Antenas fractales Capítulo 13 UNI – FIEE Lima – PERÚ
INTRODUCCIÓN
Autosimilaridad “Es la propiedad geométrica en la que cada parte es una imagen reducida del todo” . Mandelbrot
INTRODUCCIÓN
Autosimilaridad “Es la propiedad geométrica en la que cada parte es una imagen reducida del todo” . Mandelbrot
Definiciones de Fractal • “Que tiene una forma, bien sea sumamente irregular, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue siendo así a cualquier escala que se produzca el examen.” Matemáticamente es una figura geométrica que es compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificación.
Generación de Fractales
Iteraciones matemáticas matemáticas Iteraciones geométricas Algoritmos Ecuaciones diferenciales no lineales
Aplicaciones de Fractales
Modelamiento de estructuras y fenómenos físicos Ciencias de los computadores: compresión de imagen y sonido, procesamiento digital de imágenes (transformada olita), computación gráfica. Telecomunicaciones: Fibras ópticas (solitón),
• Los Fractales se han vuelto uno de los principios unificadores de las ramas de la ciencia. Aparte de los gráficos por computadora, las aplicaciones tecnológicas de estas formas geométricas han venido desarrollándose en los últimos años. • La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Éstas poseen a veces una recarcable invariancia de simplificacion bajo los cambios de la magnificación, propiedad que caracteriza a
Durante la última década, investigadores han empezado a aplicar Fractales para diseños de antenas. Las antenas parecen ser simples juegos geométricos, pero implican un conocimiento profundo del electromagnetismo y la geometría fractal.
Benoit Mandelbrot
Es el fundador de una nueva disciplina matemática “ La Geometría Fractal”. En 1958 llega a el Centro de Investigaciones de IBM en Yorktown donde desarrolla su teoria. Recoge y da nueva vida a ciertos objetos matemáticos (“monstruos”) que desde el siglo XIX ponían en tela de juicio los fundamentos de la
Diferencias fundamentales entre la Geometría Euclídea y la Fractal
Euclídea
Fractal Fractal
Tradicional (más de 2000 años)
Moderna (aprox. 10 años)
Dimensión entera
Dimensión fraccionaria
Trata objetos hechos por el hombre
Apropiada para formas naturales
Descrita por fórmulas
Algoritmo recursivo (iteración)
Definiciones de Fractal: “Que tiene una forma, bien sea sumamente irregular, sumamente interrumpida o fragmentada y sigue siendo así a cualquier escala que se produzca el examen.” Es una figura geométrica compuesta por fragmentos en una infinita variedad de tamaños, tales que cada uno de ellos es una copia reducida del total.
CONJUNTOS FRACTALES TÍPICOS
Conjunto de Cantor
Curvas de Koch
PROPIEDADES DE LOS FRACTALES Autosimilaridad Dimensión fraccionaria
Propiedades de los Fractales
Autosimilaridad:Cada parte del conjunto contiene la misma información que todo el conjunto.
Dimensión fraccionaria:Número de valores reales que necesitamos para describir cualquier punto en el espacio
No Derivabilidad:Las fractales a pesar de que algunos sean continuos, no son derivables en ningún punto.
Antenas Fractales Con el avance de los sistemas de comunicaciones y el importante incremento de otras aplicaciones de los sistemas inalámbricos, las antenas de banda ancha y de bajo contorno están en gran demanda tanto para aplicaciones comerciales como militares. Antenas multibanda y banda ancha son las más aceptadas en los sistemas de comunicación personal (celulares, trunking, beepers, etc.), pequeñas terminales satelitales y otras aplicaciones inalámbricas. Algunas de estas aplicaciones
Actualmente se están aplicando extensivamente las antenas fractales obteniéndose muy buenos resultados en cuanto a eficiencia, espacio, ancho de banda y ganancia. La aplicación de los fractales a las antenas permite la optimización en tamaño y ganancia para arreglos multibanda y banda estrecha. El hecho de que muchos fractales tengan complejidad infinita puede ser usado para reducir el tamaño de la antena y desarrollar antenas bajo contorno
Características principales Un gran ancho de banda, radian muy eficazmente para una gama amplia de frecuencias. El rango de frecuencia es especificada por el tamaño más pequeño y más grande presente en la antena. Tienen una ganancia considerable, por encima de un antena dipolo normal y depende muy poco de la frecuencia en un rango de frecuencias grande. Poseen una estructura espacial que se relaciona a la ganancia de la antena. Esta estructura espacial puede ser muy útil cuando se requiere direccionalidad.
Principales Ventajas
Area pequeña Impedancia de acople estable para un rango amplio de frecuencias. Resonancia multiple Gran ganancia en algunos casos
Principales Desventajas
Diseño y creación más dificultosa Baja ganancia en algunos casos
Antena Dipolo de Koch
Antena Sierpiski
Características Antena Sierpiski
Distribución de Corriente Antena Sierpiski
Antena Sierpiski “Cargadas” Variación de ángulo de apertura:
Antena Sierpiski “Cargadas” Variación de factor de autosimilaridad:
Triángulos de Sierpinski
Areas de Aplicación Sistemas Móviles Celulares:
Antenas en estaciones base, antenas en teléfonos receptores. Dispositivos de Micro ondas:
Circuitos microcinta detectores de radio frecuencia, antenas micro cinta.
Otras:
Aeronáutica, sector automotor, comunicaciones marítimas, aplicaciones militares
Tecnología Los campos de aplicación van en aumento desde que Cohen fundó a Fractal Antena Systems (1998) y ahora está trabajando con Antenna T&M fabricando antenas telefónicas celulares para la Motorola. El ingeniero de T&M John Chenoweth dice que las antenas fractales son 25 por ciento más eficaces que las que se encuentran en la mayoría de los teléfonos, son más baratas de fabricar y operan en bandas múltiples,
En 1997 el grupo Electromagnetics & Photonics Engineering de la Universidad de Cataluña con la compañía Sistemas Radiantes F. Moyano S.A desarrollaron las antenas FRACTUS multibanda para
Conclusiones
Las Antenas fractales son una buena alternativa para los exigentes requerimientos en los nuevos sistemas de comunicación. El diseño de éstas implican interdisciplinariedad, ya que se requieren conocimientos de matemáticas fractales y teoría Electromagnética.
Introducción El avance de la tecnología requiere el uso de equipos más compactos y de tamaños cada vez más pequeños, por lo que los equipos inalámbricos deben de usar antenas con dimensiones cada vez más pequeñas. El tamaño de una antena siempre va relacionado estrechamente con la longitud de onda de la banda a ser transmitida. El término fractal implican las propiedades de autosimilaridad y dimensión fraccionaria.
Objetivo y Alcance Objetivos 1. Diseñar, mediante el software Matlab, una antena utilizando la geometría fractal. 2. Analizar los beneficios de las antenas fractales frente a las convencionales. 3. Construir la antena, y comprobar experimentalmente los análisis teóricos.
Alcance
El diseño se realizará utilizando el Fractal de Von Koch La banda de frecuencia a utilizar en las pruebas será de 900Mhz
Geometría Fractal La Autosimilaridad.
La Dimensión Fraccionaria
k: Número de partes congruentes. M: Factor por el cual se debe de multiplicar cada parte para obtener la figura original.
Dimensión de Hausdorff-Besicovitch
D= Log (k) / Log (M)
Fractal de Von Koch Sistemas de Funciones Iteradas (IFS) En su forma general, trata sobre la evolución de espacios topológicos arbitrarios sometidos a un conjunto de transformaciones específicas. Dichas transformaciones son expresadas por un IFS definido mediante coeficientes complejos y se expresan de forma general
como:
w j (z ) = a j z + b “El argumento de a j representa rotación y su módulo la contracción.”
Fractal de Von Koch Generación del Fractal de Von Koch Primera Transformación La primera transformación es una contracción de 1/3 respecto a la longitud original: w1 (z) = z/3
Segunda Transformación Para la segunda transformación el segmento debe contraerse 1/3, rotarse 60º y desplazarse 1/3 respecto al punto inicial: w 2 (z) = (1/3)e j π/3 z + 1/3
Fractal de Von Koch Generación del Fractal de Von Koch (cont.) Tercera Transformación La tercera transformación consiste en una contracción de 1/3 y una rotación de -60º acompañada de un desplazamiento de ½ + j√3/6. w3 (z) = (1/3)e -jπ/3 z + (1/2 +j√3/6)
Fractal de Von Koch Generación del Fractal de Von Koch (cont.) Cuarta Transformación Finalmente, la cuarta transformación se compone de una contracción con una rotación de 2/3 respecto al segmento original:
w 4 (z ) = z/3 + 2/3
Fractal de Von Koch Generación del Fractal de Von Koch (cont.) El Sistema de IFS sería el siguiente:
w 1 (z ) = z/3
w 2 (z ) = (1/3) e j π/3 z + 1/3
w 3 (z ) = (1/3) e -j π/3 z + (1/2 +j√3/6)
w 4 (z ) = z/3 + 2/3
Fractal de Von Koch Generación del Fractal de Von Koch (cont.) Código en Matlab (1) function [ ]=generar_fractal(n,f) % n: Número de iteraciones % f : Frecuencia de trabajo l=c/(4*f); % Longitud de cada monopolo : 4l*f = c z=[0 l]; % Segmento inicial for k=1:n w1=(1/3)*z; w2=(1/3)*exp(j*pi/3)*z + l/3; w3=(1/3)*exp(-j*pi/3)*z + l*(.5+j*sqrt(3)/6); w4=(1/3)*z + l*2/3; z=[w1 w2 w3 w4]; end plot(z),
Fractal de Von Koch Generación del Fractal de Von Koch (cont.) Código en Matlab (2) function [ ]= antena_miniatura (n) L=75/900; % Longitud de la curva z= [0 L]; % Segmento inicial for k=1:n I1= (1/4) * z; I2= (1/4) * exp ( j * pi/3 ) * z + power ( 3/4, k-1 ) * ( L/4 ); I3= (1/4) * exp (-j * pi/3) * z + 3 * (l/8) * power (3/4, k-1) + (L/8) * j * sqrt(3) * (power(3/4,k-1)); I4= (1/4) * z + 2 * power ( 3/4, k-1 ) * ( L/4 ); f= [ I1 I2 I3 I4 ] end plot ( f ) axis equal
Circuitos Impresos Longitud 16.6cm, iteración # 3
Circuito Impreso de la Antena Fractal 01
Longitud 16.6cm, iteración # 4
Circuitos Impresos (cont.) Longitud 16.6cm, iteración #5
Circuito Impreso de la Antena Fractal 03
Longitud 4.687cm, iteración #2
Circuito Impreso de la Antena Fractal Miniatura
Circuitos Impresos (cont.) Longitud 3.515cm, iteración #3
Circuito Impreso de la Antena Fractal Miniatura
Cálculo de Parámetros de la Antena Para llevar a cabo el estudio del comportamiento de la Antena Fractal de Von Koch se usó el paquete PDETOOL de MATLAB. La simulación está basada en la resolución de la ecuación integral de campo eléctrico (EFIE)mediante el método de los momentos.
Cálculo de Parámetros de la Antena Generación de la antena en PDETOOL
Cálculo de Parámetros de la Antena Método de los Momentos Obtener la distribución de corriente en una antena significa conocer su comportamiento como radiador y determinar sus parámetros principales como ganancia, patrón de radiación, impedancia, etc. El Método de los Momentos es un método de aproximación que ayuda a resolver ecuaciones integrales, en donde el integrando es la incógnita. La distribución de carga eléctrica lineal ρ(r’) crea un potencial eléctrico,
V(r).
V (r ) =
1
∫
source
ρ ( r ')
dl '
Cálculo de Parámetros de la Antena =I
1 4π ∈ 0
l
p ( y ')
∫ R( y, y ') 0
', 0 ≤ dy
≤y l
Alambre Recto
R( y, y ') = R(r , r ')
Alambre de potencial constante y su segmentación
2 2 2 y y x z = − + + ( ') ( ') ( ') x = z = 0
Cálculo de Parámetros de la Antena Se aproxima la distribución de carga desconocida ρ (y’) mediante una expansión de N términos conocidos con constante, pero coeficientes desconocidos. ρ ( y ')
N a g y ( ') ∑ n n n= 1
4π ∈ o =
l
∫
0
N ( ') a g y dy ' ∑ n n R( y, y ') n= 1 1
4π ∈ 0 =
N
∑
an
l
∫
0
g n ( y ') 2
2
dy '
Cálculo de Parámetros de la Antena El alambre es ahora dividido en N segmentos uniformes, cada uno de longitud Δ = l/N Para evitar la complejidad de la solución, serán utilizadas las funciones por tramos constantes (llamado pulsos). 0, y ' < (n − 1)∆ gn ( y') = 1 , ( n− 1)∆ ≤ y' ≤ n∆ 0, n∆ < y '
4π ∈ 0 = a1
+ an ∫
∫
∆
g1 ( y')
0
R( ym, y ')
n∆ ( n − 1) ∆
[In] = [an] [Vm] =[Zmn][In]
[Vm] = [4πε0]
gn ( y') R( ym, y')
dy '+ a2
dy '+ ...aN
∫
2∆
∆
∫
l
( N − 1)∆
g2 ( y') R( ym, y ')
dy '+ ...
gN ( y') R( ym, y')
dy '
Cálculo de Parámetros de la Antena Secuencia del Código Crea los elementos rwg
Cálculo de la Matriz de Impedancias
Soluciona Ecuaciones del MoM
Determina Corriente de Superficie
Cálculo de Parámetros de la Antena Secuencia del Código “efield1.m” Cálculo de E y H
Mesh.mat Current.mat
“efield2.m” Distribución de Intensidad de Corriente “efield3.m” Patrón de Radiación.
Resultados Frecuencia (MHz)
Ganancia (dB)
ROE
Impedancia (Ohm)
450
7.0
1.2:1
50
900
10.5
1.2:1
50
1800
9.5
1.2:1
50
L = 16.6cm
Antena Fractal 01
L=
16.6cm
Frecuencia (MHz)
Ganancia (dB)
ROE
Impedancia (Ohm)
450
7.5
1.3:1
50
900
10.5
1.2:1
50
1800
9.0
1.2:1
50
Resultados Frecuencia (MHz)
Ganancia (dB)
ROE
Impedancia (Ohm)
450
5.3
1.5:1
50
900
9.2
1.2:1
50
1800
8.4
1.4:1
50
Frecuencia (MHz)
Ganancia (dB)
ROE
Impedancia (Ohm)
450
5
1.5:1
50
900
9.2
1.2:1
50
1800
7
1.4:1
50
L = 16.6 cm
Antena Fractal 03
L = 4.6875 cm
Resultados Frecuencia (MHz)
Ganancia (dB)
ROE
Impedancia (Ohm)
450
5.5
1.5:1
50
900
9.2
1.3:1
50
1800
8.5
1.5:1
50
L = 3.5156 cm
Antena Fractal Miniatura 02
Conclusiones La geometría de la Antena Fractal de Von Koch genera capacitancia e inductancia adicional, haciendo innecesaria la presencia de elementos externos para la sintonización. Se demostró que a mayor miniaturización la resistencia de entrada se ve fuertemente disminuida debido a la gran cantidad de ramas conductoras. Los Fractales permiten diseñar antenas multibanda. Con la geometría fractal se
obtienen antenas que contienen en un sólo objeto, copias de él mismo en diferentes tamaños, esto permite el mismo comportamiento a diferentes frecuencias.
Conclusiones Para que una antena ofrezca un comportamiento uniforme en más
de una frecuencia ha de satisfacer 2 criterios: Presentar simetría respecto a un punto. Ser auto semejante, básicamente ofrecer el mismo aspecto en todas
las escalas.
Ambas características son cubiertas por las antenas fractales y se demostró el carácter multibanda de las mismas.
