Fizika 1 Željko Stapić

mr. Zeljko Stapic

FIZIKA 1

Recenzenti: dr. Zoran Primorac prof. Pavle Yalentic

DOM STAMP£ ZENIC:A

" mr. Zeljko Stapic FIZIKA I

lzdavac:

PREDGOVOR

"Dom stampe" Zenica

Za izdavaca: Fuad Pjanic

Knjiga sa zbirkom zadataka radena je prema programu fizike za prvi razred gimnazije, a moze korisno posluziti ucenicima tehnickih i drugih srednjih skola, kao i studentima. Ova knjiga sadrzi sedam tematskih cjelina.

Recenzenti: dr. Zoran Primorac prof. Pavle VaJentic

Na pocetku svakog poglavlja dan je kratak teorijski pregled, a potom velik broj raznovrsnih zadataka u dvije razine:

Lektor:

0- opci zadaci, cijaje uloga uvesti ucenika u povezanost fizikalnog dogadaja sa zakonom.

prof. Nada Abramovic

T- tezi zadaci, namijenjeni ucenicima koji se vise zanimaju za fiziku.

Telrnicka priprema, graficki dizajn i naslovna strana: mr. Zeljko Stapic mr. Samir Lemes

Stampa: "Dom stampe" Zenica

1

l

Veci broj zadataka ima potpuna rjesenja, sto treba ukazati citatelju na metodiku izrade zadataka iz fizike. Svi ostali za4aci imaju krajnji rezultat. Oni su namijenjeni samostalnoj provjeri sposobnosti rjesavanja ovakvih zadataka, sto treba biti pokazatelj raspolaie li ucenik dovoljnim znanjem, iskustvom i odgovarajucom metodikom za njihovo rjesavanje. Zakoni i formule lakse se pamte ako se sto vise koriste, a to se najbolje postize izradom sto veceg broja zadataka.

Naklada: I 000 primjeraka

Uz vecinu zadataka nacrtana je slika koja je cesto presudna za rjesavanje zadatka. Svaki zadatak u fizici, ukoliko je moguce, treba predstaviti slikom.

~

CIP- Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo

I (

'

53(075.3) STAPI<:, Zeljko Fizika 1 I Zeljko Stapic. - Zenica : Dom stampe, 2005. - 208 str. : ilustr. ; 24 em ISBN 9958-42-132-1 COBISS.BH-10 14382342

Na osnovu Prijedloga misljenja Ministarstva obrazovanja i nauke Federacije Bosne i Hercegovine, broj 0515-2644/05 od 07.07.2005. godine i Misljenja Uprave za indirektno oporezivanje broj UO 19-07-05-562/05 od 19.07.2005. godine, ova knjiga spada u proizvode iz c1ana 13. stav I. tacka 13. Zakona o porezu na promet proizvoda i usluga, na ciji se promet ne p1aca porez na promet proizvoda.

U uvodnom dijelu dan je pregled dijela znanja elementarne matematike koja je neophodna za rjesavanje danih zadataka.

I

ll l J

j

1

lI \ i

l

Autor

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I .

1. UVOD

Matematicke dopune Jednostavni i slouni brojevi Broj koji je djeljiv samo s I i sa samim sobom zove se jednostavan broj. (2, 3, 5, 7, 11 , ... ). Brojevi koji osim jedinice i samog sebe imaju i drugih djelitelja zovu se slozeni brojevi. Svaki slozeni broj moze se prikazati u obliku proizvodajednostavnih brojeva. 315 = 3·150 Npr: 300 = 2 ·ISO = 2·2· 75 = 3·3·35 = 2·2·3·25 = 3·3·5·7 = 2·2·3·5·5 Skupovi Skup je osnovni pojam u matematici i ne definira se. N Z

Q I R C

Skup prirodnih brojeva Skup cijelih brojeva Skup racionalnih brojeva Skup iracionalnih brojeva Skup realnih brojeva Skup kompleksnih brojeva

Skup prirodnih brojeva N = {1,2,3,4, ...}. Prirodnih brojeva ima beskonacno mnogo. Skup sto ga cine prirodni brojevi i nula oznacavamo s No= {0,1,2,3,4, ...}. Skup cijelih brojeva Skup racionalnih brojeva

Z = {... - 2,-1,0,1,2,3, ...}

Q = {~;mE Z: n Z; n * 0} Racionalni broj je onaj broj

E

koji se moze napisati u obliku razlomka. Za razlomak !!..,b

b

=0

kaie se da nije definiranjer

dijeljenje s nulom nije moguce (nedefinirano). I racionalni brojevi Decimalni brojevi s beskonacno mnogo decimalnih mjesta koji se ne ponavljaju po nekom pravilu ne mogu se napisati u obliku razlomka. Takve brojeve zovemo iracionalni brojevi.

,.J3

= 1,'73205 ... ,e = 2,7182 ... ,7l" = 3,14 ... Npr. ..fi = 1,4142 ... Unija racionalnih i iracionalnih brojeva cini skup realnih brojeva R. Skup kompleksnih brojeva U skupu real nih brojeva nije moguce rijesiti jednadzbu oblika 2 2 x + 1 =0 , ~ x = -I. 2

Zato je uvedena imaginarnajedinica i ciji je kvadrat broj- 1, znaci i

= -1, paje i = ~.

.J=16

Npr . = i . .[16 = 4-i Kompleksan broj je zbroj realnog i imaginarnog broja z =a+ b·i, npr. z a- real an dio kompleksnog broja, b- imaginarni dio kompleksnog broja

=

2- 3-i

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZI KA I

Korjenovanje i potenciranje razlomljenim eksponentom:

Brojne sredine

I

A(xn)=

Aritmeticka sredina

XI

+x, +xl + .. ..x. n

Geometrijska sredina

G(xn) = ~x 1

Harmonijska sredina

n H(xn) = I I I -+-+ ... + XI

K(xn)=

Kvadratna sredina

·X2

Va.=a;;, x; ~ 0, (i

= I, 2, ... n)

.• _ . d d"b . RJesenJe ove Je na z e Je

K~A~G~H

Pravila racunanja Pri rjesavanju fizikalnih zadataka susrecemo se s numerickim racunanjima. Zato je korisno ponoviti pravila osnovnih matematickih operacija.

a

ax

b

b'

a

a x

a

b:x=t;:;·

-·X=-

a·y-b·x b·y a b a·y

a·y+b·x a x , --b·y b y

a x -+b y

a x

a·x

a·y

-;=t;;·

t;:-y=t;;·

t;•-y=~,

y Potencije Potenciranje cijelim brojemjest ponovljeno mnozenje: a= a 1, a· a= a2 , a· a· a= a3 , a"= a· a· a ... , Potenciranje negativnom potencijom: a -• = Ia -1 =-I

an

a

a

'

(n- puta)

I

-l _ _

-

a

J

Mnozenje potencija:

an . am = an+m,

-2 ---=-=a a 1 ·a-5 a 2

a-' ·a1 =as,

az·a1 =a2+7 =al),

Dijeljenje potencija:

a" s -=a ·a -4 =a '>+< ~> =a ·>-4 =a, a'

n

an: am = !!..._ = an-m am

I)

10

a w 2 10+2 12 -:,:=a ·a =a =a , a

Svaki broj (razlicit od nule) na nultu potencijujednakjejedinici: 0

x = I,

9° =I,

zo =I,

a' -

-4° =I,

Potenciranje potencije: (a" )m = a•·m, (as)' =aS·> = aw,

2

(~J

a" b" .

(a · b/

al-a-1- 0

(a-4) 7 =a 1-4 1·7 =a-'",

=

a

3

·

3

b

•

~=Va4b,

4¥=~

2-J+I

(a·'. b2/ =a·~· b8

=a"=l

(~Y

-b±..Jb' -4·a·c 2·a

.J94 = 9,695 "'9,7

Ako je cifra koja se odbacuje jednaka 5, a iza nje nema cifara, onda se vrsi zaokruzivanje na najblizi pami broj, tj. zadnju cifru koju ne odbacujemo ne mijenjamo ako je parna iii povecamo za jed an ako je neparna. Npr: 0,465 zaokruzimo na 0,46; a 0,475 zaokruzimo na 0,48.

(a-'r'=a'

,

x1.2=

Znacajne cifre pri racunanju- zaokruzivanje brojeva Kada u zadacima racunamo s mjernim podacima, tocnost rezultata mjerenja mora se ravnati prema broju znacajnih (pouzdanih) mjesta sto ih imaju podaci. Zaokruzivanje brojeva vr5i se u proracunima kod kojih se koriste priblizne vrijednosti, a takvi su svi rezultati mjerenja. Ako je pri zaokruzivanju prva od odbacenih cifara veca od 5, posljednja cifra koja se zadriava poveca se za I. Npr: 65,8374 "'65,84 Ako je prva od odbacenih cifara manja od 5, brojevi se zaokruzuju odbacivanjem cifara. Npr: 84,6324 "' 84,63 Pri sabiranju i oduzimanju brojeva treba u rezultatu zadriati onoliko cifara koliko ima broj sa najmanjim brojem cifara. Npr: I ,432 + 0,85 + I ,2 = 3,482 "' 3,5 Pri mnozenju i dijeljenju vrijedi isto pravilo. Npr: 2,52 · 0,6 = 1,512"' 1,5 Pri dizanju brojeva na kvadrat i kub potrebno je u rezultatu zadriati samo onoliko cifara koliko ima u osnovi. Npr: 4,67 2 = 21 ,8089 "' 21,8 Pri vadenju kvadratnog i kubnog korijena vrijedi isto pravilo. Npr:

-

Potenciranje umnoska i kvocijenta: (a· b)" = a"· b" .

5

Vcf =a3'

Nekoliko primjera: - brzina svjetlosti u vakuumu: c = 300000 km/s = 3 · I 05 km/s = 3 · I 08 m/s; - srednji polumjer Zemlje: R = 6370 km = 6,37 · 106 m; - normalni atmosferski tlak: p = I 01325 Pa = I ,013 · I 05 Pa; - promjer atoma: d = 0,000000000 I m = I o- 10 m; - naboj elektrona: e = 1,6 · 10" 19 C, itd.

(-a)·(+b) = (+a)-(-b) =-a· b

-a +a a +b =~=-t;·

+a -a a -=-=+-' +b -b b

m

Pisanje brojeva pomocu potencije broja 10 U fizici se cesto sluzimo vrlo velikim i vrlo malim brojevima, paje uobicajeno da se takvi brojevi pisu skraceno, pomocu potencije broja I 0. 10° =I 10°= I 5623 = 5,623. 103 I0- 1 =0,1 10 1 ~10 0,0045 = 45 · I 0-4 10"2 = 0,01 102 = 100 itd. 140000 = 14. 104

Xn

~x~+x~+ ... +x; ,

(+a) ·(+b)= (-a)·(-b) = +a·b,

I

=(am);; =a;,

Pri rjesavanju nekih zadataka iz fizike javljaju se i kvadratne jednadzbe tipa a·x 2 + b·x + c =0.

·x3 · ••• ·x. ,

X2

W

as

11



Razvoj fizike kroz povijest, cilj i podjela

Trigonometrija- pravokutni trokut

Fizika (grc. fysis [fizis] - priroda) prirodna je znanost o opeim svojstvima i gradi tvari i o osnovnim oblicima njezina gibanja, o mehanickim, gravitacijskim, elektromagnetnim, toplotnim, atomskim i drugim pojavama.

a

a, b- katete, c- hipotenuza, a+

.

cosa=-, c

cos a

2

=a 2 + b2

ctga=-, a

cos a clga = -.-.- , sma

sin a tga=--,

c

b

a tga =b '

b

a c

sma=-,

p = 90°,

Cilj tizike je prouciti, objasniti i opisati fizikalne pojave, tj. otkriti i upoznati uzroke i zakone po kojima se one dogadaju te pokazati kako se to saznanje moze prakticki iskoristiti. Zadatak je da se ustanove zakonitosti i pon~anja kako najmanjih sustava, kao sto su elementarne cestice, tako i najveceg sustava kao sto je cijeli svemir, sastavljen od skupova galaksija.

sina = cos/3

Pregled povijesti fizike

sin 2 a +cos 2 a = I

Trigonometrijska kruznica je kruznica sa centrom u koordinatnom pocetku poluprecnika r = I. ctg a

Kao samostalna prirodna znanost fizika se, na odredenom stupnju razvitka ljudskog drustva, pocela izdvajati iz opce filozotije prirode, donekle vee u doba anticke grcke znanosti. Poslije pocetnih koraka u ovom razdoblju, tijekom citavog srednjeg vijeka, nastupio je zastoj u njezinu razvitku. Tek sa renesansom i prirodne znanosti pocinju se sna:lnije razvijati i granati se, pa se pocetkom 17. stoljeea definitivno rada i nova fizika, klasicna fizika. Tijekom tri stoljeca ona ee se razvijati dosta brzim koracima, a krajem 19. stoljeca pocinje prerastati u suvremenu fiziku sa svojim novim, specificnim oblastima - elektronikom, atomistikom i nuklearnom fizikom.

u~ J'2~1ra~1._.

nlrad] 1

IV

Ill

3n/2lrad]

1 krug = 2Jt (rad) = 360°,

!' = 60"

1°= 60',

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih kutova rr/6

7t/4

rr/3

1t/2

1t

2rt/3

21t

oo

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sin a

0

-

I

-.fi

-

I

0

-I

0

cos a

I

0

-I

0

I

±ao

0

±ao

0

0

±ao

0

±ao

0 rad

tga ctga

4

0

±ao

2

..fj

-

2

..fj

-

..fj

-.fi 2

2 I 2

I

..fj

I

-

2

3

..fj

..fj 3

Fizika se od svog pocetka razvijala kao najsira znanost o prirodi. Onaje uvijek imala i vaznu ulogu u zivotu i radu ljudi uopce. Fizikaje teorijska osnova proizvodnje i niza tehnickih grana - od mehanike i strojarstva do suvremene prakticne elektronike i nuklearne tehnike. Fizika proucava osnovna svojstva tvari, njezine promjene i gibanja, te tako ima i veliku ulogu u formiranju znanstvenog pogleda na svijet. Zato je ona tijekom svoje povijesti hila i popriste borbe izmedu progresivne materijalisticke misli i raznih idealistickih tilozotija.

Fizika, tehnika i proizvodnja. Bez sumnje, otkrica i radovi velikih fizicara - znanstvenika utjecu na brzi iii sporiji razvoj fizike i znanstvene misli. lsto tako fizika, kao i svaka druga znanost, ima i svoje unutarnje snage razvoja. U antickoj znanosti radi potreba zemljoradnje, gradevinarstva i vojne tehnike dobile su odredenu samostalnost astronomija, geometrija i statika. Potrebe usavrsavanja parnog stroja diktirale su polovinom 19. stoljeca nagli razvoj znanosti o plinovima i razvoj kalorike. Na snafun razvoj dan~nje nuklearne fizike, raketne mehanike, elektronike, najvise utjecu prakticni ciljevi. Oni su, nafulost, danas prvenstveno vojne prirode. Fizika kao znanost i kao osnova tehnike danas se teorijski i prakticno razvija ne samo u univerzitetskim institutima i akademijama nego i u institutima pri velikim tvornicama i institutima za usavrsavanje vojne tehnike. Napredak raznih grana tehnike stalno je utjecao na razvoj fizikalne znanosti, stalno ga olaksavao i unapredivao. Tehnika je stvorila tizici nevjerojatno osjetljive instrumente i sna:lne strojeve. Elektronski mikroskopi, akceleratori, rakete, mikrouredaji, veoma cisti materijali, sve to danas stoji na raspolaganju fizicaru eksperimentatoru. Povezanost s drugim znanostima. Tijekom razvoja fizike vidi se njezina naju:la povezanost s astronomijom, matematikom, kemijom, a i s drugim prirodnim znanostima. Te znanosti su u pocetku i predstavljale samo komponente jedinstvene znanosti o prirodi- fizike. Tako se u vezi s potrebama astronomije vee u antickoj znanosti prvenstveno razvijala geometrijska optika. Potrebe kemije i astronomije diktirale su kasnije razvoj spektroskopije. Otkrice periodnog sustava elemenata, koje ima prvenstveno znacenje za kemiju, udarilo je koncem



19. stoljeca jasan putokaz razvoju suvremene atomske fizike. Potrebe medicine i kemije stimulirale su, u 18. i pocetkom 19. stoljeca, razvoj znanosti o elektricitetu. Prvo je i prouceno kemijsko djelovanje elektricne struje (Davy, Faraday). Cesto su se isti znanstvenici bavili raznim granama prirodnih znanosti, narocito u ranijim razdobljima. Arhimed, Pitagora, Heron, Euklid najveci su matematicari antickog svijeta, a istodobno su dali i osnovna fizicka znanja u tom razdoblju. Newton je za potrebe fizike stvorio novu metodu matematike infinitezimalni racun. Danasnja teorijska fizika napreduje i razvija se zapravo i kao jedna oblast primijenjene matematike. Fizika i filozofija. Fizika se rodila u krilu opce filozofije starih grckih znastvenika. Najufu povezanost njezinog razvoja s materijalistickom filozofijom osta1a je sve do danas. Filozofi Roger Bacon, Descartes, Lomonosov, Boskovic, te francuski enciklopedisti, mnogo su pridonijeli razvoju nove, klasicne fizike 17 - 19. stoljeca. ldealisticki pogledi Platona i Aristotela, iz antickog razdoblja, udarili su kasnije pecat zastoju znanstvene misli i utjecali na dominaciju skolasticke misli tijekom niza stoljeca, izmedu antickog perioda i radanja nove znanosti. S druge strane, dostignuca klasicne i suvremene fizike najsnainija su potpora i dokaz ispravnosti postavki i pogleda na svijet dijalektickog materijalizma. Teorije i hipoteze- unutarnje snage razvoja fizike. Postavljanje i izmjena vodecih teorija predstavlja glavni sadrfuj povijesti fizike. Pokrenuta vanjskim faktorima, svaka znanost dalje napreduje u odredenim oblastima snagom zakona vlastitog razvoja. Geometrijska optika se razvijala iz potreba usavrsavanja durbina i drugih optickih instrumenata. Proucavanje prostiranja i prelamanja svjetlosti dovelo je do postavljanja raznih teorija i hipoteza o prirodi svjetlosti, zatim do otkrica i proucavanja valnih pojava - difrakcije, interferencije i polarizacije svjetlosti, koje su u prvo vrijeme imale samo znanstveno znacenje. Borba izmedu pristalica korpuskulame teorije i pristalica valnih teorija svjetlosti u vrijeme Newtona, a i ranije, znatno je unaprijedila ne samo razvoj fizicke optike nego i znanstvene i filozofske misli uopce, jer kako kaze M. Planck, "lizika je uvijek hila oru:lje, i to mocno oruzje u borbi za pogled na svijet". Fizikalne teorije ne tumace samo razne pojave promatranja i pokusne cinjenice, nego uvijek sadrze elemente novih pogleda i hipoteze koje su stalno davale perspektivu daljem razvoju znanosti. Atomisticka hipoteza, kroz citavu povijest, bilaje ideja vodilja u razvoju znanosti o strukturi tvari. Newtonov zakon gravitacije i zakoni nebeske mehanike obja5njeni su na temelju hipoteze o opcoj privlacnoj sili medu tijelima i njihovim djelicima. Nove teorije cesto korigiraju, utkivaju stare teorije kao specijalne slucajeve. Fizika, kao i svaka znanost, nije se razvijala pravocrtno, nego u spiral nom, pa i u "cik-cak" hodu. Razdoblja u razvoju lizike Razdoblja povijesti fizike ne mogu se strogo razgraniciti, jer se ne moze uzeti kao presudan nijedan pojedinacan faktor: pojava velikih znanstvenika (povijesno) iii ekonomski periodi u razvoju drustva, a tesko je pratiti izdvojeno i razvoj pojedinih oblasti fizike, pa cak ni njezin cjelokupni razvoj odvojeno od dodirnih prirodnih znanosti - astronomije, matematike i kemije. Nekad je podesno pratiti, u nekim periodima, razvoj pojedinih oblasti preko radova i nazora najznacajnijih znanstvenika toga vremena. Kao glavne etape mogle bi se uzeti: I. Anticka znanost, 2. Srednjovjekovna znanost, 3. Nova- klasicna fizika, 4. Suvremena fizika.

j,

6

Anticka znanost U antickom periodu fizika je uglavnom, uklopljena u opcu filozofiju prirode. Znanost se razvijala iii samo na temelju promatranja pojava iii golog razmisljanja. Drfulo se da pokus, kao i svaki drugi fizicki rad, ponifuva slobodnog covjeka. Znanost je bila samo sredstvo za duhovni razvoj i nije imala znacajniju ulogu u praksi, u proizvodnji. Robovlasnickom drustvu nisu bili narocito potrebni pronalasci i savr5enija tehnika za olaksavanje ljudskog- robovskog rada. Tehnika se temeljila na jednostavnim, glomaznim mehanizmima: poluga, cekrk, vijak, strma ravnina. Fizika se u ovom periodu razvija povezano s astronomijom i matematikom. Glavni problemi fizike su statika cvrstih i tekucih tvari. Karakteristika ovog perioda je prikupljanje podataka o pojavama na temelju promatranja. Javljaju se osnovni naivno - materijalisticki pogledi na svijet, bazirani na atomistickim nazorima Leukipa i Demokrita. Astronomija je ucinila prve korake, a i geometrija je dostigla dosta visok stupanj razvoja. Ovdje se mogu uociti tri perioda : Pretpovijest anticke znanosti Jonska znanost A leksandrijska znanost Jonska i aleksandrijska znanost predstavljaju zapravo grcku anticku znanost. Njezin razvoj je trajao oko dvanaest stoljeca, a povijesno se zavr5ava negdje pocetkom 6. stoljeca, kada dolazi do prilicno izrazenog zastoja u razvitku znanstvene misli koji ce se produziti tijekom niza stoljeca. Grcka znanost- Jonski materijalizam Znanost je putem trgovackih veza stigla s lstoka u Grcku i na jonske otoke. Tijekom tri stoljeca ovdje su znanost i filozofska misao vise uznapredovale nego za tri tisuce godina u Babilonu i Egiptu. Znanost je i ovdje ipak sveobuhvatna te ima vise karakter opce filozofije prirode. Grcki filozofi su istovremeno i astronomi, matematicari, fizicari, pa i povjesnicari. Ovaj period povijesno se poklapa sa procvatom robovlasnickog drustva, kad se stvaraju gradovi-drfuve i kad dolazi do podjele rada i stvaranja drustvenih klasa. Kao srediste starogrcke kulture i znanosti u to doba istice se veliki trgovacki centar, grad Milet, koji ima svoje kolonije sirom sredozemlja. Znacajni znanstveni predstavnici iz tog perioda su: Tales (624-547) jedan od sedam mudraca stare Grcke, kao trgovac mnogo putuje i prenosi znanstveni duh iz Egipta i Babilona na novo tlo. Pored racunanja i geometrije njega zanima struktura svijeta kao cjeline. Tales uzima da je pratvar od koje je svijet sagraden voda, ali pri tome ima vise u vidu njezina svojstva, tj. da se pojavljuje u tri agregatna stanja. Tales je vee 585. g. prije Krista znao predvidjeti pomracenje Sunca, govorio o magnetiziranju zeljeza i 0 elektriziranju cilibara. Heraklit (544-474) je jedan od vodecih filozofa stare Grcke. Po njegovu ucenju temelj svega u prirodi je vatra, neka realna tvar. Od stanja razvitka "vatre" zavisi struktura i gibanje svijeta - "iz nje sve postaje i u nju se konacno sve vraca". Heraklitje prvi dijalekticar i u pogledu spoznaje svijeta. Covjek prima svijet preko cula, ali se istinski spoznaja stjece tek putem misljenja. "Misljenje je snaga, ono daje mogucnost da se pronikne u bit stvari".

7

mr. Zeljko Stapii::,FIZIKA I

Pitagora . (580-500) - paralelno s "Miletskom skolom" radila je u Crotonu Guina ltalija) "skola" koju je osnovao Pitagora. Pitagorejci su prilicno unaprijedili geometriju, a proucavali su i svjetlosne pojave. Vaino je napomenuti da su izvodili i neke oglede, narocito na podrucju akustike. Pitagorejci ne vide bit svijeta u njegovoj materijalnosti, za njih su sve stvari i pojave samo neka kombinacija brojeva i pravilnih geometrijskih oblika. Euklid (444-349) je napisao niz radova iz geometrije, astronornije i optike. Demokrit (460-370) iz Abdere, Leukipov ucenik, uvodijasno pojam atoma. Atomi (aternnein - ono sto se ne moze rasjeei) nepromjenljive su cestice koje se stalno gibaju u praznom prostoru, grupiraju se i oblikuju tijela. "Stvarni su samo atomi i prazan prostor" - ucili su ti filozofi. Leukip i Demokrit su napisali dosta spisa i djela, ali se ona nisu sacuvala, jer su ih protivnici njihova ucenja unistavali. Platon (427-347) je najeminentniji predstavnik idealistickih nazora u grckoj filozofiji. On uci da je svijet izgraden po savrsenoj bozanskoj zamisli. Nebeska tijela su loptasta, gibaju se po koncentricnim krugovima, a iznad svega je sfera bogova koji upravljaju svijetom. On odrice primarnost tvari, a kao temelj svega uzima ideje. Aristotel (384-322) je jedan od najznacajnijih filozofa antike. Stalno se koleba izmedu materijalizma i idealizma. Kad priznaje objektivnost prirode, vjecnost i neunistivost tvari i njezinog gibanja kao temelj svakog postojanja, promjena i spoznaje, onje materijalist. Medutim, kad karakterizira tvar uopee kao sadriaj prirode i stvari, odrice joj primarnost i realnost sve dok ona ne poprirni neki odredeni "urodeni oblik", ili kad trazi svrhovitost gibanja i kad ga potcinjava volji "nepokretnog pokretaca", duse svijeta, zapravo boga, on je na pozicijama idealizma. On nastoji skupiti sve grane dotadasnjih znanosti u jedinstven sustav znanosti, ali svuda na prvo mjesto istice filozofuu. Pored cetiri osnovna elementa zemaljskog svijeta - vatre, zraka, vode i zemlje, uvodi i peti element - eter, neku "nebesku savrseniju tvar", od koje je sagradeno nebo i zvijezde, po volji "prvog pokretaca". Promjene koje su nastupile poslije zauzimanja Grcke od strane Aleksandra Makedonskog dovele su do zastoja znanosti i kulture na tlu Grcke i do premjestanja centra znanosti u Aleksandriju, gdje su ucili i radili tadasnji poznati znanstvenici: Euklid, Arhimed, Apolonije, Aristrah, Heron, Ptolomej itd. To zariste znanosti ostat ee i kad Rimljani pokore Egipat, sve do pojave krseanstva. Aristrah (31 0-230) je prvi pokrenuo ideju o heliocentricnom sustavu. Sastavio je katalog od preko 1000 zvijezda i odredio im raspored. r~-

~·:,<.


Arhimed (287-212) je jedan od najveeih znanstvenika antickog perioda. Dao je obrazac za povrsinu i volumen lopte, kupe, piramide. Formulirao je zakon poluge i kotura, dao je pojam tezista, Ijesavao je prakticne probleme. Otkrio je, po njemu nazvani, "Arhimedov zakon". Pravio je i katapulte i druga oruZja za obranu rodnog grada Siracuse kad su ga Rimljani napali. Poslije prodora osvajaca pao je od maca rimskog vojnika. Heron je zivio u drugom i prvom stoljeeu p.n.e. Poznat je Heronov obrazac za izracunavanje povrsine trokuta, konstruirao je .vodeni smrk, rjesavao je prakticne probleme. Ptolomej (70-147) je osnivac geocentricnog sustava. U centar svemira stavio je Zemlju. Sunce, Mjesec i planeti gibaju se oko nje po krugovima. Njegovo ucenje je ostalo sve do Copernicusa, tj. oko 14 stoljeea. Vitruvius (50.g.p.n.e.- 20.g.n.e.) je poznati rimski arhitekt koji vee opisuje strojeve za dizanje tereta, vodene crpke, vjetrenjace i nastoji povezati znanstvena znanja sa prakticnim zadacima, sto je odraz nuinosti povezivanja znanosti i tehnike. Medutim, u to vrijeme vee nastupa zastoj u razvitku znanosti i tehnike, prouzrokovan ustancima robova i napadima barbarskih osvajaca, sto dovodi do sloma Rimskoga Carstva. Opci zakljucak antickog perioda Procvatom grckih gradova razvila se i anticka grcka filozofua i jedinstvena prirodna znanost, bazirana na neposrednom promatranju, bez izvodenja eksperimenata. Trazila se jedinstvena slika svijeta, a rnnogi su filozofi imali materijalisticke poglede na prirodu. Euklid i Arhimed vee donekle uvode znanstvenu i pokusnu metodu. Javljaju se prvi poceci pojedinih znanstvenih oblasti: astronomija, matematika, statika, hidrostatika, a daju se i prvi temelji geometrijske optike. Naglasava se potreba povezivanja teorij e i prakse. U ovom periodu javljaju se i prvi sukobi izmedu pristalica materijalisticke i idealisticke filozofije. Srednjovjekovna znanost U ovoj etapi mogu se uociti dva perioda: Arapska znanost Skolasticka znanost Arapska znanost. Grcku anticku znanost prihvatili su, a donekle i obogatili novim znanstvenim dostignueima, Arapi. Paralelno s osvajanjem raznih zemalja, pri stvaranju velikog arapskog carstva, Arapi su primali indijsku, perzijsku i grcku znanost. Od Indijaca su primili danasnje brojke, koje se zovu arapske brojke, i dalje razradili sustav brojanja, te tako razvili algebru, a donekle i trigonometriju. Znatno su usavrsili mjernu tehniku (usavr5avanje vaga) i nasli metode za mjerenje specificnih tdina.

~~-·

ftE 1

fiL

9



Skolasticki period i poceci europske manosti. Lagani razvoj europske znanosti pocinje u 12. i pocetkom 13. stoljeca. U feudalnom europskom dru5tvu u pocetku je pismenost i "manost" jedino podrZavala Crkva, jer je svecenstvo bilo gotovo jedini obrazovani sloj druStva. Prema tome, sve manosti i filozofija morale su se uskladivati s ucenjem Crkve, a bilo je zabranjeno izucavanje djela starih naprednih filozofa. Znanost je stagnirala iii se razvijala samo donekle, u vidu alkernije, astrologije, magije.

Drugi veliki mislilac, znanstvenik i umjetnik iz vremena talijanske renesanse, Leonardo da Vinci ( 1452-1519), svoj im ucenjem dalje oslobada znanost od teolosko - skolastickih pogleda, kritizirajuei skolastiku narocito zbog bje:Zanja od prakse.

U meduvremenu, iz zanatskih kolonija, pocinju se vee u 12. sto1jeeu razvijati gradovi u kojima se javljaju razni zanati i trgovine. Slozeniji uvjeti zivota u gradovima, u kojima se javlja i novi sloj druStva - gradska bur:loazija, diktirali su potrebu za skolovanim i obrazovanijim ljudima. Tako se pojavljuju i gradske skole, a ubrzo i prvi zaceci univerziteta. Prvi univerzitet je, izgleda, bio u Bologni, koncem 12. stoljeea, zatim u Parizu. Krajem 14. stoljeea u Europi je bilo vee nekoliko desetaka univerziteta. Razumije se, u njima su se prvenstveno njegovale teoloske discipline i skolasticka filozofija. Tek kasnije pojavit ce se i prve klice naprednije znanstvene misli i metode. Medu prvim naprednijim misliocima bio je Roger Bacon, zagovomik pokusne metode ispitivanja prirodnih pojava. Njegovi pogledi su imali velik utjecaj na dalji razvoj znanosti. Preko trgovackih veza s lstokom i putem vojnih pohoda Europljani su jos vise dosli u posjed antickih znanstvenih i filozofskih djela. Koji su onda Cimbenici utjecali na razvoj prirodne znanosti u tom periodu? Svakako su to prvenstveno: - prikupljanje znanja koja su neposredno proizlazila iz prakse- proizvodnje, naslijede stare znanosti - anticke i arapske, klice materijalisticke misli. U 13. stoljeeu tehnika vee posti:Ze znacajnije uspjehe. Sna:Zno se razvija arhitektura, narocito u talijanskim gradovima, zatim rudarstvo i tekstilna industrija. lzrada satova takoder je va:Zna grana proizvodnje. Sve je to nu:Zno iziskivalo proueavanje i konstruiranje slozenijih strojevadizalica, crpki, prenosivih mehanizama. Razvija se i staklarstvo, izrada ogledala i leea za naocale. U 13. stoljeeu pojavljuje se u Europi i papir, au 15. stoljecu vee i tiskara. To znatno doprinosi moguenosti sirenja znanstvene misli. · Znanstvenost postaje svjetovna, dostupna sirim krugovima. Prvo se tiskaju crkvene knjige," a 1469. i prvo znanstveno djelo- Pliniusova "Povijest prirode". Zatim se tiskaju prijevodi na latinski jezik antickih filozofa- Aristotela, Ptolomeja, Euklida. Prvi od znacajnijih europskih filozofa, koji je doprinio razvoju prirodno - znanstvene misli, bio je Roger Bacon (1214-1294). · Medu prvim zasluznijim znanstvenicima ovog perioda moze se uzeti Nicolas Cusanski (1401-1464), koji, iako je bio kardinal, svojim filozofskim i prirodno - znanstvenim radovima ustaje protiv skolastike. On dr:Zi da Zemlja nije nepomicni ceqtar svemira, koji i ne moze imati centar jer je beskonacan, nego da se i ona giba, makar to i ne mozemo zapaziti, zbog relativnosti gibanja. Kao i Bacon, Cusanski se zalaze za pokusno ispitivanje pojava. Sam pise djelo "0 postavljanju ogleda", daje metode za odredivanje specificnih te:Zina i dr.

10

Ve1iki i napredni mislilac toga perioda Giordano Bruno (1550-1600) znatno je revolucionamiji od svojih prethodnika. Prosirio je vidike astronornskoj znanosti, "izvodeei je" k zvijezdama, izvan granica Sunceva sustava.

Nova- klasicna fiZika Formiranje fiZike kao zasebne znanosti Bitnu ulogu za razvoj znanosti u pocetku ovog perioda imale su nove proizvodne snage i drustveni odnosi u kapitalizmu koji se postupno poceo razvijati poslije pobjeda bur:Zoaskih revolucija, narocito u Engleskoj u 17. stoljecu. Na razvijenijoj tehnici pocela se jos u 16. stoljeeu sna:Znije razvijati manufakturna proizvodnja, koja ce tijekom vise od dva stoljeea biti temelj proizvodnje. U to vrijeme dolaze i novi filozofski pogledi i oslobadanje znanosti od pogleda skolastike, te izvjesno sustavnije izdvajanje iz opee filozofije. Svi ti faktori imali su znatan utjecaj na razvoj prirodnih znanosti. Razvoj manufaktume proizvodnje trazio je savrsenije alate i primjenu slozenijih strojeva i pogonskih motora u rudarstvu, u metalurgiji i obradi metala. Prvi motori - vodenicka kola upotrebljavaju se u razne svrhe: za pogon crpki u rudnicima, za drobljenje ruda, za pogon mjehova pri peeima za topljenje zeljeza, te raznih cekiea i busilica. U 17. stoljeeu neobicno se prosirio i sadr:Zaj fizike. Ranijim granama- statici i hidrostatici sada pridolazi i dinamika, koja ee krajem 17. stoljeea dovesti do stvaranja sustava nove klasicne fizike, a narocito mehanike. Pored dinarnike prilicno se razvija i optika, zatim statika tekueine i goriva. Tada je fizika dobila novi kvalitativni skok, kako u pogledu izvjesnog osamostaljivanja kao posebna znanost, tako i u pogledu uvodenja novih metoda istrazivanja. Svestrano obrazovan filozof Francis Bacon (1561-1626), nastavlja s kritikom skolastike "koja je plodna u klicama, ali neplodna u djelima". Smatra da znanost treba sluziti praksi, a filozofija je treba tako usmjeravati.

II


Drukcije prilazi ispitivanju prirode osnivac francuske materijalisticke filozofUe Rene Descartes (1596-1650) i njegovi sljedbenici kartezijanci. Oni prvo traze najosnovnije principe mehanike svijeta koji mogu obuhvatiti prirodu i svijet u cjelini, a preko njih treba obja8njavati pojedinacne pojave. Galileo Galilei (1564-1642). Uz Newtona, Galilei je osnivac dinamike, a time i citave klasicne fizike. On nastavlja borbu protiv starih pogleda na svijet. S njim znastvena revo1ucija dostize kulminaciju, a pokusna metoda postaje najvafuija metoda u prirodnoj znanosti. Galilei u cjelini odbacuje antiznanstvene predodzbe o Svemiru, tvari i njenom gibanju. Daje nove pojmove i zakone o gibanju tijela, u vidu osnovnih principa dinamike, koje ce kasnije formulirati Newton. S Galileiom zapocinje period u kome se fizika formirala kao samostalna znanost.

mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

je proucavao i pojave sudara tijela, te je tako dosao do veoma vafuih zakljucaka o konzerviranju impulsa i energije tijela i o nemogucnosti "perpetuum mobile". Mnogo su ga zanimale i pojave centralnog gibanja tijela, kao i pojave valnog gibanja. Poznato je njegovo objasnjenje prostiranja, refleksije i prelamanja valnog gibanja. U filozofiji Huygens je bio pristalica Descartesovih pogleda. Isaac Newton (1643-1727), univerzalni znanstveni duh, bez sunmje je jedan od najvecih umova ljudskog roda. Newton je odigrao najznacajniju ulogu u oblikovanju fizike kao samostalne znanosti, dao joj perspektivu i program razvoja za dvije stotinc godina. Pored fizike, astronomije i matematike, zanimao se filozofijom, a i politikom (bio je clan parlamenta). Prve pojave koje su privukle pa:lnju ovog znanstvenika bile su svjetlosne pojave. Proucava disperziju svjetlosti kroz prizmu, a I 67 I. g. konstruirao je teleskop. Zbog tih i drugih radova vee te godine postaje clan Kraljevskog znanstvenog drustva u Londonu. Najvafuije Newtonovo djelo je "Matcmaticki principi filozofije prirodc", koje je iza8lo I687. godine. Tu je Newton nastojao iznijeti sliku svijeta koji se vlada po zakonima mehanike, od kojih je najuniverzalniji zakon opceg privlacenja zakon gravitacijc. Do tog zakona je, kako sam kaze, dosaojos 1666. godine primjenjujuci treci Keplerov zakon na gibanje Mjeseca. Tek nakon dvadeset godina izvrsio je ponovo tocnija mjerenja rastojanja Mjesec - Zemlja, obavio tocnije proracune i objavio otkrice zakona gravitacije. Olaf Romer - prvi odreduje brzinu svjctlosti I 676. g. prateci gibanje jednog Jupiterovog mjeseca. Time je konacno srusen dotada8nji nazor znanstvenika da se svjetlost siri momentalno, kako su smatrali Descartes, Kepler, Galilei i dr.

U ovom periodu postignuti su veoma znacajni uspjesi i u astronomiji. Copernicusovo ucenje sjajno je potvrdio i pojednostavio poznati astronom Johanes Kepler (1571-1630). U svom djelu "Nova astronomija" (1609) iznio je svoje poznate zakone, koje je utvrdio promatranjem gibanja planeta Marsa. Stevin, nizozemski znanstvenik (1548-1620), dao je zakon o parale1ogramu sila, postavio je princip "virtualnih pomaka" (ono sto dobivamo na pomaku, na putu, gubimo na sili). TumaCi i odreduje velicinu hidrostatickog tlaka, te dokazuje da se malim kolicinama tekucine mogu postici velike sile tlaka. Na tom temelju i na zakonu o prenosenju tlaka kroz tekuCine Blaise Pascal ( 1623-1662) ce dati princip hidraulicne prese.

t ~~;

~?,;

~,1.·

1

Razvoju mehanike u I 7. stoljecu mnogo je pridonio svojim radovima poznati nizozemski znanstvenik Christian Huygens (1629-1695). Rjesavajuci problem izrade preciznijih i tocnijih satova s njihalom, iscrpno je razradio teoriju matematickog i fizickog njihala. Mnogo

Znanstvenike je stalno zanimala priroda svjetlosti - jesu li to neke cestice ili valovi. Newton je smatrao da je svjetlost korpuskulame (cesticne) prirode. Huygens je dao prvu valnu teoriju svjetlosti. Robert Boyle (1627-1691), otac je nove pokusne kemije. Zajedno s Hookcom dolazi do poznatog zakona o vezi promjene tlaka i volumena, koji ce petnaest godina kasnije otkriti i Mariot. Galilejev ucenik Torricclli (l608-I647) izveo je svoj poznati ogled kojim je dokazao postojanje i izmjcrio vclicinu atmosferskog tiaka, na temelju cega se doslo do pronalaska barometra. Ruder Bosko vic (I 711-1787), Dubrovcanin, ucio je i radio u Rimu, Parizu, Londonu, Milanu. lstakao se kao filozof, astronom, geodet, pjesnik; diplomat. Najvaznije mu je djelo "Tcorija prirodnc filozofijc svedena samo na jedan zakon sila koje postoje u prirodi". To djelo je tiskano u Becu 1758. godine. U njemu Boskovic iznosi opce poglede na prirodu, na svijet, na atome i sile koje vladaju medu tijelima i atomima.

;'

t

j~'

13

12

mr. Zeljko Stapii:: FIZIKA I

Mihail Lomonosov (1711-1765). Uz matematicara Eulera on je prvi znanstvenik koji ukljucuje rusku znanost u europsku. On daje molekularno-kineticku predodzu o strukturi tvari i o prirodi topline. lma jasnu predodZbu o apsolutnoj nuli: "Ako gibanje cestica prestane, to bi bio posljednji stupanj hladnoce". Poznati su znanstvenici iz obitelji Bernoulli (Daniel, Jacob, Johan) koji su obradivali pitanja iz prakticne primjene fizike. Znacajne priloge ra..7Vitku mehanike dali su francuski znastvenici D'Aiambert (1717-1783) i Lagrange (1736-1813) svodeci rjesavanje mehanickih problema na rjesavanje diferencijalnih jednadZbi. William Herschel (1738-1822) otkriva planetu Uran. Usavrsio je astronomski durbin. lspitivao je galaksije i dvojne zvijezde i ukazuje na potrebu ispitivanja njihove prirode i temperature uz primjenu spektralne analize. Prvi prakticni termometar napravio je pocetkom 18. stoljeca Fahrenheit. Kasnije (1742) dolazi i Celsiusov termometar. Gay Lussac (1778-1850) i John Dalton (1766-1844) proucavali su toplinsko sirenje plinova. Sada se stvara potpuna molekularno-kineticka teorija plinova, koju je razradivao niz znanstvenika: Avogadro, Clausius, van der Waals, Maxwell, Boltzmann. James Watt (1736-1819) konacno daje (1784) parnom stroju sve bitne elemente (patentiran je vee 1769. g.).

mr. Zcljko Stapic:: FIZIKA I

Alessandro Volta (1745-1827) je objasnio djelovanje elektricne struje koja se javlja zbog napona izmedu metala i rastvora. Pronasao je prvi izvor struje, sastavljen od bakra, cinka i rastvora sumpome kiseline. Charles Coulomb (1736-1806) je dao zakon o velicini sile kojom uzajamno djeluju naelektrizirana tijela.

'"-

~(+ -·~1

1\ ~~~

!::_ ck~~

Andre Marie Ampere ( 1775-1836) daje doprinos na podrucju elektromagnetizma. Georg Simon Ohm (1787-1854) daje osnovni zakon elektricne struje (1826.g.). Michael Faraday (1791-1867) je otkrio zakone elektromagnetne indukcije ( 1831 ), cime je dao teorijski temelj za generatore elektricne struje. S Faradayem nastupa prijelom u klasicnoj fizici i uopce u materijalistickoj filozofiji prirode. Otkrice povezanosti elektriciteta i magnetizma, otkrice zakona o konzerviranju i pretvaranju energije itd. trazili su potrebu odbacivanja izo1iranog promatranja stvari i prirodnih pojava - sve je u prirodi povezano. Faradayevu teoriju polja da1je je razvio i matematicki obradio Maxwell. Maxwellovu teoriju potvrdio je Hertz (1857-1894) kada je svojim e1ektricnim osci1atorima (1887.g.) izveo pokuse kojima je dokazao postojanje i prirodu e1ektricnih va1ova. Na teoriji Faradaya i Maxwella i na prakticnim radovima Hertza, Tesle i drugih razvila se radiotehnika. Thomas Alva Edison (1847-1931) je prvi otkrio sijalicu s ug1jenom niti (1879.g.).

Sadi Carnot ( 1796-1832), jedan je od osnivaca termodinamike. lzveo je zakljucak o maksimalnom koeficijentu korisnog djelovanja toplinskog motora. James Joule (1818-1889) odredio je pomocu kalorimetra mehanicki ekvivalent topline, kao i elektricni ekvivalent toplinske energije. Joule i Lenz su dali doprinos iz podrucja toplinskog djelovanje elektricne struje. Za razvoj znanosti o toplini zasluini su Thomson i lord Kelvin, koji je uvea pojam "energija" umjesto pojma "ziva sila", kako su ranije nazivali kineticku energiju. Kelvin je uveo termodinamicku skalu i dao pojam apsolutne nule.

Nikola Tesla (1865-1943) je dao · ·· · doprinos u primjeni generatora po1ifaznog sustava struja i indukcijskih motora, cime zapocinje druga industrijska revolucija, kada parni stroj sve vise potiskuje e1ektricni motor. Pokusima koje je izvodio 1891. g. svojim visokofrekventnim strujama zadivio je znanstvenike, jer su struje koje je tako dobio imale dotle nepoznato djelovanje. 1893. g. daje plan bdicnog prijenosa elektricne energije.

Luigi Galvani (1738-1798), otkrio je pojave bioloskog elektriciteta.

14

15


mr. Zcljko Staple: F!Z!KA I

Suvremena fizika Oko dvije stotine godina stvarao se jedan znanstveni mehanicki pogled na svijet i na prirodne pojave koji je bio zasnovan na zakonima klasicne mehanike i elektrodinamike. Medutim, otkrice elektrona, fotoelektricnog efekta, rendgenskih zraka, radioaktivnosti, zatim potrebe obja5njavanja pojava zracenja tijela, linijskih spektara, svjetlosnog tlaka i drugih pojava primorat ce znastvenike da pronalaze nove teorije i hipoteze o strukturi i prirodi tvari, da traie tajnu u njenim najsitnijim djelicima. Na temelju rezultata mjerenja brzine svjetlosti u mimim i pokretnim sustavima, Michaelson i Morely dosli su 1887. g. do zakljucka o konstantnosti brzine svjetlosti, a to se nije ocekivalo prema zakonima klasicne fizike. Sve ove cinjenice nuzno su trazile korigiranje izvjesnih osnovnih postavki klasicne fizike u prostoru, vremenu, masi i energiji. Trebalo je traziti nove hipoteze i modele, revolucioname i smjele po zamisli. Dvije su osnovne teorije dale revolucionaran doprinos razvitku fizike. To su Einsteinova teorija relativnosti i Planckova hipoteza kvanta. /

£/

Albert Einstein (1879-1955) je postavio specijalnu teoriju relativnosti (1905. g.), iz koje slijedi niz izvoda i zakljucaka, stranih klasicnoj fizici kao sto su- princip konstantnosti brzine svjetlosti bez obzira na gibanje izvora svjetlosti i promatraca, promjena mase tijela u vezi sa brzinom gibanja, prosirio je svoju teoriju opcom teorijom relativnosti, koja daje vezu izmedu sile gravitacije i sila u ubrzanim sustavima gibanja.

Max Planck (1858-1947) je dao teoriju koja je uvela revolucioname postavke o diskontinuiranosti energije- kvantne energije. Katodne zrake su otkrivene 1869. g. a uskoro je bila dokazana i njihova priroda. Znalo se da su sastavljene od elementamih negativnih cestica, odreden je naboj, masa i brzina tih cestica. Prirodu elektrona mnogo je ispitivao i Lorentz (1853-1928), koji drzi da je masa elektrona elektromagnetne prirode i daje zavisna od brzine gibanja elektrona.

Bohrova teorija nije mogla sama potpuno objasniti slozenije pojave unutar svijeta atoma, uzajarnno djelovanje i pretvaranje ® Pro1on elementamih cestica tvari. Trebalo je dati 0 Neu1ron nove teorije vodeci racuna o velikom 0 Elek!ron broju i velikim brzinama elementamih cestica i njihovom uzajamnom djelovanju, s jedne strane, te malim masama i malim dimenzijama, s druge strane. Tako su se razvile grane atomske fizike - valna mehanika i relativisticka kvantna mehanika, koje su zasnovali i razradili Louis de Broglie, Verner Heisenberg, Envin Schredinger i Paul Durac izrnedu 1924 i 1930. godine.

0

To su cisto teorijske discipline, ali se pretpostavke dobro slaiu s pokusnim cinjenicama. Veoma brzo nakon otkrica nukleame fisije dos1i su nukleami reaktori, atomske bombe, proizvodnja izotopa. Pored atomske i nuklearne fizike, razvijaju se i druge oblasti suvremene fizike- elektronika, fizika cvrstog stanja, a posebno fizika poluvodica, koja je dala tranzistore i omogucila automatizaciju i mikrotehniku. S druge strane, razvija se i klasicna fizika u svojoj novoj primjeni. Umjetni sateliti i kozmicki brodovi snaian su dokaz razvitka fizike i njene primjene. Dana 20. 7.1969. stupio je prvi covjek na tlo Mjeseca. Snazno se razvija i astrofizika, zahvaljujuci gigantskim radioteleskopima. Fizika, koja se pocela razvijati od anticke filozofije kao neka opca prirodna znanost, obuhvacajuci i atome i zvijezde, i danas, kao suvremena znanost, dalje krci putove kroz nepoznato kako u okvirima makrokozmosa tako i u mikrosvijetu. Ona pri tome i dalje ostaje kao najsigumija podloga znanstvene filozofije u stvaranju pravilne slike o svijetu i tva rima. Elementame cestice do sada su najjednostavniji sustavi cije ponasanje opisuju provjerene fizikalne teorije, kao teorija relativnosti i kvantna teorija. Kako jednadZbe kojima se opisuju elementame cestice uvijek imaju dva rjesenja suprotnih predznaka, tako se svakoj cestici moze pridruZiti "anticestica", tj. cestica suprotnog naboja. Na temelju promatranja, eksperimenata (experimentum, lat. pokus, ogled) i mjerenja otkrivaju se ftzikalni zakoni i izvode zakljucci. Zakoni do kojih se dolazi najbolje se mogu izraziti matematickim formulama.

Rontgen ( 1845-1932) otkriva ( 1895. g. X- zrake) rendgenske zrake.

Fizika se moze podijeliti prema slozenosti oblika gibanja na slijedece oblasti: mehanika, znanost o toplini, elektromagnetizam, optika, atomska i nuklearna fizika.

Becquerel ( 1852-1908) otkriva pojavu radioaktivnosti, Cime je konacno dokazano da je atom slozena tvorevina.

U razvoju fizike koriste se dvije metode: pokusna i teorijska.

Prvi prihvatljiviji model atoma dao je 1911. g. Rutherford.

Pokusna fizika do zakljucaka dolazi na temelju iskustva i sva istrazivanja temelji na pokusu i mjerenju.

Taj model jos vise prilagodava stvamosti Niels Bohr (1885-1962), 1913. g. Bohr je uz zakone klasicne mehanike primijenio i teoriju kvanta, te je tako zasnovao novu kvantnu mchaniku.

16

17



Teorijska se fizika oslanja na teoriju i matematicke izvode koji povezuju fizikalne zakone. Moze se reci da je matematika najdjelotvomiji jezik fizike. Teorijske zakone potrebno je i pokusno potvrditi da bi se prihvatili kao prirodni zakoni. Pokus predstavlja nacin izvodenja pojave u kontroliranim uvjetima, prilagodenim tako da se odrede veliCine koje utjecu na tijek pojave i ustanove njihove medusobne veze. Znaci, potrebna je aparatura pomocu koje se mogu mjeriti vrijednosti pojedinih velicina. Prema pristupu i stupnju razvoja, fizika se takoder moze podijeliti na klasicnu i suvremenu. Klasicna fizika proucava pojave iz makrosvijeta. Ove pojave mogu se vidjeti i mjeriti. Zakoni klasicne fizike vrijede za sustave koji se gibaju brzinama rnnogo manjim od brzine svjetlosti. Klasicna fizika nije mogla odgovoriti na sva pitanja iz mikrosvijeta, te se krajem 19. stoljeca razvijala suvremena fizika s posebnim disciplinama relativisticke i kvantne mehanike. Suvremena znanost smatra da se tvar javlja u dva osnovna oblika: supstancija (tvar) i fizikalno polje. Supstancija je oblik tvari koji se opa:la neposredno putem cula. Fizikalno polje se utvrduje posrednim putem, pomocu odgovarajuce aparature. Tvar se razvija i mijenja, prelazi iz jednog oblika u drugi, ali se pri tom ne moze unistiti. Gibanja tvari mogu se svrstati u razne grupe, prema razlicitim pravilima, npr: mehanicko, termicko, elektromagnetsko, kemijsko, organsko, subatomsko, nukleamo, gibanje informacija putem misli itd. Smatra se da postoje cetiri tipa medudjelovanja: gravitacijska (odgovoma za privlacenje nebeskih tijela), elektromagnetna (odgovoma za elektricne pojave, pojave u optici i kemiji), nukleama jaka (odgovoma za privlacenje u jezgri) i nukleama slaba (javljaju se pri radioaktivnim raspadima). Sva ova medudjelovanja proizlaze iz procesa izmjene nekih cestica za koje se moze reci da su "prijenosnici" sile. Teznja fizike je da se dode do ujedinjenja ovih interakcija. Danas se ponovo pokazuje potreba za ujedinjavanjem fizike i drugih znastvenih disciplina koje proucavaju prirodu ujedinstvenu znanost o prirodi.

.

!··· i

i:-·

~.! -

. !~:;;'

~Jii: m·.~i

18

Fizikalne velicine i mjerne jedinice Sve pojave u fizici predstavljaju se odredenim fizikalnim veliCinama. Velicine predstavljaju kvalitativne i kvantitativne karakteristike pojava, tvari iii procesa. Ako one odreduju ftzikalna svojstva tvari, njihove uzroke i stanja tvari koja u pojavi sudjeluje, tada se nazivaju fizikalne velicine. Fizikalna velicina se predstavlja brojnom vrijednoscu i jedinicom. Jedinica fizikalne velicine je tocno odredena kolicina te veliCine i ona predstavlja mjeru za njezino kvantitativno prikazivanje. Brojna vrijednost pokazuje koliko usvojenih jedinica sadr:li velicina. Fizikalne velicine medusobno su povezane relacijama koje izra:lavaju zavisnost izmedu njih, a koje se nazivaju velicinske jednad:lbe. Velicine za koje se usvajaju jedinice nazivaju se osnovne velicine, a velicine cije se jedinice izvode pomocu osnovnih zovu se izvedene velicine. Za osnovne velicine odabrane su velicine koje su medlisobno nezavisne i koje su zaista najpogodnije temeljne velicine u danoj oblasti fizike. Godine 1960. usvojen je Medunarodni sustav mjemih jedinica, koji se zove skraceno SI sustav (Sisteme International d'Unites). Medunarodni sustav mjemih jedinica (SI) sastoji se od osnovnih, izvedenih i dopunskih jedinica. licine i ied' · 0 Velicina duliina mas a vrijeme jakost elektricne struje termodinamicka temperatura svjetlosna jakost kolicina tvari (riJilo_zjna) --------

Oznaka I m t I T I,. n

Jedinica metar kilogram sekunda amper kelvin kandela mol

Oznaka m kg s A K cd mol

Definicije osnovnih jedinica SI Duljina: Metar je duljina puta koji prijede svjetlost u vakuumu za vrijeme jednog 299.792.458-og dijela sekunde. Masa: Kilogram je masa medunarodne pramjere kilograma (iz 1889 godine - prva generalna konferencija za tezine i mjere). Medunarodna pramjera (etalon) pohranjena je Medunarodnom institutu u Sevreu, pored Pariza. To je tijelo od legure platine i iridija u obliku valjka ciji precnik i visina iznose po 39 mm na temperaturi 0°C. Vrijeme: Sekunda je trajanje od 9.192.631.770 perioda zracenja koje odgovara prijelazu izmedu dva hiperfina nivoa osnovnog stanja atoma cezija 133. Jacina elektricne struje: Amper je jaCina stalne elektricne struje koja, kada se odr:lava u dva ravna paralelna vodica, neogranicene duljine i zanemarivog presjeka koji se nalaze u vakuumu medusobno razmaknuti jedan metar, proizvodi u tim vodicima silu od 2-10- 7 newtona po metru njihove duljine. Termodinamicka temperatura: Kelvin je termodinamicka temperatura koja je jednaka 11273,16 termodinamicke temperature trojne tocke vode. Jacina svjetlosti: Kandela je jacina svjetlosti u odredenom smjeru izvora koji odasilje monokromatsko zracenje frekvencije 540·10 12 hertza i cija je snaga u tom smjeru 11683 watta po stcradianu.

19

mr. Zeljko St~pic: FIZIKA I


Kolicina tvari: Mol je koliCina tvari sustava koji sadrzi onoliko elementamih cestica koliko ima atoma u 0,012 kilograma ugljika 12.

Skalarne i vektorske velicine u fizici Fizicke veliCine po svojim karakteristikama mogu biti skalame, vektorske i tenzorske.

-- -------

licine · · ---- i- ied -------Oznaka

~---

Velicina kut u ravni prostorni kut

a OJ

Jedinica radijan steradijan

Oznaka rad sr

Skalarne velicine su one fizicke velicine koje su potpuno odredene brojnom vrijednoscu (i odgovarajucom jedinicom).

- Kut u ravni Radijanje kut izmedu dva polumjera, koji na krugu isijecaju luk duljine jednake polumjeru. - Prostorni kut Steradijan je kut stosca s vrhom u sredistu kugle, koji na povrsini kugle omeduje povrsinu cija je velicina jednaka kvadratu odredenog polumjera kugle. .. ,

.... ._,.. ....

Vektor se predstavlja kao orijentirana duz, tj. pravcem na kojem su utvrdeni pocetna i krajnja

.L&,..Y .................................................................. " "

VeliCina povrsina volumen brzina ubrzanje sila rad,energija toplina snaga tlak

Oznaka

Jedinica kvadratni metar kubni metar metar u sekundi metar u sek.na kvadrat newton (njutnl joule (dzul) joule (dzul) watt (vat) pascal (paskal)

s v v a F A,E

Q p p

To su npr: masa, temperatura, vrijeme, snaga, naelektriranost itd. Skalarne velicine koje se zbrajaju iii oduzimaju moraju biti izra:lene istimjedinicama. Vektorske velicine su one fizicke velicine koje su u potpunosti odredene intenzitetom (brojnom vrijednoscu), pravcem i smjerom. To su npr: brzina, ubrzanje, sila, jacina elektricnog polja, jacina magnetnog polja, itd. Vektori se obilje:lavaju odgovarajucim slovom sa strelicom iznad slova.

Oznaka

tocka vektora i smjer. Vektori se mogu oznacavati malim slovom, npr. ~ iii velikim, npr.

mL

AB. Apsolutnom vrijednoscu (modulom, intenzitetom) vektora ~zovemo duljinu du:li a.

m, rnls mJs-

N =kg m/s J=Nm J=Nm W =J/s Pa = Nfm·

1

-

~ vcktora

~

B

A~

Ravna crta na kojoj lezi vektor zove se nosac vektora. Kolinearni vektori su oni koji se nalaze na istom iii paralelnim pravcima. Pri tom oni mogu biti istog iii suprotnog smjera.

U pomorskom prometu se koristi za duljinu morska milja (1 milja = 1852 m), a za brzinu cvor (1 cvor = 1852/3600 = 0,514 m/s).

Prefiksi (predmetci) U fizici se koriste vece i manje jedinice od osnovne, dodajuci uz naziv osnovne jedinice odredene prefikse.

v. ---.. Preclmetak (prefiks) deka hekto kilo mega giga tera peta eksa

fik. - ------Znak Vrijcdnost

d. h k M G T p E

10 10 2 10 3 106 109 1012 1015 1018 -

-

... .... M an]t pre fiks" Predmetak Znak Vrijednost (pretiks) deci d 10· centi c 10·2 mili m 10·3 mikro 11 10·6 nano n 10·9 piko p 10· 12 femto f I o· 15 ato a 10" 18

Dva vektora su jednaka ako imaju jednak intenzitet, pravac i smjer. Vektorsko zbrajanje je razlicito od algebarskog zbrajanja. Zbrajanje vektora graficki se vrsi nadovezivanjem, tj. na kraj prvog nanese se paralelnim pomicanjem pocetak drugoga. Rezultantni vektor se dobije spajanjem pocetka prvog i kraja posljednjeg vektora. Kod zbrajanja vektora cesto se koristi metoda paralelograma.

c=a+b

·---·;.\

\

\

Suprotni vektori imaju isti intenzitet i pravac a suprotan smjer.

20

21



Razlika dva vektora a i b je vektor c koji zbrojen s vektorom b daje vektor a, ili

- oduzimanje a- b svodi se na zbrajanje vektora a s vektorom suprotnim vektoru b .

~

~

"'

a

c= a·b Vrijednost skalarnog proizvoda je broj jednak proizvodu

-

-

intenziteta vektora a i projekcije (b.) vektora b na vektor

a, tj. c =a· b. Za skalamo

c >a -b

c=ii-b

c

jj

Skalarni proizvod dva vektora a i b je skalar c i pise se:

c =a- b

mnozenje

-- --a·b=O<:> - -a .l -b

vrijedi

zakon

komutacije

(a· b = b ·a). Skalami proizvod dva okomita vektora jednak je nuli.

Vektorski proizvod dva vektora je vektor i pise se npr. ~ =

Proizvod vektora ~ i skalara n daje vektor ciji je intenzitet jednak intenzitetu vektora a pornnozenim san, smjera istog ako je n > 0 iii suprotnog za n < 0.

bx ~. lntenzitet vektora ~ jednak bi

je brojnoj vrijednosti povrsine paralelograma cije su susjedne stranice odredene vektorima

~, koji su paralelnim pomicanjem dovedeni na zajednicki pocetak. Vektor ~ je normalan na

- -

-

ravan koju cine vektori b i c. Smjer vektora a je odreden pravilom desnog vijka: ako vektor

-

-

Rastavljanje vektora na komponente. Pri rjesavanju nekih zadataka potrebno je rastavljanje

b rotiramo prerna c najkraCim putem u smjeru obrtanja vijka, pravac napredovanja vijka je

jednog vektora

smjer vektora a .

-

-

-a

- - na dva koji leze na zadanim pravcima, ali tako da vrijedi a= a1 + a2. -

Vektori a 1 i a 2zovu se komponente vektora a . ~

a=va,+ar

y

-

a

\

bxc

t

a

=jbxcj

a=bcj_ =bj_c

-~--,:lF~

iiy

\\

cxb

X

Jedinicni vektor (ort) je vektor Ciji je intenzitet jednak jedinici. Jedinicnim vektorom se najcesce definira smjer u prostoru. Svaki jedinicni vektor relacijom:

u smjeru vektora

~

definira se

=!!..a .

Duljine komponenata vektora na koje je rastavljen dati vektor, predstavljaju duljine projekcije vektora na osi ciji su jedinicni vektori u pravcima nosaca vektora komponenti. Znaci, duljina projekcije vektora na neki drugi vektor je skalar, cija vrijednost zavisi od kuta koji zaklapa vektor s osom vektora na koju se projicira. ah =a·cos30° b Projekcija zbroja (razlike) vise vektora na neku os jednaka je zbroju (razlici) projekcija tih vektora na tu os. (a±b);=a;±b; Projekcija vektora pornnozenog s nekim skalarom na zadanu os jednaka je proizvodu skalara i projekcije vektora na tu os. (n·a); = n·a;

k·,

r~~Ii~(i>. :

~o

~o

~

'

Skalarni i vektorski proizvod. Fizicke velicine koje se opisuju vektorima zahtijevaju uvodenje operacije vektorskog mnozenja, koje moze biti skalamo i vektorsko. Skalamo mnozenje dva vektora daje skalar.

Tenzori su poopeenje vektora i odredeni su s tri vektora, npr. tenzor napona, tenzor deformacije, tenzor inercije. U mnogim oblastima fizike, naroCito u mehanici neprekidnih sredina, elektrodinamici i optici kristala, cesto je potrebno svakom pravcu (svakom vektoru) u jednoj odredenoj tocki prostora pridfliZiti neki vektor koji u opcem slucaju nije kolinearan s tim pravcem. Kao primjer moze se navesti Ohm-ov zakon, koji u uobicajenom obliku glasi: j=a·E

j- gustoca struje, E-elektricno polje, cr-elektricna provodnost date materijalne sredine. Ako je ta sredina izotropna (jednakih fizickih svojstava), vektori j i E su kolineami, tako da iz prethodne relacije slijedi:

-j 1 =a·£1, - -j 2 =a·£2, - -j

-

3

=a·EJ

Kao jos jedan prirnjer, moze se promatrati ponasanje broda koji plovi kad se na njega djeluje silom. Sila je vektor, a brod ce dobiti ubrzanje kao posljedicu djelovanja sile, koja je takoder vektor. Pravac vektora ubrzanja ne mora biti isti kao i pravac djelovanja sile, zbog oblika trupa broda. Medutim, odnos izmedu sile i ubrzanja je linearan, i takva relacija se opisuje tenzorom tipa (1,1), sto znaci da se vektor transformira u drugi vektor. Tenzor se moze predstaviti matricom, koja, kad se pomnozi s vektorom, daje drugi vektor kao rezultat. Bas

'. ·,

l~ ::1:

23

22


mr. Zcljko Stapic: FIZIKA 1

kao sto se brojevi kojimaje vektor predstavljen mijenjaju kad se promijeni koordinatni sustav, i brojevi u matrici koja predstavlja tenzor takoder se mijenjaju kad se promijeni koordinatni sustav.

a Vektor

a;

Greske pri mjerenju Fizikalne velicine odreduju po pravilu neko svojstvo tvari. Npr. indeks lorna svjetlosti karakterizira svojstvo svjetlosti da mijenja brzinu pri prijelazu iz jedne u drugu sredinu. Izmjeriti neku velicinu znaci usporediti je s istovrsnom velicinom koja je odabrana za mjernu jedinicu. Ako je X - mjerena velicina, n - brojna vrijednost mjerene velicine, A - jedinica mjere, rezultat mjerenja se pise: X=n·A,

npr. duljina ueionice a= 8 m

Mjerenja fizikalnih velicina mogu biti direktna (neposredna) i indirektna (posredna). 2

Dvodimenzionalna matrica 1aii

3

N-dimenzionalna matrica

aijk

Opce upute pri rjesavanju zadataka Rjesavanje zadataka najbolji je nacin za provjeru razumijevanja pojmova i pojava u fizici, kao i biti fizickih zakona. Zakoni i fonnule se lakse pamte ako se sto vise rabe, a to se postize rjesavanjem sto veceg broja zadataka. Pri izradi zadataka treba koristiti slijedece opce upute: procitati tekst zadatka i shvatiti njegov smisao napisati date podatke i oznaeiti velicine koje se traze izrazitijedinice u Sl-sustavu, ukoliko je to potrebno skicirati sliku (dcieCi se pravila da se svaki zadatak u fizici moze prikazati slikom) ina njoj oznaciti sve velicine koje su dane i koje se traze napisati fonnule Gednadzbe) cije rjesavanje vodi pronalasku rezultata, vodeci racuna pri matematickim operacijama o broju znacajnih cifara provjeriti dobivene rezultate.

Direktna mjerenja su ona kod kojih se rezultat dobije iz pokusnih podataka nekoliko mjerenja jedne te iste velicine. Npr. mjerenje duljine pomocu ravnala, nonijusa, mikrometra, iii mjerenje temperature pomocu tennometra, mjerenje vremena pomocu sata, kronometra, itd. Indirektna mjerenja su ona kod kojih se rezultat dobije iz pokusnih podataka direktnih mjerenja nekoliko razlicitih velicina koje su sa mjerenom velicinom povezane preko neke funkcionalne ovisnosti. 2·s Npr: a= - 2t Nijedno mjerenje nije apsolutno tocno zbog nesavrsenosti mjernih instrumenata, nasih osjetila, kao i vanjskih utjecaja. Mjerimo li neku velieinu nekoliko puta istim instrumentom i na isti naCin, dobiveni rezultati ipak ce se razlikovati zbog neizbje2nih pogresaka pri mjerenju. Postoje tri vrste gresaka: sustavne, slucajne i grube. Sustavne gre1lke su one koje se javljaju obicno zbog istog uzroka, koji je najcesce unaprijed poznat. Obicno kod vise mjerenja sustavna greska ima istu vrijednost, pa se moze proracunati i otkloniti.Npr. podjela na mjernoj skali nije jednaka, kapilara tennometra ima na raznim dijelovima razlicit promjer, kazaljka instrumenta nije na nuli kad instrument nije ukljucen itd. U vecini slucajeva ove greske se mogu otkloniti. Slucajne greske nastaju uslijed velikog broja razlicitih uzroka koji nisu unaprijed poznati. Takve greske se mogu svesti na minimum, ali se u potpunosti ne mogu izbjeci. To su greske koje donosi samo mjerenje. Nastaju zbog nesavrsenosti uredaja i nasih osjetila, a i zbog neprekidnog djelovanja vanjskih utjecaja (promjene temperature, tlaka, vlaznosti itd) koje ne mozemo predvidjeti. Grube grcskc (promasaji) nastaju uslijed pogresnih mjerenja, nemarnog ocitavanja, nepravilno ukljucenog instrumenta, loseg zapisivanJa rezultata. Tako bi, na primjer, gruba greska hila kad bismo procitali na tennometru 20,6 C, umjesto 26 °C, iii ako bismo zapisali 52,4 g umjesto 5,24 g itd. - lzracunavanjc slucajnih grcsaka (dircktna mjercnja) Mjerenjem neke velicine ne mozemo ocekivati da cemo dobiti izravno nJezmu pravu vrijednost. Pretpostavit cemo da smo pri nasim mjerenjima uklonili sve sustavne i grube greske i upoznali nacin kako, vodeCi racuna o slucajnim greskama, odrediti najvjerojatniju vrijednost mjerne velicine. Ti se postupci zovu racun gre§aka, a osnivaju se na racunu vjerovatnoce. Imaju stoga punu vrijednost samo pri velikom broju mjerenja.

24

25

:-!

'11

mr. Zeljko


S~pic: FIZIKA I

Neka su podaei u mjerenju neke velicine:

Velicina b.= 3cr zove se najveca moguea greska. Prakticno, skoro sve grcike mjerenja (99,7 %) nalaze se u granieama ± 3cr. Nakon prve obrade podataka, podaci cijaje apsolutna greska veca od 3cr odbaeuju se, a nakon toga se vrsi druga obrada podataka. Problem odredivanja slucajne greske rijesio je Gauss. Njegova teorija odlicno odgovara pokusnim rezultatima. Osnovne postavke njegove teorije su: greske jednake po apsolutnoj vrijednosti, a suprotnog znaka jednako su vjerojatne ukoliko je veca apsolutna vrijednost greske, utoliko je ona manje vjerojatna. Vjerojatnost nekog dogadaja definira se kao odnos broja povo!jnih slucajeva (n) i broja mogucih slucajeva (N). . n p=N Npr. neka u kutiji ima I 0 kugliea jednake veliCine i tezine od kojih su 2 bijele, a ostale ervene. Vjerojatnost da se nasumiee izvuce bijela kugliea je 2/10, ada se izvuce crvena je 8/10. Siguran dogadaj je onaj cija je vjerojatnost jednaka jediniei. Vjerojatnost dogadaja koji nije moguc jest nula.

al, az, a3 ............. an.

Srednja vrijednost mjerene velicine (~. aritmeticka sredina) je najblifu njezinoj pravoj vrijednosti. Oznacava se a iii asr.

a=al+a2+a3+ .......a. n n- broj mjerenja (potrebno je izvcliti najmanje tri mjerenja) Apsolutna greska je odstupanje pojedinog mjerenja od tocne vrijednosti. Kako tocnu vrijednost mjerene velicine ne znamo, uzimamo srednju vrijednost (a), pa apsolutne greske iznose: b.a1 =

~~-a 1 j,

b.az =

ja-a j, .... 2

b.an =

ja-a.j

b.al + b.a2 + ...b.a " n Rezultate mjerenja pisemo u obliku: a= a.,± boa .

•

.

SrednJa apsolutna greskaje: boa=

Primjer 1: Pomocu mikrometarskog vijka izmjeren je promjer ziee d = 2,84 mm. Kolika najveca greska moze biti pri ovom mjerenju, ako je preeiznost upotrijebljenog instrumenta 0,01 mm i kolika je relativna greska? Rjesenje: Maksimalna apsolutna greskajednakaje polovini preeiznosti instrumenta, tj. b.d = 0,005 mm. Znaci, rezultat se moze pisati d = ( 2,84 ± 0,005 ) mm. Relativna greska mjerenjaje E = b.d/d · 100% = 1,76%

Relativna greska mjerenja je odnos srednje apsolutne greske i srednje vrijednosti mjerene ·v·

boa

vel 1cme. E = -=a

-boa E-

Ona je neimenovan broj i obicno se izra.Zava u postoeima:

·100%

a

U teoriji gresaka smatra se da je maksimalna apsolutna greska mjerenja nekim instrumentom jednaka polovini vrijednosti njegovog najmanjeg razdjela, tj. polovini njegove preeiznosti. Ako se npr. duljina mjeri ravnalom s milimetarskom podjelom, ondaje maksimalna apsolutna

Primjer 2: Izvr8ena su cetiri mjerenja neke duljine: 11 = 65,2 em, b = 65, I em, b = 64,8 em, ~ = 65,0 em. Izracunaj: srednju vrijednost, najvecu i najmanju gresku mjerenja, relativnu gresku, maksima1nu relativnu gresku. Rjesenje: Srednja vrijednost moze imati samo onoliko znacajnih brojki koliko imaju i pojedini rezultati mjerenja, pa je lsr = 65,025 "' 65,0 em Najveca greska mjerenja je pri prvom i trecem mjerenju b.lm = 0,2 em, a najmanja pri cetvrtom mjerenju. Relativna grcika E ~ 0, 19 % Maksimalna relativna greska Em= 0,31 %

greska mjerenja 0,5 mm. Maksimalna apsolutna greska b.am je apsolutna vrijednost najveceg odstupanja boa od srednje vrijednosti a . Znaci, prava vrijednost (a) nalazi se izmedu vrijednosti a+ b.am i a- b.am. Maksimalna relativna greska je omjer izmedu maksimalne apsolutne greske i srednje vrijednosti svih mjerenja, a moze se izraziti i postotkom:

b.am &m=-;-,

) &m= (boa ~m·lOO.%

Interval unutar kojeg se nalazi stvarna vrijednost bolje je odredena pomocu srednje kvadratne greske.

Primjer 3: 1zvr8ili smo pet mjerenja duljine nekog predmeta i dobili smo vrijednosti: !1 = 20,10 em; h = 20,12 em; h = 20,13 em;~= 20,14 em; 15 = 20,ll em;. Izracunaj relativnu gresku mjerenja.

Srednja kvadratna greska (standardna devijacija) pojedinih mjerenja je:

·c t

L (]" =" j"{':l ..

w::J'.

x-x;

;=I

n-1

"'~ 0.6

Gaussova (norma Ina) raspodjela

0.4 X

Histogram frekveneija

I

1

l

0.2

3

1 -·.-·=- ' 4

Srednja vrijednost mjerene velicine je: lsr = 20,12 em Apsolutne greske pojedinih mjerenja su: Lll 1 = 120,12-20,10 I= 0,02 em bob= l20,12- 20,12 I= 0,00 em Lll3 = 120,12-20,13 1=0,01 em b.~= 120,12-20,14 I= 0,02 em Lll 5 = !20,12- 20,11 0,01 em

I=

5

27 ?h

mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

c±~c= (a±~a)(b±M).

Srednja apsolutna greska mjerenja: ~I = 0,01 em Rezultat mjerenja pisemo u ob1iku: 1 = ( 20,12 ± 0,01 ) em Relativna greska je: e =~VI= 0,01/20,12 = 0,00049"" 0,0005 ,

e=O,OS%

Utjecaj grcsaka izmjcrcnih vclicina na izvedene vclicine (grcske indirektnih mjercnja) Pri mnogim mjerenjima nece nam biti dovoljno da neposredno izmjerimo jednu iii vise velicina. Cesto cemo rezultat izracunati tek pomocu izmjerenih velicina. Ze1imo li pomocu mjerenja odrediti, na primjer, otpor R neke ziee du1jine 1, presjeka S i otpomosti p, izmjerit cemo du1jinu l i promjer d zice te odrediti otpor iz izraza:

l R = p·-= p·

s

(d)-

c±~c= (a±~a)(b±M) b 2 -M 2

(b±~b)(b±~b)

Kad zanemarimo male velicine drugog reda, tj. ~aMi M A

c+u.c = -

_a_b_±_a_~_b_±_b_~_a

~c= a~b+Ma

b2

b2

~c a~b+Ma b ~a ~b &=-= ·e= - + c b2 a a b d) Ako je c = a 2 , za apsolutnu gresku dobivamo iz tocke b), kad stavimo b =a: ~c

=

2a~a,

~a

a za relativnu:

&=2-. a

2 ·1(

e) Kadje c =

.

are 1atlvna

Pitamo se sada kako greske pri mjerenju duljine l i promjera d utjecu na velicinu otpora R? Pitamo se opcenito kako greske izmjerenih ve1iCina utjecu na rezultate sto ih dobivamo nekim racunskim postupkom?

dobivamo:

,

Za relativnu gresku dobivamo:

_I_

2

2

..Ja, dobivamo zbog ..Ja = a &

112

,

apsolutna greska M =.!.. ~:-, 2 -va

1 ~a 2 a

= --.

Radi preglednosti prezentirana je tabliea za apso1utne i relativne greske, koje se racunaju pomocu izmjerenih veliCina. Osim onih koji su izvedeni, dati sujos neki izrazi.

Promotrimo to redom za neke jednostavne racunske operacije. a) Neka sua i b velicine koje mjerimo, a e velicina koju treba izracunati, te daje: c = a+b. Treba sada odrediti apso1utnu gresku ve1icine c, tj. ~c, kad poznajemo greske mjerenja ~a i

Racunske operaeije a+b

Apsolutna greska

~b . Mozemo dakle pisati: c±M = (a±~a)+(b±~b).

a-b

~a+~b

a+b+e

~a+~b+~e

~a+~b+~c

n·a

n·~a

~a

a·b

~ab+Mb

a·b·c

~abc

c±~c

~a+~b

--a+b

M+~b

---

=a +b±~a+(±~b)

a -b

c±~c = c±(~a +~b),

c =a -b , dobili daje Relativna greska bit ce onda za c = a+ b :

Ana1ogno bismo za s1ucaj: ~c

~a+~b

&=-=---, c c

odnosnoza c=a-b:

±~c=±(~a+M).

a+b+c -

~a+M

&=---.

c

Apsolutnu gresku odredit cemo ovako:

a

c ± M =(a± ~a)(b ±~b). c ± ~c = ab ± ~ab ±aM±~aM .

c± ~c = ab±(aM+Ma),

Relativna greska je:

Odredimo najprije apso1utnu gresku:

~a

a b

Ma+a~b

3!

2a~a

a"

n·a"- 1 ~a

.,Ja

!.. l.1a

b2

2 a

Va c±~c=a±~a

ab~c

b

~a

M ~c -+-.+-

b

c

M ~b -+-.

a

b

2~a

a

~b

&=-=-+-. c a b

&=-=---c ab

c) Nekaje c=!!... b

~c = a~b + b~a.

~c

a~b+Ma

+ Mbe +

a

Produkt ~a~b mozemo zanemariti jer su vee ~a i ~b vr1o malene vrijednosti u odnosu na a i b. Njihov je produkt onda toliko mala ve1icina da neznatno utjece na ukupnu vrijednost

~c

a

M ~b -+-.

b) Pretpostavimo sada da je: c = a · b

desne strane. Tako je:

Relativna greska ( e ) M+M

I !1a

3-v;;

~a

/l-

a I

~a

-2 a I

~a

-3 a

b±~b

29 28

r-nr mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

0

Zadaci: Ako je racunska operacija iz koje treba odrediti gresku kombinacija operacija navedenih u tab1ici, gresku cemo izracunati njihovom postepenom primjenom. Treba, na primjer, kod jedno1ikog ubrzanog gibanja uz pocetnu brzinu v0 odrediti gresku za put s:

at 2 s=v 0 t+-,

I

1 ako smo }mjeri1i v0• t i a s greskom /::;. vo, /::;. t i /::;.a,

)

. at 2 s=i(v 0 t)+/::;.(-) i 2 / at 2 1 I !::;.(-)=-/::;.at 2 +-a/::;.(t 2 ), 2 2 2 /

/::;.(v 0 t)=/::;.v 0 t+v 0 /::;.t 2. Izrazi pomocu potencije broja 10 zadane vrijednosti: a) napon 4 mV; b) jacina el. struje 3 ilA; c) va1na du1jina 550 nm; d) kapacitet kondenzatora 7 pF; e) volumen 2 d1; f) duljina 0,1 em; g) vo1umen 5 h1; h) snaga 90 kW; i) rad 7,9 MJ; j) top1ina 0,4 GJ. a) 4-10"3 V, b) 3-10-6 A, c) 5,5-10"7 m, d) 7-10- 12 F, e) 2-10.. /ml, 3 g) 0,5 m , h) 9-104 w, i) 7,9·10 6 J, j) 4-10 8 J f) 10"3 m,

2

2 at I !::;.(-)=-/::;.at +atM. 2 2

l::;.s=/::;.v 0 t+Mv 0 +~/::;.at 2 +atM.

; Takodobivamodaje:

I. lzrazi pomocu potencije broja I 0, u osnovnoj SI jedinici: a) srednju udaljenost Zemlja Mjesec koja iznosi 384000 km; b) srednju udaljenost Zemlja-Sunce koja iznosi 150 milijuna ki1ometara; c) 1 dan; d) temperaturu topljenja zlata koja iznosi 2677°C; e) 4,5 tona; f) jacinu struje od 0,2 rnA; g) svjetlosnu jacinu od 500 cd; h) 0,01 mol. a) 3,84-108 m, b)1,5·10 11 m, c)8,64·104 s, d)2,677·103 K, e) 4,5·10 3 kg, t)2-10-4 A, g) 5-10 2 cd, h)10" 2 mol

Primjer 4: Vazemo vodu na vagi. Odredi1i smo masu prazne posude m P = (22,3 ± 0,2) g i masu posude zajedno s vodom m = (35,4 ± 0,1) g. Kolika je masa vode mv i kolika je re1ativna greska?

mv == m -ntp

3. Izrazi u Sl jedinicama: a) 4 cm f) 1,2 km/min; g) 106 cm/h;

2

;

3

b) 2 mm

;

3

c) 2,2 g I cm

;

d) 1 kg/dm\ e) 54 kmlh; I

a) 4-10-4 m 2, b) 2-10"9 m\ ~2200 kg/m 3 , d) 1000 kg/m3, e) 15 m/s, f) 20 m/s, g) 2,78 m/s '-..._

m,. = 35,4g- 22,3g = 13,1g

4. Pazeci na pouzdana mjesta izvrsi ove operacije; a) zbroji brojeve 0,46+3,1+0,146, b) oduzmi 0,28 kg od 160 kg, c) pomnozi 3,12·5,094, d) podije1i 56,987:3,61, e) kvadriraj---4,252, f) izvadi korijen iz 73. ·--a) 3,7 b) 160 kg, c) 15,89 d) 15,8 e) 18,1 f) 8,5

/::;.m,. =/::;.m+/::;.mp /::;.m,. = 0,1g + 0,2g = 0,3g

m\' =mv ±l!:.mv

5. Zaokruzi na dva decimalna mjesta: a) 4,644; b) 1,376; c) 3,275; d) 3,265; e) 0,006 a) 4,64 b) 1,38 c) 3,28 d) 3,26 e) O,ot

m,. = (13,1 ± 0,3)g &

e=2 °/o

= /::;.m,. = 0,3g = 0 02 m, 13,1g '

Primjer 5: Ko1iki je otpor :lice od nik1a ako je ona dugacka 1 = (58,2 ± 0,2) em, a debe1a d =(1,1 0 ± 0,02) mm? Ko1ike su greske podataka za otpor? Otpornost za nika1 p=7,0-I0-6n em. lz tab1ice se moze uoCiti da je izraz za izracunavanje re1ativne greske kvocijenta jednostavniji nego izraz za apsolutnu gresku. Zato je bolje da se najprije odredi relativna greska, a onda iz I l 4 I R=p-=p--=-p-. 2

n(%J

n

d

2

5m ~-:~~.

;£1

= /::;.R = /::;.[ + M = /::;.[ + 2dM = /::;.[ + 2M = 0,2cm + 2 0,02mm = 0 053 R l d2 l d2 l d 58,2cm I,IOmm '

/::;.R = 0,053

/::;. R = 0,053 R

R

R=~ _!_=~·70·10- 6 ncm· n p d2

3,14

'

7. Izvrseno je pet mjerenja mase nekog tije1a i dobiveni su sljedeci podaci: m 1= 10,25 g, m2 = 10,27 g, m3 = 10,24 g, 114 = 10,26 g, m5 = 10,28 g. Izracunaj re1ativnu gresku. E = 1,1% 8. Ko1ika ce biti maksima1na apso1utna greska mjerenja ako na teretnoj vagi pise ±I%, kada se vaze kamion od 5 tona? /::;.m =50 kg

nje apso1utna.

S

6. Ko1iki je najmanji razdje1 mjeri1a, ako je duljina predmeta iskazana na dva nacina: 15,0 mm i 15,00 mm 0,1 mm i 0,01 mm

58 2 6 4 • cm =43-10 ·I0- n (0,11cm)' '

M = o,os3-4,3 -10-zn = o,13 -1o- 2 n

R = 4,3 -1o-ln

9. Ko1ika je te:lina kamiona ako je maksima1na apso1utna greska mjerenja 25 kg, a na vagi pise±1%? G=24525 N 10. Trgovac je izvagao 2 kg voca s greskom od 40 g, a zlatar 20 g zlata sa greskom 0,5 g. Koje mjerenje je tocnije? Et = 2 °/o, Ez = 2,5 °/o

R = (4,3± o,Jpo-zn.

31

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

II. Geometar je izmjerio 5 km nekog puta s greskom od 20 m, a strojar je izmjerio osovinu precnika 100 mm sa greskom od 0,2 mm. Je li strojar precizniji? DA, Eg = 0,4 %, e, = 0,2 % 12. Dobiveni su podaci mjerenja debljine kvadratne plocice od lima: d 1 = 3,22 mm; d2 = 3,25 mm; d3 = 3,24 mm; <4 = 3,21 mm. Izracunaj srednju vrijednost i srednju vrijednost apsolutne greske mjerenja. d = (3,23 ± 0,15) mm 13. Izracunaj apsolutnu i relativnu gresku mjerenja pri ocitavanju: a) temperature od 37 °C, ako je jedan razdjel termometra 0,1 °C, b) 0,5 litara vade, ako jedan razdjel menzure ima vrijednost 2 cm3, c) duljinu od 50 em, ako ravnalo ima milimetarsku podjelu, d) masu od I kg, ako jedan razdjel na vagi iznosi 1g, e) jacinu el. struje od 0,1 rnA, ako je jedan razdjel na ampermetru 1 JlA. a) At= 0,05 °C, e = 0,14 %, b) A.V =1cm3 , e = 0,2 %, c) AI= 0,5 mm, e = 0,1 %, d) Am = 0,5g, e = 0,05 %, e) 111 = 0,5 J.LA, e = 0,005 % 14. Kolika je vrijednost jednog razdjela skale ako je: a) pri mjerenju napona od 5 V, relativna greska I %, b) pri mjerenju struje od 20 rnA, relativna greska 0,5 %, c) pri mjerenju temperature od 25 °C, relativna greska 0,4 %, d) pri mjerenju duljine od 2,5 m, relativna greska 2 %, e) pri mjerenju mase od Y. tone, relativna greska I %. a) 0,1 V, b) 0,2 rnA, c) 0,2 °C, d) 1 dm, e) 5 kg

20. Izracunaj gustacu i relativnu gresku prizmaticnog tijela dimenzija a = 5 em, b = 2 em, c = 2 em i mase m = ( 55 ± I ) g: a) ako valumen izmjerimo u menzuri od 1000 cm3, Ciji su razdjeli po I 0 cm3 b) ako volumen izmjerima u menzuri ad 100 cm3, ciji su razdjeli pa lcm3 p =2,75 g/cm 3 a) e = 27%, b) e =4,2% 21. Izracunaj koeficijent trenja klizanja i relativnu gresku aka sila kaja pokrece tijelo u horizontalnom pravcu stalnom brzinom iznasi 1,2 N, a masa tijela je 400 g. Na dinamometru najmanji razdjelje 0, I N, ana vagi najmanji je teg za mjerenje mase 10 g.

J.1 = (0,31 ± 0,02),

16. Vrijeme trajanja 10 titraja kod matematickog njihala iznosilo je 38,6 s. Mjerenje je vrseno stapericom ciji najmanji razdjel iznasi 0,2 s. Izracunaj apsolutnu i relativnu gresku mjerenja vremena trajanja: a) 10 ascilacija; b)jedne oscilacije (perioda). a) At= 0,1 s e = 0,26 %, b) AT= 0,01 s e = 0,26% ,:,•; :c;;.

17. Na raspalaganju imamo menzuru od 200 cm3, cijijedan razdjel iznasi 2 cm3. Kaliku cemo apsalutnu i relativnu gresku napraviti kad admjerimo: a) 100 cm3; b) 600 cm3? 3 a) A.V = 1cm , e = 0,5 %, b) AV = 3cm\ e = 0,5%

= 6,7 o/o

23. lzvrseno je 10 mjerenja ubrzanja Zemljine te:le matematickim njihalam i izracunate su srednje vrijednosti: duljina njihala lsr = 144,72 em, t.l = 0,28 em; period Tsr = 2,38 s, t.T = 0,04 s. Izracunaj relativnu i apsalutnu gresku mjerenja gravitacije i izrazi rezultat mjerenja. Period matematickog njihala je dan formulom: T = 2n

15. Izracunaj relativnu gresku mjerenja dva paralelno vezana kondenzatora ciji su kapaciteti: C1 = ( 60 ± 0,5 )nF i C2 = 40 ± 0,5 ) nF. e=1%

E

22. Izracunaj relativnu gresku volumena valjka aka su mjerenjem dobiveni sljedeci padaci u mm: promjer valjka: d 1 = (21,2±0,1), d 2 = (21,4±0,1), d 3 = (21,3±0,0), <4 = (21,2 ± 0,1), ds = (21,4 ± 0,1), a visina valjka: h 1=(62,1±0,0), h2 =(62,3±0,1), h3 =(62,1±0,1), ~=(61,9±0,3), hs =(62,1±0,0). lzrazi rezultat volumena valjka. V = (22116,71 ± 201,26) mm3 , e = 0,91 %

H

g = (1008,44 ± 35,80) cm/s 2, e = 3,55%

24. Izvrseno je 10 mjerenja ubrzanja Zemljine te:le slobodnim padam i izracunate su srednje vrijednasti: visina hsr = 102,0 em, t.h = 0,2 em; vrijeme pada t,;, = 0,449 s, t.t = 0,005 s. lzracunaj relativnu i apsalutnu gresku mjerenja gravitacije i izrazi rezultat mjerenja.

g = (1012 ± 20) cm/s 2, e = 2% 25. Masa sipke pravokutnog presjeka stranica a, b, c, je m. Mjerenjem je dabiveno: m = (43,2±0,1) g, a= (80±1) mm, b = (10±1) mm, c = (20±1) mm. Izracunaj gustocu, relativnu i apso1utnu gresku mjerenja i izrazi rezultat mjerenja. p = (16000 ± 2605) g/mm3, e = 16,3%

T 18. Kaliki je otpar vadica i relativna greska, aka je na njegovim krajevima izmjeren napan U = (I ,82 ± 0,02) V i aka njime tece struja I= (0,250 ± 0,005) A? R=(7,28±0,22)0, e=3% 19. Teg mase 0,200 kg giba se jednaliko pa kruznici u harizontalnoj ravni. Izmjerili sma daje polumjer kruznice r = ( l ,224 ± 0,003) m, a period T = (I ,4 ± 0,1) s. Izracunaj centripetalnu silu i relativnu gresku. Centripetalna sila je dana farmulom:

4·Jr 2 ·m·r F=---=--

Tz

F=(4,9±0,7)N, e=14%

32 33

'l1!!,, rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 mr. Zeljko Stapic: FIZIKA l heliocentricni referentni sustav cije se ishodiste podudara sa centrom Sunca, a osi su usmjerene prema tri odabrane "zvijezde stajacice". Vektor polozaja (radijus- vektor) PoloZ:aj materijalne tocke (tijela) moze se odrediti i

2. KINEMA TIKA

z

Osnovni pojmovi Mehanika je dio fizike koji proucava razlicite oblike mehanickog gibanja, uvjete i zakone nastanka gibanja i nastanka promjene gibanja, kao i uvjete relativnog mirovanja. Mehanika se dijeli na statiku, kinematiku i dinamiku. Statika proucava ravnotefu sila i uvjete mirovanja tijela. Dinamika proucava gibanja vodeci racuna o uzrocima koji dovode do tog gibanja, a to su sile. Kinematika (kinein, gr.-gibati) dio je mehanike koji opisuje gibanje tijela u vremenu i prostoru ne uzimajuCi u obzir uzroke koji dovode do tog gibanja. Gibanje je jedno od osnovnih svojstava tvari. To je promjena polozaja tijela u odnosu na neko drugo tijelo. Takvo gibanje naziva se mehanicko gibanje i predstavlja najjednostavniji oblik gibanja. Mehanicko gibanje ima relativan (relativus, lat. - u .odnosu na nesto) karakter. Klasicna (Newtonova) mehanika proucava gibanje tijela brzinom koja je mnogo manja od brzine svjetlosti (c"' 3·1 08 m/s). U relativistickoj (Einsteinovoj) mehanici se pokazuje da prostor i vrijeme zavise od brzine gibanja tijela. Tu su vrijeme i prostor neodvojivi oblici postojanja tvari. U fizici se razlikuje korpuskularno i valno gibanje. Pri izucavanju neke realne pojave, npr. gibanja tijela, uvijek se pojava nastoji pojednostaviti. Tako razmatramo idealiziran slucaj uocene pojave. Bitno je da u tom modelu budu ocuvane sve znacajne karakteristike izucavane pojave. Npr. pri izucavanju gibanja zanemari se deforrnacija tijela, tj. promatra se apsolutno kruto tijelo u kojem uzajamni raspored cestica ostaje nepromijenjen tijekom gibanja. Tijelo zadrZ:ava oblik i dimenzije. To je model materijalnog tijela, koji u prirodi ne postoji, ali se pokazuje kao vrlo koristan. U kinematickom opisu koristi se model materijalne tocke. Materijalna tocka je model tijela ciji se oblik i dimenzije u danom razmatranju mogu zanemariti. Smatra se da je sva supstancija tijela koncentrirana u toj tocki. Najcesce je ta tocka teziste tijela. Svako gibanje je relativno, nema apsolutnog mirovanja. Osnovne fizicke velicine su vrijeme i duljina, a izvedene su brzina i ubrzanje. Da bi se moglo proucavati gibanje tijela, potrebno je odrediti njegov polozaj u prostoru. Polozaj tijela moguce je odrediti samo relativno u odnosu na neko drugo tijelo koje se naziva referentno tijelo. Tijelo u odnosu na koje promatramo gibanje naziva se referentno tijelo. Sve dogadaje opisujemo prostornim koordinatama (x, y, z) i vremenom. Prostor i vrijeme su polazni elementi fizicke spoznaje i nemoguce ih je izraziti jednostavnijim pojmovima. Rcferentni sustav predstavlja kruto tijelo za ciju jednu z / ·····-····------·-····--·---·-:c tocku je vezan pocetak koordinatnog sustava . / snabdjeven s satom. Pomocu tog sustava i sata // A(x,y,z)/ (-------------- -------------·'{ odredujemo polozaj tijela u prostoru u pojedinim 0 trenucima vremena. Koriste se razni koordinatni }--t-+-+----,1--

sustavi, ali je najprakticnij i Descartesov pravokutni . . ___ ......-------·------- ..!///. X koordinatni sustav. Koordinate tocke A su: A(3,2,2). y Tijelo se giba ako se bar jedna od ove tri koordinate mijenja tijekom vremena. Koordinate tocke su funkcija Slika 2.1. Descartesov vremena: x = x(t), y = y(t), z = z(t). koordinatni sustav Kod analize gibanja tijela na povrsini Zemlje kao referentni sustav uzima se koordinatni sustav "vezan" za povrsinu Zemlje (tlo). U analizi gibanja Zemljinih satelita koristi se geocentricni referentni sustav, cije se ishodiste podudara sa centrom Zemlje, a cije su osi usmjerene prema tri odabrane "stacionarne zvijezde" (tzv. zvijezde stajacice). Pri analizi gibanja Zemlje i drugih planeta Suncevog sustava koristi se

pomocu radijus-vektora r. To je orijentirani odsjecak pravca koji spaja koordinatni pocetak referentnog sustava s promatranom tockom A. Koordinate x,y ,z tocke A su projekcije radijus-vektora r na koordinatne

~ . ---=j k

------,.

-·--=·----""__/ r.

I

!~_i·(

X osi. Uvodenje jedinicnih vektora i,j,k u smjeru Y. X koordinatnih osi omogucuje da se radijus-vektor napise: Slika 2.2. Radijus-vektor polozaja .. materijalne tocke u pro~toru r=xi+ yj+zk \ Intenzitet vektora r jednak je dijagonali paralelopipeda y s bridovima x, y, z, paje: r = ~x 2 + y 2 + z 2 .A(x,y)

-

-

I__;

i

Ako je poznat radijus-vektor kao funkcija vremena

!y

; = ;(t) , ili ako su poznate tri skalarne funkcije x = x(t),

I

y = y(t), z = z(t), tada je gibanje materijalne tocke potpuno opisano. X X Ako se materijalna tocka giba u ravni, njen poloZ:aj je Slika 2.3. Radijus-vektor polozaja odreden dvjema koordinatama. Tada je intenzitet materijalne tocke u ravnini radijus-vektora r = ~x 2 + y 2 Ako se materijalna tocka giba dui ravne crte, moze se uciniti da se jedna koordinatna os podudara s tom crtom i odrediti njezin poloZ:aj u svakom trenutku jednom koordinatom koja predstavlja udaljenost ove tocke od ishodista.

0

;: X

A(x)

X

Slika 2.4. Radijus-vektor polozaja materijalne tocke na pravcu

Putanja iii trajektorija predstavlja niz uzastopnih polozaja kroz koje prolazi materijalna tocka pri gibanju. Putanja tijela je obicno nevidljiva, ali koristeci stroboskop moze se registrirati niz uzastopnih polozaja i uciniti vidljivim pojedine tocke kroz koje tijelo prolazi tijekom gibanja. Stroboskop je uredaj koji u jednakim vremenskim intervalima (duljina se moze mijenjati) em1t1ra kratkotrajne svjetlosne impulse. Ako se gibanje tijela snima foto-aparatom (zaslon je aparata stalno otvoren), dobiva se na filmu snimak uzastopnih polozaja tocke koje 7. 7. ona zauzima na krajujednakih vremenskih intervala. Oblik putanje zavisi od referentnog sustava u odnosu na Slika 2.5. Putanje tijela koje koji se prornatra gibanje tijela. Npr. za promatraca u slobodno pada autobusu koji se giba jednoliko pravocrtno, tijelo ispusteno iz ruku pada vertikalno nanize - putanja je prava z crta. Za promatraca na zemlji putanja je kriva crta parabola. Znaci, oblik trajektorije ima relativan smisao. Promjena poloiaja tijela pri njegovom gibanju moze se opisati pomocu vektora pomaka ili pomocu prijedenog y pula. X

!!..r= rz -n

Slika 2.6. Vektor pomicanja i put '~

35

1111

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

z

Pomak - vektor pomicanja je vektor koji spaja pocetnu i krajnju tocku i usmjeren je od pocetne ka krajnjoj tocki. Iznos pomaka je najkraCa udaljenost pocetne i krajnje tocke, bez obzira kojom se putanjom tijelo gibalo. Put je dio putanje koje tijelo prijede dok ga promatramo. Prema obliku putanje gibanje moze biti pravocrtno i krivocrtno. Poseban oblik krivocrtng gibanja je kru:lno gibanje. Gibanje tijela razlikuje se i po nacinu gibanja pojedinih njegovih tocaka. Na temelju toga gibanje moze biti translacijsko i rotacijsko, kao i kombinacija tih gibanja.

ii

~

Translacijsko gibanje tijela je takvo gibanje pri kome pravac povucena kroz bilo koje dvije tocke u tijelu ostaje paralelan sam sebi, tijekom gibanja, tj. sve tocke tije1a koje se giba imaju jednake brzine.

y

X Stika 2.9. Vektor trenutne brzine

Rotacijsko gibanje je takvo kod kojeg pojedine tocke tijela opisuju kru:lnice ciji su centri na nekoj osovini, a sve se nalaze u paralelnim ravninama norrnalnim na tu osovinu.

Translacjsko gibanjc krutog tijela

Rotacijsko gibanjc krutog tijela

Prema brzini gibanje moze biti jednoliko i promjenljivo. Kod jednolikog gibanja brzina se ne mijenja tijekom vremena, a kod promjenljivog se mijenja.

Slika 2.7. Gibanje krutog tijela

Pravocrtno gibanje je ono gibanje kod kojeg je putanja tocke ravna crta. Za odredivanje gibanja koristi se srednja putna brzina, srednja brzina i trenutna brzina. Srednja putna brzina (vsr) dobije se kad se ukupno prijedeni put podijeli s vremenom za koji je preden, bez obzira na oblik putanje i na to kako se brzina mijenjala za to vrijeme. Tada se na nejednoliko gibanje, uvodeci srednju putnu brzinu, mogu primijeniti obrasci koji se odnose najednoliko gibanje. To je skalama velicina. . ~:;

Vsr =

suk tuk

:.:'

[m;]

(velocitas, lat.= brzina), (spatium, lat.= put, razmak), (tempus, lat.= vrijeme)

S

Jednoliko pravocrtno gibanje Najjednostavniji slucaj je kad se tijelo giba po ravnoj crti stalnom brzinom, pa se takvo gibanje zove jednoliko pravocrtno gibanje. Tada tijelo prelazi za iste vremenske intervale iste duljine puta. Tadaje brzinajednaka prijedenom putu ujedinici vremena. Kad tijelo ne mijenja brzinu, prijede jednake dijelove puta u istim vremenskim intervalima. Znaci, za v = const. vrijedi:

Ako je tijelo u trenutku t1 u polozaju A koji je odreden radijus vektorom n , au trenutku t2 u

-- -

-

s =v · t

polozaju B koji je odreden radijus vektorom rz, tada je vektor pomaka l:>r = r 2 - r 1 • Srednja brzina u vremenskom intervalu l:>t = t 2-t 1 je po definiciji vektor jednak kvocijentu vektora pomaka i vremenskog intervala u kojemje gibanje izvrseno: Vsr

M =-

s- prijedeni put {m), v- brzina tijela (m/s), t- vrijeme gibanja (s) v

s

/:,./

Vektor srednje brzine ima isti pravac i smjer kao vektor pomicanja. Brzina koju tijelo ima u bilo kojem trenutku gibanja naziva se trenutna brzina. Ako je vremenski interval l:>t beskonacno malen, onda prijedeni put u tako kratkom vremenskom intervalu predstavlja trenutnu brzinu. Vektor trenutne brzine ima pravac tangente na putanju u promatranoj tocki, a smjer mu je odreden trenutnim smjerom gibanja. Kako je

1/';.;1 = !J.s , kada

!J.t

a

vs,. X Stika 2.8. Vektor srednje brzine

t,

a=O tz

t3

0 Slika 2.10. Grafikoni jednolikog pravocrtnog gibanja

~ 0 , to je intenzitet trenutne brzine v = 1/:,.;1 /:,.t

= !J.s , kada l:>t /:,./

~ 0.

'),(;

37

~~'

I mr. Zeljko Stapic: F!ZIKA I


Promjenljivo pravocrtno gibanje a-t dijagram a

Gibanje kod kojeg se brzina mijenja tijekom vremena naziva se promjenljivo gibanje. Za opis promjenljivog gibanja uvodi se velicina koja se zove ubrzanje iii akceleracija. Ubrzanje je odnos promjene brzine i vremena, tijekom koje je brzina promijenjena. Oznacava se sa a.

m] (acceleratJo,. lat.= ubrzanJe).

!:l.v [ a=!:l.t 2s

(

s-t dijagram

s

0 Stika 2.12. Grafikoni promjenljivog ubrzanog pravocrtnog gibanja

!:l.vn a ).{r =-l!lt

t

v

11

c

v-t dijagram

a = konstantno

Ova relacija predstavlja srednje ubrzanje. Ako bi vremenski interval tijekom kojeg se promijenila brzina bio beskonacno malen, onda bi to bilo trenutno ubrzanje. Ako se iznos brzine jednoliko mijenja, takvo gibanje se zove jednoliko promjenljivo gibanje. Takvo gibanje moze biti jednoliko ubrzano (kad se brzina povecava) i jednoliko usporeno (kad se brzina smanjuje). Vektor brzine moze tijekom gibanja mijenjati intenzitet, pravac i smjer. Zbog toga se ubrzanje moze razloziti na dvije komponente: tangencijalnu- koju karakterizira promjena intenziteta brzine i nonnalnu - koju karakterizira promjena pravca brzine. 6v, (a1 ).~r =fl.t- '

v

v-t dijagram

c

'

A

"·~~~t~tlh ~

v~v 0 +at

Vo

0

Stika 2.11. Tangencijalno i normalno ubrzanje Kada At

~

Slika 2.13. Grafikon promjenljivog pravocrtnog gibanja s pocetnom brzinom

0 tocke A i 8 su vrlo blizu pa at ima pravac brzine v 1 , tj. tangente na putanju u

tocki A. Kut

a-t dijagram v-t dijagram

a

a=an+a, Ako je an = 0, pravac brzine se ne mijenja i to je pravocrtno gibanje. Ako je at = 0, brzina je .}

s-t dijagram

s at ·t s,=2

konstantna i to je jednoliko gibanje.

,c-..::

Vo

0

Ako je ubrzanje konstantno (a= cons!.) vrijede formule:

J

at 2 s=s1 +s2 =v0t+2

2

s =Vol_!!!......_ s,

I

2

~)

a< 0, a= constans

vo- pocetna brzina, v- brzina poslije vremenskog intervala t

v = vo ±a· t

0

2

s = v0 • t ± !!.:..!___ 2

, v' = v; ± 2as. Znak plus je za ubrzano, a minus za usporeno gibanje.

Ako je pocetna brzinajednaka nuli (v0 = 0), ondaje: v =a· t;

0

Slika 2.14. Grafikoni jednoliko usporenog pravocrtnog gibanja

a· t'

s= -2

vz = 2·a·s

t,

If

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 Zadaci:


13. Biciklist se giba brzinom 5 rnls, a iza njega u istom smjeru automobil brzinom 54 kmlh.

0

1. Kamion se giba srednjom brzinom 54 km/h, a motocikl16 m/s. Koje vozilo je brze? vk = 15 m/s

t= 5 s

2. Vozilo prijede 1 km i 620 m za 2 minute i 15 sekundi. a) Izracunaj srednju brzinu vozila u rnls i km/h, b) Za koliko minuta ce prijeCi 5 km? a) v =12m/s = 43,2 krnlh, b) t = 6,9 min

14. Djecak je trcao iz mjesta A do B brzinom 6 rnls, au povratku brzinom 4 rn/s. Kolika mu je bila prosjecna brzina na cije1om putu?

3. Prosjecno prode 0,5 s od trenutka kad vozac primijeti opasnost pa do reagiranja. Koliki put ce prijeeci vozilo za to vrijeme ako se giba brzinom 100 km/h? s = 13,9 m

15. Vozi1o je pres1o prvu polovinu puta 3 puta vecom brzinom nego drugu. Srednja brzina vozila na cijelom putu je 12 rnls. Izracunaj brzinu vozila na prvoj i drugoj po1ovini puta.

4. Za 1,5 min. djecak ucini 180 koraka. Ako je duljina koraka 50 ern, izracunaj srednju brzinu djecaka u m/s i km/h. v = 1 m/s = 3,6 km/h

16. Dva vozila krenu istovremeno iz mjesta A i B koja su udaljena 150 krn ususret jedno drugom. Prvo vozi1o se giba1o brzinom 60 krn!h, a drugo 40 kmlh. Pos1ije koliko vremena ce se sresti ina kojoj uda1jenosti od A?

5. Brzina metka iz puske je 400 m/s. a) Poslije koliko vremena ce prijeci 1 km? b) Poslije koliko vremena ce se cuti ispaljenje na toj udaljenosti, ako je brzina zvuka 340 m/s? a)t=2,50s, b)t=2,94s 6. Koliko je rastojanje izmedu Zemlje i Mjeseca, ako se laserski impuls emitiran sa Zemlje prema Mjesecu vrati nazad za 2,56 s? Brzina laserskog impulsa je 300000 kmls. s=384000 km 7. Udaljenost izmedu Zemlje i Sunca je prib1ifuo 150 milijuna ki1ometara. Za koje vrijeme svjetlost prijede to rastojanje? Brzina svjetlosti iznosi c"' 300000 km/s. t= 8,33 min 8. Koliko kilometara ima svjetlosna godina?

s = 9,46·10 12 km

9. Preko mosta duljine 80 m pro1azi v1ak du1jine 60 rn, brzinom 72 km/h. Koliko vremena je opterecen most? t=7s 10. Ko1iko dugo ce se mimoilaziti dva vlaka duga 120m i 100m, ako se gibaju u susretjedan drugom brzinama 90 km/h i 20 m/s? t=4,89 s 11. Dva vozila se gibaju pravocrtno konstantnom brzinom v 1 = 72 kmJh i v 2 = 15 m/s. a) Ko1ika je brzina prvog vozila u odnosu na drugo ako se gibaju u istom pravcu i smjeru? b) Kolikaje relativna brzina vozila ako se gibaju u susretjedan drugom? c) Ko1iko ce dugo prvo vozilo pretjecati drugo ako su duljine jednake i iznose 1 = 3 m? d) Koliko dugo ce se mimoilaziti ako se gibaju ususret jedno drugom? a)v=5m/s, b)v.=35m/s, c)t=1,8s, d)t=0,17s

\

Pocetno rastojanje izmedu njih je 50 m. Poslije ko1iko vremena ce automobil stici biciklistu?

12. Vozi1o se giba 18 minuta brzinom 80 kmlh, a zatim 12 minuta brzinom 50 km/h. Kolikaje srednja brzina vozila? vs=68 km/h

v =4,8 m/s

v1 = 24

mls,

v2 = 8 m/s

t = 1,5 h, s 1 = 90 km

17. Brzina rijeke je 2 rnls, a camca prema rijeci 5 rnls. Izracunaj brzinu eamca prema oba1i: a) nizvodno; b) uzvodno; c) okomito na tok rijeke .. a) Vfniz = v, +v2 = 7 rnls, b) Vfuz = v,- V2 = -3

mls,

c) v (;0

=Jvt +vi

=5,4

mls

18. Brzina broda niz rijeku je 24 kmlh u odnosu na oba1u, a uzvodno je 16 kmlh. a) Kolikaje brzina broda? b) Kolikaje brzina rijeke u odnosu na obalu? a)vb=20km!h, 19. Djecak pliva preko rijeke brzinom 2 kmlh okomito na obalu rijeke. Rijeka tece brzinom I kmlh. Izracunaj rezu1tantnu brzinu racunski i graficki.

v;=v:+vi

Vr=

2 1

Jv +vi =5mls

s

'r IZ

Vr = 2,24 kmfh 20. Kap1jica kise pada kroz zrak brzinom 4 rnls. Kolikom ce brzinom padati ako pilSe horizonta1ni vjetar brzinom 3 rnls? Izracunaj racunski i predstavi graficki.

b)v.=4km!h

v,

0

!v2

J

.F01 vljJ

21. Djecak pliva preko rijeke okomito na smjer struje brzinom 2 rn/s. Rijeka je siroka 20 m. Za vrijeme prijelaza struja ga ponese 5 m nizvodno. Izracunaj brzinu rijeke. t=s/vd = 10 s

,

2 +s 2 d= ~s +s;,

vs-

s

v,

d =206m ,

d

s

. d 2,06 rnls Rezultantna brzma: VR = -= t Brzina rijeke: Vr = Jv~

- v~

= 0,49 m/s

41

·I' I

!

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 22. Brzina camca je 16 km!h, a rijeke 6 kmlh. Izracunaj: a) brzinu camca u odnosu na obalu kada camac plovi uzvodno, nizvodno i okomito na obalu; b) vrijeme potrebno camcu da preplovi rijeku siroku 32m; c) gdje ce camac pristati na drugoj obali. a)Vcuz==10kmlh, Vcniz==22krnlh, Vcok==17,1km/h, b)t==7,2s, c)s==12m 23. Lovac ispali iz puske metak u horizontalnom pravcu. Brzina metka je 400 rn/s. Kolika ce biti udaljenost AB metka od covjeka, koji se nalazi u tocki A, u trenutku kada on cuje pucanj? Udaljenost OA == 0,4 km. Brzina zvuka c == 330 m/s.

2

2 ,

'

cl I

Gi\. . . . . . . . . .

x=~(c·t) 2 +(v·t) 2

o--A

x== 627,45 m

.,. ................ " "

---~

X

2

29. Brzina tijela na kraju prve sekunde gibanja je 2 rnfs. Ako je tijelo poslo iz mirovanja, kolika je njegova brzina poslije I 0 s i koliki put prijede tijelo za ovo vrijeme?

0_r:r-------------v B

Za vrijeme dok zvuk prijede put OA = d == c · t, metak ce prijeci put OB = v · t, pa ce metak tada biti na udaljenosti x=JOA +0B

28. Brzina nekog tijela se promijeni od 2 mls na 12 m/s za vrijeme 5 s. Koliko je ubrzanje tijela i koliki je put preslo za ovo vrijeme? Smatraj da se brzina tijela povecava jednoliko. a= tw = v2 -v, = 2 m/sz, at 2 6-t llt s=v ·t+- =35m

a= 2 m/s

2 ,

v = 20 mls, s =100m

2

30. Dana je jednad.Zba gibanja s = 2 · t- 0,6 · t • Kolika je: a) pocetna brzina, b) ubrzanje, c) brzina poslije 0,5 s od poeetka gibanja ? 2 Jednad.Zba s 2= A · t - B · t predstavlja put kod jednako usporenog gibanja, koja glasi

at 2

•

•

•

s = v 0 ·t ----. Uspored1vanjem dob1vamo:

24. lz dva grada ( A i B ), koja su na rastojanju d == 252 km istovremeno su krenula u susret dva automobila, gibajuci se brzinom v 1 = 54 krn/h i v 2 = 72 kmlh. Poslije koliko vremena i na kom rastojanju ce se automobili sresti ?

~·v, d=

S1 +S 2

A

d t=--=1h v 1 + v2

d=v 1 ·t+v1 ·t,

E

_...2.-

0

~t-

s,

.f

~

SJ

s, == 108 km, s 2 == 144 km 25. Gibajuci se niz rijeku, od jednog pristanista do drugog, brodu je potrebno vrijeme t, = 8 h, a za A plovidbu u suprotnom smjeru potrebno je vrijeme t 2 =10 h. Brzina broda po stajacoj vodi Oezeru) je v = 18 kmlh. Koliko je rastojanje izmedu gradova?

v,

d

~

B

at,z Vmax =-z=-2-·tl

'j'

(

II

Sl =vsr ·tl

=

VO

2

+ v,.,. 2

.~: • 1

V max

·!I =-2-·t,

J

3

26. GibajuCi se brzinom 20 rn/s vozilo se zaustavi za vrijeme 0,5 s. Koliko je usporenje vozila? Koliki ce put prijeci vozilo za to vrijeme? Nacrtaj dijagram brzine vozila u funkciji vremena.

'~

:=a

10

H ·,

0.1

O.J

0,4

0.5

27. Automobil se giba brzinom 18 km!h, a zatim vozac "dajuci gas" poveca ravnomjemo brzinu na 72 krnfh za vrijeme I 0 s. Koliko je ubrzanje automobila i prijedeni put? a = 1,5 mfs, s == 125 m

2

2

3

s

t.k=t,+t2+t3

!1=0,02h,

s s -=l 1 +f2 +l3 --?t 2 =--t,-t 3 , vsr

t3=0,03h

!2=0,172 h

VSI'

B d ,. d . uk u UCI a1e upanput:s=s,+s2+s3,

Vmnx vmn, s=-·t +vm,.·l +--·t 1 2 1 1 3

' max== 60,9 km (" == 16,9 m ( s

'.,., ·!--1

;:;a

2 2

s = a· t 3 = vm,. . t

Vrijeme za koje bi vlak presao rastojanje (s) gibajuci se jednoliko srednjom brzinom v, jednako je vremenu za koje bi presao istu udaljenost gibajuci se promjenljivo, tj.

t.k=-, vsr

0

Sl

Tijekom vremena t3 vlak se giba usporeno i prede put:

d == 160 km

s=5m

-~~

:: 1

Tijekom vremena t2 vlak se giba jednoliko i prede put : s = v.," ·!

v = v·(lz -t,) =1kmlh r t, + lz '

Usporenje vozilaje:

'"~-"~' ----1 '

Vlak dostigne maksimalnu brzinu na kraju vremena t~, za koje prijede put s a=-(l-,

Relativna brzina broda (u odnosu na obalu) nizvodno je: v1 == v, + v, v r- brzina rijeke, pa je rastojanje d=v 1 ·t 1 =(v, +v)·t 1

a= 6-v = vz-v, = v.-o =40mfsz 6-t t 2 -t 1 t-0

31. Prelazeci udaljenost s = 12 km, vlak se gibao srednjom brzinom v, = 54 krn!h. Tijekom vremena t = 1,2 min 1 vlak se gibao jednako ubrzano, zatim neko vrijeme t 2 jednoliko i najzad, tijekom vremena t 3 = 1,8 min gibao se do trenutka zaustavljanja jednako usporeno. Kolikom se maksimalnom brzinom gibao vlak?

V max

v,

~

____!__..

a) v0 = 2 m/s, b) a= -1,2 m/s 2, c) v = vo- a· t == 1,4 m/s

32. Nacrtaj dijagram brzine i puta sa slijedecim podacima: - 6.s s - s 20- 0 AB·v=-=~=-=40 m/mm • 6_( f B -fA 0,5- 0 ' 0

- 6.s s -s 8 40-20 BC:v=-=-c-- =-=lOOm/min !!.t tc-t 8 0,7-0,5

CD:v=O

~~~·

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA l mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 42. Plivac je preplivao rijeku siroku 80 m za 2,5 minuta plivajuci okomito na tok rijeke. Pristao je na drugu obalu 18m nize od mjesta polaska. Odredi: a) brzinu plivaca, b) brzinu rijeke. Vp = 0,55 rnls, v, = 0,12 rnls

33. Opisi gibanje sto ga predstavlja dijagram na slici. a) Koliki je ukupni put tijelo preslo? v (rnls) 8 AB : jednoliko ubrzano, 20

t

BC: jednoliko usporeno CD : jedno1iko gibanje, DE : jednoliko usporeno

16

l\ ... ~.c .

D ~

43. Ova tijela krenu istovremeno iz iste tocke u medusobno okomitim smjerovima. Tijelo A 2 se giba jednakom brzinom I 0 m/s,a tijelo 8 jednako ubrzano akceleracijom 5 rnls bez pocetne brzine. Koliko su se tijela medusobno udaljila nakon 2 s? d =22,36 m

E

s= 170m

5 34. Na slici je prikazan grafikon brzine nekog vozila. a) Opisi kako se vozilo gibalo b) Koliki je put prevalilo u prve tri sekunde, koliki izmedu trece i pete sekunde, koliki izmedu pete i devete sekunde? c) Nacrtaj grafikon puta ovog gibanja.

t (s)

17

9

44. Kuglica postavljena na pocetak nagnutog zlijeba dugog 120 em otkotrlja se do kraja zlijeba za 4 s. Odredi: a) srednju brzinu centra kuglice , b) brzinu centra kuglice na kraju zlijeba, c) ubrzanje centra kuglice. 2 a) Vsr = 0,3 m/s, b) VK = 0,6 rnls, c) a= 0,15 m/s

v(m/s} ZD

15 10

5~

I

I

I

I

I

I

I

I

I

)

012]4S67891Dt(s)

St

= 60 m, sz = 0, S3 = 20 m

a) Nacrtaj dijagram brzine tijela koje se giba stalnom akceleracijom 2 m!SZ. 35. b) Odredi pomocu dijagrama i racunski brzinu tijela nakon 3 sekunde. c) Odredi put sto tijelo prede izmedu druge i pete sekunde. v =6rnls, 3

45. Gibanje materijalne tocke odredeno je jednad.Zbom: s = IO·t + 0,4·2. Napisi zavisnost v = v (t).

Sz-s= 16m

36. Nacrtaj dijagram brzine za dizalo koje se uspinje konstantnom akceleracijom i za 1,5 sekundi postigne brzinu 3 m/s, a zatim 4 sekunde jednoliko, pa usporava i zaustavi se poslije 2 sekunde. Na koju visinu se podiglo dizalo?

h= 17,25 m

37. Zrakoplov leti stalnom brzinom 200 m/s. Okomito na smjer

njogo" gibMjn """"' pubnti vjowmzinom 30 ml<. a) Kolika je rezultirajuca brzina zrakoplova? b) Za koliko se promijeni brzina zrakoplova? VR = 202,2 rnfs, fl.V = VR- VA= 2,2 mfs

d-

38. Polumjer Zemlje je 6370 krn. Za koje vrijeme ce avion obletjeti Zemlju na visini 9 krn ako leti brzinom 900 km!h?

s = 2 (R +h)

·It

...

""

:;1

G''······. 'It

li.· v

46. Oanaje jednad.Zba s = 6·t- O,S·f. Kolikaje brzina nakon 5 sekundi od pocetka gibanja? v= 1 rnls 47. Ova tijela krenula su iz istog mjesta u razmaku od 40 minuta. Prvo se gibalo brzinom VJ = 36 krnlb, a drugo brzinom Vz = 15 rnls. Poslije koliko vremena ce drugo tijelo stici prvo i koliki ce put prijeCi kad ga dostigne? tz = 80 min, s = 72 km SJ = Sz, s1 =v1 ·t1 , sz = Vz · tz, 48. U isto vrijeme, u istom pravcu i smjeru stavljena su u gibanje dva tijela. Jedno se giba jednolikom brzinom v = 0,5 mls, a drugo jednako ubrzano bez pocetne brzine sa ubrzanjem a= 0,2 rnls 2. Poslije koliko ce sekundi drugo tijelo sustici prvo i koliki put ce prijeci? Rijesi racunski i graficki.

SJ

= V·t

s(m) 3

2,5 2

1 2

3

4

5

t(s)

........j

t =44,5 h

sz = at2/2 39. 8rzina broda u odnosu prema rijeci je 15 km!h, a brzina rijeke je 3 km/h. Za koje vrijeme ce brod prijeci udaljenost od 36 krn gibajuCi se: a.) uzvodno, b.) nizvodno? a)t=3 h, b) t=2 h 40. Motomi camac giba se okomito na pravac toka rijeke brzinom 18 km/h. 8rzina rijeke je 2 m/s. Odrediti brzinu gibanja camca u odnosu na obalu: graficki i racunski. v = 5 m/s 41. Automobil prelazi rastojanje 9 km brzinom 36 km/h, a sljedecih 27 krn brzinom 54 km/h. Odredi srednju vrijednost brzine na cijelom putu.

v= 10+0,8 t

Vsr

t= 5 s

49. Autobus prevali put izmedu dva mjesta za tri sata uz prosjecnu brzinu od 60 krnlh. Koliko ce vremena voziti u suprotnom smjeru po magli uz brzinu od 40 krn/h? tz = 4,5 h 50. Tramvaj se izmedu dviju krajnjih stanica udaljenih 15,8 krn gibao prosjecnom brzinom 14 krnlh. Koliko traju sve voznje dnevno ako se tramvaj na polaznu stanicu vracao sedam puta? t = Suklv = 15,8 h

=48 km/h 45


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 51. Dva ucenika udaljena ISO m istovremeno potrce jedan prema drugom. Jedan trCi brzinom 6 m/s, a drugi 9 mis. Poslije koliko vremena ce se susresti ? t= 10 s 52. Tijelo se gibajednako ubrzano iz mirovanja i za 15 s prijede put 180m. a) Koliku udaljenost pr:ijede tijelo za 5 s? b) Koliku brzinu ima to tijelo na kraju pete sekunde? a) s=<20 m,

58. Pri kocenju za 7 (s) brzina autornobila se smanjila od 72 krnJh na 21,6 krnlh. Odredi usporenje i prijedeni put. a = 2 rn/s

b) V(s)=S m/s

St = Vt·

t1,

a= 1 m/s 2

55. Analizirajuci dijagram odrediti vrste gibanja i puteve koje je tijelo preslo u svakom od tih interval a.

-v(m/s) 2 I) U prvih 5 (s) tijelo je povecalo brzinu od 30 vo = I 0 (rnls) do v = 30 (rn!s) ito je jednako 20 ubrzano gibanje sa ubrzanjem 2 10 a= (v- vo)/t = 4 m/s , a pr:ijedeni put je: Sz s1 2 St = vo · tt + att 12 = 100m. Isti rezultat se 0 5 9 12 t(s) dobije i preko povrsine trapeza: P = St =(a+ c)· h/2 =100m 2) Od 5-te do 9-te (s) tijelo se giba const. brzinom, tj. v = const., paje: sz = v · tz = 30 · (9- 5) = I20 m, iii preko povrSine pravokutnika: P = sz = (9- 5) · 30 = I20 m. . 3) Od 9-te do 12-te (s) tijelo se gibajednako usporeno sa usporenjem a= v/t3= 10 m/s2 Prijedeni put S3 = v · t 3 - at/12 = 45 m, iii preko povrsine trokuta: P =s3 =(12 -9) -30/2 =45 m.

56. Camac je plovio 2 sata prema sjeveru i presao 12 km, zatim 3 sata prema istoku i presao 16 km. Odredi: a) duljinu puta koju je presao, b) srednju brzinu camca na putu, c) duljinu pomaka, d) srednju brzinu pomaka.

,,~' i\r

57. Kolikim se ubrzanjem giba vlak koji na dijelu puta duzine 5 km poveca svoju brzinu od 54 km/h na 90 km/h? a =0,04 m/s 2

tz = t 1 + 0,2 h

s = Vo · t +a· f/2

= 48 km,

Sz

=

60 km

v = 245 m/s , s = 3,1 km

61. Koliki put prijede automobil od starta do trenutka kad mu brzina dostigne 22 m/s, ako stalno ubrzanje iznosi 3 rnls 2 ? 2

=

2a·s

s = 81 rn

62. Dva tijela pocnu istovremeno se gibati uniformno Qednoliko) raz1icitim pravocrtnim putanjama. Za vrijeme 14 s oba tijela prijedu ukupno rastojanje 147m, pri cemuje odnos v 5 njihovih brzina--!. =-. Kolike su brzine v i Vz ? 1 v2 7 St =v• · t, Vt =5/7 · Vz, Sz =vz · t, S = St + Sz = (Vt + Vz) · t = (5/7. Vz + Vz) · t Vt

= 4,37 m/s,

v2 = 6,12 m/s

63. Dva promatraca Pt i P2 nalaze se podjednako udaljena od vertikalne stijene, tako da je njihova medusobna udaljenost 21 = 340 m. Kad promatrac Pt ispa!i hitac iz puilke, drugi promatrac Pz cuje dva pucnja u vremenskom razmaku t = I s. Kolika je udaljenost promatraca od stijene, ako se zvuk prostire brzinom c = 340 m/s ? d=c·t=340m 2 x = d2 -

r;

e

x=294 m 64. Jedan automobil krene iz mjesta A prema mjestu B, a pola sata kasnije krene drugi automobil iz B prema A. Srednja brzina prvog auta VtsR = 50 krn!h, a drugog VzsR = 45 km!h. Udaljenost AB = d = 120 km. Gdje i kada ce se sresti ova dva automobila? Rijesi racunskim i grafickim putem.

A

a) Suk = 28 km, b) Vsr = 5,6 km/h, c) M = 20 km, d) v = 4 km/h

Sz = St + 12 Jan,

St

V- vo

It+ h = a-i/2

s2 = Vz · tz ,

60. Avionje letio brzinorn 234 krn!h i poceo se gibati ubrzano, ubrzanjem 9 rn!s 2 za vrijeme od 20 s. Izracunaj brzinu koju je postigao i put koji je preletio pri jednako ubrzanom gibanju. v= vo +a· t,

54. Iza autobusa se istom brzinom giba automobil, tako da mu je prednji kraj pored zadnjeg kraja autobusa. Koliko ubrzanje treba imati pa da pretekne autobus za 5 s? Duljina autobusa je h = I0 m, a auta )z = 2,5 m. It

s = 91 m

59. Vozilo je brzinom v 1 = 48 krn!h preslo udaljenost izmedu dva mjesta. Povratni put bio je za 12 km duii, a vozilo se gibalo 12 min duze brzinom 50 krn!h. Koliko su dugacki putovi?

53. Auto bus je krenuo iz mjesta A stalnom brzinom v 1 "' 50,4 kmlh. 10 minuta poslije iz istog mjesta krenuo je automobil brzinom v 2 = 72 kmlh. Nakon koliko vremena ce automobil stici autobus? t = 33 min i 20 s

h

2 ,

d-x,;,Vtsr · t Vzsr · (t- 0,5 h)

X=

A~"~·>

d-x ~

C

~~

gB

r .. -----·-·-·--;.;.:·------....!L. _______

d - x = 75 km , t = 1,5 h

j-

s(hn);;,

B

;:t-·

C.

I

301" I

A~'-~-~-+--~ ~

1.5

2 t (h)

r i

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 mr. Ze1jko Stapic: FIZIKA 1 3 65. Ko1iki je unutamji promjer (d) cijevi kojom se puni rezervoar vo1umena V = 10m , ako voda istjece iz cijevi sta1nom brzinom v = 2 rn/s i ako punjenje rezervoara treba trajati 12 minuta? Protok

Q = V/t, Q = S · v

71. Na stazi dugackoj 100m tree tri trkaca. Prvi na cilj stigne za 12 s, drugi za 12,5 s a treci za 13 s. lzracunaj njihove srednje brzine i medusobne udaljenosti u trenutku kada prvi stigne na cilj.

d=9,4 em

V=S·v·t=d2 ·!!._·v·t

I

~v,

3

_...v, -;.V,

11

-

- f>Su J

1

•

M].J

v, = sit, = 8,333 rn/s, v2 = s/t2 = 8 rn/s, V3 = s/t3 = 7,692 mls

4

~1.2

66. Tije1o se giba po pravacrtnoj putanji sta1nom brzinom i za 4 h prijede izvjesnu uda1jenost. Ako je brzina tije1a veca za 5 km/h, onda mu je potrebno 3 h manje da bi jednakim gibanjem pres1o isti put. Ko1ike su brzine v 1 i v 2? Kolikaje uda1jenost? s=v 1 · t S = (VI + 5) · (t- 3)

St = 7,5 m,

v, = 1,67 km!h, Vz = 6,67 kmlh, s = 6,68 km

t 1 = s 1/v 1 = 40 s,

sz = 45 m, = 35 m,

S4

0

5

JO

.to

50

60

{

s,

=

s2

7,7 m S3

V 5r

= 8 m/s

ubrzanje tije1a smatrajuCi ga kanstantnim. a= (v- vo)/t, s = vo · t + afl/2 v=5·v , 0

a =2,33 m/s

2

\.... ,

69. Jedan autamobi1 cija je sta1na brzina v, = 70 krn!h, v, v, I 2 : : ~ pretjece drugi automobi1 koji se giba sta1nom brzinom v 2 = 60 km/h. Du1jine automobi1a su po 1 = 4 m. Koliko je vremena potrebno za pretjecanje i ko1iki put ce prijeci automobil koji pretjece, ako je uda1jenost izmedu automobi1a prije i pas1ije pretjecanja d = 20 m? s 1=v1·t

t=17,3s,

v, =4 m/s

75. Ptica leti brzinom 0,8 m/s i preleti 25 m prema istoku, 15 m prerna jugu, 10 m prema zapadu, 5 m prema sjeveru. Odredi: a) ko1ika je njezina udaljenost od mjesta polijetanja, b) kolika vremena traje let od povratka na palazno mjesto (istim putem), c) koliko vremena hi trajalo prelijetanje istog dijela puta s ubrzanjem 0,2 m/s 2? a)

~d =" ~d

2-s = v, · t1

(s)

68. Tije1a prijede 63 m za 6 sekundi, pri cemu se njegova brzina povecava pet puta. Odredi

s=2·1+2·d, t=s/!:w,

s- v3 · t,

t3 = s3/v3 = 20 S,

t2 = sz/v2 = 30 s,

s = v. t = 1,8 km, 10

.Y~.

,.

~t.J =

74. Uceniku je patrebno 30 minuta da dode ad kuce do skate, gibajuci se prasjecnom brzinam 3,6 kmlh. U skoli je ustanovio 15 minuta prije pocetka sata da je zaboravio knjigu. Kojam brzinom treba otici po knjigu, ada ne zakasni?

S6 =10m. Suk = l: S; = 157,5 m Vsr = Sukftuk = 2,62 m/s

-.:-

v2 · t, - v3 · t 1 = 3,7 m,

73. Biciklist je presaa put duljine 30 km brzinom 15 kmlh, a 54 km brzinam 18 kmlh. a) Ko1iko je vremena praveo na tom putu? b) Odredi srednju brzinu tog gibanja. luk = 5 h , Vsr = 16,8 km/h

ss =20m,

;~.1

~2,3 =

72. Jedan trkac je pretrcao put duljine 720 m. Polovinu puta je trcao brzinom 9 m/s, trecinu puta brzinom 8 m/s, a preastali dio puta 6 m/s. Odredi srednju brzinu na tom putu.

67. Danje dijagram brzine u funkciji vremena. Ko1iki put ce prijeci tije1a za 60 s i ko1ika mu je srednja brzina?

,s 3 = 40 m,

= s- v2 · t, = 4 m,

s 1 =336m

70. Teretni v1ak se giba jedno1iko pravocrtno brzinam 36 km/h. Gibajuci se istim ko1osijekam, za njim naide drugi v1ak brzinam 30 rn/s. Strojovada drugog v1aka pacne kaciti u trenutku kad je rastajanje medu v1akavima 200 m. Kocenje izaziva usparenje 1,5 rn/s2 • Hoce 1i se v1akovi sudariti (ina kojem mjestu, aka ce se to desiti)? Za drugi v1ak vrijedi re1acija (da bi se zaustavio, Vk = 0): vk = v - a· t ~ t = 20 s (vrijeme zaustavljanja drugog v1aka). 2 2 Za to vrijeme once prijeCi put: s2 = v2 · t- at /2 =300m Za isto vrijeme prvi (teretni) v1ak ce prijeci put: s, = v, · t =200m Znaci, nece se sudariti jer ce medu njima biti uda1jenost: d 1 = d + s,- sz = 100m d 1 =100m

2 2 2 s = (s,- s3) + (s2- S4) , s = 18,03 m

b) tuk = 2 (s1 +

Sz

c) s = at2/2 ,

+ S3 + S4)/v, tuk = 137,5 s

.... ....

s,

.... ....

s ........

t=23,5 s

.... ....

s2

....

S4

SJ

76. Putnicki vlak cija je brzina 80 kmJh posao je iz mjesta A u B. Jedan sat kasnije u istom pravcu posao je brzi vlak gibajuCi se prosjecnom brzinam 100 km/h. a) Nakon koliko vremena je brzi vlak stigao putnicki ? b) Na kojoj udaljenosti od mjcsta A je brzi vlak stigao putnicki ? t 1 = 5 h, t 2 = 4 h, s = 400 km 77. Srednja brzina gibanja automobila je 10 m/s. Kojom se brzinom gibao automabil prvih 5 s, aka je preostalih I 5 s presao put od 120 m? tuk = t1 + t2 = 20 s,

s, + s2 =

vsr . tuk

s 1 =80 m

v,

=

s,lt,

=

16 m/s

49

Jl'' mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

v 78. Koristeci se grafikonom, izvedi formulu za srednju brzinujednoliko promjenjivog pravocrtnog gibanja. Povrsina ispod crte predstav1ja prijedeni put. Treba izracunati povclinu trapeza:

a+c P=--·h

vk

OB=v0 , AC=v, OA=t

Vo

2

OB+AC -OA

2

s

at=v-vo,

=

S!

+ Sz

A

,._,

'-

i'lo

D 12

t (s)

(rnls2)

l I

3

I I

2

i

2 0

v

v c canst.

-I

I

I

I

I I

I I

2

I i

I

13

0 4

is

I

I

t (s) -2 v=2 m/s

~s=5m

D. Odredi prijedeni put i pomak s dijagrama.

2

3

- j6

14

5

I

-t(s)

I

I

I

E. Napisi jednadibe brzine i puta tijela A i B.

: t
A:

'W

A

Vo

:t

I

S1 = v 0 • t

3vo

C. Zadanje dijagram ubrzanja. Odredi krajnju brzinu tijela.

v! (m/s)

I I

2

t, = - = 18,75 s,

a·t

--------------·,

vo

v=v0 +a·t,

79. Vozilo se giba brzinom 15 m/s i pocinje kociti usporenjem 0,8 roll dok se ne zaustavi. Zatim nastavlja 2 gibanje ubrzanjem 6 m/s dok ne postigne trostruku brzinu koju je imalo na pocetku gibanja, i da1je nastavlja jednoliko gibanje 5 minuta. Koliki je ukupan put pres1o vozilo? Nacrtaj v,t-dijagram.

B. Zadanje dijagram brzine. Odredi pomak.

I

a·l·l 1

,=-2- \

a· t s=P=v0 ·t+--

tl

B

b

c

D

b

tz=7,5s, sz=168,75m,

Oj

s3=v·tJ=l3500m, Su

B

v=5·t, s=2,s-e,

a

a ·t12 s 1 =v0 ·t1 - - =140,6m, 2

tq

v0 +v

t

S

A

VI=

v =-=-" t 2 Kod jednako ubrzanog gibanja brzina je linearna funkcija

v-vo ' a=--

v! (m/s)

2 a) aAo = 3,33 m/s , aco = 5 m/s2 b) Suk = 170 ID, C) Ysr = 14,2 m/s

0

P=svo+v ---2-·t P=

83. A. Zadanje dijagram gibanja. Odredi: a) srednje usporenje izmedu tocaka AiB,CiD b) put koje je tijelo preslo do zaustavljanja c) srednju brzinu gibanja

' A

"'"

= 13809 m

10

~

t(s)

B: v= 15 + 5·t, s = t5·t + 2,5.e

-2 80. Iz istog mjesta, u isto vrijeme i u istom pravcu i smjeru gibaju se dva tije1a. Prvo se giba jedno1iko pravocrtno brzinom 1 m/s, a drugo jednako ubrzano bez pocetne brzine ubrzanjem 0,4 m/s2 . Odredi: a) poslije ko1iko vremena ce drugo tije1o sustiCi prvo, b) koliki ce put prijeci tijela u promatranom vremenskom intervalu? a) t = 5 s, b) s = 5 m 2

81. Tije1o se iz mirovanja prve dvije sekunde giba1o jednako ubrzano s ubrzanjem 1 m/s zatim 5 s jednoliko da bi se za iduce dvije sekunde zaustavi1o. Odredi srednju brzinu i graficki predstavi u v,t-dijagramu.

Vsr =

1,56 m/s 2

82. Tije1o se giba pocetnom brzinom 1 m/s, i prve dvije sekunde giba se ubrzanjem 1 m/s , zatim 5 s jedno1iko da bi se za iduce dvije sekunde zaustavi1o. Odredi srednju brzinu i graficki predstavi u v,t-dijagramu.

Vsr =

2,4 m/s

Su =

26 m,

~s =

22 m

1•

t (s)

84. Automobil krene iz mirovanja i ubrzavajuci jednoliko za 20 s dostigne brzinu 54 krnlb. Sljedecih 50 s automobil se giba jednoliko, a onda se kocenjem zaustavi za 5 s. Odredi put koji je automobil presao za to vrijeme kao i srednju brzinu. Nacrtaj a,t i v,t dijagrame. Suk = 937,5 ID, V5 r = 45 km/h 85. Za vrijeme 2 s tijelo je preslo 5 m pri cemu se pocetna brzina povecala cetiri puta. Ako je gibanje bilo jednako ubrzano i pravocrtno, odredi ubrzanje tijela. a= 1,5 m/s 2 86. Tijelo se pocinje gibati jednako ubrzano i u petoj sekundi prijede 1,8 m. a) Koliki put prijede tijelo za prvih 7 sekundi ? b) Ko1iki je put preslo tije1o u sedmoj sekundi ? a) s = 9,8 m,

b) t.s = 2,6 m

51

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

r

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 96. Izracunaj vrijeme za koje autobus prijede put 2 km izmedu dvije susjedne stanice ako je 2 ubrzanje pri pokretanju 1,2 m/s , a toliko je i usporenje? Brzina pri ravnomjemom gibanju je 40 km!h. iuk = 189,5 s

87. Dva rijecna pristanista udaljena su 30 km. Pri istoj brzini camca u odnosu na obalu on prijede to rastojanje nizvodno za 1,5 h, a uzvodno za 3 h. a) Kolika je brzina camca? b) Kolikaje brzina rijeke?

a) Vf = 15 kmlh, b) Vr = 5 krnlh

88. Zrakoplov pri uzlijetanju mora dostici brzinu 250 km!h da bi se odvojio od piste. Smatra se da je gibanje zrakoplova po pisti jednako ubrzano. a) Koliko vremena traje uzlijetanje, ako se potrebna brzina dostigne na kraju uzletne piste cija je duzina I km? b) S kolikim 2

ubrzanjem zrakoplov uzlijece?

a) t = 28,8 s, b) a= 2,41 m/s

89. Dizalo se prve dvije sekunde podizalo jednako ubrzano i postiglo brzinu 5 m/s. Tom brzinom se gibalo 8 s, a onda se zaustavljalo jednako usporeno 3 sekunde. Odrediti visine podizanja dizala u sva tri vremenska intervala i ukupnu visinu.

Suk =52,5 m

90. Kompozicija vlaka sastavljena od IS vagona dugackih 10m i lokomotive dugacke 13 m prolazi kroz tune! dugacak 1500 m brzinom 40 km!h. Za koje ce vrijeme proCi vlak kroz t= 2,5 min

tune! ako je razmak medu vagonima lm?

91. lstovremeno se na razmaku od 5 km proizvedu dva zvuka. Nakon koliko ce se sekundi sastati ako se jedan giba kroz zrak, a drugi kroz vodu? Brzina zvuka kroz zrak je t= 2,8 s

Vz = 340 rnls, a kroz vodu Vv = 1440 m/s.

:t

92. Autobus se kod polaska ubrzava 0,3 rn!s2 . Kad postigne brzinu 30 m/s, nastavlja se gibati jednoliko. Koliki ce put prevaliti nakon 20 minuta od polaska?

94. Za vrijeme jednolikog gibanja vlaka brzinom 36 km!h otkaCi se zadnji vagon koji se nastavi gibati jednako usporeno i do zaustavljanja prode 10 s. Kolika ce biti udaljenost u

t.s =50 m

T 95. Iza kamiona na udaljenosti d = 20 m giba se autobus istom brzinom vo =2 10 rnls. U 2 trenutku kada autobus ubrza sa a 2 = 0,8 m/s , i kamion ubrza sa ai = 0,4 rnls • Za koje ce vrijeme autobus prijeci kamion i koliki je put pretjecanja? Duljine autobusa i kamiona su jednake i iznose 1 =12m.

98. Dva vozila na udaljenosti 200 m krenu jedno drugom u susret. Prvo se giba jednoliko 2 brzinom 5 mls, a drugo jednako ubrzano bez pocetne brzine, s ubrzanjem 2 m/s • Poslije koliko vrernena ce se sresti i na kojoj udaljenosti?

r + 5 t- 200 = 0,

x, 2 = ·

-b±.Jb2 -4ac ' 2a

t = 11,86 s, s = 140,65 m 2

99. Dva vozila gibaju se po ravnoj crtijedno drugom u susret stalnim ubrzanjima ai = 6 m/s i a 2 = 4 m/s 2 i pocetnim brzinama Vi = I 0 mls i v2 = 15 m/s. Udaljenost vozila je 750 m. Nakon koliko vremena ce se sresti? t = 10 s

I 00. Kompozicija vlaka se sastoji od n = I 0 vagona jednakih duljina. U momentu pocetka gibanja vlaka promatrac pocne mjeriti vrijeme potrebno za prolazak prvog vagona pored neke reperne (nepokretne) tocke neposredno ispred ruba prvog vagona. To vrijeme iznosi za prvi vagon ti = 5,5 s. Koliko vrernena prolazi ispred iste tocke posljednji vagon? Gibanje vlaka smatraj jednako ubrzanim. t= 0,88 s

Suk= 34,5 km

93. lz istog mjesta na rijeci krenu istovremeno dva camca u suprotnim smjerovima. Jedan nizvodno brzinom vi= 8 m/s, a drugi uzvodno brzinom v 2 = 10 m/s. Brzina rijecne struje je v, = 3 m/s. Kolikaje udaljenost izmedu camaca poslije 1,5 minuta gibanja? Suk = 1620 m

tom trenutku izmedu vlaka i posljednjeg vagona?

97. Vlak duljine 200m giba se brzinom I08 km/h. Putnik na sredini vlaka ispali hitac, ciji zvuk cuju strojovoda na pocetku vlaka i putnik na kraju vlaka u razlicitom trenutku. Izracunaj poslije kog vremena ce i jedan i drugi cuti zvuk? Brzina zvuka u zraku je 330 m/s. tp = 0,227 s, t. = 0,333 s

I 0 I. Na paralelnim kolosijecima dva vlaka se gibaju jednoliko jedan pre rna drugom. Iz vlaka koji se giba brzinom vi = 54 km!h putnik kronometrom izmjeri da vrijeme prolaska drugog vlaka iznosi 4 s. Duljina drugog vlaka je I = I 50 m. Kolikom se brzinom giba drugi vlak? V2 =81 kmfh 102. Dva grada nalaze se na istoj rijeci na udaljenosti 24 km. Brod koji saobraca plovi stalnom brzinom IS km!h. Kolika je brzina rijeke, ako je brodu potrebno 20 minuta vise da bi prevalio rastojanje uzvodno nego nizvodno? v.=2,2 km/h 103. Okomnito na pokretnu traku, koja se giba uniformno (jednoliko), naide u tocki A tijelo stalnom brzinom v = 0,4 m/s. Tijelo s trake side u tocki 8, koja je od \ tocke A udaljena s = 1,2 m. Sirina trake je b = I m. Izracunaj vrijeme za koje ce tijelo prijeci put s, kao i brzinu trake.

1

r=;s

t = 14,8 s, s 2 = 236 m t = 2,5 s, v, = 0,26 rnls

A

53

r-"


mr. Z.e1jko Stapic: FIZIKA 1 2

104. Automobi1 A k.rene sa stanice ubrzanjem a= 1 rnfs • Poslije 8 s za njim sa stanice krene 2 automobil B brzinom v = 10 rnfs i ubrzanjem 1 mis . K.roz slijedecih 8 s sa stanice 2 0 krene automobil C pocetnom brzinom v 0' i ubrzanjem 1 mis . Odredi: a) pos1ije kojeg vremena ina kojem mjestu ce automobi1 B sustici automobil A? b) kolikom brzinom bi trebao krenuti automobi1 C (vo' = ?) da bi stigao u mjesto sustizanja istovremeno s A i m/s B? a)t=24s, b) vo' =32 105. Vlak duljine 50 m giba se brzinom 72 kmfh. Njemu u susret giba se drugi vlak duljine 55 m, brzinom 54 kmfh. Ko1iko vremena prolaze vlakovi jedan pored drugoga?

110. Iz grada A krene automobil iz stanja mirovanja prema gradu B na udaljenosti 50 km od njega. Poslije 400 m automobil, gibajuci se jednako ubrzano, postigne brzinu 72 km/h i giba se jednoliko ovom brzinom dok ne stigne na udaljenost I km ispred grada B. Od tog momenta giba se jednako usporeno i zaustavi u gradu B. lzracunaj: a) ubrzanje i usporenje automobila, b) koliko vremena putuje automobil od A do B.

a) a 1 = 0,5 mls2, az =- 0,2 mls 2, b) t = 2570 s Ill. Stojeti na pomicnim stepenicama djecak stigne iz prizemlja na prvi kat za 10 s, a kad hoda uz pomicne stepenice, potrebno mu je 6 s. Ako djecak hoda po nepomicnim stepenicama istom brzinom, za koje ce vrijeme stici na prvi kat?

t= 15 s

t=3S

s: 1, + h,

re1ativna brzina: v, = v 1 + Vz,

106. P1ivac prelazeci iz mjesta A treba da prepliva rijeku, kao na slici. Ako bude plivao okomito na oba1u, za vrijeme t 1 = 5 minuta dospjet ce u mjesto C, koje je uda1jeno s = 60 m nizvodno od mjesta B. Medutim, ako bude p1ivao pod nekirn kutom a. u odnosu na pravac AB, nasuprot toka rijeke, onda ce dospjeti u mjesto B za vrijeme tz = 7 minuta. Smatraj brzinu rijeke jednakom u svim tockama, kao i brzinu plivaca. Izracunaj: a) brzinu rijeke, b) brzinu plivaca u odnosu na vodu, c) sirinu rijeke, d) kut pod kojim treba plivati. B

I 12. Auto pocinje voZr!ju ubrzanjem I mls2 u momentu kad pored njega u istom smjeru prolazi traktor stalnom brzinom I 0 mls. a) Poslije koliko ce vremena brzina automobila dostici brzinu traktora i koliko ee metara u tom casu traktor biti ispred auta? b) Poslije koliko ce vremena od pocetka gibanja auto dostici traktor i koliku brzinu ce tada imati? 2 c) ako u momentu preUecanja auto poveca ubrzanje na 2 mls , kolika ce biti medusobna udaljenost automobila i traktora nakon 30 s voznje od pocetka gibanja automobila?

a) t 1 =10s,As=50m, b)t2 =20s,v.=20m!s, c)As=300m

B

s

113. Odredi s dijagrama koliki ce put preci tijelo i kolika je srednja brzina.

v

v & (mls)

d

A A

a) v, =0,2 m/s, b) Vp =0,286 m/s, c) d"' 86 m, d) a."' 44"

107. Ves1ajuci u camcu brzinom v =3 kmih u odnosu na rijeku covjek se prevozi od mjesta A 1 do mjesta B. Za isto vrijeme, po1azeci od mjesta B motomi camac prijede cetiri puta ovo rastojanje, gibajuci se u odnosu na rijeku brzinom v 2=10 kmfh. U kojem smjeru tece rijekaPretpostavimo i kojom brzinorn? da rijeka tece od mjesta A ka B. Sredivanjem se dobije: + 40 v + 20: 0, v: - 0,5 kmlh Znak (-) oznacava da rijeka tece od mjesta B ka A, tj. u suprotnom smjeru od

~

pretpostav1jenog.

~

'

..

108. Na stazi duljine 3 km istovremeno startaju trkaci A i B. Trkac A pretrci prvu po1ovinu staze brzinom 6 mis, a drugu polovinu brzinom 4 rnfs. Trkac B prvu po1ovinu vremena svog trcanja brzinom 4 m/s, a drugu brzinom 6 m/s. Odredi: a) vrijeme za koje trkac A pretrci cijelu stazu, b) vrijeme za koje trkac B pretrci stazu, c) duljinu dije1a staze izmedu trkaca u trenutku do1aska brieg trkaca na cilj. a) t = 625 s, b) t = 600 s, c) As= 100m 109. Hidrog\iser putuje niz rijeku od tocke A do B 3 sata i 30 minuta, a nazad 7 minuta dulje. Odredi odnos brzina glisera i rijeke.

J

0

t, I

2

tz

!

3

4

a) s =14m, v, = 2,33 m/s

t3

! 4 \E 5

6

10

t (s)

2 3 4 b)s= 160m, v,= 16 mls

I I4. Vagon sirine 3,6 m giba se brzinom 54 km!h. Okornito na srnjer gibanja vagona doleti rnetak i probije obje strane vagona. Medusobni razrnak rupa koje napravi rnetak u stranicarna vagona iznosi 9 ern. Kolika je brzina rnetka? Vm

"'600 m/s

115. Stanice A i B su udaljene 9 krn. Vlak se giba iz stanice A i jednoliko se ubrzava 4 minute da bi se postigla brzina 60 krnlh. Tom brzinorn se nastavlja gibati jednoliko. Prije ulaska u stanicu B vlak se usporava jednoliko u trajanju od 2 minute. Odredi: a) koliko vrernena traje gibanje vlaka od stanice A do B, b) koliko traje vrijeme gibanja ako je vlak poslije polovine prijedenog puta srnanjio brzinu na 30 kmlh, kojorn se nastavio dalje gibati? Ubrzanje i usporenje su isti kao i u slucaju pod a). a) t = 12 min, b) t = 15,5 min

vg=61·Vr

55

Iii' I


mr. Ze1jko Stapic: FIZIKA 1

Slobodan pad, vertikalan bitac 116. Upravo kada je zakasnje1i putnik stigao na peron, ispred njega je pro1azio prednji kraj pretpos1jednjeg vagona i prosao za 8 s. Pos1jednji vagon je pored putnika prosao za 6 s. Ko1iko je zakasnio putnik? Vagoni su jednake du1jine i v1ak se gibao jednako ubrzano. t= 17 s

Tije1o pu§teno da u bezracnom prostoru s1obodno pada s odredene visine pada vertikalno na Zem1ju. Takvo gibanje nazivamo s1obodnim padom.

117. Na kojoj se uda1jenosti na1azi brod ako zvuk po vodi stigne od njega 5 s kasnije kroz zrak nego kroz vodu? Brzina sirenja zvuka kroz zrak je 340 m/s, a kroz vodu je 1440 m/s. s = 2225 m

Slobodan pad je gibanje koje nastane ako se tije1o s neke visine pusti i nastavi se gibati samo pod utjecajem Zem1jine sile teze. To je jednako ubrzano gibanje bez pocetne brzine. Za s1obodan pad vrijede obrasci kao za jednako ubrzano gibanje, s tim sto put oznacimo sa h, a ubrzanje sa g. Vrijede formu1e:

118. At1eticar je pretrcao stazu dugu 100m trceci prvih 25 m jednako ubrzano s ubrzanjem 3,125 m/s2, a preosta1i dio staze jednoliko. a) Za ko1iko vremenaje presao prvu cetvrtinu staze? b) Za koje vrijeme je stigao na ci1j? c) Koja je brzina pro1aska kroz cilj? a) t 1 = 4 s, b) tuK = 10 s, c) v = 12,5 mls 119. V1ak pode s ko1odvora povecavajuci jednoliko brzinu. Promatrac koji se na1azi pored pruge na pocetku kompozicije ustanovi da je prvi vagon prosao pored njega za 4 s. Koliko ce vremena pored njega pro1aziti drugi vagon? ~t= 1,66 s 120. Tocka prijede po1ovinu nekog rastojanja brzinom v0 • Preostali dio puta prijede brzinom v za po1ovinu vremena i brzinom v2 za drugu po1ovinu vremena. Izracunaj srednju 1

brzinu tocke tijekom cije1og vremena gibanja.

v = sr

2v0 (v1 +v2 ) Vl +Vz +2Vo

121. Promatrac koji u trenutku po1aska v1aka stoji pored njegovog prvog vagona, izmjeri daje prvi vagon prosao pored njega za 4 s. Ko1iko dugo ce se pored njega gibati sedmi vagon? Gibanje smatraj jednako ubrzanim.

v=g·t

v - trenutna brzina tije1a

h

2

h = g· t .

1 \.__;_v ..)

h- visina sa koje se tije1o pusti

2

V=~2·g·h g = 9,81 rnls2

ubrzanje Zem1jine sile teze (na 45° geografske sirine pri povrsini mora) g = 9, 78 rnJl - na ekvatoru g = 9,83 m/s2 - na po1ovima -

T / / / T7/ /

Slika 2.15. S1obodan pad

Putem pokusa uvjeravamo se da ce bi1o koja dva tije1a pustena istovremeno s iste visine u bezracnom prostoru pasti istovremeno na Zem1ju. Iz toga zak1jucujemo da na istom mjestu Zem1je, u bezracnom prostoru, padaju sva tije1a s jednakim ubrzanjem. To ubrzanje zovemo 2 ubrzanje s1obodnog pada. Ubrzanje s1obodnog pada jednako je 9,80665 m/s , sto zovemo norma1nim ubrzanjem, a ta vrijednost pribliino je jednaka ubrzanju na 45" geografske sirine i na nivou mora. Najcesce, medutim, uzima se da je ubrzanje s1obodnog pada na svim tockama Zem1je jednako 9,81 m/s 2•

At,=0,78 s

Hitac. Pod hicem se podrazumijeva gibanje tijela izbacenog izvjesnom poeetnom brzinom i na koje istovremeno djeluje sila Zemljine teze.

122. Promatrac koji stoji na platou stanice primjetio je da je prvi vagon v1aka prib1iZllvajuci se ko1odovoru prosao pored njega za 4 s, a drugi vagon za 5 s. Poslije ovoga, prednji kraj v1aka zaustavio se na rastojanju 75 mod promatraca. Smatrajuci gibanje v1aka jednako usporenim, odredi usporenje v1aka i du1jinu vagona. a = - 0,25 mls\ I = 22,5 m

Vertikalan hitac uvis je gibanje koje nastaje kada se tijelo izbaci vertikalno navise pocetnom brzinom Yo i nastavi se gibati samo pod utjecajem Zemljine tde. To je jednakousporeno gibanje s konacnom brzinom jednakom nuli i ubrzanjem (usporenjem) -g. JednadZbe gibanja analogne sujednadZbamajednako usporenog gibanja.

,--, (

v=vo-g · t

r-'(

g·t'

h=vo·t-2 2 v0 - V = 2 · g · h

\ I

Maksimalna visina izracunava se iz uvjeta da je brzina u 2

najvisoj tocki jednaka nuli (v = 0), pa je: hm =

;~.

Vrijeme hica do najvise tocke tp = ~ jednako je vremenu g padanja tijela u tu tocku.

lhm

i I

I

I_ lv

1-

c·u> -lv,

h

1

Jn/~7

Slika 2.16. Vertikalan hitac

57

~'1! N;--;,::.~·=-=--

-----------------

!1

!

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 Vertikalan hitac nadolje je gibanje koje nastaje ako se tije1o sa neke visine baci vertikalno prema dolje pocetnom brzinom v 0 i nastavi gibati samo pod utjecajem Zemljine sile teze. To je jednako ubrzano gibanje s pocetnom brzinom. Jednadzbe gibanja su analogne jednadZbarna jednako ubrzanog pravocrtnog gibanja s pocetnom brzinom.

•

10. Tijelo je baeeno vertikalno uvis. 8 sekundi od momenta izbacivanja gibalo se nanize brzinom 20 m/s. Odredi pocetnu brzinu tijela.

-

r I

!h

I

I'

-

v. = 58,48 m/s

l"c !

i I /--.\

11. Jedno tijelo je slobodno palo s visine od l 00 m, a drugo s visine od 25 m. Koliko puta je konacna brzina prvog tijela veta od konacne brzine drugog tijeia? VJ/Vz = 2

J........ . \.,,/i

12. Tijeio je baceno vertikaino uvis. Na kraju 6.sekunde gibalo se nanize brzinom 10 rn/s. Odredi pocetnu brzinu tijela. v. = 48,86 m/s

-,;,·V v = Vo

+g · t

I

g·e

h=vo·t+2 ,; - vo2 = 2 · g · h

Zadaci:

1.

77I7?l77TT

Stika 2.17. Vertikalan hitac nadolje

0

Tijelo je slobodno padalo 12 sekundi. S koje visine je palo i koliku je brzinu imalo na kraju padanja?

2.

h = 706,32 m, v = 117,72 m/s

Tijelo je slobodno palos visine 400 m. Odredi: a) vrijeme padanja, b) konacnu brzinu. a) t = 9,03 s, b) v = 88,59 m Tije1o je baceno vertikalno uvis pocetnom brzinom 50 rn/s. Odrediti vrijeme dostizanja

3.

maksimalne visine i maksimalnu visinu tijela.

Pet sekundi nakon lansiranja raketa ima brzinu 120 rn/s. Podrazumijeva se da se raketa giba jednako ubrzano. a) Ko1iko je ubrzanje rakete? b) Na kojoj se visini nalazi poslije 5 s? c) Kolika ce biti brzina poslije 15 s? a) a= 24 rn/s2, b) h =300m, c) v = 360 rnls

5.

6.

7.

Kuglica je izbacena vertika1no navise pocetnom brzinom Vo = 25 rn/s. Koliku brzinu ima kuglica poslije 2 s i na koju visinu se popela? v = 5 rn/s, h = 30 m Lopta je izbacena vertikalno uvis na visinu 20 m. Kolika je pocetna brzina lopte i poslije koliko vremena ce lopta pasti na zemlju?

8.

9.

v. = 20 m/s, t = 4 s

Koliko rastojanje tijelo prijede: a) za 5 s slobodnog pada, b) u petoj sekundi? a) 122,6 m, b) 44,1 m Tijelo je baceno vertikalno uvis pocetnom brzinom 100 rn/s. Odrediti vrijeme i najvecu visinu na koju ce tijelo dospjeti.

14. U vertika1nom oknu nalazi se mjesto A, za I= 15 m vise nego mjesto B. Iz oba mjesta puste se da siobodno padaju kugle i to: iz B za 0,5 s kasnije nego iz A. Kugie istovremeno stifu na dno okna. Izracunati visinu i vrijeme padanja kugle iz tocke B. Trenje sa zrakom zanemari. t 8 = 2,81 s, hu = 38,7 m 15. Kolikom pocetnom brzinom treba baciti tijelo vertikaino naniZe, da bi s visine od 15 m stigio na povr5inu zemlje za 1 s? Koliku brzinu ima tijelo pri udaru o tlo? v. = 10 m/s, v = 20 m/s

t = 5,1 s, h = 127,42 m

Brzina tijela pri slobodnom padu na zemlju je 160 rn/s. S koje visine je tijelo palo? h = 1304 m

4.

13. Tije1o se pusti da slobodno pada i u tocki A ima brzinu vA = 2 rn/s, a u tocki B, Vs = 14 rn/s_. lzracunati udaljenost izmedu tocaka A i B i vrijeme za koje ce tijeio prijeci tu udaljenost. AB = 9,6 m, t = 1,2 s

16. Tijelo se baci vertikalno uvis s povrsine zemije. Na visini od 10 m ima brzinu 5 rn/s. Izracunaj vrijeme za koje ce tijelo ponovo pasti na zemlju. t=3,02 s 17. Tijelo baceno vertikalno uvis nalazi se poslije t 1 = 2 s na visini h, a poslije t2 = 3,058 s bit ce ponovo na istoj visini, a nalazi se u fazi padanja. Izracunaj najvecu visinu koju ce tijelo postici kao i pocetnu brzinu. H = 30 ,73 m, v. = 24,5 m/s 18. S tornja visokog h = 120m pusteno je tijelo da slobodno pada. U istom momentu sa zemlje je izbaceno tijelo vertikalno uvis pocetnom brzinom 60 rn/s. Na kojoj ce se visini h1 ova tijela mimoici i koliku ce reiativnu brzinu (v,) imati u momentu mimoil&Zenja? h1 = 100 m, v, = 60 m/s 19. Padobranac iskoci iz zrakoplova na visini od 1145 m. Kolikom se brzinom gibao u trenutku kad mu se otvorio padobran na visini 300 m? v"' 129 m/s 20. Gumena traka se giba u horizontalnoj ravnini stalnom brzinom 0,9 rn/s. Na nju padaju istovremeno dvije kugle s visina h 1 = 20 m i h 2 = 30 m. Kolika je udaljenost mjesta gdje padaju kugle? s = 0,405 m

t = 10,19 s, s = 509,68 m

59 <;R

.

,_.r··'·:! '

'

.

.I !


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 21.

Dva tijela su istovremeno bacena jedno drugom u susret istom pocetnom brzinom 40 m/s; jedno vertikalno navise s povciine zemlje, a drugo vertikalno nanize s visine H koja je jednaka maksimalnoj visini koju moze doseci prvo tijelo. Na kojoj ce se visini iznad povrsine zemlje tijela susresti?

h1 =35m

22. Tijelo je baceno pocetnom brzinom v 0 = 28 m/s vertikalno navise. Poslije koliko vremena ce tijelo imati cetiri puta manju brzinu ina kojoj ce se visini tada nalaziti? t = 2,14 s, h =37m 23. Dvije lopte padaju na zemlju sa razlicitih visina. Razlika tih razinaje 12m. Lopta sa nize razine padala je 2 s. Odredi visine s kojih lopte padaju i razliku vremena udara lopti o zemlju.

h 1 = 31,62 m, h 2 = 19,62 m, .M = 0,54 s

24. Tijelo je slobodno padajuCi s visine H posljednjih 196,2 m preslo za 2 s. S koje je visine pocelo padati?

26. Jedno tijelo je pusteno da slobodno pada s visine 80 m, a u isto vrijeme je drugo tijelo baceno vertikalno navise s visine od 20 m. Kolika mora biti pocetna brzina drugog tijela da oba istovremeno padnu na zemlju? V0 = 14,8 m/s 27. S visine od 200m baceno je tijelo vertikalno nanize brzinom 10 m/s. Odredi: a) brzinu na kraju pete sekunde gibanja, b) prijedeni put za 5 sekundi gibanja, c) prijedeni put u sestoj

a) v = 59,05 m/s, b) h = 172,62 m, c) .6.h = 63,96 m

T 28.

Tijelo je pusteno da slobodno pada s visine 98,1 m. Istovremeno je sa zemlje izbaceno uvis drugo tijelo, brzinom 40 m/s. Za koliko ce se vremena tijela sresti i na kojoj visini iznad zemlje?

t = 2,45 s, h = 68,56 m

29. Covjek, koji stoji na vrhu zgrade, baci loptu vertikalno navise pocetnom brzinom 12 m/s. Lopta padne na zemlju nakon 4 s. lzracunaj: a) maksimalnu visinu u odnosu na zemlju koju dosegne lopta, b) koliko je visoka zgrada, c) brzinu lopte neposredno prije udara o zemlju.

30.

32. Gumena loptica padne s visine h 1 = 20 m na tvrdu podlogu i pri odbijanju smanji brzinu za 10%. Isto se desava i pri sljedecem odbijanju. Koliko vremenaje loptica u letu poslije prvog i drugog odbijanja do treceg i do koje visine dospije poslije treceg odbijanja? t. = 6,88 s, hJ= 13 m 33. Djecak baci loptu sa V na VIII kat, odakle lopta padne na I kat. Visinska razlika izmedu katova je 3 m. a) Kolikom je pocetnom brzinom djecak bacio loptu? b) Koliko je lopta padala od VIII do l kata, c) Koliko je vremena lopta provela u zraku? a) v0 =10,85 m/s, b) t = 1,9 s, c) t. = 3 s 34. S visine od 60 m tijelo je baceno navise brzinom 30 m/s. Odredi vrijeme gibanja tijela i brzinu kojuje imalo pri udaru od zemlju. t = 7,71 s, v = 45,58 m/s

H=593,5 m

25. Tijelo je baceno vertikalno uvis pocetnom brzinom 25 m/s. Koliku ce najvecu udaljenost dostiCi i gdje ce se nalaziti na kraju cetvrte sekunde? Hmax = 31,86 m, h(4) = 21,56 m

sekundi gibanja.

31. S vrha zgrade pocne padati kamen koji od promatraca P do zemlje padne za I s. Promatrac se nalazi 15 m iznad zemlje. Kolika je vis ina zgrade? H=20,2 m

a) Hmax= 78,48 m, b) H = 71,14 m, c) v = 39,24 m/s

Dva tijela su bacena sa istog mjesta vertikalno uvis jednakim pocetnim brzinama Vo = 12 m/s. Prvo tijelo je baceno ranije od drugog za 0,44 s. Za koje ce vrijeme od trenutka bacanja drugog tijela oba biti na istoj visini i kolika je ta vis ina? t = 1 s, h = 7,1 m

35. Iz kosare balona koji se podize jednoliko brzinom 5 m/s na visini 40 m od zemlje bacen je predmet uvis brzinom 7 m/s u odnosu na halon. Za koliko ce vremena predmet pasti na zemlju? Na kojoj visini ce se tada nalaziti balon? t = 4,33 s, Hb = 61,65 m 36. Tijelo je baceno vertikalno uvis pocetnom brzinom 60 m/s. Odredi brzinu i udaljenost od mjesta bacanja na kraju: a) cetvrte sekunde, b) desete sekunde. a) v = 20,76 mls, h = 161,52 m, b) v = 38,1 mls, h = 109,65 m 37. Dva tijela su bacena vertikalno uvis iz iste tocke i jednakom pocetnom brzinom v0 = 50 m/s, u vremenskom razmaku od 2 s. Poslije koliko vremena ce se tijela sresti i na kojoj visini ce se tada nalaziti? t = 4,1 s, h = 122,55 m 38. Kolikom brzinom treba baciti tijelo u vertikalnoj crti s visine od 80 m da bi trajanje pada do zemlje bilo: a) za 2 sekunde krace od vremena trajanja slobodnog pada s iste visine, b) za 2 sekunde duze od vremena slobodnog pada? a) V 0 = 29,2 m/s, b) V 0 = 42,87 m/s (navisc) 39. U posljednjoj sekundi svog slobodnog pada tijelo prijede polovinu ukupne visine padanja. Izracunaj: a) vrijeme pada, b) visinu s koje tijelo pada. a) t = 3,41 s, b) h =57 m 40. Na disku koji je postavljen vertikalno nalaze se zlijebovi koji su medusobno udaljeni za kut a = 30°. Istovremeno tijela se pocinju gibati {klizati) iz tocke A (na slici) po odgovarajucim zlijebovima. Za koje ce vrijeme tijela, ako se zanemare trenja i otpor zraka, stici na krajeve diska ako je promjer diska 2 m. (Galilejev problem) t = 0,638 s

A

~

(i !· \\J .

c\. ·. · .·... •.

/

~~

F

8

61 60

n!1

i : :•.

~-=~=------

-- --mr. Zeljko Stapic: FIZIKA l


Kruzno gibanje Izracunaj visinu s koje je tijelo pusteno da slobodno pada, ako je posljednjih 15m preslo

41.

42.

u

prirodi vrlo cesto srecemo procese i pojave koji se ponavljaju, npr: godisnja doba, izrnjena dana i noci, faze Mjeseca itd. Isto tako pri radu strojeva, mnogi njihovi dijelovi ponavljaju svoja gibanja. Takve procese i pojave pri kojima se sve promjene koje se dogadaju u odredenom vremenskom razmaku ponavljaju na isti naCin nazivamo periodicnim. Susrecemo ih u pojavama koje proucavamo u mehanici, elektrotehnici i mnogim drugim oblastima znanosti i tehnike. Gibanje materijalne tocke po kruZnici omogucuje nam da utvrdimo postojanje periodicnih gibanja i karakteristike periodicnog gibanja.

h=79;37 m

za 0,4 s. Tijelo lezi na strmoj ravnini Ciji je kut nagiba a =60° prema horizontu. Koje ubrzanje treba imati strma ravnina u horizontalnom pravcu da bi tijelo slobodno padalo vertikalno?

a a= 5,64 m/s

2

II

~-----

43.

'

Srednja brzina tijela pri slobodnom padu u posljednjoj sekundi pada je dvostruko veca nego u pretposljednjoj. S koje visine je palo tijelo?

h=30,65 m

Jednoliko kruzno gibanje Jednoliko krufuo gibanje je takvo gibanje po kruZnici pri kojem materijalna tocka za bilo koje jednake razmake vremena prelazi jednake lukove kruZnice. To gibanje je periodicno gibanje, cijaje periodicnost okarakterizirana periodom (T) i frekvencijom (t). Periodom gibanja nazivamo velicinu koju mjerimo vremenom za koje tijelo izvrSi jedan puni obrtaj. Frekvencijaje broj obrtaja materijalne tocke ujedinici vremena. Veza izmedu perioda

f

i frekvencije je U istom trenutku dvije kuglice padaju s iste visine; jedna bez pocetne brzine, a druga s 44. pocetnom brzinom v = 20 rn/s. Druga kuglica padne na tlo 2 s prije prve. lzracunaj 0

vrijeme pada druge kuglice i visinu s koje su kuglice pustene.

t = 51,6 s, h = 14092

[Hz=~].

Jedinica za frekvenciju je here.

Obodna brzina jednolikog kruZnog gibanja mjeri se duljinom luka kruZnice koji materijalna tocka prijede u jedinici vremena. Ako je s duljina luka, tada je:

m

Pocetnom brzinom 20 rn/s baci se kamen vertikalno nanize sa stijene u more. Zvuk udara 45. kamena o vodu cuje se poslije 2 s od trenutka bacanja. Izracunaj visinu stijene. Brzina zvukaje 340 rn/s.

=~

h =53,7 m

v=!..=!..:..!f.., t t 2nr v=--,

T

s = r·

za I obrt

t =T

t

Obodna brzina ima smjer tangente.

Kutna brzina ·. ro = .2 t ,

27t

ro = - = 27tf [rad/s] T Kutna brzinaje za sve tocke na istom radijusujednaka, a obodna brzina se mijenja u zavisnosti od duljine polumjera.

""' Slika 2.18. Jednoliko krufuo gibanje

1 obrtaj = 360° = 27t [rad]

=~ 60 30 Ukoliko je dan ukupan broj obrtaja (N), tada je veza sa kutom;

2

U tehnici se koristi broj obrtaja u minuti [n (0 /min)], paje ro = .2= 7t·

0

t

Kod jednako ubrzanog kruznog gibanja mogu se analogno primijeniti obrasci pravocrtnog gibanja.

.. . .

a= flro [rad/s 2],

Kutno ubrzanje

fit

.

.

.

ae 2 ,

ro =roo+ a·t ,

at'

Is to vnJedt 1 za Jednako usporeno gtbanJe:

2

ro2 -

roo2 = 2·a·t

ro.2 -

2

ro

= 2·a·t

63

r~

I


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Ako se gibanje prenosi s jednog kotaca na drugi (direktnim dodirom, npr. zupcanicima), remenom iii lancanikom, tada je prijenosni oc!nos (i):

Ukoliko se tocka giba ubrzano po kruznici, javlja se i tangencijalno, tj. pravocrtno ubrzanje koje ima pravac i smjer brzine.

a a,=r· a

. ro n1 d 2 r2 1 =1- = =-=0)2 n 2 d 1 r1 d- promjer kotaca, r- polumjer kotaca

I

Primjenom Pitagorina poucka dobije se totalno, tj. ukupno ubrzanje

I

a , ~" C

! -?

Obodna brzina u tocki dodiraje ista za oba kotaca

v=lj ·w,

2 c

2

a=Ja +a I =r·Ja +ro

\

4

Slika 2.19. Prijenos gibanja direktnim dodirom

--+ 1j ·w, =rz ·wz

v=r2·Wz

2

I. lskazi: a) 20° u rndijanima; b) 2 rad u stupnjevima

Neka na materijalnu tocku koja se giba po krivocrtnoj putanji djeluje stalna sila F okomita na pravac brzine. Tada ce brzina v ostati jednaka po velicini, a mijenjat ce samo smjer. lz ovoga zakljucujemo: jednoliko krumo gibanje nastaje samo u slucaju ako na tijelo koje se giba djeluje stalna sila, okomita na smjer njegovog gibanja i uvijek usmjerena na istu tocku, srediste kru2nice. I jednoliko kruzno gibanje, kao i svako drugo krivocrtno gibanje, mozemo promatrati kao slozeno gibanje sastavljeno iz jednolikog gibanja u smjeru tangente (zbog inercije) i jednako ubrzanog gibanja u smjeru sredista kru:Zne putanje (zbog djelovanja stalne si\e). Velicinu centripetalnog ubrzanja mozemo odrediti na sljedeci nacin: neka nakon vremena t tijelo prijede iz tocke Au tocku C. Kruzno gibanje po luku AC mozemo promatrati kao slozeno gibanje sastavljeno iz ovih dvaju gibanja:

8

b) 2n rad = 360° 2 rad = q> 0

27r20 rp =--=0 3489 rad 360 ,

c) !!..=90°

2

2·360 rp=--=1146° 2Jr ,

2. lskazi: a) 3 obrtaja u radijanima, b) 10 radijana u obrtajima, d) 3/4 obrtaja u stupnjevima. b) I obr. = 2n rad q> obr. =10 rad

q> = 6n rad = 18,84 rad

c)

1t

c) 1t rad u obrtajima,

rad = Y, obrtaja

q> = 1,59 obrtaja

d) I obr. = 360° 3/4 obr. = q> 0 q> = 270°

3. Osovina poveca brzinu sa 50 rad/s na 120 rad/s za 7 sekundi. Izracunaj kutnu akceleraciju i broj obrtaja za to vrijeme. Stika 2.20. Odredivanje centripetalnog ubrzanja

I ' 2 2 a c ·r+-a· 4 c ·t = v Ako je vrijeme t dovoljno malo, clan

m2 -m1

at 2

rad

.!.a;· t 2 4

moze se zanemariti, pa dobivamo

a, =r·w

2

Centripetalno ubrzanje (ac) naziva se jos i nonnalno iii radijalno ubrzanje.

•

rp=w1t+-=595rad, 2

N=94,7obrta}a

2

2

ac = r w = 2,96 rnls 2 , iii

v>

ili (v = r·ro)

/:;.w

a =/:;.t- = -/:;.( - - =10s2 ,

4. Po kruznici polumjera 30 em giba se kuglica kutnom brzinom n [rad/s]. Izracunaj frekvenciju, period, obodnu brzinu i centripetalno ubrzanje. w 7r I w= 27rf ---+! =-=-=0 T=-=2 s v=rw= 0,942 rnls 2Jr 2Jr , 5Hz f

I 2 • 2 2 a c ·r·t z +-a 4 c ·t =v ·t

r

c) n/2 rad u stupnjevima

c

Iz pravokutnog trokuta AOB primjenom Pitagorina poucka, dobivamo: (r+~af) 2 =(v·t) 2 +r 2

a,

a) 360° = 2n rad 20° = q> rad

a) I obrtaj = 2n rad 3 obrtaj a = q> rad

a) jednolikog gibanja brzinom v u smjeru AB, gdje je: s1 =AB =v·t b) jednako promjenljivog gibanja u smjeru BC, gdje je: I s2 =BC=-a ·t 2

2

/

0

Centripetalno ubrzanje

,:~::

____

Slika 2.21. Totalno ubrzanje Zadaci:

~

~,

IV

It

a, ·r = v2

ac

2 =~=2 r ' 96m!s

5. lzracunaj obodnu i kutnu brzinu te centripetalno ubrzanje ako kuglica za 6 sekundi obide kruznicu polumjera 2 m. s 2rJr 2Jr v1 v=-=-=2 09m!s w=-=1 t T ' T , 05rad/s a,=-= 2,18 m/ s 2 r

65

~rr~-=-::=::~:~~--"

----

---

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA l mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I II. Izracunaj obodnu brzinu Zemlje pri gibanju oko Sunca. Pretpostavi da je putanja krufua Cijijepolumjer150·106 km.

6. Za 2 minute, gibajuci se ravnomjerno po krufuici polumjera 10 em, kuglica napravi 240 obrtaja. Izracunaj frekvenciju, period, kutnu i obodnu brzinu, i centripetalno ubrzanje. -

N

J=-=2Hz t v = r·(j)= 1,256 ml s

1

-

--...

Kutna brzina Zemlje oko Sunca: 2;r 2;r 7 (j)=-= 2·10- rad/s T 365-24·3600

(j)= 2;rf = 12,56 rad Is

T=f=O,Ss

v2 2 a, =-=15 r , 775mls

ili ac=rol

Obodna brzina na putanji: v = r ·co= 3 · 104 rnls = 30 kmls

7. Obodna brzina tocke na rubu je 4 puta veca od obodne brzine tocke 3 dm blize osi rotacije. Izracunaj polumjer krume ploce koja ravnomjerno rotira i period rotaeije. Kako je co= eonst. i T = const., Ti = r-3,

v

v = r co

Vi =fiCO

V 1

r r-3

~

~ =4 VI r=4dm

12. Na va1jku polumjera 30 em namotan je konopae, koji se ravnomjemo odmotava. Za 10 s odmota se 15 m konopca. Izracunaj brzinu odmotavanja konopea i kutnu brzinu valjka.

;c;

3>-

(0

//r~~

/ ( f ;v,\l \\, )

Obodna brzina valjka jednaka je brzini odmotavanja konopea I v v=-= 1,5 m/s v= r·(i)---t (i)=-=5 rad Is t r

___

v = r · (j) ---t (i) = ~ = 50 rad Is r

"'~(0

•• •••

;t {=15m

IB

-~-

13. Prsten polumjera 5 em postavljen je izmedu dva ravnala koji se gibaju u suprotnim smjerovima brzinom vi= 10 ern!s i v2 = 6 ern/s. Izracunaj period rotaeije prstena.

n·;r (j)-30 (j)=------tn=--=477 7olmin 30 ;r , I T=-=0 126s f =!!___= 7,96 Hz f , 60 8. Vozilo se giba brzinom 54 km/h. Promjer kotaca vozila je 60 em. Izracunaj broj obrtaja u minuti, frekvenciju i period kotaca. n"' 239 olmin, f= 3,98 Hz, T = 0,25 s 9. Odredi period satelita koji kruZi oko Zemlje brzinom 7,73 km/s na visini 330 km. Polumjer Zemlje je 6370 km. v = s/t , Za I obrtaj s = 0 = 2(Rz +h) 7t , t = T

5atefit.

liA

~

'\rv

v = 2(R z +h)·;r ---t T = 5443 s = I h 30 min 42 s

Da bismo odredili period pogodno je smatrati da je donje ravnalo nepokretno, a da se prsten giba srednjom brzinom:

"

T

T

'

=~=1,47·10-3 rad/s n

Obodna brzina na ekvatoru: vc= Rz · co= 465 m/s Na geografskoj sirini 45°: v,= r · co= Rz- eos45° · co= 329 Na polu: vp= 0, jer je r = 0

T

14. Duljina minutne kazaljke sata je R = lm, a satne r = 0,7 m. Izracunaj kutne brzine kazaljki te brzine njihovih vrhova. (j)mi

Kutna brzina Zemlje oko osi: (j) = Z;r = 7, 3 -10-s rad Is

L~

vsr= (vi+v2)12 = 8 crnls s 2r;r v =-=----tT=3 925s

T

10. Izracunaj obodnu (linijsku) brzinu tocke na: a) ekvatoru b) na 45° geografske sirine c) na polu. Smatraj Zemlju loptom cijije polumjer 6370 km.

----;;.

_,..-vi

3600

2;r -S I (i)h=---=14,5·10 rad s 12·3600 vmin =R·(j).,;. =1,74mmls

Min. kazaljka napravi jedan krug za 3600 s, dok satna napravi za 12 sati, tj. 12· 3600 s. Odnos CUmin I COh = 12, ti- velika kazaljka se obme 12 puta, dok se mala obme jedanput.

vh =r·(j)h =0,7-14,5·10-s =1J-imls

v.

15. Na horizontalnoj ravnini nalazi se kalem konea (kao na sliei). Namotani konac se vuce brzinom v = 0,4 rnls. Izracunaj brzinu osi kalema u oba slucaja (kad se namotani konae vuce s donje strane, a drugi put s gomje strane). Polumjer kalema je R = 6 em, a namota r = 4 em.

Prvi slufaj

67

nrr.

\

~


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Brzina i smjer osi ka1ema (0) zavise od smjera rotacije (odmotavanja). Periodi za R i r su jednaki. Za vrijeme T os ka1ema prijede put sk= 2Rn:, pri cemu se odmota konac Sodm = 2m. Prema tome, brzina osi kalema je: vk= 2Rn:/T, dok je brzina odmotavanja konca Vodm = 2rn:IT. Vodm = vk- v. I. s1ucaj: Brzina koncaje: Vodm = vk- v 21l 0,4 =-(R-r) ~ T = 0,314s T

2

2

OA: w = Olo- a.t, w - WQ = 2 · a.·
4

2. s1ucaj Vodm= V + Vk; Vk = Vodm- V = 0,4 rnfs

Ukupno prijedeni kut:

0

16. Ako je period rotacije tocke 0,02 s izracunaj: a) frekvenciju, b) obodnu brzinu ako tocka rotira po krugu polumjera r =50 em, c) normalno ubrzanje, d) kutno ubrzanje da se tocka zaustavi pos1ije drugog obrtaja, e) totalno ubrzanje tocke neposredno pos1ije pocetka kocenja. (t}2 1 2 2

!

=-=50Hz T ,

2aqJ=W0 -o},

v = r · w = r · 21l· f =157m Is,

w

=0~ a =~=3925 rad ls

Buduci da je rijec o jednom krugu

= r · W0 ~

W0

aT 2

m=mo ·T+-- ,

r

na.

=I rad Is

2

27r = I· T + 0, 2. T2 2

2

0,1T + T -6,28 = 0,

T=4,35s

, (27f· /)2 =49,3·103m I s, 2 a=-vac+a, ~ =49,34·10 3m I s-, a,=ac=r·w-=r·

~ a

17. Kotac polumjera 40 em kotrlja se po g1atkom horizontalnom putu bez klizanja brzinom I rn/s. lzracunaj linijske (obodne) brzine na kotacu, koje su pomaknute za n:l2 u odnosu na tocku dod ira kotaca s podlogom.

20. Preko kotura polumjera 10 em namotan je konac na cijem kraju visi teret. U jednom trenutku teret pocne padati ubrzanjem 1,5 rnls2 . lzracunaj kutnu i linijsku brzinu tocaka na obodu kotura kada teret prijede visinu 1,5 m, kao i totalno ubrzanje. Kad teret prijede visinu h, on ima brzinu (to je ujedno i brzina tocke na obodu):

CJ3:

Brzina tocke 0 1: V0 1 = 0 Brzina sredista kotaca:

c

19. Tocka se giba po horizontalnom krugu polumjera 5 m, ubrzanjem 1rn!s 2. Pocetna brzina tocke je 18 kmlh. Za koje vrijeme ce prijeci prvi krug?

2qJ

a, = r ·a= 1962,5 m I s 2 ,

(j3

-4:-·-

2·R·1l vk =---=1,2mls

T Vodm = 0,8 (rnls), sto znaci da se os ka1ema (0) giba bne od konca, u suprotnom smjeru

fl

v=.,fi;h = 2,12mls

v v0 = rw ~ w=_!!.= 2,5 rad Is

pa je kutna brzina u tom trenutku: v v= r-w ~ W=-= 21,2 rad Is

r

r

r cos45°

vA =01A·w=--·w=1,41mls

a,. = ac = r · w2 = 45 m I s 2 , 2

a=Ja,~+a,

v8 =qB-w=2·r·w=2mls

=45,02mls

a, =a= 1, 5 m I s 2

2

Vc=VA=1,41mls 18. Objasni prikazani dijagram i napisi odgovarajuce jednadzbe, nacrtaj dijagram ubrzanja i izracunati koliko obrtaja napravi tocka za 6 s.

w 1:rad·) Do trenutka 0 tocka se gibala ravnomjemo kutnom brzinom w = 8 radls. U trenutku 0 8 tocka pocne usporeno gibanje i u trem1tku A se zaustavi i stoji do trenutka B. Tada zapocne ubrzano gibanje do C, poslije cega se giba ravnomjemo.

•\ s

21. Osovina motora se obrce konstantnim brojem obrtaja od 3000 u minuti. Kocenjem za pet sekundi broj obrtaja se smanji na 1000 u minuti. Izracunaj koliki broj obrtaja nacini osovina za to vrijeme. ll7f 122 w1 =-1-=314radls w, = 1l = I 05 rad Is 30 - 30 Usporenje: a= w, -w2 = 41,8 rad I s 2 I

;C ........ _......... 2

4

6

t (s) ······-·

:~;..

t~)

-,--------------~

Osovina ce opisati za to vrijeme kut: qJ = w,t- at'= 1047,5 rad 2

Broj obrtaja za vrijeme kocenjaje: qJ = 21l· N

~ N"' 167 obrtaja

69

.

rr~

7

--~----~--~~~-~-

____

___::

----

- -

-

--

,.


mr. Zeljko Stapil:: FIZIKA 1 30. Dva kotaca vezana su remenom (transmisija). Veci kotac polumjera 70 em obrce se sa 160 °lmin, a manji se obrce s 1400 °/min. lzracunaj polurtJjer manjeg kotaca. r=Scm

2

22. Tocka se giba stalnom kutnom brzinom 6 rad/s i dobije usporenje 0,5 rad/s . Izracunaj kutnu brzinu tocke poslije: a) 2 s, b) kutnog pomjeranja od

31. Umjetni Zemljin satelit kruZi iznad Zemlje na visini 900 km, stalnom obodnom brzinom 29000 krnlh. Izracunaj vrijeme jednog njegovog obrtaja. Polumjer Zemlje je 6370 km. T=94,4min

a) w =w0 - a· t =5 rad Is

.---b) w; - w2 = 2arp --t w =..{w~ - 2arp = 5, 87 rad Is c) rp= 27r·N = 18,84 rad

T

oo = roo- a · t, (kod zaustav ljanja oo = 0) pa je: t = Wo a = 12 s c_o

dl 'I

6

md '1'- s

0.~

/eon~

i

_t ---

(X

Ji-----7<(<) ..

\

-0,5\

-------r

t

32. Kotac promjera 50 em rotira se jednoliko ubrzano. Kotac na obodu ima u jednom trenutku kutnu brzinu I rad/s, a za sljedecih 0,8 s njen radijus-vektor opise kut 37tl7 rad. lzracunaj ukupno ubrzanje kotaca na kraju vremenskog intervala. a= 1,46 m/s 2

(s)

12--.. ----7

33. Osovina polumjera 4 em vrsi jednako ubrzanu rotaciju. Tocka na obodu u polozaju A ima obodnu brzinu 3 cm/s, a u poloZaju B ima IS cm/s. Od poloZaja A do B tocka opise kut 27t/3 rad. Izracunaj: a) vrijeme za koje tocka opise luk AB, b) tangencijalno i kutno ubrzanje tocke na relaciji AB, c) kutnu brzinu tocke u trenutku kad osovina izv£Si 5 punih obrtaja od pocetka rotacije. a) t = 0,93 s, b) a 1 = 12,9 cm/s 2, a= 3,2 rad/s 2, c) oo = 14,2 radls

2

23. Kotac polumjera 30 em pocne se obrtati stalnim kutnim ubrzanjem brzinu i ubrzanje tocke na obodu poslije 4 s od pocetka gibanja.

1t

(rad!s

).

Izracunaj

Kutna brzina u trenutku t iznosi: oo =a· t = 12,56 radls Obodna brzina: v = r · oo = 3,77 m/s 2 ac =a.= r·w2 = 47,33 ml s 2 , a,= r·a = 0,942 ml s

a=~a:+a;,

34. Rotor motora pocinje se obrtati jednako ubrzano i za prvih 5 s napravi 25 obrtaja. lzracunaj kutnu brzinu rotora na kraju pete sekunde. Koliko vremena je trebalo za prvi obrtaj? oo = 62,8 radls, t = 1 s

2

a=47,34mls 2

24. Osovina krene iz mirovanja stalnim kutnim ubrzanjem 2 radls . Za koje vrijeme ce naCiniti 16 obrtaja i koliku ce kutnu brzinu imati na kraju tog vremena? t = 10,02 s, oo= 20 radls

35. Kotac rotira s 1200 °/min. U jednom trenutku pocne kociti i poslije 10 s se zaustavi. lzracunaj: a) usporenje, b) broj obrtaja do zaustavljanja, c) vrijeme trajanja posljednjeg obrtaja. a) a= 12,56 radls 2, b) N = 100 obrta, c) t = 1 s

2

25. Centripetalno ubrzanje tocke koja se giba po obodu kruga polumjera 50 em iznosi 4 m/s Za koje vrijeme tocka izvrsijedan obrtaj?

•

T=2,2 s

36. Kozmicki brod se giba u ravni ekvatora na visini 130 km iznad povrsine Zemlje. Izracunaj period broda. Rz = 6370 km. T= 1h, 25 min

26. Gibanje se prenosi s osovine promjera 16 em na osovinu promjera 40 em direktnim dodirom (frikcioni kotaci). Broj obrtaja manje osovine je 900 °lmin. lzracunaj kutnu brzinu i period vece osovine.

37. Posljednji stupanj rakete (od koje se odvojio umjetni Zemljin satelit) abide Zemlju za !1 = 95 min, dok satelit obide Zemlju za t2 = 96 min. Satelit i ostatak rakete gibaju se istim brzinama v = 7,6 krn/s. Na kojoj visini se giba satelit, a na kojoj ostatak rakete? Rz=6370 km.

002=37,7radls, Tz=0,17s

27. Tocka pri jednako ubrzanom gibanju za 10 s od pocetka obrtanja napravi 20 obrtaja. Izracunaj kutno ubrzarije i kutnu brzinu na kraju tog period a. a= 2,51 radls2 , oo = 25,1 radls 28. Kotac krene iz mirovanja sa stalnim kutnim ubrzanjem i poslije 18 s postize kutnu brzinu 216 rad/s. lzracunaj kutno ubrzanje i broj obrtaja koje nacini kotac za to2 vrijeme. a= 12 rad/s , N = 310 obrtaja 2

29. Centripetalno ubrzanje tocke koja se giba po periferiji kruga polumjera 50 em je 2 m/s Za koje vrijeme tocka izvrsi jedan obrtaj?

•

T=1,57s

38. Na slici je prikazan prijenosni uredaj (reduktor) koji se koristi kod tekstilnih strojeva. Ako najmanji kotac rotira s n 1= 800 °/min, koliki je broj obrtaja najveceg kotaca? Promjeri kotaca su u em: d1 = 20, d2 = 40, d3 = 25, ~ = 65, ds = 30, rlQ = 80 em. n6 = 57,7 °/min

71

w I

mr. Zeljko Stapic: FlZIKA I mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

l

3.DINAMIKA 39. Oko kotaca polumjera 40 em namotano je neistegljivo uze zanemarive te:line na cijem kraju visi teret. U jednom trenutku teret pocinje padati ubrzanjem 2,5 rn/s2 . lzracunaj: a) kutnu brzinu, b) ubrzanje kotaca, c) totalno ubrzanje tocke na obodu kotaca u trenutku kad teret prijede 5 m. a) ro = 12,5 rad/s, b) a.= 6,25 rad/s

2 ,

c) auk= 62,5 m/s

2

40. Preko kotura polumjera 10 em prebacenje konac na cijim krajevima se nalaze dva tega na istom nivou. Ako se tegovima omoguci gibanje, oni ce se gibati jednako ubrzano i poslije 1 s jedan ce biti za 20 em na visem nivou od drugog. 1zracunaj: a) kut za koji se kotur obme, b) kutnu brzinu, c) perifemu brzinu, d) ukupno ubrzanje poslije Is. 2 a)

41. Kut nagiba vektora ukupnog (totalnog) ubrzanja tocke A na obodu kotaca, prema polumjeru iznosi 60°. Tangencijalno ubrzanje tocke A u danom trenutku je .J3 rn/s2 • lzracunaj: a) nonnalno ubrzanje tocke A, b) normalno ubrzanje tocke B, koja je udaljena od osi obrtanja 50 em. Polumjer kotaca je 1 m.

Dinamika (dinamis, grc. sila) je dio rnehanike koja proucava gibanje vodeci racuna o uzrocima koji dovode do tog gibanja. Uzroci gibanja su sile. Osnovni zadatak dinamike je odredivanje zakonitosti gibanja uvjetovanog djelovanjem drugih tijela na tijelo koje se giba. Osnivacima dinamike smatraju se Galilei i Newton. Osnovne zakone (aksiome) dinamike je, ipak, najpreciznije iskazao Newton, pa se oni prema njemu i nazivaju Newtonovirn zakonima dinamike. To su: 1. zakon (princip) inercije, 2. zakon sile, 3. zakon akcije i reakcije. Mehanika zasnovana na ovim zakonima naziva se Newtonova iii klasicna mehanika.

Gustoca tijela Pokusom se moze lako uvjeriti da su mase tijela koja su gradena iz jedne iste supstance proporcionalne njihovom volumenu. To se matematicki pise m = p · V. Velicinu p koja karakterizira zavisnost mase tijela od prirode tvari zovemo gustocorn tvari. Znaci, gustoea tijela predstavlja odnos mase tijela i njegovog volumena.

p=!!!... V

[kg] m 3

Gustoca tvari zavisi od temperature i tlaka, jer pri promjeni tlaka iii temperature mijenja se volumen tijela.

2

a) a.= 1 m/s2 , b) a.= 0,5 m/s

42. Tocka prijede po1ovinu kruznice polumjera 1,6 m za vrijeme od 10 s. lzracunaj: a) srednju brzinu. b) intenzitet vektora srednje brzine, c) intenzitet vektora srednjeg ubrzanja ako se tocka giba konstantnim tangencijalnim ubrzanjem. 2 a) v,. = 0,5 rn!s, b) lv,l= 0,32 rnls, c) 1;·,.·1 = 0,1 m/s 43. Brzinom 72 krn/h ulazi vlak u krivinu polurnjera 900 m i pri tom prijede 500 m za 20 s. 2 Izracunaj tota1no ubrzanje na kraju tog puta. a= 1,12 m/s

Masa je svojstvo svakog tijela i to je osnovna flzicka velicina. Za mjerenje mase sluze instrumenti koje nazivamo vagama. Usporedivanje mase na vagi vrsi se tako da se na jednu stranu (u jednu zdje1icu) stavi uteg poznate mase, a na drugu predmet ciju masu mJenmo. Pomocu obicnih vaga (tehnicke vage) moze se odredi masa s tocnoscu do I g, a za tocnije odredivanje mase koriste se Slika 3.1. Analiticka vaga Sl"k 3 2 Menzura . .• 1 a . . anahhcke vage. Volumen je izvedena flzicka velicina, a odreduje se neposrednim i posrednim mjerenjem. Volumen tekucina mjeri se neposredno menzurom. Volumen cvrstog tijela geornetrijski nepravilnog oblika koje je nerastvorivo u tekucini moze se takoder odredi pomocu rnenzure. Tezina tijela. Tezina tijela je sila kojom Zernlja privlaci tijelo. Ova definicija jednaka je definiciji sile teze. Sila te:le je brojcano jednaka proizvodu rnase tijela i ubrzanju sile Zernljine teze. Vektor sile te:le usrnjeren je vertikalno prerna centru Zernlje. U svakodnevnoj praksi se ce5ce koristi tennin tezina tijcla. Jedinica za te:linu, tj. silu je newton (N). G = m · g [N]

g- ubrzanje sile Zemljine teze (g = 9,81 tnls2 )

Specificna tezina. Usporedivanjem tdine i volumena tijela iste tvari uvjeravamo se da je te:lina tijela proporcionalna volurnenu, sto znaci da je kvocijent tdine tijela i njegovog

73 7?

Ji:'

. __- -.

ir'

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I volumena konstantan broj. njegovog volumena.

r =~V [.!:!__] m3

Newtonovi zakoni

Speeificna tezina tijela predstavlja odnos tezine tijela

Prvi Newtonov zakon- zakon inercije Tijelo koje lezi na zemlji nece se samo od sebe pokrenuti sve dotle dok na njega ne djeluje neko drugo tijelo. Isto tako svako tijelo koje miruje nece se samo od sebe pokrenuti. Ako npr. vozimo eamae po mirnom jezeru, po prestanku veslanja eamae prodUZ.ava gibanje u istom smjeru i nakon izvjesnog vremena se zaustavlja Da pri tome nije bilo otpora vode i zraka, camae bi mogao prijeci veliki put i po prestanku veslanja. Otuda onda potjece predstava o tome da se pri potpunoj odsutnosti uzajamnog djelovanja tijela koje se giba i drugih tijela njegovo gibanje prodUZ.ava neogranieeno konstantnom brzinom. To nas navodi na zakljucak da svako tijelo posjeduje svojstvo relativnog mirovanja iii jednolikog pravoertnog gibanja ako na njega ne djeluju druga tijela. To svojstvo tijela naziva se tromost. Da je tromost svojstvo svih tijela u prirodi, prvi je otkrio Galilei, ali je jasnu formulaciju tog-svojstva dao Newton u obliku zakona inercije ili prvog zakona dinamike.

Buduci daje G = m·g, slijedi daje y = p·g

0

Zadaci:

I. Volumen tijela od 100 em' ima masu 270 g. Izracunaj gustocu supstaneije od koje je tijelo nacinjeno i zakljuci koji bi to mogao biti kemijski element. p = mJV = 2700 kglm3 , (to je aluminij) 3

2. lzracunaj masu Zemlje ako njezina srednja gustoca iznosi p = 5500 kg/m , a polumjer 3 R = 6370 km. Pretpostavimo da je Zemlja lopta (V = 4/3 R 7t) m = p · V = 5,95 · 1024 kg

Svako tijelo zadriava stanje relativnog mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok ga neka sila (neko drugo tijelo) ne prisili da to stanje promijeni.

3. lzracunaj masu zeljeza volumena !50 em'. Gustoca zeljeza je 7800 kg/m'. m= p ·V= 1,17 kg

Tromost (lat. inertio - tromost, lijenost) svojstvo je tijela da zadrZi stanje mirovanja iii ravnomjernog pravoertnog gibanja. Masaje mjera inercije tijela. Masaje istovremeno i mjera sposobnosti tijela da privlaci drugo tijelo silom koja se naziva gravitacijska sila. Jednoliko pravocrtno gibanje bez djelovanja drugih tijela naziva se inereijalno gibanje. Sustav refereneije u odnosu na koji vrijedi prvi Newtonov zakon naziva se inercijalni sustav referencije.

3

3

4. Izracunaj volumen zlata mase I kg. Gustoca zlata je 19300 kg/m •V = m/p == 51,8 cm

5. Masa bakrene sipke polumjera 2 em iznosi 1,5 kg. Izracunaj duljinu sipke. Gustoca bakra je 8900 kg/m'.

V = r' 1t • I , m = p · r 1 1t • I

I = 13,4 em Drugi Newtonov zakon - zakon sile lz prvog zakona proizlazi da se velicina i smjer brzine svakog tijela mijenja samo u slucaju ako na njega djeluje neko drugo tijelo. Posljedica djelovanja jednog tijela na drugo ne mora, medutim, uvijek biti promjena stanja relativnog mirovanja iii jednolikog gibanja, nego i promjena oblika tijela (deformacija). Kakve god bile posljedice djelovanjajednog tijela na drugo, to djelovanje nazivamo silom. Ako se pri gibanju tijela mijenja njegova brzina, to ukazuje da na to tijelo djeluje neka sila, a kako promjenu brzine karakterizira ubrzanje, silu moremo definirati ovako:

6. Masa srebrene kugle iznosi 2 kg. Izracunaj polumjer kugle, ako je gustoca srebra r==35,7 mm

10500 kglm'.

7. U staklenoj eijevi, polumjera lem, nalazi se stup zive visine 40 em. Izracunaj tezinu Z.ive. Gustoca zive je 13600 kg/m'

m = p • V = p • r 1 n · h == 1,708 kg G = m · g == 16,757 N

Svako djelovanje jednog tijela na drugo koje se javlja kao uzrok ubrzanja ili promjene oblika tijela nazivamo silom. Znaci, intenzitet sile jednak je proizvodu mase tijela i ubrzanja koje tijelo dobiva djelovanjem te sile. Matematicki izraz za drugi Newtonov zakon:

8. Polovinu volumena staklene kugle ispunjava voda, dok ostatak 3 volumena predstavljaju zidovi kugle. Gustoca vode je 1 kg/dm', a stakla 2500 kg/m • Izracunaj srednju gustocu kugle.

-F=m·a- [N=kg--;'1m]

muk = m,, + mv = Pst · V/2 + Pv · V/2 = V( Pst + Pv)/23 p = IDukN = 1,75 kgldm

9. Masa drvene koekeje I kg, a gustoca 0,8 kg/dm'. Izracunaj stranieu 3koeke. V=a 3, m=p·a , a=10,77cm 10. Izracunaj volumen covjecjeg tijela mase 70 kg, ako je njegova srednja gustoca 3

950 kg/m3 •

V = m/p = 73,7 dm

Sila je velicina koja karakterizira jacinu medudjelovanja jednog tijela na drugo i to je vektorska veliCina. Jedinica za siluje newton (N). Newton je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje 1 m/s2• Sila teze je sila kojom Zemlja privlaci tijelo. Pod utjecajem sile Zemljine teze, tijela dobivaju ubrzanje g. Prema drugom Newtonovom zakonu jacina sile Zemljine teze je F = m·g (a=g), te je sila tez.e G = m·g, brojcano jednaka proizvodu mase tijela i ubrzanja sile Zemljine tez.e. Vektor sile tez.e usmjeren je vertikalno prema Zemlji.

II. Izracunaj povrsinu bakrenog lima deblj ine 2 mm, da bi njegova tdina hila 40 N. Gustoca bakra je 8,9 kg/dm'.

V=S·h

S = m/p · h = 0,229 m

2

75

~u·r==-=--1

i ,.


'

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Treci Newtonov zakon - zakon akcije i reakcije Uzmimo dva dinamometra i zakvacimo ih jedan za drugi. Pri svakom potezanju dinamometra, na skalama oba dinamometra ocitavamo jednake vrijednosti sile. To onda pokazuje da je intenzitet sile kojom dinamometar A djeluje na dinamometar B jednak intenzitetu sile kojom dinamometar B djeluje na dinamometar A.

Npr. ako je sustav vezan za Zemlju inercijalan sustav referencije, onda je sustav vezan za vlak koji se giba pravocrtno stalnom brzinom 50 kmlh takoder inercijalan sustav. Vozilo koje se giba putem paralelno zeljeznickoj pruzi, stalnom brzinom 80 km!h, za vlakom, ima u odnosu na vlak opet stalnu brzinu 30 kmlh. Ako bi se vlak gibao ubrzano, sustav referencije vezan za vlak ne bi vise bio inercijalan. Brzina vozila u odnosu na vlak vise ne bi hila konstantna. U inercijalnim sustavima referencije promjena brzine (ubrzanje) tijela moze biti uzrokovana samo medudjelovanjima s drugim tijelima, tj. silama koje opisuju medudjelovanje. Newtonovi zakoni mehanike vrijede samo u inercijalnim sustavima referencije. Zadaci:

Slika 3.3. Akcija i reakcija I drugi eksperimenti pokazuju da kada jedno tijelo djeluje na drugo nekom silom i drugo tijelo djeluje na prvo silom jednakom po velicini, a suprotnog smjera. Pri tome obje sile le:Ze na istom pravcu. Ovo cini i sadriaj treceg Newtonovog zakona dinamike. Djelovanje jednog tijela na drugo nazivamo akcijorn, a djelovanje drugog tijela na prvo reakcijorn. Treci Newtonov zakon moze se iskazati ovako:

I.

~

'£.,

m

F=

~G 2 + F/

= 0,56 mN

~

q

F. =-F,

i~'

~''(

Kapljica kise mase 50 mg, pod djelovanjem horizontalnog vjetra pague na tlo pod kutom 60'. Kolikom silom djeluje vjetar na kapljicu? Rijesi graficki i racunski. G=m · g=0,49mN G Fv=-- =028mN tg60° ,

Svakorn djelovmy·u jednog tij"e/a na drugo uvij"ek pripada po intenzitetujednako, a po srnjeru suprotno djelovanje drugog tije/a na prvo. Znaci, sila akcije po jacini jednaka je sili reakcije, istog su pravca, a suprotnog smjera.

~~,.

0

·'

lnercijalni sustav referencije Kad smo govorili o mehanickom gibanju uveli smo pojam tijela usporedbe, a ovdje se na potpuno analogan nacin uvodi i sustav usporedbe; skup tijela koje (uvjetno) smatramo nepokretnima u odnosu na koje promatramo gibanje drugih tijela nazivamo sustavom usporedbe. Svaki sustav u kome vrijedi prvi Newtonov zakon naziva se inercijalnim sustavom, a u svim inercijalnim sustavima zakoni prirode imaju isti oblik. Sustav u kome ne vrijedi prvi Newtonov zakon nazivamo neinercijalnim. Tako je sustav vezan za Zemlju neinercijalni, ali se sva gibanja u njemu neznatno razlikuju od gibanja u inercijalnom sustavu. lnercijalni sustav referencije je sustav referencije u kojima slobodno tijelo miruje ili se giba jednoliko pravocrtno. Postojanje inercijalnih sustava referencije slijedi iz prvog Newtonovog zakona. Npr. heliocentricni sustav referencije, vezan za Sunce i orijentiran prema odredenim zvijezdama "stajacicama", smatramo inercijalnim. (Napomenimo da se Sunce ~ak giba ubrzano oko centra galaksije, alije vrijednost njegovog ubrzanja vrlo mala 10' 10 m/s ). Geocentricni sustav referencije vezan za Zemlju nije strogo inercijalan. Zemlja se u odnosu na heliocentricni sustav referencije giba ubrzano. Treba uzeti u obzir gibanje Zemlje oko Sunca po zatvorenoj putanji i rotaciju Zemlje oko vlastite osi. Zbog velikog perioda obrtanja (1 godina) ubrzanje zbog gibanja Zemlje oko Sunca je zanemarivo. Znatno vece ubrzanje nastaje zbog Zemljine rotacije (period 24 sata), koje iznosi na ekvatoru, gdje je i najvece, priblizno 0,035 m/s2 • To je opet zanemarivo u odnosu na ubrzanje slobodnog pada g = 9,81 m/s 2 . Znaci, pri razmatranju vecine mehanickih pojava moze se smatrati da je sustav referencije vezan za Zemlju inercijalan. Moguce je dokazati da je svaki sustav referencije koji se giba u odnosu na inercijalni sustav konstantnom brzinom takoder inercijalan.

2.

Na tijelo mase 2 kg djeluju dvije sile, svaka po l N. Izracunaj intenzitet ubrzanja ako: a) sile djeluju pod kutom 90', b) imaju isti pravac i smjer, c) imaju isti pravac, a suprotan smjer, d) djeluju pod kutom 45'.

a)F=~F.12 +F22 =14IN ' '

a= F =0705rn!s 2 ' ' m

b)F=F,+Fz=2N, a=Irn!s 2, c)F=F,-Fz=ON, a=Orn!s 2, d) F =

3.

~F;

2

+ F/ + 2F;F2 ·cos45• = 1,85 N, a= 0,925 m/s2

Na tijelo mase l kg djeluju tri sile F 1 = IN, F2 = 4N, F = 2N kao 3 na slici. Izracunaj: a) rezultantu, b) kut a rezultirajuce sile, c) ubrzanje i brzinu tijela poslije 2 s. a) F,,z=Fz-F, =3 N,

F

b) a =33,6",

FR =~F;~2 +F 2 =3,6N

c) a= ......!i.. = 3,6

m

3

m/s2,

v = a·t = 7,2 m/s ----?>

% 4.

Rezultanta dviju sila pod pravim kutom je 6 N, a njihov odnos je 2 : 3. Kolike su sile?

!i = 3_ F2

3

-+

F, = 2Fz 3 ,

FR =~F;2

+F22,

F 1 = 3,33 N, Fz = 4,99 N

77

~R.~~~~~~~~~~===------~'

I[

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 5.

Tezina kozmonauta na zemlji je 686,7 N. Kolika ce biti njegova teiina u raketi koja se podiZe vertikalno uvis ubrzanjem 3g?

G m =- =70kg,

13. Tijelo rnase 200 kg poveea brzinu sa 0.5 m/s na 3,5 m/s za 3 sekunde. Izracunaj silu koja djeluje na tijelo.

F =G + F; = m( g+ a) =2746,8 N

g

6.

a = v2 - v1 = 1 m/s 2 t ,

· . . 0<(

Na kolica mase 100 kg djeluju dvije sile F 1 = F2 =50 N pod kutom od 60". Izracunaj akceleraciju kolica i brzinu poslije 3 s.

F = .JF/ + F{

~

Cf"J

14. Iz stanja mirovanja tijelo mase 100 g za 4 s prijede 5 m, krecuei se ravnomjerno ubrzano. Izracunaj silu koja djeluje na tijelo.

·. ''" ------;>

+ 2F.,F2 • cos6o• = 86,6 N

a= 0,866 rnls2,

IE:

1{

v = a-t= 2,598 rnls

.··

s =a ·tl

.. .•

a = 0,625 rnls2 ,

2

8.

Pod dje1ovanjem neke si1e tijelo je dobilo ubrzanje 1,2 rnls2 • Koliko ce ubrzanje dobiti ako na isto tije1o dje1uje tri puta veca sila? a= 3,6 rnls 2 Dizalo mase 500 kg spusta se vertikalno nanize. Pri tom sila u uietu koja drZi dizalo iznosi 4 kN. Izracunaj ubrzanje dizala. Fu=G-Fin,

a= 1,81 m/s

2

1.9·~- . ' G

9.

Vlak mase 2000 tona vozi brzinom 72 km/h i prije stanice pocne kociti silom od 100 kN. Koliki put prijede za pola minute koeenja? 2

F=m·a, i.

a= 0,05 rnls

2 ,

a· t s =v-t- --=577 5 m

2

'

10. Preko kotura, za krajeve konca vezana su dva tega masa m1 = 100 g i m 2 = 150 g. Ako se zanemari trenje, rnasa kotura i konca i smatrajuci da je konac neistegljiv, izracunaj: a) ubrzanje tega, b) silu zatezanja konca. a) a = 1,96 m/s 2, b) F= 1,18 N 11. Vozilo mase 1.2 tona giba se brzinom 90 km!h. U jednom trenutku vozilo pocne kociti silom od 12 kN. Za koliko vremena ce se vozilo zaustaviti i koliki ce put prijeci za to vrijeme? F=m·a, a=10m/s 2, t=2,5s, s=31,25m

12. Covjek mase 100 kg stoji na vagi u dizalu. Koliko ce vaga pokazivati kad se: a) dizalo uspinje ubrzanjem 1 rnls2 b) dizalo giba ravnomjemo c) dizalo spusta istim ubrzanjem? a) G = m ( g + a) = 1081 N ,

b) G = m · g = 981 N,

F=62,5mN

15. Tijelo mase 500 g krene iz mirovanja pod djelovanjem stalne sile prijedenih 5m ima brzinu 7,2 kmlh. Izracunaj intenzitet sile. 2

7.

F = 200 N

c) G = m ( g- a)= 881 N

v =2-a-s,

poslije

a=0,4rn!s 2,

F=0,2N

16. Vozi1o mase 1 tona giba se brzinom 72 km!h. Kolikom silom treba djelovati da bi se vozilo zaustavilo na putu od 20 m?

v;=2-a-s,

a=10rn!s 2,

F=10kN

17. Izracunaj silu kojom treba djelovati na vozilo mase 5 tona da bi za 10 s postiglo brzinu 36 kmlh. a = 1 m/s

2 ,

F = 5 kN

18. Izracunaj vrijeme za koje ce vozilo mase 1,5 tona, krecuci se brzinom 18 km/h, dostici brzinu 54 km!h, ako na njega djeluje stalna sila od 3 kN. a = 2 rnls 2,

F = m · a,

19. Zracni halon spusta teret mase 100 kg ubrzanjem 1 m/s2• Koliki teret treba izbaciti iz kosare balona da bi se balon gibao nagore istim ubrzanjem?

~r

...'' Fin=ma ~

Kad se baton giba prema gore: G- F;n -Fp =0 m·g-m·a-Fp=O ..................... (l) Kad se baton giba prema dolje: (m- t.m) · g + (m- f>m) ·a- Fp = 0 ........ (2)

:r

11 _. ~

--Jo

G = m-g --+ ~

t = 5s

Jli'iat, l

,.. "l

~;i:~~

"""'

t:,.rn -+

~

_,.

Fm=(IU-llm)·a -+

G=(IU • l>m) · g

G>F,

-+

_,.

G
Oduzimanjemjednadzbi (1)--{2) dobiva se: m · g- (m- t.m) · g- m ·a- (m- t.m) ·a= 0 t.m (g + a) = 2 rn-a t.m = 18,5 kg 20. Na dijagramu je prikazano gibanje dizala Cija je masa 500 kg. Izracunaj silu zatezanja V1•(-j'-) u:leta tijekom njegova gibanja. 1I Ubrzanje dizala pri polasku je: a = v/t = 0,5 m/s 2 pa je sila u uzetu F1 = m (g +a)= 5405 N Tijekom gibanja stalnom brzinom (a= 0), (j"--2---silaje u uzetu Fz = G = mg = 4905 N Pri kocenju usporenje je a= v/t = -0,5 rnls 2 , F = 4655 N 3

--6"""

s·-

-t() s

I'.

r

II' '

j

'

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 ~

22. S jedne strane nepornicnog kotura visi teret mase m 1 = 100 g. Drugi teret visi 2m iznad, s druge strane kotura. Ako se puste da se krecu pod djelovanjem sile teze oni ce biti za 2 s na istoj visini. Izracunaj drugu masu. G,- Fin,- Finz- G2 = 0, a= 0,5 rnls2 ,


~

!'a

F

21. Tijelo mase 200 g je izbaceno vertikalno navise silom intenziteta 5 N. Do koje visine ce tijelo dospjeti ako na njega djeluje ova sila tijekom 4 sekunde? a ·t 2 Fin=F-G, h=--=121,52m 2

1!F.,~m _.T _. G=m·g

28. lzracunaj ubrzanje sustava prikazanog na slici, kao i silu u uZetu u presjeku 1. Trenje je zanemareno.

t m 1=1 kg

Iff\

a) a = 1,64 m/s 2, Fu=8,17N,

'~

m2 = 180,6 g

u,

dyl

:...

b) a= 1,23 m/s 2, Fu=8,58 N,

c) a = 1,23 m/s 2,

Fu=17,16 N,

J+. .

') ii' )"''' --::-.:

G 23. Dva klizaca masa 50 kg i 40 kg stoje na klizaljkama na ~ ledu. Prvi klizac se odgume od drugog silom od 20 N. i Kolika ubrzanja dobiju klizaci? ~

.:~ ...!

~

f,n~

. kg

l

_,.

d) a = 0,655 m/s 2, Fu = 18,31 N,

a1

e) a = 2,32 mls 2, Fu= 1,85 N,

f) a = 5,89

m/s 2,

Fu=7,84N

-
29. lzracunaj silu zatezanja konca ako je sila vuce 6 N. Trenje je zanemareno. m =3-m Sile upjamnog djelovanja su jednake, a suprotnog smjera: a 1 = F/m, = 0,4 m/s

2

,

a2 = F/m2 = 0,5 m/s

2

1

m1

[f;El' ~/$/&1>\ ~1.·

m2

>-

. ·.· m, .. ~

a)Fu=1,5N, 24. Vozilo mase 1 tona giba se stalnom brzinom 90 kmlh. Na udaljenosti 50 m vozac ugleda crveno svjetlo semafora i pocne kociti stalnom silom od 6 kN. Je li ta sila dovoljna da se zaustavi vozilo ispred semafora? a= -6 rn!s 2, s = 52,1 m ( nije dovoljna)

b)Fu=3N

30. Masa dizala s teretom iznosi 1,5 tona. Dizalo se spu8ta brzinom 2 rn!s. Izracunaj najkraci put na kojem se dizalo smije jednoliko usporeno zaustaviti ako uZe dizala moze izdriati najvecu silu od 25 kN. s=0,29 m

T 25. Tijelo mase 250 g nalazi se na glatkoj strmoj ravni duljine 1,5 m i visine 90 em. lzracunaj: a) silu kojom tijelo pritisce podlogu i reakciju podloge, b) silu koja vuce tijelo niz strmu ravninu, c) ubrzanje tijela niz strmu ravninu. -

-

a) FN = G · cosa = 1,96 N, FN == -F,,

2

b) F = G·sina = 1,47 N,

c) a= 5,89 m/s

2

31. Horizontalna ploca harmonijski titra u vertikalnoj ravnini frekvencijom 2 Hz. Na ovoj ploci se nalazi tijelo. Izracunaj: a) pri kojoj amplitudi titranja ce najveca sila kojom tijelo djeluje na podlogu biti tri puta veca od njegove tezine, b) pri kojoj amplitudi ce tijelo odskakati od ploce. a) x. = 12,4 em, b)

26. Uz glatku ravninu nagibnog kuta 20° guramo kolica ukupne mase 100 kg. a) Koliku silu morarno upotrijebiti da bismo gurali kolica stalnom brzinom? b) Kolikom silom djeluju kolica na podlogu? a) F=335,5 N, b) FN =921,8 N

x. >6,2 em

32. Izracunaj intenzitet sile koja konstantno djeluje na kolica rnase M = lO kg da bi tijela rnase rn 1 = I kg i m2 = 2 kg hila u relativnom mirovanju u odnosu na kolica. F

27. Koncem, koji je jednim krajem vezan za tavanicu zeljeznickog vagona vezan je teg. Kad se ubrzanje ustali, konac s tegom skrene od vertikale za 30°. lzracunaj ubrzanje vagona. a= 5,67 m/s 2

F=225 N

81

~: ·:

·•-:,-~!A'Yf!?,'.-!RA:::S-~1-

!,

mr. Zeljko S!aJ>ic: flZI,KA 1

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA l

Impuls tijela i impuls sile

33. Vozilo se giba brzinom 90 km/h i pocne jednoliko usporavati, pri cemu do zaustavljanja prijede 30m. Za koji kut ce se otkloniti kuglica njihala objesena o strop vozila? a=46,7" 34. Preko kotura koji se moze obrtati vezana su konopeem dva jednaka tega po 50 kg. Koliku masu treba staviti na jedan od 2 ovih tegova da bi se sustav gibao ubrzanjem l m/s ?

Alm na tijelo mase m djeluje konstantna sila F, ono ce, zbog djelovanja konstantno ubrzanje ~. Tako ce, nakon vremena t, tijelo irnati brzinu ; == -

v-v t

0 jednakosti dobiva se ubrzanje: a = - -

-

-

v-v F =m · - t

Zamjenom u F = m ·a dobivamo:

m= 11,35 kg

0

,

lzraz m· v naziva se impuls tijela ili kolicina gibanja. lmpuls tijela (kolicina gibanja) predstavlja proizvod mase i njegove brzine.

35. Dva tijela masa 1,5 kg i 3 kg vezana su na krajevima uzeta koje je prebaceno preko nepokretnog kotura. lzracunaj ubrzanje tijela i silu zatezanja u:l:eta. a= 3,27 mls2, Fu = 19,6 N

[kg~]

p==m·v

36. Odredi vrijeme koje je potrebno da se kanta mase 50 kg spusti u bunar dubok 30 m, ako je sila zatezanja uzeta 94,3 N. t=2,75 s 37. Tijelo mase 50 kg podize se pomocu dva kotura, ciji su polumjeri r = 20 em i R = 60 em. Koturi se okrecu oko iste osi. Na veci kotur djeluje sila 200 N. lzracunaj ubrzanje tijela.

lzraz F · t naziva se impuls sile. lmpuls sile je proizvod sile i vremena

p== F·t

[Ns] F·t=m·v

Impuls silejednakje promjeni kolicine gibanja.

Zakon oddanja impulsa (kolicine gibanja)

.·,;; :'t:······

Uzmimo da se dva tijela masa m, i m2 krecu brzinama ;, i ;2 i da u nekom momen:fu~~~cnu uzajamno djelovati jedno na drugo. Tada ce nakon izvjesnog vremena t brzina tih tij¢la,'biti v1 ' i ii2 ' , a ubrzanja:

a= 2,19 mls 2

al 2

''

m

38. Na koneuje objesen teg. Kad teg podizemo ubrzanjem 1 m/s , sila zatezanja koneaje dva puta manja od maksimalne sile, pri kojoj bi se konae prekinuo. Izracunaj maksimalno ubrzanje pri dizanju tega da konae ne pukne. a~ 11,81 m/s 2

a= 5,89 m/s 2

40. Kugliea mase 5 g moze se kotrljati po ravnoj glatkoj horizontalnoj povrsini. Kugliei se saopci brzina od 5 m/s, a u istom trenutku na nju pocne djelovati stalna sila od 20 mN, ciji je vektor normalan na pravae vektora brzine. lzracunaj: a) rezultirajucu brzinu kugliee poslije 2 s, b) koordinate kugliee poslije 3 sod pocetka gibanja. a) v= 9,4 m/s

a2 =

-

-I

-

·:q

Vz - Vz

t t Suglasno trecem Newtonovom zakonu, ovdje onda imamo: m 1 ·a1 =-m 2 ·a2 -I

-

-I

-

m . v, -v, =- m . v2 -v2

Odnosno:

I

Tako da se dobije

39. Pri kojem ce ubrzanju eisteme voda dotieati njezin vrh, ako je duljina eisteme 5 m, a polumjer 1,5 m. Voda u eistemi je nalivena do njezine polovine.

-VI '

-I

=VI

f

-

-

2

(

m1 • v1 + m2 • V2 = m1 • v1 '+ m2 • v2 '

Izraz na lijevoj strani jednakosti predstavlja zbroj kolicine gibanja tijela prije pocetka uzajamnog djelovanja, a onaj na desnoj poslije pocetka djelovanja. Znaci, zbroj kolicine gibanja dvaju tijela prije uzajanmog djelovanja tih tijelajednakje zbroju kolicina gibanja istih tijela poslije njihovog uzajamnog djelovanja. Na slican nacin se pokazuje i da je, opcenito, zbroj kolicina gibanja za bilo koji broj tijela na koje ne djeluju nikakve vanjske sile konstantna veliCina. Ovaj zakon se naziva zakon odr:l:anja kolicine gibanja, a pise se u obliku:

m1 ·V1 +m 2 ·v2 + ... +m. ·v. =canst. ZnaCi, ukupan impuls tijela izoliranog sustava je konstantan.

- --

(m · v) •• == const.

b) x =18m, y =15m 83 82

...

IT!T'~! ! I, ., : I I


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Zakon odcianja irnpulsa rnoze se dernonstrirati pomocu balona: napuiie se baton, a zatim pusti. Balon se pocne gibati u srnjeru suprotnom od srnjera izlaska zraka iz balona. Obja8njenje: ukupan irnpuls sustava balon-zrak prije izlaska zraka bio je jednak nuli. Kad pocne izlaziti zrak, ukupan impuls sustava ostaje neprornijenjen, tj. i dalje je jednak nuli:

- -

0 = mv1 + mv2 ,

-

m1v1

Slil
7. Izracunaj irnpuls sile i irnpuls tijela na prikazanorn

-

l. Na slici je prikazan dijagrarn djelovanja sile na tijelo mase 5 kg. Izracunaj za koliko ce se prornijeniti brzina tijekom djelovanja sile. t,.v= 1,6 rn/s

T oo' --,.--..., - i

I

II

I

2

I

=

5 rnls,

F/\ (N)

'

~-··7

2

m=24g

0

9. Djecak iskoci iz carnca koji se nalazi na jezeru brzinorn 5 rnls, a carnac se odbije nazad brzinorn 0,5 rnls. Koliko puta je djecak lakSi od carnca? PI =p2 rni-VJ = rn 2·v2

m2 m,

t=~=0,495 s,

=_2_ 0,5

10. Kuglica mase 100 g giba se brzinorn 5 rnls i udari o prepreku od koje se elasticno odbije ne prornijenivsi intenzitet brzine. Izracunaj prornjenu irnpulsa ako kuglica udari o podlogu: a) pod pravirn kutorn b) pod kutorn 45°. a) Udarorn kuglice o prepreku pod kutorn 90°, velicina i pravac ostaju nepromijenjeni dok se smjer rnijenja. /',.p = m·v2 - m·vi, vi=- v 2 = v /',.p=m·v+m·v /',.p = 2 m·v = 1 kg rnls b) Kuglica se odbija pod istim kutom pod kojim je i udarila o prepreku. lntenzitet vektora /',.p je:

Izracunaj situ kojornje djecak sutnuo loptu. F·/',.t = rn·/',.v

/',.p

=

~p 12 +Pi

=

0,7 kg m/s

40

60

r{ms)

mi

mz= 10·mi

s = v·t = 2,475 m

5. Djecak sutne 1optu rnase 200 g u trajanju 0,1 s, pos1ije cega lopta irna brzinu 5 rnls.

~---0,2 l(s)

0'-

v= 2 rnls

o--o:'i-·-·----i5;----;(sl

4. Kugla rnase 100 g nalazi se na rubu stola vtsme 1,2 rn. Udarcern bi1ijarskirn staporn kug1a dobije u horizontalnorn smjeru irnpuls od 0,5 Ns. Izracunaj dornet kugle. v

Irnpuls site jednak je irnpulsu tijela.

p= 120 mNs

3. Vozilo rnase 1 tona giba se brzinom 54 km!h. U njega udari odostraga drugo vozilo mase 1,2 tone koje se gibalo u istom srnjeru. Nakon udara zajednicka brzina oba vozila bila je 20 rnls. Izracunaj brzinu drugog vozila prije udara. PI+ P2 = Puk ITII·V1+ m2·V2 = (mi+rnz)·vz vz= 87 km/h

->

I I J2J

F 2

P =F . sr. -/',.t=~·M=O' 6Ns

Srafirana povrsina predstavlja irnpuls site. F·/',.t F·/',.t p=--'+---2

F ,(N)

2. Djecak mase 50 kg vozi se na saonicama brzinom 3,6 km!h. Iza njega trci djevojcica mase 80 kg brzinom 3 rnls. U jednom trenutku djevojcica skace na saonice te zajedno nastavljaju voznju. Izracunaj brzinu saonica. Masu saonica zanemariti. PI+ P2 = Puk ITIJ·V1+ 1TI2·V2 = (mi+m2}Vx Vx = 2,23 rn!s

p = rn · v

F ~ (N)

8. Izracunaj irnpuls sile i irnpuls tijela na prikazanorn dijagrarnu, kao i rnasu tijela ako je brzina tijela 5 rnls.

0

F·/',.t=m·/',.v,

01 1

dijagrarnu i brzinu ako je rnasa tije1a 300 g.

mv1 = -mv 2

Zadaci:

krnlh.

p = 0,648 kg rnls

Gibanje rakete takoder se ternelji na zakonu odcianja impuls~ kao i vatrena OruZja. U raketi sagorijeva gorivo (srnjesa kerozina i oksigena). Nastali plinovi izlaze iz rakete velikorn brzinorn, a raketa se giba u suprotnorn srnjeru. Raketa dobiva isti impuls kao sto ga imaju sagorjeli plinovi koji izlaze u suprotnorn srnjeru.

~-

6. Izracunaj irnpuls zlatne kuglice polurnjera I ern koja se giba brzinorn 28,8 (Pzl. = 19300 kg/rn3 ) m = p·V = p-4/3 r 31t = 0,081 kg

~ ®m ~ mY;" mY; 1: -- I~ :J-, ~p

1-

~ a ~

m

y

0

'

~>A~

~ llp=P,-P,

F= 10 N

Rd

85

r'"'T I

;1

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I mr. Z,eljko Stapic: FIZIKA l 17. Mo1ekula mase m giba se prema prepreci brzinom v, udara u nju i elasticno se odbija. Izracunaj impuls molekule poslije odbijanja, ako se gibala okomito na prepreku. p=2mv

ll. Splav mase 200 kg i duljine 6 m nalazi se na jezeru. U jednom trenutku covjek mase 80 kg krene od pocetka ka kraju splava brzinom 2 rnfs. Izracunaj rastojanje koje ce splav prijeci dok covjek dode do kraja splava. Otpor vode zanemariti. PI= pz, (mi + mz) ·VI= mz·Vz Brzina splava VI= 0,57 rnfs Vrijeme za koje ce covjek prijeci splav: I t=-=3s Vz

18. Projektil mase 100 kg giba se u horizontalnom pravcu brzinom 500 rn/s, pogodi vagon s pijeskom mase 10 tona i zaustavi se u njemu. Koliku brzinu dobiva vagon, ako se giba brzinom 36 kmlh suprotno projektilu? v=4,95 m/s

mz

19. Meteorit i raketa krecu se pod kutom 90°. Raketa pogada meteorit i zaustavlja se u njemu. Masa meteorita je m, a rakete m/2. Brzina meteorita je v, a rakete 2v. lzracunaj impuls metcorita i rakete poslije sudara. p=2mv

,

Za to vrijeme splav ce prijeci: s =VI · t = 1,71 m 12. Dva camca jednakih masa po 500 kg krecu se na jezeru jednakim brzinama po 5 rnfs jedan iza drugog. U jednom trenutku s prvog camca se izbaci teret mase 30 kg brzinom I 0 rnfs na drugi camac. Izracunaj razliku brzina camaca. Za prvi carnac vrijedi: VIx = 5,96 mfs m · v + m, · v, = (m- m,) ·VIx --> Za drugi camac: Vzx = 4,15 rnfs m· v- m 1 • v,=(m+Illt) · Vzx -->

20. Koliku brzinu dobije nepokretni camac, koji zajedno s teretom ima masu 500 kg, ako se sa camca ispali granata mase 10 kg u horizontalnom pravcu brzinom 80 m/s? · v= 1,63 m/s 21. Camac mase 100 kg nalazi se na mimom jezeru. U jednom trenutku covjek mase 80 kg pocne se gibati dui camca brzinom 0,5 rnls (u odnosu na obalu). Kolikom brzinom ce se gibati camac? vc= 0,22 m/s

~v = VIx- Vzx = 1,81 m/s ~.,.

13. Iz vagona koji miruje, a nalazi se na horizontalnoj ravnoj pruzi ispali se granata brzinom 800 rnfs pod kutom 30° u odnosu na prugu. Masa granate je I 00 kg dok je ukupna masa vagona 10 tona. Izracunaj brzinu vagona. Impuls granata jednak je impulsu vagona pg= Pv fig ·Vg ·COS!l = (m- fig) ·V

....... v

vcr ' 0

22. Klizac mase 75 kg stoji na ledu i drii u ruci na ramenu kuglu mase 5 kg, koju izbacuje pod kutom 30°, brzinom 10 m/s. Kolikom brzinom i u kom pravcu ce se klizac pokrenuti, ako se zanemari trenje izmedu klizaljki i leda? v =- 0,526 m/s

;ff mg Fa 5@] ~ m

V = 6,9 m/S

14. Tijelo mase 5 kg giba se pravocrtno brzinom 4 rnfs i udari u tijelo mase IS kg koje je mirovalo. Poslije sudara oba tijela krecu se u istom smjeru jednakim brzinama. Odredi zajednicku brzinu. PI+ p2= Puk IDI ·VI+ mz ·vz= (mi + mz) ·Vz

:;::

(v2= 0, jer je tijelo mirovalo)

vz= 1 m/s

15. S visine I m pada kuglica mase 100 g na horizontalnu podlogu i odbije se do visine 60 em. Koliki je impuls kuglica predala podlozi? ~p

=PI+ P2

~p = m ·VI+ m · vz

,

v1 =~2gh 1

m• I!

hl l v2 =..J2gh 2

·~

Vt

~p= m.Ji.g~ + m..J2ghz = 0, 78 kg!!!..s

l I,

•

]ll __ ,_,.

T

Jt>V2

impuls puske. ffil

PI= Pz m1·Vi = mz ·Vz vz= 10 m/s,

24. Na tijelo mase 2 kg koje se giba brzinom 5,5 mfs djeluje stalna sila 10 N u trajanju 2 s u pravcu gibanja Koliku ce brzinu tijelo imati po prestanku djelovanja sile: a) ako sila dje!uje u smjeru gibanja, b) ako sila djeluje u suprotnom smjeru gibanja tijela? a) v = 15,5 m/s, b) v =- 4,5 m/s 25. Po horizontalnoj glatkoj podlozi klizi tijelo i udari u drugo tijelo dva puta manje mase te se nastave dalje gibati zajedno brzinom 10 rnfs. lzracunaj brzinu prvog tijela prije sudara. v 1 = 15 m/s

16. Iz puske cija je masa 4 kg izlijece zrno mase 50 g brzinom 800 rnfs. Izracunaj brzinu i

~W %.@

23. Tijelo mase 0,2 kg giba se stalnom brzinom 0,5 m/s po horizontalnoj kruinoj putanji. lzracunaj promjenu impulsa tijela kada ono prijede cetvrtinu kruine putanje. ~p = 0,14 kgm/s

V1

...a~-~

26. Na horizontalan zeljeznicki trajekt, koji je privezan za obalu pomocu dva jednaka celicna uzeta, naide zeljeznicka kompozicija ukupne mase 280 tona brzinom I 8 km/h. Uslijed kocenja kompozicija se zaustavi presavsi po trajektu 50 m. Izracunaj silu zatezanja u uzetima, smatrajuci daje sila kocenja konstantna na cijelom putu. F=70MN

pz= 40 kg m/s 87

ll'l'i[: ~I ! i l '·I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 mr. Zeljko Stapic: FIZIK.A 1 27. Na tijelo mase 5 kg, koje se giba brzinom 6 rn/s djeluje sila 8 N u pravcu gibanja tijela. Izracunaj: a) brzinu tijela poslije 3 s, b) vrijeme za koje ce se tijelo zaustaviti ako bi sila imala sup rotan smjer. a) v = 10,8 m/s, b) t = 3,75 s 28. Loptica mase 1 g giba se 15 rn/s i udara o podlogu pod kutom 30", od koje se elasticno odbija pod istim kutom. lzracunaj impuls dobiven od podloge za vrijeme sudara. Ap = 1,5"10-2 kgrnls

35. Drvena kugla mase I kg lezi u miru na tankoj podlozi. Vertikalno odozdo metak mase 10 g probije podlogu i kuglu prolazeci kroz njen centar, pri cemu kugla odskoci na visinu 20 em. Brzina metka neposredno pred udar u kuglu je 250 rnls. Na koju visinu ce dospjeti metak? H

h 29. Granata koja se giba brzinom 150 rn/s raspada se na dva dijela, cije su mase 6 kg i 14 kg. Brzina veceg dijela je 240 rnls i ima smjer kao i granata. Izracunaj brzinu manjeg dijela. v, =-18 rnls 30. Vagon-platforma mase 4 tone na kome se na1azi covjek mase 80 kg giba se bez trenja po horizonta1nom kolosijeku. U pocetku vagon se giba brzinom v0 • Koliki ce biti porast brzine vagona ako covjek pocne trcati brzinom 6 m/s u suprotnom smjeru i iskoci iz njega? b.v=0,12 m/s 31. Vagon-platforrna mase 4 tone miruje ina njemu stoji 10 ljudi. Masa svakog covjekaje 80 kg. Hoce li vagon dobiti vecu brzinu ako !judi jedan za drugim iskacu brzinom 5 rn/s ili ako bi oni svi potrcali istom brzinom i istovremeno iskoCili iz vagona? Pretpostavi da je vagon na horizontalnom kolosijeku bez trenja. v, = 0,9 rnls, Vz = 0,83 m/s 32. Pet !judi jedan za drugim pretrcavaju duljinu splava jednakom brzinom 3 rn/s i skacu u vodu u horizontalnom pravcu. Splav je na jezeru u stanju mirovanja. Ako se zanemari otpor vode, izracunaj brzinu splava u momentu kada posljednji covjek skoci sa splava. Masa sp1ava je 500 kg, a svaki covjek ima 80 kg. Izracunaj brzinu splava ako bi svi istovremeno skoci1i istom brzinom. v 1 = 1,65 m/s, v2 = 1,33 m/s 33. Mlaz vode istjece iz horizonta1ne cijevi promjera 4 em brzinom 10 rn/s i pod pravim kutom udara o vertikalan zid. Kolikom silom m1az vode dje1uje na zid? Gustoca vode je 1 kg/dm3 . F=l25,6 N 34. Metak koji se giba horizontalno pogada kug1u objesenu 0 laku cvrstu sipku i zaustavlja se u njoj. Masa metka je 1000 puta manja od mase kugle. Odstojanje tocke vjesanja sipke do centra kugle je 1 m. Izracunaj brzinu metka ako se sipka s kug1om us1ijed udara otkloni za 30°.

I Vo

36. Padajuci s visine 2 m loptica rnase 10 g, udari u stnnu ravninu nagiba 45", od koje se odbije u horizontalnom pravcu ne mijenjajuci intenzitet brzine. Izracunaj promjenu impu1sa 1optice pri odbijanju. Ap = 0,09 kgrn!s 37. Iz topa mase 1,2 tone ispali se granata mase 2 kg pod kutom 30" prema horizontu pocetnom brzinom 300 rnls. Izracunaj: a) brzinu trzaja topa, b) srednje usporenje topa ako on poslije trzaja prijede 1 m. a) v = 0,433 mls, b) a = 0,094 m/s2 38. Na zeljeznickom vagonu mase 9 tona nalazi se raketna rampa. Istovremeno se lansiraju dvije rakete, svaka mase 80 kg u horizontalnom pravcu brzinom 900 rnls, koji se poklapa s pravcem tracnica. Koliki ce put prijeci vagon, ako je koeficijent trenja izmedu tracnica i vagona 0,09? s"' 145m 39. Granata se giba brzinom 380 mls i u jednom trenutku se raspadne na
----

ffi1 V1

v = 1600 m/s

H=138 m

= 600 m/s,

Xmax =

28,8 km

h

89

rr

l''

\

I

mr. Z.eljko Stapic: FIZIKA l mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

F h -=- F-sila koja drZi ravnotefu tijelu tezine G, G

Slaganje i razlaganje sila Sila je vektorska velicina, sto znaci da ima intenzitet, pravac i smjer djelovanja. Aka na tijelo djeluje istovremeno dvije ili vise sila, tijelo ce se gibati kao da na njega djeluje samo jedna sila koja je jednaka zbroju sila koje djeluju na tijelo. Prema tome, vrijedi princip nezavisnosti djelovanja sila: ako na neko tijelo djeluje vise sila, onda one djeluju neovisno jedna od druge. Buduci da je sila vektorska velicina, onda za zbrajanje sila vrijedi pravilo zbrajanja vektora. Znaci, djelovanje vise sila maze se zamijeniti djelovanjem jedne sile. Sile koje zbrajamo zovemo komponentama, a rezultirajucu silu rezultantom. Odredivanje rezultante sila, ako su zadane komponente, nazivamo slaganjem sila. Za dvije sile kaZemo da su kolineame ako leze na istom pravcu ili paralelnim pravcima. Ako su dvije sile kolineame, tada se maze dogoditi da imaju isti iii suprotan smjer. F1 ...._

b) Sile djeluju u istoj tocki, na istom pravcu suprotnog smjera: (rezultanta ima smjer vece sile).

·O.!

F, ....

...._

aliskalarnoje FR=F1-F2

Stika 3.6. Slaganje sila istog pravca i smjera __ .,._ F1 :. ,..... Fs. .

r

....

skalamo

J

f['' '".2. . j. . . . l

___

2 1

2 2

FR = F + F

Slika 3.10. Razlaganje sile na strmoj ravnini

Zadaci: I. Izracuna:i sile u stapovima AC i BC prikazane na slici. Stap AC je napregnut na istezanje, a CB na pritisak {tlak). (UF- mjerilo za sile) Graficki: FA=57,5N Fs=ll5N

~

G Racunski: F8 =--=ll5,47N cos a

--..

FA

G=l!IlN

FA =G·tga=57,7N

,,.

Razlika u rezultatima graficke i racunske metode metode.

po~ece zbog nepreciznosti graficke

2. Izracunaj sile u stapovirna AC i BC kao na slici. ! ~ _ji i

Graficki:

i

Provjera: G = .jr-F--:}-+-F-=-}_+_2_·_F_A___F__·-co_s_7_5_

FA= 16 N Fs =22 N

/ !/ / r-~~" !ON L .Qt--L-LLJL4f./ "'"""""Ur=r-.m

A

45 I

\60'/ E

'

0

8

F1

Slika 3.8. Slaganje sila pod kutom od 90°

'F; c

G=30,37N Razlika je 0,37 N.

\-'

FR =JF12 + F22 +2·F1 ·F2 ·cosa

a

G=30N

F,

d) Sile djeluju u istoj tocki pod kutom a:

FR=Fi+F2,

25N G:zaliClci:U.-=ron;:

•

·-·~ F~

Stika 3.7. Slaganje sila istog pravca i suprotnog smjera

c) Sile djeluju i istoj tocki, a medusobno su okomite (nekolineame): rezultantu tih sila odredujemo po pravilu paralelograma.

FR=F!+F2,

F2

~~=--=--=--=~.:---;J F1

FR=Fi+F2+F3

·-FR =F1+F2, - -

--<>

~

a) Sile djeluju ujednoj tocki u istom smjeru i pravcu:

h

h-visina strme ravnine, 1-duljina strme ravnine h U=- - uspon I

3. Izracunaj komponente tezine G, kao na slici.

'F; Slika 3.9. Slaganje sila pod ostrim kutom Cesto u mehanici nailazimo na potrebu da rijesimo zadatke u kojima jednu silu treba zamijeniti dvjema ili vise sila cije je rezultantno djelovanje na tijelo jednako djelovanju date sile. Rjesavanje takvog zadatka onda nazivamo razlaganje sile na komponente. Prilikom slaganja nekolineamih sila rezultantu smo odredivali konstrukcijom paralelograma poznatih stranica. Kod razlaganja sile na komponente rjesavanje se svodi na konstrukciju paralelograma zadane dijagonale. Cesto se kao primjer razlaganja sila uzima primjer strme ravnine. Svaka ravnina koja je nagnuta prema horizontali naziva se strma ravnina.

Graficki:

FN = 35 N F= 20N

Racunski: FN = G · cosa = 34,64 N F = G · sina = 20 N

F -o-~;.-/

/,...--1\--\ ~

I

/ex.= •_o"' -----./~

-

• \

,

·p;

,:::::.,...-

--9=40N ------,..,............ / --~

G

.!rj:'!i I,

,:.1


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 7. Izracunaj reakcije oslonaca, kao na slici:

4. Izracunaj si1e u tockama dodira, kao na slici. FA = 2,6 kN F8 = 1,5 kN

Graficki:

Racunski: FA= G · cos30° = 2,598 kN Fs = G · cos60°= 1,5 kN

1 . , ~-~->

(-\

',

·,

I

Graficki: RA =30N Rs=86 N

/

"t

--,\

;~

~- ~~·;__ I'B

RA =-FA ,

OB =

-o-

cf

RB =-FB

5. Izracunaj sile u tockama dodi:Ak~ao na slici.

RA =-FA RB=-FB

u,= 1""

/

/! F

G FA = - - = 4,62N cos30° Fs = FA· sin30°= 2,31 N

~c

\ \\

"\

\._

.. r.J:}

\ \\

..,

\,

Konac o kojije objesena G Ra kugla napregnutje na istezanje silom FA, dok kugla tocku 8 pritisce silom Fs. U tockama A i 8, po zakonu akcije i reakcije, javijaju se reakcije suprotnog smjera. 6. Izracunaj reakcije oslonaca, kao na slici.

i

p-1>

lA

u

_lON lcm

F---

R:-\·4,,

AB=2m

(~

Graficki: (reakcije pod loge) RA=20N Rs=45 N

~l I,

~f''D + \T )· = 2,136m

~i-1 I I

1. '

AB

cosa=-=0936 ~ a."' 20,5° .... OB ' G RB =--=85,47N cos a RA =G. tg (l = 29,91 N, iii RA = R8 · sino.

;) I

1:

UL =

0,5m I em

20N

. u,.= i. ro.

i' 0

/i I a.!

B

!l ..

G= SON G'

P.,

y k.

lcm Fr=3N, a. 1 =30° F2 = 3 N , a2 = 135° FJ=4N, a.J=180° F4 = 2 N, a.4 = 270° Racunski: Frx = f,. COS 30°= 2,598 N F.b: = F 1 • sin 30° = I 5 N fzx = Fz ·cos 45°= 2,121 N I:Jx = Fz ·sin 45° = 2.121 N Flx = F3 = 4 N fJv=O F4x = 0 F!h:=2N

•t.F~

f,

,~rr-······

.

F~

(45° !A-T . . •. . . r--..- . ~.... F·;: F~

F; ""iii

x

X

.::..

,. F,

v-y

F;

~

Da bi sustav sila bio u ravnotezi, sve sile se moraju sjeci u tocki 0. Racunski: Potrebno je izracunaj kut a; AP = AB · cos45" = 1,41m ,

-J .,1

FRx = Frx- F2x- Flx = -3,523 N .&v=Frv+F,v-F4y= 1,621 N

L§~

p

15m '

/----:

~

2in

UF-_}!!___

\,\

~ -~---.,

~A

··

8. Izracunaj racunski i graficki rezultantu, kao na slici.

F.

IN

iA

P.,.. ~ /·.

Racunski:

U tockama dodira A i 8, . G=3kN po zakonu akcije i reakcije, podloga djeluje silom na kuglu istim intenzitetom, a suprotnim smjerom, pace poligon sila biti (zatvoren) u ravnoteZi. RA i Rs su reakcije pod1oge.

k"

;; -c.

FR =~F)_, + F~. = 3,878N

6

F. Graficki: h= Ur· 3,8cm FR = 3,8 N

AP=P8

PB 2

tga = AP

~ a."' 27°,

R 8 =~=44,89N, cos a

RA=Rs·sina.=20,38N

~~

no

93

IPT

)'. :\

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I /


Elasticna sila

9../ Odredi reakcije podloge za tijelo prikazano na slici, .

G = 200 N, a= 60°.

ako su zadani podaci Graficki:

uF =

FA =230N,

Tijelo se deformira pod djelovanjem vanjskih sila, tj. promijeni oblik, sto zavisi od sila koje djeluju, njegovih dimenzija i vrste tvari od koje je gradeno. Od svojstva tvari opet zavisi hoce li tijelo, po prestanku djelovanja vanjskih sila, doci u prvobitno stanje. Cvrsta tijela zbog jakih sila izmedu cestica imaju stalni volumen. Model cvrstog tijela mozemo slikovito prikazati kao kuglice medusobno vezane jakim elasticnim oprugama. Deformacija tijela oznacava promjenu dimenzija i oblika tijela zbog medudjelovanja s nekim drugim tijelom. Ako tijelo, po prestanku djelovanja vanjskih sila, zauzima isti oblik i volumen kao i prije defonnacije, onda takvo tijelo nazivamo e/asticnim. Tijela koja poslije prestanka djelovanja vanjskih sila zaddavaju steceni oblik, tj. koja se ne vracaju u prvobitno stanje nazivamo plasticnim. Elasticnost i plasticnost karakteristike su svih cvrstih tijela. Elasticna tijela su npr. ona od gume, celika, kaucuka, a plasticna od voska, olova itd. Znaci, svojstvo elasticnosti imaju tijela koja se opiru defonnaciji, a svojstvo plasticnosti ona koja joj sene protive.

lOON icm Fs= 300N

10. Tijelo mase 5 kg nalazi se na strmoj ravnini pod kutom 60°. Tijelo je vezano llZetom za teg ciju masu treba izracunati, pod uvjetom da se tijela ne pomicu. Sila u llZetu:

Fu=G2

lz uvjeta ravnoteze vrijedi:

o.

G, = Fux

~

/\'~,

m 1·g · sina = m2 ·g · cosa m2 = mt · tga = 8,66 kg

II. lzracunaj graficki i racunski rezultantu ako je zadano: Ft=4N, F2 = 3 N, F3 =2 N, F4=4 N,

1-------------:rp

P. +------:·_ ·--=~-=~-=-~=-~=-~~-- ~:----. ~ ~

a1 = 60°, a2 = 150°, a3 = 225°, U4 = 330°.

12. 0 mali prsten B, zanemarljive mase, objesen "' je teret G. Prsten je vezan zicama BA i BC. Zica BC je prebacena preko kotura C i na svom drugom kraju ima objesen teg Q = 10 kN. Kada je sustav u ravnotezi, zice zaklapaju sa vertikalom kutove a = 45° i p = 60°. Izracunaj tezinu tereta G i silu zatezanja FA·

G = 13,7 kN,

FA=

12,25 kN

~p

£--- --- ··-:=-~

;.-: :---------------z;w.

sabijanje

istezanje FR=2,9N

li

~'

Vrste deformacija. Hookeov zakon (R. Hooke, 1635-1703) Deformacije tijela nastaju zbog djelovanja vanjskih sila, Ciji smjer djelovanja odreduje i vrstu deformacije. Ako na tijelo djeluju suprotne sile tako da im smjer ide dllZ osi tijela, onda takvu deformaciju nazivamo istezanjem. Ako sile djeluju ka tijelu, to je sabijarife. Ako na tijelo djeluje sila okomito na njegovu uzdtiZnu os, onda tu deformaciju nazivamo savijanje (jleksija). Deformacija smicanja nastaje kada jednu osnovu tijela ucvrstimo, a na suprotnu djelujemo silom paralelnom s utvrdenom osnovom. Ucvrstimo li opet jednu osnovu tijela tako da bude nepomicna, a na suprotnu djelujemo spregom sila, onda je to deformacija koju nazivamo torzija (uvijanje). Jasno, postoje i slozena naprezanja.

savijanje (fleksija)

t---s-t~-,

~~-----:

!,_ _______ 2

smicanje

torzija (uvijanje)

Slika 3.11. Vrste naprezanja Deformacija moze biti apsolutna i relativna. Apsolutnom deformacijom nazivamo veliCinu promjene bilo koje dimenzije tijela pod djelovanjem vanjskih sila. Tako je npr. pri istezanju sipke duljine I apsolutna defonnacija prirast duljine L'.l. Relativnom deformacijom nazivamo broj koji izrazava koliki dio prvobitne dimenzije tijela L'.l cini apsolutna deformacija. ZnaCi, relativna deformacija (di/atacija) je E = - . I Pri djelovanju sila na tijelo javlja se u njemu napon, a velicinu tog napona (cr-sigma) mjerimo silom koja djeluje najedinicu povrsine njegovog presjeka: cr=!

S

[.!!.._] m 2

95

f~-

!1' '

\i'


'


Zadaci: Vezu izmedu mehanickog napona i relativne defom1acije tijela utvrdio je engleski znanstvenik Robert Hooke, ciji zakon glasi: mehanicki napon elasticno deformiranog tijela proporcionalanje relativnoj defonnaciji. Koefi.cijent proporcionalnosti kod istezanja i sabijanja oznacava se sa E (za dati materijal) i naziva se Joungov modul elasticnosti. Hookeov zakon za istezanje i sabijanje ima oblik

K

~

2. Mesingani valjak promjera 7 em, vi sine I 0 em, pritisnut je na gomjoj bazi teretom mase 5 tona. Ko1iko ce se valjak sabiti uslijed elasticne deformacije? EM= 10·10 10 Pa. lih = 12,7 Jlffi

t..l

·~ *''

P - tocka proporcionalnosti

-=-·E E - tocka elasticnosti S I G - gomja granica razvlacenja gdje je: cr - napon D- donja granica razvlaccnja S - poprecni presjek L K- jaCina materijala t..l, (e).._ 0 F-sila E - modul elasticnosti • . "t AJ F ·I Stika 3.12. Hookeov dijagram za celik Izduzenje s apa u =-E·S Hookeov zakon vrijedi samo u podrucjima u kojima su tijela elasticna. Za odredeni stap E, S, 1je konstantno, pa Hookeov zakon mozemo pisati u obliku: F = k·t..1, gdje je k konstanta elasticnosti. Znaci, izduzenje stapa je proporcionalno sili koja ga je izazvala. U deformiranom se tijelu (stapu) na osnovu treceg Newtonovog zakona javlja elasticna sila F = - k·t..l koja se opire deformaciji tijela. Elasticna sila deformirane opruge Ako na oprugu zakacimo teg mase m, opruga se istegne (deformira). Ako njezino izduzenje oznacimo sax (umjesto t..1), onda mozemo napisati: F=k·X

F=G=m·g

I. Koliko se izdulji bakrena zica duljine 1,5 m, promjera I mm, ako je na jednom kraju ucvrstimo, a na drugi kraj zakvacimo teg mase 7 kg? Modul elasticnosti bakra je 12-10 10 Pa. lil=1,1 mm

F, (cr)

cr=e·E F

0

o/' •

3. Meta1na sipka poprecnog presjeka 2 cm2 moze pri istezanju izdr:lati napon od 10 GPa. Ako na taj stap djeluje si1a 2,2 MN, hoce 1i stap izdr:lati tu silu? cr; = 11 GPa (nece) 4. Ko1iki napon v1ada u ce1icnoj zici gitare, ako je duljina :lice prije zatezanja bi1a 11 = 0,9 m, a pos1ije zatezanja h = 0,932 m? Ec = 20·1 0 10 Pa. cr; = 7,1 GPa 5. Bakrena zica duljine 11 = 2 m promjera I mm cvrsto je povezana jednim krajem sa a1uminijskom zicom istih dimenzija. Drugi kraj bakrene :lice je ucvrscen, a na drugi kraj aluminijske :lice je zakvacen teg mase 10 kg. Koliko je ukupno izdu:lenje tih zica? Es = 12·10 10 Pa, EA = 7· 10 10 Pa. .6.luk=S,65 mm 6. Aluminijski stap ucvrscen na krajevima na1azi se na temperaturi 17 °C. Ko1iki ce biti tlak na krajevima stapa, ako se zagrije na 62 °C? EA = 7·10 10 Pa, a.= 24·10"6 1/K. t..1 = 1 ·a.·t..t,
7. Kolika sila mora djelovati na ce1icnu :lieu du1jine 2 m, poprecnog presjeka I cm da se 10 produ1ji 1 mm? Ec = 20·10 Pa. F= 10 kN

x _i

8. Izracunaj krutost opruge ako teg mase 200 grama istegne oprugu za 10 mm.

G

k= 200 N/m Relacija daje vezu izmedu sile F = G Stika 3.13. lstezanje opruge sa dijagramom krutosti koja isteze oprugu, izduzenja x i elasticnih svojstava opruge. Konstanta k je konstanta elasticnosti koju nazivamo i . .. krutost opruge. Sto je krutost opruge veca, oprugu je tde ' ~ . . ; rastegnuti. Potencijalna energija opruge dana je izrazom: . 'y' :' ':1 E = k ·X2 ( J) p

2

Na pojavi elasticne deformacije opruge temelji se upotreba dinamometra, instrumenta za mjerenje si1e. Opruga mora imati svojstvo da se poslije prestanka dje1ovanja sile vraca u prvobitni polozaj.

' '

. , t

''Jl •••• ·~ ~ \:

'

9. Na e1asticnu oprugu zakvacimo teg mase 8 kg, pri cemu se opruga izdulji za 5 em. Ko1ika je tdina tega koji objesen na istu oprugu izazove njezino izdu:lenje za 7,5 em? Gz= 117,72 N 10. Diza1icom se dize teret od I tone ce1icnim uzetom du1jine 10 m, poprecnog presjeka I cm 2• Izracunaj: a) napon u uzetu, b) relativno istezanje uzeta, c) izduzenje uzeta. E = 20,5·10 10 Pa. a) cr = 98,1 MPa, b) e = 0,048 %, c) til= 4,8 mm II. Kolikom najvecom si1om se smije opteretiti bakrena zica promjera 2 mm ako relativno 10 izduzenje ne smije prijeci 1,4 %? E8 = 12,5-10 Pa. F=S,S kN

Slika 3.14. Dinamometri 97

~

mr. Ze\jko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA. 1

12. lzracunaj povrsinu poprecnog presjeka celicnog uzeta za dizalo duljine 20 m, ako se pri opterecenju od I ,5 tone uze ne smije izduljiti vise od 5 mm. E = 220 GPa. S =268 mmz

T 13. Stap duljine lm i zanemarive mase objesen je o dvije opruge jednakih duljina. Krutost prve opruge je 30 N/cm, a druge 40 N/cm. Na kojem mjestu na stapu treba objesiti teg da bi stap i dalje ostao horizontalan?

I 9. 0 laku gumenu traku duljine l = 60 em objesena je kuglica i izvedena iz ravnoteznog polo:laja za 90°. Ako se kuglica pusti da pada, traka prolazeci kroz vertikalni polo:laj dostigne duljinu 11 = 70 em. Izracunaj brzinu kuglice kada prolazi kroz ravnote:lni polo:laj ako se traka isteze razmjemo sili.

'' ''' ' '' ''' ~----

II

.I

/.

v=3,34 m/s

k2

kl

x=0,57 m

,

20. Izracunaj maksimalni tlak koji moze izazvati voda pri ocvrscivanju. Gustoca leda je 920 3 kg/m , modul elasticnosti ledaje 28 GPa, a Poissonov koeficijent J.l = 0,3. .. -!;,.V =-k · p Prema Hookeovom zakonu za volumensku de fiorrnac•Ju

X

14. Metalna zica duljine 5 m, povrsine poprecnog presjeka 2,5 mm2 izdulji se za I mm pod djelovanjem sile od 100 N. Od kojegje materijala zica? E = 20·10 10 Pa (celik)

-

,_,!..)-__ ......'

v

k = _,3(~1-_2__!·Jl-'-)

Koeficijent stisljivosti

p= 1,87GPa

E 2

15. Iz gumene pracke duljine 25 em, povrsine poprecnog presjeka 20 mm izbacena je kuglica mase 25 g. Koliku ce visinu dostici kug\ica ako se pri izbacivanju traka izdulji\a IS em? EG = 7,8 MPa h =28,6 m 16. Za dvije celicne :lice jednakih duljina \0 = 2 m, poprecnog presjeka 4 mm\ razmaknute pod kutom a 0 = 60° objeseno je tijelo mase 200 kg. Za koliko ce se smanjiti kut a pri opterecenju zica danim tegom? E = 21·1 0 10 Pa.

21. Aluminijski stap duljine l = l m i poprecnog presjeka 2 S = 10 mm vezan je jednim krajem za pokretni zglob, a na slobodan kraj pricvr5cen je teg mase m = 15 kg. Stap se izvede iz ravnote:lnog polozaja za 90° (kao na slici) i pusti da se slobodno giba. Izracunaj izduienje stapa u trenutku prolaska kroz ravnoteni polozaj. EA 1= 70 GPa.

/;,.1=0,63 mm

~ ,· I

j

I

~

I

:

:

't

I

~l~t

t

,~,

I II I

,', , '' .I' ,' I

r------:,/

u------

2

22. Pri naponu od 14 kN/cm relativna promjena volumena aluminyske kocke je 0,2 %. Pod istim uvjetima relativna promjena volumena olovne kocke je 1,75 %. lzracunaj za koliko je veca volumenska deforrnacija olovne kocke od aluminijske, ako su volumeni prije napona hili isti, i iznosili V = 10 3 cm3•

/;,.a= 5' 20" ·.!j

!;,. V = 16,67 mm 3

------: '

------·'

2

·~

17. Pomocu ce\icne :lice poprecnog presjeka I mm vuce se tije\o mase 30 kg po horizontalnoj podlozi. Ako je napon kidanja :lice 450 MPa, izracunaj kolikim se ubrzanjem moze gibati tijelo. Koeficijent trenja izmedu tijela i pod\oge je 0, I. a= 14 m/sz 18. Teret mase m objesen je kao na slici. Zica AB je od celika Ciji je E = 210 GPa, a zica CD od aluminija Ciji je E = 72 GPa. lzracunaj rastojanje x da bi stap BD duljine d = 1m ostao horizontalan. Povrsine poprecnih presjeka zica su jednake.

/.

A

F2

F1 d

8

m

,•

I

D

x =25,5 em

99

1\'f'ii

r·!

-~


I

mr. Zeljko Stapic: FlZIKA 1

Sila trenja Zasto se podmazuju leiista tockova na osovinama? Zasto se na asfaltnom putu vozila lakse krecu nego na cesti posutoj sljunkom? Zasto se 7.aledene ulice posipaju pijeskom? Zasto se stavljaju zimi lanci na kotace vozila?

.,

'.-;

,:\

'

Pokrenuto tijelo bi se, prema zakonu inercije, trebalo gibati stalnom brzinom. Medutim, ako takav eksperiment napravimo s nekim tijelom i damo mu impuls da se giba po horizontalnoj podlozi, vidjet cemo da ce se ono nakon kraceg vremena zaustaviti. Uzrok zaustavljanja je sila koja se suprotstavlja njegovom gibanju. Ta sila se naziva sila trenja. Sila trenja ima suprotan smjer gibanju tijela. I pri gibanju tijela kroz tekucinu iii plin postoji otpor gibanju koji se naziva otpor sredine. Trenje se javlje zbog hrapavosti i neravnina na dodimim povrsinama, kao i zbog djelovanja molekulamih si\a. Znaci, sile koje se pojavljuju pri gibanju jednog tije\a po povr8ini drugog tijela i koje sprecavaju i usporavaju to gibanje nazivaju se sile trenja. Razlikujemo tri vrste trenja: trenje mirovanja, trenje klizanja i trenje kotrljanja. Kad se tijelo kotrlja (valja) po podlozi, pojavljuje se sila trenja kotrljanja, kao npr. kod kotaca. Eksperimentom se lako mozemo uvjeriti da je trenje kotrljanja, pri jednakim uvjetima, znatno manje od trenja klizanja i trenja mirovanja. Osnovni razlog tome je sljedeci: kad se tijelo kotrlja na podlozi, neravnine ulaze i izlaze jedne izmedu drugih kao zupci, a ne drobe se kao pri trenju klizanja. Trenje klizanjaje uvijek manje od trenja mirovanja. Eksperimenti pokazuju da je trenje u svim slucajevima proporcionalno sili kojom tijelo djeluje normalno na podlogu na kojoj se nalazi. Koeficijent proporcionalnosti nazivamo koeficijent trenja (!J.), a njegova vrijednost zavisi od prirode tijela koja dolaze u dodir. Trenje moze biti korisno, npr. izmedu obuce i podloge po kojoj hodamo, koeficijent trenja treba biti sto veci. Da nije trenja, ne bismo mogli sigumo d£Zati predmete u ruci. Na trenju se zasniva rad raznih kocnica. Spajanje komada drveta cavlima i vijcima takoder se zasniva na postojanju trenja. Trenje moze biti i stetno, jer smanjuje stupanj korisnog djelovanja. Ako ga treba smanjiti, onda trenje klizanja zamjenjujemo trenjem kotrljanja, primjenom kuglicnih i valjkastih lezajeva. Da bi se smanjilo trenje, podmazuju se iii glacaju (poliraju) neravnine.

i;;c ;' ::, ~',~,;~:~~'~ Slika 3.16. Dodime povrsine tijela promatrane uvecano Neke tipicne vriiednosti koeficijenata trenia Dodirne povrsine Koef. trenja mirovanja Drvo na drvo 0,5 Celik na celik o, 7 Guma na suhom asfaltu 0,8 Guma na mokrom asfaltu 0,3 Guma na ledu 0,02

Koef. trenja klizanja 0,3 0,5 0,6 0,2 0,01

Koef trenja kotrljanja 0,05 0,003 0,01 0,005

Trenje klizanja na horizontalnoj ravnini:

F Fr= FN'.U,

~.?

FN =G =m·g

J.i - koeficijent trenja Rad sile trenja:

Ar = Fr ·s Slika 3.17. Trenje klizanja na horizontalnoj ravnini

Uzroci trenja su neravnine tijela i podloge. Sila trenja je najveca neposredno prije nego sto se tijelo pokrene i tu silu nazivamo silom statickog trenja (na dijagramu), a stalnu silu tijekom klizanja dinamickim trenjem (!J.s• > !J.din).

Fr._ i

:

I ; '1··;-r-·:···· J... . ' j

;

'·' !

Sila trenja klizanja zavisi od kakvog su materijala dodirne povrsine i od njihove uglacanosti, kao i od tezine tijela.

F

F~a

r./ i

,),cf Sila trenja ne zavisi od velicine dodirne povr8ine tijela. U oba slucaja (na crtezu) sila trenja je ista.

'

/

/

:L

-

......

.... _ /

/~.

/ / _/.

---~:::/

..

/

--/~ •./

L._.

/

/-"

/

-·-·-. /,

--

--

//

_,/ /

/'

.

">

'

•. c=:J

... F ~

.

J: - ··;,

· ··

Slika 3.18. Staticko i dinamicko trenje ,/'.---- · - - / } · ·

:--

- .. _//.

I

/

/ ~~:~:·==~// //

F

c::::::J ~

> I

_____

r ,I .._- - - - - - -__)_./

'' ,/,/ '

Slika 3.19. Sila trenja u zavisnosti od velicine dodirnih povrsina Slika 3.15. Kotrljajni (a) i klizni (b) leiaj

100

101

~

~

I

'

!

mr. Zeljko Stapic: F!ZIKA l

!

5.

Trenje na strmoj ravnini Ako se tijelo giba niz strmu ravninu s ubrzanjem a: Gx- F;n- Ftr = 0, Gx = G ·sin a Gy= FN=G ·cosa m·a=Gx-F~r, Fr=FN·p=G·cosa·p

Hokejas udari plocicu brzinom 5 m/s i ona prijede 80 m do zaustavljanja. Ko1iki je koeficijent trenja izmedu leda i plocice i ko1iko se vremena plocica gibala? 2 V0

2

= 2 ·a ·s ~ usporenje a=~= 0,156 ~

2s

s

F;.=Fr,

Fr=m·g·p,

t=

a= g·(sin a- !J.·cos a)

6.

Ako tijelo klizi konstantnom brzinom, onda je: Gx =F~r

b

Slika 3.20. Trenje na strmoj ravni

fl

FN

F;

h

..A,

·-----~

-a __,.

----

··--<:'~ ········a:·:,·:~,~---··

a =0,016 =32s; Jl =g

Sa strme ravnine pod kutom 60° k1izi predmet nanize mase 10 kg. Izracunaj silu trenja i prijedeni put za 2 s, ako je koeficijent trenja 0,2. --:~

G ·sin a = G ·cos a ·IJ.,

~

sina cosa

h b

Kolikom se silom mogu vuci sanjke ukupne mase 55 kg ravnomjerno po horizontalnoj podlozi ako je koeficijent trenja 1-1 = 0,04?

2.

Fr=9,81 N

,. >

:\

Fv

FN

F1~

Fr=Fv=FN'Jl,

7.

Gr=Gmax-Gs= 11 019N,

r:\~

G,=m·g=981 N

FN= 12000N m"" 1,1 tona

=o:..

G.

8.

=255N,

F: "' F~r=G

F~r = G · Jl = 5,886 N

a=

Vz -

v,

=

t F=Fr+F;n

lll'J

2 !!!_

s ~

1

Fr=F-m·a=SN

a=Ftr =147m/s2 ' m

F'~<-

~~;"i

T

v2 =2·a·s

s=5,44 m

'

F~r

F

= G · Jl,

m·a=m·g·p

<'

,,,-;:-

~!

'.>

F=F.. ,

A,, = 244,8 kJ , s = v - t = 960 m

Si1om F = 10 N vuce se tijelo po horizonta1noj pod1ozi i za 8 s brzina se promijeni s 21,6 km/h na 22 m/s. Kolikaje sila trenja ako je masa tijela l kg?

F\7'-/-+

a =5 m/s 2

Pri brzini 54 kmJh vozac naglo zakoci. Koliki put ce prijeci vozi1o do zaustav1janja, ako je koeficijent trenja 0,25 ?

(usporenje) a = 2,45 m/s 4.

·p=49,05 N,

._t :-""

Po vodoravnoj podlozi pokrenu se kolica mase 4 kg impulsom 16 Ns, pri koeficijentu trenja 0,15. Izracunaj: silu trenja, usporenje i prijedeni put do zaustav1janja. p = m · v ~ v = 4 m/s

G,

9.

F~r=FN-Jl

Na horizontalnoj podlozi nalazi se sanduk mase 50 kg. Koliko ce biti ubrzanje ako na njega djelujemo horizontalnom silom od 300 N? Koeficijent trenja izmedu podloge i sanduka je 0, 1. F- F;n -- Ftr = 0 m·a=F -F,,,

:,~L,v)~=s=~

Koliki rad protiv si1a trenja izvrsi motor vozila mase 650 kg gibajuCi se po horizontalnom putu ravnomjerno 2 min brzinom 8 m/s i koliki put prijede za to vrijeme? Koeficijent trenja je 0,04. Atr=F~r·S,

s = - - =15m

VG

Pri duzem radu konj iskazuje silu od 600 N. Koliki maksimalni teret moze vuti po horizontalnom putu na sanjkama cija je masa 100 kg, a koeficijent trenja sanjki o snijeg 0,05? Pretpostavimo da je sila paralelna s putom. Gmax = FN = Gr + G,,

a ·t 2 2

a=7,55 !!!_ sz

·T7=h---t--7ri·T

/

3.

Gx= G · sina

F~

0

Buduci da je gibanje ravnomjerno, sila vuce jednaka je sili trenja. F,= Fr Fv = 21,56 N Fv = Fr = FN'!.l = m·g·!.l

'·

Fr = FN · Jl =G ·cos a· Jl

p=--=tga=-

Zadaci:

1.

Gy= G ·cos a

2

,

---~:f~-~7::~;~~ _-7~~V?f

t= ~=6,12s, a

2

s= a-t 2

::::46m,

iii

2

( v =2·a·s,

s:::: 46 m)

_____

L

;·F 103

11''11'

I'· mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1


10. Loptu zakotrljamo brzinom 5 m/s po horizontalnoj podlozi i ona do zaustavljanja J!lrijede I 0 m. lzracunaj koeficijent trenja. V0

2

-

2

vk = 2 ·a

·S ,

. m (usporenJe) a= 1,25 2 s

Vk = 0 (pri zaustavljanju),

a

Loptu ce zaustaviti sila trenja: F,, = F ,

p=- =0,127

g

11. Tijelo mase 0,1 kg gumemo silom od 1 N po horizontalnoj podlozi uz koeficijent trenja 0,5. lzracunaj usporenje.

F~=m· ~,.

'&-

a

(f

2

12. Pri brzini 72 km!h vozilo se zaustavilo kocenjem za 4 s. Izracunaj koeficijent trenja i prijedeni put. F=F,,

a = 5 rn/s

m · a = m ·g · f1 ,

f1 = 0,51

F=G, =m1·g,

2at

2

,

---t

a= 0,8 rnJs- ,

a·t2 =40m -2

G

/~. .

~

---t

p=0,1

( iii 2 · a · s = v02 )

<' ch

_

a

<

>

~\ ~ J~r-~:_- :;::~+-m)-g \:'·'> VG

F -F;n-F,=O F;n = (m + m, +.6.m) a

i

I

i }\m, +I'm

'h

F~r=G ·fl,

F, = F = m · a= 800 N ,

Kad bismo tijelo vukli u2:etom kojije paralelan s ravninom, sila F, bi bila: F, = F, = G · f1 = 9,81 N Kako tijelo vucemo pod kutom od 60°, silaje

Fx

'~~

F;.

f1 =0,08

14. lzracunaj silu kojom treba vuci tijelo mase 10 kg po horizontalnoj podlozi ako je koeficijent trenja 0,1. Tijelo vucemo u2:etom pod 60° u odnosu na horizontalnu ravninu.

F = - - = 19 ,62 N cos a

_fi ~c-l ~ L_ :~: --~~.f]

F" =G ·p

m·g·p=m,-g,

13. lzracunaj silu trenja koja djeluje na vozilo mase I tona, ako se vozilo zaustavi za 5 s i pri tom prijede put od 10 m. lzracunaj koeficijent trenja.

s=

F

a) Da bi se tijelo pokrenulo, mora biti F" :<:: F

b) Da bi se sustav gibao ubrzano, vrijedi:

·'

~~

~F~

2

s=

F:.

a

F;n = In'a , F, = G · f1 = m ·g · f1 Vucna sila aviona (F): F = F;n + Flr , 2'a ·s = v 2- Vo2 , a = 2,469 m/s 2 , F=4431 N Snaga motora aviona P = F · v = 98,46 kW 17. a) lzracunaj koeficijent trenja izmedu tijela i podloge kao na slici. Masa tijela m = 5 kg, a masa tega, zbog kojeg se tijelo pokrene je m 1 =0,5 kg. b) Koliki je teg potrebno dodati da bi tijelo dobilo ubrzanje 2 rn/s 2 ?

F- F;n- F, = 0, F;n =m ·a, F,=m · g · f1 a= 5,1 m/s

16. Avian mase 1 tona treba pri uzlijetanju razv1t1 najrnanju brzinu od 80 km/h. Put uzlijetanja je 100 m, a koeficijent trenja 0,2. Kolika je najmanja sila motora potrebna da bi uz1ijetanje bilo moguce?

,J

F: :< .~g··'\; ---.· 7- /

7-;

\i'cf~+

.6.m = 1,41 kg

~Clh

h

G Ako se tijelo giba konstantnom brzinom, !ada je:

F:

ir-7 7.:' v

rli!

18. Tijelo mase 10 kg spusta se konstantnom brzinom niz strmu ravninu cijije nagib 15%. lzracunaj silu trenja. _,._

F

•."

~

./ua, ···-· ···'

(m, .t.m) g = m · g · f1 + ( m + m 1 +.6.m) ·a

F=F,,

h

-=015

l

'

Ci

h

'

F=F,=G·-=147N r

[

'

o

15. Tijelo mase 400 g ne pada slobodno, nego ubrzanjem 5 m/s 2 zbog otpora zraka. lzracunaj silu otpora zraka.

/\F'~~ m

~ ,. . . . . ~ . . . ---·\F!!'

Tijelo ce poceti klizati kada je: F = F,, F, = FN. f1

F; 0 -G+F.,=O F.,= 1,92 N

19. Tijelo se postavi na stnnu ravninu ciji se kut moze mijenjati. Na visini 15 em i duljini 1 m tijelo se pocne klizati. lzracunaj koeficijent trenja. fl.

./ R

\: cf

G ·sin a = G · cos a · f1 ,

F t(~\;v

p= tga

h

= -=0 b , 152

.;,~.::-\ t \

.-.·· ~--···c;~-~-

1 ..

,., ...

io:\

G~./)1.

:

h N

b 104

105

'f'1!":' mr. Zeljko Stapic: FlZIKA 1 ror. Zeljko Stapic: FlZIKA 1

·-:~fl.

20. lzracunaj koeficijent trenja ako se tijelo mase 1 kg giba ubrzanjem 2 rnfs2 niz strmu ravninu pod k.utom 30°. F=G· sina,

Fin= m ·a, Ftr = F- Fin,

~/F:

/

.~.

'x-'

,.. ·a.·,

••( "

/''~ l

·~..,..

I

·-,

F:tt

d

21. S vrha strme ravnine cija je visina 5 m, a kut s horizontalom 30°, spu5teno je tijelo. Koeficijent trenja je 0, l. Izracunaj brzinu tijela na kraju strme ravnine.

2

,.. J

-~//

"_J_

p=0,34

2

.

F , x---.~\/

FN= G ·cos a F,,=FN ·p

a= 4, 05 rnfs

/

~-~-/~:~!F;

····-

a= g (sin a - p· cos a),

25. Tijelo mase 20 kg nalazi se na horizontalnoj podlozi. a) izracunaj silu kojom mozemo gurati ovo tijelo pod kutom 30° b) izracunaj silu ako tijelo vucemo u:letom pod kutom 30°. Koeficijent trenja je 0, I

/'i

a) Fx = F ·COS 30° , -·~<'"

Fy= F ·sin 30°,

_,. ~~:···:.;".':;o·•.,_ F

•..;,\'Fu ..........\ i~F:tt· ~

· h o,21 sma = -= I F=G ·sin a, Fv = F + Ftr,

~h '

F:

.~:.,..

~

A·:·····

F = 24 N

F,

r---

F~r=FN·J.l

b)

-/·-··C.:l _, --

I\ lg;~

-

-?

F,"':t~'·. · · ·

Fv = 6029 N

I

\l!)i- --

h

G

23. lzracunaj najveci uspon uz koji se moze vozilo mase 1,2 tone gibati konstantnom brzinom od 36 krn/h. Snaga vozilaje 70 kW, a koeficijent trenja 0,1. Fv=F+Ftr ~

az30,5

26. Kolosijek s prugom nagnut je pod kutom 2°. Niz strmi dio pruge vagon je odbijen pocetnom brzinom 1,5 rnfs i posto je presao 30 m pod nagibom, nastavlja gibanje horizontalnim dijelom pruge. Koliki ce horizontalni put prijeci, ako je koeficijent trenja 0,005? s = 202,5 m

28. Tijelo u obliku kocke mase 20 kg treba pomicati po horizontalnoj podlozi. Hoce li se upotrijebiti veca sila ako tijelo guramo pod kutom 45° ili ako ga vucemo pod istim kutom? F 1 Fz Koeficijent trenja je 0,2 u oba slucaja.

1

,. F ("'" ~'7 F_.,. ..•.---t

Fv = 7 kN,

Fx = Fu,

ba

F':tt

a., /

FN= G ·cos a Fv=4529 N

P = Fv · V,

a)

27. Tijelo se nalazi na strmoj ravnini visine 30m i osnove 40 m. Koliku ce brzinu imati tijelo na kraju strme ravnine ako pocne kliziti s vrha ravnine? Koeficijent trenja je 0,3 . v= 18,78 m/s

\

a= t2°

b) Ako se vozilo giba ubrzanjem uz strmu ravninu pored ovih sila vozilo mora svladati i situ inercije

F1 =70 N, F2=46,7 N

,

...merClJe.

.. ,,.

Slh

F~r=FN·J.l

Da tijelo ne bi skliznulo, mora Ftr > G

~~i

..,. i r

F~~=-F;.:r;<:\

=m·a·f.l

a> 19,62 m/s

2

.

11

n = 27,3 °/min

. ..

.

29. Tijelo je prislonjeno uz unutarnji zid uspravnog valjka polumjera 4 m. Izracunaj broj obrtaja valjka oko vertikalne osi, tako da tijelo ne sklizne. Koeficijent trenja izmedu tijela i zidaje 0,3.

24. Kolikom ubrzanjem se treba gibati vertikalno postavljena ploca (kao na slici), da s nje ne sklizne drugo tijelo, ako je koeficijent trenja 0,5? Nonnalna stla Je Jednaka Fin=FN

''''7

T

~ ~

:-,r-;;•

';'/

Vozilo mase 1,5 tona giba se uz nagib 21%. Koeficijent trenja izmedu vozila i strme 22. ravnine je 0,1. Izracunaj silu koju vozilo razvija da bi se gibalo: a) konstantnom brzinom,

a) Vucna si1a vozi\a mora svladati komponentu tezine i situ trenja:

F~

FN=G + Fy

F=21,4 N

-~-----/ \::~ h ..,::::·::)i~t... .· · · · .......Q' ...... .

rnl•'·

'!,) .

&~··':';.

.F

-">

,p

!

:-:.,..

b) FN=G-Fy,

a· t- t = 2 22 s v = a · t = 9 m/s I= , 2 ' ,

b) ub<=jem l

----~

<~~:, .;'~1·;, a j

Fe

30. Da bi lokomotiva povukla dugu i tesku kompoziciju, najprije se lokomotivom djeluje unaprijed pa unatrag itd. Objasniti ovaj postupak.

G=m ·g 107

Ill ·:i

r I'

'j

,)

·I

1m. Zeljko Stapic: FlZlKA l


31. Niz stnnu ravninu nagibnog kuta 60° klizi tijelo stalnim ubrzanjem 5 rn/s 2. lzracunaj koeficijent trenja izmedu tijela i podloge. g = 10 rn/s2 • ll = 0,73 32. Smucar mase 80 kg spusta se s padine duljine l = 10m i uspona 60 %. a) Kolikom silom djeluje na podlogu, a kolika sila ga pokrece niz padinu? b) Kolikim ubrzanjem se giba ako jell= 0,3? c) Kolikaje brzina u podnozju? d) Na kojoj ce se udaljenosti od podnozja zaustaviti, ako je koeficijent trenja isti na cijelom putu? g = I 0 mls2 • FN = 640 N, Gx = 480 N, b) a= 3,6 m/s 2, c) v = 8,5 rnls, d) s =12m

34. lzmedu dva tijela masa m 1 = 100 g i m2 = 300 g nalazi se sabijena opruga. Kad pustimo tijela, opruga odbaci prvo tijelo, koje klizi po podlozi s 1 = 18 em. Koliko ce odbaciti drugo tijelo ako je koef. trenja za oba tijela isti? Sz = 2 em ---------i

.------, ' '

Centripetalna sila Centripetalna sila je uzrok gibanja tijela po kruznici. Pravac brzine u svakoj tocki ima pravac tangente na kruZnicu u toj tocki. Intenzitet brzine je stalan (v =const.). Brzina v se naziva tangencijalna (linijska, periferna, obodna). Ravnomjerno gibanje po krnZnicije periodicno gibanje koje se ponavlja u vremenu i to je jedno od najvaZnijih krivocrtnih gibanja, npr: gibanje planeta oko Sunca, elektrona oko jezgra, dijelovi rotora stroja itd. Pravac brzine mijenja se od tocke do tocke tijekom gibanja. Brzina je vektorska velicina, a kako stalno mijenja

r

T

Fe 0

v,

pravac ~ *'-;;:;, to znaci da postoji ubrzanje. Ubrzanje koje potjece od promjene pravca brzine . . . naziva se centripetalno ubrzanje. Ono je Shka 3.21. Centnpetalna stla usmjereno ka centru kruZnice i okomito na pravac tangencijalne brzine. Ulogu centripetalne sile mogu imati i druge sile (gravitacijska, elektricna, Lorentzova itd.) sta!nog intenziteta koje djeluju okomito na smjer brzine uzrokujuci ravnomjemo kruZno gibanje. Znaci, svaka sila, bez obzira kakve je prirode, moze biti centripetalna sila, pod uvjetom da djeluje uvijek prema istoj toeki. Na tijelo koje se giba ubrzanjem ac djeluje, primjereno drugom Newtonovom zakonu, sila Fe tako daje:

'''

S1

Fe= m • aco

v'

35. Na stnnoj ravnini nagibnog kuta a= 30° nalazi se ravna ploca mase m2 = 10 kg, a na njoj tijelo mase m2 = 5 kg. Koeficijent trenja izmedu ploce i tijelaje Ill= 0,15, a izmedu ploce i strme ravnine 1-12 = 0,3. a) Odredi ubrzanje ploce i tijela. b) Pri kojoj se vrijednosti koeficijenta 1-12 ploca nece gibati?

F=m·-, '

r

a,

v'

a,= r · m ',

r

Fe== m·r·oo2,

v=r·oo

21t

oo="T,

00=

2·1t·f

Pri gibanju tijela po kruznici bez trenja (npr. satelita) u ravnotezi su sila teze i centripetalna sila; 2

F8 =Fe ,

m · g = m . ..!:_

--+

v=

r

a) a,= 3,7 m/s

2 ,

az = 1,8 m/s

2

.,r;:i

Pri gibanju tijela po horizontalnom putu polumjera zakrivljenosti r, ako se uzme u obzir trenje, u ravnotezi su sila trenja i centripetalna sila; ,

b) llz = 0,44

36. lzracunaj ubrzanje sustava i silu u uzetu u presjeku I u zadatku 28 (Newtonovi zakoni, strana 81 ), ako je koeficijent trenja 0, I (g = l 0 m!s\ a) a= 0,83 m/s 2, Fu = 9,17 N b) a= 0,375 m/s 2, Fu = 9,62 N c) a= 0,625 m/s 2 , Fu = 18,75 N d) a= 0,42 m/s 2, Fu = 19,16 N c) a= 1,786 m/s 2 , Fu = 1,91 N

F,,= Fe,

v'

m·- --+ v= ~f.l·g·r r lz ove relacije dobije se maksimalna brzina kojom se tijelo moze gibati po kruznici polumjera r. m·g·~-1=

Inercijalne sile u sustavima koji se okrecu lnercijalne sile su sile koje se javljaju kao posljedica ubrzanog gibanja sustava. lnercijalna sila je jednaka proizvodu mase tijela i ubrzanja sustava na mjestu gdje se: tijelo nalazi i ima uvijek suprotan smjer od ubrzanja sustava.

F;, = -n1. asu.c.

108

v,

iii po intenzitetu

F;n =

m ·a

109

~

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA l mr. Zeljko Stapic: FlZlKA I U sustavima koji se okrecu javljaju se dvije inereijalne sile: eentrifugalna i Coriolisova sila. Centrifugatna sila je inereijalna sila u rotirajucem sustavu (u sustavu referencije vezanom za kuglieu, NSR) i njezin je iznos kao i kod eentripetalne sile. Centrifugalna sila ima smjer od sredista krivine prema van i razlicitaje u raznim tockama sustava koji se okrece. Znaci, ova sila je posljediea djelovanja zakona inereije u NSR. vz 2 Fe= m·-, Fe=m·r·ro

<1?.

__

tic

('/ t-·-,·-,>;

. ',

\

r

I ,·.

' ;

/

'Slika 3.22. Centrifugalna sila

r

Za nas su najznacajniji NSR vezani za Zemljinu povr5inu. Pri analizi mehanickih proeesa u tim NSR tada treba uvesti eentrifugalnu inereijalnu situ u svim tockama na povrsini Zemlje. Ova sila okomita je na os rotacije i cini s pravcem gravitacijske sile F8 neki kut koji zavisi od geografske sirine na povrsini Zemtje, pa zbog toga i tezina tijela nije svugdje ista. Najmanja tezina tijela je na ekvatoru (na ekvatoru je Fe najveca, jer je r najveci), a najveca na polovima ( na polovima je Fe= 0, jer je r = 0). · Centripetatna i eentrifugalna sila javtjaju se ne samo pri jednakom kruznom nego i pri rna kojem krivocrtnom gibanju. U tom stucaju dijetove krivocrtne putanje mozemo promatrati kao tukove kruzniea odredenog promjera. U svim slucajevima po prestanku djelovanja centripetalne sile tijelo nastavlja gibanje u praveu tangente na putanju u tocki u kojoj je prestalo djelovanje sile. Tezina tijeta Znaci, tezina tijela je G = F 8 + F c . Buduci da na ekvatoru F8 i Fc imaju suprotne smjerove, tezina tijela na ekvatoru je G = Fg- Fe. Na polovima je te:lina tijela G = Fg.

;?

Centrifugalni efekt (primjeri): 1. Pri rotaciji case s vodom, tekucina poprima oblik rotacijskog paraboloida. Pri stalnoj kutnoj brzini rotacije, tekucina je u ravnotezi pod djelovanjem centrifugalne i gravitaeijske site. Pri velikim kutnim brzinama velicina m·g -~ostaje ~ane~~rivo ~a~a pre~a Fe, taka da ce povrsma tekueme bttt prakttckt okomtta na Fe.

~odel

obj~snjenj<: spl~osteno_sti

Stika 3.23. Tezina tijela

-~--------------...--"1..___-.J/""

.:-: F . :-~ : c :·w·-~j

:==:::~:~=======~:{====~=--=>:

2. za Zemlj': na 'F: polovtma. Na centnfugalm stroJ staviJamo obruc, na .. :--~·-:C·-~--: . :. ~:-J:-::: . =--~. :--::. :..: donjem kraju pricvrscen za vertikalnu sipku, a na 1 gornjem za prsten koji klizi duz sipke. Obrtanje obruca Stika 3.24. Centrifugalni efekt uvjetuje njegovo deforrniranje zbog izrazajnijeg dejstva kod tekucine centrifugalne site na udaljenije djelice obruca. Obruc koji rotira defonnira se, pod djelovanjem eentrifugalne sile u elipsu. Slicno se dogada, tijekom milenija is Zemljinom loptom, kojaje malo spljostena zbog rotacije oko svoje osi.

Stika 3.25. Spljostenost Zemlje zbog djelovanja centrifugalne site

Stika 3.26: Centrifugatni separator

3. Centrifugalni separator; tekucine raznih gustoca nalijerno u sfericnu posudu (npr: zivu, vodu i ulje). Pri okretanju na centrifugalnom stroju, tekucine se rasporeduju po slojevirna. Najudaljenija od osi obrtanjaje najgusca tekucina (ziva), a najbli:la osije ulje. Izmedu njihje voda. Prakticna primjena ove pojave je izdvajanje rnasnoce iz mlijeka, separacija zrna zitariea, izdvajanje crvenih krvnih zrnaca iz krvne plazrne, meda iz saca, cijedenje rublja, sokova itd. Za znanstvene svrhe postoje ultracentrifuge za separaciju molekula po masama. Centrifugalni regulator se koristi za odrzavanje stalnog broja obrtaja kod raznih mehanizama. Na slicnom principu radi tahometar (rnjerilo za brzinu vozila). Coriolisova sila Corio lis je ( 1829.g) predlozio da se inercijalni efekti zbog gibanja cestice u NSR opisu silorn, koja se i zove Coriolisova sila. Ova sila se javlja sarno onda kad se cestica giba, a zavisi neposredno od brzine cestiee. iii po intenzitetu h = 2·rn·ro·v, FK =-2m(cuxv,.) Buduci da je Coriolisova sila okornita na brzinu, tj. na pravae gibanja, ona ne vrsi rad, ne mijenja intenzitet brzine, nego je sarno zakrece. Efekti koji ukazuju na djelovanje Coriolisove site na Slika 3.27. Coriolisova sila povrsini Zemlje: na sjevemoj polutki, rijeke koje teku du:l meridijana prernajugu podrivaju desnu obalu tijelo koje slobodno pada na povrsini Zemlje ne giba se strogo po vertikali, nego se neznatno otklanja (oko I em na l 00 m visine ). pasati na sjevemoj polutki pusu od srednjih geografskih sirina prema ekvatoru s otklonom prema zapadu. U nekim velikim gradovima svijeta postavlja se Foucaultovo njihalo da bi se ukazalo na rotaeiju Zemlje, npr. u zgradi UN u New Yorku. Foucaultovo njihalo je prezentirano 185l.g u Parizu, da bi se pokazalo da se Slika 3.28. Utjecaj Zemlja okrece oko vlastite osi. Na njihalo djeluje Coriolisove sile na Zemlji Coriolisova sila koja zakrece ravninu titranja njihala na sjevernoj polutki u smjeru kazaljke na satu u odnosu na Zemlju (od istoka prerna zapadu), a na juznoj obratno. Zakretanje je najizrazenije na polovima. Za jedan dan njihalo tu napravi jedan puni obrtaj (360°). Na ekvatoru zakretanja nema. Ill

11(\

1lfi

,,'i

mr. Zeljko Stapic: FIZIK.A I


I.

Konac moze izddati maksimalnu silu od 50 N da ne pukne. Kolikom brzinom mozemo u horizontalnoj ravnini okretati tijelo mase I kg objeseno o konac duljine 50 em? lzracunaj period obrtanja.

vz F =m·r

c

2.

8.

0

Zadaci:

-->

v= ff·r _c_=5mls n1

'

v = r ·m

-->

w = 10 rad/s,

T=-=0,628s

I

T=-=2s,

w=2 7r·f=3,14radls

v=r ·m =4,71 rn!s

vz ac =-= 14,79 ml s 2

f

r

t

v=r·m=3m/s

vz Fmin =Fc-G=m·--m·g=2,6 N r

(i)-_, "'~~>~ . ..:;. ... ( / 'G ' ' /

"<·L .

\\

i "'

!=-=50Hz

'

t

:

1!

\

..

rad m m=27r·f=314v=r·m=157' s ' s'

F

v2

-'-=-=5239 G r·g

II. Izracunaj br.linu kojom se Mjesec okrece oko Zemlje, kao i vrijeme obilaska oko Zemlje, ako je srednje rastojanje Zemlje do Mjeseca 384 000 km, amasa Zemlje 5,96 · 1024 kg. Fg=Fe,

4.

G

J.L=-.-=0,4 g·r

n

.,.F_ 1 I

"" ·--$-··/' . /~·(i)

Kad je tijelo u najnizoj tocki, sila u koncu je maksimalna, tj. Fmax =Fe+ G = 12,4 N

:'·"'·

It

10. Lopatice parne turbine okrecu se s 3000 obrtajalmin i udaljene su 50 em od osovine. Izracunaj odnos centripetalne sile i tezine lopatice.

i'.F,

(

/ ~-<:v.(i)

/

vz

......

Tijelo mase 0,5 kg vezano za konac duljine 60 em rotira po vertikalnoj kruznici kutnom brzinom od 5 rad/s. Izracunaj minimalnu i maksimalnu silu u koncu. Kad je tijelo u najvisoj tocki, sila u koncu je minimalna, tj.

/

rad m m=27r·f= 6,28- , v=r·m=0,628s s

J=!!..=IHz,

F.,= m·ac = 2,96 N

v=Fi=2,8m s 277: m=T -+ T=197s ,

Na horizontalnoj kruinoj ploci koja se obrce s 60 obrtajalmin. nalazi se tijelo na udaljenosti 10 em od centra ploce. Izracunaj koeficijent trenja da se tijelo ne pokrene s ploce.

F~r=Fe

3.

......

m=~=35rad r ' s 9.

-·

"" v

vz m·g=m·r

{L)

J=!!..=0,5Hz, t

..

G=Fe

277:

Tijelo mase 200 g giba se po kruZnici polumjera 1,5 m i nacini 3/4 obrtaja za 1,5 sekundi. Izracunaj: f: T, w, v, ae, Fe.

Casa puna vode objesena je na konac duljine 80 em. Izracunaj minimalnu brzinu kojom moramo obrtati casu po vertikalnoj krufuici, a da se voda ne izlije iz case. Izracunaj period obrtanja. , ",:;

Izracunaj prvu kozmicku brzinu (brzinu kruZenja oko Zemlje, paralelno i blizu Zemljinoj povrsini). Polumjer Zemlje je 6370 km.

m · nz r

v

p:

2

m v= y--L.=1017-, r s

r~=mm-,

r

v r

..,; rad s

m=-=2,648·10 -

T= 277: = 27 dana 7h 43 min. {L)

Fg =Fe, 5.

7.

......

v=~R· g = 7,9 km/s

Izracunaj najmanji polumjer zavoja horizontalne ceste da vozilo vozeci brzinom 90 kmlh ne izleti s ceste. Koeficijent trenja je 0,8. F~r=Fe,

6.

vz m·g=m·R

Ftr= G·p,

vz m·g·p=m·r

-->

277:

Izracunaj minimalni koeficijent trenja potreban da vozilo ne sklizne s ceste u zavoju polumjera 50 m pri brzini 72 km/h. ll = 0,815 Izracunaj maksimalnu brzinu kojom se vozilo moze gibati u horizontalnom zavoju polumjera 100m uz koeficijent trenja 0,5.

rad

3 m=-=1163·10-T ' s '

v=~y

r=79,64 m

v = ~ = 79,73 km/h

11~

12. Satelit s prvim kozmonautom (Gagarin) gibao se oko Zemlje za 90 minuta. Na kojoj se visini nalazio satelit? Rz = 6370 km

......

v=(R +H)·m z

M, R,+H

v

R +H=•

=~yM' ·m

......

v

{L)

v=7,73·10J~ s

H..,280 km

13. lzracunaj period gibanja umjetnog Zemljinog satelita na udaljenosti od povrsine Zemlje koja je jednaka polumjeru Zemlje. Fg =Fe,

v=2R·m

M ·nz v2 r (;R/ =m, 2R -->

{L)

......

v=t·M, 2R

= 0,43846 ·1 o-J rad

s

=5586~ s

27r h . T=-=3 59mm. {L)

113

rr:· 1

!',


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 14. Izracunaj prvu kozmicku brzinu Mjeseca, aka je masa Mjeseca 7,37 · 10 1730 km. Fg =Fe

v=

-+

22

b) U sustavu referencije vezanom za kuglicu (NSR, rotirajuci sustav), na kuglicu djeluju dvije sile: tezina i centrifugalna sila. Neinercijalni (ubrzani) sustav referencije je svaki sustav koji se giba ubrzano u odnosu na inercijalni sustav referencije. U NSR djeluje inercijalna sila. Inercijalna sila u rotirajucem sustavu naziva se centrifugalna sila.

kg i polumjer

f¥

m

=1686s

15. P1ikolica je natovarena homogenim teretom (pijeskom) mase I tona i giba se u krivini polumjera 100m. Koeficijent trenja je 0,5 a raspon kotaca prikolice je I ,4m. a) Izracunaj najmanju brzinu prikolice u krivini tako da prikolica ne sklizne sa ceste. b) Izracunaj visinu tdista tereta tako da se pri danoj brzini prikolica ne prevme.

'~

F".= Fe vz a) m·g·JL=m·-

b)

v=79,72km

-+

r

GA "?.Fc·dz,

G

TA

' - ---o';._.-

/

,

I

,',

'

m=2Jr·f

s

1 T= -=091s

f= 1,1 Hz,

-+

f

,

17. Vozilo mase I ,5 tona ulazi u krivinu polumjera 500 m brzinom 72 km!h. Izracunaj silu koja odriava vozilo na krufuoj putanji i koef1cijent trenja.

i!j

Ulogu centripetalne sile ima sila trenja.

·~

i

*

~

-~

m

~

F~r=G

Fe= F,, = m · ac = 1,2 kN

* :~

;~

·11

-+

ll =0,8

a) U ISR djeluju dvije sile: tdina i sila u uzetu. ISR je sustav koji miruje iii se giba ravnomjemo u odnosu na Zemlju. Buduci da se kuglica giba po kruznici rezultanta te dvije sile ima smjer prema centru kruznice te ima ulogu centripetalne sile.

'lil~

-'···>{ ....

,,

1/~.' ~

~~ J .

'

Fe_~ tga=c;- r·g

sma

! 2 -sin 2 a ·4Jr

cos a

l·sina·g·T

2

2

Tz casu= L__2 = 0 4975 l·4Jr ,

, .i

.,

..

G

21. Po idealno glatkoj cesti ciji je polumjer krivine 60 m maze vozilo razviti brzinu 54 km/h. Koliki bi u tom slucaju trebao biti nagib ceste prema horizontu? a.= 20,9" 22. Na koju brzinu je proracunata krivina, ako je nagib prema horizontu 10°, a polumjer krivine 90 m? v=45 km/h 23. Na kruznoj horizontalnoj ploci nalazi se teg. Kolikim ubrzanjem treba zarotirati plocu da teg sklizne s nje, ako je koeficijent trenja izruedu ploce i tijela 0,2 ? Aka je polumjcr place 50 em, izracunaj obodnu brzinu ploce. a= 1,96 m/s 2, v = 0,98 m/s

24. Vozilo mase 1,5 tona giba se brzinom 90 km/h. Kolikom silom ce pritiskati most kad se nade na njegovoj sredini aka most ima: a) oblik izbocenog luka polumjera 150 m. b) oblik udubljenog luka istog polumj era, c) ravan most ? a) F = 8465 N, b) F = 20970 N, c) F = 14715 N

r

(

25. Menzura s vodom mase 500 g vezana je konopcem dugim I m i okrece se jednoliko u vertikalnoj ravnini. a) Pri kojoj se najmanjoj br.lini voda nece prolijevati u najvisoj tocki? b) lzracunaj silu zatezanja u najvisoj i najnizoj tocki. a) v ~ 3,13 m/s, b) Fma<= 9,81 N, F111 ; 11 = 0 N

'

~-~

I .

v=r·m=r·t , r= ·sma.

fi>G+F,,

, /·oi

I / ,,

""" F

T

18. Kuglica, objesena o uze duljine 50 em kruZi u horizontalnoj ravnini (konusno njihalo) s periodom I s. lzracunaj kut izmedu uzeta i vertikalne osi rotacije. Zadatak rijesi u: a) inercijalnom sustavu referencije, b) ubrzanom sustavu referencije (NSR).

2Jr

a."' 60°

.:
20. lzracunaj maksimalnu brzinu kojom vozilo maze uci u krivinu polumjera 100m, aka je koeficijent trenja klizanja izmedu tocka i podloge 0,25. v =56,3 km/h

W4

s2 '

(lsto kao u slucaju a),

.?--·-j--"'""

F-:f

F=631 N

16. Na kuglicu mase 50 g koja se giba po krugu polumjera 20 em djeluje centripetalna sila od 0,49 N. Izracunaj frekvenciju i period obrtanja. m= 7 rad ac = r. (1)2 -+ ac=98~ -+

Fe =m·ac

r·g

/ .. "r- .. -'l'j

:

77--7-rr77Th-T/~--

d 2 s;1,4m

__c_

;I

: i

l /CY..!

19. Atleticar zavitla kladivo mase 2 kg po kruZnoj putanji polumjera 2m sa 120 obrtaja u minuti. Izracunaj potrebnu centripetalnu silu.

~::;-:J·,.

//G v

h

vz Fc =m·-=4 r , 9kN

tga = Fe =

i d/(//

Q

~r !W

a."" 60°

!4

~G

----~~

/

26. lzracunaj silu tlaka kojom pilot mase 70 kg djeluje na sjediste u najnizoj tocki ako se avion giba brzinom 540 kmih i napravi petlju polumjera 400 m. F=4624 N

115 114

nn1' 1'1 '· mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I


27. lzracunaj centrifugalnu silu koja djeluje na covjeka mase 80 kg na: a) ekvatoru, b) polu. Rz = 6370 km.

a)Fc=2,69N, b)Fc=ON

35. Matematicko njihalo duljine 0,5 m, cija kuglica ima rnasu 5 g, izvedeno je iz mvnoteznog polozaja za 30°. U tom polo:Zaju kuglici je dana pocetna hrzina I m/s, ciji je pravac okomit na pmvac konca. lzracunaj silu zatezanja konca pri prolasku kuglice kroz ravnotezni polozaj.

28. lzracunaj period Zemlje da tijela na ekvatoru uopce ne pritiscu povrsinu Zemlje. Rz = 6370 km.

F=94mN

T=84,3 min

36. Na horizontalnoj kru:Znoj ploci koja rotira lezi mali teg, cije je tdiste na udaljenosti 6 em od centra obrtanja. lzracunaj koeficijent trenja izmedu ploce i tega, ako teg pri 60 °/min sklizne.

29. Objasniti cinjenicu da je astronaut u satelitu, koji se giba oko Zemlje, u bestdinskom stanju. 30. Dvije metalne kugle masa 100 g i 60 g ucvrscene su na horizontalnoj sipci na medusobnoj uda~jenosti 30 em. Sipka moze rotirati oko vertikalne osi sa 450 °/min. lzracunaj: a) na kojoj udaljenosti r 1 od tezista vece mase treba postaviti oslonac da u le:Zistima ne djel~je centrifugalna sila, b) silu u le:Zistu, ako je osovina postavljena na udaljenosti r = 20 em od centra vece mase. Trenje i masu sipke zanemari.

m2 I

a)rt=llcm,

37. Tijelo malih dimenzija sklizne s vrha lopte polumjera 30 em nanize. Pod kojim ce se kutom u odnosu na vertikalu tijelo odvojiti od povrsine lopte i nastaviti gibanje kroz zrak?

Fc2

---+-

b)F=31N

d=3Q em

~=0,244

a."" 42°

~

3l. Vozilo se giba po ispupcenom mostu i brzina mu je u gomjoj tocki 36 km/h, uz

38. Kuglica objesena o konac duljine I ravnomjemo se okrece obrazujuci s vertikalorn kut 60°. Izracunaj duljinu konca ako kuglica za 1 sekundu nacini 2 obrtaja.

koeficijent trenja 0,4. Izracunaj polumjer krivine mosta, ako je maksimalno tangencijalno ubrzanje vozila 3 m/s2 .

32. Dva mala tijela masa m i 3m povezana su medusobno koncem koji je provucen kroz otvor na horizontalnom glatkom stolu. Tijelo mase m rotira po stolu na udaljenosti 20 em od sredista otvora, a dmgo slobodno visi. Koliko obrtaja u minuti (n) treba izvrsiti gomje tijelo da bi donje zadlialo stalnu visinu?

l = 12,5 em

r=43,3 m

39. Kuglica mase 30 g, obje5ena o konac izvede se iz ravnote:Znog polozaja za 60° i pusti da titra. Izracunaj silu zatezanja konca pri prolasku kuglice kroz ravnote:Zni polozaj.

F~~

F=0,588 N

~63m

40. Tijelo malih dimenzija moze se gibati po kruznoj putanji u vertikalnoj ravnini. U najnizoj tocki tijelo se izbaci pocetnom brzinom l 0 m/s. lzracunaj polumjer vertikalne ravnine da bi tijelo opisalo kruznu putanju. Trenje zanemari.

F,

n = 115,9 °/min 33.

u vagonu

koji se giba brzinom 36 kmlh postavljen je dinamometar 0 cijem kraju visi tijelo mase 1 kg. Kad vagon ude u krivinu, dinamometar pokazuje da te:Zina objesenog tijela iznosi II N. Izracunaj polumjer krivine i kut pod kojim se nagne opruga dinamometra.

R=2,04 m

'l.

r = 20,1 m, a.= 24"40'

34. Njihalo duljine l izvedeno je iz ravnoteznog polozaja za 60° i pusteno da se slobodno njise. Masa kuglice je 40 g. Konac njihala nailazi na prepreku koja je postavljena vertikalno ispod tocke vjesanja na rastojanju l/2. Izracunaj promjenu sile zatezanja konca u trcnutku nailaska konca na prepreku. ll.F = 0,39 N

Ill>

117

rr·

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

(2h

4. GRAVIT ACIJSKO POLJE

b) x = v0 • t = 2000 m ,

Horizontalan hitac

gt2 Y =--=-19 2 , 62m

Horizontalan hitac je gibanje tijela koje je izbaceno u horizontalnom pravcu i to je slozeno gibailje koje se sastoji od: - jednolikog gibanja po pravcu pocetnom brzinom vo u horizontalnom smjeru i - jednako ubrzanog gibanja (slobodan pad) u vertikalnom smjeru. Tijelo istovremeno izvodi oba gibanja neoYisno jedno od drugog ciji je rezultat gibanje po krivoj crti (paraboli). Tijelo u horizontalnom pravcu se giba stalnom brzinom, a prema dolje slobodno pada, pa su komponente brzine (na slici): Vx

=

Vo,

Vy

= g·t .

(X=

D, y =h)

f2h

=v

0

---~----

·t

v=~v~ +(g·t)

Rezultantna brzina tijela u nekom trenutku:

\ v \

I. I'·~;

:}~.:.

tlu?

:..!Ji.,~;i .. !f':

u.

."~·' -:·i.~ ...s~: ':~:

~-Tf~·

2.

D=v0 ·t = 2141,8m

-

~·v.. : ·....

istjecanja vade.

t = vg = 0,495 s ,

li\ ....

_ Dt =!,62mls

1[):

Vo-

1

3.

8.

Sa visine 6 m baci se horizontalno kuglica koja padne na tlo na udaljenosti 10 rn od mjesta bacanja. Izracunaj: a) pocetnu brzinu, b) konacnu brzinu, c) kut pod kojirn ce kuglica pasti. a) Y 0 = 7,23 rnls, b) v = 12,27 m/s, c) a= 56°18'

9.

Sa stijene visoke 60 m izbaci se horizontalno kamen pocetnom brzinom 10 rnls. Na koju udaljenost od stijene je pao karnen i poslije kojeg vremena? t = 3,5 s, x = 35 m

17777///

Voda istjece iz horizontalno postavljene cijevi koja se nalazi 1,2 m iznad tla i pada 80 em daleko od kraja cijevi. lzracunaj brzinu

f2E

Sa visine 120m iznad mora top ispali granatu u horizontalnorn pravcu brzinorn 320 rnls. Izracunaj: a) vrijeme leta granate, b) domet, c) brzinu pri padu, d) kut pada granate. a) t = 4,946 s, b) D = 1583 m, c) Y = 324 m/s, d) a= 8°24'

·.

!])

fiE t = Vg =14,28s,

-

1

7

7

r-r/

Na visini 100m iznad morske obale ispaljenaje iz horizontalno iz tapa granata pocetnom brzinom l krnls. a) Odredi vrijeme pada i domet; b) Gdje se nalazi granata poslije 2 s i koliku brzinu tada ima? c) Koliku brzinu ima neposredno prije pada? d) Odredi Yrijeme tempiranja eksplozije ako zelimo da eksplodira na visini h 1= 30 m iznad

'{·~

_!

YJ

f

; >(

~-- ••

q :i ..

'f/

u

tS_'l' -~ ·· ....

..{v[ + (gt) 2 = 1000,19 m.f s

7.

'

lz zrakoplova koji leti horizontalno na visini I km brzinom 540 kmlh izbaci se predmet. Na kojoj ce se udaljenosti od vertikale spustene iz zrakoplova u trenutku izbacivanja naCi predmet na

=3,38s

Djecak usmjeri cijeY puske horizontalno tocno prema centru mete (kugla promjera I 0 em) koja je udaljena 50 m. Metak izleti brzinom 400 m/s. U kojern slucaju ce metak promasiti metu i za koliko: a) ako meta ostane nepokretna, b) ako meta pocne slobodno padati u trenutku ispaljivanja metka? a) promasaj za 2,66 em, b) pogodak

Slika 4.1. Horizontalan hitac

0

1

6.

\

Zadaci:

=P:

S prozora autobusa slobodno pada kuglica na horizontalnu podlogu. U kojem s!ucaju ce kuglica bde pasti na podlogu: a) Aka autobus stoji iii ako se giba jednoliko praYocrtno? b) Kakav je oblik putanje kuglice za promatraca u autobusu, a kakav za promatraca na ulici ako se autobus giba?

\

h =!I!_ 2

d) t,

-19,62)

5.

\

D=x

(~000, !

Koliko je potrebno vrijeme "tempiranja" prskalice koja se push tz zrakoplova da eksplodira na Yisini 50 m iznad zemlje? Zrakoplov leti na visini 500 m. ! t=9,58 s

v,= v

,

G

v=~v:+(gtj =1000,98m/s

4.

vy=g·~

h

2

2

Vis ina pada:

v=

Yo

.. d VnJeme pa a: t = Vg , Domet: D

c)

a) t=vg=4,515s, D=v0 ·t=4515m

10. Sa visine 10m izbaci se kamen horizontalno koji udari o povrsinu na udaljenosti 35m. Kolikaje pocetna brzina kamena? V 0 =24,5 m/s

T II. Iz vatrogasnog smrka postavljenog horizontalno izlazi mlaz vode pocetnom brzinom v0 = 18 rn!s. Na kojoj se visini nalazi smrk ako voda pada na zgradu udaljenu 21,6 mod smrka? Kojom brzinom voda udara o zid zgrade? h = 7 m, v = 21,5 m/s

vode.

119

Ir~. , I.

'\.II,


rnr. Zeljko Stapic: FlZIKA I

12. S broda koji se giba po morn stalnom brzinom vb = 28,8 kmJh bacen je kamen u horizontalnom pravcu pocetnom brzinom Vo = 6 mls. Kamen pada u vodu poslije 1,8 s. lzracunaj : a) visinu s koje je kamen bacen, b) domet kamena ako je v0 okomito na pravac gibanja broda. a)H=15,9m b)D=18m

Kosi hitac Kosi hitac je slozeno gibanje cije su komponente: - ravnomjemo gibanje u pravcu koji sa horizontalom zatvara kut a i - slobodno padanje.

13. lz tocke A, koja se nalazi na visini H = 12,5 m tijelo slobodno pada bez pocetne brzine. Na svom putu tijelo u tocki 8 udara o kosu ravninu, od koje se odbija pod istim kutom pod kojim tijelo pada na nju, pri cemu gubi 20% brzine. Kut strme ravnine je a = 45°. Odredi domet i kut pod kojim tijelo pada na zemlju. D= 10m p.. 39° 14. Zrakoplov leti horizontalno na visini 2250 m. lznad tocke A zrakoplov ispusti bombu koja ce se naci nakon nekog vremena u tocki 8 ·, koja se nalazi na polovini visine zrakoplova od zemlje. Udaljenost A'8' = 1,5·A'A". Izracunaj: a) vrijeme za koje bomba stigne u 8' b) brzinu kojom zrakoplov leti, c) brzinu bombe u 8'. a) t = 15 s, b) v. = 405 kmlh, c) v = 185,2 m/s

y

• v~~ ~:-._ ! vo A-~ ··~-----,, 'V ly I

.--------~A"

vay

X ~' VI~· .A

0

'f

/ " ; ' 1{] ~y

•

j h=l125 m

8:/_.--

v,=v

0

)h=l125m

vy

15. Kuglica vezana za jedan kraj konca duljine 50 em, ravnomjemo se obrce u vertikalnoj ravnini frekvencijom 2Hz. Centar kruzne putanje nalazi se na visini h = 2 m (na slici). Poslije koliko vremena ce kuglica pasti na tlo ako se konac prekine u tocki: a) A, b) 8, c) C, d) D?

·

x

,;

~

v

(;~ o-+r-\ \

.

"- I

,c

a) t = 1,54 s b) t = 0,9 s c) t = 0,26 s d) t= 0,55 s 16. lzracunaj horizontalnu brzinu kojaje potrebna tijelu na ekvatoru u smjeru rotacije Zemlje da bi se ono gibalo paralelno sa Zemljinom povr5inom. ge = 9,78 m/s 2, R = 6378,4 km. v=7913 m/s

j-

D (domejL_ - --

Vx

X

a·;

,

.

V

'· vy

Slika 4.2. Kosi hitac Komponente pocetne brzine: Vox= Vo ·COS!X V0 y = V0 ·sina U nekoj tocki A koordinate tijela su: X= V0 x·t

g ·t2 y=voy·t- - -

2

Na nekoj visini y (tocka A), brzinaje: v = ~v; + Vx=Vox, Vy=Voy-gt

v:, , komponente brzine su: ~ ·x

JednadZba putanje kod kosog hica je y = x · tga 17. Tri jednake kuglice istovremeno su izbacerie u horizontalnom pravcu iz tri tocke na vertikalnom zidu pocetnim brzinama vo1 =50 m!s, voz = 72 m/s, v03 = 100 mls. Prva kuglica padne na tlo na horizontalnom odstojanju od zida 0 1 =100m. Ako sve tri kuglice istovremeno padnu, izracunaj: a) vrijeme padanja svake kuglice, b) visine sa kojih su izbacene kuglice c) brzine kuglica u trenutku pada. a) t = 2 s, b) h1 = hz = 19,6 m, c) v1 = 53,7 m/s, v 2 = 77,4 m/s, v3 = 102 m/s

&--:->

"'

.L --- - - - -w-~'.-----L Vox :I

;

A

__.,.

X

I

:r'-_ --:<···

l

,-~,-rrrFTFTTI"7'"FTr,-rFTr

8

ti·.

2·V

0

2

·COS

2

a

2

Domet je: D = v. ·sin 2a g

2

Maksimalna vis ina: hmax = Ymax --

v Potrebno vrijeme za dostizanje hmax: tp = ~, g

Maksimalni dometje za a= 45° (sin 90°= 1),

v v 2goy

-

2

·sin 2 a

" -2g •---

2·v Ukupno vrijeme leta: luk = --"1g 2

tj. D= ~ g

!')()

121

rrr· mr. Z.eljko Stapic: FIZIKA I


5.

Zadaci: I.

Pod kutom 30° prema horizontu izbaci se kuglica, koja poslije 2 s ima brzinu v = 400 m/s. lzracunaj pocetnu brzinu.

Y-1·

;u

U nekom trenutku t komponente brzine su:

Vry,

Vx =Vox

.~(

·.I;J.

Vn?'Vx

v=~v;+v; ::::4JOmls

____...i._ x:,..

b) kod vertikalnog hica je

v.

6.

3. '{ .··t

4.

h,_: ,

__,_ Vo

VA,.;= vex

A

v. sin2a g

a= 15"

Y1'

'~~~:·r1~~1

g 2

hmax =

2

v. sin a =477,3m 2g

'h

0' v(k

VBy_

tuk =

X

h=vo·sina- ~

g ·x 2 2

2· v0 ·cos' a

= x · tg a-

g·x 2 -cos' a

-~--o-2 · v0 2

1

uk

7.

2

Granata se ispali pod kutom 30° i za 14 s dostigne najvecu visinu. Izracunaj pocetnu brzinu granate i domet.

U najvisoj tocki je Vy = 0, pa granata ima samo horizontalnu komponentu v, =Vox

g·t

t

h =476,3 m iii [ =

g

m s

v0 =-.-=275-,

mna

I

!

2 ,

0

Dvije kuglice su izbacene istom pocetnom brzinom: jedna pod kutom a 1 = 45°, a druga pod kutom a 2 = 30°. Koliki je odnos: a) maksimalnih visina, b) dometa, c) vremena gibanja kuglica? 2 v~ -sin a 1 2-v0 ·sin a, v~ -sin2a 1 2g g g a) hlma:t b)!2t. c) !.!.. =2, =1,15, 1,41 2 v~ -sin a 2 h,~, t, 2-v0 ·sina 2 D2 v~ -sin2a 2 2g g g

. vy=vo·sma-g·t,

D

h=voy· t- gt2

.' ... ,.

2-v,_, -g .. =17,65s

v,' t = ___L = 8, 825 s

v~L~~l=--~~-~---=~:-~->,

2

Granata se izbaci pocetnom brzinom 400 mls pod kutom 14°. Na kojoj visini ce granata udariti u vertikalnu stijenu koja se nalazi na udalienosti 4 km od tapa?

.---- -~. ·-·--?:............. . .

'i. .............. VB

v2

--~~g.__ ;_____________ ~--n--·- -·------->~---- ____ ;

2

D= v. sin2a = 7657 m

t }!/ ,; '""B VBx=.V;;,. v~'l6.: ~rs:) . ,.x

Yby =- V0 y =- 86,6 m/s Ybx =Vox = 50 m/s

c) hmax =~=382,2m 2g

!/?>····~~ --~

a:::: 76° (75°58')

2

vo

m Yay= 0, Vox= Vox= 50s U trenutku pada (tocka B):

2

2g

Y_,._

a) Vox= Yo· cos a= 50 rn/s V0 y =Yo· sin a= 86,6 m/s Na max. visini (tocka A):

g

h.nax = v.

V';,

Y')'·

2g

Kuglica se izbaci pocetnom brzinom 100 m/s pod kutom 60° prema horizontali. lzracunaj: a) komponente brzine v, i vy u pocetku gibanja, u trenutku kad se kuglica nalazi na najvecoj visini i u trenutku pada na tlo, b) domet i vrijeme gibanja kuglice do pada, c) maksimalnu visinu koju dostize kuglica i vrijeme za koje to postigne.

b) D= v;·sin2a =882,8m,

2 • 2 2 • ' v. sm a= v. sm· a g 2g

a) D = hmax,

'

..

Vy = Yoy- g · t =Yo· sina- g·t

2.

v:J~:r=·-···--

·--~- ......... ,

Izracunaj kut pod kojimje potrebno izbaciti tijelo da bi: a) domet bio jednak najvecoj visini, b) domet bio jednak visini koju tijelo dostigne pri izbacivanju vertikalno uvis, istom pocetnom brzinom.

D=

v 02 ·sin2a g

Pod kutom 30° izbaci se granata pocetnom brzinom 300 m/s. lzracunaj vrijeme "tempiranja" granate da eksplodira na visini 15 metara prije pada na zemlju, kao i vrijeme leta i vrijeme dostizanja najvece visine.

v:,.-r·······-~f-----cr--·-,

T

'

Voy= Yo· sina = 150 m/s Poslije sredivanja dobije se kvadratnajednad:Zba. 15 = 150. t-4,9. t 2 2 4,9! -150 t+J5 =0

!A/· '

j Jh- "-

'/

1

'-J>''A'

hI J!;u·~ ~ ~ ::-~-~ ~-:x _ --~

2

t 1'2-

-b±.Jb -4ac 150±../22500-294 -- - - - ' ----2a 9,8

_ 2 · v0 ·sin a_

luk-

6676m

y.~:..

Vrijeme gibanja granate dano je uvjetom: gt' y = h = v0 Y • t-

-

g

tl = 0,102 s

12 = 30,05 s

(tocka A)

( tocka A')

30 , 6 S

Vrijeme dostizanja maksimalne visine je t =

1

uk

= 15,3 s

2 l'J'J

123

'11: mr. Zeljko Stapic: FIZIKA l


8. lzracunaj kut pod kojim treba izbaciti granatu pocetnom brzinom 400 m/s, koja ce pasti 14124 mod mjesta izbacivanja. 2

•

D= Vo ·sm2a

a= 30o

g

9. lz camca koji se giba pravocrtno sta\nom brzinom 36 kmlh izbaci se pod kutom 45° kuglica brzinom 100 rnls. a) Koliko je udaljen camac od kuglice pri njenom padu u vodu? b) Kojom brzinom se treba camac gibati, ako se kuglica izbaci pod kutom 80°, da kuglica padne na camac?

):~--------------------

a) Kuglica ce prijeci: OB =

sin2a =1019 m g Vrijeme leta kuglice je: t= 2·v0 ·sina 1445 ,

~

.£-

Vo2

, -..L:_ 0

v.

-/-7

\A-·-

····----,, '

'"

. B

/'·~

.

~--.

g

g

348,6 m

-

_ v~ ·sin2a

max-

g

gt2

__ ;5L_

.. 2·v0 ·sina VnJeme leta: tg = - -" ---g Za to vrijeme brod ce prijeci odstojanje d - Xmax, brzinom Vs = 5 m/s. 2 v sin2a g· d -g· 0 g - d - X max - d - xmox - g . d - g . X max va- - - - t 2·v0 -sina 2·V0 ·sina 2·vo ·sina g 0,866 · V0 2 + 5 · V 0 - 98100 = 0, Vo = 334 m/s

124

r_

r ...

~_../

f

!.~\·:··; /off

j

X

/v-.-'7// ) / /

12. Sa stijene visoke 100m izbaci se granata pocetnom brzinom 200 m/s pod kutom 45°. lzracunaj mjesto pada i vrijeme gibanja do pada na horizontalnu ravninu.

n

V0 ·COSa·t,

-

V0

·

v; ;!

gt2

.......

f.-r-~-~=:r·

t2. "·

2

Kad tijelo padne . -H = v 0 · sma · t -

\ '£<~~:p_<

;;[

OS= 2·v0 ·(sinf3-cosa-cosf3sina)·cosf3 = 2·v/ -sin(f3-a)·cosf3_= m 1529 2 g·cos a g·cos 2 a x, =OS· cos 30° = 1324 m, y,= OS· sin 30° = 764,5 m s (1324, 764,5)

y=

10. lzracunaj pocetnu brzinu granate ispaljene s obale pod kutom 30° koja treba pogoditi brod koji se giba pravocrtno prema mjestu ispaljenja stalnom brzinom 18 kmlh. U trenutku ispaljenja brod se nalazio na udaljenosti 10 km od mjesta ispaljenja.

D =x

~:-·

Koordinate objekta S su: x, =OS· cosa, Ys =OS· sina

-2

vo

gt2

v:?·v\

t

Do pada (B) granata ce prijeCi:

,..,----------··-

v;-,;/ __ _. / /

y = v0 -smfl·t-T

x=

_

Brzina camca mora biti: Vf= ~= 17,3 m/s

,? .

Koordinate granate u funkciji vremena su: X= V0 ·COS j3 · t

Koordinate tijela su:

Za to vrijeme camac ce prijeci OA = Vt · t =144m pa je udaljenost AB = OB- OA = 875 m b) Vrijeme leta kuglice je t = 20,1 s 2 .. . , .. .. v sin2a Za to vnJeme kughca ce pnJeCI x = 0

II. Izracunaj koordinate objekta S (kao na slici) koji gada granata pod kutom f3 = 60° pocetnom brzinom !50 rnls. a= 30° y ·r·

sma · t- -

2 tada je y =- H , gt2 2

.

- v 0 · sma · t- H = 0

J2l~~-~-~~~-/~~ " A

!'

y::~--

'

XDZ:

·····-- ···-----------·- ---·

.

;

-;~

,

2

t2 _ 2v0 sin a . t _ 2H = , 0 g g 2 t - 28,83 . t- 20,39 = 0,

t1 =- 0,69 s je fizicki nerealan (odgovara tocki A), t2 = 29,52 s predstavlja vrijeme pada, (ti. tocka B) Xmax= v0 ·cosa ·t=4174m,

13. Vertikalno uvis ispali se raketa stalnim ubrzanjem 39,24 m/s 2• Poslije 8 sekundi iz rakete se izbaci tijelo pocetnom brzinom 80 rn!s pod pravim kutom u odnosu na raketu. Na kojoj ce udaljenosti od mjesta ispaljenja pasti ovo tijelo? Poslije 8 s brzina rakete je (tocka A): v =a · t- g · t = 235,4 rnls u tom trenutku raketa ce biti na visini : 2

y·,

;..

~~;.:;.__1!1:11.

vt /

: / ..·<'

A;{:·_ v,

,

h

/·;;;..-/- .. j-·---,·-r-

h= (a-g)·t =94176m 2 ' Odvojeni dio rakete gibat ce se po zakonu kosog hica. Komponente brzine tijela u tocki A su: v0 , = V 0 i V 0 y = v

x-

7

'--B

~7-7°7

'/

>

125

rrr· mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

Moze se naci kut a.;

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA l

tga=~=2,94

17. S pocetka strme ravnine (kao na sliei) nagibnog kuta p = 30°, izbaei se kugliea pocetnom brzinom 2 m/s (tocka 0) pod kutom a = 30°. Izracunaj domet kuglice (tocka A) i maksimalnu visinu putanje kugliee.

VR=~v 2 +vo 2

=>a::e71°,

Vo

U nekoj tocki putanje ove komponente su:

v, = V0

vy=v-g·t

,

y=vo·t-g·t2 2

Koordinate izbacenog tijela (u nekom trenutku t) su: x = v0 · t,

2

= -h,

BuduCi da je y

ako uvrstimo, (kao prethodni zadatak) -h = v · tx- g ; ' t,=51,7s

X= V0 ·tx,

X= 4236 m

14. Sa zgrade visoke 10m baei se horizontalno lopta pocetnom brzinom 20 m/s. Lopta se pri padu odbije od tla pod istim kutom pod kojim je i pala na tlo. Izracunaj udaljenost ponovnog pada lopte od zgrade i ukupno vrijeme leta lopte.

.,fiih

VAy

tga=-=--=0,7=>a=35 vAx vo

If ~ v~ v~Y

x 1 =v0 • v_.,_ = X2

~-->vo

I ,,""' !

=28,56m

+

v2 -sin2a

=

-~

o

A

= 24,4 m/s,

0

'

...

\

VA

i~4r. - ·IY l \Y-J,~

JH ....

= 57 111 ,

_..------

\ !1/·

_________ .

-~

)CL _

-~

'l.

f'.

{-

VA=

·'·j·.

·::--f'·

0

s

XA_

18. Okomito na provrt dubine H = 40 em i promjera D = 4 em -propada kuglica pocetnom brzinom 1 m/s. Promjer kuglice je d = 5 mm. Kuglica se elasticno odbija o zidove pukotine i pada na podlogu. Izracunaj koliko ce puta kuglica udariti o zidove pukotine prije nego padne na podlogu.

2

uk

goy

01m ,

::~

X

r·--->

II y~

I 7.

A

___ ,v,_ __ ... ------··11···-........ ____ _

Ill_

c(:"~o>-7

-/

*

7

.,_

7-;~>

g-t

m

= __ uk = 19 62 2 's

h

m"'

I

,~I ..., . I

!H

~

!

I

D

!

(-'•------?;

:

;

;_,.._.,

S2x = D- d = V0 • t1 ,

Put izmedu prvog i drugog sudara je:

I

.................. ]

....... J/ ..... ·' 7

itd.

2

1

1 , 1 D-d Sly =-g-r =-·g· -V - ) =0 ' 006m 2 I 2

(

o

,

v,

~

Y2 / . - - - - - - - - - . .

(f/

r

~.Y·

v.

.tiL~

-,---

Vt

2-v = ___!!L => V

-.//~

I

je: S 1,.=D-d=v.·t1 ~t 1 = - v.

19. Kako se odnose brzine v, i v 2 , ako je Y vrijeme leta i domet oba tijela isti (kao na slici)?

VA

Da lopta dospije na hmax (tocka A) potrebno je vrijeme : I

-----...

./~

2

;\1

.. ,_

,·/

A/

H = n • S 1y ~ n = 8 sudara

v""<· . . . j _ _

16. Vratar izbije loptu pod nekim kutom i ona padne na teren poslije 4 sekunde. Izracunaj maksimalnu visinu lopte tijekom gibanja.

2S

/0 -. __

'"~-

''f'••

:~_,-{ .'"-\ a._y .it._ -

2

2

=

"'·-

)_'

Put koji prijede kuglica do prvog sudara duz x - osi

YA = -vo · sina · t- gt' =- 24,62 m

tuk

>

I 2 l D-d S =-·g· n·t1 =-·g·n 2 · - - =H Poslije n-tog sudara: "' 2 ( ) 2 v. ) (

---;:~;;=,fox

Koordinate tocke A su: XA = V0 • eosa · t = 8,66 m

(=

}

...

{

2·(D-d)l ( )2 =-zg·2 l S2y =-z·g· 2t1 ----;;:-

iYA

!%"

0 0

~2 m V.u+VA 2 =22,54y

__ ,

o -~'· ~i'_'C~"'-: ~; ~~- ... ",i~-..;; .' 0

•-'--.

'. . _.·

Ubrzanje kuglice u ravnini putanje je g · sinp 2 • 2 2 • 2 OA=D v.-sm a=071m h v.·sm a g·sinp , max 2-g-sinp

DtiZ y - osi:

y-j' II

.-·f' ~

_/ /< ...> ~~ ~-

..

~~fil----· 'it· ""'/\ .--".'\ -~.\i'····~ ........... \' ~ -

D-d

g VA X= Xi+ X2 = 85,56 m Vrijeme horizontalnog pada: t1 = 1,43 s, Vrijeme kosog hiea: t2 = 2,85 s, Ukupno vrijeme: t = t 1 + h = 4,28 s.

15. Pod kutom -30° prema horizontali izbaei se tijelo sa zgrade pocetnom brzinom 5 m/s. lzracunaj brzinu i polozaj tijela poslije 2 sekunde. Poslije t = 2 s tijelo ce biti u tocki A, gdje su komponente brzine: VAx = V0 • eosa = 4,33 m/s vAy=-v0 ·sina-g-t=-22,12m/s, pa je:

___ ......______ _

= 0,866·v2

Pfo~-

-------.. . :\ ""'

X

20. Izracunaj kut pod kojim treba baciti loptu da bi dostignuta maksimalna visina bila jednaka dometu. I

a= 76"

2 V oy

21. Metak ispaljen iz puske pod ostrim kutom ima komponente brzine: v, = 207 m/s i Vy = 120 m/s. Izracunaj njegove koordinate poslije 2 s.

2g

x = 414 m, y = 220 rn

=-=19,62m

l'lt:...

127

1ft~ ' I ;1,

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 22. Pod kutom 30" izbaci se granata pocetnorn brzinom 200 m/s.Na udaljenosti 2 km nalazi se vertikalna stijena. Na kojoj visini ce granata udariti u stijenu? y=490 m 23. S rnosta visine 20 rn baci se u vodu karnen brzinom 20 m/s, pod kutorn 30°. Na koju udaljenost ce pasti karnen? x=56m 24. Uz strrnu ravninu nagiba 30° treba zakotrljati kuglicu tako da padne u tocku koja se nalazi 2 rn ispod vrha ravnine i 5 rn od brida visine strrne ravnine. Koju pocetnu brzinu treba dati kuglici? Svi otpori se zanemaruju. v.= 5,8 m/s 25. Pod kutorn 60" ispali se granata brzinorn 300 m/s i gada cilj na brdu koje je pod nagiborn 30°. lzracunaj zracnu udaljenost izmedu topa i cilja. d=6km 26. lgrac udari loptu pod kutorn a = 37° pocetnom brzinorn v0 = 15 m/s. Drugi igrac, koji je udaljen od prvog 30 m, pocinje trcati u susret lopti u rnornentu kada je ona udarena. Koliku najmanju srednju brzinu on mora irnati da bi udario loptu neposredno prije pada lopte na zemlju? v =4,5 m/s

''

27. Projektilje izbacen pocetnom brzinom v0 = 400 m/s pod kutorn a= !5°. Izracunaj: a) na kojoj ce visini projektil udariti u vertikalnu stijenu na udaljenosti 3 km od rnjesta ispaljivanja, b) kolikaje brzina projektila u rnornentu udara u stijenu, c) pod kojirn kutorn ce udariti projektil ? a) h = 508,4 m, b) v = 387 m/s, c) ~"" 4° 28. Koliku brzinu irna topovska granata poslije 0,5 s ako je izbacena pocetnorn brzinom Yo= 800 m/s, pod kutorn a = 60°? lzracunaj rnaksirnalnu visinu i domet granate. Otpor zraka zanemari. v = 795, 7 m/s, Hmax = 24463 m, D = 56500 m


Newtonov zakon gravitacije

-F

Newton je u svom djelu "Matematicki principi filozofije prirode" (1686) dao maternaticki izraz gravitacijske sile. m1 ·• .... m. Otkriee univerzalnog zakona gravitacije jedno je od najvecih dostignuca u znanosti. Ovaj zakon je univerzalan, k---· ____ .L_ . --··"-~ a sila privlacenja postoji izmedu bilo koja dva tijela koja posjeduju masu. Masa je uzrok privlacenja tijela. Siika 4.3. Gravitaciiska sila Gravitacijsko rnedudjelovanje postoji i izrnedu svih tijela na Zemlji, alije zanemarivo te ga neposredno ne opliZarno. Sila kojom se privlace dvije tockaste rnase upravo je srazmjerna proizvodu tih masa, a obmuto razmjerna kvadratu njihovog rnedusobnog odstojanja. mt·mz

F

! ...

=r---;z-

F - intenzitet gravitacijske sile, rn~, m2 - rnase tijela, r- odstojanje izmedu centara tijela r = 6, 67 ·I o-Il N~z - univerzalna gravitacijska konstanta kg Univerzalnu gravitacijsku konstantu pokusno je odredio Cavendish 1798. godine. Cavendishov pokus: 0 laganu sipku objesenu na elasticnu nit objesene su dvije manje rnetalne kuglice rnasa rn 1 = 0, 729 kg. Neposredno uz qjih su dvije velike kugle masa rn2 = 158 kg. Uslijed gravitacijskog privlacenja rnanje kugle se priblize vecirna i nit se uvije za odredeni kut. Kut se mjeri pomocu svjetlosnog snopa reflektiranog na zrcalu pricvrseenom za nit. Iz otklona snopa i poznatih elasticnih svojstava niti moze se izracunaj sila izmedu rnasa rn 1 i m2 , a potom i gravitacijska konstanta. Metoda je kasnije usavciena. Newtonov zakon je omogucio da izracunarno mase i udaljenosti nebeskih tijela na temelju poznavanja Stika 4.4. Cavendishov pokus brojcane vrijednosti gravitacijske konstante.

29. S visine H = 10m izbaceno je tijelo u horizontalnom pravcu pocetnom brzinom 50 m/s. Tijelo se pri padu na zemlju odbija pod istirn kutorn pod kojirn je palo na nju, pri cernu gubi 20% brzine. Odredi dornet poslije drugog pada tijela na zernlju. D= 164m

Gravitacijsko polje je prostor u kome se osjeca djelovanje gravitacijske privlacne sile na svaku masu koja se unese u taj prostor. To polje je prijenosnik gravitacijskog medudjelovanja. Cestice prijenosnici gravitacijskog medudjelovanja su gravitoni.

30. Kamen bacen s visine 2,1 rn iznad povrsine zemlje pod kutorn a = 45° prema horizontu pao je na zemlju na udaljenosti s = 42 rn od mjesta bacanja. a) Kolikom je brzinom bacen kamen? b) Koliko vremena je letio? c) Do koje maksirnalne visine je dospio? a) V0 = 19,8 m/s, b) t = 3 s, c) hmax = 12,1 m

Tijelo mase M stvara oko sebe gravitacijsko polje Cija je brojcana vrijednost: F M a=a =rg m g r1 \ M (· \ F-gravitacijska sila, m-masa tijela na koje djeluje polje, M-masa izvora polja, r-udaljenost od izvora polja Iz obrasca g =

12R

r · M: Rz

I_

/

j

m

j

Slika 4.5. Gravitacijsko polie

moze se izracunati masa Zemlje. Mz:::: 6 · I 024 kg

129

I": mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Jacina gravitacijskog polja Zernlje (iii nekog drugog tijela) je vektorska velicina orijentirana prerna njezinom centro. Sila Zcrnljine teze: Fg = m · g g-ubrzanje Zernljine teze. Standardna vrijednostje

-

-

go= 9,81 rn/s2 ' (45° geografske sirine) Ubrzanje Zernljine te:Ze opada sa udaljenoscu (h) iznad povrsine Zernlje:

M R2 g = r - - -2 = g o - - -2 , (R+h) (R+h)

~-u

b

. • .. z r· rzanJenapovrstm ernJe,

R"' 6370 km-polurnjer Zernlje, g- ubrzanje Zernljine teze na visini h Zemljina sila teze, tezina tijela

g

Mz·m

-r R2

-G=f~ -- +Fe! G = ~F:

I:. I

+~J -2FgFcf ·COSq1

G- Zernljina sila teze F8 - gravitacijska sila

Fer - centrifugalna sila

Slika 4.6. Sila teze

Gravitacijska potencijalna energija

EP = -r M · m , Ep- gravitacijska potencijalna energija sustava Zernlja (M) i tijelo (rn), r ako se nulti nivo potencijalne energije uzirna u beskonacnosti, r- udaljenost tijela od centra Zernlje.

Ako se tijelo nalazi na visini (h) iznad povrsine Zernlje: EP = -r M · m Rz +h Ako se tijelo rnase (rn) nalazi u blizini Zernljine povrsine (gdje se maze srnatrati daje polje hornogeno): Ep = rn·g·h Nulti nivo Ep je na povrsini Zernlje. Gravitacijski potencijal u nekoj tocki gravitacijskog polja je brojcano jednak radu koji izvrsi gravitacijska sila kada se tijelo rnase 1 kg iz beskonacnosti prernjesti u tu tocku. V=

A~ =-rM m

r

Planeti se gibaju oko Sunca po elipticnim putanjama. U jednoj zajednickoj zizi tih elipsi nalazi se Sunce.

Elipticne putanje se za vecinu planeta neznatno razlikuju od kruZnica. Npr. za Zemlju najveca udaljenost Zemlje od Sunca (afel) i najmanja (perihel) razlikuju se za priblirno 0,02 %. Putanja Venere je najslicnija kruZnici. II- zakon: Radijus vektor tj. duz koja spaja srediste Sunca sa sredistem planeta u istim vremenskim intervalima prijede uvijek iste povrsine.

Na polovirna polurnjer Zernlje je Rp = 6357 km 2 (gp = 9,83 rn!s 2 ), ana ekvatoruje Rc = 6378 krn (gc = 9,78 rnls ). Na polovirnaje Fer= 0, paje G = Fg, dokje na ekvatoru centrifugalna sila najveca, paje G = Fg- Fer.

;.~;.

Gibanje nebeskih tijela oduvijek se pratilo i proucavalo, pa su o njernu postojale razne teorije. Taka je vee u drugom stoljecu grcki znanstvenik Ptolornej iznio teoriju po kojoj se sva nebeska tijela gibaju oko nepokretne Zernlje po kruZnim putanjarna. Ptolomejev sustav srnatra Zemlju sredistern svemira pa se i naziva geocentricnirn sustavom. Taj sustav se, iako pogresan, odrZao sve do pojave Copemicusovog djela "0 obrtanju nebeskih svjetova" 1543. go dine, u kame je on iznio sustav pogleda koji se naziva heliocentricnim (Helios, grc. Sunce ). Copemicusov heliocentricni sustav tvrdi daje Sunce srediste oko kojeg se okrecu Zemlja i svi ostali planeti i da se Zernlja okrece oko svoje osi od zapada prerna istoku. Ispravnost heliocentricnog sustava je kasnije potpuno dokazana. Najveeu potvrdu rnu je, rnedutim, dao Kepler otkrivanjem zakona gibanja planeta, koji su po njemu i dobili ime. I- zakon:

Zemljina sila teze je rezultanta gravitacijske i centrifugalne sile.

F-

Keplerovi zakoni

,_,~'til

~~~ae

Slika 4.7. Gibanje planeta oko Sunca Ovaj zakon daje vezu izmedu brzine planeta i njegovog polo:Zaja u odnosu na Sunce. Iz zakona slijedi da je brzina planeta veca sto je ona blize Suncu. Brzina planeta je najveca u perihelu, a najrnanja u afelu. Osjencane povrsine (na slici 4.7) su jednake. III- zakon: Kvadrati vremena obilaska planeta oko Sunca odnose se kao kubovi njihovih srednjih udaljenosti od Sunca.

Tz 1r =const. Ovaj zakon daje vezu izmedu gibanja razlicitih planeta. Pornocu njega je moguce iz poznatih podataka (T, r) za gibanje jednog planeta, te jednog podatka za drugi planet (npr. T) izracunati (r) drugog planeta. Moguce je odrediti udaljenost od Sunca za svaki planet, ako su poznate udaljenosti Zernlje od Sunca i njihovi periodi obrtanja oko Sunca. U astronorniji se udaljenost Sunce-Zemlja naziva astronomskajedinica i iznosi IAJ = 149,5 · 106 km. Keplerovi zakoni opisuju gibanje planeta, ali ne govore o uzrocima njihovog gibanja. Na to pitanje odgovor je dao Newton.

no

131

li' ,1'1

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Srednja udaljenost od Sunca AJ 0,39 0,72 I 1,52 5,2 9,54 19 30 39,4

Planet

I. Merkur 2. Venera 3. Zemlja 4. Mars 5. Jupiter 6. Saturn 7. Uran 8. Neptun 9. Pluton

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Brzina u orbiti km/s 47,9 35 29,8 24,2 13,1 9,65 5,78 5,42 4,73

Period gibanja oko Sunca god. 0,24 0,62 I 1,88 11,86 29,46 84,02 164,08 249,7

Ubrzanje slobodnog pada

Relativna mas a

m!s" 2,55 8,86 9,81 3,72 25,9 11,1 10,45 13,88 23

0,052 0,82 I 0,11 316 95 12,9 17,2

-

Ako bismo tijelo izbacili paralelno sa povrsinom Zemlje da nastavi kruziti oko nje na zanemarivoj visini (H"' 0, tj. R1 = R), tada bismo dobili v = 7,92 km!s, sto predstavlja prvu kozmicku brzinu. Do istog rezultata moze se doci ako se izjednaci Fe= G vz mR=m·g ~ v=~R-g=7,9km!s Znaci, tijela lansirana tom brzinom, bez obzira na njihovu masu, gibaju se po istoj putanji, istim brzinama i odstojanja medu njima ostaju nepromijenjena. Ukoliko se horizontalna brzina povecava, onda putanja umjetnog satelita postaje elipsa, tim razvucenija sto je brzina veca. Druga kozmicka brzina je najmanja brzina kojom treba lansirati k
117

·vi 2

y!!! · M ~

Rz Na velikoj udaljenosti (R ~ oo) ukupna mehanicka energijajednakaje nuli, paje m·vi m·Mz -0 ---r----

2

;,:.

R2

~

v2

-~2-y·Mz

-

R2

-ll"kml ,.... s

-

Slika 4.8. Suncev sustav Kozmicke brzine Tijelo ce se baceno horizontalno s neke visine gibati po paraboli i pasti na Zem!ju - dalje ukoliko je brzina kojom je tijelo baceno veca. Pri nekoj odredenoj brzini tijelo nece uopce pasti na Zemlju, nego ce se po krivocrtnoj putanji gibati oko nje iii se udaljiti od Zemlje. Analizirajmo kako ce se mijenjati putanja takvog gibanja u bezracnom prostoru u ovisnosti od pocetne 24 brzine. Oznacimo saM (M"' 6·10 kg) masu Zemlje, / '' / I masu tijela (satelita) sa m, a udaljenost satelita od '' / I \ centra Zemlje sa R 1• Smatrat cemo da je polumjer I \ I I Zemlje R = 6370 km. I I Ako se sate! it giba na visini 230 km (smatra se da je I I I I na toj visini otpor zraka zanemariv), tada je I I I I R1 = R + H = 6600 km. I I I Ako je putanja tijela kruznica, onda je centripetalna I I I sila koja djeluje na tijelo jednaka sili kojom se privlace I I / tijelo i Zemlja, paje: ·

v2 = 11.2 km/s

//-

'

' ' ',

Fe= Fg v

2

Slika 4.9. Prva kozmicka brzina

M·m Rlz

m·-=r·-Rl

132

//

//

~

v=7,8/an

s

Slika 4.10. Druga kozmicka brzina Treca kozmicka brzina je najmanja brzina koja je potrebna tijelu sa Zemlje da svlada gravitacijsko polje Sunca, D· napusti Suncev sustav i postane umjetno tijelo u nasoj Galaktici. Potencijalna energija tog tijela u gravitacijskom polju Sunca (Ms = 2·1 0 30 kg) na udaljenosti 11 d = 1 AJ = I ,5·1 0 m mora biti jednaka kinetickoj energiji tijela mase m koje se giba brzinom v, tj.

m ·M s _ m ·v r·--d 2

2

~

v = 42,2

km!s

133

~



Ukoliko je brzina v u pravcu tangente na Zemljinu orbitu oko Sunca (obodna brzina Zemlje oko Sunca je Vz = 29,8 k.m/s), treba uzeti u obzir i linijsku brzinu Zemlje po orbiti, u odnosu na Sunce. Stoga je dovoljno ,!~ tijelu u odnosu na Sunce dati brzinu v, = v-Vz. _ Vz ., v~--~3

v._

v, = v -- Vz = 12,4 k.m/s

I

,,

_,_,,,-- i----,,

''

I

I

lpak, tijelo lansirano sa Zemlje mora izaci iz njezinog gravitacijskog po1ja, pa ce treca kozmicka brzina biti:

I

{

\ \

I

\

~

\ \

\

Stika 4.11. Treca kozmicka brzina

v3 =~v 22 +v r2 = 16' 7 km/s Cetvrta kozmicka brzina je najmanja brzina kojom bi trebalo izbaciti tijelo sa Zem1je pa da napusti nasu Galaktiku ida se uputi k drugim galaktikama. V4 ""290 km/s

Stika 4.14. Apo1o 11 na Mjesecu

\

Zadaci:

l.

0

lzracunaj silu uzajarnnog privlacenja izmedu Zemlje i Mjeseca. Masa Zemlje 24 22 mz"' 6·1 0 kg, a Mjeseca IDm "' 7,3 · 10 kg, a njihova udaljenost d"' 3, 84 · 105 km 19

Fg "' 20· 10 N 2.

:~:

.

Izracunaj masu Zemlje ako su poznati podaci: Rzo:: 6370 km.

r

= 6, 67 · 10 -II Nm2/kg2 , g = 9, 81 rn!s2, Mz "' 6· 10

Stika 4.12. Kozmicke brzine Satcliti Newton je ukazivao na mogucnost lansiranja satelita. Prvi umjetni satelit izbacen je 1957. godine. Prvi covjek kozmonaut bio je Yuri Gagarin (1961). Kozmicki brod sa ljudskom posadom koji se spustio na Mjesec bio je "Apolo 11" (1969). Umjetni sateliti dopremaju se na svoju putanju pomocu jakih raketa na visinu najmanje 200 krn, zbog nazocnosti Zemljine atmosfere. Sateliti za telekomunikaciju primaju valove, pojacavaju i ponovo emitiraju. Sateliti za meteorologiju pomocu teleYizijskih kamera snimaju meteoroloske pojave na Zemlji. Zrakoplovi i brodovi pomocu satelita za navigaciju mogu odrediti svoj polozaj. Stacionirani sateliti kruze u ravnini ekvatora oko Zemlje istom brzinom kao i Zemlja oko svoje osi, tako da se stalno nalaze iznad iste tocke Zemljinog ekvatora. Pomocu tri ovakva sateiita moguc je prijenos televizijskih programa na svaku tocku Zemljine povrsine. Nalaze se na visini 41500 km. Sateliti se takoder puno koriste za vojne potrebe, kao i u astronomiji. Slika 4.B. Satelit

3.

24

kg

Ko1ika je priv1acna sila dvaju tijela sfericnog oblika cije su mase m =55 kg i 1 m2 = 60 kg, ako se njihova tezista nalaze na odstojanju r = 1 m?

F= 22 JiN 4.

Kolika je 3sila uzajamnog priv1acenja dvaju Zemljinih satelita cije su mase m = 3,87·1 0 kg na odstojanju r = 100 m?

F ""IOOnN 5.

Na kojoj ce visini iznad Zemljine povi"Sine ubrzanje te:le imati cetvrtinu one vrijednosti koju ubrzanje ima na povr5ini Zemlje? Po1umjer Zemlje R = 6370 km. H=6370km

6.

Kako ce se promijeniti gravitacijska sila ako: a) mase obaju tijela povecamo tri puta, b) udaljenost povecamo tri pula.

a) F1/Fz = 9, b) F1/Fz = l/9 7.

a) Hoce li masa covjeka od 70 kg biti ista na Mjesecu ina Zemlji? b) Koliko je I kg "tezak" na Mjesecu, a koliko na Zemlji ako ubrzanje Mjeseceve te:le iznosi l/6 ubrzanja Zemljine teze? a) DA, b) GM = 1,64 N, Gz = 9,81 N

135

lfV' 1!'·;11

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 8.


lzracunaj ubrzanje Zemljine tde na najvisem vrhu Zemlje (8850 m) g = 9,78 m/s2

9.

Izracunaj visinu na kojoj ce ubrzanje Zemljine tde biti pet puta manje nego na povrsini Zemlje. h=7874 km

10. Izracunaj ubrzanje Zemljine teze na visini koja je jednaka promjeru Zemlje. g= 1,09 mls

2

11. Izracunaj ubrzanje teZe na povrsini Mjeseca.Rz = 3,7·RM; Mz = 8l·MM g= 1,66 m/s 2 12. lzracunaj prvu kozmicku brzinu Mjeseca. Polumjer Mjeseca je 1,73·106 m, a masa Mjesecaje 7,37·1022 kg. v 1 = 1,68 km/s 13. Izracunaj drugu kozmicku brzinu Mjeseca ako je ubrzanje teze na njegovoj povrsini 2 1,62 rn!s Vz = 2,4 km/s 14. lzracunaj brzinu kojom se treba gibati umjetni Zemljin satelit da bi se od!Zao na stalnoj visini H = 1500 km iznad Zemlje. Zemlju smatraj sferom po1umjera R = 6370 km. v=6,9 km/s :.'

15. Umjetni Zemljin satelit s kozmonautom kruZi iznad Zem1je na visini H = 600 km. Odredi brzinu kojom se treba gibati satelit da bi se kozmonaut nalazio u "bestezinskom stanju". v=7,54km/s 16. Izracunaj ubrzanje sile teze na planetu jednake gustoce kao Zemlja, a tri puta manjeg polumjera. g=3,27 m/s 2 17. Kolika je jacina gravitacijskog polja Sunca na putanji Zemlje ako je srednja udaljenost Sunca i Zemlje 1,5·10 11 m, polumjer Sunca 6,95·10 8 m, srednja gustoca Sunca 1400 kg/m 3 • ag = 5,8·10-3 m/s 2 18. Izracunaj na kojoj udaljenostijejacina gravitacijskog polja Sunca 10 rn!s2. Ms = 2·1 0311
21. Izracunaj rad koji bi trebalo izvrsiti pri pomjeranju tijela mase l kg iz sredista Zemlje na njezinu povrsinu. Masa Zemlje je pribliZno 6·10 24 kg, a polumjer 6370 km. A=62,8 MJ 22. Izracunaj potreban rad za spajanje Mjeseca i Zemlje.MM = 7,4·10 22 kg, RM = l, ?·10 6m, a 8 njihova udaljenostje 3,8·10 m. Masa Zemljeje priblizno 6·10 24 kg, a polumjer 6370 km. Kad bi se Mjesec prestao gibati oko Zemlje, on bi zbog gravitacijskog privlacenja pao na nju. Pri tom bi gravitacijske siie izvrSile rad: A= 3,6·1030 J 23. Vrijeme obilaska Zemlje oko Sunca je 12 puta krace nego vrijeme obilaska Jupitera oko Sunca. Udaljenost Zemlje od Sunca je lAJ = 150·106 km. Izracunaj udaljenost Jupitera od Sunca.

R, =5,24 AJ 24. Planet Merkur irna polumjer r = 2420 km, a udaljen je od centra Sunca R = 57,9·1 06 km. 3 Srednja gus toea je p = 5590 kg/m , a vrijeme njegovog obi Iaska oko Sunca je T = 5,06 · 6 10 s. Izracunaj situ gravitacijskog privlacenja izmedu Sunca i Mcrkura. Pretpostavi kruZnu putanju Merkura.

Fe= 2, 96 · 10 22 N 25. Vrijeme obilaska Mjeseca oko Zemlje je 27,4 dana, a udaljenostje 384·106 m. Izracunaj masuZemlje. M = 5,97 · 10 24 kg

T 26. Centar olovne kugle mase IDt = 3 kg udaljen je I = 10 m od centra druge olovne kugle mase m2 = I kg. Kolika je jacina gravitacijskog polja ovih kugli u tocki koja je: a) udaljena rt = 6 m od centra mase IDt, a r2 = 4 mod mase m2 b) udaljena rt'= 7 mod mt, a r2'= 8 mod mase m2 12 a) ag = 1,4 · 10- m/s 2, b) ag'= 4,35 · 10- 12 m/s 2 27. Odredi ubrzanje Zemljine tde na visini H = 3R iznad povciine Zemlje. Rz = 6370 km. Masa Zemlje Mz = 6 · 1024 kg, g=O, 61 m/s 2 28. Umjetni satelit mase m = 100 kg izbacuje se raketom do visine H = 500 km iznad povrsine Zemlje. Da bi se satelit odriao na toj visini, gibajuci se po kruznoj putanji oko Zemlje brzinom (v), potrebna mu je pri odvajanju odgovarajuca brzina (v') u horizontalnom smjeru (smjer upravan na polumjer Zemlje). Brzina rakete sa satelitom, na visini H, prije odvajanja je v0 = 3,1 km/s. Kolika treba biti srednja potisna sila (F) motora rakete da bi satelit dobio (v'), ako je sagorijevanje raketnog goriva trajalo !':. t = 10 s? Polumjer Zemlje R = 6370 km. v'= 4, 4 km/s, F = 44 kN 29. Ako je period obrtanja Zemlje oko Sunca T = 365 dana, a udaljenost Zemlje od Sunca 8 d = l ,5 ·10 km, izracunaj masu Sunca.

M::::: 2 • 1030 kg

11/i

137

nr· :1 ,1,



5. ENERGIJA, RAD, SNAGA

30. Izracunaj na kojoj dubini ce tdina tijela biti pet puta manja nego na povrsini Zemlje. h =0,8·Rz

Mehanicka energija 31. Srednji polumjer Zemlje je R = 6370 krn (smatrajuci je kuglom), a srednja udaljenost centra Zemlje do centra Sunca je d = 1,5· 108 krn. Kolika je srednja vrijednost 3 3 gravitacijske sile izmedu Zemlje i Sunca, ako je Pz = 5,6· 10 kg/m , a period obrtanja Zemlje oko Sunca 365 dana? Fg = 36,2· 1021 N 32. Odredi tocku izmedu Mjeseca i Zemlje u kojoj su sile privlacenja jednake, ako je Mz = 8l·MM a udaljenost Zemlje i Mjeseca iznosi 60·Rz. x=54·R

Energija je sposobnost vr8enja rada. To je skalama velicina, a mjema jedinica joj je joule (J). Energija moze postojati u razlicitim oblicima i moze se mijenjati (transforrnacija energije), ali se ne moze ni iz cega stvoriti, niti se moze unistiti (zakon ocuvanja energije). Energija se moze mijenjati radom. Mehanicka energija je energija koju tijelo moze imati zbog gibanja, zbog promjene poloZ3ja u odnosu na druga tijela iii zbog promjene oblika. Mehanickom energijom naziva se kineticka energija, gravitacijska potencijalna i elasticna potencijalna energija. Kineticka energija je energija koju tijelo ima zbog gibanja.

[m]

2

33. Neki planet se giba oko Sunca brzinom 34,9 km/s. Odredi period obrtanja tog planeta. M, = 2· 1030 kg. T = 225 dana (Venera)

Ek = -m·v 2

•• m- masa tiJela

35. Izracunaj energiju koju treba posjedovati kozmicki brod mase 30 tona, prilikom polaska sa Zemlje, da bi se oslobodio njezinog gravitacijskog polja. EK= 1,88 GJ 36. Udaljenost izmedu centara Zemlje i Mjeseca iznosi 386000 krn, a Mz = 81·MM. Odredi jacinu gravitacijskog polja na sredini udaljenosti izmedu Zemlje i Mjeseca. 2 ag = 0,011 m/s 37. Izracunaj ubrzanje sile tde ispod povrsine Zemlje na dubini koja je jednaka polovini polumjera Zemlje. a =4,5 m/s 2

g = 9,81 [;: J-ubrzanje Zemljine teze

h- visina tijela iznad referentnog nivoa Elasticnu potencijalnu energiju ima istegnuta ili sabijena opruga. Ona je jednaka radu medumolekularnih sila. E - k·xz p- 2

k - krutost opruge [

30

~J

--?->-

P.""(

x- izdilZenje (skracenje) opruge Ep=A=Fsr ·x=

Fmin

+F""' 2

O+k·x

k·x

2

2

[m) --?->-

2

G

·X=---·X=--

Slika 5.1. Elasticna sila opruge

F,=G k·x=m·g

8

. •• v- brzma liJela --;

Potencijalnu energiju u polju Zemljine teze ima svako tijelo koje je podignuto iznad podloge. Ep= m·g·h

34. Satelit mase 12 tona obrce se po kruznoj putanji oko Zemlje pri cemu posjeduje kineticku energiju 54 GJ. Kolikom brzinom ina kojoj visini se obrce satelit? v = 3 km/s, H = 37860 km

[kg) ,

~

m·g k=--

x

38. Polumjer Sunca je 7 ·1 0 m, period obrtanja oko 25,46 dana, a masa 2·1 0 kg. Izracunaj minimalni polumjer Sunca i period obrtanja ako bi se pretvorio u pulsara. R = 15 km, T = 1ms

F, = k · x F,- elasticna sila [N] koja istegne (sabije) oprugu za x Potencijalnu energiju ima i sabijeni plin ili para.

39. Izracunaj visinu iznad povrsine Zemlje na kojoj se treba gibati umjetni Zemljin satelit da bi se uvijek nalazio iznadjedne tocke na Zemlji. h =36200 km

Kemijska energija je prisutna u hrani, gorivima, kemikalijama u bateriji. Ona je posljedica kemijskih veza medu cesticama tvari i oslobada se tijekom kemijskih reakcija, npr. u vidu top line pri sagorijevanju goriva. Elektricnu energiju posjeduju naelektrizirana tijela zbog djelovanja elektricnih sila. Elektricnu energiju imaju npr. naelektrizirani oblaci. Ona se ocituje kad izmedu oblaka, ili oblaka i Zemlje sijevaju munje i cuje se grmljavina. Toplinska energija je energija koja se prenosi s jednog mjesta na drugo zbog razlike u temperaturi. Temperatura je velicina koja karakterizira stupanj zagrijanosti tijela, a koja kod svakog tijela zavisi od njegove unutamje energije. Unutarnja energija je energija medudjelovanja i gibanja molekula unutar tijela koja se kemijskim procesima ne mijenja. Unutamja energija jednaka je zbroju ukupne kineticke energije termickog gibanja svih molekula u tijelu i potencijalne energije njihova medudjelovanja. Molekulom nazivamo najmanju cesticu koja posjeduje sva kemijska svojstva

40. Odredi ukupnu mehanicku energiju Zemlje pri gibanju oko Sunca. 24 Mz = 6 ·10 kg, a najveca udaljenost iznosi 1,52·10 11 m.

Ms = 2·10 30 kg, E = -2,63·10 33 J

138

[m)

139

fili

f.'i

! It mr. Zeljko Stapic: FIZIKA l


supstance. Molekule iste supstance su jednake. Velicina molekula zavisi od broja atoma koji ulaze u njihov sastav. Polumjer molekule vode je 1,3·10" 10 m. Udaljenosti izmedu molekula nisu uvijek jednake, a prosjecna udaljenost izmedu molekula plina pri nonnalnim uvjetima je oko 3-10- 10 m, dok je u tekucinama i cvrstim tijelima oko deset puta manja. Molekule cvrstih tijela titraju oko pojedinih njihovih tocaka, zbog cega posjeduju kineticku energiju. I atomi koji ulaze u sastav pojedine molekule, takoder, posjeduju kineticku i potencijalnu energiju, koju isto tako posjeduju i elektroni ijezgra atoma. Nuklearna energija je akumulirana u jezgri atoma. Ona se oslobada tijekom radioaktivnog raspada. Svjetlosna energija je povezana s procesima koji se dogadaju u atomu. Elektromagnetna energija je vrsta energije koja je povezana sa elektricnim nabojem gibanjem elektricnog naboja (struja). Energija zracenja je bilo koja energija u obliku elektromagnetnih valova iii struje cestica.

Mehanicki rad Mehanicki rad je djelovanje site na nekom putu. On je jednak proizvodu jacine stalne sile koja djeluje u smjeru pomicanja tijela i duljine puta na kojemje sila djelovala.

I

Primjer 2: Vozilo-igracka navijena oprugom Navijanjem opruge povecava se njezina potencijalna energija, koja se pretvara u kineticku kad se vozilo giba. Ali zbog trenja izrnedu kotaca i podloge dio elasticne potencijalne energije prelazi u njihovu unutamju energiju, zbog cega se kotaci i podloga neznatno zagriju. Znaci, elasticna potencijalna energija opruge pretvara se u kineticku energiju vozila i unutamju energiju kotaca i podloge. Primjer 3: Termoelektrana Kemijska energija goriva (uglja) prelazi u unutamju energiju pare, koja prelazi u kineticku energiju turbine. U generatoru kineticka energija prelazi u elektricnu energiju. Elektricna energija moze dalje prelaziti u druge oblike energije, npr: toplinsku (grijalica), svjetlosnu (zarulja), zvucnu (radio-prijernnik), kineticku (ventilator) itd.

I

:--------i

' :'

~~ _____,J·-----·7. G

s

s _

A=F·s

A=F,·s

Slika 5.2. Mehanicki rad

Jedinica za rad je joule. Joule je rad koji se obavi kad sila od I [N] pornakne hvatiste site za l [m] u smjeru sile. Rad se moze graficki predstaviti:

F

.,

'

:'

:%

G

Pretvorba energije Energija se moze pretvarati iz jednog oblika u drugi, prelaziti s jednog na drugo tijelo. Pri pretvorbi energije iz jednog oblika u drugi obavlja se rad. Rad je mjera pretvorbe jednog oblika energije u drugi. Primjer 1: Penjanje uz stepenice MisiCi koriste kemijsku energiju iz hrane. Sto se vise penjemo nasa gravitacijska potencijalna energija se povecava. Povecava se i nasa unutamja energija, sto osjecamo u zagrijavanju tijela. Znaci, u ovom procesu nasa se ulozena kemijska energija vecim dijelom pretvara u potencijalnu, a manjim dijelom u unutamju energiju misica.

,--------.

l F 1

F

F = const.

F F

* const.

s Slika 5.3. Graficki prikaz mehanickog rada Pri pomicanju tijela u polju site teze rad je: tocke

A= m·g·h

h- razlika krajnje i pocetne

Ako tijelo vrsi rad nadvladujuci vanjske site, energija muse smanjuje. Ako se energija tijelu povecava, znak je dana tijelu vanjske sile vrse rad. Porast energije tijela jednakje radu koji izvrse site koje djeluju na tijelo (ako je trenje zanemareno). .1.E =A

Zadatak - objasni pretvorbe energije na sljedecim primjerima: baterija, mikrofon, motor vozila, fotocelija, nukleama centrala, atomska bomba.

Slika 5.4. Pretvorba energije u rad Ergometrija je oblast medicine koja se bavi ispitivanjem radnih sposobnosti misica u raznim uvjetima, kao i utjecaj tog rada na organizam covjeka. Pomocu ergornetra se registriraju pojave zamora pri ovim ispitivanjirna.

140

141

r

--d-

--

,,

I


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Rad gravitacijske sile pri pomicanju tijela mase m iz tocke 1 u tocku 2. Rad u gravitacijskorn polju ne zavisi od oblika puta po korne se tijelo prernjesta, nego sarno od pocetnog i krajnjeg polozaja tijela. A=F,· s,

Fs=JF~·F2=rM·m,

'+'

V??f!}{{d

't'rn

rl ·r2

s = rz- r~, F,- srednja sila na putu (s). A= ·-r ·M ·tn

·(.!_rl __!_) r2

Energija tijela koje titra Titrajno gibanje je periodicno gibanje koje se vrsi po pravoj crti ili Juku, a jednadZba gibanja je: x = Xo · sin rot, x- e\ongacija, tj. trenutna udaljenost od ravnotdnog polozaja ro = 2nf, 1 frek .. T - peno .d tltranJa .. vencua, f = l H,

=-; -

T,

Stika 5.5. Rad gravitacijske sile

2 y = 6,67 · JO-II[Nm2 ]- gravitacijska konstanta kg M = 5,97-1024 [kg] - rnasa Zernlje, r 1 i r2 - udaljenosti tocaka od centra Zernlje A - rad koji izvrsi gravitacijska sila ako se tijelo rnase rn prernjesti iz polozaja I u polozaj 2. Znak minus pokazuje da se tijelo pornice nasuprot djelovanja gravitacijske sile, pa se rad vrsi protiv djelovanja sile. Ako gravitacijska sila vrsi rad, potencijalna energija tijela se

Vx = Xo ·ro- cos rot, v,- brzina tijela u po\oZaju x Xo- amplituda titranja, (najveca udaljenost od ravnotefuog polozaja) Period (T) je vrijeme jednog titraja. Frekvencija (f) je broj perioda ujednoj sekundi. E = Ek + Ep, ukupna energija tijela (energija titranja) 1 m·v k·x1 .. • . E = - - ' + - - ukupna energiJa u polozaJU x

2

2

srnanjuje. Rad gravitacijske, ku\onske, elasticne sile ne zavisi od oblika putanje, nego sarno od pocetne i krajnje udaljenosti od centra sile. Takve sile nazivaju se konzervativne sile. Njihov rad na zatvorenoj putanji jednak je nuli. Nekonzervativne sile su sile trenja i otporne sile. Njihov rad na zatvorenoj putanji nije jednak nuli. Potencijalna energija dva tije\a cije su rnase rn i M na udaljenosti r u gravitacijskorn polju q>

Zemljeje: m·M Ep=-r-r

Veza kineticke energije i rada. Pod djelovanjem stalne sile tijelo prelazi put (s) i postize brzinu

//

(v).

3n/2

Rad sile je: A = F · s = m · a · s

A=' m ·a-~- m ·v2

2·a ---2-,

.----

E

Stika 5.6. Energija tijela koje titra

v2

Kod jednako ubrzanog gibanja tijela je: ; = 2 ·a· s

~

s=~

_ m-v2 2

2

Buduci da je impuls tije\a p = m · v, slijedi: Ek = _!!_ 2·m Rad koji vrsi stalna sila ubrzavajuci tijelo mase (m) od (v1) do (vz):

I ( v22 -v12) v22 -v12 = 2 ·a·s => a·s=l m ( v2- v2) = Ek 2 - Et 1 A '= F · s = m ·a· s = 2" 1 2

Kada oprugu rastegnemo, raa taaa ooaVIJa vanJsKa sua, c1me se poveca unutarnja energija opruge, tj. njena potencijalna energija. Ona je najveca u amplitudnom polozaju. U ravnoteznom polofaju Ep = 0, a Ek je najveca, jer je tada brzina najveca. Tijekom titrajnog gibanja energija stalno prelazi iz Ep u Ek i obrnuto. Njihov zbroj je u svakom trenutku konstantan i jednak Epmax iii Ekmax· Jasno, treba uzeti u obzir i disipativne sile us\ijed kojih ce se amplituda titranja smanjivati tijekom vremena do nule. Energija tijela pri obrtajnom (rotacijskom) gibanju oko nepomicne osi

E

_f·oi

"''-

---

2

I [kgm 2 ] - moment tromosti tijela u odnosu na promatranu os rotacije

Rad vanjske sile jednak je prirastaju kineticke energije.

143 lA~

'j(' mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZlKA 1 Energija tijela koje VI'Si translacijsko i rotacijsko ravninsko gibanje E = Etr+ Erol 2 m·v I ·ol E=--+-•-2 2 v- brzina translacijskog gibanja centra mase lo - moment tromosti u odnosu na tezisnu os (vlastiti moment inercije) ro- kutna brzina obrtanja oko tezisne osi

za 1optu (kugu: 1)

2

I' k (d' k) Io

2

10 =sm·r, zavaJa

1s

m ·r = - 2

2

Zakoni odrianja

Slika 5.7. Energija pri translacijskom i rotacijskom gibanjukugle

Snaga Snaga je izvrsen rad u jedinici vremena. Jedinica snage je watt [w]. Snagom mjerimo brzinu rada.

P=~ [w=~J

P=F·s t ,

P=F·v,

A= P·t [1 = W · s] 6 U praksi se za rad (energiju) koristi vecajedinica kWh= 3,6·10 J.

Ak - koristan rad

Au - ulozen rad

Pk- korisna snaga koju daje stroj

Tj=-

pu

I. Njihalo Kineticka energija se pretvara u potencijalnu i obratno. U tocki 0 tijelo je u ravnotefuom po1oZ3ju. Tijelo prolazeci kroz ravnotefui poloZaj postiZe maksimalnu brzinu. U tocki A tijelo je maksimalno udaljeno od ravnotefuog poloZ3ja i tada ima maksimalnu potencijalnu energiju. U tocki A: Ek = 0, jer je v = 0 Epmax , jer je hmax U tocki 0: Ekmax , jer je Vrnax Ep = 0, jer je h = 0 U bilo kojem trenutku E = Ep + Ek = cons!.

P u - ulozena snaga u stroj

s=r·

A=M·q~

_.,.

Slika 5.9. Njihalo I

•

m·v 2

-""'

I I I

v"""'=.J2ih,

2 U bilo kojem trenutku E = Ep + Ek = const.

I

h, Ymax

E=m·g·h

r+) ,,I,, c '%

Slika 5.10. Zakon oddanja energije

Zakon odrzanja impulsa (kolicine gibanja) Ukupan impuls tijela izoliranog sustava je konstantan

(m · v).k =canst. Slika 5.8. Rad i snaga pri rotacijskom gibanju

""""'I !" A ,-·+, I I ' •./ B .v

h

f['

t

•

I

2

A M·rp P=-=-P=M·ro

I

s

U tocki C: Ep=O,jer je h = O,Ekmax= m · v"""' ,

Snaga pri rotacijskom gibanju

t

,-- - - - - - - - t

hmaxi

E•=-- , v= ~' s=h-h 1 2 m·v 2 m·2g(h-h) 1 E= Ep+ Ek=mg·h, + - -=m·g·h1 + m·g·h 2 2

U tocki 8: Ep= m · g · h~,

Rad pri rotacijskom gibanju A=F· s,

A

vo=O

Au

P.

Primjeri:

2. Slobodan pad (zanemarenje otpor zraka) U tocki A: Epmax = m · g · h, Ek = 0, jer je v = 0, E = Ep + Ek = m · g · h

Stupanj korisnog djelovanja je odnos korisnog i ulozenog rada (korisne i ulozene snage ).

11 = Ak

Opci zakon odrianja energije: energija se ne more stvoriti ni unistiti, nego samo more prelaziti izjednog oblika u drugi. Odrianje mehanicke energije: u izoliranom sustavu u kojem ne djeluju nekonzervativne sile (sile otpora) ukupna mehanicka energija ostaje konstantna tijekom vremena. Mehanicka energija tijelajednakaje zbroju kineticke i potencijalne energije. E = Ek + Ep = const.

Kod neelasticnog sudara jedan dio mehanicke energije prelazi u unutamju energiju, te stoga vrijedi samo zakon oddanja impulsa. m 1 ·v, +m, ·v 2 =(m, +m,)·v,

mG--4

~2 ~r

prijc sudara

m~.\

ucr·

poslijc sudara

Slika 5.11. Neelasticni sudar

Dio kineticke energije L'.Ek koji se pretvorio u unutamju energiju se manifestira porastom temperature. •

••

00

00

m1 ·v 12

Ukupna kmetlcka energ!Ja pnJe sudara: E., = -

144

--

2

m, ·v 2

+ - - - -2 2

145

nr· I

I



..

.

Posltje sudara Je: Ek2 =

(m, +m 2 )·v! 2

9. ,

LIE. =E., - E. 2

Kod elasticnog sudara ukupna mehanicka energija i ukupan impuls ostaju nepromijenjeni. Aka se tijela poslije sudara nastave gibati u istom praveu, onda se takav sudar naziva centralni (frontalni). Zadaci: I.

~h=h 1 -ho=lm

a) Koliku silu i rad treba uporabiti da knjigu mase 50 d.kg podignemo l m visoko? b) Koliki je rad ucinjen ako knjigu driimo l 0 sekundi na toj visini? a) Moramo upotrijebiti silujednaku tezini knjige F = m · g = 4,9 N Obavljeni rad A = F · h = 4,9 J b) Za ~~ =10 s nije obavljen radjer knjigu driimo na istom mjestu.

.- :

l

7 -,-•

:h 1

i1 /////lfdl/1//// dl/)Jd dln··'

v=4,43 m/s

h=10m

E

·-.!:' ~11

10. Loptu mase 200 g ispustimo s visine 10m. Pri udaru o tlo ima brzinu 13,6 m/s. lzracunaj rad na svladavanje otpora zraka. Ep=19,62J,

Ek=I8,5J Otporzrakaje A=Ep-Ek=1,12J

(Kad ne bi bilo otpora zraka, brzina lopte pri udaru o tlo bila bi v =

.J2ih = 14 m/s)

11. Cekic mase 0,5 kg udari u glavu cavla brzinom 7 m/s, nakon cega se cavao zabije u drvo 2 em. Izracunaj silu cekica. Cekic udarom u cavao preda kineticku energiju koja prijede urad. Ek = A ,

m·v 2 - - = F · s,

2

-7

F = 612,5 N

12. Vozilo mase 800 kg pribliiava se raskrizju brzinom 90 kmlh. Na kojoj udaljenosti treba uporabiti kocniee da bi se vozilo zaustavilo na raskrizju, aka je sila kocenja 4,9 kN? s=51 m

5.

Kroz pusku cija je eijev duga 55 em izleti zmo mase 20 g brzinom 400 m/s. lzracunaj silu koja je djelovala na zmo.

13. Puscano zmo mase 10 g ispaljeno je brzinom 500 m/s. Na istoj visini na kojoj je izbaceno udari u metu brzinom 300 rn/s. Izracunaj rad na svladavanje otpora zraka. A= Ek1- Ekz = 800 J

2

~=F·s, 2

...

.\

=m·g·~h,

t-'

Obavi lise isti rad aka vozilu povecamo brzinu sa 18 km/h na 36 km/h iii sa 36 km/h na 54 kmlh? ~E1/m = 37,5 J/kg , ~Ez/m = 62,5 J/kg U oba slucaja ~v=5m/s.

~~.~-.:;;,

~~·

-2

_,..

4.

·:>I .

m-v 2

Radnik mase 80 kg nasi l 0 opeka na visinu 5m. Masa jedne opeke je 2,5 kg. Koliki je rad pritom obavljen? A=111uk· g· h muk = lllt + l11o = l 05 kg A= 5150,25 J

3.

'

Ek = Ep, najveea brzina je pri prolasku kroz ravnotdni poloiaj

0

Dizaliea obavi rad od 9,81 kJ. Na koju visinuje podigla teret od 100 kg? Ep=A=m· g · h

2.

Pri ljuljanju na ljuljacki djecak je u najvisoj tocki udaljen od tla l ,50 m, a u najnizoj 50 em. lzracunaj najvecu brzinu ljuljacke.

6.

:.\; 7.

F:::::2,9 kN

Metak mase lOg udari u dasku brzinom 600 m/s i prosavsi kroz nju ima brzinu 200 m/s. Koliki je rad pri tome obavljen? Metak gubi kineticku energiju koja prelazi urad A = ~Ek = 1,6 kJ 2

lzracunaj rad aka tijelo mase 500 g dizemo ubrzanjem l m/s na visinu 2 m. Sila kojom dizemo tijelo je F = G + F;n = 5,4 N A= F · h = 10,8 J

'r1;': cr

8.

~

·m

Skakac mase 70 kg skace sa visine l 0 m u bazen. lzracunaj energiju skakaca pri dodiru s vodom. Zadatak se moze rijesiti preko Ep iii preko E •. Ep = m · g · h = 6867 J v= = 14 m/s, EK = 6867 J

14. Lopta mase 200 g padala je s neke visine 1,5 s. Izracunaj kineticku energiju na polovini puta . Visinapadah= g·tz =II m Napoloviniputa

2

v=~2g·!:, 2

Ek=10,79J

15. Tijelo mase 30 kg slobodno pada sa visine 1962 m. Izracunaj kineticku energiju a) poslije 3/4 prijedenog puta, b) pri udaru o tlo. a) EK = 433 kJ, b) EK = 577 kJ 16. Tijelo mase 10 g otpocne kliziti niz glatku strmu ravninu duljine 8 m i v1sme I m. Izracunaj kineticku energiju tijela na kraju cetvrte sekunde. 2 a= 1,2 m/s , EK = 115 mJ 17. Tijelo mase 300 g slobodno pada sa visine 20 m. Izracunaj potencijalnu energiju koju tijelo ima poslije 2 s. Ep = 1,12 J

.J2ih

146

147

IJI\' ')i,


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 18. Na kojoj visini kineticka energija ima 70% vrijednosti od ukupne energije ako tijelo slobodno pada s visine 50 m? h=35m 19. Kojom brzinomje potrebno baeiti loptu s visine 3m, da bi se podigla na visinu 5 m? v= 6,26 m/s

29. Pod djelovanjem sile od 10 N opruga se izdulji za 5 em. Izracunaj potreban rad. k·x 2 F=k·x, k=200N/m, A=EI' = - - =0,25J 2 30. Vozilo mase 2 tone giba se po horizontalnom putu stalnom brzinom 54 krnlh. Izraeunaj rad motora za pola minuta, ako je koefieijent trenja 0,1. s = v·t = 450 m , F~r= G·Jl = 1962 N , A = 882,9 kJ

20. Pod djelovanjem stalne sile tijelo mase 2 kg pocne se gibati ravnomjemo ubrzano po horizontalnoj podlozi i za 4 s prijede 16 m. Izracunaj rad sile na tom putu. a· t 2 s = - - a = 2 m/s2 F = 4 N A= 64 J 2 ' ' '

31. Izracunaj koefieijent trenja ako tijelo mase 200 g vucemo po horizontalnoj podlozi konstantnom brzinom, pri cemu sila izvrsi rad od 100 mJ na putu od 20 em. F = 0,5 N , J.L = 0,25

21. U kom ce slucaju biti veci izvrsen rad: a) kad se teret podize na visinu h, iii b) kad se isti teret pomice po horizontalnoj podlozi za isto odstojanje h? Koefieijent trenja o podlogu

32. Izracunaj rad motora dizaliee ako I tonu podiZe vertikalno na vtsmu 10 m: a) konstantri.om brzinom, b) ubrzanjem 0,2 m/s2• a)A=G·h=98,1 kJ, b)A=100,1 kJ

jqt.

Pri podizanju obavlja se veci rad A,> Az

22. Sa neke vtsme tijelo mase 500 g pocne slobodno padati. Izracunaj rad sile teze: a) na kraju druge seJ...-unde slobodnog pada, b) u tijeku trece sekunde. t2 a) h1 =L..!.. = 19,62 m At= 96,24 J 2 b) h2 = 44,14 m, l1h = 24,52 m A2 = 120,27 J

33. Izracunaj ubrzanje kojim se dize 10 kg vertikalno na visinu 1,5 m, ako se pri tom obavi rad od 180 J. a= 2,19 m/s 2 34. Na kolica mase 6 kg iz stanja mirovanja djeluje sila od 6 N u trajanju 6 s. Koliku ce kineticku energiju dobiti koliea? F·t=m·v, v = 6 m/s EK= 108J

23. Izracunaj energiju koja se pretvorila u kocnieama u toplinu ako se vozilo mase 1.5 tona 2 zaustavi za 5 sekundi usporenjem 2 m/s • EK=75 kJ v=a·t=IOrnls,

35. Loptu mase 200 g izbacimo vertikalno brzinom 12 m/s. Izracunaj poteneijalnu energiju lopte poslije 2 sekunde. Ep =8,59 J

24. Lopta mase 100 g padne s visine 1,5 m, odbije se o podlogu i odskoci 50 em. lzracunaj energiju koja se pretvorila u toplinu pri udaru o podlogu. 6E =0,98J

36. Kada na oprugu stavimo uteg mase 1 kg opruga se izdulji 2 em. Koliko ce se izduljiti ako stavimo uteg od 4 kg ? k = 490,5 N/m x2 = 8 em

25. Tijelo mase 500 g baceno je uvis kinetickom energijom 100 J. Na koju visinu ce tijelo dospjeti? H=20,4m

37. Kuglica mase 200 g slobodno pada na oprugu i sabije je 10 em. K.rutost opruge je 300 N/m. S koje visine je kugliea pala?

26. Tijelo mase 4 kg baceno je s visine 120 m pocetnom brzinom 10 m/s. Ono udari o tlo brzinom 20 m/s. Kolika se energija utrosi na svladavanje otpora zraka? E.=4109J

38. lzracunaj izvrseni rad pri istezanju opruge sa duljine 32 em na duljinu 35 em, ako joj je krutost 16 N/m. Duljina neopterecene oprugeje 30 em. A= Ep= 16,8 mJ

27. Tijelo mase 6 kg izbaceno je pocetnom brzinom 40 m/s vertikalno navise. Na svladavanje otpora zraka do najvise tocke utrosi se 340 J energije. Do koje visine je dospjelo tijelo? h =75,77 m

39. Vagon mase 5 tona udari u odbojnik brzinom 3,6 krnlh. Koliko ce se sabiti odbojnik ako se opruga odbojnika sabije I em pri djelovanju sile od 10 kN?

28. Na konopeu duljine 50 em djecak okrece kuglieu mase 200 g u vertikalnoj ravnini. Izracunaj kineticku energiju kuglice pri minimalnoj brzini. Fe = G EK = 0,49 J

s=7cm

h = 1,3 m

149 148

nr"· '-.J.



40. Sila od I N pod kutom 30° pocne djelovati na tijelo mase 200 g koje lezi na horizontalnoj podlozi. a) Izracunaj rad i kineticku energiju na putu od 2m. b) Brzinu na kraju puta ako se trenje zanemari. a) A= F·eos30°·s = 1,732 N, A= EK, b) v = 4,16 m/s 41. Dinamometrom zakvacimo tijelo mase I kg i vucemo po horizontalnoj podlozi. Koefieijent trenja izmedu tijela i podloge je 0,25. lzracunaj rad na putu 80 em ako dinamometar vucemo: a) konstantnom brzinom, b) ubrzanjem I m/s 2 • a) A= 1,96 J, b) A= 2,16 J

50. Vozilo mase 2 tone poslije 4 sod pocetka gibanja ima kineticku energiju 36 kJ. Izracunaj ubrzanje vozila. a= 1,5 m/s 2 51. Vozilo mase 1 tona pocne se gibati ubrzanjem 4 rnls2• lzracunaj kineticku energiju vozila poslije prijedenog puta od 32 m. t= 4s,

EK = 128 kJ

52. Koliki rad treba izvrsiti motor vozila mase 5 tona da bi povecao brzinu s 5 m/s na 72 krn!h?

2

42. Tijekom 8 s vozilo mase 1,2 tone krene iz mirovanja ubrzanjem 2 m/s po horizontalnom putu. lzracunaj rad motora vozila ako je koefieijent trenja 0, I. A= 228,94 kJ s =64m, F= 3577,2 N 43. Izracunaj rad koji obavi dizaliea kad 0,5 tona podigne ravnomjerno ubrzano na visinu 10 m za 5 s. 2 a= 0,8 m/s A = 59,05 kJ 44. Aluminijska koeka straniee 20 em nalazi se na visini 2 m iznad tla. Kolikom poteneijalnom energijom raspolaze ako je gustoca aluminija 2,7 kgldm3 ? Er= 423,79 J 45. U eilindricnoj posudi polumjera I 0 em nalazi se koeka leda straniee I 0 em. Izracunaj promjenu poteneijalne energije leda kad se on istopi. Gustoca leda je 0,95 kgldm3, a vode 3 I kg!dm .

)>>:: :
...

)>~

)

)

,.

)

"./.c"./ ,. )

)

)

h,

:-:-=-1':::-::-:-::-::-

, _________ _,

l hz

~Er=0,18J

46. U posudi oblika koeke straniee I m nalazi se voda do polovine volumena. Koliki je rad potrebno uloziti da bi se koeka okrenula oko svog ruba? 3 Gus toea vode je 1 kg!dm . A= 2011 J 47. Tijelo mase 200 g izbaei se uvis brzinom 30 m/s. Izracunaj: a) kineticku i poteneijalnu energiju poslije 2 s, b) ukupnu energiju u trenutku izbaeivanja, kao i u trenutku dostizanja maksimalne vi sine. (g = I 0 m/s 2 ) a) EK = 10 J, Er = 80 J, b) E = 90 J 48. S visine 20 m tijelo mase I kg slobodno pada. Izracunaj kineticku i poteneijalnu energiju tijela poslije 2 s slobodnog pada. EK = 192,47 J, Ep = 3,73 J 49. Automobil mase 1,5 tona ima istu kineticku energiju kao i motoeikl ukupne mase 300 kg koji se giba brzinom 108 km/h. Izracunaj brzinu automobila. EK1 = EK2, v 1 = 13,42 m/s

A =~K = 937,5 kJ 53. Izracunaj rad koji izvr5i metak mase 20 g koji se giba brzinom 200 m/s kad se zabije u drvo 2 em duboko. Kolikom srednjom silom se opiralo drvo? A= EK = 400 J , F = 20 kN 54. Metak mase lO g pri brzini 400 m/s probije dasku debljine I em. Pri izlasku iz daske irna brzinu 100 m/s. lzracunaj rad rnetka pri probijanju daske i srednju silu otpora daske. A= ~K = 750 kJ , F = 75 kN 55. Metak rnase 10 g giba se horizontalnim praveern, probija drveno prizrnaticno tijelo rnase I kg i napusta ga. Tijelo se prije udara nalazilo u rniru na idealno glatkorn stolu. Brzina metka prije udaraje 250 m!s, a po izlasku 150 rnls. Izracunaj brzinu tijela poslije udara i dio energije koja je presla u toplinu. Pretpostavi da rnetak prolazi kroz teziste tijela. v = 1m/s, ~T = 199,5 J

v, (}-----+.

m

~

56. Epruveta u kojoj se nalazi voda ukupne mase 100 g (bez cepa) objesena je u horizontalnom polozaju kroz tdiste za vertikalan konae (tako da rnoze titrati) i ' zacepljena ceporn rnase I 0 g. Zagrijavanjem vode u jednom trenutku '-,,, para izbaei cep iz epruvete, a epruveta - - --- - - - - - - - - - - :..:...::Jh=O pocne titrati tako da pomak vertikalne kornponente epruvete iznosi I 0 em. .· . · . · . · ' 1 rn Izracunaj brzinu cepa i epruvete. VI rnz Vz v 1 = 14 rnls, v2 = 1,4 m/s 57. Tijelo mase 4 kg pada s visine 160 m pocetnom brzinorn 8 rnls i zabije se u zernlju 40 em. lzracunaj srednju situ otpora zemlje. F= 16 kN 58. Za nabijanje zemljista koristi se stroj s maljem rnase 200 kg. Pri radu rnalj pada s visine 80 em pocetnom brzinom I m/s i ude u zernljiste 10 em. lzracunaj srednji otpor zernljista. F= 18,66 kN 59. Vozilo se giba po horizontalnom putu konstantnom brzinom 7,2 krnlh, a zatim se iskljuci motor. Koliki ce put prijeci do zaustavljanja ako je koefieijent trenja 0,2 ? a= g·j.!, s = 1,02 m

'

150

151

~~~i!



60. Silom od ION vuce se tijelo mase I kg po horizontalnoj podlozi i za 5 s njegova brzina se promijeni s 18 km/h na 54 kmlh. Izracunaj rad sile trenja za to vrijeme. F,, = 8 N, J.! = 0,81, A,,= 200 J

73. Na koju visinu erpka snage I kW za I minutu moze podici 2 m3 vode? Gustoea vode je p =I kg/dm3. (g = IO m/s 2) h=3m 3

61. lzracunaj otpor zraka ako je Iopta mase 200 g izbacena vertikalno uvis pocetnom brzinom 25 m/s dostigla visinu 28 m. A= 7,56 J

74. lz bunara dubine 10m izvuce se 76m vode za 2 sata motomom erpkom ukupne snage I,5 kW. Izracunaj koefieijent korisnog djelovanja ove erpke.

62. Metak mase 5 g izbacen je pocetnom brzinom od 800 m/s, a pao je na zemlju brzinom 300 m/s. Izracunaj otpor zraka. A=aEK = 1375 J

75. Kolikaje snaga vodenog mlaza ako s visine lm svake minuta padne 3m3 vode?

63. S visine IO m pusti se lopta mase 100 g da siobodno pada. Pri udaru o tlo lopta ima brzinu 13 m/s. Izracunaj otpor zraka. A=aE= 1,36J 64. S vrha strme ravnine duge 1 m i visoke 40 em pusti se tijelo mase 500 g. U podnozju tijelo ima brzinu 2,5 mls. Izracunaj silu trenja. Arx = Ep- EK , F,, = 0,4 N 65. Djecak mase 60 kg treba se popeti stepenistem na zgradu visoku 50 m. Izracunaj potrebno vrijeme ako koristi prosjecnu snagu od 60 W.

A

= m·g· h

'

P= ~ t '

11 = 69% P=500W 76. Korisna snaga turbine je 6,33 kW. Protok vode kroz turbinuje 220 litara u sekundi. Voda pada s visine 4 m. lzracunaj stupanj korisnosti turbine. Tj

77. Dizaliea dize 2 tone brzinom I mls. Motor dizaiiee ima snagu 21 kW. lzracunaJ stupanj korisnog djeiovanja dizaliee. PK = G·v , 78. Malj mase 500 kg pada na tijelo mase 100 kg brzinom 4 m/s. Odredi stupanj korisnosti udara ovog malja. Udar je neelastican.

t = 8 min 11 s

'

66. lzracunaj snagu covjeka mase 70 kg koji se popne na brdo visoko 800 m za 1 sat. P=152,6W .~;

Tj

= 0,8]2

11 = 93,4 %

n

~ ~

W/#7///7////k. 79. Motor snage 70 kW ima stupanj korisnog djelovanja 85 %. Koliki rad u kWh izvrSi za 5 minuta?

67. Izracunaj snagu vozila mase I,2 tone ako brzinu od 100 kmlh postigne za 7 sekundi. P=66,14 kW 68. Pri brzini 900 kmlh putnicki zrakoplov razvije snagu od 25 MW. Kolikom silom su optereceni motori ? P=F·v F=O,l MN

=73,4%

AK = 4,958 kWh 80. Dizalica dize 1 tonu na visinu I 0 m. IzracunaJ ulozeni rad ako je stupanj korisnog djelovanja dizaliee 85 %. Au = 83,385 kJ

69. Zrakoplov mase 5 tona podigne se na visinu 2 km za I,5 minuta. lzracunaj snagu motora. P=l,09MW

81. Za vrijeme 1 sata dizaliea treba podici 13 m3 pijeska na visinu 8 m. Izracunaj snagu motora ako je stupanj korisnosti dizaliee 0,6. Gustoca pijeska je 2,8 kg/dm3. P=l322 W

70. Dizalo mase 800 kg krene iz mirovanja ubrzanjem I m/s2 • lzracunaj snagu dizaia kad postigne brzinu 1,5 m/s. P=6486W

82. Dizaliea dize 1 tonu na neku visinu za 20 s, uz koefieijent korisnosti 85 %. Izracunaj snagu dizaliee: a) ako dize teret stalnom brzinom 0,5 m/s, b) stalnim ubrzanjem 0,1 m/s 2• a) P = 5,77 kW, b) P = 11,66 kW

71. Crpka izbaei 1 m3 vode za minutu s dubine 20 m. Izracunaj snagu erpke. Gustoca vode je I kg/dm3• P=3270W

83. Vozilo mase I,3 tone giba se uz nagib 20° brzinom 54 km!h. Stupanj korisnog djelovanja motora je 78 %. lzracunaj snagu motora.

72. Pami stroj podize gvozdeni malj volumena 60 dm 3 na visinu 60 em i to IO puta za 30 sekundi. Izracunaj snagu stroja. Gustoca zeljezaje 7,8 kg/dm3 . P=918 W

84. Na lopatiee turbine pada svake sekunde 100 m 3 vode, sa visine 3 m. Izracunaj snagu turbine ako je stupanj korisnog djelovanja 0,72. PK=21,6 kW

152

PK = G·sina·v,

Pu = 83,88 kW

153

rr· ,I

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 85. lzracunaj rad termoelektrane snage 20 MW koji izvrsi za jedan dan, ako je stupanj korisnog djelovanja 86 %. A=PK·t, A=412,8MWh 86. Gurnena loptiea slobodno pada sa visine I rn na elasticnu podlogu, pri cernu izgubi 30 % svoje kineticke energije. Poslije koliko vremena ce loptiea drugi put udariti o podlogu, racunajuci vrijerne od trenutka pustanja loptiee? tz = 0,38 s 87. Vlak rnase 600 tona polazi iz mirovanja jednakoubrzano i poslije 2,5 krn ima brzinu 60 km/h. Izracunaj srednju snagu lokornotive ako je koefieijent trenja 0,005. P=523,6 kW 88. lzracunaj koefieijent trenja ako se vozilo rnase 1,5 tona giba po horizontalnom putu brzinom 90 km/h, pri cernu razvija korisnu snagu od 65 kW. 11= 0,18 89. Kamion rnase 5 tona krene jednako ubrzano iz rnirovanja i za 4 s prijede 8 rn. Izracunaj srednju snagu tijekom 4 s, kao i snagu poslije 5 s gibanja. Trenje zanemari. a= I rn/s 2, Ysr = 2 rn/s, Psr = 10 kW, P = 20 kW

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA l 95. Tijelo mase 400 kg potrebno je podici 6 m. To se moze uciniti dizanjem vucenjem uz strrnu ravninu nagibnog Koefieijent trenja tijela i podloge je 0,3. stupanj korisnosti strme ravnine.

. ~-' .

92. Vozilo rnase 1,5 tona giba se uz nagib 5 %, pri koefieijentu trenja 0,1. Izracunaj snagu vozila ako stalno prelazi 2,4 krn za 2 minute. P=44,1kW

-::.

93. l'z bunara dubokog 4,5 rn izvuce se kanta s vodorn rnase 10 kg za 3 s. lzracunaj koliki se treba uloziti rad. A=486,45J 94. Horizontalna elasticna opruga sabijena je od 0: svog ravnoteznog polozaja za 6 ern koekorn rnase 0,2 kg, a zatirn pustena da odbaei koeku, pri cernu koeka klizi i zaustavi se poslije 25 ern. Izracunaj koefieijent trenja izrnedu koeke i podloge. Krutost opruge je 55,5 N/rn. 11 = 0,2

154

I

I

·_:::-jh

TJ = 0,657 L..__ _ __

T 96. Pravokutni klin mase 10 kg lezi na horizontalnoj potpuno glatkoj podlozi. Kugliea rnase 10 g giba se horizontalno, udari u kosu stranu klina i odskoci vertikalno uvis. Na koju ce visinu odskociti kugliea ako je sudar bio elastican i ako brzina klina poslije sudara iznosi 5 crn/s? Sva trenja zanemari. h =127m

VM ~

97. Klin mase 20 kg zabija se vertikalno u zemlju udarirna malja rnase 50 kg koji slobodno pada na klin s visine 80 em. Klin ulazi u zernlju pod svakirn udareern 10 ern. Izracunaj srednju silu otpora zemlje. Sudar klina i rnalja smatraj neelasticnim.

90. Izracunaj potrebnu snagu rnotora zrakoplova rnase 2 tone da bi na duljini 200m gibanja po pisti postigao potrebnu brzinu za odvajanje od 180 krn/h. Koefieijent trenja je 0,2. (g = I 0 rn/s2) P=821,2 kW 91. Vozilo rnase 2 tone krene iz rnirovanja i poslije 100 rn irna brzinu 72 krn/h. Na vozilo djeluje sila trenja u iznosu od 10% tezine vozila. Izracunaj: a) rad rnotora vozila na putu od 100 rn, b) srednju snagu koju razvija motor tijekorn gibanja. A= 419,62 kJ, P = 41,96 kW

,-----i

na visinu tijela iii kuta 30°. Izracunaj

H

1-:1

•

h

F=3487 N

98. Tijelo mase 20 kg izbaceno je brzinorn 12 rn/s uz hrapavu strrnu ravninu ciji je nagib 30°. Na kojem razmaku ce se tijelo zaustaviti ako je koefieijent trenja izniedu tijela i 2 podloge 0,29? (g = 1Ornls ) Rezultat provjeriti i preko dinarnicke jednadZbe ravnoteze. s:::: 10m 99. Dvije kuglice cije su mase 120 g i 300 g sabiju oprugu i izbace se iz cijevi naglirn otpustanjern elasticne opruge. Izracunaj brzine kugliea poslije izbaeivanja ako je sabijena opruga irnala elasticnu poteneijalnu energiju 4,9 J. Trenje zanernari.

(; ---"'" '

-:-f~2y:. v1 = 7,65 rnls, v2 = 3,06 m/s

100. Vozilo rnase 1,5 tona polazi iz stanja rnirovanja po horizontalnorn putu stalnirn 2 ubrzanjern I rnls • Koefieijent trenja izrnedu kotaca i podloge je 0, I. a) Koliki rad izvrsi motor za prvih 10 s gibanja. b) Kolika je trenutna snaga na kraju desete sekunde? e) Ako vozac, poslije 10 s gibanja iskljuci motor, koliki ce put prijeci vozilo do zaustavljanja? a) A= 148,6 kJ, b) P = 29,7 kW, c) s 1 :::: 51 m

155

m· mr. Ze1jko Stapic: FIZIKA I

mr. Ze1jko Stapic: FIZIKA 1 101. Niz padinu pod kutorn 30° i duljine 30 m klize sanjke i zaustave se na horizontalnoj ravnini. 1zracunaj prijedeni put po horizontalnoj ravnini ako je koeficijent trenja duz cijelog puta isti i iznosi 0, 1. s = 132,68 m 102. Pod kutom 45° djecak vuce sanjke rnase 5 kg stalnom brzinom 1 m/s pri koeficijentu trenja 0, 1. Izracunaj korisnu snagu djecaka. (g = 10 m/s 2) P=4,64 W

EIIE2 = l/16 113. Brzina rijeke je 2 m/s, a korito ima poYrsinu 10 m2• Izracunaj snagu vodene struje. Gustoea Yodeje I kg/dm3. P=40kW 114. Vozilo mase 1 tona raspolaze maksima1norn snagom 60 kW. a) Kolikom maksimalnom i stalnom brzinorn se moze uspinjati uz strminu nagiba 10 %, ako na vozilo djeluje sila trenja 1 kN? b) Kolika bi snaga bila dovoljna tom vozilu da se uz istu silu trenja giba po horizontalnorn putu brzinom iz a)? c) Koliko bi iznosila brzina po horizontalnom putu s maksimalnorn snagorn? d) Kolika bi snaga tog vozila bila potrebna kad bi se gibalo niz istu strmin~jednakom brzinorn kao pod a)? a) v = 109 kmlh, b) P = 30,3 kW, c) 216 kmlh, d) 576 W

103. Niz padinu nagiba 60° i v1sme 10 rn spu5ta se srnucar, koji se zaustavi na uda1jenosti 70 rn od podnozja padine. Izracunaj koeficijent trenja. s=70rn J.l=0,133

112. Tekucina struji kroz cijeY nejednakog poprecnog presjeka. Izracumti odnos kineticke energije na presjecima ciji su promjeri 20 em i 10 em.

Su

104. Vozilo mase 1,5 tona giba se iz rnirovanja jednako ubrzano na putu duljine 50 rn sa srednjorn brzinorn 10 m/s. Izracunaj rad rnotora ako je koeficijent trenja 0,15. (g = 10 m/s 2) 2 a= 4 rnls , A= 412,5 kJ

115. Niz strmu ulicu nagiba 3% konstantnorn brzinorn 18 krnlh giba se trarnyaj mase 4 tones iskljucenirn rnotorirna. Izracunaj snagu rnotora da bi se gibao uz istu ulicu istom brzinorn. P=7,85kW

105. U kruZnom bazenu polumjera 5 rn nalazi se 20 tona vode. Za koliko ce se prornijeniti potencijalna energija ove vode ako se pretoci u susjedni hazen polumjera 10m? .6.Ep = 18,7 kJ 106. Balon mase 200 kg pao je s visine 100 rn za 10 s. Izracunaj: a) rad site otpora zraka, b) kineticku energiju tijela pri padu. (g = 10 m/s2) a) A= 160 kJ, b) EK= 16 MJ 107. Trkac mase 70 kg dostigne za 3 s brzinu 9 m/s. Izracunaj potrebno vrijerne da se popne na zgradu visoku 50 m, koristeci istu snagu kao na startu trke. t =36,3 s 108. Vozilo mase 5 tona krene iz mirovanja ina putu od 100m postigne brzinu 72 kmlh, uz koeficijent trenja 0,2. Izracunaj srednju snagu vozila. (g = 10 m/s 2) P= 175 kW 2

109. Ova vozilajednakih masa pocnu se gibati jednako ubrzano s ubrzanjima 2 m/s 2 i 3 m/s • Kako se odnose snage ovih vozila? PI/P2 = 4/9 110. Klizeci po podlozi tijelo poslije 10 rn ima pet puta manju kineticku energiju. Izracunaj koeficijent trenja ako je pocetna brzina tijela bila 5 m/s. J.l=0,1 111. Sa visine 2 m izbaci se tije1o rnase 50 g u horizonta1nom pravcu i padne 7 m od mjesta izbacivanja. 1zracunaj pocetnu brzinu tije1a i kineticku energiju u trenutku udara o tlo. v 0 =1l m/s, EK=4J

156

116. a) Koliku snagu treba razviti motor vozila mase 1,5 tona na putu od 100 m da bi se iz stanja rniroYanja gibao ubrzanjern 2 m/s2 uz strmu ulicu pod kutom 15°, ako je koeficijent trenja 0,15? b) Ako je pocetna brzina bila 36 krn/h, kolika je potrebna snaga motora, pri istim uYjetima kao pod a)? a) 89,4 kW, b) P = 144,66 kW 117. Njihalo duljine 0,5 m izvedeno je iz ravnoteznog poloZaja za a = 60° pa mu je dana pocetna brzina 1,5 m/s. Izracunaj ukupni kut 13 koje opise njihalo. Trenje zanemari. 13 = 1340 118. Tracnicama koje su postaYljene po putanji ABC, a pre\_aze u tocki B u Yertikalni kffiZni luk polumjera 5 m giba se vagonet. S koje minimalne visine treba pustiti vagonet, bez pocetne brzine, da bi presao krumi luk BC ne odyajajuci se od tracnica. Odredi brzinu vagona u tocki B. Sva treftia zanemari.

c

Vu= 15,6 mls, h = 12,5 m 119. Uz strmu raYninu nagibnog kuta 30° i duljine 30 rn izbaceno je tijelo pocetnom brzinom 20 m/s pri koeficijentu trenja 0,2. Posto prijede cjelokupnu duljinu strme ravnine tijelo se giba kroz zrak dok ne padne na tlo. 1zracunaj brzinu tijela pri udaru o tlo. Yo= 17,3 m/s

,,

Yo / /'f'

,--'.X B \

A---,/ I .. ,

HI

',,

\,

c

\o

~?'//////////////...W///1/:

Yo

157

r mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 127. Tijelo je pu5teno iz stanja mirovanja niz strmu ravninu duljine I5 m i nagiba 30°. Poslije strme ravnine nailazi na ' horizontalnu ravninu dugu 10 m, a ~ " 1 ~ zatim se giba 2 m uz dmgu strmu 30 s c:: ravninu nagiba 45° . lzracunaj koefieijent trenja pod pretpostavkom da je isti na eijeiom putu.

I20. Koeku mase I 00 kg je potrebno pomaknuti za 5 m po horizontainoj podiozi. To se moze ostvariti vucenjem, pri koefieijentu trenja 0,4 iii prevrtanjem oko jednog mba. lzracunaj rad u oba siucaja i njihov odnos.

}(s"o

At/Az = 1,95 I21. (:amae A mase mt = 320 kg spojen je liZetom: a) s obaiom, b) s cameem B mase m 2 = 300 kg. U camcu A nalazi se covjek mase 80 kg koji vuce liZe silom 20 N u oba slucaja. lzracunaj snagu covjeka poslije 4 s u oba slucaja. a) P 1 =2 W, b) Pz =4,69 W

J.L=0,25 128. Djecak na koturaijkama odgume dmgog djecaka na koturaljkama te se nakon nekog vremena (zbog trenja) zaustave. Koliki je odnos prijedenih putova ako je masa prvog djecaka za 25 % veca od mase drugog djecaka? St/Sz =0,64

122. Kugliea mase 20 g objesena je o konae duljine I i pomaknuta za 90° od vertika1nog po1oZ3ja tako da ima mogucnost njihanja. Izracunaj maksirnalnu brzinu i maksimalnu silu zatezanja niti. F=0,59 N

129. Djecak mase 40 kg odgume sanjke mase lO kg u suprotnom smjem, pri cemu sanjke dobiju brzinu 5 rn/s. Izracunaj pri tom izvr5eni rad.

123. Voda protjece kroz horizonta1nu eijev kroz presjek S 1 =2m2 brzinom 1,5 rn/s. Kolikom snagom raspolaie voda na mjestu gdje ima presjek S2 = 1 m2? Gustoca vode je 1 kg/dm3 .

130. Niz strmu ravninu nagiba 60° i duljine 1 m gumuto je tijeio mase 1 kg pocetnom brzinom 2 rn/s, tako da pada na elasticnu oprugu koju sabije 5 em, nakon cega se odbije uz strmu ravninu. Na tijeio djeluje cijeio vrijeme sila trenja 1 N. Izracunaj konstantu opruge i put koji ce tijelo prijeci poslije odbijanja. (g = 10 rn/s 2)

max

~ .

.12

A= 156,25 J

k = 4960 N/m,

Pz= 13,5 kW

l~!

124. Vozilo mase 5 tona giba se brzinom 90 krnlh i u trenutku nailaska na uspon od 2 % iskljuci motor. Koefieijent trenja je 0,1. a) Izracunaj prijedeni put do zaustavljanja. b) Koliku snagu treba razviti motor da se vozi1o nastavi gibati uz uspon istom brzinom? a) s = 265,5 m, b) 147,15 kW

. -~ i

125. Ko1iki rad izvrsi baeac kugle kada kuglu mase 7 kg baei pod kutom 45° na udaljenost 22 m? Baeac izbaeuje kuglu s visine 180 em. A=711 J

~·" "' .~,

.. ;~f

'),.:.'.:_:..

! -~?:.~

126. Motoeikl se giba po horizontalnom putu brzinom 108 km/h. Koefieijent trenja je 0,2. Na udaljenosti 230 m ispred sebe vozac ugleda dug zid pod pravim kutom na pravae gibanja. a) Ako odmah iskijuci motor, hoce li udariti u zid krecuci se pravoertno, ne koristeci kocniee. b) Ako pocne odmah skretati istom brzinom, koliki je minimalni polumjer skretanja?

-.... ........., ,

131. Za kraj uzeta duljine 1 m vezan je teg i u pocetnom polozaju zaklapa kut 60° s A vertikalom. Teg se pusti bez pocetne brzine. Izracunaj brzinu tega u trenutku kad liZe zakiapa kut 30° s vertikalom. v =2,69 m/s

Sx

h

= 0,98 m

,.,,

~

)

G 30°

I

/\t:

a) s = 229,36 m, b) r = 458,72 m

:%

V(;

132. Strma ravnina duljine 5 m i nagiba 30° postavljena je na visinu 2m iznad horizontalnog tla. Na vrh strme ravnine stavljeno je malo tijeio i pusteno da se giba bez pocetne brzine uz koefieijent trenja 0, 1. Izracunaj brzinu tijeia pri udam o tlo. vc = 8,93 m/s 133. Kamion mase 3 tone spusta se niz ulicu nagiba 1:30 konstantnom brzinom 36 krn/h bez djeiovanja motora. Kolika treba najmanja snaga motora da bi se taj kamion gibao istom brzinom uz ovu ulieu? P=20 kW

I 58

"'

159

n''



134. Automobil se giba po usponu 4° brzinom 25 km/h ako mu motor radi punom snagom. Kad se istom snagom giba niz uspon brzina je I 00 km/h. Ko1ikom se brzinom giba automobi1 po horizontalnom putu kada motor radi istom snagom? v=40 km/h

140. Na glatkom horizontalnorn stolu lezi kugla mase 5 kg koja je pricmcena na oprugu krutosti 10 N/m. U kuglu udara metak mase 10 g brzinom 200 rnls u pravcu osi opruge. Izracunaj amplitudu. Sudar smatraj plasticnim.

135. Lokomotiva mase 100 tona vuce 4 vagona, od kojih svaki tdi 15 tona, uz nagib tga = 0,02 stalnom brzinom 50 km/h. Koeficijent trenja je 0,06. lzracunaj: a) silu u kvaci1u izmedu 1okomotive i svih vagona, b) snagu koju razvija lokomotiva. a) F"' 125 kN, b) p, 1,74 MW

141. Sto ce brze stici do svog antipoda: satelit koji se giba prvom kozmickom brzinom (7,9 krr>Js) iii tijelo koje propada tunelom kroz centar Zemlje? Gustoca Zemlje je 5500 kg/m3, a polumjer 6378 km.

X. =28 ern

s

v, 0

-- • --A-......--. -Till '"'"'',\ \

I

I I

136. Na g1atkoj podlozi nalazi se tije1o mase 1,5 kg i dvije opruge cije su konstante k 1 =54 N/m i k2 = 96 N/m. Izracunaj period titranja ako tijelo spojimo pomocu: a) jedne, a zatim druge opruge, b) obje opruge postav1jene paralelno, c) obje spojene redno.

"'

"'

k2

za

e1asticnu

oprugu

I

titra

h-•ii•ki "' gladmj hMiw•
,,/

a) v = 2 m/s, b) E 1 = 20 J, E 2 = 6 J, c) E = 70% 143. Iz stanja mirovanja s visine 100m slobodno pada kapljica mase 0,1 g. Zbog isparavanja kapljica svake sekunde gubi 0,01 g. Kolika je kineticka energija promatrane kap1jice pri padu na tlo? EK"'54 J

138. U staklenoj U-cijevi promjera 2 em nalazi se ziva mase l kg. Povecanjern tlaka u jednom kraku cijevi ili naginjanjern izazovu se titraji zive u cijevi. Izracunaj period titranja zivinog stupa. Gustoca zive je 13,6 kg/dm 3 T =0,69 s

139. Na elasticnu oprugu objesi se tanjuric za utege mase 100 g, zbog cega se opruga izdulji za 8 em. S visine 20 em pusti se tijelo mase 20 g da padne na tanjuric. Za koju ce se duljinu opruga istegnuti ?

M x = 5,3 ern

160

I

142. Dvije kugle masa m, = 2 kg i m2 = I kg krecu se ususretjedna drugoj brzinama 4 rn/s i 2 m/s. Izracunaj: a) brzinu kug1i pos1ije sudara, ako se nastave gibati zajedno u istom pravcu, b) kineticku energiju kugli prije i poslije sudara, c) relativni gubitak kineticke energije.

a) T 1 = 1,047 s, T2 = 0,785 s, b) T = 0,628 s, c) T = 1,31 s vezana

I

o---...-'

c)

137. Kug1a

Ts = 2535 s ( satelit)

,/

"'

F2

I I I I

X

161

~

mr.


FIZIKA I Nosac s dva oslonca

6. MEHANIKA KRUTOG TIJELA

L Fy=O;

Moment sile

i

-M =lxF . -

Staticki moment: M= F ·I [Nm]

\

(

Qo

'--,~~-~.

FA+Fs=F1+F2 +F3

--......__ ___"

_./·--···

Moment sile je mjera za obrtno djelovanje sile. Definira se kao vektorski produkt vektora poloZllja napadne tocke sile i te sile. Moment sile je okomit na ravninu u kojoj le:le vektori i F.

l

-

"i)

-- ·.;·.-

·-- - - - - - -----

...-

1- krak sile

Moment sprega Ovije sile su po iznosu jednake, razlicitih hvatista, djeluju na tijelo u suprotnim smjerovima. Moment para sprega sila: M=F(I1+I)-F· l1=F· I

i

t,

0 0

.. I F

\

..

Fa=

F

+

t··'"·· "-·

·~.1 ~~;.":-t ~· ',

'·'t

1,, .

~-=-- d: . . -·~;

Slika 6.3. Moment sprega

Poluga Najjednostavnije sprave za lakse obavljanje rada su poluga i strma ravnina i iz njih su izvedeni posebni oblici - kotur, koturaca, kolo na vratilu, klin, vijak. Svako cvrsto tijelo moze posluziti kao poluga ako postoji oslonac na kome se moze obrtati. Mjesto .. (tocka) na poluzi gdje djeluje sila naziva se napadna tocka sile. Udaljenost (duljina okomite duzi) od oslonca poluge do pravca sile naziva se krak sile (a, b). Poluga moze biti jednokraka i dvokraka. Jednukraka poluga Kod jednokrake poluge obje sile djeluju sa iste strane oslonca, ali su im smjerovi suprotni. F- a=G-b

0 -~

7/".'T

b

t.

t

162

~ j•. :\Y

* //:r

.

X

..

.. ::_:... j

;:...j

.1

Slika 6.6. Nosac s dva oslonca

I (<:

.

I

r

f,

I\

\

J 0

r _,

G·r=F· r

-7-

/

•~

t

Slika 6.7. Nepomicni kotur

G - te:lina tereta F - sila kojom dizemo teret

F=G

I l l 1/ II I II I I I I

Pomicni kotur je poseban oblik jednostrane poluge. Oslonac je na jednom kraju promjera kotura (gdje se odvaja uze na kojem djeluje sila). Teret se vjesa na viljusku u sredini kotura, a sila djeluje na drugom kraju promjera. Prema tome, krak sile 2r je dva puta veci od kraka tereta r, pa je za ravnotefu potrebna sila koja je dva puta manja od tereta.

//

/

.··

..

/

[

.

r:~~~);~~ \: - .

-

F

+·: --:::----~·-·.· . '

~

·, __________. /I ':f"·

.

/=

cr G

F =2, -

Koturaca je skup vise nepomicnih i isto toliko pomicnih koturova. U ovom slucaju za dizanje tereta G potrebna je n puta manja sila. n- ukupan broj koturova

CD -w· : '

Na nepomicnom koturu sila je jednaka tezini tereta.

F = !:!.._ n

l

Gl. ' --....../ . II -;

U ovom slucaju, sila kojom vucemo je 2 puta manja od tezine tereta.

TF

Slika 6.5. Dvokraka poluga

i

/.----:-·--,"

G=m·g

F · 2r = G ·r

r--~--:;t--~---~

../..L.L.//

Nepomicni kotur je poseban oblik dvokrake poluge jednakih krakova. Kotur se obrce oko osovine smjestene u viljusci koja sluzi za vjesanje kotura. Kotur ima zlijeb u koji se nabacuje liZe. Pomocu kotura se moze npr. sa zemlje podizati teret navise, sto znatno olakSava rad. Napadne tocke sile i tereta su na kr~evima promjera kotura, a oslonac je u njegovom sredistu. Ovdje su kraci sile i tereta jednaki, pa je nepomicni kotur, zapravo, dvokraka polugajednakih krakova.

Slika 6.8. Pomicni kotur

Slika 6.4. Jednokraka poluga

T({

J/''

IMA=O

G

Dvokraka poluga je npr. poluga na vagi, klackalica, rucica na sisaljki za vodu itd. Na dvokrakoj poluzi jedna sila djeluje s jedne, a druga sila (teret) sa druge strane oslonca, pa zakrecu polugu u suprotnim smjerovima. Klijesta i skare su, zapravo, dvije dvostrane poluge sa zajednickim osloncem. Sila djeluje na rucicama, a otpoma sila na sjecivima. F- a=G-b

F; ·a+F2 ·b+F3 ·c l

..

.;.-

F,

>

F

Medu posebnim je slucajevima djelovanja dviju sila na tijelo kad na njega djeluju dvije sile · intenziteta, paralelnih pravaca, a suprotnog smjera. Ove sile ne mozemo zamijeniti jednom, mozemo ih sloziti u rezultantu. Zbog toga ni djelovanje ovih sila ne moze izazvati translacijsk\_~:>-·-.:!!· ,"-f. proizvodu intenziteta jedne sile i kraka sprega. M=F-d \;\"' ,// / <~ . . / F· ·' ~ Npr. vozac automobila preko svojih ruku djeluje spregom na volan vozila.

~--· -t-

~F. k

Ako je maksimalni moment ispod sile F2, njegov iznos je : Mmax=FA·b-FJ·(b-a) ili Mmax= Fs-(1-b)-FJ· (c-b)

Slika 6.2. Moment sprega

~-. \

1{·

LMA=O; F1· a+ Fz · b + F3 · c- Fs · 1= 0

Slika 6.1. Moment sile F- sila

A

1-

il

~ 0,\.:. . \

0'

lffi\1r : •;. (1)

.

.

.

0 ~,...

G

Slika 6.9. Koturaca 163

~ mr. Zeljko Stapic: FIZlKA 1

: FIZIKA 1

mr.

8. Djecak rnase 50 kg sjedi na klackalici uda1jen I ,5 m od oslonca. Na kojoj udaljenosti treba sjediti drugi djecak rnase 40 kg da bi klacka1ica hila u ravnotezi? G;·a=02·b, b=1,875m

0

Zadaci:

~F

1. ·-z.a odvrtanje navrtke koristi se k1juc duljine 20 em. Kolikom silom treba djelovati na kraju kljuca da bi moment sile iznosio IONm? F=SON M=F·I,

I

\

3. Na volan polumjera 20 em djeluje par sila (sprega) jaCine po 4 N. 1zracunaj moment sprega si1a.

· · ,··- ...... .. / /i-iF""

...

G · r=F ·I,

4. Greda du1jine 4m i mase 20 kg uklijestena je na jednom kraju u vertikalni zid. lzracunaj moment u tocki ukljestenja. Teziste je na polovini grede.

I

M=G · z=m · g ··

zI

=392,4 Nm

F-a~G-%

,

Fmin

a

T

'<.,

r-'a/2

/

A

/---,;--

/

/

r :,.

...

,---,

0

.··········· ·····

o:-t_\~1:_71:,-_

b

' 1 :

···--·····--·"''-·>

G · I; = F · 12, 1; = 1- [z G-1-G·[z=F·lz

G · 1= [z · (F + G) ,

-~,0,71m

[z- m+m,

F

//1

7. Drveni stup visok 5 m vezanje uzetom za vrh. S uda1jenosti 12 m od podnozja stupa vucemo uze silom od 0,5 kN. Izracunaj moment kojim dje1ujemo na drveni stup. d2 = + h2 , d = 13 m l cosa = -= 0,923 ~ a"' 22,5° d

e

__/_. . ./

y-

__,--

/

I

//'/\'"/

\,

1 /

/./

."/.

,\;::-'1:

I

\~~

/_-.- ..·.·7

A

MA = F · h ·cos a= 2307,7 Nm

164

I I. Kocka stranice 50 em napravljena od drveta gustoce 0,7 kg/dm 3 naslonjena je na zid pod kutom 30°. Kolikom je silom potrebno djelovati na rub kocke pa da kocka ne pritiska vertikalni zid i kolikom silom tada kocka djeluje na horizontalnu ravninu? Buduci da se radi o kocki p = 45°, a = 30 " F 1• 11 =G ·l2 11 =a ·sin a= 0,25 m

lz = d . COS (a +(3)=

2

)'•.•

tt Im

I:;

a / / / \ · · ••,_ ····--....

I ./ \ ·-----+ Al( o\t' - _i(j rI '•---~-----y(~\ ,~/ d

a.

a·Fl o -·cOS 75 =0,09lm

.

-

2 G = m · g = p · V · g = p · a3 · g = 858,4 N F =312,4 N Ukupna silaje: Fu = G + F = 1170,8 N

.

/~><~{

i

I /'--·.,<'·----> . ll:

It

12. Izracunaj reakcije oslonaca i maksimalni moment nosaca prikazanog na slici.

h

\a, \

-~~'\;

~ ........ ~"""a.- ~-

·'///

">TG ~~a.l

F= 18,8N

• 04m

= 98,1 N /

6. Covjek dize teret 100 kg pomocu poluge duljine 1,2 rn. Na kojem se mjestu na po1uzi treba na1aziti os1onac da bi covjek mase 70 kg nalegnuvsi na drugi kraj po1uge mogao podici ovaj teret?

f

m 1 = 140 kg

Moment sile u tocki A mora biti veCi (jednak) od momenta tezine.

'

f

/

a

F

~

, / ....

i\

10. Ako covjek moze ddati u rukarna najvise 40 kg, koliki teret moze nositi u kolicima prikazanim na slici. G 1 • 0,4 = F · (I + 0,4) m 1 • g · 0,4 = m · g · I ,4

5. Izracunaj najmanju horizontalnu si1u kojom rnozerno prevrnuti kocku rnase 20 kg.

~• t\o · .

(Za vodu vrijedi daje 1 litra = 1 kg)

M = F · d = 1,6 Nm

d =2 r,

~~ ~

.

pri izvlacenju vode kojom rnorarno dje1ovati na rucicu.

/ _____..
b

~-J

9. Iz bunara se izvlaci 8 I vode pomocu vrati1a polumjera 12 em i duljine rucice 50 em. lzracunaj potrebnu silu

Tt/. . . "

2. Sila od I kN cini moment od 500 Nm. 1zracunaj duljinu kraka sile. I =0,5m

0 --·

=

.

A.

L fy 0 , FA-F;-F2-FJ+Fs=O FA=F;+F2+F3-Fs

7

"'

''.

t·'·//

FA c. ~

i

!

F1 =5kN

Ft=2kN

.

I 2m --o:.¥. 'I'

I 4m

.. .,_!___

~-

+F1 = 1 kN , B 1

3m

':':

<.-:~~·F~/:·

-~:

2: MA =0; F;-2+F2·6+FJ·9-F 8 -IO=O, Fo=4,3kN, FA=3,7kN Sa slike se vidi daje maksimalni moment ispod sile F2• On mora bitijednak s lijeve i desne strane. Lijeva strana: Mmax = FA·6-F 1·4 = 14,2 kNm, desna strana: Mmax = Fs-4-FJ-3 = 14,2 kNm 165

fl!!': FIZIKA I

mr.

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I !5. Izracunaj reakcije oslonaca (kao na slici), ako je zadano: G = I 0 N, a = 30°.

T 13. lzracunaj reakcije oslonaca i maksimalni moment nosaca prikazanog na slici. Fl=5kN, a1 = 60°

~

Reakcije oslonaca FA i Fa i tezina grede G moraju se sjeci ujednoj tocki (0).

F 2 =2kN, a 2 = 45°

2m

Kako je oslonac 8 pokretan, reakcija Fa je vertikalna. Prvo se kose sile razloze na komponente pravcu x i y osi: F2x = F2 ·cos a 2 = I ,41 kN F2y =F2·sina2= 1,41 kN

F1x =' F1 ·COS a1 = 2,5 kN F1y =' F1 ·sin a 1= 4,33 kN

0~

LMA=O; I G·-·cosa-F8 ·I =0 2 Fs= 4,33 N Fsx = Fs · sina = 2,165 N Fsy = Fs · cosa = 3,75 N

/ ~I

lcm

FA=6,6N FB= 4,4N

-~\

FA

I

j

A

---+--~~~ G

LX=O; FAx= Fsx = 2,165 N

LY=O;

LY=O; FAy-F1y-F2y+Fs=O FAy= FlY +F2y -Fs FAy=2,877 kN

LMA=O; F IY · 3 + F2y · 5- Fs · 7 = 0 FA=

~FAx 2 +FA/= 3,076 kN

Fs=2,863 kN

Kut pod kojim djeluje reakcija FA dobiva se iz relacije:

tg a= FAx = 0,3789

FAy

FAy = G - F By = 6,25 N

FA = ~F}.. + F~y = 6,6 N ,

~a

FN"' 17 N -

h

~ •

FA

Da bi sustav bio u ravnotezi sve tri sile moraju se sjeci u jednoj tocki (0). . I L MA =0; G · 1- Fe · sma · - = 0 Fe = 2 I L Ms =0; Fey · - FAy· I= 0 , FAy=

2

Fex=FAx=103,9N,

__ .. ..--········

.f;{/L/

0

.';,,:;;;:jjj!["'..c~Fc 30 '

~t~···· F.ov

2-G

- . - = 120 N

sma

~

FAy

fJ"' 19°

"'20,7°

l

14. 0 gredu AB = I du\jine 4 m objesen je teret G = 30 N, kao na slici. Sredina grede vezana je l!Zetom pod kutom 30° za oslonac D. lzracunaj si!u u uzetu i reakciju u osloncu A.

F

tgfJ=~

16. lzracunaj silu FN kojom kugle polumjera r 1 i r2 djeluju jedna na drugu na mjestu medusobnog dodira. Zadani su sljedeci podaci: m1 = 1 kg, m 2 = 3 kg, a= 60°, ~ = 30°

Lijeva strana: Mmax =FAY· 3 = 8,63 kNm Desna strana: Mmax = Fs · 4- F2y · 2 = 8,63 kNm

]()()

GrefiCki: Ur= 11!_

G

LX=O; FAX=-1,09kN

LX=O;

I

;:\\ I ,\~ I

...: Fcx

.8

a'

D

-,$.

17. Valjak mase m = 100 kg i polumjera r =50 em treba prevuci preko ivicnjaka visokog h = 10 em horizontalnom silom koja djeluje na kraju konopca omotanog oko valjka. Izracunaj najmanju vrijednost ove sile. F

F = 327 N

????fff{{fff.i@~S

z:

y

h ~

30 N

FA=~F}..+F~y=108N,

tgfJ=FA, FAx

~fJzl6°

167

~

~! :: ' I

" !


Rotacija krutog tijela

:"_t

.;,_


Podsjetimo se da kod translacijskog gibanja sve tocke tijela koje se gibaju imaju jednake brzine i da su im promjene brzina jednake, a putanje podudame linije. Zbog toga se takvo gibanje u kinematici moglo dovoljno okarakterizirati promatranjem samo jedne tocke tijela. Postoje i medutim gibanja koja nemaju ta svojstva, a jedno od njih je kruzno iii rotacijsko gibanje. KruZno gibanje krutog tijela iii rotacija je takvo gibanje pri kojem sve tocke tijela opisuju koncentricne kruZnice u paralelnim ravninama. Centri kruZnice Ide na pravcu koji se naziva os rotacije. Kod cvrstog tijela razmak medu tockama je nepromijenjen. Polozaj materijalne tocke A krutog tijela odredenje radijus-vektorom ; koji ldi u ravnini okomitoj na os. Kut koji opise radijus-vektor ; ~t je ~
za vrijeme

Tezisni momenti tromosti nekih tijela: Disk, puni valjak

t:e

Tanki suplji valjak (prsten)

Tanki stap

ct

lo=m

C:::P

Kugla

___r_. ~

Moment tromosti krutog tijela u odnosu na os rotacije: Podijelimo tijelo na konacno rnnogo djelica tako da ih mozemo smatrati materijalnim tockama. Njihove mase oznaCimo sa ~m" ~m 2 , .. . ,~m. i okomite udaljenosti od osi r~, r2, ••• ,r•. Zbrojimo posebno momente tromosti:

Io= m·/2 12

2 5

Io=-mr

Tanka suplja kugla

Moment tromosti (inercije) Masa je mjera tromosti kod translacijskog gibanja. Kod kruZnog gibanja treba uzeti u obzir mase u odnosu na os obrtanja. Zbog toga se uvodi jos jedna flzikalna velicina, a to je tromosti. Moment tromosti je velicina koja karakterizira raspored masa oko osi rotacije. To je mjera protivljenja tijela promjeni njegove kutne brzine obrtanja oko te osi. Moment tromosti je m ekvivalent masi. Vrijednost momenta tromosti zavisi i od toga kako je masa rasporedena s obzirom na os. Moment tromosti materijalne tocke mase m koja se nalazi na okomitoj udaljenosti rod osi obrtanja je: co Slika 6.11. Moment tromosti l=m·r2 [kgm 2 ] materiialne tocke

Io= m·rz 2

Tanki stap (os rotacije na kraju stapa)

2 3

CB

Io=-mr

I

~

lo = m .[2 3

Steinerov obrazac odnosi se na momente tromosti tijela za paralelne osi. I= 10 + m·d

2

I - moment tromosti u odnosu na bilo koju os 0 kojaje paralelna tezisnoj osi 0 0 lo- tdisni moment tromosti d - udaljenost paralelnih osi m - masa tijela

o!!

~ :

I= ~m 1 r? + ~m 2 rl + ... + ~m.r/

!

" I = " ~m. ·r2

[

L., j.,l

'

'

Moment tromosti zavisi od raspodjele mase tijela u odnosu na os rotacije i o polozaju osi rotacije. Kod geometrijski nepravilnih tijela moment tromosti odreduje se eksperimentalno.

Sl\ka 6.13. Moment tromosti tiiela u odnosu na os 0 \

Stika 6.12. Moment tromosti krutog tijela 168

169

rr


!;


Analogije izmedu pravocrtnog gibanja i rotacije

Moment impulsa- kutna kolicina gibanja Kutna kolicina gibanja pri rotacijije ekvivalent lineamoj kolicini gibanja pri translaeiji (p = m·v). Moment impulsa moguce je definirati opcenito, bez obzira na obrtno gibanje. Moment impulsa je

p, a smjer je

vektor okomit na ravninu koju cine vektori ; i

~

odreden "pravilom desnog vijka", pa se moze pisati:

-L=rxp --

q .

Za materijalnu tocku koja se giba po kruzniei vrijedi: L = m·v·r, ( v = r·ro)

f

..............

Ako tijelo rotira konstantnom kutnom brzinom ro oko nepomicne osi, moment impulsa moze se odrediti na

,\ijodtti Mtin'
f

r~,

L=m,-v,-r,+m2-v2-r2+ ... +mn·Vn·rn L = m, ·r?- ro + mz ·rl- ro + ... + m. -r. 2 • ro L = ( m: -r, 2 + mz ·r22 + ... + mn ·rn2 ) · ro

Jednako promjenljivo gibanje

---,, '\

'~

vi ' v 2

q

r,

\.

-m_l___)m2

r2 ',,

L=I·ro

i=l

[kg: 1

~ ~;~.L ., ' :i¥.>L

;.;f:F· }':~·;

Osnovna jednadzba dinamike obrtnog gibanja Moment sile ima istu ulogu kao i sila kod linearnog gibanja. M=I·a [Nm], M-momentsile, M=F·r,

a - kutno ubrzanje

Zakon tromosti za obrtno gibanje: ako je moment vanjskih sila jednak nuli, tada je i kutno ubrzanje tijela jednako nuli, pa se tijelo obrce konstantnom kutnom brzinom. Znaci, kada je moment vanjskih sila jednak nuli (M = 0), moment impulsa je konstanta gibanja (L = eonst.). To je zakon odr:Zanja momenta impulsa.

Kin£'ticka energija pri obrtnom gibanju je

Ek =

1

I

2

Moment tromosti Moment impulsa Momentsile Jednoliko gibanje

I

~- V 0 = 2·a-s

Jednako p:omj_enljivo g1banJe

F = l1p , F = m·a M Veze oravoertnih i kutnih velicina v=r·ro,

v2

an =-=r·m 2 , r

L=I·ro M =ro-t ro= roo+ a-t rp =OJ" ·t+ a ·12 2 2 =2·a·rp

m-m; M M=-

M'

M=I-a

a, =r·a

0

Zadaei:

1. Valjak mase 20 kg poluriljera 16 em rotira stalnom kutnom brzinom 60 rad/s. Izracunaj moment trenja u lezistima ako zaustavljanje traje 10 s. a= 11rol!1t = 6 radls2 , I= m ~/2 = 0,256 kgm2 , M =I· a= 1,536 Nm Moment ujednom lezistuje: M 11,= M/2 = 0,768 Nm

2 1

fm,- r

2

Znaci, moment impulsa je

s = V 0 -t +~

s = r-
I

Kutno ubrzanje

~-----::----:----' ~---j2

Osnovni zakoni dinamike

,' ;,/, : ' ,/ ro

---------------' Slika 6.15. Moment impulsa tijela

Izraz u zagradi predstavlja moment tromosti tijela: I=

12

~f

'

',' '

tocaka.

11t m =m·v F s =v-t v =vo+ a·t

------- ............

/_, ,/

tocaka) Cije su mase m~, m 2, ... , mn. Njihove udaljenosti od : osi obrtanja oznacimo sa r2, ... , r., a njihove obodne i brzinc sa v 1, v2,... , vn. Buduci da pri obrtanju svi djelici \ imaju istu kutnu brzinu ro, ukupni moment impulsa tijela \ jednak je zbroju momenata impulsa njegovih materijalnih \

!1v

a=-

Mas a Impuls Sila Jednoliko gibanje

m•I

!1rp 1:!.1 11m a=1:!.1 OJ=

Kutna brzina

Brzina Ubrzanje

Slika 6.14. Moment impulsa materijalne tocke

L=m·~-ro

Kutnipomak

·a/ 2

Rad pri obrtnom gibanju ako je rezultirajuci moment vanjske sile konstantan: A= M .
[rad ]- kut za koji se obrne tijelo

2. Disk mase 10 kg polumjera 20 em giba se sa 600 °/min. Zbog sile trenja zaustavi se poslije 10 s. Izracunaj moment sile trenja. I= m ~/2 = 0,2 kg m2, a= 11rol!1t = 6,28 rad/s 2 , f= n/60 =10Hz, ro = 27tf= 62,8 rad/s M =I· a = 1,256 Nm 3. Za 8 s brzina rotora se poveca sa 60 °/min na 300 °/min. Masa rotoraje 50 kg, a moment tromosti rotoraje 5 kgm 2. Izracunaj moment sile kojije djelovao. f 1 = n,/60 = I Hz , fz = n2/60 = 50 Hz , ro, = 27tf1 = 6,28 rad/s, roz = 31,4 rad/s, a= !:1ro/11t = 3,14 rad/s2 M =I· a= 15,7 Nm 4. Koliko je obrtaja napravio zamailnjak ako za 5 sekundi ubrza sa 120 °/min na 600 °/min? f 1 = n/60 =2Hz, f2 = nz/60 =10Hz ro 1= 27tf1=12,56 rad/s, roz = 62,8 rad /s a= !1roll1t =I 0 rad/s2 ,

Snaga pri obrtnom gibanju ako je rezultirajuci moment vanjske sile konstantan, pa se rad vrsi ravnomjerno.

P=~=M·rp, t

t

P=M·ro

[w]

5. Promjer kotaca nekog stroja je I m, a moment tromosti 500 kgm2 . Na periferiji kotaca, u praveu tangente, djeluje stalna sila od 400 N. Izracunaj kutno ubrzanje kotaca. M=F·r,

M= I·a ,

F·r= I ·a ,

a = 0,4 rad/s

2

171 170

t':! ' If:: ~



6. Osovina mase 4 kg i promjera 3 em poveca svoju kutnu brzinu za 6 rad/s za 2 s. potreban moment sile. a= b.wll'>.t = 3 rad/s2, M = 1 · a, I= m · r2/2 = 0,00045 kgm2 , 7. Na homogenu kuglu polumjera 20 em djeluje moment sile od 0.5 Nm, poslije cega kugla ubrzanje 6,28 rad/s 2• Izracunaj masu kugle. I= 0.0796 kgm2 , I = 2/5 m~, M = I · a, 8. Za 4 sekunde rotor poveca brzinu sa 0,5 °/sek na 120 °/min uz djelovanje stalnog momenta od Nm. Izracunaj moment tromosti rotora. a= b.w/b.t = 2,355 rad/s 2 f 1 = 0,5 Hz, f 2 =2Hz, w:= 2nf: = 3,14 rad/s, w2 = 21tfz= 12,56 rad/s 9. Klizac na ledu obrce se oko svoje osi rasirenim rukama kutnom brzinom 3 rad/s. Ako klizac ruke i pritom muse moment tromosti smanji 2,5 puta, kolika ce biti nova kutna brzina? L: = Lz , 12 = 1:/2,5, I 1 • w1 = h · wz, w2 = 7,5 rad/s 10. Na disk mase 1 kg polumjera 16 em djeluje tangencijalna sila od I N. Odredi: a) moment sile, b) moment tromosti diska, c) kutno ubrzanje, d) kutnu brzinu poslije 3 s od pocetka obrtanja. a) M = F · r = 0,16 Nm, b) I= m · r/2 = 0,0128 c) a= M/I = 12,5 rad/s 2, d) w0 = 0, w =a· t = 37,5 11. Kotac je zarotiran do brzine 50 rad/s. Za 6 s brzina kotaca se smanj i na 20 rad/s. potreban moment kocenja i broj obrtaja za to vrijeme, ako je moment tromosti kotaca 4 kgm 2• a= b.wlb.t = 5 rad/s 2 , M =I· a= 20 Nm, 2

M=I·a,

I= 5 kg m 2 ,

I=m·r2

m=20 kg

,

13. Kotac momenta tromosti 2 kgm2 daje, zbog rotacije, stalni moment sile 20 Nm. Izracunaj potrebno vrijeme da se iz mirovanja postigne 600 °/min.

16. Preko valjka cilindricnog oblika mase 5 kg i polumjera 20 em prebaceno je lagano uie na cijim krajevima su objesena dva tega m: = 4 kg i mz = 2 kg. Za koje vrijeme ce tegovi prijeci po 2 m, ako se zanemari trenje izmedu u.Zeta i valjka?

b.t

= (w- W )1a = 6,28 s 0

14. lzracunaj moment tromosti pune kugle polumjera 10 em obzirom na njenu sredisnju os. Gustoca kugleje 7,8 kg/dm3 . I= 2/5 mr, m = p · V = p · 4/3 r3n: = 32,656 kg, I= 0,131 kgm 2 15. Na kotac djeluje 10 s stalni moment od 16 Nm. Za to vrijeme iz mirovanja kotac poveca broj, obrtaja na 90 °/min. Uslijed sile trenja zaustavi se poslije l minute. Izracunaj moment tromosti ··. kotaca, moment sile kocenja i broj obrtaja do zaustavljanja. Ubrzanje a= b.w!M: = 0,942 rad/s 2 , w = 2n:f= 9,42 rad/s, M =I· a, I= 16,985 kgm 2 2 Usporenje ak= b.wlb.t 2 = 0,157 rad/s , Mk = 1 · ak = 2,667 Nm

...;..

G, h

17. Preko kotura mase 1 kg prebaceno je tanko i neistegljivo uie za cije krajeve su vezana dva tega masa m 1= 0,5 kg i m2= 0,3 kg. Izracunaj ubrzanje tegova i sile u u.Zetima. Trenje zanemari. G 1 - F:. 1- I· air- F:n2- Gz = 0

Fk r= I· a ---:'>(\

g (m: - mz) =a (m: + mk/2 + mz)

a .

Fk= mk · a/2

l

a= 1,51 m!s 2

1 -).

va

-·-7

Fu =3,395 N

fia~

18. Oko valjka mase M = 20 kg polurnjera 20 em namotano je uze na cijem kraju visi teg m = 2 kg. Tijekom padanja tega valjak se obrce zbog odmotavanja u.Zeta. a) Izracunaj ubrzanje tega. b) Poslije koliko vremena ce prijeci 3m? c) Kolika ce biti brzina tega poslije 1 s? d) Ako se poslije N =10 obrtaja u.Ze otkine, kako ce se dalje gibati valjak, a kako teg? Trenje zanemari. a) a = 1,635 mls 2

f= n/60 = IO Hz, w = 2n:f= 62,8 rad/s, M =I· a, a= 10 rad , a= b.w/l'>.t,

r~:,

Dinamicka jednadzba ravnoteze glasi: G:- F:n:- I· air- F:n2- Gz = 0 , Fv · r =I· a G:- Gz= F:n: + mv · a/2 + F:n2 Fv= I· air g (m:- mz) =a (m: + m)2 + m2) a= air= 11,55 rad/s 2 a = 2,31 rnls 2 h =a r/2 ~ t = 1,3 s

b) h=a·t2/2, t=1,92s

c) v = 1,635 rnls

19. Na valjak mase 5 kg namotan je konac na Cijem kraju visi teg mase 1 kg. Izracunaj vrijeme za koje ce teg prijeci 2 m.

t"' 1,2 s 20. S kolikim ubrzanjem se giba sustav prikazan na slici, ako su dani podaci: m:= 1kg, m2 = 2 kg, masa kotura mk= 1 kg, koeficijent trenja Jl = 0,15. F~r=G 2 · Jl= 1,943 N G: - F,, =a (m: + mk/2 + mz) a= 1,96 mls 2

0

tp i

vo,

I

1

IC).I

-~

~tf., ~y G:

173

r: [r, <



=57 ·10"7 kg m 2 , 12 =48 gcm 2 31. Na zama5njak djeluje stalan moment sprega 10 kNm. IzraCunaj kutnu brzinu koju dostiZe zamasnjak kroz 5 s, ako je poceo obrta!lje iz mira. I= 104 kg m2 ro= 5 rad/s l1

21. lzracunaj moment tromosti i moment koliCine gibanja Zemlje u odnosu na os rotacije. Masa Zemlje je 6· I 024 kg, a polumjer R = 6370 km.

33

kgnl

I"" 97,4·1036 kglm 2 , L ""7·10 _s_

32. Kotac promjera 80 em ima moment tromosti 200 kgm2• Izracunaj kutno ubrzanje ovog kotaca ako na njegovu periferiju djeluje stalna tangencijalna sila 250 N. a= 0,5 rad/s 2

22. Zamasnjak momenta tromosti 82 kgm2 obrce se konstantnom kutnom brzinom 35 rad/s. lzracunaj koccci moment pod djelovanjem kojega ce se zama5njak zaustaviti poslije 15 s. M=191,3 Nm 23. Cetiri cestice nalaze se u jednoj ravnini. Njihove 0 mase su: m 1 = 2 g, m2 = 3g, m3 = 4g, ffi4 = 5g. C:estice su medusobno povezane krutim stapovima zanemarivih masa. lzracunaj moment tro-

33. Kotac momenta tromosti 100 kgm2 giba se iz mira i dostize kutnu brzinu 15 rad/s, pod djelovanjem stalnog momenta 20 Nm. Poslije koliko vremena kotac dostiZe navedenu brzinu i koliki ukupan broj obrtaja (N) izvrSi do tog trenutka? t = 75 s , N = 89,6 obrtaja

/4 c

T 114

d

34. Osovina motora automobila rotira sa 3600 °/min i prenosi na tockove snagu motora. Izracunaj moment sile na osovini ako snaga motora iznosi 60 kW. Trenje zanemari. M"" 159Nm

mosti: a) u odnosu na os koja prolazi kroz tocku A, m, a=4cm ~B A okomito na ravninu crtefa, b) u odnosu na os AB, c) u odnosu na os AD AB = 4 em, BC = 3 em a) I= 19,3 · 10·3 kgm 2 , b) I= 8, 1· 10"3 kgm 2, c) I= 11,2 ·10-3 kgm2

35. Da bi materijalna tocka mase 30 g kruZila jednako ubrzano ubrzanjem 5 rad/s2 po kruZni.ei polur!ljera 90 em, na nju treba djelovati izvjesnom tangeneijalnom silom. Kolikaje ta sila? F=135mN

24. Na kotac polumjera 0,6 m djeluje tangeneijalna sila 200 N. Izracunaj moment tromosti kotaca ako je kutno ubrzanje 3 rad/s

2

36. Odredi kineticku energiju Zemlje pri rotaciji oko svoje osi. 5 28 ro= 7, 3 · 10" rad/s, Ek "" 25,9 · 10 J

2

I =40 kg m

37. Koliku kineticku energiju ima kotac poslije 12 s nakon sto je na njega djelovao moment sile 160 Nm i prisilio ga najednakoubrzano obrtno gibanje sa 4 rad/s 2• U pocetnom trenutku kotac je mirovao. Ek""46kJ

25. Stalna tangencijalna sila 10 N djeluje na rub kotaca polumjera 20 em. Izracunaj rad koji treba izvrsiti da bi se kotac obmuo za kut 60° ~.

j _:

A=2,09J

26. Koliki je moment kolicine gibanja homogene Jopte, mase 20 kg, polumjera 10 em, koja se kotrlja brzinom 0,22 m/s?

L=0,18 Nms

27. Zama5njak, Ciji je moment tromosti 10,5 kgm2 rotira stalnom kutnom brzinom. ro 1 = 2 rad/s i tijekom kocenja u 1s njegova brzina se smanji na ro 2 = 0,5 rad/s. Kolika je promjena momenta kolicine gibanja i moment ?

1:!. L = 15,75 Nms, M = 15,75 Nm

28. Platforma mase m = 80 kg rotira stalnom kutnom brzinom ro 1 = 0,2 rad/s. Za to vrijeme na 1 platformi se nalazi covjek mase m = 70 kg, koji u jednom trenutku skoei s platforme. Kolika ce biti brzina platforme poslije iskakanja covjeka? Platformu smatraj diskom. roz = 0, 375 rad/s

38. Na kraju tankog stapa duljine I= 80 em djelujemo silom 15 N tako da on rotira u horizontalnoj ravnini oko vertikalne osi koja prolazi kroz njihovo srediste. Ako stap napravi N = 5 obrtaja, koliki je izvrseni rad? A=188,4J 39. Dva gumena diska sa hrapavim povrsinama rotiraju oko zajednicke osi koja prolazi kroz njihovo srediste, pri cemu su njihove ravni paralelne. Prvi disk ima 11 = 3 kgm2 i m 1 = I 0 rad/s, a drugi h = 6 kgm2 i ro 2 = 6 rad/s. Odredi kutnu brzinu ova dva diska pri padu gornjeg i njegovom spajanju s donjim diskom. ro = 7,3 rad/s

29. Balerina pri izvodenju piruete moze smanjiti svoj moment tromosti za 40%. Koliko time povecava kutnu brzinu?

66%

lg, 30. U jednoj ravnini nalazi se sustav od tri cestiee masa: m = 2g, m 3 = 3g. One su medusobno povezane krutim 2 stapovima zanemarivih masa. Izracunaj moment tromosti ovog m1 =

sustava cestiea: a) za os koja prolazi kroz tocku C, okomito na ravninu slike b) za os koja se poklapa sa stapom AB 174

A

40. Moment tromosti rotora iznosi 92 kgm2• Izracunaj snagu kojom treba djelovati na rotor da bi se gibao kutnim ubrzanjem 3,2 rad/s2 ako muje polumjer 2,2 m i obodna brzina 15,48 m/s. P=2072,3 W

m,

175



T

50. Sustav od tri kuglice rotira sa 120 o/min. Mase kugliee su: m 1 = l g, m2 = 2 g, m3 = 3 g , a

41. Na rubu diska polumjera 0,5 m djeluje stalna tangencijalna sila 80 N. Izracunaj moment sile trenja koji djeluje na disk pri obrtanju ako je te:lina diska 49 N i ako se obrce konstantnim kutnim ubrzanjem 4 rad/s 2.

42. Homogena kugla mase 3 kg kotrlja se po horizontalnoj ravnini brzinom 36 km/h. Izracunaj energiju lopte. Trenje zanemari. EuK = 210 43. Motor radi s 2000 °/min. Od momenta iskljucenja struje pa do potpunog zaustavljanja motora prode l minuta. Izracunaj srednju vrijednost sile trenja u lezistima ako je polumjer osovine motora 1 em. Moment tromosti obrtnog dijela motora s osovinom iznosi 0,1kg m2 •

I= 138 kgm 2

a) Erot =0, 137 J,

b) Erot =5, 68 m J

1

l1 = -mr 2 , 2 ~I I

M

(J)

I I

v,

53. Oko horizontalnog valjka mase M = 12 kg i promjera d =20 em obavijeno je uZe 0 cijem kraju slobodno visi teg mase m = 5 kg na visini H = 4 m od zemlje. Pri spustanju tega valjak se obrce. Odredi: a) brzinu kojom ce teg pasti na zemlju, b) kineticku energiju cijelog sustava u trenutku udara o zemlju.

m

= 66 rad/s

47. Na rub diska polumjera 50 em i momenta tromosti 50 kgm2 djeluje stalna tangencijalna sila 25 N. Koliku ce kutnu brzinu imati disk: a) poslije 15 s, b) posto napravi N = 10 obrta. Disk je poceo obrtanje iz mirovanja. a) (U • = 3,75 rad/s, b) (U b = 5,6 rad/s 48. Izracunaj kineticku energiju homogenog valjka polumjera 10 em, duljine 50 em i gustoce 2,7 g/em3 , ako se kotrlja po horizontalnoj povrsini brzinom 7,2 km/h. EuK = 169,56 J 49. Metalni disk ima debljinu 2 mm i polumjer 20 em. U disku je napravljen supalj kruzni izrez polumjera 10 em. Koliki je moment tromosti takvog diska u odnosu na os koja je okomita na ravninu diska, a prolazi kroz njegov centar? Gustoca metalaje 7,85 g/em3

m,

52. Dva valjka jednakih polumjera i istih masa, jedan pun, a drugi supalj spu5taju se niz istu strmu ravninu prelazeci iste putove. U kom odnosu stoje brzine v 1 i v 2 pri napu5tanju strne ravnine?

45. Pun homogen valjak mase 500 kg i polumjera 0,5 m odgurnut je brzinom 3 rn/s i pusten da se kotrlja bez klizanja po horizontalnoj ravnini. Koliki ce put valjak prijeci do zaustavljanja, ako je sila trenja 100 N? s=33,75m

(U

r,

51. Pravilan cilindricni disk polumjera 60 em i mase 3 kg rotira oko vertikalne osi kroz centar sa 1200 °/min. Pri kocenju disk se obrce jednakousporeno i zaustavi se kroz 50s. Odredi: a) kutno usporenje diska, b) broj obrtaja koje ucini disk od pocetka kocenja do zaustavljanja, c) rad koji izvrsi disk od pocetka kocenja do zaustavljanja. a) a= 2,51 rad/s 2, b) N "' 500 obrtaja, c) A "' 4260 J

44. Tijelo mase 50 kg pricvrsceno je za uze uvijeno oko osovine. Polumjer osovine je 20 em. Kad se pusti, tijelo pada i prijede 175 em za 5 s. Izracunaj moment tromosti osovine.

46. Vertikalni tanki drveni stap mase M = 500 g i duljine 0,5 m moze rotirati oko horizontalne osi. Kraj stapa pogodi metak mase m = 15 g koji je naisao okomito brzinom 200 rn/s. \ 1/2 Izracunaj pocetnu kutnu brzinu koju stap dobije ako se metak u I(J) njemu zadr2i. ~

udaljenosti od osi rotaeije su: r, = 40 em, r2 = 50, r3 = 60 em. Zatim se kugliee postave u tjemena istostranog trokuta straniee a = 60 em. lzracunaj ukupne energije rotacije ako osa prolazi kroz: a) tocku 0~, okomito na ravninu crte2a; b) kroz teziSte trokuta ( 0 2)

a) v = 6 m/s, b) Ek = 198 J

lz = m~,

VJ = 1,156 "V2

~~

(J)

"'~"'~"'"""'""~""""~""T<"<"<"<"'~

54. Kanta mase m = 2 kg spusta se sa vratila i padne na povrsinu vode za 3 s. Masa vratila je M = 8 kg i ima oblik punog drvenog valjka. Odredi visinu s koje kanta pada. H= 14,7 m 55. Pun homogen valjak mase m = 3 kg i polumjera r = 15 em vezan je za krajeve uzdufue osi pomocu konca koji je prebacen preko kotura. Na drugom kaju konea slobodno visi uteg mase m 1 = 1,5 kg. Posavsi iz mira uteg pada i vuce valjak koji se po horizontalnoj podlozi kotrlja bez klizanja. Izracunaj kutnu brzinu koju dobije valjak ako se uteg spusti za visinu h = 2, 2 m. (U = 21, 9 rad/s

~

~~

(J)

=:l~L

1"'3,2 · 10·2 kg m 2

176

177

r

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 56. Mala metalna kuglica mase m = 100 g obrce se u horizontalnoj ravnini san,= 50 o/min. Kuglica je vezana zajedan kraj konca duljine I= 1 m. Pri obrtanju kugle konac se skrati za 70%. Odredi: a) broj obrtaja kuglice poslije skracenja konca i kutnu brzinu, b) promjenu kineticke energije kuglice. a) Rz = 555°/min' (l} 2 =58 radls, b)!!. Ek = 13,8 J 57. Niz krov pod kutom 30° kotrlja se kugla mase 2 kg i polumjera I 0 em. Polazeci iz mirovanja kugla prijede po krovu s = 2,8 m i napusta krov na visini H = 9 m iznad zemlje. Kolika je brzina kugle pri udaru o zemlju? Gubitke zanemari.

(J)

I

---.,.,.. -... ,

....

'B

\

\

I

~-Vo

"-'~ '

1

'\

~=~=~~~

'

v=l4mls~~-.

m "' 5, 43 rad/s

.~

~~~·

.

60. Horizontalni homogeni stap mase M = 450 g i duljine I = 0,5 m moze rotirati oko vertikalne osi koja prolazi kroz njegovo teziste. Kraj tog stapa pogodi metak mase m = 15 g koji je naisao okomito brzinom v 1 = 130 m/s, pa poslije sudara nastavio se gibati u istom smjeru brzinom Vz ·= 120 m/s. lzracunaj pocetnU kutnu brzinu koju stap dobije ako je sudar metka sa stapom idealno elastican.

m = 64, 5 rad/s

" ~r:~ ~

.

e.

62. Zamasnjak polumjera r = 25 em i mase M = 180 kg rotira sa 1800°/min oko svoje osi. Zamasnjak se koci silom 700 N koja djeluje na kraj kocniee B. Koefieijent trenja izmedu oboda zamasnjaka i papuce kocniee iznosi 0,333. Izracunaj koliko , ce obrta zamasnjak izvrsiti prije nego se zaustavi ~ od pocetka kocenja. mr 2

Iz

da bi se zaustavio; ako je sila koeenja 200 N? Koliko ce obrtaja napraviti od pocetka kocenja do zaustavljanja? A

GJ~~~\, 2

66. Djecak rasirenih ruku stoji na sredini kru:lne p1atforme, dr:li tegove u rukama i obrce se s periodom 3,14 s. Ukupan moment tromosti djecaka s tegovimaje 3 kgm2 • Izracunaj kutnu brzinu platforme ako spusti ruke, pri cemu se moment tromosti smanji na 1,5 kgm2 O>z = 4 rad/s

67. Osovina sa sipkom ima moment tromosti 3-10-3 kgm2 • Dva tega mas a po I 00 g nalaze se na udaljenosti 10 em od osi rotacije (kao na sliei). Sustav se obrce sta1nom kutnom brzinom 3 rad/s. Izracunaj kutnu brzinu bez tegova. o>.z =5 rad/s

~~:.~

61. Drveni blok mase M = 2,27 kg lezi na horizontalnoj ravnini i spojen je sa osi 0 pomocu horizontalne sipke duljine 0 I= 61 em. U teziste bloka uspravno na ravninu erte:la, ispali se metak mase m = 28,4 g brzinom 610 m/s. Izracunaj broj obrtaja N koji ce blok izvrsiti prije nego se zaustavi uslijed trenja. Koefieijent trenja i podloge je 0,25. Moment tromosti Pretpostavi da metak ostaje u bloku. bloka I= M· N = 3 obrtaja

]

a.-fF,

64. Valjak polumjera 50 em, mase 150 kg rotira kutnom brzinom 18 rad/s. Koje vrijeme je potrebno

a = 1,246 mls

~

::-:

F,~T

~=G+~=,~N

65. Koliea mase m 2 = 1 kg i valjak mase m 1 = 0,5 kg po1umjera r = 4 em povezani su tako da se valjak more kotrljati po podlozi. Oko valjka je namotana nit koja je prebacena preko kotura, a na kraju niti objesen teg mase m 3 = 0,2 kg. koji bez trenja klizi po bocnoj straniei koliea. S kolikim ubrzanjem se giba sustav?

59. Tanak homogeni stap duljine I = I m stoji vertikalno na podlozi za koju je zglobno vezan u tocki A. Ako se stap pusti da padne, kojom ce kutnom brzinom udariti o podlogu?

~>~

tR, ft1ii

t = 3,37 s, N = 4,83 obrta

58. Niz strmu ravninu visine 0,5 m istovremeno krenu kugla i valjakjednakih masa i polumjera. ce tijelo prije stici u podnozje? Sve otpore zanemari. ro vk = 2,647 mls, Vv = 2,557 mls ;;----..._---.........

.~

·\

3

'' ,,

H

63. Tanak homogeni stap konstantnog presjeka ima masu 400 g i duljinu I = 0,5 m. Stap moze rotirati oko horizontalne osovine koja prolazi kroz jedan njegov kraj. u pocetku stap miruje, pod kutom 30° sa horizontalom. lzracunaj horizontalnu i vertikalnu komponentu sile reakeije kojom osovina djeluje na stap u trenutku kad stap prolazi kroz horizontalni polo:laj. Moment tromosti stapa U odnosu na danu OS je: I I= -mf

I

m

m

~(J)

~

I

i~:

68. Djecak mase 50 kg nalazi se na nepokretnoj platformi (koja se moze obrtati) mase 80 kg i polumjera 5 m. Djeeak pocne trcati oko osi rotacije na stalnom odstojanju 3m, brzinom 1,5 m/s u odnosu na platformu. Kolikom kutnom brzinom ce se okretati platforma? Platformu smatraj homogenim diskom, a djecaka materijalnom tockom. Olp

Q

=

0,155 rad/s

69. Djecak mase 40 kg konstantnom brzinom hoda po rubu kru:lne platforme cija je masa 20 kg. Za koji kut ce se platforma zakrenuti kad djecak obide jedan krug? Platformu smatraj homogenim diskom, a djecaka materijalnom tockom.

a

B

N = 121 obrtaj

= -

2 178

179

I'!' Ill

~1['



JL;

il:i

71. S""'v " ""toji od dv. lijda i kotma jodnakih

70. Sa koje najmanje visine treba pustiti kug1ieu (na s1iei) da se kotrlja da bi napravila petlju po1umjera R = 0,2 m? Trenje zanemari.

rnasa. Nagib strme ravnine je a= 45°. Izracunaj ubrzanje sustava i kineticku energiju tijela na strmoj ravnini poslije 1 sekunde gibanja, ako je njegova masa rn = I kg. Koefieijent trenja je isti za obje ravnine i iznosi 0, l.

B

:....:,i!•

h

h =54 em

71. Izracunaj vrijeme za koje ce tanki obruc prijeci niz strmu ravninu duljine 1,5 m, ako je visina strme ravnine 1m. t = 0,96 s

74. Stap mase m 1 = 0,5 kg i duljine 0,5 m objesen o osovinu A dovede se u horizontalan polo2aj (kao na slici) i pusti da slobodno pada. Pri tom udari tijelo rnase mz = 200 g koje se nalazi na podlozi. Koliki ce put prijeci tijelo poslije udara stapa, ako je koefieijent trenja tijela i podloge 0,2?

s = 1,15 m

&..~~ ~

Ap

,, :' ': ''

L\T = 1, 7 ·10-'9

T,

m, ~

:: // ,-----b ri i

I I

X

(x = 8,6 em)

H = 38,6 em

'II

hz

,-!-~

' I

''

:;

78. Na Zernlju neprestano pada kozmicka prasina tako da se njezina masa sta!no povecava. Mjerenje i proracuni su pokazali da je brzina povecanja rnase Zemlje (lun!L\t) = 1000 t/god. Kolikaje relativna promjena perioda rotaeije Zemlje tijekomjedne godine?

79. Preko kotura mase m1 prebacen je konae za cije krajeve su vezana dva tega mase rn 1 i rn2 = 2rn 1 (kao na slici). Teg rn2 podizerno tako da teg rn 1 dodime pod1ogu i otpustirno ga. Na koju visinu ce se podici teg rnase rn 1 pos1ije udara tega rnase m 2 o podlogu? Visina tega rnase m 2 bila je h2 = 30 ern.

cr

''

H

hz

'I

m1 ~

lm'·l: _____

80. Stap duljine I = 25 em rotira oko osi koja prolazi kroz kraj stapa. U pocetnorn trenutku on zaklapa kut q> sa vertikalorn. Kad prolazi kroz donji vertikalni polo:laj, brzina kraja stapa je 3 rnls. Izracunaj kut q>.

~~~~~

75. Tri lako pokretljiva kotura jednakih masa rn = 0,5 kg, polumjera R1 = 20 ern, R2 = 40 em, R3 = 13,3 em postavljeni su koaksijalno i cvrsto vezani. Preko kotura (kao na slici) omotan je neistezljiv savitljivi konopae zanemarive mase na Cijim su krajevima vezani tegovi mase m 1= 0,5 kg i mz = 1 kg. Izracunaj silu zatezanja u konopeima.

Ft = 7,4 N, F2 = 6,45 N

m

~~

a = 2,03 m/s 2, EK = 2,29 J

72. Stap duljine 1 m, postavljen vertikalno, pada na horizontalnu podlogu. Koliku linijsku brzinu ima pri udaru 0 podlogu: a) sredina stapa, b) gomji kraj stapa? a) v = 2,71 m/s, b) v = 5,42 73. Brzinom 1 m/s kotrlja se valjak po horizontalnoj podlozi koja se zavrsava kosinom od 20°. Koliki ce put prijeci valjak uz kosinu do zaustavljanja? Trenje zanemari. s=44,7 em

..l f-

R2

cp = 77°

'

Of

~~ r ~~:i

1r ~:

m,

/

/

'\)\ ;

oo

,:~:

76. Sustav na slici je osloboden stanja mirovanja, pri cernu je opruga krutosti 20 N/m bila napregnuta. Ako se zanernari trenje, odredi brzinu bloka mase m = 2 kg niz strmu ravninu poslije 1 rn prijedenog puta. Masa kotura je M = 11 kg, a polumjer R = 30 em. Nagib strme ravnine je a = 30°. v= 2,82 m/s

j:

4

~

180

181

.. r .

'

:

i



7. MEHANIKA FLUIDA Tlak

Kako objaiinjavamo ovo svojstvo fluida? Kohezivne sile izmedu molekula tekucina znatno su slabije nego kod cvrstih tijela Kod plinova su zanemarive. Zato su njihove molekule lako pomicne, te se djelovanje vanjske sile preko njih prenosi na sve strane. Kao i kod cvrstih tijela, tako i kod fluida vrijedi izraz za velicinu tlaka p

Svojstvo cvrstih tijela je njihov stalan oblik i volumen. Svojstvo tekucine je da lako mijenja oblik, a vaolumen veoma tesko. Zato se za tekuCine kaze da su nestisljive. Plinovi lako mijenjaju svoj oblik i volumcn i zauzimaju cijeli volumen posude u kojoj se nalaze. U plinovima se molekule krecu najbrie, jer su medumolekulami prostori najveci u odnosu na tekucine i cvrsta tijela. Fluid je zajednicki naziv za tekucine i plinove (gasove). Tekucine i plinovi pokazuju mnoga zajednicka svojstva, prije svega laku pokretljivost cestica. Na skijama se lako gibamo po mekom snijegu, a bez njih noge propadaju u snijeg. Ako naglo udarimo cekicem, tanjim cavlom mozemo probiti i malo deblji lim. Postavimo na sitni mokri pijesak ciglu u tri razlicita poloZaja (kao na slici p 1 > p 3 > p2 jer je: S 1 < S3 < S2 7 .I). Sto zakljucujemo iz ovih primjera? Slika 7.1. Tlak cvrstih tijela Tlak (p1itisak) je odnos sile i povrsine na koju ta sila djeluje.

=s

F , sto ima znacajnu primjenu u praksi da se malom silom

mogu proizvesti velike sile. Na Pascalovom zakonu zasniva se rad hidraulicne prese. To je posuda sa dva cilindra s pomicnim klipovima razlicitog presjeka S 1 i S2 napunjena vodom (iii uljem). Na manji klip povrsine S1 djeluje se silom F~, uslijed cega se on pomice nadolje. Proizvedeni tlak se prenosi kroz tekucinu na sve strane podjednako i djeluje na veci klip povriiine S2 koji se pomice navise nekom silom h Prema Pascalovoq~. zakonu, tlak ispod manjeg klipa (p 1) bit ce jednak tlaku ispod veceg klipa (p2). Znaci, koliko je puta veca povrsina S2 od S~, toliko je puta veea i sila Fz odF 1•

PI= P2

F;

= F2

S1

S2

Fl

jf sl

F2

s2

,... ...,. ....... ............... . ·~

......... .,.. ... ................. . ·--······

p=~[P.=;] Iz izraza se vidi da je tlak utoliko veci sto je jaca sila a manja povrsina na koju ona djeluje. Jedinica za tlakje pascaL To je tlak koji proizvodi sila od 1 N koja djeluje okomito na povrsinu od 1m2. U upotrebi j e i bar. 1 bar = 105 P •· Kroz cvrsta tijela tlak se prenosi samo u smjeru djelovanja sile. Navedimo dokaz: pri zakivanju cavla u drvo, ne osjecamo nikakvo djelovanje sile na prste kojima ga pridriavamo. Nekad je prakticno potrebno povecavati, a nekad smanjivati tlak pri odredenoj sili. Da bi se povecao tlak, pri manjoj sili, nozevi, igle i razna sjeCiva, alati za rezanje i probijanje treba da su ostri i siljati. Da bi se smanjio tlak zgrade na podlogu, temelji zgrade su siri od zidova. Teska vozila iz istih razloga imaju sire kotace iii gusjenice. Tlak u tekucinama i plinovima Hidromehanika je dio mehanike koji proucava pojave u tekucinama koje miruju iii se krecu. Aeromehanika proucava pojave u plinovima koji miruju iii se krecu. Ako gumenu loptu s rupicama jednakog promjera, u kojoj se nalazi voda, stisnemo - voda strca kroz sve rupice, a ne samo u pravcu djelovanja sile (slika 7.2.a). Za razliku od cvrstih tijela, djelovanje sile na povrsinu tekucine, tj. vanjski tlak prenosi se kroz tekuCinu na sve strane (u svim smje· \\ / ' ~C::JC::,.... ./ _. rovima). Isto vrijedi i za plinove. Ove pojave ispiti~./,£: \ --_p-vao je Pascal, pa se po njemu -:{~ !_~ zakon o prenosenju tlaka --7~- -{7-- --= kroz tekucine naziva .. ,,pP'~, Pascalov zakon, koji glasi: ,,,, ,. vanjski tlak prenosi se kroz fluide na sve strane poda) jednako. Pokus se maze c) izvesti kao na slikama 7.2.b i b) 7.2.c. Slika 7.2. Pascalov zakon o prenosenju tlaka kroz tekucine 182

.,,

..:: '""::::U-_:.;._~_~""*t7'

~

\\

·~~::;~·;~11:~;~:~::;·: ......... .... ............. ... ~-

...

Slika 7.3. Hidraulicna kocnica

""

............... - ...

~""

-...~~""""""'""'""~ ....

~·:..··

...··.:·.::.:·...·· .. ·:.·· ... ··_ Y.

~

,.,..

',0

-~

.....

-A

.....

A'

Slika 7.4. Hidraulicna presa

Hidraulicna presa koristi se za podizanje velikih tereta, kod hidraulicnih kocnica u vozilima, kao presa u strojarskoj industriji, za presanje sipkih materijala, za cijedenje ulja, sokova itd.

Hidrostaticki tlak Ako nekoliko metara zaronimo ispod povrsine vade, osjetimo tlak u u§ima - sto je dubina veca, to je tlak veci. Tlak sto ga mima tekucina proizvodi vlastitom tezinom naziva se hidrostaticki tlak.

G

m·g

p·V-g

p-S-h·g

s

s

s

s

p=-=-. = - -

p = p · g · h [Pa] p - gustoca tekucine h - dubina tekucine

hu_ ~ll --~---------

Vrijednost gustoce vade je obicno Pv = 1000 kg/m3, dok je morska voda nesto gu§ca i iznosi oko 1030 kg/m3 .

PI= p·g·hl

p =p-g-h

S (povrsina) Slika 7.5. Hidrostaticki tlak

183



Krvni tlak

h

G1;toG2*G3 p1=p2=p3 Slika 7.6. Tlak na dno ne zavisi od oblika posude Pokusi su pokazali da je hidrostaticki tlak nanize, uvis i na bokove (zidove) na istoj dubini u tekucini jednak. Spojene posude Spojene posude su dijelovi posuda razliCitog oblika koji su povezani taka da tekucina maze slobodno prelaziti izjedne u drugu. Hidrostaticki tlak zavisi od dubine, a ne i od oblika posude. Ta cinjeniea objasnjava pojavu daje u spojenim posudama razlicitog oblika tekucina na istoj razini. To je zbog toga jer je tlak na dno ispod svake posude jednak. Inace, tekucina bi se gibala. Zakon o spojenim posudama ima znacajnu prakticnu primjenu. Npr. u bunaru se voda dize sve do visine podzenme vode u okoliei. U ejevciei vodokaza i rezervoaru tekucina je na istoj granicnoj razini. Da bismo ozidali zid svuda do istog horizontalnog nivoa, koristimo spravu za niveliranje (slauf-vaga) - voda se dize na oba kraja do istog horizontalnog nivoa. Vodovod - rezervoar, svi ejevovodi i vodovodna mreza saci~avaju sustav spojenih posuda. Rezervoar se mora nalaziti na vecoj visini od svih ejevovoda i slavina koje snabdijeva vodom. Sifon - u U-eijevi sifona zadrzava se cista voda koja kao cep sprecava prodiranje plinova iz kanalizaeijske mreze u prostoriju.

Pod krvnim tlakom u medieini se podrazumijeva tlak krvi u arterijama. Krvni tlak ima veliku ulogu u dijagnostiei · krvoto ka Je · da mnog1·h boIesti.· Zadaea preko krvi donosi stanieama u tijelu hranu i da odvodi otpadne tvari koje tijelu vise nisu potrebne. Vee i kratak zastoj krvi maze izazvati teske promjene u organi~pa, osobito u mozgu. Da bi krv mogla bez prestanka kolati krvnim zilama, mora postojati neki motor koji je tjera, a to je sree. Ono svojom snagom is~eruje krv u krvne zile, koje pojmt eijevi razvode krv. Krvne zile granaju se u tijelu u sve sitnije ziliee, a one najsitnije, koje se prostim okom ne vide, zovu se kapilare. Razlikuju se dvije vrste krvnih :lila: arterije - one koje odvode krv iz srea i vene - koje dovode krv. Aorta je glavna :lila koja odvodi krv iz srea. U kapilarama se, taka reCi, odvija bit zivota. u njima se, da taka kazemo, vrsi

P umpa s manometrom

r ;- ·~

Manzeta Arterija

Slika 7.8. Mjerenje lmnog tlaka

primopredaja materijala. U njima se vrsi razmjena, pri cemu crvena krvna tjelasea (eritrociti), predaju stanieama kisik a preuzimaju otpadni ugljicni dioksid. Velicina nom1alnog srea odgovara velicini sake, a tesko je oko 300 grama. Sree naiz~enicnim sirenjem i stezanjem svog snaznog misica tjera krv kroz eijelo tijelo. To se zbiva pod \'eomajakim tlakom. Taj se tlak siri kroz arterije, ali sto je dalje od srea, to je sve nizi, sve dok ne zavrsi jednim stalnim tlakom koji se maze mjeriti. Svako stezanje srea, koje sluzi za istiskivanje krvi, zove se srcani otkueaj, a na krajnjim ga arterijama osjecamo i pipamo kao puis. Sree u jednoj minuti otkueava oko 70 puta i za to vrijeme kroz sree prode oko 6 litara krvi. Kad covjek miruje, sree polaganije radi, te izbaeuje mnogo manje krvi u jednoj minuti jer se ne slu:li punom snagom svog misica. Kod teskih fizickih napora sree izbaei do 20 Iitara krvi u minuti, pa je i puis bdi.

.

~

e

~

.:

.a.-

llr'

<';

Slika 7.7. Spojene posude

184

Gomji (sistoli) i donji (dijastoli) tlak mogu se izmjeriti tehnikom osluskivanja. Oko nadlaktiee se obavija manseta i u nju se pumpom utiskuje zrak. Kada se utisne dovoljno zraka, onda ce se brahijalna arterija zatvoriti, tj. zatvoriti protok krvi kroz nju. Zatim 'se Iagana ispusta zrak iz mansete i kad tlak u manseti opadne ispod krvnog tlaka u zatvorenoj arteriji, krv se u vidu mlaza probija kroz suzenu arteriju. Nastaje vrtlozno (turbulentno) strujanje koje sc cuje ako se glava stetoskopa postavi iznad kubitalne arterije. U tom trenutku ocitavamo gornji (sistoli) tlak na manometru. Kod mladih osoba gornji tlak nonnalno iznosi oko 120 mmHg. Pri daljem ispustanju zraka iz mansete cuju se ritmicki sumovi, uskladeni sa otkueajima srea. Kada se arterija potpuno otvori sumovi se vise nece cuti. Tada krv pro~ece 1aminarno (s1ojevito). Tlak u manzeti se u tom trenutku registrira kao donji (dijasto1i) i kod mladih osoba iznosi oko 70 do 80mmHg. 3 Gustoca krvi je 1060 kg/m . Ako covjek stoji, krvni tlak se povecava iduci od glave prema nogama zbog porasta hidrostatickog tlaka s dubinom. Tlak u arterijama na visini sreaje p, = 13,3 kPa. Tlak u arteriji u glavi (oko 40 em iznad razine srca) je: pg = p,- Pk · g · h = 9,14 kPa. Tlak u arteriji u nazi (oko 120 em ispod srca) je: Pn = p, + Pk · g · h = 25,8 kPa.

185

mf'

ri

!



Uzgon (potisak) - Arhimedov zakon

.

:.~'

Kamen je lakse podici u vodi nego u zraku. Izvedimo jednostavni eksperiment. Izmjerimo tezinu tijela u zraku, a zatim u vodi. Vidimo da je tezina tijela manja u vodi nego u zraku. Kada se tijelo pravilnog geometrijskog oblika nade u tekucini (iii plinu), ona na njega djeluje sa svih strana. To djelovanje izrai:ava se tlakom tekucine navise, nanize i na bokove iii siiama tlaka kojom tekucina djeluje okomito na cjelokupnu povrilinu tijela. Rezultanta svih tih sila je siia potiska (Fp). Ova siia ima uvijek okomit pravac i smjer navise. Znaci, potisak je razlika tlaka na donjoj i gornjoj povrsini potopljcnog tijela.

(potiska), tijelo se uzdiZe iz tekucine. Kad se sila uzgona i teZina tijela uravnoteze (Fp = G), tijelo pliva u tekucini. Na tom naeelu se izgraduju brodovi i podmornice. Pri normalnim uvjetima podmornica pliva na povrilini mora. Medutim, kad podmornica treba zaroniti, voda se upusta u posebne komore da se poveca tezina. Kad treba isplivati, voda se snai:nim crpkama izbacuje iz komora da hi podmomica olakSala. Znaci, ako je teZina tijela veca od siie potiska, tj. G > fp, tijelo tone (tijelo A). Ako je tezina tijela jednaka siii potiska, tj.G = Fp, tijelo lebdi (tijelo B). Ako je teZina tijela manja od siie potiska, tj. G < F p, tijelo ispliva (tijelo C), kao sto je prikazano na slici 7.II.

Stika 7.9. Arhimedov zakon

P =' P2- PI = p·g·hz- p·g·h1 p = p·g·h [P.]

Dizanje zracnih balona uvis zasniva se na sili potiska u plinovima. Tezina balona, plina kojim je napunjen i tereta koji nosi treba biti manja od tezine zraka koji on istiskuje. Balon se dize uvis sve dok je sila potiska veca od njegove tezine. Na vecoj visini zrak ima manju gustocu, pa se smanjuje i sila potiska. Kad ona postane jednaka tezini balona, on se daije ne dize uvis. Za spustanje prema Zemlji potrebno je ispustiti dio plina iz balona da mu se smanji volurnen, a time i siia uzgona. Plin kojim se pune balonijest helij, jer nije zapaljiv. Vodikje lakSi od helija, ali je zapaljiv.

Siia potiska je razlika sila F2 i F 1.

Stika 7.12. Zracni halon

fp=fz-FI

Atmosferski tlak fp = pz·S- P1·S = S·(pz- PI) Fp = S·p·g·h,

Zernlja je okruZena zracnim omotacem - atrnosferom. Atrnosferski tlak je tlak koji vrsi zracni omotac svojom tezinom. Prizernni slojevi zraka su gusci, s visinom im gustoca opada, ali tragova zraka ima i na visini od vise tisuca kilometara. Kao sto je atrnosferski tlak najveci na dnu posude, taka je i atrnosferski tlak najveci na dnu atrnosfere, tj. na morskoj razini, a opada porastorn nadmorske visine. Gus toea zraka iznosi oko I ,29 kg/m3 .

V = S·h

Fp = p · g · V

'?

~

'~;;\' : ~~ .·:

: .~

Tei:ina istisnute tekucine:

G, = m,·g = p·V·g

Stika 7.10. Sila potiska

Znaci, tezina istisnute tekucine jednaka je sili potiska, tj. G, = fp. Ovo je prvi dokazao Arhimed, pa se taj zakon i zove Arhimedov zakon, a glasi: teiina tijela u tekucini je manja za onoliko koliko je tezak volumen tekucine koju tijelo istiskuje. Tijelo postaje lakse u tekucini zbog toga sto na donju stranu djeluje veca siia hidrostatickog tlaka F2 nego sto djeluje na gornju stranu sila F 1. Razlika tih sila predstavlja situ potiska. Site koje djeluju na suprotne bocne strane jednake su, a suprotnog smjera, te ne utjecu na promjenu tezine tijela. Arhimedov zakon vrijedi takoder i za plinove. Plivanj e tijela Zeljezna kuglica potone u vodi, a moze plivati na ZIVI. Drvo pliva na vodi. Svjeze jaje tone u cistoj vodi. Ako zasolimo dobro vodu, jaje ispliva. Dolijmo ponovo Ciste vode u rastvor. Pri odredenoj koncentraciji soli u vodi jaje moze lebdjeti, tj. ne pada na dno niti isplivava. Sto ce se ctogoditi sa cvrstim tijetom stavtjenim u tekucinu zavisi od odnosa njihovih gustoca, ali i od oblika cvrstog tijela. Tijelo ce uvijek isplivati na povrsinu kada mu je gustoca manja od gustoce tekucine. Tijelo cija je gustoca veca od gustoce tekucine moze takoder plivati, sto ovisi od njegova oblika. Takvo tijelo moze istisnuti tekucinu cija je tezina veca od tei:ine tijela. Zbog djelovanja site uzgona 186

~

\0

1 Stika 7.13. Princip sisaljke

Stika 7.11. Plivanje tijela

1iClftlallil,

0

Stika 7.14. Torricellijeva cijev

I atmosferski tlak djeluje na sve strane, a ne samo nanize, na podlogu. To se moze pokazati ogledom: u casu nalijemo vode i poklopimo tankim listom papira, tako da papir dobro nalijeze na rub case. Casu pazljivo prevrnemo. Voda ne istjece, jer preko papira djeluje sila atmosferskog tlaka odozdo navise. Voda ne istjece ni kad casu okrenemo ustranu. Ako povlacimo klip navise u cijevi, iza njega ostaje praznina u koju se podize voda, jer je potiskuje zracni tlak koji djeluje na slobodnu povrsinu tekucine, kao na slici 7.13. Ovo je princip sisaljki kojima se izvlaci voda iz bunara iii podzernna voda. Prvi koji je izmjerio velicinu atmosferskog tlaka bio je talijanski fizicar Torricelli. 187

~~ ~

'l~'

!j_:;,_: llJ

~~j m;i ,·

-~

mr. Zeljko Stltpic: FIZIKA I


U ufu staklenu eijev duljine 80 do I 00 em, zatvorenu na jednom kraju nalije se do vrha ziva. Otvor se zatvori prstom i okrene u malu posudieu sa zivom. Kad se izvuce prst, ziva samo djelomiee istece iz cijevi. Ziva se zadciala na visini oko 76 em. Iznad zive ostao je bezracan prostor. U to se mozemo uvjeriti naginjanjem cijevi . .Ziva tada moze ispuniti citavu eijev, stone bi bilo moguce da unutra ima zraka. Kako se to tumaci? Zivu u eijevi zadciava vanjski, atmosferski tlak. Hidrostaticki tlak stupa zive u eijevi jednak je atmosferskom tlaku te jedan drugom odciavaju ravnotefu. Atmosferski tlak, koji je jednak hidrostatickom tlaku stupa zive visine 760 mm naziva se normalni atmosferski tlak (na 45° geografske sirine na morskoj razini). Atmosferski tlak mozemo posredno odrediti ako izracunamo tlak zivinog stupa u Torricellijevoj cijevi: p=p 2 ·g·h=l35905 kg3 ·981 !!!_2 ·076m=IOI325 Pa '

m

'

s

'

Tlak 101325 P. uzima se kao normalni atmosferski tlak, a oznacava se Pn iii p 0 . Pored paseala, kao jediniea za tlak koristi se i bar. I bar= I 05 Pa = I 00 kPa. U meteorologiji se kao jediniea za tlak obicno uzima milibar. I mbar = 100 Pa, I mmHg = 133 Pa, I mmHg = 1,33 mbar Znaci, normalni atmosferski tlak iznosi Pn = 1013 mbar. Zbog promjene stanja u atmosferi (zracne struje, temperatura, vlaZnost itd.), atmosferski tlak se mijenja. Na jednom istom mjestu moze se promijeniti i za 50 mbar. Atmosferski tlak opada sa porastom nadmorske visine. Na visini od I 0 km on je oko 4 puta manji od normalnog i iznosi oko 265 mbar. Tlak plina manji od standardnog (101325 Pa) odgovara vakuumu, koji se dijeli na: grubi vakuum (10 5 - 102 Pa), srednji (102 - 10· 1 Pa), visoki (10- 1 -10 4 Pa), ultravisoki (I o- 4 - 10·7 Pa). Mjerenje tlaka Manometri su sprave za mjerenje tlaka pi ina (pare) odnosno tekucine u zatvorenoj posudi. Manometri se mogu vidjeti na bocama za plin, parnim kotlovima itd. Za mjerenje nizeg tlaka najjednostavniji je otvoreni manometar s tekucinom, obicno sa zivom. Ako se poveca tlak plina u posudi, ziva se dize u vanjskom kraku manometra. Za mjerenje viseg tlaka koristi se zatvoreni manometar sa zivom, iii metalni manometar. Slika 7.16. Slika 7.15. Manometri Tlak koji se mjeri metalnim Barometar manometrom moze iznositi i do 1000 bara. Sprave za mjerenje atmosferskog tlaka zovu se barometri. Ako se Torrieellijevoj cijevi doda skala, dobije se obicni zivin barometar. Promjenom atmosferskog tlaka mijenja se nivo zive u eijevi. Iako su barometri sa zivom tocniji, metalni barometar (aneroid) je prakticniji za upotrebu. On se sastoji od metalne kutije iz koje je skoro potpuno izvucen zrak. Povecanjem atmosferskog tlaka valoviti poklopae kutije ugiba se te se kazaljka pri tome pomice i na skali barometra pokazuje atmosferski tlak.

188

Zracni tlak zavisi od nadmorske visine. Skala metalnog barometra mo:Ze se direktno baZdariti u metrima nadmorske visine. Takav barometar zove se altimetar. Pomocu njega mo:Ze se odrediti visina na kojoj Jeti zrakoplov, zatim visina planine itd. Zracni tlak se mijenja tijekom vremena na jednom istom mjestu na Zemlji. Porastom kolicine vodene pare u zraku opada tlak jer je vodena para Iilla od zraka. Zbog razlike u zracnom tlaku u susjednim oblastima na Zemlji javljaju se jace iii slabije zracno strujanje i vjetrovi. Uz povecanje vla:Znosti i pad temperature moze doci do naoblacenja, magle, kise, snijega. Zbog toga meteorolozi pri davanju vremenske prognoze prate i promjene barometarskog tlaka. Gustoca zraka se mijenja sa temperaturom (t) po zakonu:

p =____&___

'

l+r·t,

y =I- [ - I 273

·c

Slika 7.17. Altimetar Po= 1,2932 kg/m3,

J- kOefiIeiJent .. . kog SirellJa •. . zapremms

Jednadzba kontinuiteta Pod djelovanjem sile cvrsto tijelo se giba kao ejelina, a kod tekucina i plinova jedan dio se moze gibati u odnosu na drugi. Pri tome dolazi do unutrasnjeg trenja. Idealan fluid je nestisljiv fluid kod kojeg nema unutrasnjeg trenja. Tekucine zadovoljavaju uvjet da su prakticki nestisljive. Laminarno strujanje je pravilno strujanje fluida, bez vrtloga. Srednja brzina je jednaka polovini maksimalne brzine (vsr = vmax)- Turbulentno (vrtlofuo) je nepravilno strujanje. Srednja brzina kod turbulentnog strujanja zavisi od Raynoldsovog broja i krece se od 0,77 do 0,87 Vmax maksimalne brzine. Pri vecim brzinama laminarno strujanje Slika 7.18. Brzine pri prelazi u turbulentno. Strujanje vode je larninarno ako je Iaminarnom strujanju Raynoldsov broj manji od 2300, a turbulentno ako je veci od ovog broja. Raynoldsov broj se dan je formulom: V·D R,=--, v-srednja brzina strujanja vode, D-promjer cijevi, v-kineticka viskoznosti (m2/s) v Stacionarno strujanje je ono strujanje koje se ne .sl mijenja tijekom vremena. : Strujne crte - struJmee su zamisljene crte du:Z kojih se krecu cestice fluida pri cemu se tangenta u svakoj tocki strujniee podudara po pravcu sa vektorom brzine cestice u toj tocki, a smjer joj je odreden smjerom gibanja fluida. Strujne erte mogu se ocitovati ako se u tekucinu na nekom mjestu unese malo rastvorene boje iii strugotine drveta. Strujna cijev je dio fluida ogranicen strujnim ertama.

~-~~~ I~

I

Stika 7.19. Strujna cijev

189

r'h

'I' :i:r ! '


mr. Zdjko Stapic: FIZIKA l

I.

;tl;!

i:!i

Jacina strujanja iii zapreminski protok definira se kao kolicina (volumen) tekucine koja prode kroz neki poprecni presjek cijevi u jedinici vremena:

tjli>

tl l":..

Energija E, na dijelu volumena V 1je: £ 1 = mgh1 .

Q=~ [ ~3]

k1!' ,.,,.

~] 3

·V [

+mv2

2

1

2

Ako je cijev konstantnog presjeka S, kroz koju pro~ece tekucina brzinom v, onda ce svaka cestica tekucine za odredeno vrijeme prijeCi put I = v · t, pa je volumen tekucine koja protekne kroz presjek S za vrijeme t: V=S-v-t Znaci, zapreminski protokje: Q=S

Energija svake cestice tekucine slozena je iz njene kineticke i potencijalne energije.

BuduCi da je tekucina nestisljiva, ne moze biti nagomilavanja niti razijedivanja na pojedinim mjestima cijevi, sto znaci da ista volumen tekucine mora proci kroz sve promatrane presjeke, tj. S1 · VJ = S2 · V2 = ... = Sn · Vn

Analogno za volumen V2je: £ 2 = mgh 2 + mv 2 2 Promjena energije cijelog razmatranog volumena inoZe se izracunati kao razlika energija malih volumena v2 i v,.

mvi mv~ = mgh 2 +-- -(mgh1 +-- ) 2 2 Taj porast energije, prema zakonu odrZanja energije, mora biti jednak radu vanjskih sila. Vanjske sile koje djeluju na fluid jesu sile tlaka F 1 i F2. F, =p,· S, F2 = P2 · S2 ~E=E2-E1

Rad ovih sila je: Opcenito vrijedi:

S · v = const. A= F,·s•- F2·S2,

Ova jednadZba naziva se jednadzba kontinuiteta. Iz nje se vidi da je u ufem presjeku cijevi veca brzina slrujanja nego u sirem. Uocljivo je da se brzina rijeke povecava pri suzenju njenog korita, a ·takoder i zrak struji bde u uskim prolazima. Jednadzba kontinuiteta moze se primijeniti ina plinove u slucaju kad je njihova stisljivost zanemariva, a to znaci samo pri malim brzinama.

A= p,-s,-s,- p2·S2"s2

s,- duljina puta od S, do S1',

s2- duljina puta od S2 do S2'

S,-s, = S2·S2 = V

A=p,·V-p2"V Ukupan rad mora biti jednak promjeni ukupne energije sustava:

'~C"

Bernoullijeva jednadZba

Y.:

A=~E

Da bi se ustanovila zavisnost izmedu brzine i tlaka idealne tekucine (plina) pri stacionamom gibanju, promatrat ce se njeno gibanje kroz cijev nagnutu prema horizontalnoj ravnini. Razmotrimo zapreminu tekucine koja je ogranicena zidovima strujne cijevi i okomitim presjecima S, i S2. Za vrijeme t taj volumen ce se pomaknuti duz strujne cijevi, pri cemu ce se presjek s. pomaknuti u polofuj S,', presavsi put duljine s,. Presjek S2 pomaknut ce se u polozaj S2', presavsi put duzine s2. Buduci da se tekucina ne moze nagomilavati niti razijedivati na pojedinim dijelovima cijevi, na oba uocena presjeka cijevi ce za vrijeme t biti prenesena ista kolicina tekucine mase m, kojoj odgovaraju volumeni V 1 i V 2. Za presjek S 1 prenesena masa tekucine m 1je: m 1= p·V 1= p·S 1-s 1= p-S 1·v 1·t Za presjek S2 prenesena masa tekucine m2je: m2 = p·V2 = p·S2·S2 = p·S2·V2·t

190

2 p ·V · v p · V · v2 p 1 ·V-p 2 ·V=p·V·g·h2 + - -- 2 -p·V·g·h1 - - -- 1 2 2

,

(m=p·V)

Kompletnu jednadZbu podijelimo sa V i prebacimo clanove s jednakim indeksima na istu stranu:

P1 + p· g ·hi

p-~ p-~ +T = Pz + P · g · hz +T

Indeksi 1 i 2 mogu se odnositi na bilo koje proizvoljne presjeke, pa se prethodna jednadZba moze napisati u obliku: p·vz p + p · g · h + - - = const. 2 Dobivena jednadZba naziva se Bernoullijeva jednadZba za strujanje fluida.

Brzine v 1 i v2 su na presjecima s. i S2. Buduci da je m 1 = m2, odnosno v. = v2. proizlazi jednadzba kontinuiteta: p·S 1-v 1-t = p·S2"v2"t S 1-v1 = S2"v2

A= E2-E1

•

Clan p predstavlja staticki tlak. Clan p·g·h je visinski iii hidrostaticki tlakjer zavisi od visine na kojoj se tekucina nalazi u odnosu na neki nulti nivo. Clan p·~/2 je dinamicki tlakjer zavisi od brzine gibanja fluida.

Slika 7.20. Bemoullijeva jednadzba 191



Odnos k = ~ naziva se koeficijent kontrakcije i njegova vrijednost se krece u intervalu od 0,61 do

Specijalni slucajevi primjene Bernoullijeve jednadzbe

s

0,65, sto zavisi od oblika otvora. Kontrakcija se obja8njava djelovanjem bocnog tlaka na mlaz, kao i djelovanjem sila povrilinskog napona koje teze da smanje povrsinu mlaza. Ako se radi o plinu, do njegovog is~ecanja iz posude doci ce jedino ako je vanjski tlak manji od unutarnjeg tlaka. Brzina istjecanja plina pod stalnim tlakom iz posude s malim otvorom, takoder se odreduje Bernoullijevom jednadZbom i dana je relacijom:

a) Ako je cijev horizontalna, tada je h1= h2 = 0, pa Bernoullijeva jednadZba prelazi u jednadZbu: p·v2

p +--=canst. 2

.fi•

~-i;:::

··);.)."

r:-

Venturijeva cijev Venturijeva cijev sluii za mjerenje brzine tlaka u sirem i uiem dijelu cijevi.

pro~ecanja

. tekuCine u cijevi, a zapravo mjeri razllku

v=

PI- P2 = p·g·h vI =

vl

;;"

1~

:\.;

?:=;-

~

_;.,;;. _;;:::=::;:::;;::: IE:I2 =:::::::::.::-

-1

Ako se brzina poveea smanji se staticki tlak i obratno. Kad tekuCina miruje, visina tekucine u vertikalnim cijevima je svuda ista. Ako se tekucina giba, brzina u raznim presjecima ce biti razlicita, pa ce i staticki tlakovi na tim mjestima biti razliCiti. Tamo gdje je cijev najsira, odnosno gdje je brzina najmanja, tlak ce biti najveci i razina tekucine u vertikalnoj cijevi ce biti veCi nego u ostalim cijevima.

:~

-r-h.

~___j_

Stika 7.21. Venturijeva cijev

~t

b) Ako tekucina miruje iii protjece kroz kosu cijev stainom brzinom (v1= v 2 = 0}, tada je:

PI+ p·g·h• = P2 + p·g·hz P•- P2 = p·g{hz- h1) Ova jednadZba predstavlja osnovnu jeditadZbu hidrostatike. c) Bernoullijeva jednadZba more se primijeniti i za izracunavanje brzine is~ecanja tekuCine iz posude. Ako tekucina is~ece iz posude koja ima mali bocni otvor, tj. ako je S 1»S 2, tada je prema jednadZbi kontinuiteta vz>>v., pa se brzina v 1 priblifuo smatra jednakom nuli. Znaci, brzina snizavanja nivoa tekucine u posudi moze se zanemariti u odnosu na brzinu istjecanja kroz otvor. Tad a Bernoullijeva jednadZba glasi: p v2

dp-razlika tlaka u posudi i izvan nje,

p-gustoca fluida

Do ove relacije eksperirnentalno je dosao Graham. Ovaj zakon vrijedi i za n~ecanje plinova u posude u kojima vlada snireni tlak. Pitotova cijev Pomocu ove cijevi moze se mjeriti brzina gibanja fluida. Cjevcica A rnjeri staticki B tlak, dok cjevcica B mjeri zbroj statickog i dinarnickog tlaka. To je zbog toga sto Staticki tlak struja tekucine, koja ude u cijev, svoju kineticku energiju pretvara u potencijalnu, zbog cega se poveca visina stupa tekucine proporcionalno velicini dinamickog tlaka pv2/2. Razlika statickih tlakova je pgh. p·v2 Staticki + dinamicki tlak -2-=p·g·h,

2gh

(;J

~ 2; ,

Vz

Po+p·g·h=po+-f

Slika 7 .22. Istjecanje tekucine Odavde je brzina istjecanja: v2 = Ova jednadZba se naziva i Torriceilijeva jednadZba isgecanja te vrijedi i kada je otvor na dnu

.J2ih

posude. Promatranjem istjecanja mlaza kroz otvor moze se uoCiti da je povrsina mlaza tekucine nesto manja od presjeka otvora, sto znaCi daje i stvarni protok nesto manji od teorijskog (Q = S·v ). Ova pojava naziva se suiavanje iii kontrakcija mlaza. Narocito je izra2:ena na otvorima sa ostrim rubovima. Pri istjecanju tekuCine kroz takve otvore strujnice se toliko zgusnu daje povrsina presjeka mlaza Sk manja od stvarne povrsine otvora.

A A

Stika 7.23. Pitotova cijev pa je v = Slican uredaj moze mjeriti brzinu zrakoplova iii helikoptera.

.J2ih

d) Aerodinamicni paradoks Ako pusemo kroz kalem od konca na komad papira, papir nece odle~eti, nego ce ostati priljubljen uz kalem. . .. ~ Isto ce se dogoditi ako u lijevak stavimo kupu od papira. Pu$uci u lijevak, kupa ce ostati priljubljena uz lijevak. Vrijedi isto obja$njenje za oba slucaja. Papir na . kalemu djelomicno zatvara cijev kalema. Zracna struja · . Stika 7.24. Aerodinamicni paradoks koja nastaje puhanjem nailazi na male otvore i njena brzina se povecava, pa zatim opet opada. Poveeanje brzine ima za posljedicu smanjenje tlaka, tako da izmedu kalema i papira postoji tlak koji je manji od atmosferskog. Ova razlika tlaka drZi papir priljubljen uz kalem. Izvrsimo sljedeci jednostavni ogled: uzmemo dva lista papira i pusemo izmedu njih. Umjesto da se udaljavaju oni se medusobno priblizavaju. Strujanjem zraka izmedu listova papira smanjio se staticki tlak, tako da je postao manji od atrnosferskog koji sa strane djeluje na listove i pribli:Zava ih jedan drugom. Zbog toga je opasno da se brodovi mimoilaze u suvise malom razmaku. e) Bunsenov plamenik Sastoji se od cijevi koja ima sa strane otvore. U cijev ulazi tanja cijev koja na kraju ima uzanu mlaznicu, kroz koju velikom brzinom ulazi plin, zbog cega se stvara nizi tlak. Zbog niZeg tlaka u cijevi plina, zrak iz okoline ulazi kroz otvor i omogucuje potpunije sagorijevanje plina.

zrak plin Slika 7.25. Bunsenov plamenik 193

192

.--...,~:;"'

,!; ·,

. . . ~ '" r.:/1#1?#.;-f!l;<,-='


mr. Zeljko Stapj.c:: flZIK.A 1

Realni fluidi Idealan fluid, tj. fluid bez trenja je apstrakcija. Na tekucine i plinove pored vanjskih sila djeluju i sile kojc potjecu od njihove mo1ekulame strukture. Pri gibanju jednih slojeva u odnosu na druge, javlja se jaca iii slabija sila trenja. Laminarno gibanje je takvo pri kojem slojevi fluida klize jedan preko drugog. Turbulentno (vrt1ofuo) gibanje je takvo pri kojem pojedini slojevi zalaze jedni u druge. Sila trenja se manifestira na taj nacin da slojevi tekucine koji se krecu blie, djeluju na sporije slojeve silama koje ih ubrzavaju, dok sporiji slojevi djeluju silama koje usporavaju blie s1ojeve. Neka se dva sloja tekucine koja se nalaze na udaljenosti !:lz krecu brzinama v 1 i v2• Razlika njihovih brzina je /:lv = v2 - v 1• !:lz je rastojanje izmedu slojeva, okomito na pravac brzina. !:lv &

gradijent

brzine,

:~~::.~ '~L-_

·-~·oil • ;·:J

-~' +.~

~J~t~.

. 1:-'i[; :'.,'

Slika 7.26. Viskoznost

~ ~- ~~_':',1.

Koeficijent viskoznosti plinova je mnogo manji nego kod tekucina. Porastom temperature koeficijent viskoznosti tekucine brzo opada, prosjecno 2 do 2,5 % po stupnju. Kod plinova viskoznost raste s temperaturom. Ova pojava se obja5njava intenzivnijim gibanjem molekula plina, tj. njihovim ucestalijim prelascima izjednog sloja u drugi. Za vodu (na 20°C) '11= I, 1· 1o-3 Pa s, zrak (20°C) '11= 1,8· 1o- 5 Pa s . Kinematicka viskoznost fluida je: 2

·'i:t·

v =; [ :

]

Fo = -k · v

L~

k-koeficijent otpora sredine (zavisi od oblika tijela), v-brzina tijela Znak minus pokazuje da je otpor sredine suprotan od smjera brzine tijela. Promatrajmo tijelo koje se giba u nekom fluidu. a) idealan slueaj b) viskozan slu~aj Na tijelo djeluje sila FR koja se moze razloziti Slika 7.28. Otpor sredine na dvije komponente. Komponenta Q je usmjerena u stranu suprotnu gibanju tije1a i zove se ceoni otpor iii otpor sredine. Komponenta Fp je sila potiska i okomita je na ceonu situ. Iza svakog tijela u struji tekucine iii plina nastaju vrtlozi (kod realnih fluida), ciji je uzrok unutamje trenje. Uz rubove tijela dolazi do zakretanja iii vrtnje cestica fluida jer ona strana cestice koja je do tijela ima, zbog viskoznosti, manju brzinu nego ona strana cestice koja je u vezi sa brzim cesticama. Vrtlog se stvara zbog rotacije cestica, koji zbog sve veceg broja cestica raste, te postaje tako velik da se otkine i pruzi Slika 7.27. Komponente otpora sredine mjesto stvaranju novog vrtloga. Brzina fluida u vrtlozima je veca nego u ostalim dijelovima fluida, sto znaci da je tu staticki tlak manji nego u fluidu ispred tijela, gdje nema vrtloga. Znaci, zbog vrtloga dolazi do razlike u statickim tlakovima fluida ispred i iza tije1a, iz cega proizlazi tlak fluida na tijelo u smjeru gibanja. Ako fluid miruje, a tijelo se giba, taj tlak se pokazuje kao otpor tijela pri gibanju kroz fluid. Vrtlozi su narocito jaki iza ostrih rubova tijela, zbog cega se tu i jav1jaju najveci otpori pri gibanju tijela.

~~

Dinamicki koeficijent viskoznosti dan je relacijom: '11 = F,, !:lz [Pas] !:lS !:lv . Intenzitet site unutamjeg trenja (viskozna si1a) u fluidu, koji potjece bez turbulencije prema . . !:lv Newtonovom zakonu trenJaJe: F;, = 1J · S · & ( '!

Otpor sredine predstavlja silu kojom fluid dje1uje na tije1o u suprotnom smjeru od smjera gibanja tije1a u mimom fluidu, iii si1u kojom fluid dje1uje u smjeru svog gibanja na tije1o koje miruje u fluidu. Pri ma1im brzinama tije1a (iii fluida) otpor sredine je proporcionalan brzini.

~~

je

velicina koja ·pokazuje kako se mijenja brzina pri prijelazu od sloja do sloja. !:lS - povrsina promatranog s1oja (povrsina slojeva fluida koji se taru) Viskoznost iii unutamje trenje je pojava otpora koji se javlja pri relativnom gibanju djelica iii slojeva tekuCine.

Otpor sredine

p - gus toea flu ida

Ako se kuglica giba kroz tekucinu, sila trenja koja djeluje na kuglicuje (Stokesova sila trenja): F" = 6·7t·T]·V·r r- polumjer kuglice v - brzina kuglice

Strujnice oko tijela raz1icitih oblika rasporedene su tako da polje strujanja poprima oblik kapljice. Ako se u struju fluida stavi tije1o oblika kapljice, iza tijela ce se stvoriti neznatni vrtlozi, koji se prakticki mogu zanemariti. Znaci, najmanji otpor pri gibanju kroz fluid ima tijelo oblika kapljice. Zbog toga je bitno da letjelice i opcenito vozila imaju optimalan aerodinamicni oblik, sto je vaZan zadatak za konstruktora. Isto vrijedi pri konstruiranju podmomica i brodova. Otpor sredine pri vecim brzinama tijela danje relacijom:

1

F=-k·p·S·v 2

2

k-aerodinamicni koeficijent (zavisi od oblika tijela)

p-gustoca fluida kroz koji se tijelo giba, S-ceona povrsina tijela, v-brzina tije1a Krilima zrakoplova daje se poseban oblik, tako da se ispod krila stvara veci tlak. Krilo zrakoplova je zaobljeno odozgo, pa je brzina strujanja veca s gornje strane nego s donje. To znaCi da je staticki tlak manji iznad krila. Razlika tlaka na donjoj i gomjoj strani krila naziva se dinamicki potisak i on omogucava zrakoplovu da uzleti i odliava se u zraku.

194

195

H:

lh.

:'i"

l:i jlf



~.~i ~ . · ,

~t

11.

!'..

,l!jl':

~lJ:; ~t~.

U staklenu U-cijev je nalivena Ziva u jedan krak, au drugi tekucina nepoznate gustoce. Visina stupa zive mjerene od dodime povciine iznosi h 1 = 10 em, a nepoznate tekucine h 2 = 107 em. Izracunaj gustocu nepoznate tekuCine. p 2 = 13,59 kg/dm3

~-Y~:·

p = 1270 kg/m3 (g1ieerin)

Zadaci: I.

0

12.

Ci1indricna posuda ima promjer 50 em i visinu 40 em. Ko1iko litara vode moze stati u tu posudu? V = 78,5 litara

13.

Izracunaj tlak p1ina u posudi (na s1ici) ako se mjeri pomocu otvorenog manometra u cijim kraeima je razlika nivoa zive Ah = 10 em? Atmosferski tlak u trenutku mjerenja iznosi 1000 mbar. p2 ;, 13590 kg/m3

Izracunaj hidrostaticki tlak: a) vode na dubini 5 rn, b) nafte na dubini 5 m. Gustoca vode je I kg/dm3, a nafte 0,76 kg/dm3. a) p = 49050 P., b) p = 37278 P. b=2,04 m

Na kojoj dubini u bazenu vlada tlak 20 kP.?

........... ........... ............ . . . . . . . . .. 0

•

p=113331,8P. 2.

'O

14.

Izracunaj tko vrsi veci tlak: vozi1o mase 1,5 tona koje djeluje na povrsinu 30 em2, ili zena mase 60 kg koja stoji na stikli povrsine I em2? p, = 50 bar, pz = 60 bar

••

0

••

0

•••••••

0.

0

0

•••

:-:-:-:-: .... p -:-:-:-:. ....

........... ........... . ... . ... . .. ... . .. . . . .. ........... ........... ........... ••••••••

0.

0

3.

Izracunaj atmosferski tlak ako je visina zive u barometru 71 em. Gustoca zive je 13,59 kg/dm3 • p =947 mbar

4.

Gustoca morske vode je I 030 kg/m 3• Izracunaj tlak u moru na dubini I 0 m. Atmosferski tlak na povrsini morske vode iznosi Po= 101325 Pa. p = 202368 P.

15.

Izracunaj povrsinu pomicnog klipa pumpe za automobilsku gumu ako na klip djelujemo silom od 50 N da bismo uravnotezili tlak od 2 bara? S =2,~ cm2

5.

Posuda visine I m napunjena je do vrha vodom. Izracunaj silu kojom voda djeluje na dno kruZne posude polumjera 50 em. F= 7,7 kN

16.

Na plinskoj boei manometar pokazuje 4 bara. Atmosferski tlak je 105 P•. Izracunaj ukupan tlak u boci.

6.

Na kojoj dubini se nalazi podmomiea ako sila hidrostatickog tlaka na poklopae podmomiCe 3 polumjera 40 em iznosi 101528 N? Gustoca vodeje 1030 kg/m h=20m

17.

Kolikom silom djeluje atmosferski tlak na krov dimenzija I 0 m x 8 m? Za~to krov ne pukne? F=8,1 MN

18. 7.

Izracunaj visinu stupa alkohola koji bi imao isti hidrostaticki tlak kao stup zive visine 10 em. 3 PA= 790 kg/m 3, p 2=13,6 kg/dm • hA = 1,72 m

Nadmorska visina vrha Mag1ica je 2386 m (najvisa planina u BiH). Koliki bi tlak na vrhu pokazivao barometar ako prosjecno svakih 12m visinske razlike tlak opadne za I mm zivinog stupa. Tlak na razini mora je I 013 mbar. p=748 mbar

8.

Ako je tlak na povrsini vode I 030 mbar, na kojoj dubini je tlak 3400 mbar?

19.

Na kojoj visini se nalazi balon ako barometar (aneroid) koji se nalazi u njemu pokazuje tlak 980 mbar? H=297m

20.

Izracunaj visinu televizijskog tornja ako je na vrhu atrnosferski tlak nizi za 20 mbar nego u njegovom prizemlju. H=180m

P• =5 bar

b=24,2 m 9.

10.

196

U staklenoj eijevi nalazi se voda visine 15 em. Iznad vode je naliveno ulje visine 12 em. Izracunaj: a) ukupan hidrostaticki tlak na dno posude, b) silu koja djeluje na dno kruzne 3 posude polumjera I 0 em. pv = I kg/dm 3, pu = 0,9 kg/dm • a) p = 2531 P., b) F = 79,47 N 3

U U-eijevi nalazi se voda. Ako u U-eijev nalijemo 4 dl ulja gustoce 900 kg/m , kolika ce biti razlika nivoa vode i ulja? Povrsina poprecnog presjeka eijevi je 8 em2• pv = I kg/dm 3 .-:\h = 5 em

197

'"-0'">:"•~'1'8%*f*~F·~


mr. Zeljko StapibFJZIKA I 21.

Pri usponu na planinu barometar (altimetar) je pokazivao u podnozju tlak 980 mbar, ana vrhu 860 mbar. Kolika je visina planine cije je podnozje na visini 250 m?

3

33.

Na dasku gustoce 820 kg/m stavi se teret mase 36 kg. Izracunaj volumen daske,:a:da{$6 tetet u vodi ne smoei.

H= 1330m 22.

;;.l'y~,m3 34.

Pri transfuziji krvi potreban tlak koji omogucuje prijenos krvi u vene iznosi 10,2 kPa. Na kojoj najmanjoj visini se treba nalaziti boca sa krvi da bi transfuzija bila moguca? Gustoca krvije 1040 kg/m3 . ·

Tijelo pi iva na vodi tako da je 20% njegova volumena iznad povr5ine vode. tijela.

·

h=l m 23.

24.

26.

27.

Silom od 10 N djelujemo na manji klip hidraulicne prese pov!'Sine 5 cm . a) Kolikom silom djeluje tekucina na veci klip povrsine 40 cm2? b) Ako se manji klip spusti za 12 em, koliko se podigne veci klip? a) F = 80 N, b) hz = 1,25 em

36.

Kamion mase 5 tona nalazi se na hidraulicnoj dizalici ciji klip ima povrsinu 2000 cm2• Koliki je promjer manjeg klipa da bi se mogao podiCi kamion silom 20 N?

Gustoca·'dtveta

Izracunaj 3 koji dio volumena ledene sante je iznad morske povrsine. Gustoca leda je 920 kg/m , a morske vode 1020 kg/m3.

37.

U cilindru s pokretnim klipom povrsine 10 cm2 nalazi se plin ciji je volumen 4 dm3• Tlak plina je 1,6 bara. Izracunaj tlak i zapreminu plina ako se na klip stavi teg mase 2 kg. (1 g = 10 rnls 2) pz = 1,8 bar, Vz = 3,6 dm3

3

Volumen balona napunjenog vodikomje IOO m • Hoce li halon poletjeti ako je masa balona i tereta I I 0 kg? Gustoea vodika je 0,09 kg/m3, a zraka I ,3 kg/m 3• Fuz>GuK

38.

U cilindru s pokretnim klipom povrsine 10 cm 2 i tezine 10 N nalazi se plin. Izracunaj dodatnu silu kojom moramo djelovati na klip da se volumen plina u cilindru smanji na polovinu. Atmosferski tlakje I bar. F=llO N

3

Balon je te:lak 90 kg i ima volumen 1000 m • Izracunaj teret koji moze ponijeti kada je pun vodika. Gustoea vodika je 0,09 kg/m3, a zraka 1,3 kg/m 3•

m= 1120 kg 39.

Tijelo mase 500 g objeseno je o nit i visi u zraku. Kolika je sila u niti kada isto tijelo uronimo u vodu? Gustoca tijelaje 2,7 kg/dm3•

Izracunaj volumen tijela na koje u vodi djeluje sila potiska od 981 N.

F=3,09 N 40.

Skela je duga I5 m, a siroka 10m. Ako skela ne smije zaroniti dublje u vodu od I 7 em, koliki teret smije nositi?

41.

m=25,5 t

Tijelo je tesko u zraku 10 N, au vodi 6 N. lzracunaj gustocu tijela. (g = 10 m/s 2)

3

Masa covjeka u zraku je 70 kg, a volumen 65 dm . Covjek potpuno uroni u vodu i stane na vagu. Koliku ce masu vaga pokazivati?

m=5kg 30.

Koliki je na pov!'Sini Zemlje uzgon kojim zrak djeluje na covjeka mase 80 kg i volumena 3 80 dm ? Za koliko postotaka ovaj uzgon smanjuje tlak covjeka na podlogu? pz = I ,3 kg/m3 Fu = 1 N, Ap = 0,13%

1

42.

p = 1,5 kg/dm 3 31.

Stakleni halon volumena 25 litara kada je otvoren ima masu 1612 g, a kad se ispumpa zrak 1580 g. Izracunaj gustocu zraka. p = 1,28 kg/m3

43.

Kamen gustoce 2,6 kg/dm ima tezinu u zraku 30 N. Koliku silu moramo upotrijebiti da ga dr:limo u vodi?

lzracunaj gustocu tekucine da covjek mase 70 kg \ebdi u njoj. Yo lumen covjecjeg tijela je 82 dm3 •

44.

Uze dizalice moze izdrzati silu od 75 kN. Moze li se na njemu dr:lati pod vodom aluminijski 3 4 m ? Moze li u:Ze drZati ovaj blok iznad vode? Gustoca aluminija je blok volumena · 2,7 g/cm3•

3

Gv= 18,52 N 32.

p = 853,7 kg/m 3

je

.r:\V=10%

p = 2500 kg/m3 29.

Izracunaj dio volumena drvene grede koji je iznad povr5ine vode. 800 kg/m3•

.r:\V=20%

V= 100dm3 28.

:!;~(·'l!f(il ···..

p=':S(Jo~m3 35.

2

d=5,1 mm 25.

~ioou

Gz"' 106 kN, Gv = 66,76 kN

198 100

mr. Zeljko Stapic: FIZIK.A 1


45.

Povrsina presjeka broda na razini vode je 6200 m2. Zbog opterecenja brod utone 50 em. Izracunaj tezinu tereta. F=30,41 MN

46.

Kroz slavinu ciji otvor ima pominu 0,8 cm2 istjece voda brzinom 1,4 m/s. Izracunaj: a) protok vode, b) koliko ce vode isteci za jednu minutu. a) Q = 0,112 Us, b) V = 6,72litra

47.

Za jednu minutu kroz cijev protekne 24 litra vode, brzinom I ,2 m/s. Izracunaj promjer cijevi. d= 1,24cm

48.

Iz slavine promjera 12 mrn za pola minute istekne 15 litara vode. Izracunaj brzinu istjecanja vode. Kontrakciju mlaza zanemari. v=4,4 mls

:.,

49. .~;!

50.

51.

58.

a) Za5to dolazi do smavanja mlaza vode kada curi iz slavine? b) Zbog cega nastaje propuh? c) Za5to se dim cigarete podigne nekoliko centimetara ravno i prelazi u VJt1og?

59.

Ko1ikom silom moramo drZati strcaljku cijevi ako voda izlazi iz nje brzinom 8 m/s? Promjer cijevije 4 em. F=80,4N

60.

v = 4,65 mls, Q = 2,32 Us 61.

2

Kroz horizontalnu cijev struji voda. Brzina vode na presjeku pomine 60 cm iznosi 80 crn!s. Izracunaj brzinu na presjeku povrsine 0,15 dm2• v=3,2 m/s Brzina protjecanja vode u mem dijelu horizontalne cijevi je 2,4 m/s. Kolika je brzina u dije1ovima cijevi koji imaju: a) dva puta veci promjer, b) tri puta veCi promjer? a) v2 = 0,6 mls, b) v3 = 0,27 m/s Koliko ce vode isteci za 10 s kroz otvor presjeka 4 cm2 koji se nalazi na dnu cisterne ako je razmak izmedu slobodne pomine vode i otvora 2m? V=251

62.

U bazen se ulijeva potok ciji je protok 0,25 m3/s. Na dnu bazena se nalazi kruZni otvor kroz koji istjece voda. Koliki treba biti promjer otvora da bi dubina vode u bazenu bila stalna i iznosi1a 3,5 m? Koeficijent kontrakcije je 0,66. D=24cm

54.

Brzina rijeke je 7,2 kmlh. Izracunaj protok vode ako rijeka ima: a) korito polukruznog oblika polurnjera 3 rn, b) korito oblika pravokutnika stranica 4 m i 2 m. 3 3 a) Q = 28,26 m /s, b) Q = 16 m /s

55.

63.

57.

Na stolu visine 130 em nalazi se posuda s vodom. Na dnu posude nalazi se otvor iz kojeg istjece horizontalno mlaz vode i pada na udaljenost 160 em. Izracunaj visinu vodenog stupa u posudi. h =49 em

200

Izracunaj razliku tlaka u horizontalnoj cijevi ako je brzina strujanja vode u prvom presjeku 2 m/s, a u drugom 3 mls.

U horizontalnoj eijevi na poprecnom presjeku povrsine 60 em2 teee voda brzinom 3 m/s, a .vlada staticki tlak 1,6 kPa. Izracunaj staticki tlak na presjeku tri puta vece povr5ine.

P2 = 5,6 kPa 65.

Izracunaj brzinu vode u horizontalnoj cijevi jednakih presjeka ako je ukupni tlak na jednom presjeku izmjeren savijenom cijevi (Pitotova cijev) iznosio 152 kPa, a staticki tlak izmjeren u vertikalnoj eijevije 120 kPa.

··Pule

v=S m/s 66.

Zracni ventilator ima promjer 20 em i izbacuje 3 m zraka svake minute. Kolikom brzinom struj i zrak kroz ventilator? v = 1,26 m/s Na dnu rezervoara nalazi se otvor promjera 50 mrn. Kroz otvor istekne 600 litara vode u minuti. Na kojoj se dubini is pod povr5ine vode nalazi otvor? h = 1,32 m

s2

Kojom brzinom istjece voda visine 5 m iz otvora na dnu rezervoara ako iznad povrsine vode djeluje tlak od 20 N/em2?

Pr- P2 = 2,5 kPa

3

56.

= 0,32

v=22,3 m/s

Kroz cijev unutamjeg promjera 40 mrn puni se rezervoar volumena 50 m3 • Za koliko ce se vremena napuniti rezervoar ako voda tece brzinom 2 m/s? t = 5,53 h

53.

s,

Jedna vodovodna cijev je kruZnog presjeka polumjera 10 em, a druga kvadratnog presjeka straniee 10 em. Kako se odnose brzine protjeeanja kroz ove cijevi? Vr/V2

64. 52.

Izracunaj brzinu protjeeanja vode i protok kroz popreeni presjek S2, kao na slici. h, = 60 em, h2 =50 em, S2 = 5 cm2.

Voda tece u horizontalnoj eijevi. Vertikalnom ejevcieom 1 mjerimo staticki t1ak, a ejevcieom 2 staticki i dinamicki t1ak. Ako je brzina strujanja vode 1,5 m/s, izracunaj visinsku razliku~h.

~h =

67.

11,47 em

Kroz eijev, nagnutu u odnosu na horizont tako da se srediste gomjeg poprecnog presjeka nalazi na visini h, = 6 m, a drugog na visini h2 = 2 m, protjeee voda. Izracunaj brzinu vode u donjem poprecnom presjeku ako je u gomjem brzina v 1 = 3 m/s. Staticki tlakovi iznose P• = 3,4 kPa i P2 = 1,8 kPa. v= 9,52 m/s

h

~a h

...

h2

= 2

:===~====-=: :: :.== -

=~==~===~=~~~===~====

201

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 68.

Izracunaj brzinu istjeeanja vode iz rezervoara, kao na slici, ako su dani podaei: PI •= 1,55 bar, Po= 101325 Pa, h1 =2m.

~

70.

Savijena eijev uronjena je u vodu koja protjece brzinom v '= 3,1 rnls. Na gomjem kraju eijevi nalazi se mali otvor, na visini ho = 20 em iznad povrsine vode. Koju visinu ce dostici mlaz vode?

!•I

h=29 em 71.

I~ ~

,1

p,

~=-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

78. };:

v

v=2,3 em/s 80.

Prema danim podaeima ustanovije li strujanje laminamo: D = 12 em, v = 0,1 rnls, v = 1,2·10-6 m2/s.

ho

T

~~~~~~~~t=~~I~~I~~~~I~~~Iv

Kroz horizontalnu eijev promjenljivog poprecnog presjeka protjece voda. Vertikalne ejevciee sluie kao manometri. Povrsine presjeka se odnose l :2. Ako je v 1 = 2 rnls i h 1 = 30 em, izracunaj visinu h2 •

81.

Klip mase 8 kg pritiskuje gornju povr5inu vode u vertikalnoj eijevi po1umjera 10 ern. Visina vodenog stupa u eijevi je 80 em. Iznad klipa se na1azi ziva visine 6 em. Izracunaj ukupan tlak na dno eijevi. Gustoca vode je I kg/dm3, a zive 13,59 kg/dm3.

82.

U eistemi prikazanoj na sliei nalazi se voda. Promjer eijevi kojom se kontrolira nivo vode u eijevi je 3 em. U ovu eijev se ulije toliko ulja 3 (gustoce 0,75 kg/dm ) da se u njoj obrazuje stup ulja visine 60 em. a) Za koliko ee se pri ovome spustiti razina vode u eijevi? b) Izracunaj masu istisnute vode iz eijevi.

~-

73.

Izracunaj maksimalnu brzinu fluida koji moze strujati kroz eijev promjera 10 em, da strujanje ostane laminarno. Kineticka viskoznostije 10-6 m2/s.

R. = 104 > 2300 (turbulentno)

hz=45,3 em

72.

Stalnom brzinom od 1 rnls vucemo plocu povr5ine 10 dm2 po ravnoj podlozi pod kutom 30°. Izmedu p1oce i pod loge je s1oj ulja viskoznosti 0,15 Pa-s i debljine 1 mm. Izracunaj silu kojom vueemo p1ocu. Hoce li ta sila biti ista kad se ulje zagrije? F=17,32N

79.

U horizontalnoj eijevi promjera 10 em tece voda brzinom 3 rnls, pri statickom tlaku 2,2 bar. Izmcunaj tlak u uiem dijelu eijevi promjera 4 em. Gus toea vode je 1 kg/dm3• pz = 48,75 kPa

,' ~

'

-L

·r~=~=====~===~~~===:=======

v = 12,1 rnfs 69.

v,-o


2

Razlika t1aka izmedu sireg i uzeg dijela eijevi iznosi 10 N/em . Presjek sireg dijela eijevi je 10 dm2, a uzeg 5 dm2 . Koliko litara vode protjece ejevovodom u sekundi? Q=816,51Js Lokomotiva presjeka 5 m 2 i aerodinamicnog koefieijenta 0,6 giba se brzinom 108 krn/h. Izracunaj silu otpora zraka, ako je gustoca zraka 1,3 kg!m3. F=1755N

.:.~

·~~

83.

:'-7

·-~~

ll ~!

U

p = 18346 Pa

.Po

a) .&h = 45 em, b) m = 0,318 kg

posudu s vodom v~rtika1no je postavljena staklen~ ~ije~, tako da voda ude u nJU. Iznad vode ostane nepotopljem dw h eijevi visine 12 em. Zatim se u eijev 1ijeva ulje do vrha. a) Za ko1iko ce se spustiti razina vode u eijevi? b) Izracunaj masu x ulivenog ulja. Polumjer eijevi je 4 em, a gustoca upotrijebljenog ulja je 0,9 kg/dm 3•

., :' o :-:-: .·. -:-:-:

-=~==

.: :=:=:

f _:_: ---~=~- __::

a) x = 1,08 m, b) m = 5,43 kg

-+l"'

1

~.--

·'

74.

Camae se giba brzinom 36 krn/h. Povr5ina dije1a presjeka camea koji se na1azi u vodi je 2m2• Izracunaj silu otpora sredine ako je k = 0,3. Gustoca vode je 1 kg/dm3 • F=30 kN

75.

Na camae koji se giba brzinom 54 krn/h dje1uje otpor sredine silom od 25 kN. Povr5ina presjeka camea koji je u vodi je 6m2 • Izracunaj vrijednost aerodinamicnog koefieijenta. k=0,055

~·

84.

H= 17,2 em 85.

76.

77.

202

Brzinom 72 krn/h giba se automobil ceone povrsine 1,8 m 2• Aerodinamicni koefieijent tog automobila je 0,28. a) Izracunaj silu otpora, b) Ako bi se aerodinamicni koeficijent povecao za 50 %, ko1ika bi tada bila sila otpora? a) F = 131 N, b) F = 196,5 N Izracunaj silu unutamjeg trenja izmedu dvije parale1ne ploce povrsine 50 em 2 koje se nalaze na udaljenosti 0,5 mm, a izmedu kojih se nalazi ulje viskoznosti 0,1 Pas. Gomju plocu pokrecemo brzinom 5 m!s. F=5mN

Klip mase m1 = 2 kg napravljenje u obliku diska polumjera R = 4 ern sa otvororn u sredistu u koji je postavljena eilindricna eijev polumjera r = 1 ern. Klip moze bez trenja kliziti dui staklene posude. Na koju ce se visinu H podici klip ako se u eijev nalije 1 litra vode, u trenutku kad se klip nalazi na dnu posude?

U spojenim posudama nalazi se ziva. Promjer jedne eijevi je cetiri puta veci od prornjera druge. u uZu eijev se ulije toliko vode da se iznad zive forrnira vodeni stup visine ho = 80 em. Za koliko ce se podici nivo zive u: a) siroj eijevi, a za koliko ce opasti u uioj cijevi, b) u uzoj eijevi ako se u siroj nalije toliko vode da se i u njoj obrazuje vodeni stup iste visine ho? Gustoca zive je 13,59 kg/ drn3, a vode 1 kg/dm3• a) h 1 = 5,54 em, hz = 0,35 em, b) u siroj cijevi ce se spustiti za hz = 0,35 em, a u uzoj podici za h1 = 5,54 em

T~ h

:.-:-.

~

L. t~..----~-I-- ~

203

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 86.

87.

88.


Izracunaj preeiznost otvorenog manometra koji ima milimetarsku podjelu, ako se koristi: a) ziva, b) voda. a) Ap, ~ 0,7 mbar, b) Ap • .,. 0,05 mbar Na dnu rezervoara u kome se nalazi voda na dubini 120 em ispod povrsine vode, nalazi se kruZni bocni otvor promjera 5 em2• Izracunaj potrebnu silu na zatvaracu da bi sprijecila istjeeanje vode. F=23,1 N

llJJ

U posudi se nalaze jednake mase zive i vode, ukupne visine 40 em. Izracunaj tlak na dno posude.

h

p=7219 Pa 89.

90.

91.

h

U kotlu vlada tlak 1,2 MPa, dokje vanjski tlak I bar. Kotao je eilindricnog oblika visine 3,5 m i polumjera osnove 1,2 m. Izracunaj silu koja djeluje na zidove kotla. F=38,96MN Izracunaj kolika sila djeluje na zidove metalne lopte polumjera 50 em, u kojoj vlada ultravisoki vakuum. Uzmi da je atrnosferski tlak 997 mbar. F=SOO kN Plasticnu koeku gustoce 0,7 kg/dm3 stavimo u vodu. Koji ce dio koeke biti iznad vode? V;JV =3/10

97.

Predmct od Ulj= u koj= ': "'""' mjohmit mk>

'7"~< jo u mlm rr:::::::::::~~ -::~:-

705 N, a u vodt 600 N. IzraeunaJ zapremmu mJehunea zraka u tom predmetu. Gustoea zeljezaje 7,8 kg/dm3, a vode 1 kg/dm 3•

::

iV ::

3

--

--

AV = 1,3 dm 98.

:::::::::::::::::::

---------

Predmet od legure bakra i zlata ima masu 50 g. Kada se potopi u vodu ima tezinu 0,442 N. lzracunaj postotak zlata u predmetu. Gustoca bakraje 8,9 kg/drn3, a zlata 19,3 kg/dm 3. 20,4%

99.

Kada se na dno supljeg valjkastog plovka koji pliva na vodi objesi komad zeljeza mase I kg, tada je visina plovka iznad vode 15 em. Kad se teg stavi na plovak, onda je h h visina plovka iznad vode 11 em. Izracunaj povr5inu r, t presjeka plovka. Gustoca -----~· ___ .!: zeljezaje 7,8 kg/dm3• ====:=;:::: S =32em 2

:-:-:-:!- -'

j::::::=~===:~=~=~=3

100. Koliko puta je sila potiska na mjehuric zraka veca neposredno ispod povr5ine vode, nego na dubini 5 m? Uzmi da je atmosferski tlak Po= 1 bar. F1/F2 = 1,5 3

92.

Zeljezna koeka straniee 10 em i gustoce 7,8 kg/drn3 pliva u zivi gustoce 13,6 kg/dm3. Na zivu se lijeva voda, sve dok ne dostigne gomju p1ohu koeke. Izracunaj visinu sloja vode. hv = 5,4 em

101. Loptiea gustoce 0,7 kg/dm ispusti se u vodi sa dubine 2m. Izracunaj na koju ce visinu iznad vode iskociti loptica.

n .. 86 em

3

93.

Drvena koeka gustoee 700 kg/m3 pliva u posudi s vodom. Na vodu se lijeva ulje gustoce 0,6 kg/drn3 sve dok ne dostigne gomju plohu koeke. Izracunaj odnos volumena koeke koja je u ulju i vodi. V ulju= 3• V vodi

94.

Zracni balon napunjen je vodikom gustoce 0,09 kg/m3• Gustoca zraka je 1,29 kg/m3• Ako je nosivost balona 28 kN, izracunaj polumjer balona. r.,.8,2 m

95.

Balon ukupne mase 0,5 tona 1ebdi u zraku. Iz balona se izbaei teret mase 40 kg vertikalno prema dolje brzinom 1,5 rn/s. Izracunaj visinu na koju ce se balon podici za 5 sekundi. h = 14,92 m

96.

Posuda oblika valjka, cija je povrsina dna 1 dm2 zatvoren je klipom cija je rnasa 2 kg i ispod kojeg se nalazi stup zraka visine 50 em. Ako na klip stavirno uteg mase I 0 kg, za koliko ce se on spustiti? Po= I bar.

AI

........... ........... ............ .......... •

Al=5em

•

•

•

•

0

•••••

It

T'

102. Loptiea gustoce 0,7 kg/dm padne u vodu sa visine 2m. Na koju dubinu ce potonuti kuglica?

h =4,67 m

2

103. Iz vertikalne eijevi cija je povrsina otvora 8 em istjece mlaz vode brzinom V 0 = 10 rn/s i udara u drvenu p!ocu mase 2 kg, kao na slici. Na kojoj visini se odrZava ploca?

Jill!

h=2m

104. Kroz Ventu~jev.~odo~~Ije:, prikazan na sli~i, protjece voda. PromJer stre CIJeVt Je 30 em, a uze 15 em. Razlika razina u piezometarskim eijevima je h = 20 em. Izracunaj brzinu protjecanja vode kroz ufu cijev i protok vode.

v2 = 2,05 rnls, Q = 36,2 lis

105. Iz otvorenog viseg rezervoara pretace se voda u nizi rezervoar, kao na slici. Izracunaj: a) tlak u najnizoj tocki (C), b) protok vode. a) Pc = 54237 Pa, b) Q = 2,43 1/s

'

~

~ ___ _ _- ~ __ - _ _

____ .

~ ---·~ - ~ d, :-~ -_ :-: --ld~ ~- Z~=~=~ =~ ....

--~

Jh= 1.6m

t H=Jm

,~l

W

-1

-. -

..

204

205


mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 113. Hidroeentrala daje I6·I06 kWh energije godisnje pri ukupnom stupnju korisnog djelovanja od 60 %, Pad vode iznosi 36 m. Izracunaj srednji protok vade. Q =8,6 m 3/s

106. Kroz uiu horizontalna cijev promjera 6 em tece voda brzinom 6 mls, a tlakje 2 bar. Uza cijev spojena je na siru eijev promjera 20 em. lzracunaj: a) brzinu i tlak u sirem dijelu cijevi, b) protok vode. a) v = 0,54 rnls, pz = 217854 Pa, b) Q •:::1 71/s

114. Na dnu eilindricne posude nalazi se krumi otvor promjera d = 5 em. Promjer suda je D = 20 em. Naci zavisnost brzine sni:Zavanja nivoa vode u sudu u funkeiji d, D, h. lzracunaj vrijednost te brzine za visinu h = 5 m.

I 07. Protok vode kroz cijev kao na slici je 70,65 1/s, a tlak u vecem presjeku je 2 bar. Izracunaj brzinu i tlak u manjem presjeku. r,=15 em, r2=?,5 em. Vz = 4 mls, p 2 "" 1,75 bar

sz ·..fiih v 1 = .JSr=Sf, s2 -s2

/.8,.

I 08. Kroz eijev promjenljivog presjeka, koja je u odriosu na horizontalnu ravninu nagnuta, pro~ece voda. l'oprecni presjek gomjeg dijela cijevi je 40 cm2, a donjeg 10 em2. Srediste presjeka gomjeg dijela cijevi na1azi se iznad horizontale 4m, a donjeg na visini 1m. lzracunaj odnos brzina u danim presjecima, ako je razlika tlaka u gomjem i donjem presjeku 0,3 bar. Vz/VJ ""4

.I

l

03m~

~ ~

~

~

~

a) Vs = 0,422 m/s, b) Ps = 173841 Pa, c) Q =8481/s

~.,

Vs

110. lzracunaj vrijeme za koje ce isteci voda iz pune spriee ako se na k1ip djeluje silom od 1,84 N, a hod klipa je I= 4,5 em. Povrsina klipa S 1 = 1,84 cm2, a povr!lina otvora igle s2 = 0,92 mrn2. t= 2 s

115. lzracunaj visinu na koju ce se podici voda iz posude, kao na sliei. Kroz.horizontalnu eijev struji zrak brzinom v 1 = I m/s. · Uzi presjek ima dvadeset puta manju povr5inu nego siri. Gustoca zrakaje 1,29 kg/m 3•

s, v, ~:=:=:::::::::'!11

~

jj iJ

~

--- -- . . ..:~------====1==--=::::_~-~-

r····"''''''''" . -

...

-·

..........

-~

... .

=:

-=------·------=======-_=======:t:======-

/'·ll·li0 \11 t~ !~

h, ~~---=-=-=-=-=n-=-=--------. ---

nv2

h2

I II l

~ IS 1

_- ...:,_.

_

-

116. Brzina zraka kroz uredaj za klimatizaeiju je 5 m/s, a protokje 3m3/s. Izracunaj snagu ventilatora. P=48,4W 117. Klip duzine I = 4 em i polumjera 0,6 em nalazi se u eijevi polumjera 0,8 em. Izmedu klipa i eijevi nalazi se sloj maziva dinamicke viskoznosti 0,82 Pa·s. Izracunaj brzinu kojom ce se gibati klip kroz eijev aka na njega djelujemo silom od 1 N. v = 1,62 m/s. 118. Rezervoar visine I 0 m napunjen je uljem. Na dnu rezervoara nalazi se otvor na koji je postavljena eijev duljine I = 2 m i poluinjera I em. lzracunaj najvecli brzinu istjecanja ulja kroz eijev i protok ulja. Gustoca uljaje 900 kg/m 3, a dinamicka viskoznost 0,5 Pa·s. Vm

~?·"\

d

h

v, Ill. Mlaz vode u fontani istjece brzinom v 2 = 12 m/s kroz otvor promjera 2 em, kao na slici. Promjer rezervoara je D = 2 m. lzracunaj: a) brzinu spustanja nivoa vode u rezervoaru, b) tlak pod kojim voda istjece iz fontane, c) visinu mlaza vade a) v 1 = 1,2 mm/s b) P1 =72 kPa c) h 2 = 7,34 m

;=--~~--~--~--~--=--~--=--==i h

h=22mm

~

109. Voda protjeee kroz eijev u presjeku A brzinom 3 m/s, pod tlakom 1,4 bar. Izracunaj: a) brzinu u presjeku B, b) tlak u presjeku B, c) protok vode.

v 1 ""0,6 m/s

2

:-:-:-:-:-:-:-:>&:t-:

""2,21 m/s, Q = 0,3471/s

-------------------------------------· ·-------------

H t--------------

----------:-:-~ :----_.._----:-_-_-c -:-:-:-:-:-:-:-tPI

I

·I

P2

J

---------------~-----------

119. Loptasto zmo plastike gustoce 800 kg/m 3 isplivava ka slobodnoj povrsini vode stalnom brzinom 0,2 m/s. Viskoznost vode je 0,8 mPa·s. Izracunaj polumjer loptastog zma. r=0,6 mm

J

T

.

~-:-;::;:~~:~:;:~;=~~;::~;:12 1__ , __

'

120. lzracunaj promjer kisne kapi koja pada stalnom brzinom 0,4 m/s. Viskoznost zrakaje 13 J!Pa·s. d = 96,8 fllll

112. Kroz kana) dubok 2m i sirok 5 m protjece voda stalnom brzinom 4 mls. Ako pretpostavimo da jc brzina vode ista po cijelom presjeku kanala, kolikom snagom raspola:Ze voda? Do koje ce se visine popeti voda u vertikalnom kraku Pitotove eijevi kojom se mjeri brzina vode u kanalu? P = 320 kW, h = 81,5 em

206

207


SADRZAJ 1.

UVOD ........................................................................................................................................ 1 Matematicke dopune .................................................................................................................. I R_a::voJ fizik~ ~roz_po~ijest~. cil} i_ podjela .................................................................................. 5 Ftztkalne vehcme 1 mJeme Jedmtce ......................................................................................... 19 Skalame i vektorske velicine u fizici ....................................................................................... 21 Greske pri mjerenju ...................................................................................................: .............. 25

2.

KINEMATIKA ...................................................................................................................... 34 Osnovni pojmovi ...................................................................................................................... 34 Jednoliko pravocrtno gibanje ................................................................................................... 37 Promjenljivo pravocrtno gibanje .............................................................................................. 38 Slobodan pad, vertikalan hitac ................................................................................................. 57 Kruzno gibanje ......................................................................................................................... 63

3.

DINAMIKA ............................................................................................................................ 73 Gustoca tijela ........................................................................................................................... 73 Newtonovi zakoni ................................................................................................................... 75 lmpuls tijela i impuls sile .............................................................•........................................... 83 Slaganje i razlaganje sila .......................................................................................................... 90 Elasticna sila ........... :................................................................................................................. 95 Sila trenja ............................................................................................................................... I 00 Centripetalna sila ........................................................................................ ,........................... I09

4.

GRAVITACIJSKOPOLJE ................................................................................................ Horizontalan ·hitac .................................................................................................................. Kosi hitac ............................................................................................................................... Newtonov zakon gravitacije ................................................................................................... Keplerovi zakoni .................. :.................................................................................................

118 118 121 129 131

5.

. ENERGIJA, RAD, SNAG A 139 Mehanicka energija 139 Mehanicki rad 141 Energija tijela koje titra .......................................................................................................... 143 Snaga ...................................................................................................................................... 144 Zakoni odrzanja ...................................................................................................................... 145

6.

MEHANIKA KRUTOG TIJELA ....................................................................................... 162 'Moment sile ............................................................................................................................ 162 Rotacija krutog tijela ............................................................................................................... 168 Moment impulsa- kutna kolicina gibanja .............................................................................. 170 Analogije izmedu pravocrtnog gibanja i rotacije ................................................................... 171

7.

208

MEHANTKA FLUIDA Tlak Hidrostaticki tlak Krvni tlak Uzgon (potisak)- Arhimedov zakon Atmosferski tlak Jednadzba kontinuiteta Bemoullijeva jednadzba Specijalni slucajevi primjene Bernoullijeve jednadzbe Realni fluidi Otpor sredine

182 182 183 185 186 187 189 190 192 194

195

Fizika 1 Željko Stapić

Recommend Documents