INTERSECCIÓN DE FIGURAS PLANAS
2.- El MNPI de “n” circunferencias es: n ( n – 1)
Una figura geométrica es cualquier conjunto de puntos. Una figura plana, tiene todos sus puntos sobre un mismo plano.
3.- El MNPI de “n” triángulos es: 3n(n – 1)
MÁXIMO NÚMERO DE PUNTOS DE INTERSECCIÓN
A)
Un punto intersección
6) 7) 8) 9) 10)
intersección (MNPI) entre 25 rectas secantes y 10 pentadecágonos.
7) Dos polígonos polígonos convexos, de diferente diferente número de lados, lados, se interse intersecan can como máximo máximo,, en un número de puntos equivalente al doble del número de lados del menor. 8)
de
4.- Hallar el máximo número de puntos de
De 60 hex hexág ágon onos os.. De 122 122 hep heptág tágon onos os.. De 220 220 rect rectas as sec secant antes es.. De 345 345 circu circunf nfer erenc encias ias.. De 500 500 octógon octógonos. os.
4.- El MNPI de “n” cuadriláteros convexos es:
Para Para “n” figura figurass cualesqu cualesquiera iera (conv (convexas exas o no convexas), convexas), del mismo tipo, el m áx áx im imo n úm úm er er o d e p un un to to s d e intersección Knes: (n −1)
4n(n – 1)
2
a) 535 b) 1024 c) 1568 d) 2150 e) N.A. 5.- Hallar el MNPI entre 40 circunferencias y 12 triángulos. a) 4 836 e) N.A.
b) 45 760
c) 3345
d) 4345
6.- Hallar el MNPI entre 60 circunferencias y 18 triángulos. a) 14277 e) N.A.
b) 13056
c) 10938
d)15980
7.- Hallar el MNPI entre 6 rectas secantes, 12 circunferencias y 7 cuadriláteros. B)
Dos puntos intersección.
de
5.- El MNPI de “n” pentágonos convexos es:
Donde K es el máximo número de puntos que intersecan dichas figuras.
5n(n – 1 ) Tres puntos de intersección
Líneas Convexas. Son aquellas aquellas figuras figuras planas cuyos cuyos puntos puntos de inters intersecc ección ión con con una una línea línea recta recta dan como como máximo dos puntos.
Líneas no convexas. Son aquellas figuras cuyos puntos de intersección con una línea recta dan más de dos puntos.
En general: 6) El MNPI de “n” polígonos convexos de “L” lados es:
1.- Hallar una fórmula para calcular el máximo número de puntos de corte entre “n” figuras de la forma:
1.- El MNPI de “n” rectas secantes es:
Ejercicios: Halla el MNPI de las siguientes figuras:
(
n n
−1)
2
1) 2) 3) 4) 5)
De 45 45 recta rectass secan secantes tes.. De 49 49 circ circun unfe feren rencia ciass . De 36 cuadr cuadril iláte átero ros. s. De 120 pentág pentágon onos os.. De 100 100 rect rectas as seca secante ntes. s.
a) 3 e)9
a) 360 e) 330 a)
7 n(n −1)
b)
2
d) 5n(n- 1)
PROPIEDADES:
quita uno, el máximo número de puntos de corte disminuye en 18. Hallar “n”. b) 4
c) 6
d) 5
5 rect rectas as seca secant ntes es y 6 triá triáng ngul ulos os,, intersecarse todas estas figuras ent re sí.
Ejemplo:
Tenemos: 15 n (n – 1) 15(18)(18 – 1) 4590 puntos.
d) 2431 2431
9.- Hallar el MNPC entre 10 rectas paralelas,
Ln(n – 1)
Calcular el MNPI de 18 pentadecágonos: Un Pentadecágono tiene15 lados. Luego en la propiedad: L = 15 y n = 18 Reemplazamos en Ln( n – 1)
b) 1430 c) c) 1410
8.- Si a un grupo de “n” triángulos se le
PRÁCTICA
C)
a) 1215 1215 e) N.A.
e)
3n( n −1)
2 9n( n −1)
c)
15 n 2
2
b) 120
c) 145
d) 165
e) N.A.
3.-El MNPI MNPI entre entre 40 recta rectass secan secantes tes y 22 triángulos es: a) 780 b)1234
c) 3926
c) 350
d) 370
10.- Calcu Calcular lar el MNPI MNPI entre entre 15 rectas rectas secantes, 13 paralelas y 45 circunferencias secantes. a) 4800 puntos b) 4500 puntos c) 300 puntos d) 3420 puntos e ) 2330 puntos
2.- El MNPI entre 10 rectas y 5 circunferencias es: a) 65
b) 340
al
d) 4568
e) N.A.
11.- Si a un grupo de rectas de un plano, se le agrega una, el máximo número número de puntos de corte se duplicaría. Hallar el número de rectas original. a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
12.- Hallar el MNPI entre 10 circunferencias, 12
21.- Deducir Deducir una fórmul fórmulaa para encontrar encontrar el
triángulos y 4 rectas secantes.
número número total de puntos puntos en que se cortan cortan “n” circunferencias dispuestas como se indica:
a) 6
a) 1009 b) 1230 c) 1 108 d) 1018 e) N.A.
13.- Si aun grupo de “n” rectas secantes se agrega una recta, el máximo número de puntos de corte aumentaría en 12. hallar el valor de “n”. a) 12
b) 11
c) 13
d) 6
e) 24
14.- Si a un grup grupo o de elips elipses es secante secantess se le aume aument ntaa cuat cuatro ro,, el núme número ro de punt puntos os de interse intersecci cción ón se incremen incrementa ta en 184. 184. Calcular Calcular cuántas elipses conforman dicho grupo. a) 12
b) 10
c) 16
d) 15
e) 11
a) n(n – 1) b) 2(n – 1) 1) c) 3n(n 3n(n – 1) d) (n (n – 1) e) 4n(n – 1)
22.- Si a un conjunto de n rectas secantes se le quita 4 rectas, su máximo número de puntos de intersección disminuirá en 90, pero si se le agrega 4 rectas al conjunto el máximo número de puntos de intersección aumentaría en:
rectas secantes secantes se 15.- Si a un grupo de “n” rectas
a) 105
agregan dos rectas, el máximo número de puntos de corte aumentaría en 15. Hallar “n”.
23.- Hallar el número de puntos de intersección
a) 5
entre 10 circunferencias concéntricas y 20 rectas que pasan por el centro común.
b) 6
c) 7
d) 8
e) N.A.
16.- Hallar el MNPI entre 4 circunferencias, 7 rectas secantes y 6 pentágonos. a) 453
b) 563
c) 345
e) 476
el máxim máximo o número número de punto puntoss de corte corte se quintuplicaría. Hallar el número inicial de rectas. b) 6
c) 15
d) 10
e) N.A
18.-
Hallar Hallar el máximo máximo número número de puntos puntos de intersección de 10 cuadriláteros no convexos.
a) 540
b) 720 c) 820
d) 400
e) 360
19.-
Si al máxim máximo o núme número ro de punt puntos os de interse intersecci cción ón entre entre “m” rectas rectas secante secantess se le aumenta aumenta 16 puntos puntos,, el resultad resultado o equivale equivale al núme número ro de rect rectas as elev elevad ado o al cuad cuadra rado do y aumentado en uno. Determinar el máximo número de puntos puntos de interse intersecció cción n de “m” “m” hexágon hexágonos os secantes: a)100 b) 150 c) 132 d) 140 e) 120
20.- Encontrar el número máximo de puntos de corte que hay entre “F” decágonos convexos y “F” cuadriláteros convexos. a) 7F(F 7F(F – 1) d)2F(11F – 7)
b) 401
c) 106
c) 124
d) 112
d) 280
e) 120
e) 324
24.- En un plano el máximo número de puntos de
d) 576
17.- Al duplicarse el número de rectas secantes,
a) 3
a) 432
b) 110
b) 7F(2 7F(2F F – 3) e) 3F(15F – 8)
c) 4F(3 4F(3F F – 2)
interse intersecció cción n incluye incluyendo ndo los vértice vérticess entre entre 2k polígo polígonos nos convexos convexos de k lados lados y k polígon polígonos os conv convexo exoss de 2k lados lados es 360k 360k.. Calcu Calcular lar el máximo número de puntos de intersección entre k/2 polígonos convexos de 2k/3 lados.
a) 2n2 b) 4n2
28.- En un plano se dibujan “n” rectas, si de este grupo de rectas 5 fuesen paralelas y el resto rectas secantes entre sí, el máximo número de puntos de intersección sería 45. Hallar “n”. a) 12
a) b) c)
25.- En un mismo mismo plano, un número número igual de rectas rectas secantes secantes y circunf circunferen erencias cias secante secantess se intersectan determinando un N.P.I. máximo igual a 117. Calcular el número de figuras geométricas geométricas que se intersectan.
d)
a) 12
b) 4
b) 12 puntos puntos e) 51 puntos
c) 18
d) 6
e) 9
26.- Hallar el MNPC entre “n” circunferencias, “2n” rectas secantes y “n” triángulos, al cortarse todas entre sí. a) 5n(4n – 1) d) 4n(5n + 1)
b) 4n(5n – 1) e) N.A.
c) 5n(4n + 1)
27.- Se muestran “n” circunferencias concéntricas y otras “n” circunferencias menores formando una argolla. El máximo número de puntos de corte, es:
b) 11
c) 15
d) 10
e) 14
29.- Se dan “m” rectas coplanares de las cuales “n” son paralelas. paralelas. Calcular NPImáx que pueden producir al intersectarse estas rectas.
c) 28 puntos puntos
a) 20 puntos puntos d) 24 puntos
c) 4n d) 2n(n – 1) e) 2n(n + 1)
e)
( m − n)(m − n −1) 2 (m − n)(m + n −1) 2 ( m − n)(m − n +1) 2 (m + n)(m − n −1) 2 ( m + n)(m + n −1) 2
30.- En la figura mostrada se tiene n flechas y n rectas paralelas tal como indica la figura, si el número total de puntos de intersección intersección es 2(8n + 21). Calcular n.
b) 9
c) 8
d) 10
e) 12
