Graciela Chemello Evaluacion Del y Para El Aprendizaje

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Evaluación del y para el Aprendizaje 7.1. Introducción Abordar la problemática de las estrategias de la enseñanza de la Matemática remite a formularse preguntas como las siguientes: ¿Qué conocimientos poseen los alumnos acerca de distintas nociones, distintos procedimientos? ¿Cómo evolucionan esos conocimientos? ¿Cuáles son las variables que caracterizan el estado de tales conocimientos y posibilitan su control? Tales interrogantes remiten a la problemática de la evaluación de los aprendizajes matemáticos. Sin embargo, embargo, a pesar del desarrollo de las investigacio investigaciones nes en el campo de la Didáctica Didáctica de las Matemáticas, Matemáticas, son pocos los trabajos trabajos que incluyen incluyen cuestiones ligadas a la evaluación. Ahora bien, aunque tales estudios estudios no estén orientados orientados hacia la misma, misma, una reflexión profunda acerca de la historia de una clase pone en evidencia que los hechos de evaluación que se pueden observar allí no son simplemente un existente existente contingente, contingente, un mal necesario necesario que se podría podría ignorar, ignorar, sino uno de los aspectos determinantes del proceso didáctico que regulan tanto los comportamientos del docente como los aprendizajes aprendizajes de los alumnos. (Chevallard (Chevallard y Feldman, 1986, citados por por Bodin 1997). En ese sentido, y reconociendo que la problemática problemática de la evaluación incluincluye aspectos transversales transversales a las distintas distintas disciplinas, disciplinas, el propósito de este capítulo es poner de manifiesto que en el marco de una una clase, donde se traba jan conocimientos conocimientos específicos, específicos, no es posible posible considerar a la enseñanza enseñanza y a la evaluación de los saberes matemáticos como acciones separadas. Por lo que nos centraremos, centraremos, especialmente, en las evaluaciones evaluaciones de los los aprendizajes aprendizajes de los alumnos que ponen explícitamente explícitamente en juego tales saberes. saberes.

7.2. La problemática del campo de la evaluación 7.2.1. La complejidad del campo de la evaluación: evaluación: Actos, hechos y fenómenos

Al referirse a la complejidad complejidad del campo de la evaluación, evaluación, Bodín (1997) (1997) destaca que esta última reviste aspectos ambiguos y multiformes en virtud de la interacción entre los distintos elementos que la componen. En efecto, por una parte, determinadas determinadas acciones acciones de evaluación evaluación del sistema educatieducativo inciden a nivel docente en sus expectativas acerca de los logros de los alumnos, en las evaluaciones que elaboran y aún en la constitución del contrato didáctico. didáctico. Por otra, y en sentido inverso, inverso, las expectativas expectativas de los docentes, se manifiestan manifiestan en las evaluaciones evaluaciones que realizan cotidianamente cotidianamente a sus alumnos, condicionando así tanto la información que recoge el sistema como la interpretación que hace de los resultados.

En 1980 Brousseau definió la noción de Contrato Didáctico como: “el conjunto de comportamientos (específicos de los conocimientos enseñados) del maestro que son es perad os por el alumno y el conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro”.

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Universidad Virtual de Quilmes

Asimismo no es posible analizar las características de una evaluación realizada en un momento dado de una clase determinada, sin tener en cuenta la incidencia incidencia de evaluaciones evaluaciones institucionales, institucionales, departamentales departamentales o de calidad ( sean estas anteriores o en curso). Tampoco es posible analizar las evaluaciones de los alumnos sin considerar las concepciones que los docentes tienen de la evaluación, evaluación, y especialmente, especialmente, la incidencia incidencia en tales concepciones concepciones del modo en que los docentes son evaluados.

1.

Le solicitamos que reflexione en torno a distintas prácticas de evaluación e identifique algunos casos en los que se ponga en evidencia: • El modo en que determinadas evaluaciones externas al aula (nacionales, institucionales, departamentales), inciden en las evaluaciones que realizan cotidianamente los docentes • El modo en que determinadas expectativas de los docentes, puestas en juego en las evaluaciones que aplican, pueden modificar la información que recoge el sistema

A fin de caracterizar algunos aspectos constituyentes de este campo, distinguiremos los hechos, las acciones y los fenómenos de evaluación. Podemos identificar un sistema cuyos elementos son los hechos de evaluación luación (Chevallard, (Chevallard, 1986)

Evaluación de programa

Consejos de clase Boletines/libretas escolares

Exámenes

Trabajo, actividades Deberes El alumno

Evaluación del docente

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Estrategias de Enseñanza de la Matemática

Además de los hechos pueden distinguirse las acciones de evaluación. A fin de diferenciar hechos y acciones nos valdremos del análisis realizado por Bodín (1997): • Desde 1989, en Francia, el Ministerio de Educación Nacional organiza cada año, para el conjunto de los alumnos de sexto, una evaluación de comienzo de año. Se trata de una acción de evaluación. • En 1990 todos los alumnos de sexto fueron sometidos a la misma evaluación, es un hecho de evaluación. En el marco de dicha evaluación, se propuso a los alumnos de sexto el siguiente ítem:

El perímetro del triángulo A es 12m El perímetro del triángulo B es 17m La figura F está formada por la unión de los triángulos, como se indica en el dibujo. ¿Cuál es el perímetro de la figura F? Escribí tus cálculos: El perímetro de la Figura F es.............m

Los resultados se distribuyeron de la siguiente manera: Respuesta 19m: 20%(correcta) Respuesta 29m: 45% Respuesta 24m: 0,5%

A propósito de esta prueba pueden observarse los siguientes hechos:

• “Los alumnos fueron, en particular, confrontados con una pre-

gunta que concierne al perímetro de la unión de dos triángulos. • Entre esos alumnos, 20% de ellos encontraron la respuesta esperada mientras que 45% de los alumnos dieron una respuesta errónea que se corresponde con la utilización del siguiente teorema en acto: “el perímetro de la unión de dos figuras pegadas es igual a la suma de los perímetros de estas figuras.” 169


• Estas tasas permanecieron iguales cuando la pregunta fue de

nuevo utilizada, en las mismas condiciones, en 1992. (las diferencias no fueron significativas) • Los docentes fueron invitados a utilizar los resultados de esta evaluación con fines diagnósticos. A fin de facilitar esto, se puso a disposición de los docentes un programa de computación. • Los docentes dieron cuenta de los resultados de esta evaluación a los alumnos e informaron a sus padres”. (Bodín, 1997)

Además de las acciones y los hechos, pero articulados con ellos, se identifican los fenómenos de evaluación que son los que interesan especialmente en los análisis didácticos y que en muchas circunstancias no son considerados Así por ejemplo, si para resolver el problema considerado los alumnos hubiesen podido utilizar material concreto, es probable que el mencionado error no hubiera sido significativo. En casos como este, en los que la variabilidad del comportamiento de los alumnos está en función de la utilización o no utilización de material concreto, estamos ante un fenómeno de evaluación (sobre los fenómenos volveremos al realizar análisis de ítems de evaluación). Otro fenómeno estaría dado por la incidencia que la evaluación pueda tener en las prácticas docentes.

2.

Existe un fenómeno de evaluación denominado restricción de evaluabilidad de un objeto de enseñanza. Este fenómeno refiere al modo en que se restringe el significado de una noción a fin de que los alumnos puedan poner de manifiesto competencias “evalua bles” apenas iniciado el trabajo con dicho objeto. Tal restricción se ve satisfecha, por ejemplo, en la propuesta de ejercicios fácilmente algoritmizables y, en consecuencia, evaluables. (Ruiz Higueras, 1998) • ¿Porqué puede considerarse a la restricción de evaluabilidad un fenómeno de evaluación?. Justifique. • ¿Qué tipos de aprendizajes de los alumnos propicia este fenómeno?. Justifique. • A partir de análisis de carpetas o de cuadernos de alumnos, identifique y transcriba propuestas en las que esta restricción se ponga de manifiesto.

7.2.2. Evaluación y Contrato didáctico

Los efectos del contrato didáctico, que muy pocas veces son tenidos en cuenta tanto para preparar como para interpretar evaluaciones, constituyen también un fenómeno de evaluación de especial interés en la didáctica. A este respecto, consideramos: • Los efectos del contrato didáctico inciden en las respuestas de los alumnos en situación de evaluación. 170


• Las evaluaciones inciden en la constitución del contrato didáctico. En cuanto a los efectos del contrato didáctico en las respuestas de los alumnos en situación de evaluación, resultar ejemplificador el clásico problema, que citamos en el capítulo 2, propuesto por Chevallard (1986): La edad del capitán

En un barco hay 10 cabras y 13 vacas ¿Qué edad tiene el capitán? Al ser propuesto este problema a alumnos de 10 a 11 años, un tercio de ellos respondió “23”

¿Cómo explicar esta respuesta? ¿Se trata de un error de cálculo? ¿Respondieron a la situación planteada o respondieron al maestro que hizo la pregunta? Como señalamos en el módulo “Problemas de la Enseñanza de la Matemática”, en las clases habituales de resolución de problemas corresponde al docente proponer problemas cuyo enunciado contenga todos los datos útiles para resolverlo. En este tipo de clases no se plantean problemas abiertos, ni problemas con datos que no se utilizan, ni problemas con datos insuficientes... El rol del alumno es, entonces, determinar qué cálculos conducen a la solución, realizar dichos cálculos y elaborar las repuestas. En el marco de un contrato de estas características, y según la percepción de lo que el docente espera de ellos, los chicos hicieron su “trabajo de alumnos”, es decir, utilizaron todos los datos que figuraban en el enunciado, realizaron cálculos y elaboraron una respuesta. Por otra parte, y en relación con la incidencia del contrato didáctico en situaciones de evaluación resulta interesante detenerse en la siguiente observación:

“La evaluación refuerza... a su manera la función de la institucionalización. Confirma, en el cuadro de un contrato eventualmente específico de una clase lo que debe ser considerado como importante, y lo que es secundario, lo que es decisivo saber hacer, y lo que es accesorio”. (Johsua y Dupin, 1993, citado por Bodin, 1997)

En este sentido, las evaluaciones ligados exclusivamente al control, ale jadas de la formación del alumno, inciden en el contrato didáctico. Así por ejemplo, muchos alumnos piensan que en Matemática no se estudia “teoría”, pues en la mayoría de las pruebas se les solicita realizar actividades. Por el contrario, las evaluaciones integradas a las situaciones de aprendizaje, se encuentran totalmente integradas al contrato didáctico y no pueden ser pensadas más de modo independiente de la didáctica. (Bodín, 1997)

3.

A partir del análisis de prácticas docentes le solicitamos que identifique: • Un posible efecto de contrato didáctico sobre las respuestas de alumnos en situación de evaluación • Un posible efecto de evaluaciones alejadas de la formación en la constitución del contrato didáctico

171


7.2.3. Usos y funciones de la evaluación

Tanto en el discurso pedagógico referido a la evaluación como en las diversas prácticas que la involucran se observa una oscilación entre distintos polos. En efecto, la evaluación es utilizada con el propósito de juzgar, certificar, acreditar o promover; o con el de comprender los procesos y ayudar al alumno; o como instrumento de comunicación que permita al alumno comprender mejor los riesgos o lo que están en juego en sus aprendiza jes; o bien como medio de imponer a los alumnos comportamientos u objetivos. En líneas generales podemos decir que la evaluación oscila entre el deseo de medir a cualquier precio y la voluntad de explicar, de dar sentido a las observaciones que permite hacer (Bodín, 1997). También es habitual distinguir diferentes funciones de la evaluación: sumativa, formativa, diagnóstica, distinciones que pueden ser útiles cuando se trata de describir o especificar acciones, de proponer determinadas instrumentaciones. Sin embargo, puede ocurrir que una misma prueba cumpla distintas funciones según el momento en que sea utilizada.

“En la medida en que la evaluación formativa permite relevar información sobre los progresos y dificultades de los alumnos, sobre sus intereses específicos y sobre sus particulares ritmos de aprendizaje, cumple una función diagnóstica que hace posible regular las acciones educativas subsiguientes.” (Bertoni y otros, 1995). “.... un proceso de evaluación, formativa en sus intenciones, puede ser sumativa de hecho e inhibitoria de formación en sus efectos, mientras que, un proceso de evaluación, sumativa en sus intenciones, puede tener efectos formativos totalmente positivos” (Bodin, 1997)

Sin dejar de reconocer la necesidad de instancias evaluativas de promoción o de certificación, gran parte de los trabajos actuales se refieren a evaluaciones cuyo objetivo apunta al progreso individual (en el caso de evaluación de los aprendizajes de los alumnos) o colectivo (en el caso de programas de estudio o de currículos). En estos trabajos, y con respecto a la evaluación de los aprendizajes de los alumnos, se han instalado acuerdos en cuanto a que la misma debería permitir:

“...... •Comunicar una apreciación de valor •Describir una situación en un momento dado y explicitar su evolución, apoyándose en la actividad del alumno en coherencia con evaluaciones anteriores •Comprender la situación del alumno •Revisar la práctica del docente, suscitando un eventual cuestionamiento de las estrategias pedagógicas utilizadas •Inscribirse en la continuidad de los aprendizajes y prever etapas suplementarias 172


•Constituirse en una actitud que se apoya en una infinidad de po sibilidades y que difícilmente pueda reducirse a una lista de conocimientos y competencias y, en tal sentido, considerar una combinación de herramientas y métodos que permitan construir actividades justas, adaptadas, ambiciosas” (Rossano,P. y otros, 1993)

Asimismo debería favorecer la implicación de cada alumno en instancias que le permitan reflexionar acerca de sus logros y de sus dificultades, es decir, que una parte al menos de la evaluación tendría que ser estrictamente interna al alumno.

En efecto, en la perspectiva de la Didáctica de las Matemáticas, la resolución de problemas es “ fuente y cri- terio de saber ” (Vergnaud, 1981) En este sentido los alumnos deben ser confrontados con problemas, ya sea para adquirir conocimientos como así también para controlarlos. Este último aspecto ha sido denominado validación (Brousseau, 1986), y desarrollado en el capítulo 4 de la carpeta de trabajo correspondiente a “Problemas de la enseñanza de la Matemática”.

Por otra parte, y desde enfoques que han contribuido a modificar la mirada a cuestiones relativas a la enseñanza y a la evaluación, consideramos importante mencionar los aportes de Vigotsky y, especialmente, su concepto de zona de próximo desarrollo. Recordemos que la zona próxima de desarrollo puede considerarse como limitada, por una parte, por lo que el alumno es capaz de hacer, el saber que puede manifestar de modo independiente y autónomo y, por otra parte, por lo que sería capaz si estuviera guiado por el docente, si trabajara en colaboración con pares, o si dispusiera de material escrito u otro tipo de ayuda. El tomar en cuenta esta noción remite a privilegiar una evaluación dinámica que se refiera no solo a las adquisiciones efectuadas por los alumnos, sino también a las inmediatamente posibles de alcanzar (Bodín, 1997).

4.

A partir del análisis del capítulo de Annie Berté “Selección –evaluación”, le solicitamos que explicite tres acuerdos que Ud. tenga con la autora y tres interrogantes que le plantee esta lectura.

7.3. Hacia una evaluación que favorezca el aprendizaje: una mirada sobre los errores de los alumnos 7.3.1. Evaluación, errores y prácticas docentes

La consideración del error y de su tratamiento ha cobrado distintas consideraciones en las prácticas pedagógicas. En el marco de una pedagogía tradicional, el error debe ser evitado, y de no ser posible, debe ser sancionado. 173


Tal es así que se habla de “ faltas” de los alumnos y que se considera buen alumno al que no comete errores y buen docente, al que a partir de sus explicaciones o de la secuencia de actividades que propone, logra que los alumnos no cometieran errores. En esta perspectiva, en el pizarrón se escribe “lo que está bien” y si aparece algún error, es rápidamente eliminado y reemplazado por la resolución correcta: El error no se escribe porque si no se fija, decían los viejos manuales de Didáctica. A continuación presentamos los resultados de un trabajo, relativamente reciente, que da cuenta de un tratamiento del error con tales características:

Estudio realizado por el INRP (Francia, 1987) Los autores del trabajo observaron 70 secuencias de matemática traba jadas con alumnos de 10 a 11 años y 40 con alumnos de11 a 12 años. Conclusiones: • Los errores son muy frecuentemente considerados como parásitos que es necesario corregir sustituyéndolos por la respuesta correcta. • Lo más frecuente es solicitar a los alumnos que den la respuesta correcta; el docente se ocupa de comentarla, de aportar una explicación en algunas ocasiones, pero en la mayoría de ellas se queda con dicha respuesta correcta sin aportar explicaciones complementarias. • En muy pocas ocasiones los err ores son analizados, desmenuzados y considerados como soporte de un posible aprendizaje. Extraído de R. Charnay, 1996.

Sin embargo, el error ha cobrado una nueva consideración en el marco del enfoque didáctico: actualmente no sólo es considerado normal sino necesario para el aprendizaje, y en tal sentido debe estar integrado al mismo. 7.3.2. ¿Qué errores atender?

Las producciones de los alumnos nos permiten registrar gran variedad de errores. Es tarea del docente determinar las causas de tales errores y elaborar y proponer situaciones que permitan que el alumno supere sus dificultades. Esto sólo es posible a través de un proceso de evaluación que permita al docente reflexionar acerca de los errores de los alumnos. Sin embargo, no todos los errores de los alumnos merecen especial atención. Consideraremos errores significativos a aquellos que: • se repiten y están instalados en el alumno; • no son fruto de la ausencia de conocimiento, de la distracción o del azar, o bien , • no aparecen aislados sino que constituyen verdaderas tramas. La identificación de errores de estas características presupone una primera etapa que permita descartar errores cometidos por consignas que no han sido claras; por falta de tiempo para resolver la actividad propuestas; por cansancio de los alumnos... 174


Una vez despojado el error de dichas causas triviales, debemos intentar dar cuenta de otras, de real significación. 7.3.3. Una mirada sobre las producciones de los alumnos: distintos orí- genes de los errores

El problema de los orígenes de los errores ha generado numerosas propuestas de clasificación. En este módulo describiremos tres grandes categorías: • Errores ligados a las limitaciones de un alumno en un momento de su desarrollo intelectual. • Errores que nos informan sobre las interpretaciones que hacen los alumnos de sus tareas. • Errores que nos informan sobre la manera de conocer de los alumnos. A fin de analizar tales orígenes nos valdremos de algunos ejemplos extraídos de evaluaciones descriptas y analizadas por Roland Charnay (1990-1991 y 1996).

Errores ligados a las limitaciones de los alumnos en un momento de su desarrollo intelectual A Lucía le gusta jugar a las bolitas. Al final del día ella tiene 8 bolitas más que a la mañana. Sin embargo, la jornada había comenzado mal: a mediodía ella había perdido 2 bolitas. ¿Qué pasó después de mediodía?

Este problema fue incluido en una evaluación aplicada a alumnos de entre 11 y 12 años, y sólo el 21,2% de ellos respondió correctamente. Entre las respuestas incorrectas, un 16% de los alumnos calculó la diferencia: 8-2 Sobre la base a la edad de estos alumnos podemos observar que ni los números que están en juego ni los cálculos requeridos deberían traer dificultades. Si consideramos que un 16% de los alumnos calculó la diferencia 8-2 podríamos pensar que lo hicieron influidos por la palabra “perdió” (que podría atribuirse a efectos de contrato didáctico, sobre lo que volveremos a continuación).

Sin embargo, el alto porcentaje de respuestas incorrectas puede atribuirse al hecho de que la resolución correcta implica una razonamiento de los alumnos en términos de transformaciones y, como señala Vergnaud, el dominio completo de las estructuras aditivas se elabora en un tiempo muy largo (aproximadamente entre los 5 y los 15 años de edad), aspecto abordado en la materia “Problemas de la Enseñanza de las Matemáticas”. En este caso es posible que nos encontremos frente a un error originado por limitaciones de un alumno en determinado momento de su desarrollo, errores que han sido denominados de origen ontogenético .

175


Este tipo de errores subraya la importancia de considerar el largo plazo de los aprendizajes

Errores que nos informan sobre las interpretaciones que hacen los alumnos de sus tareas Un florista arma ramos con rosas y lirios Una rosa cuesta 10 francos y un lirio 4 francos Debe haber 15 flores por ramo y el precio de un ramo no debe supera los 100 francos a)¿Puede el florista armar un ramo con 8 rosas y 5 lirios? • Respondé sí o no • Explicá tu respuesta b)¿Puede el florista armar un ramo con 5 rosas y 10 lirios? • Respondé sí o no • Explicá tu respuesta c) ¿Puede el florista armar un ramo con 8 rosas y 7 lirios? • Respondé sí o no • Explicá tu respuesta Al proponerse este problema a alumnos de 11 y 12 años, las respuestas se distribuyeron de la siguiente manera:

Pregunta a

Pregunta b

Pregunta c

Respondé sí o no

Respondé sí o no

Respondé sí o no

• No: 22,4 % • Si: 77,9 % • Otras respuestas: 68,5 % • Otras respuestas: 9,4 % • Sin respuesta: 9,1 % • Sin respuesta: 12,7 %

• No: 75,3 % • Otras respuestas: 9, 4 % • Sin respuesta: 12,7 %

Explicá tu respuesta • Argumento correcto basado en 15 flores: 15% • Argumento basado únicamente en 100 francos: 58 % • Otras respuestas: 13, 1 % • Sin respuesta: 14, 4 %

Explicá tu respuesta • Argumento correcto basado en a flores y 100 francos: 62,1% • Argumento basado únicamente en 15 flores: 5,2 % • Otras respuestas: 9, 3 % •Sin respuesta: 23, 4 %

Explicá tu respuesta • Argumento correcto basado en 15 flores y 100 francos: 14,8 % • Argumento, basado en 15 flores o en 100 francos: 57,8 % • Otras respuestas: 8,5 % • Sin respuesta: 18,9 %

Si bien puede explicarse que ciertos alumnos hayan contestado las tres preguntas de manera incorrecta, resulta difícil explicar el porcentaje de repuestas incorrectas a la primera de ellas. Asimismo es complejo interpretar la diferencia de resultados entre la primera y la última pregunta, pues ambas poseen la misma dificultad dado que respetan una de las dos restricciones (la primera respeta el precio y la segunda la cantidad de flores). Por otra parte, la pregunta con menor porcentaje de respuestas correctas es la primera, que sólo requiere realizar una suma elemental, mientras que para las otras dos, que involucran cálculos más complejos, el porcenta je de respuestas correctas es notablemente mayor, lo que pone en evidencia que no se trata de dificultades de cálculo de los alumnos. 176


Puede hacerse una explicación pertinente a partir del análisis de las justificaciones de los alumnos: la mayoría de ellos argumenta su respuesta sobre la base del precio y no del número de flores, lo que permite suponer que los alumnos han resuelto el problema como si se tratara de un típico problema de precios, que son muy habituales en el trabajo matemático escolar. Los errores de este tipo dan cuenta de una forma de comportamiento de los alumnos frente a determinadas tareas. En este caso, en una tarea no propuesta por el maestro, los alumnos han actuado, seguramente, sobre la base de la representación que han construido con relación a “lo que hay que hacer cuando el maestro propone un problema” . Es posible entonces suponer que nos encontramos frente a errores provocados por reglas de contrato, como en el ejemplo de “La edad del capitán ”. Pero esto no es casual. En muchas circunstancias, tanto las prácticas áulicas como las propuestas de los libros de texto favorecen comportamientos de tales características.

Errores que nos informan sobre la manera de conocer de los alumnos A Fabrice (ingreso al curso elemental, 7 – 8 años) se le presentaron dos monederos: el de Franc, que tiene 3 monedas de 10 Francos y una de 1 Franco, y el de Julien, que tiene 4 monedas de dos Francos y una de un Franco y se le preguntó: ¿Quién puede comprar más caramelos?

Fabrice contestó que Julien.

La respuesta de Fabrice revela que para él es más rico quien tiene más monedas, es decir, confunde valor total de las monedas con cantidad de monedas. A partir de una regularidad de respuestas de esas características, podría suponerse una concepción de valor de Fabrice: mayor cantidad de monedas, mayor cantidad de dinero. Este tipo de dificultades son muy conocidas por los docentes. Así, chicos de seis años consideran que si un conjunto de objetos ocupa más lugar que otro, el primero es más numeroso.

Estos errores no revelan ausencia de conocimiento sino que muestran una manera de conocer, lo que permite interpretarlos en términos de concepciones de los alumnos (Charnay, R. 1996).

Sin embargo, este error puede también asociarse a cuestiones ontogenéticas. Concepciones, tales como: una recta perpendicular a otra es una recta vertical que la corta en el dibujo, pueden ser consideradas de origen didáctico dado que están reforzadas por las presentaciones habituales de rectas 177


perpendiculares, de rectángulos, de triángulos rectángulos,..., y eso explicaría que las siguientes rectas no sean consideradas perpendiculares por muchos alumnos:

En algunos casos, las concepciones de los alumnos se convierten en obstáculo para la adquisición de conocimientos; algunas de ellas reproducen concepciones de un determinado período histórico entre las que podemos citar la concepción de número como expresión de una medida, que funciona para los naturales y puede ser considerada un obstáculo en la elaboración del número negativo (recordemos que Descartes negaba a estos últimos el status de número). Esta concepción es muy frecuente en los alumnos y se manifiesta en errores tales como: “–x es un número negativo ”. Resulta importante señalar que en este caso, el tratamiento habitual de los números negativos como cantidades ficticias (deudas...) puede ser causa de la mencionada concepción. 7.3.4. Tratamiento del error

Una vez analizados los errores y formuladas las hipótesis sobre sus posibles orígenes es necesario verifica tales orígenes. Por una par te debemos tener en cuenta que un mismo error puede obedecer a distintas causas (es el caso del problema de las bolitas o del problema de Fabrice). Por otra, que una incorrecta interpretación del origen de un error pueden llevar al docente al planteo de actividades superadoras que no sean pertinentes, por ejemplo, que involucren procedimientos no utilizados por los alumnos, lo que constituiría un agravante. Se hace necesario, entonces, obtener diferentes informaciones sobre los errores en estudio. Para realizar una verificación correcta debemos utilizar distintas herramientas: observación de los alumnos en la resolución de tareas específicas, una conversación con el alumno a fin de indagar con relación a los procedimientos utilizados, un test, entre otros. Ahora bien, los errores a trabajar se apoyan en representaciones de los alumnos (sobre el conocimiento matemático o sobre la actividad matemática) construidas por ellos, y, por lo tanto, profundamente arraigadas. Esto hace que no puedan ser superadas por medio de la resolución de una actividad circunstancial o de varias actividades similares. En tal sentido, debemos pensar en dispositivos de remediación . Y hablamos de re-mediación porque se trata de prácticas que implican nuevas mediaciones entre el alumno y el saber:

178


“Llamaremos remediación a todo acto de enseñanza cuyo objetivo es permitir que el alumno se apropie de los conocimientos (saber, saber hacer, saber ser, competencias metodológicas) después que una primera enseñanza no le ha permitido hacerlo en la forma esperada.” (Charnay, 1990-1991).

Antes de elaborar dispositivos de remediación cabe preguntarse: ¿El estudio de nuevas nociones ayudará a los alumnos a corregir los errores en cuestión? De ser así, no siempre es necesario pensar en remediarlos en forma inmediata. Eso ocurre, por ejemplo, en el caso de la concepción de perpendicular, si durante el año en curso se debe trabajar con la noción de simetría ortogonal o con propiedades de los rectángulos; el estudio de estas nociones puede remediar los errores que los alumnos cometen en el reconocimiento y trazado de perpendiculares. También cabe preguntarse: ¿Cuántos alumnos cometen ese error?. Es importante tener en cuenta que si el grupo es pequeño, no debemos caer en la tentación de pasarlo por alto. Ahora bien, la puesta en práctica de un dispositivo de remediación requiere de un encadenamiento de situaciones apropiadas para una red de errores e incluye tres etapas que resultan indispensables: • Elección de actividades de remediación • Formación de grupos de necesidades en el seno de la clase y organización de tareas en equipo • Gestión de las actividades en un tiempo coherente y compatible con la vida de la clase. Asimismo, y de acuerdo los orígenes considerados, podemos mencionar algunas posibles estrategias para el tratamiento de los errores: Tratamiento de errores ligados a las limitaciones de los alumnos en un momento de su desarrollo intelectual Ante este tipo de errores debemos considerar si el alumno está o no dentro de los márgenes normales en cuanto al estado de desarrollo correspondiente a su edad. En el primero de los casos, cabe recordar, como señalamos, que los aprendizajes requieren de tiempo. En el segundo, será necesario la ayuda de psicopedagogos o maestros especiales que elaboren actividades pertinentes. Debemos subrayar que este tipo de remediación no involucra ningún contenido específico dado, es necesario actuar a nivel de estructuras de inteligencia, lo que pone en evidencia los límites este tipo de remediación. Tratamiento de errores que nos informan sobre las interpretaciones que hacen los alumnos de sus tareas Una posible estrategia válida es la propuesta de actividades en las que los alumnos pongan en juego las reglas que les han llevado a cometer los

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errores, de modo tal que puedan darse cuenta que esas reglas pueden llevar a respuestas incorrectas. Resulta conveniente en este caso el trabajo con problemas abiertos, problemas con datos insuficientes, con datos contradictorios,... Tratamiento de errores que nos informan sobre la manera de conocer de los alumnos En este caso resulta importante lograr que el alumno tome conciencia de la insuficiencia de sus concepciones, sea porque conducen a errores, sea porque implican métodos lentos o complicados. Sin embargo, esto no siempre es simple de lograr. A continuación describimos, algunas posibles maneras de intentarlo:

• Diálogo de explicitación: consiste en mantener una conversación con alumno para que él explique su resolución. Tal explicación permite al alumno, en algunos casos, identificar los proceso que ha implementado y que lo han conducido a soluciones incorrectas. • Entrevistas de tipo clínico: se trata de entrevistas a partir de las cuales el docente provoca un conflicto en el alumno entre una anticipación y un resultado producido. Resulta importante subrayar que en el transcurso de la entrevista el alumno debe trabajar en el nivel de sus concepciones y no en el nivel de la decodificación de la situación. (Charnay, 1990-1991) • Implementación de conflictos sociocognitivos: otra de las maneras de poner de relieve las contradicciones entre las concepciones y las respuestas de los alumnos es favorecer interacciones entre los mismos a fin de que cada uno de ellos pueda explicitar las razones por las cuales piensa que su resultado es correcto. Sin embargo, debe considerase el riesgo de convertir el conflicto en uno de tipo social (yo tengo razón porque tengo mejor nota, etc.,), por lo que resulta necesario que el docente organice los equipos de trabajo de acuerdo a las características de los alumnos. • Implementación de situaciones problemas: este tipo de dispositivo consiste en proponer situaciones en las que el alumno pueda reinvertir sus concepciones y tomar conciencia, a partir de los errores que provocan, de la insuficiencia de las mismas. Finalmente, queremos destacar que sólo una evaluación con las características descriptas, que, lejos de sancionar el error, lo interpreta en cuanto a formas de conocer y de actuar de los alumnos, pude contribuir a mejorar sus respuestas y facilitar la remediación que permita el aprendizaje.

5.

Proponga ejemplos de distintos errores frecuentes de los alumnos que posibiliten ser analizados según cada uno de los orígenes descriptos y describa, para cada uno de ellos, una actividad de remediación que considere pertinente.

6.

En el artículo de Annie Berté titulado “Algunos obstáculos para la construcción del saber en Matemática”,

180


la autora caracteriza y ejemplifica varios de ellos y propone, en el caso de un error provocado por el que denomina obstáculo lineal, un dispositivo de remediación. Elija otro error (originado por este obstáculo u otro de los descriptos por la autora) y elabore un dispositivo de remediación para su tratamiento.

7.4. Modalidades, Instrumentos e Ítems de evaluación 7.4.1. Modalidades de evaluación

En líneas generales, pueden identificarse dos modalidades de evaluación de los aprendizajes adquiridos por nuestros alumnos: la evaluación con pruebas y la evaluación sin pruebas. La evaluación con pruebas se realiza por medio de cuestionarios o exámenes, orales o escritos, que resuelven los alumnos. Dentro de esta modalidad, la evaluación escrita suele ser la mas utilizada por los docentes. Sin embargo, como señala Elena Barberá (1999), tal como se la desarrolla actualmente adolece de los siguientes aspectos:

• “la evaluación convencional no acostumbra a ser un sistema de evaluación participativo en el que los alumnos intervengan de manera mas directa y activa y resulta ser un tipo de evaluación centrada en el profesor, que es quien conoce las preguntas y los criterios de una manera unilateral; • en relación con lo anterior, las pruebas escritas no facilitan el diálogo permanente que tendría que caracterizar al proceso evaluativo, sino que se trata, en muchos casos, de un sumatorio de intervenciones puntuales; • por otra parte, la evaluación actual no se entiende como un sistema extensivo en el que confluyen los esfuerzos de los alumnos y las ayudas de los profesores de manera permanente, favoreciendo una evaluación progresiva y regulativa; • también, mayoritariamente, elude la toma de decisiones por parte de los alumnos, dificultando procesos de planificación, revi sión y autovaloracióm e ignorando, en gran medida, la optatividad de atender a la diversidad cognitiva.”

La última de las dificultades mencionadas puede superarse con un tratamiento del error como el descripto. Una modalidad de evaluación alternativa pero no excluyente que permite, en parte, paliar las otras dificultades señaladas es la de evaluación sin pruebas. Esta se pone en práctica por medio de la observación de los alumnos en situaciones de clases; de carpetas o portafolios elaborados por los alumnos a partir de consignas establecidas por el docente, de cuadernos o carpetas de clase, entre otros instrumentos.

181


Sin embargo, esta última modalidad no garantiza que la evaluación se desarrolle de manera reflexiva y profunda, lo que pone en evidencia que es “la actuación del profesor la que decide la calidad de las propuestas evaluativas” (Barberá, E. 1999).

7.4.2. Evaluación con pruebas

Los instrumentos utilizados a la hora de evaluar mediante pruebas escritas son muy diversos, de modo que, sin realizar un detalle exhaustivo, caracterizaremos las de uso mas frecuente en las prácticas docentes, identificando algunas ventajas y desventajas de las mismas: Esta tabla ha sido extraída de Crippa, A y Guzner, G. Evaluación de los aprendizajes, en Matemática. Temas de su didáctica, Bs. As., Prociencia – CONICET, 1998.

Tipo de prueba

Caracterización

Algunas ventajas

Algunas desventajas

No estructurada o de ensayo

Ítems de respuesta abierta: planteos generales que demandan a los alumnos desarrollos libres

• Permiten evaluar aspectos cualitativos • Permiten integrar la evaluación referida a contenidos conceptuales y procedimentales • Incentivan respuestas originales y creativas.

• Ponen en juego criterios subjetivos de evaluación. Los resultados se distorsionan ya que cobran relevancia habilidades no siempre vinculadas con el aprendizaje a evaluar (diagramación, prolijidad, caligrafía)

Semiestructuradas

Ítems de respuesta • Acotan la subjetivi- • Restringen la restringida: planteos dad en la evaluación originalidad y la generales que oriencreatividad tan la respuesta del alumno

Estructuradas u objetivas.

Ítems de respuesta cerrada (única).

• Reducen la subjetividad en la evaluación • Son de fácil corrección • Permiten evaluar un temario amplio

• No permiten que los alumnos pongan en juego sus propios procedimientos • Son costosas en cuanto a elaboración • Incide el factor azar

Mansiniglia y otros(1997) proponen un modelo alternativo de prueba de evaluación que consta de dos etapas: una grupal y a otra individual. Esta propuesta resulta especialmente interesante dado que, si bien el trabajo grupal es habitual durante el desarrollo de situaciones de enseñanza, no se ha extendido a las prácticas de evaluación. Otra de las ventajas de este modelo de evaluación es que, si bien tiene características retrospectivas (en el sentido que se trabajan en la reinversión de nociones), tiene características prospectivas, ya que permite evaluar qué puede lograr un alumno en colaboración con sus pares(primer etapa) y qué puede lograr sobre la base de las producciones realizadas en conjunto(segunda etapa). En tal sentido, y de acuerdo a lo descripto anteriormente, puede considerase una toma en cuenta la noción de zona de desarrollo próximo 182


7.

Sobre la base del modelo de evaluación grupal e indi vidual, propuesto por Mansiniglia y otros (1997) en el artículo “Evaluación: una herramienta para enseñar y aprender”, le solicitamos que elija algunos de los temas desarrollados en esta carpeta de trabajo y elabore una prueba con tales características.

• Ítems de evaluación:

A fin de detallar algunos aspectos relevantes a tener en cuenta en la elaboración de pruebas escritas nos detendremos a continuación en algunos fenómenos de evaluación que surgen del análisis de algunos ítems y de las respuestas dadas por los alumnos. Posteriormente, y por medio del material de lectura propuesto, avanzaremos en la caracterización de los tipos de ítems de uso mas frecuente como así también en algunos de los criterios a tener en cuenta para su construcción. • Análisis de ítems y fenómenos de evaluación: Contextos de evaluación,

concepciones y esquemas de los alumnos

El siguiente ítem fue incluido en una evaluación aplicada a alumnos de 12 años, en 1987:

Los porcentajes de respuestas correctas se distribuyeron de la siguiente manera: a) 69% b) 28% El análisis de las respuestas de los alumnos permite identificar algunos fenómenos de evaluación. Por una parte, puede observarse que si las preguntas se hubiesen efectuado en forma aislada, los resultados no hubiesen sido significativos. Por otra, es evidente que la diferencia entre las respuestas correctas a las dos preguntas no proviene de causas poco significativas. En ambos casos los alumnos utilizan la noción de mitad. Sin embargo, en el segundo de ellos prefirieron utilizar la regla graduada en lugar del compás, por lo que podría suponerse que consideran equivalentes ambos procedimientos:

183


Concepción “Bisectriz = Mitad = Mediana”

El análisis de este cuadro pone de manifiesto “...un buen ejemplo de concepción errónea que tuvo su dominio de validez propia (triángulo isósceles), y que ahora, resulta inadecuado.” (Bodin, 1997). Además, y sobre la misma cuestión se propusieron modificaciones, por ejemplo, para la pregunta a, se experimentó considerando el ángulo obtuso. Los resultados correctos obtenidos disminuyeron en 10 puntos, lo que constituye otro fenómeno.

Como señala Bodín (1997), este ejemplo muestra la importancia del contexto en el cual se plantea la pregunta, la importancia de las concepciones de los alumnos y la existencia de esquemas que pueden ser o no activados en una situación.

Asimismo pone en evidencia la dificultad de operacionalizar los objetivos (Bodin, 1989). En efecto, poco puede decirse del objetivo “saber trazar la bisectriz de un ángulo” cuando se observan cuestiones como las descriptas.

8.

• Elabore un ítem como el anterior de modo tal que una modificación en el contexto del mismo permita prever la variación de los comportamientos de los alumnos. • Ponga a prueba ambos ítems (el original y el modificado) y analice las respuestas de los alumnos confrontándolas con lo anticipado. • Nota: Si no está al frente de cursos, solicite a un colega la puesta a prueba.

¿Qué preguntas para tales respuestas? El siguiente ítem fue planteado a alumnos de 12 a 13 años, en 1988, y a alumnos de 14 años, en 1989:

Un productor de manzanas fijó el precio proporcionalmente a la cantidad, expresada en kilos.

184


Sobre este gráfico indica con un cruz el precio de 3 kilos de manzanas

Precio en Francos

40 30 20

x

10 0

1

3

Cantidad en Kilos

Indique de la misma manera (con cruz) a) el precio de dos kilos de manzanas b) el precio de 7 kilos de manzanas c) la cantidad de manzanas que se tienen para 15 francos

Los porcentajes de respuestas correctas fueron: Alumnos de 12 a 13 años: a) 47% b) 43% c) 31% Alumnos de 13 a 14 años: a) 65% b) 67% c) 55% En el caso de los alumnos de 12 a 13 años, sólo unos pocos se apoyaron en el trazado de la semirrecta para marcar las cruces que se les solicitaba. La mayoría de los que propusieron la respuesta correcta privilegiaron estrategias de cálculo (búsqueda del precio de 1 kilo); el uso de la calculadora favoreció esta estrategia. En el caso de los alumnos de 14 años, se observó un aumento de respuestas correctas como así también un cambio de los procedimientos utilizados, dado que en muy pocos casos los alumnos se valieron del cálculo para obtener la respuesta. En cuanto a las estrategias utilizadas, los alumnos trazaron previamente la semirrecta y luego ubicaron las cruces solicitadas, lo que pone de manifiesto un buen dominio de la representación gráfica de la función de proporcionalidad. Por otra parte, en ambos niveles se obtuvo un mayor número de respuestas correctas cuando los alumnos tuvieron que pasar del objeto a la imagen que cuando lo debieron hacer de la imagen al objeto y se da tanto en el caso en que los alumnos utilizaron procedimientos de cálculo como en el que realizaron lecturas sobre la representación gráfica. Esta dificultad también apareció en niveles más avanzados en problemas en que los alumnos debían utilizar una representación gráfica para dar soluciones aproximadas de ecuaciones o de inecuaciones. Con el propósito de testear el efecto de informaciones suplementarias, los autores modificaron la pregunta anterior como se detalla a continuación y la aplicaron en 1990. 185


Un productor de manzanas fijó el precio de sus manzanas proporcionalmente a la cantidad, expresada en kilos. He aquí algunos precios: Cantidad 4 kg. 8 kg. 12 kg. Precio 25 fr. 50 fr. 75 fr. Trace el gráfico correspondiente a esta situación, para pesos de manzanas comprendidos entre 0 y 12 kg. Una cruz indica el precio de 4 Kg de manzanas

Precio en Francos

x Cantidad en Kilos Ubicar de la misma manera las cruces indicando: a) el precio de 2 kg. b) de 7 kg. c) la cantidad de kilos _ _ _ de manzanas que se pueden comprar con 60 francos.

Los porcentajes de respuestas correctas se detallan a continuación: a) 75% b) 71% c) 54% Éxito conjunto: 48%

Brousseau (1986) ha puesto en evidencia algunos fenómenos ligados a la transposición didáctica. Uno de ellos, el denominado Efecto Topaze, se caracteriza porque la respuesta que debe dar el alumno está determinada de antemano y el docente (o el libro de texto) elige la pregunta en función de la respuesta

186

Si bien se observa que la dificultad de lectura en el sentido (imagen-objeto) subsiste, resulta notorio el aumento de respuestas correctas. Evidentemente, el hecho de que tanto las informaciones resultan redundantes como la explicitación “trace el gráfico” que se han incluido en la consigna han favorecido el éxito de los alumnos, lo que resulta un buen ejemplo de lo que Brousseau denomina efecto Topaze . La experiencia acumulada por varios investigadores franceses (a partir del análisis de unas 2000 preguntas) permite afirmar que es posible diseñar evaluaciones “a medida” de las respuestas esperadas: “dennos los re sultados deseados y les daremos las preguntas” (Bodín, 1997). • Construcción de ítems de evaluación

En el fragmento del capítulo “Evaluación de los aprendizajes” incluido en el texto “Matemática. Temas de su didáctica” pueden encontrar descripciones y ejemplos de ítems de uso frecuente en Matemática.


10.

A partir de la lectura del mencionado fragmento: • Proponga un ejemplo de cada uno de los ítems descriptos, identificando nociones y/o procedimientos a evaluar, grado o año hipotético de los alumnos, y, en los casos en que corresponda, justifique la elección de alternativas o distractores • Seleccione una de las secuencias trabajadas en este módulo y diseñe una prueba para evaluar la/s nociones y/o los procedimientos trabajados.

7.4.3. Evaluación sin pruebas

Como señalamos, una modalidad de evaluación que permite, en cierto modo, paliar las dificultades mencionadas es la evaluación sin pruebas. Debemos notar que no se trata de una opción sino de un complemento. Su ventaja reside en el hecho de que favorece la evaluación de aspectos cualitativos, procesos y actitudes. En este módulo describiremos dos instrumentos pertinentes a esta modalidad de evaluación: los registros de observación y la evaluación por carpetas y portafolios. • Evaluación mediante registros de observación

La observación de las producciones de los alumnos resulta ser un instrumento de gran utilidad y puede realizarse de manera natural o mediante algunos criterios determinados previamente e incluidos en el registro de observación elaborado con tal propósito. Sin embargo, ofrece la dificultad de no poder aplicarse a todos alumnos simultáneamente, sólo es posible registrar aproximadamente a cinco o seis estudiantes por clase vez. También tenemos que tener claro que una observación circunstancial no es suficiente para validar la apreciación del comportamiento de los alumnos, es necesario sistematizar el uso de este instrumento. Como resaltamos a lo largo del módulo, la actividad característica del quehacer matemático es la resolución de problemas. A continuación sugerimos un registro para la evaluación de contenidos procedimentales y actitudinales que atraviesan esta actividad:

Registro de observación de comportamientos de los alumnos durante la resolución de problemas

Este registro ha sido extraído de Crippa, A. Y Guzner, G. “Evaluación de los aprendizajes”, en: Matemática. Temas de su Didáctica, Bs. As., Prociencia –Conicet, 1998

Alumno........................................................................................................ Aspectos considerados

Descripcion de los comportamientos de los alumnos

SI

NO

Reconoce, selecciona los datos necesarios para la resolución Los datos en la resolución de problemas

Organiza los datos útiles para la resolución

187


Pone en juego distintas estrategias para la resolución de los problemas planteados.

Las estrategias y los procedimientos en la resolución de problemas

Utiliza predominantemente estrategias de tanteo Procede en forma original en problemas de investigación Privilegia algún cuadro o registro para la resolución

Los conocimientos en la resolución de problemas

Moviliza los conocimientos ya adquiridos Expone claramente los resultados

Los resultados y las soluciones en la resolución de problemas

Formula y comunica los procedimientos y sus resultados Argumenta a propósito de la validez de una solución

La propuesta de problemas

Elabora un problema a partir de un conjunto de datos Se muestra entusiasmado con la tarea.

La disposición frente a la resolución de problemas

Trabaja en cooperación con otros Aporta ideas

• Evaluación por medio de carpetas o portafolios

Esta forma de evaluación consiste en que los alumnos confeccionen una carpeta que incluya algunas de sus producciones, sobre la base de una guía propuesta por el docente. Es conveniente llevarla a cabo mediante un archivo y puede utilizarse durante el desarrollo de todo un curso; de un trimestre o de una unidad didáctica. Resulta necesario que el docente realice al menos una revisión mensual a fin de asegurar que las consignas establecidas hayan sido comprendidas por los alumnos. Por otra parte, debemos señalar que no se trata de una colección ordenada de producciones sino que apunta a que los alumnos presenten sus trabajos de la manera que ellos crean conveniente de acuerdo a lo estipulado por el docente y compartido con los alumnos al comienzo del ciclo; del trimestre o del desarrollo de la unidad didáctica seleccionada para evaluar con este instrumento. Elena Barberá (1999) señala sus ventajas en cuanto permite: • Conocer el progreso y proceso seguido por los alumnos durante su aprendizaje; • Implicar a los alumnos en mayor grado en su propia autoevaluación; • Mostrar el nivel de destreza y grado de profundización de los alumnos respecto del o de los contenidos a evaluar; • Poner en evidencia habilidades decididas según criterios del alumno y favorecer que cada alumno argumente a propósito de su propuesta, constituyendo de este modo en una evaluación abierta; 188


• Proporcionar al profesor materiales de aprendizaje y de evaluación diversificados; que facilitan la confianza en la corrección y en la orientación de los alumnos

11.

En el artículo “Carpetas para evaluar las matemáticas”, Elena Barberá propone un modelo de carpeta para evaluar el tema Funciones. Le solicitamos que con respecto al tema Probabilida- des , elija un nivel y un grado o un año; explicite los conocimientos previos de los alumnos necesarios para desarrollarlo y elabore una guía para que los alumnos elaboren una carpeta que permita evaluar este tema.

7.5. A modo de cierre Finalmente, queremos señalar que a través de las temáticas que hemos desarrollado sólo hemos planteado unas pocas de las múltiples cuestiones referidas a la evaluación de los aprendizajes matemáticos y a su necesaria integración con la didáctica específica. Asimismo consideramos necesario subrayar que, aún hoy, los interrogantes superan a las respuestas. En palabras de Bodín (1997): “La calidad de la evaluación, es decir, de las informaciones reco gidas y de las inferencias que permite realizar, condicionan profundamente la calidad de la didáctica”... “En el marco de la investigación en didáctica de la matemática, la evaluación es una gi gantesca cantera que recién se ha comenzado a explotar”.

El análisis y la puesta en práctica de algunas de las cuestiones descriptas permitirá reformularlas y enriquecerlas.

Referencias bibliográficas Barberá, E. “Enfoques evaluativos en matemáticas: la evaluación por portafolios” en: Pozo, J. y Monoreo, C. El aprendizaje estratégico , Bs. As. Aula XXI – Santillana, 1999. Bodín, A, “L´évaluation du savoir matehématiques. Questions et méthodes”, en: Recherches en didactiques de mathématiques , Volumen 17/1, Francia, La Pensée Sauvage, 1997. Crippa, A y Gusner,G, “La evaluación de los aprendizajes”, en: Matemática. Temas de su Didáctica, Buenos Aires, PROCIENCIA Conicet, 1998. Charnay, R, “Del análisis de los errores de los alumnos a los dispositivos de remediación: algunas pistas” Traducción mimeo. Programa de Transformación para la Formación docente. Dirección Nacional de Programas y Proyectos. Ministerio de Cultura y Educación de la Nación, 1990-1991. 189


---------------Pourquoi des mathématiques à l´école?, Capítulos 6 y 7, París, ESF éditeur, 1996. Rossano, P, Vanroose, P y Follin, C, Guide practique de l´évaluation a l´école, París, Retz-Nathan, 1993.

190

Graciela Chemello Evaluacion Del y Para El Aprendizaje

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