Matemática I
Uso de las Funciones en la economía
Introducción
La matemática es la base de la economía, porque esta es utilizada en la mayoría de procesos de esta ciencia. En este trabajo expondremos en específico las funciones como herramienta útil para el área financiera. Las funciones proporcionan información valiosa para el progreso de instituciones, compañías y gobiernos en general. Información como por ejemplo: cuánto crecimiento ha tenido una empresa o producto, los costos según la producción, también ingresos por recibir según la demanda, entre otros datos importantes e indispensables para el desempeño de estas. Por consiguiente analizaremos muchos procesos económicos donde se utilizan las funciones cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y la más usada la lineal. Y así confirmar su importancia.
Función Lineal
Tiene la forma f(x) = y = mx + b, este tipo de funciones son de grado 1, y como su nombre lo dice, su grafica es lineal (línea recta) Este tipo de función se puede emplear en varias situaciones de la vida cotidiana. En la economía podemos usarla para obtener el costo total al producir “x” cantidad de artículos. La cual se explicará a continuación Se utilizará la fórmula de ecuación lineal, pero a esta se le modifican los nombres Costo total = costo variable + costo fijos Costo fijo (CF): Costo que no depende de la cantidad de producto hecho, siempre va hacer el mismo. F(x) = CF Costo Variable (CV): Depende de la cantidad de producto hecho, entre más se produzca, más alto va hacer el valor de este. F(x) = CV * costo por unidad producida Ejemplo: Una compañía produce lapiceros. Sus costos variables son $2 por unidad y el costo fijo es de $30. ¿Cuánto es su costo total, si se producen 100 lapiceros? •
Su costo fijo ya esta dado en el problema, este es de $30
•
El costo variable se obtiene multiplicando el CV por unidad entre los artículo producidos, en este caso lapiceros
CV: 200
100
*
2
Art. producidos •
=
CV por unid.
Se realiza la suma entre CV y CF, para obtener el costo total CT:
200
+
30
=
230 CV
50 40
CT
30 20 10 0
50
100
150
200
250
Función Cuadrática La Función cuadrática tiene la forma de F(x)= ax2 + bx + c (a ≠ 0 ), es grado 2 y su grafica tiene un sentido de curva, llamada parábola. En varias ocasiones, al ofertar un servicio o producto se disminuye su valor según la cantidad. Por lo que amerita saber, tanto por el ofertante como por el demandante, cuál es su valor real o ganancia conforme a lo que se vendió o adquirió. La función Cuadrática entre todos sus aportes, puede ayudar a averiguar está incógnita. Con el siguiente ejemplo demostraremos la contribución de esta función: En una línea de autobuses para turistas se cobra $20 por persona al viajar en un tour hacia el Volcán Arenal, este es para 30 personas. Sin embargo se cobra $0.5 menos por cada turista adicional a las 30. ¿Cuál es la cantidad de turistas adicionales, para maximizar los ingresos? La fórmula para averiguar este ingreso es: (Turistas + turistas adicionales) * (El valor por persona - el descuento por el adicional) I= ( 30 0.5 n )
+
n )
*
( 20
Se despeja la fórmula: I = 600 – 15n + 20 n – 0.5 n2 I = 600 + 5n – 0.5 n2 (a)
(b)
(c)
Resolver función con la fórmula general, para luego realizar la fórmula para obtener el vértice
-
Fórmula general: Δ = ( b )2 – (4 * a * c) = 1225
(5)
2
– ( 4 * – 0.5* 600 )
Fórmula del vértice: ( x , y )
−b , 2*a
-∆ 4*a
−5 1225 , = 2 * −0.5 4 * −0.5
1225 5,− 2
(X)
(Y)
La respuesta que se busca es la “x” del vértice, en este caso 5, siendo así la incógnita (n). Por consiguiente este es el número que se le debe sumar a la cantidad de turistas adicionales. Dando un resultado de 35 turistas el tour para maximizar los ingresos.
Función Exponencial Esta posee una forma de F(x)= aX . Donde “a” pertenece IR +
En las finanzas este tipo de función se aplica mayormente en los intereses, más específicamente con el interés compuesto. Este evalúa los movimientos de dinero que se han realizado en cierto tiempo, dicho de otro modo, Saber cuanto dinero se obtiene al unir los intereses ganados anteriormente junto al capital inicial, y a este monto (compuesto) aplicarle de nuevo el interés, obteniendo así mayor ganancia. Se debe saber con anterioridad que durante un año (si este interés se recibe dos o más veces al año), posee dos tipos de intereses: el nominal y el de tasa equivalente. Este último es aquel que obtenemos después de agregarle las ganancias al capital inicial La fórmula usada es la siguiente: Capital * (1 +. (Interés/período)) Período = Futura ganancia Ejemplo: Si se tiene un capital en el banco de $1000 y su interés es del 5%, ¿cuánta ganancia tendremos en un año, si este se paga dos veces al año?
1000 * (1 + (.10/2))2 = 1 102.50 Su ganancia va hacer de $1 102.50
Función Logarítmica Está es la contraria a la exponencial. Tiene la forma de (log b x = y) ó (b * y) = x Donde “b” (base) tiene que ser mayor de 0 y diferente de 1. Se puede utilizar este tipo de función en la depreciación de activos fijos. Ya que esta muestra la disminución que tiene el activo, en un tiempo determinado. Por ejemplo: Si un automóvil se reduce 20% cada año, esta función muestra su depreciación según el tiempo que se desee averiguar.
F (x) = log1/2 X = Y
Para encontrar la respuesta: En el caso de la “y”: se sustituye la “x” en el caso de la “x”: Se toma la base y se eleva por la “y” x
y
1/4
¿?
1/2
¿?
¿?
0
¿?
-1
¿?
-2
En el caso de encontrar “y”: •
F (x) = log1/2 1/4 = 2
•
F (x) = log1/2 1/2 = 1
Para encontrar “X”: •
F (x) = log1/2 X = 0
(1/2)0 = 1 R/ F (x) = log1/2 1 = 0 •
F (x) = log1/2 X = -1 (1/2)
-1
=2
R/ F (x) = log1/2 2 = -1 •
F (x) = log1/2 X = -2 (1/2)-2 = 4 R/ F (x) = log1/2 4 = -1
x
y
1/4
2
1/2
1
1
0
2
-1
4
-2
Conclusión En la elaboración de este trabajo se requirió tener previo conocimiento; no solo de las funciones, sino también de los procesos financieros. Sin embargo esto no fue suficiente, la investigación en el recurso de la Web fue sumamente útil, como colaboración de personas conocedoras del tema en general. Gracias a esto logramos expandir los límites cognoscitivos que poseíamos, y abarcar más generalmente la rama en la cual nos estamos canalizando: Las finanzas. Ya que en estos tiempos un profesional debe conocer no solo el origen de las cosas, sino expandirse y fusionarse con otras ramas, como en este caso: la matemática.
La matemática es la principal herramienta usada por las finanzas y otras áreas de la economía, por lo tanto, es necesario que desde el principio de nuestra carrera universitaria, tengamos que aprender a utilizarla correctamente, desarrollando habilidades lógicas, que nos darán competencias para tener éxito en nuestro camino profesional.
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