A.A. 2009-2010 Prof. Massimo Cavacece
Alfredo Patrizi Alfredo Patrizi - Matr. 01317 0131736 36 Ingegneria meccanica email:
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Equazione del moto:
Si procede ipotizzando per il sistema una soluzione del tipo:
Riscrivendo le equazioni del sistema nelle formulazioni proposte dal metodo delle variabili di stato e dal metodo di W.J. Duncan e sostituendovi l’espressione ipotizzata, ci si ricondurrà poi alla risoluzione di un problema agli autovalori, aut ovalori, alla quale si procederà previa implementazione in un apposito listato in linguaggio Ch.
Partendo dalle posizioni: vale la seguente: da cui, ipotizzando: si ha infine:
Partendo dalle posizioni: valgono le seguenti: da cui, ipotizzando: si ha infine:
Si otterranno autovalori al più complessi coniugati le cui parti immaginarie costituiranno proprio le frequenze naturali del sistema. La soluzione del sistema risulterà dalla combinazione lineare: essendo rispettivamente gli autovalori e gli autovettori del sistema stesso. I coefficienti complessi si ricaveranno infine dall’imposizione delle condizioni iniziali e dalla risoluzione del sistema lineare associato.
Di seguito si riporta lo sviluppo numerico di quanto appena esposto insieme ai risultati
Metodo di W.J. Duncan // OUTPUT
Metodo di W.J. Duncan
Frequenze proprie del sistema:
Matrice degli autovettori normalizzati:
Metodo di W.J. Duncan // x(t)
Metodo di W.J. Duncan // ϑ(t)
FRF
Metodo delle variabili di stato // OUTPUT
Metodo delle variabili di stato
Frequenze proprie del sistema:
Matrice degli autovettori normalizzati:
Metodo delle variabili di stato // x(t)
Metodo delle variabili di stato // ϑ(t)
Metodo di W.J. Duncan // x(t)
Metodo di W.J. Duncan // ϑ(t)
FRF
Equazione del moto:
Nella configurazione in esame, per la simmetria del sistema rispetto all’asse frontale valgono le seguenti:
Le equazioni del moto risultano pertanto già disaccoppiate nelle variabili x, ϑ :
Si può procedere pertanto alla risoluzione numerica delle stesse attraverso la funzione odesolve(), basata sull’applicazione del metodo di Runge-Kutta del secondo ordine. Per entrambe le soluzioni ricavate si presentano di seguito, nei due casi studiati (moto smorzato e non), i grafici dell’andamento nel tempo.
x(t)
ϑ(t)
FRF
x(t)
ϑ(t)
FRF
Metodo delle variabili di stato // OUTPUT
Metodo delle variabili di stato
Frequenze proprie del sistema:
Matrice degli autovettori normalizzati:
Metodo delle variabili di stato //
Metodo delle variabili di stato //
Metodo delle variabili di stato //
Metodo delle variabili di stato //
Si presentano di seguito i risultati ottenuti dall’Analisi Modale del sistema, di nuovo sviluppati attraverso attr averso apposito listato in linguaggio Ch. Si dedurranno le matrici modali delle masse e delle rigidezze; in particolare, si farà riferimento allo smorzamento viscoso, adottando valori delle costanti di proporzionalità equivalenti:
Frequenze proprie del sistema:
Matrice degli autovettori normalizzati:
Coordinate modali
Coordinate modali
Coordinate modali
Coordinate modali
Coordinate fisiche
Coordinate fisiche
Coordinate fisiche
Coordinate fisiche
FRF
Coordinate modali
Coordinate modali
Coordinate modali
Coordinate modali
Coordinate fisiche
Coordinate fisiche
Coordinate fisiche
Coordinate fisiche
Frequenze proprie del sistema:
Matrice degli autovettori normalizzati:
Sollecitazione impressa dal profilo stradale
Detta L la lunghezza d’onda della perturbazione offerta dal piano stradale, vale la seguente:
da cui:
Funzione guadagno
Si introduce l’azione di controllo sul primo modo di vibrare:
e attraverso il listato Ch si può graficare la variazione, con il guadagno g, della prima pulsazione naturale del sistema e della relativa velocità critica di percorrenza, per poi procedere alla scelta di un valore per g tale da mantenere quest’ultima al di fuori del range di sicurezza 0-200 km/h
Funzione guadagno
Funzione guadagno
Funzione guadagno
Il programma mostra come a tale valore per la funzione guadagno corrisponda: che risulta superiore alle frequenze previste per la perturbazione stradale nel range di velocità considerato.
FRF
Coordinate modali
Coordinate modali
Carico impulsivo Accelerometro
La trave di Fe360 ha dimensioni 677x30x5 (mm) ed è incastrata ad un’estremità. Si applica un’eccitazione impulsiva all’estremità opposta e si studia il moto conseguente analizzandone i dati sperimentali raccolti.
Si elabora in un primo momento un modello agli elementi finiti della trave secondo la mesh beam: i risultati analitici verranno successivamente confrontati con quelli deducibili sperimentalmente
Materiale: Fe360
Property: modello beam
Geometry, Mesh, Constraint
Definita la geometria unidimensionale, si procede con una mesh a 10 elementi con gli 11 nodi equidistanziati; si vincola inoltre il nodo 1 con un incastro.
Analysis
Si riportano di seguito i risultati dell’analisi modale per i primi 10 modi di vibrare
Analysis: Mode 1
In particolare, si riporta di seguito la configurazione deformata del primo modo di vibrare, che risulta essere flessionale.
Analysis: Mode 1//Strain energy
Analysis: Mode 1//Strain energy density
Analysis: FRF
È possibile inoltre diagrammare la Modal Frequency Table del sistema, indicativa della FRF dello stesso.
Dalla verifica effettuata in laboratorio, si sono raccolti i dati della trave sollecitata in maniera impulsiva. L’accelerometro è stato posto nelle varie misure in tre posizioni diverse: - nell’incastro; - nella mezzeria; - in punta. I dati sono poi stati, una volta privati del ”rumore” e scalati allo zero, elaborati con Origin per ricavarne la FFT. Per ogni posizione sono state effettuate 3 misure e poi è stata fatta la media. Il risultato è stato che i risultati più affidabili si hanno tanto più si è lontani dall’incastro.
Individuazione frequenze proprie
Prendendo ad esempio il primo foglio di dati relativi alla posizione dell’accelerometro sull’estremità libera della trave, si riconoscono le frequenze proprie del sistema nei valori per cui l’ampiezza della risposta in frequenza è massima
Individuazione frequenze proprie
Si riportano di seguito anche i grafici dello spostamento e della risposta in frequenza sempre per un set di dati.
Individuazione frequenze proprie
I dati concordano sufficientemente con i risultati ottenuti dall’analisi agli elementi finiti.
Coefficiente di smorzamento
In conclusione si è determinato il coefficiente di smorzamento in base al metodo della potenza media dissipata.
Carico sinusoidale Accelerometro
Si analizzano di seguito le risposte del modello di trave di cui sopra a sollecitazioni sinusoidali di diversa frequenza eccitatrice. Si definiscono a tal fine l’apposita funzione nel tempo ed il carico.
Load
Si definiscono quindi il carico e le specifiche per l’analisi dinamica
Il risultato dell’analisi ci evidenzia come l’eccitazione a 8Hz non sia pericolosa per la struttura, ma sia comunque da evitare in quanto prossima alla frequenza fondamentale(9Hz) al fine di non incorrere nel fenomeno della risonanza meccanica.
La deformazione in punta va scemando nel tempo (NORISONANZA)
La deformazione in punta va scemando nel tempo (NO RISONANZA)
Stesso discorso per l’accelerazione lineare
Si sono poi studiate le risposte del sistema a forzanti con diversa frequenza: - 30Hz; - 50Hz; - 100Hz; - 200Hz. Le conclusioni sono sempre le stesse:le frequenze più vicine a quelle proprie del sistema sono da evitare. La deformazione in punta va scemando nel tempo (NORISONANZA)
La deformazione in punta va scemando nel tempo (NO RISONANZA)
30Hz:l’accelerazione all’aumentare del tempo tende a zero.
Stesso discorso per l’accelerazione lineare
La deformazione in punta va scemando nel tempo (NO RISONANZA)
30Hz:l’accelerazione 100Hz:l’accelerazione all’aumentare del all’aumentare tempo tende adel zero. tempo tende a zero. Stesso discorso per l’accelerazione lineare
L’elaborazione con Origin dei segnali acquisiti alle varie frequenze ci permette di stabilire le pulsazioni di risposta della trave.
Material
Si usa un acciaio debolmente legato noto come AISI 4340 steel, o alternativamente 35NiCrMo6
Mesh
Si è sviluppata una mesh di tipo Plate a 916 elementi per 1788 nodi.
Normal mode analysis
Dall’analisi modale del modello plate, si ottengono i seguenti risultati:
Normal mode analysis
I primi modi (1 ⩫6) evidenziati da FEMAP (di frequenze pressoché nulle) rappresentano i moti di traslazione e rotazione nello spazio.
Normal mode analysis // mode 7
Particolare attenzione meritano i successivi 4 modi individuati da FEMAP; in particolare, si analizza il modo proprio 7.
Normal mode analysis // mode 7
Total Translation
Normal mode analysis // mode 7
Strain Energy
Normal mode analysis // mode 7,8,9,10
Total Translation (al variare della fase phi in coordinate polari)
Normal mode analysis // mode 7,8,9,10
Strain Energy (al variare della fase phi in coordinate polari)
Si è effettuata una verifica in laboratorio da cui sono stati raccolti i dati del disco sollecitato in maniera impulsiva, collocando l’accelerometro nelle posizioni (phi): - 0° - 90° - 180° - 360° Di nuovo, una volta privati del rumore e scalati allo zero, i dati sono stati elaborati con Origin per estrapolarne la FFT. Di seguito si mostrano i risultati ottenuti per un set di file.
Individuazione frequenze proprie
Si riportano di seguito anche i grafici dello spostamento e della risposta in frequenza sempre per un set di dati.
Individuazione frequenze proprie
Picchi a 1.8 Hz, 2.6 Hz, ∼5.4 Hz
Material
Ergal (7075-T651)
Mesh
Elemento tipo SOLID (Parabolic Tetra) N° nodi: 10504; N° elementi: 5827
Constraint
Si definisce l’incastro della pala alla struttura.
Load
Nel moto del rotore, la pala è soggetta a una pressione dinamica, dipendente dalla sua velocità di rotazione. Si introduce pertanto un sistema di forze di pressione lungo la sua superficie.
In particolare, si presentano di seguito le configurazioni deformate dei modi 1,3 (flessionali)
... E del modo 4 (torsionale)
Mode 1 // Total Translation
Si osserva come la deformazione totale massima si abbia in punta.
Mode 1 // Total Translation
Si osserva come la deformazione totale massima si abbia in punta.
Mode 1 // Strain Energy
L’energia di deformazione massima si ha nei pressi dell’incastro e delle zone a minor raggio di curvatura.
Mode 1 // Strain Energy
L’energia di deformazione massima si ha nei pressi dell’incastro e delle zone a minor raggio di curvatura.
Strain Energy
L’energia di deformazione massima si ha nei pressi dell’incastro e delle zone a minor raggio di curvatura.
Analysis: FRF
È possibile inoltre diagrammare la Modal Frequency Table del sistema, indicativa della FRF dello stesso.
