Preguntas propuestas
ARITMÉTICA
1
2 3 4
Aritmética Razones
NIVEL INTERMEDIO
NIVEL BÁSICO
5. La razón aritmética de dos números es 10. Si al 1. La razón geométrica de dos números es 5/3 y su razón aritmética es 18. ¿Cuántas unidades se deben agregar al menor para que la relación se invierta? A) 24 B) 36 C) 48 D) 16 E) 27
2. Las edades de Laura y Rosa son m y n, respectivamente. Además dentro de 6 años las edades estarán en la relación de 5 a 3. Calcule la edad de Rosa si m – n=8. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 6
3. En un recipiente hay 90 litros de una mezcla de vino y agua en la relación de 5 a 4, respectivamente. Si se extraen 18 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de agua se deben agregar luego para que la cantidad de agua sea el doble de la cantidad de vino? A) 40 B) 12 C) 30 D) 48 E) 36
4. El profesor Raúl tiene una caja de tizas, de las
...
cuales la cantidad de rojas y blancas están en la relación de 2 a 3, además, la diferencia y suma de las cantidades de blancas y azules, respectivamente, están en la relación de 3 a 5. Si no tiene más colores en su caja, ¿en qué relación están las cantidades de rojas y azules, respectivamente? A) 2 a 5 B) 8 a 3 C) 5 a 2 D) 3 a 8 E) 5 a 3
mayor se le resta 13 unidades y al menor se le suma 6 unidades, la razón geométrica de ellos se invertiría. Halle la razón geométrica de los números. A) 2/3 B) 4/3 C) 5/3 D) 5/4 E) 6/5
6. A una fiesta concurren 360 personas, entre hombres y mujeres, asistiendo 5 hombres por cada 4 mujeres; después de 3 horas se retiran igual número de hombres y de mujeres; quedan entonces 3 hombres por cada 2 mujeres. ¿Cuántas parejas formadas por un hombre y una mujer se retiraron? A) 40 B) 80 C) 60 D) 30 E) 20 UNMSM 2008 - II
7. En una fiesta de graduación asisten 260 personas entre varones y mujeres. Si la cantidad de varones que bailan es 2 veces más que la cantidad de mujeres que no bailan y la cantidad de varones que no bailan es 2 veces la cantidad de mujeres que bailan, ¿cuántos varones están bailando? A) 40 B) 45 C) 65 D) 60 E) 90
8. Las edades de Ana y Betty son 3a y 4a, respectivamente. Además hace 14 años sus edades eran 2b y 5b. ¿Hace cuántos años sus edades estaban en la misma relación que a – b y a+b? A) 6 B) 10 C) 8 D) 18 E) 12
2
Aritmética 9.
En una reunión, la cantidad de varones y mujeres están en la relación de 7 a 8, respectivamente. En un determinado instante, la cantidad de personas que bailan son tanto como la cantidad de personas que no bailan y las mujeres que no bailan exceden a los varones que bailan en 8. ¿Cuántas parejas están bailando en ese instante? A) 30 D) 40
B) 20
C) 60 E) 15
10. Un recipiente contiene una mezcla de vino y agua en la relación de 1 a 3, respectivamente. Se extraen 20 litros y se reemplazan por otra mezcla con los mismos componentes, pero en relación inversa. Si luego se extraen 12 litros, de los cuales 5 son de vino, ¿cuántos litros de agua había inicialmente? A) 30 D) 24
B) 45
C) 60 E) 75
11. Dos móviles A y B parten al encuentro de los puntos N y M, respectivamente. Cuando ya se cruzaron A recorrió b metros en total, B recorrió a metros en total y la distancia que le falta al móvil A para llegar al punto M es 3b/2 metros y lo que le falta a B para llegar a N es b/2. ¿Cuántos metros había recorrido B, cuando A solo había recorrido 20 metros? A) 20 D) 10
B) 40
C) 5 E) 15
NIVEL AVANZADO
12. En el zoológico se observa que el número de otorongos es al de tortugas como 3 es a 5, y el número de pumas es al de caimanes como 3 es a 2. Si el número de felinos es al número de reptiles como 2 es a 3, ¿en qué relación están los otorongos y los pumas? 3
A) 3 a 1 B) 3 a 2 C) 1 a 1 D) 4 a 1 E) 5 a 1
13. En 3 aulas del ciclo Semestral Integral se observa que en la primera la relación de varones y el total es de 1 a 2; en la segunda la relación de mujeres y el total es de 1 a 3 y en la tercera la relación de varones y el total es de 1 a 4, además, las tres aulas tienen igual cantidad de estudiantes. Si entre las tres aulas hay 85 varones, ¿cuántas mujeres hay entre las tres aulas? A) 75 D) 65
B) 45
C) 105 E) 95
14. Se sabe que A y B están en la relación de n a m respectivamente, al igual que B y C. ¿En qué relación están (A – C) y (B – C)? A)
m+ n n
D)
m− n m
B)
m− n n
C)
m+ n m
E)
m n
15. En una competencia de atletismo participan A, B y C. Al iniciar, sus velocidades estaban en la relación de 5; 4 y 3, respectivamente. Pero pasado un cierto tiempo, B se lesiona y se retira de la competencia. En el instante en que B se lesiona, A y C cambian sus velocidades a la relación de 3 a 5, respectivamente, de tal manera que C llega a la meta y A se encuentra 8 metros detrás. Si B solo recorrió 80 metros, ¿de cuántos metros era la competencia? A) 100 B) 110 C) 120 D) 180 E) 150
Aritmética A) 40 B) 56 C) 60 D) 48 E) 24
Proporción e igualdad de razones geométricas equivalentes NIVEL BÁSICO
6. En una proporción geométrica continua, de
constante menor a la unidad, la suma de términos es 147 y la diferencia de extremos es 63. Calcule la media diferencial del segundo y del primer término de la proporción.
1. En una proporción aritmética continua, los ex-
tremos están en la relación de 13 a 5. Calcule la media diferencial si la suma de términos es 180.
A) 17 B) 18 C) 60 D) 55 E) 21
A) 65 B) 25 C) 45 D) 30 E) 40
2. En una proporción geométrica continua, los
términos extremos están en la relación de 9 a 4. Si la suma de sus términos es 175, calcule la media proporcional.
7. Ángel, Beto y Carlos tienen edades que forman
una proporción aritmética continua, en ese orden. La edad de Ángel excede a la edad de Beto en 3 años y la suma de los cuadrados de las edades de Beto y Carlos es 269. Calcule la suma de sus edades.
A) 36 B) 30 C) 42 D) 49 E) 56
3. Si
a+c+ m a×c× m + = 68 b+ d + n d × d × n
4. Si
128 a b c = = = a b c 8 calcule a+b+c. A) 112 B) 56 C) 80 D) 104 E) 128
...
8. Se tiene que k ∈ R+, además
calcule k. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
A) 48 B) 50 C) 52 D) 39 E) 56
a c m = = = k; k ∈ Z + b d n
NIVEL INTERMEDIO
5. En una proporción geométrica continua, la
suma de los términos es 100 y los extremos se diferencian en 20. Si la constante es mayor a la unidad, calcule la media proporcional.
a b c a a 2 + b2 − c 2 = = =k y + = 12 b c d d b2 + c 2 − d 2
Calcule el valor de M. ab + bc + cd M= ( a + b + c) ( b + c + d ) A) 7/3 B) 3/7 C) 3/5 D) 2/5 E) 5/2
9. Si se sabe que
A B C D = = = =k a b c d además (A+a)(B+b)+(C+c)(D+d)=N A + a( calcule Ab + Cd ) a
A) (Nk)2 B) N k C) kN D) Nk E) k N
4
Aritmética 10. En una igualdad de tres razones geométricas
13. En una proporción geométrica, los términos
continuas, de constante entera, la diferencia de cuadrados de los términos de cada razón es 432; 108 y 27. Si la suma de los dos primeros antecedentes excede al tercer antecedente en 30, calcule la suma de los consecuentes.
medios son dos números consecutivos y la suma de términos es 55. Si la constante es entera, calcule la media diferencial de los términos extremos.
A) 14 B) 21 C) 15 D) 10 E) 30
14. La relación de los términos extremos de una
11. Sea r > 1. Si
A) 15 B) 17 C) 19 D) 20 E) 21
igualdad de cuatro razones geométricas equivalentes continuas es de 16 a 81. Calcule la diferencia del tercer antecedente y segundo término si la suma de los términos diferentes de la serie es 633.
11 + a 20 + b 50 + c = = = r3 11 − a 20 − b 50 − c
y a+b+c+1=r6 halle el valor de r. A) 4 B) 6 C) 8 D) 2 E) 10 UNMSM 2013 - I
NIVEL AVANZADO
12. En una proporción geométrica de constante
A) 24 B) 36 C) 48 D) 28 E) 12
15. En una igualdad de cinco razones geométri-
entera diferente a la unidad, la suma de los antecedentes es 55 y la diferencia de los consecuentes es 5. Calcule la media diferencial del mayor y menor término de la proporción.
cas equivalentes continuas, el segundo antecedente es excedido en 70 por el cuarto consecuente. Calcule la suma de los términos no extremos si además se sabe que las razones suman 5/2.
A) 11 B) 11,5 C) 13,5 D) 21 E) 21,5
A) 300 B) 320 C) 315 D) 340 E) 350
5
Aritmética Regla del tanto por ciento NIVEL BÁSICO
6. De un recipiente lleno de vino se extrae el
el número de varones es el 40 % del total. Si se retira el 25 % de los varones y el 50 % de las mujeres, ¿cuántas personas quedan?
33, 3 % de lo que no se extrae. Luego se devuelve el 20 % de lo que no se devuelve, de modo que en el recipiente quedan 190 litros. ¿Cuál es la capacidad del recipiente?
A) 56 B) 72 C) 75 D) 60 E) 64
A) 180 B) 120 C) 300 D) 240 E) 60
1. En una reunión, el total de asistentes es 120 y
2. Si la longitud de la base de un triángulo aumenta en un 20 % y la longitud de la altura disminuye en 30 %, ¿en qué porcentaje varía el área? A) disminuye en 16 % B) disminuye en 10 % C) disminuye en 14 % D) disminuye en 11 % E) disminuye en 18 %
7. Jorge vende el 40 % de su mercancía con una
ganancia del 10 %, luego vende el 50 % del resto con una pérdida del 20 %. ¿Qué tanto por ciento debe ganar en lo que queda para que la ganancia al final sea el 10 % del total? A) 10 % B) 20 % C) 30 % D) 40 % E) 50 %
UNMSM 2008 - I
3. Carlos gasta el 20 % de su dinero; luego el 25 %
del resto y por último el 10 % del nuevo resto. ¿Qué tanto por ciento de lo que tenía le queda? A) 50 % B) 40 % C) 45 % D) 60 % E) 54 %
4. Al vender un televisor con una ganancia del 25 %
del precio de costo se ganó S/.60 menos que si se hubiera vendido con una ganancia del 25 % del precio de venta. ¿Cuánto costó el televisor? A) S/.720 B) S/.800 C) S/.840 D) S/.750 E) S/.600
NIVEL INTERMEDIO
...
A) 40 % B) 45 % C) 50 % D) 60 % E) 75 %
5. En un examen de manejo, el 60 % de los pos-
tulantes son varones y de las mujeres solo el 60 % aprobó. Si la cantidad de varones que no aprobaron es igual al 75 % de las mujeres que no aprobaron, ¿qué tanto por ciento de los varones que aprobaron son las mujeres que aprobaron?
8. Un padre reparte sus ahorros de S/.N de la si-
guiente manera: el 35 % a su hijo mayor, el 40 % del resto más S/.800 a su segundo hijo, el 40 % del nuevo resto para su tercer hijo y los S/.4200 restantes a su menor hijo. Calcule la suma de cifras de N. A) 8 B) 9 C) 2 D) 6 E) 5
9. En una sala de cine se observa que el 40 % del
total más 30 son los varones adultos, el 75 % del resto menos 10 son los niños y el resto son 16 mujeres adultas. ¿Cuántas personas hay en la sala de cine? A) 72 B) 96 C) 120 D) 68 E) 90
10. Antes de vender un artículo se descontó el
10 %, con lo que se ganó el 20 % del precio de venta. Si el artículo costó S/.432, calcule su precio fijado. A) S/.520 B) S/.620 C) S/.480 D) S/.600 E) S/.650 6
Aritmética 11. Para fijar el precio de un reloj se incrementa
en S/.100, pero al momento de la venta se descuenta el 5 %. Si la ganancia neta es S/.60 y los gastos son el 25 % de la ganancia bruta, ¿cuál es el precio de costo del reloj? A) S/.250 D) S/.450
B) S/.150
C) S/.300 E) S/.200
para que el volumen aumente en 80 %, ¿en qué tanto por ciento debe disminuir su altura? A) 25 % D) 10 %
B) 20 %
C) 40 % E) 12,5 %
14. Si al precio de una computadora se le aumenta en m % y luego se le descuenta el m %, el precio perdería el 9 % de su precio inicial. Calcule el valor de m.
NIVEL AVANZADO
12. En el simulacro de examen admisión donde asistieron estudiantes del turno mañana, tarde y noche, la cantidad de mujeres es el 80 % de la cantidad de varones. Los estudiantes del turno mañana son el 50 % del total, los estudiantes del turno noche son el 50 %, de los estudiantes del turno tarde. Si los varones del tuno mañana son el 30 % del total y las mujeres del turno tarde son el 20 % del total, ¿qué tanto por ciento de los varones de la mañana son las mujeres de la tarde? A) 33 % D) 66, 6 %
13. Si el radio de un cilindro aumenta en 50 %,
C) 33, 3 % E) 54, 4 %
B) 66 %
7
A) 20 D) 30
B) 40
C) 10 E) 25
15. ¿A qué precio se debe fijar un artículo para que al venderlo con un descuento del 10 % se gane el 20 % si la ganancia neta es el 80 % de la ganancia bruta y los gastos son S/.72? A) S/.2400 B) S/.1200 C) S/.1500 D) S/.1800 E) S/.2500
Aritmética Magnitudes proporcionales I NIVEL BÁSICO
NIVEL INTERMEDIO
5. Sean A y B dos magnitudes.
1. Para sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, un peón cobra 300 soles. ¿Cuántos soles cobrará por sembrar otro terreno cuadrado de 12 m de lado? A) 108 B) 109 C) 110 D) 111 E) 107
2. El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5. Si se variase en 20 % el precio de cada artículo, ¿cuál es dicho número de artículos? A) 10 B) 15 C) 20 D) 21 E) 5
3. El valor de una tela varía DP al área e IP al 2
peso. Si una tela de 2 m que pesa 50 g cuesta S/.400, ¿cuánto costará otra tela de la misma calidad de 3 m2 con 100 g de peso? A) S/.308
A IP B; B ≤ 25 A DP B; B ≤ 25 Cuando A=20, B=5. Calcule el valor de A cuando B=100. A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
6. El ahorro mensual de un empleado es direc-
tamente proporcional a la raíz cuadrada de su sueldo. Si cuando su sueldo era S/.2500 su gasto total era de S/.2200, ¿qué porcentaje de su sueldo ahorrará cuando sea S/.3600? A) 8 % B) 10 % C) 12 % D) 14 % E) 15 %
7. Un albañil puede construir una casa en 20 días, pero con la ayuda de su hijo pueden construirla en 15 días. Si el hijo trabajara solo, ¿en cuántos días construiría la misma casa? A) 45 B) 50 C) 40 D) 60 E) 75 UNMSM 2009 - I
B) S/.360
8. Si tres varones necesitan 24 días para hacer un
C) S/.260
trabajo, ¿cuántos días emplearían ocho mujeres para realizar el mismo trabajo? Considere que el trabajo realizado por un varón lo pueden hacer dos mujeres en el mismo tiempo.
D) S/.305 E) S/.300
4. Se cumple que
A2 DP B cuando C es constante.
B2 IP C cuando B es constante.
...
A
4
6
y
B
8
24
40
C
16
x
25
A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24
9. Ricardo puede pintar en 9 días la superficie de
Calcule x+y.
28 cajas cúbicas de madera con arista de 30 cm. ¿En cuántos días podrá pintar la superficie de 30 cajas de madera, cuyo largo es 20 cm, cuyo ancho es 12 cm y cuya altura es 10 cm?
A) 16 B) 18 C) 20 D) 19 E) 15
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 8
Aritmética 10. Sean A, B y C magnitudes, donde
13. Por transportar 24 toneladas de mercadería
A IP B2 (C es constante)
a una distancia de 980 km, una empresa de transporte de carga cobra S/.4800. ¿Cuánto cobrará para transportar 35 toneladas a una distancia de 560 km?
B DP C2 (A es constante) Además A
4
16
B
x
3
C
6
x
A) S/.3500 B) S/.4000 C) S/.3880 D) S/.5200 E) S/.5000
Calcule x. A) 2 D) 6
B) 4
C) 8 E) 12
14. Las magnitudes A, B, C y D se relacionan como
11. El sueldo de un empleado varía proporcional-
mente a su rendimiento e inversamente proporcional al número de faltas durante el mes. Si Alberto, cuyo rendimiento es como 10 y faltó 2 veces, tiene un sueldo mensual de S/.2400, ¿cuál será el sueldo de Carmen que faltó 3 veces y tiene un rendimiento como 6? A) S/.1080 D) S/.1920
B) S/.960
C) S/.1800 E) S/.720
12. Se realiza un experimento entre las magnitu-
des A y B mediante el cual se obtuvieron los siguientes resultados. A
1
64
27
8
B
1
16
9
4
¿Qué se puede afirmar de lo anterior?
2
A) aumenta en 1/5. B) aumenta en 1/6. C) disminuye en 1/5. D) disminuye en 1/6. E) aumenta en 3/5.
15. En una máquina excavadora se cumple que
NIVEL AVANZADO
A) A DP B2
A DP B (cuando C y D son constantes) A IP C (cuando B y D son constantes) A DP D (cuando C y A son constantes) Entonces si el valor de A aumenta en un quinto, el valor correspondiente de D
B) B2 IP B2
C) A3 DP B2
3
D) A DP B
E)
9
3
A DP B
el volumen que excava es directamente proporcional a la raíz cuadrada del tiempo que se encuentra excavando, pero inversamente proporcional a los años de antigüedad. Si ahora que tiene 5 años de antigüedad puede excavar una zanja de 12 m de largo, 3 m de ancho y 8 m de profundidad en 20 horas, ¿cuántas zanjas de 4 m de largo, 2 m de ancho y 2 m de profundidad podrá excavar, en 45 horas,cuando tenga 10 años más de antigüedad? A) 5 D) 8
B) 6
C) 7 E) 9
Aritmética Magnitudes proporcionales II
6. Un padre premiará a sus hijos por sus desem-
peños en la escuela. Él repartirá 80 caramelos de acuerdo a sus notas y sus tardanzas.
NIVEL BÁSICO
Notas
Tardanzas
Juan
18
6
José
16
2
Julio
20
4
1. Se va a repartir S/.N en forma IP a 6; 12; 20 y 30, y se observa que la diferencia entre la menor y mayor parte es S/.720. Calcule N. A) 2120 B) 1600 C) 2400 D) 1800 E) 2040
2. Carlos inicia un negocio con S/.5000 y luego de
3 meses, Marcos se une al negocio aportando S/.4000. Si luego de un año las ganancias se diferencian en S/.450, ¿cuánto ganó Marcos? A) S/.1500 B) S/.600 C) S/.900 D) S/.800 E) S/.1000
3. Si 20 obreros pueden realizar una obra en 30
días, pero luego de 10 días de iniciada se retiran 4 obreros, ¿con cuantos días de retraso los obreros que quedan entregarán la obra? A) 6 B) 5 C) 4 D) 8 E) 2
4. Dos ruedas de 60 y 40 dientes están engrana-
das. Si en 4 minutos una de las ruedas da 24 vueltas más que la otra, ¿cuántas vueltas dará la rueda más grande en 10 minutos? A) 130 B) 110 C) 100 D) 120 E) 90
¿Cuántos caramelos le corresponde a Julio? A) 36 B) 15 C) 35 D) 25 E) 42
7. Adrián y María inician un negocio, que durará
un año, con S/.3000 y S/.4000, respectivamente. Luego de 5 meses, Adrián aumenta S/.1000 a su capital y, después de 2 meses más, María retira S/.1000 de su capital. ¿Cuál es la ganancia de María si entre ambos ganaron S/.2120? A) S/.1500 B) S/.2600 C) S/.1240 D) S/.1260 E) S/.1060
8. Se emplearon m obreros para ejecutar una
obra y al cabo de d días hicieron 1/k de ella. ¿Cuántos obreros aumentaron para terminar la obra en p días más? A)
p ( dk − p) m
B)
m ( dk − p) p
C)
m ( dk − d − p) p
NIVEL INTERMEDIO
5. Carlos desea repartir S/.N entre sus tres hijos
...
proporcionalmente a sus edades que son 16; 24 y 40 años. Pero luego decide que sea inversamente proporcional a sus edades. Si de esta forma el menor recibe S/.1760 más, calcule la suma de cifras de N. A) 9 B) 10 C) 6 D) 8 E) 12
D) m(k – d – p) E)
p ( dk − d − p) m
10
UNMSM 1997
Aritmética 9.
Se contrató a 15 obreros para hacer una obra en 30 días trabajando 10 horas diarias. Después de 8 días de trabajo se acordó que la obra quedase terminada 12 días antes del plazo fijado y así se hizo. ¿Cuántos obreros más debieron emplearse teniendo en cuenta que se aumentó en una hora el trabajo diario?
yor parte obtenida en la segunda con respecto a la menor que se iba a obtener en la primera forma de reparto es S/.720. Calcule N. A) 4050 D) 3420
B) 2340
C) 2430 E) 3240
13. María y Luisa inician un negocio, en el que A) 15 D) 12
B) 14
C) 13 E) 11
10. Un grupo de 30 obreros pueden hacer una obra en 60 días cuando trabajan 8 h/d. Si cuando han realizado la tercera parte de la obra 10 de los obreros duplican su rendimiento y ahora trabajan todos juntos 5 h/d, ¿en cuánto tiempo se terminó la obra? A) 65 días D) 58 días
B) 68 días
C) 70 días E) 48 días
11. Una rueda A de 40 dientes engrana con otra B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 25 dientes que engrana con D, que tiene 40 dientes. Si A da 100 vueltas, ¿cuántas dará D? A) 100 D) 60
B) 80
C) 50 E) 75
cada una aporta S/.6000 y S/.4000, respectivamente. Seis meses después, Roció se incorpora al negocio aportando S/.3000. Al final del negocio, se observa que lo ganado por María es el triple de lo ganado por Rocío. ¿Qué parte de la ganancia total le correspondió a Luisa? A) 1/6 D) 1/3
B) 1/2
C) 2/5 E) 2/7
14. Veinticuatro obreros se comprometieron en realizar una obra en 20 días. Al cabo de n días de trabajo se les comunicó que la obra debería ser entregada con n días de anticipación, por lo cual se contrató a 2n obreros para cumplir con el plazo establecido. Calcule n. A) 4 D) 6
B) 2
C) 8 E) 3
15. Una rueda A, de 30 dientes, engrana con una NIVEL AVANZADO
12. Se van a repartir S/.N en forma proporcional a las edades de tres personas que son 12; 18 y 24 años, respectivamente. Pero por error se hizo el reparto en forma inversamente proporcional al producto de las edades tomadas de dos en dos, y se observa que la diferencia entre la ma-
11
rueda B de 40 dientes y esta engrana con una rueda C de 20 dientes y a la vez esta se encuentra unida mediante un eje a la rueda D de 60 dientes. Si en 30 minutos la suma de las vueltas que dan las ruedas es 380, ¿cuántas vueltas darán las ruedas A y B en 2 horas? A) 600 D) 480
B) 560
C) 540 E) 360
Aritmética 6.
Promedios NIVEL BÁSICO
1.
La media aritmética de 30 números es 20. Si agregamos 20 números cuya suma es 600, halle la media aritmética de los 50 números. A) 10 D) 30
B) 24
C) 20 E) 60 UNMSM 2013 - I
2.
3.
B) 478
C) 458 E) 498
B) 45,4
7.
8.
C) 52 km/h E) 45 km/h
NIVEL INTERMEDIO
B) 9,6
C) 11 E) 10,6
B)
(2a + 1)2 4
C) E)
4
(2a − 1)2 4 (2a + 1)2 2
La MA y la MH de dos números están en la relación de 4 a 3. Además la diferencia de los cuadrados de dichos números es 64. Calcule su MH. B) 5 2
C) 3 3 E) 6 3
Si de un conjunto de 40 números enteros positivos a los 12 menores se les sumaran 7 unidades a cada uno y a los 8 mayores se les restaran 5 unidades a cada uno el nuevo promedio sería 42,6. ¿Cuál era el promedio inicial de los 40 números? B) 44,8
C) 43,7 E) 40,4
Un ciclista recorre una pista triangular equilátera, usando en cada lado de la pista, velocidades de 20 km/h, 30 km/h y V km/h, siendo la velocidad promedio que usó 27 km/h. ¿Cuál será la velocidad promedio, si recorre otra pista triangular no equilátera, usando las mismas velocidades, además se sabe que demorará en cada lado un mismo tiempo?
A) 26, 6 D) 24, 6
La nota promedio de 24 alumnos en el curso de Matemática es 14,5. Se sabe que ninguno obtuvo más de 18. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar el promedio de notas de 10 alumnos? A) 9,8 D) 11,2
2 ( a + 1)2
A) 41,3 D) 41,5
9.
B) 60 km/h
(2a − 1)2
A) 4 2 D) 3 2
C) 44,6 E) 44,2
Claudio recorre 80 km con una velocidad de 40 km/h y seguidamente 180 km con una velocidad de 60 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio de Claudio en los 2 tramos? A) 50 km/h D) 48 km/h
5.
D)
El promedio de 20 números es 45. Si a 12 de ellos le aumentamos 4 unidades a cada uno y a los 8 restantes le disminuimos 5 unidades a cada uno, ¿cuál será el promedio final de los 20 números? A) 45 D) 45,8
4.
A)
La MA de 2 números es 15 y su MG es 6 6. Calcule la suma de los cuadrados de dichos números. A) 486 D) 468
De un grupo de 4a alumnos, se sabe que la edad promedio es x. Además, las edades promedio de los varones y las mujeres en el grupo son (a2+a) y (a2+a+1), respectivamente. Si el número de varones es 3a, halle x.
B) 28, 6
C) 30, 6 E) 27, 6
10. El promedio de 20 números impares consecu-
tivos es 34. ¿Cuál será el promedio de los 20 impares consecutivos siguientes, si a cada uno de estos le aumentamos 3 unidades? A) 75 D) 78
B) 76
12
C) 77 E) 79
Aritmética 11. Juan es un estudiante de la facultad de Matemáticas y en su primer ciclo su reporte de notas fue Cursos
Créditos
Notas
Matemática Básica
6
16
Cálculo I
6
x
6
15
3
14
Complemento Matemático Oratoria
Si su promedio ponderado es de 16, ¿cuál es la nota que obtuvo en Cálculo I? A) 14
B) 15
D) 17
C) 16 E) 18
III. Si MA(a; b)=64 → MA ( a; b ) = 8 IV. MA(a; b)+MG(a; b)=2 MA ( a; b ) A) VVVV D) VFVF
B) VFFV
2
C) VVFF E) VVFV
14. El promedio aritmético de 3 números enteros positivos es 248/3, el promedio geométrico de los 2 mayores es 15 15 y el promedio aritmético de los 2 menores es 23/2. Calcule el menor de los números. A) 7 D) 10
B) 8
C) 9 E) 11
15. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresNIVEL AVANZADO
12. La MA y la MH de 2 números son 6,5 y 25/26. Calcule el mayor de dichos números. A) 9,5 D) 12,5
B) 8,5
C) 10,5 E) 11,5
13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a b I. Si MA(a; b)=50 → MA ; = 10 5 5 II. Si MA(a; b)=47 → MA(a – 7; b – 7)=40
13
ponda. I. Si el promedio armónico de 3 números pares consecutivo es 15,8324…, entonces el mayor de ellos es 18. II. En una lista de 7 números impares consecutivos el promedio aritmético es el término de lugar 4. III. Si se multiplica el promedio aritmético con el promedio armónico de 2 números, se obtiene el producto de los números. IV. Solamente existen 4 tipos de promedios. A) VVVV D) VVVF
B) VFFV
C) VVFF E) FVFF
Aritmética 6.
Teoría de numeración I
a 24 ( a − 3) ( b + 1) ( c + 2) existen? 3 b (13)
NIVEL BÁSICO
1.
Si los numerales (a – 2)b4, 3ba, ( b − 2) ( c2 )(16 − c) están correctamente escritos, calcule el máximo valor de a+b+c. A) 8 D) 11
2.
3.
B) 9
B) 11
7.
8.
C) 10 E) 8
calcule el máximo valor de a+b+c. A) 18 D) 17
B) 15
C) 19 E) 16
¿Cuántos números de 3 cifras no contienen al 2 ni al 5 en su escritura? A) 512 D) 567
B) 448
C) 528 E) 560
C) 325 E) 180
Si A representa la cantidad de números de 3 cifras diferentes entre si de la base 8, y B es la cantidad de números capicúas que hay entre 65 y 665. Calcule A+B. B) 403
C) 353 E) 354
Si abcde9=15 · 92+7 · 94 –12 · 9+20 calcule a+b+c+d+e. A) 20 D) 24
9.
b ) ( b − 3) (2a + 3)(12) ,
B) 260
A) 452 D) 352
Si el numeral es capicúa y {a; b; c} ⊂ Z+
( a2 ) ( c + 1) (
4.
A) 416 D) 200
C) 10 E) 12
Corrija los siguientes numerales. I. (17)(19)(14)5 II. (20)( – 5)7 III. (3n)(2n+1)(4n+1)n ; n > 6 Indique la mayor suma de cifras que se obtiene. A) 12 D) 9
¿Cuántos numerales de la forma
B) 22
C) 21 E) 25
Si ab0 ab4 = (4 m) ( m2 ) (6 m − 7) calcule el valor de a+b+m. A) 5 D) 8
B) 6
C) 7 E) 9
10. Si ab6n=(a – 1)bb8 halle el valor de a+b+n. A) 14 D) 17
B) 15
C) 16 E) 18
UNMSM 2007 - I
11. Si a(a+1)(a+2)6=bb(a+2)9
NIVEL INTERMEDIO
5.
¿en qué sistema existen a9(b+3) numerales de 3 cifras?
¿Cuántos números pares y capicúas de 5 cifras tienen solo cifras significativas y no usan la cifra 3 en su escritura? A) 324 D) 256
B) 400
C) 320 E) 192
A) senario B) octanario C) nonario D) heptanario E) un decimal 14
Aritmética 14. ¿Cuántas veces se ha utilizado la cifra 7 en la
NIVEL AVANZADO
secuencia de números 1; 2; 3; 4; 5; 6; …; 9999
12. ¿Cuántos numerales de la forma ab(2a+b)7 existen?
A) 3×103 B) 4×104
A) 9
B) 8
D) 10
C) 7
C) 3×104
E) 12
D) 4×103 E) 104
13. Se cumple que 15. ¿Cuántos numerales de 3 cifras usan al menos
a(2a)5(2a)n=1abbm=ma1
una cifra 4 en su escritura?
Calcule a+b+n+m. A) 19 D) 22
B) 20
C) 21
A) 252
E) 23
D) 300
15
B) 388
C) 324 E) 245
Aritmética Teoría de numeración II
7.
A) 6 D) 11
NIVEL BÁSICO
1.
A) 13
B) 12
D) 10
8. C) 11 E) 9
Si (n – 1)(n – 1)(n – 1)(n – 1)n=ab4
A) 9
B) 10
D) 12
E) 13
Se cumple que ab4=ccc5
A) 4
B) 2
D) 7
C) 6
C) 9 E) 5
Exprese el menor numeral del sistema nonario cuya suma de cifras sea 48 al sistema ternario y calcule la suma de cifras. A) 36 D) 30
B) 18
C) 24 E) 96
10. ¿Cuántos numerales de la forma abc7, se ex¿Cuántos números, que terminan en cifra 3, se
A) 34
B) 30
D) 29
C) 31 E) 32
Si abc=(b+2)(b+2)c9, halle el máximo valor de a+b+c. A) 13
B) 15
D) 17
C) 20
halle a+b+c+m+n.
D) 18
A) 156 D) 150
B) 250
C) 218 E) 235
11. El menor numeral de la base 5 cuya suma de
A) 10 D) 8
B) 16
C) 17 E) 5
NIVEL AVANZADO
E) 19
Si abcn7=2cb2n y mmmn=10045
A) 17
presan con 4 cifras, en la base 5?
cifras es 16, ¿en cuántas bases impares se expresa con 3 cifras?
NIVEL INTERMEDIO
6.
9.
B) 6
E) 5
expresan con tres cifras en la base 7?
5.
Se tienen un numeral de la base 5, con 3 cifras consecutivas decrecientes, si se expresa en base 6 resulta un numeral de 3 cifras iguales. Calcule la suma de cifras del numeral de la base 5. A) 3 D) 4
C) 11
Calcule el valor de a+b+c.
4.
C) 8 E) 12 UNMSM 2010 - II
calcule a+b+n.
3.
B) 10
Si se cumple que 123a7=xyz(a+w)5 halle x+y+z+w.
2.
Si ab(4)=ba(n), entonces el mayor valor de n es
B) 15
C) 14 E) 20
12. Se cumple que ababn=2624. ¿Cuántos numerales capicúas se expresan con n/a cifras en base n? A) 61 D) 63
B) 65
16
C) 64 E) 66
Aritmética 13. Exprese los numerales 135n, 1357n en base
A) 10
(n+1), y calcule el producto al multiplicar
B) 11
la suma de cifras del primer numeral con la
C) 12
suma de cifras del segundo numeral.
D) 13 E) 14
A) 28
B) 27
D) 30
C) 35 E) 24
15. Si a215=mnpqa, halle en cuántos sistemas de numeración anp se representa con cuatro ci-
14. Sea
fras.
A=(76+1)(76 – 1) N: la suma de cifras de A expresado en base 49.
A) 2
¿En cuántas bases se expresa N con 3 cifras?
D) 5
17
B) 3
C) 4 E) 6
Aritmética A) 6
Operaciones fundamentales I
B) 8
D) 7
C) 9 E) 10
NIVEL BÁSICO
7. 1.
2
2.
B) 8
B) 36
B) 14
A) 14
C) 25 E) 27
B) 15
D) 17
8.
E) 18
En una sustracción el minuendo es de la forma do tiene 3 cifras, calcule la suma de cifras del mayor valor que puede tomar el sustraendo. A) 16
B) 17
D) 19
9.
Se tienen que abc – cba=xyz Además xyz+zyx=nmpq Calcule n+m+p+q. B) 12
D) 18
E) 27
10. Halle el menor de dos números si los complementos aritméticos de su suma y diferencia
A) 150 Si nnm+mmn+nmn=pq7n calcule m×n×p×q. A) 42 D) 84
B) 60
C) 13
son, respectivamente, 530 y 830.
NIVEL INTERMEDIO
5.
C) 18 E) 20
A) 9
C) 9 E) 12
C) 16
3b3, la diferencia de la forma a5. Si el sustraen-
C) 6 E) 9
Si CA(xyz) – xyz=324 calcule x+y+z. A) 16 D) 15
calcule el valor de x+y+a+b+c.
C) 22 E) 20
Si abb – bba=5nm calcule el mayor valor de a+b+n+m. A) 29 D) 22
4.
B) 23
La suma de los términos de una sustracción es a8. Además el sustraendo es mayor que la diferencia en 1a unidades. Calcule la suma de cifras del mayor valor que puede tomar el sustraendo. A) 10 D) 7
3.
a11b+a22b+a23b+...+a99b=c2xy3
Si (a+b+c) =5147 calcule la suma de cifras del resultado de abc9+bca9+cab9. A) 24 D) 21
En la siguiente adición
B) 170
D) 230
C) 80 E) 143 UNMSM 2009 - II
C) 120 E) 144
11. Se cumple que CA(abc) – CA(cba)=CA(nmp6) Calcule n+m+p.
6.
Se cumple que 8 + 98 + 998 9998 + ... = ... xyzw + 20 sumandos
Calcule el valor de x+y+z+w.
A) 10
B) 15
D) 11
C) 13 E) 9
18
Aritmética 14. Se cumple que
NIVEL AVANZADO
12. Calcule la suma de todos los números, de 10 cifras, cuya suma de cifras es 89. Dé como resultado la suma de las 3 ultimas cifras. A) 23
B) 27
D) 24
C) 18 E) 19
13. Si CA(N)=8, calcule la suma de los valores de N, menores que 1010. Indique la suma de las 3 últimas cifras. A) 11 D) 16
B) 12
C) 9 E) 18
19
CA(abc7)=34 CA(CA(xyzw))=cab Calcule x+y+z+w. A) 24 D) 18
B) 25
C) 27 E) 20
15. Si CA(abc)+CA(ab)+CA(a)=803 calcule la suma de cifras de CA(10a+10b+10c). A) 63 B) 67 C) 64 D) 62 E) 61
Aritmética Operaciones fundamentales II
6.
En una multiplicación, si el multiplicando fuera el doble y el multiplicador el triple, el producto aumentaría en 350. Pero si el multiplicador aumenta en 3 unidades el producto aumentaría en 42 unidades. Halle el multiplicador. A) 2 D) 5
2.
3.
B) 6
7.
C) 4 E) 7
B) 22
C) 19 E) 25
B) 8
C) 7 E) 5
NIVEL INTERMEDIO En una multiplicación, si el multiplicador aumenta en 8 unidades el producto se duplica. Pero si al multiplicando se le resta 8 unidades el producto se reduce en la tercera parte. Calcule la suma de cifras del producto. A) 11 D) 14
B) 12
C) 13 E) 15
B) 18
8.
C) 21 E) 15
Se tiene que CA(7ab)×3ab=87 599 Calcule (a+b)2. A) 144 D) 225
C) 8 E) 3
La suma de dos números enteros positivos es 462 y al dividir el mayor entre el menor se obtienen de cociente 14 y residuo 12. Halle la suma de cifras del mayor de los números. A) 9 D) 6
5.
A) 19 D) 16
Se cumple que 900×abcd+90×abcd+9×abcd=...4538 calcule a+b+c+d. A) 21 D) 24
4.
B) 10
Al multiplicar aab por ab se obtuvo como suma de productos parciales 2205. Calcule el valor de a×b. A) 4 D) 2
n cifras
calcule a+b+c+n+z.
NIVEL BÁSICO
1.
Si abc × 99 ...9 = xyzpqn27
B) 81
C) 169 E) 36
La suma de los 4 términos de una división es 202. Si el dividendo y el divisor se multiplican por 5, entonces, la suma de los 4 términos de esta nueva división es 770. Calcule el primer cociente. A) 70 D) 120
B) 60
C) 50 E) 100 UNMSM 2005 - II
9.
En una división el cociente y el residuo son iguales, y menores en 2 unidades que el divisor. Además suma del dividendo y el divisor es 398. Calcule la suma de cifras del dividendo. A) 18 D) 13
B) 15
C) 16 E) 20
10. En una división inexacta, la suma de los cocientes por defecto y por exceso es 25. El residuo por defecto es el doble del residuo por exceso. Si el divisor se triplicara y se realiza nuevamente la división, ¿en qué relación estarían el residuo por defecto y por exceso, respectivamente? A) 2 a 1 B) 4 a 5 C) 1 a 8 D) 2 a 7 E) 1 a 2
20
Aritmética 11. En una división inexacta, el residuo por exceso
13. Se multiplica un número de 2 cifras significa-
y por defecto suman 30 y el divisor excede en 6
tivas por su complemento aritmético y se obtiene de producto al numeral 2a1. Calcule el valor de a.
unidades al residuo por defecto. Si el dividendo es de 3 cifras, calcule la suma de cifras de su máximo valor. A) 13
B) 15
D) 19
C) 17 E) 21
A) 4 D) 6
B) 9
C) 7 E) 1
14. Al dividir abc entre ab, la suma de los términos de la división es 288. Calcule a+b+c.
NIVEL AVANZADO
A) 10 D) 15
12. Se divide un número de 3 cifras entre su complemento aritmético, y resulta que el cociente por exceso es 35 y el residuo por defecto 20. Calcule la suma de cifras del dicho número. A) 15 D) 18
B) 16
C) 17 E) 19
21
B) 11
C) 12 E) 13
15. En una división inexacta de números enteros, el producto de sus 4 términos es 2590. Calcule la suma de los valores que puede tomar el divisor. A) 42 D) 40
B) 47
C) 39 E) 51
Aritmética Teoría de divisibilidad I
8.
20
2.
C) 25 E) 27
B) 4
C) 6 E) 13
Calcule el residuo de dividir E entre 7 E=ab27×20132×23000 A) 1 D) 4
4.
B) 24
¿Entre qué número siempre es divisible el número ab(2a)(2b)? A) 11 D) 17
3.
B) 2
C) 3 E) 5
¿Cuántos números de 3 cifras dejan residuos máximos al dividirlos entre 11; 12 y 8? A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
6.
7.
B) 60
C) 30 E) 45
¿Cuántos números de la forma abc6 son múltiplos de 14? A) 642 D) 645
26
B) 643
9.
28
C) 3 E) 5
Calcule el residuo de dividir P entre 8. P = ( ab16 )
16
+ (101012 ) × (399 ) × ( ab38 )
A) 6 D) 3
B) 5
C) 4 E) 2
10. En una división inexacta (D=d×q+r), se cumple o
o
o
que d = 13 + 8; q = 13 − 2; r = 13 + 7. Determine la suma de cifras del dividendo si es de 2 cifras y el mayor posible. A) 10 D) 11
B) 14
C) 15 E) 13
11. Halle la suma del mayor y el menor número de
tres cifras divisibles por 3, los cuales, disminuidos en 3 unidades, son divisibles por 5. B) 1086
C) 1116 E) 1161 UNMSM 2012 - II
¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 y de 5, pero no de 9. A) 20 D) 40
24
B) 2
A) 1101 D) 1071
NIVEL INTERMEDIO
5.
A) 1 D) 4
¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 37? A) 23 D) 26
22
M=AA1 +DD3 +UU5 +NN7 +II9
NIVEL BÁSICO
1.
Calcule el residuo por exceso de dividir la expresión M entre 8.
C) 644 E) 646
NIVEL AVANZADO
12. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 o de 5, pero no múltiplos de 2? A) 240 D) 150
B) 210
C) 120 E) 180
13. En una división inexacta, al divisor, cociente y re-
¿Cuántos números de tres cifras que terminan en 8 son múltiplos de 26?
siduo se les divide entre 11 y se obtienen como residuo 7; 4; 2. Pero al dividendo se le divide entre 7 y se obtiene residuo 5. Calcule la suma de cifras del dividendo si es de 3 cifras y mínimo.
A) 31 D) 34
A) 11 D) 14
B) 32
C) 33 E) 35
B) 12
22
C) 13 E) 15
Aritmética 14. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
15. Carlitos decide guardar sus canicas en peque-
III. El número aa0aa siempre es múltiplo de 7.
ñas bolsas. Si las guarda de 9 en 9, le sobran 7; si las guarda de 11 en 11, le faltan 2 para utilizar una bolsa más; pero si las guarda de 6 en 6, le sobra 1. Además la cantidad de canicas se encuentra entre 250 y 300. ¿Cuántas bolsas utilizaría si las guarda de 7 en 7 y cuántas canicas sobran?
A) VVV D) VFV
A) 40; 1 D) 42; 1
ponda I. Al dividir 2 II. Si A=3
n+1
aaa
+3
entre 7, el residuo es 1.
n+2
+3n+3, al dividir A entre 13,
el residuo es 1; ∀ n ∈ R.
B) VVF
C) VFF E) FVF
23
B) 41; 2
C) 43; 3 E) 40; 2
Aritmética Teoría de divisibilidad II
6.
Si se cumple que
o
CA(ab)+2CA(ab)+ ... +9CA(ab)=65 NIVEL BÁSICO
1.
o
Si 77 × ab = 132 ¿cuántos valores toma ab? A) 4 D) 7
2.
calcule el menor valor ab y dé como respuesta a+b. A) 15 D) 13
B) 5
C) 6 E) 8
7.
Se cumple que o
o
3 A + 4 B = 13+ 8 y 5 A − 7 B = 13 Calcule el residuo de dividir A×B entre 13. A) 11 D) 5
3.
B) 1
8.
B) 4
C) 32 E) 24
B) 2
C) 3 E) 5
B) 1024
C) 81 E) 125
o
Si aabb = 63 calcule ba. A) 216 D) 729
9.
C) 9 E) 3
Carlos es un comerciante de muebles, que quiere invertir S/.1100 en la compra de mesas y sillones cuyos precios son S/.60 y S/.70, respectivamente. ¿De cuántas formas podría realizar la compra si invierte todo su dinero? A) 1 D) 4
Con las cifras 2; 4; 6 y 8, ¿cuántos números de 3 cifras, múltiplos de 4, se pueden formar? A) 8 D) 12
4.
C) 9 E) 4
B) 4
Se cumple que o
Si
a123a123a = 9
o
o
abc = 25
babaabbb = 11 + 3
o
Calcule el mayor valor de a+b.
cba = 4 o
bca = 9
A) 12 D) 13
calcule a×b+c. A) 47 D) 37
B) 41
C) 49 E) 43
NIVEL INTERMEDIO
5.
En la sucesión 5; 12; 19; 26; …; 348 ¿cuántos de los términos dejan residuo por exceso 3, al dividirlos entre 9? A) 6 D) 4
B) 5
C) 7 E) 3
B) 14
C) 15 E) 11
10. Calcule el menor numeral capicúa de 5 cifras que es múltiplo de 56. Dé como respuesta la suma de sus cifras. A) 9 D) 12
B) 7
C) 8 E) 5
11. Si N=abcd y 55N=x86495, halle el complemento aritmético de N. A) 4179 D) 4719
B) 4971
C) 4791 E) 4917 UNMSM 2012 - II
24
Aritmética 14. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-
NIVEL AVANZADO
ponda.
12. En la siguiente sucesión
B) 17
o
o
13; 18; 23; 28; … ¿cuántos de los términos de tres cifras dejan residuo 7 al dividirlos entre 11? A) 18 D) 15
o
I. Si ab123 = 17+ 3, entonces 123ab = 17 + 15.
C) 16 E) 14
o
II. Si abc=9, entonces cb00a=9. o
o
III. Si abc = 11 + 5, entonces cba = 11 + 5. A) VFF D) VVV
B) FVV
C) VFV E) FFV
15. Claudia recuerda que su número de celular es
S/.4,50 y S/.3,50. Juan decide comprar de ambos precios. Si tiene S/.228, calcule la suma de la máxima y mínima cantidad de artículos que puede comprar?
de la forma 9abnnnaba, además que el numeral que se forma con las 3 primeras cifras es múltiplo de 25 y el numeral que se forma con las 3 últimas cifras es múltiplo de 4. Si además el número de celular es múltiplo de 7, calcule la suma de sus cifras.
A) 114 D) 118
A) 32 D) 43
13. Cada cuaderno y fólder tienen un precio de
B) 116
C) 117 E) 119
25
B) 34
C) 40 E) 41
Aritmética A) 3 D) 5
Números primos y compuestos I NIVEL BÁSICO
1.
4.
C) 36 E) 9
A) 7 D) 4
A) FFV D) FFF
B) 6
C) 8 E) 10
C) 5 E) 3
¿Cuántos números de 3 cifras son PESI con 200? B) 180
C) 270 E) 450
B) 2
C) 3 E) 5
El menor número primo de 3 cifras, cuyas cifras también son primos, se divide entre 11. ¿Cuál es el residuo? A) 2 D) 5
B) 3
B) VFV
C) VVV E) VVF
10. ¿Cuántos números entre 80 y 160 son PESI con 72? A) 24 D) 27
B) 25
C) 26 E) 28
11. Si mn y mn+50 son PESI, ¿cuántos valores
¿Cuántos números de la forma 54a son primos? A) 1 D) 4
7.
9.
B) 4
Se cumple que los números 6a y 70 son PESI. ¿Cuántos valores puede tomar a?
B) 7
NIVEL INTERMEDIO
6.
A) 6 D) 18
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si A y B son PESI, entonces A+B y A son PESI. II. Si A y B son PESI, y A y C son PESI, entonces A y (BC) son PESI. III. Si A y B son PESI, y A y C son PESI, entonces A y (B+C) son PESI.
A) 90 D) 360
5.
Calcule el residuo de dividir P entre 216. 100 primos
C) 15 E) 12
¿Cuántos números de la forma 1bc7 son primos? A) 6 D) 9
3.
B) 20
C) 2 E) 1
2 2 P = 2 × 32 × 5 × 72 × 112 ...
Se tienen tres números primos diferentes a, b y c; tal que 2a2+3b+2c=70. Calcule el menor valor de a+b+c. A) 28 D) 14
2.
8.
B) 4
C) 4 E) 6
Para averiguar si un número es primo, se pensó realizar 7 divisiones, pero en la cuarta división, resultó que era compuesto. ¿Cuántos números cumplen con esta condición?
puede tomar mn? A) 36 D) 50
B) 45
C) 30 E) 54
NIVEL AVANZADO
12. Arturo, Benito y Carlos cumplen años el mismo mes, y la fecha de sus cumpleaños son números primos y caen siempre en los tres casos un día sábado. ¿Cuál es la suma de la fecha de sus cumpleaños y en qué día empieza ese mes? A) 50; sábado B) 53; jueves C) 51; jueves D) 49; sábado E) 51; viernes 26
Aritmética 13. El profesor Raúl propone a su alumno Javier
que averigüe si el numeral abb es primo. Para ello Javier calcula la raíz cuadrada y observa que tiene que realizar 8 divisiones; pero en la sexta división determina que era compuesto. Si el profesor Raúl premiara a Javier con una cantidad de caramelos que es la suma de cifras del numeral abb, ¿cuántos recibiría Javier? A) 15 B) 13 C) 11 D) 17 E) 19
14. ¿Cuántos números entre 200 y 700 son PESI con 15490?
A) 261 D) 260
C) 265 E) 267
15. Si abc y ( abc + 120 aduni ) son PESI, ¿cuántos valores toma abc. A) 120 B) 150 C) 360 D) 240 E) 660
27
B) 266
Aritmética Números primos y compuestos II
6.
NIVEL BÁSICO
1.
Si el número N se descompone de la siguiente manera
A) 2 D) 3
7.
A) 6 D) 9
A) 70 D) 71
B) 7
C) 8 E) 10
Sea P=161×162×163× ... ×16n Calcule la cantidad de divisores de P.
8.
9.
C) n × ( n + 1) 2 D) 2n×(n+1)+1 E) 4n×(n+1)+1 Calcule la cantidad de divisores de 36 000, que sean múltiplos de 5 pero no de 25. A) 24 D) 27
B) 36
C) 18 E) 54
Sea M=nn+1×(n+1)n descompuesto en forma canónica. Calcule la suma de los divisores de M. A) 135 D) 195
B) 54
B) 145
C) 175 E) 205
C) 50 E) 36
Si el número A=42n+2 – 42n, posee 250 divisores compuestos, calcule la cantidad de divisores enteros positivos de A que son múltiplos de n. A) 190 D) 193
B) 2n×(2n+2)
4.
C) 5 E) 1
calcule el menor valor de a+b.
A) n×(n+1)+1
3.
B) 4
Se tiene que N=11500...006. Si N tiene 30 divisores múltiplos de 3 y PESI con 47, ¿cuántos divisores propios tiene N?
N=(3a+4)a×(2a – 1)b×(2b – 5)
2.
Si al expresar 256 a base n se tiene un numeral cuya última cifra es 7, ¿cuántos valores puede tomar n?
B) 191
C) 192 E) 195
Halle el número entero de la forma 2a×7b, sabiendo que al multiplicarlo por 14 se duplica la cantidad de sus divisores positivos y que, al dividirlo entre 4, el número de sus divisores positivos se reduce a la tercera parte. A) 14 D) 28
B) 56
C) 63 E) 98 UNMSM 2010 - II
10. El numeral abab tiene 12 divisores, de los cuales 3 son simples. Calcule la suma de divisores del numeral. A) 6426 D) 2448
B) 3264
C) 4896 E) 3672
11. Se tienen 2 números diferentes de 4 cifras igua-
les, que tienen 16 divisores cada uno. Calcule la suma de divisores de la diferencia positiva de dichos números.
NIVEL INTERMEDIO
5.
¿Cuántas veces se debe multiplicar por 24 a 16 para que se obtenga un número con 60 divisores múltiplos de 12? A) 10 D) 4
B) 8
C) 6 E) 5
A) 3466 B) 3672 C) 4566 D) 3446 E) 3456 28
Aritmética 14. Si el numeral ababab tiene 32 divisores y la
NIVEL AVANZADO
suma de sus divisores múltiplos de 111 es 223 776, calcule a+b.
12. Si N=2n×3n – 1×52×74 y la cantidad de diviso-
res que no son múltiplos de 10 es 350, halle el valor de n. A) 4 D) 7
B) 6
C) 5 E) 3
13. Si N tiene 3 divisores simples y N2 tiene 60 divisores compuestos, calcule la mayor cantidad de divisores que puede tener N. A) 20 D) 22
B) 16
C) 18 E) 24
29
A) 10 D) 4
B) 5
C) 8 E) 11
15. Se tiene que la suma de divisores de N es 403. Calcule la cantidad de divisores del menor valor de N. A) 30 B) 24 C) 8 D) 9 E) 36
Aritmética MCD y MCM 6.
NIVEL BÁSICO
1.
El máximo común divisor de dos números enteros positivos es 19. Halle la diferencia positiva de estos números sabiendo que su suma es 114. A) 57 D) 63
B) 38
C) 45 E) 76
A) 15 D) 6
7.
UNMSM 2011- II
2.
Se tiene que A=212×314 B=215×311 Si m es la cantidad de divisores del MCD(A; B) y n es la cantidad de divisores del MCM(A; B), calcule el valor de m+n. A) 396 D) 390
3.
B) 2 m
A) 20 D) 21
B) 40
C) 25 E) 18
Si el MCD(A; 240)=20; 100 < A < 300, ¿cuántos valores toma A? A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
C) 8 E) 9
Sean los números A=2n×33n×52n B=34n×5n×7n Si la cantidades de divisores positivos del MCD(A; B) y MCM(A; B) son 65 y abcd, respectivamente, calcule MCD(ad; cb). B) 4
C) 5 E) 7
Con ladrillos de 8 cm×10 cm×12 cm se formará un cubo compacto, cuyo lado es el menor posible. ¿Cuántos ladrillos se necesitarán y cuánto medirá el lado del cubo? A) 1200 y 1,8 m B) 180 y 1,2 m C) 120 y 18 m D) 2400 y 2,4 m E) 1800 y 1,2 m
C) 4 m E) 5 m
NIVEL INTERMEDIO
5.
8.
C) 388 E) 385
Se tienen 3 depósitos de vino con 360 L, 280 L y 200 L. Si se desea vender en barriles todos con igual volumen, sin que sobre vino, ¿cuántos barriles como mínimo serán necesarios?
B) 12
A) 1 D) 6
¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 20 cm, de 50 cm y de 80 cm de largo? A) 10 m D) 20 m
4.
B) 387
La diferencia de 2 números positivos es 72. El MCM de ellos es 960, calcule la suma de cifras del mayor de los números.
9.
Si MCD(aba; cc0)=15, además, a < c < b, calcule a+b+c. A) 19 D) 15
B) 16
C) 17 E) 20
10. Si MCD(2A; 5B)=20k MCD(3A; 11C)=18k MCD(6A; 15B; 22C)=360 calcule el valor de A B MCD ; 5 2 A) 30 D) 45
B) 60
30
C) 15 E) 18
Aritmética 11. Al calcular el MCD de 2 números, mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos 2; 3; 1 y 3. Si el MCM de dichos números es ab70, calcule a+b. A) 8 D) 10
B) 6
C) 5 E) 12
A) FFV D) VFF
B) VVF
C) FFF E) VVV
14. Un terreno de 880 m de largo y 780 m de ancho será dividido en parcelas cuadradas. Si en cada una de las esquinas de las parcelas habrá una estaca, ¿cuántas estacas como mínimo se necesitarán y cuántas habrán alrededor del terreno?
NIVEL AVANZADO
12. Al calcular el MCD de 2 números, mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes sucesivos 4; 3; 1 y 2. Si la suma del MCD y MCM de dichos números es 2072, calcule la diferencia de los números. A) 288 D) 48
B) 72
C) 144 E) 96
A) 1716 y 162 D) 1800 y 166
B) 1634 y 162 C) 1716 y 166 E) 1800 y 164
15. En una pista circular de (800/p) m de radio, 3 ciclistas parten simultáneamente del mismo punto y con velocidades de 20 m/s; 40 m/s y 50 m/s. ¿Cuánto tiempo como mínimo debe pasar, para que se vuelvan a encontrar en el punto de partida, y cuántas vueltas habrá dado el ciclista de mayor velocidad en ese tiempo?
13. Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si A y B son PESI, entonces MCD(A; A+B)=1 II. Si A=320 – 1 y B=335 – 1, entonces MCD(A; B)=222223 III. MCD(210; 310)×MCM(210; 310)=610
31
A) 120 s y 2 B) 160 s y 4 C) 2 min, 40 s y 5 D) 1 min, 40 s y 4 E) 2 min y 5
Aritmética Números racionales I 6.
NIVEL BÁSICO
1.
Al repartir una cantidad de dinero, a Pedro le corresponde 3/8 de esta cantidad y solo ha recibido 1/12 de la misma. Si le falta recibir S/.330, ¿cuál fue la cantidad inicial de dinero? A) S/.1440 D) S/.960
B) S/.720
C) S/.600 E) S/.1080
A) 23 D) 22
7.
UNMSM 2010 - II
2.
Halle una fracción equivalente a 143/91, tal que la diferencia de sus términos sea un número de 2 cifras, el mayor posible. Dé cómo respuesta la suma de los términos de dicha fracción. A) 414 D) 432
3.
C) 360 E) 450
B) 140
C) 150 E) 130
Juan puede hacer una obra en 20 días y Carlos, en 30 días. Si trabajan juntos, ¿en cuántos días podrán realizar dicha obra? A) 10 D) 15
B) 25
C) 24 E) 12
8.
Un comerciante tenía N cuadernos, vendió su mercadería de la siguiente forma: 1/5, más 20 cuadernos el primer día; 1/4 del resto, menos 30, el segundo día. Si para el tercer día le quedaron para vender (N – 175) cuadernos, calcule la suma de cifras de N. B) 16
C) 9 E) 7
Un tanque puede ser llenado por un caño A en 20 horas, por un caño B en 24 horas y puede ser vaciado por una tubería C en 30 horas. Si A y B se abren durante 4 horas y luego se cierran, ¿en cuánto tiempo C vaciará el tanque? A) 30 horas D) 12 horas
9.
C) 24 E) 33
B) 24 horas
C) 11 horas E) 15 horas
Tres barras de acero de igual sección y cuyas longitudes en metros son exactamente: 120/7; 100/15 y 80/35. Se quieren dividir, sin desperdiciar material, en trozos todos de igual longitud. ¿Cuántos trozos como mínimo se obtendrán? A) 137 D) 140
B) 138
C) 139 E) 136
10. Se tienen 3 reglas de 1 m longitud, gradua-
NIVEL INTERMEDIO
5.
B) 25
A) 15 D) 12
Carlos repartió S/.N entre sus 3 hijos, al mayor le entregó 1/3, al intermedio 1/4 del resto y al último 1/5 del nuevo resto. Si a Carlos le sobra S/.60, calcule el valor de N. A) 120 D) 100
4.
B) 180
¿Cuántas fracciones equivalentes a 63/36, tienen como suma de términos un número de 3 cifras y como diferencia de términos un número de 2 cifras?
¿Cuántas fracciones irreductibles, cuyos términos se diferencia en 2 unidades, existen entre 35/29 y 84/60?
das uniformemente: la primera cada 2/5 mm, la segunda cada 4/15 mm y la tercera cada 8/35 mm. Si se les hace coincidir en toda su extensión, ¿cuántas veces coincidirán los trazos de las reglas?
A) 1 D) 4
A) 630 D) 626
B) 2
C) 3 E) 5
B) 627
32
C) 625 E) 628
Aritmética 11. La suma de dos fracciones irreductibles es 5,
los términos de la primera fracción suman 17 y los de la segunda 25. Calcule la diferencia de las fracciones. A) 2/3 D) 2/9
B) 4/3
C) 5/6 E) 1/3
NIVEL AVANZADO
12. Indique la secuencia correcta de verdade-
ro (V) o falso (F) según corresponda. I. Existen 27 fracciones propias con denominador 28. II. Existen 12 fracciones propias e irreductibles con denominador 28. 17 25 III. Sean las fracciones irreductibles, y b d 17 25 además, + = 6 , entonces b+d=14. b d
A) VFF D) VVF
B) FFF
C) VVV E) VFV
33
13. ¿Cuántas fracciones existen que sean impropias e irreductibles, con numerador 200? A) 80 D) 79
B) 71
C) 72 E) 120
14. Del dinero que tengo, gasto 1/5 de lo que no gasto, luego pierdo 2/7 de lo que no pierdo y, por último, regalo 3/4 de lo que no regalo. ¿Qué parte de mi dinero me queda? A) 5/9 D) 2/9
B) 5/7
C) 10/27 E) 7/9
15. Se tiene un alambre de L metros que se divide en 4 partes, cada parte es 1/2 vez más que la longitud de la parte anterior. Si la mayor y menor parte suman 70 cm, calcule el valor de L. A) 120 cm D) 130 cm
B) 150 cm
C) 100 cm E) 110 cm
Aritmética Números racionales II 6.
NIVEL BÁSICO
1.
Se tiene que 11 , + 2, 2 + 3, 3 + ... + 8, 8 E= 11 , + 2, 2 + 3, 3 + ... + 8, 8
Halle a+b. A) 6 D) 8
Calcule la suma del numerador y denominador de la fracción irreductible equivalente a E. A) 19 D) 199
2.
B) 109
C) 110 E) 10
7.
3.
B) 2015
C) 18 E) 11
8.
A) 2 D) 6
B) 3
C) 4 E) 8
NIVEL INTERMEDIO
5.
× 5040 × 21
A) 126 D) 246
B) 166
C) 127 E) 87
Se tiene que 13 = 0, ab ... xy 47 Calcule a+b+x+y. A) 21 D) 18
B) 10
C) 19 E) 12
número decimal periódico puro, si se sabe que no tiene parte entera, que su generatriz tiene por denominador 37 y que cada cifra del periodo excede en 2 unidades a la que está a su izquierda.
calcule a+b. B) 4
80
10. Halle el producto de cifras del periodo de un
Si 2a = 0,7 ( b + 2)( b + 3) b7
A) 9 D) 5
C) 17 E) 21
Indique la suma de las cantidades de cifras periódicas y no periódicas que genera 80
C) 2013 E) 2012
Indique la última cifra del periodo que origina 12 . la fracción 107
B) 15
4040
9. 4.
Se tiene que ab = 0,( a + 1)( a − 1)a09 cc
A) 11 D) 19
¿Cuántas cifras decimales genera la siguiente expresión? 16 000 M = 2017 2 × 52015 A) 2017 D) 2014
C) 9 E) 7
Calcule el valor de a+b+c.
calcule el valor de a+b. B) 9
B) 10
UNMSM 2012 - II
Si 0, a + 0, b + 0, ab + 0, ba = 1, 99
A) 12 D) 6
Sean a, b enteros positivos que satisfacen a b + = 0, 969696... 11 3
C) 13 E) 7
A) 15 D) 70
B) 16
34
C) 192 E) 105
Aritmética 11. Se tiene que A= B=
0,1 + 0, 2 + ... + 0,7
A) 18 D) 16
0,12 + 0, 23 + ... + 0,78
14. Si
1, 2 + 2, 3 + ... + 7, 8 0, 012 + 0, 023 + ... + 0, 078
B) 2000/41
D) 280/31
C) 20 E) 17
+ 0, ba + 0, aa + 0, bb = 1, 326 0, ab
calcule a+b.
Calcule el valor de A×B. A) 240/41
B) 19
C) 240/31 E) 4000/41
A) 4 D) 7
B) 5
C) 6 E) 8
15. Indique la secuencia correcta de verdadeNIVEL AVANZADO
12. Calcule la suma del numerador y denominador de la fracción irreductible equivalente a
(
1, 6333... + 0, 8333... ) .
A) 24
2
B) 31
D) 23
ro (V) o falso (F) según corresponda. I. Existen 81 números decimales de la forma . 0, ab II. La última cifra del desarrollo decimal de 323 × 215 230 × 540
C) 29 E) 32
13. Se cumple que a b + = 1, 898989... 9 11 Calcule el mayor valor de a+b.
35
III. Si
es 4.
a = 0, 45 , entonces a+b=16. b
A) FFF B) FVF C) VVV D) FFV E) VVF
Aritmética Análisis combinatorio deporte tiene por elegir uno entre fútbol, natación o básquet. En informática tiene por elegir uno entre diseño grafico o diseño web. ¿De cuántas maneras podría estudiar Carlitos en sus vacaciones?
NIVEL BÁSICO
1.
Jorge tiene como opciones para almorzar 2 restaurantes. En el primero hay 3 entradas diferentes y 4 segundos diferentes; en el segundo hay 2 entradas diferentes y 5 segundos diferentes. ¿De cuántas maneras podrá almorzar? A) 14 D) 22
2.
C) 120 E) 44
B) 120
C) 20 E) 729
B) 216
B) 480
C) 360 E) 560
¿Cuántos números de 6 cifras cumplen que el producto de sus cifras es 18? B) 30
C) 150 E) 180
En un restaurante hay 2 mesas circulares para 4 personas cada una. Además, llegan 8 amigos de los cuales 4 son mujeres. ¿De cuántas formas se podrán sentar si los varones y mujeres estarán en mesas distintas? A) 36 B) 576 C) 72 D) 144 E) 288
C) 18 E) 729
Carlitos para sus vacaciones tiene para elegir 2 clases de 3: música, deporte e informática. En música tiene para elegir un instrumento entre guitarra, piano, batería o trompeta. En
C) 26 E) 30
Carlos, Marcos, Luis, Fanny, Esther y Claudia se sentarán en una fila de 6 asientos. ¿De cuántas formas se podrán sentar, si Carlos y Fanny no quieren sentarse juntos?
A) 90 D) 120
8.
NIVEL INTERMEDIO
5.
7.
De un grupo de 6 estudiantes se elegirá a 3 para una comisión encargada de realizar un periódico mural. ¿De cuántas formas se podrá elegir a este grupo de estudiantes? A) 120 D) 20
B) 25
A) 240 D) 720
En una mesa circular se sentarán 5 personas. ¿De cuántas formas se podrán sentar si 2 de ellas en particular se sentarán juntas? A) 12 B) 24 C) 120 D) 6 E) 48
4.
6.
De un grupo de 6 estudiantes se elegirá a 3 para los cargos de delegado, secretario y tesorero. ¿De cuántas maneras se puede ocupar estos cargos? A) 18 D) 216
3.
B) 49
A) 24 D) 28
9.
De un grupo de 3 varones y 6 mujeres, se debe elegir una comisión mixta de 3 personas, formada por al menos un varón. ¿De cuántas formas se puede elegir esta comisión? A) 45 D) 18
B) 60
36
C) 63 E) 27
Aritmética 10. En un plano existen n puntos, en el que no hay más de dos que sean colineales y con los cuales se forman segmentos, tal que el número de estos es igual a 5n. Halle el valor de n. A) 9 D) 11
B) 10
C) 8 E) 15 UNMSM 2010 - II
11. Se quiere formar equipos de vóley de 6 jugadoras. ¿Cuántos equipos se podrán formar si entre las participantes se encuentran Ana, Bertha, Carmen, Daniela, Elena, Fabiola, Gabriela y Heydi? Considere que Ana y Bertha no están en el mismo equipo. A) 28 D) 26
B) 15
C) 21 E) 13
y Vilcanota; en Apurímac: Andahuaylas, Chalhuanca, Abancay y Pachachaca, en Ayacucho. Huarpa, Cora Cora y Huanta. ¿De cuántas maneras Jaime podrá conseguir su objetivo? A) 24 D) 18
B) 26
C) 30 E) 36
13. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 5 esferas iguales en 3 cajas distintas si en cada caja se puede guardar una o más de una esfera? A) 125 D) 15
B) 21
C) 35 E) 10
14. ¿Cuántas secuencias de bits (0; 1) de longitud 10 contienen a lo más cuatro dígitos 1? A) 386 D) 300
B) 360
C) 240 E) 420
15. De 7 varones y 6 mujeres, se elige a 3 varones y
NIVEL AVANZADO
12. Jaime desea viajar solo a 2 departamentos elegidos entre Cusco, Apurímac y Ayacucho. Si en cada departamento conocerá 2 valles distintos, en Cusco tiene como opciones: Urubamba
37
3 mujeres para sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuántas maneras se podrán sentar si no pueden sentarse 2 varones juntos ni 2 mujeres juntas? A) 43 200 D) 50 400
B) 90 720
C) 32 400 E) 38 880
Aritmética Miscelánea de problemas A) 64/5 D) 47/5
NIVEL BÁSICO
B) 23/5
C) 42/5 E) 32/5 UNMSM 2010 - I
1.
Si el máximo común divisor de los términos de una fracción equivalente a 4/7 es 18, halle la suma de sus términos. A) 180 D) 99
2.
B) 140 L
B) 24
Tres números en progresión aritmética suman 54. Si el mayor es el doble del menor, calcule la suma de cifras del mayor. A) 8 D) 5
B) 6
C) 7 E) 10
NIVEL INTERMEDIO
5.
¿Cuántos pares de números enteros positivos cuyo MCD es 24 existen entre 200 y 300? A) 6 D) 2
B) 8
C) 4 E) 3 UNMSM 2011 - II
6.
El producto de dos números es 64 y la suma de sus raíces cuadradas positivas es 6. Calcule la media armónica de dichos números
B) 3
C) 1 E) 9 UNMSM 2009 - I
8.
C) 720 L E) 240 L
C) 15 E) 45
Una fracción irreductible tiene denominador 2. Si a esta fracción le restamos 13/6, se obtiene la inversa de la fracción con signo opuesto. Determine el numerador de la fracción. A) 5 D) 7
Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto día. Si empieza su trabajo el lunes, ¿cuántos días tiene que transcurrir para que le toque descansar un domingo? A) 30 D) 42
¿Cuántos números de 2 cifras no son múltiplos de 6 ni de 5? A) 20 D) 60
4.
C) 66 E) 88
Un tanque puede ser llenado en un número exacto de minutos por cualquiera de los tres grifos que vierten 60; 90 y 80 litros por minuto, respectivamente. ¿Cuál es la menor capacidad que debe tener el tanque? A) 360 L D) 180 L
3.
B) 198
7.
9.
B) 33
C) 41 E) 48
¿Cuántos números de tres cifras existen tales que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 500 D) 635
B) 625
C) 675 E) 600
10. Se divide el número 927 entre 22. ¿Cuál es el producto de la cantidad máxima en que puede aumentarse al dividendo, de manera que el cociente no varíe por el nuevo residuo que se genera? A) 54 D) 368
B) 63
C) 336 E) 378
11. En una serie de razones iguales, los antecedentes son: 3; 5; 7 y 8, y el producto de los consecuentes es 13 440. Calcule la suma de los consecuentes. A) 46 D) 16
B) 8
38
C) 58 E) 38
Aritmética A) 64 D) 8
NIVEL AVANZADO
12. El número A=49n+2 – 49n tiene 175 divisores compuestos. Calcule la suma de los divisores positivos de nnnn. A) 2448
B) 3672
D) 1326
C) 1224 E) 2346
13. Se tiene los conjuntos A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} B={3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} Calcule el valor de
n [ P( A) ∩ P( B)] .
39
B) 32
C) 16 E) 4
14. ¿Cuál es el residuo de dividir 201932 entre 7? A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
15. Se divide un capital C en 2 partes, la primera parte se deposita al r % mensual durante 8 meses y la segunda parte se deposita al r % trimestral durante 2 años. Obteniendo como interés total C/5. Calcule el valor de r. A) 3 D) 3,5
B) 2,5
C) 2 E) 4
