BAB IV INTEGRAL LIPAT Bab ini hanya menyajikan pengenalan singkat tentang integral lipat. Akan dibahas tentang penggunaan integral lipat dalam fisika antara lain untuk menghitung luas bidang, volume, massa, koordinat pusatmassa dan momen inersia. Di samping itu, dibahas pula transformasi koordinat pada variabel integrasi sebagai upaya untuk memudahkan perhitungan integral lipat yaitu dengan memperkenalkan memperkenalkan
konsep
Jacobian.
4.1. Pengertian Integral Lipat Dua
Luas di bawah kurva pada Gambar 4.1 dapat didekati dengan menjumlahkan persegi-persegi panjang yang panjangnya f ( x) dan lebarnya x . Geometri menunjukkan bahwa dengan
membuat lebar x 0, maka jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut akan cenderung sama dengan luas daerah di bawah kurva, yang bentuk penjumlahan ini dinyatakan sebagai integral. Sehingga luas daerah di bawah kurva y f ( x ) dinyatakan sebagai: b
Luas lim lim
x 0
b
f ( x) x f ( x)dx ydx a
(4.1)
a
Matematika untuk Fisika Fisika
1
b
Jadi integral
f ( x )dx merupakan limit dari jumlah luas persegia
persegi panjang panjang pada Gambar 4.1.
y y( x x)
O
a x
b
x
Gambar 4.1 Menghitung luas daerah di bawah kurva y f ( x )
Uraian di atas dapat dikembangkan untuk menghitung volume benda di bawah permukaan z f ( x, y ), misal volume silinder di bawah binang seperti tampak pada Gambar 4.2. Mulamula bidang xy dibagi menjadi beberapa luasan kecil sebesar
A ( x)( y ). Dari setiap luasan ini dibentuk kotak vertikal ke atas sampai permukaan z f ( x, y ). Volume silinder ini dapat didekati dengan menjumlahkan seluruh volume kotak. Jika volume kotak diperkecil yaitu dengan membuat x dan y 0, maka
2
Integral Lipat
secara geometris jumlah seluruh volume kotak akan cenderung mendekati volume silinder. Integral lipat-dua dari f ( x, y ) meliputi seluruh luasan A dalam bidang xy tidak lain merupakan pendekatan dari jumlah luasan A ( x)( y ). Hal ini dapat dinyatakan dengan ungkapan volume lim lim
x 0 y 0
f ( x, y ) x y zdxdy A
f ( x, y )dxdy
(4.2)
A
Pernyataan (4.2) inilah yang dikenal sebagai integral lipat dua dari fungsi f ( x , y ) terhadap daerah A . Pada integral lipat dua berlaku beberapa sifat sebagi berikut: (i). Jika f f ( x, y ) dan g g ( x , y ) dua fungsi terdefinisi pada daerah A, maka
( f g )dxdy fdxdy gdxdy A
A
(4.3)
A
(ii). Jika c sebuah tetapan, tet apan, maka
(cf )dxdy c fdxdy A
(4.4)
A
(iii). Jika A merupakan gabungan dua daerah A1 dan A2, maka
fdxdy fdxdy fdxdy A
A1
(4.5)
A2
Matematika untuk Fisika Fisika
3
z
z=f ( x,y x,y) O
y x
y
x
Gambar 4.2 Integral lipat-dua dari z f ( x , y )
4.2. Integral Berulang
Integral lipat biasanya dihitung dengan menggunakan integral berulang. Untuk memahami perhitungan ini perhatikan sketsa luas A berikut ini. Untuk menghitung
f ( x, y )dxdy , dapat dilakukan A
dengan menggabungkan segiempat kecil-kecil dxdy sehingga membentuk pita tipis, kemudian menjumlahkan seluruh pita ini untuk menghasilkan luas daerah yang diinginkan. Luasan A yang ditunjukkan pada Gambar 4.4, seluruhnya merupakan daerah yang normal terhadap sumbu- x artinya setiap garis yang tegak lurus sumbu- x hanya memotong dua kurva pada 4
Integral Lipat
batas daerah A. Untuk mengintegralkan pada daerah yang normal terhadap sumbu-x ini, maka pertama-tama mengintegralkan terhadap y, baru selanjutnya terhadap x. Batas bawah dan atas daerah A adalah kurva y1 ( x ) dan y2 ( x ) , sedangkan batas kiri dan kanannya berupa konstanta yitu x = a dan x = b. Sehingga bentuk integral berulang yang tepat untuk digunakan sebagai berikut:
y ( x ) A f ( x, y )dxdy xa y y ( f x )( x, y )dy dx. b
2
(4.6)
1
y
y2( x)
y
y y2( x)
y2( x) y1( x) O
a
y1( x)
y1( x) b x O
a
b x O
a
b x
Gambar 4.3 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normal terhadap sumbu- x Luasan A yang ditunjukkan pada Gambar 4.5, seluruhnya merupakan daerah yang normal terhadap ter hadap sumbu- y artinya setiap garis yang tegak lurus sumbu- y hanya memotong dua kurva pada batas daerah A. Untuk mengintegralkan pada daerah yang normal terhadap sumbu-y ini, maka pertama-tama mengintegralkan terhadap x, baru selanjutnya terhadap y. Batas batas kiri dan
Matematika untuk Fisika Fisika
5
kanannya kanannya daerah A adalah kurva x1 ( y) dan x 2 ( y ) , sedangkan bawah dan atasnya berupa konstanta yitu yitu y = c dan y= d. Sehingga bentuk integral berulang yang tepat untuk digunakan digunakan sebagai berikut:
x ( y ) A f ( x, y )dxdy yc x x( f y ) ( x, y )dx dy. d
2
(4.7)
1
y d
y d x1( y)
x1( y)
x2( y)
c
y d x2( y)
x1( y)
c
O
x
c
O
x
x2( y)
O
x
Gambar 4.3 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normal terhadap sumbu- y Gambar 4.6, mengilustrasikan daerah A yang normal terhadap sumbu- x maupun sumbu- y, sehingga untuk menghitung integral meliputi daerah tersebut dapat digunakan persamaan (4.6) ataupun (4.7), sebagai berikut: x b y 2 ( x )
x d x2 ( y )
x a y y1 ( x )
y c x x1 ( y )
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dydx f ( x, y )dxdy A
y d
y d
y d
c
c
c
O
6
a
b x
Integral Lipat
O
a
bx
O
a
bx
Gambar 4.6 Menghitung integral lipat untuk daerah A yang normal terhadap sumbu- y maupun sumbu- x Jika f ( x, y ) dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi, misalnya f ( x, y ) g ( x )h( y ), maka
b d (4.8) f ( x , y ) dxdy g ( x ) h ( y ) dydx g ( x ) dx h ( y ) dy A a c x a y c b
d
Contoh 4.1
Dengan menggunakan integral, hitunglah nilai
2 x 3 y dx dy dengan R merupakan
daerah berarsir berikut! berikut !
R
y
1
0
2
x
Matematika untuk Fisika Fisika
7
Penyelesaian:
1 Persamaan Persamaa n garis yang melalui titik tit ik (0,0) dan (2,1) adalah y x 2 1 y x x 2 2
2 x 3 y dxdy 2 x 3 y dydx x 1 y 0
R
2
1 x 2
2 2 xy y dx 2 0 x 0 3
2
x 3 x 3 2 3 2 x x dx 8 3 8 0 x 0 2
5 8 1 0 3 3
Contoh 4.2
Hitunglah
x dx dy
dengan R luasan pada gambar berikut !
R
y
(4,4)
4
R
O
6
x
Penyelesaian:
Persamaan garis yang melalui titik (0,0) dan (4,4) adalah x y
8
Integral Lipat
Persamaan garis yang melalui titik 4,4 dan 6,0 y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
y 4
04
x 4
64
y 4 2 x 4 y 2 x 12 x 6
1 2
y
Maka, 1 x 6 y y 4 2
x dx dy
y 0
R
y 4
1 6 y 2
x x dx dy 2 x y y 0 y 2
dx dy
6 12 y 2 y 2 dy 2 2 y 0 y 4
36 6 y 14 y 2 y 2 dy 2 2 y 0 y 4
y 4
y 2 y 18 3 y 18 y 2 dy 18 3 y 38 y 2 dy 2 y 0 y 0
4
4
3 1 18 y y 2 y 3 2 8 0 40
Contoh 4.3
Hitunglah nilai integral
x dx dy , dengan R merupakan
daerah
R
berarsir pada gambar gambar berikut! y
y x
2
y 2 x 8
Matematika untuk Fisika Fisika
9
2
O
4
x
Penyelesaian: x 4 y 2 x 8
x dx dy
x 4
2 x 8 xy x dx
x dy dx
x 2 y x 2
R
x 4
2 x
2
8 x x
x 2
2
x 2
3 2 x 8 x2
4
1 4 2 3 2 dx x 4 x x 4 -2 3
1 4 2 1 2 3 2 3 2 4 4 44 4 2 4 2 2 4 4 3 3 128 16 64 64 16 4 3 3
144
3 36
12
4.3. Integral Lipat Tiga
Pada pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bagaimana menghitung volume benda dengan menggunakan integral lipat dua, yaitu dengan membagi-bagi seluruh volume dalam volume balok balok balok kecil setinggi set inggi z yang luas penampangnya x y (lihat Gamb Ga mbar ar 4.2). Seluruh volume juga dapat dibagi-bagi menjadi kubus-kubus kecil dengan volume x y y , sehingga
10
Integral Lipat Lipat
volume lim lim
x0 y 0 z 0
x y z dxdydz
(4.9)
V
Pernyataan (4.9) ini dikenal sebagai integral lipat tiga. Sedangkan bentuk umum umum integral lipat tiga adalah I
f ( x, y, z )dxdydz
(4.10)
V
4.4. Penerapan Integral Lipat Dalam Fisika Luas
Telah dijelaskan di muka, bahwa luas dapat dihitung dengan rumus integral (4.1). sedangkan untuk menghitung luas suatu daerah menggunakan integral lipat, misalnya pada Gambar 4.1, maka seluruh luasan dibagi-bagi menjadi elemen luasan persegi sangat kecil x y kemudian menjumlahkannya (Gambar 4.70), 4.70), sehingga diperoleh luas lim lim
x 0 y 0
x y
dxdy
(4.11)
A
y y( x x)
y O
a
x
b
x
Matematika untuk Fisika Fisika
11
(Gambar 4.70). Elemen luas Sedangkan elemen panjang busur (Gambar 4.71), dapat dinyatakan sebagai (a) Elemen panjang busur ds didefinisikan seperti ditunjukkan pada Gambar 4.8, yaitu 2 2 2 ds dx dy
(4.11)
atau 2
dy ds dx 2 dy 2 1 dx dx 2
dx 1dy. dy
y ds
dy
dx O
12
Integral Lipat Lipat
x
(4.12)
Gambar 4.71. Elemen Panjang Busur Dengan demikian, panjang busur dari y = f ( x x) antara a dan b, yaitu b
s
a
2
dy 1 dx dx 2
(4.13)
dx 1dy dy a b
Volume
Untuk menghitung volume suatu benda dapat digunakan persamaan (4.2) atau persamaan (4.9), yaitu volume
zdxdy
atau volume
A
dxdydz V
Massa
Secara umum massa suatu benda M dinyatakan dinyatakan sebagai M dm . Massa elemen luasan M yang yang rapat massanya ( x x, y) pada daerah R dalam bidang- xy, dinyatakan oleh M
( x, y )dxdy
(4.12)
R
Massa benda ruang M yang yang kerapatannya kerapatannya ( x, y, z) pada daerah G dalam ruang- xyz, dinyatakan oleh M
( x, y, z )dxdydz
(4.13)
G
Pusat massa Matematika untuk Fisika Fisika
13
Secara umum koordinat pusat massa benda bermassa dinyatakan sebagai xdm xdm x dm M
M
(4.14)
Koordinat pusat massa elemen luasan ( x , y ) rapat massanya ( x x, y)
x ( x, y )dxdy y ( x, y )dxdy , y x ( x, y )dxdy ( x, y )dxdy R
R
R
(4.15)
R
Koordinat pusat massa elemen luasan dengan kerapatan homogen
xdxdy x dxdy R
ydxdy y dxdy R
,
R
R
Koordinat pusat massa ( x , y , z ) elemen ruang yang kerapatannya ( x, y, z) adalah
x ( x, y, z )dxdydz x
G
y ( x, y, z )dxdydz , y , ( x, y, z)dxdydz G
( x, y, z)dxdydz G
G
z ( x, y, z)dxdydz z ( x, y, z)dxdydz G
(4.16)
G
Sedangkan Koordinat pusat massa elemen ruang homogen ( x , y , z )
xdxdydz ydxdydz zdxdydz , y , z x dxdydz dxdydz dxdydz G
G
G
G
G
(4.17)
G
Momen inersia
Momen inersia suatu benda yang berjarak l dari sumbu putar dinyatakan sebagai
14
Integral Lipat Lipat
I l dM 2
(4.18)
Sehingga momen inersia elemen luasan terhadap sumbu putar sumbu- x dan sumbu- y dinyatakan sebagai
I x y 2 dM
y 2 ( x, y )dxdy
A
I y x 2dM
x 2 ( x , y )dxdy
(4.19)
A
Terhadap sumbu-z elemen massa berjarak
x y , sehingga 2
2
momen inersia terhadap sumbu putar sumbu-z sumbu-z adalah ada lah
I y x 2 dM
( x 2 y 2 ) ( x , y )dxdy
A
I z I x I y
(4.20)
Ungkapan (4.20) dinamakan teorema sumbu tegak lurus. Selain itu juga berlaku teorema sumbu sejajar, yaitu yaitu momen inersia pada sumbu sejajar I // yang berjarak d dari pusat massa dirumuskan sebagai I // I cm Md 2
(4.21)
Contoh 4.4
Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah luas daerah berarsir berikut! y x 2
y
y 4
-2
O
2
x
Matematika untuk Fisika Fisika
15
Penyelesaian:
Cara 1 A
dy dx x 2 2 y 4
A
x2 2 y 4
x1 2 y x 2
dy dx
x1 2 y x 2
x 2 2
dy dx
x 2 2
x1 2
16
16 3
2
dx
x1 2
2
8 1 3 8 dx 4 x- x 8 8 3 2 3 3
4-x 2
y x4
48 16 3
32 3
satuan luas
Cara 2: A
y 4 x y
dx dy
y 4
dx dy
y 0 x y y 4
y 4
y
dy
y -
y dy
y 0
4
4 2 y dy y 3 0
2 y dy y 0
x
y 0 1 2
y 0
y 4 y
3 2
32 4 4 4 satuan luas 2 0 .8 3 3 3 3 3 2
3 2
(jika kerapatannya seragam tentukan: massa, pusat massa, momen inersia terhadap sumbu Y, momen inersia terhadap sumbu pada garis x=1) x=1)
16
Integral Lipat Lipat
Contoh 4.5:
Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah luas daerah berarsir berikut ! y x 2
y
9
O
3
6
x
Penyelesaian:
Persamaan Persamaa n garis melalu melaluii t itik (6,0) dan (3,9)
y 0 x 6
90 36
y x 6
9
3
3 y 9 x 54 y 3 x 18 x A
y 9
y 0
18 y 3
dx dy 18 y
x
3 y
y 9
18 y dy y dy 3 y 0
Matematika untuk Fisika Fisika
17
y 9
y 2 y 2 6 y dy 6 y y 3 6 3 y 0 2
1
9
3
0
2
2 9 2 3 69 9 2 0 6 3 81 45 54 18 satuan luas 6 2
(jika kerapatannya seragam tentukan: massa, pusat massa, momen inersia terhadap sumbu y, momen inersia terhadap sumbu pada garis x=1)
Contoh 4.6
Sebuah pelat panjangnya 20 cm dan lebarnya 8 cm dapat digambarkan sebagai berikut. y
20 cm
8 cm
Jika (rapat massa) berubah linear sepanjang sumbu x ( pada x 0 , 20
gram cm 2
dan pada
x 20 cm , 60
Tentukan : a.) Massa pelat b.) Pusat massa pelat 20
18
Integral Lipat Lipat
g cm
60 cm 2 g
2
gram cm 2
)
c.) Momen inersia inersia pelat, jika (i) diputar terhadap sisi
; (ii)
diputar terhadap sisi y; (iii) diputar terhadap sumbu putar sejajar x melalui pusat massa; (iv) diputar terhadap sumbu putar sejajar y melalui pusat massa. Penyelesaian:
Pertama-tama ditentukan persamaan σ sebagai σ sebagai fungsi x:
(gr/cm2)
x(cm)
20
0
60
20
x 0
20
20 0 60 20
x
20
1 2
2 x 20
a.) Menentukan Massa ( m ) 8 20
8
m x, y dx dy 2 x 20 dx dy x 2 20 x 0 0 0
20
dy
0
8
8 800 dy 800 y 0 6400 gram 0
b). Menentukan Menentukan pusat massa ( x , y ) 8 20
x
x x, y dx dy x2 x 20 dx dy x, y dx dy
0 0
6400
8 20 8 20 1 2 x2 x 20 dx dy 2 x 20 x dx dy 6400 0 0 6400 0 0 20 8 8 1 2 2 1 28000 2 dy x 10 x dy 6400 0 3 0 6400 0 3
1
Matematika untuk Fisika Fisika
19
8
1000 28 1000 224 35 y 6400 3 0 6400 3 3
11,67 cm 8 20
y x, y dx dy y 2 x 20 dx dy y 6400 x, y dx dy 0 0
8 20 8 20 1 2 xy 20 y dx dy 2 xy 20 y dx dy 6400 0 0 6400 0 0
1
8 8 2 20 1 1 400 y 2 x y 20 xy dy 800 y dy 0 6400 0 6400 0 6400
1
1
4008 25600 4 cm 2
6400
6400
atau dengan menggunakan sifat simetri maka y
8 2
4 cm
35 , 4 cm 3
Jadi, pusat massa pelat adalah ( x, y ) c). Menentukan Momen Inersia
(i). Momen inersia bila diputar terhadap sumbu x I x
8 20
y 2 x , y dx dy
y 2 2 x 20 dx dy
0 0 8 20
2 xy 2 20 y 2 dx dy y 2 x, y dx dy 0 0 8 20
8 20
y 2 x 20 dx dy 2 xy 2 20 y 2 dx dy 2
0 0
20
Integral Lipat Lipat
0 0
8 0
8
x y 20 xy 2
2
2 20 0
8
dy
800 y dy
0
2
0 8
800
409600 y 136533,33 gcm 2 3 3 0 3
(ii). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu y I x
8 20
x 2 x, y dx dy
x 2 2 x 20 dx dy
0 0 20
x x 2 x 3 20 x 2 dx dy 20 dy 2 3 0 0 0 0 8 20
8
4
3
8
400000 400000 8 dy y 0 3 3 0
3200000 3
1066666,67 g.cm2
(iii). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu putar sejajar melalui pusat massa Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar I // I cm md 2 I x I cmx md 2 I cmx I x md
2
I cmx 136533,33 6400 4
2
136533,33 102400 34133,3 g.cm 2 (iv). Momen Inersia bila diputar terhadap sumbu putar sejajar y melalui pusat massa Dengan menggunakan menggunakan teorema teo rema sumbu sejajar
Matematika untuk Fisika Fisika
21
I // I cm md 2 I y I cmy md 2 I cmy I y md
2
2
35 1066666,67 6400 195555,56 g.cm 2 3 Contoh 4.7 Sebuah pelat persegi dengan sisi b mempunyai kerapatan
homogen σ , sehingga massanya
. Jika Jika pelat tersebut
diputar dengan sumbu putar salah satu diagonalnya, tentukan momen inersia pelat dan nyatakan jawaban anda dalam m dan b.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan sifat simetri benda, maka dapat diselesaikan dengan menghitung seperempat bagian dari pelat tersebut.
Dengan
menempatkan
diagonal
pada
sumbu
koordinat, maka dalam bidang kartesian ¼ persegi dapat digambarkan sebagai berikut: y 1b 2 2
b
x
Gambar di atas merupakan seperempat pelat, dengan meletakkan diagonal pelat pada kedua sumbu koordinat. Untuk menghitung momen inersia dengan sumbu putar salah satu diagonal, maka dapat dihitung dari 4 kali momen inersia pelat segitiga dengan sumbu putar sumbu y sumbu y . Sehingga diperoleh: 22
Integral Lipat Lipat
4.5. Transformasi Variabel dalam Integral
Pada perhitungan integral tunggal, sering kali dilakukan substitusi variabel untuk mempermudah perhitungan. Demikian pula untuk mempermudah mempermudah perhitungan integral lipat, sering kali perlu melakukam transformasi variabel atau mengubah mengubah variabel integrasi x dan y. Selain sistem koordinat kartesian, dalam matematika ada bermacam-macam sistem koordinat yang yang dikenal. Untuk sistem koordinat dua dimensi antara lain koordinat kutub (polar). Sedangkan untuk sistem koordinat tiga dimensi antara lain koordinat silinder dan koordinat bola. Pilihan sistem koordinat
Matematika untuk Fisika Fisika
23
yang digunakan bergantung pada persoalan yang dihadapi. Oleh karena itu, perlu diketahui transformasi (alih bentuk) dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain. Untuk melakukan transformasi sistem koordinat, selain secara geometris dapat pula digunakan cara determinan. Cara determinan ini dikenal sebagai metode Jacobi. Metode ini ini berkaitan berkaitan dengan pengertian Jacobian. Misal variabel ( x, y y) dapat dinyatakan dalam variabel baru ( u,v). Pengertian Jacobian ( x, y y) terhadap (u,v) dinyatakan dalam ungkapan berikut:
x x , y ( x , y ) u J J u, v (u, v ) y u
x v y v
(4.22)
x x , y disebut faktor Jacobian. Ungkapan ( dibaca ‘do x J J u u, v do u’) menyatakan turunan parsial x terhadap u yang nilainya sama dengan turunan x terhadap u untuk variabel v tetap. Dengan menggunakan faktor Jacobian, elemen luas dA dalam koordinat (u,v) adalah
x, y dA dxdy J dudv u, v
(4.23)
Penggunaan Jacobian dapat dikembangkan untuk tiga variabel. Misal variabel ( x, y,z y,z) dapat dinyatakan dalam variabel baru (u,v,w), faktor Jacobian Jacobian ( x, y,z y,z) terhadap (u,v,w) dinyatakan dalam ungkapan berikut:
24
Integral Lipat Lipat
x u ( x, y , z ) y J (u, v, w) u z u
x v y v z v
x w y w z w
(4.24)
x, y) y) menjadi koordinat Transformasi koordinat kartesian ( x, polar ( , )
Hubungan antara sistem koordinat kartesian ( x, y y) dan polar
( , ) diberikan oleh persamaan x cos cos , y si sin n
(4.25)
Dengan mengunakan persamaan (4.22), diperoleh faktor Jacobian ( x t erhadap adap koordinat polar polar ( , ) , x, y y) terh
x ( x, y ) J ( , ) y
x sin cos sin y sin sin cos
(4.26)
Dengan demikian, dA d d
(4.27)
dA dxdy d d
(4.28)
dan
R
R
R
Secara geometris elemen luas pada koordinat polar disajikan pada Gambar 4.60.
Matematika untuk Fisika Fisika
25
y d d dϕ d d dϕ
+d +d
d d ϕ
O
x
Gambar 4.60. Elemen Luas Pada Koordinat Polar
Sedangkan Sedangkan elemen panjang busur dapat dilihat dilihat pada Gamba Ga mbarr 4.61. y
d
ds
d dϕ d ϕ ϕ
O
26
Integral Lipat Lipat
x
Gambar 4.61. Dengan melihat daerah yang diarsir pada Gambar 4.61, maka panjang busur busur ds 2 2 2 d 2 , ds d 2
ds
d 2 d d
(4.21)
d 1 2 d d
Transformasi koordinat kartesian ( x, x, y,z) y,z) menjadi koordinat silinder ( , , z )
Sistem koordinat silinder merupakan perluasan sistem koordinat polar. Gambar 4.16, menunjukkan menunjukkan koordinat titik
P ( , , z ) .
( , ) merupakan koordinat polar proyeksi titik P pada bidang- xy, sedangkan z adalah koordinat z titik P seperti sepert i pada sistem kartesian. Hubungan antara koordinat kartesius ( x, y y, z z) dan koordinat silinder dinyatakan sebagai ( , , z ) , dapat dinyatakan x cos , y sin sin , z z.
(4.29)
Matematika untuk Fisika Fisika
27
z
P( ,ϕ,z ) z
ϕ x
y
x
y
Gambar 4.16. Koordinat silinder silinder Dalam koordinat bola, bidang-bidang berikut mempunyai pernyataan yang yang sederhana: - bidang datar sejajar sejajar dengan bidang xy: z = konstan -
separo bidang datar yang yang dibatasi sumbu z: konstan
- bidang (kulit) (kulit) silinder dengan poros sumbu z: z: = = konstan Ketiga permukaan ini selalu ortogonal, dan perpotongannya merupakan kedudukan titik P. Dengan menggunakan persamaan (4.24), diperoleh faktor Jacobian koordinat kartesian ( x, y,z y,z) terhadap koordinat silinder
( , , z )
28
Integral Lipat Lipat
x ( x, y , z ) y J ( , , z ) z
x y z
x z y z z z
(4.30)
cos sin sin 0 sin cos sin 0
0
0 1
Dengan demikian, dV d d dz
(4.31)
dan
dV dxdydz d d dz V
V
(4.32)
V
Transformasi koordinat kartesian ( x, x, y,z) y,z) menjadi koordinat bola ( r , , )
Gambar 4.17, menunjukkan sebuah titik yang dinyatakan dalam koordinat kartesian P( x, y y, z z) dan dalam koordinat bola dinyatakan sebagai P (r , , ) . Koordinat r adalah panjang vektor posisi titik P, θ adalah sudut antara vektor posisi dengan sumbu z dan ϕ adalah sudut yang dibentuk antara proyeksi vektor posisi pada bidang xy dengan sumbu + x. Perhatikan bahwa sudut terbatas pada nilai 0 , sedangkan sudut ϕ nilainya 0 2 . z
θ,ϕ) P(r,θ,ϕ) r
θ ϕ x
y
z y Matematika untuk Fisika Fisika x
29
Gambar 4.17. Koordinat Bola Hubungan antara koordinat kartesian ( x, y y, z z) dan koordinat bola (r , , ) dinyatakan sebagai
sin cos , y r sin sin cos , z r cos . x r sin
(4.23)
Dalam koordinat bola, bidang-bidang berikut mempunyai pernyataan yang yang sederhana: -
Separo bidang datar yang dibatasi sumbu z: konstan
- bidang (kulit) kerucut dengan poros sumbu z yang berpusat di titik asal: konstan - bidang (kulit) (kulit) bola bo la berjari-jari berjari-jari R: r = = R Berdasarkan (4.24), diperoleh faktor Jacobian
30
Integral Lipat Lipat
x r ( x, y , z ) y J ( r , , ) r z r
x y z
x y z
sin sin cos r cos cos r sin sin sin sin sin sin sin r cos sin sin sin cos sin r sin
r sin sin cos
(4.32)
0
sin r 2 sin Dengan demikian, elemen volume dalam koordinat bola adalah 2 sin dr d d dV r sin
(4.33)
dan
dV
V
dxdydz
V
r 2 sin sin dr d d
(4.34)
V
Contoh 4.8
Sebuah benda berupa pelat tipis berbentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari a dan kerapatan massa serba sama sebesar c. Dengan menggunakan menggunakan integral lipat koordinat koordinat polar, po lar, tentukan: (a) Luas pelat (b) Massa pelat (c) Pusat massa pelat (d) Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar pada sisi yang saling tegak lurus ( I y atau I x ) (e) Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar melalui O dan tegak lurus pelat ( I z )
Matematika untuk Fisika Fisika
31
(f) Momen inersia pelat jika diputar menurut sumbu putar melalui pusat massa massa dan tegak lurus pelat pelat ( I cmz ) Penyelesaian: y
a
O
a
x
(a) Luasnya A
2a
0 0
0
2
d d
a
2 a 2 2 a 2 2 d 2 0 4 satuan luas 0
(b) Massanya
m
2a
, d d c d d c d d 0 0
c a
4
2
satuan massa
(c) Pusat Massanya x y , karena simetris dan seragam
32
Integral Lipat Lipat
cos c d d x dm cos x
dm
1
2a
m
m
c cos d d 2
0 0
4c 3
a
sin 0 2 sin c a 3 0
2
4 a3
1 c a 2
2a
4
c 2 cos d d
0 0
4 a 3 sin sin sin 0 2 sin a 3 2
4a
1 0 3
a 2 3
y x
4a 3
4a 4a , 3 3
Jadi, pusat massanya adalah ( x , y )
(d) Momen inersia jika diputar menurut sumbu putar pada sisi yang saling tegak lurus I x
y 2 dm
, d 2 sin sin 2 σ d 3 sin sin 2 c d d π 2a
a
4 a 2 3 2 sin d d c sin sin d c sin 4 0 0 0 0 π 2
ca 1 1 ca 1 1 sin cos 2 si n 2 d 2 2 4 2 4 4 0 0 4
a
4
Matematika untuk Fisika Fisika
33
ca 4 π 1 1 sin si n π 0 sin si n 0 4 4 4 4 ca 4 c a 4 0 0 0 16 4 4 I y I x
ca
4
16
ma
2
4
(e) Dengan menggunakan teorema sumbu tegak lurus, momen inersia terhadap sumbu putar pada sumbu z I z I x I y
ca 4 16
ca 4 16
ca 4 8
ma
2
2
(f) Dengan menggunakan teorema sumbu sejajar, I cmz I // I cm m d 2 I cm I // m d 2
4a
d x y 2
2
2
2
4a
2
16a
2
16a
2
32a
2
2 2 3 9 9 9 2
3
ca 2 32a 2 ca 4 8 ca 4 I cmz I z m d 2 8 8 9 2 4 9 8 ca 4 2 ca 4 0,39 0,28 8 9 2
ca 4
0,11 ca 4
Contoh 4.9
Dengan menggunakan integral lipat tiga dalam koordinat bola, tunjukkan bahwa rumus volume bola yang berjari-jari a adalah V 43 a . 3
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (4.34) diperoleh, 34
Integral Lipat Lipat
V
2 a
1 dV
r 2 sin dr d d
0 0 0
V
a 2 2 r dr sin d 1 d 0 0 0 a
r a3 2 cos 0 0 0 1 1 2 0 3 0 3 3
sehingga diperoleh V 43 a
3
Contoh 4.10
Hitunglah momen inersia bola pada contoh 4.9, terhadap sumbu putar melalui pusatnya, pusatnya, jika bola homogen dengan dengan massa jenis jenis . Penyelesaian:
Dengan menggunakan persaman (4.18), maka dengan memilih sumbu putar z, diperoleh
I l dM 2
2
( x 2 y 2 )dM
R
( r 2 sin sin 2 )r 2 sin sin drd d
0 0 r 0
a 4 3 2 sin d d r dr sin 0 0 0 a 5 4 2 5 3
8 a 5 15
Matematika untuk Fisika Fisika
35
subsitusi
Dengan
m V
m 4 3
a
3
3m 4 a
3
, maka
momen
inersia bola bermassa m dengan jari-jari a terhadap sumbu putar melalui pusatnya adalah: I
2 5
ma 2
Contoh 4.11
Massa jenis sebuah benda sama dengan kebalikan dari jaraknya dari titik asal, ( r , , ) 1 / r . Dengan menggunakan koordinat bola, tentukan t entukan massa dan massa jenis rata-rata untuk bola bo la berjariberjari jari a. Penyelesaian: Massa: 2 a
m
dV
1
r
2 r sin dr d d
0 0 0
V
a 2 r dr sin d 1 d 0 0 0 a
r2 a2 2 cos 0 0 0 1 1 2 0 2 0 2 2 a 2 Massa jenis rata-rata sama dengan massa total dibagi volumenya, 2 mass m 2 a 3 4 3 volume V a 2a 3
3 2a
Contoh 4.12
36
Integral Lipat Lipat
Sebuah bola yang jari-jarinya 2cm dilubangi dengan menggunakan mata bor yang jari-jarinya 1cm. Jika lubang menyinggung garis tengah bola, tentukan volume bola yang tersisa. Penyelesaian: Untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan koordinat silinder dengan memilih sumbu z melalui pusat bola sejajar dengan sumbu lubang. Gambar dibawah ini, menunjukkan tampang lintang bola tegak lurus dengan sumbu lubang.
Dari gambar dapat dilihat bahwa cos r / 2 . Sehingga persamaan lingkaran batas lubang dengan titik acuan pusat bola dalam koordinat polar adalah r 2 cos
Sudut untuk satu putaran melingkari lubang 2 2 Salah satu tampang lintang bola yang sejajar dengan sumbu lubang digambarkan sebagai berikut,
Matematika untuk Fisika Fisika
37
Pada setiap nilai r , , tinggi (jarak) titik pada permukaan lubang dari bidang ekuator ekuator ( z=0) adalah z
2 r sehingga elemen volume lubang 2
2
dV 2 z dA 2 4 r 2 r dr d
Volume lubang / 2 2cos
/ 2
V
2 4 r 2 r dr d
0
Integral ini tidak dapat dipisahkan karena r sebagai fungsi θ , yaitu r = = 2 cos θ . Lubang pada bola bola simetris terhadap bidang bidang (θ = = 0) / 2 2cos
V 4
0
4 r 2 r dr d
0
2cos
/ 2
4
0
38
4 3
4 r 2 3/ 2 3 2 2 0
d
/2
0 8
8 sin 3 d
Integral Lipat Lipat
32 3
/ 2
0 1
sin 3 d
32
/2
1 d 3 0 /2 32 1 d 3 0
/ 2
0
/ 2
0
sin sin d 2
1 cos sin d 2
Dengan substitusi variabel u = cos θ , , maka du = – sin θ dθ , dan batas integrasinya integrasinya 0 u 1 , u 0 . 2
1 3 32 u 32 / 2 2 0 u 0 0 3 2 3 3 3 0
16
64
3 9 3 = 9,6508 cm Volume bola secara keseluruhan V
4 .23
33,5338 cm 3 .
3 Sehingga volume bola setelah dilubangi sama dengan volume bola 3
dikurangi volume lubang yaitu 23,873 cm .
RANGKUMAN
1. Integral lipat-dua didefinisikan didefinisikan sebagai
f ( x, y )dxdy, A
dengan A adalah luasan pada bidang xy. 2. Koordinat pusat massa ( x , y , z ) dapat dihitung berdasarkan persamaan
Matematika untuk Fisika Fisika
39
x dM xdM , ydM ydM , zdM zdM . 3. Momen inersia I benda benda bermassa m yang berjarak l dari sumbu putar didefinisikan didefinisikan sebagai I ml 2 . 4. Transformasi koordinat antara sistem koordinat polar dan sistem koordinat kartesius dapat dinyatakan dengan persamaan
sin . x r cos dan y r sin 5. Transformasi koordinat antara sistem koordinat kartesius dan sistem koordinat silinder dapat dinyatakan dinyatakan dengan de ngan persamaan x r cos cos , y r sin sin , z = z.
6. Transformasi koordinat antara sistem koordinat kartesius dan sistem koordinat bola dapat dinyatakan dengan persamaan
sin cos , y r sin sin sin sin , z r cos x r sin cos . 7. Elemen volume untuk sistem koordinat kartesius, silinder, dan bola berturut-turut dapat dinyatakan dinyatakan sebagai berikut: berikut: dV dxdydz,
d dz, dV d 2 sin drd d . dV r sin
8. Jacobian ( x, y y) terhadap ( s,t ) dinyatakan dalam ungkapan berikut:
x x, y ( x, y ) s J J y s t s t , ( , ) s
x t . y t
11. Jacobian ( u, v, w) terhadap (r , s, t ) dinyatakan dalam ungkapan berikut:
40
Integral Lipat Lipat
u u r s u, v, w (u , v, w) v v J J r s r , s, t (r , s, t ) w w r s
u t v . t w t
SOAL-SOAL
1.
Hitunglah 1
a.
6
8 xdydx x 0 y 1
1
b.
8
6 xy 2dxdy
y 2 x 1
6
c.
x
2
ydydx x 0 y 0
d.
1
1
0
0
( x 2 ye ) dydx
2. Hitunglah
x
t itik (6 x y )dxdy, dengan A adalah segitiga yang titik A
titik sudutnya (0,0), (6,4), dan (8,0) 3.
Hitunglah
16 x 2 y 2 dA , dengan D adalah keping
D
lingkaran x 2 y 2 16 , dengan pertama-tama mengidentifikasi integral sebagai volume benda padatan. 4.
Tentukan
x 2 y 2 dA
dengan D luasan yang dibatasi oleh
D
y 1, y 2, x 0, and x y 3
5.
Hitunglan integral
4 1 z 2
1
1
5 ze 3 y dxdzdy
1
Matematika untuk Fisika Fisika
41
6.
Dengan menggunakan koordinat polar tentukan volume benda padat di bawah bawah paraboloida z x 2 y 2 dandi atas bidang lingkaran x 2 y 2 49 .
7.
Dengan menggunakan integral lipat, hitunglah volume volume kotak dengan ukuran tinggi 6cm, panjang 4cm dan lebar 3cm.
8.
Gunakan koordinat polar untuk menghitung volume bola yang berjari-jari 8 cm. cm.
9.
Sebuah bola yang jari-jarinnya 10 cm dilubangi dengan mata bor berjari-jari berjari-jari 1 cm melewati pusatnya. Tentukan volume volume cincin-bola yang tersisa.
10. Tentukan luas bidang bagian bola x 2 y 2 z 2 9 yang berada di atas bidang z = 2. 11. Tentukan pusat massa pelat tipis yang dalam bidang koordinat xy dibatasi oleh parabola y 64 x 2 dan sumbu x, jika
kerapatannya ( x, y ) 2 y. 12. Dengan menggunakan koordinat polar hitunglah
y 2
y
2
sin( x 2 y 2 ) dxdy
13. Tentukan momen inersia sebuah kubus terhadap sumbu putar x, jika salah satu titik sudutnya berada pada pangkal koordinat dan ketiga rusuknya berada pada sumbu koordinat. 14. Find the area of the part of o f the sphere x 2 y 2 z 2 4 z that lies inside the paraboloid z x 2 y 2 . 15. Dengan menggunakan menggunakan koordinat silinder silinder hitunglah hitunglah integral lipat tiga
benda padat yang terletak antara y dV , dengan E benda E
42
Integral Lipat Lipat
silinder x 2 y 2 3 dan x 2 y 2 7 di atas bidang xy dan di bawah bidang z x 4 . 16. Dengan menggunakan menggunaka n koordinat koo rdinat bola hitunglah integral integra l lipat tiga
x xe
2
y 2 z 2
2
dV ,
dengan E benda benda padat yang terletak
E
antara bola x 2 y 2 z 2 9 dan x 2 y 2 z 2 16 pada oktan pertama. 17. Dengan menggunakan koordinat bola hitunglah volume benda padat yang berada berada dalam bola x 2 y 2 z 2 9 di atas bidang xy dan di bawah kerucut z x 2 y 2 . 18. Dengan menggunakan koordinat bola atau silinder, silinder, hitunglah integral lipat tiga t iga
benda padat di atas z dV , dengan E benda E
paraboloida z x 2 y 2 dan di bawah bidang
z 4 y .
19. Tentukan Tentuk an faktor Jacobian untuk transformasi transfor masi x
u
2u 7v
, y
v
4u 8v
20. Dengan menggunakan koordinat bola hitunglah volume di atas kerucut z 2 x2 y 2 dan di dalam bola x2 y 2 z 2 2az . 21. Hitunglah volume daerah oktan pertama yang dibatasi oleh bidang y z 2 dan silinder x 4 y 2 . 22. Dengan menggunakan integral lipat hitunglah volume benda padat yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang z 4 2 y x 23. Dari soal no.21, hitunglah massanya jika kerapatan benda ( x, y , z ) yz .
Matematika untuk Fisika Fisika
43
17 Use spherical coordinates to find the moment of inertia of the . solid homogeneous hemisphere of radius 3 and density 1 about a diameter of its base.
Select the correct answer. answer. a. 203.58 195.22
1. 4.
b. 198.08
c. 205.13
d. 213.5
e.
(how do you check your answer?)
Gambar 4.13 Elemen luas koordinat polar. Demikian pula elemen panjang bususr ds diperlihatkan pada Gambar 4.14, yaitu yaitu
44
Integral Lipat Lipat
Gambar 4.14 Elemen panjang busur koordinat polar. Oleh karena itu, menurut (4.27) elemen luas dalam koordinat polar adalah rdrd . Ini merupakan hasil yang telah diperoleh hasil sebelumnya [Persamaan (4.20)].
merupakan Jacobian u, v, w terhadap r , s, t , maka dalam variabel baru integral lipat-tiga lipat-tiga (4.29) dapat dituliskan sebagai sebagai
f (u, v, w)dudvdw. (4.31) Tentu saja f dan dan J harus harus dinyatakan dalam variabel r , s, t dan dan batas integralnya harus disesuaikan dengan variabel baru. Kita dapat menggunakan (4.30) untuk membuktikan elemen volume dalam sistem koordinat silinder dan bola [Persamaan (4.24)]. Sebagai contoh, kita akan menentukan elemen volume untuk koordinat bola.
Matematika untuk Fisika Fisika
45
Gambar 4.15 menunjukkan bahan tipis berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari a dan kerapatan konstan . Hitunglah (a) pusat massa massa bahan dan (b) momen momen inersia bahan terhadap sumbu putar y.
Gambar 4.15 Bahan tipis setengah lingkaran dengan jari-jari a.
Penyelesaian (a) Berdasarkan sifat simetri, y 0. Untuk menghitung x
digunakan rumus sebagai berikut:
xdA xdA. Dengan mengubah x ke dalam koordinat polar serta mengingat (4.20), diperoleh / 2
a
x
a
/ 2
rdrd r cos drdrd ,
r 0 / 2
r 0 / 2
/ 2
a a 2a 3 sin sin , x 3 3 2 / 2 2
x
4a 3
3
.
(b) Momen inersia terhadap sumbu putar y diberikan oleh persamaan
46
Integral Lipat Lipat
I y x dM . 2
Dalam koordinat polar
dM dA rdrd , dengan
konstan. Dengan demikian,
a
I y x rdrd 2
/ 2
r cos 2
2
drd
r 0 / 2
a
Dengan mengingat M rdrd
a 4 8 / 2
.
r drd
a 2
r 0 / 2
2
,
maka I y
2 M a 4 a 2
8
Ma 2
4
.
Dalam fisika, persoalan tiga-dimensi yang berbentuk silinder atau simetri bola sebenarnya dapat diselesaikan dengan sistem koordinat kartesius. Tetapi, dalam banyak hal penyelesaiannya menjadi terlalu rumit. Untuk mengatasi mengatasi penyelesaian yang rumit ini biasanya dilakukan transformasi sistem koordinat dari kartesius ke silinder atau bola. Dengan alasan ini, di samping sistem koordinat kartesius dibahas pula sistem koordinat silinder dan bola. Kedua sistem koordinat ini bersama-sama dengan sistem koordinat kartesius akan dibahas lebih mendalam untuk menjelaskan kesamaan dan perbedaannya.
Matematika untuk Fisika Fisika
47
(a)
(b)
(c)
Gambar 4.16 Tiga sistem koordinat: (a) kartesius, (b) silinder, dan (c) bola.
Gambar 4.16 menunjukkan titik P yang dinyatakan dalam tiga sistem koordinat, ( x, y y, z z) dalam koordinat kartesius, (r , , z ) dalam koordinat silinder, dan (r , , ) dalam koordinat bola. Urutan penulisan koordinat ini penting dan harus diikuti dengan konsisten. Sebagai contoh, sudut muncul pada sistem koordinat silinder dan bola. Dalam koordinat silinder muncul pada urutan kedua, sedangkan dalam koordinat bola muncul pada urutan ketiga. Simbol r digunakan baik dalam koordinat silinder maupun bola, tetapi menjelaskan dua hal yang berbeda. Dalam koordinat silinder, r menyatakan jarak titik terhadap sumbu z, sedangkan koordinat bola r menunjukkan menunjukkan jarak titik terhadap titik asal. asal. Dari Gambar 4.16 tampak bahwa kaitan antara koordinat kartesius ( x, y y, z z) dan koordinat silinder (r , , z ) adalah x r cos , y r sin sin , z z.
(4.22)
48
Integral Lipat Lipat
Demikian pula kaitan antara koordinat kartesius ( x, y y, z z) dan koordinat bola (r , , ) diberikan oleh persamaan x r sin sin cos , y r sin sin cos , z r cos .
(4.23) Sebuah titik merupakan perpotongan antara tiga permukaan ortogonal (Gambar 4.17). Dalam koordinat kartesius, permukaan ini berupa bidang datar takhingga untuk x = konstan, y = konstan, dan z = konstan. Dalam koordinat silinder, z = konstan adalah permukaan
yang
sama
pada
koordinat
kartesius.
Untuk
bidang datar yang yang dibatasi sumbu konstan berbentuk separo bidang z,sedangkan r = konstan berbentuk silinder tegak dengan
penampang penampang lingkaran. Ketiga permukaan ini selalu ortogonal, ortogonal, dan perpotongannya perpotongannya merupakan kedudukan titik P. Dalam koordinat bola, konstan adalah (separo) bidang datar yang sama seperti pada koordinat silinder, r = konstan adalah permukaan bola yang berpusat berpusat di titik asal, dan konstan adalah suatu kerucut lingkaran tegak dengan poros sumbu z dan berpuncak di titik asal. Perhatikan bahwa sudut terbatas pada nilai 0 .
Matematika untuk Fisika Fisika
49
Gambar 4.17 Tiga permukaan ortogonal o rtogonal pada sistem koordinat (a) kartesius, kartesius, (b) silinder, silinder, dan (c) bola.
Jika
koordinat
( x dx, y dy , z dz ) atau
titik
P
dikembangkan
pada
(r dr , d , z dz ),
atau
(r dr , d , d ), akan terbentuk elemen volume dari masing-masing sistem koordinat (Gambar 4.18). Elemen volume masing-masing masing-masing sistem koordina koo rdinatt berturut-turut adalah dV dxdydz
(kartesius)
(4.24a) dV rdrd dz
(silinder)
(4.24b) dV r 2 sin sin drd d (bola)
(4.24c)
Gambar 4.18 Elemen volume untuk sistem koordinat (a) kartesius, (b) silinder, dan (c) bola. Untuk elemen panjang busur ds berturut-turut berturut -turut diberikan oleh
50
Integral Lipat Lipat
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2
(kartesius)
(4.25a) 2 2 2 2 2 ds dr r d dz
(silinder)
(4.25b) 2 2 2 2 2 sin 2 d 2 ds dr r d r sin
(bola)
(4.25c)
Sebuah benda berbentuk kerucut mempunyai tinggi h, jari-jari alas r , dan kerapatan konstan (Gambar 4.19). Jika h = r , hitunglah
(a) pusat massa z dan (b) momen inersia kerucut terhadap sumbu z.
Gambar 4.19 Kerucut dengan tinggi h, jari-jari alas r , dan kerapatan konstan. konstan.
Penyelesaian (a) Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.19, persamaan kerucut dalam koordinat silinder adalah r = z. Elemen massa dM dV rdrd dz, dengan konstan. konstan. Dengan demikian,
Matematika untuk Fisika Fisika
51
h
M dV
2
z
h
rdrd dz 2
z 0 r 0 0
1 2
z dz 2
0
h 3 3
.
Pusat massa dihitung dengan rumus berikut: h
z
2
h
z dV zdV zrdrd dz 2 z 0 r 0 0
1 2
z dz 3
0
h 4 4
,
h 3 h 4 3h z , z . 4 4 3 (b) Momen inersia terhadap sumbu z adalah h
z
2
h
h 5 I r rdrd dz 2 z dz . 10 z 0 r 0 0 0
2
1 4
4
Tetapi M h 3 / 3, sehingga I
3 M h 5 h
3
10
3
2
Mh . 10
(4.33)
Tentukan momen inersia bola pejal dengan jari-jari R terhadap diameternya.
Penyelesaian Dalam koordinat bola, persamaan bola adalah r = R. Jadi, massa bola adalah
2 R
M dV
r 2 sin sin drd d
0 0 r 0
(4.34)
52
Integral Lipat Lipat
4 3
R 3 .
Momen inersia terhadap sumbu z adalah
2
I ( x y )dM 2
2
R
(r sin sin )r drd d 2
0 0 r 0
2
2
4 3
3 R
R 5 4 8 R 5 , 2 15 5 3 2 I MR 2 . 5 (4.35)
CONTOH SOAL 4.10
Tentukan momen inersia dari terhadap sumbu putar z dari ellipsoida pejal x 2 a
2
y 2 b
2
z 2 c
2
1.
Penyelesaian
Matematika untuk Fisika Fisika
53
Kita akan menghitung M dxdydz dan
I
( x y )dxdydz, dengan integral lipat-tiga 2
2
meliputi seluruh volume elipsoida. Dengan melakukan perubahan variabel x ax' , y by ' , z cz ' , maka x' 2 y ' 2 z ' 2 1. Dengan demikian, integral berubah menjadi seluruh volume bola dengan jari-jari 1 satuan. Dengan demikian, M abc
dx' dy' dz' abc (volume benda dengan jari-
jari 1).
Dengan menggunakan Persamaan (4.34), diperoleh M abc( 43 )(1) 3 43 abc. Dengan cara yang sama, I abc
(a x' b y ' )dV '. 2
2
2
2
Disini integral lipat-tiga lipat-t iga meliputi seluruh volume bola dengan jari-jari satu satuan. Berdasarkan Berdasarkan sifat sifat simetri, 1 x' 2 dV ' y ' 2 dV ' z ' 2 dV ' r ' 2 dV ', 3
dengan r ' 2 x' 2 y ' 2 z ' 2 . Dengan menggunakan sistem koordinat bola, diperoleh diperoleh
2
1
1
4 r ' dV ' r ' (r ' sin sin ' dr ' d ' d ' 4 r ' dr ' . 5 0 0 r 0 0
2
2
2
4
Dengan demikian,
I abc a
2
x ' dV ' b 2
atau
54
Integral Lipat Lipat
2
y ' dV ' abc(a b )( 13 )( 45 ), 2
2
2
I 13 M (a 2 b 2 ).
(4.36)
Latihan
1. Dengan
menggunakan
koordinat
polar,
hitunglah
e
x 2 y 2
dxdy.
0 0
2. Dengan mengganti variabel u x y dan v x y , hitunglah 1
1 y
dy e
0
( x y )( x y )
dx.
0
KATA KUNCI koordinat polar polar
momen inersia
koordinat silinder silinder
pengertian titik berat
koordinat bola
titik berat transformasi koordinat
Matematika untuk Fisika Fisika
55
56
Integral Lipat Lipat
1. Hitunglah integral lipat-dua berikut ini: a.
xdxdy, dengan A adalah daerah yang dibatasi oleh A
parabola y x 2 dan garis lurus 2 x y 8 0. b.
dxdy meliputi daerah yang dibatasi oleh y ln x, y e 1 x, dan sumbu x.
c.
y 0 x y
sin sin x x
dxdy.
2. Buktikan bahwa 2
x
x 1 y x
sin sin x 2 y
4
dydx
2
x 2 y x
sin sin x 2 y
dydx
4( 2) 3
.
3. Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan bola x 2 y 2 z 2 4 dan paraboloida parabo loida x 2 y 2 3 z.
4. Bahan tipis berbentuk segiempat mempunyai titik-titik sudut (0,0), (0,2), (3,0), dan (3,2). Jika kerapatan bahan xy, hitunglah (a) massa benda M , (b) koordinat pusat massa ( x , y ), (c) momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y, dan (d) momen inersia terhadap sumbu yang melewati pusat massa dan sejajar dengan sumbu z. 1
5. Nyatakan integral integral I dx 0
1 x 2
e
x 2 y 2
dy sebagai integral
0
dalam koordinat polar, kemudian tentukan nilainya. 6. Tentukan Jacobian
( x, y ) / (u, v ) dari variabel ( x, y y) ke
variabel (u,v) jika x 12 (u 2 v 2 ), y uv. Pengantar Mekanika Analitik
69
7. Dengan
menggunakan
transformasi
koordinat
u x 2 y 2 , v 2 xy , hitunglah integral berikut:
I
x 2 y 2
1 ( x
2
0 0
8. Jika
y ) 2
e 2
2 xy
dxdy.
u x 2 y 2 , v 2 xy, x r cos , y r sin sin ,
buktikan
bahwa (u, v ) / (r , ) 4r 3 . 9. Tentukan (a) volume dan (b) pusat massa daerah A yang dibatasi oleh silinder parabolik z 4 x 2 dan bidang-bidang x = 0, y = 0, y = 6, dan z = 0 jika kerapatannya kerapatannya konstan. 10. Hitunglah massa benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang
x a
y b
z c
1, jika massa jenis benda diberikan oleh
kxyz.
70
Pengantar Mekanika Analitik
Belum terpakai Penyelesaian Massa
segiempat
kecil
dengan
luas
A x y adalah
f ( x, y ) x y. Kita dapat menjumlahkan seluruh massa, yaitu dM xydxdy. Besaran dM ini disebut sebagai elemen massa.
Dengan demikian,
2 1 M xydxdy xydydx xdx y )dy 1. A x 0 y 0 0 0 2
1
Integral lipat tiga dari f ( x, y , z ) meliputi seluruh volume V ditulis ditulis sebagai
f ( x, y, z)dxdydz V
didefinisikan pula sebagai limit jumlah dan dihitung dengan integral berulang. Sebagai ilustrasi perhitungan volume, perhatikan Contoh Soal 4.2.
CONTOH SOAL 4.3
Hitunglah volume benda pada Gambar 4.3 dengan menggunakan integral lipat-tiga.
Pengantar Mekanika Analitik
71
Penyelesaian Untuk menyelesaikan soal ini, bayangkan benda tersebut dipotong potong menjadi kotak kecil-kecil dengan volume x y z sehingga diperoleh elemen volume dxdydz. Mula-mula jumlahkan volume dari kotak kecil-kecil itu sehingga diperoleh volume kolom. Ini berarti mengintegralkan terhadap z dari 0 ke 1 + y dengan x dan y tetap. Selanjutnya, kita menjumlahkan semua volume kolom tersebut untuk memperoleh lapisan volume. Akhirnya, kita menjumlahkan seluruh lapisan volume ini untuk menghasilkan volume benda yang diinginkan. Oleh karena itu, V
1 2 2 x1 y
dxdydz
V
1 2 2 x
dzdydx
x 0 y 0 z 0
(1 y )dydx
x 0 y 0
5 3
,
sebagaimana sebagaimana hasil sebelumnya.
CONTOH SOAL 4.4
Hitunglah massa benda padat pada Gambar 4.3 jika kerapatannya (massa per satuan volume) adalah x + z.
Penyelesaian Elemen massa adalah dM ( x z )dxdydz, sehingga 1 2 2 x1 y
M
1 y
1 2 2 x
( x z )dzdydx
x 0 y 0 z 0
( xz 12 z ) 2
x 0 y 0
dydx x 0
1 2 2 x
[ x (1 y ) 12 (1 y ) ]dydx 2. 2
x 0 y 0
72
Pengantar Mekanika Analitik
1. Hitunglah 2 x y x
2
dzdydx
a.
x 1 y x z 0
2
b.
2
2
dydxdz
z 0 x z y 8 x
Diberikan kurva y x 2 dari x = 0 ke x = 1. Hitunglah (a) Luas di bawah kurva, yaitu yaitu daerah yang dibatasi d ibatasi oleh kurva, sumbu- x, dan garis x = 1 (Gambar 4.7). (b) Massa dari luas bidang pada jawaban (a), jika kerapatannya (massa per satuan luas) adalah xy. (c) Panjang kurva. (d) Dari jawaban (a), tentukan pusat massanya. (d) Dari jawaban (c), tentukan pusat massanya. (f) Momen inersia terhadap sumbu putar x, y, dan z.
Penyelesaian
(b) Luas di bawah kurva diberikan oleh 1
A
1
x 0
x 0
ydx
x 2 dx
x
3
3
1
1
. 0
3
Sebagai alternatif, kita dapat menghitung luas di bawah kurva dengan integral lipat-dua dari elemen luas dA = dxdy (Gambar 4.7). Diperoleh,
Pengantar Mekanika Analitik
73
1
A
x 2
1
dydx
x 0 y 0
x 2 dx
x 0
x
3
3
1
1
. 3
0
Gambar 4.7 Kurva y x 2 yang dibatasi x = 0 dan x = 1.
(c) Elemen luas, sebagaimana telah digunakan dalam jawaban (a) adalah dA dydx. Karena kerapatan xy, sehingga elemen massa dM xydxdy. Dengan demikian, 1
M
x
2
1
xydydx xdx( 12 y 2 )
x 0 y 0
0
x
0
2
1
12 x 5 dx 0
1 12
.
Perhatikan bahwa kita tidak dapat menyelesaikan soal ini dengan integral tunggal, sebab kerapatan bergantung pada x dan y.
74
Pengantar Mekanika Analitik
Gambar 4.8 Menghitung Menghitung panjang busur pada kurva y x . 2
Untuk kurva y x 2 , panjang busur antara x = 0 dan x = 1 adalah 2
1
s
0
1 2 5 ln( ln( 2 5 ) dy 1 dx 1 4 x 2 dx . 4 dx 0
Perhatikan bahwa dalam perhitungan ini telah digunakan tabel integral, yaitu
a x dx 2
2
x a 2 x 2
2
a2
2
ln x a 2 x 2 .
(d) Dalam fisika dasar, koordinat pusat massa ( x , y , z ) diberikan oleh persamaan
xdM xdM , ydM ydM , zdM zdM , (4.14) dengan dM menyatakan elemen massa dan integral meliputi seluruh benda. Meskipun rumus koordinat pusat massa berbentuk integral tunggal, tetapi dalam kenyataannya dapat berupa integral tunggal, lipat-dua, atau lipat-tiga, bergantung pada persoalan yang yang dihadapi serta metode penyelesaiannya. penyelesaiannya. Mengingat x , y , z konstan, kita dapat mengeluarkannya dari tanda integral. Di samping itu, untuk kasus sederhana Persamaan (4.14) dapat diselesaikan dengan mudah. Sebagai contoh, untuk benda berupa bidang datar yang berada pada Pengantar Mekanika Analitik
75
bidang xy maka z 0. Elemen massa dM dA dxdy , dengan menyatakan kerapatan (dalam hal ini massa per satuan luas). Substitusi ke dalam ungkapan (4.14) dan mengintegralkan kedua ruas akan menghasilkan koordinat pusat massa. massa. Untuk konstan, integral pertama Persamaan (4.14) menjadi
x dA x dA atau xdA xdA. Dengan cara yang sama, untuk konstan dapat dihilangkan dari semua integral pada ungkapan (4.14). Pada contoh soal ini, kita mempunyai 1
x
2
1
x
2
xdydx xdydx
x 0 y 0
x 0 y 0
x A 14 x 4 1
x
1 0
2
1
, 4
1
x
2
ydydx ydydx x 0 y 0
y A
atau
atau
x 0 y 0
1 10
x 5
1 0
1 10
.
Tetapi A = 1/3, sehingga diperoleh x 3 / 4 dan y 3 / 10. (e) Pusat massa panjang busur ( x , y ) dari kurva y = f ( x) diberikan oleh persamaan
x ds x ds, y ds y ds, (4.15) dengan adalah kerapatan (massa per satuan panjang). Jika konstan, konstan, Persamaan (4.15) menjadi 76
Pengantar Mekanika Analitik
xds xds, yds yds, dengan ds diberikan oleh ungkapan (4.12). Dalam soal ini kita mempunyai, 1
1
x 1 4 x dx x 1 4 x dx 2
0
0
1
1
2
1
y 1 4 x dx y 1 4 x dx x 2
0
2
0
2
2 1 4 x dx.
0
Dengan menggunakan rumus integral
x
x a dx 2
2
( x 2 a 2 ) 3 / 2 3
dan
x
2
x a dx 2
2
x ( x 2 a 2 ) 3 / 2
4
a 2 x a 2 x 2
8
a2
8
ln x a 2 x 2 ,
hitunglah nilai x dan y. (f) Momen inersia I dari dari massa m yang berjarak l dari sumbu putar dirumuskan sebagai I ml 2 . Untuk benda yang bukan terdiri atas titik-titik massa diskret, d iskret, melainkan memiliki sebaran massa yang malar, rumus ini menjadi bentuk integral. Kita bayangkan benda dibagi-bagi menjadi elemen-elemen elemen-elemen massa kecil dM . Jika jarak elemen massa massa ini ke sumbu putar adalah adalah l, maka
I l dM . 2
(4.16)
Pengantar Mekanika Analitik
77
Dalam
contoh
soal
ini
kerapatan
xy, sehingga
dM xydxdy. Jarak dM terhadap sumbu x dan sumbu y
berturut-turut adalah adalah y dan x (Gambar 4.9). Jarak dM terhadap terhadap x y (sumbu z tegak lurus bidang 2
sumbu z adalah
2
gambar). Oleh karena itu, diperoleh tiga momen inersia terhadap sumbu koordinat, yaitu
Gambar 4.9 Menghitung momen inersia.
1
I x
x
2
1
y 2 xydydx
x 0 y 0
1
I y
x
x 9 dx
0
2
1 4
1
x xydydx 2
x 0 y 0
x 7 dx
0 1
I z
1 4
x
1 40 1 16
,
,
2
( x
2
y ) xydydx I x I y 2
x 0 y 0
7 80
.
Dengan menggunakan besaran massa M = = 1/12 (jawaban (b)), diperoleh I x
78
12
3 M M , 40 10
I y
12 3 M M , 16 4
I z
84 21 M M . 80 20
Pengantar Mekanika Analitik
Putarlah daerah pada Contoh Soal 4.5 terhadap sumbu x sehingga membentuk volume dan permukaan benda putar, kemudian hitunglah (a) volume benda putar, (b) momen inersia benda terhadap sumbu x jika kerapatannya konstan, (c) luas permukan kurva, dan (d) pusat massa permukaan kurva.
Penyelesaian (a) Cara yang paling mudah untuk memperoleh volume benda
putar adalah mengambil elemen volume volume berbentuk lapisan tipis sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.10. Lapisan ini mempunyai ketebalan dx dan tampang lintang berbentuk lingkaran dengan jari-jari y, sehingga elemen volume dV y 2 dx. Dengan demikian, 1
1
V y dx x dx 0
Pengantar Mekanika Analitik
2
0
4
4
.
79
Gambar 4.10 Permukaan kurva y x 2 yang diputar terhadap sumbu x. Sebagai alternatif, soal ini dapat pula diselesaikan dengan menggunakan integral lipat-tiga. Jika kurva y f ( x ) diputar terhadap sumbu x, setiap titik pada kurva akan mengelilingi lingkaran dengan jari-jari f ( x x) yang sejajar dengan bidang xy. Dengan demikian, diperoleh persamaan lingkaran y 2 z 2 r 2 [ f ( x )] 2 .
(4.17) Ini tidak lain merupakan persamaan permukaan kurva. Untuk f ( x) x 2 , kita mempunyai y 2 z 2 r 2 x 4 .
(4.18)
Gambar 4.11 Penampang permukaan kurva y x 2 yang diputar terhadap sumbu x . Seperti telah diuraikan di depan, dalam melakukan integral lipat-tiga, lapisan tipis dx dipotong-potong menjadi kotak
80
Pengantar Mekanika Analitik
kecil-kecil sehingga diperoleh elemen volume dxdydz (Gambar 4.11). Dengan demikian,
V
x 2
1
dxdydz
x 4 z 2
dxdydz
x 0 z x 2 y x 4 z 2 x 2
1
1 x 2
2 x 4 z 2 dz
0 x 2 x 2
1
1
z 1 dx 2 x 4 z 2 dz dx.2. z x 4 z 2 x 4 arcsin 2 x 4 dx, 2 x x 2 0 0 0 x 2
sebagaimana telah diperoleh sebelumnya. (b) Untuk memperoleh momen inersia benda terhadap sumbu x, kita melakukan integral l 2 dM ke sumbu x. Karena sumbu x tegak lurus bidang gambar, maka l 2 y 2 z 2 (Gambar 4.11). Mengingat kerapatan konstan sehingga besaran dapat dapat ditulis di luar integral. Dengan demikian, 1
I x
x 2
x 4 z 2
( y 2 z 2 )dydzdx
x 0 z x 2 y x 4 z 2
Dari
jawaban
(a)
diperoleh
18
.
V / 5,
sehingga
M V / 5. Dengan demikian. I x
5
5 M M . 18 18
(c) Elemen luas permukaan kurva ditunjukkan pada Gambar 4.12, yaitu dA 2 yds. Dengan demikian, 1
A
1
ydy 2
x 0
Pengantar Mekanika Analitik
x 2
2
2 1 4 x dx.
x 0
81
Gambar 4.12 Elemen luas permukaan kurva y x 2 yang diputar terhadap sumbu x . (d) Dengan sifat simetri dapat dipahami bahwa y z 0. Untuk dihitung dengan de ngan menggunakan persamaan berikut: berikut: x dapat dihitung
xdA xdA, Dengan mengingat dA 2 ydx dan luas total A dari jawaban (c), diperoleh 1
x A
1
x(2 ydy )ds x 2 x
x 0
2
1 4 x 2 dx.
0
Volume Under A Surface－ z = f ( x, y),
V
f ( x, y) dxdy R
Properties of Double Integrals and Figure 15.1.4 (P1016)
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy R
R1
R 2
15.1.3 Double Integrals Over a Rectangle and Figures 15.1.5, 15.1.6 (P1018)
82
Pengantar Mekanika Analitik
d b
b
f ( x, y)dxdy f ( x, y)dxdy c
a
a
d
c
f ( x, y ) dxdy
R
15.2 Double Integrals Over Nonrectangular Regions 15.2.2 and Figure 15.2.1 (P1022) (a) If a region R is bounded by x=a, b and y=g1( x) and g2( x x), then b
f ( x, y ) dxdy a
R
g 2( x )
g1( x )
f ( x, y ) dydx
(b) If a region R is bounded by y=c, d and and x=h1( y) and h2( y y), then d
f ( x, y ) dxdy c
R
h 2( y )
h1( y )
f ( x, y ) dxdy
Volume Calculated From Integration of Area and Figure 15.2.2 (P1022) V
b
A( x) dx , a
A( x )
g 2( x )
g1( x )
f ( x, y )dy
Area Calculated As A Double Integral and Figure 15.2.11 (P1026) A
dxdy R
Example 7 and Figure 15.2.12 (P1026)
15.3 Double Integral In Polar Coordinates 15.3.1 Simple Polar Regions (P1029) and Figure 15.3.1 (P1030) A region enclosed by r =r 1( ), ), r 2( ) and = , , where , - 2 and 0 r 1( ) r 2( )
15.3.3 Polar Double Integrals (P1032) and Figures 15.3.5, 15.3.6 (P1031) If R is a simple region shown in Figure 15.3.6, then r 2( )
f ( r , )dA R
r 1( )
f ( r , )rdrd
Example 1 and Figure 15.3.8 15.3. 8 (P1032), Example 2 and Figure 15.3.9 (P1033) Pengantar Mekanika Analitik
83
Finding Area Using Polar Double Do uble Integrals (P1033) A
r 2( )
r 1( )
rdrd
Example 3 and Figure 15.3.10 (P1033) Double Integrals from Rectangular to Polar Polar Coordinates (P1034) sin )rdrd f ( x, y )dA f (r cos , r sin R
R
Example 4 and Figure 15.3.11 (P1034) Exercise Set 15.3 －9,11,13-17,27,31-33,36,37,39
15.5 Triple Integrals 15.5.1 Triple Integrals Over Rectangular Boxes (P1049) Let G be the rectangular box defined by a x b, c y d , k z l, then b d
l
a c
k
f ( x, y, z)dV f ( x, y, z)dzdydx G
Integral on the right can be evaluated by altering the order of integration. 15.5.2 Triple Integrals Over General Regions and Figure 15.5.3 (P1050) Let G be a solid with lower surface z=g1( x, y y) and upper surface z=g2( x, y y), and let R be the projection of G on the xy-plane, then g 2( x , y ) dA f ( x , y , z ) dV f ( x , y , z ) dz G R g1( x, y )
Example 2 and Figure 15.5.4 (P1050, 1051) Volume Calculated as a Triple Integral (P1051)
V = =
dxdydz R
Example 4 and Figure 15.5.6 (P1052)
84
Pengantar Mekanika Analitik
Integration in Other Orders and Figure 15.5.7 (P1053) g 2( x , z ) dA f ( x , y , z ) dV f ( x , y , z ) dy R g1( x, z ) xz solid
f ( x, y , z )dV
yz solid
g 2 ( y , z ) f ( x, y, z)dx dA R g1( y , z )
Example 5 and Figure 15.5.8 (P1053)
Exercise Set 15.5 －8,10,17,18,25,26,30 15.6 Centroid, Center Of Gravity, Theorem of Pappus 15.6.1 Mass of a Lamina and Figure 15.6.3 (P1056) If a lamina with a density function ( x x, y) on a region r egion R in the is given by xy-plane, then its total mass M is M
( x, y )dxdy R
_ _
Center of Gravity ( x , y ) of a Lamina (P1059)
x ( x, y )dxdy x ( x, y )dxdy
y ( x, y )dxdy y ( x, y )dxdy
_
_
R
R
,
R
R
Centroid of a Region R (P1060)
xdxdy x dxdy
ydxdy y dxdy
_
_
R
R
R
R
Example 3 and Figure 15.6.9 (P1060) Mass of a Solid G (P1061)
M
( x, y, z )dxdydz ,
( x x, y,
G
z): density function _ _ _
Center of Gravity ( x , y, z ) of a Solid G (P1061)
Pengantar Mekanika Analitik
85
x ( x, y, z)dxdydz y ( x, y, z)dxdydz , y , x ( x, y, z)dxdydz ( x, y, z)dxdydz _
_
G
G
G
G
z ( x, y, z )dxdydz z ( x, y, z)dxdydz _
G
G
Centroid of a Solid G (P1061)
xdxdydz ydxdydz zdxdydz x , y , z dxdydz dxdydz dxdydz _
_
G
_
G
G
G
G
G
Example 4 and Figure 15.6.11 (P1061) 15.6.3 Theorem of Pappus and Figure 15.6.12 (P1062) th Pappus of Alexandria (4 centry A.D.) －Greek mathematician. Pappus lived during the early Christian era. His main contributions to mathematics survive only partially. Swiss mathematician, Paul Guldin (1577-1643), rediscovered it independently. If R is a bounded plane region and L is a line on one side of R, then the volume formed by revolving R about L is
V 2 xdxdy R
Exercise Set 15.6 －7,9,11,13,19,23,25,29,33,34 15.7 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coortdinates 15.7.1 Triple Integrals in Cylindrical Coordinates and Figure 15.7.4 (P1067) Let G be a solid with lower surface z=g1(r , ) and upper surface ), and if the projection of the solid on the xy-plane is z=g2(r , ), bounded by r =r 1( ), ), r 2( ) and = 1, 2, then 2
f (r , , z)dV G
1
r 2 ( )
r 1( )
g 2( r , )
g1( r , )
f ( r , , z )rdzdrd
Example 2 and Figure 15.7.6 (P1068)
86
Pengantar Mekanika Analitik
15.7.2 Triple Integrals in Spherical Coordinates and Figure 15.7.9 (P1070)
f ( , , )dV
2
0
0
0
0
2
f ( , , ) sin sin d d d
G
Ditinjau integral tunggal sebagai berikut b
I f ( x )dx
(4.22)
a
Jika silakukan substitusi variabel variabel x x(u ) atau u u( x ) ,
(4.23a)
maka akan mengalihkan integral tunggal (4.22) dalam tiga hal yaitu: (i). Pengalihan Pengalihan interval (daerah) integrasi Interval integrasi dalam x yaitu D x a x b , teralihkan ke interval interva l integrasi yang baru yaitu Du u (a ) u u(b) (ii). Pengalihan elemen diferensial dx , menjadi
df du
dx
Latihan 1. Sebuah batang homogen panjangnya l dan kerapatannya . . Hitunglah (a) M , (b) momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus batang, dan (c) momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus batang melalui batang melalui salah satu ujung batang. 2. Sebuah batang yang panjangnya 10 m mempunyai kerapatan yang bervariasi dari ujung satu ke yang lain 4 kg/m ke 24 kg/m. Hitunglah (a) M , (b) x , (c) momen inersia terhadap sumbu
Pengantar Mekanika Analitik
87
yang tegak lurus batang; (d) momen inersia terhadap sumbu yang tegak lurus batang batang melalui ujung batang yang lebih ringan.
88
Pengantar Mekanika Analitik
