ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR EN UNA ESFERA Considere ahora una esfera con densidad r, calor específico c y radio exterior R. El área de la esfera normal a la dirección de transferencia de calor, en cualquier lugar, es 2 A =4 , en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que, en este caso, el área de transferencia de calor A, depende de r y, por lo tanto, varía con la ubicación. Al considerar un elemento con forma de casco esférico delgado de espesor ∆ y repetir el procedimiento descrito con anterioridad para el cilindro, usando A =4 2 en lugar de régi men transitorio para A =2 ,, la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen una esfera se determina que es (figura)
la cual, en el caso de conductividad térmica constante, constante, se reduce a
en donde, una vez más, la propiedad a = / es la difusividad difusividad térmica térmica del material. En condiciones especificadas, se reduce a las formas siguientes:
donde, de nuevo, se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de conducción unidimensional y estacionaria de calor.
ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL COMBINADA DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR Un examen de las ecuaciones unidimensionales de conducción de calor en régimen transitorio, para la pared plana, el cilindro y la esfera, revela que las tres se pueden expresar en una forma compacta como
donde n=0 para una pared plana, n=1 para un cilindro y n=2 para una esfera. En el caso de una pared plana se acostumbra reemplazar la variable r por x . Esta ecuación se puede simplificar para los casos de régimen estacionario o sin generación de calor como se describe con anterioridad.
Ejemplo 1 Conducción de calor en un calentador de resistencia Se usa un calentador de resistencia de alambre de 2 kW, con conductividad térmica k =15 =15 W/m · °C, diámetro D=0.4 cm y longitud L=50 cm, para calentar agua al sumergirlo en ella. Suponiendo que la variación de la conductividad térmica del alambre con la temperatura es despreciable, obtenga la ecuación diferencial que describe la variación de la temperatura en el alambre durante la operación estacionaria. Se considera el alambre eléctrico de un calentador de agua. Debe obtenerse la ecuación diferencial para la variación de la temperatura en el alambre.
Condiciones: La resistencia de alambre se puede considerar como un cilindro muy largo dado que su longitud es más de 100 veces su diámetro. Asimismo, el calor se genera de manera uniforme en el alambre y las condiciones sobre la superficie exterior de éste son uniformes. Por lo tanto, resulta razonable esperar que la temperatura en el alambre varíe sólo en la dirección radial r y, por lo tanto, la transferencia de calor sea unidimensional. Entonces, se tendrá T = T (r ) durante la operación estacionaria, puesto que la temperatura en este caso dependerá sólo de r .
Se puede determinar la razón de la generación de calor en el alambre por unidad de volumen a partir de
Dado que se considera la conductividad térmica como constante, la ecuación diferencial que rige la variación de la temperatura en el alambre es simplemente la ecuación,
que es la ecuación unidimensional de conducción del calor en estado estacionario en coordenadas cilíndricas, para el caso de conductividad térmica constante. constante. CONCLUSION
Note una vez más que las condiciones en la superficie del alambre no tienen efecto sobre la ecuación diferencial.
