UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Ambiental
Tema Din!mica de r"taci#n Cur$" Fí$ica I %r"&e$"r Ale' Caballer" a Alumn"$ Cue(a Saturi") *+en$$"n ,e-a ,e-a Ferrer Ferrer) Fran. ran. *unni"r Vaca Va$/ue-) *+"natan
201
OBJETIVO Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell y a partir de las mediciones efectuadas determinar el momento de inercia de la rueda con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad.
FUNDAMENTO TEÓRICO a) Conservación de la energa !ec"nica En el apartado de energía cinética hemos visto que el trabajo de una fuerza es igual a la variación de energía cinética que experimenta la partícula sobre la que acta!
Esta expresión es v"lida para cualquier tipo de fuerza! #or otra parte$ para una fuerza conservativa%
#or tanto$ para una fuerza conservativa podemos igualar las dos expresiones anteriores &$ pasando al primer miembro lo que depende del estado inicial & al segundo lo del 'nal%
La suma de la energía cinética y potencial de una partícula se denomina energía mecánica !". #i sobre una partícula act$an varias fuer%as conservativas& la energía potencial será la suma de las energías potenciales asociadas a cada fuer%a. La expresi'n anterior indica que& cuando sobre una partícula act$an $nicamente fuer%as conservativas& su energía mecánica se conserva& esto es& permanece constante. !sta es la ra%'n por la cual las fuer%as conservativas tienen este nombre( porque bajo la acci'n de dic)as fuer%as la energía mecánica se conserva.
En la 'gura anterior se observa el movimiento de una partícula a lo largo de una pista sin rozamiento! (a normal no hace trabajo por ser perpendicular a la tra&ectoria$ de modo que la nica fuerza que trans'ere energía cinética a la partícula es el peso! )omo el peso es una fuerza conservativa$ la energía mec"nica de la partícula se conserva$ por lo que la suma de su energía cinética & su energía potencial ser" la misma a lo largo de todo el recorrido! En el punto * la partícula sólo tiene energía potencial +no tiene velocidad,$ mientras que en el punto - sólo tiene energía cinética$ que ser" igual a la energía potencial en *! En cualquier otro punto de la tra&ectoria tendr" una combinación de ambas$ pero de tal manera que la energía total es la misma en todos los puntos! El punto E no es alcanzable por la partícula$ puesto que para llegar a él necesitaría m"s energía mec"nica de la que tiene$ pero la energía mec"nica se conserva en esta situación!
#) Desco!$osición de la energa cin%&ica en energa de &raslación ' energa de ro&ación( La energía cinética de un s'lido rígido se expresa como la suma de dos componentes de ésta( !nergía cinética de traslaci'n #ea un cuerpo de masa *m+& cuyo centro de masa se mueve con una velocidad *v+. #u energía cinética de traslaci'n es aquella que posee este cuerpo por el mero )ec)o de encontrarse su centro de masas en movimiento. ,sta viene dada por la expresi'n(
!nergía cinética de rotaci'n #ea -n cuerpo de momento de inercia o inercia rotacional" & el cual se mueve respecto a su centro de masa con una velocidad angular que será la misma en cualquier punto del cuerpo que consideramos ya que se trata de un cuerpo rígido no deformable". #u energía cinética de rotaci'n es aquella que posee este cuerpo por el mero )ec)o de encontrarse en movimiento circular respecto a su propio centro de masas. ,sta viene dada por la expresi'n(
!nergía cinética total sí& como )emos visto& un cuerpo no solo posee energía cinética por su velocidad lineal de traslaci'n& sino que también posee energía debido a su movimiento de rotaci'n con respecto a su centro de masas. /or lo tanto& su energía cinética total será la suma algebraica de ambas ya que el movimiento de un s'lido rígido siempre se puede descomponer en un movimiento de traslaci'n de su centro de masas y otro de rotaci'n del cuerpo con respecto al centro de masas(
CACUO* + RE*UTADO* 1.
El grafico correspondiente de t vs d es:
6ramo *0*1 *0*2 *0*8 *0*
7x +m, 0!12 0!2 0!8. 0!/
t1 +s, .!9. :!1 11!.8 18!9
t2 +s, .!/9 :!29 11!.. 18!2
t8 +s, .!.8 :! 11! 18!8
t ($ d 0!. 0!
di$tancia rec"rrida 1m2
f+x, 0!0x 3 0!2 45 1
0!2 0 .!00
/!00 10!00 12!00 1!00
tiem0" 1$2
promedi o +t, .!9 s :!8: s 11!.0 s 18! s
2.
Grafico d vs t2
6ramo *0*1 *0*2
7x +m, 0!12 0!2
t1 +s, .!9. :!1
t2 +s, .!/9 :!29
t8 +s, .!.8 :!
promedi o +t, .!9 s :!8: s
*0*8
0!8.
11!.8
11!..
11!
11!.0 s
*0*
0!/
18!9
18!2
18!8
18! s
t2+s2, !.1 s2 //!28 s2 18!/ s2 1/8!.0 s2
t3 ($ d 0!. 0! 0! di$tancia rec"rrida 1m2 0!8 0!2 0!1 0 0!00
f+x, 0x ; 0!01 45 1
0!00 100!0010!00200!00
TIE,%O 1S32
0.
1omo podemos observar& el movimiento que describe la rueda sobre los ejes es un M.2.-.3. 4 #abemos que cuando la rueda gira& su centro instantáneo de rotaci'n no es el centro de masa de la rueda& sino su punto de contacto con los rieles. La aceleraci'n del 1.M. de la rueda será la aceleraci'n que tenga el cuerpo. La cual podemos )allar de la siguiente manera( 1omo 35 es nula& utili%aremos lo siguiente(
ES%ACIO 1m2 5673 5638 569: 568;
TIE,%O 1$2
ACELERACION1 m4$32
.!9
0!0282 0!08011 0!08/. 0!01
1omo en :!8: existirá un 11!. calcularemos 18! intervalo de idea de cuánto varia dic)a magnitud.
e=
1 2
at6
nuestros cálculos error& entonces la aceleraci'n en cada tiempo para tener una
a" En “promedio” la aceleración del centro de masa es 5.5567 m8s6. b, En el punto A4 calcularemos la velocidad del disco& la cual se puede calcular de dos
maneras distintas( 4 -tili%ando nuestra *aceleraci'n promedio+. 1omo el tiempo estimado que le toma a la rueda ir desde 5 )asta 9 es :0.;; s y como la velocidad es funci'n del tiempo y la aceleraci'n podemos afirmar lo siguiente( 3 < at < 5.567x:0.;; 3< 5.50;60 m8s aproximadamente" 4 =eniendo en cuenta la siguiente relaci'n( 3< 6x8t #iendo > la distancia recorrida y t el tiempo( 3< 65.9?"8:0.;; 3<5.5@5?; m8s 1omo obtenemos resultados distintos& calculamos el error porcentual( Aerror
!p H !c"5 < !p H !c" 9 H Ifrici'n
Conde Ifrici'n se refiere al trabajo reali%ado por fuer%as las externasJ en nuestro caso debido a la fuer%a de fricci'n. !n el caso que el cuerpo parta del reposo en F5 tendremos que el trabajo reali%ado por la fricci'n estará dado por( mg)5 < mg)9 H !c9 H If KKKKKKKKKK. :" La ecuaci'n :" representa la pérdida de energía mecánica por ro%amiento. )ora& si tenemos en cuenta las condiciones exigidas para este experimento& tendremos If < 5& es decir& como la rueda no resbala podemos asumir que la pérdida de energía mecánica por fricci'n es despreciable. demás& la ausencia de desli%amiento significa que el punto de contacto del eje juega el papel del centro instantáneo de rotaci'n de modo que( vF < EF rKKKKKKKKKKKKK. 6" Conde vF es la velocidad lineal del cuerpo en alguna posici'n F& mientras que EF representa la velocidad angular del cuerpo en la misma posici'n F respecto a su eje de simetría o de rotaci'nJ y r el radio del eje de giro. Luego& teniendo en cuenta las ecuaciones :" y 6" se obtiene la siguiente ecuaci'n( mg)5 mg)9 < m v9"6H NF v9"68r 6KKKKKKK.. 0" !s decir& si conocemos la velocidad del cuerpo en el punto 9 v9" prácticamente estaría determinado el momento de inercia NF" del cuerpo con respecto al eje de simetría. /or lo tanto& la f'rmula se )alla así( Los valores conocidos previamente& son los siguientes( g < D.?: m8s6 M < 5.9? g 39 < 5.5;6D m8s r < 5.5506 m )5 < 5.:9m )9 < 5.56D m 2eempla%ando en la ecuacion 0" se obtiene( NF < 6.;@@x:5G0. e"
#Cu$les son las mediciones !ue introducen ma%or incertidum"re en el c$lculo del momento de inercia&
lgunos de los factores que introducen mayor n$mero de incertidumbre en las mediciones son( la desigualdad de los rieles sobre las cuales la rueda de Maxwell se desli%a& creando un cambio en los diferentes tramos. demás& las medidas tomadas con el pie de rey& a pesar de ser un instrumento de gran exactitud& se pueden cometer errores. /or otro lado& las mediciones que se pueden dar son la medici'n del tiempo con el cronometro el cual nunca es exacto pues depende de la reacci'n )umana. l momento de efectuar los cálculos del centro de masa& el medidor se puede equivocar porque las medidas son muy pequePas. /or más que los investigadores deseen aproximar las condiciones lo mayormente posible a condiciones perfectas& la fricci'n es una fuer%a que no se puede menospreciar en experimentos de laboratorio. /or lo tanto& se pierde energía a través del desli%amiento de la rueda de Maxwell. Obviamente& se asume como despreciable& pero como se menciona&
esto es tan solo en un caso ideal& el cual no se da en la realidad. !s más& la fuer%a de gravedad y la resistencia del aire& pueden ser min$sculos& pero también tendrán un efecto en la rueda. Otro de las causas de incertidumbre sería el error observado al medir la masa de la rueda de Maxwell. f" #Cómo influ%e la longitud del recorrido so"re el valor de '& /ara responder a esta pregunta& compare el valor de N obtenido de las mediciones en el punto F9 con la medida de la otra inclinacion. Las alturas en los diferentes tramos son las siguientes( Nnclinaci'n :( )5 < 5.:9 m )9 < 5.56D m 2eempla%ando < ): )9 < 5.5@; m E < :7.;0 rad8s 3 < 5.5;6D m8s t< :0.;; s M < 5.9? g g < D.?: m8s NF < 6.;@@x:5G0. Nnclinaci'n 6( )5 < )9 <
6ramo *0*
7x +m, 0!/
t1+s, 18!29
t2+s, 18!01
promed t8+s, io +t, t2 +s2, 5.:D m 18!08 18!108 191!.:9 5.50 m
2eempla%ando < )5 )9 < 5.:7 m E < 66.?@; rad8s 3 < 5.5@06 m8s t< :0.:50 s M < 5.9? g g < D.?: m8s NF < 6.?@;x:5G0. l momento de comparar los valores obtenidos& se observa que la variaci'n entre estos no es muc)o& puesto que todos yacen en un valor más o menos parecido. !sto comprueba que el momento de inercia no tiene efecto alguno debido a la inclinaci'n observada por la trayectoria& ni la longitud del recorrido. Los efectos de estas diferencias vienen a ser factores externos& mas no diferencias en el momento de inercia. g( #Cómo influ%e la inclinación de los rieles so"re el valor de '&
#e observa de los calculos reali%ados que no se muestra en ning$n momento que la inclinaci'n tendrá efecto alguno en la medici'n del momento de inercia. !sto demuestra entonces que la inclinaci'n en los cuales se encuentren los rieles no afectará de ninguna manera a los resultados obtenidos por medio de los cálculos.
CONCU*IONE*
Esto quedó demostrado al momento de estudiar los valores de los tiempos 'nales en las dos inclinaciones del riel! (a pendiente no tendr" efecto alguno en los resultados & siempre se conservar" un momento de inercia similar! *l momento de calcular los resultados$ es importante tomar en cuenta la cantidad de décimas a las cuales se est"n aproximando los resultados! Esto se debe al hecho que los momentos varían por minsculos valores los cuales no tienen efecto aparente$ pero cuando se analizan detenidamente$ si logran a tener un resultado distinto! *l momento de ajustar una curva$ en la cual se encuentran los valores encontrados en las experiencias del laboratorio$ es importante poder saber que estos a&udan a encontrar una uniformidad en los resultados que siempre puede variar debido a los errores existentes! #or este motivo$ las curvas se ajustan a valores promedio que pueden dar un comportamiento aceptable de l os hallazgos en el laboratorio! * pesar de no haber sido empleado mucho en el informe de laboratorio$ l a teoría del 6eorema de ediante esa teoría se puede hallar f"cilmente los resultados porque se toma un eje de referencia & a partir de ese$ se muestran los diferentes resultados! ejor calibración de los instrumentos podría hacer que los resultados fuesen m"s precisos! )omo asegurarse que la rueda de >ax?ell ruede sobre un mismo tra&ecto & no se desvíe a los lados! Estas cosas se deben considerar para hallar valores m"s cercanos al momento de inercia teórico!
BIBIO,RAFIA@ 4a&mond *! arcelo *lonso & Ed?ard A! Dinn$ CDísica olumen 1 % >ec"nicaF #rimera edición 1:.9 @ #aul 6ipler & Gene >osca$ CDísica H$ para la ciencia & la tecnología ol! 1F ! & DH==$ E! +1:/., DHec"nica! )iudad de >éxico$ >éxico$ *ddison3Besle& Hberoamericana GR=H G*(*4S*$ A! DH
