Matakuli Mataku liah ah : MET METOD ODE E NUM NUMER ERIK IK I Tahun : 2008
ANALISIS GALAT (Error) Pertemuan 2
Galat atau ralat atau kesalahan (error) adalah selisih antara nilai sejati (sebenarnya) dengan nilai hampirannya Dalam metoda numerik, galat berarti selisih antara nilai hasil perhitungan analitik (nilai sejati = a) dengan nilai hasil Perhitungan numerik (nilai hampiran = â)
Galat mutlak em= |a - â|
Galat relatif er = (em/ â) x 100 %
Contoh: Misalkan nilai sejati (a) = 10,45 dan nilai hampiran (â) = 10,5, maka galat mutlaknya adalah: em = |a - â| = |10,45 – 10,5|= 0,01 Dengan galat mutlak kita tidak mengetahui seberapa dekat (teliti) hasil hampiran yang kita peroleh terhadap nilai sejatinya Contoh: Perhitungan -1 em1 = |100,5 – 99,8| = 0,7 Perhitungan -2
em2 = |10,5 – 9,8|
= 0,7
Dari dua perhitungan tsb, perhitungan mana yang lebih teliti?
Jawaban: er1 = (0,7/99,8) x 100 % = 0, 7014 % 99,2986 % er2 = (0,7/9,8) x 100 % = 7,14286 % 92,8571 % Perhitungan -1 lebih teliti.
ketelitian
ketelitian
Sumber Error/Galat numerik 1. Galat Galat pemoton pemotongan gan (tranc (trancati ation on error) error) 2. Galat Galat pembul pembulata atan n (round-o (round-off ff error) error) Galat pemotongan timbul akibat penggunaan rumus hampiran sebagai pengganti rumus eksak Misalnya Deret Taylor
f(x) = f(x0) + f (’) (x0) (x-x0) + ½! f (”) (x0) (x-x0)2 + 1/3! f (3) (x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f (n) (x0) (x-x0)n + Rn(x) Rn(x) = {1/(n+1)!} f (n+1) (
ζ ) x(n+1) , x0 < ζ < x
Rn(x) adalah galat pemotongan
Contoh Cos x = 1 – 1/2! x2 + 1/4! x4 + … ± 1/(2n)! X(2n) + Rn(x) = 1 – ½! x2 +R1(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 + R2(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + R3(x) = 1 – ½! x2 + ¼! x4 – 1/6! x6 + ¼! x8 + R4(x) R1(x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -1 R2 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -2 R3 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -3 R4 (x) = Galat pemotongan untuk pendekatan orde -4
Galat pembulatan timbul akibat penggunaan alat hitung (misalnya, kalkulator, komputer) yang kemampuannya terbatas Contoh: 1. Kalkulator/komputer dalam menyajikan bilangan 1/3 = 0.3333… yang tidak pernah tepat 1/3. Untuk perhitungan tiga desimal, 1/3 = 0.333 Terdapat galat pembulatan = 0.000333… Untuk perhitungan 6 desimal, 1/3 = 0.333333 Terdapat galat pembulatan = 0.000000333… 2. Dalam sistim bilangan biner, (0.1)10 = (0.0001100110011001100110011…) (0.0001100110011001100110011…) 2 ≠ (0.1)
Penyajian bilangan Dalam komputasi numerik, pada umumnya bilangan riil disajikan dalam format “floating point” atau disebut “titik kambang” yang dinormalkan. Format floating point ternormalisasi: x= ± m.β p ± tanda; m mantisa; β bilangan pokok; p eksponen m = 0.d1d2d3…dk → β -1 ≤ m <1 Untuk sistim bilangan desimal, maka β = 10 0.1 ≤ m <1; 1 ≤ d1 < 9; 0 ≤ dk < 9 Untuk sistim bilangan biner, maka β = 2 0.5 ≤ m <1; d1=1 ; 0 ≤ dk ≤ 1
Contoh: 1. Sistim bilangan desimal 0.7392.104 sering juga ditulis 0.7392 E+04 (= 7392) - 0.3246.102 sering juga ditulis - 0.3246 E+02 (= 32.46) 0.1627.10-3 sering juga ditulis 0.1627 E-03 (= 0.0001627)
2. Sistim bilangan biner Untuk komputer 32 bit word, 1 bit untuk tanda, 7 bit untuk eksponen bertanda dan 24 bit untuk mantisa
0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Pangkat bertanda
Mantisa
Tanda 0=+ 1=-
X = 0.100000000000001000110011.2-13 = 0.5000335574.10 0.5000335574.10-7
0
0
0
1
1
0
0
1
1
Contoh: 1. a = 3,141592; â = 3,142
er
=
3,141592 − 3,142 14 2 3,142 14 2
=
0,0001299 <
â mendekati a teliti sampai tiga desimal
10
−3
2
Batas Penghampiran
Bilangan â disebut mendekati a sampai pada d digitdigit yang signifikan bila d adalah bilangan positif terbesar yang memenuhi:
er
a =
ˆ −a ˆ a
10 <
−d
2
Error Measures • True value = Approximate value + Error
~ x = x ±
ε
∀ ε = Error = True value - Approximate value
~
ε = x − x ∀
ε x − x ε r =∣ ∣=∣ ∣ x x
ε r = relative error
ε r
•
d = significant digits
~ x − x 1 − d = < 10 ~ 2 x
Example • Pi ~ 3.1416 • Better approximation x = 3.1415927. • Find the error, relative error and the number of significant digits in the approximation.
ε
~ = x − x = 3.1 4 1 5 9 2 7− 3.1 4 1 6 = − 0.0 0 0 0 0 7 3
−
ε r
0.0000073
d < −
=
3.1415927 =
0.0000023237
=−
=
ln( 2e) ln(10 ) ln( ln( 2 * 0.0000023237 )
5.3329
ln( ln(10 )
Error Perkiraan
∀
is the approximate error between the current approximate value and our previous approximate value
ε A
ε A
ε r
k ~ = x
A
1
+
=
k ~ − x
ε A
~ x
k +1
k ~ x
+1
=
k ~ − x
k ~ x
+1
Contoh • Estimate exp( x ) for x = 0.5 by adding more and more terms to the sequence and computing the errors after adding each new term. ter m. Add terms until the estimate is valid to three significant digits. • From a calculators x = 1.648721271 x
e
= 1 + x +
ε r =
x
2
2!
~ x− x x
x +
<
3
3!
x +
1 2
4
4!
10
+
−2
=
0.005
Contoh
x
e
= 1 + x +
x
2
2! x
Gunakan hanya termin I dari barisan e Gunakan termin I, II dan seterusnya dari barisan
x +
3 +
3! ≈
x
1
4
4! x
~
ε =
x
=
1.648721271 −1.5
# Termin
1.648721271 Hasil
≈ 1 x = 1 0 . 5 = 1 . 5
e x − x
+
=
0.09
=
9% ε
1
1
0.393
2
1.5
3
1.625
0.014
4
1.645833333
0.0017
5
1.648437500
0.00017
6
1.648697917
0.000014
0.09
Deret Taylor Deret Taylor dapat digunakan untuk memperkirakan nilai suatu fungsi pada satu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik lainnya. Setiap fungsi kontinu dapat didekati dengan suatu polinomial. Teorema: Suatu fungsi yang mempunyai turunan sampai orde (n+1) dan kontinu dalam selang [a,b] dan memuat X0, maka f dapat diperluas (diekspansikan) dalam deret Taylor, yaitu:
f(x) = f(x0) + f (’) (x0) (x-x0) + ½! f (”) (x0) (x-x0)2 + 1/3! f (3) (x0) (x-x0)3 + … + 1/n! f (n) (x0) (x-x0)n + Rn Rn =truncated error
Secara geometris, deret Taylor mempunyai arti: apabila harga suatu fungsi diketahui di x = x0, maka harga fungsi tersebut dapat dihitung Contoh: disekitar x0 √1 = 1; Tentukan √1,01=?
Jawban: f(x) = √x = (x)1/2 , dengan x = 1,01 dan x 0 = 1 dan x – x0 = 0,01 →f (‘) (1) = ½ f (‘) (x) = ½ x-1/2 , = 0,5 f (“) (x) = -1/4 x-3/2 , →f (“) (1) = - ¼ = - 0,25 →f (3) (1) = 3/8 = 0,375 f (3) (x) = 3/8 x-5/2 , f (4) (x) = -15/16 x-7/2 , →f (4) (1) = -15/16 = - 0,9375
Selanjutnya
n f (n) (1)
0 1
1 0,5
2 -0,25
3 4 0,375 - 0,9375
f(x) = f(x0) + f (’) (x0) (x-x0) + ½! f (”) (x0) (x-x0)2 + 1/3! f (3) (x0) (xx0)3 + … + 1/n! f (n) (x0) (x-x0)n + … = 1 + (0,5)(0,01) + (0,5)(-0,25)(0,01) 2 + (0,16667) (0,375)(0,01)3 + (0,04167)(-0,9375)(0,01) 4 + … = 1,0049875 (perhitungan tujuh desimal)
PerambatanGalat Misalkan dua buah bilangan a1 dan a2 dengan nilai hampirannya masing-masing masing-masing â1 dan â2 Maka: a1= â1 ± e1 → er1 = e1/ â1 a2 = â2 ± e2 → er2 = e2/ â2 Perambatan galat dari a 1 dan a2 pada: 1. Penj Penjum umla laha han n A = a1 ± a2 = (â1 ± e1) ± (â2 ± e2) = (â1 ± â2) ± (e1 + e2) = (â1 ± â2) ± eA eA = e1 + e2 , yaitu galat absolut dari penjumlahan penjumlahan (± )
2. Perkalian B = a1 . a2 = (â1 ± e1).(â2 ± e2) = (â1. â2)
± (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2)
= (â1. â2) ± eB eB = (â1 e2 + â2 e1 + e1 e2) 3. Pembagian P
=
a1 a2
± e (aˆ ± e ) aˆ = = x (aˆ ± e ) aˆ aˆ ± e aˆ1 2
P= (â1/ â2)
1
2
1
1
2
± eP → eP =
2
2 2
→ erB = er1 +er2
aˆ e e = ± 1 aˆ aˆ aˆ 1
2
1
2
2
ˆ ˆ −ˆ e
1
a
2
2
a
a
1 2
2
e
2
aˆ ≈ aˆ
1 2
e aˆ ± − aˆ aˆ 1
2
1 2
2
e 2
Soal Latihan 1. Diket iketah ahu ui b= 1.6 1.648 4872 721 1271, 271, Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah relatif errornya? 2. π=3,14159265358…, bila π dinyatakan dalam 6 desimal, hitunglah error relatif jika: a. dilakukan pemotongan tanpa pembulatan? b. dilakukan pemotongan dengan pembulatan? 3. Diketahui p=2,25 dan q=100 (nyatakan batas mutlak desimal sebagai error) a. Tentukan error mutlak dari p.q b. Tentukan error relatif dari p+q Catatan: Misalnya 10,2 adalah bilangan 1
desimal maka batas mutlaknya (0,1)/2 =0,05
