GEOMETRÍA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES DE R2 EN R 2 José Luis Morales Universidad de América Latina, UDAL Las transformaciones, pertenecientes al álgebra lineal, son usadas en muchas ramas de las matemáticas y la ingeniería, y son importantes porque se puede describir la dependencia que puede tener una variable sobre otra. El presente trabajo aborda las transformaciones lineales, en forma matricial, que en geometría implican a las reflexiones, rotaciones, contracciones, expansiones y cortes, descritas en la bibliografía citada al final de este trabajo. Estas transformaciones, así como otras, tienen una particularidad que conservan la estructura matemática de un espacio vectorial.
1. INTRODUCCIÓN Para comprender el concepto de transformación, se definirá usando un término con la que el lector está familiarizado: la función. Una función es una regla que asigna a cada elemento de una variable un único elemento de otra variable. Por ejemplo, en las funciones como f(x)=5x23x+2, una vez que se ha asignado un valor a la variable x, se obtiene el valor de la otra variable y. En esta función se distinguen dos términos: dominio e imagen. Llamamos a todo el conjunto de valores permitidos para x como dominio de la función; por ejemplo, si x pertenece a los reales, y si x=3, entonces para la función anterior f(x)=5(3)2-3(3)+2 = 38. Decimos entonces que la imagen de 3 es 38. Por lo tanto, se extienden estas ideas de funciones ahora a los espacios vectoriales. Usualmente se usa el término transformación o mapeo en álgebra lineal en lugar de función. 2. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Transformación lineal Una transformación T de Rn a Rm† es una regla que asigna a cada vector v en Rn un único vector w en Rm. Rn es llamado dominio de T y Rm el codominio. Escribimos T(v)=w donde w es la imagen de v bajo T.
† La R representa el conjunto de los números reales que aparecen como entradas en los vectores, y 2 el exponente n (o m) indica que cada vector tiene n (o m) entradas, por ejemplo en R el exponente dos indica que cada vector tiene 2 entradas (el vector se puede representar gráficamente en dos dimensiones)
Ejemplo 1: considerar la transformación T de R3 a R2 definida por: T(x,y,z)=(2x, y+z) El dominio de T es R3, el codominio es R2. Para la imagen es necesario tener los valores del vector v, por ejemplo si v=(2,8,-4) entonces la imagen w=(2(2),8-4)=(4,4). Representación matricial de una transformación T Si en la ecuación matricial Ax=b del siguiente ejemplo:
[
][ ]
[
]
se piensa en la matriz A como un objeto que “actúa” sobre un vector x multiplicándolo para producir un nuevo vector llamado Ax, equivale a encontrar todos los vectores x en R4 para que transformen el vector b en R2 bajo la “acción” que representa multiplicar por A. Sea T: Rn Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m×n, AT, tal que: para todo v Rn
T(v) = AT (v)
Ejemplo 2: hallar la matriz de transformación, AT, si v=(x,y,z) y w=(2x, y+z). De acuerdo a la definición, n=3 y m=2, por lo que la matriz AT será de 2×3 y A(v)=w, por lo tanto, [ ] [
Ejemplo 3: si
[
]
[
[
] ].
]
. Haciendo las sustituciones
correspondientes y multiplicando matrices, se tiene que, ( )
[
][
]
[
Se dice entonces que AT : R2 R3 y genera la imagen w=(-2,-10,9).
]
3. REFLEXIÓN EN R2 a) Reflexión respecto al eje x: Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x (Figura 1). y
Matricialmente: [ ]
[ ]
[
]
(x,y)
Por lo que la transformación está definida por: 0
x
[
]
(x,-y)
Figura 1. Reflexión en el eje x
b) Reflexión respecto al eje y: de manera análoga que el caso anterior, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje y (Figura 2). y
Matricialmente: [ ]
(-x,y)
[ ]
[
]
(x,y)
Por lo que la transformación está definida por: 0
x
[
]
Figura 2. Reflexión en el eje y
c) Reflexión respecto a la recta x=y: esta recta estará a 45° por lo que los valores de entrada quedan “cambiados” una vez aplicada la transformación (Figura 3). y
Matricialmente: (y,x)
y=x
[ ]
[ ]
Por lo que la transformación está definida por:
(x,y) 0
[ ]
x
[
Figura 3. Reflexión en la recta y=x
]
4. EXPANSIONES EN R2 a) Expansión en ambos ejes, c>1: Considerar la transformación
[ ]
[ ], T mapea cada
2
punto en R en un punto c veces más lejos del origen (Figura 4). y
Matricialmente: [ ]
[
]
[ ]
(cx,cy)
Por lo que la transformación está definida por:
(x,y)
0
x
[
]
Figura 4. Expansión, c>1
b) Expansión horizontal (en eje x): Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo mueve horizontalmente, es decir sólo en x, c veces más lejos del centro (Figura 5). y
Matricialmente: [ ] (cx,y)
(x,y)
0
[
]
Por lo que la transformación está definida por: [
x
]
Figura 5. Expansión horizontal, c>1
c) Expansión vertical (en eje y): Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo mueve verticalmente c veces más lejos del centro (Figura 6). y
Matricialmente:
(x,cy)
[ ]
]
Por lo que la transformación está definida por:
(x,y) 0
[
x
Figura 6. Expansión vertical, c>1
[
]
5. CONTRACCIONES EN R2 a) Contracción en ambos ejes, c<1: En la transformación [ ]
[ ], T mapea cada punto
2
en R en un punto c veces más cerca del origen (Figura 7). y
Matricialmente:
(x,y)
[ ]
[
]
[ ]
Por lo que la transformación está definida por:
(cx,cy) 0
x
[
]
Figura 7. Contracción, c<1
b) Contracción horizontal (en eje x): Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo mueve horizontalmente c veces más cerca del centro (Figura 8). y
Matricialmente: [ ]
(cx,y)
(x,y)
0
[
]
Por lo que la transformación está definida por: [
x
]
Figura 8. Contracción horizontal, c<1
c) Contracción vertical (en eje y): Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo mueve verticalmente c veces más cerca del centro (Figura 9). y
Matricialmente: [ ]
(x,y)
[
]
Por lo que la transformación está definida por: (x,cy) 0
x
Figura 9. Contracción vertical, c<1
[
]
6. ROTACIONES EN R2 Suponga que el vector v=(x,y) en el plano xy se rotan a un ángulo en sentido antihorario llame a este nuevo vector rotado v’=(x’,y’). Entonces, como se ve en la Figura 10, si r denota la longitud de v y que además este vector no cambia por rotación. De la gráfica:
y
( (
, ,
(x’ y’)
De acuerdo a las identidades: ( ) ( )
(x,y)
+
r
r
) )
0
Se tiene que:
x
Figura 10. Rotación
El resultado anterior se puede representar matricialmente como: [ ]
[
][ ]
Por lo que la matriz de transformación correspondiente a la rotación es: [
]
7. CORTES EN R2 a) Corte a lo largo del eje x: es una transformación que toma al vector v=(x,y) y lo convierte en un nuevo vector v’=(x+cy,y), donde c es una constante que puede ser negativa o positiva (Figura 11.) Matricialmente:
y
[ ]
[
]
Por lo que la transformación está definida por: (x,y)
(x+cy,y)
[ 0
x
Figura 11. Cortes a lo largo del eje x
]
b) Corte a lo largo del eje y: de manera análoga al caso anterior, la transformación toma al vector v=(x,y) y lo convierte en un nuevo vector v’=(x,y+cx), donde c es una constante que puede ser negativa o positiva (Figura 12.)
Matricialmente:
y
[ ]
[
]
(x,y+cx)
Por lo que la transformación está definida por: [
(x,y) 0
]
x
Figura 12. Cortes a lo largo del eje y
8. CONCLUSIÓN Las transformaciones correspondientes a la reflexión, contracción, expansión y rotación en R y en forma matricial proporcionan una manera más fácil de visualizar gráficamente algunos tipos de transformaciones lineales y que darán la pauta para comprender las transformaciones en Rn. La regla para su aplicación puede comprenderse mejor con el concepto de función. Para un mayor detalle de estas transformaciones se recomienda consultar la bibliografía citada. 2
9. REFERENCIAS Grossman, S.L. (2011). Matemáticas 4, Álgebra Lineal. México, D.F.: McGraw-Hill Lay, D.C. (2006). Linear Algebra and its applications. United States of America. Pearson Addison Wesley Poole, D. (2011). Álgebra Lineal, Una introducción moderna. México, D.F.: Cengage Learning Williams, G. (2008). Linear Algebra with applications. United States of America. Jones and Bartlett Publishers
