Fundamentos y PráCtica de Las MatemáTicas Financieras

Miguel Córdoba Bueno

Fundamentos y Práctica de las Matemáticas financieras

Fundamentos y Práctica de las Matemáticas Financieras

Miguel Córdoba Bueno

Fundamentos y Práctica de las Matemáticas Financieras

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Preimpresión por: Besing Servicios Gráficos e-mail: [email protected]

SUMARIO

PARTE I. TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS.

Capítulo 1. Introducción a las Finanzas. 1. Magnitudes básicas: Capital y Plazo. 2. Operaciones financieras. Concepto y Tipología. 3. Los Tipos de Interés. Capítulo 2. Operaciones de Capitalización. 1. Operaciones de capitalización simple. 2. Operaciones de capitalización compuesta. 3. Tipo nominal y T.A.E. (tipo actualizado equivalente). Capítulo 3. Operaciones de Descuento. 1. Operaciones de descuento simple. 2. Comparación entre interés simple y descuento simple. 3. Operaciones de descuento compuesto. Capítulo 4. Las Rentas. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Concepto de renta. Clasificación de las rentas. Valor de una renta. Modelos de rentas más usuales. Operaciones de constitución de un capital. Nuda-propiedad y Usufructo de una renta.

Capítulo 5. Operaciones de Préstamo. 1. 2. 3. 4. 5.

Concepto y clasificación de las Operaciones de Préstamo. Préstamo Simple. Préstamo amortizable por el Sistema Americano. Préstamo amortizable por el Sistema Francés a tipo fijo. Préstamo amortizable por el Sistema de Cuota Fija de Amortización del Principal. 6. Préstamo amortizable por el Sistema Francés a tipo variable. 7. Cancelación anticipada de un préstamo. Capítulo 6. Operaciones de Crédito. 1. Diferenciación entre operaciones de préstamo y operaciones de crédito. 2. Cuentas de Crédito. 3. Tarjetas de Crédito.

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PARTE II: OPERACIONES EN LOS MERCADOS FINANCIEROS.

Capítulo 7. Tipos de interés y tipos de cambio en contado y a plazo. 1. 2. 3. 4.

Operaciones de política monetaria. Tipos de interés en contado: El Mercado Interbancario. Tipos de interés a plazo. Los FRA’s. Obtención de la horquilla de FRA’s a partir de las cotizaciones del mercado interbancario.

5. Tipos de cambio en contado y a plazo. Capítulo 8. El Mercado de Deuda Pública Anotada. 1. 2. 3. 4.

El Tesoro Público como emisor de activos. Estructura del Mercado de Deuda Pública. Obtención de la Curva Cupón Cero. Strips de Deuda Pública.

Capítulo 9. Emisiones de Renta Fija. 1. 2. 3. 4.

Estructura del Mercado de Emisión de Renta Fija. Tipos de Emisiones de Renta Fija. Diseño de una Emisión de Renta Fija. Homogeneización del emisor en la comparación cuantitativa de emisiones. El riesgo de crédito o contraparte. 5. Estructura del Mercado de Capitales Español. Capítulo 10. Operaciones en los Mercados y Rentabilidad de las mismas. 1. 2. 3. 4.

Duración, Sensibilidad y Convexidad de una cartera de renta fija. Rentabilidad Financiera de Activos de Renta Fija. Los Impuestos de los productos financieros en España. Rentabilidad Financiero-Fiscal de Activos de Renta Fija.

Capítulo 11. Análisis Cuantitativo de Emisiones de Renta Fija. 1. Características generales de una emisión de Renta Fija. 2. El Riesgo de Reinversión. Limitaciones del TIR como medida de valoración de inversiones. 3. Emisiones de Obligaciones Simples, con cupón fijo y amortización única al final del período. 4. Emisiones de Obligaciones Simples, con cupón fijo y amortización por reducción de nominal. 5. Emisiones de Obligaciones Simples, con cupón fijo y amortización con prima. 6. Emisiones de Obligaciones Simples, con cupón fijo y amortización por sorteo. 7. Necesidad de homogeneización temporal en la comparación cuantitativa de emisiones. Utilización del FRA como instrumento de homogeneización. 8. Emisiones de Obligaciones Cupón Cero. 9. Emisiones de Obligaciones Bonificadas.

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PARTE I TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS FINANZAS 1. Magnitudes básicas: Capital y Plazo. Cuando hablamos de finanzas, o de algo que tenga un contenido financiero, solemos pensar en un hecho relacionado con el dinero, con cobros y pagos. Y ello en sí es la base de las finanzas. Financiar es poner fondos en un negocio para que éste pueda desarrollarse, o bien hacer inversiones con dichos fondos. Un Banco financia a una empresa otorgándole un préstamo; los adquirentes de Letras del Tesoro financian el Déficit Público, realizando una inversión financiera en activos emitidos por el Tesoro Público; las Compañías de Seguros aceptan dinero para incorporarlo a un Plan de Pensiones, con el que después de varias décadas pagan una cantidad mensual al suscriptor del Plan, etc... En todos los ejemplos anteriores, y a pesar de la diversidad de figuras económicas y jurídicas que subyacen, existen siempre dos elementos comunes: x El Capital, o importe de los fondos que son objeto de derechos y obligaciones por parte de los sujetos que intervienen en las operaciones. x El Tiempo durante el cual el anterior capital va a ser objeto de los citados derechos y obligaciones. Por tanto, cuando hablemos de fenómenos de tipo financiero, nos estaremos refiriendo a aquellos fenómenos en los que el capital y el tiempo interactúan dentro de dicho fenómeno, jugando un papel preponderante de cara a los resultados del mismo. La forma matemática adecuada para representar el binomio capital-tiempo, sería mediante un par ordenado (C, t), que se representaría gráficamente en el plano real R2, cambiando el orden de las coordenadas: C C1

(C1, t1)

(C2, t2)

C2

0

t2

t1

habiendo expresado la variable “t” en el eje de abscisas, la variable “C” en el eje de ordenadas, y teniendo en cuenta que el capital será función del tiempo, pero no al revés; es decir, el tiempo es una variable independiente por naturaleza en el contexto financiero, mientras que el capital es una variable que, en dicho contexto, dependerá siempre del tiempo.

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También es preciso tener en cuenta que el tiempo es una variable de naturaleza continua, por lo que no tiene sentido considerar momentos individuales de tiempo, sino intervalos de tiempo entre dos fechas concretas, que pueden ser infinitesimales si matemáticamente fuera preciso para su análisis. La representación anterior puede simplificarse, representando sobre la recta real “R”, tanto capitales como momentos temporales: C1

C2

………………………………….. Cn

t1

t2

…………………………………..

tn

expresión, esta última, mucho más utilizada en la práctica real de los mercados financieros. Tanto la cifra de capital como la de tiempo, siendo números reales, pueden tomar tanto valores positivos como negativos. Y no es que existan capitales negativos o tiempos negativos desde un punto de vista conceptual, sino que una operación financiera se puede enfocar prospectiva o retrospectivamente, y un capital se puede invertir, o se puede tomar a préstamo, y lógicamente, el signo de ambas magnitudes variará en función del planteamiento del problema, tal y como veremos en los capítulos siguientes. La interacción entre capital y tiempo es evidente en la mayoría de los fenómenos económicos y empresariales. Si, por ejemplo, nos fijamos en algo tan tradicional como la recolección de naranjas, podemos ver a dichas magnitudes variar simultáneamente; si nos preguntamos cuánto vale la cosecha, siempre se nos podrá decir, si la de ahora, o la del año que viene, y si nos referimos al valor de la de ahora, dependerá asimismo del tiempo; no es lo mismo, el precio antes de recolectarla (habría que deducir los gastos de la recolección), que en el momento de recolectarla , que un mes después (han podido variar las cotizaciones del mercado), o que tres meses después, cuyo valor sería nulo, ya que se habrían podrido. 2. Operaciones financieras. Concepto y Tipología. De entre las distintas posibilidades a la hora de analizar el binomio capital-tiempo, nos interesa estudiar aquella en la que dos sujetos económicos intercambian capitales en tiempos distintos, de tal manera que el sujeto que cede el capital adquiere el carácter de acreedor del otro, que actúa como deudor; de tal manera que los valores de los capitales sean equivalentes en cada momento del tiempo. A este tipo de relación entre dichos sujetos la denominaremos operación financiera. Las operaciones financieras son muy variadas, y se realizan continuamente en el mundo de las finanzas. Ejemplos de operaciones financieras serían: x Compra a crédito de un bien que recibimos firmando un conjunto de letras pagaderas en distintos momentos de tiempo. x Un décimo de lotería es una operación financiera en la cual adquirimos un billete a cambio de un capital futuro aleatorio, con gran probabilidad de valor cero. x Un depósito de dinero a plazo.

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x x x x

Una cuenta corriente. Una libreta de ahorro. El préstamo concedido por un Banco a un cliente. Un Plan de Pensiones.

En todas ellas, podemos identificar las dos magnitudes a las que nos hemos referido, es decir, los capitales que se entregan y se devuelven, y el tiempo que media entre las distintas aportaciones y devoluciones. La aportación de capitales en una operación financiera se denomina prestación, y el sujeto económico que la realiza adquiere la condición de acreedor; la devolución de capitales se ha denominado contraprestación, y el sujeto económico que la debe realizar adquiere la condición de deudor. Si las operaciones financieras están formadas por un conjunto de capitales asociados a determinados períodos temporales, y los citados capitales deben ser equivalentes durante el plazo considerado, será preciso conocer el medio por el cual se corresponden las prestaciones y las contraprestaciones; es decir, las leyes mediante las cuales las partes deudora y acreedora regulan sus mutuos derechos y obligaciones, y los materializan en una corriente de cobros y pagos que aceptan como justa, y que, en suma, representan dinámicamente a la operación financiera correspondiente. A estas leyes las denominaremos leyes financieras, y nos permitirán comparar capitales a lo largo del tiempo, de tal manera que podamos establecer sin lugar a duda, una relación de preferencia entre dichos capitales financieros, y como consecuencia de la misma, la identificación en el tiempo de aquellos capitales que se consideran financieramente equivalentes, o lo que es lo mismo, que su valor a lo largo del tiempo se considera indiferente. Es evidente que para identificar una ley financiera, y lo que es más importante, para operar con ella, será necesario situarnos expresamente en un momento temporal concreto, que sería algo así como el origen de coordenadas, y que designaremos por “t0”. Cualquier capital situado en otro momento temporal podrá ser comparado con un capital equivalente en el momento “t0”, a través de una ley financiera pactada entre deudor y acreedor. Gráficamente: C (C1, t1)

C1

(C2, t2)

C2 L1 E1 L2 E2

t0

t1

t2

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Podemos observar que « E1 » es el efectivo equivalente al capital (C1, t1), en el momento “t0”, a través de la ley financiera “L1”; y que « E2 » es el efectivo equivalente al capital (C2, t2), en el momento “t0”, a través de la ley financiera “L2”. Asumidas como aceptadas por las partes las leyes “L1” y “L2”, podemos definir a “E1” y “E2” como dos magnitudes financieramente homogéneas, mientras que “C1” y “C2” eran magnitudes financieramente heterogéneas, o no comparables. No es lo mismo hablar de un millón de pesetas de 1985, que de su equivalente en euros del año 2009. Asimismo, podemos establecer todos los capitales que son financieramente equivalentes para una determinada ley financiera. Dado un valor concreto (Ei, t0), existirán infinitos capitales que, a lo largo del tiempo, serán financieramente equivalentes con “Ei”:

C C3 C2 C1 C4

Ei

C5 C6

t6

t5

t4

t0

t1

t2

t3

siendo: C6 < C5 < C4 < Ei < C1 < C2 < C3 para la ley financiera “L”. Para la misma ley financiera existirán infinitos valores efectivos que harán que todo valor del plano real quede clasificado unívocamente con arreglo a un determinado efectivo: L C

L

E4

L

L

E3 E2 E1

t6

t5

t4

t0

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t1

t2

t3

Cada curva representada en el gráfico anterior será una curva de indiferencia financiera, generada a través de una relación matemática de equivalencia entre capitales. Es decir, cada curva sería matemáticamente una clase de equivalencia que cumpliría las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Las citadas curvas constituyen la representación gráfica de la ley financiera, y no se pueden cortar, ya que a cada capital le corresponde un efectivo, y sólo uno, en “t0”. La ley financiera, por tanto, es un modelo matemático de capitales indiferentes representado por una función: E = L (C, t)

x x

Si t < t0, diremos que estamos ante una ley financiera de capitalización. Si t > t0, diremos que estamos ante una ley financiera de actualización o descuento.

C E1 L1 (C1, t1)

(C2, t2) L2 E2

t1

t0

t2

Por un lado, E1 = L1 (C1, t1) sería una ley de capitalización, que transforma el capital “C1” en un efectivo “E1”, al pasar de “t1” a “t0”. Obviamente, E1 > C1. Por otro lado, E2 = L2 (C2, t2) sería una ley de descuento, que transforma el capital “C2” en un efectivo “E2”, al pasar de “t2” a “t0”. Obviamente, E2 < C2. Ahora bien, la representación de una ley financiera es una curva en el plano y, por tanto, sólo puede haber dos variables, una dependiente y otra independiente. Si estamos trabajando con una misma ley financiera “L”, esta ley debe ser tal que permita comparar cualesquiera capitales en el tiempo; o lo que es lo mismo, deberá tener una expresión tal que al aplicarla a cualquier capital, automáticamente nos transforme su importe en otro indiferente al mismo en otro momento del tiempo. Por tanto, el capital no es una variable relevante en la definición de la ecuación de una ley financiera.

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Por consiguiente, y si consideramos que la ley financiera se aplica siempre a un capital unitario, la fórmula adecuada sería: E = L (t) siendo “E” el valor de esa unidad monetaria en el momento “t0”, y “t” la distancia temporal positiva o negativa que media entre “t0” y el momento en el que deseamos obtener la equivalencia financiera de dicha unidad monetaria. Una vez conocida la función que representa dicha ley financiera, bastará con aplicarla al capital que deseemos trasladar para que nos lo transforme en el capital financiero equivalente en el momento “t”: E = C · L (t) Por otro lado, no toda función matemática puede ser calificada como ley financiera. El mundo de las finanzas tiene unas premisas que asumiremos como hipótesis básicas de comportamiento de las leyes financieras: 1. La ley “L” es siempre creciente. Asumimos que el capital tiene un valor intrínseco derivado de su capacidad para generar valor añadido sin riesgo. El capital siempre tendrá el valor del interés con el que sería retribuido mediante su inversión en un activo de liquidez inmediata, como por ejemplo, las Letras del Tesoro. Por tanto, la pendiente de la curva siempre será positiva. Según se incrementa el tiempo, más plazo está invertido el capital y más intereses genera. 2. La ley “L” es siempre continua. Asumimos que el capital tiene un valor cierto en cualquier momento del tiempo. Por tanto, no tiene sentido considerar valores de “t” para los que “L” no esté definida. 3. La ley “L” responde a una expectativa de comportamiento racional entre las partes, y representa las expectativas de deudores y acreedores frente a la certeza, el riesgo y la incertidumbre. La ley es aceptada unívocamente por las partes y responde a las prestaciones y contraprestaciones esperadas. No serán válidas, por tanto, leyes financieras que supongan apuestas irracionales o sin la motivación financiera adecuada que conlleva la práctica de la gestión de inversión y financiación en los mercados financieros. 4. Principio de Equivalencia Financiera. El valor de la prestación coincide con el valor de la contraprestación en cualquier momento de la vida de una operación financiera; es decir, que una vez realizada la equivalencia entre capitales a través de una ley financiera, dicha equivalencia se mantiene siempre, tanto si valoramos los capitales en “t0”, como si lo hacemos en cualquier momento “t” anterior o posterior a “t0”.

De acuerdo con lo que acabamos de denominar Principio de Equivalencia Financiera, si la operación financiera se realiza, es porque para ambas partes los compromisos son equivalentes; es decir, que los capitales entregados y los que se devolverán son coincidentes en su valoración por ambas partes, existiendo el adecuado equilibrio que requiere la operación.

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Las operaciones financieras se pueden clasificar atendiendo a diferentes criterios: A) Atendiendo a la naturaleza de los capitales que intervienen en la operación: x Operaciones Ciertas.- Son aquellas operaciones que se realizan en ambiente de certeza; es decir, los capitales que intervienen en la operación son conocidos, y su valor sólo depende del tiempo. Ejemplo: Una persona contrata una imposición en un banco por 10.000 euros durante 90 días al 3% de interés. Transcurridos los noventa días, dicha persona percibirá 10.073,97 euros en términos financieros, o 10.060,66 euros en términos financiero-fiscales (se practicaría una retención del 18% que se ingresaría en la Hacienda Pública). Tanto el capital de 10.000 euros, como el de 10.060,66 euros, son capitales ciertos y conocidos por las partes antes de firmar el contrato de imposición. x Operaciones Aleatorias.- Son aquellas operaciones que se realizan en ambiente de riesgo o incertidumbre; es decir, alguno o algunos de los capitales que intervienen en la operación son de naturaleza aleatoria, y, por tanto, su cuantía, su momento temporal de entrega o devolución, o ambas magnitudes están normalmente sujetas a una determinada probabilidad de acaecimiento de un determinado suceso. Ejemplo: Una persona contrata un Plan de Pensiones con una Compañía de Seguros, de tal manera que la persona aporta 100 euros mensuales hasta el día de su jubilación, fecha a partir de la cual recibirá mensualmente una cantidad que complementará sus ingresos. La operación financiera es aleatoria, tanto respecto a la cuantía, que dependerá del acierto de los gestores del Plan a la hora de invertir las aportaciones del sujeto, a fin de constituir el capital futuro que permitirá pagar la cantidad mensual cuando se jubile, como del tiempo, puesto que la fecha en que se jubilará también es aleatoria; como de la materialización de la operación en sí, puesto que la persona puede fallecer antes de jubilarse, y cancelarse la operación por el valor del Plan, que se entregaría a los herederos del finado.

B) Atendiendo al número de capitales involucrados en la operación: x Operaciones Simples.- Son aquellas en las que se realiza la prestación de un solo capital, y la contraprestación de un solo capital también. Ejemplo: Emisión de un pagaré de empresa. La compañía emisora recibe 10.000 euros del adquirente del pagaré, y se compromete a pagarle un año después 10.350 euros en términos financieros, o 10.287 euros en términos financiero-fiscales (se practicará una retención del 18% que se ingresaría en la Hacienda Pública). Solamente existe una prestación (10.000 euros) y una contraprestación (10.287 euros). x Operaciones Compuestas.- Son aquellas en las que la prestación, la contraprestación, o ambas, están formadas por dos o más capitales.

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Por tanto, habrá tres posibilidades: 1. Prestación de varios capitales y contraprestación de uno sólo. Ejemplo: Suscripción de un Plan de Ahorro para constituir un capital. El suscriptor aporta 100 euros mensuales durante 10 años para recibir al final el capital más los intereses generados, en un solo pago. 2. Prestación de un solo capital y contraprestación de varios capitales. Ejemplo: Compra de Bonos del Estado. El adquirente paga 100.000 euros por los Bonos, y durante diez años recibe 4.500 euros de intereses, y el último se le reintegra el importe invertido. La operación financiera tiene un capital como prestación y diez capitales como contraprestación. 3. Prestación y contraprestación de varios capitales. Ejemplo: Suscripción de acciones parcialmente desembolsadas. El adquirente paga un 25% del nominal cuando las compra y a lo largo de los años siguientes, va desembolsando los dividendos pasivos pendientes. Por contra, a lo largo de dichos años, va recibiendo los distintos dividendos y, finalmente, si vende las acciones obtendría la contraprestación final. Es evidente que existe aleatoriedad tanto en la cuantía de los dividendos activos y pasivos, como en el tiempo en el que se producirán. C) Atendiendo a los derechos y obligaciones derivados de la operación financiera: x Operaciones con derechos para la parte que realiza la prestación.- Son aquellas en las que el acreedor, por el hecho de realizar la prestación, obtiene derechos distintos y adicionales al de percibir una contraprestación monetaria. Sin ánimo de realizar una casuística interminable, se detallan a continuación algunos ejemplos: 1. Operaciones con derecho a la cancelación anticipada de la misma por parte del acreedor. Ejemplo: Descuento de letras de cambio en un Banco. El Banco descuenta letras a tres meses, pero un mes después del descuento, descubre que el librado se encuentra en mala situación financiera, y realiza un protesto de mejor seguridad de las letras y, a continuación, se las debita al librador junto con los gastos, dando por cancelada la operación.

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2. Operaciones con derecho de transferencia de los derechos a terceros. Ejemplo: Compra de unas obligaciones convertibles emitidas por una empresa. El adquirente suscribe unas obligaciones por cien mil euros a cinco años, y se convierte en acreedor de la Compañía, teniendo además el derecho de convertir sus obligaciones en acciones. Si vende las obligaciones en Bolsa estará cediendo el derecho de convertirse en accionista a un tercero. 3. Operaciones con derechos para la parte que ha de realizar la contraprestación. Ejemplo: Compra de opciones sobre bonos del Estado. El adquirente de la opción adquiere el derecho de que su contraparte le venda, si él quiere, una determinada cantidad de bonos en una fecha y a un precio determinados. x Operaciones con derechos para la parte que ha de realizar la contraprestación.- Son aquellas en las que el deudor obtiene además de la prestación, uno o varios derechos adicionales, teniendo únicamente que realizar la contraprestación. Al igual que en el caso anterior, veremos algunos casos: 1. Operaciones con derecho a la cancelación anticipada de la misma por parte del deudor. Ejemplo: Emisión de acciones preferentes en dólares. Es bastante usual que la entidad emisora se reserve el derecho de amortizar las acciones con una determinada prima a partir de una fecha, asimismo, determinada. 2. Operaciones con derecho de transferencia de las obligaciones a terceros. Ejemplo: Contrato de seguro sobre cupones y nominal de obligaciones emitidas por una sociedad, que ha contratado una póliza de garantía con la entidad aseguradora. Si la sociedad no paga, la obligación es transferida a la aseguradora. 2. Operaciones con derecho a suspensión de contraprestación por parte del deudor. Ejemplo: Acciones sin voto emitidas por la empresa. Tienen garantizado un dividendo mínimo si existe beneficio distribuible. Si no existe dicho beneficio la contraprestación del dividendo queda latente hasta que exista, y prescribe a los cinco años. x Operaciones con derechos simultáneos para ambas partes, la que realiza la prestación y la que realiza la contraprestación.- Son aquellas en las que acreedores y deudores obtienen además de la prestación y la contraprestación respectivas, uno o varios derechos adicionales. Ejemplo: Una empresa contrata un programa de emisión de obligaciones con un “pool” de entidades financieras. Las obligaciones se emiten por un sistema de subastas en las que la entidad emisora tiene derecho a elegir los plazos a los que emite las obligaciones, mientras que las entidades

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licitadoras en la subasta tienen derecho a elegir si los valores se emiten con tipo de interés fijo, o indiciado a la evolución del mercado interbancario. D) Atendiendo al plazo de la operación financiera: x Operaciones a corto plazo.- Son aquellas cuya duración es igual o inferior a un año. Ejemplo: Préstamo de un banco a un cliente para cubrir sus necesidades de tesorería durante seis meses. x Operaciones a largo plazo.- Serán aquellas que teniendo una duración cierta, dicha duración es superior a un año. Ejemplo: Emisión de un bono cupón cero a quince años por parte de una empresa. x Operaciones con plazo indefinido.- Serán aquellas que, teniendo una duración obligada, su plazo es indefinido o aleatorio. Ejemplo: Una cuenta corriente en un banco. El contrato de cuenta corriente sólo se cancelará si su titular da órdenes de cerrar la cuenta, o en caso de fallecimiento del mismo. x Operaciones finalización.

perpetuas.-

Serán

aquellas

que

no

tienen

un

plazo

de

Ejemplo: La Deuda Perpetua emitida por el Estado español. Pagaba unos cupones periódicos, pero nunca se amortizaba. Fue amortizada por ley en octubre de 1.998.

3. Los Tipos de Interés. Cuando realizamos una inversión es porque consideramos que haciéndolo vamos a obtener un determinado beneficio. Dicho beneficio se podría expresar por la diferencia existente entre el capital que se nos devuelve al finalizar el período de la inversión, y el capital que invertimos en el momento inicial. Lo acertado o no de la inversión quedará reflejado por dicha diferencia:

C

C-E

t

t0

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x Si C - E > 0 habrá un beneficio a priori x Si C - E = 0 la operación sería neutra a priori x Si C - E < 0 habría una pérdida a priori Este planteamiento, que es válido para una inversión genérica, queda restringido para una inversión puramente financiera; es decir, cuando invertimos un capital, nos pagan un interés que unido a dicho capital nos es devuelto al vencimiento. Exceptuamos situaciones de insolvencia del prestatario. Ahora bien, ¿por qué se nos paga siempre un interés por invertir un capital? La respuesta es evidente, por renunciar a tener líquido dicho capital, disponible para realizar otras inversiones alternativas. El que toma el capital paga un interés por tenerlo a su disposición durante un período determinado. Y si lo hace así, es porque considera que con dicho capital adecuadamente invertido, va a obtener un interés superior al que está pagando al prestamista. El sujeto que presta el dinero y, por tanto, lo invierte, lo hace porque considera que es la mejor de las opciones de que dispone en ese momento; y realiza la inversión durante un plazo en el que presupone que no va a necesitar el dinero durante dicho plazo, y pone un precio a dicha renuncia a la liquidez; dicho precio es el interés. Asumido que el colectivo de inversores realiza la colocación de un capital a cambio de un determinado interés, será necesario matizar esta compensación en función de la situación del mercado, y de la situación del sujeto inversor. En lo que respecta al mercado, es evidente que en las modernas economías occidentales, los mercados son lo suficientemente amplios y transparentes como para que la formación de los precios de los activos emitidos por el Tesoro -los más líquidos, y sin riesgo de insolvencia-, supongan un claro indicador del rendimiento mínimo a obtener con una inversión. Sí, por ejemplo, consideramos como indicador básico tres meses el repo (“repurchase agreement”) de temporal de dichos activos durante dicho plazo, y interés nuestra inversión, está claro que cualquier deberá de realizarse por dos posibles motivos:

de la inversión en un plazo de Letras del Tesoro, o cesión nos retribuyen al 3,25% de inversión de otra naturaleza

x Porque se nos pague un interés superior en un plazo homogéneo. x Porque la situación del sujeto inversor contempla alternativas financiero-fiscales de rendimiento superior al rendimiento neto de la inversión en Letras del Tesoro. Pues bien, a ese interés obtenible en la inversión en un activo de liquidez inmediata, representada en este caso por el repo de letras, le denominaremos coste de oportunidad de la inversión. Cualquier inversión sin riesgo cuyo interés esté por debajo del anterior es una inversión irracional. Toda inversión tiene un coste de oportunidad implícito, en función del plazo al que se decide realizar la inversión. Por consiguiente, el interés real producido por la inversión será el exceso de interés que se obtenga sobre el interés del mercado del activo teórico de liquidez inmediata. Es evidente que si se consideran inversiones con riesgo, el rendimiento de una inversión puede descomponerse en tres partes claramente diferenciadas: x La rentabilidad intrínseca del activo en el que se haya invertido (cupones, dividendos o rendimientos implícitos). x Las plusvalías o minusvalías que se obtengan por diferencia entre el precio de compra y el precio de venta.

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x Los derechos adicionales que conlleven los activos en los que se invierte, y que pueden dar origen a futuras inversiones generadoras de beneficios adicionales. En este caso, el coste de oportunidad continúa siendo el mismo, pero el resultado de la inversión puede perfectamente ser inferior al tipo de interés del activo teórico de liquidez inmediata, si nuestras expectativas globales de beneficio no se corresponden con la evolución de los mercados. Si nos centramos ahora en las inversiones de naturaleza financiera, o lo que es lo mismo, las inversiones que se denominan de renta fija, y restringimos además el campo de estudio a aquellas en las que se dan solamente capitales ciertos, es decir, conocemos de antemano la secuencia de flujos que se producirá en un horizonte temporal determinado, el interés quedará claramente definido por la diferencia entre capital final y efectivo o capital inicial:

C

I=C-E

E t0

t

en el supuesto de que haya una sola prestación y una sola contraprestación; o bien, el valor financiero de las diferentes contraprestaciones, deducido el efectivo invertido, y todo ello valorado en un momento concreto, en el supuesto de que hubiera varias contraprestaciones. Este planteamiento, obviamente muy elemental, es preciso matizarlo según diversos criterios. En los mercados financieros se suelen usar cuatro leyes financieras básicas, en función del plazo de la operación, y de la forma de estructuración de la operación financiera. x Operaciones de Capitalización.- Serían aquellas en las que, partiendo de un efectivo inicial en el momento to, se obtiene un capital final por adición de los intereses al efectivo final. x Operaciones de plazo corto.- Cuando la operación tiene una duración igual o inferior a un año, se utilizará el interés simple, y diremos que estamos ante una operación de capitalización simple. x Operaciones de plazo largo.- Cuando la operación tiene una duración superior a un año, se utilizará el interés compuesto, y diremos que estamos ante una operación de capitalización compuesta. x Operaciones de Actualización.- Serían aquellas en las que, partiendo de un capital futuro en el momento t, se obtiene el efectivo inicial mediante el descuento del capital final.

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x Operaciones de plazo corto.- Cuando la operación tiene una duración igual o inferior a un año, se utilizará el descuento simple, y diremos que estamos ante una operación de descuento simple. x Operaciones de plazo largo.- Cuando la operación tiene una duración superior a un año, se utilizará el descuento compuesto, y diremos que estamos ante una operación de descuento compuesto. Evidentemente, una cosa es la norma de funcionamiento del mercado, y otra el hecho de que no pueda utilizarse el descuento simple para plazos largos, y el descuento compuesto para plazos cortos; de hecho, hay letras que se emiten a dieciocho meses con descuento simple. Todo dependerá del plazo que se elija en la estructuración de la inversión.

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CAPÍTULO 2. OPERACIONES DE CAPITALIZACIÓN 1. Operaciones de capitalización simple. Podemos definirlas como aquellas en las que los intereses no se acumulan al principal o efectivo inicial para generar nuevos intereses. Su formulación es bastante simple. Tenemos una unidad monetaria situada en un momento inicial “to”, y deseamos capitalizarla a futuro, hasta un momento “t”.

C

L

C–1=I

1 t

t0 C = L (t) y queremos averiguar la naturaleza de “L”

Como el valor del capital es siempre creciente según transcurre el tiempo, parece razonable asumir que cada unidad de tiempo aporta el mismo interés a la unidad monetaria invertida, habida cuenta de que no se acumulan los intereses generados para obtener nuevos intereses, y que, en una operación de este tipo, ni siquiera se pagan hasta el momento “t”. Por consiguiente, en cada unidad de tiempo se satisfará una contraprestación teórica de: I

C-1 =

t - to

=i t - to

siendo I el interés total obtenido en la operación. Coincide con C - 1, es decir, es la diferencia entre el valor financiero de la unidad monetaria en el momento “t” y en el momento “to”. A dicha contraprestación es a lo que denominamos tipo de interés en la capitalización simple. Si despejamos C en la expresión anterior: C – 1 = i · ( t – t0 )

C = 1 + i ( t – t0 )

Si tenemos en cuenta que “i” es un parámetro, es decir, un dato a priori del problema (no podemos contratar una operación financiera si no pactamos a priori

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un determinado tipo de interés), podemos afirmar que “C” es exclusivamente función de “t”, y además, una función de tipo lineal, en la que “i” actúa de pendiente de la recta:

C

I = i (t - to)

L

1

1 t

t0

Lo usual es que “i” se establezca como tipo anual y, por tanto, (t - to) se exprese, asimismo, en unidades de tiempo anual. Si en vez de ser una unidad monetaria, fuera un efectivo cualquiera E, obtenemos la formulación definitiva de la capitalización simple:

C

L

I=C-E

E

E t

t0

I

C-E =

t - to

= iE

C – E = iE ( t – t0 )

C = E + iE ( t – t0 )

t - to

pero, en este caso, « iE » sería el interés que produce el efectivo “E” durante una unidad de tiempo. Es evidente que nos interesa homogeneizar el concepto de tipo de interés, independientemente de la cantidad que se invierta, por lo que haremos: iE = E · i y obtenemos la ley financiera general de la capitalización simple:

C = E · ( 1 + i (t - to) )

26

siendo I = E · i (t - to) el interés total obtenido por el inversor. Ejemplo: Un cliente nos contrata una imposición a plazo por 10.000 euros al 3% anual el 1 de enero y vence el 30 de junio de 2009. Queremos saber cuánto dinero le pagaríamos al finalizar el periodo de vigencia de la imposición. Primero calcularíamos los días que median entre ambas fechas: Del 1-1 al 31-1: 30 días, más los otros cinco meses completos, es decir: 30 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 180 días A continuación aplicaríamos la fórmula de la capitalización simple: C = 10.000 · ( 1 + 0,03 · (180 / 365) ) = 10.000 + 147,95 = 10.147,95 € No obstante, tendremos que tener en cuenta el régimen fiscal, que obliga a la Banca a realizar retenciones del 18% de los rendimientos de capital mobiliario, por lo que la cifra que el Banco realmente le habría pagado al inversor por renunciar a la liquidez será de: C* = 10.000 + 147,95 x 0,82 = 10.121,32 euros La diferencia, 26,63 euros, la ingresaría el Banco en Hacienda el día 20 del mes siguiente a la fecha de pago al inversor, y este se resarciría de la retención cuando presentase la declaración de Renta o Sociedades al año siguiente. Si recordamos ahora nuestras clases en la escuela, se nos decía que el interés simple era algo así como “carrete partido 100”, es decir: C·r·t I= 100 y no estamos hablando de nada distinto. El capital es el efectivo que invertimos (E), r/100 es el tipo de interés (i), expresado en tanto por uno, en vez de en tanto por ciento, y t es el tiempo expresado en años (t - to). También se nos decía que dependía de si trabajábamos en años, en meses o en días, la fórmula era distinta: C·r·t I (años)

= 100 C·r·t

I (meses) = 1.200 C·r·t I (días)

= 36.500

27

Es evidente que se trata de variaciones sobre el mismo tema, en relación con la última de las variables:

t

t

t

(años) ;

(meses) ;

1

(días)

12

36500

También se nos hablaba de operar con el año natural, o con el año comercial: C·r·t

C·r·t

I (año natural) =

;

I (año comercial) =

36.500

36.000

y no era otra cosa que considerar que el tiempo se dividiera ( t / 360 ). En realidad, esto no es otra cosa que una añagaza por parte de las entidades de crédito para cobrar más intereses a los demandantes de un préstamo. Ejemplo: Una empresa pide un préstamo de 100.000 euros durante seis meses (desde el 1-7-08 hasta el 1-1-09), al 8% de interés. Si se hiciera por el año natural, pagaría: 184

C = 100.000 · ( 1 + 0,08

) = 104.032,88 €

· 365

Sin embargo, si lo hiciera por el año comercial: 184

C = 100.000 · ( 1 + 0,08

) = 104.088,89 €

· 360

Esta pequeña trampa suele suponer unos beneficios adicionales a dichas entidades, y ha dado origen a lo que se llama el cambio de base, en los mercados financieros, existiendo entidades que cotizan en “365”, y entidades que lo hacen en “360”. Tradicionalmente se intenta comprar un activo de renta fija en base 360, y venderlo a los clientes en base 365, “quedándose con la base”, expresión ésta muy usual en las mesas de tesorería. Asimismo, se suele establecer una equivalencia muy clara entre “tipos 365” y “tipos 360”, sin más que igualar ambas expresiones: t 1 + io

t = 1 + i5

·

·

360

365

Simplificando: i5

io = 360

365

o lo que es lo mismo: 360 io =

i5 = 0,9863 i5 365 365

i5 =

io = 1,01388 io 360

28

Ejemplo: Un 7% en base 365 equivaldría a: io = 0,9863 · 0,07 = 6,9041% Un 7% en base 360 equivaldría a: i5 = 1,01388 · 0,07 = 7,09716% Distinto es un planteamiento en el cual se trabaja en un mercado 30/360, para facilitar la operatoria. Tal es el mercado de Eurobonos en Londres. Cuando se compran o venden activos, se consideran los meses como si todos fueran de 30 días, y el año de 360 días. Ejemplo: Compramos un activo financiero a seis meses al 6%, por un efectivo de 100.000 libras: 180

C = 100.000 · (1 + 0,06

) = 103.000 libras 360

es decir, los cálculos son más sencillos, y las diferencias respecto a operaciones con el año natural serían muy pequeñas, en unos casos a favor, y en otros en contra del inversor. Si realizamos una pequeña modificación en la fórmula del interés, considerando como to = 0, origen de la operación: E·t I=E·i·t =

N = D

1 i siendo:

N = E · t, los denominados números comerciales en la Banca. 1 D= , el denominado divisor fijo en la Banca. i

El planteamiento anterior está realizado bajo el supuesto de que trabajamos con períodos anuales. Si trabajáramos con períodos mensuales: E·t

t I=E·i

=

· 12

12 i 12

con lo que el divisor fijo sería D = i

Si trabajáramos utilizando como período el día: t I=E·i

E·t =

· 365

365 i 365

con lo que el divisor fijo sería D = i

29

Este esquema es utilizado por las entidades financieras para realizar operaciones simultáneas para un mismo cliente, al cual se le ha aprobado un determinado tipo de interés “i”, y sobre la base de dicho interés, realiza operaciones con diversos capitales (Cj), y a diversos plazos (tj), obteniéndose los números comerciales mediante la adición de los productos de capitales por plazos: n

N = 6 C j · tj j=1

suponiendo que hay “n” operaciones semejantes que se liquidarán al mismo tipo de interés: n

6 C j · tj

j=1

In = 365 i

El planteamiento anterior se ha realizado para una única prestación, y una única contraprestación. Es evidente, que pueden darse otros tres casos, el de varias prestaciones y una contraprestación, el de una prestación y varias contraprestaciones, y el de varias prestaciones y varias contraprestaciones. De entre estos casos, vamos a considerar el segundo, es decir, una única prestación y varias contraprestaciones a lo largo del tiempo, manteniendo el principio general que subyace en las operaciones de capitalización simple, es decir, los intereses no se unen al efectivo inicial para generar nuevos intereses. Si consideramos un capital inicial que se invierte consecutivamente por un mismo período a un mismo tipo de interés, vamos a estudiar cuál sería el capital final que se obtendría al finalizar el último período: C0

C1

C2

C3

0

1

2

3

………………………………….. Cn-1 …………………………………..

n-1

Cn n

C1 = C0 [ 1 + i (1 – 0) ] = C0 ( 1 + i ) = C0 + C0 i siendo: C0 : C0 i :

capital inicial que genera intereses. interés del primer período que no genera nuevos intereses.

C2 = C0 [ 1 + i (2 – 1) ] + C0 i = C0 ( 1 + i ) + C0 i = C0 + 2 C0 i siendo: C0 : capital inicial que genera intereses. 2 C0 i: intereses de los dos primeros períodos que no generan nuevos intereses. C3 = C0 [ 1 + i (3 – 2) ] + 2 C0 i = C0 ( 1 + i ) + 2 C0 i = C0 + 3 C0 i siendo: C0 : capital inicial que genera intereses. 3 C0 i: intereses de los tres primeros períodos que no generan nuevos intereses. y así, sucesivamente: Cn = C0 [ 1 + i (n – (n-1)) ] + (n-1) C0 i = C0 ( 1 + i ) + (n-1) C0 i = = C0 + n C0 i = C0 ( 1 + ni )

30

Cn = C0 ( 1 + ni )

siendo: C0 : capital inicial que genera intereses. C0 i: interés de cada uno de los períodos. n C0 i: intereses de los “n” períodos. Sobre la base de esta formulación general de la capitalización simple, se pueden contestar otras preguntas clásicas: x ¿Durante cuántos años tengo que tener invertido un capital de C0 euros para obtener Cn euros a un tipo de interés del i%? Cn - C0 Cn = C0 ( 1 + ni ) Ÿ Cn = C0 + C0 n i Ÿ C0 n i = Cn - C0 Ÿ n = C0 i Ejemplo: Invertimos 10.000 euros al 7% de interés, y deseamos obtener al final del período 17.000 euros. 17.000 - 10.000

t=

= 10 años 10.000 · 0,07

x ¿Cuál es el capital que tengo que imponer en un Banco para conseguir tener Cn euros dentro de “n” años, si me pagan un interés del i%? Cn Cn = C0 ( 1 + ni ) Ÿ C0 = 1+ni fórmula a la que se suele denominar descuento simple racional, aunque no se usa nunca en la práctica. Ejemplo: Queremos obtener 17.000 euros dentro de 10 años, y nos dan un 7% de interés. Deseamos saber cuánto tenemos que invertir. 17.000

C0 =

= 10.000 euros. 1 + 10 · 0,07

x ¿A qué tipo de interés tendría que prestar un capital de C0 euros para que me produjera I euros de intereses durante “n” años, y lograr así un capital de Cn euros al final de dicho período? Cn - C0 Cn = C0 ( 1 + ni ) Ÿ Cn = C0 + C0 n i Ÿ C0 n i = Cn - C0 Ÿ

i= C0 · n

Ejemplo: Invertimos 10.000 euros, y pretendemos obtener 17.000 euros dentro de 10 años. Deseamos saber a qué tipo de interés debemos realizar la inversión. 17.000 - 10.000

i=

= 0,07 <> 7% 10.000 · 10

31

Un ejemplo clásico de operaciones de capitalización simple son las imposiciones a plazo renovables. Son utilizadas por rentistas que viven de los intereses de un capital, que mantienen constante en un Banco, y periódicamente reciben la contraprestación, que utilizan para pagar los gastos de comida, vivienda, etc. Ejemplo: Supongamos un directivo jubilado, que ha logrado ahorrar 500.000 euros a lo largo de su vida profesional, y que ahora quiere conservar, utilizando los intereses para complementar la pensión que recibe de la seguridad social. Supongamos que contrata con un Banco la renovación trimestral de la imposición a plazo, a un 6% anual de interés nominal. El Banco le pagará cada trimestre: 1

C = E · ( 1 + i · t ) = 500.000 ( 1 + 0,06

) = 507.500 €

·

4 El jubilado recibiría 7.500 euros cada trimestre. A este importe habría que restar el 18% de retención que el Banco ingresaría en Hacienda por cuenta de su cliente. 2. Operaciones de capitalización compuesta. Podemos definirlas como aquellas en las que los intereses se acumulan al principal o efectivo inicial para generar nuevos intereses. Para que podamos hablar de capitalización compuesta es precisa la materialización de uno o más devengos de intereses en el período que media entre el inicio y el final de la operación financiera. En caso contrario, estaríamos hablando de nuevo de capitalización simple. Si no se da lugar a que los intereses devengados sean capaces de generar nuevos intereses al ser invertidos, no podremos hablar de capitalización compuesta. Fijémonos en que hemos hablado de capacidad de generar nuevos intereses, y no de pago de intereses. No es necesario que el devengo de intereses se transforme en un pago para que pueda devengar nuevos intereses. Ejemplo: En un bono cupón cero, sólo existe una prestación y una contraprestación, pero anualmente el capital invertido se incrementa en los intereses generados para producir nuevos intereses. Si tenemos una unidad monetaria situada en el momento to, y deseamos capitalizarla a futuro hasta el momento tn, generándose intereses en los momentos t1, t2,...., tn-1, que a su vez se reinvierten en el período siguiente:

32

Cn Cn-1

In

C3

I = Cn - 1 I3

C2 I2 C1 I1 1

t0

1

t1

t2

t3 .............................. tn-1

tn

Los intereses globales de la inversión serán: n

I = Cn – 1 = 6 Ij j=1

pero la generación de intereses ha sido distinta de la ocurrida en la capitalización simple, puesto que: C1 - 1

I1 = t1 - to

= i1*

t1 - to

I2

C2 - C1 =

t2 - t1

= i2*

t2 - t1

.................................... In

Cn - Cn-1 =

tn - tn-1

= in*

tn - tn-1

siendo, en este caso, i1*, i2*, ……….., in*, no los tipos de interés aplicables en cada uno de los períodos a la unidad monetaria, sino los intereses que corresponden a la unidad monetaria inicial más los intereses acumulados hasta el inicio del período, es decir, el interés “ij*” será el interés devengado por el capital “Cj-1” en el período (tj1, tj). Es evidente que nos interesa homogeneizar el concepto de tipo de interés independientemente de la cantidad que se invierte, por lo que haremos: ij* = Cj-1 · ij siendo “ij” el tipo de interés homogéneo en base anual comparable en cualquier período.

33

De esta manera: Cn - Cn-1 = Cn-1 in (tn - tn-1 ) Cn-1 - Cn-2 = Cn-2 in-1 (tn-1 - tn-2 )

Cn = Cn-1 + Cn-1 in (tn - tn-1 ) Cn-1 = Cn-2 + Cn-2 in-1 (tn-1 - tn-2 )

.................................................................................................. C3 - C2 = C2 i3 (t3 - t2 ) C2 - C1 = C1 i2 (t2 - t1 ) C1 - 1 = 1 i1 (t1 - t0 )

C3 = C2 + C2 i3 (t3 - t2 ) C2 = C1 + C1 i2 (t2 - t1 ) C1 = 1 + i1 (t1 - t0 )

Sumando miembro a miembro en la expresión anterior, o bien, por simple sustitución recurrente, tendremos que: Cn = 1 + i1 ( t1 - to ) + C1 i2 (t2 - t1) ) + C2 i3 (t3 - t2) ) + ……… + + Cn-2 in-1 (tn-1 - tn-2 ) + Cn-1 in (tn - tn-1 ) o lo que es lo mismo, n

n

Cn = 1 + 6 Ij = 1 + 6 Cj-1 ij (tj - tj-1 ) j=1

j=1

n

Cn = 1 + 6 Cj-1 ij (tj - tj-1 ) j=1

Como se ve, la capitalización compuesta no es otra cosa que un proceso de capitalización simple aplicado sucesivamente a distintos capitales, 1, C1, C2, C3, ……, Cn-1, durante distintos plazos. Si tenemos en cuenta que “ij” es un parámetro para cada período; es decir, los tipos de interés serían datos a priori del problema (no podemos contratar una operación financiera si no pactamos a priori los tipos de interés de cada período), podemos afirmar que “Cn” es exclusivamente función del tiempo “t”, agrupado en sucesivos intervalos, y además, en cada período es una función de tipo lineal, en la que “ij” actúa como pendiente de la recta. Por tanto, la gráfica de la capitalización compuesta será una poligonal en el plano.

Cn Cn-1

In n

C3 C2

6 Ij j=1

I3 I2

C1 I1 1

t0

1

t1

t2

t3 .............................. tn-1

34

tn

Lo usual es que cada uno de los “ij” se establezca como tipo anual y, por tanto, (tj - tj-1 ) se exprese asimismo en unidades de tiempo anual. Ahora bien, dado que cada capital se ha generado a partir del capital anterior, será posible simplificar la formulación antes obtenida para la capitalización compuesta. Partimos de la expresión anterior: Cn = 1 + i1 ( t1 - to ) + C1 i2 (t2 - t1) + C2 i3 (t3 - t2) + .......... + + Cn-2 in-1 (tn-1 - tn-2 ) + Cn-1 in (tn - tn-1 ) Cn-1 = 1 + i1 ( t1 - to ) + C1 i2 (t2 - t1) + C2 i3 (t3 - t2) + ......... + Cn-2 in-1 (tn-1 - tn-2 ) Sustituyendo en la primera de las igualdades el valor de Cn-1, tenemos que: Cn = Cn-1 + Cn-1 in (tn - tn-1 ) = Cn-1 [ 1 + in (tn - tn-1 )] Si obtuviéramos el valor de Cn-2: Cn-2 = 1 + i1 ( t1 - to ) + C1 i2 (t2 - t1) + C2 i3 (t3 - t2) + ......... + Cn-3 in-2 (tn-2 - tn-3 ) y asimismo, sustituyéramos en la expresión de Cn-1: Cn-1 = Cn-2 + Cn-2 in-1 (tn-1 - tn-2 ) = Cn-2 [ 1 + in-1 (tn-1 - tn-2 )] Si, asimismo, sustituimos esta última expresión en “Cn”: Cn = Cn-1 [ 1 + in (tn - tn-1 )] = Cn-2 [ 1 + in-1 (tn-1 - tn-2 )] [ 1 + in (tn - tn-1 )] Siguiendo el proceso, llegaríamos hasta la unidad monetaria inicial: C2 = C1 + C1 i2 (t2 - t1 ) = C1 [ 1 + i2 (t2 - t1 )] con lo que : Cn = C1 [ 1 + i2 (t2 - t1 )] [ 1 + i3 (t3 - t2 )] …….. [ 1 + in (tn - tn-1 )] y como:

C1 = 1 + i1 (t1 - t0 )

Cn = [1 + i1 (t1 - t0 ) ] [ 1 + i2 (t2 - t1 )] [ 1 + i3 (t3 - t2 )] …….. [ 1 + in (tn - tn-1 )] es decir: n

Cn = – [ 1 + ij (tj - tj-1)] j=1

que sería la fórmula general de la capitalización compuesta para una unidad monetaria. Si en lugar de una unidad monetaria, fuera un efectivo concreto, el planteamiento sería similar:

35

Cn Cn-1

In

C3

I = Cn - E I3

C2 I2 C1 I1 E

t0

E

t1

t2

t3 .............................. tn-1

tn

A nivel de formulación, el planteamiento es muy similar. Partimos del valor que obtuvimos para “C2” en el caso de la unidad monetaria: C2 = C1 [ 1 + i2 (t2 - t1 )] Cn = C1 [ 1 + i2 (t2 - t1 )] [ 1 + i3 (t3 - t2 )] …….. [ 1 + in (tn - tn-1 )] pero ahora, al obtener « C1 », partimos de « E », en vez de « 1 »: C1 = E + E i1 (t1 - t0 ) = E [1 + i1 (t1 - t0 )] con lo que : Cn = E [1 + i1 (t1 - t0 ) ] [ 1 + i2 (t2 - t1 )] [ 1 + i3 (t3 - t2 )] …….. [ 1 + in (tn - tn-1 )] es decir: n

Cn = E – [ 1 + ij (tj - tj-1)] j=1

que sería la fórmula general de la capitalización compuesta para un efectivo cualquiera, siendo: Cn : Capital final obtenible en el proceso de capitalización. E : Efectivo inicial invertido. ij : tipo de interés aplicable en cada período. tj - tj-1 : duración de cada período considerado. Ejemplo: Se contrata una imposición a plazo que va a pagar un 5% anual en el período que media entre el 1 de enero de 2009 y el 30 de junio de 2009, y se renueva junto con sus intereses acumulados a dicha fecha, hasta el 1 de enero de 2010, al 5,5%. Queremos saber de cuánto capital dispondríamos el 1-1-10, si invertimos 50.000 euros. Calcularíamos primero los días que median entre las fechas: De 1-1-09 a 30-6-09: 180 días De 30-6-09 a 1-1-10: 185 días

36

Después traduciríamos dichos días a equivalente anual: 180

185

t1 - to =

t2 - t1 = 365

365

y a continuación aplicaríamos la fórmula de la capitalización compuesta al capital invertido: 180

C2 = 50.000 ( 1 + 0,05

185

) · ( 1 + 0,055 365

) = 52.661,08 €. 365

Supongamos ahora que hacemos la hipótesis de que los plazos son homogéneos, es decir, de la misma duración, lo cual es muy usual en las operaciones de mercado primario de valores. En este caso: tj - tj-1 = t y la fórmula de la capitalización compuesta sería, llamando al efectivo inicial “C0”: n

Cn = C0 – ( 1 + ij t ) j=1

En muchas operaciones financieras, el tipo de interés además está fijado de antemano, y es constante; es decir, ij = i con lo que la fórmula anterior sería: Cn = C0 ( 1 + i t)n Si además, consideramos los plazos anuales (t = 1): Cn = C0 ( 1 + i )n que es la fórmula más usada. En esta última expresión, podemos responder a diversas preguntas clásicas:

x ¿Durante cuántos años tengo que tener invertido un capital de “C0” euros para obtener “Cn” euros a un tipo de interés del i%, capitalizando anualmente los intereses? Cn Cn = C0 ( 1 + i )n Ÿ = (1 + i)n Ÿ n · L(1 + i) = LCn - LC0 Ÿ C0 (LCn - LC0) Ÿ

n= L(1+i)

habiendo aplicado las propiedades clásicas de los logaritmos neperianos (L). Ejemplo: Invertimos 10.000 euros al 7% de interés, y deseamos obtener al final del período 19.671,51 €.

37

(L19.671,51 - L10.000) n=

= 10 años L 1,07

x ¿Cuál es el capital que tengo que imponer en un Banco para conseguir tener “Cn” euros dentro de “n” años, si me pagan un interés del i%? Cn

Cn = C0 ( 1 + i )n Ÿ

C0 =

(1+ i)n

fórmula a la que se suele denominar descuento compuesto, como podremos ver más adelante. Ejemplo: Queremos obtener 19.671,51 euros dentro de 10 años, y nos dan un 7% de interés. Deseamos saber cuánto tenemos que invertir. 19.671,51 E=

= 10.000 euros. ( 1 + 0,07 )10

x ¿A qué tipo de interés tendría que prestar un capital de “C0” euros para que me produjera I euros de intereses durante “n” años, de forma que al finalizar dicho período, tuviera un capital acumulado de“Cn” euros?

Cn = C0 ( 1 + i )n Ÿ

Cn

n

= (1 + i)n Ÿ 1 + i =

Ÿ C0

C0 Cn

n

Ÿ

Cn

i=

-1 C0

Ejemplo: Invertimos 10.000 euros, y pretendemos obtener 19.671,51 euros dentro de 10 años. Deseamos saber a qué tipo de interés debemos realizar la inversión. 10

19.671,51

i=

- 1 = 0,07 <> 7% 10.000

es decir, el 7% de interés compuesto. Un ejemplo clásico de operaciones de capitalización compuesta son los bonos cupón cero. Son emitidos a largo plazo por grandes empresas, y los utilizan los fondos de pensiones para garantizar altas rentabilidades a los pensionistas. Ejemplo: Un fondo de pensiones adquiere un bono Telefónica cupón cero a quince años, con un efectivo inicial de 1 millón de euros al 7% de interés compuesto anual. Telefónica pagaría dentro de quince años: C15 = 1.000.000 ( 1 + 0,07 )15 = 2.759.031,54 €.

38

El Fondo tiene garantizada la percepción de 2.759.031,54 euros a cambio del millón invertido, dentro de 15 años. Ello supone que tanto el millón inicial, como los intereses anuales acumulados al 7%, se van reinvirtiendo de nuevo al 7% para generar nuevos intereses. El día del vencimiento se practicaría una retención del 18% sobre los intereses percibidos, es decir, sobre 1.759.031,54 €.

3. Tipo nominal y T.A.E. (tipo actualizado equivalente). Hemos estudiado las dos leyes financieras y comúnmente utilizadas en los mercados financieros. Vamos a establecer una comparación de las mismas evaluando las analogías y diferencias entre capitalización simple y capitalización compuesta. Partimos de las fórmulas elementales de ambas leyes financieras: Cn = C0 ( 1 + i )n

Cn = C0 ( 1 + n i ) Si igualamos:

1 + n i = ( 1 + i )n Cuando n = 0, o n = 1 las dos expresiones son idénticas, y por tanto, son los dos valores en los que coinciden capitalización simple y capitalización compuesta; es decir, en el origen y al final del primer período, la capitalización simple y la compuesta son equivalentes. Entre 0 y 1, la primera expresión supera matemáticamente a la segunda, por lo que la capitalización compuesta supone una generación de intereses inferior a la capitalización simple. Por eso, en el corto plazo, se utiliza la capitalización simple por parte de las entidades financieras; pueden cobrar mayores intereses a sus clientes. Para n > 1, la capitalización compuesta supone una generación de intereses superior a la capitalización simple. Por eso, en el largo plazo, se utiliza la capitalización compuesta por parte de las entidades financieras; de nuevo, pueden cobrar mayores intereses a sus clientes. En la capitalización simple, el capital crece proporcionalmente con el tiempo. A doble tiempo, doble interés, etc. Sin embargo, en la capitalización compuesta, el capital crece más que proporcionalmente con respecto al tiempo. Si nos planteamos dividir un período, por ejemplo anual, en “m” subperíodos intervalos, y bajo la hipótesis de capitalización simple, queremos que los intereses generados por una inversión durante ese período sean los mismos, tanto con pago anual, como con pago en un subperíodo inferior, por ejemplo, semestral, trimestral, mensual, etc., tenemos que tener en cuenta que la partición anterior implica una diferencia de formulación, ya que en un solo período se aplica la capitalización simple, pero en varios períodos se aplica la capitalización compuesta normalmente.

39

C

1

0

1

1/m

2/m

3/m

m-1/m

1

Partiendo de un mismo efectivo inicial “E”, y si queremos llegar al final del período a un mismo capital “C”, por ambos conductos, tendremos que disminuir el interés aplicable en cada uno de los subperíodos, a fin de lograr identificar ambas cantidades: C = E ( 1 + im )m

C=E(1+i)

siendo “im” el interés de base “m” temporal aplicable en cada período, o tipo de interés equivalente. Si igualamos ambas expresiones, podemos obtener el interés equivalente anual a un interés en el período de dimensión temporal “m”, y viceversa: i = ( 1 + im)m - 1

im = ( 1 + i )1/m - 1

Este tipo de interés tiene un tipo nominal en base anual, que se correspondería con: j = m · im y que tal y como hemos indicado anteriormente, sería siempre inferior al tipo de interés equivalente: j
im < m

Ejemplo: Supongamos una operación financiera en la que capitalizamos al 0,5% mensual, y deseamos obtener el tipo de interés equivalente. i12 = ( 1 + i12 )12 - 1 = ( 1 + 0,005 )12 - 1 = 0,06167 es decir, el 6,167% es el tipo equivalente anual, mientras que el tipo nominal sería: j = 12 · i12 = 12 · 0,5 = 6%

40

Ejemplo: También podíamos plantearnos, dado un tipo anual del 6%, el obtener el equivalente mensual: im = ( 1 + i )1/m - 1 = ( 1 + 0,06 )1/12 - 1 = 0,0486 es decir, el 0,486% sería el tipo equivalente mensual. Obviamente:

0,486 < 0,5

Resumiendo, con este planteamiento, podremos comparar un interés semestral con uno quincenal; un interés anual con uno semanal; o un interés mensual con uno trimestral. La forma de realizar esta comparación será a través de un tipo de interés homogéneo al que hemos denominado tipo nominal (j), tipo que tiene base anual, y que se obtiene multiplicando el tipo pactado en un determinado subperíodo, por el número de subperíodos en los que se ha dividido el año. Por contra, el tipo actualizado equivalente, o T.A.E., en términos que se han hecho muy populares en los últimos años, a raíz de una circular del Banco de España a las entidades financieras, será el tipo que en términos de equivalencia financiera de capitalización compuesta, se corresponda con el tipo pactado en el subperíodo correspondiente. La diferencia existente entre el tipo nominal y el T.A.E., puede utilizarse como una estrategia comercial de cara a la captación de negocio. En las operaciones crediticias, siempre se ofrecerá el tipo nominal, mientras que en las operaciones de depósito, siempre se ofrecerá el tipo T.A.E. Ejemplo: Es usual ver anuncios de entidades financieras ofreciendo un 5% T.A.E., intentando confundir a los potenciales clientes. Cuando realmente se analiza la operación financiera, el planteamiento no es otro que la constitución de un depósito mensual, que sólo llegaría a suponer un 5% si los intereses que se pagaran cada mes se añadieran al depósito inicial para generar nuevos intereses. El tipo realmente pagado será: j = m · im = m · ((1 + i)1/m - 1) = 12 · ((1 + 0,05)1/12 - 1) = 0,048889 es decir, que el Banco, en los términos comúnmente aceptados, lo que realmente está ofreciendo es un 4,89%, en base anual, y si imponemos 10.000 euros, recibiremos de intereses: I = 10.000

0,048889 · 12

= 40,74 €.

en lugar de los 41,67 euros que podría esperar obtener aplicando el 5%, interés que no recibirá si, por ejemplo, sólo mantiene la imposición un mes o dos. Dentro de este contexto, hemos de tener en cuenta que otra forma de caracterizar la capitalización simple y la compuesta es a través de la propiedad denominada escindibilidad. Supongamos que una persona realiza una imposición en un Banco de “E” euros durante “t” años, y al final obtiene “C” euros. Al cabo de “h” años (h
41

Pues bien, se dice que la operación cumple la propiedad de escindibilidad, si el capital que se obtiene al final, “C”, es el mismo en ambos casos: C = E (1 + i)h (1 + i)t-h = E (1 + i)t es decir, la capitalización compuesta cumple la propiedad de escindibilidad, lo cual, por otra parte, era lógico, ya que en la capitalización compuesta los intereses se calcularían sobre el último capital. Sin embargo, lo anteriormente indicado que es perfectamente válido para períodos completos en la capitalización compuesta, no se cumple para períodos incompletos, dado que en el momento de la escisión, aflorarían intereses que reinvertidos generarían intereses adicionales. Ejemplo: Supongamos que invertimos 10.000 euros durante 10 años al 7%, y a los cinco años y medio decidimos (y nos lo permiten), cancelar la inversión e invertirla al mismo tipo de interés en otro activo que nos dé mayor seguridad. Si la operación no se hubiera escindido: C10 = 10.000 (1 + 0,07)10 = 19.671,51 €. Si se escinde: C5 = 10.000 (1 + 0,07)5 = 14.025,52 €. C6 = 10.000 (1 + 0,07)6 = 15.007,30 €. 0,07

C5,5 = 14.025,52 1 +

= 14.516,41 euros. 2

0,07

C6* = C5,5

1+

= 14.516,41

•

1,035 = 15.024,48 € > C6

2

C10* = C6* (1 + 0,07)10-6 = 15.024,48

•

1,074 = 19.694,03 € > C10

El motivo por el que no se ha podido aplicar la escindibilidad en períodos “rotos” es que en dichos períodos se aplica la capitalización simple en vez de la capitalización compuesta, y la capitalización simple no verifica la propiedad de la escindibilidad. Si buscamos una ley financiera que cumpla la propiedad de escindibilidad en todo momento, debemos de considerar el denominado interés continuo, según el cual, los intereses se acumulan al capital en cada instante para generar nuevos intereses. El objetivo es pasar de la poligonal que representa el interés compuesto, con un conjunto finito de puntos en los que cambia la pendiente de cada recta, a una curva convexa, cuya tangente cambia de pendiente en cada punto de la curva. Para obtener la expresión analítica del interés continuo, bastará que hagamos tender a infinito el número de intervalos en los que dividimos cada período anual, para una unidad monetaria. Es decir, si: j Cn = ( 1 + i )n = [( 1 + im)m]n = 1 + m

42

m·n

Tomando límites, cuando el tamaño de cada subintervalo tiende a ser infinitesimal, esto es, cuando el número “m” de subintervalos tiende a ser infinito: j lim m

1+ ’

m n

= e

j·n

m

es decir: Cn = e

j·n

o lo que es lo mismo, el capital obtenido al finalizar “n” períodos, con la hipótesis de que en cada momento los intereses se acumulan al principal para generar nuevos intereses, es una función de tipo exponencial, siendo el exponente del número “e”, el producto del número de años “n” durante los que está invertida la unidad monetaria, por el tipo de interés continuo “j”, en base anual. Si igualamos el interés compuesto con el interés continuo, podemos obtener el tipo de interés continuo “j” equivalente a un tipo de interés compuesto “i”, sin más que tomar logaritmos neperianos: ( 1 + i )n = e

j·n

Ÿ 1+i =ejŸL(1+i)=Le

j

Ÿ

j=L(1+i)

La comparación entre los tres tipos de interés, simple, compuesto y continuo, puede verse en otro libro del mismo autor1. Evidentemente, la ley financiera del interés continuo goza de la propiedad de escindibilidad para cualquier momento temporal.

1

Córdoba, Miguel - Análisis Financiero de los Mercados Monetarios y de Valores – páginas 60 a 65.

43

CUESTIONES Y PROBLEMAS

1.1.- Problema de capitalización compuesta: a) ¿Durante cuántos años tenemos que tener invertido un capital de 50.000 euros para que nos devuelvan 70.000 euros, si la inversión se hace al 5% de interés compuesto? b) Suponiendo que se utiliza interés simple para el último período incompleto, y que deseamos que sea el mismo tipo del 5% global para toda la operación, ¿cuál sería entonces el tiempo durante el cual hemos de mantener la inversión? a) Cn = Co (1 + i)n Ÿ L Cn = L Co + n L(1+i) Ÿ n =

L Cn - L Co = L(1+i)

L 70.000 – L 50.000 =

= 6,896312928 años. L(1 + 0,05)

b) Tendremos que incorporar las dos leyes financieras a la fórmula: 70.000 = 50.000 (1+i)6 (1 + 0,896312928 i) expresión que resolveremos mediante aproximaciones sucesivas, teniendo en cuenta que en un periodo inferior a un año, el interés simple es mayor que el interés compuesto, por lo que: i  0,05 El resultado real es: 4,998339%.

1.2.- Problema de obtención de rentabilidades en operaciones con rendimiento implícito.Un inversor, en un momento t = 0, invierte 900 euros en un activo financiero de duración 2 años, que no proporciona intereses y se amortiza por 1.000 euros. Transcurrido un año (en t = 1), dicho inversor vende el activo financiero a un segundo inversor por 950 euros, manteniéndole éste hasta su amortización, en t = 2. Determinar razonadamente cuál de los dos ha obtenido mayor rentabilidad expresada en tanto efectivo anual. Supongamos ahora que la rentabilidad expresada en tanto efectivo anual de ambos señores coincide (rg = rm = r), habiéndose producido la compraventa del activo entre el primer inversor y el segundo en t = tx. Determinar razonadamente si tx es mayor, igual o menor a 1 año, utilizando en todo momento como ley financiera la capitalización compuesta.

44

1.000 0

1

2

900 1.000 1

2

950 a)

1.000 2

900 (1 + rg ) = 1.000 Ÿ rg =

½

- 1 = 0,054092553

G.

900 1.000

950 (1 + rm ) = 1.000 Ÿ rm =

- 1 = 0,052631579 950

b)

1.000 t

t

950 (1 + r ) x = 1.000 Ÿ (1 + r ) x =

Ÿ tx L(1,054092553) = L(1,052631579) Ÿ

950 0,051293294

Ÿ tx =

= 0,973672 años. 0,052680257

2 – 0,973672 = 1,026328 años.

1.3.- Problema de comparación de tipos nominales y efectivos: Una operación financiera simple se pacta al 10% anual, y tiene una duración de 9 meses. Si nosotros fuéramos los prestamistas, ¿cuál de las siguientes opciones preferiría?

0

1

2

3

4

5

6

rs · 9

Interés simple: 1 +

7

8

9 meses

10 · 9

= 1+ 1.200

= 1,075 1.200

Interés compuesto: ( 1 + r* )9/12 r*

r

*

12/9

12

= 1 + 0,10 Ÿ r* = (1,1 9/12 - 1) ·

1+ 12 9

= 9,88 9

( 1 + 0,0988 )9/12 = 1,07322  1,075 Como prestamistas nos interesa más pactarla a interés simple.

45

1.4.- Cuestión relativa a la comparación de rentabilidades de inversiones en corto plazo. Una Caja de Ahorros nos ofrece invertir en un depósito renovable quincenalmente al 4,25% TAE. Actualmente tenemos nuestro dinero invertido en una imposición a plazo renovable por trimestres al 4,20% de tipo nominal. ¿Debemos aceptar la oferta de la Caja de Ahorros? 0,042

4

= 4,2666% ! 4,25%

1+

No debemos aceptar.

4

1.5.- Cuestión relativa a la ley financiera con la que se ha realizado una determinada inversión. Una inversión de 100.000 euros, contratada a un tipo de interés del 5% de interés anual en base 365, me produce una rentabilidad de 51.271,10 €. ¿Con qué ley financiera la he contratado? 1.000.000 · e0,05 · 1 = 1.051.271,10 €

interés continuo.

1.6.- Cuestión relativa al tiempo que necesitaré para doblar el valor de mi inversión. ¿Cuántos años necesitaré para doblar el valor de una inversión, si me ofrecen una rentabilidad del 10% nominal anual pagadero por semestres? 0, 10

2n

Ÿ 2 = (1 + 0,05)2n Ÿ L 2 = 2 n · L 1,05 Ÿ

2C=C 1+ 2

L2 Ÿ n=

= 7,1033 años. 2 · L 1,05

46

CAPÍTULO 3. OPERACIONES DE DESCUENTO 1. Operaciones de descuento simple. Podemos definirlas como aquellas en las que el interés se encuentra implícito entre el efectivo que se satisface y el principal o nominal final que se satisfará en una fecha futura. La cantidad final es una cantidad fija, cuyo valor tenemos que actualizar, habida cuenta de la renuncia a la liquidez que conlleva cualquier inversión u operación financiera. Si tenemos una unidad monetaria situada en un momento futuro “t”, y deseamos actualizar su valor a un momento actual o inicial “to”, parece razonable asumir que cada unidad de tiempo descuenta o actualiza el mismo interés a la unidad monetaria futura a obtener.

1

L

1-E=D

E t

t0 E = L (t) y queremos averiguar la naturaleza de “L”

Si “E” depende solamente de “t” y es decreciente según nos alejamos temporalmente hacia atrás desde el momento “t”, parece razonable asumir que cada unidad de tiempo descuenta o actualiza el mismo interés a la unidad monetaria futura a obtener. Además, en una operación de descuento sólo existirán dos flujos, el inicial y el final. Por consiguiente, en cada unidad de tiempo se satisfará una contraprestación teórica de: D

1-E =

t - to

=d t - to

siendo D el descuento total obtenido en la operación. Coincide con 1 - E, es decir, es la diferencia entre el valor financiero de la unidad monetaria en el momento “t” y en el momento “to” (el efectivo actual E, que invertido nos daría 1). Y es a dicha contraprestación a lo que denominamos tipo de descuento en el descuento simple.

47

Si despejamos “E” en la expresión anterior: 1 - E = d ( t – t0 )

E = 1 - d ( t – t0 )

Si tenemos en cuenta que “d” es un parámetro, es decir, un dato a priori del problema (no podemos contratar esta operación financiera si no pactamos a priori un determinado tipo de descuento), podemos afirmar que “E” es exclusivamente función de “t”, y además, una función de tipo lineal, en la que “d” actúa de pendiente de la recta:

1

1

D = d (t - to)

L

E

E

t0

t

Lo usual es que “d” se establezca como tipo anual y, por tanto, (t - to) se exprese, asimismo, en unidades de tiempo anual. Si en vez de ser una unidad monetaria, fuera un capital cualquiera “C”, obtenemos la formulación definitiva del descuento simple:

C

L

D t - to

D=C-E

E

E

t0

t

C-E =

t - to

= dE

C – E = dE (t – t0)

E = C - dE (t – t0)

pero, en este caso, « dE » sería el descuento que se produce sobre el capital “C” durante una unidad de tiempo. Es evidente que nos interesa homogeneizar el

48

concepto de tipo de descuento, independientemente de la cantidad que se obtenga en el vencimiento “t” de la operación, por lo que haremos: dE = C · d y obtenemos la ley financiera general del descuento simple, a partir del tipo de descuento:

E = C . ( 1 - d (t - to) ) siendo D = C . d (t - to)

el descuento total de la operación de actualización. Ejemplo: Acudimos a una subasta de letras del Tesoro, y decidimos licitar con un descuento del 5%. Si solicitamos letras por un nominal de 10.000 euros, y la subasta es a un plazo de seis meses, desde el 12-9-09 hasta el 12-3-10: Calculamos el número de días: 18 + 31 + 30 + 31 + 31 + 28 + 12 = 181 y lo aplicamos a la subasta, teniendo en cuenta que se trabaja en base 360: 181

E = 10.000 ( 1 - 0,05

) = 9.748,61 euros. 360

es decir, habríamos pagado 9.748,61 euros por tener la promesa futura de recibir 10.000 € el día 12-3-10. Hemos de tener sin embargo en cuenta que, cuando se opera en los mercados, los sujetos que intervienen no entienden de descuentos sobre valores futuros, sino de rentabilidades en valor actual; es decir, aunque la ley de descuento se establezca sobre el tipo de descuento, en la vida real, es necesario traducir el tipo de descuento a su tipo de interés equivalente. Por tanto, buscamos conocer cuál es el valor “i”, al cual capitalizando “E”, obtenemos el mismo capital final “C”. Sustituyendo E en la formula de la capitalización simple: C = E [ 1 + i (t - to)] Ÿ C = C [ 1 - d (t - to) ] [ 1 + i (t - to)] Ÿ E = C [ 1 - d (t - to)] 1 Ÿ 1 = [ 1 - d (t - to) ] [ 1 + i (t - to)] Ÿ 1 + i (t - to) =

Ÿ 1 - d (t - to)

1 Ÿ i (t - to) =

d (t - to) -1=

1 - d (t - to)

d Ÿ

1 - d (t - to)

i= 1 - d (t - to)

es decir, la rentabilidad de una inversión en un activo emitido con descuento simple es siempre superior al tipo de descuento, ya que el denominador es un número

49

menor que la unidad, por lo que al dividir “d” por dicho número, el resultado “i”, tiene que ser mayor que “d”. Ejemplo: ¿Cuál será la rentabilidad de la inversión que se realiza comprando la letra del ejemplo anterior? 181

10.000 = 9.748,61 ( 1 + i

) Ÿ 1 + i . 0,49589 = 1,025787Ÿ 365

0,025787

Ÿ i=

= 0,052002 0,49589

es decir, la rentabilidad efectiva semestral (ya en base 365) sería del 5,20%. Si ahora la calculamos en base anual: 365

0,052002

181

1 + i = (1 + im)m Ÿ i = 1 +

- 1 = 0,05268369 365 181

es decir, el 5,27% aproximadamente. Apliquemos ahora la fórmula anterior, teniendo en cuenta que hemos de hacer un cambio de base previo: 365

0,05

= 0,0506944

· 360

0,0506944

i=

= 0,052002 181 1 - 0,0506944 365

que correspondería al tipo nominal, cuyo equivalente anual sería el 5,27%. Si sustituimos ahora el valor de “i” en la fórmula del descuento simple, podemos obtener una expresión más sencilla para actualizar, sin necesidad de utilizar el tipo de descuento. Sabemos que: 1

1

1 + i (t - to) =

Ÿ 1 - d (t - to) = 1 - d (t - to)

Ÿ 1 + i (t - to)

1

i (t - to)

Ÿ d (t - to) = 1 -

= 1 + i (t - to)

i Ÿd=

1 + i (t - to)

1 + i (t - to)

sustituyendo ahora en la fórmula: i E = = C [ 1 - d (t - to)] = C 1 -

C (t - to)

1 + i (t - to)

Ÿ E= 1 + i (t - to)

que sería la fórmula de más común utilización en los mercados para el descuento simple. Tradicionalmente se suele trabajar en el corto plazo y en número de días,

50

por lo que, si expresamos i en tanto por ciento (5 en lugar de 0,05), podemos obtener la fórmula definitiva:

C E= i·k

1+ 36.500

donde: k: número de días k

= t - to 365

i : interés en tanto por ciento. 100

Ejemplo: Supongamos que queremos comprar letras del Tesoro en el mercado, y que restas 52 días para su vencimiento, al 6% de interés; las letras valen 10.000 euros en vencimiento. ¿Cuánto tendremos que pagar por ellas? 10.000 E= = 9.915,25 €. 6 · 52

1+ 36.500

Sobre la base de la formulación general del descuento simple, se pueden contestar otras preguntas clásicas: x ¿Durante cuántos días tengo que descontar un capital de “C” euros para obtener “E” euros a un tipo de interés del i%? C

i·k

E=

Ÿ

1+ 36.500

i·k

C =

i·k

E

C-E =

Ÿ 36.500

Ÿ E

1+ 36.500

36.500 (C - E) Ÿ

k= E·i

Ejemplo: Disponemos de 9.830,33 euros, y necesitamos realizar una inversión de 10.000 euros. Si un Banco nos da el 7% de interés, ¿durante cuanto tiempo tendremos que imponer el dinero del que disponemos? 36.500 (10.000 – 9.830,33) k=

= 90 días 9.830,33 · 7

x ¿Cuál es el importe nominal en letras de cambio que tengo que descontar en un Banco para conseguir un efectivo de E euros si el interés es del i% (suponemos que en base 365), durante “k” días?

51

C

i·k

E=

Ÿ C=E 1+ 36.500

i·k

1+ 36.500

Ejemplo: Necesitamos recibir en estos momentos 9.830,33 euros. ¿Que importe nominal de mi cartera de efectos de comercio a 90 días tendré que descontar para conseguir esa cantidad, si nos descuentan las letras al 7% de interés? 90 · 0,07 C = 9.830,33 1 + = 10.000 €. 36.500 x ¿A qué tipo de interés estaría realizando una inversión en un pagaré de empresa de nominal “C” euros, por el que pago un efectivo de “E” euros, si entre la fecha de la compra y la del vencimiento median “k” días? C

i·k

E=

Ÿ

C

1+

= 36.500

i·k

i·k

E

C-E =

Ÿ 36.500

Ÿ E

1+ 36.500

36.500 (C - E) Ÿ

i= E·k

Ejemplo: Invertimos 9.830,33 euros, y pretendemos obtener 10.000 euros dentro de 90 días. Deseamos saber a qué tipo de interés debemos realizar la inversión. 36.500 (10.000 – 9.830,33) i=

= 0,07 <> 7% 9.830,33 · 90

Un ejemplo clásico de operaciones de descuento simple es el descuento de letras de cambio en los bancos comerciales. Las empresas financian de esta manera las necesidades de capital para financiar su activo circulante, y el ciclo de producción. Ejemplo: Supongamos una empresa que dispone de las siguientes letras aceptadas por sus clientes: Fecha de descuento: 1-1-10 Fechas de vencimiento e importes de las letras: Fecha de vencimiento 28-2-10 31-3-10 30-4-10

52

Importe_ 10.000 30.000 50.000

Tipo de interés aplicable en “forfait” 2: 8% (en base 360). El Banco, liquidaría la remesa de la siguiente forma: C2

C1 E=

C3

+

+

i · k1

1+

i · k3

1+ 36.000

1+ 36.000

10.000

30.000 +

8 · 58

1+

36.000

20.000 +

=

=

8 · 89

8 · 119

1+ 36.000

=

i · k2

1+ 36.000

36.000

= 9.872,75 + 19.612,12 + 29.227,11 = 58.711,98 €. es decir, el Banco anticiparía 58.711,98 euros al empresario, que renuncia a percibir 60.000 euros en las fechas indicadas, a cambio de poder disponer del dinero en el momento actual para financiar el circulante.

2. Comparación entre interés simple y descuento simple. Las leyes financieras del interés simple y el descuento simple verifican una notable diferencia. Se trata de operaciones con un capital inicial y un capital final, pactadas a un tipo de interés específico, durante un número determinado de días. Con la capitalización simple, obtenemos un capital final a partir de un capital inicial: i·d Cn = Co 1 + 36.500 mientras que en el descuento simple, obtenemos el capital inicial, a partir de un capital final: Cn Co = i·d 1+ 36.500 Como podemos comprobar, se trata de la misma formulación. Sin embargo, esto es cierto en el origen y en el final de la operación financiera, pero no a lo largo de ella. La razón estriba en la distinta naturaleza de las dos gráficas. En la capitalización simple, la variable tiempo se encuentra en el numerador, por lo que matemáticamente estamos ante la presencia de una recta, mientras que en el descuento simple, la variable tiempo está en el denominador, y por tanto, matemáticamente estamos ante la presencia de una curva.

2

En términos bancarios, se denomina “forfait” a un tipo de interés que incluye el interés habitual de una operación de activo más las comisiones de negociación de las letras, en función de que estén o no domiciliadas, el tipo de plaza sobre la que se han librado las letras, etc. El “forfait” se calcula en función de la experiencia que se tiene con el cliente en relación con la distribución de librados habituales de los que descuenta letras.

53

Cn

Co

to

t

Si en un momento determinado decidiéramos cancelar la operación, el valor del capital invertido más los intereses devengados sería distinto según la ley financiera con la cual hubiéramos contratado la operación.

Cn C* CĿ Co

Co

to

p

t

Si designamos por C* al capital acumulado por medio de la capitalización, y CĿ al capital acumulado por medio del descuento, existirá siempre una diferencia de interés a favor de la capitalización, cifrada en: C* - CĿ = Co [ 1 + i (p - to)] -

Cn ( 1 + i )t - p

Ejemplo: Un inversor desea colocar 1 millón de euros durante seis meses, desde el uno de enero hasta el treinta de junio de 2010, y le ofrecen un 7% anual en dos productos: - Imposición: a plazo fijo en un Banco. - Pagaré de empresa emitido por una compañía eléctrica. En principio, los dos productos le supondrán el mismo capital final: 180

C = 1.000.000

1 + 0,07

= 1.034.520,55 €. 365

Sin embargo, si a los tres meses deseáramos cancelar la operación: 90

C* = 1.000.000

1 + 0,07

= 1.017.260,27 €. 365

54

1.034.520,55

Cº =

= 1.016.967,41 €. 0,07 · 90

1+ 365

La diferencia: 1.017.260,27 – 1.016.967,41 = 292,86 €. sería el “coste” de la ley financiera elegida. Por tanto, en la elección del producto financiero objeto de la inversión, existe un coste de oportunidad, en el caso de operaciones al descuento. A igualdad de tipo de interés, siempre será mejor para el inversor un producto con ley de capitalización. De ahí que surjan problemas de interpretación con clientes de poca cultura financiera, que exigen capitalización de intereses en operaciones contratadas al descuento.

3. Operaciones de descuento compuesto. Podemos definirlas como aquellas en las que los intereses se descuentan del efectivo inicial, disminuyendo su valor antes de iniciar el siguiente descuento de intereses; es decir, que, a pesar de existir una sola prestación y una sola contraprestación, se producen uno o más devengos de intereses descontados en el período que media entre el inicio y el final de la operación financiera. Ejemplo: Supongamos un pagaré de empresa emitido a cinco años. Existe un efectivo inicial que se satisfará por él, y un capital final que supondrá el nominal final, y la contraprestación correspondiente. Anualmente, el descuento realizado supondrá una disminución del nominal anterior, de cara al cálculo de los intereses descontados en el período siguiente, “de atrás hacia adelante”, hasta llegar el momento inicial, en el que se obtiene el efectivo a pagar. Si tenemos una unidad monetaria situada en el momento “tn”, y deseamos descontarla hasta el momento actual “to”, generándose un descuento de intereses en los momentos t1, t2,...., tn-1, que suponen una disminución del nominal final sucesivamente, hasta el efectivo inicial: 1 Dn

Cn-1 Cn-2

Dn-1

D = 1 - C0 C2 C1

D2 D1

C0 = E

t0

1

t1

t2

.............................. tn-2

55

tn-1

tn

El descuento global de la operación financiera será: n

D = 1- C0 = 6 Dj j=1

pero el descuento de intereses ha sido distinto del que se produjo en el descuento simple, puesto que:

1 - Cn-1

Dn

= dn*

= tn - tn-1

tn - tn-1

Dn-1

Cn-1 - Cn-2 =

tn-1 - tn-2

= dn-1*

tn-1 - tn-2

Dn-2

Cn-2 - Cn-3 =

tn-2 - tn-3

= dn-2*

tn-2 - tn-3

.................................... D1

C1 - C0

= d1*

= t1 - t0

t1 - t0

siendo, en este caso, d1*, d2*, ……….., dn*, no los tipos de descuento aplicables en cada uno de los períodos a la unidad monetaria, sino los intereses descontados de la unidad monetaria final menos los intereses descontados sucesivamente en cada etapa del período, es decir, “dj*” será el interés devengado al descuento sobre un capital “Cj”, durante el período (tj-1, tj). Es evidente que nos interesa homogeneizar el concepto de tipo de descuento, independientemente de la cantidad que sirve de base al descuento, por lo que haremos: dj* = Dj

· dj

siendo “dj” el tipo de descuento homogéneo en base anual comparable en cualquier período. De esta manera: 1- Cn-1 = 1 dn (tn - tn-1 ) Cn-1 - Cn-2 = Cn-1 dn-1 (tn-1 - tn-2 ) Cn-2 - Cn-3 = Cn-2 dn-2 (tn-2 - tn-3 )

Cn-1 = 1 - dn (tn - tn-1 ) Cn-2 = Cn-1 [ 1 - dn-1 (tn-1 - tn-2 ) ] Cn-3 = Cn-2 [ 1 - dn-2 (tn-2 - tn-3 ) ]

.................................................................................................. C3 - C2 = C3 d3 (t3 - t2 ) C2 - C1 = C2 d2 (t2 - t1 ) C1 - C0 = C1 d1 (t1 - t0 )

C2 = C3 [ 1 - d3 (t3 - t2 ) ] C1 = C2 [ 1 - d2 (t2 - t1 ) ] C0 = C1 [ 1 - d1 (t1 - t0 ) ]

56

Sustituyendo, podemos obtener el valor real del efectivo en el momento actual: C0 = C1 [ 1 - d1 (t1 - t0 ) ] = C2 [ 1 - d2 (t2 - t1 ) ] [ 1 - d1 (t1 - t0 ) ] = = C3 [ 1 - d3 (t3 - t2 ) ] [ 1 - d2 (t2 - t1 ) ] [ 1 - d1 (t1 - t0 ) ] = = …………………………………………………………………………………………. = = Cn-1 [ 1 - dn-1 (tn-1 - tn-2 )] ... [ 1 - d3 (t3 - t2 )] [ 1 - d2 (t2 - t1 )] [1 - d1 (t1 - t0 )] = =[1 - dn(tn - tn-1)][1 - dn-1(tn-1 - tn-2)]...[1 - d3(t3 - t2)][1 - d2(t2 - t1)][1 - d1(t1 - t0)] n

C0 = – [( 1 - dj (tj - tj-1)] j=1

Lo usual es que cada uno de los “dj” se establezca como tipo anual y, por tanto, (tj - tj-1 ) se exprese asimismo en unidades de tiempo anual, siendo la fórmula general del descuento compuesto para una unidad monetaria. Como podemos ver, el descuento compuesto no es otra cosa que un proceso de descuento simple aplicado sucesivamente a distintos capitales, 1, Cn-1, Cn-2, Cn-3, ……, C3, C2, C1, durante distintos plazos. Si tenemos en cuenta que “dj” es un parámetro para cada período; es decir, los tipos de descuento serían datos a priori del problema (no podemos contratar una operación financiera si no pactamos a priori los tipos de descuento de cada período), podemos afirmar que “C0” es exclusivamente función del tiempo “t”, agrupado en sucesivos intervalos, y además, en cada período es una función de tipo lineal, en la que “dj” actúa como pendiente de la recta. Por tanto, la gráfica del descuento compuesto será una poligonal en el plano.

1 Cn-1 Cn-2

Dn Dn-1 n

™ Dj j= 1

C2 C1

D2 D1

C0 = E

t0

1

t1

t2

.............................. tn-2

tn-1

tn

Si en lugar de una unidad monetaria, fuera un efectivo concreto, el planteamiento sería similar:

57

Cn Cn-1 Cn-2

Dn Dn-1

D = Cn - E C2 C1

D2 D1

C0 = E

t0

1

t1

t2

.............................. tn-2

tn-1

tn

A nivel de formulación, el planteamiento es muy similar. Bastaría con considerar que en el primero de los descuentos la unidad monetaria es sustituida por “Cn”: Cn - Cn-1 = Cn dn (tn - tn-1 )

Cn-1 = Cn [ 1 - dn (tn - tn-1 )]

con lo que: n

C0 = Cn – [( 1 - dj (tj - tj-1)] j=1

que sería la fórmula general del descuento compuesto para un capital cualquiera “Cn”, siendo: Cn : Capital final del que partimos en el proceso de descuento. Co : Efectivo inicial invertido. dj : tipo de descuento aplicable en cada período. tj - tj-1 : duración de cada período considerado.

Ejemplo: Se va a descontar una letra de 30.000 euros de nominal al 7% anual (base 360) en los últimos tres meses de vida de la misma, y el efectivo que reste, se descontará al 8% anual (base 360) en los cuatro meses que median entre el momento actual, y el inicio de los últimos tres meses (siete meses de vida total). Calcularíamos primero los días que median entre las fechas: De 1-1-10 a 30-4-10: 119 días De 30-4-10 a 31-7-10: 92 días Después traduciríamos dichos días a equivalente anual, teniendo en cuenta que en el descuento bancario se trabaja en base 360: 119

t1 - to =

92

t2 - t1 = 360

360

58

Para poder aplicar la formulación anterior, será preciso obtener los tipos de descuento a partir de los tipos de rentabilidad pactados: 0,08

i1 d1 =

=

= 0,077938948

1 + i1 (t1 - to)

0,08 · 119

1+ 360

i2

0,07

d2 =

=

= 0,068769785

1 + i2 (t2 - t1)

0,07 · 92

1+ 360

y a continuación aplicaríamos la fórmula del descuento compuesto al nominal de la letra: 119

Co = 30.000

1 - 0,077938948

92

·

1 - 0,068769785

360

= 360

= 28.713,45 €. Dado que en los mercados se trabaja básicamente en términos de rentabilidad sobre el efectivo invertido, en lugar de en términos de descuento sobre el capital futuro, vamos a transformar la fórmula general, en función de tipos de interés: ij dj =

Ÿ 1 + ij (tj - tj-1)

n

Ÿ Co = Cn

ij

n

– ( 1 - dj (tj - tj-1)) = Cn – j=1

1-

j=1

(tj - tj-1)

Ÿ

1 + ij (tj - tj-1)

Cn Ÿ Co = n

– [ 1 + ij (tj - tj-1)]

j=1

que constituye la fórmula general del descuento compuesto. Supongamos ahora que hacemos la hipótesis de que los plazos son homogéneos, es decir, de la misma duración, lo cual es muy usual en las operaciones de mercado primario de valores emitidos al descuento, o “al tirón” como se dice en la jerga usada en dichos mercados. En este caso: tj - tj-1 = t y la fórmula del descuento compuesto sería: Cn Co = n

– ( 1 + ij · t )

j=1

59

En muchas operaciones financieras, el tipo de interés además está fijado de antemano, y es constante; es decir, ij = i con lo que la fórmula anterior sería: Cn Co =

( 1 + i · t)n

Si además, consideramos los plazos anuales (t = 1): Cn Co =

( 1 + i )n

que es la fórmula más usada. En esta última expresión, podemos responder a diversas preguntas clásicas: x ¿Durante cuántos años tengo que descontar un capital de “Cn” euros para que su valor en el momento actual sea “Co” euros, si el descuento lo hemos realizado a un tipo de interés del i%, con descuento anual de los intereses? Cn

Cn C0 =

Ÿ ( 1 + i )n

= (1 + i)n Ÿ n · L(1 + i) = LCn - LC0 Ÿ

C0

LCn - LC0 Ÿ

n= L(1+i)

habiendo aplicado las propiedades clásicas de los logaritmos neperianos (L). Ejemplo: Necesitamos pagar una cifra de 10.000 euros en un futuro, pero sólo tenemos en estos momentos 5.083,49 euros. Si calculamos un 7% de interés compuesto con el que nos retribuirían nuestro dinero, ¿Durante cuánto tiempo tendremos que mantener la inversión? L10.000 - L5.083,49 n=

= 10 años L 1,07

x ¿Cuál es el capital que descontado a un tipo de interés del i%, durante “n” años, nos da un efectivo actual de “Co” euros? Cn Co =

( 1 + i )n

Ÿ Cn = Co · (1+ i)n

fórmula que se correspondía con el interés compuesto antes estudiado.

60

Ejemplo: Tenemos 5.083,49 euros invertibles, y queremos saber cuanto recibiremos dentro de 10 años, si nos dan un 7% de interés. Cn = 5.083,49 ( 1 + 0,07 )10 = 10.000 euros.

x ¿A qué tipo de interés tendría que descontar durante “n” años, un capital de “Cn” euros para que me suponga un efectivo actual de “Co” euros? Cn C0 =

Cn Ÿ

( 1 + i )n

n

= (1 + i)n Ÿ 1 + i =

C0

Ÿ C0

Cn

n

Ÿ

Cn

i=

-1 C0

Ejemplo: Descontamos letras por 10.000 euros, que vencen dentro de 10 años, y pretendemos obtener 5.083,49 euros en el momento actual. Deseamos saber a qué tipo de interés se debe de realizar el descuento.

10

10.000

i=

- 1 = 0,07 <> 7% 5.083,49

es decir, el 7% de interés compuesto. Un ejemplo clásico de operaciones de descuento compuesto son los pagarés de empresa a largo plazo. Son emitidos al descuento por grandes empresas, y los utilizan los fondos de pensiones para garantizar altas rentabilidades a los pensionistas. Ejemplo: Un fondo de pensiones adquiere al descuento un pagaré del Instituto de Crédito Oficial a quince años, por un valor final futuro de 10 millones de euros al 7% de interés compuesto anual. El I.C.O. recibiría ahora: 10.000.000 Co =

= 3.624.460,20 €. ( 1 + 0,07 )15

El Fondo tiene garantizada la percepción de 10.000.000 de euros a cambio de los 3.624.460,20 euros invertidos, dentro de 15 años. Ello supone que tanto los 3.624.460,20 euros iniciales, como los intereses anuales acumulados al 7%, se van reinvirtiendo de nuevo al 7% para generar nuevos intereses. El día del vencimiento se practicaría una retención del 15% sobre los intereses percibidos, es decir, sobre 6.375.539,80 euros.

Y es que en el fondo, el descuento compuesto tiene la misma formulación que el interés compuesto, solo que descontando en vez de capitalizando. Matemáticamente se dice que siguen la misma curva, en un caso de derecha a izquierda, y en el otro de izquierda a derecha. La equivalencia financiera está

61

garantizada a lo largo del período temporal en el que se desarrolla la operación financiera. Hemos estudiado las dos leyes financieras y comúnmente utilizadas en los mercados financieros para operaciones de actualización o descuento. Vamos a establecer una comparación de las mismas evaluando las analogías y diferencias entre descuento simple y descuento compuesto. Partimos de las fórmulas elementales de ambas leyes financieras: Cn

Cn Co =

; Co = 1+ i n

( 1 + i )n

Si igualamos: 1 + n i = ( 1 + i )n Cuando n = 0, o n = 1 coinciden las dos expresiones, y por tanto, son los dos valores en los que coinciden descuento simple y descuento compuesto; es decir, en el vencimiento y al principio del último período (cuando descontamos 0 periodos o 1 período solamente), el descuento simple y el compuesto son equivalentes. Entre 0 y 1, la primera expresión es matemáticamente inferior a la segunda, por lo que el descuento compuesto supone un descuento de intereses inferior al descuento simple. Por eso, en el corto plazo, se utiliza el descuento simple por parte de las entidades financieras; pueden cobrar mayores intereses a sus clientes. Para t > 1, el descuento compuesto supone un descuento de intereses superior al descuento simple. Por eso, en el largo plazo, se utiliza el descuento compuesto por parte de las entidades financieras; de nuevo, pueden cobrar mayores intereses a sus clientes. En el descuento simple, el capital decrece proporcionalmente con el tiempo en sentido inverso. A doble tiempo, doble descuento, etc. Sin embargo, en el descuento compuesto, el capital decrece más que proporcionalmente con respecto al tiempo.

62

CUESTIONES Y PROBLEMAS

3.1.- Problema de comparación de rentabilidades de varias inversiones: Estudiar qué sería más interesante para un inversor que desea invertir su dinero: -

-

Realizar una inversión que le proporciona un tipo de interés nominal anual del 5% (base 360) a dieciocho meses con pagos trimestrales. Realizar una inversión que le proporciona un tipo de interés efectivo del 5,10% (base 365) a un año, y luego puede reinvertir al 5,05% efectivo anual (base 360) durante seis meses. Realizar una inversión con rendimiento implícito a un tipo de descuento simple del 4,8% (base 365) a dieciocho meses. Como las tres inversiones son al mismo plazo (18 meses), realizaremos la comparación utilizando el valor final de un euro invertido en cada una de las tres: ˆ 365 ˆ 0,050694 ˆ a) 5 · = 5,0694 % = 0,0142361 360 4 ˆ 1 · (1 + 0,0142361)6 = 1,088514992 €. 365 b)

5,05 ·

1

(1 + 0,0512013889 )2 - 1 = 0,025281126

= 5,12013889 % 360

1 · (1 + 0,051) · (1 + 0,025281126) = 1,077570463 €. c)

d i=

0,048 =

1 - d (t – to)

= 0,051724 1 - 0,048 · 1,5

1 · (1 + 0,051724 · 1,5 ) = 1,077586 €. Elegiría la primera de las opciones. 3.2.- Problema de decisión sobre la conveniencia o no del descuento de letras de cambio: Una empresa ha recibido dos letras de cambio de 20.000 y 50.000 euros, pagaderas respectivamente dentro de 60 y 90 días, como contraprestación de las mercancías que ha servido a un cliente. Paralelamente, un asesor le ofrece la posibilidad de invertir la cantidad que desee durante el plazo que quiera entre un mes y un año, garantizándole un 8% de interés. Si su Banco le descontaría las letras al 4% de interés, cobrándole una comisión inicial del 1% del nominal de dichas letras. a) Calcular el TAE de la operación de descuento del Banco. b) Calcular el tipo de descuento equivalente al tipo de interés que le ofrece el Banco.

63

c) ¿Cuánto podría invertir la empresa en el producto que le ofrece el asesor? d) ¿Qué le interesaría más, realizar la inversión o conservar las letras y cobrarlas a su vencimiento? a) Para la primera letra: N1

20.000

E1 =

=

= 19.867,55 €.

i · t1

4 · 60

1 +

1+ 36.000

36.000

Comisión: 1% s/ 20.000 ……. – 200

€.

19.667,55 €. Para la segunda letra: N2

50.000

E2 =

=

= 49.504,95 €.

i · t2

4 · 90

1 +

1+ 36.000

36.000

Comisión: 1% s/ 50.000 ……. – 500

€.

49.004,95 €. 19.667,55 + 49.004,95 = 68.672,50 €. 20.000

50.000

68.672,50 20.000

50.000

68.672,50 =

+

r = 8,964%.

60

90

365

365

(1 + r )

(1 + r )

Este es el tipo de interés anual para 90 días. El T.A.E. anual sería: 365 90

0,08964

1+ i =

Ÿ i = 9,271%

1 + 365 90

b)

19.867,55 + 49.504,95 = 69.372,50 €. E = C1 > 1 - d ( t1 – to) @ + C2 > 1 - d ( t2 – to) @ 60

69.372,50 = 20.000 · 1 - d

90

+ 50.000 · 1 - d

· 365

Ÿ

· 365

20.000 · 60 + 50.000 · 90

Ÿ d

= 70.000 - 69.372,50 = 627,50 Ÿ 365 365

·

627,5

Ÿ d =

0,040182018  ! 4,0182 % 5.700.000

64

c) 68.672,50 €. 60

d) C1 = E1 > 1 - i ( t1 – to) @ = 19.677,55

1 + 0,08 ·

= 19.926,19 365 90

C2 = E2 > 1 - i ( t2 – to) @ = 49.004,95

1 + 0,08 ·

= 49.971,62 365

69.897,81 euros. 69.897,81  70.000 Ÿ Es menos interesante el descuento y la posterior inversión, que conservar las letras y cobrar los 70.000 euros al vencimiento. 3.3.- Problema de obtención del tipo de descuento al que se realiza una operación de descuento simple con diferentes rentabilidades según plazos: Calcular el tipo de descuento global equivalente al que se están descontando tres letras de cambio del mismo importe nominal emitidas a 30, 60 y 90 días a un tipo de rentabilidad efectiva respectivo del 5%, 6% y 7%. Obtener el TAE de esta operación. 1

E1 =

= 0,995907231 5 · 30 1 + 36.500

1

E2 =

= 0,99023315 6 · 60 1 + 36.500

1

E3 =

= 0,983032588 7 · 90 1 + 36.500

Total …….

2,969173134

E = C1 > 1 - d ( t1 – to) @ + C2 > 1 - d ( t2 – to) @ + C3 > 1 - d ( t3 – to) @ 30

2,969173134 = 1· 1 - d

60

+ 1· 1 - d

· 365

90

+1

·

·

1–d

365

Ÿ

· 365

30 + 60 + 90

Ÿ d

= 3 - 2,969173134 = 0,030826866 Ÿ 365 365

·

0,030826866

Ÿ d =

= 0,062510034  ! 6,251 % 180 1

1

2,969173134 =

1

+

+

30

(1 + r )

365

60

(1 + r )

365

65

r = 6,49074%. 90

(1 + r)

365

365 90

0,0649074

1+ i =

Ÿ i = 6,6511954 %

1 + 365 90

3.4.- Cuestión relativa al tipo de descuento en la emisión de letras del Tesoro. Pujamos en la subasta del Tesoro Público por letras del Tesoro a un tipo de descuento del 3,75% a 364 días. Si los precios de adjudicación marginal y medio son del 96% y 96,15% respectivamente, indicar el importe en euros al que adquiriría cada letra del Tesoro. 364

E = 1.000

= 962,08 euros  ! 96,208% ! 96,15

1 – 3,75 · 36.000

A 961,50 euros cada letra. 3.5.- Cuestión relativa a la rentabilidad de una inversión en un bono cupón cero. Un bono cupón cero de nominal 100.000 euros, se emitió hace 5 años al 7% de interés. Hoy cuando faltan dos años para su vencimiento me lo ofrecen por 142.000 euros. ¿Qué rentabilidad me están cotizando para esta inversión? 100.000 ( 1 + 0,07 )7 = 160.578,15 euros. 160.578,15

142.000 = (1 + r )2

160.578,15

Ÿ r =

½

- 1 = 6,3405861% 142.000

3.6.- Cuestión relativa a la comparación de rentabilidades de inversiones en corto plazo. En una inversión a un año, ¿qué es mejor, recibir un 2,5% semestral base 360, un 1,25% trimestral base 365, o una cantidad futura que descontada a un tipo de descuento del 4,75% base 360 durante un año, nos dé un líquido que coincida con la cantidad que prevemos invertir? 365

2,5 ·

= 2,53472% 360

(1 + 0,0253472)2 – 1 = 5,1336926% 4

(1 + 0,0125) – 1 = 5,0945337% 365 0,0475 360

i =

= 5,05964% 365 1 - 0,0475 360

66

la primera.

3.7.- Cuestión relativa a la evaluación del tipo de descuento al que hemos de realizar una inversión. Tenemos 10.000 €, y un familiar nos comunica que va a cambiar de coche dentro de nueve meses, y que pide 10.300 € por él. Nos hemos comprometido ya a invertir en una imposición a plazo a tres meses con una Caja de Ahorros, al 2% de interés. Si la retención que nos aplica la Caja es del 15%, ¿a qué tipo de descuento tendría que comprar una letra del Tesoro cuando venza la imposición, para conseguir el líquido necesario para comprar el coche al familiar? 10.300 0 10.000

3

9

2% 2·3

10.000 1 +

= 10.050 ; 10.050 – 50 · 0,15 = 10.042,50 €. 1.200 6

10.042,50 = 10.300 1 – d ·

d = 5%. 1.200

3.8.- Cuestión relativa a los precios de adquisición y venta de una letra del Tesoro. Compramos en un banco una letra del Tesoro de 1.000 € nominales, con vencimiento dentro de 182 días, y con una rentabilidad del 3% de interés. ¿Cuál es el precio que pagamos por ella? Si la vendemos dentro de 60 días al mismo tipo de interés que la compramos, ¿cuánto recibiremos por su venta? 0

60

182

1.000

E1 =

= 985,26 € pagaremos por ella. 182 · 3 1 + 36.500 1.000

E2 =

= 990,07 € recibiremos por la venta. 122 · 3 1 + 36.500

3.9.- Problema relativo al descuento de letras de cambio por parte de una empresa. Una empresa descuenta una letra de cambio a 120 días en un banco. El banco le aplica un tipo de interés nominal anual del 6,5%, y una comisión en origen del 0,25% nominal. Pasados cuarenta y cinco días, el librado se declara en procedimiento concursal, y la empresa para evitar incrementar el ratio de efectos impagados que tiene con el banco, decide rescatar la letra descontada. El banco le indica que han subido los tipos, y que le aplicará un tipo de descuento del 6,25% anual, así como una comisión de cancelación del 0,5% nominal. Como la empresa necesita financiación, descuenta

67

una nueva letra por el mismo nominal que la inicial y con la misma fecha de vencimiento que aquella. Esta vez el tipo de interés efectivo anual al que se descuenta es del 7%, y la comisión del 0,20% anual. a) ¿Cuál es el líquido que recibe la empresa cuando descuenta la primera letra? b) ¿Por cuánto rescata la empresa la última letra? c) ¿Cuál es el líquido que recibe la empresa cuando descuenta la segunda letra? d) ¿Cuál ha sido el coste de financiación de la empresa durante los 120 días? e) ¿Cuál el T.A.E. anual de la operación? a) 0

120 100

E1 = 120 · 6,5

= 97,8792822 - 0,25

1 +

97,6292822

36.500

b) 0

45

120

6,25 · 75

E2 = 100 ·

136.000

c)

= 98,69791667 + 0,50 99,19791667

365

1 + 0,07 = ( 1 + im )75 Ÿ im = 1,4 % 75

0,2 ·

= 0,04109589% 365 100

E3 =

= 98,61932939 - 0,04109589

1 + 0,014

98,5782335 d)

99,19791667 - 98,5782335 0,61968317 0 97,6292822

100

45

120

0,61968317

97,6292822 =

100

+

r = 9,6505%.

45

120

(1 + r ) 365

(1 + r ) 365 365

e)

120

0,096505

1+ i =

Ÿ i = 9,9665113 %

1 + 365 120

68

3.10.- Cuestión relativa al tipo de descuento aplicable a una letra del Tesoro. Si una letra del Tesoro con vencimiento dentro de 176 días es adquirida por 980 €, ¿cuál es el tipo de descuento que me están aplicando? Si deseara mantenerla como inversión durante 50 días, y obtener una rentabilidad del 2,5%, ¿a qué tipo de interés equivalente tendría que venderla? 1.000 0 980

176 días

E=N·(1–d·t) d · 176

980 = 1.000 ·

1-

d = 4,2323747% 365 50

980 ·

1 + 0,025 ·

= 983,356 365

N

1.000

E =

983,356 =

i = 4,903083%

i·t 1 +

i · 126 1+

36.500

36.500

3.11.- Cuestión relativa a la elección entre diferentes efectos de comercio para llevar al descuento. Estamos sopesando la posibilidad de descontar efectos de comercio que tenemos pendientes de cobro. Tenemos unas letras a un vencimiento corto y otras a un vencimiento largo. Si el tipo de interés aplicado a ambas fuera del 5%, ¿el tipo de descuento equivalente al anterior para las letras a corto, sería mayor, igual o menor que el tipo de descuento equivalente para las letras a largo? i

0,05

dC =

0,05

= 1+ i·t

0,05 >

1 + 0,05 · t

0,05

1 + 0,05 · t

1 + 0,05 · ( t + ǻ t )

1 + 0,05 · ( t + ǻ t ) > 1 + 0,05 · t

dL = 1 + 0,05 · ( t + ǻ t )

0,05 ǻ t > 0

69

d C > dL

CAPÍTULO 4. LAS RENTAS

1. Concepto de renta. Entenderemos por renta a una sucesión de capitales, distribuidos a lo largo del tiempo, de tal manera que en cada uno de los momentos temporales indicados, se percibe un capital de los contenidos en la sucesión. En toda renta existirán los siguientes elementos: x El origen temporal, to, o momento inicial al cual deseamos referir la renta objeto de estudio. x El final temporal, tn, o momento en el que se produce la materialización del capital último, o capital más lejano del origen temporal. x La duración de la renta, o diferencia entre el final y el origen temporal: tn - to. x Los capitales, C1, C2 , ...., Cn, que constituyen propiamente la renta objeto de estudio. x Los tiempos, o momentos temporales en los que se produce la aplicación de cada uno de los capitales: to, t1, t2, ...., tn. x Valor financiero de la renta, o equivalente financiero de la misma en un momento temporal cualquiera. El valor de la renta sería un valor tal que pudiera ser sustituido por el conjunto de los capitales que constituyen la renta, sin que supusiera menoscabo en el patrimonio del sujeto que tiene derecho a percibir dichos capitales a lo largo del tiempo.

to

C1

C2

C3 .................. Cn-1 Cn

t1

t2

t3

................. tn-1

tn

Ejemplo: El sueldo mensual de un obrero es una renta que es cierta en lo que respecta a su cuantía, y aleatoria en lo que respecta a su duración (pueden despedirle). Ejemplo: La compra de una obligación del Estado es una renta cierta, en la que los capitales futuros que se reciben son los cupones anuales de dicha obligación, percibiéndose el día del vencimiento un capital constituido por el último cupón, y el nominal de la obligación. Ejemplo: Las cuotas de amortización de un préstamo solicitado a un Banco son una renta a favor del Banco, parte de la cual es capital prestado devuelto, y la otra parte, los intereses del período considerado. Ejemplo: Los dividendos de unas acciones adquiridas en Bolsa constituyen una renta aleatoria, tanto en cuanto a su cuantía, como en cuanto al tiempo en el que se producirán.

71

2. Clasificación de las rentas. Las rentas se pueden clasificar atendiendo a distintos criterios: A) Atendiendo a la certeza de los capitales que componen la renta. x Rentas Ciertas.- Son aquellas en las que los capitales sólo dependen del tiempo en el que se materializan. Ejemplo: La venta de un bien a plazos. Supongamos que vendemos un coche a cinco años con pagos mensuales de 500 euros. En este caso, sabemos cuándo se producen las rentas, en los próximos sesenta meses, y tenemos certeza acerca de su importe, 500 euros cada mes. x Rentas Aleatorias.- Son aquellas en las que no sabemos con certeza si se van o no a producir unos capitales, cuándo se van a producir, y en qué cuantía se van a producir. Ejemplo: Los dividendos de unas acciones adquiridas, así como su precio de venta en Bolsa. Ahora no sabemos cuándo se pagarán los dividendos, ni en qué cuantía, ni siquiera si se van a producir (la empresa puede no tener beneficios); en lo que respecta al importe que se recibirá cuando se vendan los valores, dependerá de la evolución de la cotización bursátil. B) Atendiendo a la periodicidad de los capitales. x Rentas Constantes.- Son aquellas en las que todos los capitales que componen la renta tienen la misma cuantía: C1 = C2 = ............ = Cn = C Ejemplo: Las cuotas mensuales de constitución de un fondo de pensiones. Si pagamos todos los meses 100 euros, a los sesenta y cinco años tendríamos un determinado capital, coincidente con el valor final de la renta capitalizado a los tipos de interés de mercado. x Rentas Variables.- Son aquellas en las que los capitales que componen la renta son de distinta cuantía. Ejemplo: Un préstamo en el que la devolución del capital se hace por cuartas partes, y al pagar intereses por un saldo vivo distinto, las cuotas a pagar en los cuatro pagos serán distintas. C) Atendiendo a la periodicidad de los tiempos. x Rentas con períodos uniformes.- Son aquellas en las que la duración de cada período es la misma: tj+1 - tj = d ;  j = 0,1,2, .... , n-1 Ejemplo: El alquiler de un piso. Todos los meses el casero recibe la renta del inquilino.

72

x Rentas con períodos variables.- Son aquellas en las que los períodos tienen distinta duración. Ejemplo: Los flujos de caja de una obligación. El 85% de los cupones se reciben en unas fechas, mientras que el 15% de las retenciones se reciben en otras fechas distintas; los intervalos son variables. D) Atendiendo a la duración de las rentas. x Rentas Temporales.- Son aquellas que tienen una duración finita, pasada la cual, la renta desaparece. Ejemplo: Un préstamo hipotecario para la compra de un piso, a quince años. Pasada esta fecha el préstamo queda amortizado y la renta finaliza. x Rentas Perpetuas.- Son aquellas que tienen una duración infinita. Ejemplo: La Deuda Perpetua emitida por el Estado Español. Nunca se amortizaba, y siempre pagaba los cupones periódicos. Otro ejemplo puede ser el impuesto sobre una finca rústica. El pago del mismo se debería de realizar siempre, constituyendo una renta perpetua para el erario público. E) Atendiendo a la unidad temporal que caracteriza la periodicidad de la renta. x Rentas x Rentas x Rentas x Rentas x Rentas etc.

anuales. mensuales. trimestrales. bianuales. semestrales.

F) Atendiendo al momento del intervalo en el que se materializa la renta. x Rentas prepagables.- Son aquellas en las que los capitales se imponen al principio de cada período:

Co

C1

C2

C3 ................... Cn-1

to

t1

t2

t3

................

tn-1

tn

Ejemplo: Los pagos de una póliza de seguros. No estamos asegurados hasta el momento en que no desembolsamos la prima.

x Rentas postpagables.- Son aquellas en las que los capitales se imponen al final de cada período:

to

C1

C2

C3 ................... Cn-1

Cn

t1

t2

t3

tn

................

73

tn-1

Ejemplo: El sueldo de una persona. Empezamos a trabajar, y no nos pagan hasta que pasa el primer período. G) Atendiendo a la existencia o no de un intervalo temporal sin materialización de capitales al principio o al final de la duración de la renta. x Rentas Inmediatas.- Son aquellas en las que desde el momento en que se contrata la operación financiera, se empiezan a materializar los capitales de la renta:

to

C1

C2

C3 ................... Cn-1

Cn

t1

t2

t3

tn

................

tn-1

Ejemplo: Los cupones de las Obligaciones del Estado. Desde el momento en que compramos las obligaciones, tenemos derecho a los intereses. x Rentas Diferidas.- Son aquellas en las que transcurre un determinado plazo temporal desde que se contrata la operación financiera, hasta el momento en el que se empiezan a percibir los capitales de la renta.

to

t1

C2

C3 ................... Cn-1

Cn

t2

t3

tn

................

tn-1

d Al intervalo d = t1 - to, se le denomina período de diferimiento. Ejemplo: Un préstamo solicitado a una financiera de venta de coches, en el que la primera cuota mensual se satisface a los seis meses de la compra del vehículo. x Rentas Anticipadas.- Son aquellas en las que transcurre un determinado plazo temporal desde que dejan de materializarse los capitales de la renta hasta el momento en que se produce el final de dicha renta.

Co

C1

C2

C3 ....................Cn-1

to

t1

t2

t3................... tn-1

tn h

Al intervalo h = tn - tn-1, se le denomina período de anticipación. Ejemplo: Un plan de ahorro personal en el que se impone una cantidad mensual durante veinte años. Finalizado el plazo de imposición, se esperan unos años hasta la jubilación para recibir la contraprestación.

74

3. Valor de una renta. Hemos definido el valor financiero de una renta como un equivalente financiero en un momento dado. Dependiendo de cuál sea ese momento, podemos denominar al valor de la renta como: x Valor Actual de la Renta: Se correspondería con el equivalente financiero de los capitales que constituyen la renta en el origen temporal to.

to

C1

C2

C3 ................... Cn-1

Cn

t1

t2

t3

tn

................

tn-1

Para saber cuál es el valor actual de una renta, habría que actualizar el valor de cada uno de los capitales futuros al momento actual, y después sumar todos los efectivos resultantes de dichas actualizaciones. Esta suma sería el valor actual de la renta. Lógicamente, los efectivos tienen que tener un valor inferior a los capitales futuros, en base al principio de la renuncia de liquidez. Por consiguiente, si vamos a actualizar capitales futuros, parece razonable asumir que la ley financiera que debemos utilizar es el descuento compuesto, es decir: n

Cj

n

Vo = ¦ Ej

=¦

j=1

j=1

j

– [ 1 + ik ( tk - tk-1 )]

k=1

siendo Ej el valor actualizado del flujo Cj. Si en la expresión anterior consideráramos temporales tuvieran la misma duración:

que todos los intervalos

tk - tk-1 = 1 considerando a la longitud de dicho intervalo como la unidad temporal de la renta: Cj n Vo = ¦ j=1

j

– ( 1 + ik)

k=1

Si en la expresión asumiéramos un interés único, como media de todos los períodos temporales: Cj

n

Vo = ¦

j=1

( 1 + i )j

es decir: C2

C1 Vo =

+ 1+i

Cn + .......... +

(1 + i)2

(1 + i)n

75

que constituye la fórmula más utilizada para obtener el valor actual de una renta, o “present value” (PV) en terminología anglosajona. La fórmula anterior, a pesar de ser de bastante fácil aplicación, tiene dos claros inconvenientes: x Los tipos de interés siguen una curva, según el plazo que media entre el momento actual, y el momento futuro considerado, lo cual constituye la estructura temporal de los tipos de interés. Dada esta realidad empírica, no es muy ortodoxo utilizar un único tipo de interés para todos los plazos temporales. x La asunción de una unidad temporal de la renta es una falacia, dado que en los mercados secundarios de valores, por ejemplo, se contratan valores todos los días, y la distancia al primer pago de cupón es variable y no coincidente con los siguientes pagos. Además, los capitales siempre se obtienen en dichos mercados en dos fases, el 82% en la fecha indicada, y el 18% de retención varios meses después, cuando se presenta la declaración de impuestos. Por consiguiente, la formulación anterior es de difícil aplicación práctica. Ejemplo: Obténgase el valor actual de un bono de 1.000 euros que se emita hoy en mercado primario a tres años, con un cupón del 7%, si consideramos un tipo de interés de actualización del 6%. 70

Vo =

70

1.070

+

+ 2

1 + 0,06

(1 + 0,06)

= 3

(1 + 0,06)

= 66,04 + 62,30 + 898,39 = 1.026,73 es decir, el precio que debería tener un bono que pagara un cupón del 7% durante tres años, sería del 102,673%. x Valor Final de una Renta: Se correspondería con el equivalente financiero de los capitales que constituyen la renta, en el final temporal tn. Para saber cuál es el valor final de una renta, habría que capitalizar el valor de cada uno de los capitales futuros al momento final, y después sumar todos los efectivos resultantes de dichas capitalizaciones. Esta suma sería el valor final de la renta. Lógicamente, los efectivos tienen que tener un valor superior a los capitales C1, C2, ..... , Cn. Si vamos a capitalizar capitales, parece razonable asumir que la ley financiera que debemos utilizar es la capitalización compuesta, es decir: n

j

Vn = ¦ [ Cj · – [ 1 + ik ( tk - tk-1 ) ]] j=1

k=1

76

Si en la expresión anterior consideráramos temporales tuvieran la misma duración:

que todos los intervalos

tk - tk-1 = 1 n

n

Vn = ¦ [ Cj · – ( 1 + ik) ] j=1

k=j

Si en la expresión asumiéramos un interés único: n

Vn = ¦ [ Cj · ( 1 + i)n-j ] j=1

es decir: Vn = C1 · (1 + i)n-1 + C2 · (1 + i)n-2 + .......... + Cn-1 · (1 + i) + Cn en la cual, además de las consideraciones hechas en el valor actual, hay que tener en cuenta que estamos capitalizando los capitales futuros a un tipo de interés “i” que ni siquiera conocemos, es decir, ¿por qué vamos a considerar que en el momento tj, cuando nos paguen un cupón, vamos a poder invertirlo al tipo “i” durante “n-j” períodos? Ejemplo: Obténgase el capital acumulado que obtendríamos después de imponer 10.000 € al principio del ejercicio todos los años durante cinco años, asumiendo una rentabilidad del 5% anual. Vn = 10.000 (1 + 0,05)5 + 10.000 (1 + 0,05)4 + 10.000 (1 + 0,05)3 + + 10.000 (1 + 0,05)2 + 10.000 (1 + 0,05) = = 12.762,82+12.155,06+11.576,25+11.025,00+10.500 = 58.019,13 €. es decir, que el capital constituido después de cinco años junto con sus intereses supondría un total de 58.019,13 euros, a pesar de haber impuesto solo 50.000. x Valor de una Renta en un momento cualquiera de la duración.- Se correspondería con el equivalente financiero de los capitales que constituyen la renta, en un punto perteneciente a la duración.

to

C1

C2 C3 ........ Vt*....... Cn-1 Cn

t1

t2

t3 ........ t*....... tn-1

tn

Para saber cuál es el valor en el momento t* de la renta, habría que capitalizar cada uno de los capitales futuros cuyo tiempo sea inferior a t*, a dicho momento temporal, y actualizar cada uno de los capitales futuros cuyo tiempo sea superior a t*, al mismo momento temporal. Sumando todos los efectivos resultantes de dichas capitalizaciones actualizaciones, obtendríamos el valor de la renta en el momento t*.

y

El planteamiento matemático ortodoxo en el caso de que el punto t* no coincida con un tj, se basa en la utilización del interés compuesto por el período considerado, aunque también es habitual utilizar el interés compuesto para las capitalizaciones y actualizaciones hasta un punto temporal identificado con uno

77

de los capitales, y el interés simple para el “plazo roto” entre puntos temporales3. Ejemplo: Queremos obtener el valor de una renta de 10.000 euros anuales durante cuatro años, si consideramos un tipo de interés de capitalización y actualización del 7%; y la fecha en la que deseamos valorarlo es a los cincuenta días del segundo pago de la renta. 1.000. 0

1

1.000.

1.000.

2 t*

3

1+

1.000. 4

50

50

365

Vt* = 10.000 (1 + 0,07)

365

+ 10.000 (1 + 0,07) 315

1+

365

+ 10.000 / (1 + 0,07)

+ 315 365

+ 10.000 / (1 + 0,07) =

= 39.141,28 euros.

4. Modelos de rentas más usuales. Los modelos de rentas más usuales son las rentas inmediatas, temporales, postpagables y constantes:

C 0

1

C 2

C .................... C 3

...................... n-1

C n

cuyo valor actual sería: C Vo =

C + (1 + i)2

1+i 1 =C

C + (1 + i)3

1 +

= (1 + i)n

1 +

(1 + i)2

1+i

C + ....... +

1 + ....... +

(1 + i)3

(1 + i)n

El valor de la suma incluida en el corchete anterior se corresponde con la suma de un número finito de términos de una progresión geométrica, cuyo valor, como es bien sabido, es el cociente entre el último elemento por la razón menos el primero, y la razón menos uno: 1

1 +

1+i

1 +

(1 + i)2

1 + ....... +

(1 + i)3

3

= (1 + i)n

Si se desea profundizar más en el concepto de valor de una renta en un momento intermedio del período temporal de la misma, se pueden consultar las páginas 105 a 110 del libro ya citado “Análisis Matemático de los Mercados Monetarios y de Valores”, de Editorial AC, publicado en el mes de septiembre de 1996.

78

1

1

1

(1 + i)n

1

-

·

1-

1+i

(1 + i)n

1+i

=

=

1 - (1 + i)-n =

1

1+i–1

i

-1 1+i lo cual se ha obtenido dividiendo por la razón, y multiplicando y dividiendo por (-1). Por tanto: 1 - (1 + i)-n Vo = C i y su valor final sería: Vn = C · (1 + i)n-1 + C · (1 + i)n-2 + ......... + C · (1 + i) + C = = C [ (1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 + ......... + (1 + i) + 1 ] El valor de la suma incluida en el corchete anterior se corresponde asimismo con la suma de un número finito de términos de una progresión geométrica, ordenados en este caso en orden inverso los sumandos: (1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 + ......... + (1 + i) + 1 = (1 + i)n-1

·

(1 + i)n - 1

(1 + i) - 1

=

= 1+i–1

i -1

1+i Por tanto: (1 + i)n - 1 Vn = C i

Ejemplo: Suponemos que tomamos la decisión, hoy 1 de enero, de imponer todos los años 10.000 euros los días 31 de diciembre de cada año, durante quince años, comprometiéndose el Banco a pagarnos un 6% anual. Queremos saber cuál será el capital constituido el día 31 de diciembre de dentro de quince años:

10.000 10.000 0

1

................. 10.000

2

15

(1 + 0,06)15 - 1 V15 = 10.000

= 232.759,70 €. 0,06

El Banco le da ahora la opción al cliente de imponer una cantidad en el momento actual, que le garantice la percepción de dicho capital futuro, sin tener que hacer imposiciones anuales. ¿Cuál sería esa cantidad?

79

1 - (1 + 0,06)-15 Vo = 10.000

= 97.122,49 €. 0,06

es decir, sería indiferente imponer ahora 97.122,49 euros, que 10.000 durante quince años, para conseguir el mismo capital final, 232.759,70 €.

La relación existente entre valor actual y valor final es sencilla: 1 - (1 + i)-n Vo (1 + i)n = C

(1 + i)n - 1 (1 + i)n = C

= Vn

i

i

es decir: Vn = Vo · ( 1 + i )n

Ejemplo: Comprobémoslo en el caso anterior: Vn = 97.122,49 · ( 1 + 0,06 )15 = 232.759,70 €. Si la renta fuera prepagable, bastaría multiplicar el resultado obtenido por (1 + i), para “correr” todos los flujos un período. Veámoslo: C

C

0

1

C 2

C ................... C 3

...................... n-1

n

Su valor actual sería: C Vo = C +

C + (1 + i)2

1+i 1 =C

1+

1

1 + ....... +

(1 + i)3

1

1 +

(1 + i)3

= (1 + i)n-1

1 +

(1 + i)2

= (1 + i)n-1

1 +

+ 1+i

(1 + i)3

(1 + i)2

1+i

C + ....... +

1 +

= C (1+i)

C +

1 +....... +

(1 + i)4

= (1 + i)n

1 - (1 + i)-n = C (1+i) i Análogamente, para el caso del valor final de la renta: Vn = C . (1 + i)n + C . (1 + i)n-1 + ......... + C (1 + i)2 + C(1 + i) = = C (1 + i) [ (1 + i)n-1 + (1 + i)n-2 + ......... + (1 + i) + 1 ] = (1 + i)n - 1 = C (1+i) i

80

Ejemplo: Pagamos una prima anual de 1.000 € a una Compañía de Seguros, para que constituya un plan de jubilación durante veinticinco años, en el que se garantiza un 4% anual de rentabilidad. ¿Cuál es la cantidad de que dispondrá el sujeto cuando se jubile? 1.000 1.000 0

1.000 .................

1

2

1.000 24

25

(1 + 0,04)25 - 1 V25 = 1.000 (1 + 0,04)

= 43.311,74 €. 0,04

Si le planteamos ahora que invierta una cantidad única para obtener el mismo importe, ¿cuál sería dicha cantidad? 1 - (1 + 0,04)-25 Vo = 1.000 (1 + 0,04)

= 16.246,96 €. 0,04

es decir, sería indiferente imponer ahora 16.246,96 euros, que 10.000 durante veinticinco años, para conseguir el mismo capital final, 43.311,74 €. y evidentemente, podemos comprobar la relación entre valor actual y valor final: Vn = 16.246,96 · ( 1 + 0,04 )25 = 43.311,74 €. Si la renta fuera diferida, bastaría con dividir el resultado obtenido “d” períodos después, por (1 + i)d, al calcular el valor actual, es decir, se calcularía el valor de la renta en el período “d”, y luego dicho valor se actualizaría dichos “d” períodos dividiendo por el factor de actualización. Veámoslo para una renta postpagable (si fuera prepagable bastaría con multiplicar el resultado por (1+i)): C 0

1

2

…………. d

d+1

C ................... C d+2 .................. d+n

período de diferimiento inicio de la renta

Su valor actual en el momento “d” sería: C Vd =

C +

1+i

C +

(1 + i)2

C + ....... +

(1 + i)3 1 - (1 + i)-n

=C i

81

= (1 + i)n

que actualizada nos dará el valor que buscamos: 1 - (1 + i)-n Vo = C (1 + i)-d i Análogamente, para el caso del valor final de la renta, coincide con el de una renta inmediata: Vd+n = C · (1 + i)n-1 + C · (1 + i)n-2 + ......... + C · (1 + i) + C = (1 + i)n - 1 =C i Ejemplo: Suponemos una empresa que adquiere una máquina, realizando doce pagos anuales, cada uno de ellos de 10.000 €, pero de forma que el primer pago se abona a partir del tercer año, y por años vencidos. Queremos saber cuál es el precio de contado de esta máquina, teniendo en cuenta que el interés fijado por el vendedor para el aplazamiento del los pagos es del 5% anual. 10.000 10.000 ................. 0

1

2

3

4

10.000

5

15

1 - (1 + 0,05)-12 -3

Vo = 10.000 (1 + 0,05)

= 76.564,10 €. 0,05

Si la renta fuera anticipada, sería el valor actual el que quedaría inalterable, mientras que el valor final habría que multiplicarlo por (1 + i)h, supuesto que hubiera “h” períodos de anticipación. Veámoslo: C 0

1

C ................C 2

C

………………….. n-1

n

n+1

n+2 ..................

n+h

período de anticipación final de la renta

Su valor actual sería: C Vo =

C +

1+i

C +

(1 + i)2

C + ....... +

(1 + i)3

= (1 + i)n

1 - (1 + i)-n =C i que obviamente coincide con el de una renta inmediata postpagable. En lo que respecta al valor final, haremos algo parecido al caso de la renta diferida, esto es, obtendremos el valor final en el momento “n”, y luego capitalizaremos dicho valor hasta el momento “n+h”:

82

Vn = C · (1 + i)n-1 + C · (1 + i)n-2 + ......... + C · (1 + i) + C = (1 + i)n - 1 =C i (1 + i)n - 1 Vn+h = C (1 + i)h i Si la renta fuera prepagable, al igual que en el punto anterior, bastaría con multiplicar los resultados obtenidos por (1+i).

Ejemplo: Suponemos una persona que toma la decisión de pagar una prima anual de 5.000 € al final de cada año a una Compañía de Seguros, durante los próximos quince años, ahora que tiene cuarenta años, con el objetivo de percibir a los sesenta y cinco el capital acumulado junto con los intereses, y disfrutar de su jubilación. Queremos saber cuál sería el capital que recibiría a los sesenta y cinco años, si el interés que le garantizan es del 4,5% anual. Sabemos que las primas de seguros constituyen una renta prepagable, por lo que:

5.000 5.000 5.000 .......... 5.000 0

1

2 ……………….. 14

15

16

17 …………………… 25

(1 + 0,045)15 - 1 V25 = 5.000 (1 + 0,045) (1 + 0,045)10 prepagable

anticipación

= 76.564,10 €.

0,045

renta de quince períodos

Si la renta fuera perpetua, bastaría con dividir la cuota entre el tipo de interés para calcular el valor actual. Obviamente, valor final no existiría. Veámoslo: C 0

1

C 2

C .................... C 3

...................... n-1

C …………………… n

……………………….

cuyo valor actual sería: C Vo =

C + (1 + i)2

1+i 1 =C

+ …………… = (1 + i)n

1 +

(1 + i)2

C + ....... +

(1 + i)3

1 +

1+i

C +

1 + ....... +

(1 + i)3

+ ……………. (1 + i)n

El valor de la suma incluida en el corchete anterior se corresponde con la suma de un número infinito de términos de una serie geométrica de razón menor que la

83

unidad, cuyo valor, como es bien sabido, es el cociente entre el primer elemento, y uno menos la razón: 1

1

1

+

1

+

+ ....... +

(1 + i)2

1+i

(1 + i)3

1

+ ......... = (1 + i)n

1

1+i

1+i

=

1

=

=

1

1+i–1

1+i

1+i

i

1-

Por tanto: C Vo = i

Si fuera prepagable, bastaría con multiplicar por (1+i) el resultado anterior. Ejemplo: Una finca rústica tiene un tipo de gravamen del 10% sobre la base imponible, siendo dicha base imponible el valor estimado de la misma como valor actual de todos los rendimientos anuales futuros de la finca. Se han estimado los rendimientos de la finca por término medio en 25.000 € anuales, y queremos conocer cuál es la contribución anual de la finca, si el tipo que fija Hacienda para la actualización es del 4%. 25.000 25.000 0

1

................. 25.000 …………………….

2 ………………………....

n …………………………

25.000 V0 =

= 625.000 €. 0,04

es decir, la base imponible sería de 625.000 €, por lo que: Impuestos = 0,10 · 625.000 = 62.500 €.

Si la renta fuera fraccionada, habría que calcular el tipo equivalente al periodo considerado (mes, trimestre, etc.), y considerar la renta en dicho período con la formulación anterior, simplemente aumentando el número de períodos. Supongamos que el período fraccionado tiene una duración 1/m, es decir, que el año se divide en “m” períodos: C 0

C

C ………. C

1/m 2/m 3/m

m-1/m

C 1

C C ………………….. C ……………………………………………………………………… C 2 …………………………………………………………………... n

Normalmente conoceremos el tipo de interés efectivo anual “i”, y a partir de dicho interés, obtendríamos el tipo equivalente del período de duración “1/m”:

84

im = ( 1 + i )1/m - 1

Una vez calculado “im”, para obtener el valor actual de la renta, utilizaríamos la misma formulación que para una renta anual, pero aplicada a “n · m” períodos. 1 - (1 + im)-n · m Vo = C im y análogo para el valor final: (1 + im)n · m - 1 Vn = C im En el caso de que la renta fuera prepagable, bastaría con multiplicar el resultado por (1+im). Ejemplo: Suponemos que decidimos constituir un plan de ahorro a ocho años, aportando mensualmente 1.000 euros, y en la entidad financiera nos garantizan un 3,5% de tipo efectivo anual. Queremos saber cuánto tendremos ahorrado al final de los ocho años, y cuánto tendríamos que imponer de una sola vez al principio de la operación para obtener el mismo capital acumulado.

1. 1. 1. 1. ………. 1. 1. 1. 1. ………………….. 1. ………………………………………………………………… 1. 0

1/12 2/12 3/12

11/12

1

2 …………………………………………………………………... 8

Calculamos primero el equivalente mensual al tipo efectivo anual: i12 = ( 1 + i )1/12 – 1 = ( 1 + 0,035 )1/12 – 1 = 0,2870899%.

Una vez calculado “i12”, obtenemos el valor actual de la renta aplicada a “8 12” períodos.

·

1 - (1 + 0,002870899)-96 Vo = 1.000

= 83.802,48 €. 0,002870899

y el valor final: (1 + 0,002870899)96 - 1 V96 = 1.000

= 110.351,87 €. 0,002870899

Si la renta fuera variable, resultaría aconsejable actualizar o capitalizar flujo a flujo, al margen de que existan distintas fórmulas matemáticas que permiten

85

simplificar estos cálculos, en particular para rentas en progresión aritmética o geométrica, remitiéndonos a un libro especializado en esta figura financiera4. Si en vez de querer calcular el valor actual o el final, los conociéramos, al igual que los flujos, y nos planteásemos saber cual es la tasa interna de rentabilidad, que iguala dichos flujos con el valor de la renta, habría que recurrir al uso de una calculadora financiera, por ejemplo, la HP12c, que obtendría dicha tasa sin ningún problema. Lo que buscamos es conocer a qué tipo de interés estaríamos igualando el valor actual de los flujos, asumiendo la capitalización de los intereses a ese mismo tipo de interés. Lo veremos con algunas de las rentas analizadas en este punto, comenzando por las inmediatas de renta constante: C

C

Vo =

C

+ (1 + r)2

1+r

C

+

+ ....... + (1 + r)3

(1 + r)n

Buscamos “r”, valor del TIR, y lo podemos obtener bien con una hoja de Excel, bien con la calculadora financiera. Veamos un ejemplo con la calculadora HP12c. Ejemplo: ¿A qué TIR se ha vendido un bono de nominal 1.000 €, si el precio de venta ha sido de 970 €, y está emitido a 5 años, con un cupón del 4,5% anual. 45

45

970 =

45

+

+

(1 + r)2

1+r

45 +

(1 + r)3

1.045 +

(1 + r)4

(1 + r)5

Usando una calculadora financiera HP12c: - 970

g

CF0

45

g

CFj

4

g

Nj

1.045

g

CFj

f

IRR

5,196696307%

valor que ha obtenido la máquina mediante aproximaciones sucesivas. Si la renta fuera diferida, el planteamiento sería similar, sin más que tener en cuenta que hay varios flujos iniciales con valor cero.

4

En el libro ya comentado de “Análisis Financiero de los Mercados Monetarios y de Valores”, en las páginas 132 a 140, se pueden ver los desarrollos y fórmulas que permiten la obtención de estas fórmulas así como ejemplos de aplicación.

86

Ejemplo: Mismo caso anterior, pero teniendo en cuenta que la renta tiene dos años de diferimiento: 45

45

970 =

45

+ (1 + r)3

45

+ (1 + r)4

(1 + r)5

1.045

+

+

(1 + r)6

(1 + r)7

Usando una calculadora financiera HP12c: - 970

g

CF0

0

g

CFj

2

g

Nj

45

g

CFj

4

g

Nj

1.045

g

CFj

f

IRR

3,591302077%

Es evidente que la tasa debe ser inferior, habida cuenta de que los 970 euros están inmovilizados durante dos años sin retribución. Si la renta fuera perpetua, el TIR es inmediato: C

C

Vo =

r= r

Vo

Ejemplo: El mismo ejemplo, pero considerando una renta indefinida y sin vencimiento: 45

45

970 =

45

+

+ 2

1+r

(1 + r)

45 +

3

+ …………………….. 4

(1 + r)

(1 + r)

45 r=

= 4,6391753%. 970

Si la renta fuera fraccionada, el planteamiento es el mismo que con una renta anual, pero teniendo en cuenta que la tasa de retorno “r” que obtenemos está referida a un período inferior al año; es decir, no obtenemos “r”, sino “rm”. C Vo =

C +

1 + rm

C +

(1 + rm)2

C + ....... +

(1 + rm)3

(1 + rm)n · m

y después habrá que convertir la renta fraccionada en renta anual: 1 + r = (1 + rm)m

87

Ejemplo: Veamos el mismo ejemplo anterior, pero con un cupón trimestral del 1,125%.

11,25

970 =

+

11,25

11,25

11,25 1.011,25 + ………………… + + 20 (1 + r) (1 + r)19 (1 + r)

+ 2

3

(1 + r)

1+r

Usando una calculadora financiera HP12c: - 970

g

CF0

11,25

g

CFj

19

g

Nj

1.011,25

g

CFj

f

IRR

1,296247622%

r = (1 + r4)4 - 1 = (1 + 0,01296247622)4 - 1 = 5,2866799%. Si la renta fuera variable, hemos de calcular el TIR flujo a flujo. A los efectos de cálculo con la calculadora financiera es indiferente. Veámoslo con un ejemplo:

Ejemplo: Invertimos 15.000 euros, y se comprometen a devolvernos 1.000 euros en cada uno de los dos primeros años, 2.000 euros en cada uno de los tres siguientes, y 3.000 euros en cada uno de los cuatro años siguientes. ¿A qué tasa interna de rentabilidad estamos invirtiendo nuestros 15.000 euros? 1.000

1.000 2.000 2.000 2.000 + + + + + (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)4 (1 + r)5

15.000 = 1+r

3.000 +

3.000

+ (1 + r)6

3.000 3.000 + + (1 + r)7 (1 + r)8 (1 + r)9

Usando una calculadora financiera HP12c: - 15.000

g

CF0

1.000

g

CFj

2

g

Nj

2.000

g

CFj

3 3.000 4

g

Nj

g g

CFj Nj

f

IRR

88

5,168505755%

5. Operaciones de constitución de un capital. Es bastante usual que los sujetos económicos decidan, en determinadas situaciones, constituir un capital mediante aportaciones periódicas. Tal es el caso de los Planes de Ahorro, los Planes de Pensiones o los Fondos de Inversión. El sujeto decide aportar una cuota, constante, creciente o decreciente, con una cierta periodicidad, con el objetivo de llegar a una determinada fecha, a partir de la cual ha constituido un capital que le permite tener una renta periódica con la que complementa sus ingresos, o bien, recibe el capital globalmente, o bien va recibiendo periódicamente las rentas y parte del capital hasta que el capital acumulado desaparece. Estas operaciones suelen tener además incentivos fiscales al ahorro, que permiten a los titulares del capital en fase de constitución, no tributar o hacerlo de forma puramente testimonial, por las aportaciones que realicen a la constitución de dicho capital. Una operación de constitución de capital no es otra cosa que una renta de la cual perseguimos obtener su valor final. De la infinidad de posibilidades que pueden darse, vamos a plantear la más usual: Cuota periódica constante de constitución de capital; y una vez constituido el capital, veremos la posible renta generable con el mismo, distinguiendo entre renta periódica constante preservando el capital, y renta periódica constante consumiendo el capital hasta su agotamiento. El modelo general es el siguiente: Q0 Q1

Q2

Q3 .................. Qn

0

2

3

1

…….………………… n-1

n

El capital constituido coincidirá con Q en el momento de iniciar la constitución, y con Cn en el momento final. Si queremos calcular dicho capital en un momento intermedio, tendremos que ver cómo evoluciona a lo largo del tiempo, en función de las cuotas que se vayan aportando, y de los intereses que se vayan obteniendo, y que se van acumulando al principal para generar nuevos intereses. El crecimiento del capital constituido en un momento determinado se descompone en dos sumandos: -

El incremento que experimenta el capital constituido por los intereses: Ij = Cj-1 · ij

-

El incremento que experimenta el capital constituido por las nuevas aportaciones de capital.

89

Cn In

Cn-1 Qn-1

C3 Q3 C2

I3 Q2

C1

I2 Q1 I1

C0 = Q0

0

1

2

3 .............................. n-1

n

Las diferencias de capital existentes entre dos períodos consecutivos son las cuotas constitutivas, que a partir de este momento haremos hipótesis de que son constantes, e iguales a “Q”. El capital acumulado en un momento “j” será siempre igual a: Cj = Cj-1 ( 1 + ij ) + Q y los incrementos que experimenta el capital acumulado en cada uno de los períodos es: ' Cj = Ij + Q Teniendo en cuenta que estamos ante una renta inmediata, temporal y prepagable, el capital final acumulado sería: (1+i)n - 1 Cn = Q(1+i) i Ejemplo: A una persona le ofrecen la constitución de un plan de ahorro, consistente en aportar 100 euros mensuales durante veinte años, garantizándole un 6% mínimo de interés acumulado. ¿Cuál será el capital mínimo que obtendría una persona al jubilarse? Primero, obtendríamos el interés mensual equivalente al 6% anual: 1 + 0,06 = (1 + i12)12 Ÿ i12 = 0,004867551 Luego aplicaríamos la fórmula anterior: (1+i12)20 · 12 - 1 Cn = 100 (1+i12)

= i12

90

1,004867551240 - 1 = 100 · (1,004867551)

= 45.564,58 €. 0,04867551

Este capital se descompone en: Cn = ¦ Q + ¦ Ij = 100 · 240 + ¦ Ij = 24.000 + 21.564,58 Una vez que se ha constituido el capital, pueden darse distintas posibilidades en relación con la renta que facilita. De ellas las más utilizadas son: x Renta periódica constante preservando el capital: Sólo queremos consumir los intereses, y dejar el capital en herencia al fallecimiento del sujeto. La renta puede ser constante o variable, según la modalidad que se elija. En el primer caso, se podría entregar el capital a una entidad financiera que garantice una rentabilidad fija durante un período de quince o veinte años, o bien podemos comprar bonos cupón cero a treinta años, con lo cual tendríamos garantizada la rentabilidad. En el segundo caso, se harían inversiones en distintos activos y distintos plazos, y se obtendrían las rentabilidades propias de las inversiones del momento. x Renta periódica constante, consumiendo el capital hasta su agotamiento: El problema básico consistiría en determinar cuántos años va a vivir el sujeto, problema de índole actuarial, en el cual no vamos a entrar, entre otras cosas, porque una cosa es la esperanza de vida, y otra el grado de creencia que el sujeto tiene sobre cuántos años va a vivir. El planteamiento analítico es similar al de una operación de préstamo amortizable por cuotas constantes, que será estudiado en el punto siguiente, y al cual nos remitimos.

6. Nuda-propiedad y Usufructo de una renta. Hemos podido comprobar que en una renta existen siempre dos magnitudes claramente diferenciadas: -

El capital o deuda que tiene un sujeto respecto de otro, en un momento determinado.

-

Los intereses que ese capital devenga, bien a favor, bien en contra del sujeto.

Cuando compramos una obligación del Estado, podemos separar la propiedad, o precio exícupón de la obligación, y los cupones que pagará dicha obligación en un futuro. Cuando heredamos un paquete de acciones o un inmueble con inquilino, podemos recibir el bien en propiedad, pero puede ocurrir que los dividendos de las acciones y las rentas pagadas por el alquiler, pertenezcan a otro sujeto. Pues bien, la posesión del bien, o los derechos sobre el capital se denominan la nuda propiedad del activo; y el derecho a percibir los intereses de dicho activo, se denomina usufructo.

91

Es evidente que, desde este punto de vista se puede considerar segregada toda la renta en dos componentes, que podrían ser objeto de negociación por separado. En otras palabras, un sujeto podría vender la nuda propiedad manteniendo el usufructo, o vender el usufructo manteniendo la nuda propiedad. Lógicamente, la transferencia de nuda propiedad o usufructo no tiene por qué mantener la misma ley financiera con la que se negociaba el activo en su globalidad. En un momento determinado de la vida de una renta, podremos hablar del valor del usufructo, o valor actualizado de todas las cuotas de intereses futuros pendientes de cobro, y el valor de la nuda propiedad, o valor actualizado de todas las cuotas de amortización pendientes de recibir. Si tenemos la siguiente renta: Qj+1 Qj+2 ............ Qn-1 Qn to

t1

t2 .......... tj tj+1 tj+2 ............. tn-1

tn

y queremos saber cuál es el valor del usufructo y de la nuda propiedad en el momento “j”, tendremos que segregar las cuotas en sus dos componentes: Qk = Ik + Ak y calcular su valor en función de las condiciones de mercado. Es evidente que los tipos de interés que se apliquen no tienen porqué coincidir, ni con el tipo de interés pactado en la renta original, ni entre sí, ya que se puede querer valorar los flujos de intereses a tipo distinto que los de la nuda propiedad. Ik+j

n-j

Uj = ¦

k=1

( 1 + i’ )k

n-j

Ak+j

Nj = ¦

k=1

( 1 + i’’ )k

siendo evidente que Cj  Uj + Nj y que solamente se producirá la identidad cuando i = i’ = i’’ Ejemplo: Hemos adquirido un bono a diez años, y estamos en el cuarto año de vida del mismo, justo después del pago del cuarto cupón. El cupón anual es del 5%, y queremos saber cual es el valor actual de la nuda propiedad y del usufructo, ya que un banco nos compra el usufructo al 6,5% de interés anual, y una gestora de fondos nos compra la nuda propiedad al 7,15% de interés anual. 100

92

5 0

1

2

3

5

4

5

5

6

8

5 9

+ (1 + 0,065)2

1 + 0,065 5

10

+ (1 + 0,065)3

5 +

(1 + 0,065)4

5

5

+

+

5

7

5

U4 =

5

5 +

(1 + 0,065)5

= (1 + 0,065)6

= 25,97615117 100 N4 =

= 66,07648736 (1 + 0,0715)6

Evidentemente, 25,97615117 + 66,07648736 = 92,05263853  100 = C4 debido, obviamente, a la diferencia de tipos de interés utilizados.

93

CUESTIONES Y PROBLEMAS

4.1.- Problema de cálculo del valor actual de una renta prepagable: Determinar el valor actual de una renta inmediata prepagable de cuantía anual 10.000 euros, y duración cinco años, si se actualiza a un tipo de interés anual constante del 8% los dos primeros años, y a un interés del 9% los tres restantes. 10.000

10.000

0

1

10.000

10.000

10.000

2

3

4

8%

5

9% 1 – ( 1 + 0,08)-2

Vo = 10.000 (1 + 0,08)

1 – (1 + 0,09)-3 (1+ 0,08)-2 =

+ 10.000 (1 + 0,09) 0,08

0,09

= 19.259,26 + 23.654,93 = 42.914,19 €.

4.2.- Problema de cálculo del valor actual de una renta postpagable diferida perpetua: Determinar el valor actual de una renta anual postpagable de 5.000 euros, y tipo de interés del 6%, que comenzará a devengarse dentro de cuatro años de manera indefinida. 5.000 0

1

2

3

4

5.000

5

6

5.000 ……………………… ………………………… 7 ………………………..

d 5.000 (1 + 0,06)-4 = 66.007,81 €.

Vo = 0,06

4.3.- Problema de cálculo del valor actual de una renta creciente en progresión geométrica: Determinar el valor actual de los salarios que debe abonar una empresa a sus empleados durante 5 años, si la nómina del presente año satisfecha por meses vencidos ha ascendido a 320.000 euros, y se prevé un incremento anual acumulativo del 4%, siendo el tipo de interés del 8% efectivo anual, de cara a la valoración de la citada renta. ˆ

26.666,6 …………………

ˆ

ˆ

27.733,3 …………………….

28.842,6 ……………………

29.996,37 …………………

31.196,23 ………………

_xxxx x x x xxxx _x xxx x x x xx xx _x xx x x x x x x xx _xxxx x x x xxxx_ xxxx x x x xxxx_ 0 1 2 3 4 5

320.000 = 26.666,66 €. 12

26.666,66 · 1,04 = 27.733,33 26.666,66 · 1,042 = 28.842,66 26.666,66 · 1,043 = 29.996,37 26.666,66 · 1,044 = 31.196,23

1 + 0,08 = ( 1 + i12)12 Ÿ i12 = 0,643403%

94

1 – ( 1 + 0,00643403 )-12

+ 27.733,33 a12

Vo = 26.666,66 0,00643403

a

12

i

(1+ 0,08)-1 + 28.842,66 a12 i (1+ 0,08)-2 +

12

12

i 12

+ 29.996,37 a12

i

(1+ 0,08)-3 + 31.196,23 a12 i (1+ 0,08)-4 =

12

12

= (26.666,66 + 25.679,01 + 24.727,93 + 23.812,09 + 22.930,16) · 11,51285787 = = 1.425.474,28 €.

4.4.- Problema de cálculo del valor actual y final de una renta fraccionada: Hallar los valores actual y final de una renta inmediata postpagable de cuantía constante trimestral de 2.500 euros, y duración cinco años, si valoramos los flujos al 5% de tipo efectivo anual. 2.500 2.500 2.500 2.500 …………………………………………………………………………………………………………………

_ 0

x

x

x

_ 1

x

x

x

_ 2

x

x

x

_ 3

x

x

x

_ 4

x

x

x

_ 5

1

(1 + i4 )4

1 + 0,05 =

Ÿ i4 = 1,054

- 1 = 0,012272234

1 – ( 1 + 0,012272234 )-20

Vo = 2.500

=

44.098,29 €.

=

56.281,84 €.

0,012272234 ( 1 + 0,012272234 )20 - 1

V5 = 2.500 0,012272234

Lógicamente:

44.098,29 ( 1 + 0,05 )5

= 56.281,84 €.

4.5.- Problema de cálculo del número de pagos necesarios para cancelar una deuda: Para cancelar una deuda de 30.000 euros, entregamos 5.000 euros al final de cada año. Si el tipo de interés es del 5% anual, determinar el número de pagos a realizar. ~ 0 30.000

5.000 ~ 1

5.000 ~ 2

5.000 …………………………………………………… 5.000 ~ ~ 3 ……………………………………………………. n

1 - (1 + 0,05)-n

Ÿ 0,3 = 1 - 1,05-n Ÿ 1,05-n

30.000 = 5.000

= 0,7 Ÿ

0,05 L 0,7

Ÿ - n · L 1,05 = L 0,7 Ÿ n = -

= 7,310386 años. L 1,05

Obviamente, se harían pagos en 7 años, y el último se realizaría en un momento intermedio entre el 7º y el 8º año.

95

Si queremos calcular exactamente el día, habría que calcular el tipo de interés equivalente para dicho periodo, así como la cantidad a pagar en ese último lapso temporal. Evidentemente, una cantidad está en función de la otra, por lo que fijaremos el tiempo: 0,310386 · 365 = 113,29  ! 113 días. 365 113

j

1 + 0,05 =

Ÿ j = 4,9160513 %

1 + 365 113

113

i113 = 0,049160513 ·

= 1,5219556 % 365

1 - ( 1 + 0,05 )-7

1

+ Q · 1,05-7

30.000 = 5.000 0,05

1 + 0,015219556 1,015219556

Q = ( 30.000 – 28.931,87)

= 1.525,84 €. 1,05-7

El último pago será de 1.525,84 euros, y se realizará el 23 de abril del año octavo. 4.6.- Problema de cálculo del TIR de una inversión: Determinar la rentabilidad de una inversión de 100.000 euros, que proporciona unos ingresos anuales netos de 20.000 euros durante 7 años. ~ 0 100.000

20.000 20.000 ~ ~ 1 2

20.000 ……………………………… 20.000 ~ ~ 3 ………………………………… 7

1 – ( 1 + r )-7

ˆ

100.000 = 20.000

r = 9,196136 % r

4.7.- Problema de cálculo de la cuota a pagar para constituir un capital: Con objeto de que su hijo de 8 años de edad, reciba al cumplir los 18 años la suma de 50.000 euros para financiar sus estudios universitarios, el señor “X” decide ingresar una cantidad al final de cada año en un Banco que le abona intereses al 3%. Transcurridos 6 años, el Banco le comunica que los intereses han subido al 4% para el resto del período. Determinar: a) La cuota anual a pagar los seis primeros años. b) La cuota anual a pagar los cuatro últimos. ~ 0

Q ~ 1

Q ~ 2

Q …………………………..…………………………… Q ~ ~ 3 ……………………………………………………. 10 50.000

96

a) ( 1 + 0,03 )10

- 1

50.000 · 0,03

= 50.000 Ÿ Q =

V10 = Q ·

= 4.361,53 1,0310 - 1

0,03 ( 1 + 0,03 )6

b)

( 1 + 0,04 )4

- 1

- 1

4

V10 = 4.361,53 ·

(1 + 0,04) + Q’ · 0,03

= 0,04

= 50.000 Ÿ 0,04

Ÿ Q’ = ( 50.000 – 33.004,24 ) ·

= 4.002,33 €. 1,044

- 1

4.8.- Problema de cálculo del valor actual del patrimonio de un sujeto: Cierta persona dispone de los siguientes bienes: - Un piso, cuyos alquileres netos son de 750 euros mensuales. - Un capital de 50.000 euros, colocado a plazo de 5 años, por el que recibe unos intereses del 2% semestral, cada semestre. - 100.000 euros nominales en Bonos del Estado con un cupón anual del 5%. Determinar el valor de su patrimonio en el momento actual, si los rendimientos del piso y del capital a plazo se descuentan al 4% anual de rentabilidad, y el cambio medio de los Bonos del Estado en el último trimestre fue del 105%. Vo = V1 + V2 + V3 _1

(1 + i12 )12

1+ i = 750 750 750

_ x x 0

x

i12 = 1,0412 - 1 = 0,00327374

…………………………………………………………………………………………………………………....

x x

x

x

x x x x _ 1

_ 2 .......................................

750

V1 =

= 220.095,77 €. 0,00327374

Suponiendo que no existe valor residual del piso ni actualización del alquiler en el tiempo. ~ 0 50.000

1.000 x

1.000 ~ 1

............................................................... 1.000 x ~ x ~ x ~ x 2 3 4

51.000 _ 5

2% s/ 50.000 = 1.000 1

1+ i =

(1 + i2 )2

i2 = 1,042 - 1 = 0,019803903 50.000

1 – ( 1 + 0,019803903 )-10

V2 = 1.000

+

=

50.088,16 €.

1,045

0,019803903

V3 = 100.000 · 1,05 = 105.000 €. V = 229.095,77 + 50.088,16 + 105.000 = 384.183,93 €.

97

4.9.- Problema de elección de la modalidad de adquisición de un piso: Una persona desea comprar un piso y se le ofrecen las siguientes modalidades de pago: -

-

Al contado por 150.000 euros. Entregar 30.000 euros de entrada, 10.000 euros dentro de tres meses, y el resto en pagos semestrales de 8.000 euros durante 10 años, efectuando el primer pago dentro de un año. Entrega 50.000 euros de entrada, y el resto en mensualidades vencidas de 1.500 euros cada una durante 10 años.

¿Qué modalidad interesaría más al comprador desde el punto de vista financiero, sabiendo que dispone de los 150.000 euros, y que los puede invertir en un negocio familiar que le reportaría un 10% de interés anual? 1

1+ i =

(1 + i4 )4

i2 = 1,104

- 1 = 0,024113689

1

1+ i =

(1 + i2 )2

30.000 10.000 ~ ’ x 0

i2 = 1,102

8.000 8.000 ~ x 1

- 1 = 0,048808848

8.000 .......................................................................8.000 8.000 ~ x ~ ~ x 2 3 .................................................... 10

10.000

1 – ( 1 + 0,048808848 )-20

V2 = 30.000 +

+ 8.000 (1 + 0,048808848) 1 + 0,024113689

0,048808848

1 · 1 + 0,10

_ 11

=

= 30.000 + 9.764,54 + 96.025,46 = 135.790 €. 50.000 1.500 ...................................................................................................................................... 1.500 ~ x x x x x x x x x x x ~ ~ ~ _ 0 1 2 3 ............................................................. 10 _1

1+ i =

(1 + i12 )12

i12 = (1 + 0,10 12 - 1 = 0,00797414 1 – ( 1 + 0,00797414 )-120

V3 = 50.000 + 1.500

=

165.584,26 €.

0,00797414

Elegiría la segunda, al suponer un menor coste en valor actual equivalente.

4.10.- Problema de obtención del precio de venta y de la rentabilidad de una inversión: Una persona desea constituir un capital de 100.000 euros dentro de cinco años. Una alternativa que se le plantea es comprar un piso por 60.000 euros, alquilarlo y venderlo dentro de cinco años. El alquiler es de 400 euros al mes, que el sujeto invierte, siendo el nivel de tipos de interés durante el período del 3% anual. ¿Por qué precio debería de vender el piso para lograr su objetivo? ¿Cuál ha sido la rentabilidad financiera en base anual de la plusvalía obtenida en la compra-venta del piso?

98

60.000 400 ..................................................................................................................................... 100.000 ~ x x x x x x x x x x x ~ ~ ~ ~ _ 0 1 2 3 4 5 _1

(1 + i12 )12

1+ i =

i12 = (1 + 0,03 12 - 1 = 0,00246627

( 1 + 0,00246627 )60 - 1

V5 = 400

=

25.832,38 €.

0,00246627

100.000 – 25.832,38 = 74.167,62 €. Tendría que venderlo por dicho precio para conseguir los 100.000 € que necesita. La plusvalía es: 74.167,62 - 60.000 = 14.167,62 €. 1 5

74.167,62

74.167,62 = 60.000 ( 1 + r )5 Ÿ r =

- 1 = 4,3308195%. 60.000

4.11.- Problema de constitución de un Plan de Ahorro: Un inversor efectúa aportaciones al final de cada mes a un plan de ahorro durante cinco años. La rentabilidad ofrecida ha sido constante del 7% efectivo anual. Las aportaciones se han incrementado anualmente un 4% acumulado, siendo las correspondientes al primer año de “C” euros/mes. El montante obtenido (M), se invierte en un depósito financiero a plazo de un año, tras el cual se llega a un capital de 10.000 euros. Si el TAE del depósito ha sido del 3% efectivo anual, calcular “C”. C C C ............................... C·1,04................... C·1,042.............. C·1,043................ C·1,044...............M ~ x x x x x x x x x x x ~x x x x x x x x x x x~ ~ ~ _ 0 1 2 3 4 5

10.000 _ 6

_1

(1 + i12 )12

1+ i =

i12 = (1 + 0,07)12 - 1 = 0,005654145

( 1 + 0,005654145 )12 - 1

(1 + 0,005654145) · (1 + 0,07)4 + C · 1,04 · a 12 i (1+ 0,07)3 +

C· 0,005654145

12

a

12

i 12

+ C · 1,042 · a 12

i

(1+ 0,07) 2 + C · 1,043 · a12 12

i

(1+ 0,07) + C · 1,044 · a12 i (1+ 0,03) =

12

12

= 10.000 C > 1,31079601 + 1,27404472 + 1,23832384 + 1,20360448 + 1,16985856 @ · · 12,45029711

· 1,03 = 10.000 Ÿ

Ÿ C=

10.000

= 125,84 € cada mes.

6,19662761 · 12,82380602

99

4.12.- Problema de decisión entre dos inversiones utilizando el TIR como criterio: Un inversor tiene la oportunidad de colocar su dinero en dos tipos de inversión, cuyas características financieras son respectivamente: a) Una inversión de 100.000 euros que producirá 6.000 euros semestrales durante 10 años, siendo el valor residual de la inversión al final del período, de 10.000 euros. b) Una inversión de 60.000 euros que producirá 3.000 euros trimestrales a partir del segundo año, durante ocho años, siendo el valor residual de la inversión al final del período, de 5.000 euros. ¿Cuál de las dos inversiones sería más conveniente si en principio las dos son igualmente posibles de llevar a cabo? 10.000 6.000 6.000 ............................................................................... 6.000 6.000 x ~ x ~ ~ x _ 2 3 ..................................................... 9 10

6.000 6.000 ~ x ~ 0 1 100.000

1 - (1 + r2)-20

100.000 = 6.000

+ 10.000 (1 + r2)-20

r2 = 2,463957664%.

r2

r = ( 1 + 0,02463957664 )2 - 1 = 4,9886263%. 3.000 3.000 …….. 5.000 3.000 3.000 ....................………………………........................................................... 3.000 3.000

~ 0 60.000

~ 1

60.000 = (1 + r4)

~ x x x ~ 2 3

-8

~ x x x _ ..........................................……………........... 9 10

1 - (1 + r4)-32 ·

3.000

5.000

+

r4 = 2,168117423%. (1 + r4)32

r4

r = ( 1 + 0,02168117423 )4 - 1 = 8,9586124%. La segunda de acuerdo con el criterio del TIR. No obstante, habría que analizar el coste de oportunidad de los 40.000 € no invertidos en el segundo caso. 4.13.- Problema de evaluación del coste de realizar una carrera universitaria: Un estudiante ha tenido los siguientes gastos durante los cinco años de carrera: - Gastos de material: 500 euros al comienzo de los tres trimestres del curso, haciéndose el primer pago el uno de octubre. - Gastos de manutención y alojamiento: 1.000 euros mensuales a pagar al final de cada mes, y durante los nueve meses del curso (de octubre a junio), los dos primeros años, subiendo a 1.500 euros en los tres siguientes. - Gastos de matrícula: 1.200 euros el primero de octubre de cada año. Si todas estas cantidades las hubiera ingresado en una entidad financiera que acumula intereses al 3% constante anual, determinar la cuantía que tendría constituida, finalizados los cinco cursos (uno de octubre del quinto año).

100

GT = GM + GA + GR 500 500 500

~ 0

x

500 500 500

x

x

~ 1

x

500 500 500

x

x

~ 2

x

500 500 500

x

x

~ 3

x

500 500 500

x

x

~ 4

x

x

x

_ 5

1

(1 + r4 )4

1 + 0,03 =

r4 = 1,034 - 1 = 0,7417072%. ( 1 + 0,007417072 )3 - 1

(1 + 0,007417072) · (1 + 0,03)4 +

GM = 500 · (1 + 0,007417072) · 0,007417072

a

r

3

4

+ 500 · a 3

3

r · 1,03

2

+ 500 · a 3

r · 1,03

4

+ 500 · a 3

4

r · 1,03

+ 500 · a 3

4

r

=

4

= 500 · 3,067305834 (1,12550881 + 1,092727 + 1,0609 + 1,03 + 1) = = 8.142,37 €. 1000 ..............................1000

1000…………….1000

1500……………1500

1500……….…1500

1500…… …….1500

~ x x x x x x x x x x x ~x x x x x x x x x x x~ x x x x x x x x x x x~x x x x x x x x x x x~x x x x x x x x x x x~ 0 1 2 3 4 5

( 1 + 0,00246627 )9 - 1

GA = 1.000

(1 + 0,007417072) · (1 + 0,03)4 +

·

0,00246627

a

9

r 12

+ 1.000 · a 9

3

r · 1,03

+ 1.500 · a 9

12

r · 1,03

2

+ 1.500 · a 9

12

r · 1,03

+ 1.500 · a 9

12

r

=

12

= > 1.000 (1,12550881 + 1,092727) + 1.500 (1,0609 + 1,03 + 1) @ · 9,156714395 = = 62.765,48 €. 1.200 ~ 0

1.200 ~ 1

1.200 ~ 2

1.200 ~ 3

1.200 ~ 4

_ 5

( 1 + 0,03 )5 - 1

GR = 1.200 · (1 + 0,03) ·

= 6.562,09 €. 0,003

GT = 8.142,37 + 62.765,48 + 6.562,09 = 77.469,94 €.

4.14.- Problema de cálculo del número de billetes que es necesario vender para cubrir el coste de construcción de infraestructuras ferroviarias. El ente Gestor de Infraestructuras Ferroviarias (GIF), está evaluando la construcción del AVE Madrid-Lisboa, de cara a la presentación del pliego de condiciones para las empresas constructoras adjudicatarias. De entrada, sabe que deberá realizar unas inversiones iniciales en expropiación de terrenos de 20 millones de euros, y un año después pagar un total de 10 millones de euros a ingenieros, geólogos y asesores de la operación. En ese momento, se producirá la adjudicación, y tres meses después

101

comenzarán las compañías adjudicatarias las obras. En el momento del inicio de las obras, estas compañías deberán depositar una fianza del 3% del importe en que se cifra la adjudicación. Si el importe de la adjudicación es de 5.000 millones de euros, y las certificaciones de obra las presentarán las compañías adjudicatarias por partes iguales al finalizar cada uno de los cinco años siguientes al inicio de las obras, ¿cuál sería el precio medio del billete del AVE que habría que cobrar, para lograr el umbral de rentabilidad de esta iniciativa, bajo la hipótesis de 350.000 viajeros mensuales a partir de la fecha en que finalizan las obras de construcción, con un horizonte temporal de diez años?. Considerar que los costes fijos y variables de explotación y mantenimiento de las vías suponen un 20% de los ingresos esperados, y que el precio del dinero durante todo el período de análisis es del 5% efectivo anual. 150

350.000 · 0,8 · x ……………………………………. xxxx…

7

- 61/4 - 51/4 -5 -4 -3 -2 -1 0 20 10 1000 1000 1000 1000 1150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Inicio tráfico pasajeros 1

1 + 0,05 =

(1 + i4 )4

i4 = 1,054 - 1 = 1,2272234%.

1 + 0,05 =

(1 + i12 )12

i12 = 1,0512 - 1 = 0,4074124%.

1

[ 20 (1 + 0,05) + 10 ] (1 + 0,012272234) – 150 (1 + 0,05 )5 + (1 + 0,05)4 – 1

1 – (1 + 0,004074124)-120 -6

+ 1.000 (1 + 0,05)

+ 1.150 = 350.000 · 0,8 · x · 10 0,05

0,004073124 -6

- 151,3919583 + 4.525,63125 + 1.150 = 280.000 · x · 10 x 94,76558944 5.524,239292

= 208,191878 euros  ! 34.640 pts.

x = 26,53436505

4.15.- Problema de cálculo de la aportación mensual a realizar por un inversor para la compra futura de un bono cupón cero. Un inversor efectúa aportaciones constantes al inicio de cada mes durante diez años a un plan de ahorro. Según fue aumentando la capacidad adquisitiva del inversor, este decidió que las aportaciones se incrementaran en un 15% a partir del inicio del 6º año y hasta el final de la vida del plan. La rentabilidad ofrecida por la compañía de seguros ha sido del 4% efectivo anual. Finalizado el plan de ahorro, el inversor prevé que se jubilará en cinco años, por lo que contrata un bono cupón cero a dicho plazo por el importe del ahorro acumulado hasta esa fecha. Finalmente, al vencimiento del bono, el banco le indica que tiene disponibles 90.000 €.

102

Si el bono cupón cero fue adquirido al 4,75% de rentabilidad efectiva, calcular el importe de la aportación inicial mensual con la que el inversor comenzó su plan de ahorro. QQ …………………………………………… 1,15Q ………………………………………………. ~ x x x x x x x x x x x~

~

~x x x x x x x x x x x~

~

~

0

1

………………………

5

6

………………………. 10

1

1 + 0,04 =

(1 + i12 )12

i12 = 1,0412 - 1 = 0,327374%.

(1 + 0,00327374 )60 - 1

( 1 + 0,00327374)60 - 1

(1 + 0,04)5 + 1,15Q (1+ 0,00327374)

V10 = Q (1 + 0,00327374) 0,00327374

= 0,00327374

= 157,1355214 Q 90.000 10 157,1355214 Q

11

12

13

14

15

90.000 157,1355214 Q ( 1 + 0,0475 )5 = 90.000

Q=

= 454,15 € 157,1355214 (1 + 0,0475)5

4.16.- Problema de cálculo de la rentabilidad a obtener en una inversión para poder cubrir gastos futuros. Una persona residente en una provincia española, está estudiando adquirir una participación en una inversión empresarial, y quiere utilizar el rendimiento anual para cubrir los gastos de los estudios de su hijo en Madrid durante el curso 2009/2010 en la Universidad Complutense. El coste de la matrícula es de 1.000 €, y se paga en el mes de septiembre; el alquiler mensual de un apartamento es de 500 €, y la manutención semanal, de 100 €. El tipo de interés nominal anual para valorar estos costes, es del 3%. Si dispone de 100.000 € para invertir, ¿qué rendimiento tendrá que tener anualmente la inversión para poder cubrir los gastos del estudiante? 100 100 100 .......................................................................................................................................... 100 500 1000 …500 500 ~ x x x x~ x x x x~ x x x x ~

0 12

1

2

~ x x x x~

3 ……………………………………………………...……………………….

1

1 + 0,03 =

(1 + i12 )12

i12 = 1,0312 - 1 = 0,246627%.

1 + 0,03 =

(1 + i52 )52

i52 = 1,0352 - 1 = 0,05686%.

1

103

(1 + 0,00246627 )12 - 1

V12 = 1.000 (1 + 0,03) + 500 (1 + 0,00246627)

+ 0,00246627

( 1 + 0,0005686)52 - 1

+ 100 (1+ 0,0005686)

= 0,0005686

= 1.030 + 6.097,06 + 5.279,12 = 12.406,18 €. 100.000 (1 + r) = 100.000 + 12.406,18

r = 12,40618%.

4.17.- Problema de ahorro de una cuantía periódica para la compra de una moto. ¿Cuántos euros debe imponer un alumno que ahorra, de su trabajo temporal, una cuantía constante, en una cartilla de ahorros a un tipo de interés nominal anual del 4% con pago mensual, a fin de constituir una cuantía de 3.000 euros, con objeto de adquirir una moto en el plazo de un año? Si la moto se pudiera adquirir en doce plazos mensuales con una entrada inicial de 250 euros, calcular el pago mensual a realizar, si el tipo de interés con el que el vendedor grava el aplazamiento, es del 7% efectivo anual. Q

Q

~

x

Q …………………………………………………….…. Q 3.000 x

0

1

2

x

~

x

x

x

~

x

x

x

~

x

x

x

~

3 …………………………………..……………………. 12 j

4

j = 4%

ˆ

=

= 0,3 %

12 (1 + 0,003333333)

12 12

- 1

Q

(1+ 0,0033333333) = 3.000 0,0033333333 3.000 · 0,0033333333

Q =

= 244,63 €. 1,0033333333 [ (1 + 0,003333333)12 - 1 ]

250

Q’

Q’ ………………………………………………….…. Q’

~

x

x

0

1

2

x

~

x

x

x

~

x

x

x

~

x

x

x

Q’ ~

3 …………………………………..……………………. 12 1

1 + 0,07 =

(1 + i12 )12

i12 = 1,0712 - 1 = 0,5654145%.

1 - (1 + 0,005654145)-12

3.000 – 250 = Q’ 0,005654145 2.750 · 0,005654145

Q’ =

= 237,68 €. 1 - (1 + 0,005654145)-12

104

4.18.- Problema del cálculo del coste de las entradas de un Parque Temático para cubrir el coste de la inversión. Un grupo inversor desea construir un parque temático en la ciudad de Toledo, dedicado a la convivencia entre las tres culturas: cristiana, musulmana y judaica. Para la construcción, decide convocar un concurso vía presentación del pliego de condiciones para las empresas constructoras adjudicatarias. De entrada, sabe que deberá realizar unas inversiones iniciales en expropiación de terrenos de 10 millones de euros, y un año después, pagar un total de 5 millones de euros a ingenieros, geólogos y asesores de la operación. En ese momento, se producirá la adjudicación, y tres meses después comenzarán las compañías adjudicatarias las obras. En el momento de inicio de las obras, estas compañías deberán depositar una fianza del 5% del importe en que se cifra la adjudicación. Si el importe de la adjudicación es de 210 millones de euros, y las certificaciones de obra las presentarán las compañías adjudicatarias por partes iguales al finalizar cada uno de los tres años siguientes al inicio de las obras, ¿cuál sería el precio medio del ticket de entrada al parque que habría que cobrar, para lograr el umbral de rentabilidad de este proyecto, bajo la hipótesis de 50.000 visitantes mensuales a partir de la fecha en que finalizan las obras de construcción, con un horizonte temporal de cinco años?. Considerar que los costes fijos y variables de explotación y mantenimiento de las vías suponen un 30% de los ingresos esperados, y que el precio del dinero durante todo el período de análisis es del 3% efectivo anual. 50000 · 0,7 · x ................................... 50000 · 0,7 · x 10,5 ~

~xx~ 1 año 3 mes

10

~

~

-3

5

~xxxxxxxxxx~

0 70

Inicio obras

70

1

~

2

~

3

~

4

x x x~

5

70 10,5 Apertura parque 1

1 + 0,03 =

(1 + i4 )4

i4 = 1,034 - 1 = 0,7417072%.

1 + 0,03 =

(1 + i12 )12

i12 = 1,0312 - 1 = 0,246627%.

1

10 (1 + 0,03)4 (1 + 0,007417072) + 5 (1 + 0,03)3 (1 + 0,007417072) – 10,5 (1 + 0,03)3 + (1 + 0,03)3 - 1

+ 70

1 - (1 + 0,00246627 )-60

+ 10,5 = 50000 · 0,7 · x · 0,03

0,00246627

222.232.093,60 = 35.000 · x · 55,70810471

x = 114 €.

4.19.- Problema del cálculo de la cuota a pagar por un estudiante para comprarse un coche cuando acabe sus estudios. Un alumno ahorra durante los 9 meses escolares la cuantía de 100 €, que ingresa al principio de cada mes en una entidad financiera que le abona intereses al 3,5% T.A.E. Comenzó los ingresos el 1-10-2005, y prevé terminar su licenciatura el 30-6-2010. Con

105

la cuantía acumulada por sus ahorros, en esa misma fecha, va a dar la entrada para la compra de un coche utilitario que vale 9.000 €. Averiguar cuál será el pago mensual que deberá realizar todos los días 30 de cada mes, pagando la primera cuota el 30-72010, para poder terminar de pagar el coche el 30-6-2012, si la financiera del automóvil concede los préstamos al 3% efectivo anual. 100 100 .........................100 0 0 0 100 …………….100 0 0 0

100 100 100

~ x x x x x x x x x x x ~x x x x x x x x x x x~ ····························· x x x 0 1 2

Q Q ……………………….. Q

~xx

~ 30-6-12

30-6-10 (entrada 9.000 €)

1-10-05 1

1 + 0,035 = (1 + i12 )12

i12 = 1,03512 - 1 = 0,2870899%.

(1 + 0,002870899 )9 - 1

[(1 + 0,035)4 +(1 + 0,035)3 +(1 + 0,035)2 +(1 + 0,035) + 1] =

100 (1 + 0,002870899) 0,002870899

= 4.896,03 € (entrada) 9.000 – 4.896,03 = 4.103,97 € (préstamo) 1

1 + 0,03 = (1 + i12 )12

i12 = 1,0312 - 1 = 0,246627%.

4.103,97 · 0,00246627

Q=

= 176,32 € 1 - (1 + 0,00246627)-24

4.20.- Problema del cálculo de la cantidad que le quedará a un jubilado después de haber estado viviendo diez años de su Plan de Pensiones. Una persona decide ahorrar 2.000 € mensuales en la última etapa de su vida profesional, cinco años antes de jubilarse, y a partir del 1 de enero de ese año. No obstante, en los meses de julio y agosto no quiere hacer la dotación mensual, ya que tiene mayores gastos provocados por el hecho de que se tiene que ir de vacaciones. Esta persona contrata con una compañía de seguros un plan de ahorro, de forma que la entidad le garantiza un tipo efectivo del 3% anual a satisfacer a las cantidades que dicha persona aporte. A los cinco años, la persona se jubila, y decide recibir de la compañía de seguros (que mantiene el tipo de rentabilidad por los saldos ahorrados) y para complementar su pensión una renta de 3.000 € trimestrales durante los próximos diez años. ¿Con qué cantidad ahorrada en su Plan de Ahorros podrá contar esta persona al finalizar esos diez años? 1

1 + 0,03 = (1 + i12 )12

i12 = 1,0312 - 1 = 0,246627% mensual.

1 + 0,03 = (1 + i12 )4

i4 = 1,034 - 1 = 0,7417072% trimestral.

1

2000 2000 ……………..2000 0

~ 0

x

x

x

x

x

x

0 2000 …..… 2000 ……………………………………………………………………………………………..

x

x

x x

x ~ 1

~ ······································· 2

106

~ 5

(1 + 0,00246627 )60 - 1

V5 = 2.000 (1 + 0,00246627)

(1 + 0,00246627 )2 - 1

- 2.000 (1 + 0,00246627)

·

0,00246627

0,00246627

·[(1+0,00246627)52 + (1+0,00246627)40 + (1+0,00246627)28 + (1+0,00246627)16 + (1+0,00246627)4] = = 129.480,47 – 21.526,22 = 107.954,25 € (capital acumulado). 107.954,25 3000 3000..................................................................................................................................... 3000 ~ x x x ~ x x x ~ _ 5 6 7 …………………………………………………………. 15

R (1 + 0,007417072 )40 - 1

R = 107.954,25 (1 + 0,03)10 - 3.000

= 145.081,48 – 139.104,65 = 5.976,83 € 0,007417072

4.21.- Cuestión relativa a la elección entre pago al contado y pago aplazado en la compra de un coche. Queremos comprarnos un coche, y pedimos una oferta a tres concesionarios. El primero nos ofrece pagarlo con 48 cuotas mensuales de 500 € cada una. El segundo al nos hace una oferta de pago al contado por 22.000 €. El tercero nos da seis meses sin pagar nada, y después pagarlo en 60 cuotas mensuales de 350 € cada una. Si los tipos de interés están al 5% de interés nominal anual, ¿cuál de las tres ofertas debemos aceptar? Una vez tomada la decisión, nos llama un amigo y nos indica que el dueño del concesionario que ha tenido la segunda mejor oferta (y que habíamos descartado) es un familiar suyo, y que querría mejorarla. ¿Cuál sería la cuota mensual que le exigiríamos para poder comprarle a él el coche, sin perjudicarnos nosotros? 500 500 ……………………………………………………………………………..500 ~ x 0

x

~ 1

~ 2

~ 3

5

~ 4

365 = 0,41666666

0,41666666 ·

= 0,4224537%

12

360 1 - (1 + 0,004224537 )-48

V1 = 500

= 21.681,85 € < 22.000 € = V2 0,004224537

350 350 ………………………………………………………………………….350 ~ 0

xxx 6 m.

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

~ 5

1 - (1 + 0,004224537 )-60

V3 = 350 · (1 + 0,04224537)-5

= 18.129,33 € 0,004224537

107

x 5,5

La mejor es la tercera. 1 - (1 + 0,004224537 )-48

18.129,33 = Q ·

Q = 418,076 € 0,004224537

Tendría que bajar la cuota mensual de 500 a 418 €.

4.22.- Problema relativo a la conveniencia o no de aceptar una oferta de un bonus por fidelidad en un bar de copas. Un bar de copas de los que se usa mucho el “o sea” tiene últimamente dificultades para atraer clientes, debido a que hasta ahora cobraba la entrada a cada uno de ellos, al margen de que consumieran o no. El precio de la entrada era de 15 € para los chicos y 5 € para las chicas, y habitualmente entraba la misma proporción chicos que de chicas. Las consumiciones eran de 10 € por persona, y por término medio, los chicos consumían 3 copas y las chicas 2 copas cada noche. A fin de captar más clientes, los dueños del bar deciden realizar la siguiente oferta: cada cliente, independientemente de si es chico o chica, adquirirá un bono por tres meses, que le dará derecho a entrar en el bar de copas una vez por semana y tomar gratis la primera consumición. Una pareja que va todos los viernes al bar de copas, estudia la oferta, y quiere decidir si es mejor comprar el bono o pagar cada viernes, supuesto que el nivel de los tipos de interés para el periodo considerado sea del 3% efectivo anual. ¿Qué precio tendría que tener el bono para que les interesase? V – 15 + 30 = 45 € coste chico/día Pareja: 70 € M – 5 + 20 = 25 € coste chica/día 1 trimestre <> 13 semanas. 1

1 + 0,03 = (1 + i52 )52 70

70

~ 0

~ 1

i52 = 1,0352 - 1 = 0,05686% semanal.

70 ………………………………………………………..70 ~ 2

~

70 ~

~ (Actual) 13

semanas 1º viernes (prepagable) B+30 30 ~ 0

~ 1

30 …………………………………….…………………..70 ~ 2

~

70 ~

~(con bono+3 copas) 13

semanas 1 - (1 + 0,0005686)

-13

70 (1 + 0,0005686)

1 - (1 + 0,0005686)-13

= B + 30 (1 + 0,0005686) 0,0005686

0,0005686

1 - (1 + 0,0005686)

B = 40 · (1 + 0,0005686)

-13

= 518,23 € como mínimo 0,0005686

108

4.23.- Problema relativo a la necesidad anual de enajenación de los bienes de la herencia recibida por un aristócrata, para mantener su nivel de vida y a la vez constituir un fondo de pensiones para su vejez. Un miembro de la aristocracia recibe una herencia consistente en: ƒ ƒ ƒ

Títulos-valores que le aportan una renta trimestral de 2.000 euros. Inmuebles que le suponen unos alquileres mensuales de 4.500 euros. Un amplio lote de cuadros de pintores conocidos de los que decide vender una parte una vez al año, para conseguir cubrir sus gastos anuales.

Los gastos de esta persona son: ƒ ƒ ƒ ƒ

Mantenimiento de su patrimonio: 1.500 € cada dos meses. Club de golf, fiestas y demás actos sociales: 8.500 euros cada cuatrimestre. Gastos corrientes de alimentación, vestido, calzado, etc.: 750 € semanales. Viajes, vacaciones y demás gastos: 20.000 € al semestre.

Si todos los movimientos de dinero que tiene este aristócrata los pasa por una cuenta especial bancaria le remunera sus saldos al 2% de interés anual TAE, ¿cuál es el importe que deberá sacar anualmente por la venta de cuadros para conseguir cubrir sus gastos y poder generar un ahorro anual de 5.000 € para constituir un fondo de pensiones? 2.000 ~ 0

2.000

~ 1

2.000

~ 2

2.000

~ 3

~ 4

1

1 + 0,02 = (1 + i4 )4

i4 = 1,024 - 1 = 0,4962932% trimestral.

1 - (1 + 0,004962932 )-4

V1 = 2.000

= 7.901,72 €.

0,004962932 4.500 4.500 4.500 ……………………………………………………..…..4.500 ~ 0

x

x

~ 3

x

x

~ 6

x

x

~ 9

x

x

~ 12

1

1 + 0,02 = (1 + i12 )12

i12 = 1,0212 - 1 = 0,1651581% mensual. 1 - (1 + 0,00165181 )-4

V2 = 4.500 (1 + 0,00165181)

= 53.512,97 €. 0,00165181

Ingresos en valor actual: 61.414,69 + X 1.500 ~ 0

~ 1

1.500 ………………………………………………… 1.500 ~ 2

~ 3

~ 4

~ 5

~ 6

1

1 + 0,02 = (1 + i6 )6

i6 = 1,026 - 1 = 0,330589% bimestral.

1 - (1 + 0,00330589 )-6

C1 = 1.500

= 8.896,78 €. 0,00330589

109

8.500

8.500

8.500

~ 1

~ 2

~ 3

~ 0

1

1 + 0,02 = (1 + i3 )3

i3 = 1,023 - 1 = 0,662271% cuatrimestral.

1 - (1 + 0,00662271 )-3

C2 = 8.500

= 25.165,93 €. 0,00662271

750 ~ 0

~ 1

750 …………………………………………………………...…………. 750 ~ 2 …………………………………………………………….………………..

~ 52

1

1 + 0,02 = (1 + i52 )52

i52 = 1,0252 - 1 = 0,0380892% semanal.

1 - (1 + 0,000380892 )-52

C3 = 750

= 38.615,42 €. 0,000380892 20.000

~ 0

20.000

~ 1

~ 2 1

1 + 0,02 = (1 + i2 )2

i2 = 1,022 - 1 = 0,9950494% semestral. 1 - (1 + 0,009950494 )-2

C4 = 20.000

= 39.410,79 €. 0,009950494

Costes en valor actual: 112.088,92 €. 61.414,69 + X = 112.088,92

X = 50.674,23 €.

50.674,23 + 5.000 = 55.674,23 €. Tendría que vender al principio de cada año cuadros por valor de 55.674,23 € para cubrir los gastos y dotar el fondo de pensiones.

4.24.- Problema de estimación de la conveniencia o no de arrendar una sala de fiestas como negocio durante un año. Nos planteamos arrendar una sala de fiestas durante un año. Los costes de acondicionamiento inicial son de 25.000 €, y una vez puesta en funcionamiento tendremos una nómina mensual de 3.000 € y unos gastos generales de 2.000 € cada dos meses. Si prevemos recibir 300 clientes cada fin de semana, y los tipos de interés están al 3% efectivo anual, ¿cuánto deberíamos cobrar por la entrada para al menos cubrir los gastos del negocio? 2.000 2.000 …………………………………………….….. 2.000 25.000 3.000 3.000 …………………………………………………………….…..3.000 ~ 0

x

x

~ 3

x

x

~

x

6

x

~ 9

110

x

x

~ 12

1

1 + 0,03 = (1 + i12 )12

i12 = 1,0312 - 1 = 0,246627% mensual.

1 + 0,03 = (1 + i6 )6

i6 = 1,036 - 1 = 0,4938622% bimensual.

1 + 0,03 = (1 + i52 )52

i12 = 1,0352 - 1 = 0,05686% semanal.

1 1

1 - (1 + 0,00246627 )-12

25.000 + 3.000

1 - (1 + 0,004938622 )-6

+ 2.000

=

0,00246627

0,004938622

1 - (1 + 0,0005686 )-52

= 300 · X · 0,0005686 72.224,75

25.000 + 35.429,47 + 11.795,28 = 15.367,33 X

X=

= 4,70 € 15.367,33

4.25.- Problema del cálculo de la renta necesaria para cubrir los gastos que produce una casa de campo. Un empresario está interesado en realizar una inversión, que le produzca una renta trimestral suficiente para cubrir los gastos que le produce su casa de campo, cifrados en 2.000 € mensuales y en un pago del impuesto sobre bienes inmuebles de 3.000 € en el mes de junio. Si los tipos de interés en estos momentos están al 3% efectivo anual, el empresario dispone de 1.000.000 € para invertir y desea retirar de la renta que obtenga el 30% para liquidar sus impuestos sobre la renta el año siguiente, ¿qué rendimiento tendrá que tener la inversión para que el empresario pueda conseguir su objetivo? 3.000 2.000 2.000 …………………… 2.000 …………………………….……. 2.000 ~

x

0

x

~ 3

x

x

~ 6

x

x

~ 9

x

x

~ 12

1

1 + 0,03 = (1 + i12 )12

i12 = 1,0312 - 1 = 0,246627% mensual.

1 + 0,03 = (1 + i2 )2

i2 = 1,032 - 1 = 1,4889157% semestral.

1

(1 + 0,00246627)12 - 1

V12 = 2.000

+ 3.000 (1 + 0,014889157) = 27.372,91 € 0,00246627 27.372,91

1.000.000 · r · (1 – 0,3) = 27.372,91

r =

= 3,91%. 700.000

4.26.- Problema del cálculo de la nuda-propiedad del patrimonio de una herencia. Una familia de rancio abolengo se encuentra discutiendo los términos de la herencia del pater familias que acaba de fallecer. El notario manifiesta que el finado había decidido repartir su patrimonio de forma que su esposa mantuviera el usufructo de su patrimonio mientras viviera, y cada uno de sus cinco hijos tuviera una cuota parte de la nuda-propiedad, de forma que sus seis herederos recibieran un valor patrimonial

111

semejante en el horizonte de los próximos diez años, tiempo que se considera próximo a la esperanza de vida de su esposa. Si los tipos de interés en estos momentos están al 3% efectivo anual, y la renta del patrimonio heredado es de 50.000 € trimestrales, ¿cuál sería el valor de la nuda propiedad del patrimonio heredado cuando falleciera la madre de los cinco hijos dentro de diez años? 50.000 50.000 ……………...……………......................................................................…… 50.000 ~ 0

x

x

x

~ 1

x

x

x

~ 2

~ 9

~ 10

1

1 + 0,03 = (1 + i4 )4

i4 = 1,034 - 1 = 0,7417072% trimestral.

(1 + 0,007417072)40 - 1

V10 = 50.000

= 2.318.410,76 € 0,007417072

2.318.410,76 · 5 = 11.592.053,82 €. 4.27.- Problema de constitución y disfrute del capital obtenido con un Plan de Pensiones: Una persona, cuando tiene 35 años, constituye un Plan de Pensiones, pagando 250 euros mensuales a una Compañía de Seguros, que le garantiza un 5% de rentabilidad anual acumulada a su jubilación, cuando tenga 65 años. a) ¿De qué cantidad dispondrá como mínimo cuando se jubile? b) Supuesto que llegara a la jubilación, y considerara una esperanza de vida hasta los ochenta años. Si un Banco le garantizara el 4% anual TAE, y él cobrara mensualmente una cuota fija hasta su teórico fallecimiento, ¿cuál sería el importe de dicha cuota? c) A los cincuenta años, la persona fallece. La Compañía de Seguros ha conseguido una rentabilidad acumulada del 6,5% anual para las inversiones de su cliente. ¿Qué cantidad cobrarán sus herederos? a)

~ ~ 0 1

~

~

~

~ 5

~ 10

~ 15

~ 20

~ 25

250 250 ……………………………………. 250

~ 0

x

x ~ x x ~ x x ~ x

x ~ 1 1

1+ i =

(1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,05)12 - 1 = 0,004074124

30 · 12 = 360 meses de renta. ( 1 + 0,004074124 )360 - 1

V360 = 250 (1 + 0,004074124)

= 204.674,47 €. 1 + 0,004074124

112

_ 30

~

b)

~ 0

~

1

10

Q Q …………………………………….

~ 0

x

~

5

x ~ x x ~ x x ~ x

_ 15

Q

x ~ 1 1

1+ i =

(1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,04)12 - 1 = 0,00327374.

15 · 12 = 180 meses de renta. 1 - (1+i)

-n

V0 = Q

204.674,47 · 0,00327374 Ÿ

Q =

~

c)

= 1.506,63 €. 1 – (1 + 0,00327374 )-180

i

0

~

_

15

30 1

1+ i =

(1 + i12 )12

V180 =

Ÿ i12 = (1 + 0,065)12 - 1 = 0,005261694

(1 + 0,005261694 )360 - 1 250 (1 + 0,005261694) = 75.076,17 €. 1 + 0,005261694

4.28.- Problema de captación de nuevos clientes en una agencia matrimonial: Una agencia matrimonial encuentra dificultades para atraer clientes, debido a que hasta ahora cobraba la comisión en origen a cada uno de los interesados cuando tenía éxito y éstos se casaban. Dicha comisión era de 1.500 € por cliente. A fin de captar más clientes, la agencia decide realizar la siguiente oferta: la pareja satisfará 500 € cuando se casen, 200 € por semestre que permanezcan casados durante los primeros tres años, 250 € cuando cumplan el primer aniversario, y 100 € mensuales durante dieciocho mese a partir del momento en el que nazca su primer hijo, siempre que nazca en los primeros tres años de matrimonio. A fin de evaluar esta oferta, la agencia encarga a un actuario de seguros un estudio que establezca las probabilidades de duración del matrimonio y de nacimiento del primer hijo. El informe aporta las siguientes conclusiones: -

Todos los matrimonios pasan de los seis meses de casados. Un 1% de los matrimonios no llegan a cumplir un año. Un 3% de los matrimonios cumplen el año y medio, pero no llegan a dos. Un 2% de los matrimonios cumplen los dos años y medio, pero no llegan a tres. Un 40% de los matrimonios tienen un hijo en los primeros tres años de matrimonio, y por término medio, esto ocurre a los 24 meses de casarse.

Estudiar la oferta y decidir si es o no mejor que pagar al contado, supuesto que el nivel de los tipos de interés para el periodo considerado es del 5% nominal anual. Sin oferta: 1.500 · 2 = 3.000 €.

113

Con oferta: 500 ~ 0

200 · 0,99 250 · 0,99 ~ 1

200 x

200

V0 = 500 +

445,5

198

+ 1 + 0,025

+ (1 + 0,025)2

192

+ (1 + 0,025)3

192

+ (1 + 0,025)4

+ (1 + 0,025)5

1 - ( 1 + 0,004166 )-18

188

+

100 · 0,4 ……………………………… 100 · 0,4 200 · 0,96 200 · 0,96 200 · 0,94 ~~~~~~ x ~~~~~~~~~~~ x 2 3

200 · 0,99 x

· (1 + 0,05)-2 = 2.439,30 €.

+ 40 (1 + 0,004166) (1 + 0,025)6

0,04166

Aceptará la oferta. 4.29.- Cuestión relativa a averiguar el precio de los productos comercializados por una empresa, en función del cumplimiento del presupuesto de ingresos: Una empresa está fijando sus presupuestos anuales y el Consejo de Administración fija como objetivo el obtener a fin de año unos ingresos de 3 millones de euros durante el próximo ejercicio. La empresa comercializa dos productos, de los que fabrica y vende respectivamente 900.000 y 300.000 unidades, todos los meses del año. El precio del primer producto es la mitad que el del segundo. Si los ingresos obtenidos por la empresa cada mes son ingresados en una cuenta bancaria primada a un T.A.E. del 3%, ¿a qué precio se tiene que vender cada uno de los productos para que la empresa cumpla con el objetivo fijado por el Consejo de Administración? Ingresos a fin de año: 3.000.000 €. 1

1 + 0,03 = (1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,03)12 - 1 = 0,00246627

(1 + 0,00246627)12 - 1

3.000.000 = I ·

I = 246.626,98 € (ingreso mensual) 0,00246627

900.000 · p1 + 300.000 · p2 = 246.626,98 750.000 · p2 = 246.626,98

1

p2 =

p1 2

p2 = 0,3288 € / unidad p1 = 0,1644 € / unidad

114

4.30.- Problema relativo a la evaluación presupuestaria de un depósito bancario de alto rendimiento: ING está evaluando la rentabilidad de su depósito naranja al 6% T.A.E. durante un mes. El presupuesto anual de pérdidas a asumir para este producto es de 2 millones de euros, lo cual considera la entidad como una forma de marketing para atraer clientes. ING se financia en el mercado interbancario al 3% T.A.E., mediante depósitos mensuales. Si por término medio un cliente hace un depósito de 10.000 €, ¿cuál sería el número de clientes objetivo a captar para que no se rebasara el presupuesto citado?

1

1 + 0,06 = (1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,06)12 - 1 = 0,004867551

1 + 0,03 = (1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,03)12 - 1 = 0,002466270

1

Pérdida asumida en % mensual………………………. 0,002401281 10.000 · 0,002401281 = 24,01281 € de pérdida por depósito. 24,01281 X 24,01281 X ............................................................................................................................. 24,01281 X

~

~

~

~

~

_

0

1

2

3

6

12

(1 + 0,00246627 )12 - 1

V12 = 24,01281 X ·

= 2.000.000 €

X = 6.847,09

0,00246627

Haría falta captar 6.847 depósitos mensuales.

4.31.- Problema relativo a la construcción de una macro urbanización de viviendas: Un empresario del sector de la construcción empezó hace cinco años la construcción de una macro urbanización en un pueblo de Toledo, con el objetivo de construir 15.000 viviendas a precios razonables para personas de clase media-baja, y que supondrían un precio de venta estimado de 180.000€ por cada vivienda de 90 metros cuadrados. Los gastos iniciales en los que incurrió el empresario fueron los siguientes: -

Compra de terrenos: 50 millones de euros. Licencias municipales, concesiones y pagos varios: 35 millones de euros.

A continuación, inició las obras de urbanización del terreno, que duraron tres años (finalizaron hace dos), y que supuso unos pagos de 7 millones de euros a semestre vencido vía certificaciones de obra. Hace tres años pudo iniciar ya la construcción de las viviendas que supuso unas inversiones de 50 millones por trimestre vencido el primer año, 60 millones por trimestre vencido el segundo año y 70 millones por trimestre vencido el último año. Todas las inversiones fueron financiadas con crédito bancario a un tipo de interés efectivo anual del 6%. Hoy, justo cuando ha acabado la construcción de las viviendas, se encuentra con el hecho de que no se ha conseguido la cobertura de las necesidades de agua, y los

115

bancos le exigen reducir deuda. Un grupo de compañías de capital-riesgo, consciente de las dificultades del empresario, le ofrece comprar todas las viviendas que quiera, pero a precio de coste en valor actual. El empresario considera que puede vender en los próximos 30 meses una parte significativa de las viviendas, al precio previamente estimado, con una comisión de venta del 12% sobre precio de venta, a cobrar por los comerciales, y con ello, conseguir un beneficio total en valor actual de 500 millones de euros. Suponiendo que los bancos mantienen el coste de la línea de crédito al mismo tipo de interés durante los treinta meses que duraría el período de venta, y que las ventas en dicho período son homogéneas (mismo número de viviendas vendidas cada mes), ¿cuántas viviendas tendría que vender el empresario a precio de coste para lograr cubrir sus objetivos?

85 ~ -5

7 x

7 ~ -4

7 x

50 50 50 50 7 7 7 60606060 707070 70 QQQ ……………………………………..…. Q ~ x x x ~ x x x ~ x x x ~~~ x ~~ x~~ x~~~~~ x ~~ x~~ x~~~~~ x ~~ x -3 -2 -1 0 1 2 2,5

i = 6% T.A.E.

hoy 1

1 + 0,06 = (1 + i2 )2

Ÿ i12 = (1 + 0,06)2 - 1 = 0,029656301

1 + 0,06 = (1 + i4 )4

Ÿ i12 = (1 + 0,06)4 - 1 = 0,01467385

1 1

1 + 0,06 = (1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,06)12 - 1 = 0,004867551

180.000 · (1 – 0,12) = 158.400 €, precio neto por vivienda. ( 1 + 0,029656301 )6 - 1 5

V0 = 85 · (1 + 0,06) + 7 · (1 + 0,06)

2

+ 0,029656301

( 1 + 0,01467385 )4 - 1

+ 50 · (1 + 0,06)

2

( 1 + 0,01467385 )4 - 1

+ 60 · (1 + 0,06) 0,01467385

+ 0,01467385

( 1 + 0,01467385 )4 - 1

+ 70 ·

= 940,5615929 millones de euros. 0,01467385 940,5615929

= 62.704,106 € (precio de coste por vivienda) 15.000 1 - ( 1 + 0,00486755)-30

940,5615929 + 500 = 0,062704106 N + Q 0,0486755 15.000 - N

siendo Q =

· 0,1584 = 79,2 – 0,00528 N 30

940,5615929 = 0,062704106 N + (79,2 – 0,00528 N) · 27,8495392 0,084341461 N = 765,121915

N = 9071,71 ~ 9.072 viviendas

116

Debería vender 9.072 viviendas a la entidad y comercializar 5.928.

4.32.- Problema de comparación de dos ofertas de inversión: Queremos comparar dos ofertas de inversión de la misma cuantía. La primera de ellas nos proporcionará una renta trimestral de 5.000 € durante 20 años, siendo el valor residual de la misma de 20.000 €. La segunda nos proporcionará 3.000 € mensuales durante diez años y 4.000 € semestrales durante los diez siguientes, sin valor residual. Si el tipo de interés de referencia para evaluar las inversiones es del 6% T.A.E., ¿cuál de las dos ofertas deberíamos aceptar? 20.000 5.000 5.000 .......................................................................................................................................................... 5.000

~

x

x

0

x

~

_

1

20 1

1 + 0,06 = (1 + i4 )4

Ÿ i12 = (1 + 0,06)4 - 1 = 0,01467385

1 - (1 + 0,014673846 )-80

V0 = 5.000 ·

20.000

+

= 240.733,33 € (1 + 0,06)20

0,014673846

3000 3000 3000 3000 ................................................................................................ 4000....4000................................................................... 4000

~~~x ~~ x~~ x~~~

~

0

10

1

x

~

_

11

20

1

1 + 0,06 = (1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,06)12 - 1 = 0,004867551 1

1 + 0,06 = (1 + i2 )2

Ÿ i12 = (1 + 0,06)2 - 1 = 0,029656301

1 - (1 + 0,004867551 )-120

1 - (1 + 0,029563014)-20 -10

V0 = 3.000 ·

+ 4.000 · (1 + 0,06) 0,004867551

= 0,029563014

= 305.537,63 € 4.33.- Problema de evaluación de la capacidad de gasto que tendrá un jubilado con su patrimonio y su pensión: Una persona se jubila a los 65 años, y evalúa sus ingresos mensuales de cara a su nueva etapa. Los bienes que posee y que le producen rentas son los siguientes: -

-

Un apartamento que tiene arrendado a un inquilino, y por el que percibe 800 € mensuales. 100 bonos del Estado con un cupón anual del 5% de interés, y que consume por partes iguales en doce meses. Un plan de ahorro con aportación trimestral contratado hace veinte años, garantizado al 4% T.A.E., que le ha supuesto acumular un capital de 85.000 €, y que prevé utilizar como renta constante mensual durante los próximos quince años. La pensión del Estado, que le aporta 1.200 € al mes.

117

Sus gastos mensuales por todos los conceptos suponen 4.000 €. a) ¿Tendrá esta persona déficit o superávit mensual en sus finanzas? Cuantificar el importe. b) Supuesto que hubiera tenido déficit, ¿en cuánto debería haber incrementado sus aportaciones trimestrales al plan de ahorro para no tener déficit? a)

0,05

800 + 100.000 ·

+ 625,69 + 1.200 = 3.042,36 € 12 total rentas 1

1 + 0,04 = (1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,04)12 - 1 = 0,00327374

85.000 · 0,00327374

Q=

= 625,69 €. 1 – (1 + 0,00327374 )-180

4.000 – 3.042,36 = 957,64 € de déficit. b)

625,69 + 957,64 = 1.583,33 € C · 0,00327374

1.583,33 =

C = 215.094,38 €. 1 – (1 + 0,00327374 )-180

215.094,38 – 85.000 = 130.094,38 € 130.094,38

~

~ ~ ~ ~ ~

~

~

_

0

1

10

15

20

2 3

4

5

¨Q

¨Q

¨Q

¨Q

~ 0

x

x

x

~ 1 1

1 + 0,04 = (1 + i4 )4

Ÿ i12 = (1 + 0,04)4 - 1 = 0,009853407

(1 + 0,009853407 )80 - 1

¨Q · (1 + 0,009853407) ·

= 130.094,38 €

¨Q = 1.065,69 €

0,009853407

4.34.- Cuestión relativa al nivel de tipos de interés que haría equivalente el valor de un piso con el alquiler que se paga por él: Si consideramos el alquiler mensual de 1.000 € de un piso como renta indefinida, y valoramos nuestro piso en la actualidad en 300.000 €, ¿cuál sería el nivel actual de mercado de los tipos de interés en T.A.E. que estaríamos considerando en esta valoración?

118

1.000 · (1 + i12 )

300.000 =

300.000 · i12 = 1.000 + 1.000 · i12 i12 1.000

299.000 · i12 = 1.000

i12 =

= 0,003344482 299.000

i = (1 + 0,003344482)12 - 1 = 4,0880323% T.A.E. 4.35.- Problema de identificación de la herencia que recibirán los herederos de acuerdo con el testamento de una persona: En la testamentaría de una herencia, el notario al leer el testamento adjudica el usufructo a la viuda y la nuda propiedad a los cuatro hijos del matrimonio. Los bienes del finado son 300.000 € en efectivo, un inmueble arrendado, por el que se percibe un alquiler trimestral de 2.000 €, y que está valorado en 1.000.000 €, y 1.000 bonos del Estado, con vencimiento a cuatro años y con cupón anual del 4%. Si los tipos de interés están actualmente al 2% T.A.E., ¿cuál será el valor de la herencia para la viuda y para cada uno de los cuatro hijos? 300.000 € serían nuda propiedad. 1

1 + 0,02 = (1 + i12 )12

Ÿ i12 = (1 + 0,02)12 - 1 = 0,00165158

1 + 0,00165158

V0 = 2.000 ·

= 1.212.960,67 € sería usufructo 0,00165158

2.000.000 - 1.212.960,67 = 787.039,33 € sería nuda propiedad 40.000

40.000

40.000

1.000.000 40.000

~

~

~

~

_

0

1

2

3

4

V0

1 – (1 + 0,02)-4

U0 = 40.000 ·

= 152.309,15 € sería usufructo 0,02

1.000.000

NP0 =

= 932.845,43€ sería nuda propiedad (1 + 0,02)4

Viuda = 1.212.960,67 + 152.309,15 = 1.365.269,82 € 1

Hijo =

( 300.000 + 787.039,33 + 932.845,43) = 502.721,19 € 4

119

CAPÍTULO 5. OPERACIONES DE PRÉSTAMO 1. Concepto y clasificación de las Operaciones de Préstamo. En el contrato de préstamo, un sujeto, denominado prestamista, se compromete a entregar el capital objeto del préstamo, a otro sujeto, denominado prestatario, el cual se compromete a su vez, a devolver dicho capital más los intereses estipulados en el contrato. Las mutuas relaciones entre prestamista y prestatario exigen de la existencia de una ley financiera pactada a priori, que regule el contrato, y que garantice en todo momento el principio de equivalencia financiera durante toda la vida de la operación. Una operación de préstamo se puede estructurar de múltiples formas. Las más habituales se estudiarán a continuación en las siguientes unidades, siendo: -

El Préstamo Simple. El Préstamo amortizable por el Sistema Americano de Amortización. El Préstamo amortizable por el Sistema Francés de Amortización a tipo fijo. El Préstamo amortizable con cuota fija de amortización de principal. El Préstamo amortizable por el Sistema Francés de Amortización a tipo variable.

2. Préstamo Simple. Supone el pago del principal más los intereses acumulados al final de la operación. Sólo se suele usar en plazos cortos. El prestamista entrega al prestatario un capital “Co” en el momento inicial “to”, comprometiéndose este último a devolver el mismo capital “Co” más los intereses “I” en el momento “t”.

C

I = C – C0

C0

C0

t0

t I

C - C0 =

t - to

= iC = C0 · jt t - to

121

El tipo de interés nominal “jt” correspondiente al período será: I jt = Co (t - to) Si deseamos obtener su equivalente anual, bastaría con que calculáramos la equivalencia financiera: 1 jt t-to 1+i= 1+ 1 t - to Ejemplo: Un Banco presta el día uno de enero a un cliente 10.000 euros a tres meses, al 9% de interés anual en base 360. Queremos saber cuál es el importe que el cliente debe satisfacer el día 31 de marzo. Calculamos los días que median entre ambas fechas: 1-1-10 a 31-3-10 o 89 días. Aplicamos la ley financiera de capitalización simple: Co · i · t

10.000 · 9 · 89

I=

=

= 222,50 €.

36.000

36.000

C = Co + I = 10.000 + 222,50 = 10.222,50 €. Obtenemos el tipo de interés nominal “jt” del período, cambiando ya de base, habida cuenta de que lo que buscamos es obtener el T.A.E.: I

222,50

jt =

= Co

•

= 0,09125

(t-to)

89 10.000 365

valor que supera al 0,09, debido a la distinta base que se está utilizando (360 en vez de 365). A continuación, procedemos a calcular el tipo de interés equivalente anual, es decir, el T.A.E.: 1

0,09125

89 365

i= 1+

- 1 = 0,094447484

1 89 365

es decir, i = 9,44%, más de un 0,30% más de interés de lo que ha creído pactar el cliente. El problema se agrava con la existencia de comisiones bancarias. Ejemplo: Supongamos el mismo caso anterior, pero asumimos que hay que satisfacer al Banco las siguientes comisiones, en el momento de la concesión del préstamo: - Comisión de apertura: 1% principal, mínimo 250 euros. - Comisión de estudio: 0,80% principal, mínimo 150 euros.

122

Calculamos los importes de la comisión: 10.000 · 0,010 = 100 o Cobra 250 euros. 10.000 · 0,080 = 80 o Cobra 150 euros. es decir, que el cliente no percibirá del Banco los 10.000 euros, sino: 10.000 - 250 - 150 = 9.600 euros. y tiene que devolver el principal y los intereses, al igual que en el ejemplo anterior. Ahora la diferencia entre prestación y contraprestación se compone de intereses y comisiones: I = 222,50 + 400 = 622,50 euros. 622,50

jt =

= 0,265932233 89 9.600 365

y, a continuación, calculamos el T.A.E.: 1

0,265932233

89 365

i= 1+

- 1 = 0,293906193

1 89 365

es decir, i = 29,3906193%, lo que da idea de la gran rentabilidad que obtienen los bancos y cajas de ahorro con las pólizas de préstamo a corto plazo, y las comisiones mínimas, en el caso de préstamos de pequeño importe. Aunque no es usual, también podríamos plantearnos esta operación para largos plazos. Podría ser el caso de un deudor moroso que, después de varios años de no pagar ni principal ni intereses, paga sus deudas; la ley financiera aplicable a la liquidación sería el interés compuesto. Ejemplo: Planteemos el mismo caso anterior, pero llegado el vencimiento, el cliente no paga, está durante tres años y veinte días sin pagar. Pasado este plazo, y ante un procedimiento ejecutivo de embargo, decide pagar sus deudas. Queremos informar al juez que instruye la causa de cuál es la deuda acumulada del cliente. Esta deuda dependerá de los términos de la póliza de préstamo que haya firmado el Banco con el cliente, siendo usual la liquidación por trimestres vencidos, y cobrar un 2% adicional de intereses de demora en el caso de impago. Por tanto, la liquidación de este préstamo simple se hará de la siguiente forma: -

El primer trimestre tiene un interés nominal del 9%. Los restantes trimestres y los últimos veinte días supondrán un 11% de interés para el prestatario.

Como los tipos de interés están en base 360, y vamos a usar el trimestre como unidad temporal, es preciso adecuar dichos tipos, cambiando de base: 365

9

365

= 9,125% ; 360

11 360

123

= 11,15277778%

jt

jt + d

C = Co 1 +

n

•

m

1+ m

(t - tn) (jt + d) 1+

=

m 0,09125

= 10.000 1 +

360 11

0,1115277778

20 · 0,11

1+ 4

1+ 4

= 360

= 13.925,72 €. es decir, el deudor habrá recibido 9.600 euros en origen, y al final habrá pagado 13.925,72 euros. El tipo de interés TAE correspondiente a esta operación financiera será: 1.116

9.600 · (1 + i) 365 = 13.925,72 365

13.965,72

1.116

i=

- 1 = 0,129368055 9.600

Por tanto, i = 12,94%, valor lógico, ya que hemos incrementado en dos puntos el interés, pero el peso específico de las comisiones en origen ha disminuido, al diluirse su efecto a lo largo del tiempo.

3. Préstamo amortizable por el Sistema Americano. Continúa siendo un préstamo simple, pero en vez de haber una única prestación, y una única contraprestación, como en el caso anterior, hay una prestación y un conjunto de contraprestaciones, correspondientes a los sucesivos pagos de intereses, y a la amortización final del préstamo. Se suele denominar Sistema Americano de Amortización, y su planteamiento gráfico es el siguiente: C 0 1 Co donde

C 2

C ................. 3

.................

C

C + Co

n-1

n

C = Co · im

siendo “im” el interés correspondiente al período base considerado, por ejemplo, el trimestre.

124

Co(1+im) Co(1+im) Co(1+im)

C

C

Co(1+im) Co(1+im)

C

C

C

C0

C0

0

1

2

3 ............................ n-1

n

La línea gruesa representaría el desembolso que se realiza en cada fecha de pago.

Ejemplo: Un préstamo realizado al plazo de un año, con pagos trimestrales de interés, y amortización total al final del período, siendo el importe de 10.000 euros, y el tipo nominal pactado es del 10% (base 360). Queremos construir el cuadro de amortización del préstamo, cuya estructura será la siguiente:

Amortización

Capital vivo

Pago

Período Capital trimestral Principio Final 1 2 3 4

10.000 253,47 ---253,47 ---253,47 ---- 10,253,47

Cuota

Cuota

Intereses Capital Acumulada

10.000 10.000 253,47 ---10.000 10.000 253,47 ---10.000 10.000 253,47 ---10.000 ---253,47 10.000

------------10.000

El pago trimestral de interés sería, cambiando de base para adecuarla al año natural: 365

1

360

4

C = 10.000 · 0,10

= 253,47 €.

El capital vivo al principio y al final de cada período es bastante sencillo en este caso, como hemos podido observar, ya que no cambia y coincide con el importe del préstamo inicial. El tipo actualizado equivalente o TAE coincidiría con la tasa de retorno que iguala estos capitales: 253,47 10.000 =

253,47 +

1+r4

253,47 +

(1+r4)2

10.253,47 +

(1+r4)3

125

(1+r4)4

Usando una calculadora HP12C, obtendríamos: - 10.000

g

CF0

253,47

g

CFj

3

g

Nj

10.253,47

g

CFj

f

IRR

2,5347%

que en base anual sería: 1 + r = (1 + r4)4 Ÿ r = (1 + 0,025347)4 - 1 = 0,105308374% Esta modalidad de préstamo es habitual en Estados Unidos (por lo que se le denomina sistema americano), donde no se exige que se vaya pagando una parte del principal del préstamo durante la vida de éste. No obstante, en Europa, esta modalidad no es habitual (tal y como veremos en los puntos siguientes), y las entidades financieras vigilan la devolución del principal a través del impago de las cuotas de intereses y principal. Si periódicamente paga las cuotas es una garantía de que tiene capacidad financiera para amortizar su deuda. Por el contrario, si no paga las cuotas en algún momento, supondría la automática calificación de deudor moroso, y permitiría iniciar las acciones legales necesarias tendentes a conseguir garantizar el pago de principal e intereses en un futuro.

4. Préstamo amortizable por el Sistema Francés a tipo fijo. El caso más general de préstamo es aquel en el que la amortización se realiza mediante una cuota que cubre simultáneamente pago de intereses y pago de principal, lo cual admite muchas posibilidades. Las cuotas, o capitales que se pagan en los sucesivos términos de la renta pueden ser nulos, constantes o variables. En todos o en varios de los pagos en los que se amortiza el préstamo, existe principal amortizado e intereses pagados; es decir, cada cuota tiene dos componentes: Qk = Ik + Ak Siendo Qk la cuota satisfecha en el período “k”, Ik los intereses pagados, y Ak el principal amortizado. Los modelos de amortización de este tipo de préstamos son muy variados, siendo usual que se asuma la propiedad de regularidad en la amortización, según la cual, después de cada pago, la deuda no aumenta, es decir, se verifica que Ak t 0, para todo “k”. Si esta propiedad no se cumpliera, podrían darse cuadros de amortización en los que el capital vivo pudiera crecer a lo largo de la duración del préstamo. Dicha situación, aunque pudiera darse, es absolutamente inusual, y no será objeto de estudio por nuestra parte. Consideraremos, por tanto, la existencia de una regularidad mínima, que es la que hemos estudiado cuando vimos el sistema americano de amortización, en el que el capital vivo se mantenía constante hasta el vencimiento. Asumido lo anterior, el capital vivo al final de un período determinado será siempre igual al capital vivo al final del período anterior capitalizado durante un período, menos la cuota satisfecha en dicho período, es decir:

126

Cj = Cj-1 (1 + i) – Qj

Obviamente, en el momento final, Cn = 0

Co(1+i)

I1 C0

C1(1+i)

A1

I2

C1

C2(1+i)

A2

I3

C2

A3 C3

Cn-2(1+i)

In-1

Cn-1(1+i)

Cn-1 An-1 0

1

2

3 ............................ n-1

n

En el primer período: Q1 = I1 + A1 = C0 (1 + i) – C1 en el segundo período: Q2 = I2 + A2 = C1 (1 + i) – C2 = (C0 – A1) (1 + i) – C2 = C0 (1 + i) – A1 (1 + i) – C2 en el tercer período: Q3 = I3 + A3 = C2 (1 + i) – C3 = (C1 – A2) (1 + i) – C3 = C0 (1+i) – (A1+A2) (1+i) – C3 .............................................................................................................. en el período (n-1): Qn-1 = In-1 + An-1 = Cn-2 (1 + i) – Cn-1 = C0 (1+i) – (A1+A2+ ...... +An-2) (1+i) – Cn-1 en el período n: Qn = In + An = Cn-1 (1 + i) = C0 (1+i) – (A1+A2+ ...... +An-1) (1+i) siendo evidente que: A1+A2+ ...... +An-1+An = C0 Existen numerosas posibilidades de amortización de un préstamo, en función del tipo de cuotas a satisfacer a lo largo del período de amortización. Veremos las dos más habituales, comenzando por la más conocida, denominada Sistema Francés de Amortización. El Sistema Francés de Amortización se caracteriza por que las cuotas de amortización son constantes, es decir: Q1 = Q2 = ........ = Qn = Q Aunque obviamente, en la igualdad Q = Ik + Ak los términos de la suma son variables en función del capital vivo del préstamo.

127

Sabemos que 1 – (1 + i)-n Co = Q i como en cualquier renta constante. Si despejamos, podremos obtener el valor de la cuota periódica constante, a partir del importe del préstamo, y del tipo de interés pactado: Co · i Q= 1 – (1 + i)-n Esta es la cuota que se descompone en suma de intereses y principal a amortizar. Como el capital vivo tiene por expresión: Cj = Cj-1 (1 + i) – Q

Q = Cj-1 · i + (Cj-1 - Cj)

de donde Ij = Cj-1 · i que es la parte de la cuota destinada a pagar los intereses de la deuda en el año “j”, aplicando el interés “i” pactado, al capital vivo al inicio del período Cj-1. Aj = Cj-1 - Cj que nos medirá en cuanto ha disminuido el capital prestado al pasar del período (j-1) al período “j”. Es evidente que los intereses Ij decrecerán a medida que aumenta el número de períodos, puesto que el capital vivo es menor, y por tanto, al ser el tipo de interés constante, dicho capital vivo genera cada vez menos intereses. Ij

0 1 2 3 …………….…… j ……………... Análogamente, y dado que Q = Ij + Aj, es constante, si Ij disminuye, Aj tendrá que aumentar; es decir, la parte de la cuota que se destina a amortizar el capital será creciente según aumenta el número de períodos.

128

Aj

0

1

2

3 …………….…… j ……………...

aunque para que la cuota mensual se mantenga constante:

Ij + Aj Q Ij

Ij Aj

0

1

2

3 …………….…… j …………….......... n

El capital vivo en un período concreto puede obtenerse actualizando los flujos de pagos pendientes, es decir: Q Q .......... Q 0

1

2 ……........... j

j+1

j+2 ............

n

El capital pendiente de amortizar será por tanto el valor actual de una renta formada por todas las cuotas que quedan por pagar para amortizar el préstamo. Q Cj =

Q

Q

+ 1+i

+ (1 + i)2

Q + ....... +

(1 + i)3

(1 + i)n - j

es decir: 1 - (1 + i)-(n-j) Cj = Q i Este sistema es el más usado en la práctica bancaria, en la que resulta útil proceder a una cuantificación constante de la cuota a pagar. La mayor parte de los usuarios de los préstamos desean saber cuánto tienen que pagar cada mes para saber si con sus ingresos periódicos pueden pagar dicha cuota.

129

Las formulaciones anteriores sirven para construir el cuadro de amortización del préstamo:

n

Cuota

1 2 3 --j --n

Q Q Q --Q --Q

Capital Vivo Principio Fin período período C1 C2 C3 ----Cj ----Cn = 0

Co C1 C2 ----Cj-1 ----Cn-1

Ij

Aj

Amortización Acumulada

I1 I2 I3 ---Ij ---In

A1 A2 A3 ----Aj ----An

A1 A1 + A2 A1 + A2 + A3 ------------------A1 + A2 + .......+ Aj ------------------A1 + A2 + .......+ An = Co

donde: -

n: número de años en los que está prevista la amortización de la deuda. Co: Capital prestado en origen. Q: importe de la cuota constante. Cj: Capital vivo, al principio y al final de cada año. Ij: Cuota de intereses de cada período. Aj: Cuota de amortización de cada período Amortización acumulada: Nos indica cuánto hemos amortizado de la deuda, sin tener en cuenta los intereses.

Ejemplo: Un cliente pide en un banco un préstamo de 50.000 euros, a tres años, con cuotas trimestrales constantes al 7% de interés nominal anual. Obtener: -

-

El tipo actualizado equivalente, teniendo en cuenta que el cliente debe pagar un 1% de comisión de apertura y un 0,8% de comisión de estudio. La cuota de amortización trimestral. El cuadro de amortización del préstamo. Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

50.000 0,07

i=

365

= 0,0175 ;

0,0175

4

= 0,017743056 360

Co · i

50.000 · 0,017743056

Q=

= 1 – ( 1 + i )-n

= 4.662,69 €. 1 – ( 1 + 0,017743056)-12

es decir, trimestralmente abonará 4.662,69 euros. Calculamos ahora el TAE: Las comisiones son:

50.000 · 1,8% = 900 euros.

El neto recibido será: 4.662,69 49.100 =

4.662,69 +

(1 + r4)

4.662,69 + ...... +

(1 + r4)2

130

(1 + r4)12

Usando la HP12c: - 49.100

g

CF0

4.662,69

g

CFj

12

g f

Nj IRR

r4 = 2,069408937%

que en base anual sería: 1 + r = (1 + r4)4 Ÿ r = (1 + 0,02069408937)4 - 1 = 0,08538146% es decir, el 7% anual (A/360) se transforma realmente en un 8,54%. Obtenemos el cuadro de amortización:

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cuota

Capital Vivo Principio Fin período período

Ij

Aj

Amortización Acumulada

4.662,69 50.000 46.224,46 887,15 3.775,54 4.662,69 46.224,46 42.381,93 820,16 3.842,53 4.662,69 42.381,93 38.471,22 751,98 3.910,71 4.662,69 38.471,22 34.491,13 682,60 3.980,09 4.662,69 34.491,13 30.440,42 611,98 4.050,71 4.662,69 30.440,42 26.317,84 540,11 4.122,58 4.662,69 26.317,84 22.122,11 466,96 4.195,73 4.662,69 22.122,11 17.851,93 392,51 4.270,18 4.662,69 17.851,93 13.573,67 316,75 4.345,94 4.662,69 13.505,99 9.158,82 239,64 4.423,05 4.662,69 9.082,94 4.581,41 161,16 4.501,53 4.662,70 4.581,41 0 81,29 4.581,41

3.775,54 7.618,07 11.528,78 15.508,87 19.559,58 23.682,16 27.877,89 32.148,07 36.494,01 40.917,06 45.418,59 50.000

sin más que aplicar el tipo de interés anterior al capital al principio de período; después se resta el interés de la cuota fija, y se obtiene la cuota de amortización de principal de cada período, que a su vez restada del capital al principio de período, nos da el capital al final del período. Este cuadro de amortización, puede automática utilizando funciones “Excel”.

obtenerse

también

de

forma

5. Préstamo amortizable por el Sistema de Cuota Fija de Amortización del Principal. En este caso, en cada cuota se satisfacen los intereses del período más una parte alícuota del capital prestado: Q1 = I1 + A Q2 = I2 + A Q3 = I3 + A ................... Qn = In + A variando los términos en función del capital vivo del préstamo, que al ser decreciente, y manteniéndose el tipo de interés constante, supone que la cuota de intereses es permanentemente decreciente.

131

El capital vivo en un período determinado será: Cj = Co – j · A Obviamente:

Cn = n · A

o lo que es lo mismo:

A=

Co n siendo esta la cuota base de amortización constante del principal. Este método tiene la ventaja de su sencillez, pero el inconveniente de que esta forma no es la normalmente preferida por el acreedor o el deudor. Cuando se pide el capital es para realizar la inversión, y ésta no produce su rendimiento normal hasta que no ha pasado un tiempo determinado. Sin embargo, de esta forma, se entregan las cantidades más altas en los primeros años, y luego van disminuyendo según pasa el tiempo. Ejemplo: Consideramos el mismo préstamo del ejemplo anterior, pero ahora la amortización se hará con cuota de amortización constante. 50.000

Co A=

= n

= 4.166,66 €. 12

es decir, trimestralmente se pagarán 4.166,66 euros más los intereses del capital vivo. El cuadro de amortización será:

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cuota

Capital Vivo Principio Fin período período

5.053,81 50.000,00 4.979,89 45.833,34 4.905,96 41.666,67 4.832,02 37.500,00 4.758,11 33.333,34 4.684,18 29.166,67 4.610,24 25.000,00 4.536,32 20.833,34 4.462,39 16.666,67 4.388,45 12.500,00 4.314,53 8.333,34 4.240,60 4.166,67

45.833,34 41.666,67 37.500,00 33.333,34 29.166,67 25.000,00 20.833,34 16.666,67 12.500,00 8.333,34 4.166,67 0

Ij

Aj

887,15 4.166,66 813,22 4.166,67 739,29 4.166,67 665,36 4.166,66 591,44 4.166,67 517,51 4.166,67 443,58 4.166,66 369,65 4.166,67 295,72 4.166,67 221,79 4.166,66 147,86 4.166,67 73,93 4.166,67

Amortización Acumulada 4.166,66 8.333,33 12.500,00 16.666,66 20.833,33 25.000,00 29.166,66 33.333,33 37.500,00 41.666,66 45.833,33 50.000

sin más que aplicar el tipo de interés anterior al capital al principio de período; después se suma el interés a la cuota fija de amortización del principal, y se obtiene la cuota total de cada período; el capital al principio de cada período, se obtiene en este caso restando del capital al principio del período la cuota fija de amortización del principal.

132

Este cuadro de amortización, puede obtenerse también de forma automática utilizando funciones “Excel”. Calculamos ahora el TAE: Las comisiones son:

50.000 · 1,8% = 900 euros.

El neto recibido será: 5.053,81 49.100 =

4.979,89 +

4.240,60 + ...... +

(1 + r4)2

(1 + r4)

(1 + r4)12

Usando la HP12c: - 49.100

g

CF0

5.053,81

g

CFj

4.979,89

g

CFj

4.905,96

g

CFj

4.832,02

g

CFj

4.758,11

g

CFj

4.684,18

g

CFj

4.610,24

g

CFj

4.536,32

g

CFj

4.462,39

g

CFj

4.388,45

g

CFj

4.314,53

g

CFj

4.240,60

g

CFj

f

IRR

r4 = 2,078589461%

que en base anual sería: 1 + r = (1 + r4)4 Ÿ r = (1 + 0,02078589461)4 - 1 = 0,08577201% es decir, el 7% anual (A/360) se transforma realmente en un 8,58%.

6. Préstamo amortizable por el Sistema Francés a tipo variable. Desde mediados de los años ochenta, es cada vez más habitual que se soliciten y concedan préstamos a tipo variable, tanto por parte de empresas como de particulares. Ello supone que no disponemos de un tipo fijo para realizar el cuadro de amortización y obtener las cuotas, puesto que el interés aplicable a cada período se obtiene mediante la suma de un determinado diferencial (“spread”) al valor del Euribor (o del Libor en su caso) que estaba vigente dos días antes del inicio del plazo de liquidación establecido en el contrato de préstamo. Esta variabilidad de tipo genera el que las futuras cuotas constituyan una renta aleatoria, y que sea preciso establecer mecanismos para poder obtener un cuadro de amortización aceptado por prestamista y prestatario. Dos son los métodos ortodoxos habituales para realizar esto:

133

x

Modelo con mantenimiento de las cuotas de amortización de principal calculadas inicialmente.- En este modelo, se utiliza el valor del Euribor para el primer período, como si fuera el tipo fijo del sistema francés antes analizado, y se obtienen las sucesivas cuotas de amortización de principal en un cuadro idéntico al citado. A continuación, y manteniendo fijas las cuotas de amortización, se procede a recalcular los intereses, a medida que van transcurriendo los períodos, aplicando el Euribor que se va publicando cada trimestre, cada semestre o cada año. Lógicamente, la cuota, antes fija, pasa a ser variable, y se obtiene como suma de la nueva cuota de intereses, más la establecida en el cuadro de amortización inicial. Este modelo es útil para poder realizar coberturas del riesgo de tipo de interés utilizando swaps amortizativos, puesto que es necesario conocer a priori sobre qué capital vivo hay que realizar el contrato de swap en cada período5.

x

Modelo con recalculo anual de las cuotas de amortización de principal.En este caso, se procede de forma idéntica al anterior, pero cuando transcurre el primer año, se vuelve a aplicar el sistema francés considerando como tipo fijo el correspondiente al Euribor vigente en ese momento (como si se tratase de un nuevo préstamo concedido por el capital vivo). Se hace un nuevo cuadro de amortización, con nuevas cuotas de amortización de principal y se va actualizando luego con los nuevos intereses del Euribor. Cuando transcurre un nuevo año, se vuelve otra vez a aplicar el sistema francés, y así sucesivamente. Este sistema es bastante habitual en Bancos y Cajas de Ahorro, ya que el recálculo de intereses y principal les permiten adecuar las cuotas de los préstamos hipotecarios y los préstamos personales a la realidad de los tipos de interés en cada momento, evitando problemas de riesgo de tipo de interés con préstamos importantes. Veamos un ejemplo de préstamo a tipo variable utilizando ambos modelos. Ejemplo.- Un Banco le ofrece a un cliente un préstamo de 250.000 € a amortizar en dos años por el sistema francés con cuota trimestral. Las condiciones son las siguientes: -

Tipo de interés: Euribor trimestral más 75 puntos básicos. Comisión de apertura: 1%. Comisión de estudio: 0,20%. El Euribor trimestral está en estos momentos en el 2,80% nominal, y el Banco le da dos opciones de amortización al cliente: -

Considerar fija la cuota de amortización trimestral del principal calculada en el cuadro de amortización inicial. Recalcular anualmente dicha cuota en función de la evolución de los tipos.

Si los sucesivos Euribor han sido: 3,05%, 3,25%, 3%, 2,95%, 3,40%, 2,90% y 3,20%, ¿cuál de las dos opciones habrá sido más interesante en términos de TAE? 5

Para conocer las características de los swaps, y en particular de los swaps amortizativos, puede consultarse el libro ya citado “Análisis Financiero de los Mercados Monetarios y de Valores”, pag. 330 a 346.

134

365 2,80 + 0,75 = 3,55 %.

3,55

= 3,599305556 %.

·

360 3,599305556 = 0,899826389 %. 4 Q x

~ 0 2 250.000 - 2.500 - 500 247.000

Q x

Q x

250.000

x

Q ~

Q x

Q x

Q x

0,00899826389

Q=

= 32.528,60 €. 1 – (1 + 0,00899826389 )- 8

n 1

Cj

Q

250.000

Ij

Aj

32.528,60

2.249,57

30.279,03

2

219.720,97

32.528,60

1.977,11

30.551,49

3

189.169,48

32.528,60

1.702,20

30.826,40

4

158.343,08

32.528,60

1.424,81

31.103,79

5

127.239,29

32.528,60

1.144,93

31.383,67

6

95.855,62

32.528,60

862,53

31.666,07

7

64.189,55

32.528,60

577,59

31.951,01

8

32.238,54

32.528,60

290,06

32.238,54

1ª Opción n 1

Cj

E + 0,75

250.000

Ij

Aj

Qj

3,55

2.249,57

30.279,03

32.528,60

2

219.720,97

3,80

2.116,34

30.551,49

32.667,83

3

189.169,48

4,00

2.227,73

30.826,40

33.054,13

4

158.343,08

3,75

1.505,08

31.103,79

32.608,87

5

127.239,29

3,70

1.193,31

31.383,67

32.576,98

6

95.855,62

4,15

1.008,31

31.666,07

32.674,38

7

64.189,55

3,65

593,86

31.951,01

32.544,87

8

32.238,54

3,95

322,78

32.238,54

32.561,32

250.000 · 3,55 · 91,25 = 2.249,57 €, etc. 36.000

135

Q _ 1

32.528,60 247.000 =

32.667,83 +

32.561,32 + .............. +

(1 + r4 )2

1 + r4 r4 = 1,261495403%

(1 + r4 )8

r = 5,1422694%.

2ª Opción Se recalcularían las cuotas al inicio del 5º trimestre, utilizando como Euribor de referencia el 2,95%. 365 ˆ = 3,75138 %. 2,95 + 0,75 = 3,70 %. 3,70 · 360 ˆ 3,75138 ˆ = 0,9378472 %. 4 Q’ x

~ 0 127.239,29

Q’ x

Q’ x

Q’ ~ 1

ˆ 127.239,29 · 0,009378472 Q’ =

= 32.559,12 €. ˆ 1 – (1 + 0,009378472 )- 4

n

Cj

Q

Ij

Aj

5

127.239,29

32.559,12

1.193,31

31.365,81

6

95.873,48

32.559,12

899,15

31.659,97

7

64.213,51

32.559,12

602,22

31.956,90

8

32.256,61

32.559,12

302,51

32.256,61

127.239,29 · 3,70 · 91,25 = 1.193,31 €, etc. 36.000 n

E + 0,75

Cj

5

127.239,29

3,70

6

95.873,48

4,15

7

64.213,51

3,65

8

32.256,61

3,95

32.528,60 247.000 =

Ij 1.193,31

31.365,81

32.559,12 32.668,47

1.008,50 594,09

31.956,90

32.550,99

322,96

32.256,61

32.579,57

32.667,83

32.559,12

r4 = 1,261482238%

32.579,57 +

(1 + r4 )7

r = 5,1422146%.

136

+ (1 + r4 )4

32.550,99 +

(1 + r4 )6

32.608,87 +

(1 + r4 )3

32.668,47 +

(1 + r4)5

33.054,13 +

(1 + r4 )2

1 + r4

Qj

31.659,97

+

+

Aj

(1 + r4 )8

Le interesaría, por tanto, esta última opción, habida cuenta de que el TAE es inferior. Al margen de los métodos ortodoxos anteriormente comentados, existe un método que utilizan las entidades financieras, y que se basa en fijar un mes en el año en el que fijan el tipo de interés del préstamo para el año siguiente. Evidentemente, se trata de un método híbrido entre el préstamo a tipo fijo y el préstamo a tipo variable, puesto que considera como tipo fijo un tipo anual, pero cada año cambia ese tipo. Las entidades financieras utilizan este método por comodidad, a fin de no tener que alimentar sus bases de datos todos los meses con el tipo variable mensual, pero ello introduce el riesgo de tipo de interés en las operaciones de préstamo, ya que una vez fijado un tipo de interés, por ejemplo en el mes de diciembre, la entidad se compromete a mantener fijo el tipo durante los próximos doce meses. Si hay una subida de tipos de interés, el banco o la caja de ahorros puede estar “perdiendo” rentabilidad contra el mercado interbancario. Obviamente, si los tipos bajan, la entidad financiera tendrá un margen financiero mayor. Además, siempre es posible realizar una cobertura anual del riesgo de tipo de interés a través de operaciones de tesorería (FRA’s, SWAP’s, etc.). Más adelante estudiaremos las operaciones de FRA.

7. Cancelación anticipada de un préstamo. Puede darse la posibilidad de que se acuerde la cancelación anticipada de un préstamo. En este caso, se pueden dar varias posibilidades: x Amortización neutral de tipos de interés: Las dos partes acuerdan cancelar la operación por el capital vivo existente en el momento que se decida, sin ninguna penalización para ninguna de las partes. Es indiferente el sistema de amortización con el que se haya contratado el préstamo. Lo importante es el capital vivo del préstamo en el momento en el que se decide realizar la amortización. Sea “Cj” el capital vivo al finalizar el último período. Está claro que si el momento temporal de la amortización coincide con “Cj”, no tendremos ningún problema: “Cj” es el capital que hay que restituir, sin que haya que hacer ningún cálculo de intereses. Si el momento de la cancelación es un punto intermedio en el intervalo (j, j+1), habrá que calcular el tipo de interés equivalente para que el capital amortizado sea financieramente equivalente con el capital “Cj+1”, que se hubiera obtenido caso de no realizarse la amortización anticipada. C* Cj+1 j+1

Cj j

t

Si “im” es el interés correspondiente al período (j, j+1), tendremos que calcular el tipo de interés equivalente para el período (j, t):

137

1 t-j

j* 1 + im = 1 + 1 t-j

siendo j* el tipo nominal equivalente a i*, tipo que aplicaríamos para calcular C*: C* = Cj [ 1 + j* (t-j)] Ejemplo: En el préstamo amortizado por el Sistema Francés a tipo fijo, queremos amortizar anticipadamente el préstamo a los veinte días de iniciarse el séptimo trimestre. El capital vivo era 26.317,84 € al inicio del séptimo trimestre, y el tipo de interés del período era 1,7743056% cada trimestre. Si suponemos que el trimestre tiene 91 días: 20

C* = 26.317,84

1 + i* 91

Obtenemos i*: 91

j* 1 + 0,017743056 =

20

1+

Ÿ j* = 1,7621522% 91 20

lógicamente menor que el 1,7743056% trimestral. Los intereses que habría que satisfacer junto con el principal serían: 20 C* = 26.317,84

1 + 0,017621522

= 26.419,77 €. 91

valor que tendría que reintegrar el cliente al Banco para cancelar el préstamo. Si la operación se realizara en la vida real, al prestatario se le pediría que pagara: 20 C* = 26.317,84

1 + 0,017743056

= 26.420,47 €. 91

es decir, 0,70 € más de lo que correspondería financieramente pagar, debido a que es práctica habitual en las entidades financieras aplicar directamente “im” para cancelar la operación, a pesar de que no es financieramente equivalente. x Amortización en función de tipos de mercado: Las dos partes acuerdan cancelar la operación por el capital vivo existente en el momento que se decida, pero de acuerdo con los tipos a los que se están realizando los préstamos al plazo pendiente de amortización en el momento considerado.

138

Dado que la operación financiera ha tenido una ley financiera inalterable desde el momento de la concesión del préstamo hasta “t”, debemos actualizar los flujos pendientes al nuevo tipo de mercado; es decir,

0

Q

Q

............. Q

1

2 .............

j

t

Q

Q ............... Q

Q

j+1

j+2 ........... n-1

n

Si llamamos s = (j+1)–t; e “iĿ” al tipo de interés de mercado en el momento “t”: Q

Q

C* =

Q

+ (1 + iĿ)s

Q

+ (1 + iĿ)1+s

+ ........ + (1 + iĿ)2+s

(1 + iĿ)n-j-1+s

Ejemplo: Si lo aplicamos al ejemplo anterior, asumiendo un tipo de interés de mercado del 6% nominal anual, y teniendo en cuenta que la cuota fija era de 4.662,69 euros., y que quedaban seis cuotas por pagar: 4.662,69

4.662,69

C* =

4.662,69

+ (1 + 0,015)

+

71

162

365

365

(1 + 0,015)

4.662,69

+

344 365

365

4.662,69

+ (1 + 0,015)

(1 + 0,015)

4.662,69

+

+ 253

=

435

(1 + 0,015)

365

526

(1 + 0,015)

365

= 27.638,12 €. La diferencia entre esta última cifra y la que obtuvimos antes: 27.638,12 – 26.419,77 = 1.218,35 €. constituye la penalización por la cancelación del préstamo. x Amortización con penalización predefinida: La dificultad en el establecimiento de la penalización anterior por cancelación anticipada de préstamos, y la dificultad para hacer comprender a los clientes el importe de las mismas, hace que los Bancos definan a priori una comisión de cancelación anticipada en términos “flat”, es decir, mediante un determinado porcentaje sobre el principal del préstamo. En este caso, se obtendría el valor del capital vivo mediante la capitalización, según lo visto en la modalidad primera (neutral), y a dicha cifra le añadiríamos la comisión de amortización pactada: C* = Cj [ 1 + j* (t-j)] + k . Cj = Cj [1 + k + j* (t-j)] Ejemplo: Si en el ejemplo anterior, aplicáramos un 2% como comisión de cancelación anticipada: C* = 26.419,77 + 26.317,84

•

0,02 = 26.946,13 €.

La cancelación de una operación de préstamo puede estar condicionada por la posibilidad de constituir un capital desde el inicio del préstamo, de forma que en un

139

momento futuro, se disponga de la cantidad necesaria para amortizar el capital vivo del préstamo en ese momento. Esta operación se denomina “sinking fund” en terminología anglosajona. El “sinking fund” por tanto, se corresponde con la conjunción de dos operaciones financieras simultáneas, un préstamo amortizable por el sistema americano, y una operación de constitución de capital, según la cual el prestatario se compromete a ingresar cada fin de período un capital en una entidad financiera, cuyo objetivo será constituir el capital debido al final del último período, y afectar dicho capital constituido a la cancelación del préstamo solicitado. Gráficamente:

Co(1+i) Co(1+i) Co(1+i)

I

I

Co(1+i)

I

Co(1+i)

I

I An

C0 An-1 A3

C0

A2 A1 0

1

2

3 ............................ n-1

n

En cada período, la cuota satisfecha debe ser suficiente para pagar los intereses del capital pendiente, que es constante e igual a “C0”. Si asumimos un tipo de interés constante para el préstamo y otro tipo de interés constante para la constitución del capital; y que, asimismo, la anualidad de constitución es constante, podemos plantear la formulación correspondiente. Aj = A ;  j = 1, 2, ….., n con lo que: (1 + i)n - 1 n-1

C0 = A (1 + i)

n-2

+ A (1 + i)

+ ………… + A (1 + i) + A = A i

siendo el valor de la anualidad: C0 · i A= (1 + i)n - 1 y el interesado deberá hacer un pago periódico de: Q=A+I suma de la anualidad de constitución del capital y de los intereses que tiene que pagar del préstamo vigente. Si los tipos de interés del préstamo y de la constitución son diferentes (lo cual es lo lógico, ya que no se cobra lo mismo por un préstamo que por una inversión):

140

C0 · i + C0 · i’

Q=A+I= (1 + i)n - 1 es decir:

i Q = C0

+ i’ (1 + i)n - 1

Si los tipos de interés fueran iguales, la cuota coincidiría con la cuota del sistema francés de amortización: i Q = C0

C0 · i · (1 + i)n

1 + i

(1 + i)n – 1

= C0 · i

+1

=

(1 + i)n – 1

= (1 + i)n - 1

C0 · i = 1 - (1 + i)-n Un dato que puede ser interesante, puede ser conocer cuál es el saldo vivo del “sinking fund” al final de un período intermedio, esto es, el capital vivo en el momento “j”: (1 + i)j - 1 Cj = C0 - A i Ejemplo: Pedimos un capital de 50.000 € por el sistema americano, a tres años pagadero por trimestres, al 6% de interés nominal anual. En paralelo, constituimos un capital al mismo plazo y por trimestres, que se nos retribuye al 4% de interés nominal anual pagadero por trimestres. Queremos calcular la cuota trimestral a imponer para conseguir cubrir el principal del préstamo al final de los tres años. Calculamos la cuota trimestral: i Q = C0

0,01

(1 + i)n – 1

+ i’ = 50.000

+ 0,015 = 4.692,44 €. (1 + 0,01)12 – 1

la cual se compone de intereses y de cuota impuesta para la constitución del capital: I = 50.000 · 0,015 = 750 €. A = Q – I = 4.692,44 – 750 = 3.942,44 €. es decir, el interesado deberá imponer 3.942,44 € en una cuenta a plazo cada trimestre, y pagará además el devengo de 750 € de intereses trimestrales para poder garantizar que a los doce trimestres se pueda cancelar completamente la deuda.

141

CUESTIONES Y PROBLEMAS

5.1.- Problema de préstamo a tipo variable: Una empresa desea financiarse durante tres meses por un total de 1 millón de euros. Solicita un préstamo a un Banco, que le aplica Euribor trimestral más cuarenta puntos básicos. Asimismo, cobrará una comisión “flat” del 0,2%. Calcular: a) ¿Cuánto pagará la empresa al finalizar el período de financiación, si el Euribor se fija en el 3,15% durante 92 días? b) ¿Cuál es el T.A.E. real de la operación? a) 3,15 + 0,40 = 3,55%. 1.000.000 · 3,55 · 92

= 9.072,22 €. 36.000

La empresa tendrá que devolver 1.009.072,22 €. b) Para calcular el T.A.E. hay que comparar lo que recibe la empresa con lo que devuelve, y en base 365. Recibe:

0,2

1.000.000

1 -

= 998.000 €. 100

998.000 · r · 92

= 1.009.072,22 € Ÿ

998.000 + 36.500 1.009.072,22

36.500

Ÿ r =

- 1

= 4,401586179%.

·

998.000

92

es decir, en términos efectivos, está pagando: 360

4,401586179 ·

- 3,15 = 1,19129 365

esto es, Euribor + 119 puntos básicos. Para calcular el T.A.E. hemos de elevar a base anual el tipo anterior: 365 92

0,04401586179

1 + i =

Ÿ i = 4,474568%.

1+ 365 92

5.2.- Problema de cálculo del TAE de una operación de préstamo: Una operación de amortización de capital de 100.000 euros en 5 años mediante cuotas constantes, y al 9% anual, tiene las siguientes condiciones: - Gastos iniciales a cargo del prestatario, del 3% sobre el nominal.

142

La contraprestación se paga a través de una entidad que percibe el 5 por mil en concepto de gastos de administración a cargo del prestamista. - Existe un impuesto sobre rentas de capital de un 25%, no recuperable por el prestamista. Queremos calcular el TAE de la operación para el prestamista y el prestatario. -

~ 0 100.000 - 3.000

Q

Q

Q

Q

Q

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

_ 5

Co · i

100.000 · 0,09

Q=

= 25.709,25 €.

= 1 – (1 + i )-n

1 – (1 + 0,09 )-5

El T.A.E. para el prestatario será: 25.709,25

97.000 =

25.709,25

+

25.709,25

+ .................. + (1 + r)2

1+r

(1 + r )5

r = 10,18476833%. Para el prestamista: 25.709,25 – 0,5% s/ 25.709,25 = 25.580,70 €. El impuesto sólo gira sobre los intereses. n

Cj

Q

Ij

1 2

100.000 83.290,75

25.709,25 25.709,25

9.000 7.496,17

Ij · 0,25 Q – 0,5% Q - Ij · 0,25 16.709,25 2.250 23.330,70 18.213,08 1.874,04 23.706,66

3

65.077,67

25.709,25

5.856,99

19.852,26 1.464,25

24.116,45

4 5

45.225,41 23.586,45

25.709,25 25.709,25

4.070,29 2.122,80

21.638,96 1.017,57 23.586,45 530,70

24.563,13 25.050

23.330,7 ~ 0 100.000

23.706,66

~ 1

23.706,66

+ 1+r

24.116,45

~ 2

23.330,70

100.000 =

Aj

24.563,13

~ 3

24.116,45

+ (1 + r)2

24.563,13

+ (1 + r)3

25.050

~ 4

_ 5

25.050

+ (1 + r)4

(1 + r )5

r = 6,554792806%. 5.3.- Problema de cálculo de términos amortizativos y capital vivo en un préstamo: Un préstamo de 80.000 euros ha de amortizarse en 10 años, con abono de intereses anuales del 10% los seis primeros años, y del 12% los cuatro restantes. Si durante los

143

dos primeros años sólo se abonan las cuotas de intereses, y en los restantes, el término amortizativo es constante, calcular: a) Cuantía de los términos amortizativos. b) Capital vivo al comienzo de los años 3º y 5º. c) Cuotas de amortización de los períodos 3º, 6º y 7º. 8.000 8.000 ~ 0 80.000

~ 1

~ 2

Q

Q

Q

Q

~ 3

~ 4

_ 5

~ 6

Q

Q

~ 7

10%

Q

~ 9

_ 10

12% 1 - ( 1 + 0,1 )-4

a)

Q

~ 8

1 - ( 1 + 0,12 )-4

80.000 = Q ·

(1 + 0,1)-4

+ 0,1

Ÿ

0,12

80.000

Ÿ Q =

= 15.254,32 €. 3,169865446 + 2,074550473

b)

C2 = 80.000 1 - ( 1 + 0,1 )-2

C4 = Q ·

1 - ( 1 + 0,12 )-4

(1 + 0,1)-2

+ 0,1

=

0,12

= 15.254,32 ( 1,73553719 + 2,510206072 ) = 64.765,93 €. c)

A3 = 15.254,32 - 80.000 · 0,10 = 7.254,32 €. A6 = A3 ( 1 + i )3 = 7.254,32 ( 1 + 0,1 )3 = 9.655,50 €. A7 = Q - C6 · 0,12 = 15.254,32 - (C0 - A3 - A4 - A5 - A6 ) · 0,12 = = 15.254,32 - > 80.000 – 7.254,32 ( 1 + 1,1 + 1,12 + 1,13 ) @ · 0,12 = = 9.694,40 €.

5.4.- Problema de obtención de los componentes del cuadro de amortización de un préstamo en un año intermedio: Se concede un préstamo de 40.000 euros, a amortizar con cuotas anuales en 8 años por el sistema francés, pero con abono trimestral de intereses, a razón de un 3% trimestral. Obtener los componentes del cuadro de amortización del 5º año. Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

I1 I2 I3 ............................................................................................................................................ I32 ~ x 0

x

x

~ x 1

1+ i =

x

x ~ x 2

(1 + i4 )4

x

x

~ x 3

x

x ~ x x 4

x _ x 5

x

x

~ x 6

x

x

~ x 7

i = (1 + 0,03)4 - 1 = 0,12550881

144

x

x

~ 8

40.000 · 0,12550881

Q=

= 8.207,71 € al año. 1 – (1 + 0,12550881 )-8

Hay que pagar 8.207,71 € cada año, distribuidos en cuatro pagos, tres de intereses y uno de amortización e intereses. 1 – (1 + 0,12550881 )-4

C4 = Q

= 8.207,71 · 3,002443102 = 24.643,18 €. 0,12550881

24.643,18 · 0,03 = 739,30 €, cada uno de los tres primeros trimestres. 1 – (1 + 0,12550881 )-3

C5 = Q

= 8.207,71 · 2,379276162 = 19.528,41 €. 0,12550881

A5 = C4 - C5 = 24.643,18 – 19.528,41 = 5.114,77 €. Q5 = I5 + A5 = 739,30 + 5.114,77 = 5.854,07 €, en el cuarto trimestre. 5.5.- Problema de amortización anticipada de un préstamo con la constitución de un capital al efecto: Se concierta una operación de amortización con las siguientes características: - Capital prestado: 100.000 euros. - Duración: 12 años. - Tipo de interés: 10% anual. - Amortización mediante cuotas constantes anuales. Transcurridos tres años, el prestatario decide cancelar la operación al finalizar el año noveno, y con objeto de conseguir la cuantía necesaria, ingresará semestralmente una cantidad constante en un Banco, que le será capitalizada al 8% anual. Determinar: a) b) c) d)

Cuantía de los términos que amortizan el préstamo. Capital vivo al finalizar el año 9ª en el primer planteamiento. Cuantía de la cantidad a ingresar cada semestre. Saldo en el año 7º para el prestatario en el conjunto de las dos operaciones.

~ 0

Q

Q

Q

~ 1

~ 2

~ 3

Q

Q

~ 4

_ 5

Q

Q

~ 6

~ 7

Q ~ 8

Q ~ 9

Q _ 10

Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ Q’ _ 3

a)

x

~ 4

x

~ x 5

_

x 6

~ x 7

~ x 8

~ 9

100.000 · 0,10

Q=

= 14.676,33 €. 1 – (1 + 0,10 )-12 1 – (1 + 0,10 )-3

b) C9 = Q

= 14.676,33 · 2,486851991 = 36.497,86 €. 0,10

145

Q _ 11

Q _ 12

c)

1

(1 + i2 )2

1+ i =

i2 = (1 + 0,08)2 - 1 = 0,039230485. (1 + 0,039230485 )12 - 1

C9 = Q’ (1 + 0,039230485)

= 36.497,86 €.

Ÿ

0,039230485 36.497,86

Ÿ Q’ =

= 2.347,65 €. 15,54652448 1 – (1 + 0,10 )-5

d) C7 = 14.676,33

55.634,84 €.

= 0,10

(1 + 0,039230485 )8 - 1

V7 = 2.347,65 (1 + 0,039230485)

= 22.418,86 €. 0,039230485

55.634,84 - 22.418,86 = 33.215,98 €.

5.6.- Problema de decisión sobre la conveniencia o no de la subrogación en una operación de préstamo hipotecario: Un cliente solicita un préstamo hipotecario de 50.000 euros a un Banco, que le ofrece un 8% de tipo de interés nominal fijo pagadero por trimestres, a doce años. Si el Banco le ofrece una cuota fija trimestral. a) ¿Cuál es el importe de dicha cuota? Pasados cinco años, otro Banco le ofrece subrogarse en el préstamo anterior, ofreciéndole un 7% fijo con cuota anual. Si los gastos de subrogación, acumulables al saldo vivo del préstamo son del 1,5% de dicho saldo. b) ¿Cuál sería la nueva cuota? c) ¿Le interesaría subrogarse? d) En el supuesto anterior, construir el cuadro de amortización del préstamo. 8

8% nominal anual

= 2% trimestral. 4

Los préstamos bancarios son en base 360. Pasamos a base 365. 365

2·

ˆ

= 2,027 % 360

Q ~

Q Q Q ........................................................................................................................... Q

x

~

0 50.000

1

x

_

2

x

~ 3

x

~ 4

x

~ 5

x

~ 6

ˆ

a)

50.000 · 0,02027

Q=

= 1.639,32 €. ˆ

1 – (1 + 0,02027 )-48

146

x

~ 7

x

_ 8

x

~ 9

x

~ x 10

~ x 11

~ 12

b)

ˆ

1 – (1 + 0,02027 )-28

C5 = 1.639,32

= 34.761,59 €. ˆ

0,02027

34.761,59 · ( 1 + 0,015 ) = 35.283,02 €. 35.283,02 · 0,07

Q’ =

= 6.546,88 €. 1 – (1 + 0,07 )-7

c)

ˆ

(1 + 0,02027 )4 - 1

1.639,32

= 6.759,44 > 6.546,88 ˆ

0,02027

Le interesa subrogarse. d) n

Cj

Q’

Ij

Aj

6 7

35.283,02 31.205,95

6.546,88 6.546,88

2.469,81 2.184,42

4.077,07 4.362,46

8

26.843,49

6.546,88

1.879,04

4.667,84

9 10

22.175,65 17.181,07

6.546,88 6.546,88

1.552,30 1.202,67

4.994,58 5.344,21

11

11.836,86

6.546,88

828,58

5.718,30

12

6.118,56

6.546,88

428,32

6.118,56

5.7.- Problema de cálculo de las cuotas de amortización de un préstamo y de su descomposición en nuda-propiedad y usufructo: Cierta persona tiene concedido un préstamo desde hace 5 años de 100.000 euros, a amortizar en 12 años con las siguientes características: -

Abono de intereses a un tipo de interés anual del 5%. Amortización mediante anualidades constantes de cuantía “a” durante los seis primeros años, y de cuantía “2a" en los restantes.

Si en el momento actual el tipo de interés que rige en el mercado es del 7% anual, determinar el valor del préstamo y su descomposición en usufructo y nuda-propiedad.

~ 0

a

a

a

a

a

a

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

_ 5

~ 6

5%

2a

2a

2a

2a

2a

2a

~ 7

~ 8

~ 9

_ 10

_ 11

_ 12

7%

147

1 - ( 1 + 0,05 )-6

100.000 = a ·

1 - ( 1 + 0,05 )-6

+ 2a

(1 + 0,05)-6 Ÿ

·

0,05

0,05

100.000

Ÿ a + 2a · 1,05

(- 6)

19,70174681

Ÿ a =

= 5,075692068

= 7.904,63 €. 1 + 2 · 1,05(- 6)

El cuadro de amortización es el siguiente: n

Cj

Q

Ij

Aj

1 2 3 4 5 6 7

100.000 97.095,37 94.045,51 90.843,16 87.480,69 83.950,09 80.242,96

7.904,63 7.904,63 7.904,63 7.904,63 7.904,63 7.904,63 15.809,26

5.000 4.854,77 4.702,28 4.542,16 4.374,03 4.197,50 4.012,15

2.904,63 3.049,86 3.202,35 3.362,47 3.530,60 3.707,13 11.797,11

8

68.445,85

15.809,26

3.422,29

12.386,97

9 10

56.058,88 43.052,56

15.809,26 15.809,26

2.802,94 2.152,63

13.006,32 13.656,63

11

29.395,93

15.809,26

1.469,80

14.339,46

12

15.056,47

15.809,26

752,79

15.056,47

Si ahora descontamos los flujos al 7%, obtenemos la nuda-propiedad y el usufructo, y por adición, el valor del préstamo al final del 5º año. 3.707,13 ~ 5

11.797,11

12.386,97

13.006,32

~ 7

~ 8

~ 9

~ 6

4.197,50 ~ 5

4.012,15

~ 6

3.707,13

N5 =

3.422,29

~ 7

4.197,50

U5 =

1.469,80 _ 11

15.056,47 _ 12

752,79 _ 12

15.056,47

+ .............. +

= 62.470,97 €. (1 + 0,07)7

4.012,15

+ 1 + 0,07

_ 10

(1 + 0,07)2

1 + 0,07

14.339,46 _ 11

2.152,63

~ 9

11.797,11

+

_ 10

2.802,94

~ 8

13.656,63

752,79

+ .............. + (1 + 0,07)2

= 15.342,21 €. (1 + 0,07)7

V5 = 62.470,97 + 15.342,21 = 77.813,18 €. La diferencia con el capital vivo, 83.950,09 €, se debe al interés de actualización, que ha pasado del 5% al 7%.

148

5.8.- Problema de cálculo del valor de la nuda-propiedad y el usufructo de un préstamo en un momento determinado: Un Banco concede un préstamo de 100.000 euros a un plazo de 10 años, con un interés semestral constante del 3% semestral, y con el pacto de que durante los dos primeros años, se abonarán únicamente las cuotas de intereses. Deseamos conocer el valor de la nuda-propiedad y el usufructo al principio del quinto año, valorado al 7% anual, siendo la amortización a partir del tercer año mediante cuotas de amortización anuales constantes. 3.041,67 3.041,67 3.041,67 3.041,67 ~

x

~

0 100.000

1

x

12.500 _

x

2

365

12.500

~ 3

x

~ 4

12.500 ......................................................... 12.500 x

~ 5

x

~ 6

x

~ 7

x

_ 8

x

~ 9

x

~ 10

ˆ

3·

= 3,0416 % cada semestre. 360 ˆ

100.000

·

3,0416 = 3.041,67 €.

100.000

A=

= 12.500 €. 8 1

1+ i =

(1 + i2 )2

i2 = (1 + 0,07)2 - 1 = 0,034408043.

12.500

N4 =

12.500

12.500

+

+ .............. + (1 + 0,07)2

1 + 0,07

= 59.581,75 €. (1 + 0,07)6

ˆ

75.000

·

0,030416 = 2.281,25 €.

62.500

·

0,030416 = 1.901,04 €.

50.000

·

0,030416 = 1.520,83 €

37.500

·

0,030416 = 1.140,62 €

25.000

·

0,030416 =

ˆ ˆ ˆ ˆ

760,42 €

ˆ

12.500

·

0,030416 =

380,21 €.

2.281,25

U5 =

2.281,25

+ 1 + 0,034408043

1.901,04

+ (1 + 0,034408043)2

+ (1 + 0,034408043)3

1.901,04

+

380,21

+ ............................ + (1 + 0,034408043)4

= 15.968,74 €. (1 + 0,034408043)12

5.9.- Problema de cálculo del TAE de una operación de préstamo: Solicitamos un préstamo a un Banco por 50.000 euros a tres años. El banco nos lo concede, con las condiciones siguientes.

149

¾ ¾ ¾ ¾ ¾

5% de interés nominal anual pagadero por trimestres. 1,5% de comisión de apertura; mínimo: 500 euros. 0,3% de comisión de estudio; mínimo: 250 euros. 0,3% intervención del fedatario público. Amortización por trimestres naturales por el sistema francés.

a) b) c) d)

Obtener el cuadro de amortización del préstamo. ¿Cuál es el T.A.E. de la operación para el Banco? ¿Cuál es el coste de financiación de la operación para el cliente? Si después de dos años, el cliente desea cancelar la operación, y el Banco le cobra una comisión de cancelación del 2% sobre el capital vivo, ¿cuál habrá sido el T.A.E. de la financiación que ha recibido durante esos dos años? ˆ

365

5·

5,0694

ˆ

= 1,267361 %.

360

50.000 50.000 50.000 Q

a) ~ 0

ˆ

= 5,0694 %.

x

50.000 - 750 - 250 49.000 - 150 48.850

4

· 1,5 % = 750 €. · 0,3 % = 150 €. · 0,3 % = 150 €. Q Q Q x

x

~ 1

250 €. Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

x

x

x

_ 2

x

x

x

_ 3

ˆ

50.000 · 0,01267361

Q=

= 4.517,83 €. ˆ

1 – (1 + 0,01267361 )-7

n

Cj

Q

Ij

Aj

1 2 3 4 5 6 7

50.000 46.115,85 42.182,47 38.199,24 34.165,53 30.080,70 25.944,10

4.517,83 4.517,83 4.517,83 4.517,83 4.517,83 4.517,83 4.517,83

633,68 584,45 534,60 484,12 433,00 381,23 328,81

3.884,15 3.933,38 3.983,23 4.033,71 4.084,83 4.136,60 4.189,02

8

21.755,08

4.517,83

275,72

4.242,11

9 10

17.512,97 13.217,09

4.517,83 4.517,83

221,95 167,51

4.295,88 4.350,32

11

8.866,77

4.517,83

112,37

4.405,46

12

4.461,31

4.517,83

56,52

4.461,31

b)

4.517,83

49.000 =

4.517,83

+ 1 + r4

r4 = 1,591021071%

4.517,83

+ .............. + (1 + r4 )2

(1 + r4 )12

r = 6,5175827%.

150

c)

4.517,83

48.850 =

4.517,83

+ (1 + r4 )2

1 + r4

r4 = 1,640401279% d)

4.517,83

+ .............. + (1 + r4 )12

r = 6,7248331%.

C8 = 17.512,97 17.512,97 · 0,02 = 350,26 € coste de cancelación. 4.517,83 ..................................................

4.517,83 ~ 0

350,26 17.512,97 4.517,83 4.517,83

x

x

x

~ 1

x

x

x

_ 2

48.850 4.517,83

48.850 =

4.517,83

+

4.517,83

+

(1 + r4 )2

1 + r4

r4 = 1,80743226%

22.381,06

+ .............. + (1 + r4 )7

(1 + r4 )8

r = 7,4281104%.

5.10.- Problema de amortización de un préstamo a tipo variable por el sistema francés: Un Banco le ofrece a un cliente un préstamo de 250.000 euros a amortizar en dos años por el sistema francés con cuota trimestral. Las condiciones son las siguientes: -

Tipo de interés: Euribor trimestral más 75 puntos básicos. Comisión de apertura: 1%. Comisión de estudio: 0,20%.

El Euribor trimestral está en estos momentos en el 2,80% nominal, y el Banco le da dos opciones de amortización al cliente: -

Considerar fija la cuota de amortización trimestral del principal calculada en el cuadro de amortización inicial. Recalcular anualmente dicha cuota en función de la evolución de los tipos.

Si los sucesivos Euribor han sido: 3,05%, 3,25%, 3%, 2,95%, 3,40%, 2,90% y 3,20%, ¿cuál de las dos opciones habrá sido más interesante en términos de TAE? 365

2,80 + 0,75 = 3,55 %.

3,55 ·

= 3,599305556 %. 360

3,599305556

= 0,899826389 %. 4 ~ 0

250.000 - 2.500 - 500 247.000

Q

Q

Q

Q

x

x

x

~ 1

Q

Q x

Q x

250.000 · 0,00899826389

Q=

= 32.528,60 €. 1 – (1 + 0,00899826389 )-8

151

x

Q _ 2

n

Cj

Q

Ij

Aj

1 2 3 4 5 6 7

250.000 219.720,97 189.169,48 158.343,08 127.239,29 95.855,62 64.189,55

32.528,60 32.528,60 32.528,60 32.528,60 32.528,60 32.528,60 32.528,60

2.249,57 1.977,11 1.702,20 1.424,81 1.144,93 862,53 577,59

30.279,03 30.551,49 30.826,40 31.103,79 31.383,67 31.666,07 31.951,01

8

32.238,54

32.528,60

290,06

32.238,54

1ª Opción n

Cj

E + 0,75

Ij

Aj

Qj

1 2 3 4 5 6 7

250.000 219.720,97 189.169,48 158.343,08 127.239,29 95.855,62 64.189,55

3,55 3,80 4,00 3,75 3,70 4,15 3,65

2.249,57 2.116,34 2.227,73 1.505,08 1.193,31 1.008,31 593,86

30.279,03 30.551,49 30.826,40 31.103,79 31.383,67 31.666,07 31.951,01

32.528,60 32.667,83 33.054,13 32.608,87 32.576,98 32.674,38 32.544,87

8

32.238,54

3,95

322,78

32.238,54

32.561,32

250.000 · 3,55 · 91,25

= 2.249,57 €, etc.…. 36.000 32.528,60

247.000 =

32.667,83

+ 1 + r4

32.561,32

+ .............. + (1 + r4 )2

r4 = 1,261495403%

(1 + r4 )8

r = 5,1422694%.

2ª Opción Se recalcularían las cuotas al inicio del 5º trimestre, utilizando como Euribor de referencia el 2,95%. 365

2,95 + 0,75 = 3,70 %.

3,70 · 360

ˆ

3,75138

ˆ

= 0,9378472 %. 4

152

ˆ

= 3,75138 %.

~ 0

Q’

Q’

Q’

Q’

x

x

x

~ 1

127.239,29

ˆ

127.239,29 · 0,009378472

Q’ =

= 32.559,12 €. ˆ

1 – (1 + 0,009378472 )

n 5 6 7 8

Cj

-4

Q

127.239,29 95.873,48 64.213,51 32.256,61

Ij

32.559,12 32.559,12 32.559,12 32.559,12

Aj

1.193,31 899,15 602,22 302,51

31.365,81 31.659,97 31.956,90 32.256,61

127.239,29 · 3,70 · 91,25

= 1.193,31 €, etc…. 36.000

n

Cj

E + 0,75

Ij

Aj

Qj

5 6 7

127.239,29 95.873,48 64.213,51

3,70 4,15 3,65

1.193,31 1.008,50 594,09

31.365,81 31.659,97 31.956,90

32.559,12 32.668,47 32.550,99

8

32.256,61

3,95

322,96

32.256,61

32.579,57

32.528,60

247.000 =

32.667,83

+ 32.559,12 (1 + r4)5

r4 = 1,261482238%

(1 + r4 )4

32.550,99

+ (1 + r4 )6

+

(1 + r4 )3

32.668,47

+

32.608,87

+

(1 + r4 )2

1 + r4

+

33.054,13

+

32.579,57

+ (1 + r4 )7

(1 + r4 )8

r = 5,1422146%.

5.11.- Problema de comparación de ofertas para amueblar una casa: Víctor y Sonia están amueblando su nueva casa y han acudido a una gran tienda de muebles donde han visto un mueble de salón que les encanta. El vendedor les comenta las excelencias y calidad del mueble. Víctor se dirige hacia la etiqueta y al girarla ve el precio marcado, que asciende a 10.000 euros. El vendedor, al ver la cara de estupor del potencial comprador les explica que existen dos cómodas formas de pago. La modalidad “A” de pago al contado supone una gran ventaja ya que se beneficia de un descuento del 20%. Y la modalidad “B” de pago aplazado, que les permite financiar el mueble al 7% anual, en 36 cómodas mensualidades de importe 336,11 euros. Sonia pregunta al vendedor cómo ha calculado esta mensualidad, y éste le contesta que aplicando la antigua y famosa fórmula del “carrete” partido por 100. Sonia pide al vendedor que le explique en un papel el cálculo, y éste escribe lo siguiente:

153

C·r·t Intereses =

10.000 · 7 · 36 =

= 2.100 euros.

100

1.200

Capital + Intereses = 10.000 + 2.100 = 12.100 euros. 12.100 Mensualidad =

= 336,11 euros. 36

Se pide: a) Determinar el T.I.R. de la modalidad B de pago aplazado frente a la modalidad A de pago al contado. b) Comentar el método de la mensualidad aplicado por el vendedor y compararlo con un préstamo tipo francés. A) 8.000 contado. B) 7% anual 36 meses; 336,11 euros. a)

336,11

8.000 =

336,11

336,11

+ 1 + r12

+ ………….. + (1 + r12)2

(1 + r12)36

r12 = 0,02433204811 r = (1 + 0,02433204811)12 – 1 = 33,440956% b) No tiene en cuenta el efecto del descuento del 20%. Aplica intereses al mismo capital durante los 36 meses, a pesar de que se va reduciendo la deuda con el tiempo. Método francés: 7

365

= 0,5833% 12

0,5833% ·

= 0,591435185% mensual. 360

10.000 · 0,00591435185

Q =

= 309,22 euros. 1 – (1 + 0,00591435185)-36

Si hubiéramos tenido en cuenta el descuento: Q’ = 0,8 · 309,22 = 247,37 euros.

5.12.- Problema de cálculo del capital inicial de un préstamo amortizable por el sistema francés: Hace 6 años se contrató un préstamo de principal Co euros a tipo fijo (constante) del 9% nominal anual. El pago trimestral es constante de “Q” euros. El capital vivo al final del quinto año ascendía a 80.000 euros, y hoy es de 70.000 euros. Calcular Co.

154

Q Q Q Q ……………………………..………………………. Q Q Q Q Q x

0

x

x

x

x

x

x

1

x

x

x

2

x

x

3 1 – (1 + i4)-j

x

4

x

x

x

x

x

5

6

(1 + i4)j

Cj = Co – Q i4 0,09

j = 0,09 Ÿ i4 =

= 0,0225 4

1 – (1 +0,0225)-20

(1 + 0,0225)20 = 8.000.000

C5 = Co – Q 0,0225 1 – (1 +0,0225)-24

(1 + 0,0225)24 = 7.000.000

C6 = Co – Q 0,0225

Co – 5.126.531,774

Co – Q · 15,96371237 = 5.126.531,774 Co – Q · 18,38903624 = 4.103.726,792

Q= 15,96371237

Co –5.126.531,774

Co = 4.103.726,792 +

· 18,38903624

Ÿ

15,96371237 1.801.665,162

Ÿ Co =

= 11.858.731 0,151927309

5.13.- Problema de préstamo en el que se produce una renegociación de las condiciones en un momento intermedio: Sea un préstamo con las siguientes características: -

Principal: 100.000 euros. Duración: 15 años. Tipo de interés constante: 5,25% anual. Pago mensual constante de importe “Q” euros.

Obtener: a) El valor de “Q”. b) El capital vivo transcurridos 5 años. A los cinco años, y después de haber pagado la mensualidad que vence en ese momento, se renegocian las condiciones del préstamo decidiéndose lo siguiente: -

Efectuar un pago adicional en ese momento de importe 10.000 euros. Reducir el plazo del préstamo en 3 años. Abonar términos semestrales. Amortizar el préstamo por el método de cuotas constantes de amortización del principal “A” constantes. El tipo de interés se incrementa en un punto.

155

Obtener: c) El valor de “A”. d) Calcular la cuota de intereses del último semestre. x

x

x

x

x

0 100.000

x

x

x

x

5

x

x

x

10

15

Q Q …………………………….. Q x

x

x

x

x

x

x

x

r = 5,25% efectivo (TAE). r12 = ( 1 + 0,0525 ) 1/12 – 1 = 0,004273128 a) 15 · 12 = 180 pagos. 100.000 · 0,004273128

Q=

= 797,46 euros. 1 – (1 + 0,004273128)-180 1 – (1 + 0,004273128)-120

b) C5 = 797,46 ·

= 74.744,78 euros. 0,004273128

c)

74.744,78 - 10.000 64.744,78 euros x

5

x

6

x

7

x

8

x

9

x

10

x

11

12

r’ = 6,25% efectivo (TAE). 64.744,78

A=

= 4.624,63 euros. 14

d) r2’ = (1 + 0,0625)1/2 – 1 = 0,030776406 4.624,63 · 0,030776406 = 142,33 euros.

5.14.- Problema de compra de un coche y su financiación: Una Caja de Ahorros nos ofrece financiar la compra de un coche a tres años, con las siguientes condiciones: -

Pago de una comisión de apertura del 1% en el momento de la compra. Tres meses sin pagar nada. A los tres meses justo de la compra, se desembolsa el 15% del importe financiado. Dos meses después, y hasta el vencimiento de la operación, se satisface una cuota fija mensual del 5% del importe financiado.

156

Un Banco competidor de la Caja nos ofrece un préstamo personal al mismo plazo al 6% de interés nominal anual, con una comisión de apertura del 0,75% del importe financiado, y pago trimestral fijo por el Sistema Francés. a) ¿Cuáles serían las cuotas a satisfacer en cada una de las ofertas? b) ¿Cuál de las dos ofertas deberíamos aceptar, si usamos como criterio de valoración el T.A.E. anual de cada una de ellas? a)

1 0,75

15

5 5 5 5 5 5 5 5 …………………………………….…………………………….…..5

3

56

x

x

12 x

365

6 ·

24

x

x

35 36

x

x

x

x

1

·

= 1,520833333%

360

4 100 · 0,015208333

Q=

= 9,179901509 1 – (1 + 0,015208333)-12

b)

15

5

100 = 1 +

5

+ (1 + r12)3

+ (1 + r12)5

5

+ ………….. + (1 + r12)6

(1 + r12)35

r12 = 0,03234647161 r = (1 + 0,03234647161)12 – 1 = 46,52297% 9,179901509

100 = 0,75 +

9,179901509

+ 1 + r4

9,179901509

+ …….. + (1 + r4)2

(1 + r4)12

r4 = 1,641967037% r = (1 + 0,01641967037)4 – 1 = 6,7314093% 5.15.- Problema de la obtención del número de visitantes necesarios para rentabilizarla construcción del Parque Warner. La compañía Warner está revisando el Plan de Negocio con el que planificó el Parque Temático de San Martín de la Vega. Después de tres meses abierto, y a la luz de las primeras cifras de visitantes, observa una desviación significativa en resultados, por lo que es necesario cambiar algunas magnitudes del citado Plan. La Warner había solicitado hace treinta meses un préstamo de 400 millones de euros al 6% de tipo efectivo anual a un sindicato de bancos, con el compromiso de que no desembolsaría cantidad alguna hasta pasados doce meses de la apertura del Parque, momento en el cual, la Warner pagaría todos los intereses acumulados, y comenzaría a pagar las cuotas del préstamo por el sistema de cuota de amortización del principal constante, durante diez años con pagos semestrales postpagables. Si el objetivo es endeudamiento cero en el momento en el que finalice el pago del préstamo, y los costes de explotación se estiman en media en 20 millones de euros anuales, ¿cuántos visitantes tendrá que tener el parque en media cada año, para

157

conseguir amortizar el endeudamiento, si el gasto medio de cada visitante es de 50 €?. Se asume que la Warner dispone de una cuenta de crédito al mismo tipo de interés activo y pasivo para cubrir los déficits y superávits de tesorería que puede tener a lo largo de la vida del préstamo. 20 + ints. ~

~

~

1 año

1 año

400

~

~x x x x x x x x x x~

3 mes 3 mes

9 meses

apertura hoy

20 + 20 + ... ints. ints.

~

~

~

…………………

6 meses

pago ints. préstamo 1

1 + 0,06 =

(1 + i4 )4

i4 = 1,064 - 1 = 1,4673846%.

I = 400 [ ( 1 + 0,06 )3 (1 + 0,014673846) - 1] = 83.397.114 €. que son los intereses acumulados a pagar un año después de la apertura. 1

1 + 0,06 =

(1 + i2 )2

i2 = 1,062 - 1 = 2,9563014%.

Con este tipo de interés calculamos los intereses semestrales: I1 = 400.000.000 · 0,029563014 = 11.825.205,60 €. I2 = 380.000.000 · 0,029563014 = 11.233.945,32 €. I3 = 360.000.000 · 0,029563014 = 10.642.685,04 €. ................................................................... I19 = 40.000.000 · 0,029563014 = 1.182.520,56 €. I20 = 20.000.000 · 0,029563014 = 591.260,28 €. 20 20 ........................................................................... I1 I2 I3 I4 I5 ............................................................... I19 50N 50N 50N ....................................................................... 83,397114 20 20 20 20 20 ............................................................... 20 ~

~

-1

0 apertura

x

~

1

x

~

x

2

………………………………………………

x

(1 + 0,06)11 - 1

20 I20 50N 20 ~

10

(1 + 0,06 )10

= 83.397.114 (1 + 0,06)10 + 20.000.000

50 N 0,06

-1

+ 0,06

(1 + 0,029563014 )20

-1

+ [ 11.825.205,6 (1 + 0,029563014)19 +

+ 20.000.000 0,029563014

+ 11.233.945,32 (1 + 0,029563014)18 + …….. + 1.182.520,56 (1 + 0,029563014) + + 591.260,28 ] de donde:

N = 1.508.594 visitantes.

5.16.- Problema de la financiación de un LBO. Queremos hacer una operación de compra (LBO) de un banco de tamaño medio, cuyo precio hemos pactado en 100 millones de euros. La operación se estructura sobre un préstamo a cinco años por el sistema francés con pagos anuales coincidentes con el

158

reparto de dividendos, teniendo en cuenta que los dos primeros años no habrá amortización de principal. El grupo de inversores que financia la operación ha aceptado conceder el préstamo al 5% de interés fijo. Teniendo en cuenta que los inversores tienen que pagar un 35% anual de impuestos sobre los dividendos que perciban, y que los inversores quieren retirar un millón de euros anuales como comisión de gestión, ¿cuál debería de ser el beneficio anual esperado del Banco, para poder cumplir con las obligaciones del préstamo, en el supuesto de que no se destinara nada del resultado a reservas, y que los posibles excedentes temporales de liquidez pudieran ser invertidos durante la vida del préstamo al 3% efectivo anual? 365

5% ·

= 5,0694444%. 360

100 · 0,050694444

Q =

= 36,76864929 mill. €. 1 – (1 + 0,050694444)-3 1 5,0694444

1 5,0694444

1 36,76865

1 36,76865

1 36,76865

~

~

~

~

~

~

0

1

2

3

4

5

I: Ingreso Bruto

0,65 I: Ingreso Neto.

0,65 I

0,65 I

0,65 I

0,65 I

0,65 I

~

~

~

~

~

~

0

1

2

3

4

5

1 - (1 + 0,03)-5

0,65 I

1 - (1 + 0,03)-2

= 6,0694444 0,03

1 - (1 + 0,03)-3

+ 36,76865 (1 + 0,03) 0,03

-2

0,03

de donde I = 36,8339 mill. € de beneficio anual esperado.

5.17.- Problema de elección entre tomar dinero a préstamo o liquidar una cartera. Queremos realizar una inversión, y nos ofrecen un préstamo a tres años con vencimiento único y con pagos semestrales a un tipo de interés fijo del 5% nominal anual. En estos momentos, tenemos en nuestra cartera un bono que vence dentro de tres años, y que paga un cupón anual del 4%, amortizándose con una prima del 3%. ¿Qué nos interesa para acometer la inversión, vender el bono o pedir el préstamo? 365

5% ·

5,0694444

= 5,0694444% ; 360

~

0

= 2,53472222%. 2

2,53472222 2,5347222 ……………………………………….. 102,5347222 x ~ x ~ x ~ 1 2 3

r2 = 2,53472222%

159

r = (1 + 0,0253472222)2 – 1 = 5,1336926% 4

4

107

~

~

~

~

0 100

1

2

3

4

4

100 =

+

107

+

1+r

(1 + r)2

(1 + r )3

r = 4,952074319% Vender el bono, y no tomar el préstamo, ya que si no lo hacemos, estaríamos recibiendo un 4,95% y pagando un 5,13%, teniendo como coste adicional el diferencial de tipo de interés.

5.18.- Problema de amortización anticipada de un préstamo a tipo variable, mediante la constitución de capital. Una empresa pide un préstamo de un millón de euros a un banco, a Euribor semestral más 50 puntos básicos, y con un 0,35% de comisión de apertura, con vencimiento a cuatro años, amortizable por el sistema francés, manteniendo las cuotas de amortización del principal que se obtienen en el primer cuadro de amortización, y comisión de cancelación anticipada del 4% del capital vivo en el momento de la cancelación. Simultáneamente, y con el cash-flow que genera anualmente la empresa, decide constituir un capital con el objetivo de poder cancelar anticipadamente el préstamo. Si desea cancelar el préstamo con un año y medio de anticipación a su vencimiento, y una entidad financiera está dispuesta a retribuir los fondos aportados a un tipo de interés trimestral del 0,50%, ¿qué cantidad deberá aportar la empresa al inicio de cada trimestre, simultáneamente a la concesión del préstamo, para conseguir su objetivo, si la evolución del Euribor semestral durante los cinco primeros semestres es 2,5%; 2,75%; 2,85%; 3,10%; 2,90%? Indicar asimismo, cuál es el coste de financiación de la empresa durante el período de vida del préstamo. E+50 …………………………………………………………. E+50

~

x

~

0 1.000.000 - 3.500 996.500

x

~

1

x

2

~

3

x

~

4 365

3% ·

= 3,0416666% 360

Q Q ………………………….. Q ~

0

x

x

x

~

1

x

x

x

~

2

3,0416666

x ~

= 1,5208333%.

2,5 2

cancelación préstamo

160

1.000.000 · 0,015208333

Q =

= 133.705,30 €. 1 – (1 + 0,015208333)-8

n

Cj

1 2 3 4 5 6

Q

1.000.000 881.503,03 761.203,92 639.075,26 515.089,23 389.217,58

Ij

Aj

133.705,30 15.208,33 133.705,30 13.406,19 133.705,30 11.576,64 133.705,30 9.719,27 133.705,30 7.833,65

118.496,97 120.299,11 122.128,66 123.986,03 125.871,65

Capital Vivo: 389.217,58 € 4% com. canc.: 15.568,70 € Total ……….. 404.786,28 €. (1 + 0,005)10 - 1

Q’·

= 404.786,28 €.

Q’ = 39.576,19 €.

0,005

n

Cj

1 2 3 4 5

1.000.000 881.503,03 761.203,92 639.075,26 515.089,23 133.705,30

996.500 =

E + 50

Ij

3 3,25 3,35 3,60 3,40

15.208,33 14.523,37 12.927,25 11.663,12 8.878,14

134.822,48

+ 1 + r2

135.055,91

+ (1 + r2)2

Aj

Qj

118.496,97 120.299,11 122.128,66 123.986,03 125.871,65 135.649,15

+ ( 1 + r 2) 3

133.705,30 134.822,48 135.055,91 135.649,15 134.749,79

134.749,79 + 404.786,28

+ ( 1 + r 2) 4

(1 + r2)5

r2 = 2,149607% r = (1 + 0,02149607)2 – 1 = 4,3454227%

5.19.- Problema de cálculo del capital vivo de un préstamo en el supuesto de cancelación anticipada. Un empresario acaba de contratar una financiación a tres años, de 10 millones de euros, con una comisión de apertura del 0,5%, pactada con amortización por el sistema francés. a) Si el tipo es del 4% nominal anual, con pago semestral, calcular el capital vivo finalizado el primer año, y el T.A.E. de la operación. b) Si el tipo de interés pactado en vez de ser fijo, fuera el Euribor más 50 puntos básicos, calcular el capital vivo finalizado el primer año, sabiendo que los tipos de los dos primeros semestres han sido del 3,5% y del 3,75%, y que como amortización se ha mantenido la calculada con el Euribor del primer semestre.

161

En este caso, ¿cuál sería el pago de cancelar el préstamo, con una comisión de cancelación anticipada del 0,35%? 365

4% ·

4,0555555

= 4,0555555% ;

= 2,02777777%.

360

2

10.000.000 · 0,02027777

Q =

= 1.786.931,96 €. 1 – (1 + 0,02027777)-6 1.786.931,96 ……………………………….……………. 1.786.931,96

~

x

~

0 10.000.000 - 50.000 9.950.000

x

1

~

1.786.931,96

9.950.000 =

x

~

2

3

1.786.931,96

+ …………………. + 1 + r2

(1 + r2)6

r2 = 2,176581468% r = (1 + 0,02176581468)2 – 1 = 4,4005381% n 1 2 3

Cj

Q

Ij

10.000.000 1.786.931,96 202.777,78 8.415.845,82 1.786.931,96 170.654,64 6.799.568,50

Aj 1.584.154,18 1.616.277,32

3,5 + 0,5 = 4% 365

4% ·

4,0555555

= 4,0555555% ; 360

= 2,02777777%. 2

El capital vivo seguiría siendo 6.799.568,50 €, ya que se han mantenido los cálculos al 4%. 6.799.568,50 (1 + 0,0035) = 6.823.366,99 €.

5.20.- Problema de cálculo del tipo de interés nominal al que habría que contratar un préstamo para conseguir un determinado coste de financiación predeterminado. Una caja de ahorros nos ofrece financiar la compra de un coche a cuatro años, con las siguientes condiciones: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Entrada del 5% del valor del coche. Tres meses sin pagar nada. Un pago único del 10% del valor del coche a los tres meses de la compra. Otros tres meses sin pagar nada. Un pago único del 15% del valor del coche a los seis meses de la compra.

162

ƒ

Un mes después, y hasta el vencimiento de la operación se satisface una cuota fija mensual del 1,80% del importe financiado.

Un banco competidor de la caja, nos ofrece un préstamo personal al mismo plazo con pago trimestral fijo por el Sistema Francés. El banco no quiere perder la operación, por lo que está dispuesto a mejorar el coste de financiación de la caja en 50 puntos básicos a nuestro favor. Si la comisión de apertura del préstamo ha de ser del 0,25% “flat” del importe financiado. a) ¿Cuál sería el tipo de interés nominal que nos tendría que ofrecer el banco para llevarse la operación? b) ¿Cuál sería el coste de financiación en T.A.E. anual de esta financiación? 5

~~

10 ~

15 1,8 1,8 …… …………………………………………………………………………………. 1,8

x

~ ~

x

~

~

x

~ ~

0 100 Q ~

~

~

~

1

2

3

~

4

Q …………………………………………………………..……………….. Q

x

x

x

~

0 100 - 0,25 99,75

x

x

x

1

10

~

~

~

2

3

4

15

100 = 5 +

1,80

+ (1 + r12)3

+ (1 + r12)6

1,80

+ ………….. + (1 + r12)7

(1 + r12)48

r12 = 0,265701692% r = (1 + 0,00265701692)12 – 1 = 3,2354298% b) 3,2354298 – 0,50 = 2,7354298% 1 + 0,027354298 = (1 + r4)4

r4 = 0,6769524%.

Q

Q

99,75 =

Q

+ (1 + 0,006769524)

+ ……….. + (1 + 0,006769524)2

(1 + 0,006769524)16

99,75 · 0,006769524

Q =

= 6,599156362 1 – (1 + 0,006769524)-16 6,599156362

100 =

6,599156362

+ (1 + r4)

6,599156362

+ ………….. + (1 + r4)2

(1 + r4)16

r4 = 0,6468119% a) j = 4 · r4 = 4 · 0,6468119 = 2,5872476%. El préstamo se otorgaría al 2,5872476% nominal, pagadero por trimestres, con una comisión de apertura del 0,25% “flat”.

163

5.21.- Problema de cálculo del coste de financiación de una empresa cuando se cambia el sistema de amortización de un préstamo antes de su vencimiento. Una empresa solicita un préstamo a un banco a dos años, con las siguientes condiciones: ƒ ƒ

Pago de una comisión de apertura del 0,25% en el momento de la compra. Seis meses sin pagar principal de la deuda, y pago mensual de intereses al 4% efectivo anual, y al finalizar este plazo, desembolso del 20% del principal en la última cuota de intereses. A partir del inicio del segundo semestre, y para el 80% restante de la deuda, pago trimestral por el sistema francés a un tipo de interés fijo del 4,5% nominal anual.

ƒ

Al finalizar el primer año, y de mutuo acuerdo, el banco y la empresa deciden cambiar el sistema de amortización francés, por el de cuota fija trimestral de amortización de principal para el último año. El tipo de interés que se fija es el Euribor a tres meses, más 60 puntos básicos. Si el Euribor evoluciona en el último año de la siguiente forma: 2,25% - 3% - 4% 3,75%, ¿cuál ha sido el coste de financiación de la empresa? 20 0,327374........................ 0,327374

~

x

x

~

x

x

~

13,87

13,87

x

13,87

~

0 100 - 0,25 99,75

13,87

x

~

13,87

13,87

x

~

1

2

1

(1 + i12 )12

1 + 0,04 = 4,5

i12 = 1,0412 - 1 = 0,327374%. 365

= 1,125% ;

1,125 ·

4

= 1,140625%. 360

80 · 0,01140625

Q =

= 13,8706555. 1 – (1 + 0,01140625)-6 1 - (1 + 0,01140625)-4

C1 = 13,8706555

= 53,93588494 0,01140625

53,93588494

= 13,48397124 4

n

Cj

E3 + 0,60

Ij

1 2 3 4

53,93588494 40,45191370 26,96794246 13,48397124

2,85 3,60 4,60 4,35

0,3896 0,3691 0,3144 0,1487

164

A 13,48397124 13,48397124 13,48397124 13,48397124

Qj 13,8736 13,8531 13,7984 13,6327

0,327374....................... 20,327374

~

x

x

~

x

x

13,8707

~

13,8707

13,8736

13,8531

13,7984

~

x

~

x

x

0 99,75

13,6327 ~

1 0,3274

99,75 =

0,3274

+ ……. +

2

20,3274

+

1 + r12

(1 + r12)5 13,8531

(1 + r12)6

13,7984

+

13,8707

+

13,8707

+ (1 + r12)9

13,8736

+ (1 + r12)12

+ (1 + r12)15

13,6327

+

+

(1 + r12)18

(1 + r12)21

(1 + r12)24

r12 = 0,35360354% r = (1 + 0,0035360354)12 – 1 = 4,3267459%

5.22.- Problema de elección de hipoteca para financiar la compra de una vivienda. Una pareja desea comprarse una vivienda, y la inmobiliaria le da dos opciones: x

Dar una señal del 1%, pagar una letra por el 4% a los ocho meses de dar la señal, pagar otra letra por el 10% a la entrega de llaves (dos años después de dar la señal), y luego amortizar el resto con una hipoteca a quince años con pagos mensuales por el sistema francés al 3,5% de interés nominal anual.

x

Dar una señal del 3%, pagar una letra por el 7% a los doce meses de dar la señal, pagar otra letra por el 15% a la entrega de llaves (dos años después de dar la señal), y luego amortizar el resto con una hipoteca a doce años con pagos trimestrales por el sistema americano al 3,75% de interés nominal anual.

Si el tipo de interés efectivo anual del mercado hipotecario es del 3%, y se considera el adecuado para la valoración de la operación, ¿cuál de las dos opciones sería más aconsejable para esta pareja? 1

4

......................... ....................................................................... 0,609

10 0,609 0,609

~

x x

~

~ x

0

8/12

1

2

x

x

~

~

3

4 …………………………………….… 17

~

1

(1 + i12 )12

1 + 0,03 =

i12 = 1,0312 - 1 = 0,246627%.

365

3,5 ·

3,54861

= 3,54861% ;

= 0,295717593%

360

12

85 · 0,00295717593

Q =

= 0,6096812. 1 – (1 + 0,00295717593)-180

4

V0 = 1 +

+ (1 + 0,00246627)8

1 – (1 + 0,00246627)-180

10

+ 0,6096812 (1 + 0,03) (1 + 0,03)2

-2

= 0,00246627

= 98,3145

165

3

7

15 0,713 0,713

~

~

~ x

0

1

2

x

75 ......................... ............................................................... 0,713 0,713 x

~

~

3

x ~

4 …………..……………..………………….… 14 1

(1 + i4 )4

1 + 0,03 =

i4 = 1,034 - 1 = 0,7417072%.

365

3,75 ·

3,802083

= 3,802083% ;

= 0,950520833%

360

4

75 · 0,950520833

I4 =

= 0,71289. 100

7

1 – (1 + 0,007417072)-47

15

V0 = 3 +

+ 0,71289 (1 + 0,03)-2

+ 1 + 0,03

75,71289

+

(1 + 0,03)2

=

(1 + 0,03)14

0,007417072

= 100,573088 Elegiría la primera opción por ser más barata. 5.23.- Problema de decisión sobre la conveniencia o no de cancelar un préstamo y solicitar uno nuevo a otra entidad bancaria. Una empresa solicita un préstamo de 1 millón de euros a tres años a Caixanova. Analizada su propuesta, la entidad se lo concede en los siguientes términos: -

Tipo de interés: 5% nominal pagadero por semestres. Comisión de apertura: 0,40%. Amortización: lineal, cuota de amortización de principal constante semestral. Comisión de cancelación anticipada: 0,75% sobre el capital vivo pendiente de amortizar.

a) Establecer el cuadro de amortización del préstamo. b) ¿Cuál sería el coste de financiación de la empresa con este préstamo? Pasados dieciocho meses, justo después de haber satisfecho la tercera cuota del préstamo, el Banco Pastor hace una oferta a la empresa para financiarla los dieciocho meses que faltan hasta el vencimiento, con un préstamo amortizable por trimestres por el sistema francés, al 4% nominal, y con comisión de apertura del 0,25%. c) ¿Le interesará a la empresa pedir el nuevo préstamo y cancelar el anterior? d) ¿En el supuesto de que lo hubiera pedido, cuál hubiera sido el coste final de financiación para la empresa, durante los tres años, en términos de TAE? ~

x

~

0 1.000.000 - 4.000 996.000

x

~

1

2

365

5·

5,0694

= 5,0694%.

;

360

= 2,53472% 2

166

x

~

3

a)

n

Cj

Ij

A

Qj

1 2 3 4 5 6

1.000.000 833.333,34 666.666,67 500.000 333.333,34 166.666,67

25.347,22 21.122,69 16.898,15 12.673,61 8.449,07 4.224,54

166.666,66 166.666,67 166.666,67 166.666,66 166.666,67 166.666,67

192.013,88 187.789,36 183.564,82 179.340,27 175.115,74 170.891,21

b) 192.013,88

996.000 =

187.789,36

+

183.564,82

+ (1 + r2)2

1 + r2

179.340,27

+ ( 1 + r 2)

175.115,74

+

3

(1 + r2)

4

170.891,21

+ ( 1 + r 2)

5

( 1 + r 2)

6

r2 = 2,657193567% r = (1 + 0,02657193567)2 – 1 = 5,384994% c) ~

x

~

0

x

~

1

x

~

2

3 500.000 · 1,0075

Cj = 500.000

500.000 (1 + 0,0075) = X · (1 – 0,0025)

X=

= 0,9975

= 505.012,53 € 365

4·

4,05555

= 4,05555%.

;

= 1,013888%

360

4

505.012,53 · 0,01013888

Q =

= 87.180,61 €. 1 – (1 + 0,01013888)-6

Si no cambio: 179.340,27

500.000 =

175.115,74

+ (1 + r2)2

1 + r2

170.891,21

+ (1 + r2)3

r2 = 2,534721% r = (1 + 0,02534721)2 – 1 = 5,1336922% Si cambio: 87.180,61

500.000 =

87.180,61

+ ..................... + (1 + r4)6

1 + r4

r4 = 1,304968358% r = (1 + 0,01304968358)4 – 1 = 5,322942% No le interesa la oferta de Banco Pastor.

167

d) Si la hubiera aceptado: 192.013,88

996.000 =

187.789,36

+

183.564,82

+

(1 + r4)2

(1 + r4)4

87.180,61

+

87.180,61

+ .............. +

(1 + r4)6

(1 + r4)7

(1 + r4)12

r4 = 1,333167102% r = (1 + 0,01333167102)4 – 1 = 5,4402594%

5.24.- Problema de cálculo del dividendo anual que debe esperar una empresa de capital-riesgo para poder cubrir el préstamo bancario que ha utilizado para tomar el control de la empresa. Para adquirir una empresa cotizada en Bolsa, un fondo de capital riesgo solicita un préstamo de 150 millones de euros a diez años, amortizable por el sistema francés con pagos anuales coincidentes con el reparto de dividendos, teniendo en cuenta que los dos primeros años no habrá amortización de principal. El grupo de inversores que financia la operación ha aceptado conceder el préstamo al 3% de interés fijo en los cinco primeros años y al 4% de interés fijo en los últimos cinco años. Si la empresa desea obtener 50 millones de euros de beneficio en esta operación en términos de valor final a los diez años, y que la empresa cotizada podrá pagar dividendos en los últimos cuatro años, ¿cuál sería el cash-flow anual que tendría que tener la empresa para poder pagar las cuotas del préstamo y un dividendo anual suficiente para que la entidad de capital riesgo cumpliera con su objetivo de beneficio? (considerar que no se destinara nada del resultado a reservas, y que el tipo de interés de valoración en dichos cuatro años será del 2,5% efectivo anual). Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0 1 150.000.000 €

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4.562.500 4.562.500

~

3%

4%

365

3·

Q

365

= 3,041666%; 4 · 360

= 4,05555%. 360

150.000.000 · 0,03041666 = 4.562.500 €. 1 - (1 + 0,03041666 )-3

150.000.000 = Q

1 - (1 + 0,0405555 )-5

+ (1 + 0,03041666 )

-3

0,03041666

0,0405555

Q = 21.773.488,55 €. D 21.773.488,55

D 21.773.488,55

D 21.773.488,55

D 21.773.488,55

~

~

~

~

~

6

7

8

9

10

168

(1 + 0,025)4 - 1

D·

= 50.000.000

D = 12.040.893,84 €.

0,025

Cash-flow anual = 21.773.488,55 + 12.040.893,84 = 33.814.382,39 €. 5.25.- Problema del efecto que tiene en la cuota de un préstamo la utilización del obsequio de una cristalería como herramienta de marketing para colocar el banco el préstamo hipotecario a sus clientes. Un banco decide dar un incentivo para la captación de préstamos hipotecarios entre sus clientes, y evitar que sean cancelados anticipadamente mediante subrogación de otros bancos de la competencia que ofrezcan en el futuro mejores condiciones a sus clientes. Para ello, acuerda dar al final de cada año de los diez que durará el préstamo hipotecario ofrecido, 6 piezas de una cristalería de Bohemia de alta calidad a cada uno de sus prestatarios, de forma que para tener la cristalería completa habría que permanecer los diez años como titular del préstamo. Cada pieza de la cristalería vale 15 €, y el proveedor le garantiza ese precio de coste durante los diez años. Si el préstamo medio es de importe 100.000 €, amortizable por el sistema francés con cuota mensual, a tipo fijo del 4,5% nominal anual pagadero por meses, ¿cuál sería el incremento que tendríamos que aplicar a la cuota del préstamo, para que al menos el Banco no perdiera dinero al hacer esta oferta a sus clientes? 90

90 ……………………………………………………………………… 90

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

QQ ……………………………………………………………………………..……….. Q ~xx

~

~

0

1

2

~

3

~

~

~

~

~

~

~

4

5

6

7

8

9

10

365

4,5 ·

4,5625

= 4,5625%;

= 0,3802083%.

360

12

100.000 · 0,003802083

Q =

= 1.039,40 €. (cuota base) 1 – (1 + 0,003802083)-120 1 - (1 + 0,045625 )-10

V0 = 90 ·

= 709,96 € 0,045625

709,96 · 0,003802083

Q’ =

= 7,38 €. (cuota adicional) 1 – (1 + 0,003802083)-120

1.039,40 + 7,38 = 1.046,78 €. (cuota final) 5.26.- Problema de financiación de la rehabilitación de un edificio: Un propietario que tiene un edificio para rehabilitar, recibe la oferta de una empresa constructora que le asegura que la obra se finalizará en tres años, con la condición del

169

pago al contado del 20% del presupuesto a la firma del contrato. El propietario cubre esta cantidad con un plan de ahorro que tiene desde hace cinco años, con unos ingresos prepagables de 1.000 euros cada dos meses al 6% T.A.E. Al finalizar la obra, y para pagar la cuantía pendiente, decide solicitar un préstamo a un banco al 8% nominal anual, que se amortizará en siete años mediante pagos trimestrales constantes, siendo el primer pago a los tres meses de finalizar la obra. Hallar el valor del presupuesto total de la obra, la cantidad abonada al principio y las cuotas del préstamo. 20%

QQQQ ……….

~

~

~

~x x x~

~

~

~

0

1

2

3

5

6

7

~

~

8

~

9

……….

1000 1000

~ x

4

x

~ x

10 V5

x ~

~

~

~

~

1

2

3

4

5

0

1

1 + 0,06 =

(1 + i6 )6

i6 = 1,066 - 1 = 0,9758794%.

(1 + 0,009758794 )30 - 1

V5 = 1.000 · (1 + 0,009758794)

= 34.996,77 € < > 20% obra 0,009758794

pagado al principio

34.996,77 · 5 = 174.983,84 € < > presupuesto total de la obra. 174.983,84 – 34.996,77 = 139.987,07 € < > importe del préstamo. 365

j = 8%

i4 = 2% ; 2 ·

= 2,027777777% 360

139.987,07 · 0,02027777

Q =

= 6.601,64 €. 1 – (1 + 0,02027777)-28

5.27.- Problema de amortización anticipada de una hipoteca mediante la inversión en un plan de ahorro de prima periódica: Invertimos 10.000 € semestrales durante cinco años al 4% de tipo efectivo anual, para generar un capital, con el que poder pagar la cuota mensual que me queda de una hipoteca en los ocho años siguientes a la constitución del capital. Si la hipoteca en esa fecha tiene una deuda viva de 104.000 €, y se amortiza con pagos anuales por el sistema de cuota fija de amortización del principal (sistema italiano) a un tipo de interés efectivo anual del 5%, ¿qué cantidad nos sobraría del capital acumulado, una vez descontado lo que destinemos a cubrir los futuros pagos de la hipoteca, si el saldo de nuestro capital acumulado se sigue invirtiendo al 4% efectivo anual? 10.000

~

0

10.000

x

…………………………………………………………………… 10.000 ~

1

x

~

x

2

~

3

170

x

~

4

x

V5 ~

5

1

(1 + i2 )2

1 + 0,04 =

i2 = 1,042 - 1 = 1,9803903%. (1 + 0,019803903 )10 - 1

V5 = 10.000 · (1 + 0,019803903)

= 111.565,62 € 0,019803903

104.000

Aj =

= 13.000 ; Qj = 13.000 + Cj · 0,05 8

13.000 + 104.000 · 0,05

13.000

…………………………………………………………………+ 13.000 · 0,05

~

~

~

~

~

~

~

~

~

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1- (1 + 0,04 )-8

V0 = 13.000 ·

+ 0,04

104.000

+ 0,05

91.000

+ 1,042

1,04

78.000

+

65.000

+ 1,043

52.000

+ 1,044

39.000

+ 1,045

26.000

+ 1,046

13.000

+ 1,047

= 1,048

= 87.525,68 + 0,05 · 411.857,9157 = 108.118,58 Queda un sobrante de 111.565,62 – 108.118,58 = 3.447,04 €

5.27.- Problema de evaluación de la conveniencia o no de cambiar de banco en una empresa que tiene un préstamo: Una empresa solicita un préstamo de 5 millones de euros a tres años al Banco Sabadell. Analizada su propuesta, la entidad se lo concede en los siguientes términos: -

Tipo de interés: Euribor + 40 p.b. Pago de interés: semestral. Comisión de apertura: 0,30%. Comisión de estudio: 0,20%. Amortización lineal, cuota de amortización constante de principal. Comisión de cancelación anticipada: 1% sobre el capital vivo en el momento de la cancelación.

El Euribor semestral del primer período es del 4,05%. Justo después de satisfacer la primera cuota, la empresa considera que hay posibilidad de que se produzca un incremento en los tipos de interés en los próximos meses. Por ello, pide cotización a Bankinter para pasar su coste de financiación de tipo variable a tipo fijo en los cinco semestres que restan para finalizar el préstamo. Este banco le cotiza el 4,5% fijo (base A/360) amortizable por el sistema francés, operación que la empresa acepta. a) Cuantificar los distintos flujos financieros que se producirán en la empresa con motivo de las operaciones financieras anteriores. b) Si el Euribor evoluciona de la forma siguiente en los cinco últimos semestres: 3,40%, 5%, 4,75%, 4,5%, 4,25%, ¿habrá sido positivo el cambio de financiación a tipo fijo? Cuantificarlo. c) ¿Cuál ha sido el coste final de financiación para la empresa, en términos de T.A.E.?

171

a)

112.795,14 833.333,33

~

E + 0,40 833.333,3

x

0 5.000.000 - 25.000 4.975.000

E + 0,40 833.333,34

~

E + 0,40 833.333,33

x

E + 0,40 833.333,33

~

1

E + 0,40 833.333,34

x

~

2

3

5.000.000 · 4,45 · 182,5

= 112.795,14 36.000 365

4,5625

4,5 ·

= 4,5625%.

;

= 2,28125%

360

2

4.166.666,67 · 0,0228125

Q =

= 891.222 €. 1 – (1 + 0,0228125)-5

1% sobre (5.000.000 – 833.333,33) = 41.666,67 € 41.666,67 946.128,47 ~

891.222

x

891.222

~

0 4.975.000

891.222

x

891.222

~

1

891.222

x

~

2

3

b) n

Cj

E2

E2 + 0,40

Ij

A

Qj

Q

Diferencia

2 3 4 5 6

4.166.666,67 3.333.333,34 2.500.000 1.666.666,67 833.333,34

3,40 5 4,75 4,5 4,25

3,80 5,40 5,15 4,90 4,65

80.266,20 91.250 65.269,10 41.400,46 19.644,10

833.333,33 833.333,34 833.333,33 833.333,33 833.333,34

913.599,53 924.583,34 898.602,43 874.723,79 852.977,44

891.222 891.222 891.222 891.222 891.222

22.377,53 33.361,34 7.380,43 -16.488,21 -38.244,56

- 41.666,67 ~

22.377,53

x

33.361,34

~

0

7.380,43

x

1 3,40

5

4,25

1+

+ 33.361,34 · 36.000

4,5 · 182,5

+ 7.380,43 1 + 36.000

4,5 5 · 182,5

+ 22.377,53

4,75 · 182,5

~

3

4,75

36.000

· 1+

-38.244,56

x

2

3,4 · 182,5

-41.666,67 1 +

-16.488,21

~

4,25 · 182,5

- 16.488,21 1 + 36.000

- 38.244,56 = 36.000

= -33.630,28 Ha sido negativo para la empresa, suponiendo un incremento de costes de 33.630,28 € en valor final.

172

c) 1.058.923,61 ~

891.222

x

891.222

891.222

x

~

~

0 4.975.000

1 1.058.923,61

4.975.000 =

x

2

891.222

+ .......... + (1 + r2)

891.222 ~

3

891.222

+ 1 + r2

891.222

2

r2 = 3,097627485% (1 + r2)

6

r = (1 + 0,03097627485)4 – 1 = 6,291208% 5.28.- Cuestión relativa al pago a realizar en un período en un préstamo amortizable por el sistema italiano: En un préstamo a cuatro años amortizable trimestralmente por el sistema de cuota de amortización de principal constante, y con pago trimestral de intereses al 6% nominal anual, ¿cuál es la cuota que pagamos en el noveno trimestre? ~ x x

x

~ x x

0 100

1

x ~ x x

2 C2

x ~ x

x

3

x ~

4

Q

C2 = 50 ; i4 = 1,5% 100

Q=

50 · 1,5 · 365

+ 16

= 6,25 + 0,760416666 = 7,014166666 36.000

5.29.- Cuestión relativa al cálculo del importe inicial de un préstamo concedido por un banco: La deuda actual que tenemos con un banco es de 25.000 €, en un préstamo concedido por el Sistema Francés al 5% de interés nominal anual pagadero por trimestres, y del que faltan siete cuotas por pagar. ¿Cuál es el importe del préstamo solicitado en origen al banco hace diez años? 365

5·

5,0694444

= 5,0694444%.

;

360

= 1,267361111% 4

25.000 · 0,0126736111

Q =

= 3.754,76 €. 1 – (1 + 0,0126736111)-7

10 · 4 +7 = 47 trimestres de vigencia. 1 - (1 + 0,0126736111 )-47

C0 = 3.754,76 ·

= 132.352,15 € 0,0126736111

173

5.30.- Problema relativo a la conveniencia o no de aceptar la oferta de un banco para subrogarse en un préstamo a tipo variable. Una empresa solicitó un préstamo al Banco Sabadell hace varios años, al 5% nominal anual, del que paga una cuota de 150.000 € cada semestre, que vence dentro de un año, y que tiene una comisión de cancelación anticipada del 1% sobre el saldo vivo, caso de que la empresa unilateralmente desee cancelar el préstamo. El Banco Pastor le ofrece como alternativa un préstamo amortizable por semestres por el Sistema Francés, con las siguientes condiciones: Tipo de interés: Euribor + 50 p.b. Comisión de apertura: 0,25%.

-

El Euribor semestral está actualmente al 3,15%, y el Euribor esperado para el segundo período (obtenido de las cotizaciones del mercado de FRA’s), es del 3,60%. ¿Le resultaría interesante la oferta del Banco Pastor? 150.000 ~

hoy

150.000

x

~

1

2 365

5,0694444

5·

= 5,0694444%. ;

= 2,53472222%

360

2

r = (1 + 0,0253472222)2 – 1 = 5,1333% 1 - (1 + 0,025347222 )-47

Cj = 150.000 ·

= 288.967,39 € 0,025347222 291.857,06

288.967,39 · (1 + 0,01) = X · (1 – 0,0025)

X=

= 292.588,54 € 0,9975

3,15 + 0,50

365

= 1,825%

;

1,825 ·

2

= 1,8503472%. 360

292.588,54 · 0,018503472

Q1 =

= 150.367,15 €. 1 – (1 + 0,018503472)-2

292.588,54 · 3,65 · 182,5

=

5.413,90 €

36.000

A1 = 144.953,25 €

C1 = 147.635,29 €

4,10 · 182,5

Q2 = 147.635,29 · 1 +

= 150.703,85 €. 36.000

150.367,15

288.967,39 =

150.703,85

+

r2 = 2,778625957% (1 + r2)2

1 + r2

r = (1 + 0,02778625957)2 – 1 = 5,6344596% > 5,1333%. (no interesa)

174

5.31.- Problema relativo a la financiación de la reforma de las cocinas de una empresa de restauración. Una empresa dedicada a la restauración decide cambiar sus cocinas, para lo que necesita una inversión de 450.000 €. Para ello solicita dos préstamos a diez años a la misma entidad financiera, que le aplica un tipo efectivo del 4,2% para los tres primeros años, bajando este tipo al 3,5% el resto del tiempo. El primer préstamo es por un tercio del importe y se amortizará pagando durante los tres primeros años únicamente las cuotas de interés, y durante los años restantes cuotas anuales de amortización de principal constantes. El segundo préstamo por la cuantía restante, se amortizará mediante el pago de cuotas totales semestrales constantes, haciendo efectivo la primera a los 18 meses de la concesión del préstamo, no pagándose ninguna otra cantidad hasta ese momento. Calcular las cuotas totales de ambos préstamos. La empresa piensa aumentar beneficios y poder cancelar los préstamos en el séptimo año. Estimar la cuantía necesaria. 450.000

~

~

~

~

~

~

0

1

2

3

4

5 ………………………………………… 10

~

4,2%

3,5%

Primer préstamo: ѿ · 450.000 = 150.000 €. Segundo préstamo: Ҁ · 450.000 = 300.000 €.

-

6.387,50 6.387,50 6.387,50 Q4 ~

~

~

0

1

2

~

3

Q5

Q10

~

~

~

4

5 ………………………………………… 10

150.000

4,2%

3,5%

150.000 · 4,2 · 365

150.000

= 6.387,50 €; A = 36.000

365

= 21.428,57 €; 3,5 · 7

= 3,548611111%. 360

n

A

Ij

Qj

Cj

4 5 6 7 8 9 10

21.428,57 21.428,57 21.428,57 21.428,57 21.428,57 21.428,57 21.428,57

5.322,92 4.562,50 3.802,08 3.041,67 2.281,25 1.520,83 760,42

26.751,49 25.991,07 25.230,65 24.470,24 23.709,82 22.949,40 22.188,99

150.000 128.571,43 107.142,86 85.714,29 64.285,72 42.857,15 21.428,57

~

~

0

1

Q

Q

Q

Q ………………………………………………………………. Q

x

~

x

~

~

~

3

4

5 ………………………………………… 10

2

~

300.000

4,2%

3,5% primer pago

175

1

1 + 0,035 =

(1 + i2 )2

i2 = 1,0352 - 1 = 1,7349497%.

1 + 0,042 =

(1 + i2 )2

i2 = 1,0422 - 1 = 2,0784012%.

1

365

365

1,7349497 ·

= 1,7590462% ; 2,0784012 · 360 1 – (1 + 0,021072679)-4

1

300.000 =

= 2,1072679 360

Q·

1 – (1 + 0,017590462)-14

+Q·

1 + 0,042

1

·

0,021072679

0,017590462

(1 + 0,042) 2

De donde Q = 20.648,31 €. C7 (1º préstamo) = 64.285,72 € 1 – (1 + 0,017590462)-6

C7 (2º préstamo) = 20.648,31 ·

= 116.606,49 € 0,017590462

Necesitaría: 64.285,72 + 116.606,49 = 180.892,21 € para cancelar el préstamo.

5.32.- Problema relativo a la cancelación de un préstamo mediante la venta de letras del Tesoro que tenemos en cartera. Hace seis años firmamos con un banco un préstamo de 100.000 € amortizable en doce años por el sistema francés con pagos trimestrales. Hoy tengo en mi cartera letras del Tesoro, cuyo valor a vencimiento dentro de un año es de 60.000 €, y me ofrecen comprármelas a un interés del 4,53% anual. Si lo que pretendo es cancelar el préstamo con el líquido resultante de la venta de las letras, ¿a qué tipo de interés nominal se contrató el préstamo en origen? Q Q Q Q …………………………….…. Q ~ x x x ~

~ x x x ~

0

6

1

~

7

12

100.000

hoy

60.000 60.000 €

~ 6

~ 7

1 - (1 + i4 )-24

C6 = Q ·

= 57.399,79 i4 1 - (1 + i4 )-48

C0 = Q ·

= 100.000 i4

Q

100.000

= i4

57.399,79

= 1 - (1 + i4 )-48

1 - (1 + i4 )-24

176

E=

= 57.399,79 1 + 0,0453

(1 + i4 )-24 = K

100.000

57.399,79

= 1 – K2

1–K

100.000 – 100.000 K = 57.399,79 – 57.399,79 K2 57.399,79 K2 – 100.000 K + 42.600,21 = 0 100.000 + ¥ 100.0002 – 4 · 57.399,79 · 42.600,21

K=

= 2 · 57.399,79 100.000 + 14.805,33

1 (trivial)

= 114.805,33

0,742 1

1

(1 + i4 )

-24

= 0,742

i4 =

24

- 1 = 0,0125112 0,742

j = 4 · 0,0125112 = 4,05%.

177

CAPÍTULO 6. OPERACIONES DE CRÉDITO 1. Diferenciación entre operaciones de préstamo y operaciones de crédito. Al igual que las operaciones de préstamo se caracterizan principalmente por la existencia de una deuda concreta en origen, “Co”, que es el objetivo a amortizar a lo largo de un período, asimismo concreto, las operaciones de crédito no tienen una deuda concreta, sino un límite de deuda, hasta el cual se permite al sujeto endeudarse, de acuerdo con unas características preestablecidas en el contrato. La operación de crédito permite, por tanto, que la cifra de capital pendiente de amortizar sea variable continuamente, siempre que no exceda el límite de crédito, pudiendo incluso temporalmente cambiar el sentido de la deuda en determinadas operaciones, pasando el deudor a ser acreedor, y el acreedor a ser deudor. Asimismo, las prestaciones y contraprestaciones pueden variar, así como los tipos de interés, comisiones, etc. Las operaciones de crédito más importantes son las cuentas de crédito y las tarjetas de crédito.

2. Cuentas de Crédito. Son operaciones de crédito con una duración predeterminada, y en las cuales, al vencimiento, la parte deudora se compromete a reembolsar su deuda de una sola vez. En toda cuenta de crédito, existen las siguientes magnitudes: x

Saldo Dispuesto.- Es la parte del límite del crédito que el deudor ha solicitado al acreedor.

x

Saldo Disponible.- Es la parte del límite del crédito que el deudor todavía no ha solicitado al acreedor.

x

Rebasamiento.- Es el exceso, supuesto que se solicite, y se disponga de él, de un importe superior al límite del crédito.

x

Cuenta Corriente.- Es la transformación de la cuenta de crédito en cuenta acreedora, por haber devuelto el deudor un importe superior al que dispuso.

Las cuentas de crédito tienen una vocación de corto plazo, y se solicitan, y conceden para cubrir déficits transitorios de tesorería, previsibles pero no cuantificables a priori. Los parámetros a tener en cuenta de cara a la evaluación de cobros y pagos compensatorios entre las partes son los siguientes: x

Tipo de interés de la cuenta de crédito (i).- Será el tipo al cual se calculan los intereses del saldo dispuesto por el deudor.

179

x

Tipo de interés de la cuenta corriente (i*).- Será el tipo al cual se calculan los intereses acreedores, cuando se reintegra una cantidad superior al saldo dispuesto.

x

Comisiones “flat” en origen (k).- Serán las comisiones de apertura, estudio, etc., que se cargan en el saldo dispuesto como primer débito de la cuenta.

x

Comisiones sobre el saldo medio no dispuesto (k*).- Serán las comisiones que se cobran periódicamente por no haber dispuesto en su totalidad del límite de crédito concedido.

x

Periodicidad de la liquidación.- Será el período de tiempo en el que se calculan los intereses y comisiones devengados, y se cargan en el saldo dispuesto. Este período no tiene porqué ser homogéneo. De hecho, las entidades bancarias tienen fechas fijas de liquidación anuales, usualmente cada fin de trimestre, en las que liquidan intereses y comisiones independientemente de la fecha de concesión de la cuenta de crédito. Por supuesto el último plazo de devengo coincide con la fecha de cancelación de la cuenta.

La duración de una cuenta de crédito no suele ser superior a un año, dada su concepción como instrumento para atender disposiciones transitorias de tesorería. La cuenta de crédito no tiene la facilidad prospectiva de una operación de préstamo, en la cual desde el primer día conocemos cuáles van a ser los flujos futuros. La cuenta de crédito es el instrumento que se usa precisamente para los imprevistos, y difícilmente podemos evaluar lo imprevisible. Por tanto, la visión financiera de una cuenta de crédito es retrospectiva, y se basa en la liquidación periódica, y obtención del saldo dispuesto a una fecha determinada, y en particular, a la fecha de cancelación de la cuenta. La forma tradicional de liquidar cuentas de crédito y cuentas corrientes es a través del método hamburgués. Este método se basa en la liquidación de intereses sobre el saldo dispuesto o saldo acreedor, durante el número de días en que dicho saldo no presenta variaciones. A partir de la obtención de saldos y períodos de disposición, se obtienen los números comerciales, con los cuales se puede liquidar la cuenta al tipo de interés pactado. La mejor forma de ver el método hamburgués es a través de un ejemplo de índole práctica: Ejemplo.- Supongamos una cuenta de crédito concedida con los siguientes datos: Fecha de concesión: 3-5-10. Duración: 3 meses. Fechas de liquidación: 30-6-10 y 3-8-10. Tipo de interés deudor: 7%. Tipo de interés acreedor: 0,10% Comisión de apertura y estudio: 1,5%. Comisión sobre saldo medio no dispuesto: 1% anual. Límite de crédito: 50.000 euros. Intereses rebasamiento: 2% adicional. Comisión rebasamiento. 1% sobre importe rebasado. Asimismo, suponemos que a lo largo de la vida de la cuenta de crédito se producen los siguientes movimientos:

180

06-05-10: 18-05-10: 08-06-10: 10-07-10: 25-07-10: 28-07-10: 01-08-10:

Disposición de 10.000 euros. Disposición de 30.000 euros. Reintegro de 7.000 euros. Disposición de 5.000 euros. Reintegro de 50.000 euros. Disposición de 80.000 euros. Reintegro de 40.000 euros.

Plantearíamos la cuenta por el método hamburgués de la siguiente manera:

Fecha 03-05-10 06-05-10 18-05-10 08-06-10 30-06-10 10-07-10 25-07-10 28-07-10 01-08-10 03-08-10 03-08-10

Concepto

Días

Gastos de Apertura 3 Disposición 12 Disposición 21 Reintegro 22 Liquidación 30-06 10 Disposición 15 Reintegro 3 Disposición 4 Reintegro 2 Liquidación 03-08 --Cancelación cuenta ---

Debe

Haber

Saldo

750 ---10.000 ---30.000 ------7 .000 297,13 ---5.000 ------50.000 80.000 ------40.000 305,01 ------- 19.352,14

- 750 - 10.750 - 30.750 - 23.750 - 24.047,13 - 29.047,13 20.952,87 - 59.047,13 - 19.047,13 - 19.352,14 ----

La liquidación del 30-06 se ha realizado mediante el cálculo de los números comerciales del saldo disponible y del saldo dispuesto: Saldo disponible

Saldo dispuesto 3· 750 = 12 · 10.750 = 21 · 30.750 = 22 · 23.750 =

2.250 129.000 645.750 522.500

3 · 49.250 = 12 · 39.250 = 21 · 19.250 = 22 · 26.250 =

Total ............ 1.299.500

147.750 471.000 404.250 577.500

Total ............ 1.600.500 1.299.500 · 7

Intereses Deudores

=

= 252,68 36000

Comisión Saldo medio no dispuesto

1.600.500 · 1 =

=

44,45

36000 _________ Total Liquidación .... 297,13 La liquidación del 03-08 ha sido más complicada al existir intereses acreedores y rebasamientos Saldo disponible

Saldo dispuesto 10 · 24.047 =

240.470

181

10 · 25.953 =

259.530

15 · 29.047 = 4 · 50.000 = 2 · 19.047 =

435.705 200.000 38.094

Total ............ .............785.731

15 · 20.953 = 3 · 50.000 = 2 · 30.953 =

914.269

Total

Saldo rebasado

Saldo acreedor 3 · 20.953 =

314.295 150.000 61.906

62.859

4·

9.047 =

36.188

914.269 · 7 Intereses Deudores

=

=

177,77

36000

Comisión Saldo medio no dispuesto

785.731 · 1 =

= 21,83 36000 36.188 · 15

Intereses rebasamiento =

= 15,08 36000

Comisión rebasamiento =

9.047,13 • 1%

=

90,47

_______ Total Costes ................ 305,15

62.859 · 0,1 Intereses Acreedores

=

=

0,17

36500 Retención (18% s/ intereses acreedores)

Saldo Liquidación ......

=

- 0,03 ________ 305,01

teniendo en cuenta que las entidades de crédito liquidan los intereses deudores en base 360 y los intereses acreedores en base 365. El día 03-08-10, el interesado ingresaría 19.352,14 € en la cuenta, con lo cual quedaría cancelada. Si deseáramos calcular el TAE de la operación, obviamente con visión retrospectiva, habría que comparar el saldo de intereses y comisiones satisfechas con el saldo medio dispuesto en la cuenta.

182

Obtenemos el saldo medio: 3 · 750 + 12 · 10.750 + 21 · 30.750 + 22 · 23.750 + + 10 · 24.047,13 + 15 · 29.047,13 + 3 · (- 20.952,87) + + 4 · 59.047,13 + 2 · 19.047,13

= 23.772,85 €.

SM = 3 + 12 + 21+ 22 + 10 + 15 + 3 + 4 + 2

Obtenemos el saldo de costes e ingresos satisfechos: SR = 750 + 297,13 + 305,01 = 1.352,14 €.

Comparamos los gastos con el saldo medio:

23.772,85 · i · 92 1.352,14 =

1.352,14 · 365 Ÿ i =

365

= 0,225655253 23.772,85 · 92

es decir, un TAE del 22,56%, lo cual es lógico, y nada inusual, a la vista de las fuertes comisiones de apertura.

3. Tarjetas de Crédito. Son operaciones de crédito con una duración indefinida, en la cual el poseedor de la tarjeta es siempre el deudor, y el emisor de la tarjeta, el acreedor. En toda tarjeta de crédito existen siempre las siguientes magnitudes: x

Saldo Dispuesto: Es la parte del límite de la tarjeta que el poseedor de la misma ha gastado en sus compras, o en disposiciones de cajero.

x

Saldo Disponible: Es la parte del límite de la tarjeta que el poseedor de la misma puede todavía consumir.

x

Modalidad de Reembolso.- Es la forma en la que el poseedor de la tarjeta decide ir pagando su deuda. Suele haber tres modalidades: o

Globalmente, al mes siguiente, con lo que la tarjeta de crédito no es otra cosa que la agregación de pequeñas operaciones de préstamo simple a varios días.

o

Parcialmente, a través de un porcentaje de la deuda pendiente, con un mínimo, a fin de que la deuda pueda resarcirse.

o

Aleatoriamente, eligiendo el deudor cuánto paga cada mes.

Los parámetros a tener en cuenta de cara a la evaluación de cobros y pagos son los siguientes: x

Tipo de interés de la tarjeta (i).- Será el tipo al que se calculan los intereses del saldo dispuesto por el deudor. Suele tener naturaleza mensual.

183

x

Comisión anual “flat” de posesión de la tarjeta (k).- Será una comisión tendente a cubrir los gastos de expedición, y de mantenimiento de la tarjeta.

x

Comisión de disposición en cajeros automáticos (c).- Será un determinado porcentaje a cobrar por la disposición de efectivo en los cajeros.

La liquidación es siempre mensual, y no puede haber ni rebasamientos, ni saldos acreedores. Todas las comisiones se pagan en la próxima liquidación, junto con los intereses del saldo mensual dispuesto. La visión financiera de una tarjeta de crédito es lógicamente retrospectiva, al igual que en el caso anterior. La liquidación utiliza también el método hamburgués, siendo también interesante estudiarla a través de un ejemplo de aplicación.

Ejemplo: Supongamos una tarjeta de crédito vigente, expedida con los siguientes datos: Límite: 10.000 euros. Comisión anual de mantenimiento: 20 euros. Comisión disposición cajero: 2% Interés mensual: 1,5% sobre saldo medio dispuesto. Forma de amortización: 10% de la deuda viva a fin de período con un mínimo de 50 euros. Partimos de un saldo vivo de 3.000 euros después de haber liquidado la última cuota. Durante el mes en curso se producen los siguientes movimientos: -

Disposición de 500 euros en un cajero el día 10. Pago de la cuota anual. compras en establecimientos concertados por 700 euros el día 20.

Determinaremos el importe de la próxima cuota:

31-03-10 ....................... 10-04-10 ....................... 20-04-10 .......................

Días 10 10 10

Saldo 3.000 3.500 4.200

3.000 500 700

3.000 · 10 + 3.500 · 10 + 4.200 · 10 Saldo medio =

= 3.566,66 30

Intereses: 3.566,66 · 1,5% Comisión cajero: 500 · 2% Cuota anual: 10% reembolso mensual

= = = =

Total Cuota ........................... Saldo nuevo mes siguiente:

53,50 10 20 420 503,50 €.

3.780 €.

El TAE será variable en función de la evolución del saldo dispuesto, y de las disposiciones de cajero.

184

CUESTIONES Y PROBLEMAS

4.1.- Problema de cálculo de la liquidación de una cuenta de crédito: Una línea de crédito tiene las siguientes características: - Está denominada en euros. - Liquidación mensual de intereses. - Tipo acreedor: 3%. - Tipo deudor: 9%. - Tipo excedido: 21%. - Límite de crédito: 50.000 euros. Los movimientos durante el mes de enero de 2010 han sido los siguientes: - Saldo acreedor del mes anterior: 9.015,18 euros. - 2 enero + 1.500 euros. - 5 enero - 20.000 euros. - 10 enero - 41.000 euros. - 15 enero + 6.500 euros. - 28 enero + 44.184,82 euros. (considerar como importes positivos los ingresos y negativos las disposiciones). Existe una comisión por saldo medio no dispuesto del 1% anual sobre dicho saldo, que se cargará en cuenta el 31 de enero. Además, se aplica una comisión por excederse en el límite, del 3%, que se cargará en cuenta el mismo día 31 de enero. a) Calcular el saldo a 31 de enero de 2010, liquidando los intereses por el método hamburgués. b) Determinar el T.A.E. Fecha

Concepto

Debe

Haber

Saldo Anterior

Saldo

3% 9.015,18

1.500

Números 9% 21%

Días

2 180,30

50.000

2-1-10

Ingreso

10.515,18

3 315,46

5-1-10

Disposición

20.000

- 9.484,82

5

474,24

10-1-10

Disposición

41.000

- 50.484,82

5

2.500

15-1-10

Ingreso

6.500 - 43.984,82

13

28-1-10

Ingreso

31-1-10

Liquidación

44.184,82 248,79

200,00

3

- 48,79 501,76 · 3

- Intereses Acreedores:

50.000

501,76 8.692,27

· 0,18 = 0,74

= 217,31 € 360 24,24 · 21

- Intereses Excedido:

= 1,41 € 360

185

24,24

5.718,03

· 0,82 = 3,38

8.692,27 · 9

- Intereses Deudores:

40.515,18 ----6.015,18

6

= 4,12 € 365

Saldo no Dispuesto

50.000 24,24

50.000 · 8 + 40.515,18 · 5 + 6.015,18 · 13

- Saldo Medio no Dispuesto:

= 21.960,43 € 31

21.960,43 · 1 · 31

- Comisión SMND:

= 18,91 € 36000

- Comisión exceso límite: 3% s/ 484,82 = 14,54 €. a) Liquidación: 217,31 + 1,41 – 3,38 + 18,91 + 14,54 = 248,79 Saldo: 48,79 € deudor. b) El cálculo del T.A.E. es complicado cuando hay saldos positivos y saldos negativos. Asumiendo esta dificultad, podríamos comparar los beneficios obtenidos y los costes en los que hemos incurrido, neteados, con el saldo medio de la cuenta en el período considerado. - 9.015,18 · 2 – 10.515,18 · 3 + 9.484,82 · 5 +

Saldo medio Inversión: + 50.484,82 · 5 + 43.984,82 · 13 – 200 · 3

= 26.499,19 €.

31

Costes: 248,79 – 0,74 = 248,05 (consideramos despreciable el efecto temporal de la retención). 26.499,19 · r · 31

Ÿ r = 11,021426%.

248,05 = 36.500

Aunque la hipótesis de reinversión en las mismas condiciones durante doce meses es más que discutible, podríamos elevar el tipo a base anual: 12

0,11021426

r =

1+

- 1 = 11,5955746 % 12

4.2.- Problema de cálculo de liquidación de una cuenta de crédito y obtención del T.A.E. de la financiación: Una línea de crédito denominada en euros y con liquidación mensual de intereses, tiene las siguientes características: - Tipo acreedor: 1%. - Tipo deudor: 5%. - Tipo excedido: 8%. - Límite de crédito: 50.000 euros.

186

Los movimientos durante el mes de enero del 2010, han sido los siguientes: - Saldo acreedor del mes anterior: 8.137,21 euros. - 2 enero: + 1.800 euros. - 8 enero: - 31.000 euros. - 15 enero: - 36.000 euros. - 21 enero: + 16.000 euros. - 28 enero: + 40.000 euros. (considerar como importes positivos los ingresos y negativos las disposiciones). Existe una comisión por saldo medio no dispuesto del 1% anual sobre dicho saldo, que se cargará en cuenta el 31 de enero. Además, se aplica una comisión por excederse en el límite, del 3% “flat” sobre el excedido, que se cargará en cuenta el mismo día 31 de enero. a) Calcular el saldo a 31 de enero del 2010, liquidando los intereses por el método hamburgués. b) Determinar el T.A.E.

Fecha

Concepto

Debe

Saldo

Haber

31-12-09 Saldo Anterior

+ 8.137,21

2

5% 180,30

+ 9.937,21

6

315,46

- 21.062,79

7

8%

2-1-10

Ingreso

8-1-10

Disposición

31.000

15-1-10

Disposición

36.000

- 57.062,79

6

3.000

21-1-10

Ingreso

16.000 - 41.062,79

7

2.874,40

28-1-10

Ingreso

40.000

3

31-1-10

Liquidación Totales

1.800

Números

Días

344,65

- 1.062,79

1%

Saldo no Dispuesto 50.000 50.000

1.474,40

28.937,21 24,24

----8.937,21

6

48.937,21

- 1.407,44

67.344,28

57.800

31 7.380,68

423,77

758,97

Liquidación: 758,97 · 1

- Intereses Acreedores:

· 0,82 = 1,71

= 2,08 € 365

· 0,18 = 0,37

7.380,68 · 5

- Intereses Deudores:

= 102,51 € 360 423,77 · 8

- Intereses Excedido:

= 9,42 € 360 50.000 · 8 + 37.874,42 · 7 + 48.937,21 · 3

- Saldo Medio no Dispuesto:

= 26.191,37 € 31

26.191,37 · 1 · 31

- Comisión SMND:

= 22,55 € 36000

- Comisión exceso límite: 3% s/ 7.062,79 = 211,88 €.

187

c) Liquidación: 102,51 + 9,42 – 1,71 + 22,55 + 211,88 = 344,65 Saldo: 1.407,44 € deudor. d) El cálculo del T.A.E. es complicado cuando hay saldos positivos y saldos negativos. Asumiendo esta dificultad, podríamos comparar los beneficios obtenidos y los costes en los que hemos incurrido, neteados, con el saldo medio de la cuenta en el período considerado. - 8.137,21 · 2 – 9.937,21 · 6 + 21.062,79 · 7 +

Saldo medio Inversión: + 57.062,79 · 6 + 41.062,79 · 7 + 1.062,79 · 3

= 22.727,31 €.

31

Costes: 344,65 – 0,37 = 344,28 (consideramos despreciable el efecto temporal de la retención). 22.727,31 · r · 31

Ÿ r = 17,836%.

344,28 = 36.500

Aunque la hipótesis de reinversión en las mismas condiciones durante nueve meses es más que discutible, podríamos elevar el tipo a base anual: 12

0,17836

r =

1+

- 1 = 19,3686 % 12

188

PARTE II OPERACIONES EN LOS MERCADOS FINANCIEROS

CAPÍTULO 7. TIPOS DE INTERÉS Y TIPOS DE CAMBIO EN CONTADO Y A PLAZO. 1. Operaciones de política monetaria. El día 1 de enero de 1.999 nació el euro por adición de once monedas europeas dando lugar a una moneda única válida en estos países europeos. En el año 2001, se incorporó la dracma griega, pasando a ser doce las monedas europeas integradas en el euro. Una de las piezas angulares de la reforma, es el Sistema Europeo de Bancos Centrales (SEBC), que es el órgano encargado de la elaboración de la nueva Política Monetaria Europea, y que formado por: x

El Banco Central Europeo.

x

Los Bancos Centrales Nacionales.

El Banco Central Europeo (BCE) es el encargado de diseñar la política monetaria de los países integrantes de la U.E.M. El BCE es la institución central y de gobierno, y radica en Frankfurt, mientras que los Bancos Centrales nacionales participan en las decisiones de política monetaria del área del euro. El SEBC cuenta con el siguiente conjunto de instrumentos para articular la política monetaria de los países miembros: ¾

Operaciones de Mercado Abierto: Tienen como objetivos el control de los tipos de interés, la gestión de liquidez del mercado, y la señalización de la orientación de la política monetaria. El SEBC tiene a su disposición cuatro tipos de instrumentos para la realización de estas operaciones, de acuerdo con los fines perseguidos en cada caso: ƒ

Operaciones principales de financiación: Son operaciones temporales de inyección de liquidez de frecuencia semanal y con vencimiento una semana después de la adjudicación, y proporcionan el grueso de la financiación al sistema crediticio.

ƒ

Operaciones de financiación a más largo plazo: Son operaciones temporales de inyección de liquidez de frecuencia mensual, y con vencimiento tres meses después de la adjudicación.

ƒ

Operaciones de ajuste (o “fine-tuning”): Son operaciones a medida con el objetivo de gestionar la situación de liquidez del mercado, y controlar los tipos de interés ante fluctuaciones inesperadas de los tipos de interés.

ƒ

Operaciones Estructurales: Son operaciones temporales realizadas con el fin de ajustar la posición estructural del SEBC frente al sector financiero.

191

¾

Facilidades Permanentes.- Tienen como objetivo inyectar y drenar liquidez a un día, y señalan la orientación general de la política monetaria, al controlar los tipos de interés día a día. Existen dos modalidades: -

Facilidad marginal de crédito: Los Bancos Centrales Nacionales proporcionan liquidez a un día contra activos en garantía, sin límite. El tipo de interés será el máximo para el tipo de interés del mercado a un día.

-

Facilidad de depósito: Depósito a un día con los Bancos Centrales Nacionales, sin límite. El tipo de interés es el mínimo para el tipo de interés del mercado a un día.

2. Tipos de interés en contado: El Mercado Interbancario. El mercado interbancario es el mercado de dinero por excelencia, y se soportó hasta el 31-12-98 en el Servicio Telefónico del Mercado de Dinero (STMD) del Banco de España, a través del cual se ejecutaba la liquidación y compensación de las operaciones negociadas. A partir del 1-1-99, se integró dentro del nuevo euromercado de Frankfurt, manteniéndose las especificaciones técnicas operativas, pero bajo la disciplina general del Banco Central Europeo. Las operaciones básicas que se gestionan en este mercado son los depósitos bancarios, sean o no transferibles, y las subastas periódicas de regulación monetaria, con las cuales el Banco Central Europeo inyecta o drena liquidez al Sistema. Las entidades miembros del Mercado, Bancos, Cajas de Ahorros y Cooperativas de Crédito, tienen abierta una cuenta de tesorería en el Banco de España, y se prestan dinero a determinados plazos, comunicando la operación a dicho Banco, vía ordenador conectado directamente con el mismo; el cual realizará los cargos y abonos en las cuentas de las entidades correspondientes. Desde el 1-1-99, los índices que se utilizan en el mercado interbancario europeo, son los siguientes: Euribor: Índice basado en las cotizaciones de oferta en el mercado monetario del euro, que proporcionan 57 entidades financieras, 48 de ellas de la UE-12, 3 de la UE, 4 de USA, 1 de Suiza y 1 de Japón, de acuerdo con lo establecido por la Federación Bancaria Europea. La recogida de datos y el cálculo del tipo son realizados por Dow Jones Markets, mediante la media de las cotizaciones aportadas por dichos bancos, una vez eliminadas el 15% de las cotizaciones más altas y más bajas. Las ofertas que se recogen son al plazo de semana, mes, dos meses, ......, doce meses (en total trece plazos posibles), y se toman con dos decimales en base A/360 y con valor spot (D+2), antes de las 10.45 horas de Bruselas. La publicación se realiza a las 11.00 horas, dando un tipo para cada plazo con cinco decimales, tanto en base A/360 como en base A/365, todos los días hábiles. Eonia: Índice que representa el tipo “overnight”, o día a día, valor mismo día, para el euro en la UE-12. Recoge, por tanto, los tipos de préstamo a un día entre entidades participantes en el mercado, calculado como media ponderada de todos los préstamos no garantizados realizados por el mismo panel de bancos del mercado interbancario del euro. Se incluyen en el cálculo todas las transacciones de préstamo llevadas a cabo antes del cierre del Sistema Target (18.00 horas). Cada

192

banco informará diariamente antes de las 18.30 horas del volumen en euros sin decimales de todas las transacciones del día y del tipo medio con dos decimales, a una entidad relevante del SEBC. El BCE debe proporcionar el tipo tan pronto como sea posible, para que pueda ser publicado en la mañana del día siguiente. Este tipo es el que se utiliza para la liquidación de los “call money swaps” 6 en euros. En el mercado interbancario se utiliza la base Actual / 360 (A/360), y se considerarán dos tipos de transacciones: -

Las operaciones “overnight”, día a día, que se contratarán hoy, valor hoy, y liquidación el siguiente día hábil; con estas operaciones las entidades financieras regulan su liquidez diaria.

-

Las operaciones a plazo, en las que se considerará como fecha de valor “D+2”, siendo “D” el día de hoy, en el que se contrata la operación.

Las operaciones básicas del mercado interbancario son las operaciones de depósito u operaciones “depo”. Un depósito no es otra cosa que una cesión simple de dinero de una entidad a otra a un plazo convenido. Los plazos usuales son: día, semana, quincena, mes, tres meses, seis meses y año, aunque se pueden realizar operaciones a otros plazos concretos. Adicionalmente al uso de los depósitos para equilibrar las posiciones financieras de bancos y cajas de ahorros, los tesoreros pueden hacer operaciones de especulación y arbitraje en los mercados, realizando apuestas sobre la posible evolución de los precios del dinero en los diferentes plazos. Ejemplo: Tomamos 10 millones de euros al 3% de interés al plazo de un año. Tres meses después, los tipos a 9 meses están al 3,30% de interés, y decidimos cerrar la posición. Supuesto que el dinero se ha podido colocar en corto plazo durante los tres primeros meses al 2,75%, queremos saber cuál es el beneficio que hemos obtenido con esta operación. 10.000.000 · 3 · 365 Costes:

=

304.166,67 €.

=

68.750,00 €.

36.000 10.000.000 · 2,75 · 90 Ingresos: 36.000 10.068.750 · 3,30 · 275 =

253.816,41 €.

36.000 322.566,41 €. Por tanto, el beneficio global será: 322.566,41 – 304.166,67 = 18.399,74 €. es decir, un 0,184% anual de margen por especulación.

6

Para un conocimiento de este producto, puede consultarse el libro “La Práctica de los Mercados Financieros”, del mismo autor, Ed. Dykinson 2002, pags. 138 a 140.

193

Evidentemente, si el mercado fuera en sentido contrario, podríamos perder dinero. Los Bancos y Cajas de Ahorros, para evitar el riesgo de tipo de interés, aunque sólo sea parcialmente, indician una parte de su cartera de préstamos y créditos con distintos índices: - Euribor. - Mercado Hipotecario. - Índice de Precios al Consumo. - Media de los préstamos preferenciales de los grandes bancos. etc. aunque el índice más usado es el Euribor, que coincide precisamente con la media de los tipos de interés de las operaciones cruzadas en el Mercado Interbancario. Como normalmente se indician los préstamos a medio y largo plazo, es preciso establecer una referencia concreta de Euribor, es decir, el plazo que se va a considerar, así como la forma de evaluarlo, y sobre todo, el diferencial sobre Euribor que se va a cobrar. Ejemplo: Se contrata un préstamo a tres años, con pagos de interés trimestrales, satisfaciéndose un 3% fijo el primer año, y un interés del Euribor anual más dos puntos en los dos últimos años. La cuota de amortización será alícuota a lo largo de doce pagos. Cobraremos una comisión de apertura y estudio del 1,80% en origen, sobre los 50.000 euros del préstamo. El Euribor anual que utilizaremos será la media de los cinco días hábiles previos al inicio de cada período de pago de intereses trimestrales. 4.166,66 4.166,67 4.166,67

.................................................................

4.166,67

50.000 - 900

En el origen, la cuota de intereses es una variable aleatoria, en función de los tipos de interés. No obstante, la aleatoriedad es básicamente para el prestatario, puesto que los Bancos precisamente conceden los préstamos indiciados al Euribor para machearlos con las imposiciones a plazo de tres o seis meses, o las cuentas remuneradas que van siguiendo en sus renovaciones o renegociaciones a los tipos del mercado interbancario. De esta manera, los préstamos indiciados al Euribor, constituyen un eficaz instrumento de cobertura de pasivos para los bancos. En este ejemplo, las cuatro primeras cuotas están predeterminadas al 3% de interés nominal fijo anual, mientras que las otras ocho variarán en función del Euribor futuro. Es posible que transcurrido un cierto tiempo, y ante la posibilidad de que puedan subir los tipos de interés, el prestatario pudiera decidir permutar los flujos inciertos futuros por unos flujos futuros fijos. Evidentemente, esto puede hacerse y tiene un precio, lo que en los mercados financieros se denomina el “swap de tipo de interés” o permuta financiera de tipos variables por tipos fijos, lo cual ya indicamos puede verse en otros textos alternativos.

194

3. Tipos de interés a plazo. Los FRA’s. La contratación de operaciones en el mercado interbancario, y entre los bancos y empresas o particulares no se reduce a la operativa de contado ya descrita en las operaciones de depósito. Es evidente que si queremos tomar prestado dinero a tres meses contrataremos un préstamo a tres meses, desde hoy hasta dentro de 90 días, y el tipo de interés será el tipo de mercado hoy a tres meses. Pero no necesariamente se nos puede plantear la operación de esta manera. Supongamos que sabemos que dentro de 6 meses vamos a tener una necesidad transitoria de liquidez de un millón de euros durante 3 meses, y que creemos que los tipos de interés van a subir en los próximos meses. Nos gustaría poder “cerrar” el tipo para dentro de seis meses y durante tres. Es como si pudiéramos apalabrar el tipo de una inversión (no la inversión), para una fecha futura. La situación anterior se da con mucha frecuencia, tanto para tomar préstamo como para colocar dinero que todavía no tenemos. Asimismo, el poder contratar tipos de interés a plazo, nos puede permitir realizar coberturas de posiciones actuales de inversión o de financiación, cuya rentabilidad o coste queremos predeterminar hoy, aunque se trate de períodos de disposición temporales que comienzan en una fecha futura. El instrumento que se utiliza para realizar estas “apuestas” de tipo de interés futuro es el denominado FRA (“forward rate agreement”), o contrato de interés a plazo. El FRA es un contrato a plazo sobre tipos de interés, entre dos partes, que acuerdan el tipo de interés que se va a pagar sobre un depósito teórico de dinero que tendrá fecha de inicio y fecha de vencimiento específicas, y que dicha fecha de inicio será siempre una fecha futura. El objetivo de un FRA es gestionar el riesgo de tipo de interés que subyace en determinadas asimetrías entre activos y pasivos en plazos futuros. En el fondo, se trata de una simple apuesta sobre tipos de interés futuros, que se liquidaría por diferencias. Si al llegar el plazo de contratación, el tipo de interés fuera superior al pactado, la entidad vendedora del FRA debería pagar la diferencia. Si fuera superior, la entidad compradora del FRA sería la que asumiría la diferencia. Por tanto, las características básicas de un FRA serán las siguientes: -

Importe subyacente sobre el que gira el FRA. Tipo de interés futuro que se contrata. Período de vigencia de dicho tipo de interés. Fecha a partir de la cual se inicia el período anterior. Comprador del FRA, o sujeto que compra dinero a futuro a un precio fijo, para protegerse de una subida de los tipos de interés. Vendedor del FRA, o sujeto que vende dinero a futuro a un precio fijo, para protegerse de una bajada de los tipos de interés.

Ejemplo: Principal: 10 millones de euros. Tipo de interés: 3%. Fecha de inicio: al tercer mes. Fecha de vencimiento: al año Se trata, por tanto, de un FRA de 3 meses contra 12 meses, o FRA 3/12 en la terminología habitual de los brokers de los mercados monetarios.

195

0

3 m.

6 m.

9 m.

12 m.

3% Comprador y vendedor contratan esta operación al 3%, en función de sus expectativas de subida y bajada de tipos de interés.

Beneficio Ilimitado 1

2

3

4

Beneficio Ilimitado

5

1

2

3

4

5

Pérdida Ilimitada

Pérdida Ilimitada

El comprador de FRA espera una subida futura de tipos, por lo que ha comprado a a futuro.

El vendedor de FRA espera una bajada futura de tipos, por lo que ha vendido futuro.

Pasado el período que media entre la fecha de contratación y la fecha de inicio del período de devengo del tipo de interés del FRA, llegamos al inicio del citado período de devengo. ƒ

Si el Euribor al plazo contratado es mayor que el tipo FRA pactado, el comprador cobrará la diferencia de interés a su favor, la cual será satisfecha por el vendedor.

ƒ

Si el Euribor a dicho plazo coincide con el tipo FRA pactado, no habrá liquidación, al ser la operación neutra.

ƒ

Si el Euribor al plazo contratado es menor que el tipo FRA pactado, el comprador pagará al vendedor la diferencia de interés.

Ahora bien, estas cantidades en los contratos FRA, se liquidan al inicio del período, por lo que es preciso descontar el pago anticipado de los intereses al tipo Euribor correspondiente. La liquidación, por tanto, será: (iE – iF) · N · d Liquidación =

1 ·

(iE – iF) · N · d =

iE · d

36.000

36.000 + iE · d

1+ 36.000 siendo: iE : iF : N: d:

Tipo Euribor correspondiente al período de devengo. Tipo FRA correspondiente al período de devengo. Nominal subyacente en el contrato. Número de días del período de devengo.

196

Ejemplo: Siguiendo con nuestro ejemplo anterior. Si el Euribor 9 meses > Tipo FRA 3/12, el comprador cobrará la diferencia de interés a su favor, que pagará el vendedor. Supongamos que el Euribor a 9 meses está al 4,25%. El comprador recibirá del vendedor: 10.000.000 · 1,25 · 270 = 90.854,03 €. 36.000 + 4,25 · 270 Si el Euribor 9 meses < Tipo FRA 3/12, el comprador pagará al vendedor la diferencia de interés, a favor de éste. Supongamos que el Euribor a 9 meses está al 2,5%. El comprador pagará al vendedor: 10.000.000 · 0,50 · 270 = 36.809,82 €. 36.000 + 2,50 · 270 Ambas cantidades se corresponden con el diferencial de tipos de interés que se habría debido satisfacer al finalizar los nueve meses, como cualquier operación de depósito o préstamo, pero actualizado a la fecha de inicio para liquidar el FRA en dicho momento, ya que no tiene sentido mantener viva la operación, cuando se trata de una apuesta cuyo resultado (premio o penalización) ya conocemos.

4. Obtención de la horquilla de FRA’s a partir de las cotizaciones del mercado interbancario. Una vez visto el funcionamiento de un contrato FRA, nos quedaría por analizar su valoración, es decir, el proceso de formación de los precios, o lo que es lo mismo, cómo se negocian estos instrumentos en el mercado. La horquilla de tipos FRA se genera de forma automática a partir de las horquillas de tipos Euribor en contado a los diferentes plazos. Evidentemente habrá dos tipos FRA, el comprador y el vendedor, que conformarán dicha horquilla. Obviamente, el vendedor tendrá acceso a la oferta de más bajo interés, mientras que el comprador tendrá acceso a la oferta de más alto interés. Para obtener la citada horquilla, nos basamos en el principio de equivalencia financiera, pero teniendo en cuenta los diferentes tipos de la horquilla de precios del Euribor. r1* t0

t1

r2*

r1

t2

r2

r Suponemos que las horquillas son (r1 ; r1*) y (r2 ; r2*), siendo la primera componente el precio bajo y la segunda el precio alto. Si invertimos un euro desde el momento “t0” hasta el momento “t2”, el Banco nos dará el tipo menor de la horquilla, es decir “r2”. Mientras que si financiamos ese euro desde el momento “t0” hasta el momento “t1”, nos cobrarán el tipo mayor de la horquilla, es decir “r1*”.

197

Pues bien, el tipo FRA “r”, es aquel que hace que se mantenga la equivalencia financiera: r1* · t1

r2 · t2 1·

1+

=1·

r · (t2 - t1)

1+

36.000

·

1+

36.000

36.000

Si despejamos “r”, obtenemos: ( r2 · t2 - r1* · t1 ) · 36.000 r= ( 36.000 + r1* · t1 ) · (t2 - t1) expresión del FRA comprador, o tipo bajo de la horquilla de FRA’s. Análogamente, si consideramos la operación inversa: r r1* t0

t1

r2*

r1

t2

r2

Si invertimos un euro desde el momento “t0” hasta el momento “t1”, el Banco nos dará el tipo menor de la horquilla, es decir “r1”. Mientras que si financiamos ese euro desde el momento t0 hasta el momento “t2”, nos cobrarán el tipo mayor de la horquilla, es decir “r2*”. El tipo FRA “r”, es aquel que hace que se mantenga la equivalencia financiera: r2* · t2 1·

1+

r1 · t1 =1·

1+

36.000

r · (t2 - t1) ·

1+

36.000

36.000

Si despejamos “r”, obtenemos: (r2* · t2 - r1 · t1 ) · 36.000 r= ( 36.000 + r1 · t1 ) · (t2 - t1) expresión del FRA vendedor, o tipo alto de la horquilla de FRA’s. Ejemplo: Supongamos el mismo caso de antes. Las cotizaciones en el mercado interbancario para el Euribor son las siguientes. Tipos Euribor Período

Días

Tomador

Prestador

Mes 3 meses 6 meses 9 meses 12 meses

31 92 184 275 366

2,47 2,60 2,80 3,00 3,25

2,50 2,62 2,85 3,10 3,35

Queremos calcular la horquilla del FRA 3/12, por lo que aplicamos las fórmulas anteriores:

198

FRA comprador: ( r2 · t2 - r1* · t1 ) · 36.000

(3,25 · 366 - 2,62 · 92 ) · 36.000

( 36.000 + r1* · t1 ) · (t2 - t1)

(36.000 + 2,62 · 92 ) · (366 - 92)

r =

=

= 3,4385% FRA vendedor: ( r2* · t2 - r1 · t1 ) · 36.000

(3,35 · 366 - 2,60 · 92 ) · 36.000

r =

= ( 36.000 + r1 · t1 ) · (t2 - t1)

(36.000 + 2,60 · 92 ) · (366 - 92) = 3,5781%

con lo que la horquilla de cotizaciones sería: (3,4385 ; 3,5781) Es decir, que si acudiéramos a un banco a comprar un FRA, nos cobrarían un 3,5781%, mientras que si acudiéramos a vender un FRA, nos pagarían el 3,4385%, siendo los tipos anteriores los que publicaría el banco como contrapartidas.

5. Tipos de cambio en contado y a plazo. Al igual que el FRA es un instrumento para realizar coberturas del riesgo de tipo de interés, podemos estar interesados en cubrir un potencial riesgo de tipo de cambio. Para ello, vamos a ver cuál es la génesis de este último, y conocer un instrumento que nos permita inmunizarnos contra dicho riesgo. Es importante tener en cuenta que, mientras que el riesgo de tipo de interés se genera en base a la política monetaria fijada por el Banco Central Europeo, y depende casi exclusivamente de los movimientos intracomunitarios de los tipos de interés, en el riesgo de tipo de cambio influyen numerosos factores, muchas veces erráticos, como son: -

Los tipos de interés de cada uno de los países, entendiendo por país aquel territorio que utiliza la misma moneda (por ejemplo, la Unión Monetaria).

-

La austeridad presupuestaria de cada país.

-

La evolución del déficit público de cada país.

-

La reglamentación supranacional en materia de cotización de divisas: límites a la cotización, acuerdos multilaterales, etc.

-

La actitud de los especuladores.

-

La creencia generalizada en el alineamiento bilateral de las monedas.

199

-

La calificación de una moneda como débil o fuerte, y su capacidad para ser aceptada por países con moneda no creíble como medio de pago, y depósito de valor.

-

La creencia global en la capacidad económica y productiva del país emisor.

Además, el mercado de divisas es por su propia naturaleza un mercado “over the counter”, que desarrollan los Bancos internacionales en base a su capacidad para generar confianza a los inversores. Por si fuera poco, y habida cuenta de la importancia económica que tiene la cotización de la divisa, y su influencia en las exportaciones e importaciones de un país, el mercado de divisas se encuentra a menudo fuertemente intervenido por los bancos centrales que, de común acuerdo, apoyan a una determinada moneda que está sufriendo el acoso de los especuladores. El problema que subyace es siempre el mismo. Si tomamos posición en una moneda, y ésta pierde valor, estamos perdiendo dinero. No vale decir, que como trabajamos en euros, no nos afecta el riesgo de tipo de cambio, puesto que tendremos el coste de oportunidad de no haber estado posicionados en otras divisas, antes de, por ejemplo, una revaluación del dólar. La situación anterior se plantea tanto desde el punto de vista de la financiación (tomar un préstamo en divisas o en euros), como desde el punto de vista de la inversión (invertir en euros o en divisas). Al igual que existe un mercado interbancario para operar en la moneda doméstica, existe un mercado de divisas para operar en las distintas monedas denominadas convertibles, es decir, aquellas monedas de la OCDE, básicamente. El resto de las monedas suelen tener una equivalencia con el dólar, y a través de esta equivalencia, se pueden conectar con el resto de las divisas convertibles. Cuando operamos en el mercado de divisas, estamos comprando o vendiendo depósitos en divisas, es decir, saldos de balance de las distintas entidades financieras, no maletines de dinero. De hecho, si, por ejemplo, Lloyds Bank tiene en Londres una posición de 100 millones de euros, ello no significa que si vamos a hacer un inventario nos encontremos allí los billetes de la Unión Europea. Todo el dinero comunitario está en la Unión Europea, salvo pequeñas cantidades usadas por el público para hacer sus compras. El mercado de divisas es un mercado de saldos y de depósitos, al contado o a plazo, existiendo distintas plazas financieras a lo largo del mundo, en las que se concentra la contratación de cada divisa. Por ejemplo, el dólar en New York. En este mercado, se suele operar las veinticuatro horas del día, existiendo para cada moneda y respecto de otra, un tipo de cambio comprador y vendedor, que constituyen la horquilla de precios en cada momento. Además, esta horquilla se fija tanto para el mercado de contado (“spot” en terminología anglosajona), como para el mercado a plazo (“forward” en terminología anglosajona). Veamos un ejemplo en las cotizaciones dólar / euro:

200

Tipo de cambio Modalidad

Comprador

Vendedor

Contado

1,489

1,491

Mes

1,491

1,493

Tres Meses

1,494

1,497

Seis Meses

1,497

1,500

Año

1,499

1,504

El Banco o broker está dispuesto a comprar euros entregando al vendedor 1,489 $ por cada euro que le venda, en contado, valor dos días; y a su vez, está dispuesto a vender euros al comprador de los mismos, siempre y cuando éste le pague 1,491 $ por cada euro. En este mercado, no suele haber comisiones; el diferencial de cambio se considera suficiente para garantizar un beneficio adecuado para el intermediario. Aunque 0,002 dólares por euro pueda parecer una pequeña cantidad, si tenemos en cuenta que en este mercado se contratan los dólares por millones, el margen puede ser importante. Una transacción de 10 millones de dólares supondría 20.000 dólares de margen para la entidad. En la tabla anterior, podemos ver que los precios “forward” son inferiores a los precios “spot”, es decir, que si contratamos un seguro de cambio a futuro, tenemos un precio inferior que pagar o recibir cuando la transacción realmente se materialice. Esto no necesariamente tiene que ser así, pudiendo haber monedas que a futuro tengan un precio inferior respecto del euro. En general, el precio a plazo en el mercado de divisas se forma a partir del precio de contado, sumando o restando un diferencial de tipos de interés correspondientes al plazo al que nos estemos refiriendo. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Tenemos 1.000.000 $ USA, que podemos invertir en el mercado americano al 2,75% de interés durante un año. Estos dólares no los vamos a necesitar hasta dentro de un año, fecha en la que tendremos que invertirlos en una nueva planta que desarrollaremos en España y que, obviamente, tendremos que pagar en euros. A fin de evitar la incertidumbre de los tipos de cambio, preferimos tener una cifra exacta de euros con los que financiar nuestra inversión. Por ello, vamos a contratar un seguro de cambio para dentro de un año con un Banco. Por mantenernos en dólares y no convertir ahora los dólares en euros, tenemos un coste de oportunidad, el interés que recibiríamos por invertir los euros a un año en el mercado europeo, al 3,85%. Si queremos que el mercado sea eficiente, debería ser equivalente convertir ahora que convertir dentro de un año (suponemos 364 días naturales), por lo que, si el dólar USA cotiza en contado a 0,991 $/€:

201

2,75 • 364

3,85 · 364

1.000.000 · 1+

· Cf = 1.000.000 · 1,491 ·

1+

36.000

36.000

de donde: 3,85 · 364

1+ 36.000

Cf = 1,491 ·

= 1,508 2,75 · 364

1+ 36.000

cifra que se encuentra dentro de la cotización de la tabla anterior. De una manera general, el tipo de cambio “forward” es igual al tipo de cambio “spot” multiplicado por la relación por cociente entre los tipos de interés vigentes a plazo en ambos países: rd ·

t

1+ 36.000

Cf =

Cs · ro ·

t

1+ 36.000

siendo : Cf : tipo de cambio a plazo. Cs : tipo de cambio al contado. rd : tipo de interés en el país destinatario final de la divisa (divisa final). ro : tipo de interés en el país originario de la divisa (divisa original). t:

tiempo en días que media entre la fecha valor del contado y la fecha valor del vencimiento a futuro.

En nuestro ejemplo, hemos utilizado el Euribor como interés de la divisa final, y el Libor dólar como interés de la divisa original. De esta forma tan sencilla funciona el mecanismo de formación de los tipos del seguro de cambio. O lo que es lo mismo, el plazo no significa ninguna incertidumbre propia de los mercados de divisas; basta con seguir la evolución de los tipos de interés internos de cada país en el corto plazo, que suelen ser bastante estables, y cuando van a sufrir modificación, existe un preaviso o fecha concreta por parte de las autoridades monetarias. Dicho de otra manera, la incertidumbre dimanante de los mercados de divisas se recoge exclusivamente en los precios “spot”, es decir, en los tipos de cambio de contado. También es posible que existan distorsiones en la curva de tipos a futuro, como, por ejemplo, realineamientos futuros anunciados, cambios de tipos de interés para

202

dentro de unas semanas, etc. Ello provocará que los tipos “forward” a partir de esa fecha tengan una base de contado distinta. Por último, pueden existir factores de índole psicológica que hagan que se deteriore la posición de la moneda con el tiempo, como, por ejemplo, la debilidad de la divisa o la creencia generalizada de que el déficit público o la balanza comercial del país se irán deteriorando a lo largo del tiempo. Ello podría provocar distorsiones no reflejadas exclusivamente en los tipos de interés, que podrían afectar a los tipos “forward”. Por tanto, un seguro de cambio no es otra cosa que un “swap” de un solo flujo, o permuta financiera entre dos divisas, el cual se encuentra estandarizado, y goza de una amplia liquidez. En los mercados de divisas, se suele producir un fenómeno que algunos denominan “tormenta monetaria”, y que en el fondo no es otra cosa que la especulación. Los movimientos especulativos han tomado especial relevancia en los años noventa, cuando se pudo ver cómo los brokers internacionales eran capaces de arrinconar contra las cuerdas a los bancos centrales que, a pesar de intentos desesperados de intervención conjunta, vieron cómo sus monedas se depreciaban, y que incluso, como en España, tenían que aceptar sucesivas devaluaciones oficiales de los tipos de cambio de la entonces vigente peseta. El mecanismo especulativo es bastante sencillo. Los brokers toman posiciones compradoras (largas) en las monedas que esperan se aprecien en el futuro, y toman posiciones vendedoras (cortas) en las monedas que esperan se deprecien en el futuro. Una posición larga en una moneda presupone una posición corta en otra moneda, es decir, las posiciones son duales; siempre que se apuesta por una moneda, automáticamente se está apostando en contra de otra. Los especuladores, para realizar la apuesta anterior, harán las siguientes operaciones: -

Como no tienen moneda fuerte, la comprarán en contado, vendiendo en contado la moneda débil.

-

Como no tienen moneda débil, la comprarán en contado, vendiendo en contado la moneda fuerte.

-

La moneda débil comprada les da soporte para vender a plazo dicha moneda.

-

Como cuando se produzca el vencimiento de dicha moneda, habrá de existir una contrapartida, compran a plazo la moneda fuerte.

De esta manera, las operaciones en contado se compensan, y sólo quedan vivas dos operaciones a plazo: compra de moneda fuerte y venta de moneda débil, lo que constituye un “swap” similar al seguro de cambio.

203

CUESTIONES Y PROBLEMAS

7.1.- Problema de cálculo de cotizaciones de FRA’s: a) Obtener la horquilla de cotizaciones del mercado de FRA’s en el caso de 6 meses sobre 12 meses, si las cotizaciones actuales son las siguientes para el Euribor: Período 6 meses 12 meses

Tipos EURIBOR___ Tomador Prestador 3,70% 3,75% 3,95% 4,05%

Días 183 366

b) Pasados seis meses en el caso anterior, y asumiendo que se tomaron 10 millones al 3,934%, y el tipo Euribor a seis meses es entonces del 3,80%, obtener el valor de la liquidación del FRA. a)

3,65 ~ 0

~ 183 d. 3,30

r

183

1 · 1 + 0,033 ·

~ 366 d.

183

366

1 + r · 360

= 1 · 1 + 0,0365 · 360

360

366

1 + 0,0365 · 360

r =

360

- 1

= 0,03934007 (Tipo Vendedor).

·

183

183

1 + 0,033 · 360

3,35

r

~ 0

~ 183 d.

~ 366 d.

3,55 183

1 · 1 + 0,035 ·

183

1 + r · 360

366

= 1 · 1 + 0,0355 · 360

360

366

1 + 0,0355 · 360

r =

360

- 1 183

= 0,036872099 (Tipo Comprador).

· 183

1 + 0,0335 · 360

204

Horquilla:

( 3,6872 ; 3,9340 )

b)

( 3,8 - 3,934 ) · 10.000.000 · 183

Liquidación =

1

·

=

36.000

3,8 · 183 1 + 36.000

= - 6.682,58 €. es decir, el cliente que asumía que se financiaba al 3,934%, puede hacerlo ahora al 3,80%, pagando un diferencial de 6.682,58 euros al Banco. 7.2.- Problema de cálculo de horquilla de cotizaciones de FRA’s (2): Si la horquilla del Euribor a tres meses es (4,00-4,12) y a seis meses (4,15-4,30), obtener razonadamente la horquilla del FRA 3/6. 3 meses 6 meses

4,00 4,15

4,12 4,30 4,15

~ 0

~ 3

~ 6

4,12 365

1 · 1 + 0,0415 ·

r

1

365

·

= 1 + 0,0412 ·

360

1

·

2

360

365

· 1+r· 4

1

· 360

4

182,5

1 + 0,0415 · 360

r =

360

- 1

·

= 0,04136798 (Tipo Vendedor).

91,25

91,25

1 + 0,0412 · 360 r*

4,00

~ 0

~ 3

~ 6

4,30 365

1 · 1 + 0,04 ·

1

360

365

· 1 + r* ·

· 4

1

· 360

365

= 1 · 1 + 0,043 · 4

205

1

· 360

2

182,5

1 + 0,043 · 360

r* =

360

- 1

·

91,25

= 0,04553829 (Tipo Comprador). 91,25

1 + 0,04 · 360

Horquilla:

(4,136 – 4,553)

7.3.- Problema de cálculo de liquidaciones de FRA’s. Una empresa que tiene contratada una financiación de un millón de euros con pago cuatrimestral de intereses, contrata un FRA 4/8 meses al tipo resultante de la cotización actual: Período 4 meses 8 meses

Tipos EURIBOR___ Tomador Prestador 2,71% 2,75% 2,85% 2,88%

Días 121 246

Calcular el valor de la liquidación del FRA, y a favor de quién es, transcurridos 4 meses en los siguientes casos: a) El tipo Euribor a cuatro meses se ha situado en el 3,75%. b) El tipo Euribor a cuatro meses se ha situado en el 2,20%. 2,85

~ 0

~ 4

~ 8

2,75

r

246

1 · 1 + 0,0285 ·

121

= 1 · 1 + 0,0275 360

125

· 1+r· 360

360

246

1 + 0,0285 · 360

r =

360

- 1 121

·

= 0,02919811968 (Tipo Vendedor). 125

1 + 0,0275 · 360 r*

2,71

~ 0

~ 4 2,88

206

~ 8

246

1 · 1 + 0,0288 ·

121

= 1 · 1 + 0,0271 360

125

· 1 + r* · 360

360

246

1 + 0,0288 · 360

r* =

360

- 1

·

121

= 0,03017078496 (Tipo Comprador). 125

1 + 0,0271 · 360

Horquilla:

(2,9198 – 3,0170)

Al ser una financiación, el tipo a aplicar sería 3,017%. a) E = 3,75%

Beneficioso para la empresa. ( 3,75 - 3,017 ) · 1.000.000 · 125

Liquidación =

1

·

=

36.000

3,75 · 125 1 +

= 2.512,43 €. b) E = 2,20%

36.000

Negativo para la empresa. ( 3,017 - 2,20 ) · 1.000.000 · 125

Liquidación =

1

·

=

36.000

2,20 · 125 1 +

= 2.815,30 €.

36.000

7.4.- Problema de cálculo de cobertura de una posición a vencimiento en otra divisa. Necesito una financiación de 500.000 dólares dentro de tres meses y para un período de seis meses. El nivel de tipos de interés en la actualidad me parece adecuado, ya que los tipos del Libor dólar a tres meses están en la horquilla (3,25%; 3,35%) y los mismos tipos a nueve meses en la horquilla (3,50%; 3,65%). Por ello, decido contratar un FRA para cubrirme de una eventual subida de los tipos de interés, al precio de mercado. Transcurridos los tres meses, el Libor dólar a seis meses estaba al 3,30%. Indicar si la contratación del FRA ha sido o no positiva para mí, y en qué cuantía. Contrato entonces un préstamo por el importe que necesito financiar, pero deseo cubrir el riesgo de cambio a vencimiento. La horquilla de cotización entre el euro y el dólar es actualmente (1,223; 1,229), y el banco me cobraría un 0,4% por asegurar el cambio. ¿Cuántos euros tendré que pagar al vencimiento del préstamo para liquidarlo? 3 meses 9 meses

3,25 3,50

3,35 3,65

207

3,65

~

~

0

3

~ 9

3,25

r

365

3

1$ 1 + 0,0365 ·

365

· 360

= 1$ 1 + 0,0325 · 4

1

·

365

· 1+r·

360

4

1

· · 360

2

273,75

1 + 0,0365 · 360

36.000

r =

- 1

·

91,25

= 0,038185 182,5

1 + 0,0325 · 360 ( 3,8185 - 3,30 ) · 500.000 · 182,5

Liquidación =

1

·

=

36.000

3,30 · 182,5 1 + 36.000

= 1.292,63 $ a cargo mío (negativos para mí). Importe a financiar: 500.000 + 1.292,63 = 501.292,63 $ Como quiero pagar en euros, tendré que cambiar los dólares a 1,223 $/€. Tendré que pagar: 3,30 · 182,5

501.292,63 · 1 +

= 509.678,84 $ 36.000 1

509.678,84 ( 1 + 0,004 )

= 418.411,74 €. 1,223

7.5.- Problema de obtención de un seguro de cambio: Un partícipe de un fondo de inversión internacional denominado en $, ha decidido comprar un inmueble situado en Marsella. El contrato especifica que el pago se deberá de realizar dentro de tres meses, y supondrá 10 millones de euros. El partícipe desea vender los $ hoy, valor dentro de 90 días, obteniendo a cambio los 10 millones de euros. En estos momentos, la cotización en contado es de 1,35 $ por cada euro, y los tipos de interés a tres meses son del 3,92% para los euros, y del 5,27% para los $ USA. Si la comisión del Banco es del 0,1%, indicar por cuantos $ deberá de solicitar el partícipe el reembolso del Fondo.

208

Obtenemos primero el cambio forward o a plazo del $ / €: 90 1 + 3,92 · 36.000

cf = 1,35 ·

= 1,3455 90 1 + 5,27 · 36.000

Por tanto: 0,1

q ·

1 -

· 1,3455 = 10.000.000 100 10.000.000

q =

= 1.673.910,99 $. 1,3455 · 0,999

7.6.- Problema de obtención de la cotización del Libor a partir de un seguro de cambio: El Banco Urquijo nos ha cotizado un seguro de cambio de € / $ a 1,40 para dentro de 90 días. Si hoy cotiza a 1,393, y el Euribor a tres meses está al 3,95%, ¿cuál es la cotización del Libor $ a tres meses?

1,393

1,40 90 días 90

90

1 € · 1 + 3,95 ·

· 0,90 = 1 € · 0,893

1 + r·

36.000

36.000

3,95 · 90 1+

· 0,90 36.000

r =

36.000 - 1

·

0,893

= 7,116% 90

7.7.- Problema de obtención de la financiación necesaria para pagar una importación en divisas (1): Un importador francés necesita comprar 1 millón de libras esterlinas para la compra de una partida de carne de cordero a su proveedor de Glasgow. Los cambios de las divisas son: Demanda Oferta $ USA / Libra Esterlina 0,595 0,603 $ USA / € 1,4283 1,4301 ¿Cuál será la horquilla de cotización € / libra esterlina? Si el Banco le cobra una comisión del 0,4% al importador por hacer un seguro de cambio a 60 días, y los tipos

209

de interés a dicho plazo son del 4,5% (A/360) para el euro, y del 6,50% (A/360) para la libra esterlina, ¿cuántos euros tendrá que aportar el importador para adquirir el millón de libras que tiene que entregar? 0,595 libras …………. 1 $

1.000.000

x = 1.000.000 libras …………. x

= 1.680.672,27 $ 0,595

1,4283 $ ……….……. 1 €

1.680.672,27

x = 1.680.672,27 $ .…………. x

= 1.176.694,16 € 1,4283

Luego la cotización será: 1,17669416 € por libra. 0,603 libras …………. 1 $

1.000.000

x = 1.000.000 libras …………. x

= 1.658.374,79 $ 0,603

1,4301 $ ……….……. 1 €

1.658.374,79

x = 1.658.374,79 $ .…………. x

= 1.159.621,56 € 1,4301

Luego la cotización será: 1,15962156 € por libra. La horquilla sería (1,160 – 1,177). El importador necesita 1.000.000 libras, y tiene que tener en cuenta que le van a cobrar un 0,4% de comisión por el seguro de cambio. Cambio spot: 1,177€, que tendrá que entregar por cada libra. 60

90

1 € · 1 + 4,50 ·

· cf = 1 € · cs · 1 + 6,5 · 36.000

36.000

1 + 0,01625

cf = c s ·

= 1,177 · 1,008684864 = 1,187222085 1 + 0,0075

x · (1 – 0,004) = 1.000.000 · 1,187222085 1,187222085

x =

= 1.191.990,04 € 0,996

7.8.- Problema de obtención de la financiación necesaria para pagar una importación en divisas (2). Tenemos que pagar 10.000 libras esterlinas dentro de 45 días a un acreedor, y tenemos nuestra tesorería excedente en rupias indonesias. Las horquillas de cotización de estas divisas en contado son: Oferta Demanda Rupia / $ 87,15 88,02 $ / Libra 1,605 1,619

210

¿Cuántas rupias indonesias tendré que entregar al banco hoy, para garantizarme el pago futuro de mi deuda, si el Banco me cobra una comisión de cambio del 0,4% flat y los tipos de interés de la libra y de la rupia, en el plazo de 45 días son respectivamente 5% y 7,5%? 88,02 rupias por cada dólar que necesito para comprar libras. 1,619 $ por cada libra que necesito comprar. Por tanto, pagaré: 88,02 · 1,619 = 142,50438 rupias por cada libra. t

t

1 · 1 + rr ·

· c f = 1 · cs · 1 + rl · 36.000

36.000

5 · 45 1+ 36.000

cf = c s ·

= 142,50438 · 0,996904 = 142,06319 7,5 · 45 1+ 36.000

10.000 · 142,06319 = 1.420.631,90 rupias. Como hay que pagar un 0,4% de comisión: 1.420.631,90 (1 + 0,004) = 1.426.314,43 rupias. 7.9.- Problema de cobertura del riesgo de cambio de una emisión de bonos. Una empresa española decide emitir bonos en dólares en el mercado americano. La emisión se realizaría al 98% de precio de emisión, a tres años, vencimiento único, con pago de cupón anual del 5% y prima de amortización del 3%. La cotización del dólareuro es la siguiente en estos momentos: Oferta 1,4283

$ USA / €

Demanda 1,4301

Si los tipos de interés del $ a uno, dos y tres años son del 4%, 4,25% y 4,50%, y los del euro, del 4,30%, 4,35% y 4,65%, y la empresa cubre en su totalidad y desde el primer momento de la emisión el riesgo de cambio, calcular cual es el coste financiero de la emisión para la empresa. 5

5

3 100 5

98

Recibo 98 $, que convierto a euros: 98

= 68,526676 € 1,4301

Pagaré 5 $, 5$ y 108 $, cuya conversión a euros se hará con un seguro de cambio basado en un precio de contado de 1,4283 $ / €.

211

365

1 $ · 1 + 4,00 ·

365

· cf = 1 $ · cs · 1 + 4,3 · 36.000

36.000 365

1 + 0,043 · 360

cf (1) = 1,4283 ·

= 1,432475089 365 1 + 0,04 · 360 365

2

1 + 0,0435 · 360

cf (2) = 1,4283 ·

= 1,431077979 365

2

1 + 0,0425 · 360 365

3

1 + 0,0465 · 360

cf (3) = 1,4283 ·

= 1,434541338 365

3

1 + 0,045 · 360

5 / 1,432475089 = 3,490462095 5 / 1,431077979 = 3,493869708 108 / 1,434541338 = 75,285387140 3,490462095

3,493869708

75,28538714

68,526676 3,490462095

68,526676 =

3,493869708

+ 1+r

75,28538714

+ ( 1 + r )2

( 1 + r )3

r = 6,584771274%.

7.10.- Problema de cálculo de la horquilla de cotización a plazo de dos divisas y la realización de un seguro de cambio en pesos uruguayos. Una multinacional con sede en París, desea ampliar sus negocios para lo que necesita adquirir un inmueble situado en Uruguay por un total de diez millones de pesos uruguayos, pagaderos dentro de treinta días, siendo el tipo de cambio actual de: Peso Uruguayo / $ USA $ USA / €

Demanda Oferta 750,05 762,98 1,4567 1,4698

Calcular la horquilla de cotización Peso Uruguayo / €, y calcular qué tipo de cambio debe asegurar si los tipos de interés para 30 días son del 5,6% para el peso uruguayo,

212

y del 3,25% para el euro; y si el banco le cobra una comisión del 0,25%, ¿de cuántos euros podrá disponer? 1$

………… 750,05 pesos. x = 750,05 · 1,4567 = 1.092,60 pesos / €

1,4567 $ …………. x 1 $ ……….… 762,98 pesos. x = 762,98 · 1,4698 = 1.121,43 pesos / € 1,4698 $ .…………. x Luego la horquilla de cotización será: (1.092,60 ; 1.121,43). Como tenemos que comprar pesos, nos darán 1.092,60 por cada euro. 30

1€

·

1 + 3,25 ·

30 ·

cf = 1 € · 1.092,6 · 1 + 5,6 ·

36.000

36.000 30

1 + 0,056 · 360

cf = 1.092,60 ·

= 1.094,74 30 1 + 0,0325· 360 10.000.000

x ( 1 – 0025 ) · 1.094,74 = 10.000.000

x=

= 9.157,48 €. 1.094,74 · 0,9975

7.11.- Problema de cálculo de la horquilla de cotización a plazo de dos divisas y la realización de un seguro de cambio en pesos chilenos. Un exportador italiano necesita vender 2 millones de pesos chilenos procedentes de la venta de una partida de zapatos de diseño a un cliente de Santiago de Chile. Los cambios de las divisas son: Demanda Oferta Peso Chileno / $ USA 740,20 752,15 $ USA / € 1,0711 1,0802 ¿Cuál será la horquilla de cotización Peso Chileno / €? Si el Banco le cobra una comisión del 0,35% al exportador por hacer un seguro de cambio a 90 días, y los tipos de interés a dicho plazo son del 3% (A/360) para el euro, y del 6,50% (A/360) para el peso chileno, ¿cuántos euros recibirá el exportador como contrapartida de la venta de los dos millones de pesos que prevé recibir? 1$

………… 740,02 pesos. x = 740,02 · 1,0711 = 792,828 pesos / €

1,0711 $ …………. x 1 $ ……….… 752,15 pesos. x = 752,15 · 1,0802 = 812,472 pesos / € 1,0802 $ .…………. x Luego la horquilla de cotización será: (792,828 ; 812,472). Como tenemos que comprar pesos, nos darán 792,58 por cada euro.

213

90

1€

·

90

1+ 3 ·

cf = 1 € · 812,472 · 1 + 6,5 ·

·

36.000

36.000 90

1 + 0,065 · 360

cf = 812,472 ·

= 819,5282 90 1 + 0,03 · 360 1

2.000.000 ( 1 – 0035 ) ·

= 2.431,89 €. 819,5282

7.12.- Cuestión relativa a las condiciones que deben tener los tipos de interés entre las divisas para que se produzca una determinada relación entre el tipo de cambio spot y el tipo de cambio forward. ¿Qué debe ocurrir con el tipo de interés a seis meses de nuestra moneda en relación con la del mismo plazo de la divisa con la que estamos realizando una operación de exportación, para que el cambio a plazo sea inferior al cambio en contado? Justificarlo razonadamente. 182,5

1 € · 1 + re ·

182,5 ·

cf = 1 € · c s · 1 + r d ·

36.000

36.000

1 + 0,0050694 · rd

cf = cs · 1 + 0,0050694 · re 1 + 0,0050694 · rd

cf < cs

<1

1 + 0,0050694 · rd < 1 + 0,0050694 · re

1 + 0,0050694 · re

rd < re El tipo de interés de la otra divisa es inferior al tipo de interés de la nuestra. 7.13.- Problema de cálculo de la horquilla de cotización a plazo de dos divisas y la realización de un seguro de cambio en francos suizos. Un exportador suizo necesita vender 1 millón de libras esterlinas procedentes de la venta de una partida de quesos realizada en Southampton. Los cambios de las divisas son: Demanda Oferta Franco Suizo / $ USA 1,627 1,638 $ USA / Libra Esterlina 0,621 0,629

214

¿Cuál será la horquilla de cotización franco suizo / libra esterlina? Si el Banco le cobra una comisión del 0,5% al exportador por hacer un seguro de cambio a 90 días, y los tipos de interés a dicho plazo son del 3,25% (A/360) para el franco suizo, y del 6,50% (A/360) para la libra esterlina, ¿cuántos francos suizos recibirá el exportador por la venta del millón de libras que recibirá? 0,621 £ ………… 1 $

1

x = 1 £ …………. x

= 1,6103 $ (por comprar 1£ nos 0,621

1 $ …….… 1,638 F.S.

piden 1,6103 $)

x = 1,6103 · 1,638 = 2,63767 F.S. (por comprar 1£ nos piden 2,63767 F.S.)

1,6103 $ .…………. x 0,629 £ ………… 1 $

1

x = 1 £ …………. x

= 1,5898 $ (por vender 1£ nos 0,629

dan 1,5898 $)

1 $ …….… 1,627 F.S. x = 1,5898 · 1,627 = 2,5866 F.S. (por vender 1£ nos 1,5898 $ .…………. x

dan 2,5866 F.S.)

Luego la horquilla de cotización será: (2,5866 ; 2,63767). Como tenemos que vender libras, nos darán 2,5866 francos suizos por cada libra. 90

1£

·

1 + 6,5·

90

cf = 1 £ · 2,5866 · 1 + 3,25 ·

·

36.000

36.000 90

1 + 0,0325 · 360

cf = 2,5866 ·

= 2,5659 F.S./ £ 90 1 + 0,065 · 360

1.000.000 ( 1 – 0,005 ) · 2,5659 = 2.553.070,50 F.S. 7.14.- Problema de cálculo de la horquilla de cotización a plazo de dos divisas y obtención del coste de una importación en dólares canadienses. Un importador canadiense necesita adquirir 1 millón de pesos chilenos para hacer frente a la compra de nitratos realizada en Chile. Los cambios de las divisas son: $ canadiense / $ USA peso chileno / $ USA

Demanda 1,33 633,15

Oferta 1,38 642,32

a) ¿Cuál será la horquilla de cotización $ canadiense / peso chileno? b) Si el Banco le cobra una comisión del 0,35% al importador por hacer un seguro de cambio a 120 días, y los tipos de interés a dicho plazo son del 3,25% para el

215

$ canadiense, y del 6,50% para el peso chileno, ¿cuántos dólares canadienses deberá destinar el importador para adquirir el millón de pesos que precisa?

1,38 $ C. ..……… 1 $

1

x = 1 $ C. …………. x

= 0,724 $. 1,38

1 $ …….… 633,15 p. x = 0,724 · 633,15 = 458,40 p. 0,724 $ .…………. x 1,33 $ C. .……… 1 $

1

x = 1 $ C. …………. x

= 0,751 $. 1,33

1 $ …….… 642,32 p. x = 0,751 · 642,32 = 482,38 p. 0,751 $ .…………. x Luego la horquilla de cotización será: (458,40 ; 482,38). Como tenemos que vender dólares canadienses, nos darán 458,40 pesos chilenos por cada dólar canadiense. 120

1 $ C. · 1 + 3,25·

120 ·

cf = 1 $ C. · 2,5866 · 1 + 6,5 ·

36.000

36.000 90

1 + 0,065 · 360

cf = 458,40 ·

= 463,31 p.ch./ $ C. 90 1 + 0,0325 · 360

Q ( 1 – 0,0035 ) · 463,31 = 1.000.000 1.000.000

Q=

= 2.165,96 $ can. 463,31 · 0,9965

7.15.- Problema de cálculo de la horquilla de cotización a plazo de dos divisas y la obtención del cambio en rublos rusos de una exportación. Un exportador ruso necesita vender 10 millones de dirham marroquíes para hacer efectiva la venta de 1.000 kilos de caviar realizada en Casablanca. Los cambios de las divisas son: Demanda Oferta Rublo / $ USA 29,15 29,35 Dirham / $ USA 9,01 9,05

216

a) ¿Cuál será la horquilla de cotización dirham / rublo? b) Si el Banco le cobra una comisión del 0,3% al exportador por hacer un seguro de cambio a 60 días, y los tipos de interés a dicho plazo son del 4,25% (A/360) para el rublo, y del 6,50% (A/360) para el dirham, ¿cuántos rublos recibirá el exportador por la venta de los 10 millones de dirham que posee? Compro $ y vendo rublos a 29,35; luego vendo $ y compro dirhams a 9,01. 29,35 r. ..……… 1 $

1

x =

= 0,03407155 $.

1 rb. …………. x

29,35

1 $ …….… 9,01 d. x = 9,01 · 0,03407155 = 0,30698 d. 0,03407155 d.………. x Vendo dirhams a 9,05 y compro $; luego vendo $ y compro rublos a 29,15. 9,05 d. ….……… 1 $

1

x =

= 0,110497 $.

1 d. …………. x

9,05

1 $ …….… 29,15 rb. x = 29,15 · 0,110497 = 3,22099 rb. 0,110497 $ .….……. x 0,30698 d. ….…… 1 rb.

1

x = 1 d. …………. x

= 3,25754 rb. 0,30698

Luego la horquilla de cotización será: (3,22099 ; 3,25754) rublos por dirham. Como tenemos que vender dirhams, nos darán 3,22099 rublos por cada dirham. 60

1 rb. · 1 + 4,25 ·

60 ·

cf = 1 rb. · 3,22099 · 1 + 6,5 ·

36.000

36.000 60

1 + 0,065 · 360

cf = 3,22099 ·

= 3,2329837 rb./ d. 60 1 + 0,0425 · 360

10.000.000 ( 1 – 0,003 ) · 3,2329837 = 32.232.848 rublos.

217

7.16.- Problema de cálculo de la horquilla de cotización a plazo de dos divisas y la realización de un seguro de cambio en bolívares. Un exportador venezolano necesita vender 500.000 reales brasileños resultantes de la venta de pieles de kapibara realizada en Brasil. Los cambios de las divisas son: Demanda 1.090 2,60

Bolívar / $ USA Real / $ USA

Oferta 1.115 2,70

a) ¿Cuál será la horquilla de cotización bolívar / real brasileño? b) Si el pago de los reales se realizara a 60 días vista, el Banco le cobra una comisión del 0,35% al exportador por hacer un seguro de cambio a dicho plazo, y los tipos de interés a dicho plazo son del 9,25% (A/360) para el bolívar, y del 7,50% (A/360) para el real brasileño, ¿cuántos bolívares recibirá finalmente el exportador por la venta de los 500.000 reales fruto de la exportación? 2,60 r. ..……… 1 $

1

x = 1 r. …………. x

= 0,384615385 $. 2,60

1 $ …….… 1.115 B. x = 0,384615385 · 1.115 = 428,85 B./r. 0,384615385 d.………. x 2,70 r. ….……… 1 $

1

x = 1 d. …………. x

= 0,37037037 $. 2,70

1 $ …….… 1.090 B. x = 0,37037037 · 1.090 = 403,70 B./r. 0,37037037 $ ..……. x Luego la horquilla de cotización será: (403,70; 428,85) bolívares por real. Como tenemos que vender reales, nos darán 403,70 bolívares por cada real. 60

1 r. · 1 + 7,5 ·

60 ·

cf = 1 r. · 403,70 · 1 + 9,25 ·

36.000

36.000 60

1 + 0,0925 · 360

cf = 403,70 ·

= 404,86 B./ r. 60 1 + 0,075 · 360

500.000 ( 1 – 0,0035 ) · 404,86 = 201.721.495 bolívares.

218

7.17.- Problema de cálculo de la cobertura del vencimiento de un bono cupón cero emitido en libras esterlinas. Dentro de seis meses le vence a una empresa un bono cupón cero que había emitido por 100.000 libras nominales hace seis años al 6% de interés efectivo anual. El Director Financiero necesita hacer una previsión de tesorería en euros para cubrir el vencimiento. La horquilla de cotización actual de la libra es (0,665; 0,675) libras por euro, y el Euribor semestral está al 2,40% nominal anual, mientras que el Libor semestral está al 4,25% nominal anual. El banco le ofrece asegurar el cambio por un 0,35% de comisión. ¿Cuántos euros tendrá que pagar la empresa dentro de seis meses para cubrir el vencimiento de este bono? 100.000 · (1 + 0,06)6 = 141.851,91 £ (vencimiento bono) 182,5

1 € · 1 + 2,4 ·

182,5 ·

cf = 1 €. · 0,665 · 1 + 4,25 ·

36.000

36.000 182,5

1 + 0,0425 · 360

cf = 0,665 ·

= 0,671 £./ €. 182,5 1 + 0,024 · 360 1

141.851,91 ( 1 + 0,0035 ) ·

= 212.143,65 €. 0,671

7.18.- Problema de cálculo de las cotizaciones del Euribor a 12 meses a partir de las cotizaciones de un FRA. La horquilla de FRA’s a 6 meses sobre 12 meses es (4,25; 4,45). Si las cotizaciones del Euribor a seis meses están en una horquilla de (4,10; 4,20), ¿cuál será la horquilla de cotizaciones del Euribor a doce meses? r ~ 0

~ 6

~ 12

4,10

4,25

365

1· 1+r ·

365

= 1 · 1 + 0,0410 · 360

1

· 360

r = 4,2191%

219

365

· 1 + 0,0425 · 2

1

· 360

2

4,20

4,45

~ 0

~ 6

~ 12

r* 365

365

1 · 1 + r* ·

= 1 · 1 + 0,042 · 360

1

·

365

· 1 + 0,0445 ·

360

2

1

· 360

2

r* = 4,3723% Horquilla:

(4,2191 – 4,3723)

7.19.- Cuestión relativa al precio al que se contrató un FRA en origen, a partir de la liquidación por diferencias. En la liquidación de un FRA para cubrir una financiación a cuatro meses con un nominal subyacente de 200.000 €, pagamos al banco 500 € como liquidación por diferencias. Si el Euribor a dicho plazo es del 2,15% anual, ¿a qué precio contratamos el FRA en origen? ( r - 2,15 ) · 200.000 · 4 · 365

Liquidación =

1

·

= 500

1200 · 360

2,15 · 4 · 365 1 + 1.200 · 360

r = 2,895%. 7.20.- Problema de cálculo de la horquilla de cotización a plazo de dos divisas. La horquilla de cotización de la rupia indica respecto del euro es (58,20; 59,45) rupias por euro. Si la horquilla del dólar euro es de (1,272; 1,281) dólares por euro, ¿cuál es la horquilla de cotización de la rupia india respecto del dólar?: 1,281 $ ..……… 1 €

1

x = 1 $ …………. x

= 0,7806 €. 1,281

1 € ……… 58,20 rp. x = 0,7806 · 58,20 = 45,433 rp. 0,7806 €.………. x 1 € ….…... 1,272 $

1

x = x …………. 1 $

= 0,786 €. 1,272

1 € …….… 59,45 rp. x = 0,786 · 59,45 = 46,737 rp. 0,786 $ ..…….…. x

220

Luego la horquilla de cotización será: (45,433; 46,737) rupias por dólar. 7.21.- Problema de evaluación del coste de financiación de los gastos de defensa de una república caucásica. El responsable de suministros de una república caucásica está evaluando el coste de una hipotética confrontación con otro país de su entorno. La duración prevista de las hostilidades sería de noventa y un días, y los gastos estimados a satisfacer al principio de cada período serían: -

Adquisición de fusiles y municiones: un millón de unidades monetarias semanal. Suministros para hospitales: doscientas mil unidades monetarias cada dos semanas. Manutención del ejército: cinco millones de unidades monetarias diarias. Combustibles para vehículos y tanques: dos millones de unidades monetarias cada trece días.

Un grupo de bancos está dispuesto a financiar a este país, dándoles crédito durante el período citado al 8% anual T.A.E., con la condición de que el crédito se reembolse en dólares al final del período. Si la moneda del país cotiza el día del inicio de las hostilidades a 9 unidades por dólar, y los tipos de interés a tres meses de dicha moneda y del dólar son respectivamente del 7% y del 4% Libor anual, ¿qué coste en dólares habría tenido esta guerra para el erario público de la república el día en que se firme el armisticio? 91

= 13 semanas. 7 1

1 + 0,08 = (1 + i52 )52 Ÿ i52 = (1 + 0,08)52 - 1 = 0,001481116% semanal. 1

1 + 0,08 = (1 + i26 )26 Ÿ i26 = (1 + 0,08)26 - 1 = 0,002964425% cada dos semanas. 1

1 + 0,08 = (1 + i365 )365 Ÿ i365 = (1 + 0,08)365 - 1 = 0,000210874% cada día. 365

13

1 + 0,08 = (1 + i28 )13 Ÿ i28 = (1 + 0,08)365 - 1 = 0,002744838% cada trece días. 1

1

1

1

1 …………………………………………………….. 1

0,2 0,2 0,2 ………………………………………………….. 0,2 2 2 2 2 ............................................ 2 5 5 5 5 5 .......................................................................................................................................................................... 5

~ x x x x x x~ 0

7

x~ 14

~ 21

x ~ 26 28

x 39

x 78

_ 84

(1 + 0,001481116 )13 - 1

V91 = 1 · (1 + 0,001481116) ·

+ 0,2 · (1 + 0,002964425) · 0,001481116

(1 + 0,002964425 )6 - 1

·

(1 + 0,000210874 )91 - 1

+ 5 · (1 + 0,000210874) · 0,002964425

+ 0,000210874

221

x_ 91

(1 + 0,002744838 )7 - 1

+ 2 · (1 + 0,002744838) ·

= 0,002744838

= 13,13558356 + 1,21252255 + 459,4416385 + 14,15455792 = 487,9442922 u.m. 91

91

1$· 1+ 4·

·

cf = 1 $ · 9 · 1 + 7 ·

36.000

36.000

91 1+ 7· 36000

cf = 9 ·

= 9,067566 u.m./ $. 91 1+ 4 · 36000

484.944.292,20

= 53.812.042,60 $. 9,067566

222

CAPÍTULO 8. EL MERCADO DE DEUDA PÚBLICA ANOTADA. 1. El Tesoro Público como emisor de activos. La emisión de valores por parte del Tesoro Público, depende de las necesidades del déficit del Estado Español, las cuales a su vez, tienen su origen en la política monetaria estatal. Los principales instrumentos que utiliza el Tesoro Público para instrumentar dicha política son las letras del Tesoro y los Bonos del Estado. La emisión de Deuda Pública se realiza siguiendo uno de los siguientes procedimientos o una combinación de los mismos: -

Subasta competitiva, de acuerdo con el procedimiento que se indica más adelante. Después de la subasta se abre un período de suscripción pública.

-

Procedimiento competitivo aplicada a un número restringido de instituciones autorizadas, que acuerda asegurar la emisión o actuar como contraparte en el mercado secundario. En estos casos, el Tesoro puede formalizar los acuerdos y contratos que considere adecuados con las instituciones elegidas, estableciendo en su caso procedimientos de colocación que sean diferentes de los aplicados en el procedimiento de subasta.

Las subastas son convocadas por Resolución de la Dirección General del Tesoro y Política Financiera, especificando los siguientes detalles: -

Las fechas de emisión y vencimiento de los títulos de la Deuda. La fecha y última hora para enviar las ofertas al Banco de España. La fecha de adjudicación. La fecha de ejecución de la operación. La fecha y última hora para el pago de los valores adjudicados en subasta. La posibilidad de realización de subastas no competitivas.

Cualquier individuo o entidad, residente o no residente puede pujar y suscribir valores emitidos por el Tesoro. Las pujas pueden ser realizadas en cualquier sucursal del Banco de España. Los inversores que no sean titulares de anotaciones en cuenta pueden realizar sus ofertas directamente o a través de una entidad gestora o un agente autorizado por la Dirección General del Tesoro y Política Financiera. Las entidades gestoras pueden suscribir valores del Tesoro para su cuenta propia o por cuenta de terceros. No obstante, las pujas que realicen no distinguirán este hecho, que será comunicado en la fecha de emisión en relación con los valores adjudicados. Las pujas se realizan entre las 8.30 y las 10.00 horas mediante comunicación telemática al Banco de España, o a través del Servicio Telefónico del Mercado de Dinero. En el caso de los creadores de mercado, pueden incluir pujas hasta las 10.30 horas. Las personas físicas pueden acudir directamente al Banco de España dos días antes de la subasta, indicando que entidad gestora actuará como depositaria para los valores que se les adjudiquen.

223

Para poder acceder a la subasta sin ser miembro del mercado, el Banco de España exigirá una garantía del 2% del nominal solicitado. Las ofertas pueden ser de dos tipos: -

Competitivas, en las que los oferentes indican su mejor precio por el instrumento de Deuda que se financia, expresándose el precio en porcentaje del valor nominal.

-

No Competitivas, en las que los oferentes no especifican el precio, y aceptan el precio medio que resulte de la subasta.

Las peticiones recibidas se colocan por orden descendente de precios, y el Director General del Tesoro, asesorado por dos representantes del Banco de España, y dos de la Dirección General del Tesoro y Política Financiera, decide la cantidad a emitir y el precio al que se adjudicarán las Letras. El precio más bajo aceptado de la subasta, se denomina marginal y a partir de él, todas las peticiones realizadas serán rechazadas. De las peticiones aceptadas, se calcula el precio medio ponderado, y a dicho precio se emitirán todas aquellas peticiones solicitadas a ese precio, por encima de ese precio, o sin precio (no competitivas). Las peticiones aceptadas realizadas a un precio inferior al precio medio, se adjudicarán al precio pujado. Resumiendo: Sean “PG”, el precio marginal, “PM” el precio medio, y “P” el precio pujado; entonces: -

Si P < PG, no se adjudican títulos.

-

Si PG < P < PM, se adjudican los títulos al precio “P” solicitado.

-

Si PM < P, se adjudican los títulos al precio PM.

La resolución de la subasta se publica el mismo día en la web del tesoro (http://www.tesoro.es), en Reuters, en Bloomberg y en Telerate, y en el Boletín Oficial del Estado. La información a publicar indicará: -

El importe nominal solicitado. El importe nominal adjudicado. El precio marginal y el precio medio de las peticiones aceptadas. El precio o precios a pagar por la Deuda adjudicada. La tasa interna de retorno del precio marginal y del precio medio de los valores adjudicados.

Pasando ya a los instrumentos concretos, las Letras del Tesoro surgieron como un instrumento regulador de los mercados monetarios, y como un medio de financiar el déficit público. Se emiten a tres, seis, doce o dieciocho meses, realizándose las subastas los miércoles cada dos semanas. El sistema de emisión utiliza el procedimiento de subasta antes descrito. Veamos un ejemplo. Ejemplo: Un Banco decide acudir a la próxima subasta de Letras del Tesoro, que se ha convocado con valor 10-2-10, y vencimiento 8-02-11. Los importes y tipos a los que el Banco licitaría serían.

224

500 750 1.000 1.500

m. m. m. m.

al al al al

3,00% 3,05% 3,10% 3,15%

a) Calcular con tres decimales los precios a los que acudiría a la subasta. El Banco de España recibe las subastas de todas las entidades adheridas al Sistema, y al final las agrupa de la siguiente forma: 2.000 3.000 2.500 3.500 3.750 4.000

m. m. m. m. m. m.

al al al al al al

97,106% 97,064% 97,016% 96,969% 96,922% 96,882%

Si el Banco decide adjudicar 9.000 m. de euros en esta subasta, b) c) d) e)

¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál 365?

será el tipo marginal de la subasta? será el tipo medio de la subasta? será la adjudicación que le habrán hecho a nuestro Banco? es el tipo medio de la cartera adjudicada a nuestro Banco en base

Si un cliente desea adquirir 500.000 euros nominales, y el Banco desea obtener un diferencial del 0,10% anual de beneficio. f)

¿Cuál será el precio de adquisición de estas letras?

Transcurridos 70 días, otro cliente desea invertir un importe aproximado de 100.000 euros efectivos. Si el Banco le cotiza al 2,90%. g) h) i) j)

¿Cuántas letras podrá adquirir? ¿Cuál será el importe final efectivo satisfecho por las letras? ¿Qué beneficio habrá obtenido el Banco en esta venta? ¿Qué parte de dicho beneficio se corresponderá con devengo de interés y qué parte con plusvalía en la venta?

a)

100

100 = 97,064% ;

3 · 363

= 97,016% 3,05 · 363

1 +

1 + 36.000

36.000

100

100 = 96,969% ;

= 96,922%

3,10 · 363

3,15 · 363

1+

1 + 36.000

36.000

b) El Banco de España adjudicaría: 2.000 3.000 2.500 1.500 9.000

al al al al

97,106% 97,064% 97,016% 96,969%

tipo marginal: 3,10% (A / 360).

225

c) El tipo medio sería: 2.000 · 97,106 + 3.000 · 97,064 + 2.500 · 97,016 + 1.500 · 96,969 = 97,044%. 9.000 100

100 = 97,044%

Ÿ

r =

36.000 -1 ·

r · 363

97,044

= 3,020867% 363

1 + 36.000 d) Al tipo marginal nos adjudicarían: 1.500 · 1.000 = 428,571 m. (son de nominal 1.000 €.) 3.500 Al precio 97,016 nos adjudicarían la petición de 750 m. euros. Al tipo medio nos adjudicarían la petición de 500 m. euros. e)

428,571 · 96,969 + 750 · 97,016 + 500 · 97,044 = 97,01234 %. 428,571 + 750 + 500 Nos han adjudicado 1.678,571 m. € al 97,01234 %. 100 1 +

100 = 97,01234% Ÿ r =

r · 363

36.500 = 3,09664%

-1 · 97,01234

363

36.500

f) El Banco quiere sacar un 0,10% anual, por lo que venderá las letras al 2,99664%. 500.000 = 485.530,13 €. 2,99664 · 363 1 + 36.500 g)

100 = 97,725 %. 2,90 · 293 1 + 36.500

100.000 = 102.327,96 €.

Podría adquirir 102 letras, por defecto.

0,97725 h) 102.000 · 0,97725 = 99.679,50 €. i)

Precio de venta: Precio de compra: (102.000 · 0,9701234)

99.679,50 98.952,59 726,91 €.

226

j)

100 = 97,5745 %. 3,09664 · 293 1 + 36.500 102.000 · (0,97545 - 0,9701234) = 543,31 € (devengo de interés). 726,91 - 543,31 = 183,60 € (plusvalía).

Los Bonos y Obligaciones del Estado constituyen activos a medio y largo plazo con los que el Tesoro Público se financia en los mercados de capitales. Son valores de renta fija emitidos con un nominal mínimo de 1.000 €, y con amortización a tres, cinco, diez, quince y treinta años, que devengan un cupón periódico anual, y cuya emisión, al igual que la de las Letras, se realiza mediante subasta. Para obtener el precio de los bonos, usaremos el descuento compuesto. En el mercado de bonos se utilizan las siguientes bases: Base Actual / Actual.- El cupón corrido se calculará utilizando la siguiente fórmula: t c C.C. = · s n siendo:

t: número de días naturales transcurridos desde el último pago de cupón hasta la fecha de transmisión (se incluye el día del último pago, y se excluye el día de la transmisión). s: número de días naturales transcurridos desde el último pago de cupón hasta el próximo pago de cupón (se incluye el día del último pago, y se excluye el día del próximo pago). c: cupón anual del bono. n: número de pagos de cupón cada año.

Por ejemplo, si queremos calcular el cupón corrido de un bono con cupón del 5% anual, que pagó el último cupón el 17-6-02, y hoy es 30-4-03, el cupón corrido será: 317 5 C.C. = · = 4,342465754%. 365 1 si el último pago de cupón hubiera sido el 15-3-10, y hoy es 30-6-10, el cupón corrido sería: 107 5 C.C. = · = 1,461748634% 366 1 por último, si el cupón del caso anterior fuera semestral: 107 C.C. =

5 ·

184

= 1,453804348%. 2

En lo que respecta al cálculo del TIR, se asume el convenio de considerar todos los años siguientes como si tuvieran 365 días, tanto en lo que respecta a los días transcurridos como en lo relativo a la base. De esta manera, el efecto del año bisiesto se minimiza, puesto que cuando el año tiene 366 días, correría un día más en numerador y en denominador, con lo que el efecto final sería mínimo. Por tanto, la fórmula del TIR Actual / Actual es:

227

Q1

Q2

Vo =

Q3

+ d

(1+r) siendo:

+ …...... +

d

1+ B

Qn

+ (1+r)

d

d

2+ B

(1+r)

n-1 + B

(1+r)

B

Qi : flujo del período “i”, ya sea cupón o amortización de principal. d : número de días naturales que median entre la fecha de ejecución de la operación y la fecha de pago del primer cupón. B: los días correspondientes al período de devengo del cupón en curso,

es decir, 365, 366, 181, 183, 184, etc. Asimismo, y de cara a la valoración, hay que tener en cuenta que se considerarán los días de pago de cupón con la fecha prefijada de antemano, pero en el caso del último flujo, cuando se produce el pago del principal, es preciso que coincida con un día hábil (de lunes a viernes no festivos); en caso de coincidir con un sábado, un domingo o un día festivo, se considerará el primer día siguiente hábil, lo cual obviamente hay que tenerlo en cuenta de cara a la obtención del valor actual de esta renta. Base Actual / 365.- El cupón corrido se calculará utilizando la siguiente fórmula: t C.C. =

·c 365

Siendo:

t: número de días naturales transcurridos desde el último pago de cupón hasta la fecha de transmisión (se incluye el día del último pago, y se excluye el día de la transmisión). c: cupón anual del bono.

Por ejemplo, si queremos calcular el cupón corrido de un bono con cupón del 5% anual, que pagó el último cupón el 17-6-09, y hoy es 30-4-10, el cupón corrido será: 317 C.C. = · 5 = 4,342465754%. 365 si el último pago de cupón hubiera sido el 15-3-10, y hoy es 30-6-10, el cupón corrido sería: 107 C.C. = · 5 = 1,465753425% 365 por último, si el cupón del caso anterior fuera semestral: 107 C.C. =

· 5 = 1,465753425%. 365

Evidentemente es menos precisa que la base A/A al no considerar ni los días reales que hay en cada período ni los años bisiestos. En lo que respecta al cálculo del TIR, se asume el convenio de considerar como período transcurrido el número de días naturales de cada año, en lo que respecta a los días transcurridos, mientras que en la base, se consideran siempre divisores de 365 días, esto es, 91,25 para trimestres, 182,5 para semestres, 365 para años, etc. Por tanto, la fórmula del TIR Actual / 365 es:

228

Q1

Q2

Vo =

Q3

+ (1+r)

+ …...... +

t2 +d

d B

Qn

+ (1+r)

t3 +d

B

(1+r)

B

tn +d

(1+r)

B

siendo: Qi : flujo del período “i”, ya sea cupón o amortización de principal. d : número de días naturales que median entre la fecha de ejecución de la operación y la fecha de pago del primer cupón. B : los días correspondientes al período de devengo del cupón en curso, como divisor de 365, es decir, 365, 182,5, 91,25 etc. ti : número de días naturales que median entre la fecha de pago del primer cupón y el día final del período “i”, esto es, los días naturales que se corresponden con el segundo año; con el período comprendido entre el inicio del segundo año y el final del tercer año; …..; con el período comprendido entre el inicio del segundo año y el final del año “n”. El procedimiento de subasta también es similar al de las Letras, existiendo subastas competitivas y no competitivas, según que se solicite un precio concreto de adquisición o no. Las subastas de bonos y obligaciones se suelen realizar los miércoles y los jueves de la primera semana de cada mes. Para poder acceder a la subasta sin ser miembro del mercado, el Banco de España exigirá una garantía del 2% del nominal solicitado. Las peticiones recibidas se colocan por orden ascendente de precios, decidiéndose la cantidad a emitir y el precio al que se adjudicarán los bonos y obligaciones. El precio más bajo aceptado es el marginal y a partir del él, todas las peticiones realizadas serán rechazadas. De las peticiones aceptadas, se calcula el precio medio ponderado, y a dicho precio se emitirán todas las peticiones que igualen o superen dicho precio, así como las no competitivas. Las peticiones aceptadas realizadas a un precio inferior al precio medio, se adjudicarán al precio pujado. Veamos un ejemplo: Ejemplo: Un Banco decide acudir a la próxima subasta de Bonos del Tesoro, que se ha convocado el 6-5-10 con valor 11-5-10, correspondiente a los bonos emisión Mayo 03, de cupón 4% de interés, y con vencimiento 31-012021. El primer cupón comenzará a devengar el mismo día de emisión, esto es, el día 11-5-10, y vencerá el 31 de enero del 2011. Los importes y tipos a los que el Banco licitaría serían. 100 150 200 250

m. m. m. m.

de de de de

euros euros euros euros

al al al al

4,10% 4,15% 4,20% 4,25%

a) Calcular con tres decimales los precios a los que acudiría a la subasta. El Banco de España recibe las subastas de todas las entidades adheridas al Sistema, y al final las agrupa de la siguiente forma: 700 m. al 99,203% 1.000 m. al 99,130% 1.250 m. al 98,706%

229

1.500 m. al 98,285% 1.750 m. al 97,865% 2.000 m. al 97,432% Si el Banco decide adjudicar 3.500 m. de euros en esta subasta, b) c) d) e) f)

¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál ¿Cuál

será el tipo marginal de la subasta? será el tipo medio de la subasta? será la adjudicación que le habrán hecho a nuestro Banco? es el tipo medio de la cartera adjudicada a nuestro Banco? es el cupón corrido de los bonos que nos han adjudicado?

Si un cliente desea adquirir 50.000 euros nominales, y el Banco desea obtener un diferencial del 0,10% TIR de beneficio, g) ¿Cuál será el precio de adquisición de estos bonos? Transcurridos 70 días, otro cliente desea invertir un importe aproximado de 100.000 euros efectivos. Si el Banco le cotiza al 3,95%. h) i) j) k)

¿Cuántos bonos podrá adquirir? ¿Cuál será el importe final efectivo satisfecho por los bonos? ¿Qué beneficio habrá obtenido el Banco en esta venta? ¿Qué parte de dicho beneficio se corresponderá con devengo de interés y qué parte con plusvalía en la venta?

a) Las subastas se realizan a precio excupón, y en base A/A. Por tanto: 4 Vo =

4

4

+ 265

=

+

265

365

2+ 365

(1+0,041)

........+

265

1+ (1+0,041)

104

+

265

10+ 365

(1+0,041)

365

(1+0,041)

= 100,2259656. Calculamos el cupón corrido: 100 C.C. = 4 ·

= 1,095890411 365

y lo restamos del precio con cupón: Vo (0,041) = 100,2259656 - 1,095890411 = 99,1300752159 <> 99,130. Análogamente: Vo (0,0415) = 98,706 Vo (0,0420) = 98,285 Vo (0,0425) = 97,865 b) La adjudicación será: 700 1.000 1.250 550

m. al m. al m. al m. al

99,203% 99,130% 98,706% 98,285%

tipo marginal: 4,20% TIR.

c) 700 · 99,203 + 1.000 · 99,13 + 1.250 · 98,706 + 550 · 98,285 = 98,860%. 700 + 1.000 + 1.250 + 550

230

Para calcular el tipo medio, añadimos el cupón corrido: 98,86 + 1,09589041 = 99,95589041 e igualamos los flujos: 4 99,95589041

4

=

4

+ 265

+ ................ +

265

265

1+ 365

d)

265

2+ 365

(1 + r)

de donde:

104

+

(1 + r)

10 + 365

365

(1 + r)

(1 + r)

r = 4,131831733 %. 100 150 200 250

m. al m. al m. al m. al

99,13% 98,706% 98,285% 97,865%

Solicitado

Al marginal nos darán: 550 ·

250 = 91,667 m. € al 98,285%.

1.500 150 m. nos los adjudicarán al 98,706%. 100 m. nos los adjudicarán al tipo medio <> 98,86%. e) Para calcular nuestro tipo medio: 91,667 · 98,285 + 150 · 98,706 + 100 · 98,86 = 98,63812163%. 91,667 + 150 + 100 Sumamos el cupón corrido: 98,63812163 + 1,09589041 = 99,73401204 %. e igualamos los flujos: 4 99,73401204

4

=

4

+ 265

+ ............ +

265

265

1+ 365

265

2+ 365

(1 + r) de donde:

104

+

10+ 365

(1 + r)

365

(1 + r)

(1 + r)

r = 4,15806300263 %.

f) El cupón corrido es del 1,09589041%. Aplicado a nuestra adjudicación: 341,667 · 1,09589041% = 3.744.295,89 €. g) El Banco se lo vendería al 4,05806300263%. 4

4

Vo =

104

+

+ .......... +

265

265

1+ 365

(1 + 0,0405806300263)

(1 + 0,0405806300263)

de donde: Vo = 100,583165087 %.

231

265

10 + 365

365

(1 + 0,0405806300263)

Precio con cupón: 50.000 · 100,583165087% = 50.291,58 €. Precio excupón: 100,583165087 - 1,09589041 = 99,48727459%. 50.000 · 99,48727459% = 49.743,64 €. h)

4

4

Vo =

104

+

+ .................. +

195

=

195

195

1+ 365

(1 + 0,0395)

10+

365

365

(1 + 0,0395)

(1 + 0,0395)

= 102,26790103%. que se descompone en: Precio excupón: 100,4048873%. Cupón corrido: 1,86301369863%.

Como cada bono es de 1.000 euros, el precio unitario será de 1.022,679 €, con lo que: 100.000 = 97,78 bonos <> 97 bonos por defecto. 1.022,679 i) j)

97 · 1.022,6790103 = 99.199,86 €. El Banco había adquirido los 97 bonos al 99,73401204%: 97 · 99,73401204 = 96.741,99 €. con lo que el beneficio será: 99.199,86 - 96.741,99 = 2.457,87 €.

k) El devengo de interés se corresponderá con el cupón devengado al 4% durante los 70 días, es decir: 1,86301369863 - 1,09589041 = 0,767123288 %. 97.000 · 0,767123288% = 744,11 €. por lo que la diferencia: 2.457,87 - 744,11 = 1.713,76 €. El Banco de España da también la posibilidad de considerar el devengo de interés mediante el TIR, en cuyo caso, habría que calcular el valor del bono 70 días después de la compra, utilizando el TIR de dicha compra: 4

4

Vo =

104

+

+ .......... +

195

195

195

1+ 365

(1 + 0,0415806300263)

10+ 365

(1 + 0,0415806300263)

365

(1 + 0,0415806300263)

de donde: Vo = 100,5162893 %. La diferencia de valoración realizada al mismo TIR nos daría el devengo de interés: 97.000 · ( 100,5162893% - 99,73401204% ) = 758,81 €.

232

y la diferencia: 2.457,87 - 758,81 = 1.699,06 €. sería la plusvalía.

2. Estructura del Mercado de Deuda Pública. Es un mercado estructurado en torno a la Central de Anotaciones en Cuenta del Banco de España, y permite una gestión ordenada del endeudamiento del Tesoro Público y las Comunidades Autónomas. Está estructurado en dos niveles:

–

Titulares de Anotaciones en Cuenta Son instituciones financieras especializadas en la operatoria sobre Deuda Pública.

–

Terceros Empresas o familias que no son titulares de anotación en cuenta. Operan a través de una gestora por cuenta de terceros.

El Mercado de Deuda Pública es un mercado descentralizado con información centralizada. Los valores de este mercado pueden ser negociados en los siguientes entornos: -

Negociación bilateral, directa o a través de un broker, para titulares de anotaciones en cuenta, actuando por cuenta propia o por cuenta de terceros (conocido como negociación de “segundo escalón”).

-

A través de la plataforma electrónica de la Bolsa de Madrid.

-

Negociación directa entre clientes e instituciones financieras, para el denominado segmento “retail”.

-

Negociación en las siguientes plataformas electrónicas: o o o o

SENAF. EuroMTS. MTSEspaña. BrokerTec.

Con la creación en el año 2002 de IBERCLEAR, se asignaron a dicha entidad todas las funciones de registro, compensación y liquidación del Mercado de la Deuda Pública, las cuales residían con anterioridad en la Central de Anotación en Cuenta del Banco de España, que pasó a integrarse en la entidad anteriormente citada. Las entidades gestoras tienen que mantener un registro de operaciones realizadas por cuenta de terceros, en las que se identifiquen a las personas físicas o jurídicas que transen valores emitidos por el Tesoro Público. El mercado secundario se realiza mediante tres sistemas, (el primero de los cuales está reservado exclusivamente para los miembros del mercado): -

Primer Escalón, realizado a través de los denominados “brokers ciegos”, y también conocido como “mercado ciego”. En este mercado sólo pueden

233

participar los miembros del mercado, que operan electrónicamente sin conocer cuál es la identidad de su contrapartida (por eso se llama “ciego”). Es el principal mercado de Deuda Pública, y en él se ofrecen grandes cantidades de Deuda con pequeños diferenciales respecto del precio de referencia de mercado, con liquidez inmediata. La transacción mínima es de cinco millones de euros. Sólo se realizan operaciones en firme hasta vencimiento, bien al contado bien a plazo. -

Segundo Escalón, o sistema de negociación bilateral, en el que las operaciones se realizan entre titulares de anotaciones en cuenta, a través del servicio electrónico del Banco de España. En este mercado, los participantes pueden operar a vencimiento, bien en contado, bien a plazo, con transacciones dobles o en repo). Las operaciones se pueden realizar entre entidades directamente o a través de broker. La contraparte está identificada.

-

Transacciones entre entidades delegadas por el Tesoro y sus clientes.

En este mercado se pueden realizar los siguientes tipos de operaciones: -

-

Operaciones Simples, en las que los valores de la Deuda son vendidos con todos los derechos incorporados: pago de cupón, valor de amortización, etc. La Deuda se transfiere hasta su vencimiento, permitiendo al nuevo propietario operar libremente con ella en el mercado secundario. Estas operaciones pueden ser: o

Operaciones en contado: La liquidación se realiza dentro de los cinco días hábiles siguientes a la fecha de la operación.

o

Operaciones a plazo: La liquidación se verifica después del quinto día hábil siguiente a la transacción.

Operaciones Doble o con pacto de recompra, en las que las partes simultáneamente acuerdan realizar dos operaciones simples, una compra y una venta, una en contado y la otra a plazo, o ambas a plazo. El comprador en la primera operación será el vendedor en la segunda, y viceversa. Se trata de operaciones realizadas en firme, con el precio de venta y el de recompra acordados previamente en una fecha dada. Este compromiso de recompra supone que el titular de los valores recibirá los pagos de cupón al vencimiento. Las operaciones dobles pueden ser: o

Operaciones Simultáneas, en las que la compra y la venta se refieren al mismo tipo de instrumento y por el mismo valor nominal. El comprador puede operar libremente con los valores adquiridos hasta la fecha de recompra.

o

Operaciones en Repo, o “repos españoles”, en las que los valores no están transferidos a todos los efectos, y la recompra se realizará exactamente en la fecha fijada. Además no pueden ser trasferidos en el “mercado ciego”.

Los principales participantes en el Mercado de Deuda Pública son los creadores de mercado, cuyo objetivo es favorecer la liquidez del Mercado de Deuda y cooperar con el Tesoro Público para la difusión internacional de la Deuda Pública. Podemos, pues, operar con los títulos de la Deuda de diferentes formas. Veamos algunos ejemplos en operaciones con Letras del Tesoro:

234

¾

Letras en “firme”.- Cuando se cede completamente la propiedad del activo por parte del comprador al vendedor. La transacción se realiza utilizando la misma ley financiera que se utilizó en la subasta, es decir, el descuento simple. No obstante, según que se trate de operaciones entre entidades adheridas al sistema, o entre éstas y sus clientes, se cambia de base, utilizando base 360 para las primeras, y base 365 para las segundas. Además, las operaciones entre entidades tienen que realizarse con un mínimo de 500.000 € nominales, aunque pueden realizarse valor mismo día, mientras que las operaciones con clientes, pueden hacerse con cualquier importe, aunque siempre valor día siguiente hábil, a menos que superen los 500.000 €, en cuyo caso, también se podrían hacer valor mismo día. Ejemplo: Supongamos que hemos adquirido 1.000.000 € nominales de la emisión que tiene vencimiento 13-2-2010, el día 12-11-09, al 3,5% de interés, y un cliente, el 3-12-09 desea adquirir en firme 300.000 € al 3,25% de interés. La secuencia de cálculo sería la siguiente:

x

Compra el 12-11-09: 1.000.000 P = 3,5

·

=

991.039,35 €

=

298.088,96 €

93

1+ 36.000

x

Venta el 3-12-09: 300.000 P = 3,25

·

72

1+ 36.500

y el Banco habría obtenido un ingreso de: 298.088,96 – 0,3 · 991.039,35 = 777,16 € que se distribuiría entre: 300.000 P =

=

297.914,60 €

3,5 · 72 1+ 36.000

298.088,96 – 297.914,60 = 174,36 € (plusvalía). 297.914,60 – 297.311,80 = 602,80 € (periodificación cartera). Total : ¾

777,16 €

Letras en “repo”.- Cuando existe un compromiso de recompra por parte de una entidad respecto de la otra o cliente que, a su vez, se compromete a revender las letras a la primera, al precio pactado. La transacción se realiza cambiando la ley financiera, que pasa a ser capitalización simple. Los demás aspectos son similares a los del punto anterior.

235

Ejemplo: Los movimientos serán los siguientes para un repo a 30 días: x

Cesión temporal en repo.- Se utilizarán, por ejemplo, 310.000 € nominales como soporte del repo de 300.000 €. Los intereses serían: 300.000 · 3,25 · 30 = 801,40 €. 36.500 con lo que el cliente entregaría 300.000 € al Banco, y éste se comprometería a devolverle 300.801,40 € dentro de 30 días.

x

Adquisición temporal en repo.- Se utilizarán, por ejemplo, 310.000 € nominales como soporte del repo de 300.000 €, y la operación sería independiente de la cesión temporal, supuesto que se hiciera. Los intereses serían: 300.000 · 3,5 · 45 = 1.312,50 €. 36.000 con lo que el Banco entregaría 300.000 € a otro Banco o cliente, y éste se comprometería a devolverle 301.312,50 € dentro de 45 días. Evidentemente, para poder utilizar estos títulos para cesión temporal, es preciso que el plazo de adquisición sea superior o igual al de cesión. Lógicamente, no se puede vender en firme lo adquirido en repo.

x

Adquisición en firme y cesión en repo.- En este caso, las letras valen menos que la inversión con capitalización simple, en los períodos intermedios entre la fecha de compra y la fecha de vencimiento. La diferencia es debida a la distinta ley financiera con la que se trabaja, tal y como vimos al analizar en el capítulo 3 las diferencias entre capitalización simple y descuento simple. Por ello, comprar en firme y ceder en repo tiene un coste, que se corresponde con la anticipación de intereses en cada vencimiento del repo, ya que la entidad propietaria no recibirá la totalidad de los intereses hasta el vencimiento de la operación.

x

Adquisición en repo y cesión en repo.- El planteamiento es similar al anterior, salvo que la adquisición también se realiza utilizando la capitalización simple. Por tanto, los efectivos finales no tienen por qué coincidir, suponiendo que se parte del mismo efectivo de cesión. Si la operación es correcta, la entidad adquirente recibirá más intereses que los que paga, y de ahí saldrá su diferencial.

3. Obtención de la Curva Cupón Cero. Los valores del Estado suponen la referencia básica de la estructura temporal de los tipos de interés en España, y en cualquier país de corte occidental. Los bonos del Estado son instrumentos financieros con rendimiento explícito, esto es, pagan cupones periódicamente, lo que genera el denominado riesgo de reinversión,

236

según el cual, cuando los bonos pagan un cupón, no se conoce el tipo de interés al que se podrá reinvertir a futuro, por lo que la inversión como tal se transforma más en una renta aleatoria, en términos de TIR, que en una renta cierta. Por lo que antecede, en el mundo financiero, no se utiliza el TIR como instrumento de valoración, sino como instrumento de comparación estático, esto es, en un momento determinado. Ello significa que a la hora de evaluar la rentabilidad de una inversión, y para evitar el citado riesgo de reinversión, las entidades financieras utilicen los tipos cupón cero para valorar los flujos, esto es, tipos de interés desde la fecha de valoración hasta la fecha futura del flujo, sin pagos intermedios que provoquen la aleatoriedad de la reinversión. Para obtener los tipos cupón cero, se parte de la cotización de los bonos del Estado en los mercados financieros a los distintos plazos, y a partir de la rentabilidad de dichos bonos, se construye un bono teórico sobre el cual se obtiene el tipo cupón cero al plazo correspondiente. Veamos un ejemplo de aplicación, que es la forma más fácil de entender el mecanismo de generación de los tipos cupón cero. Ejemplo: Sabiendo que el Euribor semestral cotiza al 3,49% en este momento, y que los tipos de interés (T.I.R.) de la Deuda Pública son: a 1 año (3,40%), a 2 años (3,65%), y a 3 años (3,80%), queremos obtener los tipos de interés de la curva cupón cero por semestres a tres años: De entrada, conocemos el seis meses, el año, los dos años y los tres años. Necesitamos conocer el 18 meses y el 30 meses. Dado que los flujos van a tener carácter semestral, deberemos trabajar con tipos efectivos equivalentes semestrales, en base 365: 365 1º semestre:

3,49 ·

r2 = 1,7692361 %.

= 3,538472 % 360 1

2º semestre:

3,40

r2 = (1 + 0,034)

2

- 1 = 1,6857906 %. 1

4º semestre:

3,65

r2 = (1 + 0,0365) 2 - 1 = 1,808644 %.

6º semestre:

3,80

r2 = 1,882285 %.

Como no tenemos otra información para el 18 y el 30 meses, debemos de realizar una interpolación lineal: 1

1,6857906 +

(1,808644 – 1,6857906) = 1,7472173 %. 2 1

1,808644

+

(1,882285 – 1,808644)

= 1,8454645 %.

2

con lo que la secuencia de tipos es: 1,7692361 ; 1,6857906 ; 1,7472173 ; 1,808644 ; 1,8454645 ; 1,882285 Tomamos el primer tipo, y a partir de él, calculamos el segundo, imaginando un bono de precio 100 en origen, y que paga el tipo semestral 1,6857906 en dos semestres (equivalente al 3,40% en un solo cupón):

237

1,6857906 _

_ 100 1,6857906

101,6857906 _

101,6857906

100 =

r2 = 1,6850878%

+ (1 + r2 )2

1 + 0,0176923611 Análogamente: 1,7472173 _

_ 100

1,7472173 _

1,7472173

1,7472173

100 =

101,7472173

+

+ (1 + 0,016850878)2

1 + 0,0176923611

(1 + r2 )3

r2 = 1,7478112 %.

de donde

1,808644 _

_ 100

1,808644 _

1,808644

1,8454645

1,8454645 _

(1 + 0,017478112)3

1,8454645 _

1,8454645

100=

1,8454645 _

1,8454645

+

1,8454645

+

1 + 0,0176923611 (1 + 0,016850878)2

(1 + r2 )4

+

101,8454645 _ 101,8454645

+

(1 + 0,017478112)3 (1 + 0,018107947)4

(1 + r2 )5

r2 = 1,8486088 %.

1,882285

_ 100

1,882285

_

1,882285

100=

+

r2 = 1,8107947 %.

1,8454645 _

de donde

101,808644

+ (1 + 0,016850878)2

1 + 0,0176923611

101,808644 _

1,808644

+

de donde

1,808644 _

1,808644

100 =

_ 100

101,7472173 _

1,882285

_

1,882285

+

1,882285

_

1,882285

+ 2

1,882285

_

101,882285

_

1,882285

1,882285

+

+

3

4

_

101,8454645

+

1+0,0176923611 (1+0,016850878) (1+0,017478112) (1+0,018107947) (1+0,018486088)5 (1 + r2 )6

de donde

r2 = 1,886742 %.

Con los tipos “cupón cero” obtenidos, se conforma la curva “cupón cero”, que se correspondería con la gráfica temporal de la estructura de los tipos de interés. Estos tipos son los que, por ejemplo, se utilizan en los mercados financieros para valorar flujos futuros, y en particular para valorar las coberturas de instrumentos derivados, los cuales constituyen operaciones sofisticadas que es preciso ajustar al máximo para evitar los riesgos de tipo de interés y de tipo de cambio.

238

4. Strips de Deuda Pública. Los Strips de Deuda Pública se corresponden con la siglas de la terminología anglosajona “Separated Trading of interest and Principal”. Una de sus principales características se encuentra en el hecho de que son productos que no se emiten, sino que provienen de otros previamente emitidos, en los cuales se desagrega la nuda-propiedad y el usufructo de los mismos. Por tanto, se trata de un instrumento resultado de la transformación de un activo ya existente en el mercado, en concreto, de un bono de rendimiento explícito que se transforma en distintos bonos con rendimiento implícito, o bonos cupón cero. De cada bono simple con “n” flujos, se pueden obtener “n+1” strips o bonos cupón cero negociables. Los strips se crean mediante el denominado proceso de segregación (“striping” en terminología anglosajona), procedimiento por el cual una entidad autorizada entrega al Banco de España un bono con cupón, y éste le devuelve los cupones y el principal como activos con nuevas referencias técnicas diferentes y negociables por separado. En paralelo, existe un proceso de reconstitución, el cual es inverso del anterior, por el que la entidad autorizada entrega al Banco de España el principal y los cupones previamente segregados en la proporción correspondiente, a fin de que se vuelva a generar en la Central de Anotaciones un bono con rendimiento explícito. En el proceso de reconstitución se considerarán fungibles los cupones pero no los principales, a fin de evitar la alteración del número de bonos emitidos en cada emisión. Una de las principales características de los strips es el hecho de que no suponen riesgo de reinversión de los cupones, esto es, al no haber pagos de cupón intermedios entre la fecha de adquisición y la fecha de vencimiento, se evita el riesgo que tienen los activos con rendimiento explícito, de no poder garantizar una rentabilidad cierta a vencimiento, ya que la hipótesis de reinversión de flujos se hace innecesaria. Además, la utilización de los strips permite mejorar la cobertura de pasivos, mediante lo que se denomina el “macheo” de flujos, desde el momento en que, al ser activos a largo plazo, se pueden adaptar a la realización de coberturas a veinte o treinta años, sin dar lugar a riesgos no esperados. Ello implica indudables ventajas para la gestión de carteras, al permitir la correcta inmunización de flujos respecto del riesgo de tipo de interés, permitiendo al gestor conocer la rentabilidad exacta de su inversión. De hecho, los strips nacieron en Estados Unidos en los años sesenta, debido a la necesidad detectada en el mercado de que existieran activos a largo plazo con rendimiento implícito, y con solvencia garantizada. Los Fondos de Pensiones americanos utilizaban como argumento de marketing para la venta de sus productos, la rentabilidad garantizada a largo plazo, esto es, su objetivo eran las clases medias que a partir de los treinta y cinco años comenzaban a tener exceso de ingresos sobre los gastos, y podían por tanto ahorrar hasta los sesenta y cinco años, cuando se jubilaban. Los Fondos de Pensiones, querían poder garantizar una rentabilidad del 4 o del 5% a vencimiento, pudiendo anticipar al suscriptor de un Plan de Ahorro, la cantidad de la que podría disfrutar cuando finalizara su vida laboral. Sin embargo, los únicos activos a treinta años que había eran los “Treasury Bonds”, emitidos por el Gobierno Federal, y pagaban cupones semestrales; esto es, un bono a treinta años

239

pagaba sesenta cupones desde su emisión hasta su vencimiento, y evidentemente, era imposible garantizar a qué precio se iban a poder reinvertir estos cupones, para lograr la rentabilidad acumulada en valor final de la renta. Fue por ello, por lo que los Fondos de Pensiones pidieron al Tesoro americano que emitiera bonos cupón cero, y evidentemente ello chocó con la legislación y con la lógica presupuestaria, puesto que si se le permitiera a un Estado emitir bonos cupón cero a largo plazo, cualquier político se dedicaría a emitir bonos cuyos cupones no tendría que pagar, y el “déficit de caja” como tal figura macroeconómica habría desaparecido. Los obligados al pago de los rendimientos de la Deuda Pública serían las generaciones futuras, y ello eliminaría el natural freno a la dilapidación del erario público que conlleva el pago anual del coste de la Deuda Pública que hace cualquier país, y que tiene que estar forzosamente incluido en los Presupuestos Generales del Estado. Pero la fuerza del “lobby” de los Fondos de Pensiones era muy fuerte, y el equipo del Tesoro americano tuvo que pensar en una solución al problema, y la encontraron: los “strips”. Desagregando nuda-propiedad y usufructo, se podía mantener el equilibrio presupuestario anual, y a la vez permitir a los Fondos de Pensiones que adquirieran cupones o nudas-propiedades al descuento, a fin de que pudieran “machear” los compromisos garantizados con sus clientes. Posteriormente, el sistema fue traído a Europa por Francia, y a principios de los años noventa también estaba vigente en Alemania, Gran Bretaña o Bélgica. Finalmente, España lo adoptó en 1997, aunque hacía varios años que el Banco de España lo tenía preparado, a la espera de que la situación del déficit público alcanzara el momento adecuado. Hoy en día, en el mercado americano, tanto el Tesoro Público, como las agencias hipotecarias americanas (Fanny Mae, Freddie Mac, etc.), son emisoras habituales de bonos segregables, habida cuenta de que gozan de la máxima calificación crediticia (AAA), y ello supone que desde un día hasta treinta años, podemos encontrar strips negociables en cualquier día futuro, lo que permite realizar coberturas perfectas de pasivos a cualquier plazo. Por ejemplo, si un médico de Kansas acude a American Life, y le indica que desea constituir un fondo de pensiones por 500.000 $ para que le sea entregado junto con los rendimientos cuando cumpla los sesenta y cinco años, lo cual ocurrirá dentro de veintiún años, cuatro meses y diez días, el comercial de Alico no tiene que consultar al actuario o al Director de Inversiones de la Compañía de Seguros, basta con que consulte la tabla de rentabilidades que tiene a los distintos plazos, y le diga al cliente que le puede garantizar un 4,20% de rentabilidad. Los gestores de inversiones recibirán la boleta, y automáticamente adquirirán 500.000 $ en strips a ese día exacto, dentro de veintiún años, cuatro meses y diez días, al 4,70%, sabiendo que su empresa va a ganar medio punto anual de diferencial entre el compromiso asumido y la rentabilidad del activo adquirido. En España, la normativa reguladora de los strips está recogida en la Orden Ministerial del 19-6-97, y en las resoluciones de la Dirección General del Tesoro de fechas 20-6-97 y 14-11-97, así como en diferentes circulares y notas técnicas del Banco de España. También hay que indicar que los strips tienen mejor fiscalidad que los bonos de los que proceden, ya que para una persona física o un inversor que no lo sea “por naturaleza”, y tenga condiciones fiscales preferenciales, poseer bonos con rendimiento explícito significa sufrir retenciones de capital mobiliario del 18% de los rendimientos, así como obligación de tributar año a año por los cupones cobrados.

240

Sin embargo, los strips tienen la retención de una sola vez al vencimiento de los mismos, tributando con dinero de dentro de muchos años, que aunque sólo sea por efecto inflación, vale menos que el dinero con el que se tributaría año a año. En otro orden de cosas, la negociación separada de cupones y principal supone un mayor desarrollo del mercado secundario de Deuda Pública, aumentando la contratación de títulos emitidos por el Tesoro. Los principales usuarios de strips en la gestión de carteras son los gestores de fondos de inversión garantizados, de fondos de pensiones y de carteras de compañías de seguros. En particular, en el caso de los fondos de pensiones y las compañías de seguros, permite una mejora de la cobertura de los compromisos a largo plazo, que en España suelen ser hasta treinta años. Las entidades autorizadas para operar con strips son las elegidas entre los negociantes de Deuda Pública, para lo cual tiene que haber una autorización expresa de la Dirección General del Tesoro, existiendo por parte de dichas entidades el compromiso de cotizar un 35% de las emisiones durante el 60% del tiempo de contratación, y unos volúmenes de 1.200.000 euros para la nuda propiedad y de 600.000 euros para los usufructos, con un “spread” máximo en cotización de 3 puntos básicos para strips hasta cinco años, y de 5 puntos básicos para los de más de cinco años. Los strips se negocian en el mercado cotizando en tipo de interés con tres decimales, no en precio del producto. Los cupones y el principal de igual fecha de vencimiento tienen cotizaciones diferentes, es decir, no son sustitutivos en el proceso de reconstitución. Existen algunos problemas en la negociación, habida cuenta del escaso volumen de strips que se contratan en el mercado, debido sobre todo a la excesiva concentración de emisiones segregables en carteras y fondos de inversión. Indicar también que, con los strips se pueden realizar operaciones simultáneas, pero no se pueden hacer repos. Para finalizar, vamos a ver un ejemplo de inversión en strips: Ejemplo: Un Fondo de Inversión se plantea sustituir Bonos del Estado 10,30%, vencimiento 15-6-12, por Bonos del Estado segregables 4,25%, vencimiento 30-712. El motivo es evitar la retención del 18% que se produce en los pagos de cupón de estas emisiones, y que no tienen los strips procedentes de emisiones segregables. La cotización de estas emisiones es la siguiente, valor 20-10-09: - Bonos 10,30%: 114,21 – 26 - Bonos 4,25%: 99,45 – 49 - Strip Nuda-Propiedad vencimiento 30-7-12: 4,49 – 4,46 ¿Qué es más interesante para el Fondo, mantener su inversión actual, vender los Bonos 10,30% y comprar los bonos 4,25%, para después proceder a la segregación, o vender los Bonos 10,30%, y comprar directamente los strips? Considerar que la declaración de devolución de la retención se presenta el 30-6 del año siguiente, y que la devolución se produce el 31-12 del mismo año. Evidentemente, el problema tiene un claro componente fiscal, en función del tiempo que transcurre desde que se produce la retención hasta que se devuelve.

241

Debemos analizar la TIR de cada una de las inversiones, teniendo en cuenta que siempre nos afectará el coste de la horquilla en la compra-venta, esto es, compramos o vendemos con la “pata” mala. ƒ

Si mantenemos nuestra inversión, parece razonable valorarla al precio medio de la horquilla, esto es: 114,21 + 114,26 = 114,235 2 Como no vamos a vender, se producirán los pagos anuales de cupón, y se producirán las correspondientes retenciones. Además, hemos de tener en cuenta que la cotización es ex-cupón, debiendo añadir el cupón corrido: 15-06-09 a 20-10-09: 127 días. 127 10,30 ·

= 3,574% 366

114,235 + 3,574 = 117,809%. Gráficamente: 8,446

~

~

20-10-09

15-6-10

117,809 239 días

8,446

1,854

100 8,446

~

~

~ 15-6-11 365 días

31-12-11 199 días

1,854

1,854

~

15-6-12

166 días

~

31-12-12

199 días

31-12-13

365 días

con lo que el TIR de la inversión sería: 8,446

8,446

117,809 =

1,854

+ 239

+

239

239

1+ 366

(1 + r)

108,446

+ 1+

366

(1 + r)

239

+

366

2+

365

366

(1 + r)

1,854

+

199

(1 + r)

1,854

+

+ 2 +

239 366

+

199

3+

365

(1 + r)

239 366

+

199 365

(1 + r)

es decir: 8,446

8,446

117,809 =

+ 0,653005465

(1+r)

1,854

+ 1,653005465

(1+r)

+

2,198210945

(1+r)

1,854

108,446

+

+ 2,653005465

(1+r)

1,854

+ 3,198210945

(1+r)

4,198210945

(1+r)

que por aproximaciones sucesivas: r = 4,349 %. ƒ

Si vendemos estos bonos para comprar bonos del 4,25%, venderemos a 114,21 excupón, y compraremos a 99,49 ex-cupón:

242

114,21 + 3,574 = 117,784% precio de venta. 30-7-09 a 20-10-09: 82 días. 82 4,25 ·

= 0,952%. 366

99,49 + 0,952 = 100,442%

precio de compra.

Con 117,784 podemos comprar: 117,784 = 1,172656857 bonos 4,25 por cada bono 10,30. 100,442 Por tanto, financieramente hablando: 4,9583743

~ 20-10-99 117,784

4,9583743

~

116,6676307

~

30-7-00

~

30-7-01

30-7-02

239 días

1,17265857 = 1,167498228 nominales. 100,442% 1,167498228 · 4,25 = 4,9618675 de cupón anual. Como vamos a desagregar y no existe retención, la rentabilidad financiera (TIR) nos sirve para la evaluación: 4,9618675

117,784 =

4,9618675

+

121,7116903

+

239

239

239

1+ 366

(1+r)

de donde:

2+ 366

366

(1+r)

(1+r)

r = 4,482%.

Evidentemente, tiene mejor TIR que la primera inversión, pero no hemos tenido en cuenta la pérdida que se produce por la horquilla de precios, y que en valor actual supone reducir nuestra inversión de 117,809 a 117,784. Lo lógico será igualar 117,809 con los flujos futuros de la segunda inversión: 4,9618675

4,9618675

117,809 =

121,7116903

+

+

239

239

239

1+ 366

(1+r)

de donde:

2+ 366

(1+r)

366

(1+r)

r = 4,473%.

que sería el TIR comparable con el anterior y que por tanto, supondría que la segunda opción es mejor que la primera. ƒ

Si vamos a adquirir un strip vencimiento 30-7-12, con horquilla 4,49-4,46, está claro que nos cotizarán el tipo más bajo, esto es, un 4,46% TIR en

243

interés compuesto, sin que se produzca ninguna retención, por lo que obviamente, el 4,473% es un TIR mayor que el 4,46%. No obstante, la segunda inversión tiene riesgo de reinversión, mientras que la tercera no, por lo que puede ser un factor cualitativo a tener en cuenta a la hora de tomar una decisión entre dos inversiones con un TIR tan próximo.

244

CUESTIONES Y PROBLEMAS

8.1.- Problema de obtención de la curva cupón cero y su aplicación a valorar un proyecto de inversión. El nivel de rentabilidad de la Deuda Pública a uno, dos y tres años con cupón anual es respectivamente del 4%, 4,25% y 4,6% T.I.R. en base Actual / Actual. Tenemos un proyecto de inversión que nos producirá un millón de euros dentro de un año, dos millones dentro de dos y tres millones de euros dentro de tres. Valorar dicho proyecto en términos de valor actual, utilizando para ello los tipos de la curva cupón cero que se deducen de las cotizaciones anteriores de la Deuda Pública. 4 100

r1 = 4% 100 4,25

4,25 100

4,25

104,25

100 = 100

+ 1 + 0,04

(1 + r2 )2 = 1,086917293 4,6

4,6

(1 + r2 )2

r2 = 4,2553257%

4,6 100

100 4,6

100 =

4,6

104,6

+ 1 + 0,04

+ (1 + 0,042553257 )2

(1 + r2 )3 = 1,14511208 1.000.000

Vo =

r3 = 4,6203091%

2.000.000

3.000.000

+ 1 + 0,04

(1 + r2 )3

+ (1 + 0,042553257 )2

245

= 5.421.435,76€ (1 + 0,046203091 )3

CAPÍTULO 9. EMISIONES DE RENTA FIJA.-

1. Estructura del Mercado de Emisión de Renta Fija. Un mercado de emisión es un mercado primario en el que se ponen en juego nuevos valores que no existían hasta ese momento. Por la emisión nacen los valores y se generan automáticamente los derechos y obligaciones respectivos de inversores y emisores. Si los valores emitidos tienen la característica cierta, ya sea fija o variable, durante un período determinado, diremos que esos valores son de renta fija, y que forman parte del mercado de emisión de renta fija. Ejemplo:

Contrato de pago aplazado. Pagarés al portador.

Haciendo una breve semblanza histórica, hemos de recordar que hasta principios de la década de los ochenta, la estructura del mercado era obsoleta y novecentista. Sin embargo, Las necesidades de infraestructuras y el déficit público, provocaron que el Tesoro Público, empezara a captar de los inversores cantidades crecientes de financiación denominada en valores de Renta Fija. En 1982 nació el mercado de bonos eléctricos con una emisión de Unión Fenosa, bonificada al 95%. A mediados de 1985 se promulgó la Ley de Régimen Fiscal de Activos Financieros. Con ella, los rendimientos implícitos comenzaban a tributar. En septiembre de 1987 se creó la Central de Anotaciones en Cuenta del Banco de España. En esas mismas fechas, se desarrolló el mercado de Certificados de Transferencia de Participaciones de Crédito. No obstante, se sometió a coeficientes por Banco de España en 1989, lo que supuso la práctica desaparición del mercado. En 1990, se realizó una importante modificación de la tributación de Fondos de Inversión, estableciendo un sistema que permitía incluso la no tributación a partir de los quince años, lo que hizo que se desarrollara este producto muy rápidamente. En 1992 se produjo el primer crash de la Deuda Pública. Dos años más tarde, en 1994 se produjo un segundo crash de la Deuda Pública. Sin embargo entre 1995 y 1998 se inició una bajada sostenida de los tipos de interés, que cambió completamente el panorama de la inversión en renta fija en España. En 1996 hubo una importante modificación en la tributación de rentas de capital. Se disminuyó la presión fiscal sobre muchos activos, aunque se eliminó la no tributación a partir de los quince años de tenencia de las participaciones de los fondos. En 1999 se produjo la integración en el euro, lo que trajo consigo una gran estabilidad para los mercados de renta fija. Ello supuso el desarrollo de productos estructurados de renta fija, con los que se intentaba paliar la baja rentabilidad de los activos originales. Entre 1999 y 2001, hubo una subida de tipos de interés, aunque no llegaron ni mucho menos a los niveles anteriores a la integración de la peseta en el euro. A finales del año 2002, los tipos de interés volvieron a bajar, y a partir del uno de enero de 2003, se ha producido una modificación fiscal más, que rebajó las

247

retenciones de capital mobiliario al 15%, y la tributación de rentas de capital pasó a ser asimismo del 15%, siempre que los activos se mantuvieran en cartera más de dos años, o caso de tratarse de fondos de inversión, más de un año. Este hecho, acompañado de la posibilidad de cambiar de fondo de inversión, sin necesidad de tributar constituyó un hecho especialmente relevante de cara al panorama de la inversión en España. Los tipos continuaron bajos hasta que comenzó la crisis del año 2007, en que comenzaron a subir, para luego bajar a niveles muy bajos en el año 2009, con un Euribor al 1%. En enero de 2008 entró en vigor una nueva reforma fiscal que hizo que todas las rentas de capital tributaran al 18%, tipo que coincidía con la retención a practicar. Este esquema se ha mantenido hasta finales de 2009, fecha en la que se está estudiando una nueva reforma que supondría que las rentas de capital tributaran al 19% o al 21%, aunque cuando se ha acabado de escribir este libro todavía no se había aprobado esta medida. Los sujetos que intervienen en la emisión de valores de renta fija, son los siguientes. ™ Los Emisores. Son las entidades, normalmente jurídicas, que emiten los valores y asumen la obligación de devolver los fondos que toman prestados, junto con una compensación en forma de intereses o plusvalías, a los proveedores de dichos fondos, por la renuncia a la liquidez, que estos asumen en el momento de la suscripción de los títulos. En el Mercado Español, los principales emisores son los siguientes: -

Tesoro Público. Organismos Autónomos dependientes del Estado. Entidades Internacionales. Comunidades Autónomas. Corporaciones Locales. Bancos y Cajas. Entidades Privadas. Fondos de Inversión y demás instituciones Colectiva.

de

Inversión

Si emiten es para obtener un coste de financiación inferior al que obtendrían en otra fuente, pudiendo emitir tanto en el mercado nacional como en los mercados internacionales. En función de las necesidades de financiación de estas entidades, de la capacidad de asunción de “papel” del mercado, y de los tipos de interés vigentes en cada momento, los emisores saldrán al mercado demandando fondos, y entregando a cambio promesas de pago, con rendimiento explícito o implícito, a una fecha determinada, o matizada en las condiciones que se fijen en la emisión, o en las normas de funcionamiento de los activos emitibles, caso de entidades bancarias o fondos de inversión. ™ Los Inversores. Serán las personas, físicas o jurídicas, que adquieren el derecho de recibir el principal invertido, junto con los intereses o plusvalías pactados, de los emisores de los valores representativos de dicha inversión.

248

En principio, cualquier sujeto o entidad nacional o extranjera, puede adquirir los valores emitibles, sin ningún límite o restricción legal, salvo cuando en las condiciones de la emisión, se fije un límite, mínimo, máximo o ambos, a la cuantía de deuda adquirible por un mismo sujeto o grupo económico. Los principales inversores son los siguientes: -

Inversores particulares. Fondos de Pensiones. Compañías de Seguros. Fondos de Inversión. Bancos. Empresas.

Pueden comprar como inversión o para especular con los valores. ™ Los Colocadores. Serán las entidades financieras o gestores de carteras, legalmente registrados en los registros de la Comisión Nacional del Mercado de Valores (CNMV), que aseguran o reaseguran las emisiones de valores, siempre que así sea preciso. En las operaciones, uno de los Colocadores actúa como Agente de la emisión. A su vez, éste junto con el resto forman el “Pool” de Aseguradores. No obstante, en muchos casos, las Compañías de Seguros o Fondos de Inversión negocian directamente con el emisor. Para emisiones destinadas al segmento minorista, son precisas las amplias redes de Bancos, Cajas de Ahorros, Sociedades y Agencias de Valores, etc., que, a cambio de una comisión que paga el emisor, colocan en pequeñas partidas los valores constitutivos de la emisión.

™ La Comisión Nacional del Mercado de Valores. Entidad creada por la Ley 25/1988, de 25 de julio, del Mercado de Valores, con el objetivo de regular todas las actividades relacionadas con los Mercados de Valores de nuestro país. Entre sus facultades se encuentra el control y supervisión de los mercados de emisión, tanto emisiones de renta fija como ofertas públicas de venta de valores.

™ La Dirección General del Tesoro y Política Financiera. Es una División del Ministerio de Economía y Hacienda que tiene como misión, entre otras, la emisión de los valores del Tesoro Público, es decir, letras, bonos y obligaciones, y fijar los tipos de interés a los que se emiten dichos activos en subasta. Tiene la facultad de prestar autorización previa para determinadas emisiones realizadas en divisas, o indiciadas sobre índices susceptibles de afectar a los indicadores monetarios o financieros.

249

™ La Dirección General de Tributos. Es una división del Ministerio de Economía y Hacienda que tiene como misión, entre otras, el definir adecuadamente la tributación de los distintos valores. Su intervención se realiza solamente en los casos en que así se solicite. En esos casos, se requiere a la D.G.T. para explicitar el régimen fiscal de los nuevos productos.

™ Las Sociedades Rectoras de las Bolsas de Valores. Sustituyeron a las antiguas Juntas Sindicales en 1989. Son cuatro: Madrid, Barcelona, Bilbao y Valencia, y velan por la transparencia y corrección de la contratación de valores. La Sociedad de Bolsas se encarga de fijar una política común en materia de contratación bursátil.

™ El Servicio de Compensación y Liquidación de Valores. Es un organismo privado que asume las funciones de la compensación de valores y efectivo derivada de la negociación en las Bolsas de Valores. También se encarga del registro contable de los valores representados mediante anotaciones en cuenta, admitidos a negociación en las Bolsas de Valores. El SCLV es una Sociedad Anónima, cuyo capital está distribuido entre las Sociedades Rectoras de las Bolsas de Valores y las entidades adheridas (Bancos, Cajas de Ahorro y Sociedades y Agencias de Valores), dentro del esquema pactado por el holding “Bolsa y Mercados Españoles”, creado en el año 2002.

2. Tipos de Emisiones de Renta Fija. En el punto anterior, hemos indicado como se estructura el mercado de emisión de renta fija español. En esta Unidad vamos a ver cuáles son los principales productos de renta fija emitidos por empresas o entidades públicas o semipúblicas, distintas de las Administraciones Públicas, que se comercializan en los mercados

¾

Pagarés de Empresa. Constituyen una modalidad de deuda, emitida por una entidad semi-pública o privada, a corto plazo y con rendimiento implícito. Por consiguiente, son valores emitidos al descuento, cuya emisión se puede realizar por diferentes métodos:

–

Programas de Pagarés.- Son procesos de emisión periódica de pagarés, en los que los precios de emisión o tipos de interés se determinan por el procedimiento de subasta o similar.

250

Precisan de folleto informativo de emisión ante la CNMV, en el que se indiquen las Entidades participantes, mecanismos para la formación de precios, adjudicación de importes, garantías, etc. El período máximo de vigencia de un programa de pagarés es de un año, durante el cual se efectúan las subastas. Finalizado el año, no se podrán emitir nuevos pagarés, aunque podrá quedar un saldo vivo pendiente de vencimiento. No se admite, en ningún caso, la prolongación de dicho período. Si se emiten pagarés a plazos cortos, por ejemplo, tres meses, podrán renovarse dichos pagarés mientras esté vivo el plazo del año antes citado, siempre que el saldo vivo de pagarés no supere el importe máximo autorizado en el programa.

–

Emisiones de Pagarés.- Son emisiones en fecha concreta de emisión y vencimiento. Se realiza la colocación de todos los pagarés a la vez, a un precio fijo, siendo incluso asegurados por entidades financieras. Requieren folleto de emisión ante la CNMV, y su diferencia con una emisión de bonos únicamente radica en el plazo corto al que se emiten, y en la ley financiera de emisión, que es al descuento.

–

Emisión de Pagarés a medida.- Son pagarés que se emiten singularmente o sin habitualidad por parte de entidades emisoras, pactando plazo, importe y tipo de interés. En general, se hacen a corto plazo, y por elevados importes, siendo usualmente los suscriptores Instituciones de Inversión Colectiva. No necesitan folleto de emisión, y no es posible determinar su volumen, habida cuenta de la privacidad de la emisión de los títulos.

¾

Obligaciones y Bonos Simples. Son partes alícuotas de un empréstito o deuda emitida por una entidad, usualmente con rendimiento explícito (pago de cupón periódico) con el objetivo de financiarse en los mercados de capitales a medio y largo plazo. Son la versión privada de los Bonos del Estado, aunque pueden ser objeto de diversas modificaciones, que no se dan en los Bonos del Estado, cuya emisión, como hemos visto, está completamente estandarizada. El rendimiento TIR de estos bonos es superior al de los bonos del Estado, siendo usual que se cotice un “spread” de treinta a setenta puntos básicos “sobre deuda” en la emisión. Sus características básicas de cara a la generación de la emisión son:

– –

Tipo de interés nominal.- Se corresponde con el cupón periódico que se paga por parte del emisor a los suscriptores de los bonos u obligaciones. Por ejemplo, el 5% anual, el 3% semestral, el 1% trimestral, etc. Nominal de cada título.- Sería el importe de la deuda reconocida individualmente a vencimiento en cada uno de los títulos emitidos. Por ejemplo, si se realiza una emisión de 100 millones de euros, dividida en 10.000 obligaciones, cada obligación tendría un nominal de 100.000 euros,

251

que sería la cantidad mínima adquirible por parte de un inversor. Asimismo, si se desea adquirir una cantidad superior, habría que hacerlo en múltiplos de 100.000 euros.

–

–

–

–

–

–

–

Precio de emisión (Par, Encima Par, Debajo Par).- Sería el precio que tiene un bono en el mercado, esto es, el valor actual de la renta representada por los cupones futuros a cobrar y por el nominal a amortizar en vencimiento. Si el precio coincide con el nominal del título, se dirá que se compra el bono a la par; si el precio es superior al nominal (por ejemplo, 102.000 € por un bono de nominal 100.000 €), se dirá que se compra el bono por encima de la par; si el precio es inferior al nominal (por ejemplo, 98.000 € por un bono de nominal 100.000 €), se dirá que se compra el bono por debajo de la par. Periodicidad de Cupones (Anual, Semestral, Trimestral, Cero).Sería el período temporal que se corresponde con la materialización del pago de los cupones; esto es, el tipo de interés nominal de la emisión, se puede pagar de una sola vez (cupón anual), dos veces año por (cupón semestral), cuatro veces al año (cupón trimestral), etc., o bien, no se pagan cupones, y se cobra el nominal más los intereses acumulados capitalizados al vencimiento de la operación (cupón cero). Plazo (Tres años, Cinco años, Diez años).- Sería el número de años que median entre la emisión y el vencimiento de los bonos u obligaciones. Los períodos más habituales son tres, cinco, siete o diez años, aunque alguna entidad ha podido emitir bonos a quince años en España. Fuera de España se emiten obligaciones a treinta o cuarenta años, e incluso CocaCola Ltd. emitió en 1992 bonos a cien años. Evidentemente, sólo grandes emisores pueden emitir a plazos muy largos, habida cuenta de la necesidad que tiene el inversor de tener garantía de que cuando llegue el vencimiento, los bonos serán pagados por el emisor. Modalidad de Amortización (Fin período, Reducción Nominal, Sorteo).- Lo habitual en un bono es que se amortice de una sola vez al final del período, pero evidentemente, puede haber otras formas de amortización, como por ejemplo, por reducción de nominal, que supone que el bono se amortice por cuotas partes, por ejemplo, un 25% en cada uno de los cuatro últimos años de la emisión; o bien, por sorteo, amortizándose por ejemplo, un tercio de las obligaciones en cada uno de los tres últimos años, etc. Tasa Interna de Rentabilidad (T.I.R.).- Ya conocemos el concepto. Aplicado a una emisión de bonos, sería el tipo que iguala el precio de emisión o compra con el conjunto de pagos de cupón y amortizaciones de nominal futuras. Es la forma básica de cotizar este producto, esto es, el precio del mismo. Régimen Fiscal (según adquirente, según país de emisión, etc.).- El producto como tal se crea financieramente, pero después, el efecto final en la rentabilidad del inversor depende de las características específicas del mismo, es decir, de qué tipo de inversor sea (persona física, jurídica, no residente), de si tiene o no un régimen especial de retención o tributación, etc. Existencia de Aval del Estado.- Evidentemente, no es lo mismo que el riesgo sea del emisor de las obligaciones, o que un Estado soberano, por ejemplo España, respalde los compromisos de pago de los cupones y principal de las obligaciones. Hay valores que tienen ese aval expreso del Estado, y obviamente, su cobro está garantizado, como por ejemplo, el

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Empréstito de Majden de 1928, que cotiza en Bolsa, y que goza de aval expreso del Estado español.

–

–

–

–

–

“Rating”.- Es la calificación que realiza una agencia externa (por ejemplo, Standard & Poors, o Moody’s), de la calidad crediticia de un determinado emisor, y en particular de unos determinados títulos de renta fija. El mejor o peor rating influirá en que se pague un menor o mayor cupón por parte del emisor de los bonos. Opciones de Amortización (Emisor o Suscriptor).- Hay emisiones que permiten al emisor (“callable” en terminología anglosajona), al inversor (“putable” en terminología anglosajona), o a ambos, amortizar anticipadamente los títulos que componen una emisión de bonos. Evidentemente, el emisor ejercerá su derecho a amortizar los bonos, cuando pueda refinanciarse en el mercado a un tipo de interés inferior al que tienen la emisión vigente; mientras que el inversor ejercerá su derecho a amortizar los bonos, cuando pueda invertir en otros bonos similares en el mercado, que tengan un cupón superior al de la emisión vigente. Warrants incorporados.- Los “warrants” no son otra cosa que opciones que lleva incorporados un bono, y que permiten suscribir otros valores de renta fija o variable a un precio definido en determinadas fechas. El derecho de suscripción en este caso lo tiene el inversor, y solamente lo hará en el supuesto de que el precio definido sea mejor que el precio de mercado en el momento fijado para el ejercicio del warrant. Estos títulos pueden cotizar por separado que los propios bonos con los que fueron emitidos. Indiciaciones específicas.- La rentabilidad de un bono no tiene porqué estar prefijada, sino que puede estar ligada a un índice, por ejemplo al Euribor, a la cotización de la Deuda Pública, a la diferencia de rentabilidad entre los bonos a cinco y a diez años, etc. Dependiendo del tipo de índice, puede ser necesaria autorización administrativa. Comisiones de aseguramiento y colocación.- La colocación de emisiones a través de las redes de las entidades financieras tiene un coste asociado por la colocación, y en su caso por el aseguramiento, según el cual, en el caso de que no coloquen los bancos la emisión, deben quedársela en sus libros, y pagar el importe asegurada al emisor en cualquier caso.

Las modalidades de emisión son muy variadas, pudiendo clasificarlas en función del plazo, forma de fijar el tipo de interés, amortización, fiscalidad, cotización, “rating” o ventajas especiales. Los tipos de emisiones más usuales en España son los siguientes: ™ Emisiones a Tipo Fijo Conocidas como “Straights” en los mercados internacionales, son aquellas en las que la Sociedad se compromete a pagar un cupón fijo, normalmente anual o semestral, periódicamente al tenedor de la obligación durante la vida de la misma. Suponen la asunción de un riesgo de tipo de interés, tanto para el emisor como para el suscriptor, aunque el emisor puede utilizar los “swaps” para cambiar de tipo fijo a tipo variable.

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Si la emisión es en divisas, también existirá un riesgo de tipo de cambio. ™ Emisiones a tipo variable Conocidas como “Floating Rates Notes” (FRN) en los mercados internacionales, mantienen el esquema general de las obligaciones con tipo fijo, con la salvedad de que el valor del cupón varía en cada pago, en función de la evolución de un determinado índice, por lo que el interés del cupón a pagar no está fijo durante la vida de la emisión. El Banco Agente, de acuerdo con los términos de la emisión, especifica el interés concreto para cada período. El esquema es bastante sencillo, y se basa en considerar un período previo al inicio del pago del cupón, por ejemplo, una semana, en la cual se calcula la media de las cotizaciones del índice. Dicha media es la base para fijar el cupón definitivo. Para obtener el cupón a pagar se suele aplicar un “spread” o diferencial sobre el tipo de mercado calculado por el método anterior. Por ejemplo, Euribor + 0,60, o Libor $ + 0,45. En el primer caso, fijado el Euribor semestral, por media de los últimos días previos al período, se le sumarían sesenta puntos básicos; si la media del índice fuera del 3,35%, el cupón final a pagar sería del 3,95% para ese semestre. Unos días antes de finalizar dicho semestre, se repetirían la operación, y al Euribor obtenido se le volverían a sumar sesenta puntos básicos, y el resultado constituiría el cupón a pagar en el siguiente período semestral. ™ Emisiones con Cupón Cero (“Zero-Coupon Bonds”) No tienen un interés o cupón explícito. Aunque en el fondo un pagaré al descuento y un bono cupón cero no son más que una promesa de pago a una fecha determinada, en la práctica, tienen una distinción clara en la emisión: el nominal. Mientras que en el pagaré tradicional, el nominal se fija a vencimiento, en el bono cupón cero, el nominal se fija en la emisión, y por ello, las leyes financieras de emisión son distintas. Evidentemente, se trata de un producto con alta exposición al riesgo de tipo de interés, habida cuenta de que la cantidad invertida permanece durante todo el período sometida a tipo fijo.

¾

Obligaciones y Bonos Subordinados. Son obligaciones simples, pero con la característica de que el pago del cupón periódico, está condicionado a la existencia de beneficios distribuibles. Si la empresa no gana dinero, no paga el cupón. Son emisiones específicas susceptibles de formar parte de los recursos propios, y sin prelación en el orden de pagos en caso de quiebra. Obviamente, el tipo de interés de una obligación subordinada debe ser superior al de una obligación simple, a fin de cubrir la prima de riesgo, según sea el emisor. Esta modalidad no es muy usual en España, aunque en otros países como Estados Unidos tiene bastante aceptación. Lógicamente, sólo las emiten las grandes empresas, con lo que, asumiendo la hipótesis de existencia de beneficios, funcionarán siempre como obligaciones simples.

254

Al formar la financiación subordinada parte de los recursos propios de la empresa, los emisores principales son las entidades financieras, sobre todo los bancos, puesto que les sirve para cumplir el denominado Ratio BIS, cuyas reglas de formación son las siguientes:

– –

Tier 1: Acciones Ordinarias + Reservas Disponibles.

– –

Tier 2 < Tier 1

Tier 2: Reservas Indisponibles + Reservas de actualización de activos + Fondos de Provisión + Reservas para préstamos fallidos + Acciones Preferentes + Deuda Subordinada no perpetua + Otros instrumentos híbridos entre deuda y acciones.

Deuda Subordinada < 0,5 Tier 1

exigiéndose habitualmente un 8% de Tier 1 sobre activos computables, y un 12% de suma de Tier 1 y Tier 2 sobre esos mismos activos.

¾

Obligaciones Bonificadas.Son obligaciones con ventajas fiscales específicas, existiendo dos modalidades:

– –

Retención 1,20%, para entidades no financieras o personas físicas. Art. 25-C-1 del Impuesto sobre Sociedades, para cualquier entidad societaria o persona física.

Los emisores actuales son básicamente entidades del Sector de Autopistas, aunque este tipo de obligaciones surgieron en los años ochenta para financiar a las compañías eléctricas a tipos inferiores a los de mercado, para compensarlas del denominado “parón nuclear”. Las ventajas fiscales de la modalidad del 1,20% (la más común, amén de que hoy en día no queda viva ninguna emisión de la segunda modalidad) consisten en la devolución del 24% en la declaración del IRPF o Sociedades en el año siguiente al del cobro de los cupones, lo que supone una ganancia del 22,8% (24 - 1,2).

¾

Obligaciones Convertibles.Son un producto híbrido entre obligaciones y acciones, puesto que suponen la existencia de una o varias opciones de conversión de las obligaciones en acciones de la entidad emisora. Las obligaciones convertibles tuvieron un mercado muy desarrollado en España a finales de los años ochenta, pero luego fueron declinando hasta llegar a la situación actual, en la cual hay muy pocas emisiones de bonos convertibles en el mercado. La principal ventaja para el emisor es que puede abaratar el coste de la emisión de los bonos, dado que suele incorporar opciones a favor del suscriptor para que adquiera acciones en el momento que sea más favorable para este último7.

7

Para una descripción más detallada de los bonos convertibles como producto, puede consultarse el libro ya citado “Análisis Financiero de los Mercados Monetarios y de Valores”, del mismo autor, páginas 857 a 874.

255

¾

Acciones Preferentes: Son un producto híbrido entre obligaciones y acciones, formando parte de los Recursos Propios del Emisor. Financieramente, emulan a una obligación perpetua a tipo fijo, aunque pueden emitirse a tipo variable. Como característica significativa está el hecho de que ocupan el último lugar en la prelación de acreedores en caso de quiebra, y que suelen emitirse en dólares o en euros, cotizando en las Bolsas de New York, Londres, Frankfurt o Luxemburgo. En España, en el mercado de la AIAF. Como emisores españoles más significativos tenemos: BBVA, BSCH, Repsol, Telefónica, Bankinter, Bancaja o La Caixa. El esquema de una emisión sería el siguiente:

– – – – – – – –

Se emiten entre 100 y 1.000 millones de $ o €, con cláusula “green shoe”8. El Director de la operación forma “pool” de colocadores. El Emisor es una filial instrumental radicada en centro “off-shore” o paraíso fiscal, para evitar retención fiscal en origen. Los dividendos y el principal los garantiza la matriz mediante aval a su filial. Las acciones se suscriben a nombre de fiduciarios radicados en países distintos de aquel donde radica el suscriptor, con lo que no sufren “withholding tax” (retención de capital mobiliario en el cobro de cupones). Los fiduciarios españoles tienen que practicar el 18% de retención por mediación en pagos a los inversores no exentos de retención. El plazo de suscripción es entre tres y cuatro semanas, fijándose el dividendo definitivo en la tercera semana. No hay prorrateo, pudiendo ser la adjudicación discrecional o por orden cronológico.

En el caso de emisiones en $ cotizadas en la Bolsa de New York, las acciones se materializan en ADR’s (“american depositary receipts”), habitualmente de 25$ de nominal unitario (0,01$ de capital y 24,99$ de prima de emisión, para evitar el “capital duty” o impuesto de emisiones en el centro “off-shore”). Los pagos de dividendo suelen ser trimestrales: 31/3, 30/6, 30/9, 31/12. El dividendo sólo se dejaría de pagar en caso de inexistencia de beneficio distribuible en la filial “off-shore” y en la compañía matriz.

8

La cláusula “green shoe” permite a los directores de la emisión ampliar entre un 10% y un 15% el volumen de la emisión, si ellos lo desean, en función del volumen de peticiones que tengan durante el período de colocación. El nombre es debido a la primera empresa que utilizó este mecanismo en 1874 en una oferta pública de venta de acciones.

256

Las acciones preferentes no tienen derecho a voto, ni tienen derecho a suscripción preferente de nuevas acciones ordinarias. Sin embargo, el impago de cuatro trimestres consecutivos implicaría el nombramiento de consejeros por cuenta del Sindicato de preferentistas. Los títulos se emiten por tiempo indefinido, aunque es habitual que se permita la amortización opcional total o parcial, con prima o sin ella, para el emisor a partir del quinto año. En caso de amortización parcial, se haría por sorteo. La disolución o liquidación no sería válida si no están de acuerdo más del 50% de los titulares de preferentes. Las principales ventajas para el emisor son las siguientes:

– – – – –

Emisión a 0,01 $ o €, para minimizar el “capital duty”, o Impuesto sobre el Capital emitido en un centro “off-shore”. La filial “off-shore” consolida financieramente, pero no fiscalmente. La filial “off-shore” apenas paga impuestos en el país donde radica, por lo que los ingresos de los rendimientos de la inversión en dólares o en euros no tributarían. Si bajaran los tipos de interés, pueden amortizarse. Si suben los tipos de interés, harían las veces de una obligación perpetua. Las principales ventajas para el suscriptor son las siguientes:

– – – – –

Cobrar un interés superior a los tipos de mercado entre 1,60 y 2 puntos. Riesgo de la Compañía matriz. Diversificación de carteras, incluyendo este tipo de productos. Diversificación por divisas, incluyendo por ejemplo preferentes en dólares. Ventajas fiscales, evitando retenciones si el pagador es un banco extranjero.

3. Diseño de una Emisión de Renta Fija. Dejando al margen las emisiones realizadas por el Estado, cuya motivación básica es la financiación del déficit público, vamos a estudiar cómo se diseña una emisión de renta fija, básicamente de renta fija privada y con cupón explícito. La emisión de valores de renta fija es un proceso que precisa de unos requisitos previos:

– –

Comunicación Previa de la Emisión a la CNMV. Aportación y Registro previo por la CNMV de los documentos acreditativos del acuerdo de emisión, de las características de

257

los valores a emitir, y de los derechos y obligaciones de sus tenedores.

– –

Verificación y registro por la CNMV de los informes de auditoría y de las cuentas anuales del emisor. Verificación y registro por la CNMV de un folleto informativo sobre la emisión proyectada.

No obstante, hay emisiones que, con carácter general, no necesitan de autorización previa:

– – – – –

Emisiones del Estado, Comunidades Autónomas, Organismos autónomos dependientes de los anteriores y Banco de España. Emisiones de Pagarés Bancarios para sus clientes con plazo inferior a doce meses. Emisiones de participaciones en fondos de inversión. Emisiones de singularmente.

valores

hipotecarios

nominativos

emitidos

Emisiones de pagarés singulares.

y otras que, con carácter específico, sólo necesitan de comunicación previa y acuerdos de emisión:

– – –

Emisiones de Valores dirigidos a inversores institucionales, con prohibición expresa de transmisión a terceros no institucionales. Emisiones destinadas a un número de inversores inferior a 50, o cuyo importe sea inferior a 3.005.060,52 euros, cuando no se desarrollen actividades publicitarias. Emisiones de valores cuyo importe nominal unitario sea superior a 150.253,02 euros.

En cualquier caso, necesitarán de autorización previa: ƒ

Las emisiones expresadas en moneda extranjera en el mercado nacional.

ƒ

Las emisiones realizadas por no residentes en el mercado nacional.

ƒ

Las emisiones que tengan un plazo de vencimiento superior a dieciocho meses y que: o o o

Carezcan de rendimiento explícito. El rendimiento explícito tenga una periodicidad de devengo superior al año. El rendimiento explícito sea inferior al publicado en la Ley de Presupuestos Generales del Estado.

quedando prohibidas las emisiones cuyo principal o intereses sean revisados en función de la evolución de índices o precios.

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Una vez que tenemos claro qué tenemos que hacer y como, veamos cuál es la génesis de la emisión, en la cual tenemos que ver qué motiva la emisión, y qué debemos tener en cuenta a la hora de decidir si la hacemos o no: x

Financiación de un nuevo proyecto de inversión.

x

Reestructuración de la deuda vigente (equilibrio crédito bancario / valores renta fija).

x

Modificación plazos del pasivo exigible.

x

Mayor presencia en los Mercados de Valores.

x

Cobertura transitoria de déficits de tesorería (con pagarés de empresa, por ejemplo).

x

Financiación de una reconversión sectorial.

x

Incrementar la base de recursos propios (caso de la Deuda Subordinada).

x

Mejorar la cascada Preferentes).

de

resultados

(caso

de

las

Acciones

Aunque, en cualquier caso, será de suma importancia analizar la situación del mercado, y observar su influencia en la oportunidad del lanzamiento de la emisión. Según la tendencia del mercado, así procederá o no realizar la emisión: x

Tendencia bajista de tipos de interés En esta situación, toda emisión se coloca, dado que los inversores compran para vender pronto y generar plusvalías.

x

Tendencia alcista de tipos de interés En esta situación hay pocas emisiones. Los inversores no compran porque esperan comprar mejor más tarde, y los bancos e intermediarios no están interesados en asegurar la colocación de las emisiones porque pueden “pillarse”.

x

Tendencia estable de tipos de interés Se colocan las emisiones entre inversores institucionales con vocación de permanencia.

x

Tendencia errática de tipos de interés Los inversores no tienen interés en comprar. Las pérdidas acumuladas en valoración de carteras desincentivan nuevas tomas de posición. Los inversores institucionales invierten en el muy corto plazo en espera de un cambio de tendencia.

Es, por tanto, muy importante analizar la situación de los mercados y la situación de la empresa, antes de tomar la decisión de iniciar un proceso de emisión de valores.

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Generada la emisión, y suponiendo que el emisor sea conocido y tenga un “rating” adecuado, se puede plantear lo que podríamos denominar el proceso de emisión, es decir, el procedimiento por el cual, el emisor instrumenta la emisión desde que inicia los trámites previos hasta que la emisión pasa a ser conocida por el público o por los potenciales suscriptores. Las etapas por las que pasa el proceso de emisión son las siguientes:

–

Acuerdos de la Junta General de Accionistas.- La emisión de obligaciones precisa de una autorización previa de la Junta General de Accionistas de la Sociedad. Esta autorización no puede afectar a valores de renta fija seriados que supongan más de un 100% de los recursos propios de la Entidad (art. 282 Ley S.A.); es decir, como mucho, en la estructura financiera de la Sociedad, habrá una relación de 1 a 1 entre obligaciones y fondos propios. Es usual que en las Juntas se arbitren autorizaciones genéricas, delegando facultades en el Consejo de Administración, para materializar efectivamente la emisión.

–

Acuerdos del Consejo de Administración.- En base a la delegación realizada por la Junta General, el Consejo decidirá materializar la emisión, concretando cuantía, plazo, momento de realizar la oferta, precio, cupón facial, etc. Este acuerdo debe ser homogéneo con la delegación de la Junta, no contradiciendo ninguno de los puntos en ella acordados.

–

Contrato con el Agente de la Emisión.Para una adecuada distribución de los bonos u obligaciones es útil contratar los servicios de una o más entidades financieras, normalmente bancos de inversión, que aseguren y coloquen los valores. El aseguramiento de la emisión supone una garantía para el emisor de que en una fecha determinada recibirá el importe de la emisión al precio convenido, independientemente de si se ha colocado o no. La parte no colocada la adquirirán las entidades aseguradoras para su cartera propia. Es evidente que el conocimiento del entorno financiero, de los potenciales inversores, y de la oportunidad de la emisión, es un activo importante que cualquier emisor debe utilizar, y lógicamente, pagar por ello. Normalmente, se produce un proceso de oferta por parte de los bancos de inversión, en el cual se ofrece un cupón al que emitir, y una comisión para dicho banco. Lógicamente, cuanto más bajo sea el cupón y más baja sea la comisión, más probabilidades tendrá el banco de obtener el mandato.

–

Formación del “Pool” de Aseguradores.- El Banco o Bancos, que obtengan el mandato, tienen como misión conseguir la mayor diversificación posible de los suscriptores. Por ello, suelen instar a un

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número más o menos grande de entidades para que formen parte del Grupo o Sindicato, que asegurará totalmente la emisión. Las cuotas de aseguramiento dependerán de los pactos existentes entre los mandatarios, y de la opinión del emisor. Formado el Sindicato, se firmará el contrato de aseguramiento entre los aseguradores y el emisor, en el cual se concretarán las características de la emisión, y los compromisos de las partes. A partir de ese momento, cada asegurador distribuirá si así lo considera oportuno, el “papel” asegurado entre distintos colocadores, que bien reasegurarán, bien colocarán al mayor esfuerzo, a cambio de una comisión, obviamente menor que la que recibirán mandatarios y aseguradores.

–

Instrumentación de la Emisión.- Formalizado el folleto de emisión y el resto de la documentación, se deposita en la CNMV, que estudia la misma y recaba más documentos y aclaraciones si lo estima conveniente, para autorizar o denegar la emisión. Obviamente, lo normal es que se autoricen.

También es importante que se fije un calendario, y que se siga a rajatabla. El calendario dependerá de cada caso. No obstante, un planteamiento posible sería el siguiente: D:

Anuncio de la Oferta. Aprobación CNMV.

D+10: Inicio de la Oferta. D+24: Cierre del período de Oferta. x

Actuaciones día D:

Circular o folleto de la Oferta. Boletines de Suscripción. Cartas Publicitarias. Comunicados de Prensa.

x

Actuaciones día D+10: Indicaciones de demanda. Calidad del Libro. Recomendaciones de Precio. Revisión de Precios. Decisión del Precio por el Emisor. Aceptación o desistimiento del sindicato al precio.

x

Actuaciones día D+24: Pago de la emisión. En su caso, prorrateo.

En relación con el resultado final de la emisión, se pueden producir tres situaciones: -

Suscripción = Peticiones. Se adjudican los valores, y se hace el movimiento de fondos.

-

Suscripción < Peticiones. Hay prorrateo. En el folleto informativo se habarán indicado las normas de reparto, y según ellas, se reducirán las peticiones hasta llegar a una adjudicación definitiva.

-

Suscripción > Peticiones. Parte de los títulos se quedan sin colocar. Si la emisión está asegurada, las entidades aseguradoras comprarán los títulos

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para su propia cartera. Si la emisión no está asegurada, se daría la suscripción incompleta, reduciéndose el volumen de la emisión. Por otro lado, la compañía debería tener presentes los costes que tendrá para ella la emisión: x

Gastos del Sindicato: Diseño y Dirección, Aseguramiento y Colocación.

x

Gastos de los Directores: Tombstones, Ceremonia firma empréstito, etc.

x

Comisiones de admisión a cotización.

x

Impresión de los títulos (en su caso).

x

Impresión de Documentos.

x

Publicidad.

x

Comisión de Agencia de Cobros y Pagos.

x

Gastos de Asesoría Fiscal.

x

Gastos de Asesoría Jurídica.

x

Gastos de obtención de “rating”.

4. Homogeneización del emisor en la comparación cuantitativa de emisiones. El riesgo de crédito o contraparte. Estamos acostumbrados a invertir en productos “sin riesgo”, esto es, en Deuda Pública, o bonos emitidos por Comunidades Autónomas o grandes empresas del tipo de Telefónica, Repsol o Iberdrola. En estos productos, es habitual que lo que se denomina riesgo de crédito o contraparte, no tenga mucha importancia, puesto que en principio, nadie ve en quiebra a esas empresas o al Estado Español o a sus Comunidades u Organismos Autónomos. El riesgo de crédito es el riesgo de que un emisor de valores de renta fija o un prestatario puede incumplir sus obligaciones de pago de cupones o de principal. Sin embargo, no debemos olvidar que el Estado Español quebró tres veces en el siglo XIX, y sus títulos de renta fija dejaron de tener valor, que en España en la década de los noventa quebraron las empresas Intra, Cartemar y Papelera Española, y sus obligaciones (que cotizaban en Bolsa) dejaron de tener valor, integrándose en la masa de acreedores, para finalmente anularse porque no había patrimonio para respaldar ni el pago del principal ni los intereses. A principios de la presente década, Argentina nos demostró que un país puede quebrar, y los valores por él emitidos, dejar de tener valor, o bien tener un valor muy pequeño, al tener que aceptar los propietarios un canje por nuevos títulos a largo plazo y con una quita muy significativa (por ejemplo, del 90%). Todo ello nos lleva a la necesidad de evaluar a los emisores, y ponerle precio al riesgo, es decir, añadir al tipo de interés del dinero sin riesgo a un plazo considerado (tipos de la Deuda Pública), un tipo de interés que evalúe el riesgo de crédito, y sumarlos para poner “en valor” esta inversión. En general, un “rating” de deuda es un indicador de la verosimilitud del pago del principal e intereses de una Deuda emitida por parte de un emisor. Las agencias de “rating” proporcionan una clasificación con letras y números de los países y de las empresas que emiten valores, siendo las principales Moody’s, Standard & Poors y Fitch Investor Service. De ese “rating” básico, se pueden hacer grupos de países y de valores que sean homogéneos. El mercado se encarga de ponerle precio a cada

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grupo, de manera que puede haber diferencias de cuarto de punto o de medio punto en el tipo de interés de esos grupos, e incluso para “grupos de alto riesgo”, el mercado no acepta emisiones a medio y largo plazo, y sólo pueden emitir letras o como mucho bonos a dos o tres años. Encuadrado el emisor en su grupo de riesgo, es preciso distinguir entre los diferentes valores que puede emitir. Habitualmente, suele haber tres escalones de riesgo de crédito, en función de la gradación que tenga la deuda que se emite por parte de una empresa, ya sean obligaciones simples, obligaciones subordinadas y acciones preferentes (por ejemplo, A1, A2 y A3 para el mismo emisor), aunque en los últimos años se ha producido una curiosa mezcla de emisiones entre acciones preferentes y obligaciones subordinadas perpetuas, que al final hace difícil distinguir si unas u otras tienen más o menos riesgo, por lo que los tres escalones se suelen reducir a dos. Para obtener el “rating”, las agencias emplean modelos estadísticos, ratios financieros, datos obtenidos de la entidad y el entorno, y métodos subjetivos. El “rating” de un emisor cambia cuando las circunstancias de la entidad y/o el entorno varían, por lo que es preciso un seguimiento constante por parte de las agencias de “rating” para dar al menos una vez al año, una clasificación de las entidades emisoras. Se detallan a continuación la escala de calificaciones de los dos principales evaluadores de “rating”, Standard & Poors y Moody’s:

AAA AA A BBB

RATING STANDARD & POORS Emisiones de la mejor calidad Emisiones de alta calidad Emisiones susceptibles a cambios circunstanciales Emisiones que pueden tener problemas por causas coyunturales

BB, B

Aaa Aa

RATING MOODY'S Emisiones de la mejor calidad Emisiones de alta calidad

A Baa Emisiones de calidad media Ba B

CCC, CC

Bonos Basura Bonos de Alta Rentabilidad Baja Calidad

Bonos Basura Caa Ca

Bonos de Alta Rentabilidad Baja Calidad

D C

En España, el proceso de obtención de “rating” ha sido relativamente reciente, y no han sido demasiados los emisores que han sido clasificados. Se detallan a continuación algunos ejemplos de “rating” de entidades autonómicas para duda a largo plazo:

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RATING DE COMUNIDADES AUTÓNOMAS EN ESPAÑA

Andalucía Aragón Asturias Baleares Canarias Cantabria Castilla La Mancha Castilla León Catalunya Extremadura Galicia Madrid Murcia Navarra País Vasco Valenciana

Standard & Poor's AA AA+

Moody's A2

Fitch AA AA

AA AA Aa1 Aa1 Aa3 Aa1 Aa2 Aa1 Aa1

AAAA AA+ AAA AAA AA-

Aaa Aa2

AA AA AA

AA AA AAA A+

A continuación, indicamos el “rating” de algunos países del mundo: RATING DE PAÍSES

Estados Unidos América Alemania España Japón Portugal República Checa México Rusia India Brasil Turquía Argentina

Standard & Poor's AAA AAA AA+ AA A+ A BBB+ BBB+ BBBBBBBBB-

Moody's Aaa Aaa Aaa Aa2 Aa2 A1 Baa1 Baa1 Baa3 Baa3 Baa3 B3

Fitch AAA AAA AAA AA AA A BBB+ BBB+ BBBBBBBBB-

Para llegar al tipo de interés final de las obligaciones, hay que añadir un tercer componente, que es la prima de iliquidez. En un mercado como el español, no es habitual distinguir entre valores por este concepto, por que todos, salvo la Deuda Pública son ilíquidos. Suele haber entre diez y veinte puntos básicos de diferencia entre el Tesoro Público y las Comunidades Autónomas, y entre cuarenta y ochenta puntos básicos de diferencia entre el Tesoro Público y las grandes empresas. Sin embargo, en otros países donde hay un gran número de emisores, como ocurre en USA, no es lo mismo comprar valores de IBM, que valores del Hospital de Cincinnati, sobre todo por que al margen del riesgo de crédito que puede suponer el segundo emisor, es muy posible que la emisión sea muy “corta”, en el sentido de que se hayan emitido muy pocos valores, que se habrán colocado entre muy pocos inversores. Ello implica la práctica imposibilidad de venta de los títulos en el caso de que se precise el dinero. En otros casos, la iliquidez es relativa, por que puede haber creadores de mercado, pero estos creadores “abren la horquilla de precios”, de tal forma que la

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prima de iliquidez implícita es realmente inasumible por parte de un inversor racional. Es habitual que haya doscientos puntos básicos de diferencia entre oferta y demanda en la cotización de preferentes, o en algunas emisiones “olvidadas” en Bolsa. Hay profesionales que se dedican a localizar estas emisiones, poner un precio de compra (que es el único que hay), y esperar a que llegue alguna orden de un cliente a través de un banco. Los bancos no entran en si el precio es bueno o malo. Cuando les llega una orden “por lo mejor”, directamente la envían a su sociedad o agencia de valores para que la ejecute, y ésta recibe la orden y la casa con la posición contraria que haya en ese momento en el mercado. Si la orden es de comprar al 3% TIR, directamente venden y le envían el líquido al Banco. De ahí, la importancia de poner límite siempre a las ventas de renta fija en el mercado secundario. Resumiendo, el precio de la renta fija tiene tres componentes: -

Nivel actual de la Deuda Pública al plazo de la renta fija objeto de análisis. Prima de riesgo por la categoría del emisor. Prima de iliquidez por las características de la emisión y del mercado en el que cotice.

La suma de las tres componentes nos dará el precio “teórico” de la renta fija. Luego, será el mercado el que se encargue de decir si ese precio es adecuado o no. En los últimos años, han surgido especialistas en productos emergentes y en emisiones denominadas “high yields”. En el primer caso, estamos hablando normalmente de riesgos soberanos de países con bajo “rating”, por ejemplo, Deuda boliviana, “Bradys venezolanos” o bonos rumanos. En el segundo caso, nos estamos refiriendo al nuevo bautizo de lo que se denominó en la década de los ochenta, “bonos basura” o “junk bonds”, bonos de alta rentabilidad emitidos por empresas de dudosa solidez financiera, para financiar un rápido desarrollo. No es fácil saber si son más inseguros los primeros que los segundos, porque una empresa puede desaparecer, pero un estado soberano no. Hay que tener en cuenta que en el mercado de “high yields” el índice de siniestralidad es bastante grande. Sin embargo, hay fondos especializados que a base de rotar carteras de bonos al 13% o al 15%, consiguen que la media de las empresas que sobreviven compense a la media de las que caen, y al final sacan una rentabilidad adecuada. Evidentemente, para trabajar en este mercado, hay que ser un experto, y pocos hay que lo sean, a pesar de que se coloquen la etiqueta de cara a la gestión comercial. Por otro lado, los riesgos de países emergentes, dependen de economías subdesarrolladas, a las que cualquier evento internacional puede desarbolar, y muchas veces, los títulos están emitidos en moneda local, que se devalúa dos o tres veces en un par de meses, y aunque teóricamente, la deuda se pague, resulta que el inversor extranjero recibe un tercio de lo que invirtió, por los problemas del riesgo de cambio. Además, en estos países el riesgo de la divisa es tan alto, que ningún broker quiere cubrirlo con un seguro de cambio o con opciones sobre divisas, por lo que el que quiere invertir en un país emergente, sabe que tiene que hacerlo con todas sus consecuencias, y asumir este componente de riesgo, que sería el cuarto sumando para la obtención del precio final de este tipo de productos de renta fija.

265

5. Estructura del Mercado de Capitales Español. El Mercado de Capitales Español es un mercado tradicionalmente corto en emisiones privadas, y con pocas operaciones que se salgan del concepto de bono simple, debido básicamente a la poca tradición que en España ha tenido la Renta Fija, y a la Orden Ministerial de 1989 que sometió a autorización administrativa las operaciones de cupón cero, las indiciadas a divisas o a índices, las denominadas en divisas, aquellas que tuvieran un cupón superior a un año o un cupón muy bajo, etc. Todo ello, supuso un parón en el desarrollo de un incipiente mercado español, que todavía hoy padecemos. Vamos a ver cómo se estructuran las posiciones de emisores e inversores a una fecha concreta (30/09/09), comparando cuando así proceda con los datos de cierre del año 2005, a fin de ver cómo han evolucionado las emisiones de renta fija en dicho período. Para ello, vamos a segmentar los emisores de la siguiente manera: ESTRUCTURA POR EMISORES (30-09-09) (datos en mill. euros) EMISOR

30/09/2009 31/12/2005 Tesoro Público 443.290 309.706 Comunidades Autónomas 31.406 23.674 Organismos Autonómicos y otros 3.038 8.877 Corporaciones Locales 558 1.965 Empresas 823.783 427.035 Organismos Internacionales 1.272 4.614 TOTAL 1.303.347 775.871

¨ 133.584 7.732 -5.839 -1.407 396.748 -3.342 527.476

ESTRUCTURA 30/09/2009 31/12/2005 % 43,13 34,01 39,92 32,66 2,41 3,05 -65,78 0,23 1,14 -71,60 0,04 0,25 92,91 63,21 55,04 -72,43 0,10 0,59 67,99 100 100

El Tesoro Público es el gran emisor en España, comprendiendo las emisiones ya comentadas de Letras del Tesoro y Bonos del Estado. A pesar de que su peso específico en el total de emisiones vivas en el mercado de renta fija español ha disminuido del año 2005 al año 2009 (39,92% vs. 34,01%), en términos absolutos ha aumentado el volumen emitido en un 43,13%. Ello entra en consonancia con la creciente demanda de fondos por parte del Estado, debido al fuerte déficit generado por la reciente crisis económica. No obstante, hemos de tener en cuenta que en 1992, el volumen de emisiones vivas suponía 119.474 millones de euros, esto es, el endeudamiento del Sector Público se ha incrementado un 270% en diecisiete años. Las Comunidades Autónomas son también emisores tradicionales, aunque su peso específico es mucho menor, sobre todo por el hecho de que una parte significativa del endeudamiento de estas entidades regionales está concentrado en préstamos bancarios a largo plazo, habida cuenta de que las cajas de ahorros regionales aportan esta financiación a sus Comunidades a un tipo de interés muy bajo, que desincentiva a estas entidades el salir al mercado de capitales con valores, cuya colocación siempre conlleva comisiones bancarias. En cualquier caso, el endeudamiento de estas entidades ha pasado de 2.978 millones de euros en 1992 a 31.406 en el año 2002, multiplicándose por más de diez veces, en consonancia con el fuerte incremento que en estos diecisiete años ha tenido el endeudamiento de las Comunidades Autónomas dentro de los Presupuestos Generales del Estado, y acorde con el proceso continuado de transferencia de competencias desde el Estado a estas Comunidades. Por Organismos Autónomos y Otras Entidades de Derecho Público entendemos las emisiones de Renfe, del ICO y del antiguo INI que todavía quedan vivas. Estos valores van disminuyendo su peso en el mercado de capitales español, llegando a representar en estos momento sólo un 0,23% del total.

266

Las Corporaciones Locales se corresponden con los Ayuntamientos y entidades de ellos dependientes. Uno de los grandes problemas que han tenido estas entidades para financiarse en los mercados de capitales, ha sido la ausencia de “rating” de la mayoría de los Ayuntamientos, y la falta de tradición de los mismos en la financiación no bancaria. De hecho, los títulos de renta fija emitidos por Ayuntamientos, no llegan siquiera al 0,04% del mercado. De nuevo, las facilidades dadas por las cajas de ahorros regionales y locales, en materia de tipo de interés de préstamos y créditos, desincentiva completamente la apelación de los Ayuntamientos a los mercados. En cuanto a las Empresas, casi han duplicado su endeudamiento desde 2005, debido sobre todo a la apelación de los Bancos y las Cajas de Ahorros a los mercados, que ha ido creciendo continuamente, hasta llegar a unas cifras realmente significativas, aunque si analizamos las emisiones que realizan, podemos ver que las rentabilidades de los productos que colocan están claramente por debajo de los precios de mercado, debido a que los colocan a través de su red, como si fueran productos de pasivo bancario, consiguiendo una financiación barata que les permite financiar también barato a Comunidades Autónomas y Ayuntamientos. Como último tipo de emisores, tenemos los Organismos Internacionales, que se corresponden casi con exclusividad a un producto, los Bonos Matador, llamados así por la identificación que en el mercado de eurobonos de Londres se hacía de España con la figura del “matador de toros”. Este tipo de bonos tiene la característica de que están exentos de retención, lo cual los hace idóneos para la inversión de los capitales fiscalmente opacos que flotan en los mercados internacionales sin control de las Haciendas estatales. De hecho, similares a los bonos matador para la peseta, estaban los bonos “bulldog” para la libra esterlina, los bonos “samurai” para el yen, los bonos “yankees” para el dólar, etc. No obstante, con la incorporación del euro como divisa, dejaron de hacerse este tipo de emisiones, y hoy en día quedan algunas emisiones residuales. De hecho, desde 2005, su saldo vivo se ha visto reducido en un 72%. Si entramos ahora, en la estructura por valores negociables, podemos desagregar los saldos anteriores por productos: ESTRUCTURA POR VALORES NEGOCIABLES (30-09-09) (datos en mill. euros) Organismos Comunidad Organismos Corpora Internaciona Autonómicos ciones Tesoro es PRODUCTO y otros Locales Empresas les TOTAL Estructura Público Autónomas 78.544 0 0 0 0 0 78.544 6,03 Letras del Tesoro 339.174 30.619 3.038 558 5.454 0 378.843 29,07 Bonos y Obligaciones Simples 0 0 0 0 996 0 996 0,08 Bonos y Obligaciones Subordinados 0 787 0 0 0 0 787 0,06 Pagarés 0 0 0 0 304.192 0 304.192 23,34 Bonos Simples Bancos y Cajas 0 0 0 0 27.376 0 27.376 2,10 Bonos Subordinados Bancos y Cajas 25.572 0 0 0 190 0 25.762 1,98 Bonos Cupón Cero 0 0 0 0 0 1.272 1.272 0,10 Bonos Matador 0 0 0 0 30.826 0 30.826 2,37 Participaciones Preferentes 0 0 0 0 3.858 0 3.858 0,30 Obligaciones Bonificadas 0 0 0 0 8.811 0 8.811 0,68 Bonos Convertibles 0 0 0 0 442.080 0 442.080 33,92 Titulizaciones y Cédulas 31.406 3.038 558 823.783 1.272 1.303.347 100 TOTAL 443.290 EMISOR

Como no podía ser de otra forma, los productos estrella son los bonos y las obligaciones simples (52,4% del total), debido a que constituyen la financiación básica del Tesoro Público, de las empresas y de los bancos y cajas de ahorros.

267

Las letras del Tesoro continúan teniendo un importante peso específico (6%) en el mercado de renta fija español, mientras que las participaciones o acciones preferentes han ido escalando año a año una posición en el panorama financiero de nuestro país, suponiendo en estos momentos 30.826 millones de euros, un 2,37% del total. Los bonos cupón cero, que dejaron de tener protagonismo en el mercado español a raíz de la orden ministerial ya citada del año 1989, han recuperado su protagonismo con los strips, que al 30-09-09, ya suponían casi el 2% del mercado, con 25.572 millones de euros en usufructos y nudas-propiedades desagregados, básicamente en poder de fondos de inversión, fondos de pensiones y compañías de seguros. Pero el producto estrella han sido las emisiones titulizadas y las cédulas emitidas por cajas de ahorros, que han llegado a suponer casi el 34% del total de emisiones de renta fija. En el cuadro siguiente, podemos ver como han evolucionado en los últimos años los productos anteriores:

EVOLUCIÓN PRODUCTOS (30-09-09/31-12-05) (datos en mill. euros) EMISOR

30/09/2009 31/12/2005 78.544 35.840 Letras del Tesoro 378.843 289.825 Bonos y Obligaciones Simples 996 296 Bonos y Obligaciones Subordinados 787 59.600 Pagarés 304.192 156.480 Bonos Simples Bancos y Cajas 27.376 18.512 Bonos Subordinados Bancos y Cajas 25.762 21.309 Bonos Cupón Cero 1.272 4.433 Bonos Matador 30.826 22.486 Participaciones Preferentes 3.858 2.983 Obligaciones Bonificadas 8.811 191 Bonos Convertibles 442.080 163.916 Titulizaciones y Cédulas TOTAL 1.303.347 775.871

ESTRUCTURA 30/09/2009 31/12/2005 ¨ % 42.704 119,15 6,03 4,62 89.018 30,71 29,07 37,35 700 236,49 0,08 0,04 -58.813 -98,68 0,06 7,68 147.712 94,40 23,34 20,17 8.864 47,88 2,10 2,39 4.453 20,90 1,98 2,75 -3.161 -71,31 0,10 0,57 8.340 37,09 2,37 2,90 875 29,33 0,30 0,38 8.620 4.513,09 0,68 0,02 278.164 169,70 33,92 21,13 527.476 67,99 100 100

Las letras del Tesoro han aumentado en punto y medio, debido sobre todo a las necesidades del Tesoro Público para financiar el fuerte déficit existente en la actualidad. Por su parte, su alternativa privada, los pagarés de empresas, casi han desaparecido del mercado. Asimismo, ha sido muy significativa la actuación de bancos y cajas, que en manos de cuatro años casi han doblado el volumen de bonos emitidos, hasta llegar a superar los 331.000 millones de euros en circulación. Las obligaciones bonificadas de autopistas han seguido creciendo, hasta llegar a 3.858 millones de euros, un 29,33% más que en el año 2005. Y los activos que han tenido un gran incremento han sido los que provienen de la titulización hipotecaria, esto es, productos creados con la garantía de préstamos hipotecarios, sobre todo de bancos y cajas de ahorros, que permiten sacar de balance con beneficios para las entidades emisoras, préstamos y créditos, para venderlos vía fondos de titulización hipotecaria a los inversores. En menos de cuatro años, casi han triplicado el volumen emitido, hasta llegar junto con las cédulas hipotecarias a 442.080 millones de euros, con un 33,92% del total emitido en el mercado de renta fija. Estos títulos son adquiridos por diferentes tipos de inversores, básicamente fondos de inversión, fondos de pensiones y compañías de seguros, aunque no existen estadísticas excesivamente fiables de la estructura de la inversión. Las entidades de

268

crédito también tienen una cartera significativa, básicamente Deuda Pública y Letras para realizar repos para su clientela. El resto se reparte entre inversores finales, tanto personas físicas, como no residentes como empresas que rentabilizan sus puntas de tesorería.

269

CAPÍTULO 10. OPERACIONES EN LOS MERCADOS Y RENTABILIDAD DE LAS MISMAS

1. Duración, Sensibilidad y Convexidad de una cartera de renta fija. A la hora de seleccionar los valores de renta fija que van a componer una cartera, hay que considerar determinados criterios de elección entre los distintos bonos que podríamos calificar de homogéneos: plazo similar, modalidad de pago de intereses idéntica, categoría del emisor equivalente, etc. Por ello, existen distintos criterios de homogeneización: -

Para la categoría del emisor: el “rating”.

-

Para el plazo, un rango de vencimientos aceptado por los mercados como adecuado.

-

Para la modalidad de los intereses, se suele realizar la comparación del cupón fijo, modalidad más común en los mercados.

Para este tipo de bonos, es preciso desarrollar unos conceptos de comparación que vamos a estudiar a continuación. ¾

La Duración de un activo de renta fija.- Las variaciones de tipos de interés en los mercados, provocan variaciones en los precios de los activos de renta fija; y dado que el precio está definido como valor actual del conjunto de flujos futuros, la sensibilidad del precio a los movimientos de tipos de interés será tanto mayor, cuanto más lejano sea el vencimiento de los activos, puesto que el valor de “t” en el denominador será mayor. De entrada, y a igualdad de plazo de vencimiento, el activo de renta fija estará más afectado por las variaciones de tipos de interés, cuantos menos flujos futuros pendientes de pago tenga, puesto que cada vez que se produce un pago, se liberan recursos de la operación financiera, que pueden invertirse en corto plazo a los tipos de interés actuales quedando fuera del riesgo de tipo de interés. El límite se encuentra en las obligaciones cupón cero, que se encuentran obligadas a la reinversión permanente de los intereses generados, hasta el vencimiento, existiendo un único flujo futuro. Es lógico, por tanto, que los precios de los activos de renta fija en los mercados secundarios, varíen más en el caso de un bono cupón cero, que en el caso de un bono cupón anual, y que a su vez, estos varíen más que en el caso de bonos de cupón semestral. Por otra parte, el importe del cupón también influirá en la mayor o menor variabilidad de precios del activo, puesto que si el cupón es alto, al producirse el pago se liberará una cantidad mayor de dinero que saldrá de la operación financiera; y si el cupón es corto, la cantidad liberada será menor. Pues bien, podemos definir la duración de un activo de renta fija, como la vida media de la corriente actualizada de flujos generados como

271

contraprestación a la emisión de dicho activo en relación con el precio actual de dicho activo: Q1 1

Q2

Qt

+ 2

+ ………. + t

(1 + r)1

(1 + r)2

(1 + r)t

D = Q1

Q2

Qt

+

+ …...……. +

(1 + r)1

(1 + r)2

(1 + r)t

es decir, Qi

t

™

i

i=1

(1 + r)i

D = Qi

t

™ i=1

(1 + r)i

expresión aportada por Macaulay en 1938. Calcularemos la duración de tres activos clásicos, la Letra del Tesoro a 1 año, el Bono del Estado a 10 años, y un Bono cupón cero a 10 años: 1. Letra del Tesoro a un año. N 1 (1 + r)1

D =

= 1 N (1 + r)1

La duración de una letra es un año. 2. Bono del Estado a diez años con un cupón del 5% de interés. 50

9

™ i=1

i

1.050 + 10

(1 + r)i

(1 + r)10

D = 50

9

™ i=1

1.050 +

(1 + r)i

(1 + r)10

Si suponemos que el TIR del mercado es actualmente del 4,75%, resulta que:

272

50

9

™

1.050

i

i=1

+ 10 (1 + 0,0475)i

D =

(1 + 0,0475)10

50

9

1.050

™ i=1

= 8,1288 años.

+ (1 + 0,0475)i

(1 + 0,0475)10

3. Bono cupón cero a diez años. N 10 (1 + r)10

D =

= 10 años. N (1 + r)10

La duración del bono será de diez años. La duración es una medida adecuada para el tiempo medio que un inversor tarda en recibir la contraprestación de su inversión en bonos. Los bonos con cupón explícito tienen acotada la duración, en el sentido de que si aumentamos el plazo, el aumento de duración es cada vez más pequeño. Se demuestra matemáticamente que la duración máxima tiene por valor9: 1 Dmáx = 1 + r En nuestro ejemplo, al ser r = 4,75%: 1 Dmáx = 1 +

= 22,0526 años. 0,0475

Por consiguiente, y a efectos de riesgo de tipo de interés, será muy similar invertir en bonos con cupón explícito a 20, 25 o 30 años. ¾

La Sensibilidad de un activo de renta fija. Podemos definirla como el ritmo de variación del precio del activo, según varían los tipos de interés del mercado, medidos estos últimos por el TIR a vencimiento (“annual yield” en terminología anglosajona). En ritmo de variación, nos indicará en qué medida varía el precio del activo, por cada variación en un punto porcentual de los tipos de interés, y el instrumento matemático adecuado para tal medición será la primera derivada.

9

La demostración matemática puede verse en las páginas 574 y 575 del libro citado “Análisis Financiero de los Mercados Monetarios y de Valores”.

273

Si denominamos “V” al valor actual del activo: Q1

Q2

V=

+ …...……. +

(1 + r)1

dV S=

(1 + r)2

Q1

3 Q3 (1 + r)2

-

-

(1 + r)2

(1 + r)2

(1 + r)2t

3 Q3

-

t Qt

(1 + r)3

=

(1 + r)6

2 Q2

-

t Qt (1 + r)t-1 - …...……. -

(1 + r)4

Q1

=

(1 + r)t

2 Q2 (1 + r)

=dr

Qt

+

- …...……. (1 + r)4

(1 + r)t+1

1+r

Multiplicando ambos miembros por

V

Q2

Q1 1 (1 + r)1

(1 + r)

-S

Q3

+2

+3 (1 + r)2

Qt + ………… + t

(1 + r)3

(1 + r)t

=

= D

V

Q1

Q2

Q3

+ (1 + r)2

+ (1 + r)3

Qt + ........... +

(1 + r)4

(1 + r)t+1

con lo que, despejando S: Qi

t

D

™ i=1

S =

(1 + r)i

1+r

expresión de la sensibilidad en función de la duración. Esta fórmula expresa que un incremento en los tipos de interés, provoca una disminución en el precio de los bonos emitidos; de ahí, el signo negativo de la expresión. Asimismo, de la misma se infiere claramente que la sensibilidad es directamente proporcional a la duración de los bonos. A más duración, mayor variabilidad de precios. Ejemplo: Apliquemos la fórmula anterior a nuestro bono: V = 1.019,54087 r = 4,75% D = 8,1288 años.

274

8,1288 · 1.019,54087

S= -

= - 7.911,83 1 + 0,0475

que en tanto por ciento sería - 7,91183, valor que coincide con el concepto “risk”, término anglosajón de la sensibilidad, y cuyo significado es que por cada punto básico (0,01%) de incremento en los tipos de interés a diez años, el precio de nuestro bono disminuye en 7,91 €. De ahí el peligro del mercado de Deuda a largo. Si invertimos 10 millones de euros en bonos a diez años, y suben un punto los tipos de interés (100 puntos básicos), perderíamos 0,791 millones de euros. Al cociente entre modificada:

la

duración

y

(1+r),

se

le

denomina

duración

D Dm = 1+r sin que tenga otro significado que la comodidad operativa. En nuestro caso: Qi

t

S =

- Dm

™ i=1

(1 + r)i

Si aplicamos a nuestro ejemplo: 8,1288

Dm =

= 7,76019 1 + 0,0475

dato que podemos observar en los gráficos anglosajones bajo el apelativo “ADJ/MOD Duration”. ¾

La Convexidad de un activo de renta fija.- Ya hemos visto que el precio de un bono es función de los tipos de interés, y una función decreciente; a medida que aumentan los tipos de interés, disminuye el precio de los bonos. Nos interesa profundizar en la naturaleza de la función, en particular, estudiar su convexidad. Como es bien sabido, una función es convexa en un punto cuando la tangente a la curva en dicho punto subestima el valor de la función en cualquier otro punto del entorno.

275

V = f (r)

Vo V1

V = f(r)

V2

r1

ro

Si los tipos de interés al plazo de vencimiento del activo pasan de “ro” a “r1”, el valor del activo pasaría de “Vo” a “V1”, y como puede verse, supuesto que la función sea convexa, V2 < V1 Siendo V1 - V2, la subestimación de la tangente respecto de la curva, a la cual nos hemos referido. La condición necesaria y suficiente para que una función sea convexa es que la segunda derivada de la función sea positiva, de acuerdo con un teorema de las funciones convexas. La sensibilidad, que era la primera derivada, coincide con la tangente a la curva en el punto considerado. La segunda derivada, primera derivada de la sensibilidad, nos indica cómo varía ésta, a variaciones de los tipos de interés. Es evidente que una función será tanto más convexa, cuanto mayor sea la subestimación a la que nos hemos referido. La expresión matemática más adecuada para expresar la convexidad es la segunda derivada del precio respecto de los tipos de interés, tal y como indicamos antes: d2 V C=

t

i (i+1) Qi

= ™ d r2

i=1

(1 + r)i+2

276

Obviamente, nos interesará, a igualdad de precio, adquirir el bono más convexo: Bono 2

Bono 1 V3 V4

Vo V1

Bono 2

V2 Bono 1

r2

ro

r1

ya que si los tipos de interés disminuyen, de “ro” a “r2”, el valor del bono 2, se incrementa más que el valor del bono 1; y si los tipos de interés aumentan de “ro” a “r1”, el valor del bono 2 disminuye, pero menos que el valor del bono 1. En el caso de los “strips” de Deuda Pública, ente sus principales características se encuentran: x

Son activos de mayor duración que los bonos de los que proceden, ya que estos últimos son bonos con cupón explícito, mientras que los strips son asimilables a los bonos cupón cero a los efectos de duración.

x

Tienen mayor convexidad que los bonos de los que proceden, ya que la convexidad es la segunda derivada de la duración, y por tanto, un incremento en duración genera un incremento en convexidad.

2. Rentabilidad Financiera de Activos de Renta Fija. Vamos a considerar en esta unidad la rentabilidad de una cartera compuesta por activos “estándar” de renta fija. En el capítulo siguiente, discutiremos las diferentes características de las emisiones de bonos y obligaciones, y estudiaremos su rentabilidad específica. La rentabilidad financiera de una cartera se correspondería con los intereses y plusvalías o minusvalías dimanantes de la posesión de los activos, evaluados obviamente con las leyes financieras adecuadas, las cuales recordamos a continuación: x

Leyes Financieras utilizables según activos: ‰

Activos con Rendimiento Explícito. i i

Vencimiento inferior a un año: Interés Simple. Vencimiento superior a un año: Interés Compuesto.

277

‰

Activos con Rendimiento Implícito. Vencimiento inferior a un año: Descuento Simple. Vencimiento superior a un año: Descuento Compuesto.

i i

™ Activos con rendimiento explícito con vencimiento inferior a un año.La rentabilidad vendrá determinada por los intereses de dicho activo entre la fecha de adquisición y la fecha de venta o amortización del activo. La medida adecuada es el interés simple: E·r·t I = 36.500 siendo: I: intereses a percibir. E: efectivo a invertir. t: días que median entre fecha de adquisición y vencimiento. r: rentabilidad financiera del activo. Ejemplo: Cartera compuesta por:

– –

2 m. euros Repo de Deuda al 4,5% de interés, vto.: 5-3-10 1 m. euros Depósito al 4,75% de interés, vto.: 10-7-10

Fecha de Compra: 9-11-09 2.000.000 · 4,5 · 116 I (R050310) =

= 28.602,74€ 36.500 1.000.000 · 4,75 · 243

I (D100710) =

= 31.623,29€ 36.500 Total Intereses .....

60.226,03€

Si queremos evaluar la rentabilidad de una cartera a una fecha concreta, deberemos realizar una valoración de los activos a dicha fecha, utilizando la misma ley financiera por la que se ha generado el producto, a fin de comparar el valor a la fecha de evaluación con el precio de adquisición, y por diferencia, determinar cuál ha sido la rentabilidad financiera. En este caso: Valoración al 31-12-09: 2.000.000 · 4,5 · 52 I (R050310) =

= 12.821,92€ 36.500 1.000.000 · 4,75 · 52

I (D100710) =

=

6.767,12€

36.500 Total Intereses .....

278

19.589,04€

19.589,04 · 36.500 Rentabilidad Financiera Cartera =

=

4,58333%

3.000.000 · 52 en el período 9-11 / 31-12-2009. ™ Activos con rendimiento explícito con vencimiento superior a un año.Vendrá determinada por la agregación de los cupones a percibir, más plusvalías o menos plusvalías en la futura venta o amortización de los bonos. La medida adecuada es el TIR o tasa de retorno, que iguala los distintos flujos monetarios en el tiempo: Q2

Q1 V.A.N. =

+

Qr + ........... +

(1 + r)t1

(1 + r)t2

(1 + r)tr

siendo: V.A.N.: Valor actualizado Neto. Los distintos flujos de cupones y amortización del Qi : título de renta fija. Plazo desde el momento actual hasta el día de la ti : recepción del flujo. r: Rentabilidad financiera de la cartera. Ejemplo: Cartera compuesta por tres bonos:

– – – –

1.000.000 € en Bonos del Estado, cupón 5,15% anual, vto.: 30-7-2018 2.000.000 € en Bonos del Estado, cupón 4,50% anual, vto.: 30-7-2013 3.000.000 € en Bonos del Estado, cupón 4,25% anual, vto.: 30-7-2011 Precio Compra 9-11-09: 100,60% (ex-cupón) para B.E. 5,15% 101,31% (ex-cupón) para B.E. 4,50% 102,94% (ex-cupón) para B.E. 4,25%

Como sabemos, el valor o precio de un bono se corresponde con la suma del precio ex-cupón, más el cupón corrido: VAN = Precio Ex-cupón + Cupón Corrido. 102

VAN (5,15%) =

1.000.000 ( 1,006 +

0,0515 ) = 1.006.000 + 14.391,78 = 1.020.391,78 365

102

VAN (4,50%) =

2.000.000 ( 1,0131 +

0,045 ) = 2.026.200 + 25.150,68 = 2.051.350,68 365

102

VAN (4,25%) =

3.000.000 ( 1,0294 +

0,0425 ) = 3.088.200 + 35.630,14 =3.123.830,14 365

279

VAN CARTERA = 1.020.391,78 + 2.051.350,68 + 3.123.830,14 = 6.195.572,60 € Una vez que conocemos el precio de adquisición, es preciso ponerlo en comparación con los diferentes flujos futuros de cada uno de los bonos, a fin de poder obtener el TIR, tanto de la cartera como de cada uno de los bonos individualmente. La obtención del TIR se puede realizar, bien con una calculadora HP17B o HP19B, o bien con las funciones Excel de un ordenador: Descripción de los Flujos

Fecha

Plazo Flujo (A/A)

30/07/2010 30/07/2011 30/07/2012 30/07/2013 30/07/2014 30/07/2015 30/07/2016 30/07/2017 30/07/2018

263/365 1 + 263/365 2 + 263/365 3 + 263/365 4 + 263/365 5 + 263/365 6 + 263/365 7 + 263/365 8 + 263/365

Tasa Interna Rentabilidad

Flujos Bono Flujos Bono Flujos Bono Total Flujos 5,15% 4,50% 4,25% (Qi) 51.500 90.000 127.500 269.000 51.500 90.000 3.127.500 3.269.000 51.500 90.000 141.500 51.500 2.090.000 2.141.500 51.500 51.500 51.500 51.500 51.500 51.500 51.500 51.500 1.051.500 1.051.500 5,0595%

4,1078%

2,0478%

4,0425%

Una vez obtenido el TIR, debemos proceder de nuevo a la valoración de esta cartera de bonos a una fecha concreta, el 31-12-09 en este caso. Para ello, consideramos como hipótesis de valoración que el devengo de interés se hace a vencimiento y utilizando como tipo en la valoración el propio TIR obtenido anteriormente. Valoración a 31-12-09: Se corresponderá con la actualización de los flujos pendientes al tipo de rentabilidad (T.I.R.) de cada bono. No coincide con la rentabilidad contable. 51.500

51.500

VAN(300718) =

+

+.......... +

(1 + 0,05059518)t1

(1 + 0,05059518)t2

1.051.500 +

=

1.027.592,14€

(1 + 0,05059518)tr

90.000

90.000

VAN(300704) =

+ (1 + 0,04107777)t1

+ ......... + (1 + 0,04107777)t2

2.090.000 +

= 2.063.148,91€ (1 + 0,04107777)tr

127.500

3.127.500

VAN(300702) =

+ (1 + 0,02477777)t1

= 3.134.712,80€ (1 + 0,02477777)t2

siendo “ti” el tiempo financiero que media (A/A) entre el 31-12-09 y el cobro

280

211

de cada flujo, es decir,

211

211

1+

,

,

365

2+

365

, etc.....

365

™ Activos con rendimiento implícito con vencimiento inferior a un año.La rentabilidad vendrá determinada por los intereses de dicho activo entre la fecha de adquisición y la fecha de venta o amortización del activo. La medida adecuada es el Descuento Simple: N E = r·t 1 + 36.500 siendo: E: Efectivo a invertir N: Nominal a percibir al vencimiento t: Días que median entre fecha de adquisición y vencimiento. r: Rentabilidad financiera del activo. Ejemplo: Cartera compuesta por:

– –

1.000.000 Letras Tesoro al 4,50% de interés, vencimiento 14-2-10. 2.000.000 Pagarés Telefónica al 4,75% de interés, vencimiento 10-10-10. Fecha de Compra: 9-11-09 1.000.000 E (L141210) =

=

988.182,42€

4,5 · 97 1 + 36.500 2.000.000 E (P101010) =

= 1.916.450,63€ 4,75 · 335 1 + 36.500 Total Inversión ........

2.904.633,05€

Valoración a 31-12-2009: 1.000.000 E (L141210) =

=

994.482,66€

4,5 · 45 1 + 36.500 2.000.000 E (P101010) =

= 1.928.958,83€ 4,75 · 283 1+ 36.500

Total Valoración al 31-12-2009 .... 2.923.441,49€

281

Intereses Percibidos:

2.923.441,49 - 2.904.633,05 = 18.808,44€ 18.808,44 · 36.500

Rentabilidad Financiera Cartera =

= 4,545% 2.904.633,05 · 52

en el período 9-11 / 31-12-2009 ™ Activos con rendimiento implícito con vencimiento superior a un año.La rentabilidad vendrá determinada por los intereses de dicho activo entre la fecha de adquisición y la fecha de venta o amortización del activo. La medida adecuada es el descuento compuesto:

N E = t

(1 + r)

365

siendo: E: Efectivo a invertir. N: Nominal a percibir al vencimiento. t: Días que median entre fecha de adquisición y vencimiento. r: Rentabilidad financiera del activo.

Ejemplo: Cartera compuesta por:

– –

3.000.000 Pagarés Endesa al 5,25% de interés, vto. 14-4-11. 2.000.000 Bonos INI Cupón Cero al 5,75% de interés, vto. 9-6-14, emitidos al 4,50% el 10-6-07. Fecha de Compra:

9-11-09 3.000.000

E (P140411) =

= 2.788.697,99€ 521

(1 + 0,0525)

365

Cálculo del Importe a Vencimiento del Bono Cupón Cero: 2556

2.000.000 ( 1 + 0,0575)

365

= 2.958.415,37€

A continuación, obtenemos el valor de venta de los bonos cupón cero, actualizando el valor futuro con el tipo de interés al que se han adquirido estos activos:

282

2.958.415,37 E (B090614) =

= 2.289.647,10€ 1673

(1 + 0,0575)

365

Total Inversión ........................

5.078.345,09€

Valoración a 31-12-09: 3.000.000 E (P140411) =

= 2.809.101,12€ 469

(1 + 0,0525)

365

2.958.415,37 E (B090614) =

= 2.307.956,78€ 1621

(1 + 0,0575)

365

Total Valoración 31-12-2009 ...................

5.117.057,90€

Intereses Percibidos: 5.117.057,90 - 5.078.345,09 = 38.712,81€ 38.712,81 · 36.500 Rentabilidad Financiera Cartera =

= 5,31% 5.117.057,90 · 52

en el período 9-11 / 31-12-2009. ™ Rentabilidad Global de la Cartera.- Para obtenerla, compararemos las cantidades invertidas con la valoración de todos los activos al 31-12-2000, de acuerdo con las leyes financieras que hemos utilizado para cada uno de los productos: Valoración y Rentabilidad global de la Cartera a 31-12-2009: Inversión

Valoración

R050310 D100710 B300718 B300713 B300711 L140210 P101010 P140411 B090614

2.000.000,00 1.000.000,00 1.020.391,78 2.051.350,68 3.123.830,14 988.182,42 1.916.450,63 2.788.697,99 2.289.647,10

2.012.821,92 1.006.767,12 1.027.592,14 2.063.148,91 3.134.712,80 994.482,66 1.928.958,83 2.809.101,12 2.307.956,78

Totales

17.178.550,74

17.285.542,28

Rentabilidad financiera homogénea, usando la capitalización simple: (17.285.542,28 -17.178.550,74) · 36.500 r =

= 4,3717% 17.178.550,74

283

•

52

3. Los Impuestos de los productos financieros en España. A partir del 1-1-99, se produjeron importantes novedades fiscales que afectaron especialmente a la tributación de las inversiones en los mercados monetarios y de valores. Por ello, vamos a sintetizar el marco fiscal actual, de cara al análisis de los distintos productos en las próximas unidades, cuando tengamos que calcular rentabilidades financiero-fiscales. Esta legislación se ha complementado con ulteriores disposiciones, que han creado el siguiente marco fiscal al 1-1-2008. ¾

LETRAS DEL TESORO.- Adquiridas en firme o en repo, constituyen rendimiento implícito: - No tienen retención. - Tributan como rendimientos de capital mobiliario al 18%.

¾

BONOS Y OBLIGACIONES SIMPLES O SUBORDINADOS.- Tanto los emitidos por el Tesoro Público, como por entidades autonómicas y locales, como por entidades privadas. Adquiridos en firme, constituyen rendimiento explícito: ƒ Cobro de cupones periódicos: -

Tienen retención del 18%.

-

Tributan como rendimientos de capital mobiliario al 18%.

ƒ Incremento patrimonial por diferencia entre el precio de compra y el de venta o amortización: - No tiene retención. - Tributan como rendimiento de capital mobiliario al 18%. ƒ Repos:

¾

-

No tienen retención.

-

Tributan como rendimientos de capital mobiliario al 18%.

EURODEPÓSITOS.- Formalizados en sucursales permanentes en el exterior de entidades financieras españolas; son como imposiciones a plazo realizadas fuera de España para evitar las retenciones de capital mobiliario: - No tienen retención. - Tributan como rendimientos de capital mobiliario al 18%.

¾ PARTICIPACIONES EN FONDOS DE INVERSIÓN.- Tienen retención del 18% sobre la base de retención. - Tributan como rendimientos de capital mobiliario al 18%. ‰

Base de retención para las participaciones adquiridas antes del 31-12-94:

284

- Se obtendrá la plusvalía por diferencia entre el precio de suscripción y el precio de reembolso, utilizando la cláusula FIFO (primeras adquiridas, primeras reembolsadas). - Se aplicará un coeficiente de reducción del 14,28% de la plusvalía por año. - La diferencia se someterá a retención. Si es nula o negativa, no se practicará retención. ‰

Base de retención para las participaciones adquiridas después del 31-12-94: - Se obtendrá la plusvalía por diferencia entre el precio de suscripción y el precio de reembolso, utilizando la cláusula FIFO (primeras adquiridas, primeras reembolsadas). - Dicha plusvalía se someterá a retención. Si es nula o negativa, no se practicará retención.

¾

PAGARÉS DE EMPRESA Y BONOS CUPÓN CERO.- Tanto los emitidos por el Tesoro Público, como por entidades autonómicas y locales, como por entidades privadas. Adquiridos en firme, constituyen rendimiento implícito: ƒ Incremento patrimonial por diferencia entre el precio de compra y el de venta o amortización: - Tiene retención del 10,8% si se ha mantenido la inversión más de dos años, y 18% en otro caso. - Tributa como rendimiento de capital mobiliario al 18%.

¾

¾

STRIPS.-

Tienen retención del 18% cuando se cobran los cupones o la nudapropiedad. En la venta o amortización se practicará la retención por la diferencia entre el precio de compra y venta o amortización realizada por la Entidad Gestora.

-

No tributan mientras no se vendan o amorticen.

OBLIGACIONES CONVERTIBLES.- Convertidas en acciones: - No tiene retención la prima de conversión. - Tributa dicha prima como rendimiento de capital mobiliario al 18%, aunque no se vendan las acciones procedentes de la conversión, que se consideran como adquiridas a su valor de mercado en el momento del canje.

4. Rentabilidad Financiero-fiscal de Activos de Renta Fija. Distinguiremos entre rentabilidad financiero-fiscal bruta y rentabilidad financierofiscal neta. ¾

Rentabilidad financiero-fiscal bruta: Vendrá determinada por la rentabilidad financiera disminuida en su caso, y de acuerdo con el marco fiscal aplicable a cada inversor, por la

285

inmovilización financiera de las retenciones sobre rendimientos de capital mobiliario. La medida adecuada es el T.I.R., modificando los flujos a percibir, en función de las retenciones. La incidencia de las retenciones dependerá de tres variables:

– –

Cupón periódico a percibir. Período de tiempo que se tarda en recuperar la retención practicada.

• •

–

Si la declaración es a pagar, entre 6 y 18 meses. Si la declaración es a devolver, entre 12 y 24 meses.

Tipo de fiscalidad del adquirente de los activos.

Veamos como afectaría al ejemplo de la unidad anterior, para el caso más general de que la cartera correspondiera a una persona física, y utilizando el mismo esquema de valoración que hemos hecho antes para calcular el TIR, sólo que aplicado a los flujos netos de los activos, una vez tenido en cuenta el efecto de la retención practicada del 18%, y la devolución al año siguiente de dicha retención: Cartera de bonos adquirida por una persona física: Evaluación financiero-fiscal de flujos: Fecha

Plazo Flujo (A/A)

Flujos Bono 5,15%

30/07/2010 30/07/2011 30/07/2012 30/07/2013 30/07/2014 30/07/2015 30/07/2016 30/07/2017 30/07/2018 30/07/2019

263/365 1 + 263/365 2 + 263/365 3 + 263/365 4 + 263/365 5 + 263/365 6 + 263/365 7 + 263/365 8 + 263/365 9 + 263/365

42.230 51.500 51.500 51.500 51.500 51.500 51.500 51.500 1.051.500 9.270

Tasa Interna Rentabilidad

5,02%

Flujos Bono Flujos Bono Total Flujos 4,50% 4,25% (Qi) 73.800 104.550 220.580 90.000 3.127.500 3.269.000 90.000 22.950 164.450 2.090.000 2.141.500 16.200 67.700 51.500 51.500 51.500 1.051.500 9.270 4,08%

2,46%

4,01%

Cartera de Pagarés y Bonos Cupón Cero.

Fecha 10/10/2010 14/04/2011 30/06/2011 30/06/2012 09/06/2014 30/06/2015

Plazo Flujo (t/365) Pagarés Telefónica 335 521 598 963 1.673 2.059

Pagarés Endesa

1.984.961 2.961.966 15.039 38.034

Tasa Interna Rentabilidad

4,74%

5,20%

Total Flujos (Qi) 1.984.961 2.961.966 15.039 38.034 2.838.037 2.838.037 120.378 120.378

Bonos INI

5,71%

5,48%

Si comparamos ahora las rentabilidades financieras que obtuvimos en su momento, con las rentabilidades financiero-fiscales brutas que acabamos de obtener, tenemos lo siguiente:

286

Comparación entre Rentabilidad Financiera y Financiero-Fiscal Bruta.

Activo R050310 D100710 B300718 B300713 B300711 L141210 P101010 P140411 B090614

Rentabilidad Financiera 4,5 4,75 5,0595 4,1078 2,4778 4,5 4,75 5,25 5,75

Rentabilidad Financiero-fiscal 4,5 4,75 5,021 4,0794 2,4598 4,5 4,7357 5,2036 5,7054

Diferencia 0,0000 0,0000 0,0385 0,0284 0,0180 0,0000 0,0143 0,0464 0,0446

Las diferencias se corresponden obviamente con el lucro cesante del dinero que queda inmovilizado en Hacienda por término medio doce meses, para aquellos activos que han sufrido retención.

¾

Rentabilidad financiero-fiscal neta de Activos de Renta Fija: Se correspondería con los flujos relativos a la rentabilidad financiero-fiscal bruta de cada inversión, modificados por los pagos de impuestos que se realizarían en las fechas correspondientes. Con la legislación vigente no se distingue entre rendimientos de capital mobiliario y plusvalías, por lo que todos los ingresos tributarían al 18%. Veamos el mismo ejemplo anterior. En este caso, a los flujos anteriores, habría que añadir la tributación en la fecha de pago de impuestos a Hacienda, que supondremos que es el mismo día 30 de julio (habitualmente, para una empresa es el 25 de julio, por lo que la diferencia es irrelevante). Asimismo, y dado que los tres bonos se han comprado por encima de la par, en la amortización habrá una pequeña minusvalía, que en principio quedaría latente a compensar con otras posibles plusvalías en años futuros. No tendremos en cuenta este pequeño beneficio potencial. El esquema de valoración vuelve a ser el que ya hemos utilizado antes, tomando el TIR como medida de rentabilidad, pero aplicando ahora a los nuevos flujos, en los que hemos tenido en cuenta el efecto del pago del 18% de impuestos. Cartera de bonos adquirida por una persona física: Evaluación financiero-fiscal de flujos:

287

Fecha

Plazo Flujo (A/A)

Flujos Bono 5,15%

30/07/2010 30/07/2011 30/07/2012 30/07/2013 30/07/2014 30/07/2015 30/07/2016 30/07/2017 30/07/2018

263/365 1 + 263/365 2 + 263/365 3 + 263/365 4 + 263/365 5 + 263/365 6 + 263/365 7 + 263/365 8 + 263/365

42.230 42.230 42.230 42.230 42.230 42.230 42.230 42.230 1.042.230

Tasa Interna Rentabilidad

3,48%

Flujos Bono Flujos Bono Total Flujos 4,50% 4,25% (Qi) 73.800 104.550 220.580 73.800 3.104.550 3.220.580 73.800 116.030 2.073.800 2.116.030 42.230 42.230 42.230 42.230 1.042.230 2,68%

1,04%

2,53%

Cartera de Pagarés y Bonos Cupón Cero.

Fecha 10/10/2010 14/04/2011 09/06/2014

Plazo Flujo (t/365) Pagarés Telefónica 335 521 1.673

Pagarés Endesa

1.984.961 2.961.966

Tasa Interna Rentabilidad

3,37%

Total Flujos (Qi) 1.984.961 2.961.966 2.838.037 2.838.037

Bonos INI

3,72%

4,18%

3,98%

En lo que respecta al resto de las operaciones simples sin retención, basta con comparar el dinero invertido con el dinero recibido y con el pago del 18% de impuestos el año siguiente, utilizando de nuevo el TIR como medida de valoración, y modificando los flujos en el mismo sentido que hemos hecho antes, y que no repetimos para no ser reiterativos. Con toda esta información, podemos comparar la rentabilidad financiero-fiscal bruta y la rentabilidad financiero-fiscal neta. Comparación entre Rentabilidad Financiero-Fiscal Bruta y Neta.

Activo R050310 D100710 B300718 B300713 B300711 L141210 P101010 P140411 B090614

Rentabilidad Financierofiscal bruta 4,5 4,75 5,021 4,0794 2,4598 4,5 4,7357 5,2036 5,7054

Rentabilidad Financierofiscal neta 3,69 3,895 4,1015 3,2416 1,6085 3,69 3,9012 4,3134 4,7959

Diferencia 0,8100 0,8550 0,9195 0,8378 0,8513 0,8100 0,8345 0,8902 0,9095

Esta rentabilidad financiero-fiscal neta se corresponde con la verdadera rentabilidad que obtiene el inversor, y que caso de no consumirla supondría el verdadero incremento de su patrimonio en el período considerado, elevado a base anual. De ahí la importancia que tiene la fiscalidad específica del sujeto, y que lo que se intente optimizar en materia de inversiones, sea siempre la rentabilidad financierofiscal neta, y no la bruta o la financiera.

288

CAPÍTULO 11. ANÁLISIS CUANTITATIVO DE EMISIONES DE RENTA FIJA.

1. Características generales de una emisión de Renta Fija. Hasta ahora hemos descrito los métodos, procedimientos y gestión de los valores de Renta Fija. Sabemos que hay un precio de emisión, puede o no haber cupones, hay gastos de emisión, y puede haber distintas formas de amortizar dicha emisión, amén de ventajas fiscales. Es el momento de traducir las características de la emisión (concretamente de bonos u obligaciones, instrumentos que permiten una casuística amplia), a valores concretos, y a tipos de interés de la inversión. Como sabemos, la emisión o empréstito, está formada por un conjunto de partes alícuotas, a las que se denomina bonos u obligaciones. Lo normal es que sean de 1.000 € o 5.000 € cada una, aunque también hay obligaciones de 100.000 € o 200.000 €, dependiendo si se lanzan al mercado minorista o al mercado mayorista. Este importe es lo que se denomina nominal de la obligación. La emisión puede realizarse de varias formas: x

En función de la forma en la que se materializa el rendimiento: o

ƒ

A interés fijo.

ƒ

A interés variable.

o

Con cupón cero.

o

Con prima de amortización.

o

x

Con cupones explícitos periódicos trimestrales, mensuales, etc.).

ƒ

Prima fija.

ƒ

Prima variable.

(anuales,

semestrales,

Con premios de lote en la amortización. ƒ

Lote constante.

ƒ

Lote variable.

En función de la forma en que se amorticen los títulos: o

Amortización única al final del período.

o

Amortizaciones múltiples a lo largo del período. ƒ

Amortización por reducción de nominal en cuotas constantes.

ƒ

Amortización por reducción de nominal en cuotas variables.

ƒ

Amortización por sorteo.

289

x

En función de determinadas características especiales que tienen los títulos: o

Obligaciones sin características especiales.

o

Obligaciones con bonificación fiscal.

o

o

o

o

ƒ

Retención 1,20%.

ƒ

Bonificación Art. 25-C-1.

Obligaciones con garantía de terceros. ƒ

Con aval del Estado.

ƒ

Con aval de Compañías de Seguros.

Obligaciones convertibles en acciones. ƒ

Con opciones a favor del tenedor.

ƒ

Con opciones a favor del emisor.

Obligaciones con warrants incorporados. ƒ

Con warrants sobre valores de renta fija.

ƒ

Con warrants sobre valores de renta variable.

Obligaciones con opciones de amortización anticipada. ƒ

A favor del emisor.

ƒ

A favor del tomador.

ƒ

A favor del emisor y del tomador simultáneamente.

Con toda esta tipología de características, se pueden estudiar multitud de modalidades diferentes de emisión, que a su vez, combinadas con productos derivados, pueden hacer casi infinito el número de posibilidades de emisión de bonos y obligaciones. No obstante, hay que ser consciente de que una cosa es la potencial capacidad de combinar características para realizar una emisión, y otra lo que el mercado real acepta. El mercado en general quiere productos sencillos y fungibles, y huye de características poco entendibles por los inversores. Es por ello, por lo que hace muchas décadas que no se realiza una emisión con lotes (premios que se dan a terminados números de obligación cuando se amortizan), y algo parecido ocurre con las emisiones por sorteo (bastante incertidumbre tienen los mercados, como para que se entre en una lotería de amortización que no aporta nada en términos de rentabilidad o coste), de las cuales sólo queda alguna emisión cotizada en la Bolsa de Madrid procedente de los años cincuenta. Por consiguiente, vamos a centrarnos en los modelos más habituales en las unidades siguientes, sin perjuicio de que utilizando la misma metodología, se puedan hacer los cálculos precisos para cualesquiera emisiones. Asimismo, tendremos en cuenta que una emisión se puede ver siempre desde dos puntos de vista, el del emisor y el del suscriptor o adquirente de los títulos. Desde el punto de vista del emisor, todos los bonos u obligaciones serán iguales, pero dependiendo de quién sea el suscriptor, la rentabilidad final neta que pueda obtener será diferente, aunque los títulos sean los mismos.

290

2. El Riesgo de Reinversión. Limitaciones del TIR como medida de valoración de inversiones. En puntos anteriores hemos comentado los problemas que tiene la utilización del TIR como medida de valoración de inversiones. Sin embargo, han sido comentarios puntuales sobre los que es preciso insistir, a fin de centrar la naturaleza del problema. Como sabemos, hay dos tipos de rendimiento en las emisiones de renta fija, rendimiento explícito, cuando se cobra un cupón periódico y rendimiento implícito, cuando se cobran los intereses acumulados al final de la vida de la operación. Pues bien, es en las operaciones con rendimiento explícito donde se plantea el denominado riesgo de reinversión. La consideración del TIR como medida de valoración de inversiones con rendimiento explícito exige, como ya sabemos, la asunción de la hipótesis de reinversión de flujos; es decir, cada vez que se perciba una renta periódica, dicha renta automáticamente se reinvierte al tipo TIR hasta el vencimiento total de la operación financiera. Sin embargo, es imposible saber a cómo estarán los tipos de interés cuando se produzca una renta futura, por lo que la hipótesis como tal es incoherente. El problema es que si no se asume la hipótesis, el TIR deja de tener sentido como medida, y por ende, nos quedaríamos si poder valorar inversiones. Pero no es éste el único problema que nos plantea el TIR, puesto que hemos de tener en cuenta que el TIR es además una medida estática, en el sentido de que la rentabilidad de un producto financiero de renta fija medida por el TIR, sirve sólo para ser comparada con otras inversiones alternativas y homogéneas en un momento concreto. Pasado ese lapso temporal, el TIR deja de tener validez, y mucho menos se puede considerar como verdadera la rentabilidad que se ofrecía cuando se adquirió el producto a vencimiento. Lo anterior se traduce en el hecho de que la rentabilidad real a vencimiento de una obligación con rendimiento explícito, no tiene nada que ver con la rentabilidad que se ofrece cuando se compra el producto. Invertir al 5,5% TIR a 10 años es una falacia. Una obligación a diez años sólo podrá ser valorada en términos de rentabilidad, como valor final de una renta, una vez que hayamos podido determinar las rentabilidades reales que la inversión está produciendo; es decir, cuando se produce el pago de un cupón, se suele realizar una retención, que se devuelve el año siguiente, produciéndose un lucro cesante; pero además, no es normal que el inversor invierta el cupón neto que percibe en el año uno, a nueve años, para cuadrar con el plazo del TIR, sino que lo invierte en corto, dentro de la política habitual de tesorería de la persona física o empresa. Por lo que antecede, para estimar la rentabilidad de una inversión, lo lógico es que se considere como tipo de reinversión de los rendimientos explícitos el del repo de letras en corto plazo, por ejemplo, a tres meses, o bien el coste de oportunidad del dinero, si la entidad está endeudada, esto es, el Euribor trimestral o el Euribor mensual. Ejemplo: Compramos un bono del Estado de cupón facial 4,5% y nos cotizan un 5,25% TIR a diez años. En los diez años que dura la vida del bono, los tipos de interés medios de la inversión en repo a tres meses son los siguientes: 3,45% - 3,15% - 2,85% - 3% - 3,5% - 3,25% - 3,4% - 4% - 3,6% - 3,3%

291

Queremos saber cuál ha sido la rentabilidad real que hemos obtenido con nuestra inversión, si la mantenemos a vencimiento. Para resolver este problema, necesitamos conocer dos cosas: el precio de compra y el valor final de la renta. El precio de compra lo obtenemos usando una calculadora HP12C. Basta obtener el valor presente de la renta del bono: 4,5

VAN =

4,5

+ 1 + 0,0525

4,5

+ ……… + (1 + 0,0525)2

104,5

+

(1 + 0,0525)9

= 94,278

(1 + 0,0525)10

En lo que respecta al valor final de la renta, el primer cupón se cobra un año después de la inversión, por lo que podrá ser invertible al 3,15%, y así sucesivamente: (((4,5 (1 + 0,0315) + 4,5)(1+ 0,0285) + 4,5)(1 + 0,03) + ……. + + 4,5 (1 + 0,033) + 104,5 = 152,6432456 Si comparamos la inversión inicial con el valor final de la renta obtenida, podemos saber cuál ha sido la rentabilidad real de la inversión: 94,278 (1 + r)10 = 152,6432456 de donde, r = 4,9365358%, obviamente inferior al 5,25%, habida cuenta de que los flujos que se han ido produciendo, en vez de reinvertirse al 5,25%, se han reinvertido al 3 o al 4%.

3. Emisiones de Obligaciones Simples, con cupón fijo y amortización única al final del período. Es el caso más común. El emisor lanza la emisión con un cupón prefijado de antemano, y por un nominal concreto, que suele ser asegurado por los miembros del sindicato. Desde el punto de vista del emisor, el planteamiento es similar al visto en el capítulo anterior, es decir: Q (P – G) N =

Q +

(1 + r)

(1 + r)2

Q+N + ........... + (1 + r)n

siendo : P: G: N: Q:

Precio de emisión. Gastos de la emisión. Nominal de la emisión (puede ser 100 si no lo conocemos). Cupón fijo periódico (puede ser un porcentaje sobre 100 si no lo conocemos). r: TIR de la emisión en el momento de lanzarse. n: plazo de la emisión.

Normalmente, todos los datos son conocidos, salvo el TIR de la emisión, que se corresponde con el coste efectivo para el emisor. Ejemplo: Emisión de 100 millones de euros en obligaciones de 1.000 € nominales cada una, con un cupón del 5% anual a 8 años, emitidas al 96% de precio de emisión, con unos gastos fijos de 500.000 €, más una comisión de aseguramiento para el Banco del 0,65%.

292

Primero obtenemos G: 500.000 + 0,0065 · 100.000.000 = 1.150.000 € A continuación planteamos la igualdad: 5.000.000 0,96 · 100.000.000 – 1.150.000

5.000.000

=

+ (1 + r)2

(1 + r) 5.000.000 94.850.000

5.000.000 + 100.000.000

+ …..... + (1 + r)8

5.000.000

=

+

105.000.000

+ ..... + (1 + r)2

(1 + r)

(1 + r)8

y calculamos el TIR, utilizando una calculadora HP-12C: - 94.850

g

CF0

5.000

g

CFj

7

g

Nj

105.000

g

CFj

f

IRR

r = 5,823553042%.

El TIR como tal es una medida estática, es decir, en este momento y asumiendo la hipótesis de reinversión de flujos, la emisión le cuesta un 5,823% al emisor. La diferencia entre el cupón facial (5%) y el coste final, es debida a la influencia del precio de emisión y de los gastos de la operación, que se pagan “at front”, y que obviamente influyen en el coste total, como si se prorrateara financieramente este importe inicialmente pagado entre todos los años que dura la emisión. La diferencia entre el precio de emisión y el de amortización (100 – 94,85 / 8 = 0,64375) y el coste final por encima del cupón facial (0,823552), es debida al efecto financiero del anticipo en el pago de comisiones y gastos, que lógicamente hay que financiar a lo largo de los ocho años de plazo de la emisión. Desde el punto de vista del suscriptor, la emisión es la misma, pero el que compra las obligaciones no recibe ni los gastos de emisión ni la comisión del banco, es decir, paga directamente el precio de emisión. Lógicamente, la rentabilidad financiera para un suscriptor es diferente del coste efectivo para el emisor. Bastará con calcular el TIR cambiando el precio de adquisición, y dado que el TIR es una medida adimensional, trabajaremos en términos de porcentaje: 5 96

=

5

105

+ (1 + r)

+ ..... + (1 + r)2

(1 + r)8

r = 5,634866688% obviamente menor que el coste financiero del emisor. La diferencia es de diecinueve puntos básicos y se corresponde con el efecto que tiene en el coste de la emisión la existencia de gastos y comisiones. Evidentemente, también puede haber un diferencial en precio en la colocación, es decir, el banco asegura al 96%, pero considera que su red comercial puede vender el producto al 97%. Evidentemente, el planteamiento es el mismo, aunque lógicamente toda rentabilidad “extra” para el Banco, supondrá menor rentabilidad para el adquirente de las obligaciones. No obstante, la rentabilidad financiera no es otra cosa que un dato de referencia, comparable con el coste del emisor. La realidad es que el efecto de retención en origen, hace que la rentabilidad financiero-fiscal bruta, o rentabilidad real del

293

producto, sea inferior para el suscriptor, obteniendo el beneficio Hacienda, que logra una financiación a coste cero para la mayor parte de los inversores (determinados “inversores por naturaleza”, como Fondos de Inversión, Fondos de Pensiones y Compañías de Seguros están exentos de retención en determinadas emisiones). El efecto anterior es distinto según los diferentes sujetos que puedan suscribir las obligaciones, habida cuenta de su situación fiscal específica, pero no obstante, lo más usual es el caso en el que el suscriptor es una persona física. A estas personas se les retiene un 18% del cupón, que es recuperado el 30 de junio del año siguiente, cuando presenta la declaración de la renta o sociedades. Evidentemente, el efecto retención estará en función de la cuantía del cupón, y de la distancia entre la fecha de pago y el 30-6 del año siguiente (entre 6 y 18 meses). Asimismo, las plusvalías también tributan al 18%, teniendo una exención del 40% de la plusvalía en el caso de que la inversión se haya mantenido más de dos años. La plusvalía se producirá cuando P < N, mientras que si P > N, habría una minusvalía que obviamente no tendría retención, y que tampoco se devolvería al tributar, salvo que hubiera inversiones compatibles con plusvalía. Si no las hay, que es lo habitual, quedarían como desgravaciones latentes para las próximas declaraciones, lo cual no consideraremos a efectos de cálculo de rentabilidad. Asimismo, y en los ejemplos que siguen, vamos a considerar que estamos trabajando con operaciones cotizadas y representadas por anotaciones en cuenta en las que se producen retenciones y tributaciones del 18% de la renta. Por tanto, habrá dos series de flujos distintos, la de los pagos netos y la de las devoluciones: 0,82c 0,18c

P

1

0,82c 0,18c 0,82c 0,18c …..........…… 0,82c 0,18c

h

2

h+1

3

h+2

………………… t-1

N + 0,82c

h+t-2

t

0,18c

h+t-1

Pudiendo estar « h » a la izquierda o a la derecha de « 2 », en el caso de cupón anual, dado que si la emisión se realiza, por ejemplo, en el mes de diciembre, el cupón se pagará en diciembre del año siguiente, y en junio del año posterior a este (dieciocho meses después de la fecha de emisión) se presentará la declaración de impuestos, y se obtendrá la devolución de la retención. Pero, si la emisión es en el mes de enero, el cupón se pagará en enero del año siguiente, y hasta junio del año posterior a este último (veintinueve meses después de la fecha de emisión), no se presentará la declaración de impuestos, y se obtendrá la devolución de la retención. Si la emisión tuviera cupones semestrales, trimestrales o mensuales, se podrían producir varias retenciones antes de la primera devolución. Por tanto: 0,82c

P=

0,18c

0,82c

+ (1 + r)h

(1 + r)

0,18c

+

0,82 c

………. +

+ (1 + r)2

0,18 c

+ (1 + r)t-1

0,82c

+ (1 + r)h+1

(1 + r)3

N + 0,82c

+ (1 + r)h+t-2

294

0,18c

+ (1 + r)t

siendo h > 1.

0,18c

+

(1 + r)h+t-1

+ ……. (1 + r)h+2

Apliquémoslo al ejemplo anterior : Ejemplo: Supongamos que la fecha de emisión es el 31 de agosto, y que por tanto, h = 22 meses, es decir, el cupón se paga 10 meses antes de la declaración a Hacienda. 4,1 96

=

0,9

4,1

+

(1 + r)

0,9

+ 22/12

(1 + r)

4,1

+ 2

(1 + r)

0,9

+.....+ 34/12

(1 + r)

104,1

+ 7

(1 + r)

+ 94/12

(1 + r)

0,9

+ 8

(1 + r)

(1 + r)106/12

Obtenemos “r” utilizando una hoja de excel programada para el cálculo de TIR: r = 5,5939185769% Como vemos, ha habido un efecto de disminución de la rentabilidad financiera respecto de la cifra inicial de 5,63. Hasta este momento, los cálculos realizados son objetivos y válidos para cualquier inversor que no tenga un esquema de tributación específico, como ocurre con los “inversores por naturaleza”. También hay casos, como el de las Comunidades Religiosas, Montepíos, y demás entidades que o no pagan impuestos al Estado, o no está muy claro como tributan por capital mobiliario, en los que la retención del 18% supone de hecho un coste financiero no recuperable, ya que no se pide la devolución; de ahí, que para estas entidades sea importante la inversión en productos sin retención. En otros casos como Fondos de Pensiones (tributan al 0%) o Fondos de inversión, Sociedades de Inversión y demás Instituciones de Inversión Colectiva (tributan al 1%), el problema es de lucro cesante, ya que sufren retenciones en los bonos emitidos antes del 1-1-99, del 18%, y luego tienen que esperar casi dos años a que se les devuelva el dinero retenido. Evidentemente, esto supone una rebaja adicional de rentabilidad. Por otro lado, las empresas grandes, con base imponible positiva y que hayan tenido que pagar por Impuesto de Sociedades, bien el año anterior, bien en éste (dependiendo de la modalidad de liquidación que elijan), están obligadas a realizar tres pagos a cuenta del citado impuesto: -

20% de la cuota el 20 de abril. 20% de la cuota el 20 de octubre. 20% de la cuota el 20 de diciembre.

pagando el resto del impuesto el 20 de julio del año siguiente. Por tanto, el efecto retención (para emisiones anteriores al 1-1-99) es inferior para estas empresas, puesto que el 60% de la cuota ya la tenían que anticipar; es decir, no se les devuelve todo al año siguiente, sino que en cada pago a cuenta, en el cual están incorporadas las retenciones que se practicaron el año anterior (dado que el porcentaje gira sobre la cuota líquida, una vez rebajadas las retenciones), o sobre las que se estén practicando este año. El momento del año en el que se produzca la retención es indiferente, puesto que la retención hace que la empresa ingrese siempre menos dinero a cuenta de los flujos futuros. Es decir, si ahora hacemos una retención, y consideramos el efecto global del 18% a devolver el año siguiente, la retención está provocando un beneficio de 15 meses por el no ingreso en abril para el primer 20%; un beneficio de 9 meses por el no ingreso en octubre para el segundo 20%; y un beneficio de 7 meses por el no ingreso en diciembre para el tercer 20%.

295

Como esto es fijo, podríamos refundir todo este efecto en un flujo único que tuviera en cuenta estos pormenores: -

Fijamos “p”, como punto de apoyo, fecha en la que se produce el pago del impuesto de sociedades Para 100 euros retenidos, se tardaría “p-1” años en recuperarlos, y a dicha cantidad, habría que restar 20 euros durante 15 meses, 20 euros durante 9 meses, y 20 euros durante 7 meses.

Por tanto: 15

100 (p - 1) – 20

9

- 20 12

7

- 20 12

= 100 p – 151,66 12

que serían los euros realmente retenidos durante (p-1) años, en términos financieros homogéneos. Por tanto, el porcentaje del período de retención que realmente nos afectaría como inmovilización financiera sería: 100 p – 151,66 q= p–1 22

Ejemplo: En el caso que venimos comentando, si p = 12 22

100

– 151,66 12

q=

= 38% del período. 22

–1 12 10

Como p - 1 =

de año, es decir 10 meses, la retención efectiva sería de: 12 10

0,38 = 0,316 años. 12

es decir, 3,8 meses, en vez de los 10 que, a priori, parecía suponer. Añadiendo esos 3,8 meses a los 12 anteriores, tenemos el plazo del primer impuesto de sociedades (15,8 meses), y añadiendo de doce meses en doce meses a la cifra anterior, vamos obteniendo los diferentes plazos temporales de los sucesivos impuestos de sociedades a lo largo de la vida de esta operación financiera. Si ahora aplicamos este esquema al ejemplo anterior, podemos obtener la rentabilidad financiero-fiscal bruta para una empresa con pagos a cuenta: 4,1 96

=

0,9

4,1

+

+

0,9

15,8

(1 + r)

(1 + r)

12

4,1

+

+.....+

0,9

+

27,8

(1 + r)2 (1 + r)

12

104,1

+

0,9

+

87,8

(1 + r)7 (1 + r)

12

99,8

(1 + r)8

(1 + r)

12

Obtenemos “r” utilizando una hoja de excel programada para el cálculo de TIR: r = 5,6190501849%.

296

Como vemos, ha habido un efecto de aumento de la rentabilidad financierafiscal bruta respecto de la cifra anterior de 5,5939%, habiéndose eliminado casi en su totalidad el efecto del lucro cesante respecto de la rentabilidad financiera.

Sin embargo, hemos de ser conscientes de que esta rentabilidad no es la que finalmente retiene el inversor, puesto que una parte de la misma debe ser ingresada en Hacienda en concepto de tributación por rentas de capital mobiliario. Con la legislación actual, que entró en vigor en enero de 2008, la tributación es del 18% para las rentas de capital, es decir, lo mismo que se retiene en origen al sujeto pasivo. Por tanto, hemos de calcular la rentabilidad financiero-fiscal neta, que se correspondería con el incremento real de patrimonio que le produce al inversor realizar esta inversión. Sobre la base del ejemplo básico con el que estamos trabajando, veamos como afecta a la rentabilidad anterior la incorporación del pago del impuesto sobre la renta para una persona física. Como lo que se retiene es lo mismo que se tributa, cuando se devuelve la retención, con ella se paga el tributo. Ello supone que sólo habrá una serie de flujos, la de los pagos netos, salvo en el último flujo, en el que además de tributar por el cupón cobrado, se tributa por la plusvalía: 0,82c

0,82c

1

2

P

0,82c ….....................… 0,82c

3

…………………………

N +0,82c

t-1

-k

t

h+t

Estando « h » a la izquierda del último pago o vencimiento del bono, y siendo “k” el impuesto a pagar, en su caso, por la plusvalía generada, es decir, 0,18 (N – P), que no fue objeto de retención; evidentemente, si la emisión tuviera cupones semestrales, trimestrales o mensuales, se podrían producir varias retenciones antes de la primera devolución. Por tanto: 0,82c

P=

0,82c

0,82c

+ (1 + r)

0,82c

+ 2

(1 + r)

N + 0,82c

+ ………. + 3

+ t-1

(1 + r)

(1 + r)

-k

+ t

(1 + r)

(1 + r)h+t

Apliquémoslo al ejemplo anterior. Ejemplo: Recordemos que la fecha de emisión era el 31 de agosto, y que por tanto, h = 10 meses, es decir, el cupón se paga 10 meses antes de la declaración a Hacienda. El último flujo se ve incrementado en (-0,72) por la tributación de plusvalías 0,18 · (100- 96): 4,1 96

=

4,1

+ (1 + r)

4,1

+ (1 + r)2

104,1

+ .......... + (1 + r)3

- 0,72

+ (1 + r)8

(1 + r)106/12

Obtenemos “r” utilizando una hoja de excel programada. r = 4,636264055%. Esta sería la verdadera rentabilidad que ha obtenido una persona física con su inversión. Evidentemente, si se tratara de una persona jurídica, la tributación dependería del tipo de empresa y estaría entre el 25% y el 30%.

297

Esta misma cuestión se puede plantear para el caso en el que se produzcan pagos fraccionados de cupón, es decir, que en vez de estar hablando de cupón anual, hablemos de cupón semestral, trimestral o mensual, modalidades más habituales. La situación es la misma, y lo único que ocurre es que hay un mayor número de flujos. Cuando lleguemos a la rentabilidad financiero-fiscal, habremos de tener en cuenta que en un ejercicio se producen varias retenciones, y todas nos son devueltas de golpe en el pago de impuestos del año siguiente. Lo mejor es volver a plantear el mismo ejemplo de antes, pero considerando que el cupón se paga, por ejemplo, trimestralmente. Ejemplo: Misma emisión, pero en vez de pagar el 5% anual, paga el 1,25% trimestral. 1.250.000 94.850.000

1.250.000

=

1.250.000

+

+ ..... + (1 + r4)2

(1 + r4)

101.250.000

+ (1 + r4)31

(1 + r4)32

Calculamos la TIR trimestral: r4 = 1,452367745% y la elevamos a base anual: r = ( 1 + r4)4 - 1 = ( 1 + 0,01452367745 )4 – 1 = 5,937263% Obviamente el coste financiero de la emisión es mayor que la que calculamos con cupón anual, dado el efecto de capitalización compuesta que existe en los cupones trimestrales, que generan más interés cada trimestre al ser reinvertidos al tipo TIR. El planteamiento con la rentabilidad financiera para el suscriptor sería el siguiente: 1,25 96

1,25

=

1,25

+ (1 + r4)2

(1 + r4)

101,25

+ ..... +

+ (1 + r4)31

(1 + r4)32

Calculamos la TIR trimestral: r4 = 1,406085731% y la elevamos a base anual: r = ( 1 + r4)4 - 1 = ( 1 + 0,01406085731 )4 – 1 = 5,7440833% En el caso de la rentabilidad financiero-fiscal bruta, como la emisión se ha iniciado el 31 de agosto y los pagos son trimestrales, el primer pago de cupón se hará el 30 de noviembre, y a partir de ahí, el 28 de febrero, el 31 de mayo, el 31 de agosto y el 30 de noviembre de cada año. Es evidente que en el segundo año, se podrá recuperar la retención de un cupón, en los seis años siguientes las de los cuatro cupones anuales y en el último año, la retención de tres cupones. Veámoslo: 1,025

96

=

1,025

+

1,025

+

0,225

+

1,025

1,025

+

+

(1+r4)4

(1+r4)5

1,025

+

1,025

+

0,9

+

+ (1+r4)

(1+r4)2

(1+r4)3

1,025

+

(1+r4)10/12 0,9

+ .....+ (1+r4)8

(1+r4)94/12

101,025

0,675

+

+

(1 + r4)32

(1+r4)106/12

298

(1+r4)6

(1+r4)7

(1+r4)22/12

Calculamos la TIR trimestral: r4 = 1,4467117287%. y la elevamos a base anual: r = ( 1 + r4)4 - 1 = ( 1 + 0,014467117287 )4 – 1 = 5,9136408%. En el caso de la rentabilidad financiero-fiscal neta, como la emisión se ha iniciado el 31 de agosto y los pagos son trimestrales, el primer pago de cupón se hará el 30 de noviembre, y a partir de ahí, el 28 de febrero, el 31 de mayo, el 31 de agosto y el 30 de noviembre de cada año. Es evidente que en el segundo año, se podrá recuperar la retención de un cupón, pero también será preciso pagar los impuestos al 18%, por lo que desaparecerán los flujos de los 30 de junio, salvo el último, en el que habrá que tributar por la plusvalía. Veámoslo: 1,025

96

=

1,025

+ (1+r4)

1,025

+ (1+r4)2

101,025

+ ……………. +

(1+r4)3

- 0,72

+ (1+r4)8

(1+r4)106/12

Calculamos la TIR trimestral: r4 = 1,150707027%. y la elevamos a base anual: r = ( 1 + r4)4 - 1 = ( 1 + 0,01150707027 )4 – 1 = 4,6828868%

4. Emisiones de Obligaciones Simples, con cupón fijo y amortización por reducción de nominal. La amortización es una de las características más definitorias de una emisión de obligaciones simples. En la unidad anterior hemos visto el caso más común, es decir la amortización del 100% del nominal de una sola vez, y sin ningún tipo de condición especial. Es evidente que si cambiamos las condiciones de amortización, la emisión de obligaciones modificará tanto su estructura como su rentabilidad. Las condiciones pueden ser muy variadas, pero de entre ellas, hay tres que merece la pena destacar: -

Amortización por reducción de nominal en varias cuotas de igual cuantía. Amortización con prima. Amortización por sorteo.

En el primer caso, que veremos en este punto, la amortización se realizará por reducción de nominal en cuotas constantes, por lo que la única diferencia que existe con las obligaciones simples de la unidad anterior, es que en vez de existir una amortización única al final del período, existen varias amortizaciones de naturaleza alícuota, a partir de un momento de la vida de la emisión. Es muy corriente oír hablar de amortización por cuartas partes, por octavas partes, por treceavas partes, a partir del 5º año, a partir del 7º año, a partir del 10º año, etc.

299

Desde el punto de vista del emisor, la emisión se planteará de la siguiente forma: Q

Q

(P – G) N =

Q+kN

+

+ ........... +

(1 + r) Q(1-k) + k N +

(1 + r)

2

Q(1-2k) + k N +

+ (1 + r)h kQ + k N

+ ........... +

(1 + r) h+1

(1 + r) h+2

(1 + r)n

siendo : P: G: N: Q:

Precio de emisión. Gastos de la emisión. Nominal de la emisión (puede ser 100 si no lo conocemos). Cupón fijo periódico (puede ser un porcentaje sobre 100 si no lo conocemos). r: TIR de la emisión en el momento de lanzarse. n: plazo de la emisión. k: porcentaje al que se amortiza el capital (0,20 si es por quintas partes, 0,10 si es por décimas partes, etc.).

Evidentemente, “k” es un valor clave que caracteriza a la emisión, puesto que a partir del momento en el que se produce la primera amortización, queda menos capital sobre el que cobrar el cupón, con lo que el pago de intereses disminuye linealmente, y así sucesivamente en cada cuota de amortización. 10

Se puede ensayar la obtención de una fórmula , pero la complejidad de la misma hace que sea más cómodo calcular los flujos uno a uno y luego realizar los cálculos habituales. Calculemos el TIR de la emisión, que se corresponde con el coste efectivo para el emisor, utilizando el mismo ejemplo de la unidad anterior. Ejemplo: Emisión de 100 millones de euros en obligaciones de 1.000 € nominales cada una, con un cupón del 5% anual a 8 años, amortizable por cuartas partes, emitidas al 96% de precio de emisión, con unos gastos fijos de 500.000 €, más una comisión de aseguramiento para el Banco del 0,65%. Primero obtenemos G: 500.000 + 0,0065 · 100.000.000 = 1.150.000 € A continuación planteamos la igualdad: 5.000.000 0,96 · 100.000.000 – 1.150.000

5.000.000

=

5.000.000

5.000.000 + 25.000.000

+

+ (1 + r)3

3.750.000 + 25.000.000

+

(1 + r)4

(1 + r)5

+

(1 + r)6

2.500.000 + 25.000.000

+

1.250.000 + 25.000.000

+ (1 + r)7 5.000.000

94.850.000

+ (1 + r)2

(1 + r) +

5.000.000

+

=

(1 + r)8

5.000.000

+ (1 + r)

5.000.000

+ (1 + r)2

10

5.000.000

+ (1 + r)3

+ (1 + r)4

El desarrollo y demostración de la fórmula, puede verse en el libro ya citado “Análisis Financiero de los Mercados Monetarios y de Valores”, pagínas 523 a 525.

300

30.000.000

+

28.750.000

+ (1 + r)5

27.500.000

+ (1 + r)6

26.250.000

+ (1 + r)7

(1 + r)8

y calculamos el TIR, utilizando una calculadora HP-12C, HP17-B o HP19-B. r = 5,98408165%. Como podemos comprobar, el TIR en este caso es superior al del caso de amortización única. La justificación está en el hecho de que la vida media de la emisión es inferior al caso anterior, ya que se amortizan antes porcentajes de capital y obviamente, el coste final es superior ya que los gastos de la operación, que son fijos y se pagan “at front”, se prorratean financieramente durante un plazo menor. Desde el punto de vista del suscriptor, la emisión es la misma, pero el que compra las obligaciones no recibe ni los gastos de emisión ni la comisión del banco, es decir, paga directamente el precio de emisión. Lógicamente, la rentabilidad financiera para un suscriptor es diferente del coste efectivo para el emisor. Bastará con calcular el TIR cambiando el precio de adquisición, y dado que el TIR es una medida adimensional, trabajaremos en términos de porcentaje, esto es, considerando 100 como nominal: 5 96

=

5

27,5

+ (1 + r)

+ ..... + (1 + r)2

26,25

+ (1 + r)7

(1 + r)8

r = 5,758463891% obviamente menor que el coste financiero del emisor. La diferencia es de trece puntos básicos y se corresponde con el efecto que tiene en el coste de la emisión la existencia de gastos y comisiones. No obstante, y como ya vimos en el punto anterior, la rentabilidad financiera no es otra cosa que un dato de referencia, comparable con el coste del emisor. La realidad es que el efecto de retención en origen, hace que la rentabilidad financiero-fiscal bruta, o rentabilidad real del producto, sea inferior para el suscriptor, obteniendo el beneficio Hacienda, que logra una financiación a coste cero para la mayor parte de los inversores. El efecto anterior es distinto según los diferentes sujetos que puedan suscribir las obligaciones, habida cuenta de su situación fiscal específica, pero no obstante, lo más usual es el caso en el que el suscriptor es una persona física. A estas personas se les retiene un 18% del cupón, que es recuperado el 30 de junio del año siguiente, cuando presenta la declaración de la renta. Evidentemente, el efecto retención estará en función de la cuantía del cupón, y de la distancia entre la fecha de pago y el 30-6 del año siguiente (entre 6 y 18 meses). Asimismo, y si recordamos lo visto en la unidad anterior, las plusvalías también tributan al 18%. La plusvalía se producirá cuando el precio de adquisición sea inferior al nominal del bono, mientras que si el precio fuera mayor que el nominal, habría una minusvalía que obviamente no tendría retención, y que tampoco se devolvería al tributar, salvo que hubiera inversiones compatibles con plusvalía. Si no las hay, que es lo habitual, quedarían como desgravaciones latentes para las próximas declaraciones, lo cual no consideraremos a efectos de cálculo de rentabilidad.

301

Apliquémoslo al ejemplo anterior, considerando la amortización por cuartas partes en los últimos cuatro años de la vida de la emisión, en la que la fecha de emisión era el 31 de agosto, y por tanto, el cupón se paga 10 meses antes de la declaración a Hacienda. 4,1 96 =

0,9

4,1

+ (1 + r) 29,1

+ 2

(1 + r)

(1 + r)5

(1 + r)70/12

(1 + r)

0,675

+

(1 + r)82/12

4,1

0,9

+ 46/12

(1 + r)

27,05

+

(1 + r)6

0,9

+ 3

(1 + r)

28,075

+

4,1

+ 34/12

(1 + r)

0,9

+

0,9

+ 22/12

+ 4

(1 + r)58/12

(1 + r)

0,45

26,025

+

+

+

(1 + r)7

(1 + r)94/12

(1 + r)8

0,225

+ (1 + r)106/12

Obtenemos “r” utilizando una calculadora HP17B o HP19B. r = 5,7166335935%. Como vemos, ha habido un efecto de disminución de la rentabilidad financiera respecto de la cifra inicial de 5,76. Hasta este momento, los cálculos realizados son objetivos y válidos para cualquier inversor que no tenga un esquema de tributación específico, como ocurre con los “inversores por naturaleza”. Sin embargo, hemos de ser conscientes de que esta rentabilidad no es la que finalmente retiene el inversor, puesto que una parte de la misma debe ser ingresada en Hacienda en concepto de tributación por rentas de capital mobiliario. Por ello, tenemos que calcular la rentabilidad financiero-fiscal neta, que se correspondería con el incremento real de patrimonio que le produce al inversor realizar esta inversión. Apliquémoslo al ejemplo anterior. Recordemos que la fecha de emisión era el 31 de agosto, y que por tanto, h = 10 meses, es decir, el cupón se paga 10 meses antes de la declaración a Hacienda. Asimismo, habremos de tener en cuenta que el importe de la tributación va disminuyendo según se va amortizando principal, y por tanto, el cupón es cada vez menor. La tributación por la plusvalía en la amortización se mantiene constante en los últimos cuatro años, lo que supone que los cuatro flujos por pago de impuestos se obtienen de la siguiente manera: Devolución Retención

1ª 2ª 3ª 4ª

amortización amortización amortización amortización

4,1 96

=

0,90 0,675 0,45 0,225

4,1

+

(1 + r)

(1 + r)2

27,05

+

4,1

+

(1 + r)3

- 0,18

(1 + r)7

+

(1 + r)94/12

- 0,90 - 0,675 - 0,45 - 0,225

4,1

+

(1 + r)4

26,025

+

Tributación por cupones

(1 + r)8

29,1

+

(1 + r)5

Tributación por plusvalía

- 0,18 - 0,18 - 0,18 - 0,18 - 0,18

+

(1 + r)70/12

Total

- 0,18 - 0,18 - 0,18 - 0,18 28,075

+

(1 + r)6

- 0,18

+

(1 + r)82/12

+

- 0,18

+ (1 + r)106/12

Obtenemos “r” utilizando una calculadora HP17B o HP19B. r = 4,73831807%. Esta sería la verdadera rentabilidad que ha obtenido una persona física con su inversión.

302

5. Emisiones de Obligaciones Simples, con cupón fijo y amortización con prima. La amortización con prima supone el hecho de que en el momento de amortizar, el tenedor de las obligaciones recibe una cantidad superior al nominal de los títulos, en concepto de prima por amortización. Puede ser un 2%, un 3%, un 5% o incluso un 10%. Evidentemente, ello supone un mayor coste financiero para el emisor. El planteamiento será el mismo que hemos desarrollado, pero incorporando esa prima como un incremento en los flujos de amortización. Utilizaremos el mismo ejemplo. Ejemplo: Emisión de 100 millones de euros en obligaciones de 1.000 € nominales cada una, con un cupón del 5% anual a 8 años, emitidas al 96% de precio de emisión, con unos gastos fijos de 500.000 €, más una comisión de aseguramiento para el Banco del 0,65%, y con una prima de amortización del 4%. Primero obtenemos G: 500.000 + 0,0065 · 100.000.000 = 1.150.000 € A continuación planteamos la igualdad: 5.000.000 94.850.000

=

5.000.000

5.000.000 + 100.000.000 + 4.000.000

+

+ ..... + 2

(1 + r)

5.000.000 94.850.000

(1 + r)8

(1 + r)

5.000.000

=

+

109.000.000

+ ..... + (1 + r)2

(1 + r)

(1 + r)8

y calculamos el TIR, utilizando una calculadora HP-12C: - 94.850

g

CF0

5.000

g

CFj

7

g

Nj

109.000

g

CFj

f

IRR

r = 6,237866168%.

Evidentemente, un 4% global supone medio punto más de coste al año, cuyo valor actualizado hace que el coste financiero para el emisor pase del 5,98 al 6,24%. Desde el punto de vista del suscriptor, la emisión es la misma, pero el que compra las obligaciones no recibe ni los gastos de emisión ni la comisión del banco, es decir, paga directamente el precio de emisión. Lógicamente, la rentabilidad financiera para un suscriptor es diferente del coste efectivo para el emisor. Bastará con calcular el TIR cambiando el precio de adquisición, y dado que el TIR es una medida adimensional, trabajaremos en términos de porcentaje: 5 96

=

5

109

+ (1 + r)

+ ..... + (1 + r)2

(1 + r)8

r = 6,04882511% Si calculamos ahora el efecto de retención en origen, mediante la rentabilidad financiero-fiscal bruta para una persona física o empresa de pequeño

303

tamaño, asumiendo que no hay retención y que la inversión ha permanecido más de dos años (llamando “ʌ” a la prima de amortización): N + ʌ + 0,82 c Por tanto, habrá dos series de flujos distintos, la de los pagos netos y la de las devoluciones: 0,82c 0,18c

P

1

0,82c 0,18c 0,82c 0,18c …......…… 0,82c

h

2

h+1

3

h+2 …………………

0,18c

t-1

N+ʌ+0,82c

h+t-2

+ 0,18c

t

h+t-1

Pudiendo estar « h » a la izquierda o a la derecha de « 2 », en el caso de cupón anual; y si la emisión tuviera cupones semestrales, trimestrales o mensuales, se podrían producir varias retenciones antes de la primera devolución. Por tanto: 0,82c

0,18c

P=

0,82c

+ 0,82 c

(1 + r)2

0,18 c

………. +

0,18c

+ (1 + r)h+1

+

+ …….

+ (1 + r)3

N + ʌ + 0,82c

+ (1 + r)t-1

0,82c

+

(1 + r)h

(1 + r)

0,18c

+

(1 + r)h+2

0,18c

+

(1 + r)h+t-2

(1 + r)t

(1 + r)h+t-1

siendo h > 1. Apliquémoslo al ejemplo anterior: Ejemplo : Supongamos que la fecha de emisión es el 31 de agosto, y que por tanto, h = 22 meses, es decir, el cupón se paga 10 meses antes de la declaración a Hacienda. 4,1 96

=

0,9

4,1

+

(1 + r)

0,9

+

(1 + r)22/12

+

4,1

+.....+

(1 + r)2 (1 + r)34/12

0,9

108,1

+

+

0,9

+

(1 + r)7 (1 + r)94/12 (1 + r)8

(1 + r)106/12

Obtenemos “r” utilizando una calculadora HP17B o HP19B. r = 6,0056182069%. Si ahora queremos calcular la rentabilidad financiero-fiscal neta, que se correspondería con el incremento real de patrimonio que le produce al inversor realizar esta inversión, tendremos que tener en cuenta que se tributa al 18%, y que la devolución de las retenciones se compensa con el pago del impuesto, salvo en el último flujo, en el que además de tributar por el cupón cobrado, se tributa por la plusvalía: 0,18 · (N + ʌ – P) 0,82c

0,82c

1

2

P

0,82c …..................… 0,82c

3

……........……

N+ʌ+0,82c

t-1

t

–0,18(N+ʌ–P)

h+t-1

Por tanto: 0,82c

P=

0,82c

0,82c

+ (1 + r)

0,82c

+ 2

(1 + r)

N + ʌ + 0,82c

+ ............ + 3

(1 + r)

- 0,18 (N + ʌ - P)

+ (1 + r)h+t-1

siendo h > 1.

304

+ t-1

(1 + r)

+ (1 + r)t

Apliquémoslo al ejemplo anterior. Recordemos que la fecha de emisión era el 31 de agosto, y que por tanto, h = 22 meses, es decir, el cupón se paga 10 meses antes de la declaración a Hacienda. 4,1 96

4,1

=

4,1

+ (1 + r)

108,1

+......+ 2

+ 7

(1 + r)

(1 + r)

- 1,44

+ 8

(1 + r)

(1 + r)106/12

Obtenemos “r” utilizando una calculadora HP17B o HP19B. r = 4,9928668%. El hecho de que haya una prima de amortización, afecta igualmente al caso de que la amortización se realice en diferentes períodos, y en concreto al caso anteriormente visto, en el que se producía la amortización por reducción del nominal. Calculemos el TIR de la emisión, que se corresponde con el coste efectivo para el emisor, utilizando el mismo ejemplo de la unidad anterior. Ejemplo: Emisión de 100 millones de euros en obligaciones de 1.000 € nominales cada una, con un cupón del 5% anual a 8 años, amortizable por cuartas partes, con prima de amortización del 4%, emitidas al 96% de precio de emisión, con unos gastos fijos de 500.000 €, más una comisión de aseguramiento para el Banco del 0,65%. Primero obtenemos G: 500.000 + 0,0065 · 100.000.000 = 1.150.000 € A continuación planteamos la igualdad: 0,96 · 100.000.000 – 1.150.000 =

5.000.000 5.000.000 5.000.000 5.000.000 + + + + 2 3 (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)4

5.000.000 + 25.000.000 + 1.000.000 +

+ 5

(1 + r)

2.500.000 + 25.000.000 + 1.000.000 +

3.750.000 + 25.000.000 + 1.000.000 + (1 + r)6 1.250.000 + 25.000.000 + 1.000.000

+ (1 + r)7 5.000.000

94.850.000

=

(1 + r)8 5.000.000

+ (1 + r)

28.500.000

+ ..... + (1 + r)2

27.250.000

+ (1 + r)7

(1 + r)8

y calculamos el TIR, utilizando una calculadora HP-12C, HP17-B o HP19-B. r = 6,519688646%. Desde el punto de vista del suscriptor, la emisión es la misma, pero el que compra las obligaciones no recibe ni los gastos de emisión ni la comisión del banco, es decir, paga directamente el precio de emisión. Lógicamente, la rentabilidad financiera para un suscriptor es diferente del coste efectivo para el emisor. Bastará con calcular el TIR cambiando el precio de adquisición, y dado que el TIR es una medida adimensional, trabajaremos en términos de porcentaje:

305

5 96

5

=

28,5

+

27,25

+ ..... +

+

(1 + r)2

(1 + r)

(1 + r)7

(1 + r)8

r = 6,293092104% Calculamos ahora la rentabilidad financiero-fiscal bruta, para el caso de una persona física, a la que se les retiene un 18% del cupón, que es recuperados el 30 de junio del año siguiente, cuando se presenta la declaración de la renta o sociedades, y no se produce retención por plusvalías. Apliquémoslo al ejemplo anterior, en el que la fecha de emisión era el 31 de agosto, y que por tanto, h = 22 meses, es decir, el cupón se paga 10 meses antes de la declaración a Hacienda. 4,1 96

0,9

=

4,1

+ (1 + r)22/12

(1 + r) 30,1 (1 + r)

+ 70/12

(1 + r)

(1 + r)3

0,675

28,05

(1 + r)

(1 + r)

(1 + r)

+

(1 + r)4

0,45

(1 + r)58/12

27,025

+ 7

0,9

+

(1 + r)46/12

+ 82/12

4,1

+

+ 6

0,9

+

29,075

+ 5

4,1

+

(1 + r)2 (1 + r)34/12

0,9

+

0,9

+

+ 94/12

(1 + r)

0,225

+ 8

(1 + r)106/12

(1 + r)

Obtenemos “r” utilizando una calculadora HP17B o HP19B. r = 6,2482107945%. En lo que respecta a la rentabilidad financiero-fiscal neta, el sujeto tributa a un tipo marginal del 18%, y teniendo en cuenta que el importe de la tributación va disminuyendo según se va amortizando principal, y por tanto, el cupón es cada vez menor, y que la tributación por la plusvalía en la amortización se mantiene constante en los últimos cuatro años. Devolución Retención

1ª 2ª 3ª 4ª

amortización amortización amortización amortización

4,1 96 =

4,1

(1 + r)

(1 + r)

(1 + r)

- 0,36

(1 + r)

27,025 (1 + r)8

+ 5

(1 + r)

+ (1 + r)94/12

- 0,36

+ 4

Tributación por plusvalía

- 0,36 - 0,36 - 0,36 - 0,36

30,1

+ 3

+ (1 + r)7

- 0,95 - 0,675 - 0,45 - 0,225

4,1

+ 2

28,05

+

0,90 0,675 0,45 0,225 4,1

+

Tributación por cupones

Total

- 0,36 - 0,36 - 0,36 - 0,36 29,075

- 0,36

+ 70/12

(1 + r)

+ 6

(1 + r)

+

(1 + r)82/12

- 0,36

+ (1 + r)106/12

Obtenemos “r” utilizando una calculadora HP17B o HP19B. r = 5,1951178243%.

6. Emisiones de Obligaciones Simples, con cupón fijo y amortización por sorteo. En lo que respecta a la amortización por sorteo, y suponiendo que se amortiza un número constante de obligaciones en cada período, desde el punto de vista del emisor, el caso es equivalente al de la amortización por reducción de nominal ya visto, puesto que al emisor le da lo mismo reducir todas las obligaciones vivas en un 25%, que amortizar totalmente el 25% de las obligaciones.

306

Sin embargo, y de cara al suscriptor, la situación varía, según el sorteo en el que vayan a ser amortizadas sus obligaciones. La probabilidad de que una obligación sea amortizada dependerá del número de obligaciones vivas en el momento de efectuar cada sorteo. Si el número total de obligaciones es “n”, y hay “k” sorteos, las obligaciones que se amortizarán en cada sorteo serán: n k En el primer sorteo, la probabilidad de que la obligación resulte amortizada será: casos favorables partido por casos posibles: n k 1 = = P (amortización 1º sorteo). n k En el segundo sorteo, las obligaciones vivas serán: n n– k n k

y

n k

P (amortización 2º sorteo) =

1

=

=

n

nk – n

k

k

k-1

n– En el tercer sorteo, las obligaciones vivas serán: 2n n– k y

n k

n k

P (amortización 3º sorteo) =

=

1 =

2n

nk – 2n

k

k

k-2

n– En el penúltimo sorteo, las obligaciones vivas serán: (k-2) n n– k n k

y

n k

P (amortización sorteo (k-1) =

=

1 =

(k-2) n

nk – (k-2) n

k

k

2

n– En el último plazo, no hay sorteo, puesto que se amortizan las obligaciones vivas, y la probabilidad de amortización es uno. Por tanto, la probabilidad de amortización es creciente, según van ocurriendo los sorteos: Probabilidad Período de amortización 1 k–1

1

307

1 k–2 1 k–3 ………….. 1 2

2 3 ………. (k-1) k

1

aunque es evidente que, a priori, y al ser constante el número de obligaciones amortizadas en cada período, la probabilidad de que se amortice una obligación en uno de los períodos es la misma e igual a 1 k Con lo que la vida media de una obligación de plazo “m” períodos y con “k” sorteos en los últimos períodos, será igual a la esperanza matemática de la variable aleatoria que mide la vida de cada bloque de obligaciones:

0

1

2

m-k

m-k+1

m-k+2

m-1

m

1º sorteo

2º sorteo

sorteo

sorteo k–1

1 E(Ǎ) = (m-k+1)

1

1

+ (m-k+2) k

k

1

+ ……………………. + (m-1)

+m

k

k

= k

mk + (1-k) + (2-k) + ……………. + (k-1-k) + (k-k) =

= k k (k+1) mk – k2 + mk – k2 + (1 + 2 + ……….. + (k-1) + k )

=

2 =

=

k k+1 =

m–k+

k -2k + k+1

= m+ 2

k-1 = m-

2

2 k-1

E(Ǎ) = m 2

Por consiguiente, la rentabilidad financiera para el poseedor de una obligación depende de una renta aleatoria en función del tiempo esperado de vida de la citada obligación.

308

Si se adquiere una obligación a un determinado precio: Q P ·N =

Q

Q

+

+ m-k

(1 + r)

(1 + r)

Q

+ ........... + 2

+ ……….. (1 + r)m-k+1

(1 + r) k+1

Q

Q

-h +N 2

........ +

+ m-

(1 + r)m-k+h

k-1 2

(1 + r)

siendo “h” el número de sorteos que hay desde que se inician hasta que la obligación que poseemos es amortizada (m-k < h < m). Si se produjera el hecho de que coincidiera “h” con (k-1)/2, entonces el último flujo (cupón corrido) sería nulo, y el último factor estaría elevado exactamente a la vida media de la obligación. Si aplicamos esta formulación a nuestro ejemplo de ocho períodos, considerando cuatro sorteos: k–1 E(Ǎ) = m -

4-1 =8-

2

= 6,5 años. 2 4+1 5

5 96

=

5

5

+ (1 + r)

+ ..... + (1 + r)2

- 2

+ 100

2

+ (1 + r)6

(1 + r)6,5

Utilizando la HP12C, para períodos semestrales y elevando a base anual, obtenemos la rentabilidad financiera media a priori de una obligación para un suscriptor: r = 5,7596992% Tenemos que tener en cuenta, que como media que es, esta rentabilidad nunca será la realmente obtenida a posteriori, puesto que nunca se amortizará ninguna obligación a los seis años y medio. Si hiciéramos el cálculo para cada año, tendríamos: Sorteo

Rentabilidad

5 6 7 8

5,948249131% 5,808564312% 5,709150127% 5,634866688%

es decir, la rentabilidad media es un punto intermedio entre los cuatro sorteos, aunque nunca coincidirá con uno de ellos. Por último, indicar que la media se irá alterando en función de lo que ocurra en los sorteos, puesto que según van transcurriendo éstos, la probabilidad de amortización en los próximos es mayor.

309

7. Necesidad de homogeneización temporal en la comparación cuantitativa de emisiones. Utilización del FRA como instrumento de homogeneización. El TIR no sólo nos plantea los problemas que hemos visto en la unidad anterior, puesto que, asumido que sólo sirve como medida estática para comparar inversiones, y que no es una medida de rentabilidad temporal, también tiene dificultades para ser usado como medida estática de comparación. Desde el momento en que no todas las inversiones tienen el mismo horizonte temporal, no pueden ser comparables en términos de TIR, porque no es lo mismo invertir a 5 años que a 7 años, dado que la estructura temporal de los tipos de interés es diferente a dichos plazos (el “benchmark” típico es el bono del Estado a cada uno de los plazos, y obviamente cotiza de manera diferente, habida cuenta del coste de oportunidad del dinero en el plazo diferencial). Además, en renta fija, las características diferenciales de las emisiones, sobre todo en términos de amortización, hacen que sea preciso tener mucho cuidado con el plazo de la emisión. No se puede comparar una emisión que se amortiza por reducción de nominal, que una emisión que se amortiza por sorteo, que una emisión que tiene vencimiento único y cierto. Por supuesto, si entramos en temas de productos derivados sobre renta fija, la casuística sería interminable. Pero, si la única medida que tenemos para comparar estáticamente es el TIR, y ahora nos encontramos con este problema, ¿cómo podremos solucionarlo? La respuesta es sencilla: homogeneizando temporalmente todas las inversiones. ¿Cómo hacerlo? La respuesta también es sencilla: poniendo precio al dinero en los períodos que originan la diferencia entre las inversiones objeto de comparación. Normalmente, el período de inicio de la inversión coincide, ya que si estamos comparando varias inversiones, es porque vamos a invertir en una fecha concreta, y no sabemos en cuál de ellas. Por tanto, lo que suele variar es el momento de finalización de las diferentes inversiones. La forma de realizar la homogeneización se basa en considerar la inversión con el plazo más corto y la inversión con el plazo más largo, y realizar los cálculos necesarios para obtener la rentabilidad equivalente de todas ellas al plazo más largo. Para lograr nuestro propósito, tendremos que calcular los tipos de interés a plazo que se encuentran comprendidos entre los citados plazos más corto y más largo, y la figura financiera adecuada para obtener los denominados tipos implícitos, es el FRA. Una vez que se consiguen obtener estos tipos, debemos llevar todas las inversiones hasta el máximo plazo de todas ellas, y a continuación calcular el TIR homogéneo. Evidentemente, elegiremos de entre todas ellas, aquella que sea mejor para nosotros (máximo TIR si somos inversores, mínimo TIR si buscamos financiación). Elegida una de las ofertas, las demás deben ser olvidadas, y además debemos olvidarnos de los cálculos previos para la homogeneización, puesto que no tienen ningún valor, salvo el de permitir tomar la decisión adecuada en el momento adecuado. La mejor forma de estudiar este tema, es mediante un ejemplo. Veamos el siguiente: Ejemplo: Elección de la mejor oferta de financiación en una emisión de bonos:

310

Una empresa ha decidido realizar una emisión de bonos a cinco años. Solicita ofertas a tres bancos, que le ofrecen las siguientes condiciones: -

Oferta 1: 5.000 m. a 5 años al 4% de interés nominal anual, pagadero por semestres, con precio de emisión del 102% y amortización por partes iguales por reducción de nominal al finalizar el 4º y 5º año, con prima de amortización del 5%. Comisión de colocación “flat” del 0,35%. Oferta 2: 5.000 m. a 4 años, al 4,70% de cupón anual, con precio de emisión del 98,5% y amortización única al finalizar el 4º año. Comisión de colocación “flat” del 0,50%. Oferta 3: 5.000 m. a 5 años al 4,65% de interés nominal anual, pagadero por trimestres, con precio de emisión del 99% y amortización por cuartas partes en los últimos cuatro trimestres. Comisión de colocación “flat” del 0,30%.

-

-

Si la Deuda Pública cotiza al 3,75% a 4 años y al 3,90% a cinco años, queremos saber: a) ¿Cuál de las ofertas debe de aceptar? b) ¿Cuál es el coste financiero de la emisión? c) ¿Cuál será la rentabilidad financiera de la emisión elegida para un suscriptor de bonos? d) ¿Cuál será la rentabilidad financiero-fiscal bruta de la emisión para dicho suscriptor? e) ¿Cuál será la rentabilidad financiero-fiscal neta de la emisión para dicho suscriptor? a)

2,5

2,5 2 x

~

2 ~

2 x

2 ~

2 x

2 ~

50 2 ~

2 x

50 1 ~

1 x

102 - 0,35 101,65

El TIR o coste financiero sería: 2

2

101,65 =

+ 1 + r2

2

+ .......... + (1 + r2 )2 (1 + r2)7

r2 = 2,301746707 %

54,5

1

+ (1 + r2)8

r = (1 + 0,02301746707)2

53,5

+ + (1 + r2)9 (1 + r2)10

- 1 = 4,6564738 %.

No obstante, es preciso hacer este coste comparable con el de las otras dos ofertas, homogeneizando el plazo a cinco años. Para ello, tendríamos que obtener el valor del dinero al pasar del año 4º al año 5º. En suma, nos estamos refiriendo al FRA 4/5. Este precio se correspondería con el equivalente financiero entre la Deuda Pública de 4 años y la de 5 años: (1 + 0,0375) · (1 + r)4

= (1 + 0,039)5

1,0395 r =

- 1 = 4,5021718 %. 1,03754

Por tanto, la devolución del 50% del principal al finalizar el 4º año, junto con la prima de amortización, podría ser refinanciada a dicho precio, originando un flujo de:

311

52,5 (1 + 0,045021718) = 54,8636402 que permitiría el traslado del flujo inicial al flujo final: 54,8636402

2

2

2

x

~

x

~ 101,65

2

2

2

~

2

x

2

101,65 =

r2* = 2,294680558 %

x

1

+ (1 + r2*)7

1

~

2

+ ........ + (1 + r2*)2

2

x

2

+ 1 + r2*

2

~

~

108,3636402

+

(1 + r2*)8

2,5 50 1

+

(1 + r2*)9

(1 + r2*)10

r* = (1 + 0,02294680558)2 - 1 = 4,6420168 %.

En lo que respecta a la segunda oferta: 4,7

4,7

~

~

~

100 4,7

4,7

~

~

98,5 - 0,5 98

El TIR o coste financiero sería: 4,7

4,7

98 =

4,7

+

104,7

+

(1 + r )2

1+ r

+

(1 + r)3

r = 5,267532952%

(1 + r)4

De nuevo, para homogeneizar, deberemos de trasladar la amortización del principal al 5º año, reinvirtiendo al tipo FRA 4/5: 100 · (1 + 0,045021718) = 104,5021718 4,7

~

4,7

~

4,7

~

4,7

~

104,5021718

~

~

98 4,7

98 =

4,7

4,7

+ 1 + r*

4,7

+ (1 + r*)2

104,5021718

+ (1 + r*)3

+

r =5,127873119%

(1 + r*)4

(1 + r*)5

En lo que respecta a la tercera oferta: 0,871875 0,290625 25 25 25 25 1,1625 1,1625 …………………………………………………………………………………………… 1,1625 1,1625 0,58125

~

x

x

x

~

x

x

x

~

x

x

x

~

x

x

x

~

x

x

x

~

99 - 0,30 98,70

El TIR o coste financiero sería: 1,1625

98,70 =

1,1625

+ 1 + r4

(1 + r4 )2

1,1625

26,1625

+ …… +

+

(1 + r4)16

(1 + r4)17

312

25,871875

25,58125

+

+

(1 + r4)18

(1 + r4)19

25,290625

+ (1 + r4)20

=

r = (1 + 0,01241612248)4 - 1 = 5,0597129 %.

r4 = 1,241612248 %

Para homogeneizar, hemos de trasladar las tres primeras amortizaciones de 25 hasta el final del año 5º. Para calcular el tipo a 9, a 6 y a 3 meses, hemos de calcular el equivalente trimestral del FRA 4/5: (1 + r4) = 1 + 0,0450217184

r4 = 1,1070244

con lo que los flujos de capital podrían trasladarse al último flujo: 25 ( 1 + 0,011070244 )3 25 ( 1 + 0,011070244 )2 25 ( 1 + 0,011070244 )

= 25,8394935 = 25,55657595 = 25,2767561

101,6728256 0,871875 0,290625 1,1625 1,1625 ………………………………………………………………………..…………… 1,1625 1,1625 0,58125

~ ~

x

x

x

~

x

x

x

~

x

x

x

~

x

x

x

~

x

x

x

98,70

25 + 25,8394935 + 25,55657595 + 25,2767561 = 101,6728256 1,1625

1,1625

98,70 =

+ 1 + r4 *

1,1625

1,1625

+ ……+

(1 + r4* )2

(1 + r4*)16

r4* = 1,23245058 %

0,871875

+

+

(1 + r4*)17

0,58125

101,9634506

+

(1 + r4*)18

+

(1 + r4*)19

=

(1 + r4*)20

r* = (1 + 0,0123245058)4 - 1 = 5,0216896 %.

Por tanto, elegiría la primera oferta. b) El coste financiero del empréstito sería del 4,6564738%. c)

2,5

2,5 2

~ ~

2

x

2

2

~

2

x

2

~

2

x

50 2

~

50 1

1

x

~

x

102 2

2

102 =

2

+

+

(1 + r2 )2

1 + r2

54,5

+ .......... + (1 + r2)7

d) ~ ~

1,64

x

2,36

~

0 102

53,5

+

(1 + r2)8

(1 + r2)9

(1 + r2)10

rf = (1 + 0,02259553575)2 - 1 = 4,570163 %.

r2 = 2,259553575 %

1,64

1

+

1,64

x

2,36

~

1

2

1,64

x

2,36

~

52,5 1,64

1,54

x

~

3

52,5 0,82 0,36

x

4

~

x

5

2 · 0,82 = 1,64 Suponemos que la emisión nace el 1-1, y los cupones se pagan 30-6 y 31-12. La devolución será el 30-6 del año siguiente. Asimismo, hemos de tener en cuenta que las plusvalías no tienen retención. 1,64

102 =

1,64

+ 1 + r2

(1 + r2 )2

2,36

+

(1 + r2)3

54,14

+ ....... +

313

(1 + r2)8

1,54

+

53,32

+

0,36

+

(1 + r2)9 (1 + r2)10

(1 + r2)11

rff = (1 + 0,022480934)2 - 1 = 4,546726 %.

r2 = 2,2480934 %

e) Los cupones y las plusvalías tributarían al 18%: 1,64

1,64

x

~

~ ~ 0 102

- 0,72 2,36

- 0,72 2,36

1,64

x

~

1

1,64

x

2

- 0,72 2,36

~

x

3

- 0,27 - 0,27 - 0,72 52,50 - 0,36 1,54 0,82 0,36

52,50 1,64

~

x

4

~

x

5

4 · 0,18 = 0,72 sería la tributación por cada dos cupones. 2 · 0,18 = 0,36 sería la tributación de cupones en el último año. (52,5 – 51) · 0,18 = 0,27 sería la tributación de la plusvalía en cada una de las dos amortizaciones. 1,64

1,64

102 =

1,64

+ 1 + r2

1,64

+ (1 + r2 )2

54,14

+

(1 + r2)3

0,55

+ (1 + r2 )8

1,64

+

1,64

+ (1 + r2)4

53,32

1,64

+ (1 + r2)5

+ (1 + r2)6

+ (1 + r2)7

- 0,27

+

+

(1 + r2)9

(1 + r2)10

(1 + r2)11

rffn = (1 + 0,01857787024)2 - 1 = 3,7500877 %.

r2 = 1,857787024 %

8. Emisiones de Obligaciones Cupón Cero. En este tipo de obligaciones, y como ya sabemos, existe un único cobro y un único pago, utilizándose como ley financiera el interés compuesto. Suelen ser de elevado nominal unitario, y son muy deseadas por Fondos de Pensiones, Fondos de Inversión y Compañías de Seguros, para comercializar productos de interés garantizado. Como en cualquier emisión de renta fija, sus características básicas serán: -

N: Nominal emitido. P: Precio de emisión (expresado en % sobre el nominal). n: Plazo de duración de la emisión. i: Tipo de interés de la emisión. G: Costes de la emisión (expresados en % sobre el nominal).

Si analizamos la emisión desde el punto de vista del emisor, el coste financiero sería el siguiente: N (1 + i)n 0

1

2

3

…………....………………

n-1

n

P N (1 + i)n (P – G) N = (1 + r)n (1 + i)n (1 + r)n =

1+i

1+i

1+r=

r=

-1

1

1

(P – G) n

(P – G) n

P–G

314

Veamos un ejemplo: Ejemplo: Emisión de 100 millones de euros en obligaciones de 1.000 € nominales cada una, a un tipo de interés del 5% anual a 8 años, emitidas al 96% de precio de emisión, con unos gastos fijos de 500.000 €, más una comisión de aseguramiento para el Banco del 0,65%. Es decir, la misma emisión que utilizamos en un ejemplo anterior, pero con la particularidad de que ahora no hay pago periódico de cupones. Recordamos que los gastos eran de 1.150.000€, que en porcentuales sobre el nominal de la emisión, suponían un 1,15%

términos

A continuación, obtenemos el TIR: 1+i

1 + 0,05

r=

-1 =

- 1 = 5,6962629%

1

(P – G)

1

n

(0,96 – 0,0115)

8

Como podemos observar, parece que el coste financiero de una obligación cupón cero es inferior al coste financiero de una obligación con cupón explícito con los mismos datos de partida: 5,6962629 < 5,823553042 Merece la pena que nos paremos a analizar el porqué. El punto diferenciador estriba en el precio de emisión. En nuestro ejemplo, el precio era por debajo de la par, acentuado por los gastos de emisión. Supongamos que el precio de emisión hubiera sido del 101,15%. En ese caso: P – G = 1,0115 – 0,0115 = 100%. con lo que 5.000.000 100.000.000

=

5.000.000

+

105.000.000

+ ..... + (1 + r)2

(1 + r)

(1 + r)8

re = 5%

1+i ro =

1 + 0,05 -1 =

- 1 = 5%

1

1

(P – G) n

(1,0115 – 0,0115)

8

es decir, coincide el coste financiero. Si el precio de emisión hubiera sido del 103%. En ese caso: P – G = 1,03 – 0,0115 = 101,85%. con lo que 5.000.000 101.850.000

=

5.000.000

+ (1 + r)2

(1 + r)

315

105.000.000

+ ..... + (1 + r)8

re = 4,717029905% 1+i ro =

1 + 0,05 -1 =

- 1 = 4,7596816%

1

1

(P – G) n

(1,03 – 0,0115) 8

es decir, es menor el coste financiero de la emisión con rendimiento explícito que el coste financiero de la emisión cupón cero. Ahora bien, ¿por qué ocurre esto?, y lo que es más importante, ¿existe una ecuación que nos relacione rentabilidades cupón cero con rentabilidades cupón explícito? La importancia radica en la capacidad de maniobra que tiene un emisor para jugar con el precio de la emisión de cara al cálculo del TIR. La diferencia surgida nace por el hecho de que el exceso o defecto sobre la par en la emisión del bono, no se capitaliza al tipo de interés de la emisión. Por tanto, si se emite por encima de la par, se está pagando en origen más que lo que financieramente produce el bono. Para lograr la equivalencia financiera, es preciso disminuir el TIR de la operación (que no el de la emisión), a fin de igualar el flujo inicial con los flujos siguientes. Como la hipótesis de reinversión de flujos implícita en las emisiones de cupón explícito, está haciendo que todos los flujos de pagos de cupón se reinviertan automáticamente al 5% hasta el vencimiento, es preciso rebajar el TIR de la inversión para lograr la igualdad de flujos. Por ello, se fuerza más aún a la baja la tasa de descuento, hasta el 4,717%. Sin embargo, en la emisión de cupón cero no existen pagos intermedios que lleven implícita la obligación de reinversión a un tipo explícito específico, por lo que el TIR actúa desde el primer momento comparando el pago inicial con el pago final, e implícitamente está asumiendo que la reinversión se hace al 4,759%, y no al 5% cada año que pasa. Si se emite por debajo de la par, el efecto es el contrario, y el TIR explícito será siempre superior, para compensar el defecto de reinversión de flujos al 5% cuando la rentabilidad es superior. Sin embargo, en el cupón cero, la reinversión de flujos está ya realizada implícitamente al 5,696%. Como conclusión de lo recientemente dicho, el cupón cero es un producto mucho más perfecto financieramente hablando que el cupón explícito, puesto que nos da garantía cierta del pago final, mientras que las obligaciones simples conllevan la hipótesis de renta aleatoria para los pagos de cupón: no podemos garantizar que cuando se produzca el pago en el futuro seamos capaces de reinvertir al mismo tipo TIR al que creemos haber invertido. En cuanto a si existe una ecuación que nos relacione rentabilidades cupón cero con rentabilidades cupón explícito, la respuesta es afirmativa, y para obtenerla, basta que comparemos las expresiones de las que derivan ambas rentabilidades. Como el valor actual es el mismo: Q

Q +

(1 + re)

N (1 + i)n

Q+N + ........... +

(1 + re)2

= (1 + re)n

316

(1 + ro)n

Como Q = N · i i

i + ........... + (1 + re)2

(1 + re)

(1 + i)n

1+i

+

= (1 + re)n

(1 + ro)n

de donde 1 - (1 + re)-n i

(1 + i)n + (1 + re)-n =

(1 + ro)n

re y despejando (1 + i) ro =

-1 1 - (1 + re)-n i

1

+ (1 + re)-n

n

re Si lo aplicamos a nuestro ejemplo: (1 + 0,05) - 1 = 5,6962629%

ro = -8

1

1 - (1 + 0,05823553042)

0,05

+ (1 +

0,05823553042)

-8

8

0,05823553042

(1 + 0,05) ro =

- 1 = 4,7596816% -8

1

1 - (1 + 0,04717029905)

0,05

+ (1 +

0,04717029905)

-8

8

0,04717029905

que se corresponden con las rentabilidades calculadas antes. De esta manera, podemos saber inmediatamente cuál es la rentabilidad “cupón cero” equivalente a la rentabilidad explícita de un bono. Desde el punto de vista del suscriptor, la adquisición de un bono cupón cero tiene una rentabilidad financiera inferior al coste del emisor, ya que no paga los gastos de emisión. El planteamiento es similar al que vimos para las obligaciones con cupón explícito. N (1 + i)n P·N= (1 + r)n (1 + i)n (1 + r)n =

1+i 1+r=

1+i r=

-1

1

P P

n

1

P

n

Apliquémoslo a nuestro ejemplo: Ejemplo: Emisión de 100 millones de euros en obligaciones de 1.000 € nominales cada una, a un tipo de interés del 5% anual a 8 años, emitidas al 96% de precio de emisión, con unos gastos fijos de 500.000 €, más una comisión de aseguramiento para el Banco del 0,65%.

317

1+i

1 + 0,05

r=

-1 = P

- 1 = 5,5371581%

1

1

n

8

0,96

Si ahora nos fijamos en la rentabilidad financiero-fiscal bruta para el caso de una persona física, se producirán dos flujos, el pago del bono cupón cero, del que se deducirá el 18%, y la devolución de la retención al año siguiente cuando presente la declaración de la renta: Los dos flujos finales, se obtendrán de la siguiente forma: N (1 + i)n – 0,18 [N (1 + i)n – P ] = 0,82 N (1 + i)n + 0,18 P 0,18 [N (1 + i)n – P] 0,82 N (1 + i)n + 0,18 P 0,18[N(1 + i)n - P] 0

1

2

3

……..………………

n-1

n

h

P 0,82 N (1 + i)n + 0,18 P

P=

0,18 [N(1 + i)n - P]

+ (1 + r)n

(1 + r)h

Aplicándolo a nuestro ejemplo, con fecha de pago de cupón 31 de agosto y fecha de pago de impuestos el 30 de junio: 0,82 · 100 (1 + 0,05)8 + 0,18 · 96

96 =

0,18 [100 (1 + 0,05)8 - 96]

+ (1 + r)8

(1 + r)106/12

de donde r = 5,500817747%. es decir, ha habido una disminución de rentabilidad financiera, similar a la que obtuvimos con las obligaciones con cupón explícito: 5,5939185 - 5,5008177 = 0,0931008% No obstante, la cuantía es inferior, y ello es lógico, ya que la retención, a pesar de ser de la misma cuantía, se produce toda al final, y el dinero que se ingresa en Hacienda vale menos que el que se hubiera ingresado a lo largo de los sucesivos años, debido al efecto inflación. Por ello, a igualdad de TIR, y dejando aparte temas de riesgo de tipo de interés, siempre es mejor una inversión con cupón cero que una inversión con cupón explícito. Entrando ahora en la rentabilidad financiero-fiscal neta para el caso de una persona física, tributará al 18% de tipo marginal que coincidirá con la retención practicada, por lo que habrá un único flujo: 0,82 N (1 + i)n + 0,18 P 0

1

2

3

……..……………… ..............

P 0,82 N (1 + i)n + 0,18 P

P= (1 + r)n

318

n

Aplicándolo a nuestro ejemplo, con fecha de pago de cupón 31 de agosto y fecha de pago de impuestos el 30 de junio: 0,82 · 100 (1 + 0,05)8 + 0,18 · 96

96 = (1 + r)8

de donde r = 4,6816119%. Las obligaciones cupón cero son útiles para una persona física que desea generarse una cartera de renta fija con vistas a la jubilación, ya que los impuestos se pagan con dinero de quince o veinte años después de haber realizado la inversión, y en términos efectivos, se pagan unos impuestos “deflactados”.

9. Emisiones de Obligaciones Bonificadas. Como ya indicamos, una obligación bonificada es una obligación simple con pago de cupones como rendimiento explícito, con la única particularidad de que el sujeto que cobre los cupones, tendrá derecho al 95% de bonificación en su declaración de IRPF o ISS. Existen dos modalidades, las obligaciones con retención del 1,20%, y derecho a desgravación del 24%, y las obligaciones con retención del 18%, y bonificación del 95% en la cuota del Impuesto sobre Sociedades (art. 25-C-1). No obstante, la segunda de las modalidades dejó de utilizarse en la década de los noventa, autorizándose a Endesa la última de estas emisiones. Por ello, nos concentraremos en la primera de ellas, que todavía tiene bastantes emisiones vivas, y en el sector de Autopistas se siguen dando autorizaciones. Estas emisiones tuvieron un importante desarrollo en los años ochenta, para potenciar el sector Eléctrico, y compensarle de la moratoria nuclear. Desde los años noventa, afectan casi con exclusividad a empresas concesionarias de autopistas. En las obligaciones con retención del 1,20%, si el titular es una persona física o sociedad mercantil no financiera, cuando cobre los cupones sufrirá una retención de sólo un 1,20%, en lugar del 18% general. Al año siguiente, cuando presente su declaración de impuestos, puede deducir de la cuota, como si se le hubiera retenido el 24%. Para el emisor, tienen la ventaja de que puede emitir a un tipo de interés inferior al de mercado; por lo demás, cuantitativamente la emisión es idéntica a una emisión de obligaciones simples. Sin embargo, para los suscriptores, la rentabilidad financiero-fiscal va a estar en función de su tipo marginal de declaración de impuestos. Se demuestra que la rentabilidad financiero-fiscal se puede obtener a partir de la rentabilidad financiera, mediante la siguiente fórmula: 1,228 - tmg rff = rf 1 - tmg siendo: rff : rentabilidad financiero-fiscal. rf : rentabilidad financiera. tmg : tipo de declaración de impuestos del sujeto pasivo (en la actualidad, el 18%).

319

Veamos un ejemplo: Ejemplo: Emisión de obligaciones Audasa, cupón 4%. Un inversor compra un millón de euros en obligaciones Audasa a ocho años, a la par. Financieramente el planteamiento es: 40.000

=

1.000.000

40.000

1.040.000

+

+ ..... + (1 + r)2

(1 + r)

(1 + r)8

y el TIR obviamente del 4%. Pero, los flujos financiero-fiscales son diferentes. Supongamos que el pago de impuestos es justamente doce meses después del pago del cupón (30 de junio): 39.520

=

1.000.000

49.120

1.049.120

+ (1 + r)

9.600

+ ..... + 2

(1 + r)

+ 8

(1 + r)

(1 + r)9

con un TIR del 4,867441425% como rentabilidad financiero-fiscal bruta. No obstante, la más interesante es la rentabilidad financiero-fiscal neta. Tal y como hemos indicado, el tipo de tributación habitual sería del 18% para una persona física, por lo que la rentabilidad del inversor sería la siguiente: Pago de impuestos: 40.000 · 0,18 = 7.200€. Retención: 40.000 · 0,012 = 480€. Deducción: 40.000 · 0,24 = - 9.600€. Pago neto de impuestos:

- 1.920€.

Rentabilidad neta de la inversión = 40.000 + 1.920 = 41.920 €. Rentabilidad equivalente que habría que obtener con un activo no bonificado: 41.920 R= = 51.121,95 €. 0,82 51.121,95 · 100 rff =

= 5,112195%. 1.000.000

A esta cifra, también podríamos haber llegado utilizando nuestra fórmula: 1,228 – 0,18

1,228 - tmg rff = rf

= 0,04

= 5,1121951%. 1 – 0,18

1 - tmg

Finalmente, podemos analizar un ejemplo completo de cálculo de rentabilidad de obligaciones bonificadas: Ejemplo: Obtención de la rentabilidad financiero-fiscal de una inversión en obligaciones bonificadas: La empresa Autopistas del Norte realiza una emisión de obligaciones bonificadas con cupón del 4% anual, y vencimiento a siete años. La emisión tiene el pago de cupón el 30 de junio, por lo que la devolución de la retención se haría al año justo de producirse el pago.

320

El precio de emisión es del 98,75%, y los bancos aseguradores le cobran una comisión de colocación del 0,75%. a) ¿Cuál es el coste financiero de esta operación para la Sociedad? b) ¿Cuál sería la rentabilidad financiera para un inversor en estas obligaciones? c) ¿Cuál sería la rentabilidad financiero-fiscal bruta para dicho inversor? Un inversor se plantea la posibilidad de invertir en estas obligaciones. d) ¿Cuál sería la rentabilidad financiero-fiscal neta de esta inversión para este inversor? e) ¿Cuál tendría que ser el cupón bruto de una obligación homogénea con la emitida pero sin bonificación fiscal, y que proporcionara la misma rentabilidad financiero-fiscal neta? a) ~

4

4

~

~

4

4

~

4

~

4

~

104

~

~

98,75 - 0,75 98

4

4

98 =

104

+

r = 4,337385981%

(1 + r )2

1+ r

b)

+ ……….. +

4

(1 + r)7

4

98,75 =

104

+

+ ……….. +

(1 + r )2

1+ r

r = 4,209880261%

(1 + r)7

c) 0,96 3,952

3,952

~

~

0,96 3,952

~

~

0,96 3,952

0,96 3,952

~

0,96 3,952

0,96 103,952

~

~

~

0,96

~

98,75

dado que las obligaciones tienen una retención del 1,20%, y una devolución del 24%. 1,2% s/ 4 = 0,048 ; 24% s/ 4 = 0,96.

4 - 0,048 = 3,952

con lo que: 3,952

98,75 =

4,916

+

4,916

+ (1 + r )2

1+ r

104,916

+ ……….. + (1 + r)3

0,96

+ (1 + r)7

(1 + r)8

r = 5,085576512%. d)

18%

4 · 0,18 = 0,72% de pago de impuestos por rendimientos de capital mobiliario. 100 – 98,75 = 1,25 18%

~

1,25 · 0,18 = 0,225% de pago de impuestos por plusvalías en la última declaración. 3,952

- 0,72 4,912

- 0,72 4,912

~

~

~

- 0,72 4,912

~

98,75

321

- 0,72 4,912

- 0,72 4,912

~

~

- 0,225 - 0,72 - 0,72 104,912 0,96

~

~

3,952

98,75 =

4,192

4,192

+

104,192

+ (1 + r )2

1+r

0,015

+ ……….. + (1 + r)3

+ (1 + r)7

(1 + r)8

r = 4,366054354%. e) Si emitiéramos una obligación a 7 años a un cupón “c”, con las características estándar de retención (18%), debería de proporcionar el mismo TIR de rentabilidad neta a los inversores. Para el primero: - 18c 100c

82c

~

- 18c 100c

~

- 18c 100c

~

- 18c 100c

~

- 18c 100c

~

- 18c 100c + 100

~

- 18c 18c

~

~

100

ya que en cada año nos abonan el 82% del cupón, nos devuelven el 18%, y pagamos impuestos por el 18% del cupón. 82c

82c

100 =

82c + 100

+ 1 + 0,04366054354

100

+ ……… + (1 + 0,04366054354 )2

82

100 -

82

=c 7

1,04366054354

(1 + 0,04366054354)7

82

+ 1,04366054354

+ …..+ 1,04366054354

2

25,85444042 = c · 506,7796022 Ÿ c = 5,1017129%.

322

1,043660543547

CUESTIONES Y PROBLEMAS

11.1.- Problema de equivalencia entre Bonos del Estado y Bonos Cupón Cero: ¿A qué precio deberemos de comprar un bono del Estado con cupón explícito anual del 6% emitido a diez años, para conseguir una rentabilidad equivalente a la de un bono cupón cero en el que nos garantizan el 5% TIR de rentabilidad financiero-fiscal?. Pasados los diez años, los tipos a los que hemos podido reinvertir los cupones cuando nos los han pagado, han sido los siguientes, en base A/365: 1º año: 3% - 2º año: 2,75% - 3º año: 2,9% - 4º año: 3,15% - 5º año: 3,25% - 6º año: 3,5% 7º año: 3,75% - 8º año: 4% - 9º año: 3,65% - 10º año: 3,5% - 11º año: 3,4%

entendiendo como primer año el período que va desde la emisión del bono hasta el pago del primer cupón. ¿Cuál ha sido la rentabilidad real de la inversión en el bono con cupón explícito? Ante todo, hemos de tener en cuenta la diferente fiscalidad de ambos bonos, pues mientras que en el bono con cupón explícito, la retención a una persona física (suponemos que el adquirente tiene esa naturaleza) es del 18% cada año, en el bono cupón cero, nos retendrán el 18% al final del periodo. Asimismo, asumimos que las retenciones se devuelven justo un año después de que se producen. El bono cupón cero está perfectamente definido: ~ 0

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

~ 5

~ 6

~ 7

~ 8

~ 9

~ 10

100 > 100 ( 1 + r )10 - 100 @ · 0,82 + 100, es el flujo del año 10. > 100 ( 1 + r )10 - 100 @ · 0,18, es el flujo del año 11. Luego, en base al principio de equivalencia financiera: > 100 ( 1 + r )10 - 100 @ · 0,82 + 100

100 =

> 100 ( 1 + r )10 - 100 @ · 0,18

Ÿ

+ ( 1 + 0,05)10

( 1 + 0,05)11

> ( 1 + r )10 - 1 @ · 0,82 + 1

Ÿ 1 =

> ( 1 + r )10 - 1 @ · 0,18

+ 1,0510

1,0510 · 1,05

Ÿ

0,18

Ÿ 1,0510

= > ( 1 + r )10 - 1 @

+ 1 Ÿ

0,82 + 1,05 1

Ÿ

( 1 + r )10 - 1 = ( 1,0510

Ÿ

- 1)· 0,991428571

1_

Ÿ (1 + r )10 = 1 + 0,634331756 Ÿ r = ( 1,634331756 )10 - 1 = 5,035%.

323

~ 11

es decir, para conseguir un 5% TIR de rentabilidad financiero-fiscal efectiva, hemos de contratar el bono cupón cero al 5,035%. El bono cupón explícito deberá por tanto tener el precio equivalente: 6 · 0,82

6

Vo =

6

+ (1 + 0,05035 )2

1 + 0,05035 106

+ ................+ (1 + 0,05035 )3

+ (1 + 0,05035 )10 ~ 1

3%

+ (1 + 0,05035 )9

6 · 0,18

+ ~ 0

6

+

= 107,0397784 %. (1 + 0,05035 )11

~ 2

2,75%

~ 3

2,9%

~ 4

~ 5

3,15% 3,25%

~ 6

~ 7

3,5% 3,75%

~ 8

4%

~ 9

3,65% 3,5%

~ 10

~ 11

3,4%

Vn = .... >6 · 0,82 (1 + 0,275) + 6@ (1 + 0,029) + 6 ·(1 + 0,0315) + 6 (1 + 0,0325) + 6 · · (1 + 0,035) + 6 (1 + 0,0375) + 6 (1 + 0,04) + 6 (1 + 0,0365) + 6 (1 + 0,035) + 106· · (1 + 0,034) + 6 · 0,18 = 175,8949637 107,0397784 · ( 1 + r )11 = 175,8949637 Ÿ 1_

Ÿ (1 + r) 11 = 1,643267263 Ÿ r = (1,643267263)11 - 1 = 4,6188247 %. menor que el 5,035%, ya que los cupones se han reinvertido a tipos inferiores al TIR. 11.2.- Problema de comparación de la rentabilidad financiera y la rentabilidad financiero-fiscal bruta de bonos cupón cero y bonos cupón explícito: Faltan seis meses para el vencimiento de dos bonos, uno con cupón cero y el otro con cupón explícito del 5% anual. Ambos tienen el mismo nominal a vencimiento. Si el precio del bono cupón cero es del 97%, y el del cupón explícito del 101,845% (incluido el cupón corrido hasta la fecha), ¿cuál de los dos bonos debería comprar una persona física desde el punto de vista de su rentabilidad financiera, y desde el punto de vista de su rentabilidad financiero-fiscal bruta? (suponed en este caso que el vencimiento es el 31-12 de ese año). Comparar la rentabilidad financiera y la rentabilidad financiero-fiscal bruta de ambas alternativas, y justificar su diferencia razonadamente. 100

100

100

Ÿ r=

97 = 97

6 6 meses

- 1 · 2 = 6,1855% 97

1+ r· 12

105

105

105

Ÿr=

101,845 = 101,845

6 6 meses

1+ r· 12

324

-1 · 2 = 6,1957% 101,845

Financieramente, es mejor el bono con cupón explícito. 99,46 97 30-6

0,54

31-12 99, 46

97 =

0,54

r2 = 3,076167 Ÿ r = (1 + 0,03076167)2 – 1 = 6,2470%.

+ 1 + r2

30-6

(1 + r2)2 104,1

101,845 30-6

0,9

31-12 104,1

101,845 =

+ 1 + r2

30-6

0,9

r2 = 3,07151Ÿ r = (1 + 0,0307151)2 – 1 = 6,2374%.

(1 + r2)2

Financiero-fiscal, es mejor el bono cupón cero. La rentabilidad financiero-fiscal es menor en el bono cupón explícito, porque la retención se practica sobre todo el cupón, y no sólo sobre la parte del cupón ganada, como ocurre en el bono cupón cero. La rentabilidad financiero-fiscal es mayor que la rentabilidad financiera (en principio ilógico), debido a que en la primera se ha usado la ley financiera de interés compuesto, mientras que en la segunda, se ha usado la del interés simple, y estamos en un período inferior al año. 11.3.- Problema de cálculo del riesgo de reinversión en un bono con cupón explícito: Dados dos bonos a cinco años, uno tiene cupón explícito del 5% anual, y cotiza actualmente al 101,25%, justo después de haber pagado el último cupón; y el otro es cupón cero, y cotiza actualmente al 235%, teniendo un vencimiento idéntico al del bono con cupón explícito y siendo su precio de amortización del 296%. Deseamos decidir cuál de las dos inversiones nos interesa más. ¿Cuál sería el tipo de interés medio al que se deberían de reinvertir en un futuro los cupones del primero de los bonos para que nos interesara más comprar el bono con cupón explícito? Asumimos como hipótesis que invertimos la misma cantidad para hacer homogéneas las rentabilidades: 235

= 232,0987654 1,0125

5% s / 232,0987654 = 11,60493827

325

Por tanto: ~ 0

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

~ 5

235 (1 + r)5 - 1

11,60493827 ·

+ 232,0987654 = 296 r

(1 + r)5 - 1

296 - 232,0987654

=

= 5,506382982

r

11,60493827

(1 + r)5 - 5,506382982 r - 1 = 0

r = 4,8253209 %.

11.4.- Problema de cálculo del coste financiero de una emisión y de la obtención de la rentabilidad real para un inversor: Una empresa desea endeudarse mediante la emisión de bonos a cinco años, que pagan cada semestre un cupón del 3%. Un “pool” de Bancos le asegura la emisión al 99% de precio de emisión, y a cambio de una comisión del 0,5% flat. La amortización se hará por cuartas partes los últimos cuatro semestres. a) ¿Cuál es el coste financiero de la emisión? b) ¿Cuál es la rentabilidad financiera para el suscriptor? c) Si los cupones se pagan el 30-6 y 31-12 de cada año, ¿cuál es la rentabilidad financiero-fiscal bruta de la emisión para el suscriptor? d) Si el suscriptor paga un 18% de tipo impositivo en la declaración del IRPF, ¿cuál será la rentabilidad financiero-fiscal neta para el suscriptor? e) Durante los cinco años de vida del empréstito, el Euribor semestral evoluciona de la siguiente forma: 4,5%, 4,75%, 4,25%, 4%, 3,75%, 4,15%, 3,80%, 3,60%, 3,5%, 3,25%. ¿Cuál ha sido la rentabilidad financiera real que ha obtenido el suscriptor de los bonos? a) ~ 99 - 0,5 98,5

3

3

3

3

3

3

25 3

x

~

x

~

x

~

x

25 2,25

25 1,5

~

25 0,75

x

~

El TIR o coste financiero sería: 3

98,5 =

3

+ (1 + r2 )2

1 + r2

3

99 =

(1 + r2)7

3

+ 1 + r2

r2 = 3,136118427 %

27,25

+

26,5

+ (1 + r2)8

25,75

+ (1 + r2)9

(1 + r2)10

r = (1 + 0,03204806681)2 - 1 = 6,5123213 %.

r2 = 3,204806681 % b)

28

+ .......... +

28

+ .......... + (1 + r2 )2

27,25

+ (1 + r2)7

26,5

+ (1 + r2)8

25,75

+ (1 + r2)9

(1 + r2)10

r = (1 + 0,03136118427)2 - 1 = 6,3705892 %.

326

c) ~ 99

2,46

2,46

1,08 2,46

x

~

x

2,46

99 =

2,46 ~

1,08 2,46

2,46

x

~

2,46

+ .......... + (1 + r2 )2

27,175

2,46

2,46

- 1,08 1,08 2,46

x

~

x

2,46

1 + 0,0360 ·

x

~

~

25,615

x

0,405

+ (1 + r2)10

(1 + r2)11

~

26,23

(1 + r2)8

x

25,615

+

+ (1 + r2)9

25 -0,585 0,615 0,405 ~

x

- 0,18

+ (1 + r2)10

(1 + r2)11

rf = (1 + 0,02574652628)2 - 1 = 5,2155936 %.

3 1 + 0,0425 · 365 1 · +3 360 2

- 0,945 25 25 0,945 1,845 1,23

x

26,845

(1 + r2 )2

e)

1 + 0,0375 ·

~

- 1,08 25 1,08 2,46

2,46

+ .......... +

r2 = 2,574652628 %

99 (1 + r)5 =

2,46

- 1,08 1,08 2,46

2,46

+ 1 + r2

25 0,615 0,405

x

+ (1 + r2)9

d)

99 =

~

+ (1 + r2)8

25 0,945 1,23

rf = (1 + 0,03111236719)2 - 1 = 6,3192713 %.

r2 = 3,111236719 %

~ 99

25 1,845

x

26,845

+ 1 + r2

25 1,08 2,46

365 1 365 1 365 1 · + 3 1 + 0,0425 · · + 3 1 + 0,04 · · +3· 360 2 360 2 360 2

1 + 0,0415 ·

365 1 · + 27,25 360 2

365 · 360

1 + 0,0350 · 130,7225115

= 130,7225115 Ÿ r =

1 +3

1 + 0,038 ·

2

365 · 360

365 · 360

1 + 26,5

1 + 0,0325 ·

2

1 + 28 · 2 365 1 · + 25,75 = 360 2

1/5

- 1 = 5,7165636%. 99

11.5.- Problema de elección de bonos para un gestor de carteras: Un gestor de carteras recibe una oferta de un banco de inversión para adquirir unos bonos en mercado primario para uno de sus clientes. El esquema de gestión del gestor de carteras se basa en maximizar la rentabilidad financiero-fiscal neta anual de sus clientes, y para este caso, ha cifrado en un mínimo del 3,75% la rentabilidad que debe proporcionar una inversión para que al gestor le parezca interesante. Los bonos se emiten a un precio del 98%, con cupón del 1,25% trimestral y vencimiento a tres años, con amortización por reducción del 50% del nominal al finalizar el segundo año. Si el cliente tributa a un tipo del 18%, y los cupones se pagan al finalizar cada trimestre natural, ¿le interesaría al gestor adquirir estos bonos para su cliente?

327

1,025 1,025 ~ 98

x

- 0,9 - 0,9 0,9 50 0,9 50 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 0,5125 0,5125 0,5125 0,5125

x

x

~ 1

1,25 · 0,82 = 1,025

1,025

98 =

x

x

x

1,25 · 0,18 · 4 = 0,90

0,5125

+ .......... + (1 + r4 )2

x

x

x

~ 3

x

x

0,625 · 0,18 · 4 = 0,45

1,025

+ 1 + r4

~ 2

- 0,45 045

0,5125

+ (1 + r4)10

50,5125

+ (1 + r4)11

(1 + r4)12

r = 5,0504% ! 3,75%

r4 = 1,239381324% Sí le interesa.

11.6.- Problema de cálculo del número de bonos del Estado que puedo adquirir con el vencimiento de unos bonos cupón cero. ¿Cuántos bonos del estado puedo adquirir a un precio del 98%, con el vencimiento de 10 bonos cupón cero de 50.000 € nominales cada uno, emitidos hace siete años al 4% de interés anual, si los compré hace dos años al 3,85% de interés anual, y la retención que se practica es del 18%? 500.000 (1 + 0,04)7 = 657.965,89 €. 657.965,89 ~ -7

~ -6

~ -5

~ -4

~ -3

~ -2

~ -1

~ 0

657.965,89

PC =

= 610.085,04 €. (1 + 0,0385)2

657.965,89 – 610.085,04 = 47.880,85 € 47.880,85 · 0,18 = 8.618,55 €. 657.965,89 – 8.618,55 = 649.347,34 € disponibles. 649.347,34

= 662.599,32 < > Comprar 662 bonos, y sobran 599,32 €. 0,98

11.7.- Problema de elección entre bonos y préstamos de la mejor forma de financiación para un Ayuntamiento. Un Ayuntamiento necesita financiarse a cuatro años, y tiene la opción de emitir bonos o de tomar un préstamo. Solicita ofertas a dos bancos, que le ofrecen lo siguiente:

328

Banco A: - Bonos a cuatro años, vencimiento único, prima de amortización 2%, cupón anual 4%. - Préstamo a cuatro años, sistema americano, comisión de apertura 0,5%, tipo de interés nominal anual del 4%, pagadero por trimestres. Banco B: - Bonos a cuatro años, amortizable por mitades al final del tercero y del cuarto año, prima de amortización 1%, cupón trimestral del 1,05%. - Préstamo a cuatro años, sistema americano, comisión de apertura 0,75%, tipo de interés nominal anual del 3,95%, pagadero por semestres. ¿Cuál de las opciones deberá elegir el Ayuntamiento? A-bonos) ~ 100

4

4

4

2 104

~

~

~

~

4

4

100 =

4

+

+

(1 + r )2

1+ r

106

+ (1 + r)3

(1 + r)4

r = 4,467711963 % A-préstamos) ~ 100

- 0,5 99,5

4

4

4

2 104

~

~

~

~

365

4,055555

4·

= 4,055555 ;

= 1,013888

360

4

1,013888

1,013888

99,5 =

1,013888

+

+ ............. + (1 + r4 )2

1 + r4

101,013888

+ (1 + r4)15

(1 + r4)16

r = (1 + 0,0104799514)4 – 1 = 4,2583396%.

r4 = 1,04799514 % B-bonos)

50,5 50,5 1,05 ..................................................................................... 1,05 0,525 0,525 0,525 0,525

1,05 ~ 100

x

x

1,05

x

~

x

1,05

100 =

x

~

1,05

+

x

x

51,55

+ .......... + (1 + r4 )2

1 + r4

x

+ (1 + r4)11

~

0,525

+ (1 + r4)12

x

x

x

x

0,525

51,025

+ ... + (1 + r4)13

~

+ (1 + r4)15

(1 + r4)16

r = (1 + 0,0116502513)4 – 1 = 4,5413629%.

r4 = 1,116502513 % B-préstamos) 2,00243 ~ 100

- 0,75 99,25

x

2,00243 ........................................................................... 2,00243 102,00243 ~

365 3,95 ·

x

~

4,0048614 = 4,0048614 ;

360

x

= 2,0024305 2

329

~

x

~

2,00243

99,25 =

2,00243

2,00243

+

+ ............. + (1 + r2 )2

1 + r2

102,00243

+ (1 + r2)7

(1 + r2)8

r = (1 + 0,02105277971)2 – 1 = 4,254878%.

r2 = 2,105277971 %

Elegiría la opción B, en el apartado de préstamos.

11.8.- Problema de cálculo del coste de emisión y de las rentabilidades financiera y financiero-fiscal bruta de una emisión de bonos. Un bono cupón explícito al 5% nominal anual con pago de cupón semestral se emite a 5 años el día 1 de julio con amortización lineal en los últimos cinco períodos. El precio de compra es a la par, y tiene una prima de reembolso del 0,5%. Calcular las rentabilidades financiera y financiero-fiscal bruta para el suscriptor y el coste del emisor, sabiendo que los gastos de colocación son del 0,2%.

~ 1-7 100

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

0,1 20 2,5

x 1-1

~ 1-7

x 1-1

~ 1-7

x 1-1

~ 1-7

0,1 20 2

0,1 20 1,5

x 1-1

~ 1-7

0,1 20 1

0,1 20 0,5

x 1-1

~ 1-7

- 0,20 99,80 2,5

2,5

99,80 =

22,6

+........... +

+ (1 + r2 )5

1 + r2

22,1

21,6

+ (1 + r2 )6

+ (1 + r2)7

21,1

20,6

+

+

(1 + r2)8 (1 + r2)9 (1 + r2)10

r = (1 + 0,02585338663)2 – 1 = 5,2375172%.

r2 = 2,585338663 %

que sería el coste financiero de la emisión. 2,5

2,5

100 =

22,6

+........... +

+ (1 + r2 )5

1 + r2

22,1

21,6

+ (1 + r2 )6

+ (1 + r2)7

21,1

20,6

+

+

(1 + r2)8 (1 + r2)9 (1 + r2)10

r = (1 + 0,02557317331)2 – 1 = 5,1800333%.

r2 = 2,557317331 %

que sería la rentabilidad financiera de la emisión.

~ 1-7 100

2,05

2,05

x 1-1

~ 1-7

2,05 x 1-1

2,05

100 = 1 + r2

~ 1-7

2,95

+......+

0,9 2,05

2,05

+

2,05

0,9 20,1 20,1 2,05 1,64

0,9 20,1 1,23

0,63 20,1 20,1 0,82 0,41

x 1-1

~ 1-7

~ 1-7

x 1-1

23,05

+

x 1-1

21,65

+

22,23

+

(1 + r2 )4 (1 + r2 )5 (1 + r2 )6 (1 + r2)7 (1 + r2)8

r2 = 2,519396622 %

1-7

20,92

+

0,27

~

x 1-1

21,14

+

~ 1-7

0,27

+

(1 + r2)9 (1 + r2)10 (1 + r2)12

r = (1 + 0,02519396622)2 – 1 = 5,1022668%.

330

que sería la rentabilidad financiero-fiscal bruta de la emisión.

11.9.- Problema de cálculo de la rentabilidad financiera de un bono cupón cero a partir de la rentabilidad financiero-fiscal bruta. Un bono cupón cero con rentabilidad financiero-fiscal bruta efectiva del 5%, se contrató el 30 de junio de hace diez años. ¿A qué tipo de rentabilidad financiera se contrató? P – (P-100) · 0,18 ~ 30-6-99

~ 30-6-09

(P-100) · 0,18 ~ 30-6-10

100 0,82 P + 18

100 =

0,18 P - 18

+ (1 + 0,05 )10

(1 + 0,05)11

100 · 1,0511 = 0,82 · 1,05 P + 18 · 1,05 + 0,18 P - 18 171,0339358 – 0,9

P=

= 158,6330404 1,0725 1

158,6330404 = 100 ( 1 + r )10

r = 1,58633040410 - 1 = 4,7223465%

11.10.- Problema de elección entre un bono con cupón explícito y un bono cupón cero. Estamos gestionando una cartera de renta fija, y nos ofrecen un bono a tres años al 98%, con cupón anual del 4%, o bien un bono cupón cero a tres años, con importe a vencimiento del 112,60%. a) ¿Qué bono nos interesa más? b) Si nos retienen un 18%, y pagamos asimismo un 18% de impuestos, ¿qué bono nos interesa más? Considerar que tanto las retenciones como el pago de impuestos se producen justo un año después. 4

4

104

~ 98

~

~

~

~ 98

~

~

112,60

331

~

a)

4

4

98 =

104

+

+ (1 + r )2

1+ r

r = 4,730714353 % (1 + r)3

112,60

98 =

r = 4,737586 % (sería la más interesante) (1 + r)3

b)

- 0,72 4

3,28 ~ 98

~

3,28

~

~

103,28

+

+ (1 + r )2

1+ r

- 0,72 0,72

~

3,28

98 =

- 0,72 104

r = 4,000706746 % (1 + r)3 - 2,628 2,628

109,972 ~ 98

~

~

~

~

109,972

98 =

r = 3,9167006 % (1 + r)3

En este caso sería más interesante el primero. 11.11.- Problema de elección entre un la rentabilidad financiero-fiscal bruta de un bono y la rentabilidad financiera de otro. ¿Qué es más interesante para un inversor, recibir un 4% de rentabilidad financierofiscal bruta en un bono a cuatro años con pago semestral de intereses y vencimiento único, o un 4,05% de rentabilidad financiera en un bono a cuatro años con pago trimestral de intereses y vencimiento único? 0,82c ~ 0 100

x

0,82c ~ 1

0,36c 0,82c

0,36c 0,82c

0,82c

x

~ 2

0,82c

x

0,36c 0,82c

~ 3

x

100 0,82c 0,36c ~

x 4

1

1 + 0,04 = (1 + r2 )2

r2 = 1,042 - 1 = 1,9803903%.

1 - (1 + 0,019803903)-8

100 = 0,82 0,019803903

1 – (1 + 0,04)-4

1

+ 0,36 ·

· 1,019803903

100 = (6,011974758 + 1,28138584) c + 85,4804191 c = 1,990794327% (cupón semestral). r = (1 + 0,01990794327)2 – 1 = 4,0212212% < 4,05% Mejor el segundo bono.

332

100

c + 0,04

(1 + 0,04)4

11.12.- Problema de elección entre dos emisiones de bonos en función del coste para el emisor y la rentabilidad financiero-fiscal neta para el inversor. Una empresa solicita financiación a dos bancos. El primero le ofrece un bono con precio de emisión 98,5%, comisión de colocación 0,4%, cupón semestral del 2% y amortización con vencimiento único transcurridos nueve semestres. El segundo le ofrece un bono con precio de emisión 100,5%, comisión de colocación 0,3%, cupón trimestral del 1%, amortización por mitades al final del 4º y del 5º año, y prima de amortización del 3%. ¿Cuál de estas dos emisiones aceptaría la empresa, y cuál de las dos emisiones sería la más rentable en términos de rentabilidad financiero-fiscal neta para un inversor que tributara a un tipo del 21%?

~ 0 98,5

2

2

2

2

2

2

2

x

~ 1

x

~ 2

x

~ 3

x

100 2

2 ~ 4

- 0,4 98,1

x

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1,5 1,5 50 50 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5

~ x 0 100,5

x

x

~ 1

x

x

x

~ 2

x

x

x

~ 3

x

x

- 0,3 100,2

x

2

98,10 =

2

x

x

~ 5

+ (1 + r2)8

(1 + r2)9

r = (1 + 0,02235402097)2 – 1 = 4,5207744%.

r2 = 2,235402097 % 1

1

100,2 =

x

102

+ ……........... + 1 + r2

~ 4

+.........+

52,5

(1 + r4 )15

1 + r4

0,5

+

+ (1 + r4 )16

0,5

+

0,5

+

52

+

(1 + r4)17 (1 + r4)18 (1 + r4)19 (1 + r4)20

r = (1 + 0,01138954253)4 – 1 = 4,6342429%.

r4 = 1,138954253 %

El emisor elegiría la primera emisión.

~ 0 98,5

1,64

1,64

x

~ 1

1,64

98,5 =

(1 + r2)2 (1 + r2)3

101,52

+

~ 2

1,52

+

-0,84 0,72 1,64

1,64

x

1,64

+ 1 + r2

-0,84 0,72 1,64

1,64

x

1,64

+

~ 3

(1 + r2)4

x

1,52

+ (1 + r2)6

-0,84 0,72 100 1,64

~ 4

1,64

+ (1 + r2)5

1,64

x

1,52

+

-0,84 0,72 1,64

-0,42 0,36 ~ 5

x

1,64

+ (1 + r2)7

+ (1 + r2)8

- 0,06

+ (1 + r2)9

(1 + r2)11

r2 = 1,763310589 %

r = (1 + 0,01763310589)2 – 1 = 3,5577138%.

333

-0,84 0,72

-0,84 0,72

-0,84 0,72

-0,84 0,72

51,5

51,5

0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,82 0,41 0,41 0,41 0,41 ~ x x x ~ x x x ~ x x x ~ x x x ~ x x x ~ 0 1 2 3 4 5 100,5

0,82

100,5 =

0,82

0,7

+.........+ 0,82

+

0,82

(1 + r4 )11

(1 + r4 )12 0,41

0,82

+ (1 + r4 )9

52,32

+

(1 + r4 )14

(1 + r4 )15

x

+ (1 + r4 )10 0,41

+ (1 + r4 )16

+ (1 + r4)17

- 0,06

+ (1 + r4)19

(1 + r4 )8

x

0,7

+

+

51,91

+ (1 + r4)18

(1 + r4 )7

+ (1 + r4)13

0,82

+

0,7

+

0,29

+

(1 + r4 )6 0,82

+

0,82

+

(1 + r4 )5

1 + r4

0,82

+

-0,42 0,36

+ (1 + r4)20

(1 + r4)22

r = (1 + 0,0091490843)4 – 1 = 3,7101641%.

r4 = 0,91490843 %

11.13.- Problema de elección entre dos ofertas para emitir bonos. Una empresa ha decidido realizar una emisión de bonos a tres años. Solicita ofertas a dos bancos, que le ofrecen las siguientes condiciones: o Oferta 1: 3 millones de euros a 3 años, al 4% de interés nominal anual, pagadero por semestres, con precio de emisión del 101% y amortización por partes iguales por reducción de nominal al finalizar el 4º y 6º semestre, con prima de amortización del 3%. Comisión de colocación “flat” del 0,4%. o Oferta 2: - 2 millones de euros a 3 años, al 4,5% de interés nominal anual, pagadero por trimestres, con precio de emisión del 99% y amortización por partes iguales por reducción de nominal al finalizar el 8º y 12º trimestre. Comisión de colocación “flat” del 0,25%. - 1 millón de euros a 3 años, al 4,35% de cupón anual, con precio de emisión 98% y amortización por mitades al final del segundo y tercer año. Comisión de colocación “flat” del 0,20%. a) ¿Cuál de las dos ofertas debe aceptar, y cuál es el coste financiero de la emisión? b) ¿Cuál será la rentabilidad financiera de la emisión elegida para un suscriptor de bonos? c) ¿Cuál será la rentabilidad financiero-fiscal bruta de la emisión para dicho suscriptor?

~ 0 3.030

60

60

60

x

~ 1

x

45 1.500 60

30

~ 2

45 1.500 30

x

~ 3

- 12 3.018 60

3.018 =

60

+ 1 + r2

60

1.605

+ (1 + r2)2

r2 = 2,443619975 %

+ (1 + r2)3

30

+ (1 + r2)4

1.575

+ (1 + r2)5

(1 + r2)6

r = (1 + 0,02443619975)2 – 1 = 4,9469526%.

334

500 500 43,5 21,75 43,5 1.000 1.000 22,5 22,5 22,5 22,5 22,5 22,5 22,5 22,5 11,25 11,25 11,25 11,25 ~ x 0 1.980

x

x

~

x

x

x

1

~

x

2

x

x

~

3

-5 980 -2 2.953 22,5

2.953 =

22,5

22,5

+ 1 + r4

11,25

(1 + r4)4

11,25

22,5

+ (1 + r4 )5

+ (1 + r4 )6

1.566

+ (1 + r4 )7

+ (1 + r4 )8

1.533

+ (1 + r4 )10

22,5

+

(1 + r4)3

+ (1 + r4 )9

22,5

+

(1 + r4)2

11,25

+

66

+

+ (1 + r4 )11

(1 + r4 )12

r = (1 + 0,0127389762)4 – 1 = 5,1937889%.

r4 = 1,27389762 %

a) Debe aceptar la primera; el coste sería del 4,94%. b)

60

3.030 =

60

+

60

(1 + r2)2

1 + r2

+ (1 + r2)3

c)

49,2

3.030 =

49,2

49,2

x

~ 1

49,2

+ 1 + r2

r2 = 2,348810994 %

(1 + r2)4

1.575

+ (1 + r2)5

45 21,6 1.500 49,2 49,2 x

70,8

+ (1 + r2)2

30

+

(1 + r2)6

r = (1 + 0,02358923880)2 – 1 = 4,773493%.

r2 = 2,358923880 %

~ 0 3.030

1.605

+

~ 2

x

1.594,2

+ (1 + r2)3

45 21,6 1.500 24,6 24,6

46,2

+ (1 + r2)4

~ 3

10,8 x

1.569,6

+ (1 + r2)5

10,8

+ (1 + r2)6

(1 + r2)7

r = (1 + 0,02348810994)2 – 1 = 4,7527911%.

11.14.- Problema de obtención del precio de venta de un bono cupón cero para poder reinvertir en un bono con cupón explícito. Una empresa española decide emitir bonos a cinco años, con pago de cupón anual del 5% y vencimiento único, con una comisión de colocación en origen del 0,35%. Si el precio de emisión es del 97,75%, calcular cual sería el coste financiero de la emisión para la empresa, y cuál la rentabilidad financiera para un suscriptor de uno de los bonos. Un inversor estudia si le interesa participar en esta emisión, o comprar un bono cupón cero al mismo plazo. Si el precio de amortización del bono cupón cero es del 130%, ¿a qué precio le tendrían que vender dicho bono para que fuera más interesante comprarlo que participar en la emisión anterior?

335

~ 0 97,75

5

5

5

~ 1

~ 2

~ 3

100 5

5 ~ 4

~ 5

- 0,35 97,40 5

5

97,40 =

5

+ (1 + r)2

1+ r

5

+

105

+ (1 + r)3

+ (1 + r)4

(1 + r)5

r = 5,610708321 % 5

5

97,75 =

5

+ 1+ r

5

+ (1 + r)2

105

+ (1 + r)3

+ (1 + r)4

(1 + r)5

r = 5,527291368 % 130

V=

= 99,33891145 (1 + 0,05527291368)5

por debajo de este precio.

11.15.- Problema de cálculo de la rentabilidad de un bono cupón cero en un momento intermedio de su vida. Un bono cupón cero de nominal 50.000 euros se emitió hace 3 años al 4% de interés. Hoy, cuando faltan cuatro años para su vencimiento me lo ofrecen por 62.000 euros. ¿Qué rentabilidad me están cotizando para esta inversión? ~ 0 50.000

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

~ 5

~ 6

~ 7

hoy 7

50.000 (1 + 0,04) = 65.796,59 €. 65.796,59

62.000 =

65.796,59

r= (1 + r)4

¼

- 1 = 1,4969338%. 62.000

11.16.- Problema de elección entre invertir en strips o en bonos cupón cero y strips conjuntamente. ¿Qué es mejor, invertir en un strip a 21 años al 4% de interés, o comprar un bono cupón cero a diez años al 3,95%, y después comprar el mismo strip al 4,02%?

~ 0 100

~ 21

336

100 (1 + 0,04)21 = 227,8768. 227,8768 ~ 0 100

~ 10 E

~ 21

227,8768

E=

= 147,71166%. (1 + 0,0402)11

No tendría suficiente para comprarlo. Mejor la primera opción.

100 (1 + 0,0395)10 = 147,3143.

11.17.- Problema de elección entre dos emisiones para hacer una inversión en función de la rentabilidad financiero-fiscal neta de las mismas. Un inversor chequea el mercado de renta fija para invertir a medio plazo. Localiza dos emisiones de bonos que se ponen en circulación el próximo 31 de diciembre: 1ª) A un precio del 99%, a un plazo de tres años, con cupón semestral del 2% y amortización al 50% al finalizar el segundo y el tercer año, con prima de amortización del 3%. 2ª) A un precio del 103%, a un plazo de tres años, con cupón trimestral del 1,25% y amortización al 50% al finalizar el segundo y el tercer año, con prima de amortización del 2%. Si el inversor tributa a un tipo del 21%, y utiliza como criterio de decisión la maximización de la rentabilidad financiero-fiscal neta de los bonos ¿cuál de las dos emisiones elegiría?

~ 0 99

2

2

2

x

~ 1

x

1,5 50 2

1,5 50 1

1

~ 2

x

~ 3

1 1 50 50 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 0,625 0,625 0,625 0,625 ~ 0 103

x

~ 0 99

x

x

~ 1

1,64

1,64

x

~ 1

1,64

99 =

x

x

x

1,5 50 1,64

x

x

1,52 (1 + r2)3

337

1,5 50 0,82

- 0,84 0,36

~ 3

0,28

+ (1 + r2)4

~ 3

x

53,14

+

x

- 1,26 0,72 0,82

~ 2

+ (1 + r2)2

~ 2

- 0,84 0,72 1,64

1,64

+ 1 + r2

x

x

52,32

+ (1 + r2)5

- 0,48

+ (1 + r2)6

(1 + r2)7

r = (1 + 0,01972317371)2 – 1 = 3,9835352%.

r2 = 1,972317371 %

- 1,05 0,9

1 50

- 1,05 0,9

1 50

- 0,525

1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025 0,5125 0,5125 0,5125 0,5125

~ 0 103

x

x

x

~ 1

x

1,025

x

x

1,025

103 = 0,5125

0,3625

0,5125

+ (1 + r4 )9

+ (1 + r4 )10

x

+ (1 + r4 )6

51,5125

~ 3

0,45

x

52,025

+ (1 + r4 )7

x

+ (1 + r4 )8

- 0,075

+ (1 + r4 )11

x

1,025

+ (1 + r4 )5

+

x

0,875

+ ................. + 1 + r4

~ 2

+ (1 + r4 )12

(1 + r4)14

r = (1 + 0,00866291374)4 – 1 = 3,5104539%.

r4 = 0,866291374 % Elegiría la primera.

11.18.- Problema de cálculo del cupón mínimo de un bono para obtener una determinada rentabilidad neta. Un inversor da instrucciones a su gestor para que le adquiera bonos por un nominal de 100.000 € a seis meses y que le den una rentabilidad financiero-fiscal neta mínima del 3%. Si la inversión se debe realizar el 30 de junio de 2009, y el bono se amortiza el 31 de diciembre de 2005, teniendo cupón anual, ¿cuál debería ser el cupón mínimo de dicho bono para que le proporcionara la rentabilidad deseada, si el tipo al que tributa el inversor es del 21%, y presenta la declaración de la renta el 30 de junio de 2010? Considérese que el bono se adquiere al 99% (precio ex-cupón 99%). Precio bono = Precio excupón + Cupón corrido.

~ 30-6-09

100.000 + 0,82 c

- 0,21 (C + 100.000 – 99.000) 0,18 c

~ 31-12-09

~ 30-6-10

1 99.000 +

c 2 1

99.000 +

100.000 + 0,82 c

c= 1,03½

2 1

0,82

2

0,03

+ 1,03½

- 0,03 c - 210

+ 100.000

c= 1,03

1 + 0,03 210

1,03½

- 99.000 1,03

- 0,278843795 c = - 670,95573

c = 2.406,21

El cupón mínimo sería del 2,40621%, para dar la renta financiero-fiscal neta del 3%.

338

11.19.- Problema de reinversión en strips y cálculo de venta de los mismos para pagar la declaración de la renta. ¿Cuántos strips vencimiento 24-6-2027, de nominal 40 € puedo adquirir hoy 24-6-2009 a un tipo de interés efectivo anual del 4,25%, con el importe neto real cobrado en el vencimiento de un bono Telefónica de 100.000 € nominales, adquirido hace cinco años al 97,5% con cupón del 5% anual y vencimiento único con prima de amortización del 2%? ¿Cuántos strips del mismo vencimiento tendría que vender dentro de un año al mismo tipo de interés, para pagar mi declaración de la renta en lo relativo a los aspectos fiscales de la operación de amortización del bono Telefónica, si mi tipo impositivo es del 21%? 2.000 5.000 100.000

5.000 + (102.000 – 97.500) = 9.500

~ 97.500

2.000 4.100 100.000 ~ 24-6-09

97.500

24-06-09 24-06-10

- 1.995 900

9.500 · 0,21 = 1.995

~ 24-6-10

Ingreso neto 106.100 €. Pago neto 1.095 €. 40

~ 24-6-09

~ 24-6-27

40

E=

= 18,91 €. (1 + 0,0425)18

106.100

= 5.610,79 ~ 5.610 strips. 18,91 40 ~ 24-6-10

~ 24-6-27

40

E=

= 19,7136 €. (1 + 0,0425)17

1.095

= 55,55 ~ 56 strips. 19,7136

11.20.- Problema de obtención de determinados términos amortizativos de una emisión de bonos, y de la rentabilidad financiero-fiscal neta de una compra de los mismos en el mercado secundario. El Director Financiero de una empresa emitió el treinta y uno de diciembre de hace siete años obligaciones a diez años al 5% de interés nominal anual pagadero por cupones trimestrales. La amortización se realizaría por reducción de nominal en

339

quintas partes al final de los cinco últimos años, con una prima de amortización del 3%. Si cada obligación se emitió en origen por 25.000 € nominales, y emitió 10.000 de ellas ¿cuál es el importe que tendrá el Director Financiero que preparar para pagar el próximo trimestre?; ¿cuál es el importe que tendría que pagar al finalizar el noveno año? Si un inversor hubiera comprado ese día (el treinta y uno de diciembre del 7º año, después de la amortización que se realiza ese día) una obligación por 14.750 €, y tributara al 21%, ¿qué rentabilidad financiero-fiscal neta habría tenido con esta inversión? 150 5.000

150 5.000

312,5 312,5 ...............................................................312,5 250 250 ~ ~ 0

x

x

x

~

x

x

x

1

~

~

2 ..............................

150 150 5.000 5.000

250 250 187,5 ...

x

6

x

x

~

x

x

7

x

8

hoy 5

150 5.000

~

~

9

10

próximo trimestre

25.000

= 1,25% ;

= 5.000

4

5

25.000 · 1,25% = 312,50 €. a) El próximo trimestre pagaría: 3

25.000 · 10.000 ·

· 1,25% = 1.875.000 €. 5

a) Al finalizar el noveno año, cada obligación tendría un nominal vivo de 10.000 € (dos quintos del total). La empresa pagaría: -

Reducción de nominal: 5.000 Prima de amortización: 150 Cupón trimestral: 125 (10.000 · 1,25%) Total por obligación:

5.275 €.

Como hay 10.000 obligaciones: 10.000 · 5.275 = 52.750.000 €. c)

150 5.000

-206,5 135

150 5.000

-154 90

150 5.000

153,75 153,75 153,75 153,75 102,5 102,5 102,5 102,5 51,25 51,25 51,25 ~ x 7 14.750

x

x

~ 8

x

x

x

~ 9

x

x

51,25 ~ 10

x

15.000 · 1,25% = 187,50 187,50 · 0,82 = 153,75

10.000 · 1,25% = 125 125 · 0,82 = 102,5

33,75 x4

22,5 x4

11,25 x4

135

90

45

340

5.000 · 1,25% = 62,5 62,5 · 0,82 = 51,25

-101,5 x

45 x

14.750 5.150 -

187,5 · 4 = 750 233,33 983,33 x 0,21

= 233,33 3

125 · 4 = 500 233,33 733,33 x 0,21

206,50 153,75

14.750 =

153,75

153,75

+ 5.252,5

+

(1 + r4)3

51,25

(1 + r4 )8

(1 + r4)4

(1 + r4 )9

+ (1 + r4 )10

+ (1 + r4 )5

51,25

+

31

+

- 12,75

+

101,50

102,5

+

(1 + r4)2

1 + r4

154

5.303,75

+

62,5 · 4 = 250 233,33 483,33 x 0,21

(1 + r4 )6

5.201,25

+ (1 + r4 )7

- 56,5

+ (1 + r4 )11

102,5

+

+ (1 + r4 )12

(1 + r4 )14

r = (1 + 0,01458758693)4 – 1 = 5,9639596%.

r4 = 1,458758693 %

11.21.- Problema de utilización de un bono cupón cero para cancelar un préstamo. Hace cinco años firmamos con un banco un préstamo de 100.000 € amortizable en doce años por el sistema francés con pagos trimestrales, a un tipo de interés nominal anual del 6%. Hoy tenemos en nuestra cartera un bono cupón cero, cuyo valor a vencimiento es de 70.000 €, y me ofrecen comprármelo. Si lo que pretendo es cancelar el préstamo con el líquido resultante de la venta del bono, ¿a qué tipo de interés debo vender el bono? 2950,58............................................................................................................................................. 2950,58

~

x

-5 100.000

x

x

~

~

~

~

~

~

~

~

~

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

365

6·

~

5

~

~

6

7

6,0833333333

= 6,083333333%;

= 1,520833333%

360

4

100.000 · 0,0152083333

Q =

= 2.950,58 €. 1 – (1 + 0,0152083333)-48 1 - (1 + 0,01520833333)-28

C0 = 2.950,58

= 66.871,12 €. 0,01520833333 1

70.000

66.871,12 =

70.000

r= (1 + r )7

7

- 1 = 4,89012% 66.871,12

Como máximo al 4,89%.

11.22.- Problema de elección entre dos bancos para financiar la compra de parques eólicos. Iberdrola está interesada en financiar la compra de parques eólicos, y solicita a Banco Santander y a BBVA que le coticen financiación vía emisión de bonos para 1.000 millones de euros a plazo medio. Las ofertas de los bancos son las siguientes:

341

B. Santander: Precio de emisión 99,5%, comisión de colocación 0,40%, cupón 4% anual pagadero por semestres, amortización por terceras partes al finalizar los años tercero, cuarto y quinto. BBVA: Precio de emisión 101,5%, comisión de colocación 0,35%, cupón 4% anual pagadero por trimestres, prima de amortización del 3%, amortización por terceras partes al finalizar los años tercero, cuarto y quinto.

-

-

¿Cuál de las dos ofertas deberá aceptar Iberdrola?

~ 0 99,5 - 0,4

2

2

2

2

2

x

~ 1

x

~ 2

x

2

2

99,1 =

~ 3

x

~ 4

1,33

+ (1 + r2)5

33,33 33,34 1,33 0,67 0,66

1,33

35,33

+ ..........+ 1 + r2

33,33 2

(1 + r2)7

1

1

1

1

1

1

1

~ x 0 101,5 - 0,35

x

x

~ 1

x

x

x ~ 2

1

1

1

x

1

x ~ x 3

1

x

x

~ 4

35,33

(1 + r2)9

(1 + r2)10

x

x ~ 5

0,67

+ ........ + (1 + r4 )13

0,33

r4 = 1,09427443 %

x

0,67

+ (1 + r4 )15

34,67

+ .............. + (1 + r4 )17

1 33,34

+ (1 + r4 )12

0,33

+

1 33,33

+ (1 + r4 )11

1 + r4

(1 + r4 )16

34

+

1 1 0,67 0,67 0,67 0,67 0,33 0,33 0,33 0,33

x

+ ................. + 35

+ (1 + r2)8

1 33,33

+

0,67

+

r = (1 + 0,02122711116)2 – 1 = 4,2904812%.

r2 = 2,122711116 %

101,15 =

~ 5

34,66

+ (1 + r2)6

x

+ (1 + r4 )19

(1 + r4 )20

r = (1 + 0,0109427443)2 – 1 = 4,4494694%.

11.23.- Cuestión relativa a la rentabilización del líquido resultante de un fondo de pensiones, a invertir en strips de Deuda Pública. Dentro de un año me jubilo y recibiré la contraprestación por un fondo de pensiones que constituí hace treinta años. Deseo rentabilizar mi dinero durante los próximos diez años. Un banco me ofrece unos strips de Deuda Pública que actualmente cotizan al 75% de su valor nominal. Si deseo garantizarme un tipo de interés mínimo para mi inversión del 3% efectivo anual, ¿me interesará adquirir este producto? 100 ~ 10

~ 0

75 1

100

75 =

100

r= (1 + r )10

- 1 = 2,9186009% < 3% 75

No interesa.

342

10

11.24.- Cuestión relativa a la cancelación de una imposición a plazo para invertir en un bono cupón cero. Me ofrecen al 128% un bono cupón cero de nominal 50.000 €, que se emitió hace 3 años al 6% de interés, y que vence dentro de 4 años. Mi dinero lo tengo invertido en una imposición a plazo renovable por trimestres a un 4% de interés nominal anual. ¿Debo cancelar la imposición y comprar el bono como inversión para los próximos cuatro años? ~ 0

75.181,51 ~ 7

3

50.000

hoy 7

50.000 · (1 + 0,06) = 75.181,51 €; 50.000 · 128% = 64.000 €. 64.000 · (1 + r)4 = 75.181,51 0,04

i= 1+

r = 4,1076798 (rentabilidad cupón cero).

4

- 1 = 4,060401% (rentabilidad imposición) 4

4,06 < 4,10

elegiría comprar el bono cupón cero cancelando imposición.

11.25.- Problema de financiación de una empresa en el mercado de bonos americanos, con cobertura del riesgo de tipo de cambio. Una empresa española decide emitir bonos en dólares en el mercado americano, y recibe dos ofertas. La primera oferta se realizaría al 98% de precio de emisión, a tres años, vencimiento único, con pago de cupón trimestral del 1,5% y prima de amortización del 3%, y la comisión bancaria de colocación sería del 0,60%. La segunda se haría al 101%, a tres años, vencimiento único, con pago de cupón semestral del 3,5%, siendo la comisión bancaria de colocación del 0,40%. ¿Cuál de las dos ofertas debería aceptar la empresa española? La cotización del dólar-euro es la siguiente en estos momentos: $ USA / €

Demanda 1,283

Oferta 1,291

Si el tipo de interés del dólar a tres años es del 4,50% y el del euro del 3,50%, y la empresa cubre en su totalidad y desde el primer momento de la emisión el riesgo de cambio del principal de la emisión (no cubre los pagos de cupón), calcular cuál es el coste financiero de la emisión elegida por la empresa, considerando como cambio para los pagos de cupón la cotización actual del dólar-euro.

343

3 100 1,5 ………………………………………………………. 1,5

1,5 ~ 0 98 - 0,6 97,4

x

x

x

~ 1

1,5

97,4 =

x

x

~ 2

1,5

x

x

x

1,5

+

~ 3

104,5

+ ..........+ (1 + r4)2

1 + r4

+ (1 + r4)11

(1 + r4)12

r = (1 + 0,01969457248)4 – 1 = 8,1136252%.

r4 = 1,969457248 %

100 3,5………………………………….………. 3,5

3,5 ~ 0 101 - 0,4 100,6

x

x

~ 1

3,5

100,6 =

x

~ 2

3,5

~ 3

3,5

+

103,5

+ ..........+ (1 + r2)2

1 + r2

x

+ (1 + r2)5

(1 + r2)6

r = (1 + 0,03387813669)2 – 1 = 6,8904002%.

r2 = 3,387813669 % Elegiría la segunda.

1 $ · 1,283 · (1 + 0,035)3 = 1 $

·

(1 + 0,045)3 · cf

(1 + 0,035)3

cf = 1,283 ·

= 1,2465 (1 + 0,045)3

En dólares: 100 3,5………………………………….………. 3,5

3,5 ~ 0 100,6

x

~ 1

x

~ 2

x

~ 3

En euros: 2,723 ~ 0 77,76

x

80,225 2,723………………………………….……. 2,723 ~ 1

2,723

77,76 =

~ 2

2,723

+ 1 + r2

r2 = 3,98 %

x

x

~ 3

2,723

+ ..........+ (1 + r2)2

82,948

+ (1 + r2)5

(1 + r2)6

r = (1 + 0,0398)2 – 1 = 8,1183167%.

11.26.- Cuestión relativa a la diferencia entre los cupones de dos bonos que tienen diferente precio de emisión para que tengan el mismo T.A.E. Si compramos un bono con cupón anual y vencimiento cinco años a un T.A.E. del 4,5%, ¿qué diferencia tendría que tener el cupón que paga con el de otro bono con

344

cupón anual y mismo vencimiento, para que teniendo el mismo T.A.E., el precio del segundo bono fuera un 5% menor que el del primero? C

C

C

C

~ 0 P

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

K

K

K

K

~ 0 P-5

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

1 – (1 + r)-5

P=C·

100 + C ~ 5

100 + K ~ 5

100

+ (1 + r)5

r

Restando 1 – (1 + r)-5

P-5=K·

100

+ (1 + r)5

r 1 – (1 + r)-5

5 · 0,045

5 = (C – K) ·

C–K=

= 1,1389%. 1 – (1 + 0,045)-5

r

11.27.- Problema de obtención de la prima de emisión en una emisión de bonos para conseguir un coste de financiación prefijado por una empresa. Somos una empresa que precisamos de financiación, y solicitamos a un banco de inversión que se encargue de organizar una emisión de bonos. El banco nos indica que puede hacerlo, siempre que el cupón sea del 5% nominal anual pagadero por semestres, con vencimiento a siete años, y con amortización por cuartas partes al final de cada uno de los últimos cuatro años. Nosotros le indicamos que estamos de acuerdo, pero que no estamos dispuestos a vender a menos de un 97,4% del valor nominal de los bonos, incluida la comisión de colocación del 0,25% que cobra el banco. El banco nos responde que si ello es así, habría que añadir una prima de amortización en la emisión, para que diera un TIR del 6,5% anual como coste de financiación. a) ¿Cuál sería dicha prima? b) ¿Cuál sería la rentabilidad financiera de este bono para un inversor? c) ¿Cuál sería la rentabilidad financiero-fiscal bruta de este bono para un inversor, si consideramos una retención del 18%? (considerar los pagos de cupón el 30-6 y el 31-12 de cada año). p 25 2,5

a) ~ 0 97,4

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

x

~ 1

x

~ 2

x

~ 3

x

~ 4

p p p 25 25 25 1,875 1,875 1,25 1,25 0,625 0,625 x

~ 5

x

1

1 + 0,065 = (1 + r2 )2

r2 = 1,0652 - 1 = 3,1988372%.

345

~ 6

x

~ 7

2,5

2,5

97,4 =

27,5 + p

+ ........+ (1 + 0,031988372)7

1 + 0,031988372 26,875 + p

1,25

+

1,875

+

+

(1 + 0,031988372)8

26,25 + p

+

+ (1 + 0,031988372)9

0,625

+

25,625 + p

+

+

(1 + 0,031988372)10 (1 + 0,031988372)11 (1 + 0,031988372)12 (1 + 0,031988372)13 (1 + 0,031988372)14

1 - (1 + 0,031988372)-7

p · (0,777323 + 0,72988 + 0,685334 + 0,643506) = 97,4 – 2,5 ·

0,031988372

- 27,5 · 0,777323 – 1,4123 – 26,875 · 0,72988 – 0,884071 – 26,25 · 0,685334 – - 0,415057 – 25,625 · 0,643506 3,75714

p=

= 1,325 2,836

b) 2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

2,5

x

~ 1

x

~ 2

x

~ 3

~ 0 97,65

2,5

2,5

97,65 =

27,575

x

x

28,375

+ (1 + r2)8

~ 3

2,05

x

2,95

+ (1 + r2)2

2,4375

+

(1 + r2)9

~ 7

1,25

+

+

(1 + r2)10

(1 + r2)11

(1 + r2)14

x

+ 1 + r2

28,20

+

x

1,325 1,325 1,325 1,325 0,90 0,90 25 0,90 25 0,675 25 0,45 25 2,05 2,05 2,05 2,05 1,5375 1,53751,0251,0250,51250,5125 0,225

~ 2

2,05

97,65 =

~ 6

r = (1 + 0,0317157)2 – 1 = 6,4437%.

0,90 2,05 2,05 2,05 ~ 1

x

26,95

(1 + r2)13

c) 2,05

~ 5

+

r2 = 3,17157 %

~ 0 97,65

x

+ (1 + r2)8

0,625

+ (1 + r2)12

~ 4

1,875

+ (1 + r2)7

+

x

28,825

+ ..........+ 1 + r2

1,325 1,325 1,325 1,325 25 25 25 25 2,5 2,5 1,875 1,875 1,25 1,25 0,625 0,625

2,05

(1 + r2)3

27,8625

r2 = 3,151169 %

x

(1 + r2)4 1,7

~ 6

+ (1 + r2)5

27,35

+ (1 + r2)11

x

~ 7

(1 + r2)6

0,9625

+ (1 + r2)7

26,8375

+ (1 + r2)13

0,225

+ (1 + r2)14

r = (1 + 0,03151169)2 – 1 = 6,401636%.

346

x

2,95

+

+ (1 + r2)12

x

2,05

+

+ (1 + r2)10

~ 5

2,95

+

+ (1 + r2)9

~ 4

(1 + r2)15

11.28.- Cuestión relativa al nominal emitido de un bono cupón cero conocido el importe a vencimiento y las retenciones practicadas. Compramos un bono cupón cero al 4% de interés anual con vencimiento dentro de tres años. Llegado el vencimiento, y después de que nos practiquen una retención del 18% sobre los intereses percibidos, nos abonan 115.234,25 €. Si estos bonos se emitieron en origen a cinco años, y el que nos los vendió tuvo una rentabilidad del 3,45% anual, ¿cuál fue el nominal emitido? (Y) ~ 0

~ 1

~ 2

~ 3

~ 4

~ 5

hoy (X)

X · (1 + 0,04)3 = Y

Y = 1,124864 X

Y – 0,18 · (Y – X) = 115.234,25 0,82 · 1,124864 X + 0,18 X = 115.234,25 X = 104.531,44 € 104.531,44

N · (1 + 0,0345)2 = 104.531,44

N=

= 97.675,57 € 1,03452

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BIBLIOGRAFÍA

-

-

Brealey, R.A. y Myers, S. C. – Principles of Corporate Finance. Ed. McGraw-Hill – New York 1991. Córdoba Bueno, Miguel – Análisis Financiero de los Mercados Monetarios y de Valores. Ed. AC – Madrid 1996. Córdoba Bueno, Miguel – Análisis Financiero. Renta Fija: Fundamentos y Aplicaciones. Ed. Thomson – Madrid 2003. Córdoba Bueno, Miguel – La Práctica de los Mercados Financieros. Ed. Dykinson – 4ª edición – Madrid 2005. Díez de Castro, L. y Mascareñas, J. – Ingeniería Financiera. La gestión en los mercados financieros internacionales. Ed. McGrawHill Interamericana de España – Madrid 1994. Ezquiaga, I. – Los Strips sobre Deuda Pública. Ed. CECA – Madrid 1995. Sabaté, V. – La Gestión de Tesorería y los mercados monetarios en la Banca. Ed. EADA Gestión – Barcelona 1990. Suárez Suárez, A. – Decisiones Óptimas de Inversión y Financiación en la Empresa. Ed. Pirámide – Madrid 1977. Vegas Asensio, J. – Un Análisis del Riesgo de Tesorería en la actividad bancaria. Anales del CUNEF 1978.

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