5.1 Integral Lipat Dua 5.1.1 Integral Lipat Dua Pada Bidang Segiempat f ( x, y) pada bidang xo y adalah daerah
Perhatikan Gambar 5.1. Proyeksi kurva permukaan z
pengintegralan D. Jika daerah pengintegralannya berupa bidang segiempat dengan a
c
y
{( x, y ) | a
d , secara umum ditulis: D
b, c
x
z
x
b dan
d } .
y
y
z
f ( x, y) d
D a
c
d
c
y
a
D
b
x
b
x Gambar 5.1
Pengintegralan f ( x, y) terhadap daerah D
{( x, y ) | a
x
b, c
y
d } dinyatakan
sebagai integral berulang sebagai berikut:
b d
f ( x, y)dA D
f ( x, y)dydx a c
Catatan: Ketika mengintegralkan terhadap x, anggap y konstanta. Demikian pula, ketika mengintegralkan terhadap y, anggap x konstanta.
CONTOH 1
(2 x
Hitung
y)dA dengan D
{( x, y ) | 0
x
2, 0
y
1} .
D
Penyelesaian
Integralkan dulu bagian dalam terhadap y (anggap x konstanta), hasilnya kemudian integralkan terhadap x. 2 1
(2 x D
y)dA
(2 x
y)dydx
0 0 2
2
[2 xy 0
Aip Saripudin
1 2
2 1 0
y ] dx
(2 x
1 2
)dx
[ x
2
1 2
2
x]0
5
0
Modul 5 Integral Lipat - 69
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
3 2 2
2
( x y xy )dxdy .
Hitung
CONTOH 2
0 1
Penyelesaian 3 2
3 2
2
3
[ 13 x y
( x y xy )dxdy 0 1
1 2
2
2 2
x y ]1 dy
0 3
[ 73 y
y 2 ]dy
3 2
[ 76 y
2
1 2
y 3 ]30
24
0
f ( x, y)dA adalah volume bangun di bawah
Interpretasi geometris integral lipat dua D
permukaan z
f ( x, y) yang berada di atas bidang D. Jika f ( x, y)
1 , integral tersebut
dA sama dengan luas bidang D. D
4 x
Tentukan volume bangun di bawah permukaan z
CONTOH 3
di atas bidang D
{( x, y ) | 0
1, 0
x
2
2
y yang berada
1} .
y
Penyelesaian
4 x
Bangun di bawah permukaan z
z
{( x, y ) | 0
atas bidang D
4
1, 0
x
2
2
y yang berada di y
1} adalah seperti
pada Gambar 5.2 di samping. Volume bangun tersebut adalah 3
1 1
(4 x
V
2
2
y )dA
1
[4 y x y 1
y
1 3
3 1 0
2
x )dx ( 11 3
y ] dx
0
0
[ 11 x 3
1
2
y )dydx
1 2
0
2
0 0
D
2
(4 x
1 3
3 1
x ]0
10 3
x Gambar 5.2
5.1.2 Integral Lipat Dua Pada Bidang Bukan Segiempat Daerah pengintegralan dapat berupa bidang sebarang (bukan segiempat), seperti diilustrasikan pada Gambar 5.4. Untuk kasus seperti ini, kita dapat mengambil batas pada sumbu- x konstanta, sedangkan batas pada sumbu y sebagai fungsi dari x atau sebaliknya. Pada Gambar 5.4(a), daerah pengintegralan adalah D
{( x, y ) | a
x
b,
Gambar 5.4(b), daerah pengintegralan adalah D
Aip Saripudin
( x )
y
{( x, y ) | ( y )
( x)} . Sementara itu, pada
x
( y ), c
y
d } .
Modul 5 Integral Lipat - 70
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
y
y
( y) ( y)
( x) d
D
D
( x) a
c x
x
b
a)
b) Gambar 5.4
{( x, y ) | a
Jika f ( x, y) diintegralkan terhadap D
x
b,
( x )
y
( x)} ,
x
( y ), c
integralnya ditulis sebagai
b
( x )
f ( x, y )dA
f ( x, y )dydx
D
a
( x )
{( x, y ) | ( y )
Di lain pihak, jika daerah pengintegralannya D
d
y
d } ,
( y )
f ( x, y )dA
f ( x, y )dxdy
D
c
( y )
2 2 x
CONTOH 4
xydydx .
Hitung 0 x
2
Penyelesaian 2 2 x
2
0 x
CONTOH 5
2 2x
[ xy ] x2 dx
xydydx 2
2 1 2
0
(2 x
3
1 2
5
x )dx
[ 12 x
4
1 12
6 2
8 3
x ]0
.
0
Tentukan luas daerah D yang dibatasi oleh y
Penyelesaian
2
2 x dan y
x . y
Dari skets daerah pengintegralan diperoleh 4
D
Aip Saripudin
2 x
y
2
y Lipat x - 71 Modul 5 Integral x 0 2 Gambar 5.3
{( x, y) | 0 x
D
2, x
2
2 x}
y
Dengan demikian, luas daerah D adalah 2 2 x
A
dA
2 2
0 x2
D
[ x
(2 x x )dx
dydx
2
1 3
3 2
x ]0
4 3
0
Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang z bidang koordinat.
CONTOH 6
4
2 x y dan
Penyelesaian
4
Bangun tetrahedron yang dibatasi oleh bidang z
2 x y
dan bidang koordinat
diperlihatkan pada Gambar 5.5. z
y
4
4
y
4
2 x
D y
4
0
2
x
2
{( x, y ) | 0
D
x
2, 0
x
4
y
2 x}
Gambar 5.5
Daerah pengintegralan (proyeksi bangun pada bidang xo y) berupa segitiga dan dapat dinyatakan
{( x, y ) | 0
oleh D
x
2, 0
4
y
2 x} . Dengan demikian, volume tetrahedron
tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. 2 4 2 x
(4
V
2 x
y)dA
(4 0
D
2 x
y)dydx
0
2
2
[4 y
2 xy
1 2
2 4 2x 0
y ]
(4(4
dx
0
2 x)
2 x(4
2 x)
1 2
(4
2
2 x) )dx
0
2
(16
8 x
8 x
4 x
2
1 2
(16 16 x
2
4 x ))dx
0 2
(8 0
Aip Saripudin
8 x
2
2 x )dx
[8 x
4 x
2
2 3
3 2
x ]0
16 3
Modul 5 Integral Lipat - 72
Mengubah Urutan Pengintegralan Kadang-kadang, mengintegralkan dalam urutan tertentu sulit dilakukan. Salah satu cara mengatasinya adalah dengan mengubah urutan pengintegralan dari bentuk dydx ” ” menjadi ”dxdy”. Meskipun urutan pengintegralan ini berubah, daerah pengintegralannya tetap sehingga hasil akhirnya akan tetap sama. Mengubah urutan pengintegralan dapat dilakukan jika fungsi batas pengintegralan memiliki invers.
2 x ydA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh garis y
Hitung
CONTOH 7
2 x
D 2
dan y
x . Hitung integral ini dengan dua cara (berbeda urutan).
Penyelesaian
Daerah pengintegralan D seperti diperlihatkan pada Gambar 5.6. Daerah D ini dapat dinyatakan dalam dua cara sebagai berikut.
D
(1)
(2) D
2
{( x, y) | 0 x
2, x
{( x, y) | 0
4, y / 2 x
y
y
2 x}
y
y
2 x
y x 2
x
4
y}
D
0 Untuk
D
{( x, y) | 0 x
2, x
2 2 x 2
Untuk D
4
y
y
y} :
4
4
[ x y ]
0 y / 2
D
y y / 2
3
1 3
x ydxdy
4
1 2
x 6 )dx
1 24
y )dx
[ 25 x
5
1 14
x 7 ]02
128 35
0
4, y / 2 x
2
x ydA
(2 x
0
{( x, y) | 0
2
2 2x
[ x y ] x2 dx
0 x 2
D
x
2 2
1 2
x ydydx
y
Gambar 5.6
2 x}:
y
2 2
x ydA
2
2
y / 2
x
0
5
( 13 y 2
dx
4
7
2 [ 21 y 2
1 120
5 4
y ]0
128 35
0
Perhatikan bahwa hasil akhirnya sama. Jadi, mengubah urutan pengintegralan tidak akan mengubah hasil akhir hasil pengintegralan.
2 4
x
Hitung
CONTOH 8
0 x
2
x
4
3
y
2
dydx .
Penyelesaian
Pengintegralan dengan urutan seperti di atas sulit dilakukan. Oleh karena itu, kita ubah urutan pengintegralannya. Dari batas-batas pengintegralan di atas diperoleh daerah pengintegralannya adalah
D
{( x, y) | x
2
y
4, 0 x
2}. Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.7.
Daerah ini juga dapat dinyatakan sebagai D
{( x, y) | 0 x
y , 0
x
4} . Dengan
demikian, menghitung integralnya sebagai berikut.
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 73
2 4
0 x 2
x x
4
3
4
y
2
y
x
dydx x
0 0
3
4
y
y
dxdy (*)
2
y x 2
Untuk mengintegralkan bagian dalam (terhadap x), gunakan metode substitusi:
u
x
4
y
2
0
x
D
3
4 x dx
du
dengan batas-batas: x
y
4
y
4
x
2
u
y
y ,
u
0
2 y
x
2
2
Gambar 5.7
Dengan demikian, diperoleh y
4
0
x x
0
4 2 y
3
4
y
2
dxdy
2
4 1 4
u
1 / 2
1 2
dudy
4
[u
0 y 2
1 / 2 2 y
2
1 2
] y 2 dy
0
[ 14 ( 2 1) y 2 ]04
( 2
1) ydy
0
4( 2 1)
Jadi, 2 4
0 x 2
4
x 3 x
4
y
2
y
x 3
dydx 0 0
x
4
y
2
4( 2
dxdy
1) .
SOAL-SOAL LATIHAN 5.1 1.
Hitung integral berikut. 2 3
2 4
( x
(a)
2
y )dxdy
1 0
2.
2
xy dydx
(b) 0 1
xydA jika:
Tentukan D
(a) D adalah daerah yang yang dibatasi oleh garis x (b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis y 3.
{( x, y) | 0 x
4, x
y
x 2 .
x}
(b) D adalah daerah yang dibatasi oleh garis x
1 , x
3 , dan y
x
3.
2
4 y
Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan 9 x bidang 9 x
5.
x dan y
Nyatakan luas daerah D berikut dalam bentuk integral lipat dua, kemudian hitung integralnya. (a) D
4.
2 x .
2 , dan y
0 , x
4 y
6z
2
36
0 dan
0.
Tentukan volume bangun yang dibatasi oleh bidang 2 x
y
2z
4
0 dengan bidang
koordinat.
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 74
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
6.
Ubah urutan pengintegralan dari integral berikut. 4 y / 2
2 x
f ( x, y )dydx
(a) 0 1
7.
f ( x, y)dxdy
(b) 0
0
Skets daerah pengintegralan, ubah urutannya, kemudian hitung integralnya. 1 y
x
sin y
2
e dxdy
(a)
(b)
0 0
y
0 x
dydx
5.2 Integral Lipat Tiga Integral lipat tiga merupakan perluasan dari integral lipat dua ke dimensi yang lebih tinggi. Sebagai ilustrasi, tinjau sebuah balok yang panjangnya p, lebarnya l, dan tingginya t , seperti pada Gambar 5.8(a). Dalam bentuk integral lipat dua, volume balok ditentukan ditentu kan dengan
f ( x, y)
z
mengintegralkan
t pada daerah D
{( x, y, z ) | 0
p, 0
x
y
l}
sebagai berikut. p l
f ( x, y)dA
V
p
[ty] dx
tdydx 0 0
D
p l 0
0
ltdx
p
[ltx]0
plt
0
z
z
( x, y)
z t dz dy
B
dx
y
l
a
p
b x
x
y
z
( x, y)
y
( x)
y
( x)
(a)
(b) Gambar 5.8
Sekarang, ambil segmen panjang pada x = dx, segmen panjang pada y = dy, dan segmen panjang pada z = dz. Segmen volume balok adalah dV dzdydx . Daerah penginteralannya adalah
B
{( x, y, z ) | 0
x
p, 0
y
l, 0
z
t } . Volume total balok ditentukan dengan
integral lipat tiga sebagai berikut. p l t
dV B
p l
dzdydx 0 0 0
p
tdydx 0 0
ltdx
plt .
0
Hasilnya sama dengan cara menggunakan integral lipat dua.
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 75
Secara umum, fungsi f ( x, y, z ) dapat diintegralkan pada daerah pengintegralannya. Daerah pengintegralan integral lipat tiga (lihat Gambar 5.8(b)) secara umum ditulis:
{( x, y, z ) | a
B
b,
x
( x )
( x),
y
( x, y )
( x, y )} .
z
Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai
( x )
b
( x , y )
f ( x, y, z )dV
f ( x, y, z)dzdydx
B
Interpretasi
geometri
dan
fisis
Secara
( x , y )
geometri,
dalam
kasus
f ( x, y, z)
dV adalah volume benda B. Secara fisis, untuk f ( x, y, z )
f ( x, y, z)dV B
( x )
a
1,
0 pada
B
massa jenis benda B di ( x, y, z ) .
massa benda dengan f ( x, y, z)
f ( x, y, z )dV
B, B
1
x y
xyzdzdydx .
Hitung
CONTOH 1
0 x 0
Penyelesaian 1
x y
1
1
x 2 y 0
1 2
[ xyz ] dydx
xyzdzdydx 0 x 0
3
xy dydx
0 x
0 x
1
1 4
1 8
x
1 8
[ xy ] x dx
( x
0
3
x 5 )dx
1 8
[ 14 x
4
1 6
x 6 ]10
1 96
.
0
2 x yzdV dengan
Tentukan
CONTOH 2
x
1 2
B
B
{( x, y, z) | 0 x
1, x
2
y
2 x, 0 z
xy} .
Penyelesaian 1 2 x xy 2
x yzdV B
1 2 x 2
0 x2 0
2 xy
[ x yz ]0 dydx 0 x2
1 2 x
1 4
1 2
2
1 2
x yzdzdydx
3
x y dydx
4
1 8
0 x2
4 2x
[ x y ] x2 dx 0
1 1 8
(16 x
8
x12 )dx
1 8
x [ 16 9
9
1 13
x13 ]10
119 936
0
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 76
2
x dan bidang z
0,
0 . Nyatakan volume benda dalam bentuk integral lipat tiga,
x , dan y
y
1 2
2
Sebuah benda B dibatasi oleh silinder parabol z
CONTOH 3
kemudian carilah nilainya. Penyelesaian
Benda B yang dimaksud seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9. Dari Gambar 5.9(b) jelas bahwa daerah pengintegralannya adalah B
{( x, y, z) | 0 x
2, 0
y x, 0 z
2
1 2
x 2 }.
Dengan demikian, 2 x 2
V
1 2 x 2
dV
2 x
(2
dzdydx 0 0
B
0
2 1 2
2
x )dydx
1 2
(2 x
0 0
x 3 )dx
2
1 8
x 4 ]02
2
0
z
z
Pemukaan
Bidang y = 0
[ x
z
Bidang y = x = x
2
1 2
x
2
2
Pemukaan
z
2
1 2
x
0
y
2
y
2 y = x
x x
(a)
(b)
Gambar 5.9
SOAL-SOAL LATIHAN 5.2 1.
Hitung integral berikut. 2 2 1 3 y 8 x y
1 1 1
( x
(a)
2
y 2
z 2 )dzdydx
0 0 x 2 3 y 2
0 0 0
2.
dzdxdy
(b)
xdzdydx jika
Hitung B
(a) B
{( x, y, z ) | 0
x
1, 0
y
2 x, 0
(b) B adalah daerah yang dibatasi oleh permukaan z
y
Aip Saripudin
0 , y
1
2
x , dan z
z
2 x
4 x
2
y}
y dan bidang x
1,
3.
Modul 5 Integral Lipat - 77
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
3.
Benda B dibatasi oleh bidang y
1 dan y
z
2
x . Nyatakan volume benda B dalam
bentuk integral berulang lipat tiga kemudian tentukan nilainya. 4.
5.3
Tentukan volume benda yang dibatasi oleh bidang koordinat dan bidang x y 2 z 2 di oktan pertama.
z
1 dan
Transformasi Koordinat Pada Integral Lipat
5.3.1 Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Koordinat polar Tinjau Gambar 5.10. Titik ( x x, y) dalam koordinat bidang dapat dinyatakan dalam koordinat polar ( r , θ ). ). Hubungan antara besaran dalam koordinat kutub dan koordinat polar sebagai berikut. y
x
r cos
y
r sin
2
r
x
2
P( x, x, y) r
y
2
0
y x
x
Gambar 5.10
Integral lipat dua dalam koordinat polar Tinjau Gambar 5.11. Pada Gambar 5.11(a), daerah
pengintegralan dinyatakan oleh D
{(r , ) | a
segmen luas dA dapat dinyatakan oleh dA
r
,
} . Pada Gambar 5.11(b),
rdrd maka b
f (r , )dA *
f (r , )rdrd a
D
θ = β r=b r=a
θ rd θ D θ=α
dA
θ d θ dr
Sumbu polar (a)
(b) Gambar 5.11
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 78
2 r sin dA dengan D adalah bidang setengah lingkaran berjari-jari 2.
Hitung
CONTOH 1
D
Penyelesaian
{(r , ) | 0
Daerah pengintegralannya adalah D
r
2, 0
} (Gambar 5.12) maka
2 2
2
r sin dA
r sin
rdrd
y
0 0
D
2
r 3 sin drd
r
0 0
θ = θ = π −2
4 2
1 4
[r ]0 sin d
Gambar 5.12
0
8 sin d
θ = θ = 0 x 2
0
8[ cos ]0
16
0
Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar Hubungan antara integral lipat dua dalam koordinat bidang dan koordinat polar sebagai berikut.
f ( x, y)dA
f (r , )rdrd . *
D *
D
{(r , ) |
dengan D
, g1 ( )
x 2 y 2
e
Hitung
CONTOH 2
r
g 2 ( )}.
dA dengan S adalah bidang lingkaran x
2
y 2
4.
S
Penyelesaian
Persamaan x
2
y 2
y
4 adalah lingkaran berpusat di
(0, 0) dan berjari-jari 2. Dengan demikian, daerah pengintegralanya dapat dinyatakan oleh
S
{( x, y ) | x
2
y
2
2
4} seperti diperlihatkan pada r
Gambar 5.13. Dalam bentuk polar, daerah ini dinyatakan
oleh
S
*
{(r , ) | 0
r 2, 0 2
transformasi koordinat, r
x
2
e
2
y
2
S
2
e rdrd 0 0
Gambar 5.13
2
Aip Saripudin
2 2
r
2 0
[e ] d 0
x
r
e dA *
1 2
θ = θ = 2π
−2
2
2
S
0
2
r
dA
−2
y , maka 2
x
2 } . Dengan
θ = θ = 0
1 2
(e
4
1) d
(e
4
1)
0
Modul 5 Integral Lipat - 79
Seri Modul Kuliah EL-121 Matematika Teknik I
1
1 x
2
1
Hitung
CONTOH 3
0
1 x
0
2
y
d ydx .
2
Penyelesaian
{( x, y) | 0
Daerah pengintegralan dari integral di atas adalah D
1, 0
x
2
1 x } .
y
Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.14. Dengan memperhatikan Gambar 5.14, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut.
1
1 x
y
y
θ = θ = π/2
x
y
x
1
2
y
2
1
1 x
2
1
r
{(r , ) | 0
r 1, 0
/ 2}
Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,
x
1
2
sehingga diperoleh
r
0
y
2
D* θ = θ = 0
2
2
1 x
2
y
2
2
1 r
Gambar 5.14
dA
dydx
rdrd
maka 1
0
1 x
2
0
/ 2 1
1 1 x
2
y
2
d ydx
1 y
0
0
2
1 r
rdrd
1 r
/ 2
1 0
d
d
0
2
0
.
2
sin( x
Hitung
CONTOH 4
2
0
1
/ 2
1
2
y 2 )dxdy .
y
Penyelesaian
Daerah pengintegralan pengintegralan di atas adalah D
{( x, y) | 0
y
1, y
2
1 y } . Daerah ini
x
diperlihatkan pada Gambar 5.15. Dengan memperhatikan Gambar 5.15, daerah D dapat dinyatakan dalam bentuk polar sebagai berikut. y
1
x
y
Titik potong kedua kurva: x1
2
1 y
y
1
x
y
2 y
2
1
2
y
y
1 2
2
1 y 2
x2 2
x
θ 2 = π/2 θ 1 = π/4 x
0
1
Aip Saripudin
4
1
1 2
2
x
1 2
2
Untuk y y = 1, x = 0 maka tan
Gambar 5.15
sehingga diperoleh
maka tan
y
2
1
2
1
1 0
4
2
2
. Selanjutnya,
Modul 5 Integral Lipat - 80
1 y
x *
sehingga diperoleh D
2
x
2
{(r , ) | 0
1 y
2
x
2
r 1, 0
y
2
2
1
r
1
/ 2} .
Dengan transformasi koordinat ke koordinat polar,
sin( x
2
2
dA
dxdy
2
y )
sin r
rdrd
maka 1
1 y
2
/ 2 1
sin( x 0
2
2
/ 2 2
y )dxdy
2 1 [ cos r ]0 d .
1 2
(sin r )rdrd / 4 0
y
/ 4 / 2
1 2
(1 cos1)
d
4
(1 cos1)
/ 4
5.3.2 Mengganti Peubah Integral: Transformasi Jacobi Misalnya daerah S dalam bidang uv ditransformasikan satu ke satu pada daerah D dalam bidang xy dengan persamaan berbentuk:
x
g (u, v), y
h(u, v) ,
seperti diilustrasikan pada Gambar 5.16. Sebuah fungsi f ( x, y) yang didefinisikan pada D dapat dipandang sebagai fungsi f ( g (u, v), h(u, v)) yang didefinisikan pada G. Jika g, h, dan f memiliki turunan parsial kontinu,
f ( x, y)dxdy D
f ( g (u, v), h(u, v)) | J (u, v) | dudv S
u
y
x = g(u, v) y = h(u, v)
• (u, v)
• ( x, y)
v
Koordinat bidang-uv
x
Koordinat bidang- xy Gambar 5.16
dengan J (u, v) adalah determinan Jacobi yang didefinisikan sebagai berikut.
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 81
( x, y )
J (u, v)
2
(2 x
Hitung
CONTOH 1
(u, v)
x
x
u y
v y
u
v
x y
y x
u v
u v
2 xy y )dA dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh
D
2 x
garis y
4 , y
2 x
7 , y
x
2 , dan y
x 1 .
Penyelesaian
Daerah pengintegralan D dalam koordinat bidang- xy diperlihatkan pada Gambar 5.17. Untuk mentranformasikan ke koordinat kurvilinear, kita tentukan dahulu daerah S pada bidang- uv yang terkait dan determinan Jacobi. Untuk itu, pilih u 2 x y dan v x y . Selanjutnya, nyatakan x dan y dalam u dan v dengan memecahkan sistem persamaan di atas sebagai berikut.
u
2 x
v
x
y
u
v
3 x
u
y
2 x
2v
2 x 2v
u
y 2 y 3 y
diperoleh
1
x
3
(u
1
v) dan y
(u
3
2v)
Turunan parsial pertama x dan y masing-masing adalah
x
1
u
3
;
x
1
v
3
;
y
1
u
3
;
y
2
v
3
maka
( x, y )
x y
y x
1
2
1 1
1
(u, v)
u v
u v
3
3
3 3
3
Batas-batas daerah S sebagai berikut.
y
2 x
4
2 x
y
4
u
4
y
2 x
7
2 x
y
7
u
7
y
x
2
x
y
y
x
1
x
y
sehingga diperoleh S
Aip Saripudin
{(u , v) | 4
2
v
1
u
7,
2 1
v 1
v
2} (Gambar 5.17).
Modul 5 Integral Lipat - 82
y
u
2 x
7 y
7
y
D
1
u=7
x 1
y
4
v=2
v = −1
S u=4
2
x
x
2 7/2
2 x
y
v
4 Gambar 5.17
Selanjutnya, integrannya ditransformasikan menjadi sebagai berikut.
2 x
2
y 2
xy
(2 x
y )( x
y )
uv
Dengan demikian,
(2 x
2
2
xy y )dA
D
uv | J (u, v) | dudv S 2 7
uv(
1 3
1
)dudv
3
14
1 6
2
33vdv 1
11 2
2 2
1
33
2 2 1
[ 12 v ]
4
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh xy
CONTOH 2
x
7
[ 12 u v]4 dv
1 , xy
4 , y
2 x , dan
2 y .
Penyelesaian
Daerah yang dimaksud pada soal diperlihatkan pada Gambar 5.18. Daerah S yang berkaitan dengan daerah D dapat ditentukan sebagai berikut. y
u
y
2 x
x D
0
v
2 y
xy xy 1
1 2
v
2
u
4
u
1
S
4 x
0
v
Gambar 5.18
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 83
Pilih u xy dan v y / x . Kita juga dapat menentukan determinan Jacobi dengan terlebih dahulu menentukan turunan parsial u dan v masing-masing terhadap x dan y sebagai berikut.
u x
u
y ;
x ;
y
(u, v)
u v
( x, y )
x y
v
y
x
x 2
v u x y
v
1
y
x
;
1
y
x
x
2
1 (u, v)
1
y
2
x
y
2v
x
maka
( x, y )
J (u, v)
(u, v)
2v
( x, y ) Persamaan garis pada bidang-uv yang berkaitan dengan garis pada bidang- xy sebagai berikut.
xy
1
u
xy
4
u
y
2 x
x
2 y
1 4
y x
2
y
1
x
2
v v
2 1 2
Keempat garis tersebut pada bidang-uv diperlihatkan pada Gambar 5.18. Dari gambar jelas bahwa
{(u , v) | 1
daerah S yang bersesuaian dengan daerah D adalah S
4,
u
1 2
v
2} .
Dengan demikian, luas daerah D adalah 2 4
| J (u, v) | dudv
dxdy D
1 / 2 1
S
1 2v
2
dudv
3
2v 1 / 2
3
dv
2
2
[ln v]1 / 2
3 2
ln 4 .
5.3.3 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat K oordinat Tabung Koordinat Tabung Hubungan antara koordinat bidang ( x, y, z) dan koordinat tabung (r , θ , z) sebagai berikut ( Gambar 5.18).
z z
x
r cos
y
r sin
z x
r
z 2
y
x 2
P(r , θ , z) = P( x x, y, z)
2
r
y
θ
y
x Gambar 5.18
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 84
Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung Tinjau benda pejal B pada Gambar 5.19. Pada Gambar 5.19(a), proyeksi B pada bidang- xy xy adalah daerah D yang dapat dinyatakan
{(r , ) |
oleh D
z
1
z1 (r , ) dan z B
2
, r 1 ( )
r 2 ( )} . Pada sumbu-z, benda B dibatasi oleh
r
z2 (r , ) . Dengan demikian, benda pejal B dapat dinyatakan oleh
{(r , , z ) |
1
z
2
, r 1 ( )
r
r 2 ( ), z1 (r , )
z
z 2 (r , )} .
z
z2(r,θ )
dr dz
B z1(r,θ ) y
θ 2 x
y
θ d θ
dθ r dθ
D
θ 1
x
r 2(θ )
r 1(θ )
(a)
(b) Gambar 5.19
Gambar 5.19(b) memperlihatkan elemen volume dV . Elemen volume ini dapat dinyatakan oleh
dV
rdzdrd
Dengan menggunakan transformasi koordinat: ( x, y, z) → (r , θ , z), diperoleh hubungan antara integral lipat tiga pada koordinat bidang dan koordinat tabung sebagai berikut.
2 r 2 (
) z2 ( r , )
f ( x, y, z )dV 1 r 1(
B
CONTOH 1
F (r , , z)rdzdrd
Benda B dibatasi oleh tabung x
y
2 z
) z1 ( r , )
2
y 2
4 , bidang xoy, dan bidang
2 . Tentukan volume benda B.
Penyelesaian
Benda B seperti diperlihatkan pada Gambar 5.20(a). Daerah pengintegralan dalam koordinat tabung ditentukan sebagai berikut. Proyeksi benda B pada bidang xoy adalah daerah D yang diperlihatkan pada Gambar 5.20(b). Jika ditransformasikan ke koordinat tabung, diperoleh
x 2
y 2
2
4 → r
Dengan demikian, daerah D dapat dinyatakan oleh D
Aip Saripudin
4 → r
2
{(r , ) | 0
2 , 0
r
2} .
Modul 5 Integral Lipat - 85
z
y 1 2
1
z
x
y
2
4
r
2}
x
−2
2
{(r , ) | 0
2 , 0
y
2
y
x
D (a)
(b) Gambar 5.20
Batas-batas pada sumbu z adalah bidang xoy ( z z = 0) dan bidang y tabung,
2 z
y
2 → r sin
2z
2 → z
sehinga diperoleh batas-batas pada sumbu z adalah
1
1 2
0
z
1
z
1
2 z
2 . Dalam koordinat
1 2
r sin . Jadi, secara
r sin
keseluruhan daerah pengintegralannya adalah
{(r , , z ) | 0
B
2 , 0
2, 0
r
1 2
r sin }
Selanjutnya, volume benda B ditentukan sebagai berikut. 2
V
21
1 r sin 2
dV
2 1
[rz ]0
rdzdrd 0 0
B 2
2
0
1 r sin 2
drd
0 0
2
2 1 2
(r
2
2
[ 12 r
r sin )drd
0 0
1 6
r 3 sin ]02 d
0
2
(2
8 6
sin )d
[2
8 6
2
cos ]0
4
0
CONTOH 2
( x
Hitung
2
2 y )dV jika B dibatasi oleh permukaan z
4 x
2
y
2
B
dan bidang z
0.
Penyelesaian
Benda B diperlihatkan pada Gambar 5.21. Proyeksi benda B pada bidang xoy berupa lingkaran berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2. Daerah ini dapat dinyatakan oleh
D
{(r , ) | 0
2 , 0
r
2} .
Dalam koordinat tabung,
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 86
2
x
y
2
2
r ; dV
4 x
z
2
y
2
rdzdrd 2
4
r
Maka batas-batas dalam sumbu- z z adalah 0 dinyatakan oleh
{(r , , z) | 0
B
z
2 , 0
2 r . Dengan demikian, benda B dapat
4
r 2, 0 z
z
4
r 2 } .
y
B −2 −2
D
y
2
2
D
x
x Gambar 5.21
Dengan demikian, 2
( x
2
2
2 4 r
2
2 2
y )dV
r 0 0
B
2
2 3
0
2
4 r
[r z ]0
rdzdrd
drd
0 0
2
2 3
(4r
5
4
r )drd
0 0
[r
1 6
16
6 2 0
r ] d
3
0
2
d 0
32 3
5.3.4 Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat K oordinat Bola Titik-titik pada koordinat bola dinyatakan oleh (r , θ , ) dan hubungannya dengan koordinat bidang ( x, y, z) seperti diperlihatkan pada Gambar 5.22. Dalam hal ini,
z
P(r , θ , )
x
r sin cos ;
y
z
r cos ;
0
2
r
x
2
y
2
z
2
r sin sin
r
θ
y
x Gambar 5.22
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 87
Elemen volume dV dalam koordinat bola diperlihatkan pada Gambar 5.23. Besarnya adalah 2
r sin drd d
dV
Hubungan antara integral lipat tiga dalam koordinat bidang dan koordinat bola dinyatakan oleh
2
2(
f ( x, y, z)dV
) r 2 ( , ) 2
r sin drd d
B
1
1(
) r 1 ( , )
z
dr
θ d θ
r
rd
r sin d
d y
θ dθ
r sin d
x
Gambar 5.23
Buktikan bahwa volume bola berjari-jari R adalah
CONTOH 1
4 3
R 3 .
Penyelesaian
{(r , , ) | 0
Daerah pengintegralan bola adalah B
2 , 0
, 0
(Gambar 5.24). Volume bola adalah
r
R}
z
2 R
V
r 2 sin drd d
dV 0 0 0
B 2
B
2 3
1 3
R 0
1 3
[ r sin ] d d 0 0
3
R sin d d
0 0
R 1 3
3
2
2
R sin [ ]0 d
3
0
2 3
3
R [ cos ]0
Aip Saripudin
4 3
R
3
R
3
sin d 0
y
R x
Gambar 5.24
Modul 5 Integral Lipat - 88
3
9 x
2
9 x
2
z 2
( x
Hitung
CONTOH 2
3
9 x
2
9 x
2
z
2
y
2
2
3
z ) 2 dydzdx .
2
Penyelesaian
Kita selesaikan integral di atas dengan mengubahnya ke koordinat bola. Daerah pengintegralannya adalah
B
{( x, y, z ) | 3 x
3,
9 x
2
2
9 x ,
z
9 x
2
z
2
y
{(r , , ) | 0
r 3, 0
, 0
( x
y
2
2
z )
3 2
2 } B
2
(r )
3 2
3
y
3
r
2
x
r sin drd d
dV
Gambar 5.25
Dengan demikian diperoleh 3
9 x
2
9 x
2
z
2
( x 3
9 x
2
9 x
2
z
2
y
2
2
2 3
3 2
5
z ) dydzdx
r sin drd d 0 0 0
2
2
2 1 6
6
3 0
243 2
[ r sin ] d d 0 0
sin d d
0 0
243
2
sin [ ]0 d
2
243 2
0
243 [ c os ]0
2 sin d 0
486
SOAL-SOAL LATIHAN 5.3 1.
Hitung integral berikut. / 2 sin
0
2.
1 cos
rdrd
(a)
r sin drd
(b)
0
0
0
Hitung integral berikut dengan cara mentransformasikannya terlebih dahulu ke koordinat polar. 1
1 x
2
( x
(a) 0
x
Aip Saripudin
2
2
y 2 )dydx
4 y
2
e
(b) 0
2
z }
3
Integran dan elemen volumenya 2
2
z
Daerah ini diperlihatkan pada Gambar 5.25. Dalam koordinat bola, daerah pengintegralannya dapat dinyatakan oleh
B*
9 x
( x
2
2
y )
dxdy
0
Modul 5 Integral Lipat - 89
3.
Gunakan koordinat polar untuk menentukan volume benda padat di oktan pertama yang berada di dalam paraboloida z
x 2
y 2 dan di dalam silinder x 2 4
4.
y 2
1
Gunakan transformasi Jacobi untuk menentukan integral berikut: 0
5.
y 2
y 2
2 x
9.
y 2
dxdy
Jika D adalah daerah di kuadran pertama bidang- xy yang dibatasi oleh hiperbola xy
xy
u
9 , dan garis y
0 dan v
x , y
4 x . Gunakan transformasi x
u / v dan y
1,
uv dengan
0 untuk mengubah integral: y x
xy dxdy
D
sebagai integral di atas daerah S pada bidang-uv, kemudian tentukan hasilnya. 3
6.
x 0
2
2
y dzdydx . (Petunjuk : Gunakan koordinat tabung!)
0
4 x
2
2
y , bidang
0 . (Petunjuk : Gunakan koordinat tabung!)
Tentukan volume volume benda padat di dalam bola x
z
5.4
2
Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh paraboloid z
z 8.
2
Hitung 0
7.
9 x
x
2
2
y 2
z 2
16 , di luar kerucut
2 y , dan di atas bidang xoy. (Petunjuk : Gunakan koordinat bola!)
Penggunaan Integral Lipat
Aip Saripudin
Modul 5 Integral Lipat - 90
