ANAL AN ALIS IS DE CI CIRC RCUI UITO TOS S II FUNCIÓN DE RED
Paola Lema Ximena Quillupangui Santiago Haro
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Es una función racional que relaciona dos variables: ariables: Respues puesta y fuente.
Existen cuatro posibles funciones de red ransferencia de tens tensión Trans ransferencia de corriente Trans ransferencia de impedancia Trans Trans ransferencia de admitancia
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Es una función racional que relaciona dos variables: ariables: Respues puesta y fuente.
Existen cuatro posibles funciones de red ransferencia de tens tensión Trans ransferencia de corriente Trans ransferencia de impedancia Trans Trans ransferencia de admitancia
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En el dominio del tiempo es e sta relación es está dada por ecuaciones ecuaciones diferenciales; diferenciales; pero trabajando con la trans transformada de Laplace se conv convierte en una relación algebraica.
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La función de trans transferencia H(s) H(s) de un circuito es es la relación entre la función de salida Y(s) Y(s) (una tens tensión o corriente de salida) alida) y la función de entrada X(s) X(s) (una tens tensión o corriente de la fuente) fuente ).
Son frecuencias críticas a cuyos valores la función de red tiende a ceros (Ceros) o tiende a infinito (Polos).
N( s) y D(s) son polinomios reales. K e s el factor de escala (cuando los polinomios están normalizados)
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Para representar los polos y los ceros se utiliza la representación en el plano S. Luego en el plano s lo ceros se representan por un círculo (o) Los polos se representan con el signo (x), y en el caso de multiplicidad se indica esta a modo de exponente ( ). Por ejemplo: Representar los ceros y polos de la función.
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Una
función red de una variable real se puede representar fácilmente sobre un conjunto único de ejes de coordenadas. Por ejemplo, la función real f(x), siendo X real, se puede representar fácilmente en coordenadas rectangulares con X como la abcisa y f(x) como la coordenada. Una función compleja de una variable compleja tal como la función de red T(s) con , no se puede representar sobre un conjunto único de coordenadas.
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La variable compleja depende de dos cantidades independientes que son las partes real e imaginaria de S. luego no se puede representar por medio de una línea.
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Como la función compleja T(s) también tiene las partes real e imaginaria, no se puede representar sobre una sola dimensión.
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En general, para representar a T(s) con se requieren dos gráficos bidimensionales. La primera es un gráfico vs que se denomina plano S, con el mismo conjunto de coordenadas usadas para representar los polos y ceros. La segunda es parte imaginaria vs parte real de T(s) que se denomina plano T(s).
Como: acer representaciones independientes de: ` Podemos a) Parte real y parte imaginaria. b) Módulo y argumento. `
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Los diagramas de ode son gráficas semi logarítmicas de la magnitud (en decibeles) y de la fase (en grados) de una función de red en función de la frecuencia. Es posible escribir la función de red como
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La parte real de ln H es una función de la magnitud, mientras que la parte imaginaria es la fase.
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En un diagrama de por la ecuación:
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Es posible escribir una función de transferencia de la forma en términos de los factores que tienen partes real e imaginaria.
ode, la ganancia está dada
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En este caso en particular , H() puede incluir siete factores diferentes que pueden aparecer en diver sas combinaciones en una función de transferencia. Estos son: Una ganancia K. Un polo (j)-1 o cero (j) en el origen. Un polo simple 1/(1+ j/p1) o cero (1+ j/z1). Un polo cuadrático 1/[1+j /n+(j/ n)2] o cero [1+ j21/k+(j/ k)2] Al elaborar un diagrama de ode, se grafica cada factor por separado y luego se combinan gráficamente. Es posible considerar los factores de uno en uno y luego combinarlos aditivamente.
Para la ganancia K, la magnitud es de y la fase es de º. Si K es negativa, la magnitud sigue siendo , pero la fase corresponde a ± 180º. Diagrama de
ode para la ganancia K
Diagrama de magnitud
Diagrama de Fase
La magnitud es de y la fase corresponde a 90º. Ambas se grafican en la figura donde se obser va que la pendiente del diagrama de magnitud es de 20 d /década, en tanto que la fase es constante con la frecuencia. Diagrama de
Diagrama de magnitud
ode para un cero
Diagrama de fase
Los diagramas de ode para el polo (j)-1 son similares, salvo que la pendiente del diagrama de magnitud sea de -20 d /década, mientras que la fase es -900 . en general, para (j)N, donde N es un entero, el diagrama de magnitud tendrá una pendiente de 20N d /década, mientras que la fase es de 90N grados.
Magnitud: 20 log10|1+ j/z1| Fase: tan-1 /z1.
Diagrama de
ode de cero 1+ j/z1, diagrama de magnitud
La fase tan-1 /z1 se puede expresar como:
Diagrama de
ode de cero 1+ j/z1, diagrama de fase
Magnitud: -20 log10|1+ j22/n+(j/ n)2| Fase: tan-1(22/n)/(1- 2/n2)
Diagrama de
ode del polo cuadrático
Diagrama de magnitud
Diagrama de fase.
La operación básica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). La función transferencia de lazo cerrado es:
La ecuación característica del sistema que se ve en la figura es: F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0
1 + (S)H(S) 0 Se tendrá estabilidad cuando todas las raíces de la ecuación característica estén en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto (j) H(j) a la cantidad de ceros y polos de 1 + (s) H(s) que ay en el semiplano derec o s. Teorema
de la representación Sea F(s) la relación entre dos polinomios en s. Sea P el número de polos y Z el número de ceros de F(s) que quedan dentro de un contorno determinado del plano s, considerando inclusive la multiplicidad de polos y ceros. Sea este contorno tal que no pasa por ningún polo ni cero de F(s).
Se ace que el contorno cerrado del plano s abarque todo el semiplano derec o s. Debido a la condición supuesta de que: lim [1 + (s)H(s)]
CRITERIO
DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Basado
en el análisis previo, analizando los rodeos del punto - 1 + j0 por el lugar de (j)H(j): Criterio de estabilidad de Nyquist para un caso especial en que (s)H(s) no tiene ni polos ni ceros sobre el eje j si la función transferencia de lazo abierto (s)H(s) tiene k polos en el semiplano s positivo y
Para que el lugar (j)H(j) tenga estabilidad, a variar desde - a , debe rodear se k veces el punto - 1 + j0 en sentido anti orario.
Observaciones
sobre el criterio de estabilidad de
Nyquist 1. Se puede expresar este criterio como: Z N+P Donde Z cantidad de ceros de 1 + (s)H(s) en el semiplano derec o de s N cantidad de circunscripciones del punto - 1 + j0 en sentido orario P cantidad de polos de (s)H(s), en el semiplano derec o de s Si P no es cero, para un sistema de control estable se debe tener Z 0, o N -P lo que significa que ay que tener P rodeos anti orarios del punto - 1 + j0. Si (s)H(s) no tiene polos en el semiplano derec o de s, Z N.
Caso
especial en que G(s) H(s) involucra polos y/o ceros sobre el eje j
Como el recorrido de Nyquist no debe pasar por polos o ceros de (s) H(s), si la función (s) H(s) tiene polos o ceros en el origen (o en puntos del eje, j distintos al origen), ay que modificar el contorno en el plano s.
Contornos cerrados que evitan polos y ceros en el origen, en el plano s.
Sea, por ejemplo, un sistema de lazo cerrado cuya función transferencia de lazo abierto esta dada por (S) H(s) Los puntos correspondientes a s j0+, y s j0- en el lugar de (s)H(s) tienen en el plano (s)H(s), j y j , respectivamente. En la porción semicircular de radio (donde << 1), se puede escribir la variable compleja s S e j
Donde varía de - 90' a +90. Entonces es : G(e j)H(e j) G(S) H(s) Entonces: G(s)H(s) K/(2e2 j)
K/(e j)
K/(e j)
(s)H(s)
