FMI01 Analisis Vektor

I. Analisis Vektor 1.1. Pengertian Vektor Dalam sains dan teknik sering kita jumpai besaran yang hanya memiliki besar seperti: massa, waktu dan temperatur  dinamakan skalar Namun ada sejumlah besaran lain yang lebih menarik, menarik, besaran ini disamping disamping memiliki besar juga memiliki arah, misalnya: kecepatan, percepatan, gaya, momentum dan momentum sudut  dinamakan vektor Vektor diberi simbol dalam cetak tebal (bold): V

atau kadang-kadang dengan suatu panah di atasnya: V r

Penjumlahan:

B

A C

C = A + B

Penjumlahan vektor  komutatif: A + B = B + A

M. Hikam, Fisika Matematika I: Analisis Vektor

2

Contoh di dunia nyata:

F1

F2

F3

Dalam keadaan keseimbangan: F3 = F1 + F2 Untuk melakukan pengurangan suatu vektor: Tambahkan vektor tersebut dengan arah sebaliknya: A − B = A + (−B) B

B A−B

A


3

Vektor dapat dinyatakan dalam vektor satuan ( xˆ , yˆ dan zˆ ). z zˆ yˆ

xˆ x

Disini xˆ : vektor yang mengarah ke sumbu x positif dan bernilai satu satuan yˆ : vektor yang mengarah ke sumbu y positif dan bernilai satu satuan zˆ : vektor yang mengarah ke sumbu z positif dan bernilai satu satuan z A z

( A A x, A , A z) A A x

α A x, A ,0

x


4

Besaran A x, A y, A z merupakan komponen A, yakni merupakaan proyeksi A. Besar A dinyatakan A (cetak miring) atau kadang-kadang dituliskan sebagai | A|. A x = A cos α A y = A cos β A z = A cos γ

Dalam notasi vektor satuan: A = A x xˆ + A y yˆ + A z zˆ Jelas bahwa: 2 2 2 ½ A = ( A A x + A y + A z ) Contoh operasi: A = 7 xˆ + yˆ + 5 zˆ B = 2 xˆ − 3 yˆ − 5 zˆ Maka A + B = 9 xˆ − 2 yˆ Sedangkan A − B = 5 xˆ + 4 yˆ + 10 zˆ Latihan: carilah besar vektor-vektor ini! Lihat juga latihan 1.1.1 s/d 1.1.11


5

1.2. Operasi Vektor Elementer (dot dan dan cross product ) Disamping operasi penjumlahan dan pengurangan, di Fisika dikenal juga operasi perkalian yakni kali titik ( dot ), masing-masing product ) dan kali silang (cross product ), berkaitan dengan relasi relasi fisika fisika yang sesuai. Tergantung fenomena yang sesuai, hasil kali dua vektor dapat menghasilkan vektor lain atau suatu skalar. 1.2.1. Perkalian Titik atau Skalar ( dot or scalar product ) Hasil kali dua vektor ini menghasilkan suatu skalar, contoh: Kerja yang merupakan hasil kali antara gaya dan lintasan. F

= F•S W = S

Simbol berkalian • disebut dot.

z

A z Proyeksi vektor A pada sumbu koordinat merupakan hal khusus hasil kali A dengan masing-masing vektor satuan: A x = A cos α ≡ A• xˆ , A y = A cos β ≡ A• yˆ , α A x A z = A cos γ ≡ A• zˆ ,

A x, A , A

A x, A ,0

x M. Hikam, Fisika Matematika I: Analisis Vektor

6

Karena proyeksi merupakan linear, maka hasil kali skalar dari dua vektor adalah linear, yakni memenuhi kaidah distributif dan asosiatif: A•(B+C) = A•B + A•C A•(aB) = (aA)•B = aA•B dengan a merupakan suatu bilangan. Sekarang bila A = A x xˆ + A y yˆ + A z zˆ dan B = B x xˆ + B y yˆ + B z zˆ Maka: A•B = A•( B x xˆ + B y yˆ + B z zˆ ) = B x A• xˆ + B y A• yˆ + B z A• zˆ = B x A x + B y A y + B z A z Jadi secara simbolik: A•B = ∑ Bi Ai = ∑ Ai Bi = B•A i

i

terdapat sifat komutatif.

z

Dapat juga dikatakan: B A•B = AB cos θ

dengan θ sudut antara vektor A dan B.

θ

A y


7

Selanjutnya: xˆ • xˆ = yˆ • yˆ = zˆ • zˆ = 1 dan xˆ • yˆ = xˆ • zˆ = yˆ • zˆ = 0 Latihan: 1. Dua buah vektor A = 6 xˆ + 4 yˆ + 3 zˆ B = 2 xˆ − 3 yˆ − 3 zˆ Carilah sudut antara dua vektor ini?? 2. Lihat latihan 1.3.4, 1.3.5 Catatan: Jika A•B = 0 maka m aka sudut diantaranya 90o atau 270o dengan perkataan lain A & B saling tegak lurus. Hal yang sama berlaku bila A & B saling tegak lurus maka A•B = 0. 1.2.2. Perkalian Silang atau Vektor ( cross or vector product ) Bentuk kedua dari perkalian vektor adalah kali silang, yang hasilnya merupakan vektor juga. Contoh Fisika kasus ini adalah momentum angular: L r


L = r×

8

disini L: momentum angular p: momentum r: lengan Contoh-contoh yang lain Torsi: = r×F (torsi, posisi dan gaya) Gaya Lorentz: F = q v×B

(gaya, muatan, kecepatan dan medan magnet) Secara grafik dapat diungkapkan: A B

B

θ A

Hasil kali vektor C = A B tegak lurus pada A dan juga pada B. Disini C = = AB sin θ M. Hikam, Fisika Matematika I: Analisis Vektor

9

Perkalian silang anti komutatif: A B = −B A Dari pengertian hasil kali silang, dapat ditulis: xˆ × xˆ = yˆ × yˆ = zˆ × zˆ = 0 sementara itu: xˆ × yˆ = zˆ ; yˆ × zˆ = xˆ ; zˆ × xˆ = yˆ dan yˆ × xˆ = − zˆ ; zˆ × yˆ = − xˆ ; xˆ × zˆ = − yˆ Gabungan penjumlahan dan kali vektor: A×(B+C) = A×B + A×C (A+B) ×C = A×C + B×C A×(aB) = (aA) ×B = aA×B dengan a merupakan suatu bilangan. Secara determinan: xˆ

yˆ

zˆ

C = A x A y A z B x B y B z

C x = A y B z − A z B y, C y = A z B x − A x B z, C z = A x B y − A y B x,

Latihan: Dua vektor A A = 7 xˆ + yˆ + 5 zˆ dan B = 2 xˆ − 3 yˆ − 5 zˆ Carilah hasil kali skalar dan vektor. Soal-soal 1.4.1, 1.4.4, 1.4.5, 1.4.7. etc. M. Hikam, Fisika Matematika I: Analisis Vektor

10

1.2.3. Perkalian Triple Di Fisika sering ditemui perkalian triple seperti: A•(B×C) dan A×(B×C) Perkalian A•(B×C) disebut perkalian triple skalar karena menghasilkan suatu skalar, seringkali dituliskan sebagai A•B×C, tanpa kurung dengan pengertian operasi × dilakukan terlebih dahulu. Bila dievaluasi: B yC z − B zC y) + A y( B B zC x − B xC z) + A z( B B xC y − B yC x) A•(B×C) = A x( B = B•(C×A) = C•(A×B) = − A•(C×B) = − C•(A×B) = − B•(A×C) Petunjuk mengingat, lihat urutan: B A

C

Yang mengikuti panah bertanda positif, sebaliknya negatif

Dapat juga disimpulkan: A•(B×C) = (A×B)•C Untuk penyingkatan, boleh ditulis: A•B×C = A×B•C Dalam bentuk determinan: A x

A y

A z

A•B×C = B x

B y

B z

C x

C y

C z


11

Ternyata A•B×C merupakan volume paralelepipedum yang dibentuk oleh vektor-vektor A, B dan C.

A

C

B

Contoh soal: Carilah volume paralelepipedum yang dibatasi oleh vektorvektor: A = xˆ + 2 yˆ − zˆ B = yˆ + zˆ C = xˆ − zˆ (Jawab: 4) Di Fisika, perkalian triple skalar ini sering digunakan dalam kristalografi untuk mencari vektor balik. Pelajari sendiri perkalian triple vektor: A×(B×C) = B(A•C) − C(A•B) (Bukti lihat di halaman 28-29 Arfken). Latihan: 1.5.4, 1.5.5, 1.5.6 etc.


12

1.3. Diferensiasi vektor (gradien, divergensi dan curl) 1.3.1. Gradien, ∇ x y Anggap ϕ ( x , y z , z) merupakan suatu fungsi skalar. Karena skalar maka invarian (tidak berubah) dalam rotasi koordinat, dengan perkataan lain: ϕ ′( x x′ y ,y′ z ,z′) = ϕ ( x x y ,y z ,z) (aksen menunjukkan pada sistem koordinat yang lain).

Sebut x y , y z , z sebagai x1, x2, x3, diferensiasikan fungsi tersebut terhadap x′1, diperoleh: ∂ϕ ' ( x'1 , x'2 , x'3 ) ∂ϕ ( x1, x2 , x3 ) ∂ϕ ∂ϕ ∂ x j = = ∑ = ∑ a j ∂ x'i ∂ x'i ∂ x'i j ∂ x j ∂ x'i j Hal ini menyerupai transformasi vektor (Arfken, page 11), jadi komponen ∂ϕ /∂ x j merupakan vektor yang disebut sebagai gradien ϕ dengan dengan simbol ∇ϕ . ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ + yˆ + zˆ ϕ = xˆ ∂ x ∂ y ∂ z atau ∂ ∂ ∂ = xˆ + yˆ + zˆ ∂ x ∂ y ∂ z ϕ dibaca dibaca del ϕ atau atau gradien ϕ merupakan merupakan vektor, sementara ϕ sendiri merupakan skalar. Contoh: Gradien dari suatu fungsi r : f (r ) = f ( x 2 + y 2 + z 2 )


13

∂ f (r ) ∂ f (r ) ∂ f (r ) + yˆ + zˆ f (r ) = xˆ ∂ x ∂ y ∂ z pada x, f (r ) tergantung pada x melalui ketergantungan r pada jadi: ∂ f (r ) df (r ) ∂r = ∂ x dr ∂ x

Karena r = = x 2 + y 2 + z 2 , maka ∂r x x = = ∂ x ( x 2 + y 2 + z 2 )1 / 2 r ∂r y ∂r z dengan cara serupa didapat = dan = sehingga: ∂ y ∂ z r r 1 df (r ) f (r ) = ( xˆ x + yˆ y + zˆ z) r dr

=

r df ( r )

r dr df ( r ) = rˆ dr

r

rˆ merupakan vektor satuan ( ) pada arah radial positif. r Contoh kasus untuk f (r ) = r , maka: = rˆ r =

Contoh lain: 1 1 = − rˆ r

2 r

Latihan: carilah ϕ bila bila ϕ = 2 xy + z2


14

Interpretasi geometris Tinjau dahulu vektor radial: r = xˆ x + yˆ y + zˆ z diferensial vektor ini: d r = xˆ dx + yˆ dy + zˆ dz Dikalikan secara dot dengan suatu gradien: ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ (∇ϕ )•d r = dx + dy + dz ∂ x ∂ y ∂ z Sekarang kita lihat suatu permukaan tertentu dengan persamaan ϕ ( x x y ,y z ,z) = C, konstan. Katakanlah titik P dan Q berada di permukaan tersebut tersebut pada jarak d r, perubahan pada ϕ : ϕ = (∇ϕ )•d r = 0 d ϕ Hal ini berarti (∇ϕ ) tegak lurus pada permukaan. z

∇ϕ

ϕ( x x, y y, z z) = C Q

P

d r


15

Gradien sangat penting di Fisika dalam menyatakan hubungan antara gaya dengan potensial. medan gaya = −∇(potensial) E = −∇V

Misal untuk medan gravitasi dan medan listrik. Potensial listrik: q V (r ) = k r

Medan listrik: q E = −∇V = k rˆ 2 r

1.3.2. Divergensi, ∇• Diferensiasi suatu vektor sama mudahnya m udahnya dengan diferensiasi skalar, contoh bila r(t ) suatu vektor posisi, maka turunan terhadap waktu merupakan kecepatan: r (t + Δt ) − r (t ) r d = lim v = dt Δt Δt → 0 Hasil diferensiasi ini merupakan vektor juga. Sekarang kita ketahui bahwa ∇ merupakan operator vektor, kalau kita dotkan dengan vektor lain maka diperoleh: ∂V y ∂V z ∂V x ∇•V = + + ∂ x ∂ y ∂ z


16

Hal tersebut dikenal sebagai divergensi V, hasilnya merupakan skalar. Contoh: Hitunglah ∇•r Jawab: ∂ ∂ ∂ + yˆ + zˆ )•( xˆ x + yˆ y + zˆ z) ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z = + + ∂ x ∂ y ∂ z =3

∇•r = ( xˆ

Kalau diperumum ∂ ∂ ∂ ∇•r f (r ) = [ xf )] + [ yf )] + [ zf )] xf (r )] yf (r )] zf (r )] ∂ x ∂ y ∂ z = 3 f (r ) +

2 x df

r dr df = 3 f (r ) + r dr Pelajari jika f (r ) = r n−1

+

y

2

df

r dr

+

z

2

df

r dr

Interpretasi Fisis dari Divergensi Untuk melihat makna fisis dari divergensi vektor, kita lihat kasus real dalam dinamika fluida.


17

Sekarang tinjau elemen volume yang dilewati aliran: Anggap fluida mengalir dari sumbu x-negatif ke x-positif menembus kotak pada bidang EFGH dan keluar pada bidang ABCD z

G

H

D

C E

dz

F

y

dx dy

A

B

x

Yang akan kita evaluasi ∇•( ρ v) dengan ρ merupakan merupakan kerapatan pada titik x, y y,z dan v merupakan kecepatan cairan. Dalam hal ini biasanya di fluida dikenal istilah debit aliran atau laju aliran yang berarti massa per satuan waktu. Laju aliran yang masuk melalui permukaan EFGH: dm dt x =0

=

ρ dxdydz dt

= ρ v x| x x=0 dy

dz

x = 0

Sementara laju keluar dari ABCD: (Laju aliran keluar)ABCD = ρ v x| x x=dx dy dz ∂ = [ ρ v x + ( ρ v x)dx] x=0 dy dz ∂ x M. Hikam, Fisika Matematika I: Analisis Vektor

18

Jadi laju bersih ( net rate) aliran keluar pada x: ∂ ( ρ v x) dx dy dz ∂ x Hal yang sama sebenarnya dapat diperoleh dengan cara diferensial biasa: ρ v x ( Δ x,0,0) − ρ v x (0,0,0) ∂ ( ρ v x ( x, y, z )) = lim Δ x ∂ x Δ x → 0 0,0,0 Hal yang serupa pada y dan z, sehingga laju bersih ( net rate) aliran keluar: ∂ ∂ ∂ = [ ( ρ v x) + ( ρ v y)+ ( ρ v z) ]dx dy dz ∂ y ∂ z ∂ x = ∇•( ρ v) dx dy dz Persatuan elemen volume menjadi: ∇•( ρ v). Dari hal tersebut makna fisis ∇•( ρ v) adalah jumlah aliran keluar persatuan waktu persatuan volume. Penggunaan langsung pada persamaan kontinuitas: ∂ ρ + ∇•( ρ v) = 0 ∂t Bukan hanya pada fluida, divergensi muncul pada kasuskasus fisika lainnya mulai dari kerapatan arus probabilitas pada Mekanika Kuantum Kuantum sampai kebocoran netron netron pada reaktor nuklir. Kasus pada medan magnet ∇•B = 0, dalam hal ini vektor B disebut solenoidal.


19

Latihan: ∇•V 1. Buktikan ∇•( f f V) = (∇ f )•V + f ∇• 2. Lihat soal-soal 1.7.1. s/d 1.7.6 pada hlm. 42 Arfken 1.3.3. Curl, ∇× Hal lain operasi yang mungkin dengan ∇ adalah dengan membuat cross pada vektor lain. xˆ

yˆ

zˆ

∂ ∇×V = ∂ x

∂ ∂ y

∂ disebut curl V. ∂ z

V x

V y

V z

Dapat dibuktikan: ∇×( f ∇×V + ∇ f ×V f V) = f ∇× Contoh: xˆ

yˆ

zˆ

∂ ∇×r = ∂ x

∂ ∂ y

∂ = 0 ∂ z

x

y

z

Dari hal tersebut dengan mudah dibuktikan: ∇×r f (r ) = f ∇×r + [∇ f ]×r = 0 +

df dr

rˆ ×r = 0

Pelajari sendiri makna fisis curl dalam buku Arfken. Apabila ∇×V = 0 maka V disebut vektor irrotasional, contoh pada vektor medan gravitasi dan medan listrik statis. M. Hikam, Fisika Matematika I: Analisis Vektor

20

1.3.4. Operasi ∇ Berturutan Dengan menggunakan gradien, divergensi dan curl, operator ∇ dapat membentuk beberapa kombinasi: - ∇•∇ϕ - ∇×∇ϕ - ∇•∇×V - ∇∇•V - ∇×(∇×V) Sekarang kita lihat ekspresi pertama ∇•∇ϕ yakni yakni divergensi dari suatu gradien disebut juga Laplacian ϕ dengan simbol ∇2ϕ . ∇•∇ϕ = ∇2ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ + yˆ + zˆ )• ( xˆ + yˆ + zˆ ) = ( xˆ ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z =

∂ 2ϕ ∂ x 2

+

∂ 2ϕ ∂ y 2

+

∂ 2ϕ ∂ z 2

Sering kita temui pada potensial elektrostatis ∇2ϕ = = 0. Ekspresi kedua ∇×∇ϕ : curl dari suatu gradien xˆ

∇×∇ϕ =

yˆ

zˆ

∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ y ∂ z ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ x ∂ y ∂ z


21

dengan evaluasi determinan tersebut: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ) + yˆ ( ) + zˆ ( ) ∇×∇ϕ = xˆ ( − − − ∂ y∂ z ∂ z∂ y ∂ z∂ x ∂ x∂ z ∂ x∂ y ∂ y∂ x =0 Jadi curl dari suatu gradien pasti nol. Hal yang serupa dapat dibuktikan (buktikan sendiri!!) ∇•∇×V = 0 Dua ekspresi yang terakhir memenuhi: ∇×(∇×V) = ∇∇•V ∇•∇V Contoh kasus Fisika: Persamaan Gelombang Elektromagnetik Dalam vakum persamaan Maxwell dapat ditulis: Disini: (1) ∇•B = 0 B: induksi magnetik (2) ∇•E = 0 E: medan listrik ∂E (3) ∇×B = ε 0μ 0 ∂t ∂B (4) ∇×E = − ∂t Ambil turunan waktu untuk persamaan (3): ∂B ∂ 2E ∇× = ε 0μ 0 ∂t ∂t 2 dan gabung dengan persamaan (3): ∂ 2E ∇×(∇×E) = −ε 0μ 0 ∂t 2 Dari hal ini didapat: ∂ 2E (persamaan gelombang e.m.) ∇•∇E = ε 0μ 0 2 ∂t M. Hikam, Fisika Matematika I: Analisis Vektor

22

FMI01 Analisis Vektor

Recommend Documents