CARRER
Ingeniería Industrial
Contenido
1.
INTRODUC INTRODUCCIÓN CIÓN........... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... .................... .......... ....................
2.
GRÁFICAS DE CONTROL PARA PARA VARIABLES............................. RIABLES............... ............................ ............................. ............................. ......................... ............................... . 2.1. 2.2.
CONCEPTOS GENERALES Y PRINCIPIOS DEL CEP................................................................................... .................... ELABORACIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS PARA VARIABLES....................................................... .................... 2.2. 2.2.1. 1. Graf Grafic ico o x -R................................................................................................................................. ...................
2.2.2. 2.2.3.
2.3.
Gráfico X-S................ X-S........................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..................... ............ ................. Grafico X de individuales.............. individuales........................ .................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ............. ... ................. CAPACIDAD DE PROCESO, CP, CPK , Y CPM............................................................................................ ..................
3.
REFERENCIA REFERENCIAS S BIBLIOGR BIBLIOGRÁFIC ÁFICAS....... AS.................. ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ....................... ............. .................
4.
APÉNDICES APÉNDICES Y ANEXOS. ANEXOS............ ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... .................. ....... ..................
#ista de tablas $ f%&ras
Figura 1. Gráfica de medias......................................................................................... ............... Figura 2. Identificación de las zonas de la gráfica.............
Contenido
1.
INTRODUC INTRODUCCIÓN CIÓN........... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... .................... .......... ....................
2.
GRÁFICAS DE CONTROL PARA PARA VARIABLES............................. RIABLES............... ............................ ............................. ............................. ......................... ............................... . 2.1. 2.2.
CONCEPTOS GENERALES Y PRINCIPIOS DEL CEP................................................................................... .................... ELABORACIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS PARA VARIABLES....................................................... .................... 2.2. 2.2.1. 1. Graf Grafic ico o x -R................................................................................................................................. ...................
2.2.2. 2.2.3.
2.3.
Gráfico X-S................ X-S........................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..................... ............ ................. Grafico X de individuales.............. individuales........................ .................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ............. ... ................. CAPACIDAD DE PROCESO, CP, CPK , Y CPM............................................................................................ ..................
3.
REFERENCIA REFERENCIAS S BIBLIOGR BIBLIOGRÁFIC ÁFICAS....... AS.................. ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ....................... ............. .................
4.
APÉNDICES APÉNDICES Y ANEXOS. ANEXOS............ ..................... ..................... ..................... .................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................... ..................... .................. ....... ..................
#ista de tablas $ f%&ras
Figura 1. Gráfica de medias......................................................................................... ............... Figura 2. Identificación de las zonas de la gráfica.............
1.
INTRODUCCIÓN
*sta asignatura aporta al perfil del Ingeniero Industrial la capacidad de analizar ' determinar causas de pro"lemas de &alidad ' mediante la aplicación de las +erramientas estad)sticas "ásicas del control de &alidad, llevar a ca"o una toma de decisiones oportuna ' asertiva para lograr la me-ora continua tanto en las organizaciones como en sus procesos. (a segunda unidad a"orda el tema de Gráficos de control de varia"les como de atri"utos, +aciendo un nfasis especial en el diagnóstico de la capacidad de proceso, /ue mediante la información o"tenida para un gráfico de control es posi"le ela"orar, as) mismo se identifica una amplia relación con competencias ad/uiridas con anterioridad como son la teor)a de la estimación ' las prue"as de +ipótesis para dar soporte ' fia"ilidad al gráfico de control a travs de la &urva &aracter)stica operativa, todo lo anterior en con-unto con las +erramientas a"ordadas en la primera unidad servirán al profesionista para identificar ' dar solución a los pro"lemas de la organización ' para conseguir la me-ora continua
2.
GRÁFICAS DE CONTRO !ARA "ARIA#ES
2.1. C$%ce&'$s ge%era(es ) &ri%ci&i$s de( CE! 0. . +e+art, de los (a"oratorios de la ell !elep+one, fue el primero en proponer, en 124, una gráfica de control con el fin de eliminar una variación anormal, distinguiendo las variaciones de"idas a causas asig%a*(es de a/uellas de"idas a causas a( a+ar . na gráfica de control consiste en una l)nea central, un par de l)mites de control, uno de ellos colocado por encima de la l)nea central ' otro por de"a-o, ' en unos valores caracter)sticos registrados en la gráfica /ue representan el estado del proceso. i todos los valores ocurren dentro de los l)mites de control, sin ninguna tendencia especial, sin ninguna tendencia especial, se dice /ue el proceso está en estado controlado. in em"argo, si ocurren por fuera de los l)mites de control o muestran una forma peculiar, se dice /ue el proceso está fuera de control. (a calidad de un producto manufacturado por medio de un proceso inevita"lemente sufrirá variaciones. *stas variaciones tienen causas ' stas 7ltimas pueden clasificarse en los siguientes dos tipos8 •
Causas de*idas a( a+ar . (as variaciones de"idas al azar son inevita"les en el proceso, aun si la operación se realiza usando materia prima ' mtodos estandarizados. 9o es práctico eliminar el azar tcnicamente ' en forma económica por el momento.
•
Causas asig%a*(es. (a variación de"ida a las causas asigna"les significa /ue +a' factores significativos /ue pueden ser investigados. *s evita"le '
donde la desviación estándar es la variación de"ida al azar. *ste tipo de gráfica de control se llama una gráfica de control de 3?sigma.
Ti&$s de gráficas de c$%'r$( >a' dos tipos de de gráficas de control, una para los valores continuos o varia"les ' otra para valores discretos o atri"utos. (as gráficas tipo +e+art para ,aria*(es c$%'i%uas más usuales son8 •
x @de
mediasA
•
R @de rangosA
•
S @ de desviaciones estándarA
•
x @de
medidas individualesA
(as gráficas de control &$r a'ri*u'$s son8 •
p @proporción
•
np @n7mero
•
c @n7mero
de defectosA
•
u @n7mero
de defectos por unidadA
o fracción de art)culos defectuososA
de unidades defectuosasA
2.2. E(a*$raci-% e i%'er&re'aci-% de gráficas &ara ,aria*(es &uando se diseBa una gráfica de control, es necesario especificar tanto el 'ama$
1. &uanto más aumente el tamaBo del su"grupo más se apro;imarán los l)mites de control al valor central, lo /ue dará a la gráfica ma'or sensi"ilidad de las pe/ueBas variaciones en el promedio del proceso. 2. &uanto más aumente el tamaBo del su"grupo, más aumentará el costo de inspección por su"grupo. D*l aumento en el costo /ue implica conformar grupos ma'ores -ustifica el contar con ma'or sensi"ilidadE 3. &uando se apli/uen prue"as /ue impli/uen destrucción de elementos ' stos sean costosos, el tamaBo del su"grupo será de 2 o 3, 'a /ue reducirá a un m)nimo la destrucción de tales elementos costosos. 4. *n la industria se utilizan muc+o las muestras constituidas por cinco elementos, 'a /ue as) se facilita la tarea de cálculoC sin em"argo, siempre /ue los cálculos necesarios se puedan realizar sin ma'or pro"lema con calculadoras de "olsillo el motivo anterior resultará invalidado. 5. ustentado por evidencias estad)sticas, se sa"e /ue la distri"ución de los promedios de los su"grupos, x , resultan casi normales para el caso de su"grupos de cuatro o más elementos, incluso cuando las muestras se o"tienen de po"lación /ue no es normal. ás adelante, en este mismo cap)tulo, se presenta la prue"a de la aseveración anterior. 6. *n caso de /ue el tamaBo del su"grupo sea ma'or de 10 elementos, para controlar la dispersión de"erá utilizarse la gráfica S en vez de la gráfica R . =ara definir la frecuencia del muestreo tam"in se puede utilizar la regla del precontrol. *n este caso se toma en cuenta con /u frecuencia se a-usta el i est ed da +o el tr de"erá aliz da 1
U% cam*i$ e% e( %i,e( de( &r$ces$ /a $currid$ cua%d$ se cum&(e u%a de (as siguie%'es cua'r$ &rue*as 1A n punto fuera de los l)mites de control tres sigma 2A #os de tres puntos consecutivos se localizan fuera de los l)mites de advertencia de dos sigmas @zona A 3A &uatro de cinco puntos consecutivos se localizan en una distancia de una sigma @zona A o más de la l)nea central 4A Hc+o puntos consecutivos se localizan en el mismo lado de la l)nea central
!ara de'ermi%ar si /a) u%a 'e%de%cia e% e( &r$ces$ se 'ie%e (a siguie%'e &rue*a c$%cre'a0
6A &iclos recurrentes @periodicidadA catorce puntos consecutivos alternando entre altos ' "a-os
U%a &rue*a &ara de'ec'ar (a a('a &r$&$rci-% de &u%'$s cerca $ fuera de ($s (4mi'es es (a siguie%'e A Hc+o puntos consecutivos a am"os lados de la l)nea central con ninguno de ellos en la zona &
!ara de'ec'ar (a fa('a de ,aria*i(idad se 'ie%e (a siguie%'e &rue*a A Juince puntos o más en la zona &, arri"a o a"a-o de la l)nea central
n
x i x
x 1
i 1
x 2
n
x n n
' se sa"e /ue sigue una distri"ución normal con media µ ' desviación estándar x
/
n
. demás, /ue la pro"a"ilidad de /ue cual/uier media muestral se
localice entre
3
x
'
3
x
es de 99.73%.
*n la práctica, generalmente no se conocen los vales de µ' σ. =or tanto, de"en estimarse a partir de muestras o su"grupos preliminares tomados cuando se considera /ue el proceso está "a-o control. *n general, estas estimaciones de"erán "asarse en al menos 20 o 25 muestras. uponga /ue se cuenta con m muestras, cada una de las cuales contiene n o"servaciones de la caracter)stica de calidad. Generalmente, n será pe/ueBa, 'a sea 4, 5 o 6. *stos tamaBos de la muestra suelen resultar de la construcción de su"grupos racionales ' del +ec+o de /ue los costos de muestreo e inspección asociados con la medición de las varia"les son relativamente altos. ean x 1 , x 2 , , x m los promedios de cada muestra. *ntonces el me-or estimador de µ, el promedio del proceso, es la gran media8
x
x 1
x 2
x m
m
=or tanto x se usar)a como la l)nea central en la gráfica x . =ara construir los l)mites de control, es necesaria una estimación de la desviación
2
3
d 2 n i se define *ntonces los parámetros para la gráfica de la media ser)an8 LCS x 2 R LC x LCI x 2 R
#e manera análoga o"tenemos los l)mites de la gráfica del Kango LCS = !" R LC = R LCI = !3 R
Eem&($ 2.1 #e"ido a lo dif)cil /ue resulta montar un cu"o de transmisión a un vástago utilizando una llave ' el o-o de la cerradura, el e/uipo del pro'ecto recomendó el uso de una gráfica # R . (a caracter)stica de calidad es una dimensión para el orificio del vástago de la cerradura con especificaciones de 0.5030 0.0010 pulgadas . =ara facilitar el registro cada medición se codifica tomando como "ase 0.5000 pulgadas. =or e-emplo, la primera medición de 0.5033 se registra como 33. (ver Tabla 1) aA H"tenga una carta
x
e interprtela.
7 + , 10 11 1" 1' 1( 1) 1* 17 1+ 1, "0 Su!a
30
31
32
34
31
31.6
4
29
39
38
39
39
36.8
10
28 38 28 31 27 33 35 33 35 32 25 35
33 33 30 35 32 33 37 33 34 33 27 35
35 32 28 35 34 35 32 27 34 30 34 36
36 35 32 35 35 37 35 31 30 30 27 33
43 32 31 34 37 36 39 30 32 33 28 30
35.0 34.0 29.8 34.0 33.0 34.8 35.6 30.8 33.0 31.6 28.2 33.8 666.4
15 6 4 4 10 4 7 6 5 3 9 6 116
S$(uci-% aA H"tenga una carta e interprtela. (as l)neas centrales son8 x
x
x 1
x 2
x m
31.% 33."
3'.$ 2$
33.&
%%% ." 2$
33.32
Figura 2. Gráfica de (a media &ara dime%si-% de( $rifici$ de( ,ás'ag$ de (a cerradura
I%'er&re'aci-% de (a gráfica0 !1
"a-osA +! !: @Hc+o puntos consecutivos a am"os lados de la l)nea central con ninguno de ellos en la zona &A +! !; @Juince puntos o más en la zona &, arri"a o a"a-o de la l)nea centralA +! *l cumplimiento de las prue"as uno ' dos indican /ue el proceso se encuentra fuera de control estad)stico ' /ue es necesario encontrar las causas asigna"les ' eliminarlas. aA ediante una carta K investigue si el proceso estuvo en control estad)stico en cuanto a la varia"ilidad. (os l)mites de la gráfica K son8 LCS !" R LC R
2.11' ( '.&
'.&
LCI !3 R
(a gráfica del rango se muestra en la figura 3
$ ( '.&
$
12.2%
!7 @Hc+o puntos consecutivos se localizan en el mismo lado de la l)nea centralA8 +! !8 @eis puntos consecutivos ascendentes @o descendentesAA8 +! !9 @&iclos recurrentes, catorce puntos consecutivos alternando entre altos ' "a-osA +! !: @Hc+o puntos consecutivos a am"os lados de la l)nea central con ninguno de ellos en la zona &A +! !; @Juince puntos o más en la zona &, arri"a o a"a-o de la l)nea centralA +! *l cumplimiento de la prue"a uno indica /ue el proceso se encuentra fuera de control estad)stico ' /ue es necesario encontrar la causa asigna"le ' eliminarla. "A nalice la capacidad del proceso. =ara ello8 c.1 calcule los )ndices &p, &pL ' &pm, e interprtelos &onsiderando las especificaciones de .53 ± .1 pulgadas para los datos codificados con "ase en .5 pulgadas se tienen las especificaciones codificadas como8 3 ± 1, entonces * M 3 N 1 M 4, *I M 3 O 1 M 2, 9 M 3 ' la estimación de la desviación estándar es ˆ R d 2 , con d2 M 2.326, de '&
centrada con los l)mites de especificación. *l &pL M .3 actual no es adecuado. n análisis del proceso es necesario 'a re/uiere de modificaciones serias para logar alcanzar su )ndice de capacidad potencial /ue es &p M 1.336 /ue es adecuado. c.2 o"tenga los l)mites naturales del proceso ' compárelos con las especificaciones. (os (4mi'es %a'ura(es son8 - 33.3" 3(".%3&) "5.'3" S 33.3" / 3(".%.3&) %0.'00'
(os l)mites de especificación son *I M 2 ' * M 4, por lo /ue si se centrara el proceso con respecto a las especificaciones se tendr)a un proceso de categor)a 1. cA =ara continuar con el uso de la carta de control D/u l)mites de control propondr)aE =ara decidir /ue l)mites de control se usarán para analizar los datos futuros, primero se analiza la gráfica de K para ver si es esta"le. #ado /ue el punto está fuera de los l)mites ste su"grupo tiene una causa asigna"le, /ue se de"e eliminar ' se le e;clu'e de los datos. +ora se analiza la gráfica x , los su"grupos 6, , 11 ' 1 tienen una causa asigna"le, ' no forman parte de la variación natural ' se e;clu'en. (os cálculos de los nuevos valores de x ' R se o"tienen con las siguientes fórmulas8
LCS x LC x
33.32133
x 2 R
x 2 R
33.2133
($.')) ('.$
' los correspondientes l)mites para la gráfica R son LCS !" R LC R
3% .2$)1
33.2133
x
LCI x
($.')) ('.$
2.11' ( '.$
'.$
LCI !3 R
$( '.$
$.$
1$.''
3$."3)1
2.2.2. Gráfic$ =>S un cuando es mu' com7n la utilización de las cartas x R , en ocasiones es desea"le estimar la desviación estándar del proceso directamente en vez de indirectamente mediante el uso del rango R . *sto lleva a las gráficas de control para x S , donde S es la desviación estándar muestral. *n general, las cartas x . S son preferi"les a sus contrapartes más familiares, las cartas x R , cuando 1. *l tamaBo de la muestra n es moderadamente grande Ppor e-emplo, n 10 o 1" . @Kecurdese /ue el mtodo del rango para estimar o pierde eficiencia estad)stica para muestras de moderadas a grandes.A 2. *l tamaBo de la muestra n es varia"le.
C$%s'rucci-% ) $&eraci-% de (as car'as
x S
*sta"lecer ' operar cartas de control x . S re/uiere apro;imadamente la misma secuencia de pasos /ue para las cartas x R , e;cepto por/ue de"e calcularse el promedio muestral x ' la desviación estándar muestral S de cada muestra. Eem&($ 2.2 *n la ta"la 2.3 tomada de la ta"la 2.2 para el e-emplo 2.1 se presentan las mediciones de la ddimensión para el orificio del vástago de la cerradura usados en el e-emplo 2.1. H"srvese /ue se +a calculado el promedio muestral ' la desviación estándar muestral de cada una de las "0 muestras. e usarán estos datos para ilustrar la construcción ' operación de la gráfica S , 'a /ue la gráfica de la media ser)a la misma del e-emplo 2.1. (a l)nea central de la gráfica S estará dada por la desviación estándar promedio
Ta*(a 2. Des,iaci-% es'á%dar &ara e( $rifici$ de( ,ás'ag$ de (a cerradura N° de Mediciones Des"iacione s Subgru x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Medias est#ndar o 1 " ' ( ) * 7 + , 10 11 1" 1' 1( 1) 1* 17 1+ 1, "0 Su!a
33 33 35 30 33 38 30 29 28 38 28 31 27 33 35 33 35 32 25 35
29 31 37 31 34 37 31 39 33 33 30 35 32 33 37 33 34 33 27 35
31 35 33 33 35 39 32 38 35 32 28 35 34 35 32 27 34 30 34 36
32 37 34 34 33 40 34 39 36 35 32 35 35 37 35 31 30 30 27 33
33 31 36 33 34 38 31 39 43 32 31 34 37 36 39 30 32 33 28 30
31.6 33.4 35.0 32.2 33.8 38.4 31.6 36.8 35.0 34.0 29.8 34.0 33.0 34.8 35.6 30.8 33.0 31.6 28.2 33.8 666.4
1.6733 2.6077 1.5811 1.6432 0.8367 1.1402 1.5166 4.3818 5.4314 2.5495 1.7889 1.7321 3.8079 1.7889 2.6077 2.4900 2.0000 1.5166 3.4205 2.3875 46.9016
2.2.6. Grafic$ = de i%di,idua(es *n muc+as situaciones, el tamaBo de la muestra usado para monitorear el proceso es n 1C es decir, la muestra consta de una unidad individual. lgunos e-emplos de estas situaciones son8 1. e usa la tecnolog)a de inspección ' medición automatizada, ' se analiza cada unidad manufacturada, por lo /ue no +a' ninguna "ase racional para +acer su"grupos. 2. (a velocidad de producción es mu' lenta, ' no es conveniente de-ar /ue se acumulen tamaBos de la muestra de n 1 antes del análisis. *l largo intervalo entre las o"servaciones ocasionará pro"lemas con la formación de los su"grupos racionales. 3. (as mediciones repetidas del proceso difieren 7nicamente por el error de la"oratorio o de análisis, como en muc+os procesos /u)micos. 4. e +acen mediciones m7ltiples en la misma unidad del producto, como la medición del espesor de ó;ido en varios sitios diferentes de una o"lea en la manufactura de semiconductores. 5. *n las plantas de procesamiento, como en una fá"rica de papel, las mediciones de alg7n parámetro, tal como el espesor del recu"rimiento a lo anc+o de un rollo, diferirán mu' poco ' producirán una desviación estándar /ue será demasiado pe/ueBa si el o"-etivo es controlar el espesor del recu"rimiento a lo largo del rollo. *n estas situaciones, la carta de control para mediciones individuales es 7til. *n muc+as aplicaciones de la carta de control para unidades individuales se usa el rango móvil de dos o"servaciones sucesivas como "ase para estimar la
viscosidad. Ta*(a 6. "isc$sidad de (a &i%'ura Ta&a &$r$ &ara a,i$%es
Nmer$ de 'a%da "isc$sidad B " 3 % 5 & # ' 10 11 1" 13 1% 15
Ra%g$ m-,i( R
33.05 3% .00 33.'1 33.%& 3%.0" 33.&' 33."# 33.% 33."0 33.&" 33.00 33.5% 33.1" 33.'%
x
0.#0 0.5 0.1 0.35 0.5& 0.3% 0.%1 0."" 0." 0.%" 0.&" 0.5% 0.%" 0.#"
33.'2
R0
i se usa un rango móvil de n " o"servaciones, entonces d " 1.1"' ' los parámetros para la gráfica de las mediciones individuales son8 LCS x 3
R0 d 2
33.'2
3
33.'2
3
$."& 1.12&
3".&$
LC x 33.'2 LCI x 3
R0
$."&
32.2"
Gráfico K@2A para $iscosidad 1.9 1.8 1.7 1.6 1.2 1.1 1 A 5.@ 2 @ 5.; K 5.: F 5.9 5.8 5.7 5.6 5.2 5.1 5
UC ? 1.8:1
& CTR ? 5.7;5
& 5
C ? 5.555 1
2
6
7
8
9
:
;
@
15
11
12
16
17
18
9R de tanda aA Figura 9. Grafic$ de ra%g$s m-,i(es &ara ,isc$sidad
i se usa un rango móvil de n " o"servaciones, entonces d " 1.1"' ' los parámetros para la gráfica de las mediciones individuales son8 LCS x 3
R0 d 2
33.'2
3
33.'2
3
$."& 1.12&
3".&$
LC x 33.'2 LCI x 3
R0 d 2
$."& 1.12&
32.2"
R
R
m 3A &alcular el rango promedio, 4A &alcular el valor estimado de la desviación estándar de la po"lación
!
R d 2
donded " se o"tiene de la ta"la 2.3 para el tamaBo del su"grupo, n. 5A (a capacidad del proceso será igual a
%
.
Ta*(a 7. %ndices de &apacidad
"#$%& C r
C p
C(#&')*( R'/0&%+# $' &0)0&%$0$ /u! !!0!t) #) %%+i $! #) ()$) $! !0!+ii+)+i%!0 /u! !0 uti#i")$) % #) '4/ui) 5$i+! $! #) &0)0&%$0$ )(*'#&%0/ $! #) '4/ui) +u)$% 6)* #5'it!0 0u!i% ! i!i% ! #)0 !0!+ii+)+i%!0
F+,-/0 C r =
C p
C p,
C p,
5$i+! $! #) &0)0&%$0$ ,'0/ $! #) '4/ui)
% +S − +I
+S +I %
=
+S − 3
Ta*(a 8. $alores del C p ' su interpretación
! u +%t%# !0ti+t%. 0% !0 !+!0)i%. R!/ui!! $! '%$ii+)+i%!0 0!i)0. +i%!0 'u* 0!i)0.
6.
REFERENCIAS #I#IOGRÁFICAS
#ásica 1. rrona >ernández, Felipe de S.C:&alidad, *l ecreto de la =roductividad< *ditora !cnica, ;ico. 2. *vans, Sames K., (indsa' 0illiamC :dministración ' &ontrol de la &alidad< !+ompson *ditores, International, ;ico, 2 3. Gutirrez =ulido >um"erto ' #e la $ara alazar KománC &ontrol *stad)stico de &alidad ' eis igma, c Gra >ill, =rimera *dición, ;ico 24. 4. Gutirrez =ulido >um"erto, &ontrol !otal ' =roductividad, egunda *dición, c Gra >ill, ;ico, 25.
C$m&(eme%'aria 5. (. Grant ' (eaven 0ort+, &ontrol estad)stico de calidad, *d. &.*.&... 6. ontgomer' #ouglas, &ontrol estad)stico de calidad, !ercera *dición, (imusa? 0ile'C ;ico, 24.
Direcci$%es de I%'er%e' rec$me%dadas merican ociet'forJualit'8 .as/.orgT
7.
A!NDICES ANE=OS 8.
%$Ta*(a 9. ()mites para las Gráficas de &ontrol por $aria"les &r#'ca (% Lí!ites LCS x 2 R
8.
Media, #
LC LCI
10. Rango, R
x x 2 R
LCS = !" R LC = R LCI = !3 R
12. Desviación Estánda, S
LCS = /" S LC = S LCI = /3 S
LCS x 3
14. Mediciones !ndivid"a#es, x
d 2
LC x LCI x 3 LCS = p + 3
16. $acción De%ect"osa, p
R0
R0 d 2
p(1 − p n
LC = p p( 1 p
27.
Ta*(a :. Fac'$res &ara (as gráficas de
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