UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA SECRET SECRETAA RÍA GENERAL GENERAL COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE A TENCIÓN TENCIÓN DIFERE DIFERENCI NCIAA DA PARA PA RA AL A L UMNOS UMNOS
COPADI
FORMULARIO
C O P A D I ¡MÁS DE 400 FÓRMU FÓRMULL A S DE MATEMÁTICAS!
ING. ING. ÉR ÉRIK IK CASTAÑEDA CA STAÑEDA DE ISLA PUGA PUGA ING. IN G. PA PA B L O GARCÍA GARCÍA Y COL COL OMÉ OMÉ ESTA OBRA SE REALIZÓ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME
PRÓLOGO Las asignaturas de matemáticas en la Facultad de Ingeniería, que fundamentalmente se imparten en su División de Ciencias Básicas, constituyen herramientas muy poderosas -y en ocasiones son un auténtico lenguaje- para la comprensión y aplicación de las asignaturas físicas y también para aquellas propias de las carreras de ingeniería. Son apoyos valiosos para los estudios de posgrado -maestrías y doctorados- y para el ejercicio profesional. Es por ello que, para contar con estudiantes con una formación sólida en Ciencias Básicas y que tengan buenas posibilidades de éxito en su devenir académico y profesional, resulta importante y trascendente su aprendizaje de las diferentes ramas de las matemáticas que deben estudiar como son el Álgebra, la Geometría Analítica, El Álgebra Lineal, el Cálculo con una y varias variables, las Ecuaciones Diferenciales y las Matemáticas Avanzadas. Y para esto hemos pensado en proporcionar a los estudiantes de ingeniería estos formularios, que con sus más de 400 expresiones, pretenden apoyar y hacer más eficiente el estudio y aprendizaje de las matemáticas primero y después constituirse en un manual para su quehacer futuro, ya sea académico o laboral. Esperamos que este formulario sea de mucha utilidad para el trabajo académico de alumnos y profesores de ingeniería que ven y aprecian esta disciplina como un detonante para el desarrollo de la sociedad. Es sabido que la ingeniería es unión entre los seres hum humanos anos y la natural naturaleza, eza, y que uno de los pri principales ncipales objetivos objetivos de de su quehacer es el de mejorar la calidad de la vida en el entorno de su práctica. Aprovechamos este espacio para agradecer a la Lic. Ana María Vieyra Ávila y al pasante de ingeniería Jorge Alejandro Rangel Rangel por su colaboración en las labores administrativas y de seguimiento para el logro de esta publicación.
Ing. Érik Castañeda de Isla Puga Ing. Pablo Pablo Ga García rcía y Colomé Colo mé
PRÓLOGO Las asignaturas de matemáticas en la Facultad de Ingeniería, que fundamentalmente se imparten en su División de Ciencias Básicas, constituyen herramientas muy poderosas -y en ocasiones son un auténtico lenguaje- para la comprensión y aplicación de las asignaturas físicas y también para aquellas propias de las carreras de ingeniería. Son apoyos valiosos para los estudios de posgrado -maestrías y doctorados- y para el ejercicio profesional. Es por ello que, para contar con estudiantes con una formación sólida en Ciencias Básicas y que tengan buenas posibilidades de éxito en su devenir académico y profesional, resulta importante y trascendente su aprendizaje de las diferentes ramas de las matemáticas que deben estudiar como son el Álgebra, la Geometría Analítica, El Álgebra Lineal, el Cálculo con una y varias variables, las Ecuaciones Diferenciales y las Matemáticas Avanzadas. Y para esto hemos pensado en proporcionar a los estudiantes de ingeniería estos formularios, que con sus más de 400 expresiones, pretenden apoyar y hacer más eficiente el estudio y aprendizaje de las matemáticas primero y después constituirse en un manual para su quehacer futuro, ya sea académico o laboral. Esperamos que este formulario sea de mucha utilidad para el trabajo académico de alumnos y profesores de ingeniería que ven y aprecian esta disciplina como un detonante para el desarrollo de la sociedad. Es sabido que la ingeniería es unión entre los seres hum humanos anos y la natural naturaleza, eza, y que uno de los pri principales ncipales objetivos objetivos de de su quehacer es el de mejorar la calidad de la vida en el entorno de su práctica. Aprovechamos este espacio para agradecer a la Lic. Ana María Vieyra Ávila y al pasante de ingeniería Jorge Alejandro Rangel Rangel por su colaboración en las labores administrativas y de seguimiento para el logro de esta publicación.
Ing. Érik Castañeda de Isla Puga Ing. Pablo Pablo Ga García rcía y Colomé Colo mé
ÍNDICE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
2
RECTA Y CIRCUNFERENCIA
3
LAS CÓNICAS: CÓNICAS: PARÁB OLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA
5
GEOMETRÍA GEOMETRÍA ANALÍTICA ANAL ÍTICA EN EL ESPACIO
7
CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES SUPERFICIES CUÁDRICAS
10
FÓRMULAS FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ORDINARIA ORDINARIA
11
FÓRMULAS FÓRMULAS BÁSICAS BÁ SICAS DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN
13
SERIES INFINITAS
15
SERIES DE POTENCIAS
18
ALGUNAS FUNCIONES FUNCIONES REPRESENTADAS REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS POTENCIAS
20
FUNCIONES HIPERBÓLICAS. HIPERBÓL ICAS. IDENTIDADES, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
22
MÁXIMOS Y MÍNIMOS. MÍNIMOS. UNA O MÁS VARIABLES VARIAB LES
24
GEOMETRÍA DIFERENCIAL. DIFERENCIAL . FÓRMULAS FÓRMULA S DE FRENET-SERRET. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCUL A.
27
LONGITUDES, LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES. LONGITUD LONGITUD DE ARCO, ARCO, ÁREA B AJO AJ O LA CURVA, ÁREA ENTRE DOS CURVAS, ÁREA DE SUPERFICIES, VOLÚMENES
29
MASA, MASA , MOMENTOS, CENTROS DE MASA Y CENTROIDE
31
ALGUNOS CASOS CA SOS DE DERIVACIÓN EXPLÍCITA EXPLÍCITA EN FUNCIONES FUNCIONES ESCALA RES DE VARIABL E VECTORIAL VECTORIAL
33
ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN IMPLÍCITA IMPLÍCITA EN FUNCIONES FUNCIONES DE UNA Y MÁS VARIABL ES
35
COORDENADAS COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS ESFÉRICAS
37
OPERADORES VECTORIALES VECTORIALES GRADIENTE, GRADIENTE, DIVERGENCIA, DIVERGENCIA, ROTACIONAL ROTACIONAL Y LAPLACIANO LA PLACIANO EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
41
TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS
42
TRANSFORMADAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE LA PLACE
44
SERIES DE FOURIER
45
COPADI 1
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CATETO OPUESTO = catop ; CATETO ADYACENTE = catad ; HIPOTENU HIPOTENUSA = hipo sen
catop hipo
catad
cos
;
tan
;
hipo
catop catad
IDENTIDADES
csc
1 sen
2
sen cos sen
sec
;
2
1
cos
;
2
;
sen
1
sen
tan
cos
2
cot
;
2
cos sen
2
sec tan 1
;
csc cot 1
cos
;
tan
;
cos
tan
sen sen cos cos sen
;
sen sen cos cos sen
cos cos cos sen sen
;
cos cos cos sen sen
tan
sen 2 2 sen cos
sen
2
tan tan
tan
;
1 tan tan
2
2
tan tan 1 tan tan
2
2
cos 2 cos sen 1 2 sen 2 cos 1
;
1 cos
;
2
sen
2
1 2
cos
1 2
2
1 cos
cos 2
sen sen
cos cos
sen cos
cos sen
1 2 1 2 1 2 1 2
;
2
;
cos
2
tan
1 2
2
;
1 cos
1 2
sen
cos 2
cos
cos
cos
cos
sen
sen
sen sen
tan 2
2 tan 2
1 tan
sen 1 cos
COPADI 2
CÍRCULO TRIGONOMÉTR TRIGONOMÉTRICO ICO EN LA FIGURA SE PRESENTA EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO DE RADIO LA UNIDAD POR LO QUE EN CADA PUNTO, CORRESPONDIENTE A UN ÁNGULO DETERMINADO, LA ABSCISA ES EL COSENO Y LA ORDENADA EL SENO DEL ÁNGULO CONSIDERADO Y A PARTIR DE ESOS VALORES SE PUEDEN DETERMINAR LAS DEMÁS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y CONOCER CONOCER DE TODAS ELLAS SU VALOR Y SIGNO SIGNO DEPENDIENDO DEPENDIENDO DEL CUADRANTE EN ESTUDIO.
COPADI 3
RECTA Y CIRCUNFERENCIA LA LÍNEA RECTA
PENDIENTE DE LA RECTA:
m
y 1 y 2
;
x 1 x 2
x 1 x 2
ECUACIÓN DE LA RECTA “PUNTO PENDIENTE”: y y1 m x x1 ECUACIÓN DE LA RECTA “PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN”: y m x b m PENDIENTE DE LA RECTA b ORDENDA AL ORIGEN ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS P1 x1 , y1 y P2 x 2 , y 2 y y 2 y y 1 1 y y 1 m x x 1 x x1 ; x1 x 2 x 1 x 2 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA: a ABSCISA AL ORIGEN
x a
y b
1
b ORDENADA AL ORIGEN
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA A x B y C 0 FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA x cos y sen p 0 p LONGITUD DE LA NORMAL QUE VA DEL ORIGEN A LA RECTA 0 0 360 MEDIDO DESDE LA PARTE POSITIVA DEL EJE " x " A LA NORMAL DISTANCIA DE UNA RECTA A x B y C 0 A UN PUNTO x1 , y1 A x 1 B y 1 C d A 2 B 2 CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD CON LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS SEAN m1 y m 2 LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 1 y 2 . ENTONCES: 1 y 2 SON PARALELAS m1 m 2 SEAN m1 y m 2 LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 1 y 2 . ENTONCES: 1
y
2
SON PERPENDICULARES
m1
1
m2
4
LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO " r " : ECUACIÓN CON CENTRO EN EL PUNTO h , k Y RADIO " r " :
x 2 y 2 r 2
x h 2 y k 2 r 2
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA 2 2 x y D x E y F 0 LA CIRCUNFERENCIA EXISTE, ES DECIR, TIENE RADIO DIFERENTE DE CERO SI D 2 E 2 4 F 0 Y 1 D E 2 2 ENTONCES, LAS COORDENADAS DE SU CENTRO SON , Y EL RADIO ES D E 4 F 2 2 2 ECUACIÓN MEDIANTE UN DETERMINANTE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS P1 x1 , y1 , P2 x 2 , y 2 y P3 x 3 , y 3 NO COLINEALES, ESTÁ DADA POR EL DETERMINANTE x
2 2
x1
2
x2
2
x3
y
2 2
y1
2
y2
2
y3
x
y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
1 1 0 1 1
TRASLACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS SEA UN NUEVO ORIGEN DE COORDENADAS O' h, k Y SEAN RESPECTIVAMENTE x, y y x' , y ' LAS COORDENADAS DE UN PUNTO, ANTES Y DESPUÉS DE LA TRASLACIÓN. ENTONCES, LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON: x x ' h y y y ' k
ROTACIÓN DE LOS EJES COORDENADOS SI LOS EJES COORDENADOS GIRAN UN ÁNGULO EN TORNO DE SU ORIGEN COMO CENTRO DE ROTACIÓN Y LAS COORDENADAS DE UN PUNTO SON, RESPECTIVAMENTE, x, y x '.y ' , ANTES Y DESPUÉS DE LA ROTACIÓN, ENTONES LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON. x x ' cos y ' sen y y x ' sen y ' cos
COPADI 5
L A S C Ó N I C A S: PARÁBOLA, ELIPSE E HIPÉRBOLA PARÁBOLA p
DISTANCIA DEL VÉRTICE AL FOCO = DISTANCIA DEL VÉRTICE A LA DIRECTRIZ FOCO SOBRE EL EJE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE y 2
"x"
4 p x
DIRECTRIZ: x p ; FOCO p , 0 VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE x 2
"y"
4 p y
DIRECTRIZ. y p ; FOCO 0 , p VÉRTICE EN EL PUNTO h , k EJE FOCAL PARALELO AL EJE
y k 2
4 p x
h
VÉRTICE EN EL PUNTO h , k EJE FOCAL PARALELO AL EJE
x h 2
4 p y
"x"
" y"
k
LONGITUD DEL LADO RECTO = 4 p ; EXCENTRICIDAD: e 1 ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: A x 2 C y 2 D x E y F 0 ; CON A 0 ó C 0
ELIPSE 2a
LONGITUD DEL EJE MAYOR ; 2 b LONGITUD DEL EJE MENOR 2 c DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS c
2
a
2
b
2
FOCOS SOBRE EL EJE MAYOR CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE x
2
a
2
y
2
b
2
FOCOS: c , 0
1
c , 0
y
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE x
2
b
2
y
2
a
2
FOCOS: 0 , c
"x"
y
1
0 , c
" y"
6
CENTRO EN EL PUNTO h, k Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE
x h 2 a2
y k 2 b2
1
CENTRO EN EL PUNTO h, k Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE
x h 2 b2
LONGITUD DEL LADO RECTO =
y k 2 a2
2b
" y"
1
2
; EXCENTRICIDAD: e
a
"x"
c a
1
ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: A x 2 C y 2 D x E y F 0 ; CON A y C DEL MISMO SIGNO
HIPÉRBOLA 2a
LONGITUD DEL EJE TRANSVERSO ; 2 b LONGITUD DEL EJE CONJUGADO 2 c DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS c2
a2
b2
FOCOS SOBRE EL EJE TRANSVERSO CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE x
2
a
2
y
2
b
2
FOCOS: c , 0
1
c , 0
y
CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE y
2
a
2
x
2
b
2
FOCOS: 0 , c
a2
0 , c
y
y k 2 b2
a
2
LONGITUD DEL LADO RECTO =
x h 2 b
2b
a
2
" x"
1
CENTRO EN EL PUNTO h , k Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE
y k 2
" y"
1
CENTRO EN EL PUNTO h , k Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE
x h 2
"x"
"y"
1
2
; EXCENTRICIDAD: e
c a
1
ECUACIÓN GENERALDE LA CÓNICA: A x 2 C y 2 D x E y F 0 ; CON A y C DE SIGNO DISTINTO
COPADI 7
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO VECTORES
MÓDULO DE UN VECTOR: PRODUCTO ESCALAR:
a
ORTOGONALIDAD:
a
a2 a3
2
2
a a1 , a 2 , a 3 ; b b1 , b 2 , b3
a b a b cos
COMP VECT b
a1
a
y
b
a b
b
b
b
;
0
0
2
a b a1 b1 a 2 b2 a 3 b3
180
0
SON ORTOGONALES a b 0
;
COMP ESC b
ang
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES:
a0
;
a
b0 a b b
a b
cos
a
b
ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES ang cos
a1
;
a
ang cos
cos cos 2
2
a2
;
a
ang cos
PARALELISMO:
a
y
b
a
cos 2 1
PRODUCTO VECTORIAL: a a 1 , a 2 , a 3 ; b b1 , b 2 , b 3 a b a b sen
a3
;
0
0
180
i
j
k
a b a1
a2
a3
b1
b2
b3
0
SON PARALELOS a b
0
;
ÁREA DEL PARALELOGRAMO = a b PRODUCTO MIXTO:
a
b c a b c a b c
a 0 b 0
8
VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO = a b c LOS PUNTOS A,B,C y D SON COPLANARES SI EL PRODUCTOMIXTO AB AC AD ES NULO
a b c a c b a b c a b c a c b b c a
DOBLE PRODUCTO VECTORIAL
LA RECTA EN EL ESPACIO
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA P P
0
t v
DONDE P0 x 0 , y 0 , z 0 ES UN PUNTO DE LA RECTA Y v a, b, c ES UN VECTOR PARALELO A ELLA x x 0 ta ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA y y 0 tb z z tc 0
ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA SIMÉTRICA:
x x 0
y y 0
a
b
z z 0 c
ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA GENERAL A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C2 z D2 0
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:
d
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS:
Q
P
0
v
v
ang
cos
; DONDE Q ES EL PUNTO
v
1
v
2
v
1
v
2
v1 v 2 0
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS: CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE DOS RECTAS: DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS:
d
P
02
v1 v 2 0
P 0 1 v 1 v 2 v1 v 2
9
EL PLANO EN EL ESPACIO
ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO P P 0 r v 1 s v 2
;
r , s
DONDE P0 x 0 , y 0 , z 0 ES UN PUNTO DEL PLANO Y v1 a1 , b1 , c1 y v 2 a2 , b2 , c2 SON DOS VECTORES DE DIRECCIÓN DEL PLANO NO PARALELOS x x 0 ra 1 sa 2 ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO: y y 0 rb 1 sb 2 z z rc sc 0 1 2
ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO QUE CONTIENE AL PUNTO P0 y CUYO VECTOR NORMAL ES N
P P N 0 0
ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO: A x B y C z D 0 , DONDE SU VECTOR NORMAL ESTÁ DADO POR: N A , B , C DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UN PLANO:
ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS:
ang
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD: CONDICIÓN DE PARALELISMO:
Q
d
P
0
N
N
cos
N
1
N
2
N
1
N
2
N 1 N 2 0
N 1 N 2 0
LA DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS SE CALCULA COMO LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO DE UN PLANO Y EL OTRO PLANO ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO:
angsen
CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA:
N v N
v
N v 0
CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA:
N k v
COPADI 10
CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS CON CENTRO:
SI
N 0
SI SI
2
L y
2
M z
2
N
Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON LOS PLANOS COORDENADOS.
N 0
Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON LOS EJES COORDENADOS.
Y TODOS LOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL ORIGEN DE COORDENADAS. N 0
SI SI
K x
Y DOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL CONO ELÍPTICO.
N 0
Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON DOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS.
N 0
SI
Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO SON CILINDROS PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS. N 0
SI
Y TODOS LOS COEFICIENTES SON POSITIVOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL ELIPSOIDE.
N 0
SI N 0 Y DOS COEFICIENTES SON POSITIVOS Y EL OTRO NEGATIVO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA O UN MANTO. SI N 0 Y DOS COEFICIENTES SON NEGATIVOS Y EL OTRO POSITIVO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS O DOS MANTOS. SIN CENTRO: K x
2
L y
2
P z
P 0
SI K Y L SON NULOS, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES EL PLANO x y . SI K Ó L ES NULO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN CILINDRO PARABÓLICO. SI K Y L TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN PARABOLOIDE ELÍPTICO. SI K Y L TIENEN DIFERENTE SIGNO, EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UN PARABOLOIDE HIPERBÓLICO.
COPADI 11
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ORDINARIA y cu
u f x ;
;
y c
;
c
c
y x
dy
c
dx dy
dy dx
dx
0
dx
du
1 du
y u
y u
n
u f x ;
;
y u v
;
u
y u
dx
dx
n
2 u dy
dx
u f x v g x
dy
du
dx
n u n 1
dx
u f x v g x
dy
u f x
;
v
dx
du
v
v dy
dx
dx
dx
u
dx
du
dv
; uv
;
v
dy
u f x dy dv du u dx dx dx v g x
y
y
u f x
;
dv dx
2
u du u dx du
y ln u
;
u f x
dy
dx
dx
u du
y log b u
u f x ;
;
y e
u
;
b
u f x
dy dx
dy dx
eu
dx log b e u
du dx
12
y a y u
v
u
u f x ;
; ;
u f x v g x
y sen u
a
dx dy
dx
u f x
;
u f x
y tan u
;
u f x
y sec u
y csc u
;
dx
dy
dx
u f x
u f x
dy dx
u f x
;
dy
dy
dx dy
dx
du dx
u v ln u
dx
du
cos u
dx
;
;
dy
a u ln a
du
v u v 1
y cos u
y cot u
dy
dx
sen u
du
sec 2 u
du
dx
dx
csc 2 u
du dx du
sec u tan u
dx
csc u cot u
du dx
du y angsen u
u f x
;
dy
dx
1 u2
dx
du y ang cos u
u f x
;
dy
dx
dx
1 u2 du
y ang tan u
;
u f x
dy
dx 2 dx 1 u
du y ang cot u
;
u f x
dy
dx 2 dx 1 u du
y ang sec u
;
u f x
dy
dx
dx u u2 1 du
y ang csc u
;
u f x
dy dx
dx u u 1 2
dv dx
COPADI 13
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN
k
f
f
u
u d u
du
u
n
du
u
du
sen cos
du
g u d u
n 1
C
;
n 1
ln u C
u
a
u
f
u d u
u C
n 1
e
tan
g u d u
f
k
u
u
du e
u
a
u
du
ln a
C
C
u du cos u C
u du sen u C
u du ln cos u C ln sec u C
cot sec
u du ln sen u C
u du ln sec u tan u C
14
csc
u du ln csc u cot u C
sec csc sec csc
u tan u du sec u C
u cot u du csc u C
a
u
2
a
2
2
du
u
2
u
a
u
2
a
u
2
du u
2
a
2
2
a2
1
a
ang tan
a
1
a
1 2a
1 2a
C
u a
ang sec
ln
ln
u a u a
a u a u
C
u a
C
C
C
ln u
u
2
a 2 C
ln u
u
2
a 2 C
2
du u
2
2
du
a
du
u
angsen
2
du
u
u du cot u C
2
du
u du tan u C
2
COPADI 15
SE RIE S
IN FI NI TA S
SERIE TELESCÓPICA
1
n
n 1
n 1
;
S 1
SERIE GEOMÉTRICA
a r
n
;
CONVERGE SI
r 1
DIVERGE
r 1
;
S
n0
SI
a 1 r
SERIE ARMÓNICA
1
n 1
;
n
DIVERGENTE
SERIE ARMÓNICA " p "
1
n 1
n
;
p
0 p 1 DIVERGE
p 1
n 1
1
n
p
S
R n S S n
;
CONVERGE
ESTÁ ACOTADO POR: 0 R n
CONVERGENCIA O DIVERGENCIA
n 1
an
converge lim S n S n lim S diverge n n
DONDE Sn ES LA SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES
1
n
p 1
p 1
16
a
es convergente lim a n 0
n
n
a
lim a n 0 n
a
es divergente
a convergen a c a
n
b
y
n
n
n
n
n
a a
n
d iverge
n
converge
bn converge bn converge converge ; c
c a d iverge ; c y b diverge a n
n
n
bn diverge
PRUEBA DE LA INTEGRAL SI f ES POSITIVA, CONTINUA Y DECRECIENTE PARA x 1 ENTONCES LA SERIE f (1) f (2) ... f (n) ... i) converge si ii) diverge si
1
1
f ( x)dx es convergent e f ( x)dx es divergente
PRUEBA DE LA COMPARACIÓN
a
SEAN
b si b
i ) si ii )
y
n
b
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:
n
converge y a n bn entonces
n
n
diverge y a n bn entonces
a a
n
n
converge diverge
PRUEBA DEL LÍMITE DEL COCIENTE SEAN
a
n
y
b
n
SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS. ENTONCES:
las dos convergen a lim n k 0 o n b n las dos divergen PRUEBA DE LA SERIE ALTERNADA
17
ak ak 1 0 lim a 0 n n
( 1)
n 1
a n es convergente
CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL
a a a
a convergente a
n
es absolutamente convergente si
n
n
es absolutamente
n
n
es condicionalmente convergente si
es convergente es convergente
a a
n
converge
n
diverge
PRUEBA DE LA RAZÓN SEA
a
i ) lim
UNA SERIE CON TÉRMINOS NO NULOS. ENTONCES:
n
an 1
n
ii ) lim n
iii ) lim n
L 1
an an 1 an
a
n
es absolutamente convergente
L 1 ó
an 1 an
a
n
es divergente
1 el criterio no decide
PRUEBA DE LA RAÍZ SEA
a
n
UNA SERIE INFINITA. ENTONCES:
i ) lim n an L 1 n
ii ) lim
n
n
iii ) lim n
n
a
n
es absolutamente convergente
an L 1 ó
a
n
es divergente
an 1 el criterio no decide
COPADI 18
SERIES DE POTENCIAS UNA SERIE DE LA FORMA
a n x n a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
n0
ES CONOCIDA COMO “SERIE DE POTENCIAS EN x ”
SI
an x
n
TEOREMA ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA: - LA SERIE CONVERGE SÓLO SI x 0 . - LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NÚMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE SI x r Y DIVERGENTE SI x r SI c ES UN NÚMERO REAL, UNA SERIE DE LA FORMA
a n x c a 0 a1 x c a 2 x c a n x c 2
n
n0
n
ES CONOCIDA COMO “SERIE DE POTENCIAS EN x c “ TEOREMA
SI
a
x c
n
n
ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA: - LA SERIE CONVERGE SÓLO SI x c 0 , ESTO ES, SI x c . - LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA x . - EXISTE UN NÚMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE SI x c r Y DIVERGENTE SI x c r . TEOREMA
SEA UNA SERIE DE POTENCIAS
an x
n
CON UN RADIO DE CONVERGENCIA NO NULO r
Y CONSIDÉRESE LA FUNCIÓN f DEFINIDA POR:
f x
a n x
n
a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
n0
PARA TODA x EN EL INTERVALO DE CONVERGENCIA. SI r x r , ENTONCES:
f ' x
1
D a x
n
x
n0
2
x
0
f t dt
n a n x n
1
a 1 2 a 2 x 3a 3 x 2 n a n x n 1
n 1
x
a n 0
n
0
n
n
t
dt n 0
an n 1
x
n 1
a 0 x
1 2
2 a1 x
1 3
3 a 2 x
1
n 1
NOTA. ES POSIBLE PROBAR QUE ESTAS DOS SERIES DE POTENCIAS TIENEN EL MISMO n RADIO DE CONVERGENCIA QUE LA SERIE ORIGINAL an x .
a n x
n 1
19
TEOREMA. SERIE DE TAYLOR SI f ES UNA FUNCIÓN TAL QUE
f x
a n x c
n
n0
PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c , ENTONCES
f x f c f ' c x c
f ' ' c
x c 2
f n c
x c n
2! n! SE CONOCE COMO “SERIE DE TAYLOR PARA f x EN c “
TEOREMA. SERIE DE MACLAURIN SI c 0 EN LA SERIE DE TAYLOR, SE CONSIDERA ENTONCES A LA FUNCIÓN f TAL QUE
f x
an x
n
n0
PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO
f x f 0 f ' 0 x
f ' ' 0
x
2
r , r
, Y ENTONCES
n f 0
x n
2! n! SE CONOCE COMO “SERIE DE MACLAURIN PARA f x “
POR LA FÓRMULA DE TAYLOR, SE TIENE QUE SU POLINOMIO DE GRADOENÉSIMO EQUIVALE A LA FUNCIÓN MENOS EL RESIDUO, ES DECIR, QUE
Pn x f x R n x
DONDE
Rn
x
n 1
z n x c n 1 !
f
1
PARA ALGÚN VALOR DE z ENTRE c y x . EN EL SIGUIENTE TEOREMA SE UTILIZA EL RESIDUO R n x PARA ESPECIFICAR LAS CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS REPRESENTATIVA DE LA FUNCIÓN f x .
TEOREMA SEA UNA FUNCIÓN f CON DERIVADAS DE TODOS LOS ÓRDENES A TRAVÉS DEL INTERVALO QUE CONTIENE A c . ENTONCES, SI lim R n x 0 n
PARA TODA x EN EL INTERVALO, ENTONCES LA FUNCIÓN f x ES REPRESENTADA POR LA SERIE DE TAYLOR PARA f x EN c .
COPADI 20
ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS 1
x
1
x 1 x 12
x 13
x 14 1n x 1n
0 , 2
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
1
1 x x
1 x
2
x
3
x
4
x
5
x n
1,1
INTERVALODE CONVERGENCIA:
CONOCIDA POR ALGUNOS COMO “SERIE GEOMÉTRICA”
1
1 x x
1 x
2
x
3
x
4
x
5
1 x n n
1 x
1 x
2
2
x
4
x
6
senx
x3
x
x5
3!
5!
x7
7!
1
cos x
1
2!
x4 4!
x6
6!
2
sen x
2 2!
x
2
2
3
4!
x
4
2
5
6!
x
6
2
cos
x 1
2 2!
2
x
2
x
8!
3
4!
4
x
x2 n
n
7 8
2
6!
x
1
2 n 1
2 n 2 ! ,
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
2
n
5 6
1
2 n ! ,
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
2
x2 n
n
1
INTERVALODE CONVERGENCIA:
1 ,1
2 n 1 ! ,
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
x2
1n x 2 n
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
1,1
INTERVALODE CONVERGENCIA:
1
1
n
2
x 2 n 2
2 n 1
2n ! ,
x2 n
NOTA. EL TÉRMINO ENÉSIMO CONSIDERA A PARTIR DEL SEGUNDO TÉRMINO CON n 1
sen x
2
x
2
x6 3!
x10 5!
x14 7!
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
1
2 2 n 1
x
n
2n ,
1
!
21 4
cos x
2
8
x
1
2!
x 4!
12
x
6!
1
3
senhx
x
5
3!
7
x
7!
cosh x
1
x4
2!
x6
4!
6!
2 n 1 ! ,
a ngsenx
x
x
2 3
5
13 x
2 4 5
ang tan x
x
3
3
2 4 6 7
x
5
5
e
1
x
x
7
2
2!
3!
e
2
1 x
x
4
2!
x
6
3!
x
ln x
x 1
2
x 13 3
4!
x 1 4
2
2
x
3
3
1 x
1
kx
k k 1 x 2!
2
,
x
2n
n! ,
1
1n 1 x 1n
0 ,
n
2
n 1
k k 1k 2 x
2n
n!
INTERVALODE CONVERGENCIA:
k
2 n 1
x
n
4
4
2 n 1
4
x
2
2 n 1
n
x
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
x ln 1 x x
n !
n
x
1 ,1
8
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
x 1 2
1 ,1
1
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
x 2
2
2n !
3
x
7
x
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
x
,
2n !
7
13 5 x
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
x
x2 n
INTERVALO DE CONVERGENCIA: 3
x
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
x2
2 n 1
x
5!
x
n
2n ! ,
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
x
4n
3
3!
INTERVALO DE CONVERGENCIA:
1 ,1
x
n 1
n
1
k k 1 k 2 k 3 x 4!
1,1 *
* LA CONVERGENCIA EN x 1 DEPENDE DEL VALOR DE " k "
4
COPADI 22
FUNCIONES HIPERBÓLICAS: IDENTIDADES, DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN IDENTIDADES FUNDAMENTALES senh x y senhx cosh y cosh xsenhy senh x y senhx cosh y cosh xsenhy cosh x y cosh x cosh y senhxsenhy cosh x y cosh x cosh y senhxsenhy cosh x senh x
1
tanh x sec h x
1
coth x csc h x
1
2
2
2
2
2
2
senh 2 x 12 12 cosh 2 x 2
cosh x
12 12 cosh 2 x
senh2 x 2senhx cosh x cosh 2 x
cosh 2 x senh 2 x
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS y senhu ; u f x
y ' cosh u u '
y cosh u ; u f x
y ' senhu u '
y tanh u ; u f x
y ' sec h 2 u u '
y coth u ; u f x
y ' csc h 2 u u ' y sec hu ; u f x y ' sec hu tanh u u ' y csc hu ; u f x y ' csc hu coth u u '
y senh 1u ; u f x y cosh
1
y '
u ; u f x
y '
y tanh u ; u f x
y '
y coth 1 u ; u f x
y '
1
u' u 2 1 u' u 1 2
u' 1 u
2
u' 1 u
2
;u
1
;u
1
;u
1
23 1 y sec h u ; u f x
y '
y csc h u ; u f x
y '
1
u' u 1 u
;0u
2
u' u 1 u
2
;u
1
0
INTEGRACIÓN DE Y CON LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
senhu du cosh u C cosh u du senhu C tanh u du lncosh u C coth u du ln senh u C sec hu du tanh senhu C csc hu du ln tanh C sec h u du tanh u C csc h u du coth u C sec hu tanh u du sec hu C csc hu coth u du csc hu C 1
u
2
2
2
du u a 2
2
du u a 2
2
senh 1
u
cosh 1
u
a a
C ln u u 2 a 2 C C ln u u 2 a 2 C ;
ésta, donde u > a > 0 1 au 1 1 u tanh C ln C; u a 2a a au du a a 2 u 2 1 1 u 1 ua coth C ln C; u a a 2a a ua
u u
du a u 2
a u
1
1
2
du 2
ésta en forma compacta es: 1 du au ln C ; u a 2 2 2a au a u
2
a
a
csc h
1
sec h
1
u a u a
C
1
C
1
a
a
senh
cosh
1
a u
1
a u
C ; u 0 C
; 0u
a
COPADI 24
MÁXIMOS Y MÍNIMOS. UNA O MÁS VARIABLES FUNCIONES ESCALARES DE VARIABL E ESCALAR y f x
PUNTOS CRÍTICOS SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN ES NULA O NO EXISTE, ES DECIR, DONDE dy dx
f' x 0
o
dy dx
no existe
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRÍTICO f ' x 0 a f ' x 0 MÁXIMO RELATIVO f ' x 0 a f ' x 0 MÍNIMO RELATIVO SI NO HAY CAMBIO DE SIGNO NO HAY EXTREMO RELATIVO CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRÍTICO f ' ' x 0 MÍNIMO RELATIVO f ' ' x 0 MÁXIMO RELATIVO SI f ' ' x 0 NO SE PUEDE APLICAR ESTE CRITERIO PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA SEGUNDA DERIVADA ES NULA O NO EXISTE Y DONDE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA CAMBIA UNA CURVA ES CÓNCAVA HACIA ARRIBA CUANDO SUS TANGENTES ESTÁN POR DEBAJO DE ELLA Y CÓNCAVA HACIA ABAJO CUANDO SUS TANGENTES ESTÁN POR ENCIMA DE ELLA f ' ' x 0 a f ' ' x 0 PUNTO DE INFLEXIÓN f ' ' x 0 a f ' ' x 0 PUNTO DE INFLEXIÓN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL z f x, y
PUNTOS CRÍTICOS O ESTACIONARIOS SON AQUELLOS EN LOS CUALES z ES CONTINUA Y LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES
z z SE ANULAN O NO EXISTEN y x y
25
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA HESSIANO 2
g x 0 , y 0 0
y
2 z 2 z 2 z g x, y x 2 y 2 y x f xx x 0 , y 0 0 o f yy x 0 , y 0 0
g x 0 , y 0 0
y
f xx x 0 , y 0 0 g x 0 , y 0 0 g x 0 , y 0 0
MÁXIMO RELATIVO o f yy x 0 , y 0 0 MÍNIMO RELATIVO PUNTO SILLA EL CRITERIO NO DECIDE
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (FORMA MATRICIAL) PARA CADA PUNTO CRÍTICO SE CALCULA LA MATRIZ HESSIANA f xx
f xy
f yx
f yy
H
SE CALCULA E IGUALA A CERO EL DETERMINANTE det H I 0
LOS SIGNOS DE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS 1 y 2 DETERMINAN LA NATURALEZA DEL PUNTO CRÍTICO: 1 0 y 2 0 MÍNIMO RELATIVO y 2 0 MÁXIMO RELATIVO 1 0 1 2
0 o 0
1 2
0 0
PUNTO SILLA
SI POR LO MENOS UN VALOR CARACTERÍSTICO ES CERO, EL CRITERIO NO DECIDE GENERALIZACIÓN SEAN: LA FUNCIÓN f : n CON PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS; f r f x1 , x 2 , , x n EN UNA REGIÓN D DEL ESPACIO n-DIMENSIONAL; r 0 D UN PUNTO CRÍTICO TAL QUE f x r 0 0 Y H LA MATRIZ HESSIANA DEFINIDA POR: i
f 11 f 21 H f n 1
f 12
f 22 f n 2
f 1 n
f nn
f 2 n
;
f i
j
2 f x i x j
;
f i
j
f j i
ENTONCES: i) f r 0 ES UN MÁXIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN r 0 SON TODOS NEGATIVOS. ii ) f r 0 ES UN MÍNIMO RELATIVO DE f SI LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN r 0 SON TODOS POSITIVOS. iii ) f r 0 ES UN PUNTO SILLA (MINIMÁXIMO) SI EXISTEN VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN r 0 CON SIGNOS DIFERENTES. iv) EL CRITERIO NO DECIDE SI UNO POR LO MENOS DE LOS VALORES CARACTERÍSTICOS DE LA MATRIZ HESSIANA VALUADA EN r 0 VALE CERO.
26
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
SEA z f r f x1 , x 2 , , x n UNA FUNCIÓN ESCALAR CONTINUA Y DIFERENCIABLE EN UNA REGIÓN CERRADA D n DONDE f ESTÁ SUJETA A LAS CONDICIONES: g 1 x1 , x 2 , , x n 0
o 0 o 0
g 2 x1 , x 2 , , x n 0
mn
g m x1 , x 2 , , x n 0
o 0
Y SEA EL PROBLEMA: OPTIMIZAR LA FUNCIÓN OBJETIVO: z f r g i r 0 o 0 ; i 1,2,..., m n SUJETA A LAS RESTRICCIONES: SI EXISTE UN EXTREMO RELATIVO DE f EN r 0 , ENTONCES L 0 , ES DECIR, L 0 i 1, 2, , n x i
Y ADEMÁS
g k r 0
k 1, 2, , m n
ESTAS DOS EXPRESIONES FORMAN UN SISTEMA DE m n ECUACIONES, f x1 1 g 1 x1 m g m x 0 1
f xn 1 g 1 xn m g m x n 0 g 1 x1 , x 2 , , x n 0
g m x1 , x 2 , , x m 0
DONDE
1 , 2 , , m
SE CONOCEN COMO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
A PARTIR DE ESTE SISTEMA PUEDEN SER DETERMINADAS LAS INCÓGNITAS x1 , x 2 , , x n , 1 , 2 , , m . AQUÍ, LOS VALORES DE x1 , x 2 , , x n SON LAS COORDENADAS DEL PUNTO EN EL QUE PUEDE HABER UN EXTREMO CONDICIONADO. PARA EL CASO DE UNA FUNCIÓN z f x, y Y UNA RESTRICCIÓN g x, y, z 0 , EL SISTEMA A RESOLVER SERÍA EL SIGUIENTE: f x g x 0
;
f y g y 0
;
f z g z 0
;
g x, y, z 0
Y PARA EL CASO DE LA MISMA FUNCIÓN z f x, y PERO CON DOS RESTRICCIONES, EL SISTEMA SERÍA: f x 1 g 1 x 2 g 2 x
;
f y 1 g 1 y 2 g 2 y
;
f z 1 g 1 z 2 g 2 z
;
g 1 x, y, z 0
;
g 2 x, y , z 0
COPADI 27
GEOMETRÍA DIFERENCIAL. FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA r t
ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3 s PARÁMETRO “LONGITUD DE ARCO” d r
ds d r d r VECTOR TANGENTE UNITARIO: T dt YA QUE d r
dt
ds
dt
dt d T
VECTOR NORMAL UNITARIO: N
ds d T
; CURVATURA: k
d T ds
; RADIO DE CURVATURA:
ds
VECTOR BINORMAL UNITARIO: B T N FORMAN EL PLANO OSCULADOR T y B FORMAN EL PLANO RECTIFICADOR N y B FORMAN EL PLANO NORMAL T y
TORSIÓN =
N
d B ds
;
RADIO DE TORSIÓN:
FÓRMULAS DE FRENET-SERRET r t
1
d T
k N
ds d N ds d B ds
k T B N
ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 3 PARÁMETRO CUALQUIERA t
VECTOR TANGENTE UNITARIO :
T
r ' r '
1
k
28
VECTOR NORMAL UNITARIO:
VECTOR BINORMAL UNITARIO:
CURVATURA: k
r ' r ' ' r '
TORSIÓN :
3
r ' r ' ' r ' ' ' r ' r ' '
2
r ' r '
N
B
r ' ' r ' r ' ' r '
r ' r ' ' r ' r ' '
; RADIO DE CURVATURA:
; RADIO DE TORSIÓN:
1
k
1
CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
SEA r t x t i y t j z t k EL VECTOR DE POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA EN MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA Y SEA " t " UN PARÁMETRO. VELOCIDAD: v
d r
; RAPIDEZ: v v ; ACELERACIÓN: a
dt
d v
dt
d 2 r dt 2
EL VECTOR VELOCIDAD DE LA PARTÍCULA SIEMPRE ES TANGENTE A LA CURVA Y TIENE LA DIRECCIÓN DEL MOVIMIENTO. COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN a aT
dv dt
T
v2
N
a T
dv dt
y
a N
v2
(ACELERACIÓN TANGENCIAL) Y a N (ACELERACIÓN NORMAL)
LA ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA ES UN VECTOR SITUADO EN EL PLANO DE LA TANGENTE Y LA NORMAL A LA CURVA (PLANO OSCULADOR) CON COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DADAS POR
dv dt
Y
v2
RESPECTIVAMENTE.
LA ACELERACIÓN ES ÚNICAMENTE TANGENCIAL CUANDO EL MOVIMIENTO ES RECTILÍNEO ( ) Y ES ÚNICAMENTE NORMAL CUANDOLA RAPIDEZ ES CONSTANTE (
dv dt
0 ).
COPADI 29
LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES: LONGITUD DE ARCO, ÀREA BAJO LA CURVA, ÀREA ENTRE DOS CURVAS, ÁREAS DE SUPERFICIES,VOLÚMENES LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA
SEA f UNA FUNCIÓN CUYA GRÁFICA ES UNA CURVA SUAVE C , CONTINUA EN EL INTERVALO a, b . LA LONGITUD DE ARCO DE LA GRÁFICA DE f , DEL PUNTO A a, f a AL PUNTO B b, f b ESTÁ DADA POR: b
L
f x 2 dx
1
a
NOTA. TAMBIÉN SE PUDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE
" y ".
LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EXPRESADA EN FORMA PARAMÉTRICA
SEA UNA FUNCIÓN CUYA GRÁFICA ES UNA CURVA SUAVE (CONTINUA) C DADA PARAMÉTRICAMENTE POR LAS ECUACIONES x f t y y g t ; a t b ; SI C NO SE CORTA A SÍ MISMA, EXCEPTO POSIBLEMENTE EN t a y t b , ENTONCES LA LONGITUD L DE LA CURVA C ESTÁ DADA POR: L
b
a
f t g t 2
2
dt
b
a
2
2
dx dy dt dt dt
LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES
SI UNA CURVA SUAVE C ES LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUYA ECUACIÓN POLAR ES r f DE A ES POSIBLE CALCULAR SU LONGITUD L MEDIANTE LA EXPRESIÓN: L
dr r d 2
2
d
ÁREA BAJO LA CURVA SI f ES UNA FUNCIÓN INTEGRABLE Y f x 0 PARA TODA x a, b , ENTONCES EL ÁREA DE LA
REGIÓN LIMITADA POR LA GRÁFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS x a y x b , SE OBTIENE A TRAVÉS DE: A
b
a
f x
dx
NOTA. TAMBIÉN SE PUDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE
" y ".
ÁREA ENTRE DOS CURVAS SI f Y g SON DOS FUNCIONES CONTINUAS Y f x g x PARA TODA x a, b , ENTONCES EL ÁREA
DE LA REGIÓN LIMITADA POR LAS GRÁFICAS DE f Y g Y LAS RECTAS x a y x b , ESTÁ DADA POR: A
b
a
f x
g x dx
30
ÁREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES SI LA FUNCIÓN f (EN COORDENADAS POLARES) ES CONTINUA Y f 0 EN EL INTERVALO , , DONDE 0 2 , ENTONCES EL ÁREA DE LA REGIÓN LIMITADA POR LAS GRÁFICAS DE r f , , y SE CALCULA POR MEDIO DE LA EXPRESIÓN. A
1 2
f
2
d
r
2
d
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN SI f ES UNA CURVA SUAVE Y f x 0 EN EL INTERVALO a, b , ENTONCES EL ÁREA DE LA SUPERFICIE
GENERADA AL GIRAR LA GRÁFICA DE f ALREDEDOR DEL EJE DE LAS ABSCISAS, SE DETERMINA CON: S
b
a
2 f ' x dx
2 f x 1
NOTA. SI LA FUNCIÓN ES NEGATIVA EN PARTE DEL INTERVALO, ENTONCES SE PODRÍA UTILIZAR LA MISMA EXPRESIÓN CON EL VALOR ABSOLUTO DE f x . NOTA. TAMBIÉN SE PUDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE " y " . ÁREA DE UNA SUPERFICIE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL f x, y 0 DEFINIDA EN UNA REGIÓN R EN EL
PLANO x y DONDE f TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES EN LA REGIÓN. ENTONCES EL ÁREA DE LA SUPERFICIE (GRÁFICA DE f ) SE CALCULA MEDIANTE: 2
A
R
f x , y f x , y 1 y x
2
dA
NOTA. ESTA FÓRMULA TAMBIÉN PUEDE UTILIZARSE CUANDO LA FUNCIÓN ES NEGATIVA. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
SEA UNA FUNCIÓN f (EN EL PLANO x y ) CONTINUA EN EL INTERVALO a, b , Y SEA R LA REGIÓN LIMITADA POR LA GRÁFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS x a y x b . EL VOLUMEN DEL SÓLIDO DE GENERACIÓN GENERADO AL GIRAR LA REGIÓN R ALREDEDOR DEL EJE x ES. b
V
a
f x
2
dx
NOTA. TAMBIÉN SE PUEDE REALIZAR EL CÁLCULO EN TÉRMINOS DE LA VARIABLE
" y ".
VOLUMEN DE UN SÓLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL DOBLE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL EN 3 TAL QUE f x, y 0 PARA TODO x, y
EN UNA REGIÓN R DEL PLANO x y . EL VOLUMEN DEL SÓLIDO BAJO LA GRÁFICA DE z f x, y Y SOBRE LA REGIÓN R ES: V
f x , y dA R
VOLUMEN DE UN SÓLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL TRIPLE SEA UNA FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL f EN 4 TAL QUE f x, y, z 1 A TRAVÉS DE
UNA REGIÓN VOLUMÉTRICA Q . ENTONCES, EL VOLUMEN DE ESTA REGIÓN Q ESTÁ DADO POR LA INTEGRAL TRIPLE: V
Q
dV
COPADI 31
MASA, MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE MOMENTO DE UN SISTEMA EN 1 EL MOMENTO CON RESPECTO AL ORIGEN DE UN SISTEMA DE MASAS m1 , m 2 ,..., m n , LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS x1 , x 2 ,..., x n DEL EJE DE LAS ABSCISAS, ESTÁ DADO POR M 0 m 1 x 1 m 2 x 2 ... m n x n
SI LA MASA TOTAL DEL SISTEMA ES m m1 m 2 ... m n , SU CENTRO DE MASA ESTÁ DADO POR x
M 0 m
MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA EN 2 SI SE TIENE UN SISTEMA DE MASAS PUNTUALES m1 , m 2 ,..., m n LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS
x1 , y1 , x2 , y2 ,, xn , yn
EN UN PLANO COORDENADO Y SEA m
n
m
k
LA MASA TOTAL DEL SISTEMA, ENTONCES:
k 1
A) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE x ESTÁ DADO POR: M x
n
m k y k
k 1
B) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE y ESTÁ DADO POR: M y
n
m k x k
k 1
C) LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA DEL SISTEMA SON: M y M x x y y m m MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UNA LÁMINA CONSIDÉRESE UNA LÁMINA, UNA PLACA PLANA O BIEN, UNA DISTRIBUCIÓN PLANA DE MASA QUE TIENE LA FORMA DETERMINADA POR UNA CIERTA REGIÓN R EN EL PLANO xy . SI ESTA PLACA PLANA TIENE UNA DENSIDAD SUPERFICIAL DE MASA DADA POR
x, y , FUNCIÓN CONTINUA EN R , Y SU MASA ESTÁ DADA POR m x, y dA , ENTONCES: R
A) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTÁTICO CON RESPECTO AL EJE x ES: M x
y x , y dA R
B) SU PRIMER MOMENTO OMOMENTO ESTÁTICO CON RESPECTO AL EJE y ES: M y
x x , y dA R
C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON: x x , y dA y x , y dA M y M x R R x y y m m x , y dA x , y dA
R
R
32
D) SI LA DENSIDAD DE LA PLACA ES CONSTANTE SE DICE QUE ÉSTA ES HOMOGÉNEA Y LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA, QUE SE CONOCE COMO CENTROIDE, ESTÁN DADAS POR LAS EXPRESIONES SIGUIENTES:
x
M y m
x dA R
y
dA
y
M x m
R
y dA R
dA R
DE LAS CUALES SE OBTIENE QUE: x dA x A R y y dA y A R
R
R
DONDE A R
dA
ES EL ÁREA DE LA REGIÓN, ES DECIR, DE LA PLACA.
R
E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES x y y , ASÍ COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO ÉSTE ÚLTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTÁN DADOS, RESPECTIVAMENTE POR: I x y 2 x , y dA ; I y x 2 x , y dA ; I O x 2 y 2 dA I x I y
R
R
MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UN CUERPO SI UN SÓLIDO TIENE LA FORMA DE UNA REGIÓN Q TRIDIMENSIONAL, ES DECIR, VOLUMÉTRICA, Y SU DENSIDAD ES
x, y, z , FUNCIÓN CONTINUA EN Q , ENTONCES: A) SU MASA ESTÁ DADA POR: x , y , z dV M
Q
B) SUS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS xy M xy
z x, y , z dV
M xz
;
Q
y x, y , z dV
;
, xz
M yz
y yz SON:
x x , y , z dV
Q
Q
C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON: M yz M xy M xz ; y ; z x m m m D) SI Q ES HOMOGÉNEA, ENTONCES LA DENSIDAD ES CONSTANTE Y LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA O CENTROIDE SON:
x dV x
Q
y dV y
;
dV
Q
dV
Q
DE DONDE:
z dV ;
z
dV
Q
x dV x V Q
;
y dV y V Q
Q
DONDE V Q
Q
Q
;
z dV z V Q Q
dV
ES EL VOLUMEN DE LA REGIÓN, ES DECIR, DEL SÓLIDO.
Q
E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES x , y y z , ASÍ COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO ÉSTE ÚLTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTÁN DADOS, RESPECTIVAMENTE POR: 2 2 2 2 y z x, y , z dV ; I y x z x, y , z dV ; I z x 2 y 2 x, y , z dV I x
Q
Q
I O
Q
x Q
2
y 2 z 2 dV
COPADI 33
ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN EXPLÍCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL SEA z f x, y ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON: z
y
x
z y
Y LA DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR: z z dz dx dy x y SEA z f x, y , u ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON: z
,
x
z y
y
z u
Y SU DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR: z z z dz dx dy du x y u SEA z f x, y DONDE x f t ; y g t SUS DERIVADAS PARCIALES SON: z z y x x SU DERIVADA TOTAL ESTÁ DADA POR: dz z dx z dy
dt x dt y dt Y LA DIFERENCIAL TOTAL ES: z z dz dx dy x y DONDE dx f ' t dt
y
dy
g ' t dt
SEA z f x, y , u DONDE x g t ; y ht ; SUS DERIVADAS PARCIALES SON: z z z , y x y u SU DERIVADA TOTAL ESTÁ DADA POR: dz z dx z dy z du
u k t
dt y dt u dt Y SU DIFERENCIAL TOTAL ES: z z z dz dx dy du x y u
dt
DONDE
x
dx g ' t dt
;
dy h ' t dt
y
du k ' t dt
34
SEA z f x y x g s, t ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A s z
dz
x
s
y
z
dz
y
t SON:
x
dx s dx t t Y SU DIFERENCIAL ESTÁ DADA POR: dz f ' x dx
DONDE dx
x s
ds
x t
dt
SEA z f x, y DONDE x g u , v y y h u , v ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A x, y, u, v SON: z x z
u
z x
x u
z y y u
; ;
z y z
z x
v
x v
z y y v
Y SU DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR: z z dz dx dy x y DONDE x x y y dx du dv y dy du dv u v u v SEA z f x, y , u DONDE x g r , s ; y h r , s ; u k r , s ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A x, y, u, r , s SON: z x z r
z x x r
z y y r
;
z u u r
z y
;
; z s
z u
z x x s
z y y s
z u u s
Y SU DIFERENCIAL TOTAL ESTÁ DADA POR: z z z dz dx dy du x y u DONDE y y x x u u dx dr ds ; dy dr ds y du dr ds r s r s r s
COPADI 35
ALGUNOS CASOS DE DERIVACIÓN IMPLÍCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE UNA VARIABLE Y DE VARIABLE VECTORIAL UNA ECUACIÓN CON DOS VARIABLES
F x, y 0
dy dx
F x F y
dx
;
F y
dy
F x
UNA ECUACIÓN CON TRES VARIABLES
F x, y , z 0
z f x , y
x f y , z
y f x , z
F z x F z x
F y z F z y
y
F y x F x y F y x F y x
y y
F x z F x z F y z F y z
DOS ECUACIONES CON TRES VARIABLES
F x, y, z 0
F , G x , z dy dx F , G J , y z J
G x, y, z 0
;
F x
F z
G x
G z
F y
F z
G y
G z
F , G z y , dx dz F , G J , x y F , G J y , z dx dy F , G J x , z J
y
y
F , G y , x dz dx F , G J , y z J
y
dy dz
dz dy
F , G x z , F , G J , x y F , G J x , y F , G J x , z J
NOTA. COMO SE OBSERVA, SE UTILIZAN DETERMINANTES JACOBIANOS, FORMADOS POR LAS DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES, CON RESPECTO A LAS VARIABLES DE LAS CUALES DEPENDEN.
36
DOS ECUACIONES CON CUATRO VARIABLES
F x, y, u , v 0
x u x f u , v
y g u , v
y u
u x u f x , y
v g x , y
v x
;
G x, y, u , v 0
F , G u y , F , G J , x y F , G J x , u F , G J x y , J
F , G x v , F , G J u v , F , G J u , x F , G J , u v
y
x v
y
y v
J
y
u y
y
v y
F , G v y , F , G J , x y F , G J x , v F , G J x y , J
F , G y v , F , G J u v , F , G J u y , F , G J , u v J
NOTA. SE PROCEDERÍA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE DOS VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.
TRES ECUACIONES CON CINCO VARIABLES
F x, y , z , u , v 0
;
x u x f u , v y g u , v z h u , v
y u
z u
G x, y, z , u , v 0
F , G , H u , y , z F , G , H J x , y , z F , G , H J x , u , z F , G , H J x , y , z F , G , H J x y u , , F , G , H J x y z , ,
; H x, y, z , u , v 0
J
y
x v
y
y v
y
z v
F , G , H v , y , z F , G , H J x , y , z F , G , H J x , v , z F , G , H J x , y , z F , G , H J x y v , , F , G , H J x y z , , J
NOTA. SE PROCEDERÍA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE TRES VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES.
COPADI 37
COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS COORDENADAS POLARES ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN LAS COORDENADAS CARTESIANAS x, y Y LAS COORDENADAS POLARES r , SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: x r cos ; y r sen ang tan
y x
;
r 2 x 2 y 2
ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES r cos p
DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO A UN PUNTO P r , DE LA RECTA Y p ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO N p , DE LA RECTA, MEDIDA SOBRE LA PERPENDICULAR A ELLA. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES r 2 2 c r cos c 2 a 2
DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO P r , DE LA CIRCUNFERENCIA, c ES LA DISTANCIA DEL POLO A SU CENTRO EN EL PUNTO C c , Y a ES SU RADIO. ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS r
e d 1 e cos
o r
e d
1 e sen
DONDE e ES LA EXCENTRICIDAD DE LA CÓNICA Y d ES LA DISTANCIA DEL POLO A LA RECTA DIRECTRIZ. REPRESENTA A UNA CÓNICA, LA CUAL SERÁ PARÁBOLA SI e 1 , ELIPSE SI 0 e 1 E HIPÉRBOLA SI e 1
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE LA PENDIENTE m DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA DE ECUACIÓN r f EN EL PUNTO Pr , ESTÁ DADA POR dr
m d dr d
sen
r cos
cos
r sen
38
COORDENADAS CILÍNDRICAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN LAS COORDENADAS CARTESIANAS x, y , z Y LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS , , z SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: x cos
2 x 2 y 2
y sen
;
y
angtan
;
;
x
z z z z
;
DONDE CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE CILINDROS CUYO EJE DE SIMETRÍA ES EL EJE z , CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z Y z CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE PLANOS HORIZONTALES PARALELOS AL PLANO xy . NOTA. SE TRATA DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL. DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO
ds d d dz 2
2
2
2
2
NOTA. SI z 0 , SE TIENE EL SISTEMA ORTOGONAL PLANO DENOMINADO SISTEMA COORDENADO POLAR. DIFERENCIAL DE ÁREA dA d d
(SISTEMA COORDENADO POLAR) DIFERENCIAL DE VOLUMEN dV d d dz
GRADIENTE
1 e e e z z
DIVERGENCIA F
f f f 1 2 3 z 1
ROTACIONAL
F
e
e
e
f 1
f 2
f 3
1
z
z
39
LAPLACIANO 2
1 z z 1
NOTA. , , z y
F f 1 e f 2 e f 3 e z
INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CILÍNDRICAS
f , , z dV
Q
z 2
z 1
2 z
1 z
2 , z
1 , z
f , , z d d dz
DONDE ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.
COORDENADAS ESFÉRICAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN LAS COORDENADAS CARTESIANAS x, y , z Y LAS COORDENADAS ESFÉRICAS r , , SE RELACIONAN A TRAVÉS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: x r cos sen r 2 x 2 y 2 z 2
;
;
y rsen sen
ang cos
;
z r cos
z x 2 y 2 z 2
;
y x
ang tan
DONDE r CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE ESFERAS CON CENTRO EN EL ORIGEN, CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMICONOS CON EL EJE z COMO EJE DE SIMETRÍA Y CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z . DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO
ds 2 dr 2 r 2 d 2 r 2 sen 2 d 2 DIFERENCIAL DE VOLUMEN dV r 2 sen dr d d
GRADIENTE
1 1 e r e e r r rsen
40
DIVERGENCIA F
2 r f sen rf sen rf 1 2 3 2 r sen r 1
ROTACIONAL e r
F
r e
r
f 1
rsen e
1
r 2 sen
rf 3 sen
rf 2
LAPLACIANO 2
2 1 r sen sen 2 r r sen r sen 1
NOTA. r , , y
F f 1 e r f 2 e f 3 e
INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFÉRICAS
Q
f r , ,
2
dV
1
2
1
r 2 ,
r 1 ,
f r , , r sen dr d d 2
DONDE r 2 sen ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.
COPADI 41
OPERADORES VECTORIALES, GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO, EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES TEOREMA. GRADIENTE EN COORDENADAS CURVILÍNEAS SEAN u, v, w UNA FUNCIÓN ESCALAR DIFERENCIABLE Y x xu , v, w , y y u.v, w , z z u , v, w LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL. ENTONCES EL GRADIENTE DE EN ESTE SISTEMA ESTÁ DADO POR:
1
hu
1 1 eu ev ew u hv v h w w
TEOREMA. DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILÍNEAS SEA 1 u , v, we u 2 u , v, w e v 3 u , v, w e w UNA FUNCIÓN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA CURVILÍNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE e u , e v y e w . ENTONCES LA DIVERGENCIA DE ESTE SISTEMA ES:
1
hu hv h w
h u h v 3 h h h h u w 2 u v w 1 v w
TEOREMA. ROTACIONAL EN COORDENADAS CURVILÍNEAS SEA 1 u , v , w e u 2 u , v , w e v 3 u , v, w e w UNA FUNCIÓN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA CURVILÍNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE e u , e v y e w . ENTONCES EL ROTACIONAL EN ESTE SISTEMA ES:
1 1 hu 1 e w h h e h h e h u v w 3 v 2 u 1 w 3 v 2 hv h w v hu hw w hu hv u w u v 1
TEOREMA. LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILÍNEAS SEA u , v, w UNA FUNCIÓN ESCALAR DIFERENCIABLE DOS VECES Y x xu , v, w , y y u , v, w , z z u , v, w LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILÍNEO ORTOGONAL. ENTONCES, EL LAPLACIANO DE EN ESTE SISTEMA ESTÁ DADO POR:
2
1
hu h v h w
u
h v h w h u h w h u u v h v v w
NOTA. EN ESTAS EXPRESIONES, hu
r u
;
hv
r v
;
hw
h u h v h w w
r SON LOS “FACTORES DE ESCALA”. w
COPADI 42
TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS TEOREMA DE GREEN
SEA R UNA REGIÓN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C . SI M x, y , N x, y ,
M N SON FUNCIONES CONTINUAS SOBRE R , , y x
ENTONCES SE CUMPLE QUE:
M dx N dy
C
N M dA x y R
FORMAS ALTERNATIVAS DEL TEOREMA DE GREEN
C
F d r
rot
F k dA
R
C
F N
div
F dA
R
INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN SI R ES UNA REGIÓN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C , ENTONCES EL ÁREA DE R ESTÁ DADA POR: A
1 2
y
dx x dy
C
TEOREMA DE STOKES
SEA S UNA SUPERFICIE TAL QUE SU PROYECCIÓN SOBRE LOS PLANOS XY , XZ , YZ SON REGIONES LIMITADAS POR CURVAS SIMPLES CERRADAS. SEA TAMBIÉN F F x, y, z UN CAMPO VECTORIAL CONTINUO Y DIFERENCIABLE DOS VECES. Y SUPÓNGASE QUE C ES UNA CURVA SIMPLE CERRADA QUE LIMITA A LA SUPERFICIE S . ENTONCES SE CUMPLE QUE.
rot F N dS F N dS S
DONDE
N
S
C
F d r
ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S Y dS ES EL DIFERENCIAL DE ÁREA DE S .
43
Y, SI
F M x , y , z i N x , y , z j O x , y , z k y
n cos i cos j cos k
ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIÉN SE PUEDE EXPRESAR COMO:
C
M dx N dy O dz
O
y
N z cos M z O x cos N x M y cos dS
S
TEOREMA DE GAUSS
SI LA FUNCIÓN VECTORIAL F x, y, z f 1 x, y, z i f 2 x, y, z j f 3 x, y, z k TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN UNA REGIÓN R DEL ESPACIO 3 , LIMITADA POR UNA SUPERFICIE REGULAR S , ENTONCES LA INTEGRAL DE VOLUMEN DE LA DIVERGENCIA DE F DENTRO DE S ES IGUAL A LA INTEGRAL DE SUPERFICIE EXTERNA DE F SOBRE S , ES DECIR:
F N dS
S
div F dV
R
Y, SI
N cos i cos j cos k
ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S, ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIÉN SE PUEDE EXPRESAR COMO:
S
f 1 cos
f 2 cos f 3 cos dS
R
f 1 f 2 f 3 dV y z x
COPADI 44
TRANSFORMADAS DE LAPLACE f t ; t 0
t
F s
f t e
0
(FUNCIÓN DELTA DE DIRAC)
1 1
1
n
1
n
t e
at
; n, entero positivo
s a
s a s 2
cos at
senh at
s a s
s a
2
at
e
at
at
senh bt
e cosh bt
2
s0
2
2
2
a2
2
a
2
2 s s 2
s0
2 2
a
s
e cos bt
a
2 a 3s
s
sen bt
2
s2 a2
s
at
2
s a 2 a s
s
e
s0 s a
2
t sen at
t 2 cos at
s0
2
s2 a2 a 2
cosh at
2
s0
s a
sen at
t sen at
sa
n 1
t
t cos at
s0
n
s 1 n!
1
RESTRICCIONES EN " s "
sa
sa n!
; n, entero positivo
dt
s0
s
e at t
st
2 3
3a 2
a
2 3
b
s a 2
b2
s a
s a 2
b
2
b
2
s0 s0 sa sa s b a
b
s a 2
s a
s a 2
s b a b
2
COPADI 45
SERIES DE FOURIER
DEFINICIÓN LA SERIE DE FOURIER CORRESPONDIENTE A LA FUNCIÓN f , LA CUAL SE SUPONE DEFINIDA EN EL INTERVALO c x c 2 L , DONDE c y L 0 SON CONSTANTES, SE DEFINE COMO: 1 an a0 n x n x L a n cos b n sen DONDE 1 L L 2 n 1 bn L
c 2 L
c 2 L
cos
n
f x sen
n
f x
c
c
x
L x
L
dx dx
SI f y f ' SON CONTINUAS EN c, c 2 L SALVO EN UN CONJUNTO FINITO DE PUNTOS, EN LOS QUE EXISTEN SUS LÍMITES LATERALES, Y SI f x ESTÁ PERIODICAMENTE DEFINIDA CON UN PERIODO DE 2 L , O SEA, QUE f x 2 L f x , ENTONCES LA SERIE CONVERGE HACIA f x SI x ES UN PUNTO DE CONTINUIDAD, Y HACIA
1 2
f x 0 f x 0 SI
x
ES UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD.
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER SI SE SUPONE QUE LAS SERIES ANTERIORES CONVERGEN HACIA f x , SE TIENE QUE:
f x
cne
in x / L
DONDE c n
n
1
L
c 2 L
f x e
c
in x / L
dx
1 2 1 2 1 2
a n ib n a n ib n a0
IDENTIDAD DE PARSEVAL 1
L
c 2 L
c
f x
2
dx
a0
2
2
a n bn 2
2
n 1
FORMA GENERAL DE LA IDENTIDAD DE PARSEVAL 1
L
c 2 L
c
f x g x dx
a 0 c0 2
a
n
c n b n d n
n 1
DONDE an , bn y cn , d n SON LOS COEFICIENTES DE FOURIER QUE CORRESPONDEN A f x y g x RESPECTIVAMENTE.
n 0 n 0 n 0
46
SERIES DE FOURIER DE AL GUNAS FUNCIONES DE USO FRECUENTE
0 x 1 1 x 0
x x 0
f x
x x
0
f x x
f x x
f x senx
;
0
x 2
;
x
senx sen 3 x sen 5 x ... 1 3 5 4
2
senx 0 x x 2 0
f x x
f x x
0
f x x
f x
0 1 0
x
;
x x
x
;
1
x x 0
cos x cos x
f x
2
2
0
;
1
cos x cos 3 x cos 5 x ... 2 2 2 1 3 5 4
senx sen 2 x sen 3 x 2 ... 2 3 1
4
f x
senx
2
cos 2 x cos 4 x cos 6 x ... 35 57 1 3
2
sen 2 x 2 sen 4 x 3 sen 6 x ... 35 57 1 3
8
cos 2 x cos 4 x cos 6 x ... 35 57 1 3
cos x cos 2 x cos 3 x 4 2 ... 2 2 3 2 3 1
2
cos 2 x cos 4 x cos 6 x 2 ... 2 2 6 2 3 1
x
2
senx sen 2 x sen 3 x x 12 3 ... 3 3 2 3 1
x x x 2 0
2
sen cos x sen2 cos 2 x sen3 cos 3 x ... 1 2 3
