ANALISIS VEKTOR Beberapa Terapan Perkalian Vektor di Fisika Usaha : Gaya kali Pergeseran Jika sebuah benda dikenai gaya (F) mengakibatkan benda meng mengal alam amii per perges geseran eran posi posis si (r), (r), mak maka usah usaha a (W) (W) yang yang dilakukan dilakukan dapat dinyatakan sebagai = F r cos θ = F ⋅ r
…(2.3) dengan θ adal adalah ah sudu sudutt anta antara ra vekt vektor or gaya gaya deng dengan an vekt vektor or pergeseran. W
F
F
dr r
Gambar 2.
Gambar 2.2
!umus umus di atas atas berl berlak aku u untuk ntuk gaya gaya F konst onstan an seper seperti ti pada pada gamb gambar ar 2.. .. "ntu "ntuk k gaya gaya yang ang tida tidak k kons onstan tan sepe sepert rtii pada pada gambar 2.2, maka se#ara umum berlaku dW = W=
F⋅
dr
…(2.$)
∫ F. dr
Torque atau Momen terhadap suatu titik
%ari Fisika dasar telah diketahui bah&a besarnya momen sama dengan gaya dikalikan lengan. "ntuk arah gaya dan lengan yang sembarang (gambar 2.3), se#ara umum dapat dituliskan ( = F r sinθ
…(2.)
(= F ' r
F
r
r sin
Gambar 2.3
Kecepatan sudut
*ada gerak melingkar (gambar 2.$), ke#epatan translasi sama dengan ke#epatan sudut dikalikan +e+ari dengan arah tegak lurus bidang lingkaran. e#ara umum dapat dituliskan v = v =
ωr
ω
sinθ
…(2.-)
' r
v
r
θ
Gambar 2.$ Momen terhadap garis
Jika momen terhadap suatu titik merupakan besaran vektor, maka momen terhadap garis merupakan besaran skalar yang didenisikan sebagai komponen seluruh momen searah dengan garis bersangkutan. M g = n . (F ' r) …(2./) dengan n adalah vektor satuan searah garis. L F r
O
0ontoh 1 Jika F = i + 3 + − k beker+a pada titik (,,), #arilah momen gaya F terhadap garis L = (3i + 2k ) + ( 2i − 2 j + k ) t Ja&ab 1 %i#ari momen terhadap suatu titik pada garis , misalnya (3,,2) sehingga +arak antara titik tangkap gaya dengan titik tersebut adalah r 4 (52,,5). omen terhadap titik tersebut
i + k r×F = − 2 − = 2i− +3 −/k 3 − dan momen terhadap garis adalah n ⋅ ( r × F) = ( 2i − 2 + + k) ⋅ ( 2i − 3 + − /k) = 3
Tugas . Gaya F 4 2 i 6 3 + 7 k beker+a pada titik (,,2), 0arilah momen gaya terhadap a). titik asal b). sumbu y #). garis '82 4 y8 4 98(52) 2. ebuah gaya dengan komponen (,2,3) beker+a pada titik (3,2,). 0arilah momen terhadap titik asal dan ketiga sumbu koordinatnya. 3. ebuah daun pintu diran#ang bebas bergerak searah sumbu ' dan sumbu y dengan engsel terpasang pada sumbu 9. Jika pegangan pintu berada pada (,,) dan anda mendorong pintu dengan gaya (,2,), #arilah momen gaya terhadap sebuah engsel yang terpasang pada (,,). :entukan pula momen gaya dorong pintu terhadap sumbu pintu. Diferensial Vektor Jika A 4 i ;' 7 ;y 7 k ;9, dimana ;', ;y dan ;9 merupakan
…(3.)
"ntuk perkalian vektor baik untuk hasil kali vektor dengan suatu konstanta, hasil kali skalar dan vektor antara dua vektor, rumusan di
…(3.2)
0ontoh 1 Gerak partikel melingkar dengan la+u tetap dapat dituliskan
r 2 = r ⋅ r = #onst.,
…(3.3)
v2 = v ⋅ v = #onst.
>ita di
…(3.$)
Jika r ! " 4 didi
r
a
r ⋅ a = − v2
or
r a
r a ( − )
2
= − v . or a =
v2 r
…(3./)
*ada koordinat polar, vektor satuannya terdiri vektor satuan searah r yaitu er dan vektor satuan searah θ yaitu e ! Aubungan vektor satuan ini dengan vektor satuan pada koordinat >artesius diberikan oleh er = i #osθ + + sinθ
= − i sin + j cos :urunan vektor satuan tersebut tehadap t adalah e
der dθ dθ dθ = −i sinθ + + #osθ = eθ , dt dt dt dt deθ dθ dθ dθ = −i #osθ − + sinθ = −er . dt dt dt dt 0ontoh 1 %iberikan ; = ;r er + ;θ eθ , di
...(3.8) ...(3.9)
...(3.10)
mana ;r dan ;θ adalah
dari t, #arilah d;8dt Ja&ab 1 d; dt
=
er
=
er
d; dt
d;r dt
d;r dt
+
+
;r
der dt
eθ ;r
+
eθ
dθ +
dt
d;θ dt
eθ
+
d;θ dt
;θ −
deθ dt
er ;θ
dθ dt
Tugas . isalkan vektor posisi (dengan ekornya ada di titik asal) dari partikel yang bergerak adalah , r = r( t) = t 2i − 2t+ + (t 2 + 2t)k di mana t menyatakan &aktu.
a). :un+ukkan bah&a partikel bergerak melalui titik ($,5$,@), dan kapan B b). :entukan vektor ke#epatan dan la+u partikel pada saat partikel melalui titik ($,5$,@) #). :entukan persamaan garis tangensial terhadap kurva gerak partikel dan bidang tegak lurus kurva pada titik ($,5$,@) 2. *osisi partikel pada saat t diberikan oleh persamaan r = i #ost + + sint + kt . :un+ukkan bah&a la+u dan besarnya per#epatan tetap. Gambarkan gerak partikel tersebut. 3. Gaya yang beker+a pada partikel bermuatan yang bergerak di dalam medan magnetik B adalah F = C( "#B) di mana C adalah muatan listrik partikel dan " adalah ke#epatannya. isalkan partikel bergerak pada bidang (',y) dengan B seragam berarah sumbu 9. %engan berdasarkan Aukum DD d" Ee&ton m = F , tun+ukkan bah&a gaya dan ke#epatan saling dt
tegak lurus dan keduanya memiliki besar yang tetap. $. %i dalam koordinat polar, vektor posisi partikel adalah r = r er .0arilah ke#epatan dan per#epatannya Medan, Turunan rah dan Gradien
Jika φ (',y,9) adalah suatu potensial, maka gradien dari φ dapat dituliskan sebagai ∇φ = gradφ = i
∂φ ∂φ ∂φ + + +k ∂' ∂y ∂9
…(5.1)
%engan demikian la+u perubahan φ pada arah vektor u atau yang sering disebut sebagai turunan arah dapat ditentukan berdasarkan dφ = ∇φ ⋅ u …(.2) ds
atau dφ ds
= ∇φ #osθ
%alam koordinat polar, diungkapkan sebagai ∂φ e ∂φ ∇ φ = er + θ r ∂θ ∂r
…(.3) gradien
suatu
potensial
dapat
…(.$)
Tugas . 0arilah gradien dari & = '2 y29 pada (,2,5) 2. =ermula dari titik (,), dalam arah mana
$.
0arilah turunan 9e' #osy pada (,,π83) searah dengan vektor i 7 2 . . %iberikan φ = '2 − y29 a). 0arilah gradiennya pada (,,) b). 0arilah turunan nya pada (,,) dalam arah i 62 7 k . #). :entukan persamaan garis tegak lurus permukaan φ = '2 − y29 = pada (,,). !e"erapa Pernyataan menggunakan ∇
>ita sebut ∇ sebagai operator vektor yaitu ∇ =i
∂ ∂ ∂ + + +k ∂' ∂y ∂9
…(-.) yang belum memiliki makna sis sebelum operator tersebut dioperasikan terhadap suatu
∂Vx ∂Vy ∂Vz + + ∂x ∂y ∂z
…(-.2)
Jika operator tersebut dioperasikan terhadap melalui perkalian vektor, hasilnya disebut rotasi dari atau #url yang dituliskan sebagai
∇ × F = #urlF ∂F9 ∂Fy ∂F' ∂F9 ∂Fy ∂F' = i − + + − + k − ∂y ∂9 ∂9 ∂' ∂' ∂y i
=
+
…(-.3)
k
∂ ∂ ∂ ∂' ∂y ∂9 F' Fy F9
*ernyataan lain yang tak kalah pentingnya adalah apa yang disebut sebagai apla#ian dari
∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ + + ∂x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z ∂ z
…(-.$)
%an berikut ini beberapa persamaan penting yang melibatkan operasi ∇
∇ ⋅ (φ ) = ∇ φ ⋅ ( φ ) + ∇ v ⋅ ( φ )
…(-.) ...(-.-)
∇ ⋅ (φ ) = ⋅ ∇φ ⋅ +φ ( ∇ ⋅ )
Lati$an soal
0arilah divergensi dan #url dari vektor berikut . r = 'i + y+ + 9k 2. = 9i + y+ + 'k 3. = '2i + y2 + + 92k $. = '2yi + y2'+ + 'y9 0arilah apla#ian dari medan skalar di ba&ah ini . '3 − 3'y2 + y3 -. ln('2 + y2 ) /. ('2 − y2 @. ('2 + y2 + 92 ) 8 2 #ntegral garis
Dntegral garis dapat dipahami dari #ontoh mengenai usaha yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan suatu benda dari ; ke = (gambar @.) yaitu = dr W = ∫ ; F ⋅ dr ...(@.) B A Dntegral demikian ini disebut integral F garis yang berarti integral sepan+ang kurva atau garis. arilah kita tin+au gaya yaitu Gambar @. F = 'yGi − y2G + dan F2 = '2 − y2 Gi − 2'yG + , kemudian kita hitung usaha yang dilakukan kedua gaya tersebut dari (,) ke (2,) sepan+ang lintasan ,2 dan 3 seperti tampak pada gambar (@.2) lintasan D berupa garis lurus y = ' , lintasan DD 2
berupa garis patah dari (,) ke (,) kemudian ke (2,) sedang lintasan DDD adalah garis lengkung dengan persamaan y =
y (2,1)
II
I
III (0,0)
Gambar @.2
x
2 ' . $
"saha oleh F adalah
( 2,)
∫ ( ,) ('yd' − y2dy)
W=
2
2
• intasan D, y = ' → dy = d' =
WD
2 ' ' d' − 2
∫
2 ' ⋅ d' 2 2
23 2 ' d' = @
'3 @
= ∫
WD
2
=
• intasan DD, dari (,) ke (,), W
−
2
= ∫ y dy =
y3 − 3
' = 3 → d' = 3
=−
dari (,) ke (2,) 2 ' ⋅ d' − =
W = ∫
ehingga
'2 2
2
3 y = → dy =
=2
) +2= 3 3
WDD = − $
2
• intasan DDD, y = '2 → dy = 'd' 2 '⋅
= ∫
WDDD
2
2 ' d' − '2 $ $
2
⋅ 'd'
'3 ' d' − d' $ 32 ' $ '- 2 2 = − = − = - H2 3 3
= ∫ 2
WDDD WDDD
:ampak bah&a usaha yang dilakukan F bergantung pada lintasan. arilah kita hitung usaha yang dilakukan oleh gaya F2. W
=
∫ ( ,) [('2 − y2 ) d' − 2'y dy] ( 2,)
2
2
• intasan D , y = ' → dy = d' WD
2 '2
= ∫
2 − ' d' − 2' ⋅ ' ⋅ d' 2 2 2
23 2 ' d' − $
= ∫
'2 d' = 2
2 2' $
∫
d' =
'3 2
2
= @
2
• intasan DD , dari (,) ke (,), ' 4 dan d' 4 W = ∫ ( − ) =
, dari (,) ke (2,), y 4 dan dy 4 W
3 2 @ 2 = ∫ 2( '2 − ) d' = ' − ' = − 2= 3 3 3 $
2
• intasan DDD, y = '2 → dy = 'd
WDDD
= ∫ 2 '2 − '$ d' − 2' ⋅ '2 ⋅ 'd' - $ 2 $ $ '$ 2 2 2 ' 2 ' d' = ∫ ' − − d' = ∫ ' − $
=
'3 3
−
') @
=
$ 2 −2= 3 3
:ampak bah&a usaha yang dilakukan F2 tidak bergantung pada lintasan, tetapi bergantung pada posisi a&al dan posisi akhir dari benda. Gaya$medan konser%atif
Gaya F melakukan usaha yang tidak bergantung pada lintasan, gaya demikian disebut gaya konservati<. edang gaya F melakukan usaha yang bergantung pada lintasan, gaya demikian disebut gaya non5 konservati<. "ntuk mengetahui apakah suatu gaya itu konservati< atau tidak, dapat dilakukan dengan menghitung ∇ × F , yaitu ∇ × F = untuk gaya konservati< dan ∇ × F ≠ untuk gaya non5konservati<. "ntuk #ontoh kita terdahulu
Gi +G Gk ∇ × F =
∂ ∂ ∂ ∂' ∂y ∂9
= −kG'
'y y2 3
Gi +G kG ∇ × F2 =
∂
∂ ∂
∂'
∂y ∂9
= −2y + 2y = 3
('2 − y2) −2'y 3 Jadi +elas bah&a gaya konservati< memiliki si
konservati< adalah gaya gesek, gaya magnetik dll yang memiliki si
∂W G ∂W G ∂W + + +k ∂' ∂y ∂9 ...(@.3)
Gi +G Gk
∂ ∂ ∂ G ∂2W ∂2W G ∂W ∂W G ∂2W ∂2W sehingga ∇ × ∇W = = i − +− − + k − ∂' ∂y ∂9 9∂∂ y y∂∂ 9 '∂∂ 9 9∂∂ ' '∂∂ y y∂∂ ' ∂W ∂W ∂W ∂' ∂y ∂9 ∇ × ∇ W =
...(@.$)
%engan demikian untuk gaya konservati< ∇ × F = selalu ada
=
∫ ; F ⋅ dr = ∫ ; dW = W(=) − W(;) Tafsiran &isis Teorema Di%ergensi
:eorema %ivergensi memiliki man
A′
A
v
θ n ˆ
isalkan = v ρ dimana ρ adalah kerapatan Kuida (massa +enis) dan v adalah ke#epatan aliran Kuida, maka +umlah Kuida yang mengalir mele&ati tabung dalam &aktu t menembus luas penampang ;L yang tegak lurus arah aliran adalah ( vt) ( ;L) ( ρ )
...(.2).
Jumlah Kuida yang dalam &aktu t menembus luas penampang ; yang normalnya membentuk sudut θ terhadap arah aliran adalah v
vt A ′ρ = vt ρ A cos θ
...(.3).
%engan demikian +ika Kuida mengalir dengan arah yang membuat sudut θ dengan luas penampang yang ditembusnya, maka +umlah Kuida yang menembus tiap satuan luas tiap satuan &aktu adalah G v ρ #osθ = #osθ = ⋅ n
Dnilah makna dari %ivergensi yang dapat dipahami dari ruas kanan. :eorema %ivergensi sebagai Kuks. alu bagaimana dengan ruas kiriB !uas kiri dari :eorema %ivergensi lebih dimaksudkan untuk menghitung Kuks. 0ontoh1 isalkan = Gi ' + G +y + kG9 . G dσ untuk seluruh permukaan silinder pada :entukan ∫ ⋅ n gambar .
z
a
h
y
x
G dσ se#ara langsung >ita hitung ∫ ⋅ n ˆ sehingga v ⋅ G - pada permukaan atas silinder ˆ = k n= 9= h n 2 G dσ = ∫ h dσ = hπ a sehingga ∫ v ⋅ n G dan v ⋅ n G = 9 = sehingga - pada permukaan ba&ah silinder n G=k ∫ v ⋅ nG dσ = -
pada permukaan selubung silinder '2 + y2 a2 G= = =a v⋅n a a
G = n
'Gi + yG + a
sehingga
G dσ = ∫ a dσ = a 2π ah = 2hπ a2 ∫ v ⋅ n
G dσ = hπ a2 + + 2hπ a2 = 3hπ a2 yaitu tiga kali %engan demikian ∫ v ⋅ n volume silinder.
arilah kita hitung dengan :eorema %ivergensi bah&a ∫∫∫ : ∇ ⋅ dτ = ∫ ⋅ nGdτ ∇ ⋅ = ∂' + ∂ y + ∂9 = 3 sehingga ∂' ∂ y ∂9 ∫∫∫ : ∇ ⋅ dτ = ∫∫∫ 3dτ = 3∫∫∫ d τ = 3hπ a2 yaitu tiga kali volume silinder . Jelas bah&a perhitungan dengan ruas kiri :eorema %ivergensi +auh lebih mudah dan ringkas.
