FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 1. INTRODUCCIÓN
Variable Variable Aleatoria Sea S un espacio muestral, sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad. Sea X una función de valor real definida sobre S, de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los reales. Se dice entonces que X es una variable aleatoria. X es una función definida sobre el espacio muestral, de manera que transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas. Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es contable (ya sea finito o infinito), y si éstos pueden arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteros positivos. En general una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por (X!") se entender# la probabilidad de que X tome el valor de ". Se dice que una variable aleatoria X es continua si sus valores consisten en uno o m#s intervalos de la recta de los reales.
Función de Densidad de Probabilidad (PDF) $l considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar un función matem#tica que asigne una probabilidad a cada reali%ación " de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de distribución (densidad) de probabilidad de la variable aleatoria X. Se refiere r efiere a la colección de valores de la variable aleatoria aleatoria y a la la distribución de probabilidades entre éstos. &a probabilidad de que un valor " ocurra es ("), e"presado con un valor o un porcenta'e (iscreto). &a probabilidad de que " tenga un valor entre a y b viene dado por el #rea ba'o la curva de (") (ontinuo). &a probabilidad de que " tenga un valor entre y es *. &a función de densidad de probabilidad es + o positiva.
Función de Densidad Acumulativa (CDF o FDA) &a función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X es la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor especfico de ". - &a probabilidad de que " tenga una valor entre Cx xa P( x )dx C( x) C( x)
-0 C xi - PX
P X x 1 para cualquier "
C x j x
x x j si i 1 C( x)
y a es
2.- LAS DISTRIBUCIONES EN MATLAB Características clae El Statistics oolbo" oolbo" proporciona funciones que soportan/ - 0odeli%ación lineal y no lineal lineal - Estadstica multivariante - Estadstica descriptiva - #lculo y a'uste de distribuciones de probabilidad - $n#lisis $n#lisi s de varian%a varian% a ($123$) - 3erificación 3erificación de 4ipótesis - Estadstica industrial (control de procesos estadsticos, dise5o de e"perimentos) - 6epresentación gr#fica estadstica y gr#ficos interactivos
Statistics Toolbox El Statistics oolbo" oolbo" incluye una 789$ interactiva que permite e"perimentar, describir o a'ustar sus datos a una variedad de diferentes probabilidades. or e'emplo, puede usar la 789 para representar repr esentar gr#ficamente una función de densidad de probabilidad o una función de distribución acumulativa para investigar cómo los par#metros de distribución afectan a su posición y forma. $dem#s, puede usar el generador de números aleatorios para simular el comportamiento asociado a distribuciones particulares. 8sted puede usar entonces estos datos aleatorios para obtener modelos ba'o diferentes condiciones. El Statistics oolbo" oolbo" aporta :+ distribuciones de probabilidad diferentes. &as funciones soportadas para cada distribución incluyen/ - ;unción de densidad de probabilidad (pdf) - ;unción de distribución acumulativa (cdf) - 9nversa de la función de distribución acumulativa acumulativa - 0edia y varian%a - 7enerador de números aleatorios
>help stats $qu se mostrar#n todas las funciones que 4ay para las distintas distribuciones. ara consultar la ayuda de alguna en particular, particular, teclear 4elp seguido de su nombre/ n ombre/ >>help normrnd
Nota:
A continuación mostramos algunas de las la s funciones del Statistics Toolbox Toolbox ms !tiles:
Distribuciones F!"ci#"es $e De"si$a$ $e Pr#%a%ili$a$ &'$() %eta'$( > ?eta density %i"#'$( > ?inomial density
c*i2'$( > 4i square density (c4i cuadrado) e+''$( > E"ponential density ('$( > ; density ,a'$( > 7amma density ,e#'$( > 7eometric density *,e'$( > &ognormal density "%i"'$( > 1egative binomial density (pascal) "c('$( > 1oncentral ; density "ct'$( > 1oncentral t density "c+2'$( > 1oncentral 4i>square density "#r'$( > 1ormal (7aussian) density '$( > ensity function for a specified distribution '#iss'$( > oisson density ral'$( > 6ayleig4 density t'$( > density !"i$'$( > iscrete uniform density !"i('$( > 8niform density /ei%'$( > =eibull density Funciones de Distribución Acumulada (cdf)
%etac$( > ?eta cdf %i"#c$( > ?inomial cdf c$( > Specified cumulative distribution function c*i2c$( > 4i square cdf e+'c$( > E"ponential cdf (c$( > ; cdf ,ac$( > 7amma cdf ,e#c$( > 7eometric cdf *,ec$( > &ognormal cdf "%i"c$( > 1egative binomial cdf "c(c$( > 1oncentral ; cdf "ctc$( > 1oncentral t cdf "c+2c$( > 1oncentral 4i>square cdf "#rc$( > 1ormal (7aussian) cdf '#issc$( > oisson cdf ralc$( > 6ayleig4 cdf tc$( > cdf !"i$c$( > iscrete uniform cdf !"i(c$( > 8niform cdf /ei%c$( > =eibull cdf
Generadores de Números Aleatorios %etar"$ > ?eta random numbers %i"#r"$ > ?inomial random numbers c*i2r"$ > 4i square random numbers e+'r"$ > E"ponential random numbers (r"$ > ; random numbers
,ar"$ > 7amma random numbers ,e#r"$ > 7eometric random numbers *,er"$ > &ognormal random numbers "r"$ > 0ultivariate normal random numbers tr"$ > 0ultivariate t random numbers "%i"r"$ > 1egative binomial random numbers "c(r"$ > 1oncentral ; random numbers "ctr"$ > 1oncentral t random numbers "c+2r"$ > 1oncentral 4i>square random numbers "#rr"$ > 1ormal (7aussian) random numbers '#issr"$ > oisson random numbers ra"$# > 6andom numbers from specified distribution ralr"$ > 6ayleig4 random numbers tr"$ > random numbers !"i$r"$ > iscrete uniform random numbers !"i(r"$ > 8niform random numbers /ei%r"$ > =eibull random numbers
stad!sticos %etastat > ?eta mean and variance %i"#stat > ?inomial mean and variance c*i2stat > 4i square mean and variance e+'stat > E"ponential mean and variance (stat > ; mean and variance ,astat > 7amma mean and variance ,e#stat > 7eometric mean and variance *,estat > &ognormal mean and variance "%i"stat > 1egative binomial mean and variance "c(stat > 1oncentral ; mean and variance "ctstat > 1oncentral t mean and variance "c+2stat > 1oncentral 4i>square mean and variance "#rstat > 1ormal (7aussian) mean and variance '#isstat > oisson mean and variance ralstat > 6ayleig4 mean and variance tstat > mean and variance !"i$stat > iscrete uniform mean and variance !"i(stat > 8niform mean and variance /ei%stat > =eibull mean and variance Disttool Es una 4erramienta de 0$&$? que permite visuali%ar de forma gr#fica las caractersticas de cada distribución con la posibilidad de variar sus par#metros. &as funciones que muestra son ; y ;. $l activar este comando/ @@ disttool Se despliega una ventana donde podemos elegir el tipo de distribución adem#s de sus par#metros y ver su ; o su ;.
2.1- FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD &PDF)
"#$#$% D&ST'&C&*NS C*NT&NAS "#$#$#$% D&ST'&C&+N N&F*', ;
;
Descri-ción. - omputa la función de distribución uniforme continua para el valor X y los par#metros $ y ?. X, $ y ? deben ser del mismo tama5o. El par#metro ? debe ser mayor que $. - 7enera una matri% de tama5o m " n, formada por números aleatorios que cumplen que su distribución sobre la recta real es de la forma indicada. (m y n son par#metros opcionales y pueden no ser necesaria su inclusión). - El resultado A es la probabilidad de que ocurra X en el intervalo ($,?). - &a distribución uniforme est#ndar tiene $!+ y ?!*. - 2curre en un evento donde una variable aleatoria toma valores de un intervalo finito, de manera que éstos se encuentran distribuidos igualmente sobre el intervalo. Esto es, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de igual longitud es la misma. - Se aplica con un conocimiento muy general o poco conocimiento sobre la distribución. ambién para errores de redondeo en la medida, generación de números aleatorios y llegadas (cuando son independientes y el número total est# determinado).
Sintaxis.
Y = unifpdf(X,A,B,m,n) EBE0&2 *. oincidiendo con los valores de X, $ y ? para obtener las gr#ficas previas se tiene/ >> Y = unifpdf(1,0,1) % X=1, A=0, =1 A se despliega/ Y= 1 EBE0&2 :. ara $ y ? fi'ados, para un rango de +.* a +.C , con diferencia de +.*, la pdf uniforme es constante. >> X = 0!1"0!1"0!#$ Y = unifpdf(X) A se despliega/ A! * * * * * * $gregando plot(X,A)D gridD "label(")D ylabel(p) para obtener la gr#fica /
EBE0&2 F. GHué ocurre si X no est# Entre $ y ?I Y = unifpdf(1,0,1) A se despliega/ Y = 0 EBE0&2 J. &a cantidad de agua consumida al mes en una vivienda, medida en m F, sigue una distribución uniforme continua en el intervalo (:+, J+). alcula la probabilidad de que se consuman/ (a) :K mF, (b) menos de FL mF , (c) entre :L y FL mF , (d) m#s de :K mF . alcular la función de distribución, as como el número esperado de mF consumidos. el enunciado obtenemos los e"tremos del intervalo es decir $ ! :+ y ?!J+ a) se requiere encontrar la probabilidad P( X "#) >> Y = unifpdf(&',&0,0) Y = 0!000 Es decir que P( X "#) 0.0$00 b) menos de FL mF, es decir la probabilidad P( X %$) >> Y = unifcdf(*,&0,0) % el comando unifcdf para calcular la función de densidad % acumulada Y = 0!+00 Es decir que P( X %$) 0.&$00 c) entre :L y FL mF, P( "$ X %$) >> Y = unifcdf(*,&0,0) unifcdf(&,&0,0) % se eal-a para la .DF para el l/mite % superior = * menos % el l/mite inferior = & Y = 0!000 Es decir que P("$ X %$) 0.$00 d) m#s de :KmF , es decir P( X "#) 1 P( X "#) >> Y = 1 unifcdf(&',&0,0) Y = 0!#000 Es decir que / P( X "#) 0.'00 ara la gr#fica de la función de distribución acumulada/ >> X = &0"0$ Y = unifcdf(X,&0,0) Se despliega Y = .olumns 1 trou 2 0 0!000 0!1000 0!100 0!&000 0!&00 0!*000 0!*00 0!000
.olumns 10 trou 1' 0!00 0!000 0!00 0!#000 .olumns 12 trou &1 0!2000 0!200 1!0000 >> plot(X,Y)$ >> rid
0!#00
0!+000
0!+00
0!'000
0!'00
e lo que se puede deducir que la
y despliega /
pendiente es positiva, es
1 "0
y pasa por
X!:+ Entonces 0
CDF
F( x)
X "0 "0 0
X "0
"0
X X
(0
(0
$'ustando con el 0$&$? nos da la ecuación/ y ! +.+LM " > *
ara el valor esperado no es m#s que E( x)
"0
(0
%0
"
Es decir que el valor esperado es F+ m F.
"#$#$#"% D&ST'&C&+N N*',A/ (GAS&ANA) PDF
CDF
Descri-ción. - omputa la función de distribución e"ponencial negativa para el valor X y los par#metros 08 y S970$. X, 08 y S970$ pueden ser vectores, matrices y arreglos que deben ser del mismo tama5o. El par#metro S970$ debe ser positivo. - &a distribución normal est#ndar tiene 08 ! + y S970$ ! *. - ;luctuaciones simétricas alrededor de un valor medio (08). - Se aplica para describir atributos 4umanos o de ob'etos/ peso, altura, etc. dentro
de un grupo (variaciones en las notas de e"#menes), medidas de errores angulares o lineales, generación de ruido y peque5as perturbaciones, datos meteorológicos como temperatura y precipitación pluvial, erroresde instrumentación, etc.
Sintaxis.
A ! normpdf(X,08,S970$) EBE0&2 L. oincidiendo con los valores de X, 08 y S970$ la gr#fica de la ; previa se tiene/ @@ A ! normpdf(+.+*N+JK,+,*) O X!+.+*N+JK, 08 ! +, S970$! * Y se despliea" A ! +.FNKN EBE0&2 C. Si 08 es un arreglo de valores entre + y :, con una diferencia de +.* >> mu = 30"0!1"&4$ % el rano a desde 0 a &, con un incremento de 0!1, teniendo &1 % alores >> Y = normpdf(1!,mu,1) A se despliega/ Y = .olumns 1 trou ' 0!1&2 0!12+ 0!1+1 0!12& 0!&1+2 0!&&0 0!&##1 0!&'2+ .olumns 2 trou 1# 0!*1&* 0!***& 0!*&1 0!*#'* 0!*'1 0!*210 0!*2+0 0!*2'2 .olumns 1+ trou &1 0!*2+0 0!*210 0!*'1 0!*#'* 0!*&1 EBE0&2 P. Si X es un arreglo de valores entre *L+ y *K+, con una diferencia de L >> X = (10""1'0)$ Y = normpdf(X,1#,) % con 56 = 1# 7 89:5A = A se despliega/ Y = 0!0002 0!010' 0!0' 0!0+2' 0!0' 0!010' 0!0002 $gregando/ plot(X,A)D gridD "label(")D ylabel(p) para obtener la gr#fica de la i%quierda.
EBE0&2 K. 8na compa5a de suministro de electricidad 4a determinado que el consumo, medido en QR4, de una vivienda familiar durante un mes, sigue una distribución normal de media F++ y desviación tpica L+. (a) alcula la probabilidad de que una familia consuma :JL TR4 en un mes. (b) alcula la probabilidad de que se consuman entre :++ y F++ QR4. (c) GHué porcenta'e de viviendas consumir#n m#s de F++ TR4I (d) GHué porcenta'e de viviendas familiares consumir#n m#s de :L+ QR4I GA menos de FL+I el enunciado tenemos, que 08! :++ y el S970$ !L+ a) se quiere encontrar P( X "($) >> Y = normpdf(&,&00,0) espliega Y = 0!00* Es decir que P( X "($) 0.00$% b) se quiere encontrar P "00 X %00 >> Y = normcdf(*00,&00,0) normcdf(&00,&00,0) % se eal-a para la .DF para el % l/mite superior = *00 menos % el l/mite inferior = &00 Y = 0!++& c) se quiere encontrar P( X "00) 1 P( X "00) >> Y = 1 normcdf(&00,&00,0) Y = 0!000 d) m#s de :L+ QR4 P( X "$0) @@ A ! *> normcdf(:L+,:++,L+) A ! +.*LKP 0enos de FL+ P( X %$0) @@ A ! normcdf(FL+,:++,L+) A ! +.NNKP
"#$#$#0% D&ST'&C&+N 1P*NNC&A/ (NGAT&VA) PDF
Descri-ción.
CDF
- omputa la función de distribución e"ponencial negativa para el valor X y el par#metro 08. X y 08 deben ser del mismo tama5o. El par#metro 08 debe ser positivo. - &a pdf e"ponencial es la pdf gamma con su primer par#metro (a) igual a *. - &a variable aleatoria e"ponencial es el tiempo que transcurre 4asta que se da el primer evento de oisson. Es decir, la distribución e"ponencial puede modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de oisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia constante. - Se utili%a en sucesos independientes entre s. Es apropiada para modelar tiempos de espera cuando dic4o tiempo se supone independiente del tiempo que 4aya transcurrido 4asta ese momento. or e'emplo, la probabilidad de que una bombilla de'e de lucir en el pró"imo minuto es relativamente independiente del tiempo que 4aya estado luciendo 4asta a4ora. iempos entre roturas, tama5o de pedidos, tiempos de procesos, llegada de personas a una tienda y, en general, acciones por unidad de tiempo.
Sintaxis.
A ! e"ppdf(X,08) EBE0&2 N. oincidiendo con los valores X y 08 de la gr#fica de la ; previa se tiene/ @@ A ! e"ppdf(*+,F) O con X! *+ y 08 ! F Y se despliea" A ! +.+**N EBE0&2 *+. on un arreglo de valores para X desde * a L al igual que para 08 en el mismo rango, se tiene/ @@ A ! e"ppdf(*/L,*/L) Y se despliea" A ! +.FCPN +.*KFN +.*::C +.+N:+ +.+PFC ara obtener la gr#fica del e'emplo, definimos X primero y luego de esta manera con el comando plot(X,A)/ >> X = (1"1")$ >> Y = e;ppdf(X,1"1") >> plot(X,Y)$ rid$ ;label(<;<)$ 7label(
"#$#$#2% D&ST'&C&+N /*G%N*',A/
;
;
Descri-ción. omputa la función de distribución log>normal para el valor X con media 08 y desviación est#ndar S970$. X, 08 y S970$ deben ser del mismo tama5o, que determina el tama5o de A. • Es una distribución normal asimétrica. • Se utili%a para modelar tiempos de procesos y reparación, averas de un coc4e con el tiempo, población de un sitio con respecto al dinero, estancia de tiempo en un banco, etc. •
Sintaxis.
A ! lognpdf(X,08,S970$) EBE0&2 **. oincidiendo con los valores X y 08 de para obtener la gr#fica de la ; previa se tiene/ >> Y = lonpdf(*,0,1) Y = 0!0+&+ EBE0&2 *:. on un arreglo de valores para X desde el * al *+, tomados de uno en uno @@ X ! (*/*/*+)D O arreglo desde * a *+, tomados de * en * A ! lognpdf(X,+,*) O con 08 ! + y S970$ ! * A ! olumns * t4roug4 K +.FNKN +.*LCN +.+P:P +.+FK: +.+:*N +.+*FJ +.++KC +.++LP olumns N t4roug4 *+ +.++J+ +.++:K para incluir la gr#fica, se agregan/ plot(X,A)D gridD "label(")D ylabel(p)
"#$#$#3% D&ST'&C&+N GA,,A ('/ANG) ;
;
Descri-ción. omputa la función de distribución gamma para el valor X y los par#metros $ y ?. X, $ y ? deben ser del mismo tama5o. $ y ? deben ser positivos y X tiene que estar dentro ). del intervalo [0, útil en los modelos de dependencia de ciclos de vida. &a • &a pdf de gamma es distribución gamma es m#s fle"ible que la e"ponencial. &os casos especiales de la función gamma son las funciones/ e"ponencial y c4i>cuadrado. aplica para tiempos de procesos, tiempos de reparación, tiempos entre • Se llegadas (con poca aleatoriedad), incluso ingresos familiares, edad del 4ombre al contraer matrimonio por primera ve%, etc. •
Sintaxis.
) * gampdf+,-A-B. EBE0&2 *F. oincidiendo con los valores X, $ y ? de para obtener las gr#ficas previas de la ; y de la ; se tiene/ >> Y = ampdf(1,1,&) % donde X=1, A=1 7 =& A se despliega/ Y = 0!*0** EBE0&2 *J. on un arreglo de valores para ?, desde * a L, de * en *, con X!* y $!* >> X =(1"1")$ Y = ampdf(1,1,X) A se despliega/ 9ncluyendo la gr#fica, tenemos/ Y = 0!*#+2 0!*0** 0!&*'' 0!12+ 0!1#*+
"#$#$#4 D&ST'&C&+N TA. ;
;
Descri-ción. omputa la función de distribución gamma para el valor X y los par#metros $ y ?. X, $ y ? deben ser del mismo tama5o. $ y ? deben ser positivos y X tiene que estar dentro del intervalo U+,*V. distribución uniforme en U+,*V es un caso derivado de la distribución beta • &a donde $!* y ?!*. • X, $, y ? pueden ser vectores, matrices, o arreglos multidimensionales que tengan la misma dimensión. 8na entrada escalar se e"pande a un arreglo constante con las mismas dimensiones de las otras entradas. • &a distribución beta para un valor dado " y un par de par#metros a y b es •
y
f x a, b
1
B a, b
xa
1
1
x
b
1
I(
0 ,1)
( x)
donde ?( W ) es la función ?eta. &a function inidcador I ( , ) ( x ) asegura que solo los valores de " en el rango (+ *) tengan una probabilidad distinta a cero. &a distribución uniforme en (+ *) es un caso degenerado de la pdf de beta donde a! * y b ! *. • ermite generar una gran variedad de perfiles. Se puede usar para representar la distribución de artculos defectuosos sobre un intervalo de tiempo especfico, etc. 0 1
Sintaxis.
A ! betapdf(X,$,?) EBE0&2 *L. oincidiendo con los valores de X, $ y ? para obtener las gr#ficas previas se tiene/ >> ) * betapdf+0/$-1/-1/. ,* 0/$- A*1/- B*1/ A se despliega/ ) * 1/($&( EBE0&2 *C. on un arreglo matricial y con " ! +,L @@ $! U+.L *D : JVD A ! betapdf(+.L,$,$) Se despliega/ A! +.CFCC *.++++ *.L+++ :.*KPL
2.1.2- DISTRIBUCIONES DISCRETAS "#$#"#$% D&ST'&C&+N N&F*', ;
;
Descri'ci0" omputa la función de distribución uniforme discreta para el valor X y el par#metro 1. X y 1 deben ser del mismo tama5o y 1 un entero positivo. • El resultado A es la probabilidad de que ocurra X de entre 1 números, que en este caso, por ser uniforme, ser# la misma para cualquier X entre * y 1. usa para generar números aleatorios de entre 1. or e'emplo podemos • Se calcular la probabilidad de sacar un número X (del * al C) al tirar un dado. •
Sintaxis.
A ! unidpdf(X,1) EBE0&2 *P. ara un rango de valores de X desde * a C, avan%ando de * en *, en *+ ensayos , adem#s de su gr#fica @@ X ! (*/*/C)D @@ A ! unidpdf(X,*+) A ! +.*+++ +.*+++ +.*+++ +.*+++ +.*+++ +.*+++ @@ plot(X,A,))
ara un 1 fi'ado, la pdf uniforme discreta es una constante. EBE0&2 *K/ $4ora fi'amos " y variamos n. @@ X ! (J/*/N)D O el rango de valores de J a N ,incrementados de * en * probabilidad ! unidpdf(L,X) Se despliega/ probabilidad !
+
+.:+++
+.*CCP
"#$#"#"% D&ST'&C&+N &N*,&A/ FDP
+.*J:N
+.*:L+
+.****
CDP
Descri-ción. omputa la función de distribución binomial para el valor X y los par#metros 1 y . X, 1 y deben ser del mismo tama5o. 1 debe ser un entero positivo y tiene que estar en el intervalo U+,*V. resultado A es la probabilidad de observar X sucesos en 1 pruebas • El independientes, donde la probabilidad de que ocurra el suceso (acierto) viene dada por el par#metro , que permanece constante para cada prueba, y la probabilidad de que no ocurra el suceso (fracaso) es *>. #reas de aplicación incluyen inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, • Sus medicina, investigación, de opiniones y otras. or e'emplo, un proceso de manufactura produce un determinado producto en el que algunas unidades son defectuosasD si la proporción de unidades defectuosas producidas por este proceso es constante durante un periodo ra%onable y, si como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un determinado número de unidades, entonces las proposiciones de probabilidad con respecto al número de artculos defectuosos puede 4acerse mediante el empleo de la distribución binomial. •
Sintaxis.
A ! binopdf(X,1,) EBE0&2 *N/ oincidiendo con los valores X, 1 y de para obtener las gr#ficas previas de la ; y de la ; se tiene/ >> Y = binopdf(,10,0!) Y = 0! lo que equivale a la probabilidad P( X $)
A para la ;/ >> Y = binocdf(,10,0!) Y = 0!#&*0 lo que equivale a la probabilidad P( X $) EBE0&2 :+/ 8n inspector de comercio testea al da :++ muestras de un producto. Si el :O de ellas son defectuosas, cu#l es la probabilidad de que el inspector no encuentre ninguna defectuosa ese daI Es decir se quiere encontrar P X 0 , aqu entonces tenemos "!+, 1 !:++ y la probabilidad !+.+: @@ binopdf(+,:++,+.+:) ans !
+.+*PC
u#l es el número m#s probable de pie%as defectuosas que se encontrar#I >> defectuosos = 0"&00$ % definimos el rano de alores de X Y = binopdf(defectuosos,&00,0!0&)$ 3;,i4 = ma; (Y)$ defectuosos (i) ans =
Es decir se encontrar#n J pie%as defectuosas. EBE0&2 :*. 8n 'ugador de dardos da 'usto en la diana : de cada cinco veces que lan%a. Si en una partida dic4o 'ugador lan%a *+ veces, (a) calcula la probabilidad de que acierte en la diana tres veces, (b) calcula la probabilidad de que acierte en la diana por lo menos una ve%. (c) Gu#ntas veces se espera que el 'ugador 4aga dianaI (d) alcula la probabilidad de que el 'ugador 4aga m#s dianas de las esperadas en el partido. el enunciado se determina que la probabilidad es :L !+.J, el número de ensayos 1!*+ a) se pide encontrar/ P( X %) >> binopdf(*,10,0!) ans = 0!&10 Es decir que P( X %) 0."1$0 b) por lo menos una ve%, se refiere que como mnimo una , se pide encontrar P( X
1)
1
P( X
1)
1
P( X
0)
>>Y = 1 binocdf(0,10,0!) % utiliamos el comando binocdf porue se trata de la % función de densidad acumulada con ;=0, ?=10 7 @ =0! ans = 0!220 Es decir que P( X 1) 0.(0 c) valor esperado es / E ! 1 ! *+ M+.J ! J dianas d) m#s de las esperadas se refiere a m#s de cuatro/ P( X >> 1 binocdf(,10,0!) ans = 0!*##2
()
1
P( X
()
"#$#"#0% D&ST'&C&+N &N*,&A/ NGAT&VA * D PASCA/ ;
Descri-ción. omputa la función de distribución binomial negativa para el valor X y los par#metros 6 y . X, 6 y deben ser del mismo tama5o. &a función de densidad es + a menos que X sea un entero. • &a variable aleatoria representa el número de ensayos necesarios para observar 6 é"itos. &os ensayos son independientes entre s. &a probabilidad de é"ito en cada ensayo es constante e igual a . • &a aplicación principal de esta distribución es una alternativa adecuada para el modelo de oisson cuando la frecuencia de ocurrencia no es constante en el tiempo o el espacio. ambién se emplea para modelar las estadsticas de accidentes, datos psicológicos, compras del consumidor y otras eventos similares en donde la frecuencia de ocurrencia entre grupos o individuos no se espera que sea la misma. •
Sintaxis.
A ! nbinpdf(X,6,) EBE0&2 :*. ara un rango de valores de X desde + a *+, en *+ ensayos, donde se repite F é"itos, donde la probabilidad es p! +.L. 9ncluir la gr#fica de >> X = (0"10)$ >> Y = nbinpdf (X,*,0!) Se despliega/ A ! olumns * t4roug4 N +.*:L+ +.*KPL +.*KPL +.*LC: +.**P: +.+K:+ +.+LJP +.+FL: +.+::+ olumns *+ t4roug4 ** +.+*FJ +.++K* Su gr#fica de la ;/ plot(X,A,) set(gca,Xlim,U>+.L,*+.LV) O fi'ando los lmites del e'e de las X desde >+.L a *+.L
"#$#"#2% D&ST'&C&+N D P*&SS*N ;
;
Descri-ción. omputa la función de distribución de oisson para el valor X y el par#metro &$0?$. X y &$0?$ deben ser del mismo tama5o y &$0?$ positivo. X puede ser cualquier entero no negativo. &a función de densidad es + a menos que X sea un entero. variable aleatoria representa el número de eventos independientes que • &a ocurren a una velocidad constante en el tiempo o en el espacio. una apro"imación muy buena a la función de probabilidad binomial • 2frece cuando p es peque5o y n grande. el principal modelo de probabilidad empleado para anali%ar problemas de • Es lneas de espera. Se usa para estimar el número de personas que llegan a una tienda de autoservicio en un tiempo estimado, el número de defectos en pie%as similares para el material, el número de bacterias en un cultivo, número de solicitudes de seguro procesadas por una compa5a en un perodo especfico, etc. •
Sintaxis. A ! poisspdf(X,&$0?$) EBE0&2 ::.8n fabricante de discos duros para ordenadores 4a observado que ocurren defectos en el proceso de fabricación aleatoriamente con una media apro"imada de : defectos por disco de J 7b. Se considera este término de fallos aceptable para el proceso. G u#l es la probabilidad de que un disco duro cualquiera sea fabricado sin fallos I ara este caso, &$0?$ ! : y X ! + Se quiere calcular P( X 0) @@ ! poisspdf(+,:) ! +.*FLF Es decir que P( X 0) 0.1%$% o sea un *F.LFO de que un disco duro sea fabricado sin fallos. EBE0&2 :F. El número de ve4culos que llegan a una intersección de caminos durante una 4ora sigue una distribución de oisson de par#metro Y ! *+. (a) alcula la probabilidad de que sólo llegue un ve4culo.
(b) Gu#l es el número medio de ve4culos que se espera que lleguen al cruce en una 4oraI (c) alcula la probabilidad de que el número de ve4culos que llegan al cruce sea mayor al número esperado ara este caso , &$0?$! *+ a) se quiere encontrar P( X 1) @@ ! poisspdf(*,*+) ! J.LJ++e>++J Es decir que P( X 1) (.$(00 10 o sea un +.+LO de que llegue sólo un ve4culo b) el número medio o esperado ! &$0?$! *+ ve4culos c) se quiere encontrar P( X 10) 1 P( X 10) @@ ! *> poisscdf(*+,*+) (
! +.J*P+ Es decir, P( X
10)
0.(1&0 o
sea J*.P+ O de ve4culos mayor al valor esperado
EBE0&2 :J. Supóngase que un libro de LKL p#ginas contiene JF errores tipogr#ficos. Si esos errores est#n distribuidos aleatoriamente en el libro, Gu#l es la probabilidad de que *+ p#ginas, seleccionadas al a%ar, estén libres de errorI ara este caso la probabilidad de encontrar un error tipogr#fico es p El valor de &$0?$ ser#/ &$0?$! N p
(%
1
(%
$#$
$#$
ara la probabilidad de no encontrar error, se necesita calcular P( X @@ 1 ! JFD O cantidad de errores @@ p ! *LKLD O probabilidad de que una 4o'a tenga un error
1 $#$
0)
@@ &$0?$! 1Mp &$0?$ !
+.+PFL
@@ ! poisspdf(+,&$0?$) !
+.N:N*
ara determinar la probabilidad de que *+ p#ginas est#n libres de error, recurrimos a la distribución binomial, con la probabilidad y X! *+. Es decir P( X 10 ) @@ A ! binopdf(*+,*+,) A ! +.JPNL
"#$#"#2% D&ST'&C&+N G*,5T'&CA Descri-ción
computa la función de distribución geométrica de cada uno de los valores de X usando las probabilidades correspondientes en . X y puede ser vectores, matrices o arreglos multidimensionales que tengan el mismo tama5o. &os par#metros en debe estar en el intervalo U+ *V. •
S6NTA1&S
A ! geopdf(X,) ;
;
B5@C &!8upona ue se lana una moneda com-n repetidamente, puede salir cara o sello! 8i la moneda cae 7 sale cara, eso es un E;ito! .uGl es la probabilidad de ue e;actamente salan tres sellos antes de obtener una caraH En este caso la probabilidad de é"ito, es p! +.L Se quiere encontrar P( X %) >> p = eopdf(*,0!) p =
0!0#&
or tanto P( X
%)
0.0'"$
"#$#"#3% D&ST'&C&+N 7&P'G*,5T'&CA Descri-ción computa la function distribución 4ipergeométrica de cada uno de los valores de X usando los par#metros en 0, Q, y 1. X, 0, Q, y 1 pueden ser vectores, matrices, o arreglos multidimensionales que tengan el mismo tama5o. &os par#metros 0, Q, y 1 deben ser enteros positivos, con 1 ! 0. &os valores de X • deben ser menores o iguales a todos los valores de los par#metros. •
•
&a distribución de probabilidad 4ipergeométrica es y
f x M , K , N
K
M
K
x
N
x
M
,
N
el resultado, y, es la probabilidad de sacar e"actamente " de unos artculos posibles de Q artculos de 1 e"tracciones sin reempla%o de un grupo de 0 ob'etos.
Sintaxis A ! 4ygepdf(X,0,Q,1) EBE0&2 :C. Supongo que 8d. tiene un &2E de *++ discos floppys y se sabe que :+ de ellos son defectuosos. Guales son las probabilidades de tener de + a L discos floppys defectuosos, si se seleccionan *+ al a%arI alcular la probabilidad de que salgan e"actamente tres defectuosos, y de que salgan tres o menos defectuososI En este caso, 0 ! *++, los discos defectuosos son Q!:+ y se toman 1 ! *+ al a%ar
Se quiere 4allar la función de probabilidad >> X = 0"$ p = 7epdf(X,100,&0,10) p =
0!021
0!&#+2
0!*1'&
0!&02&
0!0'1
0!0&1
ara 4allar la gr#fica, agregamos el comando plot
ara la probabilidad de que salgan e"actamente tres P( X >> p = 7epdf(*,100,&0,10)
%)
p = 0!&02& Es decir que P( X %) 0."0" o sea que 4ay un :+.N: O de que se e"traigan F defectuosos. ara la probabilidad de que salgan tres o menos P( X %) >> p = 7ecdf(*,100,&0,10) p = 0!'20 Es decir que P( X defectuosos.
%)
0.#0( o
sea que 4ay un KN.+J O de que se e"traigan F o menos
"#" GN'AD*'S D N8,'*S A/AT*'&*S ('ND) Descri-ción. En el apartado Zdistribución@ se coloca el nombre de ésta entre comillas simples. par#metros corresponden a la distribución usada en cada caso y deber#n • &os cumplir las condiciones que esta e"i'a. • &a generación de números aleatorios es útil para la simulación de eventos en los intervengan un factor aleatorio pero del que conocemos su distribución. distribuciones pueden ser/ [beta, ?inomial, 4isquare, E"ponential, ;, • &as 7amma, 7eometric, square, 1ormal, oisson, 6ayleig4, , 8niform, iscrete 8niform, =eibull. adenas aceptables para las distintas distribuciones/ •
beta (istr. ?eta) bino (istr. ?inomial) • c4i: (istr. 4i> cuadrado) • e"p (istr. E"ponencial) • ev (istr. valor e"tremo) • f (istr. ; ) • gam (istr. 7amma ) • gev (istr. 3alor e"treme • 7enerali%ado) gp (istr.7enerali%ada areto) • geo (istr. 7eométrica) • 4yge (istr.
nbin (istr. ?inomial negativa) ncf (istr. ; 1o central) • nct (istr. no central) • nc": (istr. 4i> cuadrado 1o • central) norm (istr. 1ormal) • poiss (istr. oisson) • rayl (istr. 6ayleig4) • t (istr. t) • unif (istr.8niforme) • unid (istr. 8niforme discreta) • Rbl (istr. =eibull) •
•
•
Sintaxis. 6 ! 6$120 (Zdistribución@,Zpar#metros@) (ó 6 ! Zdistribución@rnd (Zpar#metros@) E'/ 6 ! lognrnd(...) ) EBE0&2 :P. 7enerar con una distribución binomial con los siguientes par#metros/ X ! *+, !+.: @@ 6$120(bino,*+,+.:,*,L) ans !
J
+
J
:
J
EBE0&2 :K. Se quiere comprobar la eficiencia de una maquina empaquetadora a la que le llegan pie%as de repostera casa Lminutos. El número de pie%as en cada remesa viene dado por una distribución uniforme con un mnimo de L y un m#"imo de *F. 6emesa ! 6$120(iscrete 8niform,N)JD @@ 6emesa ! 6$120(unid,L,*F) 6emesa !
: J J F J J * * L * * F L
J * : F L * L J : * F F *
F : : F : : J : L L J : F
* L L L : F * F : * * F *
F F J J J * * : F J F L J
L F : * J J F * : * : F F
F L F L J L : J : J J * :
: J L : J J * J : L * F F
F J : J F * * J F * : J *
J : L : J * : * F J F F J
J J J L : J : * J F F J J
: J F L L : J F F L : : *
L J F J F J F J F L : * *
PROBLEMAS PROPUESTOS *. Se sabe que apro"imadamente el N+O de los matriculados en 9ngeniera son 4ombres. (a) alcula la probabilidad de que en un grupo de cinco estudiantes escogidos al a%ar 4aya alguna c4ica. (b) alcula la probabilidad de que en una clase de F+ estudiantes no 4aya ningún c4ico. (c) alcula la probabilidad de que en una clase de J+ personas, menos del :+O sean mu'eres. 6espuestas. a) +.J+NLD b) *+ >F+ D c) +.NJKN :. Si se lan%a un dado *L+ veces, Gcu#l es la probabilidad de que salga F+ veces un seisI 6espuesta. +.+JK F. En un colegio se reali%an una serie de pruebas psicotécnicas para determinar el coeficiente de inteligencia de los alumnos, quedando establecido que dic4a medida se distribuye según una distribución normal de par#metros *++ y *+. (a) alcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al a%ar tenga un coeficiente intelectual por encima de *:+. (b) alcula el porcenta'e de alumnos cuyo coeficiente intelectual est# comprendido entre NL y *+L. (c) GHué valor del coeficiente intelectual verifica que sólo el *+O de los alumnos tienen un coeficiente superiorI (d) Se decide repetir las pruebas a aquellos alumnos con un coeficiente demasiado alto, que resultan ser un LO del total, y a aquellos con coeficiente demasiado ba'o, que representan un :O. alcula los valores del coeficiente de inteligencia a partir de los cuales se repetir#n las pruebas. 6espuestas. a) +.+::KD b) +.FKFD c) **:.K*CD d) or encima de **C.JL y por deba'o PN.JC. J. Según estudios reali%ados por una compa5a de seguros, se sabe que la probabilidad de que una mu'er mayor de sesenta a5os sufra un accidente de circulación es del +.++*O. Sabiendo que la compa5a tiene J++++ clientes de esas caractersticas, calcular la probabilidad de que tenga que soportar m#s de J siniestros de este tipo. 6espuesta. +.+++* L. Según las encuestas previas a las elecciones se supone que el :LO de los electores de la ciudad de &a a% votan por un determinado candidato. Se eligen al a%ar L+ votantes en un distrito electoral pace5o. alcular la probabilidad de que m#s de :+ voten por dic4o candidato. 6espuesta. +.++JL C. 8na m#quina de lavado a presión est# dise5ada para suministrar :L litros de limpiador por minuto, pero se 4a comprobado que la m#quina suministra una cantidad aleatoria entre :J y :C litros, siguiendo una distribución uniforme. a) alcular la probabilidad de suministrar ma\s de la cantidad esperada por minuto b) alcular la probabilidad de que la cantidad suministrada en un minuto sea menor de :L litros y medio, sabiendo que 4a sido superior a la cantidad esperada. 6espuestas. a) +.LD b) +.L
