¿Cómo surgieron los fractales? A comienzos de nuestro siglo surgió de modo natural la necesidad de explorar la estructura geométrica de conjuntos de puntos de la recta que, aunque insignificantes en cierto sentido (medida de Lebesgue nula), poseían propiedades geométricas, aritméticas, analíticas, que los convertían en micro mundos muy peculiares. En un principio fueron considerados como horrores, caprichos, juguetes sin mayor importancia. A medida que se fueron encontrando procedimientos eficaces para distinguirlos, medirlos, estudiarlos de diferentes puntos de vista, los matemáticos comenzaron a percibir, primero la belleza interna, la armonía, la diversidad de tales creaciones, y luego, al conocerlo más de cerca, se fueron percatando de su semejanza con procesos y formas de la naturaleza misma y de otros objetos de diferentes campos de la ciencia. Que son los fractales Los fractales, son conjuntos geométricos frecuentemente muy complicados en apariencia, pero en realidad resultan ser tales que para su descripción, construcción y exploración se requiere muy poca información. Lo característico de las estructuras fractales consiste en la iteración infinita del proceso simple que da lugar al objeto en cuestión. Características de los fractales
Los fractales se caracterizan del siguiente modo: ± Un fractal es un objeto matemático que conforma la teoría del caos. caos . ± La geometría fractal es también conocida como la geometría de la naturaleza. naturaleza . Los fractales son objetos cuya dimensión es fraccionaria. fraccionaria . Un objeto fractal es aquel cuya dimensión de Hausdorff supera a su dimensión topológica. La dimensión fractal es otra de las características de los fractales, la cual deben poseer todos ellos.
Tipos de fractales
Podemos clasificar los fractales por las siguientes características: Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un cambio en la variación de sus escalas.
En cambio, los fractales no lineales se generan creando distorsiones no lineales o complejas.
Los fractales pueden generarse a partir de elementos de la matemática tradicional (fractales lineales) o a partir de números complejos. De hecho, el conjunto de Mandelbrot está generado a partir de la iteración de la siguiente expresión compleja:
Dónde Z y W son números complejos. Un fractal puede ser iterativo. Las iteraciones consisten en repetir y volver sobre si mismo una cierta cantidad de veces. En el caso de los fractales iteramos fórmulas matemáticas. Esta iteración se realiza mediante el uso de algoritmos, lo que explica la reciente aparición del estudio de los fractales como campo de las matemáticas, puesto que la computación es también de nacimiento reciente, con la cual se lleva a cabo la resolución de algoritmos más rápidamente. Teniendo en cuenta que un fractal se obtendría iterando hasta el infinito, nos damos cuenta de que una iteración hasta el infinito es imposible de realizar en la práctica, así que el concepto de fractal perfecto lo veremos solo de modo teórico. Todos los fractales no tienen por qué ser auto similares. A estos fractales que no lo son los denominamos fractales plasmáticos.
El siguiente es un ejemplo de un fractal plasmático.
La dimensión fractal
Los fractales deben poseer una dimensión que debe ser no entera y cuya dimensión fractal debe superar a su dimensión topológica. Las dimensiones topológicas son las siguientes: ± Dimensión -1 (conjunto vacío) ± Dimensión 0 (un punto) ± Dimensión 1 (una línea recta) ± Dimensión 2 (un plano) ± Dimensión 3 (el espacio) Como los fractales están compuestos por elementos cada vez más pequeños de sí, el concepto de longitud pasa a ser algo complejo por lo que mediremos los fractales por su dimensión. El cálculo de la dimensión de un objeto nos permitirá conocer si ese objeto es o no un fractal. Por la definición de fractal, un fractal debe poseer una dimensión fractal (la cual acabamos de calcular) superior a su dimensión topológica que en el caso de la recta vale 1. Por lo tanto deducimos que una recta no es un fractal. aplicaciones de los fractales
Computación La aplicación de los fractales a este campo es verdaderamente interesante. Es la aplicación pionera de los fractales. Se aplica la transformación fractal, proceso que se utiliza en el tratamiento de imágenes para reducir su tamaño en memoria física. Se utilizó por primera vez en la ³E nciclopedia Multimedia E ncarta´.
Su
uso
más
extendido
se
aplica
a
la
compresión
de
imágenes.
Como sabemos, los fractales se forman por una ³repetición de una imagen´. La técnica de compresión consiste pues, en transformar una serie de píxeles en una fórmula, de modo que al descomprimir nuestra imagen, la fórmula se desarrolle para rellenar todos los píxeles que se habían transformado en fórmula. De este modo se reduce el tamaño físico de la imagen, aunque al cargarla haya que llevar a cabo un mayor procesamiento. Esto se ha aplicado a compresión de video y de videojuegos. Esta técnica también es bastante útil para navegar por la red. Medicina Aunque parezca increíble, los fractales también se han abierto paso en el campo de la medicina. Se está estudiando, desde virus fractales hasta la ramificación de determinados tumores malignos. También se han llegado a utilizar técnicas fractales para predecir la osteoporosis de los pacientes. Esta enfermedad normalmente no se puede detectar hasta que no esté lo suficientemente desarrollada, que es cuando se produce una alteración visible en la textura ósea. Con el uso de técnicas fractales se puede predecir la aparición de esta enfermedad, gracias a que la textura ósea guarda una estrecha relación con los fractales. ± Mediante un programa informático se almacena una muestra de la textura ósea de una persona en estado normal. ± Más adelante se volvía a tomar otra muestra, ya de una persona propensa a sufrir la enfermedad y se comparan ambas muestras. ± Como la textura ósea evoluciona de forma similar a un fractal, se puede producir cómo esa evolución seguirá su curso y así predecir la enfermedad con antelación y tomar las medidas oportunas para curarla. Por otro lado, se estudia el funcionamiento del cerebro para poder localizar un tumor o el daño producido por diversas enfermedades o el consumo de drogas. Son muchas las nuevas tecnologías que se aplican a la medicina, campo los escáneres que realizan una resonancia magnética nuclear.
Las imágenes que se están obteniendo aportan información a la investigación sobre que el cerebro posee una estructura fractal. Conforme se va amplificando la visión del cerebro se van encontrando más y más detalles, a las estructuras más pequeñas se parecen a las más grandes, lo que nos lleva a pensar que el cerebro posee una auto similitud. Qu e partes de n u estro tiene caracterizacion fractal El cerebro tiene estructura fractal. La dimensión fractal de la superficie de cerebro es mayor que 2, lo que implica que esta superficie necesita más espacio para llenarse, no es suficiente con dimensión igual a 2.
Otra aplicación que se lleva a cabo en la actualidad es la regeneración del tejido de la piel. También está en fase de investigación la posible regeneración de órganos completos para utilizarlos en transplantes. Para acabar, decir que también se estudia una relación similar entra la estructura de los conductos sanguíneos del cuerpo humano y los fractales. Geografía Este es otro de los campos en los que se aplican los fractales. La primera de las aplicaciones que se da es el cálculo del camino más cercano o acertado entre dos puntos. Para esto se ha utilizado la curva de Koch. La utilidad real de esto es en el campo de la exploración espacial, puesto que un insignificante error de cálculo a escalas diferentes puede implicar millones de kilómetros de error.
