Gráficos para variables cuantitativas Para las variables cuantitativas, consideraremos dos tipos de gráficos, en función de que para realizarlos se usen las frecuencias (absolutas o relativas) o las frecuencias acumuladas: Diagramas diferenciales: Son aquellos en los que se representan frecuencias absolutas o relativas. En ellos se representa el número o porcentaje de elementos e lementos que presenta una modalidad dada. Diagramas integrales: Son aquellos en los que se representan el número de elementos que presentan una modalidad inferior o igual a una dada. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas, lo que da lugar a gráficos crecientes, y es obvio que este tipo de gráficos no tiene sentido para variables cualitativas.
Según hemos visto existen e xisten dos tipos de variables cuantitativas: discretas y continuas. Vemos a continuación las diferentes representaciones gráficas que pueden realizarse para cada una de ellas así como los nombres específicos que reciben. 1.-Gráficos para variables discretas
Cuando representamos una variable discreta, usamos el diagrama de barras o de bastones cuando pretendemos hacer una gráfica diferencial. Las barras deben ser estrechas para representar el que los valores que toma la variable son discretos. El diagrama integral o acumulado tiene, por la naturaleza de la variable, forma de escalera. Un ejemplo de diagrama de barras así como su diagrama integral correspondiente están representados en la figura (1) Ejemplo
Se lanzan tres monedas al aire en 8 ocasiones y se contabiliza el número de caras, X , obteniéndose los siguientes resultados:
Representar gráficamente el resultado. Solución: En primer lugar observamos que la variable X es es cuantitativa discreta, presentando las modalidades:
Ordenamos a continuación los datos en una tabla estadística, y se representa la misma en la figura (1)
Figura 1: Diagrama diferencial (barras) e integral para una variable discreta. Obsérvese que el diagrama integral (creciente) contabiliza el número de observaciones de la variable inferiores o iguales a cada punto del eje de abscisas.
x i
ni
0
1
1/8 1 1/8
1
3
3/8 4 4/8
2
3
3/8 7 7/8
3
1
1/8 8 8/8
n=8
f i
Ni
F i
1
Interpretación
Interpretación con respecto a la frecuencia absoluta simple ( )
En una ocasión no se obtuvieron caras En tres ocasiones se obtuvo una cara En tres ocasiones se obtuvo dos caras En una ocasión se obtuvo tres caras
Interpretación con respecto a la frecuencia absoluta acumulada ( )
En 4 ocasiones se obtuvo una cara (se obtuvo una cara y no se obtuvo cara
En 7 ocasiones se obtuvo 3 caras(no se obtuvo cara, se obtuvo1 cara y se obtuvo 2 caras) En 8 ocasiones se obtuvo 6 caras(no se obtuvo cara, se obtuvo1 cara , se obtuvo 2 caras y se obtuvo 3 caras)
Ejemplo
Clasificadas 12 familias por su número de hijos se obtuvo: Número de hijos ( x i) 1 2 3 4 Frecuencias (ni )
1 3 5 3
Comparar los diagramas de barras para frecuencias absolutas y relativas. Realizar el diagrama acumulativo creciente.
Solución: En primer lugar, escribimos la tabla de frecuencias en el modo habitual:
Variable F. Absolutas F. Relativas F. Acumuladas x i
ni
f i
Ni
1
1
0,08
1
2
3
0,25
4
3
5
0,42
9
4
3
0,25
12
12
1
Con las columnas relativas a x i y ni realizamos el diagrama de barras para frecuencias absolutas, lo que se muestra en la figura (2) Como puede verse es idéntico (salvo un cambio de escala en el eje de ordenadas) al diagrama de barras para frecuencias relativas y que ha sido calculado usando las columnas de x i y f i. El diagrama escalonado (acumulado) se ha construido con la información procedente de las columnas x i y Ni .
Figura 2: Diagramas de frecuencias para una variable discreta
Interpretación
Interpretación con respecto a la frecuencia absoluta simple ( )
Una familia tiene 1 hijo Tres familias tienen 2 hijos Cinco familias tienen 3 hijos Tres familias tiene 4 hijos
Interpretación con respecto a la frecuencia absoluta acumulada ( )
Una familia tiene 1 hijo Cuatro familias tienen 3 hijos(1hijo+2hijos) Nueve familias tienen 6 hijos(1hijo+2hijos+3hijos) Doce familias tiene 10 hijos(1hijo+2hijos+3hijos+4hijos)
EJERCICIOS 1.-El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie: 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1.
Construir la tabla de distribución de frecuencias y grafique. 2.-Las calificaciones de 50 alumnos en Matemáticas han sido las siguientes: 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6, 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. Construir la tabla de distribución de frecuencias y grafique 3. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida en la siguiente tabla: completar la tabla y graficar Número de caries 0 1 2 3 4
25 20 x 15 y
0.25 0.2 z 0.15 0.05
3.- En una empresa de telefonía están interesados en saber cuál es el número de aparatos telefónicos (incluidos teléfonos móviles) que se tiene en las viviendas. Se Hace una encuesta y, hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas: 221534444 4433553 5424 Construir la tabla de frecuencias y graficar
2.-Gráficos para variables continúas
Cuando las variables son continuas, utilizamos como diagramas diferenciales los histogramas y los polígonos de frecuencias. Un histograma Es una grafica de barras rectangulares verticales juntas, se construye a partir de la tabla estadística, representando sobre cada intervalo, un rectángulo que tiene a este segmento como base. El criterio para calcular la altura de cada rectángulo es el de mantener la proporcionalidad entre las frecuencias absolutas (o relativas) de cada intervalo y el área de los mismos. El Polígono de frecuencias Es una grafica poligonal cerrada, se construye fácilmente si tenemos representado previamente el histograma, ya que consiste en unir mediante líneas rectas los puntos del histograma que corresponden a las marcas de clase. Para representar el polígono de frecuencias en el primer y último intervalo, suponemos que adyacentes a ellos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia nula, y se unen por una línea recta los puntos del histograma que corresponden a sus marcas de clase. Obsérvese que de este modo, el polígono de frecuencias tiene en común con el histograma el que las áreas de las gráficas sobre un intervalo son idénticas. Véanse ambas gráficas diferenciales representadas en la figura (3) El diagrama integral para una variable continua se denomina también polígono de frecuencias acumulado, y se obtiene como la poligonal definida en abscisas a partir de los extremos de los intervalos en los que hemos organizado la tabla de la variable, y en ordenadas por alturas que son proporcionales a las frecuencias acumuladas. Dicho de otro modo, el polígono de frecuencias absolutas es una primitiva del histograma. Véase la parte inferior de la figura(3), en la que se representa a modo de ilustración los diagramas correspondientes a la variable cuantitativa continua expresada en la tabla siguiente: Intervalos ci ni Ni 0 -- 2
1
2
2
2 -- 4
3
1
3
4 -- 6
5
4
7
6 -- 8
7
3 10
8 - 10
9
2 12 12
Figura 3: Diagramas diferenciales e integrales para una variable continúa.
Ejemplo
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla intervalos [50,60> [60,70> [70,80> [80,90> [90,100> [100,110> [110,120>
55 65 75 85 95 105 115
8 10 16 14 10 5 2
8 18 34 48 58 63 65
Histograma y polígono de frecuencias
Polígono de frecuencias acumulado,
EJERCICIOS Nº2 Hacer las graficas de los siguientes ejercicios 1.-Los ingresos quincenales en dólares de 45 personas son
63 89 36 49 56 64 59 35 78 43 53 70 57 62 43 68 62 26 64 72 52 51 62 60 71 61 55 59 60 67 57 67 61 67 51 81 53 64 76 44 73 56 62 63 60 Construir una distribución de frecuencias de 8 intervalos 2.- Supongamos que hemos recogido información sobre el consumo de proteínas en una muestra de 20 niños entre 1 y 6 años de edad. Los datos son los siguientes 21 25 35 22 18 24 21 23 16 23 27 17 26 19 29 20 19 20 23 22 3.- construir un cuadro de distribución de frecuencias si los datos representan los pesos (en kg) de 42 trabajadores del hospital “X”
57.0 58.5 62.5 66.0 70.0 74.5 78.0 81.5 65.0 68.5 60.0 59.4 61.0 68.0 73.5 77.5 58.3 65.0 69.5 77.0 58.5 71.0 67.0 69.5 73.5 62.5 64.0 75.0 60.0 62.5 69.0 96.0 73.0 63.0 64.0 68.5 66.5 65.5 66.5 67.0 66.0 66.0 4.- Se registra el tiempo en minutos que utilizan 30 alumnos para ejecutar una tarea resultando lo siguiente 21.3 15.8 18.4 22.7 19.6 15.8 26.4 17.3 11.2 23.9 26.8 22.7 18.0 20.5 11.0 18.5 23.0 24.6 20.1 16.2 8.3 21.9 12.3 22.3 13.4 17.9 12.2 13.4 15.1 19.1
Tabla: Principales diagramas según el tipo de variable.
Tipo de variable
Diagrama
V. Cualitativa
Barras, sectores, pictogramas
V. Discreta
Diferencial (bastones o barras) Integral (en escalera)
V. Continua
Diferencial (histograma, polígono de frecuencias) Integral (diagramas acumulados)
