Geometría UNI 5º

Índice Capítulo 1 Triángulos con ángulos entre paralelos........................................................... 4 Capítulo 2 Líneas notables en el triángulo........................................................................ 9 Capítulo 3 Congruencia de triángulos............................................................................ 14 Capítulo 4 Aplicaciones de la congruencia..................................................................... 20 Capítulo 5 Polígonos...................................................................................................... 25 Capítulo 6 Cuadrilátero.................................................................................................. 30 Capítulo 7 Repaso.......................................................................................................... 35 Capítulo 8 Circunferencia - Ángulos asociados.............................................................. 39 Capítulo 9 Circunferencia - Propiedades........................................................................ 46 Capítulo 10 Puntos notables............................................................................................. 52 Capítulo 11 Puntos notables (Recta de Euler)................................................................... 57 Capítulo 12 Proporcionalidad.......................................................................................... 62 Capítulo 13 Semejanza..................................................................................................... 67 Capítulo 14 Relaciones métricas en la circunferencia...................................................... 73 Capítulo 15 Relaciones métricas en triángulos rectángulos.............................................. 79 Capítulo 16 Repaso.......................................................................................................... 85 Capítulo 17 Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos.......................................... 88

Geometría Capítulo 18 Polígonos regulares....................................................................................... 93 Capítulo 19 Áreas triangulares......................................................................................... 98 Capítulo 20 Áreas cuadrangulares.................................................................................. 104 Capítulo 21 Áreas de regiones circulares....................................................................... 110 Capítulo 22 Repaso ....................................................................................................... 117 Capítulo 23 Geometría del espacio................................................................................ 122 Capítulo 24 Ángulo diedro y ángulo triedro................................................................... 128 Capítulo 25 Poliedros y poliedros regulares................................................................... 133 Capítulo 26 Prisma y cilindro......................................................................................... 138 Capítulo 27 Repaso........................................................................................................ 143 Capítulo 28 Tronco de prisma y cilindro........................................................................ 147 Capítulo 29 Pirámide y cono.......................................................................................... 154 Capítulo 30 Repaso........................................................................................................ 160 Capítulo 31 Tronco de cono y pirámide......................................................................... 163 Capítulo 32 Superficie esférica y Pappus........................................................................ 168 Capítulo 33 Esfera y Pappus........................................................................................... 173 Capítulo 34 Repaso........................................................................................................ 179

Problemas resueltos Resolución:

1. En el gráfico: L1//L2//L3; L4//L5. Calcular "x".

α θ

4β

L2

θ

80º

L1

x

L5

L4

Resolución: θ B E

L2

θ L3

4β β 50º

80º

L1

x

L1//L2 : 2θº+80º=180º ⇒ θ=50º L2//L3 : mBEBF=50º L4//L5 : 5β=2θ 5β=100º

⇒ βº=20º

nº nº

2B B

A

γ b

Quinto UNI 4

ββ

2θ θ

m m

θ

x

θ

B

2. En el gráfico mostrado, calcule: a+b. a

2B

x

90º+

2α

2θ θ

Resolución:

∆EBF : 50º+x=4 βº 50º+x=4(20º) \x=30º.

30º

25º b

3. En el gráfico mostrado, calcule "x".

L5

L4

γ

a

En el ∆ABC : 3α+3θ=150º : α+θ=50º Por Prop. mBEBF= α + θ = 50º =25º 2 2 ∆FNG : 25º+a+b=180º \ a+b=155º.

B

α

γ ββ

30º

F

a

b

L3

β

γ

2α

nº

nº

B

x 2x 2

2B m m S m m

T

x

x

θ θ θ C

Piden: "x" Por propiedad de bisectrices interior y exterior: mBABC=4B ∆BTS: Prop. Bisectriz interior y exterior mBBTS=2x. ∆ABC: Prop. Bisectrices interiores mBATB=90º+ x . 2 90º+ x +2x=180º 2 \x=36º. Colegios

TRILCE

Geometría 4. En un triángulo ABC, se ubica en AB y BC los puntos "P" y "Q", respectivamente. mBBAQ=30º, mBQAC=50º, mBPCA=60º y AB=BC. Calcule mBQPC.

5. Según el gráfico, calcule α+β+θ, si AN=AT, BM=BR y CS=CP. M

Resolución:

R

B

Q

A

a

P

Resolución:

a

20º a 40º 20º 60º

C

T

N

50º

E

θ

α

A

40º x

40º a 60º 80º 30º 50º

β S

P a

B

Mb

B b 2b

C

Piden: "x" Se traza CE tal que mBECA=20º ∆EQC: equilátero. ∆EPQ: isósceles: 40+x =70º \x=30º.

R

β S

A N

a

θ c 2c

2a α a T

c

C

P

Piden : α+β+θ ∆ABC : 2a+2b+2c=180º a+b+c=90º

∆TRS : a+α+β+b+θ+c=360º a+b+c+α+β+θ=360º 90º \ α+β+θ=270º.

Problemas para clase 1. En el gráfico, a // b , αº + θº=160º y el ángulo PQS es recto, calcule el valor de "β". aº

P βº

3. En el gráfico, αº=24º. Calcule el valor de "θº".

αº

a

θº

θº θº θº

Q b

θº S

a) 35º d) 55º

b) 40º e) 80º

c) 50º

a) 28° d) 42º

b) 36º e) 52º

4. Tenemos m // n , el ángulo AOB es recto. Calcule el valor de "α".

2. En el gráfico, calcule "x":

m

A βº 7αº

7βº 8θº

Central: 619-8100

αº

xº

αº

a) 140º d) 160º

c) 39º

θº

b) 110º e) 120º

φº

αº n

αº

8φº

c) 100º

a) 12º d) 45º

b) 15º e) 60º

B

O

c) 30º

www.trilce.edu.pe 5

5. Si: m // n , calcule el valor de "x". xº

160º

xº

b) 10º e) 30º

6. En el gráfico: a // b ; m// n y α=66º, calcule "x". b

βº

αº

βº

m

3xº φº

a) 66º d) 15º

φº

n

b) 60º e) 11º

c) 33º

7. Si: L1// L2, calcule el valor de "x". φº

φº

64º

2xº

a) 40º d) 16º

L1

αº

a

αº

c) 15º

a

zº αº

n

160º

αº

yº

αº m

xº+10º 2xº x+40º

a) 5° d) 20º

10. Si : a // b , calcule: xº+yº+zº.

a) 120º d) 165º

b

b) 135º e) 180º

c) 150º

11. Si: L1// L2// L3 ; αº+βº=200º. Calcule el valor del ángulo ABC. L1 B βº

L2

bº bº

A

aº

αº

aº

L3

C

a) 60° d) 90º

b) 70º e) 100º

c) 80º

12. Si : L1// L2 ; b° - a°=70°. Hallar "xº" xº

αº L2

b) 36º e) 8º

L1

aº

c) 32º bº

L2

8. Si: BA = AD = DC, calcule: mBBCD. B

a) 50º d) 75º

D 5αº αº 3αº

A

a) 12º d) 18º

C

b) 10º e) 16º

a

βº

xº

A

6

B

αº

θº

F

E

a) 54º d) 122º

βº

Quinto UNI

b

xº

αº

a) 90º d) 130º

c) 70º

13. Si: a // b , AB // EF, α=22º y θ=144º, calcule el valor de "x°".

c) 15º

9. En el gráfico mostrado, calcule "xº", si: β=50º.

βº

b) 60º e) 90º

b) 58º e) 128º

c) 78º

αº

b) 100º e) 150º

c) 120º Colegios

TRILCE

Geometría 14. En la figura L1// L2, si: mº+nº+qº=135º, calcule: (αº+θº) mº αº

xº

nº θº

L1

2αº

L1

2θº αº

L2

a) 93º d) 107º

αº θº

qº 86º

48º

15. En el gráfico: L1// L2. Calcule el valor de "x°".

b) 97º e) 108º

c) 100º

a) 30º d) 45º

L2

b) 37º e) 60º

c) 40º

Tarea domiciliaria 1. En el gráfico mostrado, calcule la medida del ángulo ABC. B

aº

a) 9µ d) 8

aº

120º

A

C

a) 20º d) 40º

40º

D

b) 60º e) 50º

c) 30º

2. En el gráfico mostrado, calcule: y - x.

x y

a) 20º d) 30º

60º

b) 10º e) 25º

c) 60º

3. En el gráfico mostrado, hallar el valor de "xº". dº dº

xº

a) 20º d) 10º

Central: 619-8100

6. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BE y BD, donde "E" ∈ AD y mBEBD = mBDBC =mBABE=xº, AB=AD y 3 2 BC=EC, calcule "xº". a) 10º d) 18º

b) 12º e) 20º

c) 15º

aº

4aº

4bº

bº

x

a) 120º d) 132º

b) 118º e) 126º

c) 144º

aº 2aº bº bº

b) 15º e) 25º

aº aº

2bº

c) 35º

4. Los lados de un triángulo miden 8, "x" y "3x", calcule el valor entero de "x". a) 1µ d) 4

c) 6

8. En el gráfico mostrado, calcular "xº".

cº cº

80º

b) 7 e) 5

7. En el gráfico mostrado, calcule "xº".

a a

80º

5. En un triángulo ABC, AB=5µ, BC=9µ. Calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar AC.

b) 2 e) 5

bº

bº

xº

a) 120º d) 135º

b) 150º e) 105º

c) 144º

c) 3

www.trilce.edu.pe 7

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana CM. Si CM=12µ, MB=2x y AC=3x+6, calcule los valores enteros que puede tomar "x". a) 2,3,4,5,6 d) 4,5,6

b) 2,3,4 e) 3,4

c) 3,4,5

10. Dado el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "C", AC=6 cm y BC=4 cm. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero de AB. a) 13 cm d) 12 cm

b) 14 cm e) 16 cm

c) 17 cm

11. Dada la región triangular ABC cuyo perímetro es igual a 10 m. (en dicha región de ubica el punto "P"). Calcular PA+PC, sabiendo que dicha suma es entero y que además AC toma su máximo valor entero. a) 6,5 m d) 5

b) 5,5 e) 6

c) 4

16. Cuál es el máximo valor entero de la longitud de un lado de un triángulo, si el perímetro de su región es igual a 40µ. a) 20µ d) 19

b) 21 e) 18

17. En un triángulo ABC, en los lados AB y AC se ubican los puntos "D" y "E" respectivamente, DE=EC=BC. La medida del ángulo BAC es igual a 25º y la del ángulo ADE es igual a 35º. Calcular la medida de ángulo ABC. a) 68º d) 70º

b) 85º e) 92º

b) 28º e) 32º

B L1

2αº O αº

c) 29º

13. Los lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcule el perímetro de la región del triángulo. a) 22µ d) 29

c) 99º

18. En el gráfico, L1// L2 y el ángulo AOB es recto. Luego, el suplemento del complemento de "αº" es:

12. En un triángulo isósceles ABC cuya base es AC, se ubican los puntos "P" en AB y "Q" en BC de modo que: mBPAQ=20º, mBACP=50º y mBPCQ=30º. Calcule la mBPQA. a) 30º d) 31º

c) 22

b) 25 e) 30

c) 24

L2

A

a) 30º d) 90º

b) 45º e) 120º

c) 60º

19. Calcular "x" si L1// L2 y el triángulo ABC es equilátero. A 7θ

14. Del gráfico mostrado, calcule "xº".

L1

x

xº C 100º

B

xº

a) 120º d) 110º

L2

θ

b) 130º e) 145º

c) 135º

a) 100º d) 140º

b) 130º e) 110º

c) 120º

15. En el gráfico, halla el valor de "θº". 2θº 2θº

θº

a) 10º d) 20º Quinto UNI 8

b) 15º e) 25º

2θº

2θº

c) 18º Colegios

TRILCE

Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, si mBBAC=106º y mBBCA=23º. Calcule: mBBMA.

3. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BN, tal que BN=AC, mBBAC=100º, mBBCN=30º. Calcule mBNBC.

Resolución: T

4m 37 º S 5m 3m B

Resolución: B x 6m

50º

14º

106º A

x

5m

M

A

6m

5m

23º

Resolución: B α

α

S S

H A

m C 2m S

Piden "x" Se prolonga BM y luego CS ⊥ BM ∆ AHM ≅ ∆ MSC HM=MS, AH=SC ∆ BSC: `NOT 53 y 127 j 2 2 53 ` X= 2

Central: 619-8100

C

4. En un triángulo isósceles ABC (BC=AC), se traza la ceviana BL, tal que mBBCA=2mBCBL. Calcule mBBCA, (AB=LC).

45 x 2m

N

Se prolonga BA tal que TC=BT ∆BNCT: Prop. del cuadrilátero no convexo mBTBN=40º. \x=10º.

B

M m

30º 20º

80º

C

2. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, luego se traza AH ⊥ BM (H ∈ BM). BH=2(HM). Calcule mBCBM. (mBABH=45º) Resolución:

A

80º

T

Sea : TA=AC ∆BST : NOT 37º y 53º ∆BSC : NOT 14º y 76º :BTCM : Trapecio isósceles • BM//TC ` xº=37º.

2m

100º

90º-α H

N

E 2α α

S 30

L

2α

C

Piden: 2α Se traza LE tal que mBLCE=2α Se traza BH ⊥ AC, ∆ABH ≅ ∆BEN • BN=NL=BH (∆HBL: NOT 30º y 60º) 30=α+2α α=10 \ 2α=20º.

www.trilce.edu.pe 9

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" (AB=BC), se ubica un punto interior "P" PA=AB, mBBCP=135º. Calcule mBBCP.

Piden: "x" Se traza AH ⊥ BP BH=HP=α • ∆ABH ≅ ∆BIC (ALA) IC=BH

B

a θ H

• ∆BCI:NOT ( 37º y 143º ) 2 2 37 º • x+ =45º 2

a

Resolución:

θ θ

135º

P 45º a

A

\ x= 53º . 2

x C

α

a

I

• θ= 37º 2

Problemas para clase 1. Del gráfico, calcule "x".

5. En un triángulo ABC, mBA=2(mBC), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del BC. Si: DE=8µ. Calcule CE.

θ θ x

x

a) 4µ d) 6

α α

a) 12° d) 36º

b) 18º e) 60º

c) 24º

2. Calcule "xº": B 80º

α A

α

a) 140° d) 110º

b) 7 e) 10

6. En un triángulo ABC, sobre la prolongación del lado CB se ubica el punto "Q", tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ángulo ACB. Calcule QB. Si: AQ=9 y BC=7. a) 1 d) 4

xº

θ θ

C

b) 130º e) 125º

c) 120º

3. En el gráfico, calcule el valor de "xº".

c) 8

b) 2 e) 5

c) 3

7. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se ubica el punto "E", de tal manera que: EB=AB=10, BC=16 y mBC=30°. Calcule EA. a) 16 d) 13

b) 15 e) 12

c) 14

8. En la figura, calcule "α". B

θ θ α E

α 3xº

a) 18º d) 12º

b) 16º e) 20º

4xº

c) 19º

15º

A

a) 30º d) 18º

F

α

b) 24º e) 15º

45º C

c) 20º

4. En un triángulo ABC, mBA - mBC=18º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del BB y la mediatriz de AC. a) 16º d) 12º Quinto UNI 10

b) 24º e) 9º

c) 18º Colegios

TRILCE

Geometría 9. En la figura, calcule "θ".

12. En el gráfico, AM=MB, calcule "x". B

B

135º

135º

M

M θ

8º

A

53º/2

C

a) 30º d) 35º

b) 31º e) 37º

c) 33º

10. En el gráfico, calcule: "xº ". AB = BC. 63º

A

30º

a) 10º d) 18º

b) 8º e) 16º

C

c) 12º

13. En un triángulo ABC, "M" punto medio de AC. Si: mBA=14º, mBC=25º/2, calcule la mBABM.

B 21º

x

A

a) 75º d) 100º

C

xº

b) 82º e) 105º

c) 90º

14. En el grafico, PB=PC, AB=BC, calcule "xº". B

a) 15º d) 30º

b) 20º e) 45º

c) 25º

2 AB=2BC. Calcule: "α", si:

11. En el gráfico AM=MB. B

a) 14º d) 53/2º

M α

A

Central: 619-8100

P A

135º

a) 15º d) 45/2º

75º

b) 37/2º e) 8º

C

c) 12º

xº

C

b) 15º e) 30º

c) 37º/2

15. En un triángulo ABC, "P" punto medio de AC. Si la mBA=53º, mBC=23º, calcule la mBCBP. a) 28º d) 37º

b) 30º e) 53º/2

c) 36º

www.trilce.edu.pe 11

Tarea domiciliaria 1. Dos lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcular su perímetro. a) 22µ d) 29

b) 25 e) 31

6. Calcular el valor de "x", si: a+b=220º y CN=NM.

c) 27

C

θ θ N

2. Calcular "θ", si: AE=EF=FP=PB.

x

M

B a F

b

3θ 140º

2θ

A

E

b) 120º e) 135º

c) 140º

C

P

a) 10º d) 20º

a) 110º d) 150º

b) 18º e) 24º

c) 15º

7. En un triángulo ABC, se tiene que 6AB=5AC y mBA=7º. Calcule la mBC. a) 37º d) 53º

3. Calcular "x".

b) 45º e) 60º

c) 30º

8. Según el gráfico, calcular "2x", si AB=AC.

β

º

B

27

θ

xº

θ β

a) 9º d) 15º

b) 18º e) 28º

c) 27º

4. Si BC // ED, m - n=16º. Calcular "α". AD=DE. nº

B mº

A

xº 2xº

a) 16º d) 14º

E

αº C

b) 18º e) 26º

D

c) 22º

5. Calcular "θ" si los ángulos ACE y BFD son suplementarios.

θ A

C

3θ

b) 40º e) 50º

C

c) 10º

a) 6,4º d) 4º

b) 5º e) 3,2º

c) 4,8º

10. Según el gráfico, calcular: m+n. α

α

θ

θ

2θ

m

n

20º

3θ

θ A F

12

70º

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana interior CM, de tal manera que mBBCM=39º. Calcule "AM". Si: BC=9,6 y mBA=37º.

40º

Quinto UNI

80º

a) 60º d) 20º

D B

a) 10º d) 18º

θ

x

b) 12º e) 20º

E

a) 220º d) 200º

b) 210º e) 250º

c) 145º

c) 15º

Colegios

TRILCE

Geometría 11. Según el gráfico, calcular (x+y). B

15. Calcular "x", del gráfico mostrado. θ θ

y

β

α y

x A

y-α

x+m

C

40º

a) 200º d) 280º

b) 210º e) 245º

c) 220º

a) 8º d) 13º

b) 10º e) 15º

B x

α A

R x

2θº

A

a) 10º d) 40º

C

D

b) 50º e) 35º

c) 30º

13. Calcular "x", si AD=DC=BC. xº A

B C

D

b) 80º e) 75º

c) 65º

14. Calcular BC, si: AB+AD=4. αº αº

θ

Central: 619-8100

D

b) 5º e) 4º

b) 20º e) 25º

c) 30º

b) 10 e) 6

c) 8

18. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso ! ! en "C", de modo que mC - mA =32º. Calcular la medida del ángulo que forman la bisectriz exterior BE y la altura BH. a) 64º d) 72º

a) 12µ d) 15

2θ

a) 3º d) 9º

C

b) 68º e) 74º

c) 70º

19. En un triángulo ABC la mBA=30º mBC=7º, BC=10. Calcule: AC.

B

A

30º

17. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la mBADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de "A" y "B". Calcular BD, si además: AC=12µ y BC=16µ. a) 14µ d) 4

60º

35º

a) 85º d) 95º

45º D

60º

a) 40º d) 45º

c) 12º

16. En la figura mostrada, calcular "xº"

B

3θº

m

x

12. Calcular el valor de "x". si: 2mBABD+mBBCA=130º. α

β

80º

C

c) 7º

b) 13 e) 16

c) 14

20. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD. Si mBA-mBC=20º. Hallar mBBDC. a) 100º d) 110º

b) 90º e) 120º

c) 105º


Problemas resueltos 1. En la figura, los triángulos ABC y CPQ son equiláteros. Calcule: mBBQP. B Q P

Piden "x" Se traza RE tal que: mBREB=90-θ ∆ ABR ≅ ∆ REC (L.A.L.) 2θ=x ∆ ABC: 2θ+2θ=90º 2θ=45º ` X=45º. 3. En el gráfico AB=BC=2, AR=1. Calcule BT. T

A

C

Resolución:

R 45º

B Q

x 60º P

60º

C T

θ

θ

a

B

Resolución:

b α

A

A

a

β

C

Se pide: "x" θ+α=60º ∆PQC : equilátero ∆APC ≅ ∆BCQ (L.A.L.) mBBQC=90º x+60º=90º x=30º

2. Dado un triángulo ABC, recto en "B", en la cual la ceviana interior es BR, tal que mBBAC=2mBABR y AB=RC. Calcule mBBCA. Resolución:

x

R 45º θ 1 A 2

B

β 2

4

C

θ

1

F

Se pide: "x" Se prolonga AC tal que mBTFC=90º ∆RAC ≅ ∆CTF (A.L.A.) • CF=1, TF=4 ∆ BTF (NOT 53 y 37) x=5

4. Del gráfico AB=EC. Calcule "x". C

B θ a

90º-θ

Quinto UNI 14

E

E

b

2θ A

x

90º-θ

R

2θ θ

b a

x

C

A

20º

20º

B

Colegios

TRILCE

Geometría Resolución: M C 30º 30º

x

a

5. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la mediana AM, mBBAM=30º, mBBCA=2mBMAC. Calcule mBMAC. Resolución:

a

T E

A

40º 20º

a

40º

B

40º 20º

a

B l

30º+3x

l

x M l S x

30º Piden: "x" 2x x 2x C A Se construye el ∆ABM equilátero E ∆AME ≅ ∆EBM (L.A.L.) Piden: "x" ∆MBE ≅ ∆EBC (L.A.L.) Se traza ME tal que mBMEC=2x \ x=30º. Se traza MT = AB ∆BTM ≅ ∆SME mBBTM = x 30º+3x+x+90º=180º ` X=15º.

Problemas para clase 1. Si CD=CA, AB=2µ y BC=5µ. Calcule la distancia de "D" a L

3. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. AB=a y AT=b. Calcular: BL. B

D C

L 60º

B

a) 5µ d) 7

L

A

b) 3 e) 8

c) 6

2. En el gráfico, los triángulos ABC y BED son equiláteros. Calcule la medida del ángulo EDC. Si: mBAEB=108º.

A

C

T

a) b b) a.b b a+b d) e) 2 2

4. En el gráfico: AB=ED, AE=CD y CE=6. Calcular: BC. C

B D

E A

a) 60º d) 45º

Central: 619-8100

B

A C

b) 30º e) 53º

c) a-b

c) 48º

a) 6 d) 12

60º

60º E

b) 6 2 e) 9

D

c) 8 2


5. En el gráfico, calcule "xº".

9. En la siguiente figura, calcule mBCDA. si AB=BC=CD.

B

B

24º xº

42º A

C

10x

P 24º

C 48º D

a) 30º d) 46º

b) 36º e) 48º

c) 42º

6. En gráfico: AE=MF, AE // MN y MN=AF. Halle "f º". N E

7x

A

5x

a) 50º d) 70º

b) 10º e) 100º

D

c) 40º

10. En la siguiente figura, calcule MP si: AD=16, BM=MC y mBBAD=mBPDC. B

70º

P M φº

A

a) 20º d) 25º

F

M

b) 30º e) 35º

C

D

c) 40º

7. En la siguiente figura, calcule la mBDCE. Si: BD=DE y la mBADE=100º. D

A

a) 16 d) 4

b) 12 e) 8

c) 6

11. En el gráfico, calcule "αº" AP=BC. B

B α A

a) 40º d) 20º

α C

b) 30º e) 25º

P E

c) 10º

8. En un triángulo equilátero ABC, en su región interior se ubica un punto "P" , si: mBABP = mBCAP = mBBCP . 4 5 6 Calcule mBABP. a) 24º d) 37º

Quinto UNI 16

b) 24º e) 45º

c) 30º

A

2αº 3αº

a) 5º d) 10º

5α H

b) 7º e) 15º

C

c) 9º

12. En un ∆ ABC se traza la ceviana BD, tal que: AB ≅ CD y "D" está en el lado AC. Además, mBABD=60º y mBBAC=20º. Calcule la mBBCA. a) 15º d) 22º30'

b) 30º e) 20º

c) 25º

Colegios

TRILCE

Geometría 13. Si mBBCD=30º, AB=BC y BD=AD. Calcular "θº".

15. Del gráfico, BM=AC. Calcule "θ". B

B

2θ

4θº θº

M D

90º-θ

A

A

a) 12º d) 18º

θ

C

b) 15º e) 20º

c) 10º

a) 20º d) 10º

b) 30º e) 40º

C

c) 60º

14. Dado un triángulo equilátero ABC, en AC y en la región exterior relativa a BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente, tal que AD=EC, AE=BC y mBBAE=40º. Calcule la mBBDE. a) 30º d) 50º

b) 45º e) 60º

c) 40º

Tarea domiciliaria 1. En el gráfico, AB=CD. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y CD.

α

θ

θ

a) 60º d) 40º

A D

b) 45º e) 15º

c) 30º

2. En el gráfico, los triángulos ABC y LCD son congruentes. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y LD.

L

a) 90º d) 150º

Central: 619-8100

C

b) 100º e) 135º

D

2α

90 - α

a) 10º d) 8º

C

b) 12º e) 18º

D

c) 16º

4. En cierto triángulo PQT, se traza de ceviana interior QM, de tal manera que: QM=PT y S P). Hallar: mMQ S P, S Q=4(mMQ mMT S P). si: mQPS M=7(mMQ a) 18º d) 10º

B

A

B

C

B

A

3. Si: AB=CD. Calcule "a":

b) 16º e) 9º

c) 12º

5. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior S C=2 (mMB S A) y BM, de modo que: mMB S S S mMC B=2 (mMBC). Calcular mMBA, si BM=AC. a) 15º d) 24º

b) 18º e) 10º

c) 20º

c) 120º


6. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se construye exteriormente el triángulo isósceles SB AEC, (AE=EC) de tal manera que mAES B=3mAC S S S y mCA B=2mEC A. Calcular mEA C, S A=mAC S B. si EC a) 10º d) 18º

b) 12º e) 24º

B

c) 15º

7. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la ceviana interior BM, de tal manera que: S =12º y MC=AB. Además, se sabe que mA S S mC =18º. Calcular mMB A. a) 9º d) 18º

12. Si AB=BC, AH=3µ y HC=8µ. Halle la distancia de "B" a L

b) 12º e) 24º

c) 15º

A

C

H

a) 4,5µ d) 5

b) 6,5 e) 6

b) 120º e) 130º

B

A

a) 7º d) 12º

C B

90º- αº

A

a) 18µ d) 21

2αº E

b) 15 e) 20

D

c) 22

10. En un triángulo ABC, sobre AC y BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente. Si: AB=DC, mBBAC=mBBDE=32º, mBDBE=74º. Calcule la mBABD. a) 32º d) 42º

b) 36º e) 48º

Quinto UNI 18

b) 10º e) 20º

2θ

b) 8º e) 15º

D

c) 9º

a) 6 d) 8

b) 6 2 e) 12

c) 6 3

15. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si: BM=3 y AC=11, calcule AB. B

M

c) 40º

11. En un triángulo ABC, sobre AC se ubica un punto "P", sea "Q" un punto exterior relativo al lado AC, si: AB=BP, AQ=PC, mBBAC=2xº, mBCAQ=5xº, mBBQC=mBBCQ. Calcule "xº". a) 8º d) 15º

3θ 45º

14. En un triángulo escaleno ABC, sobre sus lados exteriores se grafican los triángulos isósceles ABM y CBN. MC=12. Calcule la medida del segmento AN.

2αº 2αº

C

c) 125º

9. Calcule AD. Si: AB=9µ y CD=12µ.

c) 5,5

13. En el gráfico, calcule: "θº", si: AB=CD y BC = AD .

8. Se tiene un triángulo escaleno ABC. Exteriormente se construyen los triángulos equiláteros BAD y BEC. Hallar la medida del ángulo formado por CD y AE . a) 135º d) 115º

L

A

a) 4 2 d) 5

H

b) 7 2 e) 10

C

c) 5 2

c) 12º

Colegios

TRILCE

Geometría 16. Calcule "x", si los triángulos ABR y PBC son equiláteros.

18. En la figura: AB=FC, calcular "αº". B

B

A

P

x

α 2α

C α

A R

a) 30º d) 53º

b) 35º e) 60º

c) 45º

C

F

a) 15º d) 30º

b) 18º e) 36º

c) 22º30'

19. En la figura, AP=BC, calcule "xº". B

17. En el gráfico, calcular "x"

70º

xº

40º x 10º 80º

40º

a) 10º d) 18º

Central: 619-8100

40º

A

b) 12º e) 20º

c) 15º

a) 20º d) 30º

P

b) 10º e) 40º

C

c) 15º


Problemas resueltos

1. Del gráfico, calcule: AC. Si: PB=4. B α α

P α

A

C

Resolución: B α α

3. Según el gráfico, AB=CD. L1 y L2 son mediatrices de AC y BD, respectivamente. Calcule θ α C

L1

T α

M

B 4

A

P

α

A

Sea ED=2n Se prolonga CP ⇒ TP=PC ⇒ Por dato: AB=BC=m T. mediana: CS=SE=SD=m ∆BSC ≅ ∆TSD: SC=TC ⇒ ∆ACT: NOT 30º y 60º \x=30º

α

C

x

Se prolonga CP ⇒ TP=PC Se traza por "P" MP // AC ⇒ MP: base media del ∆ATC ∆MPB: isósceles: MP=4 \x=8

D

θ

Resolución: C

L1

m

2. En el gráfico AB=BC= ED . Calcule "x". 2

B

m

α

α β

θ θ

L2

//

C

//

A

B

4θ

L2

D

M x

A

θ

E

Resolución: B 2θ

m

2θ

C k

m k A

Quinto UNI 20

θ k

S

x E

D

T

Se pide: θ α T. mediatriz: AM=MC, MB=MD ∆ABM ≅ ∆CMD (L.L.L.) ⇒ 2α+β=2θ+β α=θ \ θ =1 α

m 2θ m

S

m

θ

D

Colegios

TRILCE

Geometría 4. En el gráfico mostrado, AD=BC. Calcule "x".

5. En el gráfico mostrado, calcule: "x". B

B

M

T

x

D x 2x

3x x

A

A

C

B

B x 120-2x

A

2x 3x x x

m

C

Resolución:

Resolución:

T

10 10

30

M

m

4x x D x

x 2x

2x

A

C

Se traza DS tal que mBDSC=2x ∆ASD ≅ ∆BDC (L.A.L.) ∆ATD ≅ ∆ADS ABDT: propiedad cuadrilátero no convexo ⇒mBABD=120 - 2x \ x=10º.

40º m 30º

m

x

50º 40º

40º m

H

T

F 10º 10º

m

G

C

∆AFG: NOT (30º y 60º) AF=2m, FG=m T. bisectriz: FG=FR ∆ MHF ≅ ∆ FRT (A.L.A.) ⇒ MF=FT \x=20º

Problemas para clase 1. En la figura, calcule BC, si: HM=6.

4. Calcule QP, si: AM=MP, BP=PC y MC = 18

B

B H

Q α

α A

M α

a) 9 d) 18

M

b) 12 e) 24

C

c) 15

b) 48º e) 64º

c) 50º

3. En un triángulo ABC (AB
b) 24º e) 48º

C

A

a) 36 d) 12

b) 24 e) 9

c) 18

5. En la siguiente figura, calcule "α". 30º

70º

a) 9º d) 22,5º

º

a) 40º d) 52º

α

20

2. En un triángulo ABC la medida del B ABC es igual a 128°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en los puntos "R" y "S", respectivamente. Luego, la suma de las medidas de los ángulos ABR y SBC es :

P

α

10º

b) 10º e) 30º

c) 15º

c) 30º


6. En el gráfico, calcule HM, AM=MC. AB=12 y BC=18.

12. En el gráfico: EL=2(FB). Calcule la mBFBC. B

B

3αº

θ θ

M

A

C

H

a) 3 d) 5

b) 3,5 e) 6

c) 4

7. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si: AB=8µ y BC=12µ, calcule el máximo valor entero de BM. a) 8µ d) 10

b) 11 e) 12

c) 30º

9. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica el punto "P" en el interior, AP=AB, mBABC=2(mBBAP) y mBPCB=2(mBPAC). Calcule: mBAPC. b) 110º e) 140º

Q θ α 2α

M

θ N

a) 12º d) 15º

b) 13º e) 16º

4θ

3θ

L

c) 50º

13. En el gráfico : AH =AB=HC. Calcule la 2 mBABD. B

H

C

D

a) 37º/2 d) 30º

b) 45º/2 e) 38º

c) 53º/2

14. Según el gráfico, calcule "x". B 80º

30º x

C

70º 40º

A

a) 40º d) 45º

b) 50º e) 60º

D

c) 30º

15. Según el gráfico, calcule "x", si AM=MC. B

90

R

º-2

x

c) 14º

11. En la figura mostrada, AC=CD. Calcule : "θ". B

b) 40º e) 60º

c) 120º

10. De la figura, calcule: MN. Si: QM=7.

P

a) 30º d) 53º

A

b) 24º e) 16º

a) 100º d) 130º

15º

E

c) 9

8. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si: AB=50µ, BC=14µ, BM=24µ, calcule la mBABM. a) 37º/2 d) 32º

F

αº αº

A

C

C 2θ

A

45º

a) 18º d) 53º/2

x M

b) 20º e) 15º

C

c) 37º/2

θ D

A

a) 10º d) 18º Quinto UNI 22

b) 12º e) 20º

c) 15º Colegios

TRILCE

Geometría Tarea domiciliaria 1. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se construye exteriormente el triángulo BEC, de tal ! manera que mBEBC=90º, mBE A=14º, ! ! mEA C=30º y AE=2EB. Calcular mBC E, ! si AC B=74º a) 30º d) 53º

b) 37º e) 60º

a) 10µ d) 9 M

B

H

b) 15 e) 6

c) 12 M

b) 37º e) 60º

c) 45º

b) 7 e) 10

c) 8

5. En la figura, calcule "x", si: AP=PB y PC=2AB. B

xº

Central: 619-8100

x P

b) 18º e) 10º

C

c) 20º

N

A

a) 53º d) 75º

C

b) 60º e) 80º

c) 63º30'

8. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. AB=7µ y BC=9µ. Calcule el mayor valor entero de BM. a) 6µ d) 5

b) 7 e) 4

c) 8

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana CE y en los triángulos ABC y AEC se trazan las alturas BD y EF, respectivamente. Si BC=5µ, EF=3µ y la mBBAC=2(mBBCE), calcule: BD. a) 1µ d) 4

a) 15º d) 24º

c) 10,5

C

4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", sobre la hipotenusa AC se ubica un punto "D" tal que el ángulo ABD mide 24º. Si el ángulo "C" mide 38º y BD=5. Calcule AC.

A

b) 7 e) 14

7. En la figura, calcule "x", si MN=NC, AM=CB y mBANC=120º.

3. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la mediana BM; de tal manera que: mBABH=mBHBM=mBMBC. Calcule mBHBM.

a) 6 d) 9

C

A

P

a) 30º d) 53º

N M O

B

a) 18µ d) 9

B

c) 45º

2. Hallar PH, si: BH=36µ.

A

6. En la figura: AM=MB, MO=OC y MN // OA. Calcule MN, si: OA=21µ.

b) 2 e) 5

c) 3

10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", sobre la hipotenusa AC se ubica un punto "D" tal que el ángulo ABD mide 24º. Si el ángulo "C" mide 38º y BD=8, hallar AC. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 16


11. En la figura, calcule "x". Si HC=4AH.

16. En un triángulo ABC, se traza la altura BH de tal manera que mBHBC=2(mBHBA) y 8(AH)=3(HC). Calcular mBC.

B 2φ

a) 37º d) 16º

x

A

φ

C

H

a) 62º d) 45º

b) 60º e) 37º

B

c) 53º

x

B

b) 37º e) 18º

b) 3 e) 5

a) 9cm d) 18

c) 4

Quinto UNI 24

2α

a) 10º d) 5º

M

α H

b) 70º e) 50º

45º

α M

b) 15º e) 18º

C

c) 20º

19. En un triángulo ABC: mBABC=62º; sobre AB y BC se ubican los puntos "P" y "Q", respectivamente. Tal que BP=QC y las mediatrices de BC y PQ se cortan en "O". Hallar mBOBC.

C

c) 15

15. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas BQ y CP. Calcular mBPMQ, siendo "M" punto medio de BC y mBA=50º. a) 80º d) 40º

A

a) 30º d) 26º30'

b) 12 e) 24

c) 50º

c) 36º

α A

b) 45º e) 25º

B

C

14. En la figura, calcule BC si MH=9cm. B

C

M

18. En la figura mostrada, AM=MC. Calcular "α".

θ

13. En un triángulo rectángulo ABC, la altura BH y la bisectriz interior AD se cortan en "P". Luego, por "P" se traza una paralela al lado AC que corta a BC en "N". Calcular NC, si: BD=6cm. a) 2cm d) 6

H

a) 20º d) 40º

2θ

a) 32º d) 24º

70º

A

M

c) 24º

17. En la figura mostrada, hallar "x", si AM=MC.

12. En la figura, calcule "θ". Si: AM=BM y CM=BC/2.

A

b) 30º e) 15º

b) 31º e) 24

c) 28º

20. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "A", mBB=2(mBC), se levanta AP perpendicular a AC ("P" en BC). Calcule: PC, si: AB=6µ. a) 3µ d) 12

b) 6 e) 15

c) 9

c) 60º

Colegios

TRILCE

Problemas resueltos 1. Se tiene un polígono equiángulo tal que el número de diagonales más el doble del número de lados es 36. Calcule la medida del ángulo interior de dicho polígono.

3. Si el número de diagonales aumenta en 18 en un polígono regular, su ángulo central disminuye en 20º. Calcule el número de lados. Resolución:

Resolución:

Dato: N diag + 2n = 36 n (n - 3) +2n = 36 2 ⇒ n=8. • BInterior = 180 (n - 2) n 180 ( 6) =135º. = 8 BInterior =135º.

T

A

D

Polig 1

n

n (n - 3) 2

360 n

Polig 2

m

m (m - 3) 2

360 m

Despejando y operando : \ n=6

4. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH tal que AB=1, CD=2, BC= 2 y DE=2 2 . Calcule mBDEA.

1

θ 60º

S

θ=60º

12

0º

B

C

α

1 120º

x

D

D

2

135º 45º 2 2 37º /2 2 5 53º/2

135º

x

T 2 E

F

H

E

BInterior = 180 (6 - 2) =120º 6 ⇒ θ=60º T. mediatriz: CT=TD ∆STC ≅ ∆TDN (A.L.A.) ⇒ ST=x ∆BTS: NOT(30º y 60º) \ =3 3 .

53 2

A

N

Central: 619-8100

2

2

53º/2

5

α

F

C

45º

6 x

T

A

1

S

E

Resolución: B

n (n - 3) + 18= m (m - 3) 2 2

Resolución:

N F

B central

360 - 20 = 360 n m

C L

Diag

Dato:

2. En el gráfico, ABCDEF es un polígono equiángulo, L es mediatriz de CD, y BT=6. Calcule TN. B θ θ

Lados

G

Piden "x" B interior : 180 (8 - 2) =135º 8 53 º y 127º ) ∆SCA (NOT 2 2 53 º 127 º ) y ∆CTE (NOT 2 2 ∆ACE (NOT 53º y 127º ) 2 2 www.trilce.edu.pe 25

x= 53 + 37 2 2

Piden "x"

\ x=45º.

Dato: 3θ= 360 n

5. Según el gráfico, calcular "x" si los polígonos ABCDE... y MCNP... son equiángulos, además el número de lados del segundo es mínimo. B

A

3θ

C x

N

2θ

M

D

P

⇒ θ= 120 n ⇒ n (mínimo) Si: n=3 ⇒ θ=40º n=4 ⇒ θ=30º ⇒ 2θ= 360º ⇒ 80= 360º m m m: no existe

⇒ 3θ+x+2θ=180º 90º+x+60º=180º \ x=30º.

Resolución: B

A

3θ

C x

N

2θ

⇒ 2θ = 360º ⇒ 60= 360º m m m= 6 (existe)

P

M

n lados

m lados

Problemas para clase 1. Calcule el número de vértices de un polígono cuyo número de diagonales es el triple del número de lados. a) 10 d) 9

b) 11 e) 8

c) 12

2. Si: ABCDEF es un hexágono regular, calcule "x". D

C

5xº

B

E

A

a) 8° d) 20º

xº

b) 10º e) 21º

3. Si a un polígono se le aumentan cuatro lados, entonces la suma de las medidas de sus ángulos internos se duplica. Calcule el número de vértices del polígono : a) 5 d) 8

c) 15º

26

b) FVVV e) VFVV

c) FVFV

5. Al aumentar en tres el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono. a) 720º d) 1440º

Quinto UNI

c) 7

4. Marcar la proposición correcta : • El círculo es un conjunto convexo. • Las rectas paralelas son un conjunto convexo. • Todo ángulo es conjunto no convexo. • Todo polígono es un conjunto convexo. a) VFFF d) VFVF

F

b) 6 e) 9

b) 900º e) 1260º

c) 1080º

Colegios

TRILCE

Geometría 6. Indicar el valor verdadero de cada proposición: 11. Al disminuir 5º, la medida de cada ángulo • Todo polígono tiene ángulos exteriores. interno de un polígono equiángulo resulta otro • Si un polígono presenta ángulos internos de polígono cuyo número de lados es 3/4 del igual medida será polígono regular. número de lados del polígono original. Calcule • Todo polígono es un conjunto convexo. la medida del ángulo externo del polígono • Todo polígono es no convexo. original. • Si a toda región poligonal se le extrae una a) 10º b) 15º c) 18º diagonal, el conjunto resultante será no d) 30º e) 24º convexo. a) FVFFF d) FFVVF

b) FFVVV e) FFFFF

c) FFFFV

7. Si de cuatro vértices consecutivos de un polígono convexo se trazan 25 diagonales, ¿cuántas diagonales tiene en total el polígono? a) 27 d) 54

b) 35 e) 45

c) 44

8. En un decágono regular ABCDEFG ... Calcular "x". x=

12. Se grafica el octógono equiángulo ABCDEFGH y se prolonga el lado GF hasta "M" (M={GF∩DE}), de modo que: EM=DE= CD = BC . Calcule 2 2 2 mBEBM. a) 16º d) 32º

b) 8º e) 15º

c) 4º

13. Calcule el número de diagonales del polígono regular ABCDEFGH .... E

D C

mBADC + mBDEC mBADE mBCEF

2α

F

α

B

2 c) 9 a) 1 b) 7 21 17 5 d) 10 e) 21 23

G H

A

9. Indicar verdadero o falso, según corresponda: a) 27 b) 35 c) 44 • La semirrecta es un conjunto convexo. d) 54 e) 65 • Una región triangular cuyos vértices se han omitido, es aún una región convexa. 14. Dar el valor de verdad de: • Dos rectas paralelas al ser intersectadas por • Una región triangular en la cual se han omi- una recta secante determinan cuatro regiones tido dos de sus vértices, es una región con- convexas y dos no convexas en el plano. vexa. • La diferencia de dos conjuntos no convexos a) VFV b) VVF c) VVV puede ser un conjunto convexo. d) VFF e) FFV • Todo polígono es un conjunto no convexo. 10. Exteriormente y sobre los lados AB y BC, de un triángulo ABC equilátero, se construyen el hexágono regular ABMNLT y el cuadrado BCQP. Calcule la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de MT y PA. a) 10º d) 30º

Central: 619-8100

b) 15º e) 20º

c) 25º

a) VVV d) FFV

b) VVF e) VFF

c) FVV

15. En un pentágono regular ABCDE, se considera el punto interior "P", tal que: PD=DE y mBPAB=42º. Calcule mBPDE. a) 60º d) 45º

b) 50º e) 75º

c) 30º


Tarea domiciliaria 1. Desde tres vértices consecutivos de un 8. Desde 5 vértices consecutivos de un polígono polígono se trazan 14 diagonales. Calcular se trazan 59 diagonales. Hallar el número de cuántas diagonales en total se pueden trazar en diagonales de dicho polígono. el polígono. a) 16 b) 100 c) 104 a) 15 b) 20 c) 25 d) 150 e) 130 d) 30 e) 40 9. Se tiene un polígono regular ABCDEF..., de "n" % 2. En un pentágono regular ABCDE, las lados donde mACD =135. Hallar el número diagonales AC y BE se intersecan en "F", de total de diagonales modo que: EF= 5. Calcular la medida del a) 30 b) 45 c) 54 lado del pentágono. d) 84 e) 104 a) 5 b) 5 2 c) 2 3 d) 5 3 e) 2 5 10. El lado de un polígono equilátero mide 6 cm y el número que expresa su cantidad total de diagonales equivale al perímetro del polígono. 3. Si a un polígono se le aumentara 3 lados, su ¿Cuántos lados tiene el polígono? número de diagonales aumentará en 15. Hallar el número de vértices del polígono. a) 10 b) 12 c) 15 a) 4 d) 12

b) 5 e) 18

c) 8

4. La diferencia del número de diagonales de cierto polígono y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 8. Entonces, el polígono tiene: a) 4 vértices b) 5 d) 12 e) 18

b) 18 e) 52

c) 32

6. En un polígono convexo de "n" lados, calcular la suma de las medidas de los ángulos formados al prolongar los lados del polígono. a) 180º n b) 360º n d) 180º (n-4) e) 360º (n-2)

c) 90º (n-2)

7. Un octógono equiángulo ABCDEFGH tiene por lados GH=4µ, AH=4 2 µ, AB=3µ. Hallar GB. a) 12µ b) 113 c) 120 d) 13 e) 15

Quinto UNI 28

e) 20

11. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono convexo, se obtendrá otro polígono con 15 diagonales menos. Hallar el número de lados original. a) 10 d) 18

b) 12 e) 20

c) 15

c) 8

5. La medida de los ángulos interiores de 2 polígonos convexos regulares difieren en 20º y las medidas de los ángulos exteriores suman 100º. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono de mayor número de lados? a) 27 d) 40

d) 18

12. En un polígono regular ABCDEF... de "n" lados, las diagonales AD y BF se intersecan en el punto "P". Hallar "n" si el ángulo APB mide 27º. a) 18 d) 15

b) 20 e) 16

c) 12

13. La diferencia de los ángulos exteriores de dos polígonos regulares es 9º. Si uno de ellos tiene dos lados más que el otro, hallar el número de lados del polígono que tiene menor ángulo exterior. a) 8 d) 12

b) 6 e) 15

c) 10

14. Si la diferencia entre los ángulos exteriores de dos polígonos regulares es 18º. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas de sus ángulos centrales? a) 12º d) 20º

b) 15º e) 36º

c) 18º

Colegios

TRILCE

Geometría 15. En un polígono convexo, el número de diagonales es igual a cuatro veces el número de vértices. Hallar el número de lados. a) 13 d) 11

b) 12 e) 9

c) 10

16. En cierto polígono de "n" lados, desde (n-7) vértices consecutivos se trazan (7n+4) diagonales. Hallar "n". a) 24 d) 19

b) 23 e) 17

c) 21

17. De uno de los vértices de un polígono convexo se pueden trazar (a+3) diagonales. ¿A cuántos ángulos rectos equivale la suma de los ángulos internos de dicho polígono? a) 2(a+3) d) 2(a+4)

b) 3(a-3) e) 3 (a+5) 2

c) a+3

18. Si se disminuye en dos el número de lados de un polígono, el número de diagonales disminuye en 19. Hallar el número de diagonales media, trazadas desde un punto medio de un lado de dicho polígono. a) 11 d) 16

c) 15

19. En cierto polígono de "n" lados, desde (n-7) vértices consecutivos se trazan "2n" diagonales. Hallar el máximo número de diagonales media de dicho polígono. a) 55 d) 45

b) 50 e) 42

c) 48

20. La diferencia de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos regulares es 6º. Si la diferencia de sus lados es 16, hallar el número de lados de uno de ellos. a) 15 d) 18

Central: 619-8100

b) 13 e) 18

b) 24 e) 36

c) 30


Problemas resueltos 1. Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Si CM=MD, calcule "θ". B

3. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. Calcule DC si la distancia de "F" a BC es 4 y AE=20. F

C

θ

B

θ

C E

M 40º

A

θ

D

a

θ

Resolución:

S

C

S 40º

4

θ

40º

2θ

a

x

F

Se prolonga BM ∆BMC ≅ ∆MDF ⇒ mBMFD=θ. ⇒ ∆ SDF: isósceles \ θ=50

Resolución: m 80º H

m 80º

T

x

C E

θ

2θ

20

θ

B 80º

2m

C

Piden: "x" Por el T. bisectriz: SF=FE AS=AE=20 FN=SB=4 x+4=20 \ x=16. 4. En un trapecio ABCD (BC // AD), se ubica el punto medio "M" de CD, tal que BM es perpendicular a AB, mBCBA= 120º, AB=8 y BC=4. Calcule AD. Resolución: B

a

30º

4

C

a

4 M

8

a A

Piden "x": AH = EC Tal que: EH=HB=m ∆ EAC: BM es la base media ⇒ EA // BM, mBMBC=80º \ x=20º. Quinto UNI 30

8

30º

T

D

A

M a

4 3m

20

D

A

2. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en "C" y "D", se ubica el punto medio "M" de AC y el punto "T" en la prolongación de CB. Tal que mB TBA=80º y 3(BC)=2(AD). Calcule mBABM. E

4

B

20

a

D

F

N

M

a A

D

A

Resolución: B

θ

x

D

Se traza la base media MT ∆BTM: (NOT 30º y 60º)⇒ TM=8 T. base media: 8= 4 + x 2 \ x=12. Colegios

TRILCE

Geometría 5. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, BCNM es un romboide, DM=2MB. Calcule "x".

Resolución: C

B

C

B M

N

M

N

3n /2

37

x

A

n

n

A

D

2n

x

D

Se traza BD=AC=3n

BD // CN: mBACN=90º ∆ACN (NOT 37 y 143 ) 2 2 \ x= 53º . 2

Problemas para clase 1. En un romboide ABCD, se traza BP y DQ perpendiculares a AC, tal que : AB=PQ y mBABP=53º. Calcule: mBACB. a) 22º b) 16º 37 º 53º d) e) 2 2

4. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. Además: PD=6 cm, AL=3 cm. Calcule: LC. B

c) 8º θ L P

2. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. AR=10µ, CD=8µ. Calcule : PQ. P B

Q

C

D

b) 2 e) 4

c) 2,5

3. En el gráfico, ABCD es un rombo. "O": centro, BM=MO y CH=12u. Calcule: AM. B

C M

a) 9 2 µ d) 5 2

E

b) 8 2 e) 4

b) 8 e) 11

a) 16º d) 72º

c) 10

b) 18º e) 24º

c) 36º

6. Sea ABCD un trapezoide, tal que: AC es bisectriz del ángulo BAD. Sea DF una perpendicular de AC, tal que: mBFBC=4mBDCF y mBABC=90º. Calcule la mBFCD. a) 15º d) 24º

45º O

A

D

5. Se tiene un rombo ABCD. Se traza la mediatriz de BC que intersecta a AC en "G", se prolonga DG que intersecta a BC en "F", tal que: mBCFG=2(mBACD). Calcule : mBFAG.

R 2θ

A

θ

A

a) 7 cm d) 9

θ

a) 1µ d) 3

C

b) 18º e) 32º

c) 20º

7. En el gráfico, ABCD es un romboide. Calcule: "x". D

H

C

B

c) 9

O

53º/2

+x

º

90

A

a) 10º d) 18º15' Central: 619-8100

x

D

b) 12º e) 20º

c) 15º www.trilce.edu.pe 31

8. En el gráfico, BCEF rombo ("O" centro del rombo). AO=CH. Calcule "xº". Si: CD=BC. B

C θθ

O

a) 12º d) 20º

º

10

A

xº

E

F

a) 30º d) 60º

b) 40º e) 70º

12. En un paralelogramo ABCD, las mediatrices de AB y BC se cortan en "P", un punto que pertenece a AD, si: mBD=112º. AB
D

H

c) 50º

b) 15º e) 24º

13. En el gráfico mostrado: 2α+θ=90º, 2β+γ=90º, AD=4 , AB=AE, CD=ED. Calcule la distancia del punto medio de BC a AD. C B

9. En el cuadrilátero ABCD; FB, CD y ED miden 18; 24 y 16 unidades, respectivamente. Si: FM=ME y BN=NC. Calcule MN.

E θ

B N

A C

37º

M

53º E

a) 15µ d) 18

b) 16 e) 20

D

c) 17

10. En el gráfico, calcular "θº", si: BC=AD. B

A

2θº 3θº

θº

C

b) 3 e) 8

B

Quinto UNI 32

N

C x M

c) 15º

11. En un trapecio ABCD (BC // AD), mBA=28º, mBD=76º y AB=32u. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. b) 24 e) 12

c) 30º

15. Del gráfico, ABCD y MNPQ son cuadrados y "M" centro del cuadrilátero. Calcule "x".

D

a) 32µ d) 16

c) 2

53º a) 37º b) 2 2 45 d) 36º e) º 2

º

b) 12º e) 20º

D

14. En un romboide ABCD, sobre AB se ubica un punto "M" y el punto medio "N" del lado BC. Si: mBNMD=90º y MN = MD, calcule la mBBMN.

2θ

a) 10º d) 18º

γ

β

α

a) 4 d) 6

F

A

c) 18º

A

P 36º

D Q

a) 36º d) 72º

b) 54º e) 45º

c) 48º

c) 18

Colegios

TRILCE

Geometría Tarea domiciliaria 1. En el trapezoide ABCD, se cumple que: mBA - mBB=11º; mBA - mBC=13º, mBA - mBD=16º. ¿Cuánto mide el ángulo "A"? a) 80º d) 100º

b) 90º e) 115º

c) 120º

2. Calcule PQ, si: BC // CD, AB=7u, BC=8u, CD=11µ y AD=20µ. B α

θ

α P

A

a) 6µ d) 3

C θ

N

b) 4 e) 7

a) 2 3 d) 6

D

b) 120º e) 105º

4. Dado el cuadrilátero ABCD, tal que las diagonales AC=m y BD=n. Luego se toman los puntos medios "P", "Q", "R" y "S" de los lados AB, BC, CD y AD, respectivamente. Luego, el perímetro de PQRS, es: b) 3 (m+n) 2 + m n 2 e) (m+n) d) 2 3

a) 2(m+n)

c) m+n

5. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 24µ. "F" es punto medio de BC, los segmentos DF y AC se cortan en "G". Calcule OG ("O" es centro del cuadrado). a) 2 d) 6 2

b) 2 2 e) 8 2

Central: 619-8100

b) 3 e) 4

c) 3 2

c) 60º

9. En el trapezoide ABCD: AC = BD; AC=16µ y BD=12µ. Calcule "x". B C x

D

A

a) 7µ d) 13

b) 10 e) 20

c) 14

10. En un trapecio isósceles ABCD de bases AD y BC, calcule: mBABC. Si: 2(AB)=2(BC)=AD. a) 100º d) 120º

b) 90º e) 135º

c) 110º

11. Hallar el perímetro del romboide ABCD, donde las bisectrices interiores de "B" y "C" se cortan en un punto de AD y además: AB=3,5. a) 31,5 d) 28

b) 24,5 e) 21

c) 17,5

-1 12. ABCD es un paralelogramo. Calcule:( EF ) AB

B

c) 4 2

6. En el trapecio isósceles donde uno de los ángulos mide 45º y uno de los lados no paralelos mide 6µ, calcule el segmento que une los puntos medios de las diagonales. a) 6µ d) 6 2

b) 95º e) 75º

c) 5

c) 115º

c) 2 6

8. En un romboide ABCD, la base AD mide el doble de la altura BH. mBBDA=30º. Calcule la mBBCD.

3. En un trapezoide ABCD: mBB=120º, mBC=100º. Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de "A" y "D". a) 100º d) 110º

b) 3 3 e) 3 2

a) 45º d) 85º

Q

M

7. El perímetro de un rombo es 24µ y uno de los ángulos interiores mide 120º. Calcular la distancia que hay entre dos lados opuestos.

A

2θ θ

F

C

E

H

D

1 c) 1 a) 1 b) 3 9 2 e) 1 d) 2 3


13. Sea ABCD un trapecio (BC // AD) en el cual se cumple que: AD=36+BC y mBB+mBC=270º. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. a) 14 d) 18

b) 17 e) 20

c) 15

14. ABCD es un cuadrado y ARD es un triángulo equilátero interior al cuadrado. Calcule la mBRCB. a) 15º d) 18º

b) 20º e) 10º

c) 30º

15. Se tiene un trapecio isósceles ABCD, donde BC y AD son las bases. Si AC es el doble de la mediana, calcule el menor ángulo formado por AC y BD. a) 15º d) 45º

b) 30º e) 60º

17. Si los ángulos adyacentes de la base mayor de un trapecio son complementarios. Dichas bases miden 4µ y 10µ. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de la base. a) 2 d) 4,5

a) 67º d) 47º

D 37º

H

a) 7µ d) 13

Quinto UNI 34

b) 9 e) 14

P

c) 11

23º C

A

C

c) 62º

B

xº E

a) 35º d) 60º

D

b) 58º e) 69º

19. Calcule "x", si : AD = DC y el triángulo AED es equilátero.

c) 37º

B

c) 2,5

18. Se tiene un rombo ABCD y se construye exteriormente el cuadrado CDEF. Calcule la mBAEC, si mBBAD=42º.

16. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. CH=3µ y PH=4µ. Calcule AH.

A

b) 3 e) 4

b) 45º e) 75º

c) 30º

20. Dado el cuadrado ABCD, se ubica en el punto "F", en diagonal AC, de manera que mBAFB=10mBCDF, calcule mBCDF. a) 22,5º d) 9º

b) 15º e) 5º

c) 10º

Colegios

TRILCE

Problemas para clase 1. En el gráfico: AB ≅ BC ≅ AC y aº+bº=140º. Calcule la mBFCB. bº

M

x θ

C

A θ

aº

a) 10º d) 30º

b) 15º e) 40º

c) 20º

2. En el gráfico mostrado, calcule xº +yº. 2αº

yº

2θº

xº

θº

a) 240º d) 320º

b) 260º e) 340º

c) 270º

3. En un triángulo ABC, mBA= 53 y mBB=45º. 2 Calcule "AB", si BC+AC=8( 2 + 5 ) a) 16( 2 + 5 ) c) 4(2+ 5 ) e) 16

b) 24 d) 4( 2 +5)

4. En la figura, AB=BC. Calcule QC, si AQ=8, PC=2. A

α α P

B

a) 6 d) 4 Central: 619-8100

θ θ C

b) 5 e) 7

2x

a) 22,5º d) 12º

C

b) 30º e) 9º

c) 15º

6. En un triángulo ABC, sobre AC y BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente. Si AB=DC, mBBAC=mBBDE=32º, mBDBE=74º, calcule la mBABD. a) 32º d) 42º

αº

20º

B

B

F

A

5. En la figura, calcule "x", si: MC=2AB.

b) 36º e) 48º

c) 40º

7. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. AB=50µ, BC=28µ y BM=25µ. Calcular la mBABM. a) 16º d) 30º

b) 37º/2 e) 32º

c) 53º/2

8. En un triángulo ABC, sobre AB y BC se ubican los puntos "M" y "N", respectivamente, tal que BM=NC, las mediatrices de MN y BC se intersecan en "P". Si mBABC=56º, calcular la mBPCB. a) 56º d) 30º

b) 42º e) 28º

c) 40º

9. Calcule el número de lados de un polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

Q

c) 3


10. Si a un polígono se le aumenta cuatro lados, entonces la suma de las medidas de sus ángulos se duplica. Calcule el número de vértices del polígono. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

b) 127º e) 150º

c) 135º

12. Del gráfico, ABCD y CPQR son cuadrados, calcular "x". P C

B

x

Q

R

A

a) 18º30' d) 30º

15º

P

Q

c) 7

11. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos ABC y BCD se intersectan en "P". Si mBBAD=mBCDA, CD - AB=3, BC=15 y mBBPC=45º, calcule la mBABC. a) 120º d) 143º

13. Del gráfico, calcular DP, si ABCD y APQR son cuadrados. AB=4 y BR=6.

B C R

A D

a) 9 d) 15

b) 8 e) 7,5

14. En un trapecio ABCD (BC // AD) se cumple que 2CD=5AB y mBD=23º. Calcular mBABC. a) 104º d) 127º

b) 143º e) 120º

B

C

R P

a) 12µ d) 18

36

S

c) 26º30' Q

A

Quinto UNI

c) 135º

15. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, BQ=9µ y DR=6µ. Calcular la medida de PS.

D

b) 22º30' e) 31º

c) 10

D

b) 15 e) 16

c) 13

Colegios

TRILCE

Geometría Tarea domiciliaria 1. Calcule la medida del ángulo interno de un polígono equiángulo de 35 diagonales. a) 120º d) 160º

b) 135º e) 150º

7. En el gráfico mostrado, (BC // AD), BC=5µ y AD=9µ. Calcular BH. B

c) 144º

2θ

3θ

2. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de 44 diagonales . a) 1260º d) 1440º

b) 1080º e) 1620º

c) 900º

3. En la siguiente gráfico, calcule AC, si MD=4 y CM=ME.

B M

45º

b) 4 e) 18

c) 6

b) 12 e) 8

c) 6

a) 1 d) 3

b) 2 e) 6

b) 9 e) 16

b) 7 e) 2

c) 5

6. En el siguiente gráfico, calcule "x", si AC=5 y PQ=1. P

B

c) 4

c) 10

9. En la figura mostrada, si AM=MD, mBBCD=mBCAD y AC+3AB=64, calcular MN. B

N

A M C

D

5. Los lados de un triángulo miden (α+2), (α+3) y 8. Calcular el menor valor primo que puede tomar "α" para que el triángulo exista. a) 13 d) 11

D

A

D

4. En un triángulo equilátero ABC, se traza la ceviana exterior BR, luego se ubica un punto "P" exterior y relativo al lado BC de tal manera que BP=8, AB // PC. Calcule BR, si AR=PC. a) 16 d) 4

θ

a) 8µ d) 12

E

a) 8 d) 12

H

8. Exteriormente a un triángulo ABC, se construyen los cuadrados ABDE, ACFG y el paralelogramo AEHG. Además, ED=6µ y AH=10µ. Calcule BC.

C

A

C

a) 13µ d) 16

b) 14 e) 18

c) 15

10. En el trapezoide donde las diagonales al cortarse forman un ángulo de 120º y una de las diagonales mide 8µ, calcule la suma de las diagonales del rombo que se forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos del trapezoide. a) 4( 3 +1) b) 8( 3 +1) c) 2( 3 +1) d) 6( 2 +1) e) 8( 6 +1)

Q x A

x

a) 37º/2 d) 15º

Central: 619-8100

C

b) 45º/2 e) 53º/2

c) 30º

11. Se tiene un trapecio ABCD (BC // AD) donde mBA=40º y mBD=70º. Hallar el segmento que une los puntos medios de sus diagonales, siendo además: AB=8µ. a) 2µ d) 6

b) 4 e) 5

c) 3


12. En un hexágono equiángulo ABCDEF, AF=a, CD=b, DE=c. Calcule AB. a) a+b - c b) b+c - a + + a b c d) e) 2a+b - c 2

b) 4 e) 2,5

b) 50º e) 30º

c) 5

2α

a) 18º d) 23º

c) 22º

16. En la figura mostrada, hallar "x", si AB=BC. A 2x

c) 45º

a) 10º d) 18º30'

38

2α

b) 20º e) 25º

B

Quinto UNI

2α

40º

14. Las mediatrices de los lados AD y CD de un paralelogramo ABCD se intersectan en un punto "M" que pertenece a BC. CalculeBMAB, si mBB=110º. a) 40º d) 35º

5α

c) a+c - c

13. En un paralelogramo ABCD, AB
15. En la figura, calcular "α".

2x

x

C

b) 12º e) 18º

c) 15º

Colegios

TRILCE

Problemas resueltos

! ! 1. En el gráfico, mAB =40º y mCD =70º. Calcule ! mPQ .

2. En el gráfico mostrado, "T" es punto de tangencia. Calcule "x" en función de "θ".

C B

a

θx

b b

a

T

A

D

P

Resolución:

Q

360º- (2θ+2x)

Resolución: B a

40º

a

β+35º

A

θx

C

2β

b b

70º

T

γ S

β+20º

2θ

D A

P

x

Q

Piden "x" ! Sea mBC =2β. jABCD: 2a+2b+2β+55=360º a+b+β= 305º 2 ∆BSC:

a+b+γ=180º

γ - β= 55º 2 55 º +β γ= 2 2β + x B interior: γ= 2 2β + x 55º +β= 2 2 \ x=55º.

B

C

2x

Piden "x" B exterior : 90= 360º - (2θ + 2x) - 2θ 2 180º=360º - 2θ - 2x - 2θ 2x=180º - 4θ \ x=90º - 2θ.

3. ABCD es un cuadrado, calcule BF . TF B

C

F

T

A

D

Resolución: 53º B

C

53º 2

T

Central: 619-8100

53º 2 2a

F 53º A

a

O

a

D


Piden: BF TF VBAO ≅ VOCD: ⇒ AO=OD VBOA: NOT ( 53º y 127º ) 2 2 ! B central : mBC =53º

5. En la figura m FG =aº, Calcule: C M

θ Q

G E

Resolución: C

x

B

T

R

L

F

θº

B

B exterior : mBBTC= 53º 2 BF 1 = . \ TF 2 4. Si "T", "Q" y "R" son puntos de tangencia, calcule "x" en función de "θ" y "α".

θº . αº

α

F

θ β

M β α/2

α G

L

β E

Resolución: θ Q T

x-θ

Se traza ME :BCME: inscrito B inscrito: mBLGE=β ⇒ BC // GL

x 180 - x

R

α

mBCBL=mBFLG

α =θ 2 \ θ = 1. α 2

Prop: B exterior : mQR=180º - x Prop: B exterior : m TR =180º - θ

⇒ mTQ =x - θ x B exterior : α= - θ - (180º - x) 2 2α=2x - θ - 180º \ x= 2α + 180º + θ . 2

Quinto UNI 40

Colegios

TRILCE

Geometría

Problemas para clase 1. Del gráfico mostrado, calcule (bº+aº).

! 5. En el gráfico mostrado, calcule: mAB .

bº B

40º aº

a) 100º d) 180º

b) 150º e) 200º

c) 160º

! ! 2. En el gráfico mostrado: mAB +mBC =280º. ! Calcule: mPN. P

A

a) 22,5º d) 120º

b) 30º e) 90º

6. Del gráfico mostrado, calcule: "xº". ("T" y "Q": puntos de tangencia). mBTAC=mBTBD. T

C

N

c) 60º

A

C B

a) 40º d) 70º

b) 50º e) 80º

c) 60º

3. En el gráfico, "B", "C" y "D" son puntos de ! tangencia y la mDEC =70º. Calcule la mBPAC.

B

P

A

a) 28º d) 35º

D E

C

b) 30º e) 78º

c) 32º

Central: 619-8100

B

a) 70º d) 60º

b) 36º e) 75º

c) 45º

7. En una circunferencia de diámetro AB, se ubican ! los puntos "P" y "Q", tal que: mAP =90º y AQ intersecta a PB en "M", luego en AB se ubica el punto "L", tal que: mBAQL=45º y AM=2(LB). Calcule : mBPAM. b) 18º e) 15º

c) 14º

8. Del gráfico, calcule : "xº".

xº

120º+a

xº

b) 60º e) 100º

Q

140º - a

C

a) 120º d) 80º

xº

A

a) 19º d) 16º

4. En el gráfico, "C" es un punto de tangencia. Calcule "xº".

A

D

a) 70º b) 80º c) 40º d) 50º e) 45º

B

c) 90º


9. Del gráfico, calcule : "xº".

13. Si "A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia. ! ! mAB =120º y mAE =110º. Calcule "x". A

a) 20º d) 50º

E

xº

20º

b) 30º e) 70º

c) 40º

10. En el gráfico mostrado, "A", "B" y "C" son puntos de tangencia. Calcule : xº+yº. xº 40 yº

B

DC

a) 50º d) 25º

b) 40º e) 20º

c) 30º

! ! 14. En el gráfico, si: mBQ +mQD =100º, calcular "xº". ("A", "B", "Q" y "D" son puntos de tangencia). C

C

x

D

B

A

a) 160º d) 140º

xº

Q

B

b) 150º e) 170º

A

c) 180º

11. En el gráfico mostrado: AB=AP=r. Calcule: ! mAC . ("A": punto de tangencia).

O

P

a) 95º d) 110º

E

b) 100º e) 115º

c) 105º

15. En el gráfico, "T" es punto de tangencia. Calcule "x". r

x T

B C P

a) 10º d) 25º

100º

A

O

b) 20º e) 35º

c) 30º

12. Del gráfico, calcule "x".

a) 20º d) 40º

b) 10º e) 35º

10º

c) 15º

θ

x α

a) 35º d) 53º

Quinto UNI 42

θ

α

b) 45º e) 90º

θ

c) 60º

Colegios

TRILCE

Geometría Tarea domiciliaria 1. Según el gráfico: mBC=60º. Calcule el valor de "xº"

5. En el gráfico mostrado, calcule "αº", si: PA=AB y además: 2(mBQ)=3m(QC). P

B

A

xº

E

C

Q

C

A

100º

αº

B

D

a) 60º d) 90º

b) 70º e) 100º

c) 80º

2. Según el gráfico, calcule la mBN, si: ABCT es un paralelogramo y CT=CD.("T" es punto de tangencia). N

B

a) 15º d) 30º

b) 50º e) 25º

c) 40º

6. Del gráfico, calcule "xº". B 2xº

C

xº

70º

A

T

a) 70º d) 80º

b) 50º e) 65º

D

c) 60º

3. Si: mAB=80º, mCD=40º y mMN=50º. Calcule el valor de "xº". A

xº

D

a) 15º d) 30º

b) 35º e) 45º

b) 20º e) 36º

c) 22º30'

b) 125º e) 110º

c) 120º

8. Calcule "θ".

N B

a) 30º d) 55º

C

7. Se tiene una circunferencia en la cual se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E" y "F", de manera que mBFAB=150º y mBBCD=90º. Calcule la mBFED. a) 100º d) 130º

M

C

A

3θ

c) 50º 2θ

4. Calcule "xº".

a) 37º d) 30º

100º

b) 58º e) 27º

c) 45º

xº

a) 110º d) 65º Central: 619-8100

b) 55º e) 80º

c) 70º


9. Calcule el valor de "xº", en función de "α" y "β".

13. Del gráfico, calcule "xº", siendo : "A", "B" y "C" puntos de tangencia. B

αº

20º xº 40º

xº

βº

A

C

α-β b) α - β c) β - α 2 β-α β+α e) d) 2 2 a)

10. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O" se ubica el punto "M", de modo que: m AM =m MB . Se traza el cuadrado MNLP. (N en AM ) y "L" en AO. Calcule la mBOMN. a) 60º d) 63º30'

b) 75º e) 67º30'

a) 10º d) 40º

b) 20º e) 60º

14. En el gráfico mostrado, θ+β=160º. Calcule: mBBAC. A

c) 71º30' θ

β

11. Calcular: mBABO.

C

B B

A

c) 30º

C

20º O

a) 10º d) 25º

b) 20º e) 30º

c) 15º

15. En el gráfico mostrado, "T" y "B" son puntos de tangencia. Si: MTN=50º, calcule: m TL . T

D

a) 60º d) 70º

b) 50º e) 75º

c) 80º

70º

N B

12. Si ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD). BC=CE, BE=CD,("E" y "D" son puntos de tangencia). Calcule la mBEBC.

a) 100º d) 130º

E B

L

C

b) 80º e) 150º

c) 120º

16. En el gráfico mostrado: β+γ - (θ+φ)=30º. Calcule "xº". D

A

a) 10º d) 25º

b) 15º e) 30º

xº

c) 20º

γ

β

φ

θ

a) 160º d) 145º

Quinto UNI 44

b) 165º e) 150º

c) 175º

Colegios

TRILCE

Geometría 17. En el gráfico mostrado, si: mBAEB+ mAB =90º. 2 Calcule "θº".

19. Si OFEM es un cuadrado, calcule m AE . A E

F

M

O C θ

A

B E

a) 60º d) 30º

b) 80º e) 82º

c) 75º

18. En el gráfico mostrado, "H" y "G" son puntos de tangencia. Calcule m EF , si mAB=20º.

a) 53º d) 53º/2

b) 37º e) 30º

c) 37º/2

20. Según el gráfico, calcule la m PB , si "T" es punto de tangencia. N

M

E

T

P

70º

H 80º

A B

a) 60º d) 80º

Central: 619-8100

G

b) 90º e) 30º

B

A

F

c) 100º

a) 40º d) 60º

b) 80º e) 45º

c) 70º



1. Del gráfico, calcule la mMN, siendo "N", "T" y "P" puntos de tangencia. TB=4 y R=5.

x

T

D

B

r T

R

x

N

x 2x

Resolución: T 5 R=5

O

5

B

4 53º

I 37º

N S

x O1

P

4

B

P

O

A

M

P

L

r

S

2x

Piden: "x" Se traza DT, PO. VOTD ≅ VDPO ⇒ mBTDO=mBODP=x x+2x=90º \ xº =30º.

3. En el gráfico, calcule "x", si: aº - bº=65 (AT // NL).

x

N 53º M

A

A

Piden "x" OT ⊥ TA NOT 53º y 37º VOIP: ⇒ mBBPA=37º O1N ⊥ BA : x+53º=90º \ x=37.

x

bº

T a

L

Resolución: 2. Según la figura, calcule "x", si m PL =2x. ("T", "P" y "D" son puntos de tangencia).

A

x

2bº

N x

bº

D

T

T 2bº

L P

46

R

aº

T

Quinto UNI

aº

bº

B

L

M

aº S

Piden: "x" jMRTS: inscrito AT // NL :mAN=m TL =2bº B exterior: bº+90º=a+x 90≡= aº - bº +x 65 \ x=25º. Colegios

TRILCE

Geometría 4. Se tiene un rectángulo ABCD. En BC se ubica el punto "E" tal que el cuadrilátero ABED sea circunscriptible a una circunferencia de radio "2" y a la circunferencia inscrita en el triángulo. ECD tiene la longitud de su radio igual a 1. Calcule mBEAD.

5. En el gráfico "Q", "M", "L", "S" y "T" son puntos de tangencia. AQLS es un trapecio. Calcule: m LS .

M

Resolución: E

a

B

b

2

37

A

x

c

L

Q

1

4 2

C

A 4

T

S

Resolución:

2 M

D

a+b

Piden: "x" T. PITHOT: 4+c=2a+b...(1) T. PONCELET: c+2=b+4...(2) restando (1) y (2) 2=2a - 4 ⇒ a=3 V BAE (NOT 53º y 37º) \ x=53º.

Q

A

α α 2α O 2α

L α

O1

2α

x

T

S

Piden "x" OT ⊥ AS, O1N ⊥ AS 2α+α=90º ⇒α=30º B central: x=2α \ x=60º.

Problemas para clase 1. Se tiene un triángulo rectángulo en el cual la diferencia entre el semiperímetro y la hipotenusa es igual a 12µ. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo. a) 9µ d) 15

b) 10 e) 18

3. En el gráfico, AB=10µ, AD=18µ, y CP=20µ. Calcule: r1+r2+r3+r4. B

c) 12

r2 P

2. En el gráfico, calcule BD, si: R=6µ y r=4µ. B

A D

R

a) 8µ d) 14

Central: 619-8100

a) 6µ d) 9 r

A

E

b) 12 e) 9

C

C

c) 10

r4 r1 Q

b) 7 e) 10

r3 D

c) 8

4. Una circunferencia es tangente a tres lados de un romboide cuyas alturas miden 8µ y 10µ. Calcule la longitud de la cuerda determinada en la circunferencia por el cuarto lado. a) 6µ d) 10

b) 12 e) 8

c) 9


5. En el gráfico, BE=DP y los perímetros de los triángulos ABC y ADE miden 40µ y 24µ, respectivamente. Calcule TC. B

D

e) 13

9. En el gráfico, AC=2µ y BC=6 2 µ. Calcule x+y. A

E

P

x

F

A

C

C

T

a) 4µ d) 8

d) 12

b) 5 e) 9

y

c) 6

6. En el gráfico, BO=4 2 µ, AH=4µ, HD=5µ, CD=7µ. Calcule BC. B C

a) ( 2 +1)µ b) (2 2 -1) d) 2 e) 3

12 4

D

H

a) 4µ d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

7. Los puntos indicados son de tangencia, siendo BP=6µ y TM=2µ. Calcule "R". B

a) 0,5µ d) 1

b) 0,6 e) 1,2

E

B

P

G R

A

K

a) 4µ d) 8

r Q T M

F

b) 5 e) 3 3

b) 22

A

C

C r

c) 2 3

8. El radio de una circunferencia y el perímetro de un triángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferencia miden 3 y 50 cm, respectivamente. Entonces, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo mide: a) 44 cm

c) 0,8

11. Del gráfico, calcule la altura del triángulo equilátero ABC.

D N

c) (3 2 -1)

10. En el gráfico, calcule el radio de la circunferencia menor.

O A

B

O

a) 4r d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

12. En el gráfico, "O" es centro del cuadrado ABCD, BE // AF y R+r=8, calcule OG. C R

E

B

c) 11

O r

Quinto UNI 48

D

F

G

a) 4

b) 8

A

c) 16 Colegios

TRILCE

Geometría d) 4 2

a) 2 d) 1,5

e) 8 2

13. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en "A" y "B", se traza una semicircunferencia de centro "O" y diámetro AE en AD, es tangente en "N" y "M" a BC y CD, respectivamente. LO interseca a la semicircunferencia en "P"("L" en BN). Si LN=MD, LP=BL=1 y AD=9, calcule la mBLOD. a) 127º d) 140º

b) 130º e) 14º

b) 3 e) 6

c) 3,5

15. En el gráfico, "I" es el incentro del triángulo ABC, BN=2AB, 3(HA)=4(RQ)=6(CT)=6(TR), "T", "L", "J", "D", "Q", "M" y "N" son puntos de tangencia. Calcule AH . HC S

c) 135º

M

J

14. En el gráfico, AB+BC=10, AR+RS=16. ("L", "P" y "Q" son puntos de tangencia). Calcule el inradio del triángulo ARS. R

P A

2θ C

L

I H

a) 1/4 d) 2/7

L

B

θ Q

O

B A

N

D

C T R

b) 3/5 e) 3/4

Q

c) 4/7

S

Tarea domiciliaria 1. Una cuerda EF de 16µ de longitud, dista 6µ del centro de la circunferencia. Calcule el diámetro de dicha circunferencia. a) 5µ d) 15

b) 9 e) 20

c) 10

2. Grafique al triángulo ABC y a la circunferencia ex-inscrita relativa a BC, que determina el punto de tangencia "Q" en la prolongación de AC. Si el perímetro de la región del triángulo ABC es de 42µ, calcule la longitud de la diagonal del cuadrado cuyo lado es AQ. a) 24 2 µ d) 32

b) 21 2 e) 40

5. En un triángulo rectángulo ABC, los catetos AB y BC suman 34µ, la hipotenusa mide 26µ y "O" es el centro de la circunferencia inscrita. Calcule BO. a) 2 2 µ d) 4 2

b) 6 e) 10

B

c) 21 C

c) 7

4. En un triángulo rectángulo, calcule la longitud de su inradio, donde sus catetos miden 15µ y 20µ. a) 2µ d) 8

Central: 619-8100

b) 4 e) 10

c) 3 6

6. En el gráfico se muestra al cuadrilátero ABCD, donde BC=10µ y AB=CD+AD. Calcule la suma de los inradios de los triángulos ABC y ADC.

3. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 24µ y 26µ. Calcule el diámetro de la circunferencia inscrita. a) 4µ d) 8

b) 3 5 e) 4 3

c) 5

D

a) 10µ d) 5

A

b) 20 e) 7,5

c) 15u

7. Por un punto "P" exterior a una semicircunferencia de diámetro AB se trazan las tangentes PQ y PR, tal que PQ // AR. Si mBBAR=20º, calcule la mBQPR. a) 70º d) 100º

b) 80º e) 110º

c) 90º


8. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O" se ubican los puntos "D" y "C" (D ∈ AC). Se traza CH ⊥ OB (H ∈ OB). Calcule la mBDCH, si DB=2(CH) y mAD=40º. a) 70º d) 80º

b) 40º e) 60º

b) 10º e) 9º

c) 10º30'

10. Del gráfico, "A", "B", "P" y "Q" son puntos de tangencia. Calcule "xº". xº P

3xº

B

b) 22º30' e) N.A.

c) 36º

11. Del gráfico, mBPRQ=140º. Calcule "xº". Q

Q

L R C

A

a) 6µ d) 14

b) 8 e) 12

c) 10

15. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en "A" y "B", tomando como diámetro AB se construye una circunferencia que es tangente a CD en "M". Calcule CD, si el radio de la circunferencia mide 6µ y el perímetro de la región del trapecio es 38µ. a) 8µ d) 15

b) 11 e) 19

c) 13

a) (10 3 - 2)µ b) 3 c) (5 3 - 6) d) 5 3 e) (5 3 - 3) 17. Si : p - a=5µ. Calcule "x" ("p" es semiperímetro de la región del triángulo ABC). B

C

xº P

r

16. Las circunferencias inscrita y ex-inscrita a un triángulo ABC determinan sobre el lado AC los puntos "P" y "Q", respectivamente. BC - AB=(5 3 - 6)µ. Calcule PQ.

Q

A

a) 30º d) 45º

B

c) 75º

9. Interiormente a un cuadrado ABCD se traza una semicircunferencia con diámetro AD y por "B" se traza una tangente a ella. Calcule la medida del ángulo formado por dicha tangente con BM, siendo "M" punto medio de CD. a) 8º d) 7º30'

14. En el gráfico, BL+BQ=10µ. Calcule: R+r.

C

a O

R

x A

A

a) 40º d) 60º

B

b) 50º e) 35º

c) 70º

12. Las circunferencias ex-inscritas a los catetos de un triángulo tienen radios que miden 6µ y 8u. Calcule la longitud de la hipotenusa del triángulo. a) 10µ d) 18

b) 12 e) 25

Quinto UNI 50

b) 2 e) 5

a) 2,5µ d) 10

b) 5 e) 8

c) 7

18. En el gráfico, "M", "N", "P" y "Q" son puntos de tangencia y ABCD es un cuadrado. Calcule la mBCPO. B

c) 14

N

M

C

O Q

13. Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia, tal que: CD=5µ, mBA=37º y mBB=90º. Si AD+BC=21µ. Calcule la medida del radio de la circunferencia. a) 1µ d) 4

D

c) 3

P A

a) 37º d) 60º

D

b) 53º e) 45º

c) 30º Colegios

TRILCE

Geometría 19. En el gráfico mostrado: AD=BC, AB=PC y AC=a. Calcule AP.

20. Si r1=3µ y r2=5µ, calcule BC. B

C

r1 O P

B

r2

r A

a) a+r d) a - 3r

Central: 619-8100

C

D

b) 2(a+r) c) a - 2r e) 2/3 (a+3r)

D

A

a) 6µ d) 7

b) 10 e) 8

c) 4


Problemas resueltos 1. En el gráfico, "I" es el incentro del ∆ABC, "I" es punto de tangencia. Calcule "x".

Por propiedad del excentro: mBAEC=45º Por propiedad del incentro: mBAIC=135º

B

VALC: NOT` 37 y 143 j 2 2

θ

⇒ mBLAC= 37 2

I

\x=53º.

x A

C

E

O

Resolución:

3. En un triángulo ABC, dos de sus medianas son perpendiculares y miden "a" y "b". Calcule la longitud de la tercera mediana. Resolución:

B

θ

x 3

I θ/2

2 θ/ A

θ/2 O

x

E

2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", de incentro "I" y excentro "E" relativo a BC. Si: AI=IE, calcule mBACB. Resolución: B K

K

/2 7º

A

13 137º/2

Quinto UNI 52

x 3

C

Piden "x" Por propiedad D: mBAIC=90º+θ/2 Bsemi-inscrito m IE =θ AI: bisectriz: ⇒ mBBAI=θ/2 \ x=90º - θ.

I

x 3

P x

E K 45º

B 2b 3

2a 3

A

a/3 G

M 2x 3

b/3 C

N

Piden: CD=x Sea AM=a y NM=b Por prop. AG= 2a 3 T. de Pitágoras: VAGB 2b 2 2x 2 2a 2 ` 3 j = c 3 m +` 3 j 4x 2 = 4b 2 + 4c 2 3 3 3

\ x= b2 + c2 .

L

45º

K

135º x

C

Colegios

TRILCE

Geometría 4. En el gráfico mostrado, "H" es el ortocentro y "O" el circuncentro del ∆ABC, calcular: "γ", si: θ+α=38º.

5. Del gráfico, calcule: "x". BC=MC. B

B γ M O

H

A

θ

α

A

3x 3x

2x x

Resolución:

C

B

Resolución:

D

β β β

B φ

φ α+θ

H

C

M

γ

O

A φ α φ

A

C

Por prop. del ortocentro y circuncentro mBHCA=mBOCB=φ mBBAH=mBHCB=φ α+θ +φ = φ + γ ⇒ α+θ=γ \ x=38º.

x x

3x 3x

x

2x C

Se traza la bisectriz CD Bisectriz del BBCM. ∆BDC ≅ ∆MDC: mBBDC=mBCDM M: incentro del ∆ADC ⇒ B=60º ⇒ 6x+2β+2x=180º 8x=60º \x= 15º . 2

Problemas para clase 1. Dar el valor de verdad de las siguientes 3. Dado el triángulo ABC escaleno, mBB=120º, proposiciones : si su incentro es "I" y su excentro relativo a BC • El circuncentro de un triángulo equidista de es "E". Calcule IE, si: IC=3µ. sus vértices. b) 6 c) 4,5 a) 3 µ • El ortocentro de un triángulo equidista de e) 3 3 d) 2 3 los lados de dicho triángulo. • En el triángulo equilátero el baricentro, el 4. La suma de las medidas de dos ángulos exteriores ortocentro, el circuncentro y el incentro son de un triángulo es 270º. Si el lado mayor mide el mismo punto. 36µ, calcule la distancia del ortocentro al a) VFF b) VFV c) FVF baricentro de dicho triángulo. d) VVV e) FFV a) 15µ b) 12 c) 9 d) 18 e) 6 2. En un triángulo acutángulo ABC, mBB - mBC=40º. Siendo "I" el incentro y "O" el circuncentro de dicho triángulo, calcule la mBIAO.

a) 10º d) 30º

b) 15º e) 20º

5. Calcule : "xº" xº

c) 25º

120º αº

βº

αº

a) 22,5º d) 37º Central: 619-8100

βº

b) 26,5º e) 40º

c) 30º


6. Dado un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH, siendo "I1" e "I2" los incentros de los triángulos ABH y HBC. Se traza BM ⊥ I1, I2 . Calcule: BM .(M ∈ I1I2) BH a)

3 c) 3 b) 2 2

d)

2 e) 2 2 4

7. En un triángulo ABC, con diámetro AC, se traza una semicircunferencia que contiene al baricentro "G" de la región ABC. Si: AG=2 5 µ y m AG =53º, Calcule BC. a) 5 17 µ c) 4 34 e) 34

b) 2 85 d) 2 34

respectivamente. Calcule : mBFOL. a) 20º d) 60º

b) 115º e) 108,5º

a) 150º d) 148º

a) 40º d) 70º

b) 20º e) 25º

b) 145º e) 158º

c) 30º

B xx P A

b) 95º e) 90º

20º C

10º

O

a) 10º d) 9º

b) 12º e) 8º

c) 15º

15. En el gráfico, "I" y "O" son incentro y ortocentro del triángulo ABC, respectivamente. Calcule "x". B

10. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD, de modo que: mBABD=70°, mBDBC=55°, mBADB=mBBDC=60°. Calcule la medida del menor ángulo que forman las diagonales del cuadrilátero ABC. a) 85º d) 75º

c) 146º

14. Del gráfico, "O" es circuncentro del triángulo APC y OB = CB. Calcule "x".

c) 120º

9. Grafique al triángulo ABC de incentro "I". En AC se marca "E" y con diámetro EC se traza la semicircunferencia tangente en "I" a AI. Calcule la mBBAI, sabiendo que el BABC mide 70°.

c) 40º

13. En un cuadrilátero ABCD; mBBAC=mBCAD =8º, mBBCA=13º, mBACD=69º. Calcule la medida del mayor ángulo formado por las diagonales.

8. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), de incentro "I" y circuncentro "M", la mBAIM=90º. Calcule la mBAIB. a) 90º d) 112,5º

b) 30º e) 80º

I O

c) 25º

11. Calcule "θ", si: "I" es incentro y "H" es ortocentro del triángulo ABC. B

A

a) 30º d) 45º

b) 36º e) 53º

x C

c) 37º

16. Del gráfco, "I1" e "I2" son los incentros de los triángulos ABH y HBC. Calcule: "xº", si: mBA=50º.

θ I

B

H θ A

a) 10º d) 24º

b) 15º e) 32º

c) 18º

12. En un triángulo acutángulo ABC; mBB=20º, "O" es el circuncentro, las mediatrices de OA y OC intersecan a AB y BC en "F" y "L", Quinto UNI 54

xº

C

I1 A

a) 75º d) 90º

I2 C

H

b) 80º e) 60º

c) 85º

Colegios

TRILCE

Geometría

Tarea domiciliaria

a) 1 d) 4

b) 2 e) Infinitos

c) 3

2. En un triángulo ABC de baricentro "G", siendo: BG=AC. Calcule la mBAGC. a) 90º d) 75º

b) 45º e) 120º

c) 60º

8. Se tiene un cuadrado ABCD, en BD y en la prolongación de DA se ubican los puntos "E" y "F", respectivamente, de modo que BEFG sea un rectángulo y AB ∩ EF={P}. Si: mBBGE=20º, calcule la mBPDA. a) 100º d) 30º

b) 25º e) 10º

9. Del gráfico, calcule "xº". B

3. Calcule la distancia del baricentro al ortocentro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 12µ. a) 2µ d) 6

b) 3 e) 8

c) 4

a) 40º d) 70º

10º A

4. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la ceviana interior BP, siendo "K" circuncentro del triángulo ABP y "O" circuncentro del triángulo PBC. Calcule la mBKPO, siendo además: mBABC= 70º. b) 50º e) 110º

a) 10º d) 30º

B

C

c) 20º

B 66º 48º xº

A

C 56º 68º

c) 45º

6. En el gráfico, "G" es baricentro del triángulo ABC, si: DC=4µ. Calcule: AM.

x

b) 15º e) 25º

c) 60º

b) 60º e) 75º

10º 20º

10. Del gráfico, calcule "xº".

5. En un triángulo ABC de circuncentro "K" y excentro relativo a BC "E". Calcule la mBA, siendo: mBBKC=2(mBBEC). a) 30º d) 90º

c) 20º

20º

1. Dado un triángulo, ¿cuántos puntos existen en el plano que equidisten de las rectas que contienen a sus lados?

D

a) 44º d) 80º

b) 84º e) 78º

c) 72º

11. Según el gráfico, calcule el valor de "θ". "E" es excentro del triángulo ABC.

R

E M

G

B C

A D

a) 4µ d) 7

b) 5 e) 8

θ

c) 6

7. En un paralelogramo ABCD, la mediana AM del triángulo ABC, intersecta en "F" a BD. Si: BD=12µ. Calcule BF. a) 2µ d) 8 Central: 619-8100

b) 4 e) 10

A

a) 18º d) 45º

O

b) 15º e) 60º

C

c) 30º

c) 6


12. En un romboide ABCD, se ubica el punto "E" en AD, "C" es el excentro del triángulo ABD y mBBEA = 80º. Calcule la mBABE. a) 20º d) 50º

b) 30º e) 60º

c) 40º

13. En un cuadrilátero ABCD, calcule la mBADB, si: mBBAC=40º, mBBCA=24º, mBDBC=52º, mBBDC = 80º. a) 40º d) 25º

b) 50º e) 30º

c) 60º

14. En un triángulo ABC de circuncentro "O" se traza la ceviana interior BL, de modo que: BC=LC, mBABL=20º y "O" ∈ BL. Calcule la mBLBC. a) 20º d) 60º

17. Se tiene un triángulo ABC, en donde "H" es el ortocentro, "O" el circuncentro; si: mBAHC=2(mAOC). Calcule la mBABC.

b) 45º e) 65º

c) 55º

15. En el gráfico, "C", "D" y "E" son puntos de tangencia. ¿Qué punto notable es "P" para el triángulo ABO? C

a) 36º d) 45º

b) 40º e) 39º

18. Sobre los lados AB, BC y AC de un triángulo acutángulo ABC, se construyen exteriormente los cuadrados con centros "M", "N" y "P", respectivamente; BP y CM se intersectan en "O". ¿Qué punto notable es "O" para el triángulo MNP?

a) Circuncentro c) Baricentro e) N.A.

b) Incentro d) Ortocentro

19. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B", la mBBAC=53º y AC = 10µ. Calcule el exradio relativo a la hipotenusa del triángulo ABC. a) 10µ d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

20. Calcule "x", si: "H" y "O" son el ortocentro y circuncentro del ∆ABC. B

A P

E F

c) 50º

B

O

θº θº 20º

H

D

a) Baricentro b) Incentro c) Ortocentro d) Circuncentro e) Un punto cualquiera

O x

A

a) 70º d) 80º

b) 60º e) 40º

C

c) 50º

16. En un triángulo ABC, la mBABC=53º, se trazan las alturas AD y CF. Si el circunradio de dicho triángulo es 25 cm, calcule DF. a) 16 cm d) 20

Quinto UNI 56

b) 18 e) 15

c) 24

Colegios

TRILCE

Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC, acutángulo, de ortocentro "O", la recta de Euler corta en el punto "F" al AC. Calcule: mBFDC, si AF=2FC=2OB ("D" es circuncentro). Resolución: B

3a 2m + n VBQC: tgβ= 3a n 3a 2 tgα tgβ=3 ; E (1) ^2m + nh n

VABQ: tgα=

VBQC: ∼ VAQH n = 3a ⇒ (2m+n)=3a2 a 2m + n

2k O

⇒

De (1) y (2)

\tgα tgβ=3.

D x

K

A

3k

45º

E

4k

K

F

37º/2

C 2k

Por el dato: AF=4k FC=2k OB=2k Por propiedad del ortocentro y circuncentro DE=k AE=EC=3k

3a 2 =1 N^2m + nh

3. En un triángulo ABC, la mBABC=x. Si la recta de Euler corta a los lados AB y BC en "F" y "G", respectivamente, y el cuadrilátero AHOC es inscriptible, calcule x (H: ortocentro y O: circuncentro). Resolución:

x+ 37º =45º 2 \ x= 53º . 2

B x

2. En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela a AC mBBAC=α, mBACB=β. Calcule: tgα . tgβ

F

Resolución:

A B

2a

O H a

a

α A

Q m+n

Central: 619-8100

(2)

m

β n

C

H

O

G

C

Piden: x Sea H: ortocentro y O: circuncentro AHOC: inscriptible : mBAHC=mBAOC por propiedad mBAMC=180º - x mBAOC=2x 180º - x=2x \ x=60º.


4. Se tiene el triángulo ABC de ortocentro "H". "M" y "R" son puntos medios de AB y BC. Si BM=8, calcule la distancia del circuncentro del triángulo mediano de ∆ABC hacia MR.

5. Si la medida de un ángulo del ∆ABC es 40º, calcule un ángulo de su triángulo tangencial. Resolución: B

Resolución: B

M

P x

8 M

H

O

O1

4 A

2x

R

x

40º

A α

N

C

Piden: x Por propiedad O1N= BH 2 ⇒ O1N=4 (O1: circuncentro del ∆ABC) O1: ortocentro del ∆MNR \ x=2.

Q

C

∆MPQ: triángulo tangencial del ∆ ABC Inscrito mPQ=2x 2x+40º=180º \ x=70º.

Problemas para clase 1. En un triángulo ABC, de circuncentro "O", ¿qué punto notable es "O" de su triángulo mediano?

a) Baricentro c) Incentro e) Circuncentro

b) Excentro d) Ortocentro

2. Dé el valor de verdad de las siguientes proposiciones: • En todo triángulo se determina su triángulo pedal. • En el triángulo acutángulo, el incentro es el ortocentro de su triángulo pedal. • Si la recta de Euler pasa por un vértice del triángulo, dicho triángulo debe tener por lo menos dos lados de igual longitud. a) VVF d) FVV

b) FFF e) VFF

c) FVF

5. En el gráfico, "H" y "O" son el ortocentro y circuncentro del triángulo ABC y BO // QP. Calcule "xº". B

Q

A

b) 50º e) 90º

Quinto UNI 58

b) 12 e) 4

x

O

b) 37º e) 60º

C

c) 45º

6. En el gráfico, calcule "θº", si "L" es la recta de Euler. L 2θº θº

c) 60º

4. En un triángulo escaleno ABC, la recta de Euler corta a los lados AB y BC en "M" y "N", respectivamente. Si mBB=60º y BN=4µ, calcule: MN. a) 8 d) 4 3

P

a) 53º d) 36º

3. En un triángulo ABC, mBABC=120º (AB
H

a) 53º d) 75º

b) 45º e) 60º

c) 37º

c) 8 3 Colegios

TRILCE

Geometría 7. En el gráfico: "H" es el ortocentro del triángulo ABC, "O" es el circuncentro y HB = 6 . Calcule OB 5 la suma de los ángulos HCO y OBC. B

H

a) 30º d) 53º

C

b) 37º e) 60º

a) Baricentro c) Incentro e) Punto de Gergonne

b) Circuncentro d) Ortocentro

12. Se tiene el triángulo ABC, de ortocentro "H" y circuncentro "O". Se ubica "M" y "N" en AC tal que MHON es un cuadrado. Calcule BH . AC

O

A

11. ¿Qué punto notable es el vértice de un ángulo obtuso de un triángulo obtusángulo para su respectivo triángulo pedal?

c) 45º

a) 1/3 d) 1/2

b) 1/4 e) 4/5

c) 2/3

13. Se tiene un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia de centro "O". Se traza el 8. Sea ABC un triángulo acutángulo de ortocentro diámetro AD, si "H" es el ortocentro del "H" y circuncentro "O". Si OB=HB, calcule la triángulo. Calcule la distancia de "O" al lado mBABC. AB, sabiendo que el perímetro del cuadrilátero a) 30º b) 45º c) 53º HBDC es 30 y la distancia de "O" al lado AC d) 60º e) 75º es 4µ. 9. Dado el triángulo acutángulo ABC, el BA mide 80° y sea E1E2E3 su respectivo triángulo excentral (E1 relativo a AB y E2 relativo a BC). Calcule la suma de los ángulos E2E1E3 y E1E3E2. a) 50º d) 120º

b) 60º e) 130º

c) 100º

10. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AM, BH y CN; desde "M" se trazan las perpendiculares MP y MQ a los lados AB y AC, respectivamente. Si PQ = 12, calcule el perímetro del triángulo órtico MHN. a) 8µ d) 20

Central: 619-8100

b) 12 e) 24

c) 16

a) 2µ d) 3,5

b) 3 e) 7,5

c) 4

14. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H", la recta de Euler interseca a los lados AB y BC en los puntos "P" y "Q", respectivamente, tal que: PB=BQ. Calcule la distancia de "P" a BC. Si: AH+HC=18. a) 9 d) 4,5

b) 10 e) 3

c) 6

15. Dado el triángulo acutángulo ABC, se traza la altura BH, y las perpendiculares HP y HQ a los lados AB y BC, respectivamente. Demuestre que el semiperímetro del triángulo órtico pedal es igual a la longitud del segmento PQ.


Tarea domiciliaria 1. En un triángulo ABC de circuncentro "O" y ortocentro "H", AC=24µ y OB=13µ. Calcule BH. a) 5µ d) 10

b) 7 e) 12

c) 8

2. En un cuadrilátero ABCD inscrito a una circunferencia; los puntos "F" y "G" son ortocentros de los triángulos ABD y ACD. Calcule FG, si BC=4µ. a) 1µ d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. En un triángulo acutángulo ABC: AC=4(BH). Calcule la mBABC, si "H" es ortocentro del triángulo ABC. a) 45º d) 76º

b) 60º e) 75º

c) 63º30'

4. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H", se cumple que: BH=10µ y AC=24µ. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BH y AC. a) 12,5µ d) 15

b) 13 e) 14

c) 12

5. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H" y circuncentro "K", calcule la mBABC, siendo: BH=BK. a) 30º d) 60º

b) 37º e) 72º

b) FFF e) VFF

Quinto UNI 60

b) 45º e) 30º

b) 130º e) 153º30'

c) 118º30'

9. Analice las siguientes proposiciones : • El circuncentro de un triángulo coincide con el ortocentro de su triángulo mediano. • El ortocentro de un triángulo coincide siempre con el incentro de su triángulo órtico. • El vértice de un triángulo puede coincidir con el incentro de su triángulo pedal. a) VFV d) FVV

b) VVV e) VFF

c) FFV

10. En un triángulo acutángulo ABC, la distancia del ortocentro H a B es 4µ, la distancia del punto medio de HO a AC es 5µ ("O" es el circuncentro del triángulo ABC); en dicho triángulo se traza la altura AM, si mBBHM=37º, calcule AC. a) 18µ d) 21

b) 20 e) 22

c) 19

11. Del gráfico, calcule "xº". B

C

60º

xº

c) VFV

7. En un triángulo ABC, mBABC=60º. Calcule la medida del menor ángulo determinado por BC y la recta que contiene al ortocentro y al circuncentro de dicho triángulo. a) 25º d) 60º

a) 118º d) 126º30'

c) 83º

6. Analice las siguientes proposiciones: • El ortocentro, baricentro y circuncentro, en ese orden, pertenecen a la recta de Euler. • En un triángulo obtusángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo obtuso. • En un triángulo, el ortocentro puede coincidir con uno de los excentros de su triángulo pedal. a) FVF d) FFV

8. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H" y circuncentro "O", la recta de Euler intersecta a AC en "F", de modo que: AF=2(FC)=2(HB). Calcule la mBHOC.

c) 55º

20º A

a) 18º d) 45º

40º 30º

D

b) 15º e) 60º

c) 80º

12. En un triángulo ABC, mBABC=120º. Calcule la medida del mayor ángulo formado por la recta de Euler y el lado BC. a) 130º d) 175º

b) 145º e) 120º

c) 160º

13. Calcule la medida de un ángulo interior de un triángulo, si se sabe que es igual a la medida del ángulo interior opuesto de su triángulo tangencial. a) 30º d) 60º

b) 45º e) 54º

c) 36º

Colegios

TRILCE

Geometría 14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH. "M" y "N" son los incentros de los triángulos ABH y HBC. Se traza la perpendicular BR a MN. Si mBBAC=50º, calcule la BRBH. a) 5º d) 20º

b) 10º e) 25º

c) 15º

15. Grafique el triángulo acutángulo ABC de circuncentro "O". Si la mBA=70º, calcule la mBOBC. a) 18º d) 37º

b) 20º e) 35º

c) 15º

16. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas, cortándose en "O". Si la distancia entre los circuncentros de los triángulos ABC y AOC es 8µ, calcule: OB. a) 4µ d) 10

b) 6 e) 12

Central: 619-8100

b) 80º e) 135º

a) 1/2 d) 1/3

b) 3/5 e) 1

c) 2/3

19. Calcule la distancia del circuncentro de un triángulo acutángulo ABC hacia la altura BF, sabiendo que su circunradio mide 12µ y mBA - mBC=30º. a) 4µ d) 9

b) 6 e) 10

c) 8

20. En el gráfico mostrado, QR // PS. Calcule "αº". Q

2αº

R

c) 8 αº

4αº

17. En un triángulo ABC, se sabe que: mBAHC=mBAKC. Calcule la mBAIC, siendo: "H", "K" e "I" el ortocentro, circuncentro e incentro, respectivamente. a) 100º d) 120º

18. En un triángulo obtusángulo, la distancia del ortocentro al baricentro mide (a+b) y la distancia del circuncentro al ortocentro mide (2a). Calcule (b/a).

P

a) 15º d) 10º

4αº

S

b) 18º e) 12º

c) 5º

c) 60º



1. Del gráfico, MNPQ es un cuadrado AB // NP y MP=4(PB). Calcule RQ QC

B a

A

D

M

N B

a

P

M

A

α α

Resolución: A N

2m

M

B

45º 45º P 2m

H

4

C

Q

R

α 2 R x 2 C

P

DH // AB BD = AH DC HC

Aplicando T. Ceva. (AM)(BD)(HC)=(AH)(DC)(BM) ⇒ AM=MB DH // AB ⇒ HR=RD T. Mediana relativa a la hipotenusa \x=2.

3. En el gráfico mostrado, MN=6, PC=8. Calcule AC. D

R x Q

x

B

C

Piden x y MP=4 m, PB=PB=m Complementando la semicircunferencia "D", "M" y "B" son colinelaes porque mDA=90º mBDBC=90º :RMBC: T. THALES x = 2m [ \ x= x = 2 . y 3m y 3 [

A

M

N

Resolución: B

c

2. En el gráfico mostrado AB // HD, AH=4. Calcule RP.

a

B

2c b

D

M

A

R A

α α

Ciclo UNI 62

C

P

H

P

C

n

M

6

N

e=4 x

P

C 8

Piden: "x" T. Thales a = e ⇒ e=8 b 8 a= 6 b e+8 Colegios

TRILCE

Áritmética Geometría

T. Thales: 12 = a + b 6 c 3 c x = T. Thales: 2c 18

⇒ 2c=a+b

5. En el gráfico, BM=MC. AL = 5 . Calcule BL . LM 3 LN B

αα

\ x=27º. M

4. En el gráfico, ME=3, EC=5. Calcule BE. L

E A θ

r

A

B

C

N

Resolución: B

M θ

θ

αα 3m

5m

C

Resolución:

3k 5k

E

r

A θx B

r

A

5

3-x

3m

L y N

6n

C

x Piden: y T. Bisectriz interna AB=5 m BM=3 m T. Bisectriz interna AB=5 n NC=6 n ∆BNC: T. Menelao ⇒ MC=4 3m [=3m [ [ x 5n [ y 11n x 11 \ = y 5

M 4 C

5n

M

Piden: "x" AM=AL ⇒ mAM=mAL ⇒BInscrito: mBACL=θ V MEC: NOT 53º y 37º ⇒ MC=4 T. Bisectriz interna 5 = x 4 3- x \ x= 5 . 3

Problemas para clase 1. Grafique al triángulo ABC, de modo que: AB=9 dm, BC=12 dm y AC=14 dm. Trace la bisectriz interior BI y la mediana BM. Calcule el valor de MI. a) 0,5 dm d) 2,5

b) 1 e) 3

c) 2

2. Sea ABC un triángulo cuyo lado AC mida 8 dm. Trace la mediana AF y la ceviana CE, de modo que la prolongación de EF corte a la prolongación de AC en "H". Calcule el valor de HC, si AE=6 dm y EB=4 dm. a) 10 dm d) 16

Central: 619-8100

b) 12 e) 18

c) 14

3. Sea ABC un triángulo, AI una bisectriz interior, y trace IF paralela a AC (F∈FA). Si FB=4 dm y FI=5 dm, calcule el valor de AC. a) 10,20 dm b) 11,25 d) 13,25 e) 14,25

c) 12,25

4. Dado el triángulo ABC, marque "H" en AB, "E" y "F" en BC, de modo que: F∈EC, HE // AF, HF // AC, EB=7 dm y EF=9 dm. Calcule CF. a) 18,23 dm b) 19,75 d) 21,22 e) 23

c) 20,57


5. En un triángulo ABC, los ángulos BAC y ACB miden 73° y 39°, en ese orden. Calcule la distancia del incentro al vértice "B", en función de los lados. â + bh b ^b + ch b â + ch c b) c) a+b+c a+b+c a+b+c â + ch a â + bh a d) e) a+b+c a+b+c

a)

6. En un triángulo ABC, AB=3µ, BC=12µ. Calcule la medida de la bisectriz interior, si mBB=120º. a) 2µ d) 5

b) 2,4 e) 6

11. Grafique al pentágono ABCDE de modo que ABDE sea un cuadrado y que el ángulo ECD mida 45°. Las diagonales AC y CE cortan a BD en los puntos "P" y "Q", respectivamente. Si BP y QD miden 5 dm y 12 dm, en ese orden, calcule el valor de PD. a) 12 dm d) 15

b) 13 e) 16

12. En el gráfico : EF = 3 , FG = 1. Calcule GH, si "T" es punto de tangencia.

c) 4 T

7. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B; si en AB se ubican los puntos "P" y "Q", tal que : mBACP=mBPCQ=mBQCB; AP=a y PQ=b. Calcule QB. a)

a â + bh 2aâ + bh b) c) b (a+b) 2b b a

b â + bh d) b (2a+b) e) a 2a 8. En el gráfico, L1//L2//L3//L4. Calcule: x+y+z+w. 5

y

x2 - 1

3z+y

3y+1

3z

L1

4y w2+5w 4z+16

L2 L3

b) 12 e) 20

a) 1 d) 0,5

b) 53º e) 75º

b) 2 e) 2,5

Quinto UNI 64

b) 4 e) 6,66

c) 3

13. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia; se trazan las cevianas interiores AM y AN, paralelas a las tangentes trazadas a la circunferencia por "B" y "C", si AB=K y AC=P. Calcule: BM / NC. 2 P P2 c) a) K2 b) K P K2 2K d) K e) P P

14. En el gráfico, AB=CD=3 y BM=2. Calcule MD. B

θ

α+θ

C b

M

c) 45º

10. Grafique la semicircunferencia de diámetro AB y en la prolongación de AB marque "P". Luego trace la secante PSQ, las cuerdas AS y QB que se cortan en "E". La perpendicular trazada a AB por "E", corta a SQ en "F", si : QF=5 dm y SF=2 dm. Calcule SP. a) 3 dm d) 5,44

H

G

c) 13

9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BT, "T" en la prolongación de AC. Si BT=10 y las alturas AH y CR del triángulo ABC miden 8 y 4, respectivamente, calcule mBTBC. a) 37º d) 60º

F

E

L4

a) 10 d) 15

c) 14

α

a+b

a

A

D

a) 1 b) 2 d) 2 e) 3

c) 3

15. En el gráfico, BC // AD. Calcule PD, si MP=6 y AN=2(NC). B

C N

M P

c) 4,66

A

a) 8 d) 12

D

b) 9 e) 18

c) 10 Colegios

TRILCE

Geometría

Tarea domiciliaria 1. Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz BF (F en AC) y luego se traza la ceviana AM (M en BC), la cual intersecta en su punto medio a BF. Si BM=4µ y CM=12µ, calcule AB. a) 4µ d) 10

b) 6 e) 12

6. Del gráfico, BP = 5(AP) , BQ = 3(QC); AM=MD y NC=20µ. Calcule DN. B

c) 8 D P

2. En un triángulo ABC, si mBB=120º, AB=5µ y BC=15µ. Se traza la bisectriz interior BE. Calcule BE. a) 11/4 d) 17/4

b) 17/8 e) 19/6

c) 15/4

Q M

N C

A

a) 8µ d) 12

b) 9 e) 15

c) 10

7. Del gráfico, AH=7µ y HB=2µ. Calcule BC.

3. En el gráfico, calcule "xº". 6

x

9

α

A

α 12

a) 10µ d) 6

b) 7 e) 8

c) 4

4. En el gráfico mostrado, si los radios de las semicircunferencias miden 3µ y 4µ, respectivamente, calcule TD. (T: punto de tangencia).

H

a) 2,8µ d) 4

b) 3,6 e) 5

B

I θ

T A B

A

b) 2,8 e) 2,4

c) 3,6

5. En el gráfico mostrado, I → incentro del triángulo ABC. Además: AB=5µ; BC=7µ; AC=6µ y EM // BD. Calcule AM.

a) 1,5µ d) 3

A

a) 13/12 d) 15/13 Central: 619-8100

C

c) 2,5

9. Del gráfico, L1//L2, L3//L4. Calcule la relación entre AB y PQ, siendo (BC)(CD)=36µ2 (QR)(RS)=12µ2. A

C

M

G

b) 2 e) 4

B

I

θ

M

B

E

c) 4,8

8. Del gráfico, calcule "IG", siendo I: incentro, G: baricentro y BI=6µ. (AM = MC).

D

a) 3 d) 4

P

L1

Q

L2

R

L3

S

L4

D D

b) 15/11 e) 13/7

C

B

C

c) 15/17

a) 2µ b) 2 d) 3 e) 5

c) 3


10. En un triángulo ABC; mBABC=120º, AB=4µ y BC=6µ. Calcule la longitud del segmento bisectriz interior, trazada desde el vértice "B". a) 5µ d) 2,8

b) 4,2 e) 2

17. En la figura, calcule CD, si BD=7, AB=BC, PB=4PH. B

c) 2,4 D

11. En un cuadrilátero ABCD, las prolongaciones de BC y AD se intersecan en E. Calcule DE, si AB=3µ; CD=2µ y AD=4µ. Además: mBABC=mBBCD. a) 13/3 µ d) 16/3

b) 4/3 e) 8/3

c) 5/3

12. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior del ángulo de vértice "B" que interseca a la prolongación de AC en "F". Luego, se ubica el punto "D" en AB, tal que: DF corta a BC en "E". Si AD=2µ, BD=4µ y BE=3µ, calcule EC. a) 0,5µ d) 2

b) 1 e) 2,5

A

α α

b) 16 e) 31

c) 40

a) 2,5 d) 2,8

b) 3,5 e) 3,8

b) 5 e) 11

c) 10

15. En un triángulo ABC (AB=BC), la bisectriz interior AF intersecta a la altura BH en "E". Si AE=6µ, EF=4µ y BE=12µ, calcule HE. a) 3µ d) 3,5

b) 4 e) 4,5

O B A

a) 5 d) 9

C

b) 8 e) 7

D

c) 6

45º 45º x B

A

a) 37º d) 15º

b) 53º e) 8º

C

c) 45º

20. En el gráfico, calcule FC, si BF=8 y AM=MC. B

c) 5

F

E

C

H

19. En la figura, calcule "x", si AB=1 y BC=3.

16. En el gráfico mostrado, calcule AB, si EB // AF, CD=a, BC=b (D: punto de tangencia). D

c) 3

18. En la circunferencia de centro "O", calcule AB, si BC=3, AH=HC=CD.

14. En un triángulo ABC, por el punto medio de AB se traza una recta perpendicular a la bisectriz interna BD; dicha recta intersecta a BC en "Q". Calcule QC, si AB=6µ, AD=5µ y DC=QC. a) 6µ d) 15

C

H

c) 1,5

13. En un paralelogramo ABCD, en la prolongación de AB se ubica el punto "E", ED intersecta a BC y AC en "M" y "N", respectivamente. Calcule ED, si MN=9µ y ND=15µ. a) 20µ d) 25

P

α A

F

B

a) 16 d) 14

α M

b) 8 e) 10

C

c) 12

A

a) b (a - b) a

b)

ab c) b (a+b) a a+b

d) b a + b e) ab a Quinto UNI 66

Colegios

TRILCE

Geometría


1. En el gráfico: "P" y "Q" son puntos de tangencia, calcule PT, si AM=9, BN=16.

B b

Q

A

O

P

B

Resolución: N

Q n M

20 15

9 A

P

90º

O

α α

B

T M θ

C

Resolución:

x 90º

B

T

Piden x Por Pro.: m AT =mTB V ANQ ∼ V QNB: n = 9 ⇒ n=12 16 n 15 . 20 Por Prop. l= 2 ⇒ l= 60 2 7 15 + 20 ∆ AQP ∼ ∆ QTB 15 = l l + x 20 \x= 125 2 . 14

3k P

2. En el gráfico mostrado AM=a, BM=b. Calcule: TQ. Q

x A 4k

Piden: x ∆APB ∼ ∆PBC PB = 3 PC 4 Por Prop.

(3k)2=4k(4k - 7) ⇒ k=4 \ x=9.

B

Q

3. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia: AB=6, BC=8, AC=7. Por "B" se traza la tangente a dicha circunferencia que interseca a la prolongación de CA en "P". Calcule: PA.

16

α

θ x

b

Piden: x mBQBC=mBQAC ∆ ABM ∼ ∆ BTQ b=a x b 2 \x= b . a

T

n

a

α α

A

M

α

θ

N

α

8 6 α 7

C

T A

α α

Central: 619-8100

M C


4. En el gráfico: 3(AB)=2(EB). DE=18. Calcule AC (BC=BD).

5. En un triángulo rectángulo ABC, donde "I" es incentro, si (AI)(IC)=400. AC=40. Calcule BI. B

B

45º 45º

θ x

A

θ

D

C

E

B α 3k

2k a

a

α x

D

C

θ e

18

x

2

E

45 b

135 x

α M

2 2

2

2

C

40

Piden: x Del dato AB=400 Por Prop. del incentro mBAIC=90º+ 90º =135º 2 x 2 IN= 2

Piden: x Del dato AB=2k EB=3k Por Prop. (2k)2=l . x (3k)2 = l . 18 ⇒ 4= x 9 18 \ x=8.

b

I

α A

θ

2

a

Resolución:

A

T

VAIM ∼ VACT x 2 [ 2 = a ⇒ x = a 40 b 40 b 2 [ 2 x= ab = 400 40 40

\ x=10.

Problemas para clase 1. En un pentágono ABCDE, se sabe que: mBCDE=mBCBE=mBCAE=90°, BC=CD=20 dm, AC=50 dm y BD ∩ AC={Q}. Calcule el valor de QC. a) 4 dm d) 12

b) 6 e) 14

Quinto UNI 68

b) 9 2 e) 18 3

A

c) 8

2. En una circunferencia de centro "O" se encuentra inscrito un triángulo ABC. Sea "P" punto medio de AB y trace desde "P" perpendiculares a los radios OB y OA que cortan en "M" y "N" a los lados BC y AC, respectivamente. Si: (PM)(NP)=162 dm2. Calcule AB. a) 9 dm d) 18

3. A, B y C son puntos de tangencia. Si los radios miden "a" y "b", calcule la distancia de "C" a la tangente común AB.

c) 18 2

B a

b O1

a) d)

C

O2

2ab b) 2 ab c) a+b a2 + b2 e) ab a+b

ab

Colegios

TRILCE

Geometría 4. En la figura: R=12, OA=10 y OB=14,4. Calcule "r" ("P" punto de tangencia).

9. En el gráfico, EFGH es un paralelogramo y (FH)(EF)=9(MN). Calcule EH.

A

N

F

G

r O

P

M

R α

E B

a) 5 d) 7,2

b) 8 e) 4,8

c) 6

α H

a) 4 d) 9

b) 18 e) 5

c) 4,5

10. En la figura: RS=10, ES=5, VE=3. Calcule ST. 5. En un triángulo rectángulo ABC, donde "I" es incentro, si (AI)(IC)=400 dm2 y la hipotenusa AC=40 dm, calcule BI. a) 20 dm d) 5

b) 15 e) 12

R β

c) 10

θ θ

l3

l1

B

l2

G F A

E

a) 24 d) 12,5

C

D

b) 16 e) 8,5

a) 2 d) 6

b) 2,5 e) 8

c) 4

11. En el gráfico R=6 dm, r=4 dm, si "A", "P", "Q", "C", son puntos de tangencia. Calcule el inradio del triángulo ABC. B

c) 12 P r

N H B

A

T

V

7. En la figura mostrada, calcule FH, si BN=1 y AM=4. (A y F: punto de tangencia). M

E

β+θ

6. En el gráfico: DC=8 y ED=4. Calcule AE. (L1 // L2 // L3 )

S

A

F

a) 4 d) 2,4

R Q

C

b) 3 e) 2

c) 2,5

12. Según el gráfico, calcule "R", si TQ=QP=4, AE=10. a) 2µ d) 5

b) 2,4 e) 6

E

c) 4

8. En el gráfico, BM=MN y ABCD es un cuadrado. Calcule "x". B

M

N

x

Q

A

B

P

b) 6 e) 5

c) 7

D

A

Central: 619-8100

R

C

a) 4 d) 8 a) 8º d) 53°/2

T

b) 15º e) 30º

c) 37°/2


13. En la figura, AT=2(TB), mDE=m ET , si BC=2, BT=6 y DF=3. Calcule AE (T: punto de tangencia).

15. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. AB=BD, (EB)(JC)=16 y BJ=2. Calcule EC. B

A D

F

T

J

A

C

D

R

B

E

a) 8 d) 4

C

b) 6 e) 2 2

E

c) 3 2

14. En el gráfico (EB) (BT) =3, si "M" y "N" son puntos (BN) de tangencia. Calcule BM.

b) 8 2 e) 16

a) 4 d) 8

c) 32

B θ θ θ T

E A

N

M

a) 1,5 d) 4,5

b) 2 e) 6

c) 3

Tarea domiciliaria 1. Sea ABCD un trapecio cuya base menor BC mide 3 dm. Las diagonales e cortan en "O" y se cumple que 5(BO)=2(DO). Calcule AD. a) 6,7 dm d) 8

b) 7 e) 8,5

c) 7,5

2. Grafique el trapecio rectángulo ABCD (mBB=mBC=90º) cuyas diagonales se cortan en "O". Si AB y CD miden 4 dm y 6 dm, en ese orden, calcule la distancia de "O" hasta BC. a) 1,6 dm d) 4,2

b) 2,4 e) 5

c) 3,6

3. En el gráfico mostrado, calcule: mBACB + mBABC mBDCE + mBDEC

10

A

a) 1/2 d) 3/2 Quinto UNI 70

14

12

b) 1 e) 4/3

5

6

a) 40 dm d) 56

b) 42 e) 60

c) 50

5. Grafique al rectángulo ABCD y trace DH perpendicular a AC, y QH perpendicular a AD. Calcule DH, si HQ=4 dm y AB=25 dm. a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 14

6. En el gráfico: PQ=6 dm, QM=2 dm y R=5 dm. Calcule la mayor flecha correspondiente a la cuerda AB.

B D

4. Grafique dos circunferencias tangentes exteriores de radios 5 dm y 4 dm. Luego se trazan las rectas tangentes comunes exteriores que se cortan en "P". Calcule la mayor distancia de "P" a la circunferencia mayor.

7

M

Q

E P

N O

A

B

R

C

c) 2

a) 1,6 dm d) 8,4

b) 2,8 e) 9,6

c) 7,1 Colegios

TRILCE

Geometría 7. Grafique el cuadrado ABCD de 30 dm de lado. En AB, marque los puntos "M" y "N" de modo que: AM=MN=NB=10 dm. AC y DM se cortan en "Q". DB y NC se cortan en "P". Calcule PQ. a) 15 dm d) 17,5

b) 18 e) 20

b) 14 e) 10

c) 15

9. Un trapecio ABCD está inscrito en una circunferencia, la base menor BC mide 18 dm, AB=12 dm. Por "C" se traza una tangente a la circunferencia que con la prolongación de AD se corta en Q. Calcule DQ. a) 8 dm d) 9

b) 7 e) 10

M

α

b) 4,5 e) 8

P

N

A

a) 2,4µ d) 3,6

b) 3 e) 4,8

E

P

A

C

F D

a) 5µ d) 4

b) 6 e) 3

c) 7

14. En la circunferencia de centro "O", calcule PQ, si AP=5 y AB=6. B Q P A

a) 1 d) 2,3

D

c) 3,2

B

11. En el gráfico, 2(AC)=3(CE). Calcule AB DE θº

Q

13. En el gráfico, PE=8µ, BC=10µ y CD=16µ. Calcule PF. (B y D: puntos de tangencia).

c) 5

B

α C

c) 6

10. En un triángulo ABC, donde: AB=9µ, BC=10µ, y AC=8µ, se traza una recta paralela al lado AB que interseca a BC y AC en "P" y "Q", respectivamente; además, contiene al incentro del triángulo. Calcule PQ. a) 7µ d) 6

B

c) 17,2

8. En un paralelogramo ABCD (AB
12. En el gráfico mostrado, AMPC es un paralelogramo. Calcule PQ, si MN=3µ y NP=5µ.

O

C

H

b) 2,2 e) 1

c) 2

θº A

C

E

15. En la figura, calcule BC, si "O" es cincuncentro del triángulo ABC. Si: BN=NC, AM=5 y MC=4. B

3 c) 4 a) 2 b) 3 4 3 5 d) 3 e) 2 3

N O A

M

a) 3 2 b) 2 3 d) 2 6 e) 5

Central: 619-8100

C

c) 6 2


16. En la semicircunferencia, calcule PQ, si AT=8, BQ=9 y AB=12 (O es centro). T

Q

19. En la siguiente figura, calcule AD, si AB=6, DE=3, AD=CE+1. B

P

E O

A

a) 6 d) 3

B

b) 8 e) 4

A

c) 7

17. En la figura, calcule ME, si BC=16, AB=12 y AM=MC. B

a) 3 d) 4

b) 6 e) 5

P C

M

a) 6 d) 15/2

b) 8 e) 4

c) 7

c) 2

20. En la siguiente figura, calcule AD, si AB=6, DE=3, AD=CE+1.

E A

C

D

A

a) 30º d) 45º

B x x R C

b) 37º e) 60º

D

c) 53º

18. En la figura, calcule x si AB=BC=CD. D x

C B

α

α

E

a) 37º d) 45º

Quinto UNI 72

b) 60º e) 53º

A

c) 30º

Colegios

TRILCE

Problemas resueltos ! 1. En el gráfico: calcule mLE . AB es igual al diámetro de la circunferencia (B: punto de tangencia). ALEF: cuadrado.

N

B

C

B

A

L

D

M

P

A

Q

Resolución: E

N 2

F

Resolución: B S

2r

2

2 (2r) - m 45º r

4

m m

r

A

L

B

x

C P

A

x

x+4

x+1 3 Q

r E

D

M x+2

F

Piden x AB = 2r T. tangente: (2r)2=( (25) 2 - m2 +m)m ⇒ m= 2 r ∆ STL: NOT 45º y 45º B inscrito \x=90º.

Piden: x T. cuerdas: x(x+4)=(x+2)(x+1)

\x=3.

3. Si A, B, C y D son puntos de tangencia, PQ=QF, calcule: PB FD P

B

C

D Q F

2. En la figura, "D" es punto de tangencia. AD y NQ son diámetros. AB=4, NM=2 y PQ=3. Calcule BC.

Central: 619-8100

A


Resolución: P

x

B

m

2θ

θ C

5. En el gráfico, T es punto de tangencia. EB=3, AB=9. AB // DN. Calcule ET.

D

E y

Q

T

m F

2θ

N

B

θ A A

Por prop. circunferencias tangentes exteriores :ACQF: inscriptible T. Tangente: x2=(AP)(CP) T. Tangente: y2=2m.m :ACQF: T. secante (AP)(CP)=2m.m ⇒ x=y \ x =1. y

Resolución: E

B

A

C

T

P

N

θ //

9

A

P

x

3

4. En el gráfico, calcule: AC , si AB=BC (P: punto de AP tangencia).

B

D

M

//

θ

θ M

D

: MPND: Inscrito : ABPM: Inscriptible T. Secante: 12.3=(ME)(PE) T. Tangente: x2=(ME)(PE) ⇒ x2 = 12.3 \x=6

Resolución: A n

m B

L P

m C

E F

mBAEF=mBCBF:: Inscrito ⇒ :LFCB: inscriptible T. Secante: 2m.m=(AF)(AL) T. Tangente: n2=(AF)(AL) ⇒2m2=n2 \ 2m = 2 . n

Quinto UNI 74

Colegios

TRILCE

Geometría

Problemas para clase 1. En la figura, AH = 5 y HB = 10. Calcule "PH". C P A

B

H

a) 3 2 dm d) 6 2

5 2 b) 3/2 2 c) 2 e) 2 3

a) 4 2 d) 2/5 2

6. Grafique un cuadrado ABCD cuyo lado mida 15 dm. Sea "C" una circunferencia de centro "D" y radio igual a 15 dm. BM corta a "C" en "E", siendo "M" punto medio de CD. Calcule el valor de EB.

2. En la figura, calcule "AB".

b) 4 c) 5 +1 + 65 1 d) 5 e) 2 8. En la figura: AP = 5, PB =3 y OP= 3 . Calcule "r".

A

3 +1

B

A

b) 3 e) 9

c) 6

3. En la figura, AB = 2; CD = 4 y EF = 5. Calcule "OT". (P: punto de tangencia). A

P

B O

E T C

c) 6 3

7. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se trazan las secantes PAB y PCD; de tal manera que: PA=CD, AB=3 y PC=4. Calcule: AP. a)

12

a) 2 2 d) 2

b) 3 5 e) 5

P

r

O

B E

a) 4,2 d) 3 2

b) 2 2 e) 2 3

c) 4,4

9. En la figura, AT = a y BP = b. Calcule "AB" en función de "a" y "b". (P y T: puntos de tangencia).

F

T D

a) 2 d) 1,5

b) 2,5 e) 3

4. En la figura, calcule "PT". Si AT = 6µ y TB = 2µ. (P y T: puntos de tangencia) P

T

A

A

c) 3

B

B P

2ab c) ab b) a2 + b2 a+b d) a+b e) a2 - ab + b2

a)

10. En la figura : AH =10, HB = 24 y PH = 30. Calcule: OH. P

a) 2 3 µ d) 5

b) 4 e) 3

c) 3 2 O

5. Se tiene un trapecio isósceles, una de sus diagonales mide 2 79 unidades y el producto de las longitudes de sus bases es igual a 216 u2. Calcular la longitud de uno de los lados laterales. a) 79 d) 10

Central: 619-8100

b) 12 e) 4 5

c) 6 2

A

a) 8 d) 170

H

b) 3 5 e) 9

B

c) 6


11. Sea ABCD un romboide cuyas diagonales AC y BD miden 20 dm y 16 dm, en ese orden. La circunferencia circunscrita al triángulo ABD es secante a BC y tangente en CD en "D". Calcule CD. a) 3 2 dm d) 6 2

b) 4 3 e) 2 7

14. En el gráfico mostrado: CD=4 y DE=1. Calcule "BC" (O y O1 son centros).

c) 6 A

12. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O", se traza el radio OC⊥AB y la cuerda AD, de modo que: AD∩OC={E}. El radio de la circunferencia que contiene a los puntos "C", "D" y "E" mide 2 . Calcule "DE", si AB=8. 6 5 a) 3 6 b) 5 5 d) 4 2

D E

C

O1

O

B

a) 7 b) 5 d) 21 e) 35

c) 2

15. En la figura, ET = 40 y EF = 58. Calcule "FP". (P y T: puntos de tangencia). E

c) 3 3 T

e) 5 7

13. En la figura, "P" es punto de tangencia. AB=1, BC=6 y DC=5. Calcule (PB)2+(PC)2. P

C

a) 11 d) 38

a) 40 d) 46

O

A B

b) 35 e) 52

F

P

D

b) 42 e) 48

c) 44

c) 46

Tarea domiciliaria 1. Sobre el arco AB de una circunferencia circunscrita a un cuadrado ABCD, se ubica el punto "P", tal que : PB + PD = 8u. Calcule PC. a) 2 u d) 4 2

b) 2 2 e) 8

3. Del gráfico: CM=MD. Calcule BE, si el lado del cuadrado ABCD mide "a". B

c) 4

M

2. De la figura : PC=3u; CD=5u y AP=4u. Calcule AB. (I: Punto de tangencia). Q

A

D

A

a 5 a) a 5 b) a 3 c) 5 a 2 d) a 3 e) 3 2 4. Calcule PT, si BC=2µ y AB=1µ. (T y B son puntos de tangencia).

I P

B

C D

a) 2 u d) 5

b) 3 e) 6

C

E

T

c) 4

P A B C

a) 4µ d) 1,2 Quinto UNI 76

b) 2 e) 3

c) 1 Colegios

TRILCE

Geometría 5. Del gráfico: AM=MC, calcule BQ, siendo: AP=4u, PB=5u y QC=3u (M es punto de tangencia)

10. Del gráfico, calcule AT, siendo: AB= 5 u (A y T son puntos de tangencia). T

B

A

2R

A

a) 2,5 u d) 7,5

C

M

b) 9 e) 12

c) 7

b) 2,75 e) 1,25

B T

M

C

B

T

D

c) 1,5

3BC=6CD=2DE

R

a) 4 µ d) 3 3

y

AB=6u.

a) 8µ d) 6

b) 12 e) 18

b) 5 e) 6 3

D

c) 6

D

c) 14

b) 12 e) 14

c) 10

14. En un triángulo ABC; AB=9µ, AC=12µ, siendo "M" punto medio de AC. La circunferencia que pasa por los puntos "B", "C" y "M" corta a AB en "N". Calcule BN. a) 0,5 µ d) 3

B C

A

13. Desde un punto "F" exterior a una circunferencia se trazan las tangentes FA, FB y la secante FCD que interseca a AB en el punto "G", si GC=2µ y FC=3µ. Calcule GD.

E

Central: 619-8100

c) 5 3

C

P

b) 1 e) 5

a) 10 u d) 16

b) 5 7 e) 7 5

12. Del gráfico, calcule PT, si PR // CD, PQ=3µ y QR=9µ. (T: punto de tangencia).

c) 2

A

A

a) 3 7 d) 3 3

C

2 5

9. Del gráfico: Calcule AE.

P

B

Q

8. Calcule PM, si ABCD: cuadrado.(BM=MC).

a) 0,5 u d) 2

O

Q

b) 1,5 e) 2 2

B

Q T

P

P

A

a) 1u d) 2

c) 5

A

c) 2

7. Del gráfico: AB=AC, PQ=1u. Calcule BT. (T es punto de tangencia).

b) 2 5 e) 10

11. Del gráfico: AO=OB=15u, calcule PQ. (Q y T son puntos de tangencia).

6. Dado un romboide ABCD, cuyas diagonales son AC=8u y DB=10u, la circunferencia que pasa por "B", "C" y "D" corta a la prolongación de la diagonal CA en "E". Calcule AE. a) 1,75 u d) 2,25

R

Q

P

a) 8u d) 10

B

b) 1 e) 2,5

c) 2

15. En una circunferencia de diámetro AB y centro "O", se traza una circunferencia con diámetro AO. Se traza la cuerda CD tangente a la circunferencia menor en "E". Si: CE=4u; CD=16u, calcule AE. a) 5 2 d) 6 3

b) 4 2 e) 4 3

c) 5 3


16. Siendo "P" y "J" puntos de tangencia, calcule EJ, si además: 1 + 1 = 1 AJ LJ 5 L

A

2 c) 7 a) 3 b) 5 5 11 d) 1 e) 2

J

E

19. En un cuadrilátero ABCD inscrito a una circunferencia AC∩BD={P}, calcule BP , PD siendo: AB=3u, BC=4u, CD=5u y AD=6u.

P

20. En la circunferencia clacule "x", si "T" es punto de tangencia. TP = 4 . AP 3 a) 2,5u d) 10

b) 7,5 e) 12,5

c) 5

T x

17. Calcule MN, si PQ=SN, QS=1µ y SR=3µ (P y Q son puntos de tangencia). P

M

B

Q

a) 54º d) 60º

S R

O

b) 45º e) 23º

A

P

c) 37º

N

a) ( 2 +2)µ b) ( 3 +1) d) ( 2 +1) e) ( 5 +1)

c) ( 2 -1)

18. En el gráfico: AB=BC=CD. Calcule AD, si R=9µ y r=7µ.

A

B

C O r

a) 4 d) 9

QuintoUNI Ciclo UNI 78

b) 8 e) 15

D

R

c) 12

Colegios

TRILCE


1. Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia AD // BC, BC=AB=2, AC=3. Calcule el radio de dicha circunferencia.

P x

Resolución: 2

B

m

C

h

R

A

Q

3

θ

A

2

2

S

n

B 5

D

F θ M

Por RMTR: X2=mn ∆ AQB~∆QSM 3 = m ⇒ mn=24 n 8 ⇒ X2=24

\x2=2 6 .

Piden R

2 T. Pitágoras: 22=h2+` 3 j 2 ⇒ h= 7 2 ∆ T. Lados: 2.2=h.2.R 2.2= 7 .2R 2 \R= 4 7 . 7

3. En el gráfico calcule "R". Si "P" es punto de tangencia, BO=a, HO=b. B P

2. En el gráfico: BM=5, MQ=8. Calcule PQ. P

R A

H O

Resolución:

Q

B A

F

P

B a

R R

M A n

Central: 619-8100

R

H O b


Piden R Por RMTR: a2 = nR ÷ Por RMTR: R2 = nb a2 b = R3

\ R= a b . 3

5. En el gráfico se muestra un cuadrado ABCD. "T" es punto de tangencia. Calcule "x". B

C T

2

4. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH y la ceviana interior AD. AD=DC=HC=1. Calcule BC. Resolución:

x A

D

Resolución:

B D

x

3a

B 1

1 J

H

2a

a 1

C

T

R A

O a a

C

4a

R 37º

Piden x Por las RMTR: x2=2a.1 ∆ BHC~∆ DJC x = 1 ⇒ a= 1 1 a x

x

A

D

R=4a

Por el teorema de las circunferencias tangentes R=2 R.a ⇒ R=4a ∆ABO: NOT 37º y 53º ! B Central: mBT =37º o \ X= 37 . 2

Remplazando x2=2` 1 j .1 x 3 \ X= 2 .

Problemas para clase 1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH; de tal manera que: HC=2 y AB=4 5 . Calcule BH. a) 3 2 d) 4

b) 3 e) 2 6

3. En la figura, EM=8, MC=25 y AB=18. Calcule PD. B

M

C

c) 6 2 E

P

2. En la figura, AT=10 y TC=24. Calcule "r". A A

T

a) 2 21 d) 11

r

Quinto UNI 80

b) 12 e) 3 5

c) 2 29

C

B

a) 5 d) 8

D

b) 6 e) 9

c) 7

Colegios

TRILCE

Geometría 4. En la figura, AH=30, HC=28 y mBABC=135º. Calcule BH. B

9. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (mBB=90º). Se traza la altura BH, luego HP ⊥ AB y HQ ⊥ BC ("P" en AB y "Q" en BC). Calcule AC, si AP=2 y CQ=16. a) 5 3 d) 10 5

A

C

H

a) 20 d) 14

b) 18 e) 12

c) 16

5. En cada figura, calcule PD. ("P": punto de tangencia). B

10. Dado un cuadrado ABCD, se traza por "B" una recta que intersecta a CD en "E" y a la 1 + 1 prolongación de AD en "F". Si (BE) 2 (BF) 2 =0,25; calcule la longitud del lado de dicho a) 2,5 d) 4

P

A

c) 10 2

cuadrado.

C 2

b) 15 e) 18

b) 2 e) 5

c) 5

11. En el gráfico, calcule BH, siendo "P" y "Q" puntos de tangencia.

D

B

b) 2 2 - 2 c) 3 2 + 2 1 d) e) 2( 2 -1) 2 6. En la figura, calcule "θ". a)

P

H Q

3 1 A θ

a) 53º d) 63º30'

C

a) 1 d) 3

b) 57º30' e) 64º

c) 60º

b) 1,5 e) 2 2

c) 2,5

12. En el gráfico, AB=BC, AC=4 2 m. Calcule CF. B

7. En la figura, calcule: (a2+b2+c2). N a A

B

3

b

P

I c

M

5

a) 111 d) 88

H

7

b) 99 e) 83

N

A

O

a) 18µ d) 24 Central: 619-8100

a) 2 d) 3 2

C

b) 4 e) 6

c) 2 2

13. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan la secante diametral ABC y la tangente AD. Luego trace las perpendiculares BE y CF a la tangente AD. Calcule EA, si: EB=4 dm y CF=9 dm. a) 12/5 dm d) 48/5

B

b) 20 e) 25

A

c) 92

8. En el gráfico, "M" y "N" son puntos de tangencia, AN=29µ, BM=20µ. Calcule AB.

M

F

C

b) 13/6 e) 48/7

c) 38/5

c) 21


14. Grafique un triángulo rectángulo ABC (mBB=90º) y a su circunferencia inscrita de centro "O". Esta circunferencia determina los puntos de tangencia "P" en AC, "Q" en BC, respectivamente, y la prolongación de BO corta a PQ en "F". Calcule el valor de OF, si la diferencia de AB y el diámetro de la circunferencia es de 2 2 dm. a) 1 dm d) 2

15. En el gráfico: AB=c, BC=a, AC=b, CH=h, AH=m y HB=n. Diga qué relacion no es la correcta: C

b) 2 c) 3 e) 2 2 A

B

H

c=b+a a) h a b c) abh=cmn

b) a2m=b2n d) c2 = 1 + 1 m n h

e) am + bn =1 b a

Tarea domiciliaria 1. Del gráfico AB=PQ=8u, calcule "R" ("T" es punto de tangencia) T

B

5. Del gráfico, AB y CD son diámetros. Calcule "BH", siendo AC=8u, CH=2u y BD=12u.

C

P

R A A

a) 4u d) 6u

Q D

P

b) 5 e) 6,5

c) 5,5

2. Un arco de una circunferencia tiene una cuerda de 20u y una flecha de 2u. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? a) 18u d) 26

b) 20 e) 22

c) 24

3. Del gráfico:(AT)2+(TB)2=32u2, calcule "R". (T: punto de tangencia).

C H

a) 2,5u d) 4

B

D

b) 3 e) 6

c) 3,5

6. Calcule la suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 5u y su altura relativa mide 2u. a) 4 2 u d) 5 3

b) 3 2 e) 2

c) 3 5

7. El gráfico ABCD es un cuadrado. Calcule "xº". B

C

A R x

B C

a) 2u d) 4 2

T

b) 2 2 e) 6 2

c) 4

4. Calcule la altura de un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares, siendo su mediana igual a 12,5u y el producto de sus diagonales es 300u2. a) 8u d) 15 Quinto UNI 82

D

A

b) 9 e) 18

c) 12

a) 18º d) 30º

b) 22º30' e) 20º

c) 23º

8. Dadas dos circunferencias de radios 2 u y 5 u; y la distancia entre sus centros mide 9u. Calcule la longitud del segmento tangente común exterior a las dos circunferencias. a) 6u d) 6 2

b) 7 e) 8 2

c) 8

Colegios

TRILCE

Geometría 9. Del gráfico, QH=2(PQ) y BH=4u. Calcule BC. P

14. Del gráfico, calcule PQ, siendo DQ=3u y CQ=12u. D

Q

Q C

A

a) 4u d) 6

C

B

H

b) 4,5 e) 8

c) 5

10. Del gráfico, calcule AQ, siendo AO=OB y AP=4u. A

A

B

P

a) 6u d) 6,5

b) 4 e) 7,5

c) 5

15. Del gráfico, AO=OB. Calcule la relación de "R" y "r". A

Q

P O

a) 4 2 d) 6

R r

R B

S

b) 4 3 e) 8

c) 5

11. Del gráfico, calcule "R", si ABCD es un cuadrado.AP=2u y PD=23u. B

C R

A

a) 15u d) 20

P

b) 17 e) 25

c) 18

12. Si ABCD es un cuadrado de 32u de lado, calcule: "x". B

C

b) 3/2 e) 1/4

16. Del punto rectángulo hipotenusa, que miden catetos.

medio del cateto de un triángulo se traza una perpendicular a la dividiendo a esta en dos segmentos 3u y 5u. Calcule la longitud de los

a) 4u y 4 3 c) 5u y 6u e) 8 3 u y 8u

b) 2 3 y 2u d) 4u y 5u

17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH, tal que 9(AH)=4(HC) y AB=4u. Calcule BC. a) 9u d) 4

b) 6 e) 5

c) 8

a) 8u d) 10

N

D

b) 8,5 e) 12

c) 9

13. Sobre una semicircunferencia de diámetro AB se ubica el punto "P", luego se traza PH perpendicular a AB, siendo AH=5u y PB=6u. Calcule el radio de la semicircunferencia. a) 4u d) 5,5 Central: 619-8100

E

L

r M

A

c) 5/2

! ! 18. En el gráfico mostrado, mAM +mNB =90º, EL=7u y LM=2u. Calcule AB.

x

r

a) 2 d) 5/3

D

B

O

b) 4,5 e) 6

A

a) 7u d) 6

O

b) 5 e) 3

B

c) 3 2

c) 5


19. En un triángulo rectángulo ABC, mBB=90º, se traza la mediana CM. Calcule la distancia del punto "A" a la mediana CM. Si MC=18u y AB=12u. b) 3 2 c) a) 4 2 2 d) 2 2 e) 3

QuintoUNI Ciclo UNI 84

20. En un triángulo ABC se traza la altura BH. Calcule la longitud del segmento que une el incentro del triángulo BHC con el punto "A". BH=3u, AH=2u y HC=4u. 10 u b) 10 2 e) 3 5 d) 2 5 a)

c) 2 10

Colegios

TRILCE

Problemas para clase 1. En el gráfico, (AB)(CD) = 6. Calcule FC. mFD = m DI

5. En la figura: AB=9 m, BC=7 m y AC=8 m. Si MN // AC, calcule MN. B

F D

M

N

C

B A

I

a) 6 b) 3 c) 6 d) 3 e) 2 6 2. En el gráfico, calcule TH, si ABCD es un cuadrado. PA=4 y DQ=9. R B

P

T

A

a) 111/25 d) 102/25

H

C

D

b) 114/25 e) 109/25

Q

c) 104/25

3. En un triángulo ABC de incentro "I", se traza la bisectriz interior BE que, prolongada, corta a la circunferencia circunscrita en "D". Si BI=6 m y ED=1 m. Calcule IE. a) 1 m d) 2,5

b) 1,5 e) 3

c) 2

A

a) 2 m d) 10/3

Central: 619-8100

b) 9,1 e) 10,6

c) 9,6

b) 8/3 e) 7/2

c) 3

6. En una circunferencia de diámetro AB, se traza una cuerda CD en una de las semicircunferencias, se trazan CM y DN perpendiculares a AB y la perpendicular BS a la prolongación de CD. Calcule BS, si BM=6 y NB=2. b) 2 2 e) 2 6

a) 2 d) 2 5

c) 2 3

7. En un triángulo ABC, en su región interior se ubica un punto "P", se trazan PQ y PT perpendiculares a AB y BC, respectivamente, si PB.AC=48u2. QT=6u. Calcule la medida del circunradio del triángulo ABC. a) 3 u d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

8. Del gráfico, calcule "r" si R=4, r1=2. R

4. Grafique el triángulo rectángulo ABC (mBB=90º), con AB=8 dm. En BC se marca "F", de modo que la distancia FH a la hipotenusa AC mide 5 dm. Si, además, HC mide 6 dm, calcule el valor de BC. a) 8,6 dm d) 10,2

C

r

a) 1 d) 2

b) 2/3 e) 1/2

r1

c) 3/2


9. En el gráfico: BC // AD, AM=3, BM=4 y CM=5. Calcule DM. B

Q

A

D

O

M

b) 4 2 e) 8 2

c) 5

10. En el gráfico, calcule CR, si (PD).(AH)= 64. H

D

A

P

M

C

A

a) 3 2 d) 6

12. Calcule AM, si PB=3AQ=3.

P

B

O

a) 10 b) 5 5 d) 10 e) 2 2

c) 2 10

13. Del gráfico: AB=13, BC=20 y AC=21. Calcule BS. B

R

16º B

C

a) 6 d) 8

b) 6,5 e) 12

c) 7

MP2+MC2,

11. Calcule, si si EC=4 2 . "O", centro de la circunferencia y semicircunferencia. T

O

C

a) 4 dm d) 9

E

a) 25 d) 24

b) 32 e) 64

a) 13 d) 20

c) 30

86

b) 15 e) 5 3

C

c) 17

b) 6 e) 12

c) 8

15. La secante trazada por el vértice "A" de un cuadrado ABCD corta a BC en "M" y a la prolongación de DC en "N". Siendo: 1 + 1 = 1 36 AM2 AN2 Calcule la logitud del lado del cuadrado. a) 6 d) 4,5

Quinto UNI

S

14. Grafique al trapecio ABCD, cuyas bases BC y AD miden 4 dm y 8 dm respectivamente. Sea EF el segmento que une los puntos medios de las diagonales y "H" el punto de corte de AB y CD. Si la altura del trapecio mide 6 dm, calcule la distancia de "H" hacia EF.

M

P

A

b) 3 e) 9

c) 12

Colegios

TRILCE

Geometría

Tarea domiciliaria 1. Calcule el radio de la circunferencia inscrita en un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm, respectivamente. a) 1,8 d) 2,4

b) 2,6 e) 2,5

6. Los tres lados de un triángulo miden 9, 16 y 17 metros, respectivamente. Al disminuirles en "x", el triángulo sería rectángulo. Calcule "x".

c) 2

2. Calcule el radio de cuadrante AOB, si AM=2 y BN=4. M A

a) 4 d) 1,5

a) 11 d) 15

a) h2=X2+Y2+Z2 b) Z2=h2+Y2+Z2 c) hZ = 4XY d) h2=Z(X+Y) e) h3=XYZ

B

b) 10 e) 12

c) 9

3. De la figura mostrada, halle AB, si PQ=3, PT=9 y AB // QT. Q A

a) 5 b) 5 c) 10 d) 2 5 e) 15

B

b) 2 3 e) 6

T

c) 3 10

4. Calcule el radio de la circunferencia menor, si AD=8 y BC=2. D

C A

8. Calcule la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si las medianas relativas a los catetos miden 6 y 8 cm.

P

O

a) 4 4 d) 4 5

c) 2

7. En el triángulo rectángulo ABC, recto en "C", se traza la altura CH, desde "H" se trazan las perpendiculares HM y HN a los catetos AC y BC, respectivamente ("M" en AC y "N" en BC), de tal manera que AM=X, BN=Y, AB=Z y CH=h. Indique la relación correcta.

N O

b) 7 e) 1

O

a) 2 b) 3 2 d) 1 e) ^ 5 - 1h

B

9. Se tiene un cuadrante AOB de radio "R". Considerando como diámetro el radio OA, se traza una semicircunferencia interiormente. Halle el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo AOB. a) R/2 d) R/4

b) R e) R/5

c) R/3

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH de tal manera que AH=4 y HC=5. Calcule el perímetro de dicho triángulo.

a) 9 c) 2(3+ 3 ) e) 8 3

b) 10 d) 3(5+ 5 )

c) 0,5

5. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH, de tal manera que AH=1 y HC=3. Calcule el perímetro de la región triangular ABC.

a) 9 c) 5( 3 +2) e) 8 3

Central: 619-8100

b) 10 d) 2(3+ 3 )


Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC, AB=5, BC=6 y AC=7. La circunferencia inscrita es tangente a AB y BC en "M" y "N", respectivamente. Calcule MN. Resolución:

5

\x2 + y2 + z2=16.

3. En el gráfico, AP=PQ, (BQ)2+(GQ)2=65u2 y (CQ)2+(QF)2=17u2. Calcule AQ.

B N

x

M

9 (y2 + x2 + z) 2 Remplazando: 4 =3 4 48

F

6

G

Q

A

C

C

7

Piden "x" Por propiedad: BM=p∆ABC - 7 BM=9 - 7 BM=2 Ley de cosenos 72=52+62 - 2(5)(6) Cos θ ⇒ Cosθ= 1 5 x2=22+22 - 2(2)(2) Cos θ x2=8 - 8. 1 5 \x=4 2 . 5

D

P

B

A

Resolución: F

b

d

Q a C

2. En un triángulo ABC, de baricentro "G", calcule: AG2+BG2+CG2, si AB2+BC2+AC2=48.

G

t

m

D

P c

m

Resolución:

/

y

/

c

a

G y 2 b

z

Piden x2+y2+z2 Dato a2+b2+c2 =48 3y 2 3x 2 3z 2 Por Prop.: c 2 m + ` 2 j + ` 2 j = 3 4 a2 + b2 + c2

Ciclo UNI 88

x 2

~

2 2

x ~

A

A

B

B

C

Piden 2m Dato: c2+d2=65, a2+b2=17 T. Marlen >ABCD: a2+(2m)2=c2+t2

>PFGD:

+

b 2 +t 2 = m 2 + d 2 17 + 4m2 = m2 + 65

3m2=48

⇒ m=4 \ 2m=8.

Colegios

TRILCE

Áritmética Geometría 4. En el gráfico, calcule "a", si R=12 y r=6.

5. En un trapecio ABCD, BC // AD, BC=12, AD=23, AC=25, BD=29. Calcule la altura del trapecio.

R

Resolución: a 13

B

C

r

Resolución:

25

29

29

h R A

a

12 9

a 6+

12

9.5

6

9

18

T. Mediana 2 (12+a)2+(6+a)2=2(9 - a)2+ 18 2 \ a=2.

23

D 13

L

Piden h Se traza CL // BD T. Heron ∆ACL (p∆ACL=45) ∆ABO: NOT 37º y 53º h= 2 45.20.16.9 36 h= 1 . 3.4.5.3. 2 18 \ X=20

Problemas para clase 1. Dado el triángulo ABC: BC=a y AC=b, se ubican los puntos "M" y "N" de manera que: AM=MN=NB. Calcule: CM2+CN2+4MN2. ("M" y "N" en AB). a) 2(a2+b2) d) (a - b)2

b) (a+b)2 e) ab

c) a2+b2

2. Se tienen dos circunferencias secantes de radios 21u y 36u, y la distancia entre sus centros es 30u. Calcule la distancia de uno de sus puntos de intersección a la tangente común mas cercana. a) 3,2u d) 3,6

b) 4,2 e) 3,8

c) 2,8

3. En el gráfico, mBABD=45º, AD=7u y DC=1u. Calcule BD. B

4. En una circunferencia de centro "O", diámetro AB, se trazan las cuerdas CD y DE de manera que: CD∩AO={M}, DE∩OB={N}, CM=6 5 ; MD=10 5 u, DN=25u y NE=7u. Calcule ON2 - OM2. a) 81 u2 d) 125

b) 100 e) 130

c) 120

5. Determine la razón entre dos lados consecutivos de un paralelogramo que tiene un ángulo cuya medida es 60º, sabiendo que la razon entre los cuadrados de sus diagonales es igual a 19/7. a) 1/2 d) 4/5

b) 2/3 e) 2/5

c) 3/4

6. En un cuadrilátero ABCD, mBABC=90º. Luego se traza DO("O" ∈ AC), tal que: AO=OC, también BH ⊥ OC (H ∈ a OC). Si AD=4m, BH=3m, calcule DH. (mBAOD = 90º) a) 5 m b) 7 c) 6 d) 10 e) 2 5

A

a) 3u d) 7/5 Central: 619-8100

O

b) 4 e) 1

D

C

c) 2


7. Según el gráfico, calcule DE, si CD=5BC=5; AE=3u y "O": centro.

12. En el gráfico, AB=12 dm y BC= 5 dm. Calcule PQ. P

A

B

B

C O

E

D

a) 2 11 d) 2 7

b) 2 14 c) 14 e) 3 7

8. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC intersecta a BC y la bisectriz exterior del ángulo "B", en los puntos "P" y "Q" respectivamente. Si AQ intersecta a BC en "E", calcule AE, si, AB=6 cm, PC=2EP=8 cm. a) 6 cm d) 3 3

b) 4 3 e) 7

b) 3 e) 6

c) 2 3

C

Q

2 29 c) 15 13 a) 5 13 b) 3 3 6 20 11 d) 15 26 e) 13 13 13. Según la figura, AB=4. Calcule "r".

r

c) 2 6

9. En la región interior del triángulo ABC, se ubica el punto "P" de modo que (PA)2+(PB)2+(PC)2=328. Calcule la distancia de "P" al baricentro de dicho triángulo, si (AB)2+(CB)2+(AC)2=840. a) 2 2 d) 4

A

A

B

O

a)

6 b) 3 c) 2 6 d) 6 e) 3 2 14. Calcule AM, si PB=3(AQ)=6. Q

A

P M

10. En la figura, calcule "r". r 5

a) 2 d) 33/15

b) 120/49 e) 6

c) 5

B

O

3

a) 10 b) 5 c) 2 10 d) 10 2 e) 5 2 15. Según la figura, calcule EB, si a+θ =90º y (BC)(AB) - (AE)(DE)=25.

11. En la figura, calcule EP.

B

D E P

8

θ A

a) 6 d) 4 2

Quinto UNI 90

b) 2 2 e) 4

C

E

α

b) 5 e) 2 6

c) 4 2

c) 5 a) 2 2 d) 5 3

Colegios

TRILCE

Geometría

Tarea domiciliaria 1. Las bases de un trapecio miden 2u y 6u. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases, siendo los lados los laterales 3u y 4u. a) 8 u b) 8, 5 d) 7, 5 e) 7

c) 3

2. Dado un rectángulo ABCD, fuera de él se ubica el punto "P", tal que : AP = 4u, BP=3u y PD=5u. Calcule PC. b) 3 2 e) 5

a) 4 u d) 3,45

c) 4 2

3. En un triángulo, sus medianas miden 9u, 12u y 15u. Calcule la longitud del menor lado del triángulo. a) 9 u d) 12

b) 8 e) 13

c) 10

4. En un rombo ABCD, sobre BC se ubica el punto medio "M". Siendo : AM=9 y DM=13 u. Calcule el lado del rombo. a) 11,5 u d) 12

b) 11 e) 10,5

c) 10

altura AN. Calcule: (BN)(NC). Si AN=4u y AB2+AC2 - BC2=6u2. a) 10 u2 d) 9

b) 12 e) 14

9. En un cuadrilátero ABCD, se tiene que: AB2+CD2=120u2, BC2+AD2=140u2, AC=5u. Luego se trazan las perpendiculares BM y DN relativas a AC. Calcule MN. a) 1 u b) 1,5 c) 2 d) 2 e) 3 10. En un triángulo acutángulo ABC, considerando como diámetro el lado AC, se traza una semicircunferencia que intersecta al lado AB en el punto "E" y a BC en el punto "F". Si: AB . AE+BC . FC=18 u2, calcule AC. b) 3 2 c) 6 e) 4,5

a) 3u d) 2 6

11. Se tienen dos circunferencias concéntricas de radios "r" y "R" (r
5. Del gráfico : AC2+BC2=37 u2 y PC=3u. Calcule OM. (PM=MC). C

c) 13

M

A

P

B

C O

D

F A

O

a) 5 u b) 7 d) 2 7 e) 2 5

B

c) 4 5

6. Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior AD y la mediana AM, tal que: AD=DM. Calcule BC, siendo : (AB)(AC)=16 u2. a) 4 u d) 4 2

b) 6 e) 8 2

c) 8

a)

Rr R+r

b) R2+r2

c) 1

e) R r 12. Calcule el perímetro de la región del triángulo cuyos lados son proporcionales a los números 13u, 37u y 40u. Sabiendo, además, que la longitud de su menor altura es 24 u. d) 1,5

a) 120u d) 240

b) 360 e) 540

c) 180

7. En un triángulo acutángulo ABC se traza una paralela por "B" al lado AC; la bisectriz interior del ángulo "A" corta a dicha paralela en "E". Calcule AE, si AB = 5u, BC =4 2 u y AC = 7u. a) 5 5 d) 4 5

b) 6 5 e) 9 3

c) 8 3

8. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la

Central: 619-8100


13. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y BE2 - BC2= AE(AE+10). Calcule la distancia de D a DH. C

a) 1 u d) 4

B

a) 2u d) 5

E

H

b) 3 e) 6

c) 4

14. En el gráfico, AC es diámetro; AB . BD=27 u2 y CH=5 3 u. Calcule BC. B

E

C

D

b) 4 3 e) 6 3

c) 3

c) 3 2

15. Siendo: "P", "Q" y "T" puntos de tangencia, calcule: AP . OT A

b) 4 e) 12

c) 13

18. En un triángulo ABC, de baricentro "G" y circuncentro "O", si AB2+BC2+AC2=54u2 y R= 10 u (R es el circunradio), calcule OG. b) 2 e) 5

c) 3

19. Los lados de un triángulo miden 13u, 14u y 15u. Calcule la altura relativa al lado intermedio. a) 9 u d) 11

H

a) 5 3 u d) 6 2

a) 3u2 d) 26

a) 1u d 4

θº θº A

b) 2 e) 2,5

17. En el trapecio escaleno ABCD (BC // AD), se cumple: AB2+CD2=16u2 y BC.AD=5u2. Calcule: AC2+BD2.

D

A

16. En un trapecio ABCD (BC // AD), cuya base media mide 2u, calcule DM, siendo "M" el punto medio de AB, y CD2 - 2MC2=2u2.

b) 10 e) 5

c) 12

20. Los lados de un triángulo miden 10u, 17u y 21u. Calcule la altura menor. a) 4 u d) 9

b) 5 e) 3

c) 8

P Q O

T

a) 2 b) 3 d) 6 e) 2

Quinto UNI 92

A

c) 1

Colegios

TRILCE

Geometría

Problemas resueltos 1. En la figura mostrada AD=DC=BC=6. Calcule BD.

se

Resolución:

cumple

B

137

º/2

7α x A α

D

C

Resolución: B

Piden x

Por Prop.: 2θ=45º ! θ: 45º ⇒ mAM =135º 2 ⇒ AM=2ap8 x=2 R 2 + 2 . 2 \x=R 2 + 2 .

2α

A

C

Por propiedad: 7α=120º - α α=15º ⇒ ∆BDC: T. Elemental del dodecágono

\x=6 2 - 3 .

Resolución: 10 + 2

2. En el gráfico, calcule AM en función de "R".

θ

5

144º

18º

R

2

O M

M

3. Un triángulo ABC está inscrito en una ! circunferencia BC=2 10 + 2 5 , mBC =144º. Calcule el radio de la circunferencia.

B

θ

θ

45º/2 R

7α

D

135º

2α

A

α

45º/2

θ

A

R

10 + 2

5

18º

C

A R

Piden R BL=ap12 10 + 2 5 = R 4 \ R=4.

Central: 619-8100

10 + 2 5


AE = EM

4. En el gráfico mostrado, ! calcule mMC .

2+ 2 , 2- 2

B

Resolución: M

Por propiedad: 152=l102+l62 m2=l102+k2 \l10= m2 - k2 .

E

A

5. Si en una misma circunferencia se inscriben polígonos regulares de l5, l6 y l10; de lados l5=m, l6=k, calcule l10.

C

T

O

Resolución: a( 2 -

B 90

5/2

+ a( 2

E

) 2

45

2)

M a( 2 -

2)

x

4

A

T

O

C

Piden X ∆ BEM (NOT 45º y 45º) ⇒ BE=a 2 ∆ ABE: AE=ap8

2

! mBBAE= 45º ⇒ mBM =45º 2 \ x=45º.

Problemas para clase 1. En el gráfico, calcule PN, si R= "Q" son puntos de tangencia).

2 + 3 . ("P" y

! 3. En el gráfico, calcule DB, si mBC = 55º; r= 10 + 2 5 m. A r

R

D

P

B

R N

a) 1 d) 2

Q

b) 2 - 3 e) 4/3

c) 1,5

2. En un nonágono regular ABCDEFGHI, calcule AF, si AB + AC = 6 m. a) 2 d) 2 2

C

O

b) 3 c) 6 e) 4

a) 5 m d) 4 5

b) 2 5 e) 10

c) 3 5

4. En el gráfico, la mBABM = 18º; AB =4 10 - 2 5. Calcule : MN. B

M A

a) 1 d) 4 Quinto UNI 94

N

b) 1,5 e) 2

θ

θ C

c) 2 Colegios

TRILCE

Geometría 5. Calcule el perímetro de un heptágono regular ABCDEFG, si: 1 + 1 = 1 AC AD 6 a) 12 d) 42

b) 18 e) 49

c) 21

6. En el gráfico, calcule AD, si: AB = BC = CD = 2 + 3 m.

B

12. En un heptágono regular ABCDEFG, se cumple que: (FC)2+4(EG)2=(2+BE)2. Calcule la longitud de su lado. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

13. En el gráfico, calcule el lado del cuadrado inscrito en el sector circular, si R = 1

6α A α

D

2α

A

a) 1 d) 2,5

b) 1,5 e) 2

b) 2 b (a + b) a) a+b 2 2 c) a + b d) a (a + b) e) ab 8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", interiormente se ubica un punto "P", tal que: mBBAC = 52º; mBACP = 2º. Además: PB = 5 y AC = 10 + 2 5 . Calcule: mBPBC. b) 16º e) 30º

c) 18º

c) 3

10. En un dodecágono regular: ABCDEFGHIJKL, AG ∩ DI={P}. Calcule: AP, si AB= 6 . a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

R

B

a)

8+2 3 5 + 3 b) 13 13

c)

5-2 3 5 - 3 d) 3 13

e)

5+2 3 13

14. En la figura mostrada, PQCD es un cuadrado, ! mAC =18º, CE= 5 +1. Calcule FR. A C

Q F

9. En una circunferencia, se traza la cuerda CD y el diámetro AB los cuales se intersecan en "P", ! tal que: mCAD =144º. Calcule el radio de dicha circunferencia, si las distancias de "A" y "B" a CD son 1 y 5 m, respectivamente. a) 1 b) 2 1 3 d) e) 2 2

30º

c) 2

7. En un polígono regular de 13 lados: V1V2V3... V13, si V1V4=a y V1V5=b. Calcule: V4V10.

a) 12º d) 20º

O

C

c) 4

11. En un cuadrilátero ABCD inscriptible, mB BAC=60º, mBBCA=15º y el circunradio del cuadrilátero es "R". Calcule AC.

R P

B

E D

a) 1.5 3 d)

b) 2 5 +3 2 e) 2

O

c) 1

15. En un triángulo ABC se tiene que : mBA=75º, mBB=45º, AC=2 2 m. Calcule la longitud del segmento que une los pies de las alturas trazadas desde los vértices "A" y "C". a) 3 4 d) 3 2

b) 1

c) 5 4

e) 2

a) R( 2 - 2 - 3 ) b) R( 2 + 2 - 3 ) c) R 2 + 3 d) R( 3 - 2 + 3 ) e) R( 2 + 2 + 3 ) Central: 619-8100


Tarea domiciliaria 1. Calcule el apotema del octógono regular, cuyo perímetro es igual a 32 2 - 2 u.

a) 4u c) 2 e) 4 2 - 2

E φ A

D

B C

b) 20º e) 12º

c) 18º

3. Calcule el lado del decágono regular cuyo apotema mide: 2 5 + 5

a) 2( 5 +1)u c) 2( 5 - 1) e) 2/3( 5 - 1)

b) 8 d) 12

4. En la figura, AB= 4 - 2 2 u, BC= 5 - 5 u y R= 2 u. Calcule "n". A

nθ

B

b) 4 5 e) 4

R

5 + 10 a) 5 + 10 /2 b) d) 2( 5 - 1) c) 5 + 5 e) 2( 2 +2) 7. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B", de tal manera que : mBC=15º, AB=2 4 - 2 3 u y AC=4u. Calcule mBB. a) 120º d) 142º

b) 130º e) 150º

8. En un octógono regular ABCDEFGH, inscrito en una circunferencia, sobre el arco BC se ubica el punto "P", de tal manera que: PA=a y PG=b. Calcule PE. a) a + b b) 2b - a 2 d) 2b - a e) a2 + b2

Quinto UNI 96

c)

2ab

9. Calcule el apotema de un polígono regular de tres lados, si el perímetro de su región es igual a 18u.

D

c) 6

c) 3

C

B

A

5. Calcule el lado del dodecágono regular, si el producto de su lado con el apotema es igual a dos unidades. a) 4u b) 2 2 d) 2 2 - 3 e) 2 + 3

c) 135º

10. En la figura, AC y BD son lados que corresponden a polígonos regulares de 5 y 3 lados, respectivamente. Calcule "x".

C

a) 2 u d) 3 2

18º

A

a) 4u b) 2 2 d) 3 e) 6

R θ

2 u. Calcule AB. B

b) 2 + 2 d) 2 2 + 2

2. En la figura : AC y BD son los lados que corresponden a polígonos regulares de 4 y 3 lados, respectivamente. Calcule "φ".

a) 24º d) 15º

6. En la figura, R=

c) 8

x

a) 18º d) 9º

b) 15º e) 6º

c) 12º

Colegios

TRILCE

Geometría 11. Calcule el perímetro de la región del pentágono regular cuyo apotema mide dos unidades.

16. En la figura : AB= 2 u, AD=2u y CD= 6 u. Calcule BC, si R2=2u2.

a) 5( 5 - 1) 10 - 2 5 u b) 5( 5 +1) 2 c) 10( 5 - 1)

R

10 - 2 5

d) 5( 5 - 1) 5+ 5

A

5 -1

e) 10( 5 +1)

a) 3 u d) 3

12. En la figura, AB y BC miden 8 u y 12 u, respectivamente. Calcule: (α - φ), si R=2u. C B

α

D

b) 2 2 e) 5

c) 2

17. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AM y CN, de tal manera que: mBNCM=30º. Calcule MN, si AC=8u.

φ

c) 2( 5 +1) a) 4( 5 -1)u b) 2 2 d) 4 e) 10 - 2 5

R A

a) 5º d) 15º

C

B

b) 8º e) 10º

c) 12º

18. En la figura : BC=4. Calcule AB. B

13. El perímetro de la región de un octógono regular es igual a 32 unidades. Calcule el apotema de dicho polígono.

A

36º

C

a) ( 2 +2)u b) 2(1+ 2 ) c) 4 2 d) 8( 2 - 1) e) 3 3 14. En la figura, α= 135º y R =

a)2u b)2 2

2 u. Calcule AB.

α

d)

A

B

19. Se tiene el trapecio isósceles ABCD, AD // BC, de modo que: AC=AD y mBCAD=36º. Calcule BC, si BD=( 5 +1)u.

R

a) 2 2 b) 4 + 2 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 2^ 2 + 1h

Central: 619-8100

b) 115° e) 150°

a) 5 - 1u d) 2

2

15. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso S =18º; AC=10u y en "A"; se sabe que: mB BC=(5+5 5 )u. Calcule mBA. a) 105° d) 135°

10 - 2 5 ^ 5 - 1h 5

10 - 2 5 5 e) 2( 5 - 1)

c)2

c) 120°

b) 4 e) 5

c)

5 + 1 2

20. Calcule la razón entre los perímetros de un hexágono regular y un octógono regular inscritos en una misma circunferencia.

a) 3/8 c) 3/4 e) 2 - 2

b) 4/3 d) 3/4 2 - 2



1. En la figura, ABCD es un cuadrado: AB=3; r=1. Calcule el área de la región triangular PAQ.

B

3

N

∼

P

r

M

R

∼

N

Q

M

S B

Q

C

A m

Resolución:

P B

C

A SOMB=2( S + L )=2 x 9

2 2

\A SOMB=9

2 2

Q

3. Según el gráfico, "B" y "C" son puntos de ! tangencia, mAB =37º y el área de la región OPQC=10. Calcule el área de la región triangular BPQ.

2

A

A

C

S

1

2 2

3 2

m

Como QR // AC ∆QPS ≅ ∆QBR (ALA) ⇒ SP=3 N+M= 3.3 2

A

P

Piden A∆PAQ AC⊥PQ A∆APQ= 2 × 7 2 2 2

B

\x=3,5.

P

Q

O

C

2. En la figura, AP=PC, PQRS es un cuadrado y BQ=3. Calcule el área de la región PQBR. B Q

A

Ciclo UNI 98

R

P

S

C

Colegios

TRILCE

Áritmética Geometría Resolución: A

Sea G baricentro de ∆ABC ∆ BGE ≅ ∆ETC 2m= 9.5.3.1 2M= 3 5 × 3 \ 6M=9 5

37º B l

P

5. En el gráfico, calcule "x". (BC=2AB. AM=MC)

37º Q

2l

B l

37º O

º/2 53 53º/2

C

2l

x A

BQ=QC

C

M

Resolución:

∆ BQO (NOT 53 º y 127 º) QC=l, OC=2l 2 2 >OPBQ: inscriptible

3

B

mBBQP=37º

2a

a

∆PBQ= l.2l Sen 37º 2 2 =l .Sen 37º =5 × 3 5 \ A ∆PBQ =5

x A

4. Calcule el área de una región triangular en la cual las longitudes de las medianas son 6, 9 y 12. Resolución: Piden 6M

3

M

Piden "x" ⇒A∆ABM=A∆MBC

ax = 2a.3 2 2

\x=6

C

/

B

/

a

M 4 M 4 M

A

Central: 619-8100

6 M 2 G 3

E 8

M

2

T

M 6

M C


Problemas para clase 1. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si BF = 5u y AC = 12 u. B F

A

a) 120/11 dm b) 240/11 d) 21 e) 42 C

H

a) 60 u2 d) 30

b) 45 e) 15

c) 40

2. ABCD es un cuadrado, "Q" es punto de tangencia. Si BQ = 9 dm, calcule el área de la región triangular BFE. Q C

B

A

E

a) 11 m2 d) 15

b) 12 e) 16

c) 14

7. En la figura mostrada, calcule el área de la región sombreada PBS, si el rectángulo se encuentra inscrito en el triángulo ABC, además: AP=4, PS=13 y SC=9. B

R

Q

b) 81/9 e) N.A.

c) 20

6. En un triángulo rectángulo, la suma de los exradios relativos a los catetos es 13 m y el inradio es 1 m. Calcule el área de dicha región triangular.

D

F

a) 81 dm2 d) 81/2

5. Calcule el área de una región triangular, si su inradio mide 2 dm y los segmentos determinados por la circunferencia inscrita sobre un lado miden 3 dm y 5 dm.

c) 27/2 A

3. Calcule el área de la región triangular ABC, si ! R.AB=12 cm2 y mBPAB=mTQ . (T: punto de tangencia). C B

C

S

P

a) 65 d) 104

b) 78 e) 156

c) 91

8. En el gráfico, QM=6u. Calcule el área de la región sombreada. (TM=MB). A

R Q P

T

A

cm2

a) 6 d) 12

M

T

b) 8 e) 24

c) 10

4. Calcule el área de la región sombreada en el semicírculo mostrado, si AP=PC, BP=2 m, PD=4 m.

O

a) 8 2 u2 d) 16 2

Q

N

B

b) 9 2 e) 18 2

c) 12 2

9. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si Rr=8u2 y mBOPQ=45º.

C O

B

P

P A

a) 1 d) 6

r

D

b) 2 e) 8

c) 4

Quinto UNI 100

Q O2

O1

a) 6u2 d) 12

R

b) 4 e) 16

c) 8

Colegios

TRILCE

Geometría 10. En la figura, halle las relaciones de las áreas de las regiones triangulares AOP y OO1Q.

2

13. En la figura: [(CT) - R] R=16 m . Calcule S1+2S2, siendo "F", "N" y "T" puntos de tangencia.

Q

F S2

P

B

O1 A

N B

O

a) 1:3 d) 1:1

b) 1:4 e) 1:5

c) 1:2

11. "P", "Q", "R" son puntos de tangencia, PB=m, AP=n. Calcule el área de la región triangular ABC. B Q

P

a) 10m2 d) 8

C

A

b) 12 e) 20

c) 16

14. En una circunferencia de diámetro AB se inscriben los triángulos isósceles AMC(AM=MC) y CBN(CN=NB), tal que "C" pertenece al diámetro y "M", "N", al arco AB. Si AC=2BC=4, calcule la relación de las superficies triangulares AMC y CNB. a) 1:2 b) 3:7 c) 5: 2 d) 4 10 : 5 e) : 2 6

60º

A

T

S1

C

R

a) mn b) mn c) mn 3 2 mn 3 d) mn 3 e) 3 2 12. En el gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada, si AL=5 y LQ=4. ("O" → centro). P

15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la bisectriz interior BD, la cual al prolongarse corta a la circunferencia circunscrita en el punto "M". Calcule el área de la región triangular ABC, si BD=4 m y DM=6 m. a) 26 m2 d) 24

b) 25 e) 20

c) 18

Q L θ A

θ

O

B

15 5 c) 15 7 a) 15 3 b) 4 2 2 15 5 15 3 e) d) 4 4

Central: 619-8100


Tarea domiciliaria 1. Los lados de un triángulo ABC miden 2u; 3u y 4u. Calcule el área de la región del triángulo y los valores del inradio y circunradio. 3 5 u, a) 4

15 u, 8 15 u 6 15

b) 15 u, 4

15 u, 6

c) 3 5 u,

15 u, 2 15 u

3 15 u, d) 4

a) 20 u2 d) 40

15 u 8

e) N.A.

2. En la figura se tiene un cuadrado de lado igual a 2u. Si "M" y "N" son puntos medios, calcule el área de la región del triángulo sombreado. Además, "T" es punto de tangencia. N

C

T

a) 1u2 d) 7/4

D

b) 3/2 e) 5/3

a) 12u2 d) 168 17

c) 2

a) 9

b) 10

d)

26 2

e) 2 26

e) 30

67 3 b) 18 3 c) 4 69 3 65 3 e) d) 4 4 8. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de lado 20u. Calcule el área de la región sombreada, siendo "T" punto de tangencia. B

c) 15

4. Sobre los lados de un triángulo ABC, se construyen exteriormente 3 cuadrados de áreas 18u2 ; 20u2 y 26u2, respectivamente. Calcule el área de la región del triángulo ABC. u 2

A

D

a) 40 u2

b) 80

d) 120

e) 150

c) 100

9. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 20u. Calcule el área de la región del triángulo BEF, siendo "E" y "F" puntos de tangencia de las semicircunferencias. B

c) 26

C T F

u 2

a) 48 d) 60

102

C T

A

Quinto UNI

c) 168 13

b) 15

7. Se tiene un hexágono equiángulo ABCDEF, tal que : AB=3u, BC=4u, CD=2u y DE=6u. Calcule el área de la región hexagonal mencionada.

3. En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo recto determina sobre la hipotenusa dos segmentos parciales, cuyas longitudes son de 3u y 5u. Calcule el área de la región del triángulo rectángulo mencionado. 240 a) 480 u2 b) 17 17 477 d) 16 e) 34

c) 30

a) 16 3

M

A

b) 18 e) 24

6. Se tiene un triángulo ABC, donde: AB=40u, BC=14u y AC=30u. Calcule el radio de la circunferencia que tiene su centro en la prolongación de AC y que es tangente de BC y la prolongación de AB.

15 u, 8 15 u 3

B

5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se construye exteriormente el cuadrado ACDE. Si AB=4u y BC=6u, calcule el área de la región del triángulo ABD.

E D

b) 50 e) 80

c) 56

Colegios

TRILCE

Geometría 10. En un triángulo acutángulo ABC, las distancias desde los vértices "A", "B" y "C" a los lados del triángulo órtico miden 2, 3 y 6, respectivamente. Calcule el área de la región del triángulo ABC. a) 6 u2 d) 30

b) 18 e) 36

c) 24

11. En un triángulo de hipotenusa 20 u y en el que un cateto es el triple del otro, calcule el área de su región. a) 120 u2

b) 60

d) 100

e) 200

c) 80

12. En un triángulo ABC, se traza la mediana AQ. Sean "M" y "N" puntos medios de AQ y AB, respectivamente. Calcule el área de la región triangular MNB, si el triángulo ABC tiene como área de su región 80 u2. a) 10 u2 d) 5

b) 8 e) 20

c) 9

13. En un triángulo ABC se traza la ceviana BR y sobre ella se marca el punto "Q", de modo que: BQ 3 S = y RC=AR. Calcule: AQR QR 2 S ABC a) 2/15 d) 3/16

b) 1/20 e) 1/5

16. Se tiene un triángulo ABC, en el cual: AB=15u, BC=14u y AC=13u. La prolongación de la mediana AM interseca a la bisectriz exterior del ángulo "B" en el punto "E". Calcule el área del triángulo BME. a) 42 u2 d) 49

a) 2 d) 1

b) 3 e) 6

a) 30 u2 d) 50

15. Se tiene un triángulo ABC, se traza la mediana BM y la ceviana AN, las cuales se cortan en "P" y BN=2(NC). Calcule el área de la región del triángulo APM, sabiendo que el área de la región del triángulo ABC es 100 u2. a) 8 u2 d) 10

Central: 619-8100

b) 12 e) 15

c) 20

b) 36 e) 45

c) 42

18. En un triángulo ABC, sobre el lado AC se toman los puntos "E" y "F", tal que EF=3u. Si AB=13u, BC=15u y AC=14u, calcule el área de la región triangular EBF. a) 36 u2 d) 24

b) 18 e) 16

c) 32

19. En la figura, calcule el área de la región sombreada. (AB=6u y EC=3u). B

c) 3/20

c) 4

c) 46

17. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BM y CN, las cuales se cortan en "H". Calcule el área de la región triangular ABC, si las áreas de las regiones BHN, BHC y HMC son 6u2, 12u2 y 8u2, respectivamente.

x

14. En un triángulo ABC se trazan las medianas AN y BM que se cortan en "G". Calcule el área de la región triangular MGN, si el área de la región triangular ABC es 12 u2. u 2

b) 45 e) 147/4

A

a) 18 u2 d) 15

C

2x E

b) 9 e) 12

D

c) 4,5

20. Se tiene una circunferencia de diámetro AB, centro "O" y radio OC. Sea AE una cuerda que ! mide 10u (E ε AC y mBAOC=90º). Calcule el área de la región triangular AQB, siendo "Q" la intersección de AC y EH. (EH ⊥ AO). a) 25 u2 d) 30

b) 100 e) 75

c) 50


Problemas resueltos 1. En el gráfico se muestran tres cuadrados. Si el área del cuadrado mayor es 100 m2, calcule el área de la region sombreada (O: centro).

2. En el gráfico, (AP)(BD)+16=(AB)2+PL2. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD. P

O

Q

45º

B

C

A L

Resolución: a+b

A

D

a

Resolución:

B

P

a

45º

Q

/ X /

D

Piden "x", región sombreada x= A4 ABCD 2 (a + b + a) + b â bh c m + 2 x= 2 (2a + 2b) â bh + 2 x= 2 x= (a + b) . 2 2

pero, por dato, (a+b)2=100

\X=50.

Ciclo UNI 104

n

b

b

A b

m

45º

B

45º 45º

a

O

S

m

a θ

C D

L

C

a.a + 16 = n2 + m2 (DATO) piden A 4 ABCD ∆ ALP ≅ ∆ADB ⇒ AD=m, AP=BD

a2=n2+m2 - 2nm Cos 45º a2=n2+m2 - nm 2 (2) DE (1) y (2) a2+16=n2+m2 n2+m2=a2+nm 2 16=nm 2 ⇒ mn=8 2 \A 4 ABCD= nm Sen 45º= 2 × 2 =3 .

Colegios

TRILCE

Áritmética Geometría 3. ABCD es un paralelogramo. Calcule la relación entre el área de la región sombreada y el área del 4 ABCD (BM=MC). M

B

C

A

∆OCD: Not ( 53º ) y ( 127º ) 2 2 mBTCD=53º A reg. sombreada= 10.20 2 =100 × 3 5 \ A reg. sombreada=60.

5. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada (TM=AM). "T" es un punto de tangencia. BC=a y CA=b.

D

Resolución: M

B

S S

P

2S

C

S N

O

T

2S

3S

M

A

D

Por prop.: A∆MNC= A4ABCD 12

Sea A4=12 S

Por prop. A∆MDC A4ABCD =3S 4 A 4 ABCD =3S Por prop. A∆BOC 4 \ Asomb = 4S = 1 . A4ABCD 12S 3

B

C L

a + 2b 2

O S

B

a

T M

(a + b) b

/

4. Calcule el área de la región sombreada, si AB=20. (T es punto de tangencia). (TL=LC) ABCD: cuadrado.

A

Resolución:

⇒A∆MNC=S

/

C

B

a/2 C

b

A

Tangente: (AT)2=(a+b)b por prop.: S= A4BOTA 2 a 2b ` +2 + a + bj S= â + bh b 2

T

S= (3a + 4b) (a + b) b 4 A

D

Resolución: 20

B

10 10

20 53º

A

Central: 619-8100

L

T

10

C

37º

10

53º

53º 2 20

D


Problemas para clase 1. En la figura, "T" es punto de tangencia. Calcule el área de la región limitada por el paralelogramo ABCD y CT=6. T

B

5. Calcule el área de la región sombreada, si el área de la región del cuadrado ABCD es 90 u2. ("P" y "Q" son puntos medios). C

B

C

Q 53º

D

A

a) 12 u2 d) 24

A

b) 18 e) 27

c) 12 2

2. Según la figura, "T" es punto de tangencia y "O" es centro. Calcule el área de la región rectangular ! ABCD, HD=6u, H ε TE .

a) 13 u2 d) 39

b) 26 e) 52

B

Q

C

O

D

a) 9 u2 b) 12 d) 36 e) 48

E

c) 20

3. En un triángulo ABC se trazan las medianas AN y BM que se cortan en "G". Calcule el área de la región triangular MGN, si el área de la región triangular ABC es 36 u2. a) 2 u2 d) 1

b) 3 e) 6

13 c) 12 a) 15 u2 b) 4 5 7 e) 6 d) 16 5

106

A

D

M

a) 1 u2 d) 5

b) 2 e) 5

c) 3

7. Según la figura, "P", "Q" y "T" son puntos de tangencia. Calcule el área de la región rectangular ABCD; MN contiene los centros de las circunferencias de AM=8u, AT=2u. C

c) 4

4. El exradio relativo a BC de un triángulo ABC, mide 4u. Calcule el área de dicha región triangular, si los segmentos determinados por la circunferencia exinscrita sobre el lado BC miden 1u y 2u.

Quinto UNI

C

P

H

A

c) 30

6. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Si AB=2 5 u, calcule el área de la región cuadrangular sombreada.

T

B

D

P

B Q

P

M

a) 24 u2 d) 20

A

b) 30 e) 40

T

D

N

c) 36

Colegios

TRILCE

Geometría 8. En la figura, calcule el área de la región paralelográmica EBFN. AE=4u, AB=BC=10 u, FC=9 u. B

12. El área de la región del paralelogramo ABCD es 120 u2. Calcule el área de la región sombreada ("M" y "N" son puntos medios).

N

N C

A

a) 23 u2 b) 56 c) 23,2 2 d) 42,88 e) 144 25

B C D

b) 4 e) 8

c) 5

11. En la figura, ABCD es un rectángulo, y el área de su región es 48 m2. Calcule el área de la región sombreada ("M" y "N" son puntos medios). B

a) 30 u2 d) 22,5

b) 27,5 e) 20,5

c) 25

13. Del gráfico, calcule el área de la región triangular ABC, si S1=9 u2. B

c) 12 2

10. En el gráfico, A=9 u2, B=10 u2, C=12 u2; D= 15 u2. Calcule el área de la región sombreada. A

D

S1

//

b) 18 e) 27

A

//

9. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD, en BC se ubica el punto "P" y en CD, el punto medio "M", m
a) 3 u2 d) 6

C

F

E

a) 12u2 d) 24

M

B

C

A

C

a) 36 u2 d) 60

b) 42 e) 64

c) 48

14. Dado un triángulo ABC, cuya región tiene un área de 18 m2, se traza la altura BH, si la mediatriz de AC intersecta a BC en "N". Calcule el área de la región cuadrangular ABNH. a) 6 m2 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

15. Calcule la diferencia de las áreas de las regiones sombreadas, si el lado del cuadrado ABCD mide 8 u. (CM=MD). B

C

M A

a) 6 m2 d) 8

N

b) 4 e) 3

M

D

c) 5 A

a) 8 u2 d) 16

Central: 619-8100

D

b) 12 e) 20

c) 15


Tarea domiciliaria 1. Calcule el área de la región del rectángulo de 98 m de perímetro y 41 m de diagonal. a) 720 m2 d) 640

b) 360 e) 480

c) 540

7. Calcule el área de la región sombreada, si el área de la región del paralelogramo ABCD es "S". Los puntos "P", "Q" y "R" son puntos medios.

2. Calcule el área de la región de un trapezoide simétrico, si sus diagonales miden 14 u y 24 u. a) 124 u2 d) 172

b) 84 e) 147

b) 4 e) 9

c) 6

D

a) S/6 d) 3S/8

b) S/12 e) S/48

B

C

C

S2 A

Sx

S3

a) 10 u2 d) 20

a) A = B + C

D

S1

b) 12 e) 7,5

c) 15

9. En la figura mostrada: AE=2(ED). Además, S∆AQD=6 u. Calcule el área de la región del paralelogramo ABCD.

b) A2=B2+C2 c) A2=B2+C2 - BC

B

A= B+ C

C Q

e) A=B+C - 2 BC 5. Calcule el área de la región del trapecio ABCD, si CQ=1u y QD=9 u. B

C

/

Q

D

A

b) 48 e) 40

c) 36

6. AFEG es un rectángulo. Si AF=8 u y FE=12 u, calcule el área de la región sombreada. F

A

D

E

a) 28 u2 d) 36

b) 30 e) 27

c) 34

10. Las bases de un trapecio miden 4 u y 10 u; las diagonales miden 13 u y 15 u. Calcule el área de la región del trapecio.

R

a) 24 u2 d) 32

c) S/24

8. Si ABCD es un paralelogramo, calcule "Sx", si S1=7 u2; S2=5 u2 y S3=3 u2.

B

d)

R

A

4. Si A, B y C son cuadrados, calcule la relación entre las áreas de sus regiones. A

C

P

c) 168

3. Calcule la altura de un trapecio de bases 5 u y 13 u, si es equivalente a un cuadrado de lado 6 u. a) 2u d) 3

Q

B

a) 48 u2 d) 63

b) 62 e) 80

c) 84

11. El gráfico mostrado, ABC, es un romboide. "M" y "N" son puntos medios de AB y CD. Halle la diferencia de áreas de las regiones sombreadas. M

A

E

B

P G

A

a) 16 u2 d) 32 Quinto UNI 108

b) 24 e) 34

c) 48

D

a) 0 d) 3

N

b) 1 e) 10

C

c) 2

Colegios

TRILCE

Geometría 12. Del gráfico, "B" y "C" son puntos de tangencia. Si AB=4 dm y CD=9 dm, calcule el área de la región cuadrilátera ABCD.

14. En el gráfico, si ABCD es un cuadrado, calcule: S1/S2. B

C S1

E M

C

B A

S2

D

dm2

a) 37 d) 57

b) 50 e) 67

A

c) 56

13. ABCD es un paralelogramo. HE // AB, S∆ALB=18 y S∆HLE=8. Calcule S∆DEC. B

C

a) 20 d) 15

b) 10 e) 25

1 c) 2 a) 1 b) 2 3 3 d) 1 e) 2 15. ABCD es un cuadrado, calcule el área de la C

B

L

H

D

región sombreada. (AN=CM=MD=4)

E

A

N

D

M

c) 12 A

N

D

a) 32/15 b) 16/15 C) 17/15 d) 32/17 e) 18/13

Central: 619-8100


Problemas resueltos 1. Calcule el área de la región sombreada, AB=8.

Resolución:

Piden: Á. reg. somb.

2

O A

M

B

O

2

Resolución:

2

C

R

2

L 45º

45

2 2 A

M

4

N 22

45º

45/2

2 2 O

LMN: Isósceles

B

4

m LMN=45º 2)2

* Á reg somb.= 45º (2 360º

=

- (2

2)2

sen45º 2

- 2

2. Calcule el área de la región sombreada (T: Punto de tangencia), si: R=2.

T R

* Por propiedad: MTS=60º

m STB=30º

RTS: Isósceles

MTS=90º

* Á. reg. somb. OCS

110

=A OCS - A 2 = 90 2 - 2.2 2 360 = -2

3. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada si las circunferencias y el círculo son tangentes R=3 y r=2. (M, P y Q: puntos de tangencia).

R

r M

Ciclo UNI

B

T R=2

4

Piden: Área sombreada

*

45º

/2

S 15º

P

Q

Colegios

TRILCE

Geometría

Resolución: Piden A

* T. Cuerdas: 3 x 8=4(CL)

* Por teorema de Faure:

32+42+82+62=4R2

3

2 r M

P

Q

5 5 * A.somb=M 2

Por propiedad: 1 = 1 + 1 r 3 2 r2=36(( 3 - 2 )2)2

CL=6

=

2

-

R=

11×4 2

125M - 22 4

5. En el gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada. T, P y Q: Puntos de tangencia. PL=4LT, R=6.

A =36 (5 - 2 6 )2

4. Calcule el área de la región sombreada, si: AC=3; BC=4, CD=8 T

Q

L

R

D

B

5 5 2

P C

A

Solución:

Solución:

T D

B

3

4K

6 152º

124º

P

C

R

6

L

28º

Piden: Á. reg. somb.

*

A

Central: 619-8100

76º 14º

8

4

Q

KL

TLP: (NOT 14º y 76º)

mPQ=152º, m QAP=28º 124º (6)2 * Á. reg. somb.= 360º 62 . . . Á. reg. somb.= 5


1. En el gráfico se muestra un cuarto de círculo y un semicírculo. AM=MO=2 3 . Calcular el área de la región sombreada. A N

M

B

O a) 5 - 6 3 d) 4 + 3

5. Calcule el área sombreada donde los lados del cuadrado ABCD son diámetros de los semicírculos AB=6 cm. B C

b) 5 + 6 3 e) 10 + 3 3

A

c) 4 - 3

2. Calcule el área de la región sombreada, si R=8'cm; r=2 cm.

D

a) (15 - 6 3 ) cm3 c) (6 - 15 3 ) e) (5 - 6 3 )

b) (15 - 18 3 ) d) (6 +15 3 )

6. Indique qué relación es la correcta: C E

r A R

R

B

a) 20(3 - 2) cm2

b) 10( - 2) cm2

c) 20( - 1) cm2

d) 10(2 - 2) cm2

e) 10(3 - 2) cm2

3. Calcule el área de la faja circular cuyas bases son el lado del hexágono regular y del triángulo equilátero inscrito en una misma circunferencia, además el radio de la circunferencia es R= 6 . a) / 3 cm2 b) / 2 c) d) / 4 e) / 6

r D

a) A+B+C=D+E

b) E - D=A+B+C

c) A+B+D=E+C

d) B+D=A+C+E

e) A+E=B+C+D

7. En la figura mostrada, se pide S4, si los triángulos ABC, AFG y FHC son equiláteros: S1+S3=16 cm2 y S2=4 cm2 R B G

4. Calcule "Sx", si: S1+S2=25 Sx

S1

2

Ciclo UNI 112

b) 50 2 e) 35 2

S3

F S4

S1

A a) 20 cm2 d) 12

S2 a) 30 2 d) 20 2

H

S2

C b) 24 e) 14

c) 10

c) 25 2

Colegios

TRILCE

Geometría 8. En el gráfico: B+C+D=12

2.

D C

a) 96 m2 d) 114

Calcule: "A"

c) 112

12. Según el gráfico, calcule el área del círculo sombreado, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 3( 3 +2) cm (P y Q son puntos de tangencia). Q B C

B

P

A a) 12 2 d) 15

b) 110 e) 118

b) 9 e) 18

c) 6 D

A a) 6 d) 9

9. En el gráfico, calcule el área de la región "x", si el área de la región S=4 2. (P: punto de tangencia). x

b) 4 c) e) 25

13. En el gráfico: AB es diámetro. Si: S1, S2 y S3 representan las áreas de las regiones sombreadas, ¿qué relación existe entre S1, S2 y S3? T: punto de tangencia.

S P a) 3 +2 d) - 1

A

b) 3 +4 c) +3 e) 3 +1 S1

10. Del gráfico, calcule: S1+S2 - S3, si: AM=MD. (ABCD: cuadrado) C B 3

S1

A a) 2 d) 5

M b) 3 e) 6

S3

D

a) 2S3=S2+S1 c) S1.S2=S1 e) 2S1+S2=S3

14. En el gráfico: A+C=B; y=18 2. Calcule "x". y A

x B

a) 18 2 d) 9 2

Central: 619-8100

b) S3 - S2=S1 d) S2+S3=2S1

c) 4

11. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es de 20'm y =3,14. B C

A

S3

B

S2

S2

T

C b) 16 2 e) 6 2

c) 12 2

D www.trilce.edu.pe 113

15. Calcule "S3", si: S1=16 m2, S2=9 m2 (P y Q: puntos de tangencia). P Q S1

S2 S3

a) 12 m2 d) 36

b) 24 e) 52

c) 48

1. En el gráfico se muestra dos circunferencias concéntricas de centro "O", AB es una cuerda de la circunferencia mayor y tangente a la circunferencia menor. Calcule el área de la corona circular formada. Si: AB=2m. A

3. En el gráfico, calcule: S2 - S1, si el lado del cuadrado ABCD es 4 . C B S1 O

B O

S2

D

A

2

a) (3 - 8) b) 2(3 - 8) 2 d) (6 +8) e) 2(6 - 8)

a) 2 m2 b) 3 m2 d) 4 m2 e) m2

c)

3 4

2 2

c) (6 - 8) 2

m2 4. En el gráfico se pide el área de la región sombreada, si: OA=OB,R=2 3 y m AOB=30º.

2. Si: ABC es un triángulo equilátero de lado 2 3 . Calcule el área del círculo. B

A

R A

a) 2 d)

Ciclo UNI 114

2

b) 3 2 2 e) 2 2

C c) 4

2

O

30º

a) (10 - 3 ) 2 c) (15 - 6 3 ) 2 e) ( - 3 3 ) 2

P

B

b) (12 - 6 3 ) 2 d) (5 - 6 3 ) 2

5. Dados los círculos de centros A y B, calcule el área de la región sombreada. (A: punto de tangencia).

Colegios

TRILCE

Geometría a) 25( +2) 2 b) 25( - 2) 2 25( +2) 2 d) 25( - 2) 2 c) 2 2 e) 8 2 R

R

A

B

R2 a) -1 2 2 R2 ( - 1) c) 2

e) R2 (2 - 2)

2 2

b) R 2 (

- 1)

2

d) R 2 (

- 2)

2

9. En la figura, calcule el área de la región sombreada BD= 6, siendo: O y D centros A

O

2

R

6. Calcule el área de la región sombreada, si: AOB es un cuadrante de radio 4 . mCD=50º y mDB=20º A C

C B R2 3 a) 2 R2 6 c) 2

D

O

P

B

Q

a) 10p 3

2 b)

10p 9

2 c)

d) 20p 9

2 e)

5p 3

2

20p 3

b) 2 e) 1

2

d) ( R 2 - R 2 2 )

2

2

2

2

b) 50 e) 10

2 2

2

c) 25

11. En el gráfico, ABC es un triángulo equilátero de lado "2a". Además: AC y BC son diámetros. Calcule el área de la región sombreada. B

c) 3

F O2

A

G

O1

C

Central: 619-8100

2

4

e) ( R2 - R2 3 )

a) 100 d) 16

8. Calcule el área de la región sombreada, si: AO=OB y FG=4 (G: punto de tangencia) A

O

R2 3 2 b)

10. Calcule el área de un círculo cuyo diámetro mide 10 .

2

7. Si el área de un sector circular es numéricamente igual a la longitud de su arco correspondiente. Calcule la longitud del radio del sector. a) 5 d) 4

D

B

a) a2( - 3 ) 2 c) a ( + 3 ) 2 e) 8 2

2

b) a2( - 3 ) a2 ( + ) 2 d) 3 4

2 2


12. A y E son centros de los arcos BC y BF , respectivamente. Estos arcos suman 3 . Si además: AC=3a. Calcule el área de la región sombreada.

14. En el gráfico: O y O1 son centros. Si: EF=4 y BC=5 , calcule el área de la región sombreada. E F

B E

O1 O

B

C

A F C

2

- Sen2 a) a 2 90

2 - Sen b) a 4 60

a2 a2 - Sen4 d) - Sen2 c) 2 90 2 30 a2 .-.9Sen2 e) 8 10

a) 29p 9

2

d) 19p 3

245≠ 2 2 e)

15. En el gráfico mostrado, se sabe que "O" es centro, "P" y "Q" son puntos de tangencia, HA=2 y HO=3 . Calcule el área de la región sombreada. A

C D

p 30 p d) 90 a)

Ciclo UNI 116

Q T

Q

H

O

P

2

24

13. A es centro de los arcos concéntricos CTQ y BP, ambos suman º. Si: AB=BC=CD y DT=2 5 , calcule el área de la región sombreada. (T: punto de tangencia) A

B

39p 2 c) 17p b) 13 7

P

B

a) 265p - 432 256

2

b) 265p - 423 265

2

c) 224p - 243 266

2

d) 432p - 624 624

2

e) 2p

2

p 2 p 2 c) 2 b) 60

15

2

e) 8

2

Colegios

TRILCE

1. En el gráfico: ABCD y DEFG son cuadrados, si el área de la región triangular BCE es 18 m2, calcule el área de la región DEAF. D C

5. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD, con diámetros en DC se traza interiormente una semicircunferencia que pasa por el centro del paralelogramo e intersecta a BC en P. (BP=2 y PC=8 ) a) 15 d) 45

G E B

A

a) 9 m2 d) 12 m2

b) 9 2 m2 e) 18 m2

F c) 9 3 m2

A a) 12 d) 27

2 2

C

M b) 15 e) 36

2 2

c) 18

2

3. Calcule la medida del menor ángulo de un triángulo que tiene por ex-radios cuyas longitudes son 2; 3 y 6 m, respectivamente. a) 37º d) 53º

b) 30º e) 60º

Central: 619-8100

b) 16 m2 e) 24 m2

2

b) 20 e) 60

c) 30

2

2

6. Calcule el área de la región rombal ABCD, en AD se ubica el punto E, BE intersecta a AC en P m BPC=45º, PC=a y AP=b. a2 - b 2 a2+b2 ab b) c) a) 2 2 2 e) a2- b2

7. En una región rombal ABCD cuya área se desea conocer, con centro en B y radio BC se traza un arco de circunferencia que intersecta a la prolongación de AD en P. PD=1 y BC=5 a) 10 d) 25

2

2

b) 15 e) 30

2

c) 20

2

2

8. En el gráfico: 5AB=10BC=10AD=2DE. Si: S1=27 m2, calcule: S2. A S2 D B

S1

c) 45º

4. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia sus sagitas miden 1 m, 2 m, 5 m. Calcule el área de la región ABC. a) 12 m2 d) 22 m2

2

d) 2ab

2. En el gráfico: AP=PB, AM=MC y DM=ME y BF=FD. Si el área de la región SFD es 9 2. Calcule el área de la región MEC. B F D P S E

2

C

a) 9 m2 d) 4 m2

b) 6 m2 e) 3 m2

E c) 5 m2

c) 20 m2


9. Del gráfico, calcule el área de la región triangular ABC, donde: BD=8 m. B

12. De la figura: B, P y T puntos de tangencia. Calcule el área de la región (BTP). Si: S1 . S2=100 m4 T P S1

r A

C

D

a) 72 m2 d) 40 m2

S2

A

r

b) 64 m2 e) 32 m2

a) 5 m2 d) 10 m2

c) 48 m2

10. Si: BC//AD, AM=BC y el área de la región ABCD es 40 2. Calcule el área de la región sombreada. C B

b) 6 m2 e) 12 m2

c) 8 m2

13. En el gráfico: x=7 dm2 y w=12=dm2. Calcule el valor de "y". C B w

x

a

y

b

D

b

M

160 145 a) 140 b) c) 3 3 3 170 d) 140 e) 3 9

Qy F E x

P

R z D

A a) 10 d) 30 m2

Ciclo UNI 118

m 2

b) 20 e) 25 m2

a) 12 dm2 d) 15 dm2

D b) 13 dm2 e) 16 dm2

c) 14 dm2

14. Calcule el área de la región triangular máxima inscrita en una circunferencia de radio a. a2 2 b) a2 c) 2 2 3 d) 3a 3 e) 3 a2 4 2 a) 3a2

11. Calcule el área de la región sombreada PQR, si el área de "X", "Y" y "Z" suman 20 m2. Además: AD=2DC, CF=2FB, BE=2AE B

m 2

A

a A

C

B

15. El área de la región paralelográmica ABCD es 80 (AM=MD, BN=NC, CP=PD). Calcule el área de la región sombreada. N B C P

C c) 15

A m2

a) 1 d) 2

M b) 4 e) 6

D c) 3

Colegios

TRILCE

Geometría

1. El lado AC de un triángulo ABC mide 10 u. Calcule la longitud del segmento PQ//AC, tal que las áreas de las regiones del triángulo PBQ y el trapecio APQC se encuentren en la relación de 2 a 3. a) 5

10 b) 2 5 c)

d) 2 10

e) 5

2. Las bases de un trapecio miden 1 y 3 . calcule la longitud del segmento paralelo a las bases que determina dos trapecios parciales equivalentes. 5 10 c) a) 5 b) 2 d) 10 2

e) 2

3. En un triángulo ABC se toma un punto interior y por él se trazan paralelas a los lados que determinan 6 regiones: 3 paralelogramos y 3 triángulos teniendo estos últimos 4 2, 9 2 y 16 2 de área. Si el lado AC mide 12 , la altura relativa a dicho lado valdrá: a) 12 d) 10

b) 13 e) 12,5

c) 13,5

4. Grafique al triángulo ABC con AB=d y m A= . La mediatriz de AC corta a BR en su punto medio ("R" AC). Calcule el área de la región triangular BRC. (BR: ceviana interior). 2 d2 sen3a c) d2 sen2a a) d sena b) 2 3 4 2 d2 sen2a d) d sen2a e) 2 3

5. En la figura, calcule el área de la región triangular EBF. AE=4 , AB=BC=10 , FC=9 . B E

N

6. En un cuadrado ABCD, sobre CD se toma el punto L, por A y D se trazan perpendiculares a BL y a su prolongación; AH y DP, respectivamente. Si: AH=3 y DP=1 . Calcule el área de la región triangular APD. a) 1,5 2 d) 3 2

b) 2 2 e) 2,5 2

7. Calcule el área de la región de un triángulo, cuyos lados miden 13 , 14 y 15 . a) 21 2 d) 88 2

b) 42 2 e) 100 2

a) 3 2 d) 2,88 2

9. Calcule el área de la región de un triángulo rectángulo, sabiendo que los exradios relativos a la hipotenusa y a un cateto miden 6 y 4 , respectivamente. a) 2,4 2 d) 4,2 2

b) 3,2 2 e) 4,8 2

Central: 619-8100

c) 3,6 2

10. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado, si: AB=2 5 , calcule el área de la región triangular PQD. B C P Q

F

C b) 5 2 e) 4 2

c) 84 2

8. El exradio relativo a BC de un triángulo ABC, mide 4. Calcule el área de dicha región triangular. Si los segmentos determinados por la circunferencia ex-inscrita sobre el lado BC mide 1 y 2 . 12 2 b) 13 2 c) a) 15 2 5 7 4 e) 6 2 d) 16 2 5

A A

c) 1 2

c) 3,2 2

M

a) 1 2 b) 2 2 2 d) 5 e) 5 2

D c) 3 2


11. Calcule el área de la región sombreada, si: AO=OB=BC=r. (T: punto de tangencia)

r A

O

d) 2

C

B

a) r2

3 6 3

2

2 b) r2 33 3

c) r2

3 6 2

2

d) r2

e) N.A.

3 2 - 6

15. Si el área de un círculo se duplica al aumentar su radio en ( 2 - 1). Calcule la longitud del radio original. 3 1 c) 1 a) b) 5 2

2

e) 3

16. En el gráfico, el triángulo ABD es equilátero y AC=10 . Calcule el área de la región sombreada. B

2

º D

12. Si: AO=OB=2 , calcule el área de la región sombreada.

º a) 10 3 d) 30 3

45º

2

2

C

A b) 20 3 e) 40 3

2

c) 25 3

2

2

17. En una circunferencia se encuentra inscrito el triángulo ABC, en el cual el producto de la B A O medida de sus tres lados es 48 m3 y el producto de las medidas de sus tres alturas es 36 m3. a) ( - 2) 2 b) (2 - 3) 2 Calcule el radio de la circunferencia. d) (4 - 3) 2 c) (2 - 1) 2 e) (2 +2) 2 a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4m e) 6 m 13. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD y por "D" se levanta DE perde tangencia. Si: pendicular a AC ("E" en BC). Calcular el área 18. "A", "B" y "C" son puntos AB.BQ.BC.BP=36 dm4, calcule el área de del triángulo AED, si: AE=1 m. la región triangular ABC. (A y C: puntos de a) 0,25 m2 b) 0,5 m2 c) 1 m2 tangencia). e) 1,5 m2 d) 1,25 m2 P 14. Calcule el área de la región sombreada, AB=16. (M, N, P, Q: puntos medios). G

A

Q B

B A N

Q

D a) 136 m2 d) 256 m2

Ciclo UNI 120

P b) 196 m2 e) 266 m2

a) 12 dm2 d) 5 dm2

b) 9 dm2 e) 3 dm2

C c) 6 dm2

C c) 220 m2

Colegios

TRILCE

Geometría 19. Se muestra la circunferencia de centro "O" inscrita en el cuadrado ABCD. Calcule el área de la región sombreada. C

B 4

a) 4+ 5 d) 4 2

Central: 619-8100

D

O

5

20. Calcule la razón de las áreas de las regiones triangular y cuadrilátera regulares inscritas en la misma circunferencia. 3 3 c) 3 5 a) 3 3 b) 2 8 8 3 d) 3 3 e) 4 8

A b) 4+ c) 3 3 2 e) 4 -

2


1. Se tiene el triángulo equilátero ABC y ACD ubicados en planos perpendiculares. Calcule el ángulo formado por AB y CD.

Solución:

Piden: m AB y CD

2. Se tiene a un triángulo rectángulo ABC, recto en B, por A se levanta una perpendicular al plano que contiene al triángulo, tal que: AL=AB=BC. Calcule el ángulo formado por AC BL .

Solución:

Piden:

B

AC L

BL

l 4l

E

l

3

l

l l

M

2l

I

2l

Sea: AB=4

* Se traza ME // AB, MI // CD

D

Se construye al cubo de arista "a"

FAI: Ley de los cosenos

L

FI= 7

a

* T. Pitágoras: EI2=( 3 )2+( 10 )2

EI=

a 2

x

I a 2

a 2

a

B

a C

A

7 *

C

A

*

a

a

C

x F

A

B

a

MEI: Ley de los cosenos

* ( 10 )2= 2+(2 )2 - 2 . 2 . cosx

... x=arc cos - 5 4

* LI // AC

* Piden: m

AC

BL=x

* LB=BI=LI=a 2 ... x=60º

Ciclo UNI 122

Colegios

TRILCE

Geometría 3. En el gráfico ABCD es un cuadrado; ABNM un rectángulo ubicados en planos perpendiculares. Calcule la mínima distancia entre AB y RT, si MF=4, FN=12, BR=RC. N F M T

B

A

D

Solución:

M

4 F

N

12

h A

4

B

x

B 8

12

R 8

* AB proyectado

Q es B

* TB proyectado

Q es T'R

* RMTR .

d(AB

1 2 3 = (ED) 2 2

ED=

1 6

4 3 * Por teorema de las tres perpendiculares 2 2 * T. Pitágoras: (PL)2= 2 3 + 2 3 3 PL= 10 3 2 . 10 3 = 5 * A. ABP= 3 2

AE=

C

Solución: M

* Por propiedad h2=4,12

*

D

Solución:

5. Un cuadrado y un semicírculo de diámetro AB determinan un ángulo diedro cuya medida se pide calcular, siendo M punto medio del arco AB y el triángulo DMC es equilátero.

71

T

C

R

h=4 3

r

r

r A

TR )=x

B

r

C

2r 2r

L D

Piden:

T'BR: RMTR

4 3 . 8=4 7 . x ... x= 8 21 7

Sea: AB=2r

*

4. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, un semicírculo de diámetro OC es perpendicular al plano del cuadrado se traza la tangente AP a la semicircunferencia, AB= 2 , calcule el área e la región APB.

MDC: equilátero: ML=r 3

* MOL: Triángulo notable de 30º y 60º ... =60º

P B 2

L

A

Central: 619-8100

2 2 3

1

C

2 3

O

E

O

D


P

1. Un plano queda determinado unívocamente por:

C

1. Tres puntos no colineales. 2. El movimiento de una recta que se desplaza paralelamente así misma.

B

4. Una recta que se mueve pasando siempre por un punto fijo. De estas afirmaciones, son ciertas: a) 1 y 2 d) 2 y 4

b) 1 y 3 e) 3 y 4

c) 2 y 3

2. Calcule el máximo número de planos que determinan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio. a) 48 d) 96

b) 72 e) 106

4. Indicar si es corresponda:

c) 5 m o

verdadero,

según

• Si una recta es paralelas a un plano, entonces dicha recta será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano. .....................(__) • Si un conjunto de rectas son paralelas, necesariamente dichas rectas son coplanares. ..............................................................(__) • Si una recta es perpendicular a otras tres dadas, las rectas dadas necesariamente tienen que estar en un mismo plano que contenga a la perpendicular. ...................... .............(__) a) FVV d) FFF

b) FVF e) VVF

b) 21 e) 26

2

2

c) 22

2

2

6. En el gráfico, BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si: AB=BF=BC=a y "M" es punto medio de CD, calcule el área de la región sombreada. F B

C M

b) 7 m e) 9 m falso

2

a) 20 d) 25

c) 84

3. Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1 los segmentos AE y EB y sobre otra L2, secante los segmentos CF y FD. Si: AB=8'm, CD=12'm y FD - EB=1'm, calcule "CF". a) 4 m d) 1 m

A

R

3. Dos rectas paralelas.

H

c) VFF

5. En el gráfico, PB es perpendicular al plano R. AH=2 , HC=8 , PB=3 . Calcule el área de la región APC.

A a)

D

a2 2 b) 2 c) 2 4 4

a2

a2

2 a2 3 d) 3a e) 8 4

7. En el gráfico, m RHS=30º; OH=5, PH=5 3 . Calcule el área de la región PSR. P

H

O

R

S a) 25 d) 25 3

b) 25 6 2 e) 28

c) 26 3

8. Sean y dos rectas alabeadas que forman un ángulo de medida igual a 60º. En se marcan los puntos "A" y "B", en se marcan los puntos "P" y "Q" de modo que: AP sea la mínima distancia entre ellas y AB=PQ=2(PA). Calcule la relación de QB y AP. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Ciclo UNI 124

Colegios

TRILCE

Geometría 9.

y

son dos rectas alabeadas que forman

37º. En

se marcan A y B, en

se marcan E

12. Si una recta es perpendicular a dos rectas: a) Estas rectas son paralelas entre sí.

y F de modo que: AE es la mínima distancia entre ellas, m BFE=90º y EA = AB. Calcule 3 5 el ángulo que forman AE y BF.

b) Estas rectas se cortan.

a) 15º d) 45º

d) Todo plano perpendicular a una de las dos rectas será también perpendicular a la otra de las dos rectas.

b) 30º e) 53º

c) 37º

10. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD ortogonales: AB=4 y CD=6. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. a) 3 b) 4 c) 13 d) 11 e) 15 11. En el gráfico, el plano "R" es paralelo al plano "S"; AM=MB y "G" es baricentro del triángulo ABC. Calcule: PG/GQ. B

B

P

M

N

a) 1/2 d) 1

Q

A

C b) 1/3 e) 1/6

e) Ninguna de las afirmaciones anteriores completa correctamente a la proporción inicial. 13. Dado un triángulo ABC: AB=15; BC=8 y AC=17. Por el incentro "I" se eleva ID, perpendicular al plano ABC, siendo: ID= 247 . Calcule la medida del ángulo DAB. a) 37º d) 45º

c) 1/4

a) 1 d) 2,5

c) 60º

b) 1,5 e) 3

c) 2

15. Se considera un punto "P" exterior y no coplanar a un rectángulo ABCD. Si: PA=3; PB=4; PC=5. Calcular PD. a) 2 d) 4 2

Central: 619-8100

b) 53º e) 75º

14. Desde un punto A exterior a un punto se traza una perpendicular AB a dicho plano y dos oblicuas AC y AD (B, C y D sobre un plano); AC y BQ AD. Calcular por B se traza BR RC. Si: AR=6; AQ=5 y QD=4.

G

S

c) Todo plano paralelo a una de las dos rectas será perpendicular a la primera recta.

b) 2 2 e) 6

c) 3 2


1. Indique si es verdadero (V) o falso (F), en cada una de las siguientes proposiciones: I. Dos rectas paralelas a un mismo plano, son rectas paralelas. II. Dos planos paralelos a una misma recta son planos paralelos. III. Dos rectas paralelas son paralelas a un plano; el plano determinado por las paralelas es paralelo al plano dado. a) VVF d) FFV

b) VFV e) FFF

c) VVV

7. En un plano "P" se tiene el triángulo ABC cuyo ángulo A mide 60º. Se tiene un punto "R" fuera del plano "P". Si las distancias desde "R" al punto "A" es igual a 25 u, de "R" al lado AC igual a 20 u y de "R" al lado AB igual a 7 u. Calcule la distancia desde "R" al plano "P". a) 5 d) 39

8. las proyecciones de un segmento EF sobre un plano "P" y sobre una recta "L" perpendiculares a dicho plano miden 35 y 12 , respectivamente. Calcule EF.

2. Calcular el máximo número de planos que determinan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio. a) 48 d) 96

b) 72 e) 106

c) 84

3. Se tiene una circunferencia de diámetro AB contenida en un plano. Por "A" se levanta una perpendicular al plano en la cual se toma un punto "F". En la circunferencia se toma un punto "C", tal que: FC=9 y BC=4 . Calcule FB. a) 97 d) 93

b) 9 e) 15

c) 10

4. Desde un punto "O" exterior a un plano "P" se trazan las oblicuas OA, OB y OC que forman ángulos de 45º, 60º y 30º, respectivamente, con dicho plano, de modo que: A, B y C pertenecen al plano "P". Calcule: OC, si: OA=6 . OB a) 2 b) 2 c) 3 d) 3 e) 1,5 5. Se tiene un cuadrado ABCD de 4 de lado y un triángulo equilátero AFC perpendicular al cuadrado. Se toman los puntos medios H de BC , P de AD y Q de FH. Calcule PQ. a) 15 b) 5 d) 5 e) 7

c) 4

6. Se tiene los segmentos alabeados y ortogonales AB=4 y CD=6 . Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. a) 3 d) 11

Ciclo UNI 126

b) 4 c) 13 e) 10

b) 6 c) 37 e) 37

a) 47 d) 39

b) 44 e) 37

c) 41

9. Tres planos paralelos intersectan en A, B y C a una recta L1 y en E, F y G a otra recta L2, en ese orden, de tal manera que: AC=24 , EG=36 y FG - BC=3 . Calcule AB a) 12 d) 18

b) 15 e) 20

c) 16

10. Por los vértices A y C de un triángulo equilátero ABC se levantan las perpendiculares AE y CF al plano de dicho triángulo, de tal manera que: AE=5 y CF=AB=10 . Calcule el área de la región triangular EBF. a) 65 2 d) 32 3 2 11.

b) 25 6 2 e) 80 2

c) 72

2

y son dos rectas alabeadas que forman un ángulo de 53º. En se ubican los puntos A y B, en se ubican los puntos C y D; de tal manera que: AB=12 , AC=30 y CD=20 . Calcule la distancia entre los puntos B y D, si la longitud del segmento AC es la mínima distancia entre dichas rectas alabeadas.

a) 10 10 b) 40 c) 12 6 d) 34 e) 18 3 12. Por el vértice B de un triángulo equilátero ABC se levanta la perpendicular BP al plano del triángulo, de tal manera que: BP=3 33 y AC=12' . Si "M" es el punto medio de AC. Calcule la medida del ángulo con que se cruzan los segmentos BC y PM. a) 60º d) 63º30'

b) 47º30' e) 90º

c) 53º Colegios

TRILCE

Geometría 13. Por el incentro "I" de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se levanta la perpendicular IP al plano del triángulo, de tal manera que: IP=25' , AC=61' y BC=11' . Calcule la distancia de P a la hipotenusa AC. a) 26 d) 10 15

b) 5 26 e) 31

c) 29

14. Se tienen las rectas alabeadas L1 y L2 que se cruzan formando un ángulo " ". En se ubican los puntos A y B, en se ubican los puntos E y F en es e orden, de tal manera que el segmento AE es la mínima distancia entre dichas rectas y EF BF. Calcule " ", si: 4(AB)=5(EF). a) 60º d) 37º

b) 53º e) 30º

b) 17 e) 22

Central: 619-8100

b) 2 3 e) 40

b) 15 e) 40

c) 20

18. En el plano Q se traza el triángulo ABC y exterior a dicho plano se ubica el punto E. Luego, se ubican los puntos medios M y N de AE y BC, respectivamente, de modo que: EB = MN = AC 3 10 8 Calcule la medida del ángulo entre EB y AC. a) 60º d) 40º

b) 37º e) 45º

c) 90º

19. Los rectángulos ABCD y ABEF están ubicados en planos perpendiculares, AD=24' y BE=10' . Calcule la distancia entre los centros e dichos rectángulos. a) 9 d) 16

b) 13 e) 12

c) 15

c) 18

16. Se tiene los planos perpendiculares ABCD y ABEF. Se ubica el punto "N" sobre el plano ABEF y el punto "M" se ubica sobre el plano ABCD, de modo que el segmento MN forma ángulos de 30º y 45º con los planos ABEF y ABCD respectivamente. Calcule la distancia entre los segmentos alabeados AB y MN, si: MN=12' . a) 4 d) 2 6

a) 10 d) 30

c) 45º

15. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD que se cruzan formando un ángulo recto, AB=16 y CD=30 . Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. a) 15 d) 20

17. Calcule el máximo número de planos que determinan 6 puntos en el espacio.

20. En el plano Q se traza al cuadrante AOB. Luego por "O" se traza OP perpendicular a dicho plano, de modo que: m APB=53º. Calcule la medida del diedro determinado por la región APB y el plano Q. a) 30º d) 75º

b) 60º e) 15º

c) 45º

c) 6


1. Si las distancias de un punto interior a las caras y a la arista de un diedro miden 4 y 4 2 y 8, entonces la medida del diedro es:

Solución: E

4

B

8 30º

L

A

45º

C

m=2 28+8 3 ..........(1)

FBN: cálculo de la mediana 2 m2+(4 5)2=2x2+8 ..........(2) 2 Reemplazando (1) en (2) ... x=4 5+ 3

3. En un triedro O-ABC, los diedros OB y OC miden 164º, calcule la medida del diedro OA, si la medida es menor a 150º y es entero.

4 2

F

Solución: A

Q

P - AC -

Piden: m

EBL: NOT (30º y 60º)

LBF: NOT (45º y 45º)

... m

P - AC -

Q

Q=75º

Usando el triedro polar: 180 - x

x 4 3 120º B 4 A

16

P R

m MPN=180 - x

m C N

8

H 8

m NPR=16º m MPR=16º

4 5

D

FHN: ley de cosenos

m2=(4 3 )2+82 - 2(4 3 )(8) cos120º Ciclo UNI

16

M

N

* Por propiedad:

4

128

B

C

Solución: F 4 M

164º

2. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABF están contenidos en planos que forman un ángulo diedro de 120º, sea M el punto medio de FB y N punto medio de CD. Si: AB=8, calcule "MN".

164º

x

O

* Por propiedad:

180 - x < 16+16

148
* Por dato: x<150º ... x entero=149º Colegios

TRILCE

Geometría 4. Se tiene un triedro isósceles O-ABC. Las caras miden: m AOB=m AOC=45º, m BOC=60º y OA=16. Hallar la longitud de la proyección de OA sobre la cara BOC.

Solución: A

5. Se tiene un triángulo ABC recto en B, contenido en un plano Q, se ubica E un punto exterior a dicho plano tal que EA=EB=EC, si la distancia de E al plano Q es 40 y AB=14. Calcule la medida del ángulo diedro (BC).

Solución:

Piden: x E

C

16

O

45º 45º 60º 30º x 30º

8 2

B

M

OM: proyección de OA sobre COB

OAT: NOT(45º y 45º)

OMT: NOT(30º y 60º)

OT=8 2

... x= 16 6 3

14

A

Q

x M

14

T B

40

C

O

Por dato: AE=BE=EC

O es el circuncentro del

AO=OC

T. Tres perpendiculares

EM

ABC

BC

... x=ArcTg 20 7

1. Se tiene un triedro trirectángulo O-ABC, se traza OH perpendicular a la sección plana ABC. Calcule el área de la cara BOC, si las áreas de las caras ABC y BHC miden 20 y 10 cm2, respectivamente. a) 10 2 cm2 b) 5 cm2 d) 15 2 cm2 e) 10 cm2

c) 5 2 cm2

2. En el plano P, se tiene el triángulo ABC, cuyo ángulo A mide 60º. Se tiene un punto S fuera del plano P. Si las distancias, de S al punto A es igual a 25 cm, de S al lado AC igual a 20 cm, y de S al lado AB igual a 7 cm. Calcule la distancia de S al plano P. a) 37 cm d) 6

b) 39 c) 38 e) 31

3. Dado un triángulo rectángulo AOB isósceles, siendo AO=OB= 6 m, en el vértice O se eleva una perpendicular el plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular, uniendo M con los vértices A y B. Calcule el valor de OM para que el diedro AB mida 60º. Central: 619-8100

a) 3 m d) 4

b) 1 e) 5

c) 2

4. En un triángulo ABC, recto en B, los lados miden AB=6 y BC=8. Por el vértice B, se traza BF perpendicular al plano ABC tal que BF=4,8. Calcule la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y AFC. a) 15º d) 75º

b) 30º e) 90º

c) 45º

5. Un triángulo se encuentra en un plano que forma un ángulo de 45º con otro plano P. Si la proyección del triángulo sobre el plano P tiene 20 cm2 de área, encontrar en cm2 el área del triángulo del espacio. a) 29 2 d) 24

b) 18 2 e) 30

c) 24 2

6. Calcule el máximo valor entero de una cara de un triedro si las otras dos miden 100º y 120º. a) 100º d) 140º

b) 112º e) 141º

c) 139º


7. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que: OA=1 cm; OB=2 cm y OC=3 cm. Calcule la distancia de "O" a la sección plana ABC. a) 5/7 d) 4/7

b) 6/7 e) 5/8

c) 1

8. En la figura, hay un triedro cuyas caras son mutuamente ortogonales y la longitud de sus aristas es: PA=PB=PC=6 m. Calcule el área de la región triangular ABC. B

P A a) 18 2 m2 d) 16 2 m2

12. Dados los planos secantes P y Q, en P está contenido el triángulo ABC y en Q su proyección, el triángulo A1B1C1. Si: BC= , m ACB=90º, m BAC=30º y m A1B1C1 =45º, calcular el coseno del ángulo diedro formado por los planos secantes P y Q. 2/2 c) 3/3 a) 3/2 b) d) 6/4 e) 1/2 13. En la figura, AB está contenido en el plano P, AB=2 5, y A'B' es su proyección ortogonal en el plano Q la cual forma un ángulo de 30º con la arista CD. M es punto medio de AB y se encuentra una distancia de 2 2 de la arista. Calcule la distancia de B al plano Q. P

C b) 18 3 m2 e) 12 3 m2

c) 16 3 m2

C

b) 60º 2 e) ArcTan 3

c) ArcTan

2 3

10. Se tiene un tiedro cuyas caras miden 60º, 60º y 53º. Calcular la distancia de un punto de la arista común de las caras iguales a la cara desigual, sabiendo que dicho punto dista del vértice 4'm. a) 13 m b) 11 c) 14 d) 8 e) 17 11. Sea ABC un triángulo isósceles (AB=BC=5 y AC=6). Se levanta BQ perpendicular al plano de dicho triángulo, de modo que BQ=AC. Calcular la medida del diedro que forman los planos ABC y AQC. a) 30º d) ArcTg 3 2

Ciclo UNI 130

b) 45º e) ArcTg 4 5

c) 37º

B B'

Q

45º

9. Se tiene un tiedro O-ABC, en el cual la cara BOC=90º y las caras AOB y AOC mide 60º cada una. Calcular la medida del ángulo que forma OA y su cara BOC. a) 30º d) 45º

A A'

D a) 4 d) 6

b) 3 e) 5

c) 5

14. Dado un triedro S-ABC, si SC forma con la bisectriz de la cara opuesta un ángulo igual a la mitad de dicha cara, calcule el diedro C, si: diedro A+diedro B=120º. a) 90º d) 60º

b) 45º e) 120º

c) 135º

15. Sea O-ABC un triedro donde:___________ m AOB=m AOC=60º y m BOC=74º. Calcule la medida del diedro OB

a) ArcCos 3 4 c) ArcCos 3 5 e) ArcCos 2 4

b) ArcCos 6 2 d) ArcCos 2 3

Colegios

TRILCE

Geometría

1. Las caras de un ángulo diedro son cortados en los puntos M y N por una recta; siendo A la proyección ortogonal de estos puntos sobre la arista, la mitad del ángulo diedro es igual a la semidiferencia de los ángulo ANM, AMN, y si estos últimos están en la relación de 3 a 1. ¿Cuál 7. es el valor del ángulo diedro? a) 30º d) 60º

b) 40º e) 70º

c) 50º

1 a) b) 3 3 d)

c) 3

3

3 3 e) 3 2

Se tiene un triángulo rectángulo ABC, AB=6' y BC=8, por "B" se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo rectángulo ABC, tal que el ángulo diedro que forman ABC y AEC sea igual a 45º. Hallar "BE".

2. Se tiene un diedro de 90º, formado por las caras a) 4,8 2 b) 2,4 3 c) 2,4 2 "P" y "Q" una secante a dichas caras intersecta d) 4,8 e) 2,4 a "P" y "Q" en A y B respectivamente. Calcule la mínima distancia entre AB y la arista de dicho diedro, sabiendo que AB forma con "P" un 8. La figura muestra dos cuadrados que forman un diedro que mide 45º. Si el lado mide 6 dm, ángulo de 37º/2 y AB forma con "Q" un ángulo hallar la distancia entre sus centros. de 53º/2. Además: AB= 10 m. Q 7 b) 6 c) a) 6 m 3 2 6 d) 2 6 e) R 3 3. Los planos que contienen a los rectángulo ABCD y BCEF forman un ángulo diedro recto, tal que: BC=8 y BF=6, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de FD y AB es: a) 4 d) 5,5

b) 4,5 e) 6

c) 5

B A

C

D

a) 6( 2 + 3 ) dm c) 3 2 - 2 e) N.A.

b) 6 2 - 2 d) 2( 2 - 1)

4. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que: 9. Se tiene un rectángulo ABC: AB=12; BC=16. OA=3 cm; OB=5 cm y OC=4 cm. Hallar la Por el vértice "B" se levanta la perpendicular BF distancia de "O" a la sección plana ABC. al plano de ABC. Si: BF=9,6, calcular la medida del ángulo diedro que forman ABC y AFC. 5 6 60 769 a) b) c) 7 7 769 a) 30º b) 60º c) 37º 6 5 462 d) 53º e) 45º d) 51 e) 7 8 5. La recta I de intersección de dos planos x e y, 10. Un ángulo diedro es de 114º. Calcular la medida del ángulo formado por las semirectas perpendiculares entre sí, es paralela a una recta perpendiculares a sus caras trazadas desde un R del plano "x" y una recta S del plano "y"; si la punto cualquiera del plano bisector del diedro. distancia entre I y R es de 16 cm y la distancia entre I y S es de 12 cm, ¿cuál es la distancia entre R y S?

a) 14 cm d) 10 3

b) 25 e) 20

a) 114º d) 60º

b) 46º e) 90º

c) 66º

c) 4 28

11. En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC miden 15 y 20 m respectivamente. Por "B" se levanta BP perpendicular al plano del 6. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles triángulo, luego se une "P" con "A" y "C". AOB (AO=OB= 2 ). Por "O" se levanta la Calcular la medida del diedro AC, si: BP=16 m. perpendicular OF al plano del triángulo. Hallar "OF", para que el diedro AB mida 30º. a) 53º b) 30º c) 60º d) 37º e) 45º Central: 619-8100


12. La siguiente figura representa un libro cerrado donde "M" y "N" indican las esquinas de la tapa. Si se supone un punto "P" entre "M" y "N", pero fijo en el libro, ¿qué ángulo debe girar la tapa para que MNP sea un triángulo equilátero? a

2a

M

16. Por el circuncentro "K" del triángulo PQR se levanta la perpendicular KE. Calcular "EP+EQ+ER", siendo: RE=m (KE al plano del triángulo). m a) 3m b) 4m c) 3 2 e) m 3 d) 2m 3 17. En el interior de un ángulo diedro se ubica un punto "P" que dista 6 y 5 cm de las caras y 10'cm de la arista. Calcular la medida de dicho ángulo diedro.

N a) 60º d) 150º

b) 90º e) 80º

c) 120º

13. Sea ABC un triángulo equilátero de 18' de lado cuyo ortocentro es "M". Si en "M" se levanta una perpendicular MD= 27 , hallar el ángulo diedro formado por el triángulo ADC y ABC. a) 60º d) 45º

b) 75º e) 30º

c) 90º

14. Por el vértice "B" de un triángulo equilátero ABC se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo. Hallar el ángulo diedro que forman los planos ABC y AEC, si: BC=6, BE=3 3 a) 30º d) 45º

b) 15º e) 37º

c) 60º

15. En el gráfico, "C" es la proyección de "C" sobre el plano "P". Si el área de la región ABC es igual a 40 m2 y el ángulo diedro que forman ABC y "P" mide 60º, hallar el área de ABC. C

A

P

132

b) 60º e) 97º

c) 67º

18. Un ángulo diedro mide 60º, ¿a qué distancia de la arista se encuentra un punto "P" si se halla a 20 de cada cara? a) 20 d) 60

b) 30 e) 40 3

c) 40

19. Dos caras de un triedro miden 115º y 125º. Determinar entre qué valores puede variar la tercera cara.

a) 30º y 150º c) 60º y 200º e) 10º y 200º

b) 40º y 150º d) 50º y 200º

20. Dos caras de un triedro miden 120º y 130º respectivamente, la tercera cara puede medir: a) 10º d) 120º

b) 20º e) 130º

c) 110º

C' B

a) 100 3 m2 b) 20 3 d) 20 e) 30

Ciclo UNI

a) 45º d) 53º

c) 40 3

Colegios

TRILCE

1. En un poliedro, la razón entre el número de aristas y el número de caras es 5/3. Hallar el número de caras, si el número de vértices es mayor que 6 y menor que 10.

3n+V=5n+2

V=2n+2

A

6 < 2n+2 < 10 4 < 2n ; 2n < 8

2 < n n < 4

a C

O1 OCM

a 2 =a 3 2a 2 6 3

a=1

GC=2 ... Vcubo=23=8

2. Se tiene al cubo ABCD-EFGH, calcule el volumen del sólido, si la distancia entre FH y DM es 2 6 (M: punto medio de CG). 3

3. En un tetraedro regular O-ABC la longitud de su arista es a, la altura OH intersecta al plano BMC en el punto P, siendo M punto medio de OA. Calcule: OP

Solución:

Piden "x"

Solución:

O F

E

M I

n=3 . . . C=(3n)=9

a 2

* O1OI

Pero: 6 < V < 10

a

a 3

G

2 6 3

2a

a 2

O

Solución:

A=5n * Por dato: A = 5 C 3 C=3n * T. Euler: C+V=A+R

a 2

E

a 2

a 2

G O

a 2

a

C

M

M

a 2

a B

a 2 A

C 2a

O1

A

P Ha

a 3 3

B * H: Baricentro del

ABC

MN

AO

* ON=AN Central: 619-8100

C

a

D

* La proyección FH y DM sobre AEGC es O y O1M respectivamente.

x

3

3

N

a 2


5. Calcule el volumen del octaedro V-ABCD-E, AM=MV, DF=FC, MF= 3 V

* T. Pitágoras: MN= a 2 a * MOP AMN a x 2 = a 2 a 3 2 2 ... x= 6 a 4

M

B C

A F

4. Calcule el ángulo entre AB y CD si se presenta al icosaedro regular.

D

E B

Solución:

Piden: V. oct. reg. V

D C

a

A

M

Solución:

Piden: m

AB

A

CD

a 3

3

a

2

B

a

a 5

2a D B

D A Q * Por teoría:

ABMPQ: Pentágono regular

F

M x P

C

a

C

E

AFV: 2 (a 3 )2+(a 5 )2=2( 3 )2+(2a) 2 6a2=6

Cálculo de la mediana

a=1

3 * V. oct. reg.= 2 2 3 . . . V. oct. reg.= 8 2 3

* CD // BM

x=m

AB

CD

... x=108º

Ciclo UNI 134

Colegios

TRILCE

Geometría

1. En un poliedro de seis caras y doce aristas, calcule la suma de los ángulos que las aristas forman en los vértices. a) 2 880º d) 1 400º

b) 1 300º e) 220º

b) 3 y 2 e) 4 y 1

c) 2 y 5

3. Encontrar el área de la sección hecha en un tetraedro regular de 10 cm de arista, por un plano de simetría que pasa por una de las aristas. a) 20 3 cm2 b) 25 3 e) 25 2 d) 20 2

c) 50 2

4. Si se divide un octaedro regular de 800 cm2 de superficie en dos pentaedros, mediante un plano que pasa por cuatro de sus aristas, ¿cuál es la superficie total de un pentaedro? a) 500 cm2 d) 530

b) 23,6 e) 630,8

C D

A

c) 2 160º

2. Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas está formado por "2p" triángulos, "c" cuadriláteros y "p" pentágonos, todos convexos. Entonces, "p" y "c" son, respectivamente: a) 1 y 8 d) 3 y 4

B

c) 400

5. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

T F E

G N H

M

2 7L2 6 c) 7L2 6 a) 7L 6 2 b) 8 18 9 2 2 7L 7L 6 6 e) d) 16 12

7. En un tetraedro OABC, se cumple que los ángulos COB=60º, AOB=45º, AOC=45º. Entonces, el valor del ángulo diedro corresponde a la arista OA vale: a) 45º d) 90º

b) 60º e) 120º

c) 75º

8. Se tiene un cubo de arista "a", calcule el área de la región del triángulo PQR, si P es centro (Q y R son puntos medios de las aristas). Q

a) En todo triedro, pueden existir 2 caras iguales. b) En todo triedro, pueden existir 3 caras iguales. c) En todo poliedro, la suma de los diedros es menor que 6 rectos y mayor que 2 rectos.

P R

d) En un tetraedro, la suma de los diedros es menor que 12 rectos y mayor que 4 rectos. e) La suma de las caras de un dodecaedro regular, es 6480º. 6. En un hexaedro regular ABCD-EFGH de aristas laterales AE, BF, CG y DH, los puntos M y N son puntos medios de las aristas EH y HG. El punto "T" es el centro de la cara BCGF, si la arista del hexaedro mide L unidades (u). Calcule el área de la sección determinada en el interior del hexaedro por el plano que pasa por los puntos M, N y T.

Central: 619-8100

2 a2 3 c) a2 3 a) a 3 b) 6 14 8 2 2 a a 3 3 e) d) 18 16

9. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras. 3 a3 2 c) a3 2 a) a 2 b) 27 81 162 3 a3 2 d) a 2 e) 216 324


10. La longitud del segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas de un tetraedro regular es de 2 cm. ¿Cuál es la longitud de la arista? a) 1 cm b) 2 d) 2 e) 3

c) 3

11. Se tiene un cubo ABCD-EFGH y un punto interior "P". Si: (PA)2+(PC)2 - (PB)2=a2, calcule PD. a a) a b) 2a c) 2 3a d) e) 3a 2 12. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: • En los vértices de todo poliedro regular se forman ángulos diedros. • El icosaedro regular tiene 100 diagonales. • En un dodecaedro hay 20 vértices. • Las diagonales de un octaedro regular son perpendiculares. a) FVFV d) VFVF

b) VVVV e) FFFF

13. En el gráfico, se muestra un dodecaedro regular; siendo: P, Q, M y N puntos medios de las aristas respectivas. Calcule la medida del ángulo entre PQ y MN .

c) FFFV

M a) 18º d) 72º

a) 38 d) 32

b) 36 e) 30

c) 34

2. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de un tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, si la arista del tetraedro mide 2 3 m? 4 2 3 m b) 3 c) 3 2 d) 2 e) 2 3

a)

Ciclo UNI 136

N b) 36º e) 45º

c) 54º

14. En un tetraedro P-ABC trirectángulo en P, PA=PB=PC=3 2 . Calcule la diagonal de cubo inscrito en el tetraedro, donde uno de los ángulo sólidos del cubo es P. a) 3 d) 2 3

b) 6 e) 6

c) 4

15. En un octaedro regular, la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide 2 3 unidades. Calcule el área de la sección diagonal ubicada en dicho octaedro. a) 12 2 d) 8 3

1. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro convexo que está limitado por 6 regiones cuadrangulares y 8 regiones triangulares.

Q

P

b) 6 6 e) 18

c) 16

3. Calcule el área total de un hexaedro regular, sabiendo que la distancia de uno de los vértices al centro de una cara opuesta es de 2 3 m. a) 40 m2 d) 16

b) 45 e) 20

c) 64

4. Se tiene un poliedro convexo formado por 2 regiones triangulares y 3 regiones cuadrangulares. Calcular el número de arista de dicho poliedro. a) 12 d) 8

b) 10 e) 6

c) 9

Colegios

TRILCE

Geometría 5. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro convexo formado por 2 regiones exagonales y 6 regiones cuadrangulares? a) 24 d) 18

b) 22 e) 16

c) 20

6. Un poliedro convexo está limitado por x regiones triangulares, z regiones cuadrangulares y 3 regiones exagonales, además el número de vértices y el número de arista son 15 y 25 respectivamente. calcular (2x - z) a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

7. Calcular el volumen de un tetraedro regular, cuya altura mide 2 6 unidades. a) 24 2 d) 18 2

3

b) 18 3 e) 12 6

c) 20 2

11. Sobre la arista EF del exaedro regular ABCDEFGH se ubica el punto medio M; de tal manera que la distancia entre las rectas alabeadas EG y CM es igual a 2 unidades. Calcular el volumen de dicho exaedro. a) 180 3 d) 204

3

3

b) 3 3 e) 2 6

3 3

c) 2 2

a) 30º d) 60º

3 b) 3 3

6 e) 3 3

3

c) 6 2

3

10. Se tiene un tetraedro regular P-ABC, la distancia de P al centro de la circunferencia ex-inscrita al triángulo ABC relativa al lado AB es igual a 6 6 . Calcule la altura del sólido. a) 36 6 d) 8 3

Central: 619-8100

b) 120 e) 60 6

b) 37º e) 90º

c) 45º

13. Calcular la razón entre las áreas totales de un cubo y un octaedro que tiene como vértices los centros de las caras del cubo. 6 2 a) 3 b) c) 6 3 2 d) 2 3 e) 3 2

3

9. La diagonal de un octaedro regular mide 6 . Calcular el volumen de dicho octaedro. a) 6 d) 9

c) 196

12. En un exaedro regular ABCD-EFGH; P es el centro de la cara ABCD y M es el punto medio de la arista BF. Calcular la medida del ángulo diedro que determinan los planos EPF y MCD.

8. La distancia de un vértice a la diagonal de un exaedro regular mide 2 . Calcular el volumen de dicho exaedro. a) 8 d) 4

b) 216 e) 224

c) 54 6

14. Cuatro esferas de radio 3 , son tangente entre sí formando una pila triangular (es decir, una de ellas está sobre las otras tres). Calcular la altura de la pila.

a) 2 6 c) 3 6 e) 6 2

b) 3( 3 +1) d) 2 3 ( 2 + 3 )

15. ¿En qué relación se encuentran los volúmenes de un octaedro regular y el de su poliedro conjugado? a) 5/3 6 d) 2

b) 11/5

c) 2

e) 9/2


1. Determinar el volumen de un prisma regular triangular, tal que las diagonales de dos caras laterales de cruzan ortogonalmente y cuya longitud de estas es 2 6 .

2. Calcule el volumen de un cilindro recto circunscrito a un octaedro regular cuya arista mide 4 además dos vértices opuestos están ubicados en los centros de las bases del cilindro.

Solución:

Piden VCilindro

Solución: Piden Vprisma B 2 6

A

2

M

* OM // AB

O

2 3

2

m

D 4

M

N

2 2

4 2

MOD: MD=2 3

*

ADN: Equilátero

2 2

N4 2

4

MOD=90º

*

O1

2 2

MN=AM=2 * VPrisma=ABase x h

2 * VPrisma=4 3 . 2 2 4 ... V =8 6 3 Prisma

Ciclo UNI 138

O

2 2

OO1=4 2

MN=4 2

r=2 2

VCilindro= (2 2)2 . 4 2 ... VCilindro=32 2 3

Colegios

TRILCE

Geometría 3. En un prisma hexagonal regular ABCDEFGHIJKL, el plano que pasa por las aristas DE y GH forman diedros de 45º con las bases y la sección determinada tiene área de 6 6. Calcule el volumen del prisma.

Solución:

Piden: VPrisma

Solución:

g

H

I

a 6 F

a2

4

D 45º a

a E

a= 6

3 . 6×a 3

6. 3

r

2 =( 6) 3 . 6 . 4

=27 6

45=2g . 2r

S=gr M =gr 2 ALateral Cilindro=2 rg M ALateral Cilindro=2 2 ALateral Cilindro=M

C

a 3

a 6 . a=6 6

S

r

B a

S

K

L

A

M

g J

2 3

S S

G

VPrisma=

5. Se tiene un prisma regular triangular ABC-DEF. Si "O" es el centro de la base DEF m
Solución: E 2K 3

3

2K 3

2K

O

D

2K

F

53º 53º 53º 2 2

4. Según el gráfico se muestra a un cilindro de revolución. Si el área de la región sombreada es M. Calcule el área de la superficie lateral.

B

K 15

K 11 K 3

A

M

K 3

C Piden: AL AT EOF: Elemental EF=2K 3 53 127 OMC: NOT OC=K 15 y 2 2 AL=6K 3 . K 11 2 AT=6K2 33+ (2K 3 ) 3×2 4 ... AL = 11 AT 11 +1

Central: 619-8100

Si: OF=2K


1. La base de un prisma recto es un rombo, cuya área es igual a S. las áreas de las secciones diagonales son iguales a S1 y S2. Calcule el volumen del paralelepípedo. S.S .S S.S1.S2 a) 1 2 b) 2 4 S.S1.S2 S.S1.S2 c) d) 3 5 S.S1.S2 e) 6

7. Calcule el volumen de un prisma triangular regular circunscrito a una esfera de 6 unidades de diámetro. a) 162 3 3 d) 190 3

a) 10,5 . 10-8 c) 1,05 . 10-4 e) 1,05 . 102

b) 1,05 . 10-6 d) 1,05 . 10-2

3. En un prisma triangular regular, se inscribe un cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos cuerpos? 2 3 c) 2 3 a) 3 b) 3 3

6 c) a) p b) p 2 5 e) d) p 3 9. En las bases de un cilindro se trazan dos cuerdas (una en cada base), las cuales determinan una región rectangular de área 60 cm2. Calcule el volumen de dicho cilindro, si la proyección de dicha sección sobre una base, es una región cuadrada inscrita en ella; además, dicha base y la región rectangular determina un diedro que mide 53º. a) 144 cm3 b) 288 cm3 d) 104 cm3 e) 96 cm3

3 d) 3 3 e) 4. Se tiene un tetraedro regular ABCD cuya arista mida "a" y tal que sus vértices se encuentran sobre la superficie de un cilindro recto que tiene por generatriz la arista AB. Calcule el volumen del cilindro. 4 a3 3 a3 5 a3 b) c) 25 16 28 7 a3 9 a3 e) d) 32 40 a)

5. El área de una de las caras de un prisma oblicuo triangular es de 24 2 y la arista opuesta dista de dicha cara en 10 unidades. Calcule el volumen de dicho prisma. a) 180 d) 132

3

b) 164 e) 120

3

3 3

c) 144

3

6. Se tiene un prisma recto triangular ABC-DEF inscrito en un cilindro equilátero, de modo que: AB=6 3; BC=6 y AC=12. Calcule la longitud de menor recorrido sobre la superficie lateral de cilindro para ir de B a un punto de la generatriz AD y luego hacia F. a) 6 4+5

2

b) 12

c) 120 3

8. En la base de un cilindro de revolución se inscribe un hexágono regular ABCDEF, luego se trazan las generatrices AI, BM, DN y EO. Calcule la razón de los volúmenes del cilindro y del sólido ABDE-LMNO.

2. En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 34 , 58 y 74 cm. El volumen del paralelepípedo, en m3 será:

b) 180 3 e) 172 3

c) 44 cm3

10. Se tiene un cilindro de revolución cuya altura es 6, el radio de su base es 4; se traza un plano paralelo a su generatriz de cilindro y pasa por el punto medio del radio de su base perpendicular al radio. Calcule el volumen de la porción menor determinada en el cilindro.

a) 8(4 - 3 3 ) c) 4(4 - 3) e) 8(4 +3 3 )

b) 4(2 - 3 ) d) 6(3 - 3 )

11. La diagonal de un paralelepípedo rectangular mide "d" y forma un ángulo que mide 30º con la cara lateral. El plano que pasa por esta diagonal y la arista que la intersecta forma un ángulo que mide 60º con la misma cara lateral. Calcule el volumen del paralelepípedo.

a) d3 3 6 2 c) d3 12 e) d3( 3 - 1) 9

3 12 d) d3( 3 + 3 ) 12 b) d3

c) 3 12+5 2

d) 2 36+25 2 e) 15 Ciclo UNI 140

Colegios

TRILCE

Geometría 12. Dado el prisma recto ABCD-EFGH, si el área de la región ABGH es S1, y de la región EFGH es S2 y la distancia de AB y HG es "a". Calcule el volumen de dicho prisma.

14. Según el gráfico se tiene un cilindro de revolución, si el área de la región BSA es 9 2 y el área de la región CSP es 4 2, calcule el área de la superficie lateral del cilindro.

S1 S S 2S22 - S12 a 1 2 b) a) S2 c)

S2 S 2 - S 2 S1 a 1 a 2S12 - S22 2 d) S1 S2

e)

S1 S 1 S2

S

13. En un prisma regular ABC - A'B'C', cuya arista básica mide "a", se ubican los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Calcule el volumen del prisma, si: C'M y A'N determinan un ángulo que mide 60º. 3 2 b) 8 3 c) a) 8 2 a3 8 3 4 3 e) 3 d) 8 3

1. Calcule el volumen de un paralelepípedo rectángulo, sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones se hallan en progresión aritmética y que ellas suman 18 . Su área total es 208 2. a) 192 3 d) 186

b) 196 e) 184

c) 182

2. Un cilindro cuya altura es igual al diámetro de la base tiene un área total de 12 2. Calcule su volumen. a) 32 3 d) 4 2 3

b) 16 e) 12

3

3

c) 8

2

3

3. Calcule el área total y el volumen de un prisma hexagonal regular en el cual el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrada de perímetro 48.

a) 12+ 3; 36 3 b) 12(1+ 3); 72 3 c) 12(12+ 3); 72 3 d) 12(1+ 3); 36 3 e) N.A.

4. Un cilindro recto está circunscrito a una esfera de radio igual a 10 cm. Calcule el volumen del cilindro. a) 200 cm3 d) 4 000

Central: 619-8100

B

C

R

b) 1 800 e) 2 100

c) 2 000

P

A a) 30 d) 35

2

2

2

b) 15 e) 32

2

c) 25

2

5. En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro recto. ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos sólidos? 3 3 c) 4 3 a) 2 3 b) 3 d) 3 3 e) 2 6. El desarrollo lateral de un cilindro recto es un rectángulo cuya diagonal mide 13 cm, si la generatriz mide 5 cm. Calcule el área lateral del cilindro. a) 70 cm2 d) 90 cm2

b) 60 cm2 e) 80 cm2

c) 50 cm2

7. Calcule el volumen del paralelepípedo rectangular cuyas dimensiones de su altura, largo y ancho miden: 3 , 4 y 5 . a) 20 d) 60

3

3

b) 30 e) 72

3 3

c) 40

3

8. La base de un prisma recto es la base de un tetraedro regular de 2 6 u de altura y el área lateral del prisma es igual al área total del tetraedro. Calcule el volumen del prisma. a) 48 6 3 d) 54 6

b) 54 e) 48

c) 27 6


9. Un cilindro contiene agua hasta la mitad de su capacidad, se suelta un trozo metálico y el nivel de agua sube 3,5 y el radio de la base mide 4 . Calcule el volumen del pedazo. a) 28 d) 35

3

b) 112 e) 48 3

3

3

c) 56

3

10. AB y CD son generatrices opuestas de un cilindro recto, O es punto medio de BC, siendo E punto de CD, tal que: m OEA=90º; CE=8 y ED=9 . Calcule el área total del cilindro. (O: centro de una base). a) 106 d) 53

2

b) 53 e) 72

c) 276

11. Calcule el área lateral de un prisma oblicuo cuya sección recta es un hexágono regular de 24 3 2 de área; la altura del prisma es 3 3 y las aristas laterales forman 60º con la base. a) 146 2 d) 72 3

c) 144 3

b) 144 e) 72

12. El desarrollo de un prisma recto regular de 12 aristas es un cuadrado de 576 2 de área. Calcule el volumen del sólido. a) 864 d) 648

3

b) 846 e) 765

c) 756

13. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado de área S. Calcule el volumen del cilindro. S S c) S S a) S S b) 2 3 4 S S d) S S e) 5 6

16. Calcule el volumen de un prisma oblicuo triangular, si el área de una cara lateral es 5 2 y la distancia de la arista opuesta a esta es 10 . a) 36 d) 25

3

3

b) 50 e) 48

3 3

c) 100

3

17. Calcule el volumen de un cilindro recto, si su generatriz mide 4 y el radio de la base mide 3 . a) 18 3 d) 36

b) 24 e) 48

c) 30

18. En un prisma regular de volumen igual a 180' 3 y altura 5' , las caras de un ángulo triedro de uno de sus vértices suman 270º. Calcule el área total del sólido. a) 150 2 d) 192

b) 180 e) 170

c) 200

19. Un tanque cilíndrico de ácido tendido horizontalmente tiene una longitud de 10' y un diámetro interior de 6 . El ácido que contiene determina una superficie rectangular de 40 2. Calcule la profundidad del ácido. a) (3+ 5) d) 4

b) 6 e) 12

c) (5+ 3)

20. En un prisma recta triangular, una arista de la base mide 24 y una arista lateral mide 8 . Calcule el volumen del prisma, sabiendo que el segmento que une los puntos medios de las diagonales que se cruzan de dos caras contiguas y perpendiculares mide 13 . a) 960 3 d) 690

b) 312 e) 300

c) 624

14. Calcule el volumen de un rectoedro, si las diagonales de las caras miden: 34 , 74 y 58 . a) 210 d) 166

3

3

b) 105 e) 332

3 3

c) 35

3

15. Calcule el volumen de un prisma triangular regular, la altura del prisma mide 6 y el lado de la base mide 2 . a) 4 3 3 d) 15 3

Ciclo UNI 142

b) 6 3 e) 18 3

c) 12 3

Colegios

TRILCE

1. Dos segmentos MN y PQ se cruzan de MN y MP terminando ángulo de 60º; MP PQ, MP=20 ; MN=16 ; PQ=24 . Calcular "NQ". a) 2 53 d) 5 53

b) 3 53 e) 6 53

c) 4 53

2. En el gráfico mostrado, las rectas y son alabeadas. Si: PQ=NQ y MN es perpendicular común entre dichas rectas, calcular "xº". L1 P M

N

Q b) 30º e) 53º

L2 c) 60º

3. Un plano intersecta a las aristas de un triedro de vértice "O" en los puntos A, B y C de modo que: m AOB=m COB=60º, m AOC=m ABC=90º. Calcule "OB", si: OA+OC=10 m. a) 5 d)0

b) 6 10 e)

c) 8 4

4. En el ángulo triedro O-ABC las caras bº=cº=45º. Si OA forma con el plano de la cara BOC un ángulo cuya tangente es 2 . Calcular la medida 2 de la cara BOC. a) 60º d) ArcTg(2)

b) 30º e) ArcTg

c) 45º

5. Se tiene un tetraedro regular B-ACD, se toma el punto medio "M" de la altura BH del trapecio. Si MA="K", calcule el volumen del tetraedro. K3 K3 K3 a) b) c) 8 6 3 3 3 3K 2K e) d) 5 8

Central: 619-8100

a) 512 d) 729

b) 343 e) 100

c) 216

7. Dado un tetraedro regular ABCD; "M" es punto medio de BC y "Q" es punto medio de AM. Calcule el ángulo que forman BC y DQ. a) 22º30' d) 45º

xº

a) 45º d) 37º

6. Calcular el volumen de un cubo si se sabe que el triángulo formado al prolongar las rectas de unen los puntos medios de sus aristas consecutivas (de tal manera que 3 puntos no pertenecen a la misma cara) tienen un área de 72 3 m2.

b) 20º e) 90º

c) 39º

8. En un hexaedro regular cuya arista mide "a" unidades, calcule la distancia entre dos diagonales de dos caras adyacentes, sabiendo que estas diagonales no son coplanares. a a 2a a) b) c) 3 2 5 2a 2a d) e) 3 3 9. Sea "A" el área lateral de un cilindro recto y "R" el radio de su base, si "V" es el volumen del sólido. Relacionar A, R y V. V =4 a) V = 2 b) A.R 3 A.R 5 V 1 c) = d) V = 1 A.R 2 A.R 4 V 3 e) = A.R 7 10. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, de arista "a", se traza AM y DN perpendiculares a BH (M y N en BH). Calcule en función de "a", el área de la región triangular MGN. 2 a2 6 c) a2 2 a) a 2 b) 2 2 6 2 2 d) a 3 e) 3a


11. En el gráfico, la arista del tetraedro regular es igual a 4 33 m; P y Q son puntos medios de las aristas AD y BD respectivamente. Si RC=3BR, calcular la longitud del segmento que es intersección de las regiones AQR y BPC. B

13. Calcular el volumen del cilindro oblicuo que se muestra en la figura, cuya sección recta es un círculo. O1 y O2 son centros de las elipses. O1P=6

R

Q

P O1

C

a) 214,4 3 b) 220,5 d) 230,4 e) 242

A P D a) 10 m d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

12. En el cilindro oblicuo de base circular cuyo radio es de 5 cm, calcular el volumen del cilindro. O

60º a) 130 2 cm3 c) 110 2 e) 125 3

c) 225,6

14. Un octaedro de volumen 4/3 m3 está inscrito en un cilindro de revolución, de modo que dos vértices opuestos del octaedro son los centros de las bases de dicho cilindro. calcule la longitud de la menor trayectoria para ir de un extremo a otro extremo de una generatriz recorriendo la superficie lateral del cilindro. a) 2 1+

2

c) 4 1+

2

m m

b) 3

2

d) 2

2+2

- 1 m m

e)

M

O2P=8

O2

15. En la figura se muestran dos prismas rectos congruentes AB=A'B'=3 ; BF=B'F'=2 ; BC=B'C'=5 . Calcular EE'. H' E'

b) 115 3 d) 120 2

D' H

G P

E A a) 10 d) 3 5

A'

C F

C'

F' B'

B b) 2 10 e) 5 10

c) 3 10

Ciclo UNI 144

Colegios

TRILCE

Geometría

1. En un tetraedro regular A-BCD es una de sus aristas se ubica un punto que dista 2 y 4 de dos caras. Calcule la longitud de la arista. a) 5 d) 2 6

b) 2 5 e) 3 6

c) 6

2. Calcule el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide 3 2 . a) 6 3 d) 27

b) 9 e) 8

c) 12

3. En un octaedro regular, la distancia entre los centros de gravedad de dos caras opuestas que tienen un vértice común es "a". Calcule el área de la superficie del octaedro. 2 3 a 2 a) 3 a2 b) 3 3 9 d) 9 3 a2 e) 3 a2 5 2

c) 9 3 a2

4. En un hexaedro regular (cubo) ABCD-EFGH, "O" es centro de ABCD y M punto medio de CG. Calcule la medida del ángulo formado por OH y EM . a) 30º 6 9

b) 60º c) ArcCos 6 d) ArcCos e) 40º 3

5. ¿En qué porcentaje debe aumentar la altura de un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye 50%, para que ambos sólidos (final e inicial) tengan el mismo volumen? a) 100% d) 400%

b) 200% e) 500%

c) 300%

6. El radio de la sección recta de un cilindro oblicuo mide 2 3 m. La generatriz está inclinada 60º respecto a la base y la longitud de la altura es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro. a) 184 m2 d) 196 m2

b) 192 m2 e) 204 m2

c) 176 m2

7. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 4 cm y altura 8 está lleno de agua hasta un nivel superior 3 cm. Calcular la medida del ángulo que debe girar el cilindro con respecto a la vertical para que el agua esté a punto de derramarse. a) 30º d) 53º Central: 619-8100

b) 45º e) 37º

c) 60º

8. ¿En qué razón se encuentran las áreas de la superficie lateral de un cilindro y de la región que resulta de proyectar al cilindro en un plano paralelo a su eje? a) d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

9. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular triangular tiene por diagonal 34 y por altura 16 . Calcular el área total del prisma.

a) 10(5 3 +48) c) 596 2 e) 624 2

2

b) 12(32+6 3 ) 2 d) 25( 3 +3) 2

10. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB(AO=OB= 2 ). Por "O" se levanta una perpendicular OF al plano del triángulo. Calcule OF para que el diedro AB mida 30º. 2 3 c) 3 a) 3 b) 2 3 3 d) 3

e) 3 3

11. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, por el punto medio M de AB se levanta MP perpendicular al plano del triángulo ABC. Si el plano APC forma un diedro de 60º con el plano del triángulo ABC, calcule: PM, si: AC=12 . a) 6 d) 4 2

b) 3 2 e) 4 3

c) 3 3

12. Por el vértice B de un triángulo ABC se levanta la perpendicular BH al plano ABC, tal que: BH=4,2 . Calcule la media del ángulo diedro formado por ABC y ACH. Si: AB=14 , BC=30 y AC=40 . a) 22º30' d) 45º

b) 26º30' e) 37º

c) 30º

13. Se tiene un ángulo diedro que mide 60º formado por los triángulos rectángulos ABC y AFC, tal que: AB=AF=30 y BC=FC=40 . Calcule la distancia entre los baricentros de sus caras. a) 6 d) 12

b) 8 e) 9

c) 10

14. ¿Cuántos vértices tiene un dodecaedro regular? a) 12 d) 32

b) 20 e) 40

c) 30 www.trilce.edu.pe 145

15. Se tiene un triángulo ABC cuya área de su región es igual a 100 m2. Calcule el área de la proyección de dicho triángulo sobre un plano que contiene al lado AB, si el ángulo diedro formado por el triángulo y el plano mide 37º. a) 60 m2 d) 50

b) 80 e) 90

c) 70

16. Se tiene un cubo ABCD-EFGH cuya arista mide "a". Calcule la mínima distancia entre BD y CH. a 3 c) a 3 a) a 3 b) 2 3 d) a 6 e) a 5 3 17. ¿Cuántas aristas tiene un icosaedro regular? a) 20 d) 32

Ciclo UNI 146

b) 12 e) 40

c) 30

18. Se tiene un ángulo triedro, dos caras miden 45º y el diedro entre ellas es recto. Calcule la medida de la otra cara. a) 30º d) 90º

b) 45º e) 60º

c) 75º

19. Desde un ángulo triedro equilátero donde sus caras miden 60º cada uno. ¿Cuánto mide uno de sus ángulos diedros? 1 a) ArcCos b) ArcCos 5 5 3 2 d) ArcCos 5 c) ArcCos 3 4 e) 60º 20. La altura del tetraedro regular mide Calcule la longitud de su arista. a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

6

.

c) 3

Colegios

TRILCE

1. Se muestra a un tronco de cilindro circular recto circunscrito a una esfera de radio R. Calcular el volumen del tronco de cilindro.

45º

2. Calcule el volumen de un tronco de cilindro circular si su dos bases pertenecen a planos perpendiculares y una de ellas forma 15º con la generatriz mayor. Si las generatrices mayor y menor miden a y b, calcule el volumen del sólido.

Solución:

Piden: Vsol 15º

R

Solución:

a

45º

15º b

45º

M

R 2 R R

Piden: Vtcilind

Vtcilind= R2 . eje

= R2(R+R 2)

= R3(1+ 2)

Central: 619-8100

N

R

R

R

r

NOT 15º y 75º: NR= b , MR= a 4 4 a b MN=2r= 4 a+b Vsólido= r2 2 (a - b) a+b = 8 2 2 (a - b) (a+b) = 128


3. En el gráfico mostrado, calcule la relación de volúmenes del tronco de prisma cuadrangular regular y del prisma cuadrangular regular y del tronco de cilindro circular recto inscrito en él.

Solución:

Piden V t.prisma

C 30º

6 3

T 30º

2 3 2 3

Solución:

C

6

D

Q 2 3 2 3

A 2 N

2

O

M

e R R

R

Piden:

VTprisma regular = (2R)2×e Vtronco cilindro R2 . e

Vt prisma Vt cilindro

...

Vt prisma = 4 Vt cilindro

4

B

4 3

AMB: Equilátero, MB=4 3 CN=NO=2

CDN: (NOT 30º y 60º)

DCI: (NOT 30º y 60º)

Vt prisma=

I

DN=2 3 CI=6 3

Bx(h1+h2+h3) 3

(4 3 )2 3 4 Vt prisma= (2 3 +2 3 +8 3 ) 3 Vt prisma=12 3 . 12 3 Vt prisma=432

4. En una cuña cilíndrica cuya base mayor forma 30º con la generatriz mayor y el radio de la base es 4. Se inscribe un tronco de prisma regular triangular, una de sus aristas laterales coincide con la generatriz mayor. Calcule el volumen del tronco de prisma.

Ciclo UNI 148

Colegios

TRILCE

Geometría 5. Se muestra al cubo ABCD-EFGH (AM=ME). Calcule la razón de volúmenes de cubo y del tronco de prisma MFD-AB. F G E

Solución: F E

H

a

H

2a

M M

A

B

a

B

C

S

A

D

a+2a+0 3 Vcubo=2S . 2a ... Vcubo =4 Vtronco

1. Un cilindro contiene las tres cuartas partes de su volumen con agua. Si se inclina como se muestra en la figura, ¿cuánto debe medir " " para que el agua no se derrame? R 2R

a) 460 dm2 d) 480

º c) 15º

b) 260 e) 370

b) 10 e) 9

c) 30,6

3. ABCD-AEFD es un tronco de prisma recto, donde la base recta ABCD es un trapecio isósceles cuyas bases BC y AD miden 10 dm y 20 dm, en ese orden. Si AB mide 13 dm y las bases forman un diedro de 60º, calcule el área de la base AEFD. Central: 619-8100

c) 12

5. El gráfico muestra a un tronco de cilindro recto, donde el área de la sección ABCD es 18 dm2 y la distancia de "O" a DC es de 3,6 dm. Calcule el volumen del tronco de cilindro recto. D

2. Sea ABC-FED un tronco de prisma triangular recto, donde la base recta es el triángulo rectángulo isósceles ABC de hipotenusa AC=3 3. La otra base FED es un triángulo equilátero y cuya cara lateral es un rectángulo cuya altura es una arista lateral y mide 6 dm. Calcule el volumen de dicho tronco. a) 33,6 dm3 b) 41,5 d) 32,23 e) 45,7

c) 360

4. El lado de un cuadrado ABCD mide 2 dm; se levantan las perpendiculares AE y CF al plano del cuadrado ABCD. Si: AE=6 dm y CF=9 dm, calcule el volumen del sólido de la base ABCD, aristas laterales AE y CF. (EF es un arista de la parte superior del sólido). a) 5 dm3 d) 8

b) 53º e) 37º/2

C

S

Vtronco=S

D

a) 37º d) 45º

G

C

A a) 14 dm3 d) 18

O b) 24 e) 21

B c) 9


6. Sea ABC-PQR un prisma triangular regular cuya arista básica mide 6 dm. Se traza un plano secante que pasa por PB y corta a RC en E. Si: EC=4 dm y ER=6 dm, calcular el volumen del sólido ABC-PBE.

a) 72,74 dm2 c) 83,72 e) 62,8

b) 62,83 d) 74,45

7. Se tiene un tronco de prisma oblicuo triangular, cuya sección recta es un triángulo equilátero de lado igual a 6 unidades de longitud y la distancia entre los baricentros de las bases es igual a 16 unidades. Calcule el área lateral de dicho tronco.

a) 90(2+ 2) 2 c) 90( 2+ 6) e) 288

b) 224 d) 120(1+ 3)

a) 45 dm3 d) 50

d) 2

1+ 2

4+ 2 b) 2 2 c) 2

2

A

9. Sobre las aristas AD, BE y CF de un prisma recto ABC-DEF se ubican los puntos P, Q y R, respectivamente, de tal manera que: AP=3PD, BQ=EQ y FR=2CR. Calcule el volumen del tronco de prisma ABC-PQR, si el volumen del prisma ABC-DEF es igual a "V". 3V V V c) a) b) 5 3 2 19V 11V d) e) 36 24 10. Se tiene el tronco de prisma recto PQR-EFG, de modo que la base superior EFG es un triángulo equilátero de lado 10; RG=6 3 y FG // QR . Calcule el volumen de dicho tronco, si la medida del ángulo diedro formado por las bases es de 37º. b) 450 e) 360 3

c) 420

11. En el gráfico se muestra un cilindro de revolución de 80 dm3 de volumen. Calcule el volumen del tronco del cilindro recto.

Ciclo UNI 150

B

- 1 e) 5

a) 380 2 3 d) 320 2

c) 60

12. En el gráfico: CD=6, AB=3, BO=OC y la m AOD=90º. Calcule el volumen del tronco. D

8. Se tiene un tronco de cilindro recto en el que su área lateral es numéricamente igual al duplo de su volumen. Si la diferencia entre sus generatrices mayor y menor es 2 , calcule el área de la base elíptica. a)

b) 15 e) 30

a) 36 d) 54

O b) 40 e) 42

C c) 81

13. El lado de un triángulo equilátero ABC mide 4 3 . Por A y B se levantan las perpendiculares AE=2 y BF=6, al plano ABC. Calcule el volumen del sólido ABCEF. a) 2 3 d) 3 2

b) 3 e) 4

c) 2

14. La sección recta de un prisma triangular oblicuo es un triángulo rectángulo de lados menores iguales a 6 dm y 8 dm. Si el segmento que une los baricentros de la base mide 16 dm, calcular el volumen del tronco. a) 384 dm4 d) 483

b) 294 e) 438

c) 364

15. En el gráfico mostrado, es un tronco de cilindro oblicuo cuyas bases elípticas están en planos perpendiculares. Si: AB2 - CD2=48 2, calcular el área lateral del sólido.

Colegios

TRILCE

Geometría B 15º

C

D

A a) 6 2 d)

b) 8 c) 6 e) 8

4

1. Se tiene un tronco de prisma recto triangular, tomando como base a los triángulos medianos de las bases se obtiene un nuevo tronco. Determinar la relación de volúmenes entre los dos troncos mencionados. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2. Las bases de un prisma recto son los paralelogramos ABCD y EFGH. En la arista DH se ubica el punto medio M; en la arista AE se ubica el punto P, tal que el volumen del sólido pbm-efh es los 2 del volumen del prisma AP 5 dado. Calcule: PE 3 c) 2 a) 1 b) 4 5 9 2 d) 1 e) 9 5

4. Se tiene un recipiente cilíndrico conteniendo agua hasta sus 2/3 partes. ¿Cuánto mide el ángulo que debe inclinarse el recipiente para que el agua empiece a caer, sabiendo que la altura del recipiente es el triple del diámetro de la base? a) 30º d) 37º/2

Central: 619-8100

b) 8 a3 e) 15 a3

c) 9 a3

c) 53º/2

5. En la figura se muestra un tronco de cilindro de revolución, donde: AC=3 , BD=5 y AB=4 . Calcular: PC2+PD2. D C

3. Un tronco de prisma recto ABCD-EFGH, la base EFGH es un rectángulo, tal que: BF=CG=2AE=4HG=4a y el área de la base EFGH es la octava parte del área de la superficie lateral. Calcule el volumen del sólido. a) 6 a3 d) 12 a3

b) 45º e) 60º

B

A P a) 25 2 d) 50

b) 30 e) 60

c) 40


6. Calcule el volumen de un prisma de 2 m de altura, si su base es la región triangular formada al unir los puntos medios de los lados de un triángulo cuya área de su región es 36 m2. m 3

a) 16 d) 24

b) 18 e) 12

c) 20

7. Calcule el volumen de la cuña cilíndrica ABC circunscrita a la esfera de radio "r", sabiendo que el triángulo ABC es equilátero. B

A

9 3 r3 a) 9 r3 b) 4 3 e) 3 r3 d) r

c) 3 r3 3

8. Calcule el volumen de un prisma cuadrangular regular si el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrada cuyo lado es de la longitud "K". K3 K3 K3 b) c) a) 16 12 13 K3 K3 d) e) 15 17 9. Calcule el volumen de un tronco de prisma recto triangular, cuyas aristas laterales miden 5 , 6 y 7 y el área de la base recta es de 24 2 . b) 172 e) 136

c) 164

10. Las aristas laterales de un tronco de prisma recto triangular miden 9 , 12 y 15 , Calcule el volumen del tronco, cuyas bases forman un ángulo diedro que mide 53º y el área de la base superior oblicuas es de 120 2. a) 924 3 d) 888

b) 900 e) 864

c) 898

11. La base ABC de un tronco de prisma rectangular triangular ABC-DEF, es un triángulo equilátero de 24 de perímetro. Calcule el volumen del sólido A - DEF, si: AD=12 , BE=15 y CF=18 .

Ciclo UNI 152

3

c) 60 3

b) 72 e) 48 6

12. Se tiene un tronco de prisma triangular cuya sección recta tiene 160 2 de área y la longitud del segmento que una los baricentros de las bases es de 18 . Calcule el volumen del tronco. a) 3 200 3 d) 2 760

b) 2 880 e) 2 480

c) 2 800

13. Dado prisma triangular regular ABC-DEF. Si: CF=3(BC), BD= 10 . Calcule el volumen del prisma. 3 3 3 b) 2 2 3 c) a) 2 3 3 4 d) 3 4

C

a) 180 3 d) 144

a) 64 3 d) 84

3 3 e) 2 3 4

14. Calcule el área lateral de un tronco de cilindro circular recto circunscrito a una esfera de radio "r", cuyas bases forman un ángulo diedro que mide 60º. a) 3 r2 d) 6 r2

b) 4 r2 e) 7 r2

c) 5 r2

15. Un prisma recto tiene por base un cuadrilátero inscrito que se descompone por una de sus diagonales en un triángulo equilátero de lado igual a 12 cm y otro isósceles. Si la altura es 10 cm. Calcule el volumen. a) 480 3 cm3 b) 420 3 d) 240 2 e) 250 3

c) 360 2

16. El desarrollo lateral de un cilindro recto es un rectángulo cuya diagonal mide 17 cm. Si la generatriz mide 15 cm, calcule el área lateral del cilindro. a) 80 cm2 d) 70

b) 50 e) 120

c) 60

17. En un tronco de cilindro circular recto sus bases forman un ángulo diedro cuya medida es 60º, además la suma de las áreas de las bases es S y la generatriz menor tiene medida nula. Calcule el radio de la base circular. a) R= d) R=

S

b) R=

S 2

S 5

e) R=

S 7

c) R=

S 3

Colegios

TRILCE

Geometría 18. Calcule el volumen de un tronco de prisma recto cuya base es un cuadrado de lado 4 y tres de sus aristas laterales perpendiculares al cuadrado miden 3 , 4 y 6 . a) 72 3 d) 69

b) 76 e) 80

c) 81

19. Calcule el área lateral de un tronco de cilindro recto circunscrito a una esfera, sabiendo que sus generatrices mínima y máxima miden 2 y 5 . a) 12 d) 15

2

Central: 619-8100

b) 10 e) 18

20. Un prisma regular triangular es tal que su arista de la base es un tercio de la arista lateral. Además el área lateral es de 81 cm2. Calcule el volumen del sólido. 81 91 3 a) 81 3 cm3 b) 3 c) 2 4 81 81 3 e) 5 d) 4 3

c) 14


1. Las caras laterales de una pirámide triangular V-ABC forman un ángulo diedro cuya medida con la base es de 45º. Si AB=13, BC=14 y AC=15, calcule el volumen de la pirámide.

h

Solución:

ap

V

B

B

15 I

Piden: Vpirámide V-ABC * I=Incentro del

IM=Inradio del

* A

ABC

ABC=P ABC

ABC

×(IM)

Del dato 128=8 . ap

ap=16

ap2=22+h2 162 - 22=h2

h=6 7

2 Vpirámide=4 ×6 3 3 ... Vpirámide=32 3

21×8×6×7 =21 . IM

84=21.IM

IM=4

* VIM(NOT 45º y 45º)

4

* T. Pitágoras

B

2 2

* 128=Pbase x ap

M 14

13

2

2 2

A

45º

4

45º

A

2

2

3. Calcule la razón de volúmenes entre los sólidos mostrados.

h=4

=84×4 3 =112 * Vpirámide V-ABC

2. El área lateral de una pirámide regular cuadrangular es 128. Si el radio de la circunferencia circunscrita a la base es 2 2, calcule el volumen de la pirámide.

Solución:

Piden Vpirámide

Ciclo UNI 154

Solución: Vcil Piden: Vcono Colegios

TRILCE

Geometría

T

R

L

R

2g P

r R

O

r

5. En el cono circular recto mostrado, calcule la relación entre el área lateral y total del sólido, si: mAB=120º. V

N

53º

g M

* Por prop. de la semejanza R 2R . R r= 2r= 3 3R NM 2 * OPM PTL = LN 1 2 V R 3g * cil = R2 Vcono .g 2 Vcil ... =27 Vcono

B

A

Solución: V

4. Calcular el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateral es una semicircunferencia de 12 de radio.

Solución:

Pide: Vcono

53º 2

53º 2

2r 3

2r

r 15

B N r3

r

r 3

120º

A 12

r Desarrollo=2 g r =2 12 r=6

AL AT * AB=2r 3 * Piden:

AVB: Isósceles; VN=25 3 53 127 VNB: NOT x VB=5 15 2 2 * AL= rg

12 6 3 6

AT= r(g+r) g AL r 15 = = AT g+r r 15 +2r A 15 ... L = AT 15 +2

2 Vc= M6 . 6 3 3 ... Vcono=72 3

Central: 619-8100


1. Se tiene una pirámide V-ABCD tal que ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales miden AC=10 y BD=8. Calcule el valor de: E=(VA)2+(VC)2 - (VB)2 - (VD)2 a) 24 d) 16

b) 20 e) 18

6. La figura muestra a un cilindro oblicuo de 60'cm3 de capacidad, inscrito en el cono recto de revolución. Calcule el volumen de dicho cono.

c) 28

2. Calcule el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateral se muestra.

R=8 m a) 120 cm3 d) 150 8 a) 4 3 m3 b) 15 m3 c) 2 2 m3 3 d) 20 m3 e) 4,8 m3 3. Calcule la medida del ángulo del desarrollo que se obtiene, al desarrollar la superficie lateral del cono menor, si tiene una generatriz paralela a la generatriz mayor, h= 15 ; R=1.

h

b) 75º e) 90º

c) 180º

4. En una pirámide hexagonal regular, su altura mide 18 y la arista de la base mide 12. Calcule a qué distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base para que la sección resultante tenga un área de 72 3 . a) 3 3 d) 6 3

b) 4 3 e) 7 3

Ciclo UNI 156

b) 33 3 e) 6,5

7. En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral forma 37º con el plano base. Calcule el valor del ángulo diedro que forma la cara lateral con la base. a) ArcTan 4 b) ArcTan 3 2 2 3 3 3 2 d) ArcTan 2 c) ArcTan 4 3 e) ArcTan 3 4

a) 4 23 d) 26

b) 2 26 e) 5 26

c) 3 23

9. En la figura, calcular la altura del cono, si el cono de vértice "P" y la cuña cilíndrica recta son equivalentes. Además: 3AP=5PB, la altura del cilindro es 17 m.

c) 5 3

5. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuya altura mide 8 cm, se debe trazar un plano paralelo a la base para que se determine dos sólidos equivalentes? a) 2 3 cm d) 5

c) 160

8. En una pirámide S-ABC, la base ABC y la cara SBC son triángulos equiláteros. Si: AS=4 y BC=6, calcule el volumen de la pirámide S-ABC.

R a) 120º d) 50º

b) 80 e) 140

c) 43 4

B P A

Colegios

TRILCE

Geometría a) 9 d) 12

b) 10 e) 14

c) 11

10. Sobre las aristas laterales PA, PB y PC de una pirámide triangular P-ABC, se ubican los puntos L, M y N respectivamente, de tal manera que: AL=LP, PM=2MB y PN=3NC. Calcule el volumen del sólido ABC-LMN, si el volumen de la pirámide P-ABC es 100 3. a) 10 3 d) 64

b) 48 e) 75

6 = M 6 =

c) 54

11. En una pirámide triangular regular O-ABC trirectangular en "O", el volumen es 3 3, 2 calcule la distancia del centro de la base a la arista lateral. 3 c) 6 a) 2 b) 3 2 2 5 d) 6 e) 3 2 12. Se tiene un cubo de 2 dm de arista y una esfera inscrita en él. En su vértice "A" del cubo y a una distancia "x" de él se señalan los puntos P, Q y R en las aristas que confluyen en "A". Determine el volumen de la pirámide APQR, si el plano PQR es tangente a la esfera.

13. Dado un cono de revolución, calcular el volumen del cono cuya base es una sección perpendicular a OB y OM=MB. O

A a) 12 2 d) 18 6

B

R=6

36 b) 16 6 c) 3 5 e) 24 3

14. Por el incentro del triángulo ABC cuyos lados miden 5 m, 6 m y 7 m, se traza la perpendicular al plano de dicho triángulo. Si IO=2 2 , calcule la suma de las áreas de las caras laterales de la pirámide O-ABC. a) 144 d) 6 6

b) 14 6 e) 18 6

c) 12 6

15. En el gráfico se muestra un cilindro de revolución de 18 m3 de volumen, si: AB=BC, calcular el volumen del cono que tiene como base la región elíptica.

1 b) 3 ( 3 - 1)3 48 -1 3 ( 3 - 1)3 c) 2 3 d) 4 2 3 e) 2 ( 3 - 1) 2

a)

A

B

C a) 1 m3 d) 3

Central: 619-8100

b) 2 e) 4

c) 2,5


1. Un semicírculo de radio "R" es el desarrollo lateral de un cono de revolución. Calcule el volumen del cono. R3 R3 R3 a) 6 b) c) 2 12 12 8 d)

R3 R3 3 e) 24 12

2. Una pirámide tiene 31 vértices. Calcule el número de aristas del sólido. a) 30 d) 50

b) 60 e) 100

c) 90

3. El radio de la base de un cono es de 15 dm y su área lateral es de 375 2. Calcule la distancia del centro de la base a la generatriz del cono. a) 12 d) 14

b) 8 e) 16

c) 10

3

b) 54 e) 28

b) 0,42 e) 1,56

c) 34

2 2

c) 0,125

7. Calcule el volumen de una pirámide, cuya área de su base es 12 2 y su altura mide 4 . c) 16

8. En un cono circular recto la media armónica entre su altura y el diámetro es de 12 . Calcule el volumen de un cilindro recto circular inscrito, si su altura y su diámetro son congruentes. Ciclo UNI 158

c) 48

3

10. Sea V-ABCD una pirámide cuadrangular regular, donde el área del círculo inscrito en el triángulo VAB es 9 m2 y la m AVB=74º, calcular el 4 volumen de la pirámide V-ABCD. b) 6 6 24 d) 12 5 e) 7 5

c) 12 7

11. B es punto medio de una generatriz del cilindro y OB OB. Calcule la relación de volúmenes del cilindro y del cono de vértice "O".

B

2

k2h c) kh2 a) k2h b) 3 k2 h 2 d) k2h3 e)

b) 12 e) 24

3

O

6. La generatriz de un cono circular recto mide "y", la altura "h", si: y2 - h2=3k2. Calcule el volumen de dicho cono.

a) 9 3 d) 20

3

9. Un cono y un cilindro circular recto cuya generatriz mide 4 dm, comparten la misma base de radio igual a 3 dm la otra base del cilindro es secante al cono. Si ambos sólidos son equivalentes, calcule el volumen de la porción del cono interior al cilindro. 76 dm3 c) 25 dm3 a) 96 dm3 b) 5 3 91 dm3 d) 13 dm3 e) 3 18

5. Una pirámide recta de base cuadrada tiene una altura de 1,2 y la arista lateral mide 1,3 . ¿Cuánto mide el área de la proyección de una cara lateral sobre la base de la pirámide? a) 0,5 2 d) 0,25 2

b) 64 e) 45

a) 7 6 m3

4. Un triángulo equilátero tiene como lado 6 y gira alrededor de uno de los lados un ángulo de 360º. Calcule el volumen del sólido engendrado. a) 45 d) 52

a) 54 3 d) 27 3

A 3 5 9 a) 4 b) 7 c) 13 8 8 d) 15 e) 5 12. En una pirámide pentagonal regular el área total es de 30 2 y el área lateral es 20 2. Calcule el valor del ángulo diedro que forman la cara lateral con el plano de la base. a) 45º d) 53º

b) 60º e) 75º

c) 30º

13. Sea O el vértice de un cono de altura OH. La mediatriz de la generatriz OA, corta a OH en N, sea M punto medio de OA. Se sabe que: MN=3 y OH=7 . Calcule el área lateral del cono. Colegios

TRILCE

Geometría a) 42 d) 21

2

2

b) 10,5 e) 36

2

2

2

c) 20

14. Calcule el volumen de un cono recto, si su altura mide 8 y el radio de la base mide 3 . a) 18 d) 36

3

3

b) 24 e) 40

3 3

3

c) 30

15. El área total de su cono de revolución es 10 2 y su generatriz mide 3 . Aquí se inscribe una esfera y se desea calcular el volumen de un cono cuyo vértice es el centro de la esfera y la base es la base del cono original. 8 8 3 a) 5 3 b) 17 6 15 8 15 3 c) d) 6 3 15 3 8 8 e) 51 3 15 3.

16. El volumen del cono recto es de 80 Calcule el volumen del cilindro oblicuo inscrito en el cono de revolución.

17. Calcule la longitud del apotema de una pirámide cuadrangular regular, si el lado de la base mide 6 y la altura de la pirámide mide 4 . a) 2 d) 5

b) 3 e) 8

c) 4

18. Un cono de revolución tiene como generatriz 10 dm y como radio 2 dm. Calcule el valor del ángulo central del desarrollo lateral de dicho cono recto. a) 36º d) 45º

b) 72º e) 120º

c) 60º

19. El volumen de un cono de revolución es 36 dm3. El triángulo ABC equilátero e inscrito en la base del cono. A su vez el triángulo ABC está circunscrito a un círculo que es la base de un cilindro circular recto inscrito en el cono. Calcule el volumen del cilindro. a) 17,8 dm3 b) 10,5 dm3 c) 13,5 dm3 d) 8,5 dm3 e) 24 dm3 20. El desarrollo lateral de un cono de cúspide O, es el sector circular AOB de 120º. "O1" es el centro del círculo congruente a la base de dicho cono. Calcule la mAQ. A

O a) 45 3 d) 30 3

Central: 619-8100

b) 60 3 e) 40 3

c) 35 3

a) 120º d) 75º

b) 90º e) 53º

O1 Q B c) 45º


1. Calcule el volumen de un tronco cilíndrico oblicuo, conociendo que la sección recta es un círculo y forma con la base mayor un diedro de 45º; además, el área de la base mayor es de 60 dm2 y las generatrices máxima y mínima miden 10 dm y 4 dm en ese orden.

a) 240 6dm3 c) 210 2dm3 e) 222 2dm3

b) 160 3dm3 d) 190 3dm3

2. Calcule el volumen de un tronco de cilindro recto circunscrito a una esfera de radio 2. El diámetro de la base mide 6 y la generatriz mínima del tronco es nula. a) 60 d) 36

b) 45 e) 40

c) 12

3. En un tronco de cilindro circular recto, la generatriz mínima es nula y las bases forman un diedro de ángulo rectilíneo igual a 60º. calcule el volumen del sólido, si la suma de las áreas de las bases es 48 dm2.

a) 695,32 dm3 c) 895,32 dm3 e) 665,32 dm3

b) 965,23 dm3 d) 348,23 dm3

4. En un tronco de cilindro circular recto, se encuentra inscrita una esfera de radio igual a 6 dm. El eje mayor de la elipse forma un ángulo de 37º con la generatriz máxima. Determine el volumen de dicho tronco. a) 576 dm3 b) 496 dm3 c) 136 dm3 d) 468 dm3 e) 586 dm3 5. Un tronco de cilindro oblicuo tiene como sección recta a un círculo de 8 dm de perímetro. Las generatrices máxima y mínima miden 14'dm y 4 dm, en ese orden. Calcule la relación entre el volumen y la generatriz mayor del tronco.

Ciclo UNI 160

62 dm2 c) 27 dm2 a) 72 dm2 b) 5 8 7 73 dm2 d) 47 dm2 e) 5 6 6. Grafique al triángulo ABC, de modo que AB=6 dm, BC=8 dm y AC=10 dm. Perpendicularmente a su plano se levanta AE, BF y CH que miden 2 dm, 8 dm y 4 dm en ese orden. Calcule el volumen del sólido ABC-EFH. a) 112 dm3 d) 224 dm3

b) 168 dm3 e) 102 dm3

c) 336 dm3

7. En un tronco de cilindro circular recto, las generatrices máxima y mínima miden 10 dm y 4'dm en ese orden. Si el diámetro de la base circular es congruente al eje del sólido, calcule el área lateral del sólido. a) 48 dm2 d) 94 dm2

b) 72 dm2 e) 98 dm2

c) 49 dm2

8. En un tronco de prisma recto (cuya sección es un triángulo), se inscribe una pirámide cuya base es la misma del tronco y cuyo vértice es el punto de intersección de las medianas de la otra base. Calcule la relación de volúmenes de estos sólidos. 1 1 1 a) b) c) 9 3 2 2 2 d) e) 9 3 9. Los volúmenes que genera un triángulo rectángulo cuando gira alrededor de sus catetos son de 3 dm3 y 4 dm3. Calcule el volumen que genera el triángulo cuando gira alrededor de la hipotenusa. a) 5 dm3 d) 2,3 dm3

b) 2,2 dm3 e) 2,4 dm3

c) 2,5 dm3

10. En un cono de revolución, se inscribe dos esferas de radios 2 dm y 6 dm. Calcule el volumen del cono. Colegios

TRILCE

Geometría a) 190 dm3 b) 810 dm3 3 c) 790 dm d) 840 dm3 e) 648 dm3 11. Calcule el volumen de un cono recto de altura 3m, sabiendo que el plano que pasa por el vértice determina en la base una cuerda que subtiende un arco de 120º y que la sección determinada por dicho plano es un triángulo rectángulo. a) 9 m3 d) 24 m3

b) 12 m3 e) 36 m3

b) 40 dm3 e) 8 5 dm3

14. La altura de un cono recto se divide en tres segmentos congruentes por dos puntos, por dichos puntos se trazan planos paralelos a las bases. Calcule el volumen de la parte mayor, si el volumen del cono es de 27 m3. a) 5 m3 d) 21 m3

c) 18 m3

12. Sea F-ABCD una pirámide donde las aristas laterales son congruentes y miden 5 6 dm. AB y BC miden 8 dm y 6 dm en ese orden. Calcule el volumen del sólido, sabiendo además que la base es un rectángulo. a) 80/3 dm3 d) 90 dm3

a) 12 m2 b) 48 5 m2 c) 96 m2 2 d) 96 5 m e) 48 m2

b) 9 m3 e) 24 m3

c) 19 m3

15. La altura y el diámetro e la base de un cono recto miden 18 y 24 unidades respectivamente. En el cono, se inscribe un cilindro recto cuya área total es 260 2. Calcule el volumen del cono parcial cuya base es la base superior del cilindro. a) 500 d) 420

c) 80 dm3

3

3

b) 480 e) 400

3

3

c) 440

3

13. Una cuerda del círculo base de un cono circular recto de 8 m de altura, mide 16 m. La distancia de la cuerda al centro del círculo de la base es de 4 m. Calcule el área lateral del cono.

1. ¿En qué porcentaje debe aumentar la altura de un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye 50% para que ambos sólidos (final e inicial) tengan el mismo volumen? a) 100% d) 400%

b) 200% e) 500%

b) 192 m3 e) 204 m3

c) 176 m3

3. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 4 cm y está lleno de agua hasta un nivel superior 3 cm. Calcular la medida del ángulo que debe girar el cilindro con respecto a la vertical para que el agua esté a punto de derramarse. a) 30º d) 53º

Central: 619-8100

b) 45º e) 37º

a) d) 4

c) 300%

2. El radio de la sección recta de un cilindro oblicuo mide 2 3 m. La generatriz está inclinada 60º respecto a la base y la longitud de la altura es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro. a) 184 m3 d) 196 m3

4. ¿En qué razón se encuentran las áreas de la superficie lateral de un cilindro y de la región que resulta de proyectar al cilindro en un plano paralelo a su eje?

c) 60º

b) 2 e) 6

c) 3

5. En una tetraedro regular de arista "a", se inscribe un cilindro de revolución con una de sus bases en una cara y la otra tangente a las demás caras. Si el radio de las base del cilindro es "r". Calcular el área de su superficie lateral. a 3 6

a) 2 2

c) 4 2 a 3 - r 6 e) 2 r 2 a 3 - r 3

r

b) 3 3

a 3 6

r

d) 2 2 a 3 - r 6

6. Las dimensiones de un ortoedro se encuentran en la relación de 1:2:3 y la longitud de la diagonal es igual a 2 7 . Calcular el volumen de dicho ortoedro. www.trilce.edu.pe 161

a) 12 d) 16

3

3

b) 6 6 3 e) 12 2 3

c) 8 3

3

7. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular triangular tiene por diagonal 34 , y por altura 16 . Calcular el área total del prisma.

a) 10(5 3 +48) 2 c) 596 2 e) 624 2

b) 12(32+6 3 ) 2 d) 25( 3 +3) 2

8. Calcular el área de la base de un prisma triangular regular de volumen igual a 4 9 3. 8 Además se sabe que el ángulo formado por las diagonales de dos caras que parten del mismo vértice es de 45º. a) 3 4

3 2 c) 3 2 2 b)

d) 3

2 e) 2

3

2

6

9. La longitud de la altura de un prisma triangular oblicuo es igual al duplo de la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita a su base. Calcular el volumen del prisma, si el producto de las longitudes de las tres aristas de la base es igual a "S". a) S d) 2S/3

b) S/2 e) 3S/5

c) S/3

10. Calcular el volumen de un prisma oblicuo, cuya sección recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 8 unidades de radio y el área lateral del prisma es de 72 2. a) 66 d) 156

3 3

3

b) 144 e) 72

c) 288

12. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia de 4 de radio. Calcular el volumen de la pirámide; si el área lateral es el doble del área de la base. a) 192 3 b) 120 3 d) 150 2 3 e) 172 3

3

c) 180

3

13. En una pirámide cuadrangular regular, la medida del ángulo diedro determinado por una cara lateral y la base es de 60º. Calcular el volumen del cubo que tenga por diagonal una arista lateral, si la arista básica de la pirámide mide 2 15 . a) 25 3 d) 50 5 3

b) 25 5 3 e) 125 3

c) 75

3

14. Calcular el volumen de una pirámide P-ABC; si las caras laterales están inclinadas en 37º respecto a la base ABC, además las aristas básicas AB; BC y AC miden 26; 30 y 28 respectivamente. a) 672 3 b) 324 6 3 d) 400 3 e) 724 3

3

c) 696

3

15. Se dan dos esferas tangentes exteriormente y cuyos radios miden 2 y 6 respectivamente. Calcular el volumen del cono recto circunscrito a ambas esferas de modo que las esferas se encuentren una sobre otra. a) 648 d) 688

3

3

b) 664 e) 724

3 3

c) 672

3

3

3

11. Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular, cuyo apotema mide 2 3 y sus caras laterales forman diedros con la base que miden 60º. a) 6 6 3 d) 15 3

Ciclo UNI 162

b) 12 e) 18

3 3

c) 96

3

Colegios

TRILCE

1. Calcule el volumen del tronco de cono. MA=VM, VN=NB, VP=PC. VD=4 3, AD=8. V

N

2. Se tiene al tronco de pirámide regular cuadrangular ABCD-EFGH, FG=2, AD=8 y el apotema de dicho tronco es 5. Calcule su volumen.

Solución:

Piden Vtronco

P

M

D

A

Solución:

2 3 N

4 A

P

2 B

2 3

E 2

G

ap=5

4 1

C 3

4

D

8

* O1 y O2: Centros de las bases

V

4

H

O2

A

M

h

B

C O

2 O 1

E

E

B

F

4 2

O

8

h=4

* Vtronco= 4 (22+82+ 22×82 ) 3 Vtronco= 4 (84) 3 Vtronco=112

C 3. Calcule la razón de volúmenes del cono y del tronco de cono circular recto.

D

r

Piden: Vtronco

* VD=VC=4 3 * VO=4 * T. Puntos medios: ME= AD 2 * Vtronco= 4 (22+42+2.4) 3 . . . Vtronco= 112 3

Central: 619-8100

2r


Solución: Piden: Vcono Vt.cono

O

r

l

O1 a

Solución:

M

r

3x

37 2

x 10

2 10

x

N

3l O2 2r

10 (2 - x)

2r

2

2

* Por propiedad r . 2r 2r a= = r+2r 3 * OMO2 O1O2N 2 OO2=3l r OO = 2r 2 O1O2=3l B a2 Vcono= × 3l ..........(1) B Vt.cono= 3l (r2+(2r)2+r.2r) 3 Vt.cono= l . 7r2 ..........(2) 4 De (1) y (2): Vcono = Vt.cono 63

Por dato: A.L.cono=A.L. tronco cono

x . x = x 10 = (x+2) 10 (2 - x) x2=x2 - x2 ... x= 2

5. Calcule el volumen del tronco de pirámide cuadrangular regular. La semicircunferencia está inscrita en PMNQ. MN=4, PQ=10. F

G

M

N

E

H

B

4. Calcule el valor de x, si la sección sombreada es paralela a la base del cono y determina dos sólidos de áreas laterales iguales.

C Q

P A

x

6

D

Solución:

En la región PMNQ (trapecio isósceles) 4 2 N M 2

6

2 R P

2

R

52 - R 2

R

2

5

10

3

Q

2

* T. Pitágoras (2+ 42.102 ) =R2+32 ... R=4 4 4 ... Vtronco= (42+102+ 42.102 ) = (156) 3 3

Ciclo UNI 164

Vtronco=208

Colegios

TRILCE

Geometría

1. En el gráfico se tiene un tronco de cilindro de revolución, las regiones ABC y BDC están contenidas en planos perpendiculares, tal que sus áreas están en la razón de 2 a 1 respectivamente. Si: AB=AC y el área de la proyección ortogonal de la región ABC en la base inferior es 8 2, calcular el volumen del tronco del cilindro. A D B

416 m3 c) 208 a) 208 b) 2 3 d) 104 3 e) 104 5

C a) 10 2 d) 5 17

b) 20 e) 17 2

c) 20 2

2. Según el gráfico, se tiene un tronco de cono de revolución y un cilindro de revolución. Si: AB=2(BC), calcule la razón de volúmenes del tronco de cono y el cilindro.

5. En un tronco de cono, cuya generatriz es 10 y la medida del ángulo entre dicha generatriz y el plano de la base es 37º, está inscrita una esfera. Calcule el volumen del tronco de cono.

A

a) 180 m3 d) 184 m3

B C

a) 7 30 40 d) 7 2

b) 2 15

c) 3 15

e) 12 2

3. El octaedro regular mostrado está inscrito en el tronco de cono de revolución. Si la longitud de la arista del octaedro es 4 2 y el área de la superficie lateral del tronco de como es 32 5 , calcule el volumen del tronco.

Central: 619-8100

4. Calcule el volumen de un tronco de cono circular recto, si se pueden inscribir en él dos esferas de radios 1 m y 3 m. 756 m3 c) 745 m3 a) 782 m3 b) 9 9 9 728 740 d) m3 e) m3 9 9

b) 182 m3 e) 193 m3

c) 192 m3

6. En un tronco de pirámide triangular regular, la arista lateral se encuentra inclinada 45º respecto de la base mayor. Calcule la relación entre el apotema del tronco y su altura. 6 c) 5 a) 3 b) 2 2 4 2 3 d) 5 e) 2 3 7. En un tronco de cono circular de bases paralelas, los radios de sus bases miden 5'dm y 2'dm. Si el área lateral es de 35 dm2, calcule el ángulo central del desarrollo lateral. a) 5 rad b) 4 rad c) 2 rad 7 3 3 d) rad e) 6 rad 2 5


8. Calcule el volumen de un tronco de cilindro circular recto, en el cual se inscribe una esfera, además la generatriz mayor y menor miden 4 y1 . a) 1,4 d) 2,2

3

b) 1,6 e) 2,4

3

3 3

c) 1,8

12. En el gráfico se muestra un tronco de cono recto. Calcular el área lateral.

3

A

9. En la figura, se tiene un tronco de cono circular recto (QB: generatriz). Si: AB=BC, R=10 cm, QO=QB. VQ-ABC=400 cm3, calcule el volumen del tronco. Q 2 A 2 A A b) c) Sen Sen Cos 2 A 4 A d) e) Tg Sen a)

A R

B

O C

a) 800 cm3 b) 700 d) 850 e) 750

c) 900

10. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, todas sus caras laterales son circunscriptibles. Si los inradios de las bases miden "a" y "b", calcule el área lateral del tronco.

a) (a+b) ab c) 4 ab (a+b) e) 16(a+b) ab

b) 2(a+b) ab d) 8 ab (a+b)

11. En la figura, se tiene un tronco de cilindro oblicuo cuyas bases están en planos perpendiculares. Si: MN2 - PQ2=32. Calcule el área lateral de sólido. N

P

a) 2 d) 16

Ciclo UNI 166

a) 117 dm3 d) 127

b) 107 e) 147

c) 137

14. El desarrollo de un tronco de conos el área de un trapecio circular que tiene por radios 4 y 10 , además 180º de ángulo central. calcule el valor de la altura del tronco del cono. a) 2 3 d) 2 6

b) 3 3 c) 6 e) 4 3

15. Las bases de un tronco de pirámide de bases paralelas son polígonos de áreas "S1" y "S2". Calcule el área de la base media. 2 a) S1+ S2 2

b) [ S1+ S2 ]2

S1 - S2 c) S1 - S2 d) 2 2

15º

M

13. Una pirámide cuadrangular regular tiene como arista básica 5 dm y es cortado mediante un plano paralelo a la base a 6 dm de su vértice. Si la sección que se determina es de 4 dm2 de área, calcule el volumen de tronco de pirámide que se determina.

3

e) S1+ S2

Q b) 4 e) 32

c) 8

Colegios

TRILCE

Geometría

1. La fórmula que expresa el volumen de un tronco de pirámide cuyas áreas de las bases miden A y B y además la altura mide "h" es: h a) (A+B+ A2+B2 ) 2 h 2 2 b) (A +B + A+B ) 3 h c) ( A2+B2 + A.B ) 2 h d) (A+B+ A.B ) 3 2 e) h(A+B+ 2AB ) 3

6. Un tronco de un cono de revolución tiene una de sus bases igual a la cuarta parte de la otra. Hallar qué fracción del volumen total resulta ser el volumen de un cono cuyo vértice es el centro de la base mayor y cuya base es la base menor del tronco. 1 1 c) 7 a) b) 8 4 1 1 d) e) 7 3 7. Calcular el volumen de un tronco de cono de revolución, sabiendo que la diferencia de cubos de sus radios es 81 y que la generatriz es 10 veces la altura.

2. El área total de un tronco de cono circular recto de generatriz "g" radio mayor "R" y radio menor "r" es: b) (R2+r2+Rr)g 2 c) (Rg+rg+R2+r2) d) (Rg+rg+Rr) e) N.A.

3. Un tronco de pirámide tiene como áreas de sus bases 4 dm y 16 dm. Si el volumen del sólido es de 84 dm3. Hallar la altura del tronco. a) 6 dm d) 8

b) 9 e) 10

c) 12

4. Una pirámide de 9'dm de altura es cortada a 4'dm de su vértice mediante un plano paralelo a su base. Hallar la relación de volúmenes de los sólidos determinados. 46 c) 64 a) 64 b) 729 665 665 64 d) 64 e) 656 656 5. En una pirámide triangular regular, el lado de la base es a la arista lateral como 10 . Calcule la 5 medida del ángulo diedro en la arista lateral. a) ArcCos 13 b) ArcCos 15 6 35 c) ArcCos 4 d) ArcCos 17 9 35 e) ArcSen 17 35 Central: 619-8100

b) 15 e) 8

c) 20

8. La suma de los radios de las bases de un tronco de cono es de 4 dm, la altura mide 4 dm y la generatriz forma un ángulo de 60º con la base. Hallar el área total del tronco. 16 (1+ 3) dm2 b) 32 (1+ 3) dm2 a) 3 3

a) (R+r)g

a) 9 d) 12

32 ( 3 - 1) dm2 c) 64 (1+ 3) dm2 d) 3 3

16 (1 - 3) dm2 e) 3 9. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las bases distan 23 m, la arista básica menor mide 2m y las caras laterales están inclinadas con respecto a la base de un ángulo diedro cuya medida es 60º. Calcular el área de la superficie total. a) 104 m2 d) 106

b) 206 e) 102

c) 401

10. La base de una pirámide triangular regular está inscrita en una circunferencia cuyo radio miden 2 cm, el área de la superficie lateral de dicha pirámide es el doble del área de la base. Calcular el volumen de la pirámide. a) 8 cm3 d) 3

b) 5 e) 4

c) 2


1. Calcule el área de la superficie esférica menor si está inscrita en el cono equilátero de altura 27.

R 27

Solución: h

R

Solución: 30º

30º 1

2r

r r 27

R=3r R

3r

* NOT30º y 60º: 2R=3r+R

R=3r

* 27=9r ... V

r=3

sup esf=4

(3)2=36

2. Calcule el área de la base del casquete esférico mostrado, sabiendo que el área de dicho casquete es 2m2. EL radio de la esfera es 1 .

Ciclo UNI 168

Dato: Acasquet=2 2

1 ×h=2

h= 1

Acasque=Asemicircunferencia esférica

Acasquete=2

=2

1

2

3. En el gráfico mostrado, si la relación entre el área de los círculos menores y mayores es de 1 a 2, además ABCD-EFGH es un paralelepípedo recto, calcule el área de la semi superficie esférica. GC= 3 Colegios

TRILCE

Geometría

F M

B C

O

A

D F M

r

P

HO3= 3

(3+r)2=(2 3 2+32) r= 21 - 3 ... Asup esf=4 (r 21 - 3)2

G

Solución: V

r2

B

H

3

R

4

C

B

O

O

D

R= 2 r

r 2 = 6

A

r2 1 = R2 2

2 6

a

2

2 3

D

C N

=45º M

r= 3

Asemi supesf=2 ( 3 )2 ... A =6

G

4

Acírculo menor = 1 Acírculo mayor 2

2 6

r

A

O1O2O3

5. Calcule el área de la superficie esférica inscrita en un cotaedro regular de diagonal igual a 4 6.

Solución:

E

H: Ortocentro del * T. Pitágoras

H

3

E

G

O1O2O3: Equilátero

semi superesf

Piden: Asupesf

G: baricentro de AVDC

VM=4 6 4. Se tienen tres superficies esféricas congruentes de radio 3, tangentes exteriormente dos a dos y tangente a un plano. ¿Cuánto mide el área de la superficie esférica tangentes a las tres mencionadas y cuyo centro está en el plano?

Solución:

Ubicaremos los centros de las superficies esféricas y la unión de estas es la suma de radios. O2 3 3 3 H O1 2 3 3 3 O3 3 3 3 3 3 3 r r

Central: 619-8100

a 2=4 6

a=4 3

VON: RMTR

2 6 . 2 3=6 . r r=2 2 . . . Asup esf=4 (2 2)2

=32


1. Según la gráfica: 4(AM)=3(MD); O es centro de la esfera. Calcular la razón de las áreas de los casquetes esféricos S1 y S2. R

A S1

R O B

D

M C

a) 1 d) 4/3

b) 2 e) 3/4

S2 c) 1/2

2. Una esfera es cortada por un plano en dos casquetes cuyas superficies están en la relación de 4 a 5; la cuerda del arco generador del casquete menor es de 60 m. Calcular la longitud del radio de la esfera. a) 15 m d) 45

b) 30 e) 48

c) 36

3. Calcule el radio de la esfera circunscrita al octaedro regular de arista "l". a)

l

d)

l

6. Calcule el área de la superficie esférica de una esfera inscrita en un cono equilátero de 648 3 de volumen. a) 184 d) 158

2

2

b) 178 e) 144

2 2

b) 2 e) 6

30º

c) 3

5. En el cilindro está inscrita una esfera y un cono. Calcular el área del casquete esférico mayor que determina la intersección del cono con la esfera.

Ciclo UNI

2

360º

l2 2 e) 5 6

a) 1 d) 4

c) 164

7. Calcule el área de la superficie generada al girar el cuadrado ABCD alrededor de . Además: º=60º( // DN) a N A B L

l 2 c) l 2 2 b) 2 3 4

4. ¿Cuántas veces es mayor la distancia desde un punto luminoso hasta el centro de una esfera, que el radio de esta, si el área de la parte iluminada de la esfera es dos veces menor que esta sombra?

170

4 2 8 2 12 2 R b) R c) R 5 5 5 16 2 18 2 d) R e) R 5 5

a)

D

a) 4a2 ( 3+1) c) 8a2 ( 3+1) e) 2a2 ( 3+1)

C b) 4a2 ( 6+1) d) 2a2 ( 6+1)

8. En la figura mostrada AOB es un sector circular de 30º. Determinar la razón de las áreas de las superficies generadas por los arcos AB y BC al girar en torno al eje OB.

Colegios

TRILCE

Geometría 12. Calcule el área de la superficie esférica inscrita a un cono de revolución de radio 3 y altura 4 .

O

20

º

eje

a) 8 d) 7

2

b) 9 e) 6

2

2 2

c) 12

2

13. Calcule la relación entre las áreas totales entre un cilindro equilátero y la esfera circunscrita al cilindro. A

C

a) 2/3 d) 5/6

B a) 1/3 d) 3/10

b) 2/5 e) 2/3

c) 1/4

b) 3/4 e) 6/7

14. Siendo "L" el eje de giro, calcule el área de la superficie generada por AB, si el ángulo de giro es 120º y AO=OB=3u. L

9. Calcule el área de la superficie esférica inscrita a un cono de revolución de radio 3 y altura 4 . a) 8 d) 7

2

b) 9 e) 6

2

2

R

10. Del gráfico, calcule el área generada por AB cuando gira alrededor de "L". A B L

a) 8 d) 12

O a) 4 d) 10

2

2

B b) 6 2 e) 3 2 2

c) 8

2

15. Calcule el radio de la esfera inscrita en un cono equilátero de altura 9.

1

3

A

2

c) 12

2

c) 4/5

b) 9 e) 13

c) 10

a) 3 d) 4

b) 2 e) 5

c) 1

11. Calcule el área de la superficie esférica, de una esfera inscrita en un tetraedro regular de 18 2 2 de volumen. a) 6 2 d) 6

2

2

Central: 619-8100

b) 2 6 e) 6 2

2

c) 3 3

2


1. La línea AB gira alrededor del eje "I", determinando una superficie de revolución cuya área es igual a 216 cm2. Si la longitud de dicha línea es el triple de la distancia de su centro de gravedad al eje "I". Hallar dicha longitud.

a) 6 d) 20

I b) 36 e) 18

c) 9

2. Si la arista de un cubo mide 2 , luego la superficie de la esfera circunscrita al cubo será: a) 12 d) 8

b) 16 e) 20

c) 9

3. ¿Cuál es la longitud del radio de una esfera en la cual el área de un huso de 45º es 2 2? a) 1 d) 2,5

b) 1,5 e) N.A.

c) 2

4. Calcule el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 6 . a) 8 d) 64

3

3

b) 27 e) 36

3 3

c) 49

a) 10,4 2 d) 9

b) 12 e) 8,48

c) 6

8. Calcule el área de la superficie esférica cuyo radio mide 5 .

B A

7. Determinar la superficie de una esfera inscrita a un cubo que a su vez está inscrita a una esfera cuya superficie es 18 2.

3

a) 100 d) 169

2

2

b) 120 e) 196

2 2

c) 121

2

9. Calcular el volumen de la cuña esférica si el área del huso esférico de 30º es de 108 . a) 438 d) 648

b) 564 e) 800

c) 600

10. Calcule la superficie de una esfera, sabiendo que el área total del cono equilátero circunscrito a ella es 81 2. a) 36 2 d) 40,5 2

b) 25 2 e) N.A.

c) 49

2

11. En la misma esfera de radio "R" se tiene una zona esférica equivalente a un huso esférico. Calcular el ángulo central del huso esférico si la altura de la zona es "R/3". a) 30º d) 90º

b) 60º e) 36º

c) 45º

5. Calcule el área de una esfera inscrita en un cilindro recto cuya generatriz mide 6 . a) 36 d) 49

2

2

b) 40 e) 81

2 2

c) 45

2

6. Calcular el área de una esfera sabiendo que las áreas de los círculos menores paralelos distantes 3 y situados a un mismo lado del centro tienen 2 y 16 2. valores de a) 68 d) 38

Ciclo UNI 172

2

2

b) 85 e) 58

2 2

c) 48

2

Colegios

TRILCE

1. En un cono equilátero se inscribe una esfera. Calcule el volumen de dicha esfera si el área total del cono es 12 .

Solución: Piden Vesf

M

P r

r

O r

* AC=2R 2

* ATO: NOT 45º m=R 2 m3 ... Vsemi esf= 3 3. Del gráfico mostrado, calcule el volumen del sólido que se genera cuando la región sombreada gira 360º entorno de .

Q 2r 3 2

6

30º 30º r 3

Atotal cono= r 3 (2r 3+r 3) 2

12 =

.9

4 . 9 r= 3 2 4 =32 3 Vesf= 4 27 3 3

Solución:

Piden: Vsol gen

12=r2

3

P

360

Solución: F

G

* Sea MP mediana

E m

T

A

Central: 619-8100

H

B

C

R

MP CG: Baricentro del

ABP

* T. Pappus Vsol gen=2 Ax =2 6.2 ×2 2 ... V =24

O

R

2 2

2

2 6 M 1 CG 3

2. Se tiene un paralelepípedo ABCD-EFGH recto circunscrito a una semi-esfera (el círculo máximo está inscrito e la cara ABCD). Si la longitud de la tangente trazada por A a la esfera es m, calcule el volumen de dicha esfera.

AO=R 2

R

sol gen

B www.trilce.edu.pe 173

4. El gráfico representa a una bola de helado y un barquillo cónico. Si la bola de helado se derrite, llena el barquillo. Calcule: x2(8 - x).

8x2 - x3=32 ... x2(8 - x)=32 5. Se tiene una cuña esférica de volumen 6 y su ángulo diedro formado por dos semicírculos es 60º. Calcule el área total de la cuña.

2

Solución:

x 60º

R

Solución:

Vesfera=Vbarquillo

2 r 2 x

g

Piden ATcuña

R3 270 60 R3 6p= R=3 270 Vcuña=

Acuña = 32+ 32+Ahuso

=18 +

60 32 90

Acuña =24

4 2 3 = r2 x 3 8

4 . 8=r2 . x ..........(1) RMTR: 12= 12 + 12 2 r x 4x2 r2 = 2 x -4

Reemplazando en (1) 4x2 32= 2 x -4

8x2 - 32=x3

Ciclo UNI 174

Colegios

TRILCE

Geometría

1. Si el volumen de un cono de revolución equilátero es "V", calcule el volumen de la esfera inscrita.

5. Calcule el volumen generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de "L".

3V 2V 4V b) c) 7 5 9 3V 3V d) e) 5 8

a)

2. Determine la distancia del centro de gravedad de un cuarto de círculo AOB hacia OB, siendo: AO=OB=6 . a) 4 d) 4,5

b) 6 e) 6,5

c) 8

3R

78 52 48 2 3 R b) 2R3 c) 2R3 37 37 37 48 2 3 d) R e) 52 2R3 27

a)

3. Calcule el volumen generado por la región sombreada al girar 360º sobre AC, si ABC es un triángulo equilátero de lado 5 . C

6. Calcule la relación de volúmenes que hay entre los sólidos generados cuando el trapecio (región gira 360º alrededor de AC y CD. 4

A A

M

L

R

B

B

a)

1875 1975 1475 b) c) 64 16 64

d)

1875 1975 e) 34 24

4. Según el gráfico, calcule la razón de volúmenes de los conos. r

60º D

C

8

7 3 5 3 3 b) c) 6 2 12 3 3 7 d) e) 2 196 a)

7. Del gráfico, calcule la relación de volúmenes que genera al rotar 360º el área de la región sombreada sobre los ejes "y", "x". y

R B 4 r 25 16 64 b) c) 64 25 125 5 8 d) e) 64 25 a)

Central: 619-8100

R a) d)

R

x

2

b) c) 3 4

6

e) 8 www.trilce.edu.pe 175

8. Calcule la altura del cilindro de revolución del volumen máximo inscrito a la cuarta parte de una esfera de radio 6 3 .

11. La arista de un tetraedro regular mide 2 m. Calcular el volumen de la esfera tangente a las caras laterales del tetraedro en los vértices de la base. 2 1 b) 3 3 4 5 d) e) 3 3 a)

a) 4 d) 6

b) 2 e) 8

c) 3

9. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor del eje. Si: AE=5 dm, FB=3 dm y EF=2 dm.

B A

c) 1

12. Se tiene un tetraedro ABCD, en donde el volumen es 100 3; el área total es 130 2 y el área de la cara ABC es 15 2. Calcule el volumen de la esfera ex-inscrita relativa a la cara ABC. 28 b) 25 3 c) 3 a) 32 3 3 d) 36 3 e) 64 3 13. Calcular el volumen del sólido generado al rotar la figura sombreada alrededor de la recta "L".

F

6

3

E

30º 30º 3

30º 30º 6

L a) (9+4 ) b) (7+3 ) c) (3+ ) d) 9 (18+5 ) e) 7 (15+4 )

a) 106 5 108 c) 3 206 e) 3

106 dm3 dm3 b) 3 216 dm3 dm3 d) 5 dm3

14. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si: AB=8 y B es punto de tangencia, calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de . 53º

10. Calcule el volumen de la esfera inscrita en un octavo de esfera, cuyo radio mide 2( 3 +1) .

B

L 360º

A

O C

R D R

a) 250 d) 280

b) 255 e) 290

c) 260

16 b) 32 c) 3 32 16 d) e) 3 3 a) 16

Ciclo UNI 176

Colegios

TRILCE

Geometría 15. En el gráfico, O y O1 son los centros de los cuadrantes. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de L. Además: R= 3 . C B 360º

2R A

R 3

R

O1

L

O

1. El círculo máximo de una esfera tiene como área 36 cm2. Hallar el volumen de la esfera. a) 386 cm2 b) 288 d) 278 e) 268

c) 188

5. ABCD es un cuadrado de lado "L". Hallar el volumen del sólido generado al rotar ABCD alrededor del eje ( =15º) B C Eje

2. Un cilindro tiene como volumen 30 dm3. Hallar el volumen de la esfera inscrita en el cilindro. a) 20 dm3

b) 18

30 d) 7

e) 15

c) 22

3. El cuadrado ABCD al girar una revolución alrededor del eje "L", genera un sólido de 4 6 cm3 de volumen. Calcular el perímetro del cuadrado. C

D A a) 2 d) 8

b) 6 e) 5

D

L3 L3 L3 5 b) 2 c) 6 3 6 2 3 3 L L d) 6 e) 4 8 a)

6. Un triángulo equilátero de lado "b" cm, gira alrededor de uno de sus lados. Hallar el volumen del sólido generado.

B 15º

A

L c) 10

a) d)

2

b3 b) b3 c) b3 8 4

3

b3 2 e) b3 6

4. Calcule el volumen de una esfera cuyo radio mide 3 . a) 18 d) 36

3

3

Central: 619-8100

b) 27 e) 40

3 3

c) 64

3


7. El círculo de radio "R", gira alrededor del eje "I", calcule el volumen del sólido generado (T: punto de tangencia).

9. Se tiene una cuña esférica de 36 3 y 45º de ángulo diedro. Calcule el radio de dicha cuña. a) 4 d) 8

l

b) 9 e) 3

c) 6

10. En un cilindro circular recto, se inscribe una esfera y un cono circular recto. La razón entre los volumen del cilindro, la esfera y el cono es:

T

a) 1:2:3 d) 3:2:1

b) 2:1:3 e) N.A.

c) 3:1:2

a) 2R2 d) 2 2R3

2R3 b) 2 R4 c) 3 e) 2 R

8. En la figura mostrada, la región rectangular al girar alrededor del eje(1) genera un sólido cuyo volumen es V1 y al girar alrededor del eje(2) genera un sólido cuyo volumen es V2. Calcule: V1/V2. Eje (2)

3a a Eje (1) a) 2:3 d) 1:3

Ciclo UNI 178

b) 3:1 e) 4:9

c) 1:9

Colegios

TRILCE

1. Calcule el volumen de un prisma cuadrangular regular, si la diagonal del desarrollo de la superficie lateral mide 37 unidades y la arista lateral de dicho prisma mide 35 unidades. a) 275 3 d) 315

b) 290 e) 324

c) 300

2. Las tres dimensiones de un rectoedro están en progresión aritmética y suman 45 unidades. Calcule el volumen, si su área total es igual a 1'332' 2. a) 3 600 d) 3 360

3 3

b) 3 524 e) 3 240

3 3

c) 3 484

3

3. Sobre la arista AD de un tronco de prisma oblicuo ABC-DEF se ubica el punto P, de tal manera que PD=15. Calcule el volumen del sólido PDEF, si el área de la sección recta de dicho tronco es igual a 60 2. a) 120 d) 250

3

3

b) 180 e) 300

3 3

c) 240

3

4. En un cilindro de revolución de altura 5, se puede inscribir un paralelepípedo rectangular cuya superficie lateral es 280, si uno de los lados mide 12. Calcule el área lateral del cilindro. a) 50 p d) 200 p

b) 100 p e) 220 p

c) 150 p

5. Un octaedro de volumen 4/3 m3 está inscrito en un cilindro de revolución, de modo que dos vértices opuestos del octaedro son los centros de las bases de dicho cilindro. Calcule la longitud de la menor trayectoria para ir de un extremo a otro extremo de una generatriz recorriendo la superficie lateral del cilindro. a) 2 1+ 2 b) 3 2 - 1 d) 4 2 - 1 e)

Central: 619-8100

c) 4 1+

2

6. Se tiene un cilindro de revolución, un plano no paralelo a las bases lo corta de tal manera que forma un ángulo de 45º con las bases y las generatrices máxima y mínima están en la relación de dos a uno. Si el radio de la base del cilindro es 1, calcule el volumen del tronco de cilindro. a) 3p/2 d) 4p

3

b) 5p/2 e) 7p/2

c) 3p

7. En un cono recto de revolución, el punto medio de una generatriz dista de la base 6 dm. Si el radio es de 4 dm, calcule la capacidad de dicho cono. a) 32p dm3 b) p dm3 d) 54p dm3 e) 60p dm3

c) 46p dm3

8. Se tiene una pirámide cuadrangular regular en la cual una arista lateral y la altura forman un ángulo cuya medida es 30º. Calcule la medida del ángulo diedro que forma el plano de la base y un plano perpendicular a una arista lateral. a) 45º d) ArcTg 5

b) 53º e) 30º

c) ArcCtg 3

9. Se tienen dos conos rectos congruentes tangentes por sus generatrices y cuyos vértices coinciden. Si sus alturas son "h" y el radio de bases es "r", entonces el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las bases y el vértice común de los conos es: a) 2hr

b) r hr

c) r r2+h2

3 rh3 d) 2rh 2 e) 2 r +h r - h2

10. Calcule el volumen de una pirámide de base triangular en la que dos de sus caras son triángulo equiláteros cuyo lado mide L y las otras dos son triángulos rectángulos isósceles.


3 L3 2 c) L3 2 a) L 2 b) 12 10 8 3 3 L 5 d) L 5 e) 12 8

11. Calcule el volumen de un tronco de pirámide circunscrito a una esfera, cuyas bases son regiones cuadradas y una cara lateral es perpendicular a las bases. Además, la suma y el producto de las longitudes de dos aristas básicas diferentes es igual a "S" y a "P" respectivamente. P P P 2 (S +P) b) (S2+P) c) (S2+P) 2 2 2 P P d) (S2+P) e) (S2+P) 2 2 a)

12. Dado un tronco de cono de revolución de bases circulantes de radios 1u y 4u, luego, tomando como bases a estos círculos se construyen conos rectos cuyos vértices son los centros de las bases. Calcule la relación entre los volúmenes del sólido formado por la intersección de los conos y del tronco de cono inicial. a) 16/275 d) 12/525

b) 12/325 e) 16/325

c) 16/525

13. Dadas dos esferas concéntricas, se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera menor, determinando un círculo de 16p 2 de área. Calcule el área del casquete menor formando en la esfera mayor, sabiendo que la superficie de la esfera menores es 36p 2. a) 10p d) 20p

2

b) 12p e) 24p

2

2

c) 15p

2

2

14. Dos esferas de 1 y 3 de radio reposan tangentes entre sí, en una superficie cóncava de 7 de radio. Calcule el área de la región triangular cuyo vértice son los centros de las dos esferas y la superficie esférica. a) 4 2 d) 7 2 2

b) 3 7 e) 3 2

2

c) 7 3

2

2

15. Calcule el área de la zona esférica de dos bases cuyos radios de base miden 6 y 8 unidades y se encuentran a uno y otro lado del centro de la esfera que contiene a dicha zona. Además, se sabe que la altura es de 14 unidades de longitud. 2

a) 140p d) 100 3 p

Ciclo UNI 180

2

b) 120 2 p e) 280p 2

2

c) 148p

2

16. Dadas tres esferas de radio R, tangentes exteriormente dos a dos y apoyados a un plano, calcule el radio de la esfera tangente a las tres esferas y al plano. a) R/2 d) 2R/5

b) R/4 e) R/6

c) R/3

17. El área de una esfera es de 400p dm2.Dicha esfera es tangente a todos los lados de un rombo. La distancia del centro de la esfera al plano del rombo es de 4 dm. Calcule el área de dicho rombo, si la longitud de su lado es de "L" dm. a) 12L2 cm2 b) 2 21L e) 4 21L d) 8 2 L2

c) 8L2

18. Dado un octaedro regular de volumen 9 2 3, calcule el área de la superficie esférica inscrita al octaedro. a) 3p d) 6p

2

2

b) 4p e) 9p

2 2

c) 5p

2

19. Una superficie esférica es dividida por dos planos en dos casquetes y una zona. Calcule la altura de la zona, si el área de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de los casquetes y el radio de la superficie esférica es 8R. a) 4R d) 5R

b) 6R e) 2R

c) 3R

20. Calcule el área de una esfera, sabiendo que las áreas de dos círculos menores paralelos distantes 3 y situados a un mismo lado del centro, tienen áreas de p 2 y 16p 2. a) 34p d) 72p

2

2

b) 48p e) 48p

2 2

c) 68p

2

21. Calcule el volumen de la esfera inscrita en un cilindro equilátero de 54p 3 de volumen. a) 45p d) 60p

3

3

b) 48p e) 36p

3 3

c) 54p

3

22. Calcule el volumen de un segmento esférico de una base, si su altura es 1 y el área de su casquete mide 2p 2. 2 p 3 c) 6 p 3 a) 4 p 3 b) 3 13 5 5 2 d) p 3 e) p 3 13 13

Colegios

TRILCE

Geometría 23. En la figura, el volumen del cono es 18p cm3. Calcule el volumen de la semiesfera.

27. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar alrededor de la recta "L", si: EF=8 y OE= 2 AB 3 A

r

r

D

R O

H

b) 3 3 p e) 15 3 p

c) 9 3 p

25. El cuadrado ABCD, al girar alrededor del eje, genera un sólido de 4p 6 m3 de volumen ( =15º). Calcule el perímetro del cuadrado. C D

F

c) 72p cm3

24. En la figura, AB//OT, AB=R 3 , el volumen de la esfera es 32 3 p. Calcule el volumen del cono equilátero. (T es punto de tangencia). B Q A

a) 18 3 p d) 12 3 p

L

O

a) 36p cm3 b) 42p cm3 d) 120p cm3 e) 144p cm3

T

B

Eje

C E

a) 144p(4 - p) 3 c) 64p (5 - p) e) 132p(4 - p)

b) 72p(4 - p) d) 132(5 - p)

28. Un alambre se enrolla de modo que forma una esfera. Si la elección del alambre es de p m2 y el radio de esfera formado es de 10 cm. Calcule la longitud del alambre, si el porcentaje de vacíos de la esfera es del 10%. a) 1,2 km d) 1,6

b) 3 e) 2,4

c) 1

29. La distancia del punto medio de AB a la recta "l" de giro es de "x" dm. Si: AB y BC miden 8 dm y 6 dm, calcule el área de la superficie que genera la diagonal ABC (BC//l ).

B

B

A

A

a) 5 d) 8

b) 6 e) 4

26. El volumen de un segmento esférico es 20 p 3 y su altura es 1 . Calcule el radio de la3base mayor conociendo que la diferencia entre el radio mayor y el menor es 1 . a) 2 d) 2,5

b) 4 e) 5

C

c) 12

c) 3

l a) 20xp dm2 b) 60xp dm2 2 c) 40xp dm d) 50xp dm2 e) 45xp dm2 30. Se tiene un cono equilátero en el cual está inscrita una semiesfera, cuyo círculo máximo está contenido en la base del cono. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos determinados en la semiesfera, por el plano que pasa por los puntos de tangencia entre la superficie esférica y la superficie cónica. a) 3/5 d) 5/9

Central: 619-8100

b) 5/6 e) 5/11

c) 3/8


31. Calcule el volumen de un tronco de pirámide regular, de base hexagonal, circunscrito a una esfera, sabiendo que las aristas básicas miden 4 y 9 m.

A

a) 1 097 m3 b) 1 297 m3 c) 1 197 m3 d) 2 197 m3 e) 2 097 m3

C

P

32. Según el gráfico, siendo: AB=5 y (AP)2+ (PB)2 =12. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º en torno a la recta AB.

B a) 5 d) 9

Ciclo UNI 182

b) 12 e) 25

c) 10

Colegios

TRILCE

Geometría UNI 5º

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