico II” Anno esercizio 30).Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per le ipotesi su R ,tica abbiamo Ex. 55 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento difatte Matematica Matema e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”RAnno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento [wk ] R ( w ) = di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii w wk Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni k “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 42 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
−
− ∞
−
− −
−
−
−{
}
−
− −
−
−
−
−
−
− −
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 43 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R[awdegli k] ( sin x ) = . R (sin 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle sincazioni x ni wk “Rena k II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Quindi concludiamo la formula (VII.2.4) delleca Lezioni. caso particolare di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato tousando Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica e delleNel Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di in II” esame, abbiamo di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 1/5 1/5 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e = Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to , Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 35 w + 25 wII” Anno 5/3 Accademico w 5/4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi12 diwNapoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 22016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π dx 7 = Studi π . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli 2 30 to Cacc 12sintica x e 35sin xcazioni + 25ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di 0Matema Matematica Applicazio Appli “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento L’integrale L’integral e converge assolutamente, assolut amente, poich´ e ca l’integrando l’integr ando `e continuo in R Ex. 56b di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di 2 (i punti 0 e 1 / 2 sono discontinuit` a eliminabili) elimin abili) ed ` e O(1 O (1/x /x ), quindi sommabile, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato intorno a .e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica ej 2 π zni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Scegliamo Scegliamo la funzione funzione ausiliaria ausiliaria f ( f (zApplicazio ) = cazioni , “Renato in modo che, per z = x R, Politecnica e delle 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” 2 zAnno + z Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento l’integrando il coefficiente dell’immaginario di di f f ((x). singolarit` a di f di f sono di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni sia “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica caLe e delle Scienze di sono Basegli Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di zeri del denominatore, cio` e 0 e 1 / 2, che risultano poli semplici, entrambi reali. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato L’integrale si calcola la formula Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dunque Scienze mediante di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica+∞ e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ sin2 π x Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento dx = dx = Im v.p. f ( f (x) dx = Im π j R[0] R[0] + π + π j R[ R[ 1/2] 2 + x 2 x −∞ −∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = π Re di RBase [0] + R + R[ [ 1/2] . a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (L’integrale di f di f ((x) va inteso nel senso del valor principale, per la presenza dei due Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento poli reali.) Inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di j 2 π z2016-2017 Luigi Greco Dipartimento j 2 π z di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato e e R[0] = Scienze di=Base 1 , Universit` R[ 1/2]a = = 1 “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle degli di Napoli 2 z + 1 z=0 4 zStudi + 1 z = − 1/2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studivale di Napoli e l’integrale cercato 2 π. “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di Ex. 56c Osserviamo che l’integrando ha una discontinuit` a eliminabile in π/4 π/4, Univer `e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco −Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato continuo in R π/4 π/4 e per x `e O(x 3 ); pertanto l’integrale converge Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico assolutamen assoluDipartim tamente. te. ento Osserviamo Osser viamo pure purtica e chee sin x +cazioni cos ni x = 2sin x + π/ π /4 e quindi Politecnica e delle 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica Applicazio Appli “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica l’integrale cercato I cercato I ` `ediugual ugNapoli ualee a “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi +∞ a Pol 4 π/ ix e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di ei π/4 eca I = = 2 Im v . p . dx . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (4x (4x + π + π)) (x2 + π 2 ) −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento entotroviamo I di Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Equivalentemente, Equivalen temente, troviamo I = = tica Re I 1e +Appli Im I 1cazioni , dove Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ ix e di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Caccio Cac i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca .e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii I 1 = v.cioppol p. ppoli” dx (4x (4x017 + π + π) ) (x2 + π 2 ) Dipar Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico −∞ 2016-2017 2016-2 Luigi Greco Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
− − −
−
−
− ∓∞
∈
−
− {− } √
−
−
→ ±∞
−
√
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 44 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Notiamo cheAccademico l’integrale I 2016-2017 e inteso nel senso del Dipartimento valor principale, poich´ e per l’indi Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 1 ` tegrando tegra ndo il punto punt o π/4 π/ 4 `e un infinit infinito o del primo primo ordine ordStudi ine (non (no pi` u discontin disco ntinuit` uit` aII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli dinNapoli “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle eliminabile). Per calcolare calcolare I I 1 consideriamo lacazioni funzione ausiliaria Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento iz di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola aePol Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di f ( f (z ) = ” Scuol . e delle Scienze di Base Universit` (4 z + π + π) ) (z 2 +Dipartimento π 2 ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017(4z Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Essa f Essa f ha ha poli semplici punti tica quindi I quindi [π i]ioppoli” + π i R[ Scuola π/4 π/4e eAppli π i,cazioni π/4]. π/ 4]. Politecnica 1 = 2π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di nei Matematica Matema Applicazio ni I “Renato “Rena toi R Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle Essendo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di eizto Cacc e−πa Pol 2 2 (1 di iBase ) [π i] =Accademico 2016-2017 = R[ π/4] π/4] =di Matematica , di Napoli “Federico II”RAnno Luigi Greco , Dipartimento e Applicazioni “Renato 2 2z (4z (4z + π + π)) z=π idi Base 2π i Universit` (4π (4π i + π + π)) a degli Studi di Napoli 17 17π π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −πCacc eto 2 2 ”(1Scuol i) a Pol e−πitecnica (1 ca 4 i)e delle 2 2Scienze (1 + i) i) di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di I 1 = + i + i = + di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π (1 + 4 i)2016-2017 17 17π π 17 17π π 17 17π π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi q uindi l’integrale l’integrento ale cercato `e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli−“Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 2 + e π + 2 2 4 e−π 4 2 3 e−π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di I = = = . 17 π 17 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento Matematica tica converg Applicazio Appli cazioni ni ich´ “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Ex. 56e L’integral L’inte grale e `ediassol asMatema solutam utamente ente ceonvergente, ente, poich´ po e l’integ l’ integrand randooioppoli” `e continuo co ntinuo in Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento R ed infinitesimo di ordine 3 per x . Inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ Accademico 2016-2017 +∞ +∞Dipartimento di Matematica +∞ di Napoli “Federico II” Anno x + cos x xLuigi Greco cos x cos x e Applicazioni “Renato I := : Politecnica = dx = dx = dx+ dx + dx = dx =di0+ dx ,II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola di Base a degli Napoli “Federico x4e+delle 4 Scienze x4 + Universit` 4 x4 + Studi 4 x4 + 4 −∞ −∞ −∞ −∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli essendo x/( x/(x + 4) 4) funzione dispari. Consideriam Consideriamo o la funzione funzione ausiliaria ausiliaria f ( f (z ) = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ej z cazioni , che per z = x reale coincidente con l’integrando dell’ultimo R ha parte Luigi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z4 + 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli integrale. Le singolarit` a di f di f sono sono gli Universit` zeri del denominatore, denomina tore, cio` e 4 4,“Federico vale a direII” Anno Accademico π ento π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +k 2 ) zk = 2 ej ( 4 +k , per k = 0, 1, 2, 3; sono sono poli semplic semplici. i. Essend Essendoo il coefficie coefficient ntee Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento nell’esponenziale nella definizione di di f f positivo, positivo, consideriamo i poli con coefficiente di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di dell’immaginario positivo positivo z z = 1 + j + j e z = 1 + j + j. . Dunque 0 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di ejxBase Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dx = dxe =Appli 2 π j cazioni R[z0 ]ni+ R + R[ [z1 ] to . Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 +4 x −∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ” kScuol Scuola Politecni Pol itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di jz k e delle Scienze di Base Universit` D’altra parte z parte z k4 = to4 Cacc e R[ R [zioppoli” /(4 zk3a) = zk ejzca /16, quindi k] = e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze1di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + j + j 1 a+ j +degli j −1+j (1+ 1+ j (1+j j) j R [ z ] = e = e , 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 16 tica e Appli 16 ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 ppoli” + j + j i”j (−Scu 1 + j + j ca−1e−jdel di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol Scuola Polite Po litecni cnica delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 1+jola ) R[z1 ] = e 1+j = e . Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 017 Luigi Greco Dipartimen Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 16 2016-2 16 “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
−
±
−
√ −
−
√ −
√
√
−
√ −
√ −
→ ∓∞
∈
√ −
√
−
−
−
−−
−
−
−−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 45 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞e delle Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ejx Scienze di π Base −1 Universit` j dx = dx = j e (1 + j + j) ) e +ni ( “Rena 1 + j + j)) to e−jCacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 +4 x 8 −∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a jPol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π = e−1 (1Luigi j) j ) Greco e + (1Dipartimento + j + j)) e−j di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato 8 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni π“Rena “Renato tos Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = e−tica Ree (1Appli j) j )cazioni ej = e−1 (cos (co 1 + sin 1) . 4 “Federico II” Anno Accademico 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni` “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol a il Politecni Pol itecnica ca e dell’immaginario delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di Tale valore e “Rena reale (com’era chiaro,” essendo coefficiente dell’indi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato tegrando funzione dispari) e quindi coincide con l’integrale cercato I . I . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico funzi one integranda integr anda `e continua e l’integral l ’integralee `e assolutamente assol utamente convergente. Ex. 56f La funzione 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Osserviamo che, essendo la funzione integranda pari, risulta Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ 2 +∞ 2 x ioppoli” + cos x” Scuol 1a Pol x + x di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni itecnica cacos e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di dx = dx = dx 4 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi 2Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 1 + x + x 1 + x + x −∞ Dipartimento 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z 2 +Scuola eiz 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle Per il calcolo dell’ultimo integrale, scegliamo la funzione ausiliaria f ausiliaria f ((z ) = . Politecnica 4 1 + z + z Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento La funzione f funzione f presenta presenta nel semipiano Im za>Pol 0 due poli del primo ordine nei puntiUniversit`a deg di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` degli li Stu Studi di i π/4 π/ 4 i 3π/4 π/4 e e e , quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞Scienze Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dixBase Universit` aπ/degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x2 + cos i π/4 4 i 3π/4 π/ 4 (4) dx = dx = 2 π i R [ e ] + R + R[ [ e ] . ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle 1 + x + x4 tica e Appli −∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento iz Ponendo A Ponendo (z“Rena ) = z 2 to + eCacc e B (z ) =”1 Scuol + z + z 4 ,aabbiamo f abbiamo (z )e=delle A( f ( A( A (z )Scienze /B( /B (z ) e di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Pol itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di √ √ i π/ 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi − i π/4 π/4 i e Greco Dipartimento 1/ 2+i/ 2+i/ di2 Matematica e Applicazioni “Renato A( e ) i + e i + e π/4 π/ 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R[ ei π/4 ] = Scienze = = ei π/4 , i π/4 π/ 4 i 3 π/4 π/ 4 4 to Cacc B (Matema e ) √ √ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica tica4 e e Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2−i/ 2 iNapoli + e−1/“Federico − i 3π/4 π/ 4 i π/4 π/Anno 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` aR degli Studi di II” Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π/ 4 ] [e ]= e = R[ ei π/4 4 ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pertan Pertanto, to, guardando le parti reali nei due mem membri bri della (4), troviamo troviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞e delle √ x2 + cosMatematica x π e Appli − 1cazioni / 2 ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema tica Applicazio “Renato to Caccioppoli” Cacc Scuola Politecnica Politecnica e delle dx = dx = 1+ e cos1/ cos1/ 2 + sin sin 1/ ioppoli” 2 4 1 + x + x 2 2 0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Osserviamo preliminarmente che l’integrando ha una discontinuit` a elimiEx. 56g di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato nabile in 1 ed `ee infinitesimo + Base di ordine ord ine 2; pertanto perta ntoStudi l’integrale l’i ntegrale `e assolutamente asso lutamenteII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienzea di Universit` a degli di Napoli “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento diessendo Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to l’integrale Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle convergente. convergente. Inoltre, l’integrando una funzione pari, cercato `e Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` Studi di all’intervallo Napoli “Federico 2016-2017 consiLuigi Greco Dipartimento la met` a adidegli quello esteso ] ,II” + Anno [. PerAccademico calcolare quest’ultimo, 2 a iπz di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di z +e deriamo la funzione ausiliaria ausiliaria f f ( ( z ) = , la cui parte part e reale per z per z = x = x si R di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z 4 Greco 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a Studi riduce all’integrando. La funzione f funzione f ` `e priva pr iva di singol sindegli golari arit` t`a realidieNapoli l’unica “Federico singolarit`aII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato “Rena toinCacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle con coefficiente coDipartimento efficiente ento dell’immaginario p ositivo `e uncazioni polonisemplice i. i . Pertanto Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ 2 iπz x + e di Mat Matema ematic tica a e (5) Applic App licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Polite delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii dx = dx = Po 2πilitecni R[cnica i] . ca e del x4 1017 Luigi Greco Dipar Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni −∞co 2016-2 “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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√
√
√
∞
−∞ ∞ −
−
∈
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 46 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − − π 3 π Inoltre R[i] Accademico = ( 1 + e 2016-2017 )/(4i (4i ) = Luigi (1 Greco e )/(4i (4 i) e quindi, guardando le parti di Napoli “Federico II” Anno Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato reali in (5) (lee parti part i Scienze immaginarie immag inarie sono nulle, nulle, com’` com’ `e chiaro chia ro essendo essen do il “Federico coefficient coefficienteeII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle dell’immaginario dell’integrando una efunzione dispari), troviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ 2 +∞ 2 −π x + cos π x 1 x + cos π x 1 e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica cadx = e = delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di dx = dx = ” Scuol dx π . di Base Universit` x4 12016-20172 Luigi x4 Dipartimento 1 4 Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno 0Accademico di −∞ Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle La funzione funzento ione di integranda `e discontinua di scontinua in ni1;“Rena l’integrale `e inteso nel Scuola senso Politecnica Ex. 56j Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento del valore valore principale. principale. Per il calcolo, consideriamo consideriamo la funzione ausiliaria ausiliaria f (z ) = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to tre Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca edel delle Scienze di Base Univer sit`a deg degli li Stu Studi di eiz /(1cazioni + z + z 3ni ). “Rena Essa ha p oli del primo ordine negli zeri denominat deno minatore ore 1 + z + z 3Universit` , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato vale a dire nelle radici cubiche di 1. Quelli rilevanti per il calcolo sono 1, sull’asse Caccioppoli” Scuola Politecnica iπ/3 e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico reale, e eiπ/3 , nel semipiano Im z > 0. Dunque 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ jz e “Federico II” Anno Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli j π/3 π/ 3 Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento v.pto . Cacc dx = dx = 2π aj R[ R [ eitecnica ] + π + π j R[ R[ 1] . 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol Politecni Pol ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di + z −∞ 1 + z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ejπ/ 3 jπ/ 3 π/ 3 Inoltre R Inoltre R[[ 1] = e−j /3, R 3, R[[ ejπ/3 = ejUniversit` /(3 eja2π/3 ), quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di ]Base degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ j ejπ/ 3 cos x + j + j sin sin x jπ 2 e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli “Federico −j + Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento v.p. Studi di Napoli dx = II” eAnno 3 3 π/ 1 + x + x 3 ej 2π/3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a 2degli di6+ Napoli −1) +Studi −jπ/6+ j (π/2 π/ jπ/ ej 5π/6 “Federico II” Anno Accademico = e 2 e . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 cazioni Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Infine, uguagliando i coefficienti del’immaginario nei due membri, abbiamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ √ sin x 2016-2017 π Luigiπ Greco Dipartimento 1 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato 3/2 v.p. e delle Scienze dx = sinUniversit` 1 a+degli 2 e− Studi sindi Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica−∞ di Base 1 + x + x3 3 2 2 6 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle √ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π − 3/2 3sin 1 cos 1 = cos co s 1 + e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 ” Scuol 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 56k L’integrale L’i ntegrale converge assolutamente, assolut amente, poich´ e l’integrando l’integra ndoCaccioppoli” `e continuo in R (il Politecnica e delle 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2“Rena “Renato to Cacc ioppoli” Scuola Politecnica punto 1 ` e una discontinuit` discontinui t` a eliminabile) elimin abile) ed ` e O (1/x (1 /x ), quindi sommabile, intorno Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento a . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di jitecnica π z ca e delle Scienze di Base Universit` z e di Napoli “Federico II”Scegliamo Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica “Renato la funzione2016-2017 ausiliaria Luigi f ( f (z ) = , in modo che, per z = x eRApplicazioni , z 3 a degli 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico l’integrando siaento il coefficiente dell’immaginario di f ( di f (x). Le singolarit` a di f di f sono sono gli Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle 3 j 23 π k zeri del denominatore, denomina tore, cio` e 1 = z = e , con k con k = 0 , 1 , 2. Sono poli semplic se mplici. i. k Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Essendo ilni coefficiente nell’esponente positivo, consideriamo i poli con coefficiente di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di dell’immaginario non-negativo e quindi l’integrale si calcola mediante la formula di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ e delle Scienze di Base Universit` +∞ x sin π x 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di dx = Dipartimento Matematica Matema Applicazio ni Im “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Politecnica I = dx = Im Im vtica .p. e Appli f ( f (xcazioni ) dx = dx = π j to R[ R[zCacc π j R[ R[z1Scuola ] 0] + 2 x3 1di Napoli “Federico −∞ Studi −∞ II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii =o π II” Re Anno R[z0 ] + 2 R[z1 ] .co 2016-2 Studi di Napoli “Federic “Federico Accademi Accademico 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 47 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (L’integrale di f di f ((x) va inteso nel senso del Greco valor principale, per ladipresenza del polo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato semplice in 1.)eOsserviamo inoltre cheUniversit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle zk ej πAccademico z ej π z II” Anno Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento R[zk ] = = , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” 3Scuol Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di z 2 za=Pol 3 zca k e delle Scienze di Base Universit` zk di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico quindi R quindi R[[z0 ] =e R[1] Rdelle [1] =Scienze ej π /3 = 1/3 Universit` e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle II”1 Anno √ √ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento j π − 2 +j 23 −j 23 π − 23 π−j 76 π 1 3 e e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli ”=Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e=delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di R[z“Rena + j +ioppoli” j 1 ] = R 2 3 Dipartimento di3Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico22016-2017 Luigi Greco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento − di 3Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e 2π 3 j Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = di Napoli “Federico + 2 ” 2Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to 3Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pertanto Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ 3 Cacc π π tica− √ π ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e 3 Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I = = 3e 2π= 1 + 3 e− 2 π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 3 3 “Federico II” 3Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato iπ z 2 i z e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico f (z ) = , in modo che che,, perII” Anno Accademico Ex. 56l Scegliamo la funzione ausiliaria f ( 3 z 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle z = x coefficiente dell’immaginar dell’immaginario io di f ( f (x) sia la funzio funzione ne integ integran randa. da. R, il coefficiente Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Notiamo che f ` f `e olomorfa (ha una singolarit`a eliminabile) in z = 1; la funzione di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca2 e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di presenta nelle altre due radici cubiche dell’unit` a e±i 3 π poli sempl se ici. Essend Essendo o di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento dimplici. Matematica e Applicazioni “Renato positivo il coefficiente nell’esponenziale nella definizione di f ,, applichiamo di f il teoremaII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico dei residui a f a f sul semicerchio D di centro 0 e raggio R > 1 formato dai punti z Politecnica R 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle con Imit` za degli 0. Per il teorema del“Federico grande cerchio, cerc passando passand o al limite per R per R Luigi + , Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers Studi di Napoli II”hio, Anno Accademico 2016-2017 otteniamo otteniamo come al solito di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π +∞ x sin 2 2 π π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Napoli II” Anno Accademico 2 x di Base Universit` I = dx = dx = Im 2 π i Rf [ eia3degli ] =Studi 2 π Re Rf [ ei 3“Federico ] . 3 x 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica −∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento D’altra parte, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π z 2π i z eidi2 Base 1 a degli 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica ei delle Scienze Universit` di π i 34 π Studi iπ ei 3Napoli +i 32 π “Federico II” Anno Accademico 2 Rf [ e 3 ] = = i e e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e 2Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 z 2 tica 3cazioni z = ei 3 π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ed essendo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4 2 2 3 i 1 3 3 i Caccioppoli” Scuola Politecnica di iBase Studi II” Anno Accademico e 3 π =Universit` + i + i a degli i e i 3 π =e delle Scienze , , i e i 3 πdi=Napoli “Federico , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle 2 di 2Matema 2 2 ni “Rena 2ioppoli” 2 Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento √ √ 2 3 3 1 i π i 3π π − − − i e π i π di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi “Renat Caccio ppoli” Scuola ola ,Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 2oni “Re 4 = eazioni = nato e o4 Cac e cioppol e i”4 Scu Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 2Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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√
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 48 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ 3 1 3 i i 1 3 − i 32 π π 1 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Rf ento [ e di ] =Matema e + i +to i Cacc 3 2 “Federico 2 2 2 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 Accademico Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di √ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 1 3 i 1 3 ( 3 + 1) i = + e− 2 π a degli Studi di Napoli . “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 3 2 2 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto in definitiva di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a√ Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 π 3 − π 1 Dipartimento 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico I 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato = 3+ e . 3 Base Universit`a degli 2 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a L’integrale degli Studi converge di Napoli “Federico II”, Anno Accademico 2016-2017 Luigi conve rge assolutamente, assolutamente in quanto l’integrando l’ integrando `e continuo in Greco Dipartimento Ex. 56n − 3 e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di ( x = 1/2 `e una discontinuit` disconti nuit`a eliminabile) elimin abile) ed `e O( O (x ) per x per x . R (x jπz 3 di Napoli “Federico II”Consideriamo Anno Accademico 2016-2017 Luigi Matematica e Applicazioni “Renato la funzione ausiliaria f ( f (Greco z ) = eDipartimento /(8 z 1): 1): diper x R, l’inteCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico grando `e la parte reale di f di f ((x); l’integrale cercato sar`a la parte reale dell’integrale diII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Appli Applicazio “Renato “Rena Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle f ( f (x) sull’asse reale (quest’ultimo va inteso nelcazioni sensonidel valortoprincipale). Le singoScienze Scien ze di Base Universit` Universit` “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 larit` a di f dia f degli sono sono Studi gli zeri ze rididelNapoli denominatore, denomi natore, cio` c io`e le soluzioni soluzio ni dell’equazion dell’ equazionee 8 z 3 1Luigi = 0, Greco Dipartimento 2 ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di e 3 πkj 3 1 di Napoli “Federico II”aAnno Dipartimento diPertanto Matematica e Applicazioni “Renato vale dire z dire zAccademico = 2016-2017 , con k con kLuigi = 0, 1Greco , 2; sono poli semplici. k = 8 Scienze 2 di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 +∞ di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle cosMatematica πx 1 ni “Rena e 3 πj dx = dx = Re π j II” R Anno + 2Accademico πjR Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di3Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1ioppoli” 2 itecnica 2 −∞ to8 xCacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 1a degli Studi e 3 πjdi Napoli “Federico II” Anno Accademico = R cazioni + 2“Renato R . ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica ticaπe Im Applicazio Appli Caccioppoli” Politecnica e delle 2 ni “Rena 2to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni ,“Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di D’altra D’altrcazioni a parte, parte essendo essento do Cacc 8 zk3 = 1, abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jπz k ejπz k Universit` ejπz k a degli zk eStudi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze = = R[zk ] =di Base z , di Napoli “Federico II” Anno Accademico k 3 24tica zk2 e Appli 24 zcazioni 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k Scienze Scien ze di Base Universit` Univers quindiit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze2 di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di πj π π 2 2 3 j πj πj j e 2 3 3 2 di Napoli “Federico II” Anno Dipartimento 1 Accademico e2016-2017 j Luigi Greco e e di eMatematica e Applicazioni “Renato R =e R[ R [z0 ] = = , Universit` R = R[ R [zStudi . 1 ] = di Napoli “Federico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base a degli II” Anno Accademico 2 6 6 2 6 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno πAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 1 3 π 2II” 3 Inoltre, Inoltre, essendo essen do e 3 πj + j , jScuol ea3 πjPol =itecnica j ca e delle π, Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to = Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 2 4 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco √ Dipartimento √ di Matematica e Applicazioni “Renato 2 2 2 5 − 43aπdegli e 3 πj πj j π πj −j π πj − 43 π 3 2 3 4 e Caccioppoli” Scuola Politecnica eedelle di e Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico eScienze = eUniversit` = e 12 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle √ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 2 3 2+ 3 − π 4 = e + j , di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 2 2 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
√ − − √
√ − −
√
−
− √ −√ √
√
−√ √
−
→ ∓∞
∈
−
−
−
−
√
− −
√
− √ √
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 49 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di abbiamo infine di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` +∞ √ a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 cos π x π 2“Renato 3 to Cacc 2+ 3 − π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento dx = di =Matema Matematica tica e 2Appli Applicazio ni “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 cazioni dx Im j + j + e + j 8 x3Studi 1 di Napoli 6 “Federico II” Anno Accademico 2 2 −∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di √ 3 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − π = 1+ e 4 2+ 3 . 6 di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento l’ integrale `e assolutamente asso lutamente convergente. Ex. 56o Osserviamo che l’integrale 3 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica e delle Scienze Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di Dalla uguaglianza (cosioppoli” x + i sin x) = cos3x cos3 x + ca i sin3x sin3 x, ricav ric aviam iamoodisin x = ix 3ix di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (3sin x sin3x sin3x)/4 = Im (3 e e )/4 . Per il calcolo calcolo dell’integra dell’integrale, le, `e allora Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 3aizdegli 3 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico iz naturale considerare la funzione z (3 e e )/z ; d’altra parte, tale funzione 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica ha in 0 un polo di ordine 3 e quindi non pu`o essere esser e utilizzata utiliz zata. . ioppoli” Consideriam Consideriamo o Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli iz “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento invece invece la funzione funzione f (z ) = (3 e e3iz 2)/z 2) /z 3 , che ha in 0 un polo semplice; di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di per z = x reale, f f differisce dalla precedente solo per la parte reale e non per il di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato coefficiente dell’immaginario, che interessa per l’integrale. Considerando il dominio Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 ϑ = arg z ento π, ε di zMatema R, con tecnica sul dei residui, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica ticalaesolita Applicazio Appli cazioni nibasata “Renato “Rena to teorema Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle otteniamo l’uguaglianza Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ ” ix 3 e Scuol ea3ixPol 2 v.2016-2017 p. dx = dx = 3π i di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi3Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze−∞ di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica tica ereale Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle (dove Dipartimento v. v.p. `e necessario neces sario per la parte dell’integra dell’in tegrando), ndo),todaCacc cui ioppoli” uguagliando uguagliando i Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento coefficienti dell’immaginario nei due membri ricaviamo subito il risultato. Notiamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di che, per x per x ni R , la funzione Re f ( f (x)” `eScuol dispari, quindi ha integrale nullo, in accordo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato col fatto che il valore trovato per l’integrale di f ( f (x) `e imma immagin ginari ario. o. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Esprimendo Esprimendo 2x con tica le formule form ule dicazioni Eulero, Eulero l’integra l’integrale cercato cerca to diviene Ex. 56p 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento disin Matematica Matema e Appli Applicazio ni ,“Rena “Renato to le Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 +∞ e3ix e−ix 1 +∞ e3ix 1 +∞ e−ix di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica di . Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (6) cazioni dx = dx = ” Scuol dx ca e delle Scienze dx 2i −∞ 1 + x + x22016-2017 2iLuigi 1 + x + x2Dipartimento 2i −∞ di1 + x + x2 −∞ Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di ilBase Universit` a degliinStudi “Federico PerPolitecnica il primo integrale scegliamo dominio dominio D D indicato indicato figuradie Napoli la funzione ausilia-II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3iz ento di 2 Matema ria f ria f ((z ) = e /(1+ (1 + z ), mentre per il secondo scegliamo il dominio D dominio D e la funzione Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento g (z ) = e−iz /(1 + z + z 2 ). Passa Passando ndo al limite limite per R + , vediamo che l’integrale di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di cercato vale di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco−Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 1 ea degli e− Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π Rf [i] + R + Rg [ i] = π . 2i “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Per evitare di calcolare integrali su cammini diversi, osserviamo che mutando Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di due Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica cadiviene e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x in cazioni x nell’ultimo integrale di (6),” l’integrale cercato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017+∞ Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Base Universit` e3ix eixa degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di (7) dx , 2 2i tica 1 + x + xcazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −∞ e Appli Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3iz che si pu` o calcolare scegliendo come dominio dominio D D e e funzione ausiliaria h ausiliaria h( ( z ) = (e di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 2 eiz )erico /(1 o + z + zII” ). Anno Alternativ Alternativamen amente te scriviam o eix nell’integrando mediante Studi di Napoli “Federic “Fed Accademi Accademico coscriviamo 2016-2017 2016-2 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to ladiformula Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 50 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di II” Eulero; cercato divieneLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico Annol’integrale Accademico 2016-2017 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∞ i“Rena +∞ di Matema +ni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento e x Applicazio Appli cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle (cos Matematica x + i + i sin tica x)sin2x )sin2 sin x sin2x sin2 x ioppoli” Scuola Politecnica dx = dx = dx Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 + x + x2 1 + x + x2 −∞ −∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato poich´ oiPolitecnica ch´e (co ( coss x sin2x sin2 x)/(1+x (1+ x2 ) `e di una funzione dispari. Essendo sinNapoli x sin2x sin2“Federico x = cos x II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Scienze Base Universit` a degli Studi2di 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle cos3x cos3x,Dipartimento l’integrale l’integr ale cercato `e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” +Scuol Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ∞ eixa Pol ix i e3itecnica Re Luigi Greco dx ; di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 1 + x + x2a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle questait` espressione coincide con “Federico (7). Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niΓ“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle j Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di D di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento D di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi − j Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ΓRStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ex. 56 q Ricordand Rico rdandoo le 2016-2017 formule formule di Luigi duplicazion duplic azione, e, con la sostituzione sostitdi uzione t = 2x eed di Napoli “Federico II”56q Anno Accademico Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzel’integrale di Base Universit` a si degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico usando le formule di Eulero, cercato I si I riscrive 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 2π 2 + sin t 1 2π 4i + eit e−it di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” dt = Scuola Scuol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di I =to Cacc dt = a Pol dt it + e−it 2 3 + cos t 2 i 6 + e 0 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2π 2it it 1 Matema e tica + 4i 4i e 1 cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = dt . ni “Rena 2 it it i Napoli e “Federico + 6 e + 1II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi2di 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di it di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pertanto, con l’ulteriore sostituzione z = eGreco , arriviamo ad un integrale curvilineo, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico esteso alla circonferenza unitaria 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico2 II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 z + 4i 4i z 1 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o I Caccio Cac ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = = cioppol dzca . e del 2 2 2016-2 (z + 6z 6z +Greco 1) |z|=1 z017 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimen Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 51 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di LaII” funzione integranda ha2016-2017 poli semplici nei Greco punti 0, 3 2 2, quindi per il teorema di Napoli “Federico Anno Accademico Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato deiPolitecnica residui residui abbiamo abbiam o I Scienze = π i di R[0] + R + R[ [ 3 + 2 a2]degli . Essendo R Essendo = 1“Federico /1 = 1 e II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Base Universit` Studi R[0] di [0] Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (z 2 + 4i 4i z II”1)/z 1)Anno /z Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento R[ 3 + 2 2] = 2 √ (z” Scuol + 6z 6z + 1) itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di z =−ca 3+2e 2delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 9 12 2 + 8 +a4i 4degli i ( 3 Studi + 2 2) 1 = tica e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ( 3 + 2 2) ( 6 + 4 2 + 6) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 4 Luigi 3 2 + i +Greco i(( 3 + 2 2) i Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di = = 1+ 4 3 2a degli Studi di Napoli 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle troviamo infine I infine I = = π/ 2. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Notiamo che l’integrale si calcola molto facilmente in maniera elementare. Universit`a deg di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` degli li Stu Studi di Ex. L’integrale `e assolutamente convergente, convGreco ergente, poich´e la funzione integranda di Napoli “Federico II”56r Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di,Base a degli Studi di Napoli “Federico risulta O 1/x3e delle per x in xUniversit` = 0 ha una discontinuit` a eliminabile ed `eII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle continua altrove. altroveento . Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a deglileStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Mediante formule di bisezione, riscriviamo l’integrale da calcolare come segue di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ +∞ 2 sin x + x + x sin x 1 1 cos2x cos2 x + 2x 2 x sin x di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato I = dx = dx = dx 2 Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e−∞ delle Scienze x4 + xdi 2 −∞a degli Studi x4 + xdi2 Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2ix ed osservando 1 dicos2x cos2 x + “Federico 2x sin x = II” Re(1 2ix e ix e ix ),2016-2017 consideriamo la Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli che Studi Napoli Annoe Accademico Luigi funzione ausiliaria di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 1Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato e2iz 2izDipartimento eiz f ( f (z ) = . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` z 4 + z 2a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Gli zeri del denominatore sono 0, di ordine due, e i, semplici semplici.. Il punto punto z = 0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento `e pure zero semplice semplice del numerato numeratore re e quindi 0 `e polo semplice semplice per f . f . I pu punti di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di i non annullano annullano l’espressione l’espressione a numerat numeratore, ore, dunque dunque sono poli semplici semplici p er f . f . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato C tali che ε Consideriamo dominio dominio D D formato punti z a degli che εdi Napoli z ρ e Im z 0,II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica il e delle Scienze di Basedai Universit` Studi “Federico dove 0 < ε < 1 < ρ in modo che i sia interno a D , ed integriamo f f lungo la Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle frontiera fron tiera; ; per il teorema teore ma dei residui, residu i, troviamo tro viamo l’uguaglianza l’uguagli anza Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −ε to Cacc ρ di Napoli “Federico II” Anno(x Accademico 2016-2017 di e Applicazioni “Renato ) + ) dz + (x ( x) Dipartimento f (x) dx + dx f ( f (zLuigi dz +Greco f ( f (x) dx + dx + f (Matematica z ) dz ρ ΓρNapoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e − delle Scienze diγ εBase Universit`aε degli Studi di (8) Dipartimento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II”2πi Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = “Federico f ( f (z ) dz = dz = Rf [iAccademico ], di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ∂D di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dove γ ε e Γρ sono le semicirconferenze nel semipiano Im z 0, di centro 0 e raggi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ε e ρ, rispettiv rispettivamen amente, te, mentre mentre gli altri integrali integrali sono estesi a segment segmentii dell’asse dell’asse 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle reale. reale. Per il teorema del grande cerchio, cerchio, l’integrale l’integrale esteso a Γρ `e2016-2017 infinitesimo infinit esimo per Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento + . oni Essendo z Essendo z f ( f o(z)Cac convergente 4ola i per p er z zlitecni 0, ca per eil teorema del piccolo di Mat Matema ematic tica a e ρApp Applic licazi azioni “Renat “Re nato Caccio cioppol ppoli” i” aScu Scuola Polite Po cnica delle del le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii cerchio esteso a γ ε converge a γ a 017 πi( πi (Luigi 4i) =Greco 4π per ε timento 0. La dei tica e Appli Studi di Napoli “Federic “Fed erico ol’integrale II” Anno Accademi Accademico co 2016-2 2016-2017 Dipartimen Dipar tosomma di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− √
−
−
−
−
−
− √ √ − √ √ − − − − √ −√ √ √ −
√
√ − ∓ √
→ ∓∞
−
−
−
−
−
−
∓
∓
∈
≤| |≤
≥
→ ∞
− → − − −
→
≥
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 52 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di due calcolati lungo l’asse reale (8) converge a v. v .p. di f ( f Matematica (x) dx. dx. D’altra D’altra di Napoli “Federico II”integrali Anno Accademico 2016-2017 LuigiinGreco Dipartimento e Applicazioni “Renato R parte, parPolitecnica te, poich´ po ich´e e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 1 e2iz“Federico 2iz eiz II” Anno 1 Accademico e−2 + 2 e−1 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Rf [ito ] =Cacc =itecnica , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni ca e2idelle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 4z 3 +”2z 2zScuol z =i di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base di Napoli “Federico II” Anno Accademico mediante il passaggio al limitediper ε per ε Universit` 0 e ρ a+degli , daStudi (8) otteniamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 Scienze di Base Universit` v.pCacc . f ( f ioppoli” (x) dx = dx = 4π aπ Pol 1 itecnica e−2ca + 2e edelle di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ” Scuol Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di R di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico da cui ricaviamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π 2 Anno Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento I =“Federico 3 + e−II” 2 e−1 Accademico . 2 ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Notiamo che Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento+di Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ∞ Matema +∞ cazioni sin2x sin2x + x + x cos x Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degliv.Studi di Im Napoli II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento p. f (x) “Federico dx = dx = dx = dx =2016-2017 0, x4 +ca x2e delle Scienze di Base Universit` −∞ −∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato poich´ e l’integrando e Scienze una funzione in accordo col fatto che l’integrale l’i“Federico ntegrale diII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle` di Basedispari, Universit` a degli Studi di Napoli f ( f (x) `eDipartimento real re ale. e. ento di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 56t Usando le formule formule di Eulero, Eulero, l’integran l’integrando do si riscrive riscrive di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 eix Universit` e−ix 2ix Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze4di Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +aedegli 2 2ix 2 i 4sin x + e 2 Cacc e−2ix 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = = 2 − ix II” ix − ix + ix 2+ cos xdi Napoli “Federico 4 + e e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 + e +2 e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2ix 2 eUniversit` 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze = 2 di 2Base ix + 4 eix + 1) eix ( e tica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi quicazioni ndi,, effettu effe ttuand ando o la sostit sosioppoli” tituzi uzione one eix a= Pol z , itecnica da cuicadx = (iz) izScienze )−1 dz, dz , di l’integral l’int egrale e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ” Scuol Scuola Politecni e delle Base Univer Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di cercato I cercato I diviene diviene di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2π 2 2ix 4sin 2 cazioni 2z 2 to 1 Cacc x + etica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Matema e Appli Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I = = dx = dx = dz . 2 + 4z Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2 + cos “Federico x iII”|zAnno 4z + 1) z 22016-2017 Luigi Greco Dipartimento |=1 (z Accademico 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico Anno Accademico Luigi GrecohaDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato LaII” funzione integranda f f 2016-2017 nell’ultimo membro un polo doppio in z = 0 e poli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2 semplici semplici negli zeri di z di z + 4z + 1 vale a dire nei punti punti z = 2 3. Osserviamo cheII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica 2 +Dipartim 3 < 1,ento mentre 2 3 > 1.Applicazio Per il teorema dei residui, risulta dunque Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento I = = 4π Rf [0]+R [0]+ Rf [ 2 + 3] . D’altra D’altra parte, risulta risulta Rf [0]+R [0]+ Rf [ 2 + 3]+ 3] + Rf [ 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 3]erico + Rof [II”] = 0 edAccademico `e subito visto che R che R017 ] = 0. Greco Dunque I DunqueDipar I = = timento 4π Rto 3]. tica e Appli f [ Luigi f [ di2 Matema Studi di Napoli “Federic “Fed Anno Accademi co 2016-2 2016-2017 Dipartimen Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
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→ ∞
− −
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|√ − − √ | −
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− ∓ √ − √ −√ − − − −
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 53 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Essendo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2z (2z 2 1)/z 1)/z 2 2(2 + 3)2 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Rf [ 2 ento 3] =di Matema = ni “Rena 2 + 4z 4z + 1) z=−2II” (2 + 3)2 ( 4 2016-2017 2 3 + 4) Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di(z Napoli “Federico Accademico −√ 3Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 13 + 8 3Luigi Greco 1 Dipartimento 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato = = 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di + Base Universit` 3(14 8 3) 2 3 a degli 7 + 4 Studi 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 7 4 3 5 4 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = Cacc 2a Pol = itecnica 2 2016-2017 3 49 48 2 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico abbiamo I abbiamo I = = 2πento (12 di5 Matema 3)/ 3)/3. tica e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a Risulta degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 56u di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π π sin2x sin2 x sin2x sin2 x di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 I =Accademico dx = Luigi Greco Dipartimento dx di Matematica e Applicazioni “Renato 1 cosa2xdeglieStudi 2ix sin2 Scienze x e2ixdi Base 0Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e0 delle di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” AnnoeitAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e−it 2π 2π sinioppoli” t di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca2ie delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = dt = dt = dt − it it it di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi0 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 cos2016-2017 t 2e 0 1 e +e 2 eit Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli2 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2π π 1Studi e2it“Federico 1 e2it 2016-2017 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di Napoli II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento = dt = dt = i i dt 2 2 2 it it it it it i 0 to2 Cacc e e 1 Scuol 4 e a Pol e + 1 di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 0 ca5ee delle2Scienze di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato z 2 di 1 Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze = dz . 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim|ento di Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (5zMatema 2z +tica 1) e Appli z |=1 z (5z Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per ilcazioni teorema dei residui, I I `e dunque uguale aitecnica 2πi per somma dei residui nei di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni ca eladelle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”della Anno Accademico 2016-2017 Luigimembro, Greco Dipartimento di cerchio Matematica e Applicazioni “Renato poli funzione integranda nell’ultimo che cadono nel unitario. 2 Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola delle Scienze Poi PoPolitecnica ich´ ch´e z 1 eimplica che 5zdi 2z + 1 5 2 1 > 0, tutti i poli cadono nel 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle cerchio e quindi Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z 2 ca1 e delle Scienze 2πi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di I = 2πi 2 πi R[ ] = 2πi lim z = . di Base Universit` 2 →∞ z di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco z (5z (5zDipartimento 2z + 1) di5Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle L’integrale converge assolutamente, essendo l’integrando continuo in R Ex. 56v 56 v Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (x = cazioni 5/2ni`e “Rena disconti dis continuit` a eliminabile) e O x−3itecnica ) percax e delle .Scienze Consid Consideri eriamo amo la di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato tonuit` Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a (Pol Politecni di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di funzione ausiliaria di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ejπ z a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` f ( f (z ) = , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (2 z + 5) 5) (z 2 cazioni + 2 zni + 2) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento R, si riduce all’integrando. Le singolarit` cuilicazi parte reale, per z per zo =Cac x cioppol aenze (alefinito) di Mat Matema ematic tica a e la Applic App azioni oni “Renat “Re nato Caccio ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii di f f erico sono gli Anno zeri del denominatore, cio` e 5Luigi /2 e Greco 1 j, j ,Dipar che sono poli semplici. Studi di Napoli “Federic “Fed o II” Accademi Accademico co 2016-2 2016-2017 017 Dipartimen timento to di Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 54 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Quindi l’integrale si calcola secondo Luigi la formula di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze I = = Reento v.pdi . Matema f ( f (x)tica dx e= π Re cazioni j R[ R[ ni5/“Rena 2] + 2 jtoR[ R[Cacc 1 + j +ioppoli” j]] . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio Appli “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di−∞ Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (L’integrale f va f vato inteso nel senso del valor principale, la Scienze presenzadidel poloUniversit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni di “Renato “Rena Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e per delle Base Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato semplice reale 5/2.) Inoltre Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli−Studi 5 di Napoli “Federico II” Anno Accademico ejπ z e j 2 π 2 j 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle R[ 5/2] = = = ioppoli” Scuola Politecnica 25 2 (z + 2“Federico z + 2) z =−II” 13 2 ( 5 + 2) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di2Napoli Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 5/2 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e, similmente, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1+j ) ejπ z ej π (−1+j 2 + 3 j 3 j Caccioppoli” Scuola Politecnica II” Anno Accademico R[ 1e+ j +delle j]] =Scienze di Base Universit`a=degli Studi di=Napoliπ“Federico . z + 5)(2tica z +e2)Appli (3 + 2 j) j ) 2 j 26 e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di(2Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica z =−1+j 1+j Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto l’integrale vale di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 j 2 j 3 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 I = = π Re + 2LuigiπGreco = Dipartimento (2 3 e−π ) .di Matematica e Applicazioni “Renato 13Base Universit` 26 e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a13 degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli assolutamente, “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 L’integrale converge essendo l’integrando continuoLuigi in R Greco Dipartimento Ex. 56w − 3 itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol ca e delle Scienze di Base Univer sit`a deg degli li Stu Studi di (x = 3 `e disconti dis continuit` nuit`a eliminabile) e O(x ) per x . Consid Consideri eriamo amo la lUniversit` a di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato funzione ausiliaria π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` ej 2 z a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico f ( f (z ) = tica e Appli , to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica ni10) “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (z + 3) 3)Applicazio (z 2 +cazioni 6 z + Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento la cui parte reale, per z per z = x R, si riduce all’integrando. Le singolarit`a (al finito) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di f di f son sonoo gli zeri del d el denominato de nominatore, re, cio` c io`e 3 e 3 j, j , che sono poli semplici. Quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato l’integrale si calcola secondo la formula Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I = = Re v . p . f ( f (x ) dx = π II” Re Anno j R[ R[ Accademico 3] + 2 j R[ R[ 3 2016-2017 + j + j]] . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Luigi Greco Dipartimento −∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (L’integrale di f va f va inteso nel senso del valor principale, per la presenza del polo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato semplice reale e delle 3.) Inoltre Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π z e Appli 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ej tica R [ 3] = = j , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z 2 + 6“Federico z + 10 z=− 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ej 2 z j Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle diπNapoli “Federico II” Anno Accademico R[ Scienze 3 + j + j]] =di Base Universit`a degli Studi = . 2 (ztica + 3)(2 z + 6) 2 e Cacc z =− 3+“Rena j 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni3+j “Renato to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studivale I di Napoli e dunque l’integrale vale I = = π (“Federico e− 2 1). II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Come visto, v. v.p. −∞ f ( f (x) dx ` dx `e reale. In effetti, essendo x2 + 6 x + 10 10 = (x + di Napoli “Federico 2II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3) Politecnica + 1, abbiamo Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π π ∞ ∞ cos + +∞ e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica “Renato to +Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle sinApplicazio ( x cazioni 3) ni “Rena 2 (x 2 x v p Im ( ) = v p = v p . . f ( f x dx = dx . . dx = dx . . dx Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 2 x (x + 1) x (x + 1) −∞ −∞ −∞ di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii `e nullo null o opoich´ poiII” ch´eAnno l’integr l’i ntegrando ando `e funzion funz e dispari dis017 pari.Luigi . Studi di Napoli “Federic “Fed erico Accademi Accademico co ione 2016-2017 2016-2 Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− −
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→ ∓∞
∈
− −∓
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 55 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di converge assolutamente, essendo l’integrando continuo ine R Ex. 56 x L’integrale di Napoli “Federico II”56x Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica Applicazioni “Renato (x Politecnica = 1 `e discontinuit` discontinu a elimin eliminabi le) Universit` e O(x−4 ) aper x Studi di.Napoli Cons Consid ider eria iamo mo laII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle it` Scienze diabile) Base degli “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle funzione ausiliaria z 1 +II”ejπAnno Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento f ( f (z ) = , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” (Scuol Scuola a2Pol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di z 1) (z 2 itecnica + 1) ca e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la cui parte reale, per z per z = x R, si riduce all’integrando. Le singolarit`a (al finito) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base cio` Universit` di Napoli “Federico di f f sono gli zeri del Scienze denominatore, e 1 e a j, j ,degli che che Studi sono poli semplici semplici. . Quindi QuindiII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle l’integrale si calcola secondo la formula Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni Pol itecnica di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di I = = Re v.p. ioppoli” f ( f (”x)Scuol dx a= π Re j R[1] Rca [1]e+delle 2 j R[ R[ j] Scienze j] . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Basedel Universit` a degli Studi “Federico (L’integrale di f va f va inteso neldisenso valor principale, perdilaNapoli presenza del poloII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle semplice reale 1.) Inoltre Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento z 1+ ejπ a 1itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol Politecni Pol ca jπ e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di R[1] = lim = , 2 z →1 Luigi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato z 1 Greco z + Dipartimento 1 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −π “Rena j 1tica + eejπ Appli 1 + eni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle R[ j] j ] = = . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli ( j “Federico 1)2 2 j II” Anno 4 Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto l’integrale vale I vale I = = π 2 /2. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato eScienze analogodiaBase quello dell’Ex. a56x. Esso converge assolutamente, Ex. 56y L’integrale Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle` Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico essendo l’integrando continuo in ( x = 3 / 2 ` e disconti dis continuit` nuit` a eliminabile) e O e O((Scuola x−4 ) Politecnica R 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle per x per x it`a degli . Consideriamo la funzione ausiliaria Scienze Scien ze di Base Universit` Univers Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di j + ejπ zitecnica f ( f (z ) = Luigi Greco , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (2 z 3)2 (z 2 + 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R, “Rena il cui coefficiente dell’immaginario, z = cazioni x ni si riduce riduc all’in all’integ tegran rando. do. Le Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica per e Appli Applicazio “Renato toe Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle singolarit` (al finito) di Napoli f sono f sono “Federico gli zeri delII” denominatore, cio`e 3/22016-2017 e j, j , cheLuigi sono Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` aa degli Studi di Anno Accademico poli semplici. Quindi si ”calcola secondo la formula di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato tol’integrale Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Im Scienze v.p. di Base f ( f (x) dx = π Im j R[3 R[3/ /2] + di 2 j Napoli R[ R[ j] j ] “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola PolitecnicaI e = delle Universit` a degli Studi −∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = π to ReCacc R[3/ [3ioppoli” /2] + 2”RScuol [ j] j ] . a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato (L’integrale di f va f va inteso nel sensoLuigi del valor principale, per ladi presenza del polo Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico semplice reale e3/ 3/delle 2.) Inoltre 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle j + j + ejπ z 1 2 jπ ejπ z π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Napoli “Federico II”=Anno lim Accademico = 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento R[3/ [3Studi /2] = dilim lim (2 z ”3)Scuol z 2 +a1Pol 13 z→ca 2 Scienze 13 di Base Universit` 3/2 2 3/2 e delle di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato toz → Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato j + ejπ jdi BasejUniversit` + e−π a degli ( j + j + Studi e−π )(12 5 j) j ) “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Napoli R[ j] j ] = = = 2 3) 2 j tica2 e(5 j + jAppli + 12)cazioni 338 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento (2 di j Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π 5 + e− + j (12 j (12 5 ola e−π )Po di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o 12 Caccio Cac cioppol ppoli” i” Scu Scuola Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = . Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 338 2016-2017 2016-2 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 56 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto l’integrale vale 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di π Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 π −π )“Rena I = = tica + e Appli (5 +cazioni 12 eni . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 13 169 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ex. L’integrale converge assolutamente, essendo l’integrando continuo in Re eApplicazioni “Renato di Napoli “Federico II”56z Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica O(Politecnica x−4 ) per x per x e delle .Scienze Per il calcolo, la funzione Caccioppoli” Scuola di Baseconsideriamo Universit`a degli Studi diausiliaria Napoli “Federico II” Anno Accademico jzcazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e f ( f (“Federico z ) = 4 II”2Anno ,Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli z 6 z + 25 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di la II” cui Anno parte Accademico reale, per z per z =2016-2017 x R, si riduce all’integrando. Le singolarit` a (al finito) di Napoli “Federico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di f di f sono sono gli zeri z eri del de l denominatore, deno minatore, cio` e (2 + j) j )a edegli (2 Studi j), j ), che sono poli semplici.II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico Pertanto l’integrale 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento entovale di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di+∞ Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = = Reto Cacc f ( f (ioppoli” x) dx = dx = π Rea jPol R[2 R[2 + j + j]]ca + j + je R[ Rdelle [ 2 + j + j]] . di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni I “Renato “Rena Caccioppoli ” 2 Scuola Scuol Politecni itecnica Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di −∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Inoltre Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ejz tica e Appli e−1±2jto Cacc R [ 2 + j + j] ] = = Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico2 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 4 z 3 12 z z =±2+j 4 ( 2 + j + j)) ( 2 + j + j)) 3 2+j a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1±2j 2j 2j e−di e−a1±degli ( 1di Napoli 2 j) j ) e±“Federico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` Studi II” Anno Accademico = = = 4 ( 2 + j + j) ) ( 4 j) j ) 16 ( 1 + 2 j 2 j) ) 80 e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle−Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di j 2j (1 +Greco 2 j 2 j)) e2Dipartimento + (1 2 j) j ) e di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Matematica e Applicazioni “Renato R[2 + j + j]] + R + R[[ 2 + j + j]] = 80 e Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2j ( e2jII” Anno e−2j ) Accademico 2 j( j ( e2j + e−2016-2017 ) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Luigi Greco Dipartimento = 80 e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin2 + 2 cos cos 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli.Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = Universit` j 40 e ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ π Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` aI degli “Federico II”mo Anno Dunque = 20Studi (sin 2di+Napoli 2 cos2). Conclu Concludia diamo notando notaAccademico ndo che −∞2016-2017 f ( f (x) dx ` dx `e Luigi real re ale, e, Greco Dipartimento e (sin di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Univer sit`a deg degli li Stu Studi di in accordo accordo col fatto fatto che il coefficient coefficientee dell’immagin dell’immaginario ario di f ( f (x) `e funzione dispari Universit` e di Napoli “Federico II” Anno Accademico quindi ha integrale nullo.2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 56a analogo tica a quello dell’Ex. 56z.“Rena Essoto`e Cacc assolutamente con- Politecnica 1 L’integrale 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di`e Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle 4 2 jz vergen ver gente. te. La funzione ausiliaria ausili aria f ( f ( z ) = e / ( z 16 z + 100) ha i poli semplici Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (3 + j +cazioni j)) eni (3 j) j )to e risultando di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato “Rena Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ejz e−1±3j R[ 3 + j + j]] = Scienze = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4 z 3 32 z z=±3+j 4 ( 3 + j + j)) ( 3 + j + j))2 8 3+ j 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1±3j −1±3j ±3j e e ( 1 3 j) j ) e di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato Caccio cioppol ppoli” i” = Scuola Scu ola Po Polite litecni cnica delle le Sci Scienz enze Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = o Cac =ca e del , e di Bas 4 ( 3 + j + j) ) ( 2016-2 6 j) j ) 017 24 (Luigi 1 + 3 j 3Greco j)) 240 e to di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi co 2016-2017 Dipartimen Dipar timento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
→ ∓∞
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 57 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di l’integrale di Napoli “Federico II” Annovale Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica +∞ e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimf ( Dipartimento di =Matema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica I = = Re f ento (x) dx = dx 2π Re jtica R[3 R[3e+ j +Appli j]] + j + jcazioni R[ R[ ni 3 + j +“Rena j]] = to Cacc (sin (sinioppoli” 3 + 3 cos cosScuola 3) . 60 e 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −∞ Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di jx di Napoli “Federico II”56b Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Mediante la sostituzione z = e , l’integrale cercato I si I si trasforma nel Ex. 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico seguente 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 Studi(1di+ j +Napoli j)) z 2 “Federico (1 j) j ) 1Anno + j + j Accademico z 2 +2016-2017 j Scienze Scien ze di Base Universit` UniversI it` a degli II” Luigi Greco Dipartimento = = dz = dz = dz . 5 2 2 2 2 2 (5 z + 2 j 2 j z 2 j) j ) 8 ( z j z 1) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di |z|=1 to Cacc |zca |=1e delle2Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (Notiamo che (1 j) j ) = j 2 (1 j) j ) = j (1 j (1 + j).) j ).) Le singolarit`a dell’integrando sono Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico gli zeriDipartim del denominatore, vale atica dire ej/2 j/Appli 2 e 2 j, jcazioni , chenirisultano poli doppi. Pertant Pertantoo Politecnica e delle 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento ento1+j di Matema Matematica Applicazio “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica 1+j l’integrale vale I vale I = = 8di 2Napoli πj R[ R [ j/2]. j/“Federico 2]. EssendoII”inoltre Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuola Scuol a Politecni Pol e zdelle Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 ioppoli” 2 z + j 2z (z itecnica 2 j) j ) ca 2(z 2( + j) j )Scienze di Base Universit` [ j/2] j/ 2] = D 2016-2017 = Greco Dipartimento di Napoli “Federico II” AnnoR Accademico Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato (z 2 j) j )2 z=j/2 (z 2 j) j )3 2 j/Universit` z =j/2 j/ 2 “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle j ( 3 j/2) j/ 2) + 1/ 1 / 2 2 j 16 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = di Napoli “Federico = Anno (1 Accademico + j + j)) , (ioppoli” 3 j/2) j/ 2)”3 Scuol 27 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato troviamo infine I infine I = = π 8/27. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per semplificar semplificaree leggermen leggermente te il calcolo, calcolo, potevamo potevamo osserva osservare re prevent preventiva ivamen mente te 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle che ovviamente risulta Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli2 π“Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento cos xa Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di dx = 0ca . e delle Scienze di Base Universit` (5 Luigi 4sinGreco x)2 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento la di sostituzione Matematica Matema ticaz e=Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ejx , cazioni l’integrale cercato I si I siioppoli” trasforma nel Politecnica Ex. 56c 1 Mediante Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento seguente di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle 2Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 ioppoli” z2016-2017 + 2 z + 1Luigi Greco Dipartimento (z + 1)di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico I = = 2 j dz = dz = 2 j dz . 4 2 +3 3 z 4 10 z 2 + 3Universit`a|zdegli 10dizNapoli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base “Federico II” Anno Accademico |z|=1Scienze |=1 3 zStudi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Le singolarit` a dell’integrando sono gli zeri del denominatore, vale a dire 3 e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1/ cazioni 3, che semplici. vale I = = 2Scienze j 2πj ( πj (R R [1Base / 3]+ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio nirisultano “Renato “Rena topoli Caccioppoli Cacc ioppoli” ”Pertanto Scuola Scuol a l’integrale Politecni Pol itecnica cavale I e delle di[1/ Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di R [ 1 / 3]) = 4 π ( R [1/ [1 / 3] + R + R[ [ 1 / 3]). Essendo inoltre di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di2 Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (z + 1) ( 3 1)2 /3 1 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle R[ 1/ 3] = = = Cacc , Scuola Politecnica 2 √ (12 z 20) z 8 16 16/ / 3 4 3 z =∓1/ II” 3 Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di quindi R quindi R[1 [1// 3] + R + R[[ 1/ 3] = 1/4, troviamo infine I infine I = = π. π . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Per semplificar semplificaree leggermen leggermente te il calcolo, calcolo, potevamo potevamo osserva osservare re prevent preventiva ivamen mente te Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico che ovviamente risulta 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2π cos x II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico dx = dx = 0 . 1+ sin sin2ola x Po di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol i” 3 Scu Scuola Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 0 ppoli” Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 58 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di L’Accademico integrale converge assolutam as solutamente, ente, poich´ e l’integrando l’ integrandodi`e continuo in Re(il Ex. di Napoli “Federico II”56d Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Matematica Applicazioni “Renato 1 L’integrale punto 0 `e una ediscontinuit` discontinui t`a eliminabile) e per x per xa degli Studi risulta O risulta (x−5 ).“Federico ScegliamoII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` di O( Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle la funzione ausiliaria Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” ejπzAnno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento f ( f (z ) = ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z Scuola (z 4 a10Pol z 2 itecnica + 169) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato il cui coefficiente dell’immaginario, per z = x R coincide coincide con l’integran l’integrando. do. Le Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico singolarit` a di f di f sono sono gli Matematica zeri z eri del de l denominatore deno minatore, , cio`eni z = 0 e le radici dell’equazione Politecnica e delle 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di2 Matema tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica 4 biquadratica z biquadratica z 10 z + 169 = 0, ovvero z ovvero z = 5 12 12 j j = = (3 2 j), j ), dove i Luigi segni Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 vanno vannocazioni presi tutti tuttito e quattro quatt ro i modi possibili; sono tutti sempl ici. di Pertan Per tanto, to, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni in “Renato “Rena Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e poli dellesemplici. Scienze Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di com’` noto, noto , Accademico l’integr l’i ntegrale ale cercato cerc ato `e di Napoli “Federico II”eAnno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∞ Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e + delle v.p. entof ( f di (x)Matema dx = π = πtica Im j R [0] +cazioni 2 j 2 j R[ Rni [ 3“Rena + 2 j 2 j]to ] + Cacc 2 j 2 j R[3 Rioppoli” [3 + 2 j 2 j]] Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi GrecoIm Dipartim Dipartimento Matematica e R[0] Applicazio Appli “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle −∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = π Re R [0] + 2 R [ 3 + 2 j 2 j] ] + 2 R [3 + 2 j 2 j] ] . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (L’integrale di f di f va va inteso nel senso valor cazioni principale, a causa delioppoli” polo semplice 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica ticadel e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle reale z reale z = = 0.) Notiamo Notia modiche la parte reale reale di f di f ` `e funzione funzi dispari di spari e quindi qui ndi ha integrale Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico II” Annoone Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di nullo su R, dunque v. v.p. −∞ f (x) dx ` dx ` e immaginari i mmaginario. o. D’altra parte di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ejπz 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico R[0] = 4 = 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e zAppli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ztica10 + 169 169 to Cacc z =0 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e edelle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di jπz (ioppoli” ejπz )/z” Scuol R[ 3 Accademico + 2 j 2 j]] = = . di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato D(z 4 10 z 2 + 169) z=∓3+2 j 4 z 4 20 z 2 z=∓3+2 j Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4 “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di per Matematica Matema Applicazio Appli cazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Tenendo presente che, z = tica 3 +e2 j, j , risulta zni 10 z 2to + Cacc 169 =ioppoli” 0, ricaviamo 4 it` 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli Studi 4z 20 z = 4 (5 z 169) e quindi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di jπ (∓3+2 j ) ejπz ejπ( di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato R[ 3 + 2 j 2 j]] = = 2 Napoli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit`4 a [degli 4 (5 z 2 di169) 5 ( 3Studi + 2 j 2 j))di 169] “Federico II” Anno Accademico z =∓3+2 j 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − − − 2 2 2 π π π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napolie “Federico II” Anno 2016-2017 e Accademico e (12 5 j) j ) Luigi Greco Dipartimento =to Cacc = Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni itecnica ca e = delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 4[5(5 12 12 j j)) 169] 48 (12 (12 5 j) j ) 48 169 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ed Politecnica ancora Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −2π e(12Appli π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle etica + 5 j 5 j) ) ni e−2“Rena (12 to5 j) jCacc ) ioppoli” e−2π Scuola Politecnica R [ 3 + 2 j 2 j] ] + R + R[3 [3 + 2 j 2 j] ] = + = . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 48 169 48 169 2 169 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Osserviamo che, in accordo con quanto detto, R[0]+ R [0]+ R [ 3 + 2 j] j ] + R [3+2 j [3+2 j] ] ` e real re ale. e. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato In Politecnica definitiva, e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento+∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle sin π x π −2π ) . 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico dx = dx = (1 + e (x4 cioppol 10 x2 i” + 169) 169 −∞ di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato ox Cac Caccio ppoli” Scuola Scu ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
→ ∓∞
−
−
−
∓
−
∓
− − ∓
−
−
−
−
∓
−
∓
×
−
−
−
∓ ∓
−
∓
∈ √ ∓
−
×
× −
−
±
×
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 59 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Osservi amo che2016-2017 l’integrando l’integr ando `e funzione fun zioneDipartimento pari, quindi l’integrale l’integr ale cercatoe `Applicazioni e Ex. di Napoli “Federico II”56e Anno Accademico Luigi Greco di Matematica “Renato 1 Osserviamo it la Politecnica met`a dell’integrale esteso all’intervallo [ π, πa].degli Posto osStudi to z =di eNapoli , abbiamo dz =II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim di Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli”z Scuola Politecnica e delle i e i t dtDipartimento = i z dt ento e quando t variatica tra e Appli π e πcazioni , z descrive la to cinconferenza = 1 Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento in verso antiorario. antiorario. Mediante Mediante la formula di Eulero Eulero scriviamo scriviamo cos t = (z + 1/z 1 /z))/2 e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di l’integrale si trasforma quindi come” segue: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 π 1 dz Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle dt Scienze di Base Universit` a degli Studi di = 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica 2 Dipartimento cos tdi ) (5Matema 4 cos tica t) ei Appli z (10ni “Rena 3 z 3to /z) /z )Cacc (5 ioppoli” 2 z 2/z) /zScuola ) −π (5 3ento |z|=1cazioni Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 a Pol z dz Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017=Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato i |z|=1 (3 z 2 10 z + 3)(2 z 2 5 z + 2) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica ticatermine e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle La funzione integranda nell’ultimo ha polinisemplici neiCacc punti 1 /3, 3,Scuola 1/ 1/ 1/2, Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli Studi di Napoli “Federico II”ma Anno 2016-2017 Luigie Greco Dipartimento 2, che it` annullano annu llano il denominato denom inatore. re. Per il teorema teore dei Accademico residui, residui, il valore valore dell’integral dell’integrale di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di `e dunqu du nquee 2 π R[1/ [1/3] + R + R[1 [1/ /2] . Essendo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z di Base Universit` 1 R[1/ [1/3] = di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 z 2 5 z + 2 6 z 10 z=1/ =1 / 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 / 3 1 3 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di = = =Matematica e Applicazioni “Renato /9 5/di 3 +Base 2 2 Universit` 10 (2a degli 15 +Studi 18) ( di 8)Napoli 40“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2Scienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e analogamente R analogamente R[1 [1/ /2] 2/ 2/15, l’integrale vale π 4/15 3/20 = 72016-2017 π/60. π/60. Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di= Napoli “Federico vale π II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento `cazioni E anche l’integrale l’integrando in fratti”, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni possibile “Renato “Rena to calcolare Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a“decomponendo Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di come indicato nell’esercizio 55. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Procediamo direttame direttamente nte con la sostituzio sostituzione ne z = ejx ; l’integ l’in tegral ralee si Ex. 56g 56g1 Procediamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle trasforma nel seguente Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di z ioppoli” 1/z ” Scuol 1 +2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato 2 dz z + 2 jz 2 jz 1 2 j I = = = 2a degli Studi dz . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base2 Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico jz 21 21zz 4 + 58z 58z 2 + 21 z + 1/z 1 /z | | | | z =1 z =1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica 4 + 21 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 7 di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di e Applicazioni “Renato LeII” singolarit` a dell’integrando sono i Luigi poli semplici j , Matematica quindi 7 j e 3 j, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi I di = Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento =Napoli 4πj “Federico R j II” + R j . 7 a Pol 7 e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Essendo inoltree delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to 5Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica 3 3 3 7 1 5Luigi 1 3 a degliz 2Studi + 2 jz 2 jzdi Napoli 1 7 Accademico 7 2016-2017 7 3 +Greco Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` “Federico 7II” 2Anno Dipartimento R j = = = = 3 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi oni 84 “Renat “Re o zCac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di40 jBas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 7 azioni 84z z nato + 116z 116 z = 3 j 4 37 j 21 37 + 29 2 37 j 20 j 20 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico7 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
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√
− −− − − − −
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 60 I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAAnno LI CONAccademico I RESIDUI Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli StudiXIdi II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e similmente di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 5 a73 degli 1 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle R tica e jAppli = cazioni 7 40 j Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di troviamo infine di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 π =Base 4πjUniversit`a=degli . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeI di 40 j 5 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Calcoliamo ora l’integrale riducendo i calcoli con qualche osservazione. Iniziamo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento notando che termine sin xioppoli” a numeratore a contributo contri buto null o: Scienze per la periodicit` periodici a, aUniversit` , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni il “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola ad` Politecni Pol itecnica ca e nullo: delle di Baset` Univer sit`a deg degli li Stu Studi di possiamo possiam o sostituire sosti tuire all’interv all’in2016-2017 tervallo allo di Luigi integrazio integrazione ne Dipartimento [0, [0, 2π ] l’intervallo [ π, π], e poi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco di Matematica e Applicazioni “Renato sin x osserviamo chee4+21cos e dispari. Usando la formula bisezione, abbiamo quindiII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` a deglidi Studi di Napoli “Federico 2 x ` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2π 2π dx dx Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi I = 2di Napoli “Federico II” = 2 Anno Accademico , 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 29 + 21cos 2 x 29ca+ e21delle cos xScienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 0 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Matematica e Applicazioni “Renato l’ultima uguaglianza valendo per laLuigi periodicit` a Dipartimento dell’in dell’integ tegran rando. do.di A questo questo punto punt o Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico possiamo possiamo usare la formula formula (VII.2.4) delle Lezioni: Lezioni: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 π 4 π π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento I = = = . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di 5 e delle Scienze di Base Universit` 292” Scuol 212 a Pol 400 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento2 di Matematica e Applicazioni “Renato Come ulteriore possibilit` adi , scriviamo scrivi nel denominator denom inatore e cos x = 1 “Federico sin2 x: II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzea, Baseamo Universit` a degli Studi di Napoli 2π 2π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 +tica sin x R I = =di Napoli “Federico dx = dx = (sin ( sin x ) dx , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 25 21sin2 x 0 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1+w 1+w di Napoli “Federico II” R Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dove (w) = . A questo punto pun to usiamo l’eserciz l’e sercizio io 55. Le singolarit` singol arit` a di R 25−21w 21w2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico √ 521 e risulta sono i poli semplici 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 5 21 5 R = , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 210 21 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 21 tica 5 e Appli 1 21 “Renato 5 to 1Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degliI Studi Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = 2di π Napoli “Federico II” Anno + 210 ” Scuol 210 25 a Pol 25 Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 1 21 21 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento 2π 2016-2017 21 2π π di Matematica e Applicazioni “Renato = Scienze( di21 + 5Universit` + 21 5) = Studi 21 =di Napoli . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base a degli “Federico II” Anno Accademico 210 Matematica 2 210 5Caccioppoli” 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi F ( di (Napoli “Federico Accademico Luigi L’espressione F L’espressione w) `e l’integral l ’integrale e della delII” la funzione fAnno unzione intera f ( f (z )2016-2017 = e−z lungo la Greco Dipartimento Ex. 57 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di retta orizzontale passante per w , che `e rappresentata dall’equazione Im z = Im wUniver . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Osserviamo innanzitutto che l’integrale `e assolutamente convergente convergente e ovviamente ovviamente Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico F ( F (w) non dipende da Re w, vale a dire `e costante costante su ogni retta orizzont orizzontale, ale, ad 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle esempioasull’asse reale. Per w Per w non reale, scriviamo w scriviamo w = u = u + j v in v in forma algebrica algebrica e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Cauchy a f sul f i” sulScu rettangolo D rettangolo D di dica vertici r vertici r,,le r +Sci j v, venze , er + vBas , e Uni di Mat Matema ematic tica a e applichiamo Applic App licazi azioni oniil teorema “Renat “Re nato odiCac Caccio cioppol ppoli” Scuola ola Po Polite litecni cnica e del delle Scienz di j v, Base Unive versi rsit` t`a de degl glii r, erico dove r dove > 0: Studi di Napoli “Federic “Fed o rII” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− − − −
−
√ −
∓ √
±√ −
−√ − −
√ √
−
−
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∓
−
√
√
√ −
−
− −
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle I. SNapoli VOLGIM“Federico ENTI INTEG RAL I CONAccademico I RESIDUI 61 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiXIdi II” Anno 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato w Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle D Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento r di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to−Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di r di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (la figura `e relativa r elativa al caso v > 0). In tal modo abbiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico z2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica ee− Applicazio Appli “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (9) Dipartimento dz = dzcazioni = 0 .ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +F D di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze diopposti, Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Notiamo che gli integrali sui lati orizzontali hanno versi di percorrenza di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato mentre `e facile mostrare che gli integrali sui lati verticali sono infinitesimi per r Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + . Ad esempio, esempio, scrivendo scrivendo z z = x = x + j y in y in forma algebrica, sul lato verticale destro 2 ni “Rena 2 2 ioppoli” 2 2 Scuola 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle Politecnica risulta x risulta x = r = r e y compreso tra 0 e v , quindi e−z = e− Re z = ey −r ev e−r , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento da cuicazioni segue di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di r+j v ” Scuol 2 2 2 − − z v r di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017e Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato dz Greco v eDipartimento e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzer+ dij 0Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matematica tica passando e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to troviamo Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle infinitesimo per r perento r + Matema . Pertanto, al limite in (9), Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di+Napoli “Federico ∞ +∞II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − −(xitecnica +jv) x2 jv )2 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a ePol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di e dx dx = dx = 0 , −∞2016-2017 Luigi −∞Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli πStudi Napoli che `e la tesi. Dunque per ogni w ogni w C l’integrale avale , che di com’` com ’`e noto n oto“Federico `e il valore valo reII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle per w per w = 0. Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che possiamo anche estendere il caso banale per w R all’intero di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola Politecni Pol itecnica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di pianocazioni complesso mediante ilioppoli” II principio diaidentit` a, a, pca oich´ oi ch´ e F ( F (w) `e funz f unzion ionee intera i ntera. . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Alternativamente e pi`u direttamente, `e sufficiente usare le condizioni di CauchyCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Riemann, Riemann, vista l’indipendenza l’indipendenza da u da u = = Re w: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ∂ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico∂ II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento F ( F (u, v) = j F ( F (u, v) = 0 . ∂vioppoli” ∂u di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
→
∞
|
→ ∞
∈
−
|
≤
≤ | |
√
∈
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO XIII di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Svolgimenti Trasformazione di to Laplace 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”58c Anno Accademico Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato Decomponiamo Decomponi amo 2016-2017 in fratti fratti semplici. semp lici.Greco Essendo EssenDipartimento do Ex. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 R[ 4] c −2 [ 4] R[ R [ 16] 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = e Appli +cazioni + to Cacc 2 2 ( t + 4) ( t + 16) t + 4 ( t + 4) t + 16 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e 1 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico e Applicazioni “Renato R[ 16] = , di R [ 4]Universit` = R[ 16] , c−2 [ di 4] Napoli = , “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base a degli Studi 144 12 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 1/144 1/12 1/144 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = + + di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (t + 4)2 (t + 16) t + 4 (t + 4)2 t + 16 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s 1 s 12 12ss s Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” + Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = + (ni s2 “Rena + 4)2 (to s2 + 16)ioppoli” 144” Scuol s2 + (s2 +ca 4)2e delle s2 +Scienze 16 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli Cacc Scuola a 4Pol Politecni itecnica di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 s d 1 s Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze=di Base Universit` a6degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + . 2 +4 2 +4 2 + 16 144 dnis s“Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e sAppli Applicazio cazioni “Renato to sCacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato s 2016-2017 Luigi di Napoli “Federico II” Anno − 1Accademico = cos2t cos2t + 3t 3 t sin2t sin2t + cos cos 4t u(t) . L u 2 + 4)Scienze 2 (s2 + 16) Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base144 Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (esdelle 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 59b Tenend Tenendoo presenti presenti i valori iniziali, calcoliamo calcoliamo la trasforma trasformata ta del primo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di membro dell’equazione: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle Scienze a degli Studi y 6 y + 13 y ] = Y s2 sdi Base 5 6Universit` (s Y 1 ) + 1 3 Y = (s ( s2 di6Napoli s + 13) 13)“Federico Y s + 1 .II” Anno Accademico L [Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Per il secondo membro abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −3) e−5 (sScienze 3t 5) (s) = Luigi t 5) Dipartimento (s 3) = di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato L e u(t 2016-2017 L u(Greco s 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi ricaviamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −5 (s−3) s 1 4 e di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” +Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e .del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Y = s2 6co s +2016-2 13 017 (s Luigi 3) (s2 Greco 6 s +Dipar 13) timento Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 Dipartimen to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 62 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 6 3 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 Per osserviamo che s s + 13Dipartimento = (s (s 3) + 4die quindi di Napoli “Federico II”antitrasformare, Anno Accademico 2016-2017 Luigi6Greco Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s 3+2 s + 2 −1 entos di1 Matema −1 e Appli 1 s + 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica Applicazio cazioni ni = “Renato “Rena to −Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle L = L e3 t L 2 2 s 6 di s +Napoli 13 (s II” 3) Anno + 4 Accademico 2016-2017 s2 + 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi “Federico Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = e3 t (cos2 + sin sin 2Dipartimento t) u(t) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi tGreco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Inoltre 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −5 (s−3)“Federico −to 5s 4 e 4 e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 = e3 t L −1 L 2 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di (s to 3) (s ioppoli” 6 s +”13) s (es delle + 4) Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` −1 Studi t a degli L = e3cazioni (t ioppoli” 5) 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to4)Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s (s + Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −ca 1 2 2 L 4 4 + s + s s 1 s di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = = Luigi u(t)(1 cos2 t) . s (s2 + 4) (s2 + 4)di Base s Universit` s2 + 4 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellesScienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle In definitiva Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t 3t yni (t)“Rena = u( u(t)toe3Cacc (cos2 t + sin s”inScuol 2 t) +aePol 1itecnica cos2(t cos2( 5) Scienze u(t 5) di . Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca et delle Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Trasforman rmando doMatema ambo am bo itica membri mem dell’equazion dell’eq uazione e e ricava rica vando ndo Y = L [y], Politecnica Ex. Ex. 59c 59 c Trasfo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica e bri Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 4 ioppoli” 1 Pol 1 e delle1 Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di Y = 2 + 2 . di Napoli “Federico II” Anno Accademico s 102016-2017 s + 21 sLuigi10Greco s + 21Dipartimento s 7 s di 3 Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per antitrasformare, osserviamo che 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s 3 (II” s Anno 7) 1 1 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di4Napoli “Federico Accademico = = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc Scuola Politecni di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di s2 to10 s +ioppoli” 21 (”s Scuol 3) (as Pol 7)itecnica sca 7e delle s Scienze 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 1 ento di 1Matema 1tica e Appli 1 1 ni “Rena 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universsit` a degli Studi 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 10 s + 21 di s Napoli 7 s “Federico 3 4 II” s Anno 7 Accademico s 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 1/4 Dipartimento 1/2 1/4 = + “Federico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2 2 (s 7) (s 7) (s 3) (s 3) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” 1/4 Anno 1Accademico 1/8 2016-2017 1/4 Luigi Greco Dipartimento /8 = a Pol + + . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di (s 7)2 s 7 s 3 (s 3)2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Pertanto (per t (per te delle 0) Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 7 7t t 7t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diy(Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t) = (“Federico e e3 t )II” + Anno ( e Accademico + e3 t ) . 8 ppoli” di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol i” Scu Scuola ola4 Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 64 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Tenend Tenendo o presenti presenti i valori Luigi iniziali, calcoliamo calco liamo la trasforma trasfdi ormata ta del primo Ex. di Napoli “Federico II”59d Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato membro dell’equazione: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Dipartim y + Studi 65 y ] =di s 2Napoli Y s “Federico 3 14 (s Y II” 1)+65 Y = (s ( s2 142016-2017 s +65) s Luigi + 11 , Greco Dipartimento L [y it` Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a14degli Anno Accademico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di mentre per ilAccademico secondo membro abbiamo t e 7 t ] = ](s 7) =di 1/ 1/Matematica (s 7)2 . Quindi L [Greco L [t](s di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Dipartimento e Applicazioni “Renato ricaviamo Y ricaviamo Y : : e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica s 11tica e Appli 16 “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle Y =di 2Matema + Applicazio . ioppoli” Scuola Politecnica 2 2 14 s + 65 (s II”7)Anno (s Accademico 14 s + 65) 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi dis Napoli “Federico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Per l’antitrasformazione, osserviamo che s2 14 s + 6655 = (s ( s 7)2 + 16. 16. Dunque Dunque di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (sottintendendo t (sottintendendo Caccioppoli” Scuola Politecnica e t delle0)Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −1 ni “Rena L s 11 s 7 4 7 t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di=Napoli “Federico II” Anno Accademico e (cos4 t 2016-2017 sin4 t) . Luigi Greco Dipartimento s2ni “Rena 14 s +to 65 Cacc (sioppoli” 7)2 + di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ” 16 Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Inoltre Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 16 tica e Appli −ento −1 to 16 1 7t = e L L Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli Luigi Greco Dipartimento 2 (s2 “Federico (s di7) 14 s + 65) II” Anno Accademico s2 (s2 +2016-2017 16) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di1 Matematica e Applicazioni “Renato + s + s2 Luigi s2 Greco −1 16 −1 1 7t L L Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e7 t Scienze = e Caccioppoli” Scuola Politecnica e=delle di Base Universit` a degli s2 (s2 + 16) s2 s2 + 16 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di = e7 tca te delle sin4 t . di Base Universit` 4 di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico In definitiva 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 7t (t) = e“Federico (t + cos cos 4II” t Anno 5/4 sin4 t) . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di yNapoli Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. 59e La trasformata del primo membro dell’equazione `e di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 2 2 s Y s 1 2(sY 2( sY 1) + Y + Y = ( s 2 s + 1) Y s + 1 = (s ( s 1) Y s + 1 . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di La trasformata trasforma ta del secondo membro ` e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base asdegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 Universit` d + t cos t + t t) = 2 tica L 2(sinento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di Matema Matematica e Applicazio Appli cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s2 + 1 ds s2 +ni 1 “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” 1Scuol Scuola a Pol Politecni ca2se2 delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 itecnica 4 s2di Base Universit` =2 + = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato s2 + 1 s2 + 1 (s2 + 1)2 (s2 + 1)2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e quindi troviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 1 4 s di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Y =cioppol + .ca e del 2 (s2 + 1)2 s 2016-2 1 (s0171)Luigi Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 6 5 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di t Il II” primo primo addend add endoo a second secondo o memb membro ro ha Greco antit antitras rasfor format mataa e (per t 0); 0); per pere ilApplicazioni “Renato di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento di Matematica secondo addendo, osserviamo cheBase risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 4 s2 di Napoli (s2“Federico + 1)2 (sII” 1)2 Accademico 1 (2016-2017 s + 1) 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Anno Luigi Greco Dipartimento = = 2 (s2 + 1)2 2 (s2 + 1)2 2 2 + 1)2 ( s 1) ( s 1) ( s 1) ( s di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 a degli d 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = + 2 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (s tica 1) e Appli s + cazioni 1 dnis s“Rena + 1 to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi (per t (per t 0)to Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4 s2 −1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di tNapoli “Federico II” Anno Accademico = t e t eat degli sin Studi t t sin . L Scienze di Base Universit` 2 (s2 + 1)2 ( s 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto la l a soluzion s oluzionee del problema problem a `e y (t) = (1 + t + t)) ( et sin t). di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ponendo Y Ponendo Y = [ y ], scriviamo scrivi amo la trasformat trasf ormata a del primo membro memb ro come Ex. di Napoli “Federico II”59f Anno Accademico L 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 5 5“Renato 22 Scuola Politecnica 2 2016-2017 20162017 Luigi GrecosDipartimento Dipartim Matematica Applicazio Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle Y 5 s ento3 di Matema (s Y tica 5) +e 2Appli Y = cazioni s2 ni “Rena s + 2to Y 5ioppoli” s + . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 3 3 3 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Per il secondo membro, abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze − Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s π/3) π/3) sin2 t = e di3 Base π/3) L u(t L sin(2 t + 2 π/3) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − π3 s 3 s 2 π 3 1 e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di = ioppoli” e− 3 s L cos2 titecnica sin sica n 2et delle = Scienze2di Base . Universit` 2 Greco Dipartimento 2 s + 4 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi di2 Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di 3 Matematica Matema Applicazio Appli ni e“Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Notiamo che s che s 2ento 5 s/ + 2 = (s (tica s e 3) (s cazioni 2/ 3) quinditoricaviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − π3 itecnica s 5 s ioppoli” 22 22/ / ” 3 Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a ePol Politecni ca e 7delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Y = + . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 2 (s + 4) (s 3) (s 2/ 3) 4) (s 3) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per antitrasformare, decomponiamo semplici: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Dipartimento Matematica Matema tica in e fratti Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento s 22 22/ / Cacc 3 R[” 3] R[2/ [2 / itecnica 3] ca e delle 7 12 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni5“Rena “Renato to Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di = + a Pol = +Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno e Applicazioni “Renato (s Accademico 3) (s 2/ 2016-2017 3) s Luigi 3 sGreco 2/ Dipartimento 3 s 3 dis Matematica 2/ 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 Applicazio 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica cazioni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle √ ni L e Appli 2 √ t 3t 3 7 e Accademico + 12 e , 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi e Applicazioni “Renato 7 s2 + 4 + 3Greco s2 Dipartimento 1 s + sdi + Matematica 3 = Studi di Napoli Caccioppoli” Scuola Politecnica2 e delle Scienze = di Base Universit` a degli “Federico II” Anno Accademico 2 + 4) s2 + 4 ( s + 4) 4 ) ( s 3) ( s 4 ) ( s 3) s 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 √ Polite L di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola 3Po litecni cnica ca e 3del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii e t cos2 t sin2 t . Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2 timento “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 66 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto (per t (per t 0) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e √ delle Scienze 2 √ tdi Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3t 3 y ( t ) = 7 e + 12 e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento √ 3 (t−π/3) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 1 “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” 3) Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 Scienze di Base Universit` π/ + u( u ( t π/3) π/ 3) e cos2(t cos2( t Dipartimento π/3) π/3) sin2(t sin2( t π/3) π/ 3) . e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ambo i membri dell’equazione, essendo s 22016-2017 + 2 s + 5 =Luigi (s ( s + Greco Dipartimento Ex. 59g Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a Trasformando degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1)2 +cazioni 4 troviamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 sLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + 1 2 [y ] = Y di = Base Universit` + a degli Studi di L Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2 Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 (s + 1) + 4 (sni + “Rena 1)2 + 4to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di “Federico II” Annoconcludiamo, Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ed usando la formula di Napoli Hermite, antitrasformando t 0, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 t − t di Napoli “Federico II” Anno Accademico y (t) =2016-2017 e cos2Luigi t + Greco sin2 t Dipartimento cos2 t . di Matematica e Applicazioni “Renato 8 4 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` ah degli Studi dioNapoli II” Annozione. Accademico 2016-2017 Luigi Trasfo Trasformiam rmiamo ambo “Federico i mem membri bri dell’equazione dell’equa . Ponendo Ponendo Y = L [y ] e Greco Dipartimento Ex. 59h 59 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di tenendo presenti i valori iniziali, troviamo che la trasformata del primo membroUniversit` di Napoli “Federico `e II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 [4 yDipartimento 4 y + 5ento y ] = di 4(s 4(sMatema Y s tica 1/2) e 4Appli (s Y cazioni 1)+5 = (4 to s2 Cacc 4 s +ioppoli” 5) Y 4 sScuola + 2 . Politecnica L [4 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Applicazio ni Y “Renato “Rena Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento La trasformata trasforma ta del secondo membro `e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 4 di Matematica e Applicazioni “Renato t/2 t/2 di Napoli “Federico II” Anno L Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 4 e sin t (s) = 4 L sin t (s 1/2) = . 2 +1 (s 1di /2)Napoli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni “Renato to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 2 ni “Rena Osservato che risulta 4 s 4 s + 5 = 4 (s 1/2) + 1 , usando anche la formula di Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Hermite, ricaviamo dunque di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di s 1/2 2016-2017 Luigi 1 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Y = + 2 2 + 1 di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica (esdelle Scienze 1/2) (s 1/2)2 + 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Accademico s di 1/2Napoli 1“Federico1II” Anno d s 1/22016-2017 Luigi Greco Dipartimento + + di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni=“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze .di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (s 1/2)2 + 1 2 (s 1/2)2 + 1 ds (s 1/2)2 + 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Antitrasformando infine otteniamo (per t 0) a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 1 t/2 t/ 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”tAnno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y = e cos t + sin t cos t . 2 a Pol 2 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degliPonendo Y Studi di Y Napoli ambo i di membri dell’equazione. Ponendo = L [y“Federico ] e tenendoII” Anno Accademico Ex. 59i Trasformiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni del “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle presenti i valoriento iniziali, troviamotica cheelaAppli trasformata primo membro `e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento + 12 y + 13 y] = 4(s 2 [4 [ 4 y 4( s Y s + 1/ 1 / 2) + 12 1 2 ( s Y 1) + 13 Y L di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii (4 s2 +017 12 sLuigi + 13)Greco Y 4 sDipar 10 timento . Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico=2016-2 2016-2017 Dipartimen to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 6 7 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di LaII” trasformata trasforma ta del secondo membro Luigi `e di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e − delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di s +Napoli 3/ 3/2 “Federico II” Anno Accademico 3 t/2 t/2 4 e cos t ( s ) = 4 cos t ( s + 3/ 3 / 2) = 4 . L L 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (sto + 3/ 3Cacc /2)2ioppoli” +1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Osservato che“Rena risulta s2 +ioppoli” 12 s + ”13Scuol = 4 (as + 3/ 3itecnica /2)2 + dunque di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to4Cacc Caccioppoli Scuola Politecni Pol ca1 e, ricaviamo delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato s + 5/ 5 /2 s + 3/ 3/2 Y =e delle Scienze +Base Universit`a 2degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica di 2 (s + 3/ 3/2) + 1 (s + 3Appli /2)2 + 1 ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e 3/ Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sto +Cacc 3/ 3 /2 ioppoli” 1 a Pol 1 dca e delle1Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di = + ” Scuol . 2 2 2 +1 (s + 3/ 3/2) 2016-2017 + 1 (s + 3/ 3 /2)Greco + 1 Dipartimento 2 ds (s + 3/ 3/2) di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Antitrasformando infine otteniamo (per t 0) a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 − 3 2 t/2 t/ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” tAnno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y = e cos t + sin + t sin t . 2 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ambo di i membri dell’equazione ricavando Y , , troviamo Ex. 59j Trasformando Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a deglieStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle s 3 s 3 s 3 1 d 1 Scuola Politecnica Y = 2 + = 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi “Federico 2 II” Anno 2 (s 3)2 + 16 di Napoli (s 3) Accademico + 16 2 ds2016-2017 (s 3)2 +Luigi 16 Greco Dipartimento (sioppoli” 3)2 + di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” 16 Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e quindi (per t (perAccademico t 0) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a t degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3t y ( t ) = e 2 co cos s 4 t + sin4“Renato t . to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 8 ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di Analogo all’Ex. 59j. Trasformando ambo i membri dell’equazione, troviaEx. 59k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato mo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s + 5 2 2 s 4 +ento 1100 (s di 2) + 74tica + 10cazioni 24 =ioppoli”2 Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle s2 Y Dipartimento Y Matema Y =e(sAppli s + 74) Y 2 sto Cacc (s + 5) + 49 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato toche s Caccioppoli Cacc ” 74 Scuola Scuol Politecni Pol ca ricaviamo e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi, osservando che s 2 ioppoli” + 10 s + = (s (as + 5)itecnica + 49, di Napoli “Federico II” AnnosAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + 12 s + 5 s + 5 + 7 1 d 1 =2 = 2 a degli . II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaY Politecnica e2 delle + Scienze di Base Universit` Studi di Napoli “Federico 2 2 (s + 5) + 49 Matematica (s + 5) + 49 to2 Cacc ds (sioppoli” + 5) 2 + Scuola 49 (s + 5)2tica + 49e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto, antitrasformando ( t “Federico (t 0): di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di t − 5 t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi y (t) = e 2 cos7 t +Greco 2 + Dipartimento sin7 t . di Matematica e Applicazioni “Renato 14 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Ex. 59l i membri dell’equazione, troviamo 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a Trasformando degli Studi di ambo Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di s di 2 Base Universit` 2 2 s Y s 2 ( s Y 1) 2 Y = (s ( s s 2) Y s 1 = 18 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica (s 2)2 + 9 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi, osservando cheMatema che s s 2 s tica 2 =e(sAppli 2) (cazioni s + 1), 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Applicazio ni ricaviamo “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − 1 L 1 18 18 − 2 2 1 t t di Mat Matema ematic tica a e Y Applic App azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite delle le Sci Scienz enze e di Bas Base Unive versi rsit` t`a de degl glii = licazi + e litecni +cnica e caL e del . e Uni 2 + 9) s o 2II” (Anno (s + 3) 3to ) (sdi s + 1) Accademico (s 2)2 +co9 2016-2 Studi di Napoli “Federic “Federico Accademi 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 68 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Inoltre di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 18 Scienze di Base “Federico II” Anno Accademico s2 +Universit` 9 + 9 s2a degli1Studi 3di Napoli s = = + . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim(ento Matematica tica Applicazio “Renato “Rena Caccioppoli” Politecnica e delle 2 + 9) s + 3) 3)di(sMatema (s +e3) 3)Appli (s2 +cazioni 9) nis + 3 to s2 Cacc + 9 ioppoli” Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto (t (ni t “Rena 0): to Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − t 2t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y (t) = e + e (1 + sin 3 t cos3 t) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 59m Trasformando ambo i membri dell’equazione, abbiamo ( s2 6 s + 5) Y di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di s + 5 = e−(s−1) /(s 1) ed essendo s essendo s 2 6 s + 5 = (s ( s 1) (s 5), ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −Universit` 1 L 1 e−(s−1) 1 1 Cacc t 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Y = + e u(t)ni + “Rena et L −to (t Scuola 1) . Politecnica 2 2 s 1 ( s 1) ( s 5) s ( s 4) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Inoltre ni “Rena di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 s2 + 16 s2di Base Universit` 1 s + sa +degli 4 Studi1 di Napoli1 “Federico 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e 1delle Scienze II” Anno Accademico = =tica e Appli = 2 2 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica s (s 4) 16 s (s 4) 16 (s 4) 16 s 16 (s 4) 16 s 16 s Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Luigi Greco e4 t 1Dipartimento 4t −1 di Base = u ( t ) . L Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s2 (s 4) 16 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Pertanto Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (t−1) a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” 4Scuol Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 itecnica 4 (t ca1)e delle Scienze di Base Universit` t t e y ( t ) = e u ( t ) + e u(t 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di.Matematica e Applicazioni “Renato 16 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico scopo illustrativo, forniamo un’altra risoluzione del problema. Innanzitutto, 2016-2017 20162017 Luigi GrecoA Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle osserviamo che Studi esso pu` essere “spezzato” nei Anno due problemi di Cauchy Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli dioNapoli “Federico II” Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di y 6 y + 5 y = 0 y 6 y + 5 y = et u(t 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato y(0) = y = y (0) = 0 y (0) = y = y (0) = 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica condizioni e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to termine Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle dei quali il primo tiene conto delle iniziali ed ha noto nullo, Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento mentre il secondo ha valori iniziali nulli e tiene conto del termine noto dell’equazione. di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di In altri termini, termini, dette dette y1 e y2 rispettiv rispettivamen amente te le soluzioni soluzioni dei due problemi, la di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato soluzione y soluzione y del problema iniziale `e la l a somma di queste: y = y = y 1 + y + y2 . Com’` Com’ `e chiar ch iaroo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t dai calcoli precedenti, risulta y2tica (t) =e Appli e u(t). D’altr D’a ltra a parte, parte, se H ioppoli” (s) = 1/(Scuola s2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica 6 s + 5) ` e la funzione di trasferimento (cio` e il reciproco del polinomio caratteristico Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 H , `e noto che la dell’operatore differenziale aioppoli” primo”membro) e h = hitecnica = L ca l adisoluzione soluzi one di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Scuol a Pol Politecni e delle Scienze Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di y si scrive come prodotto di convoluzione di h col termine noto dell’equazione; nel 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato caso dell’esercizio dell’esercizio, , la Scienze convoluzion convoluzione e si Universit` calcola calcola facilmente. facilmen In effetti, per“Federico la formulaII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base a deglite. Studi di Napoli dello sviluppo di Heaviside Hea viside, , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico52016-2017 Luigi Greco Dipartimento t t 1 e e − 1 t 5 t di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” Scuola Scu Polite delle le Sci Scienz enze Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii h(azioni t) oni = L “Re = i”R[1] eola + R[5] RPo [5]litecni e cnica uca (t) e= del u(te) di Bas 1) (s co 5) 2016-2 4 to di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno(sAccademico Accademi 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 6 9 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` +∞ 5aτ degliτ Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 5 t e delle t e e e ni e“Rena t τ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim entoudi Matematica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica y1 (tDipartimento )= (t) Matema e u(t tica 1) = u(τ ) τ )to et−Cacc u(tioppoli” τ 1)Scuola dτ 4 Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −∞ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli4Studi di Napoli “Federico II” Anno +∞ et “Renato di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni Caccioppoli Scuola Politecni Pol ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di τ = ni “Rena (to e4 Cacc 1)ioppoli” u(τ ) τ ) u”(tScuol τ a 1) dτitecnica . di Napoli “Federico II” Anno4Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico InoltreDipartimento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 0 , per t per < 1 eAccademico per τ per τ > t 1; Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” tAnno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento u(τ ) τ ) u(t τ 1) = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” 1 Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di , per 0 < τ
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 70 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Calcoliamo la trasformata del I membro dell’equazioneditenendo presenti Ex. di Napoli “Federico II”59o Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato i valori iniziali,e delle usando la propriet` a di linearit` e la formula la trasformata Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a degli Studi diper Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (unilatera) delleento derivate: Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 6 y + 34] = s 2 2 [ y = s Y s 1 6 ( s Y 1) + 34 Y = ( s 6 s + 34) Y s + 5 , L di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dove come al solito Y solito Y = L [y ] `e la trasformata della funzione incognita. Notiamo che Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico il fattore che moltiplica Y `e ildipolinomio caratteristico dell’operatore dell’opdi eratore differenziale. 2016-2017 20162017 Luigi GrecoPer Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle trasformare il II membro dell’equazione, usiamo la formula di traslazione Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento in s in s e ricordiamo la trasformata del seno: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 5 3t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ](s) = L [sin5 [ sin5 t](s ](s 3) = . L [ e sin5 t](s (sStudi 3)2 di + Napoli 25 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Ricaviamo ora Y ora Y ; ; nel fare ci`o, o, osserviamo che s che s 2 6 s + 34 = (s 3)2 +25 e dunque Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento s ”5 Scuol 5 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di Y Caccioppoli = ioppoli” +a Pol . 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato (s 3) +Luigi 25 Greco (s Dipartimento 3)2 + 25 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per ricavare la soluzione, antitrasformiamo l’espressione a IIto membro. Per il primo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle termine, mediante la formula di traslazione in s abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di s to 5 Cacc sa Pol 2 itecnica 2 − − 1 3t 1 3t = e L Luigi2Greco Dipartimento = e cos5 t di Matematica sin5 t . e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” L Anno Accademico 2016-2017 (s 3)2 + 25 s + 25 5 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim di do Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni niula “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Decomponiamo DecomDipartimento poniamoento il secondo secon termine mediante mediant e la formula form di Hermite Hermi te eioppoli” ricordiamo ricordiamo la Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` aper degli Studi di della Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento formula la derivata trasformata: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 52016-2017 Luigi e3 t Greco 1 d di sMatematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico − − 1 1 Dipartimento + L L 2 = Universit` 2 + 25 “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base a degli Studiddi 10 s2 + 25 s sNapoli (s Scienze 3)2 + 25 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e3 t 1 sin5 t cat cos co s 5 t Scienze . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ”=Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica e delle di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 10 5 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base Universit` a degli In Politecnica definitiva, definitiva, lae soluzione del problema di Cauchy `e Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t 19 3 t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studiy(di II” Anno Accademico t) Napoli = e “Federico 1 cos5 t sin5 t . 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 10 a Pol 50ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze all’Ex. 59o;di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 59p Analogo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t 3 2 3 4 t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studiydi II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (t)Napoli = e “Federico 1 cos sin t . t + t + Accademico 3 a Pol 2 itecnica 9 ca e2 delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze all’Ex. 59o;di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 59q Analogo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t t t 5 t “Federico Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studiy (di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t) = e 1 cos + sin . 2 2 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 7 1 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Analogo all’Ex. 2016-2017 59o; Ex. di Napoli “Federico II”59r Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base2Universit` 2a degli Studi 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico t y ( t ) = e 1 t cos t + sin t .Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 5 5 5 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ex. 59s La trasformata trasforma ta del I membro `e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato + 16 y 5 y ] = 16 [16e ydelle 16 Universit` (s2 Y s a degli 1) + 16 1Studi 6 (s Y di Napoli 1) 5 Y “Federico II” Anno Accademico L [16 Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base 2 = (16 s + 16 s 5) Y 16 s 32 . ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per trasformare trasformare il II mem membro, bro, usiamo innanzitutto innanzitutto la formula formula di traslazione traslazione in s: s : di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 3 − t/2 t/2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cos t (s) = L t cos t (s + 1/ 1 /2) . L t e 4 4 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento didella Matematica Matema tica della e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Inoltre, per la formula derivata trasformata, abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico22016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 d 3 d s s 9/16 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle di2 Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di t to=Cacc t =a Pol = Scienze L nit cos L cos 2 2 4 d s 4 d s s + 9/ 9 / 16 ( s + 9/ 9 / 16) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 (scazioni + 1/ 1 /ni2)2“Rena 9/16 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − t/2 t/2 t e cos t ( s ) = . L 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 + 9/ 4 (s + 1/ 1 /2)Accademico 9/16 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ricaviamo ora Y ora Y dall’uguaglianza dall’uguaglianza ottenuta trasformando ambo i membri dell’equadi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato zione; a tale scopo, osserviamo che 16 s + 16 s 5 = 16 (s + 1/2)2 9/16 = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 16 (s Dipartimento 1/4) (s +ento 5/ 5 /4)die dunque 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s + 2“Federico II” 1 Anno Accademico 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Y = + 2 . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di (s Cacc 1/4) (s + ”5/ 5/Scuol 4) a16Pol (sitecnica + 1/ 1 /ca 2)2e+delle 9/ 9/16 Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato A Politecnica questo questo punto, dobbiamo antitrasf anti ormare re l’spressione l’spressio neStudi a II mem membro. bro. Per il primoII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Scienze ditrasforma Base Universit` a degli di Napoli “Federico addendo, decomponiamo in fratti semplici. Poich´ Poich ´ e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento s + 2 1/4 + 2 3 1 R [1/ [1 / 4] = = = , R [ 5 / 4] = R [ ] R [1/ [1 / 4] = , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base2Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di sni +“Rena 5/ 5 /4 s=1/ 1ioppoli” /4 + 5/ 5 /”4 Scuol 2 a Pol =1/4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato abbiamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio ni−1“Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle L s + 2ento di Matema 3/2 tica e 1Appli /2 cazioni 3to t/4 1 − t/4 5 t/4 t/4 = e e . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (s 1/4) (s + 5/ 5 /4) s 1/4 s + 5/ 5 /4 2 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Per il secondo addendo usiamo la formula di Hermite: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t/2 Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 1 e−t/2 1 d s −1 e delle Scienze −1 L L = + 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica 2 2 + 9/ 16 18 s2 + 9/ 9/16 ds s2 + 9/ 9/16 ( s + 1/ 1 / 2) 9 / 16 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − t/2 t/2 e 4 3 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = sin t t cos t . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 18 3a degli 4 Studi di 4Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento entoconcludere di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Possiamo pertanto Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 t/4 1cioppol 2Po 3 ca te del 3le Sci 5 t/4 t/4i” Scu t/ola 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Renat o 4 Cac Caccio Polite litecni delle Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii y (t)“Re = nato et/ e−ppoli” + Scuola e−t/2 sin cnica t cos t Scienz . enzee di Bas 2 co 2016-2 27 Greco 4 Dipar 8 timento 4 to di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno2Accademico Accademi 2016-2017 017 Luigi Dipartimen Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 72 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Ex. 59t Analogo all’Ex. 59s; di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 − 2 “Federico t 5t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studiydi Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (t) = e +e sin7 t t cos cos 7 t . 7 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ambodii membri dell’equazione, troviamo Ex. 59u Trasformando Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (s2 3 s + 2) Y 2 s + 3 = 10 Accademico 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (s 2) + 9 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ed osservando che s 2 3 s + 2 = (s ( s 1) (s 2), ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 sdi Base 3 Universit`a degli 10 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Y = + . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (s 1) (stica2)e Appli (s cazioni 1) (ni s “Rena 2)2 + to 9 Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −1 L 2 s 3 s 2 + s + s 1 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = = + et + e2 t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (s 1) (s 2) (s 1) (s 2) s 1 s 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 10 “Federico II”2 Anno 10 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 to Cacc −1Accademico t = e L di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niL “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (s + 1) 1) (s2 + 9) (s 1) (s 2)2 + 9 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s2 + 9 +tica 1 es2Appli 1 to Cacc 1 ioppoli” s −1 Matematica −1“Rena 2t t 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Applicazio ni “Renato Scuola Politecnica Politecnica e delle = e2ento = ecazioni + Caccioppoli” L di Matema L 2 2 (s + 1) 1) “Federico (s + 9) II” Anno Accademico s + 1 s 2016-2017 +9 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = et + e2 t sin3 t cos3 t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli 3 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Pertanto Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 t 2t y ( t ) = 2 e + e 1 + sin3 t cos3 t . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a3 Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze all’Ex. 59u;di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 59v Analogo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 3 1 1 −5 t/2 2 2 t/2 t/ t/ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli yStudi 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (t) = di e Napoli + “Federico sin4 t II” Anno cos4 t Accademico e . 3 16” Scuol 4 itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni ca e12delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ambodii Base membri dell’equazione, troviamo Ex. 59w Trasformando Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 27 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (s2 + 4 s + 4) Y s 2 = Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (sAccademico 1)2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi ricaviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 1 Luigi Greco 27 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Y =di Base +Universit` . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico s + 2 (s + 2) 2 (s 1)2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Osserviamo inoltre che Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento s + 2Scuola + 1ola sPo 1 ca e 1del di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o3 Cac Caccio cioppol ppoli” Polite cnica delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = i” Scu =litecni (s + 2) 2) (s 1)co 2016-2 (s + 2) 2017 ) (s Luigi 1) Greco s 1 Dipar s + timento 2 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademi Accademico 2016-2017 Dipartimen to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 7 3 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a2 degli Studi di Napoli 2“Federico II” Anno Accademico 27 di Matema 3Applicazio 1 to Cacc 1 ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica cazioni ni3 “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle = 3 tica e Appli = 2 2 (s + 2) (s di1)Napoli “Federico (s + 2) 2) (s II”1)Anno Accademico s 1 s + 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 Luigi Greco 3Dipartimento3di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 = 2 + (s Base 1)2Universit` (s 1) (s + 2) +Napoli 2)2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi(sdi “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 2 Anno2Accademico 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = + + 2 (s ”1)2Scuol sa Pol 1 itecnica s + 2ca e (delle s + 2)Scienze di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1 Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base L −2 t t 2t 3 t ecazioni 2niet “Rena + 2 e−to + 3 t eioppoli” 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli” Cacc Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −itecnica t 2t y ( t ) = e (3 t 2) + 3 e ( t + 1) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Trasformando ambo i membri dell’equazione, troviamo Ex. 59x Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di d itecnica e−s ca e delle sScienze + 1 − 2 s s + Y ( s + 3 s + 2) s 2 = 4 = 4 e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di 2Matematica e Applicazioni “Renato ds s s Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento Matematica Applicazio Appli niricaviamo “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e quindi, notando che s chedi s 2Matema + 3 s + tica 2 = (s (es + 1) 1) (scazioni + 2), Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 Scuola 4 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di Y = ” Scuol + e−as Pol . s + 1Luigi Greco s2 (sDipartimento + 2) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Essendo inoltree delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s2 + 4 s2II” Anno 1 Accademico 2 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di 4Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = 2 = + , s2 (Cacc s + 2) s ”(sScuol + 2)a Pol sitecnica + 2 cas2e delle s Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato troviamo infine Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −2 (t−e 1)Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle y (t)di = Matema e−t + etica + 2 (cazioni t 1)ni “Rena 1 u(t to 1) . ioppoli” Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”59y Anno 2016-2017 Greco Dipartimento LaAccademico trasformata del secondoLuigi membro dell’equazione `e di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e3 t sin6ento t u( u (t di πMatema ) = L tica sin6e t Appli u( u (t cazioni π) (sni “Rena 3) 2016-2017 20162017 Luigi Greco L Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento s−3) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 6 e−π(di − π(s−3) = e sin6(t sin6( t + π + π) ) ( s 3) = L u di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di(s Matematica 3)2 + 36 e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 e quindi, essendo s essendo s 2 di6 Matema s + 45 =tica (s (s e3)Appli + 36, ricaviamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −π(s−3) s + 3 6 e di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o = Caccio Cac cioppol ppoli” i” Scu Scuola Polite litecni cnica ca . e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Y + ola Po 2 + 36 2 + 36]2 (s co3)2016-2 [(Luigi s 3)Greco Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 017[(s Dipartimen Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 74 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Infine, antitrasformiamo: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 L u ni “Rena s + 3di Matema s tica 3 +e 6Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = e3t (cos6t (cos6t2016-2017 + sin sin 6t) u(Luigi t) ; Greco Dipartimento 2 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (s 3) + 36 (s 3) + 36 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − π(s−3) 3t di Napoli “Federico II” Anno6Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e e 1 d s −1 −1 = di Base + (tNapoli π ) “Federico II” Anno Accademico L u Universit` Caccioppoli” ScuolaL Politecnica e delle Scienze a degli2Studi di u 2 2 2 [(s [(s 3) + 36] 12 s + 36 ds s + 36 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 e Appli tcazioni π ni “Rena = e3t“Federico sin sin 6t II” Anno cos6t cos6 t u(t π )2016-2017 . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli Accademico Luigi Greco Dipartimento 72 12 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pertanto la soluzione soluzio ne `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 cazioni π to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio ni t“Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3t ento di Matema y ( t ) = e (cos6t (cos6 t + sin s in 6 t ) u ( t ) + sin si n 6 t cos6t cos6 t u ( t π ) . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico72 II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 12 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. 59z La trasformata del secondo dell’equazione edi Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base membro Universit` a degli Studi ` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4t e sin3t sin3 t u( u ( t π/3) π/ 3) = sin3t sin3 t u( u ( t π/3) π/ 3) ( s 4) L L II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π − (s−4) 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017=Luigi Greco Dipartimento di (Matematica e Applicazioni “Renato e sin3(t + π/ + π/3) 3) s 4) L u sin3(t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π (s−4)ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 e− 3cazioni = Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (s 4)2 + 9 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi e quindi, essendo s essendo s 8 s + 25 = (s (s 4) + 9, ricaviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 4) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle stica1 e Appli 3 e− 3ni(s−“Rena = . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diY Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (s 4)2 + 9 [(s [(s 4)2 + 9]2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Infine, antitrasformiamo: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle L u ni “Rena s 1di Matema s tica 4 +e3 Appli 4t = e (cos3t (cos3 t + sin si n 3 t ) u ( t ) ; Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (s 4) + 9 (s 4)2 + 9 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 e− 3 (s−4) e4t −1 1 d s −1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di = + (t Napoli π/3) π/3) “Federico II” Anno Accademico L u L uUniversit` 2 + 9] 2 [(s [(s 4) 6tica e Appli s2 +cazioni 9 ni ds “Rena s2 + 9to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 t π/3 π/ 3 4 t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli Luigi Greco Dipartimento = e “Federico sin sin 3t II” Anno Accademico cos3t cos3t u(t 2016-2017 π/3) π/3) . 18 6 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pertanto la soluzione soluzio ne Scienze `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e 1 Applicazio Appli cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle tni “Rena π/3 π/3 to Cacc y (tit` )= e4t Studi (cos (cos 3tdi + Napoli sin sin 3t) u“Federico (t) + sin si n 3Anno t cos3t cos3t 2016-2017 u(t π/3) π/3) Luigi . Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli II” Accademico Greco Dipartimento 18 6 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 7 5 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di trasformata2016-2017 del secondo membro dell’equazione `e di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. di Napoli “Federico II”59a Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento 1 La Caccioppoli” Scuola Politecnicaee4 tdelle Scienze di Base Universit` a degli Studi di “Federico II” Anno Accademico sin6 t u( 4) u (t π/2) π/2) = L sin6 t u( u (t π/2) π/2) (s Napoli L 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico ( s−4) = e− 2 (s sin6(t + π/ + π/2) 2) (s 4) L u sin6(t di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π ( s−4) 6 e− 2 (s Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 2 + 36 (s 4) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi, essendo s essendo s 2 8 s + 52 = (s (s 4)2 + 36, ricaviamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π (s ( s−4) 2 s + 2Luigi Greco 6 e− di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Y = . 2 + Studi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze degli (s di Base 4)2 +Universit` 36 [(s [(s a 4) 36]2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Infine,Dipartimento antitrasformiamo: Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 L s +to 2 Cacc s ”4 + 6 a Pol u di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol Politecni itecnica ca e 4delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di t = e (cos6t (cos6 t + sin s in 6 t ) u ( t ) ; 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico (s 4) + 362016-2017 (s 4) Luigi + 36 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π (s (s−4)di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 6 e−ento e4t tica 1 cazioni dni “Rena s to Cacc − − 1 1 = + ( t π/2) π/ 2) L L Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento u it` [(s [(s 4)2 + 36]2 12 u s2 + 36 ds s2 + 36 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 t itecnica π/2 π/2 ca e delle Scienze di Base Universit` 4t = e sin sin 6tGreco Dipartimento cos6t cos6t u(t di Matematica π/2) π/2) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi e Applicazioni “Renato 72 12 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto la soluzione soluzio nedi`e Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 t π/2 π/ 2 4t y ( t ) = e (cos (c os 6 t + sin s in 6 t ) u ( t ) + sin si n 6 t cos6t cos6 t u ( t π/2) π/ 2) . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 72 a Pol 12 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 59b1 La trasformata del secondo membro dell’equazione ` e 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − 2t e a degli sin7Studi t u( u (t diπNapoli ) = L “Federico sin7t sin7t u( u (t II”πAnno ) (s + Accademico 2) L it` Scienze Scien ze di Base Universit` Univers 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −π (s+2) e Applicazioni “Renato 7 e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica = e−π (s+2) L u sin7(t sin7( t + π + π)) (s + 2) = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli (s +“Federico 2)2 + 49 II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 di Matema 2 e quindi, essendo s essendo s + 4 s + 53 = (s ( s + 2) + 49, ricaviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +2)e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di s +”9 Scuol 7 itecnica e−π (sca Y = . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 + 49]2 (s + 2)2 + 49 Greco [(s [(s + 2) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Infine,Dipartim antitrasformiamo: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento L u s + 9 di Napolis + 2 + 7 II” Anno −2t (cos7t = (cos7 t + sin sindi 7t)Base u(t) ;Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca ee delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di (s + 2) 2 + 49 (s + 2)2 + 49 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica − e delle Scienze di−Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 7 e π (s+2) e 2t −1 1 d s − 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = + (t ioppoli” π) L u Dipartimento L u 2 2 2 2 [(degli s + 2)Studi + 49]di Napoli 14 49 Accademico ds s + 49 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a[(s “Federico sII”+Anno 1i” Scu t Polite πlitecni −2tppoli” di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cnica delle Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = ecioppol sin sinScuola 7t ola Po cos7t cos7 tca ue(t del πle) . Sci 98 017 Luigi 14 Greco Dipar Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 76 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto la Accademico soluzione soluzio ne `e 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 1 a degli t Studi π di Napoli “Federico II” Anno Accademico − 2t (t) = e ento (cos7t (cos7 + sin sin 7ttica ) u(t)e+Appli sin si n 7tni “Rena cos7t cos7 t uioppoli” (t π) .Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi GrecoyDipartimento Dipartim di tMatema Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle 98 14 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”59c Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Trasformando ambo i membri dell’equazione e notando che il polinomio Ex. 1 Caccioppoli” Scuola Politecnicasie delle Scienze di Base a degli di(sNapoli “Federico II” Anno Accademico caratteristico scompone come segueUniversit` s 2 10 s + 21 =Studi (s (s 3) 7), ricaviamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 s “Federico 10 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Y (s (s) = + . 2 (s ioppoli” 3) (s ” Scuol 7) a(sPol 7) (s ca3)e delle + 16 Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Antitrasformando otteniamo (di t Base 0) Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze (t 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to−1Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle L u 2 s 10 s 3 + s + s 7 1 1 7 t 3 t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi=di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 = II” + e + e Luigi Greco Dipartimento (s 3) s 7) to Cacc (s ioppoli” 3) (s ”7)Scuol s a 7Pol s 3ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni (“Rena “Renato Caccioppoli Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 1 di Matematica e Applicazioni “Renato −1 −1 Studi di 3t L u e delle Scienze di Base Universit` L = e Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Napoli “Federico II” Anno Accademico u 2 + 16) (s 4)to(sCacc (s di7)Matema (s 3)2tica + 16e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ed essendo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 1 1 s + 16 + 16 s Dipartimento 1 1 + 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di s Matematica e Applicazioni “Renato = = 2 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (s 4) (s + 16) 32 (s 4) (s + 16) 32 s 4 s + 16 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di NapoliL “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 u 4t cos4t cos4ca t e sin4t sin4 t)Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a ( ePol Politecni itecnica delle Universit`a deg degli li Stu Studi di 32 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato troviamo infinee la soluzione Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 33 7tica cos co s 4ni t +“Rena sin sin 4t to Cacc t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studiydi 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (t)Napoli = e“Federico + e3t 1II” Anno Accademico . 32 32ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a deglieStudi di Napoli Trasforman do ambodi i membri dell’equazione osservando che il“Federico polinomioII” Anno Accademico Ex. 59d1 Trasformando 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle caratteristico si decompone come segue s 5 s + 6 = (s ( s 2) (s 3), ricaviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 s 5” Scuol 1ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di Y (s (to s) = + a Pol . 2 ( s 2) ( s 3) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco (s 3)Dipartimento (s 2) + 25 di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per antitrasformare, cominciamo osservando che ( tni “Rena (t 0) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Dipartimento Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 L u 2 sni “Rena 5 s 2ioppoli” + s + s ”3 Scuol 1a Pol 1 ca e delle t di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli Cacc Scuola Politecni itecnica Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di = = + e3t +die2Base . Universit` ( s 2) ( s 3) ( s 2) ( s 3) s 3 s 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico D’altra parte 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 1 − − 1 2t 1 L L = e . di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e 2del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii u “Re 2 (s Dipar 1)(s 1)(s timento + 25) to di Matema (s Accademico 3) (s 2) 25 017 Luigiu Greco Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademi co + 2016-2017 2016-2 Dipartimen Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 7 7 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Inoltre di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze1disBase Universit` 2 1 + 25 + 1 s2 a degli 1 Studi 1 di Napoli s + 1 “Federico II” Anno Accademico = =ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (s 1)(s 1)(s2 + 25) 26 (s 1)(s 1)(s2 + 25) 26 s 1 s2 + 25 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −1 L u 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi1 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato et cos5t cos5t sin5t sin5t . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi 26 5 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Pertanto la soluzione soluzio ne di `e Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a1 Pol Politecni itecnica ca1 e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 27 ioppoli” y (t) = 2016-2017 e3t + e2t Luigi 1 Greco cos cos 5Dipartimento t sin sin 5t di. Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 26 26 130 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Trasformando ambo i membri dell’equazione e notando che il polinomio Ex. 59e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a1degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 caratteristico si scrive (Cacc s 7) , ricaviamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to (s Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato s 12 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delleY Scienze a degli Studi di (s (s) = di Base +Universit` . Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2 (s 2 +9 (s tica 7) e (Appli s 7)cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni 7) “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per l’antitrasformazione, notiamo innanzitutto che (t ( t 0) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” AnnosAccademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato 12 3 Luigi Greco 7Dipartimento 3 −1 −1 s 5 + t + = e . L u L u Studi di Napoli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli “Federico II” Anno Accademico 2 2 2 (s2 + 9) 2 (s 2 +9 ( s 7) s s ( s 7) 7) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −1 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco L s 5 1 5 u = 1 Studi 5t di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli 2 2 s s s 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −to 1 L u 1 s2di+Napoli 9 s2 “Federico 1 1 II” Anno 1 t 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a 3degli Studi Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = = sin sin 3t 2 2 2 2 2 2 scazioni (s ni + 9) 3 tos Cacc (s +ioppoli” 9) s a sPol +itecnica 9 ca e delle Scienze 3 9di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato “Rena Caccioppoli ”3 Scuol Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e quindi la soluzione soluzi one `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 14 cazioni 1 ni “Rena 7t y ( t ) = e 1 t sin si n 3 t . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico3II” Anno 9 Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ambodii Base membri dell’equazione e notando che il“Federico polinomioII” Anno Accademico Ex. 59f 1 Trasformando Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli 2 caratteristico siento scrivedi(s ( sMatema 5) , ricaviamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento s 8 6 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ”+ Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di Y (s (sCacc ) = ioppoli” . Scienze di Base Universit` 2 2 (s 2 + 36 ( s 5) ( s 5) 5) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per l’antitrasformazione, notiamo innanzitutto che (t ( t 0) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento s 8 6 3 6 − − 1 5t 1 s L L + = e + . di Mat Matema ematic tica a e App Applic azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni ca e2 del delle le2 Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii ulicazi ucnica 2 + 36) (s 5)2 Accademi s s (sto (s 5)2 (sco 2016-2 5)2 + 36 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 78 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Inoltre di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` −1a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico L u s 3 1 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni 1 “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = tica e2 Appli 3t to Cacc s2 s s Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1 2 Cacc L u di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Scuola Politecni ca e delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di 6 ni “Rena 1 sto +Caccioppoli 36 ioppoli” s2 ”1 Scuol 1 a Pol 1itecnica t di 1 Base Universit` = = Luigi sin sin 6et Applicazioni “Renato di Napoli “Federico sII” Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica 2 (sAnno 2 + 36) 2 2 2 2 6 s (s + 36) 6 s s + 36 6 36 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi la soluzione soluzi one di `e Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 17 1 5t y ( t ) = e 1 t sin6t sin6 t . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 18a Pol 36 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico i valori calcoliamo la to trasformata del primo Ex. 59n 59 n1 Tenendo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento presenti di Matema Matematica tica einiziali, Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle membro dell’equazione Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena Caccioppoli Scuola Politecni ca e2 delle Scienze di Base Universit` degli li Stu Studi di + y 2 2 y“Renato + y]] to = sCacc Y ioppoli” s 1 ” Scuol 2 (s Y a Pol 1) itecnica + Y + Y = (s 2 s + 1) Y s + 1 , Universit`a deg L [y di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico mentre per il secondo membrodiabbiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimtento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e u ( t ) u ( t 1) ( s ) = u ( t ) u ( t 1) ( s 1) L L Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −(s−1) 1) 1 Politecni e−(s−ca 1 eScienze di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola itecnica e=delle Universit`a deg degli li Stu Studi di = a Pol .di Base Universit` s Greco 1 s 1 sdi Matematica 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico 1 1 e−(s−1) II” Anno Accademico 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle In definitiva, essendo s essendo s Matema 2 s + 1tica = (s (es Appli 1) , cazioni troviamo Y troviamo Y = to Cacc +ioppoli” Scuola e Politecnica 3 s 1 2016-2017 (s 1)Luigi Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento quindi antitrasformando di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di tLuigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 e y (t)Scienze = et u(tdi )+ t2 u(t) (t 1)2 u(t 1) . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base 2 Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 59o 59o1 Trasfor Tr“Renato asformiamo miamo ambo i mem membri bri adell’equazi dell’e quazione; one; per il secondo secondo mem membro, bro, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di osserviamo osser ch e sin 2 t = sin2 s2016-2017 in2 (t π) Luigi e usiamo la formula di traslazione: di Napoli “Federico II”viamo Anno che Accademico Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli2Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (s2 + 2)ticas e Appli 2 =cazioni e−π sni 2“Rena , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Y Matema Matematica Applicazio Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s “Renato + 4 to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento da cuicazioni di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico s + 2 2 Luigi Greco s + Dipartimento 2 s di + Matematica 4 s 2 e Applicazioni “Renato π s2016-2017 Y = 2 e delle + e− = 2a degli +Studi e−π s di 2Napoli “Federico Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` II” Anno Accademico 2 2 2 s +2 (s + 4) 4) (s + 2) s +2 (s + 4) 4) (s + 2) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di Napoli1 “Federico s + Studi 2 1 II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento πs = ni2 “Rena + to e−Cacc . itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Pol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di s +2 s2 + 2 s2 + 4 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Baseantitrasformare Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico A questo puntoe possiamo facilmente 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento y (t) = (cos 2 t + sin 2 t) u(t) + u + u((t π ) sin 2(t 2(t π ) sin2 t . 2 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi 7 9 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 trasformata t rasformata2016-2017 del primoLuigi membro `e sDipartimento Y s 1 3di (sMatematica Y 1) + 2 Y e= Ex. di Napoli “Federico II”59p Anno Accademico Greco Applicazioni “Renato 1 La (s2Politecnica 3 s + 2) Y e delle s +Scienze 2, mentre quellaUniversit` del secondo membro Caccioppoli” Scuola di Base a degli Studi`e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π s u t diπ/2 π/Napoli 2 cos t“Federico = 10 e− 2II” cos(t cos( t + π/ + π/2) 2) L 10 L Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π − s 2 π e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = 10 e− 2 s L sin t = 10 2 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli s + 1 “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Essendo s Essendo s + 2 = (Napoli s 1) (s“Federico 2), ricaviamo dunque Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a sdegli3 Studi di(s II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” πScuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 1ioppoli” 10 ca e delle Scienze di Base Universit` s Y = 2016-2017 e− 2Luigi . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato s 1 (s2 + 1) 1) (s 2) (s 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Dipartimento Matematica Matema tica in e fratti Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Per antitrasformare, decomponiamo semplici la funzione razionale Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 10ioppoli” B ca e Cdelle s + D + D di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola aAPol Politecni itecnica Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = + + . 2 2 (s + 1) 1) (s2016-2017 2) (s 1) 2 Dipartimento s 1 s + 1di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico LuigisGreco Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Risulta A = Rento [2] =di2,Matema B = Rtica [1] = 5; inoltr ino ltreeniusiamo usi amo to le formu for mule le C = Scuola 2 α e Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle D = 2 β , essendo α essendo α + + i i β = R[ R [ i ] = 5 / (3 + i + i), ), quind qui ndi i 2 ( α + i + i β ) = 3 i e C = 3, Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento D = 1. Dunque di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 5 3 s + 1 −1 2 Caccioppoli” Scuola yPolitecnica a degli Studi (t) = et u(te) delle + 2 (t π/2) π/ 2) di Napoli “Federico II” Anno Accademico L Scienze di Base Universit` s 2 s 1 s + 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π t−π/2 π/2 =a degli et u(t)Studi2 edi2t− 5 e“Federico + 3 cos( coII” s(ttAnno π/2) π/2)Accademico + sin(t sin(t π/2) π/2016-2017 2) u(t π/2) π/ 2) Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` Napoli Luigi t t−π π/2 = eni u(“Rena t) 2 e2Cacc 5 et−π/2 3sin t itecnica cos t ca u(te delle π/2) π/2)Scienze . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 59q1 La trasformata del primo membro `e 2 ( s2 Y s 1/2) 2 (s Y 1) + Y = 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (2 s2 2 s + 1) Y 2 s + 1, mentre quella del secondo membro `e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni itecnica ca e1 delle Universit`a deg degli li Stu Studi di d ioppoli” 1 ” Scuol 1 a Pol 1 2 sScienze 2 s +di1 Base Universit` et + 1) = 2016-2017 + = + = . L t (Accademico di Napoli “Federico II” Anno Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ds s 1 s (s 1)2 s2 s2 (s 1)2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Pertanto PertanDipartimento to ricaviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento s ” Scuol 1/2 a Pol 1ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di Y = ioppoli” + itecnica . 2 2 2 ( s 1 / 2) + 1/ 1 / 4 s ( s 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per antitrasformare il secondo termine a secondo membro, decomponiamo in fratti 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle semplici; a tal fine, osserviamo che 1/ 1 / s (s 1) = 1/(s 1) 1/s e /s e quindi Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2ioppoli” 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 di Napoli “Federico II” Anno=Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento di + Matematica = + Greco = +e .Applicazioni “Renato 2 2 s2 (Politecnica s 1)2 1 Scienze s s 1)Universit` s2 s (asdegli 1) Studi (s di1)Napoli s2 “Federico s 1 s II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola esdelle di(Base 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Pertanto, per t per t ento 0 di Matema Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i”t Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii t/ 2 y (t) = et/2 cos + et (t 2) + 2 + t + t . Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2 017 Luigi Greco Dipar “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 80 XI II II. di SVO LGIMEN TI TRASFOII” RM RMA ZIONEAccademico DI LAPLACE 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Notiamo cheAccademico potevamo anche procedere nel modoDipartimento seguente di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 1 −1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = L −1 tica e Appli L 2 2 s (Studi s 1)di Napoli “Federico s (s 1) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 1 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −1 = L −1 L Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a deglisStudi s Universit` 1 s 1 dis Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t “Federico II” Anno t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = (e 1) u(t) (e 1) u(t) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di t t Greco Dipartimento t di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato e u(t) e u(t) 2 e u(t) u(t) + u + u((t) u(t) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ttica e Appli t cazioni t t τ Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = e “Federico dτ 2 II” e Anno dτ Accademico dτ 0 ” Scuol 0a Pol 0ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = t ( di et Base + 1) Universit` 2 ( et 1)a .degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento CAPITOLO CAPITO LO XIV di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Serie tica e Trasformazione Fourier 2016-2017 20162017 Luigi GrecoSvolgimenti Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to di Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”60a Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento dicalcola Matematica e Applicazioni “Renato Il segnale da trasformare `e sommabile e la trasformata si mediante Ex. Caccioppoli” Scuola la Politecnica definizione: e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema tica e+∞ Applicazio Appli “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −ω)t ni e“Rena −j(π+ωto)t Cacc sinMatematica πt 1 ej (πcazioni Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Accademico = “Federico II” Anno dt 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento F di2 Napoli 1ioppoli” 2 j” −∞ t2 ca 1 e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to tCacc Caccioppoli Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”integrali Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e gli si possono valutare colLuigi metodo dei residui. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Procediamo Procediamo in modo diverso. diverso. Risultando Risultando 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 1 1 .p. 2 “Federico = v.p. II” Anno v.p.Accademico , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi divNapoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t 1 t 1 t + 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 1 Scienze di Base Universit` π −jω a degli jω Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico v . p . = j sgn ω ( e e = πto sgnCacc ω sinioppoli” ω. F 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimentot2 di 1Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni )“Rena “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ne segue di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin πt π = [sgn(ω [sgn(ω π)sin(ω )sin(ω π) sgn(ω sgn(ω + π + π)sin( )sin(ω ω + π + π)] )] F Caccioppoli” Scuola Politecnica t2 e delle 1 Scienze 2 j di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di πNapoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = Caccioppoli sin si n ω[sgn(ω [sgn(”ωScuol π) a Pol sgn(ω sgn( ω + π + π)] )] di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 j ioppoli” di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle=Scienze Universit` jπ j π sin ωdi [uBase (ω + π + π) ) u(ω a πdegli )] . Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Confrontare con gli esempi nelle Lezioni. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Procedendo nell’Ex.” 60a, troviamo Ex. 60b di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to come Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno e Applicazioni “Renato cos πAccademico π 2016-2017 π Luigi Greco π Dipartimento π di Matematica π 2t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = sgn ω sin ω + sgn ω + sin ω + F t2 1 ento di 2 Matema 2 e Appli 2 ni “Rena 2 Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica Applicazio cazioni “Renato to2Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi πdi Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π II” Anno Accademico π = to cos ωioppoli” sgn ω sgnitecnica ω ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ” + Scuola Scuol a Pol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico πUniversit`a π = π cos ω u ω + u ω . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica 2e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Confrontare con l’Ex. 61e. di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii con l’Ex.co61b. Ex.erico 61c Studi di Napoli “Federic “Fed o Confrontare II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 2016-2 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Base Bas e Unive Uni versi rsit` t` a degl de gli i Stud St udi i di Napol Na poli i “Fed “F eder eric ico o II” 81 Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 82 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Usiamo il teorema teorema di campionam campLuigi ionament ento. o. Dobbiamo Dobbia mo quindi quind trasformar trasformaree xe 0Applicazioni , Ex. di Napoli “Federico II”61d Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento dii Matematica “Renato chePolitecnica `e prodotto edidelle unaScienze funzione paerdegli per una Studi porta;dideriviamo due volteII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola ditrigonometrica Base Universit` Napoli “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica ela Appli Applicazio cazioni ni campionamento “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle nel senso delle distribuzioni e usiamo propriet` a di della δ : δ : Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (t) = δ (t) δ (t + π x + π) ) sin t + u ( t ) u ( t + π + π) ) cos t = u ( t ) u ( t + π + π) ) cos t , 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (tcazioni = δ (Accademico t) δ (t + π + π)) 2016-2017 cos t u(Luigi t) uGreco (t + π + π))Dipartimento sin t = δ = δ (t) + δ +di δ (Matematica t + π + π)) x0 (t)e.Applicazioni “Renato 0 )Anno di Napoli “FedericoxII” Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Posto X 0 = F e[xdelle 0 ], trasformando ambo i membri e usando la formula per la tra2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica tica ωe2 X Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle i π ω to Cacc sformata della derivata,Matema ne segue X 0 (ω ) = 1 + e 0 (ω) e quindi, per Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ω = 1, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 Greco + ei π ωDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi X 0 (ω) = . 1 ω 2a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Z. Pertanto Essendo ω Essendo ω 0 = 1,ento dobbiamo campionare nei punti k punti kni “Rena calcoliamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ω 1 + ei πAnno iAccademico π ei π ω iπ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di. Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di X 0ni ( 1) = lim lito m Cacc X 0 (ioppoli” ω) = l”imScuol = = 2 ω→∓1 ω→∓1 1 ω 2 ω 2 ∓ = 1 ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze Inoltre, Inolt re, per k per k e delle 1 , 1 di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle i π k k Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi1 di “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 0 , Accademico per k per k dispari, dispari , + Napoli e 1 + ( 1) II” Anno X 0“Rena (k ) = to Cacc = = 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di per k per k pari. pari. 1 k2 1 k2 2 , k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco1 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli In definitiva, indicando un intero pari k = 2 n, con n scrivere laII” Anno Accademico Z, possiamo“Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle trasformata della replica periodica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e1delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di πto Cacc π ” Scuol X (ωAccademico ) = i δ ( δ (ω 2016-2017 1) i δ ( δ (Luigi ω + 1)Greco + 2 Dipartimento δ ( δ (diω Matematica 2 n) . di Napoli “Federico II” Anno e Applicazioni “Renato 2 2 2 4n −∞ 1Studi n= Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Applichiamo teorema di campionamento. Calcoliamo la trasformata di Greco Dipartimento Ex. 61e Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diilNapoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi x0 . Poich´ Poich ´enitale funzione `e prodotto unaafunzione trigonometrica per una porta,Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” di Scuola Scuol Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di deriviamo nel senso delle distribuzioni finch´ e non siDipartimento ripresenta il segnale di partenza: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + π/2) 2) u(t π/2) + π/2) 2) δ (t π/2) x0 (t) = sin t u(t + π/ π/2) + cos t δ (t + π/ π/ 2) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = sin t u ( t + π/ + π/2) 2) u ( t π/2) π/ 2) , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (t) ni x = cos t u ( t + π/ + π/2) 2) u ( t π/2) π/ 2) sin t δ ( t + π/ + π/2) 2) δ ( t π/2) π/ 2) 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = ex0delle (t) + δ +Scienze δ (t + π/ + π/2) + δ + δ (Universit` t π/2) π/2) . a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica di2)Base 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli Studi di Napoli “Federico II” x Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x0it` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 5 − − π π 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco 2Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 2 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Grecox0Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle x cazioni 0 1 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −2 − 2 oni “Re di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Polite Po litecni cnica ca2 e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 83 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di A II” questo punto trasformiamo usandoLuigi la formula la trasformata delle derivate: di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Greco per Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π πdegli Studi π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a di Napoli “Federico II” Anno Accademico (1 ω2 ) F x0 = ei 2 ω + e−i 2 ω = 2 cos cos ω 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi, per ω per ω = 1, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di cos π2 ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X 0 (ω) = F x0 (ω ) = 2 . ω2Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a1degli Osserviamo cheento la trasformata `etica funzione reale pari, cometopotevamo prevedere, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle essendo anche il segnale di partenza. Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` atale degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni delle Scienze di finestra Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Un altro modo to di Cacc calcolare X 0” `eScuol quello di itecnica usareca la l a etrasformata della di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Π(t/π Π(t/π)) = u(t + π/ + π/2) 2) u(t π/2), π/2), scrivere cos t mediante la formula di Eulero e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delledella Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico applicare la formula traslazione. In tal modo abbiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 − it it [x0 ] di = Napoli Π(t/π Π(t/π)] )] = II”F Anno [( e + e ) Π(t/π Π(t/π)] )] Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli F Studi Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento F [cos t“Federico 2 Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di 1 1 = [Π(t/π [Π( t/π)]( )](ω ω 1) + [Π(t/π [Π( t/π)]( )](ω ω + 1) F F di Napoli “Federico II” Anno Accademico 22016-2017 Luigi Greco 2 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze π di Base 1Universit` 1 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cos ω tica e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di= Matema Matematica “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 ω + 1Applicazio ωcazioni 1 ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e ritroviamo il risultato precedente. Come ulteriore possibilit`a, a, ricordando che di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − i t i t di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato F e +2016-2017 e cos t = Scienze di Base Universit` π aδ (degli ω 1) + δ + δ (di ω + 1) , “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Studi Napoli 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle possiamo usare la formula per la trasformata del prodotto: Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π ω 1ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di sin Base Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 Universit` Π(t/π)] )] = [Π( t/π)] )] = δ (ω 1)+ 1) +di δ (ω + 1) F x0 = F [cos t Π(t/π F [cos t] F [Π(t/π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato 2π ω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico ed infine, ricordando che δ che δ ((ω ω0 ) Y (ω (ω) = Y (ω (ω ω0 ), concludiam concludiamoo con gli stessi stessiII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle calcoli di prima. Alternativamente Alternativamente ancora, osserviamo che la trasformata si ricava ricava Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento da quella dell’Ex. 61a mediante la formula di traslazione in t. t . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Poich´ Poi ch´e il peri pe riod odoo `e 2 π, risulta ω0 = 1 e dobbiamo campionare X 0 nei punti k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato interi; interi; occorre occorre quindi quindi calcolare calcolare X 0 ( 1), per i quali non possiamo usare la formula Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico trovata. Dunque, essendo essendo X X 0 continua, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento cos Accademico 2 ω = π X 0Cacc (1) = lim X (ω) =alim 2itecnica 0Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Politecni Pol ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 ω →1 ω →1 1 ω 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e analogamente (o usando il fatto che X 0 `e pari) paria) degli troviamo trovi amo X 0 ( Napoli 1) = π/ π“Federico /2. D’altraII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` Studi di parte,Dipartimento per k per k Zento di1 ,Matema 1 , abbiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli ( II” 1) Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento cos π2 k“Federico 2 , per k = 2 n pari di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 4Pol n2 itecnica X 0 (k) = 2 = 2 1 k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi 0 Greco Dipartimento , per k disparidi Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico In definitiva, essendo x essendo x((tMatema ) la replica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica ticaperiodica, e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +∞ n 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π ( 1) X (ω )= [x](ω ](ωnato ) =o Cac δ (cioppol ω ppoli” 1) + δ + (ω +ola 1) Po + litecni 2 cnica δ ( δ (Scienz ω enze 2 ne) .di Bas di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oniF “Re “Renat Caccio i” δ Scu Scuola Polite ca e del delle Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 2le Sci 2 1 4 n n=−∞ Dipar Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
∓
−
−
−
− − −
·
−−−−−−→
∗
−
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−
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∈ − {−
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−
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 84 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` degli Studi di “Federico Usiamo il teorema di di campionamento e atrasformiamo x( x (Napoli t) u(t + 1) u(t II” Anno Accademico Ex. 61f Usiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni x“Rena “Renato tot Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Politecnica 1) = x + x2ento (t), dove x dove x 1 (t) =tica u(te +Appli 1) ucazioni (t) e u(t 1)Scuola . 1 (t) + x 2 (t) = e u(t) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e ni “Rena di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x0 (t) x(t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1 2 3 4 5 −1 −1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e ni “Rena ( ) x t ( ) x2 t Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 e delle Scienze di Base Universit`a degli Caccioppoli” Scuola Politecnica Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −1cazioni 1 e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico x2 (Studi t) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 ” Scuol di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica1 e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di In basenialla definizione, per ω ” = Scuol 0 abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t=0 0 di Base Universit` e−i ω ta tdegli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze “Federico II” Anno Accademico ei ω di Napoli 1 =−1 Studi − iωt X ( ω ) = e dt = dt = = , ioppoli” Scuola Politecnica 1 di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle iω iω − 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento mentre X 1ni (0)“Rena = 1. to PerCacc trasformar trasfioppoli” ormaree” xScuol una e usiamo la di propriet` a 2 , deriviamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica cavolta e delle Scienze Base Universit` Univer sit`a deg degli li Stu Studi di di campionamento della della δ δ : : di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli x2 (te) delle = x 2 (Scienze t) + et di δ (tBase ) δ (Universit` t 1) = x +Studi δ (t) die Napoli δ (t 1)“Federico II” Anno Accademico 2 (t) + δ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e quindi, ω Studi R, Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento iω e1−ola 1litecni di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola Polite Po ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii X . cnica 2 (ω ) = Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 1 Luigi i ω Greco Dipar “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
∀ ∈
−
−
− −
−
−
−
−
−
−
− − −
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 85 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Dunque, Dunqu e, per ω perAccademico ω = 0, di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato iω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base ei ωUniversit` 1 e1a−degli 1Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X ( ω ) = + , to Cacc 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica ei ωAppli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 nii ω“Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento mentre X mentre X 0 (0) (0) = 1 + e 1 = e. Essendo ω Essendo ω 0 = π = π,, bisogna campionare nei punti k π , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di con k con kcazioni Per k = to 0, abbiamo Z. Per k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ikπ ei k πScienze 1 di e1− 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 0 (k π) = + 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimentoi di Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k πMatema 1 tica i keπ Appli Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato toe Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delleper k Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di per k pari,di Base Universit` 1 i k π , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = 2 e + 1 = 2 + ( e 1) i k π , per k k dispari. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle iScienze degli diper Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 k π 1di Base i k π Universit` i k πa + k + k 2 πStudi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle In definitiva, scrivendo un numero pari non nullo k = 2 n , con n 0 , e un Z Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento numero dispari k dispari k = to 2 nCacc + 1,ioppoli” con n con n ” Scuol Z, abbiamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 X (ω ) =e π e δ (Scienze ω) + π (di e Base 1) Universit`a degli δ (ω di 2 nNapoli π) Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Studi “Federico II” Anno Accademico 1 2nπi −{0} cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica ne∈ZAppli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 +” (Scuol e 1)(2 n + 1) πca i e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di δ ( δ (ω (2 n + 1) π ) . 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato (2 n +Luigi 1) i +Greco (2 n +Dipartimento 1) π n∈Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Ex. 61g Usando il teorema di campionamento, trasformiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento πitecnica t di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to 2Cacc Caccioppoli Scuola Politecni Pol di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x0 (t) = u(ioppoli” t + 1) ” uScuol (t) +a cos t u(ca t) e delle u(t Scienze 1) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco3 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnicacol e delle Scienze x di1 (Base a degli Napoli “Federico Cominciamo trasformare 2t u(t + 1) ) . Laditrasfor tras format mata a pu`o es-II” Anno Accademico t) = Universit` u(tStudi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle sere facilmente facilmente calcolata calcolata col metodo del riciclo ; usiamo usiamo inve invece ce la definiz definizion ione e di Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento trasformata di Fourier: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (log2 (log2 −iω) iω )t t=0 0 0 e di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato t=−1 (log2 −iω) iω)t 2t e−iω t dt = dt = e(log2 dt = dt = F [x1 ] = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico log2 iω −1 −1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − iω log lo g 2 iω Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi II” 1 die Napoli “Federico e 2 Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento R . Scienze di Base Universit` = to Cacc = ” Scuol ,itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni caω e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di log2 iω 2 (iω log log 2) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Calcoliamo la F -trasformata di x = cos π3 t audegli (t) uStudi (t 1)di Napoli mediante il legameII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di x Base “Federico 2 (t) Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle con la trasformata di Laplace (anche questa F -trasformata si calcola col riciclo, o Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di “Federico II” Anno esprimendo il coseno conNapoli la formula di Eulero); ](ω ) = L [x2016-2017 ](i ω) e L Luigi [x2 ] `e Greco Dipartimento F [xAccademico 2 ](ω 2 ](i di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di funzione intera. Per il calcolo, supponendo Re s > 0 > 0 abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato s π −Universit` s Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base a (t e cos (degli t + 1)Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico L [exdelle L 2 ] = Scienze 2 + π 2 /9 s 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −s s e s π/3 π/ 3 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica delle le Sci Scienz Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = o2 Cac 3ca 2 e del . enzee di Bas 2 /9 s + π 2 /co 9 2016-2 2 017 s2 +Luigi π 2 /9Greco sDipar + πtimento Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 Dipartimen to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
∈
−
−
−
−
−
−
−− − −
∈ − { }
∈
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− −
−
∀ ∈ − −
− −
−
−
−
√
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 86 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Tale si estende a s CLuigi (in Greco i π/3 π/3 bisogna eliminare la singolarit` a).Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” uguaglianza Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento di Matematica ea). Ponendo s Ponendo s = i = i eωdelle , abbiamo per ω perdi ωBase = π/3 π/ 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 9 2i ω e−i ω (i ω π/ 3) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento . F [x2 ] = 2 2 2 π 9 ω di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Chiaramente X 0 = X 1 + X +2016-2017 X 2 ; essendo il periodo 2, risulta ω0 =di π Matematica e bisogna camdi Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato pionare X pionare X 0 neiepunti k punti π, con k condi k Base intervengono quindidinel campionamento Z: non Caccioppoli” Scuola Politecnica delle k Scienze Universit` a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico ∓ i kCacc π k 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle i puntiDipartimento π/3, π/3, esclusi nella formula di X di X . Osserviamo che e = ( 1) , dunque 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento distinguendo i casi k casi k = 2 n pari e k e k = 2 n + 1 dispari, dispari, n n Z, abbiamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 2016-2017 π Luigi Greco 6 i n + 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X 0 (2 n π) = +3 , 2π log2 2 i nUniversit` π 1 a 36 n2 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 tica e Appli 4 π cazioni 9 i (2n (2nto +Cacc 1) ioppoli” 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a X degli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n + 1) di π ) Napoli = 0 ((2 Studi 2 + 9 n + 2 8ioppoli” π log2 i (2a nPol + 1) π ca 9e ndelle di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola Politecni itecnica Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico e II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle +∞ Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 π 6 i n + 3 2016-2017 20162017 Luigi GrecoX Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e+Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle (ω ) = 3 δ (ω to 2 nCacc π ) ioppoli” Scuola Politecnica 2 2 log2 2 i n π 1 36 n Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi n=−∞di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞“Rena di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a n Politecni Pol Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 4 πioppoli” 9 i (2n (2 +itecnica 1) ca3 e delle Scienze di Base Universit` + δ ( ω (2 n + 1) π ) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 8 n=−∞ log2 i (2 n + 1) π 9 n2 + 9 n + 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim di rda Matematica Matema ticadieFAppli Applicazio nidiamo “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Infine, Infine,Dipartimento per quanto quanento to riguarda rigua la serie ourier, ourier,cazioni ricordiamo ricor che Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” 0Scuol Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di Z ;e delle Scienze di Base Universit` ckioppoli” = ω X 0 (kaωPol k ca 0 ) , itecnica 2 π Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 a0 = c = c ; Scienze e k di N : Universit` ak = c k + c + ca−degli bk = i di (ckNapoli c−k )“Federico . Caccioppoli” Scuola Politecnica e 0delle Base Studi II” Anno Accademico k , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 61h Usando il teorema di campionamento, dobbiamo trasformare di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 ( t ) = ( t + 3 t ) u ( t + 3) u ( t ) + 3 ( t t ) u ( t ) u ( t 1) = t x ( t ) , di Napoli “Federico II”xAnno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico essendo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle x ( t ) = ( t + 3) u ( t + 3) 4 t u ( t ) + 3 ( t 1) u ( t 1) . 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento C, quindi A tal cazioni fine, osserviamo che x1ioppoli” `e L -trasformabile -trasformabile initecnica ](ω ](ω) = L ](i ω). di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato toche x Caccioppoli Cacc ” Scuol Scuola a Pol Politecni ca e delle F [x1Scienze di[xBase Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di 1 ](i Inoltre (supponendo momentaneamente Re s > 0) > 0) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di3 sBase Universit` e 4 + 3 e−s a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni s“Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle C to 0Cacc ](s) = , . ioppoli” Scuola Politecnica L [x1 ](s 2 s Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − − 3s 3iω s i ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi eGreco 4 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e 4 + 2016-2017 3e +3e [x1 ](ω ](ω) = e delle Scienze = , di Napoli ω “Federico 0 . II” Anno Accademico R 2 2 Caccioppoli” Scuola F Politecnica di Base Universit` a degli Studi s ω s=i ω 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Per lait` formula della trasformata abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli della Studiderivata di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento iω iω 3iω d cioppol e3ola e− + 3enze e−ei ωdi Bas di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio ppoli” i” Scu Scuola Polite Po litecni cnica ca ee del delle le 4Sci Scienz Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii X 0 (ω ) = F [x0 ](ω ](ω) = i + 2 i . F [x1 ] = 3 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 017 Luigi Dipartimen timento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni dω co 2016-2 ω2 Greco Dipar ω3to di Matema “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
∈ ∓ ∓ −
− √
−
∈
∓
√
−
−
√
−
− √
−
−
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− √
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−
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−
−
∀ ∈
∀ ∈
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∀ ∈ −{ }
−
−
∀ ∈ − { }
−
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 87 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 Alternativamente, Alternativ amente, posto p osto g g( (t) = (t +Luigi 3 t) uGreco (t + 3) Dipartimento u(t) , osserviamo che q.o. risulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato x0 (Politecnica t) = g( g (t) ge (delle 3 t)Scienze /3 e quindi Caccioppoli” Scuola di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 cazioni ω “Renato Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X 0 (ω“Federico ) = G( G(ω) II” G . 3 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a 9Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di il periodo peri odo 4,2016-2017 `e ω 0 = π/2 π/ 2Luigi e dobbiamo campionare nei k π/2, π/2, con di Napoli “Federico II”Essendo Anno Accademico Greco Dipartimento dipunti Matematica e Applicazioni “Renato π π Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base a degli Studi Napoli “Federico II” Anno Accademico k Politecnica Osserviam iamo o che e3 i 2 = i = Universit` e−i 2 , quindi per k per k = 0 di abbiamo Z. Osserv 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica ticake Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (“Federico i) 4+ 3 (Anno i)k Accademico 64 ( i)k 2016-2017 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Luigi Greco Dipartimento X 0 (k π/2) π/2) = 0 + 2 i = i 3 . 3 3 π k di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di k π/2 π/a2 Pol di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 1 2 Inoltre X Inoltre X 0 (0) =e delle + 3 t) dt + dt 3 0 (t ( t t2 ) dt = dta =degli 4. Studi Dunque Caccioppoli” Scuola Politecnica di + Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico −3 (tScienze 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k 32 ( i ) 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X (ω) = 2 π δ (ω) + i + i 2 δ (ω k π/2) π/2) . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di π k 3 ca e delle Scienze di Base Universit` k =0 =0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Usiamo il teorema di campionamento; trasformiamo dunque x0 . Osse Os serr- Politecnica Ex. 61k 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle viamo che per le propriet` a di simmetria, la trasformata sar` a immaginaria immag inaria dispari. Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per ilcazioni calcolo, notiamo che ioppoli” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x0 (t) = i ( i t) u t + π/ + π/22 u t π/2 π/2 cos t = i = i i t x1 (t) , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to pertanto, Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle e ricordiamo che la trasformata di x1e `e Appli calcolata nell’Ex. nell’ Ex. 61e; usando la Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento formula per la derivata della trasformata, abbiamo per ω = 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π d d cosdi2 ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato X (ω) = F [x0 ](ω ](di ω )Base = i = i Universit` ](aωdegli ) = 2 Studi i F [x1 ](ω Caccioppoli” Scuola Politecnica e 0delle Scienze dω dω di 1 Napoli ω2 “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento cos 2 ω π sin 2 ω = 2 i + 2 ω . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 1 ω2 (1 ω 2 )2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` a degli X Studi di Napoli “Federico Essendo Essen do il periodo π periodo π,, Scienze `e ω 0 = 2die Base dobbiamo campionare campionare X con k Z;II” Anno Accademico 0 nei punti 2 k, con k 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle non intervengono nel campionamento i valori esclusi ω = 1: Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento k cosakPol π itecnica ( 1)Scienze di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni ca e kdelle di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di X 0 (2 k) = 2 i 0 + 4 k = 8 i 2 2 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi (1 Greco 4 k ) Dipartimento (1 4 kdi) Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico In definitiva, essendo x essendo replicatica periodica, abbiamo x la 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ k ( 1)k di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di X (ω ) = F [x](ω ](ω ) = 16 i δ (ω 2 k) . 2 )2 (1 4 k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato k=−∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica eionament Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Usiamo Usiamo il teorema teor ema di campionam camp ento. o. Dobbiamo Dobbia motoquindi trasformare trasformare il Politecnica Ex. 61l Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento segnale di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii t (1 et )cou(2016-2 t) u(017 t 1) + t2Greco u(t +Dipar 1) utimento (t) . to di Matema 0 (t) =Accademico Studi di Napoli “Federic “Federico o II” xAnno Accademi 2016-2017 Luigi Dipartimen Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− −
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 88 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di t Cominciamo Comin ciamoAccademico col trasformar trasformare e x1 (t) = e Greco u(t) Dipartimento u( u (t 1) ; questa trasformatae `Applicazioni e di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi di Matematica “Renato calcolata calco lata nell’Ex. nell’Ex . 61f.Scienze A scopo illustrativo, illustrativ o, procediamo in di base alla “Federico definizione;II” Anno Accademico definizione; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle abbiamo 1 1−i ω e 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (1−i ω ) t X ( ω ) = e dt = dt = , ω R. 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a 1 Politecni Pol itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di i ω ca e delle Scienze di Base Universit` 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Alternativamente, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (i ω −1) 1 e−to 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle X 1 (ω ) = L [u(t) u(t 1)](i 1)](i ω 1) = .ioppoli” Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento iω 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola adella Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ricordando la formula per la derivata trasformata troviamo quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ω da degli e1−iStudi 1 di Napoli 1 i ω “Federico e1−i ω t Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base u(tScienze 1) di = F [t xUniversit` = . II” Anno Accademico F t e u(t) 1 (t)] = i dω ni 1“Rena i ω to Cacc (1ioppoli” i ω )2 Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli di Napoli di “Federico Calcoliamo oraStudi la trasformata x2 (t) = tII”u(Anno t) uAccademico (t 1) + t2 2016-2017 u(t + 1) Luigi u(t) Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di derivando ripetutamente fino ad ottenere impulsi e derivate di impulsi: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x2 (t) = u( u (t)e delle u(t Scienze 1) + t + t di δ (Base t) δ Universit` (t 1) +a2 degli t u(t + 1) diu(Napoli t) Caccioppoli” Scuola Politecnica Studi “Federico II” Anno Accademico + t2 ento δ (t +di1) Matema δ (t) tica e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a=degli Napoli Luigi Greco Dipartimento u( u (t) Studi u(t di1) δ (t “Federico 1) + 2 t uII” (t +Anno 1) Accademico u(t) + δ (t + 2016-2017 1) , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” di Matematica e Applicazioni “Renato x2 (Anno t) = δ (Accademico t) δ (t 1) 2016-2017 δ (t 1) Luigi + 2 u(Greco t + 1) Dipartimento u(t) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + 2 t δ (t + 1) δ (t) + δ (t + 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica = δ (t) ento δ (t di1)Matema δ (t tica 1) +e 2Appli u(t +cazioni 1) niu(“Rena t) 2to δ (tCacc + 1)ioppoli” + δ + δ (t + Scuola 1) , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x ( t) = δ (t) δ (t 1) δ (t 1) + 2 δ (t + 1) δ (t) 2 (t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 δ (t + 1) + δ + δ (t + 1) , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle quindiDipartimento (i (i ω )3 X 2ento (ω) =di i ωMatema + e−i ω tica ( i ωe +Appli ω2 ) +cazioni ei ω ni (2 “Rena 2 i ω to ωCacc ) ioppoli” 2 e, per ω per ωScuola = 0, Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −i ω ( i ω + ω 2 2 iω i ω + e + ω ) + e (2 2 i ω ω ) 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze. di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di X 2“Rena (ω) = to i Cacc ω3 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco 1 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica Studi Napoli “Federico Inoltre X Inoltre + −1 t2didt = = 1/Universit` 2 + 1/3 = a5/degli 6. Essendo Essen do di il periodo 2, abbiamoII” Anno Accademico X 2 (0) =e delle dtScienze dtBase 0 t dt+ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle ω0 = π e quindi dobbiamo campionare nei punti k π, con k Z. Per k = 0Scuola pari Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers i k π Studi di Napoli “Federico II” 2Anno Accademico 2016-2017 risult risultaait`ae∓degli = 1 e quindi X 2 (k π) = 2/(k π ) . Per k Per k dispari dispari risulta risulta e∓i k π Luigi = 1 Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 e quindi X quindi X 0 (k π) = 4 (i + k + k π )/(k π ) . Dunque Dunque la trasformata trasformata del prolungam prolungament ento o di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato per periodicit` periodicit` a `e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico +∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 ei kAppli 1)k ni “Rena π e ( cazioni X ( ω ) = π δ ( ω k π ) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 (1 i kII” π)Anno kioppoli” =−∞ ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 5 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato + 2016-2017 πδ ( πδ (ω ) + Luigi Greco δ ( δ (Dipartimento ω 2 n) 6 di Base2Universit` π n2 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze =0 =0 n +∞ 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 i + (2 n + cazioni 1) π ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento δ ( ω (2 n + 1)π 1) π ) . 2 3 π (2 n + 1) di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii n=−∞ Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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∀ ∈
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 89 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Tracciamo il grafico del prolungamento periodico x: x : di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. di Napoli “Federico II”61m Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimentox(tdi Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi1di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π π −π 2π 3π t −π 2 e delle Scienze di2 Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Usiamo teorema di campionamento. Trasformiamo il segnale (per2016-2017 π < t < Luigi π/2 π/2 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` ail degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico `e sincazioni t = ni sin t) to Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato “Rena Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π π π x0 (t)e= u Scienze t + t Universit` + sinat degli u t Studi diuNapoli (t π )“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di uBase 2 2Applicazio 2 to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” π Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sinCacc t u(ioppoli” t + π + π)) ” Scuol u t +a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Scuola itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2Politecni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e:= x delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico := x 1 (tScienze ) + x + x2 (tdi ) + x +Base x3 (tUniversit` ). 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi ( ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − sin sin () di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico − −2 sin 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di () () di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle1 Scienze di Base Universit` a degli Studi1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico − sin 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − Anno −Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − 2 Studi di Napoli Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli “Federico II” 2 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di sin π2 ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato In base alla definizione, troviamo X troviamo X 1 (ω ) = 2 (o, ci` o che `e lo stess s tesso, o, oosse sservanrvanωa degliωStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` sin 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento Matematica ticache e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle do che x cheDipartimento x 1 (t) = Π t/πdi eMatema ricordando = 2 ni “Rena , calcoliamo la trasformata F [Π]cazioni ω Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X 1 mediante la formula di cambiamento di scala). di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Il segnale x ( t ) = sin t u t π/ π / 2 u( u ( t π) π ) e ` prodotto di una funzione 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato trigonome trigo nometrica tricaeper finestra, quindi per trasforma trasf ormarlo rlo possiamo possiam o derivare deriv are dueII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delleuna Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico volte nel senso delle distribuzioni: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle πAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi π di Napoli “Federico II” Anno x2 (t) = cos t u t u(t π ) + sin t δ t δ (t π) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to 2Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 ca e delle Scienze di Base Universit` π π di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato = cosAccademico t u t u(t π ) Luigi + δ tGreco Dipartimento , 2 2 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di πMatema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni π “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica π x2 (t)it` = sin tStudi u t di Napoli u(“Federico t π) + cos δ t Accademico δ (t π2016-2017 ) + δ t Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli II”t Anno 2 2 2 π di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = x2 (t) + δ + δ (t π ) + δ + δ t Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2 017 Luigi Greco Dipar “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 90 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − − 2 jπω jπ ω 2 e quindi quind i trasforman trasf ormando do 2016-2017 ω X 2 (ω) = X Greco e + j ω edi Matematica , ovve ovvero ro per di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi e Applicazioni “Renato 2 (ω ) +Dipartimento ω= 1, Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica − e Appli Applicazio cazioni ni π“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ω 2 e j π ω II” + jAnno ω e−j Accademico Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X 2 (ω ) = . 2 1 ω di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Per trasformare x 3 (t) = sin t u(t + π + π)) u t + π/ + π/22 , basta osservare che risulta Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x3 (t) = x2 ( t) e quindi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ej π ω j ω ej 2 ω di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to X Caccioppoli Cacc Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = X 2 (” Scuol ω ) = a Pol . 3 (ω )ioppoli” ω2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco1 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto (per ω (per ω = 1, 0, 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X 0 (ω) = X 1 (ω ) + X + X 2 (ω ) + X + X 3 (ω ) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Matematica e Applicazioni “Renato π Dipartimento di π π 2016-2017 jπω ω j 2 ω sin e−Base + j ω e−j 2a ω degli + ej πStudi jdi ω e 2 ω Caccioppoli” Scuola Politecnica e = delle Scienze di Universit` Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 + 1 ω 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento diωMatema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni2 “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diπNapoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π sin cos”π Scuol ω + ω + ωasin ω sine π2delle ω + ω + ω ω cos π ωdi Base Universit` 2 ω ioppoli” 2itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc Scuola Politecni Pol ca Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di =2 +2 = 2 2 2) ω 1 ω ω (1 ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico La funzione funzi one X 0ento `e reale e pari,tica come `e chiaro chiaro risultando risult ando to tale pure x0 . PScuola er il Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle campionamento, campionamen essendo ω essendo ω0 = 1,“Federico dobbiamoII” calcolare i valori di X di X 0 nei punti esclusi: Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a deglito, Studi di Napoli Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di +∞ π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X 0 (0) = x0 (t) dt = dt = x0 (t) dt = dt = π π + + 2 , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base−Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −∞ π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π π sinII” ω cos π ω + ω + ω sin ω Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 2 X ( 1) = lim X ( ω ) = lim 2 + 2 0 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola aω Pol Politecni itecnica ca e1delle Universit`a deg degli li Stu Studi di →1 Cacc ωto ω →”1 Scuol ω2 Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Studi π sin π ωUniversit` + sin π2 ωa + ω +degli ω π2 cos 2ω = 2 +di2 Matema lim 2 ioppoli” 1 = 1 . Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to =Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle ω →1 2ω Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di sinScienze n + n n cos cos π n Universit` 2 n + Z D’altra parte, per n 1 , 0 , 1 , abbiamo X ( n ) = 2 e, 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n (1 n2 ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico distinguendo i casi n casi n pari e n e n dispari, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” kAnno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sin k“Federico π + 2 k cos2 π 2 X 0 (2 = 2 ioppoli” = , k = 0 ; di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato tok)Cacc Caccioppoli ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 k (1 4 k2 ) 1 4 k2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sin k π + π2 + (2 k + 1) cos(2 k π + π + π)) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle X 0 (2 k + di 1) = 2 2 (2 k +II” 1) 1) (Anno 4 k Accademico 4k ) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento k 2 k + 1 ( 1) di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o =Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola , Po Polite delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii klitecni = cnica 1 ca , 0 .e del 2 (2co k +2016-2 1) 1) (k + k + k 2 )Luigi Greco Dipar Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
∓
−
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∓
−
−
−
−
∈ − {−
}
−
−
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− − −
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 91 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto la Accademico trasformata del prolungamento periodico x `e di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 Caccioppoli” 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di δ Matema Matematica e + δ Applicazio Appli cazioni ni2“Rena “Renato to Cacc Politecnica e delle X 0 (ω) = (π (ento π + 2) (ω ) + δ + δ (ωtica1) + δ (ω + 1) + δ ( δ (ioppoli” ω 2 k) Scuola Politecnica 1 4 k 2 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico k =0 =0 k a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 2 k + 1 ( 1) + δ ( ω 2 k 1) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 (2 k + 1) 1) (k + k + k 2 ) =−1Scienze k ,0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Da questo possiamo scrivere la serie II” esponenziale di Fourier2016-2017 di x, x , ricordando Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studisubito di Napoli “Federico Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento che i cazioni coefficienti sono c sono = X π): a Pol n = X 0 (n)/(2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to cCacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −j t 1 1 e delle 1 Scienze ej t dieBase e2 k j t Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica x(t) + + + +Universit`a degli 2 ento π di Matema 2π 2tica π e πAppli 1 4ni k 2 “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k =0 =0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di k 1 a Pol 2 kca + 1e delle ( 1)Scienze (2 k+1) j t + e . e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica 4π (2 k + 1) 1) (k + k + k 2 ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` k =−1,a0 degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle La serie trigonometrica sar` a in soli coseni, poich´ e il segnale x ` e pari. Ricordando Ricorda ndo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento che a che acazioni a n = c = cto + c−nioppoli” , n ”N,Scuol scriviamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli Cacc Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 0 = cni 0 e“Rena n + c di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 1e delle cos t 2 di Base cos2 Universit` kt 1 a degli 2 k + 1 (di Napoli 1)k Caccioppoli” Scuola Politecnica Studi “Federico II” Anno Accademico x(t) + + Scienze + + cos(2 k + 1) t . 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di Matema Matematica tica Applicazio ni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle 2 π ento π π 1 4ek Appli 2 πcazioni (2 k“Rena + 1) 1) (to k + k +Cacc k ) ioppoli” Scuola Politecnica k ∈N k ∈N Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”61n Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. Tracciamo il grafico del prolungamento periodico x: x : di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studix(di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − − di Napoli “Federico II” −Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico − e delle Scienze di Base Universit` − 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ` chiaro Usiamo il teorema di campionamento. E che il segnale x si ottiene come 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle replica periodica di periodo 2 π della somma x somma x 0 di Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di π a Pol πca e delle Scienze di Base Universit` x ( t ) = cos t u t + u t ; 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato 2 Greco Dipartimento 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico πtica e Appli π cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Matema “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle x2 (di t) = t u t Applicazio u(ni t “Rena π) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2“Federico 2 II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 i” Scu 3 e del di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o +Cac Caccio cioppol Polite litecni ca Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii t +ppoli” π Scuola u(t olaπ)Po u tcnica π delle . le Sci Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 22016-2 2016-2017 017 Luigi Greco 2Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− −−
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−
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∼
−
−−
∀ ∈
∼
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π
2
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π
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− − − − − − − − − − −
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 92 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Annox Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (t) x (t) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico − − 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni −“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico La trasfo traDipartimento sform rmata ataento di di x1 (Matema t) = utica t +e π/2 π/ 2 cazioni u t ni π“Rena /2 cos t `e stata calcolata calcola ta Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Applicazio Appli “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento nell’Ex. 61e; per ω per ω = 1: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi cos Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X 1 (ω ) = 2 2 2 . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` ω a1degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle La trasformata di x si riconduce facilmente a quella del segnale y nell’Ex. 61u, Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 0 risultando di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π t aπdegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di x2Base (t) = Universit` y0 . π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e2 Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Usando lani formula di e”quella di cambiamento di scala, otteniamo perUniversit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to traslazione Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico ω II” = 0 Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 1 tocosCacc π −j πtica π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di πMatema “Renato “Rena Caccioppoli” Politecnica e delle ω e Appli jπ ω 2 ω ioppoli” Scuola Politecnica X 2 (ω ) = Matematica e Y 0 Applicazio ω cazioni = e−ni 2 . 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di2Napoli “Federico 2 2 II” Anno Accademico ω 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Essendo ω0 Accademico = 1, dobbiamo campionare punti ω = n . Matematica Occo Occorr rree quind quindi i Z di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luiginei Greco Dipartimento di e Applicazioni “Renato calcolare i valori esclusi dalledi formule trovate; poich´ e X π/2 π/2“Federico e X 2 (0) =II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi di= Napoli 1 ( 1) 2 (π/2) π/2) Dipartimento , abbiamoento di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a πPol Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π = X 1 (0)2016-2017 + X + X 2 (0) =Luigi 2 +Greco , Dipartimento X 0 ( 1) = di Matematica 2. 0 (0) = X di Napoli “Federico II” AnnoX Accademico e Applicazioni “Renato 4 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle D’altra parte, per n per n Z 1, 0, 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a πPol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π cos n 1 cos n − j π n 2 2 di Napoli “Federico II” AnnoX Accademico 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato + X 2 (n) = 2 2Greco+Dipartimento e 2 . 0 (n) = X 1 (n) + X 2 n 1 a degli Studi di nNapoli Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Evidentemente: Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato cos n = 0 per n per n dispari X 0 (n) = ; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 2 n2 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 2“Renato 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento Matematica Matema tica Applicazio Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle cosDipartimento n = 1 per n per n di divisibile per 4 e Appli X 0 (ncazioni ) = ni2 “Rena ; to Cacc 2a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno n Accademico 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 π n 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni “Renat nato Caccio Cac cioppol ppoli” Scuola Scu ola per Polite Po litecni ca (n e del delle le Sci Scienz enze e di Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii cos n oni = “Re 1 per n per no pari, ma noni” divisibile 4 cnica X . Bas 0 )= 2 2 2o II” Anno Accademico n (to n2 di 1) Studi di Napoli “Federic “Federico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 π
2
1
2
t
π
π
2
2
π
t
π
t+
2
3 π 2
π
π
3
2
2
cos t
1
− ∓
− − −
−
−
·
∓
−
∈ − {−
∓
−
− −
}
−
−
⇒
−
⇒
−
∈
− ⇒
− −
π
t
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 93 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Scrivendo tre casi n =2016-2017 2 k + 1 con k con k Greco 1, 0 , n = 4 k con k con k Z 0 e, Applicazioni e Z di Napoli “Federico II” Annonei Accademico Luigi Dipartimento di Matematica “Renato n = 4 k + 2 pere ogni abbiamo definitiva Z, rispettivamente, Caccioppoli” Scuola Politecnica delle kScienze di Base Universit` a degliinStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 πNapoli π II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di “Federico X (ω) = 2 δ (ω ) + 2 δ (ω 1) + δ + δ (ω + 1) 4 ioppoli” 2 a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico2 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato δ ( δ (ω 2 k 1) (2 k +Universit` 1) 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico =−1;0 k 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 e Appli + 2Napoli “Federico ( 4 ) δ ω k Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (4 k )2 1 k =0 = 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a 2Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (4Luigi k + 2) 2 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco +2 δ (ω 4 k 2) . 2 (4 k + 2) 2 (4 k + 2) 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico k∈Z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3” tScuol , 1 Politecni t itecnica < 0 ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola a Pol Universit`a deg degli li Stu Studi di Ex. 61o Chiaramente x(t) ioppoli” = . Tracciamo racciamo il diagramma diagramma del t , 0 t < 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e periodico, delle Scienze di Base Universit` prolungamento denotato ancora con x. xa.degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x(to t) Cacc di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle −3 (t − 4) −3 t t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 −1 3 4 8 t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a −degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 72016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi GrecoUsando Dipartim Dipartimento ento di diMatema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle il teorema campionamento, trasformiamo il segnale Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x0 = cazioni 3 t niu(“Rena t + 1) to uCacc (t) + t u(t”) Scuol u(t a 3)] = t = t 4 ca u(te) delle 3 u(tScienze + 1) u 3) Universit` , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Pol itecnica di(tBase Univer sit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato la cui replica perio dica di periodo 4 `e il prolungamento prolungamento periodico p eriodico x x.. Deriviamo due Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico volte nel senso delle 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento distribuzioni: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` xa0 (degli t) = 4Studi u(t) di3 Napoli u(t + 1)“Federico u(t 3)II” + t + tAnno 4 δ (t)Accademico 3 δ (t + 1) 2016-2017 δ (t 3) Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni=“Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 4 u(t) 3 u(t + 1) u(t 3) + 3 δ (t + 1) 3 δ (t 3) , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Base x0 (t) = 4e δ (t) Scienze 3 δ (t + 1) δ (t Universit` 3) + 3 δ a(tdegli + 1) Studi 3 δ (di t Napoli 3) . “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Trasformando, di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle Scienz Sci enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii −le 3jω 3jω ω2 X 0 Accademico (ω ) = 4 co 3 ejω e−017 + 3 j 3 j ωGreco ejω Dipar 3 j ω etimento ,to di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademi 2016-2017 2016-2 Luigi Dipartimen Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
∈ − {− }
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− − − − − − − − − − − − ≤
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 94 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di daII” cuiAnno ricaviamo, per ω per ω =2016-2017 0, di Napoli “Federico Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −3jω “Federico II” Anno Accademico jω Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di di eNapoli 3 (1 e + j ω ejω ) + 1 a degli e−3jωStudi 3 j ω X 0 (ento ω) =di Matema . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ω2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Una scelta scelt anileggermen legge rmente pi`u ioppoli” comoda” dal punto diitecnica vistacadei `e di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena toteCacc Caccioppoli Scuola Scuol a Pol Politecni e calcoli delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x1 (t) = t u(t) u(t 3)] 3 (t 4) u(t 3) u(t 4) , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico non che haDipartimento pure come replica periodicatica periodica x x;; ile segnale x segnale x1 `e ni continu c ontinuo, o, to quindi quiCacc ndi x xioppoli” contiene 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica Applicazio Appli cazioni “Renato “Rena Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ` impulsi. facile derivare x derivare x 1 graficamente: Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` aE degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x (t) x (t) x (t) 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento−3di Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ( − 4) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Dunque x Dunque x 1 (t) = δ (t) 4 δ (t 3) + 3 δ (t 4). di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Alternativamente, posto di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x2 (te) = t = t uScienze (t) u(di t Base 3)] , Universit` x3 (t) = 3 t Studi u(t + di 1) Napoli u(t) “Federico , Caccioppoli” Scuola Politecnica delle a degli II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica in modo che risulti x0 = x 2 + x + x3 , possiamo osservare che x 3 (t) = x 2 ( 3 t), quindi Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X 3 (ω ) = 31 X 2 ( ω3 ). Per calcolare X calcolare X 2 , possiamo possiamo procedere procedere come prima, prima, derivando derivando di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di nel senso delle distribuzioni, o come segue: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato d “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli X 2 (ω ) = F t u(t) u(t 3)] = j F j t u(t) u(t 3)] = j X 4 (ω ) , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle dω Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di II” Anno 2016-2017 Luigi dove x u( u (Napoli t 3).“Federico La trasfor trasformat mata a X 4Accademico si calcol calcolaa subito sub ito usando usando la Greco Dipartimento 4 (t) = u(t) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di definizione: di Napoli “Federico II” Anno Accademico+2016-2017 Luigi Greco e Applicazioni “Renato ∞ 3 Dipartimento di −3Matematica jω 1 di eNapoli − jωtUniversit`a − jωt Studi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base degli “Federico II” Anno Accademico X 4 (ω ) = x4 (t) e dt = dt = e dt = dt = . ω ioppoli” Scuola Politecnica 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di−∞ Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to jCacc Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Dunque di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ”3jω Scuola Scuol a3 jPol Politecni Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di d ioppoli” 1 e− ω itecnica e−3jω ca 1e +delle e−3jω X ( ω ) = = . 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato d2016-2017 ω ω Luigi Greco Dipartimento ω2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Ne segue 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e1 + Applicazio Appli “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle jω 1 j ω etica ejω cazioni 1ni “Rena ejω +to j ωCacc ejω ioppoli” Scuola Politecnica = 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli X Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 (ω ) = 2 /9 2 3 ω ω di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii e quindi la trasformata X 0 = X = X 2Luigi + X + X 3 Greco trovataDipar precedentemente. Studi di Napoli “Federic “Fed erico o riotteniamo II” Anno Accademico Accademi co 2016-2 2016-2017 017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 95 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di calcolare a parte X parte X 0 (0):Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II”Occorre Anno Accademico 2016-2017 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 1 Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X (0) = 4tica 3 (= area triangolo) = 6to . Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di 0Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π π Essendo il periodo 4, risulta ω = e dobbiamo campionare nei punti k , con 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” 2Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di 2 k II”Z.Anno Poic Poich´ h´ e di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π +k π j kπ j 2 2 e−3jk 2di=Base e−2kπj = aedegli =Studi j k , di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle per k per k = 0 troviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento πScuola π k Scienze di Base Universit` k k a Pol k di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 1 j + j k j + 1 j 3 j k j 16 j k 1 π 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X 0 k =4 = 2 . 2 e delle Scienze di Base Universit` k 2 π2 a degli Studi di Napoli π k2 Caccioppoli” Scuola Politecnica “Federico II” Anno Accademico Pertanto infine ento di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 8 II” j kAnno 1 Accademico π X ) = 3ioppoli” π δ (ω)”+Scuol δ ω k . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to(ωCacc Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π k2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato k =0 =Greco 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica ecome Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Il prolungamento si ottiene replica periodica di Cacc Ex. 61p Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi 2di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (t) = to (t Cacc 1) ioppoli” [u(t +”2)Scuol u(ta +Pol 1)]itecnica [u(ca t +e1)delleu(Scienze t 1)] di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni nix0“Rena “Renato Caccioppoli Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di +[u +[ u ( t 1) u ( t 2)] di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = (1di Matema t2 ) 2 Π(t/ Π(tica t/2) 2) e Π(t/ Π( t/4) 4)cazioni = (1 t2 ) x1to (t)Cacc , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Applicazio Appli ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento dove come al solito Π(t Π( t) = u( u(t +1/ +1 /2) u(t 1/2) e abbiamo posto x posto x1 (t) = 2Π(t/ 2Π(t/2) 2) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Π(t/ Π(t/4). 4). di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica ex(tAppli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico − 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − − Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − − di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Per le propriet`a della trasformazione, avremo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento d 2 di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 ioppoli” 2 ca e delle Scienze X = x ( t ) t x ( t ) = X + ( i t ) x ( t ) = X + X . F F 0 1 1 1 1 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dω2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Per calcolare X calcolare X 1 , ricordiamo che F [Π(t [Π(t)] = sin(ω/ sin(ω/2) 2)//(ω/2), ω/2), quindi, per la formula 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle di cambiamento di scala, Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sin ωi” Scu ω le Sci di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” Scuola ola Po Polite litecni cnica ca sin2 e del delle Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii [Π(t/2)] 2)] = 2 , [Π(t/4)] 4)] = 4 F [Π(t/ F [Π(t/ Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni ω 2 ω timento “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
·
∈
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 96 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e dunque di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato sin ω sin2 ω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 1 (ω) = 4 di Base 4 Universit` = 4a[Y (ω (ω) Y (2 (2 ω)] , ω tica e 2Appli ω cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle sin ω di Napoli “Federico (ω ) = 4 [Y II” (ωAnno (2 ω)], essendo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento essendo Y essendo Y degli (ω (ω ) =Studi . Inoltre X Inoltre X ) 4 Y essen do 1 ω di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Pol ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di sin ω a cos ωitecnica sin ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi 2Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (10) Y 2016-2017 (ω ) = + 2 . 3 ω Universit` ω2 a degli ω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (ωni) Accademico X 0 (ωdi ) =Napoli 4 Y (ω (ω“Federico ) Y (2 (2 ω )II” + Y + Y 4 Y (2 ω) 2016-2017 . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Anno Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a espressioni Politecni Pol itecnica catrovate, e delle quindi Scienze X di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di Il valore ω valore ωni = “Rena 0 non to pu`oCacc essere inserito nelle deve 0 (0) +∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato essere calcolato a parte. In base alla definizione, abbiamo X 0 (0) = −∞ x0 (t) dt = dt = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4. Poich´e il periodo perio do `e 4, risulta risult a ω 0 = π/ = π/2. 2. Nel campionamento, distinguiamo i casi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n pari e n dispa dispari. ri. Per Per n = 0 pari, scriviamo n = 2 k , con k 0 , quindi Z Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n ω0 = k = k πni . Inoltre Y Inoltre Y (k (kCaccioppoli π ) =ioppoli” Y (2 (2 k”π)Scuol = 0 ea da (10) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Scuola Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di k di Napoli “Federico II” Anno Accademico cos 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato kπ ( 1)Greco Dipartimento 2 Y (keπdelle ) = Scienze 2 = 2 Universit` , a degli Y (2 Studi k π) =di Napoli2“Federico . 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base II” Anno Accademico (k π ) (k π ) (2 k π ) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Dunque Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” AnnokAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 8 1 Politecni (itecnica 1) ca e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Universit`a deg degli li Stu Studi di X 0 (k π”) Scuol = 2 a Pol . 2 π k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica eπApplicazioni “Renato PerPolitecnica n dispari, escriviamo n = di 2 kBase + 1,Universit` con k Za, degli quindi abbiamo n ω0 “Federico = k π + 2 ,II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola delle Scienze Studi di Napoli Y (2 (2 k π + π + π)) = ento 0 e di Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ( 1) π Y (k ( k π + ) = , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2“Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π ioppoli” kto π +Cacc di Napoli “Federico II” Anno Accademico22016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ( 1)k 2 ( 1)k 2 (2 kStudi Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` aY degli II” Anno Accademico Y (k π + π2e)delle = Scienze + π + π + π)di ) =Napoli “Federico . π π 3 , k πMatema + 2 (tica k π +e 2Appli ) (2 ioppoli” k π + π + π))2 Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Quindi k di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di 32 2 (a Pol 1) itecnica 2 kca π e πdelle Scienze di Base Universit` X 0 (2016-2017 k π + π2 ) = Luigi . di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π3 (2 k + 1) 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k 4 1 ( 1) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X (ω)Studi = 2 πdi δ (ω ) + “Federico2 II” Anno δ (ω Accademico k π) π k a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di k =0 =0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato k 16 2 ( 1)Greco 2 kDipartimento π π + di2 Base Universit`a degli δ ( ω k π π2 )“Federico . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Studi di Napoli II” Anno Accademico 3 π (2 k + 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica ∈ Z k Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` aparte, degli non Studi di Napoli “Federico II” alla Anno Accademico 2016-2017 D’altra `e difficile calcolare in base definizione i coefficienti c coefficienti c kLuigi della Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di serie esponenziale di Fourier. di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Ex. 61q Indichiamo con x con x anche il prolungamento per periodicit`a. a. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco xDipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (t) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii − Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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∈ − { }
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−− ∈
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1
π
π
2
2
π
3
2
π
2π
5
2
π
3π
7
2
π
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 97 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Osserviamo che risulta x(2016-2017 t) = 1 y (Luigi t), dove y `e Dipartimento replica periodica con periodo 2e πApplicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco di Matematica di Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle +Appli 2)cazioni y0 (Matema t) = costica t u(et + π/ π/2) u(ni t “Rena π/2) π/2) to . Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Pertanto Pertan to abbiamo X abbiamo X ( ) = 2ioppoli” π δ (ω) ” Scuol Y (ω (ω).a D’altra D’altr a parte, trasformat trasfScienze ormataa Y ] F [yUniversit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to(ωCacc Caccioppoli Scuola Politecni Pol itecnica ca e la delle di = Base Univer sit`a deg degli li Stu Studi di `e stata st ataAnno calcolat c alcolata a nell’Ex. nel l’Ex. 2016-2017 61e: di Napoli “Federico II” Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`+ a∞ degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π ( 1)n 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e 1) Applicazio Appli ni “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Y (ω (ω ) ento = di δ (ωMatema 1) + δ + δ (ω + + 2cazioni δ ( δ (Cacc ω 2ioppoli” n) . 2 2 di Napoli “Federico II” Anno 1 4 n Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n=−∞ di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Dunque in definitiva di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +∞ Studi di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Napoli “Federico II” Anno Accademico π ( 1)n 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle X (ω) = 2π 2 π δ (ω) δ (ω 1) + δ + δ (ω + 1) + 2 δ (ωioppoli” 2 n) Scuola Politecnica 2 2 4 n 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n=−∞ n π ( 1) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = (2 π 2) δ (ω) δ (ω 1) + δ + δ (ω + 1) + 2 δ (ω 2 n) . 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato 2 4 n di Matematica 1 n =0 =0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle prolungamento per periodicit` a, II” a, che Anno indicheremo ancora2016-2017 con x,, si ottiene con x Ex. 61r Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a Il degli Studi di Napoli “Federico Accademico Luigi Greco Dipartimento comecazioni replica periodica con periodo di a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ”2Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x (t) = t 2 [u(t) u(t 1)] + (2 t) [u(t 1) u(t 2)] . Caccioppoli” Scuola Politecnica 0e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x(t) x (t) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − − Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico mediante il teorema campionamento. Trasformiamo x 0 ; pScuola oich´ oi ch´e Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi GrecoProcediamo Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica edi Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento tale segnale `e somma di termini ciascuno prodotto pro dotto di un polinomio pol inomio per una finestra, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” ” ni Scuola Scuol Politecni ca eno delle Scienze di ate: Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di deriviamo deriviamo nel“Rena sensoto delle distribuzio distr ibuzioni finoaaPol cheitecnica rimangano rimanga impulsi impuls i e derivate: deriv di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (t) = 2 t [u(t) u(t 1)] + t t2Base [δ (t)Universit` δ (t 1)]a degli [u(tStudi 1) diuNapoli (t 2)]“Federico II” Anno Accademico 0 Caccioppoli” ScuolaxPolitecnica e delle Scienze+di 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica e = Applicazio Appli cazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle + (2 ento t) [δ di (t Matema 1) δ (ttica2)] 2 t [u (t) niu(“Rena t 1)]to Cacc u(t ioppoli” 1) + u + u((t Scuola 2) Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca xe0 essendo C delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (notiamo che la derivata coincide con quella ordinaria, essendo C 1 a tratti) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (t) = 2 [u(te) delle Caccioppoli” ScuolaxPolitecnica di(tNapoli u(tScienze 1)] + di 2 tBase [δ (t) Universit` δ (t 1)]a degli δ (t Studi 1) + δ + δ 2) “Federico II” Anno Accademico 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = 2 [u(t) u(t 1)] 3 δ (t 1) + δ + δ (t 2) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (t (t 2) di Napoli “FedericoxII” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 2 δ (t 1) 3 δ (t Luigi 1) + δ + δ 0 ( t) = 2 δ (t) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Applicando la trasformazione ad ambo i membri e ricordando la formula la Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli”per Scuola Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento trasformata delle derivate, troviamo di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni 3“Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii ω j ωAnno X 0 (ω ) = F [x ] =2016-2 2 2017 e−j ωLuigi 3 jGreco ω e−j ωDipar + j ωtimento e−2 jto , di Matema 0co Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Accademi Accademico 2016-2017 Dipartimen Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 98 XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ∞ daII” cuiAnno ricaviamo ricaviam o (in senso puntuale, puntuale, essendo essen do X Dipartimento classe C ein di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco didi Matematica Applicazioni “Renato 0 una funzione quanto quan to trasforma trasformata ta diScienze una funzione supporto supporto a compatto) comp atto), , per = 0 “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Basea Universit` degli Studi di ω Napoli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e−j ω 1 3 e−j ω e−2 j ω Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiX di0 (Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ω) = 2 + . 3 2 j ω ω di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno D’altra parteAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 2 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` 5 2 t dt + dt (2 tni ) dt = dt“Rena = .to Cacc 0 (0) = tica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento diX Matema Matematica e + Applicazio Appli cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 6 0 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Essendo il periodo 2,torisulta ω risulta ω 0 = π = π” eScuol bisogna campionare punti punti k k π, con k con k ZUniversit` . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e nei delle Scienze di Base Univer sit`a deg degli li Stu Studi di −jnik π“Rena k Poic Po ich´ h´ e e = ( 1) , distinguiamo i casi k casi k pari e k e k dispari: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di1Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico per k per k = 2 n, n = 0 2 2 , 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 n π X 0 (k π ) = j (2 n 1) π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II”, Anno 4 “Federico per k per kAccademico = 2 n 1 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (2 n” Scuol 1)3 π 3a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato InII” definitiva Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 5 1 1 4 j (2 n 1) π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X (ω) = π δ (ωento ) + di Matema δ ( δ (ωtica2 en πAppli ) + cazioni δ (ioppoli” ω 2nπ+ π ) . Politecnica 2 2 3 6 2 π n π (2 n 1) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi din Napoli “Federico II” Anno =0 = 0 n∈Z Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”61s Anno Accademico 2016-2017 Luigi Grecocon Dipartimento Il prolungamento x `e replica periodica periodo p eriodo 2 didi Matematica e Applicazioni “Renato Ex. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico + 1) u(tica t + 1) u(t)cazioni t ni u(t“Rena ) u(to t Cacc 1) . ioppoli” Scuola Politecnica 0 (t) = 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimxento di(tMatema Matematica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola ax(tPol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ) x (tcazioni ) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico − − 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a− degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento − di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”Procediamo Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Procediamo mediante mediante il teorema teorema di campionam campionament ento. o. Trasformia rasformiamo mo x0 ; deriCaccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico viamo nel sensoe delle delle Scienze distribuzioni fino a che rimangano impulsi e derivate: 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (t) = u( x u ( t + 1) u ( t ) + (t ( t + 1) δ ( t + 1) δ ( t ) u ( t ) u ( t 1) 0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t to δ (tCacc ) δ ioppoli” (t 1)” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = u( u ( t + 1) 2 u ( t ) + u + u( ( t 1) δ ( t ) + δ + δ ( t 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (t) + δ x0 (t) = δ (t + di 1) Matema 2 δ (t) + δ +tica δ (t e Appli 1) δ cazioni +ni δ (“Rena t 1)to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi, quindia, applicando applic ando la trasforma trasformazione zione e usando usando la formula formula per la trasforma trasformata ta delle di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di derivate, abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di eBase Universit` Studi dij ωNapoli “Federico II” Anno Accademico ω2Scienze X 0 (ω) = 2 + e−j ω a degli j ω + ω + j j ω e− 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e, per ω per ωa=degli 0, Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` jω 1i” cos ωola Po e−litecni 1ca e del di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o X Caccio Cac cioppol ppoli” Scuola Scu Polite cnica delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii + . 0 (ω ) = 2 2 ω 017 Luigi jGreco ω Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 Dipartimen Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 99 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Alternativamente, Alternativ amente, posto p osto 2016-2017 x1 (t) = t Luigi u(t) Greco u( u (t Dipartimento 1) , possiamo possiamodiscrivere scriv ere x0 (t) e=Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Matematica x1 (Politecnica t + 1) x1 (et); inoltre inoltr e Caccioppoli” Scuola delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle d sin ω/2 ω/ 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ω/ 2 Π(t 1/2)] = j = j e−j ω/2 F [x1 (t)] = j F [ j t Π(t di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di dca ω e delle Scienze ω/2 ω/2 di Base Universit` −j ω Greco ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 d 1 eLuigi e−jDipartimento 1 e−j ω di Matematica e Applicazioni “Renato = di Base Universit` = j a degli Studi , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dω ω ω ω2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle j ωAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 1 e 1 jω [x1 (t + 1)] = eioppoli” t)] = a j Pol F [x di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niF “Rena “Renato to1)] Caccioppoli Cacc ”1 (Scuol Scuola Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 ω ω e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e riotteniamo l’espressione trovata per Caccioppoli” Scuola Politecnicafacilmente e delle Scienze di Base Universit` a X degli Studi diparte Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 . D’altra 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di X Napoli “Federico II” Anno 1 Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = 0. 0 (0) = lim X 0 (ω ) = 2 ω→ 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ”0Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Riguardo ale delle campionamento, campionament essendo il periodo 2, `eStudi ω 0 = π; π inoltre “Federico osserviamoII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze dio,Base Universit` a degli di;Napoli Z che n risulta X risulta X (2 n π ) = 0, mentre 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento 0di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 Politecni + j + j (2 (2 n ca1)eπdelle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to X Caccioppoli Cacc ioppoli” Scuola itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 1)”πScuol = 2a Pol . 0 (2 n 2 π2 (2 n 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto, in definitiva 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 ioppoli” 2 + j + j (2 (2 n a1)Pol π itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola Politecni e delle di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di X (ωto ) =Cacc δ ω ca (2 n 1) πScienze . 2 (2 Luigi n 1)Greco di Napoli “Federico II” Anno Accademico π2016-2017 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n∈Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a Il degli Studi di Napoli “Federico II”replica Anno periodica Accademico Luigi Greco Dipartimento prolungamento x prolungamento x si ottiene come con2016-2017 periodo 1 di Ex. 61t di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” x0 (Anno t) = (1Accademico t) ( et 1)2016-2017 u(t) u(tLuigi 1) Greco = (1 Dipartimento t) y0 (t) = 1 di j ( j (Matematica j t) t) y0 (t) ,e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers x(t) Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x0 (tit` ) a degli Studi di Napoli “Federico II” di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Luigi Greco Dipartimento di Matematica 1 1 2 e Applicazioni “Renato −1Anno Accademico 2016-2017 −1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico t 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle dove y dove yDipartimento 1)diu(Matema t) u(t tica 1) e. Calcoliamo la trasformata di y di y alla Politecnica 0 (t) = ( e ento 0 in base Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli definizione; per ω perStudi ω = 0:di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −j ω) jω t ω) t ωt Y 0 (ω) e = ( et 1) di e−Base dt = dtUniversit` = ea(1degli e−jdi dt “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze Studi Napoli 0 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi (1 di−jNapoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t =1 t =1 −j ω t ω) ω) t −j ω 1 1−j ω e e e 1 e =0 =0 t t di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite cnica ca e +del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii = nato = litecni 1 j ω co 2016-2 j ω Luigi Greco 1 j ωDipar j ωto di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 017 Dipartimen timento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 100 100 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Dunque, ricordando la formula per laLuigi derivata della trasformata,diabbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base1− Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e jω 1 e−j ω 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle X 0 (ω) =ento Y 0 (ωdi ) Matema j Y 0 (ω) = + ni “Rena 1 j ωII” Anno jAccademico ω Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a1−Pol Politecni ca e −delle Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di j ω itecnica j ω di Base Universit` e1−j ω eGreco 1 e j ω die− 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato j j ( j) j ) j 1 j (1 j aω) ω degli )2 j ω di Napoli j ω 2“Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diωBase Universit` Studi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle jω 1 “Federico II” e1−Anno 1Accademico e−j ω 12016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi1 di Napoli = + j ( j) j ) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a(1Pol Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 to j ωCacc jioppoli” ω j ω) ω )2 ca e delle j ω 2 Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` a1 degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e1−j ωScienze 1 di e−Base 1 = + . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni niω) “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 2 (1 j ω) ω) ω j ω (1 j ω“Rena ) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 5 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Dipartimento t X 0 (0) = (1 Luigi t) ( eGreco 1) dt = dt = e . di Matematica e Applicazioni “Renato 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 0Base Universit`a degli Studi 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Matema Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to punti Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Poich´eDipartimento il perio per iodo doento `e 1, di risult ris ulta a ω0 =tica 2 π ee bisogna campionare nei 2 k π. Essendo π a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers e−j 2 kit` = 1, k, dall’espres dall’espressione sione di X di X 0 ricaviamo per k = 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e 1 1 e j 2 j 2 k π 1 di Napoli “Federico II” 2016-2017 di Matematica X 0Anno (2 k πAccademico )= + 0 Luigi Greco Dipartimento = . e Applicazioni “Renato (1 j 2 jScienze 2 k π)2 di Base j 2 j 2 k π (1 j 2 ja 2degli k π) Studi j 2 j 2 di k πNapoli (1 j 2 j 2“Federico k π )2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Universit` II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Pertanto concludiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 k itecnica π e + j + j di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni niX “Renato “Rena Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni ca e δ ( Universit`a deg degli li Stu Studi di (ω) =to (2 Cacc e 5) π δ (ω”) +Scuol δ delle (ω Scienze 2 k π) . di Base Universit` k (1 Dipartimento 2 k π j )2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato k =0 =0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Ex. 61u Tracciamo il diagramma del prolungamento per periodicit`a (che indichiaScienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento mo ancora con x): x ): di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x(t) Scienze di Base Universit` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ` chiaro che E y (t) = 1 x(t) si ottiene come replica periodica di periodo 3 della di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato finestra triangolare Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica e Appli Applicazio cazioni ni(t + “Renato “Rena Caccioppoli” Politecnica e delle y0 (t) =ento (1 di t) Matema u(t) u(tica t 1) + (1 + t + t)) u 1) tou(Cacc t) =ioppoli” Λ(t Λ(t) , Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di y (t) y (t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle trasformata nelle Lezioni: per ω = 0, abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 olacosPo ωlitecni di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola Polite cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Y 0 (ω) = 2 , 2 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 ω Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
−
−
−
− −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
−
∀
−
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1
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−
-2
-1
1
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3
4
5
6
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 101 101 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 mentre Y mentre Y 0 (0)Accademico = 1. Poich´e2016-2017 il periodo perio do Luigi `e 3, risulta risult a ωDipartimento π ; per k per k di = Matematica 0, abbiamo e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Greco 0 = 3 π; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 “Renato 1 cazioni cos k π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio ni3“Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 e Appli Y 0 k“Federico π = 2 II” Anno Accademico 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 3 2 π k di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4 = di1Base ed Politecnica essendo cos 2 π = π = cos ancora Caccioppoli” Scuola e3delle Scienze Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 2 , troviamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 0 , per k per k = 3 n , con n con n = 0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 Y k π = 27 ioppoli” 0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena to Cacc Caccioppoli ” k Scuola Scuol Politecni e delle Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di , per k per = 3anPol + 1itecnica e per k perca k = 3 n +Scienze 2, con n con ndi Base Z 3 “Renato (2 k 2016-2017 π )2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ∞ + Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 Studi di9 Napoli “Federico 1 2 Y (ω (ω ) = ni π“Rena δ (ω) + δ ω (3 n + 1) π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 2 π n=−∞ (3 n + 1)2 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli II” Anno Accademico 1 Studi di Napoli “Federico 2 + δ ω (3 n + 2) π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica (3 n + 2)2 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi innidefinitiva di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (ω) = 2 π δ e(ω ) Y (ω (ω) di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola X Politecnica delle Scienze ∞ e Appli +tica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle 4 9 1 cazioni 2 ioppoli” Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di) Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = Studi π δ (ω δ ω (3 n + 1) π 2 3 2 π (3 n + 1) 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di n=−∞ di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 2 + a degli 2Studi δ ω di Napoli (3 n + 2) π . II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` “Federico (3 n + 2) 3 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Notiamo che X ( (ω) `e reale pari, “Federico come potevam p otevamo o prevedere, essendo2016-2017 tale pure x( x (t). Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a che X degli Studi di Napoli II” Anno Accademico Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” ancora Scuola Scuol a con x Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ex. 61v Ilniprolungamento, indicato con x, , si ottiene come replicadi periodica di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato con periodo π periodo π di x di x 0 (t) = x 1 (t) + x + x2 (t), dove Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica Matema Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica x1 (Dipartimento t) = cos t ento u(t + π/ +di π/2) 2) u(ttica ) , e Appli x2 (t)cazioni = (1ni “Rena 2 t/π) t/π ) to u(tCacc ) uioppoli” (t π/2) π/2)Scuola . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola ax(Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di t) x (t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − Caccioppoli” Scuola Politecnica e− delle Scienze di Base Universit` a−degli −Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Derivando due volte, troviamo x1 (t) = x1 (t) + δ (t + π/ + π/2) 2) δ (t) e quindi, per Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ω = cazioni 1, ni “Rena di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di j π ω 2 e j ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = X 1 (ω)Luigi . 1 ω 2a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` (t) di 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim x Dipartimento ento Matematica Applicazio ni2)“Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Analogamente, x Analogamente, = Matema (2/π (2/π)) δ tica (t) +e(2/π (2Appli /π)) δ (cazioni t π/2) π/ + δ + δ (tto ) e Cacc quindi quindi, , per ω per ω Scuola = 0, Politecnica 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federicoπ II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento j 2 ω 2 (i”e−Scu + π +litecni π jcnica ω ca e del di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” Scuola ola 1) Polite Po delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii X . 2 (ω ) = 2 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 πLuigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni ω “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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∈
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1
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2
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3 π 2
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 102 102 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π/2 π/2 Inoltre X 2 (0) = 0 (1 2016-2017 2 t/π) t/π ) dt = π/4. π/ 4.Greco Essend Essendo o il periodo periodo di π, Matematica risulta ω0 =e2, di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Dipartimento Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico quindi dobbiamo campionare nei punti 2 k ; ω = ω = 1 non intervengono. Dunque, perII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k = 0,Dipartimento k k2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ( 1) 2 k j ( 1) 1 = X k) + X + X ”2 (2 k) =a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni X “Renato “Rena Caccioppoli Cacc Scuola Scuol Politecni itecnica ca2 e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 0 (2 k )to 1 (2ioppoli” 2 k (1 4 k ) 2 k2 π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 k j , per k per pari to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni k “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 k (1 tica 4 k 2 )e Appli Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi=di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 k j 1 + , per k per k dispari di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 kioppoli” (1 4 ”k 2Scuol ) ka2 πPol di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Possiamo pertanto scrivere Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica tica 4e nAppli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π di Matema j cazioni X ( ω ) = 2 + δ ( δ ( ω ) + δ ( ω 4 n ) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 di Napoli “Federico 2 n (1 16II” n2Anno ) =0 =0 n di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 (2 n 1) + j + j 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di + +Dipartimento δ (ωMatematica 4 n + 2) e Applicazioni “Renato (2 n 1) di (16 (16Base n2 Universit` 16 n + 3) a degli (2 n Studi 1)2 πdi Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica endelle Scienze ∈Z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a Il degli Studi di Napoli II” replica Anno Accademico Greco Dipartimento prolungamento x prolungamento x si“Federico ottiene come periodica con2016-2017 periodo 2 Luigi di Ex. 61w di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 x0 (t) = t2016-2017 u(t) u(Luigi t 1)Greco + u( u(tDipartimento 1) + u + u((t 2)di. Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ) 1ento di Matema ) 1 to Cacc x (tDipartimento x(tcazioni Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 2 1 1 di 2Matematica 3 4 e Applicazioni “Renato −2 − di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Deriviamo fino a che non rimangano impulsi e derivate (deriviamo 3 volte): 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x0 (t) = 2 t u(t) u(t 1) + t δ (t) δ (t 1) + δ (t 1) δ (t 2) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni = “Renato “Rena Caccioppoli Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 t uto (t)Cacc u(ioppoli” t 1) ” Scuol δ (t a2)Pol di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Napoli “Federico II” Anno Accademico x0 (t) = e2delle u(t) Scienze 2 u(t di1)Base + 2 tUniversit` δ (t) δ (ta degli 1) Studi δ (t di 2) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = 2 u(t) 2 u(t 1) 2 δ (t 1) δ (t 2) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x0 (t ( t) = 2 δ (t) 2 δ (t 1) 2 δ (t 1) δ (t 2) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e dellela Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e quindi, applicando trasformazione, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento3 di Matema Matematica tica e Applicazio cazioni nij ω“Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle −jAppli − ω 2 to−2Cacc j ω ioppoli” Scuola Politecnica j ω X ( ω ) = 2 2 e 2 j ω e + ω e . 0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni ω “Renato “Rena Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Dunque, Dunque, per ω per = 0,to otteniamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato jω ω e−Universit` e−aj degli e−2 j ωdi Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 1Base Studi X 0 (ω ) = 2 j +2 + j . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ω3e Appli ω2 ni “Rena ω to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 2 D’altra parte, X parte, X =o 0Cac t dt +ppoli” 1 =i”11/ /Scu 3 + ola 1 = 4Po /3. Essendo il delle periodo 2, `e ω = π = π 0 (0) di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato Caccio cioppol Scuola Polite litecni cnica ca e del le Sci Scienz enze e 0di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii − jkπ e dobbiamo nei punti k punti k π, con k con k Luigi che e to di = (Matema 1)k ; tica e Appli Z. Osserviamo Studi di Napoli “Federic “Fed erico o II”campionare Anno Accademico Accademi co 2016-2 2016-2017 017 Greco Dipar Dipartimen timento Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 103 103 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di distinguiamo i casi k casi k pari2016-2017 e k e k dispari: di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 + n + n π j , per k perto k = 2 n, n=0 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento 2di Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n Matema π X a0 (degli k π ) =Studi 4 jdi Napoli 2 (2 n “Federico 1) π + j + j (2 (2II” n Anno 1)2 π2Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` , per k per k = 2 n 1 3 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (2 n ” 1) π a Pol di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pertanto Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 4 1 1 + n + n π j ) = π δ ento (ω) +di Matema (ω cazioni 2 n πni ) “Rena X (ωDipartimento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Matematica tica e δ Applicazio Appli “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 3 2π n2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n =0 =0 2 2 j ioppoli” 4 + 2 j 2” j (2 (2 n a1)Pol π + (2 nca 1) π Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Scuol Politecni itecnica e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di + 2 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento δ di (ω Matematica 2 n π + π + π)) .e Applicazioni “Renato 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico π n (2 n 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e la l atica replica r eplica periodica peri odica di “Renato Ex. 61x Il prolungamento x ` Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni x “Renato “Rena Caccioppoli Scuola a Pol Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di t Cacc u(t) ioppoli” u(t ”1)Scuol + sin t itecnica u(t ca1)e delle u(t Scienze 2) . di Base Universit` 0 (t) =to 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica x (t) 1e delle Scienze di Base Universit` x(t) a degli1Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2ioppoli” 1 Scienze 2 3di Base 4 Universit` −1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to1 Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a−2Pol Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno` 2016-2017 Greco Dipartimento diindicata Matematica “Renato L’esercizio eAccademico analogo all’Ex. 61v. PerLuigi il risultato, osserviamo che, con y( ye(tApplicazioni ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico la funzione periodica di periodo π di tale esercizio, risulta 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π cazioni Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napolix(“Federico II” t) = y (t ( t Anno 1) Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a2 Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π 2 −j ω Studi2di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e X delle (ω ) Scienze = e−j ω diF Base y Universit` t = aedegli Y ω . π ni “Rena π Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e2 Appli Applicazio cazioni “Renato to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 ni “Rena 2 a Pol 2 itecnica ω Accademico 4 n = δ (ω + 2 n π ) , Luigi δ Greco ωDipartimento 4 n + 2 = δ + (2 n 1) πe Applicazioni . di Napoli “Federico δ II” Anno 2016-2017 di ω Matematica “Renato π π π π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Pertanto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π 4 n j Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` “Federico II” Anno X (ω )a=degli 2 +Studi δ ( δ di (ωNapoli )+ ej 2 n πAccademico δ (ω + 2 n π) 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 to Cacc 2 n”(1Scuol 16an2Pol ) itecnica di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di =0 =0 n di Napoli “Federico II” Anno Accademico 22016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato (2 n 1) + j +Luigi j Greco Dipartimento 2 + e delle Scienze di Base + Caccioppoli” Scuola Politecnica Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (2 n 1)(16 n2 16 n + 3) (2 n 1)2 π Z n∈ento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle j (2 n−1) π δ (ω + (2 n 1)Luigi π ) Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno eAccademico 2016-2017 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π 4 n + j + j di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato = 2+ δ ( δ (ω) + δ (ω 2 n π ) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 Scienze di 2Base n (1 Universit` 16 n2 ) a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico =0 =0 n 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 (2 n + 1) j 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” + Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento δ ( ω (2 n + 1) π ) 2 + 16 n + 3) 2π (2 no + Cac 1)(16 nppoli” (2litecni n + 1)ca di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni onin∈“Re “Renat nato Caccio cioppol i” Scu Scuola ola Po Polite cnica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Z Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 104 104 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Tracciamo i diagrammi di xLuigi replica periodica x: periodica x Ex. di Napoli “Federico II”61y Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento di: Matematica e Applicazioni “Renato 0 e della Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x (t x(t 1 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 ioppoli” 2 e−1delle 1Scienze 2 3 di4 Base 5 Universit` −1 to Cacc −4 −3 − di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a−5Pol Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato PerPolitecnica trasformare x0 , osserviamo che risulta x0 (ta) degli = (Studi j t) t)2 di Π Napoli t/2 t/2 e quindi, perII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit` “Federico ω = 0,Dipartimento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento d2 ioppoli” sin ω ” Scuol sin ω cos ω sin ω di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato Caccioppoli Politecni itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di X 0“Rena (ω) = to2Cacc = Scuola 2 a Pol 2ca e2 delle + 2 Scienze . di Base Universit` 2 ω ω Dipartimento ω di Napoli “Federico II” Anno Accademicodω 2016-2017 Luigi Greco diω 3Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento di2Matema Matematica tica e Essendo Applicazio Appli cazioni “Renato “Rena Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle D’altra parte X parte X ento dt = 2/3. il ni periodo 4,torisulta ω 0 = π/ π /2; nel Politecnica 0 (0) = 0 t dt = Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napolii “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento campionamento, distinguiamo casi k pariII” casi k e k e kAnno dispari: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di n ( 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 4 , per k per k = 2 n , n = 0 π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle 4 n2 Scienze π 2 /4 di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 0 k = 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento din Matema Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 1tica e Appli 2 ni “Rena 2 ( 1) , per k per k = 2 n + 1 3 3 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (2 n +“Federico 1) π/2 π/ 2 (2 n + 1) πAccademico /8 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base n Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 2 ( 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim di) + Matematica Matema tica e δ Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle X (ω) =ento δ ( δ (ω (ω n π) ni “Rena 3 di Napoli π n2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n =0 =0 2 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca8 e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2ioppoli” n (2 n + 1) π ( 1) δ (ω ndi π Matematica π/2) π/2) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico+2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato 2 3 π (2 n + 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze din Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 61z Il prolungamento x si ottiene come replica periodica con periodo 2 del di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di segnale continuo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle II” Anno Accademico x0 (t) = (2 t Scienze t2 ) u(tdi ) Base u(t Universit` 1) + (2 a degli t) u(Studi t 1) di Napoli u(t 2)“Federico . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to1 Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola ax(Pol Politecni itecnica ca e delle Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 Scienze di Base Universit` t) x (cazioni t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Deriviamo fino a chetonon rimangano impulsi e derivate (deriviamo 3 volte, i calcoliUniversit`a deg di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` degli li Stu Studi di sono analoghi a quelli dell’Ex. 61r: di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` (t) = (2 e delle 2 a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x 2 t ) [ u ( t ) u ( t 1)] + (2 t t ) [δ (ni t) “Rena δ (t to 1)]Cacc 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle u(t 1) u(t 2)] + (2 tII” ) [δ (Anno t 1) Accademico δ (t 2)] 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli [Studi di Napoli “Federico di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni “Renat Caccio Scuola Polite Po litecni delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii =oni 2 (1“Re t)nato [u(ot) Cac u(cioppol t ppoli” 1)] i” uScu (t ola 1) + u + u( (t cnica 2)ca e del Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 0
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 105 105 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 (notiamo cheAccademico la derivata 2016-2017 coincide conLuigi quella ordinaria, x 0 essendo C essendo a tratti) e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Greco Dipartimento di C Matematica Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico (t) = 2 [u(t) u(t 1)] + 2 (1 t) [δ (t) δ (t 1)] δ (t 1) + δ x + δ (t Scuola 2) 0 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli 2Studi 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento [u(t) diuNapoli (t 1)]“Federico + 2 δ (t) II” δ (t Anno 1) + δ +Accademico δ (t 2) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (t 2) x ( t) = 2e δ (t) +Scienze 2 δ (t di 1) Base + 2 δ Universit` (t) δ (t a degli 1) + δ + δ Studi Caccioppoli” Scuola Politecnica delle di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 (t 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle quindi Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento j ω 3 X 0 (ω) = 2 + 2 e−j ω + j ω (2 e−j ω + e−2 j ω ) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e, II” per ω perAnno ω = 0,Accademico ricaviamo 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico −j ω Universit` j ω Studi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze dieBase degli 1 2 ae− + e−2 j ωdi Napoli “Federico II” Anno Accademico X ( ω ) = 2 j . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento 0di Matema Matematica tica Applicazio cazioni niω 2“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ω3 e Appli Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 D’altra parte X parte X 0 (0)to = Cacc (2 ioppoli” t t2 ) dt 1/2 a= Pol 1 itecnica 1/3 +ca 1/e2 = 7/6.Scienze Poich´e di il i l periodo peri odo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ”+ Scuola Scuol Politecni delle Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di 0 ` e 2, risu ri sulta lta ω = π e dobbiamo campionare nei punti k π , con k con k ; distinguiamo Z 0 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato i casi k casi k pari e k e ke dispari: Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ( 1)k tica 1 e 3Appli ( cazioni 1)k ni “Rena X ( k π ) = 2 j 2 j Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli0Studi di Napoli3 “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento k π3 k2 π 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 , per k per k = 2 n, con n con n = 0 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 2 ndi πBase Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (2 n“Federico 1) π + j + jII” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 4 , per k per k = 2 n 1 3 3 a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di (2 n ” 1) π Politecni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Pertanto Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 7 1di Matema 1 4cazioni (2 “Renato n 1)to π + j +Cacc j ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica Applicazio ni “Rena Caccioppoli” X (ω) = π δ (ωento ) δ ( δ (ωtica2 en πAppli ) δ (ω 2 n π + π ) . Politecnica e delle 2 2 3 2 πdi Napoli n “Federico II” π Anno (2 n 1) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a6degli Studi Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n n =0 =0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e la replica replica periodica con periodo π del segnale segnale Ex. 61a1 Il prolungamento x ` Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico continuo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle x ( t ) = sin t u ( t ) u ( t π/2) π/ 2) + (2 2 t/π) t/π ) u ( t π/2) π/ 2) u ( t π ) . 0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 x ( t) 1 x(t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π 3π π π π −3 π −π −π 2 2 2 to Cacc 2 ioppoli” Scuola 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi all’Ex. di Napoli II” Anno Accademico L’esercizio `e analogo 61v.“Federico Per il risultato, osserviamo che, 2016-2017 indicata conLuigi y( y (t) Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di la funzione periodica di periodo π periodo π di di tale esercizio, risulta x risulta x((t) = y( y (t π/2) π/ 2) e quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π π Universit`a degli 4 nStudi j di Napoli “Federico II” Anno Accademico ω Scienze di Base Caccioppoli” Scuola Politecnica 2 X (ω) = e−ejdelle Y (ω (ω) = 2 + δ (ω ) + δ (ω 4 n) 2) 2 e Appli 2n 16 nto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio cazioni ni(1“Rena “Renato Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle n =0 =0 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 (2 n 1) + j + j 2 + δ ( ω 4 n + 2) . di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii (2 n 1)(16 n2 16 n + 3) (2 n 1)2 π n∈Z Accademico Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 106 106 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze Base Universit` a degli Studi prolungament o `edi replica periodica con periodo πdidiNapoli “Federico II” Anno Accademico Ex. 61b1 Il prolungamento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ) = et cos t u(t + π/ + π/2) u(tAccademico π/2) π/ 2) . 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studix0di(tNapoli “Federico II”2) Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x(t) x (t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim−ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − − Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Per trasformare x0 ,tousiamo il legame traa F eitecnica osserviamo osser che L [di x0 ]Base `e una unUniversit` a di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Pol e viamo delle Scienze Univer sit`a deg degli li Stu Studi di L ; ca di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato funzione intera e F [x0 ](ω ](ω2016-2017 ) = L [x0 ](Luigi j ω). ω ). Greco Poich´eDipartimento (supponend (sup ponendo o momentaneamente momentan eamente Caccioppoli” Scuola e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico RePolitecnica s > 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t e cos t u( u ( t + π/ + π/2) 2) = cos t u( u ( t + π/ + π/2) 2) ( s 1) L L Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π/2 e(s−1) π/2 (” s−Scuol 1) π/2 π/2 a Pol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di = e [sin t u( u (t)](s )](s 1) = L [sin 2 +1 ( s 1) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e analogamente 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s) π/2 π/2 to Cacc eni(1−“Rena t Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli StudiL di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e cos t“Federico u( u (t π/2) π/2)II” =Anno Accademico , (s ca 1)2e+delle 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π/ 2 j ω) ω ) π/2 π/ 2 e(j ω −1) π/2 e(1−Studi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a+ degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 0 (ω ) = F [x0 ] = . 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni + “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ( j cazioni ω 1) 1 to Cacc Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Essendo il periodo π periodo π,, risulta ω risulta ω 0 = 2; inoltre di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π −Scuola π j −π/2 π/ 2 k π j +π/2 π/2 coshdi ek 2016-2017 + eLuigi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato k 2 X 0 (2 k) = = ( 1) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi (2 kdij Base 1)2Universit` +1 1 2 di k jNapoli 2 k 2 “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e pertanto Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ k π ( 1) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca δ ( di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di X (ωto) = 2 cosh δ (eωdelle 2 kScienze ). 2 1 Greco 2 k j Dipartimento 2 k2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato k=−∞ Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle i diagrammi di xe0 e di x della replica periodica periodica x x:: ioppoli” Scuola Politecnica Ex. 61c 1 Tracciamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento t) x (cazioni t) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a x(Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − − − − − di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola e delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico PerPolitecnica la trasforma trasformazione zione,,Scienze per ω per ω diRBase Universit` 1 , 0 , 1 abbiamo 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle t sin π ω sin si n π ( ω 1) sin π ( ω + 1) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X 0 (ωa) degli = F Studi (1 + cos t) Π =2 + + di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola aω Politecni Pol itecnica caω e delle Scienze di1Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 π ” Scuol 1 ω + 2 2016-2017 1 1 sinDipartimento πω di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato = sin π ω =2 . 3 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ω Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ω 1 ω + 1 ω ω 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Notiamoa che X 0 `e reale pari, come x0 . Essend Ess endo o il periodo 3π 3π, risulta ω0 = Luigi 2/3 e Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 campionare neio punti k punti k 2ppoli” /3; ii”punti 1 non intervengono nel di Mat Matema ematic tica a e bisogna Applic App licazi azioni oni “Re “Renat nato Caccio Cac cioppol Scuola Scu ola Polite Po litecni cnica ca e del delle le campionamenScienz Sci enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii to. erico D’altra D’altr a parte X parte X 0Accademico (0) = limωco X 0 (ω )017 = 2Luigi π. NelGreco campionamento, campionamen to, distinguiamo →02016-2 Studi di Napoli “Federic “Fed o II” Anno Accademi 2016-2017 Dipartimen Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 0
exp( √ π/4) 2
−
−
1
π
π
π
2
4
2
3 π 2
−
π
π
2
2
− −
3 π 2
−
− − −
−
−
−
−
−
−
−
−
2
2
0
4π
π
π
∈ − {−
−
− −
3π
2π
}
−
−
∓
π
π
−
2π
3π
4π
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 107 107 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di i tre casi k =Accademico 3 n, k = 3 n2016-2017 + 1 e k = 3Luigi n + 2; essendo essenDipartimento do di Napoli “Federico II”casi k Anno Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 3 Applicazio 4 ni “Rena 3 to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di sin Matematica Matema Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π = π =tica ,e Appli sincazioni π = π = “Renato , 3 2 3 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di troviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 , per k perStudi k = 3di n,Napoli con n con n = 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica 3 / 2 2 , per k per k = 3 n + 1 3 k = Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` aX degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 0 (n + 1/ 1 /3) 4 (n + 1/ 1 /3) 3 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ”3Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di /2 a Pol , per k per k = 3 n + 2Matematica e Applicazioni “Renato 3 Dipartimento di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di (n + 2/ 2 /3) 4 (n + 2/ 2 /3) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico e pertanto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 4π 1 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e 3delle Universit`a deg degli li Stu Studi di X (ωni ) =“Rena δ (to ω) Cacc + ioppoli” δ ( δ (ω Scienze 2 n 2di /3)Base Universit` 3 ( n + 1/ 1 / 3) 4 ( n + 1/ 1 / 3) 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n∈Z 1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico δ ( δ (ω 2 n 4/3) . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (n + 2/ 2/3) 4 (n + 2/ 2 /3)3 ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di prolungamento x `e replica periodica con periodo π di Ex. 61d1 Il prolungamento x di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di tBase Studi x0 (t) = cos tUniversit` u(t) u(at degli π/2) π/ 2) . di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x(t) x (t) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a− Pol Politecni itecnica ca− e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle degli di Napoli “Federico II” Anno Accademico Posto x1 (t) =e cos t Scienze u(t) di u( u (Base t πUniversit` /2) , abbiam abbaiamo o xStudi t) x 0 (t) = j ( j t) 1 (t). Per 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle trasformare x1 , essend essendoo tale tale segnal segnalee prodott prodottoo di una finestra finestra per una funzione funzione Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento trigonome trigonometrica trica,, usiamo usiamo il metodo del riciclo, riciclo, quindi quindi deriviamo deriviamo due volte: volte: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x1 (tAnno ) = Accademico sin t u(t) u2016-2017 (t π/2) π/ 2) Luigi + cos Greco t δ (t) Dipartimento δ (t π/2) π/2) di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Caccioppoli” Scuola Politecnica a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = sine tdelle u(t)Scienze u(t diπ/2) π/Base 2) +Universit` δ (t) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers dit Napoli Anno x1 (tit` ) a=degli x1 (Studi t) sin δ (t) “Federico δ (t π/2) π/2) II” + δ (t) =Accademico x1 (t) + δ + δ (t2016-2017 π/2) π/2) + δ + δ Luigi (t) Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e quindi, per ω per ω = 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` e−j 2 ω +a jdegli ω Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 1 (tica ω) =e Appli . “Renato 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 ω 2 ni “Rena Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ne segue di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato π e−Luigi j π ω Greco Dipartimento 2 1 (1 ω2 ) + 2 j 2 j ω e−j 2 ω 2 ω2 d 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico X 0 (ω ) = j = j X 1 (ω ) = 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle dω di Matema (1ni “Rena ω2 )2 to Cacc π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napolie“Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −j 2 ω π (1II” Anno 2 2 ω ) + 2 j 2 j ω 1 ω 2 di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le . Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii =cioppol ω2Greco )2 Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 (1 Luigi Dipartimen Dipar timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
√
−
√
√ −√ − −
√
− −
−
−
− −
−
−
−
0
3 π 2
π
2
− − −
− ∓
π
π
2
2
− −
− −
π
−
− − − −
π
− −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3 π 2
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 108 108 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di ` E ω 2, quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 = Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzekdi π Base Universit` a degli Studi2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 ( 1) 2 k π + 4 k j 4 k to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio cazioni ni 1“Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2tica e Appli X (ω) = 2 δ (ω 2 k) . 2 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento (1 4 k ) k di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Sia x la replica periodica con periodo 2 π di Ex. 61e1 Sia x Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x0 (t) =ento (1 +di sinMatema t) u(t + π/ +tica π/2) 2)e Appli u(t) cazioni + cos u(t) tou(Cacc t π/2) π/ 2) . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica Applicazio nit “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 Cacc 1 x (cazioni t t di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola ax(Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3π 5π π π −π −5 π −3 π −π 2 Scienze 2 2 2 2 di Napoli 2 2 “Federico 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli Studi II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Scriviamo x0 (t) = x1 (t) + x 2 (t) + x 3 (t), con x1 (t) = u(t + π/ + π/2) 2) u(t), x2 (t) = Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sin t u(t + π/2) π/2) u(t) e x 3 (t) = cos t u(t) u(t π/2) π/2) . In base alla definizione, di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di per ω per ω = 0 abbiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli ej 2 ωStudi 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico − jω t (ω) = tica ee Appli dt = dtcazioni = ni “Rena . Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento diX 1Matema Matematica Applicazio “Renato to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle j ω −π/2 π/ 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Inoltre, essendo x essendo x 2 (to t) =Cacc xioppoli” δ (t)” Scuol δ (t + π/ + 2), per ω perca ω = 1 abbiamo 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Scuola a π/2), Politecni Pol itecnica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matematica e Applicazioni “Renato 2 1 + j +Greco j ω ej Dipartimento (ω ) =Universit` . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze X di2Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ω2 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π Ancora, che x2 (t π/2), π/II” 2), Anno troviamo X troviamo X 3 (ω) = 2016-2017 e−j 2 ω X 2Luigi (ω) e Greco Dipartimento 3 (t) = “Federico Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` aosservando degli Studiche x di x Napoli Accademico quindi quindcazioni i infine di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π π di Napoli “Federico II” AnnoeAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − j π ω j ω j ω 2 π 1 + j ω e 2 j ω e 2 1 −jBase ω 1 + j j π ω 2 2 (1 edi ) Universit` = ( eStudi . II” Anno Accademico Caccioppoli” ScuolaX Politecnica e delle + Scienze a degli di1) Napoli “Federico 0 (ω ) = 2 2 j ω ω 1 j ω (ω 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Z.Luigi Essendo periodo π, Napoli `e ω0 =“Federico 1 e bisogn bisogna a Anno campio cam pionar naree nei punti punt i k Nel Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a il degli Studi2 di II” Accademico 2016-2017 campionam campcazioni ionament o, distinguiam distin guiamo o quattro quatt casi, base alla diScienze k modulo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio niento, “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” ro Scuola Scuol a in Politecni Pol itecnica ca classe e delledi k di 4: Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato X 0 (4 n) = 0 , n =0; Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 + j + j X 0 (4din + 1) = tica e Appli ,ni “Rena n = 0to; Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Matema Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (4 n + 1)(4 n + 2) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 4 n +II” 2 Anno j X 0 (4 + 2)ioppoli” = ; di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to nCacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e, delle nScienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 (2 n + 1) (4 n + 2) 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 j Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle X 0 (4Scienze n + 3) =di Base Universit`a ,degli Studi n = di 1 .Napoli “Federico II” Anno Accademico (4tica n +e2)(4 n + 3) ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica Applicazio Appli cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a 0degli di0 X Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Inoltre X Inoltreit` X (0) =Studi limω→ π/2, π/ 2, 0 (ω ) =“Federico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 π 1 + j + j π di Napoli “Federico X II” Anno Accademico Luigi Dipartimento di Matematica = lim X 0 (ω ) = (12016-2017 + j + j)) j Greco = + (1 j) je) Applicazioni “Renato 0 (1) ω →1 2 Universit` 4 (4a ndegli + 1)(4 n +di2)Napoli 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Studi II” Anno Accademico n=0 “Federico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e analogamente Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 π 1 j π di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni “Renat “Re Caccio cioppol i” Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle Scienz Sci Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii X 1) = (1nato j) jo) Cac + j + jppoli” = Scu + le (1 + j +enze j)) e. di Bas 0 ( oni 2 co 42016-2 (4 n +Luigi 2)(4 n + 3) nDipar 4 to di Matema Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 017 Greco Dipartimen Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni =−1 timento “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
− −
−
0
−
− −
−
− −
−
−
−
−
∓
−
−
−
−
−
−
∈
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∀
−
−
Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 109 109 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Possiamo pertanto scrivere di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico π π π X ( ω ) = δ ( δ ( ω ) + (1 j) j ) δ ( ω 1) + (1 + j) j ) ni δ (ω“Rena + 1) to Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 4 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 1 + j + j di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di + ioppoli” δ (itecnica ω 4ca n e 1) 2 n + 1 Luigi 8 n + 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico n2016-2017 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ∈Z Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di2Base 4 n + j Universit`a degli Studi 1 jdi Napoli “Federico II” Anno Accademico + Matema δ ( ω 4 n 2) + (ω ioppoli” 4 n 3)Scuola . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to δ Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle Politecnica (4 n + 2)2 1 8 n + 6 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di trasformare2016-2017 x 0 osserviamo posto x 1 (t) = e−t di (1 + t) u(t), risulta risult a Ex. 1 Per di Napoli “Federico II”61f Anno Accademico Luigiche, Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato x0 (Politecnica t) = x1 (t) +exdelle quindi X quindidi X Base X 1 (ω ) +aX ). F -trasformiamo dunqueII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Scienze Universit` degli di Napoli “Federico 1 ( t), 0 (ω ) = 1 ( ωStudi x1 ; a tal fine, usiamo il legame con la eL -trasformazione, -trasformazione, osservando che x 1 `e Scuola che x asso as so-- Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diabile Napoli Anno 2016-2017Risulta Luigi Greco Dipartimento lutamente -tra sformabile per “Federico Re s > 1,II” perch´ e diAccademico ordine esponenziale. esp onenziale. L -trasform di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di quindi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 1 di Matematica e Applicazioni “Renato X 1e(delle ω) = Scienze ](ωdi ) =Base ω ) = a degli +Studi di 2Napoli “Federico II” Anno Accademico F [x1 ](ω L [x 1 ]( j ω) Caccioppoli” Scuola Politecnica Universit` s + 1 (s + 1) s=jω 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle s + 2 jω + jω + 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi “Federico II” Anno = di Napoli = . Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 s + 1) ( jω + jωa +Pol 1) 2itecnica s=jω” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to (Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Notando che X cheAccademico X 1 ( ω) = X 1 (ω ), troviamo infine Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico jωAppli + 2 cazioni ( jω ( jω + +to 2)(Cacc jω + jω + 1) 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema tica ejω + Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle X 0 (ω) = 2Re X Matematica ( ω ) = 2Re = 2Re 1 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ( jω + jω + II” 1) 2 Anno Accademico (ω 2 + 1) di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco e Applicazioni “Renato ( jω ( jω + + 2)(1 ωLuigi 2 jω) jω ) Dipartimento 2 (1 ω 2 ) + 2diωMatematica = 2Re =a 2degli Studi 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di di2Napoli “Federico II” Anno Accademico (ω2Base + 1)Universit` (ω2 + 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico 4 2 = to2 Cacc = di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 (ω + 1) 1 + ω + ω 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato −|t| ] =II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e0delle Scienze Base` degli dindo Napoli Notiamo che X `e reale real e pari, pari , di come e Universit` pure pur e x0 . a Inoltre, Inolt re,Studi ricordando ricorda che “Federico F [ e | . Essend 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matematica Applicazio niendo “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1/(1 +Dipartimento ω 2 ), vediamo cheMatema x0 (t) =tica e−|et| Appli e−|tcazioni Ess o il periodo peri odo ioppoli” 2 π , dobbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento campionare negli interi.Pertanto di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato X (ω ) = 4 Luigi Greco δ ( δ Dipartimento (ω k) (1 + k + k 2 )2a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` k∈Z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle e Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno+∞ Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento +∞ 2to Cacc 1 ” Scuol 4 ca e delle 1 jkt a 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni nix(“Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Pol itecnica Scienze Universit`a deg degli li Stu Studi di t) = e = + cos kt . di Base Universit` 2 2 2 )2 π (1 + k + k ) π π (1 + k + k di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato k=−∞ k=1 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matema Matematica tica e che Applicazio Appli cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle periodico, indichiamo pureto conCacc x siioppoli” ottiene come Ex. 61g 1 Il prolungamento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento replica periodica di periodo 2 di di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii x0 (t) =co (t 2016-2 t3 ) [u017 (t + Luigi 1) uGreco (t 1)]Dipar . Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 110 110 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Ricordando che (vedere Lezioni) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico sin ω to cosCacc ω ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica ue(tAppli Applicazio “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle (1 dit2Matema ) [u(t + 1) 1)]cazioni = 4ni “Rena , F ento 3 2 ω ω 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di mediante la prima formula fondamentale troviamo, per ω = 0, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle degli d Scienze sin ωdi Base cos ωUniversit`asin ω Studi cos di ω Napoli sin ω“Federico II” Anno Accademico X 0 (ω ) =ento 4 j di Matema = 4 j 4 jcazioni + 3 to 3 ioppoli” . Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Applicazio Appli ni “Renato “Rena Caccioppoli” Cacc Politecnica e delle 3 2 2 3 dω ω ω ω ω ω4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni X “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Pol itecnica e delle Scienze Base Univer Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di Notiamo che X che e immaginaria dispari, inaaccordo colcafatto che x e reale realdi e dispari dis pari. . 0 ` 0 ` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Inoltre, essendo dispari, verifica X verifica X 0 (0) = 0. Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze Base ωUniversit` a degli Studi di Napoli Essendo il eperiodo τ periodo τ = = 2, di risulta ω risulta = π e dobbiamo campionare nei“Federico punti k π ,II” Anno Accademico punti k 0 = π k 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k Z. Poich´e chiaramente sin k π = 0, k Z, mentre cos k π = ( 1) , troviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” ( Scuol Scuola Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1)k a Pol Z X ( k π ) = 12 j 12 j , k 0 . 0 3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 (Luigi k π ) Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Dunque 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli Luigi Greco Dipartimento k “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 12 12 j jto Cacc ( 1) 6 je delle ( Scienze 1)k jπktdi Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena Caccioppoli ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di X (ω) = 2 δ (ω k π ) , x(t) = 3 e . 3 3 π k π k di Napoli “Federico II” Anno Accademico di Matematica e Applicazioni “Renato k =0 =0 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento k =0 =0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Ex. 61h Il prolungamento periodico,indicato ancoraAccademico con x,, si ottiene con x come replica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a1degli Studi di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento con periodo π di to Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2“Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x (t) = (π 2 t2 )cos t [u(t + π + π)) u(t π)] . Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle0Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Per laDipartimento formula di modulazione, posto Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to x Caccioppoli Cacc Scuola Politecni Pol delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di = (π 2 ” tScuol ) [u(at + π + π))itecnica u(ca t eπ )] 1 (t) ioppoli” di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e risultando risult ando quindi x quindi x 0Scienze (t) = x1di (t)cos abbiamo a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Baset,Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi diX Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento X 1 (ω II” 1) + X +Anno X 1 (ωAccademico + 1) . 0 (ω ) = “Federico 2 ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II”trasformare Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Per x1 , possiamo derivare 3 volte nelDipartimento senso delle distribuzioni, o usaCaccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico re la prima prima formu formula la fondam fondamen ental tale, e, o usare usare il legame legame con la L -trasformazione. -trasformazione.II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Procediamo qui nel modo seguente; ricordando che il segnale Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli Scuola Politecni e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x2 (t)ioppoli” = (1 ” tScuol ) [u(ta +Pol 1)itecnica u(tca 1)] di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato `e stato trasformat trasformato o nelle Lezioni Lezion i ed Universit` osserva osservando ndo che risulta risult (t) = “Federico π 2 x2 (t/π), t/π),II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base a degli Studiadix1Napoli 2 troviamo, per la formula di cambiamento di scala, X (0) = 4 π / 3 e per ω per ω = 0, 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 1“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento sin πi”ω Scu cos ω litecni sineπ del ω le cos π ωe di Bas 3 ppoli” di Mat Matema ematic tica a e App Applic azioni oni 3“Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol Scuola olaπ Po Polite cnica ca delle Scienz Sci enze Unive versi rsit` t`a de degl glii X licazi = 4 π . Basee Uni 1 (ω ) = π X 2 (π ω ) = 4 π 2 π ω )3 017(πLuigi ω)2 Greco Dipar ω3 timento Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico (2016-2 2016-2017 Dipartimen toω di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
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∀ ∈
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∀ ∈ −{ }
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 111 111 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto, per ω per ω = 1, 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica esin delle Base a degli II” Anno Accademico π (ωScienze 1) di cos π (Universit` ω 1) sin π (ωStudi + 1) di Napoli cos π (“Federico ω + 1) X 0 (ω ) = 2 ento di 3Matema π tica e Appli + ni “Rena π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (ω 1) (ω 1)2 (ω + 1) 3 (ω + 1) 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 1 1 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di =ni2 π“Rena cos π to ω Cacc +” Scuol 2sin πcaω e delle Scienze + di Base 2 2 3 1) (ω + 1)Greco Dipartimento (ω 1) (ω + 1) 3 e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico(ω2016-2017 Luigi di Matematica ω 2 + 1di Base Universit` ω 3 +a 3degli ω Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica delle = 4 π ecos π ω Scienze 4sin π ω . 2 2 3 1)2 tica e Appli (ωcazioni 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di(ωMatema Matematica Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Osserviamo che X che X 0 `e reale r eale pari, in accordo col fatto che tale ta le `e anche an che x 0 . Essendo il di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola acampionare Politecni Pol itecnica ca delle k Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di periodo τ periodo τ = π, risulta ω risulta ω 0 =ioppoli” 1 e dobbiamo neie punti Z. Calcoliamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 di Base Universit`a 1degli 4 Studi 2 3 “Federico π Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze Napoli II” Anno Accademico X 0 ( 1)e=delle X 0 (1) = X 1 (0) + X + X 1 (2) = π 3 π di= π . 2 2 ni 3“Rena 3 ioppoli” 2 Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Notiamo Notiamo che sin k π = 0 e cos k π = ( 1)k , k Z, quindi, per k per k = 1, abbiamo abbiamo di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato k Dipartimento +1 X 0 (dik)Base = 4 πUniversit` ( 1)k 2a degli2 .Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze (k 1) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Dunque Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni2“Rena “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e dellekScienze Universit`a deg degli li Stu Studi di πto Cacc + 1 di Base Universit` 3 k X ( ω ) = π δ ( ω + 1) + δ + δ ( ω 1) + 4 π ( 1) δ ( δ ( ω k ) . di Napoli “Federico II” Anno 3 Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato 2 (k2di Matematica 1)2 =∓1Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico k Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle di x e del di x periodico, che denoteEx. 61i Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a1 Tracciamo degli Studi ildidiagramma Napoli “Federico II”prolungamento Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento remo cazioni ancora x. x . to Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni con “Renato “Rena Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato − Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ”come Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di xBase Universit`a deg degli li Stu Studi di Ilcazioni segnale periodico si ottiene replica di periodo 2 π di 2π x0 (t) = 1 (t) Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x1 ( t), dove Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 1Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico cos2t cos2 t [u(tcazioni ) uni (t “Rena π)] . to Cacc 1 (t) = tica e Appli 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di xMatema Matematica Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 − cos 2 1 − cos2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ( )= [ ( Base ) − ( − )]Universit` − (− )= − [ ( + ) − ( )] 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Notiamo ı che, detto x“Federico periodico di periodo 22016-2017 π che nell’interScienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a deglialtres` Studi di Napoli II” Anno Accademico Luigi Greco Dipartimento 2 il segnale vallo cazioni ( π, ni π) “Rena vale to Cacc di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 1 Luigi GrecoπDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato , per < t < 0 < 0 x2 (t) di = Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze 1 e Appli , per cazioni 0 < 0 < tni < “Rena π 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers risultait`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1olacos2t cos2 t cnica di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola Polite Po litecni ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii x(t) = x 2 (t) . Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 2 “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 112 112 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di NeII” segue di Napoli “Federico Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 di Base Universit` 1 c [ x ] = c [ x ] c [ x + . −2 [x2 ]to Cacc 2 2 ] + c 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimentok di Matema Matematica e Appli Applicazio ni ck“Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle k tica k+2cazioni 2 2 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni nita“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Poich´ Poi ch´ e risul ri sulta di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 0 , per k per k pari Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze ck [x2di ] =Base 2Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico , per k per k dispari 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle j k π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato to k Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a dispari Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di abbiamo c abbiamo cni ] = 0 per k per pari, mentre, per k per k k [x“Rena di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 1 Scienze 2 1di Base 1Universit` 2 ka2degli 8 Studi 2 kNapoli 2k k2 + di k 2 “Federico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle II” Anno Accademico ck [x] = = 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim2ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica 2 j π k (k 4) j π k k + 2 k 2 4 j Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento = . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π k (to k 2 Cacc 4) ioppoli” di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Notiamo Notia mo che la successione succeScienze ssione dei coefficient coeffici entii della serieStudi esponenziale espone Fourier ourier `eII” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit` a degli dinziale Napolidi“Federico immaginaria dispari, in accordo col fatto che x ` che x ` e reale dispar i.toPertanto, ricordand r icordando o Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni dispari. “Renato “Rena Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle la relazione ω relazione ω 0 X = 2π ck“Federico [x], abbiamo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi II”infine Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 0 (k ωdi 0 ) Napoli di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 di Napoli “Federico II” Anno Accademico di 1) Matematica e Applicazioni “Renato (11) X (ω ) = 8 j 2016-2017 Luigi Greco2 Dipartimento δ (ω 2 n + . (2 n 1) (2 n 1) 4 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico n∈Z 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle A scopo un’altra risoluzione. Per trasformare Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` aillustrativo, degli Studi proponiamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 cos2t cos2t di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi Dipartimento + x0 (t) = 2016-2017 [2 u(t)Greco u(t + π π)) u(t π)]di Matematica e Applicazioni “Renato 2 Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento nel di senso Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle deriviamo tre volte delle distribuzioni; essendo x0to Cacc C 2 (R ), le derivate Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento prima e seconda seconda coincidono coincidono con le derivate derivate ordinarie: di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x0 (t) = sin sin 2 t [2 u(t) u(t + π + π)) u(t π )] + 0 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle x0 (tdi ) =Matema 2cos 2cos 2 ttica [2 u(et) Appli u(t + π + π)) ni u“Rena (t πto )] +Cacc 0 ioppoli” Scuola Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni Universit`a deg degli li Stu Studi di x (to t) = 4sin2 t [2 u (t) auPol (t + π +itecnica π)) ca u(te delle π )] Scienze di Base Universit` 0 (t di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato +2cos2 t [2 δ (t) δ (t + π + π)) δ (t π)] Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 4 x0 (t) + 4 δ (t) 2 δ (t + π + π)) 2 δ (t π ) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a, degli Studido di ambo Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi, quindi trasforman trasformando i mem membri bri di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di − 3 jπω jπω di Napoli “Federico II” Anno Accademico ( j ω 2016-2017 + 4 j 4 j ω) ω ) X 0 (Luigi ω) = Greco 4 2 ( Dipartimento e +e ) ,di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ovvero, per ω per ω =ento 0, ω 0, ω di = Matema 2, Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 olacosPo πlitecni ω cnica di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol i” 4 j Scuola Scu Polite delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii X 0ppoli” (ω ) = . ca e del 2 ω (ω Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi4)Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
−
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− ∓
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− − − − − − − − − −
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 113 113 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Notiamo che X cheAccademico X 0 `e immaginaria dispari, inGreco accordo col fatto che di x 0Matematica `e reale real e dispari dis pari. . di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Dipartimento e Applicazioni “Renato Facilmente troviamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle pure Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni π“Rena “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 cos 1to Cacc ω X 0 (0) di = Napoli lim X 0 (“Federico ω) = 4 j lim = 0 , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento ω →0 ω →0 ω ω2 4 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ( 2) Scienze = lim lim di X 0Base (ω ) =Universit` 0. Caccioppoli” Scuola PolitecnicaX e0delle a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ω→∓2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Essendo periodo 2 πdi, risulta bisogn a campionare campion are negli interi. interi. Risulta Risult Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a il degli Studi Napoli ω “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigia Greco Dipartimento 0 = 1 e bisogna chiaramente per k pari,”mentre per kitecnica disp di spar ari e delle Scienze di Base Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni X “Renato “Rena to 0Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol aper k Politecni Pol cai ` Universit`a deg degli li Stu Studi di 0 (k ) = di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 8 j = , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze diX Base a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 0 (k ) Universit` k (k 2 4) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento quindiit` ritroviamo la (11). di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli ioppoli” ” del Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Univer sit`a deg degli li Stu Studi di Tracciamo mo ilCacc diagramma diagr amma prolungame prolu ngamento nto periodic p eriodico, o, che denotiamo denotiam o Ex. 61j1 Traccia di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ancora con x con x.. Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 4 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento −3 π cazioni −ioppoli” π −2 3 πUniversit` π 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Evidentemente `e replica periodica di periodo 2 π diAccademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli x Studi di Napoli “Federico II” Anno di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni Pol Universit`a deg degli li Stu Studi di x0 (t)” = x =Scuol x 1 (ta) + x + x2itecnica (t) , ca e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato dove Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matematica Matema tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” Politecnica e delle 2 ioppoli” Scuola Politecnica π t 2 π 2 t Scienze Scien ze di Base Universit` Universx it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento [u(t + π/ + π/2) 2) u(t π/2)] π/2)] = 1 t Π 1 (t) = 4 π 4 π π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato e Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x2 (t) = cos t [u [ u(t + π + π)) u(t + π/ + π/2) 2) + u + u((t π/2) π/2) u(t π)] . 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni−“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di −π − 2 2 π 2 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Base Universit`a degli Studi x1 (Scienze t) x2 (di t) Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Osservando per` o che x che xdi2 non no n `e conti c ontinua, nua, pu`oII” valere la Accademico pena di notare che x si che x si ottiene Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi Napoli “Federico Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento anchecazioni come periodica di periodo 2π di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni replica “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a di Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato x (t) = x = x 1 (t) + x + x3a(tdegli ) , Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di 0Base Universit` 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle dove Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi x di (Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π/2) π/2) u(t 3 π/2)] π/2)] . 3 t) = cos t [u(t di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 114 114 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato 3 π Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 2 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle x3 (t) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Una ulteriore possibilit`a `e quella di vedere x come somma di cos t con la replica di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato periodica di periodo 2 π di Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x4 (di t) = x = x 1 (t) tica cos te [u [ uAppli (t + π/ + π/2) 2) ni u“Rena (t π/2)] π/to2)]Cacc . ioppoli” Scuola Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento Matematica Matema Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Di queste tre possibilit`a, a, scegliamo scegliamo l’ultima l’ultima.. La F -trasformata di x1 si pu`o caldi Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di colare derivando 3 volte nel senso delle distribuzioni, o usando la seconda formula di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato fondam fondamen ental tale, e, o median mediante te il legam legamee con la L a-trasform -tras formazion azione. e. Noi procediamo procediamo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico direttame direttamente nte,, riconducen ricon doci, come nell’Ex. nell’Ex . 61h med te ioppoli” la formu formula la di Politecnica 1 , median 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento entoducendoci, di Matema Matematica tica efatto Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to iante Caccioppoli” Cacc Scuola Politecnica e delle cambiamento di scala alla trasformata di Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to (1 Caccioppoli Cacc ” 1) Scuola Scuol Politecni itecnica ca et2delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di y1 (t) = tioppoli” ) [u(t + ua(t Pol 1)] = (1 ) Π(t/ Π(t/2) 2) , di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di e Applicazioni “Renato π Matematica 2 calcolata calco lata nelle eLezioni. In effetti, chiaramen chiara mente te arisulta x1 (t) di = Napoli e quindiII” Anno Accademico 4 y 1 π t Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze di Base Universit` degli Studi “Federico (per ω (per ωDipartimento = 0) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di Napoli Anno Accademico sin π2 ω II” cos cos π2 ωLuigi Greco Dipartimento π πStudi π π2“Federico 4 sin π2 ω2016-2017 2 ω X 1cazioni (ω ) = Y 1 to Cacc ω =ioppoli” = 2 . Universit` di Matema Matematica tica e Appli Applicazio ni “Rena “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di 2Base Universit`a deg degli li Stu Studi di 3 2 π π 4 2 2 2 π ω3 ω ω ω di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 2Luigi Greco 2 Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit` degli Studinell’Ex. di Napoli “Federico D’altra parte, cos t [u [u(t+π/2) π/2) u(t π/2)] π/2)] `e statoatrasformato nell ’Ex. 61e. Pertanto PertantoII” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (ω = 0, ω 0, ω = 1)ento di Matema Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studiπdi Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π π π π sin ω cos ω cos ω sin ω cos ω 4 4 2 2 2 2 2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ” Scuol Scuola Politecni itecnica di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di X 2ioppoli” 2 a Pol = ca e3 delle2Scienze . 4 (ω ) = 2 (1 π ω3 ω2 Luigi1 Greco ω2 Dipartimento π ω ω2) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 diω Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Scienze di Base Universit` a deglicampionare Studi di Napoli “Federico Essendo τ Essendo τ = 2 eπ delle il periodo, risulta ω risulta ω 0 = 1 e dobbiamo nei punti k Z,II” Anno Accademico 2 Matema 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim Dipartimento ento di Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Politecnica e delle Calcoliamo X Calcoliamo X 1 (0) = π = π /6 2, X 2, X 1 ( 1) = 4/π 4/π π/2. π/ 2. Inoltre, per k per k Z 1, Scuola 0, 1 , Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento distinguendo i casi k casi k = 2 n pari, n pari, n Z 0 , e k = k = 2 n + 1 dispari, dispari, n n Z 1, 0 , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di troviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato n+1 ( 1)di 4 di ( Napoli 1)n Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base ,Universit` a degli Studi X 4 (2 n) =Scienze X (2 n + 1) = . “Federico II” Anno Accademico 4 3 n2 (1 4tica n2 ) e Appli π to (2 nCacc + 1)ioppoli” 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di2 Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a ricordando degli Studiche di Napoli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Dunque, ] = π δ (ω II”1)Anno + δ + δ (ωAccademico + 1) , troviamo F [cos t“Federico di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 2 π 4 π di Napoli “Federico X II” Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (ωAnno ) = Accademico 2 δ (ω)2016-2017 + + Luigi δ (ωGreco + 1) + δ + δ (ω 1) 6 e delle Scienze di π Base 2 Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica n+1 1 ento (di 1)Matema 4cazioni ( to1)nCacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e Applicazio Appli ni “Renato “Rena Caccioppoli” Politecnica e delle Politecnica + δ (ω 2 n) + δ ( δ (ioppoli” ω 2 n Scuola 1) 2 2 3 2 Studi 4 n ) “Federico II”π Anno Accademico (2 n + 1) 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento n (1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di Napoli n =0 =0 n =−1, n =0 =0 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di e lo sviluppo in serie esponenziale di Fourier si scrive di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica π e delle1Scienze2di Base 1 Universit` −jt + ejta degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ( ) = + + e x t 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim12 ento πdi Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π 2 tica 4 e Appli n+1 n 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 ( 1) 2 ( 1) j 2nt (2n (2n+1)t +1)t ei” + ola ejScienz di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni+ “Re “Renat nato o 2 Cac Caccio cioppol ppoli” Scuola Scu Polite Po litecni cnica ca e del enze e. di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii 2 2 4π n (1 4 n ) π (2 n +delle 1)3le Sci =0 = 0 =−1Greco =0 =0 Dipar n , n Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Annon Accademi Accademico co 2016-2 2016-2017 017 Luigi Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 π
−
−
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∓ − ∈ −{ }
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∈ − {− } ∈ − {− }
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 115 115 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienzeperiodico di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico x si ottiene come replica con periodo π diII” Anno Accademico Ex. 61k1 Il prolungamento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle x0 = x = xDipartimento + x2 , dove 1 + x Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x1 (t)ni=“Rena cos3 tto [u [ u(Cacc t + π/ + π/2) 2) u”(tScuol )] , a Pol x2 (itecnica t) = cos [ udelle (t) Scienze u(t π/2)] π/di 2)]Base . di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ioppoli” Scuola Politecni ca te [u Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Per trasformare x trasformare x 1 e x 2 , deriviamo due volte nel senso delle distribuzioni (metodo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico del riciclo). 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento x1 (t) = 3sin3 t [u [u(t + π/ + π/2) 2) u(t)] + cos 3 t [δ [ δ (t + π/ + π/2) 2) δ (t)] di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato Caccioppoli Cacc ” 2) Scuola Scuol Politecni Pol itecnica Universit`a deg degli li Stu Studi di = to 3sin3 t [u [ioppoli” u(t + π/ + π/2) ua(t)] δ (t) , ca e delle Scienze di Base Universit` di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica di Base Universit` x1 (t)e=delle 9 xScienze 3sin3 t [δ [ δ (t + π/ + π/2) 2) a degli δ (t)] Studi δ (t)di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 (t) 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim= ento9 di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle x1 (t) 3δ (t + π/ + π/2) 2) δ (t) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento e quindi ricaviamo, per ω perCacc ω =ioppoli” 3, ” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Caccioppoli Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di π di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato 3 ej 2 ω +Dipartimento j ω Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle ScienzeX di Base Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ( ω ) = . 1 9 cazioni ω2 ni “Rena 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle In maniera simile, troviamo Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli Cacc ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di x2 (t) = x1 (t) sin t [δ [ δ (t) δ (t π/2)] π/2)] + δ + δ (t) = x2 (t) + δ + δ (t π/2) π/2) + δ + δ (t) di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle e quindi, per ω per ωe= 1,Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −j π2 ωcazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e eAppli Applicazio ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle + j ω X 2“Federico (ω ) = . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 ω2 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Dunque di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato π π π ω jπ ω Caccioppoli” Scuola Politecnica II” Anno Accademico 2Base 3 eje2delle + jScienze ω e−di + jUniversit` ω e−j a2 ωdegli 3Studi ej 2 ω di Napoli8“Federico j ω X 0 (ω)Dipartimento = + = cazioni +Cacc . Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli ni “Renato “Rena to Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 2 2 2 2 2 9 ω 1 ω 1 ω 9 ω (1 ω ) (9 ω ) Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Essendo ilni periodo τ periodo τ to=Cacc π, π , risulta ω risulta ω”0 = 2 e dobbiamo campionare negli interi pari; Universit` i di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato “Rena Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Univer sit`a deg degli li Stu Studi di Z, valori 1 e Accademico 3 non intervengono. Inoltre, con k Dipartimento con k di Napoli “Federico II” Anno 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica delle Scienze dikNapoli e−ejkπ 3 ejkπ di Base Universit` 16 16 j j k a degli Studi ( 1) (4 k 2 +“Federico 3) + 8 j 8 j k II” Anno Accademico X 0 (2 kDipartimento )= + = 2 . Politecnica 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartim ento di Matematica Matema tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Caccioppoli” Cacc ioppoli” Scuola Politecnica e delle 2 2 2 ) (9 2) 2 ) (9 2) 1 4 k 9 4 k (1 4 k 4 k (1 4 k 4 k Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Pertanto k 2 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 di Matematica e Applicazioni “Renato ( 1) Luigi (4 k Greco + 3) + Dipartimento 8 j 8 j k X (ωScienze ) = 4 di Base Universit` δ Studi (ω 2dik )Napoli . 2 2 Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle a degli “Federico II” Anno Accademico (1 4 k ) (9 4 k ) ∈ Z k 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Ex. 61l1 Analogo all’Ex. 61b1 . Invero, Inv ero, detto dett o yitecnica il segnale periodico dell’Ex. 61b 1Univer , di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni sit`a deg degli li Stu Studi di π ca e delle Scienze di Base Universit` 2 il segnale periodico del presente esercizio ` e x( x ( t ) = e y ( t π/2) π/ 2) e quindi troviamo di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato immediatamente Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico ∞ ni “Rena +cazioni 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle π 1 to Cacc − jω π π 2 2 X ω ) = Studi e e di Napoli Y (ω (ω) “Federico = (e + 1)II” Anno Accademico δ ( δ ( ω 2 k ) . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a(degli 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 2 k j 2 k2 −∞ k = di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 116 116 XIV. XIV. SVOL SVOLGI MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli Studi diGIME Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di prolungamento periodico, indicheremo ancoradicon x, si ottiene Ex. 61 m1 Il di Napoli “Federico II”61m Anno Accademico 2016-2017 Luigiche Greco Dipartimento Matematica e Applicazioni “Renato come replica periodica di periodo 2 diUniversit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim Matematica tica e 2Appli cazioni “Renato Caccioppoli” Politecnica e delle x0 (t) = (t2 t) [ento u(t) diu(Matema t 1)]+(3 t t Applicazio 2) [u (t ni 1) “Rena u(t to 2)] Cacc = x = x 1ioppoli” (t) x1 (tScuola 1) , Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento dove x dove x = “Rena (t2 tto ) [uCacc (t) ioppoli” u(t 1)]. di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni “Renato Caccioppoli ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di 1 (t)ni di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico −2 Dipartimento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 1 1 II” Anno Accademico 2 3 4 Greco Dipartimento −Studi Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli di Napoli “Federico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato ` per`o facile rendersi conto che x si E x si ottiene ottiene anche come replica replica periodica di periodo Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2 di Dipartimento 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle y ( t ) = x ( t ) x ( t ) . 0 1 1 Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato (t − 1) Universit` −x Base x (t) Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 1 2 2 1 −1 −2 −1 −x (−t) x (t − 1) 1 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni 3“Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica e delle Politecnica Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze difinestra, Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di Per trasformare x trasformare x1 che `e prodotto di” un polinomio di secondo grado per p er una di Napoli “Federico II” Annotre Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato deriviamo volte nel senso delle distribuzioni: Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a 2degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico x1 (t) = (2 t 1) [u(t) u(t 1)] + (t (t t) [δ (t) δ (t 1)] 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartim ento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle = (2 t 1) [u(t) u(t 1)] + 0 , Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di x1 (t) = 2 [u(t2016-2017 ) u(t 1)] + (2Greco t 1) Dipartimento [δ (t) δ (t 1)]di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico Luigi = 2Scienze [u(t) udi(tBase 1)]Universit` δ (t) δ a(tdegli 1)Studi , Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle (II” (t Accademico x (t ( t ) = 2 [ δ ( t ) δ ( t 1)] δ t ) δ 1) . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico Anno 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento 1 di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni nila“Rena “Renato toformazion Caccioppoli Cacc ioppoli” ” ambo Scuola Scuol ai mem Politecni Pol itecnica e delle di formula Base Universit`a deg Universit` degli li Stu Studi di Applicando -tras azione e ad membri bri e ca ricordando ricord andoScienze la prima form ula F -trasform di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato fondamentale, abbiamo quindi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 3 jω X 1 (ω) = 2(1e Appli e−jωcazioni ) jni ω (1 + e−to )Cacc 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento jdiω Matema Matematica tica Applicazio “Renato “Rena Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Univers it` a degli e quindi, per ω per ω Studi = 0, di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola Politecni itecnica ca Universit`a deg degli li Stu Studi di −jω a Pol −jωe delle Scienze di Base Universit` 1 + e 1 e di Napoli “Federico II” Anno AccademicoX 2016-2017 Luigi Greco di Matematica e Applicazioni “Renato + 2 j 2 j Dipartimento . 1 (ω ) = 2 ω3 Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di BaseωUniversit` a degli Pertanto 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Dipartimento Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle − − jω jω jω jω Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli 1“Federico II” 1 Anno Greco Dipartimento +e e Accademico 1 + e 2016-2017 1 Luigi e Y 0 (cazioni ω ) =ni X 1“Rena (ω) to X 1Cacc ( ω)ioppoli” = + 2 j 2 j + 2 j 2 j di Matema Matematica tica e Appli Applicazio “Renato Caccioppoli ” Scuola Scuol a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Univer Universit` sit`a deg degli li Stu Studi di ω2 ω3 ω2 ω3 di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base 1 cos ω sin ω Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico = 2 j 2 . Applicazio 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento ω di3 Matema Matematica cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle ω2tica e Appli Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento che `e immaginaria dispari, in accordo colcnica fatto yle e Sci reale real e dispari dis pari. . e Uni 0 ` di Mat Matema ematic tica a e Notiamo Applic App licazi azioni oniY 0“Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni ca eche delle del Scienz enze e di Base Bas Unive versi rsit` t`a de degl glii Ne segue, in particolare, Y 0 (0)co=2016-2 0. Essend Ess endo o il periodo period o τ τ = 2,timento risulta = π e tica e Appli Studi di Napoli “Federic “Fed erico o II” Anno Accademico Accademi 2016-2017 017 Luigi Greco Dipartimen Dipar to ω di0 Matema Matematica Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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Luigi Gre Luigi Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t` a deg degli li Stu Studi di di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Gre Greco co Dip Dipart artime iment nto o di Matematica Matema tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Pol Politecn itecnica ica e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico “Federico II” Anno Accademico Accademico 20162016-2017 2017 Luigi Grec Greco o Dipar Dipartimen timento to di Matem Matematica atica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle XIV. XIV. SVOL SVOLGI GIME MENT NTII SERI SE RIE E E TRAS TRASF OR MAZI ZION ONE E DI FOURI OURIER ER 117 117 Greco Dipartimento Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II”FORMA Anno Accademico 2016-2017 Luigi di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di bisogna campionare nei punti k punti k π , k Luigi sin k π =di 0,Matematica k Z, mentre Z. Chiaramente di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Greco Dipartimento e Applicazioni “Renato cosPolitecnica k π = ( 1)ke, delle quindi Caccioppoli” Scuola Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 0 , per k per k pari Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento Y 0 (k π ) = 8 j di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a ,Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di per k per k dispari π k)3 Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 (Luigi Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Base Universit` a degli Pertanto, scrivendo k scrivendo k Scienze dispari di come k come k = 2 n 1, n 1, n Z, Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Applicazio Appli cazioni ni “Renato “Rena to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle 8 j 1 X di (ω)Napoli = 2 “Federico II” δ ( δ ( ω 2 n π + π + π) ) . Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento π (2 n 1)3 n∈Z” Scuol di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a deg degli li Stu Studi di di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 20162017 Luigi Greco Dipartimento Dipartimento di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli” ioppoli” Scuola Politecnica Politecnica e delle Scienze Scien ze di Base Universit` Universit` a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Appli Applicazio cazioni ni “Renat “Re nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “F “Fed eder eric ico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2 2016-2017 017 Luigi Greco Dipar Dipartimen timento to di Matema Matematica tica e Applic Applicazion azionii “Rena “Renato to Cacc Caccioppoli ioppoli” ” Scuol Scuola a Politecni Pol itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit` a deg degli li Stud Studii di Napo Napoli li “F “Fede ederic rico o II” Ann Anno o Acc Accade ademic mico o 201 2016-2 6-2017 017 Lui Luigi gi Greco Gre co Dip Dipart artime iment nto o di Mat Matema ematic tica a e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polite litecni cnica ca e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Universit` a degli Studi di Napoli “Federic “Federico o II” Anno Accademico Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimen Dipartimento to di Matema Matematica tica e App Applic licazi azioni oni “Re “Renat nato o Cac Caccio cioppol ppoli” i” Scu Scuola ola Po Polit litecn ecnica ica e del delle le Sci Scienz enze e di Bas Base e Uni Unive versi rsit` t`a de degl glii St Stud udii di Na Napol polii “Federico II” Anno Accademico 2016-2017 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Scuola Scuol a Pol Politecni itecnica ca e delle Scienze di Base Universit` Universit`a degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2016-2017
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