Antecedentes André Marie Ampère (1775-1836), científico francés, conocido por sus importantes aportaciones al estudio de la electrodinámica. Ampère nació en Polémieux-au-Mont-d'Or, Polémieux-au-Mont-d'Or, cerca de Lyon. El amperio (A), la unidad de intensidad de corriente eléctrica, toma su nombre de él. Su teoría electrodinámica y sus interpretaciones sobre la relación entre electricidad y magnetismo se publicaron en su Colección de observaciones sobre electrodinámica (1822) y en su Teoría de los fenómenos electrodinámicos (1826). Ampère inventó la aguja astática, que hizo posible el moderno galvanómetro (véase Medidores eléctricos). Fue el primero en demostrar que dos conductores paralelos por los que circula una corriente en el mismo sentido, se atraen el uno al otro, mientras que si los sentidos de la corriente son opuestos, se repelen.
Michael Faraday (1791-1867), físico y químico británico, conocido principalmente por sus descubrimientos de la inducción electromagnética y de las leyes de la electrólisis. Nació el 22 de septiembre de 1791 en Newington (Surrey). Era hijo de un herrero y recibió poca formación académica. Mientras trabajaba de aprendiz con un encuadernador de Londres, leyó le yó libros de temas científicos y realizó experimentos en el campo de la electricidad. En 1812 asistió a una serie de conferencias impartidas por el químico Humphry Davy y envió a éste las notas que tomó en esas conferencias conferenci as junto con una petición de empleo. Davy le contrató como ayudante en su laboratorio químico de la Institución Real y en 1813 le llevó con él a un largo viaje por Europa. Faraday entró en la Sociedad Real en 1824 y al año siguiente si guiente fue nombrado director del laboratorio de la Institución Real. En 1833 sucedió a Davy como profesor de química en esta Institución. Dos años más tarde le fue concedida una pensión vitalicia de 300 libras anuales. Faraday recibió numerosos galardones científicos. Realizó sus primeras investigaciones en el campo de la química bajo la dirección direcci ón de Davy. Un estudio sobre el cloro le llevó al descubrimiento descubri miento de dos nuevos cloruros de carbono. También descubrió el benceno. Faraday investigó nuevas variedades de vidrio óptico y llevó a cabo con éxito una serie de experimentos de licuefacción de gases comunes (véase Criogenia). Sin embargo, las investigaciones que convirtieron a Faraday en el primer científico experimental de su época las realizó en los campos de la electricidad y el magnetismo.
En 1821 trazó el campo magnético alrededor de un conductor por el que circula una corriente eléctrica (la existencia del campo magnético había sido observada por vez primera por el físico danés Hans Christian Oersted en 1819). En 1831 Faraday descubrió la inducción electromagnética, y el mismo año demostró la inducción de una corriente eléctrica por otra. Durante este mismo periodo investigó los fenómenos de la electrólisis (véase Electroquímica) y descubrió dos leyes fundamentales: que la masa de una sustancia depositada por una corriente eléctrica en una electrólisis es proporcional a la cantidad de electricidad que pasa por el electrólito, y que las cantidades de sustancias electrolíticas depositadas por la acción de una misma cantidad de electricidad son proporcionales a las masas equivalentes de las sustancias. También demostró que un recinto metálico (caja o jaula de Faraday) forma una pantalla eléctrica. Sus experimentos en magnetismo le llevaron a dos descubrimientos de gran importancia. Uno fue la existencia del diamagnetismo y el otro fue comprobar que un campo magnético tiene fuerza para girar el plano de luz polarizada (véase Óptica) que pasa a través de ciertos tipos de cristal
Inductancia En un Inductor o bobina, se denomina inductancia, L, a la relación entre el flujo magnético, y la intensidad de corriente eléctrica, I:
El flujo que aparece en esta definición es el flujo producido por la corriente I exclusivamente. No deben incluirse flujos producidos por otras corrientes ni por imanes situados cerca ni por ondas electromagnéticas. Desgraciadamente, esta definición es de poca utilidad porque es difícil medir el flujo abrazado por un conductor. En cambio se pueden medir las variaciones del flujo y eso sólo a través del voltaje V inducido en el conductor por la variación del flujo. Con ello llegamos a una definición de inductancia equivalente pero hecha a base de cantidades que se pueden medir, esto es, la corriente, el tiempo y la tensión:
El signo de la tensión y de la corriente son los siguientes: si la corriente que entra por la extremidad A del conductor, y que va hacia la otra extremidad, aumenta, la extremidad A es positiva con respecto a la opuesta. Esta frase también puede escribirse al revés: si la extremidad A es positiva, la corriente que entra por A aumenta con el tiempo. La inductancia siempre es positiva, salvo en ciertos circuitos electrónicos especialmente concebidos para simular inductancias negativas. De acuerdo con el Sistema Internacional de Medidas, si el flujo se expresa en weber y la intensidad en amperio, el valor de la inductancia vendrá en henrio (H). Los valores de inductancia prácticos van de unos décimos de nH para un conductor de 1 milímetro de largo hasta varias decenas de miles de Henrios para bobinas hechas de miles de vueltas alrededor de núcleos ferromagnéticos. El término "inductancia" fue empleado por primera vez por Oliver Heaviside en febrero de 1886, mientras que el símbolo L se utiliza en honor al físico Heinrich Lenz.
Formalismo General Inductancia Mutua Como se verá a continuación, la inductancia (mutua y autoinductancia) es un característica de los circuitos que depende de la geometría de los mismos. Sean dos circuitos arbitrarios descritos por las curva γ1 y γ2 por donde
circulan corrientes I1 y I2, respectivamente. De ahora en más el subíndice 1 representa magnitudes correspondientes circuito 1 y análogamente para el circuito 2. En virtud de la Ley de Faraday se tiene
donde es el campo eléctrico y es el campo mangético en el circuito 1. Si ahora se toma el flujo a través del área encerrada S1 por el circuito 1,
y usando el Teorema de Stokes para la integral del lado izquierdo se obtiene la fem ε1 para el circuito 1:
Es conveniente usar que vectorial para reescribir lo anterior como
, donde
es el potencial
En este punto se debe hacer una simplificación: se supondrá que el circuito no cambia en el tiempo, con lo cual la derivada parcial puede salir fuera de la integral. Esto permite entonces aplicar nuevamente el Teorema de Stokes. Matemáticamente:
Dado que en el gauge donde es la densidad de corriente que genera el campo magnético . En este caso la densidad de corriente corresponde a la del circuito 2, por lo que
. En caso que la densidad de corriente corresponda a una curva y no a un volumen en el espacio es lícito reescribir el potencial vectorial como . Luego, reemplazando esta última igualdad en la expresión anterior se tiene
Dado que se ha supuesto que los circuitos no se modifican en el tiempo sólo afectada por la derivada temporal, con lo que
I2
se ve
El anterior razonamiento se puede repetir para el circuito 2 dando como resultado
Claramente las constantes que acompañan a las derivadas temporales en ambos casos son coeficientes que sólo dependen de la geometría de los circuitos y además son iguales. Luego se llama inductancia mutua, M a dicha constante
Autoinductancia Para calcular la autoinductancia se puede proceder con el razonamiento anterior. A pesar de esto surge un problema: la doble integral no se hace sobre circuitos distintos sino sobre el mismo dando lugar a divergencia cuando . Dicho problema puede ser resuelto si en la integral se usa la expresión general para
para puntos muy cercanos entre sí. Esta proximidad entre puntos permite hacer aproximación con las cuales se puede resolver la integral. No obstante existen casos donde la auto inductancia se calcula trivialmente como por ejemplo el solenoide ideal: si φ M es el flujo magnético, por Ley de Faraday se tiene
Dado que el campo constante en el solenoide es constante y dado por , con N el número de vueltas, l el largo del solenoide e I la corriente que pasa el mismo, se tiene
donde es la auto inductancia. El valor de la inductancia viene determinado exclusivamente por las características geométricas de la bobina y por la permeabilidad magnética del espacio donde se encuentra. Si el solenoide tiene un núcleo de permeabilidad distinta de vacío, la inductancia, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, viene determinada por:
donde μ es la permeabilidad absoluta del núcleo (el producto entre la permeabilidad
del aire y la permeabilidad relativa del material) N es el número de espiras, A es el area de la sección transversal del bobinado y l la longitud de las líneas de flujo. El cálculo de l es bastante complicado a no ser que la bobina sea toroidal y aún así, resulta difícil si el núcleo presenta distintas permeabilidades en función de la intensidad que circule por la misma. En este caso, la determinación de l se realiza a partir de las curvas de imantación.
Fuerza de Ampere Un conductor con corriente en presencia de un campo magnético externo experimenta una fuerza magnética. La expresión de esta fuerza, en el caso de un conductor recto de longitud L por el que circula una intensidad de corriente I en presencia de un campo magnético uniforme B, viene dada por la siguiente expresión:
Esta fuerza se conoce con el nombre de Fuerza de Ampere, y es máxima cuando el conductor forma un ángulo de 90 o con el vector inducción magnética, como es el caso representado en la figura. Si en las cercanías de un alambre largo con corriente I1 situamos otro también muy largo con corriente I2, dispuestos ambos paralelamente, entonces dichos alambres experimentarán la acción del campo magnético inherente al otro conductor ejerciéndose sobre los mismos una fuerza magnética igual en magnitud y dirección:
Las fuerzas (en rojo) son de atracción si las corrientes son paralelas y de repulsión si son antiparalelas. La fuerza por unidad de longitud se determina a través de la
expresión: F / L = ( µo / 2 pi ) ( I 1 I 2 ) / d
donde d es la distancia entre los alambres. En el experimento se se tienen dos corrientes de igual magnitud, de forma que la fuerza magnética entre ambos conductores se expresa como: 2
F / L = ( µo / 2 pi ) ( I ) / d
El applet que utilizaremos nos permite determinar el producto µoI , siendo I desconocida. Multiplicando y dividiendo por µo se obtiene: 2 F / L = [ ( µo I ) / ( 2 pi µo ) ] 1/d (1) que representa la ecuación del modelo. El valor numérico del numerador de esta expresión se puede conocer explícitamente del applet. Si podemos determinar experimentalmente de forma directa los valores de F / L ; de la distancia d y de µo I, entonces ploteando F / L vs 1/d debemos obtener una línea recta, con pendiente: 2
A = ( µo I ) / (2 pi µ o ) , (2) con lo cual estamos comprobando las leyes utilizadas para obtener la ecuación del modelo. De la pendiente A de la recta podemos determinar el valor de la permeabilidad magnética del vacío: 2
µo = ( µo I ) / (2 pi A)
(3)
Ley de Ampere La ley de Ampere establece que la circulación del vector inducción magnética a lo largo de un contorno cerrado C es igual al producto de la permeabilidad magnética por la intensidad de corriente neta ( µ o I ) que atraviesa perpendicularmente la superficie delimitada por el contorno cerrado:
Ejemplo:
Pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère Dada la distribución de corrientes deducir la dirección y sentido del campo magnético Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético. Campo magnético producido por una corriente rectilínea
determinado por la corriente y el punto. centrada en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular ala misma. El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl. El campo magnético B tiene el mismo módulo en todos los puntos de dicha circunferencia. La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot. Campo magnético producido por una corriente que circula a lo largo de un cilindro hueco. Cuando el número de corrientes equidistantes es grande, se anula el campo magnético en el interior, (para r
a. Vamos a ver cómo en esta situación es aplicable la ley de Ampère. Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro hueco de radio interior a y exterior b. la corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P. la distribución de cargas nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea B·2ð r tres casos siguientes. r
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio a
Aplicando la ley de Ampère
r>b
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r>b es la intensidad i. El módulo del campo magnético B en un punto P situado a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es
LEY DE FARADAY Introducción La aparición de corrientes eléctricas inducidas en conductores mediante la variación de campos magnéticos fue descubierta por Michael Faraday por 1830. Los resultados obtenidos experimentalmente pueden ser sintetizados de la siguiente manera: Toda vez que un flujo magnético variable atraviesa un circuito eléctrico aparece en el circuito una fuerza electromotriz inducida. Que puede expresarse matemáticamente de la siguiente forma
La Ley de Faraday se puede enunciar en forma operacional de acuerdo a la expresión que acabamos de ver sería "La fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente proporcional a la variación del flujo magnético e inversamente proporcional al tiempo que dura dicha variación"
o lo que es lo mismo "La fuerza electromotriz inducida es directamente proporcional a la rapidez con que varía el flujo magnético." La Ley de inducción electromagnética de Faraday (o simplemente Ley de Faraday) se basa en los experimentos que Michael Faraday realizó en 1831 y establece que el voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde:
donde es el campo eléctrico, es el elemento infinitesimal del contorno C , es la densidad de campo magnético y S es una superficie arbitraria, cuyo borde es C . Las direcciones del contorno C y de
están dadas por la regla de la mano izquierda.
La permutación de la integral de superficie y la derivada temporal se puede hacer siempre y cuando la superficie de integración no cambie con el tiempo. Por medio del teorema de Stokes puede obtenerse una forma diferencial de esta ley:
Ésta es una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales conforman las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo. La ley de Faraday, junto con las otras leyes del electromagnetismo, fue incorporada en las ecuaciones de Maxwell, unificando así al electromagnetismo. En el caso de un inductor con N vueltas de alambre, la fórmula anterior se transforma en:
donde e es la fuerza electromotriz inducida y dΦ/dt es la tasa de variación temporal del flujo magnético Φ. La dirección de la fuerza electromotriz (el signo negativo en la fórmula) se debe a la ley de Lenz. La forma de reconocer la existencia de una fuerza electromotriz en el circuito es a través de la corriente eléctrica que en el mismo aparece. Dicha corriente eléctrica, es decir el movimiento de cargas aparece frente a la presencia de un campo eléctrico no electrostático que provoca una fuerza sobre las mismas y de este modo comienzan a moverse dando lugar a la corriente eléctrica.
La variación de flujo magnético sobre un circuito eléctrico, puede producirse de múltiples formas por ejemplo:
Acercando o alejando un imán natural
Acercando o alejando un solenoide (recorrido por una corriente constante)
Variando la corriente de un solenoide (lo que provoca sin necesidad de moverlo respecto al circuito, un aumento o disminución del campo magnético por la variación de I)
Moviendo el circuito dentro de un campo magnético de tal forma que el flujo que lo atraviesa varíe. Ley de Lenz
Esta ley permite determinar el sentido de la corriente inducida y por lo tanto de la fuerza electromotriz inducida conociendo la forma en que varía el campo magnético. La corriente inducida tiene un sentido tal que tiende a oponerse a la causa que la produce.
Del estudio de algunos casos de aplicación de esta ley surgirá claramente el significado del signo de menos en la ley de Faraday. 1) Conductor en movimiento dentro de un campo magnético
El circuito de la figura consta de una barra conductora (1-2) que desliza sobre dos conductores rectilíneos. El circuito queda cerrado a través de una resistencia señalada como R y lo acciona un interruptor. Se encuentra inmerso en un campo magnético B el cual es perpendicular al plano definido por el circuito y dirigido hacia en interior de su pantalla. Si ponemos en movimiento la varilla con una velocidad v como se indica, en las cargas que existen en la varilla se producirán fuerzas (Lorentz). Sobre las cargas positivas existentes en la barra, aparecerá una fuerza dirigida en la dirección de la barra y sentido hacia el punto 2 Aplicación de la ley de Lorentz En consecuencia las cargas positivas se moverán hacia el punto 2 del conductor, quedando este sector cargado positivamente, mientras que el punto 1 quedará negativamente. El punto 2 estará a un potencial más alto que el 1 por lo tanto cuando el interruptor está cerrado, por el circuito circulará una corriente eléctrica en sentido anti horario. Si analizamos lo sucedido veremos que: a) Cuando la barra conductora 1-2 se mueve hacia la derecha, el flujo magnético que atraviesa el circuito va en aumento.(se agregan más líneas de flujo) b) Ese aumento de flujo que se produce en cierto tiempo, de acuerdo a la Ley de Faraday provoca la aparición de una corriente eléctrica en el circuito. c) Si observamos el sentido de giro de la corriente veremos que el campo que genera esta corriente es también perpendicular al plano definido por el circuito, pero saliendo de su pantalla. d) En consecuencia se ve claramente aquí que el campo creado por la corriente inducida es opuesta al crecimiento del flujo (que es hacia el interior de la pantalla) por lo cual se justifica el signo de - (menos) en la expresión de la ley de Faraday y le da sentido a la ley de Lenz en cuanto la corriente inducida crea un campo que se opone al que la produce. 2) Imán moviéndose en la dirección del eje de una espira
Cuando un imán con su polo norte del lado de la espira, se acerca hacia la misma, la cantidad de líneas de fuerza que atraviesan la espira aumenta (por lo tanto el flujo aumenta) y en consecuencia se pueden aplicar la ley de Faraday y Lenz y tendremos que en la espira se produce una corriente inducida I tal que se opone a la causa que la genera, por lo tanto aparecerá una corriente inducida en la espira en sentido antihorario de modo de provocar un campo magnético que se oponga al aumento de campo producido por el polo norte acercándose. Si en lugar de acercarse el polo norte del imán a la espira, se alejara, el flujo que atraviesa la espira va disminuyendo y en consecuencia en la espira se producirá una corriente de sentido contrario al de la figura. El mismo efecto que produce un polo norte de un imán acercándose a una espira se puede lograr con un solenoide al cual se le aumenta la intensidad de corriente que lo recorre. En ese caso al aumentar la corriente sin mover los elementos, se produce un aumento del flujo magnético y en consecuencia en una espira dará lugar a la aparición de una corriente inducida.
CUESTIONARIO 1. ¿Qué es inductancia?
En un Inductor o bobina, se denomina inductancia, L, a la relación entre el flujo magnético, y la intensidad de corriente eléctrica; 2. ¿Qué es un inductor?
Los inductores o bobinas son elementos lineales y pasivos que pueden almacenar y liberar energía basándose en fenómenos relacionados con campos magnéticos. Una aplicación de los inductores, consistente en bloquear (“choke” en inglés) las señales de
AC de alta frecuencia en circuitos de radio, dio origen a que con dicho término (choque) se haga referencia a los inductores que se emplean en aplicaciones donde su valor no es crítico y que por lo tanto admiten grandes tolerancias. 3. ¿Cuál es su representación matemática?
4. ¿Qué es la autoinductancia?
Corriente inducida que se produce en una bobina conductora debido a sus propias variaciones de flujo de campo magnético. 5. ¿Qué es la fuerza de ampere?
Un conductor con corriente en presencia de un campo magnético externo experimenta una fuerza magnética. La expresión de esta fuerza, en el caso de un conductor recto de longitud L por el que circula una intensidad de corriente I en presencia de un campo magnético uniforme B.
6. ¿Cuál es su representación matemática?
7. ¿Qué enuncia la ley de Ampere y cual es su representación matemática?
La ley de Ampere establece que la circulación del vector inducción magnética a lo largo de un contorno cerrado C es igual al producto de la permeabilidad magnética por la intensidad de corriente neta ( µ o I ) que atraviesa perpendicularmente la superficie delimitada por el contorno cerrado:
8. ¿Qué enuncia la ley de Faraday?
"La fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente proporcional a la variación del flujo magnético e inversamente proporcional al tiempo que dura dicha variación" 9. ¿Cuál es su representación matemática?
10. ¿Cuándo fue usado por primera vez el término inductancia?
Fue empleado por primera vez por Oliver Heaviside en febrero de 1886, mientras que el símbolo L se utiliza en honor al físico Heinrich Lenz.
CONCLUSIONES En un Inductor o bobina, se denomina inductancia, L, a la relación entre el flujo magnético, y la intensidad de corriente eléctrica. La ley de Faraday enuncia: "La fuerza electromotriz inducida es directamente proporcional a la rapidez con que varía el flujo magnético." La ley de ampere enuncia:
La circulación del vector inducción magnética a lo largo de un contorno cerrado C es igual al producto de la permeabilidad magnética por la intensidad de corriente neta (µ o I) que atraviesa perpendicularmente la superficie delimitada por el contorno cerrado
