Intersección Línea - Plano, Método del Filo y Plano Cortante La intersección de una recta con un plano es un punto común a los elementos geométricos. Esta intersección es fundamental para el buen desarrollo y aplicación de las demás intersecciones, ya que la abstracción mental de la penetración de un elemento, como la recta, con otro, el plano, en un espacio geométrico, permitirá señalar posiciones de formas geométricas, a las cuales no se tiene acceso, ya que éstas están conformadas por líneas imaginarias que limitan un espacio y localizan un plano r eal en un espacio geométrico, pero que al ser entendidas desde su elemento básico la recta, se podrá llegar a comprender los demás elementos que se conforman por este primordial. E!isten dos métodos por los cuales se pueden llegar a obtener el punto de penetración real de los dos elementos que inter"ienen en la relación espacial el método del #ilo ó de $erfil, y el %étodo del $lano &ortante. Los dos métodos son confiables y deben llegar al mismo resultado, ya que están e!presando la consecuencia de una relación espacial real entre dos elementos. El %étodo del #ilo ó también llamado de $erfil, busca lle"ar al plano que inter"iene en la intersección a #ilo, por lo tanto, busca 'acerlo "er como una línea, y con ello conseguir el punto de c ontacto entre los dos elementos (la recta con el plano). El %étodo del $lano &ortante traba*a con las dos "istas dadas (+orizontal y ertical), ertical), a partir de ellas selecciona elementos que parezcan inter"enir en la relación espacial y a uno de ellos, en una de sus proyecciones, le traza un plano cortante imaginario que se e!tiende infinitamente 'acia el otro elemento que se está inter"iniendo, por lo tanto necesariamente lo "a a traspasar y con ello se c onsigue que se corten en determinados puntos que luego se transformarán en un solo punto de penetración, a tra"és de un proceso que se e!plicará más adelante. En esta Lección se enseñará a obtener el punto de penetración de dos elementos que se interceptan en el espacio geométrico, traba*ando a partir de e*emplos que se presentarán por medio del proceso a realizar en todos los e*ercicios relacionados, por lo tanto se mostrará paso a paso el proceso que el estudiante debe seguir para obtener el punto de penetración. El primer método que se "a a presentar es el de #ilo, el cual es el más seguro, ya que al de*ar al plano en una "ista au!iliar, adicional a las dadas, como filo se 'ace más fácil señalar el punto de contacto y la "isibilidad en las proyecciones. #igura -. $roceso ntersección /ecta 0 $lano, %étodo del #ilo. $aso - y 1
2e
presenta un plano a, b, c con c on una recta m, n, la cual al parecer lo interceptará, ya que ésta no está mostrándose paralela a ninguna de las rectas que conforman el plano y se encuentra en una posición cualesquiera, al igual que el plano, por lo tanto debe lle"arse a filo para comprobar si e!iste un contacto, una penetración. $ara lle"ar el plano a #ilo se procede de la forma en que s iempre se debe 'acer si no e!iste una línea contenida en el plano que sea paralela a la Línea de /eferencia, se trazará una recta au!iliar paralela a la Línea de /eferencia, la cual surgirá desde un punto del plano3 luego ésta se proyectará a la siguiente ista, en la cual se mostrará con su erdadera Longitud3 Luego se deberá trazar una proyección 4u!iliar de forma perpendicular a la Línea en erdadera Longitud (c, e) para "erla como punto y por lo tanto al plano como filo. 4l obtener la "ista del filo también se proyectará la recta, con ello se consigue el punto contacto entre el plano y la recta, punto al cual se le denominó 5p5. #igura 1. $roceso ntersección /ecta 0 $lano, %étodo del #ilo. $aso 6 y 7
El punto de penetración debe de"ol"erse a las "istas +orizontal y #rontal para así localizar la intersección en todas sus proyecciones. La forma adecuada para de"ol"er tal punto es a tra"és de las líneas de proyección, las cuales se trazan de una proyección a otra de forma perpendicular a la Línea de /eferencia a la que atra"iesan, y se situará el punto en donde tenga contacto la línea de pro yección con la recta m, n. La "isibilidad de la línea será definida por cercanía ó por el método de las líneas que se cruzan. El método de cercanía se utilizará para obtener la "isibilidad correcta en la proyección +orizontal, ya que ésta se basa en la proyección de #ilo para obtenerla. En ésta se debe obser"ar que en la proyección 4u!iliar 8 se tiene la recta m, n con el plano como filo, y lo que queda antes del plano es la segmento de la recta 5m5 'asta el punto de penetración 5p5, por lo tanto de la recta el segmento 5m5 'asta el punto de contacto con el plano, punto 5p5, será "isible, luego la recta se "ol"erá in"isible, 'asta los límites del plano a, b, c, por lo tanto, lo que esté después del punto de penetración será in"isible, ya que se encuentra por detrás del plano y el obser"ador no podrá "erlo. Esto es en el caso de los elementos en la proyección +orizontal. $ara descubrir la isibilidad de la proyección #rontal, el obser"ador debe estar localizado en ésta y debe mirar 'acia la proyección +orizontal pues es de ésta de la cual se obtendrá la "isibilidad de los elementos de la #rontal. En este caso se traba*ará a partir de las líneas que se cruzan, entonces, en la proyección #rontal se cruzan la recta m, n con la línea c, a, del plano3 el obser"ador debe mirar 'acia la proyección +orizontal desde la proyección frontal y "erificar en qué posición se encuentran las líneas que se cruzan en la "ista #rontal3 La línea m, n se encuentra en una posición anterior que la línea c, a, ya que el punto 5m5 es el más cercano al obser"ador, mientras que la recta c, a, tiene a la recta m, n antes que ella, por lo tanto la recta "isible "a a ser el segmento de la recta 5m5 'asta la intersección 5p5, debido a que el punto 5m5 es el que se encuentra antes del plano y el punto 5n5 está después del plano y del punto de penetración, por lo tanto, solo el segmento m, p es el "isible. 4'ora, por el %étodo del $lano &ortante se debe escoger un e*e, una línea, el cual será e!tendido de forma perpendicular a la posición de la recta y se prolongará indefinidamente, de modo que corte el
plano a, b, c, en algún punto necesariamente, sin importar su posición en el espacio, pues como el plano cortante no es limitado tendrá que 'acer contacto con és te. #igura 6. $roceso ntersección /ecta 0 $lano, %étodo del $lano cortante. $aso -.
El e*ercicio presenta el plano a, b, c y la recta m, n, elementos que se interceptan en algún punto, el cual "a a ser definido a tra"és de la configuración de un $lano &ortante imaginario, el cual se localizará en la prolongación de la recta m, n y se e!tenderá de forma perpendicular a ésta, buscando cortar el plano a, b, c y definir dos puntos de contacto del plano con el $lano &ortante 0 -. El $lano &ortante - se puede señalar en cualquiera de las proyecciones, en este caso se realiza en la proyección +orizontal y éste debe indicarse con un tono de línea inferior al de los elementos y con el tipo de línea 9. Los puntos en los que corta el $lano &ortante al plano a, b, c, se definirán con un número ó letra, en este caso se utilizaron los número - y 1. Los puntos de contacto se trasladarán a la siguiente proyección, en este caso a la #rontal, y se establecerán sobre la arista del plano a, b, c, que esté cortando el $lano &ortante, por lo tanto el punto - corta la arista c, b y el punto 1 corta a la arista a, b, por ello al trasladar los puntos de contacto a la siguiente proyección se establecerán sobre las ar istas del $lano a, b, c3 se debe unir el punto - con el 1 en esta proyección con línea tipo #. #igura 7. $roceso ntersección /ecta 0 $lano, %étodo del $lano cortante. $aso 1 y 6.
La intersección de la recta formada por el punto - y el 1 en la proyección #rontal con la línea m, n, es el punto real de intersección punto 5p53 éste punto debe de"ol"erse a la proyección anterior, proyección +orizontal, y donde corte la línea de proyección con la recta m, n, se indicará el punto 5p5. $ara la definición de la "isibilidad se deberá realizar necesariamente por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección +orizontal la recta m, p se cruza con la línea c, b, el obser"ador ubicado en esta proyección deberá mirar 'acia la proyección #rontal para la "erificación de la posición de las rectas3 se puede "er que el segmento m, p, se encuentra antes que la recta c, b, por lo tanto la recta m, p, será la "isible en la ista +orizontal y la recta p, n, será oculta 'asta el límite del plano a, b, c. En la proyección #rontal se tomarán dos líneas que se cruzan m, p con c, a. El obser"ador dirigirá su mirada 'acia la proyección +orizontal y "erificará cuál de las dos se encuentra en una posición anterior, por lo tanto más cerca del obser"ador. La recta m, p se localiza más cerca al obser"ador que la recta a, c, por lo tanto la recta m, p en la proyección #rontal será el segmento de la recta "isible y el segmento p, n será oculto 'asta los límites del plano a, b, c.
2e continuará traba*ando con los dos métodos aprendidos en la lección anterior, pero se "arían los elementos que se relacionan. En este caso los elementos que entran en contacto son dos planos.
En el método del #ilo ó también llamado de $erfil, se debe c olocar a uno de los dos planos como un #ilo en una proyección 4u!iliar. En el e*emplo que se presentan en esta lección se traza una línea au!iliar al plano m, n, o, de forma paralela a la Línea de /eferencia + 0 # y se proyecta a la siguiente ista, en este caso a la +orizontal, en la cual se mostrará en erdadera Longitud3 a partir de esta recta se trazará un Línea de /eferencia perpendicular para definir el plano m, n, o, c omo un #ilo y se 'aga e"idente los puntos de contacto con el plano a, b, c .
#igura :. $roceso ntersección $lano 0 $lano, %étodo del #ilo. $aso - y 1
En la proyección 4u!iliar se definen los dos puntos de contacto del #ilo con el plano a, b, c, y se identifican con una letra ó un número, en este caso el punto - se localiza sobre la arista c, b, y el punto 1 sobre la arista a, b. Estos puntos se deben de"ol"er a las proyecciones anteriores a tra"és de las líneas
de construcción ó de proyección, las cuales deben quedar de forma perpendicular a la Línea de /eferencia que atra"iesan y localizarse sobre las aristas que s e encuentran, según lo indica el #ilo. El punto - se traslada de la proyección 4u!iliar 8 a la proyección anterior + y deben situarse en las aristas correspondientes3 el punto - sobre la arista c, b, el punto 1 sobre la arista a, b. ;ebido a que la recta de la intersección formada por el punto - y el punto 1 en la proyección +orizontal se encuentra por fuera del cruce de los dos planos, el segmento del punto - que se encuentra sobre uno de los planos (a, b, c) se debe acortar, señalando el punto -<, el cual forma con el punto 1 la intersección real de los planos. Los puntos -< y el 1 se deben trasladar a la proyección siguiente, proyección #rontal, y localizarse sobre las aristas que se encuentran en la +orizontal. El punto 1 sobre la arista a, b, y el punto -< sobre la arista o, n. Los puntos -< y 1 se deben unir con una línea continua e intensa que señale la intersección de los dos planos. #igura =. $roceso ntersección $lano 0 $lano, %étodo del #ilo. $aso 6.
2e debe definir la "isibilidad correcta de los planos y para ello se debe proceder a la proyección anterior para "erificar el segmento del plano más cercano al obser"ador. $ara definir la "isibilidad de los planos
en la +orizontal se obser"a la pro yección 4u!iliar 8, en la cual el plano m, n, o, se presenta como filo3 el segmento a, c, se encuentra antes que el segmento de la recta m, o, por lo tanto a, c, "a a ser "isible 'asta la línea de intersección, después de la intersección cambia la "isibilidad, entonces, el plano a, b, c , de*a de ser "isible y pasa a ser in"isible, lo que quiere decir que después de la intersección el plano a, b, c, queda por deba*o del plano m, n, o. 2i no se tiene seguridad absoluta sobre la definición de la "isibilidad, se "erificará con otras líneas, por e*emplo, el segmento n, m , será "isible porque en la proyección anterior (8) se están mostrando antes que el segmento del plano a, b, c, por lo tanto en la parte superior de la intersección de la proyección +orizontal, la recta n, m es la "isible por localizarse más cerca del obser"ador y antes que la recta b, c. Esta definición es el resultado del método de las líneas que se cruzan. $ara la definición de la "isibilidad en la proyección #rontal debe procederse de la misma forma el obser"ador se localiza en la proyección #rontal y "erifica dos líneas que se crucen en esta proyección, mira 'acia la proyección +orizontal y "erifica cuál de las dos líneas se encuentra en una posición anterior a la otra. #igura >. $roceso ntersección $lano 0 $lano, %étodo del #ilo. $aso 7.
La siguiente figura muestra de forma clara la intersección real de dos planos, en este paso se omitieron las líneas ocultas y se ac'uró uno de los planos, para que e!istiera mayor claridad sobre la "erdadera intersección entre los planos, la cual es una intersección parcial, no es total, debido a que el plano m, n, o, no atra"iesa por completo el plano a, b, c. #igura ?. $roceso ntersección $lano 0 $lano, %étodo del #ilo. $aso :.
El método del $lano &ortante consiste en establecer dos aristas de un plano que se crucen completamente con el otro, y en estas se establecerán dos planos cortantes que atra"esarán al otro plano. En el e*emplo se tomó como referencia el plano a, c, b, y los planos cortantes se establecen sobre las aristas a, c, como $lano &ortante -, y a, b, como $lano &ortante 1. &ada $lano &ortante corta al otro plano (m, n, o) en dos puntos El plano &ortante - tiene contacto con el plano m, n, o, en los puntos - y 1, y el plano &ortante 1 tiene contacto con el plano m, n, o, en los puntos 6 y 7. Los puntos de contacto deben trasladarse a la siguiente proyección y colocarse sobre las aristas que el $lano &ortante intercepta, por lo tanto el punto - se localizará s obre la arista m, o, debido a que el plano &ortante - tiene contacto con esta arista en el punto -3 el $lano &ortante - también tiene contacto con el otro plano en la arista n, o, en el punto 1. El $lano &ortante 1 tiene contacto con el plano m, n, o en los puntos 6 y 73 el punto 6 se localiza en la arista m, o, y el punto 7 sobre la arista m, n. Los puntos de contacto deben trasladarse a la siguiente proyección (#rontal) y situarse sobre las aristas correspondientes del plano m, n, o. #igura @. $roceso ntersección $lano 0 $lano, %étodo del $lano &ortante. $aso - y 1.
En la proyección #rontal se deben identificar los puntos que per tenecen al mismo plano &ortante - y 1 son del $&0-, 6 y 7 son del $&01. Los puntos que pertenecen a cada plano se unirán por medio de líneas discontinuas, formando dos rectas segmentada en la proyección #rontal. Esta recta que conforman los puntos de contacto deben pasar, tocar ó interceptar a las aristas sobre las que se localizan los planos cortantes. El plano &ortante - es una e!tensión de la arista a, c y el plano &ortante 1 de la arista a, c, por lo tanto las líneas que unen los puntos de contacto en la proyección #rontal deben pasar ó tocar a las aristas del plano &ortante al cual pertenezcan. Esto quiere decir que la recta conformada por el punto 6 y 7 deberá pasar ó tocar a la arista que contiene el $lano &ortante 1, del cual resultaron estos puntos de contacto, y efecti"amente, en la proyección #rontal la recta 6, 7, pasa por la arista a, b Aste es el punto real de intersección, al cual se le llamará 5p5. En el caso de los puntos - y 1, pertenecientes a la arista a, c, no llegan a tener contacto con la arista que contiene el plano cor tante, ya que el punto 1 queda sobre la arista n, o, del otro plano, y la línea de los puntos de contacto no pasa por la arista a, c. El procedimiento a seguir es la e!tensión de las líneas que deben tocarse (-, 1 con a, c) en la dirección que poseen. La línea -, 1 y la línea de la arista a, b, se prolongan para que pueda darse la intersección en un punto común. Esto se debe realizar sabiendo que los planos son infinitos y que son limitados a tra"és de unas líneas. 2e localiza entonces la intersección de la recta -, 1 con la arista a, c, en el punto 1< ó 1. 2e deben unir los puntos de intersección p y 1, pero debido a que se sale del contacto real de los dos planos, se debe limitar la línea de intercepción a los límites de los dos planos, limitar al contacto de los dos planos, por lo tanto la línea de intersección real es la establecida desde el punto 5p5 'asta el punto 5e5. Los puntos se trasladan a la proyección anterior (+) y se localizan sobre las aristas correspondientes p sobre a, b, y e sobre n, o. #igura -B. $roceso ntersección $lano 0 $lano, %étodo del $lano &ortante. $aso 6 y 7.
Luego de 'aber definido la línea de la intersección real entre los dos planos, el siguiente paso es señalar la "isibilidad correcta, ésta se realiza por medio del método de las líneas que se cruzan. $ara identificar los segmentos de los planos que "an a ser "isibles en la proyección +orizontal, se ubicará al obser"ador en ésta ista e identificará dos líneas que se crucen y se procederá a su "erificación en la siguiente proyección3 la posición de cada una de estas con respecto al obser"ador, será la cla"e para la determinación de la "isibilidad. La línea a, c, se cruza con la línea m, o, en la proyección +orizontal, al "erificar la localización de éstas en la proyección #rontal, se puede "er que la línea a, c, se encuentra en una posición anterior a la línea m, o, por lo tanto en la proyección +orizontal la recta "isible es la a, c. Esto significa que a, c es completamente "isible y las líneas que lleguen a estos puntos serán "isibles 'asta la línea de intersección, después de la intersección cambiará la "isibilidad, lo que quiere decir que al otro lado de la línea de intersección el plano m, n, o será el "isible y el a, b, c, será el in"isible. $ara determinar la "isibilidad de los planos en la pro yección #rontal, se ubica al obser"ador en esta proyección y se identifican dos líneas que se crucen en ésta "ista, se "erifica la posición de las mismas en la siguiente proyección (+) y se determina cuál de las dos rectas es la "isible y a partir de esta definición, el resto de la "isibilidad se 'ará por lógica. En la proyección #rontal se cruzan las líneas a, c, con m, n. En la proyección +orizontal la recta a, c, se encuentra en una posición anterior a la línea m, n, indicando que a, c, será la "isible y todas la líneas que lleguen a ésta 'asta la intersección, después de ésta cambia la "isibilidad. #igura --. $roceso ntersección $lano 0 $lano, %étodo del $lano &ortante. $aso :.
INTERSECCION PLANO SOLIO En el campo de la ngeniería y en el de la arquitectura se 'ace uso de la Ceometría ;escripti"a para descifrar la relación real entre los elementos que inter"ienen en el diseño de tuberías, ductos, cubiertas, columnas y "igas, entre otros. Las relaciones e!istentes entre éstos elementos debe descifrarse en el diseño y establecerse a plenitud, para que en el momento de su e*ecución no 'aya campo de error, lo cual pueda per*udicar el adecuado funcionamiento de los elementos, y también inter"enir en la fidelidad de las cantidades de obra y la compra de materiales, y con ello afectar el resultado del diseño, poner en riesgo "idas 'umanas y como consecuencia de éstos errores también se comprenderían las pérdidas económicas. La intersección de elementos en un diseño debe asumirse c on responsabilidad, y a tra"és de la técnica establecer las relaciones geométricas reales entre los mismos, definiendo con e!actitud los ángulos, la sección de intersección, las longitudes y magnitudes reales de los ob*etos que están in"olucrados en el diseño. En el proceso que se definirá en las figuras mostradas a continuación se estará señalando la sección de contacto de los dos elementos que inter"ienen en la relación geométrica y la cual puede ser obtenida a tra"és del método del #ilo ó el método de los $lanos &ortantes. En las primeras figuras se realizará paso a paso el proceso del %étodo del #ilo, para obtener la sección entre un prisma rectangular y un plano triangular.
#igura -1. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del #ilo. $aso -.
2e presenta un prisma rectangular con aristas paralelas identificadas como -0-<, 101<, 606< y 707<3 el plano triangular se identifica con las letras a, b, c. $ara obtener la sección de la intersección por el método de $erfil, se debe lle"ar al plano a filo, por lo tanto se realizará una pro yección 4u!iliar perpendicular a una de las líneas contenidas en el plano (a, b, c) en erdadera Longitud, si ésta no e!istiera se trazaría una línea au!iliar de forma paralela a la Línea de /eferencia, ubicada en cualquiera de las dos proyecciones (+ ó #), en este caso se toma como paso inicial la proyección +orizontal y es en ésta donde se traza la línea au!iliar paralela a la Línea de /eferencia, luego se trasladan los puntos a la siguiente proyección (#) con la ayuda de las líneas de proyección, las cuales deben trazarse de forma perpendicular a la Línea de /eferencia que atra"esarán.
#igura -6. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del #ilo. $aso 1.
En la proyección #rontal se encuentra la línea au!iliar a, e, en erdadera Longitud y con relación a ésta se debe trazar una proyección 4u!iliar perpendicular (8) en la cual se "isualizará el plano a, b, c, como filo. La idea de lle"ar el plano a, b, c, a filo es identificar con claridad los puntos por los que el plano atra"iesa ó tiene contacto con el sólido, señalando el punto de contacto del filo con las aristas del prisma rectangular. En esta figura, se muestra en la proyección au!iliar el plano como filo y el sólido sin "isibilidad, debido a que la "isibilidad es identificada en este momento, en donde el estudiante debe re"isar la proyección anterior (#) ubicado desde la proyección 4u!iliar (8) y "erificar por cercanía ó por líneas que se cruzan (método de mayor s eguridad) las líneas que serían "isibles en la proyección 4u!iliar.
#igura -7. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del #ilo. $aso 6.
En esta figura se define la "isibilidad del prisma rectangular en la proyección 4u!iliar (8), determinado por medio del método de las líneas que se cruzan, entonces como en la proyección 585 se están cruzando las aristas 6,6< con la 1<,-< se re"isa la proyección anterior 5#5 y se obtiene que la arista anterior es la 6,6< y que la arista 1<,-< se encuentra en la zona posterior, por lo tanto es la que se localiza más le*os del obser"ador, por esta razón la arista 6, 6< "a a ser "isible en la proyección 4u!iliar y la arista 1<, -< será in"isible3 con el resto de las "isibilidades de procede de las misma forma, sabiendo que el contorno siempre "a a ser "isible, por lo tanto las aristas 1, -, 7, 7<, 6< , 1< "an a ser "isibles por estar localizadas en el contorno de esta proyección. 2e localizan los puntos de contacto entre el prisma rectangular y el plano de filo, puntos localizados de la siguiente manera punto p en la arista 7, 7< 3 punto m localizado sobre la arista -, -<3 punto n sobre la arista 6, 6< y por último el punto u encontrado en la arista 1, 1< . ;e esta manera se de"ol"erán los puntos a las proyecciones anteriores, siguiendo los criterios de localización ya enunciados.
#igura -:. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del #ilo. $aso 7.
Deniendo los puntos sobre las aristas correspondientes en todas las proyecciones, se deben unir con orden lógico, lo que quiere decir que un punto localizado sobre la arista 1, 1< se podrá unir con otro que se encuentre en un plano adyacente, por e*emplo -, -< ó 6, 6<, pero no podrá unirse a otro que se localice en una cara que no tenga relación directa con ésta, como por e*emplo un punto que situado en la arista 7, 7<. $or lo tanto, se unirán los puntos y se definirá simultáneamente la "isibilidad de los mismos con ayuda de la lógica, pues si los puntos conforman una línea sobre una cara in"isible, no podrán los puntos de la sección ser "isibles. En la proyección #rontal, el punto p, localizado en la ar ista 7, 7< se unirá a los puntos que se encuentren en las aristas 6, 6< y -, -<, por lo tanto se unirá con los puntos n y m, simultáneamente3 éstos puntos se unirán a tra"és de líneas "isibles, ya que s e localizan sobre caras "isibles, pues la cara c onformada por los puntos -, 7, 7<, -< es "isible y sobre ésta se encuentra la línea p, m3 a'ora, la cara en la cual se localiza la línea p, n es la conformada por los puntos 7, 6, 7<, 6<, la cual también es "isible, según lo e"idencian las líneas que conforman las caras, ya que son continuas, señalando por lo tanto que son caras "isibles. El punto 5u5 se establece en la arista 1, 1< y en proyección #rontal ésta arista es in"isible, por lo tanto, toda línea que se origine de ésta arista "a a ser in"isible por localizarse en una cara in"isible, pues al abstraer mentalmente el prisma, se podrá "er con c laridad que las caras ocultas son las 1, 1<, 6, 6< y 1, 1<, -, -<, por lo tanto las líneas de la sección que se localicen sobre estas caras también estarán ocultas, lo que quiere decir que la recta m, u y n, u, serán in"isibles. 2e debe proceder de la misma forma en la proyección +orizontal, uniendo puntos adyacentes a tra"és de líneas y definiendo la "isibilidad en éstas a tra"és de la lógica de las caras. Entonces en la proyección +orizontal se establecerá la sección con las rectas u, m, p siendo "isibles y p, n, u quedarán ocultas.
#igura -=. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del #ilo. $aso :.
El paso : consiste en definir la "isibilidad de los elementos que se relacionan, pues ya está definida la sección de la intersección, pero a'ora es necesario 'acer lógica la intersección, por lo tanto, entenderla. 2e inicia el proceso de "isibilidad desde el filo 'acia la #r ontal. El obser"ador se localiza en la proyección #rontal, ya que es a ésta "ista a la cual se le debe definir la "isibilidad3 el obser"ador mirará 'acia la proyección au!iliar (8) y definirá qué sección del filo es la "isible y qué sección del sólido no está interferida por el plano de filo, esto lo que quiere decir en otras palabras, es que al trazar las líneas de proyección 'acia la #rontal desde la 4u!iliar, las líneas de proyección que no sean interrumpidas por otra arista, serán "isibles, por e*emplo, la línea de proyección que sale del punto c, del punto p, del punto 7< y del punto a, no están obstruidas por ninguna arista, lo que las 'ace "isibles, a diferencia de las líneas de proyección que se originan en los puntos 1<, b, u, los cuales son interrumpidos por aristas como 6, 6<, 7, 7<, las cuales impedirán su "isibilidad.
Entonces, el segmento 7<, p del sólido es "isible completamente y el segmento c, a 'asta el punto p será "isible. &on estas dos definiciones de "isibilidad se puede obtener el resto de las "isibilidades. 2i 7<, p es "isible, estará indicando que todo el segmento del prisma localizado en la zona posterior de la sección de intersección será "isible (las caras "isibles) y la sección del plano a, b, c, que pasen por este segmento de "isibilidad del prisma serán in"isibles. $or lo tanto 7<, p 0 m, -< 0 n, 6< 0 -<, 7<, 6<, serán "isibles, por localizarse en el segmento en el cual el prisma queda sobre el plano, situación manifiesta en la proyección au!iliar con la localización del segmento 7<, p totalmente "isible, lo que define que el segmento del prisma posterior a la sección es "isible. 4'ora, como a, c, también se identificó plenamente como "isible en la proyección 4u!iliar, entonces en la #rontal ésta quedará sobre el pr isma y será "isible completamente, ocultando los segmentos del prisma que se localicen en los límites del plano a, b, c, antes de la sección de intersección. $ara la definición de la isibilidad de la +orizontal se realizará con ayuda del método de las líneas que se cruzan, por lo tanto el obser"ador situado en la proyección +orizontal establece dos líneas que se crucen para definir su "isibilidad mirando la posición de las dos líneas en la proyección anterior, en este caso en la #rontal. 2e deben tener "arias opciones de líneas que se crucen, ya que algunas no se muestran con tanta claridad y se deberá "erificar con otras que sean contundentes. $or e*emplo, a, b se cruza con -, -<, quién es "isible, se supone que 5a5 es el punto más cercano al obser"ador, entonces a, b, sería "isible, pero no es tan claro, por lo tanto es me*or comprobar con otros puntos que se muestren con mayor claridad, caso de las líneas c, b, con -, -<, al re"isar la proyección anterior (#) la línea -, -< está en una posición anterior, con respecto al obser"ador, que la línea c, b, la cual se encuentra le*os del obser"ador, lo que quiere decir que -, -< "a a ser "isible y c, b, será in"isible en la proyección +orizontal, teniendo en cuenta que -, -< cambiará su "isibilidad después de la sección de intersección, por lo tanto la línea "isible es -<, m. 4 partir de la definición de dos líneas contundentes como -, -< y c, b, se puede obtener por lógica la "isibilidad del resto de los elementos, teniendo claro que la "isibilidad de un elemento cambia antes y después de la sección de intersección. En la siguiente figura se muestra de forma más c lara la intersección de los dos elementos y se puede "erificar la "isibilidad. En la proyección +orizontal, antes a la sección el prisma es "isible y después de la sección el "isible es el plano. En la proyección #rontal antes de la sección es "isible el prisma y después de la sección es el plano.
#igura ->. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del #ilo. $aso =.
$ara obtener la sección de la intersección del pr isma y el plano a, b, c, por medio del %étodo del $lano cortante se debe proceder de la siguiente forma se toma uno de los elementos que inter"ienen en la intersección, puede ser el plano ó el prisma, en el caso del e*ercicio se toma el prisma, debido a que todas sus aristas son paralelas y de esta manera es más fácil de identificar los puntos de contacto. 2e identifican las aristas del sólido que entran en contacto con el plano, en este caso todas las aristas se cruzan con el plano, pero si el plano triangular tu"iese su "értice b antes que la arista 1, 1<, no sería necesario tomar en cuenta esta arista, ya que no tendría ob*eto alguno señalar un $lano cortante sobre ésta si ésta no se relaciona con el plano. 4'ora, como todas las aristas del sólido se cruzan con el plano a, b, c, se deben señalar $lanos cortantes sobre cada una de éstas ar istas, definiendo los planos con líneas tipo 9 que se prolongan con la misma dirección de las aristas sobre las que se posan e identificando cada $lano &ortante con un nombre determinado y un orden lógico. En el c aso del e*emplo se señalan los planos por medio de colores para dar mayor claridad y con nombres el $lano &ortante - ($&0-) se establece sobre la arista -, -<3 el $&01 sobre la arista 1, 1<3 el $&06 en la arista 6, 6< y el $&07 sobre la 7, 7<. Dambién los planos &ortantes pueden ser determinados por el orden de consecución de las aristas, por e*emplo, la arista 1, 1< es la que se encuentra en la zona superior de la representación, entonces ésta puede ser el $&0-, el $&01 podría ser la arista 6, 6< que consecuti"amente se localiza, éste también puede ser un orden lógico.
#igura -?. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del $lano &ortante. $aso -.
Luego de definir los $lanos &ortantes deben señalarse los puntos de contacto entre cada $lano &ortante y el plano a, b, c. El $lano &ortante 1 traspasa al plano a, b, c, en las aristas a, b, en el punto 5m5 y en la arista c, b, en el punto 5n5. Astos puntos se intersección se trasladarán a la proyección siguiente (#) y se establecerán sobre las aristas correspondientes. Entonces, el punto 5m5 se pasa con ayuda de una línea de proyección perpendicular a la Línea de /eferencia (color gris) y se localiza en la intersección de ésta con la arista que corta el plano cortante, lo que quiere decir que el punto 5m5 se pasa a la proyección #rontal y en donde corte la línea de proyección con la arista a, b, allí se colocará el punto 5m5. $ara localizar el punto 5n5 se debe proceder de la misma forma, por lo tanto, en la proyección #rontal, el punto 5n5 se localizará sobre la ar ista c, b. &omo los puntos m y n pertenecen al mismo plano &ortante, se unirán a tra"és de una línea punteada (tipo #).
#igura -@. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del $lano &ortante. $aso 1.
$ara los siguientes planos se debe proceder de la misma forma, encontrando los puntos de contacto del plano &ortante con las aristas del plano a, b, c .
#igura 1B. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del $lano &ortante. $aso 6 y 7.
2e obtienen todos los puntos de intersección, dos puntos por c ada plano cortante El $&01 tiene los puntos m y n, donde m se localiza sobre la arista a, b y n sobre la arista c, b3 el $&06 señala los puntos de contacto q y r, q sobre la arista a, b y r sobre c, b3 $&0- corta en los puntos f y s, donde f se localiza sobre la arista a, b y s sobre la arista c, b3 el $&07 identifica dos puntos 5!5 y 5y5, donde 5!5 corta a la arista a, b, y 5y5 a la c, b. 2e trasladan los puntos a la "ista #rontal y se unen los que pertenecen al mismo plano &ortante. El paso : consiste en definir un solo punto de intersección por $lano &ortante, lo cual se consigue de la siguiente forma la recta conformada por los puntos m, n pertenecen al $&01, el cual se posa sobre la arista 1, 1<, por tal razón, la recta m, n debe interceptar la arista 1, 1< y es allí en donde se localiza la intersección real3 éste punto de intersección, identificado como 1f, debe de"ol"erse a la proyección anterior (+) y situarse sobre la arista correspondiente, arista 1, 1<. #igura 1-. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del $lano &ortante. $aso :.
La recta q, r pertenece al $&06 (color cián) por lo tanto debe interceptar la arista que contiene este $lano &ortante, arista 6, 6<, el punto de contacto será la intersección real y se trasladará a la anterior proyección (+) donde se ubicará sobre la arista 6, 6<, arista que contiene el $lano &ortante correspondiente a los puntos q, r. $osterior a ello se deben unir los puntos de intersección real, analizando qué puntos pueden unirse 1 con 6, 1 con -, 6 con 7, 7 con -. #igura 11. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del $lano &ortante. $aso = y >.
2iguiendo este proceso se determinan todos los puntos de intersección real, por lo tanto cada recta conformada por los puntos de corte del $lano &or tante con el plano a, b, c, señalará un punto de intersección real, el cual estará ubicado sobre la arista en la cual se posa el $lano &ortante determinado, posterior a ello se trasladará el punto de intersección real a la proyección anterior y se unirán definiendo los puntos que son adyacentes y pueden tener relación directa, por lo tanto los puntos se unirán así - con 1, 1 con 6, 6 con 7 y 7 con -, de esta forma se cierra la sección de intersección, la cual es completa, ya que el plano y el sólido se están atra"esando plenamente, ya que si fuera parcial, la intersección no formarían una sección rectangular, sino que se conformaría una sección en forma de F. Dambién es importante definir la "isibilidad simultáneamente al trazo de las líneas de la sección, para e"itar borrar después de 'aberlas dibu*ado, por lo tanto se debe analizar la cara sobre la cual "a a quedar definida una línea y dependiendo de si la cara es "isible ó por el contrario está oculta, las líneas como consecuencia también adoptarán sus características de "isibilidad. Las caras "isibles son las conformadas por los puntos 1, 1<, -<, -, también la cara -, -<, 7<, 7, por lo tanto las líneas que se localicen sobre estas caras serán "isibles, pero las trazadas sobre las caras 1, 1<, 6<, 6 y 6, 6<, 7<, 7, serán ocultas debido a que estas caras no son "isibles, por lo tanto las líneas trazadas sobre és tas serán dibu*adas con líneas segmentadas. #igura 16. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del $lano &ortante. $aso ?.
El paso @ consiste en la definición de la "isibilidad de los elementos que inter"ienen en la intersección.
#igura 17. $roceso ntersección $lano 0 2ólido, %étodo del $lano &ortante. $aso @.
El proceso de "isibilidad se 'ará por medio del método de las líneas que se cruzan. En la proyección +orizontal c, b se cruza con -, -< y al re"isar la proyección #rontal c, b, se encuentra después de la recta -, -<, por lo tanto c, b "a a estar oculta en el cruce de estas dos rectas y -, -< será "isible en el cruce de las dos rectas, 'asta que llegue a la sección de intersección, en la cual se cambiará la "isibilidad del ob*eto. $ara la proyección #rontal se re"isan dos líneas que se crucen y se "erifica en la proyección anterior (+) analizando la posición de la misma con r especto al obser"ador la recta a, c se cruza con la línea -, -<, al re"isar en la proyección +orizontal, la línea a, c se localiza antes que la línea a, -, -<, por lo tanto en la proyección #rontal la recta a, c será "isible y ocultará a la recta -, -< 'asta la sección de intersección, luego de la sección cambiará la "isibilidad. ;e esta forma se define la relación real de los ob*etos que inter"ienen en un diseño y a tra"és de la Ceometría ;escripti"a es posible determinar la relación que puedan tener los ob*etos representados en un determinado diseño.
EJEMPLOS -INTERSECCION ENTRE PLANOS
-INTERSECCION RECTA-PLANO HORIZONTAL
-INTERSECCION
PLANO-PRISMA
