Fundamentos Matemáticos Nuevo

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Ejemplo 2: aplica la ley de los exponentes para simplificar la siguiente expresión

1.0 LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES Sea

a y b  

 m y n   entonces se cumple

y

que: aman  am n

i) ii )

 am 

iii )

 ab n  a nbn

iv)

an a    n b b

n

3

 x3  6 y

6   4 

Ejemplo 3: aplica la ley de los exponentes para simplificar la siguiente expresión si b  0 a

m

an

x

a

 2   25      5  4 

mn

x

2 5     5 2

 an

an

Además:

an b

m



 an 

1 an

2   5

 a0  1

b m a n

na

este número real b se denota como m

n

i)

a

ii )

n ab

n

 am 

n a 

1 a n

m

n

iv)

mn

 2   5

2   5

3

3

 2    5

x

5    2  

x

2 1

  



2

 2  2  2         5  5  5  x23 

23 53 3

x 1

2





a  mn a

simplificar la siguiente expresión

 x1 y2   x2 y2    x3 y6  x6 y6  3

 x 3 6 y 6  6  x3

x

1 3 y2

z 2

z2 y2



1

x3

Ejemplo 5: aplica la ley de los exponentes para encontrar el valor de x

Ejemplo 1: aplica la ley de los exponentes para

3

2

8  125

1 2       1  2  2   1    1  1   2  2  2  x3 y    x 3 y    x3 y    2     2     2    z    z    z                    

 n an b

a na  b nb

iii )

x2

1


para cada a   y cada n   existe un único b   tal que bn  a

3 2

x y

si a  0 entonces

1

1

 x 3 y 2 

 a mn

n

v)

 x1 y2    x3 y6  2  x3 y2   x6 y4 

x

 x

1 2 3

y



2 2 3

y

 2  x 

2

1   16 4

1   2

x

1    2  

x

2 2

  24  

4

1 1 1      4 2 2     2  x  4  4 

Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

x

2

1 1       24 2 2 x

4

1 1 1       4 2 2     2 x

4

1 1 1        2 2     2

4

x  8 Página 1


Ejemplo 6: aplica la ley de los exponentes para encontrar el valor de x Ejemplo 9: aplica la ley de los exponentes para encontrar el valor de x

 

x

2x2 1 3 x 8    82 x  2   2   2   23 2 3 x 3 2 x  2 3 x 6x6 2  2   2  2

 

 

 

125 x 

 

 3  x  6x  6 3  x  6x  6  0   7 x  3  0 7 x  3



x

3 7

3x

1    3

3x

1     3

3 2  1   1            3   3  

x

3 x 3

1    3

2x

3  3x  2 x  0 

3x

3

 

1 2     3  3

1     3

3x

3

x

2x  1 

4

1     4 2

 4 4 x 

4

1 1    4 4

1 1      3  3

2x

3x2

1   4

   4

4 x

x

4 2 2x  1 

1     4 4

 1   1 4  1  x   4 x         4  4   4   

 1   1 4  1  x       4    4   4    4 x  4  x   4 x  x  4  0 5 x  4

x

1 3

x

2

1   4



2 x

2 x

  1 3   1   1 2 x          4    4   4    3 x 1

1    4

x

1

1 1     4 4

2 x

 3x  2  2 x

3x  2 x  2  5 x  2

x  3



x

 1  1 2x     4  64   2  3x

 3  3x  2 x

2x

x

 51

 3x  1

1 1 1      4 4 4


16 

x


 1  x  9  27 

1    3

53 



 53x  51

Ejemplo 7: aplica la ley de los exponentes para encontrar el valor de x 1    3

1 5

x

2 5

Ejemplo 11: aplica la ley de los exponentes para encontrar el valor de x 1 1 92 x    27 3  81 

1 92 x 92     3 34 x 34   3

1

 1   1 92 x  2    1  9   27 3



32  32  2x

2

  3

 34 x 4   3

4 x  4  1  4 x  3

x

  

1

1

3 4

Ejemplo 12: aplica la ley de los exponentes para simplificar la siguiente expresión

4 5


Página 2



3

1 2  3 3    32   x 1   x  2   x    x     3    3    3   3  y y y         y 2        3 3 9  x 3   x  2  x 3 2 x  2     9   9 3  11   3  y  y   y  y

 36  y11 9

x

2



3x 2

1   6

4

6

1      36  2   

x

63 x 64  6 x

63 x  4  6 x

2 x  4 

x2

3 x

1   6

4

 6 x

 3x  4   x

Ejemplo 13: aplica la ley de los exponentes para encontrar el valor de x 1  3  1 2   1          24   64    2   

 

3

 1 1 2x      16  64   2  x

x

3

3 x 3

2 2 2 3x  3  8 x

8x

2x

125

3

 1  1 8x   3      2 2 2   

1 1 8x       2 8 2    




x

x 2

3 x 3

 2 2   3x  8 x  3

1 5x   5

8x

 11x  3

 4

2 x

x 3

 4 2  

1     4

1   64 

 4

2

1   4

2 x  2   x

x



 4

2 x  2

  2x  x  2

2x

 4 2

  4

1    1 3        64    

x

 5



2



2

x

2 1 x   1      125  3         5    

5 x 58   5 

x 8  x2 

x

4

  5

x

2

2

x

x  8 2

x  16

x

x

x2 

x

  5

x  8  2

Ejemplo 14: aplica la ley de los exponentes para encontrar el valor de x 2x

8

5 x 8  5

3 x 11

  1 2      2    

x  1  4 3    25 

1.1 PRODUCTOS NOTABLES

 a  b 2   a  b  a  b   a 2  2ab  b2 a 2  b2   a  b  a  b 

x  2

Ejemplo 1: desarrolla el siguiente binomio Ejemplo 15: aplica la ley de los exponentes para simplificar la siguiente expresión 1

3 1 1  x 3  2 3 y 2  x  2   y 2      4  2 4  2   y   x  y 2  x      



3 2   x 2 3

1

y6

2

 x



13 6



y

11 6

1

3

  3 2   16  x y   2  2   y    3    x 

 x2  2 y    x2  2

 

 2 x2  2 y    2 y 

2

 x4  4 x2 y  4 y 2

Ejemplo 2: desarrolla el siguiente binomio 2

 

1  12 1  2  2x  2   2x   1

 4x  2x 2  Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

2

2

 

 2 2x

1

2

1 1    2 2

2

1 4 Página 3


Ejemplo 3: Realiza el siguiente producto

2 2 3 3

2

2 2 3



y  y   2 2 x   2 2 x    2 2 x 3  3   4  2x 

2



2

 y   3



2 2 3

2 2 2  4 2 3 3 2 3 6 3 3

 2   2 3 2

2

y y  8x  9 9

22 3



2



2(2)  4 6  3 6  6(3) 4  6  18  2  4  3 10



14  6 10

Ejemplo 4: Desarrolla la siguiente diferencia de cuadrados 2 2  4 x 2 y 2  4 x 2 y 2   4 x  y     9 25  9 25  9 25    

 2 x y  2 x y         3 5  3 5  Ejemplo 5:

2

 9  4x



Racionaliza el denominador de la

4 3



   

52 2 4 3 52 3 4 3   2 4 3 4 3 42  3 

2 8 3



5 2 3



3 2 2 2 3 2

3 2



2 2 3 3 2 2 3



 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

2

2



2 4 2 3

3 2 3



3 2 3 3 2 3



3 2  6 9  2  3



6 6 15

6 6 15

18  12

siguiente expresión

2





 2 3 Racionaliza el denominador de la

2  4  2  3

22 2 3

3 2    3 

2 8 3 2



2

Ejemplo 9:

20  5 3  8 3  6 26  13 3 26 13 3    16  3 13 13 13

Ejemplo 7:

2


Realiza el siguiente producto



2

3  2 x 3  2 x   32   2 x  Ejemplo 6:

Ejemplo 8:

18  12

3 2



3 2

3 2

9  2   4  3 



3 2 9 2 4 3

3 2 2 3

3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2  2 3 2

3 2    2 3  2

3 6  2  3  3  2   2 6 9  2   4  3

2



5 6  12 5 6  2 6 6 Página 4


 2 x  4 2  2 x 2  1   4 x 2  16 x  16  2 x 2  1

Ejemplo 10: Racionaliza el denominador de la siguiente expresión

3

4 x 2  16 x  16

27  50

2 x2  1

3 27  50 



3

3



9  3  2  25  3 3 5 2



3 3 5 2 3 3 5 2 3  3  5 6

9  3  25  2 







3

8 x 4  32 x3  32 x 2

9 3  2 25

 4 x 2  16 x  16

3 3 3 5 3 2

   3 3

2

 5 2



8 x 4  32 x3  28 x 2  16 x  16

2

95 6 23

1.2.2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS División

an x  an 1x n

n 1

ALGEBRAICAS

 a1x  a0 x y

bn xn  bn 1xn 1 

 b1x  b0 x , se efectúa de la siguiente

manera. Esta multiplicación se realiza multiplicando cada término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio. Al finalizar las multiplicaciones se reducen los términos semejantes

Ejemplo 1:

Resuelve la siguiente operación

 x3  3x2  2x  4 2x2  x  2 x3  3 x 2  2 x  4

 a1x  a0

Ejemplo 1:

por otro polinomio de la


x2 x2  x  1

 x3  x 2 2 x 2  2 x  1 2 x5  x3  x 2  4 x  2 2 x5  2 x 4  x3 2x 4  2 x3  x 2  4 x  2

2 x5  6 x 4  4 x3  8 x 2

2 x 4  2 x3  x 2

x 4  3 x3  2 x 2  4 x

4x  2

 2 x3  6 x 2  4 x  8

Ejemplo 2:

forma

Para realizar éste proceso es necesario ordenar primeramente los polinomios con respecto a la literal.

2 x2  x  2

2 x5  7 x 4  3 x3  8 x  8

la

cociente divisor dividendo residuo

La multiplicación de dos polinomios de la forma

an x  an 1xn 1 

polinomio de

forma bn x  bn 1x   b1x  b 0 El proceso de ésta división es muy parecida al proceso que se emplea en la división en aritmética. Siempre se obtiene un cociente y un residuo que puede ser cero o un polinomio con grado menor que el del divisor

1.2.1 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS n



un

n 1

n

1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES

de

sol. 


 x3  x 2 

4x  2 2x  2x  1 2

 2 x  4 2  2 x2  1

Ejemplo 2:


x2 x2  x  1 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 5


x 4  3 x3  9 x 2  31x  89 x5  4 x 2  4 x

1 x  x 1 x 2

2

x3

 x5  3 x 4  3x 4  4 x 2  4 x

 x2  x  1  x 1 sol. 

Ejemplo 3:

x

1

3x 4  9 x 3 9x 3  4 x 2  4 x

x 1 x2  x  1

 9 x3  27 x 2  4 x  31x 2  4 x 31x 2  93 x 89 x  89 x  267 267


2

x  x 1 2

x2  2 x  2

x2  2 x  2 x4

sol. 

 x 4  2 x3  2 x 2  2x 3  2 x 2

Ejemplo 4:

x 4  3x3  9 x 2  31  89 


4 x 4  3 x  3

2 x3  4 x 2  4 x 2x 2  4 x  2 x2  4 x  4 4 sol. 

Ejemplo 4:

x2  2x  2 

4 x2  3

 x2  3 4 4 x2  3

4

 4 x 4  3x  3  4 x4  3x2  3x2  3x  3

x2  2 x  2

3x 2  9 4


4 x  x5  4 x 2 x3

267 x3

3x  3 4 sol. 

 x2  3 4 

3x  3 4 4 x2  3

1.2.3 SUMA Y DIFERENCIA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Para resolver una suma de fracciones algebraicas se utiliza un procedimiento similar al de las fracciones numéricas. Pero se recomienda que primero se simplifiquen las fracciones a su mínima expresión. Si algebraicas


a c , b d

con

b,c  0,

son dos fracciones

entonces la suma se define como;

Página 6


a c ad  cb   b d bd

Ejemplo 3:

x 1 x2  1   x  1 2 2 x  1

1.2.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. a c Si con b,d  0 son fracciones , b d algebraicas entonces el producto o multiplicación se define como;

 a  c  ac      b  d  bd

1.2.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES.

a c , b d

Si

con b,d  0

son fracciones

algebraicas entonces la división se define como;

a c  a   d  ad    b d  b   c  bc Ejemplo 1:

Resuelve la siguiente operación 2 x  x  y  x y x

2 x  x y

 x  y x



2 x x   x  y  x  y  x  x  y

2 x  x2  y 2 x2  2x  y 2   x  x  y x  x  y Ejemplo 2: x2 x y 2

2







 x  1 x  1 x 1  2  x  1  x  1 x  1



1 x  1 1 2    x  1 x  1   x 1 2 2  x  1



2  x2  2 x  1 x2  2 x  3  2( x  1) 2  x  1

1.3 FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO DE TÉRMINOS La agrupación puede hacerse de más de un modo, lo único que se pide es que las dos expresiones que se agrupan, tengan algún factor común y que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis, después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales.

Ejemplo 1: Factoriza la siguiente expresión

a2  ab  ax  bx a 2  ab  ax  bx  a  a  b   x  a  b    a  x  a  x 


4a3 1  a2  4a



 



4a 3  1  a 2  4a  4a a 2  1  a 2  1





 a 2  1  4a  1 Ejemplo 3: Factoriza la siguiente expresión

y x y

15bz  6bx  5a2 z  2a2 x







15bz  6bx  5a 2 z  2a 2 x  5 z 3b  a 2  2 x 3b  a 2

x

2

x y 2



2



x2  x  y 

y  x  y y x2  y 2

x2  x  y  y x  y  x  y







x2 y x  y








 3b  a 2  5 z  2 x  Ejemplo 4: Factoriza la siguiente expresión

a2 x2  3bx2  a2 y 2  3by 2 Página 7








a 2 x 2  3bx 2  a 2 y 2  3by 2  a 2 x 2  y 2  3b x 2  y 2





 x 2  y 2 a 2  3b






2 x2 y  2 xz 2  y 2 z 2  xy3







2 x 2 y  2 xz 2  y 2 z 2  xy 3  2 x xy  z 2  y 2 z 2  xy





 z 2  xy 2 x  y 2



1 4 1 2 1 y  y  4 2 4 1 4 1 2 1 1 1 1 1 y  y y   2  y2   y2 4 2 4 2 2 2 2  si es trinomio cuadrado perfecto 1 4 1 2 1 1 2 1 y  y    y   4 2 4 2 2

2

 Ejemplo 4: Factoriza la siguiente expresión

1.3.1 FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio ordenado respecto a una literal, en el cual el primero y tercer término tienen signo positivo, además dichos términos tienen raíz cuadrada exacta. Pero el segundo término es el doble producto de las raíces.

a  2ab  b   a  b  2

2

a 2  2ab  b2   a  b 

2


x6  2 x3  1 2 x3  x 6  1  x 6  2 x3  1 x 6  x3 y 1  1  2 x3  si es trinomio cuadrado perfecto





x  2x  1  x  1 3

3

2

Ejemplo 3: Factoriza la siguiente expresión 1 4 1 2 1 y  y  4 2 4 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.





4 x 2  25 y 2  36  20 xy  4 x 2  20 xy  25 y 2  36 4 x2  2 x

25 y 2  5 y

y

2  2 x  5 y   20 xy

 4 x2  20 xy  25 y 2   36   2 x  5 y 2  36

esta espresión es una diferencia de cuadrados

 2 x  5 y 2  36   2 x  5 y  6  2 x  5 y  6 

2

Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto, lo primero es ordenar el trinomio respecto a una literal, posteriormente se obtienen las raíces cuadradas del primer y tercer término, después se obtiene el doble producto de las raíces, si este producto es exactamente igual al segundo término entonces el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.

6

4 x2  25 y 2  36  20xy


4 x2  4 xy  y 2 4 x 2  4 xy  y 2 4 x2  2 x

y 2  y  2  2 x  y  4 xy

y

 si es trinomio cuadrado perfecto 4 x 2  4 xy  y 2   2 x  y 

2


49 x4  25x2  9 y 2  42 xy





49 x 4  25 x 2  9 y 2  42 xy  49 x 4  42 xy  9 y 2  25 x 2

  2  49x4  42xy  9 y 2   25x2  7 x2  3 y   25x2 49 x 4  7 x 2

y

9 y2  3y

2 7 x 2  3 y   42 xy

esta espresión es una diferencia de cuadrados

 7 x2  3 y 

2





 25 x 2  7 x 2  3 y  5 x 7 x 2  3 y  5 x



Página 8


1.3.2 FACTORIZACIÓN COMPLETANDO UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. En ocasiones se presentan trinomios que no son cuadrados perfectos, y es necesario completarlo para formarlo como un trinomio cuadrado perfecto. Para este procedimiento se le puede sumar y restar la misma cantidad que le haga falta al trinomio para ser cuadrado perfecto.


16 x4  12 x2  1 6 x 4  12 x 2  1  para ser cuadrado perfecto se debe tener que 16 x 4  4 x 2

 

1 1

y

2 4 x2  8x2

y 4  6 y 2  1  para ser cuadrado perfecto se debe tener que y4  y2

 

1 1

y

2 y2 1  2 y2

podemos observar que el segundo termino es diferente entonces podemos hacer lo siguiente





2

y4  2 y2  1  4 y2  y2 1  4 y2



T .cuadrado perfecto

la cual es una diferencia de cuadrados y sus

 y 2  1 y 2 y 2 =  y 2  1  2 y 2  y 2  1  2 y 2  raices son

entonces el segundo término se puede descomponer





2

16 x 4  8 x 2  1  4 x 2  4 x 2  1  4 x 2 T .cuadrado perfecto

una diferencia de cuadrados





= 4 x2  1  2 x 4 x2  1  2 x

 la cual es

 4 x2  1

1.3.4 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO

x2  Bx  C

DE LA FORMA. y 2x



Suponiendo que la factorización de éste trinomio se puede realizar mediante la multiplicación de dos paréntesis como se muestra a continuación.

x2  Bx  C  ( x  a)( x  b) Donde a y b son dos números enteros, por lo tanto realizando la multiplicación de los paréntesis se tiene:


4x4  y 4 4 x 4  y 4  para ser cuadrado perfecto se debe tener que 4 x4  2 x2

y

 

y4  y2

2 2 x2 y 2  4 x2 y 2

podemos observar que el segundo termino tenemos que agregarlo entonces podemos hacer lo siguiente



4 x4  4 x2 y 2  y 4  4 x2 y 2  2 x2  y 2



2

 4x2 y 2

T .cuadrado perfecto

xa xb x 2  ax bx  ab 2 x  ax  bx  ab

factorizando x tenemos

x 2  Bx  C  x 2   a  b  x  ab Para que se cumpla la igualdad anterior debemos buscar los números enteros que

ab  B

pero

ab  C

 la cual es una diferencia de cuadrados y sus

 2 x2  y 2  y 2 x2 y 2 =  2 x 2  y 2  2 x 2 y 2  2 x 2  y 2  2 x 2 y 2  raices son


6 y 2  y 4  1

Ejemplo 1: Factoriza el siguiente trinomio

x2  4 x  60 Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  6  10  12  15 a  10 b6  a  b  4 ab  60 2 x  4 x  60   x  10  x  6  Ejemplo 2: Factoriza el siguiente trinomio


Página 9


x2  18  7 x  x2  7 x  18 Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  6  9  18 a2 b  9  a  b  7 ab  18 2 x  7 x  18   x  2  x  9 

constante 1  2  4 a  1 b4  ab 3 ab  4 2 z  3z  4   z  1 z  4  como z  x 2







x4  3x2  4  x2  1 x2  4 pero el primer paréntesis es una diferencia de cuadrado entonces la



factorización es x4  3x2  4   x  1 x  1 x2  4


x  13x  36 Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  4  9  12  18  36 a  4 b  9  a  b  13 ab  36 2 x  13x  36   x  4  x  9  2


x2  7 x  44 Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  4  11  22  44 a  11 b  4  ab  7 ab  44 2 x  7 x  44   x  11 x  4 



Ejemplo 8: Factoriza el siguiente trinomio x4  6 x2  8 Utilizando un cambio de variable se

x2  z

tiene que si

x4  6 x2  8 



x4  z 2

z2  6z  8

Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  4  8 a  4 b  2  a  b  6 ab  8 2 2 z  6 z  8   z  4  z  2  como z  x





x4  6 x2  8  x2  4 x2  2



pero el primer

paréntesis es una diferencia de cuadrado entonces la



factorización es x4  6 x2  8   x  2 x  2  x2  2






x2  11xy  28 y 2  x2  11y  x  28 y 2



Los posibles números son los divisores del término constante 1 y  2 y  4 y  7 y  14 y  28 y a  7 y b  4 y  a  b  11y 2 x  11xy  28 y 2   x  7 y  x  4 y 

ab  28 y 2





Los posibles números son los divisores del término constante 1 y  2 y  7 y  8 y  28 y  56 y a  7 y b  8y  a  b  y 2 x  xy  56 y 2   x  7 y  x  8 y 

ab  56 y

x 4  3x 2  4

Utilizando un cambio de variable se

tiene que si

x2  z

x 4  3x 2  4 

tiene que si


x2  z

x4  z 2

z 2  3z  4



x4  z 2

z 2  6 z  16

Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  4  8  16 a  4 b  4  a  b  8 ab  16 2 z  8 z  16   z  4  z  4  como z  x 2





x4  8x2  16  x2  4 x2  4

2




x4  8x2  16

x 4  8 x 2  16 


x2  xy  56 y 2  x2   y  x  56 y 2




pero los dos paréntesis

son una diferencia de cuadrado entonces la factorización es x 4  8 x 2  16   x  2  x  2  x  2  x  2    x  2

2

 x  2 2

1.3.5 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA

Ax 2  Bx  c

Los posibles números son los divisores del término Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 10


La factorización de un trinomio de la forma anterior, se puede realizar utilizando el método del trinomio anterior. Para esto primero se multiplica todo el trinomio por el valor de A, y para que no se altere la igualdad se divide entre A.

Ax 2  Bx  C multiplicando por A A

 Ax

2

 Ax  

 Bx  C A

2

  AAx

2


 ABx  AC A

12  5x  2 x2

 B  Ax   AC

Si utilizamos

A Si se utiliza un cambio de variable, entonces se propone Ax  z dónde z es la nueva variable, al sustituirlo en la expresión anterior se tiene: Ax 2  Bx  c 

Ax 2  Bx  c 

 z 2  B  z   AC A  z  a  z  b 

A



 Ax  a  Ax  b  A

Para que se cumpla la igualdad anterior debemos buscar los números enteros que

ab  B

a3 b  10  a  b  13 ab  30 2 x  3 2 x  10  2 x  10       2 x  3 2 2 2 x 2  13x  15   2 x  3 x  5 

pero

ab  AC

Ejemplo 1: Factoriza el siguiente trinomio  Ax  a  Ax  b  4 x2  11x  6 si utilizamos A pero ab  AC  AC  24 Dónde: a  b  B Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  4  12  24 a 8 b3  a  b  11 ab  24 4 x  8 4 x  3 4 x  8     4x  3    4 4 4 x 2  11x  6   x  2  4 x  3 Ejemplo 2: Factoriza el siguiente trinomio  Ax  a  Ax  b  2 x2  13x  15 si utilizamos A pero ab  AC  AC  30 Dónde: a  b  B Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  5  10  15  30



  2 x2  5x  12   2 x2  5x  12



 Ax  a  Ax  b 

A Dónde: ab  B pero ab  AC  AC  24 Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  6  8  12  24 a  8 b3  a  b  5 ab  24 2 x  8 2 x  3 2 x  8      2 x  3 2 2  2 x 2  5 x  12    2 x  4  2 x  3





Ejemplo 4: Factoriza el siguiente trinomio  Ax  a  Ax  b  6 x2  11x  4 Si utilizamos A pero ab  AC  AC  24 Dónde: a  b  B Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  6  8  12  24 a  3 b  8  a  b  11 ab  24 6 x  3 6 x  8   6 x  3  6 x  8      6 3 2 2 6 x  11x  4   2 x  1 3 x  4  Ejemplo 5: Factoriza el siguiente trinomio  Ax  a  Ax  b  4 x2  21x  18 Si utilizamos A Dónde: ab  B pero ab  AC  AC  72 Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  6  8  9  12  18  24  36  72 a  24 b  3  a  b  21 ab  72 4 x  24  4 x  3  4 x  24      4 x  3 4 4 4 x 2  21x  18   x  6  4 x  3 Ejemplo 6: Factoriza el siguiente trinomio


Página 11


9 x4  14 x2  8


x2  z

tiene que si

9 x 4  14 x 2  8 



x4  z 2

denominador. Para simplificar una fracción algebraica se utiliza la propiedad:

9 z 2  14 z  8

 Az  a  Az  b 

Si utilizamos



Como x  z



2

9x

2



4 x 2 2



pero el primer paréntesis es una diferencia de cuadrado entonces la factorización es



9 x 4  14 x 2  8   3 x  2  3 x  2  x 2  2



 x2 2 x2  7 x  6

 Ax  a  Ax  b 

Si utilizamos

para el trinomio del paréntesis

A ab  B

Dónde:



pero ab  AC

 AC  12

Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  4  12 a  4 b  3  a  b  21 ab  12 2 x  4  2 x  3  2 x  4      2 x  3 2 2 2 x 2  7 x  6   x  2  2 x  3 2 x 4  7 x3  6 x 2

2x  7 x  6x  x 4

3

2



 x2 2x2  7 x  6 2

 x  2  2 x  3

Ejemplo 1: simplifica la siguiente expresión algebraica

x 1 x2  1   x  1 2 2 x  1

 x  1 x  1 x 1  2  x  1  x  1 x  1



1 x  1 1 2    x  1 x  1   x 1 2 2  x  1



2  x2  2 x  1 x2  2 x  3  2( x  1) 2  x  1




2 x4  7 x3  6 x2

ac a  bc b

Dónde:

A ab  B pero ab  AC  AC  72 Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  6  8  9  12  18  24  36  72 a  4 b  18  a  b  14 ab  72 9 z  4  9 z  18  9 z  18      9z  4 9 9 2 9 z  14 z  8   9 z  4  z  2 



iguales que se estén multiplicando. Se pueden cancelar los términos iguales del numerador con los del



Ejemplo 2: simplifica la siguiente expresión algebraica x 3 x  2  2 2 x  x  2 x  2 x  3 x  5x  6 x 3 x     x  2  x  1  x  3 x  1  x  3 x  2 

  x 3 x      x  2  x  1  x  3 x  1   x  3 x  2 

 x  x  3  3  x  2   x     x  3 x  2  x  1   x  3 x  2   x 2  3x  3x  6  x     x  3 x  2  x  1   x  3 x  2    x2  6 x     x  3 x  2  x  1   x  3 x  2  

1.4 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. Simplificar una fracción es convertirla en una fracción equivalente, cuyos términos sean irreducibles, entonces se dice que la fracción está reducida a su más simple expresión o a su mínima expresión. Para simplificar una fracción es necesario descomponer o factorizar el numerador y el denominador, por factores Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.







1 x 2  6  x  x  1

 x  3 x  2  x  1



x2  6  x2  x  x  3 x  2  x  1

x6  x  3 x  2  x  1

Ejemplo 3: simplifica la siguiente expresión algebraica 2 3 4x  7   2 x 3 x  2 x  x 6 Página 12




2 3 4x  7   x  3 x  2  x  3 x  2 



 2  x  2   3  x  3  4x  7     x  3 x  2    x  3 x  2 

x  3y 3y2 x    x  y  x  y  x  y  x  y

 2 x  4  3x  9  4x  7     x  3 x  2    x  3 x  2    5x  5 4x  7     x  3 x  2    x  3 x  2   

5x  5   4 x  7 

 x  3 x  2 



5x  5  4 x  7  x  3 x  2 

x2 1   x  3 x  2   x  3

Ejemplo 4: simplifica la siguiente expresión algebraica x x 1 x 1 5    2 x  2 3x  3 6 x  6 18 x  18  x  x  1   x 1 5       2  x  1 3  x  1   6  x  1 18  x  1   x  9  x  1   6  x  1 x  1   3  x  1 x  1  5  x  1     18  x  1 x  1 18  x  1 x  1    







 x  3y  3y2 x     x  y  x  y  x  y   x  y   x  3 y  x  y   3 y 2  x    x  y  x  y   x  y   x 2  xy  3xy  3 y 2  3 y 2  x    x  y  x  y    x  y  x 2  2 xy  x     x  y  x  y   x  y 

x 2  2 xy  x  x  y  x 2  2 xy  x 2  xy   x  y  x  y   x  y  x  y 



2 x 2  3xy  x  y  x  y 



 9 x2  9 x  6 x2  2 x  1   3 x2  2 x  1  5x  5        18  x  1 x  1  18  x  1 x  1     2 2 2  9 x  9 x  6 x  12 x  6   3 x  6 x  3  5 x  5     18  x  1 x  1    18  x  1 x  1  

3x 2  21x  6 3x 2  11x  2  18  x  1 x  1 18  x  1 x  1

3 x 2  21x  6  3 x 2  11x  2 6 x 2  32 x  8   18  x  1 x  1 18  x  1 x  1

Ejemplo 6: simplifica la siguiente expresión algebraica a 1 a  1 a a 1 a a  a 1 a a 2  1  a  



Ejemplo 5: simplifica la siguiente expresión algebraica x  3y 3y2 x  2  2 x y x  y yx


x  3y 3y2 x   x  y  x  y  x  y  y  x

a 1  a 

2



a 2  1  a 

2

1  a 2  a 2 1  a 2  a 2 a 1  a  a 2  1  2a  a 2 1  2a  a 2  a 2



2a 2  2a  1 1  2a

Ejemplo 7: simplifica la siguiente expresión algebraica

x 2  8x  7 x 2  36 x 2  x  42   x 2  11x  30 x 2  1 x 2  4 x  5 Página 13


 x  1 x  7    x  6  x  6    x  6  x  7   x  5 x  6   x  1 x  1  x  1 x  5  x  1  x  7   x  6   x  6   x  6  x  7     x  5  x  6   x  1  x  1  x  1 x  5  x  7  x  6    x  6  x  7    x  5 x  1  x  1 x  5  x  7  x  6  x  1 x  5  1   x  5 x  1 x  6  x  7  

1.5 ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE. Una ecuación lineal con una variable es una igualdad de dos o más expresiones algebraicas, las cuales contienen una variable llamada incógnita. La incógnita es un número desconocido, generalmente representado por las últimas letras del alfabeto como son r, s, t, u, v, w, x, y, z En otras palabras resolver una ecuación significa encontrar todos los posibles valores numéricos dé la incógnita, tales que al sustituirlos en la ecuación se reduce a una identidad numérica. Las ecuaciones tienen una o más soluciones, llamadas también raíces de la ecuación. El número de raíces o soluciones de cada ecuación está dado por el grado que represente la ecuación. Donde el grado de una ecuación está representado por el mayor exponente que tenga la incógnita Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor que representa la variable para satisfacer la igualdad.

Ejemplo 1: resolver la ecuación siguiente

x

5x  1 3  4x  3 5

3  x    5 x  1



54x  3

3 5 3 x  5 x  1 20 x  3  3 5 2 x  1 20 x  3  3 5 5  2 x  1  3  20 x  3 10 x  5  60 x  9 5  9  60 x  10 x 14  70 x 

x

14 1  70 5



2 3  4x  1 4x  1 2  4 x  1  3  4 x  1 8 x  2  12 x  3 8 x  12 x  3  2 4 x  5

5 4

x


xb xa  2 a b x  b 2b   x  a   a b b  x  b   a  2b  x  a  bx  b 2  2ab  ax  a 2 bx  ax  b 2  2ab  a 2 x b  a   b  a 

2

2 b  a  x ba

ba



x  ab


5x  19  5x  1 5 x  19  5 x  1



   5x  1 2 2 5 x  19   5 x   2 5 x  1   1 5 x  19

2

2

5 x  19  5 x  2 5 x  1 5 x  19  5 x  1  2 5 x 20  2 5 x



 20 2   2

5x



2

400  4  5 x  20 x  400 400 x  20 20



x  20

Ejemplo 5: resolver la ecuación siguiente Página 14


 2 x  3 2 x  5   2 x  12  0  2 x  3 2 x  5    2 x  12  0

7  3 5x  2  9 3

5x  2  9  7

3

5x  2  2



3

5x  2



3





4 x 2  10 x  6 x  15  4 x 2  4 x  1  0 4 x 2  4 x  15 4 x 2  4 x  1  0 8 x  16  0 16 8 x  16  x    2 8

  2

3

5 x  2  8  5 x  10 

x2


3x  5  3x 14  9



1.6 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE.

3x  5  3x  14  9 3x  14  9  3 x  5 3x  14

  9  2

3x  5



Recordando que una ecuación de segundo grado, es toda ecuación en la cual una vez simplificada, el exponente mayor de la incógnita es dos. Una ecuación de segundo grado generalmente se representa por;

2

3x  14  81  2  9  3 x  5 



3x  5



2

3x  14  81  18 3x  5  3 x  5

ax 2  bx  c  0

3x  3x  14  81  5  18 3 x  5 90  18 3 x  5 

 90 

2



 18 3 x  5



2

8100  324  3 x  5   8100  972 x  1620 8100  1620  972 x  9720  972 x 9720 x  x  10 972

Ejemplo 7: resolver la ecuación siguiente x  3 2  x x 1   4 3 6

x  3 2  x x 1   4 3 6 x  3 6  2  x   3  x  1  4 18 x  3 12  6 x  3 x  3  4 18 x  3 9  9x   18( x  3)  4  9  9 x  4 18 18 x  54  36  36 x  18 x  36 x  36  54 18 1 54 x  18  x     54 3

Este tipo de ecuaciones se puede dividir incompletas, y ecuaciones completas.

en ecuaciones

 ax 2  bx  0  ecuaciones incompletas  2 Ecuaciones de   ax  c  0  segundo grado  2 ecuaciones completas ax  bx  c  0



Para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado de su forma incompleta de la forma

ax2  bx  0 Este tipo de ecuaciones tiene una solución igual a cero ya que si observamos lo siguiente: ax 2  bx  0 x  ax  b   0 para que se cumpla la igualdad se tiene que: b x0 y ax  b  0  x  a donde a, b  Para encontrar la soluciones de una ecuación de la forma: ax2  c  0 basta con despejar la variable de la ecuación;

Ejemplo 8: resolver la ecuación siguiente Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 15


ax 2  c  0 

 c a

x

1.6.1

ax 2  c



x2 

con

a, c 

c a

ECUACIONES DE LA FORMA

ax 2  bx  c Para resolver éste tipo de ecuaciones, existen diferentes métodos como son factorización, completar el trinomio, y fórmula general. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN: Para resolver una ecuación completa por el método de factorización, es necesario factorizar la expresión con los métodos de factorización vistos. Posteriormente como los factores están igualados a cero, y para que se cumpla dicha igualdad es necesario que uno de los dos factores sea cero. Entonces se iguala cada uno de los factores a cero para obtener el valor de la incógnitas. Este método se utiliza cuando el trinomio que se tiene, se puede factorizar en forma sencilla y rápida.


x2  7 x  18 x 2  7 x  18  x 2  7 x  18  0  x  9  x  2   0 x  9  0  x1  9 x20 

x2  2

2 x 2  13 x  7  0  AC  14  2 x  1 2 x  14   0   2 x  14   0  2 x  1 2 2  2 x  1 x  7   0 2x  1  0  x7 0

1 2 x2  7

x1  



Ejemplo 4: resolver la ecuación siguiente x 4  3x 2  4  0  si x 2  z x 4  z 2 z 2  3z  4  0   z  1 z  4   0 z  1 entonces x 2  1  x   1  i x1  i x2  i z  4  0 entonces x 2  4  x   4  2 x3  2 x4  2

Ejemplo 5: resolver la ecuación siguiente 2 x 4  5 x 2  12  0 si x 2  z  x 4  z 2

2 z 2  5 z  12  0  AC  24  2 z  3 2 z  8   0   2 z  8  0  2 z  3 2 2  2 z  3 z  4   0 3 3 2 z  3  0  z1   entonces x 2   2 2 3 3 3 x  x1   i y x2  i 2 2 2 z  4  0  z  4 entonces x 2  4 x   4  x3  2 entonces x4  2

Ejemplo 2: resolver la ecuación siguiente 4 x 2  11x  6  0  AC  24  4 x  3 4 x  8  0   4 x  8  0  4 x  3 4 4  4 x  3 x  2   0 4x  3  0  x20



3 x1   4 x2  2


2 x  13x  7  0 2

Ejemplo 6: resolver la ecuación siguiente x 2  16 x  63

x 2  16 x  64  63  64

 x  8 2  1  x  8 2 

1

x  8  1  x  1  8 x1  9 x2  7 Ejemplo 7: resolver la ecuación siguiente


Página 16


8x2  2 x  3  0

x 2  15 x  56 x 2  15 x  56 x 2  15 x 



2



 x  152 

2

x  15 2

 152 

2

 56 

 152 

x

2







x2 

ax  bx  c  0

2

2ax  b 



b 2  4ac 4a

2

2ax  b b 2  4ac  2a 4a 2  2ax  b  4a

2

2ax  b  b 2  4ac

2

b 2  4ac 4a

 4a2  b 4a42ac

 2ax  b   b 2  4ac 

x

1 2

b  b2  4ac 2a


  19  

 19 2  4 188 2 1

x

b  b2 c  x      2a  4a 2 a 



x2  

19  361  352 2 19  9 19  3 x  x 2 2 19  3 22 x1    x1  11 2 2 19  3 16 x2   8  x2  8 2 2

ax 2  bx  c  0  ax 2  bx  c a 2 b c b b2 b2 c x  x  x2  x  2  2  a a a a a 4a 4a 2



3 4

x 2  19 x  88  0 x

b  b2 c  x      2a  4a 2 a 

2  10 8 1   16 16 2

x1 


2

2ax  b   2a 

2

2  4  96 16 2  100 2  10 x  x 16 16 2  10 12 3 x1     16 16 4

1.6.2 MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL: Lo primero es obtener una fórmula a partir de la ecuación

b b2 c   2a 4a 2 a

 2   4 8 3 2 8

x

 56  225 4

2 1 1  x  15  2 4 4 15 1 15 1 x   x  2 2 2 2 15 1 14 x1       x1  7 2 2 2 15 1 16 x2       x2  8 2 2 2

x

  2  

2

Ejemplo 10: resolver la ecuación siguiente 15 11x  5   1 x x2 15  x   11x  5   1 x2 15 x  11x  5  1 x2 15 x  11x  5  x 2  1

4 x  5   x2 x2  4x  5  0

 x  5 x  1  0


x50 

x1  5

x 1  0 

x2  1 Página 17


Ejemplo 10: resolver la ecuación siguiente 6 x3  5 x3 x3 x36 5   x  3  6  5 x  3 x3 x 3 6  5 x 3

 x  9

2



 5 x3

 x95 x3



2

Ejemplo 2: Realiza la siguiente división

 x  18 x  81  25  x  3 2

x 2  18 x  81  25 x  75 x 2  18 x  81  25 x  75  0 x2  7 x  6  0



x6 0 

x1  6

x 1  0 

x2  1

2 x3  x 2  5 x  14  cociente 51  residuo

 x  6  x  1  0

  x5  2 x 4  2 x3  3 x  5  /  x  2  1

2 2

2 8

0 3 5 20  40 74

1

4  10

20  37 79

2

 x 4  4 x3  10 x 2  20 x  37  cociente 79  residuo

1.7 DIVISIÓN SINTÉTICA Existe un método que nos facilita hacer la división de un polinomio de la forma an xn  an 1xn 1 

 a1x  a0 x

con un binomio de la forma  x  a  El método consiste en tres renglones donde el primer renglón está formado por los coeficientes del dividendo. La regla para formar el segundo y tercer renglón a partir del primero es la siguiente, se pone el primer coeficiente del dividendo abajo de la raya, se multiplica por el valor de a y se pone el resultado arriba de la raya, debajo del segundo coeficiente, y se suma con este escribiendo el resultado abajo de la raya; se multiplica este resultado por a y se escribe el producto arriba de la raya, debajo del tercer coeficiente, y así sucesivamente hasta llegar al último coeficiente. El cociente está formado por los coeficientes del tercer renglón formados por bn xn 1  bn 1xn  2 

 b1x  b0

Y el último coeficiente del tercer renglón es el residuo.

También este método se puede utilizar para factorizar los polinomios con coeficientes enteros como lo muestran los siguientes ejemplos: Primero se encuentran los divisores del termino constante del polinomio, estos divisores son las posibles raíces del polinomio, el procedimiento se realiza con división sintética, pero el residuo debe ser cero. Si durante el proceso ya no se encuentran las raíces se puede obtener un nuevo polinomio con los coeficientes del último renglón. Ejemplo 3: resuelve la siguiente ecuación x3  3 x 2  2 x  6  0 1 3 2 6 3 0 6 3 1

0

2

0



x1  3

Como no se puede obtener otra raíz real, entonces formamos un nuevo polinomio con el residúo; x2  2  0 x   2



x   2i

Ejemplo 1: Realiza la siguiente división

 2 x 4  5 x3  2 x 2  x  9  /  x  3  2 5 6

2 3

1 15

9 42

2

5

14

51

1

Ejemplo 4: Factoriza el siguiente polinomio

x5  11x3  6x2  28x  24

3

Entonces Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 18


1 1 1 1 1 1

 11 1  10 6 4 10 6 6 0 3

0 1 1 2 3 2 5 2 3 3 0

6 28  10  4 4 24  8  24  12 0 12 2 0 2

 24 24 0 2

x3  3x3  3x  1 1

1 1 1

Como no se puede obtener otra raíz real, entonces formamos un nuevo polinomio con el residúo; x2  1  0 x   1 

x  i

x3  2 x 2  x  2  0

x3  1

m1  1

m2  2

m3  3

Ejemplo 8: resuelve la siguiente ecuación m3  3m 2  4m  2  0 1 3 4 2 1 2 2 1  m1  1 1 2 2 0 Como ya no se puede encontrar raices reales se puede encontrar un nuevo polinomio con el residuo de la división sintética, el cual es:

1 2 1  2 1 2 0 2 1 0 2 x1  1

x2  1

m3  2m2  5m  6  0 Utilizando división sintética para encontrar las raíces; 1 2 5 6  1  1 6 1 1 1 6 0 2 6 2 1 3 0  3 3 1 0 Entonces

Ejemplo 5: resuelve la siguiente ecuación

Entonces

x1  1

Ejemplo 7: resuelve la siguiente ecuación

Ejemplo 4: resuelve la siguiente ecuación x3  x 2  x  1  0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0  x1  1

2 1 1 1 1 1 2 2 1 0

 3 3 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0

Entonces

La factorización es  x  1 x  2 2  x  2  x  3

1

1

x2  1

x3  2

m 2  2m  2  0  resolviendo por formula general m

b  b 2  4ac 2a 2  4  4 1 2

2  4  8 2  4   1 i 2 2 2 Entonces m2  1  i m3  1  i m



Ejemplo 6: resuelve la siguiente ecuación Ejemplo 9: resuelve la siguiente ecuación Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 19


x3  4 x 2  3x  18  0 utilizando división sintética para encontrar las raíces; 1 4 3 18 3  3  18 3 1 1  6 0 3 6 3 1 2 0  2 2 1 0 x1  x2  3

x3  2

3x 4  4 x3  x 2  4 x  4  0 los divisores son m  1  2  4 k  1  3 m 1 4  1  2  4   k 3 3 3

4 6 3 2 2 3

0

1 4 4 6 3 2 0 2 3

4 4 2 0 2

3

0



f  x    x  2   x  2 3  3x 2  3 1.7.1 RAÍCES RACIONALES DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Recordando que cualquier número racional se puede escribir como el cociente de dos enteros primos relativos. TEOREMA: Sea f  x   an x n  an 1x n 1   a1x  a0 Un polinomio con coeficientes enteros, es decir f  x   Z  x  , con grf  x   n  1 . Si el número racional

p es raíz de q

f  x

y

Ejemplo 11: factoriza el siguiente polinomio

2 x5  x 4  2 x3  x 2  12 x  6  0 los divisores son m  1  2  3 k  2 m 1 3  1  2   k 2 2 2 1 2  1  12  6 2 3 1 0  12 1 no es raíz 2 3 1 0  12  18

p, q son enteros

2

primos relativos entonces p a0 y q an Es condición necesaria que p a0 y q an ; pero esta condición no es suficiente, es decir si m y k son enteros primos relativos tales que m a0 y k an , no m necesariamente es raíz de f(x). puede suceder que k f(x) no tenga raíces racionales, esto quiere decir que m es solo candidato a ser raíz racional de f(x) para k encontrar los candidatos a raíz racional, primero encontremos todos los divisores de m de a0 y k de an y precisamente los m diferentes cocientes son los candidatos a ser k raíces racionales de f(x).



2

1 1

2 0

1 1

 12 0

0

2

0

 12

6 6  12

si es raíz

0

Como ya no tiene raíces racionales entonces obtenemos otro polinomio 2 x4  2 x2  12 factorizando este trinomio por los métodos vistos anteriormente

2 x4  2 x2  12 tiene que si


x2  z

2 x 4  2 x 2  12  Si utilizamos



x4  z 2

2 z 2  2 z  12

 Az  a  Az  b 

Dónde: A ab  B pero ab  AC  AC  24 Los posibles números son los divisores del término constante 1  2  3  6  8  12  24

Ejemplo 10: factoriza el siguiente polinomio Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 20


a  6 b4  a  b  2 2 z  6  2 z  4    2z  4    2z  6 2 2 2 z 2  2 z  12   2 z  6  z  2 





Como x2  z

ab  24

 2x2  6 x2  2  12 x  6   x    2 x



2 x5  x 4  2 x3  x 2

1

2

2

2 x3  7 x 2  10 x  6 los divisores son m  1  2  3 k  2 m 1 3  1  2   k 2 2 2 7  10 6 4 6 8 2 no es raíz 2 3 4 2

2

7 3

 10 6

6 6

4

4

0

3

2



 6 x2  2

Ejemplo 12: factoriza el siguiente polinomio

2

1.8 DESIGUALDADES

si es raíz



PROPIEDADES DE ORDEN: El conjunto  es ordenado, un número real a s menor que un número real b si la diferencia b  a es positiva y se representa como a b a menor que b Los números reales están ordenados de manera que si a y b   se verifica solamente una de las siguientes afirmaciones: a b a b a b Los símbolos , , ,  se llaman desigualdades PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

i) ii ) iii ) iv) v)

si si si si si

a b  ac a b y c 0 a b y c 0 a b y b c a b y c d

bc  ac bc  ac bc  a c  ac bd

2 x3  7 x 2  10 x  6   x  3 2  (2 x 2  4 x  4)

Solución de una desigualdad: resolver una desigualdad es hallar el conjunto de los números x , para los cuales la desigualdad es cierta.

Ejercicios:

INTERVALOS: si a b el conjunto de x   que son menores que b y mayores que a y se representa por

1)  10 x3  19 x 2  30 x  9 2) 24 x3  2 x 2  5 x  1 3) 6 x5  11x 4  x3  5 x  6

 x / a x b  x / a  x  b  x / a x  b  x / a  x b

ó a

x

b 

ó a xb  ó a

xb 

ó ax

b 

 a, b   a, b   a, b   a, b 

abierto cerrado semi abierto semi abierto

Ejemplo 1: Resolver la siguiente desigualdad

4x  5x  7 4 x  5x  5x  5x  7  x  7  x  1  7  1 x7 sol.


 ,7

Página 21



x  3x  2  x  6 x  2  3x  x  6  2  sumando  2  x  x  2  3x  x  x  x  4 sumando  x 2  2 x  4  por 12 1  x  2

 1, 2

sol.


2 x  14 2  por 3 3 14  3  2 x  14  14 6  14  sumando  14 1 11  2 x 8  por 2 11  x 4 2

1

 11  2 , 4 

sol.


4 5 1  1 x 9 x 4 1 5   1 0 x x 9 3 4  0 resolviendo la fracción x 9 27  4 x 0   27  4 x  9 x  0 9x si 27  4 x  0 y 9 x  0 27 V . criti cos son x  , x  0 La solución debe estar 4  27  27  en  , 0   0,  ,   tomando valores de los  4  4  intervalos para ver si satisfacen la desigualdad

 27  4 x  9 x  x  1 x 1 x 8

Para Para Para

0

 27  4  1   9 

0 no cumple  27  4  9  0 si cumple  27  32  72  0 no cumple  27  La solución de la desigualdad es  0,   4 

PROPIEDADES: Para resolver desigualdades que incluyan cocientes a a 0  ab 0 y 0  ab 0 b b



2 x2  9 x  4  0

3x  2 0 2x  7



 3x  2  2 x  7   0

Se hace cero cuando x  

2 3

y

x

7 2

2 7 valores criticos x   , el conjunto solución debe 3 2 2  2 7 7   estar en los siguientes intervalos  ,     ,   ,   3  3 2 2   dando valores pertenecientes a cada intervalo podemos saber cuales intervalos son solución Para x  1  3  1  2   2  1  7   0  3  2  2  7   0 1 9  0 no cumple  no es solución Para x  0  2  7   0  14 Para

x4

0 si cumple  si es solución

3  4  2  2  4  7   0 14 1

x

9 

V.C

 x

81  4  2  4

2  2 x1  

16 = 4 4



b  b 2  4ac 2a

9  49 9  7  4 4 2 1 x2      4 2

 1  x,   x  4   0 la solución debe estar en  2 1 1  , 4  4,    ,   2 2   1 9  Para x  5 9 0  5   5  4  0 2 2  1 1  Para x  1  1    1  4   0   3 2 2  1 1  Para x  0  0    0  4   0  4 0 2 2 

0 no cumple  no es solución

La solucion de la desigualdad es:


 2 7   3 , 2 

La solución de la desigualdada es

los intervalos

si cumple 0 no cumple si cumple

 , 4  

1  ,  2 

Página 22




2x2  x

5 0  57  2x 0 7  2x Basta tomar que  7  2 x  0 2 x 7  por  1 1 2x 7  por 2 7 x 2 7  La solución es  ,  2 

b  b 2  4ac 1  1  4  2  3  2a 4 1  25 1  5 6 3 4 x =  x1   , x2    1 4 4 4 2 4

2x2  x  3

7

7 x  21



por 4











 1 por     7



0

3 , x2  1 la solución debe estar en 2  , 1 1, 3 2 3 2 ,  evaluando un valor de cada intervalo en x  3  x  1 0 2 Para x  2  2  3  2  1 2  7  1 0 no cumple 2 3 Para x  0  1 0 Si cumple 2 Para x  2 2  3  2+1 2 1  3 0 no cumple 2

7 x  24  3  sumando  3

3  4

 x  3 2   x  1

V.c son x1 

1



 x

0

la factorización es


3  7x 6 4 4 3  7 x  24

3

21 7 1 x  3 1 x

La solución es







 1, 3 2 

 3,1

La solución es



x 2  7 x  10

0

 x  2  x  5

 V.c

0

x  2, x  5

La solución debe estar en los intervalos

 , 2  2,5  5,  

evaluando un número de cada

intervalo en la desigualdad

 x  2  x  5 

Para

x0

 2  5 

Para

x3

1 2 

0

no cumple

Para

x6

4 1

0

Si cumple

La solución es

0

Si cumple

 , 2    5,  


0

x 1 x 1 2  20 x3 x3 x  1  2x  6 0  resolviendo la fracción x3   x  5 x  5 0   0 por  1 x3 x3 x5 0   x  5  x  3  0 x3 V.c Son x  5 x  3 La solución debe estar en los intervalos

 ,  5  5, 3  3,  

evaluando un número de cada

 x  5  x  3  0 Para x  6  6  5  6  3  0  1 3  0 Si cumple Para x  4  4  5  4  3  0 1 1 0 No cumple Para x  0 Si cumple  0  5 0  3  0  5  3  0 La solución es  , 5   3,  

intervalo en la desigualdad

Página 23



x2  9  0



 x  3 x  3  0

x2  9  0 V.c son

6    6   6

ejemplo

 3x  2 si 3x  2  0 3x  2     3x  2  si 3x  2 0 Como x da la distancia entre el número x y el origen, ejemplo

x  3,

x  3

la solución debe estar en los siguientes intervalos

 , 3  3,3 3,   evaluando cada intervalo en la desigualdad  x  3 x  3  0 Para x  4  4  3 4  3  0  1 7   0 Si cumple Para x  0  0  3 0  3  0 3  3 0 No cumple Para x  4  4  3 4  3  0 7 1  0 Si cumple La solución es  , 3  3,  

si b 0 entonces. x b Es el conjunto de los números reales x que están a una distancia menor que b unidades respecto al origen.

Ejemplo 13: Resolver la siguiente desigualdad 7 7 1  1 0 2x  3 2x  3 7  2x  3 2 x  10 0  0 2x  3 2x  3 2  x  5 x5 0  0 2x  3 2x  3

Si x b es el conjunto de números reales que están a una distancia mayor que b unidades respecto al origen.

 x  5 2 x  3

0

 V.c

x  5

x

3 2

La solución debe estar en los intervalos

 , 5 ,  5,  3 2  ,   3 2 ,   evaluando de cada intervalo en  x  5  2 x  3 0 Para x  6  1 9  0 No cumple Para x  2 3  1 0 Si cumple Para x  0 5  3 0 No cumple La solución es el intervalo

un n{umero

 5,  3 2 

x

b

b

si sólo si

x

b

ejemplo: 2 5 si sólo si  5 2 5   5 2 porque a b si b  a es positiva  2   5   3

x

b si sólo si

x

b

ó bien

b

x

PROPIEDADES: i)

xc

b si sólo si c  b cc

ii ) la desigualdad 0 0

xc

cb iii )

x

x  x2

x

cb

b con x  c

b si sólo si c

ó 

x

c 2

x

cb

 x2

DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO

ab  a  b 1.8.1 VALOR ABSOLUTO

Si a es un número real entonces su valor absoluto se define como

 a si a  0 a  a si a 0

demostración : si

 x 2  x 2

 x  x2

como

 a  b 2   a  b 2  a 2  2ab  b2  a 2  2ab  b 2 2 2 2 2 2 a  2ab  b  a  2 a b  b   a  b   a  b 2   a  b 2 ab  a  b

En la recta numérica a es la distancia del origen y el número a. Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 24


Ejemplo 14: Resolver la siguiente desigualdad 5x  1 9 como x b entonces x b ó x b 5x  1 9 5x  1  9 10 8 5 x 10  x 5 x 8  x  5 5 8  x 2 La solución es  ,     2,   5  Ejemplo 15: Resolver la siguiente desigualdad 1 2x  1 como x b y b 0 4 entonces se cumple b x b 1 1  2x  1 4 4 1 1   1 2x 1 4 4 5 3 1  2x   por 4 4 2 5 3  5 3  x  La solución es   ,   8 8  8 8 Ejemplo 16: Resolver la siguiente desigualdad 0 x5 1 como 0 x  c b entonces c  b x c ó c x c  b 5 1 x 5 5 x 5 1 4 x 5 5 x 6

La solución es

1   3  ,1   1,  2   2

de la solución es

Ejemplo 18: Resolver la siguiente desigualdad 0 x3 8  0 x   3 8

cb

x

xc c

 11, 3   3, 5 Ejemplo 19: Resolver la siguiente desigualdad 3 1  3  5  2x 5  2x como x  b  se cumple x b x b 5  2x  3 5  2 x  3  2 x  2  por  1  2 x  8  por  1 2x  2 2x  8 x 1 x4 5 si observamos la desigualdadno esta definida en  2 entonces la solución son los intervalos

5  5    ,      ,1   4,   2  2  

1.9 TEOREMA DEL BINOMIO  n  n 1  n  n  2 2 a b  a b  1  2

 a  b n  a n   +

 4, 5    5, 6 

Ejemplo 17: Resolver la siguiente desigualdad 1 2  1 2 1 x 1 x 1 1 x como x b  entonces que 2 b x b 1 1 3 1  1 x   x   por  1 2 2 2 2 3 1 1 3 x   ,  si observando que cuando x  1 2 2 2 2 la desigualdad no esta definida entonces los intervalos

como 0

3  8 x 3  3 x 3  8 11 x 3 3 x 5 La solucion son los intervalos

b entonces se cumple c

x

cb


n    a n  k bk  k 

Definición: n ! si n

 n  n 1 n   ab  b  n  1

0

n !  n  n  1 n  2  1

además

0!  1

 k  1  é si mo de  a  b n n  n  1 n  2   n   k  1 

Definición:

1 2  3 k Definición: Para valores mayores de n podemos escribir. n !  n  n  1 n  2 !  n  n  1 n  2  n  3! Y así sucesivamente. La fórmula para los coeficientes

en el desarrollo de  a  b  se puede escribir como sigue: n  n  1 n  2   n   k  1   1 2  3 k n  n  1 n  2   n   k  1   n  k !

 k  1  é si mo



n

 n  k ! k!

Página 25




n!  n  k ! k!





Ejemplo 2: desarrolla el siguiente binomio : x  y 2

n! k ! n  k !

Estos números se llaman coeficientes binomiales y a menudo se representan como: Definición:

n n! ,    k  k ! n  k !

k  0,1, 2,

,n

n El símbolo   , que denota al coeficiente k 

 k  1  ésimo del desarrollo de algunas veces como “n sobre k”

 a  b

n

se lee

+ +

k!  nab

n 1

b

a n  x7 n  7  6! x6 y 2  7 x6 y 2 7!    a n 1b   x6 y 2   1! 7  1 !  6 ! 1  n  n2 2  7  6  5! x5 y 4  21x5 y 4 7! x5 y 4   a b  2! 7  2  ! 2!  5  ! 2 n  7  6  5 4! x 4 y 6  35 x 4 y 6 7!    a n  3b3  x4 y6  3! 7  3 ! 3!  4  !  3

 7   6   5 4! 3 8  n  n4 4 7! x3 y8  x y  35 x3 y8  a b  4 4! 7  4 !    4  ! 3!    n  n6 6  7  6! xy12  7 xy12 7! x1 y12   a b  6! 7  6  !  6  ! 1 6 n    a n  7b7   y14 7

n  n  1

n  n  1 n  2 

a n  2b 2  2!  n   k  1  a n k bk

x  y 

2 7

 x 7  7 x 6 y 2  21x5 y 4  35 x 4 y 6  35 x3 y 8  21x 2 y10  7 xy12  y14

n

Ejemplo 1: desarrolla el siguiente binomio :  x  y 

5

Ejemplo 3: desarrolla el siguiente binomio :

 x

8

  x

an 

 n  n 1  5 4! x 4 y  5 x 4 y 5! x4 y   a b  1! 5  1!  4 ! 1

 n  n 1 8!  a b  1! 8  1 ! 1

 n  n2 2  5 4  3! x3 y 2  10 x3 y 2 5! x3 y 2   a b  2! 5  2 ! 2  3 !  2

 n  n2 2 8!  a b  2! 8  2  !  2

 n  n 3 3  5 4  3! x 2 y3  10 x 2 y3 5! x2 y3   a b  3! 5  3!  3 !  2   3

 n  n 3 3 8!  a b  3! 8  3 !  3

 n  n4 4  5 4! x1 y 4  5 xy 4 5! x1 y 4   a b  4! 5  4 !  4 ! 1  4  n  n 5 5 5! 5! x0 y5  y5  y5  a b  5! 5  5 !  5! 1 5

 x  y 5  x5  5 x 4 y  10 x3 y 2  10 x 2 y3  5 xy 4  y5

 x

1 8 2

a n  x5


7

n  7  6  5! x 2 y10  21x 2 y10 7!    a n  5b 5  x 2 y10  5! 7  5  !  5!  2  5

1.9.1 TEOREMA DEL BINOMIO ( forma alternativa)

 a  b n  a n  na n 1b 



 n  n 5 5 8!  a b  5 5! 8   5!  

8



8 7! x 7 2  8 x 7 2  7 ! 6 8 7 6! x3  28 x3 2 x  1  2  6!

7

1 

5 8 7   6  5! 5 2 x  56 x 2 3!  5  ! 4 8 7  6  5 4! x 2  70 x 2 4 x  1   4  ! 4!

 x

5





13 

3 8 7   6  5! 3 2 x  56 x 2  5 ! 3! 2 8 7  6! x  28 x 6 x  1   6!  2

 x

 n  n6 6 8!  a b  6 6! 8  6 !   



x 1

4

 x

 n  n4 4 8!  a b  4 4! 8  4!   



3

15 

 n  n 7 7 8 8   a b  nab  8 x 1  8 x 7

Página 26


 n  n 8 8 8  a b  b 1 8





8

x  1  x  8x 4

7

2

 28 x  56 x 3

5

2

 70 x  56 x 2

3

2

 28x  8 x  1

Nota: para hallar un término especifico de

 a  b n

es

encontrar primero el exponente de k que se ha de asignar a b, y siempre es un número menor que el número del término y el exponente de a es  n  k  y

Como se quiere encontrar el 6° término entonces entonces el exponente de b es k  5 y el exponente 8 de a es n  k  8  5  3 y el coeficiente es    5 n 8 3 5 6 Término es    a 3b5     2 x    y  k   5 

8 7   6  5! 8! 8 x3 y 5  448 x3 y 5  2 x 3   y 5  5! 8  5  !  5 ! 3!





1   x 2  

6

Ejemplo 8: encuentra el 4° término de 

n

el coeficiente es   k 

 x3  y 

13

Ejemplo 4: encuentra el 5° término de

Como se quiere encontrar el 5° término entonces entonces el exponente de b es k  4 y el exponente 13  de a es n  k  13  4  9 y el coeficiente es   4 9 4 n 13  5 Termino es    a9b 4    x3 y k 4     13 12 1110  9! 27 2    13!  x 27 y 2  x y  715 x 27 y 2 4!13  4  ! 4!  9  !

  


 x  16

Como se quiere encontrar el 3° término entonces entonces el exponente de b es k  2 y el exponente 6 de a es n  k  6  2  4 y el coeficiente es    2 n 6     4 2 3 Término es    a 4b 2     x   1 k 2     6  5  4! 4 6! 2 4  x  1  x  15 x 4 2! 6  2  ! 2  4! Ejemplo 6: encuentra el 5° término de

x  y 

2 7

Como se quiere encontrar el 5° término entonces entonces el exponente de b es k  4 y el exponente 7 de a es n  k  7  4  3 y el coeficiente es    4 4  n 3 4 7 3 5 Término es    a b     x   y 2 k   4

 



 2x  y 8


 7   6   5 4! 3 8 7! x3 y8  x y  35 x3 y8 4! 7  4  !  4  ! 3!

Como se quiere encontrar el 4° término entonces entonces el exponente de b es k  3 y el exponente 6 de a es n  k  6  3  3 y el coeficiente es    3 3 n 6 1  3 4 Término es    a3b3       x  k 3 2       6!  1  3 6  5  4  3!  1  3 20 3 5 3  x  x  x   x  3! 6  3 !  8  8 2 3!  3 !  8 

 x2  y 2 

5


Como se quiere encontrar el 4° término entonces entonces el exponente de b es k  3 y el exponente 5 de a es n  k  5  3  2 y el coeficiente es    3 2 3 n  5 4 Término es    a 2b3    x 2  y 2 k   3 5 4  3! 4 6   5!  x4  y6   x y  10 x 4 y 6 3! 5  3 !  3 ! 2!

  

  

9

1  Ejemplo 10: encuentra el 6° término de  x 2  1 2  Como se quiere encontrar el 6° término entonces el exponente de b es

k  5 y el exponente

9 y el coeficiente es    5 4 n 9 1  5 6 Termino es    a 4b5     x 2  1 k   5  2  9!  1 8   9  8  7  6  5!  1 8  63 8  x  x   x  5! 9  5  !  16  8  16   5! 4! de a es n  k  9  5  4

 


Página 27


1  Ejemplo 11: desarrolla el siguiente binomio :   x  2 

6

Ejemplo 13: desarrolla el siguiente binomio :

a n  a5 

6

1 1 a n  a6     64 2 6 1

n  n  1 n  2  n  3 n  4 4 6  5   4  3 a b  4! 4  3  2  1 na n  5b5  6   2 6 6 b x

1   2

64

x4 

15 4 x 4

6 5

x5  3x5

3   2y 2 

6

Ejemplo 12: desarrolla el siguiente binomio : 

1 na n  5b5  5  x 2   

b6   y 

6 1

n  n  1 n  2  n  3 n  4 4 6  5   4  3 a b  4! 4  3  2 

na

3 b  6  2

6 5

 2 y 

5

3   2

64

b6   2 y   64 y 6 6

6

729 729 1215 2 3   y y  540 y 3  540 y 4   2y  2 64 8 4    288 y 5  64 y 6


 

6 5

 x 12     

53

3

 y 1 2   10 xy 3 2    

4

 y 12   5x 12 y 2    

5

2

  y52  



5

 x3  5 x 2 y

1

2

 10 x

3

2y

 10 xy

3

2

 5x

1

2 y2

y

5

2

ECUACIONES LINEALES

a1 x1  a2 x2 

 an xn  b

ai , b   y xi son incógnitas y b  cte .

Una solución de la ecuación lineal es una sucesión de n números s1 , s2 ,, sn , con la propiedad de que al sustituir estos valores se satisface la ecuación. La solución se puede representar en forma de una n-upla,

u   s1 , s2 , s3 , , sn  En forma más general un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, o simplemente un sistema lineal, es un conjunto de m ecuaciones lineales, cada una con n incógnitas.

 2 y 4

9  15 16 y 4  540 y 4 4 3  6    32  y 5  288 y 5 2

5

Una ecuación lineal sobre el cuerpo real  es de la forma.

Donde;

729 3  243  na n 1b  6    2 y   6  y  2y   8 2  32  n  n  1 n  2 2 6  5   3 6  2 2  81  2 1215 2 a b  y    2 y   15   4 y  2! 2 2 4  16  n  n  1 n  2  n  3 3 6  5  4   3 6  3 3 a b     2 y  3! 6 2 27  20 8 y 3  540 y 3 8

1

x y

6

729 3 a n  a6     64 2



 x3

n  n  1 n  2  n  3 3 5  4   3 a b  3! 3  2

1.10

6

x y

1 1 na n 1b  5  x 2  x  5 x 2 y  5 x 2 y 2   3 n  n  1 n  2 2 5  4   12 5  2  12 2 a b   x   y   10 x 2 y 2! 2    



1 3 15 5 15 1   x  x 2  x3  x 4  3x5  x 6   x  64 16 16 4 4 2 

n 5 5

5

5 1

3 1  1  na b  6   x  6   x  x 16 2  32  62 n  n  1 n  2 2 6  5   1   1  15 a b  x 2  15    x 2   2! 2 2  16  16 n  n  1 n  2  n  3 3 6  5  4   1 6  3 3 20 3 5 3 a b  x  x   x  3! 8 4 6 2 n 1

 x



a11x1  a12 x2  a21x1  a22 x2 

 a1n xn  b1  a2n xn  b2

am1x1  am 2 x2 

 amn xn  bm

Donde; aij , bij ,  

u   s1, s2 , s3 , , sn  de números reales es una solución del sistema. Si satisface cada una de las ecuaciones del sistema. Además cuando b1 , b2 bn  0 entonces se dice que el sistema es homogéneo. Un sistema homogéneo tiene una solución, n-upla = (0,0,...,0), llamada la solución trivial. Un sistema de ecuaciones lineales tiene lo siguiente. Una

n-upla,

Página 28


1. 2. 3.

Ninguna solución. Exactamente una solución. Un número infinito de soluciones.

Lmk1 para encontrar el valor

Este valor se sustituye en de

x n 1 , de la misma forma se puede encontrar los otros

valores de las incógnitas. En este caso podemos decir que un sistema lineal es consistente si tiene una solución, o una infinidad de soluciones. Y es inconsistente si el sistema lineal no tiene ninguna solución.

Durante el proceso se puede aplicar lo siguiente: i ) Si se encuentra una ecuación de la 0 x1  0 x2    0 xn  b con b  0 entonces

1.10.1 SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

sistema es inconsistente. ii ) Si se encuentra

Considerando el siguiente sistema lineal.

quitarse sin que se altere la solución. Definición; Se dice que el sistema;

a11 x1  a12 x2  a21 x1  a22 x2 

 a1n xn  b1  a2 n xn  b2

am1 x1  am 2 x2 

 amn xn  bm

Este método consiste en reducir el sistema a un sistema equivalente más simple.  Se intercambias las ecuaciones de tal manera que la primera incógnita x1 tenga un coeficiente diferente de cero en la primera ecuación. a11  0 . 

Para cada i 1. Se aplica la operación.

Li   a11L1  a11Li En otras palabras es reemplazar la i-ésima ecuación lineal Li por la ecuación que se obtiene multiplicando la primera ecuación L1 por el coeficiente - ai1 de tal forma que se cancele la primera incógnita en las Li. Resultando un nuevo sistema.

a11x1  a12 x2  a2 j2 x2 

 a1n xn  b1  a2n xn  b2 j

amj2 x2 

 amn xn  bmj

Este procedimiento se utiliza hasta que el sistema se encuentre en forma escalonada, como se representa a continuación:

a11x1  a12 x2  a2 j2 x2 

 a1n xn  b1  a2n xn  b2k amkn xn  bmk

Entonces el valor de

x n se pude obtener fácilmente:

xn 


bmk amk

0 x1  0 x2    0 xn  0 a11 x1  a12 x2  a2 j2 x2 

forma el

una ecuación de la forma entonces la ecuación puede

 a1n xn  b1  a2 n xn  b2k amkn xn  bmk

está en forma escalonada; Si las incógnitas

x i no

aparecen al principio de alguna ecuación  i  1, x2 , xn  se llaman variables libres. Ejemplo:

x  2 x2  2 x3  3x4  2 x3  x4  1

x2 , x4 , a las Este ejemplo tiene como variables libres a cuales se les puede dar un valor cualesquiera de números reales.

TEOREMA : Hay dos casos en la forma escalonada.

para la solución del sistema

i) si k  n esto es, si hay tantas ecuaciones como incógnitas, entonces el sistema tiene una solución única. ii) si k  n es decir hay menos ecuaciones que incógnitas, entonces existen n  k variables libres, a las cuales se les puede dar un valor arbitrario para obtener una solución del sistema. Ejemplo 1: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

 x  2 y  3z  4  x  3 y  z  11   2 x  5 y  4 z  13 2 x  6 y  2 z  22  x  2 y  3z  4  y  4z  7   y  2z  5   2 y  8 z  14



1   x  2 y  3z  4 x  3 y  z  11 y  4z  7 2   2 x  4 y  6 z  8 2 x  5 y  4 z  13 y  2z  5

Página 29


 x  2 y  3z  4  y  4z  7   2z  2   00  y  4 z  7 y  2z  5

2   2 x  4 y  6 z  8 2 x  6  2 z  22 2 y  8 z  14 2 y  8 z  14 2 y  8 z  14

 2 z  2 2 z  2  y  4 1  7 

00 y3

x  2  3  3 1  4  x  4  3  6  x  1 sol.

1, 3,1

Ejemplo 2: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 5 x  4 z  2t  3 x  y  z  t  0   x  y  2 z  t  1  5 x  4 z  2t  3    4 x  y  2 z  1  x  y  2z  t  1 x  y  z  t  0 4 x  y  2 z  1   x  y  z  t  0 5 x  5 y  5 z  5t  0  x  y  z  t  0    5 y  z  3t  3 5x  4 z  2t  3 x  y  2 z  t  13   1  2y  z  5y  z  3t  3  2y  z 1   3 y  2 z  4t  1  x  y  z  t  0 4 x  4 y  4 z  4t  0 10 y  2 z  6t  6    5 y  z  3t  3 4x  y  2 z 1 10y  5z =  5   7 z  6t  1   3 y  2 z  4t  1  7 z  6t  1  7 z  11t  4  x  y  z  t  0 15 y  3z  9t  9 7 z  6t  1    5 y  z  3t  3 15 y  10 z  20 t =  5 7z +11t  4   7 z  6t  1  5t  5 7 z  11t  4  5t  5 

5t  5  t  1  7 z  1  6t   7 z  1  6  7 z  1  5 y  3  3t  z  3  3  1  5  y  1 x   y  z  t  1  1 1  1  sol. 1, 1, 1,1

0 Entonces existen las variables libres que son z, w si z  a y w  b con a, b   entonces y  1  2w  2 z  1  2b  2a  y  1  2b  2a x  2  2 y  3z  2w  2  2 1  2b  2a   3a  2b  2  2  4b  4a  3a  2b  a  2b

z 1 y 74 

x 1

Ejemplo 3: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

 x  2 y  3z  2w  2  2 x  5 y  8 z  6w  5 3x  4 y  5 z  2w  4 

 2 x  4 y  6 z  4w  4 2x  5 y  8 z  6w  5

 x  2 y  3z  2w  2  y  2 z  2w  1    2 y  4 z  4w  2 

 3x  6 y  9 z  6w  6 3x  4 y  5 z  2w  4  2 y  4 z  4w  2

 x  a  2b

 a  2b,1  2b  2a, a, w 

sol.

MATRICES Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de m, n números reales ( o complejos ) ordenados en m filas y n columnas.

     

a11 a12  a1n  a21 a22  a2 n  A      am1 am 2  amn  Decimos que A  m x n En donde aij , se llaman elementos de la matriz, el primero de los subíndices i indica la fila y j indica la columna de la matriz. Lo cual indica que el i-ésima fila de A es: ai 1 ai 2  ai n Sí 1  i  m ;









La j-ésima columna de A es

     

a1 j a2 j  an j

     

si

1 

jn



1.10.1 MÉTODO DE GAUSS JORDÁN PARA SISTEMAS LINEALES Para resolver un sistema lineal por este método es necesario el siguiente procedimiento. 1. 2.

y  2 z  2w  1


2 y  4 z  4w  2 2y  4 z  4w  2

 x  2 y  3z  2w  2  y  2 z  2w  1 

3.

4.

Se forma la matriz aumentada Se transforma la matriz aumentada a su forma escalonada, mediante operaciones elementales de filas. El sistema lineal que corresponde a la matriz escalonada, tiene exactamente las mismas soluciones que el sistema dado. Las filas que constan completamente de ceros se pueden ignorar. Página 30


Si se tiene el siguiente sistema lineal.

a11x1  a12 x2    a1n xn  b1 a21x1  a22 x2    a2 n xn  b2     am1 x1  am 2 x2    amnxn  bm Definición; La matriz coeficiente está formada por todos los coeficientes de las incógnitas del sistema.

A

     

a11 a12  a1n a21 a22  a2 n    am1 am 2  amn

     

Definición; La matriz aumentada se representa de la forma siguiente.

     

a11 a 21  a m1

a12  a1n b1   a 22  a 2 n b2       a m 2  a mn bn 

OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS DE UNA MATRIZ: Eliminación: Se pude sumar un múltiplo constante de una fila a otra fila. Fi  cFj  Fi Escalamiento: Se puede multiplicar una fila por una constante distinta de cero. cFi  Fi

Intercambio: Se pueden intercambiar dos filas cualesquiera. Fi  Fj

 1 2 0 1   F3  F1  F3    1 0 2 11   0 2 1 0   1  2 0 1  1 0 2 11   0  2 2 12   1 2 0 1  1   F2  F3  0 2 2 12   F2  F2 2  0 2 1 0   F3 0 0  0 1  0  0

 2 F2  F3 2 1 0  2 2 12 0 3 12

x  1  4  3 

z4 y  2

x3

1 F3  F3 3

como y  z  6  como

sol.

y  6  z

x  2 y  1  x  1  2 y

 3, 2, 4 

Ejemplo 5: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones

2 x  y  4 z  7  x yz 3    3 x  5 y  z  7  2 x  y  4 z  7  x yz 3  3x  5 y  z  7    F3  3F1  F3  1 1 1 3   F2  2 F1  F2  3  5 1 7    2 1 4 7  2 1 4 7   2 2  2  6 y 3 3  3  9    3 5 1 7   0 1 2 1  0 2 4 2  1 1 1 3   F3  2 F2  F3  1 1 1 3    0  2  4  2   0 1 2 1     0 2 4 2 0 1 2 1  0 2 4 2  0 0 0 0  0 0 0 0   x yz 3 y  2z  1 entonces la variable libre es z si

za

con z  

y  1  2 z  1  2a

x  3  y  z  3  1  2a  a  4  3a sol.

y  1  2a

x  4  3a

 4  3a,1  2a, a 

Definición: Una matriz se dice que es escalonada si verifica las condiciones siguientes.  El primer elemento no nulo ( por la izquierda ) de cada fila es un uno, que se llama uno principal.  Cada uno principal está a la derecha de los uno principales de las filas anteriores. (forma escalonada).  Las filas nulas, si existen, están en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo 6: resuelve el  2 x  y  2 z  10  3 x  2 y  2 z  7  5 x  4 y  3z  4 

Ejemplo 4: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones x  2 y  1 2y  z  0 x  2 z  11

 1 1 1 5   F2  3F1  F2 2    3 2 2 1  3 2 2 1  3  3 3  15 2 5 4 3 4    0 1 5  14   2


 1 2 0 1      0 1 1 6   0 2 1 0 

 1 2 0 1      0 1 1 6   0 0 3 12 

2 0 1   1 1 6   0 1 4 

y  6  4  2 

 1 2 0 1    0 2 1 0   0 2 2 12 

siguiente sistema de ecuaciones  2 1 2 10   3 2 2 7  1F F 1   2 1  5 4 3 4 

 1 1 1 5   F2  3F1  F2 2    3 2 2 1  3 2 2 1  3  3 3  15 2 5 4 3 4     0 1 5  14  2

 F3  5F1  F3  5 4 3 4  5  5 5  25 2  3 8  21  0  2  F3  5F1  F3  5 4 3 4  5  5 5  25 2  8  21  0 3  2 Página 31


 1 1 1   1 1 1 5  2 5   2   0 1 5 14   2 F2  F2   0 1 10 28  2     21  0 3  0 3 2 8 21  8  2   F3  3 F2  F3 1 1 2 1 5   2   1 8  21 0 3 2   0 1 10 28   F3  F3   0 0 7 21  7 0  3 2  15 42   0 0  7 21   1 1 1 5  2    0 1 10 28   z  3 como y  10 z  28  0 0 1 3    y  28  10 y  28  30  2  y x  5  z   5  3 1  1  2

y2 x 1

x sol.

1 yz 5 2

 F3  F2

1 2 1 3 2 0 1 4 1 5 0 5 1 8 0 0 11 3 10 16

 F3  5F2  F3 0  5 1 8 0 0 5  20  5 25  0 0  19 3 25

 F4  11F2  F4 0  11 3 10  16 0 11  44  11 55  0 0  41  1  39

2 1 3 2  1 4 1 5  0 19 3 25  0 41 1 39 

  1   F3  F3  19  

    25  19  39 

1 2 0 1 0 0 0 0

1 0  0 0  1 3 4 1 1 3 19 41 1

     


2 5

     

1 2 1 0 1 4 0 0

1

0 0

0

   3  25  19 19   142 19  284 19  3 1

  19   F4  F4  0 0 1 3  25  142 19 19   0 0 0 1 2 3 25 25 6 z w z     1  z   1 19 19 19 19 y  5  w  4z  5  2  4  3  y  3 1 2 1 0 1 4

3 1

2 5

x  2  3w  z  2w  2  6  1  6  1  sol.

2 5

w2

x 1

1, 2, 3, 1

1, 2, 3

Ejemplo 7: resuelve el siguiente sistema de ecuaciones  1 2 1 3 2   x  2 y  z  3w  2  3 1 2 1 6  3 x  y  2 z  w  6     x  y  3 z  2 w  3  1 1 3 2 3    4 3 1 2 8  4 x  3 y  z  2 w  8    F3  F1  F3  F2  3F1  F2  1 1 3 2 3  3 1  2 1 6  3  6 3 9  6  1  2 1 3  2   0  5 1 8 0   0 1 4 1  5  1 2 1 3 2   F3  F1  F3  0 5 1 8 0   4  31  2  8    4  8 4 12  8  0 1 4 1 5    0 11 3 10 16   0  11 3 10  16        

     

 F4  41F3  F4 0 0  41  1 39 0 0 41  123 1025  19 19  142 0 0 0  19  284 19

Ejemplo 8: Resolver el sistema por el método de GaussJordan. 2 x  4 y  6 z  12 2 x  3 y  4 z  15 La matriz aumentada es: 3 x  4 y  5 z  8  2 4 6 12   2 3 4 15  3 4 5 8 F2 2 2 0

   

1 F1  F1 2

1 2 3 6     0 7 10 27   3 4 5 8 

 2 F1  F2 3 4 15 4 6 12 7 10 27

1 2 3 6     0 7 10 27   0 2 4 10  1  F2  F2 2

F2  F3

1 2 3 6    2 5  0 1  0 7 10 27 

 1 2 3 6     0 1 2 5   0 0 4 8  F2  2 F3  F2 0 1 2 5 0 0 2 4 0 1 0 1

1 2 3 6     2  3  4 15   3 4 5  8 

1 F3  F3 4  1 2 3 6     0 1 0 1   0 0 1 2 

F3  3F1  F3 3 4 5 8 3 6 9 18 0 2 4 10

1 2 3 6     0 2 4 10   0 7 10 27  F3  7 F2  F3 0  7  10 27 0 7 14 35 0 0 4 8

 1 2 3 6     0 1 2 5   0 0 1 2  F1  3F3  F1 1 2 3 6 0 0 3 6 1 2 0 0

Página 32


1 2 0 0     0 1 0 1   0 0 1 2 

F1  3F3  F1 1 2 3 6 0 0 3 6 1 2 0 0

1 0 0 2     0 1 0 1   0 0 1 2 

x2

F1  2 F2 1 2 0 2 1 0

y  1 z  2



 F1 0 0 0 2 0 2

 2, 1, 2

Ejemplo 9; Resolver el siguiente sistema.

x  2 y  3z  2w  2 2 x  5 y  8 z  6w  5  3x  4 y  5 z  2w  4 F2 2 2 0

 1 2 3 2 2     2 5 8 6 5   3 4 5 2 4   1 2 3 2 2     0 1 2 2 1   3 4 5 2 4 

 2 F1  F2 5 8 6 5 4 6 4 4 1 2 2 1

 1 2 3 2 2     0 1 2 2 1   0 2 4 4 2 

F3  3F1  F3 3 4 5 2 4 3 6 9 6 6 0 2 4 4 2 F3  2 F2  F3 0 2 4 4 0 2 4 4 0 0 0 0

 1 2 3 2 2     0 1 2 2 1   0 0 0 0 0 

2 2 0

El nuevo sistema tiene la forma con las variables libres z,w, dando valores arbitrarios a estas variables x  2 y  3z  2w  2 y  2 z  2w  1 si z  a y w  b con a, b 

y  2 z  2w 

y  1  2a  2b

además

x  2  2 y  3 z  2 w  2 1  2a  2b   3a  2b  2  2  4a  4b  3a  2b =a  2b  sol ,

x  a  2b

F2  3F1  F2 F3  2 F1  F3

       

Ejemplo 10; Resolver el siguiente sistema

F1  F3



       

2 1 1 3 2 1 1 1 1 6 1 1 5 1 2

2 6 1 9 8

1   2  1   2  3 

1 1 1 3 2 1 2 1 1 6 1 1 5 1 2

1 6 2 9 8

1   2  1   2  3 


1 1 5 4 1 3 5 7 6 7

1 3 0 3 3        

F3  5F2  F3 F4  5F2  F4

       

1 0 0 0 0

1 1 1 3 0 11 0 8 0 11

1 0 3 3 3

1 1 1 0 5 4 0 1 3 6 1 1 5 1 2

1 3 0 9 8

1   1  3   2  3 

1   1  3   F3  F2  4  8  1 1 1 0 1 3 0 0 11 0 0 8 0 6 7

1 0 3 3 3

       

F4  6 F1  F4 F5  5F1  F5

1 1 1 0 1 3 0 5 4 0 5 7 0 6 7

1   3  14   11  8 

1   3  F  F3  F5 14  5  11  10 

       

1 0 3 3 3

1   3  1   4  8 

F5  6 F2  F5

1 0 0 0 0

1 1 1 1 3 0 0 11 3 0 8 3 0 0 0

1   3  14   11  4 

Lo cual implica que el sistema no tiene solución. el sistema no tiene soluciòn

1.10.2 LOS DETERMINANTES EN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Consideremos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2   a2 n xn  b2

si        

1 0 0 0 0

an1 x1  an 2 x2 

 a  2b,1  2a  2b, a, b 

2 x  y  z  2w  1 3x  2 y  z  6w  2 x  y  z  w  1 6 x  y  z  9w  2 5 x  y  2 z  8w  3

       

t

es

 ann xn  bn el

determinante

de

A  aij  , esto es

  A , si  i es el determinante de la matriz que se obtiene remplazando la columna i-esima de A por la columna de los términos constantes. Teorema: Regla De Cramer Un sistema de ecuaciones lineales de n x n Ax  b , tiene una solución única si y sólo si

x1 

 t  0 y está dada por. 1  , x2  2 t t

xn 

n t

Ax  0 tiene una solución diferente de cero si sólo si   A =0 Corolario:

El sistema homogéneo

Página 33


DETERMINANTES Sea A   aij  una matriz cuadrada de orden n Sobre un

DESARROLLO POR MENORES. Una propiedad que permite expresar un determinante de orden n como suma de n determinantes de orden n – 1 es:

cuerpo k

a1n   a11 a12 a a2n  21 a22  A     ann   an1 an 2 Definición : El determinante de la A  aij de orden n denotado por,

 

det ( A ) ó

matriz

cuadrada

A .

Entonces el determinante de la n-matriz cuadrada A, es de orden n, y frecuentemente se denota por. a11 a12 a1n a21 a22 a2 n

A 

an1

an 2

Si A es una matriz de orden n a1n  a11 a12 a a22 a2 n A   21   ann  an1 an 2 Con

A 0

omitiendo la fila ( renglón ) i, y la columna j en A,

iii]

Si todos los elementos de una fila o columna de un

determinante

A , se multiplica por un escalar k, entonces

el determinante queda multiplicado por k. ka11 a12  a1n ka11 ka12  ka1n a 21 a 22  a 2 n = ka 21 a 22  a 2 n = K A      

ka n1 a n 2  a nn a n 2  a nn iv] Si B se obtiene de A, permutando dos líneas adyacentes cualesquiera entonces: B  A a n1

v] Si B se obtiene de A, permutando dos líneas cualesquiera entonces:

elemento

aij .

Ejemplo:

si

 a11 a12 A   a21 a22  a31 a32

vi] Si B se obtiene de A, trasladando una de sus líneas p lugares entonces; p

A

vii] Si dos líneas del determinante son idénticas entonces:

A 0 viii] Si A es una matriz triangular, esto es que las componentes de A son cero encima o debajo de la diagonal, entonces: Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

a13  a23  entonces el a33 

Menor del elemento

a11 es; M11 

a22 a32

a23 a33

Menor del elemento

a21 es; M 21 

a12 a32

a13 a33

Menor del elemento

a22 es; M 22 

a11 a13 a31 a33

aij de A, se define como;

Definición: el cofactor de

Aij    1 

i j

Ejemplo: el cofactor 1 2

A12    1 

M ij

A12 del ejemplo anterior es;

a21 a23 a a   21 23 a31 a33 a31 a33

Teorema: El determinante de la matriz A , es igual a la suma de los productos obtenidos, multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos cofactores.

A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2 

B  A

B   1 

M ij se le llama el menor del

entonces el determinante

Si A es una matriz cuadrada entonces:

At  A

x n      

M ij denotaremos la submatriz de A que se obtiene

ann

Propiedades; i] Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada A son nulos entonces el determinante

ii]

A  Es el producto de los elementos de la diagonal.

A  a1 j A1 j  a2 j A2 j 

n

 ain Ain   aij Aij j 1

n

 anj Anj   aij Aij i 1

Nota Para encontrar el determinante de una matriz, es conveniente obtener una matriz equivalente con las operaciones de filas, de tal forma que una fila o columna quede con n-1 elementos igual a cero. a  a Definición: si A   11 12   A  a11a22  a12 a21 a21 a22  Página 34


Ejemplo; encontrar el valor del siguiente determinante

 a11 a12 A  a 21 a 22 a31 a32

a13  a 23  a33 

Utilizando el teorema anterior tenemos que: 11 a22 a23 1 2 a21 a23 A  a11  1  a12  1  a32 a33 a31 a33 1 3

a13  1 A  a11

a22 a32

 1  , x2  2 xn  n  t t t 7 x1   1  x1  1 7 14 x2   2  x2  2 7 21 x3   3  x3  3 Sol. 1, 2, 3 7 x1 

a21 a22 a31 a32 a23 a a a a  a12 21 23  a13 21 22 a33 a31 a33 a31 a32

Ejemplo 11; Resolver el siguiente sistema mediante la regla de Cramer.

2 x  y  2 z  10 3x  2 y  2 z  1 5 x  4 y  3z  4

2 1 2  t  3 2 2 5 4 3

2 2 3 2 3 2 t  2 1 2 4 3 5 3 5 4  2  6  8    9  10   2  12  10  4  1  4  7 10 1 2 2 2 1 2 1 2 1  1 2 2  10 1 2 4 3 4 3 4 4 4 4 3  10  6  8    3  8   2  4  8  20  5  8  7 2 10 2 1 2 3 2 3 1 2  3 1 2  2  10 2 4 3 5 3 5 4 5 4 3  2  3  8   10  9  10   2  12  5  10  10  14  14 2 1 10 2 1 3 1 3 2 3  3 2 1  2 1  10 4 4 5 4 5 4 5 4 4  2  8  4   1 12  5   10  12  10  8  7  20  21


1.11 FRACCIONES PARCIALES En esta sección mostraremos la forma de descomponer expresiones racionales en suma de expresiones más sencillas, Teóricamente es posible escribir cualquier expresión racional como una suma de expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado que no sean mayores de dos, si f  x  , y g  x  son polinomios y el grado de f  x  es menor que el grado de g  x  puede demostrarse que; f  x  F1  F2  g  x

 Fr

Donde cada Fk tiene una de las siguientes formas A

 px  q 

m

ó

 ax

Cx  B 2

 bx  c



n

con m, n  Z 

además ax 2  bx  c es un polinomio irreducible donde ya no tiene raices reales, y la suma de F1  F2   Fr se llama descomposición en fracciones parciales de

f  x

g  x

y a cada

Fk se le llama fracción parcial.

PASOS PARA LA DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES  Si el grado de la función

f  x  es mayor que el

g  x  entonces primero se hace la división convencional.  Se expresa g  x  como producto de factores lineales o cuadráticos irreducibles  Se aplica una de las siguientes reglas según grado

de

sea el caso

Página 35


A B  0  2 B  0  de la ecuación 1 se tiene que

I) FACTORES DISTINTOS: Para cada factor distinto la fracción se descompone como:

A1 A2    ax  b   a1x  b1 



Am  am x  bm 

 1    x x  1 2



II) FACTORES LINEALES: Para cada factor lineal m  ax  b  la descomposición en fracciones simples debe incluir la suma siguiente.

A1 A2    ax  b   ax  b 2



Am

 ax  b 

m

III) FACTORES CUADRÁTICOS: Para cada factor



cuadrático ax 2  bx  c



n

, la descomposición en

fracciones simples debe incluir la siguiente suma.

B1 x  C1 B2 x  c2   2  ax  bx  c   ax2  bx  c 2



Bn x  cn

 ax

2

 bx  c 

A B   x  1 x  1  x  1  x  1 4  A  x  1  B  x  1  Ax  A  Bx  B 4   A  B x   A  B  A  B  4 A  B  0 A  B  B  B  4   2 B  4  B  2  A  2 de la ecuación 1 tenemos

  4 2      2         x  1 x  1      x  1  x  1   Ejemplo 2; Realiza la descomposición en fracciones parciales de la siguiente fracción

    1 B   A  ec 1     1 1 x  x x  2   x 2  1 A  A x  1  Bx  Ax   Bx 2 2 x x 1 2 A A 1   A  B x   1  A  2 2 2




















   

Ejemplo 3; Realiza la descomposición en fracciones parciales de la siguiente fracción  x  1   A B Cx  D   2 2   2  2  Donde: x 9   x  x  9    x x x 1 A B Cx  D   2 2 2 2 x 9 x  x  9 x x

x  1  Ax  x 2  9   B  x 2  9    Cx  D  x 2  Ax3  9 Ax  Bx 2  9 B  Cx3  Dx 2 x  1   A  C  x 3   B  D  x 2  9 Ax  9 B  BD0

9A  1



A

n

  4 B      A   4    2     .....ec 1 x  1 x  1 x  1 x  1         x  1        





AC  0

Ejemplo 1; Realiza la descomposición en fracciones parciales de la siguiente fracción

4



  2  2   x x 1   2

B  2

1 1  D 9 9 1 1 1 1    x  A B Cx  D   9 9 9  92    2 2   x 9   x x x2  9  x x   1 1 1 x 1     2 2   9 x x x  9 x2  9  C

1 9

1 9

9B  1 

B

 x  1  1  1 1 x 1   2  2 2    2  2  x  9 x  9  x  x  9   9  x x


 s   A B     2 2   s  1    s  1  s  1  s A B   2 2 s  1    s  1  s  1 s  A  s  1  B 2

A B  0

 s  As  A  B



A 1

B  1

 A B   1 1      2 2   s  1  s  1    s  1  s  1   s   1 1     2 2   s  1    s  1  s  1 

Página 36



 1 1     3   2  s  5s  2s  8    s  1 s  2  s  4   1 B C     A        s  1 s  2  s  4     s  1  s  2   s  4   1 A B C     s  1 s  2  s  4   s  1  s  2   s  4  1  A  s  2  s  4   B  s  1 s  4   C  s  1 s  2 



 

 

 A s 2  6s  8  B s 2  3s  4  C s 2  s  2



 As  6 As  8 A  Bs  3Bs  4 B  Cs  Cs  2C 1   A  B  C  s 2   6 A  3B  C  s   8 A  4 B  2C  2

2

2

A  B  C  0   6 A  3B  C  0  resolviendo el sistema lineal 8 A  4 B  2C  1   1 1 1 0   F2  6 F1  F2    6 3 1 0  6 3 1 0   6  6  6 0   8 4 2 1  0  0 3 5

 F3  8F1  F3  8 4 2 1 y 8  8  8 0   0  12  10 1

1 1 1 0 1 1 1 0 1     5 0  3  5 0   F  F  0 1 2 2 3 0     3  0 12 10 1   0 12 10 1   F3  12 F2  F3 0  12  10 1 0 12 20 0  0 10 1 0 1 1 1 0  5 0 1 3 0 0 0 1 1 10 

     

1 1 1 0 1     0 1 5 3 0   F3  F3 10  0 0 10 1 

C

1 10

5 como B  C  0  3

5 5 1  5 1 B C     3 3  10  30 6 A  B  C 

B

1 1 10  6 4 1      6 10 60 60 15

1 6 A

1 15

1 1  1  A B C   15 6  10          s  1  s  2   s  4     s  1  s  2   s  4   1 1  1 1    15 6  10    3   2  s  5s  2 s  8    s  1  s  2   s  4  



 B   5s     A         2 2 s  2   s  2 s  2             5s A B    s  2 2  s  2   s  2 2 5s  A  s  2   B  As  2 A  B   A  5  2 A  B  0   10   B   B  10   A    5         2 2 s  2 s  2    s  2       s  2      10   5s     5        2 2  s  2   s  2      s  2    

B  10

Ejemplo 7; Realiza la descomposición en fracciones parciales de la siguiente fracción 1 1 A Bx  C  = + 2 3 2 2 x   x  2x  2x x  2x  2 x x  2x  2   1  A x 2  2 x  2   Bx  C  x





Ax 2



 2 Ax  2 A  Bx 2  Cx

1   A  B  x2  C  2 A x  2 A 

A

1 2

1 1 B0  B 2 2 1 C  2A  C  2   0  C  1 2  1  1 x  1  1 2+ 2 =   x3  2 x 2  2 x  x x 2  2 x  2    A B  0 


   A s 1 s 1 B      s  5s  6   s  2  s  3    s  2   s  3  s 1 A B    ec.1  s  2  s  3  s  2   s  3 2



s  1  A  s  3 +B  s  2  =As  3 A  Bs  2 B   A  B  s  3 A  2B



Página 37


A  B  1 por 3 3 A  2 B  1 3 A  3B  3 3 A  2 B  1 B  2  A  B 1 A  2 1  A  1 De la ecuación 1 se tiene    1 s 1 2        s  2  s  3    s  2   s  3  s 1 1 2   2 s  5s  6  s  2   s  3  Ejemplo 9; Realiza la descomposición en fracciones parciales de la siguiente fracción x2  6 x  7 B C     A     =  x  1 x  2 x  3 x  1 x  2 x            3   

x 2  6 x  7  A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2 

x 2  6 x  7  Ax 2  5 Ax  6 A  Bx 2  4 Bx  3B  Cx 2  3Cx  2C x 2  6 x  7   A  B  C  x 2   5 A  4 B  3C  x  6 A  3B  2C A B C 1  5 A  5 B  5C  5 5 A  4 B  3C  6 5A  4 B  3C  6 6 A  3B  2C  7  B  2C  1 A B  C 1  6 A  6 B  6C  6 B  2C  1 6 A  3 B  2C  7 3B  4C  1  3 B  4C  1 3B  6C  3 3B  4C  1 2C  2  B  1  2C

C  1

 B  1  2  1 

A  1  B  C  A  1  1   1 

B 1

A 1

  6x  7 1 1    1        x  1 x  2  x  3    x  1  x  2   x  3  x2


2s  1 A B Cs  D    s  s  1  s 2  4s  6  s s  1  s 2  4s  6 



 A s3  4s 2  6s  s 2  4s  6 

Bs3



 4 Bs 2

 6 Bs  Cs3





 Cs 2  Ds 2  Ds

 A s3  5s 2  10s  6  Bs3  4 Bs 2  6 Bs  Cs3

  Ds   10 As  6 A  Bs3  4 Bs 2  6 Bs  Cs3  Cs 2  Ds 2  Ds 2s  1   A  B  C  s3   5 A  4 B  C  D  s 2 As3

 Cs 2

Ds 2

 5 As 2

 10 A  6 B  D  s  6 A  6 A  1 

A

1 6

1  6  B  C  0  por 6 A  B  C  0   5 5 A  4 B  C  D  0     4 B  C  D  0  por 6 10 A  6 B  D  2 6  5  3  6 B  D  2  por 3  6 B  6C  1  24 B  6C  6 D  5 18 B  3D  1  B  6C  1  6 B  1  6C 4  6 B   6C  6 D  5 4  1  6C   6C  6 D  5 4  24C  6C  6 D  5 18C  6 D  1 ec 1 3  6 B   3D  1  3  1  6C   3D  1 3  18C  3D  1  18C  3D  4 ec 2 De la ec 1, 2 se tiene 18C  6 D  1 restando las ec. 18C  3D  4 3D  5 5  5  D  18C  6     1   18C  9 3  3 1  C Como se tiene que 6 B  1  6C 2 1  1 6 B  1  6     6 B  1  3  2 B  2 3     B Cs  D  A     2  s s  1 s  4 s  6 



2s  1



s  s  1 s 2  4 s  6







1  1  1  1   1 2 s  5 3       6  s  3  s  1   s 2  4 s  6 

 A  s  1  s 2  4s  6   Bs  s 2  4s  6    Cs  D  s  s  1


Página 38


Ejemplo 11; Realiza la descomposición en fracciones parciales de la siguiente fracción  2 x 2  3x  1   2 x 2  3 x  1   A B C   3  2   2   Donde: 2 x  5 x x x  5 x x x  5        2 x 2  3x  1 A B C   2 x2  x  5 x x x5 x  1  Ax  x  5   B  x  5   Cx 2  Ax 2  5 Ax  Bx  5B  Cx 2 2 2 x  3x  1   A  C  x 2   5 A  B  x  5B 

5B  1  14 25 36 C 25 A

1 14 como 5 A  B  3 5 A  3  =  5 5 14 36 como A  C  2  C  2  A  2  = 25 25 B

1 5

Definición: si a 0 entonces la función exponencial f con base a se define;

f  x  ax En donde x es cualquier número real. TEOREMA: si a es un número real tal que a 1 entonces; i) a r

ii) si r y s  Q tales que r

s entonces a r

as

Definición;

si  2 x 2  3 x  1   14 1 36   2  3   2 25  x  5    x  5 x   25 x 5 x

1 para todo número racional positivo

y  loga x

si sólo si

y  log a x



x ay

x  a y  a log a x

x  alog a x ejemplos :

2.0 FUNCIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES x Si f  x   a

y a 1 entonces f es creciente sobre todos  , mientras que si 0 a 1 f es decreciente

a ) log 2 8  3  23  8 1  1  b) log5    2  52  25  25  TEOREMA:

a log a x  x  x log a a  1

i) ii )

0

iii) log a 1  0 LEYES DE LOS LOGARITMOS i)

log a  uv   log a u  log a v

ii )

u log a    log a u  log a v v

iii ) log a  u   c log a u  c  c

Demostración; si r  log a u

y

ar  u

multiplicando las dos ecuacones

as  v

s  log a v

por definición

r s

a a  uv a  uv utilizando la definición de logaritmo r s

r  s  log a  uv  como r  log a u log a u  log a v  log a  uv  Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

y

s  log a v

cqd

Página 39


ar a



s

u v

 ar s 

u  r  s  log a   v

u v

u log a u  log a v  log a   v

a 

r c

 uc

c log a u  log a u

Definición; log x  log10 x

ln x  loge x

y

 cr  u c

y



b  b 2  4ac 2a

6  36  4 6  40 6  4 10  6  2 10    2 2 2 2

y1  3  10

y2  3  10 como

y  5x

5 x  3  10  aplicando log en ambos lados

cqd



x log 5  log 3  10



x 0

 x 0

x



log 3  10 log 5



  0.7897  1.1298



0.6989

x  1.1298

i)

ln  uv   ln u  ln v

Ejemplo 4; resuelve la siguiente ecuación en función de y

ii )

u ln    ln u  ln v v

y

iii ) ln  u   c ln u  c  donde eln x  x  ln e  1 y ln 1  0 Ejemplo 1; resuelve la siguiente ecuación

3  21  log 3  log 21  x log 3  log 21 log 21 1.322 x   2.77  x  2.77 log 3 0.477 x

x

Ejemplo 2; resuelve la siguiente ecuación

log  5 x  1  log  x  3  2  aplicando propiedades log

 5 x  1  2  x  3

 como es logaritmo en base 10

x

5 5 2

 

52 x  1  6 5 x



  5x

2


 

x



z 2  2 yz  1  0 resolviendo por



z



ex 

por

ex  z

b  b 2  4ac 2a

2 2 y  4 y2  4 2 y  4 y 1 2 y  2 y2 1 z   2 2 2

z  y  y 2  1 como

z  ex



x  ln  y  y 2  1   

ex  y  y2 1 


 5log 2  x log 2  log 6  log 25  log 6  x log 2

25 32  x log 6  log  x log 6 6 6 32 log 6 0.7269 x   0.944  x  0.944 log 6 0.77

log

299 95

 3  5 x  5 x  6 

e

5log 2  log 6  x log 2

Ejemplo 3; resuelve la siguiente ecuación x

1

 2 y  ex 

 5  x  log 2  log 6

5x  1  102  5 x  1  100  x  3 x 3 5 x  1  100 x  300 5 x  100 x  300  1 95 x  299 

e x  e x 2

2e x y  e 2 x  1  e 2 x  2 ye x  1  0 si

c

x

y2  6 y 1  0 

cqd

 a rc  u c c

utilizando un cambio de variable, si 5 x  y


 

por 5 x

 6 5x  1  0

1 3 log5  x  2   3log5 2  log5  x  2  2 2 log5  x  2  2  log5 23  log5  x  2  1

3

2

Página 40


log5  x  2  2  log5 1

 x  2

1

2



8

 x  2

 x  2 2  8 x  22 2



3

8

 x  2 

2

3




3x  4  213 x

2

x4

 x  2  x  2

 x  2  

1

2

3

2

8

8  x  2 8

 x  2  2.82

x1  4.82

x2  0.82

13 x

ln  3  ln  2   x  4  ln  3  1  3x  ln  2  x ln  3  4ln 3  ln 2  3 x ln 2 x ln  3  3 x ln 2  ln 2  ln 34

x  ln  3  3ln 2   ln 2  ln 81 ln 2  ln 81


x

2log3  x  3  log3  x  1  3log3 2

x  1.16

log3  x  3  log3  x  1  log3 23 2

 x  32  log 8 3  x  1  x  3 2  8  x  3 2  8 x  1      x  1

log3

x2  6 x  9  8x  8  x2  2 x  1  0  x  1 x  1  0  x  1 Ejemplo 9; resuelve la siguiente ecuación

log x  1  log  x  3 log x  log  x  3  1 log x  x  3  1  x  x  3  10 x  3x  10  0  2

x5

 x  5 x  2   0

como x  2  x

0 no es solución


ln 24

3.705 3.17




1   9 1   9

x2

x2

1    81 

x

9

  1 2      9    

x

x 2 2 x

1 1     9 9 x  2  2 x  1 x  2  2x 1 

1   9

1

1



x2



2

  2 x  1

2

x  2  4x2  4x  1  4 x2  5x  1  0 b  b 2  4ac 5  25  16 5  41 5  6.4    2a 8 8 8 x1  1.425 y x2  0.175

x


122 x 1  5 x 2 x 1

 ln 3  ln 23 

ln  2 81



ln 12   ln  5   2 x  1 ln 12   x ln  5 2 x ln 12   ln12  x ln 5  0 x

x ln 12   ln12  x ln 5  0 x  ln144  ln 5    ln12  ln12 2.4849 2.4849 x    ln144  ln 5 4.9698  1  609 3.3608 2

x  0.7392


7 x 3

4 3 9     3  4  16 7 x 3 1 2 4 4 3       3 3 4 4   3

7 x 3

4   3

1

4   3

2

4    3

7 x  2  2  7 x  4 

7 x2

x

4   3

2

4 7

Página 41



10 10

x 3

 5   e4

x 3

4

e 5



x 3

ln10

x3 


 ln10

x 3

 ln

 ln e 4  ln 5 

4  ln 5  ln10



e 5

utilizando un cambio de variable como log5 x  z

x  3 ln10  4ln e  ln 5

x3

2

 log5 x 2  8log5 x  7  0

4



2

 4  ln 5     ln10 

2

2

 4  ln 5   2.3905  2 x3     1.0382   1.0778  ln10   2.3025  x  1.0778  3  x  1.9221

z 2  8 z  7  0   z  7  z  1  0 z  7 y z  1 sustituyendo en log 5 x  z log5 x  7 

x  57

log5 x  1 

x  51

Ejemplo 18; resuelve la siguiente ecuación Ejemplo 15; resuelve la siguiente ecuación

93 x 1  27   10

log x 1 2  4log16 2  3

2

32  33  3 x 1

2

 10 

1

32  33  3 x 1

2

 10

 323x 1  36  10   36 x  2  6  10  36 x 8  10  ln  36 x 8  ln10  6 x  8 ln 3  ln10  6 x ln 3  8ln 3  ln10 6 x ln 3  ln10  8ln 3 ln10  8ln 3 2.3025  8.7888 6.4863 x    0.984 6ln 3 6.5916 6.5916 x  0.984 Ejemplo 16; resuelve la siguiente ecuación 3x  2

 16     20 

 e x 1

3x  2

 16  ln    20 

 ln e x 1

16  3x  2  ln   x  1 ln e 20 4 4 4  3x  2  ln  x  1  3x ln  2ln  x  1 5 5 5 4 4 4 16   3x ln  x  1  2ln  x  3ln  1  1  ln 5 5 5  25  16  1  ln 25  1  ln  0.64   1  0.446  1.446 x 4  3ln  0.8   1 1.6694 1.6694   3ln  1 5   x  0.8662


log x 1 2  log16  2   3  log x 1 2  log16 16   3 log x 1 2  1  3  log x 1 2  4 4

 x  14  2



4

 x  14  4 2

x  1  1.18  x  1.18  1 

x  0.18


log3  3 x   log3 x  log3  4  x  log3  3 x   log3 x  4  x 

3x  4 x  x 2

 x2  x  0

x  x  1  0 x1  0

y

x2  1 pero como x

0 

x 1 Ejemplo 20; resuelve la siguiente ecuación

log 4  x  1  2  log 4  3 x  2  log 4  x  1  log 4  3 x  2   2

 x  1  2  3x  2   x  1  42   x  1  16  3x  2   3x  2   x  1  16  3x  2   x  1  48 x  32 log 4

1  32  48 x  x  33  47 x x

33 47

Página 42


Ejemplo 24; resuelve la siguiente ecuación Ejemplo 21; resuelve la siguiente ecuación

3log 2  x  1  log x  2   x  2   0  como log a a  1 3log 2  x  1  1  0 log 2  x  1  1  3

 x  13  3 2

4x 

 x  13  21  2

3

3 4x

8 

 

42 x  3  8 4 x

 x  1  1.2599

x  1.2599  1 

 

4 x  3 4 x  8 42 x  3 4x 

8

 4x   8  4x   3  0 2

utilizando un cambio de variable 4 x  z

x  0.2599

z 2  8z  3  0 Ejemplo 22; resuelve la siguiente ecuación

b  b 2  4ac 8  64  12 8  76 8  4 19     2a 2 2 2

2log x  4   3  log x  4   2   2

z

log x  4   3  log x  4   2   2

z  4  19



sólo para z

0

2

log x  4 

 3

2

2

2 



 x  4 2 

9 2



2

b  b 2  4ac 16  256  184 16  72 x   2a 4 4 16  36  2  16  6 2 3 x   4  2 4 4 2 3 x  4  2  x1  1.8787 x2  6.1213 2

x log 4  x log 5   log 5  3log 4 2

    log 52  log 43  log  25  64  log1600 x   x  log16  log 5    log 52  log 43

3.2041 x  6.3434  0.5051



 

2 x  6 2 x  6 2x 

5

6 2x

6 

 

22 x  6  6 2 x

z

log 42 x  3  log 5 x  2  2 x  3 log 4   x  2  log 5 2 x log 4  3log 4  x log 5  2log 5

log 16

x  1.5317

22 x  6 2x 

6

 2x 

2

 

 6 2x  6  0

z2  6z  6  0

 aplicando log

 log16  log 5

ln 8.3588 2.1233  ln 4 1.3862

utilizando un cambio de variable 2 x  z


2

z2  0.3588

4 x  8.3588  aplicando ln

x ln 4  ln 8.3588  x 

2 x 2  16 x  32  9  2 x 2  16 x  23  0

42 x  3  5 x  2

y

ln4 x  ln 8.3588

2  x  4   9  2 x  8 x  16  9 2

z1  8.3588

log  3.2 

b  b 2  4ac 6  36  24 6  60 6  4 15     2a 2 2 2

z  3  15



sólo para z

0

z1  6.8729

y

z2  0.8729

2 x  6.8729  aplicando ln

ln2 x  ln 6.8729 x ln 2  ln 6.8729  x 

ln 6.8729 1.9275  ln 2 0.6931

x  2.78

x  6.3434

Página 43



 

5 x  125 5 x  30 5x 

125 5

x

TRIGONOMETRÍA 2.0 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

 30  por 5 x

 

52 x  125  30 5 x

5x 



2

 

 30 5 x  125  0

utilizando un cambio de variable 5x  z

 z  25 z  5  0

z 2  30 z  125  0  z1  25

Las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las razones que existen entre sus lados, si consideramos el ángulo 0    90 y además tenemos un triángulo rectángulo cualesquiera como en la siguiente figura;

z2  5

y

ln5 x  ln 25  x ln 5  ln 25 x

ln 25 2 ln 5  2  ln 5 ln 5

x2

ln5 x  ln 5  x ln 5  ln 5 ln 5 x  x 1 ln 5

DEFINICIÓN:


3 3



x2

2

1   9  3

x  2 2

3

3

x2 2

  2 2

 3 x 1



x2 2

2 x 1

ii )

ii )

iii )

3

iv)

2

x  2  4 x  2  4  4  x  1

v)

4 x  2  4 x  4  x  2  4   4 x  2  3 x  2

 4



x2

2

  3x  2 

2

 16  x  2   9 x 2  12 x  4

16 x  32  9 x 2  12 x  4  9 x 2  28 x  28

a c b cos   c a tan   b c csc   a c sec   b b cot   a

i ) sen 

x 1

2 x 1

b c a cos   c b tan   a c csc   b c sec   a a cot   b

i ) sen 

vi )

iii ) iv ) v) vi )

Gráficas:

28  784  1008 28  42.33  18 18 x1  3.9 y x2  0.796

x


164 x  2  2 

4x

 32

4 4 x  2 2   2 4 x  25

216 x 8  2 

4x

 25

220 x 8  25  20 x  8  5 20 x  5  8 

x

3 20


Página 44


2.1

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

i) sen2   cos2   1 ii) 1  tan 2   sec2  iii) 1  cot 2   csc2  Demostración: b 2  a 2  c 2  dividiendo por c 2

b2  a 2 c2



c2 c2

2

b2



c2

a2



c2

1

2

b a b a       1 pero como sen  , cos   c c c c sen 2   cos 2   1 sen 2   cos 2   1  dividiendo por cos 2  sen 2  cos  2



cos 2  cos 

a 1  c c a

 cos  

cos  

1 sec 

a c

 cos  

1 1  c sec  a

b b c sen sen tan      tan   a a cos  cos  c a a c cos  cos  cot      cot   b b sen sen c cos  1 1 1 cot      cot   sen sen tan  tan  cos 


1 cos  2



tan 2   1  sec 2 

sen   cos   1  dividiendo por sen 2  2

Además si b 1 b 1 1   sen   sen   c c c c csc  b b 1 sen  csc 



2

sen 2  sen  2

2



cos 2  sen  2



1 sen  2



1  cot 2    csc2 

2.2 TEOREMA DE PITAGÓRICAS En todo triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

c 2  a 2  b2

Ejemplo 1; escriba la cot  en función de sen

si cot  

cos  sen

cos   1  sen 2

y como cos 2   sen 2  1 

cot  

1  sen 2 sen

Ejemplo 2; escriba la csc  en función de cos 

si csc  

1 sen

sen  1  cos 2 

y como cos 2   sen 2  1 

csc  

1 1  cos 2  Página 45


Ejemplo 3; encuentra las elementos restantes del triángulo Ejemplo 6; encuentra las elementos restantes del triángulo

b  10.5  tan 34  b  b  7.1 10.5 para encontrar el valor de c se puede utilizar 10.5 10.5 cos 34   c cos 34  10.5  c  c cos 34 c  12.7 como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° entonces   34  90  180 tan 34 

  180  34  90 

  56

Ejemplo 4; encuentra las elementos restantes del triángulo

35   c  sen  4210   35 c 35 35 c   c  52.13  sen  4210  0.671 sen  4210  

c2  a 2  b2

 b  c2  a2 

b  1492.53 

 52.132   352

b  38.63

además   90   4210  

  4750

Ejercicios: encuentre los elementos restantes de los siguientes triángulos

si sen  351'  b  42.9

b  74.5

 74.5 sen  351'  b a 74.5 a  60.9 además

 cos  351'  

 74.5 sen  351'  a   180°  90  3510

 

  545024

Ejemplo 5; encuentra las elementos restantes del triángulo

como c  a 2  b 2 

 350 2  1252

 122500  15625  138125  c  371.65 125  125  tan      tan 1      19.653 350  350    180  90  19.653     70.347  702049


3

  6420

a  20.5

4

  1740

a  4.5

5

  3110

a  510

6

a  25

b  45

7

a  31

b  40

8

c  5.8

b  2.1

9

c  39.4

b  18

10 c  239

  3830

11 c  1230

  4215

12 c  57.45

a  15.43

13 c  73.54

  2730

14 a  324.43

b  456.6

15 c  24.3

a  13.5

Página 46


Ejemplo 7; encuentra el valor de x, y en la siguiente figura

Ejemplo 10; Demostrar la siguiente identidad

senx  cos x 1 1 senx tan x sens cos x 1 1   1  cot x pero cot x   1 senx senx tan x tan x

de la figura se observa que 2 y  36  20 16 y  y  8  utilizando el teorema de 2 pitagágoras x 2  y 2  17 

2

x  289  64  225 

 x


17 2  y 2

x  15

Ejemplo 8; encuentra la altura de un triángulo isósceles si la base mide 60 cm y sus lados 50 cm, y el ángulo de inclinación de sus lados

senx cos x 1 1   1 como csc x  y sec x  csc x sec x senx cos x senx cos x   1  sen2 x  cos 2 x  1 1 1 1 senx cos x Ejemplo 12; Demostrar la siguiente identidad

sec x  senx tan x  cot x 1 1 cos x senx cos x cos x   senx cos x sen 2 x  cos 2 x cos x sen 2 x  cos 2 x  cos x senx cos xsenx

Utilizando el teorema de pitagoras se tiene

 50 2  h2   30 2

 h

 50 2   30 2

h  2500  900  1600  h  40 h 40 sen    0.8    sen 1  0.8  50 50   53748





1

Ejemplo 9; encuentra el valor de x, y en la siguiente figura y el ángulo  , 

 senx Ejemplo 13; Demostrar la siguiente identidad

1  senx   cos x

utilizando el teorema de pitágoras x 2   20    50  x  2

x 2  400  2500  100x  x 2  100 x  400  2500 2900 100 x  2900  x   x  29 100 20 sen   0.6895    sen 1  0.6895  29

  433525 además y 2   30   x 2 2

y  900  841  1741 

y  41.725

como

x 29   0.9666    tan 1  0.9666  30 30   441 44

tan  

2

cos x 1  senx 

1  senx   1  senx   1  sen2 x cos x 1  senx  cos x 1  senx  como cos 2 x  sen 2 x  1  cos 2 x  1  sen 2 x cos 2 x cos x  cos x 1  senx  1  senx Ejemplo 14; Demostrar la siguiente identidad

1  sec x  tan x sec x  tan x 1 sec x  tan x sec x  tan x   sec x  tan x sec x  tan x sec2 x  tan 2 x como 1  tan 2 x  sec2 x  sec2 x  tan 2 x  1 sec x  tan x  sec x  tan x sec2 x  tan 2 x 1


Página 47



tan x  senx


1  cos x 1  cos x  1  cos x senx

sec x 1  cos x sen x senx senx  senx cos x  senx senx  senx cos x cos x cos x   sen3 x sen3 x cos xsen3 x senx 1  cos  1  cos   1  cos   3 cos xsen x cos xsen 2 x cos x 1  cos 2 x 3





1  cos  1  cos x 1  cos x  1  cos x  cos x 1  cos x 

1  cos x 2



1  cos 2 x

1  cos x senx

senx 1  cos x   2csc x 1  cos x senx 2 senx 1  cos x sen x  1  cos x    1  cos x senx senx 1  cos x 


2

1

1  tan 2 x

1  tan x 2 1  tan x 1  tan 2 x 1 tan 2 x    1  tan 2 x sec2 x sec2 x sec2 x 2 sen x cos 2 x 



1  cos 2 x


1  1 1 sec x       sec x   cos x  1  cos x   1  cos x  1  cos x

1  2sen 2 x 

1  cos x 2

1  cos x  1  cos x    1  cos x  1  cos x 

2

cos 2 x  cos 2 x  sen 2 x 1



sen x  1  2cos x  cos x 1  2cos x  cos x  sen 2 x  senx 1  cos x  senx 1  cos x 



2 1  cos x  2  2cos x 2    2csc x senx 1  cos x  senx 1  cos x  senx

2

2

2


2

cos x 1  sen 2 x  sen 2 x  1  2sen 2 x Ejemplo 17; Demostrar la siguiente identidad

csc x  cos x tan x  cot x 1 1 cos x senx senx senx   senx cos x sen 2 x  cos 2 x senx sen 2 x  cos 2 x  cos x senx cos xsenx



 cos x



1

cos x senx   cos x  senx 1  tan x 1  cot x cos x senx cos x senx    senx cos x cos x  senx senx  cos x 1 1 cos x senx cos x senx 2 2 cos x sen x    cos x  senx senx  cos x cos 2 x sen 2 x cos 2 x  sen 2 x    cos x  senx cos x  senx cos x  senx cos x  senx  cos x  senx    cos x  senx cos x  senx







senx  sec x  cos x cot x 1 1  cos 2 x sen2 x sec x  cos x   cos x   cos x cos x cos x 2 sen x  senx   1  senx  senx    senx tan x  senx   cos x  cos x   cot x  cot x

1  csc x  cot x csc x  cot x 1 csc x  cot x csc x  cot x   csc x  cot x csc x  cot x csc 2 x  cot 2 x


1

csc x  cot x

Página 48


2.3 SUMA DE DOS ÁNGULOS

cos     

Observemos la siguiente figura que tiene los ángulos  ,  .

cos   sen  cos   sen 

Observemos del triángulo AP

sen     

AP  BC  DP 

PC OC OP PC OP

cos     

sen     

cos   cos   sen 

BC OC DP

OP

 OC  OP cos   PC  OPsen

OB  CD

BC  DP

ec. 3

OP

OP =



en cos     

OP cos  cos   OPsen sen OP

OP  cos  cos   sen sen  OP

 DP  PC cos 

tan  a  b  

 OC  OP cos   PC  OPsen en sen     

sustituyendo en la ecuación BC  DP



OP =



BC  DP OP

OCsen  PC cos 

OP además como OC  OP cos  OCsen  PC cos 

OP

OP y PC  OPsen

cos      cos  cos   sen sen

sen     

OB  CD

OC cos   PCsen

 BC  OCsen

PC OC OP PC

 CD  PCsen

OC cos   PCsen

del  OCB tenemos sen 

 OB  OC cos 

 OP además como OC  OP cos 

ec. 2 además tenemos

OP

OC DC

del  OCB tenemos

OP

sustituyendo en la ecuación

que;

ec.1

OP OA

cos     

 OPA

OB

OB  CD

OP y PC  OPsen

OP cos  sen  OPsen cos 

sen  a  b 

cos  a  b 



sena cos b  senb cos a cos a cos b  senasenb

sena cos b senb cos a  tan a  tan b cos a cos b cos a cos b   cos a cos b senasenb 1  tan a tan b  cos a cos b cos a cos b Definición: sean  ,  dos ángulos agudos entonces; sen      sen cos   sen cos  cos      cos  cos  tan  a  b  

sen sen

tan a  tan b 1 tan a tan b

OP

OP  sen cos   sen cos   OP

sen      sen cos   sen cos 

cos     

OA OP



OB  AB OP




OB  CD OP

Página 49


2.3.1 ÁNGULOS NOTABLES Observando el siguiente triángulo equilátero tenemos que: h 

 2

12  1

2



3 3  4 2

Además del isósceles

a  12  12  2

sen30  cos 30  tan 30 

1 2

3

2 sen 45  2

1 4

sen 180     sen

cos  90     sen

cos 180      cos 

tan  90     cot 

tan 180      tan 

cot  90     tan 

cot 180      cot 

sec  90     csc 

sec 180      sec 

csc  90     sec 

csc 180     csc 

sen 180      sen

sen  360      sen

cos 180      cos 

cos  360     cos 

tan 180     tan 

tan  360      tan 

cot 180     cot 

cot  360      cot 

sec 180      sec 

sec  360     sec 

csc 180      csc 

csc  360      csc 

sen      sen

cot      cot 

cos     cos 

sec     sec 

tan      tan 

csc      csc 

3 2 1 cos 60  2

Ejemplo 1; Demostrar que sen  90     cos 

tan 60  3

sen  90     cos 

sen60 

3 2 1

1

sen  90     cos 

0

1

2 cos45°= 2

tan 45  1

 sen90cos   sen cos90  cos  Ejemplo 2; Demostrar que cos 180      cos 

cos 180      cos  0

1

 cos180cos   sen180cos    cos  Ejemplo 3; Demostrar que tan  90     cot 

tan  90    

sen  90   

cos  90   

 0

1

sen90cos   sen cos 90 cos     cot  cos 90cos   sen90 sen sen 0

1

Ejemplo 4; Demostrar que sec 180      sec 

sec 180     

1 1    sec  cos180cos   sen sen180  cos  1


1  cos 180   

0

Página 50


Ejemplo 5; Demostrar que

2.3.2 ÁNGULO DOBLE

sen  x  y  sen  x  y   cos 2 y  cos 2 x

 senx cos y  seny cos x  senx cos y  seny cos x  

sen 2  2 sen cos 

 sen 2 x cos 2 y  senxseny cos y cos x  senysenx cos x cos y 

cos 2  cos 2   sen 2 2 tan  tan 2  1  tan 2 

 sen 2 y cos 2 x  sen 2 x cos 2 y  sen 2 y cos 2 x  como

sen 2 y  1  cos 2 y

   sen 2 x cos 2 y   cos 2 x  cos 2 y cos 2 x 

cot 2 

 sen 2 x cos 2 y  1  cos 2 y cos 2 x

sea

sen2  sen    

 sen cos   sen cos   2sen cos 

 sen 2 x cos 2 y  cos 2 x  cos 2 y cos 2 x



cot 2   1 2 cot 

sea



 cos 2 y sen 2 x  cos 2 x  cos 2 x  cos 2 y  cos 2 x

cos2  cos    

 cos  cos   sen sen  cos 2   sen2

1

Ejercicios; simplificar las siguientes expresiones 1 cos  x  y  senx  sen  x  y  cos x

sol : 2

 senx  cos y 2   cos x  cos y 2  2 cos  x  y  sol.

3

Ejemplo 7; Demostrar que sen  a  b  cos a  cos  a  b  sena

 sena cos b  senb cos a  cos a   cos a cos b  senasenb  sena   sena cos b cos a  senb cos 2 a  cos a cos bsena  sen 2 asenb   senb cos 2 a  sen 2 asenb



cos 2 a

sol. 4

 senx  cos y 2   cos x  cos y 2  2 cos  x  y 

Demostrar las siguientes identidades:

2



3 sen  x  y  sen  x  y   cos 2 y  cos 2 x 4 cos  a  b  cos  a  b   cos 2 a  cos 2 b  1 5 sen  45  x   sen  45  x   2senx 6 cos  30  x   cos  30  x    senx 7

sen      sen      tan  cos      cos    

8

sen      sen      cot  tan  cos      cos    

9

cos      cos       tan  tan  cos      cos    

10



1 2 cos 2   1 2 3 cos  x  30  sen  x  30    senx cos x 4

1 cos   45  sen   45  

cos      cos       tan  sen      sen    




 senb cos 2 a  sen 2 a  senb cos 2a

 senx  seny 2  2senxseny


tan xsen2 x  2 sen 2 x senx  2senx cos x   2sen2 x cos x Ejemplo 9; Demostrar que 2  sen2a cot a  tan a 2 2 2sena cos a   cos a sena cos 2 a  sen 2 a cos 2 a  sen 2 a  sena cos a 1 sena cos a

 sen2a Ejercicios; Demostrar las siguientes identidades sen2 x 1 cos 2 x  cos 4 x  sen4 x 2  tan x 1  cos 2 x 2 1  cos 2 x 3  sen2 x 4  sen2 x cot x  tan x cot x sen2 x 5 csc 2 x   cot 2 x 1  cos 2 x cos 2 x 1  tan x 6  1  sen2 x 1  tan x

Página 51


2.3.3

MITAD DE UN ÁNGULO

cos sen tan



1  cos  2



2

 2

 2

tan



1  cos  2



1  cos  1  cos 

Recordando que cos 2   sen2   1  si   2

 2 2 cos 2  sen 2  1     cos 2  sen 2  cos 2 2 2 2 

 2   sen 2  1 cos 2 2    2 2 cos  sen  cos   2 2



 1  cos 

2

 Resolviendo el sistema



4 Ejemplo 10; si senx  5

cos

 2



a) como sen2 x  2senx cos x además cos x  4 sen2 x  2senx 1  sen 2 x  2   5 =

8 5

1

b) como sen

4 1   5

x 2

1  sen x 2

2

1

1 7

4  4

3 2 2 csc x  3 4 senx  5

3 cos x 

8 cot x  3

4

9 senx 

5

1 1  7 7

10

13 cos x  

1 5 2 cos x  5

3 5

8 15 2 cos x   5

14 tan x  15

2.3.4 TRANSFORMACIÓN DE SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS    sumando 

sen      sen      2sen cos  A   y B      A  2  A  B     B si





   A      B

A B 2 A B  2



 2  A  B 

16 8 9 8  3  24     25 5 25 5  5  25 x  2

1  cos x 2

donde cos x 

1  sen 2 x

3 2 2 1 x 2 4 3 5 5 cos x  1        sen    2 2 2 10 5 5 4 x Ejemplo 11; si sec x  encontrar a) cos 2 x b) tan 3 2 4 3 2 si sec x   cos x   senx  1  cos x 3 4

senx 

1 3 1  cos x 4   1  cos x 1 3 4

sen      sen cos   sen cos  sen      sen cos   sen cos 

1  cos  2

encontrar a) sen2 x b) cos

x  2

Ejercicios; Encontrar x x a) sen b) cos 2x c) tan 2x d ) cos e ) sen 2x 2 2 7 4 1 tan x  3 6 senx  11 sec x  15 5 3 1 3 2 senx  7 senx  12 cot x  5 2 4

cos 2   sen 2   cos 2 

y

cos 2   sen 2   1  2 2 cos   sen   cos 2 

2cos 2

2 1 3  7  9 7 cos 2 x          4 4 16 16 8    

9 7 7   16 16 4


cos 2 x  cos 2 x  sen2 x

senA  senB  2sen

 A  B  cos  A  B  2

2

2

2

 A  B  cos  A  B  senA  senB  2sen  A  B  cos  A  B  cos A  cos B  2 cos 2

2

 A  B  sen  A  B  cos A  cos B  2sen 2 sen  A  B  tan A  tan B  cos A cos B sen  A  B  tan A  tan B  cos A cos B

2

Página 52




cos 5 x  cos x  2cos 3x cos 2 x

tan 30  tan 60 

 A B   A B  como cos A  cos B  2cos   cos    2   2   5x  x   5x  x   2cos   cos cos    2   2   2cos 3x cos 2 x Ejemplo 13; Demostrar la siguiente identidad

sen105  sen15 

6 2

 A B   A B  como senA  senB  2sen   cos    2   2   105  15   105  15   2sen   cos   2 2      120   90   2sen   cos   2    2  3 2  2sen  60  cos  45   2   2  2  

6 2

4 3 3

como tan A  tan B 

cos A cos B sen90    cos 30 cos 60 cos 30 cos 60 sen  30  60 



4

3

3 3



31   2 2



1 3 4


cos 60  sen60   2sen15  A B   A B  como cos A  cos B  2sen   sen    2   2  además sen60°  cos30  por ángulos notables cos 60  sen60  cos 60  cos30  60  30   60  30   2sen   sen   2 2      90   30   2sen   sen    2   2   2sen  45  sen 15    2

2 sen 15  2

  2sen15

sen30  cos 30  2 cos15  A B   A B  como senA  senB  2sen   cos    2   2  además cos30°  sen60  por ángulos notables sen30  cos 30  sen30  sen60   30  60   30  60   2sen   cos   2 2      90   30   2sen   cos    2   2   2sen  45  cos  15   como cos  15   cos15 2 cos 15   2

1

4 4 3


 2sen  45  cos 15   2

sen  A  B 

2 cos15

Ejercicios; Demuestra las siguientes identidades

4 3 3 sen60  cos 60  2 cos15

1 tan 30  tan 60  2

3 cos 30  sen30  2 sen15

4 sen30  cos 30  2 cos15

5 cos 60  sen60   2sen15 cos 50  cos 40 6  2 cos 25  cos 35 sen35  sen 25 3 7  cos 50  cos 40 2 8 cos 40  cos 20  3 cos10 9 cos10  cos 70  sen 40

10 cos 50  cos 40   2 sen15 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 53




11 tan 50  tan 25  tan 25 sec50 12 sen35  sen25  3sen5 13 14

0.41sen x  0.0529sen x  0.0529 2

2 tan 45  tan15  sec15 2 tan 20  tan 50  sec50

0.0529  0.1142 0.4629 sen 2 x  0.1142  senx  0.1142 senx  0.3379

La ecuaciones trigonométricas son aquellas en las cuales la incógnita aparece como ángulo de funciones trigonométricas. Además si recordamos que los valores de las funciones trigonométricas son iguales en un número exacto de revoluciones, entonces a la solución es necesario sumarles un múltiplo cualesquiera de 360° es decir n  360  Ejemplo 1; resolver la siguiente ecuación

como sen 2 x  1  cos 2 x





3  3cos x  2 1  cos 2 x  0

x  sen 1  0.3379   x  19.748  x  194456 x  194456  n360

Ejemplo 3; resolver la siguiente ecuación

  tan x  tan   2 x  2  

  4x    4x  tan x  tan    x 2  2  2x    4x  2x  4x    6x   x

 6

3  3cos x  2  2cos x  0 2

2cos 2 x  3cos x  1  0

si

2

0.4629sen 2 x  0.0529  sen 2 x 

2.4 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

3  3cos x  2 sen 2 x



0.41sen2 x  0.0529 1  sen 2 x  0.0529  0.0529sen 2 x



x  30  n360

z  cos x

2 z  3z  1  0 2

z

b  b  4ac  2a 2

3  9  4  2 1 2  2




2 1 1 z1     z2  1 cos x1   4 2 2  1 x1  cos 1     x1  120  n360  2 x2  cos 1  1 

x2  180  n360


cos  40  x   cos x

3  1 3  1  4 4 y cos x2  1

cos x  2 senx  2 1  sen 2 x  2  2 senx  1  sen 2 x   2  2 senx  1  sen 2 x  4  8senx  4 sen 2 x 1  sen 2 x  4 sen 2 x  8senx  4  0 5sen 2 x  8senx  3  0  si senx  z 5 z 2  8 z  3  0  z  8  64  4  5  3

z

0.64senx  0.23cos x  0.23 1  sen 2 x

x2  90  n360 |


z1 

3 5

b  b 2  4ac 2a

8  64  60 8  2  10 10 10 3 3 z2  1  senx1   x1  sen 1   5 5

cos      cos  cos   sen sen cos 40 cos x  sen40senx  cos x cos x  cos 40  1  sen40senx  0 cos x  0.766  1  sen40senx  0 0.23cos x  0.64senx  0

 0.64senx 2   0.232 1  sen2 x 

2

x1  365211  n360



senx2  1

 x2  sen 11

Página 54


Ejercicios; resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas


tg x  3  2sec x 2

como 1  tg x  sec x

2

2



tg 2 x  3  2 1  tg 2 x



tg x  3  2  2tg x 2

2

 tg x  2tg x  2  3

2

2

2

tg x  1  tg x  1 entoces tg  x   1 2

2

1

1  45, 225  n360 x2  tg 1  1  135,315  n360 x1  tg

como senx 

 cos x 2  



 3  1  cos2 x      

cos 2 x  3 1  cos2 x



2

1  cos2 x  elevando al cuadrado

 cos2 x  3  3cos2 x

cos 2 x  3cos 2 x  3  4cos2 x  3  cos2 x  cos x 

3 3  4 2

2 3cos 2 x  5senx 

3 cot x  senx

4

5 2tg 2 x  sec2 x  2

6 sen 2 x  senx  2  0

7  3cos 2 x  sen 2 x

8 csc x  cot x  3

9 2sen 2 x  3 cos x  1  0

10 2cos 2 x  3  0

11

12 2 senx  1  senx

 4cos2 x  3  csc x  2

13 cos x  senx  1

14 sec5 x  4sec x

15 sen2 x  sent  0

16 cos x  sen 2 x  0

17  cos x  cos 2 x  0

18 cos 2 x  tan x  1

x x 19 sen  cos x  1 20 2  cos 2 x  4sen 2 2 2 21 2tgx csc x  2csc x  tgx  1  0


cos x  3senx

1 4 senx  2senx cos x  0

1 4cos x  3sec x  0

3 4

 3  x  cos1    30,330  n360  2 

22 2 senx csc x  csc x  4 senx  2 23

 2senx  1 2cos x  3

0

2.5 RESOLUCIÓN GENERAL DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Para resolver cualquier triangulo oblicuángulo se puede utilizar cualquiera de las siguientes leyes.   

Ley de los senos Ley de los Cosenos


2cos x  cot x  2cos x  2cos xsenx  cos x 2 cos x

2.5.1 LEY DE LOS SENOS

cos x senx

como senx 

1  cos x 2

1  cos2 x  cos x 2

2

1 2 1  cos 2 x  1   1  cos 2 x       2 1 1 3 1  cos 2 x    cos 2 x   1    4 4 4  3 3 3 cos 2 x   cos x   x  cos1   4 2  2 

En todo triángulo oblicuángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos a cada vértice. a b c   senA senB senC Sea  A, C , B

x  30,330  n360


Página 55


CD  CD  bsenA b CD En  BCD  senB   CD  asenB a de las ecuaciones anteriore tenemos que En 

ACD  senA 

bsenA  asenB 

b a  senB senA

ec 1

AE En  ACE  senC   AE  bsenC b AE En  ABE  senB   AE  csenB c de las ecuaciones anteriore tenemos que b c  senB senC De las ecuaciones 2 y 3 se obtiene

bsenC  csenB 

 CD  asenB

CD  senA  b entonces asenB  bsenA

a b  senA senB AE  AE  bsenC b AE En  AEB  senB   AE  csenB c b c bsenC  csenB   senB senC En 

AEC  senC 

a 2  b2  c 2  2bc cos A b2  a 2  c 2  2ac cos B c 2  a 2  b 2  2ab cos C

Observemos el triángulo  ACB por el teorema de Pitágoras tenemos x 2  h 2  a 2    restando las ecuaciones y 2  h 2  b 2  x2  y 2  a 2  b2  x  y  x  y   a 2  b2 como  x  y   c ec 1

En  CDA  sen 180  A   CD  bsenA

El cuadrado de cada lado de un triángulo es siempre igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman esto es:

ec 2

a b c   senA senB senC

CD En  CDA  senB  a

2.5.2 LEY DE LOS COSENOS

a 2  b2 ec 2 c resolviendo las ecuaciones 1 y 2 simultaneamente a 2  b 2  x y  c   sumando las dos ecuaciones  x y c  a 2  b2 a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2 2x  c   x c c 2c x pero del  DCB se tiene cos B  a 2 a  b2  c2 x  a cos B entonces a cos B  2c 2 2 2 a b c cos B  de donde 2ac

c  x  y   a 2  b2 

x  y 

b 2  a 2  c 2  2ac cos B


Página 56


a 2  b 2  c   restando las dos ecuaciones  x y c  2 2 a b a 2  b2  c2 b2  c2  a 2 2 y  c   y c c 2c y pero del  ADC se tiene cos A  b b2  c2  a 2 y  b cos A entonces b cos A  2c 2 2 2 b c a cos A  de donde 2bc x y 

Considerando el  ADB senB  sen 180     sen h  csenB

a 2  b 2  c 2  2bc cos A

cos C 

en consecuencia

a 2  b2  c2 2ab

2.5.3 SUPERFICIE DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Observemos el siguiente triángulo y donde la superficie total del triángulo es S  S1  S2

además S 

 senB 

h a  x

h c

y S2 

hx 2

2 Del  ADC  S1  S  S2 h  a  x  hx  csenB  a  x   csenB  x S1     2 2 2 2 csenB  a  x    csenB  x  csenB   a  x  x   S1   2 2 ca  senB  1 S1   S1  ac senB 2 2

En consecuencia tenemos que

1 S  ab senC 2 1 S  bc senA 2 1 S  ac senB 2

Ejemplo 1; a) encuentra los elementos que le faltan al triángulo b) encuentra la superficie del triángulo.

Recordemos que S1 

yh 2

y

S2 

xh 2

h  h  asenC a yh xh yasenC xasenC S  S1  S2     2 2 2 2 a  y  x  senC S pero del triángulo y  x  b 2 1 S   ab  senC 2

además se tiene que senC 

a) Recordando que a 2  b 2  c 2  2bc cos A b 2  c 2  a 2  28    40    34  cos A   2bc 2  28 40  784  1600  1156 1228 cos A    0.5482 2240 2240 A  cos 1  0.5482   A  564519 2

2

2

b 2  a 2  c 2  2ac cos B Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 57


a 2  c 2  b 2  34    40    28  cos B   2ac 2  34  40  1156  1600  784 1972   0.725 2  34  40  2720 2

B  cos 1  0.725 

2

2

B  4331 52

 34    28   40  a b c  2ab 2  34  28  1156  784  1600 340   0.1785 2  34  28  1904 cos C 

2

2

2


2

2

2

C  cos1  0.1785  C  794248 b) la superficie esta dada por

1 1 S  ab senC   34  28  sen  794248   476  0.9839  2 2 2 S  468.34 u

utilzando la ley de los senos tenemos 20 sen 110  45 20   sen  sen110° sen 45 20 sen   0.9396   sen  0.4176 45   sen 1  0.4176      24.6837   recordando que 180°  110    

  180  110   24.6837   

   45.31  además

x 2   20    45   2  20  45  cos  2


2

x 2  400  2025  1800 cos  45.31  x 2  400  2025  1800  0.7032   x 2  1159.24 x  1159.24  x  34.04 para encontrar la superficie utilizamos 1 S   20  45  sen  45.31   S  319.91 u 2 2

Utilizando la ley de los senos a c  pero C  180  A  B  6352 ' senA senC c 60 60 a senA  sen  8025 '    0.986  senC sen  6352 '  0.897 a  65.95 b a a 65.95   b senB  sen  3543'  senB senA senA sen  8025 ' 65.95 b  0.5837   b  39 0.986 b) para encontrar la superficie del triangulo 1 1 S  bcsenA   39  60  sen  8025 '  2 2 2 S  1153.64 u


cos  

 30 2   552   48 2 2  30  55 



900  3025  2304 3300

1621  0.4912    cos 1  0.4912  3300    60.579  

cos  

cos  

 482   552   30 2 2  48  55 



2304  3025  900 5280

4429  0.8388    cos 1  0.8388  5280    32.9836  

cos  


Página 58


cos  

 482   30 2   552 2  48  30 



11] Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos

2304  900  3025 2880

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

179  0.06215    cos 1  0.06215  2880    86.4366  

cos  

para encontrar la superficie utilizamos 1 S   48  30  sen  86.4366    720  0.998  2 S  718.56 u 2

A  4210 ' B  9536 ' A  55 C  42 A  10030 ' A  11020 ' B  39 a  4 cm a  24.5 cm a  9.4 m

B  5930 C  24 C  6137 ' a  3.6 cm B  2540 a  8.5 cm b  15 cm b  5 cm b  18.6 cm b  6.3 m

a  13.5 cm b  0.87 m a  63.32 cm c  3.125 cm c  45 cm c  4.5 cm a  8 cm c  6 cm c  25.2 cm c  7.1 m

12] Encuentra los valores que se indican en las siguientes figuras Ejercicios; Encuentra los elementos siguientes triángulos oblicuángulos.

faltantes

de

los

a  41  A  10110 1 b  19.5  sol.  B  2750 c  32.48 C  51 a  5.312  A  2340 2 b  10.913  sol.  B  5533 c  13 C  10047 a  78.6 b  50 3  A  8326  sol. c  66.6  B  3913 C  5721 a  1048 b  1136.5 4  A  6320  sol. c  767.6  B  7547 C  4053 a  32.45 c  33.19 5 b  27.28  sol.  A  646 C  6656  B  4858 a  40 b  50 6 c  24.86  sol.  A  524  B  986 C  2930 b  50 a  60 7   A  577  sol. c  70 C  7828  B  4425 b  31.5  B  7032 8  A  4825  sol. a  25 C  613 c  29.25 b  40 a  32.6 9  B  10337  sol. c  16.8 C  245  A  5218 a  33  A  39 10 b  51.47  sol.  B  79 c  46.25 C  62


Página 59


La ecuación para la línea recta que pasa por el punto  x1, y1  con pendiente m es:

y  y1  m  x  x1  La gráfica de la ecuación

y  mx  b

es una

recta que tiene pendiente m, y su intersección con el eje y es igual a b.

GEOMETRÍA ANALÍTICA 3.0

LÍNEA RECTA

Definición: si l es una recta no paralela al eje y, y además los puntos ( x1 , y1 ) , (x2 ,y2 )son dos puntos , cualesquiera de la recta entonces la pendiente de inclinación es: y y m 2 1 x2  x1

Teorema: la gráfica de toda ecuación lineal ax  by  c  0 es una recta, y por consiguiente toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. Definición: Ecuación general de la recta ax  by  c  0 Ejemplo 1; a) encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta, b) el ángulo de inclinación de la recta y su gráfica

2x  4 y  4   x 1 3 2 2  2x  4  3 y  4  x 1 6 4 x  8  3 y  12  6 x  6 3 y  6 x  6  4 x  8  12   3 y  2 x  10 2 10 y  x 3 3

3 y  2 x  10  2 m    0.66 3 y y observamos que 2 1  tan  x2  x1 m  tan 



  tan 1 m


como m entonces

b

10  3.3 3

0 entonces tan 180      tan 

  tan 1  0.66  

  3339'49''

  180  3339'49''    14620'10''

Página 60


Ejemplo 2; a) encuentra la ecuación de la recta que

pasa por los puntos 1,7  ,  3, 2  , b) el ángulo de inclinación de la recta y su grafica y y 72 5 como m  2 1   m x2  x1 1   3 4

Ejercicios ; a) Encuentra la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes ecuaciones b) bosqueja la gráfica de las rectas

x3 y 4  0 3 4

2

la ecuación la podemos obtener con el punto 1,7 

3 2  x  5   4  y  4 x 

4

5 y  y1  m  x  x1   y  7   x  1 4 4 y  28  5 x  5  4 y  5 x  23  0

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos, y bosqueja su grafica

4 y  5 x  23  5  

  tan 1    4

y

5 23 x  4 4

1

5

y

5 x  5.75 4

  5120'24''

6

x 1 y  4  10 5 y y 13   3 20 12

1 3  3,7  , con pendiente m  2

 5, 2  ,

con pendiente m 

7  pasa por los puntos  8, 3 ,  2, 5  8 pasa por los puntos  4, 1 ,  6,3 9 m  4 e intersecta al eje y en 7 10 m 

3 e intersecta al eje x en 5 4

3.1 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Ejemplo 3; a) encontrar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta, b) el ángulo de inclinación de la recta y su gráfica

Otra forma de encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es aplicar la condición de que tres puntos estén alineados ( colineales)

2x  1 y   4  2 x  1  5 y 5 4 8x  4  5 y  5 y  8x  4  0 5 y  8x  4  m

8 5

8 4 y  x 5 5

8    tan 1    5




b

4 5

  5759'40''

Página 61


y  y1 x2  y  x  x1 x2  x

Ejemplo 2; Encuentre la ecuación de la recta que pasa por

1 2

1 2

los puntos  ,   y  4,6 

 y  y1  x2  x    y2  y  x  x1  y  x2   y  x   y1  x2   y1  x    y2  x   y2  x1   y  x   y  x1  y  x2   y1  x2   y1  x   y2  x   y2  x1   y  x1  factorizando x, y tenenos x  y1  y2   y  x1  x2    x1 y2  x2 y1 

x y 1   1  1   x   2 1  1 6    y  2 1  1 4      1 1    1  2 2    1 6    1  4  4 6 1   2    2      1   1  x    6   y   4   3  2  0 2 2     13 9 x  y 1  0 2 2

recordando que un determinante de 3  3 es



x A  x1 x2

9 y  13x  2 

y 1 y1 1 y2 1

 x  y1  y2   y  x1  x2    x1 y2  x2 y1  entonces se puede utilizar un determinante de 3  3 para encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos si A  0

m 

13 9



9 13 y   x 1 2 2

y

tan   

13 2 x 9 9



b

2 9

13  13     tan 1    9  9

  5518'14''

   180  5518'14''

  12441'46''

Ejemplo 1; Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos  3, 4  y  2,1

x y 1  x  4 1  11   y  3 1  1 2   3 4 1   3 1  4  2   2 1 1   3x  5 y  11  0 3 m 5



3 11 y  x  5 5

1  3 

  tan    5

b

11 5

  3057 '49''

Ejemplo 3; Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos  1, 4  y  3,1

x y 1  x  4 1  1 3   y  11  1 3  1 4 1    11  4  3  3 1 1   x  4  1  y  1  3   1  12   0 3x  4 y  13  0 m 

3 4



tan   

3 13 13 y  x  b 4 4 4

3  3    tan 1    4  4

  3652'11''

   180  3652'11''

  1437 '48''


Página 62


sea A  a, o 

y B  0, b  entonces la ecuación que

pasa por los dos puntos es y0 b0    0  a  y  0    b  0  x  a  xa 0a ay  bx  ba  ay  bx  ba  dividiendo por ba a y b x ba   b a b a ba Ejemplo 4; Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos  0, 4  y  6, 6 

x y 1  x  4  6   y  6   1 24  0 4 1   10 x  6 y  24  0 6 6 1  10 24 5  y  x  y  x4  b4 6 6 3 5 5 m   tan 1      592'10'' 3 3

y x  1 b a



Nota: Para encontrar la ecuación simétrica de la recta primero se encuentra la ecuación general. Y después se obtienen las intersecciones de la recta con los ejes coordenados esto es si x  0 y y  0 Ejemplo 5; Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos  2,5  y  2, 3 en su forma general y

simétrica x y 1  x  5  3  y  2  2   1 6  10  2 5 1   8x  4 y  4  0  2 x  y  1  0 2 3 1 

 m2

y  2x  1

  tan

1



b 1

 2



  6326'5''

para encontrar la forma simétrica hacemos

3.2 ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMÉTRICA Es la ecuación que se presenta en función de los segmentos a, b, ( en magnitud y signo) y que se aplica solamente a las rectas de los ejes coordenados, es de la forma:

x y  1 a b

 1  A   ,0   2  y  1  B  0,1 entonces la

si

y0  x

si

x0 

1  2

ecuación simetrica es x y  1 1 1  2

Ejemplo 6; Encuentre la ecuación de la recta que pasa por

1 2

3 5

los puntos  ,   y  3, 2 


Página 63


 

 

 

 x  3  2  y 1  3  1 1  9 5 2 5 y 1   7 3 5 1 4  5 1   5 x  2 y  5  0 5 2  3 2 1  7 x  25 y  4  0 2 2 



sea AB, la ecuación de la recta en su forma simétrica es: x y   1 ec 1 a b d d del  AOP  cos    a 14 8 a cos  14 x  25 y  8  0 25 y  14 x  8  y   x  25 25 d d y  BOP  cos    b 8 14  14  b sen b m   tan 1       2914'55'' sustituyendo en la ecuación 1 tenemos que 25 25  25  x y x cos  ysen para encontrar la forma simétrica hacemos  1   1 d d d d 8 4  4  si y  0  x      A  , 0  cos  sen 14 7  7  cos   sen  d 8 8   si x  0  y    B  0,   entonces la Para encontrar la ecuación de la recta en su forma 25 25   normal a partir de la ecuación general: ecuación simetrica es Ax  By  C  0 y x cos   ysen  d  0 x y como éstas ecuaciones representan la misma linea  1 recta, entonces sus coeficientes deben ser proporcionales  4 7 8 25 cos  kA 1   elevando al cuadrado ambos lados sen  kB 2  x







d  kC

3

cos    kA  2

2

sen 2   kB 



3.3 ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA NORMAL La ecuación está dada en función de la distancia d que hay del origen a la recta y del ángulo  que forma el segmento de la distancia con la dirección positiva de las x



2

1  k 2 A2  B 2

  2 2 2 2 2   cos   sen   k A  B   1 1  k2  2  k 2 2 A B  A  B2





con A2  B 2  0 sustituyendo el valor de k en las ec A cos   2  A  B2 B sen  2  A  B2 C d   A2  B 2 Ejemplo 7; Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos  2, 3 y  1, 4  , a) en su forma general,

x cos   ysen   d


b) en su forma normal x y 1  x  3  4   y  2  1  1 8  3 2 3 1    7 x  3 y  5  0  7 x  3 y  5  0 1 4 1  Para encontrar la ecuación en su forma normal 7 x  3 y  5  0  Ax  By  C  0 A  7 B  3 C  5 Página 64


d

C  A2  B 2

cos   sen 

  5 



 7  2   32



A  A2  B 2 B



7



3

58



5  49  9



5 58



58  A2  B 2  7    cos 1      6648'42''  58  La forma normal es xcox  ysen  d

Si 1 y  2 son

los ángulos de inclinación de las

rectas, entonces el ángulo entre ellas es

x cos  6648'42''   ysen  6648'42''   0.6565

tan   tan  2  1   tan  

tan  2  tan 1 1  tan 1 tan  2

m2  m1 1  m2 m1

Ejemplo 8; encuentra la ecuación de la que pasa por el punto de intersección de las rectas

2 x  4 y  6

y

 x  y  1 y es perpendicular a la

recta 4 x  5 y  6

3.4 ECUACIÓN DE RECTAS PARALELAS O PERPENDICULARES



2 x  4 y  6  x  y  1

y2



2 x  4 y  6   2 y  4 2 x  2 y  2

 x 1 y 

x 1

como 4 x  5 y  6  5 y  4 x  6  además m2  

1 m1



m

5 4

recordando que

y  y1  m  x  x1  5 y  2   x  1  4 y  8  5 x  5  4

Dos rectas con pendientes

4 6 y x 5 5

4 y  5x  3  0

m1 y m2 son paralelas si

sólo si m1  m2 Dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si Esto es que

m1 m2   1

m1  

1 m2


ó

m2  

1 m1

Página 65


Ejemplo 9; encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

4x  3y  2

2 x  y  4 y es perpendicular a la

y

recta 5 x  2 y  1



4x  3y  2  2 x  y  4

y  2



4x  3 y  2 4 x  2 y  8

2 x  4  y 

  5 y  10

x  1

5 1 como 5x  2 y  1  2 y  5 x  1  y   x  2 2 5 además m2  m1  m2   recordando que 2 y  y1  m  x  x1  5 y  2    x  1  2 y  4  5 x  5  2 2 y  5x  9  0

4 8 4  24 20  2940 21 7 tan    21  21   32 179 3759  4  8  1     1  147 147  21  7  tan   0.7821  como tan      tan   tan   0.7821 además tan 180      tan  tan 180     0.7821  180     tan 1  0.7821 180    381 44 

  1415815

x y x y 7  8  0 7  8  0 y  6y    7 x 3  x 3 8   y7   y  7 7 4  7 4 x 8 7 y  56 y  8   x7 7 8 x y 1 6x  5 y 1 como     5 6 30 30 30 6 1 6 x  5 y  1  5 y  6 x  1  y  x  5 5 1 5 además m2    m recordando que m1 6 y  y1  m  x  x1  5 y  8    x  7   6 y  48  5 x  35 6 6 y  5 x  13  0

Ejemplo 10; encuentra el ángulo entre las rectas

x y  0 7 8

y

x 3  y  7 y una ecuación de la recta 7 4

que pasa por el punto de intersección de dichas rectas y sea perpendicular a la recta

x y 1   5 6 30

x y 8x  7 y 8  0   0  8 x  7 y  y   x 7 8 56 7 x 3 4 x  21y  y7   7  4 x  21 y  196 7 4 28 4 196 8 4 y x  m1    m2  21 21 7 21 m2  m1 recordando que tan   1  m2 m1 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

EJERCICIOS:

1 a) hallar el ángulo de inclinación entre las x3 y 4 x4 y2 rectas  0 y  3 3 4 2 5 b) la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas anteriores y sea perpendicular a la recta 3x  4 y  11

Página 66


2 a ) hallar el ángulo de inclinación entre las x 1 y  4 x4 y2 rectas  y  10 5 5 10 b) la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas anteriores y sea paralela a la recta 4x  y  11 3 a ) hallar el ángulo de inclinación entre las rectas 4 x  3 y  2 y 2 x  y  4 b) la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas anteriores y sea perpendicular a la recta 5x  7 y  18 4 a ) hallar el ángulo de inclinación entre las rectas 7x  3 y  14 y 3x  y  6 b) la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas anteriores y sea paralela a la recta  x  y  1 5 a ) hallar el ángulo de inclinación entre las rectas 4 x  5 y  6 y 5 x  2 y  1 b) la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas anteriores y sea perpendicular a la recta 4x  y  2 6 a) hallar el ángulo de inclinación entre las rectas 4 x  3 y  2 y 2 x  y  4 b) la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas anteriores y sea perpendicular a la recta 5x  2 y  1 7  a ) hallar el ángulo de inclinación entre las rectas  x  4 y  3 y 2 x  3 y  11 b) la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas anteriores y sea perpendicular a la recta  7 x  14 y  7 8 a ) hallar el ángulo de inclinación entre las rectas 5x  7 y  16 y 2 x  8 y  26 b) la ecuación de la recta que pase por el punto de intersección de las rectas anteriores y sea perpendicular a la recta 2x  y  4 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las rectas siguientes: y es perpendicular a

x y 13   3 20 12 2 x  4 y  6   x  y  1

las recta

9

7 x  14 y  7 10  4 x  y  11 4 x  12 y  4 11  5 x  y  11 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

4 x  3 y  2 12  2 x  y  4  x  4 y  3 13  2 x  3 y  11 4 x  5 y  6 14  5 x  2 y  1

4.0 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN: la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto llamado centro.

 x  h 2   y  k 2  r 2 la ecuación en su forma general es: x 2  2 xh  h 2  y 2  2 yk  k 2  r 2  0 x 2  y 2  2hx  2ky  h 2  k 2  r 2  0 Recordando que la ecuación de segundo grado es Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0  B  0 como las ecuaciones son equivalentes entonces sus coeficientes son proporcionales A C D E F     2 1 1 2h 2k h  k 2  r 2 Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 Nota: para saber si una ecuación de segundo grado es la ecuación de una circunferencia debe tener lo siguiente  Que no tenga términos en xy  Que los coeficientes de x 2 , y 2 sin iguales y del mismo signo  Ejemplo 1; Hallar el centro y el radio de la circunferencia x 2  y 2  4 x  6 y  9  0 x2  y 2  4x  6 y  9  0 x2  4x  4  y 2  6 y  9  4



 x  2

 

2



  y  3  22 2



c  2, 3 r  2

Página 67


Hallar el centro y el radio de la circunferencia 4 x 2  4 y 2  4 x  16 y  19  0 1 4 x 2  4 y 2  4 x  16 y  19  0  por 4 19 x2  y 2  x  4 y   0 4 1 19 1  2 2  x  x    y  4y  4    4 4 4 4  2 1 2  1   x     y  2   9  c  , 2  r  3 2  2  Ejemplo

2;





 1 1 1 2   F2  0 1 1 6   0   0   0 0 1 4   0   F1  F3  F1  1 1 1 2   0 0 1 4  2 0  1 1 1 0 0 0   0 1 0 2      0 0 1 4 

 F3  F2 1 1 6  0 1 4 1 0 2

 1 1 1 2   0 1 0 2     0 0 1 4 

 1 1 0 2   F1  F2  0 1 0 2   1  1   0 1   0 0 1 4   1 0

 F1 0 2 02 0 0

z  4, s  2, t  0

entonces la ecuación de la circunferencia es x 2  y 2  tx  sy  z  0 x2  y 2  2 y  4  0 b) para encontrar el radio y el centro





x2  y 2  2 y  1  4  1 x 2   y  1  5  2

c  0,1 r  5

Ejemplo 3; a) hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos  2,0  , 1, 1 ,  1,3

b) el centro y el radio de la circunferencia D E F D E x 2  y 2  x  y   0 Si  t,  s, A A A A A x 2  y 2  tx  sy  z  0 sustituyendo los puntos para  2,0   4  2t  z  0  2t  z  4 para para

1, 1   1,3 

F z A

11 t  s  z 

t  s  z  2

1  9  t  3s  z 

t  3s  z  10

 1 1 1 2   t  s  z  2    t  3s  z  10   1 3 1 10   2t  z  4  2 0 1 4    F3  2 F1  F3  1 1 1 2   F2  F1  F2 1 4  0 2 2 12  1 3 1  10  2 0    1  1 1  2  2 2  2 4    0 2 1 0   0 2 2  12  0 2  1 0  F3  2 F2  F3  1 1 1 2   1 0  0 1 1 6   F2  F2  0 2  1  0  2  2 12   2   0 0 3 12    0 0  3 12  1 1 1 2   1  1 1 1 2   0 1 1 6   F3  F3  0 1 1 6     3    0 0 3 12    0 0 1 4 


Ejemplo 4; a) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en la recta 3 x  2 y  6  0 , y pasa por

los puntos A  2,0  y B  8, 2  b) el centro y radio de la circunferencia x y 1  x  2   y  2  8   1 4  2 0 1   2 x  10 y  4  0  5 y   x  2 8 2 1  1 2 y x  5 5

1 5

entonces la mediatriz

tiene una pendiente m2  5

y pasa por el punto

m1  

Página 68


medio de A y B

 x  3 2   y  7 2

x x 28 6 x 1 2     3 2 2 2

  

y1  y2 0  2   1 el punto medio es  3,1 2 2 La ecuación de la mediatriz esta dada por y  y1  m  x  x1   y  1  5  x  3

3x 2  6 x  3 y 2  34 y  86  0 3x 2  6 x  3 y 2  34 y  86  0 6  3 x2  x  3 

  2 34  y   86   3 y  3    34 289  289  3 x2  2 x  1  3 y 2  y   86  3  3 36  12 

c  2,6 



 x2  x1 2   y2  y1 2

r   2  2    6  0   16  36  52  r  52 La ecuación de la circunferencia es 2

2

 x  h 2   y  k 2  r 2   x  2 2   y  6 2  

52

2

x 2  6 x  y 2  14 y  58  4 x 2  4 y 2  48 y  144  0

encontrando el radio por la distancia del centro al punto A  r 

2

x 2  6 x  y 2  14 y  58  4 x 2  4 y 2  48 y  144

y  1  5 x  15  y  5 x  16  0 entonces el centro es el punto de intersección de las resctas 2 y  10 x  32  0   y  5 x  16  0 2 y  3x  6  0   2 y  3x  6  0   13x  26  0  y  5  2   16  y  6 

 x  32   y  7 2 

 x  0 2   y  6 2

2 2   2  x  0    y  6      2 2 2 2  x  3   y  7   4  x  0    y  6   x 2  6 x  9  y 2  14 y  49  4  x 2  y 2  12 y  36 

y

x  2 

2



2

x 2  4 x  4  y 2  12 y  36  52



2

17  707  3  x  1  3  y    6 12  2

2

17 707  x  12   y    6 36  2

17 707  19.63  x  1   y    6 36 

x 2  y 2  4 x  12 y  12  0

2



 17  c 1,   6

r  19.63  4.43

Ejemplo 5; Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuta distancia al punto fijo A  3,7  es el

doble de su distancia al punto B  0,6 

sean los puntos P  x, y  perteneciente al lugar geometrico  d  PA   2d  PB  recordando que la distancia entre dos puntos es d

 x  x1 2   y  y1 2




Página 69


4.1 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

Ecuación canónica es 

Definición: la parábola es el conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes de un punto fijo llamado foco, y de la una recta llamada directriz

Foco 

F  h  p, k 

Directriz 

xh p

 y  k 2  4 p  x  h  Vértice 

lado recto 

V  h, k  LR  4 p

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA

Ax 2  Dx  Ey  F  0 Cy 2  Dx  Ey  F  0

Por la definición se tiene que la distancia del foco a cualquier punto de la parábola es igual a la distancia de ese punto a la directriz.

 x  0 2   y  p 2



 x  x 2   y    p  

2

x 2  y 2  2 yp  p 2  y 2  2 yp  p 2

Ejemplo 1; Encuentra la ecuación general y canónica de la parábola que tiene V  3, 2  y F  5, 2 

como el eje focal esta y  2 entonces F  h  p, k    5, 2  pero V  h, k    3, 2  h p 5  p 5h 53  directriz  x  h  p  3  2  1

x 2  y 2  2yp  p 2  y 2  2 yp  p 2  0

LR  4 p  4  2  

x  4 py  0 

 y  k

2

x  4 py 2

Foco  Directriz 

 4 p  x  h    y  3  8  x  3 2

y 2  6 y  9  8 x  24  y 2  6 y  8 x  33  0

 x  h 2  4 p  y  k 

F  h, k  p  yk p

LR  8

la ecuación general es

GRAFICAS DE LAS PARÁBOLAS

Ecuación canónica es 

2

p2

Vértice  lado recto 

V  h, k  LR  4 p

Ejemplo 2; Encuentra la ecuación de la parábola que pase por los puntos  2,1 , 1, 2  ,  1,3 y es paralela al eje x.

Como es paralela al eje x utilizamos la ecuación Cy 2  Dx  Ey  F  0  dividiendo por C D E F D E F y 2  x  y   0  si s  , t  , z  C C C C C C sustituyendo en la ecuación tenemos que: y 2  sx  ty  z  0 para el punto

 2,1  1  2s  t  z  0

2 s  t  z  1  ec 1


Página 70


para el punto 1, 2   4  s  2t  z  0

Ejemplo 3; Encuentra los elementos de la siguiente

s  2t  z  4  ec 2 para el punto  1,3  9  s  3t  z  0

parábola x 2  8 x  2 y  10  0

x

 s  3t  z  9  ec 3 entonces obtenemos un sistema lineal

 x  4 2  2 y  6

 F2  F1  F2 1 3 1  9  1 2 1 4   0 5 2  13

 1 2 1 4   s  2t  z  4   1 3 1 9   s  3 t  z   9      2s  t  z  1  2 1 1 1    F3  2 F1  F3 2 1 1  1  2 4 2 8   0 5 3 9 1 2 1 4   0 1 2 5 13 5  9 0 5 3

 F2   0   0   0

 1 2 1 4   0 5 2 13     0 5 3 9      

 2 F3  F2 5 1 2  13 5 5 02  8 5 5 21 1 0  5

 1 2 0 8   0 1 0  21 5 0 0 1 4 

 1 2 1 4   0 1 0  21 5 0 0 1 4      

 F1  2 F2  F1  1 2 0 8   0  2 0 42 5   1 0 0 2 5

yk p

directriz

 F1  F3  F1  1 2 1 4  0 0 1  4   1 2 0 8  2 5 1 0 0  0 1 0  21 5  0 0 1 4 



2



 8 x  16  2 y  10  16

 x  4 2  2  y  3

1  F  h, k  p    4, 3    2 

1 2 1 4   0 1 2 5 13 5  4 0 0 1

    

  2 y  10   x

 8x

V  4, 3 como 4 p  2 

 1 F  F2 5 2 

 F3  5F2  F3  0 5 3 9  0  5  2 13   0 0 1 4

2

    

y  3 

p

1 2

entonces utilizando

5  F  4,   2  1  2

y

7 2

LR  4 p  2

y0 

si

x 2  8 x  10  0

b  b 2  4ac 8  64  40 8  24   2a 2 2 8  4.89 x  x1  1.5 x2  6.44 2 si x  0   2 y  10  0  y  5 x

     

2 21 t z  4 entonces la ecuación es 5 5 2 21 y 2 + x  y  4  0  5 y 2  2 x  21y  20  0 5 5 para hacer la gráfica podemos utilizar intersecciones

Ejemplo 4; Encuentra los elementos de la siguiente

si y  0 

parábola

s

y

21 

y1  2.74

x  10

si x  0  5 y 2  21y  20  0

 212  4  5 20  10 y2  1.46



21  41 21  6.4  10 10

y

2

y2  4 y  6x  7  0

 4y

  6x  7   y

 y  2 2  6 x  3 1  V  , 2  2 



2



 4 y  4  6x  7  4

 y  2 2  6  x 

como 4 p  6 



p

3 2

1  entonces 2 utilizando

1 3  F  h  p, k     , 2   F  2, 2  2 2   1 3 directriz x  h  p x    x  1 2 2 LR  4 p  6


Página 71


3  1 F  h, k  p     ,1    16   2 directriz

yk p

LR  4 p 

12 3  16 4

y 1

 1 13  F  ,   2 16 

3  16

y

19 16

Ejemplo 5; Encuentra la ecuación de la parábola cuya directriz es y  4 y el Foco es F  5, 2 

como la directriz es y  4 entonces la ecuación es de la forma  x  h   4 p  y  k  además se tiene el eje focal esta en x  5 y p es la mitad de la distancia del foco a la directriz esto es 2

 x2  x1 2   y2  y1 2   5  52   2  4 2 2 p  6  p  3 y F  h, k  p  2p 

k  p  2  k  2 p  23  V  5, 1

k  1

además LR  4 p  4  3  LR  12

la ecuacione es

4.2 ECUACIÓN DE LA ELIPSE Definición: Es el conjunto de todos los puntos del plano en los cuales la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante

 x  52  12  y  1

Por definición tenemos que d  F´, P   d  P, F   2a

 x  c  2   y  0  2   x  c  2   y  0  2  2a  x  c 2   y  0 2 Ejemplo 6; Encuentra los elementos de la siguiente 2 parábola 4 x  4 x  3 y  2  0

3 1 x2  x   y  4 2 2 1 3 1 1 1 3 3  x2  x    y    x   y 4 4 2 4 2 4 4  

4 x 2  4 x  3x  2 

2

1 3   x      y 1  2 4  como 4 p  

3  4



 1  V   ,1  2 

p

3 16


utilizando

  

 2a 

 x  c 2   y  0 2 

 x  c 2   y  0 2

2

  2a   

 x  c

2

 y 2  4a 2  4a

x 2  2xc  c 2  4a 2  4a  4 cx  4  a 2  a 

 x  c 2   y  0 2 

2



 x  c

2

 y2   x  c  y2

 x  c 2  y 2 

2

x 2  2xc  c 2

 x  c 2  y 2  

2

 



 a x  c 2  y 2   a 2  cx       2 2 2 a x  2 xc  c  y 2  a 4  2a 2 cx  c 2 x 2



2

a 2 x 2  2a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 cx  c 2 x 2

Página 72


Ejemplo 1; Encuentra la ecuación de la elipse que tiene

a 2 x 2  c 2 x 2  a 2 y 2  a 4  a 2c 2

 x a

   c a y a a  c   a a  c  a a  c  x a  c   a y 1  a a  c  a a  c 

4 5 si observamos el eje menor tiene ordenadas en  2 entonces el elipse es paralelo al eje y y su ecuación es

como elementos B  7, 2  ,

x2 a2  c2  a2 y 2  a2 a2  c2 2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x y  1 2 2 a a  c2



2

además b 2  a 2  c 2

2



x2 y 2  1 a 2 b2



GRAFICAS DE LAS ELIPSES CON CENTRO EN (h,k)

Ecuación



 x  h 2   y  k   1 a2

b2

V   h  a, k 

V  h  a, k 

B  h, k  b 

B  h, k  b 

F   h  c, k 

F  h  c, k 

excentricidad

 e

c a

c  h, k 

 x  h 2   y  k 2

 x  12   y  2 2

36 100 F  h, k  c   1,6  V  h, k  a   (1,8)

LR 

y e

1 b2 a2 además tenemos que B  h  b, k  , B  h  b, k   h  b  7  k  2 y h  b  5  h  1  c 1, 2   2h  2  h  b  7 12 4  h  b  5  b  b  6 como e   2 5   2b  12  c 4 c 4 además e     c a a 5 a 5 16  16  9 b 2  a 2  c 2  36  a 2  a 2  a 2 1    a 2 25  25  25 36  25  4 a2   a  10  c  10   8 9 5 2 2 36   2b 72 LR    LR  a 10 10 de la forma

2

B  5, 2 

1 F   h, k  c   1, 10  V   h, k  a   (1, 12)

2b 2 a

V   h, k  a 

V  h, k  a 

B   h  b, k 

B  h  b, k 

F   h, k  c 

F  h, k  c 

excentricidad

 e

c a

2b 2 LR  a Ecuación



 x  h 2   y  k   1 b2


a2

c  h, k 

Página 73


Ejemplo 2; Encuentra los elementos de la siguiente ecuación general 9 x 2  25 y 2  36 x  200 y  211  0

36 200     9  x 2  x    25  y 2  y   211 9 25     2 2 9 x  4 x  4  25 y  8 y  16  211  36  400







a2 

9  x  2 225

 x  2

2

25



25  y  4 

2

225

2 y  4  



1

9

2

225 225 

c  2, 4  a  5 b  3

b 2  a 2  c 2  c  a 2  b 2  25  9  V  h  a, k    3, 4  V   h  a, k    7, 4  B  h, k  b    2,7  B  h, k  b    2,1 F  h  c, k    2, 4  F   h  c, k    6, 4  LR 

2b 2 2  9   a 5



LR 

18 5

e

c a



39 a  25  0  8a 2  39a  200  0 8

a

2

2

c4

a1  8

 b 2  a 2  c 2  64  25  39

b 2  39

 x  2

4 5



2

64

e

39 a  a 2  25 8



b  b 2  4ac 39   39   4  8  200   2a 16 39  89 25 a  a1  8 a2   pero no 16 8 hay distancias negativas entonces utilizamos



9  x  2   25  y  4   225 2

como b 2  a 2  c 2



b  6.24 la ecuación canónica es

 y  3

2

39

 c  2,3

1

V  h  a, k    6,3

V   h  a, k    10,3 

B  h, k  b    2,9.24 

B  h, k  b    2, 3.24 

e

c 5  a 8

la ecuación en su forma general es:

39 x 2  156 x  64 y 2  384 y  1764

Ejemplo 3; Encuentra la ecuación de la elipse que tiene como elementos F  3,3 ,

F   7,3

y

LR 

39 4

como las ordenadas de los focos estan en 3 entonces el elipse es paralelo al eje de las x y la ecuación es de la forma:

 x  h

2

y k 

2

 1 recordando que los a2 b2 F  h  c, k    3,3 y F  h  c, k    7,3  h  c  3 h  c  3 h  c  7   h  2  h  c  7   2h  4   2c  10   2 2b 39 39 c  5 además LR    b2  a a 4 8

Ejemplo 4; Encuentra los elementos de la siguiente ecuación 2 2 general 25 x  9 y  100 x  72 y  19  0

100  25  x 2  x 25 



 



   19 

25 x 2  4 x  4  9 y 2  8 y  16  19  100  144 25  x  2   9  y  4   225 2

25  x  2  225

2

2



9  y  4

9

2

225

 x  2 2   y  4 2 b2  a 2  c2


  2 72 y   9 y  9  

25

1



225 225 

c  2, 4  a  5 b  3

 c  a 2  b 2  25  9



c4 Página 74


V (h, k  a)  V (2, 1) B(h  b, k )  B(5, 4) F (h, k  c)  F (2,0)

V (h, k  a)  V (2,9) B(h  b, k )  B '(1, 4) F (h, k  c)  F '(2,8) e

c 4  a 5

LR 

2b 2 18  a 5

4.3 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Definición: Es el lugar geométrico de los puntos en el plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre una constante positiva.

a Es la longitud del semieje trasverso b es la longitud del semieje conjugado

c2  a 2  b2 LR 

2b2 a

e

c 1 a

Para obtener la ecuación de la hipérbola hagamos primero que el centro de la hipérbola este en el origen Ejemplo 5; Encuentra los elementos de la siguiente ecuación general 9 x 2  16 y 2  36 x  96 y  36  0

36  9  x2  x  9 



  2 96 y   16  y  16  







   36 

9 x 2  4 x  4  16 y 2  6 y  9  36  36  144 9  x  2   16  y  3  144 2

9  x  2 144

 x  2 16

2

2

2



2



1

d  F P   d  PF   2a

144 144

2

9

2

2

144

 y  3 

b  a c 2

16  y  3



 x  c 2   y  0 2   x  c 2   y  0 2 c  2, 3 a  4 b  3

 c  a  b  16  9 2

2



2b 2 18 c 7 c  7  2.64 LR   e  a 4 a 4 V  h  a, k    6, 3 V   h  a, k    2, 3 B  h, k  b    2,0 

B  h, k  b    2, 6 

F  h  c, k    4.69, 3

F   h  c, k    0.64, 3

 x  c 2   y  0 2   

 2a 

 x  c 2   y  0 2 

 x  c 2   y  0 2

2

  2a   

 x  c

2

 y  4a  4a 2

2

x 2  2xc  c 2  4a 2  4a 4 cx  4  a 2  a 

 2a

 x  c 2   y  0 2 

2



 x  c

2

 y   x  c  y2 2

2

 x  c 2  y 2 

x 2  2xc  c 2

 x  c 2  y 2  

2

 



 a x  c 2  y 2   cx  a       2 2 2 a x  2 xc  c  y 2  c 2 x 2  2a 2 cx  a 4



2 2

a 2 x 2  2a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2  a 4  2a 2 cx  c 2 x 2 a 2 x 2  c 2 x 2  a 2 y 2  a 4  a 2 c 2 como c a y la distancia siempre es positiva entonces







x2 a2  c2  a2 y 2  a2 a2  c2 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.



 por

 1 Página 75




  a y  a c  a  a c  a  a c  a  c  a  a y  1  a c  a c  a    

x c a 2

2

2

x2

2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

además b 2  c 2  a 2



a2

2

2

x2 y2  1 a2 c2  a2





2

 x  h 2   y  k 2  1 a2

 x  32   y  2 2

b2

V   h  a, k 

V  h  a, k 

B  h, k  b 

B  h, k  b 

F   h  c, k 

F  h  c, k 

Las asíntotas son yk 

La ecuación es:

5 c a 3

25 5  b2   a   a 2  b2  a 2  a 2 9 3  16 b 2   36   b  64  b  8 9 La ecuación de la hipérbola es:

x2 y 2  1 a 2 b2

GRAFICAS DE LAS HIPÉRBOLAS La ecuación es:

Ahora como V   h  a, k  V  h  a, k  h  a  3  h  a  3  ha9  a6 h  a  9    2a  12 c 5 además b 2  c 2  a 2 pero e    a 3

b  x  h a

5  c  a  c  10 36 64 3 F   h  c, k    3, 2  F  h  c, k   13, 2  B  h, k  b    3, 6  B  h, k  b    3,10  las asíntotas son las rectas b 8 y  k    x  h   y  2    x  3 a 6 6 y  12    8 x  24   6 y  8 x  12  0 6 y  8 x  36  0

1

 LR 

2b 2 2  64   a 6

 LR 

64 3

 y  k 2   x  h 2  1 a2

b2

V   h, k  a 

V  h, k  a 

B   h  b, k 

B  h  b, k 

F   h, k  c 

F  h, k  c 

Las asíntotas son xh

b y k a Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la hipérbola que tiene el centro en

Ejemplo 1; Encuentra la ecuación de la hipérbola que tiene los vértices V   3, 2  V  9, 2 

y e

5 3

como las ordenadas de los vértices son iguales entonces

k  2 , y h es el punto medio de las abscisas de los vértices. x  x   3  9  6  3 h 2 1  h 2 2 2 entonces el centro es c  3, 2  Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

c  0, 2  , el eje focal es paralelo al eje y, La

semi distancia focal es 6 y el semi

esto quietre decir que c  6 ,

eje conjugado es

4.

b4

además se tiene que b  c  a a 2  c 2  b 2  a  36  16  20 a  4.47 entonces la ecuación es: 2

 y  k 2   x  h 2 =1 a2

b2



2

2

 y  2 2  x 2 =1 20

16

Página 76


V   h, k  a   V   0, 2.47  V  h, k  a   V  0,6.47  B  h  b, k   B  4, 2  B  h  b, k   B  4, 2  F   h, k  c   F   0, 4  F  h, k  c   F  0,8  Las asíntotas estan dadas por las ecuaciones: b 4 x  h   y  k  x    y  2 a 4.47 4.47 x  17.88    4 y  8   4.47 x  4 y  8  0 4.47 x  17.88  4 y  8 

4.47 x  4 y  8  0

c 6  a 4.47 LR  7.15

 LR 

e



e  1.34

Las asíntotas estan dadas por y  k  

b  x  h a

4  x  3  3 y  15    4 x  12  3 3 y  4 x  27  0  3 y  4 x  3  0

y 5 

2b 2 2 16   a 4.47

Ejemplo 4: Encuentra todos los elementos de la siguiente hipérbola 9 x 2  54 x  4 y 2  8 y  113

54  9  x2  x 9  2 9 x  6x  9



  2 8   4 y  y 4   2  4 y  2y 1

 



   113   113  81  4

9  x  3  4  y  1  36 2

Ejemplo 3: Encuentra todos los elementos de la siguiente hipérbola 16 x  96 x  9 y  90 y  225 2

 16  x 16  x

2

  9  y  10 y   225  6 x  9   9  y  10 y  25   225  144  225  6 x  9   9  y  10 y  25   144

16 x 2  6 x 2 2

2

2 2

16  x  3  9  y  5   144 2

16  x  3 144

2

2



9  y  5 144

 x  3 2   y  5  2 9

2

16



144 144

1

 x  h 2   y  k 2



2

36  x  32 4

 

4  y  1

36  y  5 2 9

 y  5  2   x  3 2

9  c  3,1

4 

2



36 36

 1  por  1 1 

 y  k 2   x  h 2

a2 a3 b2

b2

1

b2  c2  a 2

c  3,5 

1  a  3 b  4 a2 b2 b 2  c 2  a 2  c  a 2  b 2  9  16  25 2b 2 2 16  c  5  LR    LR  10.66 a 3 V   h  a, k    6,5  V  h  a, k    0,5  B  h, k  b    3,1 B  h, k  b    3,9  F   h  c, k    8,5  F  h  c, k    2,5  Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

9  x  3

2

 c  a 2  b 2  9  4  13 2b 2 2  4  c  3.6  LR    LR  2.6 a 3 V   h, k  a    3, 2  V  h, k  a    3, 4  B  h  b, k   1,1 B  h  b, k    5,1 F   h, k  c    3, 2.6  F  h, k  c    3, 4.6  Las asíntotas estan dadas por x  h  

b y  k a

2  y  1  3x  9    2 y  2  3 3 x  2 y  7  0  3 x  2 y  11  0

x3 

Página 77


4.4 INTERSECCIÓN ENTRE LUGARES GEOMÉTRICOS. Ejemplo 1: Intersección entre

parábola x 2  y  3 y la

recta y  2 x  6

x2  2 x  6  3 

x2  2 x  3

x2  2x  3  0 

 x  3 x  1  0

x1  3

Ejercicios:

x2  1 como y  2 x  6

para x1 

y  2  3  6 

para x2 

y  2  1  6 

y1  12 y2  4

los puntos de intersección son 1) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a los puntos fijos

 3,12 

y

 1, 4 

A  5, 4  , B  7, 2  es igual a 3 4 2 2 sol.  7 x  7 y  34 x  42 y  179  0 2) Obtenga la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos A  6, 1 , B  3, 4  es igual a 6

sol.  2 x 2  2 y 2  6 x  6  0 3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos  x, y  , cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos fijos sea igual a 20

sol.  x 2  y 2  2 x  4  0 4) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos  x, y  , cuya suma de distancias a los puntos fijos

A  2,3 , B  2, 3 sea igual a 8 sol.  16 x 2  7 y 2  64 x  48  0 5) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos fijos A  3, 2  , B  5, 2  es igual a 6

sol. 

7 x 2  9 y 2  14 x  36 y  92  0

Ejemplo 2: Encontrar los puntos de intersección de

x 2  y 2  8 x  6 y  19  0

30 6 y 6   x 6 y 5 5 5 sustituyendo en la ecuación de la circunferencia de 5 x  6 y  30 

x

2

6  6    2  6  y   y  8  6  y   6 y  19  0 5  5    72 36 2 48 36  y y  y 2  48  y  6 y  19  0 5 25 5 72 36 2 48   y y  y 2  48  y  6 y  19  25  0  36  5 25 5   72 36 2 48   y y  y2  y  6 y  25  0 7  5 25 5  

175  360 y  36 y

2

y

270 



 25 y 2  240 y  150 y  0

61y 2  270 y  175  0


y 5 x  6 y  30

resolviendo esta ecuación

 270 2  4  61175 270  30200  2  61 122 Página 78


y

270  173.78  122

y1  0.78869



y2  3.6375

270  173.78 122 270  173.78 y2  122 y1 

6 y entonces sustituimos cada 5 6 valor de y  x1  6   0.78869  5 6 x1  5.0536 x2  6   3.6375  5 x2  1.635 entonces los puntos de intersección son

como x  6 

 5.0536,  0.78869 

y

1.635, 3.6375

5.0 NÚMEROS COMPLEJOS Recordando que los números utilizados en el álgebra y el



cálculo elemental son los números reales , pero existe un problema cuando se quiere resolver la ecuación.

x2  1  0 Como no existe ningún número x real que satisfaga la ecuación , es necesario introducir los números complejos.

 



Definición: Sea ¢= a, b / a, b   Un conjunto de parejas perteneciente a los números reales. Definición: Sean dos números a, b y c, d complejos donde;









 a , b    c, d 

 ac y bd Definición: Sean  a, b  y  c, d   ¢; entonces;  a, b    c, d    a  c , b  d  Definición: Sean  a, b  y  c, d   ¢; entonces;  a, b    c, d    ac  bd , ad  bc  PROPIEDADES:

 a, b   ¢ Su inverso aditivo   a , b    a ,b     a ,  b    0,0  Existe  0 , 0   ¢ tal que;  a , b    0 , 0    a , b  es el elemento



Dado

Ejemplo 3: Encontrar los puntos de intersección de

x 2  y 2  13

y

x2  y 2  5

x 2  y 2  13  0  x 2  y 2  5  0 x 2  y 2  13  x 2  y 2  5 x 2  y 2  13  x 2  y 2  5  0  2 y 2  8  0 8 y 2   4  y1  2 y2  2 sustiruyendo en 2 2 x 2   2   13  0  x 2  9 x1  3  x2  3



los puntos de intersección son



x   2   5  0 2

2

los puntos de intersección son

 ¢

 a, b   1 , 0    a(1)  b(0) , a(0)  b(1)  4.   a , b   ¢ existe



 3,2  ,  3, 2 

x  9  x1  3 2

neutro de la suma. Existe 1 , 0   ¢ tal que   a , b entonces;



es

a b  , 2 2 2   a b a b 

x1  3

 a, b   1  

 3,  2  ,  3, 2 

2

Demostración de 4;             Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

b   a , b  a  b a  b2  a b a b  a   2 2  b  , 2 2  b   2 2  a   2 2 a b a b a b a b  2 2 a b ab ab   2 , 2  2  2 2 2 2 a b a b a b a  b2   a 2  b2 , 0    1 , 0  2 2 a b  a

2

2

,

2

Página 79


5.1 FORMA NORMAL Dado un número real x decimos que le corresponde en el plano el número complejo x , 0 , de ésta manera se obtiene una identificación del conjunto de los números



,

reales esto es.



con el conjunto de los números complejos,

 x , 0 / x

  Donde;

x  x,0



en lo sucesivo se denotará a los números complejos de la forma

 x,0 

y también

 0 ,1  i

llamada la

parte imaginaria por lo tanto;

i 2  1 Demostración;

i 2   0,1    0,1   i   1 , 0

 00 11, 01  10 

 b,0    0 , 1 

  b(0)  0(1) , b(1)  0(0)  0,b  Además se tiene que  0 , 1   i entonces de

a b  2 i Es su inverso 2 a  b a  b2 1 Multiplicativo, esto es z  z  1 Definición; dado z  a  bi entonces z  a  bi es llamado el conjugado de z z 1 

Ejemplos:

2

 z  2  3i   z  1  i   z  i   z  1



z  2  3i



z  1  i



z i



z  1

Lema: i ] La suma de un número complejo y su conjugado, es un número real.

z  a  bi  z  a  bi entonces; z  z  a  bi  a  bi

Demostración; Sea

 a , b    a , 0    b , 0    0 ,1   a,b  a bi

En donde: a es la parte real. b es la parte imaginaria. Un número complejo se representa en el plano complejo como lo muestra la siguiente figura.

se le llama un

PROPIEDADES: i] si z  a  bi , entonces  z  a  bi es su inverso aditivo. ii] si z  a  bi , con a, b  0 entonces;

 a,b  a,0 0,b    a , 0    b , 0    0 ,1 

Porque

0, b  bi

Por otra parte podemos representar a un número complejo con la variable z. z  a  bi



 i 2  1 Por otro lado si  a, b   ¢ entonces; 2

Además cuando se tiene número imaginario puro.

 a  bi  a  bi  2a Además

2 a es un número real c.q.d.

ii ] El producto de un número complejo conjugado, es un número real positivo;

 0 por su

z  a  bi  z  a  bi entonces; z  z  a  bi  a  bi

Demostración: Sea

 aa  abi  abi  bbi2  a 2  b 2  1  a 2  b2 recordando que todo número real elevado al cuadrado es positivo entonces

a 2  b 2 es positivo,

c.q.d.

Definición; dados dos números complejos z1 y z2 Entonces se define la sustracción como;

z1    z2  Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 80


z1  a  bi y z1  z2  z1   z2   a  bi   c  di  a  bi  c  di  a  b   c  d i

Ejemplo 1: Si

z2  c  di

Definición; dados dos números complejos z1 , z2 Entonces se define la división como;

z1  z1  z2 1 z2 Ejemplo 2; Expresar en la forma normal el siguiente número complejo.

z

2  3i 1  2i

Multiplicando por el conjugado del denominador se tiene, 2  3i 1  2i   1  2i 1  2i 2 1  2  2i   3i 1  3i  2i   11  1 2i   2i 1  2i  2i 



2  4i  3i  6i 2

1  2i  2i  4i 2 2  7i  6  1 2  7i  6   1  4  1 1 4


1  i i

1 i i i   2   i i i i 1 Ejemplo 5; Expresar en la forma normal el siguiente número complejo. 1 1 z como  i entonces 1 i 1 i 1 1 z  multiplicando por su conjugado 1 1 i 1 i 1 1 i 1 i 1 i     1  i 1  i 12  12 2



1 1  i  2 2

z

1 1  i 2 2


Re iz    Im z

Si

z  a  bi entonces a  Re z  y b  Im z  además, iz  ia  bi  ia  bi2  ai  b por lo tanto

Re  iz   b  Re  iz    Im  Z  Ejemplo 7; que;

si

n  0 es un entero cualesquiera, demostrar

in4  in

4  7i 4 7 4 7    i  z   i 5 5 5 5 5

i ni 4  i n i n i 2i 2  i n

Se debe recordar que también se puede utilizar el lema visto anteriormente, en el cual un número complejo multiplicado por su conjugado es un número real positivo.

i n  1 1  i n in  in

Ejemplo 3; Expresar en la forma normal el siguiente número complejo.

z

2i Multiplicando por el conjugado se tiene, 2  2i 2  i 2  2i 2  2   2  2i   i  2   i  2i    2  2i 2  2i 22  22 2 4  6i  2  1 4  6i  2 4  4i  2i  2i    44 8 8 2  6i 2 6 1 3    i  z  i 8 8 8 4 4

Ejercicios; 1. Demostrar que;

Re z1  z2   Rez1   Rez2 

  

2 

2

2. 3.

Demostrar que; Re z  Re z  Im z Determine el cubo del siguiente número complejo.

4.

Determine el cubo del siguiente número complejo.

2

z  3  2i

1 3 z  i 2 2 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

Página 81


5.

1

z 1

3 1  z   i Realiza las 5 5



1 1

2  4i 6  3i 

 30i

5  3  2i   6 i   1  i  2 7  i 1  5i   368  826 i 4  i 6  i  629 629 1 i 2   i 1 i i 3  2i 2 1  3i   1  i   23  39 i 50 50 3  i 2 1  2i  1  i 1 i i 3 3    i i 1 i 2 2 2  i 1  2i  3 1   i 3i 2 2 1  i 3  2 1 i 4 1 i   1    2 2

7. 8. 9.

10.

11. 12.

13.

14.

1 3   15.    2 2 i   i 16.

1 i 

22.

6  2i

2  i   3  4i  2  i 3  i  3  5i 3  7i  3  i i3

23.

1 i

operaciones indicadas y coloca en la forma normal las siguientes expresiones. 6.

 4  5i 8  4i 

Exprese en la forma normal la siguiente expresión;

24.

Re z 2

26. Encuentre

2

 2z  Im    z    28. Encuentre Re4  2 z  3 z  29. si

z1  1  i z2  2  4i z3  3  2i

Hallar a)

z1  2 z1  3

b)

2 z2  3z1

c)

18.

19.

20.

21.


z

2

 z3 

5

3

 170

 1024 i

d)  3 z2  5 z3  3 e)

z1 z2  z2 z1  12

f)

z1  z2  1 3  z1  z2  i 5

g)

3 3   i 8 8

h)

1 i 

17.

  1  4i

2

2

 1

i 1 i i  221  i   3i  1   9  7i 2i  12  4  2  i    11  23 i 2 2 1  i 1  i  4 9 16 i i i  2i 2  i 5  i10  i15 2 3 1  i  1  i  3   3  2i   2  1  i  1  i  3i  2i  2i  1  i   

 

Im z 2

27. Encuentre

3

i

  e Im z  z 

25. Encuentre

1  z3 z3  1      2  z3 z3  7 z2  z3 z1  z3   7  3 3  3 i

30. Determine el módulo de

 x  iy     x  iy 

n

n  0 con n entero 31. Encuentre el valor de x, y que satisface la ecuación.

1  i x  2 y   3  2i x  y   8  3i

Sea

a)

z1  x1  iy1 y

 z1  z2   z1  z2

z2  x2  iy2 compruebe que

1 1 b)     z1  z1 Página 82


c)

 z1z2   z1 z2

d ) Re  z1 z2   Re z1 z2



e) Im  z1 z2    Im z1 z2

De la representación en la figura 1. Se tienen las siguientes relaciones;

b  b  rsen r a cos   a  r cos además r z  a  bi  r cos  irsen sen 



5.2 REPRESENTACIÓN TRIGONOMETRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Sea z   a , b  ó bien de la forma z  a  bi , la cual se representa como un vector en el plano complejo, es una línea dirigida que comienza en el origen y termina en el punto ( a , b ) de la siguiente manera;

 r  cos  isen  

z  r  cos  isen 

La cual es la representación trigonométrica (polar) de z. Ejemplo 1; Representar en su forma trigonométrica el siguiente número complejo.

z

1 3  i 2 2

Observando la figura nos podemos dar cuenta que;

r  a 2  b2

donde r es llamado modulo

de z ó valor absoluto de z 

r z

Además  se considera positivo cuando se mide en la dirección contraria a las manecillas del reloj. Una característica de  es que es multiforme, esto es que para cierto número complejo hemos encontrado un valor correcto de  en radianes. Podemos añadir a este valor un múltiplo entero de 2 radianes y obtenemos nuevamente un valor valido de  . De la figura se puede observar que;

b tg  a Además



1  b 

   tg   a

está dado por.

Calculando;

a

1 2

y

r

r  a 2  b2 en este caso 3 b entonces; 2 2 3 1         2   2 

1 3 4   1  r 1 4 4 4 Para calcular  se observa en la gráfica que;   2   pero 1 b 1    tg 1  tg 1 2  tg 1    60  a 3 3 3 2  5   2    2      como 3 3 

z  r  cos   isen  


2

5 5   z  1 cos   isen   3 3  

Página 83


Ejemplo 2;

Representar en su forma trigonométrica

z  1  i

Esto quiere decir que el número se encuentra en el segundo cuadrante;



1 3 4   36 36 36



1 1   9 3

Para calcular

r

1 3



se observa en la gráfica que;      pero, 1 1  1 b 1 6   tg  tg  tg 1  60    a 3 3 3 6

Encontrando primero el valor de Donde a  1 y b  1

r  12  12

sustituyendo en

z



se observa en la gráfica que; pero,

    b 1   tg 1  tg 1  tg 11  45 a 1 por lo tanto;



3 4

Sustituyendo en

 



z  r cos  isen 



3



4 3

se tiene.

1 4 4   i sen  cos  3 3 3 

Ejemplo 4;

4 3      4 4

   

        

por lo tanto; 2

r 2

 2 Para calcular

r  a b 2

Representar en su forma trigonométrica

z  4  4i

Esto quiere decir que el número se encuentra en el primer cuadrante;



z  r cos  isen  se

3 3   tiene. z  2  cos  i sen  4 4   Ejemplo 3; Representar en la forma trigonométrica

Encontrando primero el valor de

1 3 z  i este número se encuentra en el tercer 6 6

r  a 2  b2

cuadrante;

 a4

b4

r  42  42  16  16  32  16  2   16 2 4 2



Para calcular

  tg 1 Encontrando primero el valor de

a

1 6

b

3 6

2 3  1  r          6   6 

2


r  a b 2

2



r4 2 se observa en la gráfica que;

b 4  tg 1  a 4

sustituyendo en

  45 

 4

z  r cos  isen  se tiene.

   z  4 2  cos  i sen  4 4 

Página 84


Ejercicios; Escriba en la forma trigonométrica ó normal los siguientes números complejos. 1. z  1 4 i 2.

z  26 i

1 3 1 4 4  z  i   cos  i sen  6 6 3 3 3  3 3 3 2 2   4. z    i  3 cos  i sen  2 2 3 3      5. z  4  4 3 i  8  cos  i sen  3 3  5 5   6. z  3  3 3 i  6  cos  i sen  3 3   1 3 5 5   7. z   i   cos  i sen  2 2 3 3   11 11    i sen 8. z  3  i  2  cos  6 6     9. z  4  3i  5 cos323  i sen323  10. z  8  2 i  11. z  3  9 i  3.

12.

z





3  i 1  i   4

3

1 i  13. z     2i  1 i  1  i   1  3 i  14. 3  i  3



15.



1  i 2 2  i   3  i 

Expresar en su

forma normal los siguientes números complejos 16.

17.

18.

19.

20.

 3 2   1  i  3 cos  i sen   4 4 2  2 2   8 cos  i sen   4  4 3 i 3 3   11   11 4 cos  i sen  2 2  1  i  4 4   5  5 2  5  1  i  5 cos  i sen   4 4 2  8  7 7 3  8 7 cos  i sen     i 3 3 2 2 


5.3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA TRIGONOMÉTRICA Sea z1  r1 cos1  isen1  y Entonces: z2  r2 cos2  isen2  z1 z2  r1 cos1  i sen 1   r2 cos 2  i sen  2 

 r1 r2 [cos1 cos 2  i cos1sen 2  i cos 2 sen1  i 2 sen1sen 2 ]  r1 r2 [cos1 cos 2  sen1sen 2  i sen1 cos 2  sen 2 cos1 ]

Recordando las identidades trigonométricas de la suma de dos ángulos

cos a  b   cos a cosb  sen a sen b sen a  b   sen a cosb  sen b cos a

Aplicando éstas identidades en la multiplicación se tiene;

z1z2  r1 r2 cos1  2   i sen 1  2 

z1  r1 cos1  isen1  y z2  r2 cos2  isen2  , entonces; 1 1 1 z1 1 1   z1 z2  z2  z2 r2 cos 2  i sen 2 z2 1 1 cos 2  i sen 2 1 z2   r2 cos 2  i sen 2 cos 2  i sen 2 1 cos 2  i sen 2  r2 cos2  2  sen 2 2 1  cos 2  i sen 2  r2

Definición: sea

Utilizando las siguientes identidades,

cos 2  cos  2 

 sen 2  sen   2  1 1 z2  cos( 2 )  isen ( 2 )  r2 z1  z1 z2 1 z2 

entonces;

 r1  cos 1  i sen1  

1  cos  2   i sen  2   r2

r1  cos 1  2   i sen 1  2   r2

z1 r  1  cos 1   2   i sen 1   2   z2 r2 Página 85

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 2

z Ejemplo 1; obtener el valor de Si z  r cos  i sen entonces;





z 2  z z  r cos  i sen   r cos  i sen   rr cos     i sen     r 2 cos 2  i sen 2  z3 z 3  z 2 z  r 2 cos 2  i sen 2   r cos  i sen 

Ejemplo 2; obtener el valor de

 r r cos2     i sen2   

z10 

3 3   z  2  cos  i sen  4 4   10  10 3  i sen 10 3  2  cos  4 4  

 

10  30 30   2 2  cos  i sen  4 4  



 25 cos 1350  i sen 1350  32  0  1 



z  32

2

Ejercicios: realiza las operaciones indicadas y coloca el resultado en la forma normal.

 r 3 cos3  i sen3  Podemos observar que en forma general si elevamos un número complejo a una potencia n, se obtiene la relación siguiente;

z n  r n cos(n )  i sen (n ) 

8

1.

1 3  5     2 2 i  6  8 i   z   8  6 i 6

Teorema De Moivre: sea n un entero positivo entonces;

z   r  cos   i sen   r n

n

n

 cos(n )  i sen(n ) 

Ejemplo 3; Encontrar el valor de z

10

z  1  i

1  i 3 3  4 i 4 4  3 i 5

2.

z

3.

 z

si



4.

4

 3 3 3    i 3  3 3i  2 2   z 3 1 3      2 2 i   9

5.



6.

z

7.

 z

r  (1) 2  12  2  Para calcular

r 2



se observa en la gráfica que; pero,

    b 1   tg 1  tg 1  tg 11  45 a 1 por lo tanto;

3 sustituyendo en  4

 



4 3      4 4

   



z  r cos  isen  se tiene.


 i   6 i   1  i 10 21

 a 1 b 1

8.





20



1 10 3      2 2 i 3 i  z  8 5 4  4 3 i  1  i 

Encontrando primero el valor de

r  a 2  b2



3

3  2i 3  7i  2  9  3 i   2  3 i  9

Primero transformamos z en su forma trigonométrica;









50



 3

3  2i 3  7i  9  3 i 5



4



4

 1 3  4  4 3 i    i    6 6 





5

9.

 3  4i 1  i   3  4i    

10.

z   3 i

11.

z  3  4i  1  i 

4





12

9

12

Página 86


5.4 RAICES DE ECUACIONES BINOMIALES

x  A con A Є ¢. Si A  r cos  i sen  entonces; x n  r cos  i sen  .

Sea la ecuación

n

x  A tiene al menos una raíz, suponiendo que; x  R cos  i sen  es la raíz, entonces utilizando la n

fórmula de De Moivre, y sustituyendo en;

xn  A n R n cos  i sen   r cos  i sen  R n cos n  i sen n   r cos  i sen  R n  cos n  i sen n     1 r  cos  i sen   n

n

Aplicando la división de

números complejos: cos  n     i sen  n     

  1



cos n     1 entonces sen n     0

2k   n con k perteneciente a los enteros. Sustituyendo los valores de R,  , en; n    2k



 42

 4

 

Además

2   2      x  n r  cos  i sen  n n   con   0 ,1, 2 , n  1 20   20     x0  4 4  cos  i sen  4 4      x0  4 4  cos  i sen  4 4  x0 

  

 

4 cos 45  i sen 45

2  2

2 i 2

x0  1  i

21   21     x1  4 4  cos  i sen  4 4   3 3   x1  2  cos  i sen  4 4  

2 i 2

x1   1  i

x  R cos  i sen 

2k   2k     x  n r  cos  i sen  n n   con k perteneciente a los enteros. Afirmando entonces que existen n raíces distintas, las raíces son de la forma:

2   2      x  n r  cos  i sen  n n   con   0 ,1, 2 , n  1

x  1 , entonces el Además cuando A = 1 esto es; valor de x son llamadas las raíces n-ésimas de la unidad, en este caso   0 y r  1 lo cual implica que; n




1  2  1 x1  2   i   2 2 2 



2  2    x   cos  i sen  n n   con   0 ,1, 2 , n  1

r  a 2  b2

1   1 x0  2  i  2  2

r

También se tiene que;

 cos n  i sen n    1  cos  i sen 

x 4   4 Encontrando;

Entonces las raíces están dadas por:

Por el teorema fundamental del álgebra.

R  1  Rn  r  R  r

Ejemplo 1; Encontrar las raíces de


1  2  1 x2  2   i   2 2 2 

2 i 2

x2   1  i


1  2 2  1 x3  2   i  i  2 2 2 2  la representación gráfica es; x2  1  i Página 87


7 7  22  22   4  i sen 4 x2  3 2  cos 3 3    23 23   x2  6 2  cos  i sen  12 12  



x2  6 2 cos345   i sen 345  Ejemplo 2; Encontrar las raíces de Encontrando primero:

r  a 2  b2  12  12 Pero como

  2  



x2  1.0841  0.2904 i Ejemplo 3; Encontrar las raíces de entonces las raíces están dadas por:

2 el cuarto cuadrante entonces;

1   7    2   1 4 4 4 entonces las raíces están dadas por:

  tg 1  45 

2   2      x  n r  cos  i sen  n n   con   0 ,1, 2 , n  1 7 7  20  20   4  i sen 4 x0  3 2  cos 3 3    7 7   x0  6 2  cos  i sen  12 12   x0  6 2 cos105   i sen 105 





x0  1.1224  0.2588  0.9659 i  x0   0.2904  1.0841 i

7 7  21  21   4  i sen 4 x1  3 2  cos 3 3    15 15   x1  6 2  cos  i sen  12 12  



x1  2 cos 225  i sen 225 6







x1  1.1224  0.7071  0.7071 i  x1   0.7936  0.7936 i




x2  1.1224 0.9659  0.2588 i 

x3  1 i

r 2

z está en

     

     

x3  1

2  2    x   cos  i sen  n n   con   0 ,1, 2 , n  1 20 20   x0   cos  i sen  3 3   x0  cos 0  i sen 0

  

 

x0  1

     

21 21   x1   cos  i sen  3 3   x1  cos 120   i sen 120 

 







1 3 x1    i 2 2

22 22   x2   cos  i sen  3 3   4 4   x2   cos  i sen  3 3   x2  cos 240   i sen 240 

 







1 3 x2    i 2 2 Observación; Utilizando la fórmula de Euler la cual establece que;

ei  cos   i sen  Entonces las soluciones de la ecuación expresarse como; 2 k i e n

con k  0,1, 2.

x n  1 pueden

n 1

Página 88


Ejercicios: Encontrar las raíces de las siguientes ecuaciones; 1. 2. 3.

x

4.

x3

5.

x

6

6.

x3

7.

x4

1 3   i 2 2 1 3   i 2 2 1 i  1 i 3 3 3   i 2 2  44 3 i

1 3 x3    i 6 6 3 9. x  i 4 10. x  6 i 3 11. x  1  i 8.

12. x  3  i Hallar cada una de las raíces indicadas y localízalas gráficamente. 5

13. 14. 15. 16.

2

3  2i

 4  4i 

2  2



1 2

1 5

3i

 16i  i 



1 3

1 4

2

3 17. Resolver las siguientes ecuaciones:

z 4  81 6 19. z  1  3 i 18.

Calcule cada una de las potencias, con cuatro lugares decimales. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

1  i  1  i  3  3i  4i  1  i  1 2

1  x  x 2    x n1 

xn 1 x 1

 n

Entonces;

xn 1 0 x 1

 xn 1  0

Entonces basta resolver La demostración de la Factorización se puede hacer por inducción matemática. Para n = 1 se tiene que:

1  x  x 2    x11 

x1  1 1 x 1

Suponiendo que n = k esto es;

1  x  x 2    x k 1 

xk 1 x 1

Para n = k + 1 entonces sumando tiene:

x k en ambos lados se

xk 1  xk x 1 xk 1 1  x  x 2    x k 1  x k   xk x 1 xk 1 xk   xk x 1 x k  1  x  1x k xk  x 1 k x  1  x k 1  x k xk  x 1 k 1 x 1 xk  x 1 1  x  x 2    x k 1  x k 

c.q.d. Ejemplo 1; Resolver

x  x  x 1  0 3

2

x 1  x3  x2  x  1  0 x 1 4

Basta encontrar las soluciones de la ecuación:

3 2

x4 1  0 lo cual implica encontrar la raíz cuarta de

4 5

1 2

3 7

 1 

0  1  x  x 2    x n1  x n para resolver éste tipo de ecuaciones es necesario factorizar primero el polinomio, en la forma siguiente;

x 4  2 i x 3 1  i 4

En ocasiones existen ecuaciones de la forma;

3i



la unidad:

2  2    x   cos  i sen  n n   con   0 ,1, 2 , n  1

 13


Página 89


20 20   x0   cos  i sen  3 3   x0  cos 0  i sen 0

  

 

x0  1


 







 x  i y 2  a  b i

x 2  2 xy i  y 2  a  b i x 2  y 2  2 xy i  a  b i   x2  y2  a

x













x3  1 Esto implica que el polinomio tiene n raíces distintas por lo cual esta raíz es igual a x 0 .

4. 5. 6. 7. 8. 9.

x3  x 2  x  1  0 x2  x  1  0 x5  x 4  x3  x 2  x  1  0 x 4  x3  x 2  x  1  0 x 6  x3  1  0 x4  x2  1  0 x6  x 4  x 2  1  0 x9  x 7  x5  x3  1  0 x12  x8  x 4  1  0

5.5 RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO COMPLEJO Consideremos la ecuación

x z  2

2

 a2

4 x2 y 2  b2

x 2  z  0 esto es;

ec. 1




2

 4 x2 y 2

 x4  2x2 y 2  y 4  4x2 y 2



 x4  2 x2 y 2  y 4  x2  y 2



2

x 2  y 2  0 entonces:

Como

x2  y 2 

a 2  b2

 ec. 2, además;

x  y  a  x  a  y 2 Sustituyendo en la ec. 2. 2

2

2

a 2  b2

2 y2 

a 2  b2  a

y2 

a 2  b2  a 2

a 2  b2  a 2

 y

De la misma forma si: x2  y 2  a  y 2  x2  a Sustituyendo en la ec. 2 x2  x2  a 

Ejercicios; Encuentre las soluciones de las siguientes ecuaciones.

3.



a  y2  y2 


2.

 y2



1 3 x2    i 2 2

1.

2

2 x y b

a 2  b2  x 2  y 2

22 22   x2   cos  i sen  3 3   4 4   x2   cos  i sen  3 3   x2  cos 240   i sen 240 

 

X  xi y

Sumando las dos igualdades se tiene;

1 3 x1    i 2 2

 

Si z  a  bi y una raíz de la ecuación es entonces sustituyendo en la ec. 1,

a 2  b2

2 x2 

a 2  b2  a

x2 

a 2  b2  a 2



x

a 2  b2  a 2

Como 2 x y  b entonces los signos de x, y, dependen de b. En otras palabras si; i  b 0  x, y tienen el mismo signo.

ii  b 0  x, y tienen signos opuestos En forma general: I] Si b  0 las raíces de la ecuación X 2  a  bi  son: X     

II]

Si b 

 son: X     

a 2  b2  a 2

0

i

 a 2  b2  a   2 

las raíces de la ecuación X 2  a  bi a 2  b2  a 2

i

 a 2  b2  a   2 

Página 90


Si b = 0 la ecuación

X2  a



X 2  a  bi

x

cuyas raíces son:

i) si a  0



X 

a0



X i

ii) si

se reduce a

a

x

a

Las soluciones de una ecuación de la forma;

Ax 2  Bx  C  0

Donde complejos están dadas por:

A, B, C,

son

números

x

 (2  3 i) 

(2  3i) 2  4(1)(1  3i ) 2 (1)

 (2  3 i) 

4  12 i  9  4  12 i 2

( 2  3i )  2

B

B  4 AC 2A

x 2  4  3 i entonces a  4 como; b  0 se utiliza: a 2  b2  a 2

x1 

3 2

i

1 2

y

x2  

y b  3 además a 2  b2  a   2  

i

 42  32  4 x i 2    16  9  4 x i 2   25  4 x i 2   54 54 x i 2 2   9 1  x i  2   2 1   3 x i  2   2 x1 

3 2

42  32  4   2   16  9  4   2  25  4   2    

 i

1

x   2  3 i  x  1  3i  0 . Utilizando,

ecuación:

2

B

B 2  4 AC en dónde; 2A

A  1, B  2  3i C  1  3i se tiene; Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

2  4i 2

x2 

x1  1  2 i

2  2i 2

x2  1  i

Ejemplo 3; Encontrar las soluciones de la ecuación:

x 2   2  2 i  x  1  0 . Utilizando,

B

x

B 2  4 AC 2A

en dónde;

A  1, B  2  2i C  1 sustituyendo en la formula se tiene;

x

 (2  2 i ) 

(2  2i) 2  4(1)(1) 2 (1)

4  8i  4  4 2 (2  2 i )   4  8 i x 2 (2  2 i )  4 (  1  2 i ) x 2 2 (1  i )  4  1  2 i x 2 2 (1  i)  2  1  2 i x 2 2 (1  i )   1  2 i x 2 x   1  i    1  2 i Para encontrar la x

(2  2 i ) 



2

Ejemplo 2; Encontrar las soluciones de la

x

1

X i a entonces; ( 2  3i )  i  1   i por lo tanto. x  2

2

Ejemplo 1: Encontrar la solución de

 X   

Para encontrar



a0

utilizaremos

x

1

sustituyendo en la formula



y a  1 y b   2

sabiendo que formula.

b  0,

 X   

a 2  b2  a 2

i

1 2 i se utiliza la

a 2  b2  a   2   Página 91


 1 4 1 1 4 1 X  i  2 2    5 1 5 1 X  i  2 2     2.236  1 2.236  1  X  i  2 2    1.236 3.236  X  i  2 2   X    0.7861  1.272 i  Por lo tanto

x   1  i   0.7861  1.272 i x1   0.2139  0.272 i

1.

x2  6  8 i  0

2.

x 2  24  70 i  0

4. 5. 6. 7. 8. 9.

x2  1  3 i  0 2 i x2  4  6 i  0 1 3  i0 2 2 x2  2 i x  1  0 x2  ( 2  3i ) x  1  3i  0 ( 2  2 i ) x 2  (11  9 i ) x  16  6 i  0 x2  x  1  i  0 4

x2  ( 2  i ) x  2  i 2 14. 2 i x  ( 2  i ) x  4  16 i  0 13.

15. 16. 17. 18. 19.

Simplifica las siguientes expresiones aplicando la ley de los exponentes.

 i x2  ( 3  3 i ) x  2  i x2  ( 2  2 i ) x  5  0 3x 2  2 x  5  0 x2  x  6  0 (  2  i ) x 2  (1  i ) x  5  i  0

x

1]

x

4

y z

y 3 z 3



2

3]

x y  x y 

4]

5

x y 2

2

x

5

1

3

y

4

1

x 2y



16 x

5]

3

5 3

2

 4x

9

5

sol  x 5 y 2 4

4

1

sol  xy

8

x



sol

y

2

y

4

3

y2 

6]

x

7]

 3 xy   3x y 

3

2

6

3

5

6

x5 y 3 z12

sol 



3

y 4 

1



1

3

2

4 3

4

sol



4 x2

sol



1 64 x 5 y 2

2

2

3

3

x 1 y 3 

2

4 2

2

2



sol

2 3

y2 3 x8

Encuentra el valor de x utilizando las propiedades de exponentes. x

8]

2

4 3 3     = 3 4 2 x

 2  4 9]     3 9 5

x 1

5 4 10]     4 5 1 11]   2

3x2

3 12]   9 5 13]   2


 

1 3 2 3

2]

x2 

x  88 3 i 4 11. (1  i ) x  2  0 2 12. 2 i x  (1  i ) x  2  i  0 10.

1.0 EXPONENTES Y RADICALES

x2  1.7861  2.272 i

Ejercicios; Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones:

3.

PROBLEMARIO FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

4 x

 2 =   3

3 x 1

1   8

4 x 1

-1

 16  =   25 

2 x 1

 27     9 



sol sol



sol



sol



x

 161

4x

 27 x

 4  125  5       8 2  25 

sol



sol



x

Página 92


7 14]   3 1 15]   5

6 x 3

6 x2

4 17]   3

1 19]   8

7 x 3

6 x 3

6 x 3

2 20]   5

3x



7 3

 25  125

4x2

3 16]   2

1 18]   2

2x

3  9       7   49  x

x

sol  sol 

 8  9      27   4 

sol  sol 

x

1   4 8  1     64 

4x2

sol  sol 

 25   4      4   25 

sol 

22] 23] 24] 25] 26] 27] 28] 29]

27 12+ 27 5 2 3 4 3 2 1 48  2 12 7 2 5 7 5 2 3 5 2 2 5 1  27 2 3  18 3 2 7 2 6 3 98 2 48  32 5 2 6 3 4 2 3 3


34] 35]



19  7 10 sol  3 sol  sol  sol

9 6  21 5



sol 

14  9 6 5

sol 

a b  a b 1  x2  1  x2

37]

sol 

1  x2  1  x2 3

38]

sol 

2 3 5 3 5

sol 

2 3 5 6 3 2

sol 

6 3 2

3 20  1 50  27 3 1 98  108

41 42

17  3 35 2

sol 

x2 2 a b  a b

40]

sol

sol 

a  a 1 x2 2

sol 

sol 

sol 

3  2 18 a  a 1

39]

sol  2  3

sol 

32  2 27 108  1

33]

16 3  3 2 10

sol 

2 48  2 1  98

3

Racionaliza las siguientes expresiones:

21]

31]

36]

x

sol 

6 6 32  1

32]

2 x 1

3 9    4  16

9 3 3 2

30]

sol.  sol. 

1.1 PRODUCTOS NOTABLES Desarrolla correctamente los siguientes productos notables 2

2

 x  y  x  y 

2

4

 a2  4 a2  4  x2  1 x2  3

1  2 x  3x 2 y    3  3 y  3 2 x    5 7 9 11



x 3



3

6 8

 x  2  x  3 1  1  3 x  6 x  



x y

2  2 13  x  y  5  3

3

2

 2

 x  7  x  3

12

 y2 3      2 y    x  6  x  4 

14

 x3  6 x3  8

10 y x



Página 93

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 3

x y    2 5

15

 x x 17     a b

3

19 21

16

3xa  5 ym 5 ym  3xa 



x 2 y 3 x 2 y

 x 2  23    x   2

2

2



y  18   2 x 2  5 

3

5 3

2x y  3y 

20

2 2

2

22

 x  2 y  x  7 y 

24

 x  3 x  5

27 

1  26  x  a  2  28  x  4  x  2 

29

 x  10  x  2 

30



32

 x  3 y  x  9 y 

3

3

31

1 2   x  y 4  

33

 3 a2 y2     2 b  x  

35

 1 3 x   2   2

3x 2 y  3x



2

2

2

34

 x  3 y  x  10 y 

36

 x  12 x  3

2

8] 9]

 x5 y 2  11]   1  y 

 x  3 y  x  10 y 

40

Realiza las siguientes operaciones simplificando el resultado a su mínima expresión  1 z   y2    1]  x 2 y 3 z  y 2  z    5 x 2 zy 3      y 3 zx 2    3 2  2     2 3 1 2 1 sol.  5 zx y  y  z 6 2 3 3 2  2    5  2]  a b  a  2c 2    c 2  a 2b    a  3a 2b  2 3   5  2  7 2 7 2 sol.  ba  a  c 2 5 3 1  x 1 x2 3] 3 y  5y  y  4 y x  2  y   y x 1  y x  2  2 2  sol.

 



14] 15]

17] 18] 19]

2

 y2a 2   y   x 



21] 22] 23]

sol.  sol.  sol. 

2

sol. 

2

8x2 y  3 y 2

  2 x3a  2

3 y3  5  6 y  y 2  2  4 x4  3x2  3 2 x4  6 x  5 2 -2  2 x2  3x  1  2 x1  2  2 x4  3 y   2 x1 y 2  -1 2 1 1 2   3 x  2 y   2 x y    

 2 x4  3 y   2 x1 y 2 

 x  32  x  2 2

sol.  sol.  sol. 

  x  32   x  5 

2

20]

24] Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

2

 x y y x   3x 2       y   y  2 2  3 x n 1 y 2   3x n y  12]    n  n  xy   yx 

16]

39

sol. 

    x2 y y 2  x y 2 y 1  3 m 1 2  1 1   8x y   4 x 

 x 2 y y 2a  10]   2 2  a y x 

1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

38

-2

5   3 2  ab c  6   10  x 1 x  3 2 x 3 2 7] 5a b c 4a b 6]  a mb n   

 2a 2 3 y      y a    x  4  x  5

 x  12  x  5

3 3 3   2 x  x2 y    z 2  a  2 2   5

sol.

13]

3

37 

   

5]  x 2 y  x3  a    z 2 

 x2 y 3 x      4 2 y    x  3 x  1



1 2 1  3  3  x  c    c  z 2  x2 y    z 2  c  2 2 2 2     

sol. 2

 x  5 x  8

25

 

4]  5 x 2 y 2 

2

sol.  sol.  sol.  sol.  sol.  sol. 

sol.  sol. 

 x4  3x3 y  2 x2 y   y 2  xy  sol.  3x2 y5  5a2 x4    3x2 y  sol.  sol.   a x  2am1    2a2  Página 94


28]

 x2  20  x    x  5 sol.   6 x2  xy  2 y 2    y  2 x  sol.   15x2  8 y  22 xy    2 y  3x  sol.  5x5  12 x2  5x    x2  2 x  5 sol. 

29]

 x    x  1

25] 26] 27]

1 6

30]  a 2 

31] 32] 33] 34]

si

sol . 

5 1  1 1  ab  b 2    a  b  sol.  36 6  3 2 

  2  6  x2  5x    a  2 sol.   x4  9 x2  3  x    x  32 sol.   2 x4  x3  3  7 x    2 x  32 sol.  x2  2 x  3

A  2x2 

2

3 x4 2

  a  5

1 2 x  2x  5 2 1 1 D  x2  2x  4 5

3 C  3x 2  x  2 2 3 2 2 E  x  3x  5 3 35]  A  B    D  C  36]  A  B   C 37]

 A  E

38]

A B

39] 40] 41] 42]

2

sol. 

B

Sol.  Sol. 

B

2

 A  B 2  C  A  E  D  B2  A  B   B  C  E 2  2 A  B

Sol.  Sol.  Sol . 

8] 2 x 2 y  2 xz 2 + y 2 z 2  xy 3 9] 6m  9n  14mx  21nx 12] 3 x  12ayx  y 2 4ax3 11] 20 ax  5bx  8ay  2by 12] 3ay  7 ab 2  7b 2 y  3a 2 13] 2am  2an  2a  m  n  1 14] 3ax  2by  6a  4b  2bx  3ay 15] 2 x3  nx 2  2 xz 2  nz 2  3ny 2  6 xy 2

1.4 FACTORIZACIÓN Factoriza las siguientes expresiones algebraicas

1 y 4  1  2 y 2

2  1  2a 3  a 6

3 4 x 2  12 xy  9 y 2

4 9b 2  30a 2b  25a 4

5 7 9

x2  xy  y 2 2 1 25 x 4 x 2   25 36 3 2 a  4  4a  9b 2

11 1  a 2  2ax  x 2

6 1 

10 4 x 2  25 y 2  36  20 xy 12 9  x 2  25  10 x

13 25  x 2  16 y 2  8 xy 14 9 x 2  a 2  4m 2  4am 15 x 2  2 xy  y 2  m 2  2mn  n 2 16 2am  x 2  9  a 2  m 2  6 x

Sol. 

18 a 2  16  x 2  36  12a  8 x

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas

1] x 2  xy  xz  yz 2] ax  bx  ay  by 3] a 2 x 2  3bx 2  a 2 y 2  3by 2 4]  1  4 x3  x 2 + 4 x 5]  y 2  3a  2 y 2 x  6ax

2b b 2  3 9

8 x 2  2 xy  y 2  a 2

Sol.  Sol. 

1.3 FACTORIZACIÓN


6] 3b  x  9bx 2 + 3 x 2 7] 15bz  6bx  5a 2 z  2a 2 x

17  x 2  y 2  4  4 x  1  2 y


1 3 5

x2  xy 2 1 25 x 4  25 36 9x 2 +12x 2 y 2

7  16x 4  12 x 2 +1

2 1 

2b 3

4  4x 4 +y 4 6 x 4  6 x 2 +1 8 x 4  x 2 y 2  y 4 Página 95


9 y 2  y 4  1

10 x 4  y 4  3x 2 y 2

21) x 4  3 x 2  4

22) x 4  6 x 2  8

11  6 y 2  y 4  1

12 25  4a 4  29a 2

23) x 4  10 x 2  9

24) x 4  20 x 2  64

25) x 4  8 x 2  16

26) x 4  3 x 2  10

27) x 4  7 x 2  8

28) x 4  4 x 2  3

29) x 4  37 x 2  36

30) x 4  18 x 2  81

31) x 2  14 xy  48 y 2

32) x 2  9 xy  14 y 2

33) x 2  11xy  28 y 2

34) x 2  9 xy  36 y 2

35) x 2  xy  56 y 2

36) x 2  7 xy  30 y 2

37) x 2  2 xy  63 y 2

38) 2 x 2 y  8 xy  24 y

39) x 2 y 2  18 xy  32

40) x 2 y 2  14 xy  24

13 x 6  4 x3 y 3  16 y 6 14 54 x 2 y 2  46 y 4  25 x 4 15 2m 2  181x 2  1

16 49  64 x 4  76 x 2

17  9 y 4  25 y 2 x  16 x 4 18 9 x 4  23x 2  144 19 x 4  x 2  1

20 x 4  6 x 2  1

21 4 x 4  3x 2 y  9 y 4

22 25a 2  54a 2b 2  49b 4

23 4  108 x 2  121x 4

24 x 4 y 4  21x 2 y 2  121

25 x 4  64 y 4

26 4 x8  y 8

2

x  xy 4 1 25 x 4  25 36

27  29

28 1 

2

b 9

30 16  25 x 4


1) x  30  13x

2) x  18  11x

3) x  40 -13 x

4) x  13 x  42

5) x  15 x  56

6) x  5 x  24

7) x  13x  36

8) x  8 x  12

9) x  10 x  21

10) x  4 x  60

11) x  2 x  24

12) x  7 x  44

13) x  12 x  35

14) x  13 x  30

15) x 2  60  7 x

16) x 2  24  5 x

17) x 2  18  7 x

18) x 2  42  x

19) x 4  7 x ²  12

20) x 4  3 x ²  4

2

2

2

2

2

2

2


2

2

2

2

2

2

2


1) 4 x 2  11x  6

2) 3x 2  11x  6

3) 2 x 2  15 x  8

4) 2 x 2  7 x  4

5) 2 x 2  13 x  15

6) 4 x 2  4 x  1

7) 2 x 2  11x  5

8) 2 x 2  9 x  9

9) 2 x 2  5 x  3

10) 3 x 2  11x  4

11) 3x 2  7 x  6

12) 4 x 2  21x  18

13) 2 x 2  13 x  7

14) 4  4 x  3x 2

15) 4  15 x  4 x 2

16) 4 x 2  9 x  9

17) 3 x 2  7 x  2

18) 2  x  3x 2

19) 12  5 x  2 x 2

20) 2 x 4  7 x 2  3

21) 5 x 4  8 x 2  4

22) 4 x 4  15 x 2  4

23) 2 x 4  5 x 2  12

24) 4 x 4  13x 2  9

25) 9 x 4  13 x 2  4

26) 16 x 4  8 x 2  1

27) 6 x 2  27 x  15

28) 28 x 2  21x  7

Página 96


1.8 DIVISIÓN SINTÉTICA Utiliza el método de división sintética para factorizar los siguientes polinomios

1 6 x 4  19 x3  17 x 2  x  3 sol.  2 2 x3  x 2  18 x  9 4 x  15 x  10 x  24 2

sol. 

5 8 x5  20 x 4  14 x3  53x 2  9 x  18 sol.  6 x5  21x3  16 x 2  108 x  144 sol.  7  x5  23x3  6 x 2  112 x  96

sol. 

8 8 x 4  20 x3  42 x 2  23x  4

sol. 

9 x5  25 x3  x 2  25

sol. 

10 2 x  8 x  3x  12

sol. 

5

4

4

13 16 x  40 x  9

sol. 

2

14 4 x 4  31x 2  21x  18

sol . 

17] x3  5 x 2  3x  9  0

sol.  sol . 

19] y 3  2 y 2  y  2

sol . 

20] x3  6 x 2  12 x  8

sol . 

21] x 4  9 x3  23x 2  3 x  36

sol. 

 4x  8

23] x3  5 x 2  13x  7

sol . 

25] x 6  2 x5  x 4  2 x3

sol . 

26] x 4  3x3  8 x 2  12 x  16

sol. 

27] x5  x 4  9 x3  9 x 2

sol . 

28] x 4  21x 2  20 x

sol . 

x  y x  y 2x2  2 y 2   2 x y x y x  y2 x x 2x   2 2 1 x 1 x 1  x4

10

14 15 16

xy  2 y 2



x 2  2 xy  y 2

1 x  x 1 2

3 x  x5  x 1 x 1 2 3x 5 x  10  2  2 x  5 x  25 x  25

6



  x  1  2

4 x  2 

7

xy  y 2

x 2  xy x 2  2 xy x2 3 x 1 x8 x4   2  2x  4 2x  4 x  4 2  x  2 2a  2

a 2  4a  5 a 1  2 3 a  3 3 a  15 2a  50 1 1 x3 x2    2 2 2 x 1  x  xx xx 1 x 

x3  x



5x2  5x x  1  2x  6 5x

2 x2  6 x 2 x  y x y x y 4 xy   2  2 x y x y x  y x y x3  121x

x 2  11x x  11  x7 x7 x 2  49 2 3 4x  7 1   2  x3 x 2 x  x6 x3 

a a   17   a    a   a2  b b  1  5x  4 3x  4 3x 2 18  2  2  2 2 x  11x  6 2 x  7 x  3 x  3x  18 2 x  1 19 20


x  x 1 2

x x 2 x2   2 x  y x  y x  y2

sol . 

24] 18 x5  3x 4  22 x3  4 x 2 +4 x  1 sol. 

x3  2

2

5

13

18] y 3  7 y 2  4 y  12

22]

a  x 2a  ax ax

12

16] x3  4 x 2  5 x

 5 x3  6 x 2

3 1 

11

sol. 

15 x 4  2 x3  13x 2  14 x  24 sol. 

x4

4a a 2  6a  a2 a2

9

2

12 8 x5  4 x 4  10 x3  5 x 2  2 x  1 sol.  4

1 a 

8

11 x  41x  184 x  144 sol.  6

Realiza las operaciones indicadas, simplificando a su mínima expresión el resultado

sol. 

3 4 x 4  4 x3  3x 2  2 x  1 sol.  4

1.9 SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

x 2  3x

6x2  x  1



2 x 2  11x  5 3x 2  10 x  3 x2  2 x  8 x  3x  4 2



x2  4x  4 x  6x  8 2





x x5

x4 x 1 Página 97


21

x2

3x  2



2x  x 1 2x  9x  4 2

2

22

x  4 x  12

23

12 x 2  13x  3

24 25 26 27  28 29 30 31 32 33 34

2

x  7x  6 2



5



x  3x  4 2

x  10 x  16 2

x2  7 x  8





1 x4

1

3x 2  x  6



3x  1 3x  1

3x  5 x  2 9  6 x  8 x x 2  4 x  5 x 2  8 x  12 x  8   x 2  3 x  10 x 2  2 x  1 x  5 4x  4 3 4 5    2 x 4 x2 x2 x2 2

2 x 2  3x  1

2

x4 2 x  5 x  3 2 x  11x  12 x  6 2 x 2  17 x  8 2 x 2  7 x  6  2 x  1 x  8    2 x 2  9 x  9 4 x 2  9 x  2  x  3 4 x  1 2

x 2  3x  2



2 x 2  13 x  6 2

x 2  6 x  16



x5 x  5 x  4 x  x  20 x  8 2x  7 x  11 1 2  2   2 x  7 x  12 x  2 x  15 x  4 x  1 4 x  10 x  14 3 2  2   2 x  2 x  8 x  2 x  24 x  2 x  6 2



2

3x 2  8 x  4

2



3x 2  x  2

1

4 x2  5x  6 4 x2  7 x  3 2  1   2 35  x   x    x 1 x  1  x2   x  x2  36 1    x  x y   x  y   Simplifica las siguientes fracciones algebraicas a 3 a x4 a b  x  x3 37  38 1 b 1 5 x5 b x4 b x 4 a b a4  1 a a2 39 40 b a   a  b  2 b b 1 1 a a Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

43

45

47 



x  10 x  21 x  10 x  16 x  8   x 2  9 x  14 x 2  2 x  15 x  5 x 2  4 x  21 x 2  14 x  48 x  3   x 2  3x  28 x 2  4 x  32 x  6 5x 3 2 6    2 x  2 x  29 6  x x  4 x  6 2

41

49

50

51

1 ab a 1 x  1   x  1 a b  a b 42 1 ab x ab 1 2 a a  b x 1 x y x  x 1 y x 2 2 44   x  y x y y x 1 4 x x 1 1  x  1 1 x  1  x  x  1 46  1 1 1 2x  1  1 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 1  48  1 1 x 2 x  3 2 x x x2 1 x  3 x 1 2 2  1 a 1 a   1 2 2 a  1 a 1 a a 1 a   2a 2  2a  1 1 a a  1 a a 2a  1  a 1 a x  3 x 1  1 x4 x2  x 1 x  3 2x  1  x2 x4 1



a2

52

53

54

55



1 a 2  ab  b 2 a b  b ba b3  a a b 2x 1 2 1  x 2    x  1 x  1 2 2 x5  2 2x  4 1 x a  2b b  a b a  1 ab 3b  a a b x y x y  x2 x y x y  4 x  y x  2y y  x  y  x x y 3



Página 98


24

1.10 ECUACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con una variable.

1 2  x  4   7  19

Sol .  x  2

2 2  3x  1  11   8  x 

Sol .  x  3

3

Sol.  x 

 5  x  2  x   x  x  3  0

4 2  x  1 x  1   2 x  3 x  2   0

5 2 Sol.  x  4

x2  2 x  1  9  x

Sol. 

x5

25 15  3 7 x  1  12

Sol. 

x4

26

x  x7 7

Sol. 

x9

27 

3x  5  3x  14  9

Sol. 

x  10

28

5 x  1  3  5 x  26

Sol. 

x2

29 5  3x  1  5 x  0

Sol. 

x 8

30 13  13  4 x  2 x

Sol. 

x9

5

 4 x  3 3x  2    6 x  7  2 x  5  2 Sol.  x  1

6

 2 x  3 3x  2   6  x  2  x  3  3 Sol. 

7

 2 x  3 2 x  5    2 x  12  0

8

19

x x3 + 6 2 3 x2 x3 + 4 5 2 4x  1 2x 1 + 1 3 4 2x 1 x  2 1 +  3 2 3 3x  1 2 x  3  1 2 3 7 x  5 3x  3 1   12 4 3 3x  4 x  1 1   8 3 4 3x  1 5 x  2 1   4 7 14 3  8x 7  x x   3 2 3 2 x  1 3x  5 x  3 5 x  3 2  x x 1   4 3 6 5 x  19  5 x  1

20

9 x  14  3 x  10

Sol. 

x  15

14 7 x 2  14  0

21

x  4  x  4  2 x 1

Sol. 

x5

15 x 2  13x  30  0

x2

16 x  12 x  32  0

9 10 11 12 13 14 15 16 17 

18

22 7  3 5 x  2  9 23

9 x 2  5  3x  1


x3

Sol.  x  2 Sol.  x  6 Sol.  x  3 Sol.  x 

1 2

Sol.  x  2 Sol.  x  3 Sol.  x  4 Sol.  x  2 Sol.  x  13 Sol.  x  1

1 Sol.  x   3 Sol.  x  20

Sol. 

Simplifica las siguientes expresiones y resuelve las ecuaciones cuadráticas resultantes de la simplificación,

1 2 3 4 5 6 7 8

x2 x 3 1   Sol .  x1  3 x2   5 2 10 2 2 x x   3  x  5 Sol.  x1  6 x2  15 6 2 5 1  1 Sol.  x1  1  11 x2  1  11 x x2 15 11x  5   1 Sol .  x1  1 x2  5 x x2 8x 5x  1 10  3 Sol.  x1  1 x2   3x  5 x  1 7 1 1 1   Sol .  x1  4 x2  1 x  2 x 1 6 2x  3 x  2 1  Sol.  x1  5 x2  18 x5 10 10  5 x  3 x  13 3 5 Sol.  x1  10 x2   2 x 4 x

9 x  4 x  1  5

10 2 x  x  1  3x  7

Sol.  x  5

Sol. 

1.11 ECUACIONES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE

x 1

11

5x 1  x  3  4

12 2 x  x  5  1 13

2x 1  x  3  3

2

17  x  4 x  21  0 2

sol.  x1  2 x2  12 sol.  x1  5 x2  10 sol.  x1  1 x2  13 4 sol.  x1  4 x2  9 sol.  x1  1 x2  61 sol.  x1  i 2

x2  i 2

sol.  x1  3 x2  10 sol.  x1  4 x2  8 sol.  x1  7 x2  3

Página 99


18 x 2  2 x  24  0

sol.  x1  4 x2  6

19 x 2  7 x  44  0

sol.  x1  4 x2  11

20 x 2  4 x  60  0

sol.  x1  6 x2  10

21 x 2  60  17 x  0

sol.  x1  12 x2  5

22 x  10 x  21  0 2

23 x 2  8 x  12  0

24 x  13x  36  0

sol.  x1  2 x2  10

29 30 31 32 33 34 35 36 37  38

sol. 

x1 

42 43

x3

6 5 x3

sol.   1  5

53

2 3

x2 

sol.  x1  6 x2  15

3) 3 x  2  5 x  8 5 4) 0 7  2x 2 x  14 5) 1  2 3 6) 2 x  1  5

x2 

1 3

x1  1 x2  6

sol.  4

13 8

 sol.

 1, 2

 17   sol.  ,    5   sol.  5,    sol.

 , 7 2 

 11   sol.  4,   2   sol.  , 3  2,  

3  7x 6 4 7  3x 8) 1 2 9) 2  7 x  16

 sol.   3,1 5   sol.  ,3 3   sol.   2,    4  12  5 x  3  7  sol.   ,3   5  1  3   25 x  8  7  sol.  ,   ,   25   5   4 5 1  27    1  sol.  0,  x 9 x  4  7  1  sol. 2x  3  1 2 x 2  9 x  4  0  sol.  .  4    ,    2 1  3x 2  5 x  2  0  sol.  2,  3   2 7 3x  2 0  sol.   ,  2x  7  3 2

7)  1 

10) 11)

45 ( x  4)3  ( x  3)3  343 sol.  x1  3 x2  4


x2 x   3( x  5) 6 2

2) 5 x  6  11

sol.   1 , 2

x  3  2x  1  2 x  0

sol.  x1  2 x2  

x2  3 x2 

sol.  x1  0 x2  5

13 3  x 2

52 4 x 

1) x  3x  2  x  6

sol.  1  3

sol. 

3x  1  5 x  16 x  1

Encuentra el conjunto solución para las siguientes desigualdades:

11 25( x  2) 2  ( x  7) 2  81 sol. x1  2 x2  4 4 2 x  16 x  225  0 sol.   3  5i

44 x 6  7 x3  8  0

46

49 x 4  6 x 2  5  0

1.12 DESIGUALDADES

40 (2 x  3) 2  ( x  5) 2  23 sol. x1  7 41

sol .   2  3

1 2 5 x2   2

x2  

3 2 1 2 x 2  3x  2  0 sol.  x1  2 x2   2 1 4 x 2  3x  1 sol.  x1  1 x2   4 1 2 6 x  35 x  6 sol.  x1  6 x2   6 3 2 2 6x  6  5x sol.  x1  x2   2 3 1 1 2 4 x  4 x  1  0 sol.  x1  x2  2 2 3(3 x  2)  ( x  4)(4  x) sol. x1  2 x2  11

39 x 4  10 x 2  9  0

sol .  x1  1 x2  16

48 x 4  3x 2  36  0

sol.  x1  3 x2  12

1 3 3 2 4 x  4 x  15 sol.  x1  2 4 2 3x  12  5 x sol.  x1  3 2 2 9 x  4  12 x sol.  x1  3 3 4 x 2  12 x  9  0 sol.  x1  2

28 6 x 2  x  1

5

51

26 x 2  8 x  20  0

27  x  9 x  36  0

x

sol.  x1  2 x2  6 sol.  x1  9 x2  3

2

4

50 ( x  2)( x  2)  7( x  1)  21 sol.  x1  9 x2  2

25 x  6 x  27  0 2

x

sol.  x1  7 x2  3 sol.  x1  4 x2  9

2

47 

12)

13) 14) 15) 16)

Página 100


17) x 2  7 x  10  0  sol. 18) 2 x  x  3 2

19)

x 1 2 x3

 , 2   5,  

3   sol.  1,  2   sol.

 , 5  3,  

1   sol.  ,   2  21) x  3x  2  x  6  sol. 22) 1  2 x  1  sol. x3 23) 1  sol. 2

5  4 x  17

25) 0  x  1  5

48) x3  x  2  x  3  0

1 4   0  sol , 1, 2   6,   x 1 x  6 2x  6 51) 0  sol.  ,1  3,5  2 x  6x  5 1 3 5 52) x  2   sol.  ,  2 2 2

50)

 sol.  sol.

 5 3  sol.   ,    8 8 8   sol.  ,    2,   5 

1 4

53)

2x  1 

54)

5x  1  9

0 x  8x  7 3 5  0 x2 x6

5  2x  7

 sol.

27)

4 x  0

 sol.

28)

x9 8

 sol.

55)

29) 7  2 x  3 30) 5  2  9 x  4

 sol.  sol.

56)

 sol.

57) 7 x  x  4   0

32) 33) 34) 35) 36) 37)

2x  3 2 5 3x  5  10 4 0 2 x 9 2  7 x  3x  10 x  2 1 0  4x 1  2 3  11x  41

38) 2 x 2  9 x  7  0 3 2 39)  x 9 x 2 40) 2 x  1  0 41)

1 1 1  x   1  x  2 3

42) x 2  1  0 43) x  x  1 x  2   0 44) x3  2 x 2  x  0 x 1 45)  x5 4 1 46) x x

1

 sol.

7

 sol.  sol. 1   sol.  ,   5   sol .  1,1  sol.  0,1  2, 

0, )

5   sol.  ,   3 

 5, 

 1, 0  1, 

5

3  2   y  2 

 x  y 6

x  4   y 2  3 

 sol.


 sol.

Desarrolla los siguientes binomios utilizando el teorema del binomio:

sol. sol. sol. sol.

 sol.

 sol.

1.13 TEOREMA DEL BINOMIO

 sol.

 sol.

2x  8

2

2

 sol.

   

 0,2   ,  6   2,  

 sol.

49) x 2  x  2  x  6   0  sol.

26)

31)

 3, 1  3, 

 sol. 2

20) 3 x  8  x  7

24)

x2  9 0 x 1

47)

10 13

5

 x  y

5 6

 1   2  3x  x  5 1   x    x 

2  16   2 x  5 

7

5

 x2  2 y 

8

 2x  y 

5

3

 3x  5 y  4

6

 2  xy  1

5

2

7

x  9   y 3  2  5  1  12  3  2 x  x 

5

11

1    x  x 

14

 2 x2  y 

17 

 x2  xy 

1

5

7

2

5

15

 2 x  y3 

18

x

3

2

6



1

9

Encuentra los términos indicados en la expansión de la expresión.

  20 primeros tres terminos de  x3  5 x 2 

19 primeros tres terminos de 3c 5  c 2

20

4

25

5

Página 101


  12 últimos tres terminos de  x  2t 3 

21 últimos tres terminos de 4 z 1  3z 22

 3 x2  sexto termino de    x 4   

23



15

18

7

24 quinto termino de 3x  y 2



9

19

8

x  25 septimo termino de   4 y  3 



26 cuarto termino de 3x  y 27  quinto termino de

1.14 1 3 5 7 9



2



3 10

x y



8

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2 x  4 y  6 4x  3y  2 sol. 1, 2  2 sol.  1, 2  x  y  1 2 x  y  4 7 x  14 y  7  x  4 y  3 sol.  3, 1 4 sol.  7,1 4 x  y  11 2 x  3 y  11 4 x  12 y  4 4x  5 y  6 sol.  2,1 6 sol.  1, 2  5 x  y  11 5 x  2 y  1 5 x  7 y  16 2x  3y  8 sol. 1, 3 8 sol. 1, 2  2 x  8 y  26 3x  4 y  11 3x  5 y  13 7 x  3 y  14 sol.  1, 2  10 sol.  2, 0  4 x  y  2 3x  y  6

5( x  3 y )  (7 x  8 y )  6  73 30  11  sol. 1 ,   7 x  9 y  2( x  18 y )  0  89 89    2( x  5)  4( y  4 x) 12  sol.  1, 2  10( y  x)  11y  12 x 3x  4 y  2(2 x  7)  0 13  sol.  2, 3  5( x  1)  (2 y  1)  0 12( x  2 y )  8(2 x  y )  2(5 x  6 y) 1 1 14  sol.  ,  20( x  4 y )   10 2 4  15

16

17 

 x( y  2)  y ( x  3)  14 sol.  2, 6    y ( x  6)  x( y  9)  54

 x y  7  8  0  1 x  3 y  7  7 4  2x  1 y   4  5 2 x  3 y  8


20

sol.  7, 8 

sol.  2, 4 

21

22

23

24

3 x  6 y  3t  3  x  3 y  z  4t  12    x  7  z  2t  8  2x  3y  8

x3 y 4  3  4  0  x  4  y  2  3  2 5  x  2 y  2 z  5t  11 2 x  4 y  2 z  8t  14    x  3 y  4 z  8t  19  x yz  2

29

30

sol.  6,8

sol.  2, 5, 1,5 

x  y x  y  6  12   2x  y  3  3 x  y y  x 7  6  3  24   x  x y  5  2 6 12  9 x  4 y  10 z  6   6 x  8 y  5 z  1 12 x  12 y  15 z  10 

3 1 sol .  ,  4 2

5 x  3 y  z  11   10 x  y  z  10 15 x  2 y  z  7 

1  sol .  , 2, 6  5  

 x  y 1  25  y  z  1  z  x  6   x  2 y  1  26  2 y  z  0  x  2 z  11  27 

sol.

 y  z  8   2x  z  9 2 y  2 x  3   x  y  z  12  2 x  y  z  7 x  2 y  z  6 

 x yz  2   x yz  4 2 x  2 y  z  4 

sol .  3, 1

1 1 1 sol.  , ,   3 4 5

sol.

 2, 3, 4 

sol .

 3, 2, 4 

sol .

 6, 5, 3

sol .  3, 4,5

sol.

 1,1, 4 

Página 102


31

32]

33]

34]

 2 x  y  3z  1   x  3 y  2 z  12 3x  2 y  z  5 

sol . 1,3, 2

 2 x  y  2 z  10   3x  2 y  2 z  1 5 x  4 y  3z  4 

sol.

 x  2 y  3z  6   2x  y  4z  2 4 x  3 y  2 z  14   2 x  y  3z  5  3x  2 y  2 z  5  5 x  3 y  z  16 

 2  a, 2  2a, a 

 1,  3,  2 

 x  2y  z  2  3x  2 y  z  5  36]  2 x  5 y  3 z  4  x  4 y  6 z  0  3x  2 y  z  5  x y t  0  37]  3 x  2 y  z  t  4  y t 1

41]

 a  2b,1  2a  2b, a, b 

 2, 1,  1 

 3, 2, 0, 1 

 2x  y  z  w  1 x  2 y  z  w  0  38]   x  y  2z  w  1  x  y  z  2 w  0

 5 x  4 z  2t  3 x  y  2z  t  1  40]   4x  y  2z  1  x  y  z  t  0

42]

 x  3 y  2 z  1  y  4 z  7  43]  2 x  7 y  6 z  5  y  2 z  3

1.15

 x  2 y  3z  2w  2  35]  2 x  5 y  8 z  6w  5 sol.  3x  4 y  5 z  2w  4 

x  y  z  w  a x  y  z  w  b  39]  x  y  z  w  c  x  y  z  w  d

 1, 2,  3 

2 x  4 y  6 z  12   2 x  3 y  4 z  15  3x  4 y  5 z  8 

 3 2 3 2   ,  , ,   5 5 5 5 

 3x  2 y  z  2  4x  2 y  2z  8 x  y  z  4 


 4, 2, 10 

FRACCIONES PARCIALES

1

8x  1  x  2  x  3

2

2 x2  3x  1

3 4

x  5x x  34 3

sol.

36 14 1   25  x  1 25 x 5 x 5 4 sol.  x6 x2

x 2  4 x  12 2 x 2  x  3

sol.

x  x  25 x  25 3

2

4 x 2  15 x  1 sol.  x  1 x  2   x  3

6

x 2  19 x  20 x  x  2  x  5 

7

4 x 2  5 x  15

8

10

12 13

sol.

2

 x  1  x2  5x  6  2x  1 x  x  14 x  24 3x 2  3x  2 3

2

x3  6 x 2

19 x 2  50 x  25 3 x3  5 x 2 3x  2 x  3x 3

2

x2  6

 x  2   2 x  1 2

1 4 29   4  x  1 5  x  5  20  x  5  2 3 1 +  x 1 x  2 x  3

sol.

x  4 x  5x 37  11x 3

3 5 + x2 x3

sol.

2

5

11

 1,  1,  1, 1 

 0, 1,  2, 

Realiza la descomposición de las siguientes fracciones en fracciones parciales:

9  d  a c d bc a b , , ,   2 2 2   2

 2,  1,  2 

=

3 2 1 +  x x  5 x 1

sol.

1 5 3   2  x  2 7  x  3 14  x  4  32 5 1 sol.   2 9  x  6 9 x 3x

sol. sol. sol.

11 11 2   2 9  x  3 9 x 3 x  23 25

 2 x  1



24

25

x2



2

5

 x  2 2

Página 103


14

2 x2  x

 x  12  x  12

15

3 x3  11x 2  16 x  5

16

4 x3  3 x 2  5 x  2

17  18

x  x  1

x2  x  6

x 2  x  21



20

2 x3  2 x 2  4 x  3

22 23 24 25 26 27 

28 29 30

2

sol.

x  2x 3

2 x  2 x  6 x  5x  1 2

x  x  x 1 3

2

x

8 x  11 37 9 29  3 2 2 29 x  5   x  5 x  4 x  20 x 4 1 x 5 1 1 29 29 sol .  3 2 2 29 x  5   x 4 x  5 x  4 x  20 x2  5 2 1 sol.  2  x  1 3 2  x  1 x  2 x  x  2x  2 5 x2 2x  5 5 7 sol .  x3  7 x x2  7 7 x 2 2 x  3x  6 5 11 6 sol.   3 2  x  1 2  x  1 x x x

x2  x  7

sol.

2.0 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Exprese el logaritmo dado en términos de logaritmos de x, y, z,

4 5x  3  x x2  2

1) log a

x2 y

4) log a x 3 sol. 2 x 

3x

 x  1 2



1  x  1

2) ln

z3

sol.

x4  x2 3

33

35

sol.

x 2  4  2 x  1

9 x  3x  8

32

34

2 3x  4 sol.   2 x 1 x 1

 x2  1  x  1

4

5 2 3   x x  1  x  13

sol.

x3  x  2 

19

21

sol.

3



31

sol.

y2 z

4

7) log a x yz 3

x3 y 2 z5

5) loga 3

xz 2

3) ln

x2 yz

y4

6) ln

5

8) ln 3 x 2 y z

9) ln

11) log a 3 x 2 y z

l2) ln

3

x3  3 x 2  9 x  27 4 x3  4 x 2  4 x  2 2 x2  x  1

sol. 10) ln x yz 3 sol.

 2 x  3 

2 3   x  1  2 x  1

xy 3 2

z xz 5 y3 xz 5 y3

 xz 5  5 4 3 2 13) log 14) ln 15) ln  3  a x  5 x  7 x  x  4 x  12  y  y z2 sol .   3 2 x  3x Escriba la expresión dada como un solo logaritmo 1 1 1 1 1 =    x  1 x  2  x  4  15  x  1 6  x  2  10  x  4  16 5log x  2 log  3x  4   3log  5 x  1  x 1 1 1 1 1 x 2 3 3 =   2   3 2 17  log y x  2log x y  3log   2 16 x 16 x  2   8 x x  x  2 4  x  2  y z x3



3x  2



x3 x 2  4



x4 x3  5 x 2 x 2  3x  4 x  2 x  5x  6 3

2

x  3 1 3 1 sol.  2  3  28 4 8x 4 x 2x x 4

9 9 4 sol.   2 25  x  5 25 x 5 x =

14 1 2   15  x  2  3  x  1 5  x  3

x 2  7 x  11  x  2  x  1 x  4 


x3 y 5



y3 1  3log y  log x 4 y 2 x 2 3ln  x  1  ln  x  1  ln x

18 2log 19 20

1 ln  2 x  1  ln x  ln xy 2

  =

21 ln z 2  4ln x  2ln x 2

=

22 3ln x  ln1  3ln yx

=

sol.

Página 104

2


26 log  log x   2

2.1 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

27  y 

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

1 log10  x  4   2 3 2 log9 x  2

sol. x  13

28 y 

sol. x  27

29

1 1 sol. x  ,  5 5 7 log 6  2 x  3  log 6 12  log 6 3 sol. x  2 2log3 x  3log3 5 sol. x  5 5

3 log5 x 2  2 4 5

6 log 2 x  log 2  x  1  3log 2 4

sol. x 



63 64

1 7  log5 x  log5  x  6   log5 9 sol. x  3  6 2 8 log10 x 2  log10 x sol. x  1 1 3 9 log5  x  2   3log5 2  log5  x  2  x  2  2 2 2 2 10 log 2  x  5   4 sol. x  21 11

3 log 4 x   2

1 sol. x  8

2 sol. x  9 3 log 4  x  1  2  log 4  3 x  2  sol. x  2log3  x  3  log3  x  1  3log3 2 sol. x  1 1 log 4 x  1  sol . x  2 16 25 x  6 sol . x  log / log 2 3

12 log8  x  5   13 14 15 16

sol. x  2

10 x  10 x 2

sol. x  log  y  y 2  1   

10 x  10 x 10  10 x

1 y  1 sol . x  log   2  1 y 

x

 2log3 x 2  10log3 x  4

sol. x 

30 2  log 2 x   6  4log 2

sol. x 

31 8  log5 x   2log5  3

sol. x 

2

2

32 log  5 x  1  2  log  2 x  3 sol. x 



33 6  log 6 z 

sol.  log6 z 2 34 2log3  x  3  log3  x  1  3log 2 1 2 log x 1 2  3log8 2  1

34 log 4 x  1  35

36 2log x  4  3  log x  4  2  37  log x 1 2  4log16 2  1

x sol. x 

sol . x  sol. x  sol. x  sol. x 

38 3log x  2  3  log x  2  4  2log9 3

sol. x 

39 3x  4  21-3 x

sol. x 

5 x  55 3 2

sol. x 

40

41 122 x 1  5 x 3x+2

42

1   2

43

3   9

sol . x 

1   8

2 x -1

 161

sol. x 

18 ln x  1  ln  x  1

3 32 sol . x  log / log 8 9 sol . x 

19 34  x  5

sol . x  2.54

20 3

13 x

sol . x  1.16

5 44   8

21 42 x  3 =5 x  2

sol . x  6.34

2.2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

17  2

5 x 3

x4

2 x 1

=3

=2

22 log x  1  log  x  3

sol. x  5

23 log  5 x  1  2  log  2 x  3 sol. x  1.54





24 log x  4  log  x  2   3  log  x  2  sol.x  2 2

25 log  x  4   log  3  10 x   log


1 sol. x  x

4 x

2x

 27     9 

4   3

4 x2

x 1



 27

sol. x 

8 4

sol. x 

Demostrar las siguientes identidades 1 sec t csc t  cot t  tan t  2 cos t csc t

2

1  cos 2 y 2



2 csc 2 y  1

sen y

3 sec 2  csc 2  

sec 2   csc 2 

Página 105


4

sec x  cos x

5

1  cos t

6

2

tan x  sen 2 x  tan 2 x sen 2 x

7

1  tan 2 v

tan x

tan 2 v 1  sen x 1 1  cos y



sec x  2 csc t

1  cos t

2

 csc v



1  sen x

26 1  sen x 1  sen x  

tan x

sen t



sen t

8 9



1  sen x 1  sen x 1

1  cos y

 2 csc 2 y

1  csc 

10

 cot   cos  sec  cot   tan  11  csc   sec  sen  cos  cot x  1 12  cot x 1  tan x

1  sec 

13 14

 csc 

tan   sen cos  1  sen

15 16 17

18 19

 csc y  cot y

csc y  cot y tan 2 x sec x  1



cos x

sen x  tan x

sen t 1  cos t

Resuelve los siguientes problemas aplicando las funciones trigonométricas si:

2] Resolver el triángulo en el cual un cateto a  25.36 y A  5830 y c  32.5

9] Si los datos son a = 52.7 y b = 65.3 m; determinar los valores de los elementos restantes y la superficie



24 cos x  sen x  2cos x  1 25

2.3 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

8] Si A = 61°40’ y c = 371.4 m (hipotenusa), determinar los demás elementos y su superficie

23 cos 2 x sec2 x  1  sen 2 x 2

sec x

7] Si en un triángulo A = 52°30’ y el cateto b = 5.427 cm

20  cos  sec   1



 sen 2 x

6] Resolver el triángulo si a = 27.7 m y c = 36.4 m

 sec 

21 sen sec   tan  csc x 22   cot x sec x

2

5] Resolver el triángulo si A = 30°40’ y c = 56.27 cm

 csc t  cot t

cot   cos 

sec2 x  1

4] Resolver el triángulo si A = 38°16’ y a = 25.38 cm

 csc x

1  csc 

29 csc  sen  cot  cos

3] Resolver el triángulo en donde b  15.25

1  cos x

1  sec x

sen x  cos x  1  tan x cos x 28 sen x  cos x cot x  csc x

1] Resolver el triángulo rectángulo si el  A  35 10 y c  74.5

 sec   tan 

1

sec2 x

27 

30  4 tan x sec x

1

2

2

10] A 87.5 m de la base de una torre el ángulo de elevación a su cúspide es de 37°20´ ; calcular la altura de la torre, si la altura del aparato con que se midió el ángulo es de 1.50 m

sen x cos x  1 csc x sec x


Página 106


11] A 75 m de la base de una antena el ángulo de elevación a

2.4 TEOREMA DE PITÁGORAS

su parte más alta es de 34°20´´; calcular la altura de esta torre si la altura del aparato con el que se midió el ángulo es de 1.5 m

Encuentra el valor de x en las siguientes figuras:

1)

12] Calcular el ángulo de elevación del sol en el momento en que un árbol 32.5 m de altura proyecta una sombra de 75 m.

2)

3)

5)

4)

6)

13] ¿Qué altura alcanzara sobre su muro una escalera de 5 m de largo, si forma con el piso un ángulo de 65°0´´; ?

7)

8)

14] ¿Qué ángulo forma con el piso el pie de una escalera de 7 m de largo, si dista de la base de un muro 2.5 m?

9)


10)

Página 107


Resuelve los siguientes problemas: 11] Calcular la altura de un triángulo isósceles, si su base mide 60 cm y cada una de los lados iguales mide 50 cm. 12] ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 28 m de largo y 21 m de ancho? 13] ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo en un muro vertical, si su pie está a 3 m del muro? 14] Un terreno rectangular de 4000 m de largo por 3000 m de ancho tiene en medio una colina que no permite una medición directa. ¿Cuál es la longitud de la diagonal? 15] Para sostener la torre de la antena de una estación de radio de 72 m de altura se desea poner tirantes de 120 m para darles mayor estabilidad: si se proyecta tender los tirantes desde la parte más alta de la torre, ¿a qué distancia del pie de ésta deben construirse las bases de concreto para fijar dichos tirantes?

18 A  3, 7  B  5, 21 3   19 A  2,  ,  B  1, 2  5   1   1 20 A  ,5  B  3,  2   2 21 A  3, 2  B  21, 7  22 A  9, 6  B  4,9 

sol

28 x  8 y  28  0

sol

17 13  x  3y  0 5 5

sol

9 5 59 x y 0 2 2 4

sol

24 y  9 x  21  0

sol 57  13 y  15 x  0

3.1 ECUACIÓN DE LA RECTA PARALELAS Y PERPENDICULARES: Obtenga una ecuación para las rectas que satisfaga las condiciones dadas. 1 A través de A  7, 3 , perpendicular a la recta con

ecuación 2 x  5 y  8 2 A través de A  4,8  ,

sol. 5x  2 y  29  0 perpendicular a la recta que

3.0 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS.

pasa por los puntos B  5, 1 y C  2, 3 ,

Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por los puntos: 1 A  1, 4  B  3,1 sol. 3 x  4 y  13  0

3 A través de A  7, 2  , paralela a la recta que pasa

2 A  2, 3 B  3,1

sol. 2 x  y  7  0

 1 3 A  4,  B  2,1  2 2 1 4 A  ,  B  5, 3 3 2 5 A  3, 5  B  2, 2 

sol. 3  2 y  sol.

10 A



 

2, 1

B 3, 2

1 x0 2

5 Obtenga las ecuaciones de las alturas del triángulo

13 5 1 y x 0 3 2 2



sol. 1 

con vértices A  3, 2  , B  5, 4  , C  3, 8  sol. x  6 y  9  0; 4 x  y  4  0; 3 x  5 y  5  0 6 A través de A  4,10  , paralela a la recta que pasa

9 13 y x0 2 2

por los puntos B  0, 5  y C  8, 8 ,

15 7 99 sol. y x 0 4 2 8

sol.13x  8 y  132  0 3 1 7  A través de P  ,   , paralela a la recta con 2 4 ecuación 2x  4 y  5 sol .

13 19 11 sol. x y 0 3 5 5 sol. 8 x  9 y  29  0 sol.



 

por los puntos B  0, 4  y C  6, 6  , sol.5 x  3 y  41  0  3 1 4 A través de P   ,   , paralela a la recta que  4 2 con ecuación x  3 y  1 sol.

sol. 7 x  5 y  4  0

1 1 6 A  ,   B  4, 6  2 2 1  3  7  A  3,  B  , 4  2  4   4 1 8 A  ,  B  3, 4   5 3 9 A  2, 5  B  7, 3

sol.



3  2 y  1 2 x  5  0

8

A través de P  5, 7  , paralela a la

ecuación 6x  3 y  4  0

11 A  7,11 B  2, 7 

sol. 4 x  9 y  71  0

12 A  12,3 B  4, 5 

9

sol. 8 x  16 y  48  0

el punto

13 A  5.3, 4.2  B  2,1 sol 14 A  1,3 B  5,11 3 1   15 A  , 4  B  2,  2 4     16 A 11, 5  B  2, 7 

 5.2 x  7.3 y  3.1  0

sol 6 y  8 x  26  0 19 5 61 x y 0 4 2 8

sol



sol

2 x  9 y  67  0

17  A  5,9  B  3, 7 


sol 16 x  8 y  8  0

sol. 2 x  y  3  0

Hallar la ecuación de la recta que pasa

 1, 3 ,

3 x  4 y  11  0 10

recta con por

que es perpendicular a la recta sol.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por

el punto

 7, 2  ,

que es paralela a la recta

3 x  5 y  11  0 sol. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto  3, 4 y que sea normal a la siguientes ecuaciones

Página 108


11 2 x  5 y  10  0

12 2 y  3x  4

13 3x  5 y  0

14 6 x  1  2 y

15 5 x  20  6 y

16 9 x  4 y  0

Encuentre una ecuación de la recta que sea ortogonal a las ecuaciones dadas y que pase por el punto  2, 5

17 x  3 y  11  0

12 x  5 y  23  0

13 4 x  y  7  0

14 7 x  3 y  21  0

15 8 x  15 y  13  0

16 x  6 y  1  0

17 x  6 y  9  0

18 4 x  y  4  0

14 Centro

 6, 2 

tangente a la recta x  3

x 2  y 2  12 x  4 y  31  0

sol.

15 extremos de su diámetro A  1,1 , B  4, 6  16 Pasa por los puntos A  2,1 , B  5,1 , C 5, 3  17  Un punto se mueve de tal manera que su distancia del

 4, 2  es siempre punto  1, 3  , hallar

punto del

sol. 3 x  3 y 2  16 x  20 y  20  0

geométrico,

18 Un punto se mueve de tal manera que su distancia del

 2, 2 

punto

Encuentra las coordenadas del centro y el radio de las siguientes circunferencias

distancia del punto geométrico,

6 x 2  y 2  2 x  10 y  10  0

doble de su distancia de la recta 3 x  4 y  1  0, hallar la ecuación del lugar geométrico sol.

11 x  y  8 x  4 y  15  0

12 x 2  y 2  14 x  4 y  17  0

13 x  y  10 x  12 y  45  0 2

2

14 4 x 2  4 y 2  8 x  8 y  7  0 15 2 x 2  2 y 2  8 x  7  0

16 3 x 2  3 y 2  3 x  2 y  1  0

17  9 x  9 y  12 x  6 y  4  0 2

2

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyos condiciones se establecen a continuación

5 x 2  5 y 2  16 x  28 y  27  0

21 Un punto se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus distancias de los puntos  0, 3 ,  3, 0  y

 2, 2 

sol.

9 4 x  4 y  12 x  7  0 2

es siempre igual a 30

3x  3 y 2  2 x  2 y  4  0 2

3.3 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Encuentra todos los elementos de las siguientes parábolas

1 y 2  4 y  6 x  7  0 sol. F  2, 2  , V  1 2 , 2  , ec, di. x  1  0

LR  6

2 4 x  4 x  3 y  2  0 2

sol. F   1 2 ,1316  , V   1 2 ,1 , ec, di.2 x  1  0

LR 

3 3x 2  9 x  5 y  2  0 4

y2  2 y  4x  9  0

6

y  8 x 2  16 x  10  0

3 4

5 x 2  8 x  2 y  10  0





sol. F  72 , 2 , V  4, 2  , ec, di. x  92


 1, 0 

su distancia del punto 1,2  es siempre igual al doble

2

2

sol. 8 x 2  8 y 2  28 x  38 y  55  0

20 Un punto se mueve de tal manera que el cuadrado de

8 x 2  y 2  6 x  12 y  36  0 10 x 2  y 2  10 x  10 y  41  0

la ecuación del lugar

es siempre igual a 5 , hallar la ecuación del lugar geométrico,

7  x 2  y 2  8 x  4 y  15  0 2

 4,1 , hallar

cuadrados de sus distancias a los puntos  2, 0  ,

4 16 x 2  16 y 2  8 x  16 y  35  0 sol , C  1 4 , 1 2  , r  1.25

5 x 2  y 2  y  5  0 sol , C  0, 0.5  , r  2.29

es siempre igual a un tercio de su

19 Un punto se mueve de tal manera que la suma del los

2 x 2  y 2  14 x  6 y  54  0 sol , C  7,3 , r  2

3 x 2  y 2  4 x  4 y  8  0 sol , C  2, 2  , r  0

la ecuación del lugar

2

3.2 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 1 2 x 2  2 y 2  12 x  8 y  8  0 sol , C  3, 2  , r  4.12

igual al doble de su distancia

LR 

Página 109


7

8

y2  4 y  2x  4  0 y 2  10 y  4 x  45  0

9 4 x 2  40 x  y  106  0





97 , V 5, 6 , ec, di. y   95 sol. F 5,  16   16

10 11

LR 

y 2  20 y  100  6 x y 2  4 y  8 x  28  0

12 x 2  10 x  8 x  9  0

13 3x  12 x  4 y  24  0 2

14 x 2  2 x  8 y  15  0

15 5 y 2  2 x  21 y  20  0 Hallar la ecuación de las parábolas cuyos elementos son los siguientes: 16 V  3, 2  y F  5, 2  sol. y 2  4 y  8 x  28  0 17  V  5, 2  y ecuación de la directriz y  4

sol. x 2  10 y  8 y  9  0 18 V  2, 3 y F 1, 3 sol. y 2  6 y  12 x  15  0 19 V  2, 3 , eje paralelo al eje Y que pasa por el punto  4,6  sol. 3 y 2  12 x  4 y  24  0 20 Eje paralelo al eje X y que pase por los puntos A  2,1 , B 1, 2  , C  1, 3 sol. 5 y 2  21y  2 x  20  0 21 Vértice sobre la recta 2 y  3x  0, eje focal paralelo al eje X y pasa por los puntos A  3, 5  y B  5, 1

22 Hallar la ecuación del lugar geométrico cuya distancia al punto F  2, 3 sea igual a su distancia a la recta 23

24 25

x  6  0 sol. y 2  6 y  8 x  23  0 Encuentre la ecuación de la parábola que tenga eje horizontal y que pasa por los puntos A  2,1 , B  6, 2  C 12, 1 Vértice V  3, 5  , eje paralelo al eje X y pasa por el punto A  5, 9  Foco F  3, 2  y directriz y  1

3.4 ECUACIÓN DE LA ELIPSE Encuentra todos los elementos de las siguientes elipses

1 9 x 2  16 y 2  36 x  96 y  36  0 sol. C  2, 3 , A  6, 3 , A  2, 3 , B  2,0  , B  2, 6  F  4.64, 3 , F   0.64, 3 LR  4.5 e  0.66 Lic. ALBERTO RODRÍGUEZ M.

2 x 2  2 y 2  4 x  4 y  4  0 sol. C  2, 1 , A  0.59, 1 , A  3.41, 1 , B  2, 2  , B  2,0  , F  1.24, 1 , F   2.76, 1 LR  1.41 e  0.53 3 9 x 2  54 x  8 y 2  16 y  17  0 sol. C  3,1 , A  3, 2  , A  3, 4  , B  5.82,1 , B  0.18,1 F  3, 2  , F   3,0  LR  5.33 e  0.33

4 5 x 2  3 y 2  8 x  6 y  4  0 sol. C  0.8, 1 , A  0.8,0.84  , A  0.8, 2.84  , B  2.23, 1 , B  0.63, 1 F  0.8,0.15  , F   0.8, 2.15  LR  5.33 e  0.33 5 25 x 2  9 y 2  100 x  72 y  19  0 sol. C  2, 4  , A  2,9  , A  2, 1 , B 1, 4  , B  5, 4  F  2,8  , F   2,0  LR  3.6 e  0.8 6 4 x 2  9 y 2  32 x  36 y  64  0 7  x 2  2 y 2  2 x  20 y  43  0

8 9 x 2  16 y 2  54 x  32 y  47  0 sol. C  3,1 , A  7,1 , A 1,1 , B  3, 4  , B  3, 2  F 3  7,1 , F  3  7,1



 



9 4 x 2  9 y 2  24 x  18 y  9  0

10 25 x 2  4 y 2  250 x  16 y  541  0 Encuentra las ecuaciones de las elipses cuyos elementos son los que se indican a continuación 11 C  4, 1 , F  1, 1 y pasa por el punto P 8, 0  sol , x 2  8 x  2 y 2  4 y  0 1 12 C  3,1 , A  3, 2  , e  3 sol. 9 x 2  8 y 2  54 x  16 y  17  0 39 13 F  3,3 , F   7,3 , LR  4 sol. 39 x 2  64 y 2  234 x  256 y  1889  0 4 14 B  7, 2  , B   5, 2  , e  5 sol. 25 x 2  9 y 2  50 x  36 y  839  0 2 15 F  0, 5  , F   0,5  , e  3 17  C  2,3 el eje mayor paralelo al eje Y eje mayor 1 igual a 8 e  3 18 F  3,8  , F   3, 2  , longitud del eje mayor  10 3 19 V  3, 1 , V   5, 1 , e  4 20 V  2, 6  , V   2, 2  , LR  2 21 Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos  4, 0  ,  4, 0  y cuyos focos son  3,0  ,  3, 0 

Página 110


22 Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los 2 puntos  2,0  ,  2, 0  y su excentricidad es e  3

4.0 SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

3.5 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Encuentra todos los elementos de las siguientes hipérbolas

1 5 x 2  4 y 2  30 x  28 y  20  0  x  32   y  3.52  1 sol. 3.2 4 2 x 2  2 y 2  6 x  13  0 sol. 3 sol.

 y  3  1 y  2 4 2 2 3x  4 y  16 y  0  y  2 2  4

x2 16

1

3

4 4 x  9 y  100 x  72 y  19  0 2

2

5 4 x 2  9 y 2  8 x  36 y  104  0

6 25 x 2  16 y 2  250 x  32 y  109  0  205  sol. C  5,1 , V 5  2 5,1 , F  5  ,1  2   5 y  1    x  5 4 7  y 2  4 x 2  16 x  12 y  16  0



6



8 4 y 2  x 2  40 y  4 x  60  0



sol. C  2,5  , V  2, 2  ,  2, 8  F 2, 5  3 5

7



1  x  2 2 25 x 2  9 y 2  100 x  54 y  10  0 y5 

9

10 9 y 2  x 2  36 y  12 x  36  0



sol. C  6, 2  , V  6, 4  ,  6,0  F 6, 2  2 10

1 y  2    x  6 3 11 4 x 2  y 2  32 x  8 y  49  0



12 V  2, 0  , V   2, 0  y F  3, 0  , F   3, 0  Hallar la ecuación y su eexcentricidad. 13 F  7,3 , F   1,3 , longitud del eje trasverso  4 14 V  3,3 , V   7,3 , LR  5 15 V  3, 4  , B  3, 2  , e  2 5 16 V   3, 2  , V  9, 2  , e  3 17 V   8, 0  , V  0, 0  , LR  8


Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método apropiado  y  x2  6 x  9 1   x y 3  x2  y 2  4 2   y  4x  5  x 2  y 2  36 3   x  2y  2  x 2  4 y 2  32 4   x  2y  8  x2 y 2 1   5  9 4 3x  2 y  6 

2

2

28 6

18 F  2,8 , F   2,0  , LR 

 x2 y 2 1   16 4 2x  3 y  9   x2 y 2  1  4  4 2 x  6 y  12 

4 x 2  8 y 2  36 8  y  2x  2  x  y 2  41 9   x y 9 2 x 2  y 2  31 10   2x  y  9  y  x2  6x  8 11   x y 2 3x 2  y 2  12 12   y  1  4x  x2  y 2  9 13   x y 3

 x2  y  3 14  2 x  y  3  x 2  y 2  18 15   2x  y  3

sol. 

 4,1

y

 3, 0 

sol. 





y



sol. 

 7.8, 4.9 

y

sol. 





sol. 

.7, 1.8

sol. 





y





sol. 





y





sol. 

1, 2 

y

 1, 2 

sol. 

 5, 4 

y

 4, 5

sol. 





sol. 

 5, 3

y

sol. 





y



sol. 

 0, 3

y

 3, 0 



y

  6.4, 2.2    2.5,.9 

y

y





 2, 0  

sol. 

 0, 3

y

 2, 1

sol. 



y





 Página 111


3x 2  2 y 2  5 16   2x  y  1 5 x 2  2 y 2  2 17    x  y  1  x 2  y 2  16 18  2 2  x  y  16  x2  y 2  7 19  2 2 2 x  3 y  18 8 x 2  4 y 2  16 20  2 2 8 x  3 y  12

 x 2  5 y 2  25 21  2 2  x  y 9  x 2  y 2  13 22  2 2  x  y 5 3x 2  2 y 2  33 23  2 2  3x  y  17 24

 x 2  y 2  25  2 x y2  1   25 5

 x 2  2 y 2  27 25  2 2  x  2 y  23

sol. 

1, 1

y

  113 , 1711 

sol. 



y



sol. 

 4, 0 

sol. 



sol. 

 0, 2 



 4, 0 

y





y y



 0, 2 

sol. 



sol. 

3, 2 

sol. 



sol. 

5, 0 

sol. 










y y



 3, 2  y





 5, 0 

y





y





Página 112

Fundamentos Matemáticos Nuevo

Recommend Documents