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CAPÍTULO 5 Esfuerzos en vigas (temas básicos)
Fórmula de la flexión Ahora que hemos ubicado el eje neutro y deducido la relación momento-curvatura podemos determinar los esfuerzos en términos del momento flexionante. Al sustituir la expresión para la curvatura (ecuación 5.12) en la expresión para el esfuerzo s x (ecuación 5.7), obtenemos M y s x
I
(5.13)
Esta ecuación, llamada fórmula de la flexión, indica que los esfuerzos son directamente proporcionales al momento flexionante M e e inversamente proporcionales al momento de inercia I de de la sección transversal. Además, los esfuerzos varían linealmente con la distancia y desde el eje neutro, como se señaló antes. Los esfuerzos calculados con la fórmula de la flexión se denominan esfuerzos de flexión o esfuerzos flexionales. Si el momento flexionante en la viga es positivo, los esfuerzos de flexión serán positivos (tensión) sobre la parte de la sección transversal donde y es negativa, negativ a, es decir, sobre la parte inferior de la viga. Los esfuerzos en la parte superior de la viga serán negativos (compresión). Si el momento flexionante es negativo, los esfuerzos se invertirán. Estas relaciones se muestran en la figura 5.11.
Esfuerzos máximos en una sección transversal Los esfuerzos flexionantes de tensión y de compresión máximos que actúan en cualquier sección transversal dada ocurren en los puntos más alejados del eje neutro. Denotemos con c1 y c2 las distancias desde el eje neutro hasta los elementos extremos en las direcciones y positiva y negativa, respectivamente (consulte las figuras 5.9b y 5.11). Entonces los esfuerzos normales máximos s1 y s2 (de la fórmula de la flexión) son
y y
Esfuerzos de compresión
Esfuerzos de tensión
s 1
Momento flexionante positivo M x
c1
FIGURA 5.11
Relaciones entre los signos de momento flexionante y las direcciones de los esfuerzos normales: (a) momento flexionante positivo positiv o y (b) momento flexionante negativo.
s
1
c1
x O
O c2
c2 s 2
M s
2
Esfuerzos de compresión
Esfuerzos de tensión (a)
Momento flexionante negativo
(b)
SECCIÓN 5.5 Esfuerzos normales en vigas (materiales linealmente elásticos)
s 1
M c1
M
I
S 1
s 2
M c2
M
I
S 2
365
(5.14a,b)
en donde
S 1
b — 2
I
S 2
c1
I c2
(5.15a,b)
Las cantidades S 1 y S 2 se conocen como módulos de sección del área de la sección transversal. De las ecuaciones (5.15a y b) observamos que cada módulo de sección tiene dimensiones de longitud a la tercera potencia (por ejemplo, in3 o mm3). Observe que las distancias c1 y c2 hasta la parte superior e inferior de la viga siempre se toman como cantidades positivas. La ventaja de expresar los esfuerzos máximos en términos de los módulos de sección parte del hecho de que cada módulo de sección combina las propiedades relevantes de la sección transversal de la viga en una sola cantidad. Luego esta cantidad se puede listar en tablas y manuales como una propiedad de la viga, lo que es muy conveniente para los diseñadores. (El diseño de vigas empleando módulos de sección se explica en la sección siguiente.)
y
Secciones doblemente simétricas z O
h
Si la sección transversal de una viga es simétrica con respecto al eje z así como al eje y (sección transversal doblemente simétrica), entonces c1 c2 c y los esfuerzos máximos de tensión y compresión son numéricamente iguales: =
=
h — 2 b
M c
(a)
y
s 1
s 2
M
I
M o
S
s máx
S
(5.16a,b)
en donde
S
z
I c
(5.17)
O
d
es el único módulo de sección para la sección transversal. Para una viga con sección transversal rectangular con ancho b y peralte h (figura 5.12a), el momento de inercia y el módulo de sección son
(b)
FIGURA 5.12
Secciones transversales doblemente simétricas.
3
I
bh
12
2
S
bh 6
(5.18a,b)
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CAPÍTULO 5 Esfuerzos en vigas (temas básicos) Para una sección transversal circular con diámetro d (figura 5.12b), estas propiedades son
I
4 p d
64
S
p d
32
3
(5.19a,b)
Las propiedades de otras secciones doblemente simé tricas, como tubos huecos (rectangulares o bien circulares) y perfiles con patines anchos, se pueden obtener fácilmente a partir de las fórmulas anteriores.
Propiedades de secciones transversales de vigas Los momentos de inercia de muchas figuras planas se listan en el apéndice D para tener una referencia conveniente. Además, las dimensiones y propiedades de tamaños estándar de vigas de acero y madera se listan en los apéndices E y F, y en muchos manuales de ingeniería, como se explica con más detalle en la sección siguiente. Para otros perfiles de sección transversal podemos determinar la ubicación del eje neutro, el momento de inercia y los módulos de sección mediante un cálculo directo, utilizando las técnicas que se describen en el capítulo 12. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 5.4.
Limitaciones El análisis presentado en esta sección es para flexión pura de vigas prismáticas compuestas de materiales homogéneos linealmente elásticos. Si una viga se somete a flexión no uniforme, las fuerzas cortantes producirán alabeo (o distorsión fuera del plano) de las secciones transversales. Por tanto, una sección transversal que era plana antes de la flexión ya no lo es después de experimentarla. El alabeo debido a deformaciones por cortante complica en gran medida el comportamiento de la viga. Sin embargo, investigaciones detalladas demuestran que los esfuerzos normales calculados c on la fórmula de la flexión no se alteran de manera significativa por la presencia de esfuerzos cortantes y del alabeo asociado (referencia 2.1, pp. 42 y 48). Por lo que podemos justificar el uso de la teoría de la flexión pura para calcular los esfuerzos normales en vigas sometidas a flexión no uniforme. * La fórmula de la flexión da resultados que sólo son exactos en regiones de la viga donde la distribución de esfuerzo no se interrumpe por cambios en la forma de la viga o por discontinuidades en la carga. Por ejemplo, la fórmula de la flexión no es aplicable cerca de los apoyos de una viga o cerca de una carga concentrada. Esas irregularidades producen esfuerzos localizados, o concentraciones de esfuerzos, que son mucho mayores que los obtenidos con la fórmula de la flexión (consulte la sección 5.13).
*
La teoría de vigas comenzó con Galileo Galilei (1564-1642), quien investigó el comportamiento de varios tipos de vigas. Su trabajo en mecánica de materiales está descrito en su famoso libro Dos nuevas ciencias, publicado por primera vez en 1638 (referencia 5.2). Si bien Galileo hizo muchos descubrimientos importantes con respecto a vigas, no obtuvo la distribución de esfuerzo que empleamos en la actualidad. Progresos posteriores en teoría de vigas los hicieron Mariotte, Jacob Bernoulli, Euler, Parent, Saint-Venant y otros (referencia 5.3).
