MODUL V INTEGRAL LIPAT TIGA
Definisi Integral Lipat Tiga Andaikan f adalah adalah fungsi fungsi dari x, y, dan z yang terdefinisikan terdefinisikan pada balok B, dalam ruang dimensi tiga, dimana sisi-sisinya sejajar dengan bidangbidang koordinat. Pada balok B buatlah partisi berhingga banyak P dengan membagi menjadi n bagian, yakni B 1, B2, …, Bn dimana volumenya ΔV k = Δxk Δyk Δzk, . fungsi f dikatakan terintegralkan pada B didefinisikan oleh, n
f ( x , y , z ) dV B
jika limitnya ada
lim |P |
0
f ( x k , y k , z k ) V k k 1
Penghitungan Integral Lipat : B Balok Persegi Panjang Bilamana B adalah balok berbentuk empat persegi panjang, yang dibatasi oleh : B={(x,y,z):a≤x≤b,c≤y≤ d,e≤z≤ h}
Maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B dapat digunakan pendekatan,
f ( x , y , z )dV B
f ( x , y , z )dV B
f ( x , y , z )dV B
b d h a c e
f ( x , y , z ) dzdydx
d b h c a e
f ( x , y , z ) dzdxdy
h b d
f ( x , y , z ) dydxdz
e a c
Contoh 2 3
Hitunglah,
xy z dV
Bilamana diambil, dV = dz dy dx maka dihasilkan,
B
Bilamana bilamana B adalah balok berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh, B={(x,y,z):1≤x≤2,2≤y≤3,0≤z≤2}.
xy 2 z 3dV B
2 3 2 1 2 0
xy 2 z 3dzdydx
Bilamana diambil, dV = dz dx dy maka dihasilkan, xy 2 z 3dV B
3 2 2 2 1 0
xy 2 z 3 dzdxdy
Bilamana diambil, dV = dx dy dz maka dihasilkan, xy 2 z 3 dV B
2 3 2 0 2 1
xy 2 z 3dxdydz
Penghitungan Integral Lipat : Benda Pejal S (1) Andaikan f(x,y,z) terdefinisikan pada S, dan f bernilai nol bilamana diluar S. Andaikan pula S adalah himpunan z sederhana, dan Sxy adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy, Bilamana f kontinu dan terintegralkan pada benda pejal S, maka diperoleh : z 2
f ( x , y , z ) dV S
S xy
z 1
f ( x , y , z ) dzdA
dimana Sxy adalah percerminan permukaan benda pejal S pada bidang xy.
Penghitungan Integral Lipat : Benda Pejal S (2) Selanjutnya, jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, yang dibatasi oleh, Sxy={(x,y): y1≤y≤y2, a≤x≤ b}
Maka integral lipat menjadi,
S
S xy b y 2 z 2 a y 1
y1
z 2
f ( x , y , z ) dV
z 1
z 1
f ( x , y , z ) dzdA
f ( x , y , z ) dzdydx
Pendekatan lain jika Sxy daerah pada bidang xy yang berbentuk x sederhana, yang dibatasi oleh, Sxy={(x,y): c≤y≤d, x1≤x≤ x2}, z 2
f ( x , y , z ) dV S
S xy d x 2 z 2 c x 1
z 1
z 1
f ( x , y , z ) dzdA
f ( x , y , z ) dzdxdy
Contoh xz dV dengan S adalah benda pejal dibatasi oleh
Hitunglah, S
silinder paraboloida, x + z 2 = 4,bidang, x+y=4, y=x,z=0,dan y = 0. Jawab Dari sektsa benda pejal S dibatasi, oleh, 0 ≤ z ≤ (4−x) 1/2, dV=dzdA, maka 4 x
xz dV S
S xy
xz dzdA
0
dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy
Dari gambar dibawah, daerah R berbentuk x sederhana dibatasi oleh, Sxy ={(x,y) : y≤x≤4–y, 0 ≤ y ≤ 2}, dan dA = dx dy. 4 x
xz dV S
S xy 2 4 y 0 y
4 x
xz dzdxdy
0
2 4 y 1
2
4 x
xz 2 0
0 y
1 2 2 x 2 2 0 1 2
xz dzdA
0
4 y
1 3 x 3 y y )3
2( 4 3
dxdy
(4
dy
y ) 4 12
1 2 4 y ( 4 x x 2 ) dxdy 2 0 y 1 2 2( 4 2 0
2y 3 3
y 4 12
y )2 2 0
20 3
(4
y )3 3
2 y 2
y 3 dy 3
Contoh xz dV dengan S adalah benda pejal dibatasi oleh
Hitunglah, S
Bidang, y+z=4, silinder paraboloida, y=x 2, y=2-x2,bidang,z=0,x= 0. Jawab Dari sektsa benda pejal S dibatasi, oleh, 0 ≤ z ≤ 4-y, dV=dzdA,maka 4 y
xz dV S
S xy
0
xz dz dA
dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy
Dari gambar , daerah R berbentuk y sederhana yang dibatasi oleh, Sxy={(x,y) : x2≤y≤2 – x 2,0 ≤ x ≤ 1}, dan dA = dx dy. Dengan demikian diperoleh, 4 y
xz dV S
S xy
xz dz dA
0
1 2 x 2 4 y
1 2 x 2 1
0 x 2
0 x 2
0
xz dzdydx
2 1 1 2 x x ( 4 2 0 x 2
y )2dydx
1 1 2 0
1 1 [ x ( 4 x 2 )3 x (2 x 2 )3 ] dx 6 0 1 ( 34 48
34
44
24 )
110 48
2
4- y
xz 2 0
1 x ( 4 3 1 6
y )3
dydx 2 x 2 2
dx
x
( 4 x 2 ) 4 8
(2 x 2 ) 4 8
1 0
PENERAPAN INTEGRAL LIPAT TIGA 1). Volume Benda Pejal S
V dV S
b y 2 z2
a y z d x z c x z 1 2
1 2
1
1
b). Pusat Massa
dzdydx
x
Myz m
,y
Mxz ,z m
Mxz m
dimana Myz , Mxz , Mxy : adalah moment terhadap ketiga bidang yang didefinisikan oleh :
dzdxdy
2). Massa dan Pusat Massa Misalkan, (x,y,z) menyatakan kerapatan benda pejal S, maka
M yz
x ( x, y, z ) dV S
(a). Massa benda :
m
M xz
(x,y,z) dV
y (x, y, z) dV S
M xy
S
z ( x , y, z ) dV S
Contoh : volume Hitunglah volume benda pejal dibawah permukaan paraboloida, z=4–y 2, dan dibatasi paraboloida x = y 2, bidang x + y = 2, z = 0, dan x = 0. Dengan integral lipat tiga, V
dV S
Dari sketsa pada, permukaan benda pejal S berbentuk z sederhana, yakni : 0 ≤ z ≤ 4 – y 2, dan, dV = dz dA. Sehingga, V
4 y 2
dV S
S xy
0
dzdA
dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda pejal S pada bidang xy y=x
Dari gambar proyeksi permukaan S pada bidang xy, Sxy berbentuk y sederhana, dimana : Sxy = {(x,y) : x≤y≤2– x,0≤x≤1}, dan dA= dy dx. Jadi volume benda pejal V diberikan oleh, V
4 y 2
dV S
S xy
1 2 x 4 y 2 0 x
0
1 2 x 0 x 1 0
8
8 13 6
(4
0
dzdA
dzdydx
2
y ) dydx
1 2 x 0 x
16 12
dydx
2 x
1
1 4y - y 3 3 0 x
13 1 x (2 x )3 dx 3 3 1 12
4 y 2
z 0
8 x
dx 1
13 2 x 6
1 (2 x )4 12 0
55 12
Contoh : Massa Suatu benda pejal S di oktan pertama dibawah permukaan silinder lingkaran tegak, x 2 + z2 = 16, dan dibatasi bidang, x+y=4, y = x, z = 0, dan y = 0. Hitunglah massa S, bilamana kerapatannya (x,y,z) = kz. Andaikan m menyatakan massa benda pejal S, dan karena kerapatannya δ(x,y,z) = kz, sehingga massa benda pejal S diberikan oleh, m
( x , y , z )dV
k
S
y
zdV S
Karena permukaan z berbentuk z sederhana, yakni 0 < z < (16–x 2)1/2 maka m
k
zdV S
k S xy
16 x 2
0
z dzdA
Dari gambar proyeksi permukaan S pada bidang xy, Sxy berbentuk x sederhana, dimana : Sxy = {(x,y) : y≤x≤4–y,0≤y≤2}, dan dA= dx dy. Jadi massa benda pejal S diberikan oleh, m
k
zdV
k
S
k
S xy 16 x 2
2 4 y 0 y
16 x 2
0
0
z dzdxdy k
k 2 4 y (16 x 2 ) dxdy 2 0 y k 2 64 2 0
32y
k 64 y 16 y 2 2
z dzdA
1 (4 3 1 (4 12
0 y
2
4
16 x 2
z
dxdy
0 4 y
k 2 1 16 x x 3 2 0 3 y
y )3 y )
2 4 y 1 2
dy
1 3 y dy 3 2
1 4 y 12 0
68 k 3
Soal-soal Latihan 1.
2. 3. 4. 5.
6.
Suatu benda pejal yang dibatasi kurva-kurva, x + z b = a, x + y = a,x=(a – 1)y, z = 0, dan y = 0. Hitunglah massanya, jika kerapatannya (x,y,z) =bzb-1 Hitung massa benda pejal S dibatasi oleh bidang-bidang, y + z = 4, x = y, y = z, x = 0, dan z = 0. Bilamana kerapatannya adalah xz. Hitung volume benda pejal S dibatasi silinder parabolik, 2z = y 2, dan bidang-bidang, y + z = 4, x + y = 4, x = 0, dan z = 0. Hitung volume benda pejal S dibatasi oleh silinder parabolik, y = x 2, dan bidang-bidang, x = z, x + z = 4, y = 0 dan z = 0. Suatu benda pejal dibatasi oleh permukaan-permukaan, y+z=a+b, z=a, y = x 2, y = 1, dan x = 0. Buatlah sketsa benda tersebut, dan hitunglah massanya bilamana kerapatannya adalah xz a. Hitung massa benda pejal S dibatasi oleh silinder parabolik, y= x 2, x=z2 dan bidang-bidang, x = 1, y =0 dan z = 0, bilamana kerapatannya adalah kxyz
Transformasi Integral Lipat Tiga Pada kasus-kasus khusus sering dijumpai masalah integral lipat tiga dimana benda mempunyai bentuk lengkungan teratur Bentuk benda yang mempunyai lengkungan teratur adalah silinder, bola, kerucut, elipsoida
Silinder
Kerucut
Bola
Misalkan (u,v,w) adalah titik pada bidang lengkungan u, v, w dan titik (x,y,z) titik pada koordinat kartesius di ruang dimensi tiga. Hubungan antara (x,y,z) dan (u,v,w) diberikan oleh transformasi : x = x(u,v,w) ; y = y(u,v,w) ; z = z(u.v.w) Akibatnya : (1). Fungsi f(x,y,z) akan ditransformasikan menjadai F(u,v,w) (2). Jika S terdefinisikan pada (x,y,z), maka S’ terdefinisikan pada (u,v,w) (2). Jika f terintegralkan pada S, maka F(u,v,w) terintegralkan di S’ Jadi : f ( x, y, z ) dzdydx F(u, v, w )J(u, v, w ) dwdvdu S
S'
Dimana Jacobian, J(u,v,w) didefinisikan oleh :
J( u, v , w )
( x, y , z ) (u, v , w )
x u y u z u
x v y v z v
x w y w z w
Transformasi Koordinat Silinder Hubungan antara titik (x,y,z) dalam sistem koordinat kartesius dengan titik (r,θ,z) pada sistem koordinat silinder diberikan transformasi, x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, x2 + y2 = r 2
tan
y x
Sebagai hasilnya integral lipat tiga pada sistem koordinat silinder diberikan oleh, f ( x , y , z ) dV S
f ( x , y , z ) dzdydx S
f ( r cos , r sin , z ) J ( z , r , ) dzdrd S 2 1
r 2
z 2
r 1
z 1
F ( z , r , ) r dzdrd
Contoh Hitunglah volume dan massa sebuah benda pejal dibawah permukaan kerucut, z 2 = x2+y2, di dalam silinder lingkaran tegak, x 2 +y2 = 2y, dan diatas bidang xy. Bilamana diketahui kerapatannya adalah δ(x,y,z) = (x 2 + y2)1/2 Jawab Andaikan V dan m masing-masing menyatakan volume dan masa benda pejal, maka V
dzdydx S
x 2
m
y 2 dzdydx
S
Dalam koordinat silinder, (1). Kerucut, z 2 = x2 + y2 ditransformasikan menjadi, z = r (2). Silinder, x 2 + y2 = 2y ditransformasikan menjadi, r = 2 sin θ, dengan 0 ≤ θ ≤ π
Dengan demikian batasan integral berulangnya dalam sistem koordinat silinder adalah S* = {(r,θ,z) : 0 ≤ z ≤ r, 0 ≤ r ≤ 2 sin θ, dan 0 ≤ θ ≤ π}. Jadi, V
S 2sin
rdzdrd
r rz 0 drd
0
r 2drd
0 0
8 3
0
0
0 0 2sin
2 sin
d 0
1 sin2 3
y 2 dzdydx
S 2sin
r
0 0 2sin
r 3 0 3
x 2
m
dzdydx
0
8 sin3 3 0 2 cos 3
0
r 2
0 2sin 0 2sin 0
0
r dzdrd r
r 2 z 0 drd r 3drd 2 sin
d 32 9
1 4 r 0 4 0
d
1 sin3 4
4
4
3 sin 8
0
sin 4
cos
d 3 8
0
3 2
Contoh Hitunglah masa benda pejal yang terletak dibawah bola, x 2+y2+z2 = 8, dan diatas kerucut lingkaran tegak, z 2=x2 + y2, bilamana kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap bidang xy, δ(x,y,z) = kz. Jawab Masa benda pejal m diberikan oleh. m
kz dzdydx
Dari sketsa, batasan integrasi untuk z adalah, x 2
S
x2 + y2 + z2 = 8,
x2 + y2= z2
y 2
z
8
( x 2
y 2 )
Sedangkan daerah R adalah perpotongan bola dan kerucut yakni :
x2+y2+ (x2+y2) = 8 x2+y2 = 4
Dalam koordinat silinder : ⑴ Bola, x2+y2+ z2 = 8 ditransformasikan menjadi, r 2+ z2 = 8 ⑵ Kerucut, x 2 + y2 = z2, ditransformasikan menjadi, z=r ⑶ Lingkaran, x 2 + y2 = 4, ditransformasikan menjadi r=2 dan 02 Dengan demikian batasan integrasinya adalah : ⑴ r z 8 – r 2 ⑵ 0 r 2 ⑶ 0 2 Jadi, m kz dzdydx S
k
2
2
0
0 r
8 r 2
R
x2 + y2 = 4,
m
k k 2 2 0 k 2 2 0
2
2 1
0
0 2 2 0
rz 2
drd r
(8r 2r 3 ) drd 2
4r
k 2 8d 2 0
zr dzdrd
8 r 2
2
1 4 r d 2 0 4k
2 0
8 k
Transformasi Koordinat Bola Hubungan antara setiap titik (x,y,z) dalam sistem koordinat kartesius dengan titik (r, , ) pada sistem koordinat bola diberikan oleh transformasi, x = r cos sin , 0 2 y = r sin sin , 0 z = r cos , x2 + y2 + z2 = r 2 dan, hasilnya adalah
S
F(r , , )J(r , , ) drd d S' 2 1
2 1
r 2 r 1
P(x,y,z) P(r, ,) y
0 2 x
f(x,y,z) = f(rcos sin ,rsin sin ,rcos ) = F(r,, ) dan
f ( x, y, z) dzdydx
0
F(r , , ) r 2 sin drd d
r
Contoh Hitunglah masa benda pejal yang terletak dibawah bola, x 2+y2+z2 = 4, dan diatas kerucut lingkaran tegak, z 2=x2 + y2, bilamana kerapatannya sebanding dengan kadrat jarak terhadap titik pusat, δ(x,y,z) = k(x 2+y2+z2 ). Jawab Masa benda pejal m diberikan oleh. k ( x 2
m
y2
Dalam sistem koordinat bola, batasan benda pejal tersebut adalah, (1) Bola, r=2 (2) Kerucut, =/4 Dengan demikian,
z 2 ) dzdydx
S
x2 + y2 + z2 = 4,
k ( x 2
m
k x2 + y2= z2
S /4 2
2
0
0
0
32
y2
2
2 5
z 2 ) dzdydx
(r 2 )(r 2 sin ) drd d
k
Contoh Hitunglah masa dan moment inersia terhadap titik pusat benda pejal S didalam bola, x 2 + y2 + z2 = 2z, dan diatas kerucut, 3z 2= x2 + y2, bilamana kerapatan di setiap titiknya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat. Dengan integral lipat tiga massa dan moment inersia terhadap terhadap sumbu z, dengan kerapatan
x2 + y2 + z2 = 2z,
( x , y , z )
k x 2
y 2
z 2
adalah m
x 2
k
x2 + y2 = 3z2
y 2
z 2 dzdydx
S
I 0
( x 2
k S
y 2
z 2 ) x 2
y 2
z 2 dzdydx
Dalam koordinat bola batasan benda pejal B diberikan oleh, ⑴ Bola x2 + y2 + z2 = 2z, menjadi r=2cos ⑵ Kerucut, x 2 + y2 = 3z2, menjadi, =/3 (3) Kerapatan, 2 ( x , y , z ) k x y 2 z 2 menjadi, F= kr, sehingga batasan integral berulangnya adalah : ⑶ 0r 2cos; ⑷ 02; ⑸ 0/3 Dengan demikian,
m
x 2
k
k k
0
y 2
S /3 2
2 cos
0 /3 2
0 2 cos
0
0
0
z 2 dzdydx r ( r 2 sin ) drd d r 3 sin drd d
31 k 20
I O
k k
k
0
( x 2
y 2
S /3 2
2 cos
0 /3 2
0 2 cos
0
0
0
z 2 ) x 2
y 2
z 2 dzdydx
(r 2 )(r )(r 2 sin ) drd d r 5 sin drd d
127 k 42
Teknik Menghitung Integral Lipat Tiga Koordinat Silinder atau Koordinat Bola
Rumus integral lipat tiganya (x,y,z) Buat sketsa benda pejal, dan buat sketsa daerah R yang merupakan pencerminan permukaan S pada bidang xy Tentukan batasan-batasan benda pejal dalam koordinat silinder atau bola Hitung rumus integral lipat tiga dalam koordinat silinder (z,r,) atau bola (r,,) Hitung integral berulangnya
Soal-soal Latihan 1) Hitung massa benda pejal, terletak didalam silinder lingkaran tegak, x2 + y2 = 4x, dan dibawah kerucut, x2 + y2 = z2, dan diatas, z = 0. Bila kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap bidang xy, 2) Hitung massa benda pejal terletak dalam silinder lingkaran tegak, x2 + y2 = 4y, dan dibawah bola, x2 + y2 + z2 = 16 dan diatas bidang, z = 0, kerapatan sebanding dng kuadrat jarak terhadap bidang xy 3) Sebuah silinder lingkaran tegak, tingginya (a+2), alasnya berbentuk lingkaran dengan pusat (0,b,0) jari-jarinya b. Silinder lingkaran tegak sisi-sisinya dipotong oleh bidang y=x dan y=-x. Kerapatan sebanding dengan jarak terhadap bidang alas silinder. Hitunglah massa benda tersebut. 4) Benda pejal terletak didalam bola, x2+ y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut lingkaran, 3(x2 + y2) = z2. Hitunglah volume bendanya. 5) Carilah titik pusat massa benda pejal yang terletak didalam bola x2+y2+z2 = 4z, dan diatas kerucut, x2 + y2 = z2, bilamana kerapatannya berbanding terbalik dengan jarak terhadap titik pusat.
Soal-soal Latihan Lanjutan 6) Hitunglah moment inersia terhadap sumbu z suatu benda pejal yang terletak didalam bola x2 + y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut, x2 + y2 = 3z2, bilamana kerapatannya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat. 7) Sebuah bola berlubang, jari-jari dalam (a+2) dan jari-jari luar (a+b+1). Kerapatannya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat. Hitunglah moment tehadap titik pusat. 8) Hitunglah moment inersia terhadap titik pusat z suatu benda pejal yang terletak didalam bola x2 + y2 + z2 = 4z, dan diatas kerucut, 3(x2 + y2) = z2, bilamana kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat.
