ACADEMIAS
squema E ormulario F Católica
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S E N O I C A R E E C P I O D N Y Í S O R E M Ú N
Números Númer os y Operaci Operaciones ones .... ......... .......... ........ ... -
8
Exponentes Polinomios Productos notables División algebraica Factorización Ecuaciones de primer grado Planteamientos I Ecuaciones Ecuaciones cuadráticas c uadráticas Planteamientos II Función lineal, cuadrática y aplicaciones
Geometría y Medidas .................... .................... -
4
Sistema decimal Razones Magnitudes proporcionales Reparto proporcional proporcional Regla de tres Divisibilidad Criterios de divisibilidad Números primos MCD y MCM I MCD y MCM II Fracciones I Fracciones II Porcentajes I Porcentajes II
Álgebra .............. ............................ .......................... ............ -
3
x
19
Triángulos – Líneas notables notables Triángulos notables Razones trigonométricas trigonométricas de ángulos á ngulos agudos ag udos Cuadriláteros I Cuadriláteros II Circunferencia I Circunferencia II Polígonos Relaciones Relaciones métricas Áreas triangulares Áreas cuadrangulares Áreas circulares Relación de áreas
ESQUEMA – FORMULARIO
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Sistema decimal
Descomposición polinómi polinómica ca abcd = a×103 + b×102 + c×10 + d Conteo de cifras Sea 1, 2, 3, ... abcd...xyz
ncifras
ncifras
(abc bc.. ....xy xyzz = 1)n – 11 111. 1... ..11 111 1 La cantidad de cifras utilizadas = (a Progresión aritmética últi timo mo – pri rime mero ro últi timo mo + pri rime mero ro .#términos; #términos = úl Suma de términos = úl +1 2
razón
Razones
Razón aritmética: a – a – b b
Razón geométrica: a
Razones equivalentes: a1 = a2 = a3
antece ecede dent nte e a : ant con n se secu cuen ente te b : co
b
b1
•
S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
b2
a1 + a2 + a3 + ... + an b + b + b + ... + b 3 n 1 2
=
b3
k
=
.... = •
an bn
=
k
a1 × a2 × a3 × ... × an b × b × b × ... × b n 1 2 3
=
k n
Magnitudes proporcionales
Si: A DPB ⇒ A = Constante
Si: A IPB ⇒ A × B = Constan te
Si: A DPB A × C = Constante
B
A IPC
B
Reparto proporcional
Si N se reparte en forma DP a los números a, b y c ∴ P1 + P2 +P3 =N y
P1 P2 P3 = = = Constante. a b c
Si N se reparte en forma IP a los números a; b y c. ∴ P1 + P2 +P3 =N y P1.a = P2.b = P3.c = Constante. ESQUEMA – FORMULARIO
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Regla de tres
DP
=
obre ob rero ross × ti tiemp empo o = Constante obra
S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
Divisibilidad o
o
n+ n = n o
o
o
n . k =n (k (k ∈ )
o
n – n = n o
o
k
(n)
o
=
n (k ∈ +)
o
N = A+ r
o N = B + r ⇒ N =MC MCM ( A, B, C ) + r o N = C + r o
o
o
o
o
o
( n + r1 ) (n+ r2) (n + r3) .. ... ( n +rx ) =n +r1 r2 r3 ... rx
Criterios de divisibilidad o
o
Si: abcd = 2 → d = 2 Si:
o
=
8 → 4b + 2c 2c + d = 8
o
Si: abcd = 9 → a +b + c + d = 9 o
o
Si: abcd = 25 → cd = 25 Si:
o
=
Si:
o
=
o
4 → 2c +d = 4 o
o
o
6
o
Si: abcd = 3 → a + b + c + d =3 o
o
Si: abcd = 5 → d =5 o
o
Si: a b c d e =11 → a – b + c – d +e =11 – – – +
o
7 → f + 3e + 2d – c – 3b – 2a =7
ESQUEMA – FORMULARIO
o
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Números Primos Sea "N" descompuesto canónicamente canónicamente N = Aa × Bb × Cc
#div. N = ( (aa + 1)(b 1)(b + + 1)(c 1)(c + 1 1))
#div. comp. (N) = #div. (N) – (N) – #div. #div. primos(N) – primos(N) – 1
MCD y MCM I Si: A = 23 . 54. 32 . 11 B = 25. 53. 36. 7
MCD(A;B) = 23 . 53 . 32 MCM(A;B) = 25 . 54. 36. 7 . 11
Para el MCD
Para el MCM
o
Si A =B =Bk; k ∈ y A > B MCD D(A (A;B) ;B) =B ∴MC
Si A y B son PESI MCD D(A (A;B) ;B) =1 ∴ MC
Si MCD(A; B; C) = d
o
Si M = MCD(A; B) y N = MCD(C; D) MCD(A; B; C; D) = MCD(M; N)
Si A =B = Bk; k ∈ y A > B ∴MCM(A (A;B) ;B) = A
Si A y B son PESI ∴ MCM(A (A;B ;B)) = A x B
∴ MCD(An; Bn; Cn) = dn ; n ≠ 0 A B C d ;n ≠ 0 MCD ; ; = n n n n
S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
Si MCM(A; B; C) = P ∴MCM(An; Bn; Cn) =Pn ; n ≠ 0 A B C P ; n ≠ 0 MCM ; ; = n n n n
Si R = MCM(A; B) y T = MCM(C; D) MCM(A; B; C; D) = MCM(R; T)
Relaciones entre el MCD y MCM para dos números
ESQUEMA – FORMULARIO
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MCD y MCM II
Fracciones I S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
abc 1000
ab a bcd – a = a,bcd 999
Fracción propia: Si F = a ⇒ a < b
0,abc =
a,bcd
Fracción impropia: Si F = a ⇒ a > b
Fracción común u ordinaria: Si F = a ⇒ b ≠ 10n; n ∈ Z+
Fracción decimal: Si F= a ⇒ b= 10n; n ∈ Z+
abcd – ab = 990
b
b
b
Fracciones II
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Relaciónn parte-todo Relació
Reducción a la unidad Si un caño llena un tanque en 4 horas, en una hora llena la cuarta parte del tanque. t anque. ESQUEMA – FORMULARIO
b
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Porcentaje I
N=100% N
a%N ± b%N = (a ± b)%N
2 descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único de: a + b – a.b % 100
2 aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un aumento único de:
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a + b + a.b % 100
Porcentaje Por centaje II II
Pv = Pc + G Pv = Pc Pc – – P P Pv = Pf Pf – – D D Las ganancias o las pérdidas generalmente son porcentajes del precio de costo. Los descuentos o las rebajas siempre son porcentajes del precio fijado f ijado o de lista.
Interés simple
I = C × r × T M = C + I
(r y T deben tener las mismas unidades)
ESQUEMA – FORMULARIO
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Exponentes Definiciones
x n = x. x . x .x .. .. .x n veces
x0 = 1, x ≠ 0
Teoremas
A R B E G L Á
xn.xm = xn+m xn xm
x –n =
x n – m , x ≠ 0
1 x ; n y x
(x ) = x x
n
n
–
m n
n
=
=
y x
n m
n
10
a
=
a.n b
n
a n b
=
n
mn
=
n
x
n
m
a a.b
a b
m
a b c
x
xd
e
x f
=
ac.e
x(
bc+d) e+f
(x.y)n = xn.yn; (xa.yb)n = xan.ybn n
=
p
x
m.n
n m
x y
=
xn yn
n
xa b y
=
x a.n ; y ≠ 0 y b.n
n
am /n = am
ESQUEMA – FORMULARIO
x a = x b ⇒ a = b; ∀x
x a = y a ⇒ x = y; ∀x ≠ 0
xx
=
≠ 0,1
y y ⇒ x = y; ∀x ≠ 0; 0;1
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Polinomios
[F(x) ± G(x G(x))]° se toma el grado mayor entre e ntre GA(F) y GA(G) o
OPERACIONES CON GRADOS
F(x) se restan los GA(F) – GA(F) – GA(G) GA(G) G(x) [F(x).G(x)]° se suman los GA(F) + GA(G) F(x)
n
o
se multiplica el valor de n × GA GA[F(x) [F(x)]]
POLINOMIOS
∑coef = P(1)
#términos = GA + 1; para todo polinomio completo
T.I. = P(o)
GA = GR(x) + GR(y GR(y); ); para todo monomio de 2 variables variabl es P(x;y) = 6x 8 y5 + 3x4y6 – – 8x 8x 5 y 8 + 10xy 9
13
10
13
10
A R B E G L Á
⇒ GR(x)
= 8 ⇒ GR(y) = 9 ⇒ GA = 13
Polinomio ordenado: ord enado: P(x) P(x) = axm + bxn + cx p + d; m > n > p > 0 decreciente
Polinomio completo: comp leto: P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + .... + an
3 2 – 8xy 2 + y3 Polinomio homogéneo: homo géneo: P(x; y) = 3x 8xy + 5x y – GA = 3 = 3 = 3 = 3 Polinomios idénticos: P(x P(x)) = ax2 + bx + c ⇒ a = 2; b = 3; c = 4 P(x) ≡ Q(x) Q(x) = 2x2 + 3x + 4
Polinomio nulo: P(x) = ax2 + bx + c (P(x) ≡ 0)
⇒
a = 0; b = 0 c = 0
ESQUEMA – FORMULARIO
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Productos notables Binomio al cuadrado 1. (a + b) b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b – b))2 = a2 – 2ab – 2ab + b2 Identidad Legendre 2. (a + b) b)2 + (a (a – b – b))2 = 2(a 2(a2 + b2) (a + b) b)2 – ( – (aa – b – b))2 = 4ab (a + b) b)4 – ( – (aa – b – b))4 = 8ab(a2 + b2)
A R B E G L Á
Binomio cubo 3. (a + b) b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b – b))3 = a3 – 3a – 3a2b + 3ab2 – b – b3 (a + b) b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) b) (a – b – b))3 = a3 – b – b3 – 3ab(a – 3ab(a – – b b)) Diferencia de cuadrados 4. (a + b)(a – b)(a – b b)) = a2 – b – b2 (am + bn)(a )(am – b – bn) = a2m – b – b2n Suma y diferencia de cubos 5. (a + b)(a2 – ab – ab + b2) = a3 + b3 (a – b)(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b – b3 Multiplicación de 2 binomios con 1 término en común 6. (x + a)(x + b) b) = x2 + (a (a + b)x + a.b Multiplicación de 3 binomios con 1 término en común 7. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a (a + b + c)x c)x2 + (ab + ac + bc)x + a.b.c. Trinomio al cuadrado 8. (a + b + c) c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
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ESQUEMA – FORMULARIO
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Trinomio al cubo 9. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) c) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) – bc) – 3abc 3abc Igualdades Igualdades condicionales Si: a + b + c = 0 Se verifican: –2(ab + ac + bc) • a2 + b2 + c2 = –2(ab • a3 + b3 + c3 = 3abc → importante 2(a4 + b4 + c4) • (a2 + b2 + c2)2 = 2(a
División algebraica Identidad fundamental D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)
A R B E G L Á
Grados Grados[Q(x)] = Grado[D(x) Gr ado[D(x)]] – Grado[d(x)] – Grado[d(x)] Máx Grado[R(x)] = Grado[d(x)] – Grado[d(x)] – 1. 1. Clasificación E xacta: R(x) R(x) = 0 División Exacta:
División Inexacta: Inexac ta: R(x) R(x) ≠ 0
Teoma del resto r esto Si P(x) P(x) es dividido divi dido por x – x – b, b, entonces el resto de la división es P(b). Es decir dec ir R(x) R(x) = P(b)
ESQUEMA – FORMULARIO
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Factorización I. Factor común P(a; b) = ab + ac P(a; b) = a(b + c) c) 2 factores primos II. Por agrupación P(x; y; z) = x2 + xy + xz + yz + x + y = x(x + y) + z(x + y) + (x + y) = (x + y) (x + z + 1) 1)
A R B E G L Á
III. Identidades – b b2 = ( (aa + b) (a – (a – b b)) a2 – – b b2n = ( (aam + bn) (a (am – – b bn) a2m – (aa + b)(a2 – – ab ab + b2) a3 ± b3 = ( (aam ± bn)( )(aa2m – – a ambn + b2n) a3m ± b3n = ( (aa ± b b))2 a2 ± 2ab + b2 = ( IV. Criterio de las aspas P(x) = Ax 2n + Bxnym + Cy2m a1 x n c1ym a2xn c2ym Luego: P(x) = (a (a1xn + c1ym)(a )(a2xn + c2ym)
Ejemplo: Factoriza P(x): x2 – 2x – 2x – – 35 35 = 0 x –7 –7 x +5 P(x) = (x – (x – 7)(x 7)(x + 5) 2 factores primos
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ESQUEMA – FORMULARIO
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En general: Si: P(x) = axa(x – (x – a a))b(x – (x – b b))g → # factores primos = 3 = x; (x – (x – a); a); (x – (x – b b)) → # factores totales = (a (a + 1)(b + 1)(g + 1) 1) → # factores algebraicos algebraicos = (a (a + 1) (b + 1) (g + 1) 1) – 1 – 1
Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de primer grado: ax + b = 0; a ≠ 0 Es una igualdad condicional que se verifica para valores particulares asignados a sus incógnitas, llamadas soluciones o raíces. Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones I. Ecuación compatible Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución, es decir admite solución; esta a su vez podrá ser:
A R B E G L Á
1. Ecuación compatible determinada Es aquella que tiene un número limitado de soluciones. (a ≠ 0 0)) 2. Ecuación compatible indeterminada Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones; también se dice que la solución x ∈ . a = 0 ∧ b = 0 II. Ecuación incompatible Es aquella que no admite solución; también se dice que la solución x ∈ ∅; frecuentemente se le da el nombre de ecuación absurda o ecuación inconsistente. a = 0 ∧ b ≠ 0 Ecuación compatible c ompatible determinada: {r} {r} Ecuación compatible indeterminada: C.S. = Ecuación incompatible: C.S. = { } [C.S = ∅] ESQUEMA – FORMULARIO
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Planteamientos I Definición El planteamiento de una ecuación consiste en traducir un problema dado en forma de enunciado, a un lenguaje simbólico; es decir, al interpretar correctamente el enunciado dado se podrá transformar este en una ecuación de una o más incógnitas. lenguaje escrito
A R B E G L Á
lenguaje matemático
"x" excede a "y" en 10
x – y – y = 10
El exceso de "p" sobre "q" es 20
p – q – q = 20
"x" es a "y" como 5 es a 8
x=5 y 8
"x" es dos veces "y"
x = 2y
"x" es dos veces más que "y"
El cubo de un número aumentado en 17 .
x3 + 17
La suma al cubo de un número aumentado en 6.
(x + 6)3
Un número disminuido en sus tres octavos.
x – 3 x 8
El triple de un número aumentado en 42.
3x + 45
x = y + 2y ⇒ x = 3y
Problemas sobre ecuaciones Si bien no existe una regla general para resolver este tipo de problemas, te vamos a proporcionar algunos pasos que te van a ayudar a su solución: Lee detenidamente el problema, hasta familiarizarte con él. Haz un esquema, si es necesario, para aclarar la situación. hallar. Haz una lista de datos conocidos y otra de los que se quiere hallar. d e una variable, generalmente "x". Representa el término desconocido por medio de Expresa la situación descrita en el problema en lenguaje matemático. Resuelve la ecuación. 16
ESQUEMA – FORMULARIO
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Ecuaciones Ecuacio nes cuadráticas c uadráticas 1. Sea la forma general: ax2 + bx + c = 0 ∧ a ≠ 0.
Suma de raíces:
Producto de raíces:
Suma de las inversas:
Raíces simétricas:
– b a c a – bc b = 0
Raíces recíproc recíprocas: as:
a = c
Raíz nula:
c = 0 A R B E G L Á
Reconstrucción de ecuación de 2do. grado donde x1 ∧ x2 son raíces. x2 – – (x (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
También: x2 – – Sx Sx + P = 0 Donde: S = suma de raíces P = producto de raíces
2. Naturaleza de las raíces: La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática depende del valor de su discriminante, así:
Sí ∆ > 0: Las raíces son reales y diferentes.
Sí ∆ = 0: Las raíces son reales e iguales. (Solución única)
Sí ∆ < 0: Las raíces son complejas y conjugadas. Donde ∆ = b2 – – 4ac 4ac es el discriminante.
ESQUEMA – FORMULARIO
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Planteamientos II Problema Yoo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero Y cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de d e 63 años. Calcula la suma de las edades actuales. Solución: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías"
A R B E G L Á
"Cuando yo tenía la edad que tú tienes
Aplicando el criterio de las sumas en aspa: x = 2k 2y = 3x ⇒ x = 2 ⇒ y = 3k y 3 Reemplazamos en el cuadro:
"Cuando tengas la edad que tengo la suma de nuestras edades será 63 años"
suma = 63 Del cuadro: 5k + 4k = 63 ⇒ k = 7 Luego las edades actuales son: Yo: 4(7) = 28 años Tú: 3(7) = 21 años Rpta: la suma de las edades actuales es: 28 + 21 = 49 años 18
ESQUEMA – FORMULARIO
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Función lineal, cuadrática y aplicaciones Función lineal Es la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una línea recta. y = f(x) = mx + b Dominio: Rango: m: pendiente de la recta (tangente del ángulo de inclinación) b: intercepto con el eje Y (ordenada en el origen) origen)
Si m > 0, la recta sube hacia la derecha (creciente)
Si m < 0, la recta baja hacia la derecha (decreciente)
A R B E G L Á
Para hallar el intercepto con el eje X debemos d ebemos hacer: f(x) = 0 Función constante Si: m = 0 → f(x) = b Su gráfica es una recta paralela al eje X que X que pasa por el punto (0; b)
ESQUEMA – FORMULARIO
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Función de identidad f(x)) = x. Su gráfica gráfic a es una recta rect a que biseca, biseca, al I y III cuadrante Si: m = 1, b = 0 → f(x
Función cuadrática Es la función determinada por la l a siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una parábola. f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 Dominio: El vértice de la parábola es el punto: V = (h, k). Donde: A R B E G L Á
h = – b 2a
4ac – b b2 k = 4ac – 4a
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
Dom: R Ran = [k, +∞[ Mínimo valor de la función: k
Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
Dom: R Ran = ] – –∞, k] Máximo valor de la función: k
20
ESQUEMA – FORMULARIO
k = f(h)
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Triáng riángulos ulos – Líneas notables notables Propiedades
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Propiedades adicionales
ESQUEMA – FORMULARIO
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Propiedades asociadas a las líneas notables
3. Ángulo formado por las bisectrices exteriores.
1. Ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior. x = 90 90 – –
S β x= A 2 D I D E 2. Ángulo formado por las bisectrices M interiores. Y A Í R T β E x = 90 + 2 M O E G
22
Triángulos rectángulos notables
ESQUEMA – FORMULARIO
2
4. Ángulo formado por una bisectriz y una altu altura ra que part parten en en un mismo vértice.
Triángulos notables
β
α – β x= 2
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Triángulos rectángulos notables
Triángulos rectángulos aproximados
Razones trigonométricas de ángulos agudos
Senα =
CO H
=
a c
CA b = CO a H c Secα = = CA b H c Cscα = = CO a Cotα =
C.A b = H c CO a Tanα = = CA b
Cosα =
De aqui se deduce:
Tanα =
Senα ; Cosα
Cotα =
Cosα Senα
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Propiedad Razones trigonométricas recípocras Sen α.Cscα = 1 Cosα.Secα = 1 Tanα.Cotα = 1 Razones trigonométricas complementarias Sen α = Cosβ → a + b = 90° Tanα = Cotβ → a + b = 90° Sec α = Cscβ → a + b = 90° No olvides que: α <
90° y β < 90° ESQUEMA – FORMULARIO
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Cuadriláteros I
S A D I D E M Y A Í R T E M Trapecio escaleno O E G
Cuadriláteros II Propiedades: Trapecios M = a+b 2
Trapecio rectángulo
α + β = 180° θ + γ = 180°
Trapezoide Trapecio isósceles
α + β + θ + γ = 360° 24
ESQUEMA – FORMULARIO
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Circunferencia I
Circunferencia II
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Ángulos en la circunferencia circ unferencia
ESQUEMA – FORMULARIO
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Ángulos en la circunferencia circ unferencia Se cumple: L = θr 0 < θ < 2π
θ:
Radianes
Polígonos Convexos
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
No convexos
Equiángulos
n(n – – 3) 3) #D = n(n 2 S e = 360°
Equiláteros
Regulares
s i = 180°(n 180°(n – – 2) 2)
e
= 360° n
180°(n – – 2) 2) = 180°(n n c = 360° n i
n(n – – 1) 1) #DM = n(n 2
Relaciones Relacio nes métricas métr icas ayb c h m, n
1. c2 = a2 + b2 1. c 2. h 2. h2 = m.n 3. ch 3. ch = ab 26
ESQUEMA – FORMULARIO
: : : :
Catetos Hipotenusa Altura Proyecciones de los catetos
4. a 4. a2 = mc, b2 = nc 5. 12 + 12 = 12 a b h
ACADEMIAS
Áreas triangulares
Relación de áreas triangulares
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Para triángulos semejantes:
A B
=
a2 x2
b2 = y2
ESQUEMA – FORMULARIO
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Áreas cuadrangulares
S A D I D E M Relación de áreas cuadrangulares Y A Í Para todo cuadrilátero: R T E M O E G
X=
A TOT 2
A × C = B × D
Para trapecios:
A 2 = BC
x=
28
ESQUEMA – FORMULARIO
A T 2
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Para paralelogramos:
x = y +z
x=
A TOT 2
Observación:: Observación
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Áreas circulares
A = πR 2
R 2θ π ASC(PQ) = –A∆POQ 360°
ESQUEMA – FORMULARIO
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Relación de áreas circulares:
R 2θ π A = 360
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
A = π(R 2
–
r 2) ó A =
π (PQ)2 4
Áreas circulares Propiedades
B.
A. A = B
C.
30
ESQUEMA – FORMULARIO
