Fluidodinamica I - Modulo 1

v R Rd6 ~vedR = 0

(4.145)

(4.146)

g es aquí el vecto r aceleración de graved ad.

(4.139)

Las fuerzas másicas a menudo admiten un potencial escalar, esto es, si Q es dicho potencial:

y la de continuidad es: 1

 —y2

3

,(V  R»2s) +

 R dR  R*

1

/ = VQ

6

Rsmddd

(v 0 si n 0 ) = 0

(4.140)

La función de Lagrange puede encontrarse como en el caso anterior y ella resulta tai que: 2

i

aw

R sm0 dd V* =

1

dW

~~Rsm& dR

(4.141)

(tí  - - g h

(4.143)

(4.148)

en donde h  es una coordenada vertical ascendente. Así, se tiene:  g =

-gVh

(4.149)

o bien:  gi = ~g

(4.150) dX :

Las componentes del vector V/? son los cosenos directores de la dirección h  ascendente.

4.3. Fuerzas en un medio continuo Las más frecuentes en las aplicaciones son de dos ti pos : másicas y de contacto. Su expresión se ve in fl ui da  po r la esqu emat iz ac ió n que se realice del me di o continuo y se deben introducir hipótesis especiales para  po derl as explicitar.

4.3.7. Fuerzas másicas Ellas son proporcionales a la masa dm  del elemento considerado, ya sea directamente o ya sea a través del volumen elemental dV.  Generalmente provienen de campos, pero hay excepciones importantes. Pueden expresarse como:

dF m = fdm = p fdV

En el caso, de particular importancia, en que se trata de la gravedad, el potencial se expresa como:

(4.142)

El caudal entre líneas de corriente result a dado por la misma fórmula que en el caso anterior, esta es la ecuación 4.137: A Q  = 2;rA^P

(4.147)

(4.144)

4.3.2.Fuerzas    de contacto Si se aisla bajo el esquema de cuerpo libre una área  pe qu eñ a AA cuya or ie nt ac ió n es la de su no rma l un itaria ñ, aparecen como resultantes de las acciones que el resto del medio continuo ejerce sobre el área una pequeña fuerza de contacto AF C  y un pequeño momento A M (Fig ura 4.18). La fue rza AF c  puede descomponerse en una normal AF n y en una tangencial AF (  .Referidas estas fuerzas y el momen to al área AA a p a r e cen los vectores de tensión o tensiones siguientes:

66

4.3.3.Descomposición de Cauchy. Tensor de t ensiones Considérese un pequeño tetraedro como el de la Figura 4.19. Escribiendo para él el segundo principio de la dinámica se tendrá:  pdVa = pdV  /

+ 7 (}i)dA + 7(-el)dA1+7(-e2)dA2+7(-e3)dA2 

éj, é2, é3, son vectores en las direcciones OXOX 2 , OX3, respectivamente. Figura 4.18 Esquema de cuerpo libre para fuerzas de contacto

 AA'

'

AA '

A4 '

(4.151)

así como el vector de momento:

-

AM

 ÁA Cuando el área tiende efectivamente a cero se aceptará aquí, siguiendo a Cauchy, que las tensiones tienden a valores finitos y bien determinados así como que el momento no contribuye. Obsérvese que esta última afirmación es, al menos como aquí se ha expuesto, ar bi tr ar ia . Pu ed en concebirse medios—llamados de Cosserat—en los cuales ella no se cumple. Estos medios son técnicamente importantes hoy en día, por ejemplo, en  Mecánica de rocas. Aceptado el esquema de Cauchy, a una dirección n en un punto P se le asocia un vector  t  de tensión. Este vector tensión puede descomponerse en una tensión  paralela a ñ o te nsión nor ma l f y

en

  una perpendi-

Figura 4.19 Descomposición de Cauchy

Dividiendo por  dA  y empleando la relación de reci pr oc id ad (4.153): P ^ a - f ) ^v ) ^V )I / ^ 1 -V 27/ ( ^ - V3/  7 ^ dA dA dA 3 \ '

dh  es aquí la altura del tetraedro, considerando a dA como el área basal. Cuando dh  tiende a cero y suponiendo que la aceleración y la intensidad de las fuerzas másicas permanecen finitas, el primer miembro de la ecuación anterior es, al límite, nulo. Entonces:

cular a íi  o tensión tangencial J   . Si el punto P  es el dA

mismo, pero la orientación n de él cambia, se concibe que también cambie el vector  t  y entonces, en un p unto dado P: (4.152)

t=t(ñ)

dA

dA

tirñ)

=

-t(ñ)

(4.153)

(4.156)

Como el tetraedro es un poliedro cerrado, la suma vectorial de las áreas de sus caras se anula y ello permite escribir: dAñ = dA\ e x + dA2 e2 + dA3 e3 

Del principio de acción y reacción se deduce de inmediato la siguiente relación de reciprocidad:

(4.155)

de donde: dA. A A J yi = Jn,  —- = e.'  dA

(4.157)

(4.

Siendo n. J los cosenos directores de la nor mal unit aria n. La ecuación para las tensiones (4.156) puede escri bir se entonces com o:

t(ñ ) = \t(é x  )e x  +t(e2 )e2+t{e2 )ézyñ 

(4.158)

o bien:  t(n) = t{é j )n j 

(4.159)

Esta última ecuación permite expresar el vector A

tensión asociado a una dirección nor mal a rbit rari a Yl como f unci ón lineal de los vectores tensión   t {e¿)  asociados a las direcciones é. de los ejes. Ella constituye la descomposición de Cauchy. Explicitando las componentes, la descomposición de Cauchy se escribe: w (4 160) ',(«) = [',(éy)] V ' La cantidad entre paréntesis cuadrados representa 3x3 tensiones y se puede demostrar fácilmente que estas nueve cantidades forman un tensor de segundo orden r..; >r denominado obviamente tensor de tensiones, de modo que: T v mtXej)

(4.161)

t i (ñ)=T  jj n j  

(4.162)

Estas fórmulas permiten interpretar en forma sencilla las componentes del tensor r... Por ejemplo, de la ecuación (4.164), multiplicando escalarmente por e x se obtiene:  t(e x )-e x

= r  n

y entonces T es una tensión norm al ejercida sobre un elemento de área normal al eje OX, y dirigida, por lo tanto, en la dirección del eje OX . Multiplicando ahora la ecuación (4.164) por  é ¿ \ e

e

\)'  2

con lo cual T12  representa la tensión tangencial ejercida sobre un elemento de área nor mal al eje y dirigi da según el eje OX 2. Generalizando, puede decirse que: r.. representa una tensión normal dirigida según el eje OX.i r,,  representa una tensión tangencial ejercida sobre un elemento de área per pend icu lar al eje OX. y dirigida en la dirección OX,.  j Las tensiones T..  se muestran posicionadas en el croquis de la Figura 4.20.

;

y

Esta última fórmula expresa la descomposición de Cauchy en términos del tensor de tensiones. Son de especial interés los vectores de tensión t ( e . ) asociados con las direcciones é . Ellos pueden obtenerse de la ecuación (4.161), multiplicando por é,\ resulta así:

Se puede, entonces, explicitar t ( e¡ ) según los tres ejes: t ( e x ) = T u e x + r l 2 e 2 + r 1 3 é 3 

t{e2 ) = r 2lei + r 22e2 + r 23e3  t ( e 3 ) = t 3 x é x + t 3 2 e 2 + r 3 3 e 3 

(4.164)

(4.165) (4.166)

Figura 4.20 Esquema con la posición de las tensiones (Adaptado de Daily y Harleman, 1968)

4.3.4.Expresión de la tensión normal media Considérese la integral siguiente:

/ ^ r ^ f e ) ^  j dx,.

(4.167)

Mediante el teorema de la divergencia de Gauss-Ostrogadsky:

1 = jr iJ  x J dAi

(4.168)

Si se elige un dominio de integración esférico de radio r, entonces:

Xj = rrij T-  1

=

ttjXjdAi

r  rn

 f  ij  jdA } = rjt¡ {n)dAi  (4.169)

 A

A

4.4. Dinámica de un Medio Continuo Un medio continuo debe obedecer a las leyes de la mecánica. El puede ser imaginado como un sistema de  pa rt íc ul as y, como tal , le se rá n aplicables las dos leyes mecánicas fundamentales que gobiernan dichos sistemas: el teorema de las cantidades de movimiento y el teorema del momento cinético. Ocurre, eso sí, que el concepto del continuo obliga a expresar las ecuaciones en una forma diferente a como se hace en el caso de un sistema finito de partículas y esta formalización acarrea consecuencias especiales. Pero, grosso modo, la interpretación física de las ecuaciones es siempre la misma.

A

La tensión nor mal media o puede ahora definirse a través de las relaciones siguientes:

4.4.7. Teorema de las cantidades de movimiento

(4.170)

Si es la cantidad de movimiento de un sistema de  pa rt íc ul as y .F ext son las fuerz as exter nas a dicho sistema y que actúan sobre él, el teorema de las cantidades de movimiento asegura que:

Comparando ahora con la ecuación (4.167) se deduce:

(4.174)

2

I = r f tffidAi ==  r r o t o r  

a =

u * J/  ,-) i  C  A*v » dV   47tr JJ   r)r ¿te.

(4.171)

Si se considera una esfera suficientemente pequeña:

en donde el punto (•) simboliza la derivada respecto al tiempo. En el caso de un sistema continuo, la cantidad de movimiento de una partícula será:

dM = dmv =  pvdV a «

1 t —  4 tcy 3

r.

tor  3

(4.172)

y, al límite:

(4.175)

y la cantidad de movimiento contenida, en un instante dado, dentro de un volumen finito y fijo Vse expresará como:

 M=jpvdV v

(4.176)

 M : = J pv:dV

(4.177)

o bien: Esto es, la tensión normal media en un medio continuo es el promedio aritmético de las tensiones normales según los tres ejes. Puede demostrarse además que esta tensión normal media es un invariante respecto a una rotación arbitraria de los ejes de coordenadas.

v

La derivada temporal que interviene en la Ec. 4.174 debe ser lagrangiana, de modo que siga las partículas en su movimiento, esto es:

4.3.5.  Otras fuerzas de interés Los requerimientos técnicos y las aplicaciones han  pu esto de relieve la in te rv en ci ón de ot ra s mu ch as fu er zas externas: • Fuerzas magnéticas. • Fuerzas eléctricas. • Tensión superficial.

 M =

 DM  Dt

D  jpvdV Dt

(4.178)

Empleando el teorema sobre la derivada lagrangiana de una integral, se tendrá:  Dt

 JpvdV

JpvdV

•Jpvv'dA 

(4.179)

Y entonces la ecuación de las cantidades de movimiento se escribe:

 JpvdV

+Jpv

v-d A = 2 L

Igualando las Ees. 4.183 y 4.184 y reuniendo los términos en el primer miembro:

(

( 4. 1 80 )

dr \

v\

o bien:

v cfV •fpv^'dAj^lt]  J> :

(4-lSla)

/

§pvdV +jpvv  • dA =jp fdV + jt(h)dA 

 J

/  pat-pf,-

términosa tensoriales y recordando que t.(n) = T.jfij  »I   ecuación anterior se expresa como:

;

dx.]

dV = 0

(4.186)

)

Como dV   no es cero, entonces:

dr.. dx,.

(4.181b)

En

(4.185)

Y como el dominio es arbitrario, dV   puede hacerse muy pequeño sin ser nulo, esto es:

4.4.2. Expli citación de las fuerzas

La fuerza másica elemental es  pfdV   y la fuerza de contacto elemental es  t (ri)dV . Así, la ecuaci ón 4.180, se escribe:

dV = 0

ax 

(4.187)

Esta última relación expresa la ecuación local del movimiento o ecuación de Cauchy en un medio continuo deformable.

4.4.4. Teorema del moment o ciné tico + Jpv,v J 

 fpvt dy

• dAj = Jpf,dV

+fr (/ .d4 J . 

(4.182)

V

Las relaciones explicitadas ar riba son globales o integrales, ya que el dom in io an ali zad o es finito.

Para los fines del presente análisis, el teorema del momento cinético puede enunciarse como sigue: Sea el momento de las cantidades de movimiento o momento cinético de un sistema de partículas respecto a un punto P y f x F ext   sea el momento de una de las fuerzas exteriores respecto a  P. Se te ndrá:

4.4.3. Ecuación local del movimiento o ecuación de Cauchy

 H ==

Aprovechando que el dominio es fijo y empleando el teorema de la divergencia, el primer miembro de la ecuación 4.182 se escribe sucesivamente:

Jf *Fex

Para un medio continuo, el momento cinético elemental será: dH = r xdm v = p r xv 

M = r d(pv.)+ d U . v J 1 d V = r  (v

' f n r

&

do  (pv.) + p

í  - dt  x,

dv. + ] dv,

dx» < dt  ir W

dV

La expresión entre paréntesis cuadrados es nula, ya que es precisamente la condición de continuidad; por su parte, la expresión entre paréntesis llave es la aceleración a. y entonces:

 M i  =J pctjdV v

i ^ ^ - S P W V + f '  X d V V  V   j

(4.184)

(4.189)

Y para un dominio finito D  lleno con la materia deformable en estudio:

 H=JprxvdV

(4.190)

Empleando la derivada lagrangiana, de modo de seguir las partículas materiales, se tendrá, de la Ec. 4.188: DÍ 

(4.183)

Usando ahora el teorema de la divergencia para transformar la integral de superficie del segundo miembro de la Ec. 4.182:

(4.188)

L = R.J p r  X vdV  = ^ r  x F ex t  (4.191)

 Dt

Dt

O bien, introduciendo explícitamente las fuerzas másicas y las de contacto:

D

 jpr

 Dt'

x vdV =jprx

fdV +Jr  x tdA 

(4.192)

Ahora, empleando la fórmula que expresa la derivada lagrangiana de una integral:  D  D

X

=

f ^  ^^

 d

P

x

+

x

 JP*'  vv' ^ (4.193)

Y entonces la expresión 4.192 puede explicitarse a:  jpr dt

La cantidad contenida en los primeros paréntesis cuadrados es nula por continuidad; la contenida en los segundos vale claramente v; y la contenida entre los terceros es la aceleración a }; entonces;

f dV + Jr x t dA

x vdV +Jprxvv-dA^Jprx

DH.  Dt

£

v v

 jp{ um i i

+ £

x a

ii„, ¡ i)dV

(4.199)

La primera expresión entre paréntesis es nula, ya que representa el producto vectorial de un vector por sí mismo; la segunda expresión iguala a las componentes del producto vectorial entre el radio vector  r  y la aceleración ü; o sea:

(4.194) Debe recordarse aquí que el producto vectorial de los dos vectores y puede expresarse tensorialmente como:

 Dt

J p s ^ x . ^ d V   = j p ( r x a)dV 

(4

200)

Y entonces la Ec. 4.194 puede escribirse como: r x v \

"

8

x

v

ilm i l

(4.195)

/

 jprxadV=¡prxfdV +¡prxtdA 

Entonces, el primer mie mbr o de la ecuación 4.194 se escribe, en términos de componentes como:  DH...  Dt

d = j ¡ p e ^ X M d V +§p£ i}m x iViVndAn  dt

(4.196)

Alternando la derivación con la integración en la primera integral y transformando la segunda mediante el teorema de Gauss-Ostrogadsky:

!

 £ 

Dt

ilm

(KpXjV,) l

*

| a(px,v,v„)

dx

"

( 4 m

O bien, en términos de tensores:  / P^M^i^V

=J peilm xJ  } dV

+Jeilm x tí   dA l   

(4>202)

Las ecuaciones deducidas, particularmente las últimas expresan el teorema del momento cinético en forma global o integral.

(4.197) /

Realizando las derivaciones indicadas y colectando los términos en forma conveniente, la ecuación anterior se escribe como:

1, do  d(pv ),   dx-,L DH m£2.= r c /, . dx,L dv.1  } dV JT7 +Ppv.lL r  —  + vn dx¡   Ilm t x 1 v 1 L _ r + _ M U in¿J J   +px. F 1 1 —  + nv U Dt J at dx n dxn dxn dt  dt 

(4.198)

tico. 4.4.5. Ecuación local del moment o ciné Relación de reciprocidad de Cauchy Para obtener una ecuación local para el momento cinético, puede partirse de la ecuación global 4.202. En ella puede reemplazarse t por;

t l=r l.n j

4.5. Leyes reológicas de los fluidos

y, además;

dAj = dArij entonces:

 j£ ¡lm x¡t ldA=j£ ¡!m xir ljdA J  A

A

que, trans forma da a una integral de volumen mediante el teorema de la divergencia, deviene: e

X T

. / i l m i ljdAj = J e „i!m

a(x,T J ) ' dV

x T

J i i m i ij dAj = /e i l m

dT„ ( S ^ + x ^ )

/EllfflxiT1JdAJ=l e ^ + x ^

dV

d V (4.203)

Reemplazando esta última expresión en la ecuación 4.202 y agrupando convenientemente los términos se obtiene: / 8 i l m x ¡ ( p a 1 = p f  1 = ^ ) d V = / 8 j l m T I j d A V

j

Las ecuaciones de la mecáni ca y de la t erm odi nám ica son válidas, cualquiera sea la sustancia a que estas leyes se apliquen. Empero, debido al número de incógnitas que ellas hacen intervenir, ocurre con frecuencia que éstas por sí solas no son suficientes para resolver una multitud de problemas importantes. Se hace necesario, entonces, dar relaciones adicionales. Felizmente ocurre que cada sustancia o grupo de materiales posee una ley, intrínseca al material, que relaciona las variables del movimiento con las propiedades del material. Estas leyes especiales son ll amadas: 1) ecuaciones constitutivas 2) ecuaciones fenomenológicas, ya que dependen del fenómeno que se estudia 3) leyes reológi cas, por est ar ligadas al fluj o del med io material al cual se aplican

Desarrollando la derivada:

e

La expresión anterior constituye la relación de reci pr oc id ad de Cauchy pa ra las tensiones tangencial es y ella muestra que el tensor de tensiones es simétrico y,  po r lo ta nt o, no contiene sino seis tensiones in de pe ndientes.

A

Ahora, la expresión entre paréntesis vale cero, ya que es la ecuación local de Cauchy igualada a cero (Ec. 4.187). Entonces:

Estas leyes son de origen muy variado. Ejemplos de ellas son: las ecuaciones de estado; la ley de Fourier para la conducción del calor; la ley de Fick para la difusión de masa; la ley de Ohm para el movimiento de las cargas eléctricas; etc ... Para los medios continuos deformables y, más en  pa rt ic ul ar , pa ra los fluidos, se busca un a ley que com plemente las ecuaciones del mo vi mi en to o ecuaciones de Cauchy. Dicha ley, para un fluido dado, puede concebirse como teniendo la forma siguiente:

r^fix^v,,^-)

(4.207)

dXj

y se le llama rá aquí ley reológica del fluido.  f^jm^jdA^O

(4.204)

4.5.7. Postul adosreológicos Esta última expresión, debido a la arbitrariedad del dominio de integración, es equivalente a: (4.205) Y, por lo tanto: r  =r 

V   Ji

(4.206)

generales

Las leyes reológicas deben ser compatibles con las leyes de la mecánica y de la termodinámica, pero deben aportar reglas propias, llamados postulados reológicos. Estos postulados reológicos son varios y variados. Tres  ba st an te generales son los da dos por Trues del l: a) Postulado del deter minis mo histórico:  La tensión actual de un material está fijada por la historia del movimiento que el material ha seguido.

b) Post ulad o de la acción local:  El movimiento de un material en un punto y en sus inmediatas vecindades define la tensión en ese punto: las zonas lejanas no intervienen (Saint Venant). c) Post ula do de la indi feren cia de los ejes:  Las ecuaciones reológicas deben ser invariantes respecto a un cambio de los ejes de referencia.

donde Al , A2 , A3 son escalares apropiados. De acuerdo con la ecuación (4.210), para obtener el tensor de tensiones, la ecuación (4.212) debe multiplicarse por d y el prod uct o consiguient e deberá contrae rse en m y en n. Así: (4.213)

4.5.2. Fluidos newt onianos La experiencia muestra que una amplia lista de fluidos importantes en las aplicaciones (el agua, el aire, una variedad de aceites y de metales fundidos) tienen un comportamiento reológico que es independiente de las coordenadas, del tiempo, de las velocidades, de las deformaciones y de los giros; sólo intervienen las velocidades de deformación, esto es:  r

u

=

¿MJj„ ~

=

=0

(4.215)

Entonces, la ley expresada por (4.210) se escribe como:

(4.208)

f ¡j (d  m¡1 )

 r ^ M j + A x d ¡j d  mm+ 2A1 d ij 

donde el tensor  d mn es el de las veloci dades de deformación:

(4.216)

Obsérvese que, de acuerdo con la ecuación (4.209):

1K  dv dv ( + s-) 2d  dx

(4.209) d mn =

Más aún, para los fluidos evocados en el párrafo anterior y en primera aproximación, la relación (4.208) es lineal, esto es: (4.210) Para que se respete el postulado de la indiferencia de los ejes, los tensor es AiJ - y Atj que apar ecen en la ecuación (4.210) deben ser isótropos. Con esta restricción debidamente tomada en cuenta, la ecuación 4.210 define una familia de fluidos llamados newtonianos.

4.5.3.  Especificación de la ley reológico de los fluidos new tonianos En esta sección se utilizará el formalismo tensorial. Como Aij  debe ser isotrópico, él puede escribirse como:

1 dv

2 dxm

+

dv dv v v VV*Vv = = dÍVV= d x j dx m

y (4.217) }

Si el fluido está en reposo, entonces las velocidades y sus derivadas son nulas y, de la ecuación 4.209 que define d s e deduce que este tensor es tambi én nulo; la ecuación (4.216) se reduce a: (^y)reposo

(4.218)

("^o)reposo ^ij

Introduciendo la descomposición de Cauchy:

se encuentra: W

 =

'r(«) OUeposAj"j  = (4>)«p«o i y entonces: (4.219)

(4.211)

4/ = 4 A u

J 

donde An es un escalar conveniente. Como A.,mn es tam  bié n isotrópico, pued e ser escrito como:  Aij¡m-MA,»

+

Esta tensión, que es la misma en todas las direcciones, debería igualar, con signo contrario, a la presión de equilibrio termodinámica en el punto, presión que está impuesta por la ecuación de estado:

^ j J + M ^ - W J » )

(4.212)

P = P(P,T)

(4.220)

Siendo Tía temperatura absoluta. Esto es:  p

(A)reposo = -  

(4.221)

Si el fluido está en movimiento, en rigor el valor de  A0  es desconocido, pero entonces se supondrá que la  presión P  sigue siendo la dada por la termod inám ica de los materiales en equilibrio (hipótesis de la cuasiestaticidad o conjet ura de Hugoniot) y, entonces, la ecuación (4.216) puede escribirse como: =

P8 

~ ij

+A

 Ajd llim + 2 A2d iJ  

(4.222)

Ahora, el coeficiente A 2  corresponde al así llamado  pr im er coeficie nte de viscosidad o simplemente vis cosidad  ¡A, El coeficiente A }  es llamado segundo coeficiente de viscosidad o coeficiente de viscosidad global o volumétrica y se designa por  A. Entonces:

Estas expresiones para r fue ron obtenidas ya hace tiempo --obviamente empleando notaciones muy ale ja da s de la present e. Nav ier (1822) y Poisson (1829) las dedujeron realizando hipótesis sobre acciones moleculares; Saint-Venant (1843) y Stokes (1845) las dedujeron en una forma esencialmente similar, desde el punto de vista físico, a la que se ha empleado aquí (Batchelor, 1967).

4.6. Ecuaciones de Navier-Stokes Ellas son las relaciones locales de cantidad de movimiento de Cauchy aplicadas al caso de un fluido newtoniano.

4.6.1. Expresión general Se debe aquí retomar la ecuación de canti dad de movimiento de Cauchy: u

 pa¡ =pf. + Se puede obtener información sobre  A contrayendo la ecuación anterior:  r, = -Pd^kd u d  mm^nd  n

= -3P + d  mm (3A + 2/¿)

di..y <3x:

(4.230)

así como la expr esión del ten sor T.. pa ra los fluidos newtonianos: -r

r^c

2

c

dv m

dvi 

dVj-

(4.231)

o bien, si o es la tensi ón norm al m edi a: o = -V  + \k  +  -ii\-d mm

(4.224)

3

=0

(4.225)

la cual conlleva el aceptar:

•"V

L l \ r >

r,

/ i

(4.232) Introduciendo esta última relación en la ecuación de Cauchy, se obtiene:

dP 2 d  , 3vm , ox¡ 3 dx. dx m

d  dx. 

dvs 

dy.

3x¡ (4.233)

que es la expresión en componentes de las ecuaciones de Navier-Stokes. (4.227)

Y entonces, el tensor r.. se expresa como: - 3 M í d mm   + 2fid 9 

/

(4.226)

2

A= --¿/

hj =

dx

r 

cr  = -P   De la ecuación (4.225):

3P 2 d , dv ) + — d   M — dV;  dv¡   + —)] dx, 3  dX; dxm dXj dXj dx¡

dt

Ahora, salvo en algunos problemas muy especiales, tales como los de ultrasonido, puede aceptarse la hipótesis de Stokes, según la cual: A+

Entonces:

(4.228)

Si se desea explicitar las derivadas, se puede intr oducir la expresión (4.209):

4.6.2. Casos particulares  4.6.2.7.  Viscosidad constante Si en el problema en estudio la viscosidad dinámica fi puede considerarse constante, la ecuación (4.233) se simplifica a la versión siguiente:

-

<3P

 2

1

d  v{  I

J

d 

d vm x

(4.234)

o bien, en notación de operadores: 2

4 235

mente las presiones y las fuerzas másicas y puede definirse un vector que las agrupa formalmente:

 pa = p f - VP  + //V v + 1 //V(V • v) ( - ) H i = PA -

 4.6.2.2. Escurrimiento incompresible En esta situación, la densidad p  se considera como una constante y la relación (4.233) se particulariza a: £

dP

3 r   .3v¡ dvK-,

dX;

 4.6.2.3.

3xj

o bien:

n =

(4.242)

Si esto ocurre, entonces, por definición, dicho potencial O cumple con:

2

ap a v.. pa¡ = pt. - -— + fx

pf-vp

4.6,4.  Caso particular: Existencia de un  potencial para las fuerzas másicas

dx ¡

Escurrimiento incompresible a viscosidad  constante £

(4.241)

dX:

an

f

(4.243)

dx,

(4.237) o bien:

o bien:

(4.244)

/ = VQ 2 

pa =

pf-VP+{xV v

(4.238)

 4.6.2.4. Escurrimiento de un fluido ideal Por definición, él es invíscido, esto es, p = 0. Se deduce de la ecuaciones (4.211) y (4.212) que:

y el vector I I se expresa c omo: (4.245)

x¡  dx, o bien como:

(4.246)

ñ = /?VQ-VP ap  p a ¡ = p f , "

 dx..

(4.239)

o bien:

4.6,5.  Sub caso particular: Potencial gravitatorio Si la fuerza externa actuante es el peso, entonces:

 pa ~ pf - VP

(4.240)

(4.247)

Las ecuaciones (4.239) y (4.240) (salvo la notación) fueron deducidas por Euler (1755) mucho antes que lo fuesen las ecuaciones de Navier-Stokes y por ello, son denominadas específicamente como ecuaciones de Euler. Obsérvese que la noción de fluido ideal corresponde a uno que tuviese una viscosidad idénticamente nula. Los fluidos que son relativamente poco viscosos, como el agua y el aire, se acercan a esta condic ión, pe ro lo hacen bajo ciertas especificaciones. Estas condicionantes están contenidas en la teoría de la capa límite, la que se verá más adelante.

donde h es una c oordena da vertical ascendente. Entonces:

4.6.3. Expresión conjunta de las fuerzas externas y las presiones Como puede observarse de la relación (4.233), en las ecuaciones de Navier-Stokes intervienen simultánea-

dh

—  dx{

(4.248)

f = g =   -gS?h

(4.249)

 f i=gi

= -g

o bien:

y el vec tor I I vale: A P

nTT

i = PS i " —

 dx;

D H

=

3 P

~P g — - " —

 

dxj «3x¡

5 ÍA 4 2OCM

( -

°)

o bien: n - 

pg - VP = -pgVh

- VP 

(4.251)

4.6.6. Sub caso part icular: Pot encial gravit at orio y escurrim iento de gases  No rm al me nt e, en el caso del es cu rr im ie nt o de gases a velocidades moderadamente grandes, sin efectos de convección natural, los efectos gravitatorios son des pre cia ble s fr en te a los gradientes de presión involucrados. Si es así: 3 P

nTT

¡ =~T-

3x¡

(4.252)

f l = _VP

(4.253)

o bien:

Estas relaciones implican el eliminar las fuerzas másicas del estudio del movimiento, lo que es una simplificación importante.

4.6.7. Sub caso part icular: Pot encial gravit at orio y escurrim iento incompresible En el caso del escurrimiento de líquidos y con la excepción de la existencia de ondas bruscas de presión (ondas de Joukowsky o golpe de ariete), la densidad  pu ede consider arse cons ta nt e y entonces se llega a lo que se denomina escurrimiento incompresible de un fluido pesado. Si es así, las ecuaciones (4.250) y (4.251) se tran sfor man en:  „

dh f 

dP

d

Pg

^ }

(4.255)

Se introduce ahora naturalmente la presión motriz P m:  P m=P

+ pgh 

(4.256)

y entonces las ecuaciones para el vector II quedan: n 1

 

3x¡

(4.257)

o bien: Ü  = -VP m 

Para el caso de viscosidad constante y si se acepta la hipótesis de Stokes, las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben como ya se explicitó, en la notación de los operadores de Gibbs:  2

 pd = p f - V P + ¿uV v  + 1 //V(V • v)

4 259

( -

)

La condición de continuidad se lee, en la misma nomenclatura, como: =0

(4.260)

4 25 4

<- >

o bien: ñ = -V(P + pgh) 

4.6.8. Cierre del sistem a

dt Pg

"~ <9x~ "dx {

las mismas si P   fuese igual a P . Esto indi ca que la presión motriz engloba convenientemente los efectos del  peso o, di cho de otra fo rm a, que P pe rm it e estu di ar el movimiento de un fluido pesado como si el peso no interviniese. El concepto de presión motriz es especialmente útil en el análisis de los escurrimientos internos y en los escurrimientos externos que no tienen influencias de superficies libres (i.e., superficies a presión constante, habitualmente la presión ambiente o atmosférica). En las superficies libres, la presión motriz pierde su significado, ya que en ellas la cota h  puede variar pero la  pre sión P, po r definición, no pued e hacerl o. En esos casos, es mejor desplegar la presión motriz en sus dos elementos, gravedad y presión.

(4.258)

Puede observarse de inmediato que las relaciones de f [ para los gases (ecuaciones (4.252) y (4.253)) y aquellas para los líquidos (ecuaciones (4.257) y (4.258)) son

Las incógnitas son V , P y p  y sólo se dispone de dos ecuaciones. El sistema formado por las ecuaciones (4.259) y (4.260) es, por lo tanto, indeterminado o abierto. La mecánica no da más ecuaciones y se hace necesario recurrir a la termodinámica. Primeramente, ella proporciona la ecuación de estado, la cual, si se acepta la conjetura de Hugoniot, será válida para el fluido en movimiento:  P = P(p,T) 

(4.261)

Se ha obtenido entonces una tercera ecuación, pero se ha introducido asimismo una incógnita adicional, la temperatura absoluta T. Para cerrar el sistema se requiere, en el caso general, el plantear en forma detallada los dos Principios de la termodinámica.

4.6.9. Ecuación de proceso Afortunadamente, en muchos casos de interés, el escurrimiento sigue un proceso o comportamiento ter-

modinámico conocido a priori y entonces, el sistema de ecuaciones del movimiento (4.259) a la (4.261) pueden cerrarse simplemente especificando la ecuación de pror  ceso | , que puede escribirse en general como: £(P ,p,T)

(4.262)

=0

(4.269)

V-v = 0 o bien:

dP

a

2

d Vj

P ¡ = Pf¡ dx :

dx¡

Y esta cuarta relación cierra el sistema de ecuaciones que gobiernan el movimiento.

 4.6.10.1. Proceso borotrópico En él, por definición, la presión depende explícitamente sólo de la densidad:

(4.271)

dX :

4.6.10. Ejemplos de ecuaciones de proceso

Si se trata de un movimiento sometido al peso como única fuerza externa, entonces, introduciendo las relaciones (4.257) y (4.258), las ecuaciones (4.268) a la (4.269) quedan como:

(4.263)

P = P(p)

2

Un caso particular importante de proceso barotrópico es el de los procesos adiabáticos en los gases, para los cuales la relación (4.263) se escribe como: (4.264)

P = cte p' y = C  -P —

C , C v  son los calores específicos a presión constante y a volumen constante, respectivamente. Como ejem plo, pa ra el aire seco, y es cercano a 1.4. Otro caso particu lar i mpor tant e de proceso es el isotermo, para el cual se cumple:

(4.272)

V*v = 0

(4.273)

Pa.

2

3Pm

3 v;

3Xj

3x j3x j

dv L dx

(4.274)

(4.275)

=0

Por último, si se trata de un gas, las ecuaciones del movimiento quedan como: 2

(4.266)

T = Cte

 pa = -VP + ¿/V v

o bien como:

(4.265)

Cv

(4.270)

dx j

 pa = - VP + ¡uV  v

(4.276)

V-v = 0

(4.277)

Debido a las características termodinámicas especiales que posee, una gran cantidad de procesos en que el fluido es el agua pueden considerarse como isotermos, Como contrapartida, esto no es posible muchas veces para otros líquidos, como los aceites. o bien como:  4.6.10.2. Proceso incompresible En este caso, la densidad es constante:

 pa = (4.267)

 p = Cte

y entonces son suficientes para definir el movimiento las dos ecuaciones (4.259) y (4.260), que se escriben ahora como: 2

 p3 = p f - V P +  // V V

(4.268)

dP

 —

dx { 

2

+ u.

d v¡

-

áXjáXj

(4.278)

dv dx

0

(4.279)

Esta relación se integra de inmediato a:

4.6.11. Condiciones especial es Como en todo sistema diferencial que depende del espacio y del tiempo, estas condiciones son primordialmente de dos tipos: 1.  Iniciales:  Funciones especificadas para t ~ tQ . 2. De frontera o de borde: Funciones especificadas en zonas dadas (superficies, puntos especiales, etc). Empero hay una condición específica, de origen ex pe ri me nt al , en el cas o de las soluc iones de las ecuaciones de Navier-Stokes y es la de no deslizamiento del fluido a lo largo de paredes, lla mada ta mbié n condic ión de adherencia: La veloc idad relativa fluido-pared deber á ser nula en la pared si la pared es impermeable. Si la pared es  perm eabl e, la condic ió n se apli cará a la co mp on en te tangencial de la velocidad; si la pared es impermeable e inmóvil, entonces la velocidad del fluido deberá ser nula allí.

4.7. Ejemplos de  soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes Debido a que ellas son no lineales y a que las condiciones de borde pueden ser muy difíciles de imponer, sólo en casos muy simplificados es posible encontrar soluciones cerradas. Aquí se presentan algunos ejem plos.

4.7.1. Escurrimientos paralelos Se supondrá que el escurrimiento es incompresible y pesado, de modo que las ecuaciones del movimiento son:

 pa = -VPm  + //V v

(4.280)

V-v = 0

(4.281)

 dx{ 

dv, dx 3 

 Dv i _ dv, v = PÍ~   Dt dt

dv, dx¡

„

+ —- + —- = —- = 0

(4.283)

dv, dVo dv, dv, + v,J 0 = P i djíj + Vn dx 3 ' ' dt *  " dx 2

+ V 

Proyectando ahora la ecuación 4.280 según los ejes OXj, OX 2 y OX 3, respectivamente:  DV}  Dt

dv* = dt

=

D V

 P

 P

dP m + , d \ dV +^K'^ T 2 +•7 T 2)  dxj dXj dx 2

2=

 Dt

0

=

 Dt

_

d

^

(4.285)

(4.286)

dx-

(4.287)

 dx,

De las ecuaciones (4.286) y (4.287) se deduce que la presión motr iz P sólo puede depender de x¡  y del tiempo t. Esto se interpreta físicamente diciendo que en la sección normal al escurrimiento la presión motriz se distribuye en forma hidrostática. Haciendo, además, x = x; v }  = v; x2  = y; x3 = z , la ecuación (4.285) se escribe como: dv

dP r M dx

' ^ v

a V

+ \x 2 [dx *

2

(4.288)

dy )

Si se deriva ahora respecto a x, se obtiene:  dx

dx

lo que implica que el gradiente de presión no depende de  x;   entonces: dv dt

Bajo estas condiciones, la ecuación de continuidad 4.128 se escribe: dv, dx 2

 P

(4.282)

v2=v3=0

1 dv, 

La expresión del primer miembro de la ecuación dinám ica se gún el eje OX es, entonces:

 dt

El escurrimiento paralelo se define propiamente como uno en el cual:

(4.284)

v, =v 1 ( x 2 ; x 3 > 0

 / d V d \ dP, m + [A  — 2 + " 22 dx (t) dx dy

(4.289)

o bien, en forma ligeramente más general: dv  dR. . ,  P— = — +  dt dx

W

(4.290)

dond e V^ es el lapla ciano en dos dime nsio nes. Si el escurrim iento es permanente, entonces, necesariamente: dv dt

y-

las condiciones de borde (C.B.) son: CB1:

0

para y =

v= 0

CB2 : para y ~ - b >

v= 0

Integrando dos veces la ecuación (4.292):

dx

= Cte

(4.291) v=^ "

Pero, la afirmación inversa es, en general, falsa: si el gradiente de presión motriz es constante, el escurrimiento puede ser impermanente. La ecuación (4.290) define una familia de soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes llamadas, por obvias razones geométricas, escurrimientos paralelos. También se les llama escur rimi entos din ámic amen te establecidos, en el sentido de que se producen ductos muy lejos de zonas de entrada o de salida en las que hay condiciones que perturban el paralelismo del escurrimiento. Las condiciones iniciales pueden ser variadas. Como condición de borde, deberá siempre respetarse la condición de no deslizamiento o adherencia. Se ve que la ecuación (4.289) es lineal y, por lo tanto, relativamente fácil de resolver. Obsérvese que ella no es suficiente para calcular el gradiente de presiones y éste,  po r lo ta nt o, debe ser cons id erad o co mo un dato, como un parámetro o bien especificado por alguna condición adicional.  4.7.1.7.

L

2

y

2 ¡ti dx

y +

c2

(4.293)

Aplicando las condiciones de borde:

0=

2 jLi dx 1

dP

~   b - r>u C, 6 + r^ C, 2 /.i dx.

0 =

1 dP dx

donde C} = 0 y C2 = 2 ¿i dades queda:

2

b

. El perfil de veloci-

b 1 dP- ,,2 2 ( -y ) 2// dx

1

(4.294)

dPm i_2 dx

2-[i y, entonces:

(y

Ejemplos de escurrimientos paralelos per manentes

4.7.1.1.1. Escurrimiento paralelo permanente entre  placas infinitamente extendidas inmóviles

+ cí

(4.295)

Para un ancho 5 del sistema, el gasto Q  es: +b

 B dP Q = JvdA = Bfvdy = ~ —

+b

-b

-b

^

9

rJP

 JjLl

dx

2

- y )dy  (4.296)

La veloci dad med ia v está dada por : v = ^ =

 A

Figura 4.21 Escurrimiento paralelo

d\ + jU 2 dy dx

3 ju

dx

(4.297)

y, entonces:

Los ejes OXy 0 7 s e ha n elegido como se indica en la Figura 4.21. De la simetría del sistema, es evidente que z no influye y entonces la ecuación (4.289) se escribirá como:

0= -

2 Bb

=

(4.292)

Y 

m_ =

v0

2 3

(4.298)

La tensión tangencial vale:

dv dPm r  = //— =  —-y dy dx

(4.299)

Y, por lo tanto, r se distribuye linealmente desde cero en el plano simetral de las placas hasta un valor r 0 máximo en la pared: (4.300)

dx Y la distribución relativa es, entonces:

2

* - y

(4.301)

El vector vorticidad o torbellino puede calcularse como: e

0 =

d  v dy

dx.

y, por lo tanto es válida también la ecuación (4.279):

e

2 3 d 3 d dx  x dx  dx 3 V  2 Vi 2 v3

¿ = Vxv

Un croquis del escurrimiento se muestra sobre la Figura 4.22. La placa inferior está inmóvil y la superior, que está alejada a una distancia h  de la otra, está animada de una velocidad v . Resulta claro que la ecuación diferencial del movimiento es la misma que en el caso anterior (ecuación 4.292) y que también es válida la relación integrada (4.293):

2 [A dx

(4.302)

Pero las condiciones de borde CB son ahora: CB1: para y = 0, v = 0

Resulta claro que, en el caso presente, el tiene una sola componente no nula: =

=

dy

=

jii dx

CB2: par a y = h, v = vQ y entonces: 0 =

(4.303)

G

1 HP - L f f f k ^ + Cj/r + Q 2 ¡x dx

En la pared: o sea:

 f.i dx h

y entonces: C0

 _ =

CÜQ

L b

(4.304)

dx 2 ¿i

Y entonces: 2

h h 2//

4.7.1.1.2. Escurrimiento de Couette entre  placas paralelas

dP v dx h

v

Relación que muestra que, como la tensión tangencial, la vorticidad crece desde cero en el plano simetral de las placas hasta un valor máximo en los contornos.

V

h

Para visualizar mejor el perfil de velocidades, es conveniente introducir las variables adimensionales siguientes:

V

=

" yh

y

m  z//v V ax 0 7

/

Resulta así: t Figura 4.22 Escurrimiento entre placas paralelas

/

IV //--I

t\

(4.306)

Figura 4.23 Perfiles de velocidad (Adaptado de Schlichting, 1968)

La forma del perfil de velocidades resultante para diferentes valores de  P'  pued e obser vars e sobre el diagrama de la Figura 4.23. Cuando P'  es nulo, el perfi l es un a línea rect a. Cuan do P es positi vo, lo que corresponde a que la presión motriz cae en la dirección del escurrimiento, el perfil de velocidades es positivo en todos sus puntos, correspondiendo estos valores de P'  a lo que se deno min a gradiente favorable de presiones, en el sentido de que el gradiente impulsa el escurrimiento en la dirección de eje  OX.   Pero cuando P'  es negativo, esto es cuando la presión motriz aumenta en la dirección del eje OX, el escur rimi ento experi menta una suerte de frenaje y puede incluso producirse flujo reverso. Por esta razón a este tipo de gradiente se le llama adverso. Este flujo reverso está íntimamente ligado al fenómeno de separación de la capa límite, como se verá más adelante.

Un croquis del escurrimiento se muestra sobre la Figura 4.24. Como el escurrimiento es a superficie li bre, convi ene des plega r la pres ión mo tr iz en sus dos elementos. Las ecuaciones del movimiento son ahora: 2

dP dx

d  v ay>

Q = -— + P'g x +t*-r- 

dP + />-g dy

0=

=- ^ dz

0

+

p . g z 

(4.307)

(4.308)

(4.309)

Claramente se tiene:

g x  = +gsma

4.7.1.1.3. Escurrimiento paralelo permanente a super ficie Ubre sobre una placa indefinida

gy   =~gcosa g2= o Con lo cual las ecuaciones del movimiento se escri ben : 0=

dx n ü =

Figura 4.24 Escur rimien to paralelo en superficie libre

+ p-g-sma + ¡L¿   dy)

(4.310)

dP

dy

p- g-cosa

0 - ®

dz

(4.311)

(4.312)

Las condiciones de borde son aquí: Condición de adherencia a la pared (CB1):   para y = 0>  v - 0. En la superficie libre no hay fricción y, por lo tanto, la tensión tangencial t allí se anula (CB2); como

dv : d\> t ~T   Para y = y Qy —- =nQ dy dy>

r = l

En la superficie libre reina la presión atmosférica (CB3), que puede tomarse como referencia:

4,7.1.1.4. Escurrimiento paralelo en un ducto circular Las ecuaciones de Navier-Stokes, escritas en coordenadas cilindricas r, (p  y x pueden simplificarse para el caso del escurrimiento paralelo de la misma manera que se ha hecho en el punto 1 el resultado es, haciendo v:

dv dt

1 3 í dv dP r + j.i r — dx r dr dr

(4.315)

En el caso del escurrimiento permanente:

 para y = yQ9P = 0 La ecuación según OZ indica que la presión puede depender de x  y/o de y>  pero no de z.  Integrando la ecuación según  OY:

P + pgcos ay = f (x) Imponiendo la CB3:

dx

r  dr  l dr

Las condiciones de borde son ahora: Condición de adherencia a la pared (CB1): v=0

 para r  — r.

0 + pgcos ay0 = / (x) = cte y entonces:

P =  pgcosa(yQ-y)

(4.313)

Condición de simetría (CB2): dado que el escurrimiento ostenta simetría de revolución, en el centro del tubo, debe tenerse (ver Figura 4.25):

A dv

 para r = 0

y se obtiene que la presión sólo depende de  y: La ecuación según OX   queda:

(4.316)

— =0 dr

eft>

P dy, 2  pgsma que, integrada una vez, da:

dv __  pgsma dy

p

 y + Q

Aplicando la CB2: Figura 4.25 Escurrimiento en ducto circular.

_ pgsma Jo

Introduciendo C 1 e integrando nuevamente:

 pgsina

v — — •

2 JLI

2 

 y +

pgsma

 ;

Integrando una primera vez la ecuación (4.316) y simplificando:

c

 ) oy+ 2

Imp oni endo la condición CB1, se obtiene C 2 - 0 y entonces , finalmente el perf il de veloci dades es:

 pgsma 2 jLl y(2y 0 ~ y)

v=—

(4.314)

El perfil resulta parabólico, como en los casos anteriores.

dr

2ju dx

r

Aplicando la CB2, se obtiene C 1 = 0.  Integrando de nuevo: dp

V =

1 m 2 + ^C 2

4|x dx

Aplicando ahora la CB1: C 2 = - — ^ r  0

2

4 dx

Y entonces el perfil de velocidades es: 2 1 dP tí~r  ) 4 jli dx

(4.317)

El gasto volúmico está dado por

Q =JvdA = 2JT J   vrdr y entonces:

8 f¿

dx

(4.318)

Al conjunto de la solución expuesta se le conoce como solución de Hagen-Pouseuille, quienes la desarrollaron en el siglo XIX. La solución vale solamente hasta un cierto número de Reynolds crítico Re0, más allá del cual aparece la turbulencia (Reynolds (1883)). Este número de Reynolds crítico es cercano a 2000. Es conveniente recordar que para todos los escurrimientos viscosos existe un nú mer o de Reynolds crítico para el cual aparece la turbulencia. Este número de Reynolds crítico depende del escurrimiento que se considere. Para los escurrimientos paralelos más usuales, es cercano a 2000, formado con cuatro veces el radio hidráulico como dimensión característica. Recuérdese que el radio hidráulico se define como R = A¡ x >  donde %  es el perímetro mojado. 4.7.1.1.5. Escurrimiento paralelo permanente en un ducto rectangular

En este caso, la ecuación diferencial a integrar es la (4.289) escrita para escurrimiento permanente:

La velocidad media v es entonces: (4.319)

 A

8 

La velocidad máxima (v del perfil para r = 0:

dx.

ix )

dPm = cte = dx

se obtiene de la ecuación

J_

4[x

dx

2

2

,d  \ d  \  - T + - Ts dy cz

(4.324)

(4.320)

Y entonces, (4.321) Reco rdan do que esta razó n igualaba a

para el es-

2 currimiento paralelo entre placas, se deduce que en el caso de un ducto circular la parábola es más pronunciada que en el de las placas. La ecuación de Darcy se escribe ahora:

dx

D2

64

 Re

Las condiciones de borde deben expresar la condición de adherencia en el rectángulo que define el contorno (Ver croquis de la Figura 4.26).

(4.322)

Eliminando ahora el gradiente de presiones con la ayuda de (4.319), se obtiene para el factor de fricción de Darcy f   la expresión en función del número de Reynolds Re = 2r 0vjv:

 f

Figura 4.26 C ondic iones de borde en el rect ángul o.

(4.323)

CBly2 CB3y4

para | z j ^ b y  y = ± a , P a r a | y | ¡ a y  z = ± b ,

v=0 v=0

Obsérvese que si b  tendiese a infinito, se caería en un  pr oble ma ya resuelto pr ev ia me nt e y cu ya solución ser ía

2/i A ^

^^

(4.325)

Por otra parte, la ecuación 4.324 es una ecuación de Poisson. Se la puede llevar a una de Laplace, que es más fácil de resolver, introduciendo una variable auxiliar  v" definida a través de: 1 dP 2 2 ^(a -y  )  2 dx

(4.326)

(

v   puede interpretarse como una corrección que se aplica a par a tom ar en cuen ta que el duc to no es infinitamente ancho. Ree mpl aza ndo / en la ecuaci ón (4.324), se obtiene :

Imponiendo ahora las CB1 y 2, se tiene, respectivamente: 0 = (Cj cos(A a) + C 2 sin(A a))(C 3  cosh(A z) + C4 sinh(A  z)) 0 = (Cj  COS(A a) - C 2 sin(A a))(C 3 cosh(A z) + C4 sinh(A z)) Dado que la función que define las CB3 y 4 es par, resulta conveniente satisfacer las condiciones anteriores tomando: C2=0

;

y 2

2

d vi , a v i  2  2  dy dz

=

cos(Aa) = 0

(4.327)

0

Esta última condición permite calcular los autovalores h

que es una ecuación de Laplace y, por lo tanto v } es armónica. Las condiciones de borde son ahora: CB1 y 2 CB3 y 4

y=±a para | z |
TC  Aa = (2n +1) -

(w = 0, 1, 2,. .. )

(4.330)

v^O x

1 dPm /„ 2 2 2[i  dx ( a ' - y ' )

Para resolver (4.327) es adecuado emplear aquí el método de separación de variables de Bernoulli:

La ecuación (4.329) se describe entonces: v, = C {  cos(A y)(C 3 cosh( A z) + C 4  sinh( A z) ) (4.331) Impo nie ndo ahora las CB3 y 4:

V  x=y x{y)z x(z) 

(4.328)

2|¿ dx

Introduciendo en (4.327) y simplificando:  I!

II i _

2

2

(a - y  )= c, cos(>vy)(C3 cosh(),b) + C 4  sinh(Xb)) 2

2\x dx

cte

2

(a - y ) = C  x cos(XyXc3  cosh(\b)-C 4 sinh(Xb))

 yi

Como la condición de frontera variable está en y> conviene que^, sea trigonométrica, de modo de poder establecer un desarrollo de Fourier. Se hace entonces 2 cte = -A , con lo cual las ecuaciones anteriores devienen:

De donde C 4 = 0. Hacien do C 1C 3 = A 2

1 dP

2

 — {a  - y ) = Acos(A y) cosh(Ab)

2 ¿u dx

y tomando todos los valores de n desde cero en adelante: 0 2

z " - A z, = 0

1 dP  —"¿V

y cuyas soluciones son:

 yl ~ C {  eo s (A y) + C 2 si n (A y) z, = C 3 cosh(A z) + C 4  sinh(A z) Entonces, introduciendo en 4.328:

03

 2

-y  )

= ^A„cos(\y)cosh(A„b) 

(4.332)

Esta última relación define un problema de Fourier. En función de los coeficientes A , la relación para v es ahora: a>

v , ^ A n cos (A, ^) cosh(A„z) vf  = (Cj cos(A y) + C 2 sin(A y))(C 3  cosh(A z) + C 4 sinh(A z)) (4.329)

(4.333)

84

Para resolverlo basta, en este caso, multiplicar la ecuaci ón (4.332) por co s(A e int egra r entr e cero y  a:

4.7.2.   Escurrimientos paralelos impermanentes

Esta familia de problema es más vasta y más comJ V - y ) eos (Á m y)dy = ^ A„ c o s l ^ / O j c o s ^ ) eos (Á m y)dy pleja que en el caso de es cu rr im ie nt o pe rm an en te, ya 2// dx que ahora es preciso especificar el gradiente de presión como función del tiempo y además, dar una condición De donde, calculando las integrales: inicial CI. Por otra parte, se supone que la condición de frontera correspondiente a la adherencia es siempre valedera. f2 (.i^ dxí f WA c o a h M 2\ n 4.7.2.7. Escurrimiento paraielo impermanente entre Despejando A e int roduc iend o efectivamente la ex placas paralelas  presión de A  dada por la ecuación (4.330), se obtiene: La ecuación del movimiento será ahora la (4.290) 2

2

16 a dPm  (-1)"  A = " tí n dx  (2/7 + 1)"

 pa ra el caso en que v sea fu nc ión de  y  y del tiempo t: cosh

(:2/7 +  \)nb

2a

esto es:

Introduciendo esta expresión en (4.333) y el resultado en (4.326), se obt iene finalmente el per fil de veloc idades:

2(.i dx

nP

'(2n + l)-j rz' 2a (2n +1)-jt • b* cosh 2a

ji n  dx

3

V(2n + l)

(4.335) El gasto volúmico es ahora:

4.7.2.2.

y=0 0

Donde, realizando las integraciones: 4

4 3/¿

tanh

256  a   dP, >>L V dx

Jt

f.i dxi

Y

~(2n + l)jé 2a 5

(2n + l)

(4.336) La velocidad media vale:

=

2

m~+M" d V

dx

para y = +b,

v= 0

CB2:

para y = -b,

v= 0

Caso del establecimiento del régimen  permanente a partir del reposo

Inicialmente el fluido se encuentra en reposo: v.gr. la válvula que lo controla está cerrada. Se supone que esta válvula se abre instantáneamente y que el gradiente de  presiones cons ta nt e, co rr es po nd ie nt e al es cu rr im ie nt o  pe rm an en te , se im po ne ta mb ié n in st an tán ea me nt e. La ecuación del movimiento se deduce, entonces, de (4.290) y es:

dv

dt 

dPm

-+Mdx

d\

„2

(4.339)

dy 

con las condiciones de borde ya conocidas (Figura 4.27).

{2n + l)jib

tanh 1 , dP M  64 a   a dP,I'IL<*> V 2a a —— + v... = (2/7 + 1)3/x dx Jt  ¡ Á b dx V 2

(4.338)

dy

CB1:

P—= 4 ab

y entonces:

 

dt 

dP

La especificación del proceso, en particular del gradiente de presiones, da una gama amplia de problemas a resolver. Aquí se darán solamente algunos ejemplos muy simples y muy típicos.

y=a b

Q = 4j JV dz -d y

3V

Las condiciones de borde son las mismas que en el caso permanente:

cosh

3

' '

v = v(y, t)

(4.334)

(4.337) Figur a 4.27 Régimen per man ente a par tir del reposo.

CB 1:

Las condiciones de borde dan:

para y = -\-a v = 0

CB2 : para y = -a

v = O

C 0 (C, cos(/k7) + C2 sin (A?) ) = 0

A las cuales se agrega la condición inicial siguiente: CI:

para t = 0;

-a^y^a

v

0

COS(Atf) = 0

El término de gradiente de presiones puede eliminarse en forma análoga a como se hizo en un ejemplo anterior poniendo: 1 dP. (a 2/j, dx

2

c2 = o

(4.340)

-/)

esto es: = ( 2/i + l ) J

(* = 0X2,...) 

La ecuación (4.345) puede escribirse entonces, como: 2

La ecuación del movimiento (4.339) deviene entonces: 2 d  v, dv,L  —  - v ^ (4.341) dy dt

(4.346)

i = ^ A n c o s ( X n y ) - e x p ( - X n -vt)

(4.347)

La condición CI se traduce en:

que es una ecuación de difusión para v, cuyas condiciones límites son ahora: CB1:

 pa ra y = +a

CB2:

 pa ra

y

CI:

para

t 

= 0

Vl

= -a

que define un problema de Fourier. Se encuentra fácilmente que:

Vj

=o

= 0  ,

\ dPm ,

"

2

Jt" fi dx  (2n +1)

(4.348)

3

—-f-ip -y )

2 ju dx

En la ecuación (4.341) se pueden separar las variables  po ni en do : v x=y x{y)d{t) 

(4.342)

Entonces, introduciendo (4.348) en (4.347), el resultado en (4.340) y explicitando los autovalores a través de (4.346), se tiene finalmente, pa ra el per fil de velocidades v:

Introduciendo en la ecuación (4.341) se obtiene:

n dx ¿ ( 2 n

+

ly

l

2a

eX P

(

2

(4.349)

y r  e ' = v y i " ' e

Un croquis de la solución se muestra en la misma Figura 4.27.

I ^ - ^ - C e V0 yj

La solución debe ser hornada cuando2 t   tiende al infinito; esto se asegura tomando   cte - A , con lo cual se obtiene: 2

 y¡'+Á  y¡ =0 

(4.343)

2

0 = C oexp(-A vt) 

(4.344)

Entonces introduciendo en (4.342):

 4.7.2.3.

Escurrimiento paralelo impermanente en un ducto circular (gradiente de presiones  constante) La ecuación del movimiento será ahora la (4.338) escrita para: v = v(r 9t)

esto es: dy

2

Vj - C 0(C {  eos(Ay) + C 2 s i n ( Á y ) ) e x p ( ~ Á v t )  (4.345)

dt

dP dx

1 d r dr

dv

or

 4.7.2.4.

Caso del establecimiento del régimen per manente a partir del reposo El gradiente de presiones es constante. La condición de adherencia es ahora: CB:

para

r 

= r 0

y todo

r 0 ^

para t = 0

dv 

dt

A

1

d

. , dv ,

r dr 

dr

r^

0

v = 0

(4.356) se encuentra como ecuación adimensional del movimiento: 1

 Nótese que ap ar en te me nt e fa lt aría una co ndic ió n de  bord e. Se verá má s ad elante que esta co nd ic ió n es la exigencia de la regular idad del perfil de velocidades. Para resolver este problema en forma sencilla, conviene introducir variables adimensionales en la ecuación 4.350. Considerando la solución en régimen perman ent e, esto es, par a t -> oo .

4¡u dx ^

(4.351)

^

Una escala de velocidades conveniente es la velocidad máxima y M ' VM =

dP. 4 • |x l dx

3t'~r'3r'   dr*

=

(4.352) M

La condición de adherencia es ahora: CB:

 f 

para r ' ~ 1 y todo t

v{ = 0

y

La condición inicial es, de 4.353 y 4.356: CI:

2

para t'=  0 y l a r ' a O ,

v¡ = - v ^ = - ( 1 - r ' )

Las variables se pueden separar poniendo:

v[=R(r')0(f) 

0 11 d    ,dR^ — =—T—-irr  —-) = cte Q Rr dr dr

(4.353)

v '=1

2

A /

0 = C Q  e x p ( - A / * )

Se puede ahora introducir como escala de longitudes el radio rQ  del tubo: r  

(4.354)

'o

Introduciendo (4.352) y (4.354) en la ecuación y sim pl if ic an do se obtiene:

 f2

 2  2

 r  R" + r'R' + Á  r'  R = 0

dt 

r dr 

v

dr 

J

Esta ecuación sugiere tomar como escala de tiempo '_o_ , o sea: v t' =

vi

(4.359) (4.360)

La relación (4.360) es una ecuación de Bessel de orden cero en la variable Ar\ cuya solución general es:

i? = C 1J0(Ar') + C 270(Ar') v

(4.358)

Como ya se explicó en el ejemplo anterior, conviene 2 explicitar esta constante como -A , con lo cual se puede obtener:

Introduciendo en 4.351:

'

(4.357)

Introduciendo en (4.357) y simplificando:

Defin iendo la variable v' : V'

(4.355)

Haciendo ahora:

v = 0

La condición inicial es: CI:

y entonces:

4 361

<' )

en donde J Q e Y Q son las func ione s de Bessel de orden cero, de primera y de segunda especie, respectivamente. Como Y 0  diverge para r*= 0, la regularidad del perfil de velocidades exige C 2 = 0  y entonces, haciendo A = C QC 1 se obtiene: y,' = A / 0 (A/)exp(-Ay)

(4.362)

La condición de borde se expresa ahora;  A f  0 ( \ ) = 0

lo que indica que los A son las raíces de (n = 1,2...) de J . La ecuación 4.362 se escribe ahora: 00

V

í

(4.363)

Una de las principales dificultades para encontrar soluciones exactas de estas ecuaciones proviene de que ellas son no lineales, y esto debido al término que contiene el product o de las velocidades y sus derivadas. En el escurrimiento paralelo, este término se anula idénticamente. Cabe preguntarse si él, bajo otras condiciones, no devenga nulo o al menos despreciable frente a los términos lineales. Para explorar esta posibilidad, es conveniente introducir las variables adimensionales:

Imponiendo la condición inicial:

 _ ( l - r < V | / W , ( V )

(4 364 )

 A =

v;

V.-

Las fun cio nes de Bessel / son ortogo nale s en el intervalo (0,1), lo que permite calcular directamente los coeficientes A . Resulta así: (4.365) KJxíK)

 R

 p'=

m0

La solución para v* es, entonces:

En donde v& t0 y P 0 son escalas apropiadas de las variables correspondientes. Introduciéndolas en 4.368 y simplificando, se encuentra:

00

v ;

i 

=

Y para v* es: v' = l-- r

12

dt

P

 / o t o J, dV. + V —

L

 dx'

pv 0 l 0 dx.

l¡

d'V: dx]dx]

-  Á  J 

Si se exige ahora que el término que contiene la presión y el laplaciano sean de orden de magnitud uno, entonces:

«  M»)

2

it

, _'o r 

o

ii

i V

0 r 

1r

m0t03Pm+t0V

0

t=o

 / S  ' Z r 

\

r==5

\ 00

—

ni 0

' 

y el término no lineal es ahora del orden:

Figura 4.28 Solución de la ecuación

Un esquema de la solución encontrada se muestra en la Figura 4.28.

Vo k = Re v  L donde Re es un número de Reynolds definido en forma conveniente. Si ahora se exige que el número de Reynolds sea mucho menor que la unidad:

4.7.3. Escurrimi entos rampa rit es

Re « 1

Las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben como: 2

p i n + p Jv . a v ^ . ® ^ a vi dt dxj dx¡ dXjdXj

P^oh -  f&0 tr0  L

=

(4.368)

(4.369)

entonces el término no lineal de las ecuaciones de Navier-Stokes se hace despreciable y ellas devienen:

„ 3v¡  dt

dK dx

d\i

<9xj<3xj

(4.370)

Ella muestra que, en escurrimiento incompresible se tiene:

o bien: 2

(4.371)

 p ^ f = - V P r a + j x - V v dt

Vxá>= -V v

(4.378)

En escurrimiento permanente:  4.7.3.1.

Escurrimiento rampante permanente alre dedor de una esfera - Solución de Stokes

2

3  Vi1


(4.372)

— JJ.  dx{   dXjdXj

 PmO v

o bien:

 o

2

v

Estos escurrimientos a muy pequeños números de Reynolds son en general muy lentos y por ello se les conoce como escurrimientos rampantes. El sistema se completa con la ecuación de continuidad para escurrimiento incompresible: 3v¡  dx:

0

(4.374)

V-v = 0

(4.375)

o bien:

Si se toma ahora el gradiente respecto a x.   de la fórmula (4.371), se tiene:

 dx.

d t

2

3 .dPn dx. dx.

3 VI

dx.. dx J.dxJ:

y alternando el orden de las derivaciones: 2

 2

?P  dy dx. t

3x:3x:

dv-

3x J; 3x J; 3x ;

 dx dx : :

(4.376)

o bien:  2

V  R. = 0

—^

Vo

Figur a 4.29 Esfera inm er sa en un fluido

La esfera, de radio R> está inmó vi l en u n fluido indefinido, que, lejos de ella escurre de izquierda a derecha con velocidad constante vQ (ver Figura 4.29). Lejos también de la esfera, la presión motriz es uniforme y vale P . Se pide calcul ar el cam po de velocidades, el de  presione s y la fu er za que el fluido ejerce sobre la esfera. El sistema posee claramente simetría de revolución alre ded or de un eje x que pasa por el ce ntr o de la esfera y que es paralelo a v 0. Obviamente es conveniente aquí emplear coordenadas esféricas R,^, ^.La condición de simetría de revolución para el movimiento correspond 0 de aquí a v. = 0

CB1: para ^

2

= 0

0

Las condiciones de borde son aquí las siguientes:

de donde, introduciendo la condición de incompresi bi lida d (4.374): 3 P

(

(4.373)

VP=jlN  V

(4.377)

=

^o,

CB2: para ^

00

v

v

/ t ~ 0 ~ ® (condición de adherencia)

, la velocidad está dirigida segú n el eje GXy vale v0;

CB3: para ^ ~*

la presión mot riz es uni for me y vale? m0'

Se puede comenzar por el cálculo del campo de presiones, esto es, por el análisis de la ecuación (4.375): VP m= o

O sea, la presión motriz en los escurrimientos ram pa nt es debe ser ar mó ni ca . Co nv ie ne re co rd ar asimismo la identidad siguiente: 2

Vx(Vxv) = V(V*v)-V v

que se escribe para este problema como:  d /n2 3Pm N  d  3Pm , . s m o — R •—•) +—(sme— = 0

3R

3R

36

30

(4.379)

Las variables se pueden separar poniendo + C 0 

Pm=®{d)p{R)

Combinando ahora las ecuaciones (4.373) y (4.379): (4.380)

1

(4.387)

 fx lo que conduce al sistema siguiente:

Igualando las componentes según e R   y según e e e introduciendo (4.385):

;

de

dd 

A( dR

d

R 

2 P y C  pr = 0 dR

(4.382)

2

d(a>é  sin ff) = _ ^

 RsinO

donde C es una constante apropiada. Si se desarrolla la ecuación (4.381) y se hace el cambio de variables  x = eo s 6   , ella se convierte en: (1 - X ) 0 " - 2 x 0 ' + C 0 = 0

1 

(4.383)

dd

_ 2 q c o s í

¡,i dR

1 d(a)
=

¿u R'

1 dPm _C  X   smd

dR

3

fíR d6

Esta última relación se integra a: (4.390)  jii

(4.384) y entonces:

Las soluciones de la ecuación (4.383) son los polinomios de Legendre o armónico s esféricos. Cabe r ecorda r como ejemplo que P( co s0 )- 1; ií (co s0) = cos0;... Se ensayará con P t   esto es;

sin 6 Como F muestra una singularidad en 9 = 0, entonces debe tomar se  F = 0. Entonces:

Introduciendo este valor en 4.382: 2

=0

C t  sm0 (4.392) 2 T~ ¿i R En función de las componentes de la velocidad co^ se expresa como: CO =

Se pueden intentar ahora soluciones particulares de m la2 forma  cte R   . El cálculo da dos soluciones: m = -2; m = 1 y entonces:  p = cte2 R +

cte

F{9)

 — K (R — ) - 2 pH dR dR

é  *

_1

cte,

*

R

f b{Rve)

R

dR

Rv

P„ = (C 2 R + -j±)cos6 

dv R) de

y, por lo tanto:

Introduciendo p y 0 en 4.380: C,

(4.391)

( F ( 0 ) s i n 0 ) = O

Lo que implica: C = 2

F{0)  R

F   es una función arbitraria; para fijarla puede reem plazarse (4.391) en (4.388). R esulta así: dd

y entonces:

R

_C  sm0_ co, = L

(4.385)

& = cte eos 0

(4.389)

¿i R

que es una ecuación de Legendre> si se define:

C — 77(77 +1) 

(4.388)

Lf( e) _ ^  R dR de

+ C 0

De la CB3, se deduce que C 2 = 0 y que CO = P ; entonces: C 

(4.386)

1

É ^ (x R

(4.393)

Introduciendo la función de corriente de Lagrange:

1

i

=

a^

v r  = -2 ^ — " —  R sm0de

(4.394)

dV

1

v a =

 RsmO

1 C C 3 + v. = - — sin 0 { — - —f -r 2C33 ) ¡u 2R R

(4.395)

dR

se obti ene la sigui ente relació n par a

:

La condición de borde al infinito (CB2) exige: l

^  2 +   2  dR R

36 s'm0 dd

(4.396)

R

Pese a que esta ecuación n o es hom ogé nea e n ^ ,  pu ed e expl orarse la posi bili dad de se pa ra r las vari a bles, a través de: W =

I  si n O 2C 3 ve = v0 si n 6  = - —  de donde:

(4.397)

£(R)X(8)

Entonces: RC

v R = — VQ COS O =(A— cos /9 2 C 3

1

^

La condición de adherencia (CB1) impone ahora:

"

s

+

n

^ l  R

l{JLy

X 

C +

sin 6

LÉ£l

= 0 

(4.398)

_ C  x

0 =

pL X

Para que las variables se separen, se requiere que:

C  2 C 0 = — - - y - + 2C3  Ro

2

C  x s i n 0 _ 1 ¿LI X K  x

(4.399)

y entonces:

y que:

C

 X 

 X' y_ sin 6

1

2 C  2 + 2 a

(4.400)

 R

1

=^0 0 1

3

C 2  - - - / / V 0 i ? 0 en donde K  y K 2  son constantes apropiadas. Introduciendo (4.399) en (4.400) se encuentra K 2  = -1/2  y entonces:  2

Con lo cual la función de corriente, las velocidades y la presión se expresan, respectivamente, como:

(4.401)

 K  X  R ^" - 2K  X C +R = 0 cuya solución es:  , R cte n2  £ = + —- 2 + cte.R 3 2K  x R

(4.402)

vR  = — Vq cos/9

+

2 i? 0

 R/

(4.404)

2 R

3 IL

l ,R0 \3 + "(—) 2i? 2 i?

(4.405)

Reemplazando 4.402 y 4.399 en 4.397:

c,

 R 2K  x

 M

ve = v0  sin 6

 2 cte+ cte 3 R  ) R

n _ n

o bien: ^ = - s in  fi

2

2

R + ^ + C.3 R  ) 2 K  x R

1

cos

C  2 C L + — ^ + 2C3 ) R R ^

4

R

(4.406)

  C0S|9

D

(4.407)

(4.403)

Las velocidades se obtienen ahora de 4.394 y 4,395: v = * p

3

 4R

Para calcular el empuje sobre la esfera, se requieren las compon entes del tensor de tensiones evaluadas en la superficie del cuerpo, esto es, para  R = R ; •RR  lfí=i?0

P + 2fl 

P \R=Rq

91

cera parte del arrastre se debe a la tensión normal y dos terceras partes a la tensión tangencial. Si la fuerza de empuje hidrodinámico Fx  se expresa mediante la ley de Newton:

eos 9

3

•p

(4.409) 3

eos 6

don de C X es el coeficiente de arra stre hid rod iná mic o. Combinando con la ley de Stokes, se encuentra: /v ,

|^

= -P  + 2/zf———— + ^ + ^ eos o\ I _ = -P  Rsm&

(p

R

R

3

1 (9 s i n 0

 

Rsmd  (p

 Rsin9
 R

1 VR ' R9 \R=Rq f*  R~ (—) +  R R R 9

í=

-

R

= *°

Re

= 0

0

11  fi v 0

sin

9

2 R.

La fuerza elemental, proyectada en la dirección del eje OX es:

 3

 3JT D¡x w - p g --D

6

= (x R9 sin 6 - P eos 0)2jtRo sin G d0

(4.410)

3

2

dF x  - 3jtR 0 ¡Í-VQ (sin  0 - e o s   0sin0)d0 2

F x « 3 jt R 0 (i v 0  (sin  0 - eos   0sin0)d0 2

 F x = 3JZ  R^I  v 0 | - + -

F  x = 6JZRq£1 V0

 3

- pg — D  

6

(4.411)

de donde w

 No es ne ce sa ri o to ma r en cu en ta P , ya que po r ser una constante, su integral sobre una superficie cerrada es nula. Así:

4

 

El rango de validez de la solución de Stokes, como es natural esperar, es muy restringido: Re « 1  es la cifra que se acepta n ormal mente . El problema del escurrimiento rampante impermanente alrededor de una esfera es, obviamente más com plejo, pe ro se ha en co nt ra do pa ra él un pl an te am ie nt o integro-diferencial exacto, asociado a Basset, Boussinesqy Oseen. Una aplicación clásica de la ley de Stokes es el cálculo de la velocidad de sedimentación de partículas. En efecto, si una partícula esférica de diámetro D  y densidad p p  cae con velocidad uniforme h>  en un fluido de densidad p y  debe existir un perfecto balance entre el empuje hidrodinámico y el peso de la partícula disminuido en el empuje de Arquímides:

dF  x = (r  R9 si n 9+ r  RR eo s 6)dA

3

0

V

9

eos

sin 9 i?

24

c x  x=—

(4.408)

Esta fórmula, debida a Stokes, representa uno de los  po co s casos en qu e la fu er za sobre un obstác ulo pu ed e ser calculada en forma exacta. Obsérvese que una ter-

18 v

(4.412)

donde A = es el pes o espec ífico relativ o de la  pa rt íc ul a. Es de obvio in te ré s cu an ti fi ca r el lí mi te de validez de esta última ecuación respecto al tamaño de las partículas. Para ello basta combinarla con la limitante: wD <1 (4.413) v Se obtiene así:  D< 18

(4.414) árA

Por ejemplo, si se trata de arena, que puede acercarse a esferas de cuarzo (A = 1.65) sedimentando en agua a 20 °C (v ~ 0. 01 (

cm2

Y poniendo en ella A — B = v -

/j):

-

4.8 Ecuac iones de Bernoulli Se conoce con el nombre común de ecuación de Bernoulli un conjunto de relaciones parecidas entre sí, pero que no son idénticas ni tienen el mismo grado de validez. La designación misma es ambigua, ya que sus expresiones actuales más empleadas se pueden derivar no del planteamiento de Daniel Bernoulli (1738) sino del que desarrolló posteriormente Leonhard Euler (1755).

4.8.7.  Ecuación de Euler Se supone escurrimiento invíscido, entonces vale la relación siguiente:

i  Dt

dx..

/ = -VQ Entonces:  dv  dt

+ V(— + Q) + - WP=-a) p 2

pf-WP

P = P ( P )

Consideremos la siguiente integral:

(4.416)

De donde;

di

 dt

Esta es, salvo el uso de vectores, la ecuación de cantidad de movimiento que Euler entregó en 1755.

4.8.2. Integración de la ecuación de Euler La aceleración vale: + v • Vv  dt Empleando la identidad:

+ d(— +  2

Q+C—) J p

•coxv

Multiplicando escalarmente por un elemento de recorrido dr.  dv -¡ „  dP.  — • dr + di— + Q -i- ir —)  dt 2 J p

•cbxv'dr

Integrando: d

dv

 dPip) p

 dlp dl  p dP 1 gradl p = —— = —— = —  gradP dxj dP dx¡ p

 dv

(4.415)

xv

Limitando el análisis a procesos barotrópicos, en ese caso, por definición:

dp

O bien:  p =

Supóngase que las fuerzas másicas derivan de un potencial escalar D:

 J

^

V

 — + V ( — ) + ¿ x v = / - - V P  dt 2 p

-Pd„

Ella nos dice que el principio de Pascal sigue siendo valedero aunque el fluido se encuentre en movimiento. Dada la época, para Euler esta relación era una conjetura. La ecuación de cantidad de movimiento de Cauchy se particulariza como:  Dv

2

-

La ecuación de Euler adopta la forma:

Se observa que este límite es insuficiente para nume rosas aplicaciones mineras y metalúrgicas.

u

2

v-Vv = V(—) + (Vxv)xv = V(—) + ¿yxv

D « 0.0 104[C/M] = 104[/¿w]

r 

V

2

r  v j V r^ p d P r- - h  f dr + — + Q+ f— = -\Q)xvdr  J dt 2 J p J

v (4.417) }

El problema ahora es el cálculo del segundo miem bro. La ma ne ra má s simple de tr at ar lo es pr eg un ta rs e en qué casos es nulo:

V(AB) = (A • V)B + (B • V)A + Ax (V x B) + B x (V x A) (bxv-dr

= 0

Ello ocurre al menos en cuatro situaciones: 1) v = 0 Este caso es trivial, ya que el fluido se encuentra en reposo, 2) ¿b = 0 Corr espon de a un escu rrim ient o irrotac ional. 3) a) es paralel o al vect or veloc idad V . Los escurrimientos que cumplen con esta condición son llamados flujos de Beltrami. 4) dr   es un elemento de línea de corriente. Como, por definición, ella es paralela al vector velocidad en cada uno de sus puntos, el triple producto escalar se anula, ya que contiene dos vectores que son paralelos. Realizando la integración en el caso 4 y entre dos  pu nt os P y P 2  de una línea de corriente instantánea: 1

dP

.dv -: ¡-•dr  

0 + Ic - v 2+ Q J p 2

2

J^f'

i

có f ó<¡>. A = J at W

i

1

1=

i

(4.421)

El subcaso más importante es el de un proceso adia bát ico, pa ra el cua l: C P < i ? k-ijdp~ cte, - — k p jt_!~  f r dP(p) - ^ l = ctek¡pt k-Y 1 2 k P  — V 4k-lp 2 

1 2 

-v

2

k

+

k P k-\p

P dv , + r \ —Ul -dr k-\p 2  J1dt

Si el escurrimient o es perma nente   (d/dt) — 0 9 v[+

k P\L 1 7 k P-, = -V2+ k  -1 p x 2 k- \ p2

(4.422)

ao

Esta última se conoce con el nombre de ecuación de Zeuner. Si se trata de un gas ideal:

dx

P =  RpT

f  d J

k 

P = ctep  

1

Se tendrá, sucesivamente: fdvj d ,x ¡

Salvo en problemas de convección natural, el potencial gravitatorio es despreciable comparado con los otros términos en la ecuación (4.420) si se trata de gases. El proceso politrópico es un caso especial del caso  ba ro tr ópic o pa ra el cual:

(4.418)

Con las salvedades indicadas en la introducción, podemos denominar esta última relación como fórmula o teorema de Bernoulli. Si se impo ne la condición de irrotacion alidad en todo el dominio, los puntos P } y P2 pueden ser arbitrarios. La integración conduce a la misma fórmula anterior, pero los puntos inicial y final ya no requieren estar en una misma línea de corriente instantánea. Ahora, la irrotacionalidad implica la existencia de un  po te nc ia l esc alar de vel oci dades O: V, = VO =

4 . 8 . 3 . Casos particulares  4.8.3.1. Escurrimiento de un gas en un proceso  politrópico

aci"1

^J

i

d(

T

)d X|

d®

La ecuación de Zeuner adopta la forma:

dt

+

k-1

RT, =W 2+

~—RT    k-1 2

(4.423)

Reemplazando en la ecuación 4.418: 1

-v 2

2

.  dP ao + q +r r — + — J p d t

1 _ dP a$ - v 2 +Q + r f — + — 2 J p dt

 4.8.3.2.

(4.419)

Si se particulariza al potencial gravitatorio: Q = gh

Entonces, la ecuación (4.418) deviene: dP  I

cdP -1 v2 + gh7 + I — 2 J p

, (4.420) + (r dv dr {dt

Como la relación de Bernoulli es de uso muy frecuente, se la definirá para algunos casos particulares de interés.

Escurrimiento de un fluido  y pesado

incompresible

En general es el caso de los líquidos. De la ecuación (4.420), impon iend o p = ctee  introduciendo allí el peso específico y = pg: 1

 — v

2g

^

,

P

+/? + —

y

P

1 ídv C dr   (4.424) gJ J Afdt

1 V2+/7r + — 2g

y

Se suele llamar carga total o carga hidráulica H   a la suma:

P V  H = h + - + — r  2 g 2

Entonces:  H t  = H 2 + — • dr  J  g  , dt

(4.425)

entonces el número de Reynolds Re — — » 1; la existencia de la capa límite está invariablemente asociada a grandes números de Reynolds.

Si el escurrimiento es permanente: 2

Vt , Pt 1 v -J- + h + - = 2 y

2

P , +h + y

Deberá cumplirse que 3 « L>  donde L  es una magnitud lineal que especifica el tamaño del cuerpo. Asimismo, ya que se supone que la viscosidad es pequeña,

(4.426)

4.9.2.  Ecuaciones para la capa límite hidimensional

O bien:  H { = H 2= H ^ cte.

(4.427)

Esta última relación expresa la forma que la Hidráulica clásica elemental da al teorema de Bernoulü.

4.9. Teoría de  la capa límite Esta teoría, enunciada por Prandtl en 1904, constituye una de las llaves maestras de la mecánica de fluidos y su importancia no ha hecho sino crecer desde su  pl an te am ie nt o.

\

/

/

\

/ \

f

4

i \

V M N/ ^

/

i \

\

\ 

\

v — —

I /

/

X * T

Figura 4.31 Esquema de un escurrimiento plano

4.9.7. Concept o de capa lími t e Sea el escurrimiento sobre un cuerpo perfilado como el de la Figura 4.30. Si el fluido fuese perfectamente invíscido (Le.[i = 0), entonces la distribución de velocidades sería como la de la curva 1 mostrada en la Figura 4.30. Si, por el contr ario, la viscosidad f uese muy grande, la distribución de velocidades sería como la de la curva 2. Ahora , si la viscosidad es pequeña, el perfil de velocidades será como en la curva 3 y los efectos viscosos serán muy marcados sólo en el interior de una capa de espesor 6, que es precisamente la capa límite. Fuera de esa capa, el escurrimiento se comportará como si la viscosidad del fluido fuese nula. Por su tamaño relativo, al escurrimiento fuera de la capa límite se le denomina escurrimiento principal.

Escurrimiento  pri ncipa l

¡

»

I Ho

J

Capa límite 8 Cuerp

8«L Figura 4.30 Escurrimiento sobre un cuerpo perfilado

Sea un escurrimiento plano como el esquematizado en la Figura 4.31. Se supondrá que él es incompresible y  pesa do, así como de v is cosidad co nsta nt e. Las ecuaciones del movimiento son entonces las de Navier-Stokes y la de continuidad: P

 Dv x _  Dt Dv

> =

 Dt

3v t dx

2

dx

+ [N  v x

dP„, dy = 0

3y

(4.428)

(4.429)

(4.430)

Estas ecuaciones se harán adimensionales usando las escalas E   siguientes: Coordenadas: Ex¡ = L • Velocidad: Ev¡ = vro • Tiempo: Et • Presión:  EP = pv^ Designando con primas (') las variables adimensionales:  X;  x[L

2

 presión mo tr iz en ella . A simi sm o, en la e cu ac ió n se gú n

 p* m— xp'   m p\> r  '  oo

OX   se tendrá que

L t =t — /

Introduciendo las escalas y variables adimensionales correspondientes en las ecuaciones (4.428) a (4.430), se obtiene, después de simplificar:

x

 —

dt 

dv[,

+

+

dx

, dv[, V

^

y

+ V 

dv' —  dy' , dv[, ^

> ay

2

dP' 1 ,d  vl 2)  i dx' Re dx'  3P'

= _ ?£BL

ay

dv[  —  dx'

+

2

^2 / 2

2

dx' 

dy' 

dv'

(4.43D

dy' 

d  V v

ÜC

ecuación (4.431), omit ien do tamb ién

d v.

1 d  V v

+ J _ ( _ J L2 +

2 =  f L ü2 y, por lo tanto , es lícito dx'  dy'  omitir de la relación correspondie nte. Ahora, fuera de la capa límite, los términos viscosos deben ser despreciables y, por lo tanto, se deduce de la

(4.432)

2

dv'  y —7 = 0 dy'

(4.433)

d ' Ahor a, si se considera — ÍL como de ord en 1 0(1), endx tonces de la ecuación de continuidad (4.433) se deduce

 —

dt

+v

, dv dx'

+

dP' dx'

ay

•

(4.434)

=0

Volviendo ahora a las variables dimensionales originales, se tendrán las siguientes ecuaciones para el movimiento dentro de la capa límite: dv dv   av.  — r - + v„ —-Y  + vy dt dx dy

dx

1 ap

p dx

+V

aV

(4.435)

(4.436)

dy

Las condiciones de frontera son: J^ O;

dv' que — e s también de orden 1. Como / es del orden 5, dy' v' es también del orden ó. v' es naturalmente entonces y 

0;

x

VV = Vy = 0

(4.437)

v r   = v ( x , 0

(4.438)

Vy

de orden 1 y ^ Í L  será del orde n ^ . Asim ismo , ^ dy'  dx' d 2v , ó será del orden 6 y entonces — e s también del orden dx dv' 6. Se acep tará que es tam bié n de orde n 1; entonce s 2

dv' ^Í ' 1 d  ' z. es de orden Ó. Z^JL es de orde n y así Y* será 1 dt' dy' dv , S dy'  del orde n 8% Com o —Z es del orden 1, se tend rá que dy

aVl. es del orden 2 dy' 

'

S

Se deduce que el primer miembro de la ecuación dinámica según OX   es todo de orden 1. Entonces uno al menos de los términos viscosos debe ser también de orden 1 de ntr o de la capa lími te. Esto oc ur re si  Re — es del 2 orden 5 . Pero entonces en la ecuación según OY  to dos los términos que contienen las velocidades son de orden 6 y así dP'™  es también de orden 5. Esto implica dy' que P* es prá ctic ame nte con stan te en las secciones de la capa límite. Esto se expresa en palabras diciendo que el escurrimiento externo a la capa límite imprime su

Las condiciones iniciales serán del tipo: v r  -

V y  = v y (x  y )     } 

v x (x 9 y )\

para t = 0.

La velocidad  v(x,t)  en el borde externo de la capa límite se obtiene de la versión dimensional de la ecuación (4.428): dv dt

dv dx

 — + v — +

1 dPm =0 p dx

(4.439)

Esta relación puede integrarse a la siguiente: .dv P„,+ p H — +  f—- dx = Cíe '" 2 J dt

(4.440)

Ella expresa el teorema de Bernoulli en una forma que se verá más adelante. Las ecuaciones (4.439) y (4.440) son las relaciones de Prandtl para el comportamiento de la capa límite laminar. Si el escurri mient o es perman ente, entonces las ecuaciones de la capa límite devienen: dv x dv 1 dP. v. —+ v. *r ~ +v A dx dy p dx a /

(4.441)

dx

(4.442)

dy

Las condiciones especiales son solamente de frontera: (4.443)  y-*  co;

= v(x)

dv 1 dP—  m = .0 dx p dx

m se tendrá  dP ~  > 0 y entonces se habla de un gradiente  dx adverso de presiones. La razón de estas denominaciones reside en que

(4.445)

siemp re y cu an do dP>» es nega tivo o, al lím ite nul o,  dx la capa límite puede desarrollarse sin problemas en la dirección del eje OX,  Pero cuando el gradiente de presiones es positivo (adverso), el escurrimiento en la capa límite debe retardarse y al final del proceso de retardo  pu ed e llegar a in ve rt ir su di recc ió n. Pero, po r ra zo ne s de continuidad, si este fenómeno ocurre, el fluido es expulsado hacia fuera del contorno (Figura 4.32) y se  pr od uc e una se pa ra ci ón de la co rr ie nt e.

y/o por el teorema de Bernoulli en régimen perm anen te:  p

>}¡+p—

= cte

rrimiento que se desacelera en la dirección del eje OX,

(4.444)

Y ahora  v(x)  está dado por: v— +

ra en la dirección del movimiento, esto es si — > 0)  dx se  dP entonces — < 0 > y   habla de un gradiente favora dx  ble de presiones. Por el con tr ar io , en el c aso de un esc u-

(4.446)

Se puede inferir que las ecuaciones de Prandtl constituyen una simplificación muy importante respecto al sistema diferencial primitivo. Sin embargo, aún constituyen un problema matemático muy difícil de resolver debido a su falta de linealidad.

4.9.3. Orden de magni tud para el espesor de la capa límite lam inar En el borde de la capa límite, esto es, para y = 5, los términos de inercia y los viscosos deben ser del mismo orden de magnitud en las ecuaciones del movimiento. Entonces, de la ecuación (4.435) se tendrá: 2

d  v

dv

 y dx dy Considerando solamente los órdenes de magnitud:

v' co

„ , v co 2 «s y

V

" L

El punto S   de separación se define como aquel en que se tiene:

ó

y entonces: 3

 L

N

( v V

Z

\ - /

=0

1/2

 Re1/2

(4.447)

Como se supone Re » 1 entonces deberá tenerse  L

Figura 4.32 Esquema de separación de corriente

«1

4.9.4. Rol del gradi ente de presiones - Separ ación de la capa lími te De la ecuación de Bernoulli para escurrimiento permanente y, en forma más directa de la versión diferencial (4.445) se deduce que si el escurrimiento se acele-

(4.448)

 y-0

Las ecuaciones de la capa límite de Prandtl dejan de ser válidas para puntos a la derecha del punto de separación S, ya que no es posible en tales zonas suponer que la capa límite es delgada. El emplazamiento de la zona de separación depende simultáneamente de las características del escurrimiento y las del contorno y, en general, varía cuando el escurrimiento lo hace. Pero en los casos de existencia de puntos angulosos que definen una desaceleración de la capa límite (Figura 4.33), según la teoría del escurrimiento ideal, allí se produciría una velocidad infinita y

 po r lo t anto un gradient e advers o brut al. Se co mp re nd e que el escurrimiento del fluido real no lo tolere y, en tales zonas, la corriente se separa bruscamente. El grado de divergencia admisible por las líneas de corriente sin que se produzca separación en la capa límite es  pequeño. Más adelante se re to ma rá en fo rm a algo má s  preci sa este pu nt o.

Figura 4.33 Puntos angulosos en la desaceleración de capa límite

4.9.5. Arr astre hidr odinámi co

Figura 4.34 Arrastre en un cuerpo perfilado

Sea un a corrie nte de veloci dad V^ que incide sobre un cuerpo perfilado (Figura 4.34). Se llama arrastre hidrod iná mic o la fuer za F que la corriente ejerce sobre el cuerpo. Se le expresa convencionalmente a través de la fórmula de Newton:  F x=C  x £vlA 

(4.449)

C es el llam ado coeficiente de arra stre hid rod iná mico y A es un a área de refer encia conve nient e. C es adimensional y la fórmula (4.449) no permite calcularlo: sólo lo define. El arrastre normalmente se desglosa en una componente llamada friccional que proviene de las tensiones viscosas y en otra llamada de forma y que proviene de las presiones.

Las tensiones tangenciales viscosas pueden escribirse en el contorno como:

t*~ dv  

  _)'=0

(4.450)

' 

Entonces, si la distr ibuci ón de velocidades en la capa límite es perfectamente conocida, la tensión t 0  puede calcularse en todos los puntos y el arrastr e fri ccional se obtiene entonces por integración. Esto, por supuesto, solamente hasta llegar a la zona de separación, si ella existe. Existen casos extremos que es conveniente recordar aquí. Si la viscosidad fuese rigurosamente nula, el tensor de tensiones degeneraría en uno compuesto sólo de las presiones y no existirían en principio zonas de se paración; en ese cas o es posib le de mo st ra r con perf ecta generalidad (ver, por ejemplo, Milne-Thomson (1968)) que el arras tre hi dro din ámi co es nulo y se cae en la llamada Paradoja de D'Alembert. Precisamente, uno de los méritos de la teoría de la capa límite es que permite simultáneamente salvar la Paradoja de DAlembert y aprovechar los métodos de cálculo para los escurrimientos invíscidos, usándose éstos para analizar el escurrimiento fuera de la capa límite. Para imaginar la influencia relativa de las presiones y de las tensiones viscosas conviene analizar la Figura 4.35, en la cual una misma placa de espesor desprecia ble se supone coloc ada al te rn at ivam ente pe rp en di cu la r y luego paralela a un escurrimiento uniforme y de extensión indefinida. En el caso de la placa perpendicular, el arrastre será preponderantemente de forma. Si la placa es paralela a la corriente, el arrastre será solo friccional.

Estela de separación '— O© •

'O©

Figura 4.35 Influencia relativa de presiones y tensiones viscosas

4.9.6. Espesor de desplazamient o

4.9.8. Capa límit e lam inar permanent e sobre una placa plana sin gradiente de presiones-Solución de Blasius

Figura 4.36 Definición del espesor de capa límite

El espesor de la capa límite puede definirse de varias maneras, dependiendo de la idea física que se emplee. La noción de caudal unitario que está afectado por la capa límite permite introducir un espesor llamado de desplazamiento 5* (Figura 4.36). En efecto, dicho caudal AÍ/ vale; (4.451)

o Se introduce ahora un espesor 5* tal que:

Figura 4.37 Esquema del escurrimiento

Un croquis del escurrimiento se muestra sobre la Figura 4.37. Las ecuaciones son aquí las de Prandtl, 4.441 y 4.442, haciend o ffi»

2

dv dv dV v r  — r + v}v — r- = V  2£v  dx dy dy

co

d*v„ = Aq=j{vm  -v)dy

 dv

de donde:

 dx

dy

dvv — = 0 dy

(4.456)

Las condiciones de borde son ahora:

4.9.7. Espesor de canti dad de movimient o Este parámetro está asociado al déficit de momentum presente en la capa límite respecto al del escurrimiento principal externo a ella. Se define como un espesor  0 tal que: co

= pfv(v„-v)efy 

(4.453)

de donde:

ov«

-f-

(4.455)

(4.452)

oV

 pvÍ0

Q:

=

dx

dY

(4.454)

El significado físico de 0 y su empleo se verán más adelante.

 y=

 y

0;

v x=v y=0

00*

V =v„

(4.457)

(4.458)

Como no existe una escala de longitudes impuesta desde el exterior, se puede tomar el espesor 5 de la capa límite como escala de las ordenadas y dentro de ella. Se tratará de buscar soluciones similares o afines, en el sentido de que se tenga:

o

(4.459)

 ;

Se sabe que S  «  -zr~iñ   ^ tomando x  como L, se ten Re drá:  y

V  A 1/2

Vcc  m

« ^ (  - ') á x v Designando: =

= y(   )   vx

dy

(4.460)

d \

2

dy

Las condiciones de borde (4.259) y (4.260) equivalen ahora a: (4.464) '7 = 0;

dx

Entonces: df dt] i W — — = A  v„xvf v x dii dy V  =V 

1/2

/

^ x 1

.

dx

=v j

  ( ~ f ) V - / ] 

 d 

R,, i ---SI ?7  _= ~V  J  r» y(  v, dx 2 x\v x

_

\

1/2

1

/

f  + 2

x\v

-

1/2

(4.468) dx

2 x

/ ' = 0; / ' ^ 1 

(4.472) (4.473)

Se ve ahora que las variables int roduc idas por Blasius han permitido que el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales de Prandtl sea reducido a una sola ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden. El aumento del orden se debe a la introducción de la función de corriente de Lagrange.

1

(4-467)

2

RTT

1/2

f = 0;

(4.466)

 x  J'

dv

(4.471)

(4.463)

dy

W - V  xd = v j f{r¡) -  4 v j v f { v )  (4.465)

>' 

(4.470)

que se simplifica a:

Ahora, como ¥ representa un caudal unitario entre líneas de corriente, se puede hacer:

=

= v j

1 ín\  r   \

2/ "' + / / " = 0

 dW

 dw Vy

V 

2

 ,

(4.462)

 = /(»7)

v. =

i

(4.469)

Reemplazando las velocidades y sus derivadas en la ecuación de cantidad de movimiento 4.455, se obtiene:

Conviene ahora introducir la función de corriente de Lagrange de mod o que la ecuación de cont inui dad 4.456 quede satisfecha idénticamente:

dW vv - — dy

„tj y

(4.461)

y x )'

se obtiene: v vaL

w/ dtf dy

\

x

1/2

f

100

La ecuación 4.471, deducida por Blasius, fue integrada por él mediante la introducción de una serie de  pote ncia s de r¡ al re dedo r de rj = 0 y me di an te un a ex pa ns ió n asintó tica pa ra los valores elevados de rj. Hoy en día es muy fácil programar y resolver esta ecuación - por ejemplo en OCTAVE (programa computacional  pa ra re al iz ar cálculo nu méri cos) - us an do al gu na li br ería qu e resuelva ecuaciones diferenciales or di na ri as : £(77) =

/"(0M7) Donde K(r¡) es una función bien definida y acotada lejos del origen pues   g{?] ^ 0 0 ) = —> 00) = 1. por lo tanto, K(w V/

— (0).

/l t

/""(o)

 ÍO

0

o

1

o

~f /2

J

( f  g

0

F(0)  \

Cabe hacer notar que esta ecuación tiene condiciones iniciales para / y g>  pero no para h.  Sin embargo, este problema es salvable pues la expansión en serie de f tiene las dos primeras derivadas en el origen igual a cero y por lo tanto: / "( o ) 2 r i o )  I  o

v

Por lo tanto el valor de   ' puede ser escogido ar bi tr ar ia me nt e (por ejemplo igual a 1) y lue go la sol ución de F  se re-escala dividiéndol a por el valor asintótico obtenido parag Por lo tanto se puede escoger:

 h

\

00)/ =

77)^(77)

 M

F =

Y por lo tanto

1

/

En las Figuras 4.38 a la 4.40, se muestra la solución numérica para la solución de Blasius, para la capa límite laminar permanente sobre una placa plana sin gradiente de presiones.

3

Función f(rj)

ti Figura 4.38 Solución numérica de la ecuación de Blasius

Figura 4.39 Solución numérica de la ecuación de Blasius

Figura 4.40 Solución numérica de la ecuación de Blasius

 4.9.8. 7. Espesor de la copa límite según la solución  de Blasius

En forma algo arbitraria pero útil, puede definirse el espesor 5 como el valor de r¡ ~ r¡0  para el

don de Cj. es un co eficiente de fricc ión local (den ominado a menudo como factor de Fanning). Ahora, de la relación (4.450):  fo =

5

cual ^ =  f'(r¡0) = 0.99 . Se obt ien e así i]0 ~   y por lo tanto:  d _

*

 4.9.8.2.

=

 — | / " ( 0 ) VX

(4.479)

De la Tabla de Howarth se deduce que /"(0) es cercano a 0,332; combinando las ecuaciones (4.478) y (4.479) se obtiene para C^-la expresión siguiente:

5

Donde Re  está definido como:  Re.

dv x dy y-0

C. _

2f"(0) ¡  Re x  0,664

(4.475)

V

(4.480)

/Re.

Espesor de desplazamiento la solución de Blasius

según

El arrastre total sobre la placa con dos caras de ancho  B y de largo L  será:

De la definición expresada por la ecuación (4.452): F  x =

<5* =/ U-f W=j f(l -/' )4' v® / o V VK

1/2 „

Introduciendo la expresión (4.479) para  TQ:

1/2

 I /(I

~f')d,  \

V

lim(// - / )

1/2 L

/

F  X  = 2B¿I 

ó _ 1,7208

vj"(0)

 4.9.8.3.

~

\

V * »

dy =

según

F  X  =

V X

0,664 jRe„

r¡

^ 4f "( 0) 1,328 =  Cx =

(4.477)  4.9.8.5.

La tensión tangencial local en el contorno puede ex pres arse convenci onalme nte po r la relac ión sigui ent e: C  f (x)£vL

(4.478)

VR^

4.484

donde:  Re,

Fricción viscosa y arrastre hidrodinámico  según la solución de Blasius

T 0(x) =

(4.483)

y entonces:

1/2 «

Esta última integral puede calcularse por cuadratura numérica y el resultado es cercano a 0,664, donde:

 4.9.8.4.

C  X ^Í2BL

Vr^

6 x

(4.482)

El coeficiente de arras tre hidro din ámi co C queda dado por (según ecuación 4.449):

Este espesor está definido por la ecuación (4.454):

K 

i/2

a/^ T

Espesor de cantidad de movimiento la solución de Blasius

J0 Voo

vL

F  x=4Bfsv„f"(0)

(4.476)

,

"rr\\\

De la solución numérica se obtiene para este límite el valor aproximado 1,7208 y entonces: x

(4.481)

2Bjv0dx

v„L  y

(4.485)

Contraste experimental de la solución de  Blasius

Se han realizado en el pasado medidas cuidadosas de la situación esquematizada por la solución de Blasius. Las experiencias confirman la teoría en forma excelente: véanse al respecto las Figuras 4.41 y 4.42, adaptadas de Schlichting (1968) y de Knudsen y Katz (1958), res pe ct iv amen te .

103

f

0.01

0.001

0.0001

1x10'

1x10"

1x10

RG

Figura 4.41 Coeficiente local de fricción sobre un plato liso con incidencia cero en flujo incompresible determinado de medidas directas de esfuerzos de corte realizadas por Liepmann y Dhawan (Adaptado de Schlichting (1968))

Como es natural, la solución de Blasius -así como todas las soluciones de capas límites laminares- sólo es valedera mientras no aparezca la turbulencia en la capa límite. Esto ocurre para un cierto número de Reynolds

Re xc.  El valor de Re 6 puede ser tan bajo como crítico 5 3*10   o tan alto como 3°10   dependiendo del nivel de turbulencia de la corriente externa a la capa límite.

25cm

Lámina gruesa (N°4) u = 8 m/s

1

á&ffl Lámina delgada (N°1) u = 8 m/s 1 i 1 O , ,. , .

i

®o «c • 0.8

«

• R  0 0/ f

O

 v

 v/a  " +B > r>

. 0.8 *  f

0.6

+

0.6

•

• / o/

0.4

• y o•

0.2

 / _ 0

¥

*

X= 3 cm X= 5 cm o X= 10cm X'= 15cm

1

•

 Z ,  / i *o B / • ir o A

•

•

* 6 7 

0.4 0.2

/

x<>

s/

1

<

 /

1

••^ffT"

^ o

o

— • o • ° • o * + *

Blaslus x = 1.0 cm x = 2.0 cm x = 2.5 cm x = 4,0cm x = 5.0cm x = 7.5 cm x = 10.0cm x = 12.5 cm x = 15.0 cm x=17.5cm 1 t • t

Figur a 4.42 Dist rib ució n de velocida des en la capa límite lamin ar sobre un plato liso (Adap tado de Knud sen y Katz (1958))

4.9.9.  Otras soluciones afines Es obviamente muy atractivo encontrar soluciones que admitan afinidad de los perfiles de velocidades en el sentido que ya se explicó para la solución de Blasius. Existe una familia de soluciones afines, de la cual la solución de Blasius es un caso particular y que ha sido investigada por Falkner y Skan y por Hartree (Schlichting). Ella requiere que la velocidad del escurrimiento  principal en el bor de de la capa límite sea de la forma: v(x) =  Cte x'

Mediante métodos de variable compleja, es fácil ver que esta situación es la que se produce cerca del punto de estancamiento E   de una cuña cuyo ángulo total comprendido es nfi  (Figura 4.43). En este caso se tendrá: Si fí  = 0  entonces m ~  0  y se obtiene la solució n de Blasius. Un esquema de los perfiles resultantes se muestra sobre la Figura 4.44. Debe notars e que se produ ce separación para m = -0,091. Este valor indica que el grado de divergencia de sus líneas de corriente que le es dable soportar a la capa límite laminar es muy pequeño.

(4.486) ¡3 = 2

m

777 + 1

(4.487)

4.9.70.  Ecuación integral de Von Kármán

Figura 4.43 Punto de estancamiento de una cuña

Es esta fórmula muy importante en las aplicaciones de la teoría de la capa límite, ya que relaciona en forma sencilla varios aspectos del escurrimiento. Además, dadas las suposiciones que se imponen en su deducción, ella es válida para escurrimiento laminar así como para el caso en que exista turbulencia. Supóngase un escurrimiento de capa límite sobre una placa plana. El movimiento es perma nente, incom presible y pesado. El ancho de la placa es B.

Figura 4.44 Perfiles obtenidos de la ecuac ión de Blasius (Adaptad o de Schlichting (1968))

Figura 4.45 Escurrimiento de capa límite sobre placa plana

Se puede aplicar el teorema de las cantidades de movimiento al dominio limitado por AA'BB^ (Figura 4.45):

Dividiendo igualmente el lado derecho de la ecuación (4.489) por  p B y  él puede expresarse como:

(4.488)

 ,dP

 JP,A  A

i - i *

0

 AA'BB'

A

' h  B -JP„,Bdy \  B-T 0 Bdx 

 A

(4.489)

0

Dividiendo por  p I?, el lado izquierdo puede explicitarse como:  fidyfn

-fédyÚ

&

Si h está más allá del techo de la capa límite, entonce s  x  y v en A  B iguala la velocidad v del escurri miento principal y v tom a  2el val or en h y v y  (h).  Las dos integrales que contienen x correspon den a una variación diferencial en la dirección OX. Entonces:

dx

 P

(4.491)

Proyectando según el eje OX:  h  p $v xv-dA=P m $Bdy\

dx-^dx

 f M

dx + vv y(h)dx (4.490)

Igualando las relaciones (4.490) y (4.491) y dividiendo por   dx\

d  [¡vldy] + vv y(h) dx:

 dP ¡ f *

 P

El gradiente de presiones se puede eliminar em pl ea nd o la fó rm ul a de Be rn ou ll i en fo rm a di fe re nc ia l (Ecuación 4.445):

 p dx

dv dx

(4.492)

Introduciendo esta última relación en la anterior y empleando el teorema de Leibnitz:

/

V

dv_ _ 2 V v r  dy-vv(h) 3 X dx x

= -° P

v (70 puede calcularse de la ecuación de continuidad aplicada ai dominio ABA'fT;  dA = 0

P-

que es la ecuación integral de Von Kármán. Esta ecuación se puede presentar bajo diferentes formas equivalentes; por ejemplo:

(4.493) '0

donde:

 p vdx = 0 

•jv x dy

 f v A B

(4.494)

O

v

 f

y

d

{h) =

d\>

=

~ 

" 0h

 dx 0

dv dx

dv x 2v x —dx

 f

dv dx

T Í

 I

v

dv dx

p

 P

 =

0  T   _dv

~  Va

_ dvY  dv 2vv —— + v —r-  dy ' dx dx

dv dv v r  — + vr  dx dx

 f

 p

dv dx

 dy

dx

f(v - vY  )dy + — f vY(v - vY  )dy dxl   dx{i

f

(4.496)

Introduciendo en esta última relación las definiciones del espesor d e despl azam ien to Ó* y el espesor de cantidad de movimiento 6, que son, respectivamente: vó*=Zf(v-v x )dy 

(4.497)

0 00

v 0=$v x(v~v x )dy 

(4.498)

o

se encuentra, haciendo tender  h al infinito: T  n  p

d dx

de_

 dx

(4.502)

 —— = 2C  f  f  dx

(4.503)

Estas dos últimas relaciones le dan sentido físico al espesor de cantidad de movimiento. Como en la ecuación de Von Kármán el perfil de velocidades aparece  ba jo la for ma de integrales defi ni da s, ella no pu ede ser resuelta para dicho perfil en forma local. Pero, si el perfil de velocidades se conoce o puede estimarse, la ecuación integral da una relación muy valiosa entre el gradiente de presiones y la tensión tangencial en el contorno.

4.9.77. Algunas aplicaciones

co

 2

(4.501)

o bien, combinando con la ecuación (4.343):

dv dv dv ' vr  — Y - + v — Y - vT — Y - dy dx dx dx

dx

2

ó\dv 2 dx

Como se habrá observado, en la deducción realizada se han empleado el teorema de las cantidades de movimiento y la ecuación de continuidad, que son válidos ya sea el escurrimiento laminar o turbulento. Se deduce que la ecuación de Von Kármán es válida en ambos casos. Si el gradiente de presiones es nulo, entonces la velocidad del escurrimiento principal v es una constante vQ y entonces:

que puede escribirse sucesivamente como: v

o aun:

"

{ dx

dv x dv + v — x 2v x —— ' dx dx

(4.500)

(4 495)

^

o bien: v

dv

'0 _„2  de  dx

y entonces: v

de

v,,2 — + (26 +  d*)v  dx  dx

dv dx

Se ofrecen a continuación algunos ejemplos sencillos de aplicación. En realidad, si ellos debiesen ser resueltos en forma rigurosa serían muy difíciles de resolver. La versión simplificada que aquí se mostrará es para fijar ideas.  4.9.71.1. Estimación del coeficiente de gasto de una  boquilla perfilada

La capa límite se desarrolla como en el croquis de la Figura 4.46. Como fuera de la capa límite se puede su-

y entonces: C-l-6,

 L  D

1

(4.509)

=

A guisa de ejemplo, si ces

  1 0000 y — = \ }  enton®

C   - 0,93

 4.9.11.2. Estimación del desarrollo de la capa límite en la entrada de un ducto rectangular muy  ancho Figur a 4.46 Capa límite de una boquil la perfilad a

 po ne r que el e sc ur ri mi en to es invíscido, se t en dr á pa ra la velocidad v de dicho escurrimiento a la salida: v=

Este problema es también interesante si el ducto es circular, la situación real puede corresponder a régimen laminar, régimen turbulento o incluso a casos mixtos. En el caso actual, sólo se estudiará el caso laminar. Un croquis de la situación se muestra sobre la Figura 4.47.

(4.504)

J2gH

donde H   es la carga hidráulica. Para calcular el caudal Q, deberá utilizarse la velocidad v, pero corrigiendo la sección A de la boquilla en el espesor de desplazamiento 5*:

0 = v(¿-*<$*)

(4.505)

donde X es el perímetro mojado. Por definición, el coeficiente de gasto C cump le con: Q = CAA/2gH

(4.506)

Como ecuación de partida, se puede plantear la de Yon Kármán:

Igualando (4.505) y (4.506):  A

Figura 4.47 Capa límite en la entrada de ducto rectangular muy ancho

(4.507) A

donde R es el radio hidrául ico

 r0 . c*. dv 2 dd  —~=v — + ( 2 8 + 3 ) v —  p dx dx

R  A

; si la boqu illa es de

x

, (4.510)

La condición de continuidad se escribe ahora como:

sección circul ar de diá met ro A entonces: <7 = 2v0Z? = 2v(¿> - <5*) C =

l-4

 D

(4.511)

(4.508)

En este caso el desarrollo de la capa límite es con gradiente de presiones y además puede aparecer la turbulencia. Obviando estas limitantes se puede poner:

o bien como: v =

(4.512)

Como una conjetura, necesaria para cerrar el sistema de ecuaciones, es preciso dar la forma del perfil de

108

velocidades. Se supondrá aquí que los perfiles de velocidades son similares, esto es: (4.513)

v

Así, el espesor de desplazamiento puede calcularse como: 00 . V 

.

S

ó* =f (l- ±)dyv~óf (l-f)d?j==:aó  o \ / o

(4.514)

con a definido como: a •¡{l-f)dr¡

(4.515)

Análogamente, el espesor de cantidad de movimiento Q se expresa como: e

= f VL(i_«<5 J

o

v

v

f / ( 1 - f)dt] = J

fió  

(4.516)

o

Figura 4.48 Estimación a y

Ahora, para conocer en términos numéricos la evolución de S* con  x>  se requiere calcular  a y Ellos pueden estimarse ensayando con un perfil adimensional como el que se indica en la Figura 4.48, que es una  par ábola cuadrática que se ajusta a las con diciones siguientes:

y entonces ¡$  está dado como: (4.517) Introduciendo ahora la tensión tangencial en el contorno: = dy  y-O  o

0)

(4.518)

Reemplazando las expresiones (4.514), (4.516) y (4.518) en la ecuación integral y simplificando: IC

V /'(O) = vfJS 

dx

2

/(0) = o /(1)=1 /'(!) = 0 Entonces: (4.521) Se elige este perfil debido a que corresponde a la distribución de velocidades del escurrimiento dinámicamente establecido. De las ecuaciones (4.515) y (4.517) se obtiene: 1  a = -

I

+ (2/3 + a) ¿ — dx

(4.519) P=

Eliminando v mediante la ecuación de continuidad 4.512 y <5  según 4.514, se obtiene, después de simplificar: Pr  2/3 +a x*2 dd* 2 y b-ó   dx (b-óy dx v0b Esta ecuación puede integrarse por cuadratura: multiplicando por , integrando e imponi endo para . ó\a + /3) + (3/3 + 2a)b\og

2

+ (2/3 + á)b 7——r = a ~ /'(0)x b - ó vQb (4.520)

15

y, del perfil (4.521): / ' ( 0) = 2 Un parámetro de especial interés es la longitud  L  que toma el que se establezca el escurrimiento paralelo. En esa situación, se requiere que 6 sea muy cercano a b. Para el flujo dinámi camente establecido: v = 1.5 v 0 • Entonces de la relación 4.512: 1 ó* = -b

3

Introduciendo este valor, así como las estimaciones de   a, pyf\0) en la ecua ción (4.520) se obtie ne: ¿ = 0. 10 38 -° — V

(4.522)

Para fines de comparación, se puede introducir ahora el diámetro equivalente D  del ducto como  D = 4R, en donde R  es el radio hidráulico. Como, en este caso el radio h idrá ulico vale b, entonces, la ecuaci ón (4.522)  pu ed e escribirse co mo: 3

 — = 6.48xl0~ i?e  D

(4.523)

en donde Re = Dvjv •  Schlichting (1934) resolvió este  pr ob le ma en fo rm a de ta ll ad a y en co nt ró :  L ,  — = 10" Re 

(4.524)

Este resultado excede en un 54 % al del cálculo aproximado expuesto. Se deduce que la solución aproximada expuesta permite estimar buenamente sólo un valor grueso cercano.

4.10.

Flujo Tur bul ent o

une désésperante énigme Barré de Saint-Venant, refiriéndose al flujo turbulento 1872 Turbulent Motion. It remains to cali attention to the chief outstanding difficulty of our subject Horace Lamb 1932 ... la aérodynamique et la turbulence restent des disciplines oü le recours a Y  expérience est indispensable. 1 ... aucun méthode n   est universelle et par conséquant, il faut  bien connaitre son doma ine dáp pli catio n. J. Cousteix 1989

4.70.7.  Introducción El transporte turbulento es más la regla que la excepción en los procesos industriales. Es un tema muy difícil. Debido a esta dificultad y a pesar de su evidente interés técnico, la turbulencia es un fenómeno que se conoce solamente en forma limitada aún hoy. Es tan así que la mayor parte de los problemas en que la turbulen-

cia juega un rol esencial han sido atacados empleando una laboriosa mezcla de estudios experimentales, modelización matemática e hipótesis ad hoc. Pese a su enorme importancia, el conocimiento de la turbulencia en el pasado estuvo durante mucho tiem po co nf in ad o a ciertas co ns ta ta ci on es em pírica s sobre la relación entre la velocidad y la resistencia al avance de cuerpos en una corriente o a la pérdida de carga en tuberías. Solamente en el último cuarto del siglo XIX se logró obtener alguna comprensión del flujo turbulento y  pl an te ar los pr im er os mo delo s.

4.70.2.  Naturaleza de la turbulencia El escurrimiento turbulento aparece como desordenado e inestable. Si se le observa se puede constatar la  presencia de mo vi mi en to s sinuosos de di fe re nt es esc alas. Ellos sugieren la presencia de un campo de torbellinos extremadamente complejo. Como lo muestra la célebre experiencia de Reynolds (1883) la turbulencia nace del flujo viscoso cuando el número de Reynolds supera un valor crítico que de pe nd e de la ge om et rí a de la i ns ta la ci ón (cercano a 20 00  pa ra un du ct o circular). Este pr oc eso co rr es po nd e a la aparición y al desarrollo de una inestabilidad del flujo. Es muy difícil dar una definición de la turbulencia. La mejor prueba es que diferentes investigadores muy calificados de la turbulencia no han dado definiciones o las dadas no concuerdan. Pero es posible indicar algunas de las características esenciales del flujo turbulento:  4.10.2,1 Irregularidad El flujo turbulento es irregular o caótico. Aunque se le observe durante un tiempo largo, solamente se logra encontrar una regularidad estadística. Las magnitudes observadas (velocidad, presión, temperatura, concentración) fluctúan incesantemente alrededor de event uales valore s med ios. Estas fluctuaciones no presentan a primera vista ninguna regularidad que no sea  pu ra me nte estadística.  4.10.2.2. Difusividad La turbulencia siempre se extiende a través del fluido, provocando una fuerte tasa de mezclado y de intercambio. Si un escurrimiento parece ser al azar, pero no difunde, no es turbulento.  4.10.2.3, Grandes números de Reynolds El transporte turbulento invariablemente está asociado a grandes valores del número de Reynolds. Si un

escurrimiento muestra números de Reynolds pequeños la turbulencia no se presenta. Más aún, si en un flujo turbulento se disminuye sin cesar el número de Reynolds se llega fatalmente a un punto en que la tur bulencia desapar ece.  4.10.2.4. Fluctuaciones tridimensionales  de la vorticidad En realidad, como demostró Cauchy en el primer cuarto del siglo XIX, todo escurrimiento puede ser descrito mediante un campo de torbellinos. La turbulencia por su parte es esencialmente tridimensional y vorticosa. Más aún, ella exhibe siempre importantes fluctuaciones de la vor ti cid ad. Tan es así que Favre et al. (1988) dicen que "un escurrimiento es turbulento cuando presenta un gran número de torbellinos de dimensiones muy variadas".

4.49 y 4.50). Siguiendo a Boussinesq estas funciones se  pu ed en de sc om pone r co mo sigue: F= F +/(0

(4.525)

G = G + g (/ )

(4.526)

F, G: valor medio tempo ral de F y G, respecti vamente;  f , g: fluctuaciones resp ecto al valor medi o.

 4.10.2.5. Disipación La turbulencia es siempre fuertemente disipativa. Ella, para poder mantenerse, extrae incesantemente energía del escurrimiento. Al extremo que, si la fuente externa de energía disminuye más allá de un cierto valor, la turbulencia muere.  4.10.2.6. Impredecibilidad Un sistema físico es impredecible si es sensible a las condiciones iniciales de la mane ra siguiente: Se supone que el sistema se rige por ecuaciones determinísticas como lo son, por ejemplo, las de la dinámica de Newton. Esto indica que la historia anterior del sistema quedará enteramente determinada por el conocimiento de las posiciones y velocidades del sistema en el instante inicial. Pero si dos estados del sistema difieren en ese instante sólo por diferencias infinitesimales, estas diferencias se amplificarán hasta alcanzar un tamaño finito. La turbulencia es impredecible en el sentido expuesto.

4.10.3. Ecuaciones de Reynol ds El primer intento de describir cuantitativamente el flujo turbulento fue realizado por Boussinesq en 1872. Él postuló la existencia de un movimiento medio local pe rma nen te al que se su per po ní an fluctuaciones de velocidad arrojando en conjunto la imagen de un flujo turbulento, Reynolds desarrolló el mismo concepto y lo empleó para obtener una forma modificada de las ecuaciones de Navier-Stokes. Hasta hoy estas ecuaciones se denominan de Reynolds.  4.10.3.1 Valores medios y fluctuaciones Sean, en el seno del fluido en movimiento, dos funciones cuyos valores instantáneos son F y G, (Figuras

El valor medio temporal de F se define como: 1' F = l i m - JF (T )C / T

 t

(4.527)

0

Introduciendo (4.525) en (4.527): F=l i m

1

+  f)dr

Donde:

1

= F  + lim  j f ( r ) d r

t

/ = jim ij/ (T) í/T / = 0

4 528

( -

)

Análogamente se obtiene: g =0

(4.529)

Estas dos últimas relaciones indican el hecho que el  pr om ed io de las des viaciones respecto al pr om ed io de una variable es nulo. Empleando la misma metodología para obtener el valor medio temporal del producto de F y G se obtiene: F G = FG + fg F

 2

 2

-F  2

 2

+f

 2

(4.530) (4.531) (4.532)

G -G +g~

Es importante destacar que el promedio temporal del pr od uc to de las fluctuaciones fg no es nul o salvo en el caso en que F y G son independientes. Se puede medir el grado de correlación entre F y G mediante el coeficiente de correlación siguiente: C =

f g

 f \ g

 2

(4.533)

Si las variables son independientes, C = 0. Si las variables admi te n una correl ación perf ect a, C vale +1Ó-1. Por ejemplo, si f = g ó f - -g y  respectivamente (una variable, por aleatoria que sea, tiene que estar perfectamente correlacionada con ella misma). La definición dada por (4.527) exige que el tiempo de muestreo de la señal F sea suficientemente grande como para que el valor medio esté bien definido. Esto no representa problema si la señal F muestra solamente fluctuaciones ráp ida s (de alta frec uenci a). Pero pued en  pr es enta rs e cas os co mo el de un río , en que existen fluctuaciones de var iab ili dad imp or ta nt e, pero a la escala de un día entero. En un caso como este se acepta que la definición dada por (4.527) sigue valiendo, entendida en los términos siguientes: F - 

~¡F(r)dr

(4.534)

Si t es el per íod o típico de las fluctuaciones ráp ida s y T Q el de las fluctuaciones comparativamente muy lentas, entonces el tiempo de muestreo debe cumplir con:

Figur a4.5 1 Función débil del tiempo

 pe rm an en ci a global son lo s ufic ientemente fr ec ue nt es e importantes como para requerir abordarlos pese a las fluctuaciones de alta fre cuen cia que prese nta n.  4.10.3.2. Ecuaciones del movimiento Se analizará el caso del escurrimiento incompresible. Las ecuaciones de base son entonces la de continuidad y la de Navier- Stokes escritas, resp ectivam ente, como: ey  j _ =  dx

(4.535)

0

av, av i dP m  — + wV , — 'f - =   dt  dx  p dx¡

 2

d  y. dXjdXj

, (4.536)

El vector velocidad instantánea V. y la presión mot riz instantánea P m  se despliegan de acuerdo a la descom posición de Bou ssi nes q: (4.537) (4.538) V¡ >P m  : valor medio local de la velocidad y de la presión, respectivamente; v ¡ , P m: fluctuaciones de la velocidad y de la presi ón, respectivamente.  Not a: Pa ra aligerar la es cr it ur a, se el im in ar á de ah or a en adelante la barra:

 t0  « T « T  0 Si así ocurre, el promedio de F tendrá sentido y se  po drá cons id er ar a F una func ión débil del tiemp o  F(t)>  (Figura 4.51). Estas consideraciones no tienen nada de riguroso,  pe ro los es cu rr im ie nt os tu rb ul en to s que mu es tra n im -

 Pm =Pm La ecuación de continuidad 4.535 se puede escribir como:  dVj  _ 3 ( F y + v y ) ^ < 3 F y dVj _ + =0 (4.539)  dx,  dx.  dx t  dx..

Tomando el promedio temporal se obtiene: dV¿ dx..

(4.540)

= 0

av.

Las ecuaciones (4.540) y (4.541) indican que la veloci dad medi a te mpo ral y las fluctuaciones res pect o a ella cumplen separadamente con la ecuación de continuidad. La ecuación de cantidad de movimiento (4.536) se escribe:

dt

13P UL

=

dXj

P dx.

2

y

a v(L_

dt

1 dP m 'JL + p dx,

J

¿

— —

 dx

 2

Y

Empleando la ecuación 4.535, es posible plantear la siguiente relación: 1 J   d(VV.)

dV. L

dV ¡  dV. = V¡ —- + V, —   = V,  dx.. dx.. dx.. dx..

Entonces:

dr 

J 

 dx..

1 dP m - +  p dx¡

 2

v

d  V.  dv tvj dx i dx i dx .

(4.542)

Esta última relación, llamada de Reynolds, es muy similar a la de Navier-Stokes (4.536), pero la diferencia que ostenta es fundamental. Ella incluye un tensor formado con los promedios temporales de los productos de las fluctuaciones tur bul ent as. Se pue de defi nir el tensor de tensiones viscosas (r ):  dV¡ dX j

dVj

vv

'  2 2 A/vfv2

(4.545) Entonces la ecuación de cantidad de movimiento se escribe como:

 dt d  F¿L dXjdXj

=

C ¡2  variaba continuamente desde -0,46 en la pared hasta cero en el centro del ducto. La tensión tangencial total puede definirse como:

 dxjdx.j

Tomando los promedios temporales:  dV L¡ ^

 r

(4.541)

dXj

av,L 3(v.v.)

chardt (1938) midió en un ducto rectangular el coeficiente de corr elac ión ent re las fluctuaciones en la dirección del flujo (1) y las perpendiculares a él desde la  pa re d (2):

1 dP 1 d + -— [( *v )« +( *, ), /] p dx¡ p dx.

 dx,

(4-546)

O bien: dJ

dl 

 í  + y.  í

dt

 p dx¡

dx

p dx.

(4.547)

A continu ación se da la versión desplegada en detal le de las ecuaciones del movimiento incluyendo las tensiones de Reynolds.  4.10,3.3. Ecuaciones del movimiento para flujo tur bulento incompresible Continuidad: (4.548)  dx

dy

dz

Cantidad de movimiento según el eje OX: ¿K  dt

(4.543)

 dK  dx  2

 dV„ dy

 dV dz

 2

 2

(4.549)  p dx

 ,d  V  d  V d  V  . + v ( — x 2f + — 2 + — f  2- x)  dx dy dz

dx¡

Por analogía con el tensor viscoso se puede definir un tensor turbulento de tensiones   (t¡) O  de tensiones de Reynolds:

 2

 dv {   x  dx

|

dv xv y dy

|

dv xv 2) dz

(4.544) Cantidad de movimiento según el eje OY\ El signo se introduce así porque la correlación entre v.  y v. es generalmente negativa. Como ejemplo, Rei-

 dV,

dV,

dV,

dV,

1 dP

 dt

 dx

dy

dz

 P ty

(4.550)

 2

-(

 2

 2

 d  v,

d  v,

d  v

4,10.4.1.2. Turbulencia libre

dx:

 dy

dz-

Ella se presenta en la ausencia de paredes o contornos sólidos, cuando los números de Reynolds globales son suficientemente grandes. Es el caso de los chorr os y las estelas lejos hacia aguas abajo de las singularidad es que las han generado.

dv v  —  + dx

dv., dv v, L + — dy dz

 4.10.4.2. Estructuro del campo

Cantidad de movimiento según el eje  OZ:

dt 

x

dx

}

dy

dz

p dz

(4.551)

Otra clasificación que es conceptualmente útil se  bas a en la es tru ct ur a que mu es tr an las fluctuaciones. Se distingue: 4.10.4.2.1. Turbulencia

4.10.4. Tipos de turbulencia La turbulencia es un fenómeno vasto y complejo. Se comprende entonces que sea susceptible de ser clasificado según diversos criterios. Se darán aquí algunos  pu nt os senci llos y que ti enen rel aci ón con aspec tos fís icos del flujo turbulento.

vi = cte x

v2 = cte2

Una clasificación importante se refiere al sistema material en que existe el flujo turbulento. Se distingue entonces: Turbulencia de pared

Es la que se produce cerca de un contorno sólido. Su tratamiento conceptual es complejo, ya que hay que distinguir en un flujo de este tipo por lo menos dos zonas si el contorno es liso: i) Co mo se tra ta de un flujo viscoso exist irá en la vecindad inmediata de la pared una zona de flujo laminar, llamada la subcapa laminar o subcapa viscosa. Su existencia universal es inevitable, ya que en la pared la condición de adherencia de los fluidos viscosos requiere que la velocidad sea rigurosament e nula y por lo tanto, las fluctuaciones tam bién . ii) Por otra part e, a dist anci as desde la par ed que sean grandes comparadas con el espesor de la subcapa laminar existirá una turbulencia influida por la existencia del contorno. La separación de estas zonas no es neta en la realidad y su definición requiere de un tratamiento cuidadoso. En el caso de un contorno rugoso, éste modifica tam bié n en fo rm a profunda el perfil de velocidad es cerca de la pared, pero la viscosidad no interviene en forma sensible. Los flujos de capa límite en canales son ejemplos tí pic os de tu rb ul en ci a de pa re d. El caso de los ductos se complica aún más ya que es necesario tomar en cuenta el confinamiento inducido por la cercanía relativa de las paredes.

homogénea

La estructura del flujo turbulento es independiente del punto en que se mide. Los promedios temporales de los prod uct os de las fluctuaciones son const ant es en el dominio de análisis. Por ejemplo:

4.10.4.1. Influencia de los contornos

4.10.4.1.1.

fluctuante

v3  =cte3 4.10.4.2.2. Turbulencia isotrópica

Los pro medi os de los pro duc tos de las fluctuaciones son independie ntes de la orientaci ón de los ejes coordenados en el punto de medida. Por ejemplo:

(dv7 dx-,

dv, dx? dv :

dx-

dx-

dx.

Las consideraciones de homogeneidad e isotropía tienen dos aspectos importantes: 1) Permit en un trat amie nto matem ático muy completo; 2) Lejos de par edes sólidas mucho s flujos turb ule nto s tienden a comportase como homogéneos e isótro pos. Esto le da validez prácti ca a los concepto s de homogeneidad e isotropía.

4.10.5. Disipación de energía Ya se ha mencionado que una de las características esenciales del flujo turbulento es la elevada tasa a la que disipa energía. Más aún, se verá que esta disipación de

energía define en buena parte las escalas de la turbulencia. La disipación de energía por unidad de volumen y de tiempo o potencia disipada por unidad de volumen se denomina por O y se la conoce como función de Rayleigh (O). Esta potencia, definida por unidad de masa se denomina e: e=

V 



2

' L '

\1

3

 L

 P

T 

(4.552)

Por ejemplo, en un flujo cuya única velocidad no nula es V y ésta varía solamente con  y y, eventualmente, con el tiempo t: 2

O = f! §1* dy)

e

v

=

(4.553)

Para un proceso sin inyección externa de energía:

dk  dt

V:  velocidad media. Introduciendo la expresión para en la ecuación 4.553 y 4.554, se tiene:

/

 ÍV\  = 16¡u

\

e = 16  v

V r 

\o/ Se deduce que la disipación es máxima en las paredes del tubo y nula en el centro. La energía cinética por unidad de masa de la turbulencia puede describirse como: 2

2

2

¿4(V, +v2 +V3 )

(4.555)

Taylor demostró que para turbulencia homogénea e isótropa la tasa de disipación e se expresa:  d 

£ = 15v  A

dxt

e 2JI

 K -

=2V

(4.556)

(4.557)

Como ya se dijo, un flujo turbulento puede ser descrito como un campo de torbellinos. Estos vórtices fluctúan e inter accion an inces antem ente. En part icular, ellos muestran una gran gama de tamaños, velocidades y frecuencias. Para clasificarlos se hace indispensable entonces introducir escalas de longitudes, velocidades y tiempos que los caractericen. También se emplean como características la frecuencia n y el núm er o de onda k . Si un fen ómen o oscila con un período 0 y una longitud de onda A entonces;

(4.554)

En el flujo de Poiseuille en tubos circulares la distri buci ón de velocidad se exp res a:

  tai

4.70.6. Escalas de la turbulencia

 n = [By

 ,

= 15 v

T

(4.558) (4.559)

Los vórtices de un flujo turbulento participan en un  pr oc eso esenc ial ll am ad o la casc ada energética, que  pu ed e describirse gl obal ment e co mo sigue: Los grandes vórtices entregan energía a los vórtices más pequeños. Como los grandes vórtices tienen grandes números de Reynolds, las fuerzas de inercia son muy grandes respecto a las viscosas y la disipación de energía es prácticamente despreciable. En la medida que la energía pasa a vórtices más pequeños la importancia relativa de la viscosidad crece y la disipación aumenta en consecuencia. Cuando se llega a vórtices muy  pe queños , la di sipac ión de energía deviene mu y intensa. La mayor escala de longitudes obviamente es fijada  po r el tam año del sistema en que oc ur re el flujo tu r bu le nt o. Al ex tr em o opuesto, el tama ño de los má s  pe qu eñ os to rb elli nos qued a fijado po r la co ndic ió n de que la tasa de disipación no puede exceder a la potencia disponible.  4.10.6,1. Macroescolos Corresponde a los mayores tamaños de torbellinos. Ellos tienen diámetros cercanos al tamaño de la instalación en que ocurren. Ellos han sido observados en canales de laboratorio e incluso fotografiados (Nikuradse (1929), Schlichting). Se puede adoptar como macroescala L:  L s —

(4.560)

L es el diáme tro de una tubería circular. Si B es el an cho de un canal y H   es la altura, D corresponde a la dimensión menor entre ellas. La escala de velocidades V   puede tomarse como la velocidad media de flujo. La escala de tiempos T será entonces: (4.561)  4.10.6.2. Microescala disipativa, de equilibrio o  de Kolmogorov Supóngase la existencia de vórtices lo suficientemente pequeños como para estar, en términos relativos, muy alejados de las paredes del sistema. Estos vórtices tendrán una estructura universal, ya que serán del mismo tipo en instalaciones de diferentes magnitudes globales. Siguiendo a Kolmogorov (1941), se supone que la estructura de esta microturbulencia disipativa depende solamente de la disipación unitaria e y de la viscosidad cinem ática v. Con £ y v se pued e for ma r un solo juego de escalas, a saber: 1/4 (4.562)  r¡

v=H,/4 v

(4.563)

1/2

 4.10.6.3. Mesoescalas de Toylor (1935) En un escurrimiento turbulento en el cual la viscosidad no alcanza a disipar energía a una tasa importante,  pe ro que tiene di me ns io ne s que de pe nd en de esta tasa, se debe cumplir con la siguiente relación: £ =

/

l : mesoescala de longitu des; v : mesoescal a de velocidades La relación (4.565), simple como es, tiene un a imp ortancia muy grande: ella fija el límite de los torbellinos cuya disipación no es sensible a la viscosidad,  4.10.6.4. Relaciones entre las escalas Eliminando sucesivamente £ entre (4.561), (4.562), (4.563) y (4.564) se encuentra:  r¡ 1

3/4

Re;

 Re¡1/4

 Re

(4.564)  Rel =

r¡: microescala de longitudes; v: microescala de velocidades; T: microescala de tiempos. Estas son la escalas de Kolmogorov. El número de Reynolds Re de los torbel linos de Kolmog orov vale naturalmente   urj/v  empleando (4.562) y (4.563):

m 7 = ljv v v Ie

1/2

(4.566)

(4.567)

(4.568)

El número de Reynolds de la mesoescala vale:

T = I —

.

(4.565)

.1/4

1 J

=1

 Re n= 1 Este resultado muestra que el flujo de Kolmogorov es  pre po nd era nte men te viscoso.

vi

(4.569)

V

4.10.7. El problema del cierre Las incógnitas que aparecen en las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes ((4.535) y (4.536), res pe ct iv am en te ) son el ve ctor velocidad V y la pr es ió n motriz Pm . Son entonc es un sistema de dos ecua ciones diferenciales con dos incógnitas. Si se dan adicionalmente suficientes condiciones de frontera e iniciales, tiene sentido buscar la solución. Esta búsqueda puede ser estéril por vía analítica o aún ser dificultado por la no linealidad y/o por la inestabilidad de la ecuación o de los algoritmos numéricos que se empleen. Pero se  pu ed e concebir la solución. En el caso de las ecuaciones que contienen las tensiones de Reynolds el problema es de otra naturaleza: las tensiones de Reynolds son desconocidas a priori y entonces existen más incógnitas que ecuaciones. Se dice que el sistema de ecuaciones está indeterminado o abierto.

Es indispensable para seguir adelante encontrar nuevas ecuaciones para cerrar el sistema. Un camino que parece prometedor es obtener nuevas ecuaciones para otras cantidades, como por ejemplo la energía turbulenta k. Pero este proceso, si bien agrega ecuaciones también genera nuevas incógnitas. Un camino que se ha seguido es simplificar drásticament e el problem a. Es el caso, por ejemplo, de i mpone r las hipótesis de homogeneidad e isotropía. Este proceso permite realizar desarrollos matemáticos muy com pletos y úti les, pe ro que no pe rm ite n tr at ar pr ob le ma s como la turbulencia de pared. Otro camino es fijar la atención sobre flujos muy simples y dar para ellos hipótesis ad hoc. Este camino ha sido muy  fructifico.  En los hechos la mayor parte de los resultados de interés práctico que se  han obtenido hasta hoy han sido obtenidos así. Otro aspecto que hay que tomar en cuenta es el de las facilidades de cálculo. En el pasado se propusieron ecuaciones para el cierre que eran (y son) muy atractivas, pero que no podían ser resueltas o integradas en  plazo s razonables. La aparic ión de las co mp ut ad or as ha permitido tomar en cuenta ecuaciones de cierre que antes eran consideradas planteamientos estériles.

4.10.8. Modelos para el cierre El problema del cierre exige el plantearse ecuaciones adicionales que reciben hoy en día el nombre algo am bi guo de modelos. Existen nu me ro so s modelos. Todos requieren de información empírica para resolver pro blemas concretos. Todos, as im is mo, ha n sido cal ibrados para situaciones o conjuntos de situaciones que cu bren un ámbito li mi ta do y, por lo ta nt o, no pu ed en ser empleados en casos muy alejados de las condiciones de calibración sin realizar contrastes experimentales verificativos. No obstante estas limitaciones, los modelos más completos que se poseen hoy son suficientemente  potentes co mo pa ra esperar que ellos pu eda n con ver tirse en herramientas de cálculo y diseño en un plazo relativamente breve. En el marco presente no se intentará la descripción de estos modelos: el campo es tan vasto que existen monografías extensas sobre algunos de ellos en particular. Incluso la cantidad y diversidad de los modelos que se han publicado hasta hoy hace difícil clasificarlos. Un intento al respecto es tomar su grado de com plejidad. Aquí se d ar á un a visión rá pi da in tr od uc to ri a. 4.10.8.1. Modelo de la viscosidad turbulenta Este modelo es el más antiguo: fue propuesto por Boussinesq en 1872. La idea es introducir una viscosi-

dad cinemática tu rbul enta que juega el mis mo rol formal que la viscosidad cinemática de origen molecular v, pero que es mucho mayor:

De las ecuaciones (4.543) y (4.544) puede deducirse que para un escurrimiento paralelo o de capa límite el tér min o relevante en el tensor de tensiones de Reynolds es - v xv .  La tensión tangencial viscosa es: r v

dv x

(4.570)

d 

 p

 y

La tensión turbulenta, de acuerdo al modelo de Boussinesq se expresa así: T,

—

 — = - V V, = V,

P

dv x

—

dy

(4.571)

v no es una constante salvo en situaciones muy particulares (flujo en hidrociclones es un ejemplo). Es preciso considerar entonces a la viscosidad turbulenta de Boussinesq como una función determinable mediante el análisis de experiencias. Empero estas limitaciones, el modelo de Boussinesq sigue siendo empleado hasta hoy. 4. 10.8. 2. Modelo de la longitud de mezcla Fue creado por Prandtl en 1925. La idea es ahora establecer una cierta longitud lateral a la dirección del flujo medio en la cual ocurre mayoritariamente la transferencia transversal de cantidad de movimiento. Es un raciocinio muy similar al que se ha empleado  pa ra de te rm ina r prop ie dades de t ran sp or te en la teoría cinética de los gases. Se expresa como: dV. dV x

•v xv y=t

dy

dy

(4.572)

i  es deno min ada longi tud de mezcla. Como en el caso

del modelo de Boussinesq, l no es una constante salvo en situaciones muy particulares y debe ser considerada en general como una función experimental. Cerca de  pare des ella p ue de ser esti ma da como: =

Ky

(4.573)

K   es una constante llamada de Von Kármán. Su valor es cercano a 0,4. Durante mucho tiempo se consideró

a Kcomo una constante universal. Análisis posteriores la consideran una función débil del número de Reynolds. Obsérvese que el modelo de Boussinesq y el de Prandtl cumplen con la condición de compatibilidad siguiente: 'dV dy

v,

(4.574)

 4.10.8.3. Modelos algebraicos En ellos se dan expresiones e mpíricas p ara la viscosidad de Boussinesq, la longitud de mezcla u otras magnitudes asociadas al flujo turbulento. Es una larga lista, asociada, entre otros a Michel (1969), Cebeci y Smith (1972), Cousteix (1989).  4.10.8.4. Modelos con ecuaciones de transporte Estos modelos emplean ecuaciones diferenciales parciales para cerrar el sistema. Estas ecuaciones son relaciones de transporte para una o más de las variables siguientes:

a) la energía cinética de la turbu lenc ia k  b) la tasa de disipa ción e c) las tensione s de Reynolds v¡v . Estos modelos se han desarrollado desde cerca de 1970 asociados a Bradshaw, Launder y Spalding (1975). Todos estos modelos incluyen constantes y/o funciones empíricas. Asimismo, todos muestran algunos inconvenientes de principio. Por ejemplo, algunos de ellos fallan al describir zonas de separación.

4.70.9, Escurrimient o prismáticos

 4.10.9.1. Bases de análisis del caso

Bl) El escu rrim ient o es incompresi ble y estac ionari o en prom edi o, de don de — —  0 . B2) Dado que el escurrimiento medio va en la dirección del eje OX, las velocidades V  y V  z son nulas. B3) Ya que el ducto es de ancho indefinido, se puede supone — = o • dz De B2, la ecuación de continuidad (4.548) se reduce a: dx que se integra, considerando B3:

 K =

K(y)

Los primeros miembros de las ecuaciones del movimiento (4.550), (4.551) y (4.552) son nulos y ellas se reducen a las expresiones siguientes: dv

OX :

0=

OY:

0 = l^L P dy

 p dx

turbulento en ductos

dv v

' l  dx

dy'

*  y dy

dy

dx

'dv2v x 0= dx

oz -,

Aunque el caso más importante y estudiado es el de los ductos circulares, es más sencillo analizar el caso del flujo turbulento entre dos placas paralelas indefinidas separadas a una distancia 2 yQ.  El eje x  se sitúa en una pared y en la dirección del movimiento global (Figura 4.52).

estudiado

 N

< 3v,v,

dy

Se agrega ahora la hipótesis siguiente: los productos tem por ale s de las fluctuaciones n o de pe nd en de x.   Esto equivale a decir que la turbulencia está dinámicamente establecida en la dirección del movimiento medio. Resulta entonces:

y ii  2

ii yo yr

i

i V

yo f

0=

OY:

0=

 p dx

dy

av xv, dy

Vc

L i

OX:

 J  V  X 

x

t

Figura 4.52 Escurrimiento turbulento en ducto prismático

dy

P dy

/

OZ:

0=

 dvyv  dy

La ecuación según  OYse integra de inme diato a:  P m+ rt=F(x) Aplicando esta relación en la pared (y = 0), en la c ual la presión mot riz P  vale P :  2

 P m+Pv =F(x)

= P m(y-0)

 r,Bdx={P mX -P m2 )y,=-^By0 dx

= P, m ¡ 0

 2

d  V  x dy

dv xv y dy

 dP

 B es un ancho arbitrario, ya que el ducto es infinitamente ancho. Simplificando:

La ecuación según OX   se escribe entonces: 1^,0  p dx

Como el escurrimiento está dinámicamente esta blecido, el flujo ne to de ca nt id ad de mo vi mie nt o en tr e dos secciones separadas dx es nulo y entonces existe un  pe rf ec to ba la nc e en tr e la fu er za asocia da a la pr es ió n motriz y la asociada a la fricción en el contorno:

 dP

(4.575)

Como el segundo miembro depende sólo dey> el primero debe ser constante:

 M y  dx Q

Eliminando el gradiente de presiones entre esta última relación y ecuación 4.580:

i < = cte -——  p dx

(4.581)

=1

 y0

Empleando ahora las ecuaciones (4.543), (4,544) y (4.545), la tensión viscosa, la turbu len ta y la total se ex pr es an , re sp ec ti va me nt e, como:  dV  x  dy =

-pv xv y  dV„ = f4—^-PV  X V  } ,   dy

(4.576)

Obsérvese que esta última relación es igualmente válida para flujo laminar y turbulento. También vale para una tubería circular, haciendo  y ~ r; y0 = rQ . Reemplazándola en (4.578):  dV

(4.577)

{i

 dy

V  V 

r 

~ P  ,x  y = 0 0 ~

y )

4 582

(- )

(4.578)

Siguiendo a Prandtl, se introduce la que él llamó velocidad de fricción V •

Der iva ndo la ecuaci ón 4.578 respec to a y reemp lazando en (4.575), se tiene:

(4.583)

T = {T  y+T  t )

 dr  dy

dP m0 dx

(4.579)

Esta velocidad de fricción admite la interpretación física siguiente: ella es cercana al valor cuadrático medio de la fluctuación v cerc a de la pare d:

Integrando: V 

dx

(4.584)

 aK

 f *

7

Reemplazando 4.583 en 4.582:

Para 7 = 0: 2 dVy 2 v—-— vvx v,, = V - y f  dy

 r0  = cte Entonces: x - ^ y

dx

+ To

(4.580)

(4.585)  yo)

Esta es la ecuación diferencial básica de los escurrimientos turbulentos bidimensionales.

Si se trata de un c onto rno liso, la tensió n viscosa será importante en la subcapa viscosa. Fuera de ella la tensión turbulenta será dominante. En el caso de una pared rugosa no existe subcapa viscosa propiamente tal y tampoco tensión viscosa. Se supondrá que en ambos casos la zona en que esto ocu rre cor res pon de a — « 1. J'o Incorporando esto más continuidad, se tiene:  y  v

v xV y

V:

v<

Empleando ahora la relación de Boussinesq 4.571: dV x Eli min and o el tér min o que conti ene las fluctuaciones: (4.586) '

dy

tal sobre ductos rectangulares muy anchos es escasa,  pe ro ella co nf ir ma ra zo na bl em en te los ar gu me nto s dados. Más aún, Keulegan (1938), empleando datos obtenidos por Bazin (1858), demostró teórica y experimentalmente que la ley logarítmica se cumple en canales. Para calcular la constante de integración, se elige arbitrariamente un espesor  y'  para el cual  V = 0. En tonces:

f

Las dimensiones de v son [V L]. La escala de longitud es es y y la de veloc idade s es Ent onc es se pue de conjeturar para v la expresión siguiente:

(4.589)

K

 y )

Esta longitud y' es por ahora un p arám etro de ajuste. Su significado físico se aclarará en lo que sigue. Hay que distinguir ahora entre contornos lisos, contornos rugosos y zona de transición.  4.10.9.2. Pared lisa En la pared la condición de adherencia exige V. 0 y turbulencia nula. En la subcapa viscosa se tendrá

y = 1. Entonces, de (4.586): •Vo

f

d y 

v t=KV  f  y

(4.587)

Integrando: Y ^ J J L y V  f 

La constante K es la de Von Kármán ya introducida en el punto 4.10.8.2. Introduciendo en (4.586) e integrando:  K = - l n (y)+cte  V  K

(4.588)

Cerca del contorno, pero en flujo turbulento, la distribución de velocidades es logarítmica. Este resultado es uno de los mayores logros del estudio de la turbulencia y se debe a Prandtl. Para apreciar este descubrimiento hay que hacer notar que, cuando Prandtl enunció esta ley, hacía más de dos siglos que los investigadores habían intentado sin éxito el encontrar, empleando principios físicos sólidos, la distribución de velocidades en flujo turbulento.  No ta : Las co nsta nt es in tr od uc id as en la teoría se calcularán empleando resultados experimentales obtenidos en tuberías circulares por Nikuradse (c. 1930, Schlichting) y no empleando datos en ductos rectangulares muy anchos. La razón es que cerca de la pared la ecuación (4.585) es la misma en amb os casos y puede esperarse que, también cerca de la pared, la forma de la sección no sea importante . La infor maci ón experimen-

(4.590)

La distribución de velocidades en la subcapa laminar es entonces lineal. Esta relación indica que la escala de v longi tudes en una tube ría lisa es —

y enton ces para

V

f

compatibilizar (4.589) con (4.590) se requiere:

v

 f

 A y  es una constante para las tuberías lisas. De las experiencias de Nikuradse para ductos circulares se encuentra:

4 - i Introduciendo K ,y ' y At  en (4.590), se obtiene para las paredes lisas:

V,

= 2.51n

v¿y  y

+ 5.5

(4.591)

 4.10.9.3. Pared rugosa En este caso no existe subcapa laminar. Si las rugosidades tienen una altura k $, ellas fijan la escala de distancias y se puede poner:  / = AK

distribución de velocidades en forma más completa se  pu ed en se gu ir va rios ca mi no s. Aq uí se em pl ea rá un a vía muy sencilla. El análisis llevado a cabo por Nikuradse demuestra que en tuberías lisas y rugosas la longitud de mezcla de Prandtl l cumple con una relación de la forma siguiente:

A r   es una constante por determinar. De las experiencias de Nikuradse se encuentra:  A., es

1 30

/

Reemplazando este nuevo valor de y'   en (4.590) se tiene para los contornos rugosos: v

= 2.5 ln

 / y

 y

+ 8.5

(4.592)

 4.10.9.4. Transición pared fisa-pared rugosa Para las experiencias con granos de arena uniforme ensayadas por Nikuradse, existe una función de transición experimental que puede representarse como sigue: 1

l =

1 + —e 9Re. 30

a  Re,

(

\

Kyf

ly\

vale la uni dad cu and o Z. « i .

Según la ecuación 4.574:  y

 t =

e oí

dV  x , ~r=(*y)  dy

o ri dV t f ~r dy

Combinando este resultado con la ecuación 4.585 se tiene:  K y f ^ - v , dy 1

M y0

Integrando: (4.593) Vf

v

 rK  Re, = -  y J-?-

K i * m 7]  y

Los experimentos de Nikuradse quedan razonablemente bien interpretados empleando:

 y

a - 10,8

Si se trata de rugosidad de tuberías comerciales, la longitud k s  representa la altura de los elementos rugosos sólo en una forma estadística. Empero, la fórmula (4.593) sigue siendo válida empleando:

Si V   es la velocidad en el centro del tubo:

a=o La distribución logarítmica expresada por la ecuación 4.588 exige par a su dedu cció n que

Restando las dos relaciones anteriores:

sea muy

inferior a la unidad. En la realidad ella es valedera en una zona de espesor importante. Por ejemplo, para paredes lisas su validez se extie nde hasta — = —   o más, 4 dependiendo del error que se admita. Para conocer la

Vf

*{*/(*)

*

Si se calcula la integral, se encuentra que  F(?]) es mu y cerc ana a log(—) ent re rj = 0,07 y r¡ = 0,7. Se de-

duce entonces que se pued e conside rar como univer sal la ley lla mad a de la veloci dad déficit: V-V.

1

V, V-V. V,/

lnfo)

- 2.5ln

ir

(4.595)

El gasto Q  en el ducto circular es: V, = 2^J^ln(r0

 A

=2

V  k

4f 

(4.598)

if

Esta es la ecuación ya clásica de Colebrook y Whíte para el cálculo de tuberías circulares. Esta relación es implícita e n / Para su solución puede emplearse u n gráfico llamado de Moody. Pero si hay que repetir el cálculo con frecuencia es mejor emplear el computador. Como/varía lentamente, basta emplear el método de iteraciones.

4.10.10. Capa límite turbulenta

- y)dy

Se limitará al caso de una placa plana infinitamente exten dida en la dirección OZ y según OX   en donde O es el borde de ataque. La dirección general del movimiento es según OX.  El flujo se considera permanente, incompresible y bidimensional. Se impone entonces que no hay variación según el eje OZ (Figura 4.53).

La velocidad inedia vale: O

- L = -21og(0.27— D  -i- 2 . 5 1 — Re ^ = )

(4.594)

 4.10.9.5. Fricción en ductos circulares

Q=jVdA

¡} es un coeficiente correctivo, cercano a 0,9. Realiza ndo los cálc ulos se enc uen tra finalmente:

t

f( ln r¡ - ln %) (l - rj)d r¡  o

l}j

Realizando la integral y despreciando los términos cuyo orden de magnitud es inferior a la unidad: V 

V

= -  L ¿ - \  K 2

(4.596)

w l o  )

La ecuación de Darcy se escribe:

 dx

2 D

La tensión tangencial se puede calcular por un balance de fuerzas análogo al realizado en la deducción de la (4.582):

Figura 4.53 Esquema de capa límite turbulenta.

Las ecuaciones del movimiento son entonces las (4.548) a la (4.550) debidamente simplificadas:

 DdP 4 dx

Introduc iendo la velocidad de fricción y eliminan do el gradiente de presiones se encuentra: dx

ÍA

 H=

Vr

if

OX:

V  ^ dx

OY:

dV  V —+v dx

Combinando con 4.596 y con 4.593 escrita para tu be rí as comerciales:

/

1 = ~ [ / f e V * - + 15 D

4 4 2

9

1

ReJf

)]

(4.597)

 dV 

 dV 

+

} V 

dy

dy

1 m p dx

2

,d  r  x 2 dx 2

2

d  V  x , 2 dy 2

dV 1 dP d  V d  V, V} —- = -——i + v(—f 2 + —2 + dy p dy dx dy

2

,dv dx

dvv (—— dx

dv

Se analizará primeramente el orden de magnitud de los diferentes términos de las ecuaciones. Las escalas  pu ed en da rs e como:

que se integra a:

Analizando ahora la ecuación según  OX: x :  y : V  : V  y : P m :

Largo de la placa Espe sor de la capa lími te Velocidad del escurrim iento principal Velocidad segú n OY Presión mot riz

 L 5

2

dx

 K v'

 y

1

av^v dv  L + — a dx

a v

p dx

dy

2X

i

 pvl

2

ap,QT_ ' a v . +V dx

2

v ib V'

Re,

1

: Tensiones de Reynolds El último término debe subsistir. Para ello se requiere: ±_L = 0(1) V* ó

Se define el número de Reynolds global:  Re L J-±

(4.599)

El segundo término viscoso es del orden de:

Consideraciones 1) Se puede suponer que Re L » 1 : hipóte sis básica  pa ra las capas límites; c

2) Se asu me — « \ : propi o de las capas limites;  L v La escala v' es desconocida. Ella puede determinarse analizando la ecuación de continuidad:

 I

V v  — - + V , ax

V

 L

 d Para que esta ecuación subsista v' debe cumplir: v = O V

 s  L

(4.600)

Introduciendo esta escala en la ecuación según OY, así como las ya conocidas y después de simplificar se obtiene el cuadro siguiente:

dx

dy

P dy

Si el flujo es turbulento, la capa límite crece más rá pi do que en el caso la mi na r y en tonc es se en ti en de qu e el grupo anotado tienda a cero cuando Re L  tienda al infinito. Pero en la inmediata vecindad del contorno, el régimen será laminar y entonces este grupo será del orden de la unidad. Recapitulando, es preciso conservarlo. La ecuación según OX   se reduce entonces a:

dy

dx

y

i ü  Re L ó

+v

2

dx

2

í dv yV*_ 3Vy dx

dy

y

Re,

Entonces la ecuación según OY   se reduce a: dP dy

dx

2 \

(

x

¿y

v

p dx

^  dy'

Vv x vV y

En lo que sigue se limitará el análisis a capas límites sin gradiente de presiones. Entonces las ecuaciones son: dV dV v (4.601) = 0 dx dy /

dV __ dV xx V v  — -x + V , ay ax

2

a v. v x v v  —— 2 y ay

(4.602)

Estas ecuaciones pueden combinarse e integrarse en una sección para obtener el teorema integral de Von Kármán:  fK(K--K)'/y dx

v v

, ,

=

-y-~(.y dy

= 0) = -— p

= 0

 p

dxJ0

(4.603)

Se intr oduc e el coeficiente de fricció n local C •

Reemplazando en (4.610) y (4.611): 0

Vi

(4.604)

fy

pvl 

 ó

1

Entonces: 2x 0

(4.613)

0 + 1)07 + 2)

(4.614)

 n +1 1

fV 7

 pV0

d VV. d x j V. I

V. dy (4.605) V,

La ecuación diferencial para la fricción (4.607) se expresa ahora como:  dd

El espesor de cantidad de movimiento 6 se define como: V V ^ f Qy" 00 ^ - y ' 0W 0

(4.606)

Comparando las dos últimas ecuaciones;

 pVl 

f 

 dx

(n +!)(?? + 2) dx

El espesor de desplazamiento de la capa límite queda definido como:  K

C.

(4.615)

Obviamente el perfil en potencia no es válido en la vecindad inmediata de la pared, donde existe, en ductos lisos, una subcapa laminar de espesor  y\  La ecuación de esta subcapa viscosa es la (4.590);

(4.607)

dx

 dd

2n

V  f 

v

En el punto en que se compatibiliza con la ley en  pote ncia se cu mp li rá si mu lt án ea me nt e;

(4.608)

Para emplear la ecuación de Yon Kármán (4.604) es  pr ec iso da rs e un pe rf il de velocidades. Se int en ta rá con un perfil adimensional del tipo:

Vr

V

Vr

s

 }

 A  es una constante por determinar. Eliminando tanV'

(4.609)

o

Con lo cual (4.606) se expresa: 0 - - d { ¡ f ( \ - f ) d  n  0

(4.610) 1

Y (4.608): (4.611)

ó, = ó)J(l-f)dri

La ecuación más sencilla que se puede intentar es; K _ / 3 \ l/ « _  KgJ J

/

In

V to V' x como y'  se puede despejar  —L . E m p l e a n d o  K (4.604) y ordenando:

Cf 

pk

 

 Re d  = YA v

Emple ando (4.615), se obtiene la ecuación diferen cial siguiente:  dó

(4.612)

A ^ R e f " ^

(n + \)(n + 2) dx

1

1  HX) A " "   Ref'  2  /(  +1)

124

Ella es a variables separables y se integra directamente. Imponiendo 8 = 0 para x = 0 se obtiene:

La fuerza total sobre los dos lados de la placa, su pu es ta de un ancho B y largo L es:  L

1

An +

+ 3)w„ iy(fl+3) } +

1  3 R e f 

w

(4.616)

)

1

 F x  = 2jr0 Bdx o

= 2 ^  2

V*BLfC  f  d(x/L) 0

Se puede def inir ahora un coeficiente de fricción glo bal CF:

y

F

El valor de n  varía con el número de Reynolds. En tuberías circulares se tiene como ejemplos:

cP = —T^S

= fC,d(x/L)  J '

 )VlBL 2{p¡2 

(4.620)

Empleando 4.619:  Re

CF =

4000

6

110000

7

2000000

10

Entonces, reemplazando en (4.616): 0,38 Re 1/5

ó

 dx

n+

x

3

Reemplazándola en (4.615): _ C f  -

2n (n

+1

 2 n

dó

)(n + 2) dx

(n

+

2 ) 0

+

3 )

x

Combinando con (4.616): 1 2 ^ C / , =  2*t(»+3) ( w + 2)(w A

( (/7

+

3  y

+ 2)( ,? n

 N+l

+

3 ) p

1  2i(n  Re + 3) (4.618)

Entonces, para A - 8,6 y n = 7: C f  =

0,059 Re 1/5

(4.621)

Repitiendo los cálculos se encuentra:  _ 0,037 = l/6 Rev

(4.622)

0,044 1/6 Re T

(4.623)

(4.617)

Derivando (4.616): 77 + 1

i /5

 n = 9 A = 10.6

CF =

 dó _

Re. -D

La fórmula (4.621) es de una exactitud razonable # 6 hasta Re X  = 5 10 . Michel,} en 1967,' ha dado una versión 8 nueva, que ajusta bien hasta Re ~ 5*10 . Para ella:

Para rangos de laboratorio se encuentra experimentalmente: A - 8,6 n=7

x

0,074

(4.619)

1000c,

Vool

V Figura 4.54 Resultados para la transic ión lisa-rugosa (Valores globales). (Adaptado de Schlichting, 1968) VcqKS 3

3x10  

1000c

f 

4

4

1x10   3x10  

5V

1x10  

3x10

5

3

2.5

10"

1CT

10

7

5

1 0

B

2

5

109

Va)X

Figura 4.55 Resultados par a la transición lisa-rugos a (Valores locales). (Adaptado de Schlichting, 1968)

2

Para la transición lisa-rugosa y para placas rugosas es posible realizar un análisis completo. Los resultados se resumen en las Figuras 4.54 y 4.55 (Schlichting, 1968). En régimen totalmente rugoso, Schlichting ha dado las fórmulas de interpolación siguientes:

[2,87 + l,581og(x/k s )] \

c,

s/2

4 624

<- >

5/2

Considérese solamente escurrimientos con simetría de revolución. En coordenadas esféricas el eje de simetría es 0 ==0 y se cu mpl irá — = 0 . La ecu aci ón de Laplace se reduce a: d

v

dr 

+ 

dr'  

 d  . _< ^?<£> —  ) = 0  (4-631)  — ((ssi ni n<9— dd sin/9 dO

(4 625)

^89 + l,621og(L/kJ]

'

Empleando ahora la función de corriente de Lagrange:

Estas fórmulas se consideran válidas para: 2 6

dW

1 r 

io
2

r  sm&

dd

rsind

dr

/c„

6 

4.11. Escurr imient o a potenc ial de velocidades

4.1hh Pot enciales básicos Si se supone escurrimiento incompresible e irrotacional, el potencial de velocidades cumple con la ecuación de Laplace: 2

(4.626)

En el caso general, O depende de las coordenadas y del tiempo. Para aligerar el análisis se asumirá que el tiempo no interviene. Pero si se trata de escurrimiento impermanente las constantes que aparecen son, en  pr inci pi o, fu nc io ne s del ti em po . Empleando coordenadas esféricas: 1 d ( ¿ d
r  dr{

dr )

r 

d i . ad<$>\

1

2

En función del potencial O las componentes de la velocidad se expresan: d

v. v^ =

dr

 _i a ® r dd

(4.628)

= 0

(4.634)

Y la función corriente: 2


(4.635)

Se observa que rs i n 0 es un factor integrante para obtener la función corriente. Para encontrar las soluciones particulares que se requieren se puede emplear el algoritmo de Bernoulli:
Reemplazando en la ecuación (4.631): 2

1

^ ( r  F ; ) + ^ - - ( s i n e F e ) ' = 0 Fr  Fe sin 6 Separando las variables y desarroll ando:  2

 r  F"+ 2rF'. - ¿F r = 0

si n 6F"+ eo s 9F' + k sin 6F a - 0  k  es la constante de separación. La ecuación en 6  es la de Legendre si ponemos:  k = n(n + \)

(4.629)

1 rsin/9 d(p

 dU = v r rdd-v 9 dr

d 3>

A 2 =0 sin 8 — +—2 2 — sin Q dQ{  ¿0 j r  sin  9 6 (4.627)

v_ =

(4.633)

Las líneas de corriente instantáneas cumplen:

Se trata de un tema muy vasto. Aquí se estudiarán solamente casos sencillos que son necesarios para aplicaciones inmediatas.

V - 0

(4.632)

(4.630)

La relación para r   es la de Euler homogénea. Su solución completa es:  F

=

n c

r

+

El potencial resultante es, expresado como solución  pa rt ic ul ar :
4.636)

rectas que pasan por el origen. Estas rectas son las líneas de corriente. Como para  r = Cte, v = vr  = Cteel flujo en volumen vale: 0 = v, .^ =

es el polinomio de Legendre de orden n. Para k = 0, n = 0 y -1: $ = (c, +

O

Para/: = 2, « = 1 y-2:

 Am-

W = - —

cos0

 A JZ

O = (c 3 r + %¿ >( co s0 ) - ( c 3 r + % ) c o s 0 4.11.2. Interpretación: Se tienen cuatro soluciones elementales: Q , — , C3 R CO S 0,

CO s

0

-AJJC

Entonces:

= c x + ^

(e os

= 

v.-

2

4/z?'

El patrón de flujo puede describirse como una fuente (Q > 0) o un sumidero (Q < 0) emanado del origen (Figura 4.56). Como ejemplo, es el caso del cesto de aspiración de una bomba en un tanque extenso.

Se verá qué patrones de flujo representan.

De las ecuaciones (4.628), (4.629) y (4.630): v r  = v , = 0 El fluido está en reposo.

o =

c

Empleando nuevamente las ecuaciones (4.628), (4.629) y (4,630):  d<5> =

C

Figura 4.56 Patrones de flujo generados en el origen

 dr  = Cr eos &

*

=

r

= 0 v r  = — = 

 r

De la ecuación (4.635):  c?¥ =

-Csm0d0

CCOS0

1 <í> v ñ = = -C si n0 ' r 0 Proyectando la velocidad según los ejes  OZyOX:

Entonces W =

Ccos0

Las superfi cies = Cte, son conos con vértice en el origen y sus intersecciones con planos (p  = Cte. definen

v, =v cos tf- v^s in tf^ C v x = v r si n 0 + ve eos   0 = 0

El flujo es rectilíneo en la dirección OZ. La velocidad uniforme que posee vale v0  = C. Las líneas de corriente son rectas paralelas dirigidas según OZ  (Figura 4.57). La función corriente queda definida por:  2

 cñ! = v0 r   cos<9sin 6d6  +

 2

v0 rsm 6dr

De donde:

Si ^ — 0 , 6 = 0 o 6 = 7T  lo que equivale al eje . Si es diferente de cero y constante define una superficie toroidal cuya traza sobre tp = Cte es una curva cerrada que pasa por el origen y es tangente allí al eje OZ. Si C > 0 las partículas fluidas salen del origen en la dirección negativa del eje OZ y entran al origen por la rama  positiva del eje OZ. El pa tr ón co rr es po nd e a lo que se denomina un doblete de revolución (Figura 4.58).

2

^ =

si n ^

Si  m^Cte., rsin& - Cte. y  indicando cilindros circulares con generatrices paralelas al eje OZ. Las in tersecciones con
Figura 4.58 Patrón de líneas de corriente: doblete de revolución

4.11.2.5. Superposición de una fuente y un flujo uniforme Figura 4.57 Líneas de corriente en la dirección OZ

C  = — cos#

Délas ecuaciones (4.628), (4.629) y (4.630):

La función de Lagrange está dada por: 2

= -2 — cos 0sin Odd  + -^sin  &dr  r r 2

(W = - ~d{  sin  6) - ¿/( -) sin  0dr  r r

Entonces C

sin

2

Se tomarán Q y vQ  positivos. Calculemos las velocidades: i q 2 + v  cos 9 v, = 2 0 * r  sin0 d 0 4jtr  v e 

1$ C . 3 = —rsrn. r 6  r 

2

4 Jt

1

O C vr  = — = -2 ^-costf  r r v a '

2

co s 0 + - v 0 r  s i n #

3X¥

'A _ _ - v 0  sme rsmG dx

Investiguemos la eventual existencia de puntos de estancamiento. Dichos puntos, por definición, cum plen con: v=0 v : Módulo del vector velocidad. v d   se anula para 0 = 0 y d = 7Z\v r  sólo puede anularse para   0 = jty entonces existe sólo un punto de estancamiento, cuya posición es: 6 = jt •a = -

Examinemos la línea de corriente que pasa por el  pu nt o de e st anca mi en to . El valor de la fu nc ió n corrie nte allí es:

El campo de presiones se puede calcular empleando el teorema de Bernoulli: P + -1v 22 =  Cte ^ ~— P» + 1- v2!  P 2  P 2

 _ Q_

 AJV

2

Entonces, igualando con ¥ y simplificando:

El coeficiente de presión C  p (o número de Euler  Eu ) se define como:

 a

 r =

9

.

sm(2)

Esta curva define un cuerpo cuya forma semeja un torpedo o un submarino (Figura 4.59). La altura h de este cuerpo, desde el eje vale /? = /*sin#, siempre que r esté sobre el cuerpo. Esta condici ón implica:

C  p = Eu s 2

P-P

V 0

 Pv 2w

2

" 1~( ) VM

vemos que en el punto de estancamiento se tiene siem pre:  2

C  p = Eu ~ 1

Para el escurrimiento estudiado:  h = 2a  cosí—)

V

 2

2

C  p = Ea   =

2

(2 eo s 0 + --=-)

Sobre el cuerpo: C  p  = - —(l-cos#)(3cos<9 + l)

Interesa saber en cuáles puntos del cuerpo la presión es igual a la presión al infinito P a  . La relación anterior muestra que esa situación ocurre para: 0 = 0

Figura 4.59 Líneas de corriente en forma de torpedo o submarino

Para el infinito aguas abajo:  h n=2

a

El campo de velocidades se expresa ahora:

(infinito aguas abajo)

0 = arc os| - i j a ~ + 0,3398 - 90° + 19,47

10.11,2.6. Esfera en movimiento rectilíneo Los puntos situados sobre la esfera (r = a) se mueven con una velocidad vQ hacia la derecha (Figura 4.60). Entonces: v r = v o c o s 0

 2

 a

V r = V o (-=- + COS0)

ve ~ - v 0 si n 6

De donde: 2

c

2

V = V O ( 1 + 2 " 2 C O S 0 + ' V ) Figura 4.60 Desp lazamien to de punto s sobre la esfera

Se ensayará con el campo de velocidades del doblete de revolución: C v r   = -2 -y e o s <9

Sobre la esfera vr   = 0 y ento nces ella es un con tor no impermeable. Los puntos de estancamiento son dos:  r = a y

8 =

 r = a,

Obtenemos: 3i 1 C = — v00 a

La velocidad en el contorno de la esfera es:

2

3

Las componentes de la velocidad y la función corriente valen:  r

3

.

2

0

La distribución de presiones, en términos de adimensionales es:

V, =— r V 0 C O S #

la

(9-0

.

CP = 2

2 r

P-P

9 —  = 1 - -- sin 0 P v 200 4

2

4.11.3. Masa adicional o virtual

2 r Se observa que, incluso si v Q es constante, el escurrimiento es impermanente.  4.17.2.7. Escurrimiento sobre una esfera fija Para obtenerlo se resta la función de Lagrange para un movimiento rectilíneo y así queda la esfera en reposo (Figura 4.61):

Una esfera se traslada con velocidad vQ  cuya dirección es invariable en un fluido que se encuentra en re po so al in fi ni to . La energía cinética local del fluido po r unidad de masa es, de acuerdo a los resultados previos: e

=

1

v

c ñ ( r + v¿ ) = ——g-Vo(cos # + —sin

2r

2

 2

 2 1 1 á  y = ~ — v o sm e-^vysm0  2 r 2

 2

= ~v o sm 0( 2

 2

r

r  )

e c=kv  r+v¡) ¿

4

= ^ \ v ¡ ( 3  c l r 4

 2 o s

0

+

l)

En todo el fluido que rodea la esfera (entre el contorno y el infinito) la energía cinética vale: -, OO

JT 2JT  6

1  2 \ „„ na 2  E c  = pfe c dV = pÍ ? J J  J V o W ^ + . s i n 6 ) d V ^ r-a0=0 0=0 r

^

El elemento de volumen dVes ahora:  2

 dV = r si n  9d(j)dddr Entonces: Figura 4.61 Escurr imie nto sob re una esfera fija

2

2

2

 E c  = p ^ j j  J —^Vg(cos # + ^rsin <9)?* Ún6d(f>d9dr Empleando las ecuaciones (4.632) y (4.633): v r  = v 0 c o s # ( ^ - - l ) v * = v 0 sin£(

+1)

2 r

El resultado de la integración es: Er»

^  p c=2

a

3V 2 °

Esta relación podemos escribirla como: ¡prSo

V:e Volumen de la esfera, Definimos: 1

4.72.7.7.  Fórmula de Newton  Newt on, a fines del siglo XVII se pl ante ó el pr ob le ma y encontró la solución siguiente: El esfuerzo sobre un cuerpo es proporcional conjuntamente a los cuadrados de la velocidad y la dimensión del cuerpo. Esta formulación se sigue empleando hasta hoy, en la versión siguiente:  2

(4.637)

 F x-~C  x pv 0 A,

Entonces 1 , ; - m v r La energía cinética del fluido que rodea el cuerpo es equivalente a la que tendría una esfera maciza de masa m'. Esta masa se denomina masa virtual o adicional, ya que si la esfera tiene una masa m  entonces la energía cinética total (esfera y fluido) vale: 1

fuerza de arrastre densidad del fluido área del cuerpo proyectada en la dirección de la velocidad C : coeficiente de arras tre hidro din ámi co Por ejemplo, para una esfera de diámetro D 0 :

(m + 777')v,

Para un cuerpo no esférico en movimiento rectilíneo la masa adicional puede expresarse como: m = /3pV

 A = *Dl

El problema es ahora que C , en general, no se conoce. Consideraciones de análisis dimensional indican que: C  x=C  x(Re,FF)

¡3  es un coeficiente adimensional. Por ejemplo para un cilindro circular moviéndose según la dirección normal a la generatriz:

Cuando el movimiento es tridimensional el coeficiente se convi erte en un tensor.

4.12. Arrastre hidrodinámico Corresponde a los esfuerzos globales que ejerce un fluido sobr e un ob stácul o. Si el fluido y el obstáculo están animados de movimientos cualesquiera, el pro blema es ex tr em ad am en te difícil de resolver. Aquí se tratará solamente del caso en que el obstáculo está fijo y el fluido está animado de una velocidad constante vQ lejos del cuerpo (Figura 4.62).

v  L : ¡A  : v : FF   :

Dimensi ón lineal caracterí stica del cuer po Viscosidad dinámica del fluido Viscosidad cinemát ica del mism o Factores de forma

4.12.1.2. Fórmula de Stokes Si Re « 1 es posible presci ndir del tér min o no lineal (convectivo) en la ecuación de Navier-Stokes. Para esta situación, Stokes encontró, para una esfera: F v =3jzD 0 V 0 //

(4.638)

Esta fórmula ha sido verificada experimentalmente. Su límite de validez es pequeño. Según Batchelor (1967):  Re* 1 Igualando las relaciones de Newton y de Stokes: C

Figura 4.62 Esquem a de un obstác ulo fijo y fluido con velocidad constante

 Jt

X 7 A

2 = W

O ¥

Se deduce:

Es posible, para Re « 1 , encontrar  F  x y Cv  para otros cuerpos. Por ejemplo, Oberbeck lo hizo para un elipsoide (ver Lamb (1932)). Otros casos se encuentran descritos en Happel y Brenner (1965)]. Pero, empleando la linealización indicada no es posible encontrar una solución para el cilindro circular (paradoja de Stokes). 4.12.1.3. Solución de Oseen Oseen no eliminó el término convectivo en la ecuación de Navier-Stokes, sino lo linealizó. Logró entonces la solución siguiente:  F x=3nD0V 0 fi

+

?-JipV¿D¿ lo

De donde: C

*

Re

2

 4.12.1.4. Información experimental Se han realizado numerosas determinaciones experimentales de C para diferentes cuerpos. Se muestra en la Figura 4.63, una recopilación para las esferas. La forma de este diagrama se comprende bien tomando en cuenta la existencia de la capa límite en la zona de ataque y de una estela más allá del punto de separación (Figura 4.64). La fuerza resultante está compuesta de los esfuerzos en la capa límite y de los producidos en la estela. Dentro de la capa límite, las tensiones tangenciales son de origen viscoso y entonces dependen del número de Reynolds. El coeficiente de fricción en la capa límite varía inversamente con la raíz de Re.  En la estela la  pres ión P , pa ra nú me ros de Reynolds elevados varí a lentamente con Re>  debido a la turbulencia existente. Por lo tanto, para Re » 1 se puede espe rar que el coeficiente de arrastre C tienda a una constante. Po x

(4.640)

Podemos observar que la fórmula de Oseen se acerca a la Stokes si Re « 1 . La valide z de la f órm ul a de Oseen es:  Re<; 1 Empleando la aproximación de Oseen es posible salvar la paradoja de Stokes (Lamb, 1932).

Figura 4.64 Capa límite en la zona de ataque

Figura 4.63 Relación entre el coeficiente de arrastr e y el número de Reynolds - Esferas lisas (Adaptado de Schlichting (1968) y Rouse (1937))

10

 Schíítef-Schmieck?! •*•1 khsícf. oliera* tár» xf'ttx en .vj« i.> ^ Men: í»*&fura e->ar^iín-» * Alien: Smlichtíng " WeseJsfeéfger * yf}«M^ltfc»>f9i>f  í^/i • 1926

* AmoLi c-.fc W, DE- mi; tal fo^.n CT\ si-iMt* dt' s -S/ts •> t;c>!>stí':f  (!»! * AiM:r* bcbigasd* ¿reirán» AIÍÜIV e^fují. de jtcrüámbar en ¿yus * Ljnron esfcr&i
*

Cx 1 02

6

10

10

l

H

10*

10*

10-1

100

10*

escurrimiento sin vórtices

3

105 10F I lü   104 <~-escurriimento con vórtices vórtices estela de vórtices anulares

10^ R e

inestables (estela de  Yon Kármán) 300 000

8 lf«|4JíO

escurrimiento laminar  cerca del contorno (capa  límite  laminar)

capa  límite  turbulenta

Figura 4.65 Tipos de escurr imie nto sobr e esfera (adaptada de Brauer y Sucker, 1976) 3

5

demos observar que así ocurre: para Re  entre 10  y 10 , C var ía len tam ent e y es cer can o a 0>4. Par a un va lor de Re  denominado crítico Re, C cercano a 250.000,' CX disminuye drásticamente. Este comportamiento fue explicado por Prandtl:  pa ra Re = Re c la capa límite sobre la esfera deviene tur bu le nt a. Co mo la tr an sfer en ci a de ca nt id ad de mo vi miento se hace mucho más intensa respecto a la capa límite laminar, la capacidad de soportar un gradiente adverso de presiones aumenta y entonces el ángulo de separación aumenta y la zona de estela disminuye y,  po r lo ta nt o, la co nt ri bu ci ón de P . Esto conllev a una disminución significativa de C . En la Figura 4,65, se muestra nuevamente el diagrama de resistencia de las esferas con indicaciones sobre los tipos de escurrimiento sobre el contorno y sus límites.  4.12.7.5. Otros desarrollos Dada la gran importancia del diagrama de las esferas, durante décadas se han dedicado esfuerzos para determinar y expresar amalíticamente la relación

C x = F(Re). Los cam ino s reco rrid os son nume ros os,  per o pueden agru parse en cu at ro : 1) Realizar sucesivos retoques de las fórmulas de Stokes y Oseen. Este método ha dado buenos resultados, pero obteniendo expresiones cada vez más complejas y siempre de validez limi tada (vgr. Fortier y Goldstein). 2) Resolver directamente las ecuaciones del movimiento. Aquí las dificultades principales son de dos tipos: i) El eno rme volu men de los cálculos req uerid os; ii) La modelación de la turbulencia Se recomienda al lector, ver al respecto la discusión de Mohammadi y Pironneau, 1994. Empero, este camino ha sido emprendido exitosamente en algunos casos. Un ejemplo reciente es el de Karim et al. (2009). Un estudio anterior muy señero es el de Brauer y Sucker (1976). Ellos realizaron cálculos detallados hasta Re = 100 y analizaron resultados numéricos de otros autores para valores mayores de Re. La comparación gráfica con valores experi-

mentales es atractiva, pero no permite establecer en forma precisa la bondad del ajuste. 3) Buscar fórmulas puramente empíricas de interpolación para la función experimental Cx(Re). Este camino ha sido recorrido por diversos investigadores. Se cita aquí solamente una de las últimas versiones, dada por y Levenspiel (1986):

fera; S,\  espesor de desplazamiento). El ángulo de se paraci ón: es 6 s  (Figura 4.66). En la zona de la estela se considera una presión P e  uniforme y constante. Podemos prescindir del término gravitatorio ya que su integral sobre el cuerpo se conoce: es el empuje de Arquímedes. Introducimos el coeficiente de presión en la estela: C

Cx=

24

P

=

 Poo -Pe  P.a

( l +  0 , 1 7 3 . R e ^ ) +  — Re ' 1  +16300/Re ' (4.641)

Del teorema de Bernoulli: 1

Para lo que sigue, esta curva se considerará como estándar.

9

1

9

4) Un planteamiento diferente, es buscar ecuaciones globales apoyándose en consideraciones físicas y/o matemáticas. Estos enfoques han sido exitosos.

De la teoría del flujo potencial:

Se cita primero el de (Kaskas (1964), Molerus) quien superpuso a los efectos de fricción lineal o de Stokes, un término de capa límite y otro constante:

La distribución de presión motriz es entonces:

24

4

Cx  —  + - = + 0A, A4 Re VRfi

3

0

2

P =n-^

2 o

2

s

in 0

0 <6<6s

(4.642) C

 P = P„

 f»l   p

0 <9
Pese a lo burdo del análisis, el ajuste con los valores experimentales es razonable. Abraham (1970) plantea, basado en consideraciones de capa límite, la relación siguiente: Cx =

C o ( ,

+

^

(4.643)

De investigaciones previas Abraham obtiene   Xo ~ 9,06. La ralación anterior, obtenida para la capa límite no es válida para números de Reynolds pequeños. Abraham indica esta limitante, pero sugiere que, para compatibilizar esta relación con la Stokes (Cx = 24/Re), debe tenerse: 2

Co*?0 = 24 de donde Co = 24/*?0 = 24/9,06  « 0,29

Figura 4.66 Flujo pote ncia l sobre una esfera

El elemento de área dA proyectada dad v0> vale 1

Abraham concluye que, empleando las constante indicadas, la Ec. 4.643 ajusta bien con datos experimentales hasta Re<~ 5000.

 dA x = I T IR

se gún la veloci-

s i n 9 eos 9d9 = Ad(  sin

9)

Entonces  F x  =JPdA x

 4,12.16. Fórmula de Concha y Almendra (1979) Se dará aquí una corta versión simplificada. La idea básica es considerar flujo potencial sobre una esfera ficticia de radio R = R0+ 6, (R :  radio de la es-

Realizando la integración: 2

2

 F x = ^pv¡sin 6, A( 1 + C e P -1 sin  6, )  2

o

 4.12.1.7. Extensión de Alonso et al. Las discrepancias que entrega la Ec. 4.645 respecto a la estándar (Ec. 4.644) se hace rápidamente significativa para Re > 1000, alcanzando cerca de 60 [%] para Re = 200000 (Figura 4.67). Esto puede evitarse parcial considerando que Co no es constante, sino una función débil del número de Reynolds. Analizando los valores de la curva estándar se encuentra la siguiente expresión correctiva:

Calculamos C:

c •

I

2

* 2

C Q-sin ^(l

+ C P  - - s i n ^ , )

Por otra parte  A

 A y =

= ( 

4,

C 0  = 0,28 • (l + 0,6 • tanh( Re/25 000))

 R,

R

Empleando este valor de C , la validez de la ecuación (4.644) se extiende hasta  Re . Las discrepancias se aprecian en la Figura 4.67 y ellas no sobrepasan el 6 [%].

De acuerdo a la teoría de la capa límite:  R0 

-jRe

Entonces: (4.644)

Introduciendo valores experimentales de se encuentr a finalmente: C x  = 0,28

 4.12.1.8. Pequeñas esferas fluidas Corresponden a burbujas o gotas. Se posee una solución exacta para el caso viscoso lineal. Esta solución fue hallada independientemente por Hada mard y Rybczynsky en 1911:  D V 

 F x=We 0 0

& y C  P

e

(4.645) ' • • S í

Esta relación resulta experimentalmente valedera hasta Re  cercano a 1000.

 2 Me

Si se trata de gotas que caen en un gas se puede tomar como caso límite: ¡i.

»¡¿e

1,6 1,4  a>
1,0

6 II LL.

0,8 0,6

0,4 0,2

Concha y Almendra Curva corregida F= 0,94 F= 1,04

0,0

1.E-01

1.E+03

1.E+01

Re Figura 4.67 Comp ara ción de curva s Cx vs Re

(4.647)

Mr+ft

1,8

1,2

Vi

e : Fluido exter ior i : Fluido interior

Comparación de curvas Cx - Re (Esferas lisas)

6

(4.646)

1.E+05

De donde:

4.72.2. Sediment ación F  x=3fyie D0vc

La gota se comporta como si fuera sólida y se recupera la fórmula de Stokes.

unif orme

de part í culas Cuando una partícula desciende o asciende en un fluido en repos o debid o a la acción con jun ta de la gravedad y del empuje de Arquímedes, el arrastre hidrodinámico se opone al movimiento y puede llegar a equilibrar exactamente la fuerza motriz. La partícula se mueve entonces con una velocidad constante w llamada de sedimentación u nifor me. Se cumple entonces: F  X  M

 p : f :

=

P pgV  p-p f gV  p

(4.648)

pa rt íc ul a fluido

4.12.2.1. Empleo de la fórmula de Newton Explicitando la fuerza de arrastre según la fórmula de Newton: 1 C 

F 

2A

w

r = j *Pf 

o=(P p-

P f )gV  p

Despejando : (4.649) Figura 4.68 Burbujas que ascienden en un líquido

Si son burbujas que ascienden en un líquido:

F ,

p f 

A

Si la partícula es una esfera de diámetro d\

 p e » M

w=

—

(^-1

w .

Pf

)gd

(4.650)

F  x  = 2 fyie D0v0

Conviene introducir la velocidad densimétrica v,: Obse rvam os que la fue rza de arra stre es

de la de 3 Stokes. Esta dismi nuci ón se debe al movi mie nto del gas dentro de la burbuja (Figura 4.68). Experimentalmente se encuentra que el límite de validez de la fórmula de Hadamard y Rybczynsky es cercano al de la relación de Stokes: Re* 1

4.72.7.9.  Movimiento de gotas y burbujas de tamaño  arbitrario Existen numerosos resultados, en su mayoría experimentales. Se pueden consultar los textos de Levich (1962), Wal lis (1969), Clift et al. (1978) y Sad hal et al. (1997).

v r f = 

P

 p

K--- -\)gd

 \l Pf

Entonces: W w* = — = V,

4 — hc x

(4.651)

4.12.2.2. Sedimentación en el rango de Stokes In tr odu ci en do en la ecuac ión (4.651) la expr esió n de Stokes (ecuación (4.638)) se encuentra para w. :

1 gd  18 f.i

2

v

J

1 gd 

18 v

,Pt

p f

(4.652)

El cálculo de w  es aquí directo y simple. Pero no hay que olvidar la restricción impuesta sobre el número de Reynolds. Empleando la ecuación (4.652) e imponiendo Re< 1  se encuentra:

g

Pf

el valor dado por Concha y Almendra: X0  = 9,06

Pf

Como ejemplo, tomemos una partícula de mineral sedimentando en agua a 20 [°C]: PP_

v AQ tiene

-i \

d< 18

El número de Reynolds Red   está definido por:

Para que la fórm ula sea válida hasta el pun to crítico es necesario que C 0 varíe con Re.  El análisis de la curva estándar conduce a la relación siguiente: C 0 =0 J 28-(l + 0,6-tanh(Re d /14000))

= 2,7

(4.654)

6

V = H0-  [5-]

Como Red   puede calcularse directamente de las  pr opie dades de la pa rt íc ul a y del fluido, las ecuac iones (4.653) y (4.654) permiten el cálculo directo de la velocidad w.

m g - 9,80 ~2

LA0d < 18

n

1 V 1,7

100[pm]

Esta limitante muestra que la fórmula de Stokes es claramente insuficiente en numerosas aplicaciones metalúrgicas.  4.12.2.3. Fórmula explícita (Fuentes etal, 2010) Si se desea calcular  w  para un valor cualquiera de Re se pueden seguir los caminos siguientes:

1) Resolver la ecuación (4.650) en conjunto con el gráfico de la Figura 4.67. 2) Resolver la ecuación (4.650) simultáneamente con las relaciones (4.644) y (4.646) para el coeficiente de arrastre. 3) Emplear abacos (no adimensionales) que dan directamente w Estos procedimientos engorrosos pueden obviarse empleando una fórmula deducida por Fuentes et al. (2010). En efecto, resolviendo simultáneamente las ecuaciones (4.644 y 4.650) se encuentra para w:

v>

 K

140!;

JA

A 3 C,

4, 2  Re.

-f

(4.653)

 4.12.2.4. Sedimentación de partículas no esféricas  No rm al me nt e se emplean abacos que r es um en determinaciones experimentales de w. Fuentes et al. (2010) han extendido el análisis expuesto para partículas regulares e irregulares.  4.12.2.5. Sedimentación de burbujas y gotas en régimen de Stokes Combinando la ecuación general para w (ecuación (4.652)) con la de Hadamard y Rybczynsky (ecuación (4.647)) obtenemos: _1

gd:

w= 6 u

(A

(4.655)

Rehaciendo el análisis realizado en el punto previo se encuentra: a) Gotas que caen en un gas:

1 8 v  p e e 

Esta fórmula es idéntica a la de Stokes (4.651).  b) Burbujas que ascienden en un líquido:

ve

(1-^) pe

(4.657)

El signo negativo indica precisamente que la gota asciende. En este caso se cumple además p¡ « pe y entonces: 1 gd12 v

W  s

Si se elimina v entre las dos expresiones anteriores: 4

3 sin 0

(4.658)

Paradójicamente, las verificaciones experimentales realizadas en burbujas tienden a confirmar la fórmula (4.656) y no la (4.657). La explicación se encuentra en las sustancias que el líquido tiene en suspensión y que son captadas por la burbuja durante su ascenso. Estas impurezas se fijan sobre la zona de estancamiento su peri or de la bu rb uj a y la ha cen co mp or ta rs e como un a esfera rígida.  4.12.2.6. Ascenso de grandes burbujas en un líquido invfscido Por burbujas grandes entendemos aquellas cuyo volumen es del orden de decenas de centímetros cúbicos o mayor. La observación de estas burbujas indica una form a cercana a la un casquete esférico de radio RQ y ángulo subte ndido (Figura 4.69).

. sin(-)

Esta última expresión no puede, en rigor, ser verdadera ya que la ecuación (4.659) aplicada a una esfera implica una presión variable con 0 y la ecuación (4.660) exige que la presión sea constante. Pero ambas relaciones deben ser compatibles para el punto de estancamiento E  y  esto es, para 0 = 0.  Haciendo tender a cero 6 en la última relación: o

(4.661)

Esta relación fue deducida por Davies y Taylor en 1950. Ellos la verificaron experimentalmente encontrando un acuerdo excelente entre la fórmula 4.650 y las medidas. Los valores medidos de 6 0  variaban entre 46 y 64 [°]. En la práctica, es más fácil conocer el volume n V b de la burbuja que su radio R0. Introduciendo 6 0 se encue ntra la relación siguiente:

v 0 * 0 , 7 9 - V g ' V b

1/3

(4.662)

4.13. Chorros Turbulentos Este es parte de un tema más vasto que es la turbulencia libre. Se tratará solamente un ejemplo en detalle y se dará información sobre otro. 4.13.1. Chorro libr e bidim ensional El chorro sale de una tobera de altura b.  El flujo va  pr ep on de ra nt em en te en la dirección de OX   y éste es un eje de simetría. La dirección transversal es OY.  El flujo es permanente, incompresible y bidimensional. No hay variación según el eje OZ   (Figura 4.70).

Figura 4.69 Casque te esférico de una burbu ja grand e

 No to ma re mo s en cuenta esfuer zos vis cos os ni presiones capilares. Si se trata del flujo sobre una esfera en líquido invíscido la velocidad sobre ella es: 1

0 v = - VnSinó

2

 y i \

(4.659) T

El gas puede suponerse a presión constante. Entonces, del teorema de Bernoulli:

2g

= Az = J R o ( l - c o s 0 )

(4.660)

,

v

 o

.

>

/

c

' 

fc 1 i

i / J i lyS.

 L

 tí

Figura 4.70 Esquema chorro libre bidimensional

Las ecuaciones del movimien to son las ya estu diadas  para la capa lí mite tu rb ul en ta y simplificadas en fo rm a similar:  dV  x dV  y L=0  dx dy — *

 x

 dV dx

}

dV dy

Se supondrá que:  Re.

»1

 M 

« 1

+

 2

1 dP p dx

d  V  2 dx  2

La ecuaci ón según 0 7 se reduc e a: dV 2 dy

dv dx

dv v dy

 2

 dV  dV v 1 dP d  V, d  V v  dvv }  2 + —f)  2 OY: V  x —-v + V —= - — + y(—-f  - (— * dx dy p dy dx dy dx

dv v

 p dy

dy

- DI

Q

 2

dv dy

2

1 UJdP

Y_

Ella se integra:  p m+ri=ñx)

Las escalas pueden darse como: Lejos del chorro el fluido está inmóvil y allí la presión es P,III00 . Entonces:

 L  I v

 x : Abscisa de una sección del cho rr o  y : Semi anc ho del cho rro V : Velocidad en el eje del cho rro

 2

 P m+pv  y=P ma¡=Cte.

c

V :

Velocidad según 0 7

V=V

 P  :

Presión mot riz

 — :

Tensi ones de Rey nol ds

m

« L1

Esta última relación se introduce en la ecuación según OX Introduciendo las escalas y simplificando:

 pvl

 . dV  x T  V Y  —+  dx

V

¿

¿

dV  x dv L TZ }  —  V, =— + dy dx

d% d  V.,dv' x v(— 2 f + — 2 f ) -( -* - + dx dy dx 1 V  MRe, ü MRe,

Se define un número de Reynolds turbulento y un  pa rá me tro asociado a la capa lí mite:  Re.

 M

(4.663)

v

V, / v L

(4.664)

La escala v' se determina de la ecuación de continuidad: dV y — o dy dx  I

V

7

 L

Se supone que Re f   puede ser tan grande como para hacer despreciable el término viscoso. Por otra parte,  pa ra que subsista la tu rb ul en ci a se r equiere que: SL

0(1)

vil

(4.666)

Las ecuaciones del movimiento quedan entonces como:  av. dv y — (4.667) = 0 dx dy  d 

V  X Vy

Entonces:

dx  M v

v' = O v

(4.665)

Introduciendo esta escala en la ecuación según OY, así como las ya conocidas y después de simplificar se obtiene el cuadro siguiente: +

 dV. K  dy  M*

 2

1 dP j»m +  p ^y

 2

 d  v. d  K  2 +  2 v ( dx dy f )  M {  f_  2 1)  Re,  L

vx

dv

 y

(4.668)

dy

dy

Un aspecto básico del chorro se puede visualizar integrando la ecuación de continuidad en toda la sección transversal:

 J dr

J

dy

Pero al infinito tanto V  x  como V y  son nulas y' no existe turbulencia, de donde:

O bien: ^

+00

_ -K»

 J 

 dx

+00

El gasto unitario en la sección transversal es: Esto significa que el flujo de canti dad de mo vim ien to se conserva. En particul ar, debe ser igual al de la tobera de salida, entonces:

+00

q = JV  xcfy

Entonces:

 jV?dy

 dx

¿

= v¡b

(4.669)

vQ: velocidad a la salida del chorro. La ecuación de continuidad permite despejar V:

dy dK, ^ es negati va

Es fácil vis ual iza r que la int egra l de

dy

y entonces zdaí es positiva, esto es, el chorr o inc orpo ra  dx fluido ambi ent e en la medi da que se desarro lla y se ex pa nd e. Pa ra in te gr ar la ecuación de ca nt id ad de movi miento en la sección se la puede escribir como: dV

dV

dV

dV

dvr vv

dx

dx

dx

dy

dy

rj T/ Reempl azando la derivada de la ecuación de continuidad: dx dV + y dV x ~  y  AV + V ^dV + y x llJL y dx dx dy dy

 y

V

V

> =

d 

y

- i - t * - ^ *

Introduciendo en la ecuación de cantidades de movimiento, ella queda solamente con V^  como incógnita en el primer miembro: vv. r)v dxJ  rh vQ dy

dxr 

r)dy

Se intentará encontrar una solución en variables adimensionales y en similitud. Para ello se definen/, gyr¡:

dvx vy

V  x=v c(x)f(rj)

dy

V  =V 

-Vx  y  cg(v)

Donde: 2

dV  x

d(V  xV  y)_

dx

dy

dv xv dy

2

 J dx

  -d(y xv y)

t

J

V

_

dy

J

 y l(x)

(4.671) (4.672)

(4.673)

Empl eando la ecuación (4.669) se int rodu ce un a condición de normalización para/:

Integrando en forma indefinida: dV  x

(4.670)

 2

+00

 2

v  J ¡ f   d t ] = V¡b

dy

O bien:

(4.674)

— 00

-JV  x dy dx

+ KK,  x' y  - -v„v. xy

dx

+

Donde la función F(f/) queda definida:

00

¡Kd) > + V  xV  y

(4.675)  JV  x cfy = vc l ' j f drj = vJF 0 o

Integrando en toda la sección:  a

Por otra parte:

•V xyV

 F = f f d f j

(4.676)

Calculando las derivadas y reemplazando en 4.670; V 

 f ~ (

í  +  r ) f ' F = g'  

 B está libre. Obviamente la elección más sencilla es:

1  Re,

 B

(4.677)

(4.687)

Entonces: Ahora, si las soluciones están en similitud, los coeficientes de las funciones de r¡ deben ser constantes:

 f" + f + f ' F = 0 De su definición (4.676), F'   =/, de donde:

 dv^l = A  dx v c

(4.678)

 di = B  dx

(4.679)

 2

 F"' + F"F + F' = 0

 t]^ 0;

F = 0;

00' (4.680)

l = Bx

La ecuación (4.678) se integra ahora, introduciendo (4.680):  Á/B

(4.681)

La relación (4.689) se integra de inmediato a:  F" + FF' = C  X De las condiciones al infinito, C  } = 0.  F" + FF' = 0

 F'+-F

(4.682)

v c= D r =D x x~

F"

= 0;

 2

1/2

F'= 1

Esta ecuación se integra otra vez directamente:

Pero, de (4.674) y (4.680) se deduce:  m

(4.689)

Las condiciones de borde son las siguientes:

Que se integra a:

v'^Cx

(4.688)

= a

De las condiciones en el eje, C2 - 1

Comparando con (4.681):

 2

 F'+-F

=1

2

Esta ecuaci ón es a variables se parables y se inte gra a:

Entonces,  (4.677)  se simplifica a: (4.683)

Se tiene: La tensión turbulenta se expresa ahora según el modelo de Boussinesq:

c3=

o

Entonces: F = V2tanh(-^)

 d 

 r=-pv xv y^pv, ^

 2

dy

= pv  c g(t? ) 

(4.684)

Calcula ndo la der iva da^ ' y reempla zando en (4.682): 2

- f ( / + / F ) = s' = V " vj 2

(4-685)

Aparece un nuevo número de Reynolds turbulento:  ReT  s v i

v  ,

(4.686)

Y, der iva ndo , se obt ien e finalmente el per fil de velocidades axiales: 2

•X* - f = F = s e c h í 4 L  42

(4.690)

Para tener una idea del significado del ancho /, se le  pu ed e in te rc ep ta r con el pe rfil de ve locidades axiales, esto es, calcularlo para y - /, esto es 7]  —  . Resul ta: ^

^ 0,63

Falta conocer la velocidad axial v c  en función de x. Retomando la ecuación (4.674):

4.73.2. Chorro

circular El problema se resuelve en forma esencialmente semejante al del chorro plano (Figura 4.71).

vlb Se define la integral como: /... =

¡fdi l

Su cálculo es sencillo:

/ sech'

J L í/»7 = - V 2 V2

(4.691)

Como l = Bx,  entonces:

1 v0

F

7

Ib , ^

1

Figura 4.71 Esquema de chorro circular

2  B-\Í2 V  x

Experimentalmente se sabe que: vAr  „ „   = 2,7

ib

Los resultados globales son: (4.692)

v.vOv*) _

v c(x)

1 1 + a n

(4.694)

Por lo tanto: 2 "V B-V2

 a  es una constante cercana a 3,31:

= 2,7

 f j

De donde:

l(x)

(4.695)

B = 0,073 El número de Reynolds turbulento vale, según (4.686): v -1 2 27,4 B El semi ancho / del chorro queda mejor representado experimentalmente si B = 0,078. Entonces: 1 = 0,078-x

(4.693)

1 = 0,085-x

Re x =

v c -1   = 39,1

 — = 6,6 • —

(4.696)

(4.697)

(4.698)

 D0 es el diámetro de la tobera. El valor de 6,6 es dado  po r Reyno lds y Cebeci (1976). Ta mb ié n se emplea 6,2 (Rouse et al. 1960).

143

4.14. Movimiento Acelerado de Partículas en un Fluido El caso general es muy complicado: la partícula puede tener una forma cualquiera y estar animada inicialmente de un movimiento arbitrario. Inicialmente el fluido posee asimismo un movimiento que puede ser complicado. A partir del instante inicial, partícula y fluido interaccionan en cada instante. Resulta obvio que es necesario partir por casos simples.

4.14.2. Movimiento acelerado de una partícula esfé rica que parte del reposo bajo la acción d e la gravedad —Fluido inmóvil lejos de la part í cula— Re «l Un caso sencillo e importante es el de una partícula que cae partiendo del reposo en un fluido inmóvil lejos de ella. Tomando como dirección del movimiento la vertical descendente OZ tendremos: Vy = 0

4.14,1. Movimiento acelerado de una  partícula esférica — Re «1 Este problema fue tratado a la vuelta del siglo XIX  po r Basset en Ingl at erra , po r Boussines q en Francia y  po r Oseen en Al emania . Ha recibido nu me ro sa s discusiones y retoques (Fortier (1967) , Yvergniaux (1988)). La relación resultante y sus generalizaciones se conoce como ecuación BBO (Basset-Bousinesq-Ossen). Daremos aquí la versión deducida por Fortier (1967).

 y ó

 dv

=

4

v „ = [0 , 0 , v ]  g f =[0,0 9 g]

Entonces la ecuación (4.699) se simplifica como sigue:  4

J

1

\ 3 ch> 4 .

/

^ 2 id(y f -v) 3 —  4 3n - 3 Wo S + fow Oy) - - 3  npfi b — (2)

(3)

(4)

(5)

J  £ 2 2  ^'d(v -v  )/dr 4 3  cK> + 6r0 -Jjrfif  f   p - , ~ dr ~  ~mÍP  f  dt (6)

(4.699)

rdv/dr

(4.700) La condición inicial es t  = 0; v = 0. Si la coordenada del centro de la partícula es z p> la trayectoria z =  z (t)  pued e calcularse de la velocidad v in te gr ando :

(7)

/ : fluido  p  : partícula

 dz n  —  —  v  dt

t = 0; pz

-0

Introduciendo las constantes: Los términos señalados por () se interpretan como sigue:

(2P P+P f >0

(1): masa y aceleración de la partícula (2):  peso de la pa rt íc ul a (3): empuje de Arquímedes (4):

resisten cia viscosa prov enie nte del movimiento relativo

(5):

fuerza inercial proveniente del movimiento relativo

(6):

fuerza resultante de la historia del movimiento

(7):

9 Jp f  jLi

 ,Jjr(2p p+p f  )r {  2(P p-P/)g  2P P+Pf

Se encuentra:  t i v' + av + bf ,— - dr = c

fuerza inercial proveniente del movimiento de la esfera

Se ve que la resistencia viscosa cumple con la ecuación de Stokes. Asimismo aparecen términos de masa virtual. La integral relativa a la historia se designa precisamente como integral histórica (IH).

9 ¿i

 a

(4.701)

 JJt - T

Esta ecuación es integro-diferencial. Pero es posible convertirla en una ecuación diferencial ordinaria v"   +

 2

 2

(2a - j A )v' + a v = ac-

 bc

(4.702)

J

Además de las condiciones iniciales ya enunciadas antes es necesario agregar otra:

i) Si Re « 1 , IH es desprec iable si —A » 1, F orti er Pf (1967).

f = 0; v' = c

ii) Tam bién es desprec iable si Re t  » 1. Re  es el núme-

La ecuación 4.702 es de segundo orden lineal no homogénea. La solución es;

ro de Reynolds formado con la velocidad de sedimen tac ión

T

 ab  a - p

\a

~Í

J« Jt 

\P

J Vr

(4.703)

v

iii) Para un escurrimiento turbulento se puede prescindir de IH si (Picart et al. 1982): A r  » 1

a y p están dadas, respectivamente: 9

 a =

2{ Pf

 f

PfV +

2

A.

- ( 7 - 4 — + 3 (5 -8 —) P p

y r

9 p f n %Pf + 2p P X

2

Pf

( 7 - 4 — - 3 J5 P f

Pp_ Pf

4.74.3. Generalización

para grandes números de Reynolds Aunque la Relación BBO es válida solamente para Re « 1 , se supone que si los núm er os de Re ynolds son grandes respecto a la unidad es posible emplear la fórmula de Newton.La resistencia según la fórmula de Stokes es: 6jt/L(r0(v f -v p )

(4.704)

Según la fórm ula de Newto n la fuerza resistente puede expresarse como: 2

F =

\CM (yf -v p)\vf ~v p

(4.705)

Se supone, además que la relación C  x - C (Re)  es la misma que para las esferas inmóviles, ya vista en puntos anteriores. El número de Reynolds se calcula como:

v

T_

Pf

Formas más específicas de la solución dependen del signo de la raíz, esto es si pjp¡ es mayor, menor o igual que 5/8.

 F =

(Fuent es et al. 1995).

J

4.14.4. Importancia relativa de la integral histórica Es de obvio interés saber a priori en que casos se puede prescindir de IH. Entre las situaciones investigadas, son de particular interés las siguientes:

T l : Escala de tiempos Lang rangi ana turbu lent a T  p : Escala de tiemp os de la partícul a

La escala de la partícula está dada por (Yvergniaux (1988)):  p

18 p f 

2

v

La del flujo turbulento puede estimarse como (Tennekes y Lumley (1972)): Tr =

¡, u:

1 1_ 3u

Escalas turb ulen tas para la longit ud y la velocidad respectivamente, en la situación en que la disipación 8 no depende de la viscosidad.

La disipación se relaciona con la disipación medi ant e (Taylor (1935)): ..3

/ 4.14.5. Otros desarr oll os Es posible, mediante coeficientes adecuados, tratar el movimiento de partículas no esféricas. Asimismo, es  pos ibl e tr at ar un a susp ensi ón di luid a si gu ie ndo num erosas partículas, suponiendo que: a. El mov im ie nto del fluido es dado.  b. Este mo vi mi en to no depe nd e del de las pa rt íc ul as . c. Las part ícul as no chocan entre sí.

4,15c Estimad ore s de las Escalas

Turbulentas

Las fuerzas externas actuantes son la presión motriz P m  y la tensión tange ncial en el con tor no r'0 : d 

4.75.7.   Introducción Para juzgar y compa rar el func ionam iento de reactores metalúrgicos es frecuentemente necesario conocer las escalas de la turbulencia. Estas escalas no pueden conocerse con precisión sino mediante experimentos,  pe ro es posible, en casos sim ples, da r es ti ma do re s bu rdos para ellas. Se da un escurrimiento: o Turbulento. • Incompresible. • Perma nente (en promedio). ® Diná mica ment e establecido en un ducto.

(Pml -P„aM-(j<  xk 

: tensión tangencial en un punto del contorno dx : elemento de perímetro Como no conocemos a priori la distribución de tensiones tangenciales, nos vemos obligados a emplear su valor medio:

Entonces:  dP  oXdx = A\- —^ Idx  dx

T 

4.75.2.  Fricción Sea OXla dirección media del escurrimiento. Se distinguen dos secciones transversales 1 y 2 separadas a una distancia dx  (Figura 4.72)

Introduciendo ahora el radio hidráulico R h  y el diámetro hidráulico Duh:

©

®

= 0

 R,

(4.706)

A , = 4 R„

 X

V•>»-"

%

 A

\(  X

dx

dx

4

dx

V 

 X /fr

 dx

dx

Si se trata de un ducto circular, t Q  es constante por simetría. Además:

Figura 4.72 Esquema de fricción

Podemos plantear la siguiente ecuación de cantidad de movimiento:  f p w

¡ A

=

 F

2>

El caudal másico elemental es:

 R« =

 D

 D„=D El gradiente de presión se puede expresar mediante la fórmula de Darcy:

 dM  — pv x dA Él es constante y como el escurr imient o está d inám icamente establecido: f p v x v y dA = dM(v X2 - v X i ) = 0 Además:  M =

pvA=GA

 A : área tran sver sal v : velocida d med ia en la sección

 dx

D h 2

(4.707)

/ : factor de Darcy. / puede calcularse de la expresión de Colebrook y White: = = - l o g ( 0 . 2 7 — + -^ 41 =)  f D h  ReJf

Re

v-D,

(4-708)

Para tuberías circulares lisas se puede emplear la fórmula de Blasius: 0,3614 f= Re 1/4

Introducimos la expresión del caudal másico y sim plificado:

vA

(4.709) 5

Esta fórmula es precisa para Re  cercano a 10 . Para otros valores de  Re  proporciona una estimación gruesa. La tensión tangencial r 0  se puede calcular empleando las ecuaciones (4.706) y (4.707):

dP dx = pi^e'dAfa dx

Defi nimos el valor medio de en la sección: G A

= Je'dA

Entonces

 p

(4.714)

dx

 Dh 2

dx 0

4 2

(4.710)

r Q  se expresa asimismo a través del coeficiente de fricci ón pariet al (o de Fanni ng):

Eliminando el gradiente de presiones entre (4.707) y (4.714): (4.715)

P*H

Introduciendo la velocidad de fricción:

(4.711)

v

v

f 

(4.716)

Comparando (4.710) y (4.711): Por último, intr odu cie ndo /de la ecuación (4.713): / = 4C 7

(4.712)

3

=

La velocidad de fricción  vf   se define como:

 D v

Combinando con la ecuación (4.710): (4.713)

 A\f 4.15.3. Disipación La disipación por unidad de volumen constituye la función de Rayleigh O. Se introduce asimismo la disi pación por un idad de masa e:  s

=

'  P

Empleando una versión integrada de la ecuación de la energía: M P  P

 P

 D=f&dV

(4.717)

Como ejemplo tomemos una tubería circular con agua a 20° C:

P

v

f  v 2 D,

~

0.1 1

1000  P = 6 V = MO" vD _  Re = V

[m] [m/s] 3

[Kg/m ] 2

[m /s] 100000

Empleando la fórmula de Blasius (4.709): f 0 3 1 6 4 11 2 2 Re  

JL 100

Vemos que £ es de dos órdenes de magnitud menor 3 que  D Si se emplean las escalas de Taylor  / y v se tiene como estimador de  e: .3

V

/

(4.718)

4c 15.4. Escolas de la

t urbulencia

Se distinguen tres tipos: Macroescalas o escalas globales, asociadas al escurrimiento en su conjunto L y Vy a los torbellinos cuyas dimensiones son del orden de magnitud del sistema. Macroescalas de Taylor o Mesoescalas l   y v, corres po nd ie nt e a las ca ra cterísti cas de los to rb el lino s que contienen la mayor parte de la energía cinética de la turbulencia. En ellos la viscosidad no tiene todavía influencia gra nde y entonce s no disipan apreciabl emente. Microescalas o escalas de Kolmogorov A y v, estos torbellinos disipan fuertemente la energía que reciben. La Figura 4,73 (adaptada de Davies 1972) contiene un croquis que indica el contenido de energía de los vórtices en función de su tamaño.

 4.15.5.2. Escalas de Taylor Aceptaremos que la escala de velocidades v corres po nd e a la v elocidad de fr ic ci ón Vj.  Entonces de (4.713):

Empleando la fórmula de Blasius (ecuación (4.709)): v

(f

0,2 Re 1/8

(4.719)

Empleando ahora la ecuación (4.718): 8=

1 ~ 2 D

De donde: i i

Según el escurrimiento global

3

Zona disipativa

1 = 2 ( M  D f \ v )

= 

2Ü7^

=

1

17 8 V2

/ ( Vs J

Empleando nuevamente la fórmula de Blasius: 2 _ 1 f D ~8V2

S

Re

(4.720)

1/8

La frecuencia de los vórtices vale: Gran des torbellino s

Torbellinos de Taylor

Torbellinos de Kolmogo rov

Figura 4.73 Conte nido de energía en los vórtices (ada ptada de Davies, 1972)

 f -

v

 /

v,f 

-

/

 f 42 F -Jf D

-

El parámetro adimensional de frecuencia o número de Strouhal St  se expresa:

4.75.5. Esti mador es de las escalas Se trata solamente de fijar ideas y, entonces, se em pl ea rá n valores asociados a t ub er ía s ci rculares lisas.  4.15.5.1. Macroescalas Para la macroescala de longitud en una tubería circular se puede tomar:  L

~-D

2

Tomando como escala de velocidades la velocidad media V, la escala de tiempos T   es: T =  L =  Í D

V  2 V La de frecuencias F vale entonces: F = —= 2— T D

(4.721)

St = — = 4 V

La escala de tiemp os t es el recíproc o de la frecue ncia y entonces:  t_V 

=

 D

_1

=

St

1

(4.722)

4

Conviene relacionar el número de Reynolds de las escalas de Taylor  Re¡  = — con el número de Reynolds v VD global Re = . Emp le an do las ecua cio nes (4.718) y v

(4.719):  R e ! =

v l

=

v

f 1 V8 8 V2

¿VD v

 f 1

32

(4.723)

 4.15,5.3. Microescolas Ellas están dadas como funciones de e y v mediante las relaciones de Kolmogorov: e v = (ye)

1/4

r = (- y e

(longitud)

(4.724)

(velocidad)

(4.725)

(tiempo)

(4.726)

La frecuencia (p — ~ cump le enton ces con:

& = V 

l R e v > =o,4 • Re V

4.15.6. Ejemplo: Retomemos el caso de la tubería: = 

Introduciendo en (4.724) la expresión de Taylor para e (ecuación (4.718)):

Procediendo análogamente con las ecuaciones para v y r se encuentra:

v

1

v 

Re)

(4.728)

1/4

 r

1

 t

Re¡

(4.729)

1/2

Es ahora sencillo relacionar las microescalas con las escalas globales. Empleando la ecuación (4.727) y com bi na nd o con las ec ua cion es (4.720) y (4.723): \Í2 1 i J f R é.3/4

V  D

Empleando una vez más la fórmula de Blasius: 1  D

\Í2 \[f

1

1,6

 m

Re 11/16

Re

(4.730)

TF  D

(4.731)

 ]/A

Re 1

u¿

 f Re

1/2

=

W

/?£• = 8 9

[ — y]

m

Escalas Globales J L = — D = 0,05L [m] 2

V F

=

 D

=

50

=

i

=

20

l

=

[mm] s

ñ

[Hertz ]

Escalas de Taylor  Re }

 f  Re  = 55,6 32

 D

0,05 Re 1/8

v V

 _0,2 Re 1/8

0,012

« 0,047

V =

1,2 [mm]

4,7

^ s

Escalas de Kolmogorov

Procediendo análogamente con las escalas de velocidades y de tiempos se encuentra: v V~iÍ2

0,0178

 3

O

(4.727)

= 

1/4

 f V  = 0,089 W Kg 2 D

De donde:  /

10 00 00

Re

4

1 Re 3/4

(4.733)

2

 Re

>7 = ( V ) " v

3/8

4 1,6 11/16 :5,8-10~ Re V 0,63 OÍ 5716 0,017 V " Re :  cpD _ 0,4-Re 3/8 V

V  D

=

58

[ftm]

v 

=

17

[ ^ J s

(p

=

300

[Hertz]

Los valores encontrados se puede n com para r observando la tabla 4.1. 2,5 t> _ 3 / 8

Re

(4.732)

Tabla 4.1 Comparación de escalas Global Longitud

1

0,06

100

5

2

20

40

300

Frecuencia [Hertz]

v = v,

Kolmogorov

50

[mm]

Velocid ad [cm/s]

Taylor

dr

El punto 1 es cualquiera dentro del líquido. El punto 2 se puede llevar al infinito, donde la presión es P^, Entonces: 2

4.16. Velocidades y Presiones en una Burbuja - Régimen Impermanente 4.76.7.  Introducción En los convertid ores se inyect an burbu jas a una cierta frecuencia. Este régimen de burbujeo intermitente im pli ca f ue rt es va riaciones de presión a lo largo del ti em po (Hoefele y Brimac omb e 1979, Bustos et al. 1988). Es un caso particular de régimen no permanente en  bu rb uja s gaseo sas , qu e repr esen ta un co nj un to de pr o blem as vastos y complejos. El pr ob le ma se pu ed e mo delar en primera aproximación considerando burbujas esféricas y no considerando: • • • • •

Transfer encia de calor. Difusión. Tensió n Superfici al. Viscosidad. Cam bi o de Fase.

1 P 1C P 1 dC - v 2 + —+ — = — 4r   + —+ 2 p at 2 r  P r dt

— p

(4.735)

Fíjese aho ra el punt o 1 en la superficie de la burb uja . Allí el radio de la burbuja es a y la velocidad en su contorno es  a' = — , C   vale entonces:  dt 1

C = -a a

Reemplazando en la ecuación (4.735):

2

p

(4.736)

Esta última relación fue deducida por Rayleigh en 1917. Conociendo las presiones en función del tiempo, la ecuación (4.736) puede integrarse exacta o numéricamente. Inversamente si se conoce  a{t)  puede calcu-P . larse

4.76.2. Ecuación de Rayl eigh Se empleará el teorema de Bernoulli para régimen impermanente, suponiendo escurrimiento invíscido, incompresible e irrotacional en el líquido que rodea la  bu rb uj a: 1

 , P d 1 V2 + gh +—+ — p dt 2

-V

2

2

,

p

ao

p

dt

+£ /? + — +

—

Se supondrá que las variaciones de presión dinámica en las cercanías de la burbuja son mucho mayores que la variación de presión estática, esto es: AP » pgAhEntonces: 1

2

2

? p

» dt

l  2  p d<í> - v + —+ — p dt 2

(4.734)

4.16.3. Colapso de una burbuja de vapor Cuando en un líquido se alcanza en un punto la presión de vapor el líquido hierve localmente y se forman  bu rb uj as o cavidades que crecen: se dice qu e el líqu id o  cavita. Si el movi mie nto del líquid o lleva burb uja s a un  pu nt o en que la p resión es ma yo r que la de v apor la bu r bu ja se colapsa v io le nt am en te : se h ab la de  implosión. Este fenómeno de cavitación es de considerable im po rt an ci a, ya qu e pu ed e en ge nd ra r presiones din ám icas enormes: plausiblemente pueden alcanzar 1000 [bar] o aún más (Knapp et al. 1970). Cabe estudiar en forma sencilla la evolución de la cavidad de vapor empleando la ecuación de Rayleigh  pa ra P m - P consta nte. Para ello, se elige como va riable la energía cinética por unidad de masa del contorno de la burbuja e:

Ya que la burbuja es esférica se puede suponer flujo  pur am ent e ra di al y entonces: 0 =

c

e

1 2 =-V

Entonces  de c  _  da

, da dt _ da dt da

dt

Reemplazando en la ecuación (4.736) y multiplican2 do por a :  da

=

 da

2

 ) ^ _ P„-P

2

1000

[*%] m

(agua)

100000 0

[Pa]

( P B sP atmósfera normal) (La bu rbu ja está vacía)

p

De donde; 1

Como ejemplo tomemos: [mm] a = 7

da

a2

p Resulta:

Integrando: L J T = 0,2 [ms]= —-—[s]   5000

3

p

El inicio del análisis cuando la burbuja ha alcanzado su diámetro máximo a0 (a'=  0). Calculando la constante, la velocidad de colapso de la burbuja resulta:

\l 3

 dt

V o

p

Cua ndo se acerca el colapso a tiende a cero y a menos infin ito . Pero el ti emp o de colap so T resulta finito. Despejando dt   de la relación anterior e integrando tendremos: o  da

2 

P-P

Empleando:

l 

6 

{l 

 m

J

=

4.17.1. Ecuación global de la energí a En much os casos, no se conoce o bien no se está interesado en conocer la estructura detallada del transporte de energía. Entonces el camino más simple es em plea r ve rsiones glo bal es de las relaciones en ergéticas. Se puede a partir de la ecuación global para el primer  pr in ci pi o de la te rm od in ám ic a:

1 5

y

, )= 2 6

 r(1/2)r(5/6)

r(4/3)

=3

+ W  s+ Q

Escrita en forma más detallada:

aJ  —?--¡x-  X\-xy  du P.-P-

 2  D  fp(e,. + -v  )dV  J ?  Dt-

Ahora: , - ( y1 -

4.17. Versi ones Int egra das de las Ecuaciones de la Energía

 Éi+ É c^W e

Se encuentra: T„ =

Vemos que la burbuja se colapsa rapidísimo. El colapso de burbuj as ha sido estudiado experi mental mente y confirma bien la teoría de Rayleigh (Batchelor 1967, Knapp et al. 1970). Se han realizado, desde hace décadas y hasta hoy, numerosos trabajos destinados a refinar el análisis de Rayleigh. Ellos pueden consultarse, por ejemplo, en Knapp et al. (1970).

r(l /3)

Donde:  B Func ión Beta de Euler r Func ión Ga mm a de Euler Empl eand o una tabla de la fu nci ón Ga mm a, finalmente el tiempo de colapso resulta:

= W e+JV  s+Q

La potencia de las fuerzas externas se expresa según:

Como caso particular suficiente para las aplicaciones que se desarrollarán más adelante, se considera que las fuerzas externas admiten un potencial escalar Q: /, = -VQ = -

Tc = 0,913 *a0 •

(4.737) P.-P

 4 738

(  '  )

 dQ  dX ;

(4.739)

La ecuación previa se escribe ahora:

En el caso del potencia l gravitatorio: Q

=

h

§  

 h  es una coordenada vertical ascendente. Entonces:  dh

f

W^-p^ftcU+Jvríjrijdl

(4.740)

 dx:

(4.741)

La segund a integra l represent a la potenci a W desarrollada por las fuerzas viscosas sobre la superficie de control:  dA

W

Donde: Reemplazando en (4.738) y explicitando la derivada lagrangiana de la integral:

 dQ  dx..

 d 

 2

 2

  jp(e + A v  + Q)dV +jp(e í  + iv  dt  t

Considérese ahora la integral siguiente:

+ Q+

 I=fpQdV

(4.743)

Entonces  DI  Dt

D  JpQdF Dt'

v „. ' ,dQ r DQ =jp-—dV =fp(~¿7 +  J

3Qur .

 Nor mal me nt e el po te nc ia l ü  no depende explícitamente del tiempo y entonces:  DI

e

~fp(  ¡

+

+

 2

  gh)dV +jp(e¿ + ~v + gh + —)v • dA = ^ + Q

(4.744)

La ecuación de la energía (4.738) deviene: l   2

^-Jp(eí+ 2v +Q)dV

Donde W  s —Jv^.dA. Cauchy:

Esta última ecuación es una relación energética que es suficientemente sencilla y general para una buena  pa rt e de los cálculos glo bales. Co ns id er an do po te nc ia l gravitatorio (ecuación (4.740)), se tiene:

 D

dQ

= W  s+ Q

Según la descom posició n de  t,= Tytlj

Se supone ahora que el tensor puede desplegarse como: T ¡r-PS¡j+T> T'..>j recibe el nombre de tensor extra o adicional. Para un fluido newtoniano queda definido por:

(4,742)

Entonces:

• dA = W' s+Q

4.17.2. M áqui na generalizada Una de las aplicaciones más importantes de la ecuación de la energía es el estudio de dispositivos motrices o máquinas. Se desarrollará aquí un plantea miento muy general al respecto, que puede llamarse máquina generalizada. Esta máquina puede ser una turbina, una bomba, un compresor, etc. Su esquema se muestra en la Figura 4.74. Ella recibe desde el exterior una inyección de calor a la tasa Q , Asimi smo las tensiones, sin tom ar en cuenta la presión, entregan una potencia W\. En general:

O =0 *

2

+ V dflm ¿t

(4.745)

donde Qm  es el gasto en masa, V es el vo lu me n del fluido den tro de la máq uin a y p es la densi dad med ia del fluido dentro de la máquina. Si se trata de régimen permanente entonces

Vit^-PVM+Vrijllj

152

Se considera ahora la segunda integral del segundo mie mbr o de la ecuación (4.744). Por las paredes sólidas no se produce flujo de energía. Este flujo ocurre solamente por la entrada (1) y por la salida (2).

v : velocidad media de la sección, a : se conoce como coeficiente de energía cinética o de Coriolis. Si la distribución de velocidades es dada, a se puede calcular de su definición:  3

 fv  dA

 a

(4.747)

7 T

Para flujo turbulento en tuberías circulares a no se aleja demasiado de la unidad y un valor típico puede ser 1,1; pero para flujo viscoso en tuberías circulares a vale 2. En flujos acelerados en los cuales los efectos viscosos están confinados en capas límites se puede toma r a como igual a la uni dad . se pue de desglosar en tres términos:

Figura 4.74 Esquema de una máquina generalizada

Se impondrán las restricciones simplificatorias siguientes: a) Régimen permanente.  b) En estas secciones de en tr ad a y de salida el es cu rr imiento es rectilíneo. c) La energía interna e. y la densidad p es uniforme en estas secciones.

Potencia sobre un elemento móvil o potencia motriz (álabes de una turbina, por ejemplo) Potencia entregada por los esfuerzos viscosos en el contorno sólido. Ella es nula.

 y

W 

W i"

Potencia entregada por las tensiones viscosas en las secciones de entrada y salida. Esta contribución no es nula, pero es en general despreciable.

Entonces reemplaz ando los desarrollos anteriores en (4.744):

Entonces: = l :2 p  Jo(ei + - v  + gh + —)v • dA  Jpe¡v'

dA +J(pgh + P)v • dA ~Jp{ei^v

2

1

+gh)dV

+

 2

 P 1 2 Qn e + — + #/? + a-v = W'+ Q  ;  P 2

•J (P 2v  )v-dA =

e

(4.748) e

Definiendo e como:

ej i2- en)

1

e, +  p

 P

+ gh; + a - v2

(4.749)

P La ecuación (4.748) deviene:

 M

vdA  d * . 12  jp(e¡ + -v + gh)dV  4- QJe 2  dt

La integral que contiene la energía cinética por unidad de volumen no se puede realizar directamente sin conocer el campo de velocidades a la entrada y a la salida de la máquina, pero es posible expresarla en forma simplificada introduciendo un coeficiente adimensional a:  2

 J(p-v  )v'dA^Q m(a 2

1

(4.746)

= W\ +Q (4.750)

Se suele interpretar  e  como la energía efectiva total (por unidad de masa de la corriente). Esto surge de que en la práctica de los cálculos energéticos se desea que e crezca,  decrezca o se mantenga constante. Pero esta denominación es viciosa frente al Primer Principio de la Termodinámica.

153

4.77.2.7. Caso particular: Escurrimiento permanente Esta situación equivale a considerar  d/dt = 0 . Entonces vale: 2 a e. + — + gh + a—V  P

\=W\+ Q

(4.751)

e¡

 P PL C = C  T + RT = C  T = ^= + v  p  P P R

K-i A (4.752)

Si e 2 es mayor que e } y no se inyecta calor, la potencia motriz es positiva, indicando que se le entregó energía a la corriente fluida que recorrió la máquina. Ésta, entonces, es asimilable a una bomba. En el caso contrario, la potencia motriz es negativa y se habla de una turbina.  4.17.2.2. Versión energética global Si se considera un ducto limitado por secciones 1 y 2, no existe transmisión de fuerza motriz. Entonces la ecuación de energía global (4.750) puede escribirse: 1

Qm

-2

+ —L— f p' íe ¡ + - v " + g*h 1'dV Q m d t r 2

v

+  2 T  i =

 a

e

+ — ^r dtJfp( ¡ + V  P 2 + gh + 2~ v¡ - Q m + Q 2  m

+

gh)dV

4.17.2.2.1. Caso particular: escurrimiento permanente de un gas ideal sin inyección de calor.

Si se particulariza (4.754) al caso de escurrimiento  pe rm an en te de un gas ideal que no recibe cal or desde el exterior:

 P\

2

p2

2

Cp-Cy

2

+ 

l

(4.756)

2

h- P2

4.17.2.2.2. Caso particular: Escurrimiento permanente de un fluido incompresible e isotermo }  sin inyección de calor De una de las expresiones de la energía inter na:

 dei = C  p dT +

dp  P

¿

 p

dT

Se deduce que, para un fluido rigurosamente incom presible e iso te rm o se tiene : e¡ = Cte T Partiendo nuevamente de la ecuación 4.754 se deduce entonces:  2

(4.754)

P k P - = -- g Q -P kQ-lp

Esta relación es muy semejante a la ecuación de Zeuner deducida de la ecuación de Euler, si se la escribe  pa ra k = k 0.  Pero existe una diferencia profunda: esta ecuación es válida para dos puntos del fluido en movimiento y la (4.756) es válida para dos secciones de un ducto.

(4.753) o bien:

C

Entonces: +

o bien:

e,1 = e 2

Y, sucesivamente:

2

v2  P v P2 ^ + \ + a, 2 = + h 2 + a 2 2  Y   s r  s

(4.757)

 4.17.2.3. Pérdida de carga Para estudiar este aspecto, se puede partir nuevamente de la ecuación 4.754. Para simplificar el raciocinio el análisis se limitará al caso particular del escurrimiento permanente:

(47 55)

P  l Pi 

Para un gas ideal:

 a x 2  1  2 

P  2  Pi 

a 2 2

2 

Q

Qm (4.758)

 de ¡ = C v dT O bien: Suponiendo un intervalo de temperaturas para el cual pueda tomarse C v  - Cte.: e t = C  yT

 _Q

Qm

(4.759)

154

^ u § <

Se debe rec orda r que el calor tota l que recibe el sistema se compo ne del calor inyectado ( Q ) más el aporte de la fun ci ón de Rayleigh (disipasi ón global:   D ):

8 

Q=Q+D

Si se supone ahora que el sistema no recibe efectivamente calor, se deduce que:

Q = - D = -ft>dV Esto es, el sistema expele calor hacia el exterior, a una tasa igual y de signo contrario a la definida por la función de disipación de Rayleigh. Entonces: e{  = e 2 + —

(4.760)

Esta expresión indica que e  se degrada irreversiblemente en la dirección de la corriente. Como la expresión de e  puede asociarse a la energía por unidad de masa, en la práctica se dice que la corriente fluida sufre una pérdida de energía al ir de la sección 1 a la 2. Esta afirmación es un disparate, ya que la energía de un sistema no puede ni disminuir ni aumentar. Lo que ocurre efectivamente es que la cantidad e> cuyo valor es el que el ingeniero desea mantener constante disminuye en todo proceso real. Dicho de otro modo, la ecuación (4.760) es: e x=e2+h,e 

(4.761)

Explicitando la expresión de e, se puede escribir una versión análoga a la ecuación (4.757) para la carga hidráulica H: Px , v? P2 . v¡  — + / í , + ^ = — + /72 + a 2

r

2g

r

1 í) + — (e j2 - e n ) + ——

2g g

gQm

(4.762) O bien:  H { ^H  2+AH  

(4.763)

Aquí puede observarse como en el caso anterior que no se produce una pérdida de energía, sino una degradación de la carga hidráulica, ya que en los procesos reales la cantidad resulta invariablemente positiva para los líquidos.  AZI

1

 g

R

X

É>

g

Hay que agregar tres puntos aclaratorios: (1) El análisis realizado no es del todo riguroso. Pero la evidencia empírica lo respalda y el refinarlo implicaría desarrollos dinámicos y termodinámicos que van más allá de los propósitos actuales. (2) Ae y A H  son difíciles de calc ular salvo en casos muy sencillos y, por ende, han sido y son investigados experimentalmente. (3) Solamente una comprensión acabada de la termodinámica de procesos irreversibles y una modelación matemática impecable lograrán salvar esta barrera de empirismo.

4.18. Referencias Cousteix, J.(1989). Turbulence et Couche Limite. Cepadues Editions, Tolouse. Daily, J.W. y Harleman, D.R.F. (1968). Fluid Dynamics. Addison-Wesley. Davies, J.T. (1972) Turbulence Phenomena. Academic Press. Schlichting, H. (1968). Boundary Layer Theory. Sexta Edición, McGraw-Hill. Tennekes, H. Y Lumley, J.L. (1972). A First Course in Turbulence. MIT Press.

MÓDULO I

FLUIDODINÁMICA CLASICA

1

O QJ

o m

Hidrodinámica aplicada: tuberías Autor: Ramón Fuentes

CONTENIDO

5.

HIDRODINAMICA APLICA DA:TUBERÍAS

157

5.1. Escurrimiento por tuberías en presión de fluidos incompresibles

157

5.1.1.

Introducc ión

157

5.1.2.

Hipótesis básicas

157

5.1.3.

Cont inui dad

157

5.1.4.

Tensión tangencial y gradi ente de presiones.....

157

5.1.5.

Pérdida de carga

158

5.1.6.

Distri bución de la tensi ón tangencial

158

5.1.7.

Fricción y tensión tangencial....

159

5.1.8.

Transición laminar turbul enta

160

5.1.9.

Rugosidad ks

161

5.2. Escurrimiento por ductos no circulares 5.2.1.

Pandeo de tuberías

5.3. Migración de burbujas en tuberías 5.3.1.

164 165 166

Recapitulación

171

5.4. Velocidades admisibles

171

5.4.1.

Velocidades admisibles para el transporte de ácido sulfúrico

171

5.4.2.

Velocidades admisibles para el transporte de gases

172

5.4.3.

Ejemplos

172

5.5. Referencias

173

157

5o HIDRODINÁMICA APLICADA: TUBERÍAS 5.1. Escurrimiento por tuberías en presión de fluidos incompresibles

5.7.7  Introducción La exposición se limitará mayormente a ductos prismáticos, esto es, tuberías que mantienen una sección transversal y una dirección invariable en toda su longitud. Se incluyen los líquidos y los gases a velocidades que  permitan suponerlos incompresibles. Para el aire Schlichting, 1968, indica un valor cercano a 100 [m/s], pero en algunas aplicaciones es conveniente considerar valores menores.

5.7.2. Hipót esis básicas Se supone, como es habitual en el marco de la Hidráulica Clásica, que el escurrimiento es: • Pesado • Incompresible « Isotermo • Perma nente o estacionari o El fluido queda definido entonces completamente  por su densidad p y su viscosidad dinámica \i. Las fuerzas exteriores se reducen al peso, cuya intensidad de campo (fuerza por unidad de masa) es la aceleración de gravedad g. En las aplicaciones una magnitud de empleo más frecuente que la viscosidad dinámica es la viscosidad cinemática v: V

5.7.3.  Continuidad

- ñ p

Figura 5.1 Caudal a través de una sección transversal Se cumple:

...

dM

^

dV

(5.2)

Se introduce ahora la velocidad media V en la sección A: Q = V-A

(5.3)

5.7.4. Tensión tangencial y gradient e de presiones Si el escurrimiento es uniforme (unidireccional o paralelo), el flujo neto de cantidad de movimiento en la dirección de X (Figura 5.2) en un dominio de control limitado por dos secciones alejadas AX es nulo. Asimismo, el paralelismo de las líneas de corriente implica que en la sección normal rige la ley hidro státic a (Domínguez, 1974).

(5.1)

P-dP

Corresponde a la noción de caudal conservativo Área A (Leonardo da Vinci, c.1500, Rouse e Ince, 1963) asociada a la conservación de la masa (principio de Lavoisier). •Perímetro P Haciendo referencia a una sección transversal (Figura 5.1) se introducen: • El caudal en masa o másico (masa por unida d de Figura 5.2 Cantidad de movimiento a través de un dominio tiempo) que la atraviesa instantáneamente M. « El caudal en volumen, volúmico o simplement e El escurrimiento se mantiene entonces mediante un caudal correspondiente al volumen de fluido que  pasa por la sección (volumen por un idad de tiempo)  balance exacto entre la fuerza motriz y la resultante de la tensión tangencial media en el contorno T0. instantáneamente Q.

Este balance se escribe: :

dP dX

AX A = t 0  AX x

(5.4)

X:  Perímetro mojado

5 . 7 . 5 . Pérdida de carga Corresponde a una disminución monotónica de la  pres ión mo tr iz . En las aplicaciones hi dr áu li ca s es cómodo emplear una noción derivada del gradiente de  presión mo tr iz , el gr adie nt e un it ar io de presiones o  pé rd id a de car ga un it ar ia J:

Entonces:

dh

Jr -=  áP*\ =

dX

R,

(5.10)

(5.5) Entonces:

R h = A ¡x Radio hidráulico Por simpleza se ha indicado una tubería horizontal; si la tubería forma un ángulo a con la horizontal (Figura 5.3), entonces: dZ

Sin a

dX

> n0

(5.6)

dX

cT dX

dh

dh

_

 pg-dX =-yr  dX = ry J

(5.11)

Si se trata de un ducto prismático y de un escurrimiento dinámicamente establecido, el gradiente de  pres ión mo tri z es co ns ta nt e y ento nces se de duce de la ec.5.11, integrando sobre una longitud AX:

- AP* = -p g A¡1 = -y A/? = pg J  Ax - y J  AX   (5.12)

í

aN

Es conceptualmente muy importante asociar la pérdida de carga a la tensión tangencial; para ello basta eliminar dh/dX entre las ees. 5.9 y 5.10:

sy

(5.13)

T Q=PG ]R h

Z2

 Zl

Si se trata de una tubería circular de diámetro D 2R 0 ,  valen asimismo las relaciones siguientes:

Figura 5.3 Esquema de tubería inclinada

. * =

Es conveniente ahora introducir la presión motriz P*: P* - P + pgZ 

(5.7)

En términos de columna líquida se define la cota piezométrica h:

=

p +

z

(5.8)

Es fácil demostrar que el balance de cantidad de movimiento expresado por la ec. 5.4 se generaliza a: dP, dh dh h = -Y — Rh h R hh = - Hp g —   Ri, dX J dX 'dX

í5 9)}

^

 dP D  dX  4

(5.14)

 , D

(5.15)

P  g J ^

5.7.5.7  Nota importante Debe recordarse que la relación 5.7 se deduce directamente del teorema de las cantidades de movimiento y entonces ella es valedera cualquiera que sea el fluido. Obviamente, lo mismo vale para las ecuaciones que se deducen directamente de ella. Incluso lo dicho es cierto para el escurrimiento paralelo de una suspensión o pulpa. 5 . 7 . 6 . Distribución de la tensión tangencial Si en el ducto circular, el balance obtenido con la ec. 5.4 se realiza para un cilindro de radio R,  como el pre-

sentado en la Figura 5.4, entonces se obtienen las ecuaciones 5.16 y 5.17.

o bien: J_ Pg

f V^

dP_ dX

D

(5.20)

2g

TA

T

/

R >• -

/: Factor de fricción de Darcy. La tensión tangencial en el contorno se da por:

/

 y

Í - ' ~ ' ~ ' -

1

x0 = C / ¿ p V

" ' -

\ ¿

kXnR

t (^R >

D P

=r(R)AX 2nR 

R

R

= 7 JT— dX 2 2

(5.16)

(5.17)

Entonces:  R

 Ro

(5.18)

Se ha supuesto, sin decirlo, que la tensión de cizalle TQ es uniforme en el perímetro. Esto es cierto para tuberías circula res recti línea s que tra nsp or ta n un fluido homogéneo. No es realista para ductos no circulares o en canales (aún se trate de escurrimiento paralelo). En estos casos, t 0 varía significativamente a lo largo del  pe rí met ro . En el caso del transporte de pulpas por ductos circulares de gran longitud la tensión tangencial t 0 , pese a la simetría del contorno, no es constante a lo largo del  pe rí metr o de bido a que las ca ract erís tica s de la su sp en sión varían de un punto a otro. El considerar  Tq  como un valor único es, entonces, el resultado de una operación de promedio sobre una cantidad que puede variar en forma considerable.

Las relaciones 5.20 y 5.21 definen f y C f , respectivamente. El calcular estos factores de fricción es un problema adicional.  5.1.7.1.

Factores de fricción - escurrimiento viscoso  o laminar Corresponde al caso en que el número de Reynolds R s = V • D/v sea me no r que un valor crítico R ec cerca no y algo mayor que 2000. En este caso f se expresa mediante la fórmul a de Hagen-Pouseuille (Domíng uez, 1974):

J>4 Empleando la ec. 5.22: 16_ C f  - R -

(5.24)

 5.1.7.2.

Factores de fricción - escurrimiento  turbulento R e  es ahora mayor que R ec . Más allá de una zona de transición laminar-turbulenta el valor de f puede calcularse de la fórmula semiempírica de Colebrook y White (Domínguez, 1974):

Vf  Re

(5.19)

(5.23)

ÍL

5.7.7.  Fricción y t ensión t angencial La pérdida de carga friccional se expresa mediante la fórmula de Darcy: d P ' _ m  f _ P v 2 dX D 2

(5.22)

/ - 4 C  f

Figura 5.4 Tensiones en un cilindro de radio R

dP

(5.21)

Cf:  Factor de fricción de Fanning. Comparando las ees. 5.20 y 5.21 y combinando con la ec. 5.15 se obtiene:

RQ I

2

V D =

= -2 log 0,27

D

2,51 ReVf,

(Número de Reynolds)

k   : Rugosidad absoluta o de Nikuradse.

(5.25)

Para Cf   vale entonces: Factor de fricción

1,255 -41og 0 , 2 7 — + D ReJC

(5.26)

En el caso impor tan te de las tuberías lisas (k s = 0) las dos relaciones anteriores se particularizan a:

-j L = 21og(R e Vf )- 0,8

 R t JC  f  

-0 , 4

(5.27)

(5.28)

Por el contrario, para tuberías hidrodinámicamente v *k rugosas (_i L  >» 70 , ver ecuaciones 5.31 y 5.32) se v obtiene:

Vf

= 21og

13

+ 1,14

(5.29)

+ 2,27

(5.30)

En estas relacio nes k s es: • rugosi dad absoluta ® rugosidad equivalente hidro dinámi ca • rugosi dad de Nikur adse. Rugosidad relativa =

5.7.7.3. Cálculo de los factores de fricción Para determinar f (y por ende C f ) se requiere conocer el diámetro de la tubería, la viscosidad cinemática, la velocidad media V y la rugosidad absoluta k s . Puede emplearse el ábaco de Moody (Figura 5.5). Empero, hoy es más fácil y preciso resolver la ecuación de Colebrook y White, (ec. 5.25), por aproximaciones sucesivas empleando una computadora. Ya que f varía lentamente en régimen turbulento, en general basta realizar un bucle de iteraciones simples.

Figura 5.5 Ábaco de Moody (Adaptado de Moody, 1944)

5.7.8.  Transición laminar - turbulenta Como se recordó anteriormente, existe un valor crítico del número de Reynolds R ec  para el cual el escur rimiento deja de ser laminar. Es importante conocer la zona de transición laminar - turbu lent a, debido a que en ella el escurr imi ento  pu ede ser oscilatorio y/o inestable. Para fijar ideas, en la Figura 5.6 se muestra la variación del factor de Darcy con el número de Reynolds. Se indican asimismo las diferentes características del escurrimiento según el intervalo del número de Reynolds.

Log i Transición Laminar-Turbulenta Laminar

Turbulencia plena

ReL-Tr

Re Tr-TP

Log Re

Figura 5.6 Variación del factor de Darcy

« o « « *

Se distinguen: Zon a lami nar: no existe turbu lenci a Separaci ón entre la zona lam ina r y la zona de tran sición Zona de trans ición lamin ar - turbul enta plenamente desarrollada Sepa raci ón entre la zona de tra nsi ció n y la zona de turbulencia plena Zona turbulent a plenamente desarrollada.

Del gráfico de Moody, se desprende que la zona de transición se extiende aproximadamente en el intervalo Re (2000->5000). Ahora bien, es del todo  desaconsejable  diseñar una tubería en este intervalo. Las razones se muestran en el  pu nt o sigui ente.  5.1.8,1. El experimento de Couette y su extensión Un experimento sencillo y ya clásico para visualizar la transición laminar turbulenta se debe a Couette y se encuentra descrito desde hace tiempo (Flamant, c.1900, Dominguez, 1960). Existe una extensión (nunca publicada) desarrollada por Cerón (c.1960). Esta extensión es la que se expone aquí. Supóngase que se tiene una instalación de laboratorio consistente en una tubería horizontal larga con un tanque de carga constante y con una válvula al final que permite regular el caudal. La instalación tiene una  baterí a de pi ez óm et ro s de vi dr io con los cuales se pu ede observar la pérdida de carga (reducidos a dos en el croquis de la Figura 5.7). Si se gradúa la válvula en una abertura grande el escurrimiento será turbulento y si es suficientemente baja, será laminar. En ambos casos el gradiente de presiones será lineal y estacionario en el tiempo. Pero si la válvula se ajusta por tanteos hasta que se alcanza el número de Reynolds de la transición ocurre un fenómeno inesperado: Se parte del flujo laminar. Como se está en un punto inestable, se pasa a escurrimiento turbulento, la velo-

cidad aumenta y los piezómetros acusan una mayor  pérd id a de carga . Pe ro co mo el gr ad ie nt e de presiones disponible es constante, el líquido reacciona bajando la velocidad y los piezómetros indican una disminución de la pérdida de carga: ¡El escurrimiento se laminariza! El fenómeno se repite periódicamente y las alturas en los piezómetros oscilan como un péndulo líquido. Puede ocurrir en corrientes naturales y en escurrimientos industriales. Un caso espectacular es la laminarización periódica que sufre el Río Amaril lo de la China. El fenóm eno que ocurre durante algunas creces (Engelund, F. y Zhaohui, W., 1984, Bai, Y. y Xu, H., 2010) se aprecia en la Figura 5.8.

Línea píerométrlca correspondiente a Re =   Rec

Figura 5.7 Instalación de piezómetros para medir pérdidas de carga

i|U 1103,7íl lí lí \ -P- 1103,6j? : •••• jí  i S i! ff  1103,5!!-! a» ¡;:¡ ;i ;ií -. 1 103,4 1  Í"""Híi"i{  ; ! i! I 1103,3! i ! i i : 0 1 2 -

 Mímil

'Yjflf 3

4

5

6

7

m , 9 10

Tiempo (h)

Figura 5.8 Variación del nivel de agua del río Amarillo (Adaptada de Engelund y Zhaohui, 1984)

 5.1.8.2. Recapitulando: El diseño de una tubería no debe realizarse jamás en la zona de transición lamina r-tur bulenta

5.7.9.  Rugosidad ks Es muy importante comprender que la rugosidad de una tubería es un concepto relativo y no tiene sentido desde el punto de vista hidrodinámico hablar de tube-

rías lisas y/o rugosas, salvo en casos extremos sancionados por la práctica cotidiana. Lo que importa es la caracterización del escurrimiento, que puede ser liso, de trans ición liso - rugos o o completamente rugoso. Por ejemplo, una misma tubería, dependiendo del caudal puede mostrar un escurrimiento liso, de transición liso-rugoso o completamente rugoso. Como un criterio general según Schlichting, 1968, el régimen completamente rugoso se alcanza para: v kv

V.-Jx0/p

(5.31)

(velocidad de fricción)

(5.32)

Esta rugosidad no es, en la mayor parte de los casos, igual a la altura de los elementos rugosos y depende de

la densidad, geometría y distribución de ellos (Domínguez, 1974). En la práctica industrial, si se requiere conocer k s en forma precisa es necesario realizar experimentos, midiendo la pérdida de carga y calculando k s  de la ecuación de Colebrook y White. Este proceso puede ser a veces difícil y penoso pero en casos importantes es imposible soslayarlo. Asimismo es posible obtener k s midi endo la distribu ción de velocidades cerca del contorno rugoso. Empero, se conocen valores de k, provisorios o aproximados para un gran número de contornos reales y ellos se emplean par a el dis eño. Se pueden consultar al respecto las tablas dadas por Domínguez, 1974, Daily y Harleman, 1966 o Idel'cik, 1986, entre otras. Como refere ncia, se muestr an los valores de k tomados por Hager, 2010 de Richter (Tabla 5.1) e Idel'cik (Tabla 5.2).

Tabla 5.1 Valores de rugosidad (ks) Materiales y tipos de conducciones conducto elaborado y prensado de cobre y latón, tuberías de vidrio Tuberías plásticas Tuberías de acero sin costura enrollado y elaborado

Hoja de acero soldada

Tubería de acero usada

Tubería de fierro fundido

Conductos de concreto

Tubería asbesto - cemento Tubería de barro

Condi ción

ks [mm]

Técnicamente lisa, también conductos con enchapado metálico (cobre, níquel, cromo)

0,00135 - 0,00152

nueva Superficie típicamente enrollada Corroída Sin corrosión Acero inoxidable con revestimiento de inyección de metales Recubrimiento de zinc limpio Recubrimiento de zinc comercial En rollos Recubrimiento de asfalto Recubrimiento de cemento Galvanizado, para tubería Marcas simétricas de oxido Moderadamente oxidada, encostramiento ligero Encostramiento moderado Encostramiento fuerte Limpio luego de largo uso Revestimiento de asfalto, en parte dañado, oxidado Luego de muchos años de servici o Degradaci ón en forma de láminas 25 años de servicio , depósitos de naftaleno y cubiert as irregulares Nueva, recubrimiento típico fundido Nueva, recubrimiento de asfalto Usada, oxidada Con costras Limpia después de años de servicio Alcantarilla de ciudad Fuertemente oxidada Nuevo, comercial, vías alisadas Nuevo, comercial, medianamente áspero Nuevo, comercial, áspero Nuevo, hormigón armado, alisado Nuevo, hormigón centrifugado, alisado Nuevo, hormigón centrifugado, sin yeso Conducto alisado después de muchos años de servicio Valor promedio para extensiones de tubería sin juntas Valor promedio para extensiones de tubería con juntas Nueva, alisada Nueva, tubería de drenaje Nueva, hecha de ladrillo de barro crudo

0,0015-0,0070 0, 02 -0 ,0 6 0,03 - 0,04 0,03 - 0,06 0,08 - 0,09 0, 07 -0 ,1 0 0, 10 -0 ,1 6 0,04-0,10 0, 01 -0 ,0 5 Aprox. 0,18 Aprox. 0,008 Aprox. 0,15 0, 15 -0 ,4 0 Aprox. 0,15 2-4 0, 15 -0 ,2 0 Aprox. 0,1 Aprox. 0,5 Aprox. 1,1 Aprox. 2,5 0, 2- 0, 3 0,1-0,13 1-1,5 1, 5- 4 0, 3- 1, 5 Aprox. 1,2 4,5 0, 3- 0, 8 1-2 2-3 0, 1- 0, 15 0, 1- 0, 15 0, 2- 0, 8 0, 2- 0, 3 0,2 2,0 0,0 3- 0,1 0 Aprox. 0,7 Aprox. 9

Tabla 5.2 Valores de rugosidad (ks). Grupo

Materi al y tipo de condu cto

I

Conducto elaborado de: Cobre  y   latón Aluminio Tubería elaborada de acero sin  juntas solda das

Tubería de acero soldada

Condi ción de superf icie y tipo de uso

ks [mm]

Técnicamente lisa Técnicamente lisa Nueva, sin uso Limpia luego de algunos años de uso Sin liner de asfalto Tubería de agua caliente Línea de tubería de aceite, normal Corrosión media con pequeños depósitos de alquitrán Linea de tubería de agua después de largo uso Con depósitos pesados de alquitrán Conducto en pobres condiciones de superficie Nueva o antigua, en buenas condiciones, piezas de transición soldadas o remachadas Nueva, liner de asfalto Largamente en servicio, corroída Largo uso, corrosión uniforme Piezas buenas de transición pero pobres condiciones de superficie

0,0015-0,01 0,015-0,06 0,02-0,10 Sobre  0,04 Sobre  0,04 0,20 0,20 =0,40 1,2-1,5 =3,0 >5,0 0,04-0,10 =0,05 =0,10 =0,15 0,3-0,4

En el transporte de agua industrial o de pulpas, es habitual en las faenas mineras chilenas emplear tuberías de acero desnudo, de HDPE o de acero recubierto interiormente con HDPE. Para estos materiales los valores de ks que JRI Ingeniería S.A. emplea habitualmente son: Tabla 5.3 Rugos idad es de acero y HDPE Material

ks [\xm]

Acero desnudo HDPE

 5.1.9.1.

20-50 5-25

Valores de la rugosidad ks y sus  modificaciones

La lista de los fenóme nos que puede n modi fica r ks es larga. Aquí se mencionan: • Abrasión ® Corrosión o Incrustaciones Estos procesos pueden existir combinados y dependen del tiempo. En la práctica se trat a de caracte rizar el cambio de la rugosidad asociado a la edad de la tuber ía en funcionamiento. Contrariamente a lo que podría pensarse, estos fenómenos pueden ser extremadamente severos. Como ejemplo, en la Figura 5.9 se muestra el interior de una tubería domiciliaria para agua potable con un diámetro interno originalmente de 26 [mm]. La edad del ducto es plausiblemente cercana a cuatro décadas. Obviamente, en este caso no puede hablarse de una rugosidad definida.

Figura 5.9 Tubería para el transporte de agua domiciliaria (gentileza de Ramón Fuentes)

En la Figura 5.10, se muestra una tubería de acero D= 250 [mm] que transporta agua de pozos desde hace cerca de una década. Si bien la superficie no está muy dañada, las mediciones que se realizaron permitieron calcular ks= 1,7 [mm]. Las tablas 1 y 2 dan para un material como este una rugosidad ks ~ 0,1 [mm], esto es un orden de magnitud menor. Existe un cierto consenso en el sentido que las pro piedades fisicoquímicas del agua son las ma yore s res ponsabl es del au me nt o de la ru go si da d k s (D om ín gu ez , 1960, Levin, 1966, Walski et al., 1988).

En la Tabla 5.4, se indican los valores analizados por Levin, 1966, y que correspo nden a una ley lineal sugerida por Colebrook y White (Walski et al., 1988): k [mm ] = k (t = 0)  + at [año]

(5.33)

Para simplificar se ha supuesto k (t-0) ~ 0.

Figura 5.10 Tubería usada para el transporte de agua de pozo (gentileza de Hernán Castro, 2012)

Como un primer ejemplo, se muestra en la Figura 5.11 un resumen gráfico de información empírica analizada por Domínguez (1960). Las curvas sugieren que el aumento de ks en una década no excede 60 [%].

Estos valores son muy inquietantes, ya que indican que existirían sistemas en que la rugosidad de Nikuradse podría crecer a una tasa de 1 [mm/año]. Por otra parte se observa que la tasa varía en términos extremos en un orden de magnitud: desde 0,1 a 1 [mm/año].

5.2. Escurrimiento por ductos no circulares Algunas aplicaciones específicas requieren emplear tuberías cuya sección transversal no es un círculo, como por ejemplo, ductos rectangulares de ventilación, tubos elípticos para riego por goteo. Existe información experimental sobre el escurrimiento en ductos de varias formas (elípticos, rectangulares, triangulares, etc.). Para fines de cálculo, se emplea normalmente la aproximación del diámetro hidráulico. Para introducirla, se retoman las ees. 5.5 y 5.14, escritas para el gradiente de presión: dP* R  Tubería de form a cualq uiera h dX

dP ID Tu be rí a circu lar dX 4

(5.34)

(5.35)

La tensión tangencial media en el contorno sería la misma en ambos ductos si el gradiente de presiones fuese el mismo y se cumpliese además: D = 4 R.h

Figura 5.11 Modificación de la rugosidad en el tiempo para distintos medios (Adaptada de Domínguez, 1960)

Esta expresión sugiere que los cálculos hidráulicos  para la tubería de sección cualquiera pu eden hacerse empleando un diámetro ficticio, llamado diámetro hidráulico definido como cuatro veces el radio hidráulico de la sección no circular. Esta conjetura resulta sorprendentemente exitosa  para escurrimiento turbulento. Ver las curvas sobre

Tabla 5.4 Ru gosi dade s obte nida s por Levin para difer entes medio s (1966) Tipo de agua

, ~ ,

r

Caracte rísticas del agua

I

0,005 -> 0,055

II III

0,055 -> 0,18 0,18 -> 0,40

IV

0,40 ->0,60

V

0,60 ->1,00

1.0 ai G¡ i 4 f * < 1

Agua poco mineralizada, neutra (pH=7),contenido insignificante en materia orgánica y fierro disuelto Agua poco mineraliz ada, pero corrosiva, contien e materia orgánic a y fierro disuelt o < 3 [mg/l] Agua muy corros iva, pero con poco contenid o en clorur os y sulfatos : 100@160 [mg/l]; contenido de fierro <3 [mg/l] Agua corrosiva y con un contenido de sulfatos y cloruros mayor que 500@700 [mg/l]; abundante materia orgánica Agua con dureza de carbonatos, ligeramente alcalina; residuo seco >2000[mg/l]

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Figura 5.12 Diagrama de fricción para tuberías lisas de sección no circular (Adaptada de Schlichting, 1968)

la Figura 5.12 (adaptada de Schlichting, 1968). (En la figura: X  - f). Se constata que: • La conjetura del diáme tro hidrául ico es muy exitosa para escurrimiento turbulento; • Para escurrimi ento lamina r no lo es tanto, pero , puede tomarse como una primera aproximación grosera.

5.2.7.  Pandeo de tuberías Si se aplica una carga axial sobre una barra, es sabido que existe un valor crítico de la fuerza para la cual la estabilidad de ella es imposible. La barra se colapsa y se dice que ha fallado por pandeo (flambage, Knichen,  buckling); ver Figura 5.13. Figura 5.13 Pandeo de una barra sujeta a carga axial

166

El valor de la carga crítica fue calculado por Euler en 1744. La fórmula es la siguiente (Love, 1944; Timoshenko, 1955): r_E-i

(5.36)

T 1?

E: Módulo de Young I: Momento de inercia de la sección L: Longitu d del pilar Para 3una sección rectangular de ancho b y altura h, I = b h /12. Entonces la tensión crítica de compresión se lee:  _ Jt

h

^critica "

(5.37)

2p

^

En el caso de una tubería circular (Figura 5.14) si la  presión externa excede demasiado la presión interna también puede producirse el colapso por pandeo. -

y

Presión exterior

.

/V;

/ i'resión t < \ interior 

\ 

v

\

\ R-

i J

A

\ I J

I

.y

Esta situación se ha estudiado mucho menos que el  pandeo de vigas, pero existen formulaciones analíticas simples. Se da aquí la expre sión indi cada por Love (1944) y Timoshenko (1955). J. 1 7 4Í ?)

Así el HDPE tiene un módulo de elasticidad 250 veces menor que el del acero. La razón de Poisson p vale 0,3 a 0,5 para la mayor  parte de los polímeros incompresibles (DSM). Se em pleará [i = 0,4. Supóngase una tubería de HDPE sometida a una de presión cercana a 1 [atm]: AP = 100000 [Pa] La tubería tiene un metro de diámetro. De la ec. 5.38:

e = R  • 3 4 • (1 - ¡.i

A P 0,5-3 4-(l - 0 , 4 ' ) E

io-

9

0,8'10 

<0,037[m] «= 37

Esto indica que si la tubería tiene un espesor menor o igual que 37 [mm] está en riesgo de aplastarse por  pandeo.  NOTA: Para los materiales poliméricos como el HDPE el módulo de elasticidad no está bien definido, ya que su comportamiento reológico global no es puramente elástico. Este aspecto se discutirá más adelante.

5.3. Migración de burbujas en tuberías

Figura 5.14 Colapso por pandeo de tubería circular

AP,

Por ejemplo (EngineeringToolBox); 9 o Acero estr uctural: E = 200 [GPa] = 200xl 0  9 [Pa] ® Polietileno HDPE: E = 0,8 [GPa] = 0,8 x 10  [Pa]

(5.38)

APcrítica: Diferencia de presión (exterior - interior)  para el estado crítico  p: Coeficiente de Poisson Los ejemplos de colapso por pandeo son relativamente frecuentes y a veces espectaculares. En minería el problema del colapso por pandeo es de cuidado, especialmente para las tuberías de HDPE, debido a su módulo de elasticidad relativamente bajo.

En los procesos metalúrgicos es frecuente el caso de tuberías por las cuales fluye simultáneamente un líquido y un gas, constituyendo un escurrimiento bifásico. Dado que, en el caso general, estos fenómenos dependen de un número elevado de variables y las relaciones entre ellas son complejas, es frecuente no poder dar juicios precisos y certeros. Como un ejemplo que muestra la complejidad de estos fenómenos, en la Figura 5.15 se muestra una burbu ja única en movimiento en u na tubería horizontal (D = 50 [mm]). Se puede constatar que en la misma burbuja  pueden coexistir zonas en que el balance de fuerzas es muy diferente. Los patrones de escurrimiento y las descripciones de estos escurrimientos son nume roso s y a veces no coincidentes. En el caso de tuberías horizontales existen descripciones esquemáticas sencillas. A título de ejemplo, una descripción satisfactoria es la clasificación y el diagrama de Hewitt y Hall-Taylor, expuestos por Hager, 2010. Los diferentes tipos de escurrimiento se muestran en la Figura 5.16 y las denominaciones en la Tabla 5.5.

i Fuerzas prepon deran tes: j i  i Capilares y  viscosas

| Fuerzas  preponderantes: Inerciales y gravitatorias

 j

| itipitii

I

SKMBÍ^Í

Figura 5.15 Burbuja única en movimiento en tubería horizontal (Fuentes, 1969)

Tabla 5.5 Denominaciones para escurrimiento 7)

..W.

--i
(a) \> •V

 J

;

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—


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• —

•

;• O

'

—

-•; -

M

(h)

;

'J

^ ')

0

  4

Escurrimiento Estratificado (alemán: schic htstró mung; francés: Ecoulement stratifié), donde la fase líquida fluye debajo de la fase gaseosa, con una interfaz casi en línea recta.

b

Escurrimiento de onda {alemán: Wellen strómung ; francés: Ecoulement ondulé), con una interfaz ondular entre la fase gaseosa arriba y liquida abajo.

c

Escurrimiento en tapones o bolsones (alemán: Pulsationsstrómung; francés: Ecoulement en bouchon), con una superficie ondulada que llega a la cima de la tubería y por lo tanto separa la fase gaseosa en celdas singulares.

d

Escurrimiento de pistón (alemán: Blasens tromung; francés: Ecoulements en bulles), con burbujas de gas y de bolsones que están distribuidos principalmente encima de la parte superior del tubo.

e

Escurrimiento de burbujas (alemán Tropfens trómung; francés: Ecoulement en gouttes), con una distribución prácticamente uniforme de burbujas gaseosas en la fase liquida.

f

Escurrimiento anular (alemán: Ringstrómun g; francés Ecoulement annulaire), con un gran volumen de gas que empuja la fase liquida hacia la zona de la pared, y un anillo de fluido desarrollándose alrededor de la fase gaseosa.

...

,

,

a

>

'J ;

Figura 5.16 Tipos de escurrimiento (Adaptada de Hager, 2010)

Uno de los principales problemas con estos escurrímientos es que una gran parte de los experimentos han sido realizados en ductos muy pequeños y, teniendo en cuenta el número de variables y parámetros que intervienen» los efectos de escala pueden ser muy impo rtantes; al límite ocurre que la realidad es cualitativamente distinta que lo que muestra el cálculo. Este estudio es muy extenso e interesa a varias ramas de la Ingeniería. Aquí el enfoque se limitará a un  problema que es muy frecuente tanto en la hidráulica tradicional como en las faenas mineras y es la migración de burbujas aisladas (o bien trenes de burbujas) en las tuberías. La presencia de estas burbujas o bolsones (Figura 5.17), es una fu ente de problemas, tales como: ® Corrosión ® Pérdid as de carga adicionales o Abrasió n en el caso de una pulpa min era l ® Sobrepresiones incontroladas en escurrimiento transiente • Más...

Además están: g

Escurrimi ento de aerosol (alemán: Sprays trómung ; francés: Ecoulement en spray). Con una mezcla casi uniforme de ambas fases,

h

Escurrimiento de espuma (alemán: strómung; francés: Ecoulement en Con una estructura de flujos de espuma.

Schaum mousse)

Figura 5.17 Formación de burbujas o bolsones en tubería horizontal o inclinada

En la práctica la situación más relevante es el caso en que la tubería es horizontal o inclinada hacia abajo en la dirección del escurrimiento global, como en las Figuras 5.17(A)y(B). Como es sabido, la presencia de burbujas estacionarias se asocia a puntos altos. El problema del movimiento y aún del equilibrio de una burbuja gaseosa es muy difícil: » Es una superficie deformable y su for ma es una incógnita del problema ® Act úan nume rosa s fuerzas y alguna s de ellas son mal conocidas En términos amplios, las fuerzas presentes son la gravedad a través del empuje de Arquí medes , la tensión superficial, el gradien te de presiones entre los extrem os y/o el arrastre hidrodinámico global. Se han realizado estudios experimentales y cálculos teóricos desde hace décadas, sin llegar a un planteamiento completo y concluyente. Una investigación pionera todavía vigente es la de Gandenberger, 1957 (Figura 5.18) Llamando VL a la velocidad límite de arrastre de la  burbuja, los r esu ltados de Gandenberger permiten calcular esta velocidad como función del ángulo de inclinación a y de un parámetro sin dimensiones, el número de Gandenberger NG:

 NG

Figura 5.18 Velocidad límite en función del ángulo de inclinación (Adaptada de Pozos Estrada, 2007).

V burbuja

(j t/ 4)D -D

Puede resultar sorprendente que VL alcance un máximo para una inclinación cercana a 45[°] pero existen justificaciones físicas para este curioso fenómeno. Una investigación más reciente y de aplicación sencilla es la de Falvey, 1980, que se condensa en la Figura 5.19. En ella S = tana. Un inconveniente del estudio de Falvey es que no es fácil emplearlo para tuberías de muy pequeña pendien-

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

2

1,4

Cuociente adimensional de Flujo Q /gD

5

1,6

1,8

Figura 5.19 Determinación experimental de la velocidad límite máxirr

te (que en la práctica son muy frecuentes). La tangente en el origen del gráfico de Falvey puede calcularse como: V L - 1 , 6 4 A /g-D-S

(5.39)

Aún así, la fórmula indica que para una inclinación nula, la velocidad límite requerida para arrastrar una  burbuja es nula. Lo mismo sugiere el examen del gráfico de Gandenberger. Ahora bien, esto es falso. Numerosas experiencias indican lo contrario. Más aún, es posible demostrar teóricamente que cuando la burbuja es relativamente  pequeña las fuerzas capilares impiden el movimiento hasta que se alcanza una velocidad límite mayor que cero.

Como un a ilustración sencilla, en las Figuras 5.20(A) y (B) se muestra una burbuja de 2 [cm3] en una tubería horizontal de 50 [mm] de diámetro. En la Figura 5.20(A) el líquido está inmóvil. En la Figura 5.20 (B), la  burbuja, muy deforma da, se ha puesto en movimiento: la velocidad VL es 28 [cm/s], Aigner, c. 2000, ha realizado medidas de la razón Q^-aire . /Q ^-agua en un tubo inclinado que transcporta burbu jas (Figura 5.21). La curva de la Figura 5.21 puede interpolarse mediante: 4,1

|3 =

= 0,004FL   Qw

Figura 5.20 Burbu ja en una tub ería ho rizon tal. (A a la izquierda) líquid o inmóvil ; (B a la derecha) líquido en movimiento (Fuentes, 1969) 0,020

0,015

0,010

0.005

0,000

0,4

0,6

0,8

Velocidad adímensionai del liquido

1,0 V / ^ Q  (-)

Figura 5.21 Transporte de burbujas en un tubo inclinado (Adaptada de Aigner, c.2000)

1,2

(5.40)

170

0

10

20

30

50

60

Pendiente (%)

Figura 5.22 Comparación de distintos métodos para de term inar la velocidad límite (Adaptada de Aigner, c.2000)

Por otra parte, Aigner ha realizado una comparación entre diferentes métodos para estimar la velocidad VL emplea ndo un diám etro co mún D = 150 [mm]. Los resultados se muestran en la Figura 5.22. Ahora, si se acepta que existirán bolsones que deben ser arrastrados, según las informaciones contenidas en la Figura 5.21, basta con una velocidad cercana a 1 [m/s] para arrastrar las burbujas. Escarameia et al., 2005, han realizado experimentos  bien con trolados , además de un a revisión bibliográfica extensa. La fórmula que ellos proponen y que consideran una envolvente superior es: FL = , - =FS[0,56 A /sincx+a] Vg'D

 

[5Al)

FL: Coeficiente adimens ional de flujo FS: Factor de seguridad (Escarameia et al., 2005, consideran FS = 1,1) a: Angulo del túne l con la hori zont al = arctan(0 ,0008) a: coeficiente definido como una función continua  por trozos del n úm er o de Gande nberger NG. Esta función se describe en la Tabla 5.6, a continuación.

Tabla 5.6 Definición por tramos del número de Gandenberger NG

 NG <0,06 0,06<=N<=0,12 0,12<=N<=0,30 0,30<=N<2

a 0,45 0,50 0,57 0,61

Pozos Estrada, 2007, ha comentando los resultados de Escarameia et al., 2005, e indica t extu almente lo que se muestra en el recuadro a continuación: The authors recommended that equation (L7(*)) can be used with reasonable confidence   for pipe diameters of up to 1.5 m.   For this size, the required flow velocity for air pocket movement in a horizontal pipe as predicted by equation for large air  pockets is 2.1 m/s and 2.6 m/s respectively.

The applicability of the recommended equation to larger pipe diameters is a matter of debate as it would need to be verified in practice. (*) Ec. 5.41 del texto actual

o La deter minación de la velocidad de arrastre de  burbujas en tuberías relativamente grandes es un  problema abierto, e Las indicacio nes dadas aquí permiten estimar valores razonables de VL.

En la Figura 5.23, se muestran los valores de velocidades admisibles máximas dados para agua limpia por Domínguez, 1960. Se entiende que se trata de condiciones normales; durante lapsos breves u otras condiciones especiales, estos valores podrían ser mayores.

5.4. Velocidades admisibles

5.4.7.  Velocidades admisibles para

53.7. 

Recapitulación

Este es un tópico que ha evolucionado mucho a lo largo del tiempo. En el pasado el asunto se limitaba a dar valores de buena práctica para el agua. Hoy esta hipotética velocidad admisible es un punto muy im po rtante y se trata de llevarla a valores estándar, pero esto no es siempre posible dada la magnitud de las instalaciones y la variedad de fluidos y de condiciones de transporte. En términos globales se trata de tomar en cuenta: ® Depósito de material • Cavitación * Pérdida de carga muy elevada ® Desgaste ® Corrosión o Vibraciones ® Sobrepresiones inesperadas ® Más...

el transporte de ácido sulfúrico

Un líquido de especial importancia en la industria, y en particular en la minería, es el ácido sulfúrico. El transporte por tuberías del ácido sulfúrico depende de muchos factores. Algunos de ellos (DKL, 2005) son: ® Material de la tubería ® Concentración ® Velocidad ® Impurezas ® Temperatura ® Escurrimiento continuo o intermitente ® Presencia de sólidos ® Régimen de flujo - turbulen cia El transportarlo por tuberías presenta, naturalmente, varios problemas, cuya extensión e intensidad de penden de la concentración y temperatura del ácido.

VELOCIDAD ADMISIBLE

Diámetro D [m]

Figura 5.23 Valores de velocidad admisibles máximas para agua limpia

172 98,5% H 2 S O , r 

20 C Hierro fundido

30°C

40°C

C

50 C 6 0 X

70 'C

r 

80 C

90"C

::c;:.::.\>i..i.v.v-i"". -J I t r

Hierro dúctil Hierro con alto contenido de Sílice (4%)

••.v.r.... r

r

1

r

c

1(10 C

1,2

1

T 0/>T  — solm« 0,9j para ser , j vic io{ inter (miten tej

Acero carbono

Figura 5.24 Velocidades admisibles para el transporte de ácido sulfúrico por tuberías de diferentes materiales según la temperatura (Adaptada de DKL, 2005)

 bre pasa un valor lím ite que depende del material, de la  presencia de p artículas sólidas, y de la presión (NASA, 1996). En la Figura 5.25, se muestra la velocidad máxima admisible para tuberías en que existe riesgo de que  partículas sólidas choquen con tra la pared del ducto (EIGA, 2002). Esta curva es válida para temperaturas hasta 150 [°C] para acero al carbono, y hasta 200 [°C]  para acero inoxidable. Para presiones cercanas a la ambiente, la velocidad no debe exceder 30 [m/s]. Para  presiones elevadas, la velocidad del oxígeno queda limitada a un valor cercano a 5 [m/s].

Tabla 5.7 Velocidades admisibles para el transporte de ácido sulfúrico por tuberías de diferentes materiales (Louis, 2005) Material

Veloci dad máxima admisib le [m/s]

0,6 1,0

Acero al carbono Acero inoxidable

0,9 2,0

En la Tabla 5.7, se indican velocidades admisibles  para algun os materiales (Louis, 2005). Estos valores son referenciales. Otros valores referenciales, dados por DKL (2005) se muestran en la Figura 5.24.

5.43. Ejemplo

5.4.2.  Velocidades admisibles pata el transporte de gases

Se trata de una tubería circular que transporta agua a 20 [°C], Las características relevantes son:

Las velocidades admisibles para el transporte de gases en general son más altas que para líquidos, pero también existen reservas. En el caso del transporte de oxígeno por tuberías existe riesgo de ignición por fricci ón si la velocidad so-

Diámetro D: Longitud L: Rugosidad k: Caudal Q:

500 15 50 500

[mm]

[Km] [|im] [1/s]

Presión absoluta (psi) 0

150

300

450

600

750

900

1 050

1200

1350

1500

1650

1800

1950 2100

Presión absoluta (MPa) Figura 5.25 Curva de velocidad máxima admi sible para tu berías (A daptada de EIGA, 2002)

2250 2400

2550

2700

2850

3000

Para el agua a 20 [°C] la densidad y la viscosidad dinám ica valen (ver pro pied ades de fluidos): 3 [Kg/m ]  p = 998, 2 [mPa.s] H= 1,004 Para g se adoptará el valor estándar: g= 9,80665 v = A=

P

2

[m/s ] 2

= 1,006 x 10-6

 ji-D'

[m /s] 2

= 0,1963

[m ]

Q V ~ — = 2,547 n =

YJ

3

= 

Factor de fricción de Fanning (ec. 5.22): C f 1 = - f = 0,00329 4 Tensión tangencial en el contorno (ec. 5.21): 2

T 0 = ^ C f - p - v = 1 0 , 6 5 [ P a ]

Velocidad de fricción (ec. 5.32): V, =

[m/s]

1,266x 106

1p

0,1033 [m/s]

Gradiente de presión motriz (ec. 5.11 ó 5.19): 2

D

M 5 ^ = í £ y   =p-g-J =85,41 [Pa/m] dX 2 2

= 0,0001

Para calcular el factor de fricción de Darcy f, se em pleará la ec. (5.25) y el mé to do de iteraciones di re ct as (Burden y Faires, 1998). Para ello, la ecuación citada se escribe:

dP*

AP* = —  L =-1, 281 [MPa] dX Caída de cota piezométrica:

- 2

f =

AP*

-2Log

 D

Ah=

R-Vf

Para comenzar el proceso iterativo se toma como un valor típico: f= 0,015 a) Primera iteración: 2Log 0,27x0,0001 +

2,51 6 1,266 • 10 • ^0,015

= 0,01312

2,51 6 1,266-10 -7^01312

= 0,01319

c) Tercera iter ación (final): - 2

/

2,51 2Log 0,27x0, 0001 + 6 1,266-10   ^0,01319 Pérdida de carga unitaria (ec. 5.20): ¿

f  V  J= = 0,008731 D 2 • g

= 130,96 [m]

Pérdida de carga unitaria J: J-

Ah - = 0,008731 [m] AL

Vale decir, la pérdida de carga es de 0,87%.

5.5. Referencias

 b) Se gund a iteración:

-2Log 0,27x0, 0001 +

P'g

0,01319

Aigner, D. (c.2000) Planung und Betreibung von  Abwasserdruckleitungen (Planificación y operación de sistemas de alcantarillados presurizados), Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Instituí für Wasserbau und Technische Hydromechanik an der Technische Universitát Dresden, Laborleiter im Hubert-Engels-Labor, Alemania. Bai, Y. &Xu, H. (2010) Hydrodynamic instability ofhy perconcentrated flows ofthe Yellow River ; Journal of Hydraulic Research Vol. 48, No. 6, pp. 742-753.a Burd en, R.L. & Faires, J.D. (1998) Análisis Numérico, 6 Edición, International Thomson Editors, México. Cerón, V. (C.1960). Experiencia de Couette, Laboratorio de Hidráulica, Universidad de Chile (no pu bli cada).

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MÓDULO 1

FLUIDODINAMICA CLÁSICA I

n

QJ T 5

O O I

inámica aplicada: canales Autor; Ramón Fuentes

CONTENIDO 6.

1 77

HIDRODINÁMICA APLICADA: CANALES 6.1. Introducció n

177

6.2. Tipos de canales

177

6.2.1.

Forma de la sección transversal

6.2.2.

Materiales de construcción

.. 177 177

6.3. Hidráulica de Canales

178

6.3.1.

Energía específica,,

,...178

6.3.2.

Energía mínim a y estado crítico

178

6.3.3.

Energía mínima o crítica

179

6.3.4.

Cálculo de la pro fun didad crítica

179

6.3.5.

Númer o de Froude

6.3.6.

Com por tam ien to en las cercanías de la crisis

181

6.3.7.

Número de Froude límite superior

181

6.3.8.

Ondas rodantes

182

6.3.9.

Arrastre e incor pora ción de aire en canales de alta pendiente

183

....180

6.3.10. Estimación del caudal de aire inco rporado

184

6.4. Escurrimiento unifo rme

........ 185

6.5. Estudio de la fricción en canales

185

6.5.1.

Modelos de pérdida de carga

185

6.5.2.

Fórmula de Chézy

186

6.5.3.

Fórmula de Man nin g

6.5.4.

Valores del coefici ente de Mannin g

186

6.5.5.

Compat ibili dad con la fórmul a de Chézy

189

6.5.6.

Comparación con la fórmula de Darcy

189

6.5.7.

Fórmula de Strickler

189

6.5.8.

Fórmula de Keulegan

189

6.5.9.

Empleo de la fórmula de Colebrook-Wh ite en canaleta

189

..

6.5.10. Valores de ks para diferentes materiales 6.5.11. Compati bilida d con la fórmula de Manning

186

190 ....191

6.5.12. Comparación con la fórmula de Strickler

191

6.5.13. Solución de la ecuación de Man nin g

192

6.6. Escurrimiento permane nte gradu almente vanado en canales 6,6.1.

Curva de remanso

193 193

6.7. Métodos de cálculo

193

6.8. Flujo supercrítico en curvas

193

6.9. Referencias

...195

rectangulares, combinaciones de trapeciales y rectangulares, etc. La geometría de los casos enunciados se muestra sobre la Figura 6.1 y la Tabla 6.1. La profundidad media se define como:

6.1o  Introducción Se entiende por ellos todos los escurrimientos a su perficie libre cuya longitud es considerable. Esta noción es vaga, pero suficiente para empezar. Los ríos, esteros y arroyos son ejemplos de escurrimientos a superficie libre. Estos escurrimientos naturales se caracterizan por una gran variabilidad: ® Caudal • Forma de la sección o Desarr ollo a lo largo ® Pendiente ® Más... Los canales artificiales son de dimensiones más modestas que las grandes corrientes naturales y son, obviamente más regulares.

 Z.

=

6.2.2.  Materiales de construcción Los grandes canales se construyen hoy en hormigón. También se emplea la albañilería de piedras canteadas. Antiguamente, los canales de riego se excavaban en te(a)

(b) B -

íga •= Z

8o RECTANGULAR

TRAPECIAL (d)

6.2. Tipo s de  canales Para realizar un análisis sencillo es necesario esta blecer un modelo idealizado. La simplificación primera es el canal prismático. Por definición su sección transversal y su pendiente son invariables en toda su longitud. En rigor, la textura de las  paredes (rugosidad) también es unifo rme. CIRCULAR

CIRCULAR - RECTANGULAR



6.2.7. Forma de la sección transversal

B

Para canales y canaletas transportando agua se han empleado y se emplean muchas geometr ías diferentes (Chow, 1959). Para pulpas es usual emplear mayoritariamente canaletas rectangulares, pero también se usan canaletas trapeciales, circulares (mineroductos que ostentan una superficie libre), combinaciones de semicirculares y

TRAPECIAL - RECTANGULAR

Figura 6.1 Forma de secciones de canaletas Tabla 6.1 P ropie dades geo métr icas de canale s Sección

Área A

Períme tro Mojado X

Rectangular

BY

B+2Y

Trapecial

B0Y+Y z

B0 + 2YV1 + Z

Circular

D'

(e-sene)

D8

Radio Hidráulico Rh

i

BY B+2Y b 0+zy 2 Bn +2Y^1+Z P / x  sen9\ 4 ~ 0

Ancho Superfi cial B

y

Profu ndidad Media Ym

B

Y

B0 +2ZY

Bq+ZY y B0 +2ZY

Dsen

(f

D 9-sen6 e_ sen

U

rreno natural. Este caso es raro hoy en día, por razones de estabilidad tanto de las paredes como del escurrimiento. Las canaletas mineras de gran longitud se construyen en hormigón armado. Las pequeñas se pueden realizar en HDPE. En tramos cortos, es frecuente hacerlas en acero revestido con caucho o HDPE.

6.3. Hidráulica de Canales

La influencia del ángulo 0 solamente se manifiesta si la pendiente SQ  del canal es considerable. Por ejem plo, si S9 es 9,93 o 3[%] que se considera elevada 0 & 1,718 [°] y  COs(&)  s 9,9995. Se puede entonces prescindir decos(^). Esta aproximación no es valedera para rápidos o cascadas: en ellas la pendiente puede llegar a 1  y más. El coeficiente a es denominado de energía o de Coriolis. Para canales puede expresarse mediante la siguiente relación empírica (Domínguez, 1974):

6.3.7.  Energía específica a = 1 + 3,96 • f

Sea una canal de forma cualquiera (Figura 6.2):

(6.3)

/: Coeficiente de fricción de Darcy-Weisbach Nota:  No confundir / con el coeficiente de fricción de Fanning/ p :

(a)

(6.4)

/ = 4/j

Como ejemplo se puede tomar/=9,925, que es un valor relativamente alto. Resulta entonces: a = 1,0765 = 1,1. Como este valor difiere poco de la unidad, lo que se hace habitualmente es tomarlo igual a uno, lo que equivale a prescindir de él en los cálculos. Bajo estas consideraciones, las ec. 6.1 y 6.2 resultan: Superficie del Fluido

(6.5)

#=z+y+

Fondo

V_

S0 = Tan (9)

E  = Y  +

 2 g

Figura 6.2 Esquema de canal

En una sección dada se define la carga hidráulica H como: 2

 H = Z + Y   cos# + a

V 

2

= 7cos6> + a

V 

2 g

(6.2)

Suponiendo caudal Q constante y empleando Q=A-V:  E = Y + Q  2gA

v  a

 2 g

a la energía cinética.

(6.7)

Si Y   tiende a cero, A  también tiende a cero y E   crece indefinidamente. Si Y   tiende al infinito, A  también tiende al infinito y asimismo lo hace E. 0

Esta designación indica que E   puede interpretarse como la energía por unidad de peso que tiene la corriente medida desde el fondo del canal. Así, Y cos{d) corresponde al doble de la energía potencial media y 2

(6.6)

6.3.2.  Energía mínima y estado crítico

(6.1)

 2 g

Se define asimismo la energía específica E: E = H-Z

 2g

 Lim 7 + y-*  Lim ( r . y ->

 Lim{pf Y  A\o

+

Lim

 Lim

Por lo tanto, ya que E   es siempre positiva, ella tiene un valor mínimo en el intervalo Y (0,°°).

Figura 6.3 Deducción del diferencial de dA

Por otra parte:

Figura 6.4 Diagrama de energía específica

2

dE _  1 Q dA dY~  ~gA"  dY

(6.8)

Pero dA=B'dy,  en donde B es el ancho superficial (Figura 6.3). Entonces:

dE ~dY

(6.9)

El valor mínimo de E   se encuentra para la condición siguiente: Q B

v 'A,

2

c

2

c

3

 

= 1

(6.10)

c

 \ Br

A tales corrientes se les denomina: - Subcríticas - Corrientes tranquilas - Ríos Si Y
633. V c =,g

B,

(6.11)

Energía mínima o crítica

Reemplazando los valores críticos:

V Estas relaciones corresponden a una profundidad Y y a una velocidad V El subíndice c  se emplea para designar crisis o estado crítico, ya que en las condiciones anotadas el com po rt am ien to del flujo tiene cara cter ís ti cas anta góni cas según si la profundidad Yes mayor o menor que la profundidad Yc (Figu ra 6.4). Si Y>Y:c - La energía específica E   crece cuando la profundidad Y crece - V   es menor que la velocidad crítica V - La energía potencial es mayor que la energía cinética

Y c+

2g

(6.12)

2 5„

Para un canal rectangular:  A

= Y r

 B,

E r c — Y si

(6.13)

(6.14)

2

63.4. Cálculo de la profundidad crítica Es necesario resolver la ecuación siguiente: QB

C

g A

= 1 3

c

(6.15)

Para una canaleta rectangular de ancho B: 3

Q 2

q2

(  \ ' g

w. U J  í   )

(6.16)

Q Caudal por unidad de ancho del canal a = —:

 B

Para una sección triangular (ampliamente usada en  Norte América para riego y también empleadas en el  pasado en Europa): 2

tan

Q

2\ (6.17)

a g

El ángulo en el vértice es 2a Para canaletas trapeciales y circulares, Domínguez, 1974 y Chow, 1959, ofrecen ábacos para la determinación de Y.c Hoy en día es más simple realizar este cálculo por métodos numéricos de aproximaciones sucesivas (Newton-Raphson, método de la secante, etc.).

co está asociado a números de Froude mayores que la unidad y el subcrítico por números de Froude menores que ella. El escurrimiento crítico se produce necesariamente si se pasa de un escurrimiento de río (subcrítico) a otro supercrítico (torrente). Ejemplos: ® Cambio de pendiente en un canal, de pendiente suave a otro de pendiente fuerte (Figura 6.5). ® Flujo sobre un verte dero de cresta espesa (Figura 6.6).

® Flujo produ cido por una compu erta de fon do (Figura 6.7). ® Flujo que empalma un embalse con un rápido de descarga (Figura 6.8). En esta situación, se pasa por la crisis, pero la profundidad crítica es difícil de calcular, debido a la curvatura de las líneas de corriente. Empero es posible (Jaeger, 1957).

6.3.5.  Número de Froude Como ya se vio anteriormente: 2

dE dY

Q  B  gA-

Figura 6.5 Crisis por cambio de pendiente

g

(6.18)

 A  B

La razón Y = — corres ponde a la profu ndida d media de la sección respecto al ancho superficial. Se define ahora un parámetro adimensional, llamado de Froude:

F„ =

V  A^

V  gY„

(6.19)

 B

Figura 6.6 Flujo crítico sobre un vertedero.

Se observa que cuando se presenta el estado crítico: Fr = 1

Por lo tanto los conceptos de crisis y de energía específica mínima están asociados con el número de Froude igualado a la unidad. Es fácil demostrar que cuando la profundidad Y  es meno r que la crítica, el núm ero de Froude es mayor que la unidad y a la inversa. Por lo tanto el flujo supercríti-

Figura 6.7 Escurrimiento bajo una compuerta

Para el flujo uniforme supercrítico aguas abajo de una compuerta suponiendo flujo invíscido y canal horizontal Benjamín, 1956, demostró que para que el escurrimiento estuviese exento de ondas era necesario que el número de Froude del torrente cumpliese:

6.3.7. Número de Froude límite superior. Figura 6.8 Flu jo por un r ápido

6.3.6. Comport amient o en las cercanías de la crisis Teóricamente, es posible que un escurrimiento uniforme se produzca con una pendiente crítica, esto es Y igual a Y en todo el canal. En la realidad esto no ocurre ya que cerca de la crisis se producen fuertes ondas superficiales (Fuentes, 1964). Esto se explica en forma sencilla (Domínguez, 1960); Tomando en cuenta que en las cercanías de la crisis dE/dY    es cercano a cero, entonces   dY/dE    es muy grande. Por lo tanto, pequeñas variaciones de  E    producen  fuertes variaciones en Y dando origen a ondas de gravedad.

Siempre suponiendo escurrimiento invíscido y canal horizontal es posible demostrar que, para evitar que el flujo sea inestable, lo que se refleja en la aparición de ondas superficiales, debe respetarse: F
rmax

Montes, 1998, ha dado gráficas detalladas para la determinación de F rmax  para diferentes secciones (Figura 6.9 y Figura 6.10).

Figura 6.9 Número de Froude crítico en la estabilidad de un canal trapezoidal (Adaptada de Montes, 1998)

Inestable a lo largo de la característica de aguas arriba

?,o r i.e!; 1.6j

1,41

1.2¡

Estable

1.0Í

que sus desarrollos son diferentes, ambas curvas coinciden muy bien; por otra parte ambas proporcionan un criterio para separar escurrimientos según la aparición de ondas rodantes. Además de los valores experimentales consignados por Montuori, se ha incluido el caso de una gran represa brasileña: Foz d'Areia. Las variables y parámetros involucrados son:

0.8  i

o,o! 0,11

2

Ve = — • M • Fr  (número de Vedernikov - Craya)

 y ¡

Inestable a lo largo de la característica de aguas abajo

0.21

0.0 i

2

3

4

X

M on t =

(número de Montuori)

5

Número de Froude Figura 6.10 Número de Froude crítico en la estabilidad de un canal circular (Adaptada de Montes, 1998)

Con X: Distancia a lo largo de un rápido de descarga, medida desde el origen del rápido, a lo largo de él.  dy M = 1 -  R h —^ (parámetro de forma del canal)

Para una sección rectangular:  F r niax =2 1 + 2

(6.20)

63.8.1.

Fórmula de Montuori (1961).

2 t 1 + Obsérvese que si ; Y  B

1 2

M 3V

M

= 4 ysi

1

(6.21)

4

8 = 10" (canal muy ancho) F r 

-> 2 • 63.8.2.

Si la pendiente es fuerte, la inestabilidad puede manifestarse por un tren de ondas periódicas (ondas rodantes).

6.3.8. Ondas rodantes  Na ce n en es cu rr im ie nt os de alta velocidad que devienen inestables. Se producen en canales de alta pendiente y son ondas que se propagan hacia aguas abajo. Son aproximadamente periódicas. Empero, a veces se observan ondas que van más rápido que otras. Su presencia implica problemas: • Significan una sobreelevación del nivel líquido; • Si golpean sobre estr uctu ras provocan esfuerzos repetidos y alternados amenazando fatiga de materiales. ® Más... La aparición de estas ondas en rápidos ha sido menos estudiada. Aquí se retendrá solamente el estudio realizado por Montuori, 1961. Sus resultados se muestran en la Figura 6.11. Asimismo se muestran la curva deducida por Montuori (1961) y la estudiada por Montes (1998). Pese a

Fórmula de Montes (1998). M_... =

C

(6.22)

V-l

C = 11 La fórmula de Montuori es aconsejable, ya que es conservativa respecto la de Montes.

¡S #

Sin ondas rodantes Con ondas rodantes Curvateóricademontuori (M CurvateóricadeMontes(19£ Fozd'Arela

Figura 6.11 Ondas rodantes en rápidos

183

i

Puede decirse que los resultados de otras fuentes confirman buenamente la curva global de Brock y Montes. Brock (1967) indica como relación de diseño:

A

A

A

'• ' : Y

(3 Experimentos Brock (1S67) i O Canal Santa Ania{1C65) <*> Ghamberlan (1965,1) 1 & Ghamberian (1965,2)  j,—_—  Interpólame Brock-Monles 200

600

400

1000

800

tan (8) X/Yn

a 6.12 Amplitud de las ondas rodantes

• tan (0) s 0.05011 # tan (0) = 0,08429 A tan (0) = 0.1192 Interpolante 400

600

(6.23)

En la Figura 6.13, se muestra un resumen de los resultados de Brock (1967) para la desviación estándar de sigma.

6.3.9.  Arrastre e incorporación de aire en

)esviación estándar de la amplitud de ondas rodantes (Brock, 1967)

200

 arraax (Y V max/)max _  (Y V max max //)  medio + 2,58 Y. Y. Y.

800

1000

1200

tan (0) X/Yn i 6.13 Desviación estándar de la amplitud de ondas rodantes (Adaptada )ck, 1967)

canales de alta pendiente

En rigor toda corriente líquida a superficie libre arrastra aire calmo. Si la velocidad superficial del líquido es moderada el arrastre es pequeño y no hay transporte de masa importante. Pero si la velocidad superficial es alta y existe turbulencia se produce un interc ambio macroscópico global en la superficie: El líquido incorpora burbujas de aire y el aire recibe gotas. La incorporación de aire puede ser violenta e intensa. En lo que sigue se tratará solamente el caso del agua escurriendo por canales de alta pendiente llamados también rápidos de descarga. Sobre la Figura 6.14, Chanson, 1996, muestra un esque ma muy claro de la situ ación y en la Fig ura 6.15, un croquis mostrando la estructura de la emulsión.

6.3,8.3. Aparición y amplitud de las ondas rodantes Aparte de los problemas acarreados por constituir una inestabilidad esencial, la amplitud de las ondas rodante s es mayor que la altu ra nor mal en el canal y obliga a mayores revanchas; por otra parte hay que recordar que una onda de gravedad transporta una potencia  pr op or ci on al al cu ad ra do de su am pl it ud . Las investigaciones teóricas sobre "roll waves" son abundantes, pero los experimentos son relativamente escasos. Se cuenta con una investigación de laboratorio realizada por Brock, 1967, 1969 y reanalizada por Montes, 1998. Asimismo, Brock, 1967, expuso resultados de otras fuentes: •

Gham bar ian , 1965: Exper iment os de laborato rio, tanG (0,10 0,86), L (10 ^ 60) [m]; * Cana l de lavado Santa Anit a (California, 1965): An3 cho - 49 [m], Q - (2,5 7,7) [m /sec]. El canal de Brock era pequeño: An ch o = 12 [cm]; Al tu ra = 4,6 [cm]j L - (39 46) [m] Los resultados globales se muestran en la Figura 6.12.

Figura 6.14 Arrastre e incorporación de aire en canales de alta pendiente

Figura 6.15 Esquema de la estructura de la emulsión

Según Lañe, 1939 (Montes, 1998), el inicio de la incorporación de aire se produce cuando la capa límite turbulenta, que se desarrolla desde el contorno, llega a la superficie libre (Figura 6.16).

0.9

0.6 0 7

6.3.10. Est im ación del caudal

(3)

0.6

de aire incorporado

0.5

Como ya se indicó, el aire comienza a ser arrastrado desde que la capa límite alcanza la superficie. Una recopilación valiosa se muestra en la Figura 6.17 (adaptada de Volkart, 1978). Se trata de rápidos abiertos; la curva de Volkart es para túneles. Sharma (1976) realizó una recopilación extensa sobre arrastre de aire en túneles (adaptada en la Figura 6.18).

0.4 03

'

j-> 10

8  J-OM o ¡
10

15

BOUw, (FrJ= Vw ' 0 Rh v Figura 6.17 Concentración de aire arrastrado (Adaptada de Volkart, 1978)

1: Hall; 2: Okada; 3: Rao; 4: Volkart; 5: Volkart; 6: Douma; 7: Vr denburgh 1+tí 100

Fr >60 50
 —

—

* + * 9

Incorporación

0

Capa Límite

o 10

30 < Fr   < 40 25 < Fr  < 30 20 < Fr  < 25 15 < Fr   <20 10 < Fr   < 15 5 < Fr   < 10 Fr > 5

PSOÍOIM

N-NS.SJ£í» N2 • N^SJI-Ü K1 - KtLEN S-31ORÉ VA! N f .ff»OALSVAT?4 K-KOYUA i. • LUMIrl (MAVCH)

12 • UW«.E(Mí0O !)

MOJii G-WO0£GHITfl

tv.i

x

Ü

-

1

.fcCr2ft—' 8 x.x , : Kr=15  X  '  Í  I?10 .  F... ti: OK,-S o " Nrh s. ® Fr=5 0.01

Figura 6.16 Incorporación de aire en una región turbulenta

'l- N 0.1

Figura 6.18 Arrastre de aire en túneles (Adaptada de Sharma, 1976)

Respecto a las denominaciones: C

Qc 0 +P ¿~-ai/e i--,agua

c

Qt Q<

l-C

La fórmula de Hall (1943), conservativa según lo que se observa en la Figura 6.17, es: (3 = 0, 00 58 -F ;

(6.24) Figura 6.19 Esquema para escurrimiento uniforme

6.4. Escurrimiento uniforme Parte de la energía unitaria de la corriente se disipa a lo largo del canal: esto puede expresarse como

O bien: R 

^o = P ' g ' H ' dH == J dX

Ahora:

J  se designa como pendiente de la línea de energía o  pé rd id a de carga un it ar ia . Tomando en cuenta las expresiones: dH   dZ dE dE — = -JT = — + — = - nS o + — dX dX dX dX De donde: 2

dE dX

i \ d Y+ = So - J dX 2gA'

J, puede ser mayor, menor o igual a So.  Para un caudal Q  constante, la relación anterior indica que la variación de E define el valor de la profundidad Y. Por lo tanto, si la pendiente de fondo So  iguala exactamente la pendiente de la línea de energía J  entonces se deduce que  dE/dX  = 0. Así, la profundidad Y es const ante a lo largo del canal . Se le llama  normal  a esta  pr of und ida d.  No olvidar que la co ndic ió n es:

sin0

( Rh = - ) X

si n 6  «  So = J

De donde: T^O = P ' g

, R 

H

,J

(6.26)

Los norteamericanos designan J p or  Sf   y la llaman  pe nd ie nt e fr ic cion al. La profundidad normal se produce lejos de singularidades en canales relativamente largos. Pero incluso en aquellos casos en que Y Q no se produ zca en el escurrimiento, es conveniente conocerla como referencia. En general, el primer paso en el diseño de un canal o canaleta es el cálculo de la profundidad crítica y de la  pr of un did ad no rm al .

6.5. Estudio de la fricción en canales

6.5.7. Modelos de pérdida de carga En el escurrimiento por tuberías se considera como dato la velocidad V   y la incógnita es la pendiente de fricción Sf. Por lo tanto se busc an expresiones de la forma S f   = / , { ¥ ) .

So = J

(6.25)

Por otra parte, si el escurrimiento es uniforme, se  pu ed e estable cer un pe rf ec to equi li brio entr e la fr ic ción en el contorno y la componente del peso en la dirección del movimiento (Figura 6.19). x 0 • x' dX = p • g • A • d X • sin 0

En cambio en los canales la incógnita es y y entonces la relación de fricción se desea como K = / 2

)•

Se da esta explicación debido a que hoy se emplean fórmulas deducidas originalmente para tuberías en el cálculo de canales.

186

6.5.2. Fórmula de Ché zy Es la más antigua (c.1775) (Rouse y Ince, 1963; Forchheimer, 1935) pero se sigue empleando hoy en algunas casos. Chézy postuló que en un mismo canal con dos velocidades distintas V y V2 se cumplía:  K

S 2 A 2 P{

S2 R¡!2 VSj Rh\

S x A x P 2

(6.27)

En el cálculo de tuberías se emplea la fórmula de Darcy-Weisbach: S 0 - LYl D 2g

D: Diámetro de la tubería supuesta circular. En este caso  D = 4R h  y entonces existe la siguiente equivalencia: C* =

Posteriormente esta sencilla regla se convirtió en la fórmula que se conoce hasta hoy: V -

CJR hS0

(6.28)

C : Coefic iente de Chézy Se debe indicar que C no es adimensional. Sus dimensiones son:

^V Vf

(6.35)

6.5. J . Fórmula de M anning Ella fue publicada en 1889 (Rouse y Ince, 1963) en una forma diferente de la que se usa hoy. Es ahora la fórmul a más em pleada, pese a que existen desarrollos más modernos con una buena base teórica, de la cual la fórmula de Manning carece totalmente. Ella se expresa:

(6.29) V

O sea, tiene las dimensiones de la raíz de una aceleración. Chézy nunca dijo que C era una constante, como muchos autores postularon posteriormente. Por ejem plo, un sacerdote it aliano, Ta di ni (c.1800) (Forchheimer, 1935) midió C en algunos ríos, concluyendo:

(6.34)

!

S0 R h 3

(6.36)

 n\  Coeficiente de rugosidad de Manning, el que no es adimensional.

(6.37)

M  D

6.5.4. Valores del coeficiente de Manning C = 50

sec

(6.30)

La fórmula de Chézy puede escribirse en términos adimensionales: V-C

- J g - R h  - S 0

c - 4

(6.31)

(6.32)

Se ha def inido Vfcorno la "veloci dad de fric ción" , introducida en el estudio del flujo turbulento por Prandtl (Schlichting, 1968). Vf = A /g-R h -S 0

(6.33)

Como resulta obvio del análisis realizado n crece con la rugosidad del contorno. Se han realizado numerosas mediciones de n. Una recopilación bastante amplia es la que da Domínguez (1974) basado en datos de Scobey, Horton y Ramser. Pero quizás la recopilación má s ampli a y detallada es la realizada por Chow (1959). Toda la información es para cauces que conducen agua, eventualmente con una pequeña concentración de sedimentos. Se reproducen aquí las tablas (Tablas 6.2 a la 6.4), pu blicadas por Sotelo (2002), se gún Ch ow (1959).

Tabla 6.2 Valores de coeficiente n de Manning - Conductos cerrados oper ando parcialment e llenos Tipo y descri pción del canal A.

Metales: Latón, liso a) Acero: b) 1. Con Bridas y sol dad o 2. Remac hado y espiral Hierro fundido: c) 1. Con recubr imient o superfi cial 2. Sin recubri miento Hierro forjado: d) 1. Neg ro 2. Galvanizado Metal corrugado e) 1. Subdren 2. Dren pluvia l No metales: Acrílico a) Vidrio b) Cemento c) 1. Pulido 2. En mort ero Concreto: d) 1. Alcantar illa recta y libre de azolve 2. Alcantar illa con curvas, conexi ones y alguno s azolvamientos 3. Terminado 4. Alcanta rilla recta, con pozos de visita, entrada s, etc, 5. Cola do en molde de acero, sin acabado 6. Cola do en molde de madera, sin acaba do 7. Colado en molde de mader a rugosa, sin acab ado Madera: e) 1. Machihembrada 2. Lamina da y trat ada Arcilla: f) 1. Tubos de barro cocido, común 2, Tubos de albañal vitrifi cado 3. Tubos de albañal vitrif icado para drenes, con pozos de visita, accesos, etc. 4. Tubo vitrificado para subdren es, con juntas abiert as Mampostería de ladrillo: g) 1. De vitr ico ta 2. Revestid a con morter o de ceme nto Alcantarillado sanitario, cubierto de lama de desechos, h) con curvas y conexiones Drenaje con fondo liso, pavimentado en el fondo ¡) Mampostería de piedra pequeña cementada en las juntas  j)

Mínimo

Normal

Máxi mo

0,009

0,010

0,013

0,010 0,013

0,012 0,016

0,014 0,017

0,010 0,011

0,013 0,014

0,014 0,016

0,01 2 0,013

0,014 0,016

0,015 0,017

0,017 0,021

0,019 0,024

0,021 0,030

0,008 0,009

0,009 0,010

0,010 0,013

0,010 0,011

0,011 0,013

0,013 0,015

0,010 0,011 0,011 0,013 0,012 0,012 0,015

0,011 0,013 0,012 0,015 0,013 0,014 0,017

0,013 0,014 0,014 0,017 0,014 0,016 0,020

0,010 0,015

0,012 0,017

0,014 0,020

0,011 0,011

0,013 0,014

0,017 0,017

0,013 0,014

0,015 0,016

0,017 0,018

0,011 0,012

0,013 0,015

0,015 0,017

0,012 0,016 0,018

0,013 0,019 0.025

0,016 0,020 0,030

Tabla 6.3 Valore s de coefi cient e n de Manning - Canales rec ubie rtos o revesti dos Tipo y descripción del canal A.

B.

Metal: a) Super ficie de acero, lisa: 1. No pint ada 2. Pintada b) Corrugado No metal: a) Cemento: 1. Superf icie lisa 2. En mor ter o b) Madera: 1. Cepilla da, no tratad a 2. Cepillada , creos otada

Mínimo

Normal

Máximo

0,011 0,012 0,021

0,012 0,013 0,025

0,014 0,017 0,030

0,010 0,011

0,011 0,013

0,013 0,015

0,010

0,012 0,012

0,014 0,015

0,011

'I "a b I a 6. V a I o Y e s d e co e fí c ien 1: e n ti e M a ti ning - C a na I e s re c 11 b i e r t o s  o Y  e ve s ti d o s Tipo y descripción del

c)

d)

e)

f)

g) h) i)

J) k)

en na i

3. No cepill ada 4. Entabl ada con listones 5. Cubierta de papel impermea ble Concreto 1. Acab ado con llana metál ica 2. Acab ado con llana de mader a 3. Acaba do, con grav a en el fondo 4. Sin acab ado 5. Gunit eado, buena secci ón 6. Guniteado, sección ondulada 7. Sobr e roca bien excav ada 8. Sobre roca de excavado irregular Fondo de concreto acabado con llana, bordos de: 1. Piedra acomoda da sobre mortero 2. Mamposterí a de piedra mal acomoda da sobre mortero 3. Mampostería de piedra pequeña, cement ada y revocada 4. Mampostería de piedra pequeña cementa da 5. Mampostería seca de piedra pequeña, o zampeado Fondo de grava con taludes de: 1. Concr eto colado en molde s 2. Piedra mal acomoda da en morter o 3. Mamposte ría seca de piedra pequeña, o zampeado Ladrillo: 1. Vitricota 2. Con mort ero de ceme nto Mampostería de piedra: 1. Pequeña, cement ada 2. Pequeña , seca Piedra labrada Asfalto: 1. Liso 2. Rugoso Cubierta vegetal Suelo-cemento

Mínimo

Normal

Máximo

0,011 0,012 0,010

0,013 0,015 0,014

0,015 0,018 0,017

0,011 0,013 0,015 0,014 0,016 0,018 0,017 0,022

0,013 0,015 0,017 0,017 0,019 0,022 0,020 0,027

0,015 0,016 0,020 0,020 0,023 0,025

0,015 0,017 0,016 0,020 0,020

0,017 0,020 0,020 0,025 0,030

0,020 0,024 0,024 0,030 0,035

0,017 0,020 0,023

0,020 0,023 0,033

0,025 0,026 0,036

0,011 0,012

0,013 0,015

0,015 0,018

0,017 0,023 0,013

0,025 0,032 0,015

0,030 0,035 0,017

0,013 0,016 0,030 0,015

0,013 0,016 0,016

0,500 0,017

Tabla 6.4 Va lores de coeficien te n de Manning - Canale s drag ados o exca vado s en dife rent es su elos. Tipo y descripción del canal

a)

b)

c) d) e)

Tierra, recto y uniforme: 1. Limpio, recientement e termina do 2. Limpio , despué s de inte mper izad o 3. Grava, secci ón unifor me y limpia 4. Con poco pasto y poca hierba Tierra, sinuoso, flujo con poca velocidad: 1. Sin vege taci ón 2. Pasto, algo de hierba 3. Hier ba densa o planta s acuát icas en canale s profundos 4. Fondo de tierr a y mamp oster ía en los bordo s 5. Fondo rocoso y hierba en los bordo s 6. Fondo empedr ado y bordos limpios Excavado o dragado en línea recta: 1. Sin veget ación 2. Pocos arbus tos en los bordos Cortado en roca 1. Liso y unifo rme 2. Con salient es aguda s e irreg ulares Canales abandonados, hierbas y arbustos sin cortar: 1. Hierba densa, tan alta como ei nivel del agua 2. Fondo limpio, arbust os en las orillas 3. Igual al anterior , con máx imo nivel del agua 4. Arb usto s denso s, altos niveles del agua

Mínimo

Normal

Máximo

0,016 0,018 0,022 0,022

0,018 0,022 0,025 0,027

0,020 0,025 0,030 0,033

0,023 0,025 0,030 0,028 0,025 0,030

0,025 0,030 0,035 0,030 0,035 0,040

0,030 0,033 0,040 0,035 0,040 0,050

0,025 0,035

0,028 0,050

0,033 0,060

0,025 0,035

0,035 0,040

0,040 0,050

0,050 0,040 0,045 0,080

0,080 0,050 0,070 0,100

0,120 0,080 0,110 0,140

.5.5. Compat ibilidad con la fórmula de Ché zy Comparando con la fórmula de Chézy R h 6

C

(6.38)

R 

V

(6.39)

_  c * _  h 6

Vp

6.5.8. Fórm ula de Keulegan En 1938 Keulegan (1938), basado en experimentos realizados por Bazin en la segunda mitad del siglo XIX sobre canales con rugosidad artificial, llegó, empleando los conceptos aplicados por Prandtl y Nikuradse a tuberías circulares (Schlichting, 1968) a la relación siguiente:  — = C* = 5,75 log R, V,

+ A,

(6.44)

n Je

6.5.6. Comparación con la fórmula de Darcy Asimismo, comparando con la fórmula de Darcy:

 At (Constante del flujo rugoso) en el hecho varía con la forma del canal, según se muestra en la Tabla 6.5. Tabla 6.5 Constante del flujo rugoso

f =

8 • g • n'

(6.40)

R,3

6.5.7. Fórmul a de St rickler En 1923 (Montes, 1998) Strickler dio la relación siguiente para canales aluviales cuyas partículas en el contorno tienen un diámetro d: l 6

n = 0,0427d   (unidades métricas -  d  [m])

(6.41)

Comparando con la fórmula adimensional de Chézy: J/ Vf

C* =

d

f  r 

R  6

=7,47Í ^ 0,0427/g ( d

(6.42)

Si se reemplaza d   por la rugosidad absoluta del contorno o rugosidad de Nikuradse k $  (Schlichting, 1868) la fórmula se escribe: C* - 7,47 Rh k„

(6.43)

Esta relación se compara bien con las fórmulas semiteóricas de Prandtl y Nikuradse (Schlichting, 1968)  para tubos rugosos. En el hecho, los europeos llaman a la fórmula de Mann ing fórm ula de Mann ing - Strickler. Asimismo, emplean un coeficiente K que es exactamente igual a 1/n.

Forma de la secci ón transve rsal

Ar

Semicircular Rectangular Trapecial Triangular Promedio

7,16

6,16 6,06 5,86 6,31

Si se adapta la fórmula de Prandtl y Nikuradse (Schlichting, 1968) para tuberías circulares rugosas tratándola como aplicable a canales, esto es haciendo D=4-Rh se encuentra:

Vr

= C* = 5,66 log

R,

+ 6.62

(6.45)

Como puede verse, esta última relación es muy cercana a la de Keulegan e indica que es posible calcular canaletas empleando las relaciones logarítmicas de Prandtl.

6.5.9. Empleo de la fórmula de Colebrook-Whi te en canalet a Esta relación se escribe, para tuberías circulares de diámetro D  (Domínguez, 1960), Daily y Harleman, 1966):

Vf

= -2 log

0,27k s 2,51 - + —-r D R eVf

R = P^ X ( Númer o de Reynolds) M-

(6.46)

(6.47)

Para canaletas ella puede escribirse introduciendo el radio hidráulico: I V V 8 V f 

C* =

V8

1 =

Vf

Í0,27k

^ »21ogJ-^

4R h

-+

4pRhV

2 ,5 1 1

'

ReVf

6.48x

(6.49)

Esta formulación ha sido estudiada y recomendada  para canales por Montes (1963) e Ipp en (1964).

Salvo que se esté en régimen turbulento rugoso, en que el término que contiene el número de Reynolds se hace despreciable, esta ecuación es implícita en/y debe resolverse por aproximaciones sucesivas.

6.5.10. Valores de ks para dif erentes materiales Se han publicado en el pasado tablas de ks para diferentes tipo s de superficies. Aquí se ha decidido emplear una recopilación extensa elaborada por Schroder y retomada por Sotelo (2002). A continuación, se reproducen las tablas de Sotelo (Tablas 6.6 y 6.7).

Tabla 6.6 Rugo sidad abso luta ks para difer entes materia les de pared ks en mm

Grado de rugosidad

Tipo de superficie

Técnicamente lisa

Metal no ferroso, estirado, galvanizado y pulido Metal no ferroso estirado Vidrio Plexiglás

0,001

Asbesto - cemento, sin juntas Asbesto - cemento, unido en tramos con junta perfectamente terminadas Acero estirado, nuevo Con aislamiento bituminoso o de cemento centrifugado Acero, no pintado, sin costuras y sin corrosión Acero de construcción, acero forjado, nuevo Acero con costuras soldadas, no pintado, nuevo Acero con tratamiento cuidadoso de pintura anticorrosiva

0,015 0,025

Fierro, galvanizado en caliente o electrolíticamente Fierro con tratamiento asfáltico Fierro fundido, pintado Concreto en construcción monolítica, colado en moldes metálicos impregnados de aceite, sin juntas ni irregularidades superficiales (clase 4) Concreto centrifugado, sin juntas Concreto de moldes al vacío, sin juntas Terminado muy liso, bituminoso o a base de mortero de cemento, con juntas alineadas a la superficie y terminadas a mano Madera cepillada, sin juntas, nueva Acero soldado, con pocas hileras transversales de remaches, juntas hechas en el sitio de construcción, lámina de acero, remaches embutidos, sin traslapes, nuevo Fierro colado, sin pintar Cerámica vitrificada, con juntas perfectamente terminadas Cemento liso, cuidadosamente terminado Concreto colado en moldes metálicos lubricados, con irregularidades y juntas cuidadosamente alisadas Madera cepillada, bien junteada Acero soldado, oxidado Fierro colado, nuevo Concreto colado en moldes metálicos (clase 3) Conductos prefabricados de concreto Concreto terminado con llana metálica Conductos de cerámica vitrificada

0,150

Casi lisa

Medianamente rugosa

0,003

0,030 0,045 0,060

0,300

0,450 0,490 0,600

Tabla 6.7 Rugo sidad absolut a ks para dife rente s materia les de pared ( Contin uación) Gra do de rug osid ad

Tip o de super fici e

ks en mm

Rugosa

Madera sin cepillar Acero remachado, espesor de pared < 6 mm, nuevo Acero levemente corroído Acero con las costuras longitudinales soldadas y las transversales remachadas, viejo pero sin incrustaciones Acero colado, oxidado o ligeramente incrustado Concreto de construcción monolítica colado en moldes rugosos (clase 2) Superficies terminadas con cemento lanzado de acabado liso (comúnmente llamado gunita o shotconcrete) Placas de cerámica vitrificada, bien colocadas Mampostería de ladrillo vitrificado, bien terminada Concr eto colado en moldes de acaba do liso, viejo Mampostería de piedra labrada, cuidadosamente elaborada, con sus juntas bien terminadas Asfa lto rodillado Conductos prefabricados de concreto, en tramos cortos y diámetro pequeño, sin termi nado especia l de sus juntas, empa lmad as o a tope Made ra vieja, hinchada Concreto colado en moldes de madera, sin terminar Conductos prefabricados de concreto, con mortero en las juntas (clase 1) Mampostería de ladrillo, junteada con mortero de cemento Mampostería de piedra sin labrar, bien elaborada Gunita, sin termi nado Condu ctos prefab ricados de concreto , acab ado rugoso Mamp oster ía de ladrillo, sin acaba do en las junta s Mampostería de piedra sin labrar, medianamente elaborada Mampostería de piedra pequeña Canales de tierra bien terminados, rectos y uniformes Concr eto colado en moldes de mader a vieja, sin acaba do Mampostería de ladrillo sobrepuesto

1,5

Muy rugosa

1,8

2,0 2,4 3,0

3a9 4,3 6,0

8,5

Concr eto mal moldeado , acaba do burdo Concreto mal moldeado, con juntas abiertas, viejo Placas de concreto Mampostería de piedra toscamente elaborada Arena con algo de arcilla o grava Grava fina, grava arenosa Grava de fina a mediana Grava mediana Grava mediana a gruesa

6.5.11. Compat ibili dad con la fórmula

30 50 75 90

6.5.72. Compa ración con la fórm ula

de Manning

de Strickler

Si se emplea la fórmula de Manning se encuentra: C*

10 20

1

R h e

La fórmula anterior puede ser escrita como:

(6.50)

Igualando ambas expresiones y despejando n: log n=

/

(6.51)

Esta última relación permite calcular  n  tomando en cuenta efectos viscosos y de rugosi dad relativa.

1 '0,27k s ^ 4R h

+

2,51 ' R e V f / (6.52)

Si se está en régimen turbulento rugoso: 1/6

R 

h s

,

1/6

4V2

/

4 R  log 0,27 k,

x

= f R]

(6.53)

Esta relación no es, en general, soluble en forma exacta y hay que recurrir a métodos numéricos. Especialmente apropiado es el algoritmo de Newton-Raphson (Burden y Faires, 1998). La relación anterior se puede escribir como:

/

F(Y)=A(Y)

La fun ció n /v ar ía débilment e, como se aprecia de la Tabla 6.8.

WA> 100 1000 10000

X

-2/3

(Y)

Qn

 dF

1 --AR

2/3

3

í  5  B _  2 l d x "  A x dY

0,134 0,159

Esto ha sido expresado en forma muy elegante por los investigadores del Laboratorio Nacional de Hidráulica de Francia (Chatou) quienes dicen que las funciones x"   y log(x) son tangentes en un rango extendido. Retomando la fórmula de Strickler:

f (Y)

Y = Y

Qn

1

y

oí

(6.59)

 dF^  dY

 B

1 dX xdY

 5 -2  A

Si se trata de una canaleta rectangular:  A = BY

n = 0,0427/r,

(6.58)

Las aproximaciones sucesivas se obtienen de la relación siguiente:

0,120

1/6

(6.57)

Entonces:

 dY 

Tabla 6.8 Variación de la función f

5 /3

(6.54)

 X-B

(6.60)

+ 2Y

(6.61)

 B + 2Y

(6.62)

De donde se deduce: nyg

(6.55)

0J 3 4

1/6

Este valor coincide exactamente con f  R,

= 1000 y

n o se

(R,

 d%_=

 pa ra

  aleja mucho de/para otros valores

2

(6.63)

 dY

Entonces, las aproximaciones sucesivas se pueden obtener de:

d e ^

Qn

1S

Se concluye que la relación empíri ca de Man ni ng es, en la práctica, compatible con la ecuación de ColebrookWhite y con la de Strickler.

6.5.13. Solución de la ecuación de M anni ng Se supone que el caudal, la pendiente de fondo So y la forma y dimensiones de la sección son datos. La incógnita es entonces la altura normal Yo. Entonces: Q = AV =

 2n

 n

-,fi0 AR„

(6.56)

Y

=

Y 1 - 3 5 -

0

A R  h

2/3

4Y B +

(6.64)

2 Y

Se requiere adoptar un valor inicial para el proceso de aproximaciones sucesivas. Un valor generalmente apropiado es el que se obtiene suponiendo que el canal rectangular no tiene fricción lateral. Esto es equivalente a suponer que el radio hidráulico es igual a la altura 7:  2/3  2n Qn (6.65) = AR,   =BYY   BY 5/3  M

Se obtiene fác ilmente:

Entonces: 3/5

Y

dY S Q - S  f dX  1 -F.

(6.66)

En canaletas circulares cerca de estar llenas, este  procedimiento se dificulta y es conveniente ir a métodos de aproximaciones sucesivas menos eficientes, pero más cautelosos, como el de dimidiación del intervalo (Burden y Faires, 1998).

6.6. Escurrimiento permanente gradualmente variado en canales Corresponde a un escurrimiento permanente en que las líneas de corriente convergen o divergen suavemente (Figura 6.20). Curva de la superficie del Flujo

Fondo del Canal

a v{x+i)

Figura 6.20 Curva de remanso

Queda definido mediante la variación de la carga hidráulica debida a: • La fricc ión con el cont orno rígido de la canaleta; • Eventu alment e, a la fricci ón con sólidos que migra n  por el fondo; • La fricci ón causada en la inte rfaz aire-líquido.

6.6.7. Curva de remanso (6.67)

 x: Abscisa (curvilínea) en la dirección del escurrimiento Sy Pendiente de la línea de energía o de fricción

dZ 0). dx

La curva integral de esta ecuación diferencial se denomina curva de remanso.  No rm almente es posible dar las con dicion es en un  pu nto del escurrimiento y entonces el pr oblem a matemático es el de Cauchy: Dada Y=Y   para x=x entonces hay que integ rar la ecuación diferencial desde ese punto de partida. Cuando el escurrimiento en el punto de partida, es subcrítico (F r 1. Discusiones cualitativas y cuantitativas sobre los diferentes tipos posibles de curvas de remanso pueden consultarse en los textos de Domínguez (1974) y Chow (1959).

En el pasado, partiendo con una solución exacta de un caso idealizado realizada por Bresse en 1860 (Rouse y Ince, 1963), numerosos investigadores han buscado soluciones semiexactas para la ecuación de la curva de remanso. Por otra parte, si la geometría es complicada, resulta más conveniente integrar directamente paso a paso la ecuación para la carga hidráulica usando diferencias finitas: ¡

 H  m

 Ax

M

(s f  +s/)

(6.70)

Desde hace ya un par de décadas se ha generalizado el resolver la ecuación de base mediante cálculos numéricos realizados en computadora. Incluso hoy en día existen códigos gratuitos accesi bles en Internet para resolver el p rob lem a.

6.8. Flujo supercrítico en curvas

Derivando la expresión de la carga total: 2

e 2gÁ

escurrimiento (pendiente favorable o

 H /+i

La carga H se degrada debido a la fricción:

 H=Z+Y+

So\ Pendiente del fondo de la canaleta; se supone que S o es positiva cua ndo Z va decreciendo en la dirección del

6.7. Métodos de cálculo

So=Sen(8)

dH = -S dx

(6.69)

(6.68)

En flujo supercrít ico en canaletas, que es el caso normal deseable en las canaletas de relave, se prod ucen ondas superficiales si hay un cambio de dirección o una

194

irregularidad vertical en la pared (típicamente junta o grieta)» (ver Figuras 6.21 y 6.22). Estas ondas han sido estudiadas en detalle por Ippen (1951, 1964). En el caso de las curvas, han sido investigadas por Knapp (1951) e Ippen (1964), (ver Figura 6.23). Por consideraciones geométricas el ángulo que corresponde aproximadamente a ABC vale:

 B  B

 tgSo

 R„ +

(6.71)  tgfil

Figura 6.21 Flujo supercrítico en canaletas (Adaptada de Ippen, 1964)

 B : Anch o del canal (supuesto rectangul ar)  R c : Radio de la cur va

El primer peralte máximo se produce en el exterior de la curva para un ángulo 0Q. Se suponen conocidos: V : Velocidad en el can al rect o afluen te. Y : Pro fund idad correspondiente a VI Entonces:  Núme ro de Fr oude del canal recto afluente.

Fr,

 /3 X   = arcsin

(6.72)

(6.73)

r Se supone dada la cpr   ofu ndi dad máx ima Y max. La prof undi dad máxim a se expresa:

Y_  Z

2

= F n

 Bn

2

sin h? 1

(6.74)

+

De donde: 0O=2

.(

arcsin

1

A

Fn V ^

(6.75)

El radio correspondiente de la curva vale entonces: 7

 R=B

1

1

tan 6 0 tan ¡ix

2

X

(6.76) Figura 6.22 Ondas superficiales por cambios de dirección (gentileza de Iván Rayo)

Referencias A

/

A'

0 B Figura 6.23 Estudio de la sobreelevación máxima (peralte máximo) (Adaptada de Ippen, 1964)

Este máximo se seguirá produciendo para   O=20 o , 30 ... hast a el fin de la curva . Plaus iblem ente,' el tre n de ond as con Y igual a Ymax se °  pr od uc ir á en el canal rect il ín eo a la salida de la cu rv a y se requerirá un tramo muy largo para amortiguarlas (las ondas gravitatorias son muy poco disipativas). Observaciones directas en canaletas de relave chilenas realizadas por las empresas JRI y CADE-ID EPE (no  publicadas) ind ica n que las fó rm ul as de I ppen y Kn ap p subestiman en varios casos los valores observados. La razón es plausiblemente que el flujo a la entrada de la curva ya tiene un tren de ondas propio, proveniente de una curva anteri or y/o del oleaje residual que eman a de un cajón disipador. Estas ondas parásitas pueden componerse positivamente con las de la curva observada. Otra razón que puede exponerse es un aumento ines pe ra do y p as aj er o del caudal en la canaleta . Mediante la teoría de Ippen se han calculado en el  pasa do canale ta s de relave con quie bres en pl an ta (cambios bruscos de dirección). Se trataba de obras  provisoria s de des vío y fu nci on ar on sa ti sf acto ri amente (Fuentes, Rayo y Salazar, 1974, 1976).

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196

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MÓDULO 1

FLUIDODINÁMICA CLASIC CLA SICA AI

n QJ " O

O •XJ

Hidrodinámica aplicada: bombas

Autor: Ramón Fuentes

CONTENIDO 7.

HIDRODINÁMICA APLICADA: APLIC ADA: BOMBAS

199

7.1. 7.1. Introd ucción

199

7.2. 7.2. Algo Alg o de historia

.

199

7.3. 7.3. Bombas rotodiná roto dinámica micass

200

7.4. 7.4. Velocidades

200

7.5. Teoría de Euler

.

203

7.6. 7.6. Ecuación de con tin uid ad

203

7.7. 7.7. Teorema Teorema del mom ent o cinético

203

7.8. 7.8. Mom ent os de las las fuerzas externas

204

7.9. 7.9. Potencia suministrada sumini strada al flu ido

204

7.9.1. 7.9.1.

Ecuación de energía - poten cia

7.9.2. 7.9.2.

Curva altura - caudal según la teoría de Euler Euler

204

7.9.3. 7.9.3.

Pérdidas (disipación) (disipación ) de energía

206

7.10. 7.10. Rendimiento Rendim ientoss

.

204

206

7.10.1 7.10.1.. Rendimiento hidráulico:

206

7.10.2 7.10.2.. Rendimiento volum étrico :

206

7.10.3. 7.10.3. Rendimie Rend imiento nto mecánico: mecánic o:

207

7.10.4. 7.10.4. Rendimie Rend imiento nto global: glob al:

207

7.11. Curvas características de una bomba bo mba centrífuga centr ífuga

207

7.12. 7.12. Similitud de bombas centrífugas

208

7.12.1. 7.12.1. Aplicaciones Aplicacio nes

..209

7.13. 7.13. Velocidad Veloci dad específica

210

7.14. Cavitación en las las bombas bomb as centrífugas centrífu gas

211

7.14.1. Análisis

211

7.15. Carga Carga neta positiva positiv a de succión

213

7.16. 7.16. Implanta ción de bo mba sen un sistema sistema

213

7.17. Bombas en serie y en paralelo parale lo

214

7.18. 7.18. Bombas Bombas de desplazamien to positivo

214

7.18.1. 7.18.1. Descripción Descripció n funcio fun cional nal

214

7.18.2. Historia Histor ia

214

7.18.3. 7.18.3. Tipos de bombas bomb as de desplazam desp lazamiento iento

214

7.19. 7.19. Cinemática del volum vo lum en

215

7.20. Referencias

218

7.  HIDRODINÁMICA  APLICADA: BOMBAS

7.1.  7.1.  Introducción Una máquina hidráulica es un transformador de energía o transductor fluido: recibe un tipo de energía y lo transforma en otro. Por ejemplo: Un motor eléctrico: recibe energía eléctrica y la transforma en energía mecánica; asimismo genera y transmite calor. Un generador eléctrico: recibe energía mecánica y la transforma en energía eléctrica, generando y desprendiendo calor. Las máquina de flujo o flujomáquinas reciben energía mecánica y la transforman en energía del fluido más una cantidad de calor. En los sistemas dinámicos interesa más que la energía, la potencia o energía que se transporta y transfiere  por  po r un idad id ad de tiemp ti emp o. Una clasificación, al mismo tiempo sencilla y general, ha sido realizada por Cafaggi et al., 2011, y ella se muestra en la Figura 7.1. Se trat tr atar arán án solamen sol amen te las flujomáqui flujomáquinas nas en las cuales el movimiento del fluido puede considerarse incom presible.  presi ble.

Esta situación comprende los líquidos y los gases sometidos a diferencias de presión relativamente pequeñas. De estos aparatos se fijará la atención en las máquinas motrices, que reciben potencia mecánica y la transforman en potencia hidráulica.

7.2. Algo de historia Como la obtención y manejo de cantidades importantes de agua está en la base de la agricultura es razonable suponer que las técnicas de bombeo son muy antiguas. La agricultura empezó en Mediano Oriente hacia 9500 años AC. (Viollet, 2004). Si se entiende por bomba una máquina a la que se le entrega potencia mecánica y devuelve potencia fluida, la variedad de aparatos es enorme. Por ejemplo, un hombre que extrae con un balde a un ritmo constante agua desde un pozo constituye una bomba, más específicamente una elevadora o elevatriz. Según Viollet, 2004, los primeros pozos se han encontrado en Mesopotamia y datan de 6000 años AC. Por lo tanto esta sería la edad de las las primera s máq uin as elevatrices. El primer aparato elevatriz, que puede ser llamado la bomba más antigua, está todavía en uso y es el  chadouf,  douf,  conocido en Mesopotamia desde hace más de 2000 años AC y empleado también en Egipto desde en-

Figu ra 71 Clas ifica ción de flujoflujo-máq máqui uinas nas (Ada ptad a de Caf agg i et al, 2011) 2011)

200

^ § 3 g § 3

tonces. Este apar ato es un bal anc ín con un peso en un ext rem o y un balde en el otro . Otr o aparato elevatriz, diseñado por Arquí medes , es su célebre torn ill o, usado en Grecia y Roma hace mucho, y empleado hoy en Europa para el mane jo de aguas servidas y drenaj e urban o.

7.3. Bombas rotodinámicas Estas máquinas tienen una rueda, rodete o impulsor que gira dentro de una envolvente llamada carcasa. La rueda es hueca y tiene aletas o álabes. Este rodete im puls  pu ls a el líq l íq ui do que recib rec ibe, e, y de d e allí all í su no mb re . La trayectoria de una partícula fluida que recorre el impulsor es una curva compleja. Según la forma global de esta trayectoria, los impulsores (y las bombas) se clasifican en tres tipos (Figura 7.2): ® Flujo rad ial (a) (a) e Flujo axial (b) ® Fluj o mi xt o (c) (c)

En la Figura 7.3, se muestra esquemáticamente una  bo mb a de es cu rr im ie nt o radi ra dial al.. El lí quid qu id o entr en tr a axial axi al-mente hasta el rodete donde es recibido en una superficie de de revolución perfila da, llamada ojo del rodete. Allí, el líquido es guiado hacia el rodete de modo de entrar en él radialmente. El escurrimiento se mantiene radial hasta la salida del rodete por la periferia de éste. En una bomba de flujo axial (Figura 7.4) el líquido entra y sale en dirección del eje. Finalmente en una máquina de flujo mixto se produce una situación intermedia (Figura 7.5).

7.4. Velocidades El campo de velocidades es muy complejo, ya que es tridimensional e impermanente. En efecto, un observador fijo a la carcasa ve desfilar los álabes a una cierta cadencia y el escurrimiento varía periódicamente. Esta complicación puede superarse suponiendo que el número de álabes es infinito con lo cual el escurrimien-

Figura 7.2 Tipos de impulsores en función de la trayectoria de una partícula fluida (Adaptada de Cafaggi, 2011)

Descarga

Descarga | Alabe impulsor

Sello (Prensa estopas)

Impulsor

Flecha Motriz Succión Ojo del impulsor Voluta o espiral Figura 7.3 Bomba de escurrimiento radial (Adaptada de internet)

Voluta o espira!

Flecha i' -----

 r - yr "¡-i

 n ¡i

¡I Ala bes fijos o antidirectrices ¡I J

r  i-- - '1

Impulsor

Cruceta

1

Figura 7.4 Bomba de flujo axial

to no mostraría variaciones temporales. Asimismo, y  pa ra fines de cálculo, la im pe rm an en ci a pued e eliminarse haciendo que el observador se encuentre fijo en el rodete y girando con él, esto es, introduciendo una velocidad relativa. La tridimensionalidad no puede tomarse en cuenta con nin gún artil ugio simple; pero se puede fijar la aten-

ción en zonas en que el escurrimiento sea más sencillo: las secciones de entrada y salida de la bomba, preferentemente. Por estas razones, es conveniente introducir la noción de triángulo de velocidades (Figura 7.6, adaptada de Carlier, 1957).

Figura 7.6 Velocidades absolutas a la entrada y a la salida del rodete (Adaptada de Carlier, 1957)

Se distinguen, en un punto cualquiera de la corriente que atraviesa el álabe, los vectores siguientes (Figuras 7.6 y 7.7): « C: Velocidad absoluta del fluido « U: Velocidad circunfe rencial , perifér ica o de arras tre • W: Velocidad relativa (del fluido respecto al álabe) tangente al álabe

Se cumple siempre: e =u + w

(7.D

Se acostumbra emplear la frecuencia de giro N. Si ella se expresa en revoluciones por minuto [RPM]:

El rodete gira a una velocidad angular cu (velocidad  periférica), y entonces el módulo u de la velocidad circunferencial es: u = co-r

(7.2)

Para no olvidar el carácter tridimensional de las velocidades, se muestra en la Figura 7.8 un esquema es-

Figura 7.8 Esquema espacial de las velocidades absolutas (condiciones a la entrada y salida)

 pac ial de las velocidades absolutas a la en tr ad a (1) y a la salida (2) del rodete. Las condiciones a la entrada (1) y a la salida (2) se reflejan en los triángulos de velocidades correspondientes (Figura 7.8). El subíndice u  indica la dirección tangente al círculo de radio r, y m  es la componente sobre el plano meridiano.

7.5, Teoría de Euler El desarrollo básico de las turbomáquinas se debe a Euler (1756). Su análisis se olvidó y fue reencontrado y valorizado por Rateau cerca de un siglo después. Sigue siendo hoy la espina dorsal del cálculo de las máquinas rotodinámicas. Es aplicable a turbinas y a bombas. Aquí se empleará específicamente para bombas rotodinámicas. Se trata de relacionar las velocidades a la entrada y a la salida del rodete. Para ello es necesario un análisis dinámico,  por etapas.

7.6. Ecuación de continuidad El caudal es Q. Se trata entonces de calcular la integral Q =J*C • dÁ a la ent rad a y a la salida del rode te y declarar su igualdad. Ahora: J

C • dÁ = J cdAcos(f, C) = J c cos(jt / 2 - a)dA = J  csinadA Ya que C es uniforme sobre A: Q = c sin a A = % D b c sin a b:   ancho o espesor del rodete

Entonces, la condición de continuidad se expresa: Q - jt Dj b j Cj sin a j = jt D 2 b 2 c 2 sin a 2 = Cte.

(7.4)

7.7. Teorema del momento cinético Para escurrimiento permanente e incompresible: El flujo del momento de las cantidades de movimiento respecto a un punto iguala al momento de las fuerzas exteriores respecto al mismo punto. En términos analíticos generales:  p j r x tf • d4 = ^ F x P ext  

(7.5)

Se considerará como volumen de control el rodete, y se tomarán los momentos desde el eje de revolución OE, orientado en una dirección cualquiera é. Examinando el primer miembro de la ec. 7.5, la velocidad es perpendicular al área elemental en la superficie sólida del rodete, y entonces V • dÁ  es nulo allí. Quedan la entrada (1) y la salida   (2),  en donde V • dÁ es constante y vale dQ. Entonces:  p J ? x V V • dA= p Q (r 2 xC 2 - ^xCj ); fxC =r csin(r,C)é «r cco saé De donde  p j r x \7 \7 • c/4 = p Q ( r 2 c 2 c o s a 2  -r^cos^)

(7.6)

Se examina ahora el segundo miembro de la ec. 7.5.

204

Recordando la ec. 7.2:

7.8. Momentos de las fuerzas externas ® Debid os al peso MW:

Pot   = p-Q-(u 2-c 2-

cosa 2

-

• c{  • co sa, )

(7.10)

MW= J r x p  g dV= - p g k  xjr dV g : Vector acelera ción de grav edad Por simetría f r dV = X G V é  , en donde XG es el baricentro del roaete. Si el eje de la bomba es vertical, g x é = 0 y el peso no inte rvie ne. Se cons ider a que su influencia es pequeña en todos los casos. ® Debi dos a las presi ones MP: MP =  J r  

Examinando la bomba entre la entrada y la salida, y despreciando las pérdidas: 2

2

P V . P V . Pot = p • Q • g (Z + - + a — ) 2 - (Z + — + a - )j  y 2g y 2 g Mirando el sistema desde el exterior, la máquina engendra una carga dinámica

xpdñ

En el escurrimiento de un fluido real, la viscosidad implica que existe una componente tangencial de las tensiones. Pero si el fluido tiene viscosidad nula, las tensiones son solamente normales (presiones). Las presiones cambian entre la entrada y la salida,  pe ro si se acepta que el es cu rr im ie nt o es de revolución y se desprecia la diferencia de presiones causada por la diferencia de cota entre los puntos extremos de los círculos normales al eje del rodete, el momento asociado a las presiones es asimismo despreciable. • Debidos a las fuerz as de fricc ión MF: se considerarán despreciables en esta etapa del cálculo, como ya se indicó en el punto anterior. ® Deb ido s a la acci ón de los álabes sobr e el fluido: estos momentos suman efectivamente el torque T o cupla motriz, que se aplica al eje de la bomba y que se transmite al fluido. En resumen, el primer miembro de la ec. 7.5 se reduce a T, y entonce s:

T = p • Q (r 2 • c2 • cosa2 -

7.9.7. Ecuación de energía - potencia

c   C0Sa

*

r 

1)

V' V' H = (Z + — + a— — )2 ~(Z + —+ a Y 2g Y 2g

n

Entonces: Pot —  p • g- Q- H

(7.11)

Co mp ar an do las ees. 7.10 y 7.11: H = —(u 2 c 2 c o s a 2 - u ^ c o s a j

(7.12)

Esta es la ecuación de Euler, considerada hasta hoy fundamental para las turbomáquinas. H se denomina igualmente H teórica infinita Ht (Boussuges, 1966), o H efectiva H f   (Carlier, 1957), o altura útil H £  (Comolet, 1963). El valor de H crece cuando el segundo término del lado derecho de la ec. 7.12 decrece. Se puede diseñar la 7  7  (  -  )entrada de modo que el escurrimiento sea aproximadamente radial. Esto es, al = tt /2 (Figura 7.8). Entonces:

La ec. 7.7 es la relación de Euler. H

7.9. Potencia suministrada al fluido En el sistema que se está estudiando, la potencia se expresa:

u 2 'c 2 •  cosa 2  9

(7.13)

7.9.2. Curva altura - caudal según la t eoría de Euler

Pot = T • CO 

La curva que expresa la relación H = f(Q) es la herramienta básica para el empleo de la bomba. Pese a que la teoría de Euler es una aproximación idealizada, es 7  9importante aplicarla en este aspecto, ya que constituye (  -  )un buen punto de partida. Se supondrá que el líquido entra a la bomba siguiendo una dirección radial (al =  ix/2). Además, se intr odu-

(7.8)

Reemplazando en la ec. 7.7: c   C0Sa

Pot = p • Q • co (r 2 • c2 • cosa2 - ^ '  r 

1)

Entonces:

ce la componente tangencial de la velocidad absoluta Cu 2 = C 2 cosa 2 . La ec. 7.13 queda:

CO fl

u =

C

2 ' u2

Del triángulo de velocidades a la salida (Figura 7.8): m2

tanp ; Y c U 2=U2-

tanp.

Entonces 1

H =

u

c

^2 _  2' m2 fanp;

Asimismo

c m 2 = c2 s i n a2

 jt • D 2 ' b 2

g

•

Q

(7.15)

Las ees. 7.14 y 7.15 repres ent an las cu rva s H - Q que  propor ci ona la teoría de Euler. Se deduce: o Para un caudal dado> la alt ura eng end rad a por la  bo mb a H crece fu er te me nt e con la ve locidad de giro del rodete. * Para un caudal 2nulo, la2 bomb a engendra una altura Ho = (u) R 2 ) /g = u2 /g. Este valor se denomina  presión de cie rre (pres sion d' 2ét ra ng le me nt , shut off head). ACHTUNG! no es u2 /(2g). * Para una velocidad de giro dada, la curva altur acaudal es una línea recta cuya pendiente depende del ángulo (3 a la salida del rodete y, por lo tanto de la dirección en que están curvados los álabes (Figura 7.9).

Estas curvas H-Q se muestran en el esquema de la Figura 7.10:

Se obtiene para H: U 2

 tan ^>2  2-jt-b 2

Si p2 > 7T/2  (álabes curvados hacia adelante) II crece con Q; Si p2 = 7í/2 (álabes radiales) H no depende de Q; Si p2 < rt/2 (álabes curvados hacia atrás) H decrece con Q

Introduciendo el caudal de la ec. 7.4:

H-

CO

1 Q  ían(3 2  Jt-D 2 ' b 2 -g

(7.14)

Déla ec.7.2:

u2 = w - R 2

  = 05 D-

Figura 7.10 Curvas H-Q

Alabes curvados hacia adelante  p2 > Ji/2

Alabes radiales  p 2 " rc/2

Figura 7.9 Influencia del ángulo de salida de los álabes del rodete (Adaptada de Comolet, 1963)

Al abes curvado s hacia atrás PZ


206

En términos muy gruesos, las curvas reales H-Q para diferentes ángulos (32 tienen el aspecto que se muestra en la Figura 7.11. La diferencia se debe a las pérdidas de carga que se detallan más adelante. Las máquinas que poseen p2 > rr/2 son normalmente ventiladores en los cuales se desea que el caudal aumente cuando la presión lo hace. Esto tiene dos inconvenientes. El primero es que se opera en zonas de rendimiento relativamente bajo. El segundo se asocia a que la curva tiene dos valores de Q para un mismo H: esto puede producir inestabilidad. La mayor parte de estas máquinas se diseñan con p 2 < ni2 y esto se supondrá en lo que sigue.

En la Tabla 7.1 se muestra un listado de las pérdidas y sus consecuencias. Tomando en cuenta las pérdidas de carga, la curva H-Q se muestra esquemáticamente en la Figura 7.12.  jC arg ad e Eul er ¡Pérdidas por re circulación Fugas Fricción del flujo Incidencia Curva de la bomba

7.9.3. Pé rdi das (disipaci ón) de energí a El empleo de las fórmulas de Euler supone que no existen pérdidas (disipación) de energía en la máquina. En realidad ellas existen y su etiología es variada y compleja. Existen diferentes enfoques para describir estas causas (Carlier, 1957; Comolet, 1963; Boussugues, 1966, Cafaggi et al., 2011). Aquí se adoptará el tratamiento dado por GRUNDFOS, c.2000, que es detallado y simple. Las pérdidas pueden clasificarse en dos grupos: • Pérdidas mecánic as debidas a fricción sólida en diferentes partes de la bomba. • Pérdidas hidráu licas asociadas a diferent es procesos que sufre el líquido al circular por la bomba.

Figura 7.12 Esquema de las pérdidas de carga

7.10.

Rendimientos

Sea H la altura dinámica que el sistema demanda a la máquina. 7.10.1. Rendimient o hidráuli co:

Proviene obviamente de las pérdidas de carga hidráulicas AHh ya mencionadas y se expresa: :

T"|h

H - AHh H

7.10.2. Rendimiento volumétrico: Si el caudal que se pierde o que no participa en el flujo útil es AQv, entonces: T|V =

- AQv

Q

Figura 7.11 Curvas reales H-Q Tabla 7.1 Pérdida s y sus cons ecu enci as Pérdida

Pérdidas mecánicas Perdidas hidráuli cas

Rodamientos Sello del eje Fricción del flujo Mezcla Recirculación Incidencia Fricción del disco Fugas

Flujo pequeño

Mayor carga

(Q)

(H)

Mayor consumo de potencia (P2)

X X X X X X X X

7.103. Rendimi endi mi ent o mecánico: ni co: Sean AHm las pérdidas por fricción mecánica expresadas en columna líquida. Así: iim=

El giro del rodete puede especificarse por su velocidad angular (o, pero es costumbre que se prefiera em ple ar la fr ecue ec ue ncia nc ia de giro gi ro N  en revoluciones por minuto. Entonces:

H - AHm H

N

oo = o2 x t —

60

7.10A. Rendimiento global: ri = ri = r]lvr|vr  r]lvr|vr |m Este rendimiento global es el único que puede ser medido con exactitud suficiente, y es entonces el que se emplea en la práctica corrient e. El modo es el siguiente: » La potencia hidráulica que debe proporcionar la  bo mb a es: PH = p-g-Q-H p-g-Q -H

Para una frecuencia de giro N y un diámetro de rodete fijo D se supone que se realizan experiencias en que se mide un abanico de valores de Q, H y P. Se pueden obtener entonces las curvas que se muestran esquemáticamente en la Figura 7.14. Si se conserva estrictamente la forma del rodete y se varían N y D, se obtienen familias de curvas. Como ejemplos escuetos, en las Figuras 7.15 y 7.16 (adaptadas de Eninepump WEB) se muestran estas familias  pa ra dos valo va lore ress de N. La fo rm a de las cu rv as de igua ig uall rendimiento ha inducido a llamarlas "colinas de rendimiento".

 b Ento En tonc nces es,, la pote po te ncia nc ia que qu e hay ha y que entr en tr egar eg arle le al eje de la bomba es:

Frecuencia de giro N giro N -  -  Cte. Dimensiones y forma fijos

P B = ™

TI

Debe quedar claro que este análisis se refiere a la  bo mba; mb a; no inclu in clu ye la efi cienci cie nciaa de moto mo to re s eléc el éctr tric icos, os, transmisiones, etc., las que deberán tomarse en cuenta en forma adicional una vez conocida PB. Eninepumps (WEB), ha publicado un ejemplo muy sencillo y claro sobre los rendimientos de un sistema de bombeo (Figura 7.13). Se observa allí que el rendimiento global es 0,58; pero de la bomba aislada es 0,70.

Carga engendrada

Rendimiento

Caudal Q maneras de presentarlas. Aquí se dará solamente un ejemplo clásico.

Q pérdi da = 10

W motor

100

Figura 7.14 Curvas para distintas condiciones de Q, H y P

Q pérdid a

 _j  _ j v ,/ ÍB. r\ Moto Motor=90% r=90%

3

transmisión   92%

Figura 7.13 Rendimientos de un sistema de bombeo (Adaptada de Eninepump (Internet))

Q pérdida=25

W fluido 58

W bomba 83

W transmisió n \

90

"U*

11bomba =70%

208

60

50

15

40 10

2

 n

30

20

X

5

CO

CL

10

6

8

10

12

14

16

Capacid ad (l/s) (l/s) Figura 7.15 Familia de curvas de rendimiento para 1750 rpm. (Adaptada de Eninepump (Internet))

65

60 55 50 45 ^ 40 J 35 o C 30 2 25 20

15 10 5 10

12

14

16

18

0

Capacidad (l/s) (l/s) Figura 7.16 Familia de curvas de rendimiento para 3500 rpm. (Adaptada de Eninepump (Internet))

7.12. Similitud de de   bombas centrífugas El problema puede, en términos muy simplificados,  pres  pr es en ta rs e del m od o sigu si guie ient nte: e: Se tiene una familia de bombas rigurosamente seme ja nt es en t ér mi no s geom ge omét étri ri cos. co s. Por Po r lo t an to , ellas ell as puepu eden ser caracterizadas por un sólo parámetro geométrico, normalmente el diámetro del rodete.

Para una de estas bombas se han medido las curvas características, para una cierta velocidad de giro fija y  bien  bi en de te rm in ad a. Obviamente, para otras bombas de la misma familia y otras velocidades de giro, es posible determinar las curvas características midiéndolas nuevamente en cada caso.

Surge la pregunta: ¿Existe un método para obtener las curvas características de una familia de bombas y para una gama de velocidades de giro a partir de las curvas características medidas para una sola bomba? La respuesta, con ciertas restricciones, es positiva y fue encontrada por Auguste Rateau (1897-1900), aunque Combes ya la había enunciado anteriormente en forma parcial. La solución del problema, como se presenta aquí, se  bas a en el anál an ális isis is di me ns io na l y en los crit cr iter erio ioss de similitud (Langhaar, 1951; Fuentes, 2002). Las variables básicas son: ® D: diám etro del rodete o N: fre cuen cia de giro o Q: caudal en volum en ® p: dens idad del líqu ido o ja: viscos idad del líqu ido

Entonces se tendrá: Cp = Cp(C Q,Re) En la práctica se definen otros coeficientes característicos: Potencia: c p=

pl^

cp (CQ   R e )

'

Rendimiento:

Torque: 5

 p N D

Se define la presión total II: n=p+p'g-z+|-v

2

 p: pres pr esió iónn g: aceleración de gravedad Z: cota V: velocidad Asimismo, puede definirse una altura o carga total. La máquina engendra:

An=n2-m

Es corriente aceptar que para fluidos poco viscosos, como el agua y el aire, la mayor parte de las pérdidas de carga se deban a separaciones y torbellinos provenientes, por ejemplo, del imperfecto calaje entre los ángulos reales de ataque y los de los álabes. En estos casos, los efectos viscosos son relativamente pequeños y entonces: Cp = Cp(C Q ) CP = CP(C Q )

n = n(cQ ) CT = CT(C q )

III: entrada n2: salida También puede definirse una altura dinámica engendrada H:

O sea, basta que C Q sea invariante para que todos los otros parámetros adimensionales lo sean. Esta afirmación constituye el teorema de Combes - Rateau.

 Apli cacion iones es 7.72.7. Aplicac

P'g Empleando el análisis dimensional, aparecen en este caso los siguientes productos adimensionales (coeficientes de Rateau):

7.12.1.1. Curvas características universales Si se realizan ensayos detallados sobre una bomba centrífuga, para D y N constante, se obtendrá: Qj,Hj, Pj (j = 1, 2, 3,... m)

Con estos valores, y con r, D y N se pueden obtener:  — 2 = 2  p N D

2

N D

2

= CPn

(coeficiente de presión)

Cp = Cp(C Q ) CP = CP(CQ )

 n(  n(cQ)

n =

 — -3  N D  — =

CQn

Re

(coeficiente de gasto)

(n úm er o de Reynol Rey nolds) ds)

Aceptando como válido el teorema de Combes-Rateau, estas curvas características adimensionales serán ciertas para toda bomba geométricamente semejante, cualesquiera sean ahora p, D y N.

7.72.7.2. Nuevas curvas características  dimensionales Sea una bomba geométricamente semejante, pero con p= pl; D = DI; N = NI. Para determinar sus curvas características se puede emplear a la inversa el teorema de Combes-Rateau: Caudales: C Q] = C Q)   de donde:  NI  N I D i

3

Q

 _ Q_3  N D

Q l - N^ I^D P Í )Q Presiones: Cp :  = Cp; entonces: gHl 2 = Cp 2 N i Di H1 = HÍ

gH N

2

 N 1 ^ D 1 \

D

2

2

)

Así, pueden obtenerse nuevas curvas dimensionales.

Por otra parte en el sistema SI, N debiera expresarse en Hertz, en este caso correspondiente a revoluciones  por  po r se gu nd o del rot or. Em pe ro , la co st um br e es expre exp re-sar N en revoluciones por minuto (RPM).  NO TA : En casi cas i to dos do s los text te xtos, os, Ne apar ap arec ecee como co mo  Ns. La ra zón, zó n, es que la pala pa la br a cast ca stel ella lana na "es pecíf pec ífico ico"" comienza con s en alemán, francés, inglés y.. .latín.  Ne,  Ne , pe rm it e, en fo rm a ap ro xi ma da , juzg ju zgar ar sobre so bre cómo se va desde una máquina centrífuga a una axial. En efecto, ceterisparibus, entre dos máqui nas 1 y 2 con  Ne l < Ne2, Ne 2, la pr im er a será ser á "más "m ás ce nt rí fu ga " y la segunda "más axial". Este aspecto puede ser bien apreciado en los diagramas de la Figura 7.17. En este cuadro, H [m], Q [m3/ sec] y N [RPM] para el cálculo de Ne = Ns. Hth°o corresponde a la altura calculada con la fórmula de Euler (ec. 7.12) y H al valor corregido por el rendimiento manométrico q (H = q Hth°°). Ns se ha calculado con H. Un cuadro análogo se muestra en la Figura 7.18. Los fabricantes norteamericanos usan un sistema mixto de unidades: H [feet], Q [gal/min] y N [RPM]. La conversión es como sigue:  Ne [U SA ] = 51,64 51, 64 N e [SI]

7.13. Velocidad específica Para comparar máquinas que no son geométricamente semejantes se emplea un parámetro que se construye de modo que sea proporcional a la frecuencia de giro y que no contenga el diámetro:

Evolu ción de las formas de los rodetes de la bo mb a c una función de Ns MOD IFI CAC IÓN DE SUS CURVA S CARACT ERÍSTIC AS Los valores indicados corresponden al caudal que entrega eJ rodé le Q: 2001/s ó 1450 ton/mi

2N

 Ne =

1/4

ir

Cp*

= N

Q

1/2

(An/p)3/4

Este número se denomina velocidad específica. Si no se especifica otro punto, se supone que se calcula para el rendimiento máximo.  Ne, es ad im ensi en si onal on al , pe ro en la pr ácti ác ti ca se empl em pl ean ea n diferentes versiones dimensionales de este parámetro. Por lo tanto, en cada caso es imprescindible conocer las unidades. Por ejemplo, si si se explicita la carga engendrada por la bomba H: An=pgH Entonces: Q1/2

3/ 4

~ ^ (gH)  

(adimensional)

Como g es aproximadamente constante, se prescinde de ella: Ne=N-

a/2 H 3/4

(dimensionalmente incorrecta)

De acuerdo con el ingeniero técnico Sr. Dergeron

Figura 7.17 Evolución de las bombas en función del valor de Ns

211

Figura 7.18 Comparación de perfiles de bombas

7.14. Cav ita ció n en las bo mb as centrífugas Cuando en un punto de un líquido la presión desciende hasta alcanzar la presión de vapor, el líquido hierve allí. Se forman cavidades (de allí el nombre de cavitación) y se desprenden burbujas que, para una  pres ió n li gera mente ma yo r pu ed en col aps arse, provocando choques, vibraciones y sobrepresiones que pueden ser extremadamente violentas. En una bomba esto se traduce en una degradación sensible de las curvas características. Es, por lo tanto, esencial evitar que la cavitación se produzca. La cavitación en una columna líquida está asociada al corte de dicha columna al producirse un vacío excesivo. El fenómeno fue tratado por vez primera en forma cuantitativa por Galileo y publicado en 1638. En el siguiente recuadro se cita textualmente una parte de dicha publicación. "... lordigno fusse guasto; e trovato il maestro acció lo raccomodasse, mi disse che non vi era altrimente difetto alcuno, fuor che nellacqua, la quale, essendosi abbassata troppo, non pativa d'esser alzata a tanta altezza; e mi soggiunse, né con trombe, né con altra machina che solle-

vi  lácqua per attrazzione, esser possibile farla montare un capello piü di diciotto braccia  e siano le trombe larghe o strette, questa é la misura dellaltezzalimitatissima. Ed io sin ora .. En un diálogo imaginario, uno de los personajes le consulta sobre una bomba que no funciona a un traba jador; este le indi ca que un a bo mb a no pu ed e le va nt ar a g u a "ni el espesor

de un cabello

más de 18

brazos

Según la información disponible en la WEB, el braccio florentino de la épo ca de Gali leo era cerc ano a 0,584 metros y entonces la altur a máx ima de aspiración resulta 10,50 metros de columna de agua; ¡Solamente 2% en exceso a la altura de agua corres po nd ie nt e a la presió n atmosférica es tá nd ar (-10,33 metros)!.

7.14.1. Análisis En términos globales, es necesario determinar la  presión mínima de nt ro de la má qu in a P mj n  y verificar que ella sea mayor que la presión de vapor P y :

Pero la posición y el valor de la presión mínima son a priori desconocidos y difíciles de calcular en forma suficientemente exacta (imposible hasta hace poco

tiempo). Por lo tanto, hay que recurrir a mediciones experimentales. Para atacar el problema se empleará el procedimiento sencillo y global imaginado por Carlier, 1957. Ver la Figura 7.19. Se escribe la fórmula de Bernoulli para la línea de corriente C A. Pa

h

a +

V, 2g

+ AH C A

AH c a : Pérdidas de carga entre la superficie del tanque C y la entrada a la bomba (A). La presión mínima no ocurre en A sino en un punto interno B, debido a los fuertes gradientes de velocidad en los álabes. Se desconoce la posición de B y la presión allí, pero  puede establecerse:

pa-pb=k|pva

2

Figura 7.19 Procedimiento ideado por Carlier (1957) (Figura adaptada)

K es un coeficiente que depende básicamente de la forma del rodete.

VALORES DE S

RPM

/GPM

O O O O O Q o o o o o o LO

(£3 N

o oo

CO 0 ) 0

VALO RES DE VELOCIDAD ESPECIF ICA ns

RPM >/GPM

H =

H 3/4

hsv =

PARA CALCULAR n s Y S EN BOMBAS DE DOBLE SUCCIÓN, USAR LA MITAD DE LA CAPACIDAD TOTAL DE LA BOMBA.

Figura 7.20 Límites de cavitación para bombas (experimento de Thoma)

VALOR ES DE ns

ALTU RA DINÁMICA TOTA L DE LA BOMBA (EN PIES O METROS) PARA BOMBAS MULTIETAPA, CONSIDERAR SOLAME NTE LA PRIMER A ETAPA ALTU RA DINÁMINA TOTAL DE ENTRAD A (EN PIES O METROS), SUP ERI OR A LA PRE SIÓ N DE VAP OR DEL DEL FLUIDO BOMB EADO RES PE CT O AL E J E C ENTRA L DE IMPULSOR

Entonces:

P B =P a  -PS(h A + AH c a ) - ( 1 + K ) | P V a

2

7.16. Implantac ión de bom bas en un sistema Un esquema mostrando un caso sencillo» frecuente y fácilmente generalizable, se muestra en la Figura 7.21.

Si se produce cavitación en B, entonces P fi = Py y: P a - p g ( h A + A H O , )-P v = ( 1 + K ) | p V A

H  punió dt> curie (sliut-otf)o ()«,

2

La diferencia de presión total engendrada por la  bo mb a val e AL! = r g H. Di vidiendo por este valor: P a -p g (h A + A H C A ) - P v PgH

pnn(oj|£_Qji£iaíiÓ|i

hpérdidas carga oD

2

VA 2gH

c

Gc  es un parámetro adimensional denominado coeficiente de cavitación crítico o coeficiente de Thoma (número de Thoma). Para conocer el núm ero de Thoma es necesario realizar experimentos detallados. Se le considera primariamente función de la velocidad específica Ne, aunque es fácil intuir que otros parámetros pueden ser de importancia. Un resumen de experimentos sobre el número de Thoma se muestra en la Figura 7.20.

7.15. Ca rg a neta pos iti va de succión El método más empleado para estudiar cavitación en las bombas emplea una cantidad denominada NPSH (Net Positive Suction Head). Se expondrá la versión de Henshaw (2009). Se define NPSH available (disponible):  N P S H = P s +P Z +P a +P vel • •

Ps : Presi ón relativa en la succión de la bom ba PZ : Presión correspondie nte a la altura del manó metro conectado a la tubería de aspiración y que mide Ps • Pa : Presión atmosféri ca absoluta o Pve l: Presión corres pondien te a la energía cinética en la succión • Pv: Presi ón de vapo r en la succión (absoluta) Esta NSPH disponible es una propiedad del sistema y puede medirse o calcularse según si la instalación ya existe o no. El NPSH requerido por la bomba es una propiedad de ella y debe dete rmin arse experi mental mente. El sistema debe proporcionar más NPSH que el que la bomba requiere:  NP SH disponible > NS PH requ erid o

hgeomótríca

O' h dinámica total (TDH)

hsuccién Figura 7.21 Análisis del sistema de bom beo

Antaño era muy frecuente analizar los sistemas de  bo mb eo en fo rm a gráfi ca. Ho y en día esto no es in dis pen sable, pero el dia gr am a que se mue st ra en la Fi gura 7.21 sigue siendo útil para fines de comprensión (diagrama de Carlier). El cálculo hidráuli co nos entrega las pérdi das de car ga totales del sistema como función del caudal. Esto corresponde a la curva de demanda (D - D'). Observaciones: En la Figura 7.21 se muestra la pérdida de carga friccional, ya que en los sistemas muy largos, por definición es prepo nderan te. Pero es fácil incluir las p érdi das de carga, localizadas o singulares. El eje O-Q coincide con el nivel del tanque de aguas arriba. En el dibujo se indica una altura de succión positiva, que corresponde a una presión de succión negativa. Si el nivel del tanque está más arriba que el eje de la máquina, existe presión positiva en la succión y la altura de succión es negativa. Si la bomba está elegida, se conoce su característica H-Q, que es la curva de oferta que proporciona la máquina. La intersección de la curva de oferta y la de demanda  pr opor ci ona el pu nt o de operación si st ema-bomba. En la práctica, y si se trata de un diseño nuevo, lo más frecuente es que se pueda determinar el punto de operación (H-Q). Entonces se busca una bomba cuya curva característica pase por ese punto, y además, que muchas otras condiciones se cumplan: por ejemplo, que el rendimiento sea aceptable y el NSPH suficiente.

7.17, Bo mb as en seri e y en par ale lo

7.78.

Estas disposiciones son cada vez más frecuentes. La razón principal, es poder llenar un requerimiento com bi na nd o var ios equipos pequeños , y no un o solo mu y grande que puede resultar inmanejable o inexistente. En los ejemplos que siguen se trata de dos bombas,  pero los principios pu ed en generali zarse a u n nú me ro mayor. En términos muy simplificados: « En las inst alaci ones en serie (Figura 7.22) el cauda l es el mismo y se suman las presiones: Q = Q1=Q2 H = H1 + H2

7.18.1. Descripción funcional Se adiciona energía periódicamente, aplicando fuerzas a uno o más contornos móviles de volúmenes que contienen fluido. El resultado es un aumento directo de la presión hasta el valor requerido para mover el fluido a través de salidas a la línea de descarga (Karassik et al, 1986).

En la disposición en paralelo (Figura 7.23) se suman los caudales para una presión dada: H = H1 = H2 Q = Q1 + Q2

Bombas de desplazamient o posit ivo

7.18.2. Historia Estas bombas son las más antiguas como máquinas  pr op ia me nt e tal es. Un a bo mb a de p istones de doble acción fue inventada por Ctesibius en Alejandría (II-III siglo AC). Un esquema de esa bomba se muestra en la Figura 7.24 (adaptada de Viollet, 2004). Estas máquinas fueron empleadas en el imperio romano. 7.18.3. Tipos de bombas de desplazamiento « Reciproc antes o alternant es: Son bombas de velocidad, torque y caudal aproximadamente constantes. Las piezas que se desplazan son movidas mediante un cigüeñal, desde una fuente de energía exterior. Hay tres tipos importantes: - De pis tón - De émbol o - De dia fra gma

M

1

Figura 7.22 Instalación de bombas en serie (suma de presiones)

Figura 7.24 Esquema de una bomba de pistones. (Adaptada de Viollet, 2004).

Figura 7,23 Instalación de bombas en paralelo (suma de caudales)

e Rotatorias:  En ellas, una o más piezas giran para inducir el escurrimiento. Existen por lo menos dos subgrupos importantes: - De torni llo (una pieza móvil) - De lóbul os (dos piezas móviles) Todas o casi todas estas bombas se emplean en las faenas mineras chilenas. Pero el uso mayoritario, en capacidad y número corresponde a las bombas del tipo alternante y serán las únicas que se traten aquí. En general se prefiere emplear bombas centrífugas, ya que,  ceteris paribus,  ellas son menos costosas que las bombas alternantes. Pero en los casos de altas presiones y/o transporte de  pulp as abr asi vas a veces es inevi table el emp leo de má quinas reciprocantes. También debe mencionarse que en el caso de líquidos no newtonianos la disminución de rendimiento de las bombas centrífugas y el calentamiento viscoso asociado, veden su empleo. Respecto a las cifras globales para estas máquinas se dan valores adaptados de Karassik et al., 1985. Ver la Tabla 7.2.

7.19. Cine máti ca del vol umen Cualquiera sea el tipo de bomba alternante, la cinemática global es la misma y ella se muestra en la Figura 7.25. A) t = 0; la bomb a está det eni da: el vol ume n de fluido es el máximo. Ambas válvulas están cerradas. B) t= ti; la bomba expele fluido hacia la salida. La válvula de salida está abierta y la de entrada, cerrada. C) t = t2; el volumen de fluido se hace cero. La bomba se detiene. Ambas válvulas están cerradas. D) t = t3; la bom ba asp ira fluido desde la ent rad a. La válvula de entrada está abierta y la de salida está cerrada. E) t = t4; la bom ba ha alcan zado el volu men má xim o y se detiene. Ambas válvulas están cerradas; se recu pera la situación (A). En la realidad existe una biela para traducir el movimiento rotatorio de un motor a un cambio de volumen (Figura 7.26).

Figura 7.25 Cinemática global de una bomba

Figura 7.26 Biela para inducir el movimiento rotatorio

En el caso de un pistón o de un émbolo, la relación entre el volumen y el desplazamiento X del punto P es simplemente proporcional. Si se trata de un diafragma se comprende que la relación existe, pero es más com pleja. Empleando el teorema del coseno de la trigonometría plana (Figura 7.26): 2

2

2

L = R  + Z   -2 R Z c o s (j t -8 ) Z es el cateto en la línea que contiene X y vale precisamente R + L - X . Elimi nando Z y despejando X:

2

X* = c o s ( t * / 2 ) + — ( l - V l - A ' s i n V )  2X

Para simplificar el análisis se han introducido las siguientes variables adimensionales: X*=X/(2R);

t*=ü)t; X  = R/L

Tabla 7.2 Características de bombas Bomba

Horizontal de pistone s Vertical de émbo lo

7 16

(- )

Potencia máxima [MW]

Potencia máxima [HPj

Presión máxima [MPa]

Presión máxima [m columna agua]

2,2 1,1

3000 1500

14 207

1400 21100

216

^ § § % o 9 3

Como una medida de la perfomance de la máquina, el volumen adimensional en un ciclo vale 1 y entonces el caudal medio es:

El iti ner ari o de la biela (pu nto P) se mue str a en la Figu ra 7.27. Se obser va que el vaci ado y el llen ado del volum en son perf ecta ment e simétri cos y, obviame nte el fenó meno es periódico , pero el comp ort ami ent o no es estr icta mente cosinusoidal, salvo que el radio R sea muy pequ eño respecto L.

Q*medio = 1/(2tt) « 0,16 Este valor es pobre. Pero, más aún, la intermitencia del escurrimiento es fuente de transientes que pueden ser intensos. Para regularizar el escurrimiento se puede emplear una bomba de doble efecto (o dúplex), en la cual existen dos volúmenes trabajando en forma alternada, desplazados un semiperíodo. El resultado se muestra en la Figura 7.29. Se observa que el caudal medio es un valor más aceptable que en el caso de un solo volumen (0,638). Pero existen aún en el ciclo dos instantes en que el caudal instantáneo es nulo. Se ensaya ahora con tres volúmenes (bombas triples, Figura 7.30). Puede apreciarse la mayor regularidad alcanzada respecto la bomba dúplex. Au n así, exist en fluctuaciones de caud al y, ade más, las partidas y las paradas de la bomba pueden inducir presiones transientes fuertes. Por estas razones se

El caudal debitado por la bomba se expresa como: Q = A (-dX/dt) A: Área de referencia, igual al del pistón o émbolo. Derivando la ec. 7.16: HY *

1

 _  = V*=Q* = - s i n t * dt* 2

'

x

Xcost* 2

2

l-\ sin t*

(7.17)

Las curvas se muestran en la Figura 7.28. Se constata que si R/L no es muy inferior a la unidad, la curva caudal - tiempo, no es simétrica. Derivando la ec. 7.16 e investigando el máximo se encuentra, para  R/L = 1/4: Q* ma x = 1.031; t* para (Q* max = 1.14 ( ti/2)) Esto es, la diferencia con la unidad no es grande.

Figura 7.27 Itinerario adimensional de la biela

Caudal adimensional - bomba de simple efecto 1,2

1

¿

0,8

 h  0.6 0,4 0,2

0

//

//

/

-

o

V

* *

aspiració

¡mpulsiói '

\

i

V

V"

Figura 7.28 Caudal adimensional en función del tiempo para bomba de simple efecto

impulsión R/L=1/4 aspiración R/L = 1/4 impulsión R/L « 1 aspiración R/L « 1

Figura 7.29 Cauda l adimen siona l en fun ció n del tiem po para bomba de doble efecto

CAUDAL-TIEMPO. BOMBA TRIPLEX 1,2

1

0,8

 b

°-

Caudal instantáneo

6

Caudal medio = 0.954

0,4

0,2

0

Figura 7.30 Caudal adimensional en función del tiempo para bomba de triple efecto

adiciona un dispositivo amortiguador. Normalmente es un tanque con un "resorte gaseoso" (Figura 7.31). El gas puede ser aire, pero es mejor emplear nitrógeno, que es prác tica ment e inert e. El cálculo de estos tan ques amortiguadores es complejo y es materia del estudio de transientes rápidos o golpe de ariete (Wylie y Streeter, 1978, 1993).

Gas (Nitrogeno)

Liquido (Agua;

Figura 7.31 Dispositivo amortiguador