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El análisis fractal en ingeniería ambiental M. Mahamud López Dpto. de Ingeniería Química y Tecnología del Medio Ambiente Facultad de Química. Universidad de Oviedo
1. Introducción El concepto de fractal, introducido formalmente por Mandelbrot en 1975, tiene su origen en el estudio de diferentes conjuntos matemáticos con propiedades especiales, denominados comúnmente como monstruos matemáticos. Dicho concepto también está ligado a la observación crítica de multitud de objetos, de fenómenos naturales y de trabajos de investigación [2 y 6].
El concepto de fractal fractal se introduce como una extensión natural de la geometría geometría tradicional. tradicional. El tratamiento clásico no permite permite caracterizar caracterizar algunos conjuntos conjuntos matemáticos y tampoco la mayor mayor parte de los sistemas o fenómenos naturales. naturales. Mediante el análisis análisis de ejemplos concretos sencillos sencillos como una marea negra o series históricas históricas de datos ambientales, ambientales, se muestra cómo un análisis fractal fractal elemental permite abordar problemas clásicos clásicos de la ingeniería ambiental.
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En cuanto a los entes matemáticos, existen figuras con características que ponen a prueba la lógica geométrica tradicional. Así, por ejemplo, hay curvas planas para las cuales la longitud del perímetro que conecta dos puntos cualesquiera de las mismas arbitrariamente cercanos es infinita, algunas curvas pueden llegar a llenar el plano y se pueden encontrar figuras cerradas con un perímetro infinito que encierran en su interior un área nula. La "rugosidad" que presentan algunas geometrías puede ser tal que no admiten rectas o planos tangentes en ninguno de sus puntos. Los objetos reales poseen asimismo un alto grado de complejidad y para poder "inventariarlos" y tratarlos matemáticamente de forma sencilla es preciso realizar una simplificación notable. La adopción de modelos simplificados viene impuesta por una serie de limitaciones de origen diverso. Estas limitaciones es posible que sean inherentes a nuestros métodos de medida, pueden ser debidas a la información de la que disponemos o pueden tener su origen incluso en la capacidad de discriminación de nuestros sentidos. Cuando
abordamos el estudio geométricomatemático de objetos y situaciones reales, la validez del modelo que utilizamos para su representación está condicionado por la mayor o menor aproximación de nuestras medidas a la realidad, es decir, hay que tener en cuenta el grado de detalle que utilizamos para describir los entes objeto de nuestro estudio.
2. Una lección de geografía En los manuales de geografía y en las enciclopedias es común encontrar datos referidos a España según los cuales su extensión es, por ejemplo, de 504.750 ó 504.783 km2, resultando sorprendente el gran número de cifras significativas utilizadas dada la variabilidad de las medidas. Si pudiéramos cubrir nuestro territorio con teselas de 1 m 2 y computar el resultado, a buen seguro obtendríamos un valor muy alejado de los anteriores para la superficie. Si el dato que buscamos es la longitud de nuestra costa, los valores recogidos presentan una variabilidad aun mayor. Como muestra se indican algunos de ellos: 3.904 km, 5.031,1 km. Por lo tanto, o bien algunas mediciones constituyen una evidente inexactitud o los criterios seguidos para su determinación han sido diferentes. No obstante, continúa siendo alarmante el elevado número de cifras significativas utilizadas. Si encargamos a diferentes personas estimar la longitud de la costa española utilizando los mapas de que disponen, los resultados serían muy variados y si comparamos éstos con los que obtendría un andarín que cubriese el perímetro costero empujando un podómetro, el resul-
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Figura 1. Determinación de la longitud de un segmento de recta utilizando diferentes unidades de medida
3. Concepto de dimensión fractal
Tabla I. Cómputo de las medidas de figuras geométricas sencillas de longitud lineal unidad utilizando unidades de m edida fraccionarias
δ
Figura
Segmento
1
1/2
1/3
1/4
1 1
2 1
3 1
4 1
N(δ) =M (unidades de superficie)
1 1
4 1
9 1
16 1
N(δ) N(δ)*δ3 =M (unidades de volumen)
1 1
8 1
27 1
64 1
N(δ) N(δ)*δ =M (unidades lineales)
Cuadrado N(δ)*δ Cubo
2
tado que se obtendría sería con toda probabilidad sorprendente. Por lo tanto, el concepto clásico de medida de ciertas magnitudes puede considerarse relativo y la determinación de una magnitud es válida en tanto en cuanto se conozca el grado de detalle con el que las mediciones han sido efectuadas. Para evitar una mala interpretación de las consideraciones anteriores es preciso indicar que la mencionada variabilidad en las medidas no se refiere a la precisión o grado de reproducibilidad de la mismas, sino a que la elección del procedimiento de medida va a condicionar el resultado de dicha medida por encima de la precisión de aquél.
Para abordar matemáticamente el concepto de objeto fractal, definimos la dimensión de HausdorffBesicovitch, D, como el valor del parámetro d tal que, si δ→0, para d > D la expresión siguiente se anula y para d < D se hace infinito: M = f · N (δ ) · δ d
(1)
donde M es la medida de nuestro objeto, f es un factor de forma que depende de cómo una geometría particular llena el espacio (vale 1 para rectas, cuadrados y cubos; π /4 para círculos; π /6 para esferas), N (δ ) es el número de unidades elementales de medida que cubren el objeto a medir y δ es la dimensión lineal de la unidad de medida utilizada. Cuando la dimensión D excede el valor de la dimensión geométrica que atribuimos al objeto, decimos que se trata de un fractal.
4. Determinación de la dimensión de figuras simples
Figura 2. Determinación de la superficie de un cuadrado utilizando diferentes unidades de medida
Si el objeto que vamos a medir es una línea recta de longitud L, su medida M será igual al producto del número de unidades de medida L / δ por la longitud de la unidad de medida elevada a su dimensión δ D. La única forma de conseguir que dicho producto sea finito y no nulo cuando δ →0 es que D sea igual a uno,
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N (δ ) · δ D
Tabla II. Tabla de valores logN-logδ para la ecuación (2) en el caso de un cuadrado
(3)
En nuestro caso, N (δ ) = 4n y δ = = (1/3)n. Sustituyendo:
logδ
log1
-log2
-log3
logN
log1
log4
log9
-log4
1 D 4n 4 N (δ ) · δ = 4 · ––– = ––– = ––– 3n 3nD 3 D D
log16
n
( )
( )
n
(4) como era previsible. La ecuación (1) se puede linealizar y realizar una representación gráfica. Veamos el resultado del análisis para algunos casos simples. Si se trata de un segmento de recta de longitud unidad, podemos hacer una tabla de valores para diferentes longitudes de la unidad de medida según se deduce de la figura 1. Igual razonamiento podemos seguir para otras figuras geométricas sencillas como un cuadrado o un cubo, obteniendo la serie de valores recogida en la Tabla I. Transformando la ecuación (1), obtenemos la correspondiente expresión lineal: log N = log M - Dlogδ
(2)
Para el caso en que la figura a medir sea un cuadrado de longitud de lado unidad, según la figura 2 podemos obtener para la ecuación (2) la lista de valores de la Tabla II, que nos permite calcular, por ajuste de la ecuación (2), el valor de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch para un cuadrado, D=2, y el valor real de la magnitud medida que en este caso es, obviamente, la unidad de superficie. Para estos ejemplos triviales, el valor de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch coincide con la dimensión geométrica de los objetos medidos: la unidad para un segmento de recta; dos para la superficie de un cuadrado y tres para el volumen de un cubo.
5. Cálculo de la dimensión fractal Para ejemplificar el concepto de objeto fractal, lo más fácil es recurrir a entes matemáticos cuyo estudio se puede llevar a cabo con facilidad. Podemos encontrar diferentes ejemplos matemáticos que ilustren este aspecto, como son la figura de Koch, la construcción deno-
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minada la escalera del diablo, el triángulo de Sierpinsky o el con junto de Mandelbrot. A modo de ejemplo, se expone a continuación la determinación de la dimensión fractal de la figura de Koch. Para el estudio detallado de otros casos, se puede consultar la bibliografía citada [2, 6, 7 y 9].
el número para el que, cuando n tiende a infinito, la expresión anterior pasa de tomar un valor cero a un valor infinito es D = Ln4/ Ln3 = 1,2628, que es la dimensión fractal de la curva de Koch. Se hace notar que la dimensión de cualquiera de las iteraciones para n finito tiene el valor uno, ya que está compuesta por un número finito de segmentos rectos.
La curva de Koch se obtiene a partir de una recta por iteraciones sucesivas. Se parte de un segmento de longitud determinada, se divide en tres partes iguales y la parte central se sustituye por dos líneas de la misma longitud (1/3) que formarían, con la parte suprimida, un triángulo equilátero. El segmento original es ahora una línea que consta de cuatro tramos, con una longitud cada uno igual a 1/3 del segmento original. La iteración consiste en dividir sucesivamente cada uno de los segmentos rectos según el mismo criterio. En la figura 3 se recogen las tres primeras iteraciones. Para calcular la dimensión fractal de la curva de Koch cuando n tiende a infinito, debemos calcular cuál es el número D para el que la siguiente expresión pasa del valor nulo al infinito:
Figura 3. Construcción de la curva de Koch para n = 0, 1, 2 y 3
El ejemplo de la curva de Koch sirve para ilustrar una de las propiedades más importantes de los objetos fractales, la autosemejanza, es decir, la similaridad que presentan independientemente del grado de detalle con que se observen. Si examinamos un pequeño fragmento de la región en que se halla la curva, descubriremos idénticos detalles a los observados a nivel global. Del mismo modo, una curva de Koch examinada a una cierta distancia -o medida con una escala adecuada- puede asimilarse a uno de los objetos obtenidos en la construcción iterativa con n finito. Si la distancia de observación es suficientemente grande -o lo que es lo mismo, la unidad de medida es suficientemente grande-, podría percibirse la construcción sencilla para n=1 o incluso una recta ( n=0).
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6. Aplicación del análisis fractal a situaciones medioambientales En la naturaleza existen multitud de sistemas que pueden ser tratados como fractales. Considerando el medio biótico, podemos pensar en la estructura leñosa de una buena parte de los vegetales, en el sistema circulatorio de los animales o en el relieve de las vellosidades intestinales como modelos típicos. En el medio físico también abundan los ejemplos, como son los perímetros costeros o lacustres, la longitud de los cauces fluviales, la topografía superficial de diferentes regiones geográficas o la textura de algunos materiales porosos. En este artículo se va a mostrar cómo el análisis fractal puede utilizarse en el tratamiento de varias situaciones relacionadas con la problemática medioambiental.
6.1. Marea negra –––––––––––––––––––––––––––––––
Imaginemos una mancha de petróleo que se aproxima hacia la costa. El objetivo principal será conseguir que esta mancha no llegue a la línea de costa, ya que es en la interfase aire-agua-tierra donde puede provocar efectos especialmente negativos. Si el contacto es inevitable, podría pensarse que la magnitud del problema reside en la extensión del frente de la mancha, que en principio determinará la extensión de litoral afectado en caso de producirse el contacto con la tierra. Esto sería cierto si la línea de costa fuera sensiblemente rectilínea, cosa que no siempre sucede en la realidad. Imaginemos el frente de la mancha aproximándose a la costa esquematizada en la figura 4. ¿Cuál será la longitud real de costa afectada por el vertido? La pregunta parece trivial, pero un análisis detenido nos revelará que el proble-
Figura 4. Determinación de la medida de un perfil costero utilizando mediadas de longitud 1 y 1/4
Figura 5. Representación gráfica de Ln(N) frente a Ln( δ ) para las costas de Galicia, Asturias y la Comunidad Valenciana
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ma puede no ser tan sencillo como parece. Como ya se ha indicado en la introducción, la determinación del perímetro costero es un caso típico en el estudio de objetos fractales. Analizando un perfil costero como el indicado en la figura 4, es fácilmente comprobable que, utilizando diferentes escalas para la medida, vamos a obtener distintos valores. Para el fragmento que hemos representado, obtenemos con una medida de longitud arbitraria unidad un perímetro de costa de 3. Utilizando como unidad de medida una cuarta parte de la anterior, se obtiene una longitud de 15,7x(1/4) ≅3,9. Hemos de tener en cuenta que la interfase agua-tierra se extiende a lo largo del perímetro de cada cabo, bahía o cala, y, además, cada promontorio y cada roca semisumergida van a delimitar una interfase e, idealmente, cada piedra y cada grano de arena de una playa tendría su propio perímetro costero. Vemos pues que la problemática que puede representar un vertido de crudo en caso de llegar a la costa no depende sólo de la anchura de su frente, sino de las características de cada perfil costero, que pueden magnificar el efecto en función de la longitud de interfase disponible para una longitud del frente dada. Cálculos sencillos utilizando la ecuación (3) permiten estimar una dimensión fractal para la costa gallega de 1,32, una dimensión para la costa asturiana de 1,09 y una dimensión para la costa de la Comunidad Valenciana de 1,08. Para las determinaciones se han utilizado unidades de medida con una longitud de 30, 15, 9 y 3 km. Obviamente, la costa gallega es la más accidentada de las indicadas y, por lo tanto, tiene una dimensión fractal mayor. Un vertido en dichas costas presentaría una problemática mayor que en casos de dimensiones fractales inferiores. La representación gráfica de Ln( N ) frente a Ln(δ ) para los tres perfiles costeros indicados se muestra en la figura 5. En la bibliografía están recogidas para la costa británica y para la costa noruega valores de la dimensión fractal de 1, 3 y 1, 5, respectivamente [2].
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6.2. Percolación a través de un medio poroso –––––––––––––––––––––––––––––––
El estudio del flujo de fluidos a través de medios porosos se utiliza, por ejemplo, para determinar el movimiento de las masas de agua subterráneas. Para el tratamiento de estos sistemas se usa el esquema clásico del flujo de fluidos en medios porosos, que tiene como base la ecuación de Darcy: k ρ ν = - ––– ∇ p µ
(5)
ρ donde: ν es la velocidad, µ es la viscosidad, p la presión y k es la permeabilidad del medio poroso. Vidales y Miranda [10] han demostrado que se puede correlacionar la permeabilidad con la porosidad del medio ( ε) de forma sencilla según la relación: k ∝ ε (2/3- D)
(6)
Existen correlaciones más ajustadas que relacionan otros parámetros, como la permeabilidad frente a un factor de forma y el factor de forma frente a la porosidad, siendo necesario para ello introducir una segunda dimensión fractal. En explotaciones de crudo y en los casos de tratamiento de suelos contaminados, es común la introducción en los terrenos de un fluido, agua o aire, con la finalidad de que desplace o se mezcle con la sustancia que impregna el subsuelo poroso. Generalmente, el fluido que se encuentra embebiendo el subsuelo va a tener una viscosidad mucho mayor que el fluido que se inyecta. En estas situaciones, la interfase de separación entre ambos fluidos no va tener una geometría sencilla, avanzando el fluido inyectado con la formación de una especie de tentáculos que se introducen a través de la fase preexistente. Este fenómeno es conocido en la literatura en lengua inglesa como " fingering", ya que las siluetas resultantes se asemejan al aspecto de una mano y presentan una estructura que permite su análisis desde el punto de vista fractal. Este fenómeno resulta de vital impor-
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tancia, ya que si lo que se pretende conseguir es, por ejemplo, la recuperación de un fluido oleoso, hay que tener en cuenta que se va a requerir el suministro de un volumen de líquido de desplazamiento mucho mayor que el volumen que queremos recuperar, ya que el frente de avance poco tiene que ver con un flujo en pistón que sería la situación óptima. Si lo que deseamos es, por contra, poner en contacto con aire una masa de agua subterránea contaminada para proceder a su limpieza, el fenómeno del " fingering" puede ser beneficioso, en cuanto promueve una dispersión del aire en el seno del fluido que impregna el terreno. 6.3. Caracterización de sólidos porosos –––––––––––––––––––––––––––––––
La utilización de sólidos porosos es muy común en operaciones de ingeniería ambiental, ya que pueden ser utilizados como adsorbentes, absorbentes, catalizadores o más comúnmente como soporte para los mismos-, e incluso constituyendo partículas de material reactivo como en las operaciones de combustión o de compostaje. Las formas tradicionales de caracterizar la textura de un material poroso se basan fundamentalmente en la penetración de un determinado fluido a través de la red porosa del material y la aplicación de cálculos más o menos complejos que permitan determinar el volumen de poros y la distribución del mismo, e incluso llevar a cabo la estimación de su superficie específica [4]. Las virtudes y defectos de las diferentes técnicas de determinación textural están relacionadas directamente con la naturaleza de las sustancias utilizadas como fluido picnométrico o adsorbato, así como con las aplicaciones prácticas de los materiales sometidos a estudio. En principio, no existe una técnica de caracterización que pueda considerarse universal. Si se realizan experimentos de adsorción sobre un material utilizando moléculas de diferente sección, se obtienen diferentes resultados en función de la mayor o menor accesibilidad de las distintas
regiones de la superficie a una molécula determinada. Por lo tanto, si lo que tratamos es de caracterizar una superficie utilizando moléculas cuyo área de recubrimiento sea σ, podemos escribir una ecuación análoga a la Ecuación (1): S = f · N (σ ) · σ ( D /2)
(7)
donde S (σ ) es la superficie a medir y N (σ ) es el número de unidades elementales de área σ que recubren la superficie. En el caso de una superficie, N (σ ) es inversamente proporcional a σ D /2. Cuando D=2, estamos en el caso de una superficie euclídea convencional. Por lo tanto, teniendo en cuenta la proporcionalidad entre σ y N (σ ), y como σ N (σ ) es proporcional al volumen de la monocapa para un adsorbato y unas condiciones dadas, se puede calcular fácilmente la dimensión fractal a partir de los volúmenes de monocapa para adsorbentes con diferente σ : N(σ) ∝σ-D/2 → log N( σ) = D = - –– log σ → log(vol.monocapa) = 2
2 - D = –––––– log σ 2
(8)
Para la caracterización de macroporos y parte de los mesoporos, es común utilizar también técnicas de porosimetría de intrusión de mercurio, ya que existe una relación inversa -ecuación de Washburn- entre la presión aplicada y el radio de los poros que es capaz de llenar el mercurio en esas condiciones. Si medimos el volumen de mercurio intrusionado en función del tamaño del poro más pequeño (de radio R) al que es capaz de acceder a una presión dada, podemos estimar la superficie mediante la expresión siguiente: 1 S ( R) = fN ( R) R D∝ ––– R D = R D-2 R2 (9) donde f es el factor de forma, N ( R) es el número de unidades de superficie y R es el radio del poro más pequeño alcanzado y que determina la dimensión lineal de la
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sólidos, como la dispersión de rayos X de bajo ángulo, permite asimismo determinar la dimensión fractal de la superficie de los poros del material sometido a estudio [8]. El análisis fractal, a partir de las técnicas tradicionales de determinación estructural, ofrece la posibilidad de obtener información sobre las características intrínsecas de la superficie de los poros de un material, es decir, su arquitectura detallada y no sólo sobre el volumen de poros o la magnitud de la superficie específica.
unidad de superficie. Derivando la anterior expresión, se tiene: dS –––– = ( D - 2) R D-3 dR
(10)
y teniendo en cuenta que para un sistema de poros cilíndricos se cumple que: 2dV dS = –––––– R
(11)
entonces: dV –––– ∝ R D-2 dR
(12)
pudiendo estimar la dimensión fractal de la superficie de los poros mediante un análisis de la curva de distribución de volumen de poros. Como según la relación de Washburn, la relación entre la presión y el radio es de proporcionalidad inversa, se obtiene la expresión equivalente: dV –––– ∝ P D-4 dP
(13)
recomendada por algunos autores [3]. Una representación de la expresión anterior para un carbón activo preparado por el autor se puede ver en la figura 6. El análisis de los resultados de otras técnicas de caracterización de
Figura 6. Determinación de la dimensión fractal de un carbón activo a partir de los datos de porosimetría de mercurio
7. Análisis de series temporales de interés en ingeniería ambiental El concepto de fractal está relacionado originalmente con la idea de similaridad geométrica a distintas escalas, es decir, los objetos mantienen su complejidad cuando son observados con un mayor grado de detalle. La mayor parte de los fenómenos naturales presenta un cierto carácter cíclico, es decir, una repetición más o menos ordenada a lo largo del tiempo. Fenómenos como la precipitación, el caudal de los ríos o el crecimiento de bosques y cosechas pueden ser medidos a lo largo de diferentes intervalos de tiempo. Podemos preguntarnos si el comportamiento observado en un determinado periodo de tiempo puede ser extrapolado cuando el intervalo de estudio es sustancialmente diferente. Si se verifica lo anterior, podríamos hablar de un sistema "fractal" en el tiempo. De los estudios llevados a cabo por Hurst [5] sobre diferentes fenómenos naturales, como caudales de ríos, precipitaciones, presiones o temperaturas, entre otros, se puede deducir para ciertas magnitudes una relación entre la máxima amplitud de la oscilación de la desviación acumulada en un intervalo temporal τ y la desviación estándar en el intervalo considerado. Sea la función M (t ) la magnitud –– medida para un tiempo t ; M τ el valor medio de M en el intervalo de tiempo τ , es decir,
1 τ –– M τ = ––– M (t )dt
∫
τ
0
definimos la desviación acumulada de la variable M para un tiempo t ≤ τ como. t –– t τ A( , ) = ( M (t ) - M τ )dt | t ≤τ
∫ 0
Definimos R(τ ) como: R(τ ) = máx A(t,τ ) - min A(t,τ ) | 0 ≤ t ≤ τ
(14) y, por último, S (τ ), que será la desviación estándar de M a lo largo del intervalo τ , es decir: S (τ ) =
τ
–– √ ∫ ( M (t ) - M ) dt (15) 1 –– τ
2
τ
0
Obviamente, en la mayor parte de los casos, las integrales habrán de ser sustituidas por los sumatorios correspondientes a valores de la magnitud en instantes de tiempo concretos. Correlacionando datos experimentales, Hurst encontró la siguiente relación:
τ H R(τ ) ––––– = ––– S (τ ) 2
( )
(16)
donde el exponente H toma el valor aproximado de 0,73 para la mayor parte de los fenómenos naturales. En la figura 7 se puede ver la representación de Ln( R/S ) frente a τ para los caudales anuales del Río Ebro a su paso por Zaragoza entre 1957 y 1992. Para el cálculo se han utilizado los datos del servidor informático de la Confederación Hidrográfica del Ebro. Diferentes métodos de análisis fractal de series temporales relacionadas con los fenómenos meteorológicos pueden encontrarse en la bibliografía [1]. Si disponemos de series temporales suficientemente amplias, podremos determinar con más exactitud cuál es el valor del exponente
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Figura 7. Estimación del exponente de Hurst para los caudales anuales del Río Ebro
clásicas. Es probable que el análisis fractal no vaya a constituirse en un instrumento preponderante para el estudio de la problemática ambiental. En cualquier caso, su creciente utilización hará que en el futuro constituya una técnica más a disposición de los ingenieros ambientales, de igual manera que ya es de uso común por parte de profesionales de otras ramas del conocimiento científico y técnico.
9. Referencias [1] Burgos, T. R. y Pérez, E. "Estimation of the Fractal Dimension of a Rainfall Time Series over a Zone Relevant to the Agriculture in Havana". SOMETCUBA Bulletin, 5 (1), (1999).
H que mejor se ajusta al proceso en estudio. Conocido el valor de dicho exponente, podemos inferir cuál sería el mayor valor de la desviación acumulada para un intervalo temporal determinado. Puesto que la desviación estándar de la magnitud medida no presenta variaciones importantes si se dispone de series temporales muy extensas, la última expresión se puede utilizar para estimar la máxima oscilación de las desviaciones acumuladas. Este sistema puede usarse para determinar, por ejemplo, la capacidad de embalses que garanticen durante un periodo de tiempo determinado el suministro de un caudal constante. Como ya se ha indicado, este análisis de series temporales se puede aplicar a otro tipo de fenómenos, como el crecimiento de las
poblaciones, de las cosechas o el desarrollo diferencial de un árbol a lo largo de su ciclo vital.
[2] Feder, J. "Fractals". Plenum Press. Nueva York (1988). [3] Friesen, W. I. y Mikula, R. J. "Fractal Dimensions of Coal Particles". J. Colloid Interface Sci., 120 (1), 263-271 (1987). [4] Gregg, S. J. y Sing, K. S. W. "Adsorption, Surface Area and Porosity". Academic Press. Londres (1982).
8. Conclusión El análisis fractal se está aplicando en la mayoría de los campos científicos y técnicos, y una parte de estas aplicaciones caen de lleno en el ámbito de la ingeniería ambiental y pueden permitir contar a ésta con una nueva herramienta para el tratamiento de diferentes cuestiones. Los ejemplos que se han indicado son sólo una pequeña muestra de la aplicación de estas recientes técnicas de análisis, que pueden utilizarse tanto para el estudio directo de la fenomenología espacio-temporal, como para el manejo matemático de técnicas de análisis que podemos denominar
[5] Hurst, H. E., Black, R. P. y Simaika, Y. M. "Long Term Storage: An Experimental Study". Constable, Londres (1965). [6] Mandelbrot, B. B. "Les Objects Fractals: Forme, Hasard et Dimension". Flammarion. París (1975). [7] Mandelbrot, B. B. y Freeman, W. H. "The Fractal Geometry of Nature". Nueva York (1977). [8] Park, Y. "Fractal Geometry of Porous Materials". Fractals, 8 (3), 301-306 (2000). [9] Pfeifer, P. y Avnir, D. "Chemistry in Noninteger Dimensions between Two and Three". I. Fractal Theory of Heterogeneous Surfaces. J. Chem Phys., 79 (7), 3558-3565 (1983). [10] Vidales, A. M. y Miranda, E. N. "Fractal Porous Media: Relations Between Macroscopic Properties". Chaos, Solitons & Fractals, 7 (9), 13651369 (1996).
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Ingeniería Ambiental Edición: 1999 España: 75,75 € Resto de Europa: 98 € Resto del Mundo: 131 $ Páginas: 1.331 Referencia: 1827 PUEDE CONSULTAR EL INDICE EN INTERNET: www.alcion.es
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