FORUM DISKUSI M2 KB 5
1.
Makna program linier dengan mengaitkan konsep persamaan linier dan sistem persamaan linier. Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum maksimum/minimum (penyelesaian (penyelesaian optimum). Kaitannya adalah program linear adalah penerapan dari sistem persamaan linier yang terdiri dari beberapa persamaan linear yang saling berkaitan dalam menemukan solusi
sim pleks dalam konep k onep program progr am linier. linier . Berikan Berik an satu kasus 2. Apa yang dimaksud metode simpleks dan penyelesainya dalam penerapan metode simpleks (berikan contok dengan melibatkan 6 variabel). Metode Simpleks pertama sekali diperkenalkan oleh George B.Dantzig dari USA (1950) melalui bukunya Linear Programming and Extension , menyebutkan bahwa ide dari linear programming ini berasal dari ahli matematika matematika Rusia bernama L.V Kantorivich yang pada pada tahun 1939 menerbitkan menerbitkan sebuah sebuah karangan yang yang berjudul berjudul “ Mathematical Methods in the O rganization and Planning of Production ”. ”. Dalam karangannya tersebut telah dirumuskan persoalan linear programming untuk programming untuk pertama kalinya. kalinya. Akan tetapi ide ini ini rupanya di Rusia Rusia tidak bisa bisa berkembang. berkembang. Malah ternyata dunia barat yang yang memanfaatkan ide ini selanjutnya selanjutnya Contoh: Pembuatan
meja
membutuhkan
20
(satuan assembling) assembling )
dan
30
finishing), sedangkan kursi membutuhkan 45 (satuan assembling) assembling ) dan 25 (satuan finishing), (satuan finishing). finishing). Kendala kapasitas assembling assembling = 10.750 (satuan assembling) assembling ) dan finishing finishing = 9.750 (satuan finishing). finishing). Jika diinginkan diinginkan minimal minimal ada 100 unit meja yang harus dibuat, bagaimana solusi terbaiknya?. terbaiknya?. Langkah-langkah Langkah-langkah pada fasa I :
Buatkan tabel simpleks
Selesaikan kolom artificial (kolom basis)
Siapkan baris Z j – C – C j dengan 2 komponen terpisah, tanpa M dan dengan M.
Selesaikan fasa I ini dengan melibatkan Z j – C – C j dengan M.
Lakukan serangkaian OBE sehingga variabel artificialnya keluar artificialnya keluar dari basis.
FORUM DISKUSI MODUL 2 KB 5 MAYA GITA
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Basis x1
x2
x3
x4
x5
x6
x3 x4 x6 Z j –C –C j
45 25 0 -200 -200 -200 0
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 0 -1 0 M 0 1
0 0 1 M 0 0 0
Z j –C –C j
20 30 1 -250 -250 – M – M -250 -1 Lanjutkan
ke
fasa
II
dengan
memasukkan
Ruas Kanan 10750 9750 100 0 -100M 0 -100 tabel
akhir,
tanpa
kolomartificial kolom artificial dan dan memasukkan Z j – C – C j yang tanpa M Dari Persamaan x [x(-1)] Cara mengubah nilai-nilai pada baris Z j – C j (karena ada nilai M di kolom x6 sehingga menjadi 0) :
Elemen (5,6) = (-M) x (1) + M = 0
Elemen (5,1) = (-M) x (1) + (-250) = -250-M
Elemen (5,2) = (-M) x (0) + (-200) = – 200 – 200
Elemen (5,3) = (-M) x (0) + (0) = 0
Elemen (5,4) = (-M) x (0) + (0) = 0
Elemen (5,5) = (-M) x (-1) + (0) = M
Elemen (5,6) = (-M) x (100) + (0) = -100M
Komponen Z j – C j dipisahkan antara yang dengan M dan tanpa M, tanpa perlu dituliskan lagi M-nya. M-nya. Baris Z j – C j yang tanpa M diletakkan pada bagian atas (baris 6) sedangkan baris Z j – C j yang dengan M dibawahnya atau (baris 7). Basis pada tabel simpleks awal adalah x 3,x 4 dan x 6. Iterasi pertama fasa I dapat dapat dimulai dengan hanya melibatkan komponen Z j – C j yang dengan M. Sehingga setelah dipilih ulang (hanya melibatkan komponen Z j – C – C j yang dengan M saja). Tabel 4.11. Tabel Awal yang Sudah Sudah Dipilah Ulang Pada Pada Fasa I
Baris
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x3 x4 x6
20 30 1
45 25 0
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
0 0 1
Ruas kanan 10750 9750 100
Z j – C – C j
-1
0
0
0
1
0
-100
rasio 537,5 325 100
Selanjutnya proses perhitungan sama dengan pengerjaan pada metode simpleks biasa.
Variabel masuk x 1, variabel keluar x 6, pivot pivot adalah elemen (3,1), karena
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Tabel 4.12. Tabel Simpleks Simpleks Hasil Iterasi 1 Fasa I Baris
x1
x2
x3
x4
x5
x 6
x3 x4 x1 Zj – Cj
0 0 1 0
45 25 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
20 30 -1 0
-20 -30 1 1
Ruas kanan 8750 6750 100 0
Z j – C j di kolom ruas kanan = 0. Lanjutkan ke fasa II dengan menghilangkan menghilangkan x6 (artificial ( artificial)) dan memasukkan baris Z j – C – C j tanpa M yang semula. Tabel 4.13. Tabel Simpleks Simpleks Awal Untuk Fasa Fasa II Tanpa Rasio Rasio Baris
x1
x2
x3
x4
x 5
Ruas kanan
x3
0
45
1
0
20
8750
x4
0
25
0
1
30
6750
x1
1
0
0
0
-1
100
Z j –C j
-250
-200
0
0
0
0
Z j – C j
0
-200
0
0
-250
25000
Nilai Z j – C j = -250 pada kolom 1 terlebih dahulu harus diganti karena merupakan basis sedemikian dengan OBE yang merujuk pada baris 3 sehingga diperoleh nilai-nilai seperti pada baris Z j – C – C j bagian bawahnya (baris 5). (5,1)
= (250) x (1) + (-250) = 0
(5,2)
= (250) x (0) + (-200) = -200
(5,3)
= (250) x (0) + (0) = 0
(5,4)
= (250) x (0) + (0) = 0
(5,5)
= (250) x (-1) + (0) = -250
(5,6)
= (250) x (100) + (0) = 25000
Siapkan kembali untuk iterasi fasa II dengan hanya menampilkan matriks dengan Z j – C j dibagian bawah dan tambahan kolom rasio sebagai berikut : Tabel 4.13. Tabel Simpleks Simpleks Awal Untuk Fasa Fasa II Dengan Rasio Rasio Basis x3 x4 x 1 Z j – C j
x1 0 0 1 0
x2 45 25 0 -200
Selanjutnya, Selanjutnya, lakukan iterasi :
x3 1 0 0 0
x4 0 1 0 0
x5 20 30 -1 -250
Ruas Kanan 8750 6750 100 25000
Rasio 437,5 225 –
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Lakukan OBE pada baris 1, 3, dan 4 dengan mengacu pada baris 2. Sehingga didapat didapat hasil iterasi I pada fasa II seperti tabel diatas. Tabel 4. 15. Hasil Iterasi I Pada Fasa Fasa II Basis
x1
x2
x3
x4
x 5
x3
0
28,333
1
-0,667
0
Ruas Kanan 4250
x4
0
0,8333
0
0,033
1
225
x1
1
0
0
0,033
0
350
Z j – C j
0
8,333
0
8,333
0
81250
Karena semua Z j – C – C j ≥ 0 (sudah 0 atau positif), berarti solusi optimal. x1 = 3250 x2 = 0 x3 = 4250 x4 = 0 x5 = 225 x6 = 0 Z = 81.250 Contoh 2. Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = 150 x 1 + 120 x2 Fungsi batasan : 3 x 1 + 8 x2 ≤ 39 10 x 1 + 4 x2 ≤ 62 x1
≥ 3
x2 ≥ 2 Bentuk standar dari persoalan di atas adalah : – M – M x 7 – M – M x 8
Maksimumkan Z = 150 x 1 + 120 x2 Fungsi batasan : 3 x 1 +
8 x2 + x 3
10 x 1 + 4 x2 x1 x2
= 39 + x4 – x – x5 + x6
= 62 + +
x7 x8 = 2
di mana x3 = slack variable untuk variable untuk fungsi batasan 1
= 3
Rasio
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
x7 = surplus variable untuk variable untuk fungsi batasan 4 x8 = artificial variable untuk variable untuk fungsi batasan 4 Tabel 4.16. Persiapan Fasa I Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x 8
Kanan
x3
3
8
1
0
0
0
0
0
39
x4
10
4
0
1
0
0
0
0
62
x7
1
0
0
0
-1
0
1
0
3
x8
0
1
0
0
0
-1
0
1
2
Z j -C j
-15
-12
0
0
0
0
M
M
0
Z j -C j
-15 – M
-12 – M
0
0
M
M
0
0
-5M
Z j -C j
-15
-12
0
0
0
0
0
0
0
Z j -C j
-1
-1
0
0
1
1
0
0
-5
Tabel 4.17. Awal Proses Iterasi Iterasi Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
Kanan
Rasio Rasio
x3
3
8
1
0
0
0
0
0
39
13
x4
10
4
0
1
0
0
0
0
62
6,2
x7
1
0
0
0
-1
0
1
0
3
3
x8
0
1
0
0
0
-1
0
1
2
∞
Z j -C j
-1
-1
0
0
1
1
0
0
-5
2
Tabel 4.18. 4.18. Hasil Iterasi I (Variabel (Variabel Masuk x1, variable keluar x 7, Pivot= 1 ) Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
Kanan
Rasio Rasio
x3
0
8
1
0
3
0
-3
0
30
3,75
x4
0
4
0
1
10
0
-10
0
32
8
x1
1
0
0
0
-1
0
1
0
3
∞
x8
0
1
0
0
0
-1
0
1
2
2
Z j -C j
0
-1
0
0
0
1
1
0
-2
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
R.Kanan R.Ka nan
x3
0
0
1
0
3
8
-3
-8
14
x4
0
4
0
1
10
0
-10
-4
24
x1
1
0
0
0
-1
0
1
0
3
x2
0
1
0
0
0
-1
0
1
2
Z j -C j
0
0
0
0
0
0
1
1
0
Rasio Ra sio
Fasa I berakhir karena nilai Z j – C – C j pada kolom ruas kanan telah 0. Langkah selanjutnya selanjutnya adalah menyiapkan menyiapkan tabulasi baru untuk untuk fasa II (awal). Hilangkan kolom x7 dan x8(artificial variable), variable ), seperti tabel di bawah ini. Tabel 4.20. 4.20. Tabulasi Awal Untuk Fasa II Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
R.Kanan
x3
0
0
1
0
3
8
14
x4
0
4
0
1
10
4
24
x1
1
0
0
0
-1
0
3
x2
0
1
0
0
0
-1
2
Z j -C j
-15
-12
0
0
0
0
0
Rasio
Harus dilakukan penyesuaian nilai pada kolom x1 dan x2 yang menjadi variable basis. Lakukan OBE dengan hasil hasil sebagai sebagai berikut. Tabel 4.21. Setelah dilakukan dilakukan Opereasi Baris Baris Elementer. Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
R.Kanan R.Ka nan
x3
0
0
1
0
3
8
14
x4
0
4
0
1
10
4
24
x1
1
0
0
0
-1
0
3
x2
0
1
0
0
0
-1
2
Z j -C j
-15
-12
0
0
0
0
0
Z j -C j
0
-12
0
0
-15
0
45
Z j -C j
0
0
0
0
-15
-12
69
Rasio Ra sio
Maka proses tabulasi dapat dilanjutkan dengan hanya menggunakan baris Z j – C j yang terakhir (yang telah di lakukan operasi baris elementer / OBE), sehingga dihasilkan tabel seperti di bawah ini.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
R.Kanan
Rasio Ra sio
x3
0
0
1
0
3
8
14
4,67
x4
0
4
0
1
10
4
24
2,4
x1
1
0
0
0
-1
0
3
-3
x2
0
1
0
0
0
-1
2
∞
Z j -C j
0
0
0
0
-15
-12
69
Jika kita lihat nilai pada baris Z j – C j masih ada yang bernilai negative maka perlu dilakukan Iterasi. Maka perlu diketahui diketahui variable yang akan masuk, masuk, variabel yang akan keluar dan pivot-nya. pivot -nya. Dari tabel ini diketahui diketahui bahwa x 5 akan menjadi masuk dan x 4 akan menjadi variabel yang keluar dengan pivot 10. Tabel 4.23. 4.23. Hasil Iterasi Iterasi I Fasa II (x5 masuk, x4 keluar) Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
R.Kanan R.Kana n
Rasio Ra sio
x3
0
0
1
-0,3
0
6,8
0
–
x5
0
0
0
0,1
1
0,4
2,4
2,4
x1
1
0
0
0
0
0,4
5,4
3
x2
0
1
0
0
0
-1
2
∞
Z j -C j
0
0
0
0
0
-6
105
Karena belum didapatkan solusi optimalnya, maka perlu dilakukan iterasi selanjutnya. Tabel. 4.24. Hasil Iterasi 2 Fasa II (x6 masuk, x3 keluar) Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x6
R.Kanan R.Ka nan
Rasio Ra sio
x6
0
0
0,147
-0,044
0
1
1
–
x5
0
0
-0,059
0,118
1
0
2
16,949
x1
1
0
-0,059
0,018
0
0
5
277,77
x2
0
1
0,147
-0,044
0
0
3
–
Z -C
0
0
0,882
-0,264
0
0
111
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Basis
x1
x2
x3
x4
x5
x 6
R.Kanan
x6
0
0
0,125
0
0,373
1
1,746
x4
0
0
-0,500
1
8,475
0
16,949
x1
1
0
-0,050
0
-0,153
0
4,695
x2
0
1
0,125
0
0,373
0
3,746
Z j -C j
0
0
0,750
0
2,237
0
115,475
Solusi optimal sudah didapat (nilai baris Z j – C – C j tidak ada lagi lagi yang negatif). Dapat disimpulkan bahwa : x1 = 4,695 x2 = 3,746 Z = 115,475
3.
Apa yang dimaksud dengan teori permainan (game theory) dalam program linier. Berikan satu kasus dan penyelesaianya penyelesaianya dalam penerapan teori permainan. permainan. Game Theory Theory adalah suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai k epentingan. Dalam game theory dilibatkan dua atau lebih pengambil keputusan atau yang biasa disebut Pemain. Setiap pemain dalam game theory mempunyai keinginan untuk menang. Kasuskasus dalam game theory, sebelum diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode game theory, theory , diidentifikasi diidentifikasi dulu berdasarkan : Jumlah pemain , Jumlah keuntungan dan kerugian atau yang biasa disebut dengan nilai permainan Jenis strategi yang digunakan. Berdasarkan jumlah pemain ada dua jenis games yang dikenal, yaitu twoperson games dan N- person games. games . Jumlah pemain yang terlibat dalam two-person games adalah dua, dan dalam N- person games games adalah lebih dari dua. Sedangkan berdasarkan jumlah keuntungan dan kerugian dikenal dua jenis games, yaitu zero-
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Jawab Model matematis : Maksimumkan W = y1 + y2 + y3 terhadap kendala : 7y1 + 5y2 d 1 2y1 + 3y2 + 6y3 d 1 5y1 + 6y2 + y3 d 1 y1 , y2 , y3 e 0 bentuk baku untuk simpleks : maksimumkan W = y1 + y2 + y3 + 0S1 + 0S2 + 0S3 7y1 + 5y2 + S1 = 1 2y1 + 3y2 + 6y3 + S2 = 1 5y1 + 6y2 + y3 + S2 = 1 y1 , y2 , y3, S1, S2, S3 e 0 1 2 3 7 5 6
4. Selesaikan persoalan program linier berikut: x1+ 5x2+ 9x3 -6 - 6x4 ≥ 2 3x1- x2+ x3 -3 - 3x4 ≤ 10 -2x1- 3x2+ 7x3 -8 - 8x4 ≥ 0 semua x j ≥ 0 Maksimal Z = 2x1- 3x2+ 4x3 +x 4 x1+ 5x2+ 9x3 -6 -6x4 ≥ 2 3x1- x2+ x3 -3 -3x4 ≤ 10
⇓
x1+ 5x2+ 9x3 -6 -6x4 = 2
x3
3x1- x2+ x3 -3 -3x4 = 10
x1
3x1+ 15x 15x2+ 27x 27x3 -18 -18x x4 = 6 3x1- x2
+ x3
-3x4 = 10 _
16 x 16 x2 + 26 x 26 x3 -15 -15x x4 = -4
….(1)
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Dalam sebuah matriks :
1[−116 2326 −30 −15−420] 7 25 −20 4
Oleh karena bilangan 7 dan 23 merupakan bilangan prima, maka tidak dapat ditentukan penyelesaian dari program linear tersebut atau terdapat hasil tak terhingga.
