En estadística estadística,, y específicamente en la teoría de la probabilidad, probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas estar correlacionadas o no. Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico.
Teoría del caos Artículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español. Saltar a navegación navegación,, buscar La teoría del caos es la denominación popular de la rama de las Matemáticas y la Física que trata ciertos tipos de comportamientos aleat orios ('caóticos') de los sistemas dinámicos no lineales. lineales. Entre las propiedades más notables de los sistemas dinámicos caóticos se encuentra la sensibilidad a las condiciones iniciales: Dos soluciones del sistema con condiciones condiciones iniciales extremadamente extremadament e cercanas, al cabo de un tiempo relativamente corto se encontraran alejadas y totalmente descorrelacionadas entre si. Un concepto importante en la teoría del caos es el de retrato de fase. Este se obtiene a partir de un gráfico en k dimensiones, donde k es el numero de variables del sistema. Cada punto del gráfico esta dado por el valor de cada varia ble del sistema dinámico obtenido en cada insta nte de tiempo. Una propiedad importante de los sistemas caótic os es la naturaleza fractal del espacio de fase de la solución. De hecho, la dimensión de correlación (D) del sistema dinámico caót ico no es un numero entero, sino un número fraccionario (por ejemplo D=2,35). Un resultado cardinal en la teoría del caos se obtuvo mediante la demostración del teorema de Takens, que permite obtener una versión topológicamente topológicamente equivalente del retrato de fase a partir del comportamiento de una sola de las variables del sistema. En ese caso no es necesario observar todas las variables y las ecuaciones del sistema dinámico pueden ser desconocidas. Es materia de amplia discusión si el caos es meramente una curiosidad matemática o si esta presente en la naturaleza. Aparentemente algunos tipos de epidemias, el número de manchas solares, y a lgunas condiciones de la ritmicidad cardíaca pueden describirse describirse como sistemas caóticos. Discernir si la irregularidad de una serie de tiempo se debe al caos determinista o a la resencia de influencias aleat orias orias es una tarea extremada mente compleja en el análisis de series de tiempo.
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Un f ractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, 1 se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características: y y y y
y
2
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observación. Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente). Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas. Un f ractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras 3 o los copos de nieve son fractales nat urales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Conteni o [ocult ] y
1 Int oducci n 1.1 Los e jemplos cl sicos 1.2 Los con juntos de Juli 1.3 Familias de fra ctales: el con ju nto de Mandel r ot 2 Caracter ísticas de un fra ctal 2.1 Autosimilitud 2.2 Dimensi n fra ctal y dimensi n de Hausdorff-Besicovitch 2.3 Def inici n por al or itmos recur sivos 3 As pectos matemáticos 3.1 Intentos de def inici n r i ur osa 3.2 Dimensi n fra ctal 3.3 Dimensi n de Hausdorff-Besicovitch 3.4 Dimensi n de fra ctales pr oducidos por un IFS 4 Aplicaciones 4.1 Compresi n de imágenes 4.2 Modelado de f orma s naturales 4.3 S istemas dinámicos 4.4 En manifestaciones ar tísticas 5 Referencias 6 Véas e también 7 Enlaces externos o o o
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o o o
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[editar] Introducción La def inici n de fra ctal en los años 1970, dio unidad a una ser ie de e jemplos, algu nos de los cuales s e remontaban a un siglo atrás: [editar] Los ejemplos cl sicos
Para enco ntrar los pr imer os e jemplos de fra ctales debemos remontarn os a f inales del siglo XIX: en 1872 apareci la f unci n de Weier strass, cuyo graf o hoy en día considerar íam os fractal, como e jemplo de f unci n continua per o no diferenciab le en ningún p unto.
sucesivos pasos de la constr ucci n de la cur va de K och
Poster iorment e aparecier on e jemplos con pr o piedades similares per o una def inici n más geométr ica. Dichos e jemplos podían constr uir se par tiendo de una f igura inicial (semilla), a la que se aplicaban una ser ie de constr ucciones geométr icas sencillas. La
ser ie de f iguras o btenidas s e apr oximaba a una f igura límite que corres pondía a l que hoy llamamos con ju nto fractal. Así, en 1904, Helge von K och def ini una cur va con pr o piedades similares a la de Weier strass: el co po de nieve de K och. En 191 5, Waclaw Sierpinsk i constr uyó su tr iángulo y, un año des pués, su alf ombra. Constr ucción de la alf ombra de Sierpinsk i:
Paso 1 (semilla)
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Estos con ju ntos mostraban las limitaciones del aná lisis clásico, per o eran vistos como o b jetos ar tif iciales, una "ga ler ía de monstr uos", como los denominóPoincaré. Pocos matemáticos vier on la necesidad de estudiar estos o b jetos en sí mismos.4 En 1919 surge una herramienta básica en la descr i pción y me dida de estos con juntos: la dimensión de Hausdorff- Besicovitch. [editar] Los conjuntos de Julia
Estos con ju ntos, fr uto de los traba jos de Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920, surgen como resultado de la aplicación reiterada def unciones holomorfa s . Analicemos el caso par ticular de f unciones polinómicasde gra do mayor que uno. Al aplicar sucesivas veces una f unción polinómica es muy posi ble qu e el resultado tienda a . Al con junto de valores de qu e no escapan a l inf inito mediante esta o pera ción se le denomina con junto de Julia relleno, y a su fr ontera,simplement e con junto de Julia. Estos con ju ntos se representan mediante un algor itmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el númer o de iteraciones necesar ias para escapar. Suele usar se un color es pecial, a menudo el negr o, para repres entar los puntos que no han escapa do tras un númer o gran de y pref ijado de iteraciones. 2
Ejemplos de conjunt os de Julia para f c(z) = z + c
y
En negr o, con junto de Julia relleno asociado a f c, c=-2, donde es el númer o áure o
y
Con junto de Julia relleno asociado a f c, c=(í2)+(í1)i =-0.4+ 0.6i
y
Con junto de Julia relleno asociado a f c, c=-0.83 5-0.2321 i
En negr o, imagen del con ju nto de Man del br ot su perpuesto con los co n juntos de Julia rellenos representados por algu nos de sus puntos (en r o jo los con juntos de Julia conexos y en az ul los no conexos). [editar] Familias de ractales: el conjunto de Mandel rot
La familia de con juntos de Julia { f c}, asociadas a la reiteración de f unciones de la f orma 2 f c( z) = z + c presenta con juntos de una var iedad sorprendent e. Dicha familia tendrá es pecial relevancia al quedar parametr izada en un mapa de fractales, po pular izado en los años 1980. llamado con junto de Mandel br ot. Este con junto M repres enta un mapa en q u e cada p ixel, corres pondiente a un valor del parámetr o , se colorea de modo que ref le je una pr o piedad básica del con junto de Julia asociado a f c. En concreto, si el con ju nto de Julia asociado a f c es conexo.
[editar] Caracterí sticas de un ractal [editar] Autosimilitud
Según B. Mandel br ot, un o b jeto es autosimilar o autosemejante si sus par tes tienen la mis ma f orma o estr uctura que el todo, aunque pueden presentar se a diferente escala y pueden estar ligerament e def orma das.5 Los fractales pueden pres entar tres ti pos de autosimilitud: y
Autosimilitud exacta. este es el ti po más restr ictivo de autosimilitud: exige qu e el fractal parezca idéntico a diferent es escalas. A men udo la encontramos en fractales def inidos por sistemas de f unciones iteradas (IFS).
C uasiaut osimilit ud en
el con junto de Mandel br ot: al var iar la escala o btenemos co pias del con junto con pequeñas diferencias. y
y
Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca apr oximadamente idéntico a diferent es escalas. Los fractales de este ti po contienen co pias menores y distor sionadas de sí mis mos. Matemáticament e D.Sullivan def inió el concepto de con junto cuasiauto-similar a par tir del concepto de cuasi-isometr ía. Los fractales def inidos por relaciones de recurrencia son norma lmente de este ti po. Autosimilitud estadí stica. Es el ti po más débil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numér icas o estadísticas qu e se preser ven con el cambio de escala. Los fractales aleator ios son e jemplos de fra ctales de este ti po.
[editar] Dimensión ractal y dimensión de Hausdor -Besicovitch
Entre los fractales podemos encontrar e jemplos como cur vas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión to pológica de la cur va, que es uno, no nos inf orma so bre la f orma en que esta ocu pa el es pa cio ambient e. De modo genera l, podr íamos preguntarn os cómo densament e un con junto ocu pa el es pacio métr ico que lo co nti ene. Los númer os que nos inf orman o b jetivament e de este ti po de cuestiones son: y
y
La dimensión ractal. Las fórmulas que la def inen tienen que ver con el recuento de las bolas necesar ias para recu br ir el con junto o con el de ca jas de una cuadr ícula que contienen par te del con junto, cuan do las dimensiones de unas y otras tienden a cer o. Podemos medir la dimensión fra ctal de o b jetos reales: líneas de la costa (1.2), nu bes, árb oles, etc, Con estas medidas podemos comparar o b jetos del mu ndo rea l con fra ctales genera dos por algor itmos matemáticos. La dimensión de Hausdor -Besicovitch. Tiene una def inición más comple ja que la de dimensión fra ctal. Su def inición n o suele usar se para comparar con juntos del mundo rea l.
est adíst ica de un fra ctal genera do por el pr oceso deagrega ción por dif usión limitada.
Aut osimilit ud
[editar] De inición por algoritmos recursivos
Podemos destacar tres técnicas comunes para generar fra ctales: y
y
y
Sistemas de unciones iteradas (IFS). Unos con juntos se reemp lazan recur sivamente por su imagen ba jo un sist ema de aplicaciones: elcon junto de Cantor , la alf ombra de Sierpinsk i, el tr iángulo de Sierpinsk i, la cur va de Peano, la cur va del dragón, el co p o de nieve de K och o la Es pon ja de Menger , son algunos e jemplos. Fractales de algoritmos de Escape, def inidos por una relación de recurrencia en cada punto del es pacio (por e jemplo, el plan o comple jo): elco n ju nto de Man del br ot, con junto de Julia, y el fractal de Lyapunov. Fractales aleatorios, generados por pr ocesos estocásticos, no deterministas: el movimiento br ownian o, el vuelo de Lévy, los paisa jes fractales o los árb oles br ownianos. Éstos últimos son pr oducidos por pr ocesos de agrega ción por dif usión limitada..
[editar] Aspectos matemáticos [editar] Intentos de de inición rigurosa
El concepto de fra ctal no dis pone en el año 2008 de una def inición ma temática precisa y de aceptación genera l. Intentos par ciales de dar una def inición f uer on rea lizados por : y
y
B. Man del br ot, que en 1982 def inió fra ctal como un con junto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estr ictamente mayor que su dimensión to pológica. Él mismo reconoció que su def inición no era lo suf icientement e genera l. D. Sullivan, que def inió mat emáticamente una de las categor ías de fra ctales con su def inición de con ju nto cuasiautosimilar que hacía uso del concepto de cuasiisometr ía.
[editar] Dimensión ractal ract al Ar tí culo principal: Dimensión f
Puede def inir se en términos del mínimo númer o N () de bolas de radio necesar ias para recu br ir el con junto, como el límite:
O en f unción del recuento del númer o de ca jas N n de una cuadr ícula de anchura 1 / 2n que int er secan a l con junto:
Se demuestra que amba s def iniciones son equivalentes, y qu e son invar iant es ba jo 6 isometr ías. [editar] Dimensión de Hausdor -Besicovitch
De una def inición más comple ja, la dimensión de Hausdorff-Besicovitch nos pr o por ciona un númer o D H ( A), también invar iante ba jo isometr ías, cuya relación co n la dimensión fra ctal D F ( A) es la siguiente:
Esto permite distinguir en algu nos casos entre con juntos con la mis ma dimensión fractal. [editar] Dimensión de ractales producidos por un IFS
En ese caso, cuando no haya solapamiento, s e demuestra que D F = D H y que amba s pueden calcular s e como solución de la ecuación:
donde ci designa el factor de contra cción de cada ap licación contra ctiva delIFS.
[editar] Aplicaciones Se han utilizado técnicas de fra ctales en la compre sión de datos y en diver sas disci plinas científ icas. [editar] Compresión de imágenes
Compr imir la imagen de un o b jeto autoseme jante como el helecho de la f igura n o es dif ícil: haciendo uso del teorema del collage, debemos enco ntrar un IFS, con junto de transf orma ciones que lleva la f igura completa (en negr o) en cada una de sus par tes autoseme jantes (r o jo, azul celeste y azul mar ino). La inf orma ción so bre la imagen quedará codif icada en el IFS, y la ap licación reiterada de dichas transf orma ciones permite o btener la imagen pr ocesada en cuestión.
Per o el enf oque anter ior plantea pr o blemas con muchas imágenes rea les: no es peramos, por e jemplo, que la imagen de un gato presente pequ eños gatitos distor sionados so bre sí mis mo. Para solventar lo, en 1989 Arna ud Jacquin creó el es qu ema de sist emas de f unciones it eradas par ti cionadas: en él se su bdivide la imagen me diante una par tición y para cada región resultante se busca otra región similar a la pr imera ba jo las 7 transf orma ciones apr o piadas. El esquema resultant e es un sistema de compresión con pér didas, de tiempo asimétr ico. Lamentab lement e aún se tar da mucho en encontrar las transf orma ciones qu e def inen la imagen. No o bstante, una vez encontra das, la descodif icación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos fa ctore s, suele ser equi parable a la compresión JPEG, con lo cual el factor tiempo resulta determinante para decantar se por uno u otr o sistema. [editar] Modelado de ormas naturales
Fracción de un fra ctal Mandel br ot. Las f orma s fractales, las f ormas en la que las par tes se aseme jan al todo, están presentes en la mater ia b iológica, junto con las simetr ías (las f ormas básicas que solo necesitan la mitad de inf orma ción genética) y las es pirales (Las f ormas de crecimiento y desarr ollo de la f orma bá sica hacia la ocu pación de un mayor es pa cio), como las f ormas más
sof isticadas en el desarr ollo evolutivo de la mater ia biológica en cuanto que se presentan en pr ocesos en los que se pr oducen saltos cualitativos en las f ormas biológicas, es decir posi bilitan catástr ofes (hechos extraor dinar ios)que dan lugar a nuevas realidades más comple jas, como las ho jas que presentan una morf ología similar a la pequeña rama de la que f orman par te que, a su vez, presentan una f orma similar a la rama, que a su vez es similar a la f orma del árb ol, y sin embarg o cualitativamente no es lo mis mo una ho ja (f orma biológica simple), que una rama o un árbol (f orma b iológica comple ja).
[editar] Sistemas dinámicos
Un atractor extrañ o: el Atractor de Lorenz. Per o además las f ormas fractales no sólo se presentan en las f ormas es paciales de los o b jetos sino que se o bser van en la pr o pia dinámica e volutiva de los sistemas comple jos (ver teor ía del caos). Dinámica que consta de ciclos (en los que par tiendo de una realidad establecida simple acaban en la crea ción de una nueva realidad más comple ja) que a su vez f orman par te de ciclos más comple jos los cuales f orman par te del desarr ollo de la dinámica de otr o gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos pres entan las similitudes pr o pias de los sistemas caóticos. [editar] En manif estaciones artí sticas
Imagen genera da con el pr ograma Ap o p hysis. Se usan tanto en la composición armónica y r ítmica de una melodía como en la síntesis de sonidos. Esto se debe a l uso de lo que en composición s e llaman "micr omodos", o pequeños gr u pos de 3 notas, a par tir de los cuales uno puede traba jar los de manera hor izontal (melódica), o ver tical (armónica). A su vez, el r itmo puede ser traba jado en sucesiones tempora les es pecíf icas, que son determinadas por sucesiones de fra ctales. Con pr ogramas inf ormáticos como Apo p hysis o Ultra Fractal se pueden hacer imágenes con técnicas diver sas; cambian do parámetr os, geometr ía de tr iángulos o con transf orma ciones aleator ias (a veces llama das "mutaciones").
[editar] Ref erencias 1. Benoît Man del br ot, La Geomet ría Fract al de la N at uraleza, Tusqu ets, ISB N 84-831 0-549-7 2. Falconer , Kenneth (2003). Fract al Geomet ry: Mathemat ical Foundat ions and A pplicat ions. J ohn Wiley & S ons, Ltd.. pp. XXV. ISB N 0-470-84862-6. 3. ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? 4. Stewar t, Ian. De aquí al in f init o. Cr ítica, Gr ijal bo Mondador i, S.A., 1998. ISB N 84- 7423-853-6. 5. B. Man del br ot. Los objet os f ract ales. Forma, azar y dimensión. Tusqu ets Editores, S.A., 1993. ISB N 978-84-7223-458-1 6. Barnsley, M. Fract als everywhere.A cademic Press Inc, 1988. ISB N 0-12079062-9. (Cap 5) 7. Jacquin, A.E.; I mage coding based on a f ract al theory o f it erat ed cont ract ive image t rans f ormat ions. Image Pr ocessing, IEEE Transactions on Volume 1, Issu e 1, Jan. 1992 Page( s):18 - 30
[editar] Véase también y y y y y y y y
Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff Caos y fra ctales ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Dimensión Paisa je fra ctal Recur sividad Sistema de f unciones iteradas Sistema-L
[editar] Enlaces externos y y y y
y y
Cur so de fra ctales Inf orma ción extensa y detallada so bre fractales. Geometr ía Fractal Fractovía Inf orma ción so bre fra ctales. Armonia fra ctal de Doñana y las mar ismas Bellas imágenes aéreas de fra ctales naturales en las zonas húme das del sur de Es paña, Casa de la Ciencia, CSIC.
Wik imedia Commons al berga cont enido multimedia so bre f ractales. Gr owtho b jects.com. Naturaleza aplicada.
Ar te fra ctal y y y y y y y y
Fractalina Galer ías de Ar te Fra ctal Galer ías de ar te fra ctal en el Open directory Pr o ject Ar te fra ctal parecido al ar te tradicional Replayer El ar chivo de Fractales qu e se pu blicó en USENET. Música fra ctal en el Open Directory Pr o ject Museo de Ar te Fractal de Argentina Fractar te Ar te Fractal. Destino Fractal Galer ías de Ar te Fractal y tutor iales so bre crea ción de Fra ctales
y
K airos Art Arte Fractal.
Libros con licencia CC y
y
Música fractal: el sonido del caos Introducción general sobre fractales y aplicación a la composición automática de música Codificación fractal de imágenes Analiza la aplicación de técnicas fractal es a la compresión con pérdidas de imágenes
Software y y
y y y
y y y y
Borlandia Applets en java que generan Fractales interactivos UltraFractal Programa shareware pero completamente funcional (únicamente mantiene una marca de agua si se quieren exportar imágenes) Apophysis Programa de código abierto para la creación de fractales (en inglés) IFS Illusions generador IFS freeware, para Windows FractInt generador fractal freeware, para DOS, Windows y existe un porte a Linux disponible. (en inglés) Sterling2 generador fractal freeware, para Windows (en inglés) XaoS zoomer interactivo de fractales para linux. Incendia programa de diseño de fractales 3D donationware. WMANJUL v2 Fractal de Mandelbrot (en inglés).
Vídeos y y
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"Fractales y Violines" Vídeo de fractales Video sobre la Armonia Fractal de Doñana y las Marismas. Casa de la Ciencia, Sevilla, España Documental reportaje "Armonía Fractal" del Programa Tesis, Canal Sur 2 Andalucía [1 Vídeo que ilustra la definición de fractal.
