Otras distribuciones Formulari ormul ario o Eco Econom nometr´ etr´ ıa Distribuci´on on t de Student ´ Ultima actualizaci´ on: o n: January January 12, 2016 (k+1) 2 − 2 Γ ( k+1 ) f k (x (x) = Γ k 2√ πk 1 + xk ( ) 2 Estad´ Es tad´ıstic ıs tica a Media n Γ (n ( n) = (n 1)! X i X = = i=1 n
•
•
−
•Mediaponderada x w X = = w
•Estandarizaci´on on Student X −µ ∼ tn−1;1− t = n
(Xi −X )
σ2 =
f k (x (x) =
N
•Varianza muestral •Rango
d +d
∼ F d ,d 1
{ } − min {xi}
•Covarianza 1 S xy xy =
X − X Y − Y
n
i
i
•Coeficiente de correlaci´ on on S rxy =
xy xy
P
b a
f (z (z ) = √ 21πσ 2 e
−(z−µ)2
∼ N (0, (0, 1)
¯ ∼ •X ∼ N µ, 2
σ n
Z = =
X −µ σ √
n
∼ N (0, (0, 1)
•
− − •
∼
β ˆ = • V ar σ •Prueba varianza de una poblaci´on o n nor( − ) mal − ∼ χ •Cov β ˆ , ˆβ = −X ¯ V a r β ˆ (n 1)S 1)S 2 σ2
2σ2
2
X −µ σ
= a
+n
•
∼
2 n−1
n 2 i=1 Xi
0
n
•
•
∼
JB = n
A2 6
+
(K −3)2 24
∼ χ
2 2
n i=1
Xi X
1
Prueba Prueba comparar comparar varianzas varianzas dos pobla- R2 = SCR = 1 SCT ciones 2 S X 2 F nx −1,ny −1 2 S Y σ ˆ 2 = n−εˆ2
•Normalidad
2 s
2
2
1
− SCE SCT
• •Prueba √ de correlaci´on on E = = r√ n−2 ∼ t n−2 1−r s
∼
−
Regresi´ on o n M´ ultiple ultiple ˆ = XT X −1 XT Y b
ˆ e = (I
− M) Y
ˆ) = σ 2 (I V ar (e
− M)
2
εˆ σˆ2 = n−k−i 1
ˆ e = [I
− M] e n−k−1 ¯ 2 = 1 − 1 − R2 n−1 R 2Y 1 + RY 12Y 1 2 R2 = RY 2 Y 2,1 1 − RY 1 r −r r rY 1 Y 1.2 = 1−r 1−r Y 1 Y 1
(
2
0
•Estandarizaci´on X ∼ N µ, σ on X ∼ Z = =
•Diferenciaci´on on matricial a T k×1 xk×1 ∂ (aT x) ∂ x
∼
•
n1
•Funci´on on de densidad normal
•
Diferenciaci´on on matricial x T k×1 Ak×k xk×1 (d1 +d2 ) − 2 d1 n/d2 ] ∂ (xT Ax) = 2 Ax ∂ x
•
f (uu) du (a < Z < b) b) = f (
T
(AB) = B T AT
Regresi´ on on Simple Esta Es tad´ d´ ıgra ıg rafos fos ˆ β 0 Prueba Prueba de diferencia diferencia de medias poblacional Y ˆ β 1 X ˆ1 Z = = X 1 −X 22−(µ12−µ2 ) N (0, (0 , 1) β σ1 σ n + n2 Cov (X,Y ) X,Y ) n1 i=1 (Xi −X )(Y i −Y ) 2 = Cov( 2 n V ar( ar(X ) i=1 (Xi −X ) Prueba de diferencia de medias muestral σ2 ˆ1 = V ar β T = X 1 −X 22−(µ12−µ2 ) t n−2;1− α2 2 n ( S1 S2 i=1 Xi −X )
•
Probabilidad
T
(A + B) = A T + BT
2
S x S y
•Probabilidad
1 k/ 2)−1 −x/2 x(k/2) e x/2 k/2 Γ ( 2k/2 Γ (k/2) k/2)
(d1 /d2 )2 Γ [ 1 2 2 ] d1 − 1 2 v [1 + Γ ( Γ (d1 /2)Γ 2)Γ ((d2 /2) x
R = max xi
•
= A
AB = BA x2i = x T x
•Distribuci´on on Fisher
(Xi −X )2 N −1
S x2 =
Predicci´ on on una variable Valor esperado (X0 −X¯ )2 ˆ0 = σ V ar Y = σ 2 n1 + (Xi −X¯ )2 ˆ0 −(β0 +β1 X0 ) Y E = = t n−2 ˆ0 ) V ar(Y Valor Puntual (X0 −X¯ )2 V ar Y 0 ˆ Y 0 = σ = σ 2 1 + n1 + (Xi −X¯ )2 ˆ 0 −Y 0 E = = eeY Y t n−2 ( 0 −Y ˆ0 )
AA−1 = A −1 A = I
•Distribuci´on χ on χ 2
2
A
α 2
Sx √
•Varianza poblacional
T T
k i=1 i i k i=1 i
´ Algebra de Matrices
R21j.no =
Y 2 Y 2 12
2 Y 1 Y 1
)(
2 12
)
E j2 E j2 +n−k−1
−1 ˆ = σ V arCov arCov b = σ 2 XT X
•Valoresperado
−1 T ˆ0 = σ x0 V ar Y ˆ2 x0 XT X
•Valorpuntual −1 xT 0 V ar Y 0 − ˆ Y 0 = σ ˆ 2 1 + x0 XT X
Datos at´ıpicos e influyentes Proyecci´ on y datos reales: ˆ = MY Y
•
•Matriz M:
1
−
T
M = X X X ii
X
≤ ≤ − −
•Varianza perturbaciones: V ar (ˆ εi ) = σ 2 (1 − mii ) •Residuales estandarizados: εˆi,est = √ εˆ σ ˆ (1−m ) i
ii
•Distancia de Cook: Dh =
(ˆ εh ) mhh (k+1)ˆ σ2 (1−mhh )2
ˆ − ˆβ /S ∗ DFBETAS = β jh
j (h)
∧ h¯
i − 38
n+ 14
•Prueba2N deN rachas: IC 95%
(r) = r ± Z
1−
0,05 2
σ
Multicolinealidad Factor de Inflaci´ on de la Varianza V IF j = 1−1R2
p
···
∼
;0,95
2
Respuesta Cualitativa MLP: E [Y i X i ] = β 0 + β 1 X i = P i V ar (εi ) = P i (1 P i )
•
•Tolerancia: 1 T OLi =
V IF i
= (1
− Rj )
2
•Prueba de Glejser: |εˆi| = β √ 0 + β 1 √ 1X + υi |εˆi| = β 0 + β 1X i + υi |εˆi| = β 0 + β 1 X i2 + υi |εˆi| = β 0 + β 1X i + υi |εˆi| = β 0 + β 1 √ 1X i + υi |εˆi| = β 0 + β 1 X + υi •Prueba de Goldfeld-Quandt: E =
c SCE 1 /( n− 2 −k) c SCE 2 /( n− 2 −k)
k (ni .1) 2 i=1 (n−k) S i k i=1 ni k k = i=1 (ni 2
•Logit:
f ( Xb) =
− 1) n− E = (n − k) ln S − (n − 1)ln S ∼ χ −
2
S = n =
p
k i=1
2 i
i
2
i
i
i
Autocorrelaci´ on AR (1):
Y t β 1 (X 1t β k (X kt
− ρY − = β (1 − ρ) − ρX − ) + · ·· − ρX − ) + µ
•−1 < ρ < 1
t
1
0
1t
1
kt
1
t
σ2
V ar (εt ) = 1−µρ2 σ2 Cov (εt , εt−s ) = ρ s 1−µρ2 r (εt , εt−s ) = ρ s
•Prueba Durbin - Watson εˆ εˆ DW = 2 1 − (ˆε ) DW = 2(1 − ˆ ρ) t=T t=2 t t−1 T 2 t=1 t
2π
Zi
1+ee Zi
2
eZi
(1+eZi ) Z i = β 0 + β 1 X i Intro. Series de Tiempo Medias m´ oviles pron´ osticos: [Y t−q−1 +Y t−q−2 +···+Y t−1 +Y t ] M A (q ) = q EC M = 1r rt=1 ˆ ε2t
•
2
2
2
F ( Xb) =
2 k 1;1−α
•Error est´andar robusto: ˆ = (X −X¯ ) (εˆ) V ar β 1 (X −X¯ ) •
−
2 f ( Xb) = φ (Xb) = √ 12π e−Z (Xb)i 2 Zi (Xb) 1 √ e−A dA F ( Xb) = −∞
•Prueba de Barlett:
•Cp de Mallows SCE C p = σˆ − (n − 2 p)
|
•Probit:
j
2 i 2
dif
•
•Prueba deChow, caso dos variables: •Pruebaεˆ de Breusch-Pagan: pi = σ˜ C sum = i SC E i pi = α 1 + α2 Z 2i + . . . + αm Z mi + υi − C dif = S CE T C sum C /(k+1) ∼ χ2m−1 E = SCR E = C /(n−2(k+1)) 2 sum
p
εˆ2i = α 0 + k=1 δ k xk + t=1 θt x2t p−1 p−1 + i=1 α i x1 xi+1 + j=2 γ j x2 xj+1 p−1 + + s= p−1 x p−1 xs+1 E = R aux n χ 2p(p+3)
X
i
− µr = + +1 N (2N N + − )(2N + N − −N ) 2 σr = N 2 (N −1)
•Prueba de While II:
T
i
•Fracci´on Shapiro - Wilk: F RAi =
T
•
•DFBETAS:
jh
•Incorporaci´on de no linealidades: −SCR )/p ∼ F E = (SCR p;n−k− p;1−α SCE /(n−k− p)
Heterocedasticidad Prueba de Park: ln εˆ2i = ln σ2 + β ln (X i ) + ν i
2
, j = 1, . . . , k
puro
SC E puro + SC E fda
0 mii 1 [I M] X = 0 [I M] M = 0 n j=1 mij = 1, i = 1, . . . , n
2
•Prueba de Breusch-Godfrey: εˆt = α ˆ1 + α ˆ2 X t + ρˆ1 εˆt−1 + ρˆ2 εˆt−2 + ·· · + ρˆ pεˆt2− p 2 (n − p) Raux ∼ χ p
fda
T
m = k + 1 i
•PruebaCM •Prueba de While I: falta de ajuste: ∼ F d−k−1;n−d;1−α 2 E = CM ˆi + µi = β 0 + β 1 Y i j Y ij − Y ¯i2 + i ni Y ¯i − Y ˆij 2 εE ˆi = R ∼ n χ 21;0,95 aux
• •DAM = 1r rt=1 |εˆt| +• Suavizamiento Exponencial: + Y ˜t+1 = αY t + (1 − α) ˜ Y t •Suavizamiento Exponencial Doble: ˜t = αY t + (1 − α) ˜ Y Y t−1 ˜˜ = α Y ˜ ˜ ˜t−1 − Y + (1 α) Y t t ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ β 0t = Y t + Y t − Y t ˜ − ˜Y ˜ ˜1t = α Y β t t 1−α
•Holtz - Winter: Lt = αY t + (1 − α) [Lt−1 + T t−1 ] T t = β [Lt − Lt−1 ] + (1 − β ) T t−1
