2B. FLUJO LAMINAR EN UNA RENDIJA ESTRECHA.

2B. FLUJO LAMINAR EN UNA RENDIJA ESTRECHA. (a) Un fluido newtoniano está en flujo laminar en una rendija estrecha formada por dos pare- des paralelas separadas una distancia 2B. Se entiende que B << W de modo que los !efectos de "orde! carecen de importancia. #acer un "alance diferencial de cantidad de mo$imiento % o"tener las si&uientes e'presiones para las distri"uciones de densidad de flujo de cantidad de mo$imiento % de $elocidad

n estas e'presiones * + p , &h + p  -&/. (") 01uál es la relacin de la $elocidad media a la $elocidad má'ima para este flujo3 (c) 4"tener la ecuacin análo&a a la de #a&en-*oiseuille para la rendija. (d) la"orar un di"ujo si&nificati$o para mostrar por que el análisis anterior no es aplica"le si B + W.  (e) 01mo puede o"tenerse el resultado del inciso ") a partir de los resultados de 52.63

7i&. 2B.8 7lujo a tra$9s de una rendija con B
SOLUCIÓN: a) *uesto que el flujo de fluido está en la direccin / $' + ; $% + ; % slo $/ e'iste.  demás $/ es independiente independiente de / % es si&nificati$a si&nificati$a a postular que la $elocidad $elocidad $/ + $/ (') % la presin p + p (/). :os =nicos componentes no e$anescentes e$anescentes del tensor de tensiones son >'/ + >/' que depende slo de '. 1onsideremos ahora una losa rectan&ular del&ada ( cáscara) perpendicular a la direccin ' se e'tiende una distancia W en la direccin ? % una distancia : en la direccin /.   una una tasa de impulso /- equili"rar equili"rar so"re esta cáscara del&ada del&ada de espesor @' en el lAquido es de la forma

i$idiendo la ecuacin anterior por :W@' :W@' % el lAmite se toma como @' se apro'ima a cero o"tenemos

n este punto tenemos que escri"ir e'plAcitamente qu9 componentes C '/ % C // están haciendo uso uso de la definicin de C in qs. D.E-D a 8 % las e'presiones para para >'/ % >// en la ta"la B.D. sto ase&ura que no se pierda nin&una de las formas de transporte de momento. *or lo tanto o"tenemos

e acuerdo con los postulados que $/ + $/ (') $' + ; $% + ; % p + p (/) $emos que (i) desde $' + ; el t9rmino $'$/ es cero. (ii) desde $/ + $/ (') el t9rmino >// es cero. (iii) desde $/ + $/ (') el t9rmino $/$/ es la misma en am"os e'tremos de la ranura por lo que los t9rminos con$ecti$os se cancelan.

l lado derecho puede ser compacta % con$enientemente escrito por la introduccin de la presin * modificado que es la suma de la presin % t9rminos &ra$itacionales. :a definicin &eneral de la presin modificada es * + p , &h donde h es la distancia hacia arri"a (en la direccin opuesta a la &ra$edad) a partir de un plano de referencia de eleccin. *uesto que los puntos del eje / hacia a"ajo en este pro"lema h + - / % por lo tanto * + p - &/. *or lo tanto *; + p; en / + ; % *: + *: - &: en / + : entre&a p; - p: , &: + *; - *:.

Fnte&racin conduce a la si&uiente e'presin para la distri"ucin de la tensin.

Gale Gale la pena seHalar que las dos =ltimas ecuaciones se aplican a newtoniana % no a fluido newtoniano. :a constante de inte&racin 1D se determina despu9s utili/ando condiciones de contorno. Sustitu%endo la le% de la $iscosidad de Iewton por >'/ en la ecuacin anterior da

:a ecuacin diferencial de primer orden anterior simplemente se inte&ra para o"tener el si&uiente perfil de $elocidad

BC1:

at x = B;

vz = 0

BC2:

at x = − B;

vz = 0

l uso de estos las constantes de inte&racin pueden ser e$aluados como 1 D + ; % 2 12 + (*;  J *:) B K (2L:). Sustitu%endo 1D + ; en la ecuacin ecuacin de tensin la e'presin final se encuentra para ser lineal dada por 

 demás la sustitucin de las constantes de inte&racin inte&racin da la e'presin final para para el perfil de $elocidad como

Se o"ser$a que la distri"ucin de $elocidad de flujo laminar incompresi"le de un fluido newtoniano en una rendija estrecha es para"lica.

b) :a $elocidad má'ima se produce en ' + ; (donde d$/ K d' + ;). *or lo tanto

:a $elocidad media se o"tiene di$idiendo el caudal $olum9trico por el área de seccin trans$ersal como se muestra a continuacin.

 sA la relacin de la $elocidad $elocidad media a la $elocidad má'ima má'ima para el flujo de fluido newtoniano en una rendija estrecha es 2K8. sto parece ra/ona"le %a que $/ K $/ ma' + M para el flujo en una tu"erAa circular. *ara una rendija con un área de seccin trans$ersal más &rande lle$a el fluido que flu%e a una $elocidad ma%or que para el flujo en una tu"erAa circular.  sA $/ K $/ má' para rendijaN $/ K $/ ma' para un tu"o circular. circular.

c) :a tasa de flujo de masa es el producto de la densidad  el área de la seccin trans$ersal (2BW) % el promedio de $elocidad $/. w = ρ (2BW) v z

w=

w=

ρ (2BW) 2 (P0 − PL )B2 3 2µL 3 2 (P0 − PL )B Wρ

3

µL

:a $elocidad de flujo frente a la caAda de presin (w $s. @*) e'presin anterior es el análo&o de hendidura hendidura de la ecuacin de #a&en #a&en *oiseuille (ori&inalmente para tu"os circulares). s un resultado que ca"e destacar porque proporciona el punto de partida para flujo pro&resi$o en muchos sistemas (flujo radial entre dos discos circulares paralelosO % el flujo entre dos esferas conc9ntricas estacionarias).

d) l análisis anterior no es aplica"le si B + W de"ido a la presencia de una pared en %+ ; % + B causarAa $/ $ariar si&nificati$amente en P%Q además de ' entonces $/ + $/ (' %). Si W + 2B entonces una solucin puede o"tenerse para el flujo en un conducto cuadrado.

e) e 52.6 tenemos

1omo para este caso se tra"aja con un solo fluido entonces se reali/an las si&uientes consideraciones D) *or lo que las ecuaciones se transforman de la si&uiente manera

*or lo tanto

2) " + B

8) Rultiplicar por BW ρ

:a relacin será