ANALISIS VEKTOR
A. PENDAHULUAN
Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran yang hanya memiliki nilai tanpa arah disebut dengan skalar. Contohnya adalah massa, muatan, kerapatan, dan temperatur. Untuk notasinya, besaran yang
⃗
dinyatakan sebagai vektor akan ditandai dengan tanda panah di atas simbolnya (
,
⃗
⃗
, dan seterusnya), sedangkan scalar dinyatakan dengan huruf biasa. Besar
(nilai) dari suatu vektor dapat dapat dituliskan atau dengan notasi skalar, A .
⃗
⃗
Gambar 1
Dalam diagram, vektor biasanya dinyatakan dengan panah. Panjang dari panah
⃗ ⃗ ⃗
sebanding dengan besar vektor dan kepala panah menyatakan arah dari vektor tersebut. Minus seperti
(yaitu
) adalah sebuah vektor dengan besar yang sama
, tetapi pada arah sebaliknya (gambar 1). Perhatikan bahwa vektor
memiliki besar dan arah, tetapi tidak mutlak menyatakan lokasi. Sebagai contoh, sebuah perpindahan sejauh 4 km ke arah utara dari Bandung
direpresentasikan dengan vektor yang sama pada perpindahan sejauh 4 km ke utara Padang (kelengkungan Bumi diabaikan). Dengan demikian vektor dapat digeser sesuka hati selama besar dan arahnya tidak diubah.
ANALISIS VEKTOR 1
Operasi vektor dapat dibagi menjadi empat kelompok:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(1) Penjumlahan dua vektor . Tempatkan ekor diperoleh jumlah vektor
+
⃗ ⃗
, pada kepala
, yaitu vektor dari ekor
hingga kepala
(gambar 2). Penjumlahan vektor bersifat komutatif sehingga jika dengan
, pada proses di atas, maka hasilnya akan tetap sama: + +
=
sehingga sehingga dapat ,
, ditukar
+
⃗
+
+
Gambar 2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Penjumlahan ini juga bersifat asosiatif: ( + +
⃗ ⃗
) + = =
+ + (
+ ) )
Untuk mengurangkan sebuah vektor (gambar 3), tambahkan kebalikannya -
= + + (-
)
⃗ ⃗ -
Gambar 3
-
(2) Perkalian dengan sebuah skalar . Perkalian suatu vektor oleh sebuah skalar k positif merupakan perkalian besar vektor oleh skalar tersebut dengan arah yang tidak berubah (gambar 4). Namun jika k negatif, arah vektor berubah
⃗ ⃗
menjadi sebaliknya. Perkalian ini bersifat distributif: k ( + +
) = k + + k
⃗ ⃗ 2
Gambar 4
ANALISIS VEKTOR 2
⃗
(3) Perkalian titik dua vektor . Perkalian titik didefinisikan oleh = AB cos θ = Ax Bx + Ay By + Az Bz
.
θ
⃗ dengan
Gambar 5
θ adalah sudut antara vektor-vektor tersebut ketika kedua ekornya
saling bertemu (gambar 5). Perhatikan bahwa
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗
menghasilkan sebuah
skalar sehingga perkalian titik ini sering juga disebut perkalian skalar.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂
Perkalian ini bersifat komutatif, dan distributif,
Secara geometri,
(
+ ) =
=
+
(atau sebaliknya perkalian B dengan proyeksi sejajar, maka
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
adalah perkalian dari A dengan proyeksi pada
= AB . Untuk sembarang vektor
= A2 Jika vektor dan
pada
). Jika dua vektor
, secara khusus berlaku
saling tegak lurus, maka
= 0
(4) Perkalian silang dua vektor . Perkalian silang didefinisikan oleh x
= (AB sin θ)
dengan
= (AyBz - Az By) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k
⃗
adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1) mengarah tegak
lurus bidang yang sisi-sisinya dibentuk oleh vektor
dan
. Namun ternyata
ada dua arah yang tegak lurus bidang tersebut, yaitu “masuk” dan “keluar”. Untuk mengatasi masalah ini, digunakanlah kesepakatan aturan tangan kanan (gambar 6d,c): jadikan keempat jari selain ibu jari agar menunjuk pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak lurus keempat jari), kemudian putar keempatnya (pada sudut terkecil) ke arah vektor kedua, maka ibu jari
⃗
menandakan arah dari perkalian silang kedua vektor tersebut. Perhatikan bahwa
× akan menghasilkan sebuah vektor sehingga perkalian silang
sering disebut dengan perkalian vektor. ANALISIS VEKTOR 3
θ
⃗
⃗
⃗ (a)
θ
⃗
(b)
(d)
Gambar 6.
(c)
(e)
⃗
⃗
x mengarah keluar bidang kertas (b) , x mengarah masuk bidang kertas (c). aturan atngan kanan untuk menentukan arah vector c (d, e)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Perkalian silang bersifat distributif, x (
x
Secara geometri,
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
+ ) = ( x
tetapi tidak komutatif (gambar 6d,e)
dan
⃗ θ
= - (
) + (
x
x )
)
adalah luas daerah jajaran genjang yang dibentuk oleh
(gambar 6). Jika kedua vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya
nol dan secara khusus
x = 0 untuk sembarang vektor
.
ANALISIS VEKTOR 4
B. PENGGUNAAN PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor dengan skalar
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
Contoh perkalian besaran vektor dengan skalar dalam fisika : =m ,
= m , dsb
dimana m : scalar (tinjauan mekanika newton) dan a,v : vektor. Bila misal A dan B adalah vektor dan k adalah skalar maka, = k
Besar vektor B adalah k kali besar vektor A sedangkan arah vektor B sama dengan arah vektor A bila k positif dan berlawanan bila k negatif . Contoh : F = qE, q adalah muatan listrik dapat bermuatan positip atau negatip sehingga arah F tergantung tanda muatan tersebut. Perkalian vektor dengan vektor
1. Perkalian dot (titik) Contoh dalam Fisika perkalian dot ini adalah : W = F . s, P = F . v,
=
B . A.
Usaha
F F
θ
d
dr
(a)
(b)
Gamabr 7. (a) gaya f yang berkerja membentuk sudut θ dengan perpindahan d. (b) gaya yang bekerja dengan perpindahan berubah terhadap waktu.
⃗ ⃗ ⃗∫ ⃗ ⃗⃗
Gambar 7a. W = Fd cos θ = Gambar 7b. dW = W= ANALISIS VEKTOR
d , sehingga usaha total yang diberikan adalah
5
Contoh soal
⃗
⃗
Hitung kerja yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah benda menyusur vector = 3i + 2j – 5k jika dipengaruhi oleh gaya Jawaban
W = Fd cos θ =
⃗ ⃗
W = 3i + 2j – 5k
= 2i – j – k
2i – j – k
W = 9 satuan usaha
b. Perkalian cross (silang) Contoh dalam Fisika perkalian silang adalah : = r x F, F = q v x B, dsb Hasil dari perkalian ini berupa vektor.
C. PERKALIAN TRIPLE
Perkalian titik dan silang antara 3 buah vektor,
⃗ ⃗ ,
, dan
dapat
menghasilkan sesuatu yang berarti. Hasil perkalian triple ada dua yaitu hasil perkalian triple scalar karena hasil akhirnya adalah sebuah scalar dan hasil perkalian tripel vektor karena hasil akhirnya adalah sebuah vector.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Perkalian Tripel Skalar
Perkalian [
disebut dengan perkalian tripel skalar dan dapat ditulis
⃗ ⃗
] . Secara geometri, perkalian tripel skalar akan menghasilkan besar
volume ruang yang dibentuk oleh
,
, dan
sebagai sisi-sisinya
(perhatikan gambar 8 parallelepi pedum/jajar genjang). Volume ruang tersebut akan bernilai positif atau negatif tergantung pada unsur perkalian silang di
⃗ ⃗
⃗ ⃗
dalam perkalian tripel skalar. Hasil kali sekalar dari vector triple memenuhi = 0 , jika dan hanya jika
,
, dan sebidang.
ANALISIS VEKTOR 6
⃗
⃗ φ θ
⃗
Gambar 8
Dari gambar luas alas parellelepipedum adalah
⃗
= BC sin θ , tinggi
parellelepipedum adalah A cos φ. Sehingga volume dari parellelepipedum adalah V = luas alas kali tingggi V = BC sin θ A cos φ
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
=
cos φ
=
⃗ ( ⃗ ) ⃗ ⃗ ( ⃗ )
Hasil kali scalar vector triple dapat ditulis lebih ringkas sebagai berikut:
Dan
dalam bentuk determinan yaitu
i, j, dan k adalah vector satuan arah sumbu-x, y, dan z.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ dengan bantuan determinan di atas dapat dibuktikan bahwa = (
=
(
=
dan sebagainya
Pembuktian di atas dapat didekati dengan aturan perputaran jam jika searah maka positif jika berlawanan negatif.
ANALISIS VEKTOR 7
Contoh soal
Sebuah gaya
⃗ ⃗
= i + 3 j – k bekerja pada titik (1, 1, 1), tentukan besar momen
gaya (torsi) pada garis = 3i + 2k (2i – 2j + k)t. Jawab
Terlebih dahulu dengan menentukan titik yang dilalui oleh garis
⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ⃗⃗ ̂ ̂ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
yaitu (3, 0,
2) dan (2, -2, 1) . sehingga vector yang menghubungkan titik tersebut ke garis kerja gaya yaitu = (1, 1, 1) – (3, 0, 2) = (-2, 1, -1) = 2i – 3j – 7k
Momen gaya yang bekerja pada garis adalah
dengan
= 1/3 (2, -2,
1). Sehingga
= 1/3 (2i-2j+k) . (2i-3j-7k) = 1
Perkalian Tripel Vektor
Pernyataan
dan (
hasil kalai vector dari vector triple.
Tanda kurung diperlukan disini karena nilai berubah kalau kurungnya
berpindah, misalnya: (
= 0 , tetapi
= -
Dari dua hasil kali tersebut dapat diberikan dua identit as yaitu: (
=(
(
= (
(
⃗
D. TURUNAN VECTOR
Jika = A x i + Ay j + A z k , dengan i , j , k adalah vector satuan dan A x, A y, Az
merupakan fungsi dalam t. sehingga
Bentuk yang lain
, jika a konstanta maka
ANALISIS VEKTOR 8
Untuk perkalian dot dan cross berlaku:
dan
⃗
Contoh Soal Diberikan
= r cos (ωt) i + r sin (ωt) ĵ dengan r dan ω tetap. Maka titik p
bergerak sesuai persamaan x = r cos
(ωt) , y = r sin (ωt). Yang merupakan
lingkaran x2 + y2 = r 2 pada bidang xy dan θ = ωt
r
⃗ θ
x
o
θ
⃗
Δ
p
gambar 9
⃗ ⃗ |⃗|⃗|| Vector kecepatan
= -r ω sin (ωt) i + rω cos (ωt) j
E. GRADIEN, DIVERGENSI, DAN CURL
Jika sebuah operator vector dalam koordinat kartesis didefinisikan
⃗ ⃗ ⃗
Jika φ = (x, y, z) dan
(x, y, z) memiliki turunan parsial yang tetap pada
daerah tertentu, maak daapt didefinisikan beberapa besaran: Gradient. grad φ =
=
Divergensi. div =
ANALISIS VEKTOR 9
⃗ ⃗
Curl. Curl =
Gradien, divergensi, dan curl bukanlah sekedar operasi matematik belaka. Ketiganya dapat ditafsirkan secara geometri. Tafsiran Gradien
Seperti vektor lainnya, gradien memiliki besar dan arah. Untuk menentukan arti geometrinya, kita dapat memisalkan ada sebuah fungsi tiga variabel, katakanlah temperatur dalam ruang, T (x , y , z ) , yang merupakan sebuah skalar. Seberapa cepat perubahan temperatur tersebut dinyatakan dalam bentuk diferensial total
( )⃗ ( )⃗ |⃗| ̂ ⃗ ̂
Dalam perkalian titik, pernayataan di aats setara dengan
Atau
=
Yang berarti
Dengan θ sudut antara
T dengan
, dan
adalah vector satuan yang
menyatakan arah gerak. Sehingga, untuk laju perubahan temperatur bernilai besar ketika geraknya searah dengan
( saat θ = 0 )
akan
Contoh soal Ketinggian dari suatu bukit (dalam satuan meter) diberikan oleh h (x , y )=10 ( 2 x y - 3 x 2 - 4 y2 - 18x + 28 y + 12 ) , ANALISIS VEKTOR 10
dengan y adalah jarak (dalam km) sebelah utara, x adalah jarak ke timur kota Bandung. (a) Di manakah puncak bukit tersebut berada? (b) Berapa ketinggian bukit tersebut? (c) Seberapa curam kemiringan (dalam satuan m/km) pada sebuah titik 1 km utara dan 1 km timur kota Gerung? Pada arah manakah kemiringan tercuram di titik tersebut? Jawab:
(a) Tentukan gradien fungsi terlebih dahulu: h =10 [ 2 y - 6 x – 18) i + (2 x - 8 y + 28) j ] .
Untuk menentukan puncak bukit, gunakan syarat merupakan salah satu jenis titik stasioner):
h = 0 (puncak bukit
h=10 [ 2 y - 6 x – 18) i + (2 x - 8 y + 28) j ] = 0 , menghasilkan sistem
persamaan linear dua peubah: 2 y - 6 x -18 = 0 2 x - 8 y – 28 = 0 Solusi dari sistem persamaan ini adalah (x , y ) = (-2 ,3) . Dengan demikian puncak bukit tersebut berada pada 2 km sebelah barat dan 3 km utara Gerung. (b) Substitusikan (x , y ) = (-2 ,3) pada h (x,y) h (-2, 3) = 10 (-12-12-36+36+84+12) = 720 m . (c) Substitusikan (x , y ) = (1, 1) pada
∣∣ ∣∣ √
h .
h (1,1) = 10 [ -2 – 6 – 18) i + (2 – 8 + 28) j ] h (1,1) = 220 (-i + j ) h = 220 h
≈ 311
m/km arahnya ke barat laut (135 derajat dari sumbu-x positif).
Catatan: tan (-1) = 135 0
ANALISIS VEKTOR 11
Tafsiran Divergensi
Sesuai namanya, divergensi
menyatakan ukuran penyebaran vektor
⃗
.
Perhatikan gambar 10 sebagai contoh pada kasus dua dimensi. Fungsi pada gambar 10(a) memiliki divergensi yang sangat besar dan positif (jika panahnya mengarah ke dalam berarti nilainya negatif), fungsi pada gambar 10(b) memiliki divergensi nol, dan fungsi pada gambar 10(c) memiliki divergensi positif yang nilainya agak kecil.
Gambar 10.
Tafsiran Curl
Pemilihan nama curl juga disesuaikan dengan arti geometrinya yang menyatakan ukuran rotasi pada sebuah titik. Oleh karena itu seluruh fungsi pada gambar 10 memiliki curl yang bernilai nol (bisa kita cek dengan mengetahui fungsinya) dan fungsi pada gambar 11 memiliki curl yang sangat besar berarah pada sumbu-z.
Gambar 11 ANALISIS VEKTOR 12
F. INTEGRAL GARIS, PERMUKAAN, DAN VOLUM
Dalam bahasan listrik magnet selanjutnya akan ditemui berbagai macam bentuk integral, diantaranya yang paling penting adalah integral garis (atau lintasan), integral permukaan (atau fluks), dan integral volum. Integral Garis
z
dr a
b
y x Gambar 12. Sebuah integral garis I adalah suatu pernyataan dalam bentuk
dengan
⃗
⃗ ⃗ adalah sebuah fungsi vektor,
⃗
adalah elemen vektor perpindahan
dan daerah integrasi berada pada lintasan antara titik a hingga titik b (gambar 12) . Jika lintasan integrasi membentuk loop tertutup, maka tanda integral diberi tambahan lingkaran:
⃗ ⃗
Integral Permukaan
Sebuah integral permukaan I didefinisikan
⃗
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗
dengan adalah sebuah fungsi vektor dan
adalah elemen vektor luas yang
arahnya tegak lurus permukaan yang dimaksud. Jika permukaannya tertutup (menjadi seperti ruang), maka seperti sebelumnya tanda integral diberi tambahan lingkaran:
⃗ ⃗
ANALISIS VEKTOR 13
Untuk integral permukaan biasa, dapat ditemui dua arah yang tegak lurus permukaan sehingga pemilihan arah permukaan akan cukup membingungkan. Namun biasanya kita bebas memilih salah satu dari kedua arah tersebut. Untuk
⃗
kasus integral permukaan tertutup, arah yang keluar (menjauh) dari permukaan disepakati sebagai arah elemen luas,
.
Integral Volum
Sebuah integral volum I dinyatakan
dengan T adalah sebuah fungsi skalar dan
⃗
Untuk koordinat kartesian,
adalah elemen kecil dari volum.
= dx dy dz .
Sebagai contoh, jika T adalah kerapatan suatu materi (yang nilainya dapat bervariasi dari titik ke titik), maka integral volum akan memberikan massa total.
Teorema fundamental
Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga t eorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya. Teorema Gradien: Teorema Curl (Stokes): Teorema Divergensi (Gauss):
∫∬( ⃗)⃗⃗ ∮⃗ ⃗ ∭( ⃗) ⃗ ∮ ⃗⃗
Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa teorema gradien melibatkan operasi gradien dan integral garis; teorema curl melibatkan operasi curl, integral permukaan, dan integral garis; dan teorema divergensi melibatkan operasi divergensi, integral volum, dan integral permukaan
ANALISIS VEKTOR 14
Contoh soal
Ujilah kebenaran teorema gradient, menggunakan fungsi T = x 2 + 4xy + 2yz 2 dengan titik-titik a = (0, 0, 0) , b = (1, 1, 1) dan dua lintasan berikut: Jawab
z
(1, 1, 1)
y
x Teorema Gradien:
Dari soal T = x 2 + 4xy + 2yz 2
∫ ⃗
Sehingga T (a = 0) = 0; T (b=1) = 7; dan T(b) – T(a) = 7
(a) Lintasan ini dapat dibagi menjadi 3 bagian Bagian 1. x : 0 --- › 1 , y = z = dy = dz .
∫ ⃗ ∫ ∫ ∫ Bagian 2. y : 0 --- › 1 , x = 1, z = 0, dx = dz = 0.
Bagian 3. z : 0 --- › 1 , x = y = 1, dx = dy = 0.
=
+
+
= 7
ANALISIS VEKTOR
15
⃗ ( ) ( )⃗ ( )⃗ ( )⃗ ⃗
(b) Dengan melihat
= (
x2 + 4xy + 2yz 2
x2 + 4xy + 2yz 2
(i dx + j dy + k dz)
x2 + 4xy + 2yz 2 ) .
= (2x + 4y) dx + (4x + 2z 2) dy + (6yz 3) dz
Karena x : 0 --- › 1; y = x, z = x 2, dy = dx, dz = 2x dx maka = (2x + 4x) dx + (4x + 2x 6) dx + (6x 5) dx
Teorema Potensial
⃗ ⃗ ⇔ ∫ ⃗ ⃗ ∫ ∮ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∮ ⃗ Teorema 1. Jika curl dari sebuah medan vektor
maka ×
bernilai nol dimanapun,
dapat dituliskan sebagai gradien dari sebuah potensial skalar V :
= 0
= -
V , (53)
atau setara dengan pernyataan berikut:
=
,
tidak
tergantung
lintasan
(konservatif) untuk setiap titik-titik ujung yang diberikan.
= 0 untuk sembarang loop tertutup
Teorema 2. Jika divergensi dari sebuah medan vektor
bernilai nol
dimanapun, maka dapat dinyatakan sebagai curl dari sebuah potensial vektor :
yang juga setara dengan:
∫
tidak tergantung permukaan untuk setiap batas tertutup yang
diberikan,
= 0 untuk sembarang permukaan tertutup.
ANALISIS VEKTOR 16
G. TEOREMA GREEN
Teorema Grenn pada suatu bidang dinyatakan oleh
Dengan P = P(x,y) dan Q = Q(x,y) Contoh Soal
⃗
Tentukan usaha yang diberikan oleh grafik di bawah ini. Jika gaya = xyi – y2 j. (x = 2
)
(2,1)
Dengan Integral Garis. Garis 2 aaalh parabola sehingga y = ¼ x2 W=
∫ ∫ ∫
W = 2/3 – (-1/3 + 2) W = -1
Dengan Teorema Grenn W= W= W= W=
∮ ∬ ∬ √ ∫ ∫
W = -1
ANALISIS VEKTOR 17
H. TEOREMA DIVERGENSI
Secara umum teorema divergensi diberiakn oleh
( ⃗) ⃗ ⃗ ⃗ Contoh Soal
Uji kebenaran teorema divergensi untuk fungsi
⃗
= (xy) i + 2yz j + 3xz k .
Gunakan volum gamabr kubus di samping dengan panjang sisi 2 satuan.
⃗ ( ⃗) ⃗ ∮ ⃗⃗ Jawab
Terlebih dahulu dicari nilai:
Untuk
= y + 2z + 3x
, dengan bantuan sebagai berikut: 5
2
3
4
1
1. 2. 3. 4. 5. 6.
⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
6
∮ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ∫ ∮ ⃗⃗ ∮ ⃗⃗ ∫ ∫ ∮ ⃗⃗ ∮ ⃗⃗ ∫ ∫ ∮⃗ ⃗ ∮
= dydz i, x =2;
=
= -dydz i, x =0;
=0
= dxdz j, y =2;
=
= -dxdz j, y =0;
=0
= dxdy k, z =2;
=
= dxdy k, z =2;
Sehingga total
= 8 + 16 + 24 = 48
ANALISIS VEKTOR 18
I.
CURL DAN TEOREMA STOKES’
Secara umum teorema stokes diberikan oleh
∬( ⃗)⃗ ∮ ⃗ ⃗ ∬( ⃗)⃗ ∮ ⃗ ⃗ ⃗ atau
Contoh Soal
Ujilah kebenaran teorema stokes untuk fungsi = y k pada permukaan segitiga seperti gambar disamping.
z (0, 0, a)
y (0, 2a, 0)
(a, 0, 0) X
Cek ruas kanan,
⃗ ⃗
Ambil jalur yang berlawanan jarum jam pada garis-garis batas permukaan
⃗ ⃗ ∫ ∫ ⃗ ⃗ ∫ ⃗⃗ ∫ ∮ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗)⃗ ( ( ) ∬ ∬( ⃗)⃗
tertutup segitiga. Ada 3 bagian garis pada segitiga tersebut: (1) Kiri; z = a-x; dz = -dx; y = 0; sehingga (2) Alas; dz = 0, sehingga
= 0
= 0
(3) Belakang (kanan) z = a – ½ y; dz = - ½ dy; y: 2a ---› 0 =
Totalnya dalam loop tertutup adalah
Untuk ruas kiri Sehingga
= 0 + 0 +a2 = a2
= i
= proyeksi permukaan segitiga pada bidang xy 2
= ½ (a) (2a) = a (sesuai)
ANALISIS VEKTOR 19
RESUME FISIKA SAINS I ANALISIS VEKTOR
ABDUL KADIR ALAYDRUS NIM: I2E 009 001
PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN SAINS PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS MATARAM UNIVERSITAS MATARAM 2010
ANALISIS VEKTOR 20
