1
Fundamentele algebrice ale informaticii pentru anul I Informatică ( zi + ID) începînd cu anul universitar 2005/2006 2005/2006 CURSUL nr. 1 §1. Mulţimi. Operaţii cu mulţimi În cadrul acestei lucr ări vom privi mulţimile în sensul în care ele au fost privite de c ătre GEORG CANTOR - primul matematician care a iniţiat studiul lor sistematic (punct de vedere cunoscut în matematic ă sub numele de teoria naiv ă a mul ţ imilor). imilor).
Definiţia1.1.. Dacă A şi B sunt două mulţimi, vom spune că A este inclusă în B (sau că A este submul ţ ime ime a lui B) dacă elementele lui A sunt şi elemente ale lui B; în acest caz vom scrie A⊆B iar în caz contrar A⊈B. Avem deci : A⊆B⇔ pentru orice x∈A ⇒x∈B A⊈B⇔ există x∈A a.î. x∉B. Vom spune despre mul ţimile A şi B că sunt egale dacă oricare ar fi x, x∈A⇔ x∈B. Deci, A=B⇔A⊆B şi B⊆A. Vom spune că A este inclusă strict în B şi vom scrie A⊂B dacă A⊆B şi A≠B. Se acceptă existenţa unei mulţimi ce nu con ţine nici un element care se noteaz ă prin ∅ şi poartă numele de mul ţ imea imea vid ă ă. Se observă că pentru orice mul ţime A, ∅⊆A (deoarece în caz contrar ar trebui s ă existe x∈∅ a.î. x∉A – absurd.!). O mulţime diferită de mulţimea vidă se zice nevid ă ă. Pentru o mulţime T, vom nota prin P(T) mulţimea submulţimilor sale (evident ∅, T∈P(T) ). Următorul rezultat este imediat : Dacă T este o mulţime oarecare iar A, B, C∈P(T), atunci : (i) A⊆A (ii) Dacă A⊆B şi B⊆A, atunci A=B (iii) Dacă A⊆B şi B⊆C, atunci A⊆C. În cadrul acestei lucr ări vom utiliza deseori no ţiunea de familie de elemente a unei mulţimi indexată de o mulţime nevid ă de indici I (prin aceasta în ţelegând o funcţie definit ă pe mulţimea I cu valori în mul ţimea respectiv ă). Astfel, vom scrie de exemplu (x i)i∈I pentru a desemna o familie de elemente ale unei mul ţimi sau (Ai) i∈I pentru a desemna o familie de mul ţimi indexat ă de mulţimea I. Pentru o mul ţime T şi A, B∈P(T) definim : A∩B={x∈T | x∈A şi x∈B} A∪B={x∈T | x∈A sau x∈B} A\B={x∈T | x∈A şi x∉B} A△B=(A\B)∪(B\A). Dacă A∩B=∅, mulţimile A şi B se zic disjuncte. ie, reuniune, diferen ţă şi diferen ţă Operaţiile ∩, ∪, \ şi △ poartă numele de intersec ţ ie, simetrică . În particular, T \A se notează prin ∁T (A) (sau ∁(A) dacă nu este pericol de confuzie) şi poartă numele de complementara lui A în T . 1
2
În mod evident, pentru A, B∈P(T) avem: A\B=A∩∁T (B) A△B=(A∪B)\(A∩B)=(A∩∁T (B))∪(∁T (A)∩B) ∁T (∅)=T, ∁T(T)=∅ A∪∁T (A)=T, A∩∁T (A)=∅ iar ∁T (∁T (A))=A. De asemenea, pentru x∈T avem: x∉A∩B ⇔ x∉A sau x∉B x∉A∪B ⇔ x∉A şi x∉B x∉A\B ⇔ x∉A sau x∈B x∉A△B ⇔ (x∉A şi x∉B) sau (x∈A şi x∈B) x∉∁T (A)⇔ x∈A. Din cele de mai înainte deducem imediat c ă dacă A, B∈P(T), atunci: ∁T (A∩B)=∁T(A)∪∁T (B) şi ∁T (A∪B)=∁T (A)∩∁T (B). Aceste ultime dou ă egalităţi sunt cunoscute sub numele de rela ţ iile iile lui De Morgan. Pentru o familie nevid ă (Ai )i∈I de submulţimi ale ale lui T definim: I Ai ={x∈T | x∈Ai pentru orice i∈I} şi iÎ I
U Ai
iÎ I
={x∈T | exist ă i∈I a.î. x∈Ai }.
Astfel, relaţiile lui De Morgan sunt adev ărate într-un context mai general: Dacă (Ai) i∈I este o familie de submul ţimi ale mul ţimii T, atunci:
æ ö è iÎ I ø
æ ö è iÎ I ø
C T ç I Ai ÷ = U C T ( Ai ) şi C T ç U Ai ÷ = I C T ( Ai ) . iÎ I
iÎ I
Următorul rezultat este imediat:
Propoziţia 1.2. Dacă T o mulţime iar A, B, C∈P(T), atunci: (i) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C şi A∪(B∪C)=(A∪B)∪C (ii) A∩B=B∩A şi A∪B=B∪A (iii) A∩T=A şi A∪∅=A (iv) A∩A=A şi A∪A=A. Observaţia 1.3. 1. Din (i) deducem c ă operaţiile ∪ şi ∩ sunt asociative , din (ii) deducem că ambele sunt comutative, din (iii) deducem c ă T şi ∅ sunt elementele neutre pentru ∩ şi respectiv pentru ∪, iar din (iv) deducem c ă ∩ şi ∪ sunt operaţii idempotente pe P(T). 2. Prin dublă incluziune se probeaz ă imdiat c ă pentru oricare A, B, C∈P(T) avem: şi A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) , adică operaţiile de intersec ţie şi reuniune sunt distributive una faţă de cealaltă. Propoziţia1.4. Dacă A, B, C∈P(T), atunci: (i) A△(B△C)=(A△B)△C (ii) A△B=B△A (iii) A△∅=A iar A △A=∅ (iv) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C). 2
3 Demonstra ţ ie. ie. ( i). i). Prin dublă incluziune se arat ă imediat că:
A△(B△C)=(A△B)△C=[A∩∁T(B)∩∁T(C)]∪[∁T(A)∩B∩∁T(C)]∪ ∪[∁T(A)∩∁T(B)∩C]∪(A∩B∩C). (ii), (iii) sunt evidente. (iv). Se probează fie prin dublă incluziune, fie ţinând cont de distributivitatea intersec ţiei faţă de reuniune. ∎ Din cele de mai inainte deducem ca dac ă T este o mulţime oarecare , atunci (P(T), △,∩) este inel Boolean .
Definiţia1.5. Fiind date două obiecte x şi y se numeşte pereche ordonat ă a obiectelor x şi y mulţimea notată (x, y) şi definită astfel: (x, y)={ {x}, {x, y} }. Se verifică acum imediat c ă dacă x şi y sunt două obiecte a.î. x≠y, atunci (x, y)≠(y, x) iar dacă (x, y) şi (u, v) sunt dou ă perechi ordonate, atunci (x, y) =(u, v) ⇔ x=u şi y =v ; în particular, (x, y)=(y, x) ⇒x=y.
Definiţia1.6. Dacă A şi B sunt două mulţimi, mulţimea notată A×B={ (a, b) | a∈A şi b∈B } se va numi produsul cartezian al mulţimilor A şi B. În mod evident: A×B≠∅ ⇔ A≠∅ şi B≠∅ A×B=∅ ⇔ A=∅ sau B=∅ A×B=B×A ⇔ A=B A׳⊆A şi B׳⊆B ⇒ A×׳B׳⊆A×B. Dacă A, B, C sunt trei mul ţimi vom defini produsul lor cartezian prin egalitatea : A×B×C=(A×B)×C. Elementul ((a, b), c) din A ×B×C îl vom nota mai simplu prin (a, b, c). Mai general, dac ă A1, A2, ..., An (n≥3) sunt mulţimi punem A1× A2× ...×An =(( ...((A1×A2)×A3)× ...)×An) . Dacă A este o mulţime finită, vom nota prin |A| |A| num ărul de elemente ale lui A. În mod evident, dacă A şi B sunt submul ţimi finite ale unei mul ţimi M atunci şi A∪B este submul ţime finită a lui M iar |A∪B|=|A|+|B|-|A ∩B|. Vom prezenta în continuare un rezultat mai general cunoscut sub numele de principiul
includerii şi excluderii:
Propoziţia1.7. Fie M o mulţime finită iar M1, M2, ..., Mn submulţimi ale lui M. Atunci : n
U M i i =1
=
å M
1£i £ n
- .... + (- 1)
n -1
i
-
å M Ç M
1£ i < j £ n
i
j
+
å M Ç M Ç M
1£i < j < k £ n
M 1 Ç ... Ç M n
3
i
j
k
-
.
4
§2.Relaţii binare pe o mulţime. Relaţii de echivalenţă ie binar ă pe A orice submulţime ρ a Definiţia 2.1. Dacă A este o mulţime, numim rela ţ ie produsului cartezian A×A. Dacă a, b∈A şi (a, b)∈ρ vom spune că elementul a este în rela ţ ia ia ρ cu b. De asemenea, vom scrie aρb pentru a desemna faptul că (a, b)∈ρ.
Pentru mul ţimea A vom nota prin Rel (A) mulţimea relaţiilor binare de pe A (evident, Rel (A)=P(A×A) ). Relaţia △A={ (a, a) | a ∈A} poartă numele de diagonala produsului cartezian A ×A. Pentru ρ∈Rel (A) definim ρ-1={(a, b)∈A×A | (b, a)∈ρ}. În mod evident, (ρ-1)-1=ρ iar dacă mai avem ρ׳∈Rel (A) a.î. ρ⊆ρ׳⇒ ρ-1⊆ρ׳-1.
Definiţia2.2. Pentru ρ, ρ׳∈Rel (A) definim compunerea lor ρ∘ρ ׳prin ρ∘ρ({=׳a, b)∈A×A | există c∈A a.î. (a, c)∈ρ ׳şi (c, b)∈ρ}.
atunci
Rezultatul urm ător este imediat: Propoziţia 2.3. Fie ρ, ρ׳, ρ׳׳∈Rel (A). Atunci: (i) ρ∘△A=△A∘ρ=ρ (ii) (ρ∘ρ∘)׳ρ=׳׳ρ∘(ρ׳∘ρ)׳׳ (iii) ρ⊆ρ׳⇒ ρ∘ρ׳׳⊆ρ׳∘ρ ׳׳şi ρ׳׳∘ρ⊆ρ׳׳∘ρ׳ (iv) (ρ∘ρ)׳-1=ρ׳-1∘ρ-1 (v) (ρ∪ρ)׳-1=ρ-1∪ρ׳-1 ; mai general, dacă (ρi) i∈I este o familie de relaţii binare pe A, -1
æ ö ç U r i ÷ = U r i-1 . ç ÷ iÎ I è iÎ I ø Pentru n∈ℕ şi ρ∈Rel (A) definim : ìD pentru n = 0 ï r = í r o r o .... o r pentru n > 1 . 4 43 4 ï142 î Se probează imediat că dacă m, n ∈ℕ atunci ρm∘ρn=ρm+n. A
n
n ori
Definiţi 2.3. Vom spune despre o relaţie ρ∈Rel (A) că este: i) reflexiv ă dacă △A ⊆ρ -1 ii ) ) simetrică dacă ρ⊆ρ iii) antisimetric ă dacă ρ∩ρ-1⊆△A iv) tranzitivă dacă ρ2⊆ρ. Rezultatul urm ător este imediat: Propoziţia2.4. O relaţie ρ∈Rel(A) este reflexivă ( simetrică, antisimetrică, tranzitivă ) dacă şi numai dacă ρ-1 este reflexivă ( simetrică, antisimetrică, tranzitivă ) . Definiţia 2.5. Vom spune despre o relaţie ρ∈Rel(A) că este o echivalen ţă pe A dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. 4
5
Vom nota prin Echiv (A) mulţimea rela ţiilor de echivalen ţă de pe A. Evident, △A, A×A∈Echiv (A).
Propoziţia 2.6. Dacă ρ∈Echiv (A) , atunci ρ-1=ρ şi ρ2=ρ. Cum ρ este simetrică ρ⊆ρ-1. Dacă (a, b)∈ρ-1, atunci (b, a)∈ρ⊆ρ-1 ⇒ ( b, b, a)∈ρ1 ⇒ (a, b)∈ρ, adică ρ-1⊆ρ, deci ρ-1=ρ. Cum ρ este tranzitiv ă avem ρ2⊆ρ. Fie acum (x, y)∈ρ. Din (x, x)∈ρ şi (x, y)∈ρ ⇒ (x, y)∈ρ∘ρ=ρ2, adică ρ⊆ρ2, deci ρ2=ρ. ∎ Demonstra ţ ie. ie.
Lema 2.7. Fie ρ∈Rel(A) şi r =∆A∪ρ∪ρ-1. Atunci relaţia r are următoarele proprietăţi: (i) ρ⊆ r (ii) r este reflexivă şi simetrică (iii) dacă ρ ׳este o altă relaţie binară de pe A reflexivă şi simetrică a.î. ρ⊆ρ ׳, atunci r ⊆ρ׳. Demonstra ţ ie. ie. (i ). este evident ă . (ii). Cum ∆A⊆ r deducem că r este reflexiv ă iar cum -1
r
= (∆A∪ρ∪ρ-1) –1=∆A-1∪ρ-1∪ (ρ-1)-1=∆A∪ρ∪ρ-1= r deducem că r este şi simetrică. (iii). Dacă ρ ׳este reflexiv ă şi simetric ă a.î. ρ⊆ρ׳, atunci ρ-1⊆ρ׳-1=ρ
5
